Wikisource lawikisource https://la.wikisource.org/wiki/Pagina_prima MediaWiki 1.47.0-wmf.20 first-letter Media Specialis Disputatio Usor Disputatio Usoris Vicifons Disputatio Vicifontis Fasciculus Disputatio Fasciculi MediaWiki Disputatio MediaWiki Formula Disputatio Formulae Auxilium Disputatio Auxilii Categoria Disputatio Categoriae Scriptor Disputatio Scriptoris Pagina Disputatio Paginae Liber Disputatio Libri TimedText TimedText talk Modulus Disputatio Moduli Event Event talk 8 12363 281386 159058 2026-09-20T10:04:28Z NguoiDungKhongDinhDanh 23103 Remove deprecated option. See [[:phab:T298199|T298199]] for more information. ([[:m:GS|global sysop]] action) 281386 wikitext text/x-wiki == Editing tools == * matchsplit|matchsplit.js * CropTool[dependencies=mediawiki.util]|CropTool.js * pulsanti-FI[dependencies=ext.wikiEditor|default]|pulsanti-FI.js * diacritici[dependencies=ext.wikiEditor]|diacritici.js * purgetab[default|dependencies=mediawiki.util,mediawiki.api]|purgetab.js mg8ds0yfqft3k5wgz10mszac8w2atce 0 83914 281387 274710 2026-09-20T11:23:56Z Coronus Tenebrosius 31709 /* CACUMINA GEMINATA */ 281387 wikitext text/x-wiki vide:[[Scriptor:Coronus Tenebrosius]] = CACUMINA GEMINATA = * [[Quaestio]] * [[Silentium]] * [[Desiderium]] * [[Tabulae neonicae]] * [[Dolor]] * [[Per membranam]] * [[Aves cantent]] * [[Pictoris carmen]] * [[Cognitio]] * [[Apparitio]] * [[Puella]] * [[Ad margines]] * [[Ego hic fui]] * [[Flos in tela araneae]] * [[In mutatione]] * [[De propagatione fructuum pulchritudinis]] * [[Victoria]] * [[Emergentia bacterii ...]] * [[Odor amoris]] * [[Praesagia fine Martii]] * [[Inter verba]] * [[Nebulosae longinquae]] * [[Pistolerus verus]] * [[Hac nocte]] * [[Magnitudo et gloria mundi hominum]] * [[Ordo diurnus]] [[Categoria:Opera omnia]] [[Categoria:Opera quae Coronus Tenebrosius scripsit]] [[Categoria:Carmina]] [[Categoria:Interpretationes e lingua Croatica]] [[Categoria:Opera quae Coronus Tenebrosius Latine vertit]] [[Categoria:Saeculi primi vicesimi interpretationes]] [[Categoria:Saeculi primi vicesimi opera]] [[Categoria:Opera sine editione]] [[Categoria:Opera cum fonte]] [[Categoria:Opera sine re wikidata]] q5uj2jbdwfhpebxmbmg7vnb3b4e7hsl 281390 281387 2026-09-20T11:30:41Z Coronus Tenebrosius 31709 281390 wikitext text/x-wiki [[Scriptor:Coronus Tenebrosius]] = CACUMINA GEMINATA = * [[Quaestio]] * [[Silentium]] * [[Desiderium]] * [[Tabulae neonicae]] * [[Dolor]] * [[Per membranam]] * [[Aves cantent]] * [[Pictoris carmen]] * [[Cognitio]] * [[Apparitio]] * [[Puella]] * [[Ad margines]] * [[Ego hic fui]] * [[Flos in tela araneae]] * [[In mutatione]] * [[De propagatione fructuum pulchritudinis]] * [[Victoria]] * [[Emergentia bacterii ...]] * [[Odor amoris]] * [[Praesagia fine Martii]] * [[Inter verba]] * [[Nebulosae longinquae]] * [[Pistolerus verus]] * [[Hac nocte]] * [[Magnitudo et gloria mundi]] * [[Ordo diurnus]] [[Categoria:Opera omnia]] [[Categoria:Opera quae Coronus Tenebrosius scripsit]] [[Categoria:Carmina]] [[Categoria:Interpretationes e lingua Croatica]] [[Categoria:Opera quae Coronus Tenebrosius Latine vertit]] [[Categoria:Saeculi primi vicesimi interpretationes]] [[Categoria:Saeculi primi vicesimi opera]] [[Categoria:Opera sine editione]] [[Categoria:Opera cum fonte]] [[Categoria:Opera sine re wikidata]] 1uqyaha0cl3t749fmgpldmodsq9xqho 281391 281390 2026-09-20T11:31:41Z Coronus Tenebrosius 31709 /* CACUMINA GEMINATA */ 281391 wikitext text/x-wiki [[Scriptor:Coronus Tenebrosius]] = CACUMINA GEMINATA = * [[Quaestio]] * [[Silentium]] * [[Desiderium]] * [[Tabulae neonicae]] * [[Dolor]] * [[Per membranam]] * [[Aves cantent]] * [[Pictoris carmen]] * [[Cognitio]] * [[Apparitio]] * [[Puella]] * [[Ad margines]] * [[Ego hic fui]] * [[Flos in tela araneae]] * [[In mutatione]] * [[De propagatione fructuum pulchritudinis]] * [[Victoria]] * [[Emergentia bacterii ...]] * [[Odor amoris]] * [[Praesagia fine Martii]] * [[Inter verba]] * [[Nebulosae longinquae]] * [[Pistolerus verus]] * [[Hac nocte]] * [[Ordo diurnus]] [[Categoria:Opera omnia]] [[Categoria:Opera quae Coronus Tenebrosius scripsit]] [[Categoria:Carmina]] [[Categoria:Interpretationes e lingua Croatica]] [[Categoria:Opera quae Coronus Tenebrosius Latine vertit]] [[Categoria:Saeculi primi vicesimi interpretationes]] [[Categoria:Saeculi primi vicesimi opera]] [[Categoria:Opera sine editione]] [[Categoria:Opera cum fonte]] [[Categoria:Opera sine re wikidata]] 6fo8332w6nl2ncqg43mw4wxsqr2hbcn 0 85608 281332 281239 2026-09-19T14:48:49Z Coronus Tenebrosius 31709 /* 8. Analysis et interpretatio capitis XXXI */ 281332 wikitext text/x-wiki [[Coronus Tenebrosius]] = DE SITU CHROATIAE ALBAE SIVE MAGNAE = == 1. Introductio == Vetustissimus fons historicus, qui de adventu Croatarum in hodiernam patriam deque regione unde profecti sunt narrat, est opus imperatoris Byzantini<ref> Nomina historiographica Byzantium, Imperium Byzantinum atque Imperium Romanum Orientale a recentioribus historicis inducta sunt, ut facilius designaretur civitas quae post annum 476 unica pars Imperii Romani superstes mansit, potestate politica, administrativa et militari. Imperator Constantinus circa annum 330 novam urbem condidit, Constantinopolim, in loco veteris coloniae Graecae Byzantion, unde etiam nomen Byzantii ortum est. Civitas fere mille annos (476–1453) exstitit atque regiones hodiernae Graeciae et Asiae Minoris complexa est. Religio publica orthodoxa erat, et saeculo VII lingua Graeca locum linguae Latinae tamquam linguae officialis occupavit. Nomen publicum civitatis erat Graece ''Basileia tōn Rhōmaiōn'', Latine autem ''Imperium Romanum''. </ref> Constantini VII Porphyrogeniti (905–959), quod titulo Latino ''De administrando imperio'' inscribitur. Opus Graece primum conscriptum est, sed titulum Latinum ''[https://archive.org/details/porphyrogenitus-1967-dai/page/153/mode/2up De administrando imperio]'' posteriores Europae editores et curatores ei attribuerunt.<ref> Primum opus ''De administrando imperio'' typis editum Ioannes Meursius anno 1611 curavit. Hic autem textus Latinus hodie ad usus investigationis academicae non adhibetur, cum multas errores atque deviationes contineat. Vide editionem digitalem: [https://archive.org/details/constantiniimper00cons ''Constantini Imperatoris Porphyrogeniti De administrando imperio'' (textus Latinus, 1611)]. </ref> Imperator Constantinus librum suum commentarium esse voluit atque fidelem notitiarum thesaurum de populis et regnis vicinis, destinatum filio suo minori et heredi Romano (938–963). Ex ipsis testimoniis operis colligitur librum inter annos 948 et 952 compositum esse, unde annus circiter 950 vulgo pro tempore originis ponitur. Capita tricesimum et tricesimum primum operis ''De administrando imperio'' (breviter: DAI) continent ''origo gentis'' Croaticae, id est narrationem de origine populi. Croatae non sunt solus populus Slavicus qui traditionem de “terra unde venerunt” ad sedes hodiernas conservat.<ref> Traditio Bohemica quoque narrationes de origine gentium servat (ut in Chronico Dalimiliano, saeculo XIV conscripto). Nestor, chronicarius Kioviensis (fine saeculi XI et initio XII), primam historiam de origine Slavorum exhibet. Priscam sedem gentis in regione Danubiana constituit, unde, secundum eum, Slavi sub pressione Vlahorum sive Volohorum (forsitan Romanorum, qui ad terras medii et inferioris Danubii advenerunt; attamen fieri potest ut ad Celtas sive Gallos referatur, quorum expansio saeculo IV a. Chr. n. facta est) versus septentrionem migraverint, in loca circa Vistulam sita. Nestor affirmat ex ea migratione ortos esse Ljahos sive Lahi (Lehos), id est gentes Slavicas Polonicas, atque ex iis Radimicios et Viaticios, populos Slavicos orientales. </ref> Attamen narratio Porphyrogeniti de origine et adventu Croatarum ad Adriaticum, in duabus versionibus exposita, multis differentiis atque contextu historico certo (Avaris, imperatore Heraclio /610–641/) a ceteris huiusmodi traditionibus Slavicarum gentium discrepat. '''De appellatione “Chroatia Alba sive Magna” ''' Notio “Chroatia Alba sive Magna”, quae etiam in titulo huius operis posita est, ex ipso Porphyrogeniti libro proficiscitur, ubi in extremo capitis XXXI haec leguntur: '''''Ὅτι ἣ μεγάλη Χρωβατία, ἣ καὶ ἄσπρη ἐπονομαζομένη, ἀβάπτιστος τυγχάνει μέχρι τῆς σήμερον, καθὼς καὶ οἱ πλησιάζοντες αὐτὴν Σέρβλοι.'' Quod Latine reddi potest: '''''Quoniam Chroatia Magna, quae etiam Alba appellatur, usque in hodiernum diem abaptista permanet, sicut et Serbli, qui ei proximi sunt.'' Nonnulli auctores atque investigatores, qui Porphyrogeniti textum diligenter tractaverunt, existimant vocem Graecam ἡ μεγάλη praeter sensum proprium “magna” etiam significationem “vetus” habere potuisse, fortasse sub influxu usus Latini vocabuli maior (cuius significatio est: 1. maior, 2. natu maior, id est senior). Nam in ethnographia Byzantina adiectivum μεγάλη non solum magnitudinem, sed etiam vetustatem significare solet, id est regionem primigeniam et matrem. Hoc sensu cum Latino maior congruit, qui in scriptis geographicis et ethnographicis Romanis frequenter in sensu “antiquior”, “primigenius”, “originarius” adhibetur. Quam ob rem pars investigatorum censet vocem Porphyrogeniti ἡ μεγάλη Χρωβατία interpretandam esse ut “Chroatia primigenia” sive “vetus Chroatia”, non autem necessario ut “magna” in sensu spatii vel amplitudinis. Hic propositum est, ex iis quae in fontibus historicis continentur (varia documenta, chronica atque annales), locum geographicum Chroatiae Albae sive Magnae determinare. Ad hanc rem perficiendam, praeter testimonia de Chroatis in documentis et scriptis historiographicis expressa, adhibebimus quoque cognitiones ex toponymia, hydronymia, anthroponymia, necnon inventa recentioris linguisticae atque archaeologiae.<ref>https://hal.science/hal-02902087/file/Kazanski_Archaeology-Slavic%20Migrations_2020.pdf</ref> <center> [[File:Location of White Croatia and White Serbia in 560.jpg|700px |alt=Tabula situs Chroatiae Albae et Serbiae Albae circa annum 560 |Tabula situs Chroatiae Albae et Serbiae Albae circa annum 560 secundum fontes aevi medii]] </center> == 2. De administrando imperio: Caput XXX (pars de Chroatis) == '''Οἱ δὲ Χρωβάτοι κατῴκουν τηνικαῦτα ἐκεῖθεν Βαγιβαρείας, ἔνθα εἰσὶν ἀρτίως οἱ Βελοχρωβάτοι. '''Μία δὲ γενεὰ διαχωρισθεῖσα ἐξ αὐτῶν, ἤγουν ἀδελφοὶ πέντε, ὁ τε Κλουκᾶς καὶ ὁ Λόβελος καὶ ὁ Κοσέντζης καὶ ὁ Μουχλώ καὶ ὁ Χρωβάτος, καὶ ἀδελφαὶ δύο, ἡ Τούγα καὶ ἡ Βουγά, μετὰ τοῦ λαοῦ αὐτῶν ἦλθον εἰς Δελματίαν, καὶ εὗρον τοὺς Ἀβάρεις κατέχοντας τὴν τοιαύτην γῆν. '''Ἐπὶ τινὰς οὖν χρόνους πολεμοῦντες ἀλλήλους, ὑπερίσχυσαν οἱ Χρωβάτοι, καὶ τοὺς μὲν τῶν Ἀβάρων κατέσφαξαν, τοὺς δὲ λοιποὺς ὑποταγῆναι κατηνάγκασαν. Ἐκ τοτέ οὖν κατεκρατήθη ἡ τοιαύτη χώρα παρὰ τῶν Χρωβάτων, καὶ εἰσὶν ἀκμὴν ἐν Χρωβατίᾳ ἐκ τῶν Ἀβάρων, καὶ γινώσκονται Ἀβάρεις ὄντες. '''Οἱ δὲ λοιποὶ Χρωβάτοι ἔμειναν πρὸς Φραγγίαν, καὶ λέγονται ἀρτίως Βελοχρωβάτοι, ἤγουν Ἄσπροι Χρωβάτοι, ἔχοντες ἴδιον ἄρχοντα· ὑπόκεινται δὲ Ὧτῳ, τῷ μεγάλῳ ῥηγὶ Φραγγίας, τῆς καὶ Σαξίας, καὶ ἀβάπτιστοι τυγχάνουσιν, συμπενθερίας μετὰ τοὺς Τούρκους καὶ ἀγάπας ἔχοντες. '''Ἀπὸ δὲ τῶν Χρωβατῶν, τῶν ἐλθόντων ἐν Δελματίᾳ, διεχωρίσθη μέρος τι, καὶ ἐκράτησεν τὸ Ἰλλυρικὸν καὶ τὴν Παννονίαν· εἶχον δὲ καὶ αὐτοὶ ἄρχοντα αὐτεξούσιον, διαπεμπόμενον καὶ μόνον πρὸς τὸν ἄρχοντα Χρωβατίας κατὰ φιλίαν. <ref>Editio Graeco‑Anglica: Constantine Porphyrogenitus, De Administrando Imperio, ed. Gyula Moravcsik, vers. Anglica Romilly Jenkins, Dumbarton Oaks Texts I, Washingtoniae, 1967 (repr. 1993).</ref> Translatio nova Latina (secundum textum Graecum):<ref>Translatio a Coronō Tenebrōsiō facta.</ref> Chrovati<ref>Translitteratio Latina. Porphyrogenitus scribit '''Χρωβάτοι''', quod Latine translitteratur ut '''Chrobatoi'''; ob vitacismum autem β ut [v] pronuntiatur, unde lectio ['''Hrovatoi'''], formae Croaticae hodiernae '''Hrvati''' (nom. pl.) proxime respondens. Forma ''Croati'' (nom. pl.) ex antiquiori forma ''Chroati'' orta est (cf. dux Chroatorum in [[Privilegium ducis Tirpimiri]]), quae ipsa a primigenio ''Chrovati'' provenit. Sonus autem /v/ in Latino saepe omittitur in adaptatione vocabulorum externorum, unde transitus '''Chrovati'' → ''Chroati'' → ''Croati'''. In linguis Slavonicis occidentalibus et orientalibus variae formae radicis occurrunt: in linguis Polonica, Ucrainica, Russica frequentissima est forma '''Horvati''' (radix ''hor-''), dissimilis occidentalibus formis '''hro-, cro-, chro-, kro-''', quae in linguis Germanicis et Romanicis praevalent. Haec permutatio vocalis /o/ explicari potest per phaenomenon phonologicum '''metatheseos liquidae''', quo vocales locum permutare possunt, cum iuxta liquidas /r/ vel /l/ consistant. '''Metathesis liquidae''' fuit communis et actuosa mutatio phonologica in antiquioribus periodis formationis linguarum Slavonicarum. '''In linguis Slavonicis orientalibus''' (Russica, Ucrainica) '''metathesis liquidae''' nonnumquam ad phaenomenon '''plērophoniae''' (punoglasje) duxit, quo vocalis /o/ duplicatur: ''glova → golova; *gord → gorod → grod''. Quaedam formae in linguis Bohemica et meridiano‑Slavonicis '''ad quantitativam vocalis productionem''' evolverunt, ut in exemplo ''grod → grad''. Eiusmodi leges phonologicae verisimiliter etiam in evolutione ethnonymi '''Horvat → Hrovat → Hr’vat''' operatae sunt. In regionibus Croatiae septentrionalibus ('''dialectus kajcavicus''') frequens erat forma '''Horvat''', dum in Dalmatia ('''dialectus chakavicus''') forma '''Harvat''' adparebat. Utraque forma ex antiquiori '''H’rvat''' (ubi ’ = semivocalis, ''jer'' in lingua '''paleoslavica''' et in lingua '''Slavica ecclesiastica antiqua''') derivata esse censetur. In lingua Croatica hodierna, intra fines '''dialecti Shtokavicorum''', evoluta est forma hodierna '''Hrvat'''.</ref> autem eo tempore habitabant trans Bagibareiam, ubi nunc sunt Belochrovati (Albocroati). Una autem gens ab eis seiuncta, quinque scilicet fratres Klukas, Lobelos, Kosentzes, Muchlo et Chrobatus, itemque duae sorores Tuga et Buga<ref>Nomina Croatorum e textu Graeco translitterata sunt: Klukas, Lobelos, Kosentzes, Muchlo, Chrobatus, Tuga, Buga. Proposita lectio ad normam phoneticam: [Klukas, Lovelos, Kosenzis, Muhlo, Hrovatos, Tuga, Buga].</ref>, cum suo populo ab illis discedentes, in Dalmatiam venerunt ibique Avaros invenerunt terram illam obtinentes. Cum vero inter se per aliquot annos bellarent, Croatae superiores facti sunt: quosdam Avarorum trucidarunt, reliquos autem ad dicionem redigere coegerunt. Ex eo igitur tempore ea regio a Chrovatis possessa est; suntque adhuc in Chrovatia quidam Avarorum posteri, qui Avaricam originem ostendunt. Reliqui autem Chrovatī apud Franciam manserunt, et nuncupantur hodie Belochrovatī, id est Albi Chrovatī, proprium principem habentes. Subiciuntur vero Otoni, magno regi Franciae atque Saxoniae, et inconditi (i.e. nondum baptizati) sunt, affinitates cum Turcis (id est: cum Hungaris) contrahentes atque amicitias cum eis colentes.<ref>Porphyrogenitus vocabulum Turcos ad Hungaros refert (circa annum 950), more Byzantinorum saeculi X, qui gentem Hungarorum nomine ''Τούρκων'' appellare consueverant.</ref> Ex Chrovatīs autem, qui in Delmatis advenerant, pars quaedam seiuncta est, atque occupavit Illyricum et Pannoniam; habent autem et ipsi principes suae potestatis, qui tantum ad principem Chrovatiae amicitiae causa legatos mittunt. == 3. Analysis et interpretatio: Quid est Bagibareia? == '''Chrovati autem eo tempore habitabant trans Bagibareiam, ubi nunc sunt Belochrovati (Albocroati). Multi investigatores putant “Bagibareiam” revera esse Bavariam. Alii autem monuerunt “Bagibareiam” Bavariam esse non posse, cum imperator Porphyrogenitus in ceteris operibus suis ad designandam Bavariam alio nomine utatur; in opere ''De thematibus'' Porphyrogenitus pro Bavaria voce Graeca ''Baioure'' utitur; idem monuit etiam Stephanus Krizin Sakač in opere Constantini ''De caerimoniis aulae Byzantinae''.<ref>Sakač, ''De origine Caucasico‑Iranica Croatorum'', in: Croati usque ad saeculum VII, Zagrabiae 2000.</ref> Quoad vocabulum Bagibareia, haec cognoscenda sunt. In lingua Graeca antiqua littera β (Latine translitterata ut B, b) sonum /b/ repraesentabat; sed mutationes phonologicae in Graeco sermone vivo effecerunt ut in aevo Byzantino medio sonus /b/ in vocabulis Graecis ut /v/ pronuntiaretur: quod “vitacismus” appellatur. Scriptores autem aetatis Byzantinae, cum sonum /b/ in vocabulis externis et nominibus exprimere vellent, littera β adhuc saepe utebantur; demum postea paulatim adhiberi coepit combinatio litterarum mp ad sonum /b/ notandum, ut in exemplo tituli Croatici “ban”, qui Graece ut "mpanos" scribitur.<ref>Kinnamos, secretarius imperatoris Manuelis Comneni (1143–1180), solus praeter Porphyrogenitum est Graecus qui banum memorat; eum scribit ut ''mpanos''. Etiam in lingua Neo‑Graeca sonus /b/ per coniunctionem litterarum "mp" exprimitur.</ref> Porphyrogenitus igitur in scriptis suis littera β (B, b) adhuc utitur ad utrumque sonum exprimendum: et ad sonum /v/ et ad sonum /b/. Exemplum huius duplicis usus litterae β est nomen quod pro Croatis scribit: ''Chrobatoi'', quod sane legi debet ut ''Hrovatoi''. Praeterea altera mutatio phonologica, quae in lingua Graeca aetate Byzantina facta est, fuit conversio veteris Graeci coetus phonici /gi, ge/ in sonum /j/; exempli gratia, vox antiqua ''hagia'' Byzantino tempore pronuntiatur ut [aja]. Itaque etiam in vocabulo ''Bagibareia'' possibilis est lectio [''Bajvaria''].<ref>Praesertim, si monophthongizationem diphthongorum Graecorum veterum consideremus, quae plerumque efficiebatur aequatione valoris phonici ad secundum elementum diphthongi (hoc in casu: ei → /i/). Quare in voce ''Bagibareia'' lectio [''Bajvaria''] ex pronuntiatione orta est.</ref> Si possibilitatem consideremus auctorem partis de Chroatis in capite XXX ab auctore capitis XXXI diversum esse, tum fieri potest ut ille secundus auctor alio nomine pro Bavaria usus sit quam ipse Porphyrogenitus, qui in scriptis suis “Baioure” pro Bavaria adhibet. Nihilominus non est necesse omnino de altero auctore aut de interpolatione posteriore cogitare: prorsus fieri potest ut ipse imperator in archivis suis duo diversa relationes scriptas de Chroatis habuerit easque simpliciter transcripserit. Altera possibilitas significationis nominis “Bagibareia” esset nomen montis “Babja gora” (Graece: Babeia oreia), quod Constantinus, sive scriptor capitis XXX, ad auris perceptionem accommodavit et ita consignavit. In mundo Slavico hodie plures montes nomine Babja gora exstant, quorum unus maior est [https://en.wikipedia.org/wiki/Babia_G%C3%B3ra Babia Góra] in triquetro Poloniae, Bohemiae et Slovaciae. <center> [[File:8maja2006 babiagora 035.jpg|600px|alt=Babia Góra|Babia Góra – conspectus e parte Polonica]] </center> == 4. Thesis de Chroatia Alba in territorio Carinthiae mediaevalis, id est provinciae hodiernae Austriae Kärnten == Iam saeculo XIX interpretes et commentatorum Porphyrogeniti, ut Arminius Pavić (1844–1914), existimaverunt ''Bagibareiam'' significare “Babja gora”; Pavić autem putavit eam montem in hodierna Slovenia esse, trans flumen Cupam situm. Ex quo sequeretur Chroatas ante adventum in Dalmatiam in provincia Norico, sive in mediaevali Carantania<ref>Latine: ''Carantania'' sive ''Carentana'' sive ''Carinthia''; lingua Germanica: Kärnten, lingua Croatica: Koruška, in Austria australi.</ref>, habitasse, ubi testatum est exsistere toponyma nomen Chroatarum continentia, necnon totam regionem latiorem circa oppidum ''Klagenfurt'', quae in veteribus tabulis geographis ''Crowati'' appellatur.<ref> Tabula geographica – Spruner–Menke Atlas (In Nomine Jassa): [https://i0.wp.com/www.jassa.org/wp-content/uploads/2020/07/BRIGHT.png Spruner–Menke Atlas]</ref> <ref>Pagina de toponymia Slavica in regionibus Bavariae, Austriae, Carinthiae: [https://www.jassa.org/?p=16812]</ref> Hoc sententiam Armini Pavić postea quoque secuta est praeclara historica Croatica Nada Klaić, quae putavit ipsam veterem Carantaniam esse “Magna sive Alba Chroatia” de qua opus ''De administrando imperio'' narrat.<ref>Nada Klaić (1920–1988), historica Croatica; vide [https://en.wikipedia.org/wiki/Nada_Klai%C4%87 paginam Anglice in Vicipaedia].</ref> At vero, secundum data in capite XXXI de situ Chroatiae Albae inter Franciam ad occidentem, Hungaros ad meridiem atque Pecenegos ab oriente eos impetentes, necnon de intervallo triginta dierum itineris a mari, Carantania nullo modo his duobus criteriis respondet: proximum enim mare Carinthiae est Hadriaticum, ad quod profecto non sunt triginta dies itineris; item Carantaniam non Pecenegi ab oriente oppugnabant, sed solum Hungari ex eadem parte eam invadere poterant. '''Haud dubium est nonnullos Croatas in regione Carantaniae veteris consedisse; attamen haec regio nullo modo esse potest “Alba sive Magna Chroatia” Constantini Porphyrogeneti, ut imaginata est Nada Klaić, quare hanc opinionem omnino reiciendam esse censemus.''' Notandum est migrationem Chroatarum in provinciam Romanam Dalmatiae, quam Porphyrogenitus in capite XXXI ''De administrando imperio'' sub imperio Heraclii (610–641) collocat, tempore congruere cum nonnullis aliis eventibus historicis: cum obsidione Constantinopolis anno 626 ab Avaris, Slavis et Persis frustra tentata, cum morte Baiani kagani, necnon cum ortu primae magnae Slavicae formationis politico‑militaris, regni Samonis in media Europa, in regionibus quae hodie Bohemia, Moravia atque terra Lusatiensium Serborum sunt. Sub ductu Samonis, is militaris foedus gentium Slavicarum feliciter et contra Francos ad occidentem, et contra Avaros ad orientem pugnavit. Bella Samonis adversus Avares in [[Chronicum (Fredegarius)|Chronico Fredegarii Scholastici Burgundiae]], capitulis XLVIII–XLIX, exponuntur; bella vero adversus Francos in capitulo LXVIII. Num fortuitum est Chroatas, ut Porphyrogenitus tradit, eo ipso tempore, circiter annum 630, advenisse, cum potestas Avarorum labefactaretur et regnum Samonis in ascensu esset? <center> [[File:Croats, Carantania and Samo's realm after 631 AD.jpg|frame|Tabula ostendit situm Chroatarum et Carantaniae ad regnum Samonis post annum 631.]] </center> Problematica de praesentia Croatarum in Carinthia tractata est in articulo suo [http://periodica.fzf.ukim.edu.mk/godzb/GZ09(1956)/GZ09.04.