Wîkîpediya kuwiki https://ku.wikipedia.org/wiki/Destp%C3%AAk MediaWiki 1.47.0-wmf.20 first-letter Medya Taybet Gotûbêj Bikarhêner Gotûbêja bikarhêner Wîkîpediya Gotûbêja Wîkîpediyayê Wêne Gotûbêja wêneyî MediaWiki Gotûbêja MediaWiki Şablon Gotûbêja şablonê Alîkarî Gotûbêja alîkariyê Kategorî Gotûbêja kategoriyê Portal Gotûbêja portalê TimedText TimedText talk Modul Gotûbêja modulê Event Event talk 0 3600 2094585 1989003 2026-09-17T18:05:07Z MikaelF 935 2094585 wikitext text/x-wiki {{Agahîdank mirov/wîkîdane2 | nav = Ehmedê Huseynî | wêne = Ehmedê Huseynî (cropped).png | mezinahiya_wêne = | sernavê_wêne = | navê_rastî = Ehmed Huseynî | zimanê_navê_rastî = | navê_jidayikbûnê = | navê_din = | netewe = [[Kurd]] | hevwelatî = | perwerde = | pîşe = [[Helbestvan]], [[bernamevan]] | salên_çalak = | serdem = | berhem = | tevger = | şêwe = | ziman = | hevjîn = | xelat = | malper = | mijar = }} '''Ehmedê Huseynî''' (jdb. 1955 li [[Amûdê]], [[Rojavayê Kurdistanê]], Sûriyê - m. 10 adar 2026 li [[Stokholm]], [[Swêd]]ê) [[lîsteya helbestvanên kurd|helbestvanekî kurd]] bû.<ref>[[Rîzoyê Xerzî]] (2020). "Li giyanê dê û bapîrên xwe xwedî derkevin. Helbestkar nikare dûrî êşa welatê xwe bijî.", Xwebûn, 15:2020, r. 4.</ref> Wî bandoreke mezin li helbestvanên ciwan kiriye. Di [[Roj TV]]ê de bernameya wî hebû. Ehmed Huseynî di sala [[1955]]an de li [[Amûdê]] ji dayik bû. Huseynî dibistana seretayî, navendî û amadeyî li bajarê Amûdê qedand. Piştre li [[Zanîngeha Şamê]] ya Sûriyê beşa Felsefeyê qedandiye. Hikûmeta Sûriyê nehişt ku Ehmed Huseynî bi dîplomeya xwe bixebite. Ew neçar ma ku karên ne li gorî xwe bike. Lewra Huseynî jî mîna gelek xortên kurd berê xwe da Ewropayê. Huseynî di sala 1989an de çû [[Swêd]]ê. Di sala 2002yan de berhemên wî yên giştî yên bi navê ''Dîwan'' ji aliyê [[Weşanxaneya Avesta]]yê ve hatin çapkirin. == Mirin == Ehmedê Huseynî di 10ê adara 2026an de li [[Stokholm]]a [[Swêd]]ê ji ber nexweşiya [[şêrpenceya pişikê|penceşêra pişikê]] mir. Ew 71 salî bû.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.rudaw.net/kurmanci/culture-art/10032026 |sernav=Helbestvanê navdar Ehmed Huseynî koça dawî kir |malper=rudaw.net |roja-gihiştinê=2026-03-10 |ziman=en}}</ref> == Berhem == * [[Mistek ji şîna bêcir]], [[Stockholm]], 1990 [[Weşanên Komeleya Jinên Kurdistanê]] * [[Bi xewna we pênûsê dilorînim]], Stockholm, 1993, [[Weşanên Jina Nû]] * [[Rono û sirûdên bêrîkirinê]], Stockholm, 1994, Weşanên Jina Nû * [[Sîriskên hesinî]] (Selîm Berekat) Wergerandin, Stocholm, 1997, [[Weşanên Apecê]] * [[Dîwan]] (Berhemên giştî), Stenbol, 2002, [[Weşanên Avestayê]] * [[Bajarê dirinde]], 2003, [[Weşanên belkî]] * [[Çend dîmenên xemgîn ên kurmanciya nivîskî]] 2004, Weşanên Aram. == Çend mînak ji helbestên wî == {{helbest| sernav=Nimêjgeha Xewnê Dîsa bendergehên xemgîn ên giyanê min, pêşwaziya pelên kenê te û dilsojiya berbejn û bazbendaên bejna te dikin. Dîsa pencereyên şînîgir ên dilê min, pêşwaziya tîrêjên hetava peyvên te û serava çolistana zuha ya gazinên te dikin. Dîsa gulên xewnê rengên xwe ji lêvên te, bîna xwe ji sêvên te, didizin. Dîsa zîvên gerdena Zînê, di şemala gerdena rojçêbûna te de, di helkehelka raz û nehêniyên dûrbûna te, dirizin. Dîsa şewatên ferhenga bîra min, “serxet” û tirsegavên bêrîkirina dapîra min, sertaca Amûdê ji bo rondikên xatirxwestinê hildibijêrin. Dîsa bendên axê, bîna rihana destê te û pirtûka êşa stêrkên sînga te, çîroka aferîdeyên ji tozê, ji miriyên xoşewîst re dibêjin. Dîsa hineya porê te, di asoyên sersomiya min de, sawa şevistanê ji bîr dike. Dîsa bişkojên bişirîna te; Ji nişkê ve nermebarana nêrîna te, Paytexta seferê pîr dike. Dîsa wek dara hinarê ya ji westana dayika min, li xuşîna rûpelên zimanê te digerim. Dîsa wek çûkên destê sibê, li ser şaxên metirsiya te, di bêhûdeyiya navê xwe de , radiperim. Dîsa zingîna zencîran pêşkêşî sermageriya tozê dikim. Dîsa leşkerên pêxêra dîroka te radestî xencera dozê dikim. Dîsa xweliya dengên xwe û bêzariya rengên xwe û giryana cengên xwe li ber lingên te radixînim. Dîsa çira hevdîtina mişextên mirî, bi dudiliya duryan û bi kêlikên velerzînê, bi nehwirînê, dişikînim. Dîsa di kavilên xwîna xwe ya windayî de di wêrana birîna xwe ya rizyayî de di dûmana axîna xwe ya serberdayî de qebqeba kewên te, desthilata dewê te, êşa berboriya te dikişînim. Dîsa pişta xwe didim dilovaniya ava te û berê xwe didim reştava te û bîranînên reşekonan bi melhêbên girî didêrim. Dîsa wek çavkaniyeke kûvî, ji keservedana te der diçim û zeviyên matmayîna te de, di sirûdên zayîna te de, diçêrim. |nivîskar =Ehmedê Huseynî }} == Çavkanî == {{Çavkanî}} == Girêdanên derve == * [http://www.tirej.net/helbestan/INDEXA%20EHMED.htm Malpera Ehmedê Huseynî] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20041205093547/http://www.tirej.net/helbestan/INDEXA%20EHMED.htm |date=2004-12-05 }} {{Kontrola otorîteyê}} {{Şitil}} [[Kategorî:Helbestvanên kurd]] [[Kategorî:Jidayikbûn 1955]] [[Kategorî:Kesên ji Amûdê]] [[Kategorî:Mirin 2026]] 9ivf83uz9n6t60na6smofj4whievyni 0 4845 2094586 2087620 2026-09-17T18:25:15Z Penaber49 39672 /* Tenduristî */ 2094586 wikitext text/x-wiki {{Agahîdank welat2/wîkîdane }} '''Çîn'''{{Efn|Herwiha jî wekî '''Çînistan''' wekî tê naskirin}} an bi navê fermî '''Komara Gel a Çînê'''{{Efn|bi [[çînî]]: 中华人民共和国, lat. ''Zhōnghuá Rénmín Gònghéguó''}} dewletekî unîter û serwer ê li [[Asyaya Rojhilat]] e ku ji avakirina wê ya sala 1949an vir ve ji aliyê [[Partiya Komunîst a Çînê]] ve tê birêveberin. Çîn di cîhanê de bi nifûsa xwe ya li dora 1.416 milyar<ref name=":11">{{Jêder-malper |url=https://data.un.org/en/iso/cn.html |sernav=UNData app |malper=data.un.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> kesan, welatê herî qerebalix duyem ê cîhanê ye û her wiha ji aliyê rûerda xwe ya bi qasê 9.600.000<ref name=":11"/> km² re duyem welatê herî mezin ê cîhanê ye û ji aliyê tevahiya qadê ve jî sêyem an jî çarem welat ê herî mezin ê cîhanê ye. Li Çînê 22 parêzgeh, 5 herêma otonom, 4 şaredariyên ku rasterast tê birêveberin û 2 herêmên taybet ([[Hong Kong]] û [[Makao]]) ên Çînê hene ku daxwaziya wan ên serweriya [[Taywan]]ê hene. Mirovên pêşîn di serdema paleolîtîk de gihîştin Çînê. Di hezarsala 2yem a berî zayînê de dewletên xanedanî li qada [[Çemê Zer]] derketine holê. Sedsalên 8 û 3em ên {{bz}} bûne sedema hilweşîna desthilatdariya xanedaniya [[Zhou]] û bi derketina holê ya teknîkên îdarî û leşkerî, wêje û felsefeyê re jî çêbû. Di sala 221 {{bz}} de Çîn di bin serweriya împeratorekî de bûye yek û ev yekbûn jî bûye sedema du hezar sal ên serweriya împeratoriyan. Destketiyên Çînê ev in ku di nav de îcadkirina [[barûd]]ê, [[kaxez]], çapkirin û kumpasê, damezrandina rêya hevrîşimê û avakirina [[Dîwarê Çînê|dîwarê mezin]] ên hebû. Çanda çînî geş bûye û bandorek mezin li ser herêmê û derveyî yê herêmê kiriye. Çîn di sedsala 19an de bi rêya rêze peymanên newekhev dest bi radestkirina hinek beşên welêt ji bo hêzên ewropî re kiriye. [[Şoreşa Çînê 1911|Şoreşa sala 1911an]] xanedana [[Qîng]] hilweşandiye û piştê çend salan hilweşandina vê xanedaniyê komara Çînê hatiye damezrandin. Di serdema serwerên şer de welat bêîstîqrar û parçe parçe bûye û ev yek bi sefera bakur a ku ji aliyê [[Kuomîntang]] ve ji bo yekkirina welat hate lidarxistin, bi dawî bûye. Dema ku hêzên Kuomîntang endamên Partiya Komunîst a Çînê ji holê rakirine şerê navxweyî ya Çînê di sala 1927an de dest pê kiriye. Di sala 1937an de Împeratoriya Japonê Çînê dagir kiriye û ev yek bûye sedem ku [[Partiya Komunîst a Çînê|Partiya Kominîst a Çînê]] û Kuomîntang çeperê yekbûyî ya duyem ava bikin ku li dijî japonan şer bikin. Di sala 1949an de Partiya Komunîst a Çînê Komara Gel a Çînê ragihandiye û hikûmeta bi serokatiya Kuomîntang neçar kiriye ku vekişe girava [[Taywan]]ê. Bi yekê re welat parçe bûye û her du aliyan jî îdia dikirin ku ew hikûmeta rewa yê Çînê ne. Piştî pêkanîna reformên axê, hewldanên Partiya Kominîst a Çînê ya ji bo pêkanîna komunîzmê bi ser neketin: Gaveke mezin a pêşvebirinê berpirsiyarê xelayiya mezin a çînê bû ku bibû sedema mirina bi milyonan kesan û şoreşa çandî jî serdemeke alozî û zilmî ya li Çînê bû. Reform û vekirinên berbi derve ve ku di sala 1978an de dest pê kiriye, welat ji aboriyeke plankirî dûr xistiye û ber bi aboriyeke bazarê ve biriye û bi vî awayî bûye sedema geşbûniyeke aborî ya li Çînê. Ji sala 1949an vir ve Çîn dewletek yekgirtî ya komunîst e û Partiya Komunîst a Çînê tenê partiya serdest a welêt e. Çîn yek ji pênc endamên daîmî yên konseya ewlekariyê ya [[Neteweyên Yekbûyî]] ye û endamê gelek rêxistinên piralî û herêmî ye. Çîn ku nêzîkî ji pêncan yekê aboriya cîhanê pêk tîne, duyem welatê herî dewlemend ê cîhanê ye û aboriya Çînê dema ku li gorî parîteya hêza kirînê (PHK) Çîn aboriya herî mezin ê cîhanê ye. Çîn ji ber bandora xwe ê di warên [[jeopolîtîk]], [[teknolojî]], [[pîşesazî]], [[aborî]] û [[çand]]ê de, wekê hêzek super a potansiyel an jî hêza damezrandî hatiye binavkirin. Çîn bi xwarin û çanda xwe hatiye naskirin. Di heman demê de Çîn welatekî pirreng e û li welat 60 deverên mîrateya cîhanê ya [[UNESCO]]yê hene. == Etîmolojî == Peyva "Çîn" ji sedsala 16an vir ve di çend zimanan de hatiye bikaranîn lêbelê di vê serdemê de ji hêla çînîyan bi xwe ve nehatiye bikaranîn. Koka peyvê bi rêya portekîzî, malayî û farisî ve heta peyva sanskritî Cīna ku li Hindistan a kevnar dihat bikaranîn, tê şopandin.<ref name=":1">{{Jêder-malper |url=https://www.oed.com/view/Entry/31735 |sernav=China, n.1 and adj. : Oxford English Dictionary |malper=www.oed.com |roja-gihiştinê=2026-02-04 |ziman=en }}</ref> "Çîn" di wergera Richard Eden a sala 1555an a rojnameya sala 1516an a keşifgerê portekîzî Duarte Barbosa de hatiye dîtin.<ref name=":1" /> Bikaranîna Barbosa ji zimanê farisî Chīn (چین) hatiye wergirtin ku ev jî ji zimanê sanskrîtî Cīna (चीन) hatiye wergirtin.<ref>{{Jêder-malper |url=http://dictionary.reference.com/browse/China?qsrc=2888 |sernav=the definition of China |malper=Dictionary.com |roja-gihiştinê=2026-02-04 }}</ref> Eslê peyva sanskritî mijara nîqaşê ye.<ref name=":1" /> Peyva Cīna cara yekem di nivîsarên destpêkê yên hindû de, di nav de Mahabharata (sedsala 3an {{bz}} - sedsala 4an {{pz}}) û Qanûnên Manu (sedsala 2a a {{bz}} - sedsala 2an {{pz}}) de hatiye bikaranîn.<ref name=":2">{{Jêder-malper |url=http://www.sino-platonic.org/complete/spp188_yelang_china.pdf |sernav=Wayback Machine |malper=www.sino-platonic.org |roja-gihiştinê=2026-02-04 }}</ref> Di sala 1655an de, Martino Martini pêşniyar kiriye ku peyva "Çîn" di dawiyê de ji navê xanedana Qin (221–206 {{bz}}) an jî ji dewleta berê ya Qin hatiye.<ref name=":2" /> Her çend ev çavkanî berî vê xanedanê (ne ya dewletê) di çavkaniyên hindî de hatibe bikaranîn jî, dîsa jî di çavkaniyên cûrbecûr de tê dayîn.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=The state and empire of Ch'in |paşnav=Bodde |pêşnav=Derk |weşanger=Cambridge University Press |tarîx=1986 |rr=20–102 |isbn=978-0-521-24327-8 |cild=1 |cih=Cambridge |paşnavê-edîtor=Twitchett |pêşnavê-edîtor=Denis |url=https://www.cambridge.org/core/books/cambridge-history-of-china/state-and-empire-of-chin/B12C4AA8DC66CA957F529B999E8C67A4 |series=The Cambridge History of China |paşnavê-edîtor2=Loewe |pêşnavê-edîtor2=Michael |doi=10.1017/CHOL9780521243278.003 }}</ref> Navê fermî yê [[dewlet]]a nûjen "Komara Gel a Çînê" ye (bi çînî ya hêsan: 中华人民共和国; bi çînî ya kevneşopî: 中華人民共和國; pinyin: Zhōnghuá rénmín gònghéguó). Forma kurttir "Çîn" e (中国; 中國; Zhōngguó) ku ji zhōng ('navendî') û guó ('dewlet') têgehek e ku di bin xanedana Zhou ya rojavayî de li gorî demesne wê ya padîşah pêşketiye, tê. Nav di belgeyên fermî de wekê hevwateya dewleta di bin Qing de dihat bikar anîn.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Chinese history: a manual |paşnav=Wilkinson |pêşnav=Endymion Porter |weşanger=Published by the Harvard University Asia Center for the Harvard-Yenching Institute : Distributed by Harvard University Press |tarîx=2000 |isbn=978-0-674-00247-0 |çap=Rev. and enl |cih=Cambridge, Mass |series=Harvard-Yenching Institute monograph series }}</ref> == Dîrok == === Pêşdîrok === Delîlên arkeolojîk nîşan didin ku homînîdên pêşîn 2,25 milyon sal berê li Çînê dijîn.<ref>{{Jêder-malper |url=https://archive.archaeology.org/0001/newsbriefs/china.html |sernav=Early Homo erectus Tools in China - Archaeology Magazine Archive |malper=archive.archaeology.org |roja-gihiştinê=2026-02-04 }}</ref> Fosîlên homînîd ên mirovê pekînê, Homo erectusek ku agir bi kar aniye ku di navbera 680.000 û 780.000 sal berê de hatine destnîşankirin.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.unesco.org/ext/field/beijing/whc/pkm-site.htm |sernav=unesco.org |malper=www.unesco.org |roja-gihiştinê=2026-02-04 }}</ref> Diranên fosîlkirî yên homo sapiens (ku dîroka wan vedigere 125.000-80.000 sal berê) di şikefta Fuyanê de hatine dîtin.<ref>{{Jêder-nûçe |tarîx=2015-10-14 |sernav=Fossil teeth place humans in Asia '20,000 years early' |url=https://www.bbc.com/news/science-environment-34531861 |roja-gihiştinê=2026-02-04 |xebat=BBC News |ziman=en-GB }}</ref> Nivîsandinên pêşîn ên bi [[zimanê çînî]] li Jiahu li dora 6600 salên {{bz}},<ref name=":3">{{Jêder-malper |url=http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/2956925.stm |sernav=BBC NEWS {{!}} Science/Nature {{!}} 'Earliest writing' found in China |malper=news.bbc.co.uk |roja-gihiştinê=2026-02-04 }}</ref> li Damaidi li dora 6000 {{bz}},<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Chinese writing: = Wen-tzu-hsüeh-kai-yao |paşnav=Qiu |pêşnav=Xigui |weşanger=Society for the Study of Early China Institute of East Asian Studies, University of California |tarîx=2000 |isbn=978-1-55729-071-7 |cih=Berkeley, Calif |paşnav2=Mattos |pêşnav2=Gilbert Louis |paşnav3=Norman |pêşnav3=Jerry L. |paşnav4=Qiu |pêşnav4=Xigui |series=Early China special monograph series }}</ref> Dadiwan ji sala 5800 heta sala 5400 ê {{bz}} ê û Banpo ku dîroka wê vedigere hezarsala 5ê {{bz}} hebûn. Hinek zanyaran pêşniyar kirine ku sembolên Jiahuyê (hezarsala 7an a berî zayînê) pergala nivîsandinê ya herî kevin a çînî pêk tînin.<ref name=":3"/> === Serweriya xanedaniya destpêkê === [[Wêne:26120-Anyang (49086436522).jpg|thumb|Yinxu, kavilên paytexta dawiya xanedaniya Shang ew ku sedsala 14em a berî zayînê ve maye.]] Li gorî dîroknivîsiya kevneşopî ya çînî, xanedana Xia di dawiya hezarsala 3em a berî zayînê de hatiye damezrandin ku destpêka çerxa xanedaniyê nîşan dide ku hatiye femkirin ku ev yek bingeha tevahiya dîroka siyasî ya Çînê ye. Di serdema nûjen de, dîrokîbûna Xia zêdetir rastî lêkolînan hatiye ku beşek ji vê jî ji ber sedema ku şahidiya herî kevn a zanîn a Xia ye ku hezar sal piştî roja hilweşîna wan hatiye nivîsandin. Di sala 1958an de, arkeologan cihên çanda Erlitou dîtine ku di Serdema Bronzê ya destpêkê de hebûn ku ji wê demê ve ew wekê bermahiyên Xia yên dîrokî hatine binavkirin lê ev têgîn pir caran nehatiye pejirandin.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=China: a history |url=https://archive.org/details/chinahistory0002tann |paşnav=Tanner |pêşnav=Harold Miles |weşanger=Hackett Pub. Co |tarîx=2009 |isbn=978-0-87220-915-2 |cih=Indianapolis }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=http://www.nga.gov/exhibitions/chbro_bron.shtm |sernav=The Golden Age of Chinese Archaeology - NGA |malper=www.nga.gov |roja-gihiştinê=2026-02-04 }}</ref><ref>{{Jêder-kitêb |sernav=China: five thousand years of history and civilization |weşanger=City University of Hong Kong Press |tarîx=2007 |isbn=978-962-937-140-1 |çap=1 |cih=Kowloon, Hong Kong |paşnavê-edîtor=Ye |pêşnavê-edîtor=Lang |paşnavê-edîtor2=Fei |pêşnavê-edîtor2=Zhenggang |paşnavê-edîtor3=Wang |pêşnavê-edîtor3=Tianyou }}</ref> Xanedaniya Shang ku bi kevneşopî piştî Xia hatiye, ya herî kevin e ku hem tomarên nivîskî yên hemdem û hem jî delîlên arkeolojîk ên bêguman ji bo xanedaniyê hene.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=The history of China |url=https://archive.org/details/historyofchina0000unse_i8n4 |weşanger=Britannica Educational Publishing in association with Rosen Educational Services |tarîx=2011 |isbn=978-1-61530-181-2 |çap=1 |cih=New York, NY |paşnavê-edîtor=Pletcher |pêşnavê-edîtor=Kenneth |series=Understanding China }}</ref> Şang heta sedsala 11an a berî zayînê li geliyê Çemê Zer hikumdarî kiriye û delîlên herî kevn ên zexm ên di derbarê xanedaniyê de bi qasî sala 1300 berî zayînê de ne.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Chinese religions: beliefs and practices |url=https://archive.org/details/chinesereligions0000fowl |paşnav=Fowler |pêşnav=Jeaneane D. |weşanger=Sussex Academic Press |tarîx=2008 |isbn=978-1-84519-172-6 |cih=Brighton ; Portland, Or |paşnav2=Fowler |pêşnav2=Merv |series=The Sussex library of religious beliefs and practices }}</ref> Nivîsara hestiyê orakulê ku ji dora sala 1250 berî zayînê hatiye îspat kirin<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Boltz |pêşnav=William G. |tarîx=1986 |sernav=Early Chinese writing |url=http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00438243.1986.9979980 |kovar=World Archaeology |ziman=en |cild=17 |hejmar=3 |rr=420–436 |doi=10.1080/00438243.1986.9979980 |issn=0043-8243 }}</ref><ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Keightley |pêşnav=David N. |tarîx=1996-10-01 |sernav=Art, Ancestors, and the Origins of Writing in China |url=https://online.ucpress.edu/representations/article/doi/10.2307/2928708/82714/Art-Ancestors-and-the-Origins-of-Writing-in-China |kovar=Representations |ziman=en |cild=56 |rr=68–95 |doi=10.2307/2928708 |issn=0734-6018 }}</ref> lê bi gelemperî hatiye texmînkirin ku pir kevintir e ku nûnertiya şêweya herî kevin a nivîskî ya çînî dike<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=International dictionary of historic places |weşanger=Fitzroy Dearborn Publishers |tarîx=1994 |isbn=978-1-884964-05-3 |cih=Chicago |paşnavê-edîtor=Ring |pêşnavê-edîtor=Trudy |paşnavê-edîtor2=Salkin |pêşnavê-edîtor2=Robert M. |paşnavê-edîtor3=La Boda |pêşnavê-edîtor3=Sharon }}</ref> û koka rasterast ê tîpên çînî ya nûjen e.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=The Oxford handbook of the history of linguistics |url=https://archive.org/details/oxfordhandbookof0000unse_l6r3 |weşanger=Oxford University Press |tarîx=2013 |isbn=978-0-19-958584-7 |çap=1 |cih=Oxford |paşnavê-edîtor=Allan |pêşnavê-edîtor=Keith |series=Oxford handbooks in linguistics }}</ref> Her çiqas desthilatdariya navendî ya Kurê Ezmanan hêdî hêdî ji aliyê axayên fengjian ve hatibe hilweşandin jî, Şang ji aliyê Zhou ve hatiye hilweşandin ku di navbera sedsalên 11 û 5ên {{bz}} de hikum kirine. Di dawiyê de hinek mîrektî ji xanedaniya Zhouyên qelsbûyî derdikevin holê û di serdema bihar û payîzê de 300 sal bi hev re şer kirine. Heta serdema dewletên şer ên sedsalên 5 û 3ê {{bz}} de, heft dewletên mezin û bihêz dimînin.<ref>{{Jêder-nûçe |sernav=Warring States {{!}} Definition, Period, Significance, & Facts |url=https://www.britannica.com/event/Warring-States |roja-gihiştinê=2026-02-04 |xebat=Encyclopedia Britannica |ziman=en }}</ref> === Serdema împeratoriyan === ==== Qîn û Han ==== [[Wêne:Han Expansion.png|thumb|çep|Berfirehbûna ber bi başûr ve ya Xanedaniya Han di sedsala 2an a berî zayînê de.]] Serdema Dewletên Şer di sala 221ê {{bz}} de bi dawî bûye û piştî ku dewleta Qîn şeş dewletên din desteser dike, Çîn ji nû ve dibe yek û rêjîma serdest a otokratîk hatiye avakirin. Qiral Zheng ê Qin xwe wekê împeratorê xanedana Qin diyar dike û bûye yekem împaratorê Çînek yekgirtî. Wî reformên qanûnî yên Qîn bicîh aniye ku bi taybetî di nav de standardkirina tîpên çînî, pîvan, firehiya rêyan û standartkirina diravê hebûn. Di heman demê de xanedana wî erdên eşîrên Yueyê li Guangxi, Guangdong û li bakurê Viyetnamê desteser kiriye.<ref name="Twitchett1986"/> Xanedana Qin tenê panzdeh salan berdewam kiriye û piştî mirina împeratorê yekem di demek kurt de hilweşiyaye.<ref name="Twitchett1986">{{Jêder-kitêb |sernav=The Ch'in and Han empires: 221 B.C.-A.D. 220 sf ed. by Denis Twitchett and Michael Loewe |paşnav=Twitchett |pêşnav=Denis Crispin |weşanger=Cambridge university press |tarîx=1986 |isbn=978-0-521-24327-8 |cih=Cambridge New York Melbourne |paşnav2=Loewe |pêşnav2=Michael |paşnav3=Fairbank |pêşnav3=John King |series=The Cambridge history of China }}</ref><ref name="Lewis2007">{{Jêder-kitêb |sernav=The Early Chinese Empires: Qin and Han |url=https://archive.org/details/historyofimperia00broo |paşnav=Lewis |pêşnav=Mark Edward |weşanger=Belknap Press of Harvard University Press |tarîx=2007 |isbn=978-0-674-02477-9 |cih=Cambridge, Mass }}</ref> Piştî serhildanên berfireh ku di dema serhildanan de pirtûkxaneya împeratoriyê hatiye şewitandin, Xanedaniya Han di navbera salên 206 {{bz}} û 220 salên {{pz}} de li Çînê hukum kiriye û di nav gelê xwe de nasnameyek çandî afirandiye ku hê jî di etnonîmê çîniyên Han ên nûjen de tê bibîranîn.<ref name="Twitchett1986" /><ref name="Lewis2007" /> Xanedana Hanê axa împeratoriyê bi awayekî berbiçav berfireh kiriye ku bi kampanyayên leşkerî ku gihîştin [[Asyaya Navendî|Asyaya Navîn]], Mongolya, Kore û Yunnan, Guangdong û bakurê Viyetnamê ji Nanyue vegerandine. Tevlîbûna Hanê ya li Asyaya Navendî û Sogdyayê alîkarî daye avakirina rêya bejahî ya rêya vevrîşimê ku alternatîveke rêya berê ya li ser Hîmalaya ber bi Hindistanê ve diçû bû. Di heman demê de di vê serdemê de Çîn a Hanê hêdî hêdî bûye aboriya herî mezin ê cîhana kevnar.<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Dahlman |pêşnav=Carl J. |paşnav2=Aubert |pêşnav2=Jean-Eric |tarîx=2001 |sernav=China and the Knowledge Economy: Seizing the 21st Century. WBI Development Studies |url=https://eric.ed.gov/?id=ED460052 |kovar=eric.ed |ziman=en }}</ref> Tevî nenavendîbûna destpêkê ya Han û terikandina fermî ya felsefeya legalîzmê ya Qîn û li cihê wî konfuçyusîzm, sazî û polîtîkayên legalîst ên Qin ji aliyê hikûmeta Han û cîgirên wî ve hatiye berdewam kirin.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=World History: Journeys from Past to Present - VOLUME 1: From Human Origins to 1500 CE |url=https://archive.org/details/isbn_2900415670028 |paşnav=Goucher |pêşnav=Candice |weşanger=Taylor and Francis |tarîx=2013 |isbn=978-1-135-08822-4 |çap=2 |cih=Hoboken |paşnav2=Walton |pêşnav2=Linda A. }}</ref> ==== Hersê qiraliyet, Jîn û Xanedanên bakur û başûr ==== Piştî bidawîhatina xanedaniya Han, serdemeke şer û pevçûnê ya bi navê Sê Qiraliyetê hatiye destbiserkirin ku di dawiya şer de Wei bi awayekê bilez ji aliyê xanedaniya Jîn ve hatiye hilweşandin. Bi derketina împeratorekî seqet ê li ser textê, Jîn ketiye nav şerê navxweyî û piştre pênc barbaran dest bi serhildanan dikin û li bakurê Çînê bi navê rêveberiya şazdeh dewletan hikum kirine. Xianbei wan wekê wei bakur dike yek ku împeratorê wê Xiaowen polîtîkayên apartheidê yên pêşiyên xwe berevajî kiriye û li ser gelê xwe cezakirineke tund ferz kiriye. Li başûr, general Liu Yu destjiberdana Jîn û Liu Song misoger kiriye. Navên cûrbecûr ên van dewletan wekê xanedaniyên bakur û başûr hatine guhertin û her du herêm di dawiyê de di sala 589an de ji aliyê Sui ve ji nû ve hatiye yek kirin.<ref>{{Jêder-nûçe |sernav=China - Sui Dynasty, Grand Canal, Reunification {{!}} Britannica |url=https://www.britannica.com/place/China/The-Sui-dynasty |roja-gihiştinê=2026-02-04 |xebat=Encyclopedia Britannica |ziman=en }}</ref> ==== Sui, Tang û Song ==== Sui Han li serweriya xwe li seranserê Çînê vegerandiye ser desthilatdariyê, çandinî, aborî û sîstema ezmûna împeratoriyê nûjen kiriye, qenala mezin ava kiriye û piştgiriya budîzmê kiriye. Lêbelê dema ku leşkeriya wan ji bo karên giştî û şerekî têkçûyî li Koreya Bakur bûye sedema nerazîbûnên berfireh, ev împeratorî bi awayekê bilez hilweşiyaye.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=A new history of Korea |paşnav=I |pêşnav=Gi baeg |weşanger=Harvard University Press |tarîx=1984 |isbn=978-0-674-61576-2 |cih=Cambridge |paşnav2=Wagner |pêşnav2=Edward Willett |paşnav3=Shultz |pêşnav3=Edward J. |paşnav4=I |pêşnav4=Gi baeg }}</ref><ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Medieval Chinese warfare, 300-900 |url=https://archive.org/details/medievalchinesew0000graf |paşnav=Graff |pêşnav=David Andrew |weşanger=Routledge |tarîx=2002 |isbn=978-0-415-23954-7 |cih=London ; New York |series=Warfare and history }}</ref> Di bin desthilatdariya xanedaniyên Tang û Song ên li pey hev de, aboriya Çînê, teknolojî û çanda Çînê derbasê serdemeke zêrîn bûye.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Politics: The Genius of T’ang |paşnav=Adshead |pêşnav=S. A. M. |weşanger=Palgrave Macmillan UK |tarîx=2004 |rr=30–67 |isbn=978-0-230-00551-8 |cih=London |ziman=en |paşnavê-edîtor=Adshead |pêşnavê-edîtor=S. A. M. |url=https://doi.org/10.1057/9780230005518_2 |doi=10.1057/9780230005518_2 }}</ref> Di heman demê de xanedaniya Tang kontrola herêmên rojava û rêya hevrîşimê parastiye.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=The economic and social history of Former Han |paşnav=Sadao |pêşnav=Nishijima |weşanger=Cambridge University Press |tarîx=1986 |rr=545–607 |isbn=978-0-521-24327-8 |cild=1 |cih=Cambridge |paşnavê-edîtor=Twitchett |pêşnavê-edîtor=Denis |url=https://www.cambridge.org/core/books/cambridge-history-of-china/economic-and-social-history-of-former-han/2C38C79DC7D76BDA4A073CAE0572086C |series=The Cambridge History of China |paşnavê-edîtor2=Loewe |pêşnavê-edîtor2=Michael |doi=10.1017/CHOL9780521243278.012 }}</ref> Lêbelê xanedanî di sedsala 8an de ji ber serhildana An Lushan wêran û lawaz bûye.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Columbia chronologies of Asian history and culture |paşnav=Bowman |pêşnav=John Stewart |weşanger=New York : Columbia University Press |tarîx=2000 |isbn=978-0-231-11005-1 |kesên-din=Internet Archive |url=http://archive.org/details/columbiachronolo00john }}</ref> Di sala 907an de, dema ku rayedarên leşkerî yên herêmî bêserûber dibin ku Tang bi tevahî ji hev hatiye belav kirin.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=China: five thousand years of history and civilization |weşanger=City Univ. of Hong Kong Press |tarîx=2007 |isbn=978-962-937-140-1 |cih=Hong Kong |paşnavê-edîtor=City University of Hong Kong }}</ref> Dema ku waliyên leşkerî yên herêmî nema dihatin birêvebirin, di sala 907an de, Tang bi tevahî hilweşiya. Xanedaniya Song di sala 960an de rewşa cudaxwaziyê bi dawî kiriye û ev yek bûye sedema hevsengiyeke hêzê ya di navbera xanedaniya Song û xanedaniya Liao de. Song di dîroka cîhanê de yekem hikûmeta ku pereyên kaxez derxistiye û yekem hikûmeta çînî bû ku hêzeke deryayî ya daîmî ava kiriye ku ji aliyê pîşesaziya keştîvaniyê ya pêşketî û bi bazirganiya deryayî ve hatibû piştgirî kirin.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Chronicle of the Chinese emperors : the Reign-by-Reign Record of the rulers of Imperial China |url=https://archive.org/details/chronicleofchine00palu |paşnav=Paludan |pêşnav=Ann |weşanger=Thames and Hudson |tarîx=1998 |isbn=978-0-500-05090-3 |cih=London }}</ref> Di navbera sedsalên 10 û 11an ên {{pz}} de, nifûsa Çînê du car zêde bûye û gihîştiye li dora 100 milyon kesî ku ev zêdebûn bi piranî ji ber berfirehbûna çandiniya birinc ê li navend û li başûrê Çînê û hilberîna zêdehiyên xwarinê ya zêde pêk hatiye. Xanedana Song her wiha vejîna konfuçyusîzmê dibîne ku wekê bersivek li hemberê mezinbûna budîzmê di dema Tang de û geşbûna felsefe û huneran. Di heman demê de hemam de hunera dîtbarî û porselenê gihîştibûn astên nû yên bilind.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.metmuseum.org/essays/northern-song-dynasty-960-1127 |sernav=Northern Song Dynasty (960–1127) - The Metropolitan Museum of Art |malper=www.metmuseum.org |tarîx=2001-10-01 |roja-gihiştinê=2026-02-04 |ziman=en |paşnav=Art |pêşnav=Department of Asian }}</ref><ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Essentials of Neo-Confucianism: eight major philosophers of the Song and Ming periods |paşnav=Huang |pêşnav=Siu-chi |weşanger=Greenwood Press |tarîx=1999 |isbn=978-0-313-26449-8 |cih=Westport, Conn |series=Resources in Asian philosophy and religion }}</ref> Lêbelê qelsiya leşkerî ya artêşa Song ji aliyê xanedana Jîn ve hatiye dîtin. Di sala 1127an de, împerator Huizong, împerator Qinzong ê Song û paytext Bianjing di dema şerên Jin-Song de hatine desteserkirin. Paşmayên Song vekişiyan başûrê Çînê û Song li Jiankangê ji nû ve hatiye avakirin.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Daily life in China, on the eve of the Mongol invasion, 1250-1276 |paşnav=Gernet |pêşnav=Jacques |weşanger=Stanford, Calif., Stanford University Press |tarîx=1962 |isbn=978-0-8047-0720-6 |kesên-din=Internet Archive |url=http://archive.org/details/dailylifeinchina00gern }}</ref> ==== Yuan, Mîng û Qîng ==== [[Wêne:Badaling China Great-Wall-of-China-01.jpg|thumb|Împeratorê yekem ê Çînê, Qîn Shi Huang, bi yekkirina dîwarên Dewletên Şer ji bo avakirina Dîwarê Mezin ê Çînê navdar e. Piraniya dîwarên heyî ji serdema xanedaniya Ming e.]] Dagirkirina Çînê ji aliyê mongolan ve di sala 1205an de bi kampanyayên li dijî Xia ya Rojava ji aliyê Cengîz Xan ve dest pê kiriye ku wî êrîşî axên Jîn kiribû.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=The Mongol Conquests in World History |paşnav=May |pêşnav=Timothy |weşanger=Reaktion Books |tarîx=2013 |isbn=978-1-86189-971-2 |cih=London |series=RB-Globalities }}</ref><ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Genghis Khan and the making of the modern world |paşnav=Weatherford |pêşnav=Jack |weşanger=Three Rivers Press |tarîx=2012 |isbn=978-0-609-80964-8 |çap= |cih=New York }}</ref> Di sala 1271ê de, serokê mongolan Kubîlay Xan, xanedana Yuan ava kiriye ku di sala 1279an de bermahiyên dawîn yên xanedana Songê dagirkiriye. Berî dagirkirina mongolan, nifûsa Çîna Song 120 milyon bû ku ev hejmar di dema serjimêriya sala 1300an de daketibû 60 milyonan.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=I. Démographie: An estimate of the total population of Sung-Chin China |paşnav=Ho |pêşnav=Ping-Ti |weşanger=De Gruyter |tarîx=1970-12-31 |rr=33–54 |url=https://doi.org/10.1515/9783111542737-007 }}</ref> Cotkarekî bi navê Zhu Yuanzhang di sala 1368an de desthilatdariya Yuan hilweşandiye û xanedana Ming wekê Împeratoriya Hongwu damezrandiye. Di bin serweriya xanedaniya Ming de, Çîn serdemeke zêrîn a din jiyaye ku yek ji hêzên deryayî yên herî bihêz ên cîhanê û aboriyeke dewlemend û geş di nav geşbûna huner û çandê de pêş xistiye. Di vê serdemê de bû ku amîral Zheng He rêwîtiyên xezîneyên Ming li seranserê [[Okyanûsa Hindî]], heta rojhilatê Afrîkayê, birêve biriye.<ref>{{Jêder-nûçe |paşnav=Rice |pêşnav=Xan |tarîx=2010-07-25 |sernav=Chinese archaeologists' African quest for sunken ship of Ming admiral |url=https://www.theguardian.com/world/2010/jul/25/kenya-china |roja-gihiştinê=2026-02-04 |xebat=The Guardian |ziman=en-GB |issn=0261-3077 }}</ref> Di destpêka xanedaniya Mîng de, paytexta Çînê ji Nanjîngê ji bo Pekînê hatiye veguhastin. Bi geşbûna kapîtalîzmê re, fîlozofên wekê Wang Yangmîng rexne li neo-konfuçyusîzmê kirine û bi têgehên takekesiyê û wekheviya çar pîşeyan berfireh kirine.<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Youngmin |pêşnav=Kim, |tarîx=2005 |sernav=Wang Yangming (Wang Shou-Jen) |url=http://www.iep.utm.edu/wangyang/ |kovar=Internet Encyclopedia of Philosophy |issn=2161-0002 }}</ref> Tebeqeya zanyara fermî di tevgerên boykotkirina bacê de bûye hêzek piştgir a pîşesazî û bazirganiyê ku digel birçîbûn û parastina li dijî dagirkirina japonî ya Koreyê (1592–1598) û dagirkirinên Jîn ên paşîn bûye sedema westandina xezîneyê.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=论明末士人阶层与资本主义萌芽的关系 |ziman=zh-cn |url=https://www.docin.com/p-378667223.html }}</ref> Di sala 1644an de, Pekîn ji aliyê hevpeymaniyeke hêzên serhildêr ên gundî ve bi serokatiya Li Zicheng hatiye dagirkirin. Împeratorê Chongzhen dema ku bajar ket xwe kuştibû. Xanedaniya Mançûyî ya Qing ku wê demê bi generalê xanedaniya Ming Wu Sangui re hevalbend bû, xanedaniya Shun a kurt-temen a Lî hilweşandiye û paşê kontrola Pekîn bi dest xistibû ku bûye paytexta nû ya xanedaniya Qingê.<ref>{{Jêder-nûçe |sernav=Qing dynasty {{!}} Definition, History, & Achievements |url=https://www.britannica.com/topic/Qing-dynasty |roja-gihiştinê=2026-02-04 |xebat=Encyclopedia Britannica |ziman=en }}</ref> Xanedana Qîng ku ji 1644 heta 1912an berdewam kiriye ku xanedana împeratorî ya herî dawî ya Çînê bû. Di dema derbasbûna Mîng-Qîng (1618–1683) nêzîkê 25 milyon kes jiyana xwe ji dest dane lê diyar e ku Qîng hêza împeratorî ya Çînê ji nû ve ava kiriye û geşbûnek din a hunerê daye destpêkirin.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=A short history of the world |url=https://archive.org/details/shorthistoryofwo0000robe |paşnav=Roberts |pêşnav=J. M. |weşanger=Oxford University Press |tarîx=1997 |isbn=978-0-19-511504-8 |cih=New York }}</ref> Piştî ku Ming a Başûr bi dawî bûye û bi bidestxistina Xanateya Dzungarê Mongolya, Tîbetê û Sinjiang li împeratoriyê hatiye zêdekirin.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Ch'ing Inner Asia c. 1800 |paşnav=Fletcher |pêşnav=Joseph |weşanger=Cambridge University Press |tarîx=1978 |rr=35–106 |isbn=978-0-521-21447-6 |cild=10 |cih=Cambridge |paşnavê-edîtor=Fairbank |pêşnavê-edîtor=John K. |url=https://www.cambridge.org/core/books/cambridge-history-of-china/ching-inner-asia-c-1800/18BE9E502CEB370F0F8F496FB1F6F443 |series=The Cambridge History of China |doi=10.1017/CHOL9780521214476.003 }}</ref> Di heman demê de mezinbûna nifûsa Çînê ji nû ve dest pê kiriye û di demek kurt de dest bi zêdebûneke bilez a nifûsê destpêkiriye. Bi gelemperî hatiye qebûlkirin ku nifûsa Çîna berêmodernê du caran zêde bûye ku yek ji vê zêdebûna nifûsê di serdema Song a Bakur de bû (960–1127) û zêdebûna nifûsê ya din jî di serdema Qîng (dora 1700–1830) de pêk hatiye.<ref>{{Jêder-malper |url=https://eprints.lse.ac.uk/64492/1/WP219.pdf |sernav=Wayback Machine |malper=eprints.lse.ac.uk |roja-gihiştinê=2026-02-04 }}</ref> Di serdema Qîng a Bilind de, Çîn dibe ku welatê herî bazirganî yê cîhanê bû û Çîn a împeratorî di dawiya sedsala 18an de şoreşeke bazirganî ya duyem dîtiye.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=China's last empire: the great Qing |url=https://archive.org/details/chinaslastempire0000rowe |paşnav=Rowe |pêşnav=William T. |weşanger=The Belknap Press of Harvard University Press |tarîx=2009 |isbn=978-0-674-05455-4 |cih=Cambridge, Mass. London |series=History of imperial China }}</ref> Ji aliyekî din ve otokrasiya navendî bi qismî ji bo tepeserkirina hestên li dijî-Qîng bi siyaseta nirxandina çandiniyê û sînordarkirina bazirganiyê, mîna Haijin di serdema destpêkê ya Qîng de û kontrola îdeolojîk wekê ku ji aliyê lêpirsîna edebî ve tê temsîl kirin, hatiye xurt kirin ku bûye sedema hinek rawestana civakî û teknolojîk.