Scriptor:Carolus Fridericus Gauss

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="la">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikisource</sitename>
    <dbname>lawikisource</dbname>
    <base>https://la.wikisource.org/wiki/Pagina_prima</base>
    <generator>MediaWiki 1.47.0-wmf.20</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Media</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Specialis</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Disputatio</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Usor</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Disputatio Usoris</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Vicifons</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Disputatio Vicifontis</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Fasciculus</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Disputatio Fasciculi</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">Disputatio MediaWiki</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Formula</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Disputatio Formulae</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Auxilium</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Disputatio Auxilii</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Categoria</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Disputatio Categoriae</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">Scriptor</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">Disputatio Scriptoris</namespace>
      <namespace key="104" case="first-letter">Pagina</namespace>
      <namespace key="105" case="first-letter">Disputatio Paginae</namespace>
      <namespace key="106" case="first-letter">Liber</namespace>
      <namespace key="107" case="first-letter">Disputatio Libri</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Modulus</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Disputatio Moduli</namespace>
      <namespace key="1728" case="first-letter">Event</namespace>
      <namespace key="1729" case="first-letter">Event talk</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Scriptor:Carolus Fridericus Gauss</title>
    <ns>102</ns>
    <id>2119</id>
    <revision>
      <id>281251</id>
      <parentid>221050</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T18:03:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Opera */ Novum opus adde</comment>
      <origin>281251</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1938" sha1="oqb0opzof1kl1she1wu1avlq2mkfq8n" xml:space="preserve">{{Scriptor
|Munera= mathematicus, physicus, astronomus et insignis scientiarum doctus
|Natio= Germanicus
|IndicisNomen= Gauß, Johann Carl Friedrich
|NomenImago=Carl_Friedrich_Gauss.jpg
}}
== Opera ==
*[[Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse]] [[Imago:75%.svg]] (1799)
*[[Disquisitiones arithmeticae]] (1801)
*[[Theorematis arithmetici demonstratio nova]] (1808)
*[[Theoria motus corporum coelestium]] (1809)
*[[Summatio quarandum serierum singularium]] (1811)
*[[Disquisitiones_generales_circa_seriem_infinitam_...|Disquisitiones generales circa seriem infinitam {{smaller|&lt;math&gt; 1 + \tfrac{\alpha \beta}{1.\gamma} x + \tfrac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1.2.\gamma(\gamma+1)} xx + \text{etc.}&lt;/math&gt;}}]] (1812)
*[[Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum]] (1813)
*[[Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi]] (1814)
*[[Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse]] (1815)
*[[Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia]] (1816)
*[[Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et ampliationes novae]] (1817)
*[[Determinatio attractionis quam in punctum quodvis positionis datae exerceret planeta si eius massa per totam orbitam ratione temporis quo singulae partes describuntur uniformiter esset dispertita]] (1818)
*[[Disquisitiones generales circa superficies curvas]] (1828)
*[[Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii]] (1829)
*[[Theoria residuorum biquadraticorum]] (1825/1831)
*[[Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata]] (1832)
*[[Theoria interpolationis methodo nova tractata]] (ca. 1805)</text>
      <sha1>oqb0opzof1kl1she1wu1avlq2mkfq8n</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Biblia Sacra interprete Sebastiano Castellione/Haggaeus</title>
    <ns>0</ns>
    <id>59484</id>
    <revision>
      <id>281249</id>
      <parentid>278978</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T16:04:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ionas Callensis</username>
        <id>33010</id>
      </contributor>
      <origin>281249</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4871" sha1="ryg7k82bteegzq1gfwe2181j8vt8ou5" xml:space="preserve">==CAPUT I.==

1 Anno Darii regis secundo, prima die sexti mensis, habitus est Iouae sermo per Haggaeum uatem ad Zorobabelem Salathielis filium, Iudaeae praetorem, et ad Iosuam Iosedeci filium, pontificem maximum, his uerbis.
2 Sic dicit armipotens Ioua: Negat iste populus uenisse tempus construendae aedis Iouae.
3 Ergo Ioua Haggaei uatis opera sic uerba facit.
4 Ergone uos tempus habetis habitandi in uestris laqueatis aedibus? et ista aedes erit deserta?
5 Hanc ob rem sic dicit armipotens Ioua.
6 Aduertite animum ad rationes uestras: multum seminatis, et parum colligitis: comesse, neque satiari: bibere, neque sitim extinguere: uestiri, neque calescere: et qui facit quaestum, facit in loculos pertusos.
7 Sic dicit armipotens Ioua: Aduertite animum ad rationes uestras.
8 Ascendite in montem, et aduehite ligna, aedemque construite, et eo delectabor ac honorabor, ait Ioua.
9 Spectatur ad multum, et est parum: importatis domum, et ego id difflo: Quamobrem? inquit armipotens Ioua. Ob aedem meam, quae deserta est, cum uos ad suas quisque aedes curratis.
10 Itaque uobis et coelum rorem, et terra prouentum suum negat,
11 inuexique siccitatem in terram, et in montes, et in frumentum, et in mustum, et in oleum, et in ea quae procreat tellus, et in homines, et in pecora, et in omnem manuum laborem.
12 Igitur obtemperarunt Zorobabel Salathielis, et Iosua Iosedeci filius, pontifex maximus, omnisque reliquus populus, Iouae Dei sui mandato, et uerbis Haggaei uatis,
13 quem Ioua eorum Deus misisset, ueritique sunt homines Iouam.
14 Et Haggaeus Iouae nuncius, ut ferebat Iouae mandatum, sic populum allocutus est: Ego uobis adsum, inquit Ioua.
15 Igitur excitauit Ioua mentem Zorobabelis Salathielis filii, Iudaeae praetoris, et Iosuae Iosedeci filii pontificis maximi, reliquique totius populi, ita ut irent ad opus faciendum in aede armipotentis Iouae Dei sui, die uigesimo quarto sexti mensis, anno Darii regis secundo.

==CAPUT II.==

1 Uigesima prima mensis septimi locutus est Ioua per Haggaeum uatem his uerbis:
2 Alloquere Zorobabelem Salathielis filium, Iudaeae praetorem, et Iosuam Iosedeci filium pontificem, reliquumque populum in haec uerba.
3 Qui uestrum superstites uiderunt aedem istam in sua gloria pristina, cum eam nunc uidetis, nonne uobis uidetur esse nihil?
4 Atqui fortis esto, o Zorobabel, inquit Ioua: fortis esto, o Iosua Iosedeci fili, maxime pontifex: fortis esto omnis regionis populus, inquit Ioua, et agite:
5 nam ego uobis adsum, inquit armipotens Ioua, quemadmodum uobiscum pactus sum, cum ex Aegypto migrassetis, manetque inter uos meus spiritus: ne metuite.
6 Sic enim dicit armipotens Ioua: Propediem erit cum ego coelum, terram, mare, siccumque commouebo,
7 cunctasque gentes commouebo, ita ut auide ueniant gentes omnes, istamque aedem replebo gloria, dicit armipotens Ioua.
8 Meum est argentum, meum est et aurum, inquit armipotens Ioua.
9 Maior erit istius posterioris aedis gloria, quam prioris, dicit armipotens Ioua: et in loco isto dabo pacem, inquit armipotens Ioua.
10 Uigesima quarta noni mensis, anno Darii secundo, Ioua cum Haggaeo uate uerba fecit in hunc modum.
11 Sic dicit armipotens Ioua: Interroga de lege sacerdotes,
12 si quis carnem sacram in uestis suae gremio tulerit, et tangat gremio suo panem, aut pulmentum, aut uinum, aut oleum, aut quemuis cibum, an id consecretur? Non consecratur, inquiunt respondentes sacerdotes.
13 Et Haggaeus: Quid si exequiis pollutus, quiduis istorum tetigerit, idne polluetur? Polluetur, inquiunt respondentes sacerdotes.
14 Tum Haggaeus: Eadem est mihi istius populi, eadem gentis ratio, inquit Ioua: eadem et omnium eorum operum ratio, ut quod accedunt, id impurum sit.
15 Quamobrem animaduertite ab hodierno die superius tempus, cum nondum lapis lapidi impositus esset in Iouae cella,
16 cum quidem ita se res haberet, ut cum tanquam ad uicenarium aceruum ueniretur, esset denarius: cum in torcular ad hauriendas quinquaginta amphoras ueniretur, essent uiginti:
17 cum ego uos, hoc est, omnia manuum uestrarum opera, ardore, rubigine, grandine peterem, nec ad me uos conuerteretis, inquit Ioua.
18 Animaduertite supra hodiernum diem, hoc est, animaduertite a uigesimo quarto die mensis noni, quo die fundata est Iouae cella,
19 cum scilicet adhuc sunt in uaginis semina, nec dum uites, aut ficus, aut punicae, aut oliueta tulerunt, ab hoc die foecunditatem dabo.
20 Item Haggaeum denuo allocutus est Ioua, die mensis uigesima quarta, his uerbis:
21 Alloquere Zorobabelem, Iudaeae praetorem, in hunc modum: Ego coelum terramque commouebo,
22 et regnorum solium euertam, perdamque extraneorum regnorum robur et quadrigas, et earum uectores euertam, faciamque ut cadant et equi et equites, alii aliorum gladiis.
23 Eo tempore, inquit armipotens Ioua, asciscam te, mi Zorobabel Salathielis fili, inquit Ioua, et pro anulo habebo: quoniam te delegi, inquit armipotens Ioua.</text>
      <sha1>ryg7k82bteegzq1gfwe2181j8vt8ou5</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Contemplationes Metaphysicae/Querela poetae</title>
    <ns>0</ns>
    <id>78868</id>
    <revision>
      <id>281328</id>
      <parentid>259709</parentid>
      <timestamp>2026-09-19T08:47:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Coronus Tenebrosius</username>
        <id>31709</id>
      </contributor>
      <origin>281328</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1967" sha1="car9idbephk10x1xajej82pm12nyfpf" xml:space="preserve">{{titulus2
|Scriptor=Coronus Tenebrosius
|OperaeTitulus=Contemplationes Metaphysicae
|OperaeWikiPagina= 
|SubTitulus=Querela poetae
}}

{{Liber
|Ante=Intermissio lyrica
|AnteNomen=Contemplationes Metaphysicae/Intermissio lyrica
|Post=Majores mei
|PostNomen=Contemplationes Metaphysicae/Majores mei
}}
&lt;poem&gt;

Marulus, Zoranichius,

Marinus Drusius,
  
Hectorovicius atque Gundulius, 
  
poetae nostri antiqui sunt.&lt;ref&gt;'''[[Marcus Marulus]] Spalatensis''' (Marko Marulić, 1450–1524) — poeta et humanista Spalatensis, pater litterarum Croaticarum. Auctor epos Croatici ''Judita'' atque epos Latini ''Davidias''; scriptis christianis Latinis, inter quae ''De institutione bene vivendi per exempla sanctorum'', famam internationalem adeptus est.

'''Petrus Zoranichius Iadrensis''' (Petar Zoranić, 1508 – ante 1569) — scriptor Iadrensis, auctor romanzi ''Planine''(1536), primi operis narrativi prosaici Croatici.

'''Marinus Drusius Ragusinus''' (Marin Držić, 1508–1567) — comoediographus et poeta Ragusinus, praestantissimus inter auctores Renascentiae Croaticae.

'''Petrus Hectorovicius Pharensis''' (Petar Hektorović, 1487–1572) — poeta Pharensis, auctor operis ''Ribanje i ribarsko prigovaranje'' (''Piscatio et piscatorum colloquia'').

'''[[Ioannes Gundulius]] Ragusinus''' (Ivan Gundulić, 1589–1638) — poeta Baroci Ragusinus; Croatice scripsit; habetur poeta barocensis Croaticus praestantissimus; auctor epici carminis ''Osman'', comoediae pastoralis ''Dubravka'', atque poematis ''Suze sina razmetnoga''.
&lt;/ref&gt;
  

Praeter paucos doctos,
  
rarus est qui eos curet.
  

In schola discendi sunt,
  
sed nemo rogat
  
quo tendat, quo tendat
  
onustus ille cursus,
  
quo eat, quo eat 
 
navis nostra nova.


&lt;/poem&gt;
&lt;hr&gt;

=== Notae ===
&lt;small&gt;&lt;references /&gt;&lt;/small&gt;


{{Liber
|Ante=Intermissio lyrica
|AnteNomen=Contemplationes Metaphysicae/Intermissio lyrica
|Post=Majores mei
|PostNomen=Contemplationes Metaphysicae/Majores mei
}}</text>
      <sha1>car9idbephk10x1xajej82pm12nyfpf</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281329</id>
      <parentid>281328</parentid>
      <timestamp>2026-09-19T08:49:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Coronus Tenebrosius</username>
        <id>31709</id>
      </contributor>
      <origin>281329</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2018" sha1="abvz5h92i0elronjob27i8h9s4rwbbs" xml:space="preserve">{{titulus2
|Scriptor=Coronus Tenebrosius
|OperaeTitulus=Contemplationes Metaphysicae
|OperaeWikiPagina= 
|SubTitulus=Querela poetae
}}

{{Liber
|Ante=Intermissio lyrica
|AnteNomen=Contemplationes Metaphysicae/Intermissio lyrica
|Post=Majores mei
|PostNomen=Contemplationes Metaphysicae/Majores mei
}}
&lt;poem&gt;

Marulus, Zoranichius,

Marinus Drusius,
  
Hectorovicius atque Gundulius, 
  
poetae nostri antiqui sunt.&lt;ref&gt;'''[[Scriptor:Marcus Marulus|Marcus Marulus]] Spalatensis''' (Marko Marulić, 1450–1524) — poeta et humanista Spalatensis, pater litterarum Croaticarum. Auctor epos Croatici ''Judita'' atque epos Latini ''Davidias''; scriptis christianis Latinis, inter quae ''De institutione bene vivendi per exempla sanctorum'', famam internationalem adeptus est.

'''Petrus Zoranichius Iadrensis''' (Petar Zoranić, 1508 – ante 1569) — scriptor Iadrensis, auctor romanzi ''Planine''(1536), primi operis narrativi prosaici Croatici.

'''Marinus Drusius Ragusinus''' (Marin Držić, 1508–1567) — comoediographus et poeta Ragusinus, praestantissimus inter auctores Renascentiae Croaticae.

'''Petrus Hectorovicius Pharensis''' (Petar Hektorović, 1487–1572) — poeta Pharensis, auctor operis ''Ribanje i ribarsko prigovaranje'' (''Piscatio et piscatorum colloquia'').

'''[[scriptor:Ioannes Gundulius|Ioannes Gundulius]] Ragusinus''' (Ivan Gundulić, 1589–1638) — poeta Baroci Ragusinus; Croatice scripsit; habetur poeta barocensis Croaticus praestantissimus; auctor epici carminis ''Osman'', comoediae pastoralis ''Dubravka'', atque poematis ''Suze sina razmetnoga''.
&lt;/ref&gt;
  

Praeter paucos doctos,
  
rarus est qui eos curet.
  

In schola discendi sunt,
  
sed nemo rogat
  
quo tendat, quo tendat
  
onustus ille cursus,
  
quo eat, quo eat 
 
navis nostra nova.


&lt;/poem&gt;
&lt;hr&gt;

=== Notae ===
&lt;small&gt;&lt;references /&gt;&lt;/small&gt;


{{Liber
|Ante=Intermissio lyrica
|AnteNomen=Contemplationes Metaphysicae/Intermissio lyrica
|Post=Majores mei
|PostNomen=Contemplationes Metaphysicae/Majores mei
}}</text>
      <sha1>abvz5h92i0elronjob27i8h9s4rwbbs</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Biblia Sacra interprete Sebastiano Castellione/Jonas</title>
    <ns>0</ns>
    <id>84810</id>
    <revision>
      <id>281248</id>
      <parentid>275409</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T16:03:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ionas Callensis</username>
        <id>33010</id>
      </contributor>
      <origin>281248</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6358" sha1="6yhdyqta83gg758ckzzupv2fbc42vha" xml:space="preserve">==CAPUT I==

1 Jōnae Amittaeī fīliō mandāvit Jova ut ad Ninivēn maximam illam urbem proficīscerētur,
2 et adversus eam praedicāret ejus scelera in Jovae cōnspectum ascendisse.
3 At Jōnās fugiendī Jovae grātiā in Ciliciam īre contendit, et ad Joppēn dēscendit; nāvemque nactus quae in Ciliciam īret, datō naulō cōnscendit ut cum illīs in Ciliciam Jovam dēvītāns pervenīret.
4 Sed Jova tantum ventum in mare concitāvit, tantaque tempestās in marī coorta est, ut nāvis propemodum rumperētur.
5 Quārē perterritī nautae suum quisque deum invocāre, et levandī nāvigiī grātiā jactūram facere; cum Jōnās intereā dēgressus ad nāvis latera, cubāns dormīret.
6 Quem aggressus nāviculārius sīc alloquitur: ‘Quid dormīs? surge, invocā Deum tuum, sī forte dūcet nostrī ratiōnem Deus, nē pereāmus.’
7 Deinde inter sēsē ita dictitāre: ‘Agite, jaciāmus sortēs, ut sciāmus ecquis nōbīs hujus malī causa sit.’ Itaque jēcērunt sortēs; cumque dēsignāsset sors Jōnam, sīc cum eō ēgērunt:
8 ‘Expōne nōbīs quamobrem hoc nōbīs malī acciderit; quae sit ars tua, unde veniās, cujās sīs, et unde gentium.’
9 Quibus ille respondit sēsē Hebraeum esse, et Jovam caelestem Deum reverērī quī mare terramque fēcisset.
10 Hīc hominēs, postquam eum Jovae cōnspectum fugere ex ejus indiciō cognōvērunt, eum ingentī metū perculsī sīc alloquuntur:
11 ‘Cūr istud fēcistī? Quid nōs tibi faciēmus ut nōbīs placētur mare?’ nam mare magis magisque aestuābat.
12 Quibus ille ‘Tollite mē,’ inquit ‘et in mare dēicite; ita vōbīs plācābitur mare. Sciō enim ego vōs meā causā hāc tantā tempestāte vexārī.’
13 At hominēs ad terram ērēmigāre cōnārī; quod cum nōn possent, proptereā quod glīscēbat in eōs assiduē maris tempestās, Jovam ejusmodī verbīs implōrārunt:
14 ‘Quaesumus tē, Jova, nē propter hujus hominis animam pereāmus, nēve ā nōbīs sanguinis innocentis poenās repetās; nam tū, Jova, arbitrātū tuō facis.’
15 Deinde sublātum Jōnam in mare dējēcērunt, atque id saevīre dēsiit.
16 Itaque hominēs Jovam magnō metū reveritī, Jovae sacrificium fēcērunt vōtaque nuncupārunt.
17 Praeparāverat autem Jova ingentem piscem ad Jōnam absorbendum; cujus in piscis ventre fuit Jōnās trēs diēs ac trēs noctēs, et in eō piscis ventre Jovam Deum suum precātus est hīs verbīs:

==CAPUT II==

1 ‘Tē ego, Jova, in meīs angustiīs invocō, et tū mihi exōrāris, meam ex Orcī ventre ōrantis vōcem audiēns.
2 Equidem ubi tū mē in medium maris profundum praecipitāstī, cum fluctibus obruerer et tōtīs tuārum undārum gurgitibus opprimerer, vidēbar mihi abs tuīs oculīs fugātus.
3 “Scīlicet” inquiēbam “tuam sacram cellam adhūc revīsam,
4 cum aquā lētāliter circumfluar, profundō adobruar, capite vorticibus circumvolūtō subter īma montium dēferar,
5 et terrae claustrīs aeternum obstruar: et tū meam scīlicet vītam, Jova mī Deus, ab interitū extrahēs?”
6 Igitur mihi ita animum dēspondentī tū in mentem, Jova, vēnistī; et mea ad tē precātiō in tuam sacram cellam pervēnit.
7 Quī nēquitiae vānitātem retinent, iī suam relinquunt clēmentiam.
8 At ego cum vōce grātiārum āctiōnis tibi sacrificābō, et quae vōverō praestābō: ab Jovā salūs est.’

==CAPUT III==

1 Tum piscis Jovae jussū Jōnam in terram ēvomuit;
2 et Jova Jōnae iterum mandātum dedit ut ad Ninivēn magnam illam urbem proficīscerētur, et id in eam prōclāmāret quod ipse eī praecipiēbat.
3 Itaque Jōnās Ninivēn ex Jovae mandātō profectus est.
4 Erat autem Ninivē urbs dīvīnae magnitūdinis, trīduī iter patēns.
5 In hanc urbem Jōnās ubi prōcessit ūnīus iter diēī, prōclāmāvit fore ut post quadrāgintā diēs Ninivē ēverterētur.
6 At Ninivītae Deō fidem habentēs jējūnium prōclāmāre, et centōnēs summī juxtā īnfimīque induēre.
7 Eā rē ad Ninivae rēgem perlātā, surrēxit ex soliō, et dēpositō īnsignī suō operuit sē centōne, et sēdit humī;
8 jussitque rēgis et ejus prīmōrum dēcrētō per Ninivēn praedicārī ac prōnūntiārī nē hominēs nēve pecora, sīve majōra sīve minōra, quicquam gustārent, nēve pāscerentur aut aquam biberent.
9 Tum illī hominibus pariter ac pecudibus, centōnēs indūtīs, Deum vehementer implōrāre, et sēsē ā prāvīs suīs mōribus et injūstitiā quam exercuerant revocāre,
10 sī forte reconciliātus Deus sēsē continēret, et ab īrae suae fervōre retraheret, atque ita fieret ut nōn perīrent.
11 Itaque Deus, vīsīs eōrum factīs quī sē ā prāvitāte mōrum āvocāssent, cohibuit sē; et ā poenā, quam in eōs irrogāre statuerat, abstinuit.

==CAPUT IV==

1 Ea rēs ūsque adeō Jōnae displicuit ut īrātus Jovam in haec verba ōrāret:
2 ‘Ō Jova, nīmīrum hoc meum dictum fuit cum in meā patriā essem; ideōque in Ciliciam aufugere praeoccupābam, quī scīrem tē Deum esse exōrābilem ac misericordem, ad īram tardum, multaeque clēmentiae, et ā suppliciīs abstinentem.
3 Quamobrem, Jova, aufer quaesō hanc animam ā mē. Nam mē morī quam vīvere melius est.’
4 At Jova eum interrogāvit rēctēne īrāscerētur.
5 Igitur ēgressus ex urbe Jōnās, ad urbis orientem cōnsēdit, factō sibi illīc umbrāculō sub quō in umbrā manēret, dōnec vidēret quid urbī accideret.
6 Praeparāverat autem Jova Deus cucurbitam quae, superscānsō Jōnā, ejus capitī praebēret umbram, eumque ab incommodō dēfenderet; quā cucurbitā Jōnās magnopere gāvīsus est.
7 Sed praeparāvit item Deus vermem sub ortum aurōrae postrīdiē, ā quō perstricta cucurbita exāruit.
8 Deinde sōl exortus, inductō dīvīnitus Eurō penetrābilī, Jōnae caput feriēbat, adeō ut aestuāns mortem ōrāret, mortem sibi quam vītam potiōrem dīcēns.
9 Tum Deus ‘Satisne rēctē’ inquit Jōnae ‘propter cucurbitam īrāsceris?’ ‘Rēctē’ inquit ille ‘īrāscor, vel ad mortem.’
10 Et Jova ‘Ergō tū cucurbitae causā moveāris,’ inquit ‘quam nec ēlabōrāstī nec auxistī; quae ūnā nocte orta, ūnā nocte periit?
11 ego nōn movear ob Ninivēn, tantam urbem, in quā sunt plūs quam centum vīgintī hominum mīlia, quī dexteram suam ā sinistrā dignōscere nōn nōrunt, et tam multa pecora?’</text>
      <sha1>6yhdyqta83gg758ckzzupv2fbc42vha</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>De situ Chroatiae Albae sive Magnae</title>
    <ns>0</ns>
    <id>85608</id>
    <revision>
      <id>281239</id>
      <parentid>281238</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T12:24:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Coronus Tenebrosius</username>
        <id>31709</id>
      </contributor>
      <comment>/* 17. Chroati in Ucraina (Russia Kioviensi) et Albichroati in Polonia meridiana — duae gentes separatae atque distinctae? */</comment>
      <origin>281239</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="85239" sha1="2k3ezd3qctb7hazqdiyk4vmrn2kzdjb" xml:space="preserve">[[Coronus Tenebrosius]]

= DE SITU CHROATIAE ALBAE SIVE MAGNAE =


== 1. Introductio ==

Vetustissimus fons historicus, qui de adventu Croatarum in hodiernam patriam deque regione unde profecti sunt narrat, est opus imperatoris Byzantini&lt;ref&gt;
Nomina historiographica Byzantium, Imperium Byzantinum atque Imperium Romanum Orientale
a recentioribus historicis inducta sunt, ut facilius designaretur civitas quae post annum 476
unica pars Imperii Romani superstes mansit, potestate politica, administrativa et militari.
Imperator Constantinus circa annum 330 novam urbem condidit, Constantinopolim,
in loco veteris coloniae Graecae Byzantion, unde etiam nomen Byzantii ortum est.
Civitas fere mille annos (476–1453) exstitit atque regiones hodiernae Graeciae et Asiae Minoris
complexa est. Religio publica orthodoxa erat, et saeculo VII lingua Graeca locum linguae Latinae
tamquam linguae officialis occupavit. Nomen publicum civitatis erat Graece
''Basileia tōn Rhōmaiōn'', Latine autem ''Imperium Romanum''.
&lt;/ref&gt;
Constantini VII Porphyrogeniti (905–959), quod titulo Latino ''De administrando imperio'' inscribitur. Opus Graece primum conscriptum est, sed titulum Latinum ''[https://archive.org/details/porphyrogenitus-1967-dai/page/153/mode/2up De administrando imperio]''
posteriores Europae editores et curatores ei attribuerunt.&lt;ref&gt;
Primum opus ''De administrando imperio'' typis editum Ioannes Meursius anno 1611 curavit. Hic autem textus Latinus hodie ad usus investigationis academicae non adhibetur, cum multas errores atque deviationes contineat.
Vide editionem digitalem:
[https://archive.org/details/constantiniimper00cons ''Constantini Imperatoris Porphyrogeniti De administrando imperio'' (textus Latinus, 1611)].
&lt;/ref&gt;

Imperator Constantinus librum suum commentarium esse voluit atque fidelem notitiarum thesaurum de populis et regnis vicinis, destinatum filio suo minori et heredi Romano (938–963). Ex ipsis testimoniis operis colligitur librum inter annos 948 et 952 compositum esse, unde annus circiter 950 vulgo pro tempore originis ponitur.

Capita tricesimum et tricesimum primum operis ''De administrando imperio'' (breviter: DAI) continent ''origo gentis'' Croaticae, id est narrationem de origine populi. Croatae non sunt solus populus Slavicus qui traditionem de “terra unde venerunt” ad sedes hodiernas conservat.&lt;ref&gt;
Traditio Bohemica quoque narrationes de origine gentium servat (ut in Chronico Dalimiliano,
saeculo XIV conscripto). Nestor, chronicarius Kioviensis (fine saeculi XI et initio XII),
primam historiam de origine Slavorum exhibet. Priscam sedem gentis in regione Danubiana
constituit, unde, secundum eum, Slavi sub pressione Vlahorum sive Volohorum
(forsitan Romanorum, qui ad terras medii et inferioris Danubii advenerunt; attamen fieri potest
ut ad Celtas sive Gallos referatur, quorum expansio saeculo IV a. Chr. n. facta est)
versus septentrionem migraverint, in loca circa Vistulam sita.
Nestor affirmat ex ea migratione ortos esse Ljahos sive Lahi (Lehos), id est
gentes Slavicas Polonicas, atque ex iis Radimicios et Viaticios, populos Slavicos orientales.
&lt;/ref&gt;
Attamen narratio Porphyrogeniti de origine et adventu Croatarum ad Adriaticum, in duabus versionibus exposita, multis differentiis atque contextu historico certo (Avaris, imperatore Heraclio /610–641/) a ceteris huiusmodi traditionibus Slavicarum gentium discrepat.

'''De appellatione “Chroatia Alba sive Magna”
'''

Notio “Chroatia Alba sive Magna”, quae etiam in titulo huius operis posita est, ex ipso Porphyrogeniti libro proficiscitur, ubi in extremo capitis XXXI haec leguntur:

'''''Ὅτι ἣ μεγάλη Χρωβατία, ἣ καὶ ἄσπρη ἐπονομαζομένη, ἀβάπτιστος τυγχάνει μέχρι τῆς σήμερον, καθὼς καὶ οἱ πλησιάζοντες αὐτὴν Σέρβλοι.''

Quod Latine reddi potest:

'''''Quoniam Chroatia Magna, quae etiam Alba appellatur, usque in hodiernum diem abaptista permanet, sicut et Serbli, qui ei proximi sunt.''

Nonnulli auctores atque investigatores, qui Porphyrogeniti textum diligenter tractaverunt, existimant vocem Graecam ἡ μεγάλη praeter sensum proprium “magna” etiam significationem “vetus” habere potuisse, fortasse sub influxu usus Latini vocabuli maior (cuius significatio est: 1. maior, 2. natu maior, id est senior).

Nam in ethnographia Byzantina adiectivum μεγάλη non solum magnitudinem, sed etiam vetustatem significare solet, id est regionem primigeniam et matrem. Hoc sensu cum Latino maior congruit, qui in scriptis geographicis et ethnographicis Romanis frequenter in sensu “antiquior”, “primigenius”, “originarius” adhibetur. Quam ob rem pars investigatorum censet vocem Porphyrogeniti ἡ μεγάλη Χρωβατία interpretandam esse ut “Chroatia primigenia” sive “vetus Chroatia”, non autem necessario ut “magna” in sensu spatii vel amplitudinis.

Hic propositum est, ex iis quae in fontibus historicis continentur (varia documenta, chronica atque annales), locum geographicum Chroatiae Albae sive Magnae determinare. 

Ad hanc rem perficiendam, praeter testimonia de Chroatis 
in documentis et scriptis historiographicis expressa, 
adhibebimus quoque cognitiones ex toponymia, hydronymia, 
anthroponymia, necnon inventa recentioris linguisticae 
atque archaeologiae.&lt;ref&gt;https://hal.science/hal-02902087/file/Kazanski_Archaeology-Slavic%20Migrations_2020.pdf&lt;/ref&gt;


&lt;center&gt;
[[File:Location of White Croatia and White Serbia in 560.jpg|700px
|alt=Tabula situs Chroatiae Albae et Serbiae Albae circa annum 560
|Tabula situs Chroatiae Albae et Serbiae Albae circa annum 560 secundum fontes aevi medii]]
&lt;/center&gt;

== 2. De administrando imperio: Caput XXX (pars de Chroatis) ==


'''Οἱ δὲ Χρωβάτοι κατῴκουν τηνικαῦτα ἐκεῖθεν Βαγιβαρείας, ἔνθα εἰσὶν ἀρτίως οἱ Βελοχρωβάτοι.
'''Μία δὲ γενεὰ διαχωρισθεῖσα ἐξ αὐτῶν, ἤγουν ἀδελφοὶ πέντε, ὁ τε Κλουκᾶς καὶ ὁ Λόβελος καὶ ὁ Κοσέντζης καὶ ὁ Μουχλώ καὶ ὁ Χρωβάτος, καὶ ἀδελφαὶ δύο, ἡ Τούγα καὶ ἡ Βουγά, μετὰ τοῦ λαοῦ αὐτῶν ἦλθον εἰς Δελματίαν, καὶ εὗρον τοὺς Ἀβάρεις κατέχοντας τὴν τοιαύτην γῆν.
'''Ἐπὶ τινὰς οὖν χρόνους πολεμοῦντες ἀλλήλους, ὑπερίσχυσαν οἱ Χρωβάτοι, καὶ τοὺς μὲν τῶν Ἀβάρων κατέσφαξαν, τοὺς δὲ λοιποὺς ὑποταγῆναι κατηνάγκασαν. Ἐκ τοτέ οὖν κατεκρατήθη ἡ τοιαύτη χώρα παρὰ τῶν Χρωβάτων, καὶ εἰσὶν ἀκμὴν ἐν Χρωβατίᾳ ἐκ τῶν Ἀβάρων, καὶ γινώσκονται Ἀβάρεις ὄντες.

'''Οἱ δὲ λοιποὶ Χρωβάτοι ἔμειναν πρὸς Φραγγίαν, καὶ λέγονται ἀρτίως Βελοχρωβάτοι, ἤγουν Ἄσπροι Χρωβάτοι, ἔχοντες ἴδιον ἄρχοντα· ὑπόκεινται δὲ Ὧτῳ, τῷ μεγάλῳ ῥηγὶ Φραγγίας, τῆς καὶ Σαξίας, καὶ ἀβάπτιστοι τυγχάνουσιν, συμπενθερίας μετὰ τοὺς Τούρκους καὶ ἀγάπας ἔχοντες.

'''Ἀπὸ δὲ τῶν Χρωβατῶν, τῶν ἐλθόντων ἐν Δελματίᾳ, διεχωρίσθη μέρος τι, καὶ ἐκράτησεν τὸ Ἰλλυρικὸν καὶ τὴν Παννονίαν· εἶχον δὲ καὶ αὐτοὶ ἄρχοντα αὐτεξούσιον, διαπεμπόμενον καὶ μόνον πρὸς τὸν ἄρχοντα Χρωβατίας κατὰ φιλίαν.
&lt;ref&gt;Editio Graeco‑Anglica: Constantine Porphyrogenitus, De Administrando Imperio, ed. Gyula Moravcsik, vers. Anglica Romilly Jenkins, Dumbarton Oaks Texts I, Washingtoniae, 1967 (repr. 1993).&lt;/ref&gt;

Translatio nova Latina (secundum textum Graecum):&lt;ref&gt;Translatio a Coronō Tenebrōsiō facta.&lt;/ref&gt;

Chrovati&lt;ref&gt;Translitteratio Latina. Porphyrogenitus scribit '''Χρωβάτοι''', quod Latine translitteratur ut '''Chrobatoi'''; ob vitacismum autem β ut [v] pronuntiatur, unde lectio ['''Hrovatoi'''], formae Croaticae hodiernae '''Hrvati''' (nom. pl.) proxime respondens. Forma ''Croati'' (nom. pl.) ex antiquiori forma ''Chroati'' orta est (cf. dux Chroatorum in [[Privilegium ducis Tirpimiri]]), quae ipsa a primigenio ''Chrovati'' provenit. Sonus autem /v/ in Latino saepe omittitur in adaptatione vocabulorum externorum, unde transitus '''Chrovati'' → ''Chroati'' → ''Croati'''.

In linguis Slavonicis occidentalibus et orientalibus variae formae radicis occurrunt: in linguis Polonica, Ucrainica, Russica frequentissima est forma '''Horvati''' (radix ''hor-''), dissimilis occidentalibus formis '''hro-, cro-, chro-, kro-''', quae in linguis Germanicis et Romanicis praevalent. Haec permutatio vocalis /o/ explicari potest per phaenomenon phonologicum '''metatheseos liquidae''', quo vocales locum permutare possunt, cum iuxta liquidas /r/ vel /l/ consistant. '''Metathesis liquidae''' fuit communis et actuosa mutatio phonologica in antiquioribus periodis formationis linguarum Slavonicarum.

'''In linguis Slavonicis orientalibus''' (Russica, Ucrainica) '''metathesis liquidae''' nonnumquam ad phaenomenon '''plērophoniae''' (punoglasje) duxit, quo vocalis /o/ duplicatur: ''glova → golova; *gord → gorod → grod''. Quaedam formae in linguis Bohemica et meridiano‑Slavonicis '''ad quantitativam vocalis productionem''' evolverunt, ut in exemplo ''grod → grad''. Eiusmodi leges phonologicae verisimiliter etiam in evolutione ethnonymi '''Horvat → Hrovat → Hr’vat''' operatae sunt.

In regionibus Croatiae septentrionalibus ('''dialectus kajcavicus''') frequens erat forma '''Horvat''', dum in Dalmatia ('''dialectus chakavicus''') forma '''Harvat''' adparebat. Utraque forma ex antiquiori '''H’rvat''' (ubi ’ = semivocalis, ''jer'' in lingua '''paleoslavica''' et in lingua '''Slavica ecclesiastica antiqua''') derivata esse censetur. In lingua Croatica hodierna, intra fines '''dialecti Shtokavicorum''', evoluta est forma hodierna '''Hrvat'''.&lt;/ref&gt; autem eo tempore habitabant trans Bagibareiam, ubi nunc sunt Belochrovati (Albocroati).
Una autem gens ab eis seiuncta, quinque scilicet fratres Klukas, Lobelos, Kosentzes, Muchlo et Chrobatus, itemque duae sorores Tuga et Buga&lt;ref&gt;Nomina Croatorum e textu Graeco translitterata sunt: Klukas, Lobelos, Kosentzes, Muchlo, Chrobatus, Tuga, Buga.
Proposita lectio ad normam phoneticam: [Klukas, Lovelos, Kosenzis, Muhlo, Hrovatos, Tuga, Buga].&lt;/ref&gt;, cum suo populo ab illis discedentes, in Dalmatiam venerunt ibique Avaros invenerunt terram illam obtinentes.

Cum vero inter se per aliquot annos bellarent, Croatae superiores facti sunt: quosdam Avarorum trucidarunt, reliquos autem ad dicionem redigere coegerunt.
Ex eo igitur tempore ea regio a Chrovatis possessa est; suntque adhuc in Chrovatia quidam Avarorum posteri, qui Avaricam originem ostendunt.

Reliqui autem Chrovatī apud Franciam manserunt, et nuncupantur hodie Belochrovatī, id est Albi Chrovatī, proprium principem habentes. Subiciuntur vero Otoni, magno regi Franciae atque Saxoniae, et inconditi (i.e. nondum baptizati) sunt, affinitates cum Turcis (id est: cum Hungaris) contrahentes atque amicitias cum eis colentes.&lt;ref&gt;Porphyrogenitus vocabulum Turcos ad Hungaros refert (circa annum 950), more Byzantinorum saeculi X, qui gentem Hungarorum nomine ''Τούρκων'' appellare consueverant.&lt;/ref&gt;

Ex Chrovatīs autem, qui in Delmatis advenerant, pars quaedam seiuncta est, atque occupavit Illyricum et Pannoniam; habent autem et ipsi principes suae potestatis, qui tantum ad principem Chrovatiae amicitiae causa legatos mittunt.

== 3. Analysis et interpretatio: Quid est Bagibareia? ==

'''Chrovati autem eo tempore habitabant trans Bagibareiam, ubi nunc sunt Belochrovati (Albocroati).

Multi investigatores putant “Bagibareiam” revera esse Bavariam. Alii autem monuerunt “Bagibareiam” Bavariam esse non posse, cum imperator Porphyrogenitus in ceteris operibus suis ad designandam Bavariam alio nomine utatur; in opere ''De thematibus'' Porphyrogenitus pro Bavaria voce Graeca ''Baioure'' utitur; idem monuit etiam Stephanus Krizin Sakač in opere Constantini ''De caerimoniis aulae Byzantinae''.&lt;ref&gt;Sakač, ''De origine Caucasico‑Iranica Croatorum'', in: Croati usque ad saeculum VII, Zagrabiae 2000.&lt;/ref&gt;

Quoad vocabulum Bagibareia, haec cognoscenda sunt. In lingua Graeca antiqua littera β (Latine translitterata ut B, b) sonum /b/ repraesentabat; sed mutationes phonologicae in Graeco sermone vivo effecerunt ut in aevo Byzantino medio sonus /b/ in vocabulis Graecis ut /v/ pronuntiaretur: quod “vitacismus” appellatur.

Scriptores autem aetatis Byzantinae, cum sonum /b/ in vocabulis externis et nominibus exprimere vellent, littera β adhuc saepe utebantur; demum postea paulatim adhiberi coepit combinatio litterarum mp ad sonum /b/ notandum, ut in exemplo tituli Croatici “ban”, qui Graece ut &quot;mpanos&quot; scribitur.&lt;ref&gt;Kinnamos, secretarius imperatoris Manuelis Comneni (1143–1180), solus praeter Porphyrogenitum est Graecus qui banum memorat; eum scribit ut ''mpanos''. Etiam in lingua Neo‑Graeca sonus /b/ per coniunctionem litterarum &quot;mp&quot; exprimitur.&lt;/ref&gt;

Porphyrogenitus igitur in scriptis suis littera β (B, b) adhuc utitur ad utrumque sonum exprimendum: et ad sonum /v/ et ad sonum /b/. Exemplum huius duplicis usus litterae β est nomen quod pro Croatis scribit: ''Chrobatoi'', quod sane legi debet ut ''Hrovatoi''.