%20Antoljak,%20S.%20-%20Hrvati%20u%20Karantaniji.pdf Hrvati u Karantaniji] a historico Croatico Stjepano Antoljak.<ref>Stjepan Antoljak (1909–1997), historicus Croaticus; ''Hrvati u Karantaniji'', 1956, Facultas Philosophica Scopii.</ref> Ex concordantia toponymorum Dalmatiae septentrionalis et Liburniae cum iis Carantaniae veteris, Antoljak statuit Croatas non ex Carantania in Dalmatiam, sed e Dalmatiis postea in Carantaniam venisse. Problematica de vetere Carantania late et diligenter tractata est a historicis Slovenis: Bogo Grafenauer, Ljudemisl Hauptmann et Milko Kos.<ref>Bogo Grafenauer (1916–1995), historicus Slovenus, de Carantania et Slavis eius regionis multa scripsit: vide [https://en.wikipedia.org/wiki/Bogo_Grafenauer Bogo Grafenauer].</ref> '''Kosentzes/Kosenzis ex ''De administrando imperio'' et ordo ''kosezorum'' Carantaniae veteris Nomen unius ex quinque fratribus, qui Croatas in meridiem ad Dalmatiam deduxerunt, Kosentzes sive Kosenzis, quod in opere ''De administrando imperio'' Constantini Porphyrogeneti occurrit, cum nomine '''''kosezi''''', ordinis liberorum nobilium bellatorumque Carantaniae veteris coniungi solet. In Slavica Carantaniae principatu (hodie Austria australis) ab saeculo VIII usque ad XV peculiarem locum obtinebat ordo hominum, qui '''''kosezi''''' vocabantur (item ''kosegi, kasezi '' etc.). '''''Kosezi''''' proprii erant Carantaniae mediaevalis: nobilitas hereditaria e structura praefeudali, gentilitatis atque territorii orta. Erant liberi bellatores, custodes traditionis electionis principis super '''''lapide Krnensi''''' (Germanice:''Fürstenstein'', Slavice:''Krnski kamen'') in campo, ubi post baptismum ecclesia Sanctae Mariae (Germanice: ''Maria Saal'' / Slavice: ''Gospa Sveta'') prope oppidum hodiernum Klagenfurtum exstitit. Hoc momentum habet in investigatione migrationum Croatorum, cum una e regionibus centralibus antiquae ''Carantaniae'' esset '''''pagus Chrowati''''' seu '''''Crouuati'''''. Nomen kosezi in lingua Germanica reddi solebat ut ''die Edlen'' seu ''Edlinger'' (''nobilis''). Carantania anno 1335 sub dicionem Habsburgorum venit; illi structuram inventam reformaverunt eamque in ordinem feudalem suum inseruerunt. Electio principis super ''lapide Krnensi'' usque ad saeculum XV mansit, cum Habsburgenses ritum participare recusaverunt. Ipsum ritum inaugurationis principis descripsit '''Mavro Orbini''', clericus Ragusinus, in opere Italico '''''Il Regno de gli Slavi''''' (1601). Etymologia nominis ''Kosenzis'': lectio Slavica ad nomen ''kosenc, kosec, kosac'' (lat. faenator) pertinere potest; item lectio Iranica‑Sarmatica ad nomen Kasag (cf. Kasagoi, ethnonymus Adigeorum/Circassorum) non excluditur. == 5. Thesis de Chroatia Magna sive Alba, in regione ad septentrionem‑orientem Bavariae posita, id est in Germania orientali hodierna circa flumen Albis == Identificatio nominis Bagibareia cum Bavaria Stjepanum Pantelić inter alios impulit, ut in libello suo ''Najstarija povijest Hrvata'' (Latine: ''Historia Chroatorum antiquissima'') (Magontiaci, 1993) “Chroatiam Magnam sive Albam” Constantini Porphyrogeniti ad septentrionem Bavariae quaereret, id est in regione Germaniae orientalis hodiernae circa Albim, cum peculiari attentione ad tractum fluminis Salae inter Lipsiam et Hallam. Stjepan Pantelić (natus 1942 prope Viroviticam) studium theologiae Magontiaci perfecit, unde solida cognitio linguae Latinae et Germanicae ei accessit, quae facultatem praebuit bibliothecas et archiva per Germaniam, aetate ante interrete, diligenter explorandi. Pantelićus autem, ut historicus, reprehendi potest quod saepe leviter atque praecipitanter conclusiones ac interpretationes protulit sine vero fundamento in fontibus; sicut, verbi gratia, cum magna occidentalis Slavica tribus Abodritos, item eos quos Franci Vilcos (Welatabos sive Lutitios) vocabant, necnon Rugianos sive Ranienses ex insula Rugia in Baltico, simpliciter omnes — nec plus nec minus — Chroatas appellaverit. <center> [[File:Lutizenbund.PNG|thumb|900px|alt=Slaveni uz Labi u 10. i 11. stoljeću|''Slavi ad Albim, saeculis X–XI.'' ]] </center> Tamen Pantelićus laudandus est quod in libello suo haud magno (in summa 97 paginarum) copiose locos Latinos ex fontibus mediaevalibus protulit atque in notis sub pagina adduxit, ab Einhardo usque ad epistulas Caroli Magni ad uxorem missas bello contra Avaros gesto, necnon excerpta ex variis chronicis aliisque documentis. Praeterea investigationem toponymicam in parte orientali Germaniae peragravit, atque offendit loca ''Gross Korbetha'', ''Klein Korbetha'' et ''Korbetha'' (in fontibus Latinis mediaevalibus: ''Chruvati inferior'', ''Chruvati superior'' et ''Chruvati'') inter urbes Lipsiam et Hallam, item oppidum ''Borna'' in circulo Lipsiensi (Pantelić 1993, pp. 24–25). ''Borna'' enim nomen fuit primi ex fontibus Francicis noti ducis Dalmatiae et Liburniae (annis 817–821). <ref>Borna (dux Guduscanorum, dux Dalmatiae, dux Dalmatiae atque Liburniae) in ''Annales regni Francorum'' annorum 818–821 — textus Latinus: [[Annales regni Francorum]].</ref> Pantelićus quoque complura exempla antiquae toponymiae Slavicae in regione Germaniae orientalis collegit, inter quae: ''Corwete, Curuadi, Curewate'' (ex Hersfeldensi decimarum indice in Friesenfeldu, exeunte saeculo IX); ''Chruuati'' (apud Thietmarum episcopum in Chronica, saec. X/XI); deinde: ''Borewe, Bukuwiz, Camenitz [Kamenic], Zebegore, Krolevitz, Deliniz'' (cf. ''Delnice'' in Croatia), ''Dobergast, Dobrilug, Drevenitz'' (cf. ''Drvenik'' in Croatia), ''Glina'' (ut ''Glina'' in Croatia), ''Grizlav, List, Brodizi'' (cf. ''Brod'' in Croatia), ''Plawe, Racowe, Ribnitz, Slavi, Slavia, Strela, Cosence [Kosence], Studenik, Stablo, Sporno'', atque ''Lipci'' (Leipzig), etc. Indubitata est res quod totus tractus Germaniae orientalis ab Odra et Nissa usque ad Albim (Germanice Elbe) atque Salam a gentibus Slavicis inhabitatus erat, ut fontes testantur, iam a temporibus regis Samae (prima medietas saeculi VII). Eadem autem Slavicae gentes, in maiores foederationes tribuum coalitae, magnam partem autonomam politicam gerebant: modo socii Francorum contra Saxones (aetate Caroli Magni), modo in bellis adversus Francos ac postea reges Germaniae; donec saeculo XII eorum autonomia politica omnino sublata est eisque impositae sunt christianizatio et germanizatio.<ref>[https://web.archive.org/web/20160304131003/http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrons/helmold.htm Helmoldus, *Chronica Slavorum*]</ref> Nomina ducum illorum Slavorum inter Odram et Albim indolem quandam communem Slavicam ostendunt: ''Draško/Thrasco, Slavomir, Sedrag, Gostimil, Dobromisl, Dobrimir, Tugomir/Tugumir, Stojnev, Mistivoj, Mistislav, Višedrag, Budivoj, Pribislav, Vratislav, Vislav'', etc. Quare libellus Stjepani Pantelić ''Najstarija povijest Hrvata'' (''Historia Chroatorum antiquissima'') quasi dux quidam haberi potest per historiam Slavorum Polabensium, quorum solum '''''Lusatici Sorabi''''' usque ad hodiernum diem identitatem et linguam Slavicam servaverunt. Ut conclusio huius analysis libelli Pantelićiani sumi potest quod haud dubie nonnulli Chroatae in regione circa flumen Salam in Germania consederint; attamen pauca tantum loca minora ibi reperiuntur, quae nullo modo cum illa Porphyrogenetae “Chroatia Magna sive Alba” identificari possunt. Videtur etiam Pantelićus ipse hoc sibi conscius fuisse, quare omnes Slavicos orientalis Germaniae in Chroatas transformare conatus est (quod Chroatomania appellari potest), quamquam ipse fontes mediaevales et locos citatos adducebat qui nomina propria ac peculiaria istarum Slavicarum gentium clare ac indubitanter testantur.<ref>James Westfall Thompson, ''The German Church and the Conversion of the Baltic Slavs'', ''The American Journal of Theology'', vol. 20, br. 2 (1916), str. 205–230, University of Chicago Press. [https://doi.org/10.1086/479673 https://doi.org/10.1086/479673]</ref> Addendum quoque est quod et Porphyrogeneta et rex Anglosaxonicus Alfredus Magnus aliique fontes Chroatas Albas in vicinitate immediata Bohemiae collocant (terra Boiki = Bohemia) atque eos ''constanter ad orientem a Serbis Albis ponunt''; quae omnia congruunt cum situ in hodierna Polonia australi atque austro‑occidentali. == 6. Quaestio de situ ''Illyrici'' Porphyrogeniti == === Caput XXX De administrando imperio: de situ et finibus Chroatiae ceterarumque Sclaviniarum === '''''Ex Chrovatīs autem, qui in Delmatis advenerant, pars quaedam seiuncta est, atque occupavit Illyricum et Pannoniam ...'' ''Haec Chroatia ceterique Sclavi<ref>Slavi, ut ex scriptis Crnorizci Hrabari, Chronico Nestoris aliisque fontibus apparet, se ipsos Slovene/Slovjene appellabant. Scriptores autem Byzantini — Procopius, Menander, Theophylactus, Nicephorus aliique — formas Σκλαβηνοί (Sklabenoi), Σκλαβηνούς (Sklabenous) et Σκλαβῖνοι (Sklabinoi) adhibent. Imperator Constantinus Porphyrogenitus in opere suo De administrando imperio tribus formis utitur: Σκλαβηνοί (Sklabenoi), Σκλαβοί (Sklaboi) et Σκλαβίνιοι (Sklabinioi).</ref> hoc modo sunt dispositi: Dioclia ad castella Dyrrhachii accedit, videlicet ad Elisum, Helcinium et Antibarem, atque usque ad Catarum porrigitur; in montibus autem Serbiae finitima est. ''A Catara incipit archontia Tribuniensis, quae usque ad Ragusam extenditur, et in montanis Serbiae contermina est. ''A Ragusa vero incipit archontia Zachumliensis, quae usque ad flumen Narentam porrigitur; ad partem maritimam Paganiae accedit, ad montes autem versus septentrionem Chroatiae finitima est, Serbiae autem opposita. ''A flumine Narenta incipit Pagania et usque ad flumen Cetinam extenditur; tres autem županiae habet, nempe Rastoc, Mocro et Dalen. Ex his duae županiae, id est Rastoc et Mocro, ad mare sitae sunt; hae etiam sagenas (naves longas) possident. Dalen vero longe a mari distat, eiusque incolae agriculturae student atque ex ea vivunt. ''Quattuor insulae Paganiae sunt finitimae: Melita, Corcyra Nigra, Bracium et Pharus, pulcherrimae atque uberrimae, sed urbibus desertis et multitudine paludum refertae. Incolae earum pecora alunt atque ex eis vitam sustentant. ''A flumine Cetina incipit terra Chroatiae et per litus usque ad fines Histriae, id est ad urbem Albona, extenditur. In montanis autem thematem Histriensem aliquatenus superat; apud Cetinam et Hlivnum Serbiae accedit, cum terra Serbiae omnibus aliis terris opposita sit, ad septentrionem Chroatiae, ad meridiem vero Bulgariae finitima. ''Ex quo Sclavi praedicti advenerunt, totam Dalmatiam occupaverunt. Romani autem urbes insularum coluerunt atque ex eis vitam agebant. Sed a Paganis (Neretvanis) cotidie in servitutem abducti et necati, insulas reliquerunt, cupientes in continente agrum colere. In quo eos Chroati impediebant, quia tributum eis non dabant; sed omnia quae hodie Sclavis solvunt, stratego (praefecto Romano) olim tribuebant. ''Cum ita vivere non possent, ad Basilium (Basilio I Macedone, annis 867–886) imperatorem gloriosum accesserunt atque omnia supra dicta ei exposuerunt. Hic imperator gloriosus Basilio praecepit ut omnia quae stratego dari solebant, Sclavis darent, ut cum eis pacifice viverent; parum vero aliquid stratego tribuerent, quo ostenderent suam subiectionem erga imperatores Romanos atque eorum strategum. ''Ex eo tempore omnes illi urbes Sclavis tributariae sunt et eis tributum solvunt: ''Spalatum 200 nomismata, Tragurium 100, Iadera 110, Absorus 100, Arba 100, Curicum 100; ita ut 710 nomismata efficiantur, praeter vinum et alia varia, quae praeter nomismata adhuc dabant. ''Ragusium autem inter duas terras, Zachumliam et Tribuniam, situm est; Ragusini vinea sua in utraque regione habent et archonto Zachumliensi 21, archonto Tribuniensi 36 nomismata solvunt. In opere '''Thomae Archidiaconi''' ''Historia Salonitana'' (circa annum 1250) legitur '''''regno Chroatorum attribui “totam Maroniam et Chulmiae Ducatum”''''', id est totam '''Naroniae '''sive''' Paganiae '''atque''' Chulmiae (Zachlumiae)''' archontiam. Hoc territorium hodie utramque ripam fluminis Narentae complectitur. <center> [[File:Pagania Zahumlje Travunia Duklja.png|600px|alt=Tabula regionum Chroatiae et Sclaviniarum saeculo IX|Tabula regionum Chroatiae et Sclaviniarum in saeculo IX]] </center> '''Gregorius Barsensis''', notior nomine ''Pop Dukljanin'' ('''Presbyter Diocliae''') , in opere suo Latine conscripto '''''Sclavorum Regnum''''' (saeculo XII) omnes quattuor archontias — '''Diocliam, Tribuniam, Chulmum et Paganian sive Naroniam''', quas memorat Constantinus Porphyrogenitus (saeculo X medio), communi nomine '''''Croatia rubea''''' appellat.<ref>Eduard Peričić, ''Sclavorum Regnum Grgura Barskog /Ljetopis popa Dukljanina'' (''Sclavorum Regnum Gregorii Barsensis / Chronicon Presbyteri Diocliae''), editio “Kršćanska sadašnjost”, Zagrabiae, 1991.</ref> Unus ex antiquissimis locis, ubi nomina '''''Croatia alba''''' et '''''Croatia rubea''''' ad Chroatos Adriaticos referuntur, invenitur in opere chronographi Venetiani saeculi XIV, Andreae Dandolo. Videtur ille textum ''Sclavorum Regnum'' Gregorii Barsensis (saeculi XII) sequi, sed etiam nonnullas additiones proprias inserere. ''Chronica Chroatica'' idiomate chakavico conscripta, quam '''Marcus Marulus''' anno 1500 Latine vertit, solam ''Croatiam Albam'' memorat: “''ab Dalma usque ad Valdeminum Chroatos Albos appellavit, qui sunt Dalmatini Inferiores…''”. '''Maurus Orbinus''' Ragusinus circa annum 1600, in opere suo panslavistico lingua Italica conscripto, item in quadam versione Gregorii Barsensis innititur atque ''Croatiam Rubram et Croatiam Albam'' nominat. Ragusinus '''Restius''' quoque, in paginis 25 et 43, nomina “Croazia Bianca, Croazia Rossa” refert. A libro ''Sclavorum Regnum'' Gregorii Barsensis saeculo XII conscripto (quem Eduardus Peričić cum archiepiscopo Gregorio, persona historice bene documentata, quae archiepiscopus urbis Antibaris fuit — hoc nomine a Bari Italico distinguitur — identificare solet) usque ad opera omnium auctorum posteriorum hic memoratorum, vocabula ''Croatia Alba'' et ''Croatia Rubea'' ad solum Chroatiae Adriaticae spatium referuntur, non autem ad ''Croatiam Albam'' in Europa septentrionali sitam. '''''Croatia Alba''''' ad tractum maritimum Chroatiae hodiernae usque ad flumen Cetinam pertinet (locus ''Dalma'', id est ''Delminium'', caput Delmatorum antiquitus, hodie ''Duvno''), cum '''''Croatia Rubea''''' ad regiones ad meridiem fluminum Cetinae et Narentae sitas referatur, incluso territorio antiquae ''Diocliae'' sive ''Docleae'' (vulgo: ''Duklja''), quod nunc est ''Res Publica Montis Nigri'' (vulgo: ''Crna Gora'' sive ''Montenegro''). Itaque, secundum relationem Presbyteri Diocliae saeculo XII conscriptam, regiones quae hodie '''Rem Publicam Montis Nigri''' constituunt eo tempore nomine '''Croatiae Rubeae''' appellabantur. === Illyricum Porphyrogeniti = Croatia Rubea? === Porphyrogenitus narrat partem Chroatorum in Dalmatiam advenientium se segregasse atque Illyrico et Pannonia potitam esse. Quaeri potest utrum hic Porphyrogeniti vocabulum Illyricum ad regionem Croatiae Rubeae pertinere possit, quae in aetate sero‑Romana, a Diocletiano imperatore, nomine Praevalis sive Prevalitana appellabatur. Nomen ''Illyricum'' per tempora Imperii Romani, ab Octaviano Augusto usque porro, suum ambitum geographicum legitime mutavit. Romani enim sciebant ''Illyrios proprie dictos'' eos esse qui in regionibus hodiernae Montis Nigri atque Albaniae septentrionalis habitabant, contra quorum civitatem bella gesserunt exeunte saeculo III et ineunte saeculo II a.Chr.n. At vero, Romanorum incursu in terras Delmatorum, Iapodum et Liburnorum, deinde etiam ad septentrionem circa Segesticam (bella Octaviani in Illyrico annis 36/35 a.Chr.n.), totus ille tractus in provinciam Illyricum constitutus est. Post rebellionem duorum Batonum (annis 6–9 p.Chr.n.) pristinum Illyricum in duas provincias diviserunt: Pannoniam et Illyricum, cuius pars Dalmatia erat. <center> [[File:Ancient balkans 4thcentury.png|800px |alt=Tabula totius Illyrici Romani saeculo IV |Tabula totius Illyrici Romani in saeculo IV]] </center> Regio mediaevalis Carantaniae, in qua quoque Chroati inter Dravam superiorem et Muram in Austria meridionali hodierna in chartis et documentis memorantur,<ref>Otto I in diplomate anni 954 formulam “in pago Crouuati” adhibet; Otto II anno 979 scribit “pago Chruuat”, et similia. Cf. Gluhak, 1990.</ref> aetate Romana provincia Noricum fuit, numquam Illyricum; solummodo reformatione Diocletiani Noricum in praefecturam Illyrici adscriptum est, sed ea partitio administrativa nomina ipsarum provinciarum minime mutavit. Quare plane excludendum est eos ''Chroatos Carantaniae'', qui sub nominibus ''Crowati'' etc. testantur, Porphyrogeniti Chroatos fuisse qui “in Illyricum” venerint.<ref>S. Antoljak, Lj. Hauptmann et B. Grafenauer putaverunt Porphyrogenitum vocabulo “Illyrici” ipsam Carantaniam intellexisse, quasi pars Chroatorum a Dalmatiae Chroatis secessisset atque ad septentrionem migrasset. Nos autem tali interpretationi non assentimur.