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=ming qing shi |paşnav=jiang gong tao |tarîx=2010 |isbn=978-7-5108-0062-7 |cih=bei jing |series=zhong guo tong shi }}</ref><ref>{{Jêder-kitêb |sernav=zhong hua tong shi |paşnav=chen zhi ping |tarîx=1996 |isbn=978-7-5360-2320-8 |cih=guang zhou }}</ref> === Hilweşîna xanedaniya Qîng === [[Wêne:EightNations in1901.jpg|thumb|çep|Hevpeymaniya Heşt Neteweyan êrîşî Çînê kiribûn ku Bokserên li dijî-biyanî û piştgirên wan ên Qîng têk bibin. Wêne ji merasîmeke pîrozbahiyê di hundirê qesra împaratoriya Çînê ya li bajarê qedexekirî de piştî îmzekirina Protokola Bokser di sala 1901an de nîşan dide.]] Di nîvê sedsala 19an de, şerên Opiumê ya bi Brîtanya û Fransayê re Çînê neçar dike ku tezmînatê bide, benderên peymanan veke ku ji bo welatiyên biyanî destûrê bide derveyî welat û Hong Kongê di bin [[peymana Nankîngê]] ya sala 1842an de ku yekem ji wan peymanên ku wekê peymanên newekhev têne binavkirin, bide Brîtanyayê.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Asia in western and world history: a guide for teaching |url=https://archive.org/details/asiainwesternwor00ains |weşanger=M.E. Sharpe |tarîx=1997 |isbn=978-1-56324-264-9 |cih=Armonk, N.Y |paşnavê-edîtor=Embree |pêşnavê-edîtor=Ainslie Thomas |series=Columbia project on Asia in the core curriculum |paşnavê-edîtor2=Gluck |pêşnavê-edîtor2=Carol }}</ref> [[Şerê Çîn û Japonê yê Yekem]] (1894–1895) bûye sedema windakirina bandora Çîn a Qîng a li Nîvgirava Koreyê û her wiha Taywan jî ji Japonê re dihêle.<ref>{{Jêder-nûçe |sernav=Sino-Japanese War {{!}} 1894-1895 |url=http://www.britannica.com:80/EBchecked/topic/546176/Sino-Japanese-War |roja-gihiştinê=2026-02-04 |xebat=Encyclopedia Britannica |ziman=en }}</ref> Li Xanedaniya Qîng jî dest bi bêaramiyên navxweyî rû dide ku di encamê de bi deh milyonan mirov dimirin, nemaze Serhildana Lotusê Spî, Serhildana Taiping a têkçûyî de ku di salên di navbera salên 1850 û 1860an de başûrê Çînê wêran kiriye û Serhildana Dungan (1862–1877) li bakurê rojava rû daye li welat bûne sedema gelek pêvçûn û aloziyên giran. Serketina destpêkê ya Tevgera xwe bi hêzkirinê ya salên 1860î ji ber rêze têkçûnên leşkerî yên di salên 1880 û 1890î de têk çûye.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=jin dai zhong guo wai jiao shi shi xin yan |paşnav=li en han |tarîx=2004 |isbn=978-957-05-1891-7 |cih=tai bei }}</ref> Di sedsala 19an de, dîyasporaya mezin a çînî dest pê kiriye. Ziyana ji ber koçberiyê ji ber pevçûn û karesatên wekê [[Birçîbûna Bakurê Çînê 1876-1879an]] zêde bûye ku tê de di navbera 9 û 13 milyon kes jiyana xwe jidest dane.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.fao.org/4/U8480E/U8480E05.htm |sernav=Dimensions of need - People and populations at risk |malper=www.fao.org |roja-gihiştinê=2026-02-04 }}</ref> Împerator Guangxu di sala 1898an de planeke reformê amade kiriye ku monarşiyeke destûrî ya modern ava bike lê ev plan ji aliyê împeratorîçe Dowager Cixi ve hatine têkbirin. Serhildana Bokser a lidijî-biyanî ya bêbext a salên 1899 û 1901ê xanedaniyê zêdetir qels kiriye. Her çend Cixi bernameyek reforman piştgirî kiribe ku wekê reformên Qîng ên dereng têne zanîn, Şoreşa Xînhaî ya salên 1911 û 1912an dawî li xanedaniya Qîng aniye û Komara Çînê ava kiriye.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=A history of the modern chinese army |url=https://archive.org/details/historyofmodernc0000lixi |paşnav=Li |pêşnav=Xiaobing |weşanger=University Press of Kentucky |tarîx=2007 |isbn=978-0-8131-2438-4 |cih=Lexington }}</ref> Puyî ku împeratorê dawî yê xanedaniyê bû, di sala 1912an de dest ji text a xwe yê împeratoriyê berdaye.<ref>{{Jêder-malper |url=https://alphahistory.com/chineserevolution/abdication-emperor-puyi-1912/ |sernav=The abdication decree of Emperor Puyi (1912) |malper=Chinese Revolution |tarîx=2013-06-04 |roja-gihiştinê=2026-02-04 |ziman=en-US |paşnav=alphahis }}</ref> === Damezrandina Komarê û Şerê Cîhanê ya Duyem === Di 1ê çileya sala 1912an de Komara Çînê (ROC) hatiye damezrandin û Sun Yat-senê ji Kuomintang (KMT) wekî serokê demkî hatibû ragihandin.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=China: Understanding Its Past |paşnav=Tamura |pêşnav=Eileen H. |weşanger=University of Hawai'i Press |tarîx=1997 |isbn=978-0-8248-1923-1 |url=https://www.jstor.org/stable/j.ctt6wqmz4 |paşnav2=Menton |pêşnav2=Linda K. |paşnav3=Lush |pêşnav3=Noren W. |paşnav4=Tsui |pêşnav4=Francis K. C. |paşnav5=Cohen |pêşnav5=Warren }}</ref> Di adara sala 1912an de, Yuan Shikai wekê serokê hatiye diyarkirin ku generalekî berê ya Qîng ku di sala 1915an de xwe wekê împeratorê Çînê îlan kiriye. Li hember şermezarkirina gel û dijberiya artêşa xwe ya Beiyang, ew neçar dimîne ku di sala 1916an de dev ji textê berde û komarê ji nû ve ava bike.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Beijing: a concise history |paşnav=Haw |pêşnav=Stephen G. |weşanger=Routledge/Taylor & Francis Group |tarîx=2008 |isbn=978-0-415-39906-7 |çap= |cih=London |series=Routledge studies in the modern history of Asia }}</ref> Piştî mirina Yuan Shikai di sala 1916an de, Çîn ji aliyê siyasî ve perçe perçe bûye. Hikûmeta Çînê ya li Pekînê di asta navneteweyî de dihate naskirin lê bi rastî bêhêz bû ku serleşkerên herêmî piraniya axa Çînê kontrol dikirin.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Modern Chinese warfare, 1795-1989 |paşnav=Elleman |pêşnav=Bruce A. |weşanger=Routledge |tarîx=2001 |isbn=978-0-415-21473-5 |cih=London ; New York |series=Warfare and history }}</ref> Di vê heyamê de, Çîn beşdarî Şerê Cîhanê yê Yekem bûye û şahidiya serhildaneke gel a berfireh bi navê tevgera 4ê gulanê kiriye.<ref>{{Jêder-malper |url=https://thediplomat.com/2015/05/the-legacy-of-chinas-may-fourth-movement/ |sernav=The Legacy of China’s May Fourth Movement |malper=thediplomat.com |roja-gihiştinê=2026-02-05 |ziman=en-US |paşnav=Panda |pêşnav=Ankit }}</ref> [[Wêne:1945 Mao and Chiang.jpg|thumb|çep|Chiang Kai-shek û Mao Zedong di sala 1945an de piştî bidawîbûna Şerê Cîhanê yê Duyem bi hev re pîroz dikin.]] Di dawiya salên 1920î de Kuomîntang di bin serokatiya Chiang Kai-shek de bi rêze gerwerzaniyên leşkerî û siyasî yên serkevtî ku bi hev re wekê Sefera Bakur têne zanîn, dikare welêt ji nû ve bike yek perçe.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=China in War and Revolution, 1895-1949 |paşnav=Zarrow |pêşnav=Peter |weşanger=Routledge |tarîx=2006-06-07 |isbn=978-1-134-21977-3 |çap=0 |ziman=en |url=https://www.taylorfrancis.com/books/9781134219773 |doi=10.4324/9780203015629 }}</ref><ref>{{Jêder-kitêb |sernav=The Chinese Revolution in the 1920s |weşanger=Routledge |tarîx=2013-10-11 |isbn=978-1-136-87310-2 |çap=0 |ziman=en |paşnavê-edîtor=Felber |pêşnavê-edîtor=Roland |url=https://www.taylorfrancis.com/books/9781136873102 |paşnavê-edîtor2=Grigoriev |pêşnavê-edîtor2=A.M. |paşnavê-edîtor3=Leutner |pêşnavê-edîtor3=Mechthild |paşnavê-edîtor4=Titarenko |pêşnavê-edîtor4=M.L. |doi=10.4324/9781315029542 }}</ref> Kuomintang paytexta welêt veguhestiye Nanjingê û "wesiyeta siyasî" bicîh aniye ku qonaxek navîn a pêşketina siyasî ye ku di bernameya Sê Prensîbên Gel a Sun Yat-sen de ji bo veguherandina Çînê ji bo dewletek demokratîk a modern hatiye destnîşan kirin.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Government and politics in Kuomintang China, 1927-1937 |url=https://archive.org/details/governmentpoliti0000tien |paşnav=Tien |pêşnav=Hung-mao |weşanger=Stanford University Press |tarîx=1972 |isbn=978-0-8047-0812-8 |cih=Stanford, Calif }}</ref><ref>{{Jêder-kitêb |sernav=China and democracy: the prospect for a democratic China |url=https://archive.org/details/chinademocracypr0000unse |weşanger=Routledge |tarîx=2000 |isbn=978-0-415-92693-5 |cih=New York |paşnavê-edîtor=Zhao |pêşnavê-edîtor=Suisheng }}</ref> Her çiqas hevalbendî di sala 1927an de piştî ku Chiang bi tundî CCP û çepgirên din li Şanghayê tepeser kir, hilweşiyaye ku ev yek destpêka Şerê Navxweyî yê Çînê nîşan dide, Kuomintang di dema Sefera Bakur de ji bo demek kurt bi Partiya Komunîst a Çînê (CCP) re hevalbendî kiriye.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Revolutionary discourse in Maoś republic |url=https://archive.org/details/revolutionarydis0000apte |paşnav=Apter |pêşnav=David E. |weşanger=Harvard Univ. Press |tarîx=1994 |isbn=978-0-674-76780-5 |cih=Cambridge, Mass. |paşnav2=Saich |pêşnav2=Tony }}</ref> CCP di mijdara sala 1931ê de li Ruijin, Jiangxi, herêmên welêt wekê Komara Sovyet a Çînê (Jiangxi Sovyet) ragihandiye. Sovyeta Jiangsiyê di sala 1934an de ji aliyê artêşên KMT ve hatiye hilweşandin ku ev yek bûye sedem ku CCP meşa dirêj bide destpêkirin û biçe Yan'an a li Shaanxiyê. Ew ê bibe baregeha komunîstan a berî ku şerê navxweyî yê Çînê di sala 1949an de bi dawî bibe. Di sala 1931ê de, Japon êrîşî Mançûryayê kiriye û dagir kiriye. Japon di sala 1937an de êrîşî deverên din ên Çînê dike û ev yek bûye sedema Şerê Çîn û Japon a Duyem (1937–1945) ku ev jî yek ji qadên Şerê Cîhanê ya Duyem bû. Şerê di navbera Kuomintang û CCP de hevalbendiyeke qels çêkiriye. Hêzên japonî gelek zilmên şer li dijî nifûsa sivîl kirine ku heta 20 milyon sivîlên çînî di şer de jiyana xwe jidest dane.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.bbc.co.uk/history/worldwars/wwtwo/nuclear_01.shtml |sernav=BBC - History - World Wars: Nuclear Power: The End of the War Against Japan |malper=www.bbc.co.uk |roja-gihiştinê=2026-02-05 |ziman=en-GB }}</ref> Tenê li Nanjingê di dema dagirkirina japonan de li gorî texmînan ji 40.000 heta zêdetirî 300.000 çînî hatine qirkirin.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=China at War: Triumph and Tragedy in the Emergence of the New China |paşnav=van de Ven |pêşnav=Hans |weşanger=Harvard University Press |tarîx=2018-02-12 |isbn=978-0-674-91952-5 |url=http://www.jstor.org/stable/10.2307/j.ctvhrd0kx |doi=10.2307/j.ctvhrd0kx }}</ref> Komara Çînê, ligel Keyaniya Yekbûyî, Dewletên Yekbûyî yên Amerîkayê û Yekîtiya Sovyetê, di deklarasyona neteweyên yekbûyî de wekê yek ji "çar dewletên nezin" ên hevpeymanan hatiye diyar kirin.<ref>{{Jêder-malper |url=http://www.unmultimedia.org/searchers/yearbook/page.jsp?volume=1946-47&page=38 |sernav=UN Yearbook |malper=www.unmultimedia.org |roja-gihiştinê=2026-02-05 |ziman=en }}</ref><ref>{{Jêder-kitêb |sernav=The United States and the origins of the cold war, 1941-1947 |paşnav=Gaddis |pêşnav=John Lewis |weşanger=Columbia University Press |tarîx=2000 |isbn=978-0-231-12239-9 |cih=New York |kesên-din=American Council of Learned Societies |series=Contemporary American history series }}</ref> Li gel sê hêzên mezin ên din, Çîn yek ji çar hevalbendên sereke yên Şerê Cihê Duyem bû û piştre jî wekê yek ji serketîyên sereke yên şer hatiye hesibandin. Piştî radestbûna Japonan di sala 1945an de, Çîn bi awayeke serketî derdikeve lê ji ber şer wêran bûye û ji aliyê darayî ve pir lawaz bibû. Taywan, digel Penghu, radestî kontrola Komara Çînê hatiye kirin lêbelê derbasbûna vê radestkirinê bi nakok e.<ref name="Feldman1991">{{Jêder-kitêb |sernav=Constitutional Reform and the Future of the Republic of China |paşnav=Feldman |pêşnav=Harvey |weşanger=M.E. Sharpe |tarîx=1991 |isbn=978-0-87332-880-7 |ziman=en |url=https://books.google.com/books?id=xCxMn-2msr8C&pg=PA3 |paşnav2=Program |pêşnav2=Columbia University Taiwan Area Studies }}</ref> Di hezîrana sala 1946an de şer di navbera hêzên CCP û KMT de derketiye û welat ji nû ve dest bi şerê navxweyî kiriye ku zêdetirî sê salan berdewam kiriye. Di sala 1947an de rêveberiyeke destûrî hatiye damezrandin lê ji ber şerê berdewam, gelek bendên destûra Komara Çînê li ser axa sereke nehatiye bicîhanîn.<ref name="Feldman1991" /> === Komara gel a Çînê === [[Wêne:Mao Proclaiming New China.JPG|thumb|Merasîma damezrandina Komara Gel a Çînê di ku 1ê cotmeha sala 1949an de saet di 3:00ê piştî nîvro de pêk hatibû. Di wêneyê de damezrandina Komara Gel a Çînê ji aliyê Mao Zedong ve li Qada Tiananmenê tê ragihandin.]] Di sala 1949an de [[Partiya Komunîst a Çînê|Partiya Kominîst a Çînê]] piraniya Çînê kontrol kiriye û hikûmeta Komara Çînê xwe ji peravan ber bi Taywanê ve kişandiye. Di 1ê cotmeha sala 1949an de, serokê Partiya Komunîst a Çînê (PKÇ) Mao Zedong li qada Tiananmen a Pekînê bi fermî Komara Gel a Çînê ragihandiye.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.cnn.com/2019/09/29/asia/china-beijing-mao-october-1-70-intl-hnk |sernav=They were born at the start of Communist China. 70 years later, their country is unrecognizable |malper=CNN |tarîx=2019-09-30 |roja-gihiştinê=2026-02-05 |ziman=en |paşnav=Lee |pêşnav=Ben Westcott,Lily }}</ref> Di sala 1950an de, Komara Gel a Çînê Hainan ji Komara Çînê distîne û Tibetê jî desteser dike.<ref>{{Jêder-malper |url=https://news.google.com/newspapers?nid=1817&dat=19500509&id=FUw_AAAAIBAJ&pg=3627,3301880 |sernav=The Tuscaloosa News - Google News Archive Search |malper=news.google.com |roja-gihiştinê=2026-02-05 }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=http://www.usc.edu/dept/LAS/ir/cews/database/Tibet/tibet.pdf |sernav=Wayback Machine |malper=www.usc.edu |roja-gihiştinê=2026-02-05 |roja-arşîvê=2013-10-16 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20131016102314/http://www.usc.edu/dept/LAS/ir/cews/database/Tibet/tibet.pdf |rewşa-urlyê=mirî }}</ref> PKÇ bi rêya tevgera reforma axê populerbûna xwe di nav cotkaran de xurt kiriye ku tê de paşguh kirina dewletê ya bidarvekirinên di navbera 1 û 2 milyon xwediyên erdê ku ji aliyê cotkar û kirêdarên berê ve pêk hatibûn, hebû.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Communism in History and Theory: Asia, Africa, and the Americas |paşnav=Busky |pêşnav=Donald F. |weşanger=Praeger |tarîx=2002 |isbn=978-0-275-97733-7 |ziman=en |url=https://books.google.com/books?id=Q6b0j1VINWgC }}</ref> Her çend di destpêkê de Komara Gel a Çînê bi Yekîtiya Sovyetê re hevalbendiyeke nêzîk pêk anî be jî, têkiliyên di navbera her du welatên komunîst de hêdî hêdî xira bûye û ev yek bûye sedem ku Çîn pergaleke pîşesaziyê ya serbixwe û çekên xwe yên kîmyewî pêş bixe.<ref>{{Jêder-nûçe |paşnav=e. |pêşnav=dolan, ronald |paşnav2=library of congress. federal research division |paşnav3=matles |pêşnav3=savada, andrea |paşnav4=l. |pêşnav4=worden, robert |sernav=China : a country study / |url=https://www.loc.gov/item/87600493/ |roja-gihiştinê=2026-02-05 |xebat=The Library of Congress |ziman=en }}</ref> Nifûsa Çînê di sala 1950an de 550 milyon bû û di sala 1974an de jî gihîştiye 900 milyon kesan.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Students and Teachers of the New China: Thirteen Interviews |url=https://archive.org/details/studentsteachers0000holm |paşnav=Holmes |pêşnav=Madelyn |weşanger=McFarland & Company, Inc., Publishers |tarîx=2007 |isbn=978-0-7864-3288-2 |cih=Jefferson }}</ref> Lêbelê Great Leap Forward, projeyek pîşesazîkirinê ya mezin ê di navbera salên 1959 û 1961ê de bû sedema mirina ji 15 heta 55 milyon kesan ku piraniya wan ji ber birçîbûnê mirine.<ref>{{Jêder-nûçe |paşnav=MIRSKY |pêşnav=JONATHAN |sernav=‘Tombstone: The Great Chinese Famine, 1958-1962,’ by Yang Jisheng |url=https://www.nytimes.com/2012/12/09/books/review/tombstone-the-great-chinese-famine-1958-1962-by-yang-jisheng.html?nl=books&emc=edit_bk_20121207 |roja-gihiştinê=2026-02-05 |ziman=en }}</ref><ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Communism: a very short introduction |url=https://archive.org/details/communismverysho0000holm |weşanger=Oxford University Press |tarîx=2009 |isbn=978-0-19-955154-5 |cih=Oxford, UK |paşnavê-edîtor=Holmes |pêşnavê-edîtor=Leslie |series=Very short introductions }}</ref> Di sala 1964an de, Çînê yekem bombeya xwe ya atomî ceribandiye.<ref>{{Jêder-malper |url=http://www.china.org.cn/english/congress/228244.htm |sernav=1964: China's first atomic bomb explodes |malper=www.china.org.cn |roja-gihiştinê=2026-02-05 }}</ref> Di sala 1966an de, Mao û hevalbendên wî dest bi şoreşa çandî kirine ku deh sal ji sûcdarkirinên siyasî û aloziyên civakî dest pê kiriye ku heta mirina Mao ya di sala 1976an berdewam kiriye.<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Oh |pêşnav=John Kie-chiang |tarîx=1994 |sernav=Korean Challenges and American Policy. Edited by Ilpyong J. Kim. New York: Paragon House, 1991. xxvi, 582 pp. $19.95. |url=https://doi.org/10.2307/2059290 |kovar=The Journal of Asian Studies |cild=53 |hejmar=4 |rr=1282–1283 |doi=10.2307/2059290 |issn=0021-9118 }}</ref> Piştî mirina Mao, çeteya çaran ji aliyê Hua Guofeng ve hatine girtin û wekê berpirsiyarê şoreşa çandî hatiye dîtin. Şoreşa Çandî hatiye şermezarkirin ku bi milyonan kes rehabîlîte bibûn. Deng Xiaoping di sala 1978an de desthilatdariyê girtiye destê xwe û ligel "heşt pîr"an ku endamên herî payebilind û bi bandor ên partiyê bûn, dest bi reform û vebûnê kiribûn ku reformên siyasî û aborî yên berfireh xistibûn meriyetê.<ref>{{Jêder-malper |url=http://monthlyreview.org/chinaandsocialism.htm |sernav=China and Socialism - Monthly Review Press |malper=web.archive.org |roja-gihiştinê=2026-02-06 |roja-arşîvê=2009-01-05 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20090105220123/http://monthlyreview.org/chinaandsocialism.htm |rewşa-urlyê=bot: unknown }}</ref> Reformên aborî yek ji nîşana derbasbûna Çînê ya ji aboriya plankirî bû. Çîn destûra xwe ya heyî di 4ê kanûna pêşîn a sala 1982an de pejirandiye.<ref>{{Jêder-malper |url=http://www.nbr.org/publications/element.aspx?id=73 |sernav=The Impact of Tiananmen on China's Foreign Policy |malper=web.archive.org |roja-gihiştinê=2026-02-06 |ziman=en |roja-arşîvê=2014-04-04 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20140404193656/http://www.nbr.org/publications/element.aspx?id=73 |rewşa-urlyê=bot: unknown }}</ref> Di sala 1989an de, xwepêşandanên qada Tiananmenê destpêkiriye û piştre li seranserê welat berfireh bûye.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Deng Xiaoping and the transformation of China |url=https://archive.org/details/dengxiaopingtran0000ezra |paşnav=Vogel |pêşnav=Ezra F. |weşanger=Belknap Press of Harvard University Press |tarîx=2013 |isbn=978-0-674-72586-7 |çap= |cih=Cambridge, Massachusetts London, England |paşnav2=Deng |pêşnav2=Xiaoping }}</ref> Jiang Zemin dibe sekreterê giştî yê PKÇyê û piştre jî dibe serokê giştî ya partiyê.<ref name=":4">{{Jêder-malper |url=https://apnews.com/article/china-beijing-hong-kong-obituaries-jiang-zemin-4ee4c5dcaf567e02efa3c5c7186af30a |sernav=Jiang Zemin, who guided China's economic rise, dies |malper=AP News |tarîx=2022-11-30 |roja-gihiştinê=2026-02-06 |ziman=en }}</ref> Aboriya Çînê di vê demê de heft qat mezin bûye. Hong Konga Brîtanî û Makaoya Portekîzî di salên 1997 û 1999an de wekê herêmên îdarî yên taybet li gorî prensîba yek welat, du sîstem vegeriyane Çînê. Welat di sala 2001ê de tevlî rêxistina bazirganiya cîhanê bûye.<ref name=":4" /> Di 16em kongreya neteweyî ya PKÇyê ya sala 2002an de, Hu Jintao li cihê Jiang wekê sekreterê giştî ya partiyê hatiye hilbijartin.<ref name=":4" /> Di bin serokatiya Hu de, Çînê rêjeya bilind a mezinbûna aborî bidestxistiye ku ji Keyaniya Yekbûyî, Fransa, Almanya û Japonyayê derbas bûye û bû duyem aboriya herî mezin ê cîhanê.<ref>{{Jêder-nûçe |tarîx=2012-11-16 |sernav=Charting China's Economy: A Decade Under Hu Jintao |url=http://blogs.wsj.com/chinarealtime/2012/11/16/charting-chinas-economy-10-years-under-hu-jintao/ |roja-gihiştinê=2026-02-06 |xebat=Wall Street Journal |ziman=en-US |issn=0099-9660 }}</ref> Lêbelê mezinbûna aboriyê bandorek giran li ser çavkanî<ref name="Cody2006">{{Jêder-nûçe |paşnav=Cody |pêşnav=Edward |tarîx=2006-01-28 |sernav=In Face of Rural Unrest, China Rolls Out Reforms |url=http://www.washingtonpost.com/wp-dyn/content/article/2006/01/27/AR2006012701588.html |roja-gihiştinê=2026-02-06 |ziman=en-US |issn=0190-8286 }}</ref><ref>{{Jêder-nûçe |tarîx=2006-04-16 |sernav=China worried over pace of growth |url=http://news.bbc.co.uk/2/hi/asia-pacific/4913622.stm |roja-gihiştinê=2026-02-06 |ziman=en-GB }}</ref> û jîngeha welêt jî kiriye ku bûye sedema koçberiya mezin a civakî.<ref>{{Jêder-malper |url=https://migration.ucdavis.edu/mn/more.php?id=3166 |sernav=China: Migrants, Students, Taiwan - Migration News {{!}} Migration Dialogue |malper=migration.ucdavis.edu |roja-gihiştinê=2026-02-06 }}</ref><ref name="Cody2006"/> Xi Jinping di 18em kongreya neteweyî ya Partiya Komunîst a Çînê ya sala 2012an de li cihê Hu wekê serokê giştî dest bi karê xwe kiriye. Piştî ku Xi hat ser desthilatê, piştê demekê dest bi operasyoneke berfireh a dijî gendeliyê kiriye ku heta sala 2022an zêdetirî 2 milyon rayedar hatibûn darizandin.<ref>{{Jêder-nûçe |tarîx=2018-03-20 |sernav=China's anti-corruption campaign expands with new agency |url=https://www.bbc.co.uk/news/world-asia-china-43453769 |roja-gihiştinê=2026-02-06 |xebat=BBC News |ziman=en-GB }}</ref><ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Mao and Markets: The Communist Roots of Chinese Enterprise |paşnav=Marquis |pêşnav=Christopher |weşanger=Yale University Press |tarîx=2022-11-15 |isbn=978-0-300-26883-6 |url=http://www.jstor.org/stable/10.2307/j.ctv3006z6k |paşnav2=Qiao |pêşnav2=Kunyuan |doi=10.2307/j.ctv3006z6k }}</ref> Di dema serokatiya xwe de, Xi desthilatdariya xwe xurt kiriye ku ji destpêkirina reformên aborî û siyasî ve heya wê demê nehatibû dîtin.<ref>{{Jêder-nûçe |tarîx=2022-10-23 |sernav=Xi Jinping's party is just getting started |url=https://www.bbc.com/news/world-asia-china-63225277 |roja-gihiştinê=2026-02-06 |ziman=en-GB }}</ref> == Erdnîgarî == [[Wêne:China-Historic macro areas.svg|thumb|Ev nexşeya topografîk a Rojhilatê Asyayê ye bi deverên dîrokî û herêmên makro yên Çînê ve hatiye xêzkirin.]] Erdnîgariya Çînê erdnîgariyeke nerfireh û cihêreng e ku ji çola Gobi û Taklamakan li bakurê erdnîgariya hişk bigire heya daristanên subtropîkal li başûrê şil berdewam dike. Çiyayên Hîmalaya, Karakoram, Pamîr û Tîan Shan, Çînê ji piraniya Asyaya Başûr û Asyaya Navendî vediqetînin. Çemê Yangtze û çemê Zer ku bi rêzê ve sêyem û şeşem çemên herî dirêj ên cîhanê ne ku ji deşta Tîbetê ve ber bi peravê rojhilat a bi nifûsa giran ve diherikin. Xeta perava Çînê li ser peravê Okyanûsa Pasîfîk 14.500 km dirêj bûye ku bi deryayên Bohai, deryaya Zer, deryaya rojhilatê Çînê û deryaya başûrê Çînê welat ji aliyê deryayê ve hatiye dorpêçkirin. Çîn bi rêya sinorê Qazaxistanê bi deşta Ewrasyayê ve hatiye girêdan. Xaka Çînê di navbera hêlîpan a 18° û 54° bakur û hêlîlar a 73° û 135° rojhilat de ye. Navenda erdnîgarî ya Çînê bi monumenta navenda welat li 35°50′40.9″N 103°27′7.5″E hatiye destnîşankirin. Erdnîgariya Çînê li seranserê axa welat ya berfireh pir diguherin. Li rojhilat, li peravên deryaya Zer û deryaya rojhilat a Çînê, deştên aluvyal ên berfireh û bi qadên nifûsên zêde ne lê li qiraxên deşta mongolyaya hundir li bakur, şînahiyên berfireh serdest in. Başûrê Çînê bi gir û rêzeçiyayên nizm serdest e û di heman demê de li rojhilata navend deltayên du çemên sereke yên Çînê, memê Zer û Çemê Yangtze, hene. Çemên din ên sereke yên welat çemê Xi, Mekong, Brahmaputra û çemê Amur e. Li rojava rêzeçiyayên mezin hene ku bi taybetî rêzeçiyayên Hîmalaya li vê deverê ye. Deştên bilind di nav erdnîgariya zuha ya bakur de ye ku di nav de çolên bilind ên Taklamakan û Gobî hene, cih digirin. Çiyayê Everestê (8.848 m) ku xala herî bilind ê cîhanê ye, li ser sinorê Çîn û Nepalê bilind bûye.<ref>{{Jêder-malper |url=http://news.bbc.co.uk/2/hi/south_asia/8608913.stm |sernav=BBC News - Nepal and China agree on Mount Everest's height |malper=news.bbc.co.uk |roja-gihiştinê=2026-02-06 |ziman=en-GB }}</ref> Xala herî nizm a welêt û sêyem a xala herî nizm a cîhanê, korta gola hişkkirî ya gola Aydingê (-154 m) ku li depresyona Turpanê cih digire.<ref>{{Jêder-malper |url=http://www.nps.gov/deva/naturescience/lowest-places-on-earth.htm |sernav=Lowest Places on Earth - Death Valley National Park (U.S. National Park Service) |malper=www.nps.gov |roja-gihiştinê=2026-02-06 |ziman=en }}</ref> Tevî ku Çîn di navbera pênc herêmên demê ya erdnîgarî de (ji UTC+5 heta UTC+9) digire nav xwe, Çîn yek herêma demê ya neteweyî, Dema Standard a Çînê (UTC+8) bikar tîne.<ref name=":5">{{Jêder-malper |url=https://www.timeanddate.com/time/china/one-time-zone.html |sernav=Why Is There Only 1 Time Zone in China? |malper=www.timeanddate.com |roja-gihiştinê=2026-02-06 |ziman=en |paşnav=Buckle |pêşnav=Anne }}</ref><ref>{{Jêder-nûçe |sernav=About time: China's time zone |url=https://www.bbc.com/news/av/world-asia-pacific-12841280 |roja-gihiştinê=2026-02-06 |xebat=BBC News |ziman=en-GB }}</ref> Ev siyaseta demê ya yekgirtî di sala 1949an de hatiye pejirandin.<ref name=":5"/> === Avhewa === [[Wêne:Koppen-Geiger Map CHN present.svg|thumb|çep|Nexşeya dabeşkirina avhewayê ya Köppen-Geiger ya Çînê.]] Avhewaya Çînê bi giranî ji aliyê demsalên hişk û musonên şil ve serdest e ku dibe sedema cûdahiyên germahiyê yên berbiçav di navbera zivistan û havînê de. Di zivistanê de bayên bakur ên ku ji deverên bilindên fireh tên sar û hişk in; di havînê de, bayên başûr ên ji deverên peravê ên li firehiyên nizm germ û şil in.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Regional Climate Studies of China |url=https://archive.org/details/regionalclimates0000unse |weşanger=Springer |tarîx=2008 |isbn=978-3-540-79242-0 |cih=Berlin London |series=Regional climate studies }}</ref> Pirsgirêkek girîng a jîngehê li Çînê berfirehbûna berdewam a çolên Çînê ye ku bi taybetî çola Gobî çoleke berfireh ya Çînê ye.<ref>{{Jêder-nûçe |tarîx=2006-04-17 |sernav=Beijing hit by eighth sandstorm |url=http://news.bbc.co.uk/2/hi/asia-pacific/4915690.stm |roja-gihiştinê=2026-02-06 |ziman=en-GB }}</ref> Her çiqas rêzên darên ku ji salên 1970an vir ve hatine çandin pirbûna bahozên qûmê kêm kiribe jî, hişkesaliya dirêj û pratîkên çandiniyê yên nebaş bûne sedema bahozên tozê ku di her demsala biharê de li bakurê Çînê belav dibin û piştre belavê deverên din ên Rojhilatê Asyayê dibe ku di nav de welatên wekê Japon û Kore bi bandor dibe. Kalîteya avê, erozyon û kontrolkirina qirêjiyê di têkiliyên Çînê ya bi welatên din re bûne mijarên girîng. Helîna cemedên li Hîmalayayê dibe ku ji bo bi sed milyonan mirovan bibe sedema kêmbûna avê.<ref>{{Jêder-nûçe |tarîx=2008-11-24 |sernav=Himalaya glaciers melting much faster |url=http://www.nbcnews.com/id/27894721/ |roja-gihiştinê=2026-02-06 |xebat=msnbc.com |ziman=en }}</ref> Li gorî akademîsyenan ji bo ku guherîna avhewayê li Çînê bigihêje 1.5&nbsp;°C ê divê hilberîna elektrîkê ji komirê li Çînê bêyî girtina karbonê heta sala 2045an were bidawîkirin.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.efchina.org/Attachments/Report/report-lceg-20201210/Full-Report_Synthesis-Report-2020-on-Chinas-Carbon-Neutrality_EN.pdf |sernav=Wayback Machine |malper=www.efchina.org |roja-gihiştinê=2026-02-06 |roja-arşîvê=2021-04-16 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20210416100821/https://www.efchina.org/Attachments/Report/report-lceg-20201210/Full-Report_Synthesis-Report-2020-on-Chinas-Carbon-Neutrality_EN.pdf |rewşa-urlyê=mirî }}</ref> Ji ber zêdekirina hilberînê ya ji aliyê hikûmetên alîkar, statîstîkên fermî yên hikûmetê yên derbarê hilberîna çandiniyê ya Çînê de ne bêbawer hatiye ragihandin.<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Liu |pêşnav=Gengyuan |paşnav2=Wang |pêşnav2=Xueqi |paşnav3=Baiocchi |pêşnav3=Giovanni |paşnav4=Casazza |pêşnav4=Marco |paşnav5=Meng |pêşnav5=Fanxin |paşnav6=Cai |pêşnav6=Yanpeng |paşnav7=Hao |pêşnav7=Yan |paşnav8=Wu |pêşnav8=Feng |paşnav9=Yang |pêşnav9=Zhifeng |tarîx=2020-10-13 |sernav=On the accuracy of official Chinese crop production data: Evidence from biophysical indexes of net primary production |url=https://www.pnas.org/doi/full/10.1073/pnas.1919850117 |kovar=Proceedings of the National Academy of Sciences |cild=117 |hejmar=41 |rr=25434–25444 |doi=10.1073/pnas.1919850117 |pmc=7568317 |pmid=32978301 }}</ref> Piraniya Çînê xwedî keşûhewayek pir guncaw ê ji bo çandiniyê ye û welat mezintirîn hilberînerê cîhanê yê birinc, genim, bacanê sor, firingî, tirî, zebeş, ispenax û gelek berhemên din e.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.fao.org/faostat/en/ |sernav=FAOSTAT |malper=www.fao.org |roja-gihiştinê=2026-02-06 }}</ref> Di sala 2021ê de, ji sedî 12ê çêregeh û zozanên daîmî yên cîhanê û her wiha ji sedî 8ê erdê çandiniyê yê cîhanê li Çînê bûn.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=World Food and Agriculture – Statistical Yearbook 2023 |paşnav=FAO |weşanger=FAO ; |tarîx=2023 |isbn=978-92-5-138262-2 |ziman=en |url=https://openknowledge.fao.org/handle/20.500.14283/cc8166en |doi=10.4060/cc8166en }}</ref> === Biyopirrengî === [[Wêne:Giant Panda Eating.jpg|thumb|Pandayek mezin ku yek ji sembolên herî navdar ên Çînê ku li Baregeha Panda ya Chengdu ya li Sichuanê hatiye kişandin]] Çîn yek ji 17 welatên xwedî pirrengiya biyolojîkî ye ku du ji qadên biyolojîk ên sereke yên cîhanê, palearktîk û îndomalayayî li Çînê ye. Li gorî pîvanekê Çîn xwedî zêdetirî 34.687 cureyên ajalan û nebatan e ku ew piştî Brezîlya û Kolombiyayê Çîn sêyem welatê herî biyolojîk ê cîhanê ye.<ref>{{Jêder-malper |url=http://rainforests.mongabay.com/03highest_biodiversity.htm |sernav=Countries with the Highest Biological Diversity |malper=rainforests.mongabay.com |roja-gihiştinê=2026-02-06 }}</ref> Çîn welat alîgirê peymana cûrbecûrîya biyolojîk e ku stratejîya neteweyî û plana çalakîyê ya cûrbecûrîya biyolojîk a Çînê di sala 2010an de ji alîyê peymanê ve hatiye wergirtin.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.cbd.int/countries/?country=cn |sernav=Country Profiles |malper=www.cbd.int |roja-gihiştinê=2026-02-06 |ziman=en |paşnav=Unit |pêşnav=Biosafety }}</ref> Çîn malavanê herî kêm 551 cureyên memikdaran (sêyem cureyê herî bilind ê cîhanê),<ref>{{Jêder-malper |url=http://www.iucnredlist.org/initiatives/mammals/analysis/geographic-patterns |sernav=Geographic Patterns |malper=www.iucnredlist.org |roja-gihiştinê=2026-02-06 }}</ref> 1.221 cureyên çûkan (heştem),<ref>{{Jêder-malper |url=http://rainforests.mongabay.com/03birds.htm |sernav=Countries with the most number of bird species |malper=rainforests.mongabay.com |roja-gihiştinê=2026-02-06 }}</ref> 424 cureyên xezalkan (heftem)<ref>{{Jêder-malper |url=http://rainforests.mongabay.com/03reptiles.htm |sernav=Countries with the most number of reptile species |malper=rainforests.mongabay.com |roja-gihiştinê=2026-02-06 }}</ref> û 333 cureyên amfîbîyan (heftem) dike.<ref>{{Jêder-malper |url=http://www.iucnredlist.org/initiatives/amphibians/analysis/geographic-patterns |sernav=Geographic Patterns |malper=www.iucnredlist.org |roja-gihiştinê=2026-02-06 }}</ref> Jiyana kovî ya li Çînê jîngeha xwe bi yek ji mezintirîn nifûsa mirovan a cîhanê re parve dike û zexteke giran li ser wan dike. Bi kêmanî 840 cureyên ajalan di bin gefê de ne, lawaz in an jî di xetereya tunebûnê de ne ku bi giranî ji ber çalakiyên mirovan ên wekî wêran kirina jîngehê, qirêjî û nêçîra ji bo xwarin, post û dermanê kevneşopî yê çînî ye.<ref>{{Jêder-nûçe |sernav=Infographic: Top 20 countries with most endangered species |url=https://www.mnn.com/earth-matters/animals/stories/infographic-top-20-countries-with-most-endangered-species |roja-gihiştinê=2026-02-06 |xebat=MNN - Mother Nature Network |ziman=en }}</ref> Jiyana kovî ya di bin xetereyê de bi qanûnê tê parastin û ji sala 2019an vir ve li Çînê zêdetirî 2,750 rezervên xwezayî hene ku bi tevahî 1.470.000 km² rûber digire nav xwe ku ji sedî 15ê tevahiya erdê Çînê pêk tîne.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.chinadaily.com.cn/a/201911/16/WS5dcfb5fba310cf3e35577cdc.html |sernav=China owns 2,750 natural reserves |malper=www.chinadaily.com.cn |roja-gihiştinê=2026-02-06 |paşnav=刘明 }}</ref> Piraniya ajalên kovî ji herêmên çandiniyê yên navendî yên rojhilat û navenda Çînê hatine tunekirin lê li başûr û rojavayê çiyayî rewşa wan baştir bûye.<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Turvey |pêşnav=Samuel T. |paşnav2=Tong |pêşnav2=Haowen |paşnav3=Stuart |pêşnav3=Anthony J. |paşnav4=Lister |pêşnav4=Adrian M. |tarîx=2013-09-15 |sernav=Holocene survival of Late Pleistocene megafauna in China: a critical review of the evidence |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0277379113002503 |kovar=Quaternary Science Reviews |cild=76 |rr=156–166 |doi=10.1016/j.quascirev.2013.06.030 |issn=0277-3791 }}</ref><ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Lander |pêşnav=Brian |paşnav2=Brunson |pêşnav2=Katherine |tarîx=2018 |sernav=WILD MAMMALS OF ANCIENT NORTH CHINA |url=https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-chinese-history/article/abs/wild-mammals-of-ancient-north-china/F4887C505A7A485BA0BAE09697574565 |kovar=Journal of Chinese History 中國歷史學刊 |ziman=en |cild=2 |hejmar=2 |rr=291–312 |doi=10.1017/jch.2017.45 |issn=2059-1632 }}</ref> Di 12ê kanûna sala 2006an de hatiye piştrastkirin ku Baiji nemaye.<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Waldron |pêşnav=Anthony |tarîx=2010 |sernav=''Witness to Extinction: How We Failed to Save the Yangtze River Dolphin''. ''By'' Samuel Turvey. Oxford and New York: Oxford University Press. $29.95. xii + 234 p. + 7 pl.; ill.; index. ISBN: 978‐0‐19‐954947‐4. 2008. |url=https://doi.org/10.1086/650241 |kovar=The Quarterly Review of Biology |cild=85 |hejmar=1 |rr=98–99 |doi=10.1086/650241 |issn=0033-5770 }}</ref> Çîn zêdetirî 32.000 cureyên nebatan ên damarî heye<ref>{{Jêder-malper |url=https://worldrainforests.com/03plants.htm |sernav=Countries with the most plant species |malper=WorldRainforests.com |roja-gihiştinê=2026-02-06 }}</ref> û malavanê cûrbecûr cureyên daristanan e. Daristanên sar ên qamîşî li bakurê welêt serdest in ku malavaniya cureyên heywanan ên wekê xezal û hirçê reş ê asyayî, 120 cureyên çûkan dike. Dibe ku li binê daristanên darê çam ên avhewaya şil de darên bambu hebin. Li deverên çiyayî yên bilind ên ku darên wekê Hevrist û ''Taxus'' hene, li cihê darên Bambu, daristanên baranê hene. Daristanên subtropîkal ên ku li navend û li başûrê Çînê ye malavaniya cureyên nebatan dike ku di nav de gelek cureyên endemîk ên kêm hene. Daristanên baranê yên tropîkal û demsalî, her çend bi Yunnan û Hainanê ve sînordar bin jî, çaryeka hemî cureyên ajal û nebat ên li Çînê têne dîtin, vedihewînin. Li Çînê zêdetirî 10.000 cureyên tomarkirî yên kiyarkan hene.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Conservation biology: voices from the tropics |weşanger=John Wiley & Sons Inc |tarîx=2014 |isbn=978-1-118-67980-7 |cih=Chichester, West Sussex, UK : Hoboken, NJ |paşnavê-edîtor=Sodhi |pêşnavê-edîtor=Navjot S. }}</ref> == Rêveberî û polîtîka == [[Wêne:China Senate House.jpg|thumb|Hola Mezin a Gel ku Kongreya Neteweyî ya Gel lê dicive.]] Komara Gel a Çînê dewletek komunîst e ku ji aliyê Partiya Komunîst a Çînê (PKÇ) ve tê rêvebirin. PKÇ bi fermî ji aliyê sosyalîzma bi taybetmendiyên çînî ve tê rêvebirin ku ew wekê marksîzma li gorî şert û mercên Çînê hatiye adaptekirin, bi nav dike.