Praeterea altera mutatio phonologica, quae in lingua Graeca aetate Byzantina facta est, fuit conversio veteris Graeci coetus phonici /gi, ge/ in sonum /j/; exempli gratia, vox antiqua ''hagia'' Byzantino tempore pronuntiatur ut [aja]. Itaque etiam in vocabulo ''Bagibareia'' possibilis est lectio [''Bajvaria''].&lt;ref&gt;Praesertim, si monophthongizationem diphthongorum Graecorum veterum consideremus, quae plerumque efficiebatur aequatione valoris phonici ad secundum elementum diphthongi (hoc in casu: ei → /i/). Quare in voce ''Bagibareia'' lectio [''Bajvaria''] ex pronuntiatione orta est.&lt;/ref&gt;

Si possibilitatem consideremus auctorem partis de Chroatis in capite XXX ab auctore capitis XXXI diversum esse, tum fieri potest ut ille secundus auctor alio nomine pro Bavaria usus sit quam ipse Porphyrogenitus, qui in scriptis suis “Baioure” pro Bavaria adhibet. Nihilominus non est necesse omnino de altero auctore aut de interpolatione posteriore cogitare: prorsus fieri potest ut ipse imperator in archivis suis duo diversa relationes scriptas de Chroatis habuerit easque simpliciter transcripserit.

Altera possibilitas significationis nominis “Bagibareia” esset nomen montis “Babja gora” (Graece: Babeia oreia), quod Constantinus, sive scriptor capitis XXX, ad auris perceptionem accommodavit et ita consignavit. In mundo Slavico hodie plures montes nomine Babja gora exstant, quorum unus maior est [https://en.wikipedia.org/wiki/Babia_G%C3%B3ra Babia Góra] in triquetro Poloniae, Bohemiae et Slovaciae.

&lt;center&gt;
[[File:8maja2006 babiagora 035.jpg|600px|alt=Babia Góra|Babia Góra – conspectus e parte Polonica]]
&lt;/center&gt;

== 4. Thesis de Chroatia Alba in territorio Carinthiae mediaevalis, id est provinciae hodiernae Austriae Kärnten ==

Iam saeculo XIX interpretes et commentatorum Porphyrogeniti, ut Arminius Pavić (1844–1914), existimaverunt ''Bagibareiam'' significare “Babja gora”; Pavić autem putavit eam montem in hodierna Slovenia esse, trans flumen Cupam situm. Ex quo sequeretur Chroatas ante adventum in Dalmatiam in provincia Norico, sive in mediaevali Carantania&lt;ref&gt;Latine: ''Carantania'' sive ''Carentana'' sive ''Carinthia''; lingua Germanica: Kärnten, lingua Croatica: Koruška, in Austria australi.&lt;/ref&gt;, habitasse, ubi testatum est exsistere toponyma nomen Chroatarum continentia, necnon totam regionem latiorem circa oppidum ''Klagenfurt'', quae in veteribus tabulis geographis ''Crowati'' appellatur.&lt;ref&gt; Tabula geographica – Spruner–Menke Atlas (In Nomine Jassa): [https://i0.wp.com/www.jassa.org/wp-content/uploads/2020/07/BRIGHT.png Spruner–Menke Atlas]&lt;/ref&gt;
&lt;ref&gt;Pagina de toponymia Slavica in regionibus Bavariae, Austriae, Carinthiae: [https://www.jassa.org/?p=16812]&lt;/ref&gt;

Hoc sententiam Armini Pavić postea quoque secuta est praeclara historica Croatica Nada Klaić, quae putavit ipsam veterem Carantaniam esse “Magna sive Alba Chroatia” de qua opus ''De administrando imperio'' narrat.&lt;ref&gt;Nada Klaić (1920–1988), historica Croatica; vide [https://en.wikipedia.org/wiki/Nada_Klai%C4%87 paginam Anglice in Vicipaedia].&lt;/ref&gt;

At vero, secundum data in capite XXXI de situ Chroatiae Albae inter Franciam ad occidentem, Hungaros ad meridiem atque Pecenegos ab oriente eos impetentes, necnon de intervallo triginta dierum itineris a mari, Carantania nullo modo his duobus criteriis respondet: proximum enim mare Carinthiae est Hadriaticum, ad quod profecto non sunt triginta dies itineris; item Carantaniam non Pecenegi ab oriente oppugnabant, sed solum Hungari ex eadem parte eam invadere poterant.

'''Haud dubium est nonnullos Croatas in regione Carantaniae veteris consedisse; attamen haec regio nullo modo esse potest “Alba sive Magna Chroatia” Constantini Porphyrogeneti, ut imaginata est Nada Klaić, quare hanc opinionem omnino reiciendam esse censemus.'''

Notandum est migrationem Chroatarum in provinciam Romanam Dalmatiae, quam Porphyrogenitus in capite XXXI ''De administrando imperio'' sub imperio Heraclii (610–641) collocat, tempore congruere cum nonnullis aliis eventibus historicis: cum obsidione Constantinopolis anno 626 ab Avaris, Slavis et Persis frustra tentata, cum morte Baiani kagani, 
necnon cum ortu primae magnae Slavicae formationis politico‑militaris, regni Samonis in media Europa, in regionibus quae hodie Bohemia, Moravia atque terra Lusatiensium Serborum sunt.  

Sub ductu Samonis, is militaris foedus gentium Slavicarum feliciter et contra Francos ad occidentem, et contra Avaros ad orientem pugnavit. Bella Samonis adversus Avares in [[Chronicum (Fredegarius)|Chronico Fredegarii Scholastici Burgundiae]], capitulis XLVIII–XLIX, exponuntur;
bella vero adversus Francos in capitulo LXVIII. 

Num fortuitum est Chroatas, ut Porphyrogenitus tradit, 
eo ipso tempore, circiter annum 630, advenisse, cum potestas Avarorum labefactaretur et regnum Samonis in ascensu esset?

&lt;center&gt;
[[File:Croats, Carantania and Samo's realm after 631 AD.jpg|frame|Tabula ostendit situm Chroatarum et Carantaniae ad regnum Samonis post annum 631.]]
&lt;/center&gt;

Problematica de praesentia Croatarum in Carinthia tractata est in articulo suo [http://periodica.fzf.ukim.edu.mk/godzb/GZ09(1956)/GZ09.04.%20Antoljak,%20S.%20-%20Hrvati%20u%20Karantaniji.pdf Hrvati u Karantaniji] a historico Croatico Stjepano Antoljak.&lt;ref&gt;Stjepan Antoljak (1909–1997), historicus Croaticus; ''Hrvati u Karantaniji'', 1956, Facultas Philosophica Scopii.&lt;/ref&gt; Ex concordantia toponymorum Dalmatiae septentrionalis et Liburniae cum iis Carantaniae veteris, Antoljak statuit Croatas non ex Carantania in Dalmatiam, sed e Dalmatiis postea in Carantaniam venisse.

Problematica de vetere Carantania late et diligenter tractata est a historicis Slovenis: Bogo Grafenauer, Ljudemisl Hauptmann et Milko Kos.&lt;ref&gt;Bogo Grafenauer (1916–1995), historicus Slovenus, de Carantania et Slavis eius regionis multa scripsit: vide [https://en.wikipedia.org/wiki/Bogo_Grafenauer Bogo Grafenauer].&lt;/ref&gt;

'''Kosentzes/Kosenzis ex ''De administrando imperio'' et ordo ''kosezorum'' Carantaniae veteris 

Nomen unius ex quinque fratribus, qui Croatas in meridiem ad Dalmatiam deduxerunt, Kosentzes sive Kosenzis, quod in opere ''De administrando imperio'' Constantini Porphyrogeneti occurrit, cum nomine '''''kosezi''''', ordinis liberorum nobilium bellatorumque Carantaniae veteris coniungi solet.

In Slavica Carantaniae principatu (hodie Austria australis) ab saeculo VIII usque ad XV peculiarem locum obtinebat ordo hominum, qui '''''kosezi''''' vocabantur (item ''kosegi, kasezi '' etc.).

'''''Kosezi''''' proprii erant Carantaniae mediaevalis: nobilitas hereditaria e structura praefeudali, gentilitatis atque territorii orta. Erant liberi bellatores, custodes traditionis electionis principis super '''''lapide Krnensi''''' (Germanice:''Fürstenstein'', Slavice:''Krnski kamen'') in campo, ubi post baptismum ecclesia Sanctae Mariae (Germanice: ''Maria Saal'' / Slavice: ''Gospa Sveta'') prope oppidum hodiernum Klagenfurtum exstitit. 

Hoc momentum habet in investigatione migrationum Croatorum, cum una e regionibus centralibus antiquae ''Carantaniae'' esset '''''pagus Chrowati''''' seu '''''Crouuati'''''. 

Nomen kosezi in lingua Germanica reddi solebat ut ''die Edlen'' seu ''Edlinger'' (''nobilis''). Carantania anno 1335 sub dicionem Habsburgorum venit; illi structuram inventam reformaverunt eamque in ordinem feudalem suum inseruerunt. Electio principis super ''lapide Krnensi'' usque ad saeculum XV mansit, cum Habsburgenses ritum participare recusaverunt. 

Ipsum ritum inaugurationis principis descripsit '''Mavro Orbini''', clericus Ragusinus, in opere Italico '''''Il Regno de gli Slavi''''' (1601).

Etymologia nominis ''Kosenzis'': lectio Slavica ad nomen ''kosenc, kosec, kosac'' (lat. faenator) pertinere potest; item lectio Iranica‑Sarmatica ad nomen Kasag (cf. Kasagoi, ethnonymus Adigeorum/Circassorum) non excluditur.

== 5. Thesis de Chroatia Magna sive Alba, in regione ad septentrionem‑orientem Bavariae posita, id est in Germania orientali hodierna circa flumen Albis ==

Identificatio nominis Bagibareia cum Bavaria Stjepanum Pantelić inter alios impulit, ut in libello suo ''Najstarija povijest Hrvata'' (Latine: ''Historia Chroatorum antiquissima'') (Magontiaci, 1993) “Chroatiam Magnam sive Albam” Constantini Porphyrogeniti ad septentrionem Bavariae quaereret, id est in regione Germaniae orientalis hodiernae circa Albim, cum peculiari attentione ad tractum fluminis Salae inter Lipsiam et Hallam.

Stjepan Pantelić (natus 1942 prope Viroviticam) studium theologiae Magontiaci perfecit, unde solida cognitio linguae Latinae et Germanicae ei accessit, quae facultatem praebuit bibliothecas et archiva per Germaniam, aetate ante interrete, diligenter explorandi.

Pantelićus autem, ut historicus, reprehendi potest quod saepe leviter atque praecipitanter conclusiones ac interpretationes protulit sine vero fundamento in fontibus; sicut, verbi gratia, cum magna occidentalis Slavica tribus Abodritos, item eos quos Franci Vilcos (Welatabos sive Lutitios) vocabant, necnon Rugianos sive Ranienses ex insula Rugia in Baltico, simpliciter omnes — nec plus nec minus — Chroatas appellaverit.
&lt;center&gt;
[[File:Lutizenbund.PNG|thumb|900px|alt=Slaveni uz Labi u 10. i 11. stoljeću|''Slavi ad Albim, saeculis X–XI.'' ]]
&lt;/center&gt;


Tamen Pantelićus laudandus est quod in libello suo haud magno (in summa 97 paginarum) copiose locos Latinos ex fontibus mediaevalibus protulit atque in notis sub pagina adduxit, ab Einhardo usque ad epistulas Caroli Magni ad uxorem missas bello contra Avaros gesto, necnon excerpta ex variis chronicis aliisque documentis.

Praeterea investigationem toponymicam in parte orientali Germaniae peragravit, atque offendit loca ''Gross Korbetha'', ''Klein Korbetha'' et ''Korbetha'' (in fontibus Latinis mediaevalibus: ''Chruvati inferior'', ''Chruvati superior'' et ''Chruvati'') inter urbes Lipsiam et Hallam, item oppidum ''Borna'' in circulo Lipsiensi (Pantelić 1993, pp. 24–25). ''Borna'' enim nomen fuit primi ex fontibus Francicis noti ducis Dalmatiae et Liburniae (annis 817–821). &lt;ref&gt;Borna (dux Guduscanorum, dux Dalmatiae, dux Dalmatiae atque Liburniae) in ''Annales regni Francorum'' annorum 818–821 — textus Latinus: [[Annales regni Francorum]].&lt;/ref&gt;

Pantelićus quoque complura exempla antiquae toponymiae Slavicae in regione Germaniae orientalis collegit, inter quae: ''Corwete, Curuadi, Curewate'' (ex Hersfeldensi decimarum indice in Friesenfeldu, exeunte saeculo IX); ''Chruuati'' (apud Thietmarum episcopum in Chronica, saec. X/XI); deinde: ''Borewe, Bukuwiz, Camenitz [Kamenic], Zebegore, Krolevitz, Deliniz'' (cf. ''Delnice'' in Croatia), ''Dobergast, Dobrilug, Drevenitz'' (cf. ''Drvenik'' in Croatia), ''Glina'' (ut ''Glina'' in Croatia), ''Grizlav, List, Brodizi'' (cf. ''Brod'' in Croatia), ''Plawe, Racowe, Ribnitz, Slavi, Slavia, Strela, Cosence [Kosence], Studenik, Stablo, Sporno'', atque ''Lipci'' (Leipzig), etc.

Indubitata est res quod totus tractus Germaniae orientalis ab Odra et Nissa usque ad Albim (Germanice Elbe) atque Salam a gentibus Slavicis inhabitatus erat, ut fontes testantur, iam a temporibus regis Samae (prima medietas saeculi VII).

Eadem autem Slavicae gentes, in maiores foederationes tribuum coalitae, magnam partem autonomam politicam gerebant: modo socii Francorum contra Saxones (aetate Caroli Magni), modo in bellis adversus Francos ac postea reges Germaniae; donec saeculo XII eorum autonomia politica omnino sublata est eisque impositae sunt christianizatio et germanizatio.&lt;ref&gt;[https://web.archive.org/web/20160304131003/http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrons/helmold.htm Helmoldus, *Chronica Slavorum*]&lt;/ref&gt;


Nomina ducum illorum Slavorum inter Odram et Albim indolem quandam communem Slavicam ostendunt: ''Draško/Thrasco, Slavomir, Sedrag, Gostimil, Dobromisl, Dobrimir, Tugomir/Tugumir, Stojnev, Mistivoj, Mistislav, Višedrag, Budivoj, Pribislav, Vratislav, Vislav'', 
etc. 

Quare libellus Stjepani Pantelić ''Najstarija povijest Hrvata'' (''Historia Chroatorum antiquissima'') quasi dux quidam haberi potest per historiam Slavorum Polabensium, quorum solum '''''Lusatici Sorabi''''' usque ad hodiernum diem identitatem et linguam Slavicam servaverunt.

Ut conclusio huius analysis libelli Pantelićiani sumi potest quod haud dubie nonnulli Chroatae in regione circa flumen Salam in Germania consederint; attamen pauca tantum loca minora ibi reperiuntur, quae nullo modo cum illa Porphyrogenetae “Chroatia Magna sive Alba” identificari possunt. Videtur etiam Pantelićus ipse hoc sibi conscius fuisse, quare omnes Slavicos orientalis Germaniae in Chroatas transformare conatus est (quod Chroatomania appellari potest), quamquam ipse fontes mediaevales et locos citatos adducebat qui nomina propria ac peculiaria istarum Slavicarum gentium clare ac indubitanter testantur.&lt;ref&gt;James Westfall Thompson, ''The German Church and the Conversion of the Baltic Slavs'', 
''The American Journal of Theology'', vol. 20, br. 2 (1916), str. 205–230, 
University of Chicago Press. [https://doi.org/10.1086/479673 https://doi.org/10.1086/479673]&lt;/ref&gt;


Addendum quoque est quod et Porphyrogeneta et rex Anglosaxonicus Alfredus Magnus aliique fontes Chroatas Albas in vicinitate immediata Bohemiae collocant (terra Boiki = Bohemia) atque eos ''constanter ad orientem a Serbis Albis ponunt''; quae omnia congruunt cum situ in hodierna Polonia australi atque austro‑occidentali.

== 6. Quaestio de situ ''Illyrici'' Porphyrogeniti ==
=== Caput XXX De administrando imperio: de situ et finibus Chroatiae ceterarumque Sclaviniarum ===

'''''Ex Chrovatīs autem, qui in Delmatis advenerant, pars quaedam seiuncta est, atque occupavit Illyricum et Pannoniam ...''

''Haec Chroatia ceterique Sclavi&lt;ref&gt;Slavi, ut ex scriptis Crnorizci Hrabari, Chronico Nestoris aliisque fontibus apparet, se ipsos Slovene/Slovjene appellabant.
Scriptores autem Byzantini — Procopius, Menander, Theophylactus, Nicephorus aliique — formas Σκλαβηνοί (Sklabenoi), Σκλαβηνούς (Sklabenous) et Σκλαβῖνοι (Sklabinoi) adhibent.
Imperator Constantinus Porphyrogenitus in opere suo De administrando imperio tribus formis utitur:
Σκλαβηνοί (Sklabenoi), Σκλαβοί (Sklaboi) et Σκλαβίνιοι (Sklabinioi).&lt;/ref&gt; hoc modo sunt dispositi: Dioclia ad castella Dyrrhachii accedit, videlicet ad Elisum, Helcinium et Antibarem, atque usque ad Catarum porrigitur; in montibus autem Serbiae finitima est.

''A Catara incipit archontia Tribuniensis, quae usque ad Ragusam extenditur, et in montanis Serbiae contermina est.

''A Ragusa vero incipit archontia Zachumliensis, quae usque ad flumen Narentam porrigitur; ad partem maritimam Paganiae accedit, ad montes autem versus septentrionem Chroatiae finitima est, Serbiae autem opposita.

''A flumine Narenta incipit Pagania et usque ad flumen Cetinam extenditur; tres autem županiae habet, nempe Rastoc, Mocro et Dalen. Ex his duae županiae, id est Rastoc et Mocro, ad mare sitae sunt; hae etiam sagenas (naves longas) possident. Dalen vero longe a mari distat, eiusque incolae agriculturae student atque ex ea vivunt.

''Quattuor insulae Paganiae sunt finitimae: Melita, Corcyra Nigra, Bracium et Pharus, pulcherrimae atque uberrimae, sed urbibus desertis et multitudine paludum refertae. Incolae earum pecora alunt atque ex eis vitam sustentant.

''A flumine Cetina incipit terra Chroatiae et per litus usque ad fines Histriae, id est ad urbem Albona, extenditur. In montanis autem thematem Histriensem aliquatenus superat; apud Cetinam et Hlivnum Serbiae accedit, cum terra Serbiae omnibus aliis terris opposita sit, ad septentrionem Chroatiae, ad meridiem vero Bulgariae finitima.

''Ex quo Sclavi praedicti advenerunt, totam Dalmatiam occupaverunt. Romani autem urbes insularum coluerunt atque ex eis vitam agebant. Sed a Paganis (Neretvanis) cotidie in servitutem abducti et necati, insulas reliquerunt, cupientes in continente agrum colere. In quo eos Chroati impediebant, quia tributum eis non dabant; sed omnia quae hodie Sclavis solvunt, stratego (praefecto Romano) olim tribuebant.

''Cum ita vivere non possent, ad Basilium (Basilio I Macedone, annis 867–886) imperatorem gloriosum accesserunt atque omnia supra dicta ei exposuerunt. Hic imperator gloriosus Basilio praecepit ut omnia quae stratego dari solebant, Sclavis darent, ut cum eis pacifice viverent; parum vero aliquid stratego tribuerent, quo ostenderent suam subiectionem erga imperatores Romanos atque eorum strategum.

''Ex eo tempore omnes illi urbes Sclavis tributariae sunt et eis tributum solvunt:
''Spalatum 200 nomismata, Tragurium 100, Iadera 110, Absorus 100, Arba 100, Curicum 100; ita ut 710 nomismata efficiantur, praeter vinum et alia varia, quae praeter nomismata adhuc dabant.

''Ragusium autem inter duas terras, Zachumliam et Tribuniam, situm est; Ragusini vinea sua in utraque regione habent et archonto Zachumliensi 21, archonto Tribuniensi 36 nomismata solvunt.

In opere '''Thomae Archidiaconi''' ''Historia Salonitana'' (circa annum 1250) legitur '''''regno Chroatorum attribui “totam Maroniam et Chulmiae Ducatum”''''', id est totam '''Naroniae '''sive''' Paganiae '''atque''' Chulmiae (Zachlumiae)''' archontiam.
Hoc territorium hodie utramque ripam fluminis Narentae complectitur.

&lt;center&gt;
[[File:Pagania Zahumlje Travunia Duklja.png|600px|alt=Tabula regionum Chroatiae et Sclaviniarum saeculo IX|Tabula regionum Chroatiae et Sclaviniarum in saeculo IX]]
&lt;/center&gt;


'''Gregorius Barsensis''', notior nomine ''Pop Dukljanin'' ('''Presbyter Diocliae''') , in opere suo Latine conscripto '''''Sclavorum Regnum''''' (saeculo XII) omnes quattuor archontias — '''Diocliam, Tribuniam, Chulmum et Paganian sive Naroniam''', quas memorat Constantinus Porphyrogenitus (saeculo X medio), communi nomine '''''Croatia rubea''''' appellat.&lt;ref&gt;Eduard Peričić, ''Sclavorum Regnum Grgura Barskog /Ljetopis popa Dukljanina'' (''Sclavorum Regnum Gregorii Barsensis / Chronicon Presbyteri Diocliae''), editio “Kršćanska sadašnjost”, Zagrabiae, 1991.&lt;/ref&gt;

Unus ex antiquissimis locis, ubi nomina '''''Croatia alba''''' et '''''Croatia rubea''''' ad Chroatos Adriaticos referuntur, invenitur in opere chronographi Venetiani saeculi XIV, Andreae Dandolo.
Videtur ille textum ''Sclavorum Regnum'' Gregorii Barsensis (saeculi XII) sequi, sed etiam nonnullas additiones proprias inserere.

''Chronica Chroatica'' idiomate chakavico conscripta, quam '''Marcus Marulus''' anno 1500 Latine vertit, solam ''Croatiam Albam'' memorat: “''ab Dalma usque ad Valdeminum Chroatos Albos appellavit, qui sunt Dalmatini Inferiores…''”.

'''Maurus Orbinus''' Ragusinus circa annum 1600, in opere suo panslavistico lingua Italica conscripto, item in quadam versione Gregorii Barsensis innititur atque ''Croatiam Rubram et Croatiam Albam'' nominat.

Ragusinus '''Restius''' quoque, in paginis 25 et 43, nomina “Croazia Bianca, Croazia Rossa” refert.

A libro ''Sclavorum Regnum'' Gregorii Barsensis saeculo XII conscripto (quem Eduardus Peričić cum archiepiscopo Gregorio, persona historice bene documentata, quae archiepiscopus urbis Antibaris fuit — hoc nomine a Bari Italico distinguitur — identificare solet) usque ad opera omnium auctorum posteriorum hic memoratorum, vocabula ''Croatia Alba'' et ''Croatia Rubea'' ad solum Chroatiae Adriaticae spatium referuntur,
non autem ad ''Croatiam Albam'' in Europa septentrionali sitam.

'''''Croatia Alba''''' ad tractum maritimum Chroatiae hodiernae usque ad flumen Cetinam pertinet
(locus ''Dalma'', id est ''Delminium'', caput Delmatorum antiquitus, hodie ''Duvno''), cum '''''Croatia Rubea''''' ad regiones ad meridiem fluminum Cetinae et Narentae sitas referatur, incluso territorio antiquae ''Diocliae'' sive ''Docleae'' (vulgo: ''Duklja''), quod nunc est ''Res Publica Montis Nigri'' (vulgo: ''Crna Gora'' sive ''Montenegro'').

Itaque, secundum relationem Presbyteri Diocliae saeculo XII conscriptam, regiones quae hodie '''Rem Publicam Montis Nigri''' constituunt eo tempore nomine '''Croatiae Rubeae''' appellabantur.

=== Illyricum Porphyrogeniti = Croatia Rubea? === 

Porphyrogenitus narrat partem Chroatorum in Dalmatiam advenientium se segregasse atque Illyrico et Pannonia potitam esse. Quaeri potest utrum hic Porphyrogeniti vocabulum Illyricum ad regionem Croatiae Rubeae pertinere possit, quae in aetate sero‑Romana, a Diocletiano imperatore, nomine Praevalis sive Prevalitana appellabatur.

Nomen ''Illyricum'' per tempora Imperii Romani, ab Octaviano Augusto usque porro, suum ambitum geographicum legitime mutavit. Romani enim sciebant ''Illyrios proprie dictos'' eos esse qui in regionibus hodiernae Montis Nigri atque Albaniae septentrionalis habitabant, contra quorum civitatem bella gesserunt exeunte saeculo III et ineunte saeculo II a.Chr.n.

At vero, Romanorum incursu in terras Delmatorum, Iapodum et Liburnorum, deinde etiam ad septentrionem circa Segesticam (bella Octaviani in Illyrico annis 36/35 a.Chr.n.), totus ille tractus in provinciam Illyricum constitutus est.

Post rebellionem duorum Batonum (annis 6–9 p.Chr.n.) pristinum Illyricum in duas provincias diviserunt: Pannoniam et Illyricum, cuius pars Dalmatia erat.

&lt;center&gt;
[[File:Ancient balkans 4thcentury.png|800px
|alt=Tabula totius Illyrici Romani saeculo IV
|Tabula totius Illyrici Romani in saeculo IV]]
&lt;/center&gt;


Regio mediaevalis Carantaniae, in qua quoque Chroati inter Dravam superiorem et Muram in Austria meridionali hodierna in chartis et documentis memorantur,&lt;ref&gt;Otto I in diplomate anni 954 formulam “in pago Crouuati” adhibet;
Otto II anno 979 scribit “pago Chruuat”, et similia.
Cf. Gluhak, 1990.&lt;/ref&gt;
aetate Romana provincia Noricum fuit, numquam Illyricum;
solummodo reformatione Diocletiani Noricum in praefecturam Illyrici adscriptum est, sed ea partitio administrativa nomina ipsarum provinciarum minime mutavit.

Quare plane excludendum est eos ''Chroatos Carantaniae'', qui sub nominibus ''Crowati'' etc. testantur, Porphyrogeniti Chroatos fuisse qui “in Illyricum” venerint.&lt;ref&gt;S. Antoljak, Lj. Hauptmann et B. Grafenauer putaverunt Porphyrogenitum vocabulo “Illyrici” ipsam Carantaniam intellexisse, quasi pars Chroatorum a Dalmatiae Chroatis secessisset atque ad septentrionem migrasset.
Nos autem tali interpretationi non assentimur.&lt;/ref&gt;

Hic statuimus vocabulum “Illyricum” apud Porphyrogenitum intellegendum esse illud Illyricum quod ad meridiem veteris provinciae Romanae Dalmatiae (sensu strictiore) situm est, id est regiones ad meridiem fluminis Narentae, illum verum et antiquum Illyricum, ubi ''Illyrii propriae dicti'' habitabant.

Hoc territorium saeculo IV administrative ''Praevalitana'' appellabatur, atque in aevo medio ''Dioclia'' imperatoris Porphyrogeniti (saec. X)
et ''Doclea'' Gregorii Barsensis (saec. XII) vocabatur, quod hodie ''Res Publica Montis Nigri'' est.

Ex relatione de situ geographicο archontiarum Slavicarum (quattuor earum ad meridiem ipsius Chroatiae positarum) in capite XXX apparet Chroatos in provinciam Dalmatiae advenisse atque quattuor illis principatibus dominatum imposuisse: Diocliae, Tribuniae, Zachumliae et Paganiae (Neretvanorum).

Tertia vero pars Chroatorum, ut in eodem capite dicitur, ''Pannoniae'' potita est, id est illius partis Pannoniae inter Dravam et Savam sitae, quae est Chroatia septentrionalis hodierna, aetate Romana nomine Pannoniae Saviae nota.

Sunt etiam nonnulli interpretes qui putent Porphyrogenitum, aut scriptorem qui caput XXX composuit vel auxit, vocabulo Illyrici significare regiones hodiernae Liciae aut fortasse interiores Bosnae et Hercegovinae, cum in capite XXX — quod notandum est — terra Bosna (a flumine Bosna dicta) omnino non commemoratur.

At nos hic existimamus scriptorem capitis XXX, ex indiciis geographicis archontiarum Slavicarum, territorium veteris Bosnae strictiore sensu (secundum cursum ipsius fluminis Bosnae) fortasse ut partem Serbiae intellexisse, cum eam nullo nomine designet neque omnino in hoc capite memorare videatur. Porphyrogenitus enim affirmat Chroatiam ad Serbiam accedere apud Cetinam et Hlivnum, in montibus, quod significare potest Chroatiam et Serbiam fortasse ad septentrionem Narentae confinis fuisse, circumvectis principatibus Neretvanorum et Zachumliae.

Regio hodiernae Liciae vix ullo modo pro Illyrico Porphyrogeniti haberi potest, cum totus ille tractus post rebellionem Delmatorum et Pannonum in provinciam Dalmatiae cum Liburnia inclusus sit.

Quapropter hic concludimus unum tantum Illyricum fuisse, praeter Dalmatiae et Pannoniae dominationem, quod Chroati obtinere potuerint: nempe Praevalitanam aetatis sero‑Romanae, quam Gregorius Barsensis, id est Presbyter Diocliae, nomine “Croatiae rubeae” designat.

== 7. De administrando imperio: Caput XXXI (loca ad Albam Chroatiam et ad migrationem Chroatorum pertinentia) ==

''Chroatae, qui nunc Dalmatiam incolunt, oriundi sunt ex Chroatis inbaptizatis, qui etiam Albi vocantur.
Hi trans Turcos (Ungaros) sunt, prope Franciam habitant, finitimi Slavinis, id est Serbis inbaptizatis.

''Isti Chroatae confugerunt ad imperatorem Heraclium priusquam idem facerent Serbi, eo tempore quo Avari Romanos inde expulerunt.

''Cum Romani eodem tempore ab Avaris depulsi essent, terrae eorum vacuae manebant. Iussu igitur imperatoris Heraclii isti Chroatae, arreptis armis, Avaros inde expulerunt atque, secundum imperatoris ordinationem, in terra Avarorum consederunt, in qua nunc habitant.

''Eo tempore Chroatae habebant archontem patrem Porgae. Imperator autem Heraclius misit ex urbe Roma sacerdotes, ex quibus fecit archiepiscopum, episcopos, presbyteros et diaconos, atque Chroatas baptizavit.

''Isti Chroatae habebant illo tempore archontem Porgam.

''Magna Chroatia, quae etiam Alba appellatur, usque in hodiernum diem inbaptizata est, sicut et finitimi Serbi.

''Item minus equitum et peditum producit quam Chroatia baptizata, quia a Francis, Turcis (Ungaris) et Pechenegis assidue depraedatur.

''Nec saginas nec conduras nec naves mercatorias habent, quod mare longe abest.

''A terra eorum ad mare sunt triginta dierum itinera; mare autem quod triginta dierum itinere distat, vocatur Mare Nigrum.

Ad Chroatas spectat etiam locus in '''capite XXXII''', cui titulus est “'''De Serbis et terra quam nunc incolunt”''', ubi legitur:


[[File:Sorbian Polity under Dervan.jpg|center|400px|alt=Karta sorbskog političkog prostora pod Dervanom|''Mappa ditionis Dervani ducis Sorabum (saec. VII).'' ]]


''Serbi, qui nunc eam terram incolunt, oriundi sunt ex Serbis inbaptizatis, qui etiam Albi vocantur, qui domi sunt trans Turcos (Ungaros), in regione quae Boiki appellatur, ubi Franciae fines contingunt, sicut et Magna Chroatia, illa inbaptizata et Alba dicta.

== 8. Analysis et interpretatio capitis XXXI ==

In hoc capite situs Chroatiae Albae ita definitur: trans Ungariam (quae eo tempore primae dimidiae saeculi X etiam Slovaciam complectebatur), prope Franciam, finitima Serbis inbaptizatis. Chroatia Alba a Francis, Ungaris et Pechenegis continenter depraedatur, et mare ad quod descendunt triginta dierum itinere distat.

Ex capite XXXII discimus Serbos Albos domi esse trans Ungaros, in regione quae Boiki appellatur, ubi Franciae fines contingunt, sicut et Magna Chroatia.

Quid igitur de situ Chroatiae Albae ex his omnibus colligi potest? 

Chroati Albi finitimi erant Serbis Albis inbaptizatis.
Initio adtendebamus ad interpretationem secundum quam regio Boiki prope Ungariam ad Boikos Ucrainae referri posset, qui hodie in limitibus Ucrainae ad Slovaciam et Ungariam habitant, sicut olim putavit historicus Vjekoslav Klaić. Verumtamen locutio “ubi Franciae fines contingunt” (quae ad tempus compositionis DAI, circa annum 950, pertinet) nos ab tali expositione removit.

Nam Franciae regnum, id est Germania regis ac postea imperatoris Ottonis I (936–976), numquam ad Carpatas pervenit neque cum eis confinia habuit; quare nomen Boiki ad Boikos Ucrainae referri non potest.

Proinde Boiki Constantini Porphyrogeniti intellegenda est Bohemia, id est regio Cechorum; et notum est Sorabos sive Serbos Lusaticos etiam hodie ad septentrionem Bohemiae consistere.

''“A Chroatis ad mare sunt triginta dierum itinera.”

Ultimus de Chroatis Albis locus in capite XXXI ita habet:

''Magna Chroatia, quae etiam Alba vocatur, usque in hodiernum diem inbaptizata est, sicut et finitimi Serbi. Item minus equitum et peditum producit quam Chroatia baptizata, quia a Francis, Ungaris et Pechenegis continenter depraedatur. Nec saginas nec conduras nec naves mercatorias habent, quod mare longe abest. A Chroatis autem ad mare sunt triginta dierum itinera; mare vero quod triginta dierum itinere distat, Pontus Nigrum appellatur.”

Mare quod regioni Lipsiensi proximum est Balticum; ad illud autem non plus quam quadringenti chiliometrae sunt. Si ponamus coetum hominum pedibus et equis oneratis mediocriter triginta chiliometra per diem conficere, iter quadringentorum chiliometrorum per tredecim dies absolveretur, quod longe ab illis triginta diebus, quos Porphyrogenitus memorat, abest.

At vero iter a triquetro Poloniae, Bohemiae et Slovaciae (ad meridiem et occidentem Cracoviae situm), si cursum Vislae fluminis fere sequatur, ad mare Balticum non excedit octingentos chiliometros; quod, si per triginta chiliometra singulis diebus dividatur, circiter viginti sex dies itineris efficit.

Maior tamen est distantia a Cracovia per Dniestrum ad Pontum Euxinum, quae profecto iter fere triginta dierum praebet. Certe nobis hodie paene impossibile est exacte computare quantum temporis iter a Cracovia ad Balticum vel ad Pontum Euxinum primae dimidiae saeculi X occuparet, cum plerique huiusmodi itineris parametri ignoti sint (pericula viae, semitae mercatorum illius aetatis, et cetera).

Praeterea, interpretes huius loci in litteris historicis non consentiunt ad quod mare Porphyrogenitus precise referat cum dicit “nigrum” vel “obscurum”: utrum ad Balticum an ad Pontum Euxinum. 

Lingüista atque etymologus '''Alemko Gluhak''' in libro suo ''De origine nominis Chroati'' (pp. 120–121) censet “mare nigrum”, ad quod triginta dierum iter esse dicitur, revera Balticum mare significare.

Nam Byzantini mare hodiernum, quod nos ''Mare Nigrum'' appellamus, secundum traditionem linguae Graecae mare ''Pontos Eukseinos'' (''Mare Hospitale'') vocabant. Exsistit autem possibilitas commercii atque transmissionis culturalis, qua ipsum nomen Graecum ''Pontos Eukseinos'', quod olim ''Pontos Akseinos'' (Mare Inhospitale) erat, cuius forma ex voce Iranica ''äxsin'' derivata esse potuerit, postea vero a Graecis in ''Eukseinos'' mutata est.&lt;ref&gt;Vocabulum Osseticum äxsin phonetice [æxˈsin], Avesticum axšaena [axʃaːˈena] profertur; sonus “x” in utroque fricativus velaris surdus est, Croatico /h/ posteriori simillimus.&lt;/ref&gt; Etenim Avesticum ''axšaena'', Osseticum ''äxsin''&lt;ref&gt;radix in lingua palaeoslavica: *''sin’j’'', Croatice: sinje, ut in ''sinje more''&lt;/ref&gt;, quod Latine ''obscurum'' significat, esse potest origo Graeci ''Akseinos''.&lt;ref&gt;Hoc est exemplum quomodo etymologia ex perceptione phonica nasci possit: nam littera transliterata “x” in omnibus linguis Iranicis ut fricativus velaris surdus pronuntiatur (ut Germanice Bach, Scotice loch, Hispanice j in José), numquam vero ut coniunctio /ks/. Graeci autem, audientes Iranicum axšaena vel äxsin, id ad vocem suam áxeinos (“inhospitale, in externos adversum”) adcommodaverunt atque prorsus cum ea consociaverunt.&lt;/ref&gt;

Praeterea notandum est Turcos, qui hodie Minorem Asiam incolunt, mare Mediterraneum more tradito Ak denizi (Mare Album) appellare, quod ad occidentem terrae eorum situm est; illud vero mare, quod in septentrione situm est, Kara deniz (Mare Nigrum) vocant.

Haec indicant Turcos, sicut alios populos stepparum Eurasiarum (inter quos Scythas et Sarmatas Iranicos), colores ad designandos mundi cardines usurpasse: nigrum = septentrio; album = occidens; caeruleum vel viride = oriens; rubrum = meridies.

Ex his igitur sequitur nomen Chroatia Alba “Chroatiam Occidentalem” significare, cum Porphyrogeneti locutio mare nigrum vel obscurum ad Balticum mare referenda sit.&lt;ref&gt;Alemko Gluhak, Porijeklo imena Hrvat, Zagreb, 1990, pp. 120–121.&lt;/ref&gt;

Haec omnia nos ad conclusionem ducunt Chroatiam Albam primae dimidiae saeculi X in circulo gentium Slavicarum occidentalium sitam fuisse, id est in vicinitate Boiki sive Bohemiae, prope Serbos in Germania orientali, inter Ugariam illius temporis (quae Slovaciam et Hungariam complectebatur) et Franciam. Ex his omnibus concluditur Chroatiam Albam in hodierna Polonia meridiana locatam esse.

== 9. De differentiis inter capitulum XXX et capitulum XXXI ==

Communia capitulis XXX et XXXI sunt haec: utrumque commemorat adventum Chroatorum ex Chroatia Alba atque proelium Chroatorum contra Avaros, in quo Chroati Avaros superant. In ceteris autem rebus illa duo testimonia inter se discrepant.

In capitulo XXX narratur fabula de quinque fratribus et duabus sororibus, quae in capitulo XXXI non reperitur.

In capitulo XXX describitur saevitia Francorum erga Chroatos et bellum Chroatorum contra Francos quod septem annos duravit; in capitulo XXXI vero nulla fit mentio dominationis Francorum super Chroatos in Dalmatia. Tantum dicitur Chroatiam Albam prope Franciam sitam esse atque Francos (Germanos) Chroatiam Albam depraedari.

Praeterea, in capitulo XXX dicitur Chroatos in Dalmatia se liberasse a potestate Francorum et accepisse baptismum ex Roma tempore archontis Porini; in capitulo XXXI autem dicitur Chroatos in Dalmatiam venisse iussu imperatoris Heraclii (610–641), quod magni momenti est, cum hoc '''sit unica expressa datatio adventus Chroatorum in fontibus (prima igitur dimidia pars saeculi VII)'''.

Item in capitulo XXXI dicitur Chroatos venisse tempore patris Porgae, et tempore ipsius Porgae archontis baptismum ex Roma accepisse. (Duo nomina diversa, sed aliquatenus similia: Porga – Porin.)&lt;ref&gt;Recentior est inclinatio ut in nomine Porin varietas nominis dei Slavici Perun agnoscatur (Polonice: Piorun); cf. Alimov, 2015.&lt;/ref&gt;


In capitulo XXX saepe memorantur Francia, Franci et rex Otto I; contra, in capitulo XXXI memoratur solum imperator Heraclius eiusque munus, nec Franci ibi apparent, nisi quod Chroatia Alba prope Franciam sita esse dicitur.

Nonnulli interpretes existimant capitulum XXX ab alio auctore compositum esse quam capitulum XXXI. Haec sententia de duobus diversis scriptoribus nititur, inter alia, analysi stilistica quae favet opinioni de duobus auctoribus. Saepe etiam dicitur scriptorem capituli XXX aliis fontibus usos esse quam scriptorem capituli XXXI.