</ref> Hic statuimus vocabulum “Illyricum” apud Porphyrogenitum intellegendum esse illud Illyricum quod ad meridiem veteris provinciae Romanae Dalmatiae (sensu strictiore) situm est, id est regiones ad meridiem fluminis Narentae, illum verum et antiquum Illyricum, ubi ''Illyrii propriae dicti'' habitabant. Hoc territorium saeculo IV administrative ''Praevalitana'' appellabatur, atque in aevo medio ''Dioclia'' imperatoris Porphyrogeniti (saec. X) et ''Doclea'' Gregorii Barsensis (saec. XII) vocabatur, quod hodie ''Res Publica Montis Nigri'' est. Ex relatione de situ geographicο archontiarum Slavicarum (quattuor earum ad meridiem ipsius Chroatiae positarum) in capite XXX apparet Chroatos in provinciam Dalmatiae advenisse atque quattuor illis principatibus dominatum imposuisse: Diocliae, Tribuniae, Zachumliae et Paganiae (Neretvanorum). Tertia vero pars Chroatorum, ut in eodem capite dicitur, ''Pannoniae'' potita est, id est illius partis Pannoniae inter Dravam et Savam sitae, quae est Chroatia septentrionalis hodierna, aetate Romana nomine Pannoniae Saviae nota. Sunt etiam nonnulli interpretes qui putent Porphyrogenitum, aut scriptorem qui caput XXX composuit vel auxit, vocabulo Illyrici significare regiones hodiernae Liciae aut fortasse interiores Bosnae et Hercegovinae, cum in capite XXX — quod notandum est — terra Bosna (a flumine Bosna dicta) omnino non commemoratur. At nos hic existimamus scriptorem capitis XXX, ex indiciis geographicis archontiarum Slavicarum, territorium veteris Bosnae strictiore sensu (secundum cursum ipsius fluminis Bosnae) fortasse ut partem Serbiae intellexisse, cum eam nullo nomine designet neque omnino in hoc capite memorare videatur. Porphyrogenitus enim affirmat Chroatiam ad Serbiam accedere apud Cetinam et Hlivnum, in montibus, quod significare potest Chroatiam et Serbiam fortasse ad septentrionem Narentae confinis fuisse, circumvectis principatibus Neretvanorum et Zachumliae. Regio hodiernae Liciae vix ullo modo pro Illyrico Porphyrogeniti haberi potest, cum totus ille tractus post rebellionem Delmatorum et Pannonum in provinciam Dalmatiae cum Liburnia inclusus sit. Quapropter hic concludimus unum tantum Illyricum fuisse, praeter Dalmatiae et Pannoniae dominationem, quod Chroati obtinere potuerint: nempe Praevalitanam aetatis sero‑Romanae, quam Gregorius Barsensis, id est Presbyter Diocliae, nomine “Croatiae rubeae” designat. == 7. De administrando imperio: Caput XXXI (loca ad Albam Chroatiam et ad migrationem Chroatorum pertinentia) == ''Chroatae, qui nunc Dalmatiam incolunt, oriundi sunt ex Chroatis inbaptizatis, qui etiam Albi vocantur. Hi trans Turcos (Ungaros) sunt, prope Franciam habitant, finitimi Slavinis, id est Serbis inbaptizatis. ''Isti Chroatae confugerunt ad imperatorem Heraclium priusquam idem facerent Serbi, eo tempore quo Avari Romanos inde expulerunt. ''Cum Romani eodem tempore ab Avaris depulsi essent, terrae eorum vacuae manebant. Iussu igitur imperatoris Heraclii isti Chroatae, arreptis armis, Avaros inde expulerunt atque, secundum imperatoris ordinationem, in terra Avarorum consederunt, in qua nunc habitant. ''Eo tempore Chroatae habebant archontem patrem Porgae. Imperator autem Heraclius misit ex urbe Roma sacerdotes, ex quibus fecit archiepiscopum, episcopos, presbyteros et diaconos, atque Chroatas baptizavit. ''Isti Chroatae habebant illo tempore archontem Porgam. ''Magna Chroatia, quae etiam Alba appellatur, usque in hodiernum diem inbaptizata est, sicut et finitimi Serbi. ''Item minus equitum et peditum producit quam Chroatia baptizata, quia a Francis, Turcis (Ungaris) et Pechenegis assidue depraedatur. ''Nec saginas nec conduras nec naves mercatorias habent, quod mare longe abest. ''A terra eorum ad mare sunt triginta dierum itinera; mare autem quod triginta dierum itinere distat, vocatur Mare Nigrum. Ad Chroatas spectat etiam locus in '''capite XXXII''', cui titulus est “'''De Serbis et terra quam nunc incolunt”''', ubi legitur: [[File:Sorbian Polity under Dervan.jpg|center|400px|alt=Karta sorbskog političkog prostora pod Dervanom|''Mappa ditionis Dervani ducis Sorabum (saec. VII).'' ]] ''Serbi, qui nunc eam terram incolunt, oriundi sunt ex Serbis inbaptizatis, qui etiam Albi vocantur, qui domi sunt trans Turcos (Ungaros), in regione quae Boiki appellatur, ubi Franciae fines contingunt, sicut et Magna Chroatia, illa inbaptizata et Alba dicta. == 8. Analysis et interpretatio capitis XXXI == In hoc capite situs Chroatiae Albae ita definitur: trans Ungariam (quae eo tempore primae dimidiae saeculi X etiam Slovaciam complectebatur), prope Franciam, finitima Serbis inbaptizatis. Chroatia Alba a Francis, Ungaris et Pechenegis continenter depraedatur, et mare ad quod descendunt triginta dierum itinere distat. Ex capite XXXII discimus Serbos Albos domi esse trans Ungaros, in regione quae Boiki appellatur, ubi Franciae fines contingunt, sicut et Magna Chroatia. Quid igitur de situ Chroatiae Albae ex his omnibus colligi potest? Chroati Albi finitimi erant Serbis Albis inbaptizatis. Initio adtendebamus ad interpretationem secundum quam regio Boiki prope Ungariam ad Boikos Ucrainae referri posset, qui hodie in limitibus Ucrainae ad Slovaciam et Ungariam habitant, sicut olim putavit historicus Vjekoslav Klaić. Verumtamen locutio “ubi Franciae fines contingunt” (quae ad tempus compositionis DAI, circa annum 950, pertinet) nos ab tali expositione removit. Nam Franciae regnum, id est Germania regis ac postea imperatoris Ottonis I (936–976), numquam ad Carpatas pervenit neque cum eis confinia habuit; quare nomen Boiki ad Boikos Ucrainae referri non potest. Proinde Boiki Constantini Porphyrogeniti intellegenda est Bohemia, id est regio Cechorum; et notum est Sorabos sive Serbos Lusaticos etiam hodie ad septentrionem Bohemiae consistere. ''“A Chroatis ad mare sunt triginta dierum itinera.” Ultimus de Chroatis Albis locus in capite XXXI ita habet: ''Magna Chroatia, quae etiam Alba vocatur, usque in hodiernum diem inbaptizata est, sicut et finitimi Serbi. Item minus equitum et peditum producit quam Chroatia baptizata, quia a Francis, Ungaris et Pechenegis continenter depraedatur. Nec saginas nec conduras nec naves mercatorias habent, quod mare longe abest. A Chroatis autem ad mare sunt triginta dierum itinera; mare vero quod triginta dierum itinere distat, Pontus Nigrum appellatur.” Mare quod regioni Lipsiensi proximum est Balticum; ad illud autem non plus quam quadringenti chiliometrae sunt. Si ponamus coetum hominum pedibus et equis oneratis mediocriter triginta chiliometra per diem conficere, iter quadringentorum chiliometrorum per tredecim dies absolveretur, quod longe ab illis triginta diebus, quos Porphyrogenitus memorat, abest. At vero iter a triquetro Poloniae, Bohemiae et Slovaciae (ad meridiem et occidentem Cracoviae situm), si cursum Vislae fluminis fere sequatur, ad mare Balticum non excedit octingentos chiliometros; quod, si per triginta chiliometra singulis diebus dividatur, circiter viginti sex dies itineris efficit. Maior tamen est distantia a Cracovia per Dniestrum ad Pontum Euxinum, quae profecto iter fere triginta dierum praebet. Certe nobis hodie paene impossibile est exacte computare quantum temporis iter a Cracovia ad Balticum vel ad Pontum Euxinum primae dimidiae saeculi X occuparet, cum plerique huiusmodi itineris parametri ignoti sint (pericula viae, semitae mercatorum illius aetatis, et cetera). Praeterea, interpretes huius loci in litteris historicis non consentiunt ad quod mare Porphyrogenitus precise referat cum dicit “nigrum” vel “obscurum”: utrum ad Balticum an ad Pontum Euxinum. Lingüista atque etymologus '''Alemko Gluhak''' in libro suo ''De origine nominis Chroati'' (pp. 120–121) censet “mare nigrum”, ad quod triginta dierum iter esse dicitur, revera Balticum mare significare. Nam Byzantini mare, quod nos hodie ''Mare Nigrum'' appellamus, secundum traditionem linguae Graecae ''Pontos Eukseinos'' (''Mare Hospitale'') vocabant. Exsistit autem possibilitas commercii atque transmissionis culturalis, qua ipsum nomen Graecum ''Pontos Eukseinos'', quod olim ''Pontos Akseinos'' (Mare Inhospitale) erat, cuius forma ex voce Iranica ''äxsin'' derivata esse potuerit, postea vero a Graecis in ''Eukseinos'' mutata est.<ref>Vocabulum Osseticum äxsin phonetice [æxˈsin], Avesticum axšaena [axʃaːˈena] profertur; sonus “x” in utroque fricativus velaris surdus est, Croatico /h/ posteriori simillimus.</ref> Etenim Avesticum ''axšaena'', Osseticum ''äxsin''<ref>radix in lingua palaeoslavica: *''sin’j’'', Croatice: sinje, ut in ''sinje more''</ref>, quod Latine ''obscurum'' significat, esse potest origo Graeci ''Akseinos''.<ref>Hoc est exemplum quomodo etymologia ex perceptione phonica nasci possit: nam littera transliterata “x” in omnibus linguis Iranicis ut fricativus velaris surdus pronuntiatur (ut Germanice Bach, Scotice loch, Hispanice j in José), numquam vero ut coniunctio /ks/. Graeci autem, audientes Iranicum axšaena vel äxsin, id ad vocem suam áxeinos (“inhospitale, in externos adversum”) adcommodaverunt atque prorsus cum ea consociaverunt.</ref> Praeterea notandum est Turcos, qui hodie Minorem Asiam incolunt, mare Mediterraneum more tradito Ak denizi (Mare Album) appellare, quod ad occidentem terrae eorum situm est; illud vero mare, quod in septentrione situm est, Kara deniz (Mare Nigrum) vocant. Haec indicant Turcos, sicut alios populos stepparum Eurasiarum (inter quos Scythas et Sarmatas Iranicos), colores ad designandos mundi cardines usurpasse: nigrum = septentrio; album = occidens; caeruleum vel viride = oriens; rubrum = meridies. Ex his igitur sequitur nomen Chroatia Alba “Chroatiam Occidentalem” significare, cum Porphyrogeneti locutio mare nigrum vel obscurum ad Balticum mare referenda sit.<ref>Alemko Gluhak, Porijeklo imena Hrvat, Zagreb, 1990, pp. 120–121.</ref> Haec omnia nos ad conclusionem ducunt Chroatiam Albam primae dimidiae saeculi X in circulo gentium Slavicarum occidentalium sitam fuisse, id est in vicinitate Boiki sive Bohemiae, prope Serbos in Germania orientali, inter Ugariam illius temporis (quae Slovaciam et Hungariam complectebatur) et Franciam. Ex his omnibus concluditur Chroatiam Albam in hodierna Polonia meridiana locatam esse. == 9. De differentiis inter capitulum XXX et capitulum XXXI == Communia capitulis XXX et XXXI sunt haec: utrumque commemorat adventum Chroatorum ex Chroatia Alba atque proelium Chroatorum contra Avaros, in quo Chroati Avaros superant. In ceteris autem rebus illa duo testimonia inter se discrepant. In capitulo XXX narratur fabula de quinque fratribus et duabus sororibus, quae in capitulo XXXI non reperitur. In capitulo XXX describitur saevitia Francorum erga Chroatos et bellum Chroatorum contra Francos quod septem annos duravit; in capitulo XXXI vero nulla fit mentio dominationis Francorum super Chroatos in Dalmatia. Tantum dicitur Chroatiam Albam prope Franciam sitam esse atque Francos (Germanos) Chroatiam Albam depraedari. Praeterea, in capitulo XXX dicitur Chroatos in Dalmatia se liberasse a potestate Francorum et accepisse baptismum ex Roma tempore archontis Porini; in capitulo XXXI autem dicitur Chroatos in Dalmatiam venisse iussu imperatoris Heraclii (610–641), quod magni momenti est, cum hoc '''sit unica expressa datatio adventus Chroatorum in fontibus (prima igitur dimidia pars saeculi VII)'''. Item in capitulo XXXI dicitur Chroatos venisse tempore patris Porgae, et tempore ipsius Porgae archontis baptismum ex Roma accepisse. (Duo nomina diversa, sed aliquatenus similia: Porga – Porin.)<ref>Recentior est inclinatio ut in nomine Porin varietas nominis dei Slavici Perun agnoscatur (Polonice: Piorun); cf. Alimov, 2015.</ref> In capitulo XXX saepe memorantur Francia, Franci et rex Otto I; contra, in capitulo XXXI memoratur solum imperator Heraclius eiusque munus, nec Franci ibi apparent, nisi quod Chroatia Alba prope Franciam sita esse dicitur. Nonnulli interpretes existimant capitulum XXX ab alio auctore compositum esse quam capitulum XXXI. Haec sententia de duobus diversis scriptoribus nititur, inter alia, analysi stilistica quae favet opinioni de duobus auctoribus. Saepe etiam dicitur scriptorem capituli XXX aliis fontibus usos esse quam scriptorem capituli XXXI. Tamen, ut iam diximus, fieri potest ut ipse imperator Constantinus duas diversas relationes de Chroatis in archivis suis habuerit, quas, cum eligere non posset, ambas inserere statuerit, eas simpliciter transcribens. Videtur tamen relatio in capitulo XXX esse aliena et transcripta, cum relatio in capitulo XXXI fortasse ab ipso imperatore consuta sit. Capitulum XXXI saepe habetur exemplum apertae propagandae Byzantinae (emphasi posita in munere Heraclii in adventu Chroatorum saeculo VII), cum capitulum XXX putetur repraesentare traditionem popularem Chroaticam de adventu atque memoriam de relationibus cum Francis. In capitulo XXX Franci exhibentur tamquam crudeles occupatores contra quos Chroati pugnant et vincunt; at re vera scimus solum ducem Pannoniae Liudewitum contra Francos pugnavisse, cum dux Dalmatiae et Liburniae Borna socius Francorum fuerit et adversarius Liudewiti Posaviensis. A temporibus Liudewiti usque ad compositionem additionis capituli XXX circiter 130–140 anni fluxerunt (si capitulum XXX, ut quidam putant, scriptum est annis 960, tempore quo rex Chroatiae Stephanus Držislav titulum patricii a Byzantino imperatore accepit).<ref>Alimov 2015</ref> Nihilominus non consentimus cum opinione quod capitulum XXX necessario tradit “puram” traditionem popularem, cum elementa traditionis popularis in utroque capitulo inveniantur.<ref>Margetić 2001, 127-131</ref> In capitulo XXX, ubi Franci saepe memorantur, situs Chroatiae Albae definitur secundum Bagibareiam; in capitulo XXXI situs definitur secundum locum Ungarorum. In capitulo XXX dicitur Chroatos in Chroatia Alba cum Ungaris foedera et amicitias contrahere; capitulum XXXI autem affirmat Ungaros atque Pechenegos Chroatiam Albam depraedari. == 10. Thesis de situ Chroatiae Albae in regione Cechiae orientalis, sive in ducatu Slavnikiano == Secundum traditionem popularem Cechicam, Cechi in terras hodiernas Cechiae a septentrione venerunt, ubi cum Serbis Albis confinia habebant, atque emigraverunt ut dominationem Serbicam evitarent. Una ex illis traditionibus refert protopatrem Cechum origine fuisse Lehum, eumque ex terra Chroatiae venisse, sicut in ''Chronica Dalimiliana'' saeculi XIV scriptum est. (Haud dubie non ex Chroatia Adriatica, sed ex Chroatia Alba septentrionali.) Per saeculum XX historiographia Cechica existimavit nonnullos Chroatos inter coetus fuisse qui ad ethnogenesim populi Cechici contulerunt. <center> [[File:České kmeny.png |thumb|900px |alt=Locus Croaticorum gentium in Bohemia saeculo X positus, sed controversus |''Locus Croaticorum gentium in Bohemia saeculo X positus, sed controversus (coloribus caeruleo et flavo signatus), secundum hypothesin de Bohemicis gentibus iam relictam, prout eam interpretatus est Rudolfus Turek anno 1957.'' ]] </center> Secundum fontes Francicos, in Bohemiae territorio parte altera saeculi IX plures duces regnabant (sex duces Bohemici), inter quos primatum tenebat dux Borivoj e stirpe Přemyslidarum, qui christianitatem accepit. Id erat tempus bellorum crebrorum cum Francis (Germanis). ===Theoria, qua ducatus dynastiae Slavnik in Bohemia orientali pro Chroatia Alba habetur=== In historiographia saeculi XX nonnumquam proposita est sententia, ducatus in Bohemia orientali (ad orientem Pragae), cum sedibus in Libice et apud hodiernam Kutna Hora, cuius fines Cosmas Pragensis in ''Chronica Boemorum'' descripsit, fuisse ducatus Chroatiae Albae.<ref>Cosmas Pragensis (1045–1125), sacerdos et primus chronicarius Bohemus, auctor operis historici Chronica Boemorum.</ref> Dux partis orientalis Bohemiae (regio ad orientem Pragae circa Libice et Kutnam Horam) medio saeculo X, secundum fontes historicos, Slavnik vocabatur; unde tota familia dynastia Slavnikovica appellatur. Unus e filiis Slavniki, nomine Vojtjech (Adalbertus), brevi tempore episcopus Pragensis fuit; postea autem anno 997 in missione evangelizationis apud paganos Prutenos ad litus Balticum occisus est. Vojtjech iam anno 999 sanctus canonizatus est. Alter filius Slavniki, Sobjeslav, denarium argenteum cudi iussit in monetaria sui sedis Malin (hodie circa 3 km ad septentrionem‑orientem Kutnae Horae).<ref>Inscriptio nummi argentei Sobjeslavi: Malin civitas.</ref> Praecipuum domicilium familiae Slavnikovicae erat oppidum munitum Libice nad Cedlinou. Mense Septembri anni 995, in festo sancti Venceslai, oppidum oppugnatum est, et omnes ibi inventi trucidati sunt, ut Cosmas Pragensis vividissimo sermone refert. Solus Vojtjech, qui tum in Italia versabatur, et frater eius Sobjeslav, qui in Saxonia erat, mortem effugerunt. Sic familia ducalis Slavnikovica e historia Bohemica evanuit. Cosmas autem in sua ''Chronica Boemorum'' numquam aperte affirmat Slavnikum ortu ex Chroatis Albis fuisse. Quare concludendum est sententias de origine dynastiae Slavnik ex Chroatis Albis sine ullo fundamento in fontibus historicis positis. Redeamus igitur ad quaestionem de situ Chroatiae Albae sive Magnae. Imperator Constantinus Porphyrogenitus, qui opus suum ''De administrando imperio'' circa annum 950 conscripsit, in capite XXXI clare scribit: ''Magna Chroatia, quae et Alba dicitur, necdum usque in hodiernum diem baptizata est. Hinc sequitur ut Bohemia orientalis, id est ducatus Slavniki, pro Chroatia Alba a Porphyrogenito memorata haberi non possit, cum illa regio tempore quo DAI conscriptum est (circa 950) iam christianitatem recepisset. Nam et maiores Slavniki, sicut tota Bohemia, per missionem sanctorum fratrum Solunensium, Constantini (Cyrilli) et Methodii, in Ducatum Magnae Moraviae (863–885) evangelizati sunt; cum Bohemia sub duce suo Bořivoj I (circa 852–889) e stirpe Přemyslidarum vasalla Magnae Moraviae fuisset. Hypothesis saeculis XIX et medio XX exculta, quae nomina atque territoria “gentium Bohemicarum originariarum” retractare conabatur, inter quae etiam sedes Chroatorum in Bohemiam orientalem collocabatur, hodie ob probationum penuriam relicta est. Ad ''Encyclopaediam Academicam Historiae Bohemicae'' (2011) historici Dušan Třeštík conclusit Bohemiam aetatis mediaevalis antiquae repraesentatam fuisse a ducibus localibus singulis, qui saepe coniunctim agebant atque fortasse conventus gentiles celebrabant; sed “''quae in fontibus saeculi X et posterioribus pro nominibus gentium habita sunt (Lučané, Lemuzi, Pšowane, Sedličané, Děčané, Litoměřice, Zličané, Hbané aliique nonnulli) nomina sunt regionum, id est appellationes geographicae. Verum nomen gentis est Chroati, sed ii non in Bohemia sedebant, sed alicubi in Silesia''.”<ref>Dušan Třeštík, «České kmeny», in: ''Akademická encyklopedie českých dějin'', Historický ústav Academiae Scientiarum Reipublicae Bohemicae, Pragae 2011, pp. 69–70.</ref> Itaque locum Chroatiae Albae ulterius quaerere oportet, in regionibus ad septentrionem et orientem Bohemiae sitis. == 11.Documentum de institutione et finibus Episcopatus Pragensis anno 973 == Documenta autem in antiqua Cechia orta nonnullis suis testimoniis utilia indicia praebent de situ Chroatorum Alborum. Sic, verbi gratia, diploma Pragensis anni 1086, quod ad fundationem episcopatus Pragensis anno 973 pertinet, tradit in limite septentrionali episcopatus Pragensis habitasse: ''Psovane, Ghrvvati et altera Chrowati, Slasane ...''<ref>Cosmas Praguensis, ''Chronica Boemorum'', Lib. II., Cap. XXXVII</ref> <center> [[File:Screenshot_iz_Chronica_Boemorum_Lib.II,_Cap.XXXVII.png|800px|alt=Excerptum e Chronica Boemorum, Lib. II, Cap. XXXVII|''Excerptum e Chronica Boemorum (Lib. II, Cap. XXXVII).'' ]] </center> Chroati in hoc diplomate Pragensi memorati (Ghrvvati et altera Chrowati) inter gentes Bohemiae septentrionalis numerantur, una cum Psovanis; reliquae autem gentes Silesiae sunt: Slasane (circa Wratislaviam), Trebowane (Trzebnica), Dedosane (Żagań / Szprotawa) atque Bobrane (ad flumen Bóbr), quae omnes in parte meridionali‑occidentali Poloniae inter Odram et montes Sudetos sitae erant. Milciani vero ad occidentem memorati erant gens Sorabum Lusaticorum circa urbem Budyšin (Bautzen). <center> [[File:BOGUSŁAWSKI(1861)_Das_Siedlungsgebiet_der_Sorben_vom_7._bis_11._Jahrhundert_in_Mitteldeutschland.jpg |thumb|900px |alt=Tabula de sedibus Sorabum, Chroatorum alborum et gentium Slavicarum |''Tabula de sedibus Sorabum, Chroatorum alborum et gentium Slavicarum (saec. VII–XI).'' ]] </center> Chroati ex diplomate Pragensi (Ghrvvati et altera Chrowati) in ipsa triquetra finium Bohemiae, Poloniae et Germaniae siti erant. Hoc congruit cum assertione imperatoris Constantini Porphyrogeniti, qui refert Chroatiam Albam et Serbiam Albam ad fines terrae Boiki (Bohemiae) attingere, ubi etiam Francorum terminus erat. In variis codicibus Cosmae Pragensis nomen Chroatorum plurimis formis occurrit: Chrowaci, Chrouuati, Crouati, Crhuati, Hrouati, Chrowati,Ghrouati, Ghrwati, etc., quae omnes ad ethnonymum Slavicum Hrъvati referuntur. '''Ex mentione duarum Chroatorum partium in diplomate Pragensi haec concludi possunt: duae gentes Chroatorum in regione Poloniae meridianae certo exstiterunt. '''Prima pars in confinio Bohemiae et Poloniae, prope Sorabos Lusaticos, habitabat; altera vero orientius sita erat, fortasse in regione Poloniae meridianae circa Cracoviam. Cosmas enim solus auctor est qui duplicem Chroatorum praesentiam in spatio Slavico occidentali aperte confirmat. == 12.Regio Poloniae hodiernae ut area ubi sita erat Chroatia Alba seu Chroatia non baptizata prima parte saeculi X == Dissimile a regione Bohemiae, cuius principes iam exeunte saeculo IX fidem christianam acceperunt, annus officialis baptismi Polonorum habetur 966, cum dux Miesco ex gente Piastica principissam Bohemicam Dubravcam in matrimonium duxit. Conditio nuptiarum, quam ipsa principissa (secundum chronicas Polonicas) imposuit, erat ut dux Miesco baptismum susciperet. Hoc nos ad conclusionem perducit totam regionem Poloniae hodiernae, etiam Poloniam meridionalem atque ducatum Miesconis in Magna Polonia, prima parte saeculi X et adhuc circa annum 950, quo tempore Porphyrogenitus opus suum conscripsit, fuisse non baptizatam. Quapropter haec ipsa regio Poloniae meridionalis et meridio‑occidentalis verisimillimus est locus in quo quaerenda est Porphyrogeniti Chroatia Magna sive Alba. In altera parte saeculi X regio Poloniae meridionalis (Cracovia) atque meridio‑occidentalis (Silesia) politicae independens erat et extra statum Polonicum Piastidarum. Principes Bohemiae per episcopatum Pragensis conabantur potestatem suam ecclesiasticam, atque eo ipso politicam, in eas terras extendere. Cosmas, auctor ''Chronicae Boemorum'', aperte tradit provinciam Cracoviensem ab ipso anno 973, quo episcopatus Pragensis conditus est, ad eandem dioecesim pertinuisse, eiusque fines ad orientem usque ad flumina Bug et Stir processisse, deinde ad meridiem versus montes Tatra in hodiernam Slovaciam, quae eo tempore pars Hungariae erat. Iurisdictio ecclesiastica episcopatus Pragensis principibus Bohemicis e gente Přemyslidarum diuturnam auctoritatem politicam pollicebatur, necnon facultatem amplificandi statum circa Cracoviam. Hi autem consilia circa annum 990 corruerunt, cum Miesco I Cracoviam et Silesiam armis occupavit, quo facto ambitiones Bohemicas in Polonia meridionali interclusit. Dux Miesco I (960–992) anno 966 baptizatus est, et prima dioecesis in Polonia demum anno 1000 in urbe Gneznensi condita est. Etiam saeculo XIV custodes urbani Cracovienses vocabantur Charwat. Initio saeculi XX milia hominum ex regione Cracoviensi in Civitates Foederatas emigrantium in documentis publicis se professi sunt Albos Chroatos (Anglice: White Croats). Nonnulli investigatores existimant Albos Chroatos latere sub nomine in fontibus tradito Vistulani (Vislani), quod ad plebem in Polonia meridionali circa Cracoviam pertinere videtur, quam memorat Geographus Bavarus.<ref>Janusz Bogacz, Czy jesteśmy Chorwatami? Muzeum Okręgowe w Tarnowie (Tarnów Regional Museum). Dostupno preko Wayback Machine: https://web.archive.org/web/20110717071759/http://www.muzeum.tarnow.pl/wydawnictwa/czytelnia/artykuly/kroacja.htm</ref> <center> [[File:Polska 960 - 992.png|500px|alt=Polonia tempore Miesconis I.