위키문헌 kowikisource https://ko.wikisource.org/wiki/%EC%9C%84%ED%82%A4%EB%AC%B8%ED%97%8C:%EB%8C%80%EB%AC%B8 MediaWiki 1.47.0-wmf.18 first-letter 미디어 특수 토론 사용자 사용자토론 위키문헌 위키문헌토론 파일 파일토론 미디어위키 미디어위키토론 틀 틀토론 도움말 도움말토론 분류 분류토론 저자 저자토론 포털 포털토론 번역 번역토론 해석 해석토론 초안 초안토론 페이지 페이지토론 색인 색인토론 TimedText TimedText talk 모듈 모듈토론 행사 행사토론 100 2070 459179 457546 2026-09-06T05:57:20Z ~2026-48457-88 19711 /* */ 459179 wikitext text/x-wiki {{글쓴이 |이름 = 이광수 |다른 표기 = 李光洙 |이름 첫 글자 = ㅇ |국적 = 일제 강점기 |탄생 연도 = 1892년 |사망 연도 = 1950년 |설명 = 일제 강점기의 소설가이자, 시인, 평론가, 언론인이다. 독립 운동가이기도 했으나 친일파로 변절하였다. 본관은 전주(全州), 아명은 보경(寶鏡), 호는 춘원(春園), 장백산인(長白山人), 고주(孤舟), 외배, 올보리 등이다. 익명은 노아자, 닷뫼, 당백, 경서학인(京西學人) 등이다.<ref>[https://encykorea.aks.ac.kr/Article/E0043688 한국민족문화대백과], 2023년 12월 10일 읽어봄</ref> 한국 전쟁 당시 납치되어 조선민주주의인민공화국에서 사망하였다. |그림 = Yi Kwang-su 2.JPG |위키백과 링크 = 이광수 |위키인용집 링크 = 이광수 |공용 링크 = Category:Yi Kwang-su |정렬 = 이광수 }} 똥태훈이 똥을 싼다 동~ 똥~ 똥~ == 저작 == === 소설 === * [[사랑인가]](愛か, 일본어, 1909년) * [[무정 (이광수 단편)|무정]](無情, 단편소설, 1910년) * [[무정]](無情, 장편소설, 1917년) * [[소년의 비애]](少年의 悲哀, 1917년) * [[어린 벗에게]] (1917년) * [[윤광호]](尹光浩, 1917년) * [[방황]](彷徨, 1917년) * [[개척자]](開拓者, 1917년) * [[할멈]] (1921년) * [[가실]](嘉實, 1923년) * [[거룩한 이의 죽음]] (1923년) * [[선도자]](先導者, 1923년) * [[허생전 (이광수)|허생전]](許生傳, 1923년) * [[재생 (이광수)|재생]](再生, 1924년) * [[H군을 생각하고|H군(君)을 생각하고]](1924년) * [[어떤 아침]] (1924년) * [[사랑에 주렸던 이들]] (1925년) * [[일설 춘향전]] (1925년) * [[천안기]] (1926년; 미완) * [[마의태자]](麻衣太子, 1927년) * [[단종애사]](端宗哀史, 1928년) * 군상 3부작 ** [[혁명가의 아내]](革命家의 아내, 1930년) ** [[사랑의 다각형]] (1931년) ** [[삼봉이네 집]] (1931년) * [[이순신]](李舜臣, 1931년) * [[무명씨전]](無名氏傳, 1931년) * [[흙]] (1932년) * [[유정]](有情, 1933년) * [[그 여자의 일생]] (1934년) * [[이차돈의 사]](異次頓의 死, 1935년) * [[애욕의 피안]](愛慾의 彼岸, 1936년) * [[그의 자서전]] (1936년) * [[모르는 여인]] (1936년) * [[드문 사람들]] (1936년) * [[공민왕]](恭愍王, 1937년) * [[사랑 (소설)|사랑]] (1938년) * [[무명]](無明, 1939년) * [[길놀이]] (1939년) * [[육장기]] (1939년) * [[세조대왕]](世祖大王, 1940년) * [[난제오]](亂啼烏, 1940년) * [[김씨부인전]](金氏夫人轉, 1940년) * [[옥수수]](1940년) * [[그들의 사랑]] (1941년) * [[원효대사]](元曉大師, 1942년) * [[도산 안창호]](島山 安昌浩, 1947년) * [[꿈 (이광수)|꿈]] (1947년) * [[나]] (1947년) * [[나의 고백]] (1948년) * [[운명]] (1950년) * [[사랑의 동명왕]] (1950년) * [[금십자가]] * [[늙은 절도범]] === 수필 === * [[감사와 사죄|감사(感謝)와 사죄(謝罪)]](1922년) * [[사랑 (수필)|사랑]](1924년) * [[어린 영혼|어린 영혼(靈魂)]](1924년) * [[연분]](緣分, 1924년) * [[손가락]](1924년) * [[잊음의 나라로]](1925년) * [[병창어]](病窓語, 1928년) * [[상해 이일 저일]](1930년) * [[서백리아의 이갑|서백리아(西伯利亞)의 이갑(李甲)]](1931년) * [[죽은 새]](1946년) * [[뻐꾸기와 그애]](1936년) * [[죄]](罪, 1936년) * [[성조기]](成造記, 1936년) * [[모, 매, 처에게|모(母),매(妹),처(妻)에게]](1940년) * [[성전 삼 주년]](聖戰三週年, 1940년) * [[여름의 유모어]](1947년) <!-- * [[죽염기]](竹鹽記) --> * [[영당할머니]] * [[봉아의 추억]] * [[서울 열흘]] * [[돌베개]] === 번역 === * [[검둥의 셜음|검둥의 셜음(悲哀)]] (엉클 톰스 캐빈) === 평론 === * [[반도 민중의 애국 운동]](半島民衆의 애국 운동) * [[심적 신체시와 조선 문화의 진로]](心的 新體制와 朝鮮文化의 進路) === 희곡 === * [[규한]](閨恨) === 기타 === * [[지원병 훈련소 방문기]] * [[민족개조론]] === 선전시 === * [[지원병장행가]] (1941년 9월 1일) * [[선전대조]] (1942년 1월) * [[선전대조 - 소화 16년 12월 8일]] (1942년 1월 1일) * [[전망]] (1943년 1월) * [[조선의 학도여]] (1943년 11월 4일) * [[새해 (이광수)|새해]] (1944년 1월 1일) * [[모든 것을 바치리]] (1945년 1월 18일) == 주석 == <references /> {{PD-old-70}} [[분류:평론가]] [[분류:일제 강점기의 소설가]] [[분류:일제 강점기의 언론인]] [[분류:수필가]] [[분류:극작가]] gk8d7nj1jd5h3jk2d1oocgilw17n03i 459180 459179 2026-09-06T06:33:47Z Aspere 5453 [[Special:Contributions/~2026-48457-88|~2026-48457-88]]([[User talk:~2026-48457-88|토론]])의 편집을 [[User:ZornsLemon|ZornsLemon]]의 마지막 판으로 되돌림 457546 wikitext text/x-wiki {{글쓴이 |이름 = 이광수 |다른 표기 = 李光洙 |이름 첫 글자 = ㅇ |국적 = 일제 강점기 |탄생 연도 = 1892년 |사망 연도 = 1950년 |설명 = 일제 강점기의 소설가이자, 시인, 평론가, 언론인이다. 독립 운동가이기도 했으나 친일파로 변절하였다. 본관은 전주(全州), 아명은 보경(寶鏡), 호는 춘원(春園), 장백산인(長白山人), 고주(孤舟), 외배, 올보리 등이다. 익명은 노아자, 닷뫼, 당백, 경서학인(京西學人) 등이다.<ref>[https://encykorea.aks.ac.kr/Article/E0043688 한국민족문화대백과], 2023년 12월 10일 읽어봄</ref> 한국 전쟁 당시 납치되어 조선민주주의인민공화국에서 사망하였다. |그림 = Yi Kwang-su 2.JPG |위키백과 링크 = 이광수 |위키인용집 링크 = 이광수 |공용 링크 = Category:Yi Kwang-su |정렬 = 이광수 }} == 저작 == === 소설 === * [[사랑인가]](愛か, 일본어, 1909년) * [[무정 (이광수 단편)|무정]](無情, 단편소설, 1910년) * [[무정]](無情, 장편소설, 1917년) * [[소년의 비애]](少年의 悲哀, 1917년) * [[어린 벗에게]] (1917년) * [[윤광호]](尹光浩, 1917년) * [[방황]](彷徨, 1917년) * [[개척자]](開拓者, 1917년) * [[할멈]] (1921년) * [[가실]](嘉實, 1923년) * [[거룩한 이의 죽음]] (1923년) * [[선도자]](先導者, 1923년) * [[허생전 (이광수)|허생전]](許生傳, 1923년) * [[재생 (이광수)|재생]](再生, 1924년) * [[H군을 생각하고|H군(君)을 생각하고]](1924년) * [[어떤 아침]] (1924년) * [[사랑에 주렸던 이들]] (1925년) * [[일설 춘향전]] (1925년) * [[천안기]] (1926년; 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//[[User:기나ㅏㄴ/massmove.js]] // 매스딜리트 //자세한 설명은 [[사용자:기나ㅏㄴ/massdelete]]을 참고하시기 바랍니다. $.when(mw.loader.using(['mediawiki.util'], $.ready)).done( function() { mw.util.addPortletLink("p-tb", mw.config.get('wgArticlePath').replace('$1', "특수:MassDelete"), '대량 문서 삭제기' , "대량 문서 삭제" , "대량 문서 삭제"); }); if (mw.config.get('wgCanonicalNamespace')+':'+mw.config.get('wgTitle') === '특수:MassDelete' && mw.config.get('wgAction') == 'view'); mw.loader.using(['mediawiki.api', 'mediawiki.Title'], function () { "use strict"; var config = mw.config.get(['wgNamespaceNumber', 'wgTitle', 'wgUserGroups', 'skin']); function removeBlanks(arr) { var ret = []; var i, len; for (i = 0, len = arr.length; i < len; i++) { var s = arr[i]; s = s.trim(); if (s) { ret.push(s); } } return ret; } function doMassDelete() { document.getElementById("wpMassDeleteSubmit").disabled = true; var articles = document.getElementById("wpMassDeletePages").value.split("\n"); articles = removeBlanks(articles); if (!articles.length) { return; 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" (" + wpMassDeleteReason + ")" : ""), onSuccess = function () { deleted++; document.getElementById("wpMassDeleteSubmit").value = "(" + deleted + ")"; }; function makeDeleteFunc(article) { return function () { return $.Deferred(function (deferred) { var promise = api.postWithToken('csrf', { format: 'json', action: 'delete', title: article, reason: reason + " - [[사용자:기나ㅏㄴ/massdelete|massdelete]]" }); promise.done(onSuccess); promise.fail(function (code, obj) { failed.push(article); error.push(obj.error.info); }); promise.always(function () { deferred.resolve(); }); }); }; } // Make a chain of deferred objects. We chain them rather than execute them in // parallel so that we don't make 1000 simultaneous delete requests and bring the // site down. We use deferred objects rather than the promise objects returned // from the API request so that the chain continues even if some articles gave // errors. var deferred = makeDeleteFunc(articles[0])(); for (var i = 1, len = articles.length; i < len; i++) { deferred = deferred.then(makeDeleteFunc(articles[i])); } // Show the output and do cleanup once all the requests are done. $.when(deferred).then(function () { document.getElementById("wpMassDeleteSubmit").value = "완료 (" + deleted + ")"; if (failed.length) { var $failedList = $('<ul>'); for(var x = 0; x < failed.length; x++) { // Link the titles in the "failed" array var failedTitle = mw.Title.newFromText(failed[x]); var $failedItem = $('<li>'); if (failedTitle) { $failedItem.append( $('<a>') .attr('href', failedTitle.getUrl()) .text(failed[x]) ); } else { $failedItem.text(failed[x]); } $failedItem.append(document.createTextNode(': ' + error[x])); $failedList.append($failedItem); } $('#wpMassDeleteFailedContainer') .append($('<br />')) .append($('<b>') .text('삭제 실패:') ) .append($failedList); } }); } function massdeleteform() { var bodyContent; switch (mw.config.get('skin')) { case 'modern': bodyContent = 'mw_contentholder'; break; case 'cologneblue': bodyContent = 'article'; break; case 'monobook': case 'vector': default: bodyContent = 'bodyContent'; break; } document.getElementsByTagName("h1")[0].textContent = "대량 문서 삭제기"; document.title = "대량 문서 삭제기 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전"; document.getElementById(bodyContent).innerHTML = '<h3 id="siteSub">위키백과, 우리 모두의 백과사전</h3><br /><br />' + '<form id="wpMassDelete" name="wpMassDelete">' + '<b>도구 사용 미숙으로 인해 발생하는 문제에 대한 책임은 <i>전적으로 귀하</i>에게 있습니다.</b>' + '<div id="wpMassDeleteFailedContainer"></div>' + '<br /><br />' + '삭제할 문서 (한 줄에 한 문서):<br />' + '<textarea tabindex="1" accesskey="," name="wpMassDeletePages" id="wpMassDeletePages" rows="10" cols="80"></textarea>' + '<br /><br /><table style="background-color:transparent">' + '<tr><td>일반적인 이유:</td>' + '<td><select 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낫치못ᄒᆞ며션악ᄋᆞᆯ일우지못ᄒᆞ여하나님의ᄐᆡᆨᄒᆞ물안찰ᄒᆞᆫᄯᅳᆺ이셔게ᄒᆞ여ᄉᆞ니ᄒᆡᆼᄒᆞ무로ᄋᆞᆫ코오직이불은바로ᄒᆞ미니라 {{절||十二}} 리ᄇᆡᆨ가씨의게갈오샤ᄃᆡ맛아달이져근아달게복ᄒᆞ리라ᄒᆞ더니 {{절||十三}} 셩경에말갓치ᄂᆡ가야곱ᄋᆞᆯ사랑ᄒᆞ고이소ᄅᆞᆯ미워ᄒᆞ노라ᄒᆞ니 {{절||十四}} 그런즉우리엇지써말ᄒᆞ리요하나님이올치못ᄒᆞ냐갈오ᄃᆡᄋᆞᆫ이라 {{절||十五}} 모쇼게갈오ᄃᆡᄂᆡ가은혜ᄒᆞᄂᆞᆫ바쟈ᄂᆞᆫ은{{upe}}<noinclude><references/></noinclude> hiqjyki6bvmdqxnoo5ljddntkussz84 250 78225 459145 290574 2026-09-05T14:35:45Z Aspere 5453 459145 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="D6283" /></noinclude>ᄃᆡ답ᄒᆞᄃᆡ 나ᄂᆞᆫ 텬로로 가ᄂᆞᆫ 사ᄅᆞᆷ이니 {{du|슌산}}을 차져가노라 ᄒᆞᆫᄃᆡ 로인이 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 네 모양을 보니 츙후ᄒᆞᆫ 사ᄅᆞᆷ이라 내 공젼을 줄 거시니 나와 ᄒᆞᆷᄭᅴ 잇ᄉᆞ랴ᄂᆞ냐 ᄒᆞ기에 내가 무러 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 존쟝은 누구시며 어ᄂᆞ 곳에 계시닛가 ᄒᆞᆫ즉 로인이 ᄃᆡ답ᄒᆞᄃᆡ 내 셩은 {{u|인}}이오 일홈은 {{u|구셩}}이오 별호ᄂᆞᆫ {{u|로아담}}이오 {{du|혼미향}}에 사노라 ᄒᆞ기에 내 ᄯᅩ 무러 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 무ᄉᆞᆷ 일을 식이고 무ᄉᆞᆷ 공쳔을 주랴시오 ᄒᆞᆫ즉 로인이 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 내 식일 일은 ᄆᆡ우 쾌락ᄒᆞᆫ 일이오 공젼은 나의 셰간을 맛기랴 ᄒᆞ노라 ᄒᆞ기에 내가 ᄯᅩ 무러 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 집에셔 먹ᄂᆞᆫ 거ᄉᆞᆯ 무어시며 ᄉᆞ환은 몃치닛가 ᄒᆞᆫ즉 로인이 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 셰샹에 뎨일 먹기 조흔 거시 다 내 집에 잇고 ᄉᆞ훤은 다 내 아ᄃᆞᆯ이니라 ᄒᆞ기에 내가 ᄯᅩ 무ᄅᆞᄃᆡ ᄌᆞ뎨가 몃치오닛가 ᄒᆞᆫ즉 로인이 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ ᄯᆞᆯ 서희 잇ᄉᆞ니 ᄒᆞ나흔 {{u|호ᄉᆡᆨ}}이오 ᄒᆞ나흔 {{u|탐리}}오 ᄯᅩ ᄒᆞ나ᄒᆞᆫ {{u|고명}}이라 ᄒᆞ기에 내 ᄉᆡᆼ각건ᄃᆡ 쟝가 들고져 ᄒᆞ면 곳 허락ᄒᆞᆯ ᄯᅳᆺᄒᆞ야 ᄯᅩ 무러 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 얼마나 ᄀᆞᆺ치 오래 잇ᄉᆞ오릿가 ᄒᆞᆫ즉 로인이 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 내 ᄉᆡᆼ젼 ᄀᆞᆺ치 잇자 ᄒᆞ더라 {{u|긔독도}}ㅣ ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 그 로인이 그ᄃᆡ ᄉᆡᆼ각에 엇더ᄒᆞ더냐 {{u|진츙}}이 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 내가 처음에 그 말을 ᄯᅳᆺ고 조흘 ᄯᅳᆺᄒᆞ야 ᄀᆞᆺ치 가랴 ᄒᆞ다가 그 후 말ᄒᆞᆯ ᄯᅢ에 그 로인에 니마ᄅᆞᆯ 보니 글ᄌᆞᄅᆞᆯ 샥엿ᄉᆞᄃᆡ 녯 셩졍을 ᄇᆞ리지 못ᄒᆞᆯ 사ᄅᆞᆷ이라 ᄒᆞ엿기에 내가 셩경 ᄯᅳᆺᄉᆞᆯ ᄉᆡᆼ각ᄒᆞ니 그 말ᄉᆞᆷ에 닐넛ᄉᆞᄃᆡ 녯 일을 ᄇᆞ리고 새 사ᄅᆞᆷ이 되라 ᄒᆞ엿기로 그 로인을 ᄯᆞᄅᆞ가지 아니ᄒᆞ엿노라 {{u|긔독도}}ㅣ ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 잘ᄒᆞ엿노라 {{u|진츙}}이 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 그 말이 듯기ᄂᆞᆫ 조흐나 만일 ᄯᆞᄅᆞ가면 뎡녕 그 죵이 될 터인 고로 아모리 여러 번 말ᄒᆞ여도 듯지 아니ᄒᆞ매 로인이 ᄭᅮ지ᄌᆞᄃᆡ 내 말을 듯지 아니ᄒᆞ면 ᄆᆡ우 무셔온 거조가 잇ᄉᆞ리라 ᄒᆞ되 내가 몸을 도로켜 가랴 ᄒᆞ니 로인{{upe}}<noinclude></noinclude> 56bzu4e3h73wa856ukogb206c1o1zvt 250 78268 459146 290806 2026-09-05T14:36:27Z Aspere 5453 459146 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="D6283" /></noinclude>ᄭᅮ지지리라 ᄒᆞ고 ᄯᅩ 말ᄒᆞ랴 ᄒᆞ거ᄂᆞᆯ {{u|진츙}}이 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 두말 말나 그러치 아니ᄒᆞ리라 대져 사ᄅᆞᆷ이 ᄌᆞ긔 죄ᄅᆞᆯ 통한히 녁이ᄂᆞᆫ 거시 셩신 감화ᄒᆞᆷ이니라 {{u|슌도}}ㅣ ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 그러면 죄ᄅᆞᆯ ᄭᅮ짓ᄂᆞᆫ 거시나 죄ᄅᆞᆯ 통한히 녁이ᄂᆞᆫ 거시나 무ᄉᆞᆷ 분간이 잇ᄂᆞ냐 {{u|진츙}}이 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 대단히 다ᄅᆞ니라 것흐로 ᄭᅮ지ᄂᆞᆫ 거ᄉᆞᆫ ᄂᆞᆷ의게 나타내여 알게 ᄒᆞᆷ이오 속으로 통한히 녁이ᄂᆞᆫ 거ᄉᆞᆫ 어진 ᄆᆞᄋᆞᆷ으로 나아오ᄂᆞᆫ 거시라 내가 젼에 {{u|젼도}}라 ᄒᆞᄂᆞᆫ 사ᄅᆞᆷ의 말을 드ᄅᆞ니 도ᄅᆞᆯ 젼ᄒᆞᆯ ᄯᅢ에ᄂᆞᆫ 죄ᄅᆞᆯ ᄭᅮ지졋ᄉᆞ나 집에셔 무ᄉᆞᆷ 일을 ᄒᆞᆯ ᄯᅢ에ᄂᆞᆫ 죄ᄅᆞᆯ 통한히 녁일 ᄆᆞᄋᆞᆷ이 적다 ᄒᆞ더라 녯적에 {{u|약슬}}의 쥬인 녀편네가 크게 소ᄅᆡᄒᆞ고 ᄆᆡ우 ᄭᆡᆨ긋ᄒᆞᆫ 모양 ᄀᆞᆺ흐되 그 실샹은 {{u|약슬}}과 ᄀᆞᆺ치 더러온 일을 ᄒᆞ고져 ᄒᆞᆷ이라 사ᄅᆞᆷ들의 죄 ᄭᅮ짓ᄂᆞᆫ 거시 비컨ᄃᆡ 어미가 어린 ᄌᆞ식을 입으로ᄂᆞᆫ 욕ᄒᆞ되 손으로 어루만지며 입 맛초ᄂᆞᆫ 것 ᄀᆞᆺ흐니라 {{u|슌도}}ㅣ ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 네가 내 흉을 잡으랴ᄂᆞ냐 {{u|진츙}}이 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 그러치 아니ᄒᆞ다 내가 리치ᄅᆞᆯ 분변ᄒᆞᆯ ᄲᅮᆫ이라 그ᄃᆡ가 ᄯᅩ ᄆᆞᄋᆞᆷ속에 은혜 나타나ᄂᆞᆫ 빙거를 다시 말ᄒᆞ겟ᄂᆞ냐 {{u|슌도}}ㅣ ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 복음에 오묘ᄒᆞᆫ 리치ᄅᆞᆯ 아ᄂᆞᆫ 거시 빙거니라 {{u|진츙}}이 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 그거ᄉᆞ로만 빙거ᄒᆞ면 올치 아니ᄒᆞ니라 셩신 감화치 못ᄒᆞᆫ 사ᄅᆞᆷ이라도 복음에 도리ᄅᆞᆯ 아ᄂᆞ니 셩경의 오묘ᄒᆞᆫ ᄯᅳᆺᄉᆞᆯ 알아 식견이나 널으고 인ᄋᆡ가 업ᄉᆞ면 쓸ᄃᆡ업ᄂᆞᆫ 사ᄅᆞᆷ이니 엇지 셩신이 감화ᄒᆞ엿다 ᄒᆞ겟ᄂᆞ냐 구쥬ㅣ 일즉 문 도ᄃᆞ려 닐너 ᄀᆞᆯᄋᆞ샤ᄃᆡ 너희가 도리ᄅᆞᆯ 알고 그대로 ᄒᆡᆼᄒᆞ여야 복이 잇ᄉᆞ리라 ᄒᆞ셧ᄉᆞ니 이 말ᄉᆞᆷ은 알기만 ᄒᆞ면 복이 잇다 ᄒᆞ신 말ᄉᆞᆷ이 아니오 그대로 ᄒᆡᆼᄒᆞ여야 복이 잇다 ᄒᆞ심이니 도리만 아ᄂᆞᆫ 거ᄉᆞᆯ 셩신 감화ㅣ라 ᄒᆞᆯ진ᄃᆡ 알면 복이 잇ᄉᆞ리라 ᄒᆞ셧겟지 웨 ᄒᆡᆼᄒᆞ여야 복이 잇ᄉᆞ리라 말ᄉᆞᆷᄒᆞ셧{{upe}}<noinclude></noinclude> o4u71jmvapp57qqfk3rff34erc79ct9 250 80868 459117 359612 2026-09-05T13:08:14Z Aspere 5453 459117 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Aspere" /></noinclude>너희게 닐ᄋᆞ노니 너희가 나를 찻ᄂᆞᆫ 거슨 이젹을 본 ᄭᆞᄃᆞᆰ이 아니오 ᄯᅥᆨ을 먹고 ᄇᆡ 부른 ᄭᆞᄃᆞᆰ이로다 {{절||二七}} 썩을 량식을 위ᄒᆞ야 일ᄒᆞ지말고 영ᄉᆡᆼᄒᆞ도록 잇슬 량식을 위ᄒᆞ야 ᄒᆞᆯ지어다 이 거슨 인ᄌᆞ가 너희의게 줄 거시니 뎌는 아바지 하ᄂᆞ님이 인치신쟈니라 {{절||二八}} 뎌희가 무르ᄃᆡ 우리가 엇더케 ᄒᆞ여야 하ᄂᆞ님의 일을 ᄒᆞ오릿가 {{절||二九}} 예수ㅣ ᄃᆡ답ᄒᆞ야 ᄀᆞᆯᄋᆞ샤ᄃᆡ 하ᄂᆞ님의 보내신 쟈를 밋ᄂᆞᆫ 거시 하ᄂᆞ님의 일이니라 {{절||三十}} ᄯᅩ 무르ᄃᆡ 무ᄉᆞᆷ 이젹을 ᄒᆡᆼᄒᆞ야 우리로 보고 밋게 ᄒᆞ며 무ᄉᆞᆷ 일을 ᄒᆞ시겟ᄂᆞ잇가 {{절||三一}} 우리 조샹이 광야에셔 {{물결밑줄|만나}}를 먹엇스니 셩경에 닐넛스ᄃᆡ 하ᄂᆞᆯ에셔 ᄂᆞ린 량식을 주어 먹게 ᄒᆞ셧다 ᄒᆞ엿ᄂᆞ이다 ᄒᆞ니 {{절||三二}} 예수ㅣ 닐ᄋᆞ샤ᄃᆡ 내가 진실노 진실노 너희게 닐ᄋᆞ노니 하ᄂᆞᆯ에셔 ᄂᆞ린 량식이 {{u|모세}}가 준 거시 아니라 오직 내 아바지는 하ᄂᆞᆯ에셔 ᄎᆞᆷ 량식으로 너희게 주시ᄂᆞ니 {{절||三三}} 하ᄂᆞ님의 량식은 하ᄂᆞᆯ에셔 ᄂᆞ려 ᄉᆡᆼ명을 셰샹 사ᄅᆞᆷ의게 주시ᄂᆞᆫ 거시라 ᄒᆞ신ᄃᆡ {{절||三四}} 뎌희가 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 쥬여 ᄒᆞᆼ샹 이 량식으로 우리를 주쇼셔 ᄒᆞ거늘 {{절||三五}} 예수ㅣ ᄀᆞᆯᄋᆞ샤ᄃᆡ 내가 곳 ᄉᆡᆼ명의 량식이니 내게 오ᄂᆞᆫ 사ᄅᆞᆷ은 ᄇᆡ곱흐지아니ᄒᆞᆯ터이오 나를 밋ᄂᆞᆫ 사ᄅᆞᆷ은 영원히 목ᄆᆞ르지아니ᄒᆞ리라 {{절||三六}} 젼에 내가 너희ᄃᆞ려 닐ᄋᆞ기를 너희는<noinclude><references/></noinclude> 2encgpr57t4zsq8z3ybjr8zmofezgdy 250 80872 459119 359607 2026-09-05T13:09:23Z Aspere 5453 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예수도 졀긔를 직히러 올나가실ᄉᆡ 나타나게 가지아니ᄒᆞ시고 ᄀᆞ만히 가시니라 {{절||十一}} 졀긔를 당ᄒᆞ매<noinclude><references/></noinclude> 7i1zppkny6vntbeuegoqikoz9bgureu 250 80886 459118 359592 2026-09-05T13:08:55Z Aspere 5453 459118 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Aspere" /></noinclude>{{절||二八}} 뎌희가 곳 ᄭᅮ지져 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 너는 그 뎨ᄌᆞ나 우리는 {{u|모세}}의 뎨ᄌᆞ라 {{절||二九}} 하ᄂᆞ님이 {{u|모세}}의게는 말ᄉᆞᆷ ᄒᆞ신줄을 우리가 알거니와 이 사ᄅᆞᆷ은 어ᄃᆡ셔 왓ᄂᆞᆫ지 아지못ᄒᆞ노라 {{절||三十}} 그가 ᄃᆡ답ᄒᆞ야 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 이샹ᄒᆞ다 이 사ᄅᆞᆷ이 내 눈을 ᄯᅳ게 ᄒᆞ엿스되 너희가 어ᄃᆡ로 오신지 아지못ᄒᆞᄂᆞᆫ도다 {{절||三一}} 하ᄂᆞ님이 죄인은 듯지 아니ᄒᆞ시고 하ᄂᆞ님을 경ᄇᆡᄒᆞ며 그 ᄯᅳᆺ을 좃차 ᄒᆡᆼᄒᆞᄂᆞᆫ 사ᄅᆞᆷ은 드르시ᄂᆞᆫ줄을 우리가 아ᄂᆞᆫ지라 {{절||三二}} 창셰 이 후로 나면셔 눈먼쟈의 눈을 ᄯᅳ게 ᄒᆞᆷ을 듯지못ᄒᆞ엿스니 {{절||三三}} 이 사ᄅᆞᆷ이 하ᄂᆞ님ᄭᅴ로브터 오지아니ᄒᆞ엿스면 아모 일도 ᄒᆡᆼ치못ᄒᆞ리라 {{절||三四}} 뎌희가 ᄃᆡ답ᄒᆞ야 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 네가 온젼히 죄 가온ᄃᆡ셔 나셔 우리를 ᄀᆞᄅᆞ치ᄂᆞ냐 ᄒᆞ고 ᄯᅩ ᄶᅩᆺ차 내여보내더라○ {{marginNote|margin=left|margin-width=50|text=눈ᄯᅳᆫ쟈를맛나샤밋게ᄒᆞ심}} {{절||三五}} 예수ㅣ 뎌희가 ᄶᅩᆺ차 보냇다 ᄒᆞᄂᆞᆫ 말을 드르셧더니 그 사ᄅᆞᆷ을 맛나샤 ᄀᆞᆯᄋᆞ샤ᄃᆡ 네가 하ᄂᆞ님 아ᄃᆞᆯ을 밋ᄂᆞ냐 {{절||三六}} ᄃᆡ답ᄒᆞ야 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 쥬여 그가 누구신지 밋게 ᄒᆞ야주시옵쇼셔 {{절||三七}} 예수ㅣ ᄀᆞᆯᄋᆞ샤ᄃᆡ 네가 젼에 보앗거니와 지금 너와 말ᄒᆞᄂᆞᆫ쟈니라 ᄒᆞ시니 {{절||三八}} ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 쥬여 내가 밋ᄂᆞ이다 ᄒᆞ고 절ᄒᆞᄂᆞᆫ지라○ {{절||三九}} 예수ㅣ ᄀᆞᆯᄋᆞ샤ᄃᆡ 내가 심판ᄒᆞ러 셰샹에 ᄂᆞ려왓스니 보지못ᄒᆞᄂᆞᆫ 사ᄅᆞᆷ으로 보게 ᄒᆞ고 보ᄂᆞᆫ 사ᄅᆞᆷ으로 보지못ᄒᆞ게 ᄒᆞ리라 ᄒᆞ시니 {{절||四十}} ᄀᆞᆺ치 잇ᄂᆞᆫ 바리{{upe}}<noinclude><references/></noinclude> 6xd91ya23iccrectdotfjfag001kfaf 250 82112 459123 361766 2026-09-05T13:47:52Z Aspere 5453 459123 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Aspere" /></noinclude>온젼케 ᄒᆞ며 모든 착ᄒᆞᆫ 일을 ᄒᆡᆼᄒᆞ기에 더욱 온젼케 ᄒᆞᄂᆞ니라 == ᄉᆞ쟝 == {{절|四|一}} 하ᄂᆞ님 압과 산쟈와 죽은쟈를 심판ᄒᆞ실 그리스도 예수 압헤셔 그 나타나실 것과 그 나라를 증거로 삼아 너를 징계ᄒᆞ노니 {{절||二}} 도를 젼파ᄒᆞ고 ᄯᅢ를 엇던지 못 엇던지 온젼히 힘쓰고 오래 ᄎᆞᆷ음과 ᄀᆞᄅᆞ침으로 경ᄎᆡᆨᄒᆞ며 경계ᄒᆞ며 권ᄒᆞ라 {{절||三}} ᄯᅢ가 니르리니 사ᄅᆞᆷ이 바른 교훈을 밧지아니ᄒᆞ며 귀를 즐겁게 ᄒᆞᄂᆞᆫ 말을 됴하ᄒᆞ야 ᄌᆞ긔의 ᄉᆞ욕을 좃츨 스승을 만히 두고 {{절||四}} ᄯᅩ 그 귀를 도리켜 진리를 듯지아니ᄒᆞ고 허란ᄒᆞᆫ 니야기를 좃츠리라 {{절||五}} 오직 너는 모든 일에 졀졔가 잇서 고난을 견ᄃᆡ고 젼도인의 일을 ᄒᆞ고 네 직분을 다ᄒᆞ라 {{절||六}} 대개 이제 졔쥬를 붓ᄂᆞᆫ 것 ᄀᆞᆺ치 내가 부음이 되고 내가 셰샹을 ᄯᅥ날 긔약이 갓가온지라 {{절||七}} 내가 션ᄒᆞᆫ 싸홈을 싸호고 나의 달녀 갈 길을 다 가고 밋음을 직히엿스니 {{절||八}} 이제 후로는 나를 위ᄒᆞ야 의의 면류관을 예비ᄒᆞ야 두셧스니 곳 쥬ᄭᅴ셔 의로오신 ᄌᆡ판쟝이 되샤 그 날에 내게 주시고 내게 만 주실ᄲᅮᆫ 아니라 쥬의 나타나심을 ᄉᆞ모ᄒᆞᄂᆞᆫ 모든쟈의게도 주시리라○ {{절||九}} 너는 어셔 속히 내게로 오라 {{절||十}} 대개 {{u|데마}}는 이 셰샹을 ᄉᆞ랑ᄒᆞ야 나를 ᄇᆞ리고 {{du|데살노니가}}로 가고 {{u|그레스게}}는 {{du|갈나듸아}}로 가고 {{u|듸도}}는 {{du|달마듸아}}로 가고 {{절||十一}} 오직 {{u|누가}}{{upe}}<noinclude><references/></noinclude> tjfngsuuo2xglsp7af9um4497tv69di 250 94930 459122 361500 2026-09-05T13:42:18Z Aspere 5453 459122 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Aspere" /></noinclude>올흔 손으로 예수를 놉히시매 허락ᄒᆞ신 셩신을 아바지ᄭᅴ 밧아셔 우리의게 부어주셧스니 너희 보고 듯ᄂᆞᆫ 거시라 {{절||三四}} {{u|다윗}}은 하ᄂᆞᆯ에 올나가지못ᄒᆞ엿스나 오직 친히 말ᄒᆞ야 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ {{왼쪽 여백/s|2em}} 쥬ᄭᅴ셔 내 쥬의게 닐ᄋᆞ샤ᄃᆡ 내 올흔 편에 안져셔 {{절||三五}} 내가 너의 원슈로 너의 발등상 ᄆᆞᆫ들기를 기ᄃᆞ리라 {{왼쪽 여백/e}} ᄒᆞ엿스니 {{절||三六}} 그런즉 {{u|이스라엘}} 온 집이 뎡녕 알지니 너희가 십ᄌᆞ가에 못박은 이 예수를 하ᄂᆞ님이 임의 쥬와 그리스도ㅣ 되게 ᄒᆞ셧ᄂᆞ니라 ᄒᆞ더라○ {{절||三七}} 여러 사ᄅᆞᆷ이 이 말을 듯고 ᄆᆞᄋᆞᆷ에 ᄶᅵ르ᄂᆞᆫ 것 ᄀᆞᆺᄒᆞ야 {{u|베드로}}와 다른 ᄉᆞ도ᄃᆞ려 무러 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 형뎨들아 우리가 엇지ᄒᆞᆯ고 ᄒᆞ거늘 {{절||三八}} {{u|베드로}}가 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 너희가 회ᄀᆡᄒᆞ야 각각 예수 그리스도의 일홈으로 셰례를 밧고 죄 샤ᄒᆞᆷ을 엇으라 그리ᄒᆞ면 주신 셩신을 밧으리니 {{절||三九}} 이 허락ᄒᆞ신 거슨 너희와 너희 ᄌᆞ손과 모든 먼ᄃᆡ 사ᄅᆞᆷ들을 위ᄒᆞ야 ᄒᆞᆫ 거시니 곳 쥬 우리 하ᄂᆞ님이 얼마던지 부르시ᄂᆞᆫ 사ᄅᆞᆷ이라 ᄒᆞ고 {{절||四十}} ᄯᅩ 여러 말노 증거ᄒᆞ며 권ᄒᆞ야 ᄀᆞᆯᄋᆞᄃᆡ 너희가 이 샤특ᄒᆞᆫ 셰샹에셔 스ᄉᆞ로 구원ᄒᆞ라 ᄒᆞ니 {{절||四一}} 그 말을 밧ᄂᆞᆫ 사ᄅᆞᆷ이 셰례를 밧으매 이 날에 뎨ᄌᆞ의 수가 삼쳔이나 더ᄒᆞᆫ지라<noinclude><references/></noinclude> cjvu557moiw1wlwg2e467rolkg6ydzv 252 105351 459121 400138 2026-09-05T13:42:03Z ZornsLemon 15531 459121 proofread-index text/x-wiki {{:MediaWiki:Proofreadpage_index_template |종류=book |제목=[[배덕자]] |언어=ko |권= |저자=[[저자:앙드레 지드|앙드레 지드]] |번역자=[[저자:계용묵|계용묵]] |편집자= |삽화가= |학교= |출판사=우생출판사 |위치= |연도=1954 |정렬 키= |ISBN= |OCLC= |LCCN= |BNF_ARK= |ARC= |DOI= |출처=pdf |그림=1 |진행 상황=X |쪽별 색인=<pagelist /> |권별 색인= |목차= |너비= |머리말= |꼬리말= }} 6c4f1e868765lmij9j6xu9n9pwhism3 250 114069 459161 459021 2026-09-06T03:36:31Z ZornsLemon 15531 /* 교정됨 */ 459161 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="ZornsLemon" /></noinclude><section begin="2" />{{nop}} ===二、숙뎡은나의장ᄅᆡ안ᄒᆡ=== 손일선의일을뭇ᄂᆞᆫ그긔ᄉᆡᆨ그말눈치로보면이덕광양ᄒᆡᆼ주인서씨도분명혁명당의한사ᄅᆞᆷ이라 쟝준봉은ᄃᆡ답ᄒᆞ되「나ᄂᆞᆫ로야ᄭᅴ아모말슴도엿준일이업ᄂᆞᆫ데로야ᄭᅴ서열심으로ᄀᆡ원호의일을무르서요언제상ᄒᆡ를ᄯᅥᆺ나나왓나냐물건은무엇을실고ᄇᆡ주인은누구이냐 어느곳을것처서왓나냐 여러가지로무르시ᄂᆞᆫ모양이만일그ᄇᆡ가ᄂᆡ물건이오마모짐도실지안이ᄒᆞ얏더면로야ᄭᅴ서사섯슬ᄂᆞᆫ지도알수업서요 그리고로야ᄭᅴ서ᄂᆞᆫ주인의ᄃᆡᆨ일을잘아서요「응、ᄇᆡ주인은덕광양ᄒᆡᆼ의서씨이냐그사ᄅᆞᆷ은여러ᄃᆡ이젼부터큰장사를ᄒᆞ지 그중에한사ᄅᆞᆷ은나와갓치공부도ᄒᆞᆫ일이 잇ᄂᆞᆫ걸 ᄒᆞ고말슴ᄒᆞ서요」 서씨ᄂᆞᆫᄆᆡ우감격ᄒᆞ야 「응、그ᄂᆞᆫ우리형님의일이야 여보게준봉이ᄂᆡ형님의게로야가그러케말슴ᄒᆞ시더라고일너주게 퍽은조와ᄒᆞᆯ터이니」 마ᄋᆞᆷ에ᄂᆞᆫ감격ᄒᆞ야도일은이저바리지안ᄂᆞᆫ다。그야말로숙달ᄒᆞᆫ일군이라。그말을긋치고다시정신을돌려 「엇지ᄒᆞ얏던지선쟝의유언을ᄒᆡᆼᄒᆞ야준것은ᄆᆡ우조흔일일세」 칭찬ᄒᆞ며ᄯᅩ다시념려스럽게사방을도라보며소ᄅᆡ를낫추어 「그러나시절이이러케험란ᄒᆞ닛가누구의게던지이런말을ᄒᆞ면안되네 만일하와이에상륙ᄒᆞ야서쟝군의게물건을젼ᄒᆞ고로야ᄭᅴ뵈왓다ᄂᆞᆫ말이관쳥의귀에들렷다가ᄂᆞᆫ무슨일이날ᄂᆞᆫ지도모르닛가」 준봉이ᄂᆞᆫ제마ᄋᆞᆷ에붓그럽지안이ᄒᆞᆫ일은대소롭지안케녁이ᄂᆞᆫ소년의향용셩픔으로아조평탄ᄒᆞ다 「하와이에ᄂᆞᆫ아모던지모다상륙ᄒᆞᄂᆞᆫ곳이안이오닛가 그리고나ᄂᆞᆫ그전ᄒᆞ라ᄂᆞᆫ물건이무엇인지도알지못ᄒᆞ고다만누구던지ᄒᆞᆯ만ᄒᆞᆫ심바람을ᄒᆞᆫ것이올시다 진정그러한것이라。선쟝의죽을ᄯᆡ에부탁ᄒᆞᆫ바를저바라지안이ᄒᆞ얏슬ᄲᅮᆫ인고로 당파에관게가잇슴도안이오정치상의의미도업슨즉누구의게던지나무럼을밧을ᄭᅡ닭이업다。그러나주인 <section end="2" /><noinclude><references/></noinclude> aqloiwo420kt6ritwo2unh5qm168val 250 114070 459162 459022 2026-09-06T03:37:10Z ZornsLemon 15531 /* 교정됨 */ 459162 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="ZornsLemon" /></noinclude>서씨의이경계ᄂᆞᆫ몃ᄯᆡ가지나지못ᄒᆞ야ᄭᅡᆷ작놀라게가ᄉᆞᆷ에마주칠ᄯᆡ가잇섯더라。 그ᄂᆞᆫ고만두고이ᄯᆡ맛참ᄒᆡ관의관리가ᄇᆡ애왓슴으로 준봉이ᄂᆞᆫ급히그편으로가고뒤밋처대팔이가나오ᄂᆞᆫᄃᆡ어느곳에서주인과준봉의문답ᄒᆞᄂᆞᆫ양을몰ᄅᆡ보고몰ᄅᆡ드럿나보다。여전이공손ᄒᆞᆫ소ᄅᆡ 「준봉이가변명을ᄆᆡ우잘엿준모양이올시다그려」서씨 「용、이제ᄂᆞᆫ잘알얏네」 대팔 「그ᄂᆞᆫᄆᆡ우조흔일이올시다동료가무엇을잘못ᄒᆞ면 겻헤서보고잇ᄂᆞᆫ사ᄅᆞᆷ도근심이되야못견듸ᄀᆡᆺ서요」 서씨 「쟝준봉이가아모것도잘못ᄒᆞᆫ일은안이야선쟝의죽을ᄯᆡ에부탁ᄒᆞᆫ바를ᄒᆡᆼᄒᆞ야준것이지」 대팔 「그러면주인의게도선쟝의편지를준봉이가드렷ᄀᆡᆺ지오」 서씨ᄂᆞᆫ저욱이놀라 「응、선쟝이나의게편지라니」 그련것을 준봉이가맛핫나 「대팔 「녜―、그조그만뭉텅이이외에선쟝은주인의게드리ᄂᆞᆫ편지을준봉에게」 서씨、가만잇서、가만잇서그조고만뭉텅이라니」 대팔 「준봉이가하와이에상륙ᄒᆞᆯᄯᆡ에가지고간것말슴이야요」 서씨 「ᄌᆞ네가엇더케ᄒᆞ야그런일을안단말인가」 이러케뭇ᄂᆞᆫᄃᆡᄂᆞᆫ남의일을엿보고엿듯ᄂᆞᆫᄌᆞ긔버릇을ᄌᆞᄇᆡᆨ지안이ᄒᆞ면안될것이라。대팔이ᄂᆞᆫ얼골이붉어지더니한참잇다가 「그ᄯᆡ마침선쟝처소압흐로지나가랴닛가문이조곰열녀서 그물건과편지를쥰봉의게부탁ᄒᆞᄂᆞᆫ모양이우연히눈에ᄯᅴ웟서요」 서씨ᄂᆞᆫ조곰ᄉᆡᆼ각ᄒᆞ다가 「엇더턴지준봉이가나의게그런편지ᄂᆞᆫ전ᄒᆞ지안앗ᄂᆞᆫ걸 이로부터직시준봉의게무러볼것은뎡ᄒᆞᆫ일이라。대팔이ᄂᆞᆫ황급히 「그ᄅᆡ도ᄂᆡ가먼저그런말슴을엿준것갓치준봉이의게ᄂᆞᆫ말슴ᄒᆞ지마라주십시오」 ᄆᆡ우주의가ᄌᆞ상ᄒᆞ다。그러케말ᄒᆞ고대팔이ᄂᆞᆫᄯᅩ한물너가더라。 준봉이、준봉이 「서씨ᄂᆞᆫ부른다、준봉이ᄂᆞᆫ 「녜―、겨우일을{{sic|밧}}추엇슴니다ᄒᆡ관리에게절차도다되엿스닛가」 ᄒᆞ며안심ᄒᆞᆫ모양으로주인의압헤섯다。서씨 「ᄯᅩ무엇、이저바린일은업ᄀᆡᆺ나」 쟝 「안이오 아모것도업슴니다」 서씨「그러면인제상륙ᄒᆞ야우리집에가서집안사ᄅᆞᆷ과<noinclude><references/></noinclude> 77qaw169yz3u70n65qm7uknp75jso34 250 114071 459163 459023 2026-09-06T03:37:35Z ZornsLemon 15531 /* 교정됨 */ 459163 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="ZornsLemon" /></noinclude>함ᄭᅴ밥이나먹세」 쥰봉이ᄂᆞᆫ좀곤난ᄒᆞᆫ긔ᄉᆡᆨ으로 「상륙ᄒᆞ면즉시부친을차저가랴ᄒᆞᄂᆞᆫ데요」 한마듸말속에도깁흔효심이낫하난다。서씨ᄂᆞᆫᄆᆡ우긔특ᄒᆞ야「그ᄂᆞᆫ좃치ᄆᆡ우조와 나도ᄌᆞ식이잇지만은만일그ᄌᆞ식이여러달먼길을갓다가도라와서 뎨일먼저아비을보라오지안이ᄒᆞ면마ᄋᆞᆷ이좃치못ᄒᆞᆯ것이닛가 나도마ᄋᆞᆷ으로ᄂᆞᆫᄌᆞ네부친이근일에ᄂᆞᆫ엇더케지ᄂᆡ시ᄂᆞᆫ지념려가되지만은한번도차저오시ᄂᆞᆫ일이업서 집에가만히드러안지섯슬ᄯᆡ에ᄂᆞᆫ아마별로곤난ᄒᆞᆫ일은업ᄂᆞᆫ모양이데」 장 」안이오부친은그와갓흔완고의성질이닛가설혹굶머죽을디경을당ᄒᆞ더라도집밧게나와서남의게그모양을알리ᄂᆞᆫ일은안이ᄒᆞᆷ이다」 서씨 「응、그러ᄒᆞᆫ성질이닛가ᄌᆞ네가더구나궁금ᄒᆞᄀᆡᆺ네어서선사ᄒᆞᆯ물건이나가지고가서뵈옵ᄂᆞᆫ것이좃치 돈은얼마던지돌려줄것이니」 쟝 「안이오돈은부친의목으로작뎡ᄒᆞ야석달월급은손을ᄃᆡ이지안코모아둔것이잇습니다」 서씨 「참、젊은사ᄅᆞᆷ으로ᄆᆡ우긔특ᄒᆞᆫ일일세부친을뵈옵거던그다음에ᄂᆞᆫ우리집으로오게―、응」 쟝은ᄯᅩ조곰곤난ᄒᆞᆫ긔ᄉᆡᆨ으로 「못처럼ᄒᆞ시ᄂᆞᆫ말슴이지만은그다음에ᄂᆞᆫ」 서씨ᄂᆞᆫᄆᆡ우이소년을사랑ᄒᆞᄂᆞᆫ모양이라 「응알앗다、알엇서、법국거류디에잇ᄂᆞᆫ미인을가보지안으면안되ᄀᆡᆺ다ᄂᆞᆫ말이지 ᄌᆞ네업ᄂᆞᆫ동안에도세번이나ᄂᆡ게를차저와서무슨소식이나드럿나냐고뭇고가데 그처녀도ᄆᆡ우긔특ᄒᆞᆫ계집ᄋᆞᄒᆡ이야 자네업ᄂᆞᆫ동안에마ᄋᆞᆷ도변ᄒᆞ지안이ᄒᆞ고얼골도그러케열사ᄅᆞᆷ스므사ᄅᆞᆷ에ᄯᅮ여나도록엽버 참ᄌᆞ네ᄂᆞᆫ조흔졍부도두엇네조흔미인의정랑되ᄂᆞᆫ것도ᄒᆞᆫ복력인걸」 롱담으로희롱ᄒᆞᆫ다。쟝은얼골이붉어지며 「숙뎡이ᄂᆞᆫ정부가안이올시다나의장ᄅᆡ안ᄒᆡ이야요」서씨ᄂᆞᆫ크게우스며 언으편이던지대톄ᄂᆞᆫ갓지」쟝 「안이오 나와숙뎡의관계ᄂᆞᆫ대단히다름니다」 열성으로변명을ᄒᆞᆫ다。서씨 「엇지ᄒᆞ얏던지어서상륙이나ᄒᆞ지」 소년은깃거움에 마ᄋᆞᆷ도총총ᄒᆞ야 「그러면곳륙디로올라가ᄀᆡᆺ습니다」 서씨ᄂᆞᆫ대팔의ᄒᆞ던말을다시ᄉᆡᆼ각ᄒᆞ고」<noinclude><references/></noinclude> b0w1yubjm5q29bvi6lic39mbe2ieo4z 250 114072 459164 459024 2026-09-06T03:37:59Z ZornsLemon 15531 /* 교정됨 */ 459164 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="ZornsLemon" /></noinclude>「그런데나의게ᄂᆞᆫ아모ᄒᆞᆯ말도 다시업나」 쟝 「아모것도업습니다」 서씨 「혹시선쟝이ᄂᆡ게무슨편지를전ᄒᆞ라ᄒᆞ지안턴가」 쟝 「안이오아모편지도업서요」 ᄒᆞ고말을ᄭᅳᆫ타가다시 「참그말ᄉᆞᆷ에ᄉᆡᆼ각이낫슴니다ᄂᆡ게수일동안휴가를주서야ᄒᆞᄀᆡᆺᄂᆞᆫ걸요」 무슨편지ᄂᆞᆫ맛하잇ᄂᆞᆫ모양이라 그러나서씨의게전ᄒᆞᆯ것은안인듯ᄒᆞ다。서씨「수일휴가를엇어가지고혼인이나지ᄂᆡ일터인가」 쟝 녜―、혼인도ᄒᆞᄀᆡᆺ지만은그외에ᄯᅩ븍경ᄭᅡ지갓다가와야ᄒᆞᄀᆡᆺ슴니다」 그러면그편지를븍경ᄭᅡ지가지고가ᄂᆞᆫ지도알수업다。서씨 「그ᄅᆡ도관계치안치 ᄀᆡ원호가다시츌발ᄒᆞ랴면한참잇서야될터이닛가 그럿치만은석달안에ᄂᆞᆫ도라와야ᄒᆞ네 선쟝을륙디에다가두고ᄇᆡ만ᄯᅥᄂᆡ여보ᄂᆡᆯ수업스닛가」 이한말은너를선쟝을식엿다ᄒᆞᆷ과한가지이라。쟝은ᄯᅩ한얼골이벌거케깃거워ᄒᆞ며 「ᄂᆡ가선쟝이오닛가평ᄉᆡᆼ에한번은선쟝이되여보랴ᄒᆞ얏더니……」 서씨 「양ᄒᆡᆼ사ᄅᆞᆷ들과의론ᄒᆞ야식혀주지그러나지금부터드러둘것은ᄌᆞ네가선쟝이되면역시대팔이를그ᄃᆡ로둘터인가 이번왕복에대팔이를엇더케ᄉᆡᆼ각ᄒᆞ얏ᄂᆞᆫ지」 준봉이ᄂᆞᆫᄉᆞ실ᄃᆡ로 「녜―나와사이ᄂᆞᆫ좃치안습니다그러치만ᄇᆡ에물건을맛ᄂᆞᆫ데ᄂᆞᆫ실ᄎᆡᆨ이업슬사ᄅᆞᆷ이올시다」 서씨 「실ᄎᆡᆨ이업슬터이니그ᄃᆡ로고용ᄒᆞ야둔다ᄂᆞᆫ말인가」 쟝 「물론이지오직무를하ᄂᆞᆫ데야ᄉᆞᄉᆞ감졍이어듸잇ᄀᆡᆺ슴닛가 무엇이던지주인의밋으시ᄂᆞᆫ사ᄅᆞᆷ을나ᄂᆞᆫ공경ᄒᆞᆯᄲᅮᆫ이올시다」 실로공명정대ᄒᆞᆫᄃᆡ답이라。서씨ᄂᆞᆫ아조마ᄋᆞᆷ에감동ᄒᆞ야 「그러면어서가서아버지를뵈옵지」。 이십세가되거나말거나ᄒᆞ야선쟝이된다ᄂᆞᆫ약속을엇음은 참희한ᄒᆞᆫ사ᄅᆞᆷ이안이면안될것이라실상세상에별로보지못하ᄂᆞᆫ일이라。준봉은깃거운빗이얼골에가득ᄒᆞ야서씨와난호여갓더라。서씨도감동ᄒᆞᆫ긔ᄉᆡᆨ으로준봉이가젹은ᄇᆡ를저어가ᄂᆞᆫ양을 가만히바라보고섯ᄂᆞᆫᄃᆡ서씨의<noinclude><references/></noinclude> q6q0onwmmsu3b0oe47a5oe6ewwtoygd 250 114073 459165 459025 2026-09-06T03:38:29Z ZornsLemon 15531 /* 교정됨 */ 459165 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="ZornsLemon" /></noinclude><section begin="2" />뒤에서역시준봉의가ᄂᆞᆫ양을바라보ᄂᆞᆫ대팔의얼골에ᄂᆞᆫ 외면으로그러치안이ᄒᆞᆫ듯ᄒᆞ야도시긔ᄒᆞᄂᆞᆫ불길이가쥭한겹밋헤ᄂᆞᆫ활활타오르더라。 <section end="2" /> <section begin="3" />{{nop}} ===三、씩씩ᄒᆞᆫ긔질은가히알ᄀᆡᆺ다=== 소년쟝쥰봉이가과연죽은선쟝의게편지를맛하잇슬가 맛하잇다ᄒᆞ면과연엇더ᄒᆞ편지일가 그븍경을간다ᄒᆞᆷ도그편지를전ᄒᆞ기위ᄒᆞ야그럼이안인가 전ᄒᆞᆯ곳은어듸인가 이약이ᄂᆞᆫᄆᆡ우여러갈래로나가지만은차차알아질것이다。 쟝준봉의가ᄂᆞᆫ뒤모양을바라보ᄂᆞᆫ대팔의얼골의무서움이여 확실하우슴속에비수로감춘것이라。이위인이엄청난심술이여간안인줄은그ᄒᆡᆼ동을 보아도얼른짐작ᄒᆞᆯ수잇ᄂᆞᆫᄃᆡ 이러케ᄭᅡ지시긔를받아서ᄂᆞᆫ무슨ᄌᆡ앙을입을ᄂᆞᆫ지도알수업ᄂᆞᆫ일이라。더구나준봉이가주인의귀ᄋᆡᄒᆞᆷ을만히밧아미구에선쟝으로승챠될조짐이보이ᄂᆞᆫ것이 이쟈의시긔를ᄭᅳ러오르게ᄒᆞᄂᆞᆫᄂᆞᆫ듯ᄒᆞ다。 준봉은그런일에ᄂᆞᆫᄉᆡᆼ각도업다。얼른집에도라가셔아버지를보고십고그뒤에ᄂᆞᆫᄂᆡ가오기를고ᄃᆡᄒᆞᄂᆞᆫ숙뎡의얼골도보고십다ᄂᆞᆫ한마ᄋᆞᆷ이라。륙디에올라이곳저곳에서부친에게소용될물건도사가지고총총히가ᄂᆞᆫ저의집은이항구의시가지밧갓헤 세주기위ᄒᆞ야지은줄ᄒᆡᆼ랑갓흔이층집의잇ᄂᆞᆫ처소이라。여러달만에집이라고도라오니아버지가언마나깃거워ᄒᆞᆯ가 그ᄉᆡᆼ각을ᄒᆞᄆᆡ기다란층ᄃᆡ를올라가ᄂᆞᆫ중에도가슴이울렁울렁ᄒᆞᆫ다。이층에올라가서그리우던ᄂᆡ집의지게문을열고보니 부친은손바닥만큼드리빗추ᄂᆞᆫᄒᆡ빗을향ᄒᆞ야창압희의ᄌᆞ에동구란히올라안져이편에ᄂᆞᆫ등만보이ᄂᆞᆫᄃᆡ 분명화초분을정신업시드려다보ᄂᆞᆫ모양이라。벌서륙십이넘은 이로인이집안식구라고다만한낫잇ᄂᆞᆫ아들을멀리보ᄂᆡ이고오ᄅᆡ동안외로히집을직히며고적히 <section end="3" /><noinclude><references/></noinclude> f4jfwlkyc0diw42smzy8zy7qd8vr9vi 2 114090 459115 2026-09-05T13:06:50Z Aspere 5453 새 문서: /* 그냥 통째로 Claude한테 던져 만든 결과물입니다. 아직 안전한지 확인 중이니까 그 전까지는 사용하지 말아 주세요! */ /** * 옛한글 전사 오타 검사 — 한국어 위키문헌 사용자 스크립트 * * 색인 문서나 페이지 문서에서 실행하면, 그 문헌 전체의 자모 빈도를 세어 * 오타로 의심되는 글자를 하이라이트합니다. 모델도 스캔도 쓰지 않고 * 전사문 텍스트만 봅니다... 459115 javascript text/javascript /* 그냥 통째로 Claude한테 던져 만든 결과물입니다. 아직 안전한지 확인 중이니까 그 전까지는 사용하지 말아 주세요! */ /** * 옛한글 전사 오타 검사 — 한국어 위키문헌 사용자 스크립트 * * 색인 문서나 페이지 문서에서 실행하면, 그 문헌 전체의 자모 빈도를 세어 * 오타로 의심되는 글자를 하이라이트합니다. 모델도 스캔도 쓰지 않고 * 전사문 텍스트만 봅니다. * * 판정 규칙은 프로젝트의 `오타검사.py` 와 같습니다. 근거는 CLAUDE.md 9번. * * 설치: User:<이름>/common.js 에 * mw.loader.load('/w/index.php?title=User:<이름>/오타검사.js&action=raw&ctype=text/javascript'); */ /* global mw, $ */ (function () { 'use strict'; var 판 = 1; // 캐시 형식이 바뀌면 올린다 (헌 캐시가 버려짐) var 색인NS = 252, 페이지NS = 250; // ko.wikisource 의 색인: / 페이지: // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 1. 판정 규칙 (오타검사.py 와 같은 규칙. 고칠 때는 양쪽을 함께) // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 채움 문자 — 눈에 보이지 않는다 var 채움 = { 0x115F: 1, 0x1160: 1, 0x3164: 1, 0xFFA0: 1 }; // 채움 문자가 있어도 오타가 아닌, 실제로 쓰이는 형태 var 정상형태 = { 'ᅟᅵᆫ': 1 }; // ᅟᅵᆫ // 현대 한글 완성형으로 적을 수 있는 자모. 이 바깥이면 '안 쓰던 자모'(2등급), // 안쪽이면 '드문 자모'(3등급)로 나뉜다. var 현대 = { L: 'ᄀᄁᄂᄃᄄᄅᄆᄇᄈᄉᄊᄋᄌᄍᄎᄏᄐᄑᄒ', V: 'ᅡᅢᅣᅤᅥᅦᅧᅨᅩᅪᅫᅬᅭᅮᅯᅰᅱᅲᅳᅴᅵ', T: 'ᆨᆩᆪᆫᆬᆭᆮᆯᆰᆱᆲᆳᆴᆵᆶᆷᆸᆹᆺᆻᆼᆽᆾᆿᇀᇁᇂ' }; var 등급이름 = ['구조 오류', '안 쓰던 자모', '드문 자모']; var 등급설명 = [ '한글로 성립하지 않는 글자입니다. 거의 전부 오타입니다.', '옛한글 전용·확장 영역 자모입니다. 입력기 사고가 많지만 그 문헌이 실제로 쓴 자모일 수도 있습니다.', '현대 한글에도 있는 자모입니다. 오탐지가 많습니다 — 앞·같·몇·있·었 같은 멀쩡한 낱말이 걸립니다.' ]; var 문턱 = 0.0001; // 비율 0.01%. 3만 자~133만 자에서 일관됨(실측) var 최소글자 = 30000; // 이보다 적으면 통계가 흔들린다고 알린다 /** 첫가끝 자모열(ᄆ+ᆞ+ᆷ)을 한 글자로 묶어 배열로. */ function 글자들(s) { var out = [], cur = ''; for (var i = 0; i < s.length; i++) { var ch = s[i], o = ch.charCodeAt(0); var 뒤 = (o >= 0x1160 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97F) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7FF); if (뒤 && cur) { cur += ch; } else { if (cur) out.push(cur); cur = ch; } } if (cur) out.push(cur); return out; } /** * 글자 한 개 → {L, V, T}. * 완성형도 자모로 풀어 더한다 — '셔'+ᇰ 처럼 완성형 뒤에 첫가끝 종성을 붙이는 * 표기가 실제로 쓰이기 때문(석보상절). 채움 문자는 자모로 세지 않는다. */ function 가르기(cl) { var L = '', V = '', T = ''; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var ch = cl[i], o = ch.charCodeAt(0); if (o >= 0xAC00 && o <= 0xD7A3) { // 현대 완성형은 나눗셈으로 var k = o - 0xAC00; L += String.fromCharCode(0x1100 + Math.floor(k / 588)); V += String.fromCharCode(0x1161 + Math.floor((k % 588) / 28)); if (k % 28) T += String.fromCharCode(0x11A7 + (k % 28)); } else if (채움[o]) { continue; } else if ((o >= 0x1100 && o <= 0x115E) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97C)) { L += ch; } else if ((o >= 0x1161 && o <= 0x11A7) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7C6)) { V += ch; } else if ((o >= 0x11A8 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xD7CB && o <= 0xD7FB)) { T += ch; } } return { L: L, V: V, T: T }; } function 한글인가(cl) { for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var o = cl.charCodeAt(i); if ((o >= 0x1100 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xAC00 && o <= 0xD7A3) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97F) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7FF)) return true; } return false; } /** * 위키문헌 원문 → 사람이 친 글자만 이어 붙인 한 줄. * 틀 안의 내용도 넣되 {{SIC}} 는 뺀다 (이미 원문 오식으로 판정된 자리). */ function 본문글자(raw) { var t = String(raw); t = t.replace(/<!--[\s\S]*?-->/g, ''); t = t.replace(/<noinclude>[\s\S]*?<\/noinclude>/gi, ''); // 머리말·꼬리말 t = t.replace(/<ref[^>]*\/>/gi, ''); t = t.replace(/<ref[^>]*>[\s\S]*?<\/ref>/gi, ''); // 편집자 주석 for (var i = 0; i < 20000; i++) { // 안쪽 틀부터 하나씩 푼다 var m = /\{\{([^{}]*)\}\}/.exec(t); if (!m) break; var parts = m[1].split('|'); var 이름 = parts[0].trim(); var 값 = ''; if (!/^sic$/i.test(이름)) { for (var k = 1; k < parts.length; k++) { if (!/^\s*[A-Za-z-]+\s*=/.test(parts[k])) 값 += parts[k]; } } t = t.slice(0, m.index) + 값 + t.slice(m.index + m[0].length); } t = t.replace(/^==.*?==$/gm, ''); t = t.replace(/\[\[[^|\]]*\|([^\]]*)\]\]/g, '$1'); t = t.replace(/\[\[([^\]]*)\]\]/g, '$1'); t = t.replace(/<[^>]+>/g, ''); return t.replace(/[\s​]+/g, ''); } /** {{SIC|…}} 가 차지하는 [시작, 끝) 구간들. 편집기에서 그 자리를 건너뛰려고. */ function SIC구간(raw) { var out = [], re = /\{\{\s*sic\s*\|/gi, m; while ((m = re.exec(raw))) { var i = m.index, 깊이 = 0; for (var j = i; j < raw.length - 1; j++) { if (raw[j] === '{' && raw[j + 1] === '{') { 깊이++; j++; } else if (raw[j] === '}' && raw[j + 1] === '}') { 깊이--; j++; if (깊이 === 0) { out.push([i, j + 1]); break; } } } } return out; } /** * 문헌 하나의 통계를 낸다. * 쪽들: [{번호, 원문}, …] * 반환: { 글자수, 자모:{L,V,T}, 후보:{키:{등급,자모,갈래,횟수}}, 쪽별:{번호:[키,…]} } */ function 문헌통계(쪽들) { var 셈 = { L: {}, V: {}, T: {} }; var 자리 = {}; // 키 → {번호: 개수} var 구조 = {}; // 키 → {번호: 개수} var 글자수 = 0; 쪽들.forEach(function (p) { var ls = 글자들(본문글자(p.원문)); ls.forEach(function (cl) { var i, o; for (i = 0; i < cl.length; i++) { o = cl.charCodeAt(i); if (채움[o] && !정상형태[cl]) { 올리기(구조, '채움:' + o, p.번호); } } if (!한글인가(cl)) return; 글자수++; var v = 가르기(cl); var 채움있나 = false; for (i = 0; i < cl.length; i++) if (채움[cl.charCodeAt(i)]) 채움있나 = true; if ((!v.L || !v.V) && !채움있나) { 올리기(구조, '불완전:' + cl, p.번호); } else if (v.L.length > 1 || v.V.length > 1 || v.T.length > 1) { 올리기(구조, '겹침:' + cl, p.번호); } ['L', 'V', 'T'].forEach(function (k) { for (var j = 0; j < v[k].length; j++) { var ch = v[k][j]; 셈[k][ch] = (셈[k][ch] || 0) + 1; 올리기(자리, k + ':' + ch, p.번호); } }); }); }); // 꼬리 자모를 후보로 var 후보 = {}, 쪽별 = {}; Object.keys(구조).forEach(function (키) { var 부분 = 키.split(':'); 후보[키] = { 등급: 0, 갈래: 부분[0], 글자: 부분[0] === '채움' ? String.fromCharCode(+부분[1]) : 부분[1], 횟수: 합(구조[키]) }; 모으기(쪽별, 구조[키], 키); }); if (글자수) { ['L', 'V', 'T'].forEach(function (k) { Object.keys(셈[k]).forEach(function (ch) { var c = 셈[k][ch]; if (c / 글자수 >= 문턱) return; var 키 = k + ':' + ch; 후보[키] = { 등급: 현대[k].indexOf(ch) >= 0 ? 2 : 1, 갈래: k, 글자: ch, 횟수: c }; 모으기(쪽별, 자리[키], 키); }); }); } return { 글자수: 글자수, 후보: 후보, 쪽별: 쪽별 }; } function 올리기(표, 키, 번호) { if (!표[키]) 표[키] = {}; 표[키][번호] = (표[키][번호] || 0) + 1; } function 합(o) { var s = 0; Object.keys(o).forEach(function (k) { s += o[k]; }); return s; } function 모으기(쪽별, 곳, 키) { if (!곳) return; Object.keys(곳).forEach(function (번호) { if (!쪽별[번호]) 쪽별[번호] = []; 쪽별[번호].push(키); }); } /** * 통계와 등급으로부터 '이 글자를 칠할 것인가'를 판정하는 함수를 만든다. * 하이라이트는 저장된 위치가 아니라 **지금 화면의 글자**로 매번 새로 칠한다. * 그래서 오타를 고치고 새로고침하면 캐시가 살아 있어도 바로 사라진다. */ function 판정기(통계, 등급) { var 꼬리 = { L: {}, V: {}, T: {} }; Object.keys(통계.후보).forEach(function (키) { var c = 통계.후보[키]; if (c.등급 >= 등급) return; // 등급은 쌓아 올린다 if (c.갈래 === 'L' || c.갈래 === 'V' || c.갈래 === 'T') 꼬리[c.갈래][c.글자] = 1; }); var 구조켬 = 등급 >= 1; return function (cl) { var i, o; if (구조켬) { if (!정상형태[cl]) { for (i = 0; i < cl.length; i++) if (채움[cl.charCodeAt(i)]) return true; } if (한글인가(cl)) { var v0 = 가르기(cl), 채움있나 = false; for (i = 0; i < cl.length; i++) if (채움[cl.charCodeAt(i)]) 채움있나 = true; if ((!v0.L || !v0.V) && !채움있나) return true; if (v0.L.length > 1 || v0.V.length > 1 || v0.T.length > 1) return true; } } if (!한글인가(cl)) return false; var v = 가르기(cl); for (var k of ['L', 'V', 'T']) { for (i = 0; i < v[k].length; i++) if (꼬리[k][v[k][i]]) return true; } return false; }; } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 2. 위키문헌에서 받아 오기 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var api = null; function API() { if (!api) api = new mw.Api(); return api; } function 페이지제목(pdf, n) { var NS = mw.config.get('wgFormattedNamespaces')[페이지NS] || '페이지'; return NS + ':' + pdf + '/' + n; } /** 색인 하위 쪽의 최신 판 번호만. 500쪽씩 오므로 빠르다(784쪽에 2번·3초). */ function 쪽목록(pdf) { var 결과 = {}; function 한번(cont) { var q = { action: 'query', generator: 'allpages', gapnamespace: 페이지NS, gapprefix: pdf + '/', gaplimit: 500, prop: 'info', formatversion: 2 }; Object.keys(cont || {}).forEach(function (k) { q[k] = cont[k]; }); return API().get(q).then(function (r) { ((r.query || {}).pages || []).forEach(function (p) { var m = /\/(\d+)$/.exec(p.title); if (m) 결과[+m[1]] = p.lastrevid; }); return r.continue ? 한번(r.continue) : 결과; }); } return 한번(null); } /** * 쪽 본문을 받아 온다. 본문은 **한 번에 50쪽까지만** 옵니다 — * 500쪽씩 달라고 하면 같은 쪽을 되풀이해 주고 본문은 안 옵니다(실측). */ function 쪽본문(pdf, 번호들, 알림) { var 결과 = [], 남은 = 번호들.slice(); function 다음() { if (!남은.length) return $.Deferred().resolve(결과).promise(); var 묶음 = 남은.splice(0, 50); var 제목 = 묶음.map(function (n) { return 페이지제목(pdf, n); }); return API().get({ action: 'query', titles: 제목.join('|'), prop: 'revisions', rvprop: 'content|ids', rvslots: 'main', formatversion: 2 }).then(function (r) { ((r.query || {}).pages || []).forEach(function (p) { var rev = (p.revisions || [])[0]; var 본문 = rev && rev.slots && rev.slots.main && rev.slots.main.content; var m = /\/(\d+)$/.exec(p.title); if (본문 && m) 결과.push({ 번호: +m[1], 원문: 본문, revid: rev.revid }); }); if (알림) alarm(알림, 결과.length, 번호들.length); return 다음(); }); } return 다음(); } function alarm(fn, 한것, 전부) { try { fn(한것, 전부); } catch (e) {} } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 3. 캐시 — 빈도표만 담는다. 하이라이트 위치는 담지 않는다. // sessionStorage 라 탭을 닫으면 사라진다(F5 로는 안 사라짐). // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── function 캐시키(pdf) { return '옛한글오타:' + 판 + ':' + pdf; } function 캐시읽기(pdf) { try { var s = sessionStorage.getItem(캐시키(pdf)); return s ? JSON.parse(s) : null; } catch (e) { return null; } } function 캐시쓰기(pdf, obj) { try { sessionStorage.setItem(캐시키(pdf), JSON.stringify(obj)); } catch (e) {} } function 같은판인가(가, 나) { var ka = Object.keys(가 || {}), kb = Object.keys(나 || {}); if (ka.length !== kb.length) return false; for (var i = 0; i < ka.length; i++) if (가[ka[i]] !== 나[ka[i]]) return false; return true; } /** * 문헌 통계를 얻는다. * 캐시에는 **빈도표와 쪽마다의 최신 판 번호만** 넣는다 — 전사문 자체는 넣지 않는다. * (셩경 개역이면 전사문이 5MB 가 넘어 sessionStorage 한도를 넘긴다.) * 그래서 재실행은 쪽 목록만 확인하고 끝난다(784쪽에 25초 → 3초). * 한 쪽이라도 고쳐졌으면 통계를 새로 냅니다. */ function 통계얻기(pdf, 알림) { return 쪽목록(pdf).then(function (revid) { var 헌것 = 캐시읽기(pdf); if (헌것 && 같은판인가(헌것.revid, revid)) { var 수 = Object.keys(revid).length; alarm(알림, 수, 수, '캐시'); return 헌것; } var 번호들 = Object.keys(revid).map(Number).sort(function (a, b) { return a - b; }); return 쪽본문(pdf, 번호들, 알림).then(function (쪽들) { var 통계 = 문헌통계(쪽들); 통계.revid = revid; 통계.쪽수 = 쪽들.length; 캐시쓰기(pdf, 통계); return 통계; }); }); } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 4. 화면 칠하기 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var CSS문자열 = [ '.옛한글오타-판 { border:1px solid #a2a9b1; background:#f8f9fa; border-radius:4px;', ' padding:10px 12px; margin:8px 0; font-size:14px; }', '.옛한글오타-판 h4 { margin:0 0 6px; font-size:15px; }', '.옛한글오타-판 label { margin-right:12px; cursor:pointer; }', '.옛한글오타-판 .설명 { color:#54595d; font-size:12px; margin:4px 0 8px; }', '.옛한글오타-판 .알림 { color:#54595d; font-size:13px; margin-left:8px; }', '.옛한글오타-표시 { background:#ffe14d; border-radius:3px; padding:0 1px;', ' box-shadow:0 0 0 1px #d4a000 inset; }', '.옛한글오타-쪽 { outline:2px solid #d33; outline-offset:1px; background:#fee7e6; }', '.옛한글오타-목록 { max-height:260px; overflow-y:auto; margin-top:8px; }', '.옛한글오타-목록 div { padding:3px 4px; border-bottom:1px solid #eaecf0; cursor:pointer; }', '.옛한글오타-목록 div:hover { background:#eaf3ff; }', '.옛한글오타-목록 b { font-size:17px; }', '::highlight(oldhangul-typo) { background-color:#ffe14d; }' ].join('\n'); function CSS넣기() { if (document.getElementById('옛한글오타-css')) return; var st = document.createElement('style'); st.id = '옛한글오타-css'; st.textContent = CSS문자열; document.head.appendChild(st); } /** 읽기 화면의 글자를 칠한다. 이미 칠한 것은 지우고 다시 칠한다. */ function 읽기칠하기(뿌리, 칠할까) { [].forEach.call(뿌리.querySelectorAll('.옛한글오타-표시'), function (el) { el.parentNode.replaceChild(document.createTextNode(el.textContent), el); }); 뿌리.normalize(); var 걸린수 = 0; var walker = document.createTreeWalker(뿌리, NodeFilter.SHOW_TEXT, { acceptNode: function (n) { if (!n.nodeValue || !n.nodeValue.trim()) return NodeFilter.FILTER_REJECT; var p = n.parentNode; if (!p || /^(SCRIPT|STYLE|TEXTAREA)$/.test(p.nodeName)) return NodeFilter.FILTER_REJECT; return NodeFilter.FILTER_ACCEPT; } }); var 대상 = [], n; while ((n = walker.nextNode())) 대상.push(n); if (!대상.length) return 0; // 글자를 **이어 붙인 글**에서 나눈다. 태그가 첫가끝 글자 한복판을 가르는 일이 // 있는데(`ᄒ<b>ᆞᆫ</b>`), 마디마다 따로 나누면 그 조각이 '구조 오류'로 // 잘못 잡힌다. 시험에서 실제로 걸린 문제다. var 글 = '', 어디 = []; // 글자 하나하나가 어느 마디의 몇 번째인지 대상.forEach(function (node, ni) { for (var i = 0; i < node.nodeValue.length; i++) { 어디.push([ni, i]); } 글 += node.nodeValue; }); var 칠할곳 = []; // 마디번호 → [[시작, 끝], …] var 자리 = 0; 글자들(글).forEach(function (cl) { var 처음 = 어디[자리], 마지막 = 어디[자리 + cl.length - 1]; 자리 += cl.length; if (!칠할까(cl)) return; 걸린수++; if (처음[0] !== 마지막[0]) return; // 마디 둘에 걸친 글자는 세기만 한다 if (!칠할곳[처음[0]]) 칠할곳[처음[0]] = []; 칠할곳[처음[0]].push([처음[1], 마지막[1] + 1]); }); 대상.forEach(function (node, ni) { var 곳 = 칠할곳[ni]; if (!곳 || !곳.length) return; var frag = document.createDocumentFragment(), 앞 = 0, 값 = node.nodeValue; 곳.forEach(function (r) { if (r[0] > 앞) frag.appendChild(document.createTextNode(값.slice(앞, r[0]))); var sp = document.createElement('span'); sp.className = '옛한글오타-표시'; sp.title = '오타 의심'; sp.textContent = 값.slice(r[0], r[1]); frag.appendChild(sp); 앞 = r[1]; }); if (앞 < 값.length) frag.appendChild(document.createTextNode(값.slice(앞))); node.parentNode.replaceChild(frag, node); }); return 걸린수; } /** * 편집 화면. 두 가지를 함께 합니다. * ① CodeMirror 가 켜져 있으면 글자에 직접 칠합니다 (CSS Highlight API). * ② 언제나 옆 목록을 만들고, 누르면 편집창의 그 자리를 선택해 줍니다. */ function 편집기다루기(칠할까, $판) { var ta = document.getElementById('wpTextbox1'); if (!ta) return 0; $판.find('.옛한글오타-목록').remove(); // 다시 눌렀을 때 겹치지 않게 var raw = ta.value; var sic = SIC구간(raw); function SIC안인가(i) { return sic.some(function (r) { return i >= r[0] && i < r[1]; }); } // 원문에서 곧바로 찾는다. 자리 옮김이 없어 편집창 위치와 그대로 맞는다. var ls = 글자들(raw), 자리 = [], 위치 = 0; ls.forEach(function (cl) { if (칠할까(cl) && !SIC안인가(위치)) { 자리.push({ 시작: 위치, 끝: 위치 + cl.length, 글자: cl }); } 위치 += cl.length; }); if (!자리.length) return 0; // ② 목록 var $목록 = $('<div class="옛한글오타-목록">'); 자리.forEach(function (a) { var 앞 = raw.slice(Math.max(0, a.시작 - 12), a.시작).replace(/\n/g, ' '); var 뒤 = raw.slice(a.끝, a.끝 + 12).replace(/\n/g, ' '); $('<div>').append( document.createTextNode('…' + 앞), $('<b>').text(a.글자), document.createTextNode(뒤 + '…') ).on('click', function () { ta.focus(); ta.setSelectionRange(a.시작, a.끝); // 선택한 자리가 보이도록 대충 굴려 준다 var 줄 = raw.slice(0, a.시작).split('\n').length; ta.scrollTop = Math.max(0, (줄 - 4) * 20); }).appendTo($목록); }); $판.append($목록); // ① CodeMirror 위에 칠하기 (되면 좋고, 안 되면 목록만) 코드미러칠하기(칠할까); return 자리.length; } function 코드미러칠하기(칠할까) { if (!window.CSS || !CSS.highlights || !window.Highlight) return false; function 칠 () { var cm = document.querySelector('.cm-content'); if (!cm) return false; var ranges = []; var walker = document.createTreeWalker(cm, NodeFilter.SHOW_TEXT, null); var n; while ((n = walker.nextNode())) { var ls = 글자들(n.nodeValue), off = 0; for (var i = 0; i < ls.length; i++) { if (칠할까(ls[i])) { var r = document.createRange(); r.setStart(n, off); r.setEnd(n, off + ls[i].length); ranges.push(r); } off += ls[i].length; } } try { var h = new Highlight(); ranges.forEach(function (r) { h.add(r); }); CSS.highlights.set('oldhangul-typo', h); } catch (e) { return false; } return true; } if (!칠()) { // CodeMirror 를 나중에 켤 수도 있다 mw.hook('ext.CodeMirror.switch').add(function () { setTimeout(칠, 300); }); return false; } // CodeMirror 는 화면 밖 줄을 지웠다 다시 만든다. 굴릴 때마다 다시 칠한다. var 타이머 = null; ['scroll', 'input'].forEach(function (ev) { document.addEventListener(ev, function () { clearTimeout(타이머); 타이머 = setTimeout(칠, 150); }, true); }); return true; } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 5. 판 (화면 위젯) // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── function 판만들기(제목) { CSS넣기(); var $판 = $('<div class="옛한글오타-판">').append($('<h4>').text(제목)); var $줄 = $('<div>'); [1, 2, 3].forEach(function (g) { $줄.append($('<label>').append( $('<input type="radio" name="옛한글오타-등급">').val(g).prop('checked', g === 2), document.createTextNode(' ' + g + '. ' + 등급이름[g - 1]) )); }); var $버튼 = $('<button>').text('검사'); var $알림 = $('<span class="알림">'); $판.append($줄, $('<div class="설명">').text('등급은 쌓아 올립니다 — 2를 고르면 1도 함께 봅니다.'), $버튼, $알림); $판.data({ 버튼: $버튼, 알림: $알림 }); var $붙일곳 = $('#mw-content-text'); if ($붙일곳.length) $붙일곳.prepend($판); else $('#content').prepend($판); return $판; } function 고른등급() { return +($('input[name="옛한글오타-등급"]:checked').val() || 2); } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 6. 시작 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── function 색인이름() { var t = mw.config.get('wgPageName').replace(/_/g, ' '); var ns = mw.config.get('wgNamespaceNumber'); if (ns === 색인NS) return t.replace(/^[^:]+:/, ''); if (ns === 페이지NS) return t.replace(/^[^:]+:/, '').replace(/\/\d+$/, ''); return null; } function 쪽번호() { var m = /\/(\d+)$/.exec(mw.config.get('wgPageName')); return m ? +m[1] : null; } function 색인화면(pdf) { var $판 = 판만들기('옛한글 전사 오타 검사'); var $버튼 = $판.data('버튼'), $알림 = $판.data('알림'); $버튼.on('click', function () { var 등급 = 고른등급(); $버튼.prop('disabled', true); $알림.text('쪽 목록을 받는 중…'); 통계얻기(pdf, function (한것, 전부, 어디) { $알림.text(어디 === '캐시' ? '받아 둔 것을 씁니다…' : '전사문을 받는 중… ' + 한것 + '/' + 전부 + '쪽'); }).then(function (통계) { $버튼.prop('disabled', false); 색인표시(통계, 등급, $판, $알림, pdf); }, function (e) { $버튼.prop('disabled', false); $알림.text('실패했습니다: ' + (e && e.message ? e.message : e)); }); }); } function 색인표시(통계, 등급, $판, $알림, pdf) { $판.find('.옛한글오타-요약').remove(); $('.옛한글오타-쪽').removeClass('옛한글오타-쪽'); var 볼키 = {}; Object.keys(통계.후보).forEach(function (키) { if (통계.후보[키].등급 < 등급) 볼키[키] = 1; }); var 문제쪽 = {}; Object.keys(통계.쪽별).forEach(function (n) { var c = 통계.쪽별[n].filter(function (키) { return 볼키[키]; }).length; if (c) 문제쪽[n] = c; }); // 색인의 쪽 링크를 칠한다 var 칠한수 = 0; $('#mw-content-text a').each(function () { var t = $(this).attr('title') || ''; var m = new RegExp('/(\\d+)$').exec(t); if (!m || t.indexOf(pdf) < 0) return; if (문제쪽[+m[1]]) { $(this).addClass('옛한글오타-쪽') .attr('title', t + ' — 오타 의심 ' + 문제쪽[+m[1]] + '곳'); 칠한수++; } }); var 쪽수 = Object.keys(문제쪽).length; $알림.text(통계.쪽수 + '쪽 · ' + 통계.글자수.toLocaleString() + '자 · ' + '의심 ' + Object.keys(볼키).length + '종 / ' + 쪽수 + '쪽' + (통계.글자수 < 최소글자 ? ' ※ 3만 자 미만이라 통계가 흔들립니다' : '')); var $요약 = $('<div class="옛한글오타-요약 옛한글오타-목록">'); if (!쪽수) { $요약.append($('<div>').text('후보가 없습니다.')); } else if (!칠한수) { $요약.append($('<div>').text( '쪽 링크를 찾지 못해 아래 목록으로 보여 드립니다.')); } Object.keys(문제쪽).map(Number).sort(function (a, b) { return a - b; }) .forEach(function (n) { var 무엇 = 통계.쪽별[n].filter(function (키) { return 볼키[키]; }) .map(function (키) { return 통계.후보[키].글자; }).join(' '); $('<div>').append( $('<a>').attr('href', mw.util.getUrl(페이지제목(pdf, n))) .text(n + '쪽'), document.createTextNode(' ' + 무엇) ).appendTo($요약); }); $판.append($요약); } function 페이지화면(pdf, 번호) { var $판 = 판만들기('옛한글 전사 오타 검사 — ' + 번호 + '쪽'); var $버튼 = $판.data('버튼'), $알림 = $판.data('알림'); var 헌것 = 캐시읽기(pdf); if (헌것) $알림.text('이 문헌을 검사해 둔 것이 있습니다. 바로 표시합니다.'); else $알림.text('이 문헌은 아직 검사하지 않았습니다. 누르면 문헌 전체를 셉니다.'); function 표시(통계, 등급) { var 칠할까 = 판정기(통계, 등급); var 몸 = document.querySelector('.prp-page-content') || document.getElementById('mw-content-text'); var n = 0; if (mw.config.get('wgAction') === 'edit' || document.getElementById('wpTextbox1')) { n = 편집기다루기(칠할까, $판); } else if (몸) { n = 읽기칠하기(몸, 칠할까); } $알림.text(n ? ('이 쪽에서 ' + n + '곳이 의심스럽습니다.') : '이 쪽에는 의심스러운 글자가 없습니다.'); } $버튼.on('click', function () { var 등급 = 고른등급(); $버튼.prop('disabled', true); 통계얻기(pdf, function (한것, 전부, 어디) { $알림.text(어디 === '캐시' ? '받아 둔 것을 씁니다…' : '문헌 전체를 세는 중… ' + 한것 + '/' + 전부 + '쪽'); }).then(function (통계) { $버튼.prop('disabled', false); 표시(통계, 등급); }, function (e) { $버튼.prop('disabled', false); $알림.text('실패했습니다: ' + (e && e.message ? e.message : e)); }); }); } function 시작() { var ns = mw.config.get('wgNamespaceNumber'); if (ns !== 색인NS && ns !== 페이지NS) return; var pdf = 색인이름(); if (!pdf) return; mw.loader.using(['mediawiki.api', 'mediawiki.util']).then(function () { if (ns === 색인NS) 색인화면(pdf); else 페이지화면(pdf, 쪽번호()); }); } // 위키문헌 밖(시험용 빈 쪽)에서 불러도 터지지 않게 한다. if (typeof mw !== 'undefined' && typeof $ !== 'undefined') $(시작); // 시험용으로 규칙을 밖에서 부를 수 있게 (소도구 동작에는 상관없음) if (typeof module !== 'undefined' && module.exports) { module.exports = { 글자들: 글자들, 가르기: 가르기, 본문글자: 본문글자, 문헌통계: 문헌통계, 판정기: 판정기 }; } window.옛한글오타 = { 글자들: 글자들, 가르기: 가르기, 본문글자: 본문글자, 문헌통계: 문헌통계, 판정기: 판정기, 읽기칠하기: 읽기칠하기, SIC구간: SIC구간 }; }()); t3wgxyk32qe5xnj2rxh21j895fsk12i 459120 459115 2026-09-05T13:27:41Z Aspere 5453 459120 javascript text/javascript /* 그냥 통째로 Claude한테 던져 만든 결과물입니다. 아직 안전한지 확인 중이니까 그 전까지는 사용하지 말아 주세요! */ /** * 옛한글 전사 오타 검사 — 한국어 위키문헌 사용자 스크립트 * * 색인 문서나 페이지 문서에서 실행하면, 그 문헌 전체의 자모 빈도를 세어 * 오타로 의심되는 글자를 하이라이트합니다. 모델도 스캔도 쓰지 않고 * 전사문 텍스트만 봅니다. * * 판정 규칙은 프로젝트의 `오타검사.py` 와 같습니다. 근거는 CLAUDE.md 9번. * * 설치: User:<이름>/common.js 에 * mw.loader.load('/w/index.php?title=User:<이름>/오타검사.js&action=raw&ctype=text/javascript'); */ /* global mw, $ */ (function () { 'use strict'; var 판 = 1; // 캐시 형식이 바뀌면 올린다 (헌 캐시가 버려짐) var 색인NS = 252, 페이지NS = 250; // ko.wikisource 의 색인: / 페이지: // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 1. 판정 규칙 (오타검사.py 와 같은 규칙. 고칠 때는 양쪽을 함께) // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 채움 문자 — 눈에 보이지 않는다 var 채움 = { 0x115F: 1, 0x1160: 1, 0x3164: 1, 0xFFA0: 1 }; // 채움 문자가 있어도 오타가 아닌, 실제로 쓰이는 형태 var 정상형태 = { 'ᅟᅵᆫ': 1 }; // ᅟᅵᆫ // 현대 한글 완성형으로 적을 수 있는 자모. 이 바깥이면 '안 쓰던 자모'(2등급), // 안쪽이면 '드문 자모'(3등급)로 나뉜다. var 현대 = { L: 'ᄀᄁᄂᄃᄄᄅᄆᄇᄈᄉᄊᄋᄌᄍᄎᄏᄐᄑᄒ', V: 'ᅡᅢᅣᅤᅥᅦᅧᅨᅩᅪᅫᅬᅭᅮᅯᅰᅱᅲᅳᅴᅵ', T: 'ᆨᆩᆪᆫᆬᆭᆮᆯᆰᆱᆲᆳᆴᆵᆶᆷᆸᆹᆺᆻᆼᆽᆾᆿᇀᇁᇂ' }; var 등급이름 = ['구조 오류', '안 쓰던 자모', '드문 자모']; var 등급설명 = [ '한글로 성립하지 않는 글자입니다. 거의 전부 오타입니다.', '옛한글 전용·확장 영역 자모입니다. 입력기 사고가 많지만 그 문헌이 실제로 쓴 자모일 수도 있습니다.', '현대 한글에도 있는 자모입니다. 오탐지가 많습니다 — 앞·같·몇·있·었 같은 멀쩡한 낱말이 걸립니다.' ]; var 문턱 = 0.0001; // 비율 0.01%. 3만 자~133만 자에서 일관됨(실측) var 최소글자 = 30000; // 이보다 적으면 통계가 흔들린다고 알린다 /** 첫가끝 자모열(ᄆ+ᆞ+ᆷ)을 한 글자로 묶어 배열로. */ function 글자들(s) { var out = [], cur = ''; for (var i = 0; i < s.length; i++) { var ch = s[i], o = ch.charCodeAt(0); var 뒤 = (o >= 0x1160 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97F) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7FF); if (뒤 && cur) { cur += ch; } else { if (cur) out.push(cur); cur = ch; } } if (cur) out.push(cur); return out; } /** * 글자 한 개 → {L, V, T}. * 완성형도 자모로 풀어 더한다 — '셔'+ᇰ 처럼 완성형 뒤에 첫가끝 종성을 붙이는 * 표기가 실제로 쓰이기 때문(석보상절). 채움 문자는 자모로 세지 않는다. */ function 가르기(cl) { var L = '', V = '', T = ''; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var ch = cl[i], o = ch.charCodeAt(0); if (o >= 0xAC00 && o <= 0xD7A3) { // 현대 완성형은 나눗셈으로 var k = o - 0xAC00; L += String.fromCharCode(0x1100 + Math.floor(k / 588)); V += String.fromCharCode(0x1161 + Math.floor((k % 588) / 28)); if (k % 28) T += String.fromCharCode(0x11A7 + (k % 28)); } else if (채움[o]) { continue; } else if ((o >= 0x1100 && o <= 0x115E) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97C)) { L += ch; } else if ((o >= 0x1161 && o <= 0x11A7) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7C6)) { V += ch; } else if ((o >= 0x11A8 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xD7CB && o <= 0xD7FB)) { T += ch; } } return { L: L, V: V, T: T }; } function 한글인가(cl) { for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var o = cl.charCodeAt(i); if ((o >= 0x1100 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xAC00 && o <= 0xD7A3) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97F) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7FF)) return true; } return false; } /** * 위키문헌 원문 → 사람이 친 글자만 이어 붙인 한 줄. * 틀 안의 내용도 넣되 {{SIC}} 는 뺀다 (이미 원문 오식으로 판정된 자리). */ function 본문글자(raw) { var t = String(raw); t = t.replace(/<!--[\s\S]*?-->/g, ''); t = t.replace(/<noinclude>[\s\S]*?<\/noinclude>/gi, ''); // 머리말·꼬리말 t = t.replace(/<ref[^>]*\/>/gi, ''); t = t.replace(/<ref[^>]*>[\s\S]*?<\/ref>/gi, ''); // 편집자 주석 for (var i = 0; i < 20000; i++) { // 안쪽 틀부터 하나씩 푼다 var m = /\{\{([^{}]*)\}\}/.exec(t); if (!m) break; var parts = m[1].split('|'); var 이름 = parts[0].trim(); var 값 = ''; if (!/^sic$/i.test(이름)) { for (var k = 1; k < parts.length; k++) { if (!/^\s*[A-Za-z-]+\s*=/.test(parts[k])) 값 += parts[k]; } } t = t.slice(0, m.index) + 값 + t.slice(m.index + m[0].length); } t = t.replace(/^==.*?==$/gm, ''); t = t.replace(/\[\[[^|\]]*\|([^\]]*)\]\]/g, '$1'); t = t.replace(/\[\[([^\]]*)\]\]/g, '$1'); t = t.replace(/<[^>]+>/g, ''); return t.replace(/[\s​]+/g, ''); } /** * {{SIC|…}} 가 차지하는 [시작, 끝) 구간들. 편집기에서 그 자리를 건너뛰려고. * 대소문자를 가리지 않습니다 — `{{sic}}` `{{Sic}}` 모두 `틀:SIC` 로 갑니다. */ function SIC구간(raw) { var out = [], re = /\{\{\s*sic\s*[|}]/gi, m; while ((m = re.exec(raw))) { var i = m.index, 깊이 = 0; for (var j = i; j < raw.length - 1; j++) { if (raw[j] === '{' && raw[j + 1] === '{') { 깊이++; j++; } else if (raw[j] === '}' && raw[j + 1] === '}') { 깊이--; j++; if (깊이 === 0) { out.push([i, j + 1]); break; } } } } return out; } /** * 문헌 하나의 통계를 낸다. * 쪽들: [{번호, 원문}, …] * 반환: { 글자수, 자모:{L,V,T}, 후보:{키:{등급,자모,갈래,횟수}}, 쪽별:{번호:[키,…]} } */ function 문헌통계(쪽들) { var 셈 = { L: {}, V: {}, T: {} }; var 자리 = {}; // 키 → {번호: 개수} var 구조 = {}; // 키 → {번호: 개수} var 글자수 = 0; 쪽들.forEach(function (p) { var ls = 글자들(본문글자(p.원문)); ls.forEach(function (cl) { var i, o; for (i = 0; i < cl.length; i++) { o = cl.charCodeAt(i); if (채움[o] && !정상형태[cl]) { 올리기(구조, '채움:' + o, p.번호); } } if (!한글인가(cl)) return; 글자수++; var v = 가르기(cl); var 채움있나 = false; for (i = 0; i < cl.length; i++) if (채움[cl.charCodeAt(i)]) 채움있나 = true; if ((!v.L || !v.V) && !채움있나) { 올리기(구조, '불완전:' + cl, p.번호); } else if (v.L.length > 1 || v.V.length > 1 || v.T.length > 1) { 올리기(구조, '겹침:' + cl, p.번호); } ['L', 'V', 'T'].forEach(function (k) { for (var j = 0; j < v[k].length; j++) { var ch = v[k][j]; 셈[k][ch] = (셈[k][ch] || 0) + 1; 올리기(자리, k + ':' + ch, p.번호); } }); }); }); // 꼬리 자모를 후보로 var 후보 = {}, 쪽별 = {}; Object.keys(구조).forEach(function (키) { var 부분 = 키.split(':'); 후보[키] = { 등급: 0, 갈래: 부분[0], 글자: 부분[0] === '채움' ? String.fromCharCode(+부분[1]) : 부분[1], 횟수: 합(구조[키]) }; 모으기(쪽별, 구조[키], 키); }); if (글자수) { ['L', 'V', 'T'].forEach(function (k) { Object.keys(셈[k]).forEach(function (ch) { var c = 셈[k][ch]; if (c / 글자수 >= 문턱) return; var 키 = k + ':' + ch; 후보[키] = { 등급: 현대[k].indexOf(ch) >= 0 ? 2 : 1, 갈래: k, 글자: ch, 횟수: c }; 모으기(쪽별, 자리[키], 키); }); }); } return { 글자수: 글자수, 후보: 후보, 쪽별: 쪽별 }; } function 올리기(표, 키, 번호) { if (!표[키]) 표[키] = {}; 표[키][번호] = (표[키][번호] || 0) + 1; } function 합(o) { var s = 0; Object.keys(o).forEach(function (k) { s += o[k]; }); return s; } function 모으기(쪽별, 곳, 키) { if (!곳) return; Object.keys(곳).forEach(function (번호) { if (!쪽별[번호]) 쪽별[번호] = []; 쪽별[번호].push(키); }); } /** * 통계와 등급으로부터 '이 글자를 칠할 것인가'를 판정하는 함수를 만든다. * 하이라이트는 저장된 위치가 아니라 **지금 화면의 글자**로 매번 새로 칠한다. * 그래서 오타를 고치고 새로고침하면 캐시가 살아 있어도 바로 사라진다. */ function 판정기(통계, 등급) { var 꼬리 = { L: {}, V: {}, T: {} }; Object.keys(통계.후보).forEach(function (키) { var c = 통계.후보[키]; if (c.등급 >= 등급) return; // 등급은 쌓아 올린다 if (c.갈래 === 'L' || c.갈래 === 'V' || c.갈래 === 'T') 꼬리[c.갈래][c.글자] = 1; }); var 구조켬 = 등급 >= 1; return function (cl) { var i, o; if (구조켬) { if (!정상형태[cl]) { for (i = 0; i < cl.length; i++) if (채움[cl.charCodeAt(i)]) return true; } if (한글인가(cl)) { var v0 = 가르기(cl), 채움있나 = false; for (i = 0; i < cl.length; i++) if (채움[cl.charCodeAt(i)]) 채움있나 = true; if ((!v0.L || !v0.V) && !채움있나) return true; if (v0.L.length > 1 || v0.V.length > 1 || v0.T.length > 1) return true; } } if (!한글인가(cl)) return false; var v = 가르기(cl); for (var k of ['L', 'V', 'T']) { for (i = 0; i < v[k].length; i++) if (꼬리[k][v[k][i]]) return true; } return false; }; } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 2. 위키문헌에서 받아 오기 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var api = null; function API() { if (!api) api = new mw.Api(); return api; } function 페이지제목(pdf, n) { var NS = mw.config.get('wgFormattedNamespaces')[페이지NS] || '페이지'; return NS + ':' + pdf + '/' + n; } /** 색인 하위 쪽의 최신 판 번호만. 500쪽씩 오므로 빠르다(784쪽에 2번·3초). */ function 쪽목록(pdf) { var 결과 = {}; function 한번(cont) { var q = { action: 'query', generator: 'allpages', gapnamespace: 페이지NS, gapprefix: pdf + '/', gaplimit: 500, prop: 'info', formatversion: 2 }; Object.keys(cont || {}).forEach(function (k) { q[k] = cont[k]; }); return API().get(q).then(function (r) { ((r.query || {}).pages || []).forEach(function (p) { var m = /\/(\d+)$/.exec(p.title); if (m) 결과[+m[1]] = p.lastrevid; }); return r.continue ? 한번(r.continue) : 결과; }); } return 한번(null); } /** * 쪽 본문을 받아 온다. 본문은 **한 번에 50쪽까지만** 옵니다 — * 500쪽씩 달라고 하면 같은 쪽을 되풀이해 주고 본문은 안 옵니다(실측). */ function 쪽본문(pdf, 번호들, 알림) { var 결과 = [], 남은 = 번호들.slice(); function 다음() { if (!남은.length) return $.Deferred().resolve(결과).promise(); var 묶음 = 남은.splice(0, 50); var 제목 = 묶음.map(function (n) { return 페이지제목(pdf, n); }); return API().get({ action: 'query', titles: 제목.join('|'), prop: 'revisions', rvprop: 'content|ids', rvslots: 'main', formatversion: 2 }).then(function (r) { ((r.query || {}).pages || []).forEach(function (p) { var rev = (p.revisions || [])[0]; var 본문 = rev && rev.slots && rev.slots.main && rev.slots.main.content; var m = /\/(\d+)$/.exec(p.title); if (본문 && m) 결과.push({ 번호: +m[1], 원문: 본문, revid: rev.revid }); }); if (알림) alarm(알림, 결과.length, 번호들.length); return 다음(); }); } return 다음(); } function alarm(fn, 한것, 전부) { try { fn(한것, 전부); } catch (e) {} } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 3. 캐시 — 빈도표만 담는다. 하이라이트 위치는 담지 않는다. // localStorage 를 쓴다. sessionStorage 는 탭마다 따로라, 색인에서 검사한 뒤 // 쪽을 새 탭으로 열면 처음부터 다시 받게 된다(실제로 겪은 문제). // 낡아도 해롭지 않다 — 하이라이트는 화면의 글자를 그때그때 보고 칠하므로, // 오타를 고치면 캐시와 상관없이 바로 사라진다. // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var 앞머리 = '옛한글오타:'; var 저장소 = (function () { var 후보 = []; try { 후보.push(window.localStorage); } catch (e) {} try { 후보.push(window.sessionStorage); } catch (e) {} for (var i = 0; i < 후보.length; i++) { try { 후보[i].setItem(앞머리 + '시험', '1'); 후보[i].removeItem(앞머리 + '시험'); return 후보[i]; } catch (e) {} } return null; }()); function 캐시키(pdf) { return 앞머리 + 판 + ':' + pdf; } function 캐시읽기(pdf) { if (!저장소) return null; try { var s = 저장소.getItem(캐시키(pdf)); return s ? JSON.parse(s) : null; } catch (e) { return null; } } function 캐시쓰기(pdf, obj) { if (!저장소) return; obj.적은때 = Date.now(); var 글 = JSON.stringify(obj); try { 저장소.setItem(캐시키(pdf), 글); } catch (e) { // 자리가 모자라면 헌 것부터 버리고 다시 지우기(캐시키(pdf)); try { 저장소.setItem(캐시키(pdf), 글); } catch (e2) {} } } /** 이 소도구가 넣어 둔 다른 문헌의 캐시를 오래된 것부터 버린다. */ function 지우기(빼놓을키) { var 것들 = []; for (var i = 0; i < 저장소.length; i++) { var k = 저장소.key(i); if (k && k.indexOf(앞머리) === 0 && k !== 빼놓을키 && k !== 앞머리 + '등급') { var t = 0; try { t = (JSON.parse(저장소.getItem(k)) || {}).적은때 || 0; } catch (e) {} 것들.push([t, k]); } } 것들.sort(function (a, b) { return a[0] - b[0]; }); 것들.forEach(function (x) { try { 저장소.removeItem(x[1]); } catch (e) {} }); } /** 고른 등급을 기억한다 — 색인에서 3을 골랐으면 쪽에서도 3이 기본이 되도록. */ function 등급기억(g) { if (저장소) { try { 저장소.setItem(앞머리 + '등급', String(g)); } catch (e) {} } } function 기억한등급() { if (!저장소) return 2; try { var v = +저장소.getItem(앞머리 + '등급'); return (v === 1 || v === 2 || v === 3) ? v : 2; } catch (e) { return 2; } } function 같은판인가(가, 나) { var ka = Object.keys(가 || {}), kb = Object.keys(나 || {}); if (ka.length !== kb.length) return false; for (var i = 0; i < ka.length; i++) if (가[ka[i]] !== 나[ka[i]]) return false; return true; } /** * 문헌 통계를 얻는다. * 캐시에는 **빈도표와 쪽마다의 최신 판 번호만** 넣는다 — 전사문 자체는 넣지 않는다. * (셩경 개역이면 전사문이 5MB 가 넘어 sessionStorage 한도를 넘긴다.) * 그래서 재실행은 쪽 목록만 확인하고 끝난다(784쪽에 25초 → 3초). * 한 쪽이라도 고쳐졌으면 통계를 새로 냅니다. */ function 통계얻기(pdf, 알림) { return 쪽목록(pdf).then(function (revid) { var 헌것 = 캐시읽기(pdf); if (헌것 && 같은판인가(헌것.revid, revid)) { var 수 = Object.keys(revid).length; alarm(알림, 수, 수, '캐시'); return 헌것; } var 번호들 = Object.keys(revid).map(Number).sort(function (a, b) { return a - b; }); return 쪽본문(pdf, 번호들, 알림).then(function (쪽들) { var 통계 = 문헌통계(쪽들); 통계.revid = revid; 통계.쪽수 = 쪽들.length; 캐시쓰기(pdf, 통계); return 통계; }); }); } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 4. 화면 칠하기 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var CSS문자열 = [ '.옛한글오타-판 { border:1px solid #a2a9b1; background:#f8f9fa; border-radius:4px;', ' padding:10px 12px; margin:8px 0; font-size:14px; }', '.옛한글오타-판 h4 { margin:0 0 6px; font-size:15px; }', '.옛한글오타-판 label { margin-right:12px; cursor:pointer; }', '.옛한글오타-판 .설명 { color:#54595d; font-size:12px; margin:4px 0 8px; }', '.옛한글오타-판 .알림 { color:#54595d; font-size:13px; margin-left:8px; }', '.옛한글오타-표시 { background:#ffe14d; border-radius:3px; padding:0 1px;', ' box-shadow:0 0 0 1px #d4a000 inset; }', // 채움 문자는 획이 없어 칠해도 안 보인다. 이름표를 대신 세워 준다. '.옛한글오타-빈::after { content:"(빈 글자)"; font-size:11px; color:#fff;', ' background:#c0392b; border-radius:3px; padding:1px 4px; margin:0 1px;', ' vertical-align:middle; white-space:nowrap; }', '.옛한글오타-쪽 { outline:2px solid #d33; outline-offset:1px; background:#fee7e6; }', '.옛한글오타-목록 { max-height:260px; overflow-y:auto; margin-top:8px; }', '.옛한글오타-목록 div { padding:3px 4px; border-bottom:1px solid #eaecf0; cursor:pointer; }', '.옛한글오타-목록 div:hover { background:#eaf3ff; }', '.옛한글오타-목록 b { font-size:17px; background:#ffe14d; border-radius:3px; }', '.옛한글오타-빈이름 { font-size:12px !important; color:#fff; background:#c0392b !important;', ' border-radius:3px; padding:1px 5px; }', '::highlight(oldhangul-typo) { background-color:#ffe14d; }' ].join('\n'); function CSS넣기() { if (document.getElementById('옛한글오타-css')) return; var st = document.createElement('style'); st.id = '옛한글오타-css'; st.textContent = CSS문자열; document.head.appendChild(st); } /** * 이 자리가 {{SIC}} 안인가 — 읽기 화면에서. * {{SIC|와}} 는 `<span class="wst-tooltip" title="[문자 그대로]">와</span>` 로 * 그려집니다. 원문에서는 본문글자() 가 걷어내지만, 읽기 화면은 **화면에 그려진 * 글자**를 보므로 여기서 따로 건너뛰어야 합니다. 틀 이름의 대소문자와 무관합니다 * (`{{sic}}` 는 `틀:SIC` 로 넘겨주기). */ function SIC안인가(el) { for (var e = el; e && e.nodeType === 1; e = e.parentNode) { var t = e.getAttribute && e.getAttribute('title'); if (t && t.indexOf('문자 그대로') >= 0) return true; if (e === document.body) break; } return false; } var 채움이름 = { 0x115F: '초성 채움 문자 U+115F', 0x1160: '중성 채움 문자 U+1160', 0x3164: '한글 채움 문자 U+3164', 0xFFA0: '한글 채움 문자 U+FFA0' }; /** 사람이 읽을 수 있는 이름. 눈에 안 보이는 글자를 말로 알려 주려고. */ function 이름붙이기(cl) { var 말 = []; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var o = cl.charCodeAt(i); if (채움[o]) 말.push(채움이름[o] || ('채움 문자 U+' + o.toString(16).toUpperCase())); } if (!말.length) return cl; return (안보이는가(cl) ? '' : cl + ' 안에 ') + 말.join(', '); } /** 눈에 보이는 획이 하나도 없는 글자인가 (채움 문자만으로 된 것). */ function 안보이는가(cl) { for (var i = 0; i < cl.length; i++) if (!채움[cl.charCodeAt(i)]) return false; return cl.length > 0; } /** 읽기 화면의 글자를 칠한다. 이미 칠한 것은 지우고 다시 칠한다. */ function 읽기칠하기(뿌리, 칠할까) { CSS넣기(); // 혼자 불려도 색이 나오도록 [].forEach.call(뿌리.querySelectorAll('.옛한글오타-표시'), function (el) { el.parentNode.replaceChild(document.createTextNode(el.textContent), el); }); 뿌리.normalize(); var 걸린수 = 0; var walker = document.createTreeWalker(뿌리, NodeFilter.SHOW_TEXT, { acceptNode: function (n) { if (!n.nodeValue) return NodeFilter.FILTER_REJECT; var p = n.parentNode; if (!p || /^(SCRIPT|STYLE|TEXTAREA)$/.test(p.nodeName)) return NodeFilter.FILTER_REJECT; if (SIC안인가(p)) return NodeFilter.FILTER_REJECT; return NodeFilter.FILTER_ACCEPT; } }); var 대상 = [], n; while ((n = walker.nextNode())) 대상.push(n); if (!대상.length) return 0; // 글자를 **이어 붙인 글**에서 나눈다. 태그가 첫가끝 글자 한복판을 가르는 일이 // 있는데(`ᄒ<b>ᆞᆫ</b>`), 마디마다 따로 나누면 그 조각이 '구조 오류'로 // 잘못 잡힌다. 시험에서 실제로 걸린 문제다. var 글 = '', 어디 = []; // 글자 하나하나가 어느 마디의 몇 번째인지 대상.forEach(function (node, ni) { for (var i = 0; i < node.nodeValue.length; i++) { 어디.push([ni, i]); } 글 += node.nodeValue; }); var 칠할곳 = []; // 마디번호 → [[시작, 끝], …] var 자리 = 0; 글자들(글).forEach(function (cl) { var 처음 = 어디[자리], 마지막 = 어디[자리 + cl.length - 1]; 자리 += cl.length; if (!칠할까(cl)) return; 걸린수++; if (처음[0] !== 마지막[0]) return; // 마디 둘에 걸친 글자는 세기만 한다 if (!칠할곳[처음[0]]) 칠할곳[처음[0]] = []; 칠할곳[처음[0]].push([처음[1], 마지막[1] + 1]); }); 대상.forEach(function (node, ni) { var 곳 = 칠할곳[ni]; if (!곳 || !곳.length) return; var frag = document.createDocumentFragment(), 앞 = 0, 값 = node.nodeValue; 곳.forEach(function (r) { if (r[0] > 앞) frag.appendChild(document.createTextNode(값.slice(앞, r[0]))); var 글자 = 값.slice(r[0], r[1]); var sp = document.createElement('span'); sp.className = '옛한글오타-표시'; sp.title = '오타 의심 — ' + 이름붙이기(글자); // 채움 문자는 획이 없어 칠해도 아무것도 안 보인다. 이름표를 붙인다. if (안보이는가(글자)) sp.className += ' 옛한글오타-빈'; sp.textContent = 글자; frag.appendChild(sp); 앞 = r[1]; }); if (앞 < 값.length) frag.appendChild(document.createTextNode(값.slice(앞))); node.parentNode.replaceChild(frag, node); }); return 걸린수; } /** * 편집 화면. 두 가지를 함께 합니다. * ① CodeMirror 가 켜져 있으면 글자에 직접 칠합니다 (CSS Highlight API). * ② 언제나 옆 목록을 만들고, 누르면 편집창의 그 자리를 선택해 줍니다. */ function 편집기다루기(칠할까, $판) { CSS넣기(); var ta = document.getElementById('wpTextbox1'); if (!ta) return 0; $판.find('.옛한글오타-목록').remove(); // 다시 눌렀을 때 겹치지 않게 var raw = ta.value; var sic = SIC구간(raw); function SIC안인가(i) { return sic.some(function (r) { return i >= r[0] && i < r[1]; }); } // 원문에서 곧바로 찾는다. 자리 옮김이 없어 편집창 위치와 그대로 맞는다. var ls = 글자들(raw), 자리 = [], 위치 = 0; ls.forEach(function (cl) { if (칠할까(cl) && !SIC안인가(위치)) { 자리.push({ 시작: 위치, 끝: 위치 + cl.length, 글자: cl }); } 위치 += cl.length; }); if (!자리.length) return 0; // ② 목록 var $목록 = $('<div class="옛한글오타-목록">'); 자리.forEach(function (a) { var 앞 = raw.slice(Math.max(0, a.시작 - 12), a.시작).replace(/\n/g, ' '); var 뒤 = raw.slice(a.끝, a.끝 + 12).replace(/\n/g, ' '); // 채움 문자는 획이 없어 그냥 넣으면 목록에서도 안 보인다. var $가운데 = 안보이는가(a.글자) ? $('<b class="옛한글오타-빈이름">').text('(' + 이름붙이기(a.글자) + ')') : $('<b>').text(a.글자); $('<div>').append( document.createTextNode('…' + 앞), $가운데, document.createTextNode(뒤 + '…') ).on('click', function () { ta.focus(); ta.setSelectionRange(a.시작, a.끝); // 선택한 자리가 보이도록 대충 굴려 준다 var 줄 = raw.slice(0, a.시작).split('\n').length; ta.scrollTop = Math.max(0, (줄 - 4) * 20); }).appendTo($목록); }); $판.append($목록); // ① CodeMirror 위에 칠하기 (되면 좋고, 안 되면 목록만) 코드미러칠하기(칠할까); return 자리.length; } function 코드미러칠하기(칠할까) { if (!window.CSS || !CSS.highlights || !window.Highlight) return false; function 칠 () { var cm = document.querySelector('.cm-content'); if (!cm) return false; var ranges = []; var walker = document.createTreeWalker(cm, NodeFilter.SHOW_TEXT, null); var n; while ((n = walker.nextNode())) { var ls = 글자들(n.nodeValue), off = 0; for (var i = 0; i < ls.length; i++) { if (칠할까(ls[i])) { var r = document.createRange(); r.setStart(n, off); r.setEnd(n, off + ls[i].length); ranges.push(r); } off += ls[i].length; } } try { var h = new Highlight(); ranges.forEach(function (r) { h.add(r); }); CSS.highlights.set('oldhangul-typo', h); } catch (e) { return false; } return true; } if (!칠()) { // CodeMirror 를 나중에 켤 수도 있다 mw.hook('ext.CodeMirror.switch').add(function () { setTimeout(칠, 300); }); return false; } // CodeMirror 는 화면 밖 줄을 지웠다 다시 만든다. 굴릴 때마다 다시 칠한다. var 타이머 = null; ['scroll', 'input'].forEach(function (ev) { document.addEventListener(ev, function () { clearTimeout(타이머); 타이머 = setTimeout(칠, 150); }, true); }); return true; } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 5. 판 (화면 위젯) // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── function 판만들기(제목) { CSS넣기(); var $판 = $('<div class="옛한글오타-판">').append($('<h4>').text(제목)); var 기본 = 기억한등급(); // 색인에서 3을 골랐으면 쪽에서도 3으로 var $줄 = $('<div>'); [1, 2, 3].forEach(function (g) { $줄.append($('<label>').append( $('<input type="radio" name="옛한글오타-등급">').val(g).prop('checked', g === 기본), document.createTextNode(' ' + g + '. ' + 등급이름[g - 1]) )); }); $줄.on('change', 'input', function () { 등급기억(+this.value); }); var $버튼 = $('<button>').text('검사'); var $알림 = $('<span class="알림">'); $판.append($줄, $('<div class="설명">').text('등급은 쌓아 올립니다 — 2를 고르면 1도 함께 봅니다.'), $버튼, $알림); $판.data({ 버튼: $버튼, 알림: $알림 }); var $붙일곳 = $('#mw-content-text'); if ($붙일곳.length) $붙일곳.prepend($판); else $('#content').prepend($판); return $판; } function 고른등급() { return +($('input[name="옛한글오타-등급"]:checked').val() || 2); } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 6. 시작 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── function 색인이름() { var t = mw.config.get('wgPageName').replace(/_/g, ' '); var ns = mw.config.get('wgNamespaceNumber'); if (ns === 색인NS) return t.replace(/^[^:]+:/, ''); if (ns === 페이지NS) return t.replace(/^[^:]+:/, '').replace(/\/\d+$/, ''); return null; } function 쪽번호() { var m = /\/(\d+)$/.exec(mw.config.get('wgPageName')); return m ? +m[1] : null; } function 색인화면(pdf) { var $판 = 판만들기('옛한글 전사 오타 검사'); var $버튼 = $판.data('버튼'), $알림 = $판.data('알림'); $버튼.on('click', function () { var 등급 = 고른등급(); $버튼.prop('disabled', true); $알림.text('쪽 목록을 받는 중…'); 통계얻기(pdf, function (한것, 전부, 어디) { $알림.text(어디 === '캐시' ? '받아 둔 것을 씁니다…' : '전사문을 받는 중… ' + 한것 + '/' + 전부 + '쪽'); }).then(function (통계) { $버튼.prop('disabled', false); 색인표시(통계, 등급, $판, $알림, pdf); }, function (e) { $버튼.prop('disabled', false); $알림.text('실패했습니다: ' + (e && e.message ? e.message : e)); }); }); } function 색인표시(통계, 등급, $판, $알림, pdf) { $판.find('.옛한글오타-요약').remove(); $('.옛한글오타-쪽').removeClass('옛한글오타-쪽'); var 볼키 = {}; Object.keys(통계.후보).forEach(function (키) { if (통계.후보[키].등급 < 등급) 볼키[키] = 1; }); var 문제쪽 = {}; Object.keys(통계.쪽별).forEach(function (n) { var c = 통계.쪽별[n].filter(function (키) { return 볼키[키]; }).length; if (c) 문제쪽[n] = c; }); // 색인의 쪽 링크를 칠한다 var 칠한수 = 0; $('#mw-content-text a').each(function () { var t = $(this).attr('title') || ''; var m = new RegExp('/(\\d+)$').exec(t); if (!m || t.indexOf(pdf) < 0) return; if (문제쪽[+m[1]]) { $(this).addClass('옛한글오타-쪽') .attr('title', t + ' — 오타 의심 ' + 문제쪽[+m[1]] + '곳'); 칠한수++; } }); var 쪽수 = Object.keys(문제쪽).length; $알림.text(통계.쪽수 + '쪽 · ' + 통계.글자수.toLocaleString() + '자 · ' + '의심 ' + Object.keys(볼키).length + '종 / ' + 쪽수 + '쪽' + (통계.글자수 < 최소글자 ? ' ※ 3만 자 미만이라 통계가 흔들립니다' : '')); var $요약 = $('<div class="옛한글오타-요약 옛한글오타-목록">'); if (!쪽수) { $요약.append($('<div>').text('후보가 없습니다.')); } else if (!칠한수) { $요약.append($('<div>').text( '쪽 링크를 찾지 못해 아래 목록으로 보여 드립니다.')); } Object.keys(문제쪽).map(Number).sort(function (a, b) { return a - b; }) .forEach(function (n) { var 무엇 = 통계.쪽별[n].filter(function (키) { return 볼키[키]; }) .map(function (키) { return 통계.후보[키].글자; }).join(' '); $('<div>').append( $('<a>').attr('href', mw.util.getUrl(페이지제목(pdf, n))) .text(n + '쪽'), document.createTextNode(' ' + 무엇) ).appendTo($요약); }); $판.append($요약); } function 페이지화면(pdf, 번호) { var $판 = 판만들기('옛한글 전사 오타 검사 — ' + 번호 + '쪽'); var $버튼 = $판.data('버튼'), $알림 = $판.data('알림'); function 표시(통계, 등급) { var 칠할까 = 판정기(통계, 등급); var 몸 = document.querySelector('.prp-page-content') || document.getElementById('mw-content-text'); var n = 0; if (mw.config.get('wgAction') === 'edit' || document.getElementById('wpTextbox1')) { n = 편집기다루기(칠할까, $판); } else if (몸) { n = 읽기칠하기(몸, 칠할까); } return n; } // 검사해 둔 것이 있으면 **네트워크를 전혀 쓰지 않고** 곧바로 표시한다. // 빈도표가 조금 낡아도 해롭지 않다 — 칠하는 것은 화면의 글자이기 때문. var 헌것 = 캐시읽기(pdf); if (헌것) { var 등급 = 고른등급(); var n = 표시(헌것, 등급); $알림.text((n ? '이 쪽에서 ' + n + '곳이 의심스럽습니다.' : '이 쪽에는 의심스러운 글자가 없습니다.') + ' (검사해 둔 것으로 바로 표시했습니다. 등급을 바꾸거나 ' + '전사문이 고쳐졌으면 다시 누르세요.)'); $버튼.text('다시 검사'); } else { $알림.text('이 문헌은 아직 검사하지 않았습니다. 누르면 문헌 전체를 셉니다.'); } $버튼.on('click', function () { var 등급 = 고른등급(); $버튼.prop('disabled', true); 통계얻기(pdf, function (한것, 전부, 어디) { $알림.text(어디 === '캐시' ? '받아 둔 것을 씁니다…' : '문헌 전체를 세는 중… ' + 한것 + '/' + 전부 + '쪽'); }).then(function (통계) { $버튼.prop('disabled', false).text('다시 검사'); var n = 표시(통계, 등급); $알림.text(n ? ('이 쪽에서 ' + n + '곳이 의심스럽습니다.') : '이 쪽에는 의심스러운 글자가 없습니다.'); }, function (e) { $버튼.prop('disabled', false); $알림.text('실패했습니다: ' + (e && e.message ? e.message : e)); }); }); } function 시작() { var ns = mw.config.get('wgNamespaceNumber'); if (ns !== 색인NS && ns !== 페이지NS) return; var pdf = 색인이름(); if (!pdf) return; mw.loader.using(['mediawiki.api', 'mediawiki.util']).then(function () { if (ns === 색인NS) 색인화면(pdf); else 페이지화면(pdf, 쪽번호()); }); } // 위키문헌 밖(시험용 빈 쪽)에서 불러도 터지지 않게 한다. if (typeof mw !== 'undefined' && typeof $ !== 'undefined') $(시작); // 시험용으로 규칙을 밖에서 부를 수 있게 (소도구 동작에는 상관없음) if (typeof module !== 'undefined' && module.exports) { module.exports = { 글자들: 글자들, 가르기: 가르기, 본문글자: 본문글자, 문헌통계: 문헌통계, 판정기: 판정기 }; } window.옛한글오타 = { 글자들: 글자들, 가르기: 가르기, 본문글자: 본문글자, 문헌통계: 문헌통계, 판정기: 판정기, 읽기칠하기: 읽기칠하기, SIC구간: SIC구간, 캐시읽기: 캐시읽기, 캐시쓰기: 캐시쓰기, 등급기억: 등급기억, 기억한등급: 기억한등급 }; }()); q8oixpfbm6bgvzfajg061n2xuyctbfo 459124 459120 2026-09-05T14:00:19Z Aspere 5453 459124 javascript text/javascript /* 그냥 통째로 Claude한테 던져 만든 결과물입니다. 아직 안전한지 확인 중이니까 그 전까지는 사용하지 말아 주세요! */ /** * 옛한글 전사 오타 검사 — 한국어 위키문헌 사용자 스크립트 * * 색인 문서나 페이지 문서에서 실행하면, 그 문헌 전체의 자모 빈도를 세어 * 오타로 의심되는 글자를 하이라이트합니다. 모델도 스캔도 쓰지 않고 * 전사문 텍스트만 봅니다. * * 판정 규칙은 프로젝트의 `오타검사.py` 와 같습니다. 근거는 CLAUDE.md 9번. * * 설치: User:<이름>/common.js 에 * mw.loader.load('/w/index.php?title=User:<이름>/오타검사.js&action=raw&ctype=text/javascript'); */ /* global mw, $ */ (function () { 'use strict'; var 판 = 1; // 캐시 형식이 바뀌면 올린다 (헌 캐시가 버려짐) var 색인NS = 252, 페이지NS = 250; // ko.wikisource 의 색인: / 페이지: // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 1. 판정 규칙 (오타검사.py 와 같은 규칙. 고칠 때는 양쪽을 함께) // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 채움 문자 — 눈에 보이지 않는다 var 채움 = { 0x115F: 1, 0x1160: 1, 0x3164: 1, 0xFFA0: 1 }; // 채움 문자가 있어도 오타가 아닌, 실제로 쓰이는 형태 var 정상형태 = { 'ᅟᅵᆫ': 1 }; // ᅟᅵᆫ // 현대 한글 완성형으로 적을 수 있는 자모. 이 바깥이면 '안 쓰던 자모'(2등급), // 안쪽이면 '드문 자모'(3등급)로 나뉜다. var 현대 = { L: 'ᄀᄁᄂᄃᄄᄅᄆᄇᄈᄉᄊᄋᄌᄍᄎᄏᄐᄑᄒ', V: 'ᅡᅢᅣᅤᅥᅦᅧᅨᅩᅪᅫᅬᅭᅮᅯᅰᅱᅲᅳᅴᅵ', T: 'ᆨᆩᆪᆫᆬᆭᆮᆯᆰᆱᆲᆳᆴᆵᆶᆷᆸᆹᆺᆻᆼᆽᆾᆿᇀᇁᇂ' }; var 등급이름 = ['구조 오류', '안 쓰던 자모', '드문 자모']; var 등급설명 = [ '한글로 성립하지 않는 글자입니다. 거의 전부 오타입니다.', '옛한글 전용·확장 영역 자모입니다. 입력기 사고가 많지만 그 문헌이 실제로 쓴 자모일 수도 있습니다.', '현대 한글에도 있는 자모입니다. 오탐지가 많습니다 — 앞·같·몇·있·었 같은 멀쩡한 낱말이 걸립니다.' ]; var 문턱 = 0.0001; // 비율 0.01%. 3만 자~133만 자에서 일관됨(실측) var 최소글자 = 30000; // 이보다 적으면 통계가 흔들린다고 알린다 /** 첫가끝 자모열(ᄆ+ᆞ+ᆷ)을 한 글자로 묶어 배열로. */ function 글자들(s) { var out = [], cur = ''; for (var i = 0; i < s.length; i++) { var ch = s[i], o = ch.charCodeAt(0); var 뒤 = (o >= 0x1160 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97F) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7FF); if (뒤 && cur) { cur += ch; } else { if (cur) out.push(cur); cur = ch; } } if (cur) out.push(cur); return out; } /** * 글자 한 개 → {L, V, T}. * 완성형도 자모로 풀어 더한다 — '셔'+ᇰ 처럼 완성형 뒤에 첫가끝 종성을 붙이는 * 표기가 실제로 쓰이기 때문(석보상절). 채움 문자는 자모로 세지 않는다. */ function 가르기(cl) { var L = '', V = '', T = ''; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var ch = cl[i], o = ch.charCodeAt(0); if (o >= 0xAC00 && o <= 0xD7A3) { // 현대 완성형은 나눗셈으로 var k = o - 0xAC00; L += String.fromCharCode(0x1100 + Math.floor(k / 588)); V += String.fromCharCode(0x1161 + Math.floor((k % 588) / 28)); if (k % 28) T += String.fromCharCode(0x11A7 + (k % 28)); } else if (채움[o]) { continue; } else if ((o >= 0x1100 && o <= 0x115E) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97C)) { L += ch; } else if ((o >= 0x1161 && o <= 0x11A7) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7C6)) { V += ch; } else if ((o >= 0x11A8 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xD7CB && o <= 0xD7FB)) { T += ch; } } return { L: L, V: V, T: T }; } function 한글인가(cl) { for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var o = cl.charCodeAt(i); if ((o >= 0x1100 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xAC00 && o <= 0xD7A3) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97F) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7FF)) return true; } return false; } /** * 위키문헌 원문 → 사람이 친 글자만 이어 붙인 한 줄. * 틀 안의 내용도 넣되 {{SIC}} 는 뺀다 (이미 원문 오식으로 판정된 자리). */ function 본문글자(raw) { var t = String(raw); t = t.replace(/<!--[\s\S]*?-->/g, ''); t = t.replace(/<noinclude>[\s\S]*?<\/noinclude>/gi, ''); // 머리말·꼬리말 t = t.replace(/<ref[^>]*\/>/gi, ''); t = t.replace(/<ref[^>]*>[\s\S]*?<\/ref>/gi, ''); // 편집자 주석 for (var i = 0; i < 20000; i++) { // 안쪽 틀부터 하나씩 푼다 var m = /\{\{([^{}]*)\}\}/.exec(t); if (!m) break; var parts = m[1].split('|'); var 이름 = parts[0].trim(); var 값 = ''; if (!/^sic$/i.test(이름)) { for (var k = 1; k < parts.length; k++) { if (!/^\s*[A-Za-z-]+\s*=/.test(parts[k])) 값 += parts[k]; } } t = t.slice(0, m.index) + 값 + t.slice(m.index + m[0].length); } t = t.replace(/^==.*?==$/gm, ''); t = t.replace(/\[\[[^|\]]*\|([^\]]*)\]\]/g, '$1'); t = t.replace(/\[\[([^\]]*)\]\]/g, '$1'); t = t.replace(/<[^>]+>/g, ''); return t.replace(/[\s​]+/g, ''); } /** * {{SIC|…}} 가 차지하는 [시작, 끝) 구간들. 편집기에서 그 자리를 건너뛰려고. * 대소문자를 가리지 않습니다 — `{{sic}}` `{{Sic}}` 모두 `틀:SIC` 로 갑니다. */ function SIC구간(raw) { var out = [], re = /\{\{\s*sic\s*[|}]/gi, m; while ((m = re.exec(raw))) { var i = m.index, 깊이 = 0; for (var j = i; j < raw.length - 1; j++) { if (raw[j] === '{' && raw[j + 1] === '{') { 깊이++; j++; } else if (raw[j] === '}' && raw[j + 1] === '}') { 깊이--; j++; if (깊이 === 0) { out.push([i, j + 1]); break; } } } } return out; } /** * 문헌 하나의 통계를 낸다. * 쪽들: [{번호, 원문}, …] * 반환: { 글자수, 자모:{L,V,T}, 후보:{키:{등급,자모,갈래,횟수}}, 쪽별:{번호:[키,…]} } */ /** * 쪽 하나의 셈. → { 글자수, 셈:{'L:ᄀ':3,…}, 구조:{'불완전:으ᇐ':1,…} } * 캐시에 이것만 담아 두면 **바뀐 쪽만 다시 세면** 됩니다. 한 쪽이 고쳐졌다고 * 문헌 전체를 다시 받지 않으려고 이렇게 나눠 두었습니다. */ function 쪽통계(원문) { var 셈 = {}, 구조 = {}, 글자수 = 0; 글자들(본문글자(원문)).forEach(function (cl) { var i, o; for (i = 0; i < cl.length; i++) { o = cl.charCodeAt(i); if (채움[o] && !정상형태[cl]) 더하기(구조, '채움:' + o); } if (!한글인가(cl)) return; 글자수++; var v = 가르기(cl); var 채움있나 = false; for (i = 0; i < cl.length; i++) if (채움[cl.charCodeAt(i)]) 채움있나 = true; if ((!v.L || !v.V) && !채움있나) { 더하기(구조, '불완전:' + cl); } else if (v.L.length > 1 || v.V.length > 1 || v.T.length > 1) { 더하기(구조, '겹침:' + cl); } ['L', 'V', 'T'].forEach(function (k) { for (var j = 0; j < v[k].length; j++) 더하기(셈, k + ':' + v[k][j]); }); }); return { 글자수: 글자수, 셈: 셈, 구조: 구조 }; } /** 쪽마다의 셈을 합쳐 후보를 뽑는다. 쪽셈: {쪽번호: 쪽통계} */ function 합치기(쪽셈) { var 온셈 = {}, 온구조 = {}, 글자수 = 0; var 자리 = {}; // 키 → {쪽번호: 개수} Object.keys(쪽셈).forEach(function (번호) { var s = 쪽셈[번호]; if (!s) return; 글자수 += s.글자수 || 0; Object.keys(s.셈 || {}).forEach(function (키) { 온셈[키] = (온셈[키] || 0) + s.셈[키]; (자리[키] = 자리[키] || {})[번호] = s.셈[키]; }); Object.keys(s.구조 || {}).forEach(function (키) { 온구조[키] = (온구조[키] || 0) + s.구조[키]; (자리[키] = 자리[키] || {})[번호] = s.구조[키]; }); }); var 후보 = {}, 쪽별 = {}; Object.keys(온구조).forEach(function (키) { // 구조 오류 = 1등급 var 부분 = 키.split(':'); 후보[키] = { 등급: 0, 갈래: 부분[0], 횟수: 온구조[키], 글자: 부분[0] === '채움' ? String.fromCharCode(+부분[1]) : 부분[1] }; 모으기(쪽별, 자리[키], 키); }); if (글자수) { // 자모 빈도 꼬리 Object.keys(온셈).forEach(function (키) { var c = 온셈[키]; if (c / 글자수 >= 문턱) return; var k = 키.charAt(0), ch = 키.slice(2); 후보[키] = { 등급: 현대[k].indexOf(ch) >= 0 ? 2 : 1, 갈래: k, 글자: ch, 횟수: c }; 모으기(쪽별, 자리[키], 키); }); } return { 글자수: 글자수, 후보: 후보, 쪽별: 쪽별, 쪽수: Object.keys(쪽셈).length }; } /** 옛 이름 — 쪽 목록을 통째로 주면 한 번에 세어 준다 (시험·파이썬 대조용). */ function 문헌통계(쪽들) { var 쪽셈 = {}; 쪽들.forEach(function (p) { 쪽셈[p.번호] = 쪽통계(p.원문); }); return 합치기(쪽셈); } function 더하기(표, 키) { 표[키] = (표[키] || 0) + 1; } function 모으기(쪽별, 곳, 키) { if (!곳) return; Object.keys(곳).forEach(function (번호) { if (!쪽별[번호]) 쪽별[번호] = []; 쪽별[번호].push(키); }); } /** * 통계와 등급으로부터 '이 글자를 칠할 것인가'를 판정하는 함수를 만든다. * 하이라이트는 저장된 위치가 아니라 **지금 화면의 글자**로 매번 새로 칠한다. * 그래서 오타를 고치고 새로고침하면 캐시가 살아 있어도 바로 사라진다. */ function 판정기(통계, 등급) { var 꼬리 = { L: {}, V: {}, T: {} }; Object.keys(통계.후보).forEach(function (키) { var c = 통계.후보[키]; if (c.등급 >= 등급) return; // 등급은 쌓아 올린다 if (c.갈래 === 'L' || c.갈래 === 'V' || c.갈래 === 'T') 꼬리[c.갈래][c.글자] = 1; }); var 구조켬 = 등급 >= 1; return function (cl) { var i, o; if (구조켬) { if (!정상형태[cl]) { for (i = 0; i < cl.length; i++) if (채움[cl.charCodeAt(i)]) return true; } if (한글인가(cl)) { var v0 = 가르기(cl), 채움있나 = false; for (i = 0; i < cl.length; i++) if (채움[cl.charCodeAt(i)]) 채움있나 = true; if ((!v0.L || !v0.V) && !채움있나) return true; if (v0.L.length > 1 || v0.V.length > 1 || v0.T.length > 1) return true; } } if (!한글인가(cl)) return false; var v = 가르기(cl); for (var k of ['L', 'V', 'T']) { for (i = 0; i < v[k].length; i++) if (꼬리[k][v[k][i]]) return true; } return false; }; } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 2. 위키문헌에서 받아 오기 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var api = null; function API() { if (!api) api = new mw.Api(); return api; } function 페이지제목(pdf, n) { var NS = mw.config.get('wgFormattedNamespaces')[페이지NS] || '페이지'; return NS + ':' + pdf + '/' + n; } /** 색인 하위 쪽의 최신 판 번호만. 500쪽씩 오므로 빠르다(784쪽에 2번·3초). */ function 쪽목록(pdf) { var 결과 = {}; function 한번(cont) { var q = { action: 'query', generator: 'allpages', gapnamespace: 페이지NS, gapprefix: pdf + '/', gaplimit: 500, prop: 'info', formatversion: 2 }; Object.keys(cont || {}).forEach(function (k) { q[k] = cont[k]; }); return API().get(q).then(function (r) { ((r.query || {}).pages || []).forEach(function (p) { var m = /\/(\d+)$/.exec(p.title); if (m) 결과[+m[1]] = p.lastrevid; }); return r.continue ? 한번(r.continue) : 결과; }); } return 한번(null); } /** * 쪽 본문을 받아 온다. 본문은 **한 번에 50쪽까지만** 옵니다 — * 500쪽씩 달라고 하면 같은 쪽을 되풀이해 주고 본문은 안 옵니다(실측). */ function 쪽본문(pdf, 번호들, 알림) { var 결과 = [], 남은 = 번호들.slice(); function 다음() { if (!남은.length) return $.Deferred().resolve(결과).promise(); var 묶음 = 남은.splice(0, 50); var 제목 = 묶음.map(function (n) { return 페이지제목(pdf, n); }); return API().get({ action: 'query', titles: 제목.join('|'), prop: 'revisions', rvprop: 'content|ids', rvslots: 'main', formatversion: 2 }).then(function (r) { ((r.query || {}).pages || []).forEach(function (p) { var rev = (p.revisions || [])[0]; var 본문 = rev && rev.slots && rev.slots.main && rev.slots.main.content; var m = /\/(\d+)$/.exec(p.title); if (본문 && m) 결과.push({ 번호: +m[1], 원문: 본문, revid: rev.revid }); }); if (알림) alarm(알림, 결과.length, 번호들.length); return 다음(); }); } return 다음(); } function alarm(fn, 한것, 전부) { try { fn(한것, 전부); } catch (e) {} } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 3. 캐시 — 빈도표만 담는다. 하이라이트 위치는 담지 않는다. // localStorage 를 쓴다. sessionStorage 는 탭마다 따로라, 색인에서 검사한 뒤 // 쪽을 새 탭으로 열면 처음부터 다시 받게 된다(실제로 겪은 문제). // 낡아도 해롭지 않다 — 하이라이트는 화면의 글자를 그때그때 보고 칠하므로, // 오타를 고치면 캐시와 상관없이 바로 사라진다. // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var 앞머리 = '옛한글오타:'; var 저장소 = (function () { var 후보 = []; try { 후보.push(window.localStorage); } catch (e) {} try { 후보.push(window.sessionStorage); } catch (e) {} for (var i = 0; i < 후보.length; i++) { try { 후보[i].setItem(앞머리 + '시험', '1'); 후보[i].removeItem(앞머리 + '시험'); return 후보[i]; } catch (e) {} } return null; }()); function 캐시키(pdf) { return 앞머리 + 판 + ':' + pdf; } function 캐시읽기(pdf) { if (!저장소) return null; try { var s = 저장소.getItem(캐시키(pdf)); return s ? JSON.parse(s) : null; } catch (e) { return null; } } function 캐시쓰기(pdf, obj) { if (!저장소) return; obj.적은때 = Date.now(); var 글 = JSON.stringify(obj); try { 저장소.setItem(캐시키(pdf), 글); } catch (e) { // 자리가 모자라면 헌 것부터 버리고 다시 지우기(캐시키(pdf)); try { 저장소.setItem(캐시키(pdf), 글); } catch (e2) {} } } /** 이 소도구가 넣어 둔 다른 문헌의 캐시를 오래된 것부터 버린다. */ function 지우기(빼놓을키) { var 것들 = []; for (var i = 0; i < 저장소.length; i++) { var k = 저장소.key(i); if (k && k.indexOf(앞머리) === 0 && k !== 빼놓을키 && k !== 앞머리 + '등급') { var t = 0; try { t = (JSON.parse(저장소.getItem(k)) || {}).적은때 || 0; } catch (e) {} 것들.push([t, k]); } } 것들.sort(function (a, b) { return a[0] - b[0]; }); 것들.forEach(function (x) { try { 저장소.removeItem(x[1]); } catch (e) {} }); } /** 고른 등급을 기억한다 — 색인에서 3을 골랐으면 쪽에서도 3이 기본이 되도록. */ function 등급기억(g) { if (저장소) { try { 저장소.setItem(앞머리 + '등급', String(g)); } catch (e) {} } } function 기억한등급() { if (!저장소) return 2; try { var v = +저장소.getItem(앞머리 + '등급'); return (v === 1 || v === 2 || v === 3) ? v : 2; } catch (e) { return 2; } } /** * 문헌 통계를 얻는다. * * 캐시에는 **쪽마다의 셈과 최신 판 번호**를 넣는다 — 전사문 자체는 넣지 않는다 * (셩경 개역이면 전사문이 5MB 가 넘는다. 쪽별 셈은 632KB). * 그래서 **바뀐 쪽만 다시 받아** 다시 세면 된다. 한 쪽 고친 뒤 다시 검사하면 * 쪽 목록 확인 3초 + 그 한 쪽만 받으면 끝난다. */ function 통계얻기(pdf, 알림) { return 쪽목록(pdf).then(function (revid) { var 헌것 = 캐시읽기(pdf) || {}; var 쪽셈 = 헌것.쪽셈 || {}; var 헌판 = 헌것.revid || {}; Object.keys(쪽셈).forEach(function (n) { // 사라진 쪽은 버린다 if (!revid[n]) delete 쪽셈[n]; }); var 번호들 = Object.keys(revid).map(Number).sort(function (a, b) { return a - b; }); var 받을것 = 번호들.filter(function (n) { return !쪽셈[n] || String(헌판[n]) !== String(revid[n]); }); function 마무리() { var 통계 = 합치기(쪽셈); 통계.revid = revid; 통계.쪽셈 = 쪽셈; 캐시쓰기(pdf, 통계); return 통계; } if (!받을것.length) { alarm(알림, 번호들.length, 번호들.length, '캐시'); return 마무리(); } alarm(알림, 0, 받을것.length, 받을것.length < 번호들.length ? '일부' : null); return 쪽본문(pdf, 받을것, 알림).then(function (새것) { 새것.forEach(function (p) { 쪽셈[p.번호] = 쪽통계(p.원문); }); return 마무리(); }); }); } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 4. 화면 칠하기 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var CSS문자열 = [ '.옛한글오타-판 { border:1px solid #a2a9b1; background:#f8f9fa; border-radius:4px;', ' padding:10px 12px; margin:8px 0; font-size:14px; }', '.옛한글오타-판 h4 { margin:0 0 6px; font-size:15px; }', '.옛한글오타-판 label { margin-right:12px; cursor:pointer; }', '.옛한글오타-판 .설명 { color:#54595d; font-size:12px; margin:4px 0 8px; }', '.옛한글오타-판 .알림 { color:#54595d; font-size:13px; margin-left:8px; }', '.옛한글오타-표시 { background:#ffe14d; border-radius:3px; padding:0 1px;', ' box-shadow:0 0 0 1px #d4a000 inset; }', // 채움 문자는 획이 없어 칠해도 안 보인다. 이름표를 대신 세워 준다. '.옛한글오타-빈::after { content:"(빈 글자)"; font-size:11px; color:#fff;', ' background:#c0392b; border-radius:3px; padding:1px 4px; margin:0 1px;', ' vertical-align:middle; white-space:nowrap; }', '.옛한글오타-쪽 { outline:2px solid #d33; outline-offset:1px; background:#fee7e6; }', '.옛한글오타-목록 { max-height:260px; overflow-y:auto; margin-top:8px; }', '.옛한글오타-목록 div { padding:3px 4px; border-bottom:1px solid #eaecf0; cursor:pointer; }', '.옛한글오타-목록 div:hover { background:#eaf3ff; }', '.옛한글오타-목록 div.지금 { background:#fff3cd; box-shadow:0 0 0 2px #d4a000 inset; }', '.옛한글오타-목록 .쪽수 { color:#54595d; font-size:12px; margin-right:6px }', '.옛한글오타-목록 b { font-size:17px; background:#ffe14d; border-radius:3px; }', '.옛한글오타-빈이름 { font-size:12px !important; color:#fff; background:#c0392b !important;', ' border-radius:3px; padding:1px 5px; }', ].join('\n'); function CSS넣기() { if (document.getElementById('옛한글오타-css')) return; var st = document.createElement('style'); st.id = '옛한글오타-css'; st.textContent = CSS문자열; document.head.appendChild(st); } /** * 이 자리가 {{SIC}} 안인가 — 읽기 화면에서. * {{SIC|와}} 는 `<span class="wst-tooltip" title="[문자 그대로]">와</span>` 로 * 그려집니다. 원문에서는 본문글자() 가 걷어내지만, 읽기 화면은 **화면에 그려진 * 글자**를 보므로 여기서 따로 건너뛰어야 합니다. 틀 이름의 대소문자와 무관합니다 * (`{{sic}}` 는 `틀:SIC` 로 넘겨주기). */ function SIC안인가(el) { for (var e = el; e && e.nodeType === 1; e = e.parentNode) { var t = e.getAttribute && e.getAttribute('title'); if (t && t.indexOf('문자 그대로') >= 0) return true; if (e === document.body) break; } return false; } var 채움이름 = { 0x115F: '초성 채움 문자 U+115F', 0x1160: '중성 채움 문자 U+1160', 0x3164: '한글 채움 문자 U+3164', 0xFFA0: '한글 채움 문자 U+FFA0' }; /** 사람이 읽을 수 있는 이름. 눈에 안 보이는 글자를 말로 알려 주려고. */ function 이름붙이기(cl) { var 말 = []; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var o = cl.charCodeAt(i); if (채움[o]) 말.push(채움이름[o] || ('채움 문자 U+' + o.toString(16).toUpperCase())); } if (!말.length) return cl; return (안보이는가(cl) ? '' : cl + ' 안에 ') + 말.join(', '); } /** 목록·요약에 쓸 짧은 이름. 안 보이는 글자는 코드값으로 대신 보인다. */ function 짧은이름(cl) { if (!안보이는가(cl)) return cl; var 코드 = []; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { 코드.push('U+' + cl.charCodeAt(i).toString(16).toUpperCase()); } return '빈 글자 ' + 코드.join('+'); } /** 눈에 보이는 획이 하나도 없는 글자인가 (채움 문자만으로 된 것). */ function 안보이는가(cl) { for (var i = 0; i < cl.length; i++) if (!채움[cl.charCodeAt(i)]) return false; return cl.length > 0; } /** 읽기 화면의 글자를 칠한다. 이미 칠한 것은 지우고 다시 칠한다. */ function 읽기칠하기(뿌리, 칠할까) { CSS넣기(); // 혼자 불려도 색이 나오도록 [].forEach.call(뿌리.querySelectorAll('.옛한글오타-표시'), function (el) { el.parentNode.replaceChild(document.createTextNode(el.textContent), el); }); 뿌리.normalize(); var 걸린수 = 0; var walker = document.createTreeWalker(뿌리, NodeFilter.SHOW_TEXT, { acceptNode: function (n) { if (!n.nodeValue) return NodeFilter.FILTER_REJECT; var p = n.parentNode; if (!p || /^(SCRIPT|STYLE|TEXTAREA)$/.test(p.nodeName)) return NodeFilter.FILTER_REJECT; if (SIC안인가(p)) return NodeFilter.FILTER_REJECT; return NodeFilter.FILTER_ACCEPT; } }); var 대상 = [], n; while ((n = walker.nextNode())) 대상.push(n); if (!대상.length) return 0; // 글자를 **이어 붙인 글**에서 나눈다. 태그가 첫가끝 글자 한복판을 가르는 일이 // 있는데(`ᄒ<b>ᆞᆫ</b>`), 마디마다 따로 나누면 그 조각이 '구조 오류'로 // 잘못 잡힌다. 시험에서 실제로 걸린 문제다. var 글 = '', 어디 = []; // 글자 하나하나가 어느 마디의 몇 번째인지 대상.forEach(function (node, ni) { for (var i = 0; i < node.nodeValue.length; i++) { 어디.push([ni, i]); } 글 += node.nodeValue; }); var 칠할곳 = []; // 마디번호 → [[시작, 끝], …] var 자리 = 0; 글자들(글).forEach(function (cl) { var 처음 = 어디[자리], 마지막 = 어디[자리 + cl.length - 1]; 자리 += cl.length; if (!칠할까(cl)) return; 걸린수++; if (처음[0] !== 마지막[0]) return; // 마디 둘에 걸친 글자는 세기만 한다 if (!칠할곳[처음[0]]) 칠할곳[처음[0]] = []; 칠할곳[처음[0]].push([처음[1], 마지막[1] + 1]); }); 대상.forEach(function (node, ni) { var 곳 = 칠할곳[ni]; if (!곳 || !곳.length) return; var frag = document.createDocumentFragment(), 앞 = 0, 값 = node.nodeValue; 곳.forEach(function (r) { if (r[0] > 앞) frag.appendChild(document.createTextNode(값.slice(앞, r[0]))); var 글자 = 값.slice(r[0], r[1]); var sp = document.createElement('span'); sp.className = '옛한글오타-표시'; sp.title = '오타 의심 — ' + 이름붙이기(글자); // 채움 문자는 획이 없어 칠해도 아무것도 안 보인다. 이름표를 붙인다. if (안보이는가(글자)) sp.className += ' 옛한글오타-빈'; sp.textContent = 글자; frag.appendChild(sp); 앞 = r[1]; }); if (앞 < 값.length) frag.appendChild(document.createTextNode(값.slice(앞))); node.parentNode.replaceChild(frag, node); }); return 걸린수; } /** * 편집 화면 — 의심 글자를 문맥과 함께 목록으로 보이고, 누르면 편집창의 그 자리를 * 선택해 준다. * * `<textarea>` 안의 글자에는 색을 칠할 수 없어서 목록으로 갑니다. CodeMirror 위에 * 칠하는 것도 해 봤지만(CSS Highlight API) 실제 위키문헌에서 동작하지 않아 * 2026-09-05 에 걷어냈습니다. CM6 이 화면 밖 줄을 지웠다 다시 만들기 때문으로 * 보이는데, 목록이 오타 사이를 오가기에는 더 편하기도 합니다. */ function 편집기다루기(칠할까, $판) { CSS넣기(); var ta = document.getElementById('wpTextbox1'); if (!ta) return 0; $판.find('.옛한글오타-목록').remove(); // 다시 눌렀을 때 겹치지 않게 var raw = ta.value; var sic = SIC구간(raw); function SIC안인가(i) { return sic.some(function (r) { return i >= r[0] && i < r[1]; }); } // 원문에서 곧바로 찾는다. 자리 옮김이 없어 편집창 위치와 그대로 맞는다. var ls = 글자들(raw), 자리 = [], 위치 = 0; ls.forEach(function (cl) { if (칠할까(cl) && !SIC안인가(위치)) { 자리.push({ 시작: 위치, 끝: 위치 + cl.length, 글자: cl }); } 위치 += cl.length; }); if (!자리.length) return 0; var $목록 = $('<div class="옛한글오타-목록">'); 자리.forEach(function (a, k) { var 앞 = raw.slice(Math.max(0, a.시작 - 14), a.시작).replace(/\n/g, ' '); var 뒤 = raw.slice(a.끝, a.끝 + 14).replace(/\n/g, ' '); // 채움 문자는 획이 없어 그냥 넣으면 목록에서도 안 보인다. var $가운데 = 안보이는가(a.글자) ? $('<b class="옛한글오타-빈이름">').text(짧은이름(a.글자)) : $('<b>').text(a.글자); $('<div>').attr('title', 이름붙이기(a.글자)).append( $('<span class="쪽수">').text((k + 1) + '/' + 자리.length), document.createTextNode('…' + 앞), $가운데, document.createTextNode(뒤 + '…') ).on('click', function () { $목록.find('.지금').removeClass('지금'); $(this).addClass('지금'); ta.focus(); ta.setSelectionRange(a.시작, a.끝); // 선택한 자리가 보이도록 대충 굴려 준다 var 줄 = raw.slice(0, a.시작).split('\n').length; ta.scrollTop = Math.max(0, (줄 - 4) * 20); }).appendTo($목록); }); $판.append($('<div class="설명">').text( '누르면 편집창에서 그 글자가 선택됩니다. 차례로 눌러 가며 고치세요.'), $목록); return 자리.length; } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 5. 판 (화면 위젯) // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── function 판만들기(제목) { CSS넣기(); var $판 = $('<div class="옛한글오타-판">').append($('<h4>').text(제목)); var 기본 = 기억한등급(); // 색인에서 3을 골랐으면 쪽에서도 3으로 var $줄 = $('<div>'); [1, 2, 3].forEach(function (g) { $줄.append($('<label>').append( $('<input type="radio" name="옛한글오타-등급">').val(g).prop('checked', g === 기본), document.createTextNode(' ' + g + '. ' + 등급이름[g - 1]) )); }); $줄.on('change', 'input', function () { 등급기억(+this.value); }); var $버튼 = $('<button>').text('검사'); var $알림 = $('<span class="알림">'); $판.append($줄, $('<div class="설명">').text('등급은 쌓아 올립니다 — 2를 고르면 1도 함께 봅니다.'), $버튼, $알림); $판.data({ 버튼: $버튼, 알림: $알림 }); var $붙일곳 = $('#mw-content-text'); if ($붙일곳.length) $붙일곳.prepend($판); else $('#content').prepend($판); return $판; } function 고른등급() { return +($('input[name="옛한글오타-등급"]:checked').val() || 2); } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 6. 시작 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── function 색인이름() { var t = mw.config.get('wgPageName').replace(/_/g, ' '); var ns = mw.config.get('wgNamespaceNumber'); if (ns === 색인NS) return t.replace(/^[^:]+:/, ''); if (ns === 페이지NS) return t.replace(/^[^:]+:/, '').replace(/\/\d+$/, ''); return null; } function 쪽번호() { var m = /\/(\d+)$/.exec(mw.config.get('wgPageName')); return m ? +m[1] : null; } function 색인화면(pdf) { var $판 = 판만들기('옛한글 전사 오타 검사'); var $버튼 = $판.data('버튼'), $알림 = $판.data('알림'); $버튼.on('click', function () { var 등급 = 고른등급(); $버튼.prop('disabled', true); $알림.text('쪽 목록을 받는 중…'); 통계얻기(pdf, function (한것, 전부, 어디) { $알림.text(어디 === '캐시' ? '받아 둔 것을 씁니다…' : (어디 === '일부' ? '바뀐 ' + 전부 + '쪽만 다시 받습니다…' : '전사문을 받는 중… ' + 한것 + '/' + 전부 + '쪽')); }).then(function (통계) { $버튼.prop('disabled', false); 색인표시(통계, 등급, $판, $알림, pdf); }, function (e) { $버튼.prop('disabled', false); $알림.text('실패했습니다: ' + (e && e.message ? e.message : e)); }); }); } function 색인표시(통계, 등급, $판, $알림, pdf) { $판.find('.옛한글오타-요약').remove(); $('.옛한글오타-쪽').removeClass('옛한글오타-쪽'); var 볼키 = {}; Object.keys(통계.후보).forEach(function (키) { if (통계.후보[키].등급 < 등급) 볼키[키] = 1; }); var 문제쪽 = {}; Object.keys(통계.쪽별).forEach(function (n) { var c = 통계.쪽별[n].filter(function (키) { return 볼키[키]; }).length; if (c) 문제쪽[n] = c; }); // 색인의 쪽 링크를 칠한다 var 칠한수 = 0; $('#mw-content-text a').each(function () { var t = $(this).attr('title') || ''; var m = new RegExp('/(\\d+)$').exec(t); if (!m || t.indexOf(pdf) < 0) return; if (문제쪽[+m[1]]) { $(this).addClass('옛한글오타-쪽') .attr('title', t + ' — 오타 의심 ' + 문제쪽[+m[1]] + '곳'); 칠한수++; } }); var 쪽수 = Object.keys(문제쪽).length; $알림.text(통계.쪽수 + '쪽 · ' + 통계.글자수.toLocaleString() + '자 · ' + '의심 ' + Object.keys(볼키).length + '종 / ' + 쪽수 + '쪽' + (통계.글자수 < 최소글자 ? ' ※ 3만 자 미만이라 통계가 흔들립니다' : '')); var $요약 = $('<div class="옛한글오타-요약 옛한글오타-목록">'); if (!쪽수) { $요약.append($('<div>').text('후보가 없습니다.')); } else if (!칠한수) { $요약.append($('<div>').text( '쪽 링크를 찾지 못해 아래 목록으로 보여 드립니다.')); } Object.keys(문제쪽).map(Number).sort(function (a, b) { return a - b; }) .forEach(function (n) { var $줄 = $('<div>').append( $('<a>').attr('href', mw.util.getUrl(페이지제목(pdf, n))) .text(n + '쪽'), document.createTextNode(' ')); // 채움 문자는 획이 없어 그냥 넣으면 아무것도 안 보인다(작업자 지적). 통계.쪽별[n].filter(function (키) { return 볼키[키]; }) .forEach(function (키) { var 글자 = 통계.후보[키].글자; if (안보이는가(글자)) { $줄.append($('<b class="옛한글오타-빈이름">') .attr('title', 이름붙이기(글자)).text(짧은이름(글자)), document.createTextNode(' ')); } else { $줄.append(document.createTextNode(글자 + ' ')); } }); $줄.appendTo($요약); }); $판.append($요약); } function 페이지화면(pdf, 번호) { var $판 = 판만들기('옛한글 전사 오타 검사 — ' + 번호 + '쪽'); var $버튼 = $판.data('버튼'), $알림 = $판.data('알림'); function 표시(통계, 등급) { var 칠할까 = 판정기(통계, 등급); var 몸 = document.querySelector('.prp-page-content') || document.getElementById('mw-content-text'); var n = 0; if (mw.config.get('wgAction') === 'edit' || document.getElementById('wpTextbox1')) { n = 편집기다루기(칠할까, $판); } else if (몸) { n = 읽기칠하기(몸, 칠할까); } return n; } // 검사해 둔 것이 있으면 **네트워크를 전혀 쓰지 않고** 곧바로 표시한다. // 빈도표가 조금 낡아도 해롭지 않다 — 칠하는 것은 화면의 글자이기 때문. var 헌것 = 캐시읽기(pdf); if (헌것) { var 등급 = 고른등급(); var n = 표시(헌것, 등급); $알림.text((n ? '이 쪽에서 ' + n + '곳이 의심스럽습니다.' : '이 쪽에는 의심스러운 글자가 없습니다.') + ' (검사해 둔 것으로 바로 표시했습니다. 등급을 바꾸거나 ' + '전사문이 고쳐졌으면 다시 누르세요.)'); $버튼.text('다시 검사'); } else { $알림.text('이 문헌은 아직 검사하지 않았습니다. 누르면 문헌 전체를 셉니다.'); } $버튼.on('click', function () { var 등급 = 고른등급(); $버튼.prop('disabled', true); 통계얻기(pdf, function (한것, 전부, 어디) { $알림.text(어디 === '캐시' ? '받아 둔 것을 씁니다…' : (어디 === '일부' ? '바뀐 ' + 전부 + '쪽만 다시 받습니다…' : '문헌 전체를 세는 중… ' + 한것 + '/' + 전부 + '쪽')); }).then(function (통계) { $버튼.prop('disabled', false).text('다시 검사'); var n = 표시(통계, 등급); $알림.text(n ? ('이 쪽에서 ' + n + '곳이 의심스럽습니다.') : '이 쪽에는 의심스러운 글자가 없습니다.'); }, function (e) { $버튼.prop('disabled', false); $알림.text('실패했습니다: ' + (e && e.message ? e.message : e)); }); }); } function 시작() { var ns = mw.config.get('wgNamespaceNumber'); if (ns !== 색인NS && ns !== 페이지NS) return; var pdf = 색인이름(); if (!pdf) return; mw.loader.using(['mediawiki.api', 'mediawiki.util']).then(function () { if (ns === 색인NS) 색인화면(pdf); else 페이지화면(pdf, 쪽번호()); }); } // 위키문헌 밖(시험용 빈 쪽)에서 불러도 터지지 않게 한다. if (typeof mw !== 'undefined' && typeof $ !== 'undefined') $(시작); /* * 밖에서 부를 수 있게 열어 둡니다 — **시험용**입니다. 소도구가 도는 데는 * 필요 없습니다. 규칙을 고쳤을 때 파이썬(`오타검사.py`)과 같은 답이 나오는지 * 대조하거나, 화면 만드는 부분을 위키문헌 밖에서 그려 볼 때 씁니다. * 방법은 CLAUDE.md '갈래가 둘' 2번. */ window.옛한글오타 = { // 판정 규칙 — 파이썬과 글자 그대로 같아야 하는 것들 글자들: 글자들, 가르기: 가르기, 본문글자: 본문글자, SIC구간: SIC구간, 쪽통계: 쪽통계, 합치기: 합치기, 문헌통계: 문헌통계, 판정기: 판정기, // 화면 읽기칠하기: 읽기칠하기, 편집기다루기: 편집기다루기, 색인표시: 색인표시, 판만들기: 판만들기, 짧은이름: 짧은이름, // 캐시 캐시읽기: 캐시읽기, 캐시쓰기: 캐시쓰기, 등급기억: 등급기억, 기억한등급: 기억한등급 }; }()); bmc2k9nmc9830631rn2bhxmol1m03mo 459139 459124 2026-09-05T14:20:59Z Aspere 5453 459139 javascript text/javascript /** * 옛한글 전사 오타 검사 — 한국어 위키문헌 사용자 스크립트 * * 색인 문서나 페이지 문서에서 실행하면, 그 문헌 전체의 자모 빈도를 세어 * 오타로 의심되는 글자를 하이라이트합니다. 모델도 스캔도 쓰지 않고 * 전사문 텍스트만 봅니다. * * 판정 규칙은 프로젝트의 `오타검사.py` 와 같습니다. 근거는 CLAUDE.md 9번. * * 설치: User:<이름>/common.js 에 * mw.loader.load('/w/index.php?title=User:<이름>/오타검사.js&action=raw&ctype=text/javascript'); */ /* global mw, $ */ (function () { 'use strict'; var 판 = 1; // 캐시 형식이 바뀌면 올린다 (헌 캐시가 버려짐) var 코드미러 = null; // 구문 강조가 켜져 있으면 그 인스턴스 (커서옮기기 에서 씀) var 색인NS = 252, 페이지NS = 250; // ko.wikisource 의 색인: / 페이지: // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 1. 판정 규칙 (오타검사.py 와 같은 규칙. 고칠 때는 양쪽을 함께) // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 채움 문자 — 눈에 보이지 않는다 var 채움 = { 0x115F: 1, 0x1160: 1, 0x3164: 1, 0xFFA0: 1 }; // 채움 문자가 있어도 오타가 아닌, 실제로 쓰이는 형태 var 정상형태 = { 'ᅟᅵᆫ': 1 }; // ᅟᅵᆫ // 현대 한글 완성형으로 적을 수 있는 자모. 이 바깥이면 '안 쓰던 자모'(2등급), // 안쪽이면 '드문 자모'(3등급)로 나뉜다. var 현대 = { L: 'ᄀᄁᄂᄃᄄᄅᄆᄇᄈᄉᄊᄋᄌᄍᄎᄏᄐᄑᄒ', V: 'ᅡᅢᅣᅤᅥᅦᅧᅨᅩᅪᅫᅬᅭᅮᅯᅰᅱᅲᅳᅴᅵ', T: 'ᆨᆩᆪᆫᆬᆭᆮᆯᆰᆱᆲᆳᆴᆵᆶᆷᆸᆹᆺᆻᆼᆽᆾᆿᇀᇁᇂ' }; var 등급이름 = ['구조 오류', '안 쓰던 자모', '드문 자모']; var 등급설명 = [ '한글로 성립하지 않는 글자입니다. 거의 전부 오타입니다.', '옛한글 전용·확장 영역 자모입니다. 입력기 사고가 많지만 그 문헌이 실제로 쓴 자모일 수도 있습니다.', '현대 한글에도 있는 자모입니다. 오탐지가 많습니다 — 앞·같·몇·있·었 같은 멀쩡한 낱말이 걸립니다.' ]; var 문턱 = 0.0001; // 비율 0.01%. 3만 자~133만 자에서 일관됨(실측) var 최소글자 = 30000; // 이보다 적으면 통계가 흔들린다고 알린다 /** 첫가끝 자모열(ᄆ+ᆞ+ᆷ)을 한 글자로 묶어 배열로. */ function 글자들(s) { var out = [], cur = ''; for (var i = 0; i < s.length; i++) { var ch = s[i], o = ch.charCodeAt(0); var 뒤 = (o >= 0x1160 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97F) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7FF); if (뒤 && cur) { cur += ch; } else { if (cur) out.push(cur); cur = ch; } } if (cur) out.push(cur); return out; } /** * 글자 한 개 → {L, V, T}. * 완성형도 자모로 풀어 더한다 — '셔'+ᇰ 처럼 완성형 뒤에 첫가끝 종성을 붙이는 * 표기가 실제로 쓰이기 때문(석보상절). 채움 문자는 자모로 세지 않는다. */ function 가르기(cl) { var L = '', V = '', T = ''; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var ch = cl[i], o = ch.charCodeAt(0); if (o >= 0xAC00 && o <= 0xD7A3) { // 현대 완성형은 나눗셈으로 var k = o - 0xAC00; L += String.fromCharCode(0x1100 + Math.floor(k / 588)); V += String.fromCharCode(0x1161 + Math.floor((k % 588) / 28)); if (k % 28) T += String.fromCharCode(0x11A7 + (k % 28)); } else if (채움[o]) { continue; } else if ((o >= 0x1100 && o <= 0x115E) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97C)) { L += ch; } else if ((o >= 0x1161 && o <= 0x11A7) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7C6)) { V += ch; } else if ((o >= 0x11A8 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xD7CB && o <= 0xD7FB)) { T += ch; } } return { L: L, V: V, T: T }; } function 한글인가(cl) { for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var o = cl.charCodeAt(i); if ((o >= 0x1100 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xAC00 && o <= 0xD7A3) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97F) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7FF)) return true; } return false; } /** * 위키문헌 원문 → 사람이 친 글자만 이어 붙인 한 줄. * 틀 안의 내용도 넣되 {{SIC}} 는 뺀다 (이미 원문 오식으로 판정된 자리). */ function 본문글자(raw) { var t = String(raw); t = t.replace(/<!--[\s\S]*?-->/g, ''); t = t.replace(/<noinclude>[\s\S]*?<\/noinclude>/gi, ''); // 머리말·꼬리말 t = t.replace(/<ref[^>]*\/>/gi, ''); t = t.replace(/<ref[^>]*>[\s\S]*?<\/ref>/gi, ''); // 편집자 주석 for (var i = 0; i < 20000; i++) { // 안쪽 틀부터 하나씩 푼다 var m = /\{\{([^{}]*)\}\}/.exec(t); if (!m) break; var parts = m[1].split('|'); var 이름 = parts[0].trim(); var 값 = ''; if (!/^sic$/i.test(이름)) { for (var k = 1; k < parts.length; k++) { if (!/^\s*[A-Za-z-]+\s*=/.test(parts[k])) 값 += parts[k]; } } t = t.slice(0, m.index) + 값 + t.slice(m.index + m[0].length); } t = t.replace(/^==.*?==$/gm, ''); t = t.replace(/\[\[[^|\]]*\|([^\]]*)\]\]/g, '$1'); t = t.replace(/\[\[([^\]]*)\]\]/g, '$1'); t = t.replace(/<[^>]+>/g, ''); return t.replace(/[\s​]+/g, ''); } /** * {{SIC|…}} 가 차지하는 [시작, 끝) 구간들. 편집기에서 그 자리를 건너뛰려고. * 대소문자를 가리지 않습니다 — `{{sic}}` `{{Sic}}` 모두 `틀:SIC` 로 갑니다. */ function SIC구간(raw) { var out = [], re = /\{\{\s*sic\s*[|}]/gi, m; while ((m = re.exec(raw))) { var i = m.index, 깊이 = 0; for (var j = i; j < raw.length - 1; j++) { if (raw[j] === '{' && raw[j + 1] === '{') { 깊이++; j++; } else if (raw[j] === '}' && raw[j + 1] === '}') { 깊이--; j++; if (깊이 === 0) { out.push([i, j + 1]); break; } } } } return out; } /** * 문헌 하나의 통계를 낸다. * 쪽들: [{번호, 원문}, …] * 반환: { 글자수, 자모:{L,V,T}, 후보:{키:{등급,자모,갈래,횟수}}, 쪽별:{번호:[키,…]} } */ /** * 쪽 하나의 셈. → { 글자수, 셈:{'L:ᄀ':3,…}, 구조:{'불완전:으ᇐ':1,…} } * 캐시에 이것만 담아 두면 **바뀐 쪽만 다시 세면** 됩니다. 한 쪽이 고쳐졌다고 * 문헌 전체를 다시 받지 않으려고 이렇게 나눠 두었습니다. */ function 쪽통계(원문) { var 셈 = {}, 구조 = {}, 글자수 = 0; 글자들(본문글자(원문)).forEach(function (cl) { var i, o; for (i = 0; i < cl.length; i++) { o = cl.charCodeAt(i); if (채움[o] && !정상형태[cl]) 더하기(구조, '채움:' + o); } if (!한글인가(cl)) return; 글자수++; var v = 가르기(cl); var 채움있나 = false; for (i = 0; i < cl.length; i++) if (채움[cl.charCodeAt(i)]) 채움있나 = true; if ((!v.L || !v.V) && !채움있나) { 더하기(구조, '불완전:' + cl); } else if (v.L.length > 1 || v.V.length > 1 || v.T.length > 1) { 더하기(구조, '겹침:' + cl); } ['L', 'V', 'T'].forEach(function (k) { for (var j = 0; j < v[k].length; j++) 더하기(셈, k + ':' + v[k][j]); }); }); return { 글자수: 글자수, 셈: 셈, 구조: 구조 }; } /** 쪽마다의 셈을 합쳐 후보를 뽑는다. 쪽셈: {쪽번호: 쪽통계} */ function 합치기(쪽셈) { var 온셈 = {}, 온구조 = {}, 글자수 = 0; var 자리 = {}; // 키 → {쪽번호: 개수} Object.keys(쪽셈).forEach(function (번호) { var s = 쪽셈[번호]; if (!s) return; 글자수 += s.글자수 || 0; Object.keys(s.셈 || {}).forEach(function (키) { 온셈[키] = (온셈[키] || 0) + s.셈[키]; (자리[키] = 자리[키] || {})[번호] = s.셈[키]; }); Object.keys(s.구조 || {}).forEach(function (키) { 온구조[키] = (온구조[키] || 0) + s.구조[키]; (자리[키] = 자리[키] || {})[번호] = s.구조[키]; }); }); var 후보 = {}, 쪽별 = {}; Object.keys(온구조).forEach(function (키) { // 구조 오류 = 1등급 var 부분 = 키.split(':'); 후보[키] = { 등급: 0, 갈래: 부분[0], 횟수: 온구조[키], 글자: 부분[0] === '채움' ? String.fromCharCode(+부분[1]) : 부분[1] }; 모으기(쪽별, 자리[키], 키); }); if (글자수) { // 자모 빈도 꼬리 Object.keys(온셈).forEach(function (키) { var c = 온셈[키]; if (c / 글자수 >= 문턱) return; var k = 키.charAt(0), ch = 키.slice(2); 후보[키] = { 등급: 현대[k].indexOf(ch) >= 0 ? 2 : 1, 갈래: k, 글자: ch, 횟수: c }; 모으기(쪽별, 자리[키], 키); }); } return { 글자수: 글자수, 후보: 후보, 쪽별: 쪽별, 쪽수: Object.keys(쪽셈).length }; } /** 옛 이름 — 쪽 목록을 통째로 주면 한 번에 세어 준다 (시험·파이썬 대조용). */ function 문헌통계(쪽들) { var 쪽셈 = {}; 쪽들.forEach(function (p) { 쪽셈[p.번호] = 쪽통계(p.원문); }); return 합치기(쪽셈); } function 더하기(표, 키) { 표[키] = (표[키] || 0) + 1; } function 모으기(쪽별, 곳, 키) { if (!곳) return; Object.keys(곳).forEach(function (번호) { if (!쪽별[번호]) 쪽별[번호] = []; 쪽별[번호].push(키); }); } /** * 통계와 등급으로부터 '이 글자를 칠할 것인가'를 판정하는 함수를 만든다. * 하이라이트는 저장된 위치가 아니라 **지금 화면의 글자**로 매번 새로 칠한다. * 그래서 오타를 고치고 새로고침하면 캐시가 살아 있어도 바로 사라진다. */ function 판정기(통계, 등급) { var 꼬리 = { L: {}, V: {}, T: {} }; Object.keys(통계.후보).forEach(function (키) { var c = 통계.후보[키]; if (c.등급 >= 등급) return; // 등급은 쌓아 올린다 if (c.갈래 === 'L' || c.갈래 === 'V' || c.갈래 === 'T') 꼬리[c.갈래][c.글자] = 1; }); var 구조켬 = 등급 >= 1; return function (cl) { var i, o; if (구조켬) { if (!정상형태[cl]) { for (i = 0; i < cl.length; i++) if (채움[cl.charCodeAt(i)]) return true; } if (한글인가(cl)) { var v0 = 가르기(cl), 채움있나 = false; for (i = 0; i < cl.length; i++) if (채움[cl.charCodeAt(i)]) 채움있나 = true; if ((!v0.L || !v0.V) && !채움있나) return true; if (v0.L.length > 1 || v0.V.length > 1 || v0.T.length > 1) return true; } } if (!한글인가(cl)) return false; var v = 가르기(cl); for (var k of ['L', 'V', 'T']) { for (i = 0; i < v[k].length; i++) if (꼬리[k][v[k][i]]) return true; } return false; }; } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 2. 위키문헌에서 받아 오기 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var api = null; function API() { if (!api) api = new mw.Api(); return api; } function 페이지제목(pdf, n) { var NS = mw.config.get('wgFormattedNamespaces')[페이지NS] || '페이지'; return NS + ':' + pdf + '/' + n; } /** 색인 하위 쪽의 최신 판 번호만. 500쪽씩 오므로 빠르다(784쪽에 2번·3초). */ function 쪽목록(pdf) { var 결과 = {}; function 한번(cont) { var q = { action: 'query', generator: 'allpages', gapnamespace: 페이지NS, gapprefix: pdf + '/', gaplimit: 500, prop: 'info', formatversion: 2 }; Object.keys(cont || {}).forEach(function (k) { q[k] = cont[k]; }); return API().get(q).then(function (r) { ((r.query || {}).pages || []).forEach(function (p) { var m = /\/(\d+)$/.exec(p.title); if (m) 결과[+m[1]] = p.lastrevid; }); return r.continue ? 한번(r.continue) : 결과; }); } return 한번(null); } /** * 쪽 본문을 받아 온다. 본문은 **한 번에 50쪽까지만** 옵니다 — * 500쪽씩 달라고 하면 같은 쪽을 되풀이해 주고 본문은 안 옵니다(실측). */ function 쪽본문(pdf, 번호들, 알림) { var 결과 = [], 남은 = 번호들.slice(); function 다음() { if (!남은.length) return $.Deferred().resolve(결과).promise(); var 묶음 = 남은.splice(0, 50); var 제목 = 묶음.map(function (n) { return 페이지제목(pdf, n); }); return API().get({ action: 'query', titles: 제목.join('|'), prop: 'revisions', rvprop: 'content|ids', rvslots: 'main', formatversion: 2 }).then(function (r) { ((r.query || {}).pages || []).forEach(function (p) { var rev = (p.revisions || [])[0]; var 본문 = rev && rev.slots && rev.slots.main && rev.slots.main.content; var m = /\/(\d+)$/.exec(p.title); if (본문 && m) 결과.push({ 번호: +m[1], 원문: 본문, revid: rev.revid }); }); if (알림) alarm(알림, 결과.length, 번호들.length); return 다음(); }); } return 다음(); } function alarm(fn, 한것, 전부) { try { fn(한것, 전부); } catch (e) {} } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 3. 캐시 — 빈도표만 담는다. 하이라이트 위치는 담지 않는다. // localStorage 를 쓴다. sessionStorage 는 탭마다 따로라, 색인에서 검사한 뒤 // 쪽을 새 탭으로 열면 처음부터 다시 받게 된다(실제로 겪은 문제). // 낡아도 해롭지 않다 — 하이라이트는 화면의 글자를 그때그때 보고 칠하므로, // 오타를 고치면 캐시와 상관없이 바로 사라진다. // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var 앞머리 = '옛한글오타:'; var 저장소 = (function () { var 후보 = []; try { 후보.push(window.localStorage); } catch (e) {} try { 후보.push(window.sessionStorage); } catch (e) {} for (var i = 0; i < 후보.length; i++) { try { 후보[i].setItem(앞머리 + '시험', '1'); 후보[i].removeItem(앞머리 + '시험'); return 후보[i]; } catch (e) {} } return null; }()); function 캐시키(pdf) { return 앞머리 + 판 + ':' + pdf; } function 캐시읽기(pdf) { if (!저장소) return null; try { var s = 저장소.getItem(캐시키(pdf)); return s ? JSON.parse(s) : null; } catch (e) { return null; } } function 캐시쓰기(pdf, obj) { if (!저장소) return; obj.적은때 = Date.now(); var 글 = JSON.stringify(obj); try { 저장소.setItem(캐시키(pdf), 글); } catch (e) { // 자리가 모자라면 헌 것부터 버리고 다시 지우기(캐시키(pdf)); try { 저장소.setItem(캐시키(pdf), 글); } catch (e2) {} } } /** 이 소도구가 넣어 둔 다른 문헌의 캐시를 오래된 것부터 버린다. */ function 지우기(빼놓을키) { var 것들 = []; for (var i = 0; i < 저장소.length; i++) { var k = 저장소.key(i); if (k && k.indexOf(앞머리) === 0 && k !== 빼놓을키 && k !== 앞머리 + '등급') { var t = 0; try { t = (JSON.parse(저장소.getItem(k)) || {}).적은때 || 0; } catch (e) {} 것들.push([t, k]); } } 것들.sort(function (a, b) { return a[0] - b[0]; }); 것들.forEach(function (x) { try { 저장소.removeItem(x[1]); } catch (e) {} }); } /** 고른 등급을 기억한다 — 색인에서 3을 골랐으면 쪽에서도 3이 기본이 되도록. */ function 등급기억(g) { if (저장소) { try { 저장소.setItem(앞머리 + '등급', String(g)); } catch (e) {} } } function 기억한등급() { if (!