<ref>{{Jêder-malper |url=http://news.xinhuanet.com/english/china/2013-01/05/c_132082389.htm |sernav=Xi reiterates adherence to socialism with Chinese characteristics - Xinhua {{!}} English.news.cn |malper=news.xinhuanet.com |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-US }}</ref> Destûra bingehîn a Çînê dibêje ku Komara Gel a Çînê "dewleteke sosyalîst e ku ji aliyê dîktatoriyeke demokratîk a gel ve tê birêvebirin ku ji aliyê çîna karker ve tê rêvebirin û li ser bingeha tifaqeke karker û cotkaran e" ku "taybetmendiya diyarkar a sosyalîzmê bi taybetmendiyên çînî ya serokatiya Partiya Komunîst a Çînê ye."<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Wei |pêşnav=Changhao |paşnav2=Hu |pêşnav2=Taige |tarîx=2025-10-28 |sernav=Delaying Retirement via Procedural Shortcut: The Fragile Promises of China’s Lawmaking Reforms |url=https://doi.org/10.22459/mic.10.01.2025.02 |kovar=Made in China Journal |cild=10 |hejmar=1 |doi=10.22459/mic.10.01.2025.02 |issn=2652-6352 }}</ref> Komara Gel a Çînê bi fermî xwe wekê demokrasiyekê ku bi taybetî, demokrasiyeke gel a pêvajoya tevahî ku li dora prensîba lenînîst a navendîbûna demokratîk hatiye organîzekirin, bi nav dike.<ref>{{Jêder-malper |url=https://decodingchina.eu/democracy/ |sernav=One moment, please... |malper=decodingchina.eu |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Lêbelê welat bi gelemperî wekê dewletek otorîter a yekpartî û dîktatorî tê binavkirin ku bi hinek sinordarkirinên herî giran ên cîhanê ya di gelek warên sivîl de disekine ku di nav van de bi taybetî astengiyên li dijî azadiya çapemeniyê, azadiya civînê, avakirina azad a rêxistinên civakî, azadiya dînî û azadiya înternetê heye.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=The perfect dictatorship: China in the 21st century |paşnav=Ringen |pêşnav=Stein |weşanger=HKU press |tarîx=2016 |isbn=978-988-8208-93-7 |cih=Hong Kong }}</ref><ref name="Qian2022">{{Jêder-nûçe |paşnav=Qian |pêşnav=Isabelle |paşnav2=Xiao |pêşnav2=Muyi |paşnav3=Mozur |pêşnav3=Paul |paşnav4=Cardia |pêşnav4=Alexander |tarîx=2022-06-21 |sernav=Four Takeaways From a Times Investigation Into China’s Expanding Surveillance State |url=https://www.nytimes.com/2022/06/21/world/asia/china-surveillance-investigation.html |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=The New York Times |ziman=en-US |issn=0362-4331 }}</ref><ref name=":13">{{Jêder-malper |url=https://freedomhouse.org/country/china/freedom-world/2024 |sernav=China: Freedom in the World 2024 Country Report |malper=Freedom House |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> Çîn bi berdewamî di rêza herî nizm a "rejîmên otorîter" de cih girtiye ku ji aliyê Endeksa Demokrasiyê ya Yekîneya Îstîxbarata Ekonomîst ve hatiye destnîşankirin û li gorî daneyên sala 2024an Çîn ji 167 welatên otorîter de di rêza 145an de ye.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.economist.com/interactive/democracy-index-2024 |sernav=The global democracy index: how did countries perform in 2024? |malper=The Economist |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> Hinek çavkaniyên din jî destnîşan dikin ku binavkirina Çînê wekê rêveberiyeke "otorîter" bi têra xwe mekanîzmayên şêwirmendiyê yên pirjimar ên ku di pergala hikûmeta Çînê de hene, rave nake.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=One and all: the logic of Chinese sovereignty |paşnav=Pang |pêşnav=Laikwan |weşanger=Stanford University Press |tarîx=2024 |isbn=978-1-5036-3822-8 |cih=Stanford, California }}</ref> === Partiya Komunîst a Çînê === Partiya Kominîst a Çînê partiya damezrîner û yekane ya desthilatdar a Komara Gel a Çînê ye. Li gorî rêziknameya desteya herî bilind a Partiya Kominîst a Çînê, Kongreya Neteweyî ye ku her pênc salan carekê li welat tê lidarxistin.<ref name="Ruwitch2022">{{Jêder-nûçe |paşnav=Ruwitch |pêşnav=John |tarîx=2022-10-13 |sernav=China's major party congress is set to grant Xi Jinping a 3rd term. And that's not all |url=https://www.npr.org/2022/10/13/1124553497/china-communist-party-congress-xi-jinping |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=NPR |ziman=en }}</ref> Kongreya Neteweyî Komîteya Navendî hildibijêre ku herî kêm salê carekê dicive. Piştre Komîteya Navendî Polîtburoya partiyê, Komîteya Daîmî ya Polîtburoyê û sekreterê giştî (serokê partiyê) ku serokatiya herî bilind a welêt e, hildibijêre.<ref name="Ruwitch2022" /> Sekreterê giştî desthilat û desthilatdariya dawî li ser partî û dewletê di destê xwe de digire û wekê rêberê herî bilind ê Çînê kar dike.<ref>{{Jêder-nûçe |paşnav=Hernández |pêşnav=Javier C. |sernav=China’s ‘Chairman of Everything’: Behind Xi Jinping’s Many Titles |url=https://www.nytimes.com/2017/10/25/world/asia/china-xi-jinping-titles-chairman.html |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> Kongreya Neteweyî her wiha Komîsyona Navendî ya Teftîşa Dîsîplînê ye ku desteya dîsîplînê ya herî bilind a Partiya Kominîst a Çînê, hildibijêre.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.chathamhouse.org/publications/the-world-today/2022-08/guide-chinese-communist-partys-national-congress |sernav=A guide to the Chinese Communist Party's National Congress {{!}} Chatham House – International Affairs Think Tank |malper=www.chathamhouse.org |tarîx=2022-08-03 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> Li Çînê hikûmet bi tevahî di bin kontrola Partiya Kominîst a Çînê de ye.<ref name=":7">{{Jêder-malper |url=https://www.scmp.com/news/china/politics/article/3133672/why-chinas-communist-party-inseparable-state |sernav=Explainer {{!}} Why China’s Communist Party is inseparable from the state |malper=South China Morning Post |tarîx=2021-05-17 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> Partiya Kominîst a Çînê erkdar kirinên di saziyên hikûmetê de kontrol dike û piraniya karbidestên payebilind ên hikûmetê endamên Partiya Kominîst a Çînê ne.<ref name=":7" /> Partiya Kominîst a Çînê di her astê hikûmetê de komîteyên xwe ava dike.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.congress.gov/crs-product/R46977 |sernav=China’s Political System in Charts: A Snapshot Before the 20th Party Congress |malper=www.congress.gov |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> === Rêveberî === [[Wêne:GreatHall auditorium.jpg|thumb|çep|Dîmenek ji hola kongreya neteweyî ya gel a Çînê.]] Kongreya neteweyî ya gel (KNG), bi nêzîkî 3.000 endaman xwe, wekê dezgehê herî bilind a desthilata dewletê û desthilatên yekgirtî yên dewletê vedihewîne ku sîstemek diafirîne ku hemî dezgehên dewletê, tevî serokatiyê, şûraya dewletê, komîsyona leşkerî ya navendî ya dewletê, dadgeha bilind a gel, dozgeriya bilind a gel û komîsyona çavdêriya neteweyî bi rêya navendîbûna demokratîk di bin çavdêriya kongreyê de ye. Lêbelê çavdêr pir caran vê wekê saziyeke "mohra lastîkî" bi nav dikin.<ref>{{Jêder-malper |url=http://news.bbc.co.uk/2/shared/spl/hi/in_depth/china_politics/government/html/7.stm |sernav=BBC NEWS |malper=news.bbc.co.uk |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> KNG salane dicive, di heman demê de Komîteya Daîmî ya KNGê ku nêzîkî 150 endam ji delegeyên KNGê têne hilbijartin ku her du mehan carekê dicive.<ref name=":10" /> Hilbijartin nerasterast in û ne piralî ne û namzedên li hemî astan bi qanûnê ji aliyê PKÇê ve têne kontrol kirin.<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Hao |pêşnav=Mingsong |paşnav2=Ke |pêşnav2=Xiwang |tarîx=2024-03-01 |sernav=Personal Networks and Grassroots Election Participation in China: Findings from the Chinese General Social Survey |url=https://doi.org/10.1007/s11366-023-09861-3 |kovar=Journal of Chinese Political Science |ziman=en |cild=29 |hejmar=1 |rr=159–184 |doi=10.1007/s11366-023-09861-3 |issn=1874-6357 }}</ref> KNG di bin kontrola PKÇê de ye û heşt partîyên din ên biçûk xwedî nûnertiya nomînal in ku di bin şertê parastina serokatiya Partiya Kominîst a Çînê (PKÇ) de ye.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.hrw.org/reports/2000/china/china009-01.htm |sernav=China: Nipped In The Bud - Background |malper=www.hrw.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Kongreya neteweyî ya gel serokê Çînê hildibijêre ku ew nûnerê merasîmî ya dewletê ye. Serokkomarê 2026an Xi Jinping e ku di heman demê de sekreterê giştî yê Partiya Kominîst a Çînê ye û serokê komîsyona leşkerî ya navendî ye ku bi vê yekê bûye rêberê herî bilind ê Çînê û bûye fermandarê giştî yê hêzên çekdarên Çînê. Serokwezîr serokê hikûmetê ye û serokê 2026an Li Qiang ku serokê Çînê ye. Serokwezîr bi fermî ji aliyê serokkomar ve tê destnîşankirin û piştre re ji aliyê kongreya neteweyî ya gel ve tê hilbijartin ku ev kesên ku dibin serokwezîr bi gelemperî endamê duyem an sêyem ê komîteya daîmî ya polîtburoyê (KDP) ye.<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Wei |pêşnav=Changhao |paşnav2=Hu |pêşnav2=Taige |tarîx=2025 |sernav=Delaying Retirement via Procedural Shortcut: The Fragile Promises of China's Lawmaking Reforms |url=https://doi.org/10.2139/ssrn.5233909 |kovar=SSRN Electronic Journal |doi=10.2139/ssrn.5233909 |issn=1556-5068 }}</ref> Serokwezîr serokatiya endamên konseya dewletê û kabîneya Çînê dike ku ji çar cîgirên serokwezîr, endamên şêwirmendên dewletê û serokên wezîran û komîsyonan pêk tên. Mîna kongreya kel, konferansa şêwirmendiya siyasî ya gelê Çînê jî xwedî binbeşan e ku di nav de komîteya neteweyî ya konferansa şêwirmendiya siyasî ya gelê Çînê ye û di sala 2026an de ji aliyê Wang Huning ve tê birêvebirin ku endamê çarem ê komîteya sosyalîst a gel e.<ref>{{Jêder-malper |url=https://thediplomat.com/2021/03/what-is-the-cppcc-anyway/ |sernav=What Is the CPPCC Anyway? |malper=thediplomat.com |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-US |paşnav=Tiezzi |pêşnav=Shannon }}</ref> Hikumeta Çînê bi pileya bilind a navendîbûna siyasî tê bireve birin lê bi nenavendîbûna aborî ya girîng ve tê karakterîze kirin.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=The new China playbook: beyond socialism and capitalism |url=https://archive.org/details/newchinaplaybook0000jink |paşnav=Jin |pêşnav=Keyu |weşanger=Viking |tarîx=2023 |isbn=978-1-9848-7828-1 |cih=New York }}</ref> Amûr an pêvajoyên siyasetê pir caran berî ku bi berfirehî werin sepandin li herêmê têne ceribandin ku di encamê de siyasetek çêdibe ku ceribandin û bersivê vedihewîne.<ref name="Heilmann2018">{{Jêder-kitêb |sernav=Red Swan: How Unorthodox PolicyMaking Facilitated China's Rise |paşnav=Heilmann |pêşnav=Sebastian |weşanger=The Chinese University Press |tarîx=2018 |isbn=978-962-996-827-4 |cih=Hong Kong }}</ref> Bi gelemperî, serokatiya hikûmeta navendî xwe ji hinek amadekariyên polîtîkayan dûr digire ku li cihê wê torên nefermî û serdanên malperê bikar tîne ku guhertinên di rêça ceribandinên polîtîkayên herêmî an bernameyên pîlot de piştrast bike an pêşniyar bike.<ref name="Brussee2023">{{Jêder-kitêb |sernav=Social Credit: The Warring States of China's Emerging Data Empire |paşnav=Brussee |pêşnav=Vincent |weşanger=Palgrave Macmillan |tarîx=2023 |isbn=978-981-99-2188-1 |çap=1 |cih=Singapore }}</ref> Rêbaza gelemperî ev e ku serokatiya hikûmeta navendî piştî ku polîtîka di astên herêmî de hatin pêşxistin, dest bi amadekirina polîtîka, qanûn, an rêziknameyên fermî dike.<ref name="Brussee2023" /> === Dabeşên îdarî === Komara Gel a Çînê li gorî destûra dewleteke yekgirtî ye ku ji 23 parêzgeh, pênc herêmên xweser (her yek bi komeke kêmneteweyên diyarkirî), çar şaredariyên ku rasterast têne birêvebirin ku bi hev re wekî "Çîn a sereke" têne binavkirin û her wiha ji herêmên îdarî yên taybet ên wekê Hong Kong û Makaoyê pêk tê.<ref>{{Jêder-malper |url=http://english.www.gov.cn/archive/china_abc/2014/08/27/content_281474983873401.htm |sernav=Administrative Division |malper=english.www.gov.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Her çend ev hemî herêm ji aliyê Komara Çînê ve têne rêvebirin jî, Komara Gel a Çînê girava Taywanê wekê parêzgeha xwe ya Taywanê, Kinmen û Matsu wekê beşek ji parêzgeha Fujian dibîne û giravên ku Komara Gel a Çînê li Deryaya Başûrê Çînê kontrol dike ku wekê beşek ji parêzgeha Hainan û parêzgeha Guangdong dibîne.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Place, Identity, and National Imagination in Post-war Taiwan |paşnav=Chang |pêşnav=Bi-yu |weşanger=Taylor and Francis |tarîx=2015 |isbn=978-1-317-65812-2 |cih=Hoboken |series=Routledge Research on Taiwan Series }}</ref> Ji aliyê erdnîgarî ve, hemî 31 beşên parêzgehên Çîn a sereke di şeş herêman bi navê Bakurê Çînê, Rojhilatê Çînê, Başûrê rojavayê Çînê, Başûrê Çîn a Navendî, Bakurê Rojavayê Çînê û Bakurê Rojhilatê Çînê hatine binavkirin.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Conclusion |paşnav=Brown |pêşnav=Kerry |weşanger=Macmillan Education UK |tarîx=2015 |rr=208–214 |isbn=978-1-137-51009-9 |cih=London |url=https://doi.org/10.1007/978-1-137-51012-9_10 }}</ref> {| border="0" |----- | '''Parêzgeh''' * [[Anhui]] (安徽) * [[Fujian]] (福建) * [[Gansu]] (甘肃) * [[Guangdong]] (广东), * [[Guizhou]] (贵州) * [[Hainan]] (海南), « Grava başûr» * [[Hebei]] (河北) * [[Heilongjiang]] (黑龙江) * [[Henan]] (河南) * [[Hubei]] (湖北) * [[Hunan]] (湖南) * [[Jiangsu]] (江苏) * [[Jiangxi]] (江西) * [[Jilin]] (吉林) * [[Liaoning]] (辽宁) * [[Qinghai]] (青海) * [[Shaanxi]] (陕西) * [[Shandong]] (山东), «li rojhilatê çiyê » * [[Shanxi]] (山西), «li rojavayê çiyê» * [[Sichuan]] (四川), «çar çem» * [[Yunnan]] (云南), «li başûrê ewran» * [[Zhejiang]] (浙江) * [[Taywan (Komara Gel a Çînê )|Taywan]] (台湾) | valign="top" | '''Herêmên xweser''' * [[Guangxi]] (广西壮族自治区), gelê wir [[Zhuang (netewe)|zhuang]] e. * [[Mongolya Hundir]] (内蒙古自治区) * [[Ningxia]] (宁夏回族自治区), gelê wir [[Hui (netewe)|hui]] ye. * [[Xinjiang]] (新疆维吾尔自治区), an Turkistana Çînî, gelê wir [[ûygûr]] e. * [[Tîbet]] (西藏自治区) <br /> '''Şaredarî''' * [[Beijing]] ([[Pekîn]]) (北京) * [[Chongqing]] (重庆) * [[Şanghay]] (上海) * [[Tianjin]] (天津) <br /> '''Herêmên îdarî yên taybet''' * [[Hong Kong]] (香港) * [[Makao]] (澳门) |} === Têkiliyên derve === [[Wêne:Diplomatic relations of China.svg|thumb|Nexşeya têkiliyên dîplomatîk ên Çînê]] Komara Gel a Çînê bi 179 welatên endam ên Neteweyên Yekbûyî re têkiliyên dîplomatîk bireve dibe û li 174 ji wan welatan balyozxaneyên Çînê hene. Ji sala 2024an vir ve, Çîn xwedî mezintirîn torên dîplomatîk ên cîhanê ye. Çîn yek ji pênc endamên daîmî yên konseya ewlekariyê ya neteweyên yekbûyî ye.<ref>{{Jêder-malper |url=http://www.taipeitimes.com/News/editorials/archives/2004/08/22/2003199768 |sernav=Taipei Times - archives |malper=www.taipeitimes.com |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Di heman demê de endamê rêxistinên navdewletî ye ku di nav wan de G20,<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.g20.org/en/about-g20/ |sernav=About G20 |malper=www.g20.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> Rêxistina Hevkariya Şanghayê,<ref>{{Jêder-nûçe |sernav=Riyadh joins Shanghai Cooperation Organization as ties with Beijing grow |url=https://www.reuters.com/world/riyadh-joins-shanghai-cooperation-organization-ties-with-beijing-grow-2023-03-29/ |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=Reuters |ziman=en-US }}</ref> BRICS,<ref>{{Jêder-nûçe |sernav=Bric summit ends in China with plea for more influence |url=https://www.bbc.co.uk/news/world-asia-pacific-13076229 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=BBC News |ziman=en-GB }}</ref> Lûtkeya Rojhilatê Asyayê<ref>{{Jêder-malper |url=https://eastasiasummit.asean.org/eas-participating-country |sernav=East Asia Summit |malper=eastasiasummit.asean.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-US |paşnav=Iman |pêşnav=Setiawan }}</ref> û APEC hene.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.apec.org/about-us/about-apec |sernav=About APEC {{!}} APEC |malper=APEC |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en |roja-arşîvê=2024-03-21 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20240321185610/https://www.apec.org/about-us/about-apec |rewşa-urlyê=mirî }}</ref> Her wiha Çîn endam û rêberê berê yê Tevgera Bêalî ye û di heman demê de hê jî Çîn xwe wekê parêzvaneke ji bo welatên pêşketî dibîne. Ji ber ku bandora Çînê di warên jeopolîtîk, teknolojî, pîşesazî, aborî û çandê de heye, Çîn bi berfirehî wekê hêzek super a potansiyel<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.france24.com/en/tv-shows/the-debate/20230405-macron-in-the-middle-french-president-in-china-amid-superpower-showdown |sernav=The Debate - Macron in the middle? French president in China amid superpower showdown |malper=France 24 |tarîx=2023-04-05 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://www.ft.com/content/3e96c85c-7ef7-4e74-85dc-c924599293a0 |sernav=Client Challenge |malper=www.ft.com |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> an jî wekê hêza super a damezrandî hatiye binavkirin.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.iris-france.org/en/china-as-a-technological-superpower/ |sernav=China as a Technological Superpower |malper=IRIS |tarîx=2025-01-30 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=fr }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://cepr.org/voxeu/columns/china-worlds-sole-manufacturing-superpower-line-sketch-rise |sernav=China is the world’s sole manufacturing superpower: A line sketch of the rise |malper=CEPR |tarîx=2024-01-17 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://www.yahoo.com/news/west-no-longer-afford-ignore-135424320.html |sernav=The West can no longer afford to ignore China’s superpower status |malper=Yahoo News |tarîx=2025-04-26 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-US }}</ref> Piraniya siyaseta derve ya Çînê ya niha bi fermî li ser pênc prensîbên hevjiyana aştîxwaz a serokwezîr Zhou Enlai û her wiha li ser têgeha "ahengek bêyî yekrengî" ye ku tevî cudahîyên îdeolojîk jî têkilîyên dîplomatîk di navbera dewletan de teşwîq dike.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=China From the Inside Out |paşnav=KEITH |pêşnav=RONALD C. |weşanger=Pluto Press |tarîx=2009-08-20 |isbn=978-1-84964-329-0 |url=https://doi.org/10.2307/j.ctt183p430 }}</ref> Li gorî siyaseta xwe ya nehevbendiyê, Çîn ji xeynî peymana xwe ya parastinê bi Koreya Bakur re ti hevpeymaniyên leşkerî nagire.<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Zhang |pêşnav=Ketian |tarîx=2025-06-02 |sernav=Alliances with Chinese characteristics? The contents and rationale of China’s strategic partnerships |url=https://doi.org/10.1057/s41311-025-00701-0 |kovar=International Politics |ziman=en |doi=10.1057/s41311-025-00701-0 |issn=1740-3898 }}</ref> Piraniya welatan meyla xwe dane ku Komara Gel a Çînê (KGÇ) nas bikin ku di sala 1971ê de cihê Komara Çînê ya li Neteweyên Yekbûyî girtiye. Komara Gel a Çînê bi fermî prensîba yek Çînê diparêze ku li gorî vê prensîbê, tenê dewletek serwer ê bi navê Çînê heye û Taywan jî beşek yekgirtî ya Çînê ye. Rewşa bêhempa ya Taywanê bûye sedem ku welatên ku Komara Gel a Çînê bi fermî nas dikin, "siyasetên yek Çîn" ên cûda bişopînin ku hinek welat bi eşkereyî rasterast îdiaya Komara Gel a Çînê ya li ser Taywanê nas dikin, hinek welatên din jî hene ku di nav wan de DYA û Japon heye ku vê yekê tenê wekê îdia qebûl dikin.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.ccpwatch.org/single-post/2017/12/29/one-china-multiple-interpretations |sernav=One China, Multiple Interpretations |malper=ccpwatch |tarîx=2017-12-28 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en |paşnav=Drun |pêşnav=Jessica |roja-arşîvê=2020-03-09 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20200309224301/https://www.ccpwatch.org/single-post/2017/12/29/One-China-Multiple-Interpretations |rewşa-urlyê=mirî }}</ref> [[Wêne:16th BRICS Summit family photograph (2024).jpg|thumb| Di 23ê cotmeha sala 2024an, Serokê Çînê Xi Jinping di 16em civîna BRICSê de li Kazan, Rûsyayê.]] Têkiliyeke nêzîk a siyasî, aborî û leşkerî ya Çînê bi Rûsyayê re heye ku her du dewlet pir caran di Konseya Ewlekariyê ya Neteweyên Yekbûyî de bi hev re deng dane.<ref>{{Jêder-nûçe |paşnav=Davidson |pêşnav=Helen |tarîx=2022-03-16 |sernav=How close are China and Russia and where does Beijing stand on Ukraine? |url=https://www.theguardian.com/world/2022/mar/16/how-close-are-china-and-russia-and-where-does-beijing-stand-on-ukraine |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=The Guardian |ziman=en-GB |issn=0261-3077 }}</ref><ref>{{Jêder-nûçe |tarîx=2012-06-05 |sernav=Russia-China unity on Syria as Putin arrives in Beijing |url=https://www.bbc.co.uk/news/world-asia-china-18327632 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=BBC News |ziman=en-GB }}</ref> Çînê di şerê Rûsya û Ûkraynayê de piştgiriya aborî, teknolojîk û dîplomatîk daye Rûsyayê.<ref>{{Jêder-nûçe |paşnav=Jozwiak |pêşnav=Rikard |tarîx=2025-07-13 |sernav=Beijing's Growing Boldness: China's Stance On Ukraine Sparks EU Alarm |url=https://www.rferl.org/a/beijing-growing-boldness-china-ukraine-eu-russia/33471891.html |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=Radio Free Europe/Radio Liberty |ziman=en }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://thediplomat.com/2025/07/chinas-position-on-russia-and-ukraine-is-a-warning-to-the-west-and-the-pacific/ |sernav=China’s Position on Russia and Ukraine Is a Warning to the West and the Pacific |malper=thediplomat.com |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-US }}</ref> Pêwendiya Çînê bi Dewletên Yekbûyî yên Amerîkayê re bi aloz e ku di nav wan de têkiliyên bazirganî yên kûr hene lê cudahîyên siyasî yên girîng jî hene.<ref>{{Jêder-nûçe |sernav=US-China Goods Trade Hits Record Even as Political Split Widens |url=https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-07/us-china-trade-climbs-to-record-in-2022-despite-efforts-to-split |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=Bloomberg.com |ziman=en }}</ref> Ji destpêka salên 2000î vir ve, Çînê ji bo bazirganî û hevkariya dualî bi welatên afrîkî re siyasetek şopandiye.<ref>{{Jêder-nûçe |sernav=A rising China counters US clout in Africa |url=https://www.csmonitor.com/2005/0330/p01s01-woaf.html |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=Christian Science Monitor |issn=0882-7729 }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://www.migrationpolicy.org/article/china-and-africa-stronger-economic-ties-mean-more-migration |sernav=China and Africa: Stronger Economic Ties Mean More Migration |malper=migrationpolicy.org |tarîx=2008-08-06 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en |paşnav=Politzer |pêşnav=Malia }}</ref> Çîn bi Yekîtiya Ewropayê re têkiliyên bazirganî yên berfireh û pirreng diparêze û bûye mezintirîn hevkarê Ewropayê ya bazirganiya kelûpelan.<ref name="Wolff2023">{{Jêder-malper |url=http://theconversation.com/how-china-is-increasing-its-influence-in-central-asia-as-part-of-global-plans-to-offer-an-alternative-to-the-west-206035 |sernav=How China is increasing its influence in central Asia as part of global plans to offer an alternative to the west |malper=The Conversation |tarîx=2023-05-24 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-US |paşnav=Wolff |pêşnav=Stefan }}</ref> Çîn bandora xwe li Asyaya Navendî<ref name="Wolff2023"/> û Pasîfîka Başûr zêde kiriye.<ref>{{Jêder-malper |url=http://theconversation.com/chinas-increasing-political-influence-in-the-south-pacific-has-sparked-an-international-response-222105 |sernav=China’s increasing political influence in the south Pacific has sparked an international response |malper=The Conversation |tarîx=2024-02-09 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-US |paşnav=Bluth |pêşnav=Christoph |paşnav2=Greene |pêşnav2=Owen }}</ref> Welat bi welatên ASEANê re û aboriyên sereke yên bi Amerîkaya Başûr re têkiliyên bazirganî yên bihêz heye û mezintirîn hevkarê bazirganî ya Brezîl, Şîlî, Perû, Ûrûguay, Arjentîn û çend welatên din e.<ref>{{Jêder-nûçe |paşnav=Garrison |pêşnav=Cassandra |sernav=In Latin America, a Biden White House faces a rising China |url=https://www.reuters.com/article/us-latam-usa-china-insight/in-latin-america-a-biden-white-house-faces-a-rising-china-idUSKBN28O18R |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=U.S. |ziman=en-US }}</ref> Di sala 2013an de, Çînê însiyatîfa rê û kemberê (BRI) daye destpêkirin ku însiyatîfeke mezin a avakirina binesaziyê ya gerdûnî ye ku salane bi qasî 50-100 milyar dolaran fînanse dike.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.brookings.edu/articles/seven-years-into-chinas-belt-and-road/ |sernav=Seven years into China’s Belt and Road |malper=Brookings |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-US }}</ref> BRI dikare bibe yek ji mezintirîn planên pêşveçûnê di dîroka nûjen de.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.lowyinstitute.org/publications/understanding-china-s-belt-road-initiative |sernav=Understanding China’s Belt and Road Initiative |malper=www.lowyinstitute.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> Di şeş salên pêş de bi girîngî berfireh bûye û heta nîsana sala 2020an, 138 welat û 30 rêxistinên navneteweyî di nav xwe de girtiye. Ji xeynî bihêzkirina têkiliyên siyaseta derve, balê dikişîne ser avakirina rêyên veguhastinê yên bibandor, nemaze Rêya Hevrîşimê ya deryayî ku bi Rojhilata Afrîka û Ewropayê ve girêdayî ye. Lêbelê gelek deynên ku di çarçoveya bernameyê de hatine dayîn ne domdar in û Çîn bi hejmarek bangên ji bo sivikkirina deynan ji aliyê welatên deyndar ve rû bi rû maye.<ref>{{Jêder-kovar |tarîx=2007 |sernav=Africa's Silk Road : China and India's New Economic Frontier |url=https://hdl.handle.net/10986/7186 |kovar=handle.net |ziman=en-US |doi=10.1596/978-0-8213-6835-0 }}</ref> === Hêz === [[Wêne:Quadruple formation of J-20 at CCAS2023 (20230724100632).jpg|thumb|çep|Balafira şer a nepenî ya nifşê 5em a Chengdu J-20 ku yek ji balefirên şer ên Çînê ye]] Artêşa Çînê ku bi navê Artêşa Rizgariya Gel (ARG) wekê yek ji artêşên herî bihêz ên cîhanê tê dîtin û di salên 2015 û 2025an de bi awayeke bilez hatiye modernîzekirin.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.cfr.org/backgrounders/chinas-modernizing-military |sernav=China’s Modernizing Military {{!}} Council on Foreign Relations |malper=www.cfr.org |tarîx=2020-02-05 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> Li gorî prensîba "partî hêzê birêve dibe", Partiya Kominîst a Çînê kontrola xwe yê mutleq a Artêşa Rizgariya Gel berdewam dike.<ref>{{Jêder-malper |url=https://foreignpolicy.com/2025/10/30/xi-purges-china-military-pla-ccp-power-control/ |sernav=Why Are China’s Generals So Quiet as Xi Purges Them? |malper=Foreign Policy |tarîx=2026-02-09 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-US |paşnav=Yuwen |pêşnav=Deng }}</ref> Ji sala 2024an vir ve artêş ji çar hêzan pêk tê ku di nav wan de hêza bejayî (PLAGF), hêza deryayî (PLAN), hêza hewayî (PLAAF) û hêza roketî (PLARF) hene. Her wiha çar baskên artêşê ya serbixwe heye ku hêza hewayî, hêza sîberfezayê, hêza piştgiriya agahdariyê û hêza piştgiriya lojîstîkî ya hevbeş hene ku sê hêzên despêkê ji hêza piştgiriya stratejîk a belavbûyî (PLASSF) hatine veqetandin.<ref>{{Jêder-malper |url=http://eng.chinamil.com.cn/CHINA_209163/TopStories_209189/16302105.html |sernav=Chinese PLA embraces a new system of services and arms: Defense spokesperson - China Military |malper=eng.chinamil.com.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> 2 milyon personelên artêşa ya çalak ên di erkê de de hene ku hejmara herî mezin a cîhanê ye. Hêz xwediyê sêyem stoka herî mezin a çekên kîmyayî yên cîhanê ye<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.visualcapitalist.com/which-countries-have-the-most-nuclear-weapons/ |sernav=Which Countries Have the Most Nuclear Weapons? |malper=Visual Capitalist |tarîx=2021-09-30 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-US |paşnav=Wallach |pêşnav=Omri }}</ref> û ji aliyê tonajê ve duyem mezintirîn hêza deryayî ya cîhanê ye.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.cnn.com/2021/03/05/china/china-world-biggest-navy-intl-hnk-ml-dst |sernav=Analysis: China has built the world’s largest navy. Now what’s Beijing going to do with it? |malper=CNN |tarîx=2021-03-06 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en |paşnav=Lendon |pêşnav=Brad }}</ref> Her çiqas Enstîtuya Lêkolînên Aştiyê ya Navneteweyî ya Stokholmê (SIPRI) texmîn kiriye ku lêçûnên wê yên rastîn salane 314 milyar dolarê amerîkî bûn ku ev jî %12ê lêçûnên leşkerî yên cîhanî pêk tîne û %1.7ê GDPya welêt pêk tîne ku lêçûna leşkerî ya fermî ya Çînê ji bo sala 2024an bi tevahî 229 milyar dolarê amerîkî (1.67 trilyon Yuan) bû ku duyem sermiyana herî mezin a cîhanê ye. Li gorî parîteya hêza kirînê, sermiyana leşkerî ya Çînê ya sala 2024an bi qasî 567 milyar dolarê amerîkî bû. Her çiqas bi fermî du rêxistinên cuda bin jî û her du komîsyona leşkerî ya navendî ya Çînê endamên wan yek in, ji xeynî demên veguheztina serokatiyê û bi bandor wekê yek rêxistinê tevdigerin jî Artêşa Rizgariya Gel ji aliyê komîsyona leşkerî ya navendî ya Çînê ya partî û dewletê ve tê birêvebirin. Serokê komîsyona leşkerî ya navendî ya Çînê fermandarê giştî yê Artêşa Rizgariya Gel ye ku li gorî pergala berpirsiyariya serok kontrola mutleq li ser artêşê heye.<ref>{{Jêder-malper |url=https://asiasociety.org/policy-institute/what-chinas-new-central-military-commission-tells-us-about-xis-military-strategy |sernav=What China’s New Central Military Commission Tells Us About Xi’s Military Strategy {{!}} Asia Society |malper=asiasociety.org |tarîx=2022-10-27 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> === Pirsgirêkên civakî û siyasî yên mafên mirovan === [[Wêne:Hong Kong anti-extradition bill protest (48108594957).jpg|thumb|çep|Dîmenek ji xwepêşandanên Hong Kongê ya salên 2019 û 2020]] Rewşa mafên mirovan li Çînê ji aliyê hikûmetên biyanî, ajansên çapemeniyê yên biyanî û rêxistinên sivîl ve rastî rexneyên girîng hatiye û îdia dikin ku binpêkirinên mafên sivîl ên berfireh ên wekê girtina bê darizandin, lixwe mikurhatinên bi zorê, îşkence, sînordarkirina mafên bingehîn û bikaranîna zêde ya cezayê mirinê hene.<ref name=":13"/><ref name=":14">{{Jêder-nûçe |sernav=Human rights in China |url=https://www.amnesty.org/en/location/asia-and-the-pacific/east-asia/china/ |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=Amnesty International |ziman=en }}</ref> Ji destpêka xwe ve freedom house (mala azadiyê) di lêkolîna xwe ya azadiya li cîhanê de Çînê wekê welateke "ne azad" bi nav kiriye û di heman demê de Amnesty International li Çînê binpêkirinên girîng ên mafên mirovan belge kiriye.<ref name=":13"/><ref name=":14"/> Lêbelê destûra bingehîn a Çînê dibêje ku "mafên bingehîn" ên welatiyan azadiya ramanê, azadiya çapemeniyê, mafê darizandineke adil, azadiya dînî, mafê dengdanê ya gerdûnî û mafên milkê vedihewîne. Lêbelê di pratîkê de, ev xal parastineke girîng li dijî darizandina cezayî ji aliyê dewletê ve peyda nakin.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.hrw.org/world-report/2022/country-chapters/china-and-tibet |sernav=World Report 2022: Rights Trends in China |malper=Human Rights Watch |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> Her çiqas hinek rexneyên li ser polîtîkayên hikûmetê û Partiya Kominîst a Gel ya desthilatdar hatine tehemûlkirin jî, Çîn di warê sansûra axaftin û agahiyên siyasî di nav welatên herî dijwar ên cîhanê de ye û vê sansûrê bi awayeke bi rêkûpêk ji bo pêşîgirtina li çalakiyên kolektîv tê bikar anîn.<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=King |pêşnav=Gary |paşnav2=Pan |pêşnav2=Jennifer |paşnav3=Roberts |pêşnav3=Margaret E. |tarîx=2013 |sernav=How Censorship in China Allows Government Criticism but Silences Collective Expression |url=https://www.cambridge.org/core/journals/american-political-science-review/article/abs/how-censorship-in-china-allows-government-criticism-but-silences-collective-expression/C7EF4A9C9D59425C2D09D83742C1FE00 |kovar=American Political Science Review |ziman=en |cild=107 |hejmar=2 |rr=326–343 |doi=10.1017/S0003055413000014 |issn=0003-0554 }}</ref> Hikûmeta Partiya Kominîst a Çînê xwepêşandan û nerazîbûnên gel ên ku ew wekê gefek potansiyel ji bo "îstîqrara civakî" dibîne û tepeser dike.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.chathamhouse.org/sites/default/files/public/Research/Asia/1012ecran_gobelong.pdf |sernav=Wayback Machine |malper=www.chathamhouse.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Çîn her wiha toreke çavdêriyê ya mezin a kamerayan, nivîsbarên naskirina rû, sensoran û çavdêriya teknolojiya kesane wekê amûrek kontrola civakî ya kesên ku li welêt dijîn bikar tîne.<ref name="Qian2022"/> Çîn bi awayeke bi rêkûpêk bi tepeserkirineke berfireh û binpêkirina mafên mirovan ê li Tibet û Xinjiangê hatiye tawanbarkirin ku hejmareke girîng ji kêmneteweyên etnîkî lê dijîn ku di nav de serkutkirinên tund ên polîsan û tepeserkirina dînî heye.<ref>{{Jêder-nûçe |tarîx=2013-06-27 |sernav=China resettles two million Tibetans, says Human Rights Watch |url=https://www.bbc.co.uk/news/world-asia-china-23081653 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=BBC News |ziman=en-GB }}</ref><ref>{{Jêder-nûçe |tarîx=2013-06-29 |sernav=China steps up operations in Xinjiang |url=https://www.bbc.co.uk/news/world-asia-china-23112177 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=BBC News |ziman=en-GB }}</ref> == Aborî == [[Wêne:Pudong Shanghai November 2017 panorama.jpg|thumb|Dimenek ji Lujiazui ya Şanghayê ku navenda aborî ya Çînê ye.]] Çîn ji aliyê GDPya nomînal ve xwediyê duyem aboriya herî mezin a cîhanê ye û ji aliyê hêza kirînê ve jî xwediyê yek ji mezintirîn aboriya cîhanê ye.<ref>{{Jêder-nûçe |paşnav=McCurry |pêşnav=Justin |paşnav2=Kollewe |pêşnav2=Julia |tarîx=2011-02-14 |sernav=China overtakes Japan as world's second-largest economy |url=https://www.theguardian.com/business/2011/feb/14/china-second-largest-economy |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=The Guardian |ziman=en-GB |issn=0261-3077 }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://data.worldbank.org/indicator/NY.GDP.MKTP.PP.CD?locations=CN-US&start=2000&year_high_desc=true |sernav=GDP, PPP (current international $) {{!}} Data |malper=data.worldbank.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-us |roja-arşîvê=2019-02-19 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20190219072932/https://data.worldbank.org/indicator/NY.GDP.MKTP.PP.CD?locations=CN-US&start=2000&year_high_desc=true |rewşa-urlyê=mirî }}</ref> Ji sala 2022an vir ve, Çîn li gorî GDPya nomînal nêzîkî ji %18ê aboriya cîhanî pêk aniye.