|''Polonia tempore Miesconis I (960–992).'' ]] </center> == 13. Alfredus Magnus (circa 890) et Geographus Bavarus (circa 845). == Rex Anglo‑Saxonicus Alfredus Magnus in opere quod Geographiam Europae inscribitur (annis 888–893), Orosio innixus, ita scripsit: ''Ad septentrionem et orientem a Moravianis sunt Dalamensae; ad orientem Dalamensarum sunt Horithi (Chroati), ad septentrionem vero Dalamensarum sunt Serviani (Serbi); ad occidentem Silesiani. Ad septentrionem autem Horithorum est Mazovia … Hic animadvertendum est: si Mazovia (Polonice Mazowsze) ad septentrionem a Chroatis posita est, Chroati igitur in regione Poloniae hodiernae ad meridiem et orientem vergente collocandi sunt. Alii fontes ibi ponunt coetus qui Vistulani (Vislani) circa Cracoviam appellantur, atque in parte meridio‑orientali Lendiani (Lenđani); utrumque nomen ex locorum indiciis deductum est: Vistulani a flumine, Lendiani (Polonice ''Lędzianie'') a voce Slavica antiqua ''lęda'' (Croatice: ''ledina''), quae significat lētam, id est terram incultam post silvarum excisionem et incendium, ut terras ad culturam pararent. Fons qui varia Slavorum genera et sedes enumerat, vulgo dictus ''Geographus Bavarus'' (circa 845), Lendizi memorat. Imperator Constantinus Porphyrogenitus eos quoque commemorat sub nomine Lendzanenoi. Investigatores Polonici, inter quos Tadeusz Lehr‑Spławiński (annis 1950), putaverunt nomen horum Lendianorum originem esse vocabulorum Leh, Lah (pluraliter Polonice Lachowie). Territorium Lendianorum aestimatur ad orientem Vistulae fluminis protendi, circa flumen San, deinde ad Wieprz atque ad Bug. Nomen fluminis Bug fortasse fontem praebet nomini unius sororum in capite XXX: Buga. Ex fontibus medii aevi noti sunt Buzani (Slavice:Bužani) ut pars Volinianorum, in confinio Poloniae et Ucrainae.<ref>Vjekoslav Klaić: Crvena Hrvatska i Crvena Rusija; Hrvatsko Kolo, Matica hrvatska, Zagreb 1927., str 127-130.</ref> In Croatia, in regione Licensi, medio aevo extabat ''pagus Buzka (Bužka)'' sive ''Bužani''; item in Hercegovina ''Buško blato'' (Buzko palus) ad meridiem campi Livaniensis. == 14. ''Lingones'' in opere ''Historia Salonitana'' Thomae Archidiaconi Spalatensis (circa 1250) == Ex nomine Lendianorum verisimile est derivari etiam vocabulum Hungaricum pro Polono: Lengyel, unde proficiscitur nomen quod in opere ''Historia Salonitana'' Thomae Archidiaconi (circa 1250) invenitur: Lingones, in ea parte ubi Thoma scribit de septem vel octo generosa genera ex regionibus Poloniae, ex illis Lingonibus, in Dalmatiam venisse. Notandum est Thomam Archidiaconum Spalatensem saeculi XIII medio verisimiliter linguam Graecam ignorasse neque opus Constantini Porphyrogeniti (saeculi X) ad manum habuisse; quapropter eius relatio de septem vel octo generosis generibus ex Polonia oriundis testimonium est independens, quod confirmat narrationem de quinque fratribus et duabus sororibus in capite XXX operis ''De Administrando Imperio'' Constantini Porphyrogeniti. Differentia autem praecipua est quod Thoma Archidiaconus adventum illorum septem vel octo generum coniungit cum aetate regis Ostrogothorum Totilae, qui in prima parte saeculi VI vixit, cum Porphyrogenitus in capite XXXI adventum Chroatorum in primam partem saeculi VII datet. Notandum praeterea est quod etiam hodie in Polonia meridionali exstant toponyma quae nomen Chroaticum continent, ut ''Chorwatówka, Chorwatowa'', etc.; in Polonia meridionali invenitur etiam flumen ''Tugaj'', cuius nomen memoriam ''sororis Tugae'' ex capite XXX DAI refert. In Polonia vero orientali-meridionali flumen ''Cetynia'' reperitur, quod ad ''Cetinam'' in Croatia refert, dum hydronymum ''San'' ad flumen ''Sana'' alludit. == 15. Chroati in Nestoris Chronica == Opus ''Historia annalium praeteritorum'', sive ''[[Nestoris Chronica]]'', quod exeunte saeculo XI et ineunte XII a monacho Kioviensi Nestore (+1116) lingua Slavica ecclesiastica conscriptum est, unum ex fontibus gravissimis habetur qui clara testimonia praebent de sedibus magnae gentis Chroatorum in regione quae hodie occidentalis Ucraina est. ''[[Nestoris Chronica]]'', sive Annales, fons praecipuus est ad historiam primam gentium Slavicarum orientalium; attamen idem Chronica simul est una ex fontibus historicis in historiographia Croatica maxime neglectis.<ref> Plurimae chronicae et annales in terris Slavicis conservatae saeculo XII ortum habent. Antiquissima est ''Povest’ vremenych let'' sive ''Nestoris chronica'', Nestoro monacho Kioviensi (mortuo ante annos 1116 vel 1119) adscripta, lingua Slavonica ecclesiastica antiqua conscripta, quae in nonnullis posterioribus exemplaribus et recensionibus servata est. Vetustissima chronica Polonica est ''Gesta principum Polonorum'' (1112–1118), Latine scripta et Gallo Anonymo tributa. Alter scriptor Polonicus post Gallum fuit Wincenty Kadłubek, qui suam ''Chronicam'' (1190–1208) composuit. Prima chronica Bohemica Latine conscripta est ''Chronica Boemorum'', a presbytero Cosma Pragensi (1045–1125) redacta. Inter meridionales Slavos antiquissimum opus conservatum est ''Sclavorum Regnum'', Latine scriptum, vulgo ''Ljetopis popa Dukljanina''. A sacerdote catholico ex urbe Baro (hodie in Montenegro) conscriptum est, qui se ipse nomine “Gregorius presbyter Diocleas” profitetur. Opus plerumque ad medium saeculum XII refertur; nonnulli tamen investigatores censent id circa annos 1170–1190 compositum esse atque a tunc temporis archiepiscopo Barensi scriptum, de quo plura documenta supersunt, inter quae epistulae et testamentum, quo dona monasterio ''S. Chrysogoni'' Iadertino legavit. Ex his Eduardus Peričić (in: ''Sclavorum Regnum Grgura Barskog'', Zagreb, Kršćanska sadašnjost, 1990.) concludit Gregorium archiepiscopum Diocleae et Barensis ortu Iadertinum fuisse, ibique in dicto monasterio vitam finivisse. Historici existimant hoc opus fide dignum esse tantum pro rebus a saeculo X incipientibus; quae vero ad priora saecula pertinent aut ficticia aut semi‑legendaria habentur, sicut celeberrima narratio de magno conventu in campo Duvaniensi sub rege Svetopeleco exeunte saeculo IX secundum ipsius operis chronologiam. Opus praeterea incipit indice mythico regum Gothicorum, qui ab saeculo V regiones Balcanicas occidentales tenuisse dicuntur; quodam autem loco Goti simpliciter in Slavos transformantur. Influentia ''Sclavorum Regni'' magna fuit in chronicis a saeculo XIII usque ad initium saeculi XVII. Videtur hoc opus cognovisse etiam Thomam Archidiaconum Spalatensem (saeculi XIII medii), qui initia praesentiae Slavicae in Dalmatia et Illyrico cum rege Gothorum Totila (saeculi VI prima parte) coniunxit; qui tamen, ut constat, Slavos ex Polonia deducere non potuit, cum in Italia natus, vixerit et mortuus sit. Praestantissimus chronicus Venetiarum saeculi XIV, Andreas Dandolo, opus ''Sclavorum Regnum'' quoque cognovisse videtur, quod ex mentione Chroatiae Albae et Rubrae apparet. Notandum est vocabula “Chroatia Alba” et “Chroatia Rubra” (in ''Sclavorum Regno'' et postea apud alios scriptores occurrentia) ad divisionem territorialem Chroatiae Adriaticae pertinere, non ad veterem “Chroatiam Albam” in regionibus Poloniae. Denique opus ''Sclavorum Regnum'' magnum habuit momentum in opere Mavri Orbinii Ragusini, qui magnum librum historicum ''Il Regno de gli Sclavi'', ideis panslavisticis imbutum, Italice conscripsit et anno 1601 edidit. </ref> Ex historicis Croatis notioribus solus Vjekoslavus Klaić ''Nestoris Chronicam'' diligentius tractavit, quod eius articuli in commentario ''Hrvatsko Kolo'' annis 1927 editis testantur. Ex recentioribus historicis Croatis Neven Budak ''Nestoris Chronicam'' tantum obiter memorat in uno ex libris suis recentioribus. Denique, ''[[Nestoris Chronica]]'' necdum in linguam Croaticam conversa est, nec exstat editio critica huius fontis historici. In hoc opere exponitur historia rerum gestarum in regionibus quas gentes Slavicae orientales incolebant: a sinu Finnico, lacu Ilmen et Novogardia ad septentrionem, per vallem fluminis Dnepr usque ad Pontum Euxinum. Pars historica Chronicae eventus a saeculo IX deinceps persequitur in regione ubi vasta civitas Slavica sub ducibus dynastiae Rurik, origine Scandinavis, formari coepit. Haec civitas centrum suum principale habebat in urbe Kiovia ad Dneprum, venam quasi vitalem illius partis Europae, atque in historiographia nota facta est nomine Russia Kioviensis. Nestor enumerat gentes Slavicas quae in illis amplissimis regionibus habitabant. Inter octo gentes quae territorium Ucrainae hodiernae incolebant, etiam Chroatos memorat. Chroati in regione Ucrainae tribus vicibus in opere Nestoris commemorantur: in parte generali capitis IX, ubi dicit… ''[...] vivebant igitur concordes '''et Polani et Severi et Radimici et Vjatici et Chorvati.''' (2) Dulebi vero habitabant secundum Bugum, ubi nunc Volinienses habitant; Uglici et Tiverci secundum Danastrim habitantes Danubium adtingebant; bis enim memoratur, ad bella pertinens: in capite XXI de expeditione ducis Kioviensis Olegi in Graecos et Constantinopolim annorum 904–907, ita scriptum est: ''(2) Anno 6415. Igore Kioviae relicto, Oleg magna cum multitudine Varaegorum, Tiudorum, Crivitioruin, Merorum, Polanorum, Severorum, Drevlanorum, '''Radimitiorum, Chorvatorum, Duliborum, Tivertiorum''', de quibus supra mentio est facta quique omnes Scythia magna appellantur, in Graecos profectus est, hos omnes Oleg partim in equis, partim in navibus, quarum duo millia erant, secum duxit; ubi Constantinopolim advectus est, Graeci fretum urbemque clauserunt. In capite XLV de bellis ducis Kioviensis Vladimiri scriptum est: ''Anno 6501. '''Vladimir contra Chorvatos''' profectus est; cum e '''bello Chorvatico''' reversus esset, Pecenegi ex altera Sulae ripa venerunt. De his rebus historicus Vjekoslavus Klaić scripsit: ''Haec tria loca in annalibus Nestoris aperte testantur iam multo ante annum 862, deinde per totum saeculum decimum, gentem quandam Slavonicam Chroatorum vixisse; eamque gentem saeculo X magis minusve sub potestate principum Russicorum Kioviensium fuisse, donec sanctus Vladimirus anno 993 bellum Chroaticum in eos movit. Nestor Chroatos plerumque ante Dulebos (Volinianos), post Radimicos memorat; unde colligitur eos habitasse in vicinia Duleborum sive Volinianorum, id est in parte occidentali hodiernae Ucrainae circa fontes fluminis Bug et superiorem cursum Dniestri, in regione urbium Leopolis, Rohatyn, Halicia et Ternopolia. <center> [[File:East Slavic tribes peoples 8th 9th century.jpg|frame|600px|alt=Tabula de tribubus Slavicis orientalibus saeculis VIII–IX|''Tabula de tribubus Slavicis orientalibus saeculis VIII–IX.'']] </center> Tabula tribuum Slavicorum orientalium saeculorum VIII–IX. == 16. Archaeologica investigationes in Ucraina occidentali == Opera archaeologorum Ucrainensium ab annis 1960 incohata, atque praesertim per decennia recentiora, in regione superioris Podnestrovia, id est ad ripas Tyratis (circa Dniestrum), reliquias complurium habitationum et castellorum detexerunt, quae ad periodum a saeculo VI usque ad saeculum X pertinent. Effossa archaeologica in Ucraina occidentali annis 1981–1995 facta loca urbium primorum medii aevi in regione trans‑Carpathiae et Podolia occidentali patefecerunt, quae ad saecula IX–XI sunt relata. Agitur de oppidis munitis variarum dimensionum: 65% eorum superficiem circiter 0,2 hectariorum habebant; 20% circiter 2 hectaria; et circiter 15% superficiem plus quam 2 hectaria. In regione Prikarpatiae et Podolia occidentali plus quam XXXV urbes repertae sunt, quarum maiores in locis hodie notis ut Plisnesk, Stilsko, Terebovlia, Halicius, Revno, Leopolis, Lukovišče, Rokitne, atque in regione Roztočia sitae erant. Ex his urbibus tantum XII usque ad saeculum XIV supervixerunt.<ref>Cf. Korčinskij, Orest: Bijeli Hrvati i problem formiranja države u Prikarpatju, in: Bijeli Hrvati I, Rijeka 2006 (Latine: De Chroatis Albis et quaestione formationis civitatis in Prikarpatia).</ref> UNESCO in opere tutelae hereditatis culturalis atque historicae ''Wooden Tserkvas of the Carpathian Region in Poland and Ukraine'' memorat inventa duorum magnorum “oppidorum”, quorum reliquiae repertae sunt apud vicos hodiernos Pidhoroddya (Latine: Subcastellum) ) et Lykovyšče prope urbem hodiernam Rohatyn, quae ad periodum inter saecula VI–VIII sunt relata, atque cum Chroatis coniunguntur.<ref>Warsaw-Kiew 2011 https://whc.unesco.org/uploads/nominations/1424.pdf</ref> Chroatis tribuuntur duo “goroda” (Ucrainice horody) insolitarum dimensionum, in quibus decem milia hominum habitare potuerunt: Plisnesk, amplitudine circiter 450 hectariorum, cum arce et centro cultus pagani, omnibus circumdatum septem lineis defensionis longis et complexis necnon pluribus minoribus vicis in vicinia; inventi sunt etiam plus quam CXLII tumuli (kurgani) qui utrumque genus sepulturae continent: et cremationes et inhumationes. Locus Plisnesk situs est prope vicum Pidhirtsi, atque ab anno 2015 ut “Reservatum historicum et culturalis” (Ancient Plisnesk) conservatur.<ref>https://www.exarc.org/oam/ancient-plisnesk</ref> Locus Stilsko<ref>https://www.megalithic.co.uk/article.php?sid=60576</ref>, amplitudine 250 hectariorum, cum arce 15 hectariorum, lineis defensionis decem chiliometrorum longitudinis, situs est ad flumen Kolodnica, tributarium Tyratis (Dniestri). Ibi reperti sunt rari exempla architecturae religiosa Slavicae prae‑christianae; quidam coniungunt inventum sacellum cum deo fortasse nomine Hors, qui in quibusdam scriptis mediaevalibus memoratur. Usque ad annum 2008 in regione Stilsko repertae sunt reliquiae et vestigia plus quam L vicorum aperti generis (sine munitionibus), qui ad periodum inter saecula VIII–X referuntur; item inventi sunt circa CC tumuli (kurgani). Archaeologi et historici ex his inventis existimant in ea parte Ucrainae ortum esse seriem urbium‑civitatum, similium polis antiquae Graeciae aliisque locis, unde de Chroatis in illa regione loquuntur tamquam de proto‑natione polycentrica, quae in unam maiorem rem publicam non coaluit. Praeterea ad constitutionem cuiusdam unitariae civitatis Chroaticae in Podnestrovia perveniri non potuit, quod multi loci cinere operti inventi sunt cum manifestis vestigiis magni incendii, quod ad finem saeculi X refertur atque coniungitur cum eventu apud Nestoris chronicon memorato ut “expeditio Chroatica” ducis Volodimeri anno 993. Eodem tempore, exeunte saeculo X et ineunte XI, Stilsko et Plisnesk desinere coeperunt exsistere. Attamen meminisse oportet hoc tempus esse frequentium bellorum: post mortem ducis Volodimeri (1015) illam regionem Boleslaus Chrobry (992 - 1025), dux Poloniae, invasit atque adiunxit. <ref>Boleslaus Chrobry ab anno 992 usque ad 1025 Poloniae dux fuit, atque anno 1025 coronatus est rex Poloniae, sed eodem anno obiit.</ref> Post hanc autem destructionis aetatem, per saeculum XI in nonnullis locis iterum apparuerunt habitationes quae paulatim creverunt in centra regionalia, sicut iam memoratum Halicium (Galicium), ex quo postea, aetate Austro‑Hungarica, totus ille tractus nomen Galicia accepit. == 17. Chroati in Ucraina (Russia Kioviensi) et Albichroati in Polonia meridiana — duae gentes separatae atque distinctae? == Hic concludi potest atque ex fontibus scriptis (Chronicon Nestoris exeunte saeculo XI et ineunte XII compositum) itemque ex archaeologicis testimoniis praebere de exsistentia gentis nomine Chroatorum in Ucraina per medium aevum antiquum, verisimiliter iam a saeculo VI usque ad eorum inclusionem in Ducatum Russiae Kioviensis saeculo X. Confirmationem additicam praebet relatio statistica de incolis Russiae imperialis anno 1861 confecta, in qua legitur in regione Volhinia 17 228 homines se ad gentem Horvatorum pertinere professos esse.<ref>Gluhak 1990. pag. 145; Incertum est utrum hic numerus ad solos viros pertineat an etiam feminas et pueros includat.</ref> Documentum quod '''''Privilegium Episcopatus Pragensis''''' anno 1086 confectum est pars est operis Chronica Boemorum (lib.II, capit.XXXVII), a presbytero et historico '''Cosma Pragensi''' exeunte saeculo XI et ineunte XII conscripti. In hoc privilegio refertur de '''fundatione episcopatus Pragensis anno 973 facta''' atque describuntur fines eiusdem ex tempore fundationis, enumeratis omnibus regionibus limitaneis ac gentibus in finibus Episcopatus Pragensis habitantibus. A parte occidentali incipiens, ad septentrionem procedit, deinde ad orientem, ubi affirmatur episcopatum complecti totam regionem ac provinciam circa urbem Cracoviam, atque protendi ad flumina Bug et Stir ad orientem; postea ad meridiem versus Hungaros declinare, ad vertices montium Tatra pervenire, inde Moraviam includere, ac demum ad meridiem cum Bavaria confinia habere (hodierna Austria Inferior, quae illo tempore pars Bavariae erat). '''''Privilegium Episcopatus Pragensis''''' documentum est quod, independenter a opere ''De administrando imperio'' Constantini Porphyrogeniti, '''confirmat exsistentiam duarum coetuum Chroatorum (Chruuati et altera Chrowati) ad septentrionem Bohemiae in altera parte saeculi X.''' Chroati in “''Privilegio Episcopatus Pragensis''” memorantur post Psouanos, gentem in septentrionali parte Bohemiae, et in consortio gentium Silesiacarum: Slasanorum (Silesianorum), Boboranorum — gentis circa flumen Bobor (''Bóbr'') in Polonia meridionali-occidentali, Trebowanorum; item commemorantur Milciani, una ex gentibus ''Serborum Lusaticorum'', in hodierna Germania orientali ad triplicem finium contactum Germaniae, Poloniae et Bohemiae. Locus Chroatorum, quos ''Privilegium Episcopatus Pragensis'' memorat describens fines episcopatus ex anno 973, magna ex parte '''congruit cum descriptione Porphyrogeneti''' (circa annum 950) de situ Chroatiae Albae in capitulis XXX, XXXI et XXXII: '''iuxta terram Boiki (Bohemiam), ubi vicini sunt Albii sive non baptizati Serbi, atque ubi fines attingunt Franciam (Germaniam).''' ''Privilegium'' duas Chroatorum gentes (Chruuati/Ghrwati et altera Chrowati) memorat inter Psovanos et Slasanos positis, quod implicare videtur has duas Chroatorum partes sibi invicem proximas fuisse. Verumtamen id, quod simul commemorantur, fortasse ex ratione mnemotechnica conscriptionis ortum habuit: cum de coetibus eiusdem nominis ageretur, scriptor eos coniunxit, quia ita facilius meminisse poterat. Haud improbabile est inter utramque gentem Chroatorum alia quoque tribus interposita fuisse. Ita aperitur facultas ut hi “altera Chrowati” orientem versus collocentur, in Polonia meridionali circa superiorem Vistulam et Cracoviam, vel in regione meridionali Poloniae prope triplicem finium contactum Poloniae, Slovaciae et Bohemiae. Talis collocatio huius secundae partis Chroatorum in Polonia meridionali congrueret cum iis quae Porphyrogenitus refert, ubi in capite XXX dicit Albichroatos cum Hungaris amicitia et compaternitate coniunctos esse, atque in capite XXXI eos a Francis, Hungaris et Pecenegis depraedari. Constat nomades et equestris gentes, quales Hungari et Pecenegi, celeribus ac repentinis incursibus etiam loca satis remota petivisse: meminisse licet ingentes Hungarorum irruptiones in Italiam septentrionalem, ubi exercitum imperiale deleverunt, item in Germaniam (proelium apud Augustam Vindelicorum anno 955) atque usque in Franciam et Burgundiam. Similem equestris impetus rationem, cum direptione et vastatione coniunctam, eo tempore Pecenegi adhibebant. Haud dubium est Pecenegos in quibusdam excursionibus Poloniam meridionalem circa Cracoviam attingere potuisse; attamen primi, qui eis obviam fierent, fuissent Chroati in Ucraina occidentali circa superiorem Dniestrum. Si Bagibareia in capite XXX De administrando imperio pro Bavaria accipitur (ubi dicitur Albichroatos ultra Bagibareiam habitare), atque si consideretur quod medio saeculo X tota Austria necnon Slovenia sub potestate Bavariae politica erat, tum ex prospectu physico e civitatibus Dalmatiae — verbi gratia ex Iadera — ubi informator Porphyrogeneti de Chroatis habitare potuerit, Chroatia Alba re vera ultra Bavariam sita videbatur. Ex prospectu autem et situ spectantis Constantinopoli, Chroatia Alba ultra Hungariam posita erat, ut in capite XXXI de Chroatis scribitur, praesertim cum meminerimus Slovaciam hodiernam eo tempore sub ditione Hungarorum fuisse, et fines inter Poloniam meridionalem et Slovaciam montium Tatra iuga constituere. Omnia quae Porphyrogenitus tradit, una cum testimoniis ''Privilegii Pragensis'', eo ducunt ut Albichroati memorati in amplis regionibus Poloniae meridianae atque meridiano-occidentalis habitasse videantur. Item indicia ostendunt non de uno coetu Chroatorum monolithico agi, sed de pluribus coetibus inter se distinctis. In documentis publicis gubernii Civitatum Foederatarum, ''United States Congress Joint Immigration Commission'' anno 1911 editis, legitur de milibus immigrantium Polonicorum ibidem natorum circa Cracoviam identitatem ethnicam saepius declarare nomine Bielochrovat (“White Croats”). '''Existimamus vocabulum “Albichroati” proprie ad eos Chroatos pertinere qui in Polonia meridionali habitabant, occidentalius collocati quam Chroati Ucrainae. In regionibus ad meridiem Cracoviae situs est numerus hydronymorum et toponymorum vocabulum “albus” continens: flumen ''Biała'', urbs ''Bielsko‑Biała'', aliaque. Accedit quoque sententia de coloribus, qui in quibusdam culturis ad designationem partium mundi adhibentur: albus in culturis nomadum Eurasiae cum parte occidentali coniungitur, niger cum septentrione, ruber cum meridie, caeruleus vel viridis cum oriente. Haec ratio apud gentes Turcicas observata est, sed etiam in scriptis Sinensibus: oriens = viridis vel caerulea (arbor, ver), septentrio = niger (aqua, hiems), occidens = albus (metallum, autumnus), meridies = ruber (ignis et sol). Neque in mundo Slavico praetermittendum est exemplum nominis ''Belarus'', quod ad litteram significat ''Albarussia'', id est ''Russiam Albam'', quod quoque confirmat rectitudinem sententiae de designatione partium mundi per colores. Praeterea in lingua Polonica hodierna pro parte mundi “septentrione” non adhibetur vocabulum commune Slavicum (sever / sjever), sed “północ”, quod ad litteram “media nox” significat, id est cum tenebris et obscuritate, nigra colore, coniungitur. Item verbum pro meridie in lingua Polonica est “południe”, ad litteram “media dies”, quod calorem, lucem atque denique colorem rubrum suggerit. In his exemplis — praesertim ''Bjelohrvati'' sive ''Albichroatorum'' et hodiernae ''Belarus'' sive ''Albarussiae'' — adiectivum “albus” ut signum spatiale‑semanticum orientationis intra orbem Slavicum fungitur, "occidentem" designans. Quamvis Nestor in sua chronica ''Povest’ vremenyh let'' Chroatos in finibus hodiernae Ucrainae clare memoret, eos tamen epithetis “albos” non designat. Attamen uno in loco vocabulum Albichroati adhibet, sed tum eos una cum Serbis et Chorutanis (Karantanis) in eodem coetu recenset: “''Post multos vero annos consederunt Slaveni circa Danubium, ubi nunc est terra Hungarorum et Bulgarorum. Ex his Slavenis diffusi sunt per terras […]. Hi sunt ipsi Slaveni: Chroati albi, Serbi et Chorutani.''” Manifestum est agi de coetibus extra spatium historicum ''Russiae Kioviensis'' sitis, id est ad occidentem eius locatis. Haec distinctio confirmat Chroatos ad Dniestrum, ab Haliciensi regione usque in Podoliam, ut entitatem Slavicam localem perceptos esse, cum nomen ''Albichroati'' ad eas partes spectaret quae occidentalius positae erant — in Polonia meridiana et meridiano‑occidentali: ''Chruuati et altera Chrowati'' ex ''Privilegio Pragensi'', quod Cosmas Pragensis in ''Chronica Boemorum'' (Lib. II, Cap. XXXVII) tradit. Iam antea, in capite de Bohemia, commemoravimus historicos Bohemos recentiores existimare Chroatos in ''Privilegio Pragensi'' memoratos verisimiliter in finibus Silesiae historicae, in Polonia meridiano‑occidentali, habitasse.