저장소) return 2; try { var v = +저장소.getItem(앞머리 + '등급'); return (v === 1 || v === 2 || v === 3) ? v : 2; } catch (e) { return 2; } } /** * 문헌 통계를 얻는다. * * 캐시에는 **쪽마다의 셈과 최신 판 번호**를 넣는다 — 전사문 자체는 넣지 않는다 * (셩경 개역이면 전사문이 5MB 가 넘는다. 쪽별 셈은 632KB). * 그래서 **바뀐 쪽만 다시 받아** 다시 세면 된다. 한 쪽 고친 뒤 다시 검사하면 * 쪽 목록 확인 3초 + 그 한 쪽만 받으면 끝난다. */ function 통계얻기(pdf, 알림) { return 쪽목록(pdf).then(function (revid) { var 헌것 = 캐시읽기(pdf) || {}; var 쪽셈 = 헌것.쪽셈 || {}; var 헌판 = 헌것.revid || {}; Object.keys(쪽셈).forEach(function (n) { // 사라진 쪽은 버린다 if (!revid[n]) delete 쪽셈[n]; }); var 번호들 = Object.keys(revid).map(Number).sort(function (a, b) { return a - b; }); var 받을것 = 번호들.filter(function (n) { return !쪽셈[n] || String(헌판[n]) !== String(revid[n]); }); function 마무리() { var 통계 = 합치기(쪽셈); 통계.revid = revid; 통계.쪽셈 = 쪽셈; 캐시쓰기(pdf, 통계); return 통계; } if (!받을것.length) { alarm(알림, 번호들.length, 번호들.length, '캐시'); return 마무리(); } alarm(알림, 0, 받을것.length, 받을것.length < 번호들.length ? '일부' : null); return 쪽본문(pdf, 받을것, 알림).then(function (새것) { 새것.forEach(function (p) { 쪽셈[p.번호] = 쪽통계(p.원문); }); return 마무리(); }); }); } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 4. 화면 칠하기 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var CSS문자열 = [ '.옛한글오타-판 { border:1px solid #a2a9b1; background:#f8f9fa; border-radius:4px;', ' padding:10px 12px; margin:8px 0; font-size:14px; }', '.옛한글오타-판 h4 { margin:0 0 6px; font-size:15px; }', '.옛한글오타-판 label { margin-right:12px; cursor:pointer; }', '.옛한글오타-판 .설명 { color:#54595d; font-size:12px; margin:4px 0 8px; }', '.옛한글오타-판 .알림 { color:#54595d; font-size:13px; margin-left:8px; }', '.옛한글오타-표시 { background:#ffe14d; border-radius:3px; padding:0 1px;', ' box-shadow:0 0 0 1px #d4a000 inset; }', // 채움 문자는 획이 없어 칠해도 안 보인다. 이름표를 대신 세워 준다. '.옛한글오타-빈::after { content:"(빈 글자)"; font-size:11px; color:#fff;', ' background:#c0392b; border-radius:3px; padding:1px 4px; margin:0 1px;', ' vertical-align:middle; white-space:nowrap; }', '.옛한글오타-쪽 { outline:2px solid #d33; outline-offset:1px; background:#fee7e6; }', '.옛한글오타-목록 { max-height:260px; overflow-y:auto; margin-top:8px; }', '.옛한글오타-목록 div { padding:3px 4px; border-bottom:1px solid #eaecf0; cursor:pointer; }', '.옛한글오타-목록 div:hover { background:#eaf3ff; }', '.옛한글오타-목록 div.지금 { background:#fff3cd; box-shadow:0 0 0 2px #d4a000 inset; }', '.옛한글오타-목록 .쪽수 { color:#54595d; font-size:12px; margin-right:6px }', '.옛한글오타-목록 .자리 { color:#3366cc; font-size:12px; margin-right:8px;', ' background:#eaf3ff; border-radius:3px; padding:1px 5px; white-space:nowrap }', '.옛한글오타-못옮김 { color:#c0392b; font-size:13px; margin-top:6px }', '.옛한글오타-목록 b { font-size:17px; background:#ffe14d; border-radius:3px; }', '.옛한글오타-빈이름 { font-size:12px !important; color:#fff; background:#c0392b !important;', ' border-radius:3px; padding:1px 5px; }', ].join('\n'); function CSS넣기() { if (document.getElementById('옛한글오타-css')) return; var st = document.createElement('style'); st.id = '옛한글오타-css'; st.textContent = CSS문자열; document.head.appendChild(st); } /** * 이 자리가 {{SIC}} 안인가 — 읽기 화면에서. * {{SIC|와}} 는 `<span class="wst-tooltip" title="[문자 그대로]">와</span>` 로 * 그려집니다. 원문에서는 본문글자() 가 걷어내지만, 읽기 화면은 **화면에 그려진 * 글자**를 보므로 여기서 따로 건너뛰어야 합니다. 틀 이름의 대소문자와 무관합니다 * (`{{sic}}` 는 `틀:SIC` 로 넘겨주기). */ function SIC안인가(el) { for (var e = el; e && e.nodeType === 1; e = e.parentNode) { var t = e.getAttribute && e.getAttribute('title'); if (t && t.indexOf('문자 그대로') >= 0) return true; if (e === document.body) break; } return false; } var 채움이름 = { 0x115F: '초성 채움 문자 U+115F', 0x1160: '중성 채움 문자 U+1160', 0x3164: '한글 채움 문자 U+3164', 0xFFA0: '한글 채움 문자 U+FFA0' }; /** 사람이 읽을 수 있는 이름. 눈에 안 보이는 글자를 말로 알려 주려고. */ function 이름붙이기(cl) { var 말 = []; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var o = cl.charCodeAt(i); if (채움[o]) 말.push(채움이름[o] || ('채움 문자 U+' + o.toString(16).toUpperCase())); } if (!말.length) return cl; return (안보이는가(cl) ? '' : cl + ' 안에 ') + 말.join(', '); } /** 목록·요약에 쓸 짧은 이름. 안 보이는 글자는 코드값으로 대신 보인다. */ function 짧은이름(cl) { if (!안보이는가(cl)) return cl; var 코드 = []; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { 코드.push('U+' + cl.charCodeAt(i).toString(16).toUpperCase()); } return '빈 글자 ' + 코드.join('+'); } /** 눈에 보이는 획이 하나도 없는 글자인가 (채움 문자만으로 된 것). */ function 안보이는가(cl) { for (var i = 0; i < cl.length; i++) if (!채움[cl.charCodeAt(i)]) return false; return cl.length > 0; } /** 읽기 화면의 글자를 칠한다. 이미 칠한 것은 지우고 다시 칠한다. */ function 읽기칠하기(뿌리, 칠할까) { CSS넣기(); // 혼자 불려도 색이 나오도록 [].forEach.call(뿌리.querySelectorAll('.옛한글오타-표시'), function (el) { el.parentNode.replaceChild(document.createTextNode(el.textContent), el); }); 뿌리.normalize(); var 걸린수 = 0; var walker = document.createTreeWalker(뿌리, NodeFilter.SHOW_TEXT, { acceptNode: function (n) { if (!n.nodeValue) return NodeFilter.FILTER_REJECT; var p = n.parentNode; if (!p || /^(SCRIPT|STYLE|TEXTAREA)$/.test(p.nodeName)) return NodeFilter.FILTER_REJECT; if (SIC안인가(p)) return NodeFilter.FILTER_REJECT; return NodeFilter.FILTER_ACCEPT; } }); var 대상 = [], n; while ((n = walker.nextNode())) 대상.push(n); if (!대상.length) return 0; // 글자를 **이어 붙인 글**에서 나눈다. 태그가 첫가끝 글자 한복판을 가르는 일이 // 있는데(`ᄒ<b>ᆞᆫ</b>`), 마디마다 따로 나누면 그 조각이 '구조 오류'로 // 잘못 잡힌다. 시험에서 실제로 걸린 문제다. var 글 = '', 어디 = []; // 글자 하나하나가 어느 마디의 몇 번째인지 대상.forEach(function (node, ni) { for (var i = 0; i < node.nodeValue.length; i++) { 어디.push([ni, i]); } 글 += node.nodeValue; }); var 칠할곳 = []; // 마디번호 → [[시작, 끝], …] var 자리 = 0; 글자들(글).forEach(function (cl) { var 처음 = 어디[자리], 마지막 = 어디[자리 + cl.length - 1]; 자리 += cl.length; if (!칠할까(cl)) return; 걸린수++; if (처음[0] !== 마지막[0]) return; // 마디 둘에 걸친 글자는 세기만 한다 if (!칠할곳[처음[0]]) 칠할곳[처음[0]] = []; 칠할곳[처음[0]].push([처음[1], 마지막[1] + 1]); }); 대상.forEach(function (node, ni) { var 곳 = 칠할곳[ni]; if (!곳 || !곳.length) return; var frag = document.createDocumentFragment(), 앞 = 0, 값 = node.nodeValue; 곳.forEach(function (r) { if (r[0] > 앞) frag.appendChild(document.createTextNode(값.slice(앞, r[0]))); var 글자 = 값.slice(r[0], r[1]); var sp = document.createElement('span'); sp.className = '옛한글오타-표시'; sp.title = '오타 의심 — ' + 이름붙이기(글자); // 채움 문자는 획이 없어 칠해도 아무것도 안 보인다. 이름표를 붙인다. if (안보이는가(글자)) sp.className += ' 옛한글오타-빈'; sp.textContent = 글자; frag.appendChild(sp); 앞 = r[1]; }); if (앞 < 값.length) frag.appendChild(document.createTextNode(값.slice(앞))); node.parentNode.replaceChild(frag, node); }); return 걸린수; } /** * 편집 화면 — 의심 글자를 문맥과 함께 목록으로 보이고, 누르면 편집창의 그 자리를 * 선택해 준다. * * `<textarea>` 안의 글자에는 색을 칠할 수 없어서 목록으로 갑니다. CodeMirror 위에 * 칠하는 것도 해 봤지만(CSS Highlight API) 실제 위키문헌에서 동작하지 않아 * 2026-09-05 에 걷어냈습니다. CM6 이 화면 밖 줄을 지웠다 다시 만들기 때문으로 * 보이는데, 목록이 오타 사이를 오가기에는 더 편하기도 합니다. */ /** * 편집기 목록에서 **건너뛸** 원문 구간들. `본문글자()` 가 세지 않는 곳입니다. * * 편집기 목록은 원문을 그대로 훑기 때문에(자리를 그대로 맞추려고) 통계가 세지 * 않는 곳까지 봅니다. 그러면 `{{옛한글/끝}}` 의 '끝' 같은 **틀 이름**이 후보로 * 올라옵니다(시험에서 실제로 걸렸습니다). 통계와 목록을 맞추려고 걸러 냅니다. * · {{SIC|…}} 통째로 — 이미 사람이 원문 오식이라 판정한 자리 * · <noinclude>…</noinclude> 머리말·꼬리말 * · <ref>…</ref> 편집자 주석, <!-- 주석 --> * · 틀 이름 — `{{` 부터 첫 `|` 또는 `}}` 까지 */ function 건너뛸구간(raw) { var out = []; // 짝이 맞는 틀 끝을 찾는다 function 틀끝(i) { var 깊이 = 0; for (var j = i; j < raw.length - 1; j++) { if (raw[j] === '{' && raw[j + 1] === '{') { 깊이++; j++; } else if (raw[j] === '}' && raw[j + 1] === '}') { 깊이--; j++; if (깊이 === 0) return j + 1; } } return raw.length; } var re = /\{\{/g, m; while ((m = re.exec(raw))) { var 시작 = m.index, 끝 = 틀끝(시작); var 속 = raw.slice(시작 + 2, 끝 - 2); var 이름끝 = 속.search(/[|}\n]/); if (이름끝 < 0) 이름끝 = 속.length; if (/^\s*sic\s*$/i.test(속.slice(0, 이름끝))) { out.push([시작, 끝]); // SIC 는 통째로 } else { out.push([시작, 시작 + 2 + 이름끝]); // 나머지는 이름만 } } [/<noinclude>[\s\S]*?<\/noinclude>/gi, /<ref[^>]*>[\s\S]*?<\/ref>/gi, /<!--[\s\S]*?-->/g].forEach(function (r) { var x; while ((x = r.exec(raw))) out.push([x.index, x.index + x[0].length]); }); return out; } /** * 편집창에서 그 자리가 화면 가운데로 오게 굴린다. * * `setSelectionRange` 만 해도 브라우저가 알아서 굴려 주지만(실측 확인), 글자가 * 화면 맨 끝에 걸려 눈에 안 띕니다. 그래서 **거울 div** 로 그 자리의 높이를 재서 * 가운데로 맞춥니다. 재는 데 실패하면 아무것도 안 하고 브라우저에 맡깁니다. * * ⚠ 예전에 여기서 `(줄 번호 − 4) × 20` 으로 굴렸는데, **줄바꿈이 없는 문헌에서는 * 줄 번호가 늘 1 이라 맨 위로 되돌려 버렸습니다.** 줄 번호로 굴리지 마세요. */ function 가운데로(ta, pos) { try { var cs = window.getComputedStyle(ta); var d = document.createElement('div'); ['fontFamily', 'fontSize', 'fontWeight', 'fontStyle', 'letterSpacing', 'lineHeight', 'wordSpacing', 'textIndent', 'textTransform', 'tabSize', 'wordBreak', 'overflowWrap', 'boxSizing', 'paddingTop', 'paddingRight', 'paddingBottom', 'paddingLeft', 'borderTopWidth', 'borderRightWidth', 'borderBottomWidth', 'borderLeftWidth' ].forEach(function (k) { d.style[k] = cs[k]; }); d.style.position = 'absolute'; d.style.top = '-9999px'; d.style.visibility = 'hidden'; d.style.width = ta.clientWidth + 'px'; d.style.height = 'auto'; d.style.whiteSpace = 'pre-wrap'; d.textContent = ta.value.slice(0, pos); var 표 = document.createElement('span'); 표.textContent = '​'; d.appendChild(표); document.body.appendChild(d); var y = 표.offsetTop; document.body.removeChild(d); if (y > 0) ta.scrollTop = Math.max(0, y - ta.clientHeight / 2); } catch (e) {} // 못 재면 브라우저가 굴려 놓은 대로 둔다 } /** * 목록에서 누른 자리로 커서를 옮긴다. * 구문 강조(CodeMirror)가 켜져 있으면 편집창이 숨겨져 있어 `setSelectionRange` * 로는 아무 일도 일어나지 않습니다. 그때는 CodeMirror 에게 직접 시킵니다. * 반환: 옮겼으면 true. */ function 커서옮기기(ta, 시작, 끝) { var cm = 코드미러; if (cm && cm.view && cm.view.dispatch) { // CodeMirror 6 try { cm.view.dispatch({ selection: { anchor: 시작, head: 끝 }, scrollIntoView: true }); cm.view.focus(); return true; } catch (e) {} } if (cm && cm.getDoc && cm.setSelection) { // CodeMirror 5 try { var doc = cm.getDoc(); cm.setSelection(doc.posFromIndex(시작), doc.posFromIndex(끝)); cm.scrollIntoView(null, 100); cm.focus(); return true; } catch (e) {} } if (ta.offsetParent === null) return false; // 숨어 있으면 소용없다 ta.focus(); ta.setSelectionRange(시작, 끝); 가운데로(ta, 시작); return true; } /** * 원문에서 pos 앞에 인쇄된 글자가 몇 개인가 — "본문 137자째" 를 보여 주려고. * 띄어쓰기가 없는 문헌에서는 앞뒤 문맥만으로 자리를 찾기 어렵다는 작업자 지적. * 줄 번호는 쓸 수 없습니다(줄바꿈이 없는 문헌이 많음). */ function 본문자리(raw, pos) { var 앞 = raw.slice(0, pos); var 열린틀 = 앞.lastIndexOf('{{'); // 끝에 안 닫힌 틀이 남으면 if (열린틀 >= 0 && 앞.indexOf('}}', 열린틀) < 0) { 앞 = 앞.slice(0, 열린틀); // 그 틀 이름이 글자로 세어진다 } return 글자들(본문글자(앞)).length; } function 편집기다루기(칠할까, $판) { CSS넣기(); var ta = document.getElementById('wpTextbox1'); if (!ta) return 0; $판.find('.옛한글오타-목록').remove(); // 다시 눌렀을 때 겹치지 않게 $판.find('.옛한글오타-못옮김').remove(); var raw = ta.value; var 건너뛸 = 건너뛸구간(raw); function 건너뛰나(i) { return 건너뛸.some(function (r) { return i >= r[0] && i < r[1]; }); } // 원문에서 곧바로 찾는다. 자리 옮김이 없어 편집창 위치와 그대로 맞는다. var ls = 글자들(raw), 자리 = [], 위치 = 0; ls.forEach(function (cl) { if (칠할까(cl) && !건너뛰나(위치)) { 자리.push({ 시작: 위치, 끝: 위치 + cl.length, 글자: cl }); } 위치 += cl.length; }); if (!자리.length) return 0; var 전체 = 글자들(본문글자(raw)).length; var $목록 = $('<div class="옛한글오타-목록">'); var 못옮김 = false; 자리.forEach(function (a, k) { var 앞 = raw.slice(Math.max(0, a.시작 - 14), a.시작).replace(/\n/g, ' '); var 뒤 = raw.slice(a.끝, a.끝 + 14).replace(/\n/g, ' '); // 채움 문자는 획이 없어 그냥 넣으면 목록에서도 안 보인다. var $가운데 = 안보이는가(a.글자) ? $('<b class="옛한글오타-빈이름">').text(짧은이름(a.글자)) : $('<b>').text(a.글자); var 자리수 = 본문자리(raw, a.시작); $('<div>').attr('title', 이름붙이기(a.글자)).append( $('<span class="쪽수">').text((k + 1) + '/' + 자리.length), // 띄어쓰기가 없는 문헌은 문맥만으로 자리를 못 찾습니다(작업자 지적). $('<span class="자리">').text('본문 ' + 자리수 + '자째' + (전체 ? ' / ' + 전체 : '')), document.createTextNode('…' + 앞), $가운데, document.createTextNode(뒤 + '…') ).on('click', function () { $목록.find('.지금').removeClass('지금'); $(this).addClass('지금'); if (!커서옮기기(ta, a.시작, a.끝)) { $판.find('.옛한글오타-못옮김').show(); } }).appendTo($목록); }); $판.append($('<div class="설명">').text( '누르면 편집창에서 그 글자로 커서가 갑니다. 차례로 눌러 가며 고치세요. ' + "'본문 …자째' 는 그 쪽에 인쇄된 글자를 처음부터 센 번호입니다."), $목록); $판.append($('<div class="옛한글오타-못옮김" style="display:none">').text( '편집창이 숨어 있어 커서를 옮기지 못했습니다. 구문 강조를 끄고 다시 해 보세요.')); return 자리.length; } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 5. 판 (화면 위젯) // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── function 판만들기(제목) { CSS넣기(); var $판 = $('<div class="옛한글오타-판">').append($('<h4>').text(제목)); var 기본 = 기억한등급(); // 색인에서 3을 골랐으면 쪽에서도 3으로 var $줄 = $('<div>'); [1, 2, 3].forEach(function (g) { $줄.append($('<label>').append( $('<input type="radio" name="옛한글오타-등급">').val(g).prop('checked', g === 기본), document.createTextNode(' ' + g + '. ' + 등급이름[g - 1]) )); }); $줄.on('change', 'input', function () { 등급기억(+this.value); }); var $버튼 = $('<button>').text('검사'); var $알림 = $('<span class="알림">'); $판.append($줄, $('<div class="설명">').text('등급은 쌓아 올립니다 — 2를 고르면 1도 함께 봅니다.'), $버튼, $알림); $판.data({ 버튼: $버튼, 알림: $알림 }); var $붙일곳 = $('#mw-content-text'); if ($붙일곳.length) $붙일곳.prepend($판); else $('#content').prepend($판); return $판; } function 고른등급() { return +($('input[name="옛한글오타-등급"]:checked').val() || 2); } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 6. 시작 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── function 색인이름() { var t = mw.config.get('wgPageName').replace(/_/g, ' '); var ns = mw.config.get('wgNamespaceNumber'); if (ns === 색인NS) return t.replace(/^[^:]+:/, ''); if (ns === 페이지NS) return t.replace(/^[^:]+:/, '').replace(/\/\d+$/, ''); return null; } function 쪽번호() { var m = /\/(\d+)$/.exec(mw.config.get('wgPageName')); return m ? +m[1] : null; } function 색인화면(pdf) { var $판 = 판만들기('옛한글 전사 오타 검사'); var $버튼 = $판.data('버튼'), $알림 = $판.data('알림'); $버튼.on('click', function () { var 등급 = 고른등급(); $버튼.prop('disabled', true); $알림.text('쪽 목록을 받는 중…'); 통계얻기(pdf, function (한것, 전부, 어디) { $알림.text(어디 === '캐시' ? '받아 둔 것을 씁니다…' : (어디 === '일부' ? '바뀐 ' + 전부 + '쪽만 다시 받습니다…' : '전사문을 받는 중… ' + 한것 + '/' + 전부 + '쪽')); }).then(function (통계) { $버튼.prop('disabled', false); 색인표시(통계, 등급, $판, $알림, pdf); }, function (e) { $버튼.prop('disabled', false); $알림.text('실패했습니다: ' + (e && e.message ? e.message : e)); }); }); } function 색인표시(통계, 등급, $판, $알림, pdf) { $판.find('.옛한글오타-요약').remove(); $('.옛한글오타-쪽').removeClass('옛한글오타-쪽'); var 볼키 = {}; Object.keys(통계.후보).forEach(function (키) { if (통계.후보[키].등급 < 등급) 볼키[키] = 1; }); var 문제쪽 = {}; Object.keys(통계.쪽별).forEach(function (n) { var c = 통계.쪽별[n].filter(function (키) { return 볼키[키]; }).length; if (c) 문제쪽[n] = c; }); // 색인의 쪽 링크를 칠한다 var 칠한수 = 0; $('#mw-content-text a').each(function () { var t = $(this).attr('title') || ''; var m = new RegExp('/(\\d+)$').exec(t); if (!m || t.indexOf(pdf) < 0) return; if (문제쪽[+m[1]]) { $(this).addClass('옛한글오타-쪽') .attr('title', t + ' — 오타 의심 ' + 문제쪽[+m[1]] + '곳'); 칠한수++; } }); var 쪽수 = Object.keys(문제쪽).length; $알림.text(통계.쪽수 + '쪽 · ' + 통계.글자수.toLocaleString() + '자 · ' + '의심 ' + Object.keys(볼키).length + '종 / ' + 쪽수 + '쪽' + (통계.글자수 < 최소글자 ? ' ※ 3만 자 미만이라 통계가 흔들립니다' : '')); var $요약 = $('<div class="옛한글오타-요약 옛한글오타-목록">'); if (!쪽수) { $요약.append($('<div>').text('후보가 없습니다.')); } else if (!칠한수) { $요약.append($('<div>').text( '쪽 링크를 찾지 못해 아래 목록으로 보여 드립니다.')); } Object.keys(문제쪽).map(Number).sort(function (a, b) { return a - b; }) .forEach(function (n) { var $줄 = $('<div>').append( $('<a>').attr('href', mw.util.getUrl(페이지제목(pdf, n))) .text(n + '쪽'), document.createTextNode(' ')); // 채움 문자는 획이 없어 그냥 넣으면 아무것도 안 보인다(작업자 지적). 통계.쪽별[n].filter(function (키) { return 볼키[키]; }) .forEach(function (키) { var 글자 = 통계.후보[키].글자; if (안보이는가(글자)) { $줄.append($('<b class="옛한글오타-빈이름">') .attr('title', 이름붙이기(글자)).text(짧은이름(글자)), document.createTextNode(' ')); } else { $줄.append(document.createTextNode(글자 + ' ')); } }); $줄.appendTo($요약); }); $판.append($요약); } function 페이지화면(pdf, 번호) { var $판 = 판만들기('옛한글 전사 오타 검사 — ' + 번호 + '쪽'); var $버튼 = $판.data('버튼'), $알림 = $판.data('알림'); function 표시(통계, 등급) { var 칠할까 = 판정기(통계, 등급); var 몸 = document.querySelector('.prp-page-content') || document.getElementById('mw-content-text'); var n = 0; if (mw.config.get('wgAction') === 'edit' || document.getElementById('wpTextbox1')) { n = 편집기다루기(칠할까, $판); } else if (몸) { n = 읽기칠하기(몸, 칠할까); } return n; } // 검사해 둔 것이 있으면 **네트워크를 전혀 쓰지 않고** 곧바로 표시한다. // 빈도표가 조금 낡아도 해롭지 않다 — 칠하는 것은 화면의 글자이기 때문. var 헌것 = 캐시읽기(pdf); if (헌것) { var 등급 = 고른등급(); var n = 표시(헌것, 등급); $알림.text((n ? '이 쪽에서 ' + n + '곳이 의심스럽습니다.' : '이 쪽에는 의심스러운 글자가 없습니다.') + ' (검사해 둔 것으로 바로 표시했습니다. 등급을 바꾸거나 ' + '전사문이 고쳐졌으면 다시 누르세요.)'); $버튼.text('다시 검사'); } else { $알림.text('이 문헌은 아직 검사하지 않았습니다. 누르면 문헌 전체를 셉니다.'); } $버튼.on('click', function () { var 등급 = 고른등급(); $버튼.prop('disabled', true); 통계얻기(pdf, function (한것, 전부, 어디) { $알림.text(어디 === '캐시' ? '받아 둔 것을 씁니다…' : (어디 === '일부' ? '바뀐 ' + 전부 + '쪽만 다시 받습니다…' : '문헌 전체를 세는 중… ' + 한것 + '/' + 전부 + '쪽')); }).then(function (통계) { $버튼.prop('disabled', false).text('다시 검사'); var n = 표시(통계, 등급); $알림.text(n ? ('이 쪽에서 ' + n + '곳이 의심스럽습니다.') : '이 쪽에는 의심스러운 글자가 없습니다.'); }, function (e) { $버튼.prop('disabled', false); $알림.text('실패했습니다: ' + (e && e.message ? e.message : e)); }); }); } function 시작() { var ns = mw.config.get('wgNamespaceNumber'); if (ns !== 색인NS && ns !== 페이지NS) return; var pdf = 색인이름(); if (!pdf) return; // 구문 강조가 켜지면 편집창이 숨겨져 setSelectionRange 가 안 통합니다. // 그때 쓰려고 인스턴스를 미리 붙잡아 둡니다. 이름은 판마다 다릅니다. ['ext.CodeMirror.ready', 'ext.CodeMirror.switch', 'ext.CodeMirror2.ready'].forEach(function (이름) { try { mw.hook(이름).add(function (a, b) { 코드미러 = (a && (a.view || a.getDoc)) ? a : (b && (b.view || b.getDoc)) ? b : 코드미러; }); } catch (e) {} }); mw.loader.using(['mediawiki.api', 'mediawiki.util']).then(function () { if (ns === 색인NS) 색인화면(pdf); else 페이지화면(pdf, 쪽번호()); }); } // 위키문헌 밖(시험용 빈 쪽)에서 불러도 터지지 않게 한다. if (typeof mw !== 'undefined' && typeof $ !== 'undefined') $(시작); /* * 밖에서 부를 수 있게 열어 둡니다 — **시험용**입니다. 소도구가 도는 데는 * 필요 없습니다. 규칙을 고쳤을 때 파이썬(`오타검사.py`)과 같은 답이 나오는지 * 대조하거나, 화면 만드는 부분을 위키문헌 밖에서 그려 볼 때 씁니다. * 방법은 CLAUDE.md '갈래가 둘' 2번. */ window.옛한글오타 = { // 판정 규칙 — 파이썬과 글자 그대로 같아야 하는 것들 글자들: 글자들, 가르기: 가르기, 본문글자: 본문글자, SIC구간: SIC구간, 건너뛸구간: 건너뛸구간, 본문자리: 본문자리, 커서옮기기: 커서옮기기, 쪽통계: 쪽통계, 합치기: 합치기, 문헌통계: 문헌통계, 판정기: 판정기, // 화면 읽기칠하기: 읽기칠하기, 편집기다루기: 편집기다루기, 색인표시: 색인표시, 판만들기: 판만들기, 짧은이름: 짧은이름, // 캐시 캐시읽기: 캐시읽기, 캐시쓰기: 캐시쓰기, 등급기억: 등급기억, 기억한등급: 기억한등급 }; }()); nicqcy8kwvi94e6nq1dlxbv7ig7urr2 459144 459139 2026-09-05T14:33:54Z Aspere 5453 459144 javascript text/javascript /** * 옛한글 전사 오타 검사 — 한국어 위키문헌 사용자 스크립트 * * 색인 문서나 페이지 문서에서 실행하면, 그 문헌 전체의 자모 빈도를 세어 * 오타로 의심되는 글자를 하이라이트합니다. 모델도 스캔도 쓰지 않고 * 전사문 텍스트만 봅니다. * * 판정 규칙은 프로젝트의 `오타검사.py` 와 같습니다. 근거는 CLAUDE.md 9번. * * 설치: User:<이름>/common.js 에 * mw.loader.load('/w/index.php?title=User:<이름>/오타검사.js&action=raw&ctype=text/javascript'); */ /* global mw, $ */ (function () { 'use strict'; var 판 = 1; // 캐시 형식이 바뀌면 올린다 (헌 캐시가 버려짐) var 코드미러 = null; // 구문 강조가 켜져 있으면 그 인스턴스 (커서옮기기 에서 씀) var 색인NS = 252, 페이지NS = 250; // ko.wikisource 의 색인: / 페이지: // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 1. 판정 규칙 (오타검사.py 와 같은 규칙. 고칠 때는 양쪽을 함께) // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 채움 문자 — 눈에 보이지 않는다 var 채움 = { 0x115F: 1, 0x1160: 1, 0x3164: 1, 0xFFA0: 1 }; // 채움 문자가 있어도 오타가 아닌, 실제로 쓰이는 형태 var 정상형태 = { 'ᅟᅵᆫ': 1 }; // ᅟᅵᆫ // 현대 한글 완성형으로 적을 수 있는 자모. 이 바깥이면 '안 쓰던 자모'(2등급), // 안쪽이면 '드문 자모'(3등급)로 나뉜다. var 현대 = { L: 'ᄀᄁᄂᄃᄄᄅᄆᄇᄈᄉᄊᄋᄌᄍᄎᄏᄐᄑᄒ', V: 'ᅡᅢᅣᅤᅥᅦᅧᅨᅩᅪᅫᅬᅭᅮᅯᅰᅱᅲᅳᅴᅵ', T: 'ᆨᆩᆪᆫᆬᆭᆮᆯᆰᆱᆲᆳᆴᆵᆶᆷᆸᆹᆺᆻᆼᆽᆾᆿᇀᇁᇂ' }; var 등급이름 = ['구조 오류', '안 쓰던 자모', '드문 자모']; var 등급설명 = [ '한글로 성립하지 않는 글자입니다. 거의 전부 오타입니다.', '옛한글 전용·확장 영역 자모입니다. 입력기 사고가 많지만 그 문헌이 실제로 쓴 자모일 수도 있습니다.', '현대 한글에도 있는 자모입니다. 오탐지가 많습니다 — 앞·같·몇·있·었 같은 멀쩡한 낱말이 걸립니다.' ]; var 문턱 = 0.0001; // 비율 0.01%. 3만 자~133만 자에서 일관됨(실측) var 최소글자 = 30000; // 이보다 적으면 통계가 흔들린다고 알린다 /** 첫가끝 자모열(ᄆ+ᆞ+ᆷ)을 한 글자로 묶어 배열로. */ function 글자들(s) { var out = [], cur = ''; for (var i = 0; i < s.length; i++) { var ch = s[i], o = ch.charCodeAt(0); var 뒤 = (o >= 0x1160 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97F) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7FF); if (뒤 && cur) { cur += ch; } else { if (cur) out.push(cur); cur = ch; } } if (cur) out.push(cur); return out; } /** * 글자 한 개 → {L, V, T}. * 완성형도 자모로 풀어 더한다 — '셔'+ᇰ 처럼 완성형 뒤에 첫가끝 종성을 붙이는 * 표기가 실제로 쓰이기 때문(석보상절). 채움 문자는 자모로 세지 않는다. */ function 가르기(cl) { var L = '', V = '', T = ''; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var ch = cl[i], o = ch.charCodeAt(0); if (o >= 0xAC00 && o <= 0xD7A3) { // 현대 완성형은 나눗셈으로 var k = o - 0xAC00; L += String.fromCharCode(0x1100 + Math.floor(k / 588)); V += String.fromCharCode(0x1161 + Math.floor((k % 588) / 28)); if (k % 28) T += String.fromCharCode(0x11A7 + (k % 28)); } else if (채움[o]) { continue; } else if ((o >= 0x1100 && o <= 0x115E) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97C)) { L += ch; } else if ((o >= 0x1161 && o <= 0x11A7) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7C6)) { V += ch; } else if ((o >= 0x11A8 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xD7CB && o <= 0xD7FB)) { T += ch; } } return { L: L, V: V, T: T }; } function 한글인가(cl) { for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var o = cl.charCodeAt(i); if ((o >= 0x1100 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xAC00 && o <= 0xD7A3) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97F) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7FF)) return true; } return false; } /** * 위키문헌 원문 → 사람이 친 글자만 이어 붙인 한 줄. * 틀 안의 내용도 넣되 {{SIC}} 는 뺀다 (이미 원문 오식으로 판정된 자리). */ function 본문글자(raw) { var t = String(raw); t = t.replace(/<!--[\s\S]*?-->/g, ''); t = t.replace(/<noinclude>[\s\S]*?<\/noinclude>/gi, ''); // 머리말·꼬리말 t = t.replace(/<ref[^>]*\/>/gi, ''); t = t.replace(/<ref[^>]*>[\s\S]*?<\/ref>/gi, ''); // 편집자 주석 for (var i = 0; i < 20000; i++) { // 안쪽 틀부터 하나씩 푼다 var m = /\{\{([^{}]*)\}\}/.exec(t); if (!m) break; var parts = m[1].split('|'); var 이름 = parts[0].trim(); var 값 = ''; if (!/^sic$/i.test(이름)) { for (var k = 1; k < parts.length; k++) { if (!/^\s*[A-Za-z-]+\s*=/.test(parts[k])) 값 += parts[k]; } } t = t.slice(0, m.index) + 값 + t.slice(m.index + m[0].length); } t = t.replace(/^==.*?==$/gm, ''); t = t.replace(/\[\[[^|\]]*\|([^\]]*)\]\]/g, '$1'); t = t.replace(/\[\[([^\]]*)\]\]/g, '$1'); t = t.replace(/<[^>]+>/g, ''); return t.replace(/[\s​]+/g, ''); } /** * {{SIC|…}} 가 차지하는 [시작, 끝) 구간들. 편집기에서 그 자리를 건너뛰려고. * 대소문자를 가리지 않습니다 — `{{sic}}` `{{Sic}}` 모두 `틀:SIC` 로 갑니다. */ function SIC구간(raw) { var out = [], re = /\{\{\s*sic\s*[|}]/gi, m; while ((m = re.exec(raw))) { var i = m.index, 깊이 = 0; for (var j = i; j < raw.length - 1; j++) { if (raw[j] === '{' && raw[j + 1] === '{') { 깊이++; j++; } else if (raw[j] === '}' && raw[j + 1] === '}') { 깊이--; j++; if (깊이 === 0) { out.push([i, j + 1]); break; } } } } return out; } /** * 문헌 하나의 통계를 낸다. * 쪽들: [{번호, 원문}, …] * 반환: { 글자수, 자모:{L,V,T}, 후보:{키:{등급,자모,갈래,횟수}}, 쪽별:{번호:[키,…]} } */ /** * 쪽 하나의 셈. → { 글자수, 셈:{'L:ᄀ':3,…}, 구조:{'불완전:으ᇐ':1,…} } * 캐시에 이것만 담아 두면 **바뀐 쪽만 다시 세면** 됩니다. 한 쪽이 고쳐졌다고 * 문헌 전체를 다시 받지 않으려고 이렇게 나눠 두었습니다. */ function 쪽통계(원문) { var 셈 = {}, 구조 = {}, 글자수 = 0; 글자들(본문글자(원문)).forEach(function (cl) { var i, o; for (i = 0; i < cl.length; i++) { o = cl.charCodeAt(i); if (채움[o] && !정상형태[cl]) 더하기(구조, '채움:' + o); } if (!한글인가(cl)) return; 글자수++; var v = 가르기(cl); var 채움있나 = false; for (i = 0; i < cl.length; i++) if (채움[cl.charCodeAt(i)]) 채움있나 = true; if ((!v.L || !v.V) && !채움있나) { 더하기(구조, '불완전:' + cl); } else if (v.L.length > 1 || v.V.length > 1 || v.T.length > 1) { 더하기(구조, '겹침:' + cl); } ['L', 'V', 'T'].forEach(function (k) { for (var j = 0; j < v[k].length; j++) 더하기(셈, k + ':' + v[k][j]); }); }); return { 글자수: 글자수, 셈: 셈, 구조: 구조 }; } /** 쪽마다의 셈을 합쳐 후보를 뽑는다. 쪽셈: {쪽번호: 쪽통계} */ function 합치기(쪽셈) { var 온셈 = {}, 온구조 = {}, 글자수 = 0; var 자리 = {}; // 키 → {쪽번호: 개수} Object.keys(쪽셈).forEach(function (번호) { var s = 쪽셈[번호]; if (!s) return; 글자수 += s.글자수 || 0; Object.keys(s.셈 || {}).forEach(function (키) { 온셈[키] = (온셈[키] || 0) + s.셈[키]; (자리[키] = 자리[키] || {})[번호] = s.셈[키]; }); Object.keys(s.구조 || {}).forEach(function (키) { 온구조[키] = (온구조[키] || 0) + s.구조[키]; (자리[키] = 자리[키] || {})[번호] = s.구조[키]; }); }); var 후보 = {}, 쪽별 = {}; Object.keys(온구조).forEach(function (키) { // 구조 오류 = 1등급 var 부분 = 키.split(':'); 후보[키] = { 등급: 0, 갈래: 부분[0], 횟수: 온구조[키], 글자: 부분[0] === '채움' ? String.fromCharCode(+부분[1]) : 부분[1] }; 모으기(쪽별, 자리[키], 키); }); if (글자수) { // 자모 빈도 꼬리 Object.keys(온셈).forEach(function (키) { var c = 온셈[키]; if (c / 글자수 >= 문턱) return; var k = 키.charAt(0), ch = 키.slice(2); 후보[키] = { 등급: 현대[k].indexOf(ch) >= 0 ? 2 : 1, 갈래: k, 글자: ch, 횟수: c }; 모으기(쪽별, 자리[키], 키); }); } return { 글자수: 글자수, 후보: 후보, 쪽별: 쪽별, 쪽수: Object.keys(쪽셈).length }; } /** 옛 이름 — 쪽 목록을 통째로 주면 한 번에 세어 준다 (시험·파이썬 대조용). */ function 문헌통계(쪽들) { var 쪽셈 = {}; 쪽들.forEach(function (p) { 쪽셈[p.번호] = 쪽통계(p.원문); }); return 합치기(쪽셈); } function 더하기(표, 키) { 표[키] = (표[키] || 0) + 1; } function 모으기(쪽별, 곳, 키) { if (!곳) return; Object.keys(곳).forEach(function (번호) { if (!쪽별[번호]) 쪽별[번호] = []; 쪽별[번호].push(키); }); } /** * 통계와 등급으로부터 '이 글자를 칠할 것인가'를 판정하는 함수를 만든다. * 하이라이트는 저장된 위치가 아니라 **지금 화면의 글자**로 매번 새로 칠한다. * 그래서 오타를 고치고 새로고침하면 캐시가 살아 있어도 바로 사라진다. */ function 판정기(통계, 등급) { var 꼬리 = { L: {}, V: {}, T: {} }; Object.keys(통계.후보).forEach(function (키) { var c = 통계.후보[키]; if (c.등급 >= 등급) return; // 등급은 쌓아 올린다 if (c.갈래 === 'L' || c.갈래 === 'V' || c.갈래 === 'T') 꼬리[c.갈래][c.글자] = 1; }); var 구조켬 = 등급 >= 1; return function (cl) { var i, o; if (구조켬) { if (!정상형태[cl]) { for (i = 0; i < cl.length; i++) if (채움[cl.charCodeAt(i)]) return true; } if (한글인가(cl)) { var v0 = 가르기(cl), 채움있나 = false; for (i = 0; i < cl.length; i++) if (채움[cl.charCodeAt(i)]) 채움있나 = true; if ((!v0.L || !v0.V) && !채움있나) return true; if (v0.L.length > 1 || v0.V.length > 1 || v0.T.length > 1) return true; } } if (!한글인가(cl)) return false; var v = 가르기(cl); for (var k of ['L', 'V', 'T']) { for (i = 0; i < v[k].length; i++) if (꼬리[k][v[k][i]]) return true; } return false; }; } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 2. 위키문헌에서 받아 오기 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var api = null; function API() { if (!api) api = new mw.Api(); return api; } function 페이지제목(pdf, n) { var NS = mw.config.get('wgFormattedNamespaces')[페이지NS] || '페이지'; return NS + ':' + pdf + '/' + n; } /** 색인 하위 쪽의 최신 판 번호만. 500쪽씩 오므로 빠르다(784쪽에 2번·3초). */ function 쪽목록(pdf) { var 결과 = {}; function 한번(cont) { var q = { action: 'query', generator: 'allpages', gapnamespace: 페이지NS, gapprefix: pdf + '/', gaplimit: 500, prop: 'info', formatversion: 2 }; Object.keys(cont || {}).forEach(function (k) { q[k] = cont[k]; }); return API().get(q).then(function (r) { ((r.query || {}).pages || []).forEach(function (p) { var m = /\/(\d+)$/.exec(p.title); if (m) 결과[+m[1]] = p.lastrevid; }); return r.continue ? 한번(r.continue) : 결과; }); } return 한번(null); } /** * 쪽 본문을 받아 온다. 본문은 **한 번에 50쪽까지만** 옵니다 — * 500쪽씩 달라고 하면 같은 쪽을 되풀이해 주고 본문은 안 옵니다(실측). */ function 쪽본문(pdf, 번호들, 알림) { var 결과 = [], 남은 = 번호들.slice(); function 다음() { if (!남은.length) return $.Deferred().resolve(결과).promise(); var 묶음 = 남은.splice(0, 50); var 제목 = 묶음.map(function (n) { return 페이지제목(pdf, n); }); return API().get({ action: 'query', titles: 제목.join('|'), prop: 'revisions', rvprop: 'content|ids', rvslots: 'main', formatversion: 2 }).then(function (r) { ((r.query || {}).pages || []).forEach(function (p) { var rev = (p.revisions || [])[0]; var 본문 = rev && rev.slots && rev.slots.main && rev.slots.main.content; var m = /\/(\d+)$/.exec(p.title); if (본문 && m) 결과.push({ 번호: +m[1], 원문: 본문, revid: rev.revid }); }); if (알림) alarm(알림, 결과.length, 번호들.length); return 다음(); }); } return 다음(); } function alarm(fn, 한것, 전부) { try { fn(한것, 전부); } catch (e) {} } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 3. 캐시 — 빈도표만 담는다. 하이라이트 위치는 담지 않는다. // localStorage 를 쓴다. sessionStorage 는 탭마다 따로라, 색인에서 검사한 뒤 // 쪽을 새 탭으로 열면 처음부터 다시 받게 된다(실제로 겪은 문제). // 낡아도 해롭지 않다 — 하이라이트는 화면의 글자를 그때그때 보고 칠하므로, // 오타를 고치면 캐시와 상관없이 바로 사라진다. // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var 앞머리 = '옛한글오타:'; var 저장소 = (function () { var 후보 = []; try { 후보.push(window.localStorage); } catch (e) {} try { 후보.push(window.sessionStorage); } catch (e) {} for (var i = 0; i < 후보.length; i++) { try { 후보[i].setItem(앞머리 + '시험', '1'); 후보[i].removeItem(앞머리 + '시험'); return 후보[i]; } catch (e) {} } return null; }()); function 캐시키(pdf) { return 앞머리 + 판 + ':' + pdf; } function 캐시읽기(pdf) { if (!저장소) return null; try { var s = 저장소.getItem(캐시키(pdf)); return s ? JSON.parse(s) : null; } catch (e) { return null; } } function 캐시쓰기(pdf, obj) { if (!저장소) return; obj.적은때 = Date.now(); var 글 = JSON.stringify(obj); try { 저장소.setItem(캐시키(pdf), 글); } catch (e) { // 자리가 모자라면 헌 것부터 버리고 다시 지우기(캐시키(pdf)); try { 저장소.setItem(캐시키(pdf), 글); } catch (e2) {} } } /** 이 소도구가 넣어 둔 다른 문헌의 캐시를 오래된 것부터 버린다. */ function 지우기(빼놓을키) { var 것들 = []; for (var i = 0; i < 저장소.length; i++) { var k = 저장소.key(i); if (k && k.indexOf(앞머리) === 0 && k !== 빼놓을키 && k !== 앞머리 + '등급') { var t = 0; try { t = (JSON.parse(저장소.getItem(k)) || {}).적은때 || 0; } catch (e) {} 것들.push([t, k]); } } 것들.sort(function (a, b) { return a[0] - b[0]; }); 것들.forEach(function (x) { try { 저장소.removeItem(x[1]); } catch (e) {} }); } /** 고른 등급을 기억한다 — 색인에서 3을 골랐으면 쪽에서도 3이 기본이 되도록. */ function 등급기억(g) { if (저장소) { try { 저장소.setItem(앞머리 + '등급', String(g)); } catch (e) {} } } function 기억한등급() { if (!저장소) return 2; try { var v = +저장소.getItem(앞머리 + '등급'); return (v === 1 || v === 2 || v === 3) ? v : 2; } catch (e) { return 2; } } /** * 문헌 통계를 얻는다. * * 캐시에는 **쪽마다의 셈과 최신 판 번호**를 넣는다 — 전사문 자체는 넣지 않는다 * (셩경 개역이면 전사문이 5MB 가 넘는다. 쪽별 셈은 632KB). * 그래서 **바뀐 쪽만 다시 받아** 다시 세면 된다. 한 쪽 고친 뒤 다시 검사하면 * 쪽 목록 확인 3초 + 그 한 쪽만 받으면 끝난다. */ function 통계얻기(pdf, 알림) { return 쪽목록(pdf).then(function (revid) { var 헌것 = 캐시읽기(pdf) || {}; var 쪽셈 = 헌것.쪽셈 || {}; var 헌판 = 헌것.revid || {}; Object.keys(쪽셈).forEach(function (n) { // 사라진 쪽은 버린다 if (!revid[n]) delete 쪽셈[n]; }); var 번호들 = Object.keys(revid).map(Number).sort(function (a, b) { return a - b; }); var 받을것 = 번호들.filter(function (n) { return !쪽셈[n] || String(헌판[n]) !== String(revid[n]); }); function 마무리() { var 통계 = 합치기(쪽셈); 통계.revid = revid; 통계.쪽셈 = 쪽셈; 캐시쓰기(pdf, 통계); return 통계; } if (!받을것.length) { alarm(알림, 번호들.length, 번호들.length, '캐시'); return 마무리(); } alarm(알림, 0, 받을것.length, 받을것.length < 번호들.length ? '일부' : null); return 쪽본문(pdf, 받을것, 알림).then(function (새것) { 새것.forEach(function (p) { 쪽셈[p.번호] = 쪽통계(p.원문); }); return 마무리(); }); }); } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 4. 화면 칠하기 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var CSS문자열 = [ '.옛한글오타-판 { border:1px solid #a2a9b1; background:#f8f9fa; border-radius:4px;', ' padding:10px 12px; margin:8px 0; font-size:14px; }', '.옛한글오타-판 h4 { margin:0 0 6px; font-size:15px; }', '.옛한글오타-판 label { margin-right:12px; cursor:pointer; }', '.옛한글오타-판 .설명 { color:#54595d; font-size:12px; margin:4px 0 8px; }', '.옛한글오타-판 .알림 { color:#54595d; font-size:13px; margin-left:8px; }', '.옛한글오타-표시 { background:#ffe14d; border-radius:3px; padding:0 1px;', ' box-shadow:0 0 0 1px #d4a000 inset; }', // 채움 문자는 획이 없어 칠해도 안 보인다. 이름표를 대신 세워 준다. '.옛한글오타-빈::after { content:"(빈 글자)"; font-size:11px; color:#fff;', ' background:#c0392b; border-radius:3px; padding:1px 4px; margin:0 1px;', ' vertical-align:middle; white-space:nowrap; }', '.옛한글오타-쪽 { outline:2px solid #d33; outline-offset:1px; background:#fee7e6; }', '.옛한글오타-목록 { max-height:260px; overflow-y:auto; margin-top:8px; }', '.옛한글오타-목록 div { padding:3px 4px; border-bottom:1px solid #eaecf0; cursor:pointer; }', '.옛한글오타-목록 div:hover { background:#eaf3ff; }', '.옛한글오타-목록 div.지금 { background:#fff3cd; box-shadow:0 0 0 2px #d4a000 inset; }', '.옛한글오타-목록 .쪽수 { color:#54595d; font-size:12px; margin-right:6px }', '.옛한글오타-목록 .자리 { color:#3366cc; font-size:12px; margin-right:8px;', ' background:#eaf3ff; border-radius:3px; padding:1px 5px; white-space:nowrap }', '.옛한글오타-못옮김 { color:#c0392b; font-size:13px; margin-top:6px }', '.옛한글오타-목록 b { font-size:17px; background:#ffe14d; border-radius:3px; }', '.옛한글오타-빈이름 { font-size:12px !important; color:#fff; background:#c0392b !important;', ' border-radius:3px; padding:1px 5px; }', ].join('\n'); function CSS넣기() { if (document.getElementById('옛한글오타-css')) return; var st = document.createElement('style'); st.id = '옛한글오타-css'; st.textContent = CSS문자열; document.head.appendChild(st); } /** * 이 자리가 {{SIC}} 안인가 — 읽기 화면에서. * {{SIC|와}} 는 `<span class="wst-tooltip" title="[문자 그대로]">와</span>` 로 * 그려집니다. 원문에서는 본문글자() 가 걷어내지만, 읽기 화면은 **화면에 그려진 * 글자**를 보므로 여기서 따로 건너뛰어야 합니다. 틀 이름의 대소문자와 무관합니다 * (`{{sic}}` 는 `틀:SIC` 로 넘겨주기). */ function SIC안인가(el) { for (var e = el; e && e.nodeType === 1; e = e.parentNode) { var t = e.getAttribute && e.getAttribute('title'); if (t && t.indexOf('문자 그대로') >= 0) return true; if (e === document.body) break; } return false; } var 채움이름 = { 0x115F: '초성 채움 문자 U+115F', 0x1160: '중성 채움 문자 U+1160', 0x3164: '한글 채움 문자 U+3164', 0xFFA0: '한글 채움 문자 U+FFA0' }; /** 사람이 읽을 수 있는 이름. 눈에 안 보이는 글자를 말로 알려 주려고. */ function 이름붙이기(cl) { var 말 = []; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var o = cl.charCodeAt(i); if (채움[o]) 말.push(채움이름[o] || ('채움 문자 U+' + o.toString(16).toUpperCase())); } if (!말.length) return cl; return (안보이는가(cl) ? '' : cl + ' 안에 ') + 말.join(', '); } /** 목록·요약에 쓸 짧은 이름. 안 보이는 글자는 코드값으로 대신 보인다. */ function 짧은이름(cl) { if (!안보이는가(cl)) return cl; var 코드 = []; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { 코드.push('U+' + cl.charCodeAt(i).toString(16).toUpperCase()); } return '빈 글자 ' + 코드.join('+'); } /** 눈에 보이는 획이 하나도 없는 글자인가 (채움 문자만으로 된 것). */ function 안보이는가(cl) { for (var i = 0; i < cl.length; i++) if (!채움[cl.charCodeAt(i)]) return false; return cl.length > 0; } /** 읽기 화면의 글자를 칠한다. 이미 칠한 것은 지우고 다시 칠한다. */ function 읽기칠하기(뿌리, 칠할까) { CSS넣기(); // 혼자 불려도 색이 나오도록 [].forEach.call(뿌리.querySelectorAll('.옛한글오타-표시'), function (el) { el.parentNode.replaceChild(document.createTextNode(el.textContent), el); }); 뿌리.normalize(); var 걸린수 = 0; var walker = document.createTreeWalker(뿌리, NodeFilter.SHOW_TEXT, { acceptNode: function (n) { if (!n.nodeValue) return NodeFilter.FILTER_REJECT; var p = n.parentNode; if (!p || /^(SCRIPT|STYLE|TEXTAREA)$/.test(p.nodeName)) return NodeFilter.FILTER_REJECT; if (SIC안인가(p)) return NodeFilter.FILTER_REJECT; return NodeFilter.FILTER_ACCEPT; } }); var 대상 = [], n; while ((n = walker.nextNode())) 대상.push(n); if (!대상.length) return 0; // 글자를 **이어 붙인 글**에서 나눈다. 태그가 첫가끝 글자 한복판을 가르는 일이 // 있는데(`ᄒ<b>ᆞᆫ</b>`), 마디마다 따로 나누면 그 조각이 '구조 오류'로 // 잘못 잡힌다. 시험에서 실제로 걸린 문제다. var 글 = '', 어디 = []; // 글자 하나하나가 어느 마디의 몇 번째인지 대상.forEach(function (node, ni) { for (var i = 0; i < node.nodeValue.length; i++) { 어디.push([ni, i]); } 글 += node.nodeValue; }); var 칠할곳 = []; // 마디번호 → [[시작, 끝], …] var 자리 = 0; 글자들(글).forEach(function (cl) { var 처음 = 어디[자리], 마지막 = 어디[자리 + cl.length - 1]; 자리 += cl.length; if (!칠할까(cl)) return; 걸린수++; if (처음[0] !== 마지막[0]) return; // 마디 둘에 걸친 글자는 세기만 한다 if (!칠할곳[처음[0]]) 칠할곳[처음[0]] = []; 칠할곳[처음[0]].push([처음[1], 마지막[1] + 1]); }); 대상.forEach(function (node, ni) { var 곳 = 칠할곳[ni]; if (!곳 || !곳.length) return; var frag = document.createDocumentFragment(), 앞 = 0, 값 = node.nodeValue; 곳.forEach(function (r) { if (r[0] > 앞) frag.appendChild(document.createTextNode(값.slice(앞, r[0]))); var 글자 = 값.slice(r[0], r[1]); var sp = document.createElement('span'); sp.className = '옛한글오타-표시'; sp.title = '오타 의심 — ' + 이름붙이기(글자); // 채움 문자는 획이 없어 칠해도 아무것도 안 보인다. 이름표를 붙인다. if (안보이는가(글자)) sp.className += ' 옛한글오타-빈'; sp.textContent = 글자; frag.appendChild(sp); 앞 = r[1]; }); if (앞 < 값.length) frag.appendChild(document.createTextNode(값.slice(앞))); node.parentNode.replaceChild(frag, node); }); return 걸린수; } /** * 편집 화면 — 의심 글자를 문맥과 함께 목록으로 보이고, 누르면 편집창의 그 자리를 * 선택해 준다. * * `<textarea>` 안의 글자에는 색을 칠할 수 없어서 목록으로 갑니다. CodeMirror 위에 * 칠하는 것도 해 봤지만(CSS Highlight API) 실제 위키문헌에서 동작하지 않아 * 2026-09-05 에 걷어냈습니다. CM6 이 화면 밖 줄을 지웠다 다시 만들기 때문으로 * 보이는데, 목록이 오타 사이를 오가기에는 더 편하기도 합니다. */ /** * 편집기 목록에서 **건너뛸** 원문 구간들. `본문글자()` 가 세지 않는 곳입니다. * * 편집기 목록은 원문을 그대로 훑기 때문에(자리를 그대로 맞추려고) 통계가 세지 * 않는 곳까지 봅니다. 그러면 `{{옛한글/끝}}` 의 '끝' 같은 **틀 이름**이 후보로 * 올라옵니다(시험에서 실제로 걸렸습니다). 통계와 목록을 맞추려고 걸러 냅니다. * · {{SIC|…}} 통째로 — 이미 사람이 원문 오식이라 판정한 자리 * · <noinclude>…</noinclude> 머리말·꼬리말 * · <ref>…</ref> 편집자 주석, <!-- 주석 --> * · 틀 이름 — `{{` 부터 첫 `|` 또는 `}}` 까지 */ function 건너뛸구간(raw) { var out = []; // 짝이 맞는 틀 끝을 찾는다 function 틀끝(i) { var 깊이 = 0; for (var j = i; j < raw.length - 1; j++) { if (raw[j] === '{' && raw[j + 1] === '{') { 깊이++; j++; } else if (raw[j] === '}' && raw[j + 1] === '}') { 깊이--; j++; if (깊이 === 0) return j + 1; } } return raw.length; } var re = /\{\{/g, m; while ((m = re.exec(raw))) { var 시작 = m.index, 끝 = 틀끝(시작); var 속 = raw.slice(시작 + 2, 끝 - 2); var 이름끝 = 속.search(/[|}\n]/); if (이름끝 < 0) 이름끝 = 속.length; if (/^\s*sic\s*$/i.test(속.slice(0, 이름끝))) { out.push([시작, 끝]); // SIC 는 통째로 } else { out.push([시작, 시작 + 2 + 이름끝]); // 나머지는 이름만 } } [/<noinclude>[\s\S]*?<\/noinclude>/gi, /<ref[^>]*>[\s\S]*?<\/ref>/gi, /<!--[\s\S]*?-->/g].forEach(function (r) { var x; while ((x = r.exec(raw))) out.push([x.index, x.index + x[0].length]); }); return out; } /** * 편집창에서 그 자리가 화면 가운데로 오게 굴린다. * * `setSelectionRange` 만 해도 브라우저가 알아서 굴려 주지만(실측 확인), 글자가 * 화면 맨 끝에 걸려 눈에 안 띕니다. 그래서 **거울 div** 로 그 자리의 높이를 재서 * 가운데로 맞춥니다. 재는 데 실패하면 아무것도 안 하고 브라우저에 맡깁니다. * * ⚠ 예전에 여기서 `(줄 번호 − 4) × 20` 으로 굴렸는데, **줄바꿈이 없는 문헌에서는 * 줄 번호가 늘 1 이라 맨 위로 되돌려 버렸습니다.** 줄 번호로 굴리지 마세요. */ function 가운데로(ta, pos) { try { var cs = window.getComputedStyle(ta); var d = document.createElement('div'); ['fontFamily', 'fontSize', 'fontWeight', 'fontStyle', 'letterSpacing', 'lineHeight', 'wordSpacing', 'textIndent', 'textTransform', 'tabSize', 'wordBreak', 'overflowWrap', 'boxSizing', 'paddingTop', 'paddingRight', 'paddingBottom', 'paddingLeft', 'borderTopWidth', 'borderRightWidth', 'borderBottomWidth', 'borderLeftWidth' ].forEach(function (k) { d.style[k] = cs[k]; }); d.style.position = 'absolute'; d.style.top = '-9999px'; d.style.visibility = 'hidden'; d.style.width = ta.clientWidth + 'px'; d.style.height = 'auto'; d.style.whiteSpace = 'pre-wrap'; d.textContent = ta.value.slice(0, pos); var 표 = document.createElement('span'); 표.textContent = '​'; d.appendChild(표); document.body.appendChild(d); var y = 표.offsetTop; document.body.removeChild(d); if (y > 0) ta.scrollTop = Math.max(0, y - ta.clientHeight / 2); } catch (e) {} // 못 재면 브라우저가 굴려 놓은 대로 둔다 } /** * 목록에서 누른 자리로 커서를 옮긴다. * 구문 강조(CodeMirror)가 켜져 있으면 편집창이 숨겨져 있어 `setSelectionRange` * 로는 아무 일도 일어나지 않습니다. 그때는 CodeMirror 에게 직접 시킵니다. * 반환: 옮겼으면 true. */ function 커서옮기기(ta, 시작, 끝) { var cm = 코드미러; if (cm && cm.view && cm.view.dispatch) { // CodeMirror 6 try { cm.view.dispatch({ selection: { anchor: 시작, head: 끝 }, scrollIntoView: true }); cm.view.focus(); return true; } catch (e) {} } if (cm && cm.getDoc && cm.setSelection) { // CodeMirror 5 try { var doc = cm.getDoc(); cm.setSelection(doc.posFromIndex(시작), doc.posFromIndex(끝)); cm.scrollIntoView(null, 100); cm.focus(); return true; } catch (e) {} } if (ta.offsetParent === null) return false; // 숨어 있으면 소용없다 ta.focus(); ta.setSelectionRange(시작, 끝); 가운데로(ta, 시작); return true; } /** * 원문에서 pos 앞에 인쇄된 글자가 몇 개인가 — "본문 137자째" 를 보여 주려고. * 띄어쓰기가 없는 문헌에서는 앞뒤 문맥만으로 자리를 찾기 어렵다는 작업자 지적. * 줄 번호는 쓸 수 없습니다(줄바꿈이 없는 문헌이 많음). */ function 본문자리(raw, pos) { var 앞 = raw.slice(0, pos); var 열린틀 = 앞.lastIndexOf('{{'); // 끝에 안 닫힌 틀이 남으면 if (열린틀 >= 0 && 앞.indexOf('}}', 열린틀) < 0) { 앞 = 앞.slice(0, 열린틀); // 그 틀 이름이 글자로 세어진다 } return 글자들(본문글자(앞)).length; } function 편집기다루기(칠할까, $판) { CSS넣기(); var ta = document.getElementById('wpTextbox1'); if (!ta) return 0; $판.find('.옛한글오타-목록').remove(); // 다시 눌렀을 때 겹치지 않게 $판.find('.옛한글오타-못옮김').remove(); var raw = ta.value; var 건너뛸 = 건너뛸구간(raw); function 건너뛰나(i) { return 건너뛸.some(function (r) { return i >= r[0] && i < r[1]; }); } // 원문에서 곧바로 찾는다. 자리 옮김이 없어 편집창 위치와 그대로 맞는다. var ls = 글자들(raw), 자리 = [], 위치 = 0; ls.forEach(function (cl) { if (칠할까(cl) && !건너뛰나(위치)) { 자리.push({ 시작: 위치, 끝: 위치 + cl.length, 글자: cl }); } 위치 += cl.length; }); if (!자리.length) return 0; var 전체 = 글자들(본문글자(raw)).length; var $목록 = $('<div class="옛한글오타-목록">'); var 못옮김 = false; 자리.forEach(function (a, k) { var 앞 = raw.slice(Math.max(0, a.시작 - 14), a.시작).replace(/\n/g, ' '); var 뒤 = raw.slice(a.끝, a.끝 + 14).replace(/\n/g, ' '); // 채움 문자는 획이 없어 그냥 넣으면 목록에서도 안 보인다. var $가운데 = 안보이는가(a.글자) ? $('<b class="옛한글오타-빈이름">').text(짧은이름(a.글자)) : $('<b>').text(a.글자); var 자리수 = 본문자리(raw, a.시작); $('<div>').attr('title', 이름붙이기(a.글자)).append( $('<span class="쪽수">').text((k + 1) + '/' + 자리.length), // 띄어쓰기가 없는 문헌은 문맥만으로 자리를 못 찾습니다(작업자 지적). $('<span class="자리">').text('본문 ' + 자리수 + '자째' + (전체 ? ' / ' + 전체 : '')), document.createTextNode('…' + 앞), $가운데, document.createTextNode(뒤 + '…') ).on('click', function () { $목록.find('.지금').removeClass('지금'); $(this).addClass('지금'); if (!커서옮기기(ta, a.시작, a.끝)) { $판.find('.옛한글오타-못옮김').show(); } }).appendTo($목록); }); $판.append($('<div class="설명">').text( '누르면 편집창에서 그 글자로 커서가 갑니다. 차례로 눌러 가며 고치세요. ' + "'본문 …자째' 는 그 쪽에 인쇄된 글자를 처음부터 센 번호입니다."), $목록); $판.append($('<div class="옛한글오타-못옮김" style="display:none">').text( '편집창이 숨어 있어 커서를 옮기지 못했습니다. 구문 강조를 끄고 다시 해 보세요.')); return 자리.length; } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 5. 판 (화면 위젯) // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── function 판만들기(제목) { CSS넣기(); var $판 = $('<div class="옛한글오타-판">').append($('<h4>').text(제목)); var 기본 = 기억한등급(); // 색인에서 3을 골랐으면 쪽에서도 3으로 var $줄 = $('<div>'); [1, 2, 3].forEach(function (g) { $줄.append($('<label>').append( $('<input type="radio" name="옛한글오타-등급">').val(g).prop('checked', g === 기본), document.createTextNode(' ' + g + '. ' + 등급이름[g - 1]) )); }); $줄.on('change', 'input', function () { 등급기억(+this.value); }); var $버튼 = $('<button>').text('검사'); var $알림 = $('<span class="알림">'); $판.append($줄, $('<div class="설명">').text('등급은 쌓아 올립니다 — 2를 고르면 1도 함께 봅니다.'), $버튼, $알림); $판.data({ 버튼: $버튼, 알림: $알림 }); var $붙일곳 = $('#mw-content-text'); if ($붙일곳.length) $붙일곳.prepend($판); else $('#content').prepend($판); return $판; } function 고른등급() { return +($('input[name="옛한글오타-등급"]:checked').val() || 2); } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 6. 시작 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── function 색인이름() { var t = mw.config.get('wgPageName').replace(/_/g, ' '); var ns = mw.config.get('wgNamespaceNumber'); if (ns === 색인NS) return t.replace(/^[^:]+:/, ''); if (ns === 페이지NS) return t.replace(/^[^:]+:/, '').replace(/\/\d+$/, ''); return null; } function 쪽번호() { var m = /\/(\d+)$/.exec(mw.config.get('wgPageName')); return m ? +m[1] : null; } function 색인화면(pdf) { var $판 = 판만들기('옛한글 전사 오타 검사'); var $버튼 = $판.data('버튼'), $알림 = $판.data('알림'); $버튼.on('click', function () { var 등급 = 고른등급(); $버튼.prop('disabled', true); $알림.text('쪽 목록을 받는 중…'); 통계얻기(pdf, function (한것, 전부, 어디) { $알림.text(어디 === '캐시' ? '받아 둔 것을 씁니다…' : (어디 === '일부' ? '바뀐 ' + 전부 + '쪽만 다시 받습니다…' : '전사문을 받는 중… ' + 한것 + '/' + 전부 + '쪽')); }).then(function (통계) { $버튼.prop('disabled', false); 색인표시(통계, 등급, $판, $알림, pdf); }, function (e) { $버튼.prop('disabled', false); $알림.text('실패했습니다: ' + (e && e.message ? e.message : e)); }); }); } function 색인표시(통계, 등급, $판, $알림, pdf) { $판.find('.옛한글오타-요약').remove(); // 지난번에 칠한 것을 되돌린다. // ⚠ `title` 을 건드리므로 **반드시 원래 제목으로 되돌려야** 합니다. // 쪽 번호는 제목이 `…/12` 로 끝나는 것에서 읽는데, 칠할 때 뒤에 말을 붙이면 // 다음 번에는 그 링크를 못 찾습니다. 그래서 두 번째로 '검사'를 누르면 // "쪽 링크를 찾지 못했다"가 뜨는 문제가 있었습니다(작업자 지적). $('#mw-content-text a[data-옛제목]').each(function () { this.setAttribute('title', this.getAttribute('data-옛제목')); this.removeAttribute('data-옛제목'); this.classList.remove('옛한글오타-쪽'); }); $('.옛한글오타-쪽').removeClass('옛한글오타-쪽'); var 볼키 = {}; Object.keys(통계.후보).forEach(function (키) { if (통계.후보[키].등급 < 등급) 볼키[키] = 1; }); var 문제쪽 = {}; Object.keys(통계.쪽별).forEach(function (n) { var c = 통계.쪽별[n].filter(function (키) { return 볼키[키]; }).length; if (c) 문제쪽[n] = c; }); // 색인의 쪽 링크를 칠한다. (내가 만든 판 안의 링크는 빼고) var 칠한수 = 0, 찾은링크 = 0; $('#mw-content-text a').not('.옛한글오타-판 a').each(function () { var 원제목 = this.getAttribute('data-옛제목') || this.getAttribute('title') || ''; var m = /\/(\d+)$/.exec(원제목); if (!m || 원제목.indexOf(pdf) < 0) return; 찾은링크++; if (문제쪽[+m[1]]) { this.setAttribute('data-옛제목', 원제목); // 되돌릴 수 있게 남긴다 this.setAttribute('title', 원제목 + ' — 오타 의심 ' + 문제쪽[+m[1]] + '곳'); this.classList.add('옛한글오타-쪽'); 칠한수++; } }); var 쪽수 = Object.keys(문제쪽).length; $알림.text(통계.쪽수 + '쪽 · ' + 통계.글자수.toLocaleString() + '자 · ' + '의심 ' + Object.keys(볼키).length + '종 / ' + 쪽수 + '쪽' + (통계.글자수 < 최소글자 ? ' ※ 3만 자 미만이라 통계가 흔들립니다' : '')); var $요약 = $('<div class="옛한글오타-요약 옛한글오타-목록">'); if (!쪽수) { $요약.append($('<div>').text('후보가 없습니다.')); } else if (!찾은링크) { // 이 색인에 쪽 목록이 아예 없을 때만 알린다. '칠한 수가 0' 으로 판정하면 // 안 됩니다 — 고칠 것이 남은 쪽이 링크에 없을 때도 0 이 되니까요. $요약.append($('<div>').text( '이 색인에서는 쪽 링크를 찾지 못했습니다. 아래 목록으로 가세요.')); } Object.keys(문제쪽).map(Number).sort(function (a, b) { return a - b; }) .forEach(function (n) { var $줄 = $('<div>').append( $('<a>').attr('href', mw.util.getUrl(페이지제목(pdf, n))) .text(n + '쪽'), document.createTextNode(' ')); // 채움 문자는 획이 없어 그냥 넣으면 아무것도 안 보인다(작업자 지적). 통계.쪽별[n].filter(function (키) { return 볼키[키]; }) .forEach(function (키) { var 글자 = 통계.후보[키].글자; if (안보이는가(글자)) { $줄.append($('<b class="옛한글오타-빈이름">') .attr('title', 이름붙이기(글자)).text(짧은이름(글자)), document.createTextNode(' ')); } else { $줄.append(document.createTextNode(글자 + ' ')); } }); $줄.appendTo($요약); }); $판.append($요약); } function 페이지화면(pdf, 번호) { var $판 = 판만들기('옛한글 전사 오타 검사 — ' + 번호 + '쪽'); var $버튼 = $판.data('버튼'), $알림 = $판.data('알림'); function 표시(통계, 등급) { var 칠할까 = 판정기(통계, 등급); var 몸 = document.querySelector('.prp-page-content') || document.getElementById('mw-content-text'); var n = 0; if (mw.config.get('wgAction') === 'edit' || document.getElementById('wpTextbox1')) { n = 편집기다루기(칠할까, $판); } else if (몸) { n = 읽기칠하기(몸, 칠할까); } return n; } // 검사해 둔 것이 있으면 **네트워크를 전혀 쓰지 않고** 곧바로 표시한다. // 빈도표가 조금 낡아도 해롭지 않다 — 칠하는 것은 화면의 글자이기 때문. var 헌것 = 캐시읽기(pdf); if (헌것) { var 등급 = 고른등급(); var n = 표시(헌것, 등급); $알림.text((n ? '이 쪽에서 ' + n + '곳이 의심스럽습니다.' : '이 쪽에는 의심스러운 글자가 없습니다.') + ' (검사해 둔 것으로 바로 표시했습니다. 등급을 바꾸거나 ' + '전사문이 고쳐졌으면 다시 누르세요.)'); $버튼.text('다시 검사'); } else { $알림.text('이 문헌은 아직 검사하지 않았습니다. 누르면 문헌 전체를 셉니다.'); } $버튼.on('click', function () { var 등급 = 고른등급(); $버튼.prop('disabled', true); 통계얻기(pdf, function (한것, 전부, 어디) { $알림.text(어디 === '캐시' ? '받아 둔 것을 씁니다…' : (어디 === '일부' ? '바뀐 ' + 전부 + '쪽만 다시 받습니다…' : '문헌 전체를 세는 중… ' + 한것 + '/' + 전부 + '쪽')); }).then(function (통계) { $버튼.prop('disabled', false).text('다시 검사'); var n = 표시(통계, 등급); $알림.text(n ? ('이 쪽에서 ' + n + '곳이 의심스럽습니다.') : '이 쪽에는 의심스러운 글자가 없습니다.'); }, function (e) { $버튼.prop('disabled', false); $알림.text('실패했습니다: ' + (e && e.message ? e.message : e)); }); }); } function 시작() { var ns = mw.config.get('wgNamespaceNumber'); if (ns !== 색인NS && ns !== 페이지NS) return; var pdf = 색인이름(); if (!pdf) return; // 구문 강조가 켜지면 편집창이 숨겨져 setSelectionRange 가 안 통합니다. // 그때 쓰려고 인스턴스를 미리 붙잡아 둡니다. 이름은 판마다 다릅니다. ['ext.CodeMirror.ready', 'ext.CodeMirror.switch', 'ext.CodeMirror2.ready'].forEach(function (이름) { try { mw.hook(이름).add(function (a, b) { 코드미러 = (a && (a.view || a.getDoc)) ? a : (b && (b.view || b.getDoc)) ? b : 코드미러; }); } catch (e) {} }); mw.loader.using(['mediawiki.api', 'mediawiki.util']).then(function () { if (ns === 색인NS) 색인화면(pdf); else 페이지화면(pdf, 쪽번호()); }); } // 위키문헌 밖(시험용 빈 쪽)에서 불러도 터지지 않게 한다. if (typeof mw !== 'undefined' && typeof $ !== 'undefined') $(시작); /* * 밖에서 부를 수 있게 열어 둡니다 — **시험용**입니다. 소도구가 도는 데는 * 필요 없습니다. 규칙을 고쳤을 때 파이썬(`오타검사.py`)과 같은 답이 나오는지 * 대조하거나, 화면 만드는 부분을 위키문헌 밖에서 그려 볼 때 씁니다. * 방법은 CLAUDE.md '갈래가 둘' 2번. */ window.옛한글오타 = { // 판정 규칙 — 파이썬과 글자 그대로 같아야 하는 것들 글자들: 글자들, 가르기: 가르기, 본문글자: 본문글자, SIC구간: SIC구간, 건너뛸구간: 건너뛸구간, 본문자리: 본문자리, 커서옮기기: 커서옮기기, 쪽통계: 쪽통계, 합치기: 합치기, 문헌통계: 문헌통계, 판정기: 판정기, // 화면 읽기칠하기: 읽기칠하기, 편집기다루기: 편집기다루기, 색인표시: 색인표시, 판만들기: 판만들기, 짧은이름: 짧은이름, // 캐시 캐시읽기: 캐시읽기, 캐시쓰기: 캐시쓰기, 등급기억: 등급기억, 기억한등급: 기억한등급 }; }()); eszi3ajmdnfpb4ge75lyh7lfu2pecy2 459159 459144 2026-09-06T03:19:00Z Aspere 5453 459159 javascript text/javascript /** * 옛한글 전사 오타 검사 — 한국어 위키문헌 사용자 스크립트 * * 색인 문서나 페이지 문서에서 실행하면, 그 문헌 전체의 자모 빈도를 세어 * 오타로 의심되는 글자를 하이라이트합니다. 모델도 스캔도 쓰지 않고 * 전사문 텍스트만 봅니다. * * 판정 규칙은 프로젝트의 `오타검사.py` 와 같습니다. 이름만 영어로 옮겼습니다: * clusters=글자들 split=가르기 printedText=본문글자 * pageStats+mergeStats=문헌통계 makeTest=판정기 * 한쪽만 고치면 화면과 명령줄의 답이 달라집니다. 반드시 양쪽을 함께 고치세요. * * 설치: User:<이름>/common.js 에 * mw.loader.load('/w/index.php?title=User:<이름>/오타검사.js&action=raw&ctype=text/javascript'); */ /* global mw, $ */ (function () { 'use strict'; var CACHE_VER = 2; // 캐시 형식이 바뀌면 올린다 (헌 캐시는 그냥 안 읽힌다) // 2 = 2026-09-06, 속성 이름을 영어로 바꾸면서 var codeMirror = null; // 구문 강조가 켜져 있으면 그 인스턴스 (moveCaret 에서 씀) var INDEX_NS = 252, PAGE_NS = 250; // ko.wikisource 의 색인: / 페이지: // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 1. 판정 규칙 (오타검사.py 와 같은 규칙. 고칠 때는 양쪽을 함께) // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 채움 문자 — 눈에 보이지 않는다 var FILL = { 0x115F: 1, 0x1160: 1, 0x3164: 1, 0xFFA0: 1 }; // 채움 문자가 있어도 오타가 아닌, 실제로 쓰이는 형태 var OK_FORM = { 'ᅟᅵᆫ': 1 }; // ᅟᅵᆫ // 현대 한글 완성형으로 적을 수 있는 자모. 이 바깥이면 '안 쓰던 자모'(2등급), // 안쪽이면 '드문 자모'(3등급)로 나뉜다. var MODERN = { L: 'ᄀᄁᄂᄃᄄᄅᄆᄇᄈᄉᄊᄋᄌᄍᄎᄏᄐᄑᄒ', V: 'ᅡᅢᅣᅤᅥᅦᅧᅨᅩᅪᅫᅬᅭᅮᅯᅰᅱᅲᅳᅴᅵ', T: 'ᆨᆩᆪᆫᆬᆭᆮᆯᆰᆱᆲᆳᆴᆵᆶᆷᆸᆹᆺᆻᆼᆽᆾᆿᇀᇁᇂ' }; var LEVEL_NAME = ['구조 오류', '안 쓰던 자모', '드문 자모']; var RATIO = 0.0001; // 비율 0.01%. 3만 자~133만 자에서 일관됨(실측) var MIN_CHARS = 30000; // 이보다 적으면 통계가 흔들린다고 알린다 /** 첫가끝 자모열(ᄆ+ᆞ+ᆷ)을 한 글자로 묶어 배열로. */ function clusters(s) { var out = [], cur = ''; for (var i = 0; i < s.length; i++) { var ch = s[i], o = ch.charCodeAt(0); var isTail = (o >= 0x1160 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97F) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7FF); if (isTail && cur) { cur += ch; } else { if (cur) out.push(cur); cur = ch; } } if (cur) out.push(cur); return out; } /** * 글자 한 개 → {L, V, T}. * 완성형도 자모로 풀어 더한다 — '셔'+ᇰ 처럼 완성형 뒤에 첫가끝 종성을 붙이는 * 표기가 실제로 쓰이기 때문(석보상절). 채움 문자는 자모로 세지 않는다. */ function split(cl) { var L = '', V = '', T = ''; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var ch = cl[i], o = ch.charCodeAt(0); if (o >= 0xAC00 && o <= 0xD7A3) { // 현대 완성형은 나눗셈으로 var k = o - 0xAC00; L += String.fromCharCode(0x1100 + Math.floor(k / 588)); V += String.fromCharCode(0x1161 + Math.floor((k % 588) / 28)); if (k % 28) T += String.fromCharCode(0x11A7 + (k % 28)); } else if (FILL[o]) { continue; } else if ((o >= 0x1100 && o <= 0x115E) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97C)) { L += ch; } else if ((o >= 0x1161 && o <= 0x11A7) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7C6)) { V += ch; } else if ((o >= 0x11A8 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xD7CB && o <= 0xD7FB)) { T += ch; } } return { L: L, V: V, T: T }; } function isHangul(cl) { for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var o = cl.charCodeAt(i); if ((o >= 0x1100 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xAC00 && o <= 0xD7A3) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97F) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7FF)) return true; } return false; } /** * 위키문헌 원문 → 사람이 친 글자만 이어 붙인 한 줄. * 틀 안의 내용도 넣되 {{SIC}} 는 뺀다 (이미 원문 오식으로 판정된 자리). */ function printedText(raw) { var t = String(raw); t = t.replace(/<!--[\s\S]*?-->/g, ''); t = t.replace(/<noinclude>[\s\S]*?<\/noinclude>/gi, ''); // 머리말·꼬리말 t = t.replace(/<ref[^>]*\/>/gi, ''); t = t.replace(/<ref[^>]*>[\s\S]*?<\/ref>/gi, ''); // 편집자 주석 for (var i = 0; i < 20000; i++) { // 안쪽 틀부터 하나씩 푼다 var m = /\{\{([^{}]*)\}\}/.exec(t); if (!m) break; var parts = m[1].split('|'); var name = parts[0].trim(); var val = ''; if (!/^sic$/i.test(name)) { for (var k = 1; k < parts.length; k++) { if (!/^\s*[A-Za-z-]+\s*=/.test(parts[k])) val += parts[k]; } } t = t.slice(0, m.index) + val + t.slice(m.index + m[0].length); } t = t.replace(/^==.*?==$/gm, ''); t = t.replace(/\[\[[^|\]]*\|([^\]]*)\]\]/g, '$1'); t = t.replace(/\[\[([^\]]*)\]\]/g, '$1'); t = t.replace(/<[^>]+>/g, ''); return t.replace(/[\s​]+/g, ''); } /** * 쪽 하나의 셈. → { 글자수, 셈:{'L:ᄀ':3,…}, 구조:{'불완전:으ᇐ':1,…} } * 캐시에 이것만 담아 두면 **바뀐 쪽만 다시 세면** 됩니다. 한 쪽이 고쳐졌다고 * 문헌 전체를 다시 받지 않으려고 이렇게 나눠 두었습니다. */ function pageStats(raw) { var counts = {}, struct = {}, nchars = 0; clusters(printedText(raw)).forEach(function (cl) { var i, o; for (i = 0; i < cl.length; i++) { o = cl.charCodeAt(i); if (FILL[o] && !OK_FORM[cl]) bump(struct, '채움:' + o); } if (!isHangul(cl)) return; nchars++; var v = split(cl); var hasFill = false; for (i = 0; i < cl.length; i++) if (FILL[cl.charCodeAt(i)]) hasFill = true; if ((!v.L || !v.V) && !hasFill) { bump(struct, '불완전:' + cl); } else if (v.L.length > 1 || v.V.length > 1 || v.T.length > 1) { bump(struct, '겹침:' + cl); } ['L', 'V', 'T'].forEach(function (k) { for (var j = 0; j < v[k].length; j++) bump(counts, k + ':' + v[k][j]); }); }); return { nchars: nchars, counts: counts, struct: struct }; } /** 쪽마다의 셈을 합쳐 후보를 뽑는다. pageCounts: {쪽번호: pageStats() 결과} */ function mergeStats(pageCounts) { var allCounts = {}, allStruct = {}, nchars = 0; var where = {}; // 키 → {쪽번호: 개수} Object.keys(pageCounts).forEach(function (num) { var s = pageCounts[num]; if (!s) return; nchars += s.nchars || 0; Object.keys(s.counts || {}).forEach(function (key) { allCounts[key] = (allCounts[key] || 0) + s.counts[key]; (where[key] = where[key] || {})[num] = s.counts[key]; }); Object.keys(s.struct || {}).forEach(function (key) { allStruct[key] = (allStruct[key] || 0) + s.struct[key]; (where[key] = where[key] || {})[num] = s.struct[key]; }); }); var cands = {}, byPage = {}; Object.keys(allStruct).forEach(function (key) { // 구조 오류 = 1등급 var bits = key.split(':'); cands[key] = { level: 0, kind: bits[0], count: allStruct[key], letter: bits[0] === '채움' ? String.fromCharCode(+bits[1]) : bits[1] }; note(byPage, where[key], key); }); if (nchars) { // 자모 빈도 꼬리 Object.keys(allCounts).forEach(function (key) { var c = allCounts[key]; if (c / nchars >= RATIO) return; var k = key.charAt(0), ch = key.slice(2); cands[key] = { level: MODERN[k].indexOf(ch) >= 0 ? 2 : 1, kind: k, letter: ch, count: c }; note(byPage, where[key], key); }); } return { nchars: nchars, cands: cands, byPage: byPage, npages: Object.keys(pageCounts).length }; } function bump(tab, key) { tab[key] = (tab[key] || 0) + 1; } function note(byPage, spots, key) { if (!spots) return; Object.keys(spots).forEach(function (num) { if (!byPage[num]) byPage[num] = []; byPage[num].push(key); }); } /** * 통계와 등급으로부터 '이 글자를 칠할 것인가'를 판정하는 함수를 만든다. * 하이라이트는 저장된 위치가 아니라 **지금 화면의 글자**로 매번 새로 칠한다. * 그래서 오타를 고치고 새로고침하면 캐시가 살아 있어도 바로 사라진다. */ function makeTest(stats, level) { var tail = { L: {}, V: {}, T: {} }; Object.keys(stats.cands).forEach(function (key) { var c = stats.cands[key]; if (c.level >= level) return; // 등급은 쌓아 올린다 if (c.kind === 'L' || c.kind === 'V' || c.kind === 'T') tail[c.kind][c.letter] = 1; }); var structOn = level >= 1; return function (cl) { var i, o; if (structOn) { if (!OK_FORM[cl]) { for (i = 0; i < cl.length; i++) if (FILL[cl.charCodeAt(i)]) return true; } if (isHangul(cl)) { var v0 = split(cl), hasFill = false; for (i = 0; i < cl.length; i++) if (FILL[cl.charCodeAt(i)]) hasFill = true; if ((!v0.L || !v0.V) && !hasFill) return true; if (v0.L.length > 1 || v0.V.length > 1 || v0.T.length > 1) return true; } } if (!isHangul(cl)) return false; var v = split(cl); for (var k of ['L', 'V', 'T']) { for (i = 0; i < v[k].length; i++) if (tail[k][v[k][i]]) return true; } return false; }; } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 2. 위키문헌에서 받아 오기 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var api = null; function API() { if (!api) api = new mw.Api(); return api; } function pageTitle(pdf, n) { var NS = mw.config.get('wgFormattedNamespaces')[PAGE_NS] || '페이지'; return NS + ':' + pdf + '/' + n; } /** 색인 하위 쪽의 최신 판 번호만. 500쪽씩 오므로 빠르다(784쪽에 2번·3초). */ function fetchList(pdf) { var res = {}; function once(cont) { var q = { action: 'query', generator: 'allpages', gapnamespace: PAGE_NS, gapprefix: pdf + '/', gaplimit: 500, prop: 'info', formatversion: 2 }; Object.keys(cont || {}).forEach(function (k) { q[k] = cont[k]; }); return API().get(q).then(function (r) { ((r.query || {}).pages || []).forEach(function (p) { var m = /\/(\d+)$/.exec(p.title); if (m) res[+m[1]] = p.lastrevid; }); return r.continue ? once(r.continue) : res; }); } return once(null); } /** * 쪽 본문을 받아 온다. 본문은 **한 번에 50쪽까지만** 옵니다 — * 500쪽씩 달라고 하면 같은 쪽을 되풀이해 주고 본문은 안 옵니다(실측). */ function fetchText(pdf, nums, onStep) { var res = [], left = nums.slice(); function next() { if (!left.length) return $.Deferred().resolve(res).promise(); var batch = left.splice(0, 50); var titles = batch.map(function (n) { return pageTitle(pdf, n); }); return API().get({ action: 'query', titles: titles.join('|'), prop: 'revisions', rvprop: 'content|ids', rvslots: 'main', formatversion: 2 }).then(function (r) { ((r.query || {}).pages || []).forEach(function (p) { var rev = (p.revisions || [])[0]; var body = rev && rev.slots && rev.slots.main && rev.slots.main.content; var m = /\/(\d+)$/.exec(p.title); if (body && m) res.push({ num: +m[1], raw: body, revid: rev.revid }); }); if (onStep) alarm(onStep, res.length, nums.length); return next(); }); } return next(); } function alarm(fn, done, all) { try { fn(done, all); } catch (e) {} } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 3. 캐시 — 빈도표만 담는다. 하이라이트 위치는 담지 않는다. // localStorage 를 쓴다. sessionStorage 는 탭마다 따로라, 색인에서 검사한 뒤 // 쪽을 새 탭으로 열면 처음부터 다시 받게 된다(실제로 겪은 문제). // 낡아도 해롭지 않다 — 하이라이트는 화면의 글자를 그때그때 보고 칠하므로, // 오타를 고치면 캐시와 상관없이 바로 사라진다. // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var PREFIX = '옛한글오타:'; var store = (function () { var tries = []; try { tries.push(window.localStorage); } catch (e) {} try { tries.push(window.sessionStorage); } catch (e) {} for (var i = 0; i < tries.length; i++) { try { tries[i].setItem(PREFIX + 'test', '1'); tries[i].removeItem(PREFIX + 'test'); return tries[i]; } catch (e) {} } return null; }()); function cacheKey(pdf) { return PREFIX + CACHE_VER + ':' + pdf; } function cacheGet(pdf) { if (!store) return null; try { var s = store.getItem(cacheKey(pdf)); return s ? JSON.parse(s) : null; } catch (e) { return null; } } function cacheSet(pdf, obj) { if (!store) return; obj.written = Date.now(); var text = JSON.stringify(obj); try { store.setItem(cacheKey(pdf), text); } catch (e) { // 자리가 모자라면 헌 것부터 버리고 다시 evict(cacheKey(pdf)); try { store.setItem(cacheKey(pdf), text); } catch (e2) {} } } /** 이 소도구가 넣어 둔 다른 문헌의 캐시를 오래된 것부터 버린다. */ function evict(keep) { var olds = []; for (var i = 0; i < store.length; i++) { var k = store.key(i); if (k && k.indexOf(PREFIX) === 0 && k !== keep && k !== PREFIX + 'level') { var t = 0; try { t = (JSON.parse(store.getItem(k)) || {}).written || 0; } catch (e) {} olds.push([t, k]); } } olds.sort(function (a, b) { return a[0] - b[0]; }); olds.forEach(function (x) { try { store.removeItem(x[1]); } catch (e) {} }); } /** 고른 등급을 기억한다 — 색인에서 3을 골랐으면 쪽에서도 3이 기본이 되도록. */ function saveLevel(g) { if (store) { try { store.setItem(PREFIX + 'level', String(g)); } catch (e) {} } } function savedLevel() { if (!store) return 2; try { var v = +store.getItem(PREFIX + 'level'); return (v === 1 || v === 2 || v === 3) ? v : 2; } catch (e) { return 2; } } /** * 문헌 통계를 얻는다. * * 캐시에는 **쪽마다의 셈과 최신 판 번호**를 넣는다 — 전사문 자체는 넣지 않는다 * (셩경 개역이면 전사문이 5MB 가 넘는다. 쪽별 셈은 632KB). * 그래서 **바뀐 쪽만 다시 받아** 다시 세면 된다. 한 쪽 고친 뒤 다시 검사하면 * 쪽 목록 확인 3초 + 그 한 쪽만 받으면 끝난다. */ function getStats(pdf, onStep) { return fetchList(pdf).then(function (revid) { var old = cacheGet(pdf) || {}; var pageCounts = old.pageCounts || {}; var oldRev = old.revid || {}; Object.keys(pageCounts).forEach(function (n) { // 사라진 쪽은 버린다 if (!revid[n]) delete pageCounts[n]; }); var nums = Object.keys(revid).map(Number).sort(function (a, b) { return a - b; }); var todo = nums.filter(function (n) { return !pageCounts[n] || String(oldRev[n]) !== String(revid[n]); }); function finish() { var stats = mergeStats(pageCounts); stats.revid = revid; stats.pageCounts = pageCounts; cacheSet(pdf, stats); return stats; } if (!todo.length) { alarm(onStep, nums.length, nums.length, '캐시'); return finish(); } alarm(onStep, 0, todo.length, todo.length < nums.length ? '일부' : null); return fetchText(pdf, todo, onStep).then(function (fresh) { fresh.forEach(function (p) { pageCounts[p.num] = pageStats(p.raw); }); return finish(); }); }); } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 4. 화면 칠하기 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var CSS_TEXT = [ '.oht-panel { border:1px solid #a2a9b1; background:#f8f9fa; border-radius:4px;', ' padding:10px 12px; margin:8px 0; font-size:14px; }', '.oht-panel h4 { margin:0 0 6px; font-size:15px; }', '.oht-panel label { margin-right:12px; cursor:pointer; }', '.oht-panel .oht-desc { color:#54595d; font-size:12px; margin:4px 0 8px; }', '.oht-panel .oht-note { color:#54595d; font-size:13px; margin-left:8px; }', '.oht-hit { background:#ffe14d; border-radius:3px; padding:0 1px;', ' box-shadow:0 0 0 1px #d4a000 inset; }', // 채움 문자는 획이 없어 칠해도 안 보인다. 이름표를 대신 세워 준다. '.oht-blank::after { content:"(빈 글자)"; font-size:11px; color:#fff;', ' background:#c0392b; border-radius:3px; padding:1px 4px; margin:0 1px;', ' vertical-align:middle; white-space:nowrap; }', '.oht-page { outline:2px solid #d33; outline-offset:1px; background:#fee7e6; }', '.oht-list { max-height:260px; overflow-y:auto; margin-top:8px; }', '.oht-list div { padding:3px 4px; border-bottom:1px solid #eaecf0; cursor:pointer; }', '.oht-list div:hover { background:#eaf3ff; }', '.oht-list div.oht-now { background:#fff3cd; box-shadow:0 0 0 2px #d4a000 inset; }', '.oht-list .oht-pageno { color:#54595d; font-size:12px; margin-right:6px }', '.oht-list .oht-at { color:#3366cc; font-size:12px; margin-right:8px;', ' background:#eaf3ff; border-radius:3px; padding:1px 5px; white-space:nowrap }', '.oht-stuck { color:#c0392b; font-size:13px; margin-top:6px }', '.oht-list b { font-size:17px; background:#ffe14d; border-radius:3px; }', '.oht-blankname { font-size:12px !important; color:#fff; background:#c0392b !important;', ' border-radius:3px; padding:1px 5px; }', ].join('\n'); function addCSS() { if (document.getElementById('oht-css')) return; var st = document.createElement('style'); st.id = 'oht-css'; st.textContent = CSS_TEXT; document.head.appendChild(st); } /** * 이 자리가 {{SIC}} 안인가 — 읽기 화면에서. * {{SIC|와}} 는 `<span class="wst-tooltip" title="[문자 그대로]">와</span>` 로 * 그려집니다. 원문에서는 printedText() 가 걷어내지만, 읽기 화면은 **화면에 그려진 * 글자**를 보므로 여기서 따로 건너뛰어야 합니다. 틀 이름의 대소문자와 무관합니다 * (`{{sic}}` 는 `틀:SIC` 로 넘겨주기). */ function inSIC(el) { for (var e = el; e && e.nodeType === 1; e = e.parentNode) { var t = e.getAttribute && e.getAttribute('title'); if (t && t.indexOf('문자 그대로') >= 0) return true; if (e === document.body) break; } return false; } var FILL_NAME = { 0x115F: '초성 채움 문자 U+115F', 0x1160: '중성 채움 문자 U+1160', 0x3164: '한글 채움 문자 U+3164', 0xFFA0: '한글 채움 문자 U+FFA0' }; /** 사람이 읽을 수 있는 이름. 눈에 안 보이는 글자를 말로 알려 주려고. */ function longName(cl) { var msg = []; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var o = cl.charCodeAt(i); if (FILL[o]) msg.push(FILL_NAME[o] || ('채움 문자 U+' + o.toString(16).toUpperCase())); } if (!msg.length) return cl; return (isBlank(cl) ? '' : cl + ' 안에 ') + msg.join(', '); } /** 목록·요약에 쓸 짧은 이름. 안 보이는 글자는 코드값으로 대신 보인다. */ function shortName(cl) { if (!isBlank(cl)) return cl; var codes = []; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { codes.push('U+' + cl.charCodeAt(i).toString(16).toUpperCase()); } return '빈 글자 ' + codes.join('+'); } /** 눈에 보이는 획이 하나도 없는 글자인가 (채움 문자만으로 된 것). */ function isBlank(cl) { for (var i = 0; i < cl.length; i++) if (!FILL[cl.charCodeAt(i)]) return false; return cl.length > 0; } /** 읽기 화면의 글자를 칠한다. 이미 칠한 것은 지우고 다시 칠한다. */ function paintRead(root, isBad) { addCSS(); // 혼자 불려도 색이 나오도록 [].forEach.call(root.querySelectorAll('.oht-hit'), function (el) { el.parentNode.replaceChild(document.createTextNode(el.textContent), el); }); root.normalize(); var nHit = 0; var walker = document.createTreeWalker(root, NodeFilter.SHOW_TEXT, { acceptNode: function (n) { if (!n.nodeValue) return NodeFilter.FILTER_REJECT; var p = n.parentNode; if (!p || /^(SCRIPT|STYLE|TEXTAREA)$/.test(p.nodeName)) return NodeFilter.FILTER_REJECT; if (inSIC(p)) return NodeFilter.FILTER_REJECT; return NodeFilter.FILTER_ACCEPT; } }); var nodes = [], n; while ((n = walker.nextNode())) nodes.push(n); if (!nodes.length) return 0; // 글자를 **이어 붙인 글**에서 나눈다. 태그가 첫가끝 글자 한복판을 가르는 일이 // 있는데(`ᄒ<b>ᆞᆫ</b>`), 마디마다 따로 나누면 그 조각이 '구조 오류'로 // 잘못 잡힌다. 시험에서 실제로 걸린 문제다. var text = '', pos = []; // 글자 하나하나가 어느 마디의 몇 번째인지 nodes.forEach(function (node, ni) { for (var i = 0; i < node.nodeValue.length; i++) { pos.push([ni, i]); } text += node.nodeValue; }); var marks = []; // 마디번호 → [[시작, 끝], …] var at = 0; clusters(text).forEach(function (cl) { var first = pos[at], last = pos[at + cl.length - 1]; at += cl.length; if (!isBad(cl)) return; nHit++; if (first[0] !== last[0]) return; // 마디 둘에 걸친 글자는 세기만 한다 if (!marks[first[0]]) marks[first[0]] = []; marks[first[0]].push([first[1], last[1] + 1]); }); nodes.forEach(function (node, ni) { var spots = marks[ni]; if (!spots || !spots.length) return; var frag = document.createDocumentFragment(), copied = 0, val = node.nodeValue; spots.forEach(function (r) { if (r[0] > copied) frag.appendChild(document.createTextNode(val.slice(copied, r[0]))); var letter = val.slice(r[0], r[1]); var sp = document.createElement('span'); sp.className = 'oht-hit'; sp.title = '오타 의심 — ' + longName(letter); // 채움 문자는 획이 없어 칠해도 아무것도 안 보인다. 이름표를 붙인다. if (isBlank(letter)) sp.className += ' oht-blank'; sp.textContent = letter; frag.appendChild(sp); copied = r[1]; }); if (copied < val.length) frag.appendChild(document.createTextNode(val.slice(copied))); node.parentNode.replaceChild(frag, node); }); return nHit; } /** * 편집 화면 — 의심 글자를 문맥과 함께 목록으로 보이고, 누르면 편집창의 그 자리를 * 선택해 준다. * * `<textarea>` 안의 글자에는 색을 칠할 수 없어서 목록으로 갑니다. CodeMirror 위에 * 칠하는 것도 해 봤지만(CSS Highlight API) 실제 위키문헌에서 동작하지 않아 * 2026-09-05 에 걷어냈습니다. CM6 이 화면 밖 줄을 지웠다 다시 만들기 때문으로 * 보이는데, 목록이 오타 사이를 오가기에는 더 편하기도 합니다. */ /** * 편집기 목록에서 **건너뛸** 원문 구간들. `printedText()` 가 세지 않는 곳입니다. * * 편집기 목록은 원문을 그대로 훑기 때문에(자리를 그대로 맞추려고) 통계가 세지 * 않는 곳까지 봅니다. 그러면 `{{옛한글/끝}}` 의 '끝' 같은 **틀 이름**이 후보로 * 올라옵니다(시험에서 실제로 걸렸습니다). 통계와 목록을 맞추려고 걸러 냅니다. * · {{SIC|…}} 통째로 — 이미 사람이 원문 오식이라 판정한 자리 * · <noinclude>…</noinclude> 머리말·꼬리말 * · <ref>…</ref> 편집자 주석, <!-- 주석 --> * · 틀 이름 — `{{` 부터 첫 `|` 또는 `}}` 까지 */ function skipRanges(raw) { var out = []; // 짝이 맞는 틀 끝을 찾는다 function braceEnd(i) { var depth = 0; for (var j = i; j < raw.length - 1; j++) { if (raw[j] === '{' && raw[j + 1] === '{') { depth++; j++; } else if (raw[j] === '}' && raw[j + 1] === '}') { depth--; j++; if (depth === 0) return j + 1; } } return raw.length; } var re = /\{\{/g, m; while ((m = re.exec(raw))) { var start = m.index, end = braceEnd(start); var inner = raw.slice(start + 2, end - 2); var nameEnd = inner.search(/[|}\n]/); if (nameEnd < 0) nameEnd = inner.length; if (/^\s*sic\s*$/i.test(inner.slice(0, nameEnd))) { out.push([start, end]); // SIC 는 통째로 } else { out.push([start, start + 2 + nameEnd]); // 나머지는 이름만 } } [/<noinclude>[\s\S]*?<\/noinclude>/gi, /<ref[^>]*>[\s\S]*?<\/ref>/gi, /<!--[\s\S]*?-->/g].forEach(function (r) { var x; while ((x = r.exec(raw))) out.push([x.index, x.index + x[0].length]); }); return out; } /** * 편집창에서 그 자리가 화면 가운데로 오게 굴린다. * * `setSelectionRange` 만 해도 브라우저가 알아서 굴려 주지만(실측 확인), 글자가 * 화면 맨 끝에 걸려 눈에 안 띕니다. 그래서 **거울 div** 로 그 자리의 높이를 재서 * 가운데로 맞춥니다. 재는 데 실패하면 아무것도 안 하고 브라우저에 맡깁니다. * * ⚠ 예전에 여기서 `(줄 번호 − 4) × 20` 으로 굴렸는데, **줄바꿈이 없는 문헌에서는 * 줄 번호가 늘 1 이라 맨 위로 되돌려 버렸습니다.** 줄 번호로 굴리지 마세요. */ function centerOn(ta, pos) { try { var cs = window.getComputedStyle(ta); var d = document.createElement('div'); ['fontFamily', 'fontSize', 'fontWeight', 'fontStyle', 'letterSpacing', 'lineHeight', 'wordSpacing', 'textIndent', 'textTransform', 'tabSize', 'wordBreak', 'overflowWrap', 'boxSizing', 'paddingTop', 'paddingRight', 'paddingBottom', 'paddingLeft', 'borderTopWidth', 'borderRightWidth', 'borderBottomWidth', 'borderLeftWidth' ].forEach(function (k) { d.style[k] = cs[k]; }); d.style.position = 'absolute'; d.style.top = '-9999px'; d.style.visibility = 'hidden'; d.style.width = ta.clientWidth + 'px'; d.style.height = 'auto'; d.style.whiteSpace = 'pre-wrap'; d.textContent = ta.value.slice(0, pos); var mark = document.createElement('span'); mark.textContent = '​'; d.appendChild(mark); document.body.appendChild(d); var y = mark.offsetTop; document.body.removeChild(d); if (y > 0) ta.scrollTop = Math.max(0, y - ta.clientHeight / 2); } catch (e) {} // 못 재면 브라우저가 굴려 놓은 대로 둔다 } /** * 목록에서 누른 자리로 커서를 옮긴다. * 구문 강조(CodeMirror)가 켜져 있으면 편집창이 숨겨져 있어 `setSelectionRange` * 로는 아무 일도 일어나지 않습니다. 그때는 CodeMirror 에게 직접 시킵니다. * 반환: 옮겼으면 true. */ function moveCaret(ta, start, end) { var cm = codeMirror; if (cm && cm.view && cm.view.dispatch) { // CodeMirror 6 try { cm.view.dispatch({ selection: { anchor: start, head: end }, scrollIntoView: true }); cm.view.focus(); return true; } catch (e) {} } if (cm && cm.getDoc && cm.setSelection) { // CodeMirror 5 try { var doc = cm.getDoc(); cm.setSelection(doc.posFromIndex(start), doc.posFromIndex(end)); cm.scrollIntoView(null, 100); cm.focus(); return true; } catch (e) {} } if (ta.offsetParent === null) return false; // 숨어 있으면 소용없다 ta.focus(); ta.setSelectionRange(start, end); centerOn(ta, start); return true; } /** * 원문에서 pos 앞에 인쇄된 글자가 몇 개인가 — "본문 137자째" 를 보여 주려고. * 띄어쓰기가 없는 문헌에서는 앞뒤 문맥만으로 자리를 찾기 어렵다는 작업자 지적. * 줄 번호는 쓸 수 없습니다(줄바꿈이 없는 문헌이 많음). */ function textOffset(raw, pos) { var head = raw.slice(0, pos); var open = head.lastIndexOf('{{'); // 끝에 안 닫힌 틀이 남으면 if (open >= 0 && head.indexOf('}}', open) < 0) { head = head.slice(0, open); // 그 틀 이름이 글자로 세어진다 } return clusters(printedText(head)).length; } function listInEditor(isBad, $panel) { addCSS(); var ta = document.getElementById('wpTextbox1'); if (!ta) return 0; $panel.find('.oht-list').remove(); // 다시 눌렀을 때 겹치지 않게 $panel.find('.oht-stuck').remove(); var raw = ta.value; var skips = skipRanges(raw); function skipped(i) { return skips.some(function (r) { return i >= r[0] && i < r[1]; }); } // 원문에서 곧바로 찾는다. 자리 옮김이 없어 편집창 위치와 그대로 맞는다. var ls = clusters(raw), hits = [], at = 0; ls.forEach(function (cl) { if (isBad(cl) && !skipped(at)) { hits.push({ start: at, end: at + cl.length, letter: cl }); } at += cl.length; }); if (!hits.length) return 0; var total = clusters(printedText(raw)).length; var $list = $('<div class="oht-list">'); var stuck = false; hits.forEach(function (a, k) { var before = raw.slice(Math.max(0, a.start - 14), a.start).replace(/\n/g, ' '); var after = raw.slice(a.end, a.end + 14).replace(/\n/g, ' '); // 채움 문자는 획이 없어 그냥 넣으면 목록에서도 안 보인다. var $mid = isBlank(a.letter) ? $('<b class="oht-blankname">').text(shortName(a.letter)) : $('<b>').text(a.letter); var nth = textOffset(raw, a.start); $('<div>').attr('title', longName(a.letter)).append( $('<span class="oht-pageno">').text((k + 1) + '/' + hits.length), // 띄어쓰기가 없는 문헌은 문맥만으로 자리를 못 찾습니다(작업자 지적). $('<span class="oht-at">').text('본문 ' + nth + '자째' + (total ? ' / ' + total : '')), document.createTextNode('…' + before), $mid, document.createTextNode(after + '…') ).on('click', function () { $list.find('.oht-now').removeClass('oht-now'); $(this).addClass('oht-now'); if (!moveCaret(ta, a.start, a.end)) { $panel.find('.oht-stuck').show(); } }).appendTo($list); }); $panel.append($('<div class="oht-desc">').text( '누르면 편집창에서 그 글자로 커서가 갑니다. 차례로 눌러 가며 고치세요. ' + "'본문 …자째' 는 그 쪽에 인쇄된 글자를 처음부터 센 번호입니다."), $list); $panel.append($('<div class="oht-stuck" style="display:none">').text( '편집창이 숨어 있어 커서를 옮기지 못했습니다. 구문 강조를 끄고 다시 해 보세요.')); return hits.length; } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 5. 판 (화면 위젯) // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── function makePanel(title) { addCSS(); var $panel = $('<div class="oht-panel">').append($('<h4>').text(title)); var def = savedLevel(); // 색인에서 3을 골랐으면 쪽에서도 3으로 var $row = $('<div>'); [1, 2, 3].forEach(function (g) { $row.append($('<label>').append( $('<input type="radio" name="oht-level">').val(g).prop('checked', g === def), document.createTextNode(' ' + g + '. ' + LEVEL_NAME[g - 1]) )); }); $row.on('change', 'input', function () { saveLevel(+this.value); }); var $btn = $('<button>').text('검사'); var $note = $('<span class="oht-note">'); $panel.append($row, $('<div class="oht-desc">').text('등급은 쌓아 올립니다 — 2를 고르면 1도 함께 봅니다.'), $btn, $note); $panel.data({ btn: $btn, note: $note }); var $host = $('#mw-content-text'); if ($host.length) $host.prepend($panel); else $('#content').prepend($panel); return $panel; } function chosenLevel() { return +($('input[name="oht-level"]:checked').val() || 2); } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 6. 시작 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── function docName() { var t = mw.config.get('wgPageName').replace(/_/g, ' '); var ns = mw.config.get('wgNamespaceNumber'); if (ns === INDEX_NS) return t.replace(/^[^:]+:/, ''); if (ns === PAGE_NS) return t.replace(/^[^:]+:/, '').replace(/\/\d+$/, ''); return null; } function pageNum() { var m = /\/(\d+)$/.exec(mw.config.get('wgPageName')); return m ? +m[1] : null; } function indexScreen(pdf) { var $panel = makePanel('옛한글 전사 오타 검사'); var $btn = $panel.data('btn'), $note = $panel.data('note'); $btn.on('click', function () { var level = chosenLevel(); $btn.prop('disabled', true); $note.text('쪽 목록을 받는 중…'); getStats(pdf, function (done, all, from) { $note.text(from === '캐시' ? '받아 둔 것을 씁니다…' : (from === '일부' ? '바뀐 ' + all + '쪽만 다시 받습니다…' : '전사문을 받는 중… ' + done + '/' + all + '쪽')); }).then(function (stats) { $btn.prop('disabled', false); indexShow(stats, level, $panel, $note, pdf); }, function (e) { $btn.prop('disabled', false); $note.text('실패했습니다: ' + (e && e.message ? e.message : e)); }); }); } function indexShow(stats, level, $panel, $note, pdf) { $panel.find('.oht-summary').remove(); // 지난번에 칠한 것을 되돌린다. // ⚠ `title` 을 건드리므로 **반드시 원래 제목으로 되돌려야** 합니다. // 쪽 번호는 제목이 `…/12` 로 끝나는 것에서 읽는데, 칠할 때 뒤에 말을 붙이면 // 다음 번에는 그 링크를 못 찾습니다. 그래서 두 번째로 '검사'를 누르면 // "쪽 링크를 찾지 못했다"가 뜨는 문제가 있었습니다(작업자 지적). $('#mw-content-text a[data-oht-title]').each(function () { this.setAttribute('title', this.getAttribute('data-oht-title')); this.removeAttribute('data-oht-title'); this.classList.remove('oht-page'); }); $('.oht-page').removeClass('oht-page'); var shown = {}; Object.keys(stats.cands).forEach(function (key) { if (stats.cands[key].level < level) shown[key] = 1; }); var bad = {}; Object.keys(stats.byPage).forEach(function (n) { var c = stats.byPage[n].filter(function (key) { return shown[key]; }).length; if (c) bad[n] = c; }); // 색인의 쪽 링크를 칠한다. (내가 만든 판 안의 링크는 빼고) var painted = 0, links = 0; $('#mw-content-text a').not('.oht-panel a').each(function () { var oldTitle = this.getAttribute('data-oht-title') || this.getAttribute('title') || ''; var m = /\/(\d+)$/.exec(oldTitle); if (!m || oldTitle.indexOf(pdf) < 0) return; links++; if (bad[+m[1]]) { this.setAttribute('data-oht-title', oldTitle); // 되돌릴 수 있게 남긴다 this.setAttribute('title', oldTitle + ' — 오타 의심 ' + bad[+m[1]] + '곳'); this.classList.add('oht-page'); painted++; } }); var npages = Object.keys(bad).length; $note.text(stats.npages + '쪽 · ' + stats.nchars.toLocaleString() + '자 · ' + '의심 ' + Object.keys(shown).length + '종 / ' + npages + '쪽' + (stats.nchars < MIN_CHARS ? ' ※ 3만 자 미만이라 통계가 흔들립니다' : '')); var $sum = $('<div class="oht-summary oht-list">'); if (!npages) { $sum.append($('<div>').text('후보가 없습니다.')); } else if (!links) { // 이 색인에 쪽 목록이 아예 없을 때만 알린다. '칠한 수가 0' 으로 판정하면 // 안 됩니다 — 고칠 것이 남은 쪽이 링크에 없을 때도 0 이 되니까요. $sum.append($('<div>').text( '이 색인에서는 쪽 링크를 찾지 못했습니다. 아래 목록으로 가세요.')); } Object.keys(bad).map(Number).sort(function (a, b) { return a - b; }) .forEach(function (n) { var $row = $('<div>').append( $('<a>').attr('href', mw.util.getUrl(pageTitle(pdf, n))) .text(n + '쪽'), document.createTextNode(' ')); // 채움 문자는 획이 없어 그냥 넣으면 아무것도 안 보인다(작업자 지적). stats.byPage[n].filter(function (key) { return shown[key]; }) .forEach(function (key) { var letter = stats.cands[key].letter; if (isBlank(letter)) { $row.append($('<b class="oht-blankname">') .attr('title', longName(letter)).text(shortName(letter)), document.createTextNode(' ')); } else { $row.append(document.createTextNode(letter + ' ')); } }); $row.appendTo($sum); }); $panel.append($sum); } function pageScreen(pdf, num) { var $panel = makePanel('옛한글 전사 오타 검사 — ' + num + '쪽'); var $btn = $panel.data('btn'), $note = $panel.data('note'); function show(stats, level) { var isBad = makeTest(stats, level); var bodyEl = document.querySelector('.prp-page-content') || document.getElementById('mw-content-text'); var n = 0; if (mw.config.get('wgAction') === 'edit' || document.getElementById('wpTextbox1')) { n = listInEditor(isBad, $panel); } else if (bodyEl) { n = paintRead(bodyEl, isBad); } return n; } // 검사해 둔 것이 있으면 **네트워크를 전혀 쓰지 않고** 곧바로 표시한다. // 빈도표가 조금 낡아도 해롭지 않다 — 칠하는 것은 화면의 글자이기 때문. var old = cacheGet(pdf); if (old) { var level = chosenLevel(); var n = show(old, level); $note.text((n ? '이 쪽에서 ' + n + '곳이 의심스럽습니다.' : '이 쪽에는 의심스러운 글자가 없습니다.') + ' (검사해 둔 것으로 바로 표시했습니다. 등급을 바꾸거나 ' + '전사문이 고쳐졌으면 다시 누르세요.)'); $btn.text('다시 검사'); } else { $note.text('이 문헌은 아직 검사하지 않았습니다. 누르면 문헌 전체를 셉니다.'); } $btn.on('click', function () { var level = chosenLevel(); $btn.prop('disabled', true); getStats(pdf, function (done, all, from) { $note.text(from === '캐시' ? '받아 둔 것을 씁니다…' : (from === '일부' ? '바뀐 ' + all + '쪽만 다시 받습니다…' : '문헌 전체를 세는 중… ' + done + '/' + all + '쪽')); }).then(function (stats) { $btn.prop('disabled', false).text('다시 검사'); var n = show(stats, level); $note.text(n ? ('이 쪽에서 ' + n + '곳이 의심스럽습니다.') : '이 쪽에는 의심스러운 글자가 없습니다.'); }, function (e) { $btn.prop('disabled', false); $note.text('실패했습니다: ' + (e && e.message ? e.message : e)); }); }); } function start() { var ns = mw.config.get('wgNamespaceNumber'); if (ns !== INDEX_NS && ns !== PAGE_NS) return; var pdf = docName(); if (!pdf) return; // 구문 강조가 켜지면 편집창이 숨겨져 setSelectionRange 가 안 통합니다. // 그때 쓰려고 인스턴스를 미리 붙잡아 둡니다. 이름은 판마다 다릅니다. ['ext.CodeMirror.ready', 'ext.CodeMirror.switch', 'ext.CodeMirror2.ready'].forEach(function (name) { try { mw.hook(name).add(function (a, b) { codeMirror = (a && (a.view || a.getDoc)) ? a : (b && (b.view || b.getDoc)) ? b : codeMirror; }); } catch (e) {} }); mw.loader.using(['mediawiki.api', 'mediawiki.util']).then(function () { if (ns === INDEX_NS) indexScreen(pdf); else pageScreen(pdf, pageNum()); }); } // 위키문헌 밖(시험용 빈 쪽)에서 불러도 터지지 않게 한다. if (typeof mw !== 'undefined' && typeof $ !== 'undefined') $(start); }()); km8erowtkg8im45fg9fwdk63ex7x4be 459172 459159 2026-09-06T04:26:10Z Aspere 5453 459172 javascript text/javascript // 옛한글 오타 (입력 실수) 검사해주는 소도구 // 설명은 [[사용자:Aspere/옛한글 오타 검사 소도구]] 참조 (function () { 'use strict'; var CACHE_VER = 2; // 이 번호를 바꾸면 캐시가 강제 갱신됨 var codeMirror = null; // 구문 강조가 켜져 있으면 그 인스턴스 (moveCaret 에서 씀) var INDEX_NS = 252, PAGE_NS = 250; // 이름공간 번호 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 1. 판정 규칙 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 채움 문자 — 눈에 보이지 않는다 var FILL = { 0x115F: 1, 0x1160: 1, 0x3164: 1, 0xFFA0: 1 }; // 채움 문자가 있어도 오타가 아닌, 실제로 쓰이는 형태 var OK_FORM = { 'ᅟᅵᆫ': 1 }; // ᅟᅵᆫ // 현대 한글 완성형으로 적을 수 있는 자모. 이 바깥이면 '안 쓰던 자모'(2등급), // 안쪽이면 '드문 자모'(3등급)로 나뉜다. var MODERN = { L: 'ᄀᄁᄂᄃᄄᄅᄆᄇᄈᄉᄊᄋᄌᄍᄎᄏᄐᄑᄒ', V: 'ᅡᅢᅣᅤᅥᅦᅧᅨᅩᅪᅫᅬᅭᅮᅯᅰᅱᅲᅳᅴᅵ', T: 'ᆨᆩᆪᆫᆬᆭᆮᆯᆰᆱᆲᆳᆴᆵᆶᆷᆸᆹᆺᆻᆼᆽᆾᆿᇀᇁᇂ' }; var LEVEL_NAME = ['구조 오류', '안 쓰던 자모', '드문 자모']; var RATIO = 0.0001; // 비율 0.01%. 3만 자~133만 자에서 일관됨(실측) var MIN_CHARS = 30000; // 이보다 적으면 통계가 흔들린다고 알린다 /** 첫가끝 자모열(ᄆ+ᆞ+ᆷ)을 한 글자로 묶어 배열로. */ function clusters(s) { var out = [], cur = ''; for (var i = 0; i < s.length; i++) { var ch = s[i], o = ch.charCodeAt(0); var isTail = (o >= 0x1160 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97F) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7FF); if (isTail && cur) { cur += ch; } else { if (cur) out.push(cur); cur = ch; } } if (cur) out.push(cur); return out; } /** * 글자 한 개 → {L, V, T}. * 완성형도 자모로 풀어 더한다 — '셔'+ᇰ 처럼 완성형 뒤에 첫가끝 종성을 붙이는 * 표기가 실제로 쓰이기 때문(석보상절). 채움 문자는 자모로 세지 않는다. */ function split(cl) { var L = '', V = '', T = ''; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var ch = cl[i], o = ch.charCodeAt(0); if (o >= 0xAC00 && o <= 0xD7A3) { // 현대 완성형은 나눗셈으로 var k = o - 0xAC00; L += String.fromCharCode(0x1100 + Math.floor(k / 588)); V += String.fromCharCode(0x1161 + Math.floor((k % 588) / 28)); if (k % 28) T += String.fromCharCode(0x11A7 + (k % 28)); } else if (FILL[o]) { continue; } else if ((o >= 0x1100 && o <= 0x115E) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97C)) { L += ch; } else if ((o >= 0x1161 && o <= 0x11A7) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7C6)) { V += ch; } else if ((o >= 0x11A8 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xD7CB && o <= 0xD7FB)) { T += ch; } } return { L: L, V: V, T: T }; } function isHangul(cl) { for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var o = cl.charCodeAt(i); if ((o >= 0x1100 && o <= 0x11FF) || (o >= 0xAC00 && o <= 0xD7A3) || (o >= 0xA960 && o <= 0xA97F) || (o >= 0xD7B0 && o <= 0xD7FF)) return true; } return false; } /** * 위키문헌 원문 → 사람이 친 글자만 이어 붙인 한 줄. * 틀 안의 내용도 넣되 {{SIC}} 는 뺀다 (이미 원문 오식으로 판정된 자리). */ function printedText(raw) { var t = String(raw); t = t.replace(/<!--[\s\S]*?-->/g, ''); t = t.replace(/<noinclude>[\s\S]*?<\/noinclude>/gi, ''); // 머리말·꼬리말 t = t.replace(/<ref[^>]*\/>/gi, ''); t = t.replace(/<ref[^>]*>[\s\S]*?<\/ref>/gi, ''); // 편집자 주석 for (var i = 0; i < 20000; i++) { // 안쪽 틀부터 하나씩 푼다 var m = /\{\{([^{}]*)\}\}/.exec(t); if (!m) break; var parts = m[1].split('|'); var name = parts[0].trim(); var val = ''; if (!/^sic$/i.test(name)) { for (var k = 1; k < parts.length; k++) { if (!/^\s*[A-Za-z-]+\s*=/.test(parts[k])) val += parts[k]; } } t = t.slice(0, m.index) + val + t.slice(m.index + m[0].length); } t = t.replace(/^==.*?==$/gm, ''); t = t.replace(/\[\[[^|\]]*\|([^\]]*)\]\]/g, '$1'); t = t.replace(/\[\[([^\]]*)\]\]/g, '$1'); t = t.replace(/<[^>]+>/g, ''); return t.replace(/[\s​]+/g, ''); } /** * 쪽 하나의 셈. → { 글자수, 셈:{'L:ᄀ':3,…}, 구조:{'불완전:으ᇐ':1,…} } * 캐시에 이것만 담아 두면 **바뀐 쪽만 다시 세면** 됩니다. 한 쪽이 고쳐졌다고 * 문헌 전체를 다시 받지 않으려고 이렇게 나눠 두었습니다. */ function pageStats(raw) { var counts = {}, struct = {}, nchars = 0; clusters(printedText(raw)).forEach(function (cl) { var i, o; for (i = 0; i < cl.length; i++) { o = cl.charCodeAt(i); if (FILL[o] && !OK_FORM[cl]) bump(struct, '채움:' + o); } if (!isHangul(cl)) return; nchars++; var v = split(cl); var hasFill = false; for (i = 0; i < cl.length; i++) if (FILL[cl.charCodeAt(i)]) hasFill = true; if ((!v.L || !v.V) && !hasFill) { bump(struct, '불완전:' + cl); } else if (v.L.length > 1 || v.V.length > 1 || v.T.length > 1) { bump(struct, '겹침:' + cl); } ['L', 'V', 'T'].forEach(function (k) { for (var j = 0; j < v[k].length; j++) bump(counts, k + ':' + v[k][j]); }); }); return { nchars: nchars, counts: counts, struct: struct }; } /** 쪽마다의 셈을 합쳐 후보를 뽑는다. pageCounts: {쪽번호: pageStats() 결과} */ function mergeStats(pageCounts) { var allCounts = {}, allStruct = {}, nchars = 0; var where = {}; // 키 → {쪽번호: 개수} Object.keys(pageCounts).forEach(function (num) { var s = pageCounts[num]; if (!s) return; nchars += s.nchars || 0; Object.keys(s.counts || {}).forEach(function (key) { allCounts[key] = (allCounts[key] || 0) + s.counts[key]; (where[key] = where[key] || {})[num] = s.counts[key]; }); Object.keys(s.struct || {}).forEach(function (key) { allStruct[key] = (allStruct[key] || 0) + s.struct[key]; (where[key] = where[key] || {})[num] = s.struct[key]; }); }); var cands = {}, byPage = {}; Object.keys(allStruct).forEach(function (key) { // 구조 오류 = 1등급 var bits = key.split(':'); cands[key] = { level: 0, kind: bits[0], count: allStruct[key], letter: bits[0] === '채움' ? String.fromCharCode(+bits[1]) : bits[1] }; note(byPage, where[key], key); }); if (nchars) { // 자모 빈도 꼬리 Object.keys(allCounts).forEach(function (key) { var c = allCounts[key]; if (c / nchars >= RATIO) return; var k = key.charAt(0), ch = key.slice(2); cands[key] = { level: MODERN[k].indexOf(ch) >= 0 ? 2 : 1, kind: k, letter: ch, count: c }; note(byPage, where[key], key); }); } return { nchars: nchars, cands: cands, byPage: byPage, npages: Object.keys(pageCounts).length }; } function bump(tab, key) { tab[key] = (tab[key] || 0) + 1; } function note(byPage, spots, key) { if (!spots) return; Object.keys(spots).forEach(function (num) { if (!byPage[num]) byPage[num] = []; byPage[num].push(key); }); } /** * 통계와 등급으로부터 '이 글자를 칠할 것인가'를 판정하는 함수를 만든다. * 하이라이트는 저장된 위치가 아니라 **지금 화면의 글자**로 매번 새로 칠한다. * 그래서 오타를 고치고 새로고침하면 캐시가 살아 있어도 바로 사라진다. */ function makeTest(stats, level) { var tail = { L: {}, V: {}, T: {} }; Object.keys(stats.cands).forEach(function (key) { var c = stats.cands[key]; if (c.level >= level) return; // 등급은 쌓아 올린다 if (c.kind === 'L' || c.kind === 'V' || c.kind === 'T') tail[c.kind][c.letter] = 1; }); var structOn = level >= 1; return function (cl) { var i, o; if (structOn) { if (!OK_FORM[cl]) { for (i = 0; i < cl.length; i++) if (FILL[cl.charCodeAt(i)]) return true; } if (isHangul(cl)) { var v0 = split(cl), hasFill = false; for (i = 0; i < cl.length; i++) if (FILL[cl.charCodeAt(i)]) hasFill = true; if ((!v0.L || !v0.V) && !hasFill) return true; if (v0.L.length > 1 || v0.V.length > 1 || v0.T.length > 1) return true; } } if (!isHangul(cl)) return false; var v = split(cl); for (var k of ['L', 'V', 'T']) { for (i = 0; i < v[k].length; i++) if (tail[k][v[k][i]]) return true; } return false; }; } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 2. 위키문헌에서 받아 오기 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var api = null; function API() { if (!api) api = new mw.Api(); return api; } function pageTitle(pdf, n) { var NS = mw.config.get('wgFormattedNamespaces')[PAGE_NS] || '페이지'; return NS + ':' + pdf + '/' + n; } /** 색인 하위 쪽의 최신 판 번호만. 500쪽씩 오므로 빠르다(784쪽에 2번·3초). */ function fetchList(pdf) { var res = {}; function once(cont) { var q = { action: 'query', generator: 'allpages', gapnamespace: PAGE_NS, gapprefix: pdf + '/', gaplimit: 500, prop: 'info', formatversion: 2 }; Object.keys(cont || {}).forEach(function (k) { q[k] = cont[k]; }); return API().get(q).then(function (r) { ((r.query || {}).pages || []).forEach(function (p) { var m = /\/(\d+)$/.exec(p.title); if (m) res[+m[1]] = p.lastrevid; }); return r.continue ? once(r.continue) : res; }); } return once(null); } /** * 쪽 본문을 받아 온다. 본문은 **한 번에 50쪽까지만** 옵니다 — * 500쪽씩 달라고 하면 같은 쪽을 되풀이해 주고 본문은 안 옵니다(실측). */ function fetchText(pdf, nums, onStep) { var res = [], left = nums.slice(); function next() { if (!left.length) return $.Deferred().resolve(res).promise(); var batch = left.splice(0, 50); var titles = batch.map(function (n) { return pageTitle(pdf, n); }); return API().get({ action: 'query', titles: titles.join('|'), prop: 'revisions', rvprop: 'content|ids', rvslots: 'main', formatversion: 2 }).then(function (r) { ((r.query || {}).pages || []).forEach(function (p) { var rev = (p.revisions || [])[0]; var body = rev && rev.slots && rev.slots.main && rev.slots.main.content; var m = /\/(\d+)$/.exec(p.title); if (body && m) res.push({ num: +m[1], raw: body, revid: rev.revid }); }); if (onStep) alarm(onStep, res.length, nums.length); return next(); }); } return next(); } function alarm(fn, done, all) { try { fn(done, all); } catch (e) {} } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 3. 캐시 — 빈도표만 담는다. 하이라이트 위치는 담지 않는다. // localStorage 를 쓴다. sessionStorage 는 탭마다 따로라, 색인에서 검사한 뒤 // 쪽을 새 탭으로 열면 처음부터 다시 받게 된다(실제로 겪은 문제). // 낡아도 해롭지 않다 — 하이라이트는 화면의 글자를 그때그때 보고 칠하므로, // 오타를 고치면 캐시와 상관없이 바로 사라진다. // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var PREFIX = '옛한글오타:'; var store = (function () { var tries = []; try { tries.push(window.localStorage); } catch (e) {} try { tries.push(window.sessionStorage); } catch (e) {} for (var i = 0; i < tries.length; i++) { try { tries[i].setItem(PREFIX + 'test', '1'); tries[i].removeItem(PREFIX + 'test'); return tries[i]; } catch (e) {} } return null; }()); function cacheKey(pdf) { return PREFIX + CACHE_VER + ':' + pdf; } function cacheGet(pdf) { if (!store) return null; try { var s = store.getItem(cacheKey(pdf)); return s ? JSON.parse(s) : null; } catch (e) { return null; } } function cacheSet(pdf, obj) { if (!store) return; obj.written = Date.now(); var text = JSON.stringify(obj); try { store.setItem(cacheKey(pdf), text); } catch (e) { // 자리가 모자라면 헌 것부터 버리고 다시 evict(cacheKey(pdf)); try { store.setItem(cacheKey(pdf), text); } catch (e2) {} } } /** 이 소도구가 넣어 둔 다른 문헌의 캐시를 오래된 것부터 버린다. */ function evict(keep) { var olds = []; for (var i = 0; i < store.length; i++) { var k = store.key(i); if (k && k.indexOf(PREFIX) === 0 && k !== keep && k !== PREFIX + 'level') { var t = 0; try { t = (JSON.parse(store.getItem(k)) || {}).written || 0; } catch (e) {} olds.push([t, k]); } } olds.sort(function (a, b) { return a[0] - b[0]; }); olds.forEach(function (x) { try { store.removeItem(x[1]); } catch (e) {} }); } /** 고른 등급을 기억한다 — 색인에서 3을 골랐으면 쪽에서도 3이 기본이 되도록. */ function saveLevel(g) { if (store) { try { store.setItem(PREFIX + 'level', String(g)); } catch (e) {} } } function savedLevel() { if (!store) return 2; try { var v = +store.getItem(PREFIX + 'level'); return (v === 1 || v === 2 || v === 3) ? v : 2; } catch (e) { return 2; } } /** * 문헌 통계를 얻는다. * * 캐시에는 **쪽마다의 셈과 최신 판 번호**를 넣는다 — 전사문 자체는 넣지 않는다 * **바뀐 쪽만 다시 받아** 다시 세면 된다. 한 쪽 고친 뒤 다시 검사하면 * 쪽 목록 확인 3초 + 그 한 쪽만 받으면 끝난다. */ function getStats(pdf, onStep) { return fetchList(pdf).then(function (revid) { var old = cacheGet(pdf) || {}; var pageCounts = old.pageCounts || {}; var oldRev = old.revid || {}; Object.keys(pageCounts).forEach(function (n) { // 사라진 쪽은 버린다 if (!revid[n]) delete pageCounts[n]; }); var nums = Object.keys(revid).map(Number).sort(function (a, b) { return a - b; }); var todo = nums.filter(function (n) { return !pageCounts[n] || String(oldRev[n]) !== String(revid[n]); }); function finish() { var stats = mergeStats(pageCounts); stats.revid = revid; stats.pageCounts = pageCounts; cacheSet(pdf, stats); return stats; } if (!todo.length) { alarm(onStep, nums.length, nums.length, '캐시'); return finish(); } alarm(onStep, 0, todo.length, todo.length < nums.length ? '일부' : null); return fetchText(pdf, todo, onStep).then(function (fresh) { fresh.forEach(function (p) { pageCounts[p.num] = pageStats(p.raw); }); return finish(); }); }); } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 4. 화면 칠하기 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── var CSS_TEXT = [ '.oht-panel { border:1px solid #a2a9b1; background:#f8f9fa; border-radius:4px;', ' padding:10px 12px; margin:8px 0; font-size:14px; }', '.oht-panel h4 { margin:0 0 6px; font-size:15px; }', '.oht-panel label { margin-right:12px; cursor:pointer; }', '.oht-panel .oht-desc { color:#54595d; font-size:12px; margin:4px 0 8px; }', '.oht-panel .oht-note { color:#54595d; font-size:13px; margin-left:8px; }', '.oht-hit { background:#ffe14d; border-radius:3px; padding:0 1px;', ' box-shadow:0 0 0 1px #d4a000 inset; }', // 채움 문자는 획이 없어 칠해도 안 보인다. 이름표를 대신 세워 준다. '.oht-blank::after { content:"(빈 글자)"; font-size:11px; color:#fff;', ' background:#c0392b; border-radius:3px; padding:1px 4px; margin:0 1px;', ' vertical-align:middle; white-space:nowrap; }', '.oht-page { outline:2px solid #d33; outline-offset:1px; background:#fee7e6; }', '.oht-list { max-height:260px; overflow-y:auto; margin-top:8px; }', '.oht-list div { padding:3px 4px; border-bottom:1px solid #eaecf0; cursor:pointer; }', '.oht-list div:hover { background:#eaf3ff; }', '.oht-list div.oht-now { background:#fff3cd; box-shadow:0 0 0 2px #d4a000 inset; }', '.oht-list .oht-pageno { color:#54595d; font-size:12px; margin-right:6px }', '.oht-list .oht-at { color:#3366cc; font-size:12px; margin-right:8px;', ' background:#eaf3ff; border-radius:3px; padding:1px 5px; white-space:nowrap }', '.oht-stuck { color:#c0392b; font-size:13px; margin-top:6px }', '.oht-list b { font-size:17px; background:#ffe14d; border-radius:3px; }', '.oht-blankname { font-size:12px !important; color:#fff; background:#c0392b !important;', ' border-radius:3px; padding:1px 5px; }', ].join('\n'); function addCSS() { if (document.getElementById('oht-css')) return; var st = document.createElement('style'); st.id = 'oht-css'; st.textContent = CSS_TEXT; document.head.appendChild(st); } /** * 이 자리가 {{SIC}} 안인가 — 읽기 화면에서. * {{SIC|와}} 는 `<span class="wst-tooltip" title="[문자 그대로]">와</span>` 로 * 그려집니다. 원문에서는 printedText() 가 걷어내지만, 읽기 화면은 **화면에 그려진 * 글자**를 보므로 여기서 따로 건너뛰어야 합니다. 틀 이름의 대소문자와 무관합니다 * (`{{sic}}` 는 `틀:SIC` 로 넘겨주기). */ function inSIC(el) { for (var e = el; e && e.nodeType === 1; e = e.parentNode) { var t = e.getAttribute && e.getAttribute('title'); if (t && t.indexOf('문자 그대로') >= 0) return true; if (e === document.body) break; } return false; } var FILL_NAME = { 0x115F: '초성 채움 문자 U+115F', 0x1160: '중성 채움 문자 U+1160', 0x3164: '한글 채움 문자 U+3164', 0xFFA0: '한글 채움 문자 U+FFA0' }; /** 사람이 읽을 수 있는 이름. 눈에 안 보이는 글자를 말로 알려 주려고. */ function longName(cl) { var msg = []; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { var o = cl.charCodeAt(i); if (FILL[o]) msg.push(FILL_NAME[o] || ('채움 문자 U+' + o.toString(16).toUpperCase())); } if (!msg.length) return cl; return (isBlank(cl) ? '' : cl + ' 안에 ') + msg.join(', '); } /** 목록·요약에 쓸 짧은 이름. 안 보이는 글자는 코드값으로 대신 보인다. */ function shortName(cl) { if (!isBlank(cl)) return cl; var codes = []; for (var i = 0; i < cl.length; i++) { codes.push('U+' + cl.charCodeAt(i).toString(16).toUpperCase()); } return '빈 글자 ' + codes.join('+'); } /** 눈에 보이는 획이 하나도 없는 글자인가 (채움 문자만으로 된 것). */ function isBlank(cl) { for (var i = 0; i < cl.length; i++) if (!FILL[cl.charCodeAt(i)]) return false; return cl.length > 0; } /** 읽기 화면의 글자를 칠한다. 이미 칠한 것은 지우고 다시 칠한다. */ function paintRead(root, isBad) { addCSS(); // 혼자 불려도 색이 나오도록 [].forEach.call(root.querySelectorAll('.oht-hit'), function (el) { el.parentNode.replaceChild(document.createTextNode(el.textContent), el); }); root.normalize(); var nHit = 0; var walker = document.createTreeWalker(root, NodeFilter.SHOW_TEXT, { acceptNode: function (n) { if (!n.nodeValue) return NodeFilter.FILTER_REJECT; var p = n.parentNode; if (!p || /^(SCRIPT|STYLE|TEXTAREA)$/.test(p.nodeName)) return NodeFilter.FILTER_REJECT; if (inSIC(p)) return NodeFilter.FILTER_REJECT; return NodeFilter.FILTER_ACCEPT; } }); var nodes = [], n; while ((n = walker.nextNode())) nodes.push(n); if (!nodes.length) return 0; // 글자를 **이어 붙인 글**에서 나눈다. 태그가 첫가끝 글자 한복판을 가르는 일이 // 있는데(`ᄒ<b>ᆞᆫ</b>`), 마디마다 따로 나누면 그 조각이 '구조 오류'로 // 잘못 잡힌다. 시험에서 실제로 걸린 문제다. var text = '', pos = []; // 글자 하나하나가 어느 마디의 몇 번째인지 nodes.forEach(function (node, ni) { for (var i = 0; i < node.nodeValue.length; i++) { pos.push([ni, i]); } text += node.nodeValue; }); var marks = []; // 마디번호 → [[시작, 끝], …] var at = 0; clusters(text).forEach(function (cl) { var first = pos[at], last = pos[at + cl.length - 1]; at += cl.length; if (!isBad(cl)) return; nHit++; if (first[0] !== last[0]) return; // 마디 둘에 걸친 글자는 세기만 한다 if (!marks[first[0]]) marks[first[0]] = []; marks[first[0]].push([first[1], last[1] + 1]); }); nodes.forEach(function (node, ni) { var spots = marks[ni]; if (!spots || !spots.length) return; var frag = document.createDocumentFragment(), copied = 0, val = node.nodeValue; spots.forEach(function (r) { if (r[0] > copied) frag.appendChild(document.createTextNode(val.slice(copied, r[0]))); var letter = val.slice(r[0], r[1]); var sp = document.createElement('span'); sp.className = 'oht-hit'; sp.title = '오타 의심 — ' + longName(letter); // 채움 문자는 획이 없어 칠해도 아무것도 안 보인다. 이름표를 붙인다. if (isBlank(letter)) sp.className += ' oht-blank'; sp.textContent = letter; frag.appendChild(sp); copied = r[1]; }); if (copied < val.length) frag.appendChild(document.createTextNode(val.slice(copied))); node.parentNode.replaceChild(frag, node); }); return nHit; } /** * 편집 화면 — 의심 글자를 문맥과 함께 목록으로 보이고, 누르면 편집창의 그 자리를 * 선택해 준다. * * `<textarea>` 안의 글자에는 색을 칠할 수 없어서 목록으로 갑니다. CodeMirror 위에 * 칠하는 것도 해 봤지만(CSS Highlight API) 실제 위키문헌에서 동작하지 않아 * 2026-09-05 에 걷어냈습니다. CM6 이 화면 밖 줄을 지웠다 다시 만들기 때문으로 * 보이는데, 목록이 오타 사이를 오가기에는 더 편하기도 합니다. */ /** * 편집기 목록에서 **건너뛸** 원문 구간들. `printedText()` 가 세지 않는 곳입니다. * * 편집기 목록은 원문을 그대로 훑기 때문에(자리를 그대로 맞추려고) 통계가 세지 * 않는 곳까지 봅니다. 그러면 `{{옛한글/끝}}` 의 '끝' 같은 **틀 이름**이 후보로 * 올라옵니다(시험에서 실제로 걸렸습니다). 통계와 목록을 맞추려고 걸러 냅니다. * · {{SIC|…}} 통째로 — 이미 사람이 원문 오식이라 판정한 자리 * · <noinclude>…</noinclude> 머리말·꼬리말 * · <ref>…</ref> 편집자 주석, <!-- 주석 --> * · 틀 이름 — `{{` 부터 첫 `|` 또는 `}}` 까지 */ function skipRanges(raw) { var out = []; // 짝이 맞는 틀 끝을 찾는다 function braceEnd(i) { var depth = 0; for (var j = i; j < raw.length - 1; j++) { if (raw[j] === '{' && raw[j + 1] === '{') { depth++; j++; } else if (raw[j] === '}' && raw[j + 1] === '}') { depth--; j++; if (depth === 0) return j + 1; } } return raw.length; } var re = /\{\{/g, m; while ((m = re.exec(raw))) { var start = m.index, end = braceEnd(start); var inner = raw.slice(start + 2, end - 2); var nameEnd = inner.search(/[|}\n]/); if (nameEnd < 0) nameEnd = inner.length; if (/^\s*sic\s*$/i.test(inner.slice(0, nameEnd))) { out.push([start, end]); // SIC 는 통째로 } else { out.push([start, start + 2 + nameEnd]); // 나머지는 이름만 } } [/<noinclude>[\s\S]*?<\/noinclude>/gi, /<ref[^>]*>[\s\S]*?<\/ref>/gi, /<!--[\s\S]*?-->/g].forEach(function (r) { var x; while ((x = r.exec(raw))) out.push([x.index, x.index + x[0].length]); }); return out; } /** * 편집창에서 그 자리가 화면 가운데로 오게 굴린다. * * `setSelectionRange` 만 해도 브라우저가 알아서 굴려 주지만(실측 확인), 글자가 * 화면 맨 끝에 걸려 눈에 안 띕니다. 그래서 **거울 div** 로 그 자리의 높이를 재서 * 가운데로 맞춥니다. 재는 데 실패하면 아무것도 안 하고 브라우저에 맡깁니다. * * ⚠ 예전에 여기서 `(줄 번호 − 4) × 20` 으로 굴렸는데, **줄바꿈이 없는 문헌에서는 * 줄 번호가 늘 1 이라 맨 위로 되돌려 버렸습니다.** 줄 번호로 굴리지 마세요. */ function centerOn(ta, pos) { try { var cs = window.getComputedStyle(ta); var d = document.createElement('div'); ['fontFamily', 'fontSize', 'fontWeight', 'fontStyle', 'letterSpacing', 'lineHeight', 'wordSpacing', 'textIndent', 'textTransform', 'tabSize', 'wordBreak', 'overflowWrap', 'boxSizing', 'paddingTop', 'paddingRight', 'paddingBottom', 'paddingLeft', 'borderTopWidth', 'borderRightWidth', 'borderBottomWidth', 'borderLeftWidth' ].forEach(function (k) { d.style[k] = cs[k]; }); d.style.position = 'absolute'; d.style.top = '-9999px'; d.style.visibility = 'hidden'; d.style.width = ta.clientWidth + 'px'; d.style.height = 'auto'; d.style.whiteSpace = 'pre-wrap'; d.textContent = ta.value.slice(0, pos); var mark = document.createElement('span'); mark.textContent = '​'; d.appendChild(mark); document.body.appendChild(d); var y = mark.offsetTop; document.body.removeChild(d); if (y > 0) ta.scrollTop = Math.max(0, y - ta.clientHeight / 2); } catch (e) {} // 못 재면 브라우저가 굴려 놓은 대로 둔다 } /** * 목록에서 누른 자리로 커서를 옮긴다. * 구문 강조(CodeMirror)가 켜져 있으면 편집창이 숨겨져 있어 `setSelectionRange` * 로는 아무 일도 일어나지 않습니다. 그때는 CodeMirror 에게 직접 시킵니다. * 반환: 옮겼으면 true. */ function moveCaret(ta, start, end) { var cm = codeMirror; if (cm && cm.view && cm.view.dispatch) { // CodeMirror 6 try { cm.view.dispatch({ selection: { anchor: start, head: end }, scrollIntoView: true }); cm.view.focus(); return true; } catch (e) {} } if (cm && cm.getDoc && cm.setSelection) { // CodeMirror 5 try { var doc = cm.getDoc(); cm.setSelection(doc.posFromIndex(start), doc.posFromIndex(end)); cm.scrollIntoView(null, 100); cm.focus(); return true; } catch (e) {} } if (ta.offsetParent === null) return false; // 숨어 있으면 소용없다 ta.focus(); ta.setSelectionRange(start, end); centerOn(ta, start); return true; } /** * 원문에서 pos 앞에 인쇄된 글자가 몇 개인가 — "본문 137자째" 를 보여 주려고. * 띄어쓰기가 없는 문헌에서는 앞뒤 문맥만으로 자리를 찾기 어렵다는 작업자 지적. * 줄 번호는 쓸 수 없습니다(줄바꿈이 없는 문헌이 많음). */ function textOffset(raw, pos) { var head = raw.slice(0, pos); var open = head.lastIndexOf('{{'); // 끝에 안 닫힌 틀이 남으면 if (open >= 0 && head.indexOf('}}', open) < 0) { head = head.slice(0, open); // 그 틀 이름이 글자로 세어진다 } return clusters(printedText(head)).length; } function listInEditor(isBad, $panel) { addCSS(); var ta = document.getElementById('wpTextbox1'); if (!ta) return 0; $panel.find('.oht-list').remove(); // 다시 눌렀을 때 겹치지 않게 $panel.find('.oht-stuck').remove(); var raw = ta.value; var skips = skipRanges(raw); function skipped(i) { return skips.some(function (r) { return i >= r[0] && i < r[1]; }); } // 원문에서 곧바로 찾는다. 자리 옮김이 없어 편집창 위치와 그대로 맞는다. var ls = clusters(raw), hits = [], at = 0; ls.forEach(function (cl) { if (isBad(cl) && !skipped(at)) { hits.push({ start: at, end: at + cl.length, letter: cl }); } at += cl.length; }); if (!hits.length) return 0; var total = clusters(printedText(raw)).length; var $list = $('<div class="oht-list">'); var stuck = false; hits.forEach(function (a, k) { var before = raw.slice(Math.max(0, a.start - 14), a.start).replace(/\n/g, ' '); var after = raw.slice(a.end, a.end + 14).replace(/\n/g, ' '); // 채움 문자는 획이 없어 그냥 넣으면 목록에서도 안 보인다. var $mid = isBlank(a.letter) ? $('<b class="oht-blankname">').text(shortName(a.letter)) : $('<b>').text(a.letter); var nth = textOffset(raw, a.start); $('<div>').attr('title', longName(a.letter)).append( $('<span class="oht-pageno">').text((k + 1) + '/' + hits.length), // 띄어쓰기가 없는 문헌은 문맥만으로 자리를 못 찾습니다(작업자 지적). $('<span class="oht-at">').text('본문 ' + nth + '자째' + (total ? ' / ' + total : '')), document.createTextNode('…' + before), $mid, document.createTextNode(after + '…') ).on('click', function () { $list.find('.oht-now').removeClass('oht-now'); $(this).addClass('oht-now'); if (!moveCaret(ta, a.start, a.end)) { $panel.find('.oht-stuck').show(); } }).appendTo($list); }); $panel.append($('<div class="oht-desc">').text( '누르면 편집창에서 그 글자로 커서가 갑니다. 차례로 눌러 가며 고치세요. ' + "'본문 …자째' 는 그 쪽에 인쇄된 글자를 처음부터 센 번호입니다."), $list); $panel.append($('<div class="oht-stuck" style="display:none">').text( '편집창이 숨어 있어 커서를 옮기지 못했습니다. 구문 강조를 끄고 다시 해 보세요.')); return hits.length; } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 5. 판 (화면 위젯) // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── function makePanel(title) { addCSS(); var $panel = $('<div class="oht-panel">').append($('<h4>').text(title)); var def = savedLevel(); // 색인에서 3을 골랐으면 쪽에서도 3으로 var $row = $('<div>'); [1, 2, 3].forEach(function (g) { $row.append($('<label>').append( $('<input type="radio" name="oht-level">').val(g).prop('checked', g === def), document.createTextNode(' ' + g + '. ' + LEVEL_NAME[g - 1]) )); }); $row.on('change', 'input', function () { saveLevel(+this.value); }); var $btn = $('<button>').text('검사'); var $note = $('<span class="oht-note">'); $panel.append($row, $('<div class="oht-desc">').text('등급은 쌓아 올립니다 — 2를 고르면 1도 함께 봅니다.'), $btn, $note); $panel.data({ btn: $btn, note: $note }); var $host = $('#mw-content-text'); if ($host.length) $host.prepend($panel); else $('#content').prepend($panel); return $panel; } function chosenLevel() { return +($('input[name="oht-level"]:checked').val() || 2); } // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── // 6. 