<ref>{{Jêder-nûçe |sernav=World Economic Outlook Database |url=https://www.imf.org/en/Publications/WEO/weo-database/2023/April |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=IMF |ziman=en }}</ref> Di heman demê de Çîn yek ji aboriyên mezin ên cîhanê ye ku bi awayeke bilez mezin dibe ku mezinbûna Çînê ya aborî ji dema destpêkirina siyaseta reform û vekirinê di sala 1978an de hema hema bi awayeke berdewamî ji sedî 5 zêdetir e.<ref>{{Jêder-nûçe |sernav=Overview |url=https://www.worldbank.org/en/country/china/overview |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=World Bank |ziman=en }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://data.worldbank.org/indicator/NY.GDP.MKTP.KD.ZG?end=2016&locations=CN&start=1961&year_high_desc=true |sernav=GDP growth (annual %) - China {{!}} Data |malper=data.worldbank.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Li gorî daneyên Bankeya Cîhanê, GDPya Çînê ji di sala 1978an 150 milyar dolarê amerîkî bû û di sala 2024an de jî gihîştiye 18.74 trilyon dolarê amerîkî.<ref>{{Jêder-malper |url=https://data.worldbank.org/indicator/NY.GDP.MKTP.CD?locations=CN |sernav=GDP (current US$) {{!}} Data |malper=data.worldbank.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-us }}</ref> Ji aliyê GDPya nomînal a serê kesî ve, welat di rêza 78an de ye ku bi vê awayê bûye welatekî bi dahata navîn a jorîn.<ref>{{Jêder-malper |url=https://data.worldbank.org/indicator/NY.GDP.PCAP.PP.CD?locations=CN-US&start=2000&year_high_desc=true |sernav=GDP per capita, PPP (current international $) {{!}} Data |malper=data.worldbank.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-us |roja-arşîvê=2019-09-02 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20190902074129/https://data.worldbank.org/indicator/NY.GDP.PCAP.PP.CD?locations=CN-US&start=2000&year_high_desc=true |rewşa-urlyê=mirî }}</ref> Ji 500 şîrketên herî mezin ên cîhanê, baregeha 135 ji wan li Çînê ye.<ref>{{Jêder-nûçe |sernav=Global 500 |url=https://fortune.com/ranking/global500/ |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=Fortune |ziman=en }}</ref> Çîn di seranserê dîroka Rojhilata Asyayê û gerdûnî de yek ji hêzên aborî yên pêşeng ên cîhanê bû. Di piraniya du hezar salên borî de, welat yek ji mezintirîn aboriyên cîhanê bû ku di van serdeman de pêşketinên geşbûn û paşketinê dîtiye.<ref>{{Jêder-malper |url=http://piketty.pse.ens.fr/files/Maddison98.pdf |sernav=Ghostarchive |malper=ghostarchive.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 |roja-arşîvê=2022-10-09 |urlya-arşîvê=https://ghostarchive.org/archive/20221009221041/http://piketty.pse.ens.fr/files/Maddison98.pdf |rewşa-urlyê=bot: unknown }}</ref> Ji dema ku reformên aborî di sala 1978an de dest pê kiriye, Çîn bûye aboriyeke pir cihêreng û yek ji lîstikvaneke herî bi bandorên bazirganiya navneteweyî.<ref>{{Jêder-malper |url=https://journals.sagepub.com/action/cookieAbsent |sernav=Sage Journals: Discover world-class research |malper=Sage Journals |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en |doi=10.1521/siso.2009.73.2.235 }}</ref> Çîn bi fermî sîstema xwe ya aborî wekê aboriya bazara sosyalîst bi nav dike. Çîn a roja îro pir caran wekê mînakek kapîtalîzma dewletê an jî kapîtalîzma dewleta partîzanî hatiye binavkirin ku hem hêzên bazarê û hem jî dewlet di aboriyê de roleke sereke dilîzin.<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Pearson |pêşnav=Margaret |paşnav2=Rithmire |pêşnav2=Meg |paşnav3=Tsai |pêşnav3=Kellee S. |tarîx=2021-09-01 |sernav=Party-State Capitalism in China |url=https://online.ucpress.edu/currenthistory/article/120/827/207/118341/Party-State-Capitalism-in-China |kovar=Current History |ziman=en |cild=120 |hejmar=827 |rr=207–213 |doi=10.1525/curh.2021.120.827.207 |issn=0011-3530 }}</ref><ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Pearson |pêşnav=Margaret M. |paşnav2=Rithmire |pêşnav2=Meg |paşnav3=Tsai |pêşnav3=Kellee S. |tarîx=2022-10-01 |sernav=China's Party-State Capitalism and International Backlash: From Interdependence to Insecurity |url=https://direct.mit.edu/isec/article/47/2/135/113544/China-s-Party-State-Capitalism-and-International |kovar=International Security |ziman=en |cild=47 |hejmar=2 |rr=135–176 |doi=10.1162/isec_a_00447 |issn=0162-2889 }}</ref> Çîn xwedî gelek saziyên dewletê ye ku dewlet di sektorên stratejîk ên "stûnî" yên wekê binesazî, telekomunîkasyon, darayî, hilberîna enerjiyê û pîşesaziyên giran de serdest e.<ref name="Heilmann2018"/> Hikûmeta Çînê ji bo rêberiya aboriya welêt planên di heyama pênc salan de derdixe.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.scmp.com/economy/china-economy/article/3307338/china-adds-nearly-2-million-private-firms-first-quarter-calls-support-rise |sernav=China adds 1.98 million private firms in first quarter as calls for support rise |malper=South China Morning Post |tarîx=2025-04-22 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> Karsaziya taybet pir berfireh bûye ku di sala 2025an de li Çînê nêzîkî 57 milyon karsaziyên taybet hatine tomarkirin. Li gorî amarên fermî, şîrketên taybet ji %60î zêdetir ji GDPya Çînê pêk anîne.<ref>{{Jêder-nûçe |sernav=China Crackdowns Shrink Private Sector’s Slice of Big Business |url=https://www.bloomberg.com/news/articles/2022-03-29/china-crackdowns-shrink-private-sector-s-slice-of-big-business?leadSource=uverify%20wall |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=Bloomberg.com |ziman=en }}</ref> == Demografî == Li gorî hêjmartina nifûsa Çînê ya sala 2020an nifûsa welat bi qasî 1.411.778.724 kes hatiye tomarkirin. Nêzîkî ji %17,95 14 salî ne an jî biçûktirin, ji %63,35 di navbera 15 û 59 salî de ne ji û %18,7e jî ji 60 salî mezintir bûn.<ref name=":6">{{Jêder-malper |url=https://www.stats.gov.cn/english/PressRelease/202105/t20210510_1817187.html |sernav=Communiqué of the Seventh National Population Census (No. 2) |malper=www.stats.gov.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Di navbera salên 2010 û 2020an de, rêjeya zêdebûna nifûsê ya navînî %0,53 bû.<ref name=":6" /> Ji sala 2022an vir ve, li welêt rêjeya mirinan ji rêjeya jidayîkbûnê zêdetir bûne.<ref name=":8">{{Jêder-malper |url=https://apnews.com/article/china-population-shrinks-births-tax-condoms-868cd1ffc949af5a2e94c523e750e97e |sernav=China's population falls again as births drop to lowest rate since 1949 communist revolution |malper=AP News |tarîx=2026-01-19 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> Di sala 2023an de, rêjeya giştî ya zayînê wekê j 1,09 hatiye ragihandin ku di nav rêjeya herî nizm ên cîhanê de cih digire.<ref>{{Jêder-kovar |tarîx=2023-07-17 |sernav=FOLLICULAR OUTPUT RATE, FOLLICULAR-OOCYTE-INDEX, AND OOCYTE RETRIEVED PER FOLLICLE: A NARRATIVE REVIEW |url=https://doi.org/10.48047/ecb/2023.12.si6.667 |kovar=EuropeanChemicalBulletin |cild=12 |hejmar=si6 |doi=10.48047/ecb/2023.12.si6.667 }}</ref> Di sala 2023an de, buroya neteweyî ya statîstîkan texmîn kiriye ku nifûs welat ji sala 2021ê heta 2022an 850.000 kêm bûye ku ev yekem kêmbûna ji sala 1961ê vir ve ye.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.bbc.com/news/world-asia-china-64300190 |sernav=China's population falls for first time since 1961 |malper=www.bbc.com |tarîx=2023-01-17 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-GB }}</ref> Di sala 2025an de nifûsa Çînê bi fermî gihîştiye 1,404 milyar kesê û hêjmara jidayikbûnê 7,92 milyon zarok bûn ku ev rêjeya jidayikbûnê ya herî nizm a tomarkirî ji herî kêm a ji sala 1949an vir ve ye.<ref name=":8" /> Ji ber fikarên li ser zêdebûna nifûsê, dewleta Çînê di salên 1970î de li welat sinoreke ji bo du zarokan li ser malbatên li seranserê welat ferz kiriye û di sala 1979an de dest bi parêzvaniya sinoreke hinek hişktir a ji bo zarokek ji bo her malbatê kiriye. Lê belê ji nîvê salên 1980î pê ve, ji ber nepopulerbûna sinorên hişk, Çînê dest bi hinek îstîsnayên mezin kiriye, nemaze li deverên gundewarî yên ku di encamê de ji nîvê salên 1980an heta 2015an polîtîkayeke "1,5" zarokan bû; kêmneteweyên etnîkî jî ji sinorên yek zarokî azad bûn. Sistkirina din a girîng a siyasetê di meha kanûna sala 2013an de hatiye pejirandin ku yek ji dêûbavan zarokê yekane be, rê daye malbatan ku du zarokan bînin dinyayê.<ref>{{Jêder-kovar |tarîx=1991-01-01 |sernav=Religion in China today: policy and practice |url=https://doi.org/10.5860/choice.28-2688 |kovar=Choice Reviews Online |cild=28 |hejmar=05 |rr=28–2688-28-2688 |doi=10.5860/choice.28-2688 |issn=0009-4978 }}</ref> Di sala 2016an de, siyaseta yekzarokî wekê siyaseta duzarokî hatiye guhertin.<ref name=":12">{{Jêder-nûçe |tarîx=2021-05-31 |sernav=China introduces three-child policy in response to ageing population |url=https://www.abc.net.au/news/2021-05-31/china-introduces-three-child-policy/100179832 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=ABC News |ziman=en-AU }}</ref> Ji ber bi temenbûna nifûsê, di gulana sala 2021ê de polîtîkayeke sêzarokî hatiye ragihandin û di tîrmeha sala 2021ê de, hemî sinorên mezinahiya malbatê û her wiha cezayên ji bo derbaskirina wan hatine rakirin.<ref name=":12"/><ref>{{Jêder-malper |url=https://www.cnbc.com/2021/07/21/china-scraps-fines-for-families-violating-childbirth-limits.html |sernav=China scraps fines, will let families have as many children as they'd like |malper=CNBC |tarîx=2021-07-21 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en |paşnav=Cheng |pêşnav=Evelyn }}</ref> Li gorî komek zanyaran, sinorên yek zarokî bandorek zêde li ser zêdebûna nifûsê an jî zêdebûna giştî ya nifûsê nekiriye.<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Feng |pêşnav=Wang |paşnav2=Cai |pêşnav2=Yong |paşnav3=Gu |pêşnav3=Baochang |tarîx=2013 |sernav=Population, Policy, and Politics: How Will History Judge China's One‐Child Policy? |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1728-4457.2013.00555.x |kovar=Population and Development Review |ziman=en |cild=38 |hejmar=s1 |rr=115–129 |doi=10.1111/j.1728-4457.2013.00555.x |issn=0098-7921 }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://www.journals.uchicago.edu/action/cookieAbsent |sernav=University of Chicago Press Journals: Cookie absent |malper=RCNi Company Limited |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en |doi=10.1086/681664 |pmc=6701844 |pmid=31431804 }}</ref> Lêbelê ev zanyar rastî nerazîbûnan hatine.<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Goodkind |pêşnav=Daniel |tarîx=2017-08-01 |sernav=The Astonishing Population Averted by China’s Birth Restrictions: Estimates, Nightmares, and Reprogrammed Ambitions |url=https://read.dukeupress.edu/demography/article/54/4/1375/167729/The-Astonishing-Population-Averted-by-China-s |kovar=Demography |ziman=en |cild=54 |hejmar=4 |rr=1375–1400 |doi=10.1007/s13524-017-0595-x |issn=0070-3370 }}</ref> Dibe ku ev polîtîka, digel vebijarka kevneşopî ya ji bo kuran, bibe sedema nehevsengiyek di rêjeya zayendî ya di dema jidayikbûnê de.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.telegraph.co.uk/news/worldnews/asia/china/1480778/Shortage-of-girls-forces-China-to-criminalise-selective-abortion.html |sernav=Shortage of girls forces China to criminalise selective abortion {{!}} Ghostarchive |malper=ghostarchive.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 |roja-arşîvê=2022-01-09 |urlya-arşîvê=https://ghostarchive.org/archive/20220109050146/https://www.telegraph.co.uk/news/worldnews/asia/china/1480778/Shortage-of-girls-forces-China-to-criminalise-selective-abortion.html |rewşa-urlyê=bot: unknown }}</ref><ref>{{Jêder-nûçe |tarîx=2007-01-12 |sernav=Chinese facing shortage of wives |url=http://news.bbc.co.uk/2/hi/asia-pacific/6254763.stm |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-GB }}</ref> Di hêjmartina nifûsa ya sala 2020an hatiye dîtin ku mêr ji %51.2ê nifûsa giştî pêk tînin.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.stats.gov.cn/english/PressRelease/202105/t20210510_1817189.html |sernav=Communiqué of the Seventh National Population Census (No. 4) |malper=www.stats.gov.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Lêbelê rêjeya zayendan a Çînê ji sala 1953an, dema ku mêr %51.8ê nifûsê pêk tînin, hevsengtir e.<ref>{{Jêder-malper |url=http://news.xinhuanet.com/english2010/china/2011-04/28/c_13850191.htm |sernav=Chinese mainland gender ratios most balanced since 1950s: census data |malper=news.xinhuanet.com |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> {{Nifûsa tarîxî/wd}} {{Çepê paqij bike}} === Etnîsîte === Çîn bi qanûnî 56 komên etnîkî yên cuda nas dike ku Zhonghua minzu pêk tînin. Mezintirîn ji van neteweyan çîniyên Han in ku ji ji %91ê nifûsa giştî ya welat pêk tînin.<ref>{{Jêder-malper |url=http://www.stats.gov.cn/english/PressRelease/202105/t20210510_1817187.html |sernav=Communiqué of the Seventh National Population Census (No. 2) |malper=web.archive.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 |roja-arşîvê=2021-05-11 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20210511104840/http://www.stats.gov.cn/english/PressRelease/202105/t20210510_1817187.html |rewşa-urlyê=bot: unknown }}</ref> Çîniyên han koma etnîkî ya herî mezin a cîhanê ye<ref>{{Jêder-nûçe |paşnav=Lilly |pêşnav=Amanda |tarîx=2009-07-08 |sernav=A Guide to China's Ethnic Groups |url=http://www.washingtonpost.com/wp-dyn/content/article/2009/07/08/AR2009070802718.html |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-US |issn=0190-8286 }}</ref> ku ji xeynî Tibet, Xinjiang,<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=China's geography: globalization and the dynamics of political, economic, and social change |url=https://archive.org/details/chinasgeographyg0000unse |weşanger=Rowman & Littlefield Publishers |tarîx=2011 |isbn=978-0-7425-6782-5 |çap=2 |cih=Lanham, Md }}</ref> Linxia<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Zhang |pêşnav=Bo |paşnav2=Druijven |pêşnav2=Peter |paşnav3=Strijker |pêşnav3=Dirk |tarîx=2018-01-02 |sernav=A tale of three cities: negotiating ethnic identity and acculturation in northwest China |url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/08873631.2017.1375779 |kovar=Journal of Cultural Geography |ziman=en |cild=35 |hejmar=1 |rr=44–74 |doi=10.1080/08873631.2017.1375779 |issn=0887-3631 }}</ref> û parêzgehên xweser ên wekê Xishuangbanna, li her deverê din ên Çînê ji komên etnîkî yên din zêdetir in.<ref>{{Jêder-malper |url=https://cases.open.ubc.ca/ecosystem-services-and-management-of-long-forest-created-by-dai-indigenous-people-in-xishuangbanna-china/ |sernav=UBC |malper=cases.open.ubc.ca |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Li gorî daneyên sala 2020an kêmneteweyên etnîkî ji %10 kêmtir ji nifûsa Çînê pêk tînin.<ref name=":9">{{Jêder-malper |url=https://www.stats.gov.cn/english/PressRelease/202105/t20210510_1817187.html |sernav=Communiqué of the Seventh National Population Census (No. 2) |malper=www.stats.gov.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Li gorî hêjmara nifûsê ya sala 2010an, nifûsa han 60.378.693 kes an jî ji %4.93 zêde bûye ku di heman demê de nifûsa 55 kêmneteweyên neteweyî bi hev re 11.675.179 kes an jî ji %10.26 zêde bûye.<ref name=":9" /> Li gorî daneyên sala 2020an, bi tevahî 845.697 welatiyên biyanî li Çînê dijîn.<ref name=":10">{{Jêder-malper |url=https://www.stats.gov.cn/english/PressRelease/202105/t20210510_1817193.html |sernav=Communiqué of the Seventh National Population Census (No. 8) |malper=www.stats.gov.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> === Ziman === Li Çînê 292 zimanên zindî hene.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.ethnologue.com/show_country.asp?name=cn |sernav=Redirecting |malper=www.ethnologue.com |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> Zimanên ku herî zêde tên axaftin zimanê şaxa sînî ya malbata zimanên çînî-tîbetî ne ku mandarînî (ji hêla %80ê nifûsê ve tê axaftin) û cureyên din ên zimanê çînî dihewîne ku di nav de jîn, wu, mîn, hakka, yue, xîang, gan, hui, pîng û tuhua yên nedabeşkirî (Shaozhou Tuhua û Xiangnan Tuhua) hene.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Language planning and policy in Asia |url=https://archive.org/details/languageplanning0000unse_z6n2 |weşanger=Multilingual Matters |tarîx=2008 |isbn=978-1-84769-095-1 |cih=Bristol, UK ; Buffalo, NY |paşnavê-edîtor=Kaplan |pêşnavê-edîtor=Robert B. |series=Language planning and policy |paşnavê-edîtor2=Baldauf |pêşnavê-edîtor2=Richard B. }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=http://en.people.cn/n3/2020/1016/c90000-9769716.html |sernav=Over 80 percent of Chinese population speak Mandarin - People's Daily Online |malper=en.people.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Zimanên şaxa tibeto-burmanyayê ku di nav de tibetî, qînang, naxî û yi, li seranserê deşta tîbetî û yunnan-guîzhouyê têne axaftin. Zimanên kêmneteweyên etnîkî yên din li başûrê rojavayê Çînê zhuang, thai, dong û sui yên malbata tai-kadai, mîao û yao yên malbata hmong-mien û wa yên malbata awîstroasyatîk in.<ref name=":15">{{Jêder-malper |url=https://www.chinadaily.com.cn/m/gansu/2015-11/17/content_22479011.htm |sernav=Yugur people and Sunan Yugur autonomous county |malper=www.chinadaily.com.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Li seranserê bakurê rojhilat û bakurê rojavayê Çînê, komên etnîkî yên herêmî bi zimanên altyî diaxivin ku di nav de mançûrî, mongolî û çend zimanên tirkiyên ûygûrî, qazaxî, qirgizî, salarî û yûgûriya rojava heye.<ref name=":15"/> Gelên xwemaliyên Taywanê, tevî nifûseke piçûk li ser axa sereke, bi zimanên awusturnî diaxivin. Çînîya standard cureyekî ku li ser zaravayê Pekînê ya mandarînê hatiye avakirin ku zimanê neteweyî yê Çînê ye û xwedî statûya fermî ya de facto ye. Zarava wekê lingua franca di navbera mirovên xwedî paşxaneyên zimanî yên cuda de tê bikar anîn. Li herêmên xweser ên Çînê, zimanên din jî dikarin wekî lingua franca xizmet bikin ku wekê zimanê ûygurî li Xinjiangê ku xizmetên hikûmetê bi zimanê ûygurî bi destûrî hatine garantîkirin.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=The Xinjiang conflict: Uyghur identity, language policy, and political discourse |url=https://archive.org/details/xinjiangconflict0000dwye |paşnav=Dwyer |pêşnav=Arienne M. |weşanger=East-West Center Washington |tarîx=2006 |isbn=978-1-932728-28-6 |çap=reprinted |cih=Washington, DC |series=Policy studies }}</ref> === Dîn === [[Wêne:Distribution of religions in China.png|thumb|Belavbûna erdnîgarî ya dînî ya li Çînê.]] [[Wêne:Wudang Mountain (54131067531).jpg|thumb|Perestgeha Taoîst a li ser çiyayên Wudang a li Hubeiyê.]] Her çend rêxistinên dînî yên ku destûra fermî wernegirin jî dikarin rastî çewisandina dewletê werin.<ref>{{Jêder-malper |url=http://www.npc.gov.cn/npc/index.html |sernav=中国人大网 |malper=www.npc.gov.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Li gel van yekan her çiqas azadiya dînî ji aliyê destûra bingehîn a Çînê ve hatiye garantîkirin di warê azadiya dînî de hinek pirsgirêk berdewam dikin. Hikûmeta welêt bi fermî ateîst e û Partiya Komunîst a Çînê ji endamên xwe dixwaze ku ateîst bin. Karûbarên dînî û mijarên li welêt ji aliyê rêveberiya karûbarên dînî ya neteweyî ve ku di bin daîreya xebatê ya eniya yekbûyî ya Partiya Kominîst a Çînê de ye, têne çavdêrîkirin.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.sara.gov.cn/ |sernav=国家宗教事务局 |malper=www.sara.gov.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Di dirêjahiya hezar salan de, şaristaniya çînî ji aliyê tevgerên dînî yên cûrbecûr ve hatiye bi bandor kirin. "Sê doktrînên" konfuçyusîzm, taoîzm û budîzmê di dîrokê de awa dane çanda çînî ku çarçoveyek teolojîk û ruhanî ya dinê kevneşopî dewlemend kirine ku vedigere serdema destpêkê ya xanedaniya Shang û Zhouyê.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Chinese religion: a contextual approach |paşnav=Yao |pêşnav=Xinzhong |weşanger=New York : Continuum |tarîx=2010 |isbn=978-1-84706-475-2 |cih=London |paşnav2=Zhao |pêşnav2=Yanxia }}</ref><ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Chinese religions in contemporary societies |url=https://archive.org/details/chinesereligions0000unse |weşanger=ABC-CLIO |tarîx=2006 |isbn=978-1-85109-626-8 |cih=Santa Barbara, CA |paşnavê-edîtor=Miller |pêşnavê-edîtor=James }}</ref><ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Religious Diversity and Public Religion in China |url=https://archive.org/details/religiousdiversi0000xiez |paşnav=Xie |pêşnav=Zhibin |weşanger=Taylor and Francis |tarîx=2006 |isbn=978-0-7546-5648-7 |cih=Brookfield }}</ref> Di nav kultên herî populer ên dînê gelêrî de yên împeratorê Zer ku nûnertiya Xwedayê ezmanan û yek ji du bavikên îlahî yên gelê Çînî ye ku Mazu (xwedawenda deryayan), Guandi (xwedayê şer û karsaziyê), Caishen (xwedayê serfirazî û dewlemendiyê), Pangu û gelekên din hene.<ref>{{Jêder-malper |url=http://afe.easia.columbia.edu/cosmos/main/spirits_of_chinese_religion.pdf |sernav=easia.columbia.edu |malper=ghostarchive.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 |roja-arşîvê=2022-10-09 |urlya-arşîvê=https://ghostarchive.org/archive/20221009221020/http://afe.easia.columbia.edu/cosmos/main/spirits_of_chinese_religion.pdf |rewşa-urlyê=bot: unknown }}</ref> Di dehsalên destpêkê yên sedsala 21an de, hikûmeta Çînê bi vejandina dînên gelêrî eleqedar bûye - wan bi fermî wekî "baweriyên gelêrî" ji dînên doktrînî cuda nas kiriye û pir caran wan ji nû ve di formên dînên sivîl ên "pir bi baldarî hatine amadekirin" de ji nû ve ava kiriye - û her weha bi pêşvebirina neteweyî û navneteweyî ya budîzmê re eleqedar bûye.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=The construction of racial identities in China and Japan |weşanger=Hong Kong University Press |tarîx=1997 |isbn=978-962-209-443-7 |cih=Hong Kong |paşnavê-edîtor=Dikötter |pêşnavê-edîtor=Frank }}</ref> Çîn malavanê gelek ji peykerên dînê yên herî bilind ên cîhanê ye ku ev peyker nûnertiya xwedayên gelêrî ya çînî yan jî ronakbîrên budîzmê dikin ku peykera herî bilind Bûdaya Perestgeha Biharê ya li Henanê ye. Ji ber pênaseyên tevlihev û cûda yên dîn û xwezaya belavbûyî ya kevneşopiyên dînî yên çînî, berhevkirina statîstîkên li ser girêdayîbûna dînî li Çînê dijwar e. Zanyar destnîşan dikin ku li Çînê sinorek zelal di navbera her sê doktrînan û pratîkên dînê yên gelêrî yên herêmî de tunene.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=Chinese religion: a contextual approach |paşnav=Yao |pêşnav=Xinzhong |weşanger=Continuum |tarîx=2010 |isbn=978-1-84706-475-2 |cih=London |paşnav2=Zhao |pêşnav2=Yanxia }}</ref> Dînên çînî an jî hinek ji rêbazên wan dikarin wekê ne-teîst û humanîst werin pênasekirin ku ew nabêjin afirîneriya îlahî bi tevahî transandantal e lê ew di cîhanê de û bi taybetî ji bo mirovan xwezayî ye.<ref>{{Jêder-malper |url=http://www2.kenyon.edu/Depts/Religion/Fac/Adler/Writings/Non-theistic.pdf |sernav=kenyon.edu |malper=ghostarchive.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 |roja-arşîvê=2022-10-09 |urlya-arşîvê=https://ghostarchive.org/archive/20221009221034/http://www2.kenyon.edu/Depts/Religion/Fac/Adler/Writings/Non-theistic.pdf |rewşa-urlyê=bot: unknown }}</ref> Ev baweriyên tenê nînin û pir caran ev baweriyên li hev dicivin ji ber ku beşdar di heman demê de xwedî gelek baweriyan in. Wek mînak ji wan ji %33ê ku baweriya xwe bi buda tînin, beşek girîng baweriya xwe bi taoîst, Îsa Mesîh, katolîk û bi Xwedê jî tînin. Dînê gelêrî ya Çînî di heman demê de ji cûrbecûr tevgerên rêxistinkirî yên doktrînî yên rizgarker pêk hatiye ku ji Xanedaniya Song vir ve derketine holê.<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Ownby |pêşnav=David |tarîx=1995 |sernav=The Heaven and Earth Society as Popular Religion |url=https://read.dukeupress.edu/journal-of-asian-studies/article/54/4/1023/337156 |kovar=The Journal of Asian Studies |ziman=en |cild=54 |hejmar=4 |rr=1023–1046 |doi=10.2307/2059958 |issn=0021-9118 }}</ref> Herwiha li Çînê kêmneteweyên etnîkî hene ku dînên xwe yên xwemalî diparêzin ku di heman demê de dînên sereke yên ku taybetmendiya komên etnîkî yên taybetî ne budîzma tîbetî di nav tîbetiyan, mongolan û yuguran de heye û îslam jî di nav gelên hui, ûygur, kazak û qirgiz û etnîsîteyên din ên li herêmên bakur û bakurê rojavayê welêt de hene.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.antaranews.com/berita/2202994/menjumpai-etnis-yugur-di-atas-ketinggian-3830-mdpl-puncak-bars-snow |sernav=Menjumpai etnis Yugur di atas ketinggian 3.830 mdpl puncak Bars Snow |malper=Antara News |tarîx=2021-06-10 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=id |paşnav=antaranews.com }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://www.dewereldmorgen.be/artikel/2024/03/10/op-bezoek-bij-de-oeigoeren-in-xinjiang |sernav=Op bezoek bij de Oeigoeren in Xinjiang {{!}} De Wereld Morgen |malper=www.dewereldmorgen.be |tarîx=2024-03-10 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=nl }}</ref> === Perwerdehî === [[Wêne:Campus of Peking University.jpg|thumb|çep|Dîmenek ji wargeha Zanîngeha Pekînê]] Perwerdehiya mecbûrî li Çînê ji dibistana seretayî û dibistana navîn pêk tê ku zarok ji temenê 6 saliya xwe heta 15 saliya xwe, bi tevahî neh sal perwerdehî dibînin. Gaokao, ezmûna ketina zanîngehên neteweyî ya Çînê, ji bo ketina piraniya saziyên xwendina bilind şerteke pêşîn e.<ref name=":0">{{Jêder-malper |url=http://en.moe.gov.cn/documents/reports/202304/t20230403_1054100.html |sernav=Statistical report on China’s educational achievements in 2022 - Ministry of Education of the People's Republic of China |malper=en.moe.gov.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Perwerdehiya pîşeyî ji bo xwendekarên asta navîn û bilind peyda dibe.<ref name=":0" /> Her sal zêdetirî 10 milyon xwendekarên çînî ji zanîngehên pîşeyî mezûn dibin. Di sala 2024an de, nêzîkî ji %92,0ê xwendekaran perwerdehiya xwe li dibistana navîn a sê-salî berdewam kirin ku di heman demê de ji %60,8ê ji wan mezûnên dibistana navîn di perwerdehiya bilind de qeydkirî bûn.<ref>{{Jêder-malper |url=http://www.moe.gov.cn/jyb_sjzl/sjzl_fztjgb/202506/t20250611_1193760.html |sernav=2024年全国教育事业发展统计公报 - 中华人民共和国教育部政府门户网站 |malper=www.moe.gov.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Çîn xwedî sîstema herî mezin ê perwerdehiyê ya cîhanê ye ku li gorî daneyên sala 2024an nêzîkî 287 milyon xwendekar û 18,85 milyon mamosteyên tamdemî li zêdetirî 470.300 dibistanan perwerdeyî dane xwendekaran.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.unicef.org/eap/media/9321/file/Sit%20An%20-%20China%20Case%20Study.pdf |sernav=unicef.org |malper=ghostarchive.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 |roja-arşîvê=2022-10-09 |urlya-arşîvê=https://ghostarchive.org/archive/20221009221017/https://www.unicef.org/eap/media/9321/file/Sit%20An%20-%20China%20Case%20Study.pdf |rewşa-urlyê=bot: unknown }}</ref> Veberhênana salane ya perwerdehiyê di sala 2003an de 50 milyar dolarê amerîkî bû û di sala 2020an de ev hêjmar derketiye 817 milyar dolarê amerîkî.<ref>{{Jêder-malper |url=https://archive.nytimes.com/www.nytimes.com/interactive/2013/01/16/business/In-Education-China-Takes-the-Lead.html |sernav=In Education, China Takes the Lead |malper=archive.nytimes.com |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> Lêbelê di xercên perwerdehiyê de newekheviyek hê jî heye. Di sala 2010an de, xercên salane yên perwerdehiyê ji bo her xwendekarekî dibistana navîn li Pekînê bi tevahî 20,023 ¥ bû lê li Guizhou ku yek ji parêzgehên herî xizan e, ew tenê bi tevahî 3.204 ¥ bû. Rêjeya xwendin û nivîsandinê li Çînê bi awayekî berbiçav zêde bûye ku ev rêje di sala 1949an ji %20 ê ji nifûsa welat, di sala 1979an ji %65.5 ê ji nifûsa welat û di sala 2020an de jî ev rêje gihiştiye ji %97ê ji nifûsa welat.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=49 myths about China |url=https://archive.org/details/49mythsaboutchin0000galt |paşnav=Galtung |pêşnav=Marte Kjær |weşanger=Rowman & Littlefield |tarîx=2015 |isbn=978-1-4422-3622-6 |cih=Lanham ; Boulder ; New York ; London |paşnav2=Stenslie |pêşnav2=Stig }}</ref><ref name=":16">{{Jêder-malper |url=https://data.worldbank.org/ |sernav=World Bank Open Data |malper=World Bank Open Data |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Ji sala 2024an pê ve, li Çînê zêdetirî 3.167 zanîngeh hene û zêdetirî 47,6 milyon xwendekar li Çîna sereke qeydkirî ne ku bi vê yekê Çînê bûye xwediyê sîstema herî mezin ê xwendina bilind ê cîhanê ye.<ref>{{Jêder-malper |url=http://www.moe.gov.cn/jyb_xxgk/s5743/s5744/202506/t20250627_1195683.html |sernav=全国高等学校名单 - 中华人民共和国教育部政府门户网站 |malper=www.moe.gov.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://www.chinadaily.com.cn/a/202012/03/WS5fc86ab2a31024ad0ba9999e.html |sernav=China's higher education system is world's largest, officials say |malper=www.chinadaily.com.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 |paşnav=关晓萌 }}</ref> Ji sala 2025an pê ve, Çîn xwediyê hejmara herî zêde ya zanîngehên xwedî asta bilind ên li cîhanê bû.<ref>{{Jêder-malper |url=https://clarivate.com/news/u-s-news-releases-2025-2026-best-global-universities-rankings/ |sernav=U.S. News Releases 2025-2026 Best Global Universities Rankings {{!}} Clarivate |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-US }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://cwur.org/media.php |sernav=Media {{!}} CWUR {{!}} Center for World University Rankings |malper=cwur.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Ji sala 2025an pê ve, 2 zanîngehên Çînê di nav 20 zanîngehên herî baş ên cîhanê de bû, 5 ji zanîngehan di nav 50 zanîngehên herî baş ê cîhanê de bû û 19 zanîngehên Çînê di nav 200 zanîngehên herî baş ê cîhanê de bûn û di warê nûnertiya giştî de di lîsteya giştî ya zanîngehên herî baş de ku sîstemeke lîsteya ya tevlihev e ku sê ji lîsteyên zanîngehên herî bibandor ên cîhanê (ARWU+QS+THE) dihewîne ku tenê li pêy Dewletên Yekbûyî û Keyaniya Yekbûyî ye.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.unsw.edu.au/research/artu |sernav=ARTU - UNSW Research |malper=UNSW Sites |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> Li gorî lîsteya zanîngehên cîhanê ya Times Higher Education û li gorî lîsteya akademîk a zanîngehên cîhanê, Çîn malavanê du zanîngehên herî pilebilind (Zanîngeha Tsinghua û Zanîngeha Pekînê) li Asya û welatên pêşketî yê.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.timeshighereducation.com/world-university-rankings/latest/world-ranking |sernav=World University Rankings 2026 |malper=Times Higher Education (THE) |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://www.shanghairanking.com/rankings/arwu/2025 |sernav=ShanghaiRanking's Academic Ranking of World Universities |malper=www.shanghairanking.com |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Ev zanîngeh endamên Koma C9e ne ku hevpeymaniyek ji zanîngehên elît ên çînî ye ku perwerdehiyek berfireh û pêşeng pêşkêş dikin.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.timeshighereducation.com/news/eastern-stars-universities-of-chinas-c9-league-excel-in-select-fields/415193.article |sernav=Eastern stars: Universities of China's C9 League excel in select fields |malper=Times Higher Education (THE) |tarîx=2011-02-17 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> === Tenduristî === [[Wêne:China, Trends in the Human Development Index 1970-2010.png|thumb|Grafîka ku bilindbûna endeksa pêşveçûna mirovan a Çînê ji sala 1970an heta sala 2010an nîşan dide]] Komîsyona Tenduristiya Neteweyî, bi hevpîşeyên xwe yên di komîsyonên herêmî de, çavdêriya pêdiviyên tenduristiyê ya nifûsê dike.<ref>{{Jêder-malper |url=http://en.nhc.gov.cn/2018-09/22/c_74499.htm |sernav=What we do |malper=en.nhc.gov.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Ji destpêka salên 1950î uan vir ve, girîngîdana li ser tenduristiya giştî û dermanên pêşîlêgirtinê nexweşiyan di siyaseta tenduristiyê ya Çînê de cih girtiye. Partiya komunîst kampanyaya tenduristiyê ya welatparêz daye destpêkirin ku armanc ew bû ku rewşa paqijiyê û paqijiyê baştir bike û her wiha armanc vê kampanyayê dermankirin û pêşîgirtina li gelek nexweşiyan bû. Nexweşiyên wekî kolerayê, tîfoyê û taya sor ku berê li Çînê belav bibûn, bi kampanyayê hema hema bi tevahî ji holê hatiye rakirin. Her çend gelek xizmetên tenduristiyê yên giştî yên belaş ên ku li gundan dihatin peyda kirin jî winda bûne jî piştî ku Deng Xiaoping di sala 1978an de dest bi reformên aborî kiriye, tenduristiya gelê Çînê bi feydeya xwarina çêtir bi awayeke bilez baştir bûye. Lênihêrîna tenduristiyê li Çînê bi piranî taybet bû û qelîteya lêhirîna tenduristiyê gelek zêde bû. Di sala 2009an de, hikûmetê destpêşxeriyek sê-salî ya berfireh ji bo dabînkirina lênêrîna tenduristiyê bi nirxa 124 milyar dolarê amerîkî daye destpêkirin.<ref>{{Jêder-malper |url=http://www.bloomberg.com/apps/news?pid=newsarchive&sid=aXFagkr3Dr6s |sernav=China’s $124 Billion Health-Care Plan Aims to Boost Consumption - Bloomberg |malper=web.archive.org |roja-gihiştinê=2026-02-07 |roja-arşîvê=2013-10-29 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20131029211403/http://www.bloomberg.com/apps/news?pid=newsarchive&sid=aXFagkr3Dr6s |rewşa-urlyê=bot: unknown }}</ref> Heta sala 2011an, kampanya bûye sedema ku ji %95ê nifûsa Çînê xwedî sîgortaya tenduristiyê ya bingehîn be.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.nytimes.com/roomfordebate/2011/11/01/is-china-facing-a-health-care-crisis/chinas-health-care-reform-far-from-sufficient |sernav=China's Health Care Reform: Far From Sufficient |malper=www.nytimes.com |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> Heta sala 2022an, Çîn xwe wekî hilberîner û hinardekarekî sereke yê dermanan daye naskirin û di sala 2017an de nêzîkî ji %40ê berhemên çalak ên dermanan hilberandiye.<ref>{{Jêder-malper |url=https://asia.nikkei.com/static/vdata/infographics/chinavaccine-3/ |sernav="The great medicines migration" |roja-gihiştinê=2026-02-07 |roja-arşîvê=2024-09-29 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20240929063530/https://asia.nikkei.com/static/vdata/infographics/chinavaccine-3/ |rewşa-urlyê=bot: unknown }}</ref> Ji sala 2024an vir ve li Çînê temenê jiyanê ji 79 salan zêdetir e.<ref>{{Jêder-malper |url=https://en.nhc.gov.cn/2025-03/10/c_86403.htm |sernav=China's average life expectancy reaches 79 years in 2024: health official |malper=en.nhc.gov.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Ji sala 2023an pê ve, rêjeya mirina dergûşan ji hezar dergûşan 5 e.<ref name=":16"/> Ev her du rêje ji salên 1950î vir ve bi girîngî ber başbûnê ve çûye. Rêjeyên kêmbûna mezinbûnê, rewşek bû ku ji ber kêmbûna xurekê çêdibe, di sala 1990an ji %33,1 2024an daketiye %4,5an.