<ref>Dušan Třeštík, «České kmeny», in ''Akademická encyklopedie českých dějin'', Historický ústav Academiae Scientiarum Reipublicae Bohemicae, Pragae 2011, pp. 69–70.</ref> = = == Notae == <references/> == Notae == <references/> [[Categoria:Historia]] [[Categoria:Geographia]] 5str74k5taanqtqbn5czdmyxxmxtkbc 104 86065 281363 280997 2026-09-20T01:02:55Z Sjgallagher2 29663 281363 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="Sjgallagher2" /></noinclude>Hoc modo manifesto calculus ita se habet, ac si pro arcu <math display="inline">x</math> alius <math display="inline">x' = x - a</math> introduceretur. Saepenumero etiam calculus magnopere sublevari potest, si pro functione <math display="inline">X</math> alia <math display="inline">X - \mathfrak{X}</math> adhibetur, ubi pro <math display="inline">\mathfrak{X}</math> functio quaelibet ipsi <math display="inline">X</math> similis assumi potest, modo ordinem <math display="inline">\frac{1}{2} \mu - \frac{1}{2} \mu^{\text{tum}}</math> pro valore impari vel ordinem <math display="inline">\frac{1}{2} \mu^{\text{tum}}</math> pro valore pari ipsius <math display="inline">\mu</math> non egrediatur, et in casu posteriori coëfficientes terminorum <math display="inline">\cos \frac{1}{2} \mu x</math> et <math display="inline">\sin \frac{1}{2} \mu x</math> (siquidem eo ascendit) teneant debitam rationem (<math display="inline">\cos \frac{1}{2} \mu a : \sin \frac{1}{2} \mu a</math>). Manifestum est, si valores functionis <math display="inline">\mathfrak{X}</math> pro <math display="inline">x = a, b, c, d</math> etc. sint resp. <math display="inline">\mathfrak{A}, \mathfrak{B}, \mathfrak{C}, \mathfrak{D}</math> etc., fore valores functionis <math display="inline">X - \mathfrak{X}</math> pro iisdem valoribus resp. <math display="inline">A - \mathfrak{A}, B - \mathfrak{B}, C - \mathfrak{C}, D - \mathfrak{D}</math> etc.; si porro functio <math display="inline">Z</math> hisce valoribus satisfaciens per praecepta praecedentia investigatur, functio <math display="inline">\mathfrak{X} + Z</math> identica erit cum ea, quae ex applicatione directa horum praeceptorum ad valores ipsius functionis <math display="inline">X</math> prodiret. Semper autem functionem <math display="inline">\mathfrak{X}</math> ita determinare oportet, ut valores propositi functionis <math display="inline">X</math> prope per illam exhibeantur, quo pacto quantitates <math display="inline">A - \mathfrak{A}, B - \mathfrak{B}, C - \mathfrak{C}, D - \mathfrak{D}</math> etc. parvae et ad calculum magis tractabiles evadent. Ceterum pro <math display="inline">\mathfrak{X}</math> etiam quantitas constans assumi potest, e.g. haec <math display="inline">\frac{1}{\mu}(A + B + C + D + \text{etc.})</math>, quae functionis quaesitae partem invariabilem constituit. {{rule|12em}} {{nop}}<noinclude></noinclude> jlcetc0ldk1sziusl7ouy3nlvdszjrg 104 86099 281336 281075 2026-09-20T00:15:58Z Sjgallagher2 29663 281336 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>exhibetur, omnes coefficientes <math display="inline">\gamma, \gamma', \delta', \gamma'', \delta''</math> etc. praecise eosdem valores habere patet, ut in art. praec., ubi erat <math display="inline">\mu = 2m + 1</math>, exceptis duobus ultimis <math display="inline">\gamma^m, \delta^m</math>, qui illic duplo erant maiores. Porro liquet, omnes coefficientes <math display="inline">\alpha, \alpha', \alpha''... \alpha^{m-1}, \beta', \beta''... \beta^{m-1}</math> illis <math display="inline">\gamma, \gamma', \gamma''... \gamma^{m-1}, \delta', \delta''... \delta^{m-1}</math> resp. aequales adeoque cognitos fieri, inter ultimos <math display="inline">\alpha^m, \beta^m</math> autem haberi aequationes <math display="block"> \begin{align} \alpha^m = \gamma^m + (\alpha^m \sin ma - \beta^m \cos ma) \sin ma \\ \beta^m = \delta^m - (\alpha^m \sin ma - \beta^m \cos ma) \cos ma \end{align} </math> quae tamen (ut ex natura problematis praevidere licebat) non sufficiunt ad determinationem completam coefficientium <math display="inline">\alpha^m, \beta^m</math>. Scilicet quum fiat <math display="block"> \cos ma = -\cos mb = \cos mc = -\cos md \text{ etc.} </math> atque <math display="block"> \sin ma = -\sin mb = \sin mc = -\sin md \text{ etc.} </math> adeoque <math display="block"> \begin{align} \gamma^m &= \frac{\cos ma}{\mu} (A - B + C - D + \text{etc.}) \\ \delta^m &= \frac{\sin ma}{\mu} (A - B + C - D + \text{etc.}) \end{align} </math> facile perspicitur, utramque aequationem contentam esse sub unica <math display="block"> \alpha^m \cos ma + \beta^m \sin ma = \frac{1}{\mu} (A - B + C - D + \text{etc.}) </math> Aliam itaque insuper relationem inter <math display="inline">\alpha^m</math> et <math display="inline">\beta^m</math> datam esse oportet, ut utrumque coefficientem penitus assignare liceat. <br /> {{center|23.}} Si progressio <math display="inline">X</math> cum <math display="inline">\cos mx</math> et <math display="inline">\sin mx</math> non abrumpitur, valor ipsius T in art. praec. inventus incompletus erit, coefficientesque <math display="inline">\gamma, \gamma', \delta'</math> etc. a veris <math display="inline">\alpha, \alpha', \delta'</math> etc. diversi erunt. Et quidem facile perspicitur, si coefficientes terminorum sequentium in <math display="inline">X</math> per eosdem characteres denotentur, quibus in art. 21 usi sumus, pro <math display="inline">\gamma, \gamma', \delta'</math> etc. usque ad <math display="inline">\gamma^{m-1}, \delta^{m-1}</math> prorsus eosdem valores prodire, quos illic eruimus; duos ultimos autem fieri <math display="block"> \begin{align} \gamma^m &= \tfrac{1}{2} \alpha^m + \tfrac{1}{2} (\alpha^m + \alpha^{3m}) \cos \mu a + \tfrac{1}{2} (\alpha^{3m} + \alpha^{5m}) \cos 2 \mu a + \text{etc.} \\ &\quad + \tfrac{1}{2} (\beta^m + \beta^{3m}) \sin \mu a + \tfrac{1}{2} (\beta^{3m} + \beta^{5m}) \sin 2 \mu a + \text{etc.} \\ \delta^m &= \tfrac{1}{2} \beta^m - \tfrac{1}{2} (\beta^m - \beta^{3m}) \cos \mu a - \tfrac{1}{2} (\beta^{3m} - \beta^{5m}) \cos 2 \mu a - \text{etc.} \\ &\quad - \tfrac{1}{2} (\alpha^m - \alpha^{3m}) \sin \mu a - \tfrac{1}{2} (\alpha^{3m} - \alpha^{5m}) \sin 2 \mu a - \text{etc.} \end{align} </math><noinclude></noinclude> sszinqcgo6vfslrm9z8x6lykr3v83ho 281337 281336 2026-09-20T00:20:50Z Sjgallagher2 29663 /* Emendata */ 281337 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="Sjgallagher2" /></noinclude>exhibetur, omnes coëfficientes <math display="inline">\gamma, \gamma', \delta', \gamma'', \delta''</math> etc. praecise eosdem valores habere patet, ut in art. praec., ubi erat <math display="inline">\mu = 2m + 1</math>, exceptis duobus ultimis <math display="inline">\gamma^m, \delta^m</math>, qui illic duplo erant maiores. Porro liquet, omnes coëfficientes <math display="inline">\alpha, \alpha', \alpha''... \alpha^{m-1}, \beta', \beta''... \beta^{m-1}</math> illis <math display="inline">\gamma, \gamma', \gamma''... \gamma^{m-1}, \delta', \delta''... \delta^{m-1}</math> resp. aequales adeoque cognitos fieri, inter ultimos <math display="inline">\alpha^m, \beta^m</math> autem haberi aequationes <math display="block"> \begin{align} \alpha^m = \gamma^m + (\alpha^m \sin ma - \beta^m \cos ma) \sin ma \\ \beta^m = \delta^m - (\alpha^m \sin ma - \beta^m \cos ma) \cos ma \end{align} </math> quae tamen (ut ex natura problematis praevidere licebat) non sufficiunt ad determinationem completam coëfficientium <math display="inline">\alpha^m, \beta^m</math>. Scilicet quum fiat <math display="block"> \cos ma = -\cos mb = \cos mc = -\cos md \text{ etc.} </math> atque <math display="block"> \sin ma = -\sin mb = \sin mc = -\sin md \text{ etc.} </math> adeoque <math display="block"> \begin{align} \gamma^m &= \frac{\cos ma}{\mu} (A - B + C - D + \text{etc.}) \\ \delta^m &= \frac{\sin ma}{\mu} (A - B + C - D + \text{etc.}) \end{align} </math> facile perspicitur, utramque aequationem contentam esse sub unica <math display="block"> \alpha^m \cos ma + \beta^m \sin ma = \frac{1}{\mu} (A - B + C - D + \text{etc.}) </math> Aliam itaque insuper relationem inter <math display="inline">\alpha^m</math> et <math display="inline">\beta^m</math> datam esse oportet, ut utrumque coëfficientem penitus assignare liceat. <br /> {{center|23.}} Si progressio <math display="inline">X</math> cum <math display="inline">\cos mx</math> et <math display="inline">\sin mx</math> non abrumpitur, valor ipsius T in art. praec. inventus incompletus erit, coëfficientesque <math display="inline">\gamma, \gamma', \delta'</math> etc. a veris <math display="inline">\alpha, \alpha', \delta'</math> etc. diversi erunt. Et quidem facile perspicitur, si coëfficientes terminorum sequentium in <math display="inline">X</math> per eosdem characteres denotentur, quibus in art. 21 usi sumus, pro <math display="inline">\gamma, \gamma', \delta'</math> etc. usque ad <math display="inline">\gamma^{m-1}, \delta^{m-1}</math> prorsus eosdem valores prodire, quos illic eruimus; duos ultimos autem fieri <math display="block"> \begin{align} \gamma^m &= \tfrac{1}{2} \alpha^m + \tfrac{1}{2} (\alpha^m + \alpha^{3m}) \cos \mu a + \tfrac{1}{2} (\alpha^{3m} + \alpha^{5m}) \cos 2 \mu a + \text{etc.} \\ &\quad + \tfrac{1}{2} (\beta^m + \beta^{3m}) \sin \mu a + \tfrac{1}{2} (\beta^{3m} + \beta^{5m}) \sin 2 \mu a + \text{etc.} \\ \delta^m &= \tfrac{1}{2} \beta^m - \tfrac{1}{2} (\beta^m - \beta^{3m}) \cos \mu a - \tfrac{1}{2} (\beta^{3m} - \beta^{5m}) \cos 2 \mu a - \text{etc.} \\ &\quad - \tfrac{1}{2} (\alpha^m - \alpha^{3m}) \sin \mu a - \tfrac{1}{2} (\alpha^{3m} - \alpha^{5m}) \sin 2 \mu a - \text{etc.} \end{align} </math><noinclude></noinclude> 6fhzeepdwp20thj5ybacttn0ndww2nz 104 86100 281338 281076 2026-09-20T00:23:15Z Sjgallagher2 29663 281338 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>In hoc itaque casu coëfficientes <math display="inline">\gamma, \gamma', \delta', \gamma'', \delta'' \ldots \gamma^{m-1}, \delta^{m-1}</math> pro veris <math display="inline">\alpha, \alpha', \beta', \alpha'', \beta'' \ldots \alpha^{m-1}, \beta^{m-1}</math> adoptare licet, quatenus sequentes <math display="inline">\alpha^{m+1}, \beta^{m+1}</math> etc. negligi possunt; ad ultimos vero <math display="inline">\gamma^m, \delta^m</math> nisi ipsi pro negligentis haberi possunt, haec conclusio non est extendenda. <br /> {{center|24.}} Per disquisitionem inde ab art. 20 traditam eo pervenimus, ut propositis <math display="inline">\mu</math> valoribus functionis <math display="inline">X</math> arcus indeterminati <math display="inline">x</math>, periodum completam formantibus, functionem <math display="inline">(X') =</math> <math display="block"> \begin{align} \gamma + \gamma' \cos x + \gamma'' \cos 2x + \ldots + \gamma^m \cos mx \\ + \delta' \sin x + \delta'' \sin 2x + \ldots + \delta^m \sin mx \end{align} </math> quae illis omnibus satisfaciat, assignare possimus, ita, ut numerus <math display="inline">m</math>, ordinem huius functionis exprimens sit vel <math display="inline">= \frac{1}{2}\mu - \frac{1}{2}</math> vel <math display="inline">= \frac{1}{2}\mu</math>, prout <math display="inline">\mu</math> impar est vel par. Ex artt. 15, 19 concluditur, quamvis aliam similem functionem, quae iisdem valoribus satisfacit, sub forma <math display="inline">X' + Y \sin \frac{1}{2}\mu(x-a)</math> contentam esse debere, ubi <math display="inline">Y</math> functionem indefinitam arcus <math display="inline">x</math> exhibet formae <math display="inline">G</math> vel <math display="inline">F</math> (art. 13), prout <math display="inline">\mu</math> impar est vel par. In casu priore praeter <math display="inline">X'</math> functio alia similis non datur, iisdem valoribus satisfaciens, nisi ex ordine altiore, unde <math display="inline">X'</math> cum <math display="inline">X</math> identica erit, si constat <math display="inline">X</math> ordinem <math display="inline">m^{\text{tum}}</math> non egredi. In casu posteriore autem infinitae quidem aliae similes functiones ordinis <math display="inline">m^{\text{ti}}</math> iisdem valoribus satisfaciunt, omnes tamen in eo convenient, quod sub forma <math display="inline">X' + h \sin m(x-a)</math> contenti erunt, designante <math display="inline">h</math> quantitatem definitam: quamobrem, si constat <math display="inline">X</math> ordinem <math display="inline">m^{\text{tum}}</math> non egredi, saltem <math display="inline">X</math> et <math display="inline">X'</math> aliter quam in coëfficientibus ipsorum <math display="inline">\cos mx</math> et <math display="inline">\sin mx</math> non discrepabant; in functione <math display="inline">X'</math> autem inter hos coëfficientes aequatio <math display="inline">\gamma^m \sin ma - \delta^m \cos ma = 0</math> locum habebit. Porro patet, si qua functio <math display="inline">X''</math> similis formae ut <math display="inline">X'</math>, quae iisdem valoribus satisfaciat, aliunde constet, iisdem satisfieri per functionem quamcunque <math display="inline">X'' + Y \sin \frac{1}{2}\mu(x-a)</math>, atque <math display="inline">Y</math> ita determinari posse, ut haec functio ordinem <math display="inline">m^{\text{tum}}</math> non egrediatur. Ad hunc finem observamus, si qua pars ipsius <math display="inline">Y</math> exhibeatur per <math display="inline">K \cos (\mathbb{x} x + k)</math>, designante <math display="inline">K</math> coëfficientem definitum, <math display="inline">k</math> arcum definitum, <math display="inline">\mathbb{x}</math> numerum vel integrum vel fractione <math display="inline">\frac{1}{2}</math> affectum (prout <math display="inline">\mu</math> par vel impar) — ad quam formam singulae partes reduci possunt, si cosinus et sinus eiusdem arcus contrahuntur — pars respondens producti <math display="inline">Y \sin \frac{1}{2}\mu(x-a)</math> exhibebitur per<noinclude></noinclude> ewl38nbesr63rwfzs07hfmj5fr4awj8 281339 281338 2026-09-20T00:29:31Z Sjgallagher2 29663 /* Emendata */ 281339 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="Sjgallagher2" /></noinclude>In hoc itaque casu coëfficientes <math display="inline">\gamma, \gamma', \delta', \gamma'', \delta'' \ldots \gamma^{m-1}, \delta^{m-1}</math> pro veris <math display="inline">\alpha, \alpha', \beta', \alpha'', \beta'' \ldots \alpha^{m-1}, \beta^{m-1}</math> adoptare licet, quatenus sequentes <math display="inline">\alpha^{m+1}, \beta^{m+1}</math> etc. negligi possunt; ad ultimos vero <math display="inline">\gamma^m, \delta^m</math> nisi ipsi pro negligentis haberi possunt, haec conclusio non est extendenda. <br /> {{center|24.}} Per disquisitionem inde ab art. 20 traditam eo pervenimus, ut propositis <math display="inline">\mu</math> valoribus functionis <math display="inline">X</math> arcus indeterminati <math display="inline">x</math>, periodum completam formantibus, functionem <math display="inline">(X') =</math> <math display="block"> \begin{align} \gamma + \gamma' \cos x + \gamma'' \cos 2x + \ldots + \gamma^m \cos mx \\ + \delta' \sin x + \delta'' \sin 2x + \ldots + \delta^m \sin mx \end{align} </math> quae illis omnibus satisfaciat, assignare possimus, ita, ut numerus <math display="inline">m</math>, ordinem huius functionis exprimens sit vel <math display="inline">= \frac{1}{2}\mu - \frac{1}{2}</math> vel <math display="inline">= \frac{1}{2}\mu</math>, prout <math display="inline">\mu</math> impar est vel par. Ex artt. 15, 19 concluditur, quamvis aliam similem functionem, quae iisdem valoribus satisfacit, sub forma <math display="inline">X' + Y \sin \frac{1}{2}\mu(x-a)</math> contentam esse debere, ubi <math display="inline">Y</math> functionem indefinitam arcus <math display="inline">x</math> exhibet formae <math display="inline">G</math> vel <math display="inline">F</math> (art. 13), prout <math display="inline">\mu</math> impar est vel par. In casu priore praeter <math display="inline">X'</math> functio alia similis non datur, iisdem valoribus satisfaciens, nisi ex ordine altiore, unde <math display="inline">X'</math> cum <math display="inline">X</math> identica erit, si constat <math display="inline">X</math> ordinem <math display="inline">m^{\text{tum}}</math> non egredi. In casu posteriore autem infinitae quidem aliae similes functiones ordinis <math display="inline">m^{\text{ti}}</math> iisdem valoribus satisfaciunt, omnes tamen in eo convenient, quod sub forma <math display="inline">X' + h \sin m(x-a)</math> contenti erunt, designante <math display="inline">h</math> quantitatem definitam: quamobrem, si constat <math display="inline">X</math> ordinem <math display="inline">m^{\text{tum}}</math> non egredi, saltem <math display="inline">X</math> et <math display="inline">X'</math> aliter quam in coëfficientibus ipsorum <math display="inline">\cos mx</math> et <math display="inline">\sin mx</math> non discrepabant; in functione <math display="inline">X'</math> autem inter hos coëfficientes aequatio <math display="inline">\gamma^m \sin ma - \delta^m \cos ma = 0</math> locum habebit. Porro patet, si qua functio <math display="inline">X''</math> similis formae ut <math display="inline">X'</math>, quae iisdem valoribus satisfaciat, aliunde constet, iisdem satisfieri per functionem quamcunque <math display="inline">X'' + Y \sin \frac{1}{2}\mu(x-a)</math>, atque <math display="inline">Y</math> ita determinari posse, ut haec functio ordinem <math display="inline">m^{\text{tum}}</math> non egrediatur. Ad hunc finem observamus, si qua pars ipsius <math display="inline">Y</math> exhibeatur per <math display="inline">K \cos (\mathbb{x} x + k)</math>, designante <math display="inline">K</math> coëfficientem definitum, <math display="inline">k</math> arcum definitum, <math display="inline">\mathbb{x}</math> numerum vel integrum vel fractione <math display="inline">\frac{1}{2}</math> affectum (prout <math display="inline">\mu</math> par vel impar) — ad quam formam singulae partes reduci possunt, si cosinus et sinus eiusdem arcus contrahuntur — pars respondens producti <math display="inline">Y \sin \frac{1}{2}\mu(x-a)</math> exhibebitur per<noinclude></noinclude> 6g6582besofjkeo8igqgu3trycwxk47 104 86101 281340 281077 2026-09-20T00:43:03Z Sjgallagher2 29663 /* Emendata */ 281340 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="Sjgallagher2" /></noinclude><math display="block"> \tfrac{1}{2} K \sin((\mathbb{x} + \tfrac{1}{2} \mu)x + k - \tfrac{1}{2}\mu a) - \tfrac{1}{2} K \sin((\mathbb{x} - \tfrac{1}{2}\mu)x + k + \tfrac{1}{2}\mu a) </math> sive quod eodem redit per <math display="block"> L \sin(\lambda x + l) - L \sin((\lambda - \mu)x + l + \mu a) </math> designante <math display="inline">\lambda</math> integrum. Quocirca in <math display="inline">X''</math> pro quavis parte <math display="inline">L \sin(\lambda x + l)</math> substituere licebit hanc <math display="inline">L \sin((\lambda - \mu)x + l + \mu a)</math> et simili ratione pro hac rursus <math display="inline">L \sin((\lambda - 2\mu)x + l + 2\mu a)</math> porroque <math display="inline">L \sin((\lambda - 3\mu)x + l + 3\mu a)</math> etc. Ut similis conclusio ad cosinus extendatur, sufficit observatio, cosinus pro sinubus prodire, si modo pro <math display="inline">l</math> scribatur <math display="inline">l + 90^\circ</math>. Hinc colligitur, si in <math display="inline">X''</math> occurrat terminus <math display="inline">L \cos \lambda x</math>, designante <math display="inline">\lambda</math> integrum maiorem quam <math display="inline">\frac{1}{2}\mu</math>, qui proin sub formam <math display="inline">\lambda = \nu \mu \pm \lambda'</math> poni potest, ita ut <math display="inline">\nu</math> sit integer atque <math display="inline">\lambda'</math> non maior quam <math display="inline">\frac{1}{2}\mu</math>, pro isto termino substitui posse <math display="block"> L \cos(\pm \lambda' x + \nu \mu a) = L \cos \nu \mu a \cos \lambda' x \mp L \sin \nu \mu a \sin \lambda' x </math> et similiter pro termino tali <math display="inline">L \sin \lambda x</math> substitui poterit <math display="block"> L \sin(\pm \lambda' x + \nu \mu a) = L \sin \nu \mu a \cos \lambda' x \pm L \cos \nu \mu a \sin \lambda' x </math> Hoc modo manifesto functio <math display="inline">X''</math> deprimetur ad aliam, ordinis certo non maioris quam <math display="inline">\frac{1}{2}\mu^{\text{ti}}</math>. Per hanc itaque operationem <math display="inline">X''</math> semper transibit in ipsam <math display="inline">X'</math>, quoties <math display="inline">\mu</math> impar est; in casu altero autem, ubi <math display="inline">\mu</math> par est, certo in functionem talem, quae tantummodo in coëfficientibus ipsorum <math display="inline">\cos mx</math> et <math display="inline">\sin mx</math> a functione <math display="inline">X'</math> diversa esse potest. Ut ex illis coëfficientibus coëfficientes respondentes in <math display="inline">X'</math> deducantur, methodus generalis art. 15 adhiberi potest, ex qua sine négotio sequitur, si in illa functione termini ultimi sint <math display="inline">K \cos mx + L \sin mx</math>, pro his substitui debere, ut functio <math display="inline">X'</math> prodeat, <math display="block"> \begin{align} (K \cos ma + L \sin ma) \cos ma \cos mx \\ + (K \cos ma + L \sin ma) \sin ma \sin mx \end{align} </math> Hi termini fiunt <math display="inline">= K \cos mx + L \sin mx</math>, si inter <math display="inline">K</math> et <math display="inline">L</math> aequatio <math display="inline">K \sin ma = L \cos ma</math> locum habet, ut per calculum facile confirmatur: tunc igitur illa functio cum <math display="inline">X'</math> omnino iam identica est.