시작 // ──────────────────────────────────────────────────────────────────── function docName() { var t = mw.config.get('wgPageName').replace(/_/g, ' '); var ns = mw.config.get('wgNamespaceNumber'); if (ns === INDEX_NS) return t.replace(/^[^:]+:/, ''); if (ns === PAGE_NS) return t.replace(/^[^:]+:/, '').replace(/\/\d+$/, ''); return null; } function pageNum() { var m = /\/(\d+)$/.exec(mw.config.get('wgPageName')); return m ? +m[1] : null; } function indexScreen(pdf) { var $panel = makePanel('옛한글 전사 오타 검사'); var $btn = $panel.data('btn'), $note = $panel.data('note'); $btn.on('click', function () { var level = chosenLevel(); $btn.prop('disabled', true); $note.text('쪽 목록을 받는 중…'); getStats(pdf, function (done, all, from) { $note.text(from === '캐시' ? '받아 둔 것을 씁니다…' : (from === '일부' ? '바뀐 ' + all + '쪽만 다시 받습니다…' : '전사문을 받는 중… ' + done + '/' + all + '쪽')); }).then(function (stats) { $btn.prop('disabled', false); indexShow(stats, level, $panel, $note, pdf); }, function (e) { $btn.prop('disabled', false); $note.text('실패했습니다: ' + (e && e.message ? e.message : e)); }); }); } function indexShow(stats, level, $panel, $note, pdf) { $panel.find('.oht-summary').remove(); // 지난번에 칠한 것을 되돌린다. // ⚠ `title` 을 건드리므로 **반드시 원래 제목으로 되돌려야** 합니다. // 쪽 번호는 제목이 `…/12` 로 끝나는 것에서 읽는데, 칠할 때 뒤에 말을 붙이면 // 다음 번에는 그 링크를 못 찾습니다. 그래서 두 번째로 '검사'를 누르면 // "쪽 링크를 찾지 못했다"가 뜨는 문제가 있었습니다(작업자 지적). $('#mw-content-text a[data-oht-title]').each(function () { this.setAttribute('title', this.getAttribute('data-oht-title')); this.removeAttribute('data-oht-title'); this.classList.remove('oht-page'); }); $('.oht-page').removeClass('oht-page'); var shown = {}; Object.keys(stats.cands).forEach(function (key) { if (stats.cands[key].level < level) shown[key] = 1; }); var bad = {}; Object.keys(stats.byPage).forEach(function (n) { var c = stats.byPage[n].filter(function (key) { return shown[key]; }).length; if (c) bad[n] = c; }); // 색인의 쪽 링크를 칠한다. (내가 만든 판 안의 링크는 빼고) var painted = 0, links = 0; $('#mw-content-text a').not('.oht-panel a').each(function () { var oldTitle = this.getAttribute('data-oht-title') || this.getAttribute('title') || ''; var m = /\/(\d+)$/.exec(oldTitle); if (!m || oldTitle.indexOf(pdf) < 0) return; links++; if (bad[+m[1]]) { this.setAttribute('data-oht-title', oldTitle); // 되돌릴 수 있게 남긴다 this.setAttribute('title', oldTitle + ' — 오타 의심 ' + bad[+m[1]] + '곳'); this.classList.add('oht-page'); painted++; } }); var npages = Object.keys(bad).length; $note.text(stats.npages + '쪽 · ' + stats.nchars.toLocaleString() + '자 · ' + '의심 ' + Object.keys(shown).length + '종 / ' + npages + '쪽' + (stats.nchars < MIN_CHARS ? ' ※ 3만 자 미만이라 통계가 흔들립니다' : '')); var $sum = $('<div class="oht-summary oht-list">'); if (!npages) { $sum.append($('<div>').text('후보가 없습니다.')); } else if (!links) { // 이 색인에 쪽 목록이 아예 없을 때만 알린다. '칠한 수가 0' 으로 판정하면 // 안 됩니다 — 고칠 것이 남은 쪽이 링크에 없을 때도 0 이 되니까요. $sum.append($('<div>').text( '이 색인에서는 쪽 링크를 찾지 못했습니다. 아래 목록으로 가세요.')); } Object.keys(bad).map(Number).sort(function (a, b) { return a - b; }) .forEach(function (n) { var $row = $('<div>').append( $('<a>').attr('href', mw.util.getUrl(pageTitle(pdf, n))) .text(n + '쪽'), document.createTextNode(' ')); // 채움 문자는 획이 없어 그냥 넣으면 아무것도 안 보인다(작업자 지적). stats.byPage[n].filter(function (key) { return shown[key]; }) .forEach(function (key) { var letter = stats.cands[key].letter; if (isBlank(letter)) { $row.append($('<b class="oht-blankname">') .attr('title', longName(letter)).text(shortName(letter)), document.createTextNode(' ')); } else { $row.append(document.createTextNode(letter + ' ')); } }); $row.appendTo($sum); }); $panel.append($sum); } function pageScreen(pdf, num) { var $panel = makePanel('옛한글 전사 오타 검사 — ' + num + '쪽'); var $btn = $panel.data('btn'), $note = $panel.data('note'); function show(stats, level) { var isBad = makeTest(stats, level); var bodyEl = document.querySelector('.prp-page-content') || document.getElementById('mw-content-text'); var n = 0; if (mw.config.get('wgAction') === 'edit' || document.getElementById('wpTextbox1')) { n = listInEditor(isBad, $panel); } else if (bodyEl) { n = paintRead(bodyEl, isBad); } return n; } // 검사해 둔 것이 있으면 **네트워크를 전혀 쓰지 않고** 곧바로 표시한다. // 빈도표가 조금 낡아도 해롭지 않다 — 칠하는 것은 화면의 글자이기 때문. var old = cacheGet(pdf); if (old) { var level = chosenLevel(); var n = show(old, level); $note.text((n ? '이 쪽에서 ' + n + '곳이 의심스럽습니다.' : '이 쪽에는 의심스러운 글자가 없습니다.') + ' (검사해 둔 것으로 바로 표시했습니다. 등급을 바꾸거나 ' + '전사문이 고쳐졌으면 다시 누르세요.)'); $btn.text('다시 검사'); } else { $note.text('이 문헌은 아직 검사하지 않았습니다. 누르면 문헌 전체를 셉니다.'); } $btn.on('click', function () { var level = chosenLevel(); $btn.prop('disabled', true); getStats(pdf, function (done, all, from) { $note.text(from === '캐시' ? '받아 둔 것을 씁니다…' : (from === '일부' ? '바뀐 ' + all + '쪽만 다시 받습니다…' : '문헌 전체를 세는 중… ' + done + '/' + all + '쪽')); }).then(function (stats) { $btn.prop('disabled', false).text('다시 검사'); var n = show(stats, level); $note.text(n ? ('이 쪽에서 ' + n + '곳이 의심스럽습니다.') : '이 쪽에는 의심스러운 글자가 없습니다.'); }, function (e) { $btn.prop('disabled', false); $note.text('실패했습니다: ' + (e && e.message ? e.message : e)); }); }); } function start() { var ns = mw.config.get('wgNamespaceNumber'); if (ns !== INDEX_NS && ns !== PAGE_NS) return; var pdf = docName(); if (!pdf) return; // 구문 강조가 켜지면 편집창이 숨겨져 setSelectionRange 가 안 통합니다. // 그때 쓰려고 인스턴스를 미리 붙잡아 둡니다. 이름은 판마다 다릅니다. ['ext.CodeMirror.ready', 'ext.CodeMirror.switch', 'ext.CodeMirror2.ready'].forEach(function (name) { try { mw.hook(name).add(function (a, b) { codeMirror = (a && (a.view || a.getDoc)) ? a : (b && (b.view || b.getDoc)) ? b : codeMirror; }); } catch (e) {} }); mw.loader.using(['mediawiki.api', 'mediawiki.util']).then(function () { if (ns === INDEX_NS) indexScreen(pdf); else pageScreen(pdf, pageNum()); }); } // 위키문헌 밖(시험용 빈 쪽)에서 불러도 터지지 않게 한다. if (typeof mw !== 'undefined' && typeof $ !== 'undefined') $(start); }()); 2qr52kwznawnzjqhcvjq743oo9k210x 250 114091 459125 2026-09-05T14:08:56Z ZornsLemon 15531 /* 교정됨 */ 459125 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="ZornsLemon" /></noinclude>:앗씨앗씨 :이러납시오 :압뒤문을여러놋코 여긔 이럿케게시면 못씀니다 :안방마님이 이러나실ᄯᆡ가 되얏슴니다 :어셔이러납시오 :문닷ᄀᆡᆺ슴니다 ᄒᆞ면셔 부인을부르ᄂᆞᆫ거슨 검홍이라 부인이머리를드러 검홍이를보다가 안진ᄎᆡ로 아ᄅᆡ목을향ᄒᆞ야 툭쓰러지ᄂᆞᆫᄃᆡ 검홍이ᄂᆞᆫ 다밝은날 ᄉᆡ로히 압두문을소리업시닷고 부인압흐로와셔안ᄯᅥ니 무슨말을ᄒᆞ려다가 아니ᄒᆞ고눈물을ᄯᅥ러터린다 부인이누은ᄎᆡ로고ᄀᆡ를둘너검홍이를보면셔 :(부인)이ᄋᆡ검홍아 셔방님은타국으로 공부ᄒᆞ러가신단다 셔방님도아니게시면 우리가누구를밋고 산단말이냐 :(검홍)쇤네도 ᄉᆡ벽에잠이잠간ᄭᅢ여셔 말삼ᄒᆞ시ᄂᆞᆫ거슬드럿슴니다 {{nop}}<noinclude><references/></noinclude> lqiv9x5ligvf5jj5hjb50756uafaepl 250 114092 459126 2026-09-05T14:09:13Z ZornsLemon 15531 /* 교정됨 */ 459126 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="ZornsLemon" /></noinclude>:셔방님게셔 타국에가시면 앗씨게셔 섭섭ᄒᆞ신마ᄋᆞᆷ이 업슬슈가잇슴니가마ᄂᆞᆫ 앗씨게셔ᄂᆞᆫ 부ᄃᆡ근심말고겝시오 :셔방님이 이런 시골구셕에게시면앗씨게셔 이고ᄉᆡᆼ을면ᄒᆞ실날이업슴니다 ᄯᅳᆺ밧게 서방님게셔 만리타국에가셔 공부를ᄒᆞ신다ᄒᆞ니 셔방님ᄂᆡ외분은 조흔운슈가도라올ᄯᆡ가되얏슴니다 :앗씨게셔 눈ᄭᅮᆷ젹 몃ᄒᆡ동안만 고ᄉᆡᆼ을참고게시면 이후에ᄂᆞᆫ조흔일만잇슬터이올시다 셔방님게셔 귀히되시면 세상사ᄅᆞᆷ이 앗씨를쳐다볼터이니 그ᄯᆡᄂᆞᆫ마님게셔도 앗씨의게그럿케모옵시구르시지못ᄒᆞᆷ니다 :(부)오냐말은좃타마ᄂᆞᆫ 나종일이 엇지될지아느냐 :지금 ᄂᆡ처지에 근심을마자ᄒᆞᆫ들아니ᄒᆞᆯ슈가 잇나냐 :이ᄋᆡ검홍아 늣도록잔다고 마님게걱졍드를나 어셔 이러나셔세수도ᄒᆞ고 일이나ᄒᆞ자 ᄒᆞ면셔이러나더니 근심ᄒᆞᆯᄉᆡ도업시 분쥬ᄒᆞ더라 그날아참에 홍참의부자가 아참밥을 먹으러드러왓ᄂᆞᆫᄃᆡ 본ᄅᆡ홍참의집 가<noinclude><references/></noinclude> 2low5mr29l687pb0e6ffjjpzpe2il5c 250 114093 459127 2026-09-05T14:09:27Z ZornsLemon 15531 /* 교정됨 */ 459127 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="ZornsLemon" /></noinclude>규가그러ᄒᆞ던지홍참의가 밥을먹으려면 김씨부인의고부와 ᄇᆡᆨ돌의남ᄆᆡ가안방에모혀잇서셔 홍참의밥먹ᄂᆞᆫ거슬보다가홍참의가 밥을 다먹고나간후에 다른사ᄅᆞᆷ들이밥을먹ᄂᆞᆫᄃᆡ 홍참의ᄂᆞᆫ말이드믄사ᄅᆞᆷ이나 밥상을밧으면 잔소리를하ᄂᆞᆫ위인이라 :(홍)이ᄋᆡᄇᆡᆨ돌아 너ᄂᆞᆫ요ᄉᆡ글ᄒᆞᆫ자아니읽고 우ᄋᆡ펀펀이노나냐 :(ᄇᆡᆨ)요ᄉᆡᄂᆞᆫ 좀 보ᄂᆞᆫᄎᆡᆨ이 잇슴니다 :(홍)응 보ᄂᆞᆫᄎᆡᆨ이무어시란말이냐 쓸데업ᄂᆞᆫᄎᆡᆨ보지말고다만ᄒᆞᆫ자를보더ᄅᆡ도 경셔를읽어라 :그ᄅᆡ 네소위본다ᄂᆞᆫᄎᆡᆨ은 무어시냐 :(ᄇᆡᆨ)ᄒᆡ국도지를어더다가봄니다 :(홍)ᄒᆡ국도지 ᄒᆡ국도지 ᄒᆡ국도지가무어시냐 :ᄎᆡᆨ울보려ᄒᆞ면 우리집에도 볼만ᄒᆞᆫᄎᆡᆨ이 그득ᄒᆞᆫᄃᆡ ᄒᆡ국도지를비러다가 본단말이냐 이ᄋᆡ너도ᄀᆡ화ᄒᆞ고시푸냐 :어―져자식이셔울몃변을 갓다오더니 사람버리ᄀᆡᆺ구 {{nop}}<noinclude><references/></noinclude> l6il71lvheyl8oqzhgd74f9flkh4k1e 250 114094 459128 2026-09-05T14:09:44Z ZornsLemon 15531 /* 교정됨 */ 459128 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="ZornsLemon" /></noinclude>ᄒᆞ면셔그부인김씨를건너다보니 김씨부인이홍참의를마쥬보며 :(김)셔울로장가드럿다가 그만한쳐가덕도 못보아셔 쓰ᄀᆡᆺ소 :(홍)셔울가셔 장가드럿다고 난봉이되려면 셔울사ᄂᆞᆫ사람들은 다 난봉이되게········· :이ᄋᆡᄇᆡᆨ돌아 집안에못된ᄎᆡᆨ 어더드리지말고 오날부터ᄆᆡᆼ자를읽던지 론어를읽던지 ᄒᆞ여라 :사ᄅᆞᆷ이 졔마암만 단단ᄒᆞ면 어ᄃᆡ를 가기로겨관이잇ᄀᆡᆺ나냐만은 너갓치 즁무소쥬한거시 셔울이나자쥬가면 마암이달ᄯᅥ셔 못쓰ᄂᆞᆫ법이니 다시ᄂᆞᆫ 셔울가지마라 :ᄋᆡ비의말을 아니드르면 집이망ᄒᆞᄂᆞᆫ법이라 조심ᄒᆞ여라 김씨부인이 그소리를 듯더니무슨경사ᄂᆞᆫ드시 :(김)에그 영감은 별말슴을 다 ᄒᆞ시구려 :집이망ᄒᆞ기ᄂᆞᆫ 우ᄋᆡ망ᄒᆡ요 ᄀᆡ화ᄒᆞᆫ아들잇것다 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text/x-wiki #넘겨주기 [[번역:아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력]] mvqdupq4bgtfgznht1hup9hkepn4eg6 114 114105 459148 2026-09-06T01:49:59Z Danuri19 16656 새 문서: {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = |... 459148 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. 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Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante −g​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: ds2=g1​dr2+g2​dϑ2+g3​dφ2+g4​dt2, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: gνν​=gν​,gμν​=0fu¨r μ=ν und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: g1​=−1,g2​=−r2,g3​=g2​sin2ϑ,g4​=c2, und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der gμν​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.1) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors Fαβ​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa F14​=E, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor Fμν hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: F14=Eg1​g4​−g​​ Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)J4=ρg4​​−g​​=∂x1​∂F14​=drd​(Eg1​g4​−g​​) wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: Kσ​=Fσ4​J4 und für allseitige Symmetrie: Kr​=F14​J4=Edrd​(Eg1​g4​−g​​) Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke E verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß g1​ oder g4​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.1) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also J4=0 sein und demnach: E=const⋅−g2​−g1​g4​​​ Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: E=4πr2e​,g1​=−1,g2​=−r2,g4​=c2, also const=4πce​ Daraus erhält man: (2){E=F14​=−4πce​g2​−g1​g4​​​F14=F14​g1​g4​−g​​=−4πce​g2​1​​ Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: T11​=−2g1​g4​E2​,T22​=T33​=+2g1​g4​E2​,T44​=−2g1​g4​E2​ Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel Tσσ​=Tσσ​gσσ​ den Wert an: 1) Die Annahme g4​=0 führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem g4​=0 ist, nicht gelungen. 110 T11​=−E22g1​g4​g1​​,T22​=E22g1​g4​g2​​ T33​=E22g1​g4​g3​​,T44​=−E22g1​g4​g4​​ Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: T11​=21​(4πce​)2g22​g1​​,T22​=−21​(4πce​)2g22​g2​​ T33​=−21​(4πce​)2g22​g3​​,T44​=21​(4πce​)2g22​g4​​ Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)k∑​{mk,km}=−ϰTmm​, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: {mk,km}=∂xm​∂{mkk​}​−∂xk​∂{mmk​}​+ρ∑​{mkρ​}{ρmk​}−{mmρ​}{ρkk​}, worin {mkρ​} das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: {mkk​}=2gk​1​∂xm​∂gk​​,{mmρ​}=−2gρ​1​∂xρ​∂gm​​,{mmm​}=2gm​1​∂xm​∂gm​​ Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der ∑ρ​ des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle ρ=m=k. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I⎩⎨⎧​G11​=dr2d2​(ln(g2​g4​​))−drd​lng1​​drd​(ln(g2​g4​​))+21​(drdlng2​​)2+(drdlng4​​​)2=−ϰT11​,​ II{G22​=−1+drd​(2g1​1​drdg2​​)+4g1​g2​1​drdg1​​drdg2​​+4g1​g4​1​drdg2​​drdg4​​=−ϰT22​​ IIIG33​=G22​sin2ϑ=−ϰT33​=−ϰT22​sin2ϑ, IV⎩⎨⎧​G44​=drd​(2g1​1​drdg4​​)−4g1​g4​1​(drdg4​​)2+4g12​1​drdg1​​drdg4​​+2g1​g2​1​drdg2​​drdg4​​=−ϰT44​​ Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g1​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für ϰe2/32π2c2 zur Abkürzung λ2 und setzt man g2​=−g​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)dr2d2​ln(g​2​g4​​)+2g​22​1​(drdg​2​​)2+4g42​1​(drdg4​​)2=+g​22​λ2​ (II)−1+21​dr2d2g​2​​+4g4​1​drdg4​​drdg​2​​=−g​2​λ2​ (IV)21​dr2d2g4​​−4g4​1​(drdg4​​)2+2g​2​1​drdg​2​​drdg4​​=+g​22​λ2g4​​ Durch die Beschränkung g1​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.1) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung lng4​​=γ und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 113 (I)γ′′+γ′2+g​2​g​2′′​​−2g​22​g​2′2​​=+g​22​λ2​ (IV)γ′′+γ′2+γ′g​2​g​2′​​=+g​22​λ2​ (II)−g​2​+21​g​2​g​2′′​+21​γ′g​2′​g​2​=−λ2. (IV) minus (I) ergibt: (a)γ′=g​2′​g​2′′​​−2g​2​g​2′​​ und daraus: γ=ln(δg​2​​g​2′​​), wo δ eine Integrationskonstante. Oder: g4​​=δg​2​​g​2′​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)g4​​=cdrd​g​2​​ Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: 34​dr2d2​(g​243​​)=g​2−21​​−g​2−45​​λ2. Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung g​2​​=h, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)hh′=(h−α)2+(λ2−α2)​ und die vollständige Lösung: (11)λ2−α2​(λ2−α2​h−α​)2+1​+αAr Sinλ2−α2​h−α​=r+β welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: λ2−α2​h−α​=Sin u 114 oder (10a)h=λ2−α2​Sin u+α auch schreiben läßt: (11a)λ2−α2​Cos u+αu=r+β. Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)g4​​=cdrdh​=cSin u+λ2−α2​α​Cos u​. Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: K=−kr2me​​, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)K=−21​drdg4​​ also durch Benutzung der Gleichung (9a): 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird Cos u=Sin u=λ2−α2​r​ nach (11a). Also wird dort: K=−r2c2α​ Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert α=c2me​k​ Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons me​=1,8210−27​, so erhält man: α=1,82⋅9⋅102010−27⋅6,7⋅10−8​=0,408⋅10−55. Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)E=F14​=−4πce​g​2​g4​​​=−4πe​g​2​​1​drdg​2​​​ =4π(h2−α2)e​(Sin u+λ2−α2​α​)3 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: φ4​=−4πg​2​​e​ Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)g​2​=(r+β)2−λ2. (9b)g4​=c2(r+β)2−λ2(r+β)2​ In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: E=4πe​((r+β)2−λ2)3/2r+β​ Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System1) nach Einstein: T11​=T22​=T33​=0,T44​=ρm​g4​. Der zugehörige Skalar T=∑Tmm​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen2): 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 117 d. h. Gνν​=−ϰ(Tνν​−21​gνν​T), G11​=+2ϰ​g1​ρm​,G22​=+2ϰ​g2​ρm​ G33​=+2ϰ​g3​ρm​,G44​=−2ϰ​g4​ρm​ Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: dr2d2​(2g4​​)+r2​⋅drd​(2g4​​)=2ϰ​c2ρm​ Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: 2ϰ​=c44πk​=81⋅10404π⋅6,7⋅10−8​=0,936⋅10−48. Daraus ergibt sich: λ2=2ϰ​(4πce​)2=4πc4ke2​=4π⋅81⋅10406,7⋅10−8⋅4,652⋅10−20⋅4π​ =1,79⋅10−68, oder λ=1,337⋅10−34. Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: Sin u0​=−λ2−α2​α​ und nach (11a): β=λ2−α2​Cos u0​+αu0​, oder wegen der Kleinheit von α/λ: β=λ−λ2−α2​α2​=λ 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g4​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man g4​​E​=S so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: J4​=sinϑ⋅ρg2​−g1​​=drd​(S−g1​​g​2​​)sinϑ wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 T11​=−2S2​g1​1​,T22​=2S2​g1​g2​​,T33​=2S2​g1​g3​​,T44​=−2S2​g1​g4​​=0 während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> o681ksvo5s7a9iqcsh63pzpllfu6hvr 459150 459149 2026-09-06T01:58:29Z Danuri19 16656 459150 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: ds2=g1​dr2+g2​dϑ2+g3​dφ2+g4​dt2, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: gνν​=gν​,gμν​=0fu¨r μ=ν und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: g1​=−1,g2​=−r2,g3​=g2​sin2ϑ,g4​=c2, und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der gμν​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.1) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors Fαβ​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa F14​=E, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor Fμν hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: F14=Eg1​g4​−g​​ Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)J4=ρg4​​−g​​=∂x1​∂F14​=drd​(Eg1​g4​−g​​) wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: Kσ​=Fσ4​J4 und für allseitige Symmetrie: Kr​=F14​J4=Edrd​(Eg1​g4​−g​​) Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke E verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß g1​ oder g4​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.1) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also J4=0 sein und demnach: E=const⋅−g2​−g1​g4​​​ Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: E=4πr2e​,g1​=−1,g2​=−r2,g4​=c2, also const=4πce​ Daraus erhält man: (2){E=F14​=−4πce​g2​−g1​g4​​​F14=F14​g1​g4​−g​​=−4πce​g2​1​​ Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: T11​=−2g1​g4​E2​,T22​=T33​=+2g1​g4​E2​,T44​=−2g1​g4​E2​ Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel Tσσ​=Tσσ​gσσ​ den Wert an: 1) Die Annahme g4​=0 führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem g4​=0 ist, nicht gelungen. 110 T11​=−E22g1​g4​g1​​,T22​=E22g1​g4​g2​​ T33​=E22g1​g4​g3​​,T44​=−E22g1​g4​g4​​ Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: T11​=21​(4πce​)2g22​g1​​,T22​=−21​(4πce​)2g22​g2​​ T33​=−21​(4πce​)2g22​g3​​,T44​=21​(4πce​)2g22​g4​​ Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)k∑​{mk,km}=−ϰTmm​, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: {mk,km}=∂xm​∂{mkk​}​−∂xk​∂{mmk​}​+ρ∑​{mkρ​}{ρmk​}−{mmρ​}{ρkk​}, worin {mkρ​} das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: {mkk​}=2gk​1​∂xm​∂gk​​,{mmρ​}=−2gρ​1​∂xρ​∂gm​​,{mmm​}=2gm​1​∂xm​∂gm​​ Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der ∑ρ​ des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle ρ=m=k. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I⎩⎨⎧​G11​=dr2d2​(ln(g2​g4​​))−drd​lng1​​drd​(ln(g2​g4​​))+21​(drdlng2​​)2+(drdlng4​​​)2=−ϰT11​,​ II{G22​=−1+drd​(2g1​1​drdg2​​)+4g1​g2​1​drdg1​​drdg2​​+4g1​g4​1​drdg2​​drdg4​​=−ϰT22​​ IIIG33​=G22​sin2ϑ=−ϰT33​=−ϰT22​sin2ϑ, IV⎩⎨⎧​G44​=drd​(2g1​1​drdg4​​)−4g1​g4​1​(drdg4​​)2+4g12​1​drdg1​​drdg4​​+2g1​g2​1​drdg2​​drdg4​​=−ϰT44​​ Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g1​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für ϰe2/32π2c2 zur Abkürzung λ2 und setzt man g2​=−g​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)dr2d2​ln(g​2​g4​​)+2g​22​1​(drdg​2​​)2+4g42​1​(drdg4​​)2=+g​22​λ2​ (II)−1+21​dr2d2g​2​​+4g4​1​drdg4​​drdg​2​​=−g​2​λ2​ (IV)21​dr2d2g4​​−4g4​1​(drdg4​​)2+2g​2​1​drdg​2​​drdg4​​=+g​22​λ2g4​​ Durch die Beschränkung g1​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.1) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung lng4​​=γ und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 113 (I)γ′′+γ′2+g​2​g​2′′​​−2g​22​g​2′2​​=+g​22​λ2​ (IV)γ′′+γ′2+γ′g​2​g​2′​​=+g​22​λ2​ (II)−g​2​+21​g​2​g​2′′​+21​γ′g​2′​g​2​=−λ2. (IV) minus (I) ergibt: (a)γ′=g​2′​g​2′′​​−2g​2​g​2′​​ und daraus: γ=ln(δg​2​​g​2′​​), wo δ eine Integrationskonstante. Oder: g4​​=δg​2​​g​2′​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)g4​​=cdrd​g​2​​ Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: 34​dr2d2​(g​243​​)=g​2−21​​−g​2−45​​λ2. Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung g​2​​=h, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)hh′=(h−α)2+(λ2−α2)​ und die vollständige Lösung: (11)λ2−α2​(λ2−α2​h−α​)2+1​+αAr Sinλ2−α2​h−α​=r+β welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: λ2−α2​h−α​=Sin u 114 oder (10a)h=λ2−α2​Sin u+α auch schreiben läßt: (11a)λ2−α2​Cos u+αu=r+β. Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)g4​​=cdrdh​=cSin u+λ2−α2​α​Cos u​. Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: K=−kr2me​​, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)K=−21​drdg4​​ also durch Benutzung der Gleichung (9a): 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird Cos u=Sin u=λ2−α2​r​ nach (11a). Also wird dort: K=−r2c2α​ Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert α=c2me​k​ Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons me​=1,8210−27​, so erhält man: α=1,82⋅9⋅102010−27⋅6,7⋅10−8​=0,408⋅10−55. Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)E=F14​=−4πce​g​2​g4​​​=−4πe​g​2​​1​drdg​2​​​ =4π(h2−α2)e​(Sin u+λ2−α2​α​)3 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: φ4​=−4πg​2​​e​ Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)g​2​=(r+β)2−λ2. (9b)g4​=c2(r+β)2−λ2(r+β)2​ In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: E=4πe​((r+β)2−λ2)3/2r+β​ Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System1) nach Einstein: T11​=T22​=T33​=0,T44​=ρm​g4​. Der zugehörige Skalar T=∑Tmm​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen2): 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 117 d. h. Gνν​=−ϰ(Tνν​−21​gνν​T), G11​=+2ϰ​g1​ρm​,G22​=+2ϰ​g2​ρm​ G33​=+2ϰ​g3​ρm​,G44​=−2ϰ​g4​ρm​ Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: dr2d2​(2g4​​)+r2​⋅drd​(2g4​​)=2ϰ​c2ρm​ Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: 2ϰ​=c44πk​=81⋅10404π⋅6,7⋅10−8​=0,936⋅10−48. Daraus ergibt sich: λ2=2ϰ​(4πce​)2=4πc4ke2​=4π⋅81⋅10406,7⋅10−8⋅4,652⋅10−20⋅4π​ =1,79⋅10−68, oder λ=1,337⋅10−34. Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: Sin u0​=−λ2−α2​α​ und nach (11a): β=λ2−α2​Cos u0​+αu0​, oder wegen der Kleinheit von α/λ: β=λ−λ2−α2​α2​=λ 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g4​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man g4​​E​=S so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: J4​=sinϑ⋅ρg2​−g1​​=drd​(S−g1​​g​2​​)sinϑ wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 T11​=−2S2​g1​1​,T22​=2S2​g1​g2​​,T33​=2S2​g1​g3​​,T44​=−2S2​g1​g4​​=0 während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 2zix0ag8d4ybemeuvg0hd9de2xzpnhg 459151 459150 2026-09-06T02:08:22Z Danuri19 16656 459151 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der gμν​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.1) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors Fαβ​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa F14​=E, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor Fμν hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: F14=Eg1​g4​−g​​ Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)J4=ρg4​​−g​​=∂x1​∂F14​=drd​(Eg1​g4​−g​​) wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: Kσ​=Fσ4​J4 und für allseitige Symmetrie: Kr​=F14​J4=Edrd​(Eg1​g4​−g​​) Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke E verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß g1​ oder g4​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.1) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also J4=0 sein und demnach: E=const⋅−g2​−g1​g4​​​ Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: E=4πr2e​,g1​=−1,g2​=−r2,g4​=c2, also const=4πce​ Daraus erhält man: (2){E=F14​=−4πce​g2​−g1​g4​​​F14=F14​g1​g4​−g​​=−4πce​g2​1​​ Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: T11​=−2g1​g4​E2​,T22​=T33​=+2g1​g4​E2​,T44​=−2g1​g4​E2​ Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel Tσσ​=Tσσ​gσσ​ den Wert an: 1) Die Annahme g4​=0 führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem g4​=0 ist, nicht gelungen. 110 T11​=−E22g1​g4​g1​​,T22​=E22g1​g4​g2​​ T33​=E22g1​g4​g3​​,T44​=−E22g1​g4​g4​​ Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: T11​=21​(4πce​)2g22​g1​​,T22​=−21​(4πce​)2g22​g2​​ T33​=−21​(4πce​)2g22​g3​​,T44​=21​(4πce​)2g22​g4​​ Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)k∑​{mk,km}=−ϰTmm​, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: {mk,km}=∂xm​∂{mkk​}​−∂xk​∂{mmk​}​+ρ∑​{mkρ​}{ρmk​}−{mmρ​}{ρkk​}, worin {mkρ​} das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: {mkk​}=2gk​1​∂xm​∂gk​​,{mmρ​}=−2gρ​1​∂xρ​∂gm​​,{mmm​}=2gm​1​∂xm​∂gm​​ Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der ∑ρ​ des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle ρ=m=k. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I⎩⎨⎧​G11​=dr2d2​(ln(g2​g4​​))−drd​lng1​​drd​(ln(g2​g4​​))+21​(drdlng2​​)2+(drdlng4​​​)2=−ϰT11​,​ II{G22​=−1+drd​(2g1​1​drdg2​​)+4g1​g2​1​drdg1​​drdg2​​+4g1​g4​1​drdg2​​drdg4​​=−ϰT22​​ IIIG33​=G22​sin2ϑ=−ϰT33​=−ϰT22​sin2ϑ, IV⎩⎨⎧​G44​=drd​(2g1​1​drdg4​​)−4g1​g4​1​(drdg4​​)2+4g12​1​drdg1​​drdg4​​+2g1​g2​1​drdg2​​drdg4​​=−ϰT44​​ Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g1​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für ϰe2/32π2c2 zur Abkürzung λ2 und setzt man g2​=−g​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)dr2d2​ln(g​2​g4​​)+2g​22​1​(drdg​2​​)2+4g42​1​(drdg4​​)2=+g​22​λ2​ (II)−1+21​dr2d2g​2​​+4g4​1​drdg4​​drdg​2​​=−g​2​λ2​ (IV)21​dr2d2g4​​−4g4​1​(drdg4​​)2+2g​2​1​drdg​2​​drdg4​​=+g​22​λ2g4​​ Durch die Beschränkung g1​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.1) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung lng4​​=γ und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 113 (I)γ′′+γ′2+g​2​g​2′′​​−2g​22​g​2′2​​=+g​22​λ2​ (IV)γ′′+γ′2+γ′g​2​g​2′​​=+g​22​λ2​ (II)−g​2​+21​g​2​g​2′′​+21​γ′g​2′​g​2​=−λ2. (IV) minus (I) ergibt: (a)γ′=g​2′​g​2′′​​−2g​2​g​2′​​ und daraus: γ=ln(δg​2​​g​2′​​), wo δ eine Integrationskonstante. Oder: g4​​=δg​2​​g​2′​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)g4​​=cdrd​g​2​​ Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: 34​dr2d2​(g​243​​)=g​2−21​​−g​2−45​​λ2. Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung g​2​​=h, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)hh′=(h−α)2+(λ2−α2)​ und die vollständige Lösung: (11)λ2−α2​(λ2−α2​h−α​)2+1​+αAr Sinλ2−α2​h−α​=r+β welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: λ2−α2​h−α​=Sin u 114 oder (10a)h=λ2−α2​Sin u+α auch schreiben läßt: (11a)λ2−α2​Cos u+αu=r+β. Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)g4​​=cdrdh​=cSin u+λ2−α2​α​Cos u​. Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: K=−kr2me​​, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)K=−21​drdg4​​ also durch Benutzung der Gleichung (9a): 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird Cos u=Sin u=λ2−α2​r​ nach (11a). Also wird dort: K=−r2c2α​ Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert α=c2me​k​ Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons me​=1,8210−27​, so erhält man: α=1,82⋅9⋅102010−27⋅6,7⋅10−8​=0,408⋅10−55. Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)E=F14​=−4πce​g​2​g4​​​=−4πe​g​2​​1​drdg​2​​​ =4π(h2−α2)e​(Sin u+λ2−α2​α​)3 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: φ4​=−4πg​2​​e​ Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)g​2​=(r+β)2−λ2. (9b)g4​=c2(r+β)2−λ2(r+β)2​ In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: E=4πe​((r+β)2−λ2)3/2r+β​ Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System1) nach Einstein: T11​=T22​=T33​=0,T44​=ρm​g4​. Der zugehörige Skalar T=∑Tmm​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen2): 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 117 d. h. Gνν​=−ϰ(Tνν​−21​gνν​T), G11​=+2ϰ​g1​ρm​,G22​=+2ϰ​g2​ρm​ G33​=+2ϰ​g3​ρm​,G44​=−2ϰ​g4​ρm​ Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: dr2d2​(2g4​​)+r2​⋅drd​(2g4​​)=2ϰ​c2ρm​ Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: 2ϰ​=c44πk​=81⋅10404π⋅6,7⋅10−8​=0,936⋅10−48. Daraus ergibt sich: λ2=2ϰ​(4πce​)2=4πc4ke2​=4π⋅81⋅10406,7⋅10−8⋅4,652⋅10−20⋅4π​ =1,79⋅10−68, oder λ=1,337⋅10−34. Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: Sin u0​=−λ2−α2​α​ und nach (11a): β=λ2−α2​Cos u0​+αu0​, oder wegen der Kleinheit von α/λ: β=λ−λ2−α2​α2​=λ 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g4​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man g4​​E​=S so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: J4​=sinϑ⋅ρg2​−g1​​=drd​(S−g1​​g​2​​)sinϑ wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 T11​=−2S2​g1​1​,T22​=2S2​g1​g2​​,T33​=2S2​g1​g3​​,T44​=−2S2​g1​g4​​=0 während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> t94q3ufg4xtgogliexqcdmbk6tmlwx0 459152 459151 2026-09-06T02:29:56Z Danuri19 16656 459152 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases} \tag{2}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: T11​=−2g1​g4​E2​,T22​=T33​=+2g1​g4​E2​,T44​=−2g1​g4​E2​ Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel Tσσ​=Tσσ​gσσ​ den Wert an: 1) Die Annahme g4​=0 führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem g4​=0 ist, nicht gelungen. 110 T11​=−E22g1​g4​g1​​,T22​=E22g1​g4​g2​​ T33​=E22g1​g4​g3​​,T44​=−E22g1​g4​g4​​ Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: T11​=21​(4πce​)2g22​g1​​,T22​=−21​(4πce​)2g22​g2​​ T33​=−21​(4πce​)2g22​g3​​,T44​=21​(4πce​)2g22​g4​​ Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)k∑​{mk,km}=−ϰTmm​, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: {mk,km}=∂xm​∂{mkk​}​−∂xk​∂{mmk​}​+ρ∑​{mkρ​}{ρmk​}−{mmρ​}{ρkk​}, worin {mkρ​} das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: {mkk​}=2gk​1​∂xm​∂gk​​,{mmρ​}=−2gρ​1​∂xρ​∂gm​​,{mmm​}=2gm​1​∂xm​∂gm​​ Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der ∑ρ​ des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle ρ=m=k. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I⎩⎨⎧​G11​=dr2d2​(ln(g2​g4​​))−drd​lng1​​drd​(ln(g2​g4​​))+21​(drdlng2​​)2+(drdlng4​​​)2=−ϰT11​,​ II{G22​=−1+drd​(2g1​1​drdg2​​)+4g1​g2​1​drdg1​​drdg2​​+4g1​g4​1​drdg2​​drdg4​​=−ϰT22​​ IIIG33​=G22​sin2ϑ=−ϰT33​=−ϰT22​sin2ϑ, IV⎩⎨⎧​G44​=drd​(2g1​1​drdg4​​)−4g1​g4​1​(drdg4​​)2+4g12​1​drdg1​​drdg4​​+2g1​g2​1​drdg2​​drdg4​​=−ϰT44​​ Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g1​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für ϰe2/32π2c2 zur Abkürzung λ2 und setzt man g2​=−g​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)dr2d2​ln(g​2​g4​​)+2g​22​1​(drdg​2​​)2+4g42​1​(drdg4​​)2=+g​22​λ2​ (II)−1+21​dr2d2g​2​​+4g4​1​drdg4​​drdg​2​​=−g​2​λ2​ (IV)21​dr2d2g4​​−4g4​1​(drdg4​​)2+2g​2​1​drdg​2​​drdg4​​=+g​22​λ2g4​​ Durch die Beschränkung g1​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.1) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung lng4​​=γ und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 113 (I)γ′′+γ′2+g​2​g​2′′​​−2g​22​g​2′2​​=+g​22​λ2​ (IV)γ′′+γ′2+γ′g​2​g​2′​​=+g​22​λ2​ (II)−g​2​+21​g​2​g​2′′​+21​γ′g​2′​g​2​=−λ2. (IV) minus (I) ergibt: (a)γ′=g​2′​g​2′′​​−2g​2​g​2′​​ und daraus: γ=ln(δg​2​​g​2′​​), wo δ eine Integrationskonstante. Oder: g4​​=δg​2​​g​2′​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)g4​​=cdrd​g​2​​ Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: 34​dr2d2​(g​243​​)=g​2−21​​−g​2−45​​λ2. Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung g​2​​=h, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)hh′=(h−α)2+(λ2−α2)​ und die vollständige Lösung: (11)λ2−α2​(λ2−α2​h−α​)2+1​+αAr Sinλ2−α2​h−α​=r+β welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: λ2−α2​h−α​=Sin u 114 oder (10a)h=λ2−α2​Sin u+α auch schreiben läßt: (11a)λ2−α2​Cos u+αu=r+β. Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)g4​​=cdrdh​=cSin u+λ2−α2​α​Cos u​. Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: K=−kr2me​​, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)K=−21​drdg4​​ also durch Benutzung der Gleichung (9a): 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird Cos u=Sin u=λ2−α2​r​ nach (11a). Also wird dort: K=−r2c2α​ Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert α=c2me​k​ Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons me​=1,8210−27​, so erhält man: α=1,82⋅9⋅102010−27⋅6,7⋅10−8​=0,408⋅10−55. Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)E=F14​=−4πce​g​2​g4​​​=−4πe​g​2​​1​drdg​2​​​ =4π(h2−α2)e​(Sin u+λ2−α2​α​)3 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: φ4​=−4πg​2​​e​ Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)g​2​=(r+β)2−λ2. (9b)g4​=c2(r+β)2−λ2(r+β)2​ In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: E=4πe​((r+β)2−λ2)3/2r+β​ Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System1) nach Einstein: T11​=T22​=T33​=0,T44​=ρm​g4​. Der zugehörige Skalar T=∑Tmm​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen2): 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 117 d. h. Gνν​=−ϰ(Tνν​−21​gνν​T), G11​=+2ϰ​g1​ρm​,G22​=+2ϰ​g2​ρm​ G33​=+2ϰ​g3​ρm​,G44​=−2ϰ​g4​ρm​ Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: dr2d2​(2g4​​)+r2​⋅drd​(2g4​​)=2ϰ​c2ρm​ Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: 2ϰ​=c44πk​=81⋅10404π⋅6,7⋅10−8​=0,936⋅10−48. Daraus ergibt sich: λ2=2ϰ​(4πce​)2=4πc4ke2​=4π⋅81⋅10406,7⋅10−8⋅4,652⋅10−20⋅4π​ =1,79⋅10−68, oder λ=1,337⋅10−34. Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: Sin u0​=−λ2−α2​α​ und nach (11a): β=λ2−α2​Cos u0​+αu0​, oder wegen der Kleinheit von α/λ: β=λ−λ2−α2​α2​=λ 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g4​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man g4​​E​=S so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: J4​=sinϑ⋅ρg2​−g1​​=drd​(S−g1​​g​2​​)sinϑ wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 T11​=−2S2​g1​1​,T22​=2S2​g1​g2​​,T33​=2S2​g1​g3​​,T44​=−2S2​g1​g4​​=0 während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 70zco0gjuyud3j3w1i6t9m6ipiwy98w 459153 459152 2026-09-06T02:38:19Z Danuri19 16656 459153 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 T11​=−E22g1​g4​g1​​,T22​=E22g1​g4​g2​​ T33​=E22g1​g4​g3​​,T44​=−E22g1​g4​g4​​ Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: T11​=21​(4πce​)2g22​g1​​,T22​=−21​(4πce​)2g22​g2​​ T33​=−21​(4πce​)2g22​g3​​,T44​=21​(4πce​)2g22​g4​​ Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)k∑​{mk,km}=−ϰTmm​, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: {mk,km}=∂xm​∂{mkk​}​−∂xk​∂{mmk​}​+ρ∑​{mkρ​}{ρmk​}−{mmρ​}{ρkk​}, worin {mkρ​} das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: {mkk​}=2gk​1​∂xm​∂gk​​,{mmρ​}=−2gρ​1​∂xρ​∂gm​​,{mmm​}=2gm​1​∂xm​∂gm​​ Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der ∑ρ​ des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle ρ=m=k. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I⎩⎨⎧​G11​=dr2d2​(ln(g2​g4​​))−drd​lng1​​drd​(ln(g2​g4​​))+21​(drdlng2​​)2+(drdlng4​​​)2=−ϰT11​,​ II{G22​=−1+drd​(2g1​1​drdg2​​)+4g1​g2​1​drdg1​​drdg2​​+4g1​g4​1​drdg2​​drdg4​​=−ϰT22​​ IIIG33​=G22​sin2ϑ=−ϰT33​=−ϰT22​sin2ϑ, IV⎩⎨⎧​G44​=drd​(2g1​1​drdg4​​)−4g1​g4​1​(drdg4​​)2+4g12​1​drdg1​​drdg4​​+2g1​g2​1​drdg2​​drdg4​​=−ϰT44​​ Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g1​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für ϰe2/32π2c2 zur Abkürzung λ2 und setzt man g2​=−g​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)dr2d2​ln(g​2​g4​​)+2g​22​1​(drdg​2​​)2+4g42​1​(drdg4​​)2=+g​22​λ2​ (II)−1+21​dr2d2g​2​​+4g4​1​drdg4​​drdg​2​​=−g​2​λ2​ (IV)21​dr2d2g4​​−4g4​1​(drdg4​​)2+2g​2​1​drdg​2​​drdg4​​=+g​22​λ2g4​​ Durch die Beschränkung g1​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.1) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung lng4​​=γ und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 113 (I)γ′′+γ′2+g​2​g​2′′​​−2g​22​g​2′2​​=+g​22​λ2​ (IV)γ′′+γ′2+γ′g​2​g​2′​​=+g​22​λ2​ (II)−g​2​+21​g​2​g​2′′​+21​γ′g​2′​g​2​=−λ2. (IV) minus (I) ergibt: (a)γ′=g​2′​g​2′′​​−2g​2​g​2′​​ und daraus: γ=ln(δg​2​​g​2′​​), wo δ eine Integrationskonstante. Oder: g4​​=δg​2​​g​2′​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)g4​​=cdrd​g​2​​ Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: 34​dr2d2​(g​243​​)=g​2−21​​−g​2−45​​λ2. Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung g​2​​=h, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)hh′=(h−α)2+(λ2−α2)​ und die vollständige Lösung: (11)λ2−α2​(λ2−α2​h−α​)2+1​+αAr Sinλ2−α2​h−α​=r+β welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: λ2−α2​h−α​=Sin u 114 oder (10a)h=λ2−α2​Sin u+α auch schreiben läßt: (11a)λ2−α2​Cos u+αu=r+β. Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)g4​​=cdrdh​=cSin u+λ2−α2​α​Cos u​. Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: K=−kr2me​​, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)K=−21​drdg4​​ also durch Benutzung der Gleichung (9a): 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird Cos u=Sin u=λ2−α2​r​ nach (11a). Also wird dort: K=−r2c2α​ Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert α=c2me​k​ Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons me​=1,8210−27​, so erhält man: α=1,82⋅9⋅102010−27⋅6,7⋅10−8​=0,408⋅10−55. Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)E=F14​=−4πce​g​2​g4​​​=−4πe​g​2​​1​drdg​2​​​ =4π(h2−α2)e​(Sin u+λ2−α2​α​)3 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: φ4​=−4πg​2​​e​ Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)g​2​=(r+β)2−λ2. (9b)g4​=c2(r+β)2−λ2(r+β)2​ In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: E=4πe​((r+β)2−λ2)3/2r+β​ Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System1) nach Einstein: T11​=T22​=T33​=0,T44​=ρm​g4​. Der zugehörige Skalar T=∑Tmm​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen2): 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 117 d. h. Gνν​=−ϰ(Tνν​−21​gνν​T), G11​=+2ϰ​g1​ρm​,G22​=+2ϰ​g2​ρm​ G33​=+2ϰ​g3​ρm​,G44​=−2ϰ​g4​ρm​ Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: dr2d2​(2g4​​)+r2​⋅drd​(2g4​​)=2ϰ​c2ρm​ Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: 2ϰ​=c44πk​=81⋅10404π⋅6,7⋅10−8​=0,936⋅10−48. Daraus ergibt sich: λ2=2ϰ​(4πce​)2=4πc4ke2​=4π⋅81⋅10406,7⋅10−8⋅4,652⋅10−20⋅4π​ =1,79⋅10−68, oder λ=1,337⋅10−34. Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: Sin u0​=−λ2−α2​α​ und nach (11a): β=λ2−α2​Cos u0​+αu0​, oder wegen der Kleinheit von α/λ: β=λ−λ2−α2​α2​=λ 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g4​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man g4​​E​=S so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: J4​=sinϑ⋅ρg2​−g1​​=drd​(S−g1​​g​2​​)sinϑ wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 T11​=−2S2​g1​1​,T22​=2S2​g1​g2​​,T33​=2S2​g1​g3​​,T44​=−2S2​g1​g4​​=0 während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 6mpngvwgzyfovlz1fvk7s7tm49plsuo 459154 459153 2026-09-06T02:50:01Z Danuri19 16656 459154 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der ∑ρ​ des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle ρ=m=k. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I⎩⎨⎧​G11​=dr2d2​(ln(g2​g4​​))−drd​lng1​​drd​(ln(g2​g4​​))+21​(drdlng2​​)2+(drdlng4​​​)2=−ϰT11​,​ II{G22​=−1+drd​(2g1​1​drdg2​​)+4g1​g2​1​drdg1​​drdg2​​+4g1​g4​1​drdg2​​drdg4​​=−ϰT22​​ IIIG33​=G22​sin2ϑ=−ϰT33​=−ϰT22​sin2ϑ, IV⎩⎨⎧​G44​=drd​(2g1​1​drdg4​​)−4g1​g4​1​(drdg4​​)2+4g12​1​drdg1​​drdg4​​+2g1​g2​1​drdg2​​drdg4​​=−ϰT44​​ Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g1​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für ϰe2/32π2c2 zur Abkürzung λ2 und setzt man g2​=−g​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)dr2d2​ln(g​2​g4​​)+2g​22​1​(drdg​2​​)2+4g42​1​(drdg4​​)2=+g​22​λ2​ (II)−1+21​dr2d2g​2​​+4g4​1​drdg4​​drdg​2​​=−g​2​λ2​ (IV)21​dr2d2g4​​−4g4​1​(drdg4​​)2+2g​2​1​drdg​2​​drdg4​​=+g​22​λ2g4​​ Durch die Beschränkung g1​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.1) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung lng4​​=γ und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 113 (I)γ′′+γ′2+g​2​g​2′′​​−2g​22​g​2′2​​=+g​22​λ2​ (IV)γ′′+γ′2+γ′g​2​g​2′​​=+g​22​λ2​ (II)−g​2​+21​g​2​g​2′′​+21​γ′g​2′​g​2​=−λ2. (IV) minus (I) ergibt: (a)γ′=g​2′​g​2′′​​−2g​2​g​2′​​ und daraus: γ=ln(δg​2​​g​2′​​), wo δ eine Integrationskonstante. Oder: g4​​=δg​2​​g​2′​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)g4​​=cdrd​g​2​​ Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: 34​dr2d2​(g​243​​)=g​2−21​​−g​2−45​​λ2. Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung g​2​​=h, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)hh′=(h−α)2+(λ2−α2)​ und die vollständige Lösung: (11)λ2−α2​(λ2−α2​h−α​)2+1​+αAr Sinλ2−α2​h−α​=r+β welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: λ2−α2​h−α​=Sin u 114 oder (10a)h=λ2−α2​Sin u+α auch schreiben läßt: (11a)λ2−α2​Cos u+αu=r+β. Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)g4​​=cdrdh​=cSin u+λ2−α2​α​Cos u​. Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: K=−kr2me​​, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)K=−21​drdg4​​ also durch Benutzung der Gleichung (9a): 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird Cos u=Sin u=λ2−α2​r​ nach (11a). Also wird dort: K=−r2c2α​ Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert α=c2me​k​ Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons me​=1,8210−27​, so erhält man: α=1,82⋅9⋅102010−27⋅6,7⋅10−8​=0,408⋅10−55. Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)E=F14​=−4πce​g​2​g4​​​=−4πe​g​2​​1​drdg​2​​​ =4π(h2−α2)e​(Sin u+λ2−α2​α​)3 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: φ4​=−4πg​2​​e​ Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)g​2​=(r+β)2−λ2. (9b)g4​=c2(r+β)2−λ2(r+β)2​ In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: E=4πe​((r+β)2−λ2)3/2r+β​ Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System1) nach Einstein: T11​=T22​=T33​=0,T44​=ρm​g4​. Der zugehörige Skalar T=∑Tmm​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen2): 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 117 d. h. Gνν​=−ϰ(Tνν​−21​gνν​T), G11​=+2ϰ​g1​ρm​,G22​=+2ϰ​g2​ρm​ G33​=+2ϰ​g3​ρm​,G44​=−2ϰ​g4​ρm​ Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: dr2d2​(2g4​​)+r2​⋅drd​(2g4​​)=2ϰ​c2ρm​ Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: 2ϰ​=c44πk​=81⋅10404π⋅6,7⋅10−8​=0,936⋅10−48. Daraus ergibt sich: λ2=2ϰ​(4πce​)2=4πc4ke2​=4π⋅81⋅10406,7⋅10−8⋅4,652⋅10−20⋅4π​ =1,79⋅10−68, oder λ=1,337⋅10−34. Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: Sin u0​=−λ2−α2​α​ und nach (11a): β=λ2−α2​Cos u0​+αu0​, oder wegen der Kleinheit von α/λ: β=λ−λ2−α2​α2​=λ 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g4​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man g4​​E​=S so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: J4​=sinϑ⋅ρg2​−g1​​=drd​(S−g1​​g​2​​)sinϑ wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 T11​=−2S2​g1​1​,T22​=2S2​g1​g2​​,T33​=2S2​g1​g3​​,T44​=−2S2​g1​g4​​=0 während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. mriv86jsrt02nyn01hcojqsr79skbmv 459155 459154 2026-09-06T02:52:58Z Danuri19 16656 459155 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I⎩⎨⎧​G11​=dr2d2​(ln(g2​g4​​))−drd​lng1​​drd​(ln(g2​g4​​))+21​(drdlng2​​)2+(drdlng4​​​)2=−ϰT11​,​ II{G22​=−1+drd​(2g1​1​drdg2​​)+4g1​g2​1​drdg1​​drdg2​​+4g1​g4​1​drdg2​​drdg4​​=−ϰT22​​ IIIG33​=G22​sin2ϑ=−ϰT33​=−ϰT22​sin2ϑ, IV⎩⎨⎧​G44​=drd​(2g1​1​drdg4​​)−4g1​g4​1​(drdg4​​)2+4g12​1​drdg1​​drdg4​​+2g1​g2​1​drdg2​​drdg4​​=−ϰT44​​ Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g1​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für ϰe2/32π2c2 zur Abkürzung λ2 und setzt man g2​=−g​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)dr2d2​ln(g​2​g4​​)+2g​22​1​(drdg​2​​)2+4g42​1​(drdg4​​)2=+g​22​λ2​ (II)−1+21​dr2d2g​2​​+4g4​1​drdg4​​drdg​2​​=−g​2​λ2​ (IV)21​dr2d2g4​​−4g4​1​(drdg4​​)2+2g​2​1​drdg​2​​drdg4​​=+g​22​λ2g4​​ Durch die Beschränkung g1​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.1) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung lng4​​=γ und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 113 (I)γ′′+γ′2+g​2​g​2′′​​−2g​22​g​2′2​​=+g​22​λ2​ (IV)γ′′+γ′2+γ′g​2​g​2′​​=+g​22​λ2​ (II)−g​2​+21​g​2​g​2′′​+21​γ′g​2′​g​2​=−λ2. (IV) minus (I) ergibt: (a)γ′=g​2′​g​2′′​​−2g​2​g​2′​​ und daraus: γ=ln(δg​2​​g​2′​​), wo δ eine Integrationskonstante. Oder: g4​​=δg​2​​g​2′​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)g4​​=cdrd​g​2​​ Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: 34​dr2d2​(g​243​​)=g​2−21​​−g​2−45​​λ2. Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung g​2​​=h, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)hh′=(h−α)2+(λ2−α2)​ und die vollständige Lösung: (11)λ2−α2​(λ2−α2​h−α​)2+1​+αAr Sinλ2−α2​h−α​=r+β welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: λ2−α2​h−α​=Sin u 114 oder (10a)h=λ2−α2​Sin u+α auch schreiben läßt: (11a)λ2−α2​Cos u+αu=r+β. Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)g4​​=cdrdh​=cSin u+λ2−α2​α​Cos u​. Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: K=−kr2me​​, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)K=−21​drdg4​​ also durch Benutzung der Gleichung (9a): 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird Cos u=Sin u=λ2−α2​r​ nach (11a). Also wird dort: K=−r2c2α​ Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert α=c2me​k​ Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons me​=1,8210−27​, so erhält man: α=1,82⋅9⋅102010−27⋅6,7⋅10−8​=0,408⋅10−55. Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)E=F14​=−4πce​g​2​g4​​​=−4πe​g​2​​1​drdg​2​​​ =4π(h2−α2)e​(Sin u+λ2−α2​α​)3 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: φ4​=−4πg​2​​e​ Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)g​2​=(r+β)2−λ2. (9b)g4​=c2(r+β)2−λ2(r+β)2​ In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: E=4πe​((r+β)2−λ2)3/2r+β​ Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System1) nach Einstein: T11​=T22​=T33​=0,T44​=ρm​g4​. Der zugehörige Skalar T=∑Tmm​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen2): 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 117 d. h. Gνν​=−ϰ(Tνν​−21​gνν​T), G11​=+2ϰ​g1​ρm​,G22​=+2ϰ​g2​ρm​ G33​=+2ϰ​g3​ρm​,G44​=−2ϰ​g4​ρm​ Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: dr2d2​(2g4​​)+r2​⋅drd​(2g4​​)=2ϰ​c2ρm​ Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: 2ϰ​=c44πk​=81⋅10404π⋅6,7⋅10−8​=0,936⋅10−48. Daraus ergibt sich: λ2=2ϰ​(4πce​)2=4πc4ke2​=4π⋅81⋅10406,7⋅10−8⋅4,652⋅10−20⋅4π​ =1,79⋅10−68, oder λ=1,337⋅10−34. Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: Sin u0​=−λ2−α2​α​ und nach (11a): β=λ2−α2​Cos u0​+αu0​, oder wegen der Kleinheit von α/λ: β=λ−λ2−α2​α2​=λ 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g4​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man g4​​E​=S so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: J4​=sinϑ⋅ρg2​−g1​​=drd​(S−g1​​g​2​​)sinϑ wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 T11​=−2S2​g1​1​,T22​=2S2​g1​g2​​,T33​=2S2​g1​g3​​,T44​=−2S2​g1​g4​​=0 während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. f9547kuuspr13t28cl9d3myeuggsrcn 459156 459155 2026-09-06T03:05:14Z Danuri19 16656 459156 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11}. \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22}. \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44}. \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\phi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2} </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.1) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung lng4​​=γ und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 113 (I)γ′′+γ′2+g​2​g​2′′​​−2g​22​g​2′2​​=+g​22​λ2​ (IV)γ′′+γ′2+γ′g​2​g​2′​​=+g​22​λ2​ (II)−g​2​+21​g​2​g​2′′​+21​γ′g​2′​g​2​=−λ2. (IV) minus (I) ergibt: (a)γ′=g​2′​g​2′′​​−2g​2​g​2′​​ und daraus: γ=ln(δg​2​​g​2′​​), wo δ eine Integrationskonstante. Oder: g4​​=δg​2​​g​2′​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)g4​​=cdrd​g​2​​ Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: 34​dr2d2​(g​243​​)=g​2−21​​−g​2−45​​λ2. Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung g​2​​=h, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)hh′=(h−α)2+(λ2−α2)​ und die vollständige Lösung: (11)λ2−α2​(λ2−α2​h−α​)2+1​+αAr Sinλ2−α2​h−α​=r+β welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: λ2−α2​h−α​=Sin u 114 oder (10a)h=λ2−α2​Sin u+α auch schreiben läßt: (11a)λ2−α2​Cos u+αu=r+β. Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)g4​​=cdrdh​=cSin u+λ2−α2​α​Cos u​. Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: K=−kr2me​​, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)K=−21​drdg4​​ also durch Benutzung der Gleichung (9a): 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird Cos u=Sin u=λ2−α2​r​ nach (11a). Also wird dort: K=−r2c2α​ Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert α=c2me​k​ Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons me​=1,8210−27​, so erhält man: α=1,82⋅9⋅102010−27⋅6,7⋅10−8​=0,408⋅10−55. Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)E=F14​=−4πce​g​2​g4​​​=−4πe​g​2​​1​drdg​2​​​ =4π(h2−α2)e​(Sin u+λ2−α2​α​)3 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: φ4​=−4πg​2​​e​ Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)g​2​=(r+β)2−λ2. (9b)g4​=c2(r+β)2−λ2(r+β)2​ In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: E=4πe​((r+β)2−λ2)3/2r+β​ Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System1) nach Einstein: T11​=T22​=T33​=0,T44​=ρm​g4​. Der zugehörige Skalar T=∑Tmm​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen2): 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 117 d. h. Gνν​=−ϰ(Tνν​−21​gνν​T), G11​=+2ϰ​g1​ρm​,G22​=+2ϰ​g2​ρm​ G33​=+2ϰ​g3​ρm​,G44​=−2ϰ​g4​ρm​ Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: dr2d2​(2g4​​)+r2​⋅drd​(2g4​​)=2ϰ​c2ρm​ Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: 2ϰ​=c44πk​=81⋅10404π⋅6,7⋅10−8​=0,936⋅10−48. Daraus ergibt sich: λ2=2ϰ​(4πce​)2=4πc4ke2​=4π⋅81⋅10406,7⋅10−8⋅4,652⋅10−20⋅4π​ =1,79⋅10−68, oder λ=1,337⋅10−34. Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: Sin u0​=−λ2−α2​α​ und nach (11a): β=λ2−α2​Cos u0​+αu0​, oder wegen der Kleinheit von α/λ: β=λ−λ2−α2​α2​=λ 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g4​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man g4​​E​=S so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: J4​=sinϑ⋅ρg2​−g1​​=drd​(S−g1​​g​2​​)sinϑ wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 T11​=−2S2​g1​1​,T22​=2S2​g1​g2​​,T33​=2S2​g1​g3​​,T44​=−2S2​g1​g4​​=0 während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 8eerfdf4m5koad64lrtuuy97j0bs7lj 459157 459156 2026-09-06T03:07:00Z Danuri19 16656 459157 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.1) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung lng4​​=γ und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 113 (I)γ′′+γ′2+g​2​g​2′′​​−2g​22​g​2′2​​=+g​22​λ2​ (IV)γ′′+γ′2+γ′g​2​g​2′​​=+g​22​λ2​ (II)−g​2​+21​g​2​g​2′′​+21​γ′g​2′​g​2​=−λ2. (IV) minus (I) ergibt: (a)γ′=g​2′​g​2′′​​−2g​2​g​2′​​ und daraus: γ=ln(δg​2​​g​2′​​), wo δ eine Integrationskonstante. Oder: g4​​=δg​2​​g​2′​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)g4​​=cdrd​g​2​​ Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: 34​dr2d2​(g​243​​)=g​2−21​​−g​2−45​​λ2. Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung g​2​​=h, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)hh′=(h−α)2+(λ2−α2)​ und die vollständige Lösung: (11)λ2−α2​(λ2−α2​h−α​)2+1​+αAr Sinλ2−α2​h−α​=r+β welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: λ2−α2​h−α​=Sin u 114 oder (10a)h=λ2−α2​Sin u+α auch schreiben läßt: (11a)λ2−α2​Cos u+αu=r+β. Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)g4​​=cdrdh​=cSin u+λ2−α2​α​Cos u​. Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: K=−kr2me​​, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)K=−21​drdg4​​ also durch Benutzung der Gleichung (9a): 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird Cos u=Sin u=λ2−α2​r​ nach (11a). Also wird dort: K=−r2c2α​ Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert α=c2me​k​ Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons me​=1,8210−27​, so erhält man: α=1,82⋅9⋅102010−27⋅6,7⋅10−8​=0,408⋅10−55. Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)E=F14​=−4πce​g​2​g4​​​=−4πe​g​2​​1​drdg​2​​​ =4π(h2−α2)e​(Sin u+λ2−α2​α​)3 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: φ4​=−4πg​2​​e​ Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)g​2​=(r+β)2−λ2. (9b)g4​=c2(r+β)2−λ2(r+β)2​ In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: E=4πe​((r+β)2−λ2)3/2r+β​ Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System1) nach Einstein: T11​=T22​=T33​=0,T44​=ρm​g4​. Der zugehörige Skalar T=∑Tmm​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen2): 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 117 d. h. Gνν​=−ϰ(Tνν​−21​gνν​T), G11​=+2ϰ​g1​ρm​,G22​=+2ϰ​g2​ρm​ G33​=+2ϰ​g3​ρm​,G44​=−2ϰ​g4​ρm​ Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: dr2d2​(2g4​​)+r2​⋅drd​(2g4​​)=2ϰ​c2ρm​ Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: 2ϰ​=c44πk​=81⋅10404π⋅6,7⋅10−8​=0,936⋅10−48. Daraus ergibt sich: λ2=2ϰ​(4πce​)2=4πc4ke2​=4π⋅81⋅10406,7⋅10−8⋅4,652⋅10−20⋅4π​ =1,79⋅10−68, oder λ=1,337⋅10−34. Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: Sin u0​=−λ2−α2​α​ und nach (11a): β=λ2−α2​Cos u0​+αu0​, oder wegen der Kleinheit von α/λ: β=λ−λ2−α2​α2​=λ 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g4​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man g4​​E​=S so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: J4​=sinϑ⋅ρg2​−g1​​=drd​(S−g1​​g​2​​)sinϑ wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 T11​=−2S2​g1​1​,T22​=2S2​g1​g2​​,T33​=2S2​g1​g3​​,T44​=−2S2​g1​g4​​=0 während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. jpoez6v32g2xobavxcujw7pt6nq1xc8 459158 459157 2026-09-06T03:10:36Z Danuri19 16656 459158 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}</math>​​=γ und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)γ′′+γ′2+g​2​g​2′′​​−2g​22​g​2′2​​=+g​22​λ2​ (IV)γ′′+γ′2+γ′g​2​g​2′​​=+g​22​λ2​ (II)−g​2​+21​g​2​g​2′′​+21​γ′g​2′​g​2​=−λ2. (IV) minus (I) ergibt: (a)γ′=g​2′​g​2′′​​−2g​2​g​2′​​ und daraus: γ=ln(δg​2​​g​2′​​), wo δ eine Integrationskonstante. Oder: g4​​=δg​2​​g​2′​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)g4​​=cdrd​g​2​​ Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: 34​dr2d2​(g​243​​)=g​2−21​​−g​2−45​​λ2. Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung g​2​​=h, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)hh′=(h−α)2+(λ2−α2)​ und die vollständige Lösung: (11)λ2−α2​(λ2−α2​h−α​)2+1​+αAr Sinλ2−α2​h−α​=r+β welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: λ2−α2​h−α​=Sin u 114 oder (10a)h=λ2−α2​Sin u+α auch schreiben läßt: (11a)λ2−α2​Cos u+αu=r+β. Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)g4​​=cdrdh​=cSin u+λ2−α2​α​Cos u​. Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: K=−kr2me​​, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)K=−21​drdg4​​ also durch Benutzung der Gleichung (9a): 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird Cos u=Sin u=λ2−α2​r​ nach (11a). Also wird dort: K=−r2c2α​ Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert α=c2me​k​ Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons me​=1,8210−27​, so erhält man: α=1,82⋅9⋅102010−27⋅6,7⋅10−8​=0,408⋅10−55. Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)E=F14​=−4πce​g​2​g4​​​=−4πe​g​2​​1​drdg​2​​​ =4π(h2−α2)e​(Sin u+λ2−α2​α​)3 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: φ4​=−4πg​2​​e​ Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)g​2​=(r+β)2−λ2. (9b)g4​=c2(r+β)2−λ2(r+β)2​ In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: E=4πe​((r+β)2−λ2)3/2r+β​ Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System1) nach Einstein: T11​=T22​=T33​=0,T44​=ρm​g4​. Der zugehörige Skalar T=∑Tmm​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen2): 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 117 d. h. Gνν​=−ϰ(Tνν​−21​gνν​T), G11​=+2ϰ​g1​ρm​,G22​=+2ϰ​g2​ρm​ G33​=+2ϰ​g3​ρm​,G44​=−2ϰ​g4​ρm​ Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: dr2d2​(2g4​​)+r2​⋅drd​(2g4​​)=2ϰ​c2ρm​ Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: 2ϰ​=c44πk​=81⋅10404π⋅6,7⋅10−8​=0,936⋅10−48. Daraus ergibt sich: λ2=2ϰ​(4πce​)2=4πc4ke2​=4π⋅81⋅10406,7⋅10−8⋅4,652⋅10−20⋅4π​ =1,79⋅10−68, oder λ=1,337⋅10−34. Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: Sin u0​=−λ2−α2​α​ und nach (11a): β=λ2−α2​Cos u0​+αu0​, oder wegen der Kleinheit von α/λ: β=λ−λ2−α2​α2​=λ 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g4​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man g4​​E​=S so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: J4​=sinϑ⋅ρg2​−g1​​=drd​(S−g1​​g​2​​)sinϑ wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 T11​=−2S2​g1​1​,T22​=2S2​g1​g2​​,T33​=2S2​g1​g3​​,T44​=−2S2​g1​g4​​=0 während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. qsyd9g8m7lyjz9gg2aih66wgjr1g03z 459160 459158 2026-09-06T03:29:24Z Danuri19 16656 459160 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \operatorname{arsinh} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \sinh u</math> 114 oder (10a)h=λ2−α2​Sin u+α auch schreiben läßt: (11a)λ2−α2​Cos u+αu=r+β. Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)g4​​=cdrdh​=cSin u+λ2−α2​α​Cos u​. Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: K=−kr2me​​, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)K=−21​drdg4​​ also durch Benutzung der Gleichung (9a): 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird Cos u=Sin u=λ2−α2​r​ nach (11a). Also wird dort: K=−r2c2α​ Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert α=c2me​k​ Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons me​=1,8210−27​, so erhält man: α=1,82⋅9⋅102010−27⋅6,7⋅10−8​=0,408⋅10−55. Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)E=F14​=−4πce​g​2​g4​​​=−4πe​g​2​​1​drdg​2​​​ =4π(h2−α2)e​(Sin u+λ2−α2​α​)3 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: φ4​=−4πg​2​​e​ Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)g​2​=(r+β)2−λ2. (9b)g4​=c2(r+β)2−λ2(r+β)2​ In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: E=4πe​((r+β)2−λ2)3/2r+β​ Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System1) nach Einstein: T11​=T22​=T33​=0,T44​=ρm​g4​. Der zugehörige Skalar T=∑Tmm​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen2): 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 117 d. h. Gνν​=−ϰ(Tνν​−21​gνν​T), G11​=+2ϰ​g1​ρm​,G22​=+2ϰ​g2​ρm​ G33​=+2ϰ​g3​ρm​,G44​=−2ϰ​g4​ρm​ Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: dr2d2​(2g4​​)+r2​⋅drd​(2g4​​)=2ϰ​c2ρm​ Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: 2ϰ​=c44πk​=81⋅10404π⋅6,7⋅10−8​=0,936⋅10−48. Daraus ergibt sich: λ2=2ϰ​(4πce​)2=4πc4ke2​=4π⋅81⋅10406,7⋅10−8⋅4,652⋅10−20⋅4π​ =1,79⋅10−68, oder λ=1,337⋅10−34. Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: Sin u0​=−λ2−α2​α​ und nach (11a): β=λ2−α2​Cos u0​+αu0​, oder wegen der Kleinheit von α/λ: β=λ−λ2−α2​α2​=λ 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g4​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man g4​​E​=S so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: J4​=sinϑ⋅ρg2​−g1​​=drd​(S−g1​​g​2​​)sinϑ wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 T11​=−2S2​g1​1​,T22​=2S2​g1​g2​​,T33​=2S2​g1​g3​​,T44​=−2S2​g1​g4​​=0 während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. ndb9zaf6nho3kzes5atckvsu9aaa2da 459174 459160 2026-09-06T04:49:51Z Danuri19 16656 459174 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)h=λ2−α2​Sin u+α auch schreiben läßt: (11a)λ2−α2​Cos u+αu=r+β. Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)g4​​=cdrdh​=cSin u+λ2−α2​α​Cos u​. Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: K=−kr2me​​, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)K=−21​drdg4​​ also durch Benutzung der Gleichung (9a): 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird Cos u=Sin u=λ2−α2​r​ nach (11a). Also wird dort: K=−r2c2α​ Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert α=c2me​k​ Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons me​=1,8210−27​, so erhält man: α=1,82⋅9⋅102010−27⋅6,7⋅10−8​=0,408⋅10−55. Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)E=F14​=−4πce​g​2​g4​​​=−4πe​g​2​​1​drdg​2​​​ =4π(h2−α2)e​(Sin u+λ2−α2​α​)3 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: φ4​=−4πg​2​​e​ Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)g​2​=(r+β)2−λ2. (9b)g4​=c2(r+β)2−λ2(r+β)2​ In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: E=4πe​((r+β)2−λ2)3/2r+β​ Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System1) nach Einstein: T11​=T22​=T33​=0,T44​=ρm​g4​. Der zugehörige Skalar T=∑Tmm​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen2): 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 117 d. h. Gνν​=−ϰ(Tνν​−21​gνν​T), G11​=+2ϰ​g1​ρm​,G22​=+2ϰ​g2​ρm​ G33​=+2ϰ​g3​ρm​,G44​=−2ϰ​g4​ρm​ Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: dr2d2​(2g4​​)+r2​⋅drd​(2g4​​)=2ϰ​c2ρm​ Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: 2ϰ​=c44πk​=81⋅10404π⋅6,7⋅10−8​=0,936⋅10−48. Daraus ergibt sich: λ2=2ϰ​(4πce​)2=4πc4ke2​=4π⋅81⋅10406,7⋅10−8⋅4,652⋅10−20⋅4π​ =1,79⋅10−68, oder λ=1,337⋅10−34. Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: Sin u0​=−λ2−α2​α​ und nach (11a): β=λ2−α2​Cos u0​+αu0​, oder wegen der Kleinheit von α/λ: β=λ−λ2−α2​α2​=λ 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g4​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man g4​​E​=S so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: J4​=sinϑ⋅ρg2​−g1​​=drd​(S−g1​​g​2​​)sinϑ wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 T11​=−2S2​g1​1​,T22​=2S2​g1​g2​​,T33​=2S2​g1​g3​​,T44​=−2S2​g1​g4​​=0 während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. k6984yew5zch1jx7oquiahh5kscn7av 459175 459174 2026-09-06T04:57:19Z Danuri19 16656 459175 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird Cos u=Sin u=λ2−α2​r​ nach (11a). Also wird dort: K=−r2c2α​ Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert α=c2me​k​ Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons me​=1,8210−27​, so erhält man: α=1,82⋅9⋅102010−27⋅6,7⋅10−8​=0,408⋅10−55. Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)E=F14​=−4πce​g​2​g4​​​=−4πe​g​2​​1​drdg​2​​​ =4π(h2−α2)e​(Sin u+λ2−α2​α​)3 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: φ4​=−4πg​2​​e​ Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)g​2​=(r+β)2−λ2. (9b)g4​=c2(r+β)2−λ2(r+β)2​ In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: E=4πe​((r+β)2−λ2)3/2r+β​ Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System1) nach Einstein: T11​=T22​=T33​=0,T44​=ρm​g4​. Der zugehörige Skalar T=∑Tmm​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen2): 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 117 d. h. Gνν​=−ϰ(Tνν​−21​gνν​T), G11​=+2ϰ​g1​ρm​,G22​=+2ϰ​g2​ρm​ G33​=+2ϰ​g3​ρm​,G44​=−2ϰ​g4​ρm​ Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: dr2d2​(2g4​​)+r2​⋅drd​(2g4​​)=2ϰ​c2ρm​ Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: 2ϰ​=c44πk​=81⋅10404π⋅6,7⋅10−8​=0,936⋅10−48. Daraus ergibt sich: λ2=2ϰ​(4πce​)2=4πc4ke2​=4π⋅81⋅10406,7⋅10−8⋅4,652⋅10−20⋅4π​ =1,79⋅10−68, oder λ=1,337⋅10−34. Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: Sin u0​=−λ2−α2​α​ und nach (11a): β=λ2−α2​Cos u0​+αu0​, oder wegen der Kleinheit von α/λ: β=λ−λ2−α2​α2​=λ 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g4​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man g4​​E​=S so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: J4​=sinϑ⋅ρg2​−g1​​=drd​(S−g1​​g​2​​)sinϑ wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 T11​=−2S2​g1​1​,T22​=2S2​g1​g2​​,T33​=2S2​g1​g3​​,T44​=−2S2​g1​g4​​=0 während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 5ptomgfpl3xq8hg8us3pqc8qf0ehc6h 459176 459175 2026-09-06T05:06:52Z Danuri19 16656 459176 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: φ4​=−4πg​2​​e​ Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)g​2​=(r+β)2−λ2. (9b)g4​=c2(r+β)2−λ2(r+β)2​ In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: E=4πe​((r+β)2−λ2)3/2r+β​ Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System1) nach Einstein: T11​=T22​=T33​=0,T44​=ρm​g4​. Der zugehörige Skalar T=∑Tmm​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen2): 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 117 d. h. Gνν​=−ϰ(Tνν​−21​gνν​T), G11​=+2ϰ​g1​ρm​,G22​=+2ϰ​g2​ρm​ G33​=+2ϰ​g3​ρm​,G44​=−2ϰ​g4​ρm​ Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: dr2d2​(2g4​​)+r2​⋅drd​(2g4​​)=2ϰ​c2ρm​ Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: 2ϰ​=c44πk​=81⋅10404π⋅6,7⋅10−8​=0,936⋅10−48. Daraus ergibt sich: λ2=2ϰ​(4πce​)2=4πc4ke2​=4π⋅81⋅10406,7⋅10−8⋅4,652⋅10−20⋅4π​ =1,79⋅10−68, oder λ=1,337⋅10−34. Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: Sin u0​=−λ2−α2​α​ und nach (11a): β=λ2−α2​Cos u0​+αu0​, oder wegen der Kleinheit von α/λ: β=λ−λ2−α2​α2​=λ 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g4​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man g4​​E​=S so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: J4​=sinϑ⋅ρg2​−g1​​=drd​(S−g1​​g​2​​)sinϑ wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 T11​=−2S2​g1​1​,T22​=2S2​g1​g2​​,T33​=2S2​g1​g3​​,T44​=−2S2​g1​g4​​=0 während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. n6ot8jfuv84t9i5tpiohzy7ja9ow5ht 459177 459176 2026-09-06T05:14:31Z Danuri19 16656 459177 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: dr2d2​(2g4​​)+r2​⋅drd​(2g4​​)=2ϰ​c2ρm​ Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: 2ϰ​=c44πk​=81⋅10404π⋅6,7⋅10−8​=0,936⋅10−48. Daraus ergibt sich: λ2=2ϰ​(4πce​)2=4πc4ke2​=4π⋅81⋅10406,7⋅10−8⋅4,652⋅10−20⋅4π​ =1,79⋅10−68, oder λ=1,337⋅10−34. Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: Sin u0​=−λ2−α2​α​ und nach (11a): β=λ2−α2​Cos u0​+αu0​, oder wegen der Kleinheit von α/λ: β=λ−λ2−α2​α2​=λ 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g4​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man g4​​E​=S so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: J4​=sinϑ⋅ρg2​−g1​​=drd​(S−g1​​g​2​​)sinϑ wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 T11​=−2S2​g1​1​,T22​=2S2​g1​g2​​,T33​=2S2​g1​g3​​,T44​=−2S2​g1​g4​​=0 während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. i84mr837p5kchphtji91etm35zyd8vj 459178 459177 2026-09-06T05:47:10Z Danuri19 16656 459178 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g4​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man g4​​E​=S so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: J4​=sinϑ⋅ρg2​−g1​​=drd​(S−g1​​g​2​​)sinϑ wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 T11​=−2S2​g1​1​,T22​=2S2​g1​g2​​,T33​=2S2​g1​g3​​,T44​=−2S2​g1​g4​​=0 während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. grjhtyrvak44qxo3i2ggzr894vggyjd 459181 459178 2026-09-06T06:41:39Z Danuri19 16656 459181 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math></math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. agkgjo1gbhz3iu7jnve151z0uu0h1ye 459182 459181 2026-09-06T06:48:47Z Danuri19 16656 459182 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung −g1​g2​g3​g4​​=1 von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: −g1∗​=R4(1−α1​/R)r14​​,−g2∗​=R2,g4∗​=1−α1​/R, wo R3=r13​+α13​ und α1​ eine Konstante. 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 8aq8ckfq8lth7l96wvpu0tr0q0wajp9 459183 459182 2026-09-06T06:51:26Z Danuri19 16656 459183 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{−g_1g_2g_3 g_4​​}=1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. alxrzac9mrhyaowd9zatc666uenjp3d 459184 459183 2026-09-06T06:53:37Z Danuri19 16656 459184 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: −g1​=1,−g2​=h2,g4​=(drdh​)2 wo (drdh​)2=hh−2α​ Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: dr2=dr12​R4(1−α1​/R)r14​​, während g2​=g2∗​, g4​=g4∗​ sein muß, da nur in h=R,g4​=1−2α/R, transformiert ist. Man erhält: dr2=1−2α/hdh2​=1−α1​/RdR2​ Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man 2α=α1​ setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. r3ccbsmmmej6h82bcnshxd5oj4891uc 459185 459184 2026-09-06T06:57:07Z Danuri19 16656 459185 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. rmtoftdsii0d4ixx21317sxyxedd2uw 459186 459185 2026-09-06T07:02:03Z Danuri19 16656 459186 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판 | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} {{col-begin}} {{col-3}} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) {{col-3}} 영문번역 {{col-3}} 한글번역 {{col-end}} <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. npdvk3ax8nr6urw0gmh4xl9nc3rfr7a 459187 459186 2026-09-06T07:11:31Z Danuri19 16656 459187 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판<ref>[https://edition-open-sources.org/sources/10/6/index.html? George B. Jeffery (1921): The Field of an Electron on Einstein’s Theory of Gravitation]</ref><ref>[https://zenodo.org/records/1447315? Hans Reissner Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie 『Annalen der Physik』, Vierte Folge, Band 50 전체 통권 Band 355 1916년, pp. 106–120]</ref> | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} {{col-begin}} {{col-3}} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) {{col-3}} 영문번역 {{col-3}} 한글번역 {{col-end}} <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. p1sw6ojny1t9wmqd6e3z6ah49713kfc 459188 459187 2026-09-06T07:36:44Z Danuri19 16656 459188 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판<ref>[https://edition-open-sources.org/sources/10/6/index.html? George B. Jeffery (1921): The Field of an Electron on Einstein’s Theory of Gravitation]</ref><ref>[https://zenodo.org/records/1447315? Hans Reissner Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie 『Annalen der Physik』, Vierte Folge, Band 50 전체 통권 Band 355 1916년, pp. 106–120]</ref> | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} {{col-begin}} {{col-3}} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) {{col-3}} Original p. 106 After Einstein had demonstrated the fruitfulness of his new covariant field equations of gravitation, and thereby of the postulate of the most general relativity, through his explanation of the perihelion motion of Mercury, and after he had elsewhere given a generally covariant formulation of the Maxwell-Lorentz equations of the electromagnetic field, it appeared to me that the next task was to investigate, by means of a simple example, the influence of the self-gravitation of a spherically symmetric electric field. I did, indeed, begin with the hope of finding a static cohesion of elementary charges through their self-gravitation without having to leave the ground of Maxwell's theory. In the course of the investigation, however, I was initially able to establish only that Einsteinian gravitation distorts the field of an elementary electric charge in a definite, though extraordinarily small, manner, but that by its nature it cannot cancel the mutual electrostatic repulsion of the elements of charge. The constitution of the elementary charge can therefore be obtained only by introducing a further fundamental assumption: either by modifying Maxwell's equations in the sense of Mie, by adding to the Maxwell tensor a stress tensor of the simplest possible kind, or, finally, by regarding the electron not as static but as electrodynamically stationary. Concerning the calculation, in which Einstein assisted me with a variety of explanations and criticisms, the following preliminary remarks may be made. No restriction was placed on the choice of coordinate system in setting up the field equations, and in particular none was placed on the value of the transformation determinant. Original p. 107 It was therefore possible to introduce the usual spherical polar coordinate system, whereas Schwarzschild, in order to preserve the value one for the discriminant of the line element, employed a particularly ingenious coordinate system. Nevertheless, in the present case the most general coordinate system seems to me more advantageous than a special one for setting up and integrating the field equations, quite apart from the fine insight it gives into the complete covariance of the theory. The field of an uncharged mass point presented by Einstein and Schwarzschild proves to be a special case of the field of a spherical charge calculated here. It may serve as a check upon the correctness of the present solution that it passes into the Schwarzschild solution when it is transformed to Schwarzschild's special coordinate system and the charge is allowed to vanish. The problem posed here is therefore the following: What is the most general electrostatic field in equilibrium and possessing spherical symmetry if nothing is assumed beyond the Maxwell stress-energy tensor in covariant form and Einstein's generally covariant field equations of gravitation. The assumption of symmetry simplifies the form of the line element of the generally non-Euclidean space, so that it can be written in spatial polar coordinates that remain orthogonal. [Line element omitted.. Here single indices are written in place of double indices. In Euclidean space-that is, in a space containing no stress-energy tensor-the metric coefficients take their familiar values, and c denotes the ordinary velocity of light. Original p. 108 Einstein has shown generally how the values of the metric coefficients determine the properties of measuring rods and clocks, the form of the shortest lines, the paths of mass points and light rays, the velocity of light, and the gravitational potential. THE TENSOR OF THE ELECTROSTATIC FIEL. The energy tensor required for the gravitational field equations and for the equilibrium condition of the electrostatic field may be obtained as follows. Of the components of the first covariant six-vector of the field, only one remains in the case of rest and spherical symmetry, namely the radial electric-field component. The second, contravariant, six-vector derived from it likewise has only one component. [Field-tensor relation omitted.. The contravariant four-vector of the electric vacuum-current density also has only one non-vanishing component. [Equation (1) omitted.. Here rho denotes the charge density. The covariant four-vector of mechanical force density assumes its standard form in the general static case and a radial form under complete spherical symmetry. [Force-density equations omitted.. This general static ansatz shows that the resultant force density can vanish only if either the charge density or the electric field strength vanishes. These quantities, in turn, can vanish simultaneously throughout a finite interval only in the exceptional case in which one of the relevant metric coefficients vanishes throughout that interval. Original p. 109 Thus one may state: A Maxwellian electrostatic field, even under the influence of its own gravitation, can be in equilibrium only where no charge density is present, provided one excludes the case in which a line element or the velocity of light becomes zero. Since these exceptional cases appear to possess no physical significance, an investigation based upon the pure Maxwell stress-energy tensor and spherical symmetry must be restricted to the field of a spherical charge under the influence of its self-gravitation in empty space. For this case the four-current must vanish. Integration then gives the electric field in terms of the metric coefficients. The integration constant is determined immediately from the condition at infinity, where the metric becomes flat and the field becomes the Coulomb field of the total charge e situated at the centre. [Equation (2) omitted.. Substitution of these values into Einstein's expression for the mixed energy tensor gives its four diagonal components. The corresponding covariant tensor follows by lowering the index with the metric. [Stress-energy components omitted.. Original p. 110 This is the electrostatic energy tensor, but without yet taking account of the equilibrium of the field. The equilibrium tensor is obtained by substituting the field value found in equation (2). [Equilibrium stress-energy components omitted.. THE FIELD EQUATION. Einstein's generally covariant differential equations for a gravitational field, in their latest and most consistent form, can be written for orthogonal coordinates and a vanishing Laue scalar in terms of the contracted Christoffel symbols. [Equation (8) omitted.. Here kappa is a universal constant related to the gravitational constant. The four-index Christoffel symbol of the second kind is expressed through the three-index symbols. In orthogonal coordinates, the latter differ from zero only when at least two indices coincide. [Christoffel-symbol formulas omitted.. The four-index symbol vanishes when the relevant two indices are equal. The first two terms of equation (8) cause no difficulty. In the sum of the third term one first sums over one coincident index, then over the other, and finally over all indices distinct from both. Original p. 111 After a somewhat laborious calculation, requiring some practice if computational errors are to be avoided, one arrives at the following second-order differential invariants. A straightforward check shows that they satisfy covariance under the imposed symmetry and vanish in Euclidean space. [Equations (I)-(IV) omitted.. Among the infinitely many possible coordinate systems, we may evidently privilege one in the following manner. Let dr denote not merely a coordinate difference but also the distance in the radial direction measured with an infinitesimal rigid measuring rod. With this convention the radial metric coefficient is set equal to minus one. For brevity, introduce lambda squared for the indicated combination of kappa, charge, and c, and replace the negative angular metric coefficient by a positive barred quantity. The field equations then take a system of three ordinary differential equations. [Reduced equations (I), (II), and (IV) omitted.. Original p. 112. The restriction imposed upon the coordinate system has therefore produced three equations for only two unknown metric functions, and at first it appears that an attempt at solution might lead to a contradiction. It will be shown, however-and this is extraordinarily noteworthy-that the general solution of two of the equations satisfies the third identically. Thus it would not have been necessary to employ the conservation law, that is, the stress-equilibrium condition represented by equation (2) in non-Euclidean space, in determining the stress-energy tensor. The gravitational field equations alone would already have sufficed to calculate, as a function of the metric, the field strength that permits equilibrium. The only prerequisite for the entire ansatz was therefore knowledge of the expression of the stress-energy tensor in terms of the six-vector of field strength. In discussing this surprising connection, Einstein informed me that he was then in a position to show generally that the conservation laws of energy and stresses are contained in his latest field equations and therefore need not be imposed separately in each problem. This result, confirmed by the special case treated here, is particularly important because the field equations were obtained not from energy considerations but solely from considerations of covariance, while at the same time they assert much more than the conservation laws alone. THE INTEGRATION OF THE FIELD EQUATION. The three equations (I), (II), and (IV), containing the two unknown metric functions, therefore admit a consistent closed-form solution without mutually restricting one another. Introduce gamma as the logarithm of the square root of the temporal metric coefficient, and denote differentiation with respect to r by primes. The equations then assume a more compact form. Original p. 113. [Reduced equations and equation (a) omitted.. Subtracting equation (I) from equation (IV) gives a first differential relation. Its integration introduces a constant delta. The boundary condition at infinity, where the local velocity of light is to equal the normal value c, determines this constant and yields equation (9). [Equation (9) omitted.. Substitution into equation (II) produces a second-order equation for the angular metric coefficient. Introduce two further integration constants, alpha and beta, and set h equal to the square root of the positive angular coefficient. The first integral is equation (10), and complete integration gives equation (11). [Equations (10) and (11) omitted.. The result may alternatively be written by means of a hyperbolic substitution. [Substitution omitted.. Original p. 114. [Equations (10a), (11a), and (9a) omitted.. Equation (11) first shows that the condition requiring the angular metric coefficient to approach the square of the radius at infinity is satisfied automatically. Equation (9) then supplies the temporal metric coefficient. THE INTEGRATION CONSTANT. It can now be shown that alpha is related to the gravitating mass of the charge e, while beta is related to the condition imposed on the angular metric coefficient at the centre. According to the general connection supplied by Einstein's theory, a charge at infinity must act just like a gravitating mass point having the mass of the charge. The ponderomotive force at infinity may therefore be written in Newtonian form, where k is the ordinary gravitational constant. [Newtonian force formula omitted.. The same radial ponderomotive force follows in another form from the covariant equation of the geodesic line in a spherically symmetric field. [Equation (12) omitted.. Original p. 115. Using equation (9a), and taking the large-distance limit, one finds the inverse-square gravitational force and identifies alpha with the gravitational radius associated with the mass of the charge. [Identification and numerical estimate of alpha omitted.. The constant alpha squared is therefore extraordinarily small for an elementary charge and, as shown below, extraordinarily small even in comparison with the constant lambda squared from which it is subtracted. Nevertheless it possesses a significance of principle and must not vanish if the electric charge is to possess gravitating inertial mass. Every future equilibrium theory of the charged field-that is, of the electron-must exclude the disappearance of the integration constant alpha from the outset. The sole non-vanishing component of the primary electromagnetic six-vector in the general case is then obtained from the preceding solution. [Equation (14) omitted.. Original p. 116. It is readily calculated from equations (11a) and (9a). The electrostatic potential is correspondingly obtained. [Electrostatic potential omitted.. The solution becomes especially simple when alpha is set equal to zero. Since this solution differs imperceptibly from the one using the numerical value of alpha found above, it is useful to state it separately. [Equations (11b), (9b), and the simplified field strength omitted.. The values of Einstein's universal constant kappa and of lambda can now be calculated. The field equations must contain, as a special case, the infinitely weak spherically symmetric gravitational field of an uncharged, incoherent distribution of mass. According to Einstein, the covariant energy tensor of an incoherent mass distribution of density rho_m, in the static case and in an orthogonal system, has only its temporal component different from zero. The corresponding trace has the value rho_m. [Matter stress-energy components omitted.. Original p. 117. The right-hand side of the general field equations then takes the trace-reversed form used by Einstein. [Trace-reversed field equation and components omitted.. Linearising equation (IV) about flat space gives the ordinary Poisson equation. Consequently the temporal perturbation divided by two may be regarded as the gravitational potential, just as in equation (12). Comparison with Newtonian gravity determines kappa. [Weak-field equation and numerical value of kappa omitted.. From this one obtains lambda and its numerical value for the elementary charge. [Values of lambda squared and lambda omitted.. Thus, despite its smallness, lambda is still approximately one hundred thousand billion billion times as large as alpha. The constant beta can be obtained from the condition that the circumference of a circle must tend to zero as the radius decreases; that is, h must vanish when r is zero. Equation (10a) then fixes the value u_0, and equation (11a) fixes beta. Because alpha is so small compared with lambda, beta is approximately equal to lambda. [Boundary equations for u_0 and beta omitted.. Original p. 118. At r equal to zero, equation (14) makes the field strength infinite. It is evident that continuation of the solution to the centre leads to an impossibility, corresponding to the fact that charge must be distributed around the centre and that Maxwell's theory does not supply the equilibrium of that distribution. If one attempted to force the field strength to change sign at a radius r_0 by choosing beta accordingly, the field strength would become infinite there and the angular metric coefficient would vanish. The line element cannot reasonably be subjected to such a consequence. Moreover, this would produce a mutual attraction of like charge densities but not an equilibrium; to enforce equilibrium one would perhaps have to add another stress tensor. Outside the charged region, however, the field of the charge is represented consistently. The field strength and the metric coefficients differ appreciably from their Euclidean values only where the radius is of the order of lambda, approximately 10^-34 centimetres. Since the electron radius is taken to be approximately 10^-13 centimetres, the influence of self-gravitation within the physically relevant domain of the solution eludes all possibility of detection. THE DEGENERATE CASE g₄ = . On page 109 attention was drawn to the formal possibility of equilibrium of charge if the field strength and the velocity of light are both allowed to vanish in such a way that their ratio remains finite. [Definition of the limiting field omitted.. The temporal component of the four-current then assumes a corresponding limiting form, where rho denotes charge density. [Current equation omitted.. For the sake of curiosity, the result of this dead end may be stated without derivation. The energy tensor takes a degenerate form. Original p. 119. [Degenerate stress-energy tensor omitted.. The mixed tensor vanishes. With the radial metric coefficient set equal to minus one, the field equations permit a formal solution containing two integration constants, alpha and beta. [Degenerate solution omitted.. Further expressions for the field and total charge follow, but this solution does not appear capable of acquiring any physical significance. THE NON-ELECTRIC FIEL. The gravitational field of an uncharged, spherical, resting mass must emerge as a special case of the general solution given above when the charge, and therefore lambda, is set equal to zero. The result must reduce to Schwarzschild's solution. It is worthwhile to show this explicitly because Schwarzschild fixed from the outset a coordinate system in which the determinant condition has a prescribed value, whereas the present calculation began without restriction and subsequently imposed the condition that the radial metric coefficient equal minus one. In Schwarzschild's coordinates the metric coefficients have their standard forms, with an auxiliary radial coordinate R related cubically to Schwarzschild's original coordinate. [Schwarzschild metric coefficients omitted.. Original p. 120. In the present coordinates, with c equal to one, the radial metric coefficient is minus one, the angular coefficient is minus h squared, and the temporal coefficient is the square of dh/dr. [Metric relations omitted.. A different measure of radial length has therefore been selected. Since only the radial coordinate is transformed, the angular and temporal metric coefficients must agree in the two representations. [Coordinate transformation omitted.. One obtains h equal to R and the Schwarzschild temporal coefficient. The two solutions therefore pass into one another when the two mass parameters are appropriately identified. Charlottenburg, March 1916. Received 20 March 1916. TRANSLATOR'S NOT. This translation preserves Reissner's historical terminology and argumentative order. Equations have been omitted at the reader's request, but their original locations and labels have been retained. In modern terminology, the paper studies the static, spherically symmetric electrovacuum reduction of the Einstein-Maxwell system. Reissner's most striking conceptual observation occurs on original page 112: the conservation laws need not be imposed independently, because the structure of Einstein's field equations already contains the required consistency relations. {{col-3}} 한글번역 {{col-end}} <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. hgw9ig0s22eceol8h567j74r1lksmzx 459189 459188 2026-09-06T07:54:47Z Danuri19 16656 459189 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판<ref>[https://edition-open-sources.org/sources/10/6/index.html? George B. Jeffery (1921): The Field of an Electron on Einstein’s Theory of Gravitation]</ref><ref>[https://zenodo.org/records/1447315? Hans Reissner Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie 『Annalen der Physik』, Vierte Folge, Band 50 전체 통권 Band 355 1916년, pp. 106–120]</ref> | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} {{col-begin}} {{col-3}} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) {{col-3}} Original p. 106 After Einstein had demonstrated the fruitfulness of his new covariant field equations of gravitation, and thereby of the postulate of the most general relativity, through his explanation of the perihelion motion of Mercury, and after he had elsewhere given a generally covariant formulation of the Maxwell-Lorentz equations of the electromagnetic field, it appeared to me that the next task was to investigate, by means of a simple example, the influence of the self-gravitation of a spherically symmetric electric field. I did, indeed, begin with the hope of finding a static cohesion of elementary charges through their self-gravitation without having to leave the ground of Maxwell's theory. In the course of the investigation, however, I was initially able to establish only that Einsteinian gravitation distorts the field of an elementary electric charge in a definite, though extraordinarily small, manner, but that by its nature it cannot cancel the mutual electrostatic repulsion of the elements of charge. The constitution of the elementary charge can therefore be obtained only by introducing a further fundamental assumption: either by modifying Maxwell's equations in the sense of Mie, by adding to the Maxwell tensor a stress tensor of the simplest possible kind, or, finally, by regarding the electron not as static but as electrodynamically stationary. Concerning the calculation, in which Einstein assisted me with a variety of explanations and criticisms, the following preliminary remarks may be made. No restriction was placed on the choice of coordinate system in setting up the field equations, and in particular none was placed on the value of the transformation determinant. Original p. 107 It was therefore possible to introduce the usual spherical polar coordinate system, whereas Schwarzschild, in order to preserve the value one for the discriminant of the line element, employed a particularly ingenious coordinate system. Nevertheless, in the present case the most general coordinate system seems to me more advantageous than a special one for setting up and integrating the field equations, quite apart from the fine insight it gives into the complete covariance of the theory. The field of an uncharged mass point presented by Einstein and Schwarzschild proves to be a special case of the field of a spherical charge calculated here. It may serve as a check upon the correctness of the present solution that it passes into the Schwarzschild solution when it is transformed to Schwarzschild's special coordinate system and the charge is allowed to vanish. The problem posed here is therefore the following: What is the most general electrostatic field in equilibrium and possessing spherical symmetry if nothing is assumed beyond the Maxwell stress-energy tensor in covariant form and Einstein's generally covariant field equations of gravitation. The assumption of symmetry simplifies the form of the line element of the generally non-Euclidean space, so that it can be written in spatial polar coordinates that remain orthogonal. [Line element omitted.. Here single indices are written in place of double indices. In Euclidean space-that is, in a space containing no stress-energy tensor-the metric coefficients take their familiar values, and c denotes the ordinary velocity of light. Original p. 108 Einstein has shown generally how the values of the metric coefficients determine the properties of measuring rods and clocks, the form of the shortest lines, the paths of mass points and light rays, the velocity of light, and the gravitational potential. THE TENSOR OF THE ELECTROSTATIC FIEL. The energy tensor required for the gravitational field equations and for the equilibrium condition of the electrostatic field may be obtained as follows. Of the components of the first covariant six-vector of the field, only one remains in the case of rest and spherical symmetry, namely the radial electric-field component. The second, contravariant, six-vector derived from it likewise has only one component. [Field-tensor relation omitted.. The contravariant four-vector of the electric vacuum-current density also has only one non-vanishing component. [Equation (1) omitted.. Here rho denotes the charge density. The covariant four-vector of mechanical force density assumes its standard form in the general static case and a radial form under complete spherical symmetry. [Force-density equations omitted.. This general static ansatz shows that the resultant force density can vanish only if either the charge density or the electric field strength vanishes. These quantities, in turn, can vanish simultaneously throughout a finite interval only in the exceptional case in which one of the relevant metric coefficients vanishes throughout that interval. Original p. 109 Thus one may state: A Maxwellian electrostatic field, even under the influence of its own gravitation, can be in equilibrium only where no charge density is present, provided one excludes the case in which a line element or the velocity of light becomes zero. Since these exceptional cases appear to possess no physical significance, an investigation based upon the pure Maxwell stress-energy tensor and spherical symmetry must be restricted to the field of a spherical charge under the influence of its self-gravitation in empty space. For this case the four-current must vanish. Integration then gives the electric field in terms of the metric coefficients. The integration constant is determined immediately from the condition at infinity, where the metric becomes flat and the field becomes the Coulomb field of the total charge e situated at the centre. [Equation (2) omitted.. Substitution of these values into Einstein's expression for the mixed energy tensor gives its four diagonal components. The corresponding covariant tensor follows by lowering the index with the metric. [Stress-energy components omitted.. Original p. 110 This is the electrostatic energy tensor, but without yet taking account of the equilibrium of the field. The equilibrium tensor is obtained by substituting the field value found in equation (2). [Equilibrium stress-energy components omitted.. THE FIELD EQUATION. Einstein's generally covariant differential equations for a gravitational field, in their latest and most consistent form, can be written for orthogonal coordinates and a vanishing Laue scalar in terms of the contracted Christoffel symbols. [Equation (8) omitted.. Here kappa is a universal constant related to the gravitational constant. The four-index Christoffel symbol of the second kind is expressed through the three-index symbols. In orthogonal coordinates, the latter differ from zero only when at least two indices coincide. [Christoffel-symbol formulas omitted.. The four-index symbol vanishes when the relevant two indices are equal. The first two terms of equation (8) cause no difficulty. In the sum of the third term one first sums over one coincident index, then over the other, and finally over all indices distinct from both. Original p. 111 After a somewhat laborious calculation, requiring some practice if computational errors are to be avoided, one arrives at the following second-order differential invariants. A straightforward check shows that they satisfy covariance under the imposed symmetry and vanish in Euclidean space. [Equations (I)-(IV) omitted.. Among the infinitely many possible coordinate systems, we may evidently privilege one in the following manner. Let dr denote not merely a coordinate difference but also the distance in the radial direction measured with an infinitesimal rigid measuring rod. With this convention the radial metric coefficient is set equal to minus one. For brevity, introduce lambda squared for the indicated combination of kappa, charge, and c, and replace the negative angular metric coefficient by a positive barred quantity. The field equations then take a system of three ordinary differential equations. [Reduced equations (I), (II), and (IV) omitted.. Original p. 112. The restriction imposed upon the coordinate system has therefore produced three equations for only two unknown metric functions, and at first it appears that an attempt at solution might lead to a contradiction. It will be shown, however-and this is extraordinarily noteworthy-that the general solution of two of the equations satisfies the third identically. Thus it would not have been necessary to employ the conservation law, that is, the stress-equilibrium condition represented by equation (2) in non-Euclidean space, in determining the stress-energy tensor. The gravitational field equations alone would already have sufficed to calculate, as a function of the metric, the field strength that permits equilibrium. The only prerequisite for the entire ansatz was therefore knowledge of the expression of the stress-energy tensor in terms of the six-vector of field strength. In discussing this surprising connection, Einstein informed me that he was then in a position to show generally that the conservation laws of energy and stresses are contained in his latest field equations and therefore need not be imposed separately in each problem. This result, confirmed by the special case treated here, is particularly important because the field equations were obtained not from energy considerations but solely from considerations of covariance, while at the same time they assert much more than the conservation laws alone. THE INTEGRATION OF THE FIELD EQUATION. The three equations (I), (II), and (IV), containing the two unknown metric functions, therefore admit a consistent closed-form solution without mutually restricting one another. Introduce gamma as the logarithm of the square root of the temporal metric coefficient, and denote differentiation with respect to r by primes. The equations then assume a more compact form. Original p. 113. [Reduced equations and equation (a) omitted.. Subtracting equation (I) from equation (IV) gives a first differential relation. Its integration introduces a constant delta. The boundary condition at infinity, where the local velocity of light is to equal the normal value c, determines this constant and yields equation (9). [Equation (9) omitted.. Substitution into equation (II) produces a second-order equation for the angular metric coefficient. Introduce two further integration constants, alpha and beta, and set h equal to the square root of the positive angular coefficient. The first integral is equation (10), and complete integration gives equation (11). [Equations (10) and (11) omitted.. The result may alternatively be written by means of a hyperbolic substitution. [Substitution omitted.. Original p. 114. [Equations (10a), (11a), and (9a) omitted.. Equation (11) first shows that the condition requiring the angular metric coefficient to approach the square of the radius at infinity is satisfied automatically. Equation (9) then supplies the temporal metric coefficient. THE INTEGRATION CONSTANT. It can now be shown that alpha is related to the gravitating mass of the charge e, while beta is related to the condition imposed on the angular metric coefficient at the centre. According to the general connection supplied by Einstein's theory, a charge at infinity must act just like a gravitating mass point having the mass of the charge. The ponderomotive force at infinity may therefore be written in Newtonian form, where k is the ordinary gravitational constant. [Newtonian force formula omitted.. The same radial ponderomotive force follows in another form from the covariant equation of the geodesic line in a spherically symmetric field. [Equation (12) omitted.. Original p. 115. Using equation (9a), and taking the large-distance limit, one finds the inverse-square gravitational force and identifies alpha with the gravitational radius associated with the mass of the charge. [Identification and numerical estimate of alpha omitted.. The constant alpha squared is therefore extraordinarily small for an elementary charge and, as shown below, extraordinarily small even in comparison with the constant lambda squared from which it is subtracted. Nevertheless it possesses a significance of principle and must not vanish if the electric charge is to possess gravitating inertial mass. Every future equilibrium theory of the charged field-that is, of the electron-must exclude the disappearance of the integration constant alpha from the outset. The sole non-vanishing component of the primary electromagnetic six-vector in the general case is then obtained from the preceding solution. [Equation (14) omitted.. Original p. 116. It is readily calculated from equations (11a) and (9a). The electrostatic potential is correspondingly obtained. [Electrostatic potential omitted.. The solution becomes especially simple when alpha is set equal to zero. Since this solution differs imperceptibly from the one using the numerical value of alpha found above, it is useful to state it separately. [Equations (11b), (9b), and the simplified field strength omitted.. The values of Einstein's universal constant kappa and of lambda can now be calculated. The field equations must contain, as a special case, the infinitely weak spherically symmetric gravitational field of an uncharged, incoherent distribution of mass. According to Einstein, the covariant energy tensor of an incoherent mass distribution of density rho_m, in the static case and in an orthogonal system, has only its temporal component different from zero. The corresponding trace has the value rho_m. [Matter stress-energy components omitted.. Original p. 117. The right-hand side of the general field equations then takes the trace-reversed form used by Einstein. [Trace-reversed field equation and components omitted.. Linearising equation (IV) about flat space gives the ordinary Poisson equation. Consequently the temporal perturbation divided by two may be regarded as the gravitational potential, just as in equation (12). Comparison with Newtonian gravity determines kappa. [Weak-field equation and numerical value of kappa omitted.. From this one obtains lambda and its numerical value for the elementary charge. [Values of lambda squared and lambda omitted.. Thus, despite its smallness, lambda is still approximately one hundred thousand billion billion times as large as alpha. The constant beta can be obtained from the condition that the circumference of a circle must tend to zero as the radius decreases; that is, h must vanish when r is zero. Equation (10a) then fixes the value u_0, and equation (11a) fixes beta. Because alpha is so small compared with lambda, beta is approximately equal to lambda. [Boundary equations for u_0 and beta omitted.. Original p. 118. At r equal to zero, equation (14) makes the field strength infinite. It is evident that continuation of the solution to the centre leads to an impossibility, corresponding to the fact that charge must be distributed around the centre and that Maxwell's theory does not supply the equilibrium of that distribution. If one attempted to force the field strength to change sign at a radius r_0 by choosing beta accordingly, the field strength would become infinite there and the angular metric coefficient would vanish. The line element cannot reasonably be subjected to such a consequence. Moreover, this would produce a mutual attraction of like charge densities but not an equilibrium; to enforce equilibrium one would perhaps have to add another stress tensor. Outside the charged region, however, the field of the charge is represented consistently. The field strength and the metric coefficients differ appreciably from their Euclidean values only where the radius is of the order of lambda, approximately 10^-34 centimetres. Since the electron radius is taken to be approximately 10^-13 centimetres, the influence of self-gravitation within the physically relevant domain of the solution eludes all possibility of detection. THE DEGENERATE CASE g₄ = . On page 109 attention was drawn to the formal possibility of equilibrium of charge if the field strength and the velocity of light are both allowed to vanish in such a way that their ratio remains finite. [Definition of the limiting field omitted.. The temporal component of the four-current then assumes a corresponding limiting form, where rho denotes charge density. [Current equation omitted.. For the sake of curiosity, the result of this dead end may be stated without derivation. The energy tensor takes a degenerate form. Original p. 119. [Degenerate stress-energy tensor omitted.. The mixed tensor vanishes. With the radial metric coefficient set equal to minus one, the field equations permit a formal solution containing two integration constants, alpha and beta. [Degenerate solution omitted.. Further expressions for the field and total charge follow, but this solution does not appear capable of acquiring any physical significance. THE NON-ELECTRIC FIEL. The gravitational field of an uncharged, spherical, resting mass must emerge as a special case of the general solution given above when the charge, and therefore lambda, is set equal to zero. The result must reduce to Schwarzschild's solution. It is worthwhile to show this explicitly because Schwarzschild fixed from the outset a coordinate system in which the determinant condition has a prescribed value, whereas the present calculation began without restriction and subsequently imposed the condition that the radial metric coefficient equal minus one. In Schwarzschild's coordinates the metric coefficients have their standard forms, with an auxiliary radial coordinate R related cubically to Schwarzschild's original coordinate. [Schwarzschild metric coefficients omitted.. Original p. 120. In the present coordinates, with c equal to one, the radial metric coefficient is minus one, the angular coefficient is minus h squared, and the temporal coefficient is the square of dh/dr. [Metric relations omitted.. A different measure of radial length has therefore been selected. Since only the radial coordinate is transformed, the angular and temporal metric coefficients must agree in the two representations. [Coordinate transformation omitted.. One obtains h equal to R and the Schwarzschild temporal coefficient. The two solutions therefore pass into one another when the two mass parameters are appropriately identified. Charlottenburg, March 1916. Received 20 March 1916. TRANSLATOR'S NOT. This translation preserves Reissner's historical terminology and argumentative order. Equations have been omitted at the reader's request, but their original locations and labels have been retained. In modern terminology, the paper studies the static, spherically symmetric electrovacuum reduction of the Einstein-Maxwell system. Reissner's most striking conceptual observation occurs on original page 112: the conservation laws need not be imposed independently, because the structure of Einstein's field equations already contains the required consistency relations. {{col-3}} 106페이지 4. 