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.science.org/action/cookieAbsent |sernav=Science |malper=AAAS |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en |doi=10.1126/science.336.6080.402 }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://ourworldindata.org/grapher/share-of-children-younger-than-5-who-suffer-from-stunting |sernav=Malnutrition: Share of children who are stunted |malper=Our World in Data |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en }}</ref> Tevî başbûnên girîng di tenduristiyê de û avakirina baregehên bijîşkî yên pêşketî, li Çînê gelek pirsgirêkên tenduristiya giştî yên nû derdikevin holê ku di nav van de nexweşiyên respirasyonê yên ji ber qirêjiya hewayê ya berbelav, bi sed milyonan cixarekêş û zêdebûna qelewbûna di nav ciwanên bajarî de hene.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.cnn.com/SPECIALS/1999/china.50/dispatches/09.23.health/ |sernav=CNN In-Depth Specials - Visions of China - Serving the people? |malper=www.cnn.com |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=http://en.people.cn/english/200008/04/eng20000804_47271.html |sernav=Obesity Sickening China's Young Hearts |malper=en.people.cn |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Xizmetên tenduristiya derûnî yên Çînê ne têrker in.<ref>{{Jêder-malper |url=https://radio.cgtn.com/ |sernav=Live Radio, Shows & Podcasts {{!}} CGTN Radio |malper=radio.cgtn.com |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Ji ber nifûsa mezin û bajarên qerebalix ên Çînê, nexweşiyên giran derketine holê ku di nav de SARS a di sala 2003an de hebû ku di heman salê belavbûna nexweşiye hatibû kontrolkirin.<ref>{{Jêder-malper |url=http://www.who.int/csr/don/2004_05_18a/en/index.html |sernav=WHO {{!}} China’s latest SARS outbreak has been contained, but biosafety concerns remain – Update 7 |malper=www.who.int |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> Pandemiya COVID-19 cara yekem di kanûna sala 2019an de li Wuhanê hatiye dîtin<ref>{{Jêder-malper |url=http://www.ne.jp/asahi/kishimoto/clinic/cash/COVID-19.pdf |sernav=Wayback Machine |malper=www.ne.jp |roja-gihiştinê=2026-02-07 |roja-arşîvê=2020-02-22 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20200222141550/http://www.ne.jp/asahi/kishimoto/clinic/cash/COVID-19.pdf |rewşa-urlyê=mirî }}</ref> ku pandemiyê bûye sedem ku hikûmet tevdbîrên tenduristiya giştî yên hişk bicîh bîne ku armanc ew bû ku vîrusê bi tevahî ji holê rake û careke din dîsa di kanûna sala 2022an de piştî xwepêşandanan tevdbîrên hişk dîsa ji aliyê hikûmeta Çînê ve hatiye bidawîkirin.<ref>{{Jêder-nûçe |paşnav=Che |pêşnav=Chang |paşnav2=Chien |pêşnav2=Amy Chang |paşnav3=Stevenson |pêşnav3=Alexandra |tarîx=2022-12-07 |sernav=What Has Changed About China’s ‘Zero Covid’ Policy |url=https://www.nytimes.com/2022/12/07/world/asia/china-zero-covid-changes.html |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=The New York Times |ziman=en-US |issn=0362-4331 }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://www.bbc.com/news/world-asia-china-63855508 |sernav=China abandons key parts of zero-Covid strategy after protests |malper=www.bbc.com |tarîx=2022-12-07 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-GB }}</ref> == Çand û civak == Ji demên kevnar ve çanda çînî bi giranî ji aliyê konfuçyusîzmê ve hatiye bi bandorkirin. Di heman demê de çanda çînî, bandorek mezin li ser rojhilatê Asyayê û başûrê rojhilatê Asyayê kiriye.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.brookings.edu/articles/chinas-role-in-east-asia-now-and-the-future/ |sernav=China's Influence in East Asia: Present and Future |malper=Brookings |roja-gihiştinê=2026-02-07 |ziman=en-US }}</ref> Di piraniya serdema xanedaniya welêt de, derfetên pêşketina civakî bi performansa bilind ê di ezmûnên împaratorî yên bi prestîj de ku kokên wan ji xanedana Han in, hatine peyda kirin. Girîngiya wêjeyî ya di ezmûnan bandor li ser çanda Çînê hiştiye ku baweriyeke derketiye holê ku di nav de xelîgrafî, helbest û wênesazî formên hunerî ji reqs an şano hebûn.<ref>{{Jêder-nûçe |tarîx=2012-10-18 |sernav=A Point Of View: What kind of superpower could China be? |url=https://www.bbc.co.uk/news/magazine-19995218 |roja-gihiştinê=2026-02-07 |xebat=BBC News |ziman=en-GB }}</ref> Ezmûn û çanda lîyakatê îro jî li Çînê pir bi qîmet in.<ref>{{Jêder-malper |url=http://suen.educ.psu.edu/~hsuen/pubs/KEDI%20Yu.pdf |sernav=Wayback Machine |malper=suen.educ.psu.edu |roja-gihiştinê=2026-02-07 |roja-arşîvê=2015-03-01 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20150301123007/http://suen.educ.psu.edu/~hsuen/pubs/KEDI%20Yu.pdf |rewşa-urlyê=mirî }}</ref> Di rojs îro de, hikûmeta Çînê gelek hêmanên çanda kevneşopî ya çînî wekî beşek ji civaka çînî qebûl kiriye. Bi bilindbûna neteweperweriya Çînî û bi dawîbûna Şoreşa Çandî re, gelek şêweyên huner, wêje, muzîk, fîlm, mod û mîmariya kevneşopî ya çînî vejînek xurt dîtine û bi taybetî hunera gelêrî û cûrbecûr li seranserê welêt û heta li çaraliyê cîhanê jî eleqeyê zêde kiriye.<ref>{{Jêder-malper |url=http://www.britannica.com:80/eb/article-258942/China |sernav=China :: The arts -- Britannica Online Encyclopedia |malper=www.britannica.com |roja-gihiştinê=2026-02-07 }}</ref> == Binêre == * [[Împeratorîya Çînê]] * [[Lîsteya Monarşiyên Çînê]] * [[Împeratorê Çînê]] == Not == {{Notelist}} == Çavkanî == {{Çavkanî}} == Girêdanên derve == {{Kategoriya Commonsê|China|Çîn}}{{Serbajarên Parêzgehên Çînê}}{{Şablon:Beşên îdarî ya Çînê di asta parêzgehan de}}{{Şablon:Komên etnîkî yên Çînê}}{{Şablon:Dewletên Asya}} {{Kontrola otorîteyê}} [[Kategorî:Avabûnên 1949an li Asyayê]] [[Kategorî:Çîn| ]] [[Kategorî:Dewletên endamê Neteweyên Yekbûyî]] [[Kategorî:Dewletên komarî]] [[Kategorî:Dewlet û herêmên ku di 1949an de hatine avakirin]] [[Kategorî:Endamên G20ê]] 5rzlv2diyqmlyfnmxbk8gncjgl0e9ct 0 7000 2094576 1824171 2026-09-17T12:45:40Z Atcovi 19665 mujawwad --> murattal 2094576 wikitext text/x-wiki {{Agahîdanka giştî | zimanê_navê_rastî = ar }} [[Wêne:Chapter 111, Al-Masad (Murattal) - Recitation of the Holy Qur'an.mp3|thumb|Tebet]] '''Tebet''' an jî '''sûreya Ebû Leheb''' ji [[Quran]]a pîroz sûreyek e. Li gorî baweriya îslamê ev sûreya kurt li bajarê [[Meke]]yê dahatiye û ji 5 ayetan pêk tê. Sûre ji bona apê [[Muhemmed]] Pêxember bi nav [[Ebû Leheb]] nazil bûye. Ebû Leheb yek ji dijmin û kîndarên mezin yê Muhemmed bû. Wî di jiyana xwe da li dijî ola [[Îslam]] ê û li dijî biraziyê xwe Muhemmed şer kir. Ji ber vê yekê Ebû Leheb di vê sûreyê da tê lanetkirin. Sûre dibê ku bila herdû destên Ebû Leheb vemirin û ew bi xwe jî bikevî agirê [[Dojeh]]ê. {{Sûreyên Quranê}} {{Kontrola otorîteyê}} {{Şitil}} [[Kategorî:Sûre]] 6z8p53djtd4as3e3l4gq77fb7to0udc 0 8512 2094615 2094173 2026-09-18T09:04:35Z Avestaboy 34898 /* */ 2094615 wikitext text/x-wiki {{Agahîdanka giştî}} '''Rojeke Îvan Denîsovîç''' romaneke [[Alexsandr Soljenitsin]]ê ye. * Wergerandin: [[Osman Ozçelik]] * Weşanxane: [[Avesta]] Roman ji 136 rûpelan pê tê. Û di bergeha paşîn da aha hatîye nasandin. Salên 40'î...Îvan Denîsovîç Şûhov; gundîyekî ji Sovyetê, hosteyê dîwaran e. [[Şerê Dinyayê ê 2.]] derdikeve. Artêşa Alman êrîşî YS kirîye. Şûhov ji diçê şer, û dîl dikeve, Tevî 4 hevalên xwe ji kampê direve,ji wan sê kes tên kuştin, Şûhov û hevalekî wî xwe digîhîne yekîneya ya leşkerî. Çi tê serê Şûhov wê rojê tê. Qey leşkerê Artêşa Sor dîl dikeve? Dîl bikeve jî ji destê Almanan xelas dibe? Û jîyana kampên taybet dest pê dike. {{Kontrola otorîteyê}} {{Şitil}} [[Kategorî:Pirtûkên ku rexneyê li komunîzmê digirin]] [[Kategorî:Pirtûkên sensûrkirî]] [[Kategorî:Romanên Aleksandr Soljenîtsin]] 2jgqvytib7tf7wli9zbpdhg5vyiyao8 3 15521 2094592 2091389 2026-09-18T02:28:38Z Max 62790 Max rûpela [[Gotûbêja bikarhêner:Soran]] bêyî beralîkirinek bar kir [[Gotûbêja bikarhêner:Soran (usurped)]]: Automatically moved page while renaming the user "[[Special:CentralAuth/Soran|Soran]]" to "[[Special:CentralAuth/Soran (usurped)|Soran (usurped)]]" 2091389 wikitext text/x-wiki Hi, sorani in Latin is cool, but why do you destroy the Zazakî template? --[[Bikarhêner:Erdal Ronahi|Erdal Ronahi]] 18:37, 28 kewçêr 2006 (UTC) :You can make a template yourself. Just use { } brackets: <nowiki>{{sorani-lat}}</nowiki> is {{sorani-lat}} {{sorani_latin}} and so on. ::It is true, what sorani says. I am also on the opinion, that you should delete the Zazaki template and you should also add Latin for Sorani-dialect. Sorani ist a dialect but not a Own-language... Futhermore Zazaki has got his own wikipedia. For this reason it is very bad to show this here....--[[Bikarhêner:Xani|Xani]] 12:43, 29 kewçêr 2006 (UTC) == Daxwaza ji bo xesbê == Merheba, Soran. <span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">A request has been made via [[:en:meta:SRUC|SRUC (metawiki)]] to usurp, or "take over", your username because another user would like to use it to edit.</span> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <span style="color: green;">'''If you do not object to being renamed'''</span> to a new username in order for another user to use the name you currently have, please log in and post a reply here saying so (you may also tell us what username you would like to be renamed to, or we will provide you with a generic one) or use [[{{#special:globalrenamerequest}}]]. </div> <span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><span style="color: orange;">'''If you do nothing'''</span>,</span> <span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">the request may be filled shortly, and your account will be moved to a generic username.</span> <span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">You may request that it be moved to a new username of your choice at any time.</span> <span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><span style="color: crimson;">'''If you object to being renamed'''</span>,</span> <span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">please log in and make an edit to this page clearly stating that you object to usurpation. Any objection on your part will prevent usurpation.</span> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Please note that '''even if your current username is usurped, you can still edit and your data will not be lost'''; your preferences, watchlist, and other user settings will be transferred to a new username. </div> Em spasiyên xwe pêşkêşî te dikin ji bo ku te wextê xwe ji me re da. [[Bikarhêner:Max|Max]] ([[Gotûbêja bikarhêner:Max|gotûbêj]]) 01:07, 4 îlon 2026 (UTC) 75al11148riww1d7pjcy607qqhg0o53 0 24794 2094616 2057656 2026-09-18T09:23:33Z Avestaboy 34898 /* Berhemên wî */ 2094616 wikitext text/x-wiki {{Agahîdank mirov/wîkîdane2 }} '''Aleksandr Îsayevîç Soljenîtsin''' ({{bi-ru|Александр Исаевич Солженицын|Aleksandr Isayevich Solzhenitsyn}}, jdb. [[11ê kanûna pêşîn]] a [[1918]] li [[Kîslovodsk]] - m. {{Mirin|3|8|2008}}) nivîskarekî rûs e. Sala [[1970]]î [[Xelata Nobelê]] ya wêjeyê girtiye. Di jiyana xwe de li dijî [[realsosyalîzm]]a ku [[YKSS]]ê hebû derket. Wî azadiya ramanê diparast û gelek rexneyên tûj li sazûmaniya [[Sovyet]]ê dikir. Ji ber wê ji aliyê rojavayiyan ve gelek hez jê dihate kirin. Rojavayiyan (Ewropiyan û welatên li bakurê parzemîna Amerîkayê) dixwastin li ser navê wî dijberiya Sovyetê bikin. Heya bigire wî wekî raqîbê [[Mîxaîl Şolokhov]] jî didan pêş. Perwerdeya matematîk û fîlozofiyê dîtibû. Tevlî şerê cîhanî yê duyem bûbû. Di şer de carekê bi şika sîxuriya rojavayiyan tê girtin û darizandin. 11 sal di girtîgehên xebatê de diborîne. == Biyografî == Di sala 1918 an da li Qafqasya yê li bajarê Kislovodsk hatîye dinê. Li Unîvesîteya Donê Fîzîk û matematîk xwend, Xwendina xwe li Moskova bi felsefe, dîrok û edebiyatê domand. Di 1941 an da wek serbaz diçe leşkerîye. Di nameyên ku ji hevalên xwe re dişîne da, rexneyan li [[Stalîn]] dike. Ji ber van rexneya 8 sal cirma hepsê û 2 sal jî a sirgûnê digre. Di sala 1950 da wî dişînên qampên taybetî ên Asya Navîn. Di van qampan da nexwaşiya mirovxwerê dikeve. Piştî mirina Stalîn ji hevsê derdikeve. Piştî romanên wî tê weşandin ji hem welatîye tê avitin û wî teslîme Almanya ye dikin. Di sala 1991 da biryara sirguniya wî tê betal kirin. Di 1994 da vedigere. Romana wî a bi navê ''[[Rojeke Ivan Denisoviç]]'' di hêla [[Osman Ozçelik]] da li kurdî tê wergerandin == Berhemên wî == * [[Rojeke Îvan Denîsovîç]] (1962) * Ji bo çêyiya sedemê (1962) * Hucreya Kanserê (1966) * Xeleka yekemîn (1968) * Keça evînê û nermerû (1969) * Gelawêj 1914 (1971) * Arşîpalê Gûlag 3 Bend (1973-1978) * Şevên Prûsya (1974) * Aleksander Îsayevîç Soljenîtsîn, Nameyek bo serokên Sovyetê, Collins: Harvill Press (1974) * Dara mazî û golik (1975) * Lenîn li Zürichê (1975) * Xetereya mirinê (1980) * Sermawez 1916 (1983) * Pîrozbahiyên serkeftinê (1983) * Mehkûman (1983) * Ji nû ve avakirina Rûsyayê (1990) * Adar 1917 (1995) * Avrêl 1917 (1995) * Pirsgirêka Rûs (1995) * Hevalbendên nepenî (1997) * 200 sal bi hev re: Ji 1772î virde têkiliyên Rûs-Cihû (2003) {{Xelata Nobelê ya Wêjeyê}} {{Kontrola otorîteyê}} [[Kategorî:Jidayikbûn 1918]] [[Kategorî:Nivîskarên rûs]] [[Kategorî:Rexnegirên ateîzmê]] [[Kategorî:Xelatgirên Nobela Wêjeyê]] 5dvs9inxllr1z0uqrn31wvmx5ryj66i 0 26170 2094578 2094261 2026-09-17T12:48:31Z Penaber49 39672 /* */ 2094578 wikitext text/x-wiki {{Agahîdanka giştî }} '''Ewrasya''' biwêjeke [[erdnîgarî]] ye ku parzemînên [[Asya]] û [[Ewropa]]yê wekê parzemîneke yekgirtî rave dike.<ref>{{Jêder-nûçe |paşnav=Society |pêşnav=National Geographic |tarîx=2011-09-20 |sernav=continent |url=https://www.nationalgeographic.org/encyclopedia/continent/ |roja-gihiştinê=2026-06-04 |xebat=National Geographic Society |ziman=en |roja-arşîvê=2019-07-16 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20190716045120/https://www.nationalgeographic.org/encyclopedia/continent/ |rewşa-urlyê=mirî }}</ref> Parzemîn bi yekkirina parzemînên [[Asya]] û [[Ewropa]]yê qadeke berfireh werdigire ku bi qasê 55 milyon km² rûerd werdigire û bi qasê 5 milyar ji nifûsa cîhanê li ser vê parzemîna yekgirtî ya Ewrasyayê dijîn ku ev rêje ji nivê nifûsa cîhanê zêdetir e. Têgihiştina Ewropa û Asyayê wekê parzemînên ji hev cuda vedigere serdema kevnare û bi giranî xwedî taybetmendiyeke çandî ye lê sinorên wan di warê dîrokî de rastê guhertinê hatine. Wek mînak yewnaniyên kevnare di destpêkê de Afrîka di nava Asyayê de hesab kirine lê Ewropayê wekê axeke cuda didîtine. Ewrasya li qenala Suezê bi Afrîkayê ve girêdayî ye û carinan her du bi hev re hatine hesibandin ku behsa mezintirîn girseya bejahî ya yekbûyî ya li ser rûyê erdê, ango Afro-Ewrasya hatiye kirin. Ev têgîna parzemînî ji demên antîk vir ve ye ku pir kes Ewropa û Asyayê wek parzemîneke tenê dibînin. Îro li dibistanên [[Japonya]]yê jî 5 parzemînên dinêyê ku yek ji wan Ewrasyayê hene. Li welatên [[Ewropaya Rojhilat]] jî Asya û Ewropa wek parzemînekê tenê tê ditîn. == Çavkanî == {{Çavkanî}} {{Parzemîn}} {{Kontrola otorîteyê}} {{Şitil}} [[Kategorî:Ewrasya| ]] [[Kategorî:Superparzemîn]] 6v3uoe3datn7b3vwpohjxtn9t1l1ld3 2094581 2094578 2026-09-17T12:56:28Z Penaber49 39672 /* */ 2094581 wikitext text/x-wiki {{Agahîdanka giştî }} '''Ewrasya''' biwêjeke [[erdnîgarî]] ye ku parzemînên [[Asya]] û [[Ewropa]]yê wekê parzemîneke yekgirtî rave dike.<ref>{{Jêder-nûçe |paşnav=Society |pêşnav=National Geographic |tarîx=2011-09-20 |sernav=continent |url=https://www.nationalgeographic.org/encyclopedia/continent/ |roja-gihiştinê=2026-06-04 |xebat=National Geographic Society |ziman=en |roja-arşîvê=2019-07-16 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20190716045120/https://www.nationalgeographic.org/encyclopedia/continent/ |rewşa-urlyê=mirî }}</ref> Parzemîn bi yekkirina parzemînên [[Asya]] û [[Ewropa]]yê qadeke berfireh werdigire ku bi qasê 55 milyon km² rûerd werdigire û bi qasê 5 milyar ji nifûsa cîhanê li ser vê parzemîna yekgirtî ya Ewrasyayê dijîn ku ev rêje ji nivê nifûsa cîhanê zêdetir e. Têgihiştina Ewropa û Asyayê wekê parzemînên ji hev cuda vedigere serdema kevnare û bi giranî xwedî taybetmendiyeke çandî ye lê sinorên wan di warê dîrokî de rastê guhertinê hatine. Wek mînak yewnaniyên kevnare di destpêkê de Afrîka di nava Asyayê de hesab kirine lê Ewropayê wekê axeke cuda didîtine. Ewrasya li qenala Suezê bi Afrîkayê ve girêdayî ye û carinan her du bi hev re hatine hesibandin ku behsa mezintirîn girseya bejahî ya yekbûyî ya li ser rûyê erdê, ango Afro-Ewrasya hatiye kirin. Ev têgîna parzemînî ji demên antîk vir ve ye ku pir kes Ewropa û Asyayê wek parzemîneke tenê dibînin. Îro li dibistanên [[Japonya]]yê jî 5 parzemînên dinêyê ku yek ji wan Ewrasyayê hene. Li welatên [[Ewropaya Rojhilat]] jî Asya û Ewropa wek parzemînekê tenê tê ditîn. == Dîrok == Ewrasya malavaniya gelek şaristaniyên kevnar kiriye ku di nav de şaristaniyên li Mezopotamyayê, Misir, geliyê Indusê û Çînê derketine hene. Di serdema aksiyal de (nîvê hezarsala yekem a {{bz}}) kembereke berdewam a şaristaniyan li seranserê herêma bin-tropîkal a Ewrasyayê, ji okyanûsa Atlantîkê heta Okyanûsa Pasîfîkê dirêj bibû. Di heman demê de ev kember ji bo du hezar salan bûye xeta sereke ya dîroka cîhanê. Ji serdema vedîtinan û vir ve pêwendiyên nû di navbera bin-herêmên Ewrasyayê de derketine holê ku ev yek bi vedîtina rêyên nû yên deryayî ji aliyê îberiyan ve di salên 1490î de û herwiha bi temambûna qenala Suweyş a sala 1869an ve pêk hatiye ku rê li ber derbasbûna rasterast a di navbera herêma Hindistan û Deryaya Navîn de û pêla "emparyalîzma nû" ya Ewropaya Rojava ya ku heta nîvê sedsala 20an serdestiya Afrîka û Asyayê kiribû, vekiriye. Hebûna komunîzmê li Ewrasyayê (ku bi giranî ji aliyê Yekîtiya Sovyetê ve dihat meşandin) piştre heta dawiya Şerê Sar ku di sala 1991ê bi dawî bûye, serdestiya beşeke mezin ê parzemînê kiriye. == Çavkanî == {{Çavkanî}} {{Parzemîn}} {{Kontrola otorîteyê}} {{Şitil}} [[Kategorî:Ewrasya| ]] [[Kategorî:Superparzemîn]] flw2mej01myq9jg3flnu4kjrrvkzurx 2094582 2094581 2026-09-17T12:59:08Z Penaber49 39672 /* Dîrok */ 2094582 wikitext text/x-wiki {{Agahîdanka giştî }} '''Ewrasya''' biwêjeke [[erdnîgarî]] ye ku parzemînên [[Asya]] û [[Ewropa]]yê wekê parzemîneke yekgirtî rave dike.<ref>{{Jêder-nûçe |paşnav=Society |pêşnav=National Geographic |tarîx=2011-09-20 |sernav=continent |url=https://www.nationalgeographic.org/encyclopedia/continent/ |roja-gihiştinê=2026-06-04 |xebat=National Geographic Society |ziman=en |roja-arşîvê=2019-07-16 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20190716045120/https://www.nationalgeographic.org/encyclopedia/continent/ |rewşa-urlyê=mirî }}</ref> Parzemîn bi yekkirina parzemînên [[Asya]] û [[Ewropa]]yê qadeke berfireh werdigire ku bi qasê 55 milyon km² rûerd werdigire û bi qasê 5 milyar ji nifûsa cîhanê li ser vê parzemîna yekgirtî ya Ewrasyayê dijîn ku ev rêje ji nivê nifûsa cîhanê zêdetir e. Têgihiştina Ewropa û Asyayê wekê parzemînên ji hev cuda vedigere serdema kevnare û bi giranî xwedî taybetmendiyeke çandî ye lê sinorên wan di warê dîrokî de rastê guhertinê hatine. Wek mînak yewnaniyên kevnare di destpêkê de Afrîka di nava Asyayê de hesab kirine lê Ewropayê wekê axeke cuda didîtine. Ewrasya li qenala Suezê bi Afrîkayê ve girêdayî ye û carinan her du bi hev re hatine hesibandin ku behsa mezintirîn girseya bejahî ya yekbûyî ya li ser rûyê erdê, ango Afro-Ewrasya hatiye kirin. Ev têgîna parzemînî ji demên antîk vir ve ye ku pir kes Ewropa û Asyayê wek parzemîneke tenê dibînin. Îro li dibistanên [[Japonya]]yê jî 5 parzemînên dinêyê ku yek ji wan Ewrasyayê hene. Li welatên [[Ewropaya Rojhilat]] jî Asya û Ewropa wek parzemînekê tenê tê ditîn. == Dîrok == Ewrasya malavaniya gelek şaristaniyên kevnar kiriye ku di nav de şaristaniyên li Mezopotamyayê, Misir, geliyê Indusê û Çînê derketine hene. Di serdema aksiyal de (nîvê hezarsala yekem a {{bz}}) kembereke berdewam a şaristaniyan li seranserê herêma bin-tropîkal a Ewrasyayê, ji [[Okyanûsa Atlantîk|Okyanûsa Atlantîkê]] heta [[Okyanûsa Mezin|Okyanûsa Pasîfîkê]] dirêj bibû. Di heman demê de ev kember ji bo du hezar salan bûye xeta sereke ya dîroka cîhanê. Ji serdema vedîtinan û vir ve pêwendiyên nû di navbera bin-herêmên Ewrasyayê de derketine holê ku ev yek bi vedîtina rêyên nû yên deryayî ji aliyê îberiyan ve di salên 1490î de<ref>{{Jêder-malper |url=https://history.howstuffworks.com/historical-figures/vasco-da-gama.htm |sernav=Vasco da Gama, Portugal's Columbus, Is Just as Controversial |malper=history.howstuffworks.com |roja-gihiştinê=2026-09-17}}</ref> û herwiha bi temambûna qenala Suweyş a sala 1869an ve pêk hatiye ku rê li ber derbasbûna rasterast a di navbera herêma Hindistan û Deryaya Navîn de û pêla "emparyalîzma nû" ya Ewropaya Rojava ya ku heta nîvê sedsala 20an serdestiya Afrîka û Asyayê kiribû, vekiriye.<ref>{{Jêder-malper |url=https://thewire.in/history/suez-canal-relevance-europe-colonialism |sernav=Behind the Enduring Relevance of the Suez Canal Is the Long Shadow of European Colonialism |malper=The Wire |roja-gihiştinê=2026-09-17 |ziman=en}}</ref> Hebûna komunîzmê li Ewrasyayê (ku bi giranî ji aliyê Yekîtiya Sovyetê ve dihat meşandin) piştre heta dawiya Şerê Sar ku di sala 1991ê bi dawî bûye, serdestiya beşeke mezin ê parzemînê kiriye.<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Beissinger |pêşnav=Mark R. |tarîx=2009 |sernav=Nationalism and the Collapse of Soviet Communism |url=https://www.cambridge.org/core/journals/contemporary-european-history/article/abs/nationalism-and-the-collapse-of-soviet-communism/511A7FC26ADB958BF98E6175EE32FD9C |kovar=Contemporary European History |ziman=en |cild=18 |hejmar=3 |rr=331–347 |doi=10.1017/S0960777309005074 |issn=1469-2171}}</ref> == Çavkanî == {{Çavkanî}} {{Parzemîn}} {{Kontrola otorîteyê}} {{Şitil}} [[Kategorî:Ewrasya| ]] [[Kategorî:Superparzemîn]] m8jh68dr4gnp93qj2cqmfo5frqkcvp2 0 76674 2094638 1837673 2026-09-18T10:58:48Z Avestaboy 34898 /* */ 2094638 wikitext text/x-wiki {{Sêwî|tarîx=tîrmeh 2024}} [[Wêne:The Purloined Letter.jpg|thumb|Wêneyê Auguste Dupin ji kurteçîroka bi navê ''The Purloined Letter'' (1864)]] '''Auguste Dupin''' an jî '''C. Auguste Dupin''' detektîvekî aşopî ye ku ji aliyê [[nivîskar]]ê amerîkî [[Edgar Allan Poe]] ve hatiye afirandin. Dupin di [[kurteçîrok]]a ''The Murders in the Rue Morgue'' (Kuştinên Kolana Morgueyê) di cara pêşîn de derbûn dibe û gelemper ew wek detektîvê aşopî yê yekem tê nasîn. Piştî wê kurteçîrokê re ew di kurteçîrokên ''The Mystery of Marie Rogêt'' (1842) (Sira Marie Roget) û ''The Purloined Letter'' (1844) (Nameya dizîn) dîsa derbûn dibe. Dupin ne detektivekî profesyonel e û handana wê ji çareserkirina dozên her sê çîrok de guherandî ne. Bi ve wê Poe ratiocination{{Çavkanî hewce ye|tarîx=tîrmeh 2024}} digot Dupin jîriya xwe ya mezin bi fanteziya afirînerî bi hev re dikir û wisa dikar bû di jîriyên tawankaran de heştyar bike. Karînin wê wisa rindin ku ew dikarê ramanên hevalê xwe (ku di wan sê çîrok bênave û behsa Dupin dike) çare bike. Wexta Poe derbarê Dupin de nivîsand wê demê de peyva detektîv tune bû. Kesê C. August Dupin bingeha detektîvên aşopî (wek mînak [[Sherlock Holmes]]) çê dikir û janreya detektîvên aşopî de gelek element tev damezrand<ref>https://en.m.wikipedia.org/wiki/C._Auguste_Dupin</ref>. == Çavkanî == {{Çavkanî}} {{Kontrola otorîteyê}} {{Şitil}} [[Kategorî:Detektîvên camêr ên honakî]] [[Kategorî:Edgar Allan Poe]] [[Kategorî:Kesayetên honakî]] pedno335eb4r81mu4pvtwb9s3qvyt8p 14 135576 2094628 1274152 2026-09-18T10:44:55Z Avestaboy 34898 /* */ Kategoriya Tevgerên wêjeyî heye. 2094628 wikitext text/x-wiki {{Jêbirin}} q6okcom5eaqpulya2xokbp4fckff492 0 140654 2094630 2093880 2026-09-18T10:48:20Z Avestaboy 34898 2094630 wikitext text/x-wiki {{Agahîdanka giştî }} [[Wêne:Shuihu4.PNG|thumb|Nimûneyek ji pirtûka ''[[Qiraxa Avê]]'']] '''Çar romanên klasîk ên mezin ên Çînê''' ([[Zimanê çînî|Çînî]]: 四大名著, ''Sì Dà Míngzhù'') berhemên edebî ne ku ji hêla pisporên [[wêje]]ya [[çîn]]î ve wek berehemên herî girîng û bi bandor têne hesibandin. == Çar klasîk ên mezin == Çar romanên klasîk ên mezin, bandor li ser [[çîrok]], [[şano]], [[sînema]] û [[lîstik]]ên [[Japon]], [[Kore]] û [[Viyetnam]] kiriye. Ev çar pirtûk bi rêza nivîsandinê ev in: * ''[[Çîroka Sê Keyanîyan]]'' ( Çînî 三國演義 ) ([[sedsal]]a 14 an) * ''[[Qiraxa Avê]]'' ( Çînî 水滸傳 ) (sedsala 14 an), * ''[[Rêwîtiya ber bi Rojava ve|Rêwîtiya ber bi rojava]]'' ( Çînî 西遊記 ) (sedsala 16 an.). Her weha wekî " ''[[Mîmun King]]'' " tê zanîn. * ''[[Dream Koşka Sor|Xewna koşka sor]]'' ( Çînî 紅樓夢 ). (sedsala 18an). Wekî "''[[Çîroka Kevir]]''" jî tê zanîn. == Çavkanî == {{Çavkanî}} {{werger çavkanî|tr|Çin'in Dört Büyük Klasik Romanı}} {{Kontrola otorîteyê}} {{Çîn-şitil}} {{Pirtûk-şitil}} [[Kategorî:Tevgerên wêjeyî yên çînî]] [[Kategorî:Romanên klasîk ên çînî]] fj34cd3l1dncux47ll0zxc4l7jvqx84 0 292232 2094584 1917304 2026-09-17T13:40:46Z CommonsDelinker 599 Wêneyê bi navê İmralı_prison.jpg ji gotarê hate jêbirin, ji ber ku ew li Commonsê ji aliyê [[c:User:ChemSim|ChemSim]] ve hate jêbirin. Sedema jêbirinê: per [[:c:Commons:Deletion requests/File:İmralı prison.jpg|]] 2094584 wikitext text/x-wiki '''Hevdîtinên Îmraliyê''' behsa çend [[hevdîtin]]ên [[dewlet]]a [[Tirkiye|Tirkiyê]] û rêberê girtî yê [[Partiya Karkerên Kurdistanê|Partiya Karkerên Kurdistanê (PKK)]] [[Abdullah Öcalan]] dike.<ref>{{Jêder-malper |url=http://www.aktifhaber.com/adalet-bakanligi-imrali-heyetini-onayladi-739109h.htm |sernav=Adalet Bakanlığı İmralı Heyetini Onayladı |malper=web.archive.org |tarîx=2015-04-02 |roja-gihiştinê=2024-12-28 |roja-arşîvê=2015-04-02 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20150402134509/http://www.aktifhaber.com/adalet-bakanligi-imrali-heyetini-onayladi-739109h.htm |rewşa-urlyê=mirî }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://www.aa.com.tr/kk/tirkiye/serdana-hdpy%C3%AA-ya-li-%C3%AEmraliy%C3%AA/130955 |sernav=Serdana HDPyê ya li Îmraliyê |malper=www.aa.com.tr |roja-gihiştinê=2024-12-28 }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://anfkurdi.com/cihan/berfirehiya-hevditina-imraliye-26101 |sernav=Berfirehiya hevdîtina Îmraliyê |malper=ANF News |roja-gihiştinê=2024-12-28 |ziman=ku }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=http://www.aktifhaber.com/ahmet-turk-5-6-gun-icinde-serbest-747035h.htm |sernav=Ahmet Türk: 5-6 Gün İçinde Serbest 07 Mart 2013 13:21 |malper=web.archive.org |tarîx=2013-03-11 |roja-gihiştinê=2024-12-28 |roja-arşîvê=2013-03-11 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20130311172459/http://www.aktifhaber.com/ahmet-turk-5-6-gun-icinde-serbest-747035h.htm |rewşa-urlyê=mirî }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=http://www.aktifhaber.com/basbakan-imraliya-gidecekleri-acikladi-734823h.htm |sernav=Başbakan İmralı'ya Gidecekleri Açıkladı 13 Şubat 2013 11:55 |malper=web.archive.org |tarîx=2013-02-16 |roja-gihiştinê=2024-12-28 |roja-arşîvê=2013-02-16 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20130216041749/http://www.aktifhaber.com/basbakan-imraliya-gidecekleri-acikladi-734823h.htm |rewşa-urlyê=mirî }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=http://www.cnnturk.com/2012/turkiye/12/31/yalcin.akdogan.imrali.ile.gorusmeleri.anlatti/690774.0/index.html |sernav=Yalçın Akdoğan "İmralı ile görüşmeleri" anlattı CNNTurk.com |malper=web.archive.org |tarîx=2013-01-03 |roja-gihiştinê=2024-12-28 |roja-arşîvê=2013-01-03 |urlya-arşîvê=https://web.archive.org/web/20130103010505/http://www.cnnturk.com/2012/turkiye/12/31/yalcin.akdogan.imrali.ile.gorusmeleri.anlatti/690774.0/index.html |rewşa-urlyê=bot: unknown }}</ref> == Armancên hevdîtinan == Ev hevdîtinên ku navê xwe ji [[Îmralî|girava Îmraliyê]] ya li [[perav]]ên [[Stembol]]ê girtiye, ku Öcalan ji sala [[1999]]an û vir ve di [[girtîgeh]]ê de ye, di sala [[2012]]an de bi awayekî fermî dest pê kir.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.sabah.com.tr/gundem/2012/07/12/turkiye-ocalan-ile-gizlice-gorusuyor |sernav=İmralı buluşması |malper=Sabah |roja-gihiştinê=2024-12-28 |ziman=tr }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://www.ntv.com.tr/turkiye/imrali-ile-gorusmeler-devam-ediyor,_Uk_JEMkW0mVHnYwARYmnw |sernav='İmralı ile görüşmeler devam ediyor' |malper=www.ntv.com.tr |roja-gihiştinê=2024-12-28 |ziman=tr }}</ref> Armanca danûstandinan peydakirina çareseriyeke [[Siyaset|siyasî]] ji pirsgirêka [[kurd]] a bi dehan salan li Tirkiyê bû, ku tê de bi deh hezaran kes jiyana xwe ji dest dabû û îstiqrara herêmê xistibû xeterê. [[Şerê PKK û Tirkiyeyê]] ji daxwaza gelê kurd a ji bo [[Mafên mirovan|mafên]] [[çand]]î, siyasî û xwerêveberiyê derketiye holê. Hevdîtin xaleke zivirînê ya girîng nîşan da, ji ber ku ew yekem hewla ciddî ya her du alîyan ji bo çareserkirina aştiyane ya aloziyê temsîl dikirin. === Pêwîstiya hevdîtinan === Hikûmeta Tirkiyê, bi serokatiya [[Partiya Dad û Geşedanê|Partiya Dad û Geşedanê (AKP)]], pêdiviya danûstandina rasterast bi Öcalan re nas kir. Tevî ku di zindanê de bû jî, Öcalan hê jî weke kesayetek navendî û rêberê [[îdeolojî]]k ê tevgera kurd dihate dîtin. Ji dema ku hatiye girtin, Öcalan gelek caran banga dûrxistina ji çekan kiriye û tekez kiriye, ku çareseriya siyasî tenê bi [[diyalog]]ê pêkan e. Lewma beşek navendî ya hevdîtinan banga agirbestê li PKKê û vekişandina şervanên xwe ji Tirkiyê bû. Di heman demê de hukûmetê soza [[reform]]an kiribû ji bo bihêzkirina mafên çandî û siyasî yên kurdan. === Pirsgirêkên pêvajoyê === Tevî pêşkeftina destpêkê, danûstandin her ku çû di bin siya tengezarî û bêbaweriya dualî de bûn. Astengiya sereke ev bû, ku gelo hikûmeta Tirkiyê dê sozên xwe bi cih bîne û reformên girîng pêk bîne yan na. Di heman demê de, faktorên derve yên weke [[şerê navxweyî yê Sûriyê]], xurtbûna milîsên kurd li herêmê û tengasiyên alîkariyê ji [[Rojavaya Kurdistanê|Rojavayê]] re pêbaweriya di navbera aliyan de xiste tengasiyê. === Encam === Hevdîtinên Îmraliyê yên têkçûyî ji bo pirsgirêka kurd li Tirkiyeyê û aramiya herêmê encamên mezin da. Ji aliyekî ve zehmetiya bidawîkirina pevçûneke bi dehan salan hatine xuyakirin, û ji aliyê din ve jî girîngiya diyalog û dilxwaziya ji bo lihevkirinê eşkere bû. Rexnegir her du alî bi wê yekê tawanbar dikin, ku bi têra xwe ji bo çareseriya siyasî kar nekirine. Hikûmeta Tirkiyê ji ber nebûna reforman û zexta wê ya zêde ya li ser gelê kurd tê rexne kirin, lê PKK jî bi vegera tundiyê tê tawanbar kirin.<ref>{{Jêder-malper |url=https://bianet.org/haber/imrali-gorusmesi-tutanagi-144737 |sernav=İmralı Görüşmesi Tutanağı |malper=bianet.org |roja-gihiştinê=2024-12-28 |ziman=tr }}</ref> Hevdîtinên Îmraliyê bûye sembola firsenda ji dest çûyî ya ji bo çareseriya aştiyane, û di nîqaşên li ser çareseriya pirsgirêka kurd de xala referansê ye. == Dîroka hevdîtinan == === Hevdîtinên ji 2012 heta 2015 === Öcalan di [[adar]]a [[2013]]an de bi munasebeta [[Newroz]]a [[sersal]]a kurdan agirbestê îlan kir û bang li PKKê kir, ku dawî li çalakiyên xwe yên [[Leşker (leşkerî)|leşkerî]] bîne. Ev ji bo hewldanên aştiyê weke gaveke dîrokî hate dîtin.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.voaturkce.com/a/kurt-sorununa-cozumde-ocalan-faktoru/1577637.html |sernav=Kürt Sorununa Çözümde Öcalan Faktörü |malper=VOA Türkçe |tarîx=2013-01-04 |roja-gihiştinê=2024-12-28 |ziman=tr }}</ref> Di sala [[2015]]an de, piştî ku careke din tundiya di navbera PKKê û dewleta Tirk de gurr bû, hevdîtin bi dawî bûn. Hikûmeta Tirkiyê ya di bin serokatiya serokomar [[Recep Tayyip Erdoğan]] de li hember tevgera kurd helwesteke tund nîşan da û muzakere wek têkçûyî ragihand. Rewşa girtina Öcalan, bi taybetî ragihandina wî ya bi cîhana derve û malbata wî re, hatine giran kirin, ku ji aliyê alîgiriên wî weke "tecrîd" hate binav kirin, û bi vî rengî rola wî ya navbeynkar jî bi dawî bû.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.hdp.org.tr/ku/tecrida-girankiri-ya-li-imraliye-erisek-e-li-diji-heviya-careseriye-ya-gelan/14711/ |sernav=Tecrîda girankirî ya li Îmraliyê êrişek e li dijî hêviya çareseriyê ya gelan! |malper=hedep.org.tr |roja-gihiştinê=2024-12-28 |ziman=tr }}</ref> === Hevdîtinên ji 2024 û pê ve === Di Kanûna [[2024]]an de hevdîtinên Îmraliyê yên di navbera dewleta Tirk û PKKê de piştî 10 salan ji nû ve hatin avakirin. Serokê [[Partiya Tevgera Neteweparêz|MHPê]] [[Devlet Bahçeli|Devlet Bahçelî]] pêşniyara azadkirina rêberê PKKê Abdullah Ocalan kir, heger PKK bi tevahî çekan deyne. Serokomar Erdogan ev yek wek "pencera fersendê ya dîrokî" bi nav kir û bal kişand ser pêwîstiya çareseriya aktîf a pirsgirêkan.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.bbc.com/turkce/articles/cn4298wmy8zo |sernav=Erdoğan Bahçeli'nin 'İmralı' çağrısına destek verdi, DEM Parti ve Kandil'i eleştirdi: 'Tablo umutlu olmamıza izin vermiyor' |malper=BBC News Türkçe |tarîx=2024-11-27 |roja-gihiştinê=2024-12-29 |ziman=tr }}</ref> Dû re partiya alîgirê kurdan [[Partiya Wekhevî û Demokrasiya Gelan|DEM Parti]] daxwaza hevdîtina bi Abdullah Öcalan re kir, ku hukûmeta tirkî piştî deh salan yekem car destûr da. Di 28ê Kanûna 2024an de parlamenterên DEMê [[Sirri Sureyya Onder]] û [[Pervin Buldan|Pervîn Buldan]] çûn serdana Ocalan li Îmraliyê. Piştî rojekê, partiyê encamên hevdîtinê eşkere kir.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.rudaw.net/kurmanci/middleeast/turkey/291220241 |sernav=DEM Partiyê li ser hevdîtinê daxuyanî da: Abdullah Ocalan çi got? |malper=www.rudaw.net |roja-gihiştinê=2024-12-29 }}</ref><ref>{{Jêder-malper |url=https://www.voanews.com/a/turkey-s-pro-kurd-party-to-meet-jailed-pkk-leader-on-saturday/7916870.html |sernav=Turkey's pro-Kurd party to meet jailed PKK leader on Saturday |malper=Voice of America |tarîx=2024-12-28 |roja-gihiştinê=2024-12-29 |ziman=en }}</ref> Tê de Öcalan dilgiraniya xwe ya ji bo tevkariyê li “paradîgmaya nû” ya hikûmetê nîşan da û nêzîkbûna di navbera tirk û kurdan de weke “berpirsiyarîyeke dîrokî” bi nav kir. Wî herwiha [[Meclîsa Mezin a Neteweyî ya Tirkiyeyê|Meclisa Tirkiyê]] wek platforma navendî ya pêvajoya aştiyê bi nav kir û hêviya bangewaziyek ji bo bidawîkirina pevçûnê kir, eger hemû aktor bi awayekî avaker beşdar bibin.