{{nop}}<noinclude></noinclude> bamrtwkztg73lyzl0ul6c9mi115jkoc 104 86102 281341 281078 2026-09-20T00:46:05Z Sjgallagher2 29663 281341 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude><br /> {{center|25.}} Si functio <math display="inline">X</math> cum terminis <math display="inline">\cos mx</math>, <math display="inline">\sin mx</math> non abrumpitur, sed ulterius excurrit, coëfficientesque terminorum sequentium adhuc nimis considerabiles sunt, ita ut ipsos negligere non liceat, coëfficientes <math display="inline">\gamma,\gamma',\delta'</math> etc. in functione <math display="inline">X'</math>, quae <math display="inline">\mu</math> valoribus functionis <math display="inline">X</math> periodum completam formantibus, pro <math display="inline">x=a,b,c,d</math> etc. satisfacit, notabiliter a coëfficientibus respondentibus <math display="inline">\alpha,\alpha',\beta'</math> etc. discrepabunt. Quodsi itaque pro periodo <math display="inline">x=a,b,c,d</math> etc. periodum aliam <math display="inline">\mu</math> terminorum, puta pro <math display="inline">x=a',b',c',d'</math> etc. simili modo tractamus, functionemque <math display="inline">m^{\text{ti}}</math> oridinis, his novis valoribus functionis <math display="inline">X</math> satisfacientem evolvimus, et perinde ut <math display="inline">X'</math> per expressionem <math display="block"> \begin{align} \gamma & +\gamma'\cos x+\gamma''\cos 2x + \dots + \gamma^{m}\cos mx \\ & + \delta'\sin x + \delta''\sin 2x + \dots + \delta^{m} \sin mx \end{align} </math> exhibemus: pro coëfficientibus <math display="inline">\gamma,\gamma',\delta'</math> etc. iam valores nanciscemur, ab iis, quos ante invenimus, notabiliter diversos. Hinc intelligitur, quo pacto hos coëfficientes tamquam ''variabiles'' spectare liceat, et quidem, quum ex art.. 21, 23 singulos perinde per arcum <math display="inline">\mu a'</math> determinari pateat, ut valores priores per arcum <math display="inline">\mu a</math>, singuli coëfficientes considerari poterunt tamquam functiones arcus indeterminati <math display="inline">y</math>, similiter ut <math display="inline">X</math> est functio arcus <math display="inline">x</math>. Iam supponamus, <math display="inline">\mu \nu=\pi</math> valores functionis <math display="inline">X</math> periodum integram formantes, pro <math display="block"> x=a,a',a'',\dots b,b',b'',\dots c,c',c'',\dots d,d',d'',\dots\text{ etc.} </math> cognitos esse, ita ut sit <math display="block"> \begin{align} &a'=a + \frac{1}{\pi}360^{\circ}, &&\ a'' = a + \frac{2}{\pi}360^{\circ} \text{ etc.} \\ &b = a + \frac{\nu}{\pi}360^{\circ} = a + \frac{1}{\mu}360^{\circ}, && \ b' = a + \frac{\nu+1}{\pi}360^{\circ} = a' + \frac{1}{\mu}360^{\circ}\text{ etc.} \\ &c = a + \frac{2\nu}{\pi}360^{\circ} = a + \frac{2}{\mu}360^{\circ}\text{ etc.} \end{align} </math> patetque, hanc periodum <math display="inline">\pi</math> terminorum in <math display="inline">\nu</math> periodos <math display="inline">\mu</math> terminorum pro <math display="block"> \begin{matrix} &x = &a,&b,&c,&d &\text{ etc.} \\ &x = &a',&b',&c',&d' &\text{ etc.} \\ &x = &a'',&b'',&c'',&d'' &\text{ etc.} \end{matrix} </math> discerpi posse. Quodsi itaque eo quo docuimus modo pro singulis periodis functio<noinclude></noinclude> dl953e2xvfe0troi92oelvoh0aj2fi1 281342 281341 2026-09-20T00:49:45Z Sjgallagher2 29663 /* Emendata */ 281342 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="Sjgallagher2" /></noinclude><br /> {{center|25.}} Si functio <math display="inline">X</math> cum terminis <math display="inline">\cos mx</math>, <math display="inline">\sin mx</math> non abrumpitur, sed ulterius excurrit, coëfficientesque terminorum sequentium adhuc nimis considerabiles sunt, ita ut ipsos negligere non liceat, coëfficientes <math display="inline">\gamma,\gamma',\delta'</math> etc. in functione <math display="inline">X'</math>, quae <math display="inline">\mu</math> valoribus functionis <math display="inline">X</math> periodum completam formantibus, pro <math display="inline">x=a,b,c,d</math> etc. satisfacit, notabiliter a coëfficientibus respondentibus <math display="inline">\alpha,\alpha',\beta'</math> etc. discrepabunt. Quodsi itaque pro periodo <math display="inline">x=a,b,c,d</math> etc. periodum aliam <math display="inline">\mu</math> terminorum, puta pro <math display="inline">x=a',b',c',d'</math> etc. simili modo tractamus, functionemque <math display="inline">m^{\text{ti}}</math> oridinis, his novis valoribus functionis <math display="inline">X</math> satisfacientem evolvimus, et perinde ut <math display="inline">X'</math> per expressionem <math display="block"> \begin{align} \gamma & +\gamma'\cos x+\gamma''\cos 2x + \dots + \gamma^{m}\cos mx \\ & + \delta'\sin x + \delta''\sin 2x + \dots + \delta^{m} \sin mx \end{align} </math> exhibemus: pro coëfficientibus <math display="inline">\gamma,\gamma',\delta'</math> etc. iam valores nanciscemur, ab iis, quos ante invenimus, notabiliter diversos. Hinc intelligitur, quo pacto hos coëfficientes tamquam ''variabiles'' spectare liceat, et quidem, quum ex artt. 21, 23 singulos perinde per arcum <math display="inline">\mu a'</math> determinari pateat, ut valores priores per arcum <math display="inline">\mu a</math>, singuli coëfficientes considerari poterunt tamquam functiones arcus indeterminati <math display="inline">y</math>, similiter ut <math display="inline">X</math> est functio arcus <math display="inline">x</math>. Iam supponamus, <math display="inline">\mu \nu=\pi</math> valores functionis <math display="inline">X</math> periodum integram formantes, pro <math display="block"> x=a,a',a'',\dots b,b',b'',\dots c,c',c'',\dots d,d',d'',\dots\text{ etc.} </math> cognitos esse, ita ut sit <math display="block"> \begin{align} &a'=a + \frac{1}{\pi}360^{\circ}, &&\ a'' = a + \frac{2}{\pi}360^{\circ} \text{ etc.} \\ &b = a + \frac{\nu}{\pi}360^{\circ} = a + \frac{1}{\mu}360^{\circ}, && \ b' = a + \frac{\nu+1}{\pi}360^{\circ} = a' + \frac{1}{\mu}360^{\circ}\text{ etc.} \\ &c = a + \frac{2\nu}{\pi}360^{\circ} = a + \frac{2}{\mu}360^{\circ}\text{ etc.} \end{align} </math> patetque, hanc periodum <math display="inline">\pi</math> terminorum in <math display="inline">\nu</math> periodos <math display="inline">\mu</math> terminorum pro <math display="block"> \begin{matrix} &x = &a,&b,&c,&d &\text{ etc.} \\ &x = &a',&b',&c',&d' &\text{ etc.} \\ &x = &a'',&b'',&c'',&d'' &\text{ etc.} \end{matrix} </math> discerpi posse. Quodsi itaque eo quo docuimus modo pro singulis periodis functio<noinclude></noinclude> 32x1tlmqjxyyczfsxqmmvow5zknzymd 104 86103 281343 281079 2026-09-20T00:50:27Z Sjgallagher2 29663 281343 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude><math display="inline">X'</math> evolvitur, nanciscimur <math display="inline">\nu</math> valores singulorum coëfficientium <math display="inline">\gamma,\gamma',\delta'</math> etc.. qui hisce deinceps valoribus ipsius <math display="inline">y</math> respondent <math display="block"> y=\mu a,\ y=\mu a'=\mu a + \frac{1}{\nu}360^{\circ},\ y=\mu a''=\mu a +\frac{2}{\nu}360^{\circ}\text{ etc.} </math> ''adeoque periodos completas <math display="inline">\nu</math> terminorum formant.'' Quocirca, per methodum nostram, singuli coëfficientes <math display="inline">\gamma,\gamma',\delta'</math> etc. per expressionem talen <math display="block"> \begin{align} \epsilon & + \epsilon'\cos y + \epsilon''\cos_{2}y+\dots+\epsilon^{n}\cos ny \\ & + \zeta'\sin y + \zeta''\sin 2y + \dots + \zeta^{n} \sin ny \end{align} </math> exhiberi poterunt, ita ut sit <math display="inline">n</math> vel <math display="inline">=\frac{1}{2}\nu - \frac{1}{2}</math> vel <math display="inline">\frac{1}{2}\nu</math>, prout <math display="inline">\nu</math> impar est vel par. Manifestum est, talem expressionem eundem valorem ex substitutione <math display="inline">y=\mu b,\mu c,\mu d</math> etc. obtinere, quem obtinet ex <math display="inline">y=\mu a</math>; nec non eundem ex <math display="inline">y=\mu b',\mu c',\mu d'</math> etc., quem obtinet ex <math display="inline">y=\mu a'</math> et sic porro. Quamobrem si in <math display="block"> \begin{align} \gamma & + \gamma'\cos x + \gamma'' \cos 2x + \text{etc.} \\ & + \delta' \sin x + \delta'' \sin 2x + \text{etc.} \end{align} </math> pro singulis coëfficientibus <math display="inline">\gamma,\gamma',\delta'</math> etc. hae functiones arcus indeterminati <math display="inline">y</math> substituuntur, prodibit functio <math display="inline">Z</math>, duos arcus <math display="inline">x,y</math> involvens, transibitque <math display="inline">Z</math> in eam functionem <math display="inline">X'</math>, quae e periodo prima deducta est, si pro <math display="inline">y</math> aliquis valorum <math display="inline">\mu a,\mu b,\mu c,\mu d</math> etc. substituitur; si vero pro <math display="inline">y</math> aliquis valorum <math display="inline">\mu a',\mu b',\mu c',\mu d'</math> etc. accipitur, transibit <math display="inline">Z</math> in eam functionem, quae eruta est e periodo secunda. Hinc tandem colligitur, si in <math display="inline">Z</math> pro <math display="inline">y</math> statim scribatur <math display="inline">\mu x</math>, ita ut functio solius <math display="inline">x</math> prodeat (<math display="inline">X''</math>), hanc ita comparatam fore, ut pro omnibus <math display="inline">\pi</math> valoribus ipsius <math display="inline">x</math>, valoribus propositis functionis <math display="inline">X</math> satisfaciat. <br /> {{center|26.}} Si methodus artt. 20, 22 ad omnes <math display="inline">\pi</math> valores propositos immediate sine praevia discerptione in <math display="inline">\nu</math> periodos minores applicata esset, prodiisset functio (<math display="inline">X'''</math>) ordinis <math display="inline">\frac{1}{2}\pi - \frac{1}{2}^{\text{ti}}</math> vel <math display="inline">\frac{1}{2}\pi^{\text{ti}}</math> , prout <math display="inline">\pi</math> impar vel par, quam cum functione <math display="inline">X''</math> iam comparabimus. Quum haec posterior, si rite reducta est, manifesto ad ordinem <math display="inline">\mu n+m^{\text{tum}}</math> ascendat, tres casus distinguemus . I. Quando tum <math display="inline">\mu</math> tum <math display="inline">\nu</math> est impar, erit <math display="inline">\mu n+m= \frac{1}{2}\mu \nu- \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\pi - \frac{1}{2}</math>, unde patet, <math display="inline">X''</math> cum <math display="inline">X'''</math> prorsus identicam esse debere. II . Quando <math display="inline">\mu</math> par est, <math display="inline">\nu</math> impar, fit <math display="inline">\mu n+m = \frac{1}{2}\mu \nu = \frac{1}{2}\pi</math>, adeoque <math display="inline">X''</math> eius-<noinclude></noinclude> nwt3f0rhwpoxxmc2v47krlqae8o10co 281344 281343 2026-09-20T00:51:00Z Sjgallagher2 29663 281344 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude><math display="inline">X'</math> evolvitur, nanciscimur <math display="inline">\nu</math> valores singulorum coëfficientium <math display="inline">\gamma,\gamma',\delta'</math> etc., qui hisce deinceps valoribus ipsius <math display="inline">y</math> respondent <math display="block"> y=\mu a,\ y=\mu a'=\mu a + \frac{1}{\nu}360^{\circ},\ y=\mu a''=\mu a +\frac{2}{\nu}360^{\circ}\text{ etc.} </math> ''adeoque periodos completas <math display="inline">\nu</math> terminorum formant.'' Quocirca, per methodum nostram, singuli coëfficientes <math display="inline">\gamma,\gamma',\delta'</math> etc. per expressionem talen <math display="block"> \begin{align} \epsilon & + \epsilon'\cos y + \epsilon''\cos_{2}y+\dots+\epsilon^{n}\cos ny \\ & + \zeta'\sin y + \zeta''\sin 2y + \dots + \zeta^{n} \sin ny \end{align} </math> exhiberi poterunt, ita ut sit <math display="inline">n</math> vel <math display="inline">=\frac{1}{2}\nu - \frac{1}{2}</math> vel <math display="inline">\frac{1}{2}\nu</math>, prout <math display="inline">\nu</math> impar est vel par. Manifestum est, talem expressionem eundem valorem ex substitutione <math display="inline">y=\mu b,\mu c,\mu d</math> etc. obtinere, quem obtinet ex <math display="inline">y=\mu a</math>; nec non eundem ex <math display="inline">y=\mu b',\mu c',\mu d'</math> etc., quem obtinet ex <math display="inline">y=\mu a'</math> et sic porro. Quamobrem si in <math display="block"> \begin{align} \gamma & + \gamma'\cos x + \gamma'' \cos 2x + \text{etc.} \\ & + \delta' \sin x + \delta'' \sin 2x + \text{etc.} \end{align} </math> pro singulis coëfficientibus <math display="inline">\gamma,\gamma',\delta'</math> etc. hae functiones arcus indeterminati <math display="inline">y</math> substituuntur, prodibit functio <math display="inline">Z</math>, duos arcus <math display="inline">x,y</math> involvens, transibitque <math display="inline">Z</math> in eam functionem <math display="inline">X'</math>, quae e periodo prima deducta est, si pro <math display="inline">y</math> aliquis valorum <math display="inline">\mu a,\mu b,\mu c,\mu d</math> etc. substituitur; si vero pro <math display="inline">y</math> aliquis valorum <math display="inline">\mu a',\mu b',\mu c',\mu d'</math> etc. accipitur, transibit <math display="inline">Z</math> in eam functionem, quae eruta est e periodo secunda. Hinc tandem colligitur, si in <math display="inline">Z</math> pro <math display="inline">y</math> statim scribatur <math display="inline">\mu x</math>, ita ut functio solius <math display="inline">x</math> prodeat (<math display="inline">X''</math>), hanc ita comparatam fore, ut pro omnibus <math display="inline">\pi</math> valoribus ipsius <math display="inline">x</math>, valoribus propositis functionis <math display="inline">X</math> satisfaciat. <br /> {{center|26.}} Si methodus artt. 20, 22 ad omnes <math display="inline">\pi</math> valores propositos immediate sine praevia discerptione in <math display="inline">\nu</math> periodos minores applicata esset, prodiisset functio (<math display="inline">X'''</math>) ordinis <math display="inline">\frac{1}{2}\pi - \frac{1}{2}^{\text{ti}}</math> vel <math display="inline">\frac{1}{2}\pi^{\text{ti}}</math> , prout <math display="inline">\pi</math> impar vel par, quam cum functione <math display="inline">X''</math> iam comparabimus. Quum haec posterior, si rite reducta est, manifesto ad ordinem <math display="inline">\mu n+m^{\text{tum}}</math> ascendat, tres casus distinguemus . I. Quando tum <math display="inline">\mu</math> tum <math display="inline">\nu</math> est impar, erit <math display="inline">\mu n+m= \frac{1}{2}\mu \nu- \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\pi - \frac{1}{2}</math>, unde patet, <math display="inline">X''</math> cum <math display="inline">X'''</math> prorsus identicam esse debere. II . Quando <math display="inline">\mu</math> par est, <math display="inline">\nu</math> impar, fit <math display="inline">\mu n+m = \frac{1}{2}\mu \nu = \frac{1}{2}\pi</math>, adeoque <math display="inline">X''</math> eius-<noinclude></noinclude> emisyjwioe3b7nlru1x0giol3tpjg6w 281345 281344 2026-09-20T00:52:11Z Sjgallagher2 29663 281345 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude><math display="inline">X'</math> evolvitur, nanciscimur <math display="inline">\nu</math> valores singulorum coëfficientium <math display="inline">\gamma,\gamma',\delta'</math> etc., qui hisce deinceps valoribus ipsius <math display="inline">y</math> respondent <math display="block"> y=\mu a,\ y=\mu a'=\mu a + \frac{1}{\nu}360^{\circ},\ y=\mu a''=\mu a +\frac{2}{\nu}360^{\circ}\text{ etc.} </math> ''adeoque periodos completas <math display="inline">\nu</math> terminorum formant.'' Quocirca, per methodum nostram, singuli coëfficientes <math display="inline">\gamma,\gamma',\delta'</math> etc. per expressionem talen <math display="block"> \begin{align} \varepsilon & + \varepsilon'\cos y + \varepsilon''\cos_{2}y+\dots+\varepsilon^{n}\cos ny \\ & + \zeta'\sin y + \zeta''\sin 2y + \dots + \zeta^{n} \sin ny \end{align} </math> exhiberi poterunt, ita ut sit <math display="inline">n</math> vel <math display="inline">=\frac{1}{2}\nu - \frac{1}{2}</math> vel <math display="inline">\frac{1}{2}\nu</math>, prout <math display="inline">\nu</math> impar est vel par. Manifestum est, talem expressionem eundem valorem ex substitutione <math display="inline">y=\mu b,\mu c,\mu d</math> etc. obtinere, quem obtinet ex <math display="inline">y=\mu a</math>; nec non eundem ex <math display="inline">y=\mu b',\mu c',\mu d'</math> etc., quem obtinet ex <math display="inline">y=\mu a'</math> et sic porro. Quamobrem si in <math display="block"> \begin{align} \gamma & + \gamma'\cos x + \gamma'' \cos 2x + \text{etc.} \\ & + \delta' \sin x + \delta'' \sin 2x + \text{etc.} \end{align} </math> pro singulis coëfficientibus <math display="inline">\gamma,\gamma',\delta'</math> etc. hae functiones arcus indeterminati <math display="inline">y</math> substituuntur, prodibit functio <math display="inline">Z</math>, duos arcus <math display="inline">x,y</math> involvens, transibitque <math display="inline">Z</math> in eam functionem <math display="inline">X'</math>, quae e periodo prima deducta est, si pro <math display="inline">y</math> aliquis valorum <math display="inline">\mu a,\mu b,\mu c,\mu d</math> etc. substituitur; si vero pro <math display="inline">y</math> aliquis valorum <math display="inline">\mu a',\mu b',\mu c',\mu d'</math> etc. accipitur, transibit <math display="inline">Z</math> in eam functionem, quae eruta est e periodo secunda. Hinc tandem colligitur, si in <math display="inline">Z</math> pro <math display="inline">y</math> statim scribatur <math display="inline">\mu x</math>, ita ut functio solius <math display="inline">x</math> prodeat (<math display="inline">X''</math>), hanc ita comparatam fore, ut pro omnibus <math display="inline">\pi</math> valoribus ipsius <math display="inline">x</math>, valoribus propositis functionis <math display="inline">X</math> satisfaciat. <br /> {{center|26.