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자가 중력에 대하여. H. 라이스너. 아인슈타인 씨가 수성 서행 운동(수성의 근일점 이동)을 설명함으로써 그의 새로운 공변 중력장 방정식, 나아가 일반 상대성 공리의 유용성을 입증하였고, 다른 논문을 통해 전자기장의 맥스웰-로런츠 방정식을 일반 공변 형태로 제시하였습니다. 이에 따라 구대칭을 가지는 전기장의 자가 중력(Eigengravitation)이 미치는 영향을 간단한 예시를 통해 조사하는 것을 다음 과제로 삼게 되었습니다.비록 본 연구를 시작할 당시에는 맥스웰 이론의 틀을 벗어나지 않고 소전하(Elementarladung) 자체의 자가 중력을 통해 정역학적 결합(전하의 안정성)을 찾을 수 있으리라는 기대를 가졌으나, 연구 과정에서 아인슈타인의 중력이 소전하의 전기장을 특정한(그리고 극도로 미미한) 방식으로 왜곡시킬 뿐, 그 본질상 전하 요소들 사이의 상호 정전기적 반발력을 상쇄할 수는 없다는 사실만을 우선 확인하게 되었습니다.따라서 소전하의 구조를 설명하기 위해서는 추가적인 기본 가정이 도입되어야만 할 것입니다. 미(Mie)<ref>구스타프 미(Gustav Mie, 1868–1957)는 독일의 물리학자로, 주로 미 산란(Mie Scattering) 이론과 미의 통일장 이론(Mie's Electrodynamics / Unified Field Theory)으로 유명한 인물입니다.</ref>의 개념에 따라 맥스웰 방정식을 수정하든가, 맥스웰 변형 텐서에 가능한 한 단순한 변형 텐서를 추가하든가, 혹은 최종적으로 전자를 정역학적이 아닌 전자기학적으로 정상 상태(stationär)인 구조로 파악하는 방식 중 하나를 취해야 합니다.아인슈타인 씨로부터 다양한 설명과 비판적 조언을 받아 진행한 계산 수행 과정과 관련하여, 먼저 다음 사항을 밝혀두고자 합니다.장 방정식을 수립하는 데 있어 좌표계의 선택, 특히 치환 행렬식(Substitutionsdeterminante)의 값에 어떠한 제한도 두지 않았습니다. 따라서 일반적인 공간 구면좌표계를 도입할 수 있었는데, 이는 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 선요소(Linienelement)의 판별식 $\sqrt{-g}$의 값을 1로 유지하기 위해 특별히 교묘하게 선택된 좌표계를 사용한 것과 대조적입니다.그럼에도 불구하고 이 문제에서는 전체 이론의 완전한 공변성을 보여주는 명쾌한 통찰을 제공할 뿐만 아니라, 장 방정식의 수립 및 통합에 있어서도 특정한 좌표계보다 가장 일반적인 좌표계를 사용하는 것이 오히려 더 유리하다고 판단됩니다.아인슈타인 씨 자신과 슈바르츠실트에 의해 제시된 전하가 없는 질점의 장(Field)은 본 논문에서 계산된 구형 전하 장의 특수한 경우임이 밝혀졌습니다. 또한 특정한 슈바르츠실트 좌표계로 변환하고 전하를 0으로 놓았을 때 본 해법이 슈바르츠실트의 해로 귀결된다는 점은 여기서 제시된 해법의 정당성을 검증하는 역할을 합니다.따라서 여기서 설정한 문제는 다음과 같습니다. 공변 형태의 맥스웰 변형 에너지 텐서와 아인슈타인의 일반 공변 중력장 방정식 외에 다른 아무것도 전제하지 않을 때, 평형 상태에 있는 구대칭 정전기장의 가장 일반적인 형태는 무엇인가?대칭성 전제는 일반적으로 비유클리드 공간인 선요소의 형식을 단순화하는 결과를 가져오므로, 이 선요소는 공간적(직교 상태를 유지하는) 구면좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.$$ds^2 = g_1 dr^2 + g_2 d\vartheta^2 + g_3 d\varphi^2 + g_4 dt^2,$$여기서 이중 첨자 대신 단일 첨자만 사용하여 다음과 같이 나타냅니다.$$g_{\nu\nu} = g_\nu, \quad g_{\mu\nu} = 0 \quad (\mu \neq \nu \text{일 때})$$그리고 변형 에너지 텐서를 포함하지 않는 유클리드 공간에 대해 $g_\nu$는 다음 값을 가집니다.$$g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_3 = g_2 \sin^2\vartheta, \quad g_4 = c^2,$$여기서 $c$는 진공에서의 일반적인 광속을 의미합니다.107페이지아인슈타인 씨는 $g_{\mu\nu}$의 값들이 자와 시계의 성질, 최단선(측지선)의 형태, 질점과 광선의 궤도, 광속 및 중력 포텐셜을 어떻게 결정하는지 일반적으로 보여주었습니다.정전기장의 텐서중력장 방정식과 정전기장의 평형 조건에 필요한 에너지 텐서는 다음과 같이 도출할 수 있습니다.1)첫 번째 공변 6차원 벡터(Covariant 6-vector) $F_{\alpha\beta}$의 성분 중 정지 상태 및 극대칭성(polar symmetry)을 가질 때 남는 것은 오직 하나, 즉 $F_{14} = \mathfrak{E}$뿐입니다. 이로부터 도출되는 두 번째 반공변(contravariant) V-6차원 벡터 $\mathfrak{F}^{\mu\nu}$ 역시 이 경우 오직 하나의 성분만을 가집니다.$$\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}$$진공에서의 전기 전류밀도의 반공변 V-4차원 벡터 역시 0이 아닌 성분을 단 하나만 가집니다.$$(1) \quad \mathfrak{J}^4 = \rho \frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial \mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)$$여기서 $\rho$는 전하밀도입니다.역학적 힘 밀도(force density)의 공변 V-4차원 벡터는 일반적인 정역학적 경우 다음과 같이 됩니다.$$\mathfrak{K}_\sigma = F_{\sigma 4} \mathfrak{J}^4$$그리고 구대칭(모든 방향의 대칭)일 때:$$\mathfrak{K}_r = F_{14} \mathfrak{J}^4 = \mathfrak{E} \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)$$이 일반적인 정역학적 설정은 알짜 힘 밀도가 0이 되기 위해서는 전하밀도가 0이 되거나 장의 세기 $\mathfrak{E}$가 0이 되어야 함을 보여줍니다. 그러나 이 값들은 $g_1$ 또는 $g_4$가 해당 유한 구간에서 0이 되는 경우를 제외하고는, 유한한 구간 내에서 동시에만 0의 값을 가질 수 있습니다.따라서 다음과 같이 기술할 수 있습니다.1) A. 아인슈타인, 『전자기학의 맥스웰장 방정식에 대한 새로운 형식적 해석』. 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 184–188. 1916년.108페이지맥스웰 정전기장은 자가 중력의 영향 하에서도, 선요소나 광속이 0이 되는 특수한 경우를 제외한다면 전하밀도가 존재하지 않는 곳에서만 평형을 유지할 수 있습니다.1)이러한 예외적인 경우가 물리적 의미를 갖지 않는 것으로 보이므로, 순수한 맥스웰 변형 에너지 텐서와 구대칭을 기본 바탕으로 삼고자 한다면, 본 연구는 진공 공간에서 자가 중력의 영향을 받는 구형 전하의 장으로 제한되어야 합니다.따라서 이 경우에는 $\mathfrak{J}^4 = 0$이어야 하며, 이에 따라 다음과 같이 됩니다.$$\mathfrak{E} = \text{const} \cdot \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{-g_2}$$적분상수는 무한대에서의 경계 조건으로부터 즉시 결정할 수 있습니다. 무한대에서는 중심의 총전하를 $e$라 할 때 다음과 같이 놓아야 합니다.$$\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \quad g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_4 = c^2,$$따라서$$\text{const} = \frac{e}{4\pi c}$$이로부터 다음을 얻습니다.$$(2) \quad \begin{cases} \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{g_2} \\ \mathfrak{F}^{14} = F_{14} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{1}{g_2} \end{cases}$$이 값들을 위에서 인용한 아인슈타인의 논문에 제시된 혼합 에너지 텐서 식 (9)에 대입하면 다음을 얻습니다.$$T_1^1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_2^2 = T_3^3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_4^4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}$$이에 대응하는 공변 텐서는 공식 $T_{\sigma\sigma} = T_\sigma^\sigma g_{\sigma\sigma}$에 따라 다음 값을 가집니다.1) $g_4 = 0$이라는 가정을 두면 전하 내부의 장 세기 분포가 일정하게 유도되지만, $g_4 \neq 0$인 외부 공간과의 연결에는 성공하지 못했습니다.109페이지$$T_{11} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_1}{2g_1 g_4}, \quad T_{22} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_2}{2g_1 g_4}$$$$T_{33} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_3}{2g_1 g_4}, \quad T_{44} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_4}{2g_1 g_4}$$이것은 장의 평형을 고려하지 않은 정전기 에너지 텐서입니다. 장의 평형 텐서는 $\mathfrak{E}$에 대해 위 식 (2)의 값을 대입함으로써 얻어집니다.$$T_{11} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}, \quad T_{22} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}$$$$T_{33} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}, \quad T_{44} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}$$장 방정식 (The Field Equations)아인슈타인의 일반 공변 중력 미분 방정식의 최신 및 가장 일관된 형식은 직교좌표계와 라우에 스칼라(Laue scalar) $\sum T_m^m = 0$이 소멸할 때 다음과 같이 쓰일 수 있습니다.$$(8) \quad \sum_k \{mk, km\} = -\varkappa T_{mm},$$여기서 $\varkappa$는 중력상수와 관련된 보편상수이며, 제2종 크리스토펠 4-인덱스 기호는 다음 값을 가집니다.$$\{mk, km\} = \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_m} - \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mm \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_k} + \sum_\rho \left\{\begin{matrix} mk \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho m \\ k \end{matrix}\right\} - \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho k \\ k \end{matrix}\right\},$$여기서 $\left{\begin{matrix} mk \ \rho \end{matrix}\right}$는 제2종 크리스토펠 3-인덱스 기호이며, 직교좌표계에서는 적어도 두 개의 인덱스가 같을 때만 0이 아닌 값을 가지며 다음과 같습니다.$$\left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ m \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}$$반면, $m = k$일 때 4-인덱스 기호는 0이 됩니다.식 (8)의 처음 두 항은 쉽게 처리됩니다. 세 번째 항의 $\sum_\rho$에서는 먼저 $\rho = m$에 대해, 다음으로 $\rho = k$에 대해, 마지막으로 $\rho \neq m \neq k$인 모든 경우에 대해 합산합니다.110페이지계산 오차를 피하기 위해 어느 정도 숙련이 필요한 다소 번거로운 계산 과정을 거치면, 다음과 같은 2계 미분 불변량(Differential invariants)을 얻게 됩니다. 약간의 검증을 거치면 대칭성을 유지하면서 공변성 요구를 충족하고 유클리드 공간에서 소멸함을 확인할 수 있습니다.$$\text{I} \begin{cases} G_{11} = \frac{d^2}{dr^2}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1} \frac{d}{dr}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) \\ \quad + \frac{1}{2}\left(\frac{d \ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d \ln \sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11}, \end{cases}$$$$\text{II} \begin{cases} G_{22} = -1 + \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_2}{dr}\right) + \frac{1}{4g_1 g_2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_2}{dr} + \frac{1}{4g_1 g_4} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ = -\varkappa T_{22} \end{cases}$$$$\text{III} \quad G_{33} = G_{22} \sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22} \sin^2\vartheta,$$$$\text{IV} \begin{cases} G_{44} = \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_4}{dr}\right) - \frac{1}{4g_1 g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ \quad + \frac{1}{2g_1 g_2} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{cases}$$무한히 많은 가능한 좌표계 중에서 우리는 다음과 같이 하나의 좌표계를 선호할 수 있습니다. $dr$이 단순한 좌표의 차이뿐만 아니라, 무한히 작은 고정된 자로 측정한 반경 방향의 거리를 의미하도록 약속한다면 $g_1 = -1$로 놓을 수 있습니다.또한 $\varkappa e^2 / 32 \pi^2 c^2$을 축약하여 $\lambda^2$으로 쓰고 $g_2 = -\overline{g}_2$로 놓으면, 식 (8)은 다음과 같은 형태를 취합니다.$$(\text{I}) \quad \frac{d^2}{dr^2}\ln(\overline{g}_2 \sqrt{g_4}) + \frac{1}{2\overline{g}_2^2}\left(\frac{d\overline{g}_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}$$$$(\text{II}) \quad -1 + \frac{1}{2} \frac{d^2 \overline{g}_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\overline{g}_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2}$$$$(\text{IV}) \quad \frac{1}{2} \frac{d^2 g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\overline{g}_2} \frac{d\overline{g}_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = +\frac{\lambda^2 g_4}{\overline{g}_2^2}$$좌표계 선택을 $g_1 = -1$로 제한함으로써, 미지수 $\overline{g}_2$ 및 $g_4$ 단 두 개에 대해 3개의 방정식이 산출되었으므로, 언뜻 해를 구하려는 시도가 모순으로 이어질 것처럼 보일 수 있습니다.111페이지그러나 두 방정식의 일반해법이 세 번째 방정식을 항등적으로 만족시킨다는 사실이 밝혀질 것이며, 이는 대단히 주목할 만한 점입니다.따라서 변형 에너지 텐서를 결정하기 위해 비유클리드 공간에서 식 (2)의 변형 평형 보존 법칙을 보조 수단으로 사용할 필요가 전혀 없었으며, 장의 평형을 가능하게 하는 $g_{\mu\nu}$의 함수로서 장의 세기 $\mathfrak{E}$를 계산하는 데에는 중력장 방정식만으로도 이미 충분했습니다. 그러므로 전체 설정에서의 유일한 전제는 필드 세기의 6차원 벡터를 통해 변형 에너지 텐서 $T_\mu^\nu$의 표현식을 파악하는 것뿐이었습니다.아인슈타인 씨는 이 놀라운 연관성에 대해 논의할 때, 에너지와 변형력의 보존 법칙이 그의 최근 장 방정식에 포함되어 있으므로 어떤 문제에서도 특별히 새로 설정할 필요가 없음을 일반적인 방식으로 보여줄 수 있는 위치에 있다고 알려주었습니다. 여기서 다룬 특수한 사례가 입증하는 이 결과는 특히 중요한데, 한편으로는 장 방정식이 에너지 고려 사항에서 전혀 얻어지지 않고 오직 공변성 고려 사항에서만 얻어졌기 때문이며, 다른 한편으로는 장 방정식이 단지 보존 법칙보다 훨씬 더 많은 것을 말해주기 때문입니다.1)장 방정식의 적분 (Integration of the Field Equations)두 미지수 $\overline{g}_2$와 $g_4$에 대한 세 방정식 (I), (II), (IV)는 모순이 없고 상호 제한이 없는 해를 닫힌 형식(closed form)으로 허용할 것이며, 이는 다음과 같이 확인할 수 있습니다.축약 표현으로 $\ln \sqrt{g_4} = \gamma$로 놓고 $r$에 대한 미분을 프라임(')으로 표시하면, 방정식 (I), (II), (IV)는 다음과 같이 쓰입니다.1) 그 사이에 이 연관성은 D. 힐베르트와 A. 아인슈타인 자신에 의해 더 정확하게 밝혀졌습니다. 괴팅겐 학술원 보고서(Math. Phys. Kl. 1915 p. 3) 및 Annalen der Physik 49. p. 809. 1916년 참조.112페이지$$(\text{I}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2} - \frac{\overline{g}_2'^2}{2\overline{g}_2^2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}$$$$(\text{IV}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \gamma' \frac{\overline{g}_2'}{\overline{g}_2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}$$$$(\text{II}) \quad -\overline{g}_2 + \frac{1}{2}\overline{g}_2 \overline{g}_2'' + \frac{1}{2}\gamma' \overline{g}_2' \overline{g}_2 = -\lambda^2.$$(IV)에서 (I)을 빼면 다음을 얻습니다.$$(a) \quad \gamma' = \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2'} - \frac{\overline{g}_2'}{2\overline{g}_2}$$이로부터:$$\gamma = \ln\left(\delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}\right),$$여기서 $\delta$는 적분상수입니다. 또는:$$\sqrt{g_4} = \delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}.$$적분상수 $\delta$의 값은 무한대에서의 경계 조건으로부터 구할 수 있는데, 무한대에서는 $\sqrt{g_4} = c$, 즉 일반 광속과 같아야 하기 때문입니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.$$(9) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{d}{dr}\sqrt{\overline{g}_2}$$방정식 (a)를 (II)에 대입하면 다음을 얻습니다.$$\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2}\left(\overline{g}_2^{\frac{3}{4}}\right) = \overline{g}_2^{-\frac{1}{2}} - \overline{g}_2^{-\frac{5}{4}}\lambda^2.$$두 개의 추가 적분상수를 $\alpha$와 $\beta$라 하고, 축약을 위해 $\sqrt{\overline{g}_2} = h$로 놓으면 위 방정식의 첫 번째 적분식은 다음과 같이 산출됩니다.$$(10) \quad h h' = \sqrt{(h - \alpha)^2 + (\lambda^2 - \alpha^2)}$$그리고 완전해(complete solution)는 다음과 같습니다.$$(11) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\sqrt{\left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^2 + 1} + \alpha \text{arsinh} \left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right) = r + \beta$$이 방정식은 치환식을 사용하여 정리할 수 있습니다.$$\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \sinh u$$113페이지또는$$(10a) \quad h = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \sinh u + \alpha$$위 식은 다음과 같이도 쓸 수 있습니다.$$(11a) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \cosh u + \alpha u = r + \beta.$$방정식 (11)로부터 $g_2 = -h^2$이 무한대에서 $-r^2$과 같아져야 한다는 조건이 자발적으로 충족됨을 우선 확인할 수 있습니다.또한 식 (9)에 의해 다음과 같이 됩니다.$$(9a) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{dh}{dr} = c \frac{\cosh u}{\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}}.$$적분상수 (The Constants of Integration)이어 $\alpha$의 값은 전하 $e$의 중력 질량과 연관되어 있고, $\beta$의 값은 중심에서의 $g_2$ 조건과 연관되어 있음을 보여줄 수 있습니다.아인슈타인 이론의 일반적인 연관성에 따라 무한대에서 전하는 전하의 중력 질점 $m_e$처럼 정확하게 작용해야 합니다. 따라서 무한대에서의 체적력(ponderomotive force)은 어떤 경우든 다음과 같은 형식으로 쓰일 수 있습니다.$$K = -k \frac{m_e}{r^2},$$여기서 $k = 6.7 \cdot 10^{-8} , (\text{cm}/\text{g}/\text{s})$는 일반적인 중력상수를 의미합니다.다른 형식으로서 동일한 반경 방향 체적력은 극대칭장에서 측지선의 공변 방정식으로부터 다음과 같은 형식으로 도출됩니다.1)$$(12) \quad K = -\frac{1}{2} \frac{dg_4}{dr}$$따라서 식 (9a)를 이용하면 다음과 같이 됩니다.1) A. 아인슈타인, 『일반상대성이론의 형식적 기초』, 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1046. 식 23b. 1914년.114페이지$$K = \frac{c^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} \frac{\cosh u \left(1 - \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)}{\left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^4}.$$큰 $u$ 값에 대해 식 (11a)에 의하여 다음과 같이 됩니다.$$\cosh u = \sinh u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}$$따라서 그곳에서는 다음과 같습니다.$$K = -\frac{c^2 \alpha}{r^2}$$$K$의 두 값을 동일하게 놓으면 $\alpha$에 대해 다음 값을 얻습니다.$$\alpha = \frac{m_e k}{c^2}$$예를 들어 전자의 질량을 $m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}$로 취하면 다음과 같이 얻어집니다.$$\alpha = \frac{10^{-27} \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{1.82 \cdot 9 \cdot 10^{20}} = 0.408 \cdot 10^{-55}.$$따라서 상수 $\alpha^2$은 소전하의 경우 극도로 작아지며, 아래에서 보여지듯 감산 결합된 상수 $\lambda^2$에 비해서도 극도로 작습니다. 그러나 이 상수는 원리적 의미를 가지며, 전하가 중력 질량 및 관성 질량을 가져야 한다면 소멸할 수 없습니다. 향후 대전된 장, 즉 전자에 대한 모든 평형 이론은 첫 번째 설정에서부터 적분상수 $\alpha$가 0이 되는 가능성을 배제해야 합니다.일차 6차원 벡터의 유일하게 존재하는 성분은 일반적인 경우 다음과 같이 됩니다.$$(14) \quad \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{\overline{g}_2} = -\frac{e}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{\overline{g}_2}} \frac{d\sqrt{\overline{g}_2}}{dr}$$$$= \frac{e}{4\pi(h^2 - \alpha^2)} \left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^3$$115페이지그리고 이는 방정식 (11a)와 (9a)에 의해 쉽게 계산할 수 있습니다.정전 포텐셜은 다음과 같이 됩니다.$$\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi \sqrt{\overline{g}_2}}$$해법 (11)은 $\alpha = 0$일 때 특히 단순해지며, 이 해법이 위의 $\alpha$ 값에 대한 해법과 눈에 띄게 다르지 않으므로 여기에 표기해 둡니다.식 (11)로부터 $\alpha = 0$일 때 즉시 다음을 얻습니다.$$(11b) \quad \overline{g}_2 = (r + \beta)^2 - \lambda^2.$$$$(9b) \quad g_4 = c^2 \frac{(r + \beta)^2}{(r + \beta)^2 - \lambda^2}$$거의 실현되는 이 특수한 경우 $\alpha = 0$에서 추가로 다음을 얻습니다.$$\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r + \beta}{((r + \beta)^2 - \lambda^2)^{3/2}}$$이제 보편 아인슈타인 상수 $\varkappa$의 값과 상수 $\lambda$의 값을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.우선 장 방정식 (I), (II), (IV)는 대전되지 않은 비간섭성(incoherent) 질량 분포의 무한히 약한 극대칭 중력장을 특수한 경우로 포함해야 합니다.밀도 $\rho_m$을 갖는 비간섭성 질량 분포의 공변 에너지 텐서는 아인슈타인에 따라 정역학적 경우 및 직교 체계에서 다음과 같습니다.1)$$T_{11} = T_{22} = T_{33} = 0, \quad T_{44} = \rho_m g_4.$$이에 해당하는 스칼라 $T = \sum T_m^m$은 $\rho_m$ 값을 가집니다. 따라서 장 방정식의 우변은 다음과 같이 됩니다.2)1) 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1059. 식 48. 1914년.2) 같은 책, p. 845. 식 2a. 1915년.116페이지즉,$$G_{\nu\nu} = -\varkappa\left(T_{\nu\nu} - \frac{1}{2}g_{\nu\nu} T\right),$$$$G_{11} = +\frac{\varkappa}{2} g_1 \rho_m, \quad G_{22} = +\frac{\varkappa}{2} g_2 \rho_m$$$$G_{33} = +\frac{\varkappa}{2} g_3 \rho_m, \quad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2} g_4 \rho_m$$113페이지의 방정식 (IV)는 $g_1 = -1$, $g_2 = -r^2 + \delta g_2$, $g_4 = c^2 + \delta g_4$로 놓을 때(여기서 $\delta g_2$ 및 $\delta g_4$는 작은 값임), 1차 미소 수량까지 고려하면 다음과 같이 됩니다.$$\frac{d^2}{dr^2}\left(\frac{g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \cdot \frac{d}{dr}\left(\frac{g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2} c^2 \rho_m$$여기서 식 (12)에서와 마찬가지로 $g_4 / 2$를 중력 포텐셜로 볼 수 있으며, 다음과 같이 설정할 수 있습니다.$$\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^4} = \frac{4\pi \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{81 \cdot 10^{40}} = 0.936 \cdot 10^{-48}.$$이로부터 다음을 얻습니다.$$\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{k e^2}{4\pi c^4} = \frac{6.7 \cdot 10^{-8} \cdot 4.65^2 \cdot 10^{-20} \cdot 4\pi}{4\pi \cdot 81 \cdot 10^{40}}$$$$= 1.79 \cdot 10^{-68},$$또는$$\lambda = 1.337 \cdot 10^{-34}.$$따라서 $\lambda$는 그 극소성에도 불구하고 여전히 $\alpha$보다 천억 배나 큽니다.상수 $\beta$는 반지름이 감소함에 따라 원주도 0으로 감소해야 한다는 조건, 즉 $r = 0$일 때 $h = 0$이어야 한다는 조건으로부터 구할 수 있습니다. 방정식 (10a)에 따라 $r = 0$에서의 $u$ 값을 $u_0$이라 나타내면 다음과 같습니다.$$\sinh u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}$$그리고 식 (11a)에 따라:$$\beta = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\cosh u_0 + \alpha u_0,$$또는 $\alpha/\lambda$가 극히 작으므로 다음과 같이 됩니다.$$\beta = \lambda - \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \lambda$$117페이지$r = 0$일 때 방정식 (14)에 의해 장의 세기 또한 $\mathfrak{E} = \infty$가 됩니다.중심 주변에 전하가 분포되어 있어야 하지만 맥스웰 이론이 그 평형을 반영하지 못한다는 사실에 대응하여, 중심점까지 해법을 계속 이어가면 불가능한 결과(특이점)에 도달한다는 것을 알 수 있습니다.만약 $r = r_0$인 지점에서 $\beta = \lambda - r_0$으로 놓아 장의 세기 $\mathfrak{E}$의 부호 변화를 강제하고자 한다면, 그곳에서 $\mathfrak{E}$의 무한대점과 $g_2$의 0점을 얻게 되는데, 이는 길이 요소 $\sqrt{g_2} d\vartheta$에 적용하기 어려운 결론입니다. 더욱이 이를 통해 동일한 부호의 전하밀도 사이에 상호 인력이 발생할 수는 있지만 평형은 달성되지 않으며, 평형을 강제하기 위해서는 추가적인 변형 텐서를 도입해야 할 것입니다.그러나 대전된 공간 외부에서는 전하의 장이 모순 없이 표현되며, 장의 세기 $\mathfrak{E}$ 및 계수 $g_{\mu\nu}$의 값이 유클리드 공간의 값과 눈에 띄게 달라지는 것은 반지름이 $\lambda$의 차원, 즉 $10^{-34} \text{ cm}$의 차원인 영역뿐임을 보여줍니다. 전자의 반지름이 약 $10^{-13} \text{ cm}$로 가정되므로, 장과 관련된 해의 영역에서 자가 중력의 영향은 그 어떤 측정/검증 가능성도 벗어나 있습니다.$g_4 = 0$에서의 퇴화 (The Degeneration for $g_4 = 0$)108페이지에서 장의 세기와 광속을 0으로 만들되 $\mathfrak{E}/\sqrt{g_4}$가 유한하게 유지되도록 함으로써 전하 평형의 형식적 가능성에 주의를 기울였습니다. 다음과 같이 놓으면:$$\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{S}$$4차원 전류의 시간 성분은 다음과 같이 됩니다.$$\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta \cdot \rho g_2 \sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{S} \frac{\overline{g}_2}{\sqrt{-g_1}}\right) \sin\vartheta$$여기서 $\rho$는 전하밀도입니다.진귀한 계산 결과로서, 도출 과정 없이 이 막다른 골목이 어디로 이어지는지 밝혀둡니다. 에너지 텐서는 다음 값을 가집니다.118페이지$$T_{11} = -\frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{1}{g_1}, \quad T_{22} = \frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_2}{g_1}, \quad T_{33} = \frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_3}{g_1}, \quad T_{44} = -\frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_4}{g_1} = 0$$반면 혼합 V-텐서 $T_\mu^\nu$는 소멸합니다.장 방정식은 $g_1 = -1$일 때 다음과 같은 해를 허용합니다.$$\frac{27}{32}\left(\frac{8}{9}\overline{g}_2^{\frac{1}{3}} - \alpha\right)\sqrt{\frac{16}{9}\overline{g}_2^{\frac{1}{3}} + \alpha} = r + \beta,$$여기서 $\alpha$와 $\beta$는 적분상수입니다.또한 다음을 얻습니다.$$\frac{\varkappa \mathfrak{S}^2}{2} = \frac{1}{4\overline{g}_2} - \frac{3\alpha}{8\overline{g}_2^{4/3}}$$$$\rho = \frac{3}{4\sqrt{2\varkappa}} \frac{\left(\overline{g}_2^{1/3} - \alpha\right)\sqrt{\frac{16}{9}\overline{g}_2^{1/3} + \alpha}}{\overline{g}_2^{1/3}\sqrt{\overline{g}_2^{1/3} - \frac{3}{2}\alpha}},$$$$e = \frac{\pi\sqrt{8}}{\sqrt{\varkappa}} \overline{g}_2^{1/6}\sqrt{\overline{g}_2^{1/3} - \frac{3}{2}\alpha} \cdot \alpha^{3/2}$$그러나 이 해법이 어떠한 물리적 의미를 가질 수 있을 것으로는 보이지 않습니다.전기가 없는 장 (The Un-electric Field)전하가 없는 구형 정지 질량의 중력장은 전하와 그에 따른 $\lambda = 0$으로 놓을 때 위에서 제시한 일반해로부터 특수한 경우로서 얻어져야 합니다. 이때 슈바르츠실트 해로 귀결되어야 하며, 이는 슈바르츠실트가 처음부터 $\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1$ 조건으로 좌표계를 결정한 반면, 본 연구는 우선 제한 없이 공변성을 유지하다가 $g_1 = -1$ 조건으로 계산했다는 점에서도 입증할 가치가 있습니다.슈바르츠실트1) 논문에서 계수는 다음과 같습니다.$$-g_1^* = \frac{r_1^4}{R^4(1 - \alpha_1/R)}, \quad -g_2^* = R^2, \quad g_4^* = 1 - \alpha_1/R,$$여기서 $R^3 = r_1^3 + \alpha_1^3$이며 $\alpha_1$은 상수입니다.1) K. 슈바르츠실트, 『아인슈타인 이론에 따른 질점의 중력장에 대하여』, 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 189–196. 1916년.119페이지여기서 $c = 1$로 놓았을 때 다음을 얻었습니다.$$-g_1 = 1, \quad -g_2 = h^2, \quad g_4 = \left(\frac{dh}{dr}\right)^2$$여기서$$\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h - 2\alpha}{h}$$따라서 그곳에서는 반지름에 대해 다른 길이 측도가 선택되었는데, 다음과 같기 때문입니다.$$dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4}{R^4(1 - \alpha_1/R)},$$반면$$h = R, \quad g_4 = 1 - 2\alpha/R$$로만 변환되었으므로 $g_2 = g_2^*$, $g_4 = g_4^*$이어야 합니다. 다음과 같이 얻어집니다.$$dr^2 = \frac{dh^2}{1 - 2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1 - \alpha_1/R}$$따라서 두 해법은 $2\alpha = \alpha_1$로 놓을 때 서로 변환되어 일치합니다.샤를로텐부르크, 1916년 3월.(1916년 3월 20일 접수됨) {{col-end}} <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. mp8ksjatlm91hqfj06065hixzy27mra 459190 459189 2026-09-06T07:56:03Z Danuri19 16656 459190 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판<ref>[https://edition-open-sources.org/sources/10/6/index.html? George B. Jeffery (1921): The Field of an Electron on Einstein’s Theory of Gravitation]</ref><ref>[https://zenodo.org/records/1447315? Hans Reissner Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie 『Annalen der Physik』, Vierte Folge, Band 50 전체 통권 Band 355 1916년, pp. 106–120]</ref> | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} {{col-begin}} {{col-3}} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) {{col-3}} Original p. 106 After Einstein had demonstrated the fruitfulness of his new covariant field equations of gravitation, and thereby of the postulate of the most general relativity, through his explanation of the perihelion motion of Mercury, and after he had elsewhere given a generally covariant formulation of the Maxwell-Lorentz equations of the electromagnetic field, it appeared to me that the next task was to investigate, by means of a simple example, the influence of the self-gravitation of a spherically symmetric electric field. I did, indeed, begin with the hope of finding a static cohesion of elementary charges through their self-gravitation without having to leave the ground of Maxwell's theory. In the course of the investigation, however, I was initially able to establish only that Einsteinian gravitation distorts the field of an elementary electric charge in a definite, though extraordinarily small, manner, but that by its nature it cannot cancel the mutual electrostatic repulsion of the elements of charge. The constitution of the elementary charge can therefore be obtained only by introducing a further fundamental assumption: either by modifying Maxwell's equations in the sense of Mie, by adding to the Maxwell tensor a stress tensor of the simplest possible kind, or, finally, by regarding the electron not as static but as electrodynamically stationary. Concerning the calculation, in which Einstein assisted me with a variety of explanations and criticisms, the following preliminary remarks may be made. No restriction was placed on the choice of coordinate system in setting up the field equations, and in particular none was placed on the value of the transformation determinant. Original p. 107 It was therefore possible to introduce the usual spherical polar coordinate system, whereas Schwarzschild, in order to preserve the value one for the discriminant of the line element, employed a particularly ingenious coordinate system. Nevertheless, in the present case the most general coordinate system seems to me more advantageous than a special one for setting up and integrating the field equations, quite apart from the fine insight it gives into the complete covariance of the theory. The field of an uncharged mass point presented by Einstein and Schwarzschild proves to be a special case of the field of a spherical charge calculated here. It may serve as a check upon the correctness of the present solution that it passes into the Schwarzschild solution when it is transformed to Schwarzschild's special coordinate system and the charge is allowed to vanish. The problem posed here is therefore the following: What is the most general electrostatic field in equilibrium and possessing spherical symmetry if nothing is assumed beyond the Maxwell stress-energy tensor in covariant form and Einstein's generally covariant field equations of gravitation. The assumption of symmetry simplifies the form of the line element of the generally non-Euclidean space, so that it can be written in spatial polar coordinates that remain orthogonal. [Line element omitted.. Here single indices are written in place of double indices. In Euclidean space-that is, in a space containing no stress-energy tensor-the metric coefficients take their familiar values, and c denotes the ordinary velocity of light. Original p. 108 Einstein has shown generally how the values of the metric coefficients determine the properties of measuring rods and clocks, the form of the shortest lines, the paths of mass points and light rays, the velocity of light, and the gravitational potential. THE TENSOR OF THE ELECTROSTATIC FIEL. The energy tensor required for the gravitational field equations and for the equilibrium condition of the electrostatic field may be obtained as follows. Of the components of the first covariant six-vector of the field, only one remains in the case of rest and spherical symmetry, namely the radial electric-field component. The second, contravariant, six-vector derived from it likewise has only one component. [Field-tensor relation omitted.. The contravariant four-vector of the electric vacuum-current density also has only one non-vanishing component. [Equation (1) omitted.. Here rho denotes the charge density. The covariant four-vector of mechanical force density assumes its standard form in the general static case and a radial form under complete spherical symmetry. [Force-density equations omitted.. This general static ansatz shows that the resultant force density can vanish only if either the charge density or the electric field strength vanishes. These quantities, in turn, can vanish simultaneously throughout a finite interval only in the exceptional case in which one of the relevant metric coefficients vanishes throughout that interval. Original p. 109 Thus one may state: A Maxwellian electrostatic field, even under the influence of its own gravitation, can be in equilibrium only where no charge density is present, provided one excludes the case in which a line element or the velocity of light becomes zero. Since these exceptional cases appear to possess no physical significance, an investigation based upon the pure Maxwell stress-energy tensor and spherical symmetry must be restricted to the field of a spherical charge under the influence of its self-gravitation in empty space. For this case the four-current must vanish. Integration then gives the electric field in terms of the metric coefficients. The integration constant is determined immediately from the condition at infinity, where the metric becomes flat and the field becomes the Coulomb field of the total charge e situated at the centre. [Equation (2) omitted.. Substitution of these values into Einstein's expression for the mixed energy tensor gives its four diagonal components. The corresponding covariant tensor follows by lowering the index with the metric. [Stress-energy components omitted.. Original p. 110 This is the electrostatic energy tensor, but without yet taking account of the equilibrium of the field. The equilibrium tensor is obtained by substituting the field value found in equation (2). [Equilibrium stress-energy components omitted.. THE FIELD EQUATION. Einstein's generally covariant differential equations for a gravitational field, in their latest and most consistent form, can be written for orthogonal coordinates and a vanishing Laue scalar in terms of the contracted Christoffel symbols. [Equation (8) omitted.. Here kappa is a universal constant related to the gravitational constant. The four-index Christoffel symbol of the second kind is expressed through the three-index symbols. In orthogonal coordinates, the latter differ from zero only when at least two indices coincide. [Christoffel-symbol formulas omitted.. The four-index symbol vanishes when the relevant two indices are equal. The first two terms of equation (8) cause no difficulty. In the sum of the third term one first sums over one coincident index, then over the other, and finally over all indices distinct from both. Original p. 111 After a somewhat laborious calculation, requiring some practice if computational errors are to be avoided, one arrives at the following second-order differential invariants. A straightforward check shows that they satisfy covariance under the imposed symmetry and vanish in Euclidean space. [Equations (I)-(IV) omitted.. Among the infinitely many possible coordinate systems, we may evidently privilege one in the following manner. Let dr denote not merely a coordinate difference but also the distance in the radial direction measured with an infinitesimal rigid measuring rod. With this convention the radial metric coefficient is set equal to minus one. For brevity, introduce lambda squared for the indicated combination of kappa, charge, and c, and replace the negative angular metric coefficient by a positive barred quantity. The field equations then take a system of three ordinary differential equations. [Reduced equations (I), (II), and (IV) omitted.. Original p. 112. The restriction imposed upon the coordinate system has therefore produced three equations for only two unknown metric functions, and at first it appears that an attempt at solution might lead to a contradiction. It will be shown, however-and this is extraordinarily noteworthy-that the general solution of two of the equations satisfies the third identically. Thus it would not have been necessary to employ the conservation law, that is, the stress-equilibrium condition represented by equation (2) in non-Euclidean space, in determining the stress-energy tensor. The gravitational field equations alone would already have sufficed to calculate, as a function of the metric, the field strength that permits equilibrium. The only prerequisite for the entire ansatz was therefore knowledge of the expression of the stress-energy tensor in terms of the six-vector of field strength. In discussing this surprising connection, Einstein informed me that he was then in a position to show generally that the conservation laws of energy and stresses are contained in his latest field equations and therefore need not be imposed separately in each problem. This result, confirmed by the special case treated here, is particularly important because the field equations were obtained not from energy considerations but solely from considerations of covariance, while at the same time they assert much more than the conservation laws alone. THE INTEGRATION OF THE FIELD EQUATION. The three equations (I), (II), and (IV), containing the two unknown metric functions, therefore admit a consistent closed-form solution without mutually restricting one another. Introduce gamma as the logarithm of the square root of the temporal metric coefficient, and denote differentiation with respect to r by primes. The equations then assume a more compact form. Original p. 113. [Reduced equations and equation (a) omitted.. Subtracting equation (I) from equation (IV) gives a first differential relation. Its integration introduces a constant delta. The boundary condition at infinity, where the local velocity of light is to equal the normal value c, determines this constant and yields equation (9). [Equation (9) omitted.. Substitution into equation (II) produces a second-order equation for the angular metric coefficient. Introduce two further integration constants, alpha and beta, and set h equal to the square root of the positive angular coefficient. The first integral is equation (10), and complete integration gives equation (11). [Equations (10) and (11) omitted.. The result may alternatively be written by means of a hyperbolic substitution. [Substitution omitted.. Original p. 114. [Equations (10a), (11a), and (9a) omitted.. Equation (11) first shows that the condition requiring the angular metric coefficient to approach the square of the radius at infinity is satisfied automatically. Equation (9) then supplies the temporal metric coefficient. THE INTEGRATION CONSTANT. It can now be shown that alpha is related to the gravitating mass of the charge e, while beta is related to the condition imposed on the angular metric coefficient at the centre. According to the general connection supplied by Einstein's theory, a charge at infinity must act just like a gravitating mass point having the mass of the charge. The ponderomotive force at infinity may therefore be written in Newtonian form, where k is the ordinary gravitational constant. [Newtonian force formula omitted.. The same radial ponderomotive force follows in another form from the covariant equation of the geodesic line in a spherically symmetric field. [Equation (12) omitted.. Original p. 115. Using equation (9a), and taking the large-distance limit, one finds the inverse-square gravitational force and identifies alpha with the gravitational radius associated with the mass of the charge. [Identification and numerical estimate of alpha omitted.. The constant alpha squared is therefore extraordinarily small for an elementary charge and, as shown below, extraordinarily small even in comparison with the constant lambda squared from which it is subtracted. Nevertheless it possesses a significance of principle and must not vanish if the electric charge is to possess gravitating inertial mass. Every future equilibrium theory of the charged field-that is, of the electron-must exclude the disappearance of the integration constant alpha from the outset. The sole non-vanishing component of the primary electromagnetic six-vector in the general case is then obtained from the preceding solution. [Equation (14) omitted.. Original p. 116. It is readily calculated from equations (11a) and (9a). The electrostatic potential is correspondingly obtained. [Electrostatic potential omitted.. The solution becomes especially simple when alpha is set equal to zero. Since this solution differs imperceptibly from the one using the numerical value of alpha found above, it is useful to state it separately. [Equations (11b), (9b), and the simplified field strength omitted.. The values of Einstein's universal constant kappa and of lambda can now be calculated. The field equations must contain, as a special case, the infinitely weak spherically symmetric gravitational field of an uncharged, incoherent distribution of mass. According to Einstein, the covariant energy tensor of an incoherent mass distribution of density rho_m, in the static case and in an orthogonal system, has only its temporal component different from zero. The corresponding trace has the value rho_m. [Matter stress-energy components omitted.. Original p. 117. The right-hand side of the general field equations then takes the trace-reversed form used by Einstein. [Trace-reversed field equation and components omitted.. Linearising equation (IV) about flat space gives the ordinary Poisson equation. Consequently the temporal perturbation divided by two may be regarded as the gravitational potential, just as in equation (12). Comparison with Newtonian gravity determines kappa. [Weak-field equation and numerical value of kappa omitted.. From this one obtains lambda and its numerical value for the elementary charge. [Values of lambda squared and lambda omitted.. Thus, despite its smallness, lambda is still approximately one hundred thousand billion billion times as large as alpha. The constant beta can be obtained from the condition that the circumference of a circle must tend to zero as the radius decreases; that is, h must vanish when r is zero. Equation (10a) then fixes the value u_0, and equation (11a) fixes beta. Because alpha is so small compared with lambda, beta is approximately equal to lambda. [Boundary equations for u_0 and beta omitted.. Original p. 118. At r equal to zero, equation (14) makes the field strength infinite. It is evident that continuation of the solution to the centre leads to an impossibility, corresponding to the fact that charge must be distributed around the centre and that Maxwell's theory does not supply the equilibrium of that distribution. If one attempted to force the field strength to change sign at a radius r_0 by choosing beta accordingly, the field strength would become infinite there and the angular metric coefficient would vanish. The line element cannot reasonably be subjected to such a consequence. Moreover, this would produce a mutual attraction of like charge densities but not an equilibrium; to enforce equilibrium one would perhaps have to add another stress tensor. Outside the charged region, however, the field of the charge is represented consistently. The field strength and the metric coefficients differ appreciably from their Euclidean values only where the radius is of the order of lambda, approximately 10^-34 centimetres. Since the electron radius is taken to be approximately 10^-13 centimetres, the influence of self-gravitation within the physically relevant domain of the solution eludes all possibility of detection. THE DEGENERATE CASE g₄ = . On page 109 attention was drawn to the formal possibility of equilibrium of charge if the field strength and the velocity of light are both allowed to vanish in such a way that their ratio remains finite. [Definition of the limiting field omitted.. The temporal component of the four-current then assumes a corresponding limiting form, where rho denotes charge density. [Current equation omitted.. For the sake of curiosity, the result of this dead end may be stated without derivation. The energy tensor takes a degenerate form. Original p. 119. [Degenerate stress-energy tensor omitted.. The mixed tensor vanishes. With the radial metric coefficient set equal to minus one, the field equations permit a formal solution containing two integration constants, alpha and beta. [Degenerate solution omitted.. Further expressions for the field and total charge follow, but this solution does not appear capable of acquiring any physical significance. THE NON-ELECTRIC FIEL. The gravitational field of an uncharged, spherical, resting mass must emerge as a special case of the general solution given above when the charge, and therefore lambda, is set equal to zero. The result must reduce to Schwarzschild's solution. It is worthwhile to show this explicitly because Schwarzschild fixed from the outset a coordinate system in which the determinant condition has a prescribed value, whereas the present calculation began without restriction and subsequently imposed the condition that the radial metric coefficient equal minus one. In Schwarzschild's coordinates the metric coefficients have their standard forms, with an auxiliary radial coordinate R related cubically to Schwarzschild's original coordinate. [Schwarzschild metric coefficients omitted.. Original p. 120. In the present coordinates, with c equal to one, the radial metric coefficient is minus one, the angular coefficient is minus h squared, and the temporal coefficient is the square of dh/dr. [Metric relations omitted.. A different measure of radial length has therefore been selected. Since only the radial coordinate is transformed, the angular and temporal metric coefficients must agree in the two representations. [Coordinate transformation omitted.. One obtains h equal to R and the Schwarzschild temporal coefficient. The two solutions therefore pass into one another when the two mass parameters are appropriately identified. Charlottenburg, March 1916. Received 20 March 1916. TRANSLATOR'S NOT. This translation preserves Reissner's historical terminology and argumentative order. Equations have been omitted at the reader's request, but their original locations and labels have been retained. In modern terminology, the paper studies the static, spherically symmetric electrovacuum reduction of the Einstein-Maxwell system. Reissner's most striking conceptual observation occurs on original page 112: the conservation laws need not be imposed independently, because the structure of Einstein's field equations already contains the required consistency relations. {{col-3}} 106페이지4. 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자가 중력에 대하여;H. 라이스너(H. Reissner)아인슈타인 씨가 수성 서행 운동(수성의 근일점 이동)을 설명함으로써 그의 새로운 공변 중력장 방정식, 나아가 일반 상대성 공리의 유용성을 입증하였고, 다른 논문을 통해 전자기장의 맥스웰-로런츠 방정식을 일반 공변 형태로 제시하였습니다. 이에 따라 구대칭을 가지는 전기장의 자가 중력(Eigengravitation)이 미치는 영향을 간단한 예시를 통해 조사하는 것을 다음 과제로 삼게 되었습니다.비록 본 연구를 시작할 당시에는 맥스웰 이론의 틀을 벗어나지 않고 소전하(Elementarladung) 자체의 자가 중력을 통해 정역학적 결합(전하의 안정성)을 찾을 수 있으리라는 기대를 가졌으나, 연구 과정에서 아인슈타인의 중력이 소전하의 전기장을 특정한(그리고 극도로 미미한) 방식으로 왜곡시킬 뿐, 그 본질상 전하 요소들 사이의 상호 정전기적 반발력을 상쇄할 수는 없다는 사실만을 우선 확인하게 되었습니다.따라서 소전하의 구조를 설명하기 위해서는 추가적인 기본 가정이 도입되어야만 할 것입니다. 미(Mie)의 개념에 따라 맥스웰 방정식을 수정하든가, 맥스웰 변형 텐서에 가능한 한 단순한 변형 텐서를 추가하든가, 혹은 최종적으로 전자를 정역학적이 아닌 전자기학적으로 정상 상태(stationär)인 구조로 파악하는 방식 중 하나를 취해야 합니다.아인슈타인 씨로부터 다양한 설명과 비판적 조언을 받아 진행한 계산 수행 과정과 관련하여, 먼저 다음 사항을 밝혀두고자 합니다.장 방정식을 수립하는 데 있어 좌표계의 선택, 특히 치환 행렬식(Substitutionsdeterminante)의 값에 어떠한 제한도 두지 않았습니다. 따라서 일반적인 공간 구면좌표계를 도입할 수 있었는데, 이는 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 선요소(Linienelement)의 판별식 <math>\sqrt{-g}</math>의 값을 1로 유지하기 위해 특별히 교묘하게 선택된 좌표계를 사용한 것과 대조적입니다.그럼에도 불구하고 이 문제에서는 전체 이론의 완전한 공변성을 보여주는 명쾌한 통찰을 제공할 뿐만 아니라, 장 방정식의 수립 및 통합에 있어서도 특정한 좌표계보다 가장 일반적인 좌표계를 사용하는 것이 오히려 더 유리하다고 판단됩니다.아인슈타인 씨 자신과 슈바르츠실트에 의해 제시된 전하가 없는 질점의 장(Field)은 본 논문에서 계산된 구형 전하 장의 특수한 경우임이 밝혀졌습니다. 또한 특정한 슈바르츠실트 좌표계로 변환하고 전하를 0으로 놓았을 때 본 해법이 슈바르츠실트의 해로 귀결된다는 점은 여기서 제시된 해법의 정당성을 검증하는 역할을 합니다.따라서 여기서 설정한 문제는 다음과 같습니다. 공변 형태의 맥스웰 변형 에너지 텐서와 아인슈타인의 일반 공변 중력장 방정식 외에 다른 아무것도 전제하지 않을 때, 평형 상태에 있는 구대칭 정전기장의 가장 일반적인 형태는 무엇인가?대칭성 전제는 일반적으로 비유클리드 공간인 선요소의 형식을 단순화하는 결과를 가져오므로, 이 선요소는 공간적(직교 상태를 유지하는) 구면좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.<math>ds^2 = g_1 dr^2 + g_2 d\vartheta^2 + g_3 d\varphi^2 + g_4 dt^2,</math>여기서 이중 첨자 대신 단일 첨자만 사용하여 다음과 같이 나타냅니다.<math>g_{\nu\nu} = g_\nu, \quad g_{\mu\nu} = 0 \quad (\mu \neq \nu \text{일 때})</math>그리고 변형 에너지 텐서를 포함하지 않는 유클리드 공간에 대해 <math>g_\nu</math>는 다음 값을 가집니다.<math>g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_3 = g_2 \sin^2\vartheta, \quad g_4 = c^2,</math>여기서 <math>c</math>는 진공에서의 일반적인 광속을 의미합니다.107페이지아인슈타인 씨는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값들이 자와 시계의 성질, 최단선(측지선)의 형태, 질점과 광선의 궤도, 광속 및 중력 포텐셜을 어떻게 결정하는지 일반적으로 보여주었습니다.정전기장의 텐서중력장 방정식과 정전기장의 평형 조건에 필요한 에너지 텐서는 다음과 같이 도출할 수 있습니다.1)첫 번째 공변 6차원 벡터(Covariant 6-vector) <math>F_{\alpha\beta}</math>의 성분 중 정지 상태 및 극대칭성(polar symmetry)을 가질 때 남는 것은 오직 하나, 즉 <math>F_{14} = \mathfrak{E}</math>뿐입니다. 이로부터 도출되는 두 번째 반공변(contravariant) V-6차원 벡터 <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> 역시 이 경우 오직 하나의 성분만을 가집니다.<math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}</math>진공에서의 전기 전류밀도의 반공변 V-4차원 벡터 역시 0이 아닌 성분을 단 하나만 가집니다.<math>(1) \quad \mathfrak{J}^4 = \rho \frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial \mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math>여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.역학적 힘 밀도(force density)의 공변 V-4차원 벡터는 일반적인 정역학적 경우 다음과 같이 됩니다.<math>\mathfrak{K}_\sigma = F_{\sigma 4} \mathfrak{J}^4</math>그리고 구대칭(모든 방향의 대칭)일 때:<math>\mathfrak{K}_r = F_{14} \mathfrak{J}^4 = \mathfrak{E} \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math>이 일반적인 정역학적 설정은 알짜 힘 밀도가 0이 되기 위해서는 전하밀도가 0이 되거나 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>가 0이 되어야 함을 보여줍니다. 그러나 이 값들은 <math>g_1</math> 또는 <math>g_4</math>가 해당 유한 구간에서 0이 되는 경우를 제외하고는, 유한한 구간 내에서 동시에만 0의 값을 가질 수 있습니다.따라서 다음과 같이 기술할 수 있습니다.1) A. 아인슈타인, 『전자기학의 맥스웰장 방정식에 대한 새로운 형식적 해석』. 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 184–188. 1916년.108페이지맥스웰 정전기장은 자가 중력의 영향 하에서도, 선요소나 광속이 0이 되는 특수한 경우를 제외한다면 전하밀도가 존재하지 않는 곳에서만 평형을 유지할 수 있습니다.1)이러한 예외적인 경우가 물리적 의미를 갖지 않는 것으로 보이므로, 순수한 맥스웰 변형 에너지 텐서와 구대칭을 기본 바탕으로 삼고자 한다면, 본 연구는 진공 공간에서 자가 중력의 영향을 받는 구형 전하의 장으로 제한되어야 합니다.따라서 이 경우에는 <math>\mathfrak{J}^4 = 0</math>이어야 하며, 이에 따라 다음과 같이 됩니다.<math>\mathfrak{E} = \text{const} \cdot \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{-g_2}</math>적분상수는 무한대에서의 경계 조건으로부터 즉시 결정할 수 있습니다. 무한대에서는 중심의 총전하를 <math>e</math>라 할 때 다음과 같이 놓아야 합니다.<math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \quad g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_4 = c^2,</math>따라서<math>\text{const} = \frac{e}{4\pi c}</math>이로부터 다음을 얻습니다.<math>(2) \quad \begin{cases} \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{g_2} \\ \mathfrak{F}^{14} = F_{14} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{1}{g_2} \end{cases}</math>이 값들을 위에서 인용한 아인슈타인의 논문에 제시된 혼합 에너지 텐서 식 (9)에 대입하면 다음을 얻습니다.<math>T_1^1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_2^2 = T_3^3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_4^4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}</math>이에 대응하는 공변 텐서는 공식 <math>T_{\sigma\sigma} = T_\sigma^\sigma g_{\sigma\sigma}</math>에 따라 다음 값을 가집니다.1) <math>g_4 = 0</math>이라는 가정을 두면 전하 내부의 장 세기 분포가 일정하게 유도되지만, <math>g_4 \neq 0</math>인 외부 공간과의 연결에는 성공하지 못했습니다.109페이지<math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_1}{2g_1 g_4}, \quad T_{22} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_2}{2g_1 g_4}</math><math>T_{33} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_3}{2g_1 g_4}, \quad T_{44} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_4}{2g_1 g_4}</math>이것은 장의 평형을 고려하지 않은 정전기 에너지 텐서입니다. 장의 평형 텐서는 <math>\mathfrak{E}</math>에 대해 위 식 (2)의 값을 대입함으로써 얻어집니다.<math>T_{11} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}, \quad T_{22} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math><math>T_{33} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}, \quad T_{44} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math>장 방정식 (The Field Equations)아인슈타인의 일반 공변 중력 미분 방정식의 최신 및 가장 일관된 형식은 직교좌표계와 라우에 스칼라(Laue scalar) <math>\sum T_m^m = 0</math>이 소멸할 때 다음과 같이 쓰일 수 있습니다. {{col-end}} <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 3u9p67q3s44k3024obtpp5c6asdd7fu 459191 459190 2026-09-06T07:59:45Z Danuri19 16656 459191 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판<ref>[https://edition-open-sources.org/sources/10/6/index.html? George B. Jeffery (1921): The Field of an Electron on Einstein’s Theory of Gravitation]</ref><ref>[https://zenodo.org/records/1447315? Hans Reissner Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie 『Annalen der Physik』, Vierte Folge, Band 50 전체 통권 Band 355 1916년, pp. 106–120]</ref> | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} {{col-begin}} {{col-3}} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) {{col-3}} Original p. 106 After Einstein had demonstrated the fruitfulness of his new covariant field equations of gravitation, and thereby of the postulate of the most general relativity, through his explanation of the perihelion motion of Mercury, and after he had elsewhere given a generally covariant formulation of the Maxwell-Lorentz equations of the electromagnetic field, it appeared to me that the next task was to investigate, by means of a simple example, the influence of the self-gravitation of a spherically symmetric electric field. I did, indeed, begin with the hope of finding a static cohesion of elementary charges through their self-gravitation without having to leave the ground of Maxwell's theory. In the course of the investigation, however, I was initially able to establish only that Einsteinian gravitation distorts the field of an elementary electric charge in a definite, though extraordinarily small, manner, but that by its nature it cannot cancel the mutual electrostatic repulsion of the elements of charge. The constitution of the elementary charge can therefore be obtained only by introducing a further fundamental assumption: either by modifying Maxwell's equations in the sense of Mie, by adding to the Maxwell tensor a stress tensor of the simplest possible kind, or, finally, by regarding the electron not as static but as electrodynamically stationary. Concerning the calculation, in which Einstein assisted me with a variety of explanations and criticisms, the following preliminary remarks may be made. No restriction was placed on the choice of coordinate system in setting up the field equations, and in particular none was placed on the value of the transformation determinant. Original p. 107 It was therefore possible to introduce the usual spherical polar coordinate system, whereas Schwarzschild, in order to preserve the value one for the discriminant of the line element, employed a particularly ingenious coordinate system. Nevertheless, in the present case the most general coordinate system seems to me more advantageous than a special one for setting up and integrating the field equations, quite apart from the fine insight it gives into the complete covariance of the theory. The field of an uncharged mass point presented by Einstein and Schwarzschild proves to be a special case of the field of a spherical charge calculated here. It may serve as a check upon the correctness of the present solution that it passes into the Schwarzschild solution when it is transformed to Schwarzschild's special coordinate system and the charge is allowed to vanish. The problem posed here is therefore the following: What is the most general electrostatic field in equilibrium and possessing spherical symmetry if nothing is assumed beyond the Maxwell stress-energy tensor in covariant form and Einstein's generally covariant field equations of gravitation. The assumption of symmetry simplifies the form of the line element of the generally non-Euclidean space, so that it can be written in spatial polar coordinates that remain orthogonal. [Line element omitted.. Here single indices are written in place of double indices. In Euclidean space-that is, in a space containing no stress-energy tensor-the metric coefficients take their familiar values, and c denotes the ordinary velocity of light. Original p. 108 Einstein has shown generally how the values of the metric coefficients determine the properties of measuring rods and clocks, the form of the shortest lines, the paths of mass points and light rays, the velocity of light, and the gravitational potential. THE TENSOR OF THE ELECTROSTATIC FIEL. The energy tensor required for the gravitational field equations and for the equilibrium condition of the electrostatic field may be obtained as follows. Of the components of the first covariant six-vector of the field, only one remains in the case of rest and spherical symmetry, namely the radial electric-field component. The second, contravariant, six-vector derived from it likewise has only one component. [Field-tensor relation omitted.. The contravariant four-vector of the electric vacuum-current density also has only one non-vanishing component. [Equation (1) omitted.. Here rho denotes the charge density. The covariant four-vector of mechanical force density assumes its standard form in the general static case and a radial form under complete spherical symmetry. [Force-density equations omitted.. This general static ansatz shows that the resultant force density can vanish only if either the charge density or the electric field strength vanishes. These quantities, in turn, can vanish simultaneously throughout a finite interval only in the exceptional case in which one of the relevant metric coefficients vanishes throughout that interval. Original p. 109 Thus one may state: A Maxwellian electrostatic field, even under the influence of its own gravitation, can be in equilibrium only where no charge density is present, provided one excludes the case in which a line element or the velocity of light becomes zero. Since these exceptional cases appear to possess no physical significance, an investigation based upon the pure Maxwell stress-energy tensor and spherical symmetry must be restricted to the field of a spherical charge under the influence of its self-gravitation in empty space. For this case the four-current must vanish. Integration then gives the electric field in terms of the metric coefficients. The integration constant is determined immediately from the condition at infinity, where the metric becomes flat and the field becomes the Coulomb field of the total charge e situated at the centre. [Equation (2) omitted.. Substitution of these values into Einstein's expression for the mixed energy tensor gives its four diagonal components. The corresponding covariant tensor follows by lowering the index with the metric. [Stress-energy components omitted.. Original p. 110 This is the electrostatic energy tensor, but without yet taking account of the equilibrium of the field. The equilibrium tensor is obtained by substituting the field value found in equation (2). [Equilibrium stress-energy components omitted.. THE FIELD EQUATION. Einstein's generally covariant differential equations for a gravitational field, in their latest and most consistent form, can be written for orthogonal coordinates and a vanishing Laue scalar in terms of the contracted Christoffel symbols. [Equation (8) omitted.. Here kappa is a universal constant related to the gravitational constant. The four-index Christoffel symbol of the second kind is expressed through the three-index symbols. In orthogonal coordinates, the latter differ from zero only when at least two indices coincide. [Christoffel-symbol formulas omitted.. The four-index symbol vanishes when the relevant two indices are equal. The first two terms of equation (8) cause no difficulty. In the sum of the third term one first sums over one coincident index, then over the other, and finally over all indices distinct from both. Original p. 111 After a somewhat laborious calculation, requiring some practice if computational errors are to be avoided, one arrives at the following second-order differential invariants. A straightforward check shows that they satisfy covariance under the imposed symmetry and vanish in Euclidean space. [Equations (I)-(IV) omitted.. Among the infinitely many possible coordinate systems, we may evidently privilege one in the following manner. Let dr denote not merely a coordinate difference but also the distance in the radial direction measured with an infinitesimal rigid measuring rod. With this convention the radial metric coefficient is set equal to minus one. For brevity, introduce lambda squared for the indicated combination of kappa, charge, and c, and replace the negative angular metric coefficient by a positive barred quantity. The field equations then take a system of three ordinary differential equations. [Reduced equations (I), (II), and (IV) omitted.. Original p. 112. The restriction imposed upon the coordinate system has therefore produced three equations for only two unknown metric functions, and at first it appears that an attempt at solution might lead to a contradiction. It will be shown, however-and this is extraordinarily noteworthy-that the general solution of two of the equations satisfies the third identically. Thus it would not have been necessary to employ the conservation law, that is, the stress-equilibrium condition represented by equation (2) in non-Euclidean space, in determining the stress-energy tensor. The gravitational field equations alone would already have sufficed to calculate, as a function of the metric, the field strength that permits equilibrium. The only prerequisite for the entire ansatz was therefore knowledge of the expression of the stress-energy tensor in terms of the six-vector of field strength. In discussing this surprising connection, Einstein informed me that he was then in a position to show generally that the conservation laws of energy and stresses are contained in his latest field equations and therefore need not be imposed separately in each problem. This result, confirmed by the special case treated here, is particularly important because the field equations were obtained not from energy considerations but solely from considerations of covariance, while at the same time they assert much more than the conservation laws alone. THE INTEGRATION OF THE FIELD EQUATION. The three equations (I), (II), and (IV), containing the two unknown metric functions, therefore admit a consistent closed-form solution without mutually restricting one another. Introduce gamma as the logarithm of the square root of the temporal metric coefficient, and denote differentiation with respect to r by primes. The equations then assume a more compact form. Original p. 113. [Reduced equations and equation (a) omitted.. Subtracting equation (I) from equation (IV) gives a first differential relation. Its integration introduces a constant delta. The boundary condition at infinity, where the local velocity of light is to equal the normal value c, determines this constant and yields equation (9). [Equation (9) omitted.. Substitution into equation (II) produces a second-order equation for the angular metric coefficient. Introduce two further integration constants, alpha and beta, and set h equal to the square root of the positive angular coefficient. The first integral is equation (10), and complete integration gives equation (11). [Equations (10) and (11) omitted.. The result may alternatively be written by means of a hyperbolic substitution. [Substitution omitted.. Original p. 114. [Equations (10a), (11a), and (9a) omitted.. Equation (11) first shows that the condition requiring the angular metric coefficient to approach the square of the radius at infinity is satisfied automatically. Equation (9) then supplies the temporal metric coefficient. THE INTEGRATION CONSTANT. It can now be shown that alpha is related to the gravitating mass of the charge e, while beta is related to the condition imposed on the angular metric coefficient at the centre. According to the general connection supplied by Einstein's theory, a charge at infinity must act just like a gravitating mass point having the mass of the charge. The ponderomotive force at infinity may therefore be written in Newtonian form, where k is the ordinary gravitational constant. [Newtonian force formula omitted.. The same radial ponderomotive force follows in another form from the covariant equation of the geodesic line in a spherically symmetric field. [Equation (12) omitted.. Original p. 115. Using equation (9a), and taking the large-distance limit, one finds the inverse-square gravitational force and identifies alpha with the gravitational radius associated with the mass of the charge. [Identification and numerical estimate of alpha omitted.. The constant alpha squared is therefore extraordinarily small for an elementary charge and, as shown below, extraordinarily small even in comparison with the constant lambda squared from which it is subtracted. Nevertheless it possesses a significance of principle and must not vanish if the electric charge is to possess gravitating inertial mass. Every future equilibrium theory of the charged field-that is, of the electron-must exclude the disappearance of the integration constant alpha from the outset. The sole non-vanishing component of the primary electromagnetic six-vector in the general case is then obtained from the preceding solution. [Equation (14) omitted.. Original p. 116. It is readily calculated from equations (11a) and (9a). The electrostatic potential is correspondingly obtained. [Electrostatic potential omitted.. The solution becomes especially simple when alpha is set equal to zero. Since this solution differs imperceptibly from the one using the numerical value of alpha found above, it is useful to state it separately. [Equations (11b), (9b), and the simplified field strength omitted.. The values of Einstein's universal constant kappa and of lambda can now be calculated. The field equations must contain, as a special case, the infinitely weak spherically symmetric gravitational field of an uncharged, incoherent distribution of mass. According to Einstein, the covariant energy tensor of an incoherent mass distribution of density rho_m, in the static case and in an orthogonal system, has only its temporal component different from zero. The corresponding trace has the value rho_m. [Matter stress-energy components omitted.. Original p. 117. The right-hand side of the general field equations then takes the trace-reversed form used by Einstein. [Trace-reversed field equation and components omitted.. Linearising equation (IV) about flat space gives the ordinary Poisson equation. Consequently the temporal perturbation divided by two may be regarded as the gravitational potential, just as in equation (12). Comparison with Newtonian gravity determines kappa. [Weak-field equation and numerical value of kappa omitted.. From this one obtains lambda and its numerical value for the elementary charge. [Values of lambda squared and lambda omitted.. Thus, despite its smallness, lambda is still approximately one hundred thousand billion billion times as large as alpha. The constant beta can be obtained from the condition that the circumference of a circle must tend to zero as the radius decreases; that is, h must vanish when r is zero. Equation (10a) then fixes the value u_0, and equation (11a) fixes beta. Because alpha is so small compared with lambda, beta is approximately equal to lambda. [Boundary equations for u_0 and beta omitted.. Original p. 118. At r equal to zero, equation (14) makes the field strength infinite. It is evident that continuation of the solution to the centre leads to an impossibility, corresponding to the fact that charge must be distributed around the centre and that Maxwell's theory does not supply the equilibrium of that distribution. If one attempted to force the field strength to change sign at a radius r_0 by choosing beta accordingly, the field strength would become infinite there and the angular metric coefficient would vanish. The line element cannot reasonably be subjected to such a consequence. Moreover, this would produce a mutual attraction of like charge densities but not an equilibrium; to enforce equilibrium one would perhaps have to add another stress tensor. Outside the charged region, however, the field of the charge is represented consistently. The field strength and the metric coefficients differ appreciably from their Euclidean values only where the radius is of the order of lambda, approximately 10^-34 centimetres. Since the electron radius is taken to be approximately 10^-13 centimetres, the influence of self-gravitation within the physically relevant domain of the solution eludes all possibility of detection. THE DEGENERATE CASE g₄ = . On page 109 attention was drawn to the formal possibility of equilibrium of charge if the field strength and the velocity of light are both allowed to vanish in such a way that their ratio remains finite. [Definition of the limiting field omitted.. The temporal component of the four-current then assumes a corresponding limiting form, where rho denotes charge density. [Current equation omitted.. For the sake of curiosity, the result of this dead end may be stated without derivation. The energy tensor takes a degenerate form. Original p. 119. [Degenerate stress-energy tensor omitted.. The mixed tensor vanishes. With the radial metric coefficient set equal to minus one, the field equations permit a formal solution containing two integration constants, alpha and beta. [Degenerate solution omitted.. Further expressions for the field and total charge follow, but this solution does not appear capable of acquiring any physical significance. THE NON-ELECTRIC FIEL. The gravitational field of an uncharged, spherical, resting mass must emerge as a special case of the general solution given above when the charge, and therefore lambda, is set equal to zero. The result must reduce to Schwarzschild's solution. It is worthwhile to show this explicitly because Schwarzschild fixed from the outset a coordinate system in which the determinant condition has a prescribed value, whereas the present calculation began without restriction and subsequently imposed the condition that the radial metric coefficient equal minus one. In Schwarzschild's coordinates the metric coefficients have their standard forms, with an auxiliary radial coordinate R related cubically to Schwarzschild's original coordinate. [Schwarzschild metric coefficients omitted.. Original p. 120. In the present coordinates, with c equal to one, the radial metric coefficient is minus one, the angular coefficient is minus h squared, and the temporal coefficient is the square of dh/dr. [Metric relations omitted.. A different measure of radial length has therefore been selected. Since only the radial coordinate is transformed, the angular and temporal metric coefficients must agree in the two representations. [Coordinate transformation omitted.. One obtains h equal to R and the Schwarzschild temporal coefficient. The two solutions therefore pass into one another when the two mass parameters are appropriately identified. Charlottenburg, March 1916. Received 20 March 1916. TRANSLATOR'S NOT. This translation preserves Reissner's historical terminology and argumentative order. Equations have been omitted at the reader's request, but their original locations and labels have been retained. In modern terminology, the paper studies the static, spherically symmetric electrovacuum reduction of the Einstein-Maxwell system. Reissner's most striking conceptual observation occurs on original page 112: the conservation laws need not be imposed independently, because the structure of Einstein's field equations already contains the required consistency relations. {{col-3}} 106페이지4. 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자가 중력에 대하여;H. 라이스너(H. Reissner)아인슈타인 씨가 수성 서행 운동(수성의 근일점 이동)을 설명함으로써 그의 새로운 공변 중력장 방정식, 나아가 일반 상대성 공리의 유용성을 입증하였고, 다른 논문을 통해 전자기장의 맥스웰-로런츠 방정식을 일반 공변 형태로 제시하였습니다. 이에 따라 구대칭을 가지는 전기장의 자가 중력(Eigengravitation)이 미치는 영향을 간단한 예시를 통해 조사하는 것을 다음 과제로 삼게 되었습니다.비록 본 연구를 시작할 당시에는 맥스웰 이론의 틀을 벗어나지 않고 소전하(Elementarladung) 자체의 자가 중력을 통해 정역학적 결합(전하의 안정성)을 찾을 수 있으리라는 기대를 가졌으나, 연구 과정에서 아인슈타인의 중력이 소전하의 전기장을 특정한(그리고 극도로 미미한) 방식으로 왜곡시킬 뿐, 그 본질상 전하 요소들 사이의 상호 정전기적 반발력을 상쇄할 수는 없다는 사실만을 우선 확인하게 되었습니다.따라서 소전하의 구조를 설명하기 위해서는 추가적인 기본 가정이 도입되어야만 할 것입니다. 미(Mie)의 개념에 따라 맥스웰 방정식을 수정하든가, 맥스웰 변형 텐서에 가능한 한 단순한 변형 텐서를 추가하든가, 혹은 최종적으로 전자를 정역학적이 아닌 전자기학적으로 정상 상태(stationär)인 구조로 파악하는 방식 중 하나를 취해야 합니다.아인슈타인 씨로부터 다양한 설명과 비판적 조언을 받아 진행한 계산 수행 과정과 관련하여, 먼저 다음 사항을 밝혀두고자 합니다.장 방정식을 수립하는 데 있어 좌표계의 선택, 특히 치환 행렬식(Substitutionsdeterminante)의 값에 어떠한 제한도 두지 않았습니다. 따라서 일반적인 공간 구면좌표계를 도입할 수 있었는데, 이는 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 선요소(Linienelement)의 판별식 <math>\sqrt{-g}</math>의 값을 1로 유지하기 위해 특별히 교묘하게 선택된 좌표계를 사용한 것과 대조적입니다.그럼에도 불구하고 이 문제에서는 전체 이론의 완전한 공변성을 보여주는 명쾌한 통찰을 제공할 뿐만 아니라, 장 방정식의 수립 및 통합에 있어서도 특정한 좌표계보다 가장 일반적인 좌표계를 사용하는 것이 오히려 더 유리하다고 판단됩니다.아인슈타인 씨 자신과 슈바르츠실트에 의해 제시된 전하가 없는 질점의 장(Field)은 본 논문에서 계산된 구형 전하 장의 특수한 경우임이 밝혀졌습니다. 또한 특정한 슈바르츠실트 좌표계로 변환하고 전하를 0으로 놓았을 때 본 해법이 슈바르츠실트의 해로 귀결된다는 점은 여기서 제시된 해법의 정당성을 검증하는 역할을 합니다.따라서 여기서 설정한 문제는 다음과 같습니다. 공변 형태의 맥스웰 변형 에너지 텐서와 아인슈타인의 일반 공변 중력장 방정식 외에 다른 아무것도 전제하지 않을 때, 평형 상태에 있는 구대칭 정전기장의 가장 일반적인 형태는 무엇인가?대칭성 전제는 일반적으로 비유클리드 공간인 선요소의 형식을 단순화하는 결과를 가져오므로, 이 선요소는 공간적(직교 상태를 유지하는) 구면좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.<math>ds^2 = g_1 dr^2 + g_2 d\vartheta^2 + g_3 d\varphi^2 + g_4 dt^2,</math>여기서 이중 첨자 대신 단일 첨자만 사용하여 다음과 같이 나타냅니다.<math>g_{\nu\nu} = g_\nu, \quad g_{\mu\nu} = 0 \quad (\mu \neq \nu \text{일 때})</math>그리고 변형 에너지 텐서를 포함하지 않는 유클리드 공간에 대해 <math>g_\nu</math>는 다음 값을 가집니다.<math>g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_3 = g_2 \sin^2\vartheta, \quad g_4 = c^2,</math>여기서 <math>c</math>는 진공에서의 일반적인 광속을 의미합니다.107페이지아인슈타인 씨는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값들이 자와 시계의 성질, 최단선(측지선)의 형태, 질점과 광선의 궤도, 광속 및 중력 포텐셜을 어떻게 결정하는지 일반적으로 보여주었습니다.정전기장의 텐서중력장 방정식과 정전기장의 평형 조건에 필요한 에너지 텐서는 다음과 같이 도출할 수 있습니다.1)첫 번째 공변 6차원 벡터(Covariant 6-vector) <math>F_{\alpha\beta}</math>의 성분 중 정지 상태 및 극대칭성(polar symmetry)을 가질 때 남는 것은 오직 하나, 즉 <math>F_{14} = \mathfrak{E}</math>뿐입니다. 이로부터 도출되는 두 번째 반공변(contravariant) V-6차원 벡터 <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> 역시 이 경우 오직 하나의 성분만을 가집니다.<math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}</math>진공에서의 전기 전류밀도의 반공변 V-4차원 벡터 역시 0이 아닌 성분을 단 하나만 가집니다.<math>(1) \quad \mathfrak{J}^4 = \rho \frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial \mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math>여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.역학적 힘 밀도(force density)의 공변 V-4차원 벡터는 일반적인 정역학적 경우 다음과 같이 됩니다.<math>\mathfrak{K}_\sigma = F_{\sigma 4} \mathfrak{J}^4</math>그리고 구대칭(모든 방향의 대칭)일 때:<math>\mathfrak{K}_r = F_{14} \mathfrak{J}^4 = \mathfrak{E} \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math>이 일반적인 정역학적 설정은 알짜 힘 밀도가 0이 되기 위해서는 전하밀도가 0이 되거나 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>가 0이 되어야 함을 보여줍니다. 그러나 이 값들은 <math>g_1</math> 또는 <math>g_4</math>가 해당 유한 구간에서 0이 되는 경우를 제외하고는, 유한한 구간 내에서 동시에만 0의 값을 가질 수 있습니다.따라서 다음과 같이 기술할 수 있습니다.1) A. 아인슈타인, 『전자기학의 맥스웰장 방정식에 대한 새로운 형식적 해석』. 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 184–188. 1916년.108페이지맥스웰 정전기장은 자가 중력의 영향 하에서도, 선요소나 광속이 0이 되는 특수한 경우를 제외한다면 전하밀도가 존재하지 않는 곳에서만 평형을 유지할 수 있습니다.1)이러한 예외적인 경우가 물리적 의미를 갖지 않는 것으로 보이므로, 순수한 맥스웰 변형 에너지 텐서와 구대칭을 기본 바탕으로 삼고자 한다면, 본 연구는 진공 공간에서 자가 중력의 영향을 받는 구형 전하의 장으로 제한되어야 합니다.따라서 이 경우에는 <math>\mathfrak{J}^4 = 0</math>이어야 하며, 이에 따라 다음과 같이 됩니다.<math>\mathfrak{E} = \text{const} \cdot \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{-g_2}</math>적분상수는 무한대에서의 경계 조건으로부터 즉시 결정할 수 있습니다. 무한대에서는 중심의 총전하를 <math>e</math>라 할 때 다음과 같이 놓아야 합니다.<math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \quad g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_4 = c^2,</math>따라서<math>\text{const} = \frac{e}{4\pi c}</math>이로부터 다음을 얻습니다.<math>(2) \quad \begin{cases} \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{g_2} \\ \mathfrak{F}^{14} = F_{14} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{1}{g_2} \end{cases}</math>이 값들을 위에서 인용한 아인슈타인의 논문에 제시된 혼합 에너지 텐서 식 (9)에 대입하면 다음을 얻습니다.<math>T_1^1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_2^2 = T_3^3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_4^4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}</math>이에 대응하는 공변 텐서는 공식 <math>T_{\sigma\sigma} = T_\sigma^\sigma g_{\sigma\sigma}</math>에 따라 다음 값을 가집니다.1) <math>g_4 = 0</math>이라는 가정을 두면 전하 내부의 장 세기 분포가 일정하게 유도되지만, <math>g_4 \neq 0</math>인 외부 공간과의 연결에는 성공하지 못했습니다.109페이지<math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_1}{2g_1 g_4}, \quad T_{22} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_2}{2g_1 g_4}</math><math>T_{33} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_3}{2g_1 g_4}, \quad T_{44} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_4}{2g_1 g_4}</math>이것은 장의 평형을 고려하지 않은 정전기 에너지 텐서입니다. 장의 평형 텐서는 <math>\mathfrak{E}</math>에 대해 위 식 (2)의 값을 대입함으로써 얻어집니다.<math>T_{11} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}, \quad T_{22} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math><math>T_{33} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}, \quad T_{44} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math>장 방정식 (The Field Equations)아인슈타인의 일반 공변 중력 미분 방정식의 최신 및 가장 일관된 형식은 직교좌표계와 라우에 스칼라(Laue scalar) <math>\sum T_m^m = 0</math>이 소멸할 때 다음과 같이 쓰일 수 있습니다. <math>(8) \quad \sum_k \{mk, km\} = -\varkappa T_{mm},</math>여기서 <math>\varkappa</math>는 중력상수와 관련된 보편상수이며, 제2종 크리스토펠 4-인덱스 기호는 다음 값을 가집니다.<math>\{mk, km\} = \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_m} - \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mm \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_k} + \sum_\rho \left\{\begin{matrix} mk \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho m \\ k \end{matrix}\right\} - \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho k \\ k \end{matrix}\right\},</math>여기서 <math>\left{\begin{matrix} mk \ \rho \end{matrix}\right}</math>는 제2종 크리스토펠 3-인덱스 기호이며, 직교좌표계에서는 적어도 두 개의 인덱스가 같을 때만 0이 아닌 값을 가지며 다음과 같습니다.<math>\left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ m \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math>반면, <math>m = k</math>일 때 4-인덱스 기호는 0이 됩니다.식 (8)의 처음 두 항은 쉽게 처리됩니다. 세 번째 항의 <math>\sum_\rho</math>에서는 먼저 <math>\rho = m</math>에 대해, 다음으로 <math>\rho = k</math>에 대해, 마지막으로 <math>\rho \neq m \neq k</math>인 모든 경우에 대해 합산합니다.110페이지계산 오차를 피하기 위해 어느 정도 숙련이 필요한 다소 번거로운 계산 과정을 거치면, 다음과 같은 2계 미분 불변량(Differential invariants)을 얻게 됩니다. 약간의 검증을 거치면 대칭성을 유지하면서 공변성 요구를 충족하고 유클리드 공간에서 소멸함을 확인할 수 있습니다.<math>\text{I} \begin{cases} G_{11} = \frac{d^2}{dr^2}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1} \frac{d}{dr}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) \\ \quad + \frac{1}{2}\left(\frac{d \ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d \ln \sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11}, \end{cases}</math><math>\text{II} \begin{cases} G_{22} = -1 + \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_2}{dr}\right) + \frac{1}{4g_1 g_2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_2}{dr} + \frac{1}{4g_1 g_4} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ = -\varkappa T_{22} \end{cases}</math><math>\text{III} \quad G_{33} = G_{22} \sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22} \sin^2\vartheta,</math><math>\text{IV} \begin{cases} G_{44} = \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_4}{dr}\right) - \frac{1}{4g_1 g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ \quad + \frac{1}{2g_1 g_2} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{cases}</math>무한히 많은 가능한 좌표계 중에서 우리는 다음과 같이 하나의 좌표계를 선호할 수 있습니다. <math>dr</math>이 단순한 좌표의 차이뿐만 아니라, 무한히 작은 고정된 자로 측정한 반경 방향의 거리를 의미하도록 약속한다면 <math>g_1 = -1</math>로 놓을 수 있습니다.또한 <math>\varkappa e^2 / 32 \pi^2 c^2</math>을 축약하여 <math>\lambda^2</math>으로 쓰고 <math>g_2 = -\overline{g}_2</math>로 놓으면, 식 (8)은 다음과 같은 형태를 취합니다.<math>(\text{I}) \quad \frac{d^2}{dr^2}\ln(\overline{g}_2 \sqrt{g_4}) + \frac{1}{2\overline{g}_2^2}\left(\frac{d\overline{g}_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{II}) \quad -1 + \frac{1}{2} \frac{d^2 \overline{g}_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\overline{g}_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2}</math><math>(\text{IV}) \quad \frac{1}{2} \frac{d^2 g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\overline{g}_2} \frac{d\overline{g}_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = +\frac{\lambda^2 g_4}{\overline{g}_2^2}</math>좌표계 선택을 <math>g_1 = -1</math>로 제한함으로써, 미지수 <math>\overline{g}_2</math> 및 <math>g_4</math> 단 두 개에 대해 3개의 방정식이 산출되었으므로, 언뜻 해를 구하려는 시도가 모순으로 이어질 것처럼 보일 수 있습니다.111페이지그러나 두 방정식의 일반해법이 세 번째 방정식을 항등적으로 만족시킨다는 사실이 밝혀질 것이며, 이는 대단히 주목할 만한 점입니다.따라서 변형 에너지 텐서를 결정하기 위해 비유클리드 공간에서 식 (2)의 변형 평형 보존 법칙을 보조 수단으로 사용할 필요가 전혀 없었으며, 장의 평형을 가능하게 하는 <math>g_{\mu\nu}<math>의 함수로서 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>를 계산하는 데에는 중력장 방정식만으로도 이미 충분했습니다. 그러므로 전체 설정에서의 유일한 전제는 필드 세기의 6차원 벡터를 통해 변형 에너지 텐서 <math>T_\mu^\nu</math>의 표현식을 파악하는 것뿐이었습니다.아인슈타인 씨는 이 놀라운 연관성에 대해 논의할 때, 에너지와 변형력의 보존 법칙이 그의 최근 장 방정식에 포함되어 있으므로 어떤 문제에서도 특별히 새로 설정할 필요가 없음을 일반적인 방식으로 보여줄 수 있는 위치에 있다고 알려주었습니다. 여기서 다룬 특수한 사례가 입증하는 이 결과는 특히 중요한데, 한편으로는 장 방정식이 에너지 고려 사항에서 전혀 얻어지지 않고 오직 공변성 고려 사항에서만 얻어졌기 때문이며, 다른 한편으로는 장 방정식이 단지 보존 법칙보다 훨씬 더 많은 것을 말해주기 때문입니다.1)장 방정식의 적분 (Integration of the Field Equations)두 미지수 <math>\overline{g}_2</math>와 <math>g_4</math>에 대한 세 방정식 (I), (II), (IV)는 모순이 없고 상호 제한이 없는 해를 닫힌 형식(closed form)으로 허용할 것이며, 이는 다음과 같이 확인할 수 있습니다.축약 표현으로 <math>\ln \sqrt{g_4} = \gamma</math>로 놓고 <math>r</math>에 대한 미분을 프라임(')으로 표시하면, 방정식 (I), (II), (IV)는 다음과 같이 쓰입니다.1) 그 사이에 이 연관성은 D. 힐베르트와 A. 아인슈타인 자신에 의해 더 정확하게 밝혀졌습니다. 괴팅겐 학술원 보고서(Math. Phys. Kl. 1915 p. 3) 및 Annalen der Physik 49. p. 809. 1916년 참조.112페이지<math>(\text{I}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2} - \frac{\overline{g}_2'^2}{2\overline{g}_2^2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{IV}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \gamma' \frac{\overline{g}_2'}{\overline{g}_2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{II}) \quad -\overline{g}_2 + \frac{1}{2}\overline{g}_2 \overline{g}_2'' + \frac{1}{2}\gamma' \overline{g}_2' \overline{g}_2 = -\lambda^2.</math>(IV)에서 (I)을 빼면 다음을 얻습니다.<math>(a) \quad \gamma' = \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2'} - \frac{\overline{g}_2'}{2\overline{g}_2}</math>이로부터:<math>\gamma = \ln\left(\delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}\right),</math>여기서 <math>\delta</math>는 적분상수입니다. 또는:<math>\sqrt{g_4} = \delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}.</math>적분상수 <math>\delta</math>의 값은 무한대에서의 경계 조건으로부터 구할 수 있는데, 무한대에서는 <math>\sqrt{g_4} = c</math>, 즉 일반 광속과 같아야 하기 때문입니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.<math>(9) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{d}{dr}\sqrt{\overline{g}_2}</math>방정식 (a)를 (II)에 대입하면 다음을 얻습니다. {{col-end}} <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. aplzejvjpru85n2k9kyintrw3ys361j 459192 459191 2026-09-06T08:07:09Z Danuri19 16656 459192 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판<ref>[https://edition-open-sources.org/sources/10/6/index.html? George B. Jeffery (1921): The Field of an Electron on Einstein’s Theory of Gravitation]</ref><ref>[https://zenodo.org/records/1447315? Hans Reissner Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie 『Annalen der Physik』, Vierte Folge, Band 50 전체 통권 Band 355 1916년, pp. 106–120]</ref> | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} {{col-begin}} {{col-3}} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) {{col-3}} Original p. 106 After Einstein had demonstrated the fruitfulness of his new covariant field equations of gravitation, and thereby of the postulate of the most general relativity, through his explanation of the perihelion motion of Mercury, and after he had elsewhere given a generally covariant formulation of the Maxwell-Lorentz equations of the electromagnetic field, it appeared to me that the next task was to investigate, by means of a simple example, the influence of the self-gravitation of a spherically symmetric electric field. I did, indeed, begin with the hope of finding a static cohesion of elementary charges through their self-gravitation without having to leave the ground of Maxwell's theory. In the course of the investigation, however, I was initially able to establish only that Einsteinian gravitation distorts the field of an elementary electric charge in a definite, though extraordinarily small, manner, but that by its nature it cannot cancel the mutual electrostatic repulsion of the elements of charge. The constitution of the elementary charge can therefore be obtained only by introducing a further fundamental assumption: either by modifying Maxwell's equations in the sense of Mie, by adding to the Maxwell tensor a stress tensor of the simplest possible kind, or, finally, by regarding the electron not as static but as electrodynamically stationary. Concerning the calculation, in which Einstein assisted me with a variety of explanations and criticisms, the following preliminary remarks may be made. No restriction was placed on the choice of coordinate system in setting up the field equations, and in particular none was placed on the value of the transformation determinant. Original p. 107 It was therefore possible to introduce the usual spherical polar coordinate system, whereas Schwarzschild, in order to preserve the value one for the discriminant of the line element, employed a particularly ingenious coordinate system. Nevertheless, in the present case the most general coordinate system seems to me more advantageous than a special one for setting up and integrating the field equations, quite apart from the fine insight it gives into the complete covariance of the theory. The field of an uncharged mass point presented by Einstein and Schwarzschild proves to be a special case of the field of a spherical charge calculated here. It may serve as a check upon the correctness of the present solution that it passes into the Schwarzschild solution when it is transformed to Schwarzschild's special coordinate system and the charge is allowed to vanish. The problem posed here is therefore the following: What is the most general electrostatic field in equilibrium and possessing spherical symmetry if nothing is assumed beyond the Maxwell stress-energy tensor in covariant form and Einstein's generally covariant field equations of gravitation. The assumption of symmetry simplifies the form of the line element of the generally non-Euclidean space, so that it can be written in spatial polar coordinates that remain orthogonal. [Line element omitted.. Here single indices are written in place of double indices. In Euclidean space-that is, in a space containing no stress-energy tensor-the metric coefficients take their familiar values, and c denotes the ordinary velocity of light. Original p. 108 Einstein has shown generally how the values of the metric coefficients determine the properties of measuring rods and clocks, the form of the shortest lines, the paths of mass points and light rays, the velocity of light, and the gravitational potential. THE TENSOR OF THE ELECTROSTATIC FIEL. The energy tensor required for the gravitational field equations and for the equilibrium condition of the electrostatic field may be obtained as follows. Of the components of the first covariant six-vector of the field, only one remains in the case of rest and spherical symmetry, namely the radial electric-field component. The second, contravariant, six-vector derived from it likewise has only one component. [Field-tensor relation omitted.. The contravariant four-vector of the electric vacuum-current density also has only one non-vanishing component. [Equation (1) omitted.. Here rho denotes the charge density. The covariant four-vector of mechanical force density assumes its standard form in the general static case and a radial form under complete spherical symmetry. [Force-density equations omitted.. This general static ansatz shows that the resultant force density can vanish only if either the charge density or the electric field strength vanishes. These quantities, in turn, can vanish simultaneously throughout a finite interval only in the exceptional case in which one of the relevant metric coefficients vanishes throughout that interval. Original p. 109 Thus one may state: A Maxwellian electrostatic field, even under the influence of its own gravitation, can be in equilibrium only where no charge density is present, provided one excludes the case in which a line element or the velocity of light becomes zero. Since these exceptional cases appear to possess no physical significance, an investigation based upon the pure Maxwell stress-energy tensor and spherical symmetry must be restricted to the field of a spherical charge under the influence of its self-gravitation in empty space. For this case the four-current must vanish. Integration then gives the electric field in terms of the metric coefficients. The integration constant is determined immediately from the condition at infinity, where the metric becomes flat and the field becomes the Coulomb field of the total charge e situated at the centre. [Equation (2) omitted.. Substitution of these values into Einstein's expression for the mixed energy tensor gives its four diagonal components. The corresponding covariant tensor follows by lowering the index with the metric. [Stress-energy components omitted.. Original p. 110 This is the electrostatic energy tensor, but without yet taking account of the equilibrium of the field. The equilibrium tensor is obtained by substituting the field value found in equation (2). [Equilibrium stress-energy components omitted.. THE FIELD EQUATION. Einstein's generally covariant differential equations for a gravitational field, in their latest and most consistent form, can be written for orthogonal coordinates and a vanishing Laue scalar in terms of the contracted Christoffel symbols. [Equation (8) omitted.. Here kappa is a universal constant related to the gravitational constant. The four-index Christoffel symbol of the second kind is expressed through the three-index symbols. In orthogonal coordinates, the latter differ from zero only when at least two indices coincide. [Christoffel-symbol formulas omitted.. The four-index symbol vanishes when the relevant two indices are equal. The first two terms of equation (8) cause no difficulty. In the sum of the third term one first sums over one coincident index, then over the other, and finally over all indices distinct from both. Original p. 111 After a somewhat laborious calculation, requiring some practice if computational errors are to be avoided, one arrives at the following second-order differential invariants. A straightforward check shows that they satisfy covariance under the imposed symmetry and vanish in Euclidean space. [Equations (I)-(IV) omitted.. Among the infinitely many possible coordinate systems, we may evidently privilege one in the following manner. Let dr denote not merely a coordinate difference but also the distance in the radial direction measured with an infinitesimal rigid measuring rod. With this convention the radial metric coefficient is set equal to minus one. For brevity, introduce lambda squared for the indicated combination of kappa, charge, and c, and replace the negative angular metric coefficient by a positive barred quantity. The field equations then take a system of three ordinary differential equations. [Reduced equations (I), (II), and (IV) omitted.. Original p. 112. The restriction imposed upon the coordinate system has therefore produced three equations for only two unknown metric functions, and at first it appears that an attempt at solution might lead to a contradiction. It will be shown, however-and this is extraordinarily noteworthy-that the general solution of two of the equations satisfies the third identically. Thus it would not have been necessary to employ the conservation law, that is, the stress-equilibrium condition represented by equation (2) in non-Euclidean space, in determining the stress-energy tensor. The gravitational field equations alone would already have sufficed to calculate, as a function of the metric, the field strength that permits equilibrium. The only prerequisite for the entire ansatz was therefore knowledge of the expression of the stress-energy tensor in terms of the six-vector of field strength. In discussing this surprising connection, Einstein informed me that he was then in a position to show generally that the conservation laws of energy and stresses are contained in his latest field equations and therefore need not be imposed separately in each problem. This result, confirmed by the special case treated here, is particularly important because the field equations were obtained not from energy considerations but solely from considerations of covariance, while at the same time they assert much more than the conservation laws alone. THE INTEGRATION OF THE FIELD EQUATION. The three equations (I), (II), and (IV), containing the two unknown metric functions, therefore admit a consistent closed-form solution without mutually restricting one another. Introduce gamma as the logarithm of the square root of the temporal metric coefficient, and denote differentiation with respect to r by primes. The equations then assume a more compact form. Original p. 113. [Reduced equations and equation (a) omitted.. Subtracting equation (I) from equation (IV) gives a first differential relation. Its integration introduces a constant delta. The boundary condition at infinity, where the local velocity of light is to equal the normal value c, determines this constant and yields equation (9). [Equation (9) omitted.. Substitution into equation (II) produces a second-order equation for the angular metric coefficient. Introduce two further integration constants, alpha and beta, and set h equal to the square root of the positive angular coefficient. The first integral is equation (10), and complete integration gives equation (11). [Equations (10) and (11) omitted.. The result may alternatively be written by means of a hyperbolic substitution. [Substitution omitted.. Original p. 114. [Equations (10a), (11a), and (9a) omitted.. Equation (11) first shows that the condition requiring the angular metric coefficient to approach the square of the radius at infinity is satisfied automatically. Equation (9) then supplies the temporal metric coefficient. THE INTEGRATION CONSTANT. It can now be shown that alpha is related to the gravitating mass of the charge e, while beta is related to the condition imposed on the angular metric coefficient at the centre. According to the general connection supplied by Einstein's theory, a charge at infinity must act just like a gravitating mass point having the mass of the charge. The ponderomotive force at infinity may therefore be written in Newtonian form, where k is the ordinary gravitational constant. [Newtonian force formula omitted.. The same radial ponderomotive force follows in another form from the covariant equation of the geodesic line in a spherically symmetric field. [Equation (12) omitted.. Original p. 115. Using equation (9a), and taking the large-distance limit, one finds the inverse-square gravitational force and identifies alpha with the gravitational radius associated with the mass of the charge. [Identification and numerical estimate of alpha omitted.. The constant alpha squared is therefore extraordinarily small for an elementary charge and, as shown below, extraordinarily small even in comparison with the constant lambda squared from which it is subtracted. Nevertheless it possesses a significance of principle and must not vanish if the electric charge is to possess gravitating inertial mass. Every future equilibrium theory of the charged field-that is, of the electron-must exclude the disappearance of the integration constant alpha from the outset. The sole non-vanishing component of the primary electromagnetic six-vector in the general case is then obtained from the preceding solution. [Equation (14) omitted.. Original p. 116. It is readily calculated from equations (11a) and (9a). The electrostatic potential is correspondingly obtained. [Electrostatic potential omitted.. The solution becomes especially simple when alpha is set equal to zero. Since this solution differs imperceptibly from the one using the numerical value of alpha found above, it is useful to state it separately. [Equations (11b), (9b), and the simplified field strength omitted.. The values of Einstein's universal constant kappa and of lambda can now be calculated. The field equations must contain, as a special case, the infinitely weak spherically symmetric gravitational field of an uncharged, incoherent distribution of mass. According to Einstein, the covariant energy tensor of an incoherent mass distribution of density rho_m, in the static case and in an orthogonal system, has only its temporal component different from zero. The corresponding trace has the value rho_m. [Matter stress-energy components omitted.. Original p. 117. The right-hand side of the general field equations then takes the trace-reversed form used by Einstein. [Trace-reversed field equation and components omitted.. Linearising equation (IV) about flat space gives the ordinary Poisson equation. Consequently the temporal perturbation divided by two may be regarded as the gravitational potential, just as in equation (12). Comparison with Newtonian gravity determines kappa. [Weak-field equation and numerical value of kappa omitted.. From this one obtains lambda and its numerical value for the elementary charge. [Values of lambda squared and lambda omitted.. Thus, despite its smallness, lambda is still approximately one hundred thousand billion billion times as large as alpha. The constant beta can be obtained from the condition that the circumference of a circle must tend to zero as the radius decreases; that is, h must vanish when r is zero. Equation (10a) then fixes the value u_0, and equation (11a) fixes beta. Because alpha is so small compared with lambda, beta is approximately equal to lambda. [Boundary equations for u_0 and beta omitted.. Original p. 118. At r equal to zero, equation (14) makes the field strength infinite. It is evident that continuation of the solution to the centre leads to an impossibility, corresponding to the fact that charge must be distributed around the centre and that Maxwell's theory does not supply the equilibrium of that distribution. If one attempted to force the field strength to change sign at a radius r_0 by choosing beta accordingly, the field strength would become infinite there and the angular metric coefficient would vanish. The line element cannot reasonably be subjected to such a consequence. Moreover, this would produce a mutual attraction of like charge densities but not an equilibrium; to enforce equilibrium one would perhaps have to add another stress tensor. Outside the charged region, however, the field of the charge is represented consistently. The field strength and the metric coefficients differ appreciably from their Euclidean values only where the radius is of the order of lambda, approximately 10^-34 centimetres. Since the electron radius is taken to be approximately 10^-13 centimetres, the influence of self-gravitation within the physically relevant domain of the solution eludes all possibility of detection. THE DEGENERATE CASE g₄ = . On page 109 attention was drawn to the formal possibility of equilibrium of charge if the field strength and the velocity of light are both allowed to vanish in such a way that their ratio remains finite. [Definition of the limiting field omitted.. The temporal component of the four-current then assumes a corresponding limiting form, where rho denotes charge density. [Current equation omitted.. For the sake of curiosity, the result of this dead end may be stated without derivation. The energy tensor takes a degenerate form. Original p. 119. [Degenerate stress-energy tensor omitted.. The mixed tensor vanishes. With the radial metric coefficient set equal to minus one, the field equations permit a formal solution containing two integration constants, alpha and beta. [Degenerate solution omitted.. Further expressions for the field and total charge follow, but this solution does not appear capable of acquiring any physical significance. THE NON-ELECTRIC FIEL. The gravitational field of an uncharged, spherical, resting mass must emerge as a special case of the general solution given above when the charge, and therefore lambda, is set equal to zero. The result must reduce to Schwarzschild's solution. It is worthwhile to show this explicitly because Schwarzschild fixed from the outset a coordinate system in which the determinant condition has a prescribed value, whereas the present calculation began without restriction and subsequently imposed the condition that the radial metric coefficient equal minus one. In Schwarzschild's coordinates the metric coefficients have their standard forms, with an auxiliary radial coordinate R related cubically to Schwarzschild's original coordinate. [Schwarzschild metric coefficients omitted.. Original p. 120. In the present coordinates, with c equal to one, the radial metric coefficient is minus one, the angular coefficient is minus h squared, and the temporal coefficient is the square of dh/dr. [Metric relations omitted.. A different measure of radial length has therefore been selected. Since only the radial coordinate is transformed, the angular and temporal metric coefficients must agree in the two representations. [Coordinate transformation omitted.. One obtains h equal to R and the Schwarzschild temporal coefficient. The two solutions therefore pass into one another when the two mass parameters are appropriately identified. Charlottenburg, March 1916. Received 20 March 1916. TRANSLATOR'S NOT. This translation preserves Reissner's historical terminology and argumentative order. Equations have been omitted at the reader's request, but their original locations and labels have been retained. In modern terminology, the paper studies the static, spherically symmetric electrovacuum reduction of the Einstein-Maxwell system. Reissner's most striking conceptual observation occurs on original page 112: the conservation laws need not be imposed independently, because the structure of Einstein's field equations already contains the required consistency relations. {{col-3}} 106페이지4. 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자가 중력에 대하여;H. 라이스너(H. Reissner)아인슈타인 씨가 수성 서행 운동(수성의 근일점 이동)을 설명함으로써 그의 새로운 공변 중력장 방정식, 나아가 일반 상대성 공리의 유용성을 입증하였고, 다른 논문을 통해 전자기장의 맥스웰-로런츠 방정식을 일반 공변 형태로 제시하였습니다. 이에 따라 구대칭을 가지는 전기장의 자가 중력(Eigengravitation)이 미치는 영향을 간단한 예시를 통해 조사하는 것을 다음 과제로 삼게 되었습니다.비록 본 연구를 시작할 당시에는 맥스웰 이론의 틀을 벗어나지 않고 소전하(Elementarladung) 자체의 자가 중력을 통해 정역학적 결합(전하의 안정성)을 찾을 수 있으리라는 기대를 가졌으나, 연구 과정에서 아인슈타인의 중력이 소전하의 전기장을 특정한(그리고 극도로 미미한) 방식으로 왜곡시킬 뿐, 그 본질상 전하 요소들 사이의 상호 정전기적 반발력을 상쇄할 수는 없다는 사실만을 우선 확인하게 되었습니다.따라서 소전하의 구조를 설명하기 위해서는 추가적인 기본 가정이 도입되어야만 할 것입니다. 미(Mie)의 개념에 따라 맥스웰 방정식을 수정하든가, 맥스웰 변형 텐서에 가능한 한 단순한 변형 텐서를 추가하든가, 혹은 최종적으로 전자를 정역학적이 아닌 전자기학적으로 정상 상태(stationär)인 구조로 파악하는 방식 중 하나를 취해야 합니다.아인슈타인 씨로부터 다양한 설명과 비판적 조언을 받아 진행한 계산 수행 과정과 관련하여, 먼저 다음 사항을 밝혀두고자 합니다.장 방정식을 수립하는 데 있어 좌표계의 선택, 특히 치환 행렬식(Substitutionsdeterminante)의 값에 어떠한 제한도 두지 않았습니다. 