Tamen, ut iam diximus, fieri potest ut ipse imperator Constantinus duas diversas relationes de Chroatis in archivis suis habuerit, quas, cum eligere non posset, ambas inserere statuerit, eas simpliciter transcribens. Videtur tamen relatio in capitulo XXX esse aliena et transcripta, cum relatio in capitulo XXXI fortasse ab ipso imperatore consuta sit.

Capitulum XXXI saepe habetur exemplum apertae propagandae Byzantinae (emphasi posita in munere Heraclii in adventu Chroatorum saeculo VII), cum capitulum XXX putetur repraesentare traditionem popularem Chroaticam de adventu atque memoriam de relationibus cum Francis.

In capitulo XXX Franci exhibentur tamquam crudeles occupatores contra quos Chroati pugnant et vincunt; at re vera scimus solum ducem Pannoniae Liudewitum contra Francos pugnavisse, cum dux Dalmatiae et Liburniae Borna socius Francorum fuerit et adversarius Liudewiti Posaviensis.

A temporibus Liudewiti usque ad compositionem additionis capituli XXX circiter 130–140 anni fluxerunt (si capitulum XXX, ut quidam putant, scriptum est annis 960, tempore quo rex Chroatiae Stephanus Držislav titulum patricii a Byzantino imperatore accepit).&lt;ref&gt;Alimov 2015&lt;/ref&gt;

Nihilominus non consentimus cum opinione quod capitulum XXX necessario tradit “puram” traditionem popularem, cum elementa traditionis popularis in utroque capitulo inveniantur.&lt;ref&gt;Margetić 2001, 127-131&lt;/ref&gt;

In capitulo XXX, ubi Franci saepe memorantur, situs Chroatiae Albae definitur secundum Bagibareiam; in capitulo XXXI situs definitur secundum locum Ungarorum.

In capitulo XXX dicitur Chroatos in Chroatia Alba cum Ungaris foedera et amicitias contrahere; capitulum XXXI autem affirmat Ungaros atque Pechenegos Chroatiam Albam depraedari.

== 10. Thesis de situ Chroatiae Albae in regione Cechiae orientalis, sive in ducatu Slavnikiano ==

Secundum traditionem popularem Cechicam, Cechi in terras hodiernas Cechiae a septentrione venerunt, ubi cum Serbis Albis confinia habebant, atque emigraverunt ut dominationem Serbicam evitarent. Una ex illis traditionibus refert protopatrem Cechum origine fuisse Lehum, eumque ex terra Chroatiae venisse, sicut in ''Chronica Dalimiliana'' saeculi XIV scriptum est. (Haud dubie non ex Chroatia Adriatica, sed ex Chroatia Alba septentrionali.)

Per saeculum XX historiographia Cechica existimavit nonnullos Chroatos inter coetus fuisse qui ad ethnogenesim populi Cechici contulerunt.

&lt;center&gt;
[[File:České kmeny.png |thumb|900px
|alt=Locus Croaticorum gentium in Bohemia saeculo X positus, sed controversus |''Locus Croaticorum gentium in Bohemia saeculo X positus, sed controversus (coloribus caeruleo et flavo signatus), secundum hypothesin de Bohemicis gentibus iam relictam, prout eam interpretatus est Rudolfus Turek anno 1957.'' ]]
&lt;/center&gt;


Secundum fontes Francicos, in Bohemiae territorio parte altera saeculi IX plures duces regnabant (sex duces Bohemici), inter quos primatum tenebat dux Borivoj e stirpe Přemyslidarum, qui christianitatem accepit. Id erat tempus bellorum crebrorum cum Francis (Germanis).

===Theoria, qua ducatus dynastiae Slavnik in Bohemia orientali pro Chroatia Alba habetur===

In historiographia saeculi XX nonnumquam proposita est sententia, ducatus in Bohemia orientali (ad orientem Pragae), cum sedibus in Libice et apud hodiernam Kutna Hora, cuius fines Cosmas Pragensis in ''Chronica Boemorum'' descripsit, fuisse ducatus Chroatiae Albae.&lt;ref&gt;Cosmas Pragensis (1045–1125), sacerdos et primus chronicarius Bohemus, auctor operis historici Chronica Boemorum.&lt;/ref&gt;

Dux partis orientalis Bohemiae (regio ad orientem Pragae circa Libice et Kutnam Horam) medio saeculo X, secundum fontes historicos, Slavnik vocabatur; unde tota familia dynastia Slavnikovica appellatur. 

Unus e filiis Slavniki, nomine Vojtjech (Adalbertus), brevi tempore episcopus Pragensis fuit; postea autem anno 997 in missione evangelizationis apud paganos Prutenos ad litus Balticum occisus est. Vojtjech iam anno 999 sanctus canonizatus est.

Alter filius Slavniki, Sobjeslav, denarium argenteum cudi iussit in monetaria sui sedis Malin (hodie circa 3 km ad septentrionem‑orientem Kutnae Horae).&lt;ref&gt;Inscriptio nummi argentei Sobjeslavi: Malin civitas.&lt;/ref&gt;

Praecipuum domicilium familiae Slavnikovicae erat oppidum munitum Libice nad Cedlinou. Mense Septembri anni 995, in festo sancti Venceslai, oppidum oppugnatum est, et omnes ibi inventi trucidati sunt, ut Cosmas Pragensis vividissimo sermone refert. Solus Vojtjech, qui tum in Italia versabatur, et frater eius Sobjeslav, qui in Saxonia erat, mortem effugerunt. Sic familia ducalis Slavnikovica e historia Bohemica evanuit.

Cosmas autem in sua ''Chronica Boemorum'' numquam aperte affirmat Slavnikum ortu ex Chroatis Albis fuisse. Quare concludendum est sententias de origine dynastiae Slavnik ex Chroatis Albis sine ullo fundamento in fontibus historicis positis.

Redeamus igitur ad quaestionem de situ Chroatiae Albae sive Magnae. Imperator Constantinus Porphyrogenitus, qui opus suum ''De administrando imperio'' circa annum 950 conscripsit, in capite XXXI clare scribit:

''Magna Chroatia, quae et Alba dicitur, necdum usque in hodiernum diem baptizata est.

Hinc sequitur ut Bohemia orientalis, id est ducatus Slavniki, pro Chroatia Alba a Porphyrogenito memorata haberi non possit, cum illa regio tempore quo DAI conscriptum est (circa 950) iam christianitatem recepisset.

Nam et maiores Slavniki, sicut tota Bohemia, per missionem sanctorum fratrum Solunensium, Constantini (Cyrilli) et Methodii, in Ducatum Magnae Moraviae (863–885) evangelizati sunt; cum Bohemia sub duce suo Bořivoj I (circa 852–889) e stirpe Přemyslidarum vasalla Magnae Moraviae fuisset.

Hypothesis saeculis XIX et medio XX exculta, quae nomina atque territoria “gentium Bohemicarum originariarum” retractare conabatur, inter quae etiam sedes Chroatorum in Bohemiam orientalem collocabatur, hodie ob probationum penuriam relicta est. 

Ad ''Encyclopaediam Academicam Historiae Bohemicae'' (2011) historici Dušan Třeštík conclusit Bohemiam aetatis mediaevalis antiquae repraesentatam fuisse a ducibus localibus singulis, qui saepe coniunctim agebant atque fortasse conventus gentiles celebrabant; sed “''quae in fontibus saeculi X et posterioribus pro nominibus gentium habita sunt (Lučané, Lemuzi, Pšowane, Sedličané, Děčané, Litoměřice, Zličané, Hbané aliique nonnulli) nomina sunt regionum, id est appellationes geographicae. Verum nomen gentis est Chroati, sed ii non in Bohemia sedebant, sed alicubi in Silesia''.”&lt;ref&gt;Dušan Třeštík, «České kmeny», in: ''Akademická encyklopedie českých dějin'', 
Historický ústav Academiae Scientiarum Reipublicae Bohemicae, Pragae 2011, pp. 69–70.&lt;/ref&gt;

Itaque locum Chroatiae Albae ulterius quaerere oportet, in regionibus ad septentrionem et orientem Bohemiae sitis.

== 11.Documentum de institutione et finibus Episcopatus Pragensis anno 973 ==

Documenta autem in antiqua Cechia orta nonnullis suis testimoniis utilia indicia praebent de situ Chroatorum Alborum. Sic, verbi gratia, diploma Pragensis anni 1086, quod ad fundationem episcopatus Pragensis anno 973 pertinet, tradit in limite septentrionali episcopatus Pragensis habitasse: 

''Psovane, Ghrvvati et altera Chrowati, Slasane ...''&lt;ref&gt;Cosmas Praguensis, ''Chronica Boemorum'', Lib. II., Cap. XXXVII&lt;/ref&gt;

&lt;center&gt;
[[File:Screenshot_iz_Chronica_Boemorum_Lib.II,_Cap.XXXVII.png|800px|alt=Excerptum e Chronica Boemorum, Lib. II, Cap. XXXVII|''Excerptum e Chronica Boemorum (Lib. II, Cap. XXXVII).'' ]]
&lt;/center&gt;

Chroati in hoc diplomate Pragensi memorati (Ghrvvati et altera Chrowati) inter gentes Bohemiae septentrionalis numerantur, una cum Psovanis; reliquae autem gentes Silesiae sunt: Slasane (circa Wratislaviam), Trebowane (Trzebnica), Dedosane (Żagań / Szprotawa) atque Bobrane (ad flumen Bóbr), quae omnes in parte meridionali‑occidentali Poloniae inter Odram et montes Sudetos sitae erant. Milciani vero ad occidentem memorati erant gens Sorabum Lusaticorum circa urbem Budyšin (Bautzen).

&lt;center&gt;
[[File:BOGUSŁAWSKI(1861)_Das_Siedlungsgebiet_der_Sorben_vom_7._bis_11._Jahrhundert_in_Mitteldeutschland.jpg |thumb|900px
|alt=Tabula de sedibus Sorabum, Chroatorum alborum et gentium Slavicarum |''Tabula de sedibus Sorabum, Chroatorum alborum et gentium Slavicarum (saec. VII–XI).'' ]]
&lt;/center&gt;

Chroati ex diplomate Pragensi (Ghrvvati et altera Chrowati) in ipsa triquetra finium Bohemiae, Poloniae et Germaniae siti erant. Hoc congruit cum assertione imperatoris Constantini Porphyrogeniti, qui refert Chroatiam Albam et Serbiam Albam ad fines terrae Boiki (Bohemiae) attingere, ubi etiam Francorum terminus erat.

In variis codicibus Cosmae Pragensis nomen Chroatorum plurimis formis occurrit: Chrowaci, Chrouuati, Crouati, Crhuati, Hrouati, Chrowati,Ghrouati, Ghrwati,  etc., quae omnes ad ethnonymum Slavicum Hrъvati referuntur.

'''Ex mentione duarum Chroatorum partium in diplomate Pragensi haec concludi possunt: duae gentes Chroatorum in regione Poloniae meridianae certo exstiterunt.

'''Prima pars in confinio Bohemiae et Poloniae, prope Sorabos Lusaticos, habitabat; altera vero orientius sita erat, fortasse in regione Poloniae meridianae circa Cracoviam. 

Cosmas enim solus auctor est qui duplicem Chroatorum praesentiam in spatio Slavico occidentali aperte confirmat.

== 12.Regio Poloniae hodiernae ut area ubi sita erat Chroatia Alba seu Chroatia non baptizata prima parte saeculi X ==

Dissimile a regione Bohemiae, cuius principes iam exeunte saeculo IX fidem christianam acceperunt, annus officialis baptismi Polonorum habetur 966, cum dux Miesco ex gente Piastica principissam Bohemicam Dubravcam in matrimonium duxit. Conditio nuptiarum, quam ipsa principissa (secundum chronicas Polonicas) imposuit, erat ut dux Miesco baptismum susciperet.

Hoc nos ad conclusionem perducit totam regionem Poloniae hodiernae, etiam Poloniam meridionalem atque ducatum Miesconis in Magna Polonia, prima parte saeculi X et adhuc circa annum 950, quo tempore Porphyrogenitus opus suum conscripsit, fuisse non baptizatam. Quapropter haec ipsa regio Poloniae meridionalis et meridio‑occidentalis verisimillimus est locus in quo quaerenda est Porphyrogeniti Chroatia Magna sive Alba.

In altera parte saeculi X regio Poloniae meridionalis (Cracovia) atque meridio‑occidentalis (Silesia) politicae independens erat et extra statum Polonicum Piastidarum. Principes Bohemiae per episcopatum Pragensis conabantur potestatem suam ecclesiasticam, atque eo ipso politicam, in eas terras extendere.

Cosmas, auctor ''Chronicae Boemorum'', aperte tradit provinciam Cracoviensem ab ipso anno 973, quo episcopatus Pragensis conditus est, ad eandem dioecesim pertinuisse, eiusque fines ad orientem usque ad flumina Bug et Stir processisse, deinde ad meridiem versus montes Tatra in hodiernam Slovaciam, quae eo tempore pars Hungariae erat. Iurisdictio ecclesiastica episcopatus Pragensis principibus Bohemicis e gente Přemyslidarum diuturnam auctoritatem politicam pollicebatur, necnon facultatem amplificandi statum circa Cracoviam. Hi autem consilia circa annum 990 corruerunt, cum Miesco I Cracoviam et Silesiam armis occupavit, quo facto ambitiones Bohemicas in Polonia meridionali interclusit.

Dux Miesco I (960–992) anno 966 baptizatus est, et prima dioecesis in Polonia demum anno 1000 in urbe Gneznensi condita est. 

Etiam saeculo XIV custodes urbani Cracovienses vocabantur Charwat.

Initio saeculi XX milia hominum ex regione Cracoviensi in Civitates Foederatas emigrantium in documentis publicis se professi sunt Albos Chroatos (Anglice: White Croats).

Nonnulli investigatores existimant Albos Chroatos latere sub nomine in fontibus tradito Vistulani (Vislani), quod ad plebem in Polonia meridionali circa Cracoviam pertinere videtur, quam memorat Geographus Bavarus.&lt;ref&gt;Janusz Bogacz, Czy jesteśmy Chorwatami? Muzeum Okręgowe w Tarnowie (Tarnów Regional Museum). Dostupno preko Wayback Machine: https://web.archive.org/web/20110717071759/http://www.muzeum.tarnow.pl/wydawnictwa/czytelnia/artykuly/kroacja.htm&lt;/ref&gt;

&lt;center&gt;
[[File:Polska 960 - 992.png|500px|alt=Polonia tempore Miesconis I.|''Polonia tempore Miesconis I (960–992).'' ]]
&lt;/center&gt;

== 13. Alfredus Magnus (circa 890) et Geographus Bavarus (circa 845). ==

Rex Anglo‑Saxonicus Alfredus Magnus in opere quod Geographiam Europae inscribitur (annis 888–893), Orosio innixus, ita scripsit:

''Ad septentrionem et orientem a Moravianis sunt Dalamensae; ad orientem Dalamensarum sunt Horithi (Chroati), ad septentrionem vero Dalamensarum sunt Serviani (Serbi); ad occidentem Silesiani. Ad septentrionem autem Horithorum est Mazovia …

Hic animadvertendum est: si Mazovia (Polonice Mazowsze) ad septentrionem a Chroatis posita est, Chroati igitur in regione Poloniae hodiernae ad meridiem et orientem vergente collocandi sunt.

Alii fontes ibi ponunt coetus qui Vistulani (Vislani) circa Cracoviam appellantur, atque in parte meridio‑orientali Lendiani (Lenđani); utrumque nomen ex locorum indiciis deductum est: Vistulani a flumine, Lendiani (Polonice ''Lędzianie'') a voce Slavica antiqua ''lęda'' (Croatice: ''ledina''), quae significat lētam, id est terram incultam post silvarum excisionem et incendium, ut terras ad culturam pararent.

Fons qui varia Slavorum genera et sedes enumerat, vulgo dictus ''Geographus Bavarus'' (circa 845), Lendizi memorat. Imperator Constantinus Porphyrogenitus eos quoque commemorat sub nomine Lendzanenoi.

Investigatores Polonici, inter quos Tadeusz Lehr‑Spławiński (annis 1950), putaverunt nomen horum Lendianorum originem esse vocabulorum Leh, Lah (pluraliter Polonice Lachowie). Territorium Lendianorum aestimatur ad orientem Vistulae fluminis protendi, circa flumen San, deinde ad Wieprz atque ad Bug.

Nomen fluminis Bug fortasse fontem praebet nomini unius sororum in capite XXX: Buga. Ex fontibus medii aevi noti sunt Buzani (Slavice:Bužani) ut pars Volinianorum, in confinio Poloniae et Ucrainae.&lt;ref&gt;Vjekoslav Klaić: Crvena Hrvatska i Crvena Rusija; Hrvatsko Kolo, Matica hrvatska, Zagreb 1927., str 127-130.&lt;/ref&gt;

In Croatia, in regione Licensi, medio aevo extabat ''pagus Buzka (Bužka)'' sive ''Bužani''; item in Hercegovina ''Buško blato'' (Buzko palus) ad meridiem campi Livaniensis.

== 14. ''Lingones'' in opere ''Historia Salonitana'' Thomae Archidiaconi Spalatensis (circa 1250) ==

Ex nomine Lendianorum verisimile est derivari etiam vocabulum Hungaricum pro Polono: Lengyel, unde proficiscitur nomen quod in opere ''Historia Salonitana'' Thomae Archidiaconi (circa 1250) invenitur: Lingones, in ea parte ubi Thoma scribit de septem vel octo generosa genera ex regionibus Poloniae, ex illis Lingonibus, in Dalmatiam venisse.

Notandum est Thomam Archidiaconum Spalatensem saeculi XIII medio verisimiliter linguam Graecam ignorasse neque opus Constantini Porphyrogeniti (saeculi X) ad manum habuisse; quapropter eius relatio de septem vel octo generosis generibus ex Polonia oriundis testimonium est independens, quod confirmat narrationem de quinque fratribus et duabus sororibus in capite XXX operis ''De Administrando Imperio'' Constantini Porphyrogeniti.

Differentia autem praecipua est quod Thoma Archidiaconus adventum illorum septem vel octo generum coniungit cum aetate regis Ostrogothorum Totilae, qui in prima parte saeculi VI vixit, cum Porphyrogenitus in capite XXXI adventum Chroatorum in primam partem saeculi VII datet.

Notandum praeterea est quod etiam hodie in Polonia meridionali exstant toponyma quae nomen Chroaticum continent, ut ''Chorwatówka, Chorwatowa'', etc.; in Polonia meridionali invenitur etiam flumen ''Tugaj'', cuius nomen memoriam ''sororis Tugae'' ex capite XXX DAI refert. In Polonia vero orientali-meridionali flumen ''Cetynia'' reperitur, quod ad ''Cetinam'' in Croatia refert, dum hydronymum ''San'' ad flumen ''Sana'' alludit.

== 15. Chroati in Nestoris Chronica ==

Opus ''Historia annalium praeteritorum'', sive ''[[Nestoris  Chronica]]'', quod exeunte saeculo XI et ineunte XII a monacho Kioviensi Nestore (+1116) lingua Slavica ecclesiastica conscriptum est, unum ex fontibus gravissimis habetur qui clara testimonia praebent de sedibus magnae gentis Chroatorum in regione quae hodie occidentalis Ucraina est.

''[[Nestoris Chronica]]'', sive Annales, fons praecipuus est ad historiam primam gentium Slavicarum orientalium; attamen idem Chronica simul est una ex fontibus historicis in historiographia Croatica maxime neglectis.&lt;ref&gt;
Plurimae chronicae et annales in terris Slavicis conservatae saeculo XII ortum habent. 
Antiquissima est ''Povest’ vremenych let'' sive ''Nestoris chronica'', Nestoro monacho Kioviensi (mortuo ante annos 1116 vel 1119) adscripta, lingua Slavonica ecclesiastica antiqua conscripta, quae in nonnullis posterioribus exemplaribus et recensionibus servata est.

Vetustissima chronica Polonica est ''Gesta principum Polonorum'' (1112–1118), Latine scripta et Gallo Anonymo tributa. Alter scriptor Polonicus post Gallum fuit Wincenty Kadłubek, qui suam ''Chronicam'' (1190–1208) composuit.

Prima chronica Bohemica Latine conscripta est ''Chronica Boemorum'', a presbytero Cosma Pragensi (1045–1125) redacta.

Inter meridionales Slavos antiquissimum opus conservatum est ''Sclavorum Regnum'', 
Latine scriptum, vulgo ''Ljetopis popa Dukljanina''. A sacerdote catholico ex urbe Baro (hodie in Montenegro) conscriptum est, qui se ipse nomine “Gregorius presbyter Diocleas” profitetur. Opus plerumque ad medium saeculum XII refertur; nonnulli tamen 
investigatores censent id circa annos 1170–1190 compositum esse atque a tunc temporis archiepiscopo Barensi scriptum, de quo plura documenta supersunt, inter quae epistulae et testamentum, quo dona monasterio ''S. Chrysogoni'' Iadertino legavit. Ex his Eduardus Peričić (in: ''Sclavorum Regnum Grgura Barskog'', Zagreb, Kršćanska sadašnjost, 1990.) concludit Gregorium archiepiscopum Diocleae et Barensis ortu Iadertinum fuisse, ibique in dicto monasterio vitam finivisse.

Historici existimant hoc opus fide dignum esse tantum pro rebus a saeculo X incipientibus; quae vero ad priora saecula pertinent aut ficticia aut semi‑legendaria habentur, sicut celeberrima narratio de magno conventu in campo Duvaniensi sub rege Svetopeleco exeunte saeculo IX secundum ipsius operis chronologiam. Opus praeterea incipit indice mythico regum Gothicorum, qui ab saeculo V regiones Balcanicas occidentales tenuisse dicuntur; quodam autem loco Goti simpliciter in Slavos transformantur.

Influentia ''Sclavorum Regni'' magna fuit in chronicis a saeculo XIII usque ad initium saeculi XVII. Videtur hoc opus cognovisse etiam Thomam Archidiaconum Spalatensem (saeculi XIII medii), qui initia praesentiae Slavicae in Dalmatia et Illyrico cum 
rege Gothorum Totila (saeculi VI prima parte) coniunxit; qui tamen, ut constat, Slavos ex Polonia deducere non potuit, cum in Italia natus, vixerit et mortuus sit.

Praestantissimus chronicus Venetiarum saeculi XIV, Andreas Dandolo, opus ''Sclavorum Regnum'' quoque cognovisse videtur, quod ex mentione Chroatiae Albae et Rubrae apparet. Notandum est vocabula “Chroatia Alba” et “Chroatia Rubra” (in ''Sclavorum Regno'' et 
postea apud alios scriptores occurrentia) ad divisionem territorialem Chroatiae Adriaticae pertinere, non ad veterem “Chroatiam Albam” in regionibus Poloniae.

Denique opus ''Sclavorum Regnum'' magnum habuit momentum in opere Mavri Orbinii Ragusini, qui magnum librum historicum ''Il Regno de gli Sclavi'', ideis panslavisticis imbutum, Italice conscripsit et anno 1601 edidit.
&lt;/ref&gt;


Ex historicis Croatis notioribus solus Vjekoslavus Klaić ''Nestoris Chronicam'' diligentius tractavit, quod eius articuli in commentario ''Hrvatsko Kolo'' annis 1927 editis testantur. Ex recentioribus historicis Croatis Neven Budak ''Nestoris Chronicam'' tantum obiter memorat in uno ex libris suis recentioribus. Denique, ''[[Nestoris Chronica]]'' necdum in linguam Croaticam conversa est, nec exstat editio critica huius fontis historici.

In hoc opere exponitur historia rerum gestarum in regionibus quas gentes Slavicae orientales incolebant: a sinu Finnico, lacu Ilmen et Novogardia ad septentrionem, per vallem fluminis Dnepr usque ad Pontum Euxinum. Pars historica Chronicae eventus a saeculo IX deinceps persequitur in regione ubi vasta civitas Slavica sub ducibus dynastiae Rurik, origine Scandinavis, formari coepit. Haec civitas centrum suum principale habebat in urbe Kiovia ad Dneprum, venam quasi vitalem illius partis Europae, atque in historiographia nota facta est nomine Russia Kioviensis.

Nestor enumerat gentes Slavicas quae in illis amplissimis regionibus habitabant. Inter octo gentes quae territorium Ucrainae hodiernae incolebant, etiam Chroatos memorat. Chroati in regione Ucrainae tribus vicibus in opere Nestoris commemorantur: in parte generali capitis IX, ubi dicit… 

''[...] vivebant igitur concordes '''et Polani et Severi et Radimici et Vjatici et Chorvati.''' (2) Dulebi vero habitabant secundum Bugum, ubi nunc Volinienses habitant; Uglici et Tiverci secundum Danastrim habitantes Danubium adtingebant;

bis enim memoratur, ad bella pertinens: in capite XXI de expeditione ducis Kioviensis Olegi in Graecos et Constantinopolim annorum 904–907, ita scriptum est:

''(2) Anno 6415. Igore Kioviae relicto, Oleg magna cum multitudine Varaegorum, Tiudorum, Crivitioruin, Merorum, Polanorum, Severorum, Drevlanorum, '''Radimitiorum, Chorvatorum, Duliborum, Tivertiorum''', de quibus supra mentio est facta quique omnes Scythia magna appellantur, in Graecos profectus est, hos omnes Oleg partim in equis, partim in navibus, quarum duo millia erant, secum duxit; ubi Constantinopolim advectus est, Graeci fretum urbemque clauserunt.

In capite XLV de bellis ducis Kioviensis Vladimiri scriptum est:

''Anno 6501. '''Vladimir contra Chorvatos''' profectus est; cum e '''bello Chorvatico''' reversus esset, Pecenegi ex altera Sulae ripa venerunt.

De his rebus historicus Vjekoslavus Klaić scripsit:

''Haec tria loca in annalibus Nestoris aperte testantur iam multo ante annum 862, deinde per totum saeculum decimum, gentem quandam Slavonicam Chroatorum vixisse; eamque gentem saeculo X magis minusve sub potestate principum Russicorum Kioviensium fuisse, donec sanctus Vladimirus anno 993 bellum Chroaticum in eos movit.

Nestor Chroatos plerumque ante Dulebos (Volinianos), post Radimicos memorat; unde colligitur eos habitasse in vicinia Duleborum sive Volinianorum, id est in parte occidentali hodiernae Ucrainae circa fontes fluminis Bug et superiorem cursum Dniestri, in regione urbium Leopolis, Rohatyn, Halicia et Ternopolia.

&lt;center&gt;
[[File:East Slavic tribes peoples 8th 9th century.jpg|frame|600px|alt=Tabula de tribubus Slavicis orientalibus saeculis VIII–IX|''Tabula de tribubus Slavicis orientalibus saeculis VIII–IX.'']]
&lt;/center&gt;

Tabula tribuum Slavicorum orientalium saeculorum VIII–IX.

== 16. Archaeologica investigationes in Ucraina occidentali ==
 
Opera archaeologorum Ucrainensium ab annis 1960 incohata, atque praesertim per decennia recentiora, in regione superioris Podnestrovia, id est ad ripas Tyratis (circa Dniestrum), reliquias complurium habitationum et castellorum detexerunt, quae ad periodum a saeculo VI usque ad saeculum X pertinent. Effossa archaeologica in Ucraina occidentali annis 1981–1995 facta loca urbium primorum medii aevi in regione trans‑Carpathiae et Podolia occidentali patefecerunt, quae ad saecula IX–XI sunt relata.

Agitur de oppidis munitis variarum dimensionum: 65% eorum superficiem circiter 0,2 hectariorum habebant; 20% circiter 2 hectaria; et circiter 15% superficiem plus quam 2 hectaria.

In regione Prikarpatiae et Podolia occidentali plus quam XXXV urbes repertae sunt, quarum maiores in locis hodie notis ut Plisnesk, Stilsko, Terebovlia, Halicius, Revno, Leopolis, Lukovišče, Rokitne, atque in regione Roztočia sitae erant. Ex his urbibus tantum XII usque ad saeculum XIV supervixerunt.&lt;ref&gt;Cf. Korčinskij, Orest: Bijeli Hrvati i problem formiranja države u Prikarpatju, in: Bijeli Hrvati I, Rijeka 2006 (Latine: De Chroatis Albis et quaestione formationis civitatis in Prikarpatia).&lt;/ref&gt;

UNESCO in opere tutelae hereditatis culturalis atque historicae ''Wooden Tserkvas of the Carpathian Region in Poland and Ukraine'' memorat inventa duorum magnorum “oppidorum”, quorum reliquiae repertae sunt apud vicos hodiernos Pidhoroddya (Latine: Subcastellum) ) et Lykovyšče prope urbem hodiernam Rohatyn, quae ad periodum inter saecula VI–VIII sunt relata, atque cum Chroatis coniunguntur.&lt;ref&gt;Warsaw-Kiew 2011 https://whc.unesco.org/uploads/nominations/1424.pdf&lt;/ref&gt;

Chroatis tribuuntur duo “goroda” (Ucrainice horody) insolitarum dimensionum, in quibus decem milia hominum habitare potuerunt: Plisnesk, amplitudine circiter 450 hectariorum, cum arce et centro cultus pagani, omnibus circumdatum septem lineis defensionis longis et complexis necnon pluribus minoribus vicis in vicinia; inventi sunt etiam plus quam CXLII tumuli (kurgani) qui utrumque genus sepulturae continent: et cremationes et inhumationes.

Locus Plisnesk situs est prope vicum Pidhirtsi, atque ab anno 2015 ut “Reservatum historicum et culturalis” (Ancient Plisnesk) conservatur.&lt;ref&gt;https://www.exarc.org/oam/ancient-plisnesk&lt;/ref&gt;

Locus Stilsko&lt;ref&gt;https://www.megalithic.co.uk/article.php?sid=60576&lt;/ref&gt;, amplitudine 250 hectariorum, cum arce 15 hectariorum, lineis defensionis decem chiliometrorum longitudinis, situs est ad flumen Kolodnica, tributarium Tyratis (Dniestri). Ibi reperti sunt rari exempla architecturae religiosa Slavicae prae‑christianae; quidam coniungunt inventum sacellum cum deo fortasse nomine Hors, qui in quibusdam scriptis mediaevalibus memoratur.

Usque ad annum 2008 in regione Stilsko repertae sunt reliquiae et vestigia plus quam L vicorum aperti generis (sine munitionibus), qui ad periodum inter saecula VIII–X referuntur; item inventi sunt circa CC tumuli (kurgani).

Archaeologi et historici ex his inventis existimant in ea parte Ucrainae ortum esse seriem urbium‑civitatum, similium polis antiquae Graeciae aliisque locis, unde de Chroatis in illa regione loquuntur tamquam de proto‑natione polycentrica, quae in unam maiorem rem publicam non coaluit.

Praeterea ad constitutionem cuiusdam unitariae civitatis Chroaticae in Podnestrovia perveniri non potuit, quod multi loci cinere operti inventi sunt cum manifestis vestigiis magni incendii, quod ad finem saeculi X refertur atque coniungitur cum eventu apud Nestoris chronicon memorato ut “expeditio Chroatica” ducis Volodimeri anno 993.

Eodem tempore, exeunte saeculo X et ineunte XI, Stilsko et Plisnesk desinere coeperunt exsistere. Attamen meminisse oportet hoc tempus esse frequentium bellorum: post mortem ducis Volodimeri (1015) illam regionem Boleslaus Chrobry (992 - 1025), dux Poloniae, invasit atque adiunxit.
&lt;ref&gt;Boleslaus Chrobry ab anno 992 usque ad 1025 Poloniae dux fuit, atque anno 1025 coronatus est rex Poloniae, sed eodem anno obiit.&lt;/ref&gt;

Post hanc autem destructionis aetatem, per saeculum XI in nonnullis locis iterum apparuerunt habitationes quae paulatim creverunt in centra regionalia, sicut iam memoratum Halicium (Galicium), ex quo postea, aetate Austro‑Hungarica, totus ille tractus nomen Galicia accepit.

== 17. Chroati in Ucraina (Russia Kioviensi) et Albichroati in Polonia meridiana — duae gentes separatae atque distinctae? ==

Hic concludi potest atque ex fontibus scriptis (Chronicon Nestoris exeunte saeculo XI et ineunte XII compositum) itemque ex archaeologicis testimoniis praebere de exsistentia gentis nomine Chroatorum in Ucraina per medium aevum antiquum, verisimiliter iam a saeculo VI usque ad eorum inclusionem in Ducatum Russiae Kioviensis saeculo X. 

Confirmationem additicam praebet relatio statistica de incolis Russiae imperialis anno 1861 confecta, in qua legitur in regione Volhinia 17 228 homines se ad gentem Horvatorum pertinere professos esse.&lt;ref&gt;Gluhak 1990. pag. 145; Incertum est utrum hic numerus ad solos viros pertineat an etiam feminas et pueros includat.&lt;/ref&gt;

Documentum quod '''''Privilegium Episcopatus Pragensis''''' anno 1086 confectum est pars est operis Chronica Boemorum (lib.II, capit.XXXVII), a presbytero et historico '''Cosma Pragensi''' exeunte saeculo XI et ineunte XII conscripti. In hoc privilegio refertur de '''fundatione episcopatus Pragensis anno 973 facta''' atque describuntur fines eiusdem ex tempore fundationis, enumeratis omnibus regionibus limitaneis ac gentibus in finibus Episcopatus Pragensis habitantibus. A parte occidentali incipiens, ad septentrionem procedit, deinde ad orientem, ubi affirmatur episcopatum complecti totam regionem ac provinciam circa urbem Cracoviam, atque protendi ad flumina Bug et Stir ad orientem; postea ad meridiem versus Hungaros declinare, ad vertices montium Tatra pervenire, inde Moraviam includere, ac demum ad meridiem cum Bavaria confinia habere (hodierna Austria Inferior, quae illo tempore pars Bavariae erat).

'''''Privilegium Episcopatus Pragensis''''' documentum est quod, independenter a opere ''De administrando imperio'' Constantini Porphyrogeniti, '''confirmat exsistentiam duarum coetuum Chroatorum (Chruuati et altera Chrowati) ad septentrionem Bohemiae in altera parte saeculi X.'''

Chroati in “''Privilegio Episcopatus Pragensis''” memorantur post Psouanos, gentem in septentrionali parte Bohemiae, et in consortio gentium Silesiacarum: Slasanorum (Silesianorum), Boboranorum — gentis circa flumen Bobor (''Bóbr'') in Polonia meridionali-occidentali, Trebowanorum; item commemorantur Milciani, una ex gentibus ''Serborum Lusaticorum'', in hodierna Germania orientali ad triplicem finium contactum Germaniae, Poloniae et Bohemiae.

Locus Chroatorum, quos ''Privilegium Episcopatus Pragensis'' memorat describens fines episcopatus ex anno 973, magna ex parte '''congruit cum descriptione Porphyrogeneti''' (circa annum 950) de situ Chroatiae Albae in capitulis XXX, XXXI et XXXII: '''iuxta terram Boiki (Bohemiam), ubi vicini sunt Albii sive non baptizati Serbi, atque ubi fines attingunt Franciam (Germaniam).'''

''Privilegium'' duas Chroatorum gentes (Chruuati/Ghrwati et altera Chrowati) memorat inter Psovanos et Slasanos positis, quod implicare videtur has duas Chroatorum partes sibi invicem proximas fuisse. Verumtamen id, quod simul commemorantur, fortasse ex ratione mnemotechnica conscriptionis ortum habuit: cum de coetibus eiusdem nominis ageretur, scriptor eos coniunxit, quia ita facilius meminisse poterat. Haud improbabile est inter utramque gentem Chroatorum alia quoque tribus interposita fuisse.

Ita aperitur facultas ut hi “altera Chrowati” orientem versus collocentur, in Polonia meridionali circa superiorem Vistulam et Cracoviam, vel in regione meridionali Poloniae prope triplicem finium contactum Poloniae, Slovaciae et Bohemiae. Talis collocatio huius secundae partis Chroatorum in Polonia meridionali congrueret cum iis quae Porphyrogenitus refert, ubi in capite XXX dicit Albichroatos cum Hungaris amicitia et compaternitate coniunctos esse, atque in capite XXXI eos a Francis, Hungaris et Pecenegis depraedari.

Constat nomades et equestris gentes, quales Hungari et Pecenegi, celeribus ac repentinis incursibus etiam loca satis remota petivisse: meminisse licet ingentes Hungarorum irruptiones in Italiam septentrionalem, ubi exercitum imperiale deleverunt, item in Germaniam (proelium apud Augustam Vindelicorum anno 955) atque usque in Franciam et Burgundiam. Similem equestris impetus rationem, cum direptione et vastatione coniunctam, eo tempore Pecenegi adhibebant. Haud dubium est Pecenegos in quibusdam excursionibus Poloniam meridionalem circa Cracoviam attingere potuisse; attamen primi, qui eis obviam fierent, fuissent Chroati in Ucraina occidentali circa superiorem Dniestrum.

Si Bagibareia in capite XXX De administrando imperio pro Bavaria accipitur (ubi dicitur Albichroatos ultra Bagibareiam habitare), atque si consideretur quod medio saeculo X tota Austria necnon Slovenia sub potestate Bavariae politica erat, tum ex prospectu physico e civitatibus Dalmatiae — verbi gratia ex Iadera — ubi informator Porphyrogeneti de Chroatis habitare potuerit, Chroatia Alba re vera ultra Bavariam sita videbatur.

Ex prospectu autem et situ spectantis Constantinopoli, Chroatia Alba ultra Hungariam posita erat, ut in capite XXXI de Chroatis scribitur, praesertim cum meminerimus Slovaciam hodiernam eo tempore sub ditione Hungarorum fuisse, et fines inter Poloniam meridionalem et Slovaciam montium Tatra iuga constituere.

Omnia quae Porphyrogenitus tradit, una cum testimoniis ''Privilegii Pragensis'', eo ducunt ut Albichroati memorati in amplis regionibus Poloniae meridianae atque meridiano-occidentalis habitasse videantur. Item indicia ostendunt non de uno coetu Chroatorum monolithico agi, sed de pluribus coetibus inter se distinctis.

In documentis publicis gubernii Civitatum Foederatarum, ''United States Congress Joint Immigration Commission'' anno 1911 editis, legitur de milibus immigrantium Polonicorum ibidem natorum circa Cracoviam identitatem ethnicam saepius declarare nomine Bielochrovat (“White Croats”).

'''Existimamus vocabulum “Albichroati” proprie ad eos Chroatos pertinere qui in Polonia meridionali habitabant, occidentalius collocati quam Chroati Ucrainae.

In regionibus ad meridiem Cracoviae situs est numerus hydronymorum et toponymorum vocabulum “albus” continens: flumen ''Biała'', urbs ''Bielsko‑Biała'', aliaque. Accedit quoque sententia de coloribus, qui in quibusdam culturis ad designationem partium mundi adhibentur: albus in culturis nomadum Eurasiae cum parte occidentali coniungitur, niger cum septentrione, ruber cum meridie, caeruleus vel viridis cum oriente. Haec ratio apud gentes Turcicas observata est, sed etiam in scriptis Sinensibus: oriens = viridis vel caerulea (arbor, ver), septentrio = niger (aqua, hiems), occidens = albus (metallum, autumnus), meridies = ruber (ignis et sol).

Neque in mundo Slavico praetermittendum est exemplum nominis ''Belarus'', quod ad litteram significat ''Albarussia'', id est ''Russiam Albam'', quod quoque confirmat rectitudinem sententiae de designatione partium mundi per colores.

Praeterea in lingua Polonica hodierna pro parte mundi “septentrione” non adhibetur vocabulum commune Slavicum (sever / sjever), sed “północ”, quod ad litteram “media nox” significat, id est cum tenebris et obscuritate, nigra colore, coniungitur. Item verbum pro meridie in lingua Polonica est “południe”, ad litteram “media dies”, quod calorem, lucem atque denique colorem rubrum suggerit.

In his exemplis — praesertim ''Bjelohrvati'' sive ''Albichroatorum'' et hodiernae ''Belarus'' sive ''Albarussiae'' — adiectivum “albus” ut signum spatiale‑semanticum orientationis intra orbem Slavicum fungitur, &quot;occidentem&quot; designans.

Quamvis Nestor in sua chronica ''Povest’ vremenyh let'' Chroatos in finibus hodiernae Ucrainae clare memoret, eos tamen epithetis “albos” non designat. 
Attamen uno in loco vocabulum Albichroati adhibet, sed tum eos una cum Serbis et Chorutanis (Karantanis) in eodem coetu recenset: 

“''Post multos vero annos consederunt Slaveni circa Danubium, ubi nunc est terra Hungarorum et Bulgarorum. Ex his Slavenis diffusi sunt per terras […]. Hi sunt ipsi Slaveni: Chroati albi, Serbi et Chorutani.''”