}} Si methodus artt. 20, 22 ad omnes <math display="inline">\pi</math> valores propositos immediate sine praevia discerptione in <math display="inline">\nu</math> periodos minores applicata esset, prodiisset functio (<math display="inline">X'''</math>) ordinis <math display="inline">\frac{1}{2}\pi - \frac{1}{2}^{\text{ti}}</math> vel <math display="inline">\frac{1}{2}\pi^{\text{ti}}</math> , prout <math display="inline">\pi</math> impar vel par, quam cum functione <math display="inline">X''</math> iam comparabimus. Quum haec posterior, si rite reducta est, manifesto ad ordinem <math display="inline">\mu n+m^{\text{tum}}</math> ascendat, tres casus distinguemus . I. Quando tum <math display="inline">\mu</math> tum <math display="inline">\nu</math> est impar, erit <math display="inline">\mu n+m= \frac{1}{2}\mu \nu- \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\pi - \frac{1}{2}</math>, unde patet, <math display="inline">X''</math> cum <math display="inline">X'''</math> prorsus identicam esse debere. II . Quando <math display="inline">\mu</math> par est, <math display="inline">\nu</math> impar, fit <math display="inline">\mu n+m = \frac{1}{2}\mu \nu = \frac{1}{2}\pi</math>, adeoque <math display="inline">X''</math> eius-<noinclude></noinclude> fdglb8k0f5abgyg12e8pdfqhcnsd8dr 281346 281345 2026-09-20T00:56:00Z Sjgallagher2 29663 /* Emendata */ 281346 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="Sjgallagher2" /></noinclude><math display="inline">X'</math> evolvitur, nanciscimur <math display="inline">\nu</math> valores singulorum coëfficientium <math display="inline">\gamma,\gamma',\delta'</math> etc., qui hisce deinceps valoribus ipsius <math display="inline">y</math> respondent <math display="block"> y=\mu a,\ y=\mu a'=\mu a + \frac{1}{\nu}360^{\circ},\ y=\mu a''=\mu a +\frac{2}{\nu}360^{\circ}\text{ etc.} </math> ''adeoque periodos completas <math display="inline">\nu</math> terminorum formant.'' Quocirca, per methodum nostram, singuli coëfficientes <math display="inline">\gamma,\gamma',\delta'</math> etc. per expressionem talen <math display="block"> \begin{align} \varepsilon & + \varepsilon'\cos y + \varepsilon''\cos_{2}y+\dots+\varepsilon^{n}\cos ny \\ & + \zeta'\sin y + \zeta''\sin 2y + \dots + \zeta^{n} \sin ny \end{align} </math> exhiberi poterunt, ita ut sit <math display="inline">n</math> vel <math display="inline">=\frac{1}{2}\nu - \frac{1}{2}</math> vel <math display="inline">\frac{1}{2}\nu</math>, prout <math display="inline">\nu</math> impar est vel par. Manifestum est, talem expressionem eundem valorem ex substitutione <math display="inline">y=\mu b,\mu c,\mu d</math> etc. obtinere, quem obtinet ex <math display="inline">y=\mu a</math>; nec non eundem ex <math display="inline">y=\mu b',\mu c',\mu d'</math> etc., quem obtinet ex <math display="inline">y=\mu a'</math> et sic porro. Quamobrem si in <math display="block"> \begin{align} \gamma & + \gamma'\cos x + \gamma'' \cos 2x + \text{etc.} \\ & + \delta' \sin x + \delta'' \sin 2x + \text{etc.} \end{align} </math> pro singulis coëfficientibus <math display="inline">\gamma,\gamma',\delta'</math> etc. hae functiones arcus indeterminati <math display="inline">y</math> substituuntur, prodibit functio <math display="inline">Z</math>, duos arcus <math display="inline">x,y</math> involvens, transibitque <math display="inline">Z</math> in eam functionem <math display="inline">X'</math>, quae e periodo prima deducta est, si pro <math display="inline">y</math> aliquis valorum <math display="inline">\mu a,\mu b,\mu c,\mu d</math> etc. substituitur; si vero pro <math display="inline">y</math> aliquis valorum <math display="inline">\mu a',\mu b',\mu c',\mu d'</math> etc. accipitur, transibit <math display="inline">Z</math> in eam functionem, quae eruta est e periodo secunda. Hinc tandem colligitur, si in <math display="inline">Z</math> pro <math display="inline">y</math> statim scribatur <math display="inline">\mu x</math>, ita ut functio solius <math display="inline">x</math> prodeat (<math display="inline">X''</math>), hanc ita comparatam fore, ut pro omnibus <math display="inline">\pi</math> valoribus ipsius <math display="inline">x</math>, valoribus propositis functionis <math display="inline">X</math> satisfaciat. <br /> {{center|26.}} Si methodus artt. 20, 22 ad omnes <math display="inline">\pi</math> valores propositos immediate sine praevia discerptione in <math display="inline">\nu</math> periodos minores applicata esset, prodiisset functio (<math display="inline">X'''</math>) ordinis <math display="inline">\frac{1}{2}\pi - \frac{1}{2}^{\text{ti}}</math> vel <math display="inline">\frac{1}{2}\pi^{\text{ti}}</math> , prout <math display="inline">\pi</math> impar vel par, quam cum functione <math display="inline">X''</math> iam comparabimus. Quum haec posterior, si rite reducta est, manifesto ad ordinem <math display="inline">\mu n+m^{\text{tum}}</math> ascendat, tres casus distinguemus. I. Quando tum <math display="inline">\mu</math> tum <math display="inline">\nu</math> est impar, erit <math display="inline">\mu n+m= \frac{1}{2}\mu \nu- \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\pi - \frac{1}{2}</math>, unde patet, <math display="inline">X''</math> cum <math display="inline">X'''</math> prorsus identicam esse debere. II . Quando <math display="inline">\mu</math> par est, <math display="inline">\nu</math> impar, fit <math display="inline">\mu n+m = \frac{1}{2}\mu \nu = \frac{1}{2}\pi</math>, adeoque <math display="inline">X''</math> eius-<noinclude></noinclude> bmcnrj118uv2iiko0x7w32ioeoz4ef8 104 86104 281347 281207 2026-09-20T00:56:19Z Sjgallagher2 29663 281347 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>dem ordinis ut <math display="inline">X'''</math>. Sufficit itaque utriusque functionis terminos ultimos comparare. Haud difficile perspicitur, hos terminos ultimos in <math display="inline">X''</math> prodire unice ex terminis <math display="inline">\gamma^{m}\cos mx + \delta^{m} \sin mx</math>, et quidem ex iis terminis coëfficientium <math display="inline">\gamma^{m},\delta^{m}</math>, qui continent <math display="inline">\cos ny</math> et <math display="inline">\sin ny</math> sive <math display="inline">\cos \mu nx</math> et <math display="inline">\sin \mu nx</math>. Sint hi termini <math display="block"> \begin{align} \text{in } &\ \gamma^{m}\dots. k \cos \mu nx + l \sin \mu nx \\ \text{in } & \ \delta^{m}\dots. k' \cos \mu nx + l' \sin \mu nx \end{align} </math> produceturque hinc in <math display="inline">X''</math> <math display="block"> (k\cos \mu nx+l\sin \mu nx)\cos mx + (k'\cos \mu nx+l'\sin \mu nx)\sin mx </math> unde prodeunt termini ordinis <math display="inline">\mu n+m^{\text{ti}}</math> sequentes <math display="block"> \tfrac{1}{2}(k-l')\cos(\mu n+m)x + \tfrac{1}{2}(l+k')\sin(\mu n+m)x </math> Iam haud difficile quidem ''ex formatione coëfficientium'' demonstrari potest, esse <math display="block"> (k-l')\sin(\mu n+m)a = (l+k')\cos(\mu n+m)a </math> praeferimus tamen methodum sequentem, quae concinnior videtur. Ex art. 24 sequitur, esse <math display="block"> \gamma^{m}\sin \tfrac{1}{2}y - \delta^{m}\cos\tfrac{1}{2}y = 0 </math> ''tum'' si pro <math display="inline">y</math> substituitur <math display="inline">\mu a</math>, atque pro <math display="inline">\gamma^{m},\delta^{m}</math> valores ex periodo prima deducti; ''tum'' si pro <math display="inline">y</math> substituitur <math display="inline">\mu a'</math>, atque pro <math display="inline">\gamma^{m},\delta^{m}</math> valores ex periodo secunda deducti etc. Quodsi itaque pro <math display="inline">\gamma^{m},\delta^{m}</math> expressiones, quae erutae sunt indefinitae substituuntur, ita ut <math display="inline">\gamma^{m}\sin \frac{1}{2} y - \delta^{m} \cos \frac{1}{2}y</math> fiat functio arcus <math display="inline">y</math> formae <math display="inline">G</math> ad ordinem <math display="inline">n+\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\nu</math> ascendens, haec pro omnibus <math display="inline">\nu</math> valoribus ipsius <math display="inline">y</math> his <math display="inline">\mu a,\mu a',\mu a''</math> etc. fiet <math display="inline">=0</math>, adeoque per art. 14 per <math display="block"> \sin \tfrac{1}{2}(y-\mu a)\sin\tfrac{1}{2}(y-\mu a')\sin\tfrac{1}{2}(y-\mu a'')\text{ etc.} </math> divisibilis, hinc etiam per <math display="inline">\sin \frac{1}{2}\nu(y-\mu a)</math> et proin formae <math display="inline">h\sin \frac{1}{2}\nu(y-\mu a)</math>, ita ut <math display="inline">h</math> sit quantitas definita. Quamobrem termini ultimi functionis <math display="inline">\gamma^{m}\sin \frac{1}{2}y - \delta^{m} \cos \frac{1}{2}y</math> evolutae esse debebunt <math display="block"> -h \sin \tfrac{1}{2}\pi a\cos \tfrac{1}{2}\nu y+h\cos\tfrac{1}{2}\pi a\sin\tfrac{1}{2}\nu y </math> omnes vero antecedentes evanescere: illos vero fieri patet<noinclude></noinclude> 5wx5qc37wri0ghia687td8zfpa3r0k5 281364 281347 2026-09-20T01:08:40Z Sjgallagher2 29663 /* Emendata */ 281364 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="Sjgallagher2" /></noinclude>dem ordinis ut <math display="inline">X'''</math>. Sufficit itaque utriusque functionis terminos ultimos comparare. Haud difficile perspicitur, hos terminos ultimos in <math display="inline">X''</math> prodire unice ex terminis <math display="inline">\gamma^{m}\cos mx + \delta^{m} \sin mx</math>, et quidem ex iis terminis coëfficientium <math display="inline">\gamma^{m},\delta^{m}</math>, qui continent <math display="inline">\cos ny</math> et <math display="inline">\sin ny</math> sive <math display="inline">\cos \mu nx</math> et <math display="inline">\sin \mu nx</math>. Sint hi termini <math display="block"> \begin{align} \text{in } &\ \gamma^{m}\dots. k \cos \mu nx + l \sin \mu nx \\ \text{in } & \ \delta^{m}\dots. k' \cos \mu nx + l' \sin \mu nx \end{align} </math> produceturque hinc in <math display="inline">X''</math> <math display="block"> (k\cos \mu nx+l\sin \mu nx)\cos mx + (k'\cos \mu nx+l'\sin \mu nx)\sin mx </math> unde prodeunt termini ordinis <math display="inline">\mu n+m^{\text{ti}}</math> sequentes <math display="block"> \tfrac{1}{2}(k-l')\cos(\mu n+m)x + \tfrac{1}{2}(l+k')\sin(\mu n+m)x </math> Iam haud difficile quidem ''ex formatione coëfficientium'' demonstrari potest, esse <math display="block"> (k-l')\sin(\mu n+m)a = (l+k')\cos(\mu n+m)a </math> praeferimus tamen methodum sequentem, quae concinnior videtur. Ex art. 24 sequitur, esse <math display="block"> \gamma^{m}\sin \tfrac{1}{2}y - \delta^{m}\cos\tfrac{1}{2}y = 0 </math> ''tum'' si pro <math display="inline">y</math> substituitur <math display="inline">\mu a</math>, atque pro <math display="inline">\gamma^{m},\delta^{m}</math> valores ex periodo prima deducti; ''tum'' si pro <math display="inline">y</math> substituitur <math display="inline">\mu a'</math>, atque pro <math display="inline">\gamma^{m},\delta^{m}</math> valores ex periodo secunda deducti etc. Quodsi itaque pro <math display="inline">\gamma^{m},\delta^{m}</math> expressiones, quae erutae sunt indefinitae substituuntur, ita ut <math display="inline">\gamma^{m}\sin \frac{1}{2} y - \delta^{m} \cos \frac{1}{2}y</math> fiat functio arcus <math display="inline">y</math> formae <math display="inline">G</math> ad ordinem <math display="inline">n+\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\nu</math> ascendens, haec pro omnibus <math display="inline">\nu</math> valoribus ipsius <math display="inline">y</math> his <math display="inline">\mu a,\mu a',\mu a''</math> etc. fiet <math display="inline">=0</math>, adeoque per art. 14 per <math display="block"> \sin \tfrac{1}{2}(y-\mu a)\sin\tfrac{1}{2}(y-\mu a')\sin\tfrac{1}{2}(y-\mu a'')\text{ etc.} </math> divisibilis, hinc etiam per <math display="inline">\sin \frac{1}{2}\nu(y-\mu a)</math> et proin formae <math display="inline">h\sin \frac{1}{2}\nu(y-\mu a)</math>, ita ut <math display="inline">h</math> sit quantitas definita. Quamobrem termini ultimi functionis <math display="inline">\gamma^{m}\sin \frac{1}{2}y - \delta^{m} \cos \frac{1}{2}y</math> evolutae esse debebunt <math display="block"> -h \sin \tfrac{1}{2}\pi a\cos \tfrac{1}{2}\nu y+h\cos\tfrac{1}{2}\pi a\sin\tfrac{1}{2}\nu y </math> omnes vero antecedentes evanescere: illos vero fieri patet<noinclude></noinclude> 7ai258kcaklfaa48hjxmeiqcr2zblwc 104 86105 281348 281081 2026-09-20T00:56:38Z Sjgallagher2 29663 281348 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude><math display="block"> = -\tfrac{1}{2} (l+k')\cos(n+\tfrac{1}{2})y+\tfrac{1}{2}(k-l')\sin(n+\tfrac{1}{2})y </math> Quocirca erit <math display="block"> \begin{align} &\tfrac{1}{2}(k-l')= h \cos\tfrac{1}{2}\pi a=h\cos\tfrac{1}{2}(\mu n+m)a \\ &\tfrac{1}{2}(l+k')=h\sin\tfrac{1}{2}\pi a=h\sin\tfrac{1}{2}(\mu n+m)a\quad\text{Q.E.D.} \end{align} </math> Haec vero aequatio ipsissimum erit criterium coëfficientium ultimorum functionis <math display="inline">X'''</math>, ut in art. 24 ostentum est: quare in hoc quoque casu functio <math display="inline">X''</math> cum <math display="inline">X'''</math> prorsus identica erit. Quando <math display="inline">\nu</math> par est, fit <math display="inline">\mu n+m=\frac{1}{2}\pi+m</math>, adeoque <math display="inline">X''</math> ordinis altioris quam <math display="inline">X'''</math>. Facile autem perspicitur, omnes terminos in <math display="inline">X''</math>, qui ordinem <math display="inline">\frac{1}{2}\pi^{\text{tum}}</math> transcendunt, provenire unice ex iis terminis singulorum coëfficientium <math display="inline">\gamma',\delta',\gamma'',\delta''</math> etc., qui continent <math display="inline">\cos ny</math> et <math display="inline">\sin ny</math> sive <math display="inline">\cos \mu nx</math> et <math display="inline">\sin \mu nx</math>. Sint hi termini, in expressione pro coëfficiente aliquod <math display="inline">\gamma^{\lambda}</math> vel <math display="inline">\delta^{\lambda}</math>, <math display="inline">k\cos \mu nx+l\sin \mu nx</math>, ex quibus producitur in <math display="inline">X''</math> <math display="block"> \begin{align} & (k\cos \mu nx+l\sin \mu nx)\cos \lambda x\ \text{ in casu primo} \\ \text{vel }\ &(k\cos \mu nx+l\sin \mu nx)\sin \lambda x\ \text{ in casu secundo} \end{align} </math> unde <math display="block"> \begin{align} & \tfrac{1}{2}k\cos(\mu n+\lambda)x+\tfrac{1}{2}l\sin(\mu n+\lambda)x \\ + & \tfrac{1}{2}k\cos(\mu n-\lambda)x + \tfrac{1}{2}l\sin(\mu n-\lambda)x \end{align} </math> in casu primo atque <math display="block"> \begin{align} - & \tfrac{1}{2}l\cos(\mu n+\lambda)x+\tfrac{1}{2}k\sin(\mu n+\lambda)x \\ + & \tfrac{1}{2}l\cos(\mu n-\lambda)x - \tfrac{1}{2}k\sin(\mu n-\lambda)x \end{align} </math> in casu secundo. Per art. 24 autem substituere oportet pro <math display="inline">cos(\mu n+\lambda)x</math> sive <math display="inline">\cos\left( \frac{1}{2}\pi+\lambda\right)x</math>, <math display="inline">\cos \pi a\cos\left( \frac{1}{2}\pi-\lambda \right)x+\sin \pi a\sin\left( \frac{1}{2}\pi-\lambda \right)x</math>; atque pro <math display="inline">\sin (\mu n+\lambda)x</math> sive <math display="inline">\sin\left( \frac{1}{2}\pi+\lambda \right)x</math>, <math display="inline">\sin \pi a\cos\left( \frac{1}{2}\pi-\lambda \right)x-\cos \pi a\sin\left( \frac{1}{2}\pi-\lambda \right)x</math>. Quare habebimus in casu primo <math display="block"> \begin{align} & \tfrac{1}{2}(k+k\cos \pi a+l\sin \pi a)\cos(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x \\ + & \tfrac{1}{2}(l+k\sin \pi a-l\cos \pi a)\sin(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x \end{align} </math> in casu secundo autem <math display="block"> \begin{align} & \tfrac{1}{2}(l-l\cos \pi a+k\sin \pi a)\cos(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x \\ - & \tfrac{1}{2}(k+l\sin \pi a+k\cos \pi a)\sin(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x \end{align} </math><noinclude></noinclude> f7bj2as2sz14e5ny4een1k11tzl8xad 281365 281348 2026-09-20T01:11:51Z Sjgallagher2 29663 281365 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude><math display="block"> = -\tfrac{1}{2} (l+k')\cos(n+\tfrac{1}{2})y+\tfrac{1}{2}(k-l')\sin(n+\tfrac{1}{2})y </math> Quocirca erit <math display="block"> \begin{align} &\tfrac{1}{2}(k-l')= h \cos\tfrac{1}{2}\pi a=h\cos\tfrac{1}{2}(\mu n+m)a \\ &\tfrac{1}{2}(l+k')=h\sin\tfrac{1}{2}\pi a=h\sin\tfrac{1}{2}(\mu n+m)a\quad\text{Q.E.D.} \end{align} </math> Haec vero aequatio ipsissimum erit criterium coëfficientium ultimorum functionis <math display="inline">X'''</math>, ut in art. 24 ostentum est: quare in hoc quoque casu functio <math display="inline">X''</math> cum <math display="inline">X'''</math> prorsus identica erit. III. Quando <math display="inline">\nu</math> par est, fit <math display="inline">\mu n+m=\frac{1}{2}\pi+m</math>, adeoque <math display="inline">X''</math> ordinis altioris quam <math display="inline">X'''</math>. Facile autem perspicitur, omnes terminos in <math display="inline">X''</math>, qui ordinem <math display="inline">\frac{1}{2}\pi^{\text{tum}}</math> transcendunt, provenire unice ex iis terminis singulorum coëfficientium <math display="inline">\gamma',\delta',\gamma'',\delta''</math> etc., qui continent <math display="inline">\cos ny</math> et <math display="inline">\sin ny</math> sive <math display="inline">\cos \mu nx</math> et <math display="inline">\sin \mu nx</math>. Sint hi termini, in expressione pro coëfficiente aliquod <math display="inline">\gamma^{\lambda}</math> vel <math display="inline">\delta^{\lambda}</math>, <math display="inline">k\cos \mu nx+l\sin \mu nx</math>, ex quibus producitur in <math display="inline">X''</math> <math display="block"> \begin{align} & (k\cos \mu nx+l\sin \mu nx)\cos \lambda x\ \text{ in casu primo} \\ \text{vel }\ &(k\cos \mu nx+l\sin \mu nx)\sin \lambda x\ \text{ in casu secundo} \end{align} </math> unde <math display="block"> \begin{align} & \tfrac{1}{2}k\cos(\mu n+\lambda)x+\tfrac{1}{2}l\sin(\mu n+\lambda)x \\ + & \tfrac{1}{2}k\cos(\mu n-\lambda)x + \tfrac{1}{2}l\sin(\mu n-\lambda)x \end{align} </math> in casu primo atque <math display="block"> \begin{align} - & \tfrac{1}{2}l\cos(\mu n+\lambda)x+\tfrac{1}{2}k\sin(\mu n+\lambda)x \\ + & \tfrac{1}{2}l\cos(\mu n-\lambda)x - \tfrac{1}{2}k\sin(\mu n-\lambda)x \end{align} </math> in casu secundo. Per art. 24 autem substituere oportet pro <math display="inline">cos(\mu n+\lambda)x</math> sive <math display="inline">\cos\left( \frac{1}{2}\pi+\lambda\right)x</math>, <math display="inline">\cos \pi a\cos\left( \frac{1}{2}\pi-\lambda \right)x+\sin \pi a\sin\left( \frac{1}{2}\pi-\lambda \right)x</math>; atque pro <math display="inline">\sin (\mu n+\lambda)x</math> sive <math display="inline">\sin\left( \frac{1}{2}\pi+\lambda \right)x</math>, <math display="inline">\sin \pi a\cos\left( \frac{1}{2}\pi-\lambda \right)x-\cos \pi a\sin\left( \frac{1}{2}\pi-\lambda \right)x</math>. Quare habebimus in casu primo <math display="block"> \begin{align} & \tfrac{1}{2}(k+k\cos \pi a+l\sin \pi a)\cos(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x \\ + & \tfrac{1}{2}(l+k\sin \pi a-l\cos \pi a)\sin(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x \end{align} </math> in casu secundo autem <math display="block"> \begin{align} & \tfrac{1}{2}(l-l\cos \pi a+k\sin \pi a)\cos(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x \\ - & \tfrac{1}{2}(k+l\sin \pi a+k\cos \pi a)\sin(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x \end{align} </math><noinclude></noinclude> kmzcy6snzjdgjn8lxnjis0atk16plhx 281366 281365 2026-09-20T01:17:37Z Sjgallagher2 29663 /* Emendata */ 281366 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="Sjgallagher2" /></noinclude><math display="block"> = -\tfrac{1}{2} (l+k')\cos(n+\tfrac{1}{2})y+\tfrac{1}{2}(k-l')\sin(n+\tfrac{1}{2})y </math> Quocirca erit <math display="block"> \begin{align} &\tfrac{1}{2}(k-l')= h \cos\tfrac{1}{2}\pi a=h\cos\tfrac{1}{2}(\mu n+m)a \\ &\tfrac{1}{2}(l+k')=h\sin\tfrac{1}{2}\pi a=h\sin\tfrac{1}{2}(\mu n+m)a\quad\text{Q.E.D.