따라서 일반적인 공간 구면좌표계를 도입할 수 있었는데, 이는 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 선요소(Linienelement)의 판별식 <math>\sqrt{-g}</math>의 값을 1로 유지하기 위해 특별히 교묘하게 선택된 좌표계를 사용한 것과 대조적입니다.그럼에도 불구하고 이 문제에서는 전체 이론의 완전한 공변성을 보여주는 명쾌한 통찰을 제공할 뿐만 아니라, 장 방정식의 수립 및 통합에 있어서도 특정한 좌표계보다 가장 일반적인 좌표계를 사용하는 것이 오히려 더 유리하다고 판단됩니다.아인슈타인 씨 자신과 슈바르츠실트에 의해 제시된 전하가 없는 질점의 장(Field)은 본 논문에서 계산된 구형 전하 장의 특수한 경우임이 밝혀졌습니다. 또한 특정한 슈바르츠실트 좌표계로 변환하고 전하를 0으로 놓았을 때 본 해법이 슈바르츠실트의 해로 귀결된다는 점은 여기서 제시된 해법의 정당성을 검증하는 역할을 합니다.따라서 여기서 설정한 문제는 다음과 같습니다. 공변 형태의 맥스웰 변형 에너지 텐서와 아인슈타인의 일반 공변 중력장 방정식 외에 다른 아무것도 전제하지 않을 때, 평형 상태에 있는 구대칭 정전기장의 가장 일반적인 형태는 무엇인가?대칭성 전제는 일반적으로 비유클리드 공간인 선요소의 형식을 단순화하는 결과를 가져오므로, 이 선요소는 공간적(직교 상태를 유지하는) 구면좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.<math>ds^2 = g_1 dr^2 + g_2 d\vartheta^2 + g_3 d\varphi^2 + g_4 dt^2,</math>여기서 이중 첨자 대신 단일 첨자만 사용하여 다음과 같이 나타냅니다.<math>g_{\nu\nu} = g_\nu, \quad g_{\mu\nu} = 0 \quad (\mu \neq \nu \text{일 때})</math>그리고 변형 에너지 텐서를 포함하지 않는 유클리드 공간에 대해 <math>g_\nu</math>는 다음 값을 가집니다.<math>g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_3 = g_2 \sin^2\vartheta, \quad g_4 = c^2,</math>여기서 <math>c</math>는 진공에서의 일반적인 광속을 의미합니다.107페이지아인슈타인 씨는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값들이 자와 시계의 성질, 최단선(측지선)의 형태, 질점과 광선의 궤도, 광속 및 중력 포텐셜을 어떻게 결정하는지 일반적으로 보여주었습니다.정전기장의 텐서중력장 방정식과 정전기장의 평형 조건에 필요한 에너지 텐서는 다음과 같이 도출할 수 있습니다.1)첫 번째 공변 6차원 벡터(Covariant 6-vector) <math>F_{\alpha\beta}</math>의 성분 중 정지 상태 및 극대칭성(polar symmetry)을 가질 때 남는 것은 오직 하나, 즉 <math>F_{14} = \mathfrak{E}</math>뿐입니다. 이로부터 도출되는 두 번째 반공변(contravariant) V-6차원 벡터 <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> 역시 이 경우 오직 하나의 성분만을 가집니다.<math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}</math>진공에서의 전기 전류밀도의 반공변 V-4차원 벡터 역시 0이 아닌 성분을 단 하나만 가집니다.<math>(1) \quad \mathfrak{J}^4 = \rho \frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial \mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math>여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.역학적 힘 밀도(force density)의 공변 V-4차원 벡터는 일반적인 정역학적 경우 다음과 같이 됩니다.<math>\mathfrak{K}_\sigma = F_{\sigma 4} \mathfrak{J}^4</math>그리고 구대칭(모든 방향의 대칭)일 때:<math>\mathfrak{K}_r = F_{14} \mathfrak{J}^4 = \mathfrak{E} \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math>이 일반적인 정역학적 설정은 알짜 힘 밀도가 0이 되기 위해서는 전하밀도가 0이 되거나 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>가 0이 되어야 함을 보여줍니다. 그러나 이 값들은 <math>g_1</math> 또는 <math>g_4</math>가 해당 유한 구간에서 0이 되는 경우를 제외하고는, 유한한 구간 내에서 동시에만 0의 값을 가질 수 있습니다.따라서 다음과 같이 기술할 수 있습니다.1) A. 아인슈타인, 『전자기학의 맥스웰장 방정식에 대한 새로운 형식적 해석』. 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 184–188. 1916년.108페이지맥스웰 정전기장은 자가 중력의 영향 하에서도, 선요소나 광속이 0이 되는 특수한 경우를 제외한다면 전하밀도가 존재하지 않는 곳에서만 평형을 유지할 수 있습니다.1)이러한 예외적인 경우가 물리적 의미를 갖지 않는 것으로 보이므로, 순수한 맥스웰 변형 에너지 텐서와 구대칭을 기본 바탕으로 삼고자 한다면, 본 연구는 진공 공간에서 자가 중력의 영향을 받는 구형 전하의 장으로 제한되어야 합니다.따라서 이 경우에는 <math>\mathfrak{J}^4 = 0</math>이어야 하며, 이에 따라 다음과 같이 됩니다.<math>\mathfrak{E} = \text{const} \cdot \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{-g_2}</math>적분상수는 무한대에서의 경계 조건으로부터 즉시 결정할 수 있습니다. 무한대에서는 중심의 총전하를 <math>e</math>라 할 때 다음과 같이 놓아야 합니다.<math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \quad g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_4 = c^2,</math>따라서<math>\text{const} = \frac{e}{4\pi c}</math>이로부터 다음을 얻습니다.<math>(2) \quad \begin{cases} \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{g_2} \\ \mathfrak{F}^{14} = F_{14} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{1}{g_2} \end{cases}</math>이 값들을 위에서 인용한 아인슈타인의 논문에 제시된 혼합 에너지 텐서 식 (9)에 대입하면 다음을 얻습니다.<math>T_1^1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_2^2 = T_3^3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_4^4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}</math>이에 대응하는 공변 텐서는 공식 <math>T_{\sigma\sigma} = T_\sigma^\sigma g_{\sigma\sigma}</math>에 따라 다음 값을 가집니다.1) <math>g_4 = 0</math>이라는 가정을 두면 전하 내부의 장 세기 분포가 일정하게 유도되지만, <math>g_4 \neq 0</math>인 외부 공간과의 연결에는 성공하지 못했습니다.109페이지<math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_1}{2g_1 g_4}, \quad T_{22} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_2}{2g_1 g_4}</math><math>T_{33} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_3}{2g_1 g_4}, \quad T_{44} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_4}{2g_1 g_4}</math>이것은 장의 평형을 고려하지 않은 정전기 에너지 텐서입니다. 장의 평형 텐서는 <math>\mathfrak{E}</math>에 대해 위 식 (2)의 값을 대입함으로써 얻어집니다.<math>T_{11} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}, \quad T_{22} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math><math>T_{33} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}, \quad T_{44} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math>장 방정식 (The Field Equations)아인슈타인의 일반 공변 중력 미분 방정식의 최신 및 가장 일관된 형식은 직교좌표계와 라우에 스칼라(Laue scalar) <math>\sum T_m^m = 0</math>이 소멸할 때 다음과 같이 쓰일 수 있습니다. <math>(8) \quad \sum_k \{mk, km\} = -\varkappa T_{mm},</math>여기서 <math>\varkappa</math>는 중력상수와 관련된 보편상수이며, 제2종 크리스토펠 4-인덱스 기호는 다음 값을 가집니다.<math>\{mk, km\} = \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_m} - \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mm \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_k} + \sum_\rho \left\{\begin{matrix} mk \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho m \\ k \end{matrix}\right\} - \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho k \\ k \end{matrix}\right\},</math>여기서 <math>\left{\begin{matrix} mk \ \rho \end{matrix}\right}</math>는 제2종 크리스토펠 3-인덱스 기호이며, 직교좌표계에서는 적어도 두 개의 인덱스가 같을 때만 0이 아닌 값을 가지며 다음과 같습니다.<math>\left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ m \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math>반면, <math>m = k</math>일 때 4-인덱스 기호는 0이 됩니다.식 (8)의 처음 두 항은 쉽게 처리됩니다. 세 번째 항의 <math>\sum_\rho</math>에서는 먼저 <math>\rho = m</math>에 대해, 다음으로 <math>\rho = k</math>에 대해, 마지막으로 <math>\rho \neq m \neq k</math>인 모든 경우에 대해 합산합니다.110페이지계산 오차를 피하기 위해 어느 정도 숙련이 필요한 다소 번거로운 계산 과정을 거치면, 다음과 같은 2계 미분 불변량(Differential invariants)을 얻게 됩니다. 약간의 검증을 거치면 대칭성을 유지하면서 공변성 요구를 충족하고 유클리드 공간에서 소멸함을 확인할 수 있습니다.<math>\text{I} \begin{cases} G_{11} = \frac{d^2}{dr^2}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1} \frac{d}{dr}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) \\ \quad + \frac{1}{2}\left(\frac{d \ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d \ln \sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11}, \end{cases}</math><math>\text{II} \begin{cases} G_{22} = -1 + \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_2}{dr}\right) + \frac{1}{4g_1 g_2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_2}{dr} + \frac{1}{4g_1 g_4} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ = -\varkappa T_{22} \end{cases}</math><math>\text{III} \quad G_{33} = G_{22} \sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22} \sin^2\vartheta,</math><math>\text{IV} \begin{cases} G_{44} = \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_4}{dr}\right) - \frac{1}{4g_1 g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ \quad + \frac{1}{2g_1 g_2} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{cases}</math>무한히 많은 가능한 좌표계 중에서 우리는 다음과 같이 하나의 좌표계를 선호할 수 있습니다. <math>dr</math>이 단순한 좌표의 차이뿐만 아니라, 무한히 작은 고정된 자로 측정한 반경 방향의 거리를 의미하도록 약속한다면 <math>g_1 = -1</math>로 놓을 수 있습니다.또한 <math>\varkappa e^2 / 32 \pi^2 c^2</math>을 축약하여 <math>\lambda^2</math>으로 쓰고 <math>g_2 = -\overline{g}_2</math>로 놓으면, 식 (8)은 다음과 같은 형태를 취합니다.<math>(\text{I}) \quad \frac{d^2}{dr^2}\ln(\overline{g}_2 \sqrt{g_4}) + \frac{1}{2\overline{g}_2^2}\left(\frac{d\overline{g}_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{II}) \quad -1 + \frac{1}{2} \frac{d^2 \overline{g}_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\overline{g}_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2}</math><math>(\text{IV}) \quad \frac{1}{2} \frac{d^2 g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\overline{g}_2} \frac{d\overline{g}_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = +\frac{\lambda^2 g_4}{\overline{g}_2^2}</math>좌표계 선택을 <math>g_1 = -1</math>로 제한함으로써, 미지수 <math>\overline{g}_2</math> 및 <math>g_4</math> 단 두 개에 대해 3개의 방정식이 산출되었으므로, 언뜻 해를 구하려는 시도가 모순으로 이어질 것처럼 보일 수 있습니다.111페이지그러나 두 방정식의 일반해법이 세 번째 방정식을 항등적으로 만족시킨다는 사실이 밝혀질 것이며, 이는 대단히 주목할 만한 점입니다.따라서 변형 에너지 텐서를 결정하기 위해 비유클리드 공간에서 식 (2)의 변형 평형 보존 법칙을 보조 수단으로 사용할 필요가 전혀 없었으며, 장의 평형을 가능하게 하는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 함수로서 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>를 계산하는 데에는 중력장 방정식만으로도 이미 충분했습니다. 그러므로 전체 설정에서의 유일한 전제는 필드 세기의 6차원 벡터를 통해 변형 에너지 텐서 <math>T_\mu^\nu</math>의 표현식을 파악하는 것뿐이었습니다.아인슈타인 씨는 이 놀라운 연관성에 대해 논의할 때, 에너지와 변형력의 보존 법칙이 그의 최근 장 방정식에 포함되어 있으므로 어떤 문제에서도 특별히 새로 설정할 필요가 없음을 일반적인 방식으로 보여줄 수 있는 위치에 있다고 알려주었습니다. 여기서 다룬 특수한 사례가 입증하는 이 결과는 특히 중요한데, 한편으로는 장 방정식이 에너지 고려 사항에서 전혀 얻어지지 않고 오직 공변성 고려 사항에서만 얻어졌기 때문이며, 다른 한편으로는 장 방정식이 단지 보존 법칙보다 훨씬 더 많은 것을 말해주기 때문입니다.1)장 방정식의 적분 (Integration of the Field Equations)두 미지수 <math>\overline{g}_2</math>와 <math>g_4</math>에 대한 세 방정식 (I), (II), (IV)는 모순이 없고 상호 제한이 없는 해를 닫힌 형식(closed form)으로 허용할 것이며, 이는 다음과 같이 확인할 수 있습니다.축약 표현으로 <math>\ln \sqrt{g_4} = \gamma</math>로 놓고 <math>r</math>에 대한 미분을 프라임(')으로 표시하면, 방정식 (I), (II), (IV)는 다음과 같이 쓰입니다.1) 그 사이에 이 연관성은 D. 힐베르트와 A. 아인슈타인 자신에 의해 더 정확하게 밝혀졌습니다. 괴팅겐 학술원 보고서(Math. Phys. Kl. 1915 p. 3) 및 Annalen der Physik 49. p. 809. 1916년 참조.112페이지<math>(\text{I}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2} - \frac{\overline{g}_2'^2}{2\overline{g}_2^2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{IV}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \gamma' \frac{\overline{g}_2'}{\overline{g}_2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{II}) \quad -\overline{g}_2 + \frac{1}{2}\overline{g}_2 \overline{g}_2'' + \frac{1}{2}\gamma' \overline{g}_2' \overline{g}_2 = -\lambda^2.</math>(IV)에서 (I)을 빼면 다음을 얻습니다.<math>(a) \quad \gamma' = \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2'} - \frac{\overline{g}_2'}{2\overline{g}_2}</math>이로부터:<math>\gamma = \ln\left(\delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}\right),</math>여기서 <math>\delta</math>는 적분상수입니다. 또는:<math>\sqrt{g_4} = \delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}.</math>적분상수 <math>\delta</math>의 값은 무한대에서의 경계 조건으로부터 구할 수 있는데, 무한대에서는 <math>\sqrt{g_4} = c</math>, 즉 일반 광속과 같아야 하기 때문입니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.<math>(9) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{d}{dr}\sqrt{\overline{g}_2}</math>방정식 (a)를 (II)에 대입하면 다음을 얻습니다. {{col-end}} <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. i8ff2e7d3o85b062xohcwjmj1jj4x5w 459193 459192 2026-09-06T08:16:28Z Danuri19 16656 459193 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판<ref>[https://edition-open-sources.org/sources/10/6/index.html? George B. Jeffery (1921): The Field of an Electron on Einstein’s Theory of Gravitation]</ref><ref>[https://zenodo.org/records/1447315? Hans Reissner Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie 『Annalen der Physik』, Vierte Folge, Band 50 전체 통권 Band 355 1916년, pp. 106–120]</ref> | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} {{col-begin}} {{col-3}} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) {{col-3}} Original p. 106 After Einstein had demonstrated the fruitfulness of his new covariant field equations of gravitation, and thereby of the postulate of the most general relativity, through his explanation of the perihelion motion of Mercury, and after he had elsewhere given a generally covariant formulation of the Maxwell-Lorentz equations of the electromagnetic field, it appeared to me that the next task was to investigate, by means of a simple example, the influence of the self-gravitation of a spherically symmetric electric field. I did, indeed, begin with the hope of finding a static cohesion of elementary charges through their self-gravitation without having to leave the ground of Maxwell's theory. In the course of the investigation, however, I was initially able to establish only that Einsteinian gravitation distorts the field of an elementary electric charge in a definite, though extraordinarily small, manner, but that by its nature it cannot cancel the mutual electrostatic repulsion of the elements of charge. The constitution of the elementary charge can therefore be obtained only by introducing a further fundamental assumption: either by modifying Maxwell's equations in the sense of Mie, by adding to the Maxwell tensor a stress tensor of the simplest possible kind, or, finally, by regarding the electron not as static but as electrodynamically stationary. Concerning the calculation, in which Einstein assisted me with a variety of explanations and criticisms, the following preliminary remarks may be made. No restriction was placed on the choice of coordinate system in setting up the field equations, and in particular none was placed on the value of the transformation determinant. Original p. 107 It was therefore possible to introduce the usual spherical polar coordinate system, whereas Schwarzschild, in order to preserve the value one for the discriminant of the line element, employed a particularly ingenious coordinate system. Nevertheless, in the present case the most general coordinate system seems to me more advantageous than a special one for setting up and integrating the field equations, quite apart from the fine insight it gives into the complete covariance of the theory. The field of an uncharged mass point presented by Einstein and Schwarzschild proves to be a special case of the field of a spherical charge calculated here. It may serve as a check upon the correctness of the present solution that it passes into the Schwarzschild solution when it is transformed to Schwarzschild's special coordinate system and the charge is allowed to vanish. The problem posed here is therefore the following: What is the most general electrostatic field in equilibrium and possessing spherical symmetry if nothing is assumed beyond the Maxwell stress-energy tensor in covariant form and Einstein's generally covariant field equations of gravitation. The assumption of symmetry simplifies the form of the line element of the generally non-Euclidean space, so that it can be written in spatial polar coordinates that remain orthogonal. [Line element omitted.. Here single indices are written in place of double indices. In Euclidean space-that is, in a space containing no stress-energy tensor-the metric coefficients take their familiar values, and c denotes the ordinary velocity of light. Original p. 108 Einstein has shown generally how the values of the metric coefficients determine the properties of measuring rods and clocks, the form of the shortest lines, the paths of mass points and light rays, the velocity of light, and the gravitational potential. THE TENSOR OF THE ELECTROSTATIC FIEL. The energy tensor required for the gravitational field equations and for the equilibrium condition of the electrostatic field may be obtained as follows. Of the components of the first covariant six-vector of the field, only one remains in the case of rest and spherical symmetry, namely the radial electric-field component. The second, contravariant, six-vector derived from it likewise has only one component. [Field-tensor relation omitted.. The contravariant four-vector of the electric vacuum-current density also has only one non-vanishing component. [Equation (1) omitted.. Here rho denotes the charge density. The covariant four-vector of mechanical force density assumes its standard form in the general static case and a radial form under complete spherical symmetry. [Force-density equations omitted.. This general static ansatz shows that the resultant force density can vanish only if either the charge density or the electric field strength vanishes. These quantities, in turn, can vanish simultaneously throughout a finite interval only in the exceptional case in which one of the relevant metric coefficients vanishes throughout that interval. Original p. 109 Thus one may state: A Maxwellian electrostatic field, even under the influence of its own gravitation, can be in equilibrium only where no charge density is present, provided one excludes the case in which a line element or the velocity of light becomes zero. Since these exceptional cases appear to possess no physical significance, an investigation based upon the pure Maxwell stress-energy tensor and spherical symmetry must be restricted to the field of a spherical charge under the influence of its self-gravitation in empty space. For this case the four-current must vanish. Integration then gives the electric field in terms of the metric coefficients. The integration constant is determined immediately from the condition at infinity, where the metric becomes flat and the field becomes the Coulomb field of the total charge e situated at the centre. [Equation (2) omitted.. Substitution of these values into Einstein's expression for the mixed energy tensor gives its four diagonal components. The corresponding covariant tensor follows by lowering the index with the metric. [Stress-energy components omitted.. Original p. 110 This is the electrostatic energy tensor, but without yet taking account of the equilibrium of the field. The equilibrium tensor is obtained by substituting the field value found in equation (2). [Equilibrium stress-energy components omitted.. THE FIELD EQUATION. Einstein's generally covariant differential equations for a gravitational field, in their latest and most consistent form, can be written for orthogonal coordinates and a vanishing Laue scalar in terms of the contracted Christoffel symbols. [Equation (8) omitted.. Here kappa is a universal constant related to the gravitational constant. The four-index Christoffel symbol of the second kind is expressed through the three-index symbols. In orthogonal coordinates, the latter differ from zero only when at least two indices coincide. [Christoffel-symbol formulas omitted.. The four-index symbol vanishes when the relevant two indices are equal. The first two terms of equation (8) cause no difficulty. In the sum of the third term one first sums over one coincident index, then over the other, and finally over all indices distinct from both. Original p. 111 After a somewhat laborious calculation, requiring some practice if computational errors are to be avoided, one arrives at the following second-order differential invariants. A straightforward check shows that they satisfy covariance under the imposed symmetry and vanish in Euclidean space. [Equations (I)-(IV) omitted.. Among the infinitely many possible coordinate systems, we may evidently privilege one in the following manner. Let dr denote not merely a coordinate difference but also the distance in the radial direction measured with an infinitesimal rigid measuring rod. With this convention the radial metric coefficient is set equal to minus one. For brevity, introduce lambda squared for the indicated combination of kappa, charge, and c, and replace the negative angular metric coefficient by a positive barred quantity. The field equations then take a system of three ordinary differential equations. [Reduced equations (I), (II), and (IV) omitted.. Original p. 112. The restriction imposed upon the coordinate system has therefore produced three equations for only two unknown metric functions, and at first it appears that an attempt at solution might lead to a contradiction. It will be shown, however-and this is extraordinarily noteworthy-that the general solution of two of the equations satisfies the third identically. Thus it would not have been necessary to employ the conservation law, that is, the stress-equilibrium condition represented by equation (2) in non-Euclidean space, in determining the stress-energy tensor. The gravitational field equations alone would already have sufficed to calculate, as a function of the metric, the field strength that permits equilibrium. The only prerequisite for the entire ansatz was therefore knowledge of the expression of the stress-energy tensor in terms of the six-vector of field strength. In discussing this surprising connection, Einstein informed me that he was then in a position to show generally that the conservation laws of energy and stresses are contained in his latest field equations and therefore need not be imposed separately in each problem. This result, confirmed by the special case treated here, is particularly important because the field equations were obtained not from energy considerations but solely from considerations of covariance, while at the same time they assert much more than the conservation laws alone. THE INTEGRATION OF THE FIELD EQUATION. The three equations (I), (II), and (IV), containing the two unknown metric functions, therefore admit a consistent closed-form solution without mutually restricting one another. Introduce gamma as the logarithm of the square root of the temporal metric coefficient, and denote differentiation with respect to r by primes. The equations then assume a more compact form. Original p. 113. [Reduced equations and equation (a) omitted.. Subtracting equation (I) from equation (IV) gives a first differential relation. Its integration introduces a constant delta. The boundary condition at infinity, where the local velocity of light is to equal the normal value c, determines this constant and yields equation (9). [Equation (9) omitted.. Substitution into equation (II) produces a second-order equation for the angular metric coefficient. Introduce two further integration constants, alpha and beta, and set h equal to the square root of the positive angular coefficient. The first integral is equation (10), and complete integration gives equation (11). [Equations (10) and (11) omitted.. The result may alternatively be written by means of a hyperbolic substitution. [Substitution omitted.. Original p. 114. [Equations (10a), (11a), and (9a) omitted.. Equation (11) first shows that the condition requiring the angular metric coefficient to approach the square of the radius at infinity is satisfied automatically. Equation (9) then supplies the temporal metric coefficient. THE INTEGRATION CONSTANT. It can now be shown that alpha is related to the gravitating mass of the charge e, while beta is related to the condition imposed on the angular metric coefficient at the centre. According to the general connection supplied by Einstein's theory, a charge at infinity must act just like a gravitating mass point having the mass of the charge. The ponderomotive force at infinity may therefore be written in Newtonian form, where k is the ordinary gravitational constant. [Newtonian force formula omitted.. The same radial ponderomotive force follows in another form from the covariant equation of the geodesic line in a spherically symmetric field. [Equation (12) omitted.. Original p. 115. Using equation (9a), and taking the large-distance limit, one finds the inverse-square gravitational force and identifies alpha with the gravitational radius associated with the mass of the charge. [Identification and numerical estimate of alpha omitted.. The constant alpha squared is therefore extraordinarily small for an elementary charge and, as shown below, extraordinarily small even in comparison with the constant lambda squared from which it is subtracted. Nevertheless it possesses a significance of principle and must not vanish if the electric charge is to possess gravitating inertial mass. Every future equilibrium theory of the charged field-that is, of the electron-must exclude the disappearance of the integration constant alpha from the outset. The sole non-vanishing component of the primary electromagnetic six-vector in the general case is then obtained from the preceding solution. [Equation (14) omitted.. Original p. 116. It is readily calculated from equations (11a) and (9a). The electrostatic potential is correspondingly obtained. [Electrostatic potential omitted.. The solution becomes especially simple when alpha is set equal to zero. Since this solution differs imperceptibly from the one using the numerical value of alpha found above, it is useful to state it separately. [Equations (11b), (9b), and the simplified field strength omitted.. The values of Einstein's universal constant kappa and of lambda can now be calculated. The field equations must contain, as a special case, the infinitely weak spherically symmetric gravitational field of an uncharged, incoherent distribution of mass. According to Einstein, the covariant energy tensor of an incoherent mass distribution of density rho_m, in the static case and in an orthogonal system, has only its temporal component different from zero. The corresponding trace has the value rho_m. [Matter stress-energy components omitted.. Original p. 117. The right-hand side of the general field equations then takes the trace-reversed form used by Einstein. [Trace-reversed field equation and components omitted.. Linearising equation (IV) about flat space gives the ordinary Poisson equation. Consequently the temporal perturbation divided by two may be regarded as the gravitational potential, just as in equation (12). Comparison with Newtonian gravity determines kappa. [Weak-field equation and numerical value of kappa omitted.. From this one obtains lambda and its numerical value for the elementary charge. [Values of lambda squared and lambda omitted.. Thus, despite its smallness, lambda is still approximately one hundred thousand billion billion times as large as alpha. The constant beta can be obtained from the condition that the circumference of a circle must tend to zero as the radius decreases; that is, h must vanish when r is zero. Equation (10a) then fixes the value u_0, and equation (11a) fixes beta. Because alpha is so small compared with lambda, beta is approximately equal to lambda. [Boundary equations for u_0 and beta omitted.. Original p. 118. At r equal to zero, equation (14) makes the field strength infinite. It is evident that continuation of the solution to the centre leads to an impossibility, corresponding to the fact that charge must be distributed around the centre and that Maxwell's theory does not supply the equilibrium of that distribution. If one attempted to force the field strength to change sign at a radius r_0 by choosing beta accordingly, the field strength would become infinite there and the angular metric coefficient would vanish. The line element cannot reasonably be subjected to such a consequence. Moreover, this would produce a mutual attraction of like charge densities but not an equilibrium; to enforce equilibrium one would perhaps have to add another stress tensor. Outside the charged region, however, the field of the charge is represented consistently. The field strength and the metric coefficients differ appreciably from their Euclidean values only where the radius is of the order of lambda, approximately 10^-34 centimetres. Since the electron radius is taken to be approximately 10^-13 centimetres, the influence of self-gravitation within the physically relevant domain of the solution eludes all possibility of detection. THE DEGENERATE CASE g₄ = . On page 109 attention was drawn to the formal possibility of equilibrium of charge if the field strength and the velocity of light are both allowed to vanish in such a way that their ratio remains finite. [Definition of the limiting field omitted.. The temporal component of the four-current then assumes a corresponding limiting form, where rho denotes charge density. [Current equation omitted.. For the sake of curiosity, the result of this dead end may be stated without derivation. The energy tensor takes a degenerate form. Original p. 119. [Degenerate stress-energy tensor omitted.. The mixed tensor vanishes. With the radial metric coefficient set equal to minus one, the field equations permit a formal solution containing two integration constants, alpha and beta. [Degenerate solution omitted.. Further expressions for the field and total charge follow, but this solution does not appear capable of acquiring any physical significance. THE NON-ELECTRIC FIEL. The gravitational field of an uncharged, spherical, resting mass must emerge as a special case of the general solution given above when the charge, and therefore lambda, is set equal to zero. The result must reduce to Schwarzschild's solution. It is worthwhile to show this explicitly because Schwarzschild fixed from the outset a coordinate system in which the determinant condition has a prescribed value, whereas the present calculation began without restriction and subsequently imposed the condition that the radial metric coefficient equal minus one. In Schwarzschild's coordinates the metric coefficients have their standard forms, with an auxiliary radial coordinate R related cubically to Schwarzschild's original coordinate. [Schwarzschild metric coefficients omitted.. Original p. 120. In the present coordinates, with c equal to one, the radial metric coefficient is minus one, the angular coefficient is minus h squared, and the temporal coefficient is the square of dh/dr. [Metric relations omitted.. A different measure of radial length has therefore been selected. Since only the radial coordinate is transformed, the angular and temporal metric coefficients must agree in the two representations. [Coordinate transformation omitted.. One obtains h equal to R and the Schwarzschild temporal coefficient. The two solutions therefore pass into one another when the two mass parameters are appropriately identified. Charlottenburg, March 1916. Received 20 March 1916. TRANSLATOR'S NOT. This translation preserves Reissner's historical terminology and argumentative order. Equations have been omitted at the reader's request, but their original locations and labels have been retained. In modern terminology, the paper studies the static, spherically symmetric electrovacuum reduction of the Einstein-Maxwell system. Reissner's most striking conceptual observation occurs on original page 112: the conservation laws need not be imposed independently, because the structure of Einstein's field equations already contains the required consistency relations. {{col-3}} 106페이지4. 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자가 중력에 대하여;H. 라이스너(H. Reissner)아인슈타인 씨가 수성 서행 운동(수성의 근일점 이동)을 설명함으로써 그의 새로운 공변 중력장 방정식, 나아가 일반 상대성 공리의 유용성을 입증하였고, 다른 논문을 통해 전자기장의 맥스웰-로런츠 방정식을 일반 공변 형태로 제시하였습니다. 이에 따라 구대칭을 가지는 전기장의 자가 중력(Eigengravitation)이 미치는 영향을 간단한 예시를 통해 조사하는 것을 다음 과제로 삼게 되었습니다.비록 본 연구를 시작할 당시에는 맥스웰 이론의 틀을 벗어나지 않고 소전하(Elementarladung) 자체의 자가 중력을 통해 정역학적 결합(전하의 안정성)을 찾을 수 있으리라는 기대를 가졌으나, 연구 과정에서 아인슈타인의 중력이 소전하의 전기장을 특정한(그리고 극도로 미미한) 방식으로 왜곡시킬 뿐, 그 본질상 전하 요소들 사이의 상호 정전기적 반발력을 상쇄할 수는 없다는 사실만을 우선 확인하게 되었습니다.따라서 소전하의 구조를 설명하기 위해서는 추가적인 기본 가정이 도입되어야만 할 것입니다. 미(Mie)의 개념에 따라 맥스웰 방정식을 수정하든가, 맥스웰 변형 텐서에 가능한 한 단순한 변형 텐서를 추가하든가, 혹은 최종적으로 전자를 정역학적이 아닌 전자기학적으로 정상 상태(stationär)인 구조로 파악하는 방식 중 하나를 취해야 합니다.아인슈타인 씨로부터 다양한 설명과 비판적 조언을 받아 진행한 계산 수행 과정과 관련하여, 먼저 다음 사항을 밝혀두고자 합니다.장 방정식을 수립하는 데 있어 좌표계의 선택, 특히 치환 행렬식(Substitutionsdeterminante)의 값에 어떠한 제한도 두지 않았습니다. 따라서 일반적인 공간 구면좌표계를 도입할 수 있었는데, 이는 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 선요소(Linienelement)의 판별식 <math>\sqrt{-g}</math>의 값을 1로 유지하기 위해 특별히 교묘하게 선택된 좌표계를 사용한 것과 대조적입니다.그럼에도 불구하고 이 문제에서는 전체 이론의 완전한 공변성을 보여주는 명쾌한 통찰을 제공할 뿐만 아니라, 장 방정식의 수립 및 통합에 있어서도 특정한 좌표계보다 가장 일반적인 좌표계를 사용하는 것이 오히려 더 유리하다고 판단됩니다.아인슈타인 씨 자신과 슈바르츠실트에 의해 제시된 전하가 없는 질점의 장(Field)은 본 논문에서 계산된 구형 전하 장의 특수한 경우임이 밝혀졌습니다. 또한 특정한 슈바르츠실트 좌표계로 변환하고 전하를 0으로 놓았을 때 본 해법이 슈바르츠실트의 해로 귀결된다는 점은 여기서 제시된 해법의 정당성을 검증하는 역할을 합니다.따라서 여기서 설정한 문제는 다음과 같습니다. 공변 형태의 맥스웰 변형 에너지 텐서와 아인슈타인의 일반 공변 중력장 방정식 외에 다른 아무것도 전제하지 않을 때, 평형 상태에 있는 구대칭 정전기장의 가장 일반적인 형태는 무엇인가?대칭성 전제는 일반적으로 비유클리드 공간인 선요소의 형식을 단순화하는 결과를 가져오므로, 이 선요소는 공간적(직교 상태를 유지하는) 구면좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.<math>ds^2 = g_1 dr^2 + g_2 d\vartheta^2 + g_3 d\varphi^2 + g_4 dt^2,</math>여기서 이중 첨자 대신 단일 첨자만 사용하여 다음과 같이 나타냅니다.<math>g_{\nu\nu} = g_\nu, \quad g_{\mu\nu} = 0 \quad (\mu \neq \nu \text{일 때})</math>그리고 변형 에너지 텐서를 포함하지 않는 유클리드 공간에 대해 <math>g_\nu</math>는 다음 값을 가집니다.<math>g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_3 = g_2 \sin^2\vartheta, \quad g_4 = c^2,</math>여기서 <math>c</math>는 진공에서의 일반적인 광속을 의미합니다.107페이지아인슈타인 씨는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값들이 자와 시계의 성질, 최단선(측지선)의 형태, 질점과 광선의 궤도, 광속 및 중력 포텐셜을 어떻게 결정하는지 일반적으로 보여주었습니다.정전기장의 텐서중력장 방정식과 정전기장의 평형 조건에 필요한 에너지 텐서는 다음과 같이 도출할 수 있습니다.1)첫 번째 공변 6차원 벡터(Covariant 6-vector) <math>F_{\alpha\beta}</math>의 성분 중 정지 상태 및 극대칭성(polar symmetry)을 가질 때 남는 것은 오직 하나, 즉 <math>F_{14} = \mathfrak{E}</math>뿐입니다. 이로부터 도출되는 두 번째 반공변(contravariant) V-6차원 벡터 <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> 역시 이 경우 오직 하나의 성분만을 가집니다.<math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}</math>진공에서의 전기 전류밀도의 반공변 V-4차원 벡터 역시 0이 아닌 성분을 단 하나만 가집니다.<math>(1) \quad \mathfrak{J}^4 = \rho \frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial \mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math>여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.역학적 힘 밀도(force density)의 공변 V-4차원 벡터는 일반적인 정역학적 경우 다음과 같이 됩니다.<math>\mathfrak{K}_\sigma = F_{\sigma 4} \mathfrak{J}^4</math>그리고 구대칭(모든 방향의 대칭)일 때:<math>\mathfrak{K}_r = F_{14} \mathfrak{J}^4 = \mathfrak{E} \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math>이 일반적인 정역학적 설정은 알짜 힘 밀도가 0이 되기 위해서는 전하밀도가 0이 되거나 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>가 0이 되어야 함을 보여줍니다. 그러나 이 값들은 <math>g_1</math> 또는 <math>g_4</math>가 해당 유한 구간에서 0이 되는 경우를 제외하고는, 유한한 구간 내에서 동시에만 0의 값을 가질 수 있습니다.따라서 다음과 같이 기술할 수 있습니다.1) A. 아인슈타인, 『전자기학의 맥스웰장 방정식에 대한 새로운 형식적 해석』. 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 184–188. 1916년.108페이지맥스웰 정전기장은 자가 중력의 영향 하에서도, 선요소나 광속이 0이 되는 특수한 경우를 제외한다면 전하밀도가 존재하지 않는 곳에서만 평형을 유지할 수 있습니다.1)이러한 예외적인 경우가 물리적 의미를 갖지 않는 것으로 보이므로, 순수한 맥스웰 변형 에너지 텐서와 구대칭을 기본 바탕으로 삼고자 한다면, 본 연구는 진공 공간에서 자가 중력의 영향을 받는 구형 전하의 장으로 제한되어야 합니다.따라서 이 경우에는 <math>\mathfrak{J}^4 = 0</math>이어야 하며, 이에 따라 다음과 같이 됩니다.<math>\mathfrak{E} = \text{const} \cdot \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{-g_2}</math>적분상수는 무한대에서의 경계 조건으로부터 즉시 결정할 수 있습니다. 무한대에서는 중심의 총전하를 <math>e</math>라 할 때 다음과 같이 놓아야 합니다.<math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \quad g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_4 = c^2,</math>따라서<math>\text{const} = \frac{e}{4\pi c}</math>이로부터 다음을 얻습니다.<math>(2) \quad \begin{cases} \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{g_2} \\ \mathfrak{F}^{14} = F_{14} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{1}{g_2} \end{cases}</math>이 값들을 위에서 인용한 아인슈타인의 논문에 제시된 혼합 에너지 텐서 식 (9)에 대입하면 다음을 얻습니다.<math>T_1^1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_2^2 = T_3^3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_4^4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}</math>이에 대응하는 공변 텐서는 공식 <math>T_{\sigma\sigma} = T_\sigma^\sigma g_{\sigma\sigma}</math>에 따라 다음 값을 가집니다.1) <math>g_4 = 0</math>이라는 가정을 두면 전하 내부의 장 세기 분포가 일정하게 유도되지만, <math>g_4 \neq 0</math>인 외부 공간과의 연결에는 성공하지 못했습니다.109페이지<math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_1}{2g_1 g_4}, \quad T_{22} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_2}{2g_1 g_4}</math><math>T_{33} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_3}{2g_1 g_4}, \quad T_{44} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_4}{2g_1 g_4}</math>이것은 장의 평형을 고려하지 않은 정전기 에너지 텐서입니다. 장의 평형 텐서는 <math>\mathfrak{E}</math>에 대해 위 식 (2)의 값을 대입함으로써 얻어집니다.<math>T_{11} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}, \quad T_{22} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math><math>T_{33} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}, \quad T_{44} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math>장 방정식 (The Field Equations)아인슈타인의 일반 공변 중력 미분 방정식의 최신 및 가장 일관된 형식은 직교좌표계와 라우에 스칼라(Laue scalar) <math>\sum T_m^m = 0</math>이 소멸할 때 다음과 같이 쓰일 수 있습니다. <math>(8) \quad \sum_k \{mk, km\} = -\varkappa T_{mm},</math>여기서 <math>\varkappa</math>는 중력상수와 관련된 보편상수이며, 제2종 크리스토펠 4-인덱스 기호는 다음 값을 가집니다.<math>\{mk, km\} = \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_m} - \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mm \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_k} + \sum_\rho \left\{\begin{matrix} mk \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho m \\ k \end{matrix}\right\} - \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho k \\ k \end{matrix}\right\},</math>여기서 <math>\left\{\begin{matrix} m & k \\ & \rho \end{matrix}\right\}</math>는 제2종 크리스토펠 3-인덱스 기호이며, 직교좌표계에서는 적어도 두 개의 인덱스가 같을 때만 0이 아닌 값을 가지며 다음과 같습니다.<math>\left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ m \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math>반면, <math>m = k</math>일 때 4-인덱스 기호는 0이 됩니다.식 (8)의 처음 두 항은 쉽게 처리됩니다. 세 번째 항의 <math>\sum_\rho</math>에서는 먼저 <math>\rho = m</math>에 대해, 다음으로 <math>\rho = k</math>에 대해, 마지막으로 <math>\rho \neq m \neq k</math>인 모든 경우에 대해 합산합니다.110페이지계산 오차를 피하기 위해 어느 정도 숙련이 필요한 다소 번거로운 계산 과정을 거치면, 다음과 같은 2계 미분 불변량(Differential invariants)을 얻게 됩니다. 약간의 검증을 거치면 대칭성을 유지하면서 공변성 요구를 충족하고 유클리드 공간에서 소멸함을 확인할 수 있습니다.<math>\text{I} \begin{cases} G_{11} = \frac{d^2}{dr^2}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1} \frac{d}{dr}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) \\ \quad + \frac{1}{2}\left(\frac{d \ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d \ln \sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11}, \end{cases}</math><math>\text{II} \begin{cases} G_{22} = -1 + \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_2}{dr}\right) + \frac{1}{4g_1 g_2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_2}{dr} + \frac{1}{4g_1 g_4} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ = -\varkappa T_{22} \end{cases}</math><math>\text{III} \quad G_{33} = G_{22} \sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22} \sin^2\vartheta,</math><math>\text{IV} \begin{cases} G_{44} = \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_4}{dr}\right) - \frac{1}{4g_1 g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ \quad + \frac{1}{2g_1 g_2} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{cases}</math>무한히 많은 가능한 좌표계 중에서 우리는 다음과 같이 하나의 좌표계를 선호할 수 있습니다. <math>dr</math>이 단순한 좌표의 차이뿐만 아니라, 무한히 작은 고정된 자로 측정한 반경 방향의 거리를 의미하도록 약속한다면 <math>g_1 = -1</math>로 놓을 수 있습니다.또한 <math>\varkappa e^2 / 32 \pi^2 c^2</math>을 축약하여 <math>\lambda^2</math>으로 쓰고 <math>g_2 = -\overline{g}_2</math>로 놓으면, 식 (8)은 다음과 같은 형태를 취합니다.<math>(\text{I}) \quad \frac{d^2}{dr^2}\ln(\overline{g}_2 \sqrt{g_4}) + \frac{1}{2\overline{g}_2^2}\left(\frac{d\overline{g}_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{II}) \quad -1 + \frac{1}{2} \frac{d^2 \overline{g}_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\overline{g}_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2}</math><math>(\text{IV}) \quad \frac{1}{2} \frac{d^2 g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\overline{g}_2} \frac{d\overline{g}_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = +\frac{\lambda^2 g_4}{\overline{g}_2^2}</math>좌표계 선택을 <math>g_1 = -1</math>로 제한함으로써, 미지수 <math>\overline{g}_2</math> 및 <math>g_4</math> 단 두 개에 대해 3개의 방정식이 산출되었으므로, 언뜻 해를 구하려는 시도가 모순으로 이어질 것처럼 보일 수 있습니다.111페이지그러나 두 방정식의 일반해법이 세 번째 방정식을 항등적으로 만족시킨다는 사실이 밝혀질 것이며, 이는 대단히 주목할 만한 점입니다.따라서 변형 에너지 텐서를 결정하기 위해 비유클리드 공간에서 식 (2)의 변형 평형 보존 법칙을 보조 수단으로 사용할 필요가 전혀 없었으며, 장의 평형을 가능하게 하는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 함수로서 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>를 계산하는 데에는 중력장 방정식만으로도 이미 충분했습니다. 그러므로 전체 설정에서의 유일한 전제는 필드 세기의 6차원 벡터를 통해 변형 에너지 텐서 <math>T_\mu^\nu</math>의 표현식을 파악하는 것뿐이었습니다.아인슈타인 씨는 이 놀라운 연관성에 대해 논의할 때, 에너지와 변형력의 보존 법칙이 그의 최근 장 방정식에 포함되어 있으므로 어떤 문제에서도 특별히 새로 설정할 필요가 없음을 일반적인 방식으로 보여줄 수 있는 위치에 있다고 알려주었습니다. 여기서 다룬 특수한 사례가 입증하는 이 결과는 특히 중요한데, 한편으로는 장 방정식이 에너지 고려 사항에서 전혀 얻어지지 않고 오직 공변성 고려 사항에서만 얻어졌기 때문이며, 다른 한편으로는 장 방정식이 단지 보존 법칙보다 훨씬 더 많은 것을 말해주기 때문입니다.1)장 방정식의 적분 (Integration of the Field Equations)두 미지수 <math>\overline{g}_2</math>와 <math>g_4</math>에 대한 세 방정식 (I), (II), (IV)는 모순이 없고 상호 제한이 없는 해를 닫힌 형식(closed form)으로 허용할 것이며, 이는 다음과 같이 확인할 수 있습니다.축약 표현으로 <math>\ln \sqrt{g_4} = \gamma</math>로 놓고 <math>r</math>에 대한 미분을 프라임(')으로 표시하면, 방정식 (I), (II), (IV)는 다음과 같이 쓰입니다.1) 그 사이에 이 연관성은 D. 힐베르트와 A. 아인슈타인 자신에 의해 더 정확하게 밝혀졌습니다. 괴팅겐 학술원 보고서(Math. Phys. Kl. 1915 p. 3) 및 Annalen der Physik 49. p. 809. 1916년 참조.112페이지<math>(\text{I}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2} - \frac{\overline{g}_2'^2}{2\overline{g}_2^2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{IV}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \gamma' \frac{\overline{g}_2'}{\overline{g}_2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{II}) \quad -\overline{g}_2 + \frac{1}{2}\overline{g}_2 \overline{g}_2'' + \frac{1}{2}\gamma' \overline{g}_2' \overline{g}_2 = -\lambda^2.</math>(IV)에서 (I)을 빼면 다음을 얻습니다.<math>(a) \quad \gamma' = \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2'} - \frac{\overline{g}_2'}{2\overline{g}_2}</math>이로부터:<math>\gamma = \ln\left(\delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}\right),</math>여기서 <math>\delta</math>는 적분상수입니다. 또는:<math>\sqrt{g_4} = \delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}.</math>적분상수 <math>\delta</math>의 값은 무한대에서의 경계 조건으로부터 구할 수 있는데, 무한대에서는 <math>\sqrt{g_4} = c</math>, 즉 일반 광속과 같아야 하기 때문입니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.<math>(9) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{d}{dr}\sqrt{\overline{g}_2}</math>방정식 (a)를 (II)에 대입하면 다음을 얻습니다. {{col-end}} <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. lr3oujrvjhta78mwx5r9m8kybiihfzk 459194 459193 2026-09-06T08:24:40Z Danuri19 16656 459194 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판<ref>[https://edition-open-sources.org/sources/10/6/index.html? George B. Jeffery (1921): The Field of an Electron on Einstein’s Theory of Gravitation]</ref><ref>[https://zenodo.org/records/1447315? Hans Reissner Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie 『Annalen der Physik』, Vierte Folge, Band 50 전체 통권 Band 355 1916년, pp. 106–120]</ref> | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} {{col-begin}} {{col-3}} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) {{col-3}} Original p. 106 After Einstein had demonstrated the fruitfulness of his new covariant field equations of gravitation, and thereby of the postulate of the most general relativity, through his explanation of the perihelion motion of Mercury, and after he had elsewhere given a generally covariant formulation of the Maxwell-Lorentz equations of the electromagnetic field, it appeared to me that the next task was to investigate, by means of a simple example, the influence of the self-gravitation of a spherically symmetric electric field. I did, indeed, begin with the hope of finding a static cohesion of elementary charges through their self-gravitation without having to leave the ground of Maxwell's theory. In the course of the investigation, however, I was initially able to establish only that Einsteinian gravitation distorts the field of an elementary electric charge in a definite, though extraordinarily small, manner, but that by its nature it cannot cancel the mutual electrostatic repulsion of the elements of charge. The constitution of the elementary charge can therefore be obtained only by introducing a further fundamental assumption: either by modifying Maxwell's equations in the sense of Mie, by adding to the Maxwell tensor a stress tensor of the simplest possible kind, or, finally, by regarding the electron not as static but as electrodynamically stationary. Concerning the calculation, in which Einstein assisted me with a variety of explanations and criticisms, the following preliminary remarks may be made. No restriction was placed on the choice of coordinate system in setting up the field equations, and in particular none was placed on the value of the transformation determinant. Original p. 107 It was therefore possible to introduce the usual spherical polar coordinate system, whereas Schwarzschild, in order to preserve the value one for the discriminant of the line element, employed a particularly ingenious coordinate system. Nevertheless, in the present case the most general coordinate system seems to me more advantageous than a special one for setting up and integrating the field equations, quite apart from the fine insight it gives into the complete covariance of the theory. The field of an uncharged mass point presented by Einstein and Schwarzschild proves to be a special case of the field of a spherical charge calculated here. It may serve as a check upon the correctness of the present solution that it passes into the Schwarzschild solution when it is transformed to Schwarzschild's special coordinate system and the charge is allowed to vanish. The problem posed here is therefore the following: What is the most general electrostatic field in equilibrium and possessing spherical symmetry if nothing is assumed beyond the Maxwell stress-energy tensor in covariant form and Einstein's generally covariant field equations of gravitation. The assumption of symmetry simplifies the form of the line element of the generally non-Euclidean space, so that it can be written in spatial polar coordinates that remain orthogonal. [Line element omitted.. Here single indices are written in place of double indices. In Euclidean space-that is, in a space containing no stress-energy tensor-the metric coefficients take their familiar values, and c denotes the ordinary velocity of light. Original p. 108 Einstein has shown generally how the values of the metric coefficients determine the properties of measuring rods and clocks, the form of the shortest lines, the paths of mass points and light rays, the velocity of light, and the gravitational potential. THE TENSOR OF THE ELECTROSTATIC FIEL. The energy tensor required for the gravitational field equations and for the equilibrium condition of the electrostatic field may be obtained as follows. Of the components of the first covariant six-vector of the field, only one remains in the case of rest and spherical symmetry, namely the radial electric-field component. The second, contravariant, six-vector derived from it likewise has only one component. [Field-tensor relation omitted.. The contravariant four-vector of the electric vacuum-current density also has only one non-vanishing component. [Equation (1) omitted.. Here rho denotes the charge density. The covariant four-vector of mechanical force density assumes its standard form in the general static case and a radial form under complete spherical symmetry. [Force-density equations omitted.. This general static ansatz shows that the resultant force density can vanish only if either the charge density or the electric field strength vanishes. These quantities, in turn, can vanish simultaneously throughout a finite interval only in the exceptional case in which one of the relevant metric coefficients vanishes throughout that interval. Original p. 109 Thus one may state: A Maxwellian electrostatic field, even under the influence of its own gravitation, can be in equilibrium only where no charge density is present, provided one excludes the case in which a line element or the velocity of light becomes zero. Since these exceptional cases appear to possess no physical significance, an investigation based upon the pure Maxwell stress-energy tensor and spherical symmetry must be restricted to the field of a spherical charge under the influence of its self-gravitation in empty space. For this case the four-current must vanish. Integration then gives the electric field in terms of the metric coefficients. The integration constant is determined immediately from the condition at infinity, where the metric becomes flat and the field becomes the Coulomb field of the total charge e situated at the centre. [Equation (2) omitted.. Substitution of these values into Einstein's expression for the mixed energy tensor gives its four diagonal components. The corresponding covariant tensor follows by lowering the index with the metric. [Stress-energy components omitted.. Original p. 110 This is the electrostatic energy tensor, but without yet taking account of the equilibrium of the field. The equilibrium tensor is obtained by substituting the field value found in equation (2). [Equilibrium stress-energy components omitted.. THE FIELD EQUATION. Einstein's generally covariant differential equations for a gravitational field, in their latest and most consistent form, can be written for orthogonal coordinates and a vanishing Laue scalar in terms of the contracted Christoffel symbols. [Equation (8) omitted.. Here kappa is a universal constant related to the gravitational constant. The four-index Christoffel symbol of the second kind is expressed through the three-index symbols. In orthogonal coordinates, the latter differ from zero only when at least two indices coincide. [Christoffel-symbol formulas omitted.. The four-index symbol vanishes when the relevant two indices are equal. The first two terms of equation (8) cause no difficulty. In the sum of the third term one first sums over one coincident index, then over the other, and finally over all indices distinct from both. Original p. 111 After a somewhat laborious calculation, requiring some practice if computational errors are to be avoided, one arrives at the following second-order differential invariants. A straightforward check shows that they satisfy covariance under the imposed symmetry and vanish in Euclidean space. [Equations (I)-(IV) omitted.. Among the infinitely many possible coordinate systems, we may evidently privilege one in the following manner. Let dr denote not merely a coordinate difference but also the distance in the radial direction measured with an infinitesimal rigid measuring rod. With this convention the radial metric coefficient is set equal to minus one. For brevity, introduce lambda squared for the indicated combination of kappa, charge, and c, and replace the negative angular metric coefficient by a positive barred quantity. The field equations then take a system of three ordinary differential equations. [Reduced equations (I), (II), and (IV) omitted.. Original p. 112. The restriction imposed upon the coordinate system has therefore produced three equations for only two unknown metric functions, and at first it appears that an attempt at solution might lead to a contradiction. It will be shown, however-and this is extraordinarily noteworthy-that the general solution of two of the equations satisfies the third identically. Thus it would not have been necessary to employ the conservation law, that is, the stress-equilibrium condition represented by equation (2) in non-Euclidean space, in determining the stress-energy tensor. The gravitational field equations alone would already have sufficed to calculate, as a function of the metric, the field strength that permits equilibrium. The only prerequisite for the entire ansatz was therefore knowledge of the expression of the stress-energy tensor in terms of the six-vector of field strength. In discussing this surprising connection, Einstein informed me that he was then in a position to show generally that the conservation laws of energy and stresses are contained in his latest field equations and therefore need not be imposed separately in each problem. This result, confirmed by the special case treated here, is particularly important because the field equations were obtained not from energy considerations but solely from considerations of covariance, while at the same time they assert much more than the conservation laws alone. THE INTEGRATION OF THE FIELD EQUATION. The three equations (I), (II), and (IV), containing the two unknown metric functions, therefore admit a consistent closed-form solution without mutually restricting one another. Introduce gamma as the logarithm of the square root of the temporal metric coefficient, and denote differentiation with respect to r by primes. The equations then assume a more compact form. Original p. 113. [Reduced equations and equation (a) omitted.. Subtracting equation (I) from equation (IV) gives a first differential relation. Its integration introduces a constant delta. The boundary condition at infinity, where the local velocity of light is to equal the normal value c, determines this constant and yields equation (9). [Equation (9) omitted.. Substitution into equation (II) produces a second-order equation for the angular metric coefficient. Introduce two further integration constants, alpha and beta, and set h equal to the square root of the positive angular coefficient. The first integral is equation (10), and complete integration gives equation (11). [Equations (10) and (11) omitted.. The result may alternatively be written by means of a hyperbolic substitution. [Substitution omitted.. Original p. 114. [Equations (10a), (11a), and (9a) omitted.. Equation (11) first shows that the condition requiring the angular metric coefficient to approach the square of the radius at infinity is satisfied automatically. Equation (9) then supplies the temporal metric coefficient. THE INTEGRATION CONSTANT. It can now be shown that alpha is related to the gravitating mass of the charge e, while beta is related to the condition imposed on the angular metric coefficient at the centre. According to the general connection supplied by Einstein's theory, a charge at infinity must act just like a gravitating mass point having the mass of the charge. The ponderomotive force at infinity may therefore be written in Newtonian form, where k is the ordinary gravitational constant. [Newtonian force formula omitted.. The same radial ponderomotive force follows in another form from the covariant equation of the geodesic line in a spherically symmetric field. [Equation (12) omitted.. Original p. 115. Using equation (9a), and taking the large-distance limit, one finds the inverse-square gravitational force and identifies alpha with the gravitational radius associated with the mass of the charge. [Identification and numerical estimate of alpha omitted.. The constant alpha squared is therefore extraordinarily small for an elementary charge and, as shown below, extraordinarily small even in comparison with the constant lambda squared from which it is subtracted. Nevertheless it possesses a significance of principle and must not vanish if the electric charge is to possess gravitating inertial mass. Every future equilibrium theory of the charged field-that is, of the electron-must exclude the disappearance of the integration constant alpha from the outset. The sole non-vanishing component of the primary electromagnetic six-vector in the general case is then obtained from the preceding solution. [Equation (14) omitted.. Original p. 116. It is readily calculated from equations (11a) and (9a). The electrostatic potential is correspondingly obtained. [Electrostatic potential omitted.. The solution becomes especially simple when alpha is set equal to zero. Since this solution differs imperceptibly from the one using the numerical value of alpha found above, it is useful to state it separately. [Equations (11b), (9b), and the simplified field strength omitted.. The values of Einstein's universal constant kappa and of lambda can now be calculated. The field equations must contain, as a special case, the infinitely weak spherically symmetric gravitational field of an uncharged, incoherent distribution of mass. According to Einstein, the covariant energy tensor of an incoherent mass distribution of density rho_m, in the static case and in an orthogonal system, has only its temporal component different from zero. The corresponding trace has the value rho_m. [Matter stress-energy components omitted.. Original p. 117. The right-hand side of the general field equations then takes the trace-reversed form used by Einstein. [Trace-reversed field equation and components omitted.. Linearising equation (IV) about flat space gives the ordinary Poisson equation. Consequently the temporal perturbation divided by two may be regarded as the gravitational potential, just as in equation (12). Comparison with Newtonian gravity determines kappa. [Weak-field equation and numerical value of kappa omitted.. From this one obtains lambda and its numerical value for the elementary charge. [Values of lambda squared and lambda omitted.. Thus, despite its smallness, lambda is still approximately one hundred thousand billion billion times as large as alpha. The constant beta can be obtained from the condition that the circumference of a circle must tend to zero as the radius decreases; that is, h must vanish when r is zero. Equation (10a) then fixes the value u_0, and equation (11a) fixes beta. Because alpha is so small compared with lambda, beta is approximately equal to lambda. [Boundary equations for u_0 and beta omitted.. Original p. 118. At r equal to zero, equation (14) makes the field strength infinite. It is evident that continuation of the solution to the centre leads to an impossibility, corresponding to the fact that charge must be distributed around the centre and that Maxwell's theory does not supply the equilibrium of that distribution. If one attempted to force the field strength to change sign at a radius r_0 by choosing beta accordingly, the field strength would become infinite there and the angular metric coefficient would vanish. The line element cannot reasonably be subjected to such a consequence. Moreover, this would produce a mutual attraction of like charge densities but not an equilibrium; to enforce equilibrium one would perhaps have to add another stress tensor. Outside the charged region, however, the field of the charge is represented consistently. The field strength and the metric coefficients differ appreciably from their Euclidean values only where the radius is of the order of lambda, approximately 10^-34 centimetres. Since the electron radius is taken to be approximately 10^-13 centimetres, the influence of self-gravitation within the physically relevant domain of the solution eludes all possibility of detection. THE DEGENERATE CASE g₄ = . On page 109 attention was drawn to the formal possibility of equilibrium of charge if the field strength and the velocity of light are both allowed to vanish in such a way that their ratio remains finite. [Definition of the limiting field omitted.. The temporal component of the four-current then assumes a corresponding limiting form, where rho denotes charge density. [Current equation omitted.. For the sake of curiosity, the result of this dead end may be stated without derivation. The energy tensor takes a degenerate form. Original p. 119. [Degenerate stress-energy tensor omitted.. The mixed tensor vanishes. With the radial metric coefficient set equal to minus one, the field equations permit a formal solution containing two integration constants, alpha and beta. [Degenerate solution omitted.. Further expressions for the field and total charge follow, but this solution does not appear capable of acquiring any physical significance. THE NON-ELECTRIC FIEL. The gravitational field of an uncharged, spherical, resting mass must emerge as a special case of the general solution given above when the charge, and therefore lambda, is set equal to zero. The result must reduce to Schwarzschild's solution. It is worthwhile to show this explicitly because Schwarzschild fixed from the outset a coordinate system in which the determinant condition has a prescribed value, whereas the present calculation began without restriction and subsequently imposed the condition that the radial metric coefficient equal minus one. In Schwarzschild's coordinates the metric coefficients have their standard forms, with an auxiliary radial coordinate R related cubically to Schwarzschild's original coordinate. [Schwarzschild metric coefficients omitted.. Original p. 120. In the present coordinates, with c equal to one, the radial metric coefficient is minus one, the angular coefficient is minus h squared, and the temporal coefficient is the square of dh/dr. [Metric relations omitted.. A different measure of radial length has therefore been selected. Since only the radial coordinate is transformed, the angular and temporal metric coefficients must agree in the two representations. [Coordinate transformation omitted.. One obtains h equal to R and the Schwarzschild temporal coefficient. The two solutions therefore pass into one another when the two mass parameters are appropriately identified. Charlottenburg, March 1916. Received 20 March 1916. TRANSLATOR'S NOT. This translation preserves Reissner's historical terminology and argumentative order. Equations have been omitted at the reader's request, but their original locations and labels have been retained. In modern terminology, the paper studies the static, spherically symmetric electrovacuum reduction of the Einstein-Maxwell system. Reissner's most striking conceptual observation occurs on original page 112: the conservation laws need not be imposed independently, because the structure of Einstein's field equations already contains the required consistency relations. {{col-3}} 106페이지4. 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자가 중력에 대하여;H. 라이스너(H. Reissner)아인슈타인 씨가 수성 서행 운동(수성의 근일점 이동)을 설명함으로써 그의 새로운 공변 중력장 방정식, 나아가 일반 상대성 공리의 유용성을 입증하였고, 다른 논문을 통해 전자기장의 맥스웰-로런츠 방정식을 일반 공변 형태로 제시하였습니다. 이에 따라 구대칭을 가지는 전기장의 자가 중력(Eigengravitation)이 미치는 영향을 간단한 예시를 통해 조사하는 것을 다음 과제로 삼게 되었습니다.비록 본 연구를 시작할 당시에는 맥스웰 이론의 틀을 벗어나지 않고 소전하(Elementarladung) 자체의 자가 중력을 통해 정역학적 결합(전하의 안정성)을 찾을 수 있으리라는 기대를 가졌으나, 연구 과정에서 아인슈타인의 중력이 소전하의 전기장을 특정한(그리고 극도로 미미한) 방식으로 왜곡시킬 뿐, 그 본질상 전하 요소들 사이의 상호 정전기적 반발력을 상쇄할 수는 없다는 사실만을 우선 확인하게 되었습니다.따라서 소전하의 구조를 설명하기 위해서는 추가적인 기본 가정이 도입되어야만 할 것입니다. 미(Mie)의 개념에 따라 맥스웰 방정식을 수정하든가, 맥스웰 변형 텐서에 가능한 한 단순한 변형 텐서를 추가하든가, 혹은 최종적으로 전자를 정역학적이 아닌 전자기학적으로 정상 상태(stationär)인 구조로 파악하는 방식 중 하나를 취해야 합니다.아인슈타인 씨로부터 다양한 설명과 비판적 조언을 받아 진행한 계산 수행 과정과 관련하여, 먼저 다음 사항을 밝혀두고자 합니다.장 방정식을 수립하는 데 있어 좌표계의 선택, 특히 치환 행렬식(Substitutionsdeterminante)의 값에 어떠한 제한도 두지 않았습니다. 따라서 일반적인 공간 구면좌표계를 도입할 수 있었는데, 이는 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 선요소(Linienelement)의 판별식 <math>\sqrt{-g}</math>의 값을 1로 유지하기 위해 특별히 교묘하게 선택된 좌표계를 사용한 것과 대조적입니다.그럼에도 불구하고 이 문제에서는 전체 이론의 완전한 공변성을 보여주는 명쾌한 통찰을 제공할 뿐만 아니라, 장 방정식의 수립 및 통합에 있어서도 특정한 좌표계보다 가장 일반적인 좌표계를 사용하는 것이 오히려 더 유리하다고 판단됩니다.아인슈타인 씨 자신과 슈바르츠실트에 의해 제시된 전하가 없는 질점의 장(Field)은 본 논문에서 계산된 구형 전하 장의 특수한 경우임이 밝혀졌습니다. 또한 특정한 슈바르츠실트 좌표계로 변환하고 전하를 0으로 놓았을 때 본 해법이 슈바르츠실트의 해로 귀결된다는 점은 여기서 제시된 해법의 정당성을 검증하는 역할을 합니다.따라서 여기서 설정한 문제는 다음과 같습니다. 공변 형태의 맥스웰 변형 에너지 텐서와 아인슈타인의 일반 공변 중력장 방정식 외에 다른 아무것도 전제하지 않을 때, 평형 상태에 있는 구대칭 정전기장의 가장 일반적인 형태는 무엇인가?대칭성 전제는 일반적으로 비유클리드 공간인 선요소의 형식을 단순화하는 결과를 가져오므로, 이 선요소는 공간적(직교 상태를 유지하는) 구면좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.<math>ds^2 = g_1 dr^2 + g_2 d\vartheta^2 + g_3 d\varphi^2 + g_4 dt^2,</math>여기서 이중 첨자 대신 단일 첨자만 사용하여 다음과 같이 나타냅니다.<math>g_{\nu\nu} = g_\nu, \quad g_{\mu\nu} = 0 \quad (\mu \neq \nu \text{일 때})</math>그리고 변형 에너지 텐서를 포함하지 않는 유클리드 공간에 대해 <math>g_\nu</math>는 다음 값을 가집니다.<math>g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_3 = g_2 \sin^2\vartheta, \quad g_4 = c^2,</math>여기서 <math>c</math>는 진공에서의 일반적인 광속을 의미합니다.107페이지아인슈타인 씨는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값들이 자와 시계의 성질, 최단선(측지선)의 형태, 질점과 광선의 궤도, 광속 및 중력 포텐셜을 어떻게 결정하는지 일반적으로 보여주었습니다.정전기장의 텐서중력장 방정식과 정전기장의 평형 조건에 필요한 에너지 텐서는 다음과 같이 도출할 수 있습니다.1)첫 번째 공변 6차원 벡터(Covariant 6-vector) <math>F_{\alpha\beta}</math>의 성분 중 정지 상태 및 극대칭성(polar symmetry)을 가질 때 남는 것은 오직 하나, 즉 <math>F_{14} = \mathfrak{E}</math>뿐입니다. 이로부터 도출되는 두 번째 반공변(contravariant) V-6차원 벡터 <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> 역시 이 경우 오직 하나의 성분만을 가집니다.<math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}</math>진공에서의 전기 전류밀도의 반공변 V-4차원 벡터 역시 0이 아닌 성분을 단 하나만 가집니다.<math>(1) \quad \mathfrak{J}^4 = \rho \frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial \mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math>여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.역학적 힘 밀도(force density)의 공변 V-4차원 벡터는 일반적인 정역학적 경우 다음과 같이 됩니다.<math>\mathfrak{K}_\sigma = F_{\sigma 4} \mathfrak{J}^4</math>그리고 구대칭(모든 방향의 대칭)일 때:<math>\mathfrak{K}_r = F_{14} \mathfrak{J}^4 = \mathfrak{E} \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math>이 일반적인 정역학적 설정은 알짜 힘 밀도가 0이 되기 위해서는 전하밀도가 0이 되거나 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>가 0이 되어야 함을 보여줍니다. 그러나 이 값들은 <math>g_1</math> 또는 <math>g_4</math>가 해당 유한 구간에서 0이 되는 경우를 제외하고는, 유한한 구간 내에서 동시에만 0의 값을 가질 수 있습니다.따라서 다음과 같이 기술할 수 있습니다.1) A. 아인슈타인, 『전자기학의 맥스웰장 방정식에 대한 새로운 형식적 해석』. 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 184–188. 1916년.108페이지맥스웰 정전기장은 자가 중력의 영향 하에서도, 선요소나 광속이 0이 되는 특수한 경우를 제외한다면 전하밀도가 존재하지 않는 곳에서만 평형을 유지할 수 있습니다.1)이러한 예외적인 경우가 물리적 의미를 갖지 않는 것으로 보이므로, 순수한 맥스웰 변형 에너지 텐서와 구대칭을 기본 바탕으로 삼고자 한다면, 본 연구는 진공 공간에서 자가 중력의 영향을 받는 구형 전하의 장으로 제한되어야 합니다.따라서 이 경우에는 <math>\mathfrak{J}^4 = 0</math>이어야 하며, 이에 따라 다음과 같이 됩니다.<math>\mathfrak{E} = \text{const} \cdot \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{-g_2}</math>적분상수는 무한대에서의 경계 조건으로부터 즉시 결정할 수 있습니다. 무한대에서는 중심의 총전하를 <math>e</math>라 할 때 다음과 같이 놓아야 합니다.<math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \quad g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_4 = c^2,</math>따라서<math>\text{const} = \frac{e}{4\pi c}</math>이로부터 다음을 얻습니다.<math>(2) \quad \begin{cases} \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{g_2} \\ \mathfrak{F}^{14} = F_{14} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{1}{g_2} \end{cases}</math>이 값들을 위에서 인용한 아인슈타인의 논문에 제시된 혼합 에너지 텐서 식 (9)에 대입하면 다음을 얻습니다.<math>T_1^1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_2^2 = T_3^3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_4^4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}</math>이에 대응하는 공변 텐서는 공식 <math>T_{\sigma\sigma} = T_\sigma^\sigma g_{\sigma\sigma}</math>에 따라 다음 값을 가집니다.1) <math>g_4 = 0</math>이라는 가정을 두면 전하 내부의 장 세기 분포가 일정하게 유도되지만, <math>g_4 \neq 0</math>인 외부 공간과의 연결에는 성공하지 못했습니다.109페이지<math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_1}{2g_1 g_4}, \quad T_{22} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_2}{2g_1 g_4}</math><math>T_{33} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_3}{2g_1 g_4}, \quad T_{44} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_4}{2g_1 g_4}</math>이것은 장의 평형을 고려하지 않은 정전기 에너지 텐서입니다. 장의 평형 텐서는 <math>\mathfrak{E}</math>에 대해 위 식 (2)의 값을 대입함으로써 얻어집니다.<math>T_{11} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}, \quad T_{22} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math><math>T_{33} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}, \quad T_{44} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math>장 방정식 (The Field Equations)아인슈타인의 일반 공변 중력 미분 방정식의 최신 및 가장 일관된 형식은 직교좌표계와 라우에 스칼라(Laue scalar) <math>\sum T_m^m = 0</math>이 소멸할 때 다음과 같이 쓰일 수 있습니다. <math>(8) \quad \sum_k \{mk, km\} = -\varkappa T_{mm},</math>여기서 <math>\varkappa</math>는 중력상수와 관련된 보편상수이며, 제2종 크리스토펠 4-인덱스 기호는 다음 값을 가집니다.<math>\{mk, km\} = \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_m} - \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mm \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_k} + \sum_\rho \left\{\begin{matrix} mk \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho m \\ k \end{matrix}\right\} - \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho k \\ k \end{matrix}\right\},</math>여기서 <math>\left\{\begin{matrix} m & k \\ & \rho \end{matrix}\right\}</math>는 제2종 크리스토펠 3-인덱스 기호이며, 직교좌표계에서는 적어도 두 개의 인덱스가 같을 때만 0이 아닌 값을 가지며 다음과 같습니다.<math>\left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ m \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math>반면, <math>m = k</math>일 때 4-인덱스 기호는 0이 됩니다.식 (8)의 처음 두 항은 쉽게 처리됩니다. 세 번째 항의 <math>\sum_\rho</math>에서는 먼저 <math>\rho = m</math>에 대해, 다음으로 <math>\rho = k</math>에 대해, 마지막으로 <math>\rho \neq m \neq k</math>인 모든 경우에 대해 합산합니다.110페이지계산 오차를 피하기 위해 어느 정도 숙련이 필요한 다소 번거로운 계산 과정을 거치면, 다음과 같은 2계 미분 불변량(Differential invariants)을 얻게 됩니다. 약간의 검증을 거치면 대칭성을 유지하면서 공변성 요구를 충족하고 유클리드 공간에서 소멸함을 확인할 수 있습니다.<math>\text{I} \begin{cases} G_{11} = \frac{d^2}{dr^2}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1} \frac{d}{dr}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) \\ \quad + \frac{1}{2}\left(\frac{d \ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d \ln \sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11}, \end{cases}</math><math>\text{II} \begin{cases} G_{22} = -1 + \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_2}{dr}\right) + \frac{1}{4g_1 g_2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_2}{dr} + \frac{1}{4g_1 g_4} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ = -\varkappa T_{22} \end{cases}</math><math>\text{III} \quad G_{33} = G_{22} \sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22} \sin^2\vartheta,</math><math>\text{IV} \begin{cases} G_{44} = \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_4}{dr}\right) - \frac{1}{4g_1 g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ \quad + \frac{1}{2g_1 g_2} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{cases}</math>무한히 많은 가능한 좌표계 중에서 우리는 다음과 같이 하나의 좌표계를 선호할 수 있습니다. <math>dr</math>이 단순한 좌표의 차이뿐만 아니라, 무한히 작은 고정된 자로 측정한 반경 방향의 거리를 의미하도록 약속한다면 <math>g_1 = -1</math>로 놓을 수 있습니다.또한 <math>\varkappa e^2 / 32 \pi^2 c^2</math>을 축약하여 <math>\lambda^2</math>으로 쓰고 <math>g_2 = -\overline{g}_2</math>로 놓으면, 식 (8)은 다음과 같은 형태를 취합니다.<math>(\text{I}) \quad \frac{d^2}{dr^2}\ln(\overline{g}_2 \sqrt{g_4}) + \frac{1}{2\overline{g}_2^2}\left(\frac{d\overline{g}_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{II}) \quad -1 + \frac{1}{2} \frac{d^2 \overline{g}_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\overline{g}_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2}</math><math>(\text{IV}) \quad \frac{1}{2} \frac{d^2 g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\overline{g}_2} \frac{d\overline{g}_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = +\frac{\lambda^2 g_4}{\overline{g}_2^2}</math>좌표계 선택을 <math>g_1 = -1</math>로 제한함으로써, 미지수 <math>\overline{g}_2</math> 및 <math>g_4</math> 단 두 개에 대해 3개의 방정식이 산출되었으므로, 언뜻 해를 구하려는 시도가 모순으로 이어질 것처럼 보일 수 있습니다.111페이지그러나 두 방정식의 일반해법이 세 번째 방정식을 항등적으로 만족시킨다는 사실이 밝혀질 것이며, 이는 대단히 주목할 만한 점입니다.따라서 변형 에너지 텐서를 결정하기 위해 비유클리드 공간에서 식 (2)의 변형 평형 보존 법칙을 보조 수단으로 사용할 필요가 전혀 없었으며, 장의 평형을 가능하게 하는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 함수로서 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>를 계산하는 데에는 중력장 방정식만으로도 이미 충분했습니다. 그러므로 전체 설정에서의 유일한 전제는 필드 세기의 6차원 벡터를 통해 변형 에너지 텐서 <math>T_\mu^\nu</math>의 표현식을 파악하는 것뿐이었습니다.아인슈타인 씨는 이 놀라운 연관성에 대해 논의할 때, 에너지와 변형력의 보존 법칙이 그의 최근 장 방정식에 포함되어 있으므로 어떤 문제에서도 특별히 새로 설정할 필요가 없음을 일반적인 방식으로 보여줄 수 있는 위치에 있다고 알려주었습니다. 여기서 다룬 특수한 사례가 입증하는 이 결과는 특히 중요한데, 한편으로는 장 방정식이 에너지 고려 사항에서 전혀 얻어지지 않고 오직 공변성 고려 사항에서만 얻어졌기 때문이며, 다른 한편으로는 장 방정식이 단지 보존 법칙보다 훨씬 더 많은 것을 말해주기 때문입니다.1)장 방정식의 적분 (Integration of the Field Equations)두 미지수 <math>\overline{g}_2</math>와 <math>g_4</math>에 대한 세 방정식 (I), (II), (IV)는 모순이 없고 상호 제한이 없는 해를 닫힌 형식(closed form)으로 허용할 것이며, 이는 다음과 같이 확인할 수 있습니다.축약 표현으로 <math>\ln \sqrt{g_4} = \gamma</math>로 놓고 <math>r</math>에 대한 미분을 프라임(')으로 표시하면, 방정식 (I), (II), (IV)는 다음과 같이 쓰입니다.1) 그 사이에 이 연관성은 D. 힐베르트와 A. 아인슈타인 자신에 의해 더 정확하게 밝혀졌습니다. 괴팅겐 학술원 보고서(Math. Phys. Kl. 1915 p. 3) 및 Annalen der Physik 49. p. 809. 1916년 참조.112페이지<math>(\text{I}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2} - \frac{\overline{g}_2'^2}{2\overline{g}_2^2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{IV}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \gamma' \frac{\overline{g}_2'}{\overline{g}_2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{II}) \quad -\overline{g}_2 + \frac{1}{2}\overline{g}_2 \overline{g}_2'' + \frac{1}{2}\gamma' \overline{g}_2' \overline{g}_2 = -\lambda^2.</math>(IV)에서 (I)을 빼면 다음을 얻습니다.<math>(a) \quad \gamma' = \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2'} - \frac{\overline{g}_2'}{2\overline{g}_2}</math>이로부터:<math>\gamma = \ln\left(\delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}\right),</math>여기서 <math>\delta</math>는 적분상수입니다. 또는:<math>\sqrt{g_4} = \delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}.</math>적분상수 <math>\delta</math>의 값은 무한대에서의 경계 조건으로부터 구할 수 있는데, 무한대에서는 <math>\sqrt{g_4} = c</math>, 즉 일반 광속과 같아야 하기 때문입니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.<math>(9) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{d}{dr}\sqrt{\overline{g}_2}</math>방정식 (a)를 (II)에 대입하면 다음을 얻습니다. <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2}\left(\overline{g}_2^{\frac{3}{4}}\right) = \overline{g}_2^{-\frac{1}{2}} - \overline{g}_2^{-\frac{5}{4}}\lambda^2.</math>두 개의 추가 적분상수를 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>라 하고, 축약을 위해 <math>\sqrt{\overline{g}_2} = h</math>로 놓으면 위 방정식의 첫 번째 적분식은 다음과 같이 산출됩니다.<math>(10) \quad h h' = \sqrt{(h - \alpha)^2 + (\lambda^2 - \alpha^2)}</math>그리고 완전해(complete solution)는 다음과 같습니다.<math>(11) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\sqrt{\left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^2 + 1} + \alpha \text{arsinh} \left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right) = r + \beta</math>이 방정식은 치환식을 사용하여 정리할 수 있습니다.<math>\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \sinh u</math> 113페이지 또는<math>(10a) \quad h = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \sinh u + \alpha</math>위 식은 다음과 같이도 쓸 수 있습니다.<math>(11a) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \cosh u + \alpha u = r + \beta.</math>방정식 (11)로부터 <math>g_2 = -h^2</math>이 무한대에서 <math>-r^2</math>과 같아져야 한다는 조건이 자발적으로 충족됨을 우선 확인할 수 있습니다.또한 식 (9)에 의해 다음과 같이 됩니다.<math>(9a) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{dh}{dr} = c \frac{\cosh u}{\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}}.</math>적분상수 (The Constants of Integration)이어 <math>\alpha</math>의 값은 전하 <math>e</math>의 중력 질량과 연관되어 있고, <math>\beta</math>의 값은 중심에서의 <math>g_2</math> 조건과 연관되어 있음을 보여줄 수 있습니다.아인슈타인 이론의 일반적인 연관성에 따라 무한대에서 전하는 전하의 중력 질점 <math>m_e</math>처럼 정확하게 작용해야 합니다. 따라서 무한대에서의 체적력(ponderomotive force)은 어떤 경우든 다음과 같은 형식으로 쓰일 수 있습니다.<math>K = -k \frac{m_e}{r^2},</math>여기서 <math>k = 6.7 \cdot 10^{-8} , (\text{cm}/\text{g}/\text{s})</math>는 일반적인 중력상수를 의미합니다.다른 형식으로서 동일한 반경 방향 체적력은 극대칭장에서 측지선의 공변 방정식으로부터 다음과 같은 형식으로 도출됩니다.1)<math>(12) \quad K = -\frac{1}{2} \frac{dg_4}{dr}</math>따라서 식 (9a)를 이용하면 다음과 같이 됩니다.1) A. 아인슈타인, 『일반상대성이론의 형식적 기초』, 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1046. 식 23b. 1914년.114페이지<math>K = \frac{c^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} \frac{\cosh u \left(1 - \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)}{\left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^4}.</math>큰 <math>u</math> 값에 대해 식 (11a)에 의하여 다음과 같이 됩니다.<math>\cosh u = \sinh u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}</math>따라서 그곳에서는 다음과 같습니다.<math>K = -\frac{c^2 \alpha}{r^2}</math><math>K</math>의 두 값을 동일하게 놓으면 <math>\alpha</math>에 대해 다음 값을 얻습니다.<math>\alpha = \frac{m_e k}{c^2}</math>예를 들어 전자의 질량을 <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>로 취하면 다음과 같이 얻어집니다.<math>\alpha = \frac{10^{-27} \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{1.82 \cdot 9 \cdot 10^{20}} = 0.408 \cdot 10^{-55}.</math>따라서 상수 <math>\alpha^2</math>은 소전하의 경우 극도로 작아지며, 아래에서 보여지듯 감산 결합된 상수 <math>\lambda^2</math>에 비해서도 극도로 작습니다. 그러나 이 상수는 원리적 의미를 가지며, 전하가 중력 질량 및 관성 질량을 가져야 한다면 소멸할 수 없습니다. 향후 대전된 장, 즉 전자에 대한 모든 평형 이론은 첫 번째 설정에서부터 적분상수 <math>\alpha</math>가 0이 되는 가능성을 배제해야 합니다.일차 6차원 벡터의 유일하게 존재하는 성분은 일반적인 경우 다음과 같이 됩니다.<math>(14) \quad \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{\overline{g}_2} = -\frac{e}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{\overline{g}_2}} \frac{d\sqrt{\overline{g}_2}}{dr}</math><math>= \frac{e}{4\pi(h^2 - \alpha^2)} \left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^3</math>115페이지그리고 이는 방정식 (11a)와 (9a)에 의해 쉽게 계산할 수 있습니다.정전 포텐셜은 다음과 같이 됩니다.<math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi \sqrt{\overline{g}_2}}</math>해법 (11)은 <math>\alpha = 0</math>일 때 특히 단순해지며, 이 해법이 위의 <math>\alpha</math> 값에 대한 해법과 눈에 띄게 다르지 않으므로 여기에 표기해 둡니다.식 (11)로부터 <math>\alpha = 0</math>일 때 즉시 다음을 얻습니다.<math>(11b) \quad \overline{g}_2 = (r + \beta)^2 - \lambda^2.</math><math>(9b) \quad g_4 = c^2 \frac{(r + \beta)^2}{(r + \beta)^2 - \lambda^2}</math>거의 실현되는 이 특수한 경우 <math>\alpha = 0</math>에서 추가로 다음을 얻습니다.<math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r + \beta}{((r + \beta)^2 - \lambda^2)^{3/2}}</math>이제 보편 아인슈타인 상수 <math>\varkappa</math>의 값과 상수 <math>\lambda</math>의 값을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.우선 장 방정식 (I), (II), (IV)는 대전되지 않은 비간섭성(incoherent) 질량 분포의 무한히 약한 극대칭 중력장을 특수한 경우로 포함해야 합니다.밀도 <math>\rho_m</math>을 갖는 비간섭성 질량 분포의 공변 에너지 텐서는 아인슈타인에 따라 정역학적 경우 및 직교 체계에서 다음과 같습니다.1)<math>T_{11} = T_{22} = T_{33} = 0, \quad T_{44} = \rho_m g_4.</math>이에 해당하는 스칼라 <math>T = \sum T_m^m</math>은 <math>\rho_m</math> 값을 가집니다. 따라서 장 방정식의 우변은 다음과 같이 됩니다.2)1) 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1059. 식 48. 1914년.2) 같은 책, p. 845. 식 2a. 1915년. {{col-end}} <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. fmi7s88xj5got3t0cxd1d26tlz4fjcw 459195 459194 2026-09-06T08:29:15Z Danuri19 16656 459195 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판<ref>[https://edition-open-sources.org/sources/10/6/index.html? George B. Jeffery (1921): The Field of an Electron on Einstein’s Theory of Gravitation]</ref><ref>[https://zenodo.org/records/1447315? Hans Reissner Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie 『Annalen der Physik』, Vierte Folge, Band 50 전체 통권 Band 355 1916년, pp. 106–120]</ref> | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} {{col-begin}} {{col-3}} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) {{col-3}} Original p. 106 After Einstein had demonstrated the fruitfulness of his new covariant field equations of gravitation, and thereby of the postulate of the most general relativity, through his explanation of the perihelion motion of Mercury, and after he had elsewhere given a generally covariant formulation of the Maxwell-Lorentz equations of the electromagnetic field, it appeared to me that the next task was to investigate, by means of a simple example, the influence of the self-gravitation of a spherically symmetric electric field. I did, indeed, begin with the hope of finding a static cohesion of elementary charges through their self-gravitation without having to leave the ground of Maxwell's theory. In the course of the investigation, however, I was initially able to establish only that Einsteinian gravitation distorts the field of an elementary electric charge in a definite, though extraordinarily small, manner, but that by its nature it cannot cancel the mutual electrostatic repulsion of the elements of charge. The constitution of the elementary charge can therefore be obtained only by introducing a further fundamental assumption: either by modifying Maxwell's equations in the sense of Mie, by adding to the Maxwell tensor a stress tensor of the simplest possible kind, or, finally, by regarding the electron not as static but as electrodynamically stationary. Concerning the calculation, in which Einstein assisted me with a variety of explanations and criticisms, the following preliminary remarks may be made. No restriction was placed on the choice of coordinate system in setting up the field equations, and in particular none was placed on the value of the transformation determinant. Original p. 107 It was therefore possible to introduce the usual spherical polar coordinate system, whereas Schwarzschild, in order to preserve the value one for the discriminant of the line element, employed a particularly ingenious coordinate system. Nevertheless, in the present case the most general coordinate system seems to me more advantageous than a special one for setting up and integrating the field equations, quite apart from the fine insight it gives into the complete covariance of the theory. The field of an uncharged mass point presented by Einstein and Schwarzschild proves to be a special case of the field of a spherical charge calculated here. It may serve as a check upon the correctness of the present solution that it passes into the Schwarzschild solution when it is transformed to Schwarzschild's special coordinate system and the charge is allowed to vanish. The problem posed here is therefore the following: What is the most general electrostatic field in equilibrium and possessing spherical symmetry if nothing is assumed beyond the Maxwell stress-energy tensor in covariant form and Einstein's generally covariant field equations of gravitation. The assumption of symmetry simplifies the form of the line element of the generally non-Euclidean space, so that it can be written in spatial polar coordinates that remain orthogonal. [Line element omitted.. Here single indices are written in place of double indices. In Euclidean space-that is, in a space containing no stress-energy tensor-the metric coefficients take their familiar values, and c denotes the ordinary velocity of light. Original p. 108 Einstein has shown generally how the values of the metric coefficients determine the properties of measuring rods and clocks, the form of the shortest lines, the paths of mass points and light rays, the velocity of light, and the gravitational potential. THE TENSOR OF THE ELECTROSTATIC FIEL. The energy tensor required for the gravitational field equations and for the equilibrium condition of the electrostatic field may be obtained as follows. Of the components of the first covariant six-vector of the field, only one remains in the case of rest and spherical symmetry, namely the radial electric-field component. The second, contravariant, six-vector derived from it likewise has only one component. [Field-tensor relation omitted.. The contravariant four-vector of the electric vacuum-current density also has only one non-vanishing component. [Equation (1) omitted.. Here rho denotes the charge density. The covariant four-vector of mechanical force density assumes its standard form in the general static case and a radial form under complete spherical symmetry. [Force-density equations omitted.. This general static ansatz shows that the resultant force density can vanish only if either the charge density or the electric field strength vanishes. These quantities, in turn, can vanish simultaneously throughout a finite interval only in the exceptional case in which one of the relevant metric coefficients vanishes throughout that interval. Original p. 109 Thus one may state: A Maxwellian electrostatic field, even under the influence of its own gravitation, can be in equilibrium only where no charge density is present, provided one excludes the case in which a line element or the velocity of light becomes zero. Since these exceptional cases appear to possess no physical significance, an investigation based upon the pure Maxwell stress-energy tensor and spherical symmetry must be restricted to the field of a spherical charge under the influence of its self-gravitation in empty space. For this case the four-current must vanish. Integration then gives the electric field in terms of the metric coefficients. The integration constant is determined immediately from the condition at infinity, where the metric becomes flat and the field becomes the Coulomb field of the total charge e situated at the centre. [Equation (2) omitted.. Substitution of these values into Einstein's expression for the mixed energy tensor gives its four diagonal components. The corresponding covariant tensor follows by lowering the index with the metric. [Stress-energy components omitted.. Original p. 110 This is the electrostatic energy tensor, but without yet taking account of the equilibrium of the field. The equilibrium tensor is obtained by substituting the field value found in equation (2). [Equilibrium stress-energy components omitted.. THE FIELD EQUATION. Einstein's generally covariant differential equations for a gravitational field, in their latest and most consistent form, can be written for orthogonal coordinates and a vanishing Laue scalar in terms of the contracted Christoffel symbols. [Equation (8) omitted.. Here kappa is a universal constant related to the gravitational constant. The four-index Christoffel symbol of the second kind is expressed through the three-index symbols. In orthogonal coordinates, the latter differ from zero only when at least two indices coincide. [Christoffel-symbol formulas omitted.. The four-index symbol vanishes when the relevant two indices are equal. The first two terms of equation (8) cause no difficulty. In the sum of the third term one first sums over one coincident index, then over the other, and finally over all indices distinct from both. Original p. 111 After a somewhat laborious calculation, requiring some practice if computational errors are to be avoided, one arrives at the following second-order differential invariants. A straightforward check shows that they satisfy covariance under the imposed symmetry and vanish in Euclidean space. [Equations (I)-(IV) omitted.. Among the infinitely many possible coordinate systems, we may evidently privilege one in the following manner. Let dr denote not merely a coordinate difference but also the distance in the radial direction measured with an infinitesimal rigid measuring rod. With this convention the radial metric coefficient is set equal to minus one. For brevity, introduce lambda squared for the indicated combination of kappa, charge, and c, and replace the negative angular metric coefficient by a positive barred quantity. The field equations then take a system of three ordinary differential equations. [Reduced equations (I), (II), and (IV) omitted.. Original p. 112. The restriction imposed upon the coordinate system has therefore produced three equations for only two unknown metric functions, and at first it appears that an attempt at solution might lead to a contradiction. It will be shown, however-and this is extraordinarily noteworthy-that the general solution of two of the equations satisfies the third identically. Thus it would not have been necessary to employ the conservation law, that is, the stress-equilibrium condition represented by equation (2) in non-Euclidean space, in determining the stress-energy tensor. The gravitational field equations alone would already have sufficed to calculate, as a function of the metric, the field strength that permits equilibrium. The only prerequisite for the entire ansatz was therefore knowledge of the expression of the stress-energy tensor in terms of the six-vector of field strength. In discussing this surprising connection, Einstein informed me that he was then in a position to show generally that the conservation laws of energy and stresses are contained in his latest field equations and therefore need not be imposed separately in each problem. This result, confirmed by the special case treated here, is particularly important because the field equations were obtained not from energy considerations but solely from considerations of covariance, while at the same time they assert much more than the conservation laws alone. THE INTEGRATION OF THE FIELD EQUATION. The three equations (I), (II), and (IV), containing the two unknown metric functions, therefore admit a consistent closed-form solution without mutually restricting one another. Introduce gamma as the logarithm of the square root of the temporal metric coefficient, and denote differentiation with respect to r by primes. The equations then assume a more compact form. Original p. 113. [Reduced equations and equation (a) omitted.. Subtracting equation (I) from equation (IV) gives a first differential relation. Its integration introduces a constant delta. The boundary condition at infinity, where the local velocity of light is to equal the normal value c, determines this constant and yields equation (9). [Equation (9) omitted.. Substitution into equation (II) produces a second-order equation for the angular metric coefficient. Introduce two further integration constants, alpha and beta, and set h equal to the square root of the positive angular coefficient. The first integral is equation (10), and complete integration gives equation (11). [Equations (10) and (11) omitted.. The result may alternatively be written by means of a hyperbolic substitution. [Substitution omitted.. Original p. 114. [Equations (10a), (11a), and (9a) omitted.. Equation (11) first shows that the condition requiring the angular metric coefficient to approach the square of the radius at infinity is satisfied automatically. Equation (9) then supplies the temporal metric coefficient. THE INTEGRATION CONSTANT. It can now be shown that alpha is related to the gravitating mass of the charge e, while beta is related to the condition imposed on the angular metric coefficient at the centre. According to the general connection supplied by Einstein's theory, a charge at infinity must act just like a gravitating mass point having the mass of the charge. The ponderomotive force at infinity may therefore be written in Newtonian form, where k is the ordinary gravitational constant. [Newtonian force formula omitted.. The same radial ponderomotive force follows in another form from the covariant equation of the geodesic line in a spherically symmetric field. [Equation (12) omitted.. Original p. 115. Using equation (9a), and taking the large-distance limit, one finds the inverse-square gravitational force and identifies alpha with the gravitational radius associated with the mass of the charge. [Identification and numerical estimate of alpha omitted.. The constant alpha squared is therefore extraordinarily small for an elementary charge and, as shown below, extraordinarily small even in comparison with the constant lambda squared from which it is subtracted. Nevertheless it possesses a significance of principle and must not vanish if the electric charge is to possess gravitating inertial mass. Every future equilibrium theory of the charged field-that is, of the electron-must exclude the disappearance of the integration constant alpha from the outset. The sole non-vanishing component of the primary electromagnetic six-vector in the general case is then obtained from the preceding solution. [Equation (14) omitted.. Original p. 116. It is readily calculated from equations (11a) and (9a). The electrostatic potential is correspondingly obtained. [Electrostatic potential omitted.. The solution becomes especially simple when alpha is set equal to zero. Since this solution differs imperceptibly from the one using the numerical value of alpha found above, it is useful to state it separately. [Equations (11b), (9b), and the simplified field strength omitted.. The values of Einstein's universal constant kappa and of lambda can now be calculated. The field equations must contain, as a special case, the infinitely weak spherically symmetric gravitational field of an uncharged, incoherent distribution of mass. According to Einstein, the covariant energy tensor of an incoherent mass distribution of density rho_m, in the static case and in an orthogonal system, has only its temporal component different from zero. The corresponding trace has the value rho_m. [Matter stress-energy components omitted.. Original p. 117. The right-hand side of the general field equations then takes the trace-reversed form used by Einstein. [Trace-reversed field equation and components omitted.. Linearising equation (IV) about flat space gives the ordinary Poisson equation. Consequently the temporal perturbation divided by two may be regarded as the gravitational potential, just as in equation (12). Comparison with Newtonian gravity determines kappa. [Weak-field equation and numerical value of kappa omitted.. From this one obtains lambda and its numerical value for the elementary charge. [Values of lambda squared and lambda omitted.. Thus, despite its smallness, lambda is still approximately one hundred thousand billion billion times as large as alpha. The constant beta can be obtained from the condition that the circumference of a circle must tend to zero as the radius decreases; that is, h must vanish when r is zero. Equation (10a) then fixes the value u_0, and equation (11a) fixes beta. Because alpha is so small compared with lambda, beta is approximately equal to lambda. [Boundary equations for u_0 and beta omitted.. Original p. 118. At r equal to zero, equation (14) makes the field strength infinite. It is evident that continuation of the solution to the centre leads to an impossibility, corresponding to the fact that charge must be distributed around the centre and that Maxwell's theory does not supply the equilibrium of that distribution. If one attempted to force the field strength to change sign at a radius r_0 by choosing beta accordingly, the field strength would become infinite there and the angular metric coefficient would vanish. The line element cannot reasonably be subjected to such a consequence. Moreover, this would produce a mutual attraction of like charge densities but not an equilibrium; to enforce equilibrium one would perhaps have to add another stress tensor. Outside the charged region, however, the field of the charge is represented consistently. The field strength and the metric coefficients differ appreciably from their Euclidean values only where the radius is of the order of lambda, approximately 10^-34 centimetres. Since the electron radius is taken to be approximately 10^-13 centimetres, the influence of self-gravitation within the physically relevant domain of the solution eludes all possibility of detection. THE DEGENERATE CASE g₄ = . On page 109 attention was drawn to the formal possibility of equilibrium of charge if the field strength and the velocity of light are both allowed to vanish in such a way that their ratio remains finite. [Definition of the limiting field omitted.. The temporal component of the four-current then assumes a corresponding limiting form, where rho denotes charge density. [Current equation omitted.. For the sake of curiosity, the result of this dead end may be stated without derivation. The energy tensor takes a degenerate form. Original p. 119. [Degenerate stress-energy tensor omitted.. The mixed tensor vanishes. With the radial metric coefficient set equal to minus one, the field equations permit a formal solution containing two integration constants, alpha and beta. [Degenerate solution omitted.. Further expressions for the field and total charge follow, but this solution does not appear capable of acquiring any physical significance. THE NON-ELECTRIC FIEL. The gravitational field of an uncharged, spherical, resting mass must emerge as a special case of the general solution given above when the charge, and therefore lambda, is set equal to zero. The result must reduce to Schwarzschild's solution. It is worthwhile to show this explicitly because Schwarzschild fixed from the outset a coordinate system in which the determinant condition has a prescribed value, whereas the present calculation began without restriction and subsequently imposed the condition that the radial metric coefficient equal minus one. In Schwarzschild's coordinates the metric coefficients have their standard forms, with an auxiliary radial coordinate R related cubically to Schwarzschild's original coordinate. [Schwarzschild metric coefficients omitted.. Original p. 120. In the present coordinates, with c equal to one, the radial metric coefficient is minus one, the angular coefficient is minus h squared, and the temporal coefficient is the square of dh/dr. [Metric relations omitted.. A different measure of radial length has therefore been selected. Since only the radial coordinate is transformed, the angular and temporal metric coefficients must agree in the two representations. [Coordinate transformation omitted.. One obtains h equal to R and the Schwarzschild temporal coefficient. The two solutions therefore pass into one another when the two mass parameters are appropriately identified. Charlottenburg, March 1916. Received 20 March 1916. TRANSLATOR'S NOT. This translation preserves Reissner's historical terminology and argumentative order. Equations have been omitted at the reader's request, but their original locations and labels have been retained. In modern terminology, the paper studies the static, spherically symmetric electrovacuum reduction of the Einstein-Maxwell system. Reissner's most striking conceptual observation occurs on original page 112: the conservation laws need not be imposed independently, because the structure of Einstein's field equations already contains the required consistency relations. {{col-3}} 106페이지4. 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자가 중력에 대하여;H. 라이스너(H. Reissner)아인슈타인 씨가 수성 서행 운동(수성의 근일점 이동)을 설명함으로써 그의 새로운 공변 중력장 방정식, 나아가 일반 상대성 공리의 유용성을 입증하였고, 다른 논문을 통해 전자기장의 맥스웰-로런츠 방정식을 일반 공변 형태로 제시하였습니다. 이에 따라 구대칭을 가지는 전기장의 자가 중력(Eigengravitation)이 미치는 영향을 간단한 예시를 통해 조사하는 것을 다음 과제로 삼게 되었습니다.비록 본 연구를 시작할 당시에는 맥스웰 이론의 틀을 벗어나지 않고 소전하(Elementarladung) 자체의 자가 중력을 통해 정역학적 결합(전하의 안정성)을 찾을 수 있으리라는 기대를 가졌으나, 연구 과정에서 아인슈타인의 중력이 소전하의 전기장을 특정한(그리고 극도로 미미한) 방식으로 왜곡시킬 뿐, 그 본질상 전하 요소들 사이의 상호 정전기적 반발력을 상쇄할 수는 없다는 사실만을 우선 확인하게 되었습니다.따라서 소전하의 구조를 설명하기 위해서는 추가적인 기본 가정이 도입되어야만 할 것입니다. 미(Mie)의 개념에 따라 맥스웰 방정식을 수정하든가, 맥스웰 변형 텐서에 가능한 한 단순한 변형 텐서를 추가하든가, 혹은 최종적으로 전자를 정역학적이 아닌 전자기학적으로 정상 상태(stationär)인 구조로 파악하는 방식 중 하나를 취해야 합니다.아인슈타인 씨로부터 다양한 설명과 비판적 조언을 받아 진행한 계산 수행 과정과 관련하여, 먼저 다음 사항을 밝혀두고자 합니다.장 방정식을 수립하는 데 있어 좌표계의 선택, 특히 치환 행렬식(Substitutionsdeterminante)의 값에 어떠한 제한도 두지 않았습니다. 따라서 일반적인 공간 구면좌표계를 도입할 수 있었는데, 이는 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 선요소(Linienelement)의 판별식 <math>\sqrt{-g}</math>의 값을 1로 유지하기 위해 특별히 교묘하게 선택된 좌표계를 사용한 것과 대조적입니다.그럼에도 불구하고 이 문제에서는 전체 이론의 완전한 공변성을 보여주는 명쾌한 통찰을 제공할 뿐만 아니라, 장 방정식의 수립 및 통합에 있어서도 특정한 좌표계보다 가장 일반적인 좌표계를 사용하는 것이 오히려 더 유리하다고 판단됩니다.아인슈타인 씨 자신과 슈바르츠실트에 의해 제시된 전하가 없는 질점의 장(Field)은 본 논문에서 계산된 구형 전하 장의 특수한 경우임이 밝혀졌습니다. 또한 특정한 슈바르츠실트 좌표계로 변환하고 전하를 0으로 놓았을 때 본 해법이 슈바르츠실트의 해로 귀결된다는 점은 여기서 제시된 해법의 정당성을 검증하는 역할을 합니다.따라서 여기서 설정한 문제는 다음과 같습니다. 공변 형태의 맥스웰 변형 에너지 텐서와 아인슈타인의 일반 공변 중력장 방정식 외에 다른 아무것도 전제하지 않을 때, 평형 상태에 있는 구대칭 정전기장의 가장 일반적인 형태는 무엇인가?대칭성 전제는 일반적으로 비유클리드 공간인 선요소의 형식을 단순화하는 결과를 가져오므로, 이 선요소는 공간적(직교 상태를 유지하는) 구면좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.<math>ds^2 = g_1 dr^2 + g_2 d\vartheta^2 + g_3 d\varphi^2 + g_4 dt^2,</math>여기서 이중 첨자 대신 단일 첨자만 사용하여 다음과 같이 나타냅니다.<math>g_{\nu\nu} = g_\nu, \quad g_{\mu\nu} = 0 \quad (\mu \neq \nu \text{일 때})</math>그리고 변형 에너지 텐서를 포함하지 않는 유클리드 공간에 대해 <math>g_\nu</math>는 다음 값을 가집니다.<math>g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_3 = g_2 \sin^2\vartheta, \quad g_4 = c^2,</math>여기서 <math>c</math>는 진공에서의 일반적인 광속을 의미합니다.107페이지아인슈타인 씨는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값들이 자와 시계의 성질, 최단선(측지선)의 형태, 질점과 광선의 궤도, 광속 및 중력 포텐셜을 어떻게 결정하는지 일반적으로 보여주었습니다.정전기장의 텐서중력장 방정식과 정전기장의 평형 조건에 필요한 에너지 텐서는 다음과 같이 도출할 수 있습니다.1)첫 번째 공변 6차원 벡터(Covariant 6-vector) <math>F_{\alpha\beta}</math>의 성분 중 정지 상태 및 극대칭성(polar symmetry)을 가질 때 남는 것은 오직 하나, 즉 <math>F_{14} = \mathfrak{E}</math>뿐입니다. 이로부터 도출되는 두 번째 반공변(contravariant) V-6차원 벡터 <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> 역시 이 경우 오직 하나의 성분만을 가집니다.<math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}</math>진공에서의 전기 전류밀도의 반공변 V-4차원 벡터 역시 0이 아닌 성분을 단 하나만 가집니다.<math>(1) \quad \mathfrak{J}^4 = \rho \frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial \mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math>여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.역학적 힘 밀도(force density)의 공변 V-4차원 벡터는 일반적인 정역학적 경우 다음과 같이 됩니다.<math>\mathfrak{K}_\sigma = F_{\sigma 4} \mathfrak{J}^4</math>그리고 구대칭(모든 방향의 대칭)일 때:<math>\mathfrak{K}_r = F_{14} \mathfrak{J}^4 = \mathfrak{E} \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math>이 일반적인 정역학적 설정은 알짜 힘 밀도가 0이 되기 위해서는 전하밀도가 0이 되거나 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>가 0이 되어야 함을 보여줍니다. 그러나 이 값들은 <math>g_1</math> 또는 <math>g_4</math>가 해당 유한 구간에서 0이 되는 경우를 제외하고는, 유한한 구간 내에서 동시에만 0의 값을 가질 수 있습니다.따라서 다음과 같이 기술할 수 있습니다.1) A. 아인슈타인, 『전자기학의 맥스웰장 방정식에 대한 새로운 형식적 해석』. 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 184–188. 1916년.108페이지맥스웰 정전기장은 자가 중력의 영향 하에서도, 선요소나 광속이 0이 되는 특수한 경우를 제외한다면 전하밀도가 존재하지 않는 곳에서만 평형을 유지할 수 있습니다.1)이러한 예외적인 경우가 물리적 의미를 갖지 않는 것으로 보이므로, 순수한 맥스웰 변형 에너지 텐서와 구대칭을 기본 바탕으로 삼고자 한다면, 본 연구는 진공 공간에서 자가 중력의 영향을 받는 구형 전하의 장으로 제한되어야 합니다.따라서 이 경우에는 <math>\mathfrak{J}^4 = 0</math>이어야 하며, 이에 따라 다음과 같이 됩니다.<math>\mathfrak{E} = \text{const} \cdot \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{-g_2}</math>적분상수는 무한대에서의 경계 조건으로부터 즉시 결정할 수 있습니다. 무한대에서는 중심의 총전하를 <math>e</math>라 할 때 다음과 같이 놓아야 합니다.<math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \quad g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_4 = c^2,</math>따라서<math>\text{const} = \frac{e}{4\pi c}</math>이로부터 다음을 얻습니다.<math>(2) \quad \begin{cases} \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{g_2} \\ \mathfrak{F}^{14} = F_{14} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{1}{g_2} \end{cases}</math>이 값들을 위에서 인용한 아인슈타인의 논문에 제시된 혼합 에너지 텐서 식 (9)에 대입하면 다음을 얻습니다.<math>T_1^1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_2^2 = T_3^3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_4^4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}</math>이에 대응하는 공변 텐서는 공식 <math>T_{\sigma\sigma} = T_\sigma^\sigma g_{\sigma\sigma}</math>에 따라 다음 값을 가집니다.1) <math>g_4 = 0</math>이라는 가정을 두면 전하 내부의 장 세기 분포가 일정하게 유도되지만, <math>g_4 \neq 0</math>인 외부 공간과의 연결에는 성공하지 못했습니다.109페이지<math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_1}{2g_1 g_4}, \quad T_{22} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_2}{2g_1 g_4}</math><math>T_{33} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_3}{2g_1 g_4}, \quad T_{44} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_4}{2g_1 g_4}</math>이것은 장의 평형을 고려하지 않은 정전기 에너지 텐서입니다. 