<ref>{{Jêder-malper |url=https://www.dw.com/tr/dem-parti-%C3%B6calan%C4%B1n-mesaj%C4%B1n%C4%B1-a%C3%A7%C4%B1klad%C4%B1-%C3%A7a%C4%9Fr%C4%B1y%C4%B1-yapmaya-haz%C4%B1r%C4%B1m/a-71178448 |sernav=DEM Parti Öcalan'ın mesajını açıkladı – DW – 29.12.2024 |malper=dw.com |roja-gihiştinê=2024-12-29 |ziman=tr }}</ref> Ji nû ve destpêkirina hevdîtinên Îmraliyê di têkiliyên Tirkiye-Kurd de weke xaleke veguhertinê tê dîtin, lê encamên wê ewê çawa bin hê naye zanîn. Herî baş, çareseriya aştiyane dikare bandorê li aramiya herêmê jî bike. == Çavkanî == {{Çavkanî}} {{Kontrola otorîteyê}} [[Kategorî:PKK]] [[Kategorî:Siyaseta Tirkiyeyê]] kx1g49suf4mtw2u05d5j3195mpxrtc4 0 312902 2094587 2094216 2026-09-17T18:29:07Z Penaber49 39672 /* */ 2094587 wikitext text/x-wiki {{Agahîdank çiya | nav = Rêzeçiyayên Transtartîk | nav1 = | wêne = Transantarctic mountain hg.jpg | wêne_sernav = Çiyayên Transantarktîk li bakurê Ava Vîktoryayê, li nêzîkî Pozika Robertan. | bilindayî = 4.528 | cih = [[Antartîka]] | zincîreçiya = | nexşeya_cihan = | koordînat = | cure = Rêzeçiya | çalakbûna_dawî = }} '''Rêzeçiyayên Transantartîk''' (bi [[Zimanê inglîzî|înglîzî]]: ''Transantarctic Mountains'') cûreyeke rêzeçiyayên kevirîn ê bilind bûyî ye (bi piranî sedîmentî) ku li [[Antarktîka]]yê li devereke berfireh dirêj bûye. Rêzeçiya bi hinek navberan li seranserê parzemînê, ji [[Pozikê Adare]], li bakurê [[Axa Vîktoryayê]] heta [[Axa Coatsê]] dirêj bûye. Rêzeçiyayên Transtartîk [[Antarktîkaya Rojhilat]] û [[Antarktîkaya Rojava]] ji hev vediqetînin ku hejmarek komên çiyayî yên bi navên cuda vedihewînin ku ji rêzeçiyayên biçûk pêk hatine ku beşên biçûk ên rêzeçiyayê ne. Xala herî bilind ê çiyayê Kirkpatrickê ji asta deryayê bi bilindahiya 4.528 mêtre bilind e û ev çiya xwediyê bîst xalên bilind e ku bilindahiya wan herî kêm bi qasê 4.000 mêtreyan e. Rêzeçiya ji çend komên çiyayî yên berdewam ên xwedî navên cihêreng pêk hatiye ku ji rojavayê Deryaya Rossê û ji aliyên rojava û başûrê deşta Qeşayê ya Rossê dirêj dibin û çiyayên wekê çiyayên Horlick, çiyayên Thiel, çiyayên Pensacola, zincîreya Shackletonê û çiyayên Theronê vegirtiye nav xwe. Her çend ji ber helîna cemedan hinek çemên demkurt û navberî çêdibin jî, di mehên zivistanê de, bi taybetî li başûr û li deverên bilind, hewa bi gelemperî ewqas sar e ku berf nabare û kombûna berfê li wir bi piranî bi rêya bayê pêk hatiye. Tevî ku li herêmê avhewayeke cemserî serdest e jî, qeşe li seranserê vê zincîreya çiyayî tuneye. Wek mînak li "geliyên hişk ên McMurdo" (McMurdo Dry Valleys) ku lê baran û berf kêm dibare û di havînê de dûkela avê (evaporasyon) pir zêde ye. Ev rêzeçiya cara yekem di sala 1841ê de ji aliyê James Clark Ross ve li cihê ku paşê ji bo rûmeta wî wekî Ross Ice Shelf hate binavkirin, hatiye dîtin. Cara yekem di dema [[Sefera Neteweyî ya Antarktîkayê ya Brîtanî]] ya salên 1901-1904an de hatiye derbaskirin. == Erdnîgarî == [[Wêne:Thiel Mountains close.jpg|thumb|çep|Dînenek ji Çiyayên Thielê]] Rêzeçiya di navbera Deryaya Rossê û Deryaya Weddellê de dirêj dibin ku tevahiya firehiya Antarktîkayê, ji ber vê yekê rêzeçiyayê vê navê wergirtiye. Bi dirêjahiya nêzîkî 3.500 km Rêzeçiyayên Transantarktîk yek ji dirêjtirîn rêzeçiyayên li ser rûyê Erdê ye. Çiyayê And ê Antartîkayê zêde dirêjtir in, ji ber ku rêzeçiyayên ji Pozikê Adare heta Çiyayên Şahjin Maud bi Çiyayên Transantarktîk re hevpar in lê ji wir jî di nav Çiyayên Whitmore û Çiyayên Ellsworth re heta Nîvgirava Antarktîk dirêj dibin. Berfirehiya rêzeçiyayan di navbera 100 û 300 kîlomêtreyan de diguhere ku sinorê di navbera Antarktîkaya Rojhilat û Antarktîkaya Rojava de pêk tîne. Pelê Cemedê ya Antarktîkaya Rojhilat li aliyê nîvkada rojhilat bi tevahî dirêjahiya TAM-ê dorpêç dike lê li aliyê nîvkada rojava ya rêzeçiyayan bi Deryaya Rossê li Erdên Vîktorya ji Pozikê Adare heta Tengava McMurdoyê, Qeşaya Rossê ji Tengava McMurdo heta nêzîkî Qeşaya Skotê û Pelê Cemedê ya Antarktîkaya Rojava li pişt wê ve hatiye sinordar kirin. Bilindahiyên mezin û geliyên asê yên TAMê hinek ji wan çend cihên li Antarktîkayê ne ku bi qeşayê nehatine nixumandin ku gir a herî bilind ji 4.500 metreyan ji asta deryayê bilindtir e. Geliyên asê yên McMurdo li nêzî Tengava McMurdoyê ne û diyardeyek taybetî ya Antarktîkayê temsîl dikin ku peyzajên ku ji ber barîna pir kêm û rakirina qeşayê di geliyan de bê berf û qeşayê ne. Çiyayê herî bilind ê TAMê Çiyayê Kirkpatrickê ye ku bi bilindî ya 4.528 mêtre bilind e û di nav rêzeçiyayên Şahjin Alexandra de ye. == Jiyannasî == Pengûen, fok û teyrên deryayê li perava Deryaya Rossê li Erdê Vîktoryayê dijîn lê jiyana li hundirê rêzeçiyayên Transantarktîkê bi bakterî, lîken, alg û kiyarkan ve sinordar e. Daristanên berê ku rûyê Antarktîkayê girtibûn, di nav wan de gelek çamên Wollemi û darên bejahî yên Nothofagus başûr hebûn.<ref name="Ravallion2000">{{Jêder-kovar |paşnav=Ravallion |pêşnav=Julie |tarîx=2000 |sernav=New Wollemi Pine found |url=https://doi.org/10.5962/p.374118 |kovar=Danthonia: newsletter of the Australian Network for Plant Conservation |cild=9 |hejmar=3 |rr=5–5 |doi=10.5962/p.374118 |issn=1039-6500}}</ref> Lêbelê bi sarbûna hêdî hêdî ya ku bi belav bûna Gondwana ve girêdayî, ev daristan hêdî hêdî winda bûne. Tê ​​bawerkirin ku darên dawîn ên li parzemîna Antarktîkayê li Çiyayên Transantarktîkê bûn.<ref name="Ravallion2000" /> == Dîrok == [[Wêne:Dugdale and Murray Glacier - Antarctica.jpg|thumb|Dîmena hewayî ya Çiyaye Dugdale ku di sala 1957an de hatiye wergirtin.]] Çiyayên Transantarktîk cara yekem di sala 1841ê de ji aliyê ajovanê keştiyê James Clark Ross ve ji Deryaya Rossê hatiye dîtin. Ev rêzeçiya astengiyeke xwezayî ye ku divê ji bo gihîştina Cemsera Başûr ji Shela Cemedê ya Rossê were derbaskirin. Derbasbûna yekem a çiyayên Transantarktîk di dema Sefera Neteweyî ya Antarktîk a Brîtanî ya di salên 1902-1904an de li Çiyayên Qeşiyên yên Rossê pêk hatiye. Komeke kifşê di bin fermandariya Albert Armitage de di sala 1902an de gihîştine bilindahiya 2.700 mêtreyan. Piştê saleke din, komeke bi serokatiya Robert Falcon Scott, derbasî Rojhilatê Antarktîkayê bûne ku di devereke ku niha wekî Çemê Ferrarê tê zanîn ku navê xwe ji jeologê seferê girtiye re, derbas bûne. Berî ku bi rêya heman cemedê vegerin, wan beşek ji Axa Vîktoryayê li ser Antarktîkayê dîtine. Di sala 1908an de, koma Ernest Shackleton çiyayan bi rêya Çemê Beardmore derbas kirine. Scott di sala 1911an de vegeriya heman cemedê ku di heman demê de Roald Amundsen jî bi rêya Çemê Axel Heiberg ji rêzeçiyayan derbas bûye. Heta dema ku mîsyonên wekî Operasyona Highjump û Sala Jeofîzîkî ya Navneteweyî (IGY) bi berfirehî karanîna wênekêşiya hewayî kirin û li ser lêkolînek berfireh a tevahiya parzemînê sekinîn, piraniya rêzeçiyayan heta dawiya salên 1940 û 1950an nehatibûn kişfkirin. Navê "Çiyayên Transantarktîk" cara yekem di gotareke sala 1960an de ji aliyê jeolog Warren B. Hamilton ve, piştî xebata wî ya qada IGYê ku li ser vê rêzeçiyayê hatiye nivîsandin.<ref>{{Jêder-kitêb |sernav=U.S. Geological Survey Professional Paper |weşanger=U.S. Government Printing Office |tarîx=1960 |ziman=en |url=https://books.google.com/books?id=iGpXAAAAMAAJ&pg=SL2-PA379}}</ref> Piştre jî di sala 1962an de ji aliyê Komîteya Şêwirmendiyê ya Navên Antarktîkayê ku rayedarek Dewletên Yekbûyî ye li ser navên erdnîgarî hatiye pêşniyar kirin. Ev binav kirin a bi tevahî raveker (berevajî gelek navên din ên erdnîgarî li ser Antarktîkayê) niha di asta navneteweyî de tê pejirandin. == Jeolojî == Çiyayên Transantarktîkê ji rêzeçiyayên din ên parzemînê ku bi piranî ji volkanî ne, pir kevintir in. Ev rêzeçiya di dema vebûna Sîstema Riftê ya Antarktîka Rojava ya ber bi rojhilat ve ku nêzîkî 65 milyon sal berê di destpêka senozoyî de dest pê kiriye, bilind bûye û di demek kurt de piştî bilindbûna çiyayan rûyê çiyayan bi qeşayan hatiye girin.<ref>{{Jêder-kovar |paşnav=Barr |pêşnav=Iestyn D. |paşnav2=Spagnolo |pêşnav2=Matteo |paşnav3=Rea |pêşnav3=Brice R. |paşnav4=Bingham |pêşnav4=Robert G. |paşnav5=Oien |pêşnav5=Rachel P. |paşnav6=Adamson |pêşnav6=Kathryn |paşnav7=Ely |pêşnav7=Jeremy C. |paşnav8=Mullan |pêşnav8=Donal J. |paşnav9=Pellitero |pêşnav9=Ramón |paşnav10=Tomkins |pêşnav10=Matt D. |tarîx=2022-09-21 |sernav=60 million years of glaciation in the Transantarctic Mountains |url=https://www.nature.com/articles/s41467-022-33310-z |kovar=Nature Communications |ziman=en |cild=13 |hejmar=1 |rr=5526 |doi=10.1038/s41467-022-33310-z |issn=2041-1723 |pmc=9492669 |pmid=36130952}}</ref> Çiya ji tebeqeyên sedîmenter pêk tên ku li ser bingehek ji granît û ginaysan dirêj dibin. Tebeqeyên sedîmenter kevirên qûmê, kevirên silt û komirê yên Koma Super a Beaconê vedihewîne ku ji serdema silûrî dest pê kiriye û heta serdema jurasiyê berdewam kiriye. Gelek dever, Koma Super a Beaconê ji aliyê bendav û sîlên Ferrar Dolerîtê yên serdema jurasiyê ve hatiye girtin. Gelek fosîlên ku li Antarktîkayê têne dîtin ji deverên di nav van formasyonên sedîmenter de ne. Qeşaya ji Qada Qeşayê ya Antarktîkaya Rojhilat bi rêya rêze cemedên derketinê di nav Çiyayên Transantarktîk re diherike nav Deryaya Rossê, Shela Qeşayê ya Rossê û Qada Qeşayê ya Antarktîkaya Rojava. Ev cemed bi gelemperî li gorî rêzeçiyayan berbi berjêr diherikin û rêzeçiyên jêrîn û komên lûtkeyan çêdikin. Tê texmînkirin ku gelek ji van cemedên derketinê şopên şikestekên jeolojîk ên mezin dişopînin. Lêbelê teoriyên herikîna qeşayê dibe ku di lêkolînên daneyên nû yên ji lêkolînên radarê yên ku dikevin qeşayê yên dawî de ji nû ve werin nirxandin ku hebûna sê geliyên kûr ên binqeşayê yên ku berê nenas bûn eşkere kirin ku bandorê li "topografiya binqeşayê ya çiyayî ya di bin dabeşa qeşayê de" dikin.<ref name="Winter2018">{{Jêder-kovar |paşnav=Winter |pêşnav=Kate |paşnav2=Ross |pêşnav2=Neil |paşnav3=Ferraccioli |pêşnav3=Fausto |paşnav4=Jordan |pêşnav4=Tom A. |paşnav5=Corr |pêşnav5=Hugh F. J. |paşnav6=Forsberg |pêşnav6=René |paşnav7=Matsuoka |pêşnav7=Kenichi |paşnav8=Olesen |pêşnav8=Arne V. |paşnav9=Casal |pêşnav9=Tania G. |tarîx=2018 |sernav=Topographic Steering of Enhanced Ice Flow at the Bottleneck Between East and West Antarctica |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1029/2018GL077504 |kovar=Geophysical Research Letters |ziman=en |cild=45 |hejmar=10 |rr=4899–4907 |doi=10.1029/2018GL077504 |issn=1944-8007}}</ref> Ev taybetmendiyên erdnîgarî dibe ku bandorek girîng li ser model û hesabên têkildarî herikîna qeşayê di herêma Çiyayê Transantarktîk de dikin.<ref name="Winter2018" /> == Çavkanî == {{Çavkanî}} {{Kontrola otorîteyê}} [[Kategorî:Rêzeçiya]] eph2lqdn2pt8aeun8hvwwvdctouvfll 14 329911 2094629 2093878 2026-09-18T10:46:46Z Avestaboy 34898 /* */ 2094629 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 2094631 2094629 2026-09-18T10:49:04Z Avestaboy 34898 /* */ 2094631 wikitext text/x-wiki {{Jêbirin}} q6okcom5eaqpulya2xokbp4fckff492 0 329925 2094573 2094489 2026-09-17T12:43:50Z Kurê Acemî 105128 /* Tarîx */ 2094573 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}}Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sedema pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ev zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] 0gbjrb3p4cx1ydd6lfptcqkwavko6d0 2094574 2094573 2026-09-17T12:44:32Z Kurê Acemî 105128 /* Tarîx */ 2094574 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}}Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sedema pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ev zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] g3yur05affgpv7hnlfel63jyuwxstu3 2094575 2094574 2026-09-17T12:45:31Z Kurê Acemî 105128 /* Tarîx */ 2094575 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}}Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sedema pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ev zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Wêne:Circle cos sin.gif|thumb]] [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] l3omn4eu1yzlt64pz4wtv38ixdbh94i 2094577 2094575 2026-09-17T12:46:38Z Kurê Acemî 105128 2094577 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}} Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sebeba pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ew zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Wêne:Circle cos sin.gif|thumb]] [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] elaw9nu9v4856y7k8hmh6dziyje5wy6 2094579 2094577 2026-09-17T12:55:55Z Kurê Acemî 105128 /* Tarîx */ 2094579 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}} Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sebeba pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ew zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Wêne:Circle cos sin.gif|thumb|Formula Eulerê, fonksiyona eksponensiyel a kompleks a bi argumana xeyalî ku dikare wekî danasîna livîna dorhêlî ya yekreng li ser tevra kompleks were dîtin, bi fonksiyonên kosînûs û sînûsê ve girêdide; ew fonksiyon di warê geometrîk de, bi rêzê ve, projeksiyonên wê livînê yên li ser eksena hejmarên rastîn û eksena hejmarên xeyalî ne.]]Di sala 1748an de, Euler gaveke dî avêt û [[formula Euler]] a [[analîza kompleks]] bi dest xist: <math display="block">e ^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta </math> bi rêya destkarîkirina resmî ya [[rêzên qûwetê]] yên aloz, û dît ku ew formula dikare were bikaranîn da ku her nasnameyeke trîgonometrîk bo nasnameyên eksponensiyel ên pir hêsantir were kêmkirin. Fikra hejmareke kompleks wekî xaleke li ser balafira kompleks, cara yekê di sala 1799an de ji aliyê matematîknasê danîmarkî-norwêcî [[Caspar Wessel]] ve hate ravekirin, herçend ew term berê, di sala 1685an de, di esera [[John Wallis]] a bi navê ''A Treatise of Algebra'' de hatibû pêşbînîkirin jî. Gotara bîranînê ya Wessel di weşanên Akademiya Kopenhagê de derket, lê bi pirî bala kesî nekişand. Di sala 1806an de, [[Jean-Robert Argand]] bi awayekî serbixwe broşûrek li ser hejmarên kompleks weşand û ji bo [[teorema bingehîn a cebîrê]] îsbateke hûrgilî û xurt pêşkêş kir. [[Carl Friedrich Gauss]] berê, di sala 1797an de, îsbateke ku di eslê wê de [[Topolojî|topolojîk]] bû ji bo wê teoremê weşandibû, lê wê çaxê gumanên wî derbarê "metafîzîka rastîn a koka çargoşe ya -1ê" de anîbûn zimên. Heta sala 1831ê derbas bû ku wî ew gumanên wî derbas kirin û esera wî ya li ser hejmarên kompleks wekî xalên li ser rûxarê weşand û bi wî awayî bi pirî temsîl kirin û termînolojiya nûjen danî holê: [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] pfxz7qwutkdtgos6jszhyg5r9fpmk5y 2094580 2094579 2026-09-17T12:56:22Z Kurê Acemî 105128 /* Tarîx */ 2094580 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}} Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sebeba pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ew zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Wêne:Circle cos sin.gif|thumb|Formula Eulerê, fonksiyona eksponensiyel a kompleks a bi argumana xeyalî ku dikare wekî danasîna livîna dorhêlî ya yekreng li ser tevra kompleks were dîtin, bi fonksiyonên kosînûs û sînûsê ve girêdide; ew fonksiyon di warê geometrîk de, bi rêzê ve, projeksiyonên wê livînê yên li ser eksena hejmarên rastîn û eksena hejmarên xeyalî ne.]]Di sala 1748an de, Euler gaveke dî avêt û [[formula Euler]] a [[analîza kompleks]] bi dest xist: <math display="block">e ^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta </math> bi rêya destkarîkirina resmî ya [[rêzên qûwetê]] yên aloz, û dît ku ew formula dikare were bikaranîn da ku her nasnameyeke trîgonometrîk bo nasnameyên eksponensiyel ên pir hêsantir were kêmkirin. Fikra hejmareke kompleks wekî xaleke li ser balafira kompleks, cara yekê di sala 1799an de ji aliyê matematîknasê danîmarkî-norwêcî [[Caspar Wessel]] ve hate ravekirin, herçend ew term berê, di sala 1685an de, di esera [[John Wallis]] a bi navê ''A Treatise of Algebra'' de hatibû pêşbînîkirin jî. Gotara bîranînê ya Wessel di weşanên Akademiya Kopenhagê de derket, lê bi pirî bala kesî nekişand. Di sala 1806an de, [[Jean-Robert Argand]] bi awayekî serbixwe broşûrek li ser hejmarên kompleks weşand û ji bo [[teorema bingehîn a cebîrê]] îsbateke hûrgilî û xurt pêşkêş kir. [[Carl Friedrich Gauss]] berê, di sala 1797an de, îsbateke ku di eslê wê de [[Topolojî|topolojîk]] bû ji bo wê teoremê weşandibû, lê wê çaxê gumanên wî derbarê "metafîzîka rastîn a koka çargoşe ya -1ê" de anîbûn zimên. Heta sala 1831ê derbas bû ku wî ew gumanên wî derbas kirin û esera wî ya li ser hejmarên kompleks wekî xalên li ser rûxarê weşand û bi wî awayî bi pirî temsîl kirin û termînolojiya modern danî holê: [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] 458d9jflujt6me2jycua9dxutwnhoyu 2094583 2094580 2026-09-17T13:01:34Z Kurê Acemî 105128 /* Tarîx */ 2094583 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}} Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sebeba pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ew zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Wêne:Circle cos sin.gif|thumb|Formula Eulerê, fonksiyona eksponensiyel a kompleks a bi argumana xeyalî ku dikare wekî danasîna livîna dorhêlî ya yekreng li ser tevra kompleks were dîtin, bi fonksiyonên kosînûs û sînûsê ve girêdide; ew fonksiyon di warê geometrîk de, bi rêzê ve, projeksiyonên wê livînê yên li ser eksena hejmarên rastîn û eksena hejmarên xeyalî ne.]]Di sala 1748an de, Euler gaveke dî avêt û [[formula Euler]] a [[analîza kompleks]] bi dest xist: <math display="block">e ^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta </math> bi rêya destkarîkirina resmî ya [[rêzên qûwetê]] yên aloz, û dît ku ew formula dikare were bikaranîn da ku her nasnameyeke trîgonometrîk bo nasnameyên eksponensiyel ên pir hêsantir were kêmkirin. Fikra hejmareke kompleks wekî xaleke li ser balafira kompleks, cara yekê di sala 1799an de ji aliyê matematîknasê danîmarkî-norwêcî [[Caspar Wessel]] ve hate ravekirin, herçend ew term berê, di sala 1685an de, di esera [[John Wallis]] a bi navê ''A Treatise of Algebra'' de hatibû pêşbînîkirin jî. Gotara bîranînê ya Wessel di weşanên Akademiya Kopenhagê de derket, lê bi pirî bala kesî nekişand. Di sala 1806an de, [[Jean-Robert Argand]] bi awayekî serbixwe broşûrek li ser hejmarên kompleks weşand û ji bo [[teorema bingehîn a cebîrê]] îsbateke hûrgilî û xurt pêşkêş kir. [[Carl Friedrich Gauss]] berê, di sala 1797an de, îsbateke ku di eslê wê de [[Topolojî|topolojîk]] bû ji bo wê teoremê weşandibû, lê wê çaxê gumanên wî derbarê "metafîzîka rastîn a koka çargoşe ya -1ê" de anîbûn zimên. Heta sala 1831ê derbas bû ku wî ew gumanên wî derbas kirin û esera wî ya li ser hejmarên kompleks wekî xalên li ser rûxarê weşand û bi wî awayî bi pirî temsîl kir û termînolojiya modern danî holê: {{Quote|Eger însan berê ji nêrîneke şaş li wê meseleyê mêze kiriba û ji ber wê yekê rastî tarîtiyeke razdar hatiba, ew yek bi pirî vedigere ser karanîna termên nebaş an jî şaş. Eger însan ji bo +1, −1 û <math>\sqrt{-1}</math> ne gotiba yekeyên erênî, neyînî an xeyalî (an jî heta ne mimkin), lê li şûna wan, mesela gotiba yekeyên rasterast, berevajî an kêlekî, wê çaxê êdî qet behsa tarîtiyeke wiha nedihate kirin.}} [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] tsiyut414ds1s6jzazgert4knsowuor 2094602 2094583 2026-09-18T05:39:30Z Kurê Acemî 105128 /* Tarîx */ 2094602 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}} Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sebeba pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ew zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Wêne:Circle cos sin.gif|thumb|Formula Eulerê, fonksiyona eksponensiyel a kompleks a bi argumana xeyalî ku dikare wekî danasîna livîna dorhêlî ya yekreng li ser tevra kompleks were dîtin, bi fonksiyonên kosînûs û sînûsê ve girêdide; ew fonksiyon di warê geometrîk de, bi rêzê ve, projeksiyonên wê livînê yên li ser eksena hejmarên rastîn û eksena hejmarên xeyalî ne.]]Di sala 1748an de, Euler gaveke dî avêt û [[formula Euler]] a [[analîza kompleks]] bi dest xist: <math display="block">e ^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta </math> bi rêya destkarîkirina resmî ya [[rêzên qûwetê]] yên aloz, û dît ku ew formula dikare were bikaranîn da ku her nasnameyeke trîgonometrîk bo nasnameyên eksponensiyel ên pir hêsantir were kêmkirin. Fikra hejmareke kompleks wekî xaleke li ser balafira kompleks, cara yekê di sala 1799an de ji aliyê matematîknasê danîmarkî-norwêcî [[Caspar Wessel]] ve hate ravekirin, herçend ew term berê, di sala 1685an de, di esera [[John Wallis]] a bi navê ''A Treatise of Algebra'' de hatibû pêşbînîkirin jî. Gotara bîranînê ya Wessel di weşanên Akademiya Kopenhagê de derket, lê bi pirî bala kesî nekişand. Di sala 1806an de, [[Jean-Robert Argand]] bi awayekî serbixwe broşûrek li ser hejmarên kompleks weşand û ji bo [[teorema bingehîn a cebîrê]] îsbateke hûrgilî û xurt pêşkêş kir. [[Carl Friedrich Gauss]] berê, di sala 1797an de, îsbateke ku di eslê wê de [[Topolojî|topolojîk]] bû ji bo wê teoremê weşandibû, lê wê çaxê gumanên wî derbarê "metafîzîka rastîn a koka çargoşe ya -1ê" de anîbûn zimên. Heta sala 1831ê derbas bû ku wî ew gumanên wî derbas kirin û esera wî ya li ser hejmarên kompleks wekî xalên li ser rûxarê weşand û bi wî awayî bi pirî temsîl kir û termînolojiya modern danî holê: {{Quote|Eger însan berê ji nêrîneke şaş li wê meseleyê mêze kiriba û ji ber wê yekê rastî tarîtiyeke razdar hatiba, ew yek bi pirî vedigere ser karanîna termên nebaş an jî şaş. Eger însan ji bo +1, −1 û <math>\sqrt{-1}</math> ne gotiba yekeyên erênî, neyînî an xeyalî (an jî heta ne mimkin), lê li şûna wan, mesela gotiba yekeyên rasterast, berevajî an kêlekî, wê çaxê êdî qet behsa tarîtiyeke wiha nedihate kirin.}}Di destpêka sedeya 19an de, matematîknasên din bi awayekî serbixwe temsîl kirina geometrîk a hejmarên kompleks keşf kirin: Buée, Mourey, Warren, Français û birayê wî, û [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]]. Matematîknasê inglîzî [[G.H. Hardy]] diyar kir ku Gauss yekê matematîknas bû ku hejmarên kompleks bi "awayekî rastî pêbawer û zanistî" bikaranî; herçend matematîknasên wekî norwêcî [[Niels Henrik Abel]] û [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] jî berî ku Gauss di sala 1831ê de esera xwe ya zanistî biweşîne, bi awayekî rojane û pêwîst ew bikaranîn. [[Augustin-Louis Cauchy]] û [[Bernhard Riemann]] bi hev re ramanên bingehîn ên analîza kompleks gihandin asteke bilind a temambûnê; ew pêvajo di rewşa Cauchy de li dora sala 1825an destpê kiribû. [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] 1klh2iw0qoibgdmz3t5082hxgww47np 2094603 2094602 2026-09-18T05:45:40Z Kurê Acemî 105128 /* Tarîx */ 2094603 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}} Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sebeba pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ew zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Wêne:Circle cos sin.gif|thumb|Formula Eulerê, fonksiyona eksponensiyel a kompleks a bi argumana xeyalî ku dikare wekî danasîna livîna dorhêlî ya yekreng li ser tevra kompleks were dîtin, bi fonksiyonên kosînûs û sînûsê ve girêdide; ew fonksiyon di warê geometrîk de, bi rêzê ve, projeksiyonên wê livînê yên li ser eksena hejmarên rastîn û eksena hejmarên xeyalî ne.]]Di sala 1748an de, Euler gaveke dî avêt û [[formula Euler]] a [[analîza kompleks]] bi dest xist: <math display="block">e ^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta </math> bi rêya destkarîkirina resmî ya [[rêzên qûwetê]] yên aloz, û dît ku ew formula dikare were bikaranîn da ku her nasnameyeke trîgonometrîk bo nasnameyên eksponensiyel ên pir hêsantir were kêmkirin. Fikra hejmareke kompleks wekî xaleke li ser balafira kompleks, cara yekê di sala 1799an de ji aliyê matematîknasê danîmarkî-norwêcî [[Caspar Wessel]] ve hate ravekirin, herçend ew term berê, di sala 1685an de, di esera [[John Wallis]] a bi navê ''A Treatise of Algebra'' de hatibû pêşbînîkirin jî. Gotara bîranînê ya Wessel di weşanên Akademiya Kopenhagê de derket, lê bi pirî bala kesî nekişand. Di sala 1806an de, [[Jean-Robert Argand]] bi awayekî serbixwe broşûrek li ser hejmarên kompleks weşand û ji bo [[teorema bingehîn a cebîrê]] îsbateke hûrgilî û xurt pêşkêş kir. [[Carl Friedrich Gauss]] berê, di sala 1797an de, îsbateke ku di eslê wê de [[Topolojî|topolojîk]] bû ji bo wê teoremê weşandibû, lê wê çaxê gumanên wî derbarê "metafîzîka rastîn a koka çargoşe ya -1ê" de anîbûn zimên. Heta sala 1831ê derbas bû ku wî ew gumanên wî derbas kirin û esera wî ya li ser hejmarên kompleks wekî xalên li ser rûxarê weşand û bi wî awayî bi pirî temsîl kir û termînolojiya modern danî holê: {{Quote|Eger însan berê ji nêrîneke şaş li wê meseleyê mêze kiriba û ji ber wê yekê rastî tarîtiyeke razdar hatiba, ew yek bi pirî vedigere ser karanîna termên nebaş an jî şaş. Eger însan ji bo +1, −1 û <math>\sqrt{-1}</math> ne gotiba yekeyên erênî, neyînî an xeyalî (an jî heta ne mimkin), lê li şûna wan, mesela gotiba yekeyên rasterast, berevajî an kêlekî, wê çaxê êdî qet behsa tarîtiyeke wiha nedihate kirin.}}Di destpêka sedeya 19an de, matematîknasên din bi awayekî serbixwe temsîl kirina geometrîk a hejmarên kompleks keşf kirin: Buée, Mourey, Warren, Français û birayê wî, û [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]]. Matematîknasê inglîzî [[G.H. Hardy]] diyar kir ku Gauss yekê matematîknas bû ku hejmarên kompleks bi "awayekî rastî pêbawer û zanistî" bikaranî; herçend matematîknasên wekî norwêcî [[Niels Henrik Abel]] û [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] jî berî ku Gauss di sala 1831ê de esera xwe ya zanistî biweşîne, bi awayekî rojane û pêwîst ew bikaranîn. [[Augustin-Louis Cauchy]] û [[Bernhard Riemann]] bi hev re ramanên bingehîn ên analîza kompleks gihandin asteke bilind a temambûnê; ew pêvajo di rewşa Cauchy de li dora sala 1825an destpê kiribû. Termên hevpar ên ku di wê teoriyê de têne bikaranîn, bi pirî ji hêla damezrîneran ve hatine danîn. Argand ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''faktora'' ''terefê'' û ji <math>r = \sqrt{a^2 + b^2}</math> re digot ''modulus''; Cauchy (1821) ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''forma kêmkirî'' û xuya ye ku wî terma ''arguman'' aniye holê; Gauss ji bo <math>\sqrt{-1}</math> tîpa {{math|''i''}} bikaranî, ji bo {{math|''a'' + ''bi''}} terma ''hejmara kompleks'' pêşkêş kir û ji {{math|''a''² + ''b''²}} re digot ''norm''. Têgeha ''koyefîsyenta'' ''terefê'' ku pir caran ji bo {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} tê bikaranîn, ji hêla Hankel (1867) ve hatiye danîn, û terma ''nirxa mutleq'' ji bo modulusê, ji hêla Weierstrass ve hatiye pêşkêşkirin. [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] 838umu1wej8v6l1iz6c5ldl90s0lxs3 2094604 2094603 2026-09-18T06:31:49Z Kurê Acemî 105128 /* Tarîx */ 2094604 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}} Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sebeba pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ew zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Wêne:Circle cos sin.gif|thumb|Formula Eulerê, fonksiyona eksponensiyel a kompleks a bi argumana xeyalî ku dikare wekî danasîna livîna dorhêlî ya yekreng li ser tevra kompleks were dîtin, bi fonksiyonên kosînûs û sînûsê ve girêdide; ew fonksiyon di warê geometrîk de, bi rêzê ve, projeksiyonên wê livînê yên li ser eksena hejmarên rastîn û eksena hejmarên xeyalî ne.]]Di sala 1748an de, Euler gaveke dî avêt û [[formula Euler]] a [[analîza kompleks]] bi dest xist: <math display="block">e ^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta </math> bi rêya destkarîkirina resmî ya [[rêzên qûwetê]] yên aloz, û dît ku ew formula dikare were bikaranîn da ku her nasnameyeke trîgonometrîk bo nasnameyên eksponensiyel ên pir hêsantir were kêmkirin. Fikra hejmareke kompleks wekî xaleke li ser balafira kompleks, cara yekê di sala 1799an de ji aliyê matematîknasê danîmarkî-norwêcî [[Caspar Wessel]] ve hate ravekirin, herçend ew term berê, di sala 1685an de, di esera [[John Wallis]] a bi navê ''A Treatise of Algebra'' de hatibû pêşbînîkirin jî. Gotara bîranînê ya Wessel di weşanên Akademiya Kopenhagê de derket, lê bi pirî bala kesî nekişand. Di sala 1806an de, [[Jean-Robert Argand]] bi awayekî serbixwe broşûrek li ser hejmarên kompleks weşand û ji bo [[teorema bingehîn a cebîrê]] îsbateke hûrgilî û xurt pêşkêş kir. [[Carl Friedrich Gauss]] berê, di sala 1797an de, îsbateke ku di eslê wê de [[Topolojî|topolojîk]] bû ji bo wê teoremê weşandibû, lê wê çaxê gumanên wî derbarê "metafîzîka rastîn a koka çargoşe ya -1ê" de anîbûn zimên. Heta sala 1831ê derbas bû ku wî ew gumanên wî derbas kirin û esera wî ya li ser hejmarên kompleks wekî xalên li ser rûxarê weşand û bi wî awayî bi pirî temsîl kir û termînolojiya modern danî holê: {{Quote|Eger însan berê ji nêrîneke şaş li wê meseleyê mêze kiriba û ji ber wê yekê rastî tarîtiyeke razdar hatiba, ew yek bi pirî vedigere ser karanîna termên nebaş an jî şaş. Eger însan ji bo +1, −1 û <math>\sqrt{-1}</math> ne gotiba yekeyên erênî, neyînî an xeyalî (an jî heta ne mimkin), lê li şûna wan, mesela gotiba yekeyên rasterast, berevajî an kêlekî, wê çaxê êdî qet behsa tarîtiyeke wiha nedihate kirin.}}Di destpêka sedeya 19an de, matematîknasên din bi awayekî serbixwe temsîl kirina geometrîk a hejmarên kompleks keşf kirin: Buée, Mourey, Warren, Français û birayê wî, û [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]]. Matematîknasê inglîzî [[G.H. Hardy]] diyar kir ku Gauss yekê matematîknas bû ku hejmarên kompleks bi "awayekî rastî pêbawer û zanistî" bikaranî; herçend matematîknasên wekî norwêcî [[Niels Henrik Abel]] û [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] jî berî ku Gauss di sala 1831ê de esera xwe ya zanistî biweşîne, bi awayekî rojane û pêwîst ew bikaranîn. [[Augustin-Louis Cauchy]] û [[Bernhard Riemann]] bi hev re ramanên bingehîn ên analîza kompleks gihandin asteke bilind a temambûnê; ew pêvajo di rewşa Cauchy de li dora sala 1825an destpê kiribû. Termên hevpar ên ku di wê teoriyê de têne bikaranîn, bi pirî ji hêla damezrîneran ve hatine danîn. Argand ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''faktora'' ''terefê'' û ji <math>r = \sqrt{a^2 + b^2}</math> re digot ''modulus''; Cauchy (1821) ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''forma kêmkirî'' û xuya ye ku wî terma ''arguman'' aniye holê; Gauss ji bo <math>\sqrt{-1}</math> tîpa {{math|''i''}} bikaranî, ji bo {{math|''a'' + ''bi''}} terma ''hejmara kompleks'' pêşkêş kir û ji {{math|''a''² + ''b''²}} re digot ''norm''. Têgeha ''koyefîsyenta'' ''terefê'' ku pir caran ji bo {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} tê bikaranîn, ji hêla Hankel (1867) ve hatiye danîn, û terma ''nirxa mutleq'' ji bo modulusê, ji hêla Weierstrass ve hatiye pêşkêşkirin. Di nav nivîskarên klasîk ên paşatir ku li ser teoriya giştî dişuxilandine de [[Richard Dedekind]], [[Otto Hölder]], [[Felix Klein]], [[Henri Poincaré]], [[Hermann Schwarz]], [[Karl Weierstrass]] û gelek ên din hene. Di destpêka sedeya 20ê de, eserên giring (di nav de sîstematîzekirin) di warê analîza pir-guhêrbar a hejmarên kompleks de destpê kirin. Di sala 1927an de [[Wilhelm Wirtinger]] encamên giring bi dest xist. [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] qozol7suj4n38p26dbqyqu5ormgv2sa 2094605 2094604 2026-09-18T06:34:10Z Kurê Acemî 105128 /* Tarîx */ 2094605 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}} Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sebeba pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ew zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Wêne:Circle cos sin.gif|thumb|Formula Eulerê, fonksiyona eksponensiyel a kompleks a bi argumana xeyalî ku dikare wekî danasîna livîna dorhêlî ya yekreng li ser tevra kompleks were dîtin, bi fonksiyonên kosînûs û sînûsê ve girêdide; ew fonksiyon di warê geometrîk de, bi rêzê ve, projeksiyonên wê livînê yên li ser eksena hejmarên rastîn û eksena hejmarên xeyalî ne.]]Di sala 1748an de, Euler gaveke dî avêt û [[formula Euler]] a [[analîza kompleks]] bi dest xist: <math display="block">e ^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta </math> bi rêya destkarîkirina resmî ya [[rêzên qûwetê]] yên aloz, û dît ku ew formula dikare were bikaranîn da ku her nasnameyeke trîgonometrîk bo nasnameyên eksponensiyel ên pir hêsantir were kêmkirin. Fikra hejmareke kompleks wekî xaleke li ser balafira kompleks, cara yekê di sala 1799an de ji aliyê matematîknasê danîmarkî-norwêcî [[Caspar Wessel]] ve hate ravekirin, herçend ew term berê, di sala 1685an de, di esera [[John Wallis]] a bi navê ''A Treatise of Algebra'' de hatibû pêşbînîkirin jî. Gotara bîranînê ya Wessel di weşanên Akademiya Kopenhagê de derket, lê bi pirî bala kesî nekişand. Di sala 1806an de, [[Jean-Robert Argand]] bi awayekî serbixwe broşûrek li ser hejmarên kompleks weşand û ji bo [[teorema bingehîn a cebîrê]] îsbateke hûrgilî û xurt pêşkêş kir. [[Carl Friedrich Gauss]] berê, di sala 1797an de, îsbateke ku di eslê wê de [[Topolojî|topolojîk]] bû ji bo wê teoremê weşandibû, lê wê çaxê gumanên wî derbarê "metafîzîka rastîn a koka çargoşe ya -1ê" de anîbûn zimên. Heta sala 1831ê derbas bû ku wî ew gumanên wî derbas kirin û esera wî ya li ser hejmarên kompleks wekî xalên li ser rûxarê weşand û bi wî awayî bi pirî temsîl kir û termînolojiya modern danî holê: {{Quote|Eger însan berê ji nêrîneke şaş li wê meseleyê mêze kiriba û ji ber wê yekê rastî tarîtiyeke razdar hatiba, ew yek bi pirî vedigere ser karanîna termên nebaş an jî şaş. Eger însan ji bo +1, −1 û <math>\sqrt{-1}</math> ne gotiba yekeyên erênî, neyînî an xeyalî (an jî heta ne mimkin), lê li şûna wan, mesela gotiba yekeyên rasterast, berevajî an kêlekî, wê çaxê êdî qet behsa tarîtiyeke wiha nedihate kirin.