Manifestum est agi de coetibus extra spatium historicum ''Russiae Kioviensis'' sitis, id est ad occidentem eius locatis. Haec distinctio confirmat Chroatos ad Dniestrum, ab Haliciensi regione usque in Podoliam, ut entitatem Slavicam localem perceptos esse, cum nomen ''Albichroati'' ad eas partes spectaret quae occidentalius positae erant — in Polonia meridiana et meridiano‑occidentali: ''Chruuati et altera Chrowati'' ex ''Privilegio Pragensi'', quod Cosmas Pragensis in ''Chronica Boemorum'' (Lib. II, Cap. XXXVII) tradit.

Iam antea, in capite de Bohemia, commemoravimus historicos Bohemos recentiores existimare Chroatos in ''Privilegio Pragensi'' memoratos verisimiliter in finibus Silesiae historicae, in Polonia meridiano‑occidentali, habitasse.&lt;ref&gt;Dušan Třeštík, «České kmeny», in ''Akademická encyklopedie českých dějin'', Historický ústav Academiae Scientiarum Reipublicae Bohemicae, Pragae 2011, pp. 69–70.&lt;/ref&gt;

= =
== Notae ==
&lt;references/&gt;

== Notae ==
&lt;references/&gt;


[[Categoria:Historia]]
[[Categoria:Geographia]]</text>
      <sha1>2k3ezd3qctb7hazqdiyk4vmrn2kzdjb</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Biblia Sacra interprete Sebastiano Castellione/Malachias</title>
    <ns>0</ns>
    <id>85611</id>
    <revision>
      <id>281250</id>
      <parentid>278949</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T16:05:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ionas Callensis</username>
        <id>33010</id>
      </contributor>
      <origin>281250</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7810" sha1="svl50r5eo2fwodtn7n3x6tjpvv640b0" xml:space="preserve">==CAPUT I.==

1 ''Minax oraculum Iouae in Israelitas per Malachiam.''

2 Amaui uos, ait Ioua. Quod si quaeritis in quo uos amauerim, Nonne Iacobi frater erat Esaus? inquit Ioua.
3 Atqui Iacobum amaui: Esaum autem odi, eiusque montes in uastitatem, et possessionem in draconum solitudinem redegi.
4 Quod si decreuerint Idumaei, se, qui peruastati sint, diruta refecturos, sic dicit armipotens Ioua: Quod ipsi construxerint ego euertam, uocabunturque fines impietatis, et populus in quem Ioua saeuit in perpetuum:
5 id quod uos uestris oculis spectantes, dicetis, magnificandum esse Iouam per fines Israelitarum.
6 Filius patrem, et seruus dominum debet honorare. Quod si ego pater, ubi est meus honor? si ego Dominus, ubi est mei metus? inquit armipotens Ioua uobis, sacerdotes, mei nominis contemptoribus.
7 Quod si quaeritis, in quo meum nomen contemnatis, Affertis ad aram meam panem pollutum. Quod si quaeritis in quo me polluatis: in eo, quod Iouae mensam habetis pro despecta.
8 Et quamuis caecam afferatis uictimam, non est malum: quamuis claudam aut aegram, non est malum. Offer eam quaeso praesidi tuo, utrum ei placiturus sis, aut ab eo quod uelis impetraturus, inquit armipotens Ioua.
9 Quamobrem orate praesentem Deum, ut misereatur nostri: qui causa estis, ut uestri rationem non habeat, inquit armipotens Ioua.
10 Quis uestrum est, qui gratis uel fores meas claudat, aramue collustret? Non mihi accepti estis, inquit armipotens Ioua: nec mihi placet ex uestra manu fertum.
11 Nam ab ortu solis ad occasum magnum erit nomen meum apud gentes, et ubique locorum afferetur meo nomini suffitus, fertumque purum: tam magnum erit meum nomen apud gentes, inquit armipotens Ioua,
12 id quod uos profanatis, dum Iouae mensam habetis pro polluta, eiusque uictus prouentum pro despecto:
13 dicitisque, Uah, quam onerosum est? cum id uel difflare possitis, inquit armipotens Ioua: raptaque et clauda et aegra afferatis, fertumque obmoueatis. Scilicet id mihi placebit ex uestra manu? inquit Ioua.
14 At execrabilis est deceptor, qui cum masculum sit in eius grege, tamen uitiosum Iouae uouet ac immolat: nam rex magnus ego sum, inquit armipotens Ioua, meumque nomen apud gentes terribile.

==CAPUT II.==

1 Quamobrem ad uos pertinet hoc praeceptum, sacerdotes,
2 Nisi obediueritis, ac animum ad tribuendam meo nomini gloriam, applicueritis, inquit armipotens Ioua, immittam in uos infelicitatem, uestrasque felicitates infelicitabo, et infelicitabo, quoniam uos non huc animum adiicitis.
3 Ego uobis semen profligabo, conspergamque stercore uestras facies, stercore uestrorum festorum, quod uobis adhaerebit:
4 scietisque me misisse uobis praeceptum hoc, ut mihi cum Leui foedus intercederet, inquit armipotens Ioua,
5 cum quo mihi foedus intercessit uitae atque pacis: quae quidem ei dedi, quia me reuerentia prosequeretur, et meum nomen formidaret.
6 Habuit ueram in ore disciplinam, nec extitit in eius labiis iniquitas: Amice se et recte erga me gessit, et multos auertit a uitio.
7 Nam sacerdotis labra doctrinam custodire debent: estque ab eius ore petenda lex, quippe qui sit armipotentis Iouae nuncius.
8 At uos de uia deflectitis, multos impeditis in lege, corrumpentes Leuiticum foedus, inquit armipotens Ioua.
9 Itaque ego quoque uos toti populo contemptos abiectosque reddam, quandoquidem uos meas uias non tenetis, et in lege habetis personarum rationem.
10 Nonne patrem unum habemus nos omnes? nonne nos Deus unus creauit? cur prodit fratrem frater, profanando nostrum foedus patrium?
11 Proditor est Iudaeus, fitque nefas in Israelitis ac Hierosolymis: siquidem profanat Iudaeus fanum Iouae quod amauit, peregrinique dei puellam maritat.
12 Euertet Ioua uirum qui id fecerit, uigilantem et respondentem ex Iacobeis tabernaculis, et fertum armipotenti Iouae obmouentem.
13 Adde quod efficitis, ut obtegatur lacrymis ara Iouae ploratu ac suspiriis, ita ut non amplius ferta respiciat, neque placamina ex uestra manu admittat.
14 Quaeretis, quamobrem? quoniam Ioua tibi et tuae iuuentutis uxori conscius est, in quam tu perfidiosus es, cum sit tua socia, et tibi foederata coniunx.
15 Quod si unus fecit, qui spiritu abundabat, quorsum allegatur unus ille, qui diuinam progeniem quaerebat? at uos animis cauete, ne in uestrae iuuentutis uxores agatur perfide.
16 Qui odit, repudiet, inquit Ioua Deus Israelitarum: et tegat iniquitatem ueste sua, inquit armipotens Ioua: et cauete animis, ne perfide agatis.
17 Fatigatis Iouam uerbis uestris: quod si quaeritis in quo fatigetis? in eo quod dicitis omnes maleficos placere Iouae, eique acceptos esse: alioquin, ubinam esse Deum aequum?

==CAPUT III.==

1 Ego mittam meum nuncium, qui mihi uiam praeparabit, et repente ueniet in suum delubrum Dominus, quem uos requiritis, foederisque nuncius quem uos auetis: is aduentat, inquit armipotens Ioua.
2 Quis autem eius aduentus diem sustinebit? aut eo apparente consistet? erit enim quasi quidam ignis explorans, aut lanaria fullonia:
3 sedensque explorabit, ac expurgabit argentum, et expurgabit Leuitas, ac tam puros reddet, quam est aurum aut argentum. Itaque Iouae fertum iuste obmouebunt:
4 eritque acceptum Iouae, Iudaeorum ac Hierosolymitanorum fertum, sicut antiquis ac priscis temporibus atque annis.
5 Congrediar autem uobiscum iudicio, eroque celer testis in praestigiatores, in adulteros, in periuros, in eos qui mercede fraudant mercenarios, qui uiduas, qui pupillos, qui peregrinos labefactant, neque me timent, inquit armipotens Ioua.
6 Nam nec ego Ioua mutabilis sum, nec uos Iacobidae finiendi.
7 A maiorum uestrorum tempore deflexistis de meis institutis, nec ea seruastis: redite ad me, et redibo ad uos, inquit armipotens Ioua.
8 Quod si quaeritis, in quo redeatis: debent ne homines defraudare Deum, ut me uos defraudetis? Quod si quaeritis, quonam defraudetis me: decumis ac honorariis.
9 Infelicitate infelices estis, qui me defraudetis uniuersa gens.
10 Inferte totas decumas in cellam, et facite ut sit in aede mea alimentum, ac me in hoc tentate, inquit armipotens Ioua: ni ego uobis, patefactis coeli meatibus ubertatem effundam immensam,
11 et consumentia ita profligabo, ut uobis terrae fruges non corrumpant, nec steriles habeatis ruri uineas, inquit armipotens Ioua:
12 uosque beatos praedicabunt cunctae gentes, qui sitis accepta terra, inquit armipotens Ioua.
13 Uos atrocibus utimini contra me uerbis, inquit Ioua. Quod si quaeritis quid contra me loquamini:
14 dicitis, frustra seruitur Deo: et quid prodest, si eius disciplinam seruemus, aut armipotentis Iouae causa pullati ambulemus?
15 cum superbos beatos feramus, cumque impie agentes instruantur, et licet tentent Deum, euadant.
16 Interim colloquentes Iouae metuentes inter se se attendit auditque Ioua, propositum habens scriptum memoriae librum metuentium Iouam, eiusque nomen habentium in precio.
17 Itaque erunt mihi (inquit armipotens Ioua) tum cum rem geram, peculium, eisque indulgebo, quomodo quis suo filio indulget sibi seruienti:
18 reuersique, iustos ab impiis discernetis, et Deum colentes ab eis, qui eum non colunt.

==CAPUT IIII.==

1 Aduentat enim dies more fornacis ardens, qua erunt omnes superbi, omnesque impie agentes, stipula: eosque uentura dies inflammabit, inquit armipotens Ioua, ita ut eis neque radicem relinquat, neque ramum.
2 Uobis autem meum nomen reuerentibus orietur iustitiae sol, cuius in alis erit sanitas: egressique lasciuietis ut altiles uituli,
3 et obteretis impios, qui puluis erunt sub pedum uestrorum uestigiis, tum cum ego rem geram, inquit armipotens Ioua.
4 Recordamini legem mei Mosis, quam ei in Horebo monte praecepi ad omnes Israelitas, decreta atque iura.
5 Ego uobis missurus sum Eliam uatem, antequam ueniat Iouae dies magna ac terribilis,
6 qui et parentum animos ad natos, et natorum animos ad parentes, conuertat, ne ego ueniam, et afficiam orbem exitio.</text>
      <sha1>svl50r5eo2fwodtn7n3x6tjpvv640b0</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Biblia Sacra interprete Sebastiano Castellione/Joel</title>
    <ns>0</ns>
    <id>85980</id>
    <revision>
      <id>281246</id>
      <parentid>280507</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T15:59:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ionas Callensis</username>
        <id>33010</id>
      </contributor>
      <origin>281246</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8632" sha1="59oaeikx9rganh9rd7ia24000x6ldxc" xml:space="preserve">==CAPUT I.==

1 ''Iouae sermo habitus ad Ioelem Phatuelis filium.''

2 Audite hoc senes, et auscultate, quicunque terram incolitis, ecquid tale fuerit, uel uestris, uel maiorum uestrorum temporibus.
3 Hoc et uos natis narrate uestris, et uestri nati suis, et ipsorum nati posterorum generi.
4 Erucae reliquias consumpsit locusta: locustae reliquias consumpsit taurus scarabeus: tauri reliquias consumpsit rubigo.
5 Expergiscimini ebriosi, plorate et eiulate omnes uini potores, ob ereptum ex ore uestro laticem.
6 Nam inuadit terram meam potens et innumerabilis gens, leonis dentibus, molares habens quales sunt uetuli leoninis,
7 quae uineas meas uastas efficit, ficusque decorticando nudas reddit, ac peruastat, dealbatis earum ramis.
8 Eiula ut centone succincta uirgo, ob iuuentae suae maritum.
9 Sublatum est fertum et libamina ex aede Iouae: lugent sacerdotes Iouae ministri.
10 Uastatus est ager, luget humus, quippe uastatum est frumentum, foedatum uinum, periit oleum.
11 Dispudet agricolas, eiulant uinitores ob triticum atque ordeum: quippe agri messe perdita.
12 Foedatae sunt uineae, periere ficus: punica palma etiam, et malus, breuiter omnes agri arbores aruerunt, foedata humani generis uoluptate.
13 Amicite, et plangite, o sacerdotes: eiulate altaris administri, ite, pernoctate in centonibus, o ministri Dei mei, adempto ex aede Dei uestri ferto ac libamine.
14 Indicite ieiunium, proclamate ferias: conuocate senes, o omnes incolae, in aedem Iouae Dei uestri, et Iouam implorate.
15 O diem: propinquat enim Iouae dies, ab omnipotente uentura, sicuti uastitas,
16 nimirum ante oculos nostros aufertur alimentum ex aede Dei nostri, gaudium ac laetitia.
17 Fracuerunt grana sub glumis suis, destructae sunt cellae, euersa horrea, quippe foedato frumento.
18 O quam ingemiscit pecus: plorant armenta boum, quod carent pabulo: etiam balantum greges mulctantur.
19 Te Ioua inuocabo, quod ignis stationes saltuum consumpserit, et flamma omnes ruris combusserit arbores:
20 ipsaeque adeo terrestres quadrupedes ad te mugient, quod exaruerint aquarum aluei: ignisque mansiones saltuum consumpserit.

==CAPUT II.==

1 Clangite tuba in Sione, strepite in sacro monte meo, contremiscant uniuersi incolae, quoniam aduentat Iouae dies, quoniam propinquat dies tenebricosus ac caliginosus:
2 dies nubilus atque ater. Quam diffunditur supra montes aurora, tam multus potensque populus est, quantus neque fuit unquam, neque post eum ullis seculorum annis futurus est.
3 Ante eum consumit ignis, post eum flamma comburit. Edenensis uiridarii similis est ante eum terra: post eum uasta solitudo: nec quicquam est quod eum euadat.
4 Formam habent equorum formae similem, et sic currunt, ut equites.
5 Qualis est quadrigarum sonitus, sic illi per montium cacumina saliunt: qualis est igneae flammae strepitus, stipulas consumentis,
6 tanquam potens populus ad pugnam instructus, quem tremant populi, omnium uultibus pallorem contrahentibus.
7 Militum more currunt, bellatorum ritu scandunt muros, uadunt sua quisque uia,
8 neque de suis semitis deflectunt, nec alii alios urgent, suo quisque itinere uadunt, ac per missilia illaesi ruunt.
9 Urbem peruadunt, muros percurrunt, scandunt domos, per fenestras intrant ut fures.
10 Eorum aduentu contremiscit tellus, commouetur coelum, sol lunaque obscurantur, et stellae suum splendorem amittunt:
11 et Ioua sonitum edit ante suum exercitum: nam permagnum est eius agmen: nam potentes sunt, qui eius mandatum exequuntur: nam ingens est Iouae dies, et terribilior, quam ut eum quisquam sustineat.
12 Et tamen, inquit Ioua, redite ad me toto pectore, cum ieiunio, ploratu ac plangore,
13 et uestra corda lacerando, non uestes, redite ad Iouam Deum uestrum: nam is est exorabilis et misericors, ad iram tardus, multaeque clementiae qui se ab inferendo malo contineat.
14 Quis scit, an reconciliatus, se cohibeat, relinquatque post illum ubertatem, fertum, uinique libamen Iouae Dei uestri?
15 Clangite tuba in Sione, indicite ieiunium, proclamate ferias, conuocate populum,
16 indicite conuentum, senatores congregate, conuocate paruulos ac subrumes: prodeat et sponsus ex suo penetrali, et sponsa ex thalamo.
17 Inter uestibulum et aram plorent sacerdotes Iouae ministri, dicantque: Habe, o Ioua, tuorum rationem, neue tuam haereditatem probro addixeris, ita ut eis imperent extranei, ne quaeratur apud caeteras nationes, ubinam sit eorum Deus.
18 Ita Ioua suae terrae studio inductus, parcet suis: eisque exoratus, ita dicet.
19 En ego uobis frumentum, mustum, oleumque mittam, quibus satiemini, nec committam amplius, ut probro sitis apud gentes.
20 Septentrionalem autem (qui faciem ad orientale mare, et extremum ad ultimum mare habet) a uobis amouebo, et in inuiam desertamque terram abigam, ita ut putrefactus, foetorem exhalet: tam magna ille faciet.
21 Ne metue, tellus, gesti laetitia: nam magna Ioua faciet.
22 Ne metuite, o terrestres pecudes: nam et saltuosae regiones stirpes edent, et arbores fructus suos ferent: ficus uitesque uim suam exerent.
23 Et uos o Sionii, gestite laetitia in Ioua Deo uestro: dabit enim uobis doctorem ad iustitiam, demittetque et primorem, et seriorem pluuiam in primis,
24 ita ut et areae farre compleantur, et torcula musto et oleo redundent:
25 reddamque uobis annonas, quas comederint locustae centipedae, rubigo et eruca, meus ingens exercitus, quem in uos immisero:
26 comedetisque ad satietatem, et Iouae Dei uestri nomen collaudabitis, qui uobiscum tam mirifice egerit, nec meos pudebit unquam:
27 scietisque me inter Israelitas uersari, me Iouam Deum uestrum, praeter quem nullus sit: nec meos pudebit unquam.
28 Postea autem perfundam omne genus hominum meo spiritu: uaticinabunturque uestri filii et filiae, uestri et senes somnia somniabunt, et iuuenes uisiones uidebunt:
29 quin et seruos et ancillas illis temporibus meo spiritu perfundam,
30 daboque in coelo ac terra prodigia, sanguinem, ignemque, et fumi exhalationem:
31 sol in tenebras uertetur, et luna in sanguinem, antequam ueniat Iouae dies ingens ac terribilis: ac quicunque Iouae nomen inuocauerit, euadet.
32 Siquidem in Sione monte, ac Hierosolymis, erunt qui euadant, quemadmodum promittit Ioua: ac in reliquis, quos Ioua uocabit.

==CAPUT III.==

1 Nam illis diebus, illoque tempore, quo Iudaeos ac Hierosolymitanos captiuos reuocabo,
2 colligam gentes omnes, et in Iosaphati uallem deducam, atque ibi cum eis iudicio contendam de Israelitis meo populo ac haereditate, quos per gentes dissipauerint, meamque terram partiti fuerint:
3 et de meis iacta sorte, pueros cum scortis permutauerint: puellasque uino uendiderint ac potauerint.
4 Uobis quoque quid mecum rei est o Tyre et Sidon, omnesque Palaestinae tractus? Utrum mihi uos refertis an potius confertis? Ego celeriter et cito uestra merita in uestrum caput referam,
5 qui argentum aurumque meum capitis, et bonorum meorum elegantissima quaeque infertis in uestra palatia:
6 Iudaeosque et Hierosolymitanos Graecis uenditis, ut a suis finibus remoueantur.
7 At ego eos ex loco, in quem uos eos uendideritis, excibo, et uobis in caput meritum uestrum rependam:
8 uestrosque natos et natas Iudaeorum opera uendam, qui uendent eos Sabaeis in gentem longinquam: quoniam Ioua loquitur.
9 Proclamate hoc per gentes, bellum indicite, concite milites: accedant, proficiscantur, bellatores omnes,
10 cudite uomeres uestros in enses, et falces in lanceas: dicat se fortem imbellis.
11 Coite et conuenite gentes omnes undique, et eo congregamini, ubi sternet Ioua tuos milites.
12 Concieantur et proficiscantur gentes in uallem Iosaphati: nam ibi sedebo ad iudicandum gentes omnes undique.
13 Immittite falcem, maturuit enim messis: adeste, descendite: nam refertum est praelum, redundant torcula, tanta est eorum improbitas.
14 Turbae, turbae in ualle Seueritatis: nam propinquat Iouae dies in ualle Seueritatis.
15 Sol et luna obscurabuntur, et stellae splendorem suum amittent, et Ioua ex Sione rugiet, ex Hierosolyma sonitum dabit, commouebiturque coelum atque terra:
16 cum tamen Ioua suis erit fiducia, Israelitis firmamentum:
17 scietisque me esse Iouam Deum uestrum, Sionis incolam, mei sacri montis, eritque Hierosolyma sancta, nec amplius eam peragrabunt alieni.
18 Atque eo tempore stillabunt montes laticem, collesque lacte manabunt, et omnes aluei Iudaeae scatebunt aqua, oriente ex Iouae templo fonte, qui flumen Sittim adaquet.
19 Aegyptus erit deserta, et Idumaea erit deserta solitudo, ob inhumanitatem in Iudaeos, qui insontem sanguinem in sua terra fuderint.
20 Iudaea autem semper, Hierosolyma perpetuis habitabitur seculis:
21 eorumque sanguinem expiabo, quos non expiauero, et habitabit in Sione Ioua.</text>
      <sha1>59oaeikx9rganh9rd7ia24000x6ldxc</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Biblia Sacra interprete Sebastiano Castellione/Nahumus</title>
    <ns>0</ns>
    <id>85981</id>
    <revision>
      <id>281247</id>
      <parentid>280522</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T16:00:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ionas Callensis</username>
        <id>33010</id>
      </contributor>
      <origin>281247</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5603" sha1="9z5yqqktsoe2tq21q2xi04ywd0cg9pz" xml:space="preserve">==CAPUT I.==

1 ''Aduersum Niniuae fatum, liber oraculi Nahumi Elcesaei.''

2 Deus aemulus, et ultor Ioua, ultor Ioua et biliosus, ultor Ioua aduersariorum suorum, et iniuriae memor in hostes suos.
3 Ioua ad iram tardus, uiribusque magnus, qui impunitatem non concedat: Ioua is est, cuius uia in procella ac tempestate sit, cuiusque pedum puluis sit nubes.
4 Mare increpando arefacit, omnesque fluuios exiccat: perit Basan et Carmelus, perit et Libani uiriditas.
5 Montes per eum conmouentur, collesque dissoluuntur, et tollitur eius aduentu tellus, orbisque et omnes eius incolae.
6 Eius saeuitiam quis sustineat? aut quis eo ira ardente consistat? fluente ignis ritu eius bile, et cautibus per eum dissilientibus.
7 Bonus est ad firmamentum Ioua aduerso tempore, et sibi confidentes nouit,
8 ac grassante diluuione, tollet eius locum funditus, suosque persequetur tenebris hostes.
9 Quid in Iouam excogitatis? qui sic internecionem facturus est, ut non iteretur angustia.
10 Nam ut perplexae spinae, tum cum madebunt compotatione, consumentur tanquam siccitatis plena stipula.
11 Ex te profectus est excogitator contra Iouam mali, consiliarius nequam.
12 Sic dicit Ioua: Quo pleniore sunt multitudine, eo magis attondebuntur, postquam te illo grassante afflixero, non afflicturus amplius.
13 Iamque eius imposita tibi subiugia rumpam, tuaque uincula abrumpam:
14 ac mandante Ioua de te, non seminabitur tuo nomine amplius: ex aede tui Dei simulacrum excindam, et ex imagine conflata faciam tuum sepulchrum: adeo uilesces.
15 Ecce in montibus pedes nuncii, significantis pacem. Age, Iudaea, tua festa: redde tua uota: nec enim deinceps amplius in te grassabitur nequam, totus excisus.

==CAPUT II.==

1 Expeditionem facit depopulator aduersum te, moliens obsidionem. Speculare uiam: confirma latera: corrobora uires admodum:
2 Ulciscitur enim Ioua adhibitam in Iacobeos superbiam, ut dignum est ulcisci adhibitam in Israelitas superbiam, quippe quos praedones exhauserint, eorumque stirpes corruperint.
3 Eius et heroum clypei rubent, et milites purpurei sunt, taedis ardente curru, tum cum apparatur, tetrisque piceis.
4 Per uicos furiunt currus, per fora collidentes, aspectu facium simili, tanquam fulgura cursantes.
5 Recordatur suorum nobilium: impingunt incedendo properantes ad muros, et parata est testudo.
6 Fluminum ostia panduntur, palatiumque dissoluitur,
7 et Husaba abigitur in exilium, eiusque pedisequae cum uoce columbina ducuntur, sua pectora tundentes:
8 estque Niniue similis aquariae piscinae carentis aqua, illis profugientibus: state, resistite, at nemo respicit.
9 Diripite argentum, diripite aurum, et infinitas opes conditas, splendidissima quaeque tam elegantis supellectilis.
10 Direptio, rapina, depopulatio: corda remollescunt: genua labant: inestque in omnium lateribus cruciatus, et cunctorum facies pallorem contrahunt.
11 Ubi est leonum lustrum? et ipsa scymnorum pascua? quo se leo, leaena, leoninus catulus recipiebant, exterrente nullo.
12 Leo, qui quantum suis catulis satis esset, rapiebat, leaenisque suis strangulabat, et antra lustraque sua rapta praeda replebat.
13 Tibi ego minitor, (inquit armipotens Ioua) incendam fumo currus tuos, scymnosque tuos consumet ensis, et excidam ex terris tuam rapinam, nec amplius tuorum nunciorum uox audietur.

==CAPUT III.==

1 Heu urbem sanguinariam, totam falsam, rapina plenam, indesinente praeda.
2 Sonus auditur scuticae, sonus actae rotae, et quadrupedantis equi, salientisque quadrigae.
3 Elatus ab equite flammat ensis, coruscat hasta, multi caesi, ingens cadauerum uis, infinitaque corpora, adeo ut in eorum corpora impingatur.
4 Propter tot meretricis libidines uenustae ac lepidae, maleficiis usae, quae gentes nationesque suis libidinibus maleficiisque uendidit.
5 En te ego peto, inquit armipotens Ioua: retegam sinus tuos in faciem tuam, uerendaque et obscoena tua gentibus et regnis ostendam:
6 teque, coniectis in te sordibus, ita ignominiose tractabo, ac ostentui exponam,
7 ut te quicunque uiderit, recedat a te, dicatque: Periit Niniue: quis eius uicem dolebit? unde tibi quaeram consolatores?
8 Tune praestantior eris quam populosa Diospolis, in fluminibus sita, aquis circumdata, cuius opes mare, cuius murus erat marinus?
9 Eius robur erant Aethiopes et Aegyptii infiniti, Afrique et Libyes erant in eius auxiliaribus.
10 Tamen ea quoque captiua abiit in exilium: eius quoque et impuberes passim per compita collisi sunt, et de illustribus iacta sors est, et optimates omnes compedibus constricti sunt.
11 Tu quoque inebriata latebis: tu quoque quaeres contra hostem firmamentum.
12 Omnes tuae munitiones ficus erunt cum primitiuis fructibus, qui concussi decidunt in os comesuri.
13 En quos habes uiros, foeminae sunt: hostibus tuis reclusae sunt terrae tuae portae, consumptis igni tuis repagulis.
14 Obsidionalem aquam hauri tibi, confirma tuas munitiones, uade per lutum, intere argillam, tracta figlinam,
15 ibi te et ignis consumet, et gladius perdet: te taurorum scarabeorum more consumet. Esto tam copiosa quam tauri scarabei, tam copiosa quam locustae,
16 mercatores habens coelestibus stellis numerosiores: explicabunt se tauri scarabei, et auolabunt.
17 Eximiis praesidibusque tuis accidet, ut locustis locustariis, quae degentes in sepibus, cum frigus est, orto sole discedunt, ita ut quo loco fuerint, non appareat.
18 Dormiunt tui pastores, o Assyriae rex: iacent tui nobiles: palantur homines tui per montes, nullo colligente.
19 Non languida est tua calamitas: cruciabile tuum uulnus est. Quicunque de te audiunt, de te manus complodunt: ad quem enim non peruenit tuum assiduum malum?</text>
      <sha1>9z5yqqktsoe2tq21q2xi04ywd0cg9pz</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/304</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86089</id>
    <revision>
      <id>281240</id>
      <parentid>281064</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T14:28:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <origin>281240</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3353" sha1="80eaokos0dald7zqauyqehcqspmbw0g" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= 0&lt;/math&gt; ponitur, oriunda, attamen ab hac diversa esse potest. Sit functio illa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X''&lt;/math&gt;, haec &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X'''&lt;/math&gt;; adeoque &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X'''= X'' + hP&lt;/math&gt;, designante &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;h&lt;/math&gt; quantitatem definitam. Ponamus terminos summos in &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X''&lt;/math&gt; esse &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;K' \cos \frac{1}{2} \mu x + L' \sin \frac{1}{2} \mu x&lt;/math&gt;; in &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X'''&lt;/math&gt; autem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;K'' \cos \frac{1}{2} \mu x + L'' \sin \frac{1}{2} \mu x&lt;/math&gt;, ita ut sit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;K'' = K' + hk, L'' = L' + hl&lt;/math&gt;. Iam non difficile est, ex art. 11 vel ex art. 12 demonstrare, si aggregatum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a + b + c + d +&lt;/math&gt; etc. designetur per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;s&lt;/math&gt;, esse &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;K'' \cos \frac{1}{2} s + L'' \sin \frac{1}{2} s = 0&lt;/math&gt;, unde deducitur &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
h  &amp; = - \frac{K' \cos \tfrac{1}{2} s + L' \sin \tfrac{1}{2} s}{k \cos \tfrac{1}{2} s + l \sin \frac{1}{2} s} \\[.5em]
K''  &amp; = \frac{K'l - L' k}{k \cos \tfrac{1}{2} s + l \sin \tfrac{1}{2} s} \sin \tfrac{1}{2} s \\[.5em]
L''  &amp; = - \frac{K'l - L' k}{k \cos \tfrac{1}{2} s + l \sin \tfrac{1}{2} s} \cos \tfrac{1}{2} s
\end{align}
&lt;/math&gt; Haud difficilior demonstratur, esse

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
k = \pm \frac{\cos \frac{1}{2} s}{2^{\mu-1}}, \quad l = \pm \frac{\sin \frac{1}{2} s}{2^{\mu-1}}
&lt;/math&gt;

ubi signum superius valet, quando &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{1}{2} \mu&lt;/math&gt; est par, inferius, quando est impar. Quare in valoribus modo traditis pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;K''&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L''&lt;/math&gt; denominator fit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= \pm \frac{1}{2^{\mu-1}}&lt;/math&gt; adeoque &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
K'' &amp;=\ \ \  (K' \sin \tfrac{1}{2} s - L' \cos \tfrac{1}{2} s) \sin \tfrac{1}{2} s \\
L'' &amp;= -(K' \sin \tfrac{1}{2} s - L' \cos \tfrac{1}{2} s) \cos \tfrac{1}{2} s
\end{align}
&lt;/math&gt;

&lt;br /&gt;
{{center|16.}}

Hactenus tales functiones consideravimus, in quibus tum cosinus tum sinus adsunt: saepissime vero aut hi aut illi absunt, quae functionum genera seorsim tractare conveniet. Utrumque quidem casum ad casum generalem hucusque consideratum reducere liceret; attamen etiam magis e re esse videtur, hanc disquisitionem ad problema art. 3 reducere.

''Primo'', si constat, omnes coefficientes &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\beta', \beta'', \beta'''&lt;/math&gt; etc. in functione &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; (art. 10) esse &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= 0&lt;/math&gt;, multitudo incognitarum ad &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m+1&lt;/math&gt; diminuitur, et proin pro tot valoribus diversis ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; valores respondentes functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; novisse sufficit. Quoniam vero in hoc casu valor functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; non mutatur, si pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; substituitur &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-x&lt;/math&gt;, manifestum est, non solum tales valores ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, quorum differentia peripheriae vel multiplo peripheriae aequalis est, sed tales quoque, quorum summa est 0 vel peripheriae vel multiplo peripheriae aequalis, pro diversis non esse habendos. Aut generaliter, ut duos valores ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; pro diversis habere liceat, cosinus inaequa-&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>80eaokos0dald7zqauyqehcqspmbw0g</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281241</id>
      <parentid>281240</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T14:32:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281241</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3354" sha1="cmq25ogc1fdz09fl50sp6qrw9gswu7n" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= 0&lt;/math&gt; ponitur, oriunda, attamen ab hac diversa esse potest. Sit functio illa &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X''&lt;/math&gt;, haec &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X'''&lt;/math&gt;; adeoque &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X'''= X'' + hP&lt;/math&gt;, designante &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;h&lt;/math&gt; quantitatem definitam. Ponamus terminos summos in &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X''&lt;/math&gt; esse &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;K' \cos \frac{1}{2} \mu x + L' \sin \frac{1}{2} \mu x&lt;/math&gt;; in &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X'''&lt;/math&gt; autem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;K'' \cos \frac{1}{2} \mu x + L'' \sin \frac{1}{2} \mu x&lt;/math&gt;, ita ut sit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;K'' = K' + hk, L'' = L' + hl&lt;/math&gt;. Iam non difficile est, ex art. 11 vel ex art. 12 demonstrare, si aggregatum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a + b + c + d +&lt;/math&gt; etc. designetur per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;s&lt;/math&gt;, esse &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;K'' \cos \frac{1}{2} s + L'' \sin \frac{1}{2} s = 0&lt;/math&gt;, unde deducitur &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
h  &amp; = - \frac{K' \cos \tfrac{1}{2} s + L' \sin \tfrac{1}{2} s}{k \cos \tfrac{1}{2} s + l \sin \frac{1}{2} s} \\[.5em]
K''  &amp; = \frac{K'l - L' k}{k \cos \tfrac{1}{2} s + l \sin \tfrac{1}{2} s} \sin \tfrac{1}{2} s \\[.5em]
L''  &amp; = - \frac{K'l - L' k}{k \cos \tfrac{1}{2} s + l \sin \tfrac{1}{2} s} \cos \tfrac{1}{2} s
\end{align}
&lt;/math&gt; Haud difficilior demonstratur, esse

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
k = \pm \frac{\cos \frac{1}{2} s}{2^{\mu-1}}, \quad l = \pm \frac{\sin \frac{1}{2} s}{2^{\mu-1}}
&lt;/math&gt;

ubi signum superius valet, quando &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{1}{2} \mu&lt;/math&gt; est par, inferius, quando est impar. Quare in valoribus modo traditis pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;K''&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L''&lt;/math&gt; denominator fit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= \pm \frac{1}{2^{\mu-1}}&lt;/math&gt; adeoque &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
K'' &amp;=\ \ \  (K' \sin \tfrac{1}{2} s - L' \cos \tfrac{1}{2} s) \sin \tfrac{1}{2} s \\
L'' &amp;= -(K' \sin \tfrac{1}{2} s - L' \cos \tfrac{1}{2} s) \cos \tfrac{1}{2} s
\end{align}
&lt;/math&gt;

&lt;br /&gt;
{{center|16.}}

Hactenus tales functiones consideravimus, in quibus tum cosinus tum sinus adsunt: saepissime vero aut hi aut illi absunt, quae functionum genera seorsim tractare conveniet. Utrumque quidem casum ad casum generalem hucusque consideratum reducere liceret; attamen etiam magis e re esse videtur, hanc disquisitionem ad problema art. 3 reducere.

''Primo'', si constat, omnes coëfficientes &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\beta', \beta'', \beta'''&lt;/math&gt; etc. in functione &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; (art. 10) esse &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= 0&lt;/math&gt;, multitudo incognitarum ad &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m+1&lt;/math&gt; diminuitur, et proin pro tot valoribus diversis ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; valores respondentes functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; novisse sufficit. Quoniam vero in hoc casu valor functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; non mutatur, si pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; substituitur &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-x&lt;/math&gt;, manifestum est, non solum tales valores ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, quorum differentia peripheriae vel multiplo peripheriae aequalis est, sed tales quoque, quorum summa est 0 vel peripheriae vel multiplo peripheriae aequalis, pro diversis non esse habendos. Aut generaliter, ut duos valores ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; pro diversis habere liceat, cosinus inaequa-&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>cmq25ogc1fdz09fl50sp6qrw9gswu7n</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/305</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86090</id>
    <revision>
      <id>281242</id>
      <parentid>281205</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T14:33:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <origin>281242</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3088" sha1="2wenz30ymkx4f0ecsz6al1ybrmbk37r" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;les habere debent. Quibus ita intellectis sint &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m + 1&lt;/math&gt; valores dati functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; hi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A, B, C, D&lt;/math&gt; etc., valoribus ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; his &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a, b, c, d&lt;/math&gt; etc. respondentes, quaeriturque expressio generalis pro valore &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt;, quem functio pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x = 0&lt;/math&gt; adipiscitur. Quum functionem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; in casu nostro etiam sub formam &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\gamma + \gamma' \cos x + \gamma''(\cos x)^2 + \gamma'''(\cos x)^3 + \text{etc.} + \gamma^m(\cos x)^m
&lt;/math&gt; reducere liceat, habebimus per art. 3

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
T =  &amp; \ \ \ \ \ \frac{(\cos t - \cos b)(\cos t - \cos c)(\cos t - \cos d)\ldots}{(\cos a - \cos b)(\cos a - \cos c)(\cos a - \cos d)\ldots} A \\
 &amp; + \frac{(\cos t - \cos a)(\cos t - \cos c)(\cos t - \cos d)\ldots}{(\cos b - \cos a)(\cos b - \cos c)(\cos b - \cos d)\ldots} B \\
 &amp; + \frac{(\cos t - \cos a)(\cos t - \cos b)(\cos t - \cos d)\ldots}{(\cos c - \cos a)(\cos c - \cos b)(\cos c - \cos d)\ldots} C \\
 &amp; +  \frac{(\cos t - \cos a)(\cos t - \cos b)(\cos t - \cos c)\ldots}{(\cos d - \cos a)(\cos d - \cos b)(\cos d - \cos c)\ldots} D \\
 &amp; + \text{etc.}
\end{align}
&lt;/math&gt;

''Secundo'', si omnes coëfficientes &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha, \alpha', \alpha'', \alpha'''&lt;/math&gt; etc. evanescunt, multitudo incognitarum erit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, sufficitque adeo, valores functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; pro totidem valoribus diversis ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; novisse. Quum valor functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x = -t&lt;/math&gt; ex valore pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x = +t&lt;/math&gt; sponte sequatur (per solam mutationem signi in oppositum), etiam hic tales valores pro diversis haberi nequeunt, unde facile colligitur, hic perinde ut in casu praec. eos tantummodo valores ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; pro diversis agnoscí, quorum cosinus sunt inaequales. Praeterea quum valor functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x = 0, 180^\circ, 360^\circ&lt;/math&gt; etc. et generaliter pro tali valore ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, cuius sinus est &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= 0&lt;/math&gt;, sponte fiat &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= 0&lt;/math&gt;, adeoque iam ex natura problematis datus sit, talem valorem inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; datos non numerari supponimus. Iam quum constet, esse &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\frac{\sin nx}{\sin x} = 2 \cos(n-1)x + 2 \cos(n-3)x + 2 \cos(n-5)x + \ldots + 2 \cos x
&lt;/math&gt; pro valore pari ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;n&lt;/math&gt;, atque &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
= 2 \cos(n-1)x + 2 \cos(n-3)x + 2 \cos(n-5)x + \ldots + 2 \cos 2x + 1
&lt;/math&gt; pro valore impari ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;n&lt;/math&gt;, facile concluditur &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{X}{\sin x}&lt;/math&gt; ad formam &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\delta + \delta' \cos x + \delta''(\cos x)^2 + \delta'''(\cos x)^3 + \text{etc.} + \delta^{m-1}(\cos x)^{m-1}
&lt;/math&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>2wenz30ymkx4f0ecsz6al1ybrmbk37r</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281243</id>
      <parentid>281242</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T14:37:55Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281243</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3085" sha1="al26cb7e0nmjgjbtvnyb8u6qy4r5xz5" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;les habere debent. Quibus ita intellectis sint &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m + 1&lt;/math&gt; valores dati functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; hi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A, B, C, D&lt;/math&gt; etc., valoribus ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; his &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a, b, c, d&lt;/math&gt; etc. respondentes, quaeriturque expressio generalis pro valore &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt;, quem functio pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x = 0&lt;/math&gt; adipiscitur. Quum functionem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; in casu nostro etiam sub formam &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\gamma + \gamma' \cos x + \gamma''(\cos x)^2 + \gamma'''(\cos x)^3 + \text{etc.} + \gamma^m(\cos x)^m
&lt;/math&gt; reducere liceat, habebimus per art. 3

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
T =  &amp; \ \ \ \ \ \frac{(\cos t - \cos b)(\cos t - \cos c)(\cos t - \cos d)\ldots}{(\cos a - \cos b)(\cos a - \cos c)(\cos a - \cos d)\ldots} A \\
 &amp; + \frac{(\cos t - \cos a)(\cos t - \cos c)(\cos t - \cos d)\ldots}{(\cos b - \cos a)(\cos b - \cos c)(\cos b - \cos d)\ldots} B \\
 &amp; + \frac{(\cos t - \cos a)(\cos t - \cos b)(\cos t - \cos d)\ldots}{(\cos c - \cos a)(\cos c - \cos b)(\cos c - \cos d)\ldots} C \\
 &amp; +  \frac{(\cos t - \cos a)(\cos t - \cos b)(\cos t - \cos c)\ldots}{(\cos d - \cos a)(\cos d - \cos b)(\cos d - \cos c)\ldots} D \\
 &amp; + \text{etc.}
\end{align}
&lt;/math&gt;

''Secundo'', si omnes coëfficientes &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha, \alpha', \alpha'', \alpha'''&lt;/math&gt; etc. evanescunt, multitudo incognitarum erit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, sufficitque adeo, valores functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; pro totidem valoribus diversis ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; novisse. Quum valor functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x = -t&lt;/math&gt; ex valore pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x = +t&lt;/math&gt; sponte sequatur (per solam mutationem signi in oppositum), etiam hic tales valores pro diversis haberi nequeunt, unde facile colligitur, hic perinde ut in casu praec. eos tantummodo valores ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; pro diversis agnosci, quorum cosinus sunt inaequales. Praeterea quum valor functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x = 0, 180^\circ, 360^\circ&lt;/math&gt; etc. et generaliter pro tali valore ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, cuius sinus est &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= 0&lt;/math&gt;, sponte fiat &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= 0&lt;/math&gt;, adeoque iam ex natura problematis datus sit, talem valorem inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; datos non numerari supponimus. Iam quum constet, esse &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\frac{\sin nx}{\sin x} = 2 \cos(n-1)x + 2 \cos(n-3)x + 2 \cos(n-5)x + \dots + 2 \cos x
&lt;/math&gt; pro valore pari ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;n&lt;/math&gt;, atque &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
= 2 \cos(n-1)x + 2 \cos(n-3)x + 2 \cos(n-5)x + \dots + 2 \cos 2x + 1
&lt;/math&gt; pro valore impari ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;n&lt;/math&gt;, facile concluditur &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{X}{\sin x}&lt;/math&gt; ad formam &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\delta + \delta' \cos x + \delta''(\cos x)^2 + \delta'''(\cos x)^3 + \text{etc.} + \delta^{m-1}(\cos x)^{m-1}
&lt;/math&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>al26cb7e0nmjgjbtvnyb8u6qy4r5xz5</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/306</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86091</id>
    <revision>
      <id>281244</id>
      <parentid>281068</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T14:39:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <origin>281244</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3066" sha1="odpt453yacj04vjhyegtygpoy9a880a" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;reduci posse, adeoque, quum valores functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{X}{\sin x}&lt;/math&gt; pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x = a, b, c, d \ldots&lt;/math&gt; fiant &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= \frac{A}{\sin a}, \frac{B}{\sin b}, \frac{C}{\sin c}, \frac{D}{\sin d} \ldots&lt;/math&gt;, haberi per eundem art. 3 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
T =&amp;\ \ \ \frac{\sin t (\cos t - \cos b)(\cos t - \cos c)(\cos t - \cos d) \dots}{\sin a (\cos a - \cos b)(\cos a - \cos c)(\cos a - \cos d) \ldots} A\\
&amp;+ \frac{\sin t (\cos t - \cos a)(\cos t - \cos c)(\cos t - \cos d) \dots}{\sin b (\cos b - \cos a)(\cos b - \cos c)(\cos b - \cos d) \dots} B\\
&amp;+ \frac{\sin t (\cos t - \cos a)(\cos t - \cos b)(\cos t - \cos d) \dots }{\sin c (\cos c - \cos a)(\cos c - \cos b)(\cos c - \cos d) \dots} C\\
&amp;+ \frac{\sin t (\cos t - \cos a)(\cos t - \cos b)(\cos t - \cos c) \dots}{\sin d (\cos d - \cos a)(\cos d - \cos b)(\cos d - \cos c) \dots} D\\
&amp;+ \text{etc.}
\end{align}
&lt;/math&gt; Ceterum in utroque casu formula pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; cum functione &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; identica erit, mutando &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; in &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, quoniam illa indefinite pro valore quocunque ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; valet.