장의 평형 텐서는 <math>\mathfrak{E}</math>에 대해 위 식 (2)의 값을 대입함으로써 얻어집니다.<math>T_{11} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}, \quad T_{22} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math><math>T_{33} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}, \quad T_{44} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math>장 방정식 (The Field Equations)아인슈타인의 일반 공변 중력 미분 방정식의 최신 및 가장 일관된 형식은 직교좌표계와 라우에 스칼라(Laue scalar) <math>\sum T_m^m = 0</math>이 소멸할 때 다음과 같이 쓰일 수 있습니다. <math>(8) \quad \sum_k \{mk, km\} = -\varkappa T_{mm},</math>여기서 <math>\varkappa</math>는 중력상수와 관련된 보편상수이며, 제2종 크리스토펠 4-인덱스 기호는 다음 값을 가집니다.<math>\{mk, km\} = \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_m} - \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mm \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_k} + \sum_\rho \left\{\begin{matrix} mk \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho m \\ k \end{matrix}\right\} - \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho k \\ k \end{matrix}\right\},</math>여기서 <math>\left\{\begin{matrix} m & k \\ & \rho \end{matrix}\right\}</math>는 제2종 크리스토펠 3-인덱스 기호이며, 직교좌표계에서는 적어도 두 개의 인덱스가 같을 때만 0이 아닌 값을 가지며 다음과 같습니다.<math>\left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ m \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math>반면, <math>m = k</math>일 때 4-인덱스 기호는 0이 됩니다.식 (8)의 처음 두 항은 쉽게 처리됩니다. 세 번째 항의 <math>\sum_\rho</math>에서는 먼저 <math>\rho = m</math>에 대해, 다음으로 <math>\rho = k</math>에 대해, 마지막으로 <math>\rho \neq m \neq k</math>인 모든 경우에 대해 합산합니다.110페이지계산 오차를 피하기 위해 어느 정도 숙련이 필요한 다소 번거로운 계산 과정을 거치면, 다음과 같은 2계 미분 불변량(Differential invariants)을 얻게 됩니다. 약간의 검증을 거치면 대칭성을 유지하면서 공변성 요구를 충족하고 유클리드 공간에서 소멸함을 확인할 수 있습니다.<math>\text{I} \begin{cases} G_{11} = \frac{d^2}{dr^2}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1} \frac{d}{dr}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) \\ \quad + \frac{1}{2}\left(\frac{d \ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d \ln \sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11}, \end{cases}</math><math>\text{II} \begin{cases} G_{22} = -1 + \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_2}{dr}\right) + \frac{1}{4g_1 g_2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_2}{dr} + \frac{1}{4g_1 g_4} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ = -\varkappa T_{22} \end{cases}</math><math>\text{III} \quad G_{33} = G_{22} \sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22} \sin^2\vartheta,</math><math>\text{IV} \begin{cases} G_{44} = \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_4}{dr}\right) - \frac{1}{4g_1 g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ \quad + \frac{1}{2g_1 g_2} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{cases}</math>무한히 많은 가능한 좌표계 중에서 우리는 다음과 같이 하나의 좌표계를 선호할 수 있습니다. <math>dr</math>이 단순한 좌표의 차이뿐만 아니라, 무한히 작은 고정된 자로 측정한 반경 방향의 거리를 의미하도록 약속한다면 <math>g_1 = -1</math>로 놓을 수 있습니다.또한 <math>\varkappa e^2 / 32 \pi^2 c^2</math>을 축약하여 <math>\lambda^2</math>으로 쓰고 <math>g_2 = -\overline{g}_2</math>로 놓으면, 식 (8)은 다음과 같은 형태를 취합니다.<math>(\text{I}) \quad \frac{d^2}{dr^2}\ln(\overline{g}_2 \sqrt{g_4}) + \frac{1}{2\overline{g}_2^2}\left(\frac{d\overline{g}_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{II}) \quad -1 + \frac{1}{2} \frac{d^2 \overline{g}_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\overline{g}_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2}</math><math>(\text{IV}) \quad \frac{1}{2} \frac{d^2 g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\overline{g}_2} \frac{d\overline{g}_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = +\frac{\lambda^2 g_4}{\overline{g}_2^2}</math>좌표계 선택을 <math>g_1 = -1</math>로 제한함으로써, 미지수 <math>\overline{g}_2</math> 및 <math>g_4</math> 단 두 개에 대해 3개의 방정식이 산출되었으므로, 언뜻 해를 구하려는 시도가 모순으로 이어질 것처럼 보일 수 있습니다.111페이지그러나 두 방정식의 일반해법이 세 번째 방정식을 항등적으로 만족시킨다는 사실이 밝혀질 것이며, 이는 대단히 주목할 만한 점입니다.따라서 변형 에너지 텐서를 결정하기 위해 비유클리드 공간에서 식 (2)의 변형 평형 보존 법칙을 보조 수단으로 사용할 필요가 전혀 없었으며, 장의 평형을 가능하게 하는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 함수로서 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>를 계산하는 데에는 중력장 방정식만으로도 이미 충분했습니다. 그러므로 전체 설정에서의 유일한 전제는 필드 세기의 6차원 벡터를 통해 변형 에너지 텐서 <math>T_\mu^\nu</math>의 표현식을 파악하는 것뿐이었습니다.아인슈타인 씨는 이 놀라운 연관성에 대해 논의할 때, 에너지와 변형력의 보존 법칙이 그의 최근 장 방정식에 포함되어 있으므로 어떤 문제에서도 특별히 새로 설정할 필요가 없음을 일반적인 방식으로 보여줄 수 있는 위치에 있다고 알려주었습니다. 여기서 다룬 특수한 사례가 입증하는 이 결과는 특히 중요한데, 한편으로는 장 방정식이 에너지 고려 사항에서 전혀 얻어지지 않고 오직 공변성 고려 사항에서만 얻어졌기 때문이며, 다른 한편으로는 장 방정식이 단지 보존 법칙보다 훨씬 더 많은 것을 말해주기 때문입니다.1)장 방정식의 적분 (Integration of the Field Equations)두 미지수 <math>\overline{g}_2</math>와 <math>g_4</math>에 대한 세 방정식 (I), (II), (IV)는 모순이 없고 상호 제한이 없는 해를 닫힌 형식(closed form)으로 허용할 것이며, 이는 다음과 같이 확인할 수 있습니다.축약 표현으로 <math>\ln \sqrt{g_4} = \gamma</math>로 놓고 <math>r</math>에 대한 미분을 프라임(')으로 표시하면, 방정식 (I), (II), (IV)는 다음과 같이 쓰입니다.1) 그 사이에 이 연관성은 D. 힐베르트와 A. 아인슈타인 자신에 의해 더 정확하게 밝혀졌습니다. 괴팅겐 학술원 보고서(Math. Phys. Kl. 1915 p. 3) 및 Annalen der Physik 49. p. 809. 1916년 참조.112페이지<math>(\text{I}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2} - \frac{\overline{g}_2'^2}{2\overline{g}_2^2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{IV}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \gamma' \frac{\overline{g}_2'}{\overline{g}_2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{II}) \quad -\overline{g}_2 + \frac{1}{2}\overline{g}_2 \overline{g}_2'' + \frac{1}{2}\gamma' \overline{g}_2' \overline{g}_2 = -\lambda^2.</math>(IV)에서 (I)을 빼면 다음을 얻습니다.<math>(a) \quad \gamma' = \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2'} - \frac{\overline{g}_2'}{2\overline{g}_2}</math>이로부터:<math>\gamma = \ln\left(\delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}\right),</math>여기서 <math>\delta</math>는 적분상수입니다. 또는:<math>\sqrt{g_4} = \delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}.</math>적분상수 <math>\delta</math>의 값은 무한대에서의 경계 조건으로부터 구할 수 있는데, 무한대에서는 <math>\sqrt{g_4} = c</math>, 즉 일반 광속과 같아야 하기 때문입니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.<math>(9) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{d}{dr}\sqrt{\overline{g}_2}</math>방정식 (a)를 (II)에 대입하면 다음을 얻습니다. <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2}\left(\overline{g}_2^{\frac{3}{4}}\right) = \overline{g}_2^{-\frac{1}{2}} - \overline{g}_2^{-\frac{5}{4}}\lambda^2.</math>두 개의 추가 적분상수를 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>라 하고, 축약을 위해 <math>\sqrt{\overline{g}_2} = h</math>로 놓으면 위 방정식의 첫 번째 적분식은 다음과 같이 산출됩니다.<math>(10) \quad h h' = \sqrt{(h - \alpha)^2 + (\lambda^2 - \alpha^2)}</math>그리고 완전해(complete solution)는 다음과 같습니다.<math>(11) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\sqrt{\left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^2 + 1} + \alpha \text{arsinh} \left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right) = r + \beta</math>이 방정식은 치환식을 사용하여 정리할 수 있습니다.<math>\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \sinh u</math> 113페이지 또는<math>(10a) \quad h = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \sinh u + \alpha</math>위 식은 다음과 같이도 쓸 수 있습니다.<math>(11a) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \cosh u + \alpha u = r + \beta.</math>방정식 (11)로부터 <math>g_2 = -h^2</math>이 무한대에서 <math>-r^2</math>과 같아져야 한다는 조건이 자발적으로 충족됨을 우선 확인할 수 있습니다.또한 식 (9)에 의해 다음과 같이 됩니다.<math>(9a) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{dh}{dr} = c \frac{\cosh u}{\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}}.</math>적분상수 (The Constants of Integration)이어 <math>\alpha</math>의 값은 전하 <math>e</math>의 중력 질량과 연관되어 있고, <math>\beta</math>의 값은 중심에서의 <math>g_2</math> 조건과 연관되어 있음을 보여줄 수 있습니다.아인슈타인 이론의 일반적인 연관성에 따라 무한대에서 전하는 전하의 중력 질점 <math>m_e</math>처럼 정확하게 작용해야 합니다. 따라서 무한대에서의 체적력(ponderomotive force)은 어떤 경우든 다음과 같은 형식으로 쓰일 수 있습니다.<math>K = -k \frac{m_e}{r^2},</math>여기서 <math>k = 6.7 \cdot 10^{-8} , (\text{cm}/\text{g}/\text{s})</math>는 일반적인 중력상수를 의미합니다.다른 형식으로서 동일한 반경 방향 체적력은 극대칭장에서 측지선의 공변 방정식으로부터 다음과 같은 형식으로 도출됩니다.1)<math>(12) \quad K = -\frac{1}{2} \frac{dg_4}{dr}</math>따라서 식 (9a)를 이용하면 다음과 같이 됩니다.1) A. 아인슈타인, 『일반상대성이론의 형식적 기초』, 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1046. 식 23b. 1914년.114페이지<math>K = \frac{c^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} \frac{\cosh u \left(1 - \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)}{\left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^4}.</math>큰 <math>u</math> 값에 대해 식 (11a)에 의하여 다음과 같이 됩니다.<math>\cosh u = \sinh u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}</math>따라서 그곳에서는 다음과 같습니다.<math>K = -\frac{c^2 \alpha}{r^2}</math><math>K</math>의 두 값을 동일하게 놓으면 <math>\alpha</math>에 대해 다음 값을 얻습니다.<math>\alpha = \frac{m_e k}{c^2}</math>예를 들어 전자의 질량을 <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>로 취하면 다음과 같이 얻어집니다.<math>\alpha = \frac{10^{-27} \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{1.82 \cdot 9 \cdot 10^{20}} = 0.408 \cdot 10^{-55}.</math>따라서 상수 <math>\alpha^2</math>은 소전하의 경우 극도로 작아지며, 아래에서 보여지듯 감산 결합된 상수 <math>\lambda^2</math>에 비해서도 극도로 작습니다. 그러나 이 상수는 원리적 의미를 가지며, 전하가 중력 질량 및 관성 질량을 가져야 한다면 소멸할 수 없습니다. 향후 대전된 장, 즉 전자에 대한 모든 평형 이론은 첫 번째 설정에서부터 적분상수 <math>\alpha</math>가 0이 되는 가능성을 배제해야 합니다.일차 6차원 벡터의 유일하게 존재하는 성분은 일반적인 경우 다음과 같이 됩니다.<math>(14) \quad \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{\overline{g}_2} = -\frac{e}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{\overline{g}_2}} \frac{d\sqrt{\overline{g}_2}}{dr}</math><math>= \frac{e}{4\pi(h^2 - \alpha^2)} \left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^3</math>115페이지그리고 이는 방정식 (11a)와 (9a)에 의해 쉽게 계산할 수 있습니다.정전 포텐셜은 다음과 같이 됩니다.<math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi \sqrt{\overline{g}_2}}</math>해법 (11)은 <math>\alpha = 0</math>일 때 특히 단순해지며, 이 해법이 위의 <math>\alpha</math> 값에 대한 해법과 눈에 띄게 다르지 않으므로 여기에 표기해 둡니다.식 (11)로부터 <math>\alpha = 0</math>일 때 즉시 다음을 얻습니다.<math>(11b) \quad \overline{g}_2 = (r + \beta)^2 - \lambda^2.</math><math>(9b) \quad g_4 = c^2 \frac{(r + \beta)^2}{(r + \beta)^2 - \lambda^2}</math>거의 실현되는 이 특수한 경우 <math>\alpha = 0</math>에서 추가로 다음을 얻습니다.<math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r + \beta}{((r + \beta)^2 - \lambda^2)^{3/2}}</math>이제 보편 아인슈타인 상수 <math>\varkappa</math>의 값과 상수 <math>\lambda</math>의 값을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.우선 장 방정식 (I), (II), (IV)는 대전되지 않은 비간섭성(incoherent) 질량 분포의 무한히 약한 극대칭 중력장을 특수한 경우로 포함해야 합니다.밀도 <math>\rho_m</math>을 갖는 비간섭성 질량 분포의 공변 에너지 텐서는 아인슈타인에 따라 정역학적 경우 및 직교 체계에서 다음과 같습니다.1)<math>T_{11} = T_{22} = T_{33} = 0, \quad T_{44} = \rho_m g_4.</math>이에 해당하는 스칼라 <math>T = \sum T_m^m</math>은 <math>\rho_m</math> 값을 가집니다. 따라서 장 방정식의 우변은 다음과 같이 됩니다.2)1) 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1059. 식 48. 1914년.2) 같은 책, p. 845. 식 2a. 1915년. 116페이지 즉,<math>G_{\nu\nu} = -\varkappa\left(T_{\nu\nu} - \frac{1}{2}g_{\nu\nu} T\right),</math><math>G_{11} = +\frac{\varkappa}{2} g_1 \rho_m, \quad G_{22} = +\frac{\varkappa}{2} g_2 \rho_m</math><math>G_{33} = +\frac{\varkappa}{2} g_3 \rho_m, \quad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2} g_4 \rho_m</math>113페이지의 방정식 (IV)는 <math>g_1 = -1</math>, <math>g_2 = -r^2 + \delta g_2</math>, <math>g_4 = c^2 + \delta g_4</math>로 놓을 때(여기서 <math>\delta g_2</math> 및 <math>\delta g_4</math>는 작은 값임), 1차 미소 수량까지 고려하면 다음과 같이 됩니다.<math>\frac{d^2}{dr^2}\left(\frac{g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \cdot \frac{d}{dr}\left(\frac{g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2} c^2 \rho_m</math>여기서 식 (12)에서와 마찬가지로 <math>g_4 / 2</math>를 중력 포텐셜로 볼 수 있으며, 다음과 같이 설정할 수 있습니다.<math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^4} = \frac{4\pi \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{81 \cdot 10^{40}} = 0.936 \cdot 10^{-48}.</math>이로부터 다음을 얻습니다.<math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{k e^2}{4\pi c^4} = \frac{6.7 \cdot 10^{-8} \cdot 4.65^2 \cdot 10^{-20} \cdot 4\pi}{4\pi \cdot 81 \cdot 10^{40}}</math><math>= 1.79 \cdot 10^{-68},</math>또는<math>\lambda = 1.337 \cdot 10^{-34}.</math>따라서 <math>\lambda</math>는 그 극소성에도 불구하고 여전히 <math>\alpha</math>보다 천억 배나 큽니다.상수 <math>\beta</math>는 반지름이 감소함에 따라 원주도 0으로 감소해야 한다는 조건, 즉 <math>r = 0</math>일 때 <math>h = 0</math>이어야 한다는 조건으로부터 구할 수 있습니다. 방정식 (10a)에 따라 <math>r = 0</math>에서의 <math>u</math> 값을 <math>u_0</math>이라 나타내면 다음과 같습니다.<math>\sinh u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}</math>그리고 식 (11a)에 따라:<math>\beta = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\cosh u_0 + \alpha u_0,</math>또는 <math>\alpha/\lambda</math>가 극히 작으므로 다음과 같이 됩니다.<math>\beta = \lambda - \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \lambda</math> 117페이지 <math>r = 0</math>일 때 방정식 (14)에 의해 장의 세기 또한 <math>\mathfrak{E} = \infty</math>가 됩니다.중심 주변에 전하가 분포되어 있어야 하지만 맥스웰 이론이 그 평형을 반영하지 못한다는 사실에 대응하여, 중심점까지 해법을 계속 이어가면 불가능한 결과(특이점)에 도달한다는 것을 알 수 있습니다.만약 <math>r = r_0</math>인 지점에서 <math>\beta = \lambda - r_0</math>으로 놓아 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>의 부호 변화를 강제하고자 한다면, 그곳에서 <math>\mathfrak{E}</math>의 무한대점과 <math>g_2</math>의 0점을 얻게 되는데, 이는 길이 요소 <math>\sqrt{g_2} d\vartheta</math>에 적용하기 어려운 결론입니다. 더욱이 이를 통해 동일한 부호의 전하밀도 사이에 상호 인력이 발생할 수는 있지만 평형은 달성되지 않으며, 평형을 강제하기 위해서는 추가적인 변형 텐서를 도입해야 할 것입니다.그러나 대전된 공간 외부에서는 전하의 장이 모순 없이 표현되며, 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math> 및 계수 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값이 유클리드 공간의 값과 눈에 띄게 달라지는 것은 반지름이 <math>\lambda</math>의 차원, 즉 <math>10^{-34} \text{ cm}</math>의 차원인 영역뿐임을 보여줍니다. 전자의 반지름이 약 <math>10^{-13} \text{ cm}</math>로 가정되므로, 장과 관련된 해의 영역에서 자가 중력의 영향은 그 어떤 측정/검증 가능성도 벗어나 있습니다.<math>g_4 = 0</math>에서의 퇴화 (The Degeneration for <math>g_4 = 0</math>)108페이지에서 장의 세기와 광속을 0으로 만들되 <math>\mathfrak{E}/\sqrt{g_4}</math>가 유한하게 유지되도록 함으로써 전하 평형의 형식적 가능성에 주의를 기울였습니다. 다음과 같이 놓으면:<math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{S}</math>4차원 전류의 시간 성분은 다음과 같이 됩니다. {{col-end}} <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. ai7ew7lgd2uf90s1e5qnsv57hszzc2h 459196 459195 2026-09-06T08:31:14Z Danuri19 16656 459196 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판<ref>[https://edition-open-sources.org/sources/10/6/index.html? George B. Jeffery (1921): The Field of an Electron on Einstein’s Theory of Gravitation]</ref><ref>[https://zenodo.org/records/1447315? Hans Reissner Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie 『Annalen der Physik』, Vierte Folge, Band 50 전체 통권 Band 355 1916년, pp. 106–120]</ref> | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} {{col-begin}} {{col-3}} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma = \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) {{col-3}} Original p. 106 After Einstein had demonstrated the fruitfulness of his new covariant field equations of gravitation, and thereby of the postulate of the most general relativity, through his explanation of the perihelion motion of Mercury, and after he had elsewhere given a generally covariant formulation of the Maxwell-Lorentz equations of the electromagnetic field, it appeared to me that the next task was to investigate, by means of a simple example, the influence of the self-gravitation of a spherically symmetric electric field. I did, indeed, begin with the hope of finding a static cohesion of elementary charges through their self-gravitation without having to leave the ground of Maxwell's theory. In the course of the investigation, however, I was initially able to establish only that Einsteinian gravitation distorts the field of an elementary electric charge in a definite, though extraordinarily small, manner, but that by its nature it cannot cancel the mutual electrostatic repulsion of the elements of charge. The constitution of the elementary charge can therefore be obtained only by introducing a further fundamental assumption: either by modifying Maxwell's equations in the sense of Mie, by adding to the Maxwell tensor a stress tensor of the simplest possible kind, or, finally, by regarding the electron not as static but as electrodynamically stationary. Concerning the calculation, in which Einstein assisted me with a variety of explanations and criticisms, the following preliminary remarks may be made. No restriction was placed on the choice of coordinate system in setting up the field equations, and in particular none was placed on the value of the transformation determinant. Original p. 107 It was therefore possible to introduce the usual spherical polar coordinate system, whereas Schwarzschild, in order to preserve the value one for the discriminant of the line element, employed a particularly ingenious coordinate system. Nevertheless, in the present case the most general coordinate system seems to me more advantageous than a special one for setting up and integrating the field equations, quite apart from the fine insight it gives into the complete covariance of the theory. The field of an uncharged mass point presented by Einstein and Schwarzschild proves to be a special case of the field of a spherical charge calculated here. It may serve as a check upon the correctness of the present solution that it passes into the Schwarzschild solution when it is transformed to Schwarzschild's special coordinate system and the charge is allowed to vanish. The problem posed here is therefore the following: What is the most general electrostatic field in equilibrium and possessing spherical symmetry if nothing is assumed beyond the Maxwell stress-energy tensor in covariant form and Einstein's generally covariant field equations of gravitation. The assumption of symmetry simplifies the form of the line element of the generally non-Euclidean space, so that it can be written in spatial polar coordinates that remain orthogonal. [Line element omitted.. Here single indices are written in place of double indices. In Euclidean space-that is, in a space containing no stress-energy tensor-the metric coefficients take their familiar values, and c denotes the ordinary velocity of light. Original p. 108 Einstein has shown generally how the values of the metric coefficients determine the properties of measuring rods and clocks, the form of the shortest lines, the paths of mass points and light rays, the velocity of light, and the gravitational potential. THE TENSOR OF THE ELECTROSTATIC FIEL. The energy tensor required for the gravitational field equations and for the equilibrium condition of the electrostatic field may be obtained as follows. Of the components of the first covariant six-vector of the field, only one remains in the case of rest and spherical symmetry, namely the radial electric-field component. The second, contravariant, six-vector derived from it likewise has only one component. [Field-tensor relation omitted.. The contravariant four-vector of the electric vacuum-current density also has only one non-vanishing component. [Equation (1) omitted.. Here rho denotes the charge density. The covariant four-vector of mechanical force density assumes its standard form in the general static case and a radial form under complete spherical symmetry. [Force-density equations omitted.. This general static ansatz shows that the resultant force density can vanish only if either the charge density or the electric field strength vanishes. These quantities, in turn, can vanish simultaneously throughout a finite interval only in the exceptional case in which one of the relevant metric coefficients vanishes throughout that interval. Original p. 109 Thus one may state: A Maxwellian electrostatic field, even under the influence of its own gravitation, can be in equilibrium only where no charge density is present, provided one excludes the case in which a line element or the velocity of light becomes zero. Since these exceptional cases appear to possess no physical significance, an investigation based upon the pure Maxwell stress-energy tensor and spherical symmetry must be restricted to the field of a spherical charge under the influence of its self-gravitation in empty space. For this case the four-current must vanish. Integration then gives the electric field in terms of the metric coefficients. The integration constant is determined immediately from the condition at infinity, where the metric becomes flat and the field becomes the Coulomb field of the total charge e situated at the centre. [Equation (2) omitted.. Substitution of these values into Einstein's expression for the mixed energy tensor gives its four diagonal components. The corresponding covariant tensor follows by lowering the index with the metric. [Stress-energy components omitted.. Original p. 110 This is the electrostatic energy tensor, but without yet taking account of the equilibrium of the field. The equilibrium tensor is obtained by substituting the field value found in equation (2). [Equilibrium stress-energy components omitted.. THE FIELD EQUATION. Einstein's generally covariant differential equations for a gravitational field, in their latest and most consistent form, can be written for orthogonal coordinates and a vanishing Laue scalar in terms of the contracted Christoffel symbols. [Equation (8) omitted.. Here kappa is a universal constant related to the gravitational constant. The four-index Christoffel symbol of the second kind is expressed through the three-index symbols. In orthogonal coordinates, the latter differ from zero only when at least two indices coincide. [Christoffel-symbol formulas omitted.. The four-index symbol vanishes when the relevant two indices are equal. The first two terms of equation (8) cause no difficulty. In the sum of the third term one first sums over one coincident index, then over the other, and finally over all indices distinct from both. Original p. 111 After a somewhat laborious calculation, requiring some practice if computational errors are to be avoided, one arrives at the following second-order differential invariants. A straightforward check shows that they satisfy covariance under the imposed symmetry and vanish in Euclidean space. [Equations (I)-(IV) omitted.. Among the infinitely many possible coordinate systems, we may evidently privilege one in the following manner. Let dr denote not merely a coordinate difference but also the distance in the radial direction measured with an infinitesimal rigid measuring rod. With this convention the radial metric coefficient is set equal to minus one. For brevity, introduce lambda squared for the indicated combination of kappa, charge, and c, and replace the negative angular metric coefficient by a positive barred quantity. The field equations then take a system of three ordinary differential equations. [Reduced equations (I), (II), and (IV) omitted.. Original p. 112. The restriction imposed upon the coordinate system has therefore produced three equations for only two unknown metric functions, and at first it appears that an attempt at solution might lead to a contradiction. It will be shown, however-and this is extraordinarily noteworthy-that the general solution of two of the equations satisfies the third identically. Thus it would not have been necessary to employ the conservation law, that is, the stress-equilibrium condition represented by equation (2) in non-Euclidean space, in determining the stress-energy tensor. The gravitational field equations alone would already have sufficed to calculate, as a function of the metric, the field strength that permits equilibrium. The only prerequisite for the entire ansatz was therefore knowledge of the expression of the stress-energy tensor in terms of the six-vector of field strength. In discussing this surprising connection, Einstein informed me that he was then in a position to show generally that the conservation laws of energy and stresses are contained in his latest field equations and therefore need not be imposed separately in each problem. This result, confirmed by the special case treated here, is particularly important because the field equations were obtained not from energy considerations but solely from considerations of covariance, while at the same time they assert much more than the conservation laws alone. THE INTEGRATION OF THE FIELD EQUATION. The three equations (I), (II), and (IV), containing the two unknown metric functions, therefore admit a consistent closed-form solution without mutually restricting one another. Introduce gamma as the logarithm of the square root of the temporal metric coefficient, and denote differentiation with respect to r by primes. The equations then assume a more compact form. Original p. 113. [Reduced equations and equation (a) omitted.. Subtracting equation (I) from equation (IV) gives a first differential relation. Its integration introduces a constant delta. The boundary condition at infinity, where the local velocity of light is to equal the normal value c, determines this constant and yields equation (9). [Equation (9) omitted.. Substitution into equation (II) produces a second-order equation for the angular metric coefficient. Introduce two further integration constants, alpha and beta, and set h equal to the square root of the positive angular coefficient. The first integral is equation (10), and complete integration gives equation (11). [Equations (10) and (11) omitted.. The result may alternatively be written by means of a hyperbolic substitution. [Substitution omitted.. Original p. 114. [Equations (10a), (11a), and (9a) omitted.. Equation (11) first shows that the condition requiring the angular metric coefficient to approach the square of the radius at infinity is satisfied automatically. Equation (9) then supplies the temporal metric coefficient. THE INTEGRATION CONSTANT. It can now be shown that alpha is related to the gravitating mass of the charge e, while beta is related to the condition imposed on the angular metric coefficient at the centre. According to the general connection supplied by Einstein's theory, a charge at infinity must act just like a gravitating mass point having the mass of the charge. The ponderomotive force at infinity may therefore be written in Newtonian form, where k is the ordinary gravitational constant. [Newtonian force formula omitted.. The same radial ponderomotive force follows in another form from the covariant equation of the geodesic line in a spherically symmetric field. [Equation (12) omitted.. Original p. 115. Using equation (9a), and taking the large-distance limit, one finds the inverse-square gravitational force and identifies alpha with the gravitational radius associated with the mass of the charge. [Identification and numerical estimate of alpha omitted.. The constant alpha squared is therefore extraordinarily small for an elementary charge and, as shown below, extraordinarily small even in comparison with the constant lambda squared from which it is subtracted. Nevertheless it possesses a significance of principle and must not vanish if the electric charge is to possess gravitating inertial mass. Every future equilibrium theory of the charged field-that is, of the electron-must exclude the disappearance of the integration constant alpha from the outset. The sole non-vanishing component of the primary electromagnetic six-vector in the general case is then obtained from the preceding solution. [Equation (14) omitted.. Original p. 116. It is readily calculated from equations (11a) and (9a). The electrostatic potential is correspondingly obtained. [Electrostatic potential omitted.. The solution becomes especially simple when alpha is set equal to zero. Since this solution differs imperceptibly from the one using the numerical value of alpha found above, it is useful to state it separately. [Equations (11b), (9b), and the simplified field strength omitted.. The values of Einstein's universal constant kappa and of lambda can now be calculated. The field equations must contain, as a special case, the infinitely weak spherically symmetric gravitational field of an uncharged, incoherent distribution of mass. According to Einstein, the covariant energy tensor of an incoherent mass distribution of density rho_m, in the static case and in an orthogonal system, has only its temporal component different from zero. The corresponding trace has the value rho_m. [Matter stress-energy components omitted.. Original p. 117. The right-hand side of the general field equations then takes the trace-reversed form used by Einstein. [Trace-reversed field equation and components omitted.. Linearising equation (IV) about flat space gives the ordinary Poisson equation. Consequently the temporal perturbation divided by two may be regarded as the gravitational potential, just as in equation (12). Comparison with Newtonian gravity determines kappa. [Weak-field equation and numerical value of kappa omitted.. From this one obtains lambda and its numerical value for the elementary charge. [Values of lambda squared and lambda omitted.. Thus, despite its smallness, lambda is still approximately one hundred thousand billion billion times as large as alpha. The constant beta can be obtained from the condition that the circumference of a circle must tend to zero as the radius decreases; that is, h must vanish when r is zero. Equation (10a) then fixes the value u_0, and equation (11a) fixes beta. Because alpha is so small compared with lambda, beta is approximately equal to lambda. [Boundary equations for u_0 and beta omitted.. Original p. 118. At r equal to zero, equation (14) makes the field strength infinite. It is evident that continuation of the solution to the centre leads to an impossibility, corresponding to the fact that charge must be distributed around the centre and that Maxwell's theory does not supply the equilibrium of that distribution. If one attempted to force the field strength to change sign at a radius r_0 by choosing beta accordingly, the field strength would become infinite there and the angular metric coefficient would vanish. The line element cannot reasonably be subjected to such a consequence. Moreover, this would produce a mutual attraction of like charge densities but not an equilibrium; to enforce equilibrium one would perhaps have to add another stress tensor. Outside the charged region, however, the field of the charge is represented consistently. The field strength and the metric coefficients differ appreciably from their Euclidean values only where the radius is of the order of lambda, approximately 10^-34 centimetres. Since the electron radius is taken to be approximately 10^-13 centimetres, the influence of self-gravitation within the physically relevant domain of the solution eludes all possibility of detection. THE DEGENERATE CASE g₄ = . On page 109 attention was drawn to the formal possibility of equilibrium of charge if the field strength and the velocity of light are both allowed to vanish in such a way that their ratio remains finite. [Definition of the limiting field omitted.. The temporal component of the four-current then assumes a corresponding limiting form, where rho denotes charge density. [Current equation omitted.. For the sake of curiosity, the result of this dead end may be stated without derivation. The energy tensor takes a degenerate form. Original p. 119. [Degenerate stress-energy tensor omitted.. The mixed tensor vanishes. With the radial metric coefficient set equal to minus one, the field equations permit a formal solution containing two integration constants, alpha and beta. [Degenerate solution omitted.. Further expressions for the field and total charge follow, but this solution does not appear capable of acquiring any physical significance. THE NON-ELECTRIC FIEL. The gravitational field of an uncharged, spherical, resting mass must emerge as a special case of the general solution given above when the charge, and therefore lambda, is set equal to zero. The result must reduce to Schwarzschild's solution. It is worthwhile to show this explicitly because Schwarzschild fixed from the outset a coordinate system in which the determinant condition has a prescribed value, whereas the present calculation began without restriction and subsequently imposed the condition that the radial metric coefficient equal minus one. In Schwarzschild's coordinates the metric coefficients have their standard forms, with an auxiliary radial coordinate R related cubically to Schwarzschild's original coordinate. [Schwarzschild metric coefficients omitted.. Original p. 120. In the present coordinates, with c equal to one, the radial metric coefficient is minus one, the angular coefficient is minus h squared, and the temporal coefficient is the square of dh/dr. [Metric relations omitted.. A different measure of radial length has therefore been selected. Since only the radial coordinate is transformed, the angular and temporal metric coefficients must agree in the two representations. [Coordinate transformation omitted.. One obtains h equal to R and the Schwarzschild temporal coefficient. The two solutions therefore pass into one another when the two mass parameters are appropriately identified. Charlottenburg, March 1916. Received 20 March 1916. TRANSLATOR'S NOT. This translation preserves Reissner's historical terminology and argumentative order. Equations have been omitted at the reader's request, but their original locations and labels have been retained. In modern terminology, the paper studies the static, spherically symmetric electrovacuum reduction of the Einstein-Maxwell system. Reissner's most striking conceptual observation occurs on original page 112: the conservation laws need not be imposed independently, because the structure of Einstein's field equations already contains the required consistency relations. {{col-3}} 106페이지4. 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자가 중력에 대하여;H. 라이스너(H. Reissner)아인슈타인 씨가 수성 서행 운동(수성의 근일점 이동)을 설명함으로써 그의 새로운 공변 중력장 방정식, 나아가 일반 상대성 공리의 유용성을 입증하였고, 다른 논문을 통해 전자기장의 맥스웰-로런츠 방정식을 일반 공변 형태로 제시하였습니다. 이에 따라 구대칭을 가지는 전기장의 자가 중력(Eigengravitation)이 미치는 영향을 간단한 예시를 통해 조사하는 것을 다음 과제로 삼게 되었습니다.비록 본 연구를 시작할 당시에는 맥스웰 이론의 틀을 벗어나지 않고 소전하(Elementarladung) 자체의 자가 중력을 통해 정역학적 결합(전하의 안정성)을 찾을 수 있으리라는 기대를 가졌으나, 연구 과정에서 아인슈타인의 중력이 소전하의 전기장을 특정한(그리고 극도로 미미한) 방식으로 왜곡시킬 뿐, 그 본질상 전하 요소들 사이의 상호 정전기적 반발력을 상쇄할 수는 없다는 사실만을 우선 확인하게 되었습니다.따라서 소전하의 구조를 설명하기 위해서는 추가적인 기본 가정이 도입되어야만 할 것입니다. 미(Mie)의 개념에 따라 맥스웰 방정식을 수정하든가, 맥스웰 변형 텐서에 가능한 한 단순한 변형 텐서를 추가하든가, 혹은 최종적으로 전자를 정역학적이 아닌 전자기학적으로 정상 상태(stationär)인 구조로 파악하는 방식 중 하나를 취해야 합니다.아인슈타인 씨로부터 다양한 설명과 비판적 조언을 받아 진행한 계산 수행 과정과 관련하여, 먼저 다음 사항을 밝혀두고자 합니다.장 방정식을 수립하는 데 있어 좌표계의 선택, 특히 치환 행렬식(Substitutionsdeterminante)의 값에 어떠한 제한도 두지 않았습니다. 따라서 일반적인 공간 구면좌표계를 도입할 수 있었는데, 이는 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 선요소(Linienelement)의 판별식 <math>\sqrt{-g}</math>의 값을 1로 유지하기 위해 특별히 교묘하게 선택된 좌표계를 사용한 것과 대조적입니다.그럼에도 불구하고 이 문제에서는 전체 이론의 완전한 공변성을 보여주는 명쾌한 통찰을 제공할 뿐만 아니라, 장 방정식의 수립 및 통합에 있어서도 특정한 좌표계보다 가장 일반적인 좌표계를 사용하는 것이 오히려 더 유리하다고 판단됩니다.아인슈타인 씨 자신과 슈바르츠실트에 의해 제시된 전하가 없는 질점의 장(Field)은 본 논문에서 계산된 구형 전하 장의 특수한 경우임이 밝혀졌습니다. 또한 특정한 슈바르츠실트 좌표계로 변환하고 전하를 0으로 놓았을 때 본 해법이 슈바르츠실트의 해로 귀결된다는 점은 여기서 제시된 해법의 정당성을 검증하는 역할을 합니다.따라서 여기서 설정한 문제는 다음과 같습니다. 공변 형태의 맥스웰 변형 에너지 텐서와 아인슈타인의 일반 공변 중력장 방정식 외에 다른 아무것도 전제하지 않을 때, 평형 상태에 있는 구대칭 정전기장의 가장 일반적인 형태는 무엇인가?대칭성 전제는 일반적으로 비유클리드 공간인 선요소의 형식을 단순화하는 결과를 가져오므로, 이 선요소는 공간적(직교 상태를 유지하는) 구면좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.<math>ds^2 = g_1 dr^2 + g_2 d\vartheta^2 + g_3 d\varphi^2 + g_4 dt^2,</math>여기서 이중 첨자 대신 단일 첨자만 사용하여 다음과 같이 나타냅니다.<math>g_{\nu\nu} = g_\nu, \quad g_{\mu\nu} = 0 \quad (\mu \neq \nu \text{일 때})</math>그리고 변형 에너지 텐서를 포함하지 않는 유클리드 공간에 대해 <math>g_\nu</math>는 다음 값을 가집니다.<math>g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_3 = g_2 \sin^2\vartheta, \quad g_4 = c^2,</math>여기서 <math>c</math>는 진공에서의 일반적인 광속을 의미합니다.107페이지아인슈타인 씨는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값들이 자와 시계의 성질, 최단선(측지선)의 형태, 질점과 광선의 궤도, 광속 및 중력 포텐셜을 어떻게 결정하는지 일반적으로 보여주었습니다.정전기장의 텐서중력장 방정식과 정전기장의 평형 조건에 필요한 에너지 텐서는 다음과 같이 도출할 수 있습니다.1)첫 번째 공변 6차원 벡터(Covariant 6-vector) <math>F_{\alpha\beta}</math>의 성분 중 정지 상태 및 극대칭성(polar symmetry)을 가질 때 남는 것은 오직 하나, 즉 <math>F_{14} = \mathfrak{E}</math>뿐입니다. 이로부터 도출되는 두 번째 반공변(contravariant) V-6차원 벡터 <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> 역시 이 경우 오직 하나의 성분만을 가집니다.<math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}</math>진공에서의 전기 전류밀도의 반공변 V-4차원 벡터 역시 0이 아닌 성분을 단 하나만 가집니다.<math>(1) \quad \mathfrak{J}^4 = \rho \frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial \mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math>여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.역학적 힘 밀도(force density)의 공변 V-4차원 벡터는 일반적인 정역학적 경우 다음과 같이 됩니다.<math>\mathfrak{K}_\sigma = F_{\sigma 4} \mathfrak{J}^4</math>그리고 구대칭(모든 방향의 대칭)일 때:<math>\mathfrak{K}_r = F_{14} \mathfrak{J}^4 = \mathfrak{E} \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math>이 일반적인 정역학적 설정은 알짜 힘 밀도가 0이 되기 위해서는 전하밀도가 0이 되거나 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>가 0이 되어야 함을 보여줍니다. 그러나 이 값들은 <math>g_1</math> 또는 <math>g_4</math>가 해당 유한 구간에서 0이 되는 경우를 제외하고는, 유한한 구간 내에서 동시에만 0의 값을 가질 수 있습니다.따라서 다음과 같이 기술할 수 있습니다.1) A. 아인슈타인, 『전자기학의 맥스웰장 방정식에 대한 새로운 형식적 해석』. 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 184–188. 1916년.108페이지맥스웰 정전기장은 자가 중력의 영향 하에서도, 선요소나 광속이 0이 되는 특수한 경우를 제외한다면 전하밀도가 존재하지 않는 곳에서만 평형을 유지할 수 있습니다.1)이러한 예외적인 경우가 물리적 의미를 갖지 않는 것으로 보이므로, 순수한 맥스웰 변형 에너지 텐서와 구대칭을 기본 바탕으로 삼고자 한다면, 본 연구는 진공 공간에서 자가 중력의 영향을 받는 구형 전하의 장으로 제한되어야 합니다.따라서 이 경우에는 <math>\mathfrak{J}^4 = 0</math>이어야 하며, 이에 따라 다음과 같이 됩니다.<math>\mathfrak{E} = \text{const} \cdot \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{-g_2}</math>적분상수는 무한대에서의 경계 조건으로부터 즉시 결정할 수 있습니다. 무한대에서는 중심의 총전하를 <math>e</math>라 할 때 다음과 같이 놓아야 합니다.<math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \quad g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_4 = c^2,</math>따라서<math>\text{const} = \frac{e}{4\pi c}</math>이로부터 다음을 얻습니다.<math>(2) \quad \begin{cases} \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{g_2} \\ \mathfrak{F}^{14} = F_{14} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{1}{g_2} \end{cases}</math>이 값들을 위에서 인용한 아인슈타인의 논문에 제시된 혼합 에너지 텐서 식 (9)에 대입하면 다음을 얻습니다.<math>T_1^1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_2^2 = T_3^3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_4^4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}</math>이에 대응하는 공변 텐서는 공식 <math>T_{\sigma\sigma} = T_\sigma^\sigma g_{\sigma\sigma}</math>에 따라 다음 값을 가집니다.1) <math>g_4 = 0</math>이라는 가정을 두면 전하 내부의 장 세기 분포가 일정하게 유도되지만, <math>g_4 \neq 0</math>인 외부 공간과의 연결에는 성공하지 못했습니다.109페이지<math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_1}{2g_1 g_4}, \quad T_{22} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_2}{2g_1 g_4}</math><math>T_{33} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_3}{2g_1 g_4}, \quad T_{44} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_4}{2g_1 g_4}</math>이것은 장의 평형을 고려하지 않은 정전기 에너지 텐서입니다. 장의 평형 텐서는 <math>\mathfrak{E}</math>에 대해 위 식 (2)의 값을 대입함으로써 얻어집니다.<math>T_{11} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}, \quad T_{22} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math><math>T_{33} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}, \quad T_{44} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math>장 방정식 (The Field Equations)아인슈타인의 일반 공변 중력 미분 방정식의 최신 및 가장 일관된 형식은 직교좌표계와 라우에 스칼라(Laue scalar) <math>\sum T_m^m = 0</math>이 소멸할 때 다음과 같이 쓰일 수 있습니다. <math>(8) \quad \sum_k \{mk, km\} = -\varkappa T_{mm},</math>여기서 <math>\varkappa</math>는 중력상수와 관련된 보편상수이며, 제2종 크리스토펠 4-인덱스 기호는 다음 값을 가집니다.<math>\{mk, km\} = \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_m} - \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mm \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_k} + \sum_\rho \left\{\begin{matrix} mk \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho m \\ k \end{matrix}\right\} - \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho k \\ k \end{matrix}\right\},</math>여기서 <math>\left\{\begin{matrix} m & k \\ & \rho \end{matrix}\right\}</math>는 제2종 크리스토펠 3-인덱스 기호이며, 직교좌표계에서는 적어도 두 개의 인덱스가 같을 때만 0이 아닌 값을 가지며 다음과 같습니다.<math>\left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ m \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math>반면, <math>m = k</math>일 때 4-인덱스 기호는 0이 됩니다.식 (8)의 처음 두 항은 쉽게 처리됩니다. 세 번째 항의 <math>\sum_\rho</math>에서는 먼저 <math>\rho = m</math>에 대해, 다음으로 <math>\rho = k</math>에 대해, 마지막으로 <math>\rho \neq m \neq k</math>인 모든 경우에 대해 합산합니다.110페이지계산 오차를 피하기 위해 어느 정도 숙련이 필요한 다소 번거로운 계산 과정을 거치면, 다음과 같은 2계 미분 불변량(Differential invariants)을 얻게 됩니다. 약간의 검증을 거치면 대칭성을 유지하면서 공변성 요구를 충족하고 유클리드 공간에서 소멸함을 확인할 수 있습니다.<math>\text{I} \begin{cases} G_{11} = \frac{d^2}{dr^2}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1} \frac{d}{dr}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) \\ \quad + \frac{1}{2}\left(\frac{d \ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d \ln \sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11}, \end{cases}</math><math>\text{II} \begin{cases} G_{22} = -1 + \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_2}{dr}\right) + \frac{1}{4g_1 g_2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_2}{dr} + \frac{1}{4g_1 g_4} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ = -\varkappa T_{22} \end{cases}</math><math>\text{III} \quad G_{33} = G_{22} \sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22} \sin^2\vartheta,</math><math>\text{IV} \begin{cases} G_{44} = \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_4}{dr}\right) - \frac{1}{4g_1 g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ \quad + \frac{1}{2g_1 g_2} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{cases}</math>무한히 많은 가능한 좌표계 중에서 우리는 다음과 같이 하나의 좌표계를 선호할 수 있습니다. <math>dr</math>이 단순한 좌표의 차이뿐만 아니라, 무한히 작은 고정된 자로 측정한 반경 방향의 거리를 의미하도록 약속한다면 <math>g_1 = -1</math>로 놓을 수 있습니다.또한 <math>\varkappa e^2 / 32 \pi^2 c^2</math>을 축약하여 <math>\lambda^2</math>으로 쓰고 <math>g_2 = -\overline{g}_2</math>로 놓으면, 식 (8)은 다음과 같은 형태를 취합니다.<math>(\text{I}) \quad \frac{d^2}{dr^2}\ln(\overline{g}_2 \sqrt{g_4}) + \frac{1}{2\overline{g}_2^2}\left(\frac{d\overline{g}_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{II}) \quad -1 + \frac{1}{2} \frac{d^2 \overline{g}_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\overline{g}_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2}</math><math>(\text{IV}) \quad \frac{1}{2} \frac{d^2 g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\overline{g}_2} \frac{d\overline{g}_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = +\frac{\lambda^2 g_4}{\overline{g}_2^2}</math>좌표계 선택을 <math>g_1 = -1</math>로 제한함으로써, 미지수 <math>\overline{g}_2</math> 및 <math>g_4</math> 단 두 개에 대해 3개의 방정식이 산출되었으므로, 언뜻 해를 구하려는 시도가 모순으로 이어질 것처럼 보일 수 있습니다.111페이지그러나 두 방정식의 일반해법이 세 번째 방정식을 항등적으로 만족시킨다는 사실이 밝혀질 것이며, 이는 대단히 주목할 만한 점입니다.따라서 변형 에너지 텐서를 결정하기 위해 비유클리드 공간에서 식 (2)의 변형 평형 보존 법칙을 보조 수단으로 사용할 필요가 전혀 없었으며, 장의 평형을 가능하게 하는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 함수로서 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>를 계산하는 데에는 중력장 방정식만으로도 이미 충분했습니다. 그러므로 전체 설정에서의 유일한 전제는 필드 세기의 6차원 벡터를 통해 변형 에너지 텐서 <math>T_\mu^\nu</math>의 표현식을 파악하는 것뿐이었습니다.아인슈타인 씨는 이 놀라운 연관성에 대해 논의할 때, 에너지와 변형력의 보존 법칙이 그의 최근 장 방정식에 포함되어 있으므로 어떤 문제에서도 특별히 새로 설정할 필요가 없음을 일반적인 방식으로 보여줄 수 있는 위치에 있다고 알려주었습니다. 여기서 다룬 특수한 사례가 입증하는 이 결과는 특히 중요한데, 한편으로는 장 방정식이 에너지 고려 사항에서 전혀 얻어지지 않고 오직 공변성 고려 사항에서만 얻어졌기 때문이며, 다른 한편으로는 장 방정식이 단지 보존 법칙보다 훨씬 더 많은 것을 말해주기 때문입니다.1)장 방정식의 적분 (Integration of the Field Equations)두 미지수 <math>\overline{g}_2</math>와 <math>g_4</math>에 대한 세 방정식 (I), (II), (IV)는 모순이 없고 상호 제한이 없는 해를 닫힌 형식(closed form)으로 허용할 것이며, 이는 다음과 같이 확인할 수 있습니다.축약 표현으로 <math>\ln \sqrt{g_4} = \gamma</math>로 놓고 <math>r</math>에 대한 미분을 프라임(')으로 표시하면, 방정식 (I), (II), (IV)는 다음과 같이 쓰입니다.1) 그 사이에 이 연관성은 D. 힐베르트와 A. 아인슈타인 자신에 의해 더 정확하게 밝혀졌습니다. 괴팅겐 학술원 보고서(Math. Phys. Kl. 1915 p. 3) 및 Annalen der Physik 49. p. 809. 1916년 참조.112페이지<math>(\text{I}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2} - \frac{\overline{g}_2'^2}{2\overline{g}_2^2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{IV}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \gamma' \frac{\overline{g}_2'}{\overline{g}_2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{II}) \quad -\overline{g}_2 + \frac{1}{2}\overline{g}_2 \overline{g}_2'' + \frac{1}{2}\gamma' \overline{g}_2' \overline{g}_2 = -\lambda^2.</math>(IV)에서 (I)을 빼면 다음을 얻습니다.<math>(a) \quad \gamma' = \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2'} - \frac{\overline{g}_2'}{2\overline{g}_2}</math>이로부터:<math>\gamma = \ln\left(\delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}\right),</math>여기서 <math>\delta</math>는 적분상수입니다. 또는:<math>\sqrt{g_4} = \delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}.</math>적분상수 <math>\delta</math>의 값은 무한대에서의 경계 조건으로부터 구할 수 있는데, 무한대에서는 <math>\sqrt{g_4} = c</math>, 즉 일반 광속과 같아야 하기 때문입니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.<math>(9) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{d}{dr}\sqrt{\overline{g}_2}</math>방정식 (a)를 (II)에 대입하면 다음을 얻습니다. <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2}\left(\overline{g}_2^{\frac{3}{4}}\right) = \overline{g}_2^{-\frac{1}{2}} - \overline{g}_2^{-\frac{5}{4}}\lambda^2.</math>두 개의 추가 적분상수를 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>라 하고, 축약을 위해 <math>\sqrt{\overline{g}_2} = h</math>로 놓으면 위 방정식의 첫 번째 적분식은 다음과 같이 산출됩니다.<math>(10) \quad h h' = \sqrt{(h - \alpha)^2 + (\lambda^2 - \alpha^2)}</math>그리고 완전해(complete solution)는 다음과 같습니다.<math>(11) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\sqrt{\left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^2 + 1} + \alpha \text{arsinh} \left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right) = r + \beta</math>이 방정식은 치환식을 사용하여 정리할 수 있습니다.<math>\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \sinh u</math> 113페이지 또는<math>(10a) \quad h = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \sinh u + \alpha</math>위 식은 다음과 같이도 쓸 수 있습니다.<math>(11a) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \cosh u + \alpha u = r + \beta.</math>방정식 (11)로부터 <math>g_2 = -h^2</math>이 무한대에서 <math>-r^2</math>과 같아져야 한다는 조건이 자발적으로 충족됨을 우선 확인할 수 있습니다.또한 식 (9)에 의해 다음과 같이 됩니다.<math>(9a) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{dh}{dr} = c \frac{\cosh u}{\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}}.</math>적분상수 (The Constants of Integration)이어 <math>\alpha</math>의 값은 전하 <math>e</math>의 중력 질량과 연관되어 있고, <math>\beta</math>의 값은 중심에서의 <math>g_2</math> 조건과 연관되어 있음을 보여줄 수 있습니다.아인슈타인 이론의 일반적인 연관성에 따라 무한대에서 전하는 전하의 중력 질점 <math>m_e</math>처럼 정확하게 작용해야 합니다. 따라서 무한대에서의 체적력(ponderomotive force)은 어떤 경우든 다음과 같은 형식으로 쓰일 수 있습니다.<math>K = -k \frac{m_e}{r^2},</math>여기서 <math>k = 6.7 \cdot 10^{-8} , (\text{cm}/\text{g}/\text{s})</math>는 일반적인 중력상수를 의미합니다.다른 형식으로서 동일한 반경 방향 체적력은 극대칭장에서 측지선의 공변 방정식으로부터 다음과 같은 형식으로 도출됩니다.1)<math>(12) \quad K = -\frac{1}{2} \frac{dg_4}{dr}</math>따라서 식 (9a)를 이용하면 다음과 같이 됩니다.1) A. 아인슈타인, 『일반상대성이론의 형식적 기초』, 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1046. 식 23b. 1914년.114페이지<math>K = \frac{c^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} \frac{\cosh u \left(1 - \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)}{\left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^4}.</math>큰 <math>u</math> 값에 대해 식 (11a)에 의하여 다음과 같이 됩니다.<math>\cosh u = \sinh u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}</math>따라서 그곳에서는 다음과 같습니다.<math>K = -\frac{c^2 \alpha}{r^2}</math><math>K</math>의 두 값을 동일하게 놓으면 <math>\alpha</math>에 대해 다음 값을 얻습니다.<math>\alpha = \frac{m_e k}{c^2}</math>예를 들어 전자의 질량을 <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>로 취하면 다음과 같이 얻어집니다.<math>\alpha = \frac{10^{-27} \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{1.82 \cdot 9 \cdot 10^{20}} = 0.408 \cdot 10^{-55}.</math>따라서 상수 <math>\alpha^2</math>은 소전하의 경우 극도로 작아지며, 아래에서 보여지듯 감산 결합된 상수 <math>\lambda^2</math>에 비해서도 극도로 작습니다. 그러나 이 상수는 원리적 의미를 가지며, 전하가 중력 질량 및 관성 질량을 가져야 한다면 소멸할 수 없습니다. 향후 대전된 장, 즉 전자에 대한 모든 평형 이론은 첫 번째 설정에서부터 적분상수 <math>\alpha</math>가 0이 되는 가능성을 배제해야 합니다.일차 6차원 벡터의 유일하게 존재하는 성분은 일반적인 경우 다음과 같이 됩니다.<math>(14) \quad \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{\overline{g}_2} = -\frac{e}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{\overline{g}_2}} \frac{d\sqrt{\overline{g}_2}}{dr}</math><math>= \frac{e}{4\pi(h^2 - \alpha^2)} \left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^3</math>115페이지그리고 이는 방정식 (11a)와 (9a)에 의해 쉽게 계산할 수 있습니다.정전 포텐셜은 다음과 같이 됩니다.<math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi \sqrt{\overline{g}_2}}</math>해법 (11)은 <math>\alpha = 0</math>일 때 특히 단순해지며, 이 해법이 위의 <math>\alpha</math> 값에 대한 해법과 눈에 띄게 다르지 않으므로 여기에 표기해 둡니다.식 (11)로부터 <math>\alpha = 0</math>일 때 즉시 다음을 얻습니다.<math>(11b) \quad \overline{g}_2 = (r + \beta)^2 - \lambda^2.</math><math>(9b) \quad g_4 = c^2 \frac{(r + \beta)^2}{(r + \beta)^2 - \lambda^2}</math>거의 실현되는 이 특수한 경우 <math>\alpha = 0</math>에서 추가로 다음을 얻습니다.<math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r + \beta}{((r + \beta)^2 - \lambda^2)^{3/2}}</math>이제 보편 아인슈타인 상수 <math>\varkappa</math>의 값과 상수 <math>\lambda</math>의 값을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.우선 장 방정식 (I), (II), (IV)는 대전되지 않은 비간섭성(incoherent) 질량 분포의 무한히 약한 극대칭 중력장을 특수한 경우로 포함해야 합니다.밀도 <math>\rho_m</math>을 갖는 비간섭성 질량 분포의 공변 에너지 텐서는 아인슈타인에 따라 정역학적 경우 및 직교 체계에서 다음과 같습니다.1)<math>T_{11} = T_{22} = T_{33} = 0, \quad T_{44} = \rho_m g_4.</math>이에 해당하는 스칼라 <math>T = \sum T_m^m</math>은 <math>\rho_m</math> 값을 가집니다. 따라서 장 방정식의 우변은 다음과 같이 됩니다.2)1) 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1059. 식 48. 1914년.2) 같은 책, p. 845. 식 2a. 1915년. 116페이지 즉,<math>G_{\nu\nu} = -\varkappa\left(T_{\nu\nu} - \frac{1}{2}g_{\nu\nu} T\right),</math><math>G_{11} = +\frac{\varkappa}{2} g_1 \rho_m, \quad G_{22} = +\frac{\varkappa}{2} g_2 \rho_m</math><math>G_{33} = +\frac{\varkappa}{2} g_3 \rho_m, \quad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2} g_4 \rho_m</math>113페이지의 방정식 (IV)는 <math>g_1 = -1</math>, <math>g_2 = -r^2 + \delta g_2</math>, <math>g_4 = c^2 + \delta g_4</math>로 놓을 때(여기서 <math>\delta g_2</math> 및 <math>\delta g_4</math>는 작은 값임), 1차 미소 수량까지 고려하면 다음과 같이 됩니다.<math>\frac{d^2}{dr^2}\left(\frac{g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \cdot \frac{d}{dr}\left(\frac{g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2} c^2 \rho_m</math>여기서 식 (12)에서와 마찬가지로 <math>g_4 / 2</math>를 중력 포텐셜로 볼 수 있으며, 다음과 같이 설정할 수 있습니다.<math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^4} = \frac{4\pi \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{81 \cdot 10^{40}} = 0.936 \cdot 10^{-48}.</math>이로부터 다음을 얻습니다.<math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{k e^2}{4\pi c^4} = \frac{6.7 \cdot 10^{-8} \cdot 4.65^2 \cdot 10^{-20} \cdot 4\pi}{4\pi \cdot 81 \cdot 10^{40}}</math><math>= 1.79 \cdot 10^{-68},</math>또는<math>\lambda = 1.337 \cdot 10^{-34}.</math>따라서 <math>\lambda</math>는 그 극소성에도 불구하고 여전히 <math>\alpha</math>보다 천억 배나 큽니다.상수 <math>\beta</math>는 반지름이 감소함에 따라 원주도 0으로 감소해야 한다는 조건, 즉 <math>r = 0</math>일 때 <math>h = 0</math>이어야 한다는 조건으로부터 구할 수 있습니다. 방정식 (10a)에 따라 <math>r = 0</math>에서의 <math>u</math> 값을 <math>u_0</math>이라 나타내면 다음과 같습니다.<math>\sinh u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}</math>그리고 식 (11a)에 따라:<math>\beta = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\cosh u_0 + \alpha u_0,</math>또는 <math>\alpha/\lambda</math>가 극히 작으므로 다음과 같이 됩니다.<math>\beta = \lambda - \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \lambda</math> 117페이지 <math>r = 0</math>일 때 방정식 (14)에 의해 장의 세기 또한 <math>\mathfrak{E} = \infty</math>가 됩니다.중심 주변에 전하가 분포되어 있어야 하지만 맥스웰 이론이 그 평형을 반영하지 못한다는 사실에 대응하여, 중심점까지 해법을 계속 이어가면 불가능한 결과(특이점)에 도달한다는 것을 알 수 있습니다.만약 <math>r = r_0</math>인 지점에서 <math>\beta = \lambda - r_0</math>으로 놓아 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>의 부호 변화를 강제하고자 한다면, 그곳에서 <math>\mathfrak{E}</math>의 무한대점과 <math>g_2</math>의 0점을 얻게 되는데, 이는 길이 요소 <math>\sqrt{g_2} d\vartheta</math>에 적용하기 어려운 결론입니다. 더욱이 이를 통해 동일한 부호의 전하밀도 사이에 상호 인력이 발생할 수는 있지만 평형은 달성되지 않으며, 평형을 강제하기 위해서는 추가적인 변형 텐서를 도입해야 할 것입니다.그러나 대전된 공간 외부에서는 전하의 장이 모순 없이 표현되며, 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math> 및 계수 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값이 유클리드 공간의 값과 눈에 띄게 달라지는 것은 반지름이 <math>\lambda</math>의 차원, 즉 <math>10^{-34} \text{ cm}</math>의 차원인 영역뿐임을 보여줍니다. 전자의 반지름이 약 <math>10^{-13} \text{ cm}</math>로 가정되므로, 장과 관련된 해의 영역에서 자가 중력의 영향은 그 어떤 측정/검증 가능성도 벗어나 있습니다.<math>g_4 = 0</math>에서의 퇴화 (The Degeneration for <math>g_4 = 0</math>)108페이지에서 장의 세기와 광속을 0으로 만들되 <math>\mathfrak{E}/\sqrt{g_4}</math>가 유한하게 유지되도록 함으로써 전하 평형의 형식적 가능성에 주의를 기울였습니다. 다음과 같이 놓으면:<math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{S}</math>4차원 전류의 시간 성분은 다음과 같이 됩니다. <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta \cdot \rho g_2 \sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{S} \frac{\overline{g}_2}{\sqrt{-g_1}}\right) \sin\vartheta</math>여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.진귀한 계산 결과로서, 도출 과정 없이 이 막다른 골목이 어디로 이어지는지 밝혀둡니다. 에너지 텐서는 다음 값을 가집니다.118페이지<math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{1}{g_1}, \quad T_{22} = \frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_2}{g_1}, \quad T_{33} = \frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_3}{g_1}, \quad T_{44} = -\frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_4}{g_1} = 0</math>반면 혼합 V-텐서 <math>T_\mu^\nu</math>는 소멸합니다.장 방정식은 <math>g_1 = -1</math>일 때 다음과 같은 해를 허용합니다.<math>\frac{27}{32}\left(\frac{8}{9}\overline{g}_2^{\frac{1}{3}} - \alpha\right)\sqrt{\frac{16}{9}\overline{g}_2^{\frac{1}{3}} + \alpha} = r + \beta,</math>여기서 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>는 적분상수입니다.또한 다음을 얻습니다.<math>\frac{\varkappa \mathfrak{S}^2}{2} = \frac{1}{4\overline{g}_2} - \frac{3\alpha}{8\overline{g}_2^{4/3}}</math><math>\rho = \frac{3}{4\sqrt{2\varkappa}} \frac{\left(\overline{g}_2^{1/3} - \alpha\right)\sqrt{\frac{16}{9}\overline{g}_2^{1/3} + \alpha}}{\overline{g}_2^{1/3}\sqrt{\overline{g}_2^{1/3} - \frac{3}{2}\alpha}},</math><math>e = \frac{\pi\sqrt{8}}{\sqrt{\varkappa}} \overline{g}_2^{1/6}\sqrt{\overline{g}_2^{1/3} - \frac{3}{2}\alpha} \cdot \alpha^{3/2}</math>그러나 이 해법이 어떠한 물리적 의미를 가질 수 있을 것으로는 보이지 않습니다.전기가 없는 장 (The Un-electric Field)전하가 없는 구형 정지 질량의 중력장은 전하와 그에 따른 <math>\lambda = 0</math>으로 놓을 때 위에서 제시한 일반해로부터 특수한 경우로서 얻어져야 합니다. 이때 슈바르츠실트 해로 귀결되어야 하며, 이는 슈바르츠실트가 처음부터 <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> 조건으로 좌표계를 결정한 반면, 본 연구는 우선 제한 없이 공변성을 유지하다가 <math>g_1 = -1</math> 조건으로 계산했다는 점에서도 입증할 가치가 있습니다.슈바르츠실트1) 논문에서 계수는 다음과 같습니다.<math>-g_1^* = \frac{r_1^4}{R^4(1 - \alpha_1/R)}, \quad -g_2^* = R^2, \quad g_4^* = 1 - \alpha_1/R,</math>여기서 <math>R^3 = r_1^3 + \alpha_1^3</math>이며 <math>\alpha_1</math>은 상수입니다.1) K. 슈바르츠실트, 『아인슈타인 이론에 따른 질점의 중력장에 대하여』, 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 189–196. 1916년.119페이지여기서 <math>c = 1</math>로 놓았을 때 다음을 얻었습니다.<math>-g_1 = 1, \quad -g_2 = h^2, \quad g_4 = \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math>여기서<math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h - 2\alpha}{h}</math>따라서 그곳에서는 반지름에 대해 다른 길이 측도가 선택되었는데, 다음과 같기 때문입니다.<math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4}{R^4(1 - \alpha_1/R)},</math>반면<math>h = R, \quad g_4 = 1 - 2\alpha/R</math>로만 변환되었으므로 <math>g_2 = g_2^*</math>, <math>g_4 = g_4^*</math>이어야 합니다. 다음과 같이 얻어집니다.<math>dr^2 = \frac{dh^2}{1 - 2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1 - \alpha_1/R}</math>따라서 두 해법은 <math>2\alpha = \alpha_1</math>로 놓을 때 서로 변환되어 일치합니다.샤를로텐부르크, 1916년 3월.(1916년 3월 20일 접수됨) {{col-end}} <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. 9bs8q1qh4lvckglph7lpevxofw78jh2 459197 459196 2026-09-06T08:34:05Z Danuri19 16656 459197 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판<ref>[https://edition-open-sources.org/sources/10/6/index.html? George B. Jeffery (1921): The Field of an Electron on Einstein’s Theory of Gravitation]</ref><ref>[https://zenodo.org/records/1447315? Hans Reissner Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie 『Annalen der Physik』, Vierte Folge, Band 50 전체 통권 Band 355 1916년, pp. 106–120]</ref> | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106페이지 4. 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자가 중력에 대하여 , H. 라이스너(H. Reissner) 아인슈타인 씨가 수성 서행 운동(수성의 근일점 이동)을 설명함으로써 그의 새로운 공변 중력장 방정식, 나아가 일반 상대성 공리의 유용성을 입증하였고, 다른 논문을 통해 전자기장의 맥스웰-로런츠 방정식을 일반 공변 형태로 제시하였습니다. 이에 따라 구대칭을 가지는 전기장의 자가 중력(Eigengravitation)이 미치는 영향을 간단한 예시를 통해 조사하는 것을 다음 과제로 삼게 되었습니다.비록 본 연구를 시작할 당시에는 맥스웰 이론의 틀을 벗어나지 않고 소전하(Elementarladung) 자체의 자가 중력을 통해 정역학적 결합(전하의 안정성)을 찾을 수 있으리라는 기대를 가졌으나, 연구 과정에서 아인슈타인의 중력이 소전하의 전기장을 특정한(그리고 극도로 미미한) 방식으로 왜곡시킬 뿐, 그 본질상 전하 요소들 사이의 상호 정전기적 반발력을 상쇄할 수는 없다는 사실만을 우선 확인하게 되었습니다.따라서 소전하의 구조를 설명하기 위해서는 추가적인 기본 가정이 도입되어야만 할 것입니다. 미(Mie)의 개념에 따라 맥스웰 방정식을 수정하든가, 맥스웰 변형 텐서에 가능한 한 단순한 변형 텐서를 추가하든가, 혹은 최종적으로 전자를 정역학적이 아닌 전자기학적으로 정상 상태(stationär)인 구조로 파악하는 방식 중 하나를 취해야 합니다.아인슈타인 씨로부터 다양한 설명과 비판적 조언을 받아 진행한 계산 수행 과정과 관련하여, 먼저 다음 사항을 밝혀두고자 합니다.장 방정식을 수립하는 데 있어 좌표계의 선택, 특히 치환 행렬식(Substitutionsdeterminante)의 값에 어떠한 제한도 두지 않았습니다. 따라서 일반적인 공간 구면좌표계를 도입할 수 있었는데, 이는 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 선요소(Linienelement)의 판별식 <math>\sqrt{-g}</math>의 값을 1로 유지하기 위해 특별히 교묘하게 선택된 좌표계를 사용한 것과 대조적입니다.그럼에도 불구하고 이 문제에서는 전체 이론의 완전한 공변성을 보여주는 명쾌한 통찰을 제공할 뿐만 아니라, 장 방정식의 수립 및 통합에 있어서도 특정한 좌표계보다 가장 일반적인 좌표계를 사용하는 것이 오히려 더 유리하다고 판단됩니다.아인슈타인 씨 자신과 슈바르츠실트에 의해 제시된 전하가 없는 질점의 장(Field)은 본 논문에서 계산된 구형 전하 장의 특수한 경우임이 밝혀졌습니다. 또한 특정한 슈바르츠실트 좌표계로 변환하고 전하를 0으로 놓았을 때 본 해법이 슈바르츠실트의 해로 귀결된다는 점은 여기서 제시된 해법의 정당성을 검증하는 역할을 합니다.따라서 여기서 설정한 문제는 다음과 같습니다. 공변 형태의 맥스웰 변형 에너지 텐서와 아인슈타인의 일반 공변 중력장 방정식 외에 다른 아무것도 전제하지 않을 때, 평형 상태에 있는 구대칭 정전기장의 가장 일반적인 형태는 무엇인가?대칭성 전제는 일반적으로 비유클리드 공간인 선요소의 형식을 단순화하는 결과를 가져오므로, 이 선요소는 공간적(직교 상태를 유지하는) 구면좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.<math>ds^2 = g_1 dr^2 + g_2 d\vartheta^2 + g_3 d\varphi^2 + g_4 dt^2,</math>여기서 이중 첨자 대신 단일 첨자만 사용하여 다음과 같이 나타냅니다.<math>g_{\nu\nu} = g_\nu, \quad g_{\mu\nu} = 0 \quad (\mu \neq \nu \text{일 때})</math>그리고 변형 에너지 텐서를 포함하지 않는 유클리드 공간에 대해 <math>g_\nu</math>는 다음 값을 가집니다.<math>g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_3 = g_2 \sin^2\vartheta, \quad g_4 = c^2,</math>여기서 <math>c</math>는 진공에서의 일반적인 광속을 의미합니다. 107페이지 아인슈타인 씨는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값들이 자와 시계의 성질, 최단선(측지선)의 형태, 질점과 광선의 궤도, 광속 및 중력 포텐셜을 어떻게 결정하는지 일반적으로 보여주었습니다.정전기장의 텐서중력장 방정식과 정전기장의 평형 조건에 필요한 에너지 텐서는 다음과 같이 도출할 수 있습니다.1)첫 번째 공변 6차원 벡터(Covariant 6-vector) <math>F_{\alpha\beta}</math>의 성분 중 정지 상태 및 극대칭성(polar symmetry)을 가질 때 남는 것은 오직 하나, 즉 <math>F_{14} = \mathfrak{E}</math>뿐입니다. 이로부터 도출되는 두 번째 반공변(contravariant) V-6차원 벡터 <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> 역시 이 경우 오직 하나의 성분만을 가집니다.<math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}</math>진공에서의 전기 전류밀도의 반공변 V-4차원 벡터 역시 0이 아닌 성분을 단 하나만 가집니다.<math>(1) \quad \mathfrak{J}^4 = \rho \frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial \mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math>여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.역학적 힘 밀도(force density)의 공변 V-4차원 벡터는 일반적인 정역학적 경우 다음과 같이 됩니다.<math>\mathfrak{K}_\sigma = F_{\sigma 4} \mathfrak{J}^4</math>그리고 구대칭(모든 방향의 대칭)일 때:<math>\mathfrak{K}_r = F_{14} \mathfrak{J}^4 = \mathfrak{E} \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math>이 일반적인 정역학적 설정은 알짜 힘 밀도가 0이 되기 위해서는 전하밀도가 0이 되거나 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>가 0이 되어야 함을 보여줍니다. 그러나 이 값들은 <math>g_1</math> 또는 <math>g_4</math>가 해당 유한 구간에서 0이 되는 경우를 제외하고는, 유한한 구간 내에서 동시에만 0의 값을 가질 수 있습니다.따라서 다음과 같이 기술할 수 있습니다.1) A. 아인슈타인, 『전자기학의 맥스웰장 방정식에 대한 새로운 형식적 해석』. 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 184–188. 1916년. 108페이지 맥스웰 정전기장은 자가 중력의 영향 하에서도, 선요소나 광속이 0이 되는 특수한 경우를 제외한다면 전하밀도가 존재하지 않는 곳에서만 평형을 유지할 수 있습니다.1)이러한 예외적인 경우가 물리적 의미를 갖지 않는 것으로 보이므로, 순수한 맥스웰 변형 에너지 텐서와 구대칭을 기본 바탕으로 삼고자 한다면, 본 연구는 진공 공간에서 자가 중력의 영향을 받는 구형 전하의 장으로 제한되어야 합니다.따라서 이 경우에는 <math>\mathfrak{J}^4 = 0</math>이어야 하며, 이에 따라 다음과 같이 됩니다.<math>\mathfrak{E} = \text{const} \cdot \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{-g_2}</math>적분상수는 무한대에서의 경계 조건으로부터 즉시 결정할 수 있습니다. 무한대에서는 중심의 총전하를 <math>e</math>라 할 때 다음과 같이 놓아야 합니다.<math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \quad g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_4 = c^2,</math>따라서<math>\text{const} = \frac{e}{4\pi c}</math>이로부터 다음을 얻습니다.<math>(2) \quad \begin{cases} \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{g_2} \\ \mathfrak{F}^{14} = F_{14} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{1}{g_2} \end{cases}</math>이 값들을 위에서 인용한 아인슈타인의 논문에 제시된 혼합 에너지 텐서 식 (9)에 대입하면 다음을 얻습니다.<math>T_1^1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_2^2 = T_3^3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_4^4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}</math>이에 대응하는 공변 텐서는 공식 <math>T_{\sigma\sigma} = T_\sigma^\sigma g_{\sigma\sigma}</math>에 따라 다음 값을 가집니다.1) <math>g_4 = 0</math>이라는 가정을 두면 전하 내부의 장 세기 분포가 일정하게 유도되지만, <math>g_4 \neq 0</math>인 외부 공간과의 연결에는 성공하지 못했습니다. 109페이지 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_1}{2g_1 g_4}, \quad T_{22} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_2}{2g_1 g_4}</math><math>T_{33} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_3}{2g_1 g_4}, \quad T_{44} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_4}{2g_1 g_4}</math>이것은 장의 평형을 고려하지 않은 정전기 에너지 텐서입니다. 장의 평형 텐서는 <math>\mathfrak{E}</math>에 대해 위 식 (2)의 값을 대입함으로써 얻어집니다.<math>T_{11} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}, \quad T_{22} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math><math>T_{33} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}, \quad T_{44} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math>장 방정식 (The Field Equations)아인슈타인의 일반 공변 중력 미분 방정식의 최신 및 가장 일관된 형식은 직교좌표계와 라우에 스칼라(Laue scalar) <math>\sum T_m^m = 0</math>이 소멸할 때 다음과 같이 쓰일 수 있습니다. <math>(8) \quad \sum_k \{mk, km\} = -\varkappa T_{mm},</math>여기서 <math>\varkappa</math>는 중력상수와 관련된 보편상수이며, 제2종 크리스토펠 4-인덱스 기호는 다음 값을 가집니다.<math>\{mk, km\} = \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_m} - \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mm \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_k} + \sum_\rho \left\{\begin{matrix} mk \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho m \\ k \end{matrix}\right\} - \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho k \\ k \end{matrix}\right\},</math>여기서 <math>\left\{\begin{matrix} m & k \\ & \rho \end{matrix}\right\}</math>는 제2종 크리스토펠 3-인덱스 기호이며, 직교좌표계에서는 적어도 두 개의 인덱스가 같을 때만 0이 아닌 값을 가지며 다음과 같습니다.<math>\left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ m \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math>반면, <math>m = k</math>일 때 4-인덱스 기호는 0이 됩니다.식 (8)의 처음 두 항은 쉽게 처리됩니다. 세 번째 항의 <math>\sum_\rho</math>에서는 먼저 <math>\rho = m</math>에 대해, 다음으로 <math>\rho = k</math>에 대해, 마지막으로 <math>\rho \neq m \neq k</math>인 모든 경우에 대해 합산합니다. 110페이지 계산 오차를 피하기 위해 어느 정도 숙련이 필요한 다소 번거로운 계산 과정을 거치면, 다음과 같은 2계 미분 불변량(Differential invariants)을 얻게 됩니다. 약간의 검증을 거치면 대칭성을 유지하면서 공변성 요구를 충족하고 유클리드 공간에서 소멸함을 확인할 수 있습니다.<math>\text{I} \begin{cases} G_{11} = \frac{d^2}{dr^2}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1} \frac{d}{dr}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) \\ \quad + \frac{1}{2}\left(\frac{d \ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d \ln \sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11}, \end{cases}</math><math>\text{II} \begin{cases} G_{22} = -1 + \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_2}{dr}\right) + \frac{1}{4g_1 g_2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_2}{dr} + \frac{1}{4g_1 g_4} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ = -\varkappa T_{22} \end{cases}</math><math>\text{III} \quad G_{33} = G_{22} \sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22} \sin^2\vartheta,</math><math>\text{IV} \begin{cases} G_{44} = \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_4}{dr}\right) - \frac{1}{4g_1 g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ \quad + \frac{1}{2g_1 g_2} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{cases}</math>무한히 많은 가능한 좌표계 중에서 우리는 다음과 같이 하나의 좌표계를 선호할 수 있습니다. <math>dr</math>이 단순한 좌표의 차이뿐만 아니라, 무한히 작은 고정된 자로 측정한 반경 방향의 거리를 의미하도록 약속한다면 <math>g_1 = -1</math>로 놓을 수 있습니다.또한 <math>\varkappa e^2 / 32 \pi^2 c^2</math>을 축약하여 <math>\lambda^2</math>으로 쓰고 <math>g_2 = -\overline{g}_2</math>로 놓으면, 식 (8)은 다음과 같은 형태를 취합니다.<math>(\text{I}) \quad \frac{d^2}{dr^2}\ln(\overline{g}_2 \sqrt{g_4}) + \frac{1}{2\overline{g}_2^2}\left(\frac{d\overline{g}_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{II}) \quad -1 + \frac{1}{2} \frac{d^2 \overline{g}_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\overline{g}_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2}</math><math>(\text{IV}) \quad \frac{1}{2} \frac{d^2 g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\overline{g}_2} \frac{d\overline{g}_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = +\frac{\lambda^2 g_4}{\overline{g}_2^2}</math>좌표계 선택을 <math>g_1 = -1</math>로 제한함으로써, 미지수 <math>\overline{g}_2</math> 및 <math>g_4</math> 단 두 개에 대해 3개의 방정식이 산출되었으므로, 언뜻 해를 구하려는 시도가 모순으로 이어질 것처럼 보일 수 있습니다. 111페이지 그러나 두 방정식의 일반해법이 세 번째 방정식을 항등적으로 만족시킨다는 사실이 밝혀질 것이며, 이는 대단히 주목할 만한 점입니다.따라서 변형 에너지 텐서를 결정하기 위해 비유클리드 공간에서 식 (2)의 변형 평형 보존 법칙을 보조 수단으로 사용할 필요가 전혀 없었으며, 장의 평형을 가능하게 하는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 함수로서 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>를 계산하는 데에는 중력장 방정식만으로도 이미 충분했습니다. 그러므로 전체 설정에서의 유일한 전제는 필드 세기의 6차원 벡터를 통해 변형 에너지 텐서 <math>T_\mu^\nu</math>의 표현식을 파악하는 것뿐이었습니다.아인슈타인 씨는 이 놀라운 연관성에 대해 논의할 때, 에너지와 변형력의 보존 법칙이 그의 최근 장 방정식에 포함되어 있으므로 어떤 문제에서도 특별히 새로 설정할 필요가 없음을 일반적인 방식으로 보여줄 수 있는 위치에 있다고 알려주었습니다. 여기서 다룬 특수한 사례가 입증하는 이 결과는 특히 중요한데, 한편으로는 장 방정식이 에너지 고려 사항에서 전혀 얻어지지 않고 오직 공변성 고려 사항에서만 얻어졌기 때문이며, 다른 한편으로는 장 방정식이 단지 보존 법칙보다 훨씬 더 많은 것을 말해주기 때문입니다.1)장 방정식의 적분 (Integration of the Field Equations)두 미지수 <math>\overline{g}_2</math>와 <math>g_4</math>에 대한 세 방정식 (I), (II), (IV)는 모순이 없고 상호 제한이 없는 해를 닫힌 형식(closed form)으로 허용할 것이며, 이는 다음과 같이 확인할 수 있습니다.축약 표현으로 <math>\ln \sqrt{g_4} = \gamma</math>로 놓고 <math>r</math>에 대한 미분을 프라임(')으로 표시하면, 방정식 (I), (II), (IV)는 다음과 같이 쓰입니다.1) 그 사이에 이 연관성은 D. 힐베르트와 A. 아인슈타인 자신에 의해 더 정확하게 밝혀졌습니다. 괴팅겐 학술원 보고서(Math. Phys. Kl. 1915 p. 3) 및 Annalen der Physik 49. p. 809. 1916년 참조. 112페이지 <math>(\text{I}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2} - \frac{\overline{g}_2'^2}{2\overline{g}_2^2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{IV}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \gamma' \frac{\overline{g}_2'}{\overline{g}_2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{II}) \quad -\overline{g}_2 + \frac{1}{2}\overline{g}_2 \overline{g}_2'' + \frac{1}{2}\gamma' \overline{g}_2' \overline{g}_2 = -\lambda^2.</math>(IV)에서 (I)을 빼면 다음을 얻습니다.<math>(a) \quad \gamma' = \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2'} - \frac{\overline{g}_2'}{2\overline{g}_2}</math>이로부터:<math>\gamma = \ln\left(\delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}\right),</math>여기서 <math>\delta</math>는 적분상수입니다. 또는:<math>\sqrt{g_4} = \delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}.</math>적분상수 <math>\delta</math>의 값은 무한대에서의 경계 조건으로부터 구할 수 있는데, 무한대에서는 <math>\sqrt{g_4} = c</math>, 즉 일반 광속과 같아야 하기 때문입니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.<math>(9) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{d}{dr}\sqrt{\overline{g}_2}</math>방정식 (a)를 (II)에 대입하면 다음을 얻습니다. <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2}\left(\overline{g}_2^{\frac{3}{4}}\right) = \overline{g}_2^{-\frac{1}{2}} - \overline{g}_2^{-\frac{5}{4}}\lambda^2.</math>두 개의 추가 적분상수를 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>라 하고, 축약을 위해 <math>\sqrt{\overline{g}_2} = h</math>로 놓으면 위 방정식의 첫 번째 적분식은 다음과 같이 산출됩니다.<math>(10) \quad h h' = \sqrt{(h - \alpha)^2 + (\lambda^2 - \alpha^2)}</math>그리고 완전해(complete solution)는 다음과 같습니다.<math>(11) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\sqrt{\left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^2 + 1} + \alpha \text{arsinh} \left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right) = r + \beta</math>이 방정식은 치환식을 사용하여 정리할 수 있습니다.<math>\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \sinh u</math> 113페이지 또는<math>(10a) \quad h = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \sinh u + \alpha</math>위 식은 다음과 같이도 쓸 수 있습니다.<math>(11a) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \cosh u + \alpha u = r + \beta.</math>방정식 (11)로부터 <math>g_2 = -h^2</math>이 무한대에서 <math>-r^2</math>과 같아져야 한다는 조건이 자발적으로 충족됨을 우선 확인할 수 있습니다.또한 식 (9)에 의해 다음과 같이 됩니다.<math>(9a) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{dh}{dr} = c \frac{\cosh u}{\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}}.</math>적분상수 (The Constants of Integration)이어 <math>\alpha</math>의 값은 전하 <math>e</math>의 중력 질량과 연관되어 있고, <math>\beta</math>의 값은 중심에서의 <math>g_2</math> 조건과 연관되어 있음을 보여줄 수 있습니다.아인슈타인 이론의 일반적인 연관성에 따라 무한대에서 전하는 전하의 중력 질점 <math>m_e</math>처럼 정확하게 작용해야 합니다. 따라서 무한대에서의 체적력(ponderomotive force)은 어떤 경우든 다음과 같은 형식으로 쓰일 수 있습니다.<math>K = -k \frac{m_e}{r^2},</math>여기서 <math>k = 6.7 \cdot 10^{-8} , (\text{cm}/\text{g}/\text{s})</math>는 일반적인 중력상수를 의미합니다.다른 형식으로서 동일한 반경 방향 체적력은 극대칭장에서 측지선의 공변 방정식으로부터 다음과 같은 형식으로 도출됩니다.1)<math>(12) \quad K = -\frac{1}{2} \frac{dg_4}{dr}</math>따라서 식 (9a)를 이용하면 다음과 같이 됩니다.1) A. 아인슈타인, 『일반상대성이론의 형식적 기초』, 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1046. 식 23b. 1914년.114페이지<math>K = \frac{c^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} \frac{\cosh u \left(1 - \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)}{\left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^4}.</math>큰 <math>u</math> 값에 대해 식 (11a)에 의하여 다음과 같이 됩니다.<math>\cosh u = \sinh u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}</math>따라서 그곳에서는 다음과 같습니다.<math>K = -\frac{c^2 \alpha}{r^2}</math><math>K</math>의 두 값을 동일하게 놓으면 <math>\alpha</math>에 대해 다음 값을 얻습니다.<math>\alpha = \frac{m_e k}{c^2}</math>예를 들어 전자의 질량을 <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>로 취하면 다음과 같이 얻어집니다.<math>\alpha = \frac{10^{-27} \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{1.82 \cdot 9 \cdot 10^{20}} = 0.408 \cdot 10^{-55}.</math>따라서 상수 <math>\alpha^2</math>은 소전하의 경우 극도로 작아지며, 아래에서 보여지듯 감산 결합된 상수 <math>\lambda^2</math>에 비해서도 극도로 작습니다. 그러나 이 상수는 원리적 의미를 가지며, 전하가 중력 질량 및 관성 질량을 가져야 한다면 소멸할 수 없습니다. 향후 대전된 장, 즉 전자에 대한 모든 평형 이론은 첫 번째 설정에서부터 적분상수 <math>\alpha</math>가 0이 되는 가능성을 배제해야 합니다.일차 6차원 벡터의 유일하게 존재하는 성분은 일반적인 경우 다음과 같이 됩니다.<math>(14) \quad \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{\overline{g}_2} = -\frac{e}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{\overline{g}_2}} \frac{d\sqrt{\overline{g}_2}}{dr}</math><math>= \frac{e}{4\pi(h^2 - \alpha^2)} \left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^3</math>115페이지그리고 이는 방정식 (11a)와 (9a)에 의해 쉽게 계산할 수 있습니다.정전 포텐셜은 다음과 같이 됩니다.<math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi \sqrt{\overline{g}_2}}</math>해법 (11)은 <math>\alpha = 0</math>일 때 특히 단순해지며, 이 해법이 위의 <math>\alpha</math> 값에 대한 해법과 눈에 띄게 다르지 않으므로 여기에 표기해 둡니다.식 (11)로부터 <math>\alpha = 0</math>일 때 즉시 다음을 얻습니다.<math>(11b) \quad \overline{g}_2 = (r + \beta)^2 - \lambda^2.</math><math>(9b) \quad g_4 = c^2 \frac{(r + \beta)^2}{(r + \beta)^2 - \lambda^2}</math>거의 실현되는 이 특수한 경우 <math>\alpha = 0</math>에서 추가로 다음을 얻습니다.<math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r + \beta}{((r + \beta)^2 - \lambda^2)^{3/2}}</math>이제 보편 아인슈타인 상수 <math>\varkappa</math>의 값과 상수 <math>\lambda</math>의 값을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.우선 장 방정식 (I), (II), (IV)는 대전되지 않은 비간섭성(incoherent) 질량 분포의 무한히 약한 극대칭 중력장을 특수한 경우로 포함해야 합니다.밀도 <math>\rho_m</math>을 갖는 비간섭성 질량 분포의 공변 에너지 텐서는 아인슈타인에 따라 정역학적 경우 및 직교 체계에서 다음과 같습니다.1)<math>T_{11} = T_{22} = T_{33} = 0, \quad T_{44} = \rho_m g_4.</math>이에 해당하는 스칼라 <math>T = \sum T_m^m</math>은 <math>\rho_m</math> 값을 가집니다. 따라서 장 방정식의 우변은 다음과 같이 됩니다.2)1) 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1059. 식 48. 1914년.2) 같은 책, p. 845. 식 2a. 1915년. 116페이지 즉,<math>G_{\nu\nu} = -\varkappa\left(T_{\nu\nu} - \frac{1}{2}g_{\nu\nu} T\right),</math><math>G_{11} = +\frac{\varkappa}{2} g_1 \rho_m, \quad G_{22} = +\frac{\varkappa}{2} g_2 \rho_m</math><math>G_{33} = +\frac{\varkappa}{2} g_3 \rho_m, \quad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2} g_4 \rho_m</math>113페이지의 방정식 (IV)는 <math>g_1 = -1</math>, <math>g_2 = -r^2 + \delta g_2</math>, <math>g_4 = c^2 + \delta g_4</math>로 놓을 때(여기서 <math>\delta g_2</math> 및 <math>\delta g_4</math>는 작은 값임), 1차 미소 수량까지 고려하면 다음과 같이 됩니다.<math>\frac{d^2}{dr^2}\left(\frac{g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \cdot \frac{d}{dr}\left(\frac{g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2} c^2 \rho_m</math>여기서 식 (12)에서와 마찬가지로 <math>g_4 / 2</math>를 중력 포텐셜로 볼 수 있으며, 다음과 같이 설정할 수 있습니다.<math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^4} = \frac{4\pi \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{81 \cdot 10^{40}} = 0.936 \cdot 10^{-48}.</math>이로부터 다음을 얻습니다.<math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{k e^2}{4\pi c^4} = \frac{6.7 \cdot 10^{-8} \cdot 4.65^2 \cdot 10^{-20} \cdot 4\pi}{4\pi \cdot 81 \cdot 10^{40}}</math><math>= 1.79 \cdot 10^{-68},</math>또는<math>\lambda = 1.337 \cdot 10^{-34}.</math>따라서 <math>\lambda</math>는 그 극소성에도 불구하고 여전히 <math>\alpha</math>보다 천억 배나 큽니다.상수 <math>\beta</math>는 반지름이 감소함에 따라 원주도 0으로 감소해야 한다는 조건, 즉 <math>r = 0</math>일 때 <math>h = 0</math>이어야 한다는 조건으로부터 구할 수 있습니다. 방정식 (10a)에 따라 <math>r = 0</math>에서의 <math>u</math> 값을 <math>u_0</math>이라 나타내면 다음과 같습니다.<math>\sinh u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}</math>그리고 식 (11a)에 따라:<math>\beta = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\cosh u_0 + \alpha u_0,</math>또는 <math>\alpha/\lambda</math>가 극히 작으므로 다음과 같이 됩니다.<math>\beta = \lambda - \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \lambda</math> 117페이지 <math>r = 0</math>일 때 방정식 (14)에 의해 장의 세기 또한 <math>\mathfrak{E} = \infty</math>가 됩니다.중심 주변에 전하가 분포되어 있어야 하지만 맥스웰 이론이 그 평형을 반영하지 못한다는 사실에 대응하여, 중심점까지 해법을 계속 이어가면 불가능한 결과(특이점)에 도달한다는 것을 알 수 있습니다.만약 <math>r = r_0</math>인 지점에서 <math>\beta = \lambda - r_0</math>으로 놓아 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>의 부호 변화를 강제하고자 한다면, 그곳에서 <math>\mathfrak{E}</math>의 무한대점과 <math>g_2</math>의 0점을 얻게 되는데, 이는 길이 요소 <math>\sqrt{g_2} d\vartheta</math>에 적용하기 어려운 결론입니다. 더욱이 이를 통해 동일한 부호의 전하밀도 사이에 상호 인력이 발생할 수는 있지만 평형은 달성되지 않으며, 평형을 강제하기 위해서는 추가적인 변형 텐서를 도입해야 할 것입니다.그러나 대전된 공간 외부에서는 전하의 장이 모순 없이 표현되며, 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math> 및 계수 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값이 유클리드 공간의 값과 눈에 띄게 달라지는 것은 반지름이 <math>\lambda</math>의 차원, 즉 <math>10^{-34} \text{ cm}</math>의 차원인 영역뿐임을 보여줍니다. 전자의 반지름이 약 <math>10^{-13} \text{ cm}</math>로 가정되므로, 장과 관련된 해의 영역에서 자가 중력의 영향은 그 어떤 측정/검증 가능성도 벗어나 있습니다.<math>g_4 = 0</math>에서의 퇴화 (The Degeneration for <math>g_4 = 0</math>)108페이지에서 장의 세기와 광속을 0으로 만들되 <math>\mathfrak{E}/\sqrt{g_4}</math>가 유한하게 유지되도록 함으로써 전하 평형의 형식적 가능성에 주의를 기울였습니다. 다음과 같이 놓으면:<math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{S}</math>4차원 전류의 시간 성분은 다음과 같이 됩니다. <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta \cdot \rho g_2 \sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{S} \frac{\overline{g}_2}{\sqrt{-g_1}}\right) \sin\vartheta</math>여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.진귀한 계산 결과로서, 도출 과정 없이 이 막다른 골목이 어디로 이어지는지 밝혀둡니다. 에너지 텐서는 다음 값을 가집니다.118페이지<math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{1}{g_1}, \quad T_{22} = \frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_2}{g_1}, \quad T_{33} = \frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_3}{g_1}, \quad T_{44} = -\frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_4}{g_1} = 0</math>반면 혼합 V-텐서 <math>T_\mu^\nu</math>는 소멸합니다.장 방정식은 <math>g_1 = -1</math>일 때 다음과 같은 해를 허용합니다.<math>\frac{27}{32}\left(\frac{8}{9}\overline{g}_2^{\frac{1}{3}} - \alpha\right)\sqrt{\frac{16}{9}\overline{g}_2^{\frac{1}{3}} + \alpha} = r + \beta,</math>여기서 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>는 적분상수입니다.또한 다음을 얻습니다.<math>\frac{\varkappa \mathfrak{S}^2}{2} = \frac{1}{4\overline{g}_2} - \frac{3\alpha}{8\overline{g}_2^{4/3}}</math><math>\rho = \frac{3}{4\sqrt{2\varkappa}} \frac{\left(\overline{g}_2^{1/3} - \alpha\right)\sqrt{\frac{16}{9}\overline{g}_2^{1/3} + \alpha}}{\overline{g}_2^{1/3}\sqrt{\overline{g}_2^{1/3} - \frac{3}{2}\alpha}},</math><math>e = \frac{\pi\sqrt{8}}{\sqrt{\varkappa}} \overline{g}_2^{1/6}\sqrt{\overline{g}_2^{1/3} - \frac{3}{2}\alpha} \cdot \alpha^{3/2}</math>그러나 이 해법이 어떠한 물리적 의미를 가질 수 있을 것으로는 보이지 않습니다.전기가 없는 장 (The Un-electric Field)전하가 없는 구형 정지 질량의 중력장은 전하와 그에 따른 <math>\lambda = 0</math>으로 놓을 때 위에서 제시한 일반해로부터 특수한 경우로서 얻어져야 합니다. 이때 슈바르츠실트 해로 귀결되어야 하며, 이는 슈바르츠실트가 처음부터 <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> 조건으로 좌표계를 결정한 반면, 본 연구는 우선 제한 없이 공변성을 유지하다가 <math>g_1 = -1</math> 조건으로 계산했다는 점에서도 입증할 가치가 있습니다.슈바르츠실트1) 논문에서 계수는 다음과 같습니다.<math>-g_1^* = \frac{r_1^4}{R^4(1 - \alpha_1/R)}, \quad -g_2^* = R^2, \quad g_4^* = 1 - \alpha_1/R,</math>여기서 <math>R^3 = r_1^3 + \alpha_1^3</math>이며 <math>\alpha_1</math>은 상수입니다.1) K. 슈바르츠실트, 『아인슈타인 이론에 따른 질점의 중력장에 대하여』, 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 189–196. 1916년.119페이지여기서 <math>c = 1</math>로 놓았을 때 다음을 얻었습니다.<math>-g_1 = 1, \quad -g_2 = h^2, \quad g_4 = \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math>여기서<math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h - 2\alpha}{h}</math>따라서 그곳에서는 반지름에 대해 다른 길이 측도가 선택되었는데, 다음과 같기 때문입니다.<math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4}{R^4(1 - \alpha_1/R)},</math>반면<math>h = R, \quad g_4 = 1 - 2\alpha/R</math>로만 변환되었으므로 <math>g_2 = g_2^*</math>, <math>g_4 = g_4^*</math>이어야 합니다. 다음과 같이 얻어집니다.<math>dr^2 = \frac{dh^2}{1 - 2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1 - \alpha_1/R}</math>따라서 두 해법은 <math>2\alpha = \alpha_1</math>로 놓을 때 서로 변환되어 일치합니다.샤를로텐부르크, 1916년 3월.(1916년 3월 20일 접수됨) {{col-begin}} {{col-2}} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma ={{col-3}} \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) {{col-2}} Original p. 106 After Einstein had demonstrated the fruitfulness of his new covariant field equations of gravitation, and thereby of the postulate of the most general relativity, through his explanation of the perihelion motion of Mercury, and after he had elsewhere given a generally covariant formulation of the Maxwell-Lorentz equations of the electromagnetic field, it appeared to me that the next task was to investigate, by means of a simple example, the influence of the self-gravitation of a spherically symmetric electric field. I did, indeed, begin with the hope of finding a static cohesion of elementary charges through their self-gravitation without having to leave the ground of Maxwell's theory. In the course of the investigation, however, I was initially able to establish only that Einsteinian gravitation distorts the field of an elementary electric charge in a definite, though extraordinarily small, manner, but that by its nature it cannot cancel the mutual electrostatic repulsion of the elements of charge. The constitution of the elementary charge can therefore be obtained only by introducing a further fundamental assumption: either by modifying Maxwell's equations in the sense of Mie, by adding to the Maxwell tensor a stress tensor of the simplest possible kind, or, finally, by regarding the electron not as static but as electrodynamically stationary. Concerning the calculation, in which Einstein assisted me with a variety of explanations and criticisms, the following preliminary remarks may be made. No restriction was placed on the choice of coordinate system in setting up the field equations, and in particular none was placed on the value of the transformation determinant. Original p. 107 It was therefore possible to introduce the usual spherical polar coordinate system, whereas Schwarzschild, in order to preserve the value one for the discriminant of the line element, employed a particularly ingenious coordinate system. Nevertheless, in the present case the most general coordinate system seems to me more advantageous than a special one for setting up and integrating the field equations, quite apart from the fine insight it gives into the complete covariance of the theory. The field of an uncharged mass point presented by Einstein and Schwarzschild proves to be a special case of the field of a spherical charge calculated here. It may serve as a check upon the correctness of the present solution that it passes into the Schwarzschild solution when it is transformed to Schwarzschild's special coordinate system and the charge is allowed to vanish. The problem posed here is therefore the following: What is the most general electrostatic field in equilibrium and possessing spherical symmetry if nothing is assumed beyond the Maxwell stress-energy tensor in covariant form and Einstein's generally covariant field equations of gravitation. The assumption of symmetry simplifies the form of the line element of the generally non-Euclidean space, so that it can be written in spatial polar coordinates that remain orthogonal. [Line element omitted.. Here single indices are written in place of double indices. In Euclidean space-that is, in a space containing no stress-energy tensor-the metric coefficients take their familiar values, and c denotes the ordinary velocity of light. Original p. 108 Einstein has shown generally how the values of the metric coefficients determine the properties of measuring rods and clocks, the form of the shortest lines, the paths of mass points and light rays, the velocity of light, and the gravitational potential. THE TENSOR OF THE ELECTROSTATIC FIEL. The energy tensor required for the gravitational field equations and for the equilibrium condition of the electrostatic field may be obtained as follows. Of the components of the first covariant six-vector of the field, only one remains in the case of rest and spherical symmetry, namely the radial electric-field component. The second, contravariant, six-vector derived from it likewise has only one component. [Field-tensor relation omitted.. The contravariant four-vector of the electric vacuum-current density also has only one non-vanishing component. [Equation (1) omitted.. Here rho denotes the charge density. The covariant four-vector of mechanical force density assumes its standard form in the general static case and a radial form under complete spherical symmetry. [Force-density equations omitted.. This general static ansatz shows that the resultant force density can vanish only if either the charge density or the electric field strength vanishes. These quantities, in turn, can vanish simultaneously throughout a finite interval only in the exceptional case in which one of the relevant metric coefficients vanishes throughout that interval. Original p. 109 Thus one may state: A Maxwellian electrostatic field, even under the influence of its own gravitation, can be in equilibrium only where no charge density is present, provided one excludes the case in which a line element or the velocity of light becomes zero. Since these exceptional cases appear to possess no physical significance, an investigation based upon the pure Maxwell stress-energy tensor and spherical symmetry must be restricted to the field of a spherical charge under the influence of its self-gravitation in empty space. For this case the four-current must vanish. Integration then gives the electric field in terms of the metric coefficients. The integration constant is determined immediately from the condition at infinity, where the metric becomes flat and the field becomes the Coulomb field of the total charge e situated at the centre. [Equation (2) omitted.. Substitution of these values into Einstein's expression for the mixed energy tensor gives its four diagonal components. The corresponding covariant tensor follows by lowering the index with the metric. [Stress-energy components omitted.. Original p. 110 This is the electrostatic energy tensor, but without yet taking account of the equilibrium of the field. The equilibrium tensor is obtained by substituting the field value found in equation (2). [Equilibrium stress-energy components omitted.. THE FIELD EQUATION. Einstein's generally covariant differential equations for a gravitational field, in their latest and most consistent form, can be written for orthogonal coordinates and a vanishing Laue scalar in terms of the contracted Christoffel symbols. [Equation (8) omitted.. Here kappa is a universal constant related to the gravitational constant. The four-index Christoffel symbol of the second kind is expressed through the three-index symbols. In orthogonal coordinates, the latter differ from zero only when at least two indices coincide. [Christoffel-symbol formulas omitted.. The four-index symbol vanishes when the relevant two indices are equal. The first two terms of equation (8) cause no difficulty. In the sum of the third term one first sums over one coincident index, then over the other, and finally over all indices distinct from both. Original p. 111 After a somewhat laborious calculation, requiring some practice if computational errors are to be avoided, one arrives at the following second-order differential invariants. A straightforward check shows that they satisfy covariance under the imposed symmetry and vanish in Euclidean space. [Equations (I)-(IV) omitted.. Among the infinitely many possible coordinate systems, we may evidently privilege one in the following manner. Let dr denote not merely a coordinate difference but also the distance in the radial direction measured with an infinitesimal rigid measuring rod. With this convention the radial metric coefficient is set equal to minus one. For brevity, introduce lambda squared for the indicated combination of kappa, charge, and c, and replace the negative angular metric coefficient by a positive barred quantity. The field equations then take a system of three ordinary differential equations. [Reduced equations (I), (II), and (IV) omitted.. Original p. 112. The restriction imposed upon the coordinate system has therefore produced three equations for only two unknown metric functions, and at first it appears that an attempt at solution might lead to a contradiction. It will be shown, however-and this is extraordinarily noteworthy-that the general solution of two of the equations satisfies the third identically. Thus it would not have been necessary to employ the conservation law, that is, the stress-equilibrium condition represented by equation (2) in non-Euclidean space, in determining the stress-energy tensor. The gravitational field equations alone would already have sufficed to calculate, as a function of the metric, the field strength that permits equilibrium. The only prerequisite for the entire ansatz was therefore knowledge of the expression of the stress-energy tensor in terms of the six-vector of field strength. In discussing this surprising connection, Einstein informed me that he was then in a position to show generally that the conservation laws of energy and stresses are contained in his latest field equations and therefore need not be imposed separately in each problem. This result, confirmed by the special case treated here, is particularly important because the field equations were obtained not from energy considerations but solely from considerations of covariance, while at the same time they assert much more than the conservation laws alone. THE INTEGRATION OF THE FIELD EQUATION. The three equations (I), (II), and (IV), containing the two unknown metric functions, therefore admit a consistent closed-form solution without mutually restricting one another. Introduce gamma as the logarithm of the square root of the temporal metric coefficient, and denote differentiation with respect to r by primes. The equations then assume a more compact form. Original p. 113. [Reduced equations and equation (a) omitted.. Subtracting equation (I) from equation (IV) gives a first differential relation. Its integration introduces a constant delta. The boundary condition at infinity, where the local velocity of light is to equal the normal value c, determines this constant and yields equation (9). [Equation (9) omitted.. Substitution into equation (II) produces a second-order equation for the angular metric coefficient. Introduce two further integration constants, alpha and beta, and set h equal to the square root of the positive angular coefficient. The first integral is equation (10), and complete integration gives equation (11). [Equations (10) and (11) omitted.. The result may alternatively be written by means of a hyperbolic substitution. [Substitution omitted.. Original p. 114. [Equations (10a), (11a), and (9a) omitted.. Equation (11) first shows that the condition requiring the angular metric coefficient to approach the square of the radius at infinity is satisfied automatically. Equation (9) then supplies the temporal metric coefficient. THE INTEGRATION CONSTANT. It can now be shown that alpha is related to the gravitating mass of the charge e, while beta is related to the condition imposed on the angular metric coefficient at the centre. According to the general connection supplied by Einstein's theory, a charge at infinity must act just like a gravitating mass point having the mass of the charge. The ponderomotive force at infinity may therefore be written in Newtonian form, where k is the ordinary gravitational constant. [Newtonian force formula omitted.. The same radial ponderomotive force follows in another form from the covariant equation of the geodesic line in a spherically symmetric field. [Equation (12) omitted.. Original p. 115. Using equation (9a), and taking the large-distance limit, one finds the inverse-square gravitational force and identifies alpha with the gravitational radius associated with the mass of the charge. [Identification and numerical estimate of alpha omitted.. The constant alpha squared is therefore extraordinarily small for an elementary charge and, as shown below, extraordinarily small even in comparison with the constant lambda squared from which it is subtracted. Nevertheless it possesses a significance of principle and must not vanish if the electric charge is to possess gravitating inertial mass. Every future equilibrium theory of the charged field-that is, of the electron-must exclude the disappearance of the integration constant alpha from the outset. The sole non-vanishing component of the primary electromagnetic six-vector in the general case is then obtained from the preceding solution. [Equation (14) omitted.. Original p. 116. It is readily calculated from equations (11a) and (9a). The electrostatic potential is correspondingly obtained. [Electrostatic potential omitted.. The solution becomes especially simple when alpha is set equal to zero. Since this solution differs imperceptibly from the one using the numerical value of alpha found above, it is useful to state it separately. [Equations (11b), (9b), and the simplified field strength omitted.. The values of Einstein's universal constant kappa and of lambda can now be calculated. The field equations must contain, as a special case, the infinitely weak spherically symmetric gravitational field of an uncharged, incoherent distribution of mass. According to Einstein, the covariant energy tensor of an incoherent mass distribution of density rho_m, in the static case and in an orthogonal system, has only its temporal component different from zero. The corresponding trace has the value rho_m. [Matter stress-energy components omitted.. Original p. 117. The right-hand side of the general field equations then takes the trace-reversed form used by Einstein. [Trace-reversed field equation and components omitted.. Linearising equation (IV) about flat space gives the ordinary Poisson equation. Consequently the temporal perturbation divided by two may be regarded as the gravitational potential, just as in equation (12). Comparison with Newtonian gravity determines kappa. [Weak-field equation and numerical value of kappa omitted.. From this one obtains lambda and its numerical value for the elementary charge. [Values of lambda squared and lambda omitted.. Thus, despite its smallness, lambda is still approximately one hundred thousand billion billion times as large as alpha. The constant beta can be obtained from the condition that the circumference of a circle must tend to zero as the radius decreases; that is, h must vanish when r is zero. Equation (10a) then fixes the value u_0, and equation (11a) fixes beta. Because alpha is so small compared with lambda, beta is approximately equal to lambda. [Boundary equations for u_0 and beta omitted.. Original p. 118. At r equal to zero, equation (14) makes the field strength infinite. It is evident that continuation of the solution to the centre leads to an impossibility, corresponding to the fact that charge must be distributed around the centre and that Maxwell's theory does not supply the equilibrium of that distribution. If one attempted to force the field strength to change sign at a radius r_0 by choosing beta accordingly, the field strength would become infinite there and the angular metric coefficient would vanish. The line element cannot reasonably be subjected to such a consequence. Moreover, this would produce a mutual attraction of like charge densities but not an equilibrium; to enforce equilibrium one would perhaps have to add another stress tensor. Outside the charged region, however, the field of the charge is represented consistently. The field strength and the metric coefficients differ appreciably from their Euclidean values only where the radius is of the order of lambda, approximately 10^-34 centimetres. Since the electron radius is taken to be approximately 10^-13 centimetres, the influence of self-gravitation within the physically relevant domain of the solution eludes all possibility of detection. THE DEGENERATE CASE g₄ = . On page 109 attention was drawn to the formal possibility of equilibrium of charge if the field strength and the velocity of light are both allowed to vanish in such a way that their ratio remains finite. [Definition of the limiting field omitted.. The temporal component of the four-current then assumes a corresponding limiting form, where rho denotes charge density. [Current equation omitted.. For the sake of curiosity, the result of this dead end may be stated without derivation. The energy tensor takes a degenerate form. Original p. 119. [Degenerate stress-energy tensor omitted.. The mixed tensor vanishes. With the radial metric coefficient set equal to minus one, the field equations permit a formal solution containing two integration constants, alpha and beta. [Degenerate solution omitted.. Further expressions for the field and total charge follow, but this solution does not appear capable of acquiring any physical significance. THE NON-ELECTRIC FIEL. The gravitational field of an uncharged, spherical, resting mass must emerge as a special case of the general solution given above when the charge, and therefore lambda, is set equal to zero. The result must reduce to Schwarzschild's solution. It is worthwhile to show this explicitly because Schwarzschild fixed from the outset a coordinate system in which the determinant condition has a prescribed value, whereas the present calculation began without restriction and subsequently imposed the condition that the radial metric coefficient equal minus one. In Schwarzschild's coordinates the metric coefficients have their standard forms, with an auxiliary radial coordinate R related cubically to Schwarzschild's original coordinate. [Schwarzschild metric coefficients omitted.. Original p. 120. In the present coordinates, with c equal to one, the radial metric coefficient is minus one, the angular coefficient is minus h squared, and the temporal coefficient is the square of dh/dr. [Metric relations omitted.. A different measure of radial length has therefore been selected. Since only the radial coordinate is transformed, the angular and temporal metric coefficients must agree in the two representations. [Coordinate transformation omitted.. One obtains h equal to R and the Schwarzschild temporal coefficient. The two solutions therefore pass into one another when the two mass parameters are appropriately identified. Charlottenburg, March 1916. Received 20 March 1916. TRANSLATOR'S NOT. This translation preserves Reissner's historical terminology and argumentative order. Equations have been omitted at the reader's request, but their original locations and labels have been retained. In modern terminology, the paper studies the static, spherically symmetric electrovacuum reduction of the Einstein-Maxwell system. Reissner's most striking conceptual observation occurs on original page 112: the conservation laws need not be imposed independently, because the structure of Einstein's field equations already contains the required consistency relations. {{col-end}} <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. pa92y2dogqpyi8s1zrfhe57ivry5g1n 459198 459197 2026-09-06T08:42:14Z Danuri19 16656 459198 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판<ref>[https://edition-open-sources.org/sources/10/6/index.html? George B. Jeffery (1921): The Field of an Electron on Einstein’s Theory of Gravitation]</ref><ref>[https://zenodo.org/records/1447315? Hans Reissner Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie 『Annalen der Physik』, Vierte Folge, Band 50 전체 통권 Band 355 1916년, pp. 106–120]</ref> | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106페이지 4. 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자가 중력에 대하여 , H. 라이스너(H. Reissner) 아인슈타인 씨가 수성 서행 운동(수성의 근일점 이동)을 설명함으로써 그의 새로운 공변 중력장 방정식, 나아가 일반 상대성 공리의 유용성을 입증하였고, 다른 논문을 통해 전자기장의 맥스웰-로런츠 방정식을 일반 공변 형태로 제시하였습니다. 이에 따라 구대칭을 가지는 전기장의 자가 중력(Eigengravitation)이 미치는 영향을 간단한 예시를 통해 조사하는 것을 다음 과제로 삼게 되었습니다.비록 본 연구를 시작할 당시에는 맥스웰 이론의 틀을 벗어나지 않고 소전하(Elementarladung) 자체의 자가 중력을 통해 정역학적 결합(전하의 안정성)을 찾을 수 있으리라는 기대를 가졌으나, 연구 과정에서 아인슈타인의 중력이 소전하의 전기장을 특정한(그리고 극도로 미미한) 방식으로 왜곡시킬 뿐, 그 본질상 전하 요소들 사이의 상호 정전기적 반발력을 상쇄할 수는 없다는 사실만을 우선 확인하게 되었습니다.따라서 소전하의 구조를 설명하기 위해서는 추가적인 기본 가정이 도입되어야만 할 것입니다. 미(Mie)의 개념에 따라 맥스웰 방정식을 수정하든가, 맥스웰 변형 텐서에 가능한 한 단순한 변형 텐서를 추가하든가, 혹은 최종적으로 전자를 정역학적이 아닌 전자기학적으로 정상 상태(stationär)인 구조로 파악하는 방식 중 하나를 취해야 합니다.아인슈타인 씨로부터 다양한 설명과 비판적 조언을 받아 진행한 계산 수행 과정과 관련하여, 먼저 다음 사항을 밝혀두고자 합니다.장 방정식을 수립하는 데 있어 좌표계의 선택, 특히 치환 행렬식(Substitutionsdeterminante)의 값에 어떠한 제한도 두지 않았습니다. 따라서 일반적인 공간 구면좌표계를 도입할 수 있었는데, 이는 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 선요소(Linienelement)의 판별식 <math>\sqrt{-g}</math>의 값을 1로 유지하기 위해 특별히 교묘하게 선택된 좌표계를 사용한 것과 대조적입니다.그럼에도 불구하고 이 문제에서는 전체 이론의 완전한 공변성을 보여주는 명쾌한 통찰을 제공할 뿐만 아니라, 장 방정식의 수립 및 통합에 있어서도 특정한 좌표계보다 가장 일반적인 좌표계를 사용하는 것이 오히려 더 유리하다고 판단됩니다.아인슈타인 씨 자신과 슈바르츠실트에 의해 제시된 전하가 없는 질점의 장(Field)은 본 논문에서 계산된 구형 전하 장의 특수한 경우임이 밝혀졌습니다. 또한 특정한 슈바르츠실트 좌표계로 변환하고 전하를 0으로 놓았을 때 본 해법이 슈바르츠실트의 해로 귀결된다는 점은 여기서 제시된 해법의 정당성을 검증하는 역할을 합니다.따라서 여기서 설정한 문제는 다음과 같습니다. 공변 형태의 맥스웰 변형 에너지 텐서와 아인슈타인의 일반 공변 중력장 방정식 외에 다른 아무것도 전제하지 않을 때, 평형 상태에 있는 구대칭 정전기장의 가장 일반적인 형태는 무엇인가?대칭성 전제는 일반적으로 비유클리드 공간인 선요소의 형식을 단순화하는 결과를 가져오므로, 이 선요소는 공간적(직교 상태를 유지하는) 구면좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있습니다. <math>ds^2 = g_1 dr^2 + g_2 d\vartheta^2 + g_3 d\varphi^2 + g_4 dt^2,</math> 여기서 이중 첨자 대신 단일 첨자만 사용하여 다음과 같이 나타냅니다. <math>g_{\nu\nu} = g_\nu, \quad g_{\mu\nu} = 0 \quad (\mu \neq \nu \text{일 때})</math> 그리고 변형 에너지 텐서를 포함하지 않는 유클리드 공간에 대해 <math>g_\nu</math>는 다음 값을 가집니다. <math>g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_3 = g_2 \sin^2\vartheta, \quad g_4 = c^2,</math> 여기서 <math>c</math>는 진공에서의 일반적인 광속을 의미합니다. 107페이지 아인슈타인 씨는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값들이 자와 시계의 성질, 최단선(측지선)의 형태, 질점과 광선의 궤도, 광속 및 중력 포텐셜을 어떻게 결정하는지 일반적으로 보여주었습니다.정전기장의 텐서중력장 방정식과 정전기장의 평형 조건에 필요한 에너지 텐서는 다음과 같이 도출할 수 있습니다.1)첫 번째 공변 6차원 벡터(Covariant 6-vector) <math>F_{\alpha\beta}</math>의 성분 중 정지 상태 및 극대칭성(polar symmetry)을 가질 때 남는 것은 오직 하나, 즉 <math>F_{14} = \mathfrak{E}</math>뿐입니다. 이로부터 도출되는 두 번째 반공변(contravariant) V-6차원 벡터 <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> 역시 이 경우 오직 하나의 성분만을 가집니다. <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}</math> 진공에서의 전기 전류밀도의 반공변 V-4차원 벡터 역시 0이 아닌 성분을 단 하나만 가집니다. <math>(1) \quad \mathfrak{J}^4 = \rho \frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial \mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math> 여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.역학적 힘 밀도(force density)의 공변 V-4차원 벡터는 일반적인 정역학적 경우 다음과 같이 됩니다. <math>\mathfrak{K}_\sigma = F_{\sigma 4} \mathfrak{J}^4</math> 그리고 구대칭(모든 방향의 대칭)일 때: <math>\mathfrak{K}_r = F_{14} \mathfrak{J}^4 = \mathfrak{E} \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math> 이 일반적인 정역학적 설정은 알짜 힘 밀도가 0이 되기 위해서는 전하밀도가 0이 되거나 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>가 0이 되어야 함을 보여줍니다. 그러나 이 값들은 <math>g_1</math> 또는 <math>g_4</math>가 해당 유한 구간에서 0이 되는 경우를 제외하고는, 유한한 구간 내에서 동시에만 0의 값을 가질 수 있습니다.따라서 다음과 같이 기술할 수 있습니다.¹) <ref>A. 아인슈타인, 『전자기학의 맥스웰장 방정식에 대한 새로운 형식적 해석』. 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 184–188. 1916년.</ref> 108페이지 맥스웰 정전기장은 자가 중력의 영향 하에서도, 선요소나 광속이 0이 되는 특수한 경우를 제외한다면 전하밀도가 존재하지 않는 곳에서만 평형을 유지할 수 있습니다.1)이러한 예외적인 경우가 물리적 의미를 갖지 않는 것으로 보이므로, 순수한 맥스웰 변형 에너지 텐서와 구대칭을 기본 바탕으로 삼고자 한다면, 본 연구는 진공 공간에서 자가 중력의 영향을 받는 구형 전하의 장으로 제한되어야 합니다.따라서 이 경우에는 <math>\mathfrak{J}^4 = 0</math>이어야 하며, 이에 따라 다음과 같이 됩니다. <math>\mathfrak{E} = \text{const} \cdot \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{-g_2}</math> 적분상수는 무한대에서의 경계 조건으로부터 즉시 결정할 수 있습니다. 무한대에서는 중심의 총전하를 <math>e</math>라 할 때 다음과 같이 놓아야 합니다. <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \quad g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_4 = c^2,</math>따라서<math>\text{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> 이로부터 다음을 얻습니다. <math>(2) \quad \begin{cases} \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{g_2} \\ \mathfrak{F}^{14} = F_{14} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{1}{g_2} \end{cases}</math> 이 값들을 위에서 인용한 아인슈타인의 논문에 제시된 혼합 에너지 텐서 식 (9)에 대입하면 다음을 얻습니다. <math>T_1^1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_2^2 = T_3^3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_4^4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}</math> 이에 대응하는 공변 텐서는 공식 <math>T_{\sigma\sigma} = T_\sigma^\sigma g_{\sigma\sigma}</math>에 따라 다음 값을 가집니다.