}}Di destpêka sedeya 19an de, matematîknasên din bi awayekî serbixwe temsîl kirina geometrîk a hejmarên kompleks keşf kirin: Buée, Mourey, Warren, Français û birayê wî, û [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]]. Matematîknasê inglîzî [[G.H. Hardy]] diyar kir ku Gauss yekê matematîknas bû ku hejmarên kompleks bi "awayekî rastî pêbawer û zanistî" bikaranî; herçend matematîknasên wekî norwêcî [[Niels Henrik Abel]] û [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] jî berî ku Gauss di sala 1831ê de esera xwe ya zanistî biweşîne, bi awayekî rojane û pêwîst ew bikaranîn. [[Augustin-Louis Cauchy]] û [[Bernhard Riemann]] bi hev re ramanên bingehîn ên analîza kompleks gihandin asteke bilind a temambûnê; ew pêvajo di rewşa Cauchy de li dora sala 1825an destpê kiribû. Termên hevpar ên ku di wê teoriyê de têne bikaranîn, bi pirî ji hêla damezrîneran ve hatine danîn. Argand ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''faktora'' ''terefê'' û ji <math>r = \sqrt{a^2 + b^2}</math> re digot ''modulus''; Cauchy (1821) ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''forma kêmkirî'' û xuya ye ku wî terma ''arguman'' aniye holê; Gauss ji bo <math>\sqrt{-1}</math> tîpa {{math|''i''}} bikaranî, ji bo {{math|''a'' + ''bi''}} terma ''hejmara kompleks'' pêşkêş kir û ji {{math|''a''² + ''b''²}} re digot ''norm''. Têgeha ''koyefîsyenta'' ''terefê'' ku pir caran ji bo {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} tê bikaranîn, ji hêla Hankel (1867) ve hatiye danîn, û terma ''nirxa mutleq'' ji bo modulusê, ji hêla Weierstrass ve hatiye pêşkêşkirin. Di nav nivîskarên klasîk ên paşatir ku li ser teoriya giştî dişuxilandine de [[Richard Dedekind]], [[Otto Hölder]], [[Felix Klein]], [[Henri Poincaré]], [[Hermann Schwarz]], [[Karl Weierstrass]] û gelek ên din hene. Di destpêka sedeya 20ê de, eserên giring (di nav de sîstematîzekirin) di warê analîza pir-guhêrbar a hejmarên kompleks de destpê kirin. Di sala 1927an de [[Wilhelm Wirtinger]] encamên giring bi dest xist. == Warên bikaranînê == [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] ot1cr6ea1ayqradigz00sctu5qop4vs 2094606 2094605 2026-09-18T06:34:51Z Kurê Acemî 105128 /* Warên bikaranînê */ 2094606 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}} Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sebeba pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ew zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Wêne:Circle cos sin.gif|thumb|Formula Eulerê, fonksiyona eksponensiyel a kompleks a bi argumana xeyalî ku dikare wekî danasîna livîna dorhêlî ya yekreng li ser tevra kompleks were dîtin, bi fonksiyonên kosînûs û sînûsê ve girêdide; ew fonksiyon di warê geometrîk de, bi rêzê ve, projeksiyonên wê livînê yên li ser eksena hejmarên rastîn û eksena hejmarên xeyalî ne.]]Di sala 1748an de, Euler gaveke dî avêt û [[formula Euler]] a [[analîza kompleks]] bi dest xist: <math display="block">e ^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta </math> bi rêya destkarîkirina resmî ya [[rêzên qûwetê]] yên aloz, û dît ku ew formula dikare were bikaranîn da ku her nasnameyeke trîgonometrîk bo nasnameyên eksponensiyel ên pir hêsantir were kêmkirin. Fikra hejmareke kompleks wekî xaleke li ser balafira kompleks, cara yekê di sala 1799an de ji aliyê matematîknasê danîmarkî-norwêcî [[Caspar Wessel]] ve hate ravekirin, herçend ew term berê, di sala 1685an de, di esera [[John Wallis]] a bi navê ''A Treatise of Algebra'' de hatibû pêşbînîkirin jî. Gotara bîranînê ya Wessel di weşanên Akademiya Kopenhagê de derket, lê bi pirî bala kesî nekişand. Di sala 1806an de, [[Jean-Robert Argand]] bi awayekî serbixwe broşûrek li ser hejmarên kompleks weşand û ji bo [[teorema bingehîn a cebîrê]] îsbateke hûrgilî û xurt pêşkêş kir. [[Carl Friedrich Gauss]] berê, di sala 1797an de, îsbateke ku di eslê wê de [[Topolojî|topolojîk]] bû ji bo wê teoremê weşandibû, lê wê çaxê gumanên wî derbarê "metafîzîka rastîn a koka çargoşe ya -1ê" de anîbûn zimên. Heta sala 1831ê derbas bû ku wî ew gumanên wî derbas kirin û esera wî ya li ser hejmarên kompleks wekî xalên li ser rûxarê weşand û bi wî awayî bi pirî temsîl kir û termînolojiya modern danî holê: {{Quote|Eger însan berê ji nêrîneke şaş li wê meseleyê mêze kiriba û ji ber wê yekê rastî tarîtiyeke razdar hatiba, ew yek bi pirî vedigere ser karanîna termên nebaş an jî şaş. Eger însan ji bo +1, −1 û <math>\sqrt{-1}</math> ne gotiba yekeyên erênî, neyînî an xeyalî (an jî heta ne mimkin), lê li şûna wan, mesela gotiba yekeyên rasterast, berevajî an kêlekî, wê çaxê êdî qet behsa tarîtiyeke wiha nedihate kirin.}}Di destpêka sedeya 19an de, matematîknasên din bi awayekî serbixwe temsîl kirina geometrîk a hejmarên kompleks keşf kirin: Buée, Mourey, Warren, Français û birayê wî, û [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]]. Matematîknasê inglîzî [[G.H. Hardy]] diyar kir ku Gauss yekê matematîknas bû ku hejmarên kompleks bi "awayekî rastî pêbawer û zanistî" bikaranî; herçend matematîknasên wekî norwêcî [[Niels Henrik Abel]] û [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] jî berî ku Gauss di sala 1831ê de esera xwe ya zanistî biweşîne, bi awayekî rojane û pêwîst ew bikaranîn. [[Augustin-Louis Cauchy]] û [[Bernhard Riemann]] bi hev re ramanên bingehîn ên analîza kompleks gihandin asteke bilind a temambûnê; ew pêvajo di rewşa Cauchy de li dora sala 1825an destpê kiribû. Termên hevpar ên ku di wê teoriyê de têne bikaranîn, bi pirî ji hêla damezrîneran ve hatine danîn. Argand ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''faktora'' ''terefê'' û ji <math>r = \sqrt{a^2 + b^2}</math> re digot ''modulus''; Cauchy (1821) ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''forma kêmkirî'' û xuya ye ku wî terma ''arguman'' aniye holê; Gauss ji bo <math>\sqrt{-1}</math> tîpa {{math|''i''}} bikaranî, ji bo {{math|''a'' + ''bi''}} terma ''hejmara kompleks'' pêşkêş kir û ji {{math|''a''² + ''b''²}} re digot ''norm''. Têgeha ''koyefîsyenta'' ''terefê'' ku pir caran ji bo {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} tê bikaranîn, ji hêla Hankel (1867) ve hatiye danîn, û terma ''nirxa mutleq'' ji bo modulusê, ji hêla Weierstrass ve hatiye pêşkêşkirin. Di nav nivîskarên klasîk ên paşatir ku li ser teoriya giştî dişuxilandine de [[Richard Dedekind]], [[Otto Hölder]], [[Felix Klein]], [[Henri Poincaré]], [[Hermann Schwarz]], [[Karl Weierstrass]] û gelek ên din hene. Di destpêka sedeya 20ê de, eserên giring (di nav de sîstematîzekirin) di warê analîza pir-guhêrbar a hejmarên kompleks de destpê kirin. Di sala 1927an de [[Wilhelm Wirtinger]] encamên giring bi dest xist. [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] m6q2fiuh52zu3gtv3c1snevaeb3n3m4 2094607 2094606 2026-09-18T06:35:33Z Kurê Acemî 105128 /* Tarîx */ 2094607 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}} Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sebeba pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ew zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Wêne:Circle cos sin.gif|thumb|Formula Eulerê, fonksiyona eksponensiyel a kompleks a bi argumana xeyalî ku dikare wekî danasîna livîna dorhêlî ya yekreng li ser tevra kompleks were dîtin, bi fonksiyonên kosînûs û sînûsê ve girêdide; ew fonksiyon di warê geometrîk de, bi rêzê ve, projeksiyonên wê livînê yên li ser eksena hejmarên rastîn û eksena hejmarên xeyalî ne.]]Di sala 1748an de, Euler gaveke dî avêt û [[formula Euler]] a [[analîza kompleks]] bi dest xist: <math display="block">e ^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta </math> bi rêya destkarîkirina resmî ya [[rêzên qûwetê]] yên aloz, û dît ku ew formula dikare were bikaranîn da ku her nasnameyeke trîgonometrîk bo nasnameyên eksponensiyel ên pir hêsantir were kêmkirin. Fikra hejmareke kompleks wekî xaleke li ser balafira kompleks, cara yekê di sala 1799an de ji aliyê matematîknasê danîmarkî-norwêcî [[Caspar Wessel]] ve hate ravekirin, herçend ew term berê, di sala 1685an de, di esera [[John Wallis]] a bi navê ''A Treatise of Algebra'' de hatibû pêşbînîkirin jî. Gotara bîranînê ya Wessel di weşanên Akademiya Kopenhagê de derket, lê bi pirî bala kesî nekişand. Di sala 1806an de, [[Jean-Robert Argand]] bi awayekî serbixwe broşûrek li ser hejmarên kompleks weşand û ji bo [[teorema bingehîn a cebîrê]] îsbateke hûrgilî û xurt pêşkêş kir. [[Carl Friedrich Gauss]] berê, di sala 1797an de, îsbateke ku di eslê wê de [[Topolojî|topolojîk]] bû ji bo wê teoremê weşandibû, lê wê çaxê gumanên wî derbarê "metafîzîka rastîn a koka çargoşe ya -1ê" de anîbûn zimên. Heta sala 1831ê derbas bû ku wî ew gumanên wî derbas kirin û esera wî ya li ser hejmarên kompleks wekî xalên li ser rûxarê weşand û bi wî awayî bi pirî temsîl kir û termînolojiya modern danî holê: {{Quote|Eger însan berê ji nêrîneke şaş li wê meseleyê mêze kiriba û ji ber wê yekê rastî tarîtiyeke razdar hatiba, ew yek bi pirî vedigere ser karanîna termên nebaş an jî şaş. Eger însan ji bo +1, −1 û <math>\sqrt{-1}</math> ne gotiba yekeyên erênî, neyînî an xeyalî (an jî heta ne mimkin), lê li şûna wan, mesela gotiba yekeyên rasterast, berevajî an kêlekî, wê çaxê êdî qet behsa tarîtiyeke wiha nedihate kirin.}}Di destpêka sedeya 19an de, matematîknasên din bi awayekî serbixwe temsîl kirina geometrîk a hejmarên kompleks keşf kirin: Buée, Mourey, Warren, Français û birayê wî, û [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]]. Matematîknasê inglîzî [[G.H. Hardy]] diyar kir ku Gauss yekê matematîknas bû ku hejmarên kompleks bi "awayekî rastî pêbawer û zanistî" bikaranî; herçend matematîknasên wekî norwêcî [[Niels Henrik Abel]] û [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] jî berî ku Gauss di sala 1831ê de esera xwe ya zanistî biweşîne, bi awayekî rojane û pêwîst ew bikaranîn. [[Augustin-Louis Cauchy]] û [[Bernhard Riemann]] bi hev re ramanên bingehîn ên analîza kompleks gihandin asteke bilind a temambûnê; ew pêvajo di rewşa Cauchy de li dora sala 1825an destpê kiribû. Termên hevpar ên ku di wê teoriyê de têne bikaranîn, bi pirî ji hêla damezrîneran ve hatine danîn. Argand ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''faktora'' ''terefê'' û ji <math>r = \sqrt{a^2 + b^2}</math> re digot ''modulus''; Cauchy (1821) ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''forma kêmkirî'' û xuya ye ku wî terma ''arguman'' aniye holê; Gauss ji bo <math>\sqrt{-1}</math> tîpa {{math|''i''}} bikaranî, ji bo {{math|''a'' + ''bi''}} terma ''hejmara kompleks'' pêşkêş kir û ji {{math|''a''² + ''b''²}} re digot ''norm''. Têgeha ''koyefîsyenta'' ''terefê'' ku pir caran ji bo {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} tê bikaranîn, ji hêla Hankel (1867) ve hatiye danîn, û terma ''nirxa mutleq'' ji bo modulusê, ji hêla Weierstrass ve hatiye pêşkêşkirin. Di nav nivîskarên klasîk ên paşatir ku li ser teoriya giştî dişuxilandine de [[Richard Dedekind]], [[Otto Hölder]], [[Felix Klein]], [[Henri Poincaré]], [[Hermann Schwarz]], [[Karl Weierstrass]] û gelek ên din hene. Di destpêka sedeya 20ê de, eserên giring (di nav de sîstematîzekirin) di warê analîza pir-guhêrbar a hejmarên kompleks de destpê kirin. Di sala 1927an de [[Wilhelm Wirtinger]] encamên giring bi dest xist. == Terîfên abstrakt û cebîrî == [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] pykmrcjn2lgeeu40a7x84ed33m2yldu 2094608 2094607 2026-09-18T06:44:30Z Kurê Acemî 105128 /* Terîfên abstrakt û cebîrî */ 2094608 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}} Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sebeba pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ew zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Wêne:Circle cos sin.gif|thumb|Formula Eulerê, fonksiyona eksponensiyel a kompleks a bi argumana xeyalî ku dikare wekî danasîna livîna dorhêlî ya yekreng li ser tevra kompleks were dîtin, bi fonksiyonên kosînûs û sînûsê ve girêdide; ew fonksiyon di warê geometrîk de, bi rêzê ve, projeksiyonên wê livînê yên li ser eksena hejmarên rastîn û eksena hejmarên xeyalî ne.]]Di sala 1748an de, Euler gaveke dî avêt û [[formula Euler]] a [[analîza kompleks]] bi dest xist: <math display="block">e ^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta </math> bi rêya destkarîkirina resmî ya [[rêzên qûwetê]] yên aloz, û dît ku ew formula dikare were bikaranîn da ku her nasnameyeke trîgonometrîk bo nasnameyên eksponensiyel ên pir hêsantir were kêmkirin. Fikra hejmareke kompleks wekî xaleke li ser balafira kompleks, cara yekê di sala 1799an de ji aliyê matematîknasê danîmarkî-norwêcî [[Caspar Wessel]] ve hate ravekirin, herçend ew term berê, di sala 1685an de, di esera [[John Wallis]] a bi navê ''A Treatise of Algebra'' de hatibû pêşbînîkirin jî. Gotara bîranînê ya Wessel di weşanên Akademiya Kopenhagê de derket, lê bi pirî bala kesî nekişand. Di sala 1806an de, [[Jean-Robert Argand]] bi awayekî serbixwe broşûrek li ser hejmarên kompleks weşand û ji bo [[teorema bingehîn a cebîrê]] îsbateke hûrgilî û xurt pêşkêş kir. [[Carl Friedrich Gauss]] berê, di sala 1797an de, îsbateke ku di eslê wê de [[Topolojî|topolojîk]] bû ji bo wê teoremê weşandibû, lê wê çaxê gumanên wî derbarê "metafîzîka rastîn a koka çargoşe ya -1ê" de anîbûn zimên. Heta sala 1831ê derbas bû ku wî ew gumanên wî derbas kirin û esera wî ya li ser hejmarên kompleks wekî xalên li ser rûxarê weşand û bi wî awayî bi pirî temsîl kir û termînolojiya modern danî holê: {{Quote|Eger însan berê ji nêrîneke şaş li wê meseleyê mêze kiriba û ji ber wê yekê rastî tarîtiyeke razdar hatiba, ew yek bi pirî vedigere ser karanîna termên nebaş an jî şaş. Eger însan ji bo +1, −1 û <math>\sqrt{-1}</math> ne gotiba yekeyên erênî, neyînî an xeyalî (an jî heta ne mimkin), lê li şûna wan, mesela gotiba yekeyên rasterast, berevajî an kêlekî, wê çaxê êdî qet behsa tarîtiyeke wiha nedihate kirin.}}Di destpêka sedeya 19an de, matematîknasên din bi awayekî serbixwe temsîl kirina geometrîk a hejmarên kompleks keşf kirin: Buée, Mourey, Warren, Français û birayê wî, û [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]]. Matematîknasê inglîzî [[G.H. Hardy]] diyar kir ku Gauss yekê matematîknas bû ku hejmarên kompleks bi "awayekî rastî pêbawer û zanistî" bikaranî; herçend matematîknasên wekî norwêcî [[Niels Henrik Abel]] û [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] jî berî ku Gauss di sala 1831ê de esera xwe ya zanistî biweşîne, bi awayekî rojane û pêwîst ew bikaranîn. [[Augustin-Louis Cauchy]] û [[Bernhard Riemann]] bi hev re ramanên bingehîn ên analîza kompleks gihandin asteke bilind a temambûnê; ew pêvajo di rewşa Cauchy de li dora sala 1825an destpê kiribû. Termên hevpar ên ku di wê teoriyê de têne bikaranîn, bi pirî ji hêla damezrîneran ve hatine danîn. Argand ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''faktora'' ''terefê'' û ji <math>r = \sqrt{a^2 + b^2}</math> re digot ''modulus''; Cauchy (1821) ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''forma kêmkirî'' û xuya ye ku wî terma ''arguman'' aniye holê; Gauss ji bo <math>\sqrt{-1}</math> tîpa {{math|''i''}} bikaranî, ji bo {{math|''a'' + ''bi''}} terma ''hejmara kompleks'' pêşkêş kir û ji {{math|''a''² + ''b''²}} re digot ''norm''. Têgeha ''koyefîsyenta'' ''terefê'' ku pir caran ji bo {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} tê bikaranîn, ji hêla Hankel (1867) ve hatiye danîn, û terma ''nirxa mutleq'' ji bo modulusê, ji hêla Weierstrass ve hatiye pêşkêşkirin. Di nav nivîskarên klasîk ên paşatir ku li ser teoriya giştî dişuxilandine de [[Richard Dedekind]], [[Otto Hölder]], [[Felix Klein]], [[Henri Poincaré]], [[Hermann Schwarz]], [[Karl Weierstrass]] û gelek ên din hene. Di destpêka sedeya 20ê de, eserên giring (di nav de sîstematîzekirin) di warê analîza pir-guhêrbar a hejmarên kompleks de destpê kirin. Di sala 1927an de [[Wilhelm Wirtinger]] encamên giring bi dest xist. == Terîfên abstrakt û cebîrî == Herçend terîfên berbiçav ên li jor, tevî kiryarên komkirin û lêkdanê, hejmarên kompleks bi awayekî rast rave dikin jî, nêzîkiyên din ên hevmane hene ku pêkhateya cebîrî ya abstrakt a hejmarên kompleks bi awayekî rasterasttir eşkere dikin. Terîfek ji bo hejmarên kompleks ew e ku ew qadeke bi temsîla ⁠{{Matematîk|C}} pêk tînin; ew qad, qada hejmarên rastîn ⁠{{Matematîk|R}} dihewîne û li ser ⁠{{Matematîk|R}} bi rêya elementeke taybet a bi temsîla ⁠{{Matematîk|i}} ku tê de ⁠{{Matematîk|1=i^2=-1}} tê hilberandin. Bi awayekî hevmane, ⁠{{Matematîk|C}} qada veqetandinê (''splitting field'') a polînoma ⁠{{Matematîk|x^2+1}} e li ser qada hejmarên rastîn {{Matematîk|R}}. Hebûna wê qadê dikare bi rêya modelên çeşîd were temsîl kirin. Modelek ew e ku însan qada kompleks wekî koma ⁠{{Matematîk|\R^2}} bihesibîne ku bi yasayên komkirin û lêkdanê yên li ser cotên rêzkirî yên ⁠{{Matematîk|(a,b)}} û {{Matematîk|(a',b')}} hatiye dabînkirin: <math display="block">(a,b) + (a',b') = (a+a',b+b'),\quad (a,b)(a',b') = (aa' - bb', ab' + a'b).</math> [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] gq7jmc1gi17oppj0n9stjsy7nngne5g 2094609 2094608 2026-09-18T06:52:14Z Kurê Acemî 105128 /* Terîfên abstrakt û cebîrî */ 2094609 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}} Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sebeba pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ew zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Wêne:Circle cos sin.gif|thumb|Formula Eulerê, fonksiyona eksponensiyel a kompleks a bi argumana xeyalî ku dikare wekî danasîna livîna dorhêlî ya yekreng li ser tevra kompleks were dîtin, bi fonksiyonên kosînûs û sînûsê ve girêdide; ew fonksiyon di warê geometrîk de, bi rêzê ve, projeksiyonên wê livînê yên li ser eksena hejmarên rastîn û eksena hejmarên xeyalî ne.]]Di sala 1748an de, Euler gaveke dî avêt û [[formula Euler]] a [[analîza kompleks]] bi dest xist: <math display="block">e ^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta </math> bi rêya destkarîkirina resmî ya [[rêzên qûwetê]] yên aloz, û dît ku ew formula dikare were bikaranîn da ku her nasnameyeke trîgonometrîk bo nasnameyên eksponensiyel ên pir hêsantir were kêmkirin. Fikra hejmareke kompleks wekî xaleke li ser balafira kompleks, cara yekê di sala 1799an de ji aliyê matematîknasê danîmarkî-norwêcî [[Caspar Wessel]] ve hate ravekirin, herçend ew term berê, di sala 1685an de, di esera [[John Wallis]] a bi navê ''A Treatise of Algebra'' de hatibû pêşbînîkirin jî. Gotara bîranînê ya Wessel di weşanên Akademiya Kopenhagê de derket, lê bi pirî bala kesî nekişand. Di sala 1806an de, [[Jean-Robert Argand]] bi awayekî serbixwe broşûrek li ser hejmarên kompleks weşand û ji bo [[teorema bingehîn a cebîrê]] îsbateke hûrgilî û xurt pêşkêş kir. [[Carl Friedrich Gauss]] berê, di sala 1797an de, îsbateke ku di eslê wê de [[Topolojî|topolojîk]] bû ji bo wê teoremê weşandibû, lê wê çaxê gumanên wî derbarê "metafîzîka rastîn a koka çargoşe ya -1ê" de anîbûn zimên. Heta sala 1831ê derbas bû ku wî ew gumanên wî derbas kirin û esera wî ya li ser hejmarên kompleks wekî xalên li ser rûxarê weşand û bi wî awayî bi pirî temsîl kir û termînolojiya modern danî holê: {{Quote|Eger însan berê ji nêrîneke şaş li wê meseleyê mêze kiriba û ji ber wê yekê rastî tarîtiyeke razdar hatiba, ew yek bi pirî vedigere ser karanîna termên nebaş an jî şaş. Eger însan ji bo +1, −1 û <math>\sqrt{-1}</math> ne gotiba yekeyên erênî, neyînî an xeyalî (an jî heta ne mimkin), lê li şûna wan, mesela gotiba yekeyên rasterast, berevajî an kêlekî, wê çaxê êdî qet behsa tarîtiyeke wiha nedihate kirin.}}Di destpêka sedeya 19an de, matematîknasên din bi awayekî serbixwe temsîl kirina geometrîk a hejmarên kompleks keşf kirin: Buée, Mourey, Warren, Français û birayê wî, û [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]]. Matematîknasê inglîzî [[G.H. Hardy]] diyar kir ku Gauss yekê matematîknas bû ku hejmarên kompleks bi "awayekî rastî pêbawer û zanistî" bikaranî; herçend matematîknasên wekî norwêcî [[Niels Henrik Abel]] û [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] jî berî ku Gauss di sala 1831ê de esera xwe ya zanistî biweşîne, bi awayekî rojane û pêwîst ew bikaranîn. [[Augustin-Louis Cauchy]] û [[Bernhard Riemann]] bi hev re ramanên bingehîn ên analîza kompleks gihandin asteke bilind a temambûnê; ew pêvajo di rewşa Cauchy de li dora sala 1825an destpê kiribû. Termên hevpar ên ku di wê teoriyê de têne bikaranîn, bi pirî ji hêla damezrîneran ve hatine danîn. Argand ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''faktora'' ''terefê'' û ji <math>r = \sqrt{a^2 + b^2}</math> re digot ''modulus''; Cauchy (1821) ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''forma kêmkirî'' û xuya ye ku wî terma ''arguman'' aniye holê; Gauss ji bo <math>\sqrt{-1}</math> tîpa {{math|''i''}} bikaranî, ji bo {{math|''a'' + ''bi''}} terma ''hejmara kompleks'' pêşkêş kir û ji {{math|''a''² + ''b''²}} re digot ''norm''. Têgeha ''koyefîsyenta'' ''terefê'' ku pir caran ji bo {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} tê bikaranîn, ji hêla Hankel (1867) ve hatiye danîn, û terma ''nirxa mutleq'' ji bo modulusê, ji hêla Weierstrass ve hatiye pêşkêşkirin. Di nav nivîskarên klasîk ên paşatir ku li ser teoriya giştî dişuxilandine de [[Richard Dedekind]], [[Otto Hölder]], [[Felix Klein]], [[Henri Poincaré]], [[Hermann Schwarz]], [[Karl Weierstrass]] û gelek ên din hene. Di destpêka sedeya 20ê de, eserên giring (di nav de sîstematîzekirin) di warê analîza pir-guhêrbar a hejmarên kompleks de destpê kirin. Di sala 1927an de [[Wilhelm Wirtinger]] encamên giring bi dest xist. == Terîfên abstrakt û cebîrî == Herçend terîfên berbiçav ên li jor, tevî kiryarên komkirin û lêkdanê, hejmarên kompleks bi awayekî rast rave dikin jî, nêzîkiyên din ên hevmane hene ku pêkhateya cebîrî ya abstrakt a hejmarên kompleks bi awayekî rasterasttir eşkere dikin. Terîfek ji bo hejmarên kompleks ew e ku ew qadeke bi temsîla ⁠{{Matematîk|C}} pêk tînin; ew qad, qada hejmarên rastîn ⁠{{Matematîk|R}} dihewîne û li ser ⁠{{Matematîk|R}} bi rêya elementeke taybet a bi temsîla ⁠{{Matematîk|i}} ku tê de ⁠{{Matematîk|1=i^2=-1}} tê hilberandin. Bi awayekî hevmane, ⁠{{Matematîk|C}} qada veqetandinê (''splitting field'') a polînoma ⁠{{Matematîk|x^2+1}} e li ser qada hejmarên rastîn {{Matematîk|R}}. Hebûna wê qadê dikare bi rêya modelên çeşîd were temsîl kirin. Modelek ew e ku însan qada kompleks wekî koma ⁠{{Matematîk|\R^2}} bihesibîne ku bi yasayên komkirin û lêkdanê yên li ser cotên rêzkirî yên ⁠{{Matematîk|(a,b)}} û {{Matematîk|(a',b')}} hatiye dabînkirin: <math display="block">(a,b) + (a',b') = (a+a',b+b'),\quad (a,b)(a',b') = (aa' - bb', ab' + a'b).</math> Di vê modelê de, elementa ⁠{{Matematîk|i}} li hemberî elementa ⁠{{Matematîk|(0,1)}} tê, û hejmarên rastîn wekî koma cotên ⁠{{Matematîk|(a,0)}} têne bicihkirin. Yekê din jî avakirina standard a qada veqetandine (''splitting field'') ye ku bi karanîna beşa koma polînomên ⁠{{Matematîk|R[X]}} pêk tê, û li jêr hatiye dayîn. [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] 2fgqrf2hux0ijons1n2es06ar0ejs59 2094625 2094609 2026-09-18T09:48:51Z Kurê Acemî 105128 /* Terîfên abstrakt û cebîrî */ 2094625 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}} Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sebeba pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ew zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Wêne:Circle cos sin.gif|thumb|Formula Eulerê, fonksiyona eksponensiyel a kompleks a bi argumana xeyalî ku dikare wekî danasîna livîna dorhêlî ya yekreng li ser tevra kompleks were dîtin, bi fonksiyonên kosînûs û sînûsê ve girêdide; ew fonksiyon di warê geometrîk de, bi rêzê ve, projeksiyonên wê livînê yên li ser eksena hejmarên rastîn û eksena hejmarên xeyalî ne.]]Di sala 1748an de, Euler gaveke dî avêt û [[formula Euler]] a [[analîza kompleks]] bi dest xist: <math display="block">e ^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta </math> bi rêya destkarîkirina resmî ya [[rêzên qûwetê]] yên aloz, û dît ku ew formula dikare were bikaranîn da ku her nasnameyeke trîgonometrîk bo nasnameyên eksponensiyel ên pir hêsantir were kêmkirin. Fikra hejmareke kompleks wekî xaleke li ser balafira kompleks, cara yekê di sala 1799an de ji aliyê matematîknasê danîmarkî-norwêcî [[Caspar Wessel]] ve hate ravekirin, herçend ew term berê, di sala 1685an de, di esera [[John Wallis]] a bi navê ''A Treatise of Algebra'' de hatibû pêşbînîkirin jî. Gotara bîranînê ya Wessel di weşanên Akademiya Kopenhagê de derket, lê bi pirî bala kesî nekişand. Di sala 1806an de, [[Jean-Robert Argand]] bi awayekî serbixwe broşûrek li ser hejmarên kompleks weşand û ji bo [[teorema bingehîn a cebîrê]] îsbateke hûrgilî û xurt pêşkêş kir. [[Carl Friedrich Gauss]] berê, di sala 1797an de, îsbateke ku di eslê wê de [[Topolojî|topolojîk]] bû ji bo wê teoremê weşandibû, lê wê çaxê gumanên wî derbarê "metafîzîka rastîn a koka çargoşe ya -1ê" de anîbûn zimên. Heta sala 1831ê derbas bû ku wî ew gumanên wî derbas kirin û esera wî ya li ser hejmarên kompleks wekî xalên li ser rûxarê weşand û bi wî awayî bi pirî temsîl kir û termînolojiya modern danî holê: {{Quote|Eger însan berê ji nêrîneke şaş li wê meseleyê mêze kiriba û ji ber wê yekê rastî tarîtiyeke razdar hatiba, ew yek bi pirî vedigere ser karanîna termên nebaş an jî şaş. Eger însan ji bo +1, −1 û <math>\sqrt{-1}</math> ne gotiba yekeyên erênî, neyînî an xeyalî (an jî heta ne mimkin), lê li şûna wan, mesela gotiba yekeyên rasterast, berevajî an kêlekî, wê çaxê êdî qet behsa tarîtiyeke wiha nedihate kirin.}}Di destpêka sedeya 19an de, matematîknasên din bi awayekî serbixwe temsîl kirina geometrîk a hejmarên kompleks keşf kirin: Buée, Mourey, Warren, Français û birayê wî, û [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]]. Matematîknasê inglîzî [[G.H. Hardy]] diyar kir ku Gauss yekê matematîknas bû ku hejmarên kompleks bi "awayekî rastî pêbawer û zanistî" bikaranî; herçend matematîknasên wekî norwêcî [[Niels Henrik Abel]] û [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] jî berî ku Gauss di sala 1831ê de esera xwe ya zanistî biweşîne, bi awayekî rojane û pêwîst ew bikaranîn. [[Augustin-Louis Cauchy]] û [[Bernhard Riemann]] bi hev re ramanên bingehîn ên analîza kompleks gihandin asteke bilind a temambûnê; ew pêvajo di rewşa Cauchy de li dora sala 1825an destpê kiribû. Termên hevpar ên ku di wê teoriyê de têne bikaranîn, bi pirî ji hêla damezrîneran ve hatine danîn. Argand ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''faktora'' ''terefê'' û ji <math>r = \sqrt{a^2 + b^2}</math> re digot ''modulus''; Cauchy (1821) ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''forma kêmkirî'' û xuya ye ku wî terma ''arguman'' aniye holê; Gauss ji bo <math>\sqrt{-1}</math> tîpa {{math|''i''}} bikaranî, ji bo {{math|''a'' + ''bi''}} terma ''hejmara kompleks'' pêşkêş kir û ji {{math|''a''² + ''b''²}} re digot ''norm''. Têgeha ''koyefîsyenta'' ''terefê'' ku pir caran ji bo {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} tê bikaranîn, ji hêla Hankel (1867) ve hatiye danîn, û terma ''nirxa mutleq'' ji bo modulusê, ji hêla Weierstrass ve hatiye pêşkêşkirin. Di nav nivîskarên klasîk ên paşatir ku li ser teoriya giştî dişuxilandine de [[Richard Dedekind]], [[Otto Hölder]], [[Felix Klein]], [[Henri Poincaré]], [[Hermann Schwarz]], [[Karl Weierstrass]] û gelek ên din hene. Di destpêka sedeya 20ê de, eserên giring (di nav de sîstematîzekirin) di warê analîza pir-guhêrbar a hejmarên kompleks de destpê kirin. Di sala 1927an de [[Wilhelm Wirtinger]] encamên giring bi dest xist. == Terîfên abstrakt û cebîrî == Herçend terîfên berbiçav ên li jor, tevî kiryarên komkirin û lêkdanê, hejmarên kompleks bi awayekî rast rave dikin jî, nêzîkiyên din ên hevmane hene ku pêkhateya cebîrî ya abstrakt a hejmarên kompleks bi awayekî rasterasttir eşkere dikin. Terîfek ji bo hejmarên kompleks ew e ku ew qadeke bi temsîla ⁠{{Matematîk|C}} pêk tînin; ew qad, qada hejmarên rastîn ⁠{{Matematîk|R}} dihewîne û li ser ⁠{{Matematîk|R}} bi rêya elementeke taybet a bi temsîla ⁠{{Matematîk|i}} ku tê de ⁠{{Matematîk|1=i^2=-1}} tê hilberandin. Bi awayekî hevmane, ⁠{{Matematîk|C}} qada veqetandinê (''splitting field'') a polînoma ⁠{{Matematîk|x^2+1}} e li ser qada hejmarên rastîn {{Matematîk|R}}. Hebûna wê qadê dikare bi rêya modelên çeşîd were temsîl kirin. Modelek ew e ku însan qada kompleks wekî koma ⁠{{Matematîk|\R^2}} bihesibîne ku bi yasayên komkirin û lêkdanê yên li ser cotên rêzkirî yên ⁠{{Matematîk|(a,b)}} û {{Matematîk|(a',b')}} hatiye dabînkirin: <math display="block">(a,b) + (a',b') = (a+a',b+b'),\quad (a,b)(a',b') = (aa' - bb', ab' + a'b).</math> Di vê modelê de, elementa ⁠{{Matematîk|i}} li hemberî elementa ⁠{{Matematîk|(0,1)}} tê, û hejmarên rastîn wekî koma cotên ⁠{{Matematîk|(a,0)}} têne bicihkirin. Yekê din jî avakirina standard a qada veqetandine (''splitting field'') ye ku bi karanîna beşa koma polînomên ⁠{{Matematîk|R[X]}} pêk tê, û li jêr hatiye dayîn. === Avakirina wekî ringa kotyentê === [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] 7ogdm7cj49fr3z1zokecuvkpgh70xio 2094626 2094625 2026-09-18T09:54:05Z Kurê Acemî 105128 /* Avakirina wekî zivîra kotyentê */ 2094626 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}} Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sebeba pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ew zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Wêne:Circle cos sin.gif|thumb|Formula Eulerê, fonksiyona eksponensiyel a kompleks a bi argumana xeyalî ku dikare wekî danasîna livîna dorhêlî ya yekreng li ser tevra kompleks were dîtin, bi fonksiyonên kosînûs û sînûsê ve girêdide; ew fonksiyon di warê geometrîk de, bi rêzê ve, projeksiyonên wê livînê yên li ser eksena hejmarên rastîn û eksena hejmarên xeyalî ne.]]Di sala 1748an de, Euler gaveke dî avêt û [[formula Euler]] a [[analîza kompleks]] bi dest xist: <math display="block">e ^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta </math> bi rêya destkarîkirina resmî ya [[rêzên qûwetê]] yên aloz, û dît ku ew formula dikare were bikaranîn da ku her nasnameyeke trîgonometrîk bo nasnameyên eksponensiyel ên pir hêsantir were kêmkirin. Fikra hejmareke kompleks wekî xaleke li ser balafira kompleks, cara yekê di sala 1799an de ji aliyê matematîknasê danîmarkî-norwêcî [[Caspar Wessel]] ve hate ravekirin, herçend ew term berê, di sala 1685an de, di esera [[John Wallis]] a bi navê ''A Treatise of Algebra'' de hatibû pêşbînîkirin jî. Gotara bîranînê ya Wessel di weşanên Akademiya Kopenhagê de derket, lê bi pirî bala kesî nekişand. Di sala 1806an de, [[Jean-Robert Argand]] bi awayekî serbixwe broşûrek li ser hejmarên kompleks weşand û ji bo [[teorema bingehîn a cebîrê]] îsbateke hûrgilî û xurt pêşkêş kir. [[Carl Friedrich Gauss]] berê, di sala 1797an de, îsbateke ku di eslê wê de [[Topolojî|topolojîk]] bû ji bo wê teoremê weşandibû, lê wê çaxê gumanên wî derbarê "metafîzîka rastîn a koka çargoşe ya -1ê" de anîbûn zimên. Heta sala 1831ê derbas bû ku wî ew gumanên wî derbas kirin û esera wî ya li ser hejmarên kompleks wekî xalên li ser rûxarê weşand û bi wî awayî bi pirî temsîl kir û termînolojiya modern danî holê: {{Quote|Eger însan berê ji nêrîneke şaş li wê meseleyê mêze kiriba û ji ber wê yekê rastî tarîtiyeke razdar hatiba, ew yek bi pirî vedigere ser karanîna termên nebaş an jî şaş. Eger însan ji bo +1, −1 û <math>\sqrt{-1}</math> ne gotiba yekeyên erênî, neyînî an xeyalî (an jî heta ne mimkin), lê li şûna wan, mesela gotiba yekeyên rasterast, berevajî an kêlekî, wê çaxê êdî qet behsa tarîtiyeke wiha nedihate kirin.}}Di destpêka sedeya 19an de, matematîknasên din bi awayekî serbixwe temsîl kirina geometrîk a hejmarên kompleks keşf kirin: Buée, Mourey, Warren, Français û birayê wî, û [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]]. Matematîknasê inglîzî [[G.H. Hardy]] diyar kir ku Gauss yekê matematîknas bû ku hejmarên kompleks bi "awayekî rastî pêbawer û zanistî" bikaranî; herçend matematîknasên wekî norwêcî [[Niels Henrik Abel]] û [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] jî berî ku Gauss di sala 1831ê de esera xwe ya zanistî biweşîne, bi awayekî rojane û pêwîst ew bikaranîn. [[Augustin-Louis Cauchy]] û [[Bernhard Riemann]] bi hev re ramanên bingehîn ên analîza kompleks gihandin asteke bilind a temambûnê; ew pêvajo di rewşa Cauchy de li dora sala 1825an destpê kiribû. Termên hevpar ên ku di wê teoriyê de têne bikaranîn, bi pirî ji hêla damezrîneran ve hatine danîn. Argand ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''faktora'' ''terefê'' û ji <math>r = \sqrt{a^2 + b^2}</math> re digot ''modulus''; Cauchy (1821) ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''forma kêmkirî'' û xuya ye ku wî terma ''arguman'' aniye holê; Gauss ji bo <math>\sqrt{-1}</math> tîpa {{math|''i''}} bikaranî, ji bo {{math|''a'' + ''bi''}} terma ''hejmara kompleks'' pêşkêş kir û ji {{math|''a''² + ''b''²}} re digot ''norm''. Têgeha ''koyefîsyenta'' ''terefê'' ku pir caran ji bo {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} tê bikaranîn, ji hêla Hankel (1867) ve hatiye danîn, û terma ''nirxa mutleq'' ji bo modulusê, ji hêla Weierstrass ve hatiye pêşkêşkirin. Di nav nivîskarên klasîk ên paşatir ku li ser teoriya giştî dişuxilandine de [[Richard Dedekind]], [[Otto Hölder]], [[Felix Klein]], [[Henri Poincaré]], [[Hermann Schwarz]], [[Karl Weierstrass]] û gelek ên din hene. Di destpêka sedeya 20ê de, eserên giring (di nav de sîstematîzekirin) di warê analîza pir-guhêrbar a hejmarên kompleks de destpê kirin. Di sala 1927an de [[Wilhelm Wirtinger]] encamên giring bi dest xist. == Terîfên abstrakt û cebîrî == Herçend terîfên berbiçav ên li jor, tevî kiryarên komkirin û lêkdanê, hejmarên kompleks bi awayekî rast rave dikin jî, nêzîkiyên din ên hevmane hene ku pêkhateya cebîrî ya abstrakt a hejmarên kompleks bi awayekî rasterasttir eşkere dikin. Terîfek ji bo hejmarên kompleks ew e ku ew qadeke bi temsîla ⁠{{Matematîk|C}} pêk tînin; ew qad, qada hejmarên rastîn ⁠{{Matematîk|R}} dihewîne û li ser ⁠{{Matematîk|R}} bi rêya elementeke taybet a bi temsîla ⁠{{Matematîk|i}} ku tê de ⁠{{Matematîk|1=i^2=-1}} tê hilberandin. Bi awayekî hevmane, ⁠{{Matematîk|C}} qada veqetandinê (''splitting field'') a polînoma ⁠{{Matematîk|x^2+1}} e li ser qada hejmarên rastîn {{Matematîk|R}}. Hebûna wê qadê dikare bi rêya modelên çeşîd were temsîl kirin. Modelek ew e ku însan qada kompleks wekî koma ⁠{{Matematîk|\R^2}} bihesibîne ku bi yasayên komkirin û lêkdanê yên li ser cotên rêzkirî yên ⁠{{Matematîk|(a,b)}} û {{Matematîk|(a',b')}} hatiye dabînkirin: <math display="block">(a,b) + (a',b') = (a+a',b+b'),\quad (a,b)(a',b') = (aa' - bb', ab' + a'b).