&lt;br /&gt;
{{center|17.}}

E principiis algebraicis facile conclusio petitur, si, pro casu priore art. praec. productum &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
(\cos t - \cos a)(\cos t - \cos b)(\cos t - \cos c)(\cos t - \cos d)\ \text{ etc.}
&lt;/math&gt; pro posteriore autem productum &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\sin t (\cos t - \cos a)(\cos t - \cos b)(\cos t - \cos c)(\cos t - \cos d)\ \text{ etc.}
&lt;/math&gt; per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P&lt;/math&gt; designetur, quamvis functionem ipsi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; similem, quae iisdem valoribus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A, B, C, D&lt;/math&gt; etc. pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x = a, b, c, d&lt;/math&gt; etc. satisfacit, necessario sub forma &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X + PY&lt;/math&gt; contentam esse debere, ubi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;Y&lt;/math&gt; est functio indefinita arcus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; formae &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\gamma + \gamma' \cos x + \gamma'' \cos 2x + \gamma''' \cos 3x + \text{etc.}
&lt;/math&gt; Theorema inversum, scilicet quamlibet functionem sub forma &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X + PY&lt;/math&gt; contentam illis valoribus satisfacere, sponte patet. Porro manifestum est, productum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P&lt;/math&gt; esse ordinis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m + 1^{\text{ti}}&lt;/math&gt;, adeoque proxime altioris quam &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;; quamobrem alia functio ipsi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; similis quae iisdem valoribus satisfaciat non datur, nisi ex ordine altiore quam &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;.

Vice versa, si quae functio &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X'&lt;/math&gt;, ipsi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; similis quidem, sed altioris ordinis, aliunde innotuit, quae valoribus datis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A, B, C, D&lt;/math&gt; etc. satisfacit, functionem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;Y&lt;/math&gt;, eius quam tradidimus formae, ita determinare licet, ut &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X' + PY&lt;/math&gt; ad ordinem&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>odpt453yacj04vjhyegtygpoy9a880a</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281245</id>
      <parentid>281244</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T14:41:55Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281245</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3066" sha1="h75hvwzif14qo40d512v5uxwgd64r4j" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;reduci posse, adeoque, quum valores functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{X}{\sin x}&lt;/math&gt; pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x = a, b, c, d \ldots&lt;/math&gt; fiant &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= \frac{A}{\sin a}, \frac{B}{\sin b}, \frac{C}{\sin c}, \frac{D}{\sin d} \ldots&lt;/math&gt;, haberi per eundem art. 3 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
T =&amp;\ \ \ \frac{\sin t (\cos t - \cos b)(\cos t - \cos c)(\cos t - \cos d) \dots}{\sin a (\cos a - \cos b)(\cos a - \cos c)(\cos a - \cos d) \ldots} A\\
&amp;+ \frac{\sin t (\cos t - \cos a)(\cos t - \cos c)(\cos t - \cos d) \dots}{\sin b (\cos b - \cos a)(\cos b - \cos c)(\cos b - \cos d) \dots} B\\
&amp;+ \frac{\sin t (\cos t - \cos a)(\cos t - \cos b)(\cos t - \cos d) \dots }{\sin c (\cos c - \cos a)(\cos c - \cos b)(\cos c - \cos d) \dots} C\\
&amp;+ \frac{\sin t (\cos t - \cos a)(\cos t - \cos b)(\cos t - \cos c) \dots}{\sin d (\cos d - \cos a)(\cos d - \cos b)(\cos d - \cos c) \dots} D\\
&amp;+ \text{etc.}
\end{align}
&lt;/math&gt; Ceterum in utroque casu formula pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; cum functione &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; identica erit, mutando &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; in &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, quoniam illa indefinite pro valore quocunque ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; valet.

&lt;br /&gt;
{{center|17.}}

E principiis algebraicis facile conclusio petitur, si, pro casu priore art. praec. productum &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
(\cos t - \cos a)(\cos t - \cos b)(\cos t - \cos c)(\cos t - \cos d)\ \text{ etc.}
&lt;/math&gt; pro posteriore autem productum &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\sin t (\cos t - \cos a)(\cos t - \cos b)(\cos t - \cos c)(\cos t - \cos d)\ \text{ etc.}
&lt;/math&gt; per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P&lt;/math&gt; designetur, quamvis functionem ipsi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; similem, quae iisdem valoribus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A, B, C, D&lt;/math&gt; etc. pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x = a, b, c, d&lt;/math&gt; etc. satisfacit, necessario sub forma &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X + PY&lt;/math&gt; contentam esse debere, ubi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;Y&lt;/math&gt; est functio indefinita arcus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; formae &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\gamma + \gamma' \cos x + \gamma'' \cos 2x + \gamma''' \cos 3x + \text{etc.}
&lt;/math&gt; Theorema inversum, scilicet quamlibet functionem sub forma &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X + PY&lt;/math&gt; contentam illis valoribus satisfacere, sponte patet. Porro manifestum est, productum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P&lt;/math&gt; esse ordinis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m + 1^{\text{ti}}&lt;/math&gt;, adeoque proxime altioris quam &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;; quamobrem alia functio ipsi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; similis quae iisdem valoribus satisfaciat non datur, nisi ex ordine altiore quam &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;.

Vice versa, si quae functio &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X'&lt;/math&gt;, ipsi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; similis quidem, sed altioris ordinis, aliunde innotuit, quae valoribus datis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A, B, C, D&lt;/math&gt; etc. satisfacit, functionem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;Y&lt;/math&gt;, eius quam tradidimus formae, ita determinare licet, ut &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X' + PY&lt;/math&gt; ad ordinem&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>h75hvwzif14qo40d512v5uxwgd64r4j</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/307</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86092</id>
    <revision>
      <id>281252</id>
      <parentid>281069</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T18:07:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <origin>281252</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2965" sha1="8rm6j921kl11wj43t056uoz00gjwx9r" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m^{\text{tum}}&lt;/math&gt; deprimatur, unde necessario functio &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; ipsa, quae e valoribus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;C&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; etc. per methodum art. praec. eruitur, prodire debet. Quum methodus terminum summum functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;Y&lt;/math&gt; atque inde deinceps inferiores evolvendi, tamquam casus specialis e methodo in art. 15, II tradita peti possit, non opus est, huic rei hic diutius inhaerere.

&lt;br /&gt;
{{center|18.}}

Omnes disquisitiones praecedentes superstructae sunt conditioni, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; esse progressionem cum cosinu sinuque arcus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mx&lt;/math&gt; abruptam. Quae conditio si locum non habet, tot valores ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;, quot cognitos esse hactenus assumsimus, manifesto non sufficiunt ad determinationem completam, expressioque pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; in variis quos consideravimus casibus tradita, correctione opus habebit, a coefficientibus sequentibus in &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; pendente et per summationes artt. 1 et 2 facile assignabili. Quodsi autem series &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;, sive in infinitum excurrat sive uspiam abrumpatur, tantopere convergit, ut partes post &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\cos mx&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin mx&lt;/math&gt; sequentes pro evanescentibus haberi possint, etiam illam correctionem negligere licebit, adeoque valorem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; saltem proxime verum nacti erimus. Quomodocunque vero haec se habeant, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; certo functionem verae similem simplicissimam exhibet, per quam omnibus valoribus propositis satisfieri potest.

&lt;br /&gt;
{{center|19.}}

Imprimis frequens, maximaque adeo attentione dignus est casus iste, ubi valores arcus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, pro quibus valores functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; dati sunt, progressionem arithmeticam constituant, in qua terminorum differentia aequalis est coefficienti, ex divisione peripheriae integrae in totidem partes quot sunt termini orto, ita ut si progressio ultra terminum postremum continuaretur, termini primi peripheria integra aucti rursus deinceps prodituri essent. Postquam itaque disquisitionis generalis praecipua momenta in praecedentibus absolvimus, huncce casum, ubi termini dati quasi periodum completam constituunt, coronidis loco seorsim copiosius tractabimus. Antequam vero hanc disquisitionem ipsam aggrediamur, duo lemmata erunt praemittenda.

{{small-caps|Lemma Primum.}} ''Si arcus a, b, c, d etc., quorum multitudo est &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt;, constituant progressionem arithmeticam, in qua terminorum differentia &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b - a = c - b = d - c&lt;/math&gt; etc. est &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= \frac{360^\circ}{\mu}&lt;/math&gt;, productum ex &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt; factoribus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P =&lt;/math&gt;''&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>8rm6j921kl11wj43t056uoz00gjwx9r</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281253</id>
      <parentid>281252</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T18:10:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281253</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3001" sha1="n2vwze1w4e48js598umtadzwqoqoo8q" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m^{\text{tum}}&lt;/math&gt; deprimatur, unde necessario functio &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; ipsa, quae e valoribus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;C&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; etc. per methodum art. praec. eruitur, prodire debet. Quum methodus terminum summum functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;Y&lt;/math&gt; atque inde deinceps inferiores evolvendi, tamquam casus specialis e methodo in art. 15, II tradita peti possit, non opus est, huic rei hic diutius inhaerere.

&lt;br /&gt;
{{center|18.}}

Omnes disquisitiones praecedentes superstructae sunt conditioni, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; esse progressionem cum cosinu sinuque arcus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mx&lt;/math&gt; abruptam. Quae conditio si locum non habet, tot valores ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;, quot cognitos esse hactenus assumsimus, manifesto non sufficiunt ad determinationem completam, expressioque pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; in variis quos consideravimus casibus tradita, correctione opus habebit, a coëfficientibus sequentibus in &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; pendente et per summationes artt. 1 et 2 facile assignabili. Quodsi autem series &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;, sive in infinitum excurrat sive uspiam abrumpatur, tantopere convergit, ut partes post &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\cos mx&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin mx&lt;/math&gt; sequentes pro evanescentibus haberi possint, etiam illam correctionem negligere licebit, adeoque valorem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; saltem proxime verum nacti erimus. Quomodocunque vero haec se habeant, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; certo functionem verae similem simplicissimam exhibet, per quam omnibus valoribus propositis satisfieri potest.

&lt;br /&gt;
{{center|19.}}

Imprimis frequens, maximaque adeo attentione dignus est casus iste, ubi valores arcus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, pro quibus valores functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; dati sunt, progressionem arithmeticam constituant, in qua terminorum differentia aequalis est coëfficienti, ex divisione peripheriae integrae in totidem partes quot sunt termini orto, ita ut si progressio ultra terminum postremum continuaretur, termini primi peripheria integra aucti rursus deinceps prodituri essent. Postquam itaque disquisitionis generalis praecipua momenta in praecedentibus absolvimus, huncce casum, ubi termini dati quasi ''periodum'' completam constituunt, coronidis loco seorsim copiosius tractabimus. Antequam vero hanc disquisitionem ipsam aggrediamur, duo lemmata erunt praemittenda.

{{small-caps|Lemma Primum.}} ''Si arcus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a, b, c, d&lt;/math&gt; etc., quorum multitudo est &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt;, constituant progressionem arithmeticam, in qua terminorum differentia &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b - a = c - b = d - c&lt;/math&gt; etc. est &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= \frac{360^\circ}{\mu}&lt;/math&gt;, productum ex &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt; factoribus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P =&lt;/math&gt;''&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>n2vwze1w4e48js598umtadzwqoqoo8q</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/308</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86093</id>
    <revision>
      <id>281254</id>
      <parentid>281070</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T18:16:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <origin>281254</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2967" sha1="b52u90bustt008zn9ccl4om2ypj6vyr" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\sin \tfrac{1}{2}(t-a) \sin \tfrac{1}{2}(t-b) \sin \tfrac{1}{2}(t-c) \sin \tfrac{1}{2}(t-d) \text{ etc.}
&lt;/math&gt; ''fit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= \mp \frac{\sin \frac{1}{2} \mu (t-a)}{2^{\mu-1}}&lt;/math&gt;, ubi signum superius vel inferius valet, prout &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt; par est vel impar.''

''Demonstr.'' Potest quidem hoc theorema facile ex alio ab ill. {{small-caps|Eulero}} in ''Introd. in Anal. Infin.'' I, §. 240 tradito derivari; ne quid vero hic desiderari videatur, demonstrationem aliam paucis hic explicabimus.

I. Si productum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P&lt;/math&gt; primo ponitur sub formam &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\cos \tfrac{1}{2}(t-a-180^\circ) \cos \tfrac{1}{2}(t-b-180^\circ) \cos \tfrac{1}{2}(t-c-180^\circ) \cos \tfrac{1}{2}(t-d-180^\circ) \ldots
&lt;/math&gt; atque tunc secundum algorithmum sinuum notum in aggregatum cosinuum evolvitur, facile perspicietur, inde prodire functionem vel formae &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt; vel formae &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;G&lt;/math&gt; (art. 13) ad ordinem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{1}{2} \mu^{\text{tum}}&lt;/math&gt; ascendentem, terminumque ''summum'' fieri

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
&amp;= \tfrac{1}{2^{\mu-1}} \cos \tfrac{1}{2}(\mu t - a - b - c - d - \text{etc.} - \mu \times 180^\circ) \\[.5em]
&amp;= \tfrac{1}{2^{\mu-1}} \cos (\tfrac{1}{2} \mu (t - a - 360^\circ) + 90^\circ) \\[.5em]
&amp;= -\tfrac{1}{2^{\mu-1}} \sin \tfrac{1}{2} \mu (t - a - 360^\circ) \\[.5em]
&amp;= -\tfrac{1}{2^{\mu-1}} \sin \tfrac{1}{2} \mu (t - a) \cos \mu \times 180^\circ \\[.5em]
&amp;= \mp \tfrac{1}{2^{\mu-1}} \sin \tfrac{1}{2} \mu (t - a)
\end{align}
&lt;/math&gt;

signo superiore pro valore pari ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt; valente, inferiore pro impari.

II. Quum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \frac{1}{2} \mu (t-a)&lt;/math&gt; fiat &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;=0&lt;/math&gt;, si ipsi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; aliquis valorum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a, b, c, d&lt;/math&gt; etc. tribuitur, per theorema art. 14 erit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \frac{1}{2} \mu (t-a)&lt;/math&gt; per productum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P&lt;/math&gt; divisibilis; quotiens autem necessario erit quantitas definita &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;=h&lt;/math&gt;, quoniam &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \frac{1}{2} \mu (t-a)&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P&lt;/math&gt; eiusdem sunt ordinis. Manifesto autem (per I) ex aequatione &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P = \frac{1}{h} \sin \frac{1}{2} \mu (t-a)&lt;/math&gt; sequitur esse &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;h = \mp 2^{\mu-1}&lt;/math&gt;, adeoque &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P = \mp \frac{\sin \frac{1}{2} \mu (t-a)}{2^{\mu-1}}&lt;/math&gt;. Q. E. D.

{{small-caps|Lemma Secundum.}} ''Si arcus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a, b, c, d \ldots&lt;/math&gt; eodem modo se habent, ut in lemmae primo, productum ex &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt; factoribus'' &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
(\cos t - \cos a)(\cos t - \cos b)(\cos t - \cos c)(\cos t - \cos d)\ldots
&lt;/math&gt; ''fit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= \frac{\cos \mu t - \cos \mu a}{2^{\mu-1}}&lt;/math&gt;''

''Demonstr''. Quum fiat&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>b52u90bustt008zn9ccl4om2ypj6vyr</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281255</id>
      <parentid>281254</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T18:20:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281255</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2968" sha1="m5u8xiu820vn95j49k88aa3yyi51k6d" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\sin \tfrac{1}{2}(t-a) \sin \tfrac{1}{2}(t-b) \sin \tfrac{1}{2}(t-c) \sin \tfrac{1}{2}(t-d) \text{ etc.}
&lt;/math&gt; ''fit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= \mp \frac{\sin \frac{1}{2} \mu (t-a)}{2^{\mu-1}}&lt;/math&gt;, ubi signum superius vel inferius valet, prout &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt; par est vel impar.''

''Demonstr.'' Potest quidem hoc theorema facile ex alio ab ill. {{small-caps|Eulero}} in ''Introd. in Anal. Infin.'' I, §. 240 tradito derivari; ne quid vero hic desiderari videatur, demonstrationem aliam paucis hic explicabimus.

I. Si productum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P&lt;/math&gt; primo ponitur sub formam &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\cos \tfrac{1}{2}(t-a-180^\circ) \cos \tfrac{1}{2}(t-b-180^\circ) \cos \tfrac{1}{2}(t-c-180^\circ) \cos \tfrac{1}{2}(t-d-180^\circ) \ldots
&lt;/math&gt; atque tunc secundum algorithmum sinuum notum in aggregatum cosinuum evolvitur, facile perspicietur, inde prodire functionem vel formae &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt; vel formae &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;G&lt;/math&gt; (art. 13) ad ordinem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{1}{2} \mu^{\text{tum}}&lt;/math&gt; ascendentem, terminumque ''summum'' fieri

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
&amp;= \tfrac{1}{2^{\mu-1}} \cos \tfrac{1}{2}(\mu t - a - b - c - d - \text{etc.} - \mu \times 180^\circ) \\[.5em]
&amp;= \tfrac{1}{2^{\mu-1}} \cos (\tfrac{1}{2} \mu (t - a - 360^\circ) + 90^\circ) \\[.5em]
&amp;= -\tfrac{1}{2^{\mu-1}} \sin \tfrac{1}{2} \mu (t - a - 360^\circ) \\[.5em]
&amp;= -\tfrac{1}{2^{\mu-1}} \sin \tfrac{1}{2} \mu (t - a) \cos \mu \times 180^\circ \\[.5em]
&amp;= \mp \tfrac{1}{2^{\mu-1}} \sin \tfrac{1}{2} \mu (t - a)
\end{align}
&lt;/math&gt;

signo superiore pro valore pari ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt; valente, inferiore pro impari.

II. Quum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \frac{1}{2} \mu (t-a)&lt;/math&gt; fiat &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;=0&lt;/math&gt;, si ipsi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; aliquis valorum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a, b, c, d&lt;/math&gt; etc. tribuitur, per theorema art. 14 erit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \frac{1}{2} \mu (t-a)&lt;/math&gt; per productum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P&lt;/math&gt; divisibilis; quotiens autem necessario erit quantitas definita &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;=h&lt;/math&gt;, quoniam &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin \frac{1}{2} \mu (t-a)&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P&lt;/math&gt; eiusdem sunt ordinis. Manifesto autem (per I) ex aequatione &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P = \frac{1}{h} \sin \frac{1}{2} \mu (t-a)&lt;/math&gt; sequitur esse &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;h = \mp 2^{\mu-1}&lt;/math&gt;, adeoque &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P = \mp \frac{\sin \frac{1}{2} \mu (t-a)}{2^{\mu-1}}&lt;/math&gt;. Q. E. D.

{{small-caps|Lemma Secundum.}} ''Si arcus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a, b, c, d \ldots&lt;/math&gt; eodem modo se habent, ut in lemmate primo, productum ex &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt; factoribus'' &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
(\cos t - \cos a)(\cos t - \cos b)(\cos t - \cos c)(\cos t - \cos d)\ldots
&lt;/math&gt; ''fit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= \frac{\cos \mu t - \cos \mu a}{2^{\mu-1}}&lt;/math&gt;''

''Demonstr''. Quum fiat&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>m5u8xiu820vn95j49k88aa3yyi51k6d</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/309</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86094</id>
    <revision>
      <id>281256</id>
      <parentid>281067</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T18:20:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <origin>281256</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2405" sha1="b5kf6b1p9ujsuz8zveru2dm4gu8rhb0" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
&amp;\cos t - \cos a = 2 \sin \tfrac{1}{2}(t-a) \sin \tfrac{1}{2}(-t-a)\\
&amp;\cos t - \cos b = 2 \sin \tfrac{1}{2}(t-b) \sin \tfrac{1}{2}(-t-b)\\
&amp;\cos t - \cos c = 2 \sin \tfrac{1}{2}(t-c) \sin \tfrac{1}{2}(-t-c)\\
&amp;\cos t - \cos d = 2 \sin \tfrac{1}{2}(t-d) \sin \tfrac{1}{2}(-t-d)\\
&amp;\text{etc.}
\end{align}
&lt;/math&gt;
productum ex his factoribus fit, per lemma primum &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
&amp;= 2^{\mu} \times \mp \frac{\sin \frac{1}{2}\mu(t-a)}{2^{\mu-1}} \times \mp \frac{\sin \frac{1}{2}\mu(-t-a)}{2^{\mu-1}}\\[.5em]
&amp;= \frac{\sin \frac{1}{2}\mu(t-a) \sin \frac{1}{2}\mu(-t-a)}{2^{\mu-2}} = \frac{\cos \mu t - \cos \mu a}{2^{\mu-1}}\ \text{ Q. E. D.}
\end{align}
&lt;/math&gt; Quum habeatur &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\sin \frac{1}{2}\mu(t-a) = -\sin \frac{1}{2}\mu(t-b) = \sin \frac{1}{2}\mu(t-c) = -\sin \frac{1}{2}\mu(t-d) \text{ etc.}
&lt;/math&gt; nec non &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\cos \mu a = \cos \mu b = \cos \mu c = \cos \mu d&lt;/math&gt; etc.: manifestum est, productum in lemmate primo fieri etiam &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
= \pm \frac{\sin \frac{1}{2}\mu(t-b)}{2^{\mu-1}} = \mp \frac{\sin \frac{1}{2}\mu(t-c)}{2^{\mu-1}} = \pm \frac{\sin \frac{1}{2}\mu(t-d)}{2^{\mu-1}} \text{ etc.}
&lt;/math&gt; nec non productum in lemmate secundo fieri etiam &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
= \frac{\cos \mu t - \cos \mu b}{2^{\mu-1}} = \frac{\cos \mu t - \cos \mu c}{2^{\mu-1}} = \frac{\cos \mu t - \cos \mu d}{2^{\mu-1}} \text{ etc.}
&lt;/math&gt;

&lt;br /&gt;
{{center|{{SIC|29.}}}}


Consideremus primo casum generalem art. 10, ubi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; est formae

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\alpha  &amp; + \alpha' \cos x + \alpha'' \cos 2x + \alpha''' \cos 3x + \ldots + \alpha^{(m)} \cos mx \\
 &amp; + \beta' \sin x + \beta'' \sin 2x +\ \beta''' \sin 3x + \ldots\ + \beta^{(m)} \sin mx
\end{align}
&lt;/math&gt; atque &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu = 2m+1&lt;/math&gt;. Hic igitur erit &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 &amp; \sin \tfrac{1}{2}(t-b) \sin \tfrac{1}{2}(t-c) \sin \tfrac{1}{2}(t-d) \ldots = \frac{\sin \frac{1}{2}\mu(t-a)}{2^{\mu-1} \sin \frac{1}{2}(t-a)}\\
 &amp; = \frac{1}{2^{\mu-1}} (1 + 2 \cos (t-a) + 2 \cos 2(t-a) + 2 \cos 3(t-a) + \ldots + 2 \cos m(t-a))
\end{align}
&lt;/math&gt; unde substituendo &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a&lt;/math&gt; pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\sin \frac{1}{2}(a-b) \sin \frac{1}{2}(a-c) \sin \frac{1}{2}(a-d) \ldots = \frac{\mu}{2^{\mu-1}}
&lt;/math&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>b5kf6b1p9ujsuz8zveru2dm4gu8rhb0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281257</id>
      <parentid>281256</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T18:24:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281257</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2412" sha1="mhfambfaulqp0z3qmnut3ab35m6ysnd" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
&amp;\cos t - \cos a = 2 \sin \tfrac{1}{2}(t-a) \sin \tfrac{1}{2}(-t-a)\\
&amp;\cos t - \cos b = 2 \sin \tfrac{1}{2}(t-b) \sin \tfrac{1}{2}(-t-b)\\
&amp;\cos t - \cos c = 2 \sin \tfrac{1}{2}(t-c) \sin \tfrac{1}{2}(-t-c)\\
&amp;\cos t - \cos d = 2 \sin \tfrac{1}{2}(t-d) \sin \tfrac{1}{2}(-t-d)\\
&amp;\text{etc.}
\end{align}
&lt;/math&gt;
productum ex his factoribus fit, per lemma primum &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
&amp;= 2^{\mu} \times \mp \frac{\sin \frac{1}{2}\mu(t-a)}{2^{\mu-1}} \times \mp \frac{\sin \frac{1}{2}\mu(-t-a)}{2^{\mu-1}}\\[.5em]
&amp;= \frac{\sin \frac{1}{2}\mu(t-a) \sin \frac{1}{2}\mu(-t-a)}{2^{\mu-2}} = \frac{\cos \mu t - \cos \mu a}{2^{\mu-1}}\ \text{ Q. E. D.}
\end{align}
&lt;/math&gt; Quum habeatur &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\sin \tfrac{1}{2}\mu(t-a) = -\sin \tfrac{1}{2}\mu(t-b) = \sin \tfrac{1}{2}\mu(t-c) = -\sin \tfrac{1}{2}\mu(t-d) \text{ etc.}
&lt;/math&gt; nec non &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\cos \mu a = \cos \mu b = \cos \mu c = \cos \mu d&lt;/math&gt; etc.: manifestum est, productum in lemmate primo fieri etiam &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
= \pm \frac{\sin \frac{1}{2}\mu(t-b)}{2^{\mu-1}} = \mp \frac{\sin \frac{1}{2}\mu(t-c)}{2^{\mu-1}} = \pm \frac{\sin \frac{1}{2}\mu(t-d)}{2^{\mu-1}} \text{ etc.}
&lt;/math&gt; nec non productum in lemmate secundo fieri etiam &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
= \frac{\cos \mu t - \cos \mu b}{2^{\mu-1}} = \frac{\cos \mu t - \cos \mu c}{2^{\mu-1}} = \frac{\cos \mu t - \cos \mu d}{2^{\mu-1}} \text{ etc.}
&lt;/math&gt;

&lt;br /&gt;
{{center|{{SIC|29.}}}}


Consideremus primo casum generalem art. 10, ubi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; est formae

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\alpha  &amp; + \alpha' \cos x + \alpha'' \cos 2x + \alpha''' \cos 3x + \ldots + \alpha^{(m)} \cos mx \\
 &amp; + \beta' \sin x + \beta'' \sin 2x +\ \beta''' \sin 3x + \ldots\ + \beta^{(m)} \sin mx
\end{align}
&lt;/math&gt; atque &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu = 2m+1&lt;/math&gt;. Hic igitur erit &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 &amp; \sin \tfrac{1}{2}(t-b) \sin \tfrac{1}{2}(t-c) \sin \tfrac{1}{2}(t-d) \ldots = \frac{\sin \frac{1}{2}\mu(t-a)}{2^{\mu-1} \sin \frac{1}{2}(t-a)}\\
 &amp; = \frac{1}{2^{\mu-1}} (1 + 2 \cos (t-a) + 2 \cos 2(t-a) + 2 \cos 3(t-a) + \ldots + 2 \cos m(t-a))
\end{align}
&lt;/math&gt; unde substituendo &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a&lt;/math&gt; pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\sin \tfrac{1}{2}(a-b) \sin \tfrac{1}{2}(a-c) \sin \tfrac{1}{2}(a-d) \ldots = \frac{\mu}{2^{\mu-1}}
&lt;/math&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>mhfambfaulqp0z3qmnut3ab35m6ysnd</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/310</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86095</id>
    <revision>
      <id>281258</id>
      <parentid>281071</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T18:27:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281258</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2317" sha1="9y6bk7iaofqdsljni446g46ebzx3ro6" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;Hinc in formula art. 10 pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt;, fit coëfficiens ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
= \frac{1}{\mu} (1 + 2 \cos(t-a) + 2 \cos 2(t-a) + 2 \cos 3(t-a) + \ldots + 2 \cos m(t-a))
&lt;/math&gt; Simili modo fit &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
&amp;\sin \tfrac{1}{2}(t-a) \sin \tfrac{1}{2}(t-c) \sin \tfrac{1}{2}(t-d) \ldots = - \frac{\sin \tfrac{1}{2}\mu(t-b)}{2^{\mu-1} \sin \tfrac{1}{2}(t-b)} \\
&amp;= - \tfrac{1}{2^{\mu-1}} (1 + 2 \cos(t-b) + 2 \cos 2(t-b) + 2 \cos 3(t-b) + \ldots + 2 \cos m(t-b))
\end{align}
&lt;/math&gt; atque &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\sin \tfrac{1}{2}(b-a) \sin \tfrac{1}{2}(b-c) \sin \tfrac{1}{2}(b-d) \ldots = - \frac{\mu}{2^{\mu-1}}
&lt;/math&gt; Hinc coëfficiens ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B&lt;/math&gt; in formula pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; fit &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
= \tfrac{1}{\mu} (1 + 2 \cos(t-b) + 2 \cos 2(t-b) + 2 \cos 3(t-b) + \ldots + 2 \cos m(t-b))
&lt;/math&gt; Prorsus similes erunt coëfficientes ipsorum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;C, D&lt;/math&gt; etc., unde tandem concluditur, fieri &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
T = &amp;  \tfrac{1}{\mu} (A + B + C + D + \ldots) \\
+&amp; \tfrac{2}{\mu} (A \cos a + B \cos b + C \cos c + D \cos d + \ldots) \cos t \\
+&amp; \tfrac{2}{\mu} (A \sin a + B \sin b + C \sin c + D \sin d + \ldots) \sin t \\
+&amp; \tfrac{2}{\mu} (A \cos 2a + B \cos 2b + C \cos 2c + D \cos 2d + \ldots) \cos 2t \\
+&amp; \tfrac{2}{\mu} (A \sin 2a + B \sin 2b + C \sin 2c + D \sin 2d + \ldots) \sin 2t \\
+&amp;\ \text{etc.} \\
+&amp; \tfrac{2}{\mu} (A \cos ma + B \cos mb + C \cos mc + D \cos md + \ldots) \cos mt \\
+&amp; \tfrac{2}{\mu} (A \sin ma + B \sin mb + C \sin mc + D \sin md + \ldots) \sin mt
\end{align}
&lt;/math&gt; Quum haec formula cum &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\alpha + \alpha' \cos t + \beta' \sin t + \alpha'' \cos 2t + \beta'' \sin 2t + \text{etc.} + \alpha^{(m)} \cos mt + \beta^{(m)} \sin mt
&lt;/math&gt; identica esse debeat, valores coëfficientium: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha, \alpha', \beta', \alpha'', \beta''&lt;/math&gt; etc. hinc protinus habentur.

&lt;br /&gt;
{{center|21.}}

Si progressio pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; cum terminis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\cos mx&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin mx&lt;/math&gt; non abrumpitur, sive in infinitum excurrat, sive finita sit, valor pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; in art. praec. inventus incom-&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>9y6bk7iaofqdsljni446g46ebzx3ro6</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/311</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86096</id>
    <revision>
      <id>281259</id>
      <parentid>281206</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T18:30:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281259</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2697" sha1="br4neakkgxonqie92o7hl7q59ch3ayr" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;pletus erit, itemque valores singulorum coefficientium &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha,\alpha',\beta',\alpha'',\beta''&lt;/math&gt; etc. ibi traditi correctione opus habebunt. Haec autem commodius per methodum sequentem quam per summationem art. 2 determinatur. Ante omnia observamus, esse &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\cos n a + \cos n b + \cos n c + \cos n d + \ldots = \mu \cos n a \\
\sin n a + \sin n b + \sin n c + \sin n d + \ldots = \mu \sin n a
\end{align}
&lt;/math&gt; quoties &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;n&lt;/math&gt; est integer per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt; divisibilis; contra &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\cos n a + \cos n b + \cos n c + \cos n d + \ldots = 0 \\
\sin n a + \sin n b + \sin n c + \sin n d + \ldots = 0
\end{align}
&lt;/math&gt; quoties &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;n&lt;/math&gt; est integer per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt; non divisibilis. Pro casu priore res per se clara est; pro posteriore sit summa prima &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= P&lt;/math&gt;, secunda &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= Q&lt;/math&gt;, unde facile deducitur &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
P \cos n (b - a) - Q \sin n (b - a) = P \\
P \sin n (b - a) + Q \cos n (b - a) = Q
\end{align}
&lt;/math&gt; Multiplicando aequationem primam per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\cos n(b-a)-1&lt;/math&gt;, secundam per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin n(b-a)&lt;/math&gt;, fit addendo delendoque quae mutuo se destruunt &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
2 P (1 - \cos n (b - a)) = 0
&lt;/math&gt; Similiter multiplicando aequationem primam per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin n(b-a)&lt;/math&gt;, secundam per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;1 - \cos n (b - a)&lt;/math&gt;, provenit addendo &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
2 Q (1 - \cos n (b - a)) = 0
&lt;/math&gt; Iam pro casu quidem priore (ubi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;n&lt;/math&gt; per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt; divisibilis est, et proin &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\cos n(b-a) = 1&lt;/math&gt;) hae aequationes identicae sunt, pro posteriore autem (ubi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;n&lt;/math&gt; per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt; non est divisibilis, adeoque &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\cos n(b-a) = \cos \frac{n}{\mu} \times 360^0&lt;/math&gt; non potest esse &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= 1&lt;/math&gt;) consistere nequeunt, nisi fuerit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P = 0&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;Q = 0&lt;/math&gt;.

Iam ponamus, post terminos &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha^m \cos m x + \beta^m \sin m x&lt;/math&gt; in expressione functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; sequi &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\alpha^{m+1} \cos (m+1)x + \alpha^{m+2} \cos (m+2)x + \text{etc.} \\
+ \beta^{m+1} \sin (m+1)x + \beta^{m+2} \sin (m+2)x + \text{etc.}
\end{align}
&lt;/math&gt; valorem vero (incompletum), in suppositione, has partes non adesse, pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; in art. praec. inventum, esse&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>br4neakkgxonqie92o7hl7q59ch3ayr</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281260</id>
      <parentid>281259</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T18:30:41Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <origin>281260</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2698" sha1="ez0k6xowmr9vr6xn842ggjq677zarsw" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;pletus erit, itemque valores singulorum coëfficientium &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha,\alpha',\beta',\alpha'',\beta''&lt;/math&gt; etc. ibi traditi correctione opus habebunt. Haec autem commodius per methodum sequentem quam per summationem art. 2 determinatur. Ante omnia observamus, esse &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\cos n a + \cos n b + \cos n c + \cos n d + \ldots = \mu \cos n a \\
\sin n a + \sin n b + \sin n c + \sin n d + \ldots = \mu \sin n a
\end{align}
&lt;/math&gt; quoties &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;n&lt;/math&gt; est integer per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt; divisibilis; contra &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\cos n a + \cos n b + \cos n c + \cos n d + \ldots = 0 \\
\sin n a + \sin n b + \sin n c + \sin n d + \ldots = 0
\end{align}
&lt;/math&gt; quoties &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;n&lt;/math&gt; est integer per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt; non divisibilis. Pro casu priore res per se clara est; pro posteriore sit summa prima &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= P&lt;/math&gt;, secunda &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= Q&lt;/math&gt;, unde facile deducitur &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
P \cos n (b - a) - Q \sin n (b - a) = P \\
P \sin n (b - a) + Q \cos n (b - a) = Q
\end{align}
&lt;/math&gt; Multiplicando aequationem primam per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\cos n(b-a)-1&lt;/math&gt;, secundam per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin n(b-a)&lt;/math&gt;, fit addendo delendoque quae mutuo se destruunt &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
2 P (1 - \cos n (b - a)) = 0
&lt;/math&gt; Similiter multiplicando aequationem primam per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sin n(b-a)&lt;/math&gt;, secundam per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;1 - \cos n (b - a)&lt;/math&gt;, provenit addendo &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
2 Q (1 - \cos n (b - a)) = 0
&lt;/math&gt; Iam pro casu quidem priore (ubi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;n&lt;/math&gt; per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt; divisibilis est, et proin &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\cos n(b-a) = 1&lt;/math&gt;) hae aequationes identicae sunt, pro posteriore autem (ubi &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;n&lt;/math&gt; per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt; non est divisibilis, adeoque &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\cos n(b-a) = \cos \frac{n}{\mu} \times 360^0&lt;/math&gt; non potest esse &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= 1&lt;/math&gt;) consistere nequeunt, nisi fuerit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;P = 0&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;Q = 0&lt;/math&gt;.