¹) <ref><math>g_4 = 0</math>이라는 가정을 두면 전하 내부의 장 세기 분포가 일정하게 유도되지만, <math>g_4 \neq 0</math>인 외부 공간과의 연결에는 성공하지 못했습니다.</ref> 109페이지 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_1}{2g_1 g_4}, \quad T_{22} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_2}{2g_1 g_4}</math><math>T_{33} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_3}{2g_1 g_4}, \quad T_{44} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_4}{2g_1 g_4}</math> 이것은 장의 평형을 고려하지 않은 정전기 에너지 텐서입니다. 장의 평형 텐서는 <math>\mathfrak{E}</math>에 대해 위 식 (2)의 값을 대입함으로써 얻어집니다. <math>T_{11} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}, \quad T_{22} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math><math>T_{33} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}, \quad T_{44} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> 장 방정식 (The Field Equations)아인슈타인의 일반 공변 중력 미분 방정식의 최신 및 가장 일관된 형식은 직교좌표계와 라우에 스칼라(Laue scalar) <math>\sum T_m^m = 0</math>이 소멸할 때 다음과 같이 쓰일 수 있습니다. <math>(8) \quad \sum_k \{mk, km\} = -\varkappa T_{mm},</math>여기서 <math>\varkappa</math>는 중력상수와 관련된 보편상수이며, 제2종 크리스토펠 4-인덱스 기호는 다음 값을 가집니다.<math>\{mk, km\} = \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_m} - \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mm \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_k} + \sum_\rho \left\{\begin{matrix} mk \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho m \\ k \end{matrix}\right\} - \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho k \\ k \end{matrix}\right\},</math> 여기서 <math>\left\{\begin{matrix} m & k \\ & \rho \end{matrix}\right\}</math>는 제2종 크리스토펠 3-인덱스 기호이며, 직교좌표계에서는 적어도 두 개의 인덱스가 같을 때만 0이 아닌 값을 가지며 다음과 같습니다. <math>\left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ m \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math>반면, <math>m = k</math>일 때 4-인덱스 기호는 0이 됩니다.식 (8)의 처음 두 항은 쉽게 처리됩니다. 세 번째 항의 <math>\sum_\rho</math>에서는 먼저 <math>\rho = m</math>에 대해, 다음으로 <math>\rho = k</math>에 대해, 마지막으로 <math>\rho \neq m \neq k</math>인 모든 경우에 대해 합산합니다. 110페이지 계산 오차를 피하기 위해 어느 정도 숙련이 필요한 다소 번거로운 계산 과정을 거치면, 다음과 같은 2계 미분 불변량(Differential invariants)을 얻게 됩니다. 약간의 검증을 거치면 대칭성을 유지하면서 공변성 요구를 충족하고 유클리드 공간에서 소멸함을 확인할 수 있습니다.<math>\text{I} \begin{cases} G_{11} = \frac{d^2}{dr^2}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1} \frac{d}{dr}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) \\ \quad + \frac{1}{2}\left(\frac{d \ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d \ln \sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11}, \end{cases}</math><math>\text{II} \begin{cases} G_{22} = -1 + \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_2}{dr}\right) + \frac{1}{4g_1 g_2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_2}{dr} + \frac{1}{4g_1 g_4} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ = -\varkappa T_{22} \end{cases}</math><math>\text{III} \quad G_{33} = G_{22} \sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22} \sin^2\vartheta,</math><math>\text{IV} \begin{cases} G_{44} = \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_4}{dr}\right) - \frac{1}{4g_1 g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ \quad + \frac{1}{2g_1 g_2} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{cases}</math>무한히 많은 가능한 좌표계 중에서 우리는 다음과 같이 하나의 좌표계를 선호할 수 있습니다. <math>dr</math>이 단순한 좌표의 차이뿐만 아니라, 무한히 작은 고정된 자로 측정한 반경 방향의 거리를 의미하도록 약속한다면 <math>g_1 = -1</math>로 놓을 수 있습니다.또한 <math>\varkappa e^2 / 32 \pi^2 c^2</math>을 축약하여 <math>\lambda^2</math>으로 쓰고 <math>g_2 = -\overline{g}_2</math>로 놓으면, 식 (8)은 다음과 같은 형태를 취합니다.<math>(\text{I}) \quad \frac{d^2}{dr^2}\ln(\overline{g}_2 \sqrt{g_4}) + \frac{1}{2\overline{g}_2^2}\left(\frac{d\overline{g}_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{II}) \quad -1 + \frac{1}{2} \frac{d^2 \overline{g}_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\overline{g}_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2}</math><math>(\text{IV}) \quad \frac{1}{2} \frac{d^2 g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\overline{g}_2} \frac{d\overline{g}_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = +\frac{\lambda^2 g_4}{\overline{g}_2^2}</math>좌표계 선택을 <math>g_1 = -1</math>로 제한함으로써, 미지수 <math>\overline{g}_2</math> 및 <math>g_4</math> 단 두 개에 대해 3개의 방정식이 산출되었으므로, 언뜻 해를 구하려는 시도가 모순으로 이어질 것처럼 보일 수 있습니다. 111페이지 그러나 두 방정식의 일반해법이 세 번째 방정식을 항등적으로 만족시킨다는 사실이 밝혀질 것이며, 이는 대단히 주목할 만한 점입니다.따라서 변형 에너지 텐서를 결정하기 위해 비유클리드 공간에서 식 (2)의 변형 평형 보존 법칙을 보조 수단으로 사용할 필요가 전혀 없었으며, 장의 평형을 가능하게 하는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 함수로서 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>를 계산하는 데에는 중력장 방정식만으로도 이미 충분했습니다. 그러므로 전체 설정에서의 유일한 전제는 필드 세기의 6차원 벡터를 통해 변형 에너지 텐서 <math>T_\mu^\nu</math>의 표현식을 파악하는 것뿐이었습니다.아인슈타인 씨는 이 놀라운 연관성에 대해 논의할 때, 에너지와 변형력의 보존 법칙이 그의 최근 장 방정식에 포함되어 있으므로 어떤 문제에서도 특별히 새로 설정할 필요가 없음을 일반적인 방식으로 보여줄 수 있는 위치에 있다고 알려주었습니다. 여기서 다룬 특수한 사례가 입증하는 이 결과는 특히 중요한데, 한편으로는 장 방정식이 에너지 고려 사항에서 전혀 얻어지지 않고 오직 공변성 고려 사항에서만 얻어졌기 때문이며, 다른 한편으로는 장 방정식이 단지 보존 법칙보다 훨씬 더 많은 것을 말해주기 때문입니다.1)장 방정식의 적분 (Integration of the Field Equations)두 미지수 <math>\overline{g}_2</math>와 <math>g_4</math>에 대한 세 방정식 (I), (II), (IV)는 모순이 없고 상호 제한이 없는 해를 닫힌 형식(closed form)으로 허용할 것이며, 이는 다음과 같이 확인할 수 있습니다.축약 표현으로 <math>\ln \sqrt{g_4} = \gamma</math>로 놓고 <math>r</math>에 대한 미분을 프라임(')으로 표시하면, 방정식 (I), (II), (IV)는 다음과 같이 쓰입니다.1) 그 사이에 이 연관성은 D. 힐베르트와 A. 아인슈타인 자신에 의해 더 정확하게 밝혀졌습니다. 괴팅겐 학술원 보고서(Math. Phys. Kl. 1915 p. 3) 및 Annalen der Physik 49. p. 809. 1916년 참조. 112페이지 <math>(\text{I}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2} - \frac{\overline{g}_2'^2}{2\overline{g}_2^2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{IV}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \gamma' \frac{\overline{g}_2'}{\overline{g}_2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{II}) \quad -\overline{g}_2 + \frac{1}{2}\overline{g}_2 \overline{g}_2'' + \frac{1}{2}\gamma' \overline{g}_2' \overline{g}_2 = -\lambda^2.</math>(IV)에서 (I)을 빼면 다음을 얻습니다.<math>(a) \quad \gamma' = \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2'} - \frac{\overline{g}_2'}{2\overline{g}_2}</math>이로부터:<math>\gamma = \ln\left(\delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}\right),</math>여기서 <math>\delta</math>는 적분상수입니다. 또는:<math>\sqrt{g_4} = \delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}.</math>적분상수 <math>\delta</math>의 값은 무한대에서의 경계 조건으로부터 구할 수 있는데, 무한대에서는 <math>\sqrt{g_4} = c</math>, 즉 일반 광속과 같아야 하기 때문입니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.<math>(9) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{d}{dr}\sqrt{\overline{g}_2}</math>방정식 (a)를 (II)에 대입하면 다음을 얻습니다. <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2}\left(\overline{g}_2^{\frac{3}{4}}\right) = \overline{g}_2^{-\frac{1}{2}} - \overline{g}_2^{-\frac{5}{4}}\lambda^2.</math>두 개의 추가 적분상수를 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>라 하고, 축약을 위해 <math>\sqrt{\overline{g}_2} = h</math>로 놓으면 위 방정식의 첫 번째 적분식은 다음과 같이 산출됩니다.<math>(10) \quad h h' = \sqrt{(h - \alpha)^2 + (\lambda^2 - \alpha^2)}</math>그리고 완전해(complete solution)는 다음과 같습니다.<math>(11) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\sqrt{\left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^2 + 1} + \alpha \text{arsinh} \left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right) = r + \beta</math>이 방정식은 치환식을 사용하여 정리할 수 있습니다.<math>\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \sinh u</math> 113페이지 또는<math>(10a) \quad h = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \sinh u + \alpha</math>위 식은 다음과 같이도 쓸 수 있습니다.<math>(11a) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \cosh u + \alpha u = r + \beta.</math>방정식 (11)로부터 <math>g_2 = -h^2</math>이 무한대에서 <math>-r^2</math>과 같아져야 한다는 조건이 자발적으로 충족됨을 우선 확인할 수 있습니다.또한 식 (9)에 의해 다음과 같이 됩니다.<math>(9a) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{dh}{dr} = c \frac{\cosh u}{\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}}.</math>적분상수 (The Constants of Integration)이어 <math>\alpha</math>의 값은 전하 <math>e</math>의 중력 질량과 연관되어 있고, <math>\beta</math>의 값은 중심에서의 <math>g_2</math> 조건과 연관되어 있음을 보여줄 수 있습니다.아인슈타인 이론의 일반적인 연관성에 따라 무한대에서 전하는 전하의 중력 질점 <math>m_e</math>처럼 정확하게 작용해야 합니다. 따라서 무한대에서의 체적력(ponderomotive force)은 어떤 경우든 다음과 같은 형식으로 쓰일 수 있습니다.<math>K = -k \frac{m_e}{r^2},</math>여기서 <math>k = 6.7 \cdot 10^{-8} , (\text{cm}/\text{g}/\text{s})</math>는 일반적인 중력상수를 의미합니다.다른 형식으로서 동일한 반경 방향 체적력은 극대칭장에서 측지선의 공변 방정식으로부터 다음과 같은 형식으로 도출됩니다.1)<math>(12) \quad K = -\frac{1}{2} \frac{dg_4}{dr}</math>따라서 식 (9a)를 이용하면 다음과 같이 됩니다.1) A. 아인슈타인, 『일반상대성이론의 형식적 기초』, 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1046. 식 23b. 1914년.114페이지<math>K = \frac{c^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} \frac{\cosh u \left(1 - \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)}{\left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^4}.</math>큰 <math>u</math> 값에 대해 식 (11a)에 의하여 다음과 같이 됩니다.<math>\cosh u = \sinh u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}</math>따라서 그곳에서는 다음과 같습니다.<math>K = -\frac{c^2 \alpha}{r^2}</math><math>K</math>의 두 값을 동일하게 놓으면 <math>\alpha</math>에 대해 다음 값을 얻습니다.<math>\alpha = \frac{m_e k}{c^2}</math>예를 들어 전자의 질량을 <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>로 취하면 다음과 같이 얻어집니다.<math>\alpha = \frac{10^{-27} \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{1.82 \cdot 9 \cdot 10^{20}} = 0.408 \cdot 10^{-55}.</math>따라서 상수 <math>\alpha^2</math>은 소전하의 경우 극도로 작아지며, 아래에서 보여지듯 감산 결합된 상수 <math>\lambda^2</math>에 비해서도 극도로 작습니다. 그러나 이 상수는 원리적 의미를 가지며, 전하가 중력 질량 및 관성 질량을 가져야 한다면 소멸할 수 없습니다. 향후 대전된 장, 즉 전자에 대한 모든 평형 이론은 첫 번째 설정에서부터 적분상수 <math>\alpha</math>가 0이 되는 가능성을 배제해야 합니다.일차 6차원 벡터의 유일하게 존재하는 성분은 일반적인 경우 다음과 같이 됩니다.<math>(14) \quad \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{\overline{g}_2} = -\frac{e}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{\overline{g}_2}} \frac{d\sqrt{\overline{g}_2}}{dr}</math><math>= \frac{e}{4\pi(h^2 - \alpha^2)} \left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^3</math>115페이지그리고 이는 방정식 (11a)와 (9a)에 의해 쉽게 계산할 수 있습니다.정전 포텐셜은 다음과 같이 됩니다.<math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi \sqrt{\overline{g}_2}}</math>해법 (11)은 <math>\alpha = 0</math>일 때 특히 단순해지며, 이 해법이 위의 <math>\alpha</math> 값에 대한 해법과 눈에 띄게 다르지 않으므로 여기에 표기해 둡니다.식 (11)로부터 <math>\alpha = 0</math>일 때 즉시 다음을 얻습니다.<math>(11b) \quad \overline{g}_2 = (r + \beta)^2 - \lambda^2.</math><math>(9b) \quad g_4 = c^2 \frac{(r + \beta)^2}{(r + \beta)^2 - \lambda^2}</math>거의 실현되는 이 특수한 경우 <math>\alpha = 0</math>에서 추가로 다음을 얻습니다.<math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r + \beta}{((r + \beta)^2 - \lambda^2)^{3/2}}</math>이제 보편 아인슈타인 상수 <math>\varkappa</math>의 값과 상수 <math>\lambda</math>의 값을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.우선 장 방정식 (I), (II), (IV)는 대전되지 않은 비간섭성(incoherent) 질량 분포의 무한히 약한 극대칭 중력장을 특수한 경우로 포함해야 합니다.밀도 <math>\rho_m</math>을 갖는 비간섭성 질량 분포의 공변 에너지 텐서는 아인슈타인에 따라 정역학적 경우 및 직교 체계에서 다음과 같습니다.1)<math>T_{11} = T_{22} = T_{33} = 0, \quad T_{44} = \rho_m g_4.</math>이에 해당하는 스칼라 <math>T = \sum T_m^m</math>은 <math>\rho_m</math> 값을 가집니다. 따라서 장 방정식의 우변은 다음과 같이 됩니다.2)1) 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1059. 식 48. 1914년.2) 같은 책, p. 845. 식 2a. 1915년. 116페이지 즉,<math>G_{\nu\nu} = -\varkappa\left(T_{\nu\nu} - \frac{1}{2}g_{\nu\nu} T\right),</math><math>G_{11} = +\frac{\varkappa}{2} g_1 \rho_m, \quad G_{22} = +\frac{\varkappa}{2} g_2 \rho_m</math><math>G_{33} = +\frac{\varkappa}{2} g_3 \rho_m, \quad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2} g_4 \rho_m</math>113페이지의 방정식 (IV)는 <math>g_1 = -1</math>, <math>g_2 = -r^2 + \delta g_2</math>, <math>g_4 = c^2 + \delta g_4</math>로 놓을 때(여기서 <math>\delta g_2</math> 및 <math>\delta g_4</math>는 작은 값임), 1차 미소 수량까지 고려하면 다음과 같이 됩니다.<math>\frac{d^2}{dr^2}\left(\frac{g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \cdot \frac{d}{dr}\left(\frac{g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2} c^2 \rho_m</math>여기서 식 (12)에서와 마찬가지로 <math>g_4 / 2</math>를 중력 포텐셜로 볼 수 있으며, 다음과 같이 설정할 수 있습니다.<math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^4} = \frac{4\pi \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{81 \cdot 10^{40}} = 0.936 \cdot 10^{-48}.</math>이로부터 다음을 얻습니다.<math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{k e^2}{4\pi c^4} = \frac{6.7 \cdot 10^{-8} \cdot 4.65^2 \cdot 10^{-20} \cdot 4\pi}{4\pi \cdot 81 \cdot 10^{40}}</math><math>= 1.79 \cdot 10^{-68},</math>또는<math>\lambda = 1.337 \cdot 10^{-34}.</math>따라서 <math>\lambda</math>는 그 극소성에도 불구하고 여전히 <math>\alpha</math>보다 천억 배나 큽니다.상수 <math>\beta</math>는 반지름이 감소함에 따라 원주도 0으로 감소해야 한다는 조건, 즉 <math>r = 0</math>일 때 <math>h = 0</math>이어야 한다는 조건으로부터 구할 수 있습니다. 방정식 (10a)에 따라 <math>r = 0</math>에서의 <math>u</math> 값을 <math>u_0</math>이라 나타내면 다음과 같습니다.<math>\sinh u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}</math>그리고 식 (11a)에 따라:<math>\beta = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\cosh u_0 + \alpha u_0,</math>또는 <math>\alpha/\lambda</math>가 극히 작으므로 다음과 같이 됩니다.<math>\beta = \lambda - \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \lambda</math> 117페이지 <math>r = 0</math>일 때 방정식 (14)에 의해 장의 세기 또한 <math>\mathfrak{E} = \infty</math>가 됩니다.중심 주변에 전하가 분포되어 있어야 하지만 맥스웰 이론이 그 평형을 반영하지 못한다는 사실에 대응하여, 중심점까지 해법을 계속 이어가면 불가능한 결과(특이점)에 도달한다는 것을 알 수 있습니다.만약 <math>r = r_0</math>인 지점에서 <math>\beta = \lambda - r_0</math>으로 놓아 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>의 부호 변화를 강제하고자 한다면, 그곳에서 <math>\mathfrak{E}</math>의 무한대점과 <math>g_2</math>의 0점을 얻게 되는데, 이는 길이 요소 <math>\sqrt{g_2} d\vartheta</math>에 적용하기 어려운 결론입니다. 더욱이 이를 통해 동일한 부호의 전하밀도 사이에 상호 인력이 발생할 수는 있지만 평형은 달성되지 않으며, 평형을 강제하기 위해서는 추가적인 변형 텐서를 도입해야 할 것입니다.그러나 대전된 공간 외부에서는 전하의 장이 모순 없이 표현되며, 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math> 및 계수 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값이 유클리드 공간의 값과 눈에 띄게 달라지는 것은 반지름이 <math>\lambda</math>의 차원, 즉 <math>10^{-34} \text{ cm}</math>의 차원인 영역뿐임을 보여줍니다. 전자의 반지름이 약 <math>10^{-13} \text{ cm}</math>로 가정되므로, 장과 관련된 해의 영역에서 자가 중력의 영향은 그 어떤 측정/검증 가능성도 벗어나 있습니다.<math>g_4 = 0</math>에서의 퇴화 (The Degeneration for <math>g_4 = 0</math>)108페이지에서 장의 세기와 광속을 0으로 만들되 <math>\mathfrak{E}/\sqrt{g_4}</math>가 유한하게 유지되도록 함으로써 전하 평형의 형식적 가능성에 주의를 기울였습니다. 다음과 같이 놓으면:<math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{S}</math>4차원 전류의 시간 성분은 다음과 같이 됩니다. <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta \cdot \rho g_2 \sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{S} \frac{\overline{g}_2}{\sqrt{-g_1}}\right) \sin\vartheta</math>여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.진귀한 계산 결과로서, 도출 과정 없이 이 막다른 골목이 어디로 이어지는지 밝혀둡니다. 에너지 텐서는 다음 값을 가집니다.118페이지<math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{1}{g_1}, \quad T_{22} = \frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_2}{g_1}, \quad T_{33} = \frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_3}{g_1}, \quad T_{44} = -\frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_4}{g_1} = 0</math>반면 혼합 V-텐서 <math>T_\mu^\nu</math>는 소멸합니다.장 방정식은 <math>g_1 = -1</math>일 때 다음과 같은 해를 허용합니다.<math>\frac{27}{32}\left(\frac{8}{9}\overline{g}_2^{\frac{1}{3}} - \alpha\right)\sqrt{\frac{16}{9}\overline{g}_2^{\frac{1}{3}} + \alpha} = r + \beta,</math>여기서 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>는 적분상수입니다.또한 다음을 얻습니다.<math>\frac{\varkappa \mathfrak{S}^2}{2} = \frac{1}{4\overline{g}_2} - \frac{3\alpha}{8\overline{g}_2^{4/3}}</math><math>\rho = \frac{3}{4\sqrt{2\varkappa}} \frac{\left(\overline{g}_2^{1/3} - \alpha\right)\sqrt{\frac{16}{9}\overline{g}_2^{1/3} + \alpha}}{\overline{g}_2^{1/3}\sqrt{\overline{g}_2^{1/3} - \frac{3}{2}\alpha}},</math><math>e = \frac{\pi\sqrt{8}}{\sqrt{\varkappa}} \overline{g}_2^{1/6}\sqrt{\overline{g}_2^{1/3} - \frac{3}{2}\alpha} \cdot \alpha^{3/2}</math>그러나 이 해법이 어떠한 물리적 의미를 가질 수 있을 것으로는 보이지 않습니다.전기가 없는 장 (The Un-electric Field)전하가 없는 구형 정지 질량의 중력장은 전하와 그에 따른 <math>\lambda = 0</math>으로 놓을 때 위에서 제시한 일반해로부터 특수한 경우로서 얻어져야 합니다. 이때 슈바르츠실트 해로 귀결되어야 하며, 이는 슈바르츠실트가 처음부터 <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> 조건으로 좌표계를 결정한 반면, 본 연구는 우선 제한 없이 공변성을 유지하다가 <math>g_1 = -1</math> 조건으로 계산했다는 점에서도 입증할 가치가 있습니다.슈바르츠실트1) 논문에서 계수는 다음과 같습니다.<math>-g_1^* = \frac{r_1^4}{R^4(1 - \alpha_1/R)}, \quad -g_2^* = R^2, \quad g_4^* = 1 - \alpha_1/R,</math>여기서 <math>R^3 = r_1^3 + \alpha_1^3</math>이며 <math>\alpha_1</math>은 상수입니다.1) K. 슈바르츠실트, 『아인슈타인 이론에 따른 질점의 중력장에 대하여』, 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 189–196. 1916년.119페이지여기서 <math>c = 1</math>로 놓았을 때 다음을 얻었습니다.<math>-g_1 = 1, \quad -g_2 = h^2, \quad g_4 = \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math>여기서<math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h - 2\alpha}{h}</math>따라서 그곳에서는 반지름에 대해 다른 길이 측도가 선택되었는데, 다음과 같기 때문입니다.<math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4}{R^4(1 - \alpha_1/R)},</math>반면<math>h = R, \quad g_4 = 1 - 2\alpha/R</math>로만 변환되었으므로 <math>g_2 = g_2^*</math>, <math>g_4 = g_4^*</math>이어야 합니다. 다음과 같이 얻어집니다.<math>dr^2 = \frac{dh^2}{1 - 2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1 - \alpha_1/R}</math>따라서 두 해법은 <math>2\alpha = \alpha_1</math>로 놓을 때 서로 변환되어 일치합니다.샤를로텐부르크, 1916년 3월.(1916년 3월 20일 접수됨) {{col-begin}} {{col-2}} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma ={{col-3}} \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) {{col-2}} Original p. 106 After Einstein had demonstrated the fruitfulness of his new covariant field equations of gravitation, and thereby of the postulate of the most general relativity, through his explanation of the perihelion motion of Mercury, and after he had elsewhere given a generally covariant formulation of the Maxwell-Lorentz equations of the electromagnetic field, it appeared to me that the next task was to investigate, by means of a simple example, the influence of the self-gravitation of a spherically symmetric electric field. I did, indeed, begin with the hope of finding a static cohesion of elementary charges through their self-gravitation without having to leave the ground of Maxwell's theory. In the course of the investigation, however, I was initially able to establish only that Einsteinian gravitation distorts the field of an elementary electric charge in a definite, though extraordinarily small, manner, but that by its nature it cannot cancel the mutual electrostatic repulsion of the elements of charge. The constitution of the elementary charge can therefore be obtained only by introducing a further fundamental assumption: either by modifying Maxwell's equations in the sense of Mie, by adding to the Maxwell tensor a stress tensor of the simplest possible kind, or, finally, by regarding the electron not as static but as electrodynamically stationary. Concerning the calculation, in which Einstein assisted me with a variety of explanations and criticisms, the following preliminary remarks may be made. No restriction was placed on the choice of coordinate system in setting up the field equations, and in particular none was placed on the value of the transformation determinant. Original p. 107 It was therefore possible to introduce the usual spherical polar coordinate system, whereas Schwarzschild, in order to preserve the value one for the discriminant of the line element, employed a particularly ingenious coordinate system. Nevertheless, in the present case the most general coordinate system seems to me more advantageous than a special one for setting up and integrating the field equations, quite apart from the fine insight it gives into the complete covariance of the theory. The field of an uncharged mass point presented by Einstein and Schwarzschild proves to be a special case of the field of a spherical charge calculated here. It may serve as a check upon the correctness of the present solution that it passes into the Schwarzschild solution when it is transformed to Schwarzschild's special coordinate system and the charge is allowed to vanish. The problem posed here is therefore the following: What is the most general electrostatic field in equilibrium and possessing spherical symmetry if nothing is assumed beyond the Maxwell stress-energy tensor in covariant form and Einstein's generally covariant field equations of gravitation. The assumption of symmetry simplifies the form of the line element of the generally non-Euclidean space, so that it can be written in spatial polar coordinates that remain orthogonal. [Line element omitted.. Here single indices are written in place of double indices. In Euclidean space-that is, in a space containing no stress-energy tensor-the metric coefficients take their familiar values, and c denotes the ordinary velocity of light. Original p. 108 Einstein has shown generally how the values of the metric coefficients determine the properties of measuring rods and clocks, the form of the shortest lines, the paths of mass points and light rays, the velocity of light, and the gravitational potential. THE TENSOR OF THE ELECTROSTATIC FIEL. The energy tensor required for the gravitational field equations and for the equilibrium condition of the electrostatic field may be obtained as follows. Of the components of the first covariant six-vector of the field, only one remains in the case of rest and spherical symmetry, namely the radial electric-field component. The second, contravariant, six-vector derived from it likewise has only one component. [Field-tensor relation omitted.. The contravariant four-vector of the electric vacuum-current density also has only one non-vanishing component. [Equation (1) omitted.. Here rho denotes the charge density. The covariant four-vector of mechanical force density assumes its standard form in the general static case and a radial form under complete spherical symmetry. [Force-density equations omitted.. This general static ansatz shows that the resultant force density can vanish only if either the charge density or the electric field strength vanishes. These quantities, in turn, can vanish simultaneously throughout a finite interval only in the exceptional case in which one of the relevant metric coefficients vanishes throughout that interval. Original p. 109 Thus one may state: A Maxwellian electrostatic field, even under the influence of its own gravitation, can be in equilibrium only where no charge density is present, provided one excludes the case in which a line element or the velocity of light becomes zero. Since these exceptional cases appear to possess no physical significance, an investigation based upon the pure Maxwell stress-energy tensor and spherical symmetry must be restricted to the field of a spherical charge under the influence of its self-gravitation in empty space. For this case the four-current must vanish. Integration then gives the electric field in terms of the metric coefficients. The integration constant is determined immediately from the condition at infinity, where the metric becomes flat and the field becomes the Coulomb field of the total charge e situated at the centre. [Equation (2) omitted.. Substitution of these values into Einstein's expression for the mixed energy tensor gives its four diagonal components. The corresponding covariant tensor follows by lowering the index with the metric. [Stress-energy components omitted.. Original p. 110 This is the electrostatic energy tensor, but without yet taking account of the equilibrium of the field. The equilibrium tensor is obtained by substituting the field value found in equation (2). [Equilibrium stress-energy components omitted.. THE FIELD EQUATION. Einstein's generally covariant differential equations for a gravitational field, in their latest and most consistent form, can be written for orthogonal coordinates and a vanishing Laue scalar in terms of the contracted Christoffel symbols. [Equation (8) omitted.. Here kappa is a universal constant related to the gravitational constant. The four-index Christoffel symbol of the second kind is expressed through the three-index symbols. In orthogonal coordinates, the latter differ from zero only when at least two indices coincide. [Christoffel-symbol formulas omitted.. The four-index symbol vanishes when the relevant two indices are equal. The first two terms of equation (8) cause no difficulty. In the sum of the third term one first sums over one coincident index, then over the other, and finally over all indices distinct from both. Original p. 111 After a somewhat laborious calculation, requiring some practice if computational errors are to be avoided, one arrives at the following second-order differential invariants. A straightforward check shows that they satisfy covariance under the imposed symmetry and vanish in Euclidean space. [Equations (I)-(IV) omitted.. Among the infinitely many possible coordinate systems, we may evidently privilege one in the following manner. Let dr denote not merely a coordinate difference but also the distance in the radial direction measured with an infinitesimal rigid measuring rod. With this convention the radial metric coefficient is set equal to minus one. For brevity, introduce lambda squared for the indicated combination of kappa, charge, and c, and replace the negative angular metric coefficient by a positive barred quantity. The field equations then take a system of three ordinary differential equations. [Reduced equations (I), (II), and (IV) omitted.. Original p. 112. The restriction imposed upon the coordinate system has therefore produced three equations for only two unknown metric functions, and at first it appears that an attempt at solution might lead to a contradiction. It will be shown, however-and this is extraordinarily noteworthy-that the general solution of two of the equations satisfies the third identically. Thus it would not have been necessary to employ the conservation law, that is, the stress-equilibrium condition represented by equation (2) in non-Euclidean space, in determining the stress-energy tensor. The gravitational field equations alone would already have sufficed to calculate, as a function of the metric, the field strength that permits equilibrium. The only prerequisite for the entire ansatz was therefore knowledge of the expression of the stress-energy tensor in terms of the six-vector of field strength. In discussing this surprising connection, Einstein informed me that he was then in a position to show generally that the conservation laws of energy and stresses are contained in his latest field equations and therefore need not be imposed separately in each problem. This result, confirmed by the special case treated here, is particularly important because the field equations were obtained not from energy considerations but solely from considerations of covariance, while at the same time they assert much more than the conservation laws alone. THE INTEGRATION OF THE FIELD EQUATION. The three equations (I), (II), and (IV), containing the two unknown metric functions, therefore admit a consistent closed-form solution without mutually restricting one another. Introduce gamma as the logarithm of the square root of the temporal metric coefficient, and denote differentiation with respect to r by primes. The equations then assume a more compact form. Original p. 113. [Reduced equations and equation (a) omitted.. Subtracting equation (I) from equation (IV) gives a first differential relation. Its integration introduces a constant delta. The boundary condition at infinity, where the local velocity of light is to equal the normal value c, determines this constant and yields equation (9). [Equation (9) omitted.. Substitution into equation (II) produces a second-order equation for the angular metric coefficient. Introduce two further integration constants, alpha and beta, and set h equal to the square root of the positive angular coefficient. The first integral is equation (10), and complete integration gives equation (11). [Equations (10) and (11) omitted.. The result may alternatively be written by means of a hyperbolic substitution. [Substitution omitted.. Original p. 114. [Equations (10a), (11a), and (9a) omitted.. Equation (11) first shows that the condition requiring the angular metric coefficient to approach the square of the radius at infinity is satisfied automatically. Equation (9) then supplies the temporal metric coefficient. THE INTEGRATION CONSTANT. It can now be shown that alpha is related to the gravitating mass of the charge e, while beta is related to the condition imposed on the angular metric coefficient at the centre. According to the general connection supplied by Einstein's theory, a charge at infinity must act just like a gravitating mass point having the mass of the charge. The ponderomotive force at infinity may therefore be written in Newtonian form, where k is the ordinary gravitational constant. [Newtonian force formula omitted.. The same radial ponderomotive force follows in another form from the covariant equation of the geodesic line in a spherically symmetric field. [Equation (12) omitted.. Original p. 115. Using equation (9a), and taking the large-distance limit, one finds the inverse-square gravitational force and identifies alpha with the gravitational radius associated with the mass of the charge. [Identification and numerical estimate of alpha omitted.. The constant alpha squared is therefore extraordinarily small for an elementary charge and, as shown below, extraordinarily small even in comparison with the constant lambda squared from which it is subtracted. Nevertheless it possesses a significance of principle and must not vanish if the electric charge is to possess gravitating inertial mass. Every future equilibrium theory of the charged field-that is, of the electron-must exclude the disappearance of the integration constant alpha from the outset. The sole non-vanishing component of the primary electromagnetic six-vector in the general case is then obtained from the preceding solution. [Equation (14) omitted.. Original p. 116. It is readily calculated from equations (11a) and (9a). The electrostatic potential is correspondingly obtained. [Electrostatic potential omitted.. The solution becomes especially simple when alpha is set equal to zero. Since this solution differs imperceptibly from the one using the numerical value of alpha found above, it is useful to state it separately. [Equations (11b), (9b), and the simplified field strength omitted.. The values of Einstein's universal constant kappa and of lambda can now be calculated. The field equations must contain, as a special case, the infinitely weak spherically symmetric gravitational field of an uncharged, incoherent distribution of mass. According to Einstein, the covariant energy tensor of an incoherent mass distribution of density rho_m, in the static case and in an orthogonal system, has only its temporal component different from zero. The corresponding trace has the value rho_m. [Matter stress-energy components omitted.. Original p. 117. The right-hand side of the general field equations then takes the trace-reversed form used by Einstein. [Trace-reversed field equation and components omitted.. Linearising equation (IV) about flat space gives the ordinary Poisson equation. Consequently the temporal perturbation divided by two may be regarded as the gravitational potential, just as in equation (12). Comparison with Newtonian gravity determines kappa. [Weak-field equation and numerical value of kappa omitted.. From this one obtains lambda and its numerical value for the elementary charge. [Values of lambda squared and lambda omitted.. Thus, despite its smallness, lambda is still approximately one hundred thousand billion billion times as large as alpha. The constant beta can be obtained from the condition that the circumference of a circle must tend to zero as the radius decreases; that is, h must vanish when r is zero. Equation (10a) then fixes the value u_0, and equation (11a) fixes beta. Because alpha is so small compared with lambda, beta is approximately equal to lambda. [Boundary equations for u_0 and beta omitted.. Original p. 118. At r equal to zero, equation (14) makes the field strength infinite. It is evident that continuation of the solution to the centre leads to an impossibility, corresponding to the fact that charge must be distributed around the centre and that Maxwell's theory does not supply the equilibrium of that distribution. If one attempted to force the field strength to change sign at a radius r_0 by choosing beta accordingly, the field strength would become infinite there and the angular metric coefficient would vanish. The line element cannot reasonably be subjected to such a consequence. Moreover, this would produce a mutual attraction of like charge densities but not an equilibrium; to enforce equilibrium one would perhaps have to add another stress tensor. Outside the charged region, however, the field of the charge is represented consistently. The field strength and the metric coefficients differ appreciably from their Euclidean values only where the radius is of the order of lambda, approximately 10^-34 centimetres. Since the electron radius is taken to be approximately 10^-13 centimetres, the influence of self-gravitation within the physically relevant domain of the solution eludes all possibility of detection. THE DEGENERATE CASE g₄ = . On page 109 attention was drawn to the formal possibility of equilibrium of charge if the field strength and the velocity of light are both allowed to vanish in such a way that their ratio remains finite. [Definition of the limiting field omitted.. The temporal component of the four-current then assumes a corresponding limiting form, where rho denotes charge density. [Current equation omitted.. For the sake of curiosity, the result of this dead end may be stated without derivation. The energy tensor takes a degenerate form. Original p. 119. [Degenerate stress-energy tensor omitted.. The mixed tensor vanishes. With the radial metric coefficient set equal to minus one, the field equations permit a formal solution containing two integration constants, alpha and beta. [Degenerate solution omitted.. Further expressions for the field and total charge follow, but this solution does not appear capable of acquiring any physical significance. THE NON-ELECTRIC FIEL. The gravitational field of an uncharged, spherical, resting mass must emerge as a special case of the general solution given above when the charge, and therefore lambda, is set equal to zero. The result must reduce to Schwarzschild's solution. It is worthwhile to show this explicitly because Schwarzschild fixed from the outset a coordinate system in which the determinant condition has a prescribed value, whereas the present calculation began without restriction and subsequently imposed the condition that the radial metric coefficient equal minus one. In Schwarzschild's coordinates the metric coefficients have their standard forms, with an auxiliary radial coordinate R related cubically to Schwarzschild's original coordinate. [Schwarzschild metric coefficients omitted.. Original p. 120. In the present coordinates, with c equal to one, the radial metric coefficient is minus one, the angular coefficient is minus h squared, and the temporal coefficient is the square of dh/dr. [Metric relations omitted.. A different measure of radial length has therefore been selected. Since only the radial coordinate is transformed, the angular and temporal metric coefficients must agree in the two representations. [Coordinate transformation omitted.. One obtains h equal to R and the Schwarzschild temporal coefficient. The two solutions therefore pass into one another when the two mass parameters are appropriately identified. Charlottenburg, March 1916. Received 20 March 1916. TRANSLATOR'S NOT. This translation preserves Reissner's historical terminology and argumentative order. Equations have been omitted at the reader's request, but their original locations and labels have been retained. In modern terminology, the paper studies the static, spherically symmetric electrovacuum reduction of the Einstein-Maxwell system. Reissner's most striking conceptual observation occurs on original page 112: the conservation laws need not be imposed independently, because the structure of Einstein's field equations already contains the required consistency relations. {{col-end}} <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. gamt9yuvv9hrij4fwgpfy1nfvjgykjf 459199 459198 2026-09-06T08:49:43Z Danuri19 16656 459199 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판<ref>[https://edition-open-sources.org/sources/10/6/index.html? George B. Jeffery (1921): The Field of an Electron on Einstein’s Theory of Gravitation]</ref><ref>[https://zenodo.org/records/1447315? Hans Reissner Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie 『Annalen der Physik』, Vierte Folge, Band 50 전체 통권 Band 355 1916년, pp. 106–120]</ref> | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106페이지 4. 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자가 중력에 대하여 , H. 라이스너(H. Reissner) 아인슈타인 씨가 수성 서행 운동(수성의 근일점 이동)을 설명함으로써 그의 새로운 공변 중력장 방정식, 나아가 일반 상대성 공리의 유용성을 입증하였고, 다른 논문을 통해 전자기장의 맥스웰-로런츠 방정식을 일반 공변 형태로 제시하였습니다. 이에 따라 구대칭을 가지는 전기장의 자가 중력(Eigengravitation)이 미치는 영향을 간단한 예시를 통해 조사하는 것을 다음 과제로 삼게 되었습니다.비록 본 연구를 시작할 당시에는 맥스웰 이론의 틀을 벗어나지 않고 소전하(Elementarladung) 자체의 자가 중력을 통해 정역학적 결합(전하의 안정성)을 찾을 수 있으리라는 기대를 가졌으나, 연구 과정에서 아인슈타인의 중력이 소전하의 전기장을 특정한(그리고 극도로 미미한) 방식으로 왜곡시킬 뿐, 그 본질상 전하 요소들 사이의 상호 정전기적 반발력을 상쇄할 수는 없다는 사실만을 우선 확인하게 되었습니다.따라서 소전하의 구조를 설명하기 위해서는 추가적인 기본 가정이 도입되어야만 할 것입니다. 미(Mie)의 개념에 따라 맥스웰 방정식을 수정하든가, 맥스웰 변형 텐서에 가능한 한 단순한 변형 텐서를 추가하든가, 혹은 최종적으로 전자를 정역학적이 아닌 전자기학적으로 정상 상태(stationär)인 구조로 파악하는 방식 중 하나를 취해야 합니다.아인슈타인 씨로부터 다양한 설명과 비판적 조언을 받아 진행한 계산 수행 과정과 관련하여, 먼저 다음 사항을 밝혀두고자 합니다.장 방정식을 수립하는 데 있어 좌표계의 선택, 특히 치환 행렬식(Substitutionsdeterminante)의 값에 어떠한 제한도 두지 않았습니다. 따라서 일반적인 공간 구면좌표계를 도입할 수 있었는데, 이는 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 선요소(Linienelement)의 판별식 <math>\sqrt{-g}</math>의 값을 1로 유지하기 위해 특별히 교묘하게 선택된 좌표계를 사용한 것과 대조적입니다.그럼에도 불구하고 이 문제에서는 전체 이론의 완전한 공변성을 보여주는 명쾌한 통찰을 제공할 뿐만 아니라, 장 방정식의 수립 및 통합에 있어서도 특정한 좌표계보다 가장 일반적인 좌표계를 사용하는 것이 오히려 더 유리하다고 판단됩니다.아인슈타인 씨 자신과 슈바르츠실트에 의해 제시된 전하가 없는 질점의 장(Field)은 본 논문에서 계산된 구형 전하 장의 특수한 경우임이 밝혀졌습니다. 또한 특정한 슈바르츠실트 좌표계로 변환하고 전하를 0으로 놓았을 때 본 해법이 슈바르츠실트의 해로 귀결된다는 점은 여기서 제시된 해법의 정당성을 검증하는 역할을 합니다.따라서 여기서 설정한 문제는 다음과 같습니다. 공변 형태의 맥스웰 변형 에너지 텐서와 아인슈타인의 일반 공변 중력장 방정식 외에 다른 아무것도 전제하지 않을 때, 평형 상태에 있는 구대칭 정전기장의 가장 일반적인 형태는 무엇인가?대칭성 전제는 일반적으로 비유클리드 공간인 선요소의 형식을 단순화하는 결과를 가져오므로, 이 선요소는 공간적(직교 상태를 유지하는) 구면좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있습니다. <math>ds^2 = g_1 dr^2 + g_2 d\vartheta^2 + g_3 d\varphi^2 + g_4 dt^2,</math> 여기서 이중 첨자 대신 단일 첨자만 사용하여 다음과 같이 나타냅니다. <math>g_{\nu\nu} = g_\nu, \quad g_{\mu\nu} = 0 \quad (\mu \neq \nu \text{일 때})</math> 그리고 변형 에너지 텐서를 포함하지 않는 유클리드 공간에 대해 <math>g_\nu</math>는 다음 값을 가집니다. <math>g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_3 = g_2 \sin^2\vartheta, \quad g_4 = c^2,</math> 여기서 <math>c</math>는 진공에서의 일반적인 광속을 의미합니다. 107페이지 아인슈타인 씨는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값들이 자와 시계의 성질, 최단선(측지선)의 형태, 질점과 광선의 궤도, 광속 및 중력 포텐셜을 어떻게 결정하는지 일반적으로 보여주었습니다.정전기장의 텐서중력장 방정식과 정전기장의 평형 조건에 필요한 에너지 텐서는 다음과 같이 도출할 수 있습니다.1)첫 번째 공변 6차원 벡터(Covariant 6-vector) <math>F_{\alpha\beta}</math>의 성분 중 정지 상태 및 극대칭성(polar symmetry)을 가질 때 남는 것은 오직 하나, 즉 <math>F_{14} = \mathfrak{E}</math>뿐입니다. 이로부터 도출되는 두 번째 반공변(contravariant) V-6차원 벡터 <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> 역시 이 경우 오직 하나의 성분만을 가집니다. <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}</math> 진공에서의 전기 전류밀도의 반공변 V-4차원 벡터 역시 0이 아닌 성분을 단 하나만 가집니다. <math>(1) \quad \mathfrak{J}^4 = \rho \frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial \mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math> 여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.역학적 힘 밀도(force density)의 공변 V-4차원 벡터는 일반적인 정역학적 경우 다음과 같이 됩니다. <math>\mathfrak{K}_\sigma = F_{\sigma 4} \mathfrak{J}^4</math> 그리고 구대칭(모든 방향의 대칭)일 때: <math>\mathfrak{K}_r = F_{14} \mathfrak{J}^4 = \mathfrak{E} \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math> 이 일반적인 정역학적 설정은 알짜 힘 밀도가 0이 되기 위해서는 전하밀도가 0이 되거나 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>가 0이 되어야 함을 보여줍니다. 그러나 이 값들은 <math>g_1</math> 또는 <math>g_4</math>가 해당 유한 구간에서 0이 되는 경우를 제외하고는, 유한한 구간 내에서 동시에만 0의 값을 가질 수 있습니다.따라서 다음과 같이 기술할 수 있습니다.¹) <ref>A. 아인슈타인, 『전자기학의 맥스웰장 방정식에 대한 새로운 형식적 해석』. 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 184–188. 1916년.</ref> 108페이지 맥스웰 정전기장은 자가 중력의 영향 하에서도, 선요소나 광속이 0이 되는 특수한 경우를 제외한다면 전하밀도가 존재하지 않는 곳에서만 평형을 유지할 수 있습니다.1)이러한 예외적인 경우가 물리적 의미를 갖지 않는 것으로 보이므로, 순수한 맥스웰 변형 에너지 텐서와 구대칭을 기본 바탕으로 삼고자 한다면, 본 연구는 진공 공간에서 자가 중력의 영향을 받는 구형 전하의 장으로 제한되어야 합니다.따라서 이 경우에는 <math>\mathfrak{J}^4 = 0</math>이어야 하며, 이에 따라 다음과 같이 됩니다. <math>\mathfrak{E} = \text{const} \cdot \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{-g_2}</math> 적분상수는 무한대에서의 경계 조건으로부터 즉시 결정할 수 있습니다. 무한대에서는 중심의 총전하를 <math>e</math>라 할 때 다음과 같이 놓아야 합니다. <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \quad g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_4 = c^2,</math>따라서<math>\text{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> 이로부터 다음을 얻습니다. <math>(2) \quad \begin{cases} \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{g_2} \\ \mathfrak{F}^{14} = F_{14} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{1}{g_2} \end{cases}</math> 이 값들을 위에서 인용한 아인슈타인의 논문에 제시된 혼합 에너지 텐서 식 (9)에 대입하면 다음을 얻습니다. <math>T_1^1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_2^2 = T_3^3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_4^4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}</math> 이에 대응하는 공변 텐서는 공식 <math>T_{\sigma\sigma} = T_\sigma^\sigma g_{\sigma\sigma}</math>에 따라 다음 값을 가집니다.¹) <ref><math>g_4 = 0</math>이라는 가정을 두면 전하 내부의 장 세기 분포가 일정하게 유도되지만, <math>g_4 \neq 0</math>인 외부 공간과의 연결에는 성공하지 못했습니다.</ref> 109페이지 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_1}{2g_1 g_4}, \quad T_{22} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_2}{2g_1 g_4}</math><math>T_{33} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_3}{2g_1 g_4}, \quad T_{44} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_4}{2g_1 g_4}</math> 이것은 장의 평형을 고려하지 않은 정전기 에너지 텐서입니다. 장의 평형 텐서는 <math>\mathfrak{E}</math>에 대해 위 식 (2)의 값을 대입함으로써 얻어집니다. <math>T_{11} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}, \quad T_{22} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math><math>T_{33} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}, \quad T_{44} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> 장 방정식 (The Field Equations)아인슈타인의 일반 공변 중력 미분 방정식의 최신 및 가장 일관된 형식은 직교좌표계와 라우에 스칼라(Laue scalar) <math>\sum T_m^m = 0</math>이 소멸할 때 다음과 같이 쓰일 수 있습니다. <math>(8) \quad \sum_k \{mk, km\} = -\varkappa T_{mm},</math>여기서 <math>\varkappa</math>는 중력상수와 관련된 보편상수이며, 제2종 크리스토펠 4-인덱스 기호는 다음 값을 가집니다.<math>\{mk, km\} = \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_m} - \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mm \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_k} + \sum_\rho \left\{\begin{matrix} mk \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho m \\ k \end{matrix}\right\} - \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho k \\ k \end{matrix}\right\},</math> 여기서 <math>\left\{\begin{matrix} m & k \\ & \rho \end{matrix}\right\}</math>는 제2종 크리스토펠 3-인덱스 기호이며, 직교좌표계에서는 적어도 두 개의 인덱스가 같을 때만 0이 아닌 값을 가지며 다음과 같습니다. <math>\left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ m \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math>반면, <math>m = k</math>일 때 4-인덱스 기호는 0이 됩니다.식 (8)의 처음 두 항은 쉽게 처리됩니다. 세 번째 항의 <math>\sum_\rho</math>에서는 먼저 <math>\rho = m</math>에 대해, 다음으로 <math>\rho = k</math>에 대해, 마지막으로 <math>\rho \neq m \neq k</math>인 모든 경우에 대해 합산합니다. 110페이지 계산 오차를 피하기 위해 어느 정도 숙련이 필요한 다소 번거로운 계산 과정을 거치면, 다음과 같은 2계 미분 불변량(Differential invariants)을 얻게 됩니다. 약간의 검증을 거치면 대칭성을 유지하면서 공변성 요구를 충족하고 유클리드 공간에서 소멸함을 확인할 수 있습니다. <math>\text{I} \begin{cases} G_{11} = \frac{d^2}{dr^2}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1} \frac{d}{dr}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) \\ \quad + \frac{1}{2}\left(\frac{d \ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d \ln \sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11}, \end{cases}</math> <math>\text{II} \begin{cases} G_{22} = -1 + \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_2}{dr}\right) + \frac{1}{4g_1 g_2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_2}{dr} + \frac{1}{4g_1 g_4} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ = -\varkappa T_{22} \end{cases}</math> <math>\text{III} \quad G_{33} = G_{22} \sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22} \sin^2\vartheta,</math> <math>\text{IV} \begin{cases} G_{44} = \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_4}{dr}\right) - \frac{1}{4g_1 g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ \quad + \frac{1}{2g_1 g_2} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{cases}</math> 무한히 많은 가능한 좌표계 중에서 우리는 다음과 같이 하나의 좌표계를 선호할 수 있습니다. <math>dr</math>이 단순한 좌표의 차이뿐만 아니라, 무한히 작은 고정된 자로 측정한 반경 방향의 거리를 의미하도록 약속한다면 <math>g_1 = -1</math>로 놓을 수 있습니다.또한 <math>\varkappa e^2 / 32 \pi^2 c^2</math>을 축약하여 <math>\lambda^2</math>으로 쓰고 <math>g_2 = -\overline{g}_2</math>로 놓으면, 식 (8)은 다음과 같은 형태를 취합니다. <math>(\text{I}) \quad \frac{d^2}{dr^2}\ln(\overline{g}_2 \sqrt{g_4}) + \frac{1}{2\overline{g}_2^2}\left(\frac{d\overline{g}_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math> <math>(\text{II}) \quad -1 + \frac{1}{2} \frac{d^2 \overline{g}_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\overline{g}_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2}</math> <math>(\text{IV}) \quad \frac{1}{2} \frac{d^2 g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\overline{g}_2} \frac{d\overline{g}_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = +\frac{\lambda^2 g_4}{\overline{g}_2^2}</math> 좌표계 선택을 <math>g_1 = -1</math>로 제한함으로써, 미지수 <math>\overline{g}_2</math> 및 <math>g_4</math> 단 두 개에 대해 3개의 방정식이 산출되었으므로, 언뜻 해를 구하려는 시도가 모순으로 이어질 것처럼 보일 수 있습니다. 111페이지 그러나 두 방정식의 일반해법이 세 번째 방정식을 항등적으로 만족시킨다는 사실이 밝혀질 것이며, 이는 대단히 주목할 만한 점입니다.따라서 변형 에너지 텐서를 결정하기 위해 비유클리드 공간에서 식 (2)의 변형 평형 보존 법칙을 보조 수단으로 사용할 필요가 전혀 없었으며, 장의 평형을 가능하게 하는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 함수로서 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>를 계산하는 데에는 중력장 방정식만으로도 이미 충분했습니다. 그러므로 전체 설정에서의 유일한 전제는 필드 세기의 6차원 벡터를 통해 변형 에너지 텐서 <math>T_\mu^\nu</math>의 표현식을 파악하는 것뿐이었습니다.아인슈타인 씨는 이 놀라운 연관성에 대해 논의할 때, 에너지와 변형력의 보존 법칙이 그의 최근 장 방정식에 포함되어 있으므로 어떤 문제에서도 특별히 새로 설정할 필요가 없음을 일반적인 방식으로 보여줄 수 있는 위치에 있다고 알려주었습니다. 여기서 다룬 특수한 사례가 입증하는 이 결과는 특히 중요한데, 한편으로는 장 방정식이 에너지 고려 사항에서 전혀 얻어지지 않고 오직 공변성 고려 사항에서만 얻어졌기 때문이며, 다른 한편으로는 장 방정식이 단지 보존 법칙보다 훨씬 더 많은 것을 말해주기 때문입니다.1)장 방정식의 적분 (Integration of the Field Equations)두 미지수 <math>\overline{g}_2</math>와 <math>g_4</math>에 대한 세 방정식 (I), (II), (IV)는 모순이 없고 상호 제한이 없는 해를 닫힌 형식(closed form)으로 허용할 것이며, 이는 다음과 같이 확인할 수 있습니다.축약 표현으로 <math>\ln \sqrt{g_4} = \gamma</math>로 놓고 <math>r</math>에 대한 미분을 프라임(')으로 표시하면, 방정식 (I), (II), (IV)는 다음과 같이 쓰입니다.1) 그 사이에 이 연관성은 D. 힐베르트와 A. 아인슈타인 자신에 의해 더 정확하게 밝혀졌습니다. 괴팅겐 학술원 보고서(Math. Phys. Kl. 1915 p. 3) 및 Annalen der Physik 49. p. 809. 1916년 참조. 112페이지 <math>(\text{I}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2} - \frac{\overline{g}_2'^2}{2\overline{g}_2^2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{IV}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \gamma' \frac{\overline{g}_2'}{\overline{g}_2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math> <math>(\text{II}) \quad -\overline{g}_2 + \frac{1}{2}\overline{g}_2 \overline{g}_2'' + \frac{1}{2}\gamma' \overline{g}_2' \overline{g}_2 = -\lambda^2.</math> (IV)에서 (I)을 빼면 다음을 얻습니다. <math>(a) \quad \gamma' = \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2'} - \frac{\overline{g}_2'}{2\overline{g}_2}</math> 이로부터:<math>\gamma = \ln\left(\delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}\right),</math>여기서 <math>\delta</math>는 적분상수입니다. 또는:<math>\sqrt{g_4} = \delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}.</math>적분상수 <math>\delta</math>의 값은 무한대에서의 경계 조건으로부터 구할 수 있는데, 무한대에서는 <math>\sqrt{g_4} = c</math>, 즉 일반 광속과 같아야 하기 때문입니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다. <math>(9) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{d}{dr}\sqrt{\overline{g}_2}</math> 방정식 (a)를 (II)에 대입하면 다음을 얻습니다. <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2}\left(\overline{g}_2^{\frac{3}{4}}\right) = \overline{g}_2^{-\frac{1}{2}} - \overline{g}_2^{-\frac{5}{4}}\lambda^2.</math>두 개의 추가 적분상수를 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>라 하고, 축약을 위해 <math>\sqrt{\overline{g}_2} = h</math>로 놓으면 위 방정식의 첫 번째 적분식은 다음과 같이 산출됩니다.<math>(10) \quad h h' = \sqrt{(h - \alpha)^2 + (\lambda^2 - \alpha^2)}</math>그리고 완전해(complete solution)는 다음과 같습니다.<math>(11) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\sqrt{\left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^2 + 1} + \alpha \text{arsinh} \left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right) = r + \beta</math>이 방정식은 치환식을 사용하여 정리할 수 있습니다.<math>\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \sinh u</math> 113페이지 또는<math>(10a) \quad h = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \sinh u + \alpha</math> 위 식은 다음과 같이도 쓸 수 있습니다. <math>(11a) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \cosh u + \alpha u = r + \beta.</math> 방정식 (11)로부터 <math>g_2 = -h^2</math>이 무한대에서 <math>-r^2</math>과 같아져야 한다는 조건이 자발적으로 충족됨을 우선 확인할 수 있습니다.또한 식 (9)에 의해 다음과 같이 됩니다. <math>(9a) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{dh}{dr} = c \frac{\cosh u}{\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}}.</math> 적분상수 (The Constants of Integration)이어 <math>\alpha</math>의 값은 전하 <math>e</math>의 중력 질량과 연관되어 있고, <math>\beta</math>의 값은 중심에서의 <math>g_2</math> 조건과 연관되어 있음을 보여줄 수 있습니다.아인슈타인 이론의 일반적인 연관성에 따라 무한대에서 전하는 전하의 중력 질점 <math>m_e</math>처럼 정확하게 작용해야 합니다. 따라서 무한대에서의 체적력(ponderomotive force)은 어떤 경우든 다음과 같은 형식으로 쓰일 수 있습니다.<math>K = -k \frac{m_e}{r^2},</math>여기서 <math>k = 6.7 \cdot 10^{-8} , (\text{cm}/\text{g}/\text{s})</math>는 일반적인 중력상수를 의미합니다.다른 형식으로서 동일한 반경 방향 체적력은 극대칭장에서 측지선의 공변 방정식으로부터 다음과 같은 형식으로 도출됩니다.1) <math>(12) \quad K = -\frac{1}{2} \frac{dg_4}{dr}</math>따라서 식 (9a)를 이용하면 다음과 같이 됩니다.¹) <ref>A. 아인슈타인, 『일반상대성이론의 형식적 기초』, 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1046. 식 23b. 1914년.114페이지</ref> <math>K = \frac{c^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} \frac{\cosh u \left(1 - \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)}{\left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^4}.</math> 큰 <math>u</math> 값에 대해 식 (11a)에 의하여 다음과 같이 됩니다. <math>\cosh u = \sinh u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}</math> 따라서 그곳에서는 다음과 같습니다. <math>K = -\frac{c^2 \alpha}{r^2}</math><math>K</math>의 두 값을 동일하게 놓으면 <math>\alpha</math>에 대해 다음 값을 얻습니다. <math>\alpha = \frac{m_e k}{c^2}</math> 예를 들어 전자의 질량을 <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>로 취하면 다음과 같이 얻어집니다. <math>\alpha = \frac{10^{-27} \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{1.82 \cdot 9 \cdot 10^{20}} = 0.408 \cdot 10^{-55}.</math> 따라서 상수 <math>\alpha^2</math>은 소전하의 경우 극도로 작아지며, 아래에서 보여지듯 감산 결합된 상수 <math>\lambda^2</math>에 비해서도 극도로 작습니다. 그러나 이 상수는 원리적 의미를 가지며, 전하가 중력 질량 및 관성 질량을 가져야 한다면 소멸할 수 없습니다. 향후 대전된 장, 즉 전자에 대한 모든 평형 이론은 첫 번째 설정에서부터 적분상수 <math>\alpha</math>가 0이 되는 가능성을 배제해야 합니다.일차 6차원 벡터의 유일하게 존재하는 성분은 일반적인 경우 다음과 같이 됩니다. <math>(14) \quad \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{\overline{g}_2} = -\frac{e}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{\overline{g}_2}} \frac{d\sqrt{\overline{g}_2}}{dr}</math><math>= \frac{e}{4\pi(h^2 - \alpha^2)} \left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^3</math> 115페이지 그리고 이는 방정식 (11a)와 (9a)에 의해 쉽게 계산할 수 있습니다.정전 포텐셜은 다음과 같이 됩니다.<math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi \sqrt{\overline{g}_2}}</math>해법 (11)은 <math>\alpha = 0</math>일 때 특히 단순해지며, 이 해법이 위의 <math>\alpha</math> 값에 대한 해법과 눈에 띄게 다르지 않으므로 여기에 표기해 둡니다.식 (11)로부터 <math>\alpha = 0</math>일 때 즉시 다음을 얻습니다. <math>(11b) \quad \overline{g}_2 = (r + \beta)^2 - \lambda^2.</math><math>(9b) \quad g_4 = c^2 \frac{(r + \beta)^2}{(r + \beta)^2 - \lambda^2}</math>거의 실현되는 이 특수한 경우 <math>\alpha = 0</math>에서 추가로 다음을 얻습니다. <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r + \beta}{((r + \beta)^2 - \lambda^2)^{3/2}}</math> 이제 보편 아인슈타인 상수 <math>\varkappa</math>의 값과 상수 <math>\lambda</math>의 값을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.우선 장 방정식 (I), (II), (IV)는 대전되지 않은 비간섭성(incoherent) 질량 분포의 무한히 약한 극대칭 중력장을 특수한 경우로 포함해야 합니다.밀도 <math>\rho_m</math>을 갖는 비간섭성 질량 분포의 공변 에너지 텐서는 아인슈타인에 따라 정역학적 경우 및 직교 체계에서 다음과 같습니다.¹)<ref><math>T_{11} = T_{22} = T_{33} = 0, \quad T_{44} = \rho_m g_4.</math>이에 해당하는 스칼라 <math>T = \sum T_m^m</math>은 <math>\rho_m</math> 값을 가집니다. 따라서 장 방정식의 우변은 다음과 같이 됩니다.2)1) 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1059. 식 48. 1914년.2) 같은 책, p. 845. 식 2a. 1915년.</ref> 116페이지 즉,<math>G_{\nu\nu} = -\varkappa\left(T_{\nu\nu} - \frac{1}{2}g_{\nu\nu} T\right),</math><math>G_{11} = +\frac{\varkappa}{2} g_1 \rho_m, \quad G_{22} = +\frac{\varkappa}{2} g_2 \rho_m</math><math>G_{33} = +\frac{\varkappa}{2} g_3 \rho_m, \quad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2} g_4 \rho_m</math>113페이지의 방정식 (IV)는 <math>g_1 = -1</math>, <math>g_2 = -r^2 + \delta g_2</math>, <math>g_4 = c^2 + \delta g_4</math>로 놓을 때(여기서 <math>\delta g_2</math> 및 <math>\delta g_4</math>는 작은 값임), 1차 미소 수량까지 고려하면 다음과 같이 됩니다.<math>\frac{d^2}{dr^2}\left(\frac{g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \cdot \frac{d}{dr}\left(\frac{g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2} c^2 \rho_m</math>여기서 식 (12)에서와 마찬가지로 <math>g_4 / 2</math>를 중력 포텐셜로 볼 수 있으며, 다음과 같이 설정할 수 있습니다.<math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^4} = \frac{4\pi \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{81 \cdot 10^{40}} = 0.936 \cdot 10^{-48}.</math>이로부터 다음을 얻습니다.<math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{k e^2}{4\pi c^4} = \frac{6.7 \cdot 10^{-8} \cdot 4.65^2 \cdot 10^{-20} \cdot 4\pi}{4\pi \cdot 81 \cdot 10^{40}}</math><math>= 1.79 \cdot 10^{-68},</math>또는<math>\lambda = 1.337 \cdot 10^{-34}.</math>따라서 <math>\lambda</math>는 그 극소성에도 불구하고 여전히 <math>\alpha</math>보다 천억 배나 큽니다.상수 <math>\beta</math>는 반지름이 감소함에 따라 원주도 0으로 감소해야 한다는 조건, 즉 <math>r = 0</math>일 때 <math>h = 0</math>이어야 한다는 조건으로부터 구할 수 있습니다. 방정식 (10a)에 따라 <math>r = 0</math>에서의 <math>u</math> 값을 <math>u_0</math>이라 나타내면 다음과 같습니다.<math>\sinh u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}</math>그리고 식 (11a)에 따라:<math>\beta = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\cosh u_0 + \alpha u_0,</math>또는 <math>\alpha/\lambda</math>가 극히 작으므로 다음과 같이 됩니다.<math>\beta = \lambda - \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \lambda</math> 117페이지 <math>r = 0</math>일 때 방정식 (14)에 의해 장의 세기 또한 <math>\mathfrak{E} = \infty</math>가 됩니다.중심 주변에 전하가 분포되어 있어야 하지만 맥스웰 이론이 그 평형을 반영하지 못한다는 사실에 대응하여, 중심점까지 해법을 계속 이어가면 불가능한 결과(특이점)에 도달한다는 것을 알 수 있습니다.만약 <math>r = r_0</math>인 지점에서 <math>\beta = \lambda - r_0</math>으로 놓아 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>의 부호 변화를 강제하고자 한다면, 그곳에서 <math>\mathfrak{E}</math>의 무한대점과 <math>g_2</math>의 0점을 얻게 되는데, 이는 길이 요소 <math>\sqrt{g_2} d\vartheta</math>에 적용하기 어려운 결론입니다. 더욱이 이를 통해 동일한 부호의 전하밀도 사이에 상호 인력이 발생할 수는 있지만 평형은 달성되지 않으며, 평형을 강제하기 위해서는 추가적인 변형 텐서를 도입해야 할 것입니다.그러나 대전된 공간 외부에서는 전하의 장이 모순 없이 표현되며, 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math> 및 계수 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값이 유클리드 공간의 값과 눈에 띄게 달라지는 것은 반지름이 <math>\lambda</math>의 차원, 즉 <math>10^{-34} \text{ cm}</math>의 차원인 영역뿐임을 보여줍니다. 전자의 반지름이 약 <math>10^{-13} \text{ cm}</math>로 가정되므로, 장과 관련된 해의 영역에서 자가 중력의 영향은 그 어떤 측정/검증 가능성도 벗어나 있습니다.<math>g_4 = 0</math>에서의 퇴화 (The Degeneration for <math>g_4 = 0</math>)108페이지에서 장의 세기와 광속을 0으로 만들되 <math>\mathfrak{E}/\sqrt{g_4}</math>가 유한하게 유지되도록 함으로써 전하 평형의 형식적 가능성에 주의를 기울였습니다. 다음과 같이 놓으면:<math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{S}</math>4차원 전류의 시간 성분은 다음과 같이 됩니다. <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta \cdot \rho g_2 \sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{S} \frac{\overline{g}_2}{\sqrt{-g_1}}\right) \sin\vartheta</math>여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.진귀한 계산 결과로서, 도출 과정 없이 이 막다른 골목이 어디로 이어지는지 밝혀둡니다. 에너지 텐서는 다음 값을 가집니다.118페이지<math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{1}{g_1}, \quad T_{22} = \frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_2}{g_1}, \quad T_{33} = \frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_3}{g_1}, \quad T_{44} = -\frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_4}{g_1} = 0</math>반면 혼합 V-텐서 <math>T_\mu^\nu</math>는 소멸합니다.장 방정식은 <math>g_1 = -1</math>일 때 다음과 같은 해를 허용합니다.<math>\frac{27}{32}\left(\frac{8}{9}\overline{g}_2^{\frac{1}{3}} - \alpha\right)\sqrt{\frac{16}{9}\overline{g}_2^{\frac{1}{3}} + \alpha} = r + \beta,</math>여기서 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>는 적분상수입니다.또한 다음을 얻습니다.<math>\frac{\varkappa \mathfrak{S}^2}{2} = \frac{1}{4\overline{g}_2} - \frac{3\alpha}{8\overline{g}_2^{4/3}}</math><math>\rho = \frac{3}{4\sqrt{2\varkappa}} \frac{\left(\overline{g}_2^{1/3} - \alpha\right)\sqrt{\frac{16}{9}\overline{g}_2^{1/3} + \alpha}}{\overline{g}_2^{1/3}\sqrt{\overline{g}_2^{1/3} - \frac{3}{2}\alpha}},</math><math>e = \frac{\pi\sqrt{8}}{\sqrt{\varkappa}} \overline{g}_2^{1/6}\sqrt{\overline{g}_2^{1/3} - \frac{3}{2}\alpha} \cdot \alpha^{3/2}</math>그러나 이 해법이 어떠한 물리적 의미를 가질 수 있을 것으로는 보이지 않습니다.전기가 없는 장 (The Un-electric Field)전하가 없는 구형 정지 질량의 중력장은 전하와 그에 따른 <math>\lambda = 0</math>으로 놓을 때 위에서 제시한 일반해로부터 특수한 경우로서 얻어져야 합니다. 이때 슈바르츠실트 해로 귀결되어야 하며, 이는 슈바르츠실트가 처음부터 <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> 조건으로 좌표계를 결정한 반면, 본 연구는 우선 제한 없이 공변성을 유지하다가 <math>g_1 = -1</math> 조건으로 계산했다는 점에서도 입증할 가치가 있습니다.슈바르츠실트1) 논문에서 계수는 다음과 같습니다.<math>-g_1^* = \frac{r_1^4}{R^4(1 - \alpha_1/R)}, \quad -g_2^* = R^2, \quad g_4^* = 1 - \alpha_1/R,</math>여기서 <math>R^3 = r_1^3 + \alpha_1^3</math>이며 <math>\alpha_1</math>은 상수입니다.1) K. 슈바르츠실트, 『아인슈타인 이론에 따른 질점의 중력장에 대하여』, 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 189–196. 1916년.119페이지여기서 <math>c = 1</math>로 놓았을 때 다음을 얻었습니다.<math>-g_1 = 1, \quad -g_2 = h^2, \quad g_4 = \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math>여기서<math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h - 2\alpha}{h}</math>따라서 그곳에서는 반지름에 대해 다른 길이 측도가 선택되었는데, 다음과 같기 때문입니다.<math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4}{R^4(1 - \alpha_1/R)},</math>반면<math>h = R, \quad g_4 = 1 - 2\alpha/R</math>로만 변환되었으므로 <math>g_2 = g_2^*</math>, <math>g_4 = g_4^*</math>이어야 합니다. 다음과 같이 얻어집니다.<math>dr^2 = \frac{dh^2}{1 - 2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1 - \alpha_1/R}</math>따라서 두 해법은 <math>2\alpha = \alpha_1</math>로 놓을 때 서로 변환되어 일치합니다.샤를로텐부르크, 1916년 3월.(1916년 3월 20일 접수됨) {{col-begin}} {{col-2}} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma ={{col-3}} \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) {{col-2}} Original p. 106 After Einstein had demonstrated the fruitfulness of his new covariant field equations of gravitation, and thereby of the postulate of the most general relativity, through his explanation of the perihelion motion of Mercury, and after he had elsewhere given a generally covariant formulation of the Maxwell-Lorentz equations of the electromagnetic field, it appeared to me that the next task was to investigate, by means of a simple example, the influence of the self-gravitation of a spherically symmetric electric field. I did, indeed, begin with the hope of finding a static cohesion of elementary charges through their self-gravitation without having to leave the ground of Maxwell's theory. In the course of the investigation, however, I was initially able to establish only that Einsteinian gravitation distorts the field of an elementary electric charge in a definite, though extraordinarily small, manner, but that by its nature it cannot cancel the mutual electrostatic repulsion of the elements of charge. The constitution of the elementary charge can therefore be obtained only by introducing a further fundamental assumption: either by modifying Maxwell's equations in the sense of Mie, by adding to the Maxwell tensor a stress tensor of the simplest possible kind, or, finally, by regarding the electron not as static but as electrodynamically stationary. Concerning the calculation, in which Einstein assisted me with a variety of explanations and criticisms, the following preliminary remarks may be made. No restriction was placed on the choice of coordinate system in setting up the field equations, and in particular none was placed on the value of the transformation determinant. Original p. 107 It was therefore possible to introduce the usual spherical polar coordinate system, whereas Schwarzschild, in order to preserve the value one for the discriminant of the line element, employed a particularly ingenious coordinate system. Nevertheless, in the present case the most general coordinate system seems to me more advantageous than a special one for setting up and integrating the field equations, quite apart from the fine insight it gives into the complete covariance of the theory. The field of an uncharged mass point presented by Einstein and Schwarzschild proves to be a special case of the field of a spherical charge calculated here. It may serve as a check upon the correctness of the present solution that it passes into the Schwarzschild solution when it is transformed to Schwarzschild's special coordinate system and the charge is allowed to vanish. The problem posed here is therefore the following: What is the most general electrostatic field in equilibrium and possessing spherical symmetry if nothing is assumed beyond the Maxwell stress-energy tensor in covariant form and Einstein's generally covariant field equations of gravitation. The assumption of symmetry simplifies the form of the line element of the generally non-Euclidean space, so that it can be written in spatial polar coordinates that remain orthogonal. [Line element omitted.. Here single indices are written in place of double indices. In Euclidean space-that is, in a space containing no stress-energy tensor-the metric coefficients take their familiar values, and c denotes the ordinary velocity of light. Original p. 108 Einstein has shown generally how the values of the metric coefficients determine the properties of measuring rods and clocks, the form of the shortest lines, the paths of mass points and light rays, the velocity of light, and the gravitational potential. THE TENSOR OF THE ELECTROSTATIC FIEL. The energy tensor required for the gravitational field equations and for the equilibrium condition of the electrostatic field may be obtained as follows. Of the components of the first covariant six-vector of the field, only one remains in the case of rest and spherical symmetry, namely the radial electric-field component. The second, contravariant, six-vector derived from it likewise has only one component. [Field-tensor relation omitted.. The contravariant four-vector of the electric vacuum-current density also has only one non-vanishing component. [Equation (1) omitted.. Here rho denotes the charge density. The covariant four-vector of mechanical force density assumes its standard form in the general static case and a radial form under complete spherical symmetry. [Force-density equations omitted.. This general static ansatz shows that the resultant force density can vanish only if either the charge density or the electric field strength vanishes. These quantities, in turn, can vanish simultaneously throughout a finite interval only in the exceptional case in which one of the relevant metric coefficients vanishes throughout that interval. Original p. 109 Thus one may state: A Maxwellian electrostatic field, even under the influence of its own gravitation, can be in equilibrium only where no charge density is present, provided one excludes the case in which a line element or the velocity of light becomes zero. Since these exceptional cases appear to possess no physical significance, an investigation based upon the pure Maxwell stress-energy tensor and spherical symmetry must be restricted to the field of a spherical charge under the influence of its self-gravitation in empty space. For this case the four-current must vanish. Integration then gives the electric field in terms of the metric coefficients. The integration constant is determined immediately from the condition at infinity, where the metric becomes flat and the field becomes the Coulomb field of the total charge e situated at the centre. [Equation (2) omitted.. Substitution of these values into Einstein's expression for the mixed energy tensor gives its four diagonal components. The corresponding covariant tensor follows by lowering the index with the metric. [Stress-energy components omitted.. Original p. 110 This is the electrostatic energy tensor, but without yet taking account of the equilibrium of the field. The equilibrium tensor is obtained by substituting the field value found in equation (2). [Equilibrium stress-energy components omitted.. THE FIELD EQUATION. Einstein's generally covariant differential equations for a gravitational field, in their latest and most consistent form, can be written for orthogonal coordinates and a vanishing Laue scalar in terms of the contracted Christoffel symbols. [Equation (8) omitted.. Here kappa is a universal constant related to the gravitational constant. The four-index Christoffel symbol of the second kind is expressed through the three-index symbols. In orthogonal coordinates, the latter differ from zero only when at least two indices coincide. [Christoffel-symbol formulas omitted.. The four-index symbol vanishes when the relevant two indices are equal. The first two terms of equation (8) cause no difficulty. In the sum of the third term one first sums over one coincident index, then over the other, and finally over all indices distinct from both. Original p. 111 After a somewhat laborious calculation, requiring some practice if computational errors are to be avoided, one arrives at the following second-order differential invariants. A straightforward check shows that they satisfy covariance under the imposed symmetry and vanish in Euclidean space. [Equations (I)-(IV) omitted.. Among the infinitely many possible coordinate systems, we may evidently privilege one in the following manner. Let dr denote not merely a coordinate difference but also the distance in the radial direction measured with an infinitesimal rigid measuring rod. With this convention the radial metric coefficient is set equal to minus one. For brevity, introduce lambda squared for the indicated combination of kappa, charge, and c, and replace the negative angular metric coefficient by a positive barred quantity. The field equations then take a system of three ordinary differential equations. [Reduced equations (I), (II), and (IV) omitted.. Original p. 112. The restriction imposed upon the coordinate system has therefore produced three equations for only two unknown metric functions, and at first it appears that an attempt at solution might lead to a contradiction. It will be shown, however-and this is extraordinarily noteworthy-that the general solution of two of the equations satisfies the third identically. Thus it would not have been necessary to employ the conservation law, that is, the stress-equilibrium condition represented by equation (2) in non-Euclidean space, in determining the stress-energy tensor. The gravitational field equations alone would already have sufficed to calculate, as a function of the metric, the field strength that permits equilibrium. The only prerequisite for the entire ansatz was therefore knowledge of the expression of the stress-energy tensor in terms of the six-vector of field strength. In discussing this surprising connection, Einstein informed me that he was then in a position to show generally that the conservation laws of energy and stresses are contained in his latest field equations and therefore need not be imposed separately in each problem. This result, confirmed by the special case treated here, is particularly important because the field equations were obtained not from energy considerations but solely from considerations of covariance, while at the same time they assert much more than the conservation laws alone. THE INTEGRATION OF THE FIELD EQUATION. The three equations (I), (II), and (IV), containing the two unknown metric functions, therefore admit a consistent closed-form solution without mutually restricting one another. Introduce gamma as the logarithm of the square root of the temporal metric coefficient, and denote differentiation with respect to r by primes. The equations then assume a more compact form. Original p. 113. [Reduced equations and equation (a) omitted.. Subtracting equation (I) from equation (IV) gives a first differential relation. Its integration introduces a constant delta. The boundary condition at infinity, where the local velocity of light is to equal the normal value c, determines this constant and yields equation (9). [Equation (9) omitted.. Substitution into equation (II) produces a second-order equation for the angular metric coefficient. Introduce two further integration constants, alpha and beta, and set h equal to the square root of the positive angular coefficient. The first integral is equation (10), and complete integration gives equation (11). [Equations (10) and (11) omitted.. The result may alternatively be written by means of a hyperbolic substitution. [Substitution omitted.. Original p. 114. [Equations (10a), (11a), and (9a) omitted.. Equation (11) first shows that the condition requiring the angular metric coefficient to approach the square of the radius at infinity is satisfied automatically. Equation (9) then supplies the temporal metric coefficient. THE INTEGRATION CONSTANT. It can now be shown that alpha is related to the gravitating mass of the charge e, while beta is related to the condition imposed on the angular metric coefficient at the centre. According to the general connection supplied by Einstein's theory, a charge at infinity must act just like a gravitating mass point having the mass of the charge. The ponderomotive force at infinity may therefore be written in Newtonian form, where k is the ordinary gravitational constant. [Newtonian force formula omitted.. The same radial ponderomotive force follows in another form from the covariant equation of the geodesic line in a spherically symmetric field. [Equation (12) omitted.. Original p. 115. Using equation (9a), and taking the large-distance limit, one finds the inverse-square gravitational force and identifies alpha with the gravitational radius associated with the mass of the charge. [Identification and numerical estimate of alpha omitted.. The constant alpha squared is therefore extraordinarily small for an elementary charge and, as shown below, extraordinarily small even in comparison with the constant lambda squared from which it is subtracted. Nevertheless it possesses a significance of principle and must not vanish if the electric charge is to possess gravitating inertial mass. Every future equilibrium theory of the charged field-that is, of the electron-must exclude the disappearance of the integration constant alpha from the outset. The sole non-vanishing component of the primary electromagnetic six-vector in the general case is then obtained from the preceding solution. [Equation (14) omitted.. Original p. 116. It is readily calculated from equations (11a) and (9a). The electrostatic potential is correspondingly obtained. [Electrostatic potential omitted.. The solution becomes especially simple when alpha is set equal to zero. Since this solution differs imperceptibly from the one using the numerical value of alpha found above, it is useful to state it separately. [Equations (11b), (9b), and the simplified field strength omitted.. The values of Einstein's universal constant kappa and of lambda can now be calculated. The field equations must contain, as a special case, the infinitely weak spherically symmetric gravitational field of an uncharged, incoherent distribution of mass. According to Einstein, the covariant energy tensor of an incoherent mass distribution of density rho_m, in the static case and in an orthogonal system, has only its temporal component different from zero. The corresponding trace has the value rho_m. [Matter stress-energy components omitted.. Original p. 117. The right-hand side of the general field equations then takes the trace-reversed form used by Einstein. [Trace-reversed field equation and components omitted.. Linearising equation (IV) about flat space gives the ordinary Poisson equation. Consequently the temporal perturbation divided by two may be regarded as the gravitational potential, just as in equation (12). Comparison with Newtonian gravity determines kappa. [Weak-field equation and numerical value of kappa omitted.. From this one obtains lambda and its numerical value for the elementary charge. [Values of lambda squared and lambda omitted.. Thus, despite its smallness, lambda is still approximately one hundred thousand billion billion times as large as alpha. The constant beta can be obtained from the condition that the circumference of a circle must tend to zero as the radius decreases; that is, h must vanish when r is zero. Equation (10a) then fixes the value u_0, and equation (11a) fixes beta. Because alpha is so small compared with lambda, beta is approximately equal to lambda. [Boundary equations for u_0 and beta omitted.. Original p. 118. At r equal to zero, equation (14) makes the field strength infinite. It is evident that continuation of the solution to the centre leads to an impossibility, corresponding to the fact that charge must be distributed around the centre and that Maxwell's theory does not supply the equilibrium of that distribution. If one attempted to force the field strength to change sign at a radius r_0 by choosing beta accordingly, the field strength would become infinite there and the angular metric coefficient would vanish. The line element cannot reasonably be subjected to such a consequence. Moreover, this would produce a mutual attraction of like charge densities but not an equilibrium; to enforce equilibrium one would perhaps have to add another stress tensor. Outside the charged region, however, the field of the charge is represented consistently. The field strength and the metric coefficients differ appreciably from their Euclidean values only where the radius is of the order of lambda, approximately 10^-34 centimetres. Since the electron radius is taken to be approximately 10^-13 centimetres, the influence of self-gravitation within the physically relevant domain of the solution eludes all possibility of detection. THE DEGENERATE CASE g₄ = . On page 109 attention was drawn to the formal possibility of equilibrium of charge if the field strength and the velocity of light are both allowed to vanish in such a way that their ratio remains finite. [Definition of the limiting field omitted.. The temporal component of the four-current then assumes a corresponding limiting form, where rho denotes charge density. [Current equation omitted.. For the sake of curiosity, the result of this dead end may be stated without derivation. The energy tensor takes a degenerate form. Original p. 119. [Degenerate stress-energy tensor omitted.. The mixed tensor vanishes. With the radial metric coefficient set equal to minus one, the field equations permit a formal solution containing two integration constants, alpha and beta. [Degenerate solution omitted.. Further expressions for the field and total charge follow, but this solution does not appear capable of acquiring any physical significance. THE NON-ELECTRIC FIEL. The gravitational field of an uncharged, spherical, resting mass must emerge as a special case of the general solution given above when the charge, and therefore lambda, is set equal to zero. The result must reduce to Schwarzschild's solution. It is worthwhile to show this explicitly because Schwarzschild fixed from the outset a coordinate system in which the determinant condition has a prescribed value, whereas the present calculation began without restriction and subsequently imposed the condition that the radial metric coefficient equal minus one. In Schwarzschild's coordinates the metric coefficients have their standard forms, with an auxiliary radial coordinate R related cubically to Schwarzschild's original coordinate. [Schwarzschild metric coefficients omitted.. Original p. 120. In the present coordinates, with c equal to one, the radial metric coefficient is minus one, the angular coefficient is minus h squared, and the temporal coefficient is the square of dh/dr. [Metric relations omitted.. A different measure of radial length has therefore been selected. Since only the radial coordinate is transformed, the angular and temporal metric coefficients must agree in the two representations. [Coordinate transformation omitted.. One obtains h equal to R and the Schwarzschild temporal coefficient. The two solutions therefore pass into one another when the two mass parameters are appropriately identified. Charlottenburg, March 1916. Received 20 March 1916. TRANSLATOR'S NOT. This translation preserves Reissner's historical terminology and argumentative order. Equations have been omitted at the reader's request, but their original locations and labels have been retained. In modern terminology, the paper studies the static, spherically symmetric electrovacuum reduction of the Einstein-Maxwell system. Reissner's most striking conceptual observation occurs on original page 112: the conservation laws need not be imposed independently, because the structure of Einstein's field equations already contains the required consistency relations. {{col-end}} <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. siqtrdfiz5r3ajbrkwefmj2adnesac3 459200 459199 2026-09-06T08:52:59Z Danuri19 16656 459200 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판<ref>[https://edition-open-sources.org/sources/10/6/index.html? George B. Jeffery (1921): The Field of an Electron on Einstein’s Theory of Gravitation]</ref><ref>[https://zenodo.org/records/1447315? Hans Reissner Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie 『Annalen der Physik』, Vierte Folge, Band 50 전체 통권 Band 355 1916년, pp. 106–120]</ref> | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106페이지 4. 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자가 중력에 대하여 , H. 라이스너(H. Reissner) 아인슈타인 씨가 수성 서행 운동(수성의 근일점 이동)을 설명함으로써 그의 새로운 공변 중력장 방정식, 나아가 일반 상대성 공리의 유용성을 입증하였고, 다른 논문을 통해 전자기장의 맥스웰-로런츠 방정식을 일반 공변 형태로 제시하였습니다. 이에 따라 구대칭을 가지는 전기장의 자가 중력(Eigengravitation)이 미치는 영향을 간단한 예시를 통해 조사하는 것을 다음 과제로 삼게 되었습니다.비록 본 연구를 시작할 당시에는 맥스웰 이론의 틀을 벗어나지 않고 소전하(Elementarladung) 자체의 자가 중력을 통해 정역학적 결합(전하의 안정성)을 찾을 수 있으리라는 기대를 가졌으나, 연구 과정에서 아인슈타인의 중력이 소전하의 전기장을 특정한(그리고 극도로 미미한) 방식으로 왜곡시킬 뿐, 그 본질상 전하 요소들 사이의 상호 정전기적 반발력을 상쇄할 수는 없다는 사실만을 우선 확인하게 되었습니다.따라서 소전하의 구조를 설명하기 위해서는 추가적인 기본 가정이 도입되어야만 할 것입니다. 미(Mie)의 개념에 따라 맥스웰 방정식을 수정하든가, 맥스웰 변형 텐서에 가능한 한 단순한 변형 텐서를 추가하든가, 혹은 최종적으로 전자를 정역학적이 아닌 전자기학적으로 정상 상태(stationär)인 구조로 파악하는 방식 중 하나를 취해야 합니다.아인슈타인 씨로부터 다양한 설명과 비판적 조언을 받아 진행한 계산 수행 과정과 관련하여, 먼저 다음 사항을 밝혀두고자 합니다.장 방정식을 수립하는 데 있어 좌표계의 선택, 특히 치환 행렬식(Substitutionsdeterminante)의 값에 어떠한 제한도 두지 않았습니다. 따라서 일반적인 공간 구면좌표계를 도입할 수 있었는데, 이는 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 선요소(Linienelement)의 판별식 <math>\sqrt{-g}</math>의 값을 1로 유지하기 위해 특별히 교묘하게 선택된 좌표계를 사용한 것과 대조적입니다.그럼에도 불구하고 이 문제에서는 전체 이론의 완전한 공변성을 보여주는 명쾌한 통찰을 제공할 뿐만 아니라, 장 방정식의 수립 및 통합에 있어서도 특정한 좌표계보다 가장 일반적인 좌표계를 사용하는 것이 오히려 더 유리하다고 판단됩니다.아인슈타인 씨 자신과 슈바르츠실트에 의해 제시된 전하가 없는 질점의 장(Field)은 본 논문에서 계산된 구형 전하 장의 특수한 경우임이 밝혀졌습니다. 또한 특정한 슈바르츠실트 좌표계로 변환하고 전하를 0으로 놓았을 때 본 해법이 슈바르츠실트의 해로 귀결된다는 점은 여기서 제시된 해법의 정당성을 검증하는 역할을 합니다.따라서 여기서 설정한 문제는 다음과 같습니다. 공변 형태의 맥스웰 변형 에너지 텐서와 아인슈타인의 일반 공변 중력장 방정식 외에 다른 아무것도 전제하지 않을 때, 평형 상태에 있는 구대칭 정전기장의 가장 일반적인 형태는 무엇인가?대칭성 전제는 일반적으로 비유클리드 공간인 선요소의 형식을 단순화하는 결과를 가져오므로, 이 선요소는 공간적(직교 상태를 유지하는) 구면좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있습니다. <math>ds^2 = g_1 dr^2 + g_2 d\vartheta^2 + g_3 d\varphi^2 + g_4 dt^2,</math> 여기서 이중 첨자 대신 단일 첨자만 사용하여 다음과 같이 나타냅니다. <math>g_{\nu\nu} = g_\nu, \quad g_{\mu\nu} = 0 \quad (\mu \neq \nu \text{일 때})</math> 그리고 변형 에너지 텐서를 포함하지 않는 유클리드 공간에 대해 <math>g_\nu</math>는 다음 값을 가집니다. <math>g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_3 = g_2 \sin^2\vartheta, \quad g_4 = c^2,</math> 여기서 <math>c</math>는 진공에서의 일반적인 광속을 의미합니다. 107페이지 아인슈타인 씨는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값들이 자와 시계의 성질, 최단선(측지선)의 형태, 질점과 광선의 궤도, 광속 및 중력 포텐셜을 어떻게 결정하는지 일반적으로 보여주었습니다.정전기장의 텐서중력장 방정식과 정전기장의 평형 조건에 필요한 에너지 텐서는 다음과 같이 도출할 수 있습니다.1)첫 번째 공변 6차원 벡터(Covariant 6-vector) <math>F_{\alpha\beta}</math>의 성분 중 정지 상태 및 극대칭성(polar symmetry)을 가질 때 남는 것은 오직 하나, 즉 <math>F_{14} = \mathfrak{E}</math>뿐입니다. 이로부터 도출되는 두 번째 반공변(contravariant) V-6차원 벡터 <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> 역시 이 경우 오직 하나의 성분만을 가집니다. <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}</math> 진공에서의 전기 전류밀도의 반공변 V-4차원 벡터 역시 0이 아닌 성분을 단 하나만 가집니다. <math>(1) \quad \mathfrak{J}^4 = \rho \frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial \mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math> 여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.역학적 힘 밀도(force density)의 공변 V-4차원 벡터는 일반적인 정역학적 경우 다음과 같이 됩니다. <math>\mathfrak{K}_\sigma = F_{\sigma 4} \mathfrak{J}^4</math> 그리고 구대칭(모든 방향의 대칭)일 때: <math>\mathfrak{K}_r = F_{14} \mathfrak{J}^4 = \mathfrak{E} \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math> 이 일반적인 정역학적 설정은 알짜 힘 밀도가 0이 되기 위해서는 전하밀도가 0이 되거나 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>가 0이 되어야 함을 보여줍니다. 그러나 이 값들은 <math>g_1</math> 또는 <math>g_4</math>가 해당 유한 구간에서 0이 되는 경우를 제외하고는, 유한한 구간 내에서 동시에만 0의 값을 가질 수 있습니다.따라서 다음과 같이 기술할 수 있습니다.¹) <ref>A. 아인슈타인, 『전자기학의 맥스웰장 방정식에 대한 새로운 형식적 해석』. 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 184–188. 1916년.</ref> 108페이지 맥스웰 정전기장은 자가 중력의 영향 하에서도, 선요소나 광속이 0이 되는 특수한 경우를 제외한다면 전하밀도가 존재하지 않는 곳에서만 평형을 유지할 수 있습니다.1)이러한 예외적인 경우가 물리적 의미를 갖지 않는 것으로 보이므로, 순수한 맥스웰 변형 에너지 텐서와 구대칭을 기본 바탕으로 삼고자 한다면, 본 연구는 진공 공간에서 자가 중력의 영향을 받는 구형 전하의 장으로 제한되어야 합니다.따라서 이 경우에는 <math>\mathfrak{J}^4 = 0</math>이어야 하며, 이에 따라 다음과 같이 됩니다. <math>\mathfrak{E} = \text{const} \cdot \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{-g_2}</math> 적분상수는 무한대에서의 경계 조건으로부터 즉시 결정할 수 있습니다. 무한대에서는 중심의 총전하를 <math>e</math>라 할 때 다음과 같이 놓아야 합니다. <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \quad g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_4 = c^2,</math>따라서<math>\text{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> 이로부터 다음을 얻습니다. <math>(2) \quad \begin{cases} \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{g_2} \\ \mathfrak{F}^{14} = F_{14} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{1}{g_2} \end{cases}</math> 이 값들을 위에서 인용한 아인슈타인의 논문에 제시된 혼합 에너지 텐서 식 (9)에 대입하면 다음을 얻습니다. <math>T_1^1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_2^2 = T_3^3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_4^4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}</math> 이에 대응하는 공변 텐서는 공식 <math>T_{\sigma\sigma} = T_\sigma^\sigma g_{\sigma\sigma}</math>에 따라 다음 값을 가집니다.¹) <ref><math>g_4 = 0</math>이라는 가정을 두면 전하 내부의 장 세기 분포가 일정하게 유도되지만, <math>g_4 \neq 0</math>인 외부 공간과의 연결에는 성공하지 못했습니다.</ref> 109페이지 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_1}{2g_1 g_4}, \quad T_{22} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_2}{2g_1 g_4}</math><math>T_{33} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_3}{2g_1 g_4}, \quad T_{44} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_4}{2g_1 g_4}</math> 이것은 장의 평형을 고려하지 않은 정전기 에너지 텐서입니다. 장의 평형 텐서는 <math>\mathfrak{E}</math>에 대해 위 식 (2)의 값을 대입함으로써 얻어집니다. <math>T_{11} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}, \quad T_{22} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math><math>T_{33} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}, \quad T_{44} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> 장 방정식 (The Field Equations)아인슈타인의 일반 공변 중력 미분 방정식의 최신 및 가장 일관된 형식은 직교좌표계와 라우에 스칼라(Laue scalar) <math>\sum T_m^m = 0</math>이 소멸할 때 다음과 같이 쓰일 수 있습니다. <math>(8) \quad \sum_k \{mk, km\} = -\varkappa T_{mm},</math>여기서 <math>\varkappa</math>는 중력상수와 관련된 보편상수이며, 제2종 크리스토펠 4-인덱스 기호는 다음 값을 가집니다.<math>\{mk, km\} = \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_m} - \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mm \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_k} + \sum_\rho \left\{\begin{matrix} mk \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho m \\ k \end{matrix}\right\} - \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho k \\ k \end{matrix}\right\},</math> 여기서 <math>\left\{\begin{matrix} m & k \\ & \rho \end{matrix}\right\}</math>는 제2종 크리스토펠 3-인덱스 기호이며, 직교좌표계에서는 적어도 두 개의 인덱스가 같을 때만 0이 아닌 값을 가지며 다음과 같습니다. <math>\left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ m \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math>반면, <math>m = k</math>일 때 4-인덱스 기호는 0이 됩니다.식 (8)의 처음 두 항은 쉽게 처리됩니다. 세 번째 항의 <math>\sum_\rho</math>에서는 먼저 <math>\rho = m</math>에 대해, 다음으로 <math>\rho = k</math>에 대해, 마지막으로 <math>\rho \neq m \neq k</math>인 모든 경우에 대해 합산합니다. 110페이지 계산 오차를 피하기 위해 어느 정도 숙련이 필요한 다소 번거로운 계산 과정을 거치면, 다음과 같은 2계 미분 불변량(Differential invariants)을 얻게 됩니다. 약간의 검증을 거치면 대칭성을 유지하면서 공변성 요구를 충족하고 유클리드 공간에서 소멸함을 확인할 수 있습니다. <math>\text{I} \begin{cases} G_{11} = \frac{d^2}{dr^2}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1} \frac{d}{dr}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) \\ \quad + \frac{1}{2}\left(\frac{d \ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d \ln \sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11}, \end{cases}</math> <math>\text{II} \begin{cases} G_{22} = -1 + \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_2}{dr}\right) + \frac{1}{4g_1 g_2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_2}{dr} + \frac{1}{4g_1 g_4} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ = -\varkappa T_{22} \end{cases}</math> <math>\text{III} \quad G_{33} = G_{22} \sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22} \sin^2\vartheta,</math> <math>\text{IV} \begin{cases} G_{44} = \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_4}{dr}\right) - \frac{1}{4g_1 g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ \quad + \frac{1}{2g_1 g_2} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{cases}</math> 무한히 많은 가능한 좌표계 중에서 우리는 다음과 같이 하나의 좌표계를 선호할 수 있습니다. <math>dr</math>이 단순한 좌표의 차이뿐만 아니라, 무한히 작은 고정된 자로 측정한 반경 방향의 거리를 의미하도록 약속한다면 <math>g_1 = -1</math>로 놓을 수 있습니다.또한 <math>\varkappa e^2 / 32 \pi^2 c^2</math>을 축약하여 <math>\lambda^2</math>으로 쓰고 <math>g_2 = -\overline{g}_2</math>로 놓으면, 식 (8)은 다음과 같은 형태를 취합니다. <math>(\text{I}) \quad \frac{d^2}{dr^2}\ln(\overline{g}_2 \sqrt{g_4}) + \frac{1}{2\overline{g}_2^2}\left(\frac{d\overline{g}_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math> <math>(\text{II}) \quad -1 + \frac{1}{2} \frac{d^2 \overline{g}_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\overline{g}_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2}</math> <math>(\text{IV}) \quad \frac{1}{2} \frac{d^2 g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\overline{g}_2} \frac{d\overline{g}_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = +\frac{\lambda^2 g_4}{\overline{g}_2^2}</math> 좌표계 선택을 <math>g_1 = -1</math>로 제한함으로써, 미지수 <math>\overline{g}_2</math> 및 <math>g_4</math> 단 두 개에 대해 3개의 방정식이 산출되었으므로, 언뜻 해를 구하려는 시도가 모순으로 이어질 것처럼 보일 수 있습니다. 111페이지 그러나 두 방정식의 일반해법이 세 번째 방정식을 항등적으로 만족시킨다는 사실이 밝혀질 것이며, 이는 대단히 주목할 만한 점입니다.따라서 변형 에너지 텐서를 결정하기 위해 비유클리드 공간에서 식 (2)의 변형 평형 보존 법칙을 보조 수단으로 사용할 필요가 전혀 없었으며, 장의 평형을 가능하게 하는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 함수로서 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>를 계산하는 데에는 중력장 방정식만으로도 이미 충분했습니다. 그러므로 전체 설정에서의 유일한 전제는 필드 세기의 6차원 벡터를 통해 변형 에너지 텐서 <math>T_\mu^\nu</math>의 표현식을 파악하는 것뿐이었습니다.아인슈타인 씨는 이 놀라운 연관성에 대해 논의할 때, 에너지와 변형력의 보존 법칙이 그의 최근 장 방정식에 포함되어 있으므로 어떤 문제에서도 특별히 새로 설정할 필요가 없음을 일반적인 방식으로 보여줄 수 있는 위치에 있다고 알려주었습니다. 여기서 다룬 특수한 사례가 입증하는 이 결과는 특히 중요한데, 한편으로는 장 방정식이 에너지 고려 사항에서 전혀 얻어지지 않고 오직 공변성 고려 사항에서만 얻어졌기 때문이며, 다른 한편으로는 장 방정식이 단지 보존 법칙보다 훨씬 더 많은 것을 말해주기 때문입니다.1)장 방정식의 적분 (Integration of the Field Equations)두 미지수 <math>\overline{g}_2</math>와 <math>g_4</math>에 대한 세 방정식 (I), (II), (IV)는 모순이 없고 상호 제한이 없는 해를 닫힌 형식(closed form)으로 허용할 것이며, 이는 다음과 같이 확인할 수 있습니다.축약 표현으로 <math>\ln \sqrt{g_4} = \gamma</math>로 놓고 <math>r</math>에 대한 미분을 프라임(')으로 표시하면, 방정식 (I), (II), (IV)는 다음과 같이 쓰입니다.1) 그 사이에 이 연관성은 D. 힐베르트와 A. 아인슈타인 자신에 의해 더 정확하게 밝혀졌습니다. 괴팅겐 학술원 보고서(Math. Phys. Kl. 1915 p. 3) 및 Annalen der Physik 49. p. 809. 1916년 참조. 112페이지 <math>(\text{I}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2} - \frac{\overline{g}_2'^2}{2\overline{g}_2^2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{IV}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \gamma' \frac{\overline{g}_2'}{\overline{g}_2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math> <math>(\text{II}) \quad -\overline{g}_2 + \frac{1}{2}\overline{g}_2 \overline{g}_2'' + \frac{1}{2}\gamma' \overline{g}_2' \overline{g}_2 = -\lambda^2.</math> (IV)에서 (I)을 빼면 다음을 얻습니다. <math>(a) \quad \gamma' = \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2'} - \frac{\overline{g}_2'}{2\overline{g}_2}</math> 이로부터:<math>\gamma = \ln\left(\delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}\right),</math>여기서 <math>\delta</math>는 적분상수입니다. 또는:<math>\sqrt{g_4} = \delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}.</math>적분상수 <math>\delta</math>의 값은 무한대에서의 경계 조건으로부터 구할 수 있는데, 무한대에서는 <math>\sqrt{g_4} = c</math>, 즉 일반 광속과 같아야 하기 때문입니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다. <math>(9) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{d}{dr}\sqrt{\overline{g}_2}</math> 방정식 (a)를 (II)에 대입하면 다음을 얻습니다. <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2}\left(\overline{g}_2^{\frac{3}{4}}\right) = \overline{g}_2^{-\frac{1}{2}} - \overline{g}_2^{-\frac{5}{4}}\lambda^2.</math>두 개의 추가 적분상수를 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>라 하고, 축약을 위해 <math>\sqrt{\overline{g}_2} = h</math>로 놓으면 위 방정식의 첫 번째 적분식은 다음과 같이 산출됩니다.<math>(10) \quad h h' = \sqrt{(h - \alpha)^2 + (\lambda^2 - \alpha^2)}</math>그리고 완전해(complete solution)는 다음과 같습니다.<math>(11) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\sqrt{\left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^2 + 1} + \alpha \text{arsinh} \left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right) = r + \beta</math>이 방정식은 치환식을 사용하여 정리할 수 있습니다.<math>\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \sinh u</math> 113페이지 또는<math>(10a) \quad h = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \sinh u + \alpha</math> 위 식은 다음과 같이도 쓸 수 있습니다. <math>(11a) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \cosh u + \alpha u = r + \beta.</math> 방정식 (11)로부터 <math>g_2 = -h^2</math>이 무한대에서 <math>-r^2</math>과 같아져야 한다는 조건이 자발적으로 충족됨을 우선 확인할 수 있습니다.또한 식 (9)에 의해 다음과 같이 됩니다. <math>(9a) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{dh}{dr} = c \frac{\cosh u}{\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}}.</math> 적분상수 (The Constants of Integration)이어 <math>\alpha</math>의 값은 전하 <math>e</math>의 중력 질량과 연관되어 있고, <math>\beta</math>의 값은 중심에서의 <math>g_2</math> 조건과 연관되어 있음을 보여줄 수 있습니다.아인슈타인 이론의 일반적인 연관성에 따라 무한대에서 전하는 전하의 중력 질점 <math>m_e</math>처럼 정확하게 작용해야 합니다. 따라서 무한대에서의 체적력(ponderomotive force)은 어떤 경우든 다음과 같은 형식으로 쓰일 수 있습니다.<math>K = -k \frac{m_e}{r^2},</math>여기서 <math>k = 6.7 \cdot 10^{-8} , (\text{cm}/\text{g}/\text{s})</math>는 일반적인 중력상수를 의미합니다.다른 형식으로서 동일한 반경 방향 체적력은 극대칭장에서 측지선의 공변 방정식으로부터 다음과 같은 형식으로 도출됩니다.1) <math>(12) \quad K = -\frac{1}{2} \frac{dg_4}{dr}</math>따라서 식 (9a)를 이용하면 다음과 같이 됩니다.¹) <ref>A. 아인슈타인, 『일반상대성이론의 형식적 기초』, 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1046. 식 23b. 1914년.114페이지</ref> <math>K = \frac{c^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} \frac{\cosh u \left(1 - \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)}{\left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^4}.</math> 큰 <math>u</math> 값에 대해 식 (11a)에 의하여 다음과 같이 됩니다. <math>\cosh u = \sinh u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}</math> 따라서 그곳에서는 다음과 같습니다. <math>K = -\frac{c^2 \alpha}{r^2}</math><math>K</math>의 두 값을 동일하게 놓으면 <math>\alpha</math>에 대해 다음 값을 얻습니다. <math>\alpha = \frac{m_e k}{c^2}</math> 예를 들어 전자의 질량을 <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>로 취하면 다음과 같이 얻어집니다. <math>\alpha = \frac{10^{-27} \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{1.82 \cdot 9 \cdot 10^{20}} = 0.408 \cdot 10^{-55}.</math> 따라서 상수 <math>\alpha^2</math>은 소전하의 경우 극도로 작아지며, 아래에서 보여지듯 감산 결합된 상수 <math>\lambda^2</math>에 비해서도 극도로 작습니다. 그러나 이 상수는 원리적 의미를 가지며, 전하가 중력 질량 및 관성 질량을 가져야 한다면 소멸할 수 없습니다. 향후 대전된 장, 즉 전자에 대한 모든 평형 이론은 첫 번째 설정에서부터 적분상수 <math>\alpha</math>가 0이 되는 가능성을 배제해야 합니다.일차 6차원 벡터의 유일하게 존재하는 성분은 일반적인 경우 다음과 같이 됩니다. <math>(14) \quad \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{\overline{g}_2} = -\frac{e}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{\overline{g}_2}} \frac{d\sqrt{\overline{g}_2}}{dr}</math><math>= \frac{e}{4\pi(h^2 - \alpha^2)} \left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^3</math> 115페이지 그리고 이는 방정식 (11a)와 (9a)에 의해 쉽게 계산할 수 있습니다.정전 포텐셜은 다음과 같이 됩니다.<math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi \sqrt{\overline{g}_2}}</math>해법 (11)은 <math>\alpha = 0</math>일 때 특히 단순해지며, 이 해법이 위의 <math>\alpha</math> 값에 대한 해법과 눈에 띄게 다르지 않으므로 여기에 표기해 둡니다.식 (11)로부터 <math>\alpha = 0</math>일 때 즉시 다음을 얻습니다. <math>(11b) \quad \overline{g}_2 = (r + \beta)^2 - \lambda^2.</math><math>(9b) \quad g_4 = c^2 \frac{(r + \beta)^2}{(r + \beta)^2 - \lambda^2}</math>거의 실현되는 이 특수한 경우 <math>\alpha = 0</math>에서 추가로 다음을 얻습니다. <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r + \beta}{((r + \beta)^2 - \lambda^2)^{3/2}}</math> 이제 보편 아인슈타인 상수 <math>\varkappa</math>의 값과 상수 <math>\lambda</math>의 값을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.우선 장 방정식 (I), (II), (IV)는 대전되지 않은 비간섭성(incoherent) 질량 분포의 무한히 약한 극대칭 중력장을 특수한 경우로 포함해야 합니다.밀도 <math>\rho_m</math>을 갖는 비간섭성 질량 분포의 공변 에너지 텐서는 아인슈타인에 따라 정역학적 경우 및 직교 체계에서 다음과 같습니다.¹)<ref><math>T_{11} = T_{22} = T_{33} = 0, \quad T_{44} = \rho_m g_4.</math>이에 해당하는 스칼라 <math>T = \sum T_m^m</math>은 <math>\rho_m</math> 값을 가집니다. 따라서 장 방정식의 우변은 다음과 같이 됩니다.2)1) 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1059. 식 48. 1914년.2) 같은 책, p. 845. 식 2a. 1915년.</ref> 116페이지 즉,<math>G_{\nu\nu} = -\varkappa\left(T_{\nu\nu} - \frac{1}{2}g_{\nu\nu} T\right),</math><math>G_{11} = +\frac{\varkappa}{2} g_1 \rho_m, \quad G_{22} = +\frac{\varkappa}{2} g_2 \rho_m</math><math>G_{33} = +\frac{\varkappa}{2} g_3 \rho_m, \quad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2} g_4 \rho_m</math>113페이지의 방정식 (IV)는 <math>g_1 = -1</math>, <math>g_2 = -r^2 + \delta g_2</math>, <math>g_4 = c^2 + \delta g_4</math>로 놓을 때(여기서 <math>\delta g_2</math> 및 <math>\delta g_4</math>는 작은 값임), 1차 미소 수량까지 고려하면 다음과 같이 됩니다.<math>\frac{d^2}{dr^2}\left(\frac{g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \cdot \frac{d}{dr}\left(\frac{g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2} c^2 \rho_m</math>여기서 식 (12)에서와 마찬가지로 <math>g_4 / 2</math>를 중력 포텐셜로 볼 수 있으며, 다음과 같이 설정할 수 있습니다.<math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^4} = \frac{4\pi \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{81 \cdot 10^{40}} = 0.936 \cdot 10^{-48}.</math>이로부터 다음을 얻습니다.<math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{k e^2}{4\pi c^4} = \frac{6.7 \cdot 10^{-8} \cdot 4.65^2 \cdot 10^{-20} \cdot 4\pi}{4\pi \cdot 81 \cdot 10^{40}}</math><math>= 1.79 \cdot 10^{-68},</math>또는<math>\lambda = 1.337 \cdot 10^{-34}.</math>따라서 <math>\lambda</math>는 그 극소성에도 불구하고 여전히 <math>\alpha</math>보다 천억 배나 큽니다.상수 <math>\beta</math>는 반지름이 감소함에 따라 원주도 0으로 감소해야 한다는 조건, 즉 <math>r = 0</math>일 때 <math>h = 0</math>이어야 한다는 조건으로부터 구할 수 있습니다. 방정식 (10a)에 따라 <math>r = 0</math>에서의 <math>u</math> 값을 <math>u_0</math>이라 나타내면 다음과 같습니다.<math>\sinh u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}</math>그리고 식 (11a)에 따라:<math>\beta = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\cosh u_0 + \alpha u_0,</math>또는 <math>\alpha/\lambda</math>가 극히 작으므로 다음과 같이 됩니다.<math>\beta = \lambda - \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \lambda</math> 117페이지 <math>r = 0</math>일 때 방정식 (14)에 의해 장의 세기 또한 <math>\mathfrak{E} = \infty</math>가 됩니다.중심 주변에 전하가 분포되어 있어야 하지만 맥스웰 이론이 그 평형을 반영하지 못한다는 사실에 대응하여, 중심점까지 해법을 계속 이어가면 불가능한 결과(특이점)에 도달한다는 것을 알 수 있습니다.만약 <math>r = r_0</math>인 지점에서 <math>\beta = \lambda - r_0</math>으로 놓아 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>의 부호 변화를 강제하고자 한다면, 그곳에서 <math>\mathfrak{E}</math>의 무한대점과 <math>g_2</math>의 0점을 얻게 되는데, 이는 길이 요소 <math>\sqrt{g_2} d\vartheta</math>에 적용하기 어려운 결론입니다. 더욱이 이를 통해 동일한 부호의 전하밀도 사이에 상호 인력이 발생할 수는 있지만 평형은 달성되지 않으며, 평형을 강제하기 위해서는 추가적인 변형 텐서를 도입해야 할 것입니다.그러나 대전된 공간 외부에서는 전하의 장이 모순 없이 표현되며, 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math> 및 계수 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값이 유클리드 공간의 값과 눈에 띄게 달라지는 것은 반지름이 <math>\lambda</math>의 차원, 즉 <math>10^{-34} \text{ cm}</math>의 차원인 영역뿐임을 보여줍니다. 전자의 반지름이 약 <math>10^{-13} \text{ cm}</math>로 가정되므로, 장과 관련된 해의 영역에서 자가 중력의 영향은 그 어떤 측정/검증 가능성도 벗어나 있습니다.<math>g_4 = 0</math>에서의 퇴화 (The Degeneration for <math>g_4 = 0</math>)108페이지에서 장의 세기와 광속을 0으로 만들되 <math>\mathfrak{E}/\sqrt{g_4}</math>가 유한하게 유지되도록 함으로써 전하 평형의 형식적 가능성에 주의를 기울였습니다. 다음과 같이 놓으면:<math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{S}</math>4차원 전류의 시간 성분은 다음과 같이 됩니다. <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta \cdot \rho g_2 \sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{S} \frac{\overline{g}_2}{\sqrt{-g_1}}\right) \sin\vartheta</math>여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.진귀한 계산 결과로서, 도출 과정 없이 이 막다른 골목이 어디로 이어지는지 밝혀둡니다. 에너지 텐서는 다음 값을 가집니다. 118페이지 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{1}{g_1}, \quad T_{22} = \frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_2}{g_1}, \quad T_{33} = \frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_3}{g_1}, \quad T_{44} = -\frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_4}{g_1} = 0</math> 반면 혼합 V-텐서 <math>T_\mu^\nu</math>는 소멸합니다. 장 방정식은 <math>g_1 = -1</math>일 때 다음과 같은 해를 허용합니다. <math>\frac{27}{32}\left(\frac{8}{9}\overline{g}_2^{\frac{1}{3}} - \alpha\right)\sqrt{\frac{16}{9}\overline{g}_2^{\frac{1}{3}} + \alpha} = r + \beta,</math> 여기서 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>는 적분상수입니다.또한 다음을 얻습니다. <math>\frac{\varkappa \mathfrak{S}^2}{2} = \frac{1}{4\overline{g}_2} - \frac{3\alpha}{8\overline{g}_2^{4/3}}</math><math>\rho = \frac{3}{4\sqrt{2\varkappa}} \frac{\left(\overline{g}_2^{1/3} - \alpha\right)\sqrt{\frac{16}{9}\overline{g}_2^{1/3} + \alpha}}{\overline{g}_2^{1/3}\sqrt{\overline{g}_2^{1/3} - \frac{3}{2}\alpha}},</math><math>e = \frac{\pi\sqrt{8}}{\sqrt{\varkappa}} \overline{g}_2^{1/6}\sqrt{\overline{g}_2^{1/3} - \frac{3}{2}\alpha} \cdot \alpha^{3/2}</math> 그러나 이 해법이 어떠한 물리적 의미를 가질 수 있을 것으로는 보이지 않습니다.전기가 없는 장 (The Un-electric Field)전하가 없는 구형 정지 질량의 중력장은 전하와 그에 따른 <math>\lambda = 0</math>으로 놓을 때 위에서 제시한 일반해로부터 특수한 경우로서 얻어져야 합니다. 이때 슈바르츠실트 해로 귀결되어야 하며, 이는 슈바르츠실트가 처음부터 <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> 조건으로 좌표계를 결정한 반면, 본 연구는 우선 제한 없이 공변성을 유지하다가 <math>g_1 = -1</math> 조건으로 계산했다는 점에서도 입증할 가치가 있습니다.슈바르츠실트1) 논문에서 계수는 다음과 같습니다. <math>-g_1^* = \frac{r_1^4}{R^4(1 - \alpha_1/R)}, \quad -g_2^* = R^2, \quad g_4^* = 1 - \alpha_1/R,</math> 여기서 <math>R^3 = r_1^3 + \alpha_1^3</math>이며 <math>\alpha_1</math>은 상수입니다.¹) <ref>K. 슈바르츠실트, 『아인슈타인 이론에 따른 질점의 중력장에 대하여』, 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 189–196. 1916년.</ref> 119페이지 여기서 <math>c = 1</math>로 놓았을 때 다음을 얻었습니다. <math>-g_1 = 1, \quad -g_2 = h^2, \quad g_4 = \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math>여기서<math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h - 2\alpha}{h}</math> 따라서 그곳에서는 반지름에 대해 다른 길이 측도가 선택되었는데, 다음과 같기 때문입니다. <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4}{R^4(1 - \alpha_1/R)},</math>반면<math>h = R, \quad g_4 = 1 - 2\alpha/R</math>로만 변환되었으므로 <math>g_2 = g_2^*</math>, <math>g_4 = g_4^*</math>이어야 합니다. 다음과 같이 얻어집니다. <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1 - 2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1 - \alpha_1/R}</math> 따라서 두 해법은 <math>2\alpha = \alpha_1</math>로 놓을 때 서로 변환되어 일치합니다. 샤를로텐부르크, 1916년 3월.