</math> Di vê modelê de, elementa ⁠{{Matematîk|i}} li hemberî elementa ⁠{{Matematîk|(0,1)}} tê, û hejmarên rastîn wekî koma cotên ⁠{{Matematîk|(a,0)}} têne bicihkirin. Yekê din jî avakirina standard a qada veqetandine (''splitting field'') ye ku bi karanîna beşa koma polînomên ⁠{{Matematîk|R[X]}} pêk tê, û li jêr hatiye dayîn. === Avakirina wekî zengila kotyentê === Yek ji metodên nêzîbûna bo {{Matematîk|C}}, bi riya [[Polînom|polînoman]] e, ango ew îfadeyên ku bi wî awayî ne: <math display="block">p(X) = a_nX^n+\dotsb+a_1X+a_0,</math> ku tê de [[Koefîsiyent|koefîsiyentên]] {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}} [[hejmarên rastîn]] in. Koma hemû polînomên bi wî rengî bi <math>\R[X]</math> tê temsîl kirin. Ji ber ku berhevok û eserên polînoman dîsa polînom in, ew koma <math>\R[X]</math> [[Zengila komutatîv|zengilake komutatîv]] pêk tîne ku jê re zengila polînoman (li ser hejmarên rastîn) tê gotin. Ji bo her polînomeke bi wî rengî ya wekî ''p'', însan dikare hejmara kompleks a <math>p(i) = a_n i^n + \dotsb + a_1 i + a_0</math> diyar bike, ango ew nirxa ku bi danîna <math>X = i</math> tê bidestxistin. Ew yek fonksiyonekê diyar dike; <math>\R[X] \to \C</math> [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] 723jzeuyg3brx6miim256xocg4yz9md 2094627 2094626 2026-09-18T10:04:08Z Kurê Acemî 105128 /* Avakirina wekî zengila kotyentê */ 2094627 wikitext text/x-wiki {{Xebat}} [[Wêne:A plus bi.svg|thumb|Hejmareke kompleks a bi navê {{math|''z''}} dikare bi awayekî dîtbarî wekî cotek hejmaran {{math|(''a'', ''b'')}} were temsîldan; ew cot vektoreke pozîsyonê (bi rengê şîn) an xalekê (bi rengê sor) li ser dîyagrameke bi navê "diyagrama Argand" (ku sîstema kompleks temsîl dike) pêk tîne. ''Re'' tewereya rastîn e, ''Im'' tewereya xeyalî ye, û ''{{mvar|i}}'' jî "yekeya xeyalî" ye ku şertê {{math|1=''i''² = −1}} pêk tîne.]] Di [[Matematîk|matematîkê]] de, '''hejmareke kompleks''' elementeke [[Hejmar|sîstema hejmaran]] e ku [[hejmarên rastîn]] bi elementeke taybet a bi navê ''{{mvar|i}}'' ([[yekeya xeyalî]]) berfireh dike; ew element hevkêşeya <math>i^{2}= -1</math> pêk tîne. Ji ber ku ti hejmareke rastîn vê hevkêşeyê pêk nayîne, [[René Descartes]] navê [[Hejmarên xeyalî|hejmara xeyalî]] li ''{{mvar|i}}'' kiriye. Her hejmareke kompleks dikare bi şêweyê <math>a + bi</math> were temsîl kirin ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn ne; ''{{mvar|a}}'' wekî '''beşa rastîn''' û ''{{mvar|b}}'' jî wekî '''beşa xeyalî''' tê binavkirin. Koma hejmarên kompleks bi sembola <math>\mathbb C</math> an jî {{math|'''C'''}} tê temsîl kirin. Tevî navê wan ê tarîxî, hejmarên "xeyalî" ne tiştên xeyalî an çêkirî ne: ew ji hêla matematîkî ve ne kêmtir ji hejmarên rastîn, rastîn in, û ji bo ravekirina zanistî ya cîhana fizîkî jî giring in. Hejmarên kompleks rê didin ku gî [[Hevkêşeya cebîrî|hevkêşeyên polînomî]] werin çareserkirin, heta yên ku di nav hejmarên rastîn de tu çareseriya wan tune ye. Bi awayekî rastir, [[yasaya bingehîn a cebîrê]] diyar dike ku her hevkêşeyeke polînomî ya ne-sabît (ku ne tenê hejmareke sabît e) bi koefîsiyentên rastîn an kompleks, xwediyê çareseriyeke kompleks e. Mesela hevkêşeya <math>(x+1)^2 = -9</math> ti çareseriyeke rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya hejmareke rastîn nikare neyînî be, lê xwediyê du çareseriyên kompleks ên ne-rastîn e: <math>x=-1+3i</math> û <math>x=-1-3i</math>. Komkirin, derxistin û lêkdana hejmarên kompleks bi bikaranîna metoda <math>i^{2}=-1</math> û herwiha yasayên [[Yasaya hevgirtinê|hevgirtinê]], [[Yasaya guhartinê|guhertina cih]] û [[Yasaya belavkirinê|belavkirinê]] tên terîfkirin. Her hejmareke kompleks a ne-sifir xwediyê berevajiyê lêkdanê ye; ew yek rê dide dabeşkirina li ser hejmarên kompleks ên ji bilî sifirê. Ew taybetmendî hejmarên kompleks dikin "qad"ek ku hejmarên rastîn tê de wekî "binqad"ekê cih digirin. Ji ber wan taybetmendiyan, <math>a + bi = a + ib</math> e, û ka kîjan şêwe tê bikaranîn, bi rêzikên giştî yên pejirandî û tercîhên şêwazê ve girêdayî ye. Hejmarên kompleks herwiha [[Fezayê vektorî|fezayeke vektorî a rastîn]] ê bi [[Fezaya pîvana du|pîvana du]] pêk tînin ku tê de <math>\{1,i\}</math> wekî [[Bingeha standard|bingeheke standard]] tê bikaranîn. Ew bingeha standard hejmarên kompleks dike [[Sîstema koordînatê a karteziyanî|sîstemeke karteziyanî]] ku jê re ''sîstema kompleks'' tê gotin. Ew rê dide şirovekirina geometrîk a hejmarên kompleks û emeliyatên wan; hembera wê jî, hin cism û emeliyatên geometrîk dikarin bi rêya hejmarên kompleks werin îfadekirin. Mesela hejmarên rastîn [[Jimarxêz|xêza rastîn]] pêk tînin ku ew xêz wekî eksena asoyî ya sîstema kompleks tê temsîldan, lê pirjimarên rastîn ên <math>i</math> eksena stûnî pêk tînin. Hejmareke kompleks dikare bi rêya [[Sîstema koordînat a polar|koordînatên polar]] ên geometrîk jî were terîfkirin: nîvçapa wê wekî [[Nirxa mutleq|nirxê mutleq]] ê hejmara kompleks tê binavkirin, û goşeya ji eksena rastîn a pozîtîf jî wekî argumana hejmara kompleks tê zanin. Hejmarên kompleks ên ku nirxê wan ê mutleq yek e, çembera yekeyî pêk tînin. Zêdekirina hejmareke kompleks a sabît li gî hejmarên kompleks, veguhastinekê di sîstema kompleks de diyar dike; û pirkirina bi hejmareke kompleks a sabît re, dişibihe [[Veguherîn (geometrî)|veguherîneke]] [[Şubahî (geometrî)|şubahî]] a ku merkeza wê xala eslî e (bi rêya nirxê mutleq mezinbûn/kêm-bûn çêdibe, û bi rêya argumanê jî zivirîn pêk tê). Emeliyata [[Hevtaya kompleks|hevtayê kompleks]] jî [[sîmetriya neynikî]] ya li hember eksena rastîn e. Hejmarên kompleks pêkhateyeke zengîn çêdikin ku hem di warê cebîrî de [[Qada girtî ya cebîrî|qadeke girtî]] ye, hem [[Cebîra guhêrbar|cebîreke guhêrbar]] (komûtatîf) li ser hejmarên rastîn e, û hem jî fezayeke vektorî ya oklîdî ya bi pîvana du ye. == Terîf û emeliyatên bingeh == [[Wêne:Complex numbers intheplane.svg|thumb|Hejmarên kompleks ên cihêreng ku li ser tevşiya kompleks hatine temsîl kirin.]] Hejmareke kompleks îfadeyeke bi şêweyê {{math|''a'' + ''bi''}} ye ku tê de ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' hejmarên rastîn in û i semboleke abstrakt e – ya ku wekî yekeya xeyalî tê naskirin û maneya wê li jêr tê ravekirin. Mesela {{math|2 + 3''i''}} hejmareke kompleks e. Ji bo hejmareke kompleks {{math|''a'' + ''bi''}}, hejmara rastîn ''{{mvar|a}}'' wekî ''beşa rastîn'' tê binavkirin, û hejmara rastîn ''{{mvar|b}}'' (ne hejmara kompleks a {{math|''bi''}}) jî wekî ''beşa xeyalî'' tê binavkirin. Beşa rastîn a hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' bi awayê {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{R}(z)</math> tê temsîldan; beşa xeyalî jî {{math|Im(''z'')}} bi awayê <math>\mathcal{Im}(z)</math> an jî <math>\mathfrak{I}(z)</math> tê temsîldan: mesela <math display="inline"> \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 </math>, <math> \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3 </math>. Hejmareke kompleks a ''{{mvar|z}}'' dikare bi coteke rêzkirî ya hejmarên rastîn <math>(\Re (z),\Im (z))</math> re were naskirin; ew cot dikare wekî koordînatên xaleke li ser sîstemeke oklîdî (bi koordînatên standard) were şirovekirin ku ev rûxar paşê wekî sîstema kompleks an jî [[Diyagrama Argand|''diyagrama Argand'']] tê binavkirin. Bi gelemperî, eksana asoyî ji bo temsîldana beşa rastîn tê bikaranîn (ku nirxên wê ber bi rastê ve zêde dibin), û eksana stûnî jî beşa xeyalî nîşan dide (ku nirxên wê ber bi jor ve zêde dibin). Hejmareke rastîn a dikare wekî hejmareke kompleks {{math|''a'' + 0''i''}} were dîtin ku tê de beşa wê ya xeyalî 0 e. Hejmareke bi temamî xeyalî {{math|''bi''}}, hejmareke kompleks a {{math|0 + ''bi''}} ye ku tê de beşa wê ya rastîn sifir e. Bi gelemperî wiha tê nivîsandin: {{math|1=''a'' + 0''i'' = ''a''}}, {{math|1=0 + ''bi'' = ''bi''}}, û {{math|1=''a'' + (−''b'')''i'' = ''a'' − ''bi''}}; mesela {{math|1=3 + (−4)''i'' = 3 − 4''i''}}. Koma gî hejmarên kompleks bi <math>\Complex</math> (tîpa C ya stûr a taybet) an jî {{math|'''C'''}} (tîpa C ya stûr a asayî) tê temsîl kirin. Di hin warên zanistî yên wekî [[elektromanyetîzm]] û [[endezyariya elektrîkê]] de, li şûna ''{{mvar|i}}'' tîpa ''{{mvar|j}}'' tê bikaranîn, ji ber ku ''{{mvar|i}}'' pir caran tê maneya herika elektrîkê, û hejmarên kompleks bi awayê {{math|''a'' + ''bj''}} an jî {{math|''a'' + ''jb''}} têne nivîsandin. === Komkirin û jêbirin === [[Wêne:Vector Addition.svg|thumb|Komkirina du hejmarên kompleks dikare bi awayekî geometrîk, bi çêkirina paralelogramekê, were kirin.]] Du hejmarên kompleks <math>a =x+yi</math> û <math>b =u+vi</math> bi awayekî ferq [[Komkirin|komkirina]] beşên wan ên rastîn û xeyalî tên komkirin. Yanî: <math display="block">a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>Eynî awayî [[jêbirin]] dikare wekî were kirin<math display="block">a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> Emeliyata komkirinê dikare bi awayekî geometrîk wiha were xuyakirin: encama komkirina du hejmarên kompleks ên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' (ku wekî xalên li ser tevheviya kompleks têne şirovekirin), ew xal e ku bi avakirina [[Çargoşeya yeksan|paralelogramkê]] ji sê xalên ''{{mvar|O}}'' û xalên dawiya tîrên bi navên ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' ve tê bidestxistin (bi şertê ku ew ne li ser eynî xetê bin). Bi eynî awayî, eger em wan xalan bi rêzê wekî ''{{mvar|A}}'' û ''{{mvar|B}}'' û xala çarê a paralelogramê jî wekî ''{{mvar|X}}'' bi nav bikin, wê wextê [[Sêgoşe|sêgoşeyên]] ''{{mvar|OAB}}'' û ''{{mvar|XBA}}'' bi hev re [[kongruent]] in. === Çarpkirin === [[Wêne:Complex number multiplication visualisation.svg|thumb|Çarpkirina hejmarên kompleks ên {{math|2−''i''}} û {{math|3+4''i''}} ku bi rêya vektoran hatiye temsîl kirin.]] Esera du hejmarên kompleks bi wî awayî tê hesibandin: <math>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> Mesela, <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> Bi taybetî, ew yek formula bingehîn wekî rewşeke taybet dihewîne: <math>i^2 = i \cdot i = -1.</math> Ew formula hejmara kompleks a ''i'' ji her hejmareke rastîn ferq dike, ji ber ku çargoşeya her hejmareke rastîn (çi neyînî be çi jî erênî) her tim hejmareke rastîn a ne-neyînî ye. Bi wê terîfa çarpkirin û komkirinê re, ew rêzikên naskirî yên ji bo arîtmetîka hejmarên rasyonel an rastîn, ji bo hejmarên kompleks jî derbasdar dimînin. Bi awayekî hûrtir, taybetmendiya belavkirinê û taybetmendiyên guhertina cih (yên komkirin û lêkdanê) derbasdar in. Loma hejmarên kompleks pêkhateyeke cebîrî ya bi navê [[Qad (matematîk)|''qad'']] ava dikin, eynî cismê ku hejmarên rasyonel an rastîn jî dikin. === Konjugata kompleks, nirxê mutleq, argument û dabeşkirin === [[Wêne:Complex conjugate picture.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a ''{{mvar|z}}'' û hevjuga wê <s>''z''</s> li ser tevşiya hejmarên kompleks.]] ''[[Konjugata kompleks]]'' a hejmara kompleks ê {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} wekî <math>\overline z = x-yi</math> tê terîfkirin. Hin nivîskar wê bi awayê <math>z^*</math> jî temsîl didin. Ji aliyê geometrîk ve, <s>''z''</s> "refleksiyona" ''{{mvar|z}}'' ye li ser eksena rast. Dubarekirina pêvajoya konjugatê, hejmara kompleks a eslî dide: <math>\overline{\overline{z}}=z.</math> Hejmareke kompleks [[tenê ku tenê]] gava bi konjugata xwe re wekhev be, hejmareke rast e. [[Emeliyata yek-guhêrbar]] a dîtina konjugata kompleks a hejmareke kompleks, nikare tenê bi bikaranîna emeliyatên bingehîn ên komkirin, derxistin, zêdekirin (pêkanîna çarpêkirinê) û dabeşkirinê were îfadekirin. [[Wêne:Complex number illustration modarg.svg|thumb|Argumana ''{{mvar|φ}}'' û modulusa ''{{mvar|r}}'' xaleke li ser tevheviya kompleks (an jî rûxara kompleks) diyar dikin.]] Ji bo her hejmareke kompleks {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}}, esera <math>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> ''hejmareke rastîn a ne-neyînî'' ye. Ew yek rê dide ku em [[nirxa mutleq]] (an ''modulûs'' an jî ''mezinahî'') ya ''z'' wekî koka çargoşeyî terîf bikin <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> Ligorî [[Teorema Pîtagoras|yasaya Pîtagorasê]], <math>|z|</math> dûrahiya ji xala destpêkê (orjînê) heta wê xala ku hejmara kompleks a ''z'' li ser tevheviya kompleks temsîl dide, ye. Bi taybetî, çembera ku nîvçapa wê yek e û navenda wê li xala destpêkê ye, tam ji wan hejmarên ''z'' pêk tê ku tê de <math>|z| = 1 </math> e; ew wekî '''hejmarên kompleks ên yekeyî''' tên naskirin. Eger <math> z = x = x + 0i </math> hejmareke rastîn be, wê demê <math> |z|= |x| </math> dibe: ango nirxa wê ya mutleq wekî hejmareke kompleks û wekî hejmareke rastîn wekhev e. Bi karanîna konjugatê, beramberiya hejmareke kompleks a ne sifir <math>z = x + yi</math> dikare wekî <math display="block"> \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.</math> Bi awayekî giştîtir, dabeşkirina hejmareke kompleks a kêfî <math>w = u + vi</math> li ser hejmareke kompleks a ne-sifir <math>z = x + yi</math> wekhev e bi <math display="block"> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> Ev pêvajo carinan wekî "rasyonalkirina" binebeşê (dendomînator) tê binavkirin (herçend dibe ku binebeşê di derbirîna dawî de hejmareke rastîn a îrasyonel be), ji ber ku ew dişibe wê metoda ji bo rakirina rehên ji derbirînên hêsan ên di binebeşê de. [[Arguman (matematîk)|''Argumana'']] ''{{mvar|z}}'' (ku carinan jê re "qonax" ''{{mvar|φ}}'' tê gotin), ew goşeya di navbera [[Nîvçap|nîvçapa]] ''{{mvar|Oz}}'' û eksena rastîn a erênî de ye; ew wekî {{math|arg ''z''}} tê nivîsîn û di vê gotarê de bi [[Radyan|radyanan]] tê îfadekirin. Ew goşe tenê heta lêzêdekirina piraliyên tam ên <math> 2\pi </math> tê diyarkirin, ji ber ku zivirandineke bi qasî <math>2\pi</math> (an 360°) li dora xala destpêkê, gî xalên li ser sîstema kompleks bêguhertin dihêle. Yek ji bijarteyên ji bo diyarkirina yekta ya argumanê ew e ku ew di navbeya <math> (-\pi,\pi] </math> de be; ew wekî "nirxê sereke" tê binavkirin. Arguman dikare ji şêweya kartesiyan (an jî çargoşeyî) ya ''{{mvar|x + yi}}'', bi rêya fonksiyona arktan (tangenta berevajî) were hesibandin. === Forma polar === [[Wêne:Complex multi.svg|thumb|Zêdekirina {{math|2 + ''i''}} (sêgoşeya şîn) û {{math|3 + ''i''}} (sêgoşeya sor). Sêgoşeya sor tê zivîrandin da ku bi lûtkeya sêgoşeya şîn re li hev were (ango, komkirina her du goşeyan di beşa ''φ₁+φ₂'' ya hevkêşeyê de) û bi qasî dirêjahiya [[Hîpotenûs|hîpotenûsa]] sêgoşeya şîn tê dirêjkirin (ango, zêdebûna her du nîvçapên çemberan, li gorî beşa ''r₁r₂'' ya hevkêşeyê).]] Ji bo her hejmareke kompleks a ''z'', bi nirxê mutleq ê <math>r = |z|</math> û argumana <math>\varphi</math>, hevkêşeya <math>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math> ew têkilî derbasdar e. Ew nasname wekî şêweya polar a ''z'' tê binavkirin. Carinan ew bi awayê <math display="inline"> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi </math> tê kurtkirin. Di warê [[Elektronîk|elektronîkê]] de, [[Fazor|fazorê]] bi amplituda ''{{mvar|r}}'' û qonaxa ''{{mvar|φ}}'' ve bi rêya temsîl kirina goşeyî tê temsîl kirin: <math display="block">z = r \angle \varphi . </math> Eger du hejmarên kompleks bi awayekî qutbî werin dayîn, ango {{math|1=''z''₁ = ''r''₁(cos ''φ''₁ + ''i'' sin ''φ''₁)}} û {{math|1=''z''₂ = ''r''₂(cos ''φ''₂ + ''i'' sin ''φ''₂)}}, eser û dabeşkirin dikare wekî were hesibandin <math display="block">z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math><math display="block">\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right), \text{if }z_2 \ne 0.</math> (Ew encama nasnameyên trîgonometrîk ji bo fonksiyona sînus û kosînus in.) Bi gotineke din, nirxên mutleq têne zêdekirin û arguman têne zêdekirin da ku forma qutbî ya eserê çêbibe. Resimê li rastê zêdekirina ji <math display="block">(2+i)(3+i)=5+5i. </math> Ji ber ku beşên rastîn û xeyalî yên {{math|5 + 5''i''}} wekhev in, argumana wê hejmarê 45 pile ye, anku {{math|''π''/4}} (bi radyanê). Ji aliyekî din ve, ew di aynî çaxê de berhevoka goşeyên li destpêka sêgoşeyên sor û şîn e, bi rêzê ve arctan(1/3) û arctan(1/2). Bi wî awayî, formula <math display="block">\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math> derbasdar e. Ji ber ku însan karibe bi awayekî pir bi tesîr nêzîkiya fonksiyona arctanê bibîne, formulên bi wî rengî ku wekî formulên "wekî yên Machin" têne naskirin, ji bo bidestxistina nêzîkiyên bi hûrgiliya bilind ên [[Pi|π]] têne bikaranîn: <math display="block">\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) </math> === Qûwet û kokan === Qûweta ''n''-em a hejmareke kompleks dikare bi rêya [[formula Moivre]] were hesibandin; ew formula bi sepandina dubare ya formula jorîn a ji bo eserê tê bidestxistin: <math display="block">z^{n}=\underbrace{z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ faktoran}} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> Mesela çend qûwetên pêşîn ên yekîneya xeyalî ''i'' ne <math>i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \dots</math> [[Wêne:Visualisation complex number roots.svg|thumb|Temsîl kirina geometrîk a rehên 2em heta 6em ên hejmareke kompleks a ''z'', bi şêwaza polar a φ ku tê de {{Matematîk|1=r = <nowiki>|</nowiki>z<nowiki>|</nowiki>}} û {{Matematîk|1=φ = arg}} ''z'' e. Heke z hejmareke rastîn be, φ = 0 an jî [[Pi|π]] ye. Rehên sereke bi rengê reş hatine temsîl kirin.]][[Kok (matematîk)|Koka]] hejmareke kompleks ''{{mvar|z}}'' bi wan têne dayîn: <math display="block">z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ji bo {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (Li vir <math>\sqrt[n]r</math> ew koka asayî (erênî) ya [[Hejmarên rastîn|hejmara rastîn]] a erênî ''{{mvar|r}}'' ye.) Ji ber ku sînûs û kosînûs qonaxî in, nirxên din ên tamjimar ên ''{{mvar|k}}'' nirxên din nadin. Ji bo her <math>z \ne 0</math> bi taybetî kokên kompleks ên ''n''-em ên ji hev cuda hene. Mesela 4 kokên çarê ên 1ê hene ku ew in: <math>z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i.</math> Bi giştî, ti rêyeke xwezayî tune ye ku însan karibe yek ji rehên tevlîhev ên ''{{mvar|n}}'' (kok) ên hejmareke kompleks ji yên din cuda bike. (Ew yek berevajî rewşa rehên hejmareke rastîn a erênî ya wekî ''x''-ê ye; x xwediyê tenê yek reheke rastîn a erênî ya ''n'' e, loma ew bi gelemperî wekî "reha ''n'' a ''x''-ê" tê binavkirin.) Ew rewş bi wê yekê tê îfadekirin ku reha ''n'' fonksiyoneke xwedî n nirxan e ji bo ''{{mvar|z}}''-yê. === Teorema bingeh a cebîrê === [[Teorema bingehîn a cebîrê]] a [[Carl Friedrich Gauss]] û [[Jean Baptiste le Rond d'Alembert|Jean le Rond d'Alembert]], dibêje ku ji bo her hejmarên kompleks (ku jê re [[Koefîsyent|koefîsyentan]] tê gotin) {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}}, hevkêşeya <math display="block">a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> xwediyê herîkêm çareseriyeke kompleks a wekî ''z'' ye, bi wê şertê ku herîkêm yek ji koefîsiyentên bilind ({{math|''a''₁, ..., ''a''_''n''}}) ne sifir be. Ew taybetmendî ji bo [[Hejmar rasyonel|qada hejmarên rasyonel]] <math>\Q</math> (polînoma {{math|''x''² − 2}} xwediyê koka rasyonel nîne, ji ber ku {{math|√2}} ne hejmareke rasyonel e) û herwiha ji bo hejmarên rastîn <math>\R</math> (polînoma {{math|''x''² + 4}} xwediyê koka rastîn nîne, ji ber ku çargoşeya ''{{mvar|x}}'' ji bo her hejmareke rastîn a ''{{mvar|x}}'' erênî ye) derbas nabe. Ji ber vê rastiyê, <math>\Complex</math> wekî ''qadeke cebîrî'' ''yê girtî'' tê binavkirin. Ew ji bo gelek sepanên hejmarên kompleks bingeheke sereke ye, wekî ku li jêr bi hûrgilî hatiye ravekirin. Ji bo vê teoremê îsbatên curbecur hene; ew îsbat dikarin bi metodên analîtîk (wekî [[teorema Liouville]]), an jî bi [[Topolojî|metodên topolojiyê]] (wekî [[Hejmarên pêçanê|hejmara pêçanê]]) bên kirin, an jî bi metoda ku [[teoriya Galoisê]] û wê rastiyê li hev tîne ku her polînomeke rast a bi dereceyeke ''tek'', bi kêmanî xwediyê koka xwe ya rast e. == Tarîx == Çareseriya di [[Kok (matematîk)|radîkalan]] de (bêyî [[Fonksiyona trîgonometrîk|fonksiyonên trîgonometrîk]]) ya [[Hevkêşeya kubîk|hevkêşeyeke kubîk]] a giştî, çaxa ku her sê kokên wê hejmarên rastîn bin, kokên çargoşe yên [[hejmarên neyînî]] dihewîne, rewşek ku bi faktorîzekirinê bi alîkariya [[Teorema koka rasyonel|testa koka rasyonel]] nayê rastkirin, heke kubîk bêkêmkirin be; ew tiştê ku jê re [[Casus irreducibilis|''casus irreducibilis'']] ('doza bêkêmkirin') tê gotin e. Ew pirsgirêk bû sebeb ku matematîknasê îtalî [[Gerolamo Cardano]] di dora sala 1545an de di [[Ars Magna (Cardano)|''Ars Magna'']] ya wî de hejmarên kompleks bifikire, her çiqas têgihîştina wî bingehîn bû; ji bilî vê, wî paşê hejmarên kompleks wekî "bi qasî ku nazik in, ewqas jî bê gerek" wesifand. Cardano hejmarên xeyalî bikaranî, lê karanîna wan wekî "îşkenceya derûnî" wesifand. Ew berî karanîna plana grafîkî ya kompleks bû. Cardano û matematîknasên din ên îtalî, bi taybetî [[Scipione del Ferro]], di salên 1500î de [[Algorîtma|algorîtmayek]] ji bo çareserkirina hevkêşeyên kubîk afirandiyê ku bi gelemperî çareseriyek rastîn û du çareseriyên ku hejmarek xeyalî dihewîne hebûn. Ji ber ku wan cewabên bi hejmarên xeyalî paşguh kirin, Cardano wan wekî bê gerek dîtiye. Xebata li ser pirsgirêka polînomên giştî di dawiyê de rê li ber teorema bingehîn a cebîrê avakir ku temsîl dide ku bi hejmarên kompleks re, çareseriyek ji bo her [[hevkêşeya polînomê]] ya pileya yek an jî bilindtir heye. Ji ber wê yekê hejmarên kompleks qadek cebîrî ya girtî pêk tînin ku her hevkêşeya polînomê [[Koka fonksiyonê|kokek]] heye. Gelek matematîknasan beşdarî pêşxistina hejmarên kompleks bûn. Rêgezên ji bo komkirin, derxistin, pirkirin û derxistina kokê ya hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îtalî [[Rafael Bombelli]] ve hatine pêşxistin. Formalîzmek bêtir abstrakt ji bo hejmarên kompleks ji hêla matematîknasê îrlandî [[William Rowan Hamilton]] ve bêtir hate pêşxistin ku wê abstraksiyonê berfireh kir bo [[Kuaternyon|teoriya kuaternyonan]]. Dibe ku were gotin ku yekê amajeya kurt û neberdewam a li ser [[Kokê çargoşe|kokên çargoşe]] yên [[hejmarên neyînî]] di esera matematîknasê yewnanî [[Heronê Îskenderiyey|Heronê Îskenderiyeyê]] de di sedeya 1ê {{Pz}} derketiye holê; li wir, di kitêba wî ya bi navê ''Stereometrica'' de, wî bi awayekî ku xuya ye şaş bûye, qebareya beşeke jêkirî ya [[Piramîd|piramîdeke]] ku pêkan nebû, nirxandiye û di encama hesabên xwe de gihîştiye îfadeya <math>\sqrt{81 - 144}</math>, ya ku îro wiha tê hêsankirin: <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. Di [[Matematîka Yewnanistana kevnare|matematîka helenîstîk]] de terma hejmarên neyînî tunebû û Heron tenê nirxa neyînî bi ya wê ya erênî guhertibû: <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math> Hewldana lêkolîna li ser hejmarên kompleks wekî meseleyeke serbixwe, cara yekê di sedsala 16an de derketa holê; wê çaxê matematîknasên îtalyan, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] û [[Gerolamo Cardano]], çareseriyên cebîrî ji bo kokên polînomên pile-sêyê û pile-çarê dîtin. Zû hate fêmkirin (herçend îsbatkirina wê gelek derengtir pêk hatibe jî) ku ew formul, heta eger însan tenê bi çareseriyên rastîn re mijûl bibe jî, carinan pêdivî bi bikaranîna kokên çargoşeyî yên hejmarên neyînî dikirin. Bi rastî, piştre hate îsbatkirin ku wexta her sê kok jî rastîn û ji hev cuda bin, bikaranîna hejmarên kompleks neçar e. Lêbelê, di wê rewşê de jî dîsa dikare formula giştî were bikaranîn, bi şertê ku însan baldar be li hemberî wê rewşa nezelal a ku ji hebûna sê kokên pile-sêyê (kokên kubîk) ji bo hejmarên kompleks ên ne-sifir çêdibe. Rafael Bombelli yekê kes bû ku bi awayekî eşkere behsa van çareseriyên hevkêşeyên pile-sêyê kir ku di xuya de paradoksîkal bûn, û wî ji bo çareserkirina van pirsgirêkan, rêzikên arîtmetîka kompleks pêş xistin. Termê "xeyalî" ji bo wan hêjmaran di sala 1637an de ji aliyê [[René Descartes]] cara yekê hatiye gotin; wî gelek hewl da ku tekezî li ser xwezaya wan a ne-rastîn bike: {{Quote|... hîn caran tenê xeyalî – yanî însan dikare di her hevkêşeyekê de bi qasî ku min gotiye hejmaran xeyal bike – lê carinan ti hêjmarek nîne ku li gorî wê ya ku em xeyal dikin be.}} Çavkaniyeke din a tevliheviyê ew bû ku hevkêşeya <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> bi awayekî keyfî û ne li gorî rêzê, li dijî nasnameya cebîrî ya <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> xuya dikir; ew nasname ji bo hejmarên rastîn ên ne-neyînî (pozîtîf an sifir) yên wekî ''{{mvar|a}}'' û ''{{mvar|b}}'' derbasdar e û di hejmartinên hejmarên kompleks de jî dihat bikaranîn, heger yek ji ''{{mvar|a}}'' an ''{{mvar|b}}'' pozîtîf û ya din neyînî bûya. Bikaranîna şaş a wê nasnameyê di rewşa ku hem ''{{mvar|a}}'' û hem jî ''{{mvar|b}}'' neyînî bin de, û herwiha nasnameya têkildar a <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>, heta bû sebeba pirsgirêkan ji bo [[Leonhard Euler]] jî. Ew zehmetî di dawiyê de bû sebeb ku ji bo pêşîlêgirtina wê şaşitiyê, sembola taybet a {{math|''i''}} li şûna <math>\sqrt{-1}</math> were bikaranîn. Tevî wê yekê jî, Euler bi awayekî xwezayî dî ku telebe pir zûtir (li gorî wê serdemê) bi hejmarên kompleks re tên naskirin. Di kitêba wî ya cebîra bingehîn a bi navê ''[[Elementên Cebîrê]]'' de, ew wan hejmaran nêzî di destpêkê de dide nasîn û piştre jî li seranserê kitêbê bi awayekî xwezayî wan bikar tîne. Di sedeya 18an de, bikaranîna hejmarên kompleks berfirehtir bû; çunkî hate dîtin ku bikaranîna metodên matematîkî yên li ser îfadeyên kompleks, dikare ji bo hêsankirina hesabên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk sûdewar be. Mesela di sala 1730ê de [[Abraham de Moivre]] temsîl kir ku ew hevsengiyên têkildarî fonksiyonên trîgonometrîk ên piraliyekî tam ê goşeyekê û hêzên fonksiyonên trîgonometrîk ên wê goşeyê, dikarin bi riya [[formula de Moivre]] bên îfadekirin: <math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math> [[Wêne:Circle cos sin.gif|thumb|Formula Eulerê, fonksiyona eksponensiyel a kompleks a bi argumana xeyalî ku dikare wekî danasîna livîna dorhêlî ya yekreng li ser tevra kompleks were dîtin, bi fonksiyonên kosînûs û sînûsê ve girêdide; ew fonksiyon di warê geometrîk de, bi rêzê ve, projeksiyonên wê livînê yên li ser eksena hejmarên rastîn û eksena hejmarên xeyalî ne.]]Di sala 1748an de, Euler gaveke dî avêt û [[formula Euler]] a [[analîza kompleks]] bi dest xist: <math display="block">e ^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta </math> bi rêya destkarîkirina resmî ya [[rêzên qûwetê]] yên aloz, û dît ku ew formula dikare were bikaranîn da ku her nasnameyeke trîgonometrîk bo nasnameyên eksponensiyel ên pir hêsantir were kêmkirin. Fikra hejmareke kompleks wekî xaleke li ser balafira kompleks, cara yekê di sala 1799an de ji aliyê matematîknasê danîmarkî-norwêcî [[Caspar Wessel]] ve hate ravekirin, herçend ew term berê, di sala 1685an de, di esera [[John Wallis]] a bi navê ''A Treatise of Algebra'' de hatibû pêşbînîkirin jî. Gotara bîranînê ya Wessel di weşanên Akademiya Kopenhagê de derket, lê bi pirî bala kesî nekişand. Di sala 1806an de, [[Jean-Robert Argand]] bi awayekî serbixwe broşûrek li ser hejmarên kompleks weşand û ji bo [[teorema bingehîn a cebîrê]] îsbateke hûrgilî û xurt pêşkêş kir. [[Carl Friedrich Gauss]] berê, di sala 1797an de, îsbateke ku di eslê wê de [[Topolojî|topolojîk]] bû ji bo wê teoremê weşandibû, lê wê çaxê gumanên wî derbarê "metafîzîka rastîn a koka çargoşe ya -1ê" de anîbûn zimên. Heta sala 1831ê derbas bû ku wî ew gumanên wî derbas kirin û esera wî ya li ser hejmarên kompleks wekî xalên li ser rûxarê weşand û bi wî awayî bi pirî temsîl kir û termînolojiya modern danî holê: {{Quote|Eger însan berê ji nêrîneke şaş li wê meseleyê mêze kiriba û ji ber wê yekê rastî tarîtiyeke razdar hatiba, ew yek bi pirî vedigere ser karanîna termên nebaş an jî şaş. Eger însan ji bo +1, −1 û <math>\sqrt{-1}</math> ne gotiba yekeyên erênî, neyînî an xeyalî (an jî heta ne mimkin), lê li şûna wan, mesela gotiba yekeyên rasterast, berevajî an kêlekî, wê çaxê êdî qet behsa tarîtiyeke wiha nedihate kirin.}}Di destpêka sedeya 19an de, matematîknasên din bi awayekî serbixwe temsîl kirina geometrîk a hejmarên kompleks keşf kirin: Buée, Mourey, Warren, Français û birayê wî, û [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]]. Matematîknasê inglîzî [[G.H. Hardy]] diyar kir ku Gauss yekê matematîknas bû ku hejmarên kompleks bi "awayekî rastî pêbawer û zanistî" bikaranî; herçend matematîknasên wekî norwêcî [[Niels Henrik Abel]] û [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] jî berî ku Gauss di sala 1831ê de esera xwe ya zanistî biweşîne, bi awayekî rojane û pêwîst ew bikaranîn. [[Augustin-Louis Cauchy]] û [[Bernhard Riemann]] bi hev re ramanên bingehîn ên analîza kompleks gihandin asteke bilind a temambûnê; ew pêvajo di rewşa Cauchy de li dora sala 1825an destpê kiribû. Termên hevpar ên ku di wê teoriyê de têne bikaranîn, bi pirî ji hêla damezrîneran ve hatine danîn. Argand ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''faktora'' ''terefê'' û ji <math>r = \sqrt{a^2 + b^2}</math> re digot ''modulus''; Cauchy (1821) ji {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} re digot ''forma kêmkirî'' û xuya ye ku wî terma ''arguman'' aniye holê; Gauss ji bo <math>\sqrt{-1}</math> tîpa {{math|''i''}} bikaranî, ji bo {{math|''a'' + ''bi''}} terma ''hejmara kompleks'' pêşkêş kir û ji {{math|''a''² + ''b''²}} re digot ''norm''. Têgeha ''koyefîsyenta'' ''terefê'' ku pir caran ji bo {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} tê bikaranîn, ji hêla Hankel (1867) ve hatiye danîn, û terma ''nirxa mutleq'' ji bo modulusê, ji hêla Weierstrass ve hatiye pêşkêşkirin. Di nav nivîskarên klasîk ên paşatir ku li ser teoriya giştî dişuxilandine de [[Richard Dedekind]], [[Otto Hölder]], [[Felix Klein]], [[Henri Poincaré]], [[Hermann Schwarz]], [[Karl Weierstrass]] û gelek ên din hene. Di destpêka sedeya 20ê de, eserên giring (di nav de sîstematîzekirin) di warê analîza pir-guhêrbar a hejmarên kompleks de destpê kirin. Di sala 1927an de [[Wilhelm Wirtinger]] encamên giring bi dest xist. == Terîfên abstrakt û cebîrî == Herçend terîfên berbiçav ên li jor, tevî kiryarên komkirin û lêkdanê, hejmarên kompleks bi awayekî rast rave dikin jî, nêzîkiyên din ên hevmane hene ku pêkhateya cebîrî ya abstrakt a hejmarên kompleks bi awayekî rasterasttir eşkere dikin. Terîfek ji bo hejmarên kompleks ew e ku ew qadeke bi temsîla ⁠{{Matematîk|C}} pêk tînin; ew qad, qada hejmarên rastîn ⁠{{Matematîk|R}} dihewîne û li ser ⁠{{Matematîk|R}} bi rêya elementeke taybet a bi temsîla ⁠{{Matematîk|i}} ku tê de ⁠{{Matematîk|1=i^2=-1}} tê hilberandin. Bi awayekî hevmane, ⁠{{Matematîk|C}} qada veqetandinê (''splitting field'') a polînoma ⁠{{Matematîk|x^2+1}} e li ser qada hejmarên rastîn {{Matematîk|R}}. Hebûna wê qadê dikare bi rêya modelên çeşîd were temsîl kirin. Modelek ew e ku însan qada kompleks wekî koma ⁠{{Matematîk|\R^2}} bihesibîne ku bi yasayên komkirin û lêkdanê yên li ser cotên rêzkirî yên ⁠{{Matematîk|(a,b)}} û {{Matematîk|(a',b')}} hatiye dabînkirin: <math display="block">(a,b) + (a',b') = (a+a',b+b'),\quad (a,b)(a',b') = (aa' - bb', ab' + a'b).</math> Di vê modelê de, elementa ⁠{{Matematîk|i}} li hemberî elementa ⁠{{Matematîk|(0,1)}} tê, û hejmarên rastîn wekî koma cotên ⁠{{Matematîk|(a,0)}} têne bicihkirin. Yekê din jî avakirina standard a qada veqetandine (''splitting field'') ye ku bi karanîna beşa koma polînomên ⁠{{Matematîk|R[X]}} pêk tê, û li jêr hatiye dayîn. === Avakirina wekî zengila kotyentê === Yek ji metodên nêzîbûna bo {{Matematîk|C}}, bi riya [[Polînom|polînoman]] e, ango ew îfadeyên ku bi wî awayî ne: <math display="block">p(X) = a_nX^n+\dotsb+a_1X+a_0,</math> ku tê de [[Koefîsiyent|koefîsiyentên]] {{math|''a''₀, ..., ''a''_''n''}} [[hejmarên rastîn]] in. Koma hemû polînomên bi wî rengî bi <math>\R[X]</math> tê temsîl kirin. Ji ber ku berhevok û eserên polînoman dîsa polînom in, ew koma <math>\R[X]</math> [[Zengila komutatîv|zengilake komutatîv]] pêk tîne ku jê re zengila polînoman (li ser hejmarên rastîn) tê gotin. Ji bo her polînomeke bi wî rengî ya wekî ''p'', însan dikare hejmara kompleks a <math>p(i) = a_n i^n + \dotsb + a_1 i + a_0</math> diyar bike, ango ew nirxa ku bi danîna <math>X = i</math> tê bidestxistin. Ew yek fonksiyonekê diyar dike; <math>\R[X] \to \C</math> Ew [[fonksiyona seranserî]] ye, ji ber ku her hejmareke kompleks dikare bi wî awayî were bidestxistin: nirxandina [[Fonksiyona lîner|polînomeke lîner]] a wekî <math>a+bX</math> li xala <math>X = i</math> dibe <math>a+bi</math>. Lêbelê, nirxandina polînoma <math>X^2 + 1</math> li xala ''i'' dike 0, ji ber ku <math>i^2 + 1 = 0.</math> Ew polînom ne-kêmbar (''irreducible'') e, ango nikare wekî esera du polînomên lîner were nivîsîn. Ji vir rastiyên bingehîn ên [[cebîra abstrakt]] temsîl didin ku [[Navin (cebîr)|navika]] vê nexşeyê [[Îdeal (teoriya zengil)|îdealek]] e ku ji hêla vê polînomê ve hatiye çêkirin û ku beşa dabeşkirinê ya) li gorî wê îdealê qadek e, û herwiha [[Îzomorfîzm|îzomorfîzmek]] heye <math>\R[X] / (X^2 + 1) \stackrel \cong \to \C</math> [[Kategorî:Hejmar]] [[Kategorî:Konseptên matematîkê]] 88rgyd3npzungi1xfrtwdjv667m70j6 0 329926 2094617 2094027 2026-09-18T09:33:47Z ~2026-50310-51 182056 /* Dabeşkirina konfederasyona eşîren oramarî */ 2094617 wikitext text/x-wiki {{bêçavkanî}} {{çav lê gerandin}} Konfederasyona Eşîren Oramarî{{çavk}} konfederasyoneke mezin â [[eşîrên kurd e]]. Ev konfederasyon di nava xwe de ji du Eşîr Yanji Baskên mezin ên bi navê [[Lemdînî]] û [[Mefî]] û ji 19 qebileyên ku bi van her du başkan ve girêdayî ne, pêk tê. Konfederasyona eşîren oramarî li sê dewletên cûda, ango li Tirkiye, Iraq û li Îranê dijî. Ji xeynî van her sê dewletan, nifûseke mezin a oramariyan li parzemîna Asyayê li welatên [[Qezexistan]], [[Efxanistan]], [[Pakistan]], [[Azerbaycan]],[[Gurcistan]] û [[Ermenistanê]] jî heye. Her wiha li derveyî parzemîna Asyayê jî niştecih in. Piştî Serhildana Oramarê ya ku di sala 1930î de bi hevbeşiya bi Eşîra Barzanî re li dijî dewleta [[Tirkiyê]] hatibû lidarxistin, bi hezaran Oramarî koçî Ewropayê kirin. Di dema îroyîn de li welatên Ewropayê, bi taybetî li [[Brîtanya]], [[Almanya]], [[Swîsre]], [[Swêd]] , û [[Holendayê]]ji dijîn. == Dabeşkirina konfederasyona eşîren oramarî == 1. Baska Lemdînî Baska Lemdînî Yanji [[Eşîra Lemdînî]] ji 10 qebîlan pêk tê, ew jî ev in: * Mala Mîre * Mala Mijdînî * Mala Mengelanî * Mala Baranî * Mala Melayî * Mala Mam Axayî * Mala Erebî * Mala Melakî * Mala Mîrzayî * Mala Mesîhayî 2. Baska Mefî Baska Mefî Yanji [[Eşîra Mefî]] ji 9 qebîlan pêk tê, ew jî ev in: * Mala Şaqûlî * Mala Meyterî * Mala Kemalî * Mala Qerexanî * Mala Mîrxanî * Mala Mefî * Mala Şexî * Mala Xanê * Mala Hesenî ==Hindek kesayêtên navdar== * [[Sîto Axa Oramarî]] * [[Şükrü Axa Oramarî]] * [[Savaş Buldan]] * [[Muhsin Axa Oramarî]] * [[Pervin Buldan]] * [[İsmet Buldan]] * [[Nejdet Buldan]] == Hejmara eşîra oramarî == Hejmara eşîra oramarî li Dinyaye ji 500 hezar keskî ango (nîv milyon) kesî derbas kiriye{{çavk}} == Çavkanî == {{Çavkanî}} jbdhyp9tr12wcap26ngh2ttku4g2mhy 3 329968 2094601 2094403 2026-09-18T05:31:31Z Kurê Acemî 105128 /* Merheba */ beşeke nû 2094601 wikitext text/x-wiki == Silav == Silav! Gotarên te li gor standardên Wikîpediyayê nehatine nivîsandin (format, bêçavkanî, ...). Bi vî awayî ne ensîklopedîk in: ew tên jê birin. [[Bikarhêner:Ghybu|Ghybu]] ([[Gotûbêja bikarhêner:Ghybu|gotûbêj]]) 15:22, 16 îlon 2026 (UTC) == Merheba == Merheba @[[Bikarhêner:~2026-50118-49|~2026-50118-49]], tu bi xêr hatiye vir. Min sayfeyên ku te çêkirîbû dî û mixabin, wan ligorî standardên wîkîpediyayê ne hatin nivîsîn. Hîn jî nizanim ka ew mesele ensîklopedîk e an na. Kerem ke û çake li ser guhartinên min a dawîn binêre, belkî te ji wê karibe hu bikî çi lazim dike ji bo ku sayfekek standard çêdibe. Qewet be. Silav û rêz. [[Bikarhêner:Kurê Acemî|Kurê Acemî]] ([[Gotûbêja bikarhêner:Kurê Acemî|gotûbêj]]) 05:31, 18 îlon 2026 (UTC) f2m6trf2hxhpp62lvyf1vr7atxmcgx0 0 329977 2094621 2026-09-18T09:42:20Z Kurê Acemî 105128 Kurê Acemîî/ê navê [[CIVAK, ZANÎN Û ZAYENDÎTÎ]] weke [[Civak, zanin û zayendîtî]] guhart 2094621 wikitext text/x-wiki #BERALÎKIRIN [[Civak, zanin û zayendîtî]] ds1l3jyija4m7w4iozk67xgdhb7cc9i 14 329978 2094632 2026-09-18T10:49:21Z Avestaboy 34898 Rûpeleke vala hat çêkirin 2094632 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 2094633 2094632 2026-09-18T10:51:17Z Avestaboy 34898 /* */ 2094633 wikitext text/x-wiki [[Kategorî:Wêjeya çînî]] rqjdzo7ym37hmhubcv8byvsfwe9dhwt 2094634 2094633 2026-09-18T10:52:19Z Avestaboy 34898 /* */ 2094634 wikitext text/x-wiki [[Kategorî:Wêjeya çînî|Tevgerên]] h1vkx7jr5yd5f358bv8y2dpsftctcnt 2094635 2094634 2026-09-18T10:52:32Z Avestaboy 34898 /* */ 2094635 wikitext text/x-wiki [[Kategorî:Wêjeya çînî]] rqjdzo7ym37hmhubcv8byvsfwe9dhwt 2094636 2094635 2026-09-18T10:53:21Z Avestaboy 34898 /* */ 2094636 wikitext text/x-wiki [[Kategorî:Wêjeya çînî]] [[Kategorî:Tevgerên wêjeyî li gorî welatan|çînî]] klcx4ootdz3s3vmu28q2roaf3o4mom0