Iam ponamus, post terminos &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha^m \cos m x + \beta^m \sin m x&lt;/math&gt; in expressione functionis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; sequi &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\alpha^{m+1} \cos (m+1)x + \alpha^{m+2} \cos (m+2)x + \text{etc.} \\
+ \beta^{m+1} \sin (m+1)x + \beta^{m+2} \sin (m+2)x + \text{etc.}
\end{align}
&lt;/math&gt; valorem vero (incompletum), in suppositione, has partes non adesse, pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; in art. praec. inventum, esse&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>ez0k6xowmr9vr6xn842ggjq677zarsw</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/312</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86097</id>
    <revision>
      <id>281261</id>
      <parentid>281073</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T18:36:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281261</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3178" sha1="fclhq317u3cgxrd6n1kujzz05odcjxj" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\gamma &amp;  + \gamma'\cos t + \gamma''\cos 2t + \gamma'''\cos 3t+\dots+\gamma^{m}\cos mt \\
 &amp; +\delta'\sin t + \delta''\sin 2t + \delta''' \sin 3t+\dots+\delta^{m}\sin mt
\end{align}
&lt;/math&gt; ita ut habeatur &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\gamma = \frac{1}{\mu} (A + B + C + D + \text{etc.})&lt;/math&gt; etc. Substituantur pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A, B, C, D&lt;/math&gt; etc. valores sui, puta &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
A =  \alpha + &amp;  \alpha' \cos a + \alpha'' \cos 2a + \ldots + \alpha^m \cos ma + \alpha^{m+1} \cos (m+1)a + \dots \\
+   &amp; \beta' \sin a + \beta'' \sin 2a + \ldots + \beta^m \sin ma + \beta^{m+1} \sin (m+1)a + \dots \\
 &amp; \text{etc.}
\end{align}
&lt;/math&gt; fietque (per summationem modo traditam) &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\gamma = \alpha +  &amp; \alpha^{\mu} \cos \mu a + \alpha^{2\mu} \cos 2\mu a + \alpha^{3\mu} \cos 3\mu a + \text{etc.} \\
+ &amp;\beta^{\mu} \sin \mu a + \beta^{2\mu} \sin 2\mu a + \beta^{3\mu} \sin 3\mu a + \text{etc.}\\[1em]
\gamma' = \alpha' +  &amp; (\alpha^{\mu-1} + \alpha^{\mu+1}) \cos \mu a + (\alpha^{2\mu-1} + \alpha^{2\mu+1}) \cos 2\mu a + \text{etc.} \\
+ &amp;(\beta^{\mu-1} + \beta^{\mu+1}) \sin \mu a + (\beta^{2\mu-1} + \beta^{2\mu+1}) \sin 2\mu a + \text{etc.} \\[1em]
\delta' = \beta' -  &amp; (\beta^{\mu-1} - \beta^{\mu+1}) \cos \mu a - (\beta^{2\mu-1} - \beta^{2\mu+1}) \cos 2\mu a - \text{etc.} \\
- &amp;(\alpha^{\mu-1} - \alpha^{\mu+1}) \sin \mu a - (\alpha^{2\mu-1} - \alpha^{2\mu+1}) \sin 2\mu a - \text{etc.} \\[1em]
\gamma'' = \alpha'' + &amp;  (\alpha^{\mu-2} + \alpha^{\mu+2}) \cos \mu a + (\alpha^{2\mu-2} + \alpha^{2\mu+2}) \cos 2\mu a + \text{etc.} \\
+ &amp;(\beta^{\mu-2} + \beta^{\mu+2}) \sin \mu a + (\beta^{2\mu-2} + \beta^{2\mu+2}) \sin 2\mu a + \text{etc.} \\[1em]
\delta'' = \beta'' - &amp;  (\beta^{\mu-2} - \beta^{\mu+2}) \cos \mu a - (\beta^{2\mu-2} - \beta^{2\mu+2}) \cos 2\mu a - \text{etc.} \\
- &amp;(\alpha^{\mu-2} - \alpha^{\mu+2}) \sin \mu a - (\alpha^{2\mu-2} - \alpha^{2\mu+2}) \sin 2\mu a - \text{etc.}
\end{align}
&lt;/math&gt; etc. usque ad &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\gamma^m = \alpha^m + (\alpha^{\mu-m} + \alpha^{\mu+m}) \cos \mu a + (\alpha^{2\mu-m} + \alpha^{2\mu+m}) \cos 2\mu a + \text{etc.} \\
+ (\beta^{\mu-m} + \beta^{\mu+m}) \sin \mu a + (\beta^{2\mu-m} + \beta^{2\mu+m}) \sin 2\mu a + \text{etc.}\\[1em]
\delta^m = \beta^m - (\beta^{\mu-m} - \beta^{\mu+m}) \cos \mu a - (\beta^{2\mu-m} - \beta^{2\mu+m}) \cos 2\mu a - \text{etc.} \\
- (\alpha^{\mu-m} - \alpha^{\mu+m}) \sin \mu a - (\alpha^{2\mu-m} - \alpha^{2\mu+m}) \sin 2\mu a - \text{etc.}
\end{align}
&lt;/math&gt; Si itaque progressio tantopere convergit, ut &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha^{m+1}, \beta^{m+1}, \alpha^{m+2}, \beta^{m+2}&lt;/math&gt; etc. negligi possint, valores &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\gamma, \gamma', \delta'&lt;/math&gt; etc. pro veris &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha, \alpha', \beta'&lt;/math&gt; etc. accipere licebit.

&lt;br /&gt;
{{center|22.}}

Transimus ad casum alterum art. 11, ubi progressio &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; quidem eadem manet ut in art. 20, multitudo valorum datorum autem unitate minor est quam multitudine coëfficientium incognitorum, puta &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;= 2m = \mu&lt;/math&gt;. Hic habetur&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>fclhq317u3cgxrd6n1kujzz05odcjxj</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/313</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86098</id>
    <revision>
      <id>281262</id>
      <parentid>281074</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T18:40:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281262</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2685" sha1="1maiw88uvzhllokvtt18wxdvr6ji6n9" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
&amp;\cos\tfrac{1}{2} (t - a) \sin \tfrac{1}{2} (t - b) \sin \tfrac{1}{2} (t - c) \sin \tfrac{1}{2} (t - d) \ldots \\
&amp;= - \frac{\sin \frac{1}{2} \mu (t - a) \cos \frac{1}{2} (t - a)}{2^{\mu-1} \sin \frac{1}{2} (t - a)} \\
&amp;= - \frac{\cos \tfrac{1}{2} (t - a)}{2^{\mu-2}} (\cos \tfrac{1}{2} (t - a) + \cos \tfrac{3}{2} (t - a) + \cos \tfrac{5}{2} (t - a) + \ldots + \cos \tfrac{\mu-1}{2} (t - a)) \\
&amp;= - \frac{1}{2^{\mu-1}} (1 + 2 \cos (t - a) + 2 \cos 2 (t - a) + 2 \cos 3 (t - a) + \ldots + 2 \cos (m - 1) (t - a) \\
&amp;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\  + \cos m (t - a))
\end{align}
&lt;/math&gt; Quare in formula art. 11 pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; coëfficiens ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A&lt;/math&gt; fit &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
= \frac{1}{\mu} (1 + 2 \cos (t - a) + 2 \cos 2 (t - a) + 2 \cos 3 (t - a) + \ldots \\
+ 2 \cos (m - 1) (t - a) + \cos m (t - a))
\end{align}
&lt;/math&gt; Et prorsus similes expressiones (mutato tantummodo &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a&lt;/math&gt; in &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b, c, d&lt;/math&gt; etc.) pro coëfficientibus ipsorum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B, C, D&lt;/math&gt; etc. inveniuntur. Denique pars ultima ipsius &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
2^{2m-1} i^{2m} \sin \tfrac{1}{2} (t - a) \sin \tfrac{1}{2} (t - b) \sin \tfrac{1}{2} (t - c) \sin \tfrac{1}{2} (t - d) \ldots \times \{ \alpha^m \cos \tfrac{1}{2} s + \beta^m \sin \tfrac{1}{2} s \}
&lt;/math&gt; fit &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
&amp;= - i^{2m} \sin m (t - a) \{ \alpha^m \cos (ma + (2m - 1) 90^\circ) + \beta^m \sin (ma + (2m - 1) 90^\circ) \}\\
&amp;= - \sin m (t - a) (\alpha^m \sin ma - \beta^m \cos ma)
\end{align}
&lt;/math&gt; Hinc tandem colligitur &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
T = &amp;  \tfrac{1}{\mu} (A + B + C + D + \text{etc.}) \\
&amp;+ \tfrac{2}{\mu} (A \cos a + B \cos b + C \cos c + D \cos d + \text{etc.}) \cos t \\
&amp;+ \tfrac{2}{\mu} (A \sin a + B \sin b + C \sin c + D \sin d + \text{etc.}) \sin t \\
&amp;+ \tfrac{2}{\mu} (A \cos 2a + B \cos 2b + C \cos 2c + D \cos 2d + \text{etc.}) \cos 2t \\
&amp;+ \tfrac{2}{\mu} (A \sin 2a + B \sin 2b + C \sin 2c + D \sin 2d + \text{etc.}) \sin 2t \\
&amp;+ \text{etc.} \\
&amp;+ \tfrac{1}{\mu} (A \cos ma + B \cos mb + C \cos mc + D \cos md + \text{etc.}) \cos mt \\
&amp;+ \tfrac{1}{\mu} (A \sin ma + B \sin mb + C \sin mc + D \sin md + \text{etc.}) \sin mt \\
&amp;+ (\alpha^m \sin ma - \beta^m \cos ma) (\sin ma \cos mt - \cos ma \sin mt)
\end{align}
&lt;/math&gt; Quae expressio, si, rescissa parte ultima, per &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\gamma + \gamma' \cos t + \gamma'' \cos 2t + \text{etc.} + \gamma^m \cos mt \\
+ \delta' \sin t + \delta'' \sin 2t + \text{etc.} + \delta^m \sin mt
\end{align}
&lt;/math&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>1maiw88uvzhllokvtt18wxdvr6ji6n9</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Liber:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf</title>
    <ns>106</ns>
    <id>86192</id>
    <revision>
      <id>281263</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:35:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>Paginam instituit, scribens ''</comment>
      <origin>281263</origin>
      <model>proofread-index</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="110" sha1="jkepjeaofqfaq26ja7tcvbgm0ctg4db" xml:space="preserve">{{:MediaWiki:Proofreadpage_index_template
|Title=Sphaera Ioannis de Sacrobosco Emendata
|Language=la
|Volume=
|Author=Iohannes de Sacrobosco
|Translator=
|Editor=
|Illustrator=
|Publisher=Elias Vinetus
|Address=Venice
|Year=1586
|Source=
|Image=1
|Progress=X
|Pages=&lt;pagelist /&gt;
|Remarks=
|Header=
|Footer=
}}
[[Categoria:Mathematica]]</text>
      <sha1>jkepjeaofqfaq26ja7tcvbgm0ctg4db</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281330</id>
      <parentid>281263</parentid>
      <timestamp>2026-09-19T09:06:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Demetrius Talpa</username>
        <id>13304</id>
      </contributor>
      <origin>281330</origin>
      <model>proofread-index</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="146" sha1="h6dc16fz5s0n9yg7tuznpi3j2d30875" xml:space="preserve">{{:MediaWiki:Proofreadpage_index_template
|Title=Sphaera Ioannis de Sacrobosco Emendata
|Language=la
|Volume=
|Author=[[Scriptor:Iohannes de Sacrobosco|Iohannes de Sacrobosco]]
|Translator=
|Editor=
|Illustrator=
|Publisher=Elias Vinetus
|Address=Venice
|Year=1586
|Source=
|Image=1
|Progress=X
|Pages=&lt;pagelist /&gt;
|Remarks=
|Header=
|Footer=
}}
[[Categoria:Mathematica]]</text>
      <sha1>h6dc16fz5s0n9yg7tuznpi3j2d30875</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/1</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86193</id>
    <revision>
      <id>281264</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:49:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281264</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="680" sha1="krjeno7o9zee6uncbj8yl5qpaq95ysc" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;{{center|

{{larger|SPHÆRA}}

{{xxxx-larger|IOANNIS}}
{{xx-larger|DE SACROBOSCO}}

{{x-larger|EMENDATA.}}

{{larger|''Eliæ Vineti Santonis scholia in eandem Sphæram, ab ipso Authore restituta.''}}

''Adiunximus huic Libro compendium in Sphæram, per Pierium Valerianum Bellunensem:''

Et Petri Nonij Salaciensis demonstrationem eorum, quæ
in extremo capite de climatibus Sacroboscus scribit de inæquali climatum latitudine: eodem Vineto interprete.

{{larger|Ex postrema Impressione Lutetiæ.}}

[[File:Sacrobosco Cover Image 1.png|Cover image from Elias Venitus's edition of De Sphaera]]

{{larger|VENETIIS, Apud Hęredem Hieronymi Scoti.}}

{{larger|[M] D L X X X V I.}}
}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>krjeno7o9zee6uncbj8yl5qpaq95ysc</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/2</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86194</id>
    <revision>
      <id>281265</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:49:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Vacua */</comment>
      <origin>281265</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="0" sha1="t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;0&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/3</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86195</id>
    <revision>
      <id>281266</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:49:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'BX:i A S VINETY S De Ioan.de SacroBofco. AD IOAH.NEM TACITVM  KHI  de Sacro Bo lcopatriafuit , quxnunc  ^ngliain/ula, olim bion  ^l-  &amp; Bntarinia appella-  ta. lutetMliteras phi' lofophiam didicUydoaorq; Tanfienfts fuit. Scrtfftt de  ,  Sphtera mundiy de afifolaalgorithmo ( fuppu-  amm na vocarum barbart) de compuZc cle}iantco,adunnumCbrtm MCCirj, vt ex eo car mine liqm,quo w UbtUus de computo ,  tandt  concludnur lutetta fepuUtiseR,infodat,u...</comment>
      <origin>281266</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="743" sha1="lrd0v4spyygiq3tbiweup38uy183m8y" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;BX:i A S VINETY S
De Ioan.de SacroBofco.
AD IOAH.NEM TACITVM

KHI

de Sacro Bo
lcopatriafuit , quxnunc

^ngliain/ula, olim
bion

^l-

&amp; Bntarinia appella-

ta. lutetMliteras
phi'
lofophiam didicUydoaorq;
Tanfienfts fuit. Scrtfftt de

,

Sphtera mundiy de
afifolaalgorithmo ( fuppu-

amm na vocarum barbart) de compuZc cle}iantco,adunnumCbrtm MCCirj,
vt ex eo
car mine liqm,quo w UbtUus
de computo
,

tandt

concludnur
lutetta fepuUtiseR,infodat,um
Maturinaltum dau
«.«//0 tumulo tnfculpra
(pb^ra, ac ci. cum
firjl&quot;&quot;^
lua m hoc epttaphtum,
De Sacro Bofco qui compotifia
foannes

Ti mpvra qui fequeris, memor
eUo quod morieris
St mifiir es, plora . ^lferans
pro me pr uot ora.
Ex qiio quidem velfolo carmine.quale
id fuer t

tA

%

fas-

culum&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>lrd0v4spyygiq3tbiweup38uy183m8y</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/4</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86196</id>
    <revision>
      <id>281267</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:49:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'culumiConifcereyfattSy nifallor  ijs  liceret  ,  qui q^fod in  loannisde Sacro Bofco fermone nonplacetynHnl vt^ renturflatim detraherejCommUtare vCyhoc non confi^ derantesyci tempefiati  Latinum vifum , probatumqtse  fuijfe^quicqmd formam aliqui Lattne luigt^a haberety Xy aliquo modo pojfct ab iliis intelligi , qUt literas La^ tinas tra6tartnt*Hinc maiorari ,  huiufmodi tnnumera nata , qu^  &amp; minoran &amp; ,  ipfis  alia  adtb Itpida vifa  , vt...</comment>
      <origin>281267</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1315" sha1="cbz997tqg0p20by0b61oxlpbv4ko74a" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;culumiConifcereyfattSy nifallor

ijs

liceret

,

qui q^fod in

loannisde Sacro Bofco fermone nonplacetynHnl vt^
renturflatim detraherejCommUtare vCyhoc non confi^
derantesyci tempefiati

Latinum vifum , probatumqtse

fuijfe^quicqmd formam aliqui Lattne luigt^a haberety
Xy aliquo modo pojfct ab iliis intelligi , qUt literas La^
tinas tra6tartnt*Hinc maiorari ,

huiufmodi tnnumera nata , qu^

&amp; minoran &amp;
,

ipfis

alia

adtb Itpida vifa

, vt Hs f(Zpius qudm Latim ipftSj
promptu erant vterentur . l^ihil itaque

funtj qut effinxerunt

qu^etiam
'

in

tn eius feculifcriptis tam temere audendum:qu£ fi cui
€X elegantioribws itanimiHmbarbara videntur^ fcri^
^bat ille quidpiam purmyquod pro illis kgamus , poH^
quam veteres illi Lattw nihil quicquam tale , quod qui

dem adnosperuenerit^cdidtrmt.Mea
fuit ratio^mi Tactte^vt veterum

ctrteficfemper

ommum^etiambarba

&amp;

rd^umfcriptajn quibti^ fii quod difcamws , fan£ia
. Qjiarene

inte^rapro viribus conferuanda curemus

tam diligensfuerimin hocrefiituendo UbeU
qu^aut
Yudioriimponere IMori , aut eum remorari pofje vide^
bantur: ftd tatttum laborem hunc noHrum prcbes ;
fi dt^nti^ tibi vtfus futrit , qui in luctm exeat , eum in
4U0 nomneapparerefinas . Fale^ BurdtnaUtUiZ Ca^
mirerisyfi

lo .explicandifqueob terlociscompturibuSy

&amp;

len.Mart.

M D

JC*

f&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>cbz997tqg0p20by0b61oxlpbv4ko74a</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/5</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86197</id>
    <revision>
      <id>281268</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:50:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'lOAl^j JpE S  ACRO BOSCO  IN SVAM SPHAERAM.  n&gt;  KOE  MIV M  KaSiatunt de Sphara qua ttior  capkults dtftm^ui-  mus^ dtSiun  t&gt;rimo  com  pofttwnem Sphara^ quid fit  tpharayqutd fit etm  centrumyqmd axts J^harat qtud fit poltts mundii quot fint fphxra , qua fit fo^ma mundt: Jnfecundo^de  ctrcuits ,  sphara materidis compomtur , percoeleHis  ex qmbus  ^  occafu fignorumy  noSitum  fw  ( qua ptr iftam imagtnatur )  componitntelltgttur, Jntertio...</comment>
      <origin>281268</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="601" sha1="96376aya5un1uxk05ywpvy0u0ko6e0y" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;lOAl^j JpE S

ACRO BOSCO

IN SVAM SPHAERAM.

n&gt;

KOE

MIV M

KaSiatunt de Sphara qua
ttior

capkults dtftm^ui-

mus^ dtSiun

t&gt;rimo

com

pofttwnem Sphara^ quid
fit

tpharayqutd fit etm

centrumyqmd axts J^harat qtud
fit poltts
mundii quot fint fphxra , qua fit fo^ma
mundt: Jnfecundo^de

ctrcuits ,

sphara materidis compomtur ,
percoeleHis

ex qmbus

^

occafu fignorumy

noSitum

fw

( qua ptr iftam imagtnatur )

componitntelltgttur, Jntertio^ae

^

tlla

^ de

diuerfitate

ortua^
dttrum

de diwfione cltmatum

.

'jn

quartOide ctrculis^O' motibiisplanetarutn
de caufis ecltpfium.

A

3

Capitu-&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>96376aya5un1uxk05ywpvy0u0ko6e0y</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/6</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86198</id>
    <revision>
      <id>281269</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:50:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'Capitulutn  Primum  Phaera.igitiir  ab Euclidc fic defcri  bitur: ^phctra eft trnnfitus circuferen.ti« diraidij circuli qug(fixa  diamctro} coufque circunducitur 5 quoufq; ndlocum luum rcdeatjid eft  :  Sphaera eft tale rotu-  dum &amp; lolidu quod defcribitur ,  ab arcu fcmicircult circundu&lt;&amp;o  .  SphxV^  etlaih a  ..qiiodTheodofioficdefcribitur:Sph,Traeft f dnm vna fuperficie conienttrm^in cuius mcdio puftus eft,a quo omnes lincae duftc ad circ...</comment>
      <origin>281269</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1257" sha1="6ca5cdjat0knyn6xojlf94cwn8zvdtn" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;Capitulutn

Primum

Phaera.igitiir

ab Euclidc fic defcri

bitur: ^phctra eft trnnfitus circuferen.ti« diraidij circuli qug(fixa

diamctro} coufque circunducitur 5 quoufq; ndlocum luum rcdeatjid eft

:

Sphaera eft tale rotu-

dum &amp; lolidu quod defcribitur
,

ab arcu fcmicircult circundu&lt;&amp;o

.

SphxV^

etlaih a

..qiiodTheodofioficdefcribitur:Sph,Traeft f
dnm vna fuperficie conienttrm^in cuius mcdio puftus eft,a quo omnes lincae duftc ad circunferentia
funt^quales : &amp; ille punftus dicitur cenirura.fphg
'

rae.Lineavero rcfta, trafiens percentrum Iphacra?,
applicansextrcmitatesfuasad circunferentiam
vtraquepartCjcirca quam fphn?ra voluitur^ dicitui;
axisfphxroB.Duo veropunfta axem tcrminantia di

cungar poli

fphaera?.

SCHOLIOT^ VIT^ETU
Fuc t dis depnitio ^^^d^rs eji hs&gt;c in eh mento rnde. &quot;^phara t H quando femicircuUmanentediatne-

cimo

tY0,cYCundu6iu6 fcmiciyculus irtidem rurffis rediti^i^n
deccepit circunfcribi fi^^iailla.Huius defivitionkfen
icntia ex (ubieCli/s

piCtum patcre

tem pnnit auCfor yCorruperunt
terpretes.Si

fupcrficiim
d^

enim linea
,

pott ft

.

Qjiam au^

Crctcprutn Etfclidts /w-

m Ltu/s fliH ns defcphjt t^tum

circur:{cy(nfta

fmkirculi circurjStlaJt

fcnbct fupe) ficiemglobi Jolum , non gh bim%lidm
z

:

DIVI'&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>6ca5cdjat0knyn6xojlf94cwn8zvdtn</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/7</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86199</id>
    <revision>
      <id>281270</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:50:20Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'D V  rs  M  TO  S  P  H AE  y N D  R  AE  I.  SPhfra autem mundi diipliciteV5iuiditur,fccun dum fubflantiam, &amp; fccundum accidcns. Secundum fubftantiam in fpha^ras nouem, In fphxras rjonem.) Recentiorcs ylflologi dccu tnam ^haram addiderunt ^proptcr tmiumm oRam (phxra animadHerfnm motum , quem dixerunt motum trepidationis  Turbachiws  ,  ^ motumaccejfu^ &amp; rece^ns; de  qui&gt;  in Theorici^.  Scilicet fphaera  noua^qug primus mbtus fiue pri-  mum...</comment>
      <origin>281270</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="705" sha1="94przzp8v3atn7ci3mmimlr5za2zxqy" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;D V

rs

M

TO

S

P

H AE

y N D

R

AE

I.

SPhfra autem mundi diipliciteV5iuiditur,fccun
dum fubflantiam, &amp; fccundum accidcns. Secundum fubftantiam in fpha^ras nouem,
In fphxras rjonem.) Recentiorcs ylflologi dccu
tnam ^haram addiderunt ^proptcr tmiumm oRam
(phxra animadHerfnm motum , quem dixerunt motum
trepidationis

Turbachiws

,

^ motumaccejfu^ &amp; rece^ns; de

qui&gt;

in Theorici^.

Scilicet fphaera

noua^qug primus mbtus fiue pri-

mum mobile df: &amp; in fph^tram ftellarum fixarum,
qu^ firmamentum nuncupatur &amp; in feptem fphas
fepte planetaru,quaru qdam funt m aiores^quas
:

ru^s

da mmores fecudu^ plus accedunt vel recedunt i
firmamento. Vnde itci* illas fphasras, fph^ ra Saturni

A

4

maxima&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>94przzp8v3atn7ci3mmimlr5za2zxqy</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/8</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86200</id>
    <revision>
      <id>281271</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:50:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'S maxima  Sphara ,  'Joa.nnis  fphstra vcro Lunae  minima prout in fe.  quenti figura continentur. FiguraBftcndtns  mmerumac  ordinem fplmarum mundi Jecnndum  cc^leSlium^ indicanfque dmiftonem  ubftantiam* 1  Secundum accidens autem diuiditur in fph^ram fph^ram obliquamfllli autcm dicuntur ha refta bcre fphgeram redam^qui mancnt fub gquinoctia-  &amp;'</comment>
      <origin>281271</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="349" sha1="jz2lhbryld6jq8lrrgzxtn9eyxcwf8p" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;S
maxima

Sphara
,

'Joa.nnis

fphstra vcro Lunae

minima prout in fe.

quenti figura continentur.
FiguraBftcndtns

mmerumac

ordinem fplmarum
mundi Jecnndum

cc^leSlium^ indicanfque dmiftonem

ubftantiam*
1

Secundum accidens autem diuiditur in fph^ram
fph^ram obliquamfllli autcm dicuntur ha
refta
bcre fphgeram redam^qui mancnt fub gquinoctia-

&amp;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>jz2lhbryld6jq8lrrgzxtn9eyxcwf8p</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/9</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86201</id>
    <revision>
      <id>281272</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:50:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'De ficro Bo/co. (  .  9  i.  manere poffit Et dicitur eis reftsj &lt;]uia neuter polorum magis altero illis eleuatunvel quoniam eorum horizon interfccat «quinoftiale, H,  li aliqiiis  ibi  .  &amp; interfecatur ab eodem ad angulos reaos fphasra les.  illi  vero dicuntur hfe fpha^ram obliquam  ,  qui-  cunque habitant citra ^quinoCtialem, vel vltra. IIlis.n.fuprahorizontcm alter polorum fempeleuatur,alterver6fem|)deprimitur:vel quoniaJilorum artifici...</comment>
      <origin>281272</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="998" sha1="lvfrst2o9hfgs61aihlzfob1nm1txch" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;De ficro Bo/co. (

.

9

i.

manere poffit Et dicitur eis reftsj
&lt;]uia neuter polorum magis altero illis eleuatunvel
quoniam eorum horizon interfccat «quinoftiale,
H,

li aliqiiis

ibi

.

&amp; interfecatur ab eodem ad angulos reaos fphasra
les.

illi

vero dicuntur hfe fpha^ram obliquam

,

qui-

cunque habitant citra ^quinoCtialem, vel vltra. IIlis.n.fuprahorizontcm alter polorum fempeleuatur,alterver6fem|)deprimitur:vel quoniaJilorum
artificialis interfecat a?quino(5tiaIem,&amp; interfecatur ab eode ad angulos impares
obliquos.

horizon

&amp;

SCHOLIO^i V1V,ETI.

&amp;

Hori^^^on aYtificialis^quis hicdicatur

cdntendarit mterpretts^tu

cafitc [ecundo obliquis

&amp;

,

dum qu^vant

eum interm

dccliiiis

accipitOjqui

apptllubuur.

DE PARTTB VS MVNDI,
Et qus funt partes eiufdem.
autcm mundi machina in duo di
&amp;elemcntarcm regioncm^F.lc mcntans quide alreratimi con
tinujB peruia exiftens^'n quatuor diuiditur. Eft em
tcrra tanquam mundi centrum in mcdio cmnium
Niuerfalis

V*^

uiditur,ina?rheream.f.&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>lvfrst2o9hfgs61aihlzfob1nm1txch</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/10</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86202</id>
    <revision>
      <id>281273</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:50:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'lita,circa i£^n^,i!Iic  quam a.Qua,circa aqu3m aer, circa acrcm purus&amp;non turbidus orbcm Lunf actin  ges,vt ait Ariftotck '  s  in libro  Mctcororu  .  enim  Sic  cadifpofuit [)eus gloriorus&amp; fublimis.Et hjcqua tuor clementidicuntur, quas viciKim afemetipiis  alterantur,corrumpuntur,&amp;:gencrantur. Sunt aurem elcmenta corpora limplicia , &lt;]ux in partesdiuerf-tru fi^rmaru minime diuidi podunt  exquorum comixtionc diucrf^e^^eneratoruni  fpe-  cie...</comment>
      <origin>281273</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1466" sha1="l27mxotluavefq4r5rsg3n72h7wc7fk" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;lita,circa
i£^n^,i!Iic

quam a.Qua,circa aqu3m aer, circa acrcm
purus&amp;non turbidus orbcm Lunf actin

ges,vt ait Ariftotck
'

s

in libro

Mctcororu

.

enim

Sic

cadifpofuit [)eus gloriorus&amp; fublimis.Et hjcqua
tuor clementidicuntur, quas viciKim afemetipiis

alterantur,corrumpuntur,&amp;:gencrantur.
Sunt aurem elcmenta corpora limplicia , &lt;]ux in
partesdiuerf-tru fi^rmaru minime diuidi podunt

exquorum comixtionc diucrf^e^^eneratoruni

fpe-

cies {iiic. Quorum trium quodlibct terrani orbicularicer vndiq; circundat nili quantum liccitas terrg

humoriaqucBobliftiradvitam animanrium tuendam*. Omnia etiam pra^ter rerram mobilia cxiftuc,
qu.^ vt centrum mundi^ponderolitatefui , magnu
extremorum motum vndique gqualiter tugiens^ro
tund:£ fph:crne medium poilidet.
Circa clementarem quidem regioncm oetherc^
reqio lucida abomni variationc , fua immutabili
.

^

effcntia,

immunis

laritcr incedit

,

cupatur efTcntia

exiftens

&amp;
:

motu continuo circu-

,

ha?c a Philofophis quintaniin^
cuiusnouem fant SphGerae j (i-

SCUOLIOT^ riHETI.
Q^uinta mncupatur effentia)

Ab ^riflotele ovmx

(jH^demjdelii ejfaitia lib prim^ de Ctxlo^ in libro yer§

dc

Mundo{ q^iern eiufdeai efle

gxnt) soix^&lt;^^

1

^flf

.Arilloreiis quid

m ne-

elemtntum^ aliud a quatuorit'

ii,ignf*.atre ac]'^asterra.

cutinproximo pcrtraflatum
nn?

,

turai

,

cft

,

fcilicet

,

Lu—

Vcneris , SoVis , Martis , louis Sacoeli vltimi . Iftarum
ftellarum fixarum ,

Mercurij

,

&amp;

autem&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>l27mxotluavefq4r5rsg3n72h7wc7fk</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/11</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86203</id>
    <revision>
      <id>281274</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:50:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'Sacro aiTtem fphterarum  Bnfd  ^  /^^  .  /  /.  qiiaelibet fuperior inferiorc  fphg  ricccircundattquarumquidemduo funt mocus. Vnuscft coeli vltimifupcr duas axis extremitarcsi kiricet,polum araicum &amp; antardicum , ab oriece per occidcn!?em itcrum rediensinorientem,qucnnt SBquinoclialis circulus per medium diuidit.Elt etil alius iciferioryn^ iphgiprum motD!f p bbliquu huic  oppofitus fupcr polos fuos diftantes a primis vigintriginta tribus mi...</comment>
      <origin>281274</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1187" sha1="erzgqaejhbxrts0gurloe647epoc9m1" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;Sacro
aiTtem fphterarum

Bnfd

^

/^^

.

/

/.

qiiaelibet fuperior inferiorc

fphg

ricccircundattquarumquidemduo funt mocus.
Vnuscft coeli vltimifupcr duas axis extremitarcsi
kiricet,polum araicum &amp; antardicum , ab oriece
per occidcn!?em itcrum rediensinorientem,qucnnt
SBquinoclialis circulus per medium diuidit.Elt etil
alius iciferioryn^ iphgiprum motD!f p bbliquu huic

oppofitus fupcr polos fuos diftantes a primis vigintriginta tribus minutis,
ti tribu5 gradibus

&amp;

j

,

#

*
.

^primis

fcilket polis r&gt;Uivdi^id^^i,aY[lico&amp; an

JolumFd
vnumctqumqnagin-

tariJico.Vro vipjntitribtism rjutiahocloco

y

txcwplar

bri Sraoulenfis

h^ihtt

m^eru6 fjt cap.fecundo^

I

ta/ortaQe^quodM.

^

luris tt circulis minoTibws^Q^

^


ItmM ferefunt

vbi dc Co
uoniam aut b^cex Vto^

qu^ obferuarunt diuerfa recentiores
^ftrologiy ea lege jn Turbachi^ Tl eoricis.

Sed primus

,

pfriri^^^

fecum impctu

ino rapit ihtra,die&amp;
nbdtem circa terram
femcl, ilh's tamen con
tri nitentibus.vroda-

uafphiera in centum
annis gradu vno. Hiic
liquidcm motumfc-

cundu diuiditperme
diu ZodiacuSjfub quo
quilibet (epiem plane

tarum fphgram habet^
propriam , in qua dcfcrtur motu proprio contri
coelj&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>erzgqaejhbxrts0gurloe647epoc9m1</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/12</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86204</id>
    <revision>
      <id>281275</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:50:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'coeli intinii motnni, &amp; in diuerlis.fpatijs tempard iprum metitur vi Saturnus-a0;^i]i^iitaannis Inp^ ;  :  pitcr.in  •  JVI&amp;rs in  ciucbus  :  Sol in trece-  tisfox.ujiniiiquinque diebus&amp;rcxhorisfcre  Mercu^ius nmilitcr fere cum vicinti feptem oiflo horis  nys.&lt;?x:  ro in  :  Vc-I  Sok Luna vc.  &amp;  COELVM MOVERI CIRCVLAKItcr&amp;  efle  figurs Spha^ricT.  QVod autcm  coelum euoluaturab oricntein occidcntcmjlignum eft. StellrB quae oriunturin oric...</comment>
      <origin>281275</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1025" sha1="m19tbovu1cpd33j5zhwugpeguk9q369" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;coeli intinii motnni, &amp; in diuerlis.fpatijs tempard
iprum metitur vi Saturnus-a0;^i]i^iitaannis Inp^
;

:

pitcr.in

•

JVI&amp;rs in

ciucbus

:

Sol in trece-

tisfox.ujiniiiquinque diebus&amp;rcxhorisfcre

Mercu^ius nmilitcr fere cum
vicinti feptem
oiflo horis

nys.&lt;?x:

ro in

:

Vc-I

Sok Luna vc.

&amp;

COELVM MOVERI CIRCVLAKItcr&amp;

efle

figurs Spha^ricT.

QVod autcm

coelum euoluaturab oricntein
occidcntcmjlignum eft. StellrB quae oriunturin oricnte ^ femper ^leuantur paulatim
fucceniue^quoufquc in medium coeli veniant;&amp;
lunt fempcr in cadem propinquitate &amp; rcmotione
adinuiccm : &amp;itafemperfchabentcs., tenduntirt
occcifutn cbivinue5&amp; vniformiter.
'^Eft &amp; rdiud fignum *. Stcll^equsefunt iuxtapolu
arfticum,quaenunquam nobisoceidunt, mouetur
continue, &amp; vniformitercircapolum defcribendo
circulos fuo$,&amp; feniper funt in a^quali diftantia ad.
propinquitatp.Vnd^ per iftos duos mo
inuiccm

&amp;

&amp;

tus conririuos.ftellarum tarh tcridcritium adoccafum^cuam honjpatet, quodfirmamentum moue;-

turab oriente&lt;in occidentem.

QVOD&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>m19tbovu1cpd33j5zhwugpeguk9q369</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/13</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86205</id>
    <revision>
      <id>281276</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:51:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'De ficro  Capi  Sn/co.  •Quod autaiVGCKlum  ij  !.  ra  fit fotfl^d(irn  tio,fimilitudo,coaimodiLas5&amp; neceftitas.bimilitu-''  do^quoniam mundus  fenlibilisfacluscit aii iimili  m ildi SrdiiJiy])  , iii ej&quot;U6' nec eff pri n c p ii nec hnis.Vnde ad huius limihtudinemiaftiis mim' dusfentibihSjHabetforraam r^liid^M^^j ltiqua no^  t udih era  i  i  eft afliguare principiumjncquefiileril.''-^-  sciioLrqT&lt;i rrj^-if^y  i  &quot;  •  ''''''  k)^ivimcf fuhf...</comment>
      <origin>281276</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1327" sha1="pcpsxm1zuz5urjjw1xy4tt902yogwju" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;De ficro

Capi

Sn/co.

•Quod autaiVGCKlum

ij

!.

ra

fit fotfl^d(irn

tio,fimilitudo,coaimodiLas5&amp; neceftitas.bimilitu-''

do^quoniam mundus

fenlibilisfacluscit aii iimili

m ildi SrdiiJiy])

, iii ej&quot;U6' nec eff pri n c p ii
nec hnis.Vnde ad huius limihtudinemiaftiis mim'
dusfentibihSjHabetforraam r^liid^M^^j ltiqua no^

t udih era

i

i

eft afliguare principiumjncquefiileril.''-^-

sciioLrqT&lt;i rrj^-if^y

i

&quot;

•

''''''

k)^ivimcf fuhflant. primaforma^ tded^&amp; exfmplar^.
qiiud imitetM'

mga4

y

.

Munam ^ircherjyu^ (yc anhttypits^

archaypos Cltaritds

dixerurit ItiUinalis

TAartialis ) hicduttur ta niundi

concepit Deus

mundum fh5lurua'''&lt;judfb(:i

&lt;zternae§lyVt Dms ipfe. ^/c

&amp;.

founa , c^uam mpitp
cc^jitatio

hunc locH imopietantur^

Commoditas,quia bmnium corporum ifopcrimetrorum fph^^ra maximum eft omnium etiam
formarum rotrida capaciflima efh quoniam igitur
maximum tfe rotnndum,ideo capaciflimum vnde
cum mundusomniacontineat, talisformafuit illi
:

:

vtihs&amp; commoda.

scir bTio ii

riT^lxi.

hiv ^qudey^zjC^ circum^^il^^ mcnfi^T^lu^9
linea circundamyO' ambitfd^.Si itaque futim aun
f^UyVerbigratia , ambitu^ vicenum Uadiorum qua*
altera triqHctraftt^altera rotunda fit circuliq; jjjpeciem habeaty ifoperim^trarumtllarurn maior erttro-^

tunda. Stc habebtt

,

fiex codemlutoyMrotundum
5i:qua'&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>pcpsxm1zuz5urjjw1xy4tt902yogwju</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/165</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86206</id>
    <revision>
      <id>281277</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:52:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'Jn decem vcro medijs  oliuas  ,  &amp; aerem cxcciU  £c fcbres aeftuofas fiCir.  At in vltimo dccano^eadem minitatur, atq; infu per inter morcales plurimum fguit morbo,rixis.fc-  '  ditionibuSjCaedibusque. ln:p X. pri.gra.latrocinia,&amp;rapinasimmittit* In x.medijs,in equos,&amp; in mulas dcf^uit,  In vltimis peftem  afflat  ,  &amp; mala mter mortales  plurima. In decano primo fuggillationes in Ijommes mouet j&amp;praeftantisalicuiusviri perniciofam cx*  .  ,...</comment>
      <origin>281277</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1097" sha1="al1cg3xdww0xsbdtog3hg8lfrqi9ys0" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;Jn decem vcro medijs

oliuas

,

&amp; aerem cxcciU

£c fcbres aeftuofas fiCir.

At in vltimo dccano^eadem minitatur, atq; infu
per inter morcales plurimum fguit morbo,rixis.fc-

'

ditionibuSjCaedibusque.
ln:p X. pri.gra.latrocinia,&amp;rapinasimmittit*
In x.medijs,in equos,&amp; in mulas dcf^uit,

In vltimis peftem

afflat

,

&amp; mala mter mortales

plurima.
In
decano primo fuggillationes in Ijommes
mouet j&amp;praeftantisalicuiusviri perniciofam cx*

.

,

&lt;lem oftendit.
In medio decano crebros militum ifultus,mcurfiones crebras,latrocinia,&amp; captiuitates.

Invltimo, regis alicuiusmortem&amp;feditionem.
cuipiam valetu
In
X. primus grad.malam regi

dinem indicat afhituram.
In x.medijs lcmentem la^dit vniuerfam.
Invltimisinlignem rerumlomnium mutationc
perpcfli fuefacit,qua tamen quicunque grauiora
,

rint,^malislib£rentur.

.

&amp; a5aituis,an

In )C denario primo, facerdotibus ,
maeiorem affcrt.
tiftitibusqucluctum
viri obitum.
medio,magni,pra2ftantisque
In
mariq; proterra
rapinas
In vltirao latrocinia
mifciias minitatur.