(1916년 3월 20일 접수됨) {{col-begin}} {{col-2}} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma ={{col-3}} \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) {{col-2}} Original p. 106 After Einstein had demonstrated the fruitfulness of his new covariant field equations of gravitation, and thereby of the postulate of the most general relativity, through his explanation of the perihelion motion of Mercury, and after he had elsewhere given a generally covariant formulation of the Maxwell-Lorentz equations of the electromagnetic field, it appeared to me that the next task was to investigate, by means of a simple example, the influence of the self-gravitation of a spherically symmetric electric field. I did, indeed, begin with the hope of finding a static cohesion of elementary charges through their self-gravitation without having to leave the ground of Maxwell's theory. In the course of the investigation, however, I was initially able to establish only that Einsteinian gravitation distorts the field of an elementary electric charge in a definite, though extraordinarily small, manner, but that by its nature it cannot cancel the mutual electrostatic repulsion of the elements of charge. The constitution of the elementary charge can therefore be obtained only by introducing a further fundamental assumption: either by modifying Maxwell's equations in the sense of Mie, by adding to the Maxwell tensor a stress tensor of the simplest possible kind, or, finally, by regarding the electron not as static but as electrodynamically stationary. Concerning the calculation, in which Einstein assisted me with a variety of explanations and criticisms, the following preliminary remarks may be made. No restriction was placed on the choice of coordinate system in setting up the field equations, and in particular none was placed on the value of the transformation determinant. Original p. 107 It was therefore possible to introduce the usual spherical polar coordinate system, whereas Schwarzschild, in order to preserve the value one for the discriminant of the line element, employed a particularly ingenious coordinate system. Nevertheless, in the present case the most general coordinate system seems to me more advantageous than a special one for setting up and integrating the field equations, quite apart from the fine insight it gives into the complete covariance of the theory. The field of an uncharged mass point presented by Einstein and Schwarzschild proves to be a special case of the field of a spherical charge calculated here. It may serve as a check upon the correctness of the present solution that it passes into the Schwarzschild solution when it is transformed to Schwarzschild's special coordinate system and the charge is allowed to vanish. The problem posed here is therefore the following: What is the most general electrostatic field in equilibrium and possessing spherical symmetry if nothing is assumed beyond the Maxwell stress-energy tensor in covariant form and Einstein's generally covariant field equations of gravitation. The assumption of symmetry simplifies the form of the line element of the generally non-Euclidean space, so that it can be written in spatial polar coordinates that remain orthogonal. [Line element omitted.. Here single indices are written in place of double indices. In Euclidean space-that is, in a space containing no stress-energy tensor-the metric coefficients take their familiar values, and c denotes the ordinary velocity of light. Original p. 108 Einstein has shown generally how the values of the metric coefficients determine the properties of measuring rods and clocks, the form of the shortest lines, the paths of mass points and light rays, the velocity of light, and the gravitational potential. THE TENSOR OF THE ELECTROSTATIC FIEL. The energy tensor required for the gravitational field equations and for the equilibrium condition of the electrostatic field may be obtained as follows. Of the components of the first covariant six-vector of the field, only one remains in the case of rest and spherical symmetry, namely the radial electric-field component. The second, contravariant, six-vector derived from it likewise has only one component. [Field-tensor relation omitted.. The contravariant four-vector of the electric vacuum-current density also has only one non-vanishing component. [Equation (1) omitted.. Here rho denotes the charge density. The covariant four-vector of mechanical force density assumes its standard form in the general static case and a radial form under complete spherical symmetry. [Force-density equations omitted.. This general static ansatz shows that the resultant force density can vanish only if either the charge density or the electric field strength vanishes. These quantities, in turn, can vanish simultaneously throughout a finite interval only in the exceptional case in which one of the relevant metric coefficients vanishes throughout that interval. Original p. 109 Thus one may state: A Maxwellian electrostatic field, even under the influence of its own gravitation, can be in equilibrium only where no charge density is present, provided one excludes the case in which a line element or the velocity of light becomes zero. Since these exceptional cases appear to possess no physical significance, an investigation based upon the pure Maxwell stress-energy tensor and spherical symmetry must be restricted to the field of a spherical charge under the influence of its self-gravitation in empty space. For this case the four-current must vanish. Integration then gives the electric field in terms of the metric coefficients. The integration constant is determined immediately from the condition at infinity, where the metric becomes flat and the field becomes the Coulomb field of the total charge e situated at the centre. [Equation (2) omitted.. Substitution of these values into Einstein's expression for the mixed energy tensor gives its four diagonal components. The corresponding covariant tensor follows by lowering the index with the metric. [Stress-energy components omitted.. Original p. 110 This is the electrostatic energy tensor, but without yet taking account of the equilibrium of the field. The equilibrium tensor is obtained by substituting the field value found in equation (2). [Equilibrium stress-energy components omitted.. THE FIELD EQUATION. Einstein's generally covariant differential equations for a gravitational field, in their latest and most consistent form, can be written for orthogonal coordinates and a vanishing Laue scalar in terms of the contracted Christoffel symbols. [Equation (8) omitted.. Here kappa is a universal constant related to the gravitational constant. The four-index Christoffel symbol of the second kind is expressed through the three-index symbols. In orthogonal coordinates, the latter differ from zero only when at least two indices coincide. [Christoffel-symbol formulas omitted.. The four-index symbol vanishes when the relevant two indices are equal. The first two terms of equation (8) cause no difficulty. In the sum of the third term one first sums over one coincident index, then over the other, and finally over all indices distinct from both. Original p. 111 After a somewhat laborious calculation, requiring some practice if computational errors are to be avoided, one arrives at the following second-order differential invariants. A straightforward check shows that they satisfy covariance under the imposed symmetry and vanish in Euclidean space. [Equations (I)-(IV) omitted.. Among the infinitely many possible coordinate systems, we may evidently privilege one in the following manner. Let dr denote not merely a coordinate difference but also the distance in the radial direction measured with an infinitesimal rigid measuring rod. With this convention the radial metric coefficient is set equal to minus one. For brevity, introduce lambda squared for the indicated combination of kappa, charge, and c, and replace the negative angular metric coefficient by a positive barred quantity. The field equations then take a system of three ordinary differential equations. [Reduced equations (I), (II), and (IV) omitted.. Original p. 112. The restriction imposed upon the coordinate system has therefore produced three equations for only two unknown metric functions, and at first it appears that an attempt at solution might lead to a contradiction. It will be shown, however-and this is extraordinarily noteworthy-that the general solution of two of the equations satisfies the third identically. Thus it would not have been necessary to employ the conservation law, that is, the stress-equilibrium condition represented by equation (2) in non-Euclidean space, in determining the stress-energy tensor. The gravitational field equations alone would already have sufficed to calculate, as a function of the metric, the field strength that permits equilibrium. The only prerequisite for the entire ansatz was therefore knowledge of the expression of the stress-energy tensor in terms of the six-vector of field strength. In discussing this surprising connection, Einstein informed me that he was then in a position to show generally that the conservation laws of energy and stresses are contained in his latest field equations and therefore need not be imposed separately in each problem. This result, confirmed by the special case treated here, is particularly important because the field equations were obtained not from energy considerations but solely from considerations of covariance, while at the same time they assert much more than the conservation laws alone. THE INTEGRATION OF THE FIELD EQUATION. The three equations (I), (II), and (IV), containing the two unknown metric functions, therefore admit a consistent closed-form solution without mutually restricting one another. Introduce gamma as the logarithm of the square root of the temporal metric coefficient, and denote differentiation with respect to r by primes. The equations then assume a more compact form. Original p. 113. [Reduced equations and equation (a) omitted.. Subtracting equation (I) from equation (IV) gives a first differential relation. Its integration introduces a constant delta. The boundary condition at infinity, where the local velocity of light is to equal the normal value c, determines this constant and yields equation (9). [Equation (9) omitted.. Substitution into equation (II) produces a second-order equation for the angular metric coefficient. Introduce two further integration constants, alpha and beta, and set h equal to the square root of the positive angular coefficient. The first integral is equation (10), and complete integration gives equation (11). [Equations (10) and (11) omitted.. The result may alternatively be written by means of a hyperbolic substitution. [Substitution omitted.. Original p. 114. [Equations (10a), (11a), and (9a) omitted.. Equation (11) first shows that the condition requiring the angular metric coefficient to approach the square of the radius at infinity is satisfied automatically. Equation (9) then supplies the temporal metric coefficient. THE INTEGRATION CONSTANT. It can now be shown that alpha is related to the gravitating mass of the charge e, while beta is related to the condition imposed on the angular metric coefficient at the centre. According to the general connection supplied by Einstein's theory, a charge at infinity must act just like a gravitating mass point having the mass of the charge. The ponderomotive force at infinity may therefore be written in Newtonian form, where k is the ordinary gravitational constant. [Newtonian force formula omitted.. The same radial ponderomotive force follows in another form from the covariant equation of the geodesic line in a spherically symmetric field. [Equation (12) omitted.. Original p. 115. Using equation (9a), and taking the large-distance limit, one finds the inverse-square gravitational force and identifies alpha with the gravitational radius associated with the mass of the charge. [Identification and numerical estimate of alpha omitted.. The constant alpha squared is therefore extraordinarily small for an elementary charge and, as shown below, extraordinarily small even in comparison with the constant lambda squared from which it is subtracted. Nevertheless it possesses a significance of principle and must not vanish if the electric charge is to possess gravitating inertial mass. Every future equilibrium theory of the charged field-that is, of the electron-must exclude the disappearance of the integration constant alpha from the outset. The sole non-vanishing component of the primary electromagnetic six-vector in the general case is then obtained from the preceding solution. [Equation (14) omitted.. Original p. 116. It is readily calculated from equations (11a) and (9a). The electrostatic potential is correspondingly obtained. [Electrostatic potential omitted.. The solution becomes especially simple when alpha is set equal to zero. Since this solution differs imperceptibly from the one using the numerical value of alpha found above, it is useful to state it separately. [Equations (11b), (9b), and the simplified field strength omitted.. The values of Einstein's universal constant kappa and of lambda can now be calculated. The field equations must contain, as a special case, the infinitely weak spherically symmetric gravitational field of an uncharged, incoherent distribution of mass. According to Einstein, the covariant energy tensor of an incoherent mass distribution of density rho_m, in the static case and in an orthogonal system, has only its temporal component different from zero. The corresponding trace has the value rho_m. [Matter stress-energy components omitted.. Original p. 117. The right-hand side of the general field equations then takes the trace-reversed form used by Einstein. [Trace-reversed field equation and components omitted.. Linearising equation (IV) about flat space gives the ordinary Poisson equation. Consequently the temporal perturbation divided by two may be regarded as the gravitational potential, just as in equation (12). Comparison with Newtonian gravity determines kappa. [Weak-field equation and numerical value of kappa omitted.. From this one obtains lambda and its numerical value for the elementary charge. [Values of lambda squared and lambda omitted.. Thus, despite its smallness, lambda is still approximately one hundred thousand billion billion times as large as alpha. The constant beta can be obtained from the condition that the circumference of a circle must tend to zero as the radius decreases; that is, h must vanish when r is zero. Equation (10a) then fixes the value u_0, and equation (11a) fixes beta. Because alpha is so small compared with lambda, beta is approximately equal to lambda. [Boundary equations for u_0 and beta omitted.. Original p. 118. At r equal to zero, equation (14) makes the field strength infinite. It is evident that continuation of the solution to the centre leads to an impossibility, corresponding to the fact that charge must be distributed around the centre and that Maxwell's theory does not supply the equilibrium of that distribution. If one attempted to force the field strength to change sign at a radius r_0 by choosing beta accordingly, the field strength would become infinite there and the angular metric coefficient would vanish. The line element cannot reasonably be subjected to such a consequence. Moreover, this would produce a mutual attraction of like charge densities but not an equilibrium; to enforce equilibrium one would perhaps have to add another stress tensor. Outside the charged region, however, the field of the charge is represented consistently. The field strength and the metric coefficients differ appreciably from their Euclidean values only where the radius is of the order of lambda, approximately 10^-34 centimetres. Since the electron radius is taken to be approximately 10^-13 centimetres, the influence of self-gravitation within the physically relevant domain of the solution eludes all possibility of detection. THE DEGENERATE CASE g₄ = . On page 109 attention was drawn to the formal possibility of equilibrium of charge if the field strength and the velocity of light are both allowed to vanish in such a way that their ratio remains finite. [Definition of the limiting field omitted.. The temporal component of the four-current then assumes a corresponding limiting form, where rho denotes charge density. [Current equation omitted.. For the sake of curiosity, the result of this dead end may be stated without derivation. The energy tensor takes a degenerate form. Original p. 119. [Degenerate stress-energy tensor omitted.. The mixed tensor vanishes. With the radial metric coefficient set equal to minus one, the field equations permit a formal solution containing two integration constants, alpha and beta. [Degenerate solution omitted.. Further expressions for the field and total charge follow, but this solution does not appear capable of acquiring any physical significance. THE NON-ELECTRIC FIEL. The gravitational field of an uncharged, spherical, resting mass must emerge as a special case of the general solution given above when the charge, and therefore lambda, is set equal to zero. The result must reduce to Schwarzschild's solution. It is worthwhile to show this explicitly because Schwarzschild fixed from the outset a coordinate system in which the determinant condition has a prescribed value, whereas the present calculation began without restriction and subsequently imposed the condition that the radial metric coefficient equal minus one. In Schwarzschild's coordinates the metric coefficients have their standard forms, with an auxiliary radial coordinate R related cubically to Schwarzschild's original coordinate. [Schwarzschild metric coefficients omitted.. Original p. 120. In the present coordinates, with c equal to one, the radial metric coefficient is minus one, the angular coefficient is minus h squared, and the temporal coefficient is the square of dh/dr. [Metric relations omitted.. A different measure of radial length has therefore been selected. Since only the radial coordinate is transformed, the angular and temporal metric coefficients must agree in the two representations. [Coordinate transformation omitted.. One obtains h equal to R and the Schwarzschild temporal coefficient. The two solutions therefore pass into one another when the two mass parameters are appropriately identified. Charlottenburg, March 1916. Received 20 March 1916. TRANSLATOR'S NOT. This translation preserves Reissner's historical terminology and argumentative order. Equations have been omitted at the reader's request, but their original locations and labels have been retained. In modern terminology, the paper studies the static, spherically symmetric electrovacuum reduction of the Einstein-Maxwell system. Reissner's most striking conceptual observation occurs on original page 112: the conservation laws need not be imposed independently, because the structure of Einstein's field equations already contains the required consistency relations. {{col-end}} <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. nfzvw0btcn3a8xyysr5spakkbn7g084 459201 459200 2026-09-06T11:49:50Z Danuri19 16656 459201 wikitext text/x-wiki {{번역 머리말 | 제목 = Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie<ref>Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie, H. Reissner, Annalen der Physik, IV. Folge, Band 50, 1916, S. 106–120</ref> | 다른 표기 = | 부제 = 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자기중력(On the Self-Gravitation of the Electric Field According to Einstein's Theory)1916년판<ref>[https://edition-open-sources.org/sources/10/6/index.html? George B. Jeffery (1921): The Field of an Electron on Einstein’s Theory of Gravitation]</ref><ref>[https://zenodo.org/records/1447315? Hans Reissner Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie 『Annalen der Physik』, Vierte Folge, Band 50 전체 통권 Band 355 1916년, pp. 106–120]</ref> | 부제 다른 표기 = | 저자 = Hans Reissner 한스 라이스너 | 역자 = | 이전 = | 다음 = | 연도 = | 언어 = | 원본 = | 설명 = }} 106페이지 4. 아인슈타인 이론에 따른 전기장의 자가 중력에 대하여 (H. 라이스너) 아인슈타인 씨가 수성 서행 운동(수성의 근일점 이동)을 설명함으로써 그의 새로운 공변 중력장 방정식, 나아가 일반 상대성 공리의 유용성을 입증하였고, 다른 논문을 통해 전자기장의 맥스웰-로런츠 방정식을 일반 공변 형태로 제시하였습니다. 이에 따라 구대칭을 가지는 전기장의 자가 중력(Eigengravitation)이 미치는 영향을 간단한 예시를 통해 조사하는 것을 다음 과제로 삼게 되었습니다.비록 본 연구를 시작할 당시에는 맥스웰 이론의 틀을 벗어나지 않고 소전하(Elementarladung) 자체의 자가 중력을 통해 정역학적 결합(전하의 안정성)을 찾을 수 있으리라는 기대를 가졌으나, 연구 과정에서 아인슈타인의 중력이 소전하의 전기장을 특정한(그리고 극도로 미미한) 방식으로 왜곡시킬 뿐, 그 본질상 전하 요소들 사이의 상호 정전기적 반발력을 상쇄할 수는 없다는 사실만을 우선 확인하게 되었습니다.따라서 소전하의 구조를 설명하기 위해서는 추가적인 기본 가정이 도입되어야만 할 것입니다. 미(Mie)의 개념에 따라 맥스웰 방정식을 수정하든가, 맥스웰 변형 텐서에 가능한 한 단순한 변형 텐서를 추가하든가, 혹은 최종적으로 전자를 정역학적이 아닌 전자기학적으로 정상 상태(stationär)인 구조로 파악하는 방식 중 하나를 취해야 합니다.아인슈타인 씨로부터 다양한 설명과 비판적 조언을 받아 진행한 계산 수행 과정과 관련하여, 먼저 다음 사항을 밝혀두고자 합니다.장 방정식을 수립하는 데 있어 좌표계의 선택, 특히 치환 행렬식(Substitutionsdeterminante)의 값에 어떠한 제한도 두지 않았습니다. 따라서 일반적인 공간 구면좌표계를 도입할 수 있었는데, 이는 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 선요소(Linienelement)의 판별식 <math>\sqrt{-g}</math>의 값을 1로 유지하기 위해 특별히 교묘하게 선택된 좌표계를 사용한 것과 대조적입니다.그럼에도 불구하고 이 문제에서는 전체 이론의 완전한 공변성을 보여주는 명쾌한 통찰을 제공할 뿐만 아니라, 장 방정식의 수립 및 통합에 있어서도 특정한 좌표계보다 가장 일반적인 좌표계를 사용하는 것이 오히려 더 유리하다고 판단됩니다.아인슈타인 씨 자신과 슈바르츠실트에 의해 제시된 전하가 없는 질점의 장(Field)은 본 논문에서 계산된 구형 전하 장의 특수한 경우임이 밝혀졌습니다. 또한 특정한 슈바르츠실트 좌표계로 변환하고 전하를 0으로 놓았을 때 본 해법이 슈바르츠실트의 해로 귀결된다는 점은 여기서 제시된 해법의 정당성을 검증하는 역할을 합니다.따라서 여기서 설정한 문제는 다음과 같습니다. 공변 형태의 맥스웰 변형 에너지 텐서와 아인슈타인의 일반 공변 중력장 방정식 외에 다른 아무것도 전제하지 않을 때, 평형 상태에 있는 구대칭 정전기장의 가장 일반적인 형태는 무엇인가?대칭성 전제는 일반적으로 비유클리드 공간인 선요소의 형식을 단순화하는 결과를 가져오므로, 이 선요소는 공간적(직교 상태를 유지하는) 구면좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있습니다. <math>ds^2 = g_1 dr^2 + g_2 d\vartheta^2 + g_3 d\varphi^2 + g_4 dt^2,</math> 여기서 이중 첨자 대신 단일 첨자만 사용하여 다음과 같이 나타냅니다. <math>g_{\nu\nu} = g_\nu, \quad g_{\mu\nu} = 0 \quad (\mu \neq \nu \text{일 때})</math> 그리고 변형 에너지 텐서를 포함하지 않는 유클리드 공간에 대해 <math>g_\nu</math>는 다음 값을 가집니다. <math>g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_3 = g_2 \sin^2\vartheta, \quad g_4 = c^2,</math> 여기서 <math>c</math>는 진공에서의 일반적인 광속을 의미합니다. 107페이지 아인슈타인 씨는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값들이 자와 시계의 성질, 최단선(측지선)의 형태, 질점과 광선의 궤도, 광속 및 중력 포텐셜을 어떻게 결정하는지 일반적으로 보여주었습니다.정전기장의 텐서중력장 방정식과 정전기장의 평형 조건에 필요한 에너지 텐서는 다음과 같이 도출할 수 있습니다.1)첫 번째 공변 6차원 벡터(Covariant 6-vector) <math>F_{\alpha\beta}</math>의 성분 중 정지 상태 및 극대칭성(polar symmetry)을 가질 때 남는 것은 오직 하나, 즉 <math>F_{14} = \mathfrak{E}</math>뿐입니다. 이로부터 도출되는 두 번째 반공변(contravariant) V-6차원 벡터 <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> 역시 이 경우 오직 하나의 성분만을 가집니다. <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}</math> 진공에서의 전기 전류밀도의 반공변 V-4차원 벡터 역시 0이 아닌 성분을 단 하나만 가집니다. <math>(1) \quad \mathfrak{J}^4 = \rho \frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial \mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math> 여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.역학적 힘 밀도(force density)의 공변 V-4차원 벡터는 일반적인 정역학적 경우 다음과 같이 됩니다. <math>\mathfrak{K}_\sigma = F_{\sigma 4} \mathfrak{J}^4</math> 그리고 구대칭(모든 방향의 대칭)일 때: <math>\mathfrak{K}_r = F_{14} \mathfrak{J}^4 = \mathfrak{E} \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4}\right)</math> 이 일반적인 정역학적 설정은 알짜 힘 밀도가 0이 되기 위해서는 전하밀도가 0이 되거나 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>가 0이 되어야 함을 보여줍니다. 그러나 이 값들은 <math>g_1</math> 또는 <math>g_4</math>가 해당 유한 구간에서 0이 되는 경우를 제외하고는, 유한한 구간 내에서 동시에만 0의 값을 가질 수 있습니다.따라서 다음과 같이 기술할 수 있습니다.¹) <ref>A. 아인슈타인, 『전자기학의 맥스웰장 방정식에 대한 새로운 형식적 해석』. 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 184–188. 1916년.</ref> 108페이지 맥스웰 정전기장은 자가 중력의 영향 하에서도, 선요소나 광속이 0이 되는 특수한 경우를 제외한다면 전하밀도가 존재하지 않는 곳에서만 평형을 유지할 수 있습니다.1)이러한 예외적인 경우가 물리적 의미를 갖지 않는 것으로 보이므로, 순수한 맥스웰 변형 에너지 텐서와 구대칭을 기본 바탕으로 삼고자 한다면, 본 연구는 진공 공간에서 자가 중력의 영향을 받는 구형 전하의 장으로 제한되어야 합니다.따라서 이 경우에는 <math>\mathfrak{J}^4 = 0</math>이어야 하며, 이에 따라 다음과 같이 됩니다. <math>\mathfrak{E} = \text{const} \cdot \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{-g_2}</math> 적분상수는 무한대에서의 경계 조건으로부터 즉시 결정할 수 있습니다. 무한대에서는 중심의 총전하를 <math>e</math>라 할 때 다음과 같이 놓아야 합니다. <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \quad g_1 = -1, \quad g_2 = -r^2, \quad g_4 = c^2,</math>따라서<math>\text{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> 이로부터 다음을 얻습니다. <math>(2) \quad \begin{cases} \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1 g_4}}{g_2} \\ \mathfrak{F}^{14} = F_{14} \frac{\sqrt{-g}}{g_1 g_4} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{1}{g_2} \end{cases}</math> 이 값들을 위에서 인용한 아인슈타인의 논문에 제시된 혼합 에너지 텐서 식 (9)에 대입하면 다음을 얻습니다. <math>T_1^1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_2^2 = T_3^3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}, \quad T_4^4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1 g_4}</math> 이에 대응하는 공변 텐서는 공식 <math>T_{\sigma\sigma} = T_\sigma^\sigma g_{\sigma\sigma}</math>에 따라 다음 값을 가집니다.¹) <ref><math>g_4 = 0</math>이라는 가정을 두면 전하 내부의 장 세기 분포가 일정하게 유도되지만, <math>g_4 \neq 0</math>인 외부 공간과의 연결에는 성공하지 못했습니다.</ref> 109페이지 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_1}{2g_1 g_4}, \quad T_{22} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_2}{2g_1 g_4}</math><math>T_{33} = \mathfrak{E}^2 \frac{g_3}{2g_1 g_4}, \quad T_{44} = -\mathfrak{E}^2 \frac{g_4}{2g_1 g_4}</math> 이것은 장의 평형을 고려하지 않은 정전기 에너지 텐서입니다. 장의 평형 텐서는 <math>\mathfrak{E}</math>에 대해 위 식 (2)의 값을 대입함으로써 얻어집니다. <math>T_{11} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}, \quad T_{22} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math><math>T_{33} = -\frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}, \quad T_{44} = \frac{1}{2}\left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> 장 방정식 (The Field Equations)아인슈타인의 일반 공변 중력 미분 방정식의 최신 및 가장 일관된 형식은 직교좌표계와 라우에 스칼라(Laue scalar) <math>\sum T_m^m = 0</math>이 소멸할 때 다음과 같이 쓰일 수 있습니다. <math>(8) \quad \sum_k \{mk, km\} = -\varkappa T_{mm},</math>여기서 <math>\varkappa</math>는 중력상수와 관련된 보편상수이며, 제2종 크리스토펠 4-인덱스 기호는 다음 값을 가집니다.<math>\{mk, km\} = \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_m} - \frac{\partial \left\{\begin{matrix} mm \\ k \end{matrix}\right\}}{\partial x_k} + \sum_\rho \left\{\begin{matrix} mk \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho m \\ k \end{matrix}\right\} - \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix} \rho k \\ k \end{matrix}\right\},</math> 여기서 <math>\left\{\begin{matrix} m & k \\ & \rho \end{matrix}\right\}</math>는 제2종 크리스토펠 3-인덱스 기호이며, 직교좌표계에서는 적어도 두 개의 인덱스가 같을 때만 0이 아닌 값을 가지며 다음과 같습니다. <math>\left\{\begin{matrix} mk \\ k \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ \rho \end{matrix}\right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}, \quad \left\{\begin{matrix} mm \\ m \end{matrix}\right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math>반면, <math>m = k</math>일 때 4-인덱스 기호는 0이 됩니다.식 (8)의 처음 두 항은 쉽게 처리됩니다. 세 번째 항의 <math>\sum_\rho</math>에서는 먼저 <math>\rho = m</math>에 대해, 다음으로 <math>\rho = k</math>에 대해, 마지막으로 <math>\rho \neq m \neq k</math>인 모든 경우에 대해 합산합니다. 110페이지 계산 오차를 피하기 위해 어느 정도 숙련이 필요한 다소 번거로운 계산 과정을 거치면, 다음과 같은 2계 미분 불변량(Differential invariants)을 얻게 됩니다. 약간의 검증을 거치면 대칭성을 유지하면서 공변성 요구를 충족하고 유클리드 공간에서 소멸함을 확인할 수 있습니다. <math>\text{I} \begin{cases} G_{11} = \frac{d^2}{dr^2}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1} \frac{d}{dr}(\ln(g_2 \sqrt{g_4})) \\ \quad + \frac{1}{2}\left(\frac{d \ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d \ln \sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11}, \end{cases}</math> <math>\text{II} \begin{cases} G_{22} = -1 + \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_2}{dr}\right) + \frac{1}{4g_1 g_2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_2}{dr} + \frac{1}{4g_1 g_4} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ = -\varkappa T_{22} \end{cases}</math> <math>\text{III} \quad G_{33} = G_{22} \sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22} \sin^2\vartheta,</math> <math>\text{IV} \begin{cases} G_{44} = \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2g_1} \frac{dg_4}{dr}\right) - \frac{1}{4g_1 g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr} \frac{dg_4}{dr} \\ \quad + \frac{1}{2g_1 g_2} \frac{dg_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{cases}</math> 무한히 많은 가능한 좌표계 중에서 우리는 다음과 같이 하나의 좌표계를 선호할 수 있습니다. <math>dr</math>이 단순한 좌표의 차이뿐만 아니라, 무한히 작은 고정된 자로 측정한 반경 방향의 거리를 의미하도록 약속한다면 <math>g_1 = -1</math>로 놓을 수 있습니다.또한 <math>\varkappa e^2 / 32 \pi^2 c^2</math>을 축약하여 <math>\lambda^2</math>으로 쓰고 <math>g_2 = -\overline{g}_2</math>로 놓으면, 식 (8)은 다음과 같은 형태를 취합니다. <math>(\text{I}) \quad \frac{d^2}{dr^2}\ln(\overline{g}_2 \sqrt{g_4}) + \frac{1}{2\overline{g}_2^2}\left(\frac{d\overline{g}_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math> <math>(\text{II}) \quad -1 + \frac{1}{2} \frac{d^2 \overline{g}_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\overline{g}_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2}</math> <math>(\text{IV}) \quad \frac{1}{2} \frac{d^2 g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4}\left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\overline{g}_2} \frac{d\overline{g}_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = +\frac{\lambda^2 g_4}{\overline{g}_2^2}</math> 좌표계 선택을 <math>g_1 = -1</math>로 제한함으로써, 미지수 <math>\overline{g}_2</math> 및 <math>g_4</math> 단 두 개에 대해 3개의 방정식이 산출되었으므로, 언뜻 해를 구하려는 시도가 모순으로 이어질 것처럼 보일 수 있습니다. 111페이지 그러나 두 방정식의 일반해법이 세 번째 방정식을 항등적으로 만족시킨다는 사실이 밝혀질 것이며, 이는 대단히 주목할 만한 점입니다.따라서 변형 에너지 텐서를 결정하기 위해 비유클리드 공간에서 식 (2)의 변형 평형 보존 법칙을 보조 수단으로 사용할 필요가 전혀 없었으며, 장의 평형을 가능하게 하는 <math>g_{\mu\nu}</math>의 함수로서 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>를 계산하는 데에는 중력장 방정식만으로도 이미 충분했습니다. 그러므로 전체 설정에서의 유일한 전제는 필드 세기의 6차원 벡터를 통해 변형 에너지 텐서 <math>T_\mu^\nu</math>의 표현식을 파악하는 것뿐이었습니다.아인슈타인 씨는 이 놀라운 연관성에 대해 논의할 때, 에너지와 변형력의 보존 법칙이 그의 최근 장 방정식에 포함되어 있으므로 어떤 문제에서도 특별히 새로 설정할 필요가 없음을 일반적인 방식으로 보여줄 수 있는 위치에 있다고 알려주었습니다. 여기서 다룬 특수한 사례가 입증하는 이 결과는 특히 중요한데, 한편으로는 장 방정식이 에너지 고려 사항에서 전혀 얻어지지 않고 오직 공변성 고려 사항에서만 얻어졌기 때문이며, 다른 한편으로는 장 방정식이 단지 보존 법칙보다 훨씬 더 많은 것을 말해주기 때문입니다.1)장 방정식의 적분 (Integration of the Field Equations)두 미지수 <math>\overline{g}_2</math>와 <math>g_4</math>에 대한 세 방정식 (I), (II), (IV)는 모순이 없고 상호 제한이 없는 해를 닫힌 형식(closed form)으로 허용할 것이며, 이는 다음과 같이 확인할 수 있습니다.축약 표현으로 <math>\ln \sqrt{g_4} = \gamma</math>로 놓고 <math>r</math>에 대한 미분을 프라임(')으로 표시하면, 방정식 (I), (II), (IV)는 다음과 같이 쓰입니다.1) 그 사이에 이 연관성은 D. 힐베르트와 A. 아인슈타인 자신에 의해 더 정확하게 밝혀졌습니다. 괴팅겐 학술원 보고서(Math. Phys. Kl. 1915 p. 3) 및 Annalen der Physik 49. p. 809. 1916년 참조. 112페이지 <math>(\text{I}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2} - \frac{\overline{g}_2'^2}{2\overline{g}_2^2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math><math>(\text{IV}) \quad \gamma'' + \gamma'^2 + \gamma' \frac{\overline{g}_2'}{\overline{g}_2} = +\frac{\lambda^2}{\overline{g}_2^2}</math> <math>(\text{II}) \quad -\overline{g}_2 + \frac{1}{2}\overline{g}_2 \overline{g}_2'' + \frac{1}{2}\gamma' \overline{g}_2' \overline{g}_2 = -\lambda^2.</math> (IV)에서 (I)을 빼면 다음을 얻습니다. <math>(a) \quad \gamma' = \frac{\overline{g}_2''}{\overline{g}_2'} - \frac{\overline{g}_2'}{2\overline{g}_2}</math> 이로부터:<math>\gamma = \ln\left(\delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}\right),</math>여기서 <math>\delta</math>는 적분상수입니다. 또는:<math>\sqrt{g_4} = \delta \frac{\overline{g}_2'}{\sqrt{\overline{g}_2}}.</math>적분상수 <math>\delta</math>의 값은 무한대에서의 경계 조건으로부터 구할 수 있는데, 무한대에서는 <math>\sqrt{g_4} = c</math>, 즉 일반 광속과 같아야 하기 때문입니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다. <math>(9) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{d}{dr}\sqrt{\overline{g}_2}</math> 방정식 (a)를 (II)에 대입하면 다음을 얻습니다. <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2}\left(\overline{g}_2^{\frac{3}{4}}\right) = \overline{g}_2^{-\frac{1}{2}} - \overline{g}_2^{-\frac{5}{4}}\lambda^2.</math>두 개의 추가 적분상수를 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>라 하고, 축약을 위해 <math>\sqrt{\overline{g}_2} = h</math>로 놓으면 위 방정식의 첫 번째 적분식은 다음과 같이 산출됩니다.<math>(10) \quad h h' = \sqrt{(h - \alpha)^2 + (\lambda^2 - \alpha^2)}</math>그리고 완전해(complete solution)는 다음과 같습니다.<math>(11) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\sqrt{\left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^2 + 1} + \alpha \text{arsinh} \left(\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right) = r + \beta</math>이 방정식은 치환식을 사용하여 정리할 수 있습니다.<math>\frac{h - \alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \sinh u</math> 113페이지 또는<math>(10a) \quad h = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \sinh u + \alpha</math> 위 식은 다음과 같이도 쓸 수 있습니다. <math>(11a) \quad \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2} \cosh u + \alpha u = r + \beta.</math> 방정식 (11)로부터 <math>g_2 = -h^2</math>이 무한대에서 <math>-r^2</math>과 같아져야 한다는 조건이 자발적으로 충족됨을 우선 확인할 수 있습니다.또한 식 (9)에 의해 다음과 같이 됩니다. <math>(9a) \quad \sqrt{g_4} = c \frac{dh}{dr} = c \frac{\cosh u}{\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}}.</math> 적분상수 (The Constants of Integration)이어 <math>\alpha</math>의 값은 전하 <math>e</math>의 중력 질량과 연관되어 있고, <math>\beta</math>의 값은 중심에서의 <math>g_2</math> 조건과 연관되어 있음을 보여줄 수 있습니다.아인슈타인 이론의 일반적인 연관성에 따라 무한대에서 전하는 전하의 중력 질점 <math>m_e</math>처럼 정확하게 작용해야 합니다. 따라서 무한대에서의 체적력(ponderomotive force)은 어떤 경우든 다음과 같은 형식으로 쓰일 수 있습니다.<math>K = -k \frac{m_e}{r^2},</math>여기서 <math>k = 6.7 \cdot 10^{-8} , (\text{cm}/\text{g}/\text{s})</math>는 일반적인 중력상수를 의미합니다.다른 형식으로서 동일한 반경 방향 체적력은 극대칭장에서 측지선의 공변 방정식으로부터 다음과 같은 형식으로 도출됩니다.1) <math>(12) \quad K = -\frac{1}{2} \frac{dg_4}{dr}</math>따라서 식 (9a)를 이용하면 다음과 같이 됩니다.¹) <ref>A. 아인슈타인, 『일반상대성이론의 형식적 기초』, 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1046. 식 23b. 1914년.114페이지</ref> <math>K = \frac{c^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} \frac{\cosh u \left(1 - \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)}{\left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^4}.</math> 큰 <math>u</math> 값에 대해 식 (11a)에 의하여 다음과 같이 됩니다. <math>\cosh u = \sinh u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}</math> 따라서 그곳에서는 다음과 같습니다. <math>K = -\frac{c^2 \alpha}{r^2}</math><math>K</math>의 두 값을 동일하게 놓으면 <math>\alpha</math>에 대해 다음 값을 얻습니다. <math>\alpha = \frac{m_e k}{c^2}</math> 예를 들어 전자의 질량을 <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>로 취하면 다음과 같이 얻어집니다. <math>\alpha = \frac{10^{-27} \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{1.82 \cdot 9 \cdot 10^{20}} = 0.408 \cdot 10^{-55}.</math> 따라서 상수 <math>\alpha^2</math>은 소전하의 경우 극도로 작아지며, 아래에서 보여지듯 감산 결합된 상수 <math>\lambda^2</math>에 비해서도 극도로 작습니다. 그러나 이 상수는 원리적 의미를 가지며, 전하가 중력 질량 및 관성 질량을 가져야 한다면 소멸할 수 없습니다. 향후 대전된 장, 즉 전자에 대한 모든 평형 이론은 첫 번째 설정에서부터 적분상수 <math>\alpha</math>가 0이 되는 가능성을 배제해야 합니다.일차 6차원 벡터의 유일하게 존재하는 성분은 일반적인 경우 다음과 같이 됩니다. <math>(14) \quad \mathfrak{E} = F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{\overline{g}_2} = -\frac{e}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{\overline{g}_2}} \frac{d\sqrt{\overline{g}_2}}{dr}</math><math>= \frac{e}{4\pi(h^2 - \alpha^2)} \left(\sinh u + \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}\right)^3</math> 115페이지 그리고 이는 방정식 (11a)와 (9a)에 의해 쉽게 계산할 수 있습니다.정전 포텐셜은 다음과 같이 됩니다.<math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi \sqrt{\overline{g}_2}}</math>해법 (11)은 <math>\alpha = 0</math>일 때 특히 단순해지며, 이 해법이 위의 <math>\alpha</math> 값에 대한 해법과 눈에 띄게 다르지 않으므로 여기에 표기해 둡니다.식 (11)로부터 <math>\alpha = 0</math>일 때 즉시 다음을 얻습니다. <math>(11b) \quad \overline{g}_2 = (r + \beta)^2 - \lambda^2.</math><math>(9b) \quad g_4 = c^2 \frac{(r + \beta)^2}{(r + \beta)^2 - \lambda^2}</math>거의 실현되는 이 특수한 경우 <math>\alpha = 0</math>에서 추가로 다음을 얻습니다. <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r + \beta}{((r + \beta)^2 - \lambda^2)^{3/2}}</math> 이제 보편 아인슈타인 상수 <math>\varkappa</math>의 값과 상수 <math>\lambda</math>의 값을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.우선 장 방정식 (I), (II), (IV)는 대전되지 않은 비간섭성(incoherent) 질량 분포의 무한히 약한 극대칭 중력장을 특수한 경우로 포함해야 합니다.밀도 <math>\rho_m</math>을 갖는 비간섭성 질량 분포의 공변 에너지 텐서는 아인슈타인에 따라 정역학적 경우 및 직교 체계에서 다음과 같습니다.¹)<ref><math>T_{11} = T_{22} = T_{33} = 0, \quad T_{44} = \rho_m g_4.</math>이에 해당하는 스칼라 <math>T = \sum T_m^m</math>은 <math>\rho_m</math> 값을 가집니다. 따라서 장 방정식의 우변은 다음과 같이 됩니다.2)1) 베를린 학술원 보고서(Berl. Akad. Ber.), p. 1059. 식 48. 1914년.2) 같은 책, p. 845. 식 2a. 1915년.</ref> 116페이지 즉,<math>G_{\nu\nu} = -\varkappa\left(T_{\nu\nu} - \frac{1}{2}g_{\nu\nu} T\right),</math><math>G_{11} = +\frac{\varkappa}{2} g_1 \rho_m, \quad G_{22} = +\frac{\varkappa}{2} g_2 \rho_m</math><math>G_{33} = +\frac{\varkappa}{2} g_3 \rho_m, \quad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2} g_4 \rho_m</math>113페이지의 방정식 (IV)는 <math>g_1 = -1</math>, <math>g_2 = -r^2 + \delta g_2</math>, <math>g_4 = c^2 + \delta g_4</math>로 놓을 때(여기서 <math>\delta g_2</math> 및 <math>\delta g_4</math>는 작은 값임), 1차 미소 수량까지 고려하면 다음과 같이 됩니다.<math>\frac{d^2}{dr^2}\left(\frac{g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \cdot \frac{d}{dr}\left(\frac{g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2} c^2 \rho_m</math>여기서 식 (12)에서와 마찬가지로 <math>g_4 / 2</math>를 중력 포텐셜로 볼 수 있으며, 다음과 같이 설정할 수 있습니다.<math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^4} = \frac{4\pi \cdot 6.7 \cdot 10^{-8}}{81 \cdot 10^{40}} = 0.936 \cdot 10^{-48}.</math>이로부터 다음을 얻습니다.<math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{k e^2}{4\pi c^4} = \frac{6.7 \cdot 10^{-8} \cdot 4.65^2 \cdot 10^{-20} \cdot 4\pi}{4\pi \cdot 81 \cdot 10^{40}}</math><math>= 1.79 \cdot 10^{-68},</math>또는<math>\lambda = 1.337 \cdot 10^{-34}.</math>따라서 <math>\lambda</math>는 그 극소성에도 불구하고 여전히 <math>\alpha</math>보다 천억 배나 큽니다.상수 <math>\beta</math>는 반지름이 감소함에 따라 원주도 0으로 감소해야 한다는 조건, 즉 <math>r = 0</math>일 때 <math>h = 0</math>이어야 한다는 조건으로부터 구할 수 있습니다. 방정식 (10a)에 따라 <math>r = 0</math>에서의 <math>u</math> 값을 <math>u_0</math>이라 나타내면 다음과 같습니다.<math>\sinh u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}}</math>그리고 식 (11a)에 따라:<math>\beta = \sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}\cosh u_0 + \alpha u_0,</math>또는 <math>\alpha/\lambda</math>가 극히 작으므로 다음과 같이 됩니다.<math>\beta = \lambda - \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2 - \alpha^2}} = \lambda</math> 117페이지 <math>r = 0</math>일 때 방정식 (14)에 의해 장의 세기 또한 <math>\mathfrak{E} = \infty</math>가 됩니다.중심 주변에 전하가 분포되어 있어야 하지만 맥스웰 이론이 그 평형을 반영하지 못한다는 사실에 대응하여, 중심점까지 해법을 계속 이어가면 불가능한 결과(특이점)에 도달한다는 것을 알 수 있습니다.만약 <math>r = r_0</math>인 지점에서 <math>\beta = \lambda - r_0</math>으로 놓아 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math>의 부호 변화를 강제하고자 한다면, 그곳에서 <math>\mathfrak{E}</math>의 무한대점과 <math>g_2</math>의 0점을 얻게 되는데, 이는 길이 요소 <math>\sqrt{g_2} d\vartheta</math>에 적용하기 어려운 결론입니다. 더욱이 이를 통해 동일한 부호의 전하밀도 사이에 상호 인력이 발생할 수는 있지만 평형은 달성되지 않으며, 평형을 강제하기 위해서는 추가적인 변형 텐서를 도입해야 할 것입니다.그러나 대전된 공간 외부에서는 전하의 장이 모순 없이 표현되며, 장의 세기 <math>\mathfrak{E}</math> 및 계수 <math>g_{\mu\nu}</math>의 값이 유클리드 공간의 값과 눈에 띄게 달라지는 것은 반지름이 <math>\lambda</math>의 차원, 즉 <math>10^{-34} \text{ cm}</math>의 차원인 영역뿐임을 보여줍니다. 전자의 반지름이 약 <math>10^{-13} \text{ cm}</math>로 가정되므로, 장과 관련된 해의 영역에서 자가 중력의 영향은 그 어떤 측정/검증 가능성도 벗어나 있습니다.<math>g_4 = 0</math>에서의 퇴화 (The Degeneration for <math>g_4 = 0</math>)108페이지에서 장의 세기와 광속을 0으로 만들되 <math>\mathfrak{E}/\sqrt{g_4}</math>가 유한하게 유지되도록 함으로써 전하 평형의 형식적 가능성에 주의를 기울였습니다. 다음과 같이 놓으면:<math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{S}</math>4차원 전류의 시간 성분은 다음과 같이 됩니다. <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta \cdot \rho g_2 \sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr}\left(\mathfrak{S} \frac{\overline{g}_2}{\sqrt{-g_1}}\right) \sin\vartheta</math>여기서 <math>\rho</math>는 전하밀도입니다.진귀한 계산 결과로서, 도출 과정 없이 이 막다른 골목이 어디로 이어지는지 밝혀둡니다. 에너지 텐서는 다음 값을 가집니다. 118페이지 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{1}{g_1}, \quad T_{22} = \frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_2}{g_1}, \quad T_{33} = \frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_3}{g_1}, \quad T_{44} = -\frac{\mathfrak{S}^2}{2} \frac{g_4}{g_1} = 0</math> 반면 혼합 V-텐서 <math>T_\mu^\nu</math>는 소멸합니다. 장 방정식은 <math>g_1 = -1</math>일 때 다음과 같은 해를 허용합니다. <math>\frac{27}{32}\left(\frac{8}{9}\overline{g}_2^{\frac{1}{3}} - \alpha\right)\sqrt{\frac{16}{9}\overline{g}_2^{\frac{1}{3}} + \alpha} = r + \beta,</math> 여기서 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>는 적분상수입니다.또한 다음을 얻습니다. <math>\frac{\varkappa \mathfrak{S}^2}{2} = \frac{1}{4\overline{g}_2} - \frac{3\alpha}{8\overline{g}_2^{4/3}}</math><math>\rho = \frac{3}{4\sqrt{2\varkappa}} \frac{\left(\overline{g}_2^{1/3} - \alpha\right)\sqrt{\frac{16}{9}\overline{g}_2^{1/3} + \alpha}}{\overline{g}_2^{1/3}\sqrt{\overline{g}_2^{1/3} - \frac{3}{2}\alpha}},</math><math>e = \frac{\pi\sqrt{8}}{\sqrt{\varkappa}} \overline{g}_2^{1/6}\sqrt{\overline{g}_2^{1/3} - \frac{3}{2}\alpha} \cdot \alpha^{3/2}</math> 그러나 이 해법이 어떠한 물리적 의미를 가질 수 있을 것으로는 보이지 않습니다.전기가 없는 장 (The Un-electric Field)전하가 없는 구형 정지 질량의 중력장은 전하와 그에 따른 <math>\lambda = 0</math>으로 놓을 때 위에서 제시한 일반해로부터 특수한 경우로서 얻어져야 합니다. 이때 슈바르츠실트 해로 귀결되어야 하며, 이는 슈바르츠실트가 처음부터 <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> 조건으로 좌표계를 결정한 반면, 본 연구는 우선 제한 없이 공변성을 유지하다가 <math>g_1 = -1</math> 조건으로 계산했다는 점에서도 입증할 가치가 있습니다.슈바르츠실트1) 논문에서 계수는 다음과 같습니다. <math>-g_1^* = \frac{r_1^4}{R^4(1 - \alpha_1/R)}, \quad -g_2^* = R^2, \quad g_4^* = 1 - \alpha_1/R,</math> 여기서 <math>R^3 = r_1^3 + \alpha_1^3</math>이며 <math>\alpha_1</math>은 상수입니다.¹) <ref>K. 슈바르츠실트, 『아인슈타인 이론에 따른 질점의 중력장에 대하여』, 베를린 학술원 보고서(Berl. Ak. Ber.), pp. 189–196. 1916년.</ref> 119페이지 여기서 <math>c = 1</math>로 놓았을 때 다음을 얻었습니다. <math>-g_1 = 1, \quad -g_2 = h^2, \quad g_4 = \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math>여기서<math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h - 2\alpha}{h}</math> 따라서 그곳에서는 반지름에 대해 다른 길이 측도가 선택되었는데, 다음과 같기 때문입니다. <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4}{R^4(1 - \alpha_1/R)},</math>반면<math>h = R, \quad g_4 = 1 - 2\alpha/R</math>로만 변환되었으므로 <math>g_2 = g_2^*</math>, <math>g_4 = g_4^*</math>이어야 합니다. 다음과 같이 얻어집니다. <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1 - 2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1 - \alpha_1/R}</math> 따라서 두 해법은 <math>2\alpha = \alpha_1</math>로 놓을 때 서로 변환되어 일치합니다. 샤를로텐부르크, 1916년 3월.(1916년 3월 20일 접수됨) {{col-begin}} {{col-2}} 106 4. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie; von H. Reissner. Nachdem Hr. Einstein durch die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur die Fruchtbarkeit seiner neuen kovarianten Feldgleichungen der Gravitation und damit des Postulats der allgemeinsten Relativität gezeigt und an anderer Stelle die allgemein kovariante Fassung der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes gegeben hat, erschien es mir als nächste Aufgabe, den Einfluß der Eigengravitation des elektrischen Feldes von Kugelsymmetrie an einem einfachen Beispiel zu untersuchen. Ich ging dabei allerdings von der Hoffnung aus, einen statischen Zusammenhalt von Elementarladungen durch deren Eigengravitation zu finden, ohne den Boden der Maxwellschen Theorie verlassen zu brauchen, konnte aber im Verlauf der Arbeit zunächst nur feststellen, daß die Einsteinsche Gravitation zwar das Feld der elektrischen Elementarladung in bestimmter, übrigens ungeheuer geringer Weise verzerrt, aber ihrem Wesen nach die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Ladungselemente nicht aufheben kann. Der Aufbau der Elementarladung wird also nur durch Zuziehung einer weiteren Grundannahme hergestellt werden können, sei es durch Abänderung der Maxwellschen Gleichungen im Sinne von Mie, sei es durch Zufügung eines möglichst einfachen Spannungstensors zum Maxwellschen oder sei es schließlich durch nicht statische, sondern elektrodynamisch stationäre Auffassung des Elektrons. In bezug auf die rechnerische Durchführung der Aufgabe, bei der mich Herr Einstein durch mancherlei Aufklärung und Kritik unterstützt hat, möge vorher folgendes bemerkt werden: Zur Aufstellung der Feldgleichungen ist keine Beschränkung in bezug auf die Wahl des Koordinatensystems, ins- 107 besondere des Wertes der Substitutionsdeterminante, gemacht worden. Es konnte deshalb das übliche räumliche Polarkoordinatensystem eingeführt werden, während Schwarzschild zwecks Beibehaltung des Wertes 1 der Diskriminante <math>\sqrt{-g}</math>​ des Linienelements ein besonders geschickt gewähltes Koordinatensystem benutzt hat. Trotzdem scheint mir in diesem Falle das allgemeinste Koordinatensystem, abgesehen von dem schönen Einblick in die völlige Kovarianz der ganzen Theorie, eher vorteilhafter als ein besonderes Koordinatensystem für die Aufstellung und Integration der Feldgleichungen zu sein. Das von Einstein selbst und von Schwarzschild dargestellte Feld eines ungeladenen Massenpunktes erweist sich als ein besonderer Fall des hier berechneten Feldes einer kugelförmigen Ladung, und es mag als Prüfung der Richtigkeit der hier gegebenen Lösung dienen, daß sie in die Schwarzschildsche Lösung übergeht, wenn man auf das spezielle Schwarzschildsche Koordinatensystem transformiert und die Ladung verschwinden läßt. Die hier gestellte Aufgabe lautet also: Welches ist das allgemeinste, im Gleichgewicht befindliche elektrostatische Feld von Kugelsymmetrie, wenn man weiter nichts voraussetzt als den Maxwellschen Spannungsenergietensor in kovarianter Gestalt und die Einsteinschen allgemein kovarianten Feldgleichungen der Gravitation? Die Symmetrievoraussetzung hat eine Vereinfachung der Form des Linienelements des im allgemeinen nichteuklidischen Raumes zur Folge, so daß dieses sich in räumlichen (orthogonal bleibenden) Polarkoordinaten schreiben läßt: <math>ds^2 = g_1\,dr^2 +g_2\,d\vartheta^2 +g_3\,d\varphi^2 +g_4\,dt^2</math>, wo wir statt der Doppelindizes nur einfache Indizes schreiben, also: <math>g_{\mu\nu}=g_\mu, \qquad g_{\mu\nu}=0 \quad(\mu\neq\nu)</math> und wo für den euklidischen, d. h. keinen Spannungsenergietensor enthaltenden Raum die gν​ die Werte haben: <math>g_1=-1, \qquad g_2=-r^2, \qquad g_3=g_2\sin^2\vartheta, \qquad g_4=c^2</math> und c die normale Lichtgeschwindigkeit bedeutet. 108 Hr. Einstein hat allgemein gezeigt, wie die Werte der <math>g_{\mu\nu}</math>​ die Eigenschaften von Maßstäben und Uhren, die Gestalt der kürzesten Linien, die Bahnen der Massenpunkte und Lichtstrahlen, die Lichtgeschwindigkeit und das Gravitationspotential bestimmen. Der Tensor des elektrostatischen Feldes. Der für die Feldgleichungen der Gravitation und die Gleichgewichtsbedingung des elektrostatischen Feldes benötigte Energietensor kann wie folgt ermittelt werden.¹) Von den Komponenten des ersten kovarianten Sechservektors <math>F_{\alpha\beta}</math>​ bleibt in dem Falle der Ruhe und polarer Symmetrie nur eine, etwa <math>F_{14}=\mathfrak{E}</math>, übrig. Der aus diesem abgeleitete zweite kontravariante V-Sechservektor <math>\mathfrak{F}^{\mu\nu}</math> hat in diesem Falle ebenfalls nur eine Komponente, nämlich: <math>\mathfrak{F}^{14} = \mathfrak{E}\, \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4}</math> Der kontravariante V-Vierervektor der elektrischen Vakuumstromdichte hat ebenfalls nur eine, nicht verschwindende Komponente, nämlich: (1)<math>\mathfrak{J}^{4} = \rho\frac{\sqrt{-g}}{\sqrt{g_4}} = \frac{\partial\mathfrak{F}^{14}}{\partial x_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_{1}g_{4}} \right)</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der kovariante V-Vierervektor der mechanischen Kraftdichte wird für den allgemeinen statischen Fall: <math>\mathfrak{K}_{\sigma} = F_{\sigma4}\mathfrak{J}^{4}</math> und für allseitige Symmetrie: <math>\mathfrak{K}_{r} = \mathfrak{F}_{14}\mathfrak{J}^{4} = \mathfrak{E}\frac{d}{dr} \left( \mathfrak{E} \frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} \right)</math> Dieser allgemeine statische Ansatz zeigt, daß die resultierende Kraftdichte nur verschwinden kann, wenn entweder die Ladungsdichte oder die Feldstärke <math>\mathfrak{E}</math> verschwindet. Diese aber können wiederum in einem endlichen Intervall nur gleichzeitig den Wert Null annehmen, ausgenommen den Fall, daß <math>g_1</math> oder <math>g_4</math>​ in demselben endlichen Intervall verschwinden. Man kann also folgendes aussagen: 109 Ein Maxwellsches elektrostatisches Feld kann auch unter dem Einfluß seiner Eigengravitation nur dort im Gleichgewicht sein, wo keine Ladungsdichte vorhanden ist, sofern man den Fall, daß ein Linienelement oder die Lichtgeschwindigkeit gleich Null wird, ausschließt.¹) Da diese Ausnahmefälle keine physikalische Bedeutung zu haben scheinen, muß, wenn man den reinen Maxwellschen Spannungsenergietensor und Kugelsymmetrie zugrunde legen will, die Untersuchung beschränkt werden auf das Feld einer kugelförmigen Ladung unter dem Einfluß seiner Eigengravitation im leeren Raum. Für diesen Fall muß also <math>\mathfrak{F}^4=0</math> sein und demnach: <math>\mathfrak{E} = \mathrm{const}\, \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{-g_2}</math> Die Integrationskonstante läßt sich sofort aus der Bedingung im Unendlichen bestimmen, wo wir, wenn e die Gesamtladung im Mittelpunkt ist, setzen müssen: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi r^2}, \qquad g_1=-1, \qquad g_4=c^2, \qquad g_2=-r^2</math>, also <math>\mathrm{const} = \frac{e}{4\pi c}</math> Daraus erhält man: (2)<math>\begin{cases} \displaystyle \mathfrak{E}=F_{14} = -\frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{-g_1g_4}}{g_2}, \\[1.2em] \displaystyle \mathfrak{F}^{14} = F_{14}\frac{\sqrt{-g}}{g_1g_4} = -\frac{e}{4\pi c}. \end{cases}</math> Diese Werte können wir in den von Einstein gegebenen Ausdruck (9) der oben zitierten Einsteinschen Arbeit des gemischten Energietensors setzen und erhalten: <math>T^1{}_1 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^2{}_2=T^3{}_3 = +\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}, \qquad T^4{}_4 = -\frac{\mathfrak{E}^2}{2g_1g_4}</math> Der kovariante entsprechende Tensor nimmt nach der Formel <math>T_{\sigma\sigma} = T^\sigma{}_\sigma\,g_{\sigma\sigma}</math> den Wert an: 110 <math>T_{11} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_1}{2g_1g_4}, \qquad T_{22} = \mathfrak{E}^2\frac{g_2}{2g_1g_4}</math> <math>T_{33} = \mathfrak{E}^2\frac{g_3}{2g_1g_4}, \qquad T_{44} = -\mathfrak{E}^2\frac{g_4}{2g_1g_4}</math> Dies ist der elektrostatische Energietensor, aber ohne Rücksicht auf das Gleichgewicht des Feldes. Den Gleichgewichtstensor erhält man durch Einsetzen des obigen Wertes der Gleichung (2) für E, nämlich: <math>T_{11} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_1}{g_2^2}</math> <math>T_{22} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_2}{g_2^2}</math> <math>T_{33} = -\frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_3}{g_2^2}</math> <math>T_{44} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 \frac{g_4}{g_2^2}</math> Die Feldgleichungen. Die Einsteinschen allgemein kovarianten Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes in ihrer letzten und konsequentesten Fassung lassen sich für orthogonale Koordinaten und verschwindendem Laueschen Skalar ∑Tmm​ schreiben: (8)<math>\sum_k \{mkhm\} = -\varkappa T_{mm}</math>, wo ϰ eine universelle, mit der Gravitationskonstante zusammenhängende Konstante ist und das Christoffelsche Vierindizessymbol zweiter Art den Wert hat: <math>\{mkhm\} = \frac{\partial}{\partial x_m} \left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} - \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{ \begin{matrix} m & m\\ k \end{matrix} \right\} + \sum_{\rho} \left[ \left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & m\\ k \end{matrix} \right\} - \left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} \rho & k\\ k \end{matrix} \right\} \right]</math>, worin <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ \rho \end{matrix} \right\} </math> das Christoffelsche Dreiindizessymbol zweiter Art ist, welches bei orthogonalen Koordinaten nur bei mindestens zwei gleichen Indizes von Null verschieden ist und die Werte annimmt: <math>\left\{ \begin{matrix} m & k\\ k \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_k} \frac{\partial g_k}{\partial x_m}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ \rho \end{matrix} \right\} = -\frac{1}{2g_\rho} \frac{\partial g_m}{\partial x_\rho}</math> <math>\left\{ \begin{matrix} m & m\\ m \end{matrix} \right\} = \frac{1}{2g_m} \frac{\partial g_m}{\partial x_m}</math> Hingegen wird das Vierindizessymbol Null für m=k. Die ersten beiden Glieder von (8) machen keine Mühe; bei der <math>\sum_{\rho} </math> des dritten Gliedes summiere man erstens über ρ=m, dann über ρ=k und schließlich über alle <math>\rho \ne m \ne k</math>. 111 Nach einer etwas mühsamen Rechnung, bei der man einiger Übung bedarf, um Rechenfehler zu vermeiden, gelangt man zu folgenden Differentialinvarianten zweiter Ordnung, die, wie eine leichte Nachprüfung zeigt, den Forderungen der Kovarianz bei Innehaltung der Symmetrie und des Verschwindens im euklidischen Raum genügen: I<math>\begin{aligned} G_{11} ={}& \frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) - \frac{d}{dr}\ln\sqrt{g_1}\, \frac{d}{dr}\ln\!\left(g_2\sqrt{g_4}\right) \\ &+ \frac{1}{2} \left(\frac{d\ln g_2}{dr}\right)^2 + \left(\frac{d\ln\sqrt{g_4}}{dr}\right)^2 = -\varkappa T_{11} \end{aligned} </math>,​ II<math>\begin{aligned} G_{22} ={}& -1 + \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_2}{dr} \right) + \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_1}{dr}\frac{dg_2}{dr} \\ &+ \frac{1}{4g_1g_4} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{22} \end{aligned} </math>, III<math>G_{33} = G_{22}\sin^2\vartheta = -\varkappa T_{33} = -\varkappa T_{22}\sin^2\vartheta </math>, IV<math>\begin{aligned} G_{44} ={}& \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{2g_1}\frac{dg_4}{dr} \right) - \frac{1}{4g_1g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 \\ &+ \frac{1}{4g_1^2} \frac{dg_4}{dr}\frac{dg_1}{dr} + \frac{1}{2g_1g_2} \frac{dg_2}{dr}\frac{dg_4}{dr} = -\varkappa T_{44} \end{aligned} </math>. Unter den unendlich vielen möglichen Koordinatensystemen dürfen wir nun offenbar eines folgendermaßen bevorzugen: Es bedeute dr nicht nur den Koordinatenunterschied, sondern auch die mit Hilfe eines unendlich kleinen festen Maßstabes gemessene Entfernung in radialer Richtung; dann ist mit diesem Übereinkommen g₁​=−1 gesetzt. Schreibt man noch für <math>{xe^2}</math>/<math>{32\pi^2 c^2}</math> zur Abkürzung λ² und setzt man g_2​=−g_​2​, dann nehmen die Gleichungen (8) die Gestalt an: (I)<math>\frac{d^2}{dr^2} \ln\!\left(\bar g_2\sqrt{g_4}\right) + \frac{1}{2\bar g_2^2} \left(\frac{d\bar g_2}{dr}\right)^2 + \frac{1}{4g_4^2} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math>, (II)<math>-1 + \frac{1}{2}\frac{d^2\bar g_2}{dr^2} + \frac{1}{4g_4} \frac{dg_4}{dr} \frac{d\bar g_2}{dr} = -\frac{\lambda^2}{\bar g_2} </math>, (IV)<math>\frac{1}{2}\frac{d^2g_4}{dr^2} - \frac{1}{4g_4} \left(\frac{dg_4}{dr}\right)^2 + \frac{1}{2\bar g_2} \frac{d\bar g_2}{dr} \frac{dg_4}{dr} = \frac{\lambda^2g_4}{\bar g_2^2}. </math> Durch die Beschränkung g₁​=−1 der Wahl des Koordinatensystems haben sich also 3 Gleichungen mit nur 2 Un- 112 bekannten g​2​ und g4​ ergeben, und es sieht zunächst so aus, als ob der Lösungsversuch zu Widersprüchen führen könnte. Es wird sich jedoch zeigen und das ist außerordentlich bemerkenswert, daß die allgemeine Lösung von zweien der Gleichungen die dritte identisch befriedigt. Man hätte also das Hilfsmittel des Erhaltungssatzes, d. h. des Spannungsgleichgewichtes der Gleichung (2) im nichteuklidischen Raum für die Bestimmung des Spannungsenergietensors gar nicht anzuwenden brauchen, sondern die Feldgleichungen der Gravitation allein hätten schon genügt, um diejenige Feldstärke E in Funktion der gμν​ zu berechnen, die ein Gleichgewicht des Feldes erlaubt. Die einzige Voraussetzung bei dem ganzen Ansatz brauchte also nur die Kenntnis von der Ausdrückung des Spannungsenergietensors Tμν​ durch den Sechservektor der Feldstärke E zu sein. Hr. Einstein hat mir bei Besprechung dieses überraschenden Zusammenhanges mitgeteilt, daß er jetzt in der Lage sei, allgemein zu zeigen, daß die Erhaltungssätze der Energie und der Spannungen in seinen letzten Feldgleichungen enthalten sind und also bei keinem Problem besonders angesetzt zu werden brauchen. Dies Ergebnis, welches der hier behandelte Sonderfall bestätigt, ist besonders wichtig, weil einesteils die Feldgleichungen gar nicht aus Energiebetrachtungen, sondern nur aus Kovarianzbetrachtungen gewonnen sind und andererseits die Feldgleichungen doch viel mehr aussagen als nur die Erhaltungssätze.¹) Die Integration der Feldgleichungen. Die drei Gleichungen (I), (II) und (IV) mit den zwei Unbekannten g​2​ und g4​ werden also eine widerspruchsfreie, gegenseitig unbeschränkte Lösung zulassen, und zwar in geschlossener Form, wie man folgendermaßen einsieht: Man setze zur Abkürzung <math>\sqrt{g_4}=\gamma</math> und bezeichne die Ableitungen nach r durch Striche; dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) und (IV) wie folgt: 113 (I)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\frac{\bar g_2''}{\bar g_2} -\frac{\bar g_2'^2}{2\bar g_2^2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (IV)<math>\gamma'' +\gamma'^2 +\gamma'\frac{\bar g_2'}{\bar g_2} = \frac{\lambda^2}{\bar g_2^2} </math> (II)<math>-\bar g_2 +\frac{1}{2}\bar g_2\bar g_2'' +\frac{1}{2}\gamma'\bar g_2'\bar g_2 = -\lambda^2 </math> (IV) minus (I) ergibt: (a) <math>\gamma' = \frac{\bar g_2''}{\bar g_2'} - \frac{\bar g_2'}{2\bar g_2} </math> und daraus: <math>\gamma ={{col-3}} \ln \left( \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}} \right)</math>, wo δ eine Integrationskonstante. Oder: <math>\sqrt{g_4} = \delta\frac{\bar g_2'}{\sqrt{\bar g_2}}</math>​​. Der Wert der Integrationskonstante δ kann nun aus der Grenzbedingung im Unendlichen ermittelt werden, da dort g4​​=c, d. h. gleich der normalen Lichtgeschwindigkeit sein soll. Deswegen kann man schreiben: (9)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{d}{dr}\sqrt{\bar g_2} </math> Gleichung (a), in (II) eingesetzt, liefert weiter: <math>\frac{4}{3} \frac{d^2}{dr^2} \left(\bar g_2^{3/4}\right) = \bar g_2^{-1/4} - \lambda^2\bar g_2^{-5/4}</math> Nennt man zwei weitere Integrationskonstanten α und β, und setzt man zur Abkürzung <math>\sqrt{\bar g_2}=h</math>, so läßt sich das erste Integral der obigen Gleichung ermitteln zu: (10)<math>hh' = \sqrt{(h-\alpha)^2+(\lambda^2-\alpha^2)} </math> und die vollständige Lösung: (11)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2} \sqrt{ \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^2+1 } + \alpha\, \mathfrak{ArSin} \left( \frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right) = r+\beta </math> welche Gleichung sich mit Hilfe der Substitution: <math>\frac{h-\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} = \mathfrak{Sin} u</math> 114 oder (10a)<math>h = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Sin} u+\alpha </math> auch schreiben läßt: (11a)<math>\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u+\alpha u = r+\beta </math> Aus Gleichung (11) erkennt man zunächst, daß die Bedingung für g2​=−h2, im Unendlichen gleich −r2 zu werden, von selbst erfüllt ist. Es wird ferner nach (9): (9a)<math>\sqrt{g_4} = c\frac{dh}{dr} = c\, \frac{\mathfrak{Cos} u} {\displaystyle \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} } </math> Die Integrationskonstanten. Weiter läßt sich nun zeigen, daß der Wert von α mit der gravitierenden Masse der Ladung e, der Wert von β mit der Bedingung für g2​ im Mittelpunkt zusammenhängt. Nach dem allgemeinen Zusammenhang der Einsteinschen Theorie muß nämlich im Unendlichen eine Ladung gerade so wie ein gravitierender Massenpunkt von der Masse me​ der Ladung wirken. Die ponderomotorische Kraft im Unendlichen kann also jedenfalls in der Form geschrieben werden: <math>K=-k\frac{m_e}{r^2}</math>, wo k=6,7⋅10−8(cm/gr/sec) die übliche Gravitationskonstante bedeutet. In einer anderen Form folgt nun dieselbe radiale ponderomotorische Kraft aus der kovarianten Gleichung der geodätischen Linie in einem polarsymmetrischen Felde, nämlich in der Form1): (12)<math>K = -\frac{1}{2}\frac{dg_4}{dr} </math> also durch Benutzung der Gleichung (9a): 115 K=λ2−α2​c2​(Sin u+λ2−α2​α​)4Cos u(1−λ2−α2​α​)​. Für große u wird <math>\mathfrak{Cos} u = \mathfrak{Sin} u = \frac{r}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> nach (11a). Also wird dort: <math>K=-\frac{c^2\alpha}{r^2}</math> Die Gleichsetzung beider Werte von K ergibt für α den Wert <math>\alpha = \frac{m_ek}{c^2}</math> Nimmt man z. B. die Masse des Elektrons <math>m_e = \frac{10^{-27}}{1.82}</math>​, so erhält man: <math>\alpha = \frac{10^{-27}\cdot6.7\cdot10^{-8}} {1.82\cdot9\cdot10^{20}} = 0.408\cdot10^{-55}</math> Die Konstante α2 wird also im Falle der Elementarladung außerordentlich klein, und zwar, wie unten gezeigt, auch außerordentlich klein gegen die mit ihr subtraktiv verbundene Konstante λ2. Aber sie hat eine prinzipielle Bedeutung und darf nicht verschwinden, wenn die elektrische Ladung eine gravitierende, träge Masse haben soll. Jede künftige Gleichgewichtstheorie des geladenen Feldes, d. h. des Elektrons, muß ein Verschwinden der Integrationskonstante α schon im ersten Ansatz ausschließen. Die allein vorhandene Komponente des primären Sechservektors wird im allgemeinen Fall: (14)<math>\begin{aligned} F'_{14} = \mathfrak{E} &= \frac{e}{4\pi c} \frac{\sqrt{g_4}}{g_2} \\ &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{g_2} \frac{d\sqrt{\bar g_2}}{dr} \\ &= -\frac{e}{4\pi(\lambda^2-\alpha^2)} \frac{\mathfrak{Cos} u} {\left( \mathfrak{Sin} u+ \frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} \right)^3}. \end{aligned} </math> 116 und ist nach den Gleichungen (11a) und (9a) leicht zu berechnen. Das elektrostatische Potential wird: <math>\varphi_4 = -\frac{e}{4\pi\sqrt{\bar g_2}}</math> Die Lösung (11) wird für α=0 besonders einfach, und da diese Lösung sich merklich gar nicht von derjenigen für den obigen Wert von α unterscheidet, möge sie hier noch angegeben werden. Aus (11) folgt mit α=0 sofort: (11b)<math>g_2 = (r+\beta)^2-\lambda^2 </math> (9b)<math>g_4 = c^2 \frac{(r+\beta)^2} {(r+\beta)^2-\lambda^2} </math> In diesem besonderen, nahezu verwirklichten Fall α=0 ergibt sich ferner: <math>\mathfrak{E} = \frac{e}{4\pi} \frac{r+\beta} {\left[(r+\beta)^2-\lambda^2\right]^{3/2}}</math> Es kann nun noch der Wert der universellen Einsteinschen Konstante ϰ und dann derjenige der Konstante λ wie folgt ausgerechnet werden: Zunächst müssen die Feldgleichungen (I), (II) und (IV) das unendlich schwache, polarsymmetrische Gravitationsfeld einer ungeladenen, inkohärenten Massenverteilung als Sonderfall enthalten. Der kovariante Energietensor einer inkohärenten Massenverteilung von der Dichte ρm​ ist für den statischen Fall und orthogonales System¹) nach Einstein: <math>T_{11}=T_{22}=T_{33}=0, \qquad T_{44}=\rho_mg_4</math> Der zugehörige Skalar <math>T=\sum_\nu T^\nu{}_\nu=\rho_m</math>​ nimmt den Wert ρm​ an. Es wird also die rechte Seite der Feldgleichungen²): 117 <math>G_{\mu\nu} = -\varkappa \left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T \right)</math>, d. h. <math>G_{11} = \frac{\varkappa}{2}g_1\rho_m, \qquad G_{22} = \frac{\varkappa}{2}g_2\rho_m , </math> <math>G_{33} = \frac{\varkappa}{2}g_3\rho_m, \qquad G_{44} = -\frac{\varkappa}{2}g_4\rho_m .</math> Gleichung (IV) auf p. 113 wird nun, wenn wir g1​=−1, g2​=−r2+δg2​, g4​=c2+δg4​ setzen, wo δg2​ und δg4​ klein sein sollen, bis auf kleine Größen erster Ordnung: <math>\frac{d^2}{dr^2} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) + \frac{2}{r} \frac{d}{dr} \left(\frac{\delta g_4}{2}\right) = \frac{\varkappa}{2}c^2\rho_m</math> Man sieht, daß man hier wie schon in (Gleichung 12) g4​/2 als Gravitationspotential ansehen und setzen darf: <math>\frac{\varkappa}{2} = \frac{4\pi k}{c^2} = 0.936\cdot10^{-27}</math> Daraus ergibt sich: <math>\lambda^2 = \frac{\varkappa}{2} \left(\frac{e}{4\pi c}\right)^2 = \frac{ke^2}{4\pi c^4} = 1.79\cdot10^{-68}</math> oder <math>\lambda = 1.337\cdot10^{-34}</math> Also wird λ trotz seiner Kleinheit immer noch hundertmilliardenmal so groß als α. Die Konstante β kann man nun aus der Bedingung gewinnen, daß mit abnehmendem Radius auch der Kreisumfang auf Null herabgehen, d. h. daß für r=0 auch h=0 sein soll. Dies gibt nach Gleichung (10a), wenn man mit u0​ den Wert von u für r=0 bezeichnet: <math>\mathfrak{Sin} u_0 = -\frac{\alpha}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}}</math> und nach (11a): <math>\beta = \sqrt{\lambda^2-\alpha^2}\mathfrak{Cos} u_0 + \alpha u_0</math>, oder wegen der Kleinheit von α/λ: <math>\beta = \lambda- \frac{\alpha^2}{\sqrt{\lambda^2-\alpha^2}} =\lambda</math> 118 Für r=0 wird dann auch nach Gleichung (14) die Feldstärke E=∞. Man sieht, daß die Lösung bei ihrer Fortsetzung bis zum Mittelpunkt, entsprechend der Tatsache, daß um den Mittelpunkt eine Ladung verteilt sein muß, deren Gleichgewicht die Maxwellsche Theorie nicht wiedergibt, zu einer Unmöglichkeit führt. Wollte man für die Feldstärke E einen Zeichenwechsel etwa für r=r0​ dadurch erzwingen, daß man β=λ−r0​ setzt, so erhielte man dort die Unendlichkeitsstelle für E und die Nullstelle für g2​, eine Folgerung, der man das Längenelement g2​​dϑ wohl nicht unterwerfen darf. Übrigens wäre damit zwar eine gegenseitige Anziehung gleichsinniger Ladungsdichte, aber kein Gleichgewicht erzielt, zu dessen Erzwingung man vielleicht einen weiteren Spannungstensor hinzufügen müßte. Außerhalb des geladenen Raumes wird aber das Feld der Ladung widerspruchsfrei dargestellt und gezeigt, daß die Werte der Feldstärke E und der Koeffizienten gμν​ sich von denen des euklidischen Raumes nur dort merklich unterscheiden, wo der Radius von der Größenordnung von λ, d. h. von 10−34 cm ist. Da der Radius des Elektrons zu etwa 10−13 angenommen wird, ist demnach in dem Bereich der Lösung, der sich auf das Feld bezieht, der Einfluß der Eigengravitation jeder Feststellung entzogen. Die Entartung für g₄​=0. Auf p. 109 war auf die formale Möglichkeit eines Ladungsgleichgewichtes aufmerksam gemacht, wenn man Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit verschwinden läßt, jedoch so, daß E/g4​​ endlich bleibt. Setzt man <math>\frac{\mathfrak{E}}{\sqrt{g_4}} = \mathfrak{C}</math> so wird die Zeitkomponente des Viererstromes: <math>\mathfrak{J}_4 = \sin\vartheta\, \rho g_2\sqrt{-g_1} = \frac{d}{dr} \left( \mathfrak{C} \frac{\bar g_2}{\sqrt{-g_1}} \right) \sin\vartheta</math> wo ρ die Ladungsdichte. Der Kuriosität wegen möge hier ohne Ableitung mitgeteilt werden, wohin diese Sackgasse führt. Der Energietensor nimmt die Werte an: 119 <math>T_{11} = -\frac{\mathfrak{C}^2}{2g_1}, \qquad T_{22} = \frac{\mathfrak{C}^2g_2}{2g_1}</math>,<math>T_{33} = \frac{\mathfrak{C}^2g_3}{2g_1}, \qquad T_{44} = \frac{\mathfrak{C}^2g_4}{2g_1} = 0</math> während der gemischte V-Tensor Tμν​ verschwindet. Die Feldgleichungen erlauben mit g1​=−1 die Lösung: 3227​(98​g​231​​−α)916​g​231​​+α​=r+β, wo α und β Integrationskonstanten sind. Ferner ergibt sich: 2ϰS2​=4g​2​1​−8g​24/3​3α​ ρ=42ϰ​3​g​21/3​g​21/3​−23​α​(g​21/3​−α)916​g​21/3​+α​​, e=ϰ​π8​​g​21/6​g​21/3​−23​α​⋅α3/2 Es scheint aber nicht, als ob diese Lösung irgend welche physikalische Bedeutung erlangen könnte. Das unelektrische Feld. Das Gravitationsfeld einer ungeladenen kugelförmigen, ruhenden Masse muß sich als Sonderfall aus der allgemeinen oben mitgeteilten Lösung ergeben, wenn man die Ladung und damit λ=0 setzt. Man muß dann auf die Schwarzschildsche Lösung zurückkommen, was sich auch deswegen zu zeigen lohnt, weil Schwarzschild das Koordinatensystem mit der Bedingung <math>\sqrt{-g_1 g_2 g_3 g_4} = 1</math> von vornherein festlegt, während wir zunächst unbeschränkt kovariant und dann mit der Bedingung g1​=−1 gerechnet haben. Bei Schwarzschild1) werden die Koeffizienten: <math>-g_1^{*} = \frac{r_1^4} {R^4\left(1-\alpha_1/R\right)}, \qquad -g_2^{*}=R^2, \qquad g_4^{*}=1-\frac{\alpha_1}{R}</math>, wo <math>R^3=r_1^3+\alpha_1</math> und α1​ eine Konstante. 120 Hier ergab sich mit c=1: <math>-g_1=1, \qquad -g_2=h^2, \qquad g_4= \left(\frac{dh}{dr}\right)^2</math> wo <math>\left(\frac{dh}{dr}\right)^2 = \frac{h^2-2h\alpha}{h^2}</math> Es ist also dort ein anderes Längenmaß für den Radius gewählt, da: <math>dr^2 = dr_1^2 \frac{r_1^4} {R^4(1-\alpha_1/R)}</math> während g₂​=g₂∗​, g₄​=g₄∗​ sein muß, da nur in <math>h=R, \qquad g_4=1-\frac{2\alpha}{R}</math>, transformiert ist. Man erhält: <math>dr^2 = \frac{dh^2}{1-2\alpha/h} = \frac{dR^2}{1-\alpha_1/R}</math> Die beiden Lösungen gehen also ineinander über, wenn man <math>2\alpha=\alpha_1</math> setzt. Charlottenburg, März 1916. (Eingegangen 20. März 1916.) {{col-2}} Original p. 106 After Einstein had demonstrated the fruitfulness of his new covariant field equations of gravitation, and thereby of the postulate of the most general relativity, through his explanation of the perihelion motion of Mercury, and after he had elsewhere given a generally covariant formulation of the Maxwell-Lorentz equations of the electromagnetic field, it appeared to me that the next task was to investigate, by means of a simple example, the influence of the self-gravitation of a spherically symmetric electric field. I did, indeed, begin with the hope of finding a static cohesion of elementary charges through their self-gravitation without having to leave the ground of Maxwell's theory. In the course of the investigation, however, I was initially able to establish only that Einsteinian gravitation distorts the field of an elementary electric charge in a definite, though extraordinarily small, manner, but that by its nature it cannot cancel the mutual electrostatic repulsion of the elements of charge. The constitution of the elementary charge can therefore be obtained only by introducing a further fundamental assumption: either by modifying Maxwell's equations in the sense of Mie, by adding to the Maxwell tensor a stress tensor of the simplest possible kind, or, finally, by regarding the electron not as static but as electrodynamically stationary. Concerning the calculation, in which Einstein assisted me with a variety of explanations and criticisms, the following preliminary remarks may be made. No restriction was placed on the choice of coordinate system in setting up the field equations, and in particular none was placed on the value of the transformation determinant. Original p. 107 It was therefore possible to introduce the usual spherical polar coordinate system, whereas Schwarzschild, in order to preserve the value one for the discriminant of the line element, employed a particularly ingenious coordinate system. Nevertheless, in the present case the most general coordinate system seems to me more advantageous than a special one for setting up and integrating the field equations, quite apart from the fine insight it gives into the complete covariance of the theory. The field of an uncharged mass point presented by Einstein and Schwarzschild proves to be a special case of the field of a spherical charge calculated here. It may serve as a check upon the correctness of the present solution that it passes into the Schwarzschild solution when it is transformed to Schwarzschild's special coordinate system and the charge is allowed to vanish. The problem posed here is therefore the following: What is the most general electrostatic field in equilibrium and possessing spherical symmetry if nothing is assumed beyond the Maxwell stress-energy tensor in covariant form and Einstein's generally covariant field equations of gravitation. The assumption of symmetry simplifies the form of the line element of the generally non-Euclidean space, so that it can be written in spatial polar coordinates that remain orthogonal. [Line element omitted.. Here single indices are written in place of double indices. In Euclidean space-that is, in a space containing no stress-energy tensor-the metric coefficients take their familiar values, and c denotes the ordinary velocity of light. Original p. 108 Einstein has shown generally how the values of the metric coefficients determine the properties of measuring rods and clocks, the form of the shortest lines, the paths of mass points and light rays, the velocity of light, and the gravitational potential. THE TENSOR OF THE ELECTROSTATIC FIEL. The energy tensor required for the gravitational field equations and for the equilibrium condition of the electrostatic field may be obtained as follows. Of the components of the first covariant six-vector of the field, only one remains in the case of rest and spherical symmetry, namely the radial electric-field component. The second, contravariant, six-vector derived from it likewise has only one component. [Field-tensor relation omitted.. The contravariant four-vector of the electric vacuum-current density also has only one non-vanishing component. [Equation (1) omitted.. Here rho denotes the charge density. The covariant four-vector of mechanical force density assumes its standard form in the general static case and a radial form under complete spherical symmetry. [Force-density equations omitted.. This general static ansatz shows that the resultant force density can vanish only if either the charge density or the electric field strength vanishes. These quantities, in turn, can vanish simultaneously throughout a finite interval only in the exceptional case in which one of the relevant metric coefficients vanishes throughout that interval. Original p. 109 Thus one may state: A Maxwellian electrostatic field, even under the influence of its own gravitation, can be in equilibrium only where no charge density is present, provided one excludes the case in which a line element or the velocity of light becomes zero. Since these exceptional cases appear to possess no physical significance, an investigation based upon the pure Maxwell stress-energy tensor and spherical symmetry must be restricted to the field of a spherical charge under the influence of its self-gravitation in empty space. For this case the four-current must vanish. Integration then gives the electric field in terms of the metric coefficients. The integration constant is determined immediately from the condition at infinity, where the metric becomes flat and the field becomes the Coulomb field of the total charge e situated at the centre. [Equation (2) omitted.. Substitution of these values into Einstein's expression for the mixed energy tensor gives its four diagonal components. The corresponding covariant tensor follows by lowering the index with the metric. [Stress-energy components omitted.. Original p. 110 This is the electrostatic energy tensor, but without yet taking account of the equilibrium of the field. The equilibrium tensor is obtained by substituting the field value found in equation (2). [Equilibrium stress-energy components omitted.. THE FIELD EQUATION. Einstein's generally covariant differential equations for a gravitational field, in their latest and most consistent form, can be written for orthogonal coordinates and a vanishing Laue scalar in terms of the contracted Christoffel symbols. [Equation (8) omitted.. Here kappa is a universal constant related to the gravitational constant. The four-index Christoffel symbol of the second kind is expressed through the three-index symbols. In orthogonal coordinates, the latter differ from zero only when at least two indices coincide. [Christoffel-symbol formulas omitted.. The four-index symbol vanishes when the relevant two indices are equal. The first two terms of equation (8) cause no difficulty. In the sum of the third term one first sums over one coincident index, then over the other, and finally over all indices distinct from both. Original p. 111 After a somewhat laborious calculation, requiring some practice if computational errors are to be avoided, one arrives at the following second-order differential invariants. A straightforward check shows that they satisfy covariance under the imposed symmetry and vanish in Euclidean space. [Equations (I)-(IV) omitted.. Among the infinitely many possible coordinate systems, we may evidently privilege one in the following manner. Let dr denote not merely a coordinate difference but also the distance in the radial direction measured with an infinitesimal rigid measuring rod. With this convention the radial metric coefficient is set equal to minus one. For brevity, introduce lambda squared for the indicated combination of kappa, charge, and c, and replace the negative angular metric coefficient by a positive barred quantity. The field equations then take a system of three ordinary differential equations. [Reduced equations (I), (II), and (IV) omitted.. Original p. 112. The restriction imposed upon the coordinate system has therefore produced three equations for only two unknown metric functions, and at first it appears that an attempt at solution might lead to a contradiction. It will be shown, however-and this is extraordinarily noteworthy-that the general solution of two of the equations satisfies the third identically. Thus it would not have been necessary to employ the conservation law, that is, the stress-equilibrium condition represented by equation (2) in non-Euclidean space, in determining the stress-energy tensor. The gravitational field equations alone would already have sufficed to calculate, as a function of the metric, the field strength that permits equilibrium. The only prerequisite for the entire ansatz was therefore knowledge of the expression of the stress-energy tensor in terms of the six-vector of field strength. In discussing this surprising connection, Einstein informed me that he was then in a position to show generally that the conservation laws of energy and stresses are contained in his latest field equations and therefore need not be imposed separately in each problem. This result, confirmed by the special case treated here, is particularly important because the field equations were obtained not from energy considerations but solely from considerations of covariance, while at the same time they assert much more than the conservation laws alone. THE INTEGRATION OF THE FIELD EQUATION. The three equations (I), (II), and (IV), containing the two unknown metric functions, therefore admit a consistent closed-form solution without mutually restricting one another. Introduce gamma as the logarithm of the square root of the temporal metric coefficient, and denote differentiation with respect to r by primes. The equations then assume a more compact form. Original p. 113. [Reduced equations and equation (a) omitted.. Subtracting equation (I) from equation (IV) gives a first differential relation. Its integration introduces a constant delta. The boundary condition at infinity, where the local velocity of light is to equal the normal value c, determines this constant and yields equation (9). [Equation (9) omitted.. Substitution into equation (II) produces a second-order equation for the angular metric coefficient. Introduce two further integration constants, alpha and beta, and set h equal to the square root of the positive angular coefficient. The first integral is equation (10), and complete integration gives equation (11). [Equations (10) and (11) omitted.. The result may alternatively be written by means of a hyperbolic substitution. [Substitution omitted.. Original p. 114. [Equations (10a), (11a), and (9a) omitted.. Equation (11) first shows that the condition requiring the angular metric coefficient to approach the square of the radius at infinity is satisfied automatically. Equation (9) then supplies the temporal metric coefficient. THE INTEGRATION CONSTANT. It can now be shown that alpha is related to the gravitating mass of the charge e, while beta is related to the condition imposed on the angular metric coefficient at the centre. According to the general connection supplied by Einstein's theory, a charge at infinity must act just like a gravitating mass point having the mass of the charge. The ponderomotive force at infinity may therefore be written in Newtonian form, where k is the ordinary gravitational constant. [Newtonian force formula omitted.. The same radial ponderomotive force follows in another form from the covariant equation of the geodesic line in a spherically symmetric field. [Equation (12) omitted.. Original p. 115. Using equation (9a), and taking the large-distance limit, one finds the inverse-square gravitational force and identifies alpha with the gravitational radius associated with the mass of the charge. [Identification and numerical estimate of alpha omitted.. The constant alpha squared is therefore extraordinarily small for an elementary charge and, as shown below, extraordinarily small even in comparison with the constant lambda squared from which it is subtracted. Nevertheless it possesses a significance of principle and must not vanish if the electric charge is to possess gravitating inertial mass. Every future equilibrium theory of the charged field-that is, of the electron-must exclude the disappearance of the integration constant alpha from the outset. The sole non-vanishing component of the primary electromagnetic six-vector in the general case is then obtained from the preceding solution. [Equation (14) omitted.. Original p. 116. It is readily calculated from equations (11a) and (9a). The electrostatic potential is correspondingly obtained. [Electrostatic potential omitted.. The solution becomes especially simple when alpha is set equal to zero. Since this solution differs imperceptibly from the one using the numerical value of alpha found above, it is useful to state it separately. [Equations (11b), (9b), and the simplified field strength omitted.. The values of Einstein's universal constant kappa and of lambda can now be calculated. The field equations must contain, as a special case, the infinitely weak spherically symmetric gravitational field of an uncharged, incoherent distribution of mass. According to Einstein, the covariant energy tensor of an incoherent mass distribution of density rho_m, in the static case and in an orthogonal system, has only its temporal component different from zero. The corresponding trace has the value rho_m. [Matter stress-energy components omitted.. Original p. 117. The right-hand side of the general field equations then takes the trace-reversed form used by Einstein. [Trace-reversed field equation and components omitted.. Linearising equation (IV) about flat space gives the ordinary Poisson equation. Consequently the temporal perturbation divided by two may be regarded as the gravitational potential, just as in equation (12). Comparison with Newtonian gravity determines kappa. [Weak-field equation and numerical value of kappa omitted.. From this one obtains lambda and its numerical value for the elementary charge. [Values of lambda squared and lambda omitted.. Thus, despite its smallness, lambda is still approximately one hundred thousand billion billion times as large as alpha. The constant beta can be obtained from the condition that the circumference of a circle must tend to zero as the radius decreases; that is, h must vanish when r is zero. Equation (10a) then fixes the value u_0, and equation (11a) fixes beta. Because alpha is so small compared with lambda, beta is approximately equal to lambda. [Boundary equations for u_0 and beta omitted.. Original p. 118. At r equal to zero, equation (14) makes the field strength infinite. It is evident that continuation of the solution to the centre leads to an impossibility, corresponding to the fact that charge must be distributed around the centre and that Maxwell's theory does not supply the equilibrium of that distribution. If one attempted to force the field strength to change sign at a radius r_0 by choosing beta accordingly, the field strength would become infinite there and the angular metric coefficient would vanish. The line element cannot reasonably be subjected to such a consequence. Moreover, this would produce a mutual attraction of like charge densities but not an equilibrium; to enforce equilibrium one would perhaps have to add another stress tensor. Outside the charged region, however, the field of the charge is represented consistently. The field strength and the metric coefficients differ appreciably from their Euclidean values only where the radius is of the order of lambda, approximately 10^-34 centimetres. Since the electron radius is taken to be approximately 10^-13 centimetres, the influence of self-gravitation within the physically relevant domain of the solution eludes all possibility of detection. THE DEGENERATE CASE g₄ = . On page 109 attention was drawn to the formal possibility of equilibrium of charge if the field strength and the velocity of light are both allowed to vanish in such a way that their ratio remains finite. [Definition of the limiting field omitted.. The temporal component of the four-current then assumes a corresponding limiting form, where rho denotes charge density. [Current equation omitted.. For the sake of curiosity, the result of this dead end may be stated without derivation. The energy tensor takes a degenerate form. Original p. 119. [Degenerate stress-energy tensor omitted.. The mixed tensor vanishes. With the radial metric coefficient set equal to minus one, the field equations permit a formal solution containing two integration constants, alpha and beta. [Degenerate solution omitted.. Further expressions for the field and total charge follow, but this solution does not appear capable of acquiring any physical significance. THE NON-ELECTRIC FIEL. The gravitational field of an uncharged, spherical, resting mass must emerge as a special case of the general solution given above when the charge, and therefore lambda, is set equal to zero. The result must reduce to Schwarzschild's solution. It is worthwhile to show this explicitly because Schwarzschild fixed from the outset a coordinate system in which the determinant condition has a prescribed value, whereas the present calculation began without restriction and subsequently imposed the condition that the radial metric coefficient equal minus one. In Schwarzschild's coordinates the metric coefficients have their standard forms, with an auxiliary radial coordinate R related cubically to Schwarzschild's original coordinate. [Schwarzschild metric coefficients omitted.. Original p. 120. In the present coordinates, with c equal to one, the radial metric coefficient is minus one, the angular coefficient is minus h squared, and the temporal coefficient is the square of dh/dr. [Metric relations omitted.. A different measure of radial length has therefore been selected. Since only the radial coordinate is transformed, the angular and temporal metric coefficients must agree in the two representations. [Coordinate transformation omitted.. One obtains h equal to R and the Schwarzschild temporal coefficient. The two solutions therefore pass into one another when the two mass parameters are appropriately identified. Charlottenburg, March 1916. Received 20 March 1916. TRANSLATOR'S NOT. This translation preserves Reissner's historical terminology and argumentative order. Equations have been omitted at the reader's request, but their original locations and labels have been retained. In modern terminology, the paper studies the static, spherically symmetric electrovacuum reduction of the Einstein-Maxwell system. Reissner's most striking conceptual observation occurs on original page 112: the conservation laws need not be imposed independently, because the structure of Einstein's field equations already contains the required consistency relations. {{col-end}} <Hr> 108P 1) A. Einstein, Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Berl. Ak. Ber. p. 184–188. 1916. 109P 1) Die Annahme <math>g_4 = 0</math> führt allerdings zu einer bestimmten Verteilung der Feldstärke in der Ladung, jedoch ist mir ein Anschluß an den Außenraum, indem <math>g_4 \ne 0</math> ist, nicht gelungen. 112P 1) Inzwischen ist dieser Zusammenhang genauer von D. Hilbert und A. Einstein selbst aufgeklärt worden. Vgl. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. Gött. Math. Phys. Kl. 1915 p. 3 und Ann. d. Phys. 49. p. 809. 1916. 114P 1) A. Einstein, Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Berl. Akad. Ber. p. 1046. Gl. 23b. 1914. 116P 1) Berl. Akad. Ber. p. 1059. Gl. 48. 1914. 2) Desgl. p. 845. Gl. 2a. 1915. 119P 1) K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Berl. Ak. Ber. p. 189–196. 1916. orh99ov0pbvess9nhuskqt3g8adis3z 250 114106 459166 2026-09-06T03:39:06Z ZornsLemon 15531 /* 교정 안 됨 */ 새 문서: 지ᄂᆡ이ᄂᆞᆫᄉᆡᆼ각을ᄒᆞ면창ᄌᆞ가메여지ᄂᆞᆫ듯ᄒᆞ다。만일너무놀ᄂᆡ여서ᄂᆞᆫ의ᄌᆞ에서굴러ᄯᅥ러질ᄂᆞᆫ지도알수업ᄂᆞᆫ고로준봉이ᄂᆞᆫ먼저뒤로가서단단히붓드러안고「아버지、이제도라왓습니극」「오―、준봉이냐、준봉이나、무ᄉᆞ히단여왓나냐」ᄒᆞ며도리키ᄂᆞᆫ부친의얼골을보니 석달전출발ᄒᆞᆯᄯᆡ보다더욱놀랍게쇠ᄑ... 459166 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="ZornsLemon" /></noinclude>지ᄂᆡ이ᄂᆞᆫᄉᆡᆼ각을ᄒᆞ면창ᄌᆞ가메여지ᄂᆞᆫ듯ᄒᆞ다。만일너무놀ᄂᆡ여서ᄂᆞᆫ의ᄌᆞ에서굴러ᄯᅥ러질ᄂᆞᆫ지도알수업ᄂᆞᆫ고로준봉이ᄂᆞᆫ먼저뒤로가서단단히붓드러안고「아버지、이제도라왓습니극」「오―、준봉이냐、준봉이나、무ᄉᆞ히단여왓나냐」ᄒᆞ며도리키ᄂᆞᆫ부친의얼골을보니 석달전출발ᄒᆞᆯᄯᆡ보다더욱놀랍게쇠ᄑᆡ하고 얼골빗도프르게희다。ᄂᆡ가업ᄂᆞᆫ동안에이러케ᄭᅡ지근심을ᄒᆞ섯ᄂᆞᆫ가 아모ᄶᅩ록깃거운마ᄋᆞᆷ을도아드러야ᄒᆞᄀᆡᆺ다고텬ᄉᆡᆼ의효심으로「아버지깃거워ᄒᆞ십시오ᄂᆡ가선쟝을ᄒᆞ야월급을먹게되얏습니다」부「정말이냐、정말이냐、너의주인이너를그러케식여주신다더냐、준봉「녜―、정말이고말고요남의불ᄒᆡᆼ으로제다ᄒᆡᆼ을삼아서ᄂᆞᆫ안된일이지만은이ᄯᆡᄭᅡ지선쟝노릇ᄒᆞ시던이가도라가셔서」ᄒᆞ며주인서씨와수쟉ᄒᆞ던리약이를대강대강총총히고ᄒᆞ니 부친은깃거ᄒᆞ기ᄂᆞᆫᄒᆞᄂᆞᆫ모양이나별로ᄃᆡ답이업다。입을ᄯᅦ워말도ᄒᆞᆯ수업도록 긔력이시진ᄒᆞᆫ모양이라。준봉「아버지어듸가벌안간거북ᄒᆞ십닛가」부「안이 아모러치도안타。네가인제도라왓스닛가아모걱정이업고아조마ᄋᆞᆷ이좃타」강잉ᄒᆞ야아달의게걱정을식히지안이ᄒᆞ랴ᄂᆞᆫ모양이 보인다。이러면무슨소주갓치심긔를도을것을마시게ᄒᆞ여야ᄒᆞᄀᆡᆺ다ᄒᆞ고、준봉은급히벽장문을여러보앗다。엇지ᄒᆞ나음식이라일흠진물건은다만한가지붓허잇지안타。알앗다아버지ᄂᆞᆫ너무주려서긔력이시진ᄒᆞᆷ이로구나ᄒᆞᄂᆞᆫᄉᆡᆼ각이문득돌며「아버지、아버지이러케고ᄉᆡᆼ을ᄒᆞ시게ᄒᆞ얏스니이런불효의ᄌᆞ식이업습니다」ᄒᆞ며사죄ᄒᆞ듯부친의압헤업드럿다。부「안이、고ᄉᆡᆼ은무슨고ᄉᆡᆼ을ᄒᆞᆫ다고그리나냐 「응、준봉아」준봉「ᄂᆡ가ᄯᅥ날ᄯᆡ에드리고간 은륙십량은엇더케ᄒᆞ셧습님가」부「응、그돈말이냐、그돈은네가ᄯᅥ나면서즉시이아ᄅᆡ층에잇ᄂᆞᆫ왕걸ᄃᆡ가이전에네게ᄭᅮ여주엇던은사십량이잇고그외에닷량은변리라고사십오량을가저갓다」준봉「녜―、그러면남아지오량으로석달동안을엇더케견듸셧단말슴이오<noinclude><references/></noinclude> 4yowxykqt2m61xw410w4c4jeevxvshd 250 114107 459167 2026-09-06T03:39:45Z ZornsLemon 15531 /* 교정 안 됨 */ 새 문서: 닛가 십오량으로ᄂᆞᆫ석달집세가겨오되ᄂᆞᆫ데 그러면양ᄒᆡᆼ주인의게라도돌려쓰시지오」하면서이동안이라도부친이오쟉시쟝ᄒᆞ랴ᄒᆞ고준봉이ᄂᆞᆫ다시집밧그로ᄯᅱ여나갓다。 그ᄅᆡ서부친의입에마즐음식을서너가지나사가지고드러갓다。부친은ᄌᆞ긔의주린형상을아달의게보이ᄂᆞᆫ것이아차로어서「 무얼、저녁ᄯᆡ먹어도관계치안다」ᄒᆞ며... 459167 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="ZornsLemon" /></noinclude>닛가 십오량으로ᄂᆞᆫ석달집세가겨오되ᄂᆞᆫ데 그러면양ᄒᆡᆼ주인의게라도돌려쓰시지오」하면서이동안이라도부친이오쟉시쟝ᄒᆞ랴ᄒᆞ고준봉이ᄂᆞᆫ다시집밧그로ᄯᅱ여나갓다。 그ᄅᆡ서부친의입에마즐음식을서너가지나사가지고드러갓다。부친은ᄌᆞ긔의주린형상을아달의게보이ᄂᆞᆫ것이아차로어서「 무얼、저녁ᄯᆡ먹어도관계치안다」ᄒᆞ며급히손을ᄃᆡ이랴고도안타가강잉히권ᄒᆞᄂᆞᆫᄭᅡ닭에겨오수저를잡앗다。ᄌᆞ식사랑ᄒᆞᄂᆞᆫ마ᄋᆞᆷ과참을성이놀랍게강ᄒᆞᆫ사ᄅᆞᆷ이더라。준봉이ᄂᆞᆫ부친의식ᄉᆞ가맛치기를기다려「다시ᄂᆞᆫ이런고ᄉᆡᆼ은안이ᄒᆞ시게ᄒᆞ야드리오리다。이러케돈도모아가지고왓스닛가」 ᄒᆞ면서돈주머니를ᄂᆡ여서상우에걱구로쏘다노앗다。금전과은전、크고적은것을석거서ᄇᆡᆨ원이상이나되ᄂᆞᆫ부친의눈압헤노여잇다부친「오냐、나ᄂᆞᆫ그돈보다도네얼골을보ᄂᆞᆫ것이뎨일반갑다。참숙뎡이도너를ᄆᆡ우기다리ᄂᆞᆫ모양이더라」말이밋처맛치못ᄒᆞ야「아― 준봉인가、이번에ᄂᆞᆫ아조무쳑버러가지고왓네그려」 ᄒᆞ며드러오ᄂᆞᆫ쟈ᄂᆞᆫ지금부친이말ᄒᆞ던왕걸ᄃᆡ이라 「여보게무엇을그러케감초나 ᄂᆡ가ᄭᅮ어달나지ᄂᆞᆫ안네」준봉「안이천만에、참、당신의게ᄂᆞᆫ여러가지로신세를져서」왕「신세라니、신세될것무엇잇나ᄌᆞ네게ᄭᅮ엿던돈은ᄌᆞ네어르신네ᄭᅴ서변리ᄭᅡ지붓처주시며 급히 그러케쓸일이업다고ᄒᆞ야도억지로갑흐시고지금그저이웃사촌세음이지」준봉「돈은갑핫더ᄅᆡ도은혜라ᄂᆞᆫ것은평ᄉᆡᆼ남아잇ᄂᆞᆫ것이지오 돈이여긔이러케잇스니쓸데가잇거던어러워말고갓다가쓰시요」엇지ᄒᆞ얏던지공손히나가ᄂᆞᆫ것은ᄌᆞ긔가만히나가잇ᄂᆞᆫᄭᅡ닭에아모ᄶᅩ로부친을위ᄒᆞ야인심을엇어두고저ᄒᆞᄂᆞᆫᄭᅡ닭이라。 왕「나ᄂᆞᆫ지금무엇을사라갓다가ᄆᆡ우친친히지ᄂᆡᄂᆞᆫ대팔이을맛나서ᄀᆡ원호가드러온줄을알고 그러면ᄌᆞ네도왓슬ᄯᅳᆺᄒᆞ야오ᄅᆡ간만에차저보라온길일세」준봉「대팔이도벌서상륙을ᄒᆞ<noinclude><references/></noinclude> ncbndczv5x6roz3hdqavljzsgujapk5 250 114108 459168 2026-09-06T03:40:01Z ZornsLemon 15531 /* 교정 안 됨 */ 새 문서: 얏슴미닛가」ᄌᆞ긔의ᄒᆡᆼ동을엿보고저대팔이가그뒤에즉시상륙ᄒᆞ야이곳ᄭᅡ지ᄯᅡ라온줄은알길이업다。왕「대팔이의게드른즉ᄌᆞ네가ᄆᆡ우주인의눈에드럿다네그려 집에와서 집안사ᄅᆞᆷ과갓치밥을먹쟈말ᄭᅡ지ᄒᆞ더라지 그리고선쟝이될약조ᄭᅡ지듯고」 이쟈도엇지시긔스럽게부러위ᄒᆞᄂᆞᆫ듯ᄒᆞ다마ᄂᆞᆫ 사ᄅᆞᆷ이잘되ᄂᆞᆫ것을공연... 459168 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="ZornsLemon" /></noinclude>얏슴미닛가」ᄌᆞ긔의ᄒᆡᆼ동을엿보고저대팔이가그뒤에즉시상륙ᄒᆞ야이곳ᄭᅡ지ᄯᅡ라온줄은알길이업다。왕「대팔이의게드른즉ᄌᆞ네가ᄆᆡ우주인의눈에드럿다네그려 집에와서 집안사ᄅᆞᆷ과갓치밥을먹쟈말ᄭᅡ지ᄒᆞ더라지 그리고선쟝이될약조ᄭᅡ지듯고」 이쟈도엇지시긔스럽게부러위ᄒᆞᄂᆞᆫ듯ᄒᆞ다마ᄂᆞᆫ 사ᄅᆞᆷ이잘되ᄂᆞᆫ것을공연히불쾌히넉이ᄂᆞᆫ것이이런사ᄅᆞᆷ들의성픔이라。부친은가만히듯다가「응、준봉아、너의주인이음식을대접ᄒᆞᄀᆡᆺ다ᄒᆞ시ᄂᆞᆫ것을사양ᄒᆞ고왓ᄂᆞᆫ냐」 준봉 「녜―、집에을얼른오고십허서그ᄅᆡᆺ서요」 부、그ᄂᆞᆫ좃치못ᄒᆞᆫ일이다선쟝ᄭᅡ지식여주신다ᄂᆞᆫᄃᆡ아모ᄶᅩ록마ᄋᆞᆷ에들게ᄒᆞ여야지」준봉「안이오나ᄂᆞᆫ주인의비위을맛치지안코서ᄂᆡ힘으로선쟝이되고십허요」 쩌른한말이라도정대ᄒᆞ고씩씩ᄒᆞᆫ긔질은가히알ᄀᆡᆺ다。이러ᄒᆞᆫ긔질을가젓길ᄂᆡ세상사ᄅᆞᆷ과ᄂᆞᆫ아조ᄯᅡᆫ판으로 사나온바ᄅᆞᆷ무서운물결을격지안이치못ᄒᆞ게되야가ᄂᆞᆫ것이다。 왕걸ᄃᆡ「ᄌᆞ네가선쟝이된다ᄒᆞ면어르신네게서ᄂᆞᆫ물론조와ᄒᆞ시ᄀᆡᆺ지마은 ᄯᅩᄒᆞᆫ사ᄅᆞᆷ、법국거류지에서도듯고깃거워ᄒᆞᆯ사ᄅᆞᆷ이잇지 그러지안이ᄒᆞᆫ가」 부친 「그숙뎡이말이지、이ᄋᆡ준봉아、여긔ᄂᆞᆫ고만볼일이업스니어서거긔나가보려무나」부친은왕걸ᄃᆡ와오ᄅᆡ이약이ᄒᆞᄂᆞᆫ것이부지러워ᄒᆞᄂᆞᆫᄯᅳᆺ이다。아비의마ᄋᆞᆷ을얼른ᄌᆞ식의가ᄉᆞᆷ에빗초인다。준봉「녜―、나도곳가보랴고ᄉᆡᆼ각ᄒᆞ얏습니다」 왕 「참、얼른가보아야지너무오ᄅᆡ드러다보지안이ᄒᆞ면원톄소문난미인이닛가、ᄯᅩ엇더ᄒᆞᆫ대인이나설ᄂᆞᆫ지」준봉이ᄂᆞᆫ근심스러운긔ᄉᆡᆨ 「안이그ᄅᆡ도숙뎡이ᄂᆞᆫ그럴리가」 왕 「업슬줄로ᄉᆡᆼ각을ᄒᆞ지마ᄂᆞᆫ겻헤사ᄅᆞᆷ이가만두지을안ᄂᆞᆫ다ᄂᆞᆫ말이야」 무슨의미가잇ᄂᆞᆫ듯ᄒᆞᆫᄆᆞᆯ이라。부친「어서가보아라、어서가보아」준봉「녜―、그러면단오ᄀᆡᆺ습니다」ᄒᆞ며이러서서나갓다。그ᄅᆡ서좌우도보지안코법국거류디를향ᄒᆞ야가ᄂᆞᆫ마ᄋᆞᆷ은실로일각<noinclude><references/></noinclude> evh02uzxvs1fthk2hnm2mn0o0fjjkl1 250 114109 459169 2026-09-06T03:40:42Z ZornsLemon 15531 /* 교정 안 됨 */ 새 문서: <section begin="3" />이삼추갓흘듯ᄒᆞᄀᆡᆺ지。 왕걸ᄃᆡ도뒤를ᄯᅡ라나왓다。져도누구를찻ᄂᆞᆫ모양이다。급히큰길로나가더니한참가다가엇더ᄒᆞᆫ골목이구를드려다본다。드려다보ᄂᆞᆫ골목에서황황히나오ᄂᆞᆫ쟈가잇ᄂᆞᆫᄃᆡ곳대팔이라대팔「엇더턴가、엇더턴가」 왕 「벌서혼ᄌᆞᄂᆞᆫ선쟝이된듯이아비ᄌᆞ식이조와서엇졀줄을모로더라 대팔「... 459169 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="ZornsLemon" /></noinclude><section begin="3" />이삼추갓흘듯ᄒᆞᄀᆡᆺ지。 왕걸ᄃᆡ도뒤를ᄯᅡ라나왓다。져도누구를찻ᄂᆞᆫ모양이다。급히큰길로나가더니한참가다가엇더ᄒᆞᆫ골목이구를드려다본다。드려다보ᄂᆞᆫ골목에서황황히나오ᄂᆞᆫ쟈가잇ᄂᆞᆫᄃᆡ곳대팔이라대팔「엇더턴가、엇더턴가」 왕 「벌서혼ᄌᆞᄂᆞᆫ선쟝이된듯이아비ᄌᆞ식이조와서엇졀줄을모로더라 대팔「그러ᄀᆡᆺ지、그러치만이대팔이잇ᄂᆞᆫ동안에ᄂᆞᆫ그러케안될걸 위로올나가랴ᄒᆞ면도로혀아ᄅᆡ로ᄯᅥ러처줄터이닛가」 왕 「그ᄅᆡ、지금법국거류디로급히갓ᄂᆞᆫᄃᆡ」 대팔 「그게집ᄒᆞᆫ테말인가」 왕 「그ᄅᆡ、거긔도일은벌서글렷네」 대팔 「엇ᄌᆡ서」 왕 「벌서부터그게집에게ᄂᆞᆫ엇더케된다ᄂᆞᆫ놈이한아잇서가로에를나오던지ᄒᆡ변에를가던지 계집의겻흘ᄯᅥ나지안이ᄒᆞᄂᆞᆫ모양인데 더구나그놈이키도크고몸도튼튼ᄒᆞ야누구던지혐의만먹으면그ᄃᆡ로지ᄂᆡ지ᄂᆞᆫ안이ᄒᆞᆯ심술ᄭᅮ럭이던걸」 엇지ᄒᆞ얏던지쟝준봉의좌우전후에ᄂᆞᆫ흑운이둘러가ᄂᆞᆫ모양이라대팔이ᄂᆞᆫ조와라ᄒᆞ야「그ᄂᆞᆫᄆᆡ우ᄌᆞ미잇ᄂᆞᆫ일일세 엇지ᄒᆞ얏던지여보게이근처에가서한잔ᄒᆞ지」 ᄒᆞ면서로손목을잇글고법국거류디라ᄂᆞᆫ길엽헤잇ᄂᆞᆫ주뎜으로드러가더라。 <section end="3" /> <section begin="4" />{{nop}} ===四、숙뎡과양운=== 왕걸ᄃᆡ가대팔이의게ᄭᅳᆯ려드러간술집은법국거류디의바로근처이라。거류디에드러간쟝준봉의동졍을삷히ᄂᆞᆫᄃᆡᄂᆞᆫ뎨일훌륭ᄒᆞᆫ곳이더라。 이법국거류디의뒤골목뎨일적고쓰러저가ᄂᆞᆫ집안처소에 희한히어엽분한처녀가졍신업시 바느질을ᄒᆞ고안졋다。나흔열일곱이나여덜ᄶᅳᆷ、동그스름ᄒᆞ고통통ᄒᆞᆫ얼골에 마ᄋᆞᆷ의물결이일일히빗초여나타나ᄂᆞᆫ맑은눈、거긔다가소위단순호치ᄂᆞᆫ실로그림에도볼수업ᄂᆞᆫ귀여운ᄌᆞᄐᆡ <section end="4" /><noinclude><references/></noinclude> bpd1pv3yt9ikgcyghz0azxkr9ykgrey 2 114110 459170 2026-09-06T04:25:02Z Aspere 5453 새 문서: {{본문|사용자:Aspere/oldhangul-typocheck.js}} 옛한글의 자모 구성 구조 및 출현 빈도수를 분석하여, 오타로 추정되는 글자를 표시해 줍니다. 위키문헌 내에서 전사 과정을 거친 문헌을 상정하고, 색인 및 페이지 이름공간에서만 동작합니다. 마찬가지로 Claude가 일은 다 했고 저는 따까리입니다. 예. == 적용법 == [[특:내사용자문서/common.js]]에 다음 줄을 추가하세요. <syntaxhi... 459170 wikitext text/x-wiki {{본문|사용자:Aspere/oldhangul-typocheck.js}} 옛한글의 자모 구성 구조 및 출현 빈도수를 분석하여, 오타로 추정되는 글자를 표시해 줍니다. 위키문헌 내에서 전사 과정을 거친 문헌을 상정하고, 색인 및 페이지 이름공간에서만 동작합니다. 마찬가지로 Claude가 일은 다 했고 저는 따까리입니다. 예. == 적용법 == [[특:내사용자문서/common.js]]에 다음 줄을 추가하세요. <syntaxhighlight lang="javascript" copy class="nowiki">importScript("User:Aspere/oldhangul-typocheck.js");</syntaxhighlight> == 사용법 == 색인 문서나 페이지 문서에 들어가면 상단에 "옛한글 전사 오타 검사"라고 써 있는 박스가 표시됩니다. 세 가지 옵션이 있고, 하나를 선택한 다음 "검사"를 누르면 본문을 받아옵니다. 세 가지 옵션에는 다음 차이가 있습니다. # '''구조 오류''': 음절이 불완전한 경우, 채움 문자가 이상한 데 쓰인 경우. 여기에 속하면 거의 100% 오타라고 생각해도 무방합니다. # '''안 쓰던 자모''': 해당 문헌에서 출현 빈도가 낮은 옛한글 문자. 대부분 오타가 맞지만 종종 가짜 양성이 생깁니다. # '''드문 자모''': 해당 문헌에서 출현 빈도가 낮은 {{u|현대 한글 문자}}. 경험 상 절반 정도는 오타고 절반 정도는 오타가 아닙니다. 뒤로 갈수록 중복되게끔 설계되었습니다. "안 쓰던 자모"를 고르면 구조 오류도 포함되고, "드문 자모"를 고르면 안 쓰던 자모와 구조 오류도 포함되는 식입니다. === 색인 문서에서 === 옵션 선택 후 '검사'를 누르면 해당 색인 문서 하위에 있는 본문의 텍스트를 받아옵니다. 받아온 결과는 창 내에 쪽 번호와 함께 어떤 텍스트가 문제인지를 표시해 줍니다. 화면 하단에 표시되는 페이지 목록에서도 해당 페이지 번호를 강조해 줍니다. 그 페이지로 들어가면 이전에 검사한 결과를 그대로 받아와서 페이지 내에서 결과를 그대로 띄워줍니다. 별도로 검사를 다시 돌릴 필요는 없습니다. === 페이지 문서에서 === 옵션 선택 후 '검사'를 누르면 해당 페이지가 속한 색인 문서의 하위에 있는 본문 전체의 텍스트를 받아옵니다. 받아온 결과를 이용해 해당 페이지에 의심스러운 글자가 있는지 확인하고, 있을 경우 본문 내에 그 글자가 어디에 있는지 하이라이트를 표시합니다. 편집 창에 들어가면 의심스러운 글자의 목록을 띄워 주는데, 여기에는 글자를 쉽게 찾을 수 있도록 몇 번째 글자인지와 주위 글자가 무엇인지(맥락)를 표시하고, 목록의 항목을 누르면 커서가 해당 글자로 이동하여 바로 수정할 수 있습니다. 상위 색인으로 들어가면 이전에 검사한 결과를 그대로 사용합니다. 새로 데이터를 받지는 않으나 검사 버튼은 한 번 더 눌러 주어야 합니다. === 주의점 === * '''세 옵션 모두 경험칙에 의존합니다.''' 실제로 오타가 아닌데 표시하는 가짜 양성이 발생할 수 있으니, 반드시 오타가 맞는지 확인하고 수정하세요. * 문헌 내 전사된 텍스트가 3만 자 이하일 경우 통계적인 분석에 오류가 심해집니다. 이러한 경우에는 창에 안내하는 문구가 표시됩니다. * 틀의 특성을 반영하여 {{틀|SIC}} 안에 있는 텍스트는 아에 검사하지 않습니다. == 작동 원리 == === 세 가지 옵션 === 약간의 배경입니다. 이 도구는 옛한글 OCR 개발 과정에서 오타를 잡아내기 위해 "옛이응 등 사용 빈도가 낮은 경우 오타로 보고 제외"하는 작업에서 착안하였습니다. 다만 비슷한 원리를 무지성으로 적용하니 가짜 양성이 너무 많은데 또 이것을 구조적으로 쳐 낼 수 있는 방법은 없어서, 사용자가 알아서 판단하게끔 세 단계로 나눈 것입니다. 각 세 단계의 동작 원리는 다음과 같습니다. ; ① 구조 오류: 다음을 기계적으로 잡습니다. 여기에 통계 분석은 들어가지 않습니다. ;* 채움 문자 4종(U+115F, U+1160, U+3164, U+FFA0)이 들어간 경우. 단 실험 시 "ᅟᅵᆫ"(U+115F + ᅵ + ᆫ) 형태가 실제 사용되는데도 굉장히 많이 잡혀서 별도로 예외로 등록해 두었습니다. ;* 초성 또는 중성이 없는 경우. ;* 자모가 한 자리에 2개 이상 겹친 경우. ; ② 안 쓰던 자모: 전체 문헌에서 0.01% 이하로 등장하는 {{u|옛한글 자모}}. ; ③ 드문 자모: 전체 문헌에서 0.01% 이하로 등장하는 {{u|현대 한글 자모}}. ②와 ③의 차이는 해당 자모가 현대 한글 자모인지 아닌지 이외에는 없습니다. === 전사문 받아오기 및 갱신 === 전체적으로 페이지 목록 받아오기 → 필요하면 본문 받아오기 → 쪽별로 빈도수 산출 → * 제일 먼저 페이지 문서 목록과 각 페이지 문서의 최신 판의 번호(lastrevid)를 받아옵니다. * 캐시(localStorage)에 남아 있는 판 번호와 대조합니다. 달라졌으면 새로 받습니다. (처음 동작시키면 당연히 null과는 다르기 때문에 전부 다 받습니다) ** 이 때 페이지 문서는 한 번에 50문서씩 다운로드합니다. * 각 페이지 별로 자모 빈도표를 작성합니다. 페이지 내용이 바뀐 게 없으면 (새로 받지 않았으면) 따로 수행하지 않습니다. * 문헌 전체의 자모 빈도를 계산합니다. 이 과정은 매번 새로 진행합니다. 캐시(localStorage)에는 다음과 같은 내용이 담깁니다. * pageCounts: 쪽별 빈도표. * revid: 받아온 페이지 문서의 판 번호. * cands, byPage: 색인 문서에서 페이지 문서로 넘어갈 때, 다시 계산하지 않고 바로 결과를 표출하기 위한 결과 저장. jqox9pcqiw60u6bu55kvffadd26j0ew 459171 459170 2026-09-06T04:25:38Z Aspere 5453 /* 세 가지 옵션 */ 459171 wikitext text/x-wiki {{본문|사용자:Aspere/oldhangul-typocheck.js}} 옛한글의 자모 구성 구조 및 출현 빈도수를 분석하여, 오타로 추정되는 글자를 표시해 줍니다. 위키문헌 내에서 전사 과정을 거친 문헌을 상정하고, 색인 및 페이지 이름공간에서만 동작합니다. 마찬가지로 Claude가 일은 다 했고 저는 따까리입니다. 예. == 적용법 == [[특:내사용자문서/common.js]]에 다음 줄을 추가하세요. <syntaxhighlight lang="javascript" copy class="nowiki">importScript("User:Aspere/oldhangul-typocheck.js");</syntaxhighlight> == 사용법 == 색인 문서나 페이지 문서에 들어가면 상단에 "옛한글 전사 오타 검사"라고 써 있는 박스가 표시됩니다. 세 가지 옵션이 있고, 하나를 선택한 다음 "검사"를 누르면 본문을 받아옵니다. 세 가지 옵션에는 다음 차이가 있습니다. # '''구조 오류''': 음절이 불완전한 경우, 채움 문자가 이상한 데 쓰인 경우. 여기에 속하면 거의 100% 오타라고 생각해도 무방합니다. # '''안 쓰던 자모''': 해당 문헌에서 출현 빈도가 낮은 옛한글 문자. 대부분 오타가 맞지만 종종 가짜 양성이 생깁니다. # '''드문 자모''': 해당 문헌에서 출현 빈도가 낮은 {{u|현대 한글 문자}}. 경험 상 절반 정도는 오타고 절반 정도는 오타가 아닙니다. 뒤로 갈수록 중복되게끔 설계되었습니다. "안 쓰던 자모"를 고르면 구조 오류도 포함되고, "드문 자모"를 고르면 안 쓰던 자모와 구조 오류도 포함되는 식입니다. === 색인 문서에서 === 옵션 선택 후 '검사'를 누르면 해당 색인 문서 하위에 있는 본문의 텍스트를 받아옵니다. 받아온 결과는 창 내에 쪽 번호와 함께 어떤 텍스트가 문제인지를 표시해 줍니다. 화면 하단에 표시되는 페이지 목록에서도 해당 페이지 번호를 강조해 줍니다. 그 페이지로 들어가면 이전에 검사한 결과를 그대로 받아와서 페이지 내에서 결과를 그대로 띄워줍니다. 별도로 검사를 다시 돌릴 필요는 없습니다. === 페이지 문서에서 === 옵션 선택 후 '검사'를 누르면 해당 페이지가 속한 색인 문서의 하위에 있는 본문 전체의 텍스트를 받아옵니다. 받아온 결과를 이용해 해당 페이지에 의심스러운 글자가 있는지 확인하고, 있을 경우 본문 내에 그 글자가 어디에 있는지 하이라이트를 표시합니다. 편집 창에 들어가면 의심스러운 글자의 목록을 띄워 주는데, 여기에는 글자를 쉽게 찾을 수 있도록 몇 번째 글자인지와 주위 글자가 무엇인지(맥락)를 표시하고, 목록의 항목을 누르면 커서가 해당 글자로 이동하여 바로 수정할 수 있습니다. 상위 색인으로 들어가면 이전에 검사한 결과를 그대로 사용합니다. 새로 데이터를 받지는 않으나 검사 버튼은 한 번 더 눌러 주어야 합니다. === 주의점 === * '''세 옵션 모두 경험칙에 의존합니다.''' 실제로 오타가 아닌데 표시하는 가짜 양성이 발생할 수 있으니, 반드시 오타가 맞는지 확인하고 수정하세요. * 문헌 내 전사된 텍스트가 3만 자 이하일 경우 통계적인 분석에 오류가 심해집니다. 이러한 경우에는 창에 안내하는 문구가 표시됩니다. * 틀의 특성을 반영하여 {{틀|SIC}} 안에 있는 텍스트는 아에 검사하지 않습니다. == 작동 원리 == === 세 가지 옵션 === 약간의 배경입니다. 이 도구는 옛한글 OCR 개발 과정에서 오타를 잡아내기 위해 "옛이응 등 사용 빈도가 낮은 경우 오타로 보고 제외"하는 작업에서 착안하였습니다. 다만 비슷한 원리를 무지성으로 적용하니 가짜 양성이 너무 많은데 또 이것을 구조적으로 쳐 낼 수 있는 방법은 없어서, 사용자가 알아서 판단하게끔 세 단계로 나눈 것입니다. 각 세 단계의 동작 원리는 다음과 같습니다. ; ① 구조 오류 다음을 기계적으로 잡습니다. 여기에 통계 분석은 들어가지 않습니다. * 채움 문자 4종(U+115F, U+1160, U+3164, U+FFA0)이 들어간 경우. 단 실험 시 "ᅟᅵᆫ"(U+115F + ᅵ + ᆫ) 형태가 실제 사용되는데도 굉장히 많이 잡혀서 별도로 예외로 등록해 두었습니다. * 초성 또는 중성이 없는 경우. * 자모가 한 자리에 2개 이상 겹친 경우. ; ② 안 쓰던 자모 전체 문헌에서 0.01% 이하로 등장하는 {{u|옛한글 자모}}. ; ③ 드문 자모 전체 문헌에서 0.01% 이하로 등장하는 {{u|현대 한글 자모}}. ②와 ③의 차이는 해당 자모가 현대 한글 자모인지 아닌지 이외에는 없습니다. === 전사문 받아오기 및 갱신 === 전체적으로 페이지 목록 받아오기 → 필요하면 본문 받아오기 → 쪽별로 빈도수 산출 → * 제일 먼저 페이지 문서 목록과 각 페이지 문서의 최신 판의 번호(lastrevid)를 받아옵니다. * 캐시(localStorage)에 남아 있는 판 번호와 대조합니다. 달라졌으면 새로 받습니다. (처음 동작시키면 당연히 null과는 다르기 때문에 전부 다 받습니다) ** 이 때 페이지 문서는 한 번에 50문서씩 다운로드합니다. * 각 페이지 별로 자모 빈도표를 작성합니다. 페이지 내용이 바뀐 게 없으면 (새로 받지 않았으면) 따로 수행하지 않습니다. * 문헌 전체의 자모 빈도를 계산합니다. 이 과정은 매번 새로 진행합니다. 캐시(localStorage)에는 다음과 같은 내용이 담깁니다. * pageCounts: 쪽별 빈도표. * revid: 받아온 페이지 문서의 판 번호. * cands, byPage: 색인 문서에서 페이지 문서로 넘어갈 때, 다시 계산하지 않고 바로 결과를 표출하기 위한 결과 저장. 6vguny35i9fogdb4lhk3m9eqy2017jm 459173 459171 2026-09-06T04:43:57Z Aspere 5453 459173 wikitext text/x-wiki {{본문|사용자:Aspere/oldhangul-typocheck.js}} 옛한글의 자모 구성 구조 및 출현 빈도수를 분석하여, 오타로 추정되는 글자를 표시해 줍니다. 위키문헌 내에서 전사 과정을 거친 문헌을 상정하고, 색인 및 페이지 이름공간에서만 동작합니다. 마찬가지로 Claude가 일은 다 했고 저는 따까리입니다. 예. == 적용법 == [[특:내사용자문서/common.js]]에 다음 줄을 추가하세요. <syntaxhighlight lang="javascript" copy class="nowiki">importScript("User:Aspere/oldhangul-typocheck.js");</syntaxhighlight> == 사용법 == 색인 문서나 페이지 문서에 들어가면 상단에 "옛한글 전사 오타 검사"라고 써 있는 박스가 표시됩니다. 세 가지 옵션이 있고, 하나를 선택한 다음 "검사"를 누르면 본문을 받아옵니다. 세 가지 옵션에는 다음 차이가 있습니다. # '''구조 오류''': 음절이 불완전한 경우, 채움 문자가 이상한 데 쓰인 경우. 여기에 속하면 거의 100% 오타라고 생각해도 무방합니다. # '''안 쓰던 자모''': 해당 문헌에서 출현 빈도가 낮은 옛한글 문자. 대부분 오타가 맞지만 종종 가짜 양성이 생깁니다. # '''드문 자모''': 해당 문헌에서 출현 빈도가 낮은 {{u|현대 한글 문자}}. 경험 상 절반 정도는 오타고 절반 정도는 오타가 아닙니다. 뒤로 갈수록 중복되게끔 설계되었습니다. "안 쓰던 자모"를 고르면 구조 오류도 포함되고, "드문 자모"를 고르면 안 쓰던 자모와 구조 오류도 포함되는 식입니다. === 색인 문서에서 === 옵션 선택 후 '검사'를 누르면 해당 색인 문서 하위에 있는 본문의 텍스트를 받아옵니다. 받아온 결과는 창 내에 쪽 번호와 함께 어떤 텍스트가 문제인지를 표시해 줍니다. 화면 하단에 표시되는 페이지 목록에서도 해당 페이지 번호를 강조해 줍니다. 그 페이지로 들어가면 이전에 검사한 결과를 그대로 받아와서 페이지 내에서 결과를 그대로 띄워줍니다. 별도로 검사를 다시 돌릴 필요는 없습니다. === 페이지 문서에서 === 옵션 선택 후 '검사'를 누르면 해당 페이지가 속한 색인 문서의 하위에 있는 본문 전체의 텍스트를 받아옵니다. 받아온 결과를 이용해 해당 페이지에 의심스러운 글자가 있는지 확인하고, 있을 경우 본문 내에 그 글자가 어디에 있는지 하이라이트를 표시합니다. 편집 창에 들어가면 의심스러운 글자의 목록을 띄워 주는데, 여기에는 글자를 쉽게 찾을 수 있도록 몇 번째 글자인지와 주위 글자가 무엇인지(맥락)를 표시하고, 목록의 항목을 누르면 커서가 해당 글자로 이동하여 바로 수정할 수 있습니다. 상위 색인으로 들어가면 이전에 검사한 결과를 그대로 사용합니다. 새로 데이터를 받지는 않으나 검사 버튼은 한 번 더 눌러 주어야 합니다. === 주의점 === * '''세 옵션 모두 경험칙에 의존합니다.''' 실제로 오타가 아닌데 표시하는 가짜 양성이 발생할 수 있으니, 반드시 오타가 맞는지 확인하고 수정하세요. * 문헌 내 전사된 텍스트가 3만 자<ref name=30k">틀 등 부수적인 요소를 쳐 낸 후 남는 한글 글자 수만을 이야기합니다.</ref> 이하일 경우 통계적인 분석에 오류가 심해집니다. 이러한 경우에는 창에 안내하는 문구가 표시됩니다. * 틀의 특성을 반영하여 {{틀|SIC}} 안에 있는 텍스트는 아에 검사하지 않습니다. == 작동 원리 == === 세 가지 옵션 === 약간의 배경입니다. 이 도구는 옛한글 OCR 개발 과정에서 오타를 잡아내기 위해 "옛이응 등 사용 빈도가 낮은 경우 오타로 보고 제외"하는 작업에서 착안하였습니다. 다만 비슷한 원리를 무지성으로 적용하니 가짜 양성이 너무 많은데 또 이것을 구조적으로 쳐 낼 수 있는 방법은 없어서, 사용자가 알아서 판단하게끔 세 단계로 나눈 것입니다. 각 세 단계의 동작 원리는 다음과 같습니다. ; ① 구조 오류 다음을 기계적으로 잡습니다. 여기에 통계 분석은 들어가지 않습니다. * 채움 문자 4종(U+115F, U+1160, U+3164, U+FFA0)이 들어간 경우. 단 실험 시 "ᅟᅵᆫ"(U+115F + ᅵ + ᆫ) 형태가 실제 사용되는데도 굉장히 많이 잡혀서 별도로 예외로 등록해 두었습니다. * 초성 또는 중성이 없는 경우. * 자모가 한 자리에 2개 이상 겹친 경우. ; ② 안 쓰던 자모 전체 문헌에서 0.01% 미만<ref name="0.01">문헌 전체에서 자모가 나온 횟수 / 문헌 전체의 글자 수 < 0.0001 이라는 식으로 판정합니다. 이 때 분모는 자모의 수가 아니라 "글자 수"임을 주의하여 주세요.</ref>으로 등장하는 {{u|옛한글 자모}}. ; ③ 드문 자모 전체 문헌에서 0.01% 미만<ref name="0.01" />으로 등장하는 {{u|현대 한글 자모}}. ②와 ③의 차이는 해당 자모가 현대 한글 자모인지 아닌지 이외에는 없습니다. === 전사문 받아오기 및 갱신 === 전체적으로 페이지 목록 받아오기 → 필요하면 본문 받아오기 → 쪽별로 빈도수 산출 → 합쳐서 빈도수 계산 이라는 흐름을 따라갑니다. * 제일 먼저 페이지 문서 목록과 각 페이지 문서의 최신 판의 번호(lastrevid)를 받아옵니다. * 캐시(localStorage)에 남아 있는 판 번호와 대조합니다. 달라졌으면 새로 받습니다. (처음 동작시키면 당연히 null과는 다르기 때문에 전부 다 받습니다) ** 이 때 페이지 문서는 한 번에 50문서씩 다운로드합니다. * 각 페이지 별로 자모 빈도표를 작성합니다. 페이지 내용이 바뀐 게 없으면 (새로 받지 않았으면) 따로 수행하지 않습니다. * 문헌 전체의 자모 빈도를 계산합니다. 이 과정은 매번 새로 진행합니다. 캐시(localStorage)에는 다음과 같은 내용이 담깁니다. * pageCounts: 쪽별 빈도표. * revid: 받아온 페이지 문서의 판 번호. * cands, byPage: 색인 문서에서 페이지 문서로 넘어갈 때, 다시 계산하지 않고 바로 결과를 표출하기 위한 결과 저장. === 검사에서 제외되는 요소 === 이 안에 들어가는 내용은 검사에서 빠집니다. * {{틀|SIC}} 틀 내부의 내용. * 주석(<code><nowiki><ref></nowiki></code>) 안의 내용. * 머리말 밑 꼬리말(<code><nowiki><noinclude></nowiki></code>로 둘러싸인 부분). * HTML 주석(<code><nowiki><!-- --></nowiki></code>). * 문단 태그(<code><nowiki>== ==</nowiki></code>). * 틀 내의 변수. <code>변수=값</code> 형태를 검사합니다. == 각주 == {{각주}} m6k09ohbpl8aakbagwd6s0b12lomuti