&amp;

&amp;

F

I

N

I

S

Rcg
ABCDEFGHIKL.
Omncs quaterniones,pra;tcr L Duernionem,&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>al1cg3xdww0xsbdtog3hg8lfrqi9ys0</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/80</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86207</id>
    <revision>
      <id>281278</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:54:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'De ficro Bo/co.  it  f^ap^ j.  ^Propter quodlegitur Dionyfium Areopagitara itfeadeirfpafsibnecllxifre,  Aut Deus  liatunrpati-  tur%aut mundi machina di^oluctur.  De Dionyfio qtiodamj^reopagiea^ hoc tantum in ^podoloYum Lucas fcriptum reliquit^ eum^ cum Taultis Athenii Cby^ftunipir^dicaretiCredidiffe, tlrChrisiianum efft6lum fiiijfe . P^ide quid in iUum locum Lau^ f^alla  ,  &amp; Def. Lrafmu4 a inotarint^quo^  an is Dionyfius fit ^qui apud Tdrif...</comment>
      <origin>281278</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1091" sha1="fp2q9me0m6gnp1i6zwhft4zuew8kqvw" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;De ficro Bo/co.

it

f^ap^ j.

^Propter quodlegitur Dionyfium Areopagitara
itfeadeirfpafsibnecllxifre,

Aut Deus

liatunrpati-

tur%aut mundi machina di^oluctur.

De Dionyfio qtiodamj^reopagiea^ hoc tantum in
^podoloYum Lucas fcriptum reliquit^ eum^
cum Taultis Athenii Cby^ftunipir^dicaretiCredidiffe,
tlrChrisiianum efft6lum fiiijfe . P^ide quid in iUum
locum Lau^ f^alla

,

&amp; Def. Lrafmu4 a inotarint^quo^

an is Dionyfius fit ^qui apud
Tdriftos pro Cknflo capite ptexus fit. dr cuius nunc
reliquiai fUfC^ tiim relimsi CQlantur . Qjiod auctm ad
ChriHi mortc
f^digi^f^ iUM
d^cRum^ ^ttinef j funt qui lUud Luc^y icf o^Ht^ riii^ y;;^
de vniuerfa duntaxat terr4jP,aUftina lnd^a Ve txpo^

nidm

duhitant nonnulli

nztjtcet MicbcieLSyngelus Hicrojblimir^n.tfS 7rf txjftj

cuim meminit iutdasin yocabu'0 Mtx^^x^ in
eolibkUoquemilc laudibus D. Oioayfit Gracojermo^
ne confcnpfn ^ non foLum Vartfijrum D^^onyfum eun^
Tf^a&lt;r ,

demiUum SoHseidem

Dionyfto Areopal^ti^y^&amp;^

lopbaniciiiddnifhipht^ii ettamm

Apol

Aegypto rifum

lit^cuMi^ctGrMU
titum frof^^lusjm^

SphaB.Sac.Bofc»

-.P&lt;^

PBTKI

.;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>fp2q9me0m6gnp1i6zwhft4zuew8kqvw</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/79</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86208</id>
    <revision>
      <id>281279</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:54:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'Sphar^ Joannts.  go  SoHs nequaquam, imo in vno climate cfl tcXv^CiSySt in alio non quod contingit propter diuerfitatem afpedus in diuerfis climatibus. Vndc Virgilius elefantifsime naturaj vtriufquc eclipfis, fub compen» :  io terigit, dicens:  Dcfedus Luna? varios, Solilquc labores 4  Ex pra^diftis patct, quod cum cdipfis Solis cflct  &amp;  eadem pafsio effet in pleniin pafsionc Domini, naturalis , imo niiracu-fuit non eclipfis illa lunio, natu...</comment>
      <origin>281279</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="551" sha1="nn7morzwgpfyb5aohplbvuieoumrm61" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;Sphar^ Joannts.

go

SoHs nequaquam, imo in vno climate cfl tcXv^CiSySt
in alio non quod contingit propter diuerfitatem
afpedus in diuerfis climatibus. Vndc Virgilius elefantifsime naturaj vtriufquc eclipfis, fub compen»
:

io terigit, dicens:

Dcfedus Luna? varios, Solilquc labores
4

Ex pra^diftis patct, quod cum cdipfis Solis cflct

&amp;

eadem pafsio effet in pleniin pafsionc Domini,
naturalis , imo niiracu-fuit
non
eclipfis
illa
lunio,
naturae
: quia eclipfis Solis in noui
contraria
lofa,&amp;
lunio , vel circa dcbct contingcre»
Propter

I

I

I&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>nn7morzwgpfyb5aohplbvuieoumrm61</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/78</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86209</id>
    <revision>
      <id>281280</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:55:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'DE ECLIPSI  CVm  SOLIS.  ;  autem Luna fuerit in capite vel m cauda  Draconis , vel prope, * velinfra metas fupradidas,&amp; in coniunftione cum Sole,tunc cor puslunarc interponitur intcr afpeftu noftrum&amp; corpus lolare . Vnde obumbrabit nobis claritatem Solis ita fol patietur ecliplin : non quia deficiat lumine led dehcit nobis , Proptcr interpofitionem Lunaeinterafpedum noitrum &amp;folarecorpus.  &amp;  Ethispatetjquod non femper eft ecliplis  Solis  i...</comment>
      <origin>281280</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="584" sha1="buuceq39mzpcctduukguw1m9dee6t1g" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;DE ECLIPSI

CVm

SOLIS.

;

autem Luna fuerit in capite vel m cauda

Draconis , vel prope, * velinfra metas fupradidas,&amp; in coniunftione cum Sole,tunc cor
puslunarc interponitur intcr afpeftu noftrum&amp;
corpus lolare . Vnde obumbrabit nobis claritatem
Solis
ita fol patietur ecliplin : non quia deficiat
lumine led dehcit nobis , Proptcr interpofitionem
Lunaeinterafpedum noitrum &amp;folarecorpus.

&amp;

Ethispatetjquod non femper eft ecliplis

Solis

in coniundione, fiue jn nouilunio.

Notandum etiem, qudd quando eft eclipfisLutx^ eft edipfis in omni terra : fed quado eft eclipfis
Solisi&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>buuceq39mzpcctduukguw1m9dee6t1g</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/77</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86210</id>
    <revision>
      <id>281281</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:55:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'facro Bo/co:  #^  Cap.  Rimy qtibd lumcnglobofum illuflrat jphdrd fe minorif plus dimdium.Q^u£ autem vmbra terra hic rulgh ap^ terra pellatur^ ea non eSi folius tcrr^ ^qua enim  &amp;  -pnumglobumambaconHituunty euiuseaefi rmbram auam Grxci cono^ Vlinius librofecundo^ metd ac Mr« biniinuerfo fimilem dicunti  Et cft eclipfis gcncralis in omni tcm , fi ipfa fiiorit in capite vel canda Draoones diredd. Particularis ver6,fi fucrit propi*inira mctasde...</comment>
      <origin>281281</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="483" sha1="b0el7mtlvgnxyvjk8r149wtox555ru8" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;facro Bo/co:

#^

Cap.

Rimy qtibd lumcnglobofum illuflrat jphdrd fe minorif
plus dimdium.Q^u£ autem vmbra terra hic rulgh ap^
terra
pellatur^ ea non eSi folius tcrr^ ^qua enim

&amp;

-pnumglobumambaconHituunty euiuseaefi rmbram
auam Grxci cono^ Vlinius librofecundo^ metd ac Mr«
biniinuerfo fimilem dicunti

Et cft eclipfis gcncralis in omni tcm , fi ipfa fiiorit in capite vel canda Draoones diredd.
Particularis ver6,fi fucrit propi*inira mctasdeter*

minatas, fcilicet cclipfi*

^&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>b0el7mtlvgnxyvjk8r149wtox555ru8</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:Sphaera Ioannis de Sacrobosco emendata. Elia Vineti Santonis scholia in eandem Sphaeram, ab ipso authore restituta. Adiunximus huic libro compendium in Sphaeram (IA bub gb hZh9BYVGr7wC 3).pdf/76</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86211</id>
    <revision>
      <id>281282</id>
      <timestamp>2026-09-18T19:55:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'Sphara f oamtSs  7€  interccptus dicitur direftio  :  &amp; quando ^laneta eft  tunc dicitur diredus . Arcus vero epiclycli inferior,inter duas ftationes interceptus, dicitur rc trogradatio,&amp; planeta ibi exiftens dicitur retrogra dus.Lunac autem non afsignatur ltatio,direftio,Vel in  illo  ,  retrogradatio.  Vnde non dicitur Luna ftationaria,  retrogada, proptcr velocitatem motus in €ius epicyclo. -j v direfta  ,  vel  '  SCHOLIOri FITiETU Tro iU...</comment>
      <origin>281282</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1394" sha1="ch9n2nn13do3i6xe4ejqh8wh6j4pc8p" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;Sphara f oamtSs

7€

interccptus dicitur direftio

:

&amp; quando ^laneta eft

tunc dicitur diredus . Arcus vero epiclycli
inferior,inter duas ftationes interceptus, dicitur rc
trogradatio,&amp; planeta ibi exiftens dicitur retrogra
dus.Lunac autem non afsignatur ltatio,direftio,Vel
in

illo

,

retrogradatio.

Vnde non dicitur Luna ftationaria,

retrogada, proptcr velocitatem motus
in €ius epicyclo.
-j v
direfta

,

vel

'

SCHOLIOri FITiETU
Tro iUo.In

'

hentyEiua

eius epicyclo^

qu^dam exemplaria ha -

in epicyclo.ftgnificat

jeteritermouetury

auteqUod dtferens ta

&amp; fertinfixumin fe

epicycli cen-^

trumorientem rerfus^rt Lun^
on fentiatur regreffus^
tarda pro retro
drc. quf dicitur velox pro direSia^

&amp;

graday&amp;c.

DE nCLIPSI LVNAE.

CVm

autem

fit

Sol maior terra

,

necefle eft g&gt;

medictas fphxra^ tcrrx ^ Solc femper illumi
netur ,
vmbra icvrx extenfa in acre torna-

&amp;

tilis,minuatur in rotunditate,idonec deficiat in fu{)erficie circuli
is.eft

lif^norum

,

infcparabilis a

autem Nadir Solis , puftus

Nadir So

dirc6te oppofitus

Vnde cu in pIcHilunio Luna fuc
cauda Draconis fub Nadir Solis,
tunc terra interponetur Soli
Luna?,&amp; conus vmhrx terrx cadet fuper corpus Luna?.Vnde cum Luna lumen non habeat, niii a Sole^in rei veritate deficit alumine.
Soli in firmameto.

rit in capite, vel in

&amp;

SC HOLI 0 X. r JT^ETT.
Trubat Camuarienfts cap. i iMbriprimi de pnfpe^&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>ch9n2nn13do3i6xe4ejqh8wh6j4pc8p</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Liber:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu</title>
    <ns>106</ns>
    <id>86212</id>
    <revision>
      <id>281283</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:00:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>Paginam instituit, scribens ''</comment>
      <origin>281283</origin>
      <model>proofread-index</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="91" sha1="o9hujp2etjjifmma8kxzvtk9bhl1d4y" xml:space="preserve">{{:MediaWiki:Proofreadpage_index_template
|Title=Harmonia Mensurarum
|Language=la
|Volume=
|Author=Rogerus Cotesius
|Translator=
|Editor=
|Illustrator=
|Publisher=Robertus Smith
|Address=Cantabrigia
|Year=1722
|Source=
|Image=9
|Progress=X
|Pages=&lt;pagelist /&gt;
|Remarks=
|Header=
|Footer=
}}
[[Categoria:Mathematica]]</text>
      <sha1>o9hujp2etjjifmma8kxzvtk9bhl1d4y</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/1</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86213</id>
    <revision>
      <id>281284</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:03:55Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Vacua */</comment>
      <origin>281284</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="0" sha1="t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;0&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/2</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86214</id>
    <revision>
      <id>281285</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:04:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Vacua */</comment>
      <origin>281285</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="0" sha1="t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;0&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/3</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86215</id>
    <revision>
      <id>281286</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:04:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Vacua */</comment>
      <origin>281286</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="0" sha1="t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;0&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/4</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86216</id>
    <revision>
      <id>281287</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:04:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Vacua */</comment>
      <origin>281287</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="0" sha1="t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;0&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/5</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86217</id>
    <revision>
      <id>281288</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:04:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Vacua */</comment>
      <origin>281288</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="0" sha1="t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;0&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/6</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86218</id>
    <revision>
      <id>281289</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:04:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Vacua */</comment>
      <origin>281289</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="0" sha1="t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;0&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/7</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86219</id>
    <revision>
      <id>281290</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:05:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens '{{center| {{small-caps|Rogeri Cotesii}}  {{x-larger|HARMONIA}}  {{x-larger|MENSURARUM.}}  }}'</comment>
      <origin>281290</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="92" sha1="abix684f4crupaoflz7yg7ce173q7sl" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;{{center|
{{small-caps|Rogeri Cotesii}}

{{x-larger|HARMONIA}}

{{x-larger|MENSURARUM.}}

}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>abix684f4crupaoflz7yg7ce173q7sl</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281291</id>
      <parentid>281290</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T20:05:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281291</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="92" sha1="loluqtl0cyjlb073j95bj6u28c4pmkz" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;{{center|
{{small-caps|Rogeri Cotesii}}

{{x-larger|HARMONIA}}

{{x-larger|MENSURARUM.}}

}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>loluqtl0cyjlb073j95bj6u28c4pmkz</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/8</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86220</id>
    <revision>
      <id>281292</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:05:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Vacua */</comment>
      <origin>281292</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="0" sha1="t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;0&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/9</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86221</id>
    <revision>
      <id>281293</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:12:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281293</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="601" sha1="0pp53vg1wqi7mnwo0q5tn6sybg5vhol" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;{{center|
{{xxx-larger|HARMONIA MENSURARUM,}}

SIVE 

{{larger|ANALYSIS &amp; SYNTHESIS }}

{{x-larger|Per {{small-caps|Rationum &amp; Angulorum Mensuras}}}}

PROMOTÆ: 

{{small-caps|Accedunt alia}}

{{xx-larger|OPUSCULA MATHEMATICA:}}

PER 

{{x-larger|{{small-caps|Rogerum Cotesium.}}}}

――――''Si propius stes,'' 

''Te capient magis.''――――

&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;

{{small-caps|Editit et auxit}}

{{x-larger|{{small-caps|Robertus Smith}}}}

Collegii S. ''Trinitatis'' apud ''Cantabrigienses'' Socius; 

Astronomiæ &amp; Experimentalis Philosophiæ

Post COTESIUM Professor.

CANTABRIGIÆ, MDCCXXII.
}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>0pp53vg1wqi7mnwo0q5tn6sybg5vhol</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281294</id>
      <parentid>281293</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T20:12:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <origin>281294</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="616" sha1="fkdgdzo2ti23sjrlyix683c54e4c3ya" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;{{center|
{{xxx-larger|HARMONIA MENSURARUM,}}

SIVE 

{{larger|{{small-caps|Analysis &amp; Synthesis}} }}

{{x-larger|Per {{small-caps|Rationum &amp; Angulorum Mensuras}}}}

PROMOTÆ: 

{{small-caps|Accedunt alia}}

{{xx-larger|OPUSCULA MATHEMATICA:}}

PER 

{{x-larger|{{small-caps|Rogerum Cotesium.}}}}

――――''Si propius stes,'' 

''Te capient magis.''――――

&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;

{{small-caps|Editit et auxit}}

{{x-larger|{{small-caps|Robertus Smith}}}}

Collegii S. ''Trinitatis'' apud ''Cantabrigienses'' Socius; 

Astronomiæ &amp; Experimentalis Philosophiæ

Post COTESIUM Professor.

CANTABRIGIÆ, MDCCXXII.
}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>fkdgdzo2ti23sjrlyix683c54e4c3ya</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281295</id>
      <parentid>281294</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T20:13:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <origin>281295</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="624" sha1="i6ujkgeas3hk0q0079oyc9lgoy7oho8" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;{{center|
{{xxx-larger|HARMONIA MENSURARUM,}}

SIVE 

{{larger|{{small-caps|Analysis &amp; Synthesis}} }}

{{x-larger|Per {{small-caps|Rationum &amp; Angulorum Mensuras}}}}

PROMOTÆ: 

{{small-caps|Accedunt alia}}

{{xx-larger|OPUSCULA MATHEMATICA:}}

PER 

{{x-larger|{{small-caps|Rogerum Cotesium.}}}}

――――''Si propius stes,'' 

''Te capient magis.''――――

&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;

{{small-caps|Editit et auxit}}

{{x-larger|{{small-caps|Robertus Smith}}}}

Collegii S. ''Trinitatis'' apud ''Cantabrigienses'' Socius; 

Astronomiæ &amp; Experimentalis Philosophiæ

Post COTESIUM Professor.

&lt;br /&gt;

CANTABRIGIÆ, MDCCXXII.
}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>i6ujkgeas3hk0q0079oyc9lgoy7oho8</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/10</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86222</id>
    <revision>
      <id>281296</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:13:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Vacua */</comment>
      <origin>281296</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="0" sha1="t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;0&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/11</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86223</id>
    <revision>
      <id>281297</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:18:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281297</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="570" sha1="44e6nsry1pl5z97kg0t0c1z58vamgp5" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;{{center|
{{small-caps|CELEBERRIMO et ILLUSTRISSIMO}}

VIRO

{{x-larger|RICHARDO MEAD, M. D.}}

{{larger|{{small-caps|Collegii Regalis}}}}

{{small-caps|Medicorum Londinensium}}

{{small-caps|et}}

SOCIETATIS REGIÆ

SOCIO

&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;

S. P. D.

{{small-caps|{{x-larger|Robertus Smith.}}}}
}}

{{dropinitial|C}}{{small-caps|um}} promissam hujus Operis editionem qua potui fide ac diligentia absolvissem; non parum mihi gratulatus sum, tum quod amicorum expectationi satis (ut spero) fecissem, tum quod justum ad Te, Vir præstantissime, scribendi occasionem (quam diu&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>44e6nsry1pl5z97kg0t0c1z58vamgp5</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/12</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86224</id>
    <revision>
      <id>281298</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:25:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281298</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="930" sha1="i4rfa9nfbq0v7euxiyqaopgj138h9na" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;mihi optaveram) nactus essem: ; Nec dubito, quin voluptatis hujus pars aliqua ad Te quoque redundet; cum probe intelligam nihil Tibi a antiquius esse magisque in votis, quam ut optimæ artes incrementa, sumant, novisque indies inventis illustrentur. Non est itaque, cur hoc studii genus apud Te efferam &amp; verbis ornem: qui non solum in aliorum laude illud semper posuisti publice, sed in usu atque oblectatione Tecum habuisti. Neque de Auctore hujus operis mihi opus est dicere, cujus virtutem ex oculis nuper esse sublatam præsens ætas cum maxime dolet; &amp; ingenio eum raro &amp; insigni præditum fuisse vel hoc ipsum Opus, posteris testabitur, Scriptorisque memoriam vetabit interire. Discrucior itaque subinde; cum tali me amico orbatum sentio, quicum diu in eodem cubiculo amantissime &amp; conjunctissime vixi. Feram autem moderatius dolorem quem ex {{small-caps|Cotesii}} desiderio accipio, si Te mihi aliquo observantiæ &amp; amoris&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>i4rfa9nfbq0v7euxiyqaopgj138h9na</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/13</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86225</id>
    <revision>
      <id>281299</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:25:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'u. 4 m VW Ti, 6  | ur. »   |   .DEDICATIO  pighiore ar&amp;tids'adjunzero. Is ego um pro-  feto ; qui &quot;dodtorum &quot;&amp; Sillüftrium 'homi-  num farniliaritätem 'imprimis expetoj. qua  veladotiüng nihik’duleius;| vel ad’ negotium'  nihil ütiliis’ &quot;Tage eur ego' non ad Te pre:  cipue accurraim? ad qliem'egregii quique viri  atque omni literarumfgeriere örnati maximo  affeftu ducuntur: qui omnia illa que a  fummo atque optimo quovis expe&amp;tari de-  bent,d...</comment>
      <origin>281299</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1018" sha1="kgyz3wc78xqwaaziu9tu68w157eha4s" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;u. 4 m VW Ti, 6 
| ur. » 

| 

.DEDICATIO 
pighiore ar&amp;tids'adjunzero. Is ego um pro- 
feto ; qui &quot;dodtorum &quot;&amp; Sillüftrium 'homi- 
num farniliaritätem 'imprimis expetoj. qua 
veladotiüng nihik’duleius;| vel ad’ negotium' 
nihil ütiliis’ &quot;Tage eur ego' non ad Te pre: 
cipue accurraim? ad qliem'egregii quique viri 
atque omni literarumfgeriere örnati maximo 
affeftu ducuntur: qui omnia illa que a 
fummo atque optimo quovis expe&amp;tari de- 
bent,de Tua amicitia non tam fibi’pollicentur 
olim, quam nunc reprefentata poflident. 
Quam meritifiimam laudem Tuam ita boni 
omnes ubique prdicant; ut fepe mihi mirari 
fübeat tantum Tibi animi corporifque robur 
effe, ut &amp; in maxima celebritate atque oculis 
civium verfari poflis, &amp; in otio ac feceflu 
non Tibi folum fed amicis vacare: ut fimul 
in gravi Medicine munere principatum ex- 
erceas, fimul omnium fere literarum cogni- 
tiomi ftudioque incumbas. Neque aliter 
hc fieri pofle exifiimem, quam peculiari 
quodam munere natur; qu&amp; certe parum 
duxit&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>kgyz3wc78xqwaaziu9tu68w157eha4s</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281301</id>
      <parentid>281299</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T20:35:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281301</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="923" sha1="6t1q9fwaawyatrawzu59bpz5g55ph6f" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;pignore arctius adjunxero. Is ego sum profecto, qui doctorum &amp; illustrium hominum familiaritatem imprimis expeto; qua vel ad otium nihil dulcius, vel ad negotium nihil utilius. Itaque cur ego non ad Te præcipue accurram? ad quem egregii quique viri atque omni literarum genere ornati maximo affectu ducuntur: qui omnia illa, quæ a summo atque optimo quovis expectari debent, de Tua amicitia non tam sibi pollicentur olim, quam nunc repræsentata possident. Quam meritissimam laudem Tuam ita boni omnes ubique prædicant; ut sæpe mihi mirari subeat tantum Tibi animi corporisque robur esse, ut &amp; in maxima celebritate atque oculis civium versari possis, &amp; in otio ac secessu non Tibi solum sed amicis vacare: ut simul in gravi Medicinæ munere principatum exerceas, simul omnium fere literarum cognitioni studioque incumbas. Neque aliter hæc fieri posse existimem, quam peculiari quodam munere naturæ; quae certe partum&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>6t1q9fwaawyatrawzu59bpz5g55ph6f</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/14</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86226</id>
    <revision>
      <id>281300</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:28:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281300</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="381" sha1="nqtay57unm4hpaech9rdipwh59hxda1" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;duxit nascenti Tibi unum quid magnum &amp; singulare tribuisse, nisi cum omnibus suis dotibus foret conjunctum. Quibus ego invitatus ac fretus, hoc &amp; abs Te spero &amp; mihi polliceor, munusculum meum quanto cum studio a me profectum sit, tanta Te humanitate fore accepturum.

&lt;br /&gt;

{{smaller|{{small-caps|Cantabrigiæ}}&lt;br /&gt;}}
{{smaller|
e Collegio S. Trinitatis&lt;br /&gt;
Apr. 16 1722.
}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>nqtay57unm4hpaech9rdipwh59hxda1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281302</id>
      <parentid>281300</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T20:36:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <origin>281302</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="389" sha1="osiugfmkmxf636wt7ki2eb7bdbugt6g" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;duxit nascenti Tibi unum quid magnum &amp; singulare tribuisse, nisi cum omnibus suis dotibus foret conjunctum. Quibus ego invitatus ac fretus, hoc &amp; abs Te spero &amp; mihi polliceor, munusculum meum quanto cum studio a me profectum sit, tanta Te humanitate fore accepturum.

&lt;br /&gt;

{{smaller|{{small-caps|Cantabrigiæ}}&lt;br /&gt;}}
{{smaller|
''e Collegio S. Trinitatis''&lt;br /&gt;
''Apr''. 16 1722.
}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>osiugfmkmxf636wt7ki2eb7bdbugt6g</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/15</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86227</id>
    <revision>
      <id>281303</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:42:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281303</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="922" sha1="9lz6h59yp1ibfuzoa0f2mav89xlmd5r" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;{{larger|{{center|EDITORIS}}}}
{{xx-larger|{{center|PRAEFATIO}}}}

{{di|I}}''N manus tibi rado, Lector benevole, præstantissimi Viri &amp; excellentis ingenii magnum monumentum: postumum quidem; sed adeo cultum &amp; perpolitum, ut non tam dolendum sit quod ultima Auctoris manus non accesserit, quam quod jamora indies inquirenti immatura mors supervenerit. Problemata maximi momentu, de Logarithmorum constructione ac insigni quodam usu; de curvarum Longitudine, Areis, Solidis inde genitis &amp; solidorum Superficiebus; de corporum Viribus Attractivis; de fluidorum Densitate ac Resistentia; de planetarum Trajectoriis &amp; id genus multa, non solum nova ratione hic composita sed ex apertis fontibus per analysin derivata reperies: utramque sane tam facilem &amp; elegantem qualem alibi frutra quæras: ut in hoc potissimum incertus sis, utrum plus admireris Auctoris nostri inventa, an ipsam inveniendi rationem.''

{{center|✱ ✱}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>9lz6h59yp1ibfuzoa0f2mav89xlmd5r</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281304</id>
      <parentid>281303</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T20:43:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <origin>281304</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="932" sha1="ckzed7x5w9qvrausnpyk7qik19x7shb" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;{{larger|{{center|EDITORIS}}}}
{{xx-larger|{{center|PRAEFATIO}}}}

{{dropinitial|I}}''N manus tibi trado, Lector benevole, præstantissimi Viri &amp; excellentis ingenii magnum monumentum: postumum quidem; sed adeo cultum &amp; perpolitum, ut non tam dolendum sit quod ultima Auctoris manus non accesserit, quam quod majora indies inquirenti immatura mors supervenerit. Problemata maximi momentu, de Logarithmorum constructione ac insigni quodam usu; de curvarum Longitudine, Areis, Solidis inde genitis &amp; solidorum Superficiebus; de corporum Viribus Attractivis; de fluidorum Densitate ac Resistentia; de planetarum Trajectoriis &amp; id genus multa, non solum nova ratione hic composita sed ex apertis fontibus per analysin derivata reperies: utramque sane tam facilem &amp; elegantem qualem alibi frutra quæras: ut in hoc potissimum incertus sis, utrum plus admireris Auctoris nostri inventa, an ipsam inveniendi rationem.''

{{center|✱ ✱}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>ckzed7x5w9qvrausnpyk7qik19x7shb</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/16</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86228</id>
    <revision>
      <id>281305</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:44:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'EDITORIS   Is enim aliorum methodis non contentus, ad Problematum  Refolutiones novam fibi &amp; compendiariam patefecit viam.  Audiamus ipfum in hac Logometria narrantem. “ In eum  « potifkmum finem precedentia conferipfi, ut allatis aliquot Ex-  “© emplis oflenderem, qua tommodiflima ratione Logometrici   “ (ei Trigonometrici) Canonis ufus in Geometriam recipi, &amp;ad  “ Refolutionem Problematum difhciliorum adhiberi pofhz. Pro.  blematum nempe fo...</comment>
      <origin>281305</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1778" sha1="5t6tuce01hnxqpdl8oa1viq13kiwen9" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;EDITORIS 

Is enim aliorum methodis non contentus, ad Problematum 
Refolutiones novam fibi &amp; compendiariam patefecit viam. 
Audiamus ipfum in hac Logometria narrantem. “ In eum 
« potifkmum finem precedentia conferipfi, ut allatis aliquot Ex- 
“© emplis oflenderem, qua tommodiflima ratione Logometrici 

“ (ei Trigonometrici) Canonis ufus in Geometriam recipi, &amp;ad 
“ Refolutionem Problematum difhciliorum adhiberi pofhz. Pro. 
blematum nempe folutiones, quas ad Hyperbole &amp; Ellipfeos Qua- 
draturam ante ipfum alii perduxerunt, primus ille ad Rationum: 
&amp; Angulorum Menfuras perduxit. He menfure funt quanti- 
tates cujufcunque generis ; quarum magnitudines magnitudinibus 
rationum &amp; angulorum funt analoge. Termini autem ratiomis 
dimetiende in problematis difheilioribus fumuntur a lateribus 
trianguli reilanguli, in quo reperitur etiam angulus dimetiendus. 
Hec funt Principia &amp; pars theoretica nove hujus Geometrie : 
quam cum ad Praxin perducere volumus, primo quidem per 
Tabulas memoratas quarendus ef} wel vationi$ dimetiende Lo- 
garithmus, wel Numerus Graduum in angulo dimetiendo;, deinde 
datis tribus terminis inveniendus efl quartus proportionalis : fie 
enim femper habebitur utriufvis generis menfura, que problemati: 
propofito fatisfaciat. ““ His Principüs (inguit Auklor), haud 
“. facile crediderim generaliora dari poffe; cum tota Mathefis 
“ ix quicquam in univerfo fuo ambitu compleöfatur preter 
“ angulorum &amp; rationum Theoriam. Neque fane commodiora 
Sperabit, qui animadwerterit Effeälionis. hujus, facilitatem 5, que 
in ommibus problematis nihil quicguam defcifeit. ab. ea praxi. fim- 
plicifima quam modo deferipfi. Nimius effem fortaffe fi hujus 
methodi commoditates reliquas figillatim explicarem ; quippe quas 

eXeM=-&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>5t6tuce01hnxqpdl8oa1viq13kiwen9</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/17</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86229</id>
    <revision>
      <id>281306</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:44:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens ' induflio clarius Hlufwaret, quam ulla verborum  deferiptio. Generatim itaque hoc folum animadvertendum cen-  feo ; nempe, cum rationum magnitudines (pariter ac ipfi termini)  per quantitates ewjufeungue generis expom poflunt, Geometris  integrum efje quodlibercungue earum gemus pro re nata Seligere:  ut neque mecefe fit Logomerrice cujufpiam Figure fubfidium  comparare, meque alias fere ullas quantitates adhihere, quam  quas ipfe Juppeditent...</comment>
      <origin>281306</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1599" sha1="0t1f7btm7noho5bfbdz03w5gdgltr58" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;
induflio clarius Hlufwaret, quam ulla verborum 
deferiptio. Generatim itaque hoc folum animadvertendum cen- 
feo ; nempe, cum rationum magnitudines (pariter ac ipfi termini) 
per quantitates ewjufeungue generis expom poflunt, Geometris 
integrum efje quodlibercungue earum gemus pro re nata Seligere: 
ut neque mecefe fit Logomerrice cujufpiam Figure fubfidium 
comparare, meque alias fere ullas quantitates adhihere, quam 
quas ipfe Juppeditent propofiti problematis conditiones. _Id quod 
intelligi potef de angulorum menfuris. 

Ifiufmodi Problematum Confirutliones perquam elegantes. tra- 
duntur in Logometria; que ef Operis hujus Pars prima &amp; in 
Allis Regix Societatis noflre non ita pridem edita. _Huic jam 
Pars fecunda &amp; tertia hoc. confilio accedunt, ut Problemata 
refolvendi facultatem confequi‘ poflis. Scilicet in Parte fecunda 
eomtinentur. Theoremata tum Logometrica tum Trigono- 
metrica; que ‘datarum Fluxionum Fluentes exhibent , mom per 
areas conicas pro more comfueto, ed per menfuras rarionum &amp; 

orum. Atque his Theorematis alia infuper adjicere con- 
fütuerat Autlor, fi ulteriorem _ wite ufuram Deus _ dediffet. 
Aufkoris. itaque. inflitutum profecutus fum ; novafque compofui 
Theorematum Tabulas fuperioribus illis longe ampliores. 

„In Parte tertia,. ubi .agitur de Problematum Analylı. &amp; 
Conftrudtione,, Theorematum ufus uberrimis exemplis compro- 
batur. &amp; illuftratur. _Mirabilis autem Menfurarum urriufque 
generis Härmonia, que m hac problematum refolutione reperitur, 
‚etiam im, operis, fronte inferibi meruit. Ad calcem Libri addidi 

En | u Notas&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>0t1f7btm7noho5bfbdz03w5gdgltr58</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/18</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86230</id>
    <revision>
      <id>281307</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:44:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'Notas aliquas, quibus ea potifimum explicavi que ad Operis  Jcopum maxime pertineant: Et, cum a Matbematwo perfello  hec tria precipue requirantur, Refolutio, Compofitio &amp; Demon-  firandi Ratio, adjeci Methodum componendi Demonftrationes  Logomertricas &amp; Trigonometricas, varüis Exemplis patefallam  &amp; explanatam. Quo in genere nom dubito quin ipfe Auflor  bujufmodi quippiam adjungere voluilfet, fi inventa fua perficere  &amp; in lucem edere ipfi c...</comment>
      <origin>281307</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1624" sha1="qtvk0tigpqwfqjviimb40gs8dzfxbrp" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;Notas aliquas, quibus ea potifimum explicavi que ad Operis 
Jcopum maxime pertineant: Et, cum a Matbematwo perfello 
hec tria precipue requirantur, Refolutio, Compofitio &amp; Demon- 
firandi Ratio, adjeci Methodum componendi Demonftrationes 
Logomertricas &amp; Trigonometricas, varüis Exemplis patefallam 
&amp; explanatam. Quo in genere nom dubito quin ipfe Auflor 
bujufmodi quippiam adjungere voluilfet, fi inventa fua perficere 
&amp; in lucem edere ipfi conceffum fuifer. 

Sic tibi nove hujus Geometrie imaginem quandam wel potins 
umbram defcripfi &amp; reprefentavi; quod folum licuit in re nova 
&amp; non wulgari. Sed fi ipfos tanti lumimis fontes intimofque 
receffus penitus explorare &amp;&amp; aperire velis, in quibus precipua 
artis arcana, obfcuritate niminm involuta, baklenus latuerunt; 
fpondeo tibi polliceorque incredibilem animi voluptatem fumma 
cum utilitate conjunllam. Nec wereor equidem ne vanis te 
promifhis laötaffe videar, fi Aufloris hujus inventa fingula &amp; 
limatum feribendi genus ad celum ufque laudibus efferam. Sed 
ne forte exifliimes, vel maximarum verum difhcultatem novwita- 
temque mihi fupra meritum placuiffe, vel Aufloris intimam ami= 
citiam &amp; cognationem ipfam judicio meo lenocinatam fuiffe; ut 
minuam hanc opinionem &amp; Spem tibi_erigam magis, unum inflar 
ommium appellabo judicem NiCOLAUM SANDERSONUM; 
mihi mutuo amore fuoque merito conjunllifiimum ; in Academia 
noflra Mathefeos Profeflorem &amp; Societatis Regie Socium: 
Qui, cum ab ipfa infantia captus oculis fuerit, neque fe un- 
quam “widife nune meminerit, magno tamen nature miraculo 
non. modo recondita queque Mathefeos arcana Mentis osulis&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>qtvk0tigpqwfqjviimb40gs8dzfxbrp</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/19</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86231</id>
    <revision>
      <id>281308</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:44:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'PRAEFATIO.   perlußravit, fed &amp; ejus pameria protlit; quin &amp; oumem de  Lumine, Umbra, Coloribus totaque Optica Doltrinam prodigiofo  ingenio comprehendit. Is talis tantufque Vir Aukloris noflri in-  venta &amp; JSeribendi ratiomnem cum maxime admiratur, &amp; in  deliciis habet ultrogre laudat. Atque hec quidem quanguam  ita [int ; non tamen tanta mea efl fiducia, quin fieri pofle putem  ut promifhis meis eventus parum rejpondeat. Quod fi acciderit;,...</comment>
      <origin>281308</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1709" sha1="ezz9xm2f0czhllv1h7nto6y0rqtnvqc" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;PRAEFATIO. 

perlußravit, fed &amp; ejus pameria protlit; quin &amp; oumem de 
Lumine, Umbra, Coloribus totaque Optica Doltrinam prodigiofo 
ingenio comprehendit. Is talis tantufque Vir Aukloris noflri in- 
venta &amp; JSeribendi ratiomnem cum maxime admiratur, &amp; in 
deliciis habet ultrogre laudat. Atque hec quidem quanguam 
ita [int ; non tamen tanta mea efl fiducia, quin fieri pofle putem 
ut promifhis meis eventus parum rejpondeat. Quod fi acciderit;, 
hoc: unum modo te admonere liceat, ut te ipfe diligenter excu- 
tias;,; ne aut prava quedam. fuperflitio. ita tibi jam furtim ob- 
repferit, ut nibil quiequam novari welis , aut im his penitus 
expendendis negligentius quam par efl verfatus. fueris. 

Que potifimum ad Aftronomiam infiruendam perficiendamque 
Auflor nofler excogitaverit, in Operibus Mifcellaneis hie edita 
invenies. Trablatum feilicet admodum utilem in Mixta Mathefi 
ad Ersorum Limites definiendos compurandofque ; quos per 
Senfuum snoßrorum. finitam vim, ‚variajque Inffrumentorum im- 
perfeäliones penitus devitare non poflumus. . Huc accedit de 
Methodo Differentiai NEwToNnıanA frallatus; multo 
ante. ab Auklore noflro conferiptus, uam NEWTONI de eodem 
argumento trallatus in lucem ederetur.. His etiam Jubnettitur 
tertius traflatus de Conltrudtione Tabularum per Differentias. 
Nimirum ut fatis fubfidi fit ad tabule cujufvis conffruktionem, 
precipuos aliquot &amp; rariores mumeros wel per Theoriam vel per 
Obfervationes utcunque inveniffe. __Horum mamque intervalla, 
per propofitiomes bic expofitas, numeris. quotlibet intermedüs ita 
compleri pofjunt, ut wmiverforum lex &amp; progrefho eque jufta fit 
&amp;nequabilis, ac fi finguli per theoriam primitus inventi fuffent. 

Horum.&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>ezz9xm2f0czhllv1h7nto6y0rqtnvqc</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/20</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86232</id>
    <revision>
      <id>281309</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:44:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'Horum operum agmen claudımt Schedule tres ; de‘ Defcenfis  Gravium, de Motu Pendulorum in Cycloide ‘&amp; de: Motu  Proje&amp;tilium. uorum ommium theoriam tanta‘ fehcitate. im  compendium adduxit miregue contraxit, (quanguam juvenis ad  mödum erat cum hec feriberet,) ur wel ipfa brevitas perfpicui-  tati plurimum profit. Id quod pariter dicendum eft de aliis  nomullis que nondum 'edidi. Scilicet de Compendio Arich-  metices, “de Refolutione Kquation...</comment>
      <origin>281309</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1582" sha1="snk66kiy3saew2oiih8ojma6m6qq3sg" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;Horum operum agmen claudımt Schedule tres ; de‘ Defcenfis 
Gravium, de Motu Pendulorum in Cycloide ‘&amp; de: Motu 
Proje&amp;tilium. uorum ommium theoriam tanta‘ fehcitate. im 
compendium adduxit miregue contraxit, (quanguam juvenis ad 
mödum erat cum hec feriberet,) ur wel ipfa brevitas perfpicui- 
tati plurimum profit. Id quod pariter dicendum eft de aliis 
nomullis que nondum 'edidi. Scilicet de Compendio Arich- 
metices, “de Refolutione Kquationum &amp; de Problemate 
Dioptrico| univerfhi # im‘ quo elegantifhima vratiome geometrica 
defmiwvit Vifibilis Magnirudinem apparentem, Situm (ereölum: wel 
everfum,) Locum apparentem gradumque Diftinelionis z; dum 
vifibile confpieitur per quotlibet Lentes, cujufcunque generis &amp; 
ad quecunque intervalla tum inter fe tum inter oculum &amp; 
vifibile difpoftas. Quo uno problemate Dioptricam tantum 
non ımiverfam exhaufit. Scripfit etiam Traftfatum de Natura 
Curvarum; quarum genera &amp; fpecies diflimguit figurafgue de- 
Jeribit &amp; primarias proprietates eruit ex equatiomibns algebraicis. 
Et quanguam agat precipue de curvis primi Generis (feilicet de 
Conicis Sebtionibus, que originem trabımt ex equationibus qua- 
draticis) ;, infı gmiores tamen earum proprietates ad Juperiorum 
generum curvas pertinere fimilibus argumentis oftendit &gt; guibus 
alia fubnellit, cum de Locorum &amp; Aquationum Conftruklione 
tum de Problematum inde pendentium Refelutione: Atquehec 
ommia (que in Iucem edere in animo habeo) ab ipfis fundamentis 
ea ratione pertraflavit, que facilitate Sua expeEfationem bomi- 
num non impleat modo fed vincat.&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>snk66kiy3saew2oiih8ojma6m6qq3sg</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/21</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86233</id>
    <revision>
      <id>281310</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:45:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'Cum ic Scientiarum 'finibus = undegue ' proferendis Außforis  mofri fehcifimam: diligentiam faris (m anbitvor) tibi perfpe&amp;tam  dederim; quidni &amp; bec quoque levirer atringam, que ad lau.  dam fuarım bißloriam ulterins pertineamt.® Iragne cum Pir-  Reverendus Tomas’ PiuWn; 5.7. P) &amp; Archidiäeömis  Roffenfis Ayfronomicam Profefhonem nofram quibnfdam oprimis   Viris inflituendam commendaret , illi comtinnd, negotio Hlo tolx  dum perallo, ex tor...</comment>
      <origin>281310</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1621" sha1="qy6nilm2t9eyzikg5ik9hy81kmlymxl" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;Cum ic Scientiarum 'finibus = undegue ' proferendis Außforis 
mofri fehcifimam: diligentiam faris (m anbitvor) tibi perfpe&amp;tam 
dederim; quidni &amp; bec quoque levirer atringam, que ad lau. 
dam fuarım bißloriam ulterins pertineamt.® Iragne cum Pir- 
Reverendus Tomas’ PiuWn; 5.7. P) &amp; Archidiäeömis 
Roffenfis Ayfronomicam Profefhonem nofram quibnfdam oprimis 

Viris inflituendam commendaret , illi comtinnd, negotio Hlo tolx 
dum perallo, ex tor praclaris Inkeniis quor niverfus exhibuir 
orbis literatus, tanto tum munere digniorem cenfuerunt neminem 
quam COTESIUM mofrum; quanguam admodum juvenem 
atque Artium tantum Baccalaureum. ld quod fuo quoque cal- 

culo comprobavit Philofophorum omnium princeps, celeberrimus 
NEwWTOoNUSs. 

Cotefius itague unanimi omnium fuffragio ad hunc honorem 
evellus, in Philofophia naturali Experimentorum Curfus pro 
mandato Plumiano continuo inflituit , &amp; de his quoque Le£fiones 
hiteris mandavit perquam elegantes &amp; copiofas: quas &amp; ego, 
hac dignitate Illi fuccedens, Auditoribus meis Academicis fubinde 
expono. Multa quoque in Aflronomia pratlica peragere confli- 
tuerat ; (Tabulas enim Flamftedianas &amp; Caflınianas ad Sols 
&amp; Satellitum motus computandos commodiores redidit ; nova/que 
componere aggrefus ef} ad Lune Theoriam Newtonianam ;) &amp; 
peregerat certe, fi Obfervatorium non defuiffe. Quod quidem 
prafati Fundatoris, jufu in Academia noflra tum primum apparari 
capit ; &amp;&gt; in eo curando Cotefius nofter neque ulli labori nec 
fumptibus fuis pepercit. Sed cum tanto operi perficiendo facul- 
tates nec dum fatis Juppeterent ; velut alter Fundator ultro fub-&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>qy6nilm2t9eyzikg5ik9hy81kmlymxl</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/22</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86234</id>
    <revision>
      <id>281311</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:45:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'venit magnus nofler BENTLEIUS Collegii S. Trinitatis Prefekfus :  Vir &amp; de ommi Literarum genere preclare meritus, &amp; inter  primaria feculi fui ornamenta numerandus. Qui ex propenfo  J4o Aflronomie promovende fludio, cum ad optima. Infrumenta  comparanda, tum ad AEdificium extruendum amplificandumque  magnificos Sumptus contulit, tam de fuo expenfos quam ab als  impetratos. _Is.porro de. Auffore noflro (quem_fibi Jorge. ami-  cifimum babuit)...</comment>
      <origin>281311</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="476" sha1="qoq8fv9d8t06mhfnj1m3gp5voknmo5a" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;venit magnus nofler BENTLEIUS Collegii S. Trinitatis Prefekfus : 
Vir &amp; de ommi Literarum genere preclare meritus, &amp; inter 
primaria feculi fui ornamenta numerandus. Qui ex propenfo 
J4o Aflronomie promovende fludio, cum ad optima. Infrumenta 
comparanda, tum ad AEdificium extruendum amplificandumque 
magnificos Sumptus contulit, tam de fuo expenfos quam ab als 
impetratos. _Is.porro de. Auffore noflro (quem_fibi Jorge. ami- 
cifimum babuit) Epitaphium fequens_compofuit..&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>qoq8fv9d8t06mhfnj1m3gp5voknmo5a</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/23</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86235</id>
    <revision>
      <id>281312</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:45:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'H. S. E.   ROGERUS ROBERTI FILIUS COTESs,  COLLEGI HUJUS S. TRINITATIS SOCIUS,  ASTRONOMIAE ir EXPERIMENTALIS  PHILOSOPHIAE PROFESSOR PLUMIANUS;   QUI IMMATURA MORTE PRAEREPTUS,  PAUCA QUIDEM INGENII SUI  PIGNORA RELIQUIT;   SED EGREGIA, SED ADMIRANDA,   EX INACCESSIS MATHESEOS PENETRALIBUS  FELICI SOLERTIA TUM PRIMUM ERUTA:   POST MAGNUM ILLUM NEWTONUM  SOCIETATIS HUJUS SPES ALTERA,  ET DECUS GEMELLUM:   CUI AD SUMMAM DOCTRINAE LAUDEM  OMNES...</comment>
      <origin>281312</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="663" sha1="629fcsjw2a5zw4xsnaccs3jk9oaauu9" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;H. S. E. 

ROGERUS ROBERTI FILIUS COTESs, 
COLLEGI HUJUS S. TRINITATIS SOCIUS, 
ASTRONOMIAE ir EXPERIMENTALIS 
PHILOSOPHIAE PROFESSOR PLUMIANUS; 

QUI IMMATURA MORTE PRAEREPTUS, 
PAUCA QUIDEM INGENII SUI 
PIGNORA RELIQUIT; 

SED EGREGIA, SED ADMIRANDA, 

EX INACCESSIS MATHESEOS PENETRALIBUS 
FELICI SOLERTIA TUM PRIMUM ERUTA: 

POST MAGNUM ILLUM NEWTONUM 
SOCIETATIS HUJUS SPES ALTERA, 
ET DECUS GEMELLUM: 

CUI AD SUMMAM DOCTRINAE LAUDEM 
OMNES MORUM VIRTUTUMQUE DOTES 
IN CUMULUM ACCESSERUNT; 

EO MAGIS SPECTABILES AMABILESQUE, 
QUOD IN FORMOSO CORPORE 
GRATIORES VENIRENT. 

NATUS BURBAGIT IN AGRO LEICESTRIENSI 
JUL. X, 1682. OBIIT JUN. V. 1716. 

✱✱✱&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>629fcsjw2a5zw4xsnaccs3jk9oaauu9</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/24</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86236</id>
    <revision>
      <id>281313</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:45:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Vacua */</comment>
      <origin>281313</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="0" sha1="t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;0&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>t8q7f8sfhwu37l4xfagx228j1tk5f96</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/25</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86237</id>
    <revision>
      <id>281314</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:45:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'INDEX CAPITUM   TOTIUS OPERIS.   HARMonIA MENSURARUM  Diftribuitur in tres Partes; quarum   Pag.   Ber, continet LOGOMETRIAM. 1   Secunda continet TuEoREMATA tum Logometrica tum Tri-  gonometrica, datarum Fluxionum Fluentes exhibentia per  Mensuras Ratıonum ® AnGuLoruMm. Adjiciun-  tur THEOREMATA ro Continuatione Formarum &amp; Fiuen-   tium ad infinitum. 43  Tertia continet ProsLemarum Analyfn %&amp; Conflrudlionem,  ope Theorematum precedentium. 77...</comment>
      <origin>281314</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="542" sha1="6qogadbw78z61urppjh282ngxve16ja" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;INDEX CAPITUM 

TOTIUS OPERIS. 

HARMonIA MENSURARUM 
Diftribuitur in tres Partes; quarum 

Pag. 

Ber, continet LOGOMETRIAM. 1 

Secunda continet TuEoREMATA tum Logometrica tum Tri- 
gonometrica, datarum Fluxionum Fluentes exhibentia per 
Mensuras Ratıonum ® AnGuLoruMm. Adjiciun- 
tur THEOREMATA ro Continuatione Formarum &amp; Fiuen- 

tium ad infinitum. 43 
Tertia continet ProsLemarum Analyfn %&amp; Conflrudlionem, 
ope Theorematum precedentium. 77 
Accedunt alia Tugoremara tum Logometrica tum Trigono- 
metrica ab EDITORE compo/ita. 110 
In&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>6qogadbw78z61urppjh282ngxve16ja</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/26</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86238</id>
    <revision>
      <id>281315</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:45:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'INDEX CAPITUM.   In OrEere MISCELLANEO agitur.   Pac.  De Limitibus Errorum: in mixta Matbejf. 1  De Methodo Diferentiali NEWTONIANA. 23  De Confiruölione Tabularum per wer 35  De Defeenfu Gravium. 24  De Motu Pendulorum in Cycloide 80 °  De Motu Projetlilium. 87   Accedunt Evırorıs Note 8 Methodus componendi Demon-   ech Logometricas ® Eapemepariene Exemplis patefaita  &amp; explanata. 93   ROGERI'</comment>
      <origin>281315</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="402" sha1="ije9iecg6o7w8fqn8777koolhpg10lp" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;INDEX CAPITUM. 

In OrEere MISCELLANEO agitur. 

Pac. 
De Limitibus Errorum: in mixta Matbejf. 1 
De Methodo Diferentiali NEWTONIANA. 23 
De Confiruölione Tabularum per wer 35 
De Defeenfu Gravium. 24 
De Motu Pendulorum in Cycloide 80 ° 
De Motu Projetlilium. 87 

Accedunt Evırorıs Note 8 Methodus componendi Demon- 

ech Logometricas ® Eapemepariene Exemplis patefaita 
&amp; explanata. 93 

ROGERI&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>ije9iecg6o7w8fqn8777koolhpg10lp</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/27</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86239</id>
    <revision>
      <id>281316</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:51:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281316</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1089" sha1="ay673dk3fb3vpxf9q15t58bbi3yvsrv" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;{{center|
{{xx-larger|ROGERI COTES}}

{{xxx-larger|HARMONIA&lt;br /&gt;MENSURARUM.}}

PARS PRIMA

{{x-larger|LOGOMETRIA.}}
}}&lt;br /&gt;

{{rule|25em}}

{{center|
Eruditissimo Viro&lt;br /&gt;
{{x-larger|{{small-caps|Edmundo Halleio}}}}&lt;br /&gt;
Societatis Regalis Secretario&lt;br /&gt;
{{x-larger|{{small-caps|Rogerus Cotes, S. P.}}}}&lt;br /&gt;
}}

{{Dropinitial|M}}''Itto tibi, hortatu Illustrissimi Præsidis {{small-caps|Newtoni}}, quæ aliquot abhinc annis conscripseram de Rationibus dimetiendis. Tu vero, quum et Ipse dudum in eodem Argumento præclare versatus fueris, pro solito tuo candore, tentamen hoc qualecunque benigne accipies. Vale.''

{{Dropinitial|A}}GITUR in hoc Tractatu de ''Mensuris Rationum''. Hæ Mensuræ sunt quantitates cuiuscunque generis, quarum magnitudines magnitudinibus rationum sunt analogæ. In dato itaque Systemate, rationis eiusdem eadem est mensura, duplicatæ dupla, triplicatæ triple, subduplicatæ subdupla, sesquiplicatæ sesquialtera: denique quocunque modo per compositionem vel resolutionem auctæ vel diminutæ rationis, similiter aucte est vel diminuta mensura. æqua-&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>ay673dk3fb3vpxf9q15t58bbi3yvsrv</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/28</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86240</id>
    <revision>
      <id>281317</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:53:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281317</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2686" sha1="967jnheklrw2wl6cg3ib9uahhs0pyw3" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;litatis ratio nullam habet magnitudinem, quia nullam addita vel detracta mutationem inducit; rationes quæ dicuntur majoris &amp; minoris inæqualitatis contrarias habent magnitudinum suarum affectiones, quoniam in compositione &amp; resolutione contraria semper efficiunt: itaque si mensura rationis quam habet terminus major ad minorem positiva censeatur, mensura rationis quam habet terminus minor ad majorem erit negativa, mensura vero rationis inter æquales terminos nullius erit magnitudinis. Porro diversa mensurarum oriuntur ''Systemata'', prout modis diversis exponitur analogia illa determinata &amp; immutabilis quæ est inter magnitudines rationum. Inde vero patet, exhiberi posse numero infinita Systemata, minuendo vel augendo Systematis cuiusvis dati mensuras omnes in eadem data quacunque proportione, aut etiam pro mensuris adhibendo quantitates diversi generis. In tanta autem varietate confusionem aliquam oboriri necesse est, ni probe constiterit ad quodnam Systema referendæ sint mensuræ singulæ de quibis contingat sermonem institui. Huic malo remedium optime parari potest si mensura datæ alicujus rationis, quæ commodissima videbitur, pro ''Modulo'' habeatur ad quem constanter in omni Systemate mensuræ reliquarum rationum exigantur. Id enim si fiat, statim ex dato illo Modulo determinabitur Systema totum: nam ex mensuris constabit quæ Modulo erunt homogeneæ, quæque eo majores habebunt magnitudines vel minores quo major ille fuerit vel minor, ut ita mensurandarum rationum invariata magnitudinum servetur analogia inter ipsas mensuras. Patebit igitur in sequentibus rationem quandam dari, dupli inter &amp; tripli rationes intermediam, ad rationem vero tripli aliquanto propius accedentem, quæ proposito nostro non immerito aptissima judicetur, siquidem ipsa rei natura hujus usum suadere ac non incertis indiciis efflagitare quodammodo videatur. Hance ego, ex officio ejus desumpto nomine, ''Modularem Rationem'' appellabo; quo autem pacto ipsa sit accuratius defininda, ostendetur inferius, nunc enim de Logarithmis pauca sunt addenda.

''Logarithmi'' sunt rationum mensuræ Numerales: solent autem in Canone sic disponi, ut singulis numeris naturali ordine crescentibus, &amp; in serie continua positis adscribatur Logarithmus, non quidem ipsius numeri uti vulgo dicitur, sed rationis quam habet numerus ad Unitatem. Exinde vero rationis per quoscunque terminos designatæ facilis est inventio Logarithmi. Nam cum ratio antecedentis ad consequentem sit excessus rationis antecedentis ad Unitatem supra rationem consequentis ad Unitatem: Logarithmus ejus similiter erit excessus Logarithmi rationis quam habet antecedens ad Unitatem supra Logarithmum rationis quam&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>967jnheklrw2wl6cg3ib9uahhs0pyw3</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/29</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86241</id>
    <revision>
      <id>281318</id>
      <timestamp>2026-09-18T20:55:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281318</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1785" sha1="1vnvas24u9esu3lvu32wa9me2n7z0ve" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;consequens habet ad Unitatem; hoc est, ut vulgari sermone utamur, excessus Logarithmi antecedentis supra Logarithmum consequentis; neutiquam enim displicet loquendi modus jam a multi annis receptus, si recte intelligatur. Exinde porro peregregium enascitur compendium ad operationes Arithmeticas. Datis enim duobus quibuscunque numeris in se multiplicandis, si quæratur numerus ex multiplicatione productus; quoniam rationes numerorum datorum ad Unitatem, conficiunt simul additæ rationem producti ad Unitatem, &amp; rationum componendarum mensuræ simul additæ conficiunt rationis compositæ mensuram: Logarithmus producti æquabitur Logarithmis numerorum datorum simul sumptis. Ad eundem modum si quæratur numerus ex divisione ortus; quoniam ratio divisoris ad Unitatem è ratione dividendi ad Unitatem detracta relinquit rationem quoti ad Unitatem: habebitur quoti Logarithmus subducendo Logarithmum divisoris è Logarithmo dividendi. Et eodem argumento, si quæratur dati cujusvis numeri quælibet potestas; quoniam ratio dati numeri ad Unitatem per Indicem potestatis multiplicata rationem efficit quam habet numeri potestas ad Unitatem, &amp; mensura prioris rationis multiplicata per eundem Indicem efficit pariter mensuram rationis posterioris : Logarithmus potestatis æquabitur Logarithmo numeri dati per indicem potestatis multiplicato. Et similiter Logarithmus cujuslibet radicis numeri dati æquabitur Logarithmo numeri dati per Indicem radicis diviso. Igitur ope Canonis peragetur inventio potestatum &amp; radicum per multiplicationem &amp; divisionem, multiplicatio autem &amp; divisio per additionem &amp; subductionem. Ceterum de hisce vulgo notis Logarithmorum usibus non est mei instituti fusius disserere: missis ergo ambagibus, ad alia nunc me confero &amp; rem ipsam protinus aggredior.&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>1vnvas24u9esu3lvu32wa9me2n7z0ve</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/30</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86242</id>
    <revision>
      <id>281319</id>
      <timestamp>2026-09-18T23:33:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens '{{x-larger|{{center|PROPOSITIO I.}}}}  {{center|''Invenire Mensuram Rationis cuiuscunque propositae.''}}  {{dropinitial|P}}Roponatur Ratio inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt;, cujus Mensuram oportet invenire. Terminorum differentia &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;BC&lt;/math&gt; divisa concipatur in particulas innumeras quam minimas &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt;, atque ratio inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; et...</comment>
      <origin>281319</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2921" sha1="2i739yojfatigf2t15fyml6immy0faj" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;{{x-larger|{{center|PROPOSITIO I.}}}}

{{center|''Invenire Mensuram Rationis cuiuscunque propositae.''}}

{{dropinitial|P}}Roponatur Ratio inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt;, cujus Mensuram oportet invenire. Terminorum differentia &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;BC&lt;/math&gt; divisa concipatur in particulas innumeras quam minimas &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt;, atque ratio inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt; in totidem rationes quam minimas inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;: et si detur magnitudo rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, dividendo dabitur ratio quam habet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt; ad &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;; atque adeo data illa magnitudo rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, per datam quantitatem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; exponi potest. Manente &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, augeri vel minui intelligatur particula &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt; in proportione quavis; et in eadem proportione augebitur vel minuetur magnitudo rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;: capiatur particula dupla vel tripla, subdupla vel subtripla, et evadet ratio duplicata vel triplicata, subduplicata vel subtriplicata; etiamnum igitur exponetur per quantitatem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt;. Sed et, assumpta determinata quavis quantitate &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;, exponi potest per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt;: erit ergo quantitas &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; mensura rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;. Haec vero mensura diversam habebit magnitudinem, et ad Systema diversum accommodabitur, pro diversa magnitudine quantitatis assumptae &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;, quae adeo vocetur Systematis ''Modulus''. Jam quemadmodum summa rationum omnium inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt; aequalis est propositae rationi, quam utique habet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; ad &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt;: ita summa mensurarum omnium &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M\times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; (per Methodos satis notas invenienda) aequalis erit ejusdem propositae rationis mensurae quaesitae. Q. E. I.

''Corol. I.'' Terminis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; ita ad aequalitatem accedentibus, ut quam minima sit eorundem differentia &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt; : erit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; vel &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AQ}&lt;/math&gt; aequalis mensurae rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; &amp;amp; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt; ad Modulum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;. {{nop}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>2i739yojfatigf2t15fyml6immy0faj</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281320</id>
      <parentid>281319</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T23:34:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <origin>281320</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2921" sha1="8vvu5mvritfepde4tqhff4xwas3vky3" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;{{x-larger|{{center|PROPOSITIO I.}}}}

{{center|''Invenire Mensuram Rationis cuiuscunque propositæ.''}}

{{dropinitial|P}}Roponatur Ratio inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt;, cujus Mensuram oportet invenire. Terminorum differentia &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;BC&lt;/math&gt; divisa concipatur in particulas innumeras quam minimas &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt;, atque ratio inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt; in totidem rationes quam minimas inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;: et si detur magnitudo rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, dividendo dabitur ratio quam habet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt; ad &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;; atque adeo data illa magnitudo rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, per datam quantitatem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; exponi potest. Manente &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, augeri vel minui intelligatur particula &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt; in proportione quavis; et in eadem proportione augebitur vel minuetur magnitudo rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;: capiatur particula dupla vel tripla, subdupla vel subtripla, et evadet ratio duplicata vel triplicata, subduplicata vel subtriplicata; etiamnum igitur exponetur per quantitatem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt;. Sed et, assumpta determinata quavis quantitate &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;, exponi potest per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt;: erit ergo quantitas &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; mensura rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;. Hæc vero mensura diversam habebit magnitudinem, et ad Systema diversum accommodabitur, pro diversa magnitudine quantitatis assumptæ &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;, quæ adeo vocetur Systematis ''Modulus''. Jam quemadmodum summa rationum omnium inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt; æqualis est propositæ rationi, quam utique habet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; ad &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt;: ita summa mensurarum omnium &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M\times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; (per Methodos satis notas invenienda) æqualis erit ejusdem propositæ rationis mensuræ quæsitæ. Q. E. I.

''Corol. I.'' Terminis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; ita ad æqualitatem accedentibus, ut quam minima sit eorundem differentia &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt; : erit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; vel &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AQ}&lt;/math&gt; æqualis mensuræ rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; &amp;amp; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt; ad Modulum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;. {{nop}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>8vvu5mvritfepde4tqhff4xwas3vky3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281321</id>
      <parentid>281320</parentid>
      <timestamp>2026-09-18T23:57:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Nondum emendata */</comment>
      <origin>281321</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2925" sha1="la1qaa9rer8cdw1986rei3y3rptk14h" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;1&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;{{x-larger|{{center|PROPOSITIO I.}}}}

{{center|''Invenire Mensuram Rationis cuiuscunque propositæ.''}}

{{dropinitial|P}}Roponatur Ratio inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt;, cujus Mensuram oportet invenire. Terminorum differentia &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;BC&lt;/math&gt; divisa concipatur in particulas innumeras quam minimas &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt;, atque ratio inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt; in totidem rationes quam minimas inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;: et si detur magnitudo rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, dividendo dabitur ratio quam habet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt; ad &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;; atque adeo data illa magnitudo rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, per datam quantitatem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; exponi potest. Manente &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, augeri vel minui intelligatur particula &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt; in proportione quavis; et in eadem proportione augebitur vel minuetur magnitudo rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;: capiatur particula dupla vel tripla, subdupla vel subtripla, et evadet ratio duplicata vel triplicata, subduplicata vel subtriplicata; etiamnum igitur exponetur per quantitatem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt;. Sed et, assumpta determinata quavis quantitate &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;, exponi potest per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt;: erit ergo quantitas &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; mensura rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;. Hæc vero mensura diversam habebit magnitudinem, et ad Systema diversum accommodabitur, pro diversa magnitudine quantitatis assumptæ &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;, quæ adeo vocetur Systematis ''Modulus''. Jam quemadmodum summa rationum omnium inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt; æqualis est propositæ rationi, quam utique habet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; ad &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt;: ita summa mensurarum omnium &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M\times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; (per Methodos satis notas invenienda) æqualis erit ejusdem propositæ rationis mensuræ quæsitæ. ''Q. E. I.''

''Corol. I.'' Terminis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; ita ad æqualitatem accedentibus, ut quam minima sit eorundem differentia &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt; : erit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; vel &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AQ}&lt;/math&gt; æqualis mensuræ rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; &amp;amp; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt; ad Modulum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;. {{nop}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>la1qaa9rer8cdw1986rei3y3rptk14h</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281322</id>
      <parentid>281321</parentid>
      <timestamp>2026-09-19T00:06:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281322</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2966" sha1="lhy1g6wagf8t93j57fj5xhcbx6ngx4x" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;{{x-larger|{{center|PROPOSITIO I.}}}}

{{center|''Invenire Mensuram Rationis cuiuscunque propositæ.''}}

[[File:CotesLogometria Fig1.png|thumb]]

{{dropinitial|P}}Roponatur Ratio inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt;, cujus Mensuram oportet invenire. Terminorum differentia &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;BC&lt;/math&gt; divisa concipatur in particulas innumeras quam minimas &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt;, atque ratio inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt; in totidem rationes quam minimas inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;:
et si detur magnitudo rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, dividendo dabitur ratio quam habet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt; ad &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;; atque adeo data illa magnitudo rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, per datam quantitatem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; exponi potest. Manente &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, augeri vel minui intelligatur particula &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt; in proportione quavis; et in eadem proportione augebitur vel minuetur magnitudo rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;: capiatur particula dupla vel tripla, subdupla vel subtripla, et evadet ratio duplicata vel triplicata, subduplicata vel subtriplicata; etiamnum igitur exponetur per quantitatem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt;. Sed et, assumpta determinata quavis quantitate &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;, exponi potest per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt;: erit ergo quantitas &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; mensura rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;. Hæc vero mensura diversam habebit magnitudinem, et ad Systema diversum accommodabitur, pro diversa magnitudine quantitatis assumptæ &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;, quæ adeo vocetur Systematis ''Modulus''. Jam quemadmodum summa rationum omnium inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt; æqualis est propositæ rationi, quam utique habet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; ad &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt;: ita summa mensurarum omnium &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M\times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; (per Methodos satis notas invenienda) æqualis erit ejusdem propositæ rationis mensuræ quæsitæ. ''Q. E. I.''

''Corol. I.'' Terminis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; ita ad æqualitatem accedentibus, ut quam minima sit eorundem differentia &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt; : erit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; vel &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AQ}&lt;/math&gt; æqualis mensuræ rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; &amp;amp; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt; ad Modulum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;. {{nop}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>lhy1g6wagf8t93j57fj5xhcbx6ngx4x</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281323</id>
      <parentid>281322</parentid>
      <timestamp>2026-09-19T00:09:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <origin>281323</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2971" sha1="h16n9rx2d1xapqm42hkgj2yejs0o1s2" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;{{x-larger|{{center|PROPOSITIO I.}}}}

{{center|''Invenire Mensuram Rationis cuiuscunque propositæ.''}}

[[File:CotesLogometria Fig1.png|300px|right]]
{{dropinitial|P}}Roponatur Ratio inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt;, cujus Mensuram oportet invenire. Terminorum differentia &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;BC&lt;/math&gt; divisa concipatur in particulas innumeras quam minimas &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt;, atque ratio inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt; in totidem rationes quam minimas inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;:
et si detur magnitudo rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, dividendo dabitur ratio quam habet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt; ad &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;; atque adeo data illa magnitudo rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, per datam quantitatem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; exponi potest. Manente &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, augeri vel minui intelligatur particula &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt; in proportione quavis; et in eadem proportione augebitur vel minuetur magnitudo rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;: capiatur particula dupla vel tripla, subdupla vel subtripla, et evadet ratio duplicata vel triplicata, subduplicata vel subtriplicata; etiamnum igitur exponetur per quantitatem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt;. Sed et, assumpta determinata quavis quantitate &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;, exponi potest per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt;: erit ergo quantitas &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; mensura rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;. Hæc vero mensura diversam habebit magnitudinem, et ad Systema diversum accommodabitur, pro diversa magnitudine quantitatis assumptæ &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;, quæ adeo vocetur Systematis ''Modulus''. Jam quemadmodum summa rationum omnium inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt; æqualis est propositæ rationi, quam utique habet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; ad &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt;: ita summa mensurarum omnium &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M\times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; (per Methodos satis notas invenienda) æqualis erit ejusdem propositæ rationis mensuræ quæsitæ. ''Q. E. I.''

''Corol. I.'' Terminis &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; ita ad æqualitatem accedentibus, ut quam minima sit eorundem differentia &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt; : erit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; vel &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AQ}&lt;/math&gt; æqualis mensuræ rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; &amp;amp; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt; ad Modulum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;. {{nop}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>h16n9rx2d1xapqm42hkgj2yejs0o1s2</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/31</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86243</id>
    <revision>
      <id>281324</id>
      <timestamp>2026-09-19T00:15:20Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281324</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3032" sha1="nuy61gyxm0u6rtt32iz7lmcy0thqe6z" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;''Corol. 2.'' Unde Modulus ille &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt; est ad mensuram rationis inter terminos &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; &amp;amp; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, ut terminorum alteruter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt; vel &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; ad terminorum differentiam &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt;.

''Corol. 3.'' Data ratione inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; &amp;amp; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt;, datur summa omnium &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt;, &amp;amp; summa omnium &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; est ut &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;. Itaque mensura datæ cujuscunque rationis est ut Modulus Systematis ex quo desumitur.

''Corol. 4.'' Modulus ergo, in omni mensurarum Systemate, semper æqualis sit mensuræ rationis cujusdam determinatæ atque immutabilis: Quam proinde ''Rationem Modularem'' vocabo.

{{center|''Scholium I.''}}

Problematis solutio per Exemplum illustrabitur. Sit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; quantitas determinata quævis &amp;amp; permanens, sit vero &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; quantitas indeterminata fluxuque perpetuo variabilis, ejusque fluxio sit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\dot{x}&lt;/math&gt;; &amp;amp; quæratur mensura rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z+x&lt;/math&gt; &amp;amp; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z-x&lt;/math&gt;. Statuatur hæc ratio æqualis rationi inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; &amp;amp; 1, exponatur autem numerus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, fluxio ejus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\dot{y}&lt;/math&gt; per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt;, 1 per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt;: &amp;amp; ex Corollario primo colligetur fluxionem quæsitæ mensuræ rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; &amp;amp; 1 esse &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{\dot{y}}{y}&lt;/math&gt;. Reponatur jam pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; valor ejus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{z+x}{z-x}&lt;/math&gt;, itemque pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\dot{y}&lt;/math&gt; valoris fluxio &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{2z\dot{x}}{z-x|^{2}}&lt;/math&gt; : &amp;amp; fluxio mensuræ evadet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2M\times \frac{z\dot{x}}{zz-xx}&lt;/math&gt; vel &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2M \times \frac{\dot{x}}{z-\frac{xx}{z}}&lt;/math&gt; sive &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2M&lt;/math&gt; in &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{\dot{x}}{z}+\frac{x x^{2}}{z^{3}}+\frac{xx^{4}}{z^{5}}+\text{etc}&lt;/math&gt;. Atque adeo mensura illa fiet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2M&lt;/math&gt; in &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{x}{z}+\frac{x^{3}}{3z^{3}}+\frac{x^{5}}{5z^{5}}+\text{etc.}&lt;/math&gt; Unde patet Corollarium sequens.

''Corol. 5.'' Si duarum quantitatum summa sit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; &amp;amp; differentia sit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;; &amp;amp; sumatur &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2M \frac{x}{z}=A&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A \frac{x x}{zz}=B&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B \frac{xx}{zz}=C&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;C \frac{xx}{zz}=D,&lt;/math&gt; &amp;c: Mensura rationis quam habet quantitas major ad quantitatem minorem, erit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A+\frac{1}{3}B+\frac{1}{5}C+\frac{1}{7}D+\&amp;c&lt;/math&gt;.&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>nuy61gyxm0u6rtt32iz7lmcy0thqe6z</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>281325</id>
      <parentid>281324</parentid>
      <timestamp>2026-09-19T00:16:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <origin>281325</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3040" sha1="ijenim1d5qs3u7ooyt3k0kq4z5lasuy" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;''Corol. 2.'' Unde Modulus ille &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt; est ad mensuram rationis inter terminos &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; &amp;amp; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, ut terminorum alteruter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt; vel &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AQ&lt;/math&gt; ad terminorum differentiam &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt;.

''Corol. 3.'' Data ratione inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AC&lt;/math&gt; &amp;amp; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt;, datur summa omnium &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt;, &amp;amp; summa omnium &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{PQ}{AP}&lt;/math&gt; est ut &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;. Itaque mensura datæ cujuscunque rationis est ut Modulus Systematis ex quo desumitur.

''Corol. 4.'' Modulus ergo, in omni mensurarum Systemate, semper æqualis sit mensuræ rationis cujusdam determinatæ atque immutabilis: Quam proinde ''Rationem Modularem'' vocabo.

{{center|''Scholium I.''}}

Problematis solutio per Exemplum illustrabitur. Sit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; quantitas determinata quævis &amp;amp; permanens, sit vero &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; quantitas indeterminata fluxuque perpetuo variabilis, ejusque fluxio sit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\dot{x}&lt;/math&gt;; &amp;amp; quæratur mensura rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z+x&lt;/math&gt; &amp;amp; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z-x&lt;/math&gt;. Statuatur hæc ratio æqualis rationi inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; &amp;amp; 1, exponatur autem numerus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AP&lt;/math&gt;, fluxio ejus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\dot{y}&lt;/math&gt; per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;PQ&lt;/math&gt;, 1 per &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;AB&lt;/math&gt;: &amp;amp; ex Corollario primo colligetur fluxionem quæsitæ mensuræ rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; &amp;amp; 1 esse &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M \times \frac{\dot{y}}{y}&lt;/math&gt;. Reponatur jam pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; valor ejus &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{z+x}{z-x}&lt;/math&gt;, itemque pro &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\dot{y}&lt;/math&gt; valoris fluxio &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{2z\dot{x}}{z-x|^{2}}&lt;/math&gt; : &amp;amp; fluxio mensuræ evadet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2M\times \frac{z\dot{x}}{zz-xx}&lt;/math&gt; vel &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2M \times \frac{\dot{x}}{z-\frac{xx}{z}}&lt;/math&gt; sive &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2M&lt;/math&gt; in &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{\dot{x}}{z}+\frac{x x^{2}}{z^{3}}+\frac{xx^{4}}{z^{5}}+\text{etc}&lt;/math&gt;. Atque adeo mensura illa fiet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2M&lt;/math&gt; in &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{x}{z}+\frac{x^{3}}{3z^{3}}+\frac{x^{5}}{5z^{5}}+\text{etc.}&lt;/math&gt; Unde patet Corollarium sequens.

''Corol. 5.'' Si duarum quantitatum summa sit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; &amp;amp; differentia sit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;; &amp;amp; sumatur &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2M \frac{x}{z}=A&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A \frac{x x}{zz}=B&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;B \frac{xx}{zz}=C&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;C \frac{xx}{zz}=D,&lt;/math&gt; &amp;c: Mensura rationis quam habet quantitas major ad quantitatem minorem, erit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A+\frac{1}{3}B+\frac{1}{5}C+\frac{1}{7}D+\&amp;c&lt;/math&gt;. {{nop}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>ijenim1d5qs3u7ooyt3k0kq4z5lasuy</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pagina:RogerCotes HarmoniaMensurarum.djvu/32</title>
    <ns>104</ns>
    <id>86244</id>
    <revision>
      <id>281326</id>
      <timestamp>2026-09-19T00:19:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sjgallagher2</username>
        <id>29663</id>
      </contributor>
      <comment>/* Emendata */</comment>
      <origin>281326</origin>
      <model>proofread-page</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3190" sha1="smw2aov5dxobk9p0e2wlagbgb9s0x5y" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;&lt;pagequality level=&quot;3&quot; user=&quot;Sjgallagher2&quot; /&gt;&lt;/noinclude&gt;{{center|''Scholium 2.''}}

Non absimili computo mensura rationis inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;1+v&lt;/math&gt; et 1 erit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt; in &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v-\frac{1}{2}v^{2}+\frac{1}{3}v^{3}-\frac{1}{4}v^{4}+\frac{1}{5}v^{5}-\&amp;\text{c.}&lt;/math&gt; Unde si mensura illa vocetur &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, erit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{m}{M}=v - \frac{1}{2}vv + \frac{1}{3}v^{3}-\frac{1}{4}v^{4}+\frac{1}{5}v^{5},\text{ etc}&lt;/math&gt;: ac proinde &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{mm}{MM} = vv - v^{3} + \frac{11}{12}v^{4}-\frac{5}{6}v^{5},\text{ etc}&lt;/math&gt;; similterque &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{m^{3}}{M^{3}}=v^{3}-\frac{3}{2}v^{4}+\frac{7}{4}v^{5},\text{ etc}&lt;/math&gt;; quinetiam &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{m^{4}}{M^{4}}=v^{4}-2v^{5},\text{ etc}&lt;/math&gt;; ac denique &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{m^{5}}{M^{5}}=v^{5},\ \&amp;\text{c.}&lt;/math&gt; Ut igitur vicissim, ex data mensura &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, inveniatur ratio quam metitur; addendo æqualia æqualibus habebitur &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{m}{M}+ \frac{mm}{2MM} = v* - \frac{1}{6}v^{3}+\frac{5}{24}v^{4}-\frac{13}{60}v^{5},&lt;/math&gt; etc; atque iterum &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{m}{M}+ \frac{mm}{2MM} + \frac{m^{3}}{6M^{3}} = v** - \frac{1}{24} v^{4} - \frac{3}{40}v^{5}&lt;/math&gt;, etc; rursumque &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{m}{M}+\frac{mm}{2MM} + \frac{m^{3}}{6M^{3}}+ \frac{m^{4}}{24M^{4}} = v*** - \frac{1}{120}v^{5},&lt;/math&gt; etc; atque tandem &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{m}{M} + \frac{mm}{2MM} + \frac{m^{3}}{6M^{3}}+ \frac{m^{4}}{24M^{4}} + \frac{m^{5}}{120M^{5}} = v* * * *&lt;/math&gt;, etc; id est, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{m}{M}+ \frac{mm}{2MM} + \frac{m^{3}}{6M^{3}} + \frac{m^{4}}{24M^{4}} + \frac{m^{5}}{120M^{5}} + \&amp;\text{c.} = v.&lt;/math&gt; Itaque ratio quæsita inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;1+v&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;1&lt;/math&gt;, est ea quam habet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;1+ \frac{m}{M} + \frac{mm}{2MM} + \frac{m^{3}}{6M^{3}} + \frac{m^{4}}{24M^{4}} + \frac{m^{5}}{120M^{5}}+ \&amp;\text{c.}&lt;/math&gt; ad 1. Ponatur &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m=M&lt;/math&gt;, sive &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{m}{M} = 1&lt;/math&gt;; et exinde Ratio Modularis erit ea quam habet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} +\frac{1}{120} + \text{etc}&lt;/math&gt;. ad &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;1&lt;/math&gt;.

Eodem modo, si detur ratio inter &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;1&lt;/math&gt; et &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;1-v&lt;/math&gt;, mensura hujus rationis erit &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt; in &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v+ \frac{1}{2}v^{2} + \frac{1}{3}v^{3} + \frac{1}{4}v^{4} +\frac{1}{5}v^{5}&lt;/math&gt;, &amp;c. Et vicissim si detur rationis mensura &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, ratio erit ea quam habet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;1&lt;/math&gt; ad &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;1- \frac{m}{M} + \frac{mm}{2MM} - \frac{m^{3}}{6M^{3}} + \frac{m^{4}}{24M^{4}} - \frac{m^{5}}{120M^{5}}+ \&amp;\text{c.}&lt;/math&gt; Ponatur &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m=M&lt;/math&gt;, sive &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{m}{M}=1&lt;/math&gt;; et exinde Ratio Modularis erit ea quam habet &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;1&lt;/math&gt; ad &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;1 - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} + \&amp;\text{c.}&lt;/math&gt; Ex hisce vero patet Corollarium sequens. {{nop}}&lt;noinclude&gt;&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>smw2aov5dxobk9p0e2wlagbgb9s0x5y</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Categoria:Page transclusions with invalid attributes</title>
    <ns>14</ns>
    <id>86245</id>
    <revision>
      <id>281327</id>
      <timestamp>2026-09-19T08:03:00Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Cantons-de-l'Est</username>
        <id>4777</id>
      </contributor>
      <comment>Init.</comment>
      <origin>281327</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="205" sha1="q85i6yy8v0t2uqmye3vj2znq3fsdoz9" xml:space="preserve">Haec categoria continet paginas quae unum vel plures parametros includunt, quos additamentum &quot;Proofread Page&quot; – ad transclusions perficiendas adhibitum – ut incorrectos notat.

[[Categoria:Corrigenda]]</text>
      <sha1>q85i6yy8v0t2uqmye3vj2znq3fsdoz9</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Tractatus de Corsun</title>
    <ns>0</ns>
    <id>86246</id>
    <revision>
      <id>281331</id>
      <timestamp>2026-09-19T10:15:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Madvin</username>
        <id>16533</id>
      </contributor>
      <comment>Paginam instituit, scribens '{{titulus2 |Scriptor=Georg Niemirycz |OperaeTitulus=Tractatus de Corsun |Annus=1657 |Fons=[https://sok.riksarkivet.se/bildvisning/R0000480_00260#?cv=259&amp;xywh=-3464%2C-398%2C9670%2C5095] }} &lt;pages index=&quot;1657 Treaty of Korsun.pdf&quot; from=1 to=9 /&gt;'</comment>
      <origin>281331</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="244" sha1="a2o9ydwe5n7siqfnd2bs586spxea5sv" xml:space="preserve">{{titulus2
|Scriptor=Georg Niemirycz
|OperaeTitulus=Tractatus de Corsun
|Annus=1657
|Fons=[https://sok.riksarkivet.se/bildvisning/R0000480_00260#?cv=259&amp;xywh=-3464%2C-398%2C9670%2C5095]
}}
&lt;pages index=&quot;1657 Treaty of Korsun.pdf&quot; from=1 to=9 /&gt;</text>
      <sha1>a2o9ydwe5n7siqfnd2bs586spxea5sv</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>