} \end{align} </math> Haec vero aequatio ipsissimum erit criterium coëfficientium ultimorum functionis <math display="inline">X'''</math>, ut in art. 24 ostentum est: quare in hoc quoque casu functio <math display="inline">X''</math> cum <math display="inline">X'''</math> prorsus identica erit. III. Quando <math display="inline">\nu</math> par est, fit <math display="inline">\mu n+m=\frac{1}{2}\pi+m</math>, adeoque <math display="inline">X''</math> ordinis altioris quam <math display="inline">X'''</math>. Facile autem perspicitur, omnes terminos in <math display="inline">X''</math>, qui ordinem <math display="inline">\frac{1}{2}\pi^{\text{tum}}</math> transcendunt, provenire unice ex iis terminis singulorum coëfficientium <math display="inline">\gamma',\delta',\gamma'',\delta''</math> etc., qui continent <math display="inline">\cos ny</math> et <math display="inline">\sin ny</math> sive <math display="inline">\cos \mu nx</math> et <math display="inline">\sin \mu nx</math>. Sint hi termini, in expressione pro coëfficiente aliquod <math display="inline">\gamma^{\lambda}</math> vel <math display="inline">\delta^{\lambda}</math>, <math display="inline">k\cos \mu nx+l\sin \mu nx</math>, ex quibus producitur in <math display="inline">X''</math> <math display="block"> \begin{align} & (k\cos \mu nx+l\sin \mu nx)\cos \lambda x\ \text{ in casu primo} \\ \text{vel }\ &(k\cos \mu nx+l\sin \mu nx)\sin \lambda x\ \text{ in casu secundo} \end{align} </math> unde <math display="block"> \begin{align} & \tfrac{1}{2}k\cos(\mu n+\lambda)x+\tfrac{1}{2}l\sin(\mu n+\lambda)x \\ + & \tfrac{1}{2}k\cos(\mu n-\lambda)x + \tfrac{1}{2}l\sin(\mu n-\lambda)x \end{align} </math> in casu primo atque <math display="block"> \begin{align} - & \tfrac{1}{2}l\cos(\mu n+\lambda)x+\tfrac{1}{2}k\sin(\mu n+\lambda)x \\ + & \tfrac{1}{2}l\cos(\mu n-\lambda)x - \tfrac{1}{2}k\sin(\mu n-\lambda)x \end{align} </math> in casu secundo. Per art. 24 autem substituere oportet pro <math display="inline">cos(\mu n+\lambda)x</math> sive <math display="inline">\cos\left( \frac{1}{2}\pi+\lambda\right)x</math>, <math display="inline">\cos \pi a\cos\left( \frac{1}{2}\pi-\lambda \right)x+\sin \pi a\sin\left( \frac{1}{2}\pi-\lambda \right)x</math>; atque pro <math display="inline">\sin (\mu n+\lambda)x</math> sive <math display="inline">\sin\left( \frac{1}{2}\pi+\lambda \right)x</math>, <math display="inline">\sin \pi a\cos\left( \frac{1}{2}\pi-\lambda \right)x-\cos \pi a\sin\left( \frac{1}{2}\pi-\lambda \right)x</math>. Quare habebimus in casu primo <math display="block"> \begin{align} & \tfrac{1}{2}(k+k\cos \pi a+l\sin \pi a)\cos(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x \\ + & \tfrac{1}{2}(l+k\sin \pi a-l\cos \pi a)\sin(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x \end{align} </math> in casu secundo autem <math display="block"> \begin{align} & \tfrac{1}{2}(l-l\cos \pi a+k\sin \pi a)\cos(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x \\ - & \tfrac{1}{2}(k+l\sin \pi a+k\cos \pi a)\sin(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x \end{align} </math><noinclude></noinclude> 3d1adigs0qh9wwfwjczo6ws7guklda8 104 86106 281349 281082 2026-09-20T00:56:53Z Sjgallagher2 29663 281349 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>Sed ex aequatione <math display="inline">k\sin \frac{1}{2}\pi a=l\cos \frac{1}{2}\pi a</math>, quae in utroque case inter <math display="inline">k</math> et <math display="inline">l</math> locum habere debet (art. 24), nullo negotio deducitur <math display="block"> \begin{align} & \tfrac{1}{2}(k+k\cos \pi a+l\sin \pi a)=k \\ & \tfrac{1}{2}(l+k\sin \pi a-l\cos \pi a)=l \end{align} </math> Hinc tandem colligitur, pro iis partibus in <math display="inline">X''</math>, quae ex terminis ultimis <math display="block"> k\cos ny+l\sin ny</math> cuiusvis coëfficientis <math display="inline">\gamma^{\lambda}</math> vel <math display="inline">\delta^{\lambda}</math> producerentur, designante <math display="inline">\lambda</math> indicem maiorem quam 0, statim substitui posse <math display="block"> \begin{align} & k\cos(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x + l\sin(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x\ \text{ in casu priore vel} \\ & l\cos(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x - k\sin(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x\ \text{ in case posteriore} \end{align} </math> Hoc modo loco functionis <math display="inline">X''</math>, quae ad ordinem <math display="inline">\frac{1}{2}\pi+m^{\text{tum}}</math> ascenderet, aliam <math display="inline">X''''</math> nanciscimur, quae ordinem <math display="inline">\frac{1}{2}\pi^{\text{tum}}</math> non egreditur. Nihil itaque superest, nisi ut coëfficientes cosinus et sinus arcus <math display="inline">\frac{1}{2}\pi x</math>, qui manifesto in hac functione iidem manserunt ut in <math display="inline">X''</math>, cum coëfficientibus respondentibus in <math display="inline">X'''</math> comparemus. Levi attentione autem perspicitur, hosce terminos unice produci ex coëfficiente primo <math display="inline">\gamma</math>, et quidem ex ultimis eius terminis; qui si per <math display="inline">k\cos ny + l\sin ny</math> exhibentur, illi erunt <math display="inline">k\cos \frac{1}{2}\pi x + l \sin \frac{1}{2} \pi x</math>, adeoque necessario identici cum respondentibus in <math display="inline">X'''</math> . Hinc itaque colligitur, functionem <math display="inline">X''''</math>, quae per praecepta modo tradita loco functionis <math display="inline">X''</math> obtinetur, cum functione <math display="inline">X'''</math> prorsus identicam fieri. <br /> {{center|27.}} Pro eo itaque casu, ubi multitudo valorum propositorum functionis <math display="inline">X</math>, periodum integram formantium, numerus compositus est <math display="inline">=\pi=\mu \nu</math>, per partitionem illius periodi in <math display="inline">\nu</math> periodos <math display="inline">\mu</math> terminorum eandem functionem cunctis valoribus datis satisfacientem eruere in artt. 25, 26 didicimus, quae per applicationem immediatam theoriae generalis ad periodum totam prodiret: illam vero methodum calculi mechanici taedium magis minuere, praxis tentantem docebit. Nulla iam amplius explicatione opus erit, quomodo illa partitio adhuc ulterius extendi et ad eum casum applicari possit, ubi multitudo omnium valorum propositorum numerus e tribus pluribusve factoribus compositus est, e.g. si numerus <math display="inline">\mu</math><noinclude></noinclude> ls8h3azs0cwg0fou2bblny9ef7zaxrh 281367 281349 2026-09-20T01:22:22Z Sjgallagher2 29663 /* Emendata */ 281367 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="Sjgallagher2" /></noinclude>Sed ex aequatione <math display="inline">k\sin \frac{1}{2}\pi a=l\cos \frac{1}{2}\pi a</math>, quae in utroque case inter <math display="inline">k</math> et <math display="inline">l</math> locum habere debet (art. 24), nullo negotio deducitur <math display="block"> \begin{align} & \tfrac{1}{2}(k+k\cos \pi a+l\sin \pi a)=k \\ & \tfrac{1}{2}(l+k\sin \pi a-l\cos \pi a)=l \end{align} </math> Hinc tandem colligitur, pro iis partibus in <math display="inline">X''</math>, quae ex terminis ultimis <math display="block"> k\cos ny+l\sin ny</math> cuiusvis coëfficientis <math display="inline">\gamma^{\lambda}</math> vel <math display="inline">\delta^{\lambda}</math> producerentur, designante <math display="inline">\lambda</math> indicem maiorem quam 0, statim substitui posse <math display="block"> \begin{align} & k\cos(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x + l\sin(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x\ \text{ in casu priore vel} \\ & l\cos(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x - k\sin(\tfrac{1}{2}\pi-\lambda)x\ \text{ in case posteriore} \end{align} </math> Hoc modo loco functionis <math display="inline">X''</math>, quae ad ordinem <math display="inline">\frac{1}{2}\pi+m^{\text{tum}}</math> ascenderet, aliam <math display="inline">X''''</math> nanciscimur, quae ordinem <math display="inline">\frac{1}{2}\pi^{\text{tum}}</math> non egreditur. Nihil itaque superest, nisi ut coëfficientes cosinus et sinus arcus <math display="inline">\frac{1}{2}\pi x</math>, qui manifesto in hac functione iidem manserunt ut in <math display="inline">X''</math>, cum coëfficientibus respondentibus in <math display="inline">X'''</math> comparemus. Levi attentione autem perspicitur, hosce terminos unice produci ex coëfficiente primo <math display="inline">\gamma</math>, et quidem ex ultimis eius terminis; qui si per <math display="inline">k\cos ny + l\sin ny</math> exhibentur, illi erunt <math display="inline">k\cos \frac{1}{2}\pi x + l \sin \frac{1}{2} \pi x</math>, adeoque necessario identici cum respondentibus in <math display="inline">X'''</math> . Hinc itaque colligitur, functionem <math display="inline">X''''</math>, quae per praecepta modo tradita loco functionis <math display="inline">X''</math> obtinetur, cum functione <math display="inline">X'''</math> prorsus identicam fieri. <br /> {{center|27.}} Pro eo itaque casu, ubi multitudo valorum propositorum functionis <math display="inline">X</math>, periodum integram formantium, numerus compositus est <math display="inline">=\pi=\mu \nu</math>, per partitionem illius periodi in <math display="inline">\nu</math> periodos <math display="inline">\mu</math> terminorum eandem functionem cunctis valoribus datis satisfacientem eruere in artt. 25, 26 didicimus, quae per applicationem immediatam theoriae generalis ad periodum totam prodiret: illam vero methodum calculi mechanici taedium magis minuere, praxis tentantem docebit. Nulla iam amplius explicatione opus erit, quomodo illa partitio adhuc ulterius extendi et ad eum casum applicari possit, ubi multitudo omnium valorum propositorum numerus e tribus pluribusve factoribus compositus est, e.g. si numerus <math display="inline">\mu</math><noinclude></noinclude> 35e14rd9w5wx7d10v4unk83yf1ia8gz 104 86107 281368 281083 2026-09-20T01:37:22Z Sjgallagher2 29663 281368 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>rursus esset compositus, in quo casu manifesto quaevis periodus <math display="inline">\mu</math> terminorum in plures periodos minores subdividi potest. Ceterum ex pluribus aliis annotationibus applicationi practicae inservientibus hic sequentes tantummodo attingemus. Valores talium aggregatorum <math display="block"> \begin{align} &A\cos \lambda a + B\cos \lambda b +C\cos \lambda c+D\cos \lambda d+\text{etc.}=\mu \\ &A\sin \lambda a+B\sin \lambda b+C\sin \lambda c+D\sin \lambda d+\text{etc.}=q \end{align} </math> (ubi ut in praecedentibus, supponimus <math display="inline">b-a=c-b=d-c</math> etc. <math display="inline">= \frac{1}{\mu}360^{\circ}=\Delta</math>) saepius, siquidem nondum est <math display="inline">a=0</math>, commodius determinantur per formulas <math display="block"> \begin{align} A+ & B\cos \lambda \Delta+C\cos 2\lambda \Delta + D\cos 3\lambda \Delta + \text{etc.} = P \\ & B \sin \lambda \Delta + C \sin 2 \lambda \Delta + D \sin 3 \lambda \Delta + \text{etc.} = Q \end{align} </math> <math display="inline">p=P\cos a - Q \sin a,\ q = P \sin a + Q \cos a</math>, sive etiam faciendo <math display="inline">\frac{Q}{P} = \tan \varphi</math>, atque <math display="inline">\frac{P}{\cos \varphi} = \frac{Q}{\sin \varphi}=R</math>, per has <math display="inline">p = R \cos (\varphi+a),\ q = R\sin(\varphi + a)</math>. <br /> {{center|28.}} ''Exemplum.'' In commercio literario a clar. barone de Zach edito, vol. X p. 188 invenitur tabula, limitem borealem et australem zodiaci ''Palladis'' exhibens. Utriusque limites declinatio tamquam functio periodica ascensionis rectae spectatur, quae in tabula illa per singulos quinque gradus progreditur. Ad illustrationem disquisitionum praecedentium applicationem ad limitem borealem hic faciemus, cuius itaque declinatio nobis erit <math display="inline">X</math> , ascensio recta <math display="inline">x</math> . Excerpimus ex tabula illa periodum sequentem 12 terminorum {| style="border-spacing:0px;" align="center" |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-bottom:1px solid black;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">x</math> | style="padding:0 10px 0 20px;border-bottom:1px solid black;"|<math display="inline">X</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">0^{\circ}</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">6^{\circ} 48'\text{ Bor. }\ =+408'</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">30</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">1\ \ 29\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ +\ 89</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">60</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">1\ \ 6\text{ Austr. }\ .\ .\ -\ 66</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">90</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">0\ 10\text{ Bor }.\ .\ .\ .\ +\ 10</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">120</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">5\ \ 38\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 338</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">150</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">13\ 27\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 807</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">180</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">20\ 38\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 1238</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">210</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">25\ 11\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 1511</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">240</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">26\ 23\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 1583</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">270</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">24\ 22\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 1462</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">300</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">19\ 43\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 1183</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">330</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">13\ 24\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 804</math> |}<noinclude></noinclude> qgdhivtbd7jqbqh4itrztmr2f4ga8fl 281369 281368 2026-09-20T01:38:15Z Sjgallagher2 29663 281369 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>rursus esset compositus, in quo casu manifesto quaevis periodus <math display="inline">\mu</math> terminorum in plures periodos minores subdividi potest. Ceterum ex pluribus aliis annotationibus applicationi practicae inservientibus hic sequentes tantummodo attingemus. Valores talium aggregatorum <math display="block"> \begin{align} &A\cos \lambda a + B\cos \lambda b +C\cos \lambda c+D\cos \lambda d+\text{etc.}=p \\ &A\sin \lambda a+B\sin \lambda b+C\sin \lambda c+D\sin \lambda d+\text{etc.}=q \end{align} </math> (ubi ut in praecedentibus, supponimus <math display="inline">b-a=c-b=d-c</math> etc. <math display="inline">= \frac{1}{\mu}360^{\circ}=\Delta</math>) saepius, siquidem nondum est <math display="inline">a=0</math>, commodius determinantur per formulas <math display="block"> \begin{align} A+ & B\cos \lambda \Delta+C\cos 2\lambda \Delta + D\cos 3\lambda \Delta + \text{etc.} = P \\ & B \sin \lambda \Delta + C \sin 2 \lambda \Delta + D \sin 3 \lambda \Delta + \text{etc.} = Q \end{align} </math> <math display="inline">p=P\cos a - Q \sin a,\ q = P \sin a + Q \cos a</math>, sive etiam faciendo <math display="inline">\frac{Q}{P} = \tan \varphi</math>, atque <math display="inline">\frac{P}{\cos \varphi} = \frac{Q}{\sin \varphi}=R</math>, per has <math display="inline">p = R \cos (\varphi+a),\ q = R\sin(\varphi + a)</math>. <br /> {{center|28.}} ''Exemplum.'' In commercio literario a clar. barone de Zach edito, vol. X p. 188 invenitur tabula, limitem borealem et australem zodiaci ''Palladis'' exhibens. Utriusque limites declinatio tamquam functio periodica ascensionis rectae spectatur, quae in tabula illa per singulos quinque gradus progreditur. Ad illustrationem disquisitionum praecedentium applicationem ad limitem borealem hic faciemus, cuius itaque declinatio nobis erit <math display="inline">X</math> , ascensio recta <math display="inline">x</math> . Excerpimus ex tabula illa periodum sequentem 12 terminorum {| style="border-spacing:0px;" align="center" |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-bottom:1px solid black;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">x</math> | style="padding:0 10px 0 20px;border-bottom:1px solid black;"|<math display="inline">X</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">0^{\circ}</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">6^{\circ} 48'\text{ Bor. }\ =+408'</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">30</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">1\ \ 29\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ +\ 89</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">60</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">1\ \ 6\text{ Austr. }\ .\ .\ -\ 66</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">90</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">0\ 10\text{ Bor }.\ .\ .\ .\ +\ 10</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">120</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">5\ \ 38\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 338</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">150</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">13\ 27\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 807</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">180</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">20\ 38\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 1238</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">210</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">25\ 11\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 1511</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">240</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">26\ 23\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 1583</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">270</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">24\ 22\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 1462</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">300</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">19\ 43\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 1183</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">330</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">13\ 24\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 804</math> |}<noinclude></noinclude> 74ie8eroyufw32jz0e0zjmcsdlnt8o2 281370 281369 2026-09-20T01:41:00Z Sjgallagher2 29663 /* Emendata */ 281370 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="Sjgallagher2" /></noinclude>rursus esset compositus, in quo casu manifesto quaevis periodus <math display="inline">\mu</math> terminorum in plures periodos minores subdividi potest. Ceterum ex pluribus aliis annotationibus applicationi practicae inservientibus hic sequentes tantummodo attingemus. Valores talium aggregatorum <math display="block"> \begin{align} &A\cos \lambda a + B\cos \lambda b +C\cos \lambda c+D\cos \lambda d+\text{etc.}=p \\ &A\sin \lambda a+B\sin \lambda b+C\sin \lambda c+D\sin \lambda d+\text{etc.}=q \end{align} </math> (ubi ut in praecedentibus, supponimus <math display="inline">b-a=c-b=d-c</math> etc. <math display="inline">= \frac{1}{\mu}360^{\circ}=\Delta</math>) saepius, siquidem nondum est <math display="inline">a=0</math>, commodius determinantur per formulas <math display="block"> \begin{align} A+ & B\cos \lambda \Delta+C\cos 2\lambda \Delta + D\cos 3\lambda \Delta + \text{etc.} = P \\ & B \sin \lambda \Delta + C \sin 2 \lambda \Delta + D \sin 3 \lambda \Delta + \text{etc.} = Q \end{align} </math> <math display="inline">p=P\cos a - Q \sin a,\ q = P \sin a + Q \cos a</math>, sive etiam faciendo <math display="inline">\frac{Q}{P} = \tan \varphi</math>, atque <math display="inline">\frac{P}{\cos \varphi} = \frac{Q}{\sin \varphi}=R</math>, per has <math display="inline">p = R \cos (\varphi+a),\ q = R\sin(\varphi + a)</math>. <br /> {{center|28.}} ''Exemplum.'' In commercio literario a clar. barone {{small-caps|de Zach}} edito, vol. X p. 188 invenitur tabula, limitem borealem et australem zodiaci ''Palladis'' exhibens. Utriusque limites declinatio tamquam functio periodica ascensionis rectae spectatur, quae in tabula illa per singulos quinque gradus progreditur. Ad illustrationem disquisitionum praecedentium applicationem ad limitem borealem hic faciemus, cuius itaque declinatio nobis erit <math display="inline">X</math> , ascensio recta <math display="inline">x</math> . Excerpimus ex tabula illa periodum sequentem 12 terminorum {| style="border-spacing:0px;" align="center" |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-bottom:1px solid black;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">x</math> | style="padding:0 10px 0 20px;border-bottom:1px solid black;"|<math display="inline">X</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">0^{\circ}</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">6^{\circ} 48'\text{ Bor. }\ =+408'</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">30</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">1\ \ 29\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ +\ 89</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">60</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">1\ \ 6\text{ Austr. }\ .\ .\ -\ 66</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">90</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">0\ 10\text{ Bor }.\ .\ .\ .\ +\ 10</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">120</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">5\ \ 38\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 338</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">150</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">13\ 27\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 807</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">180</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">20\ 38\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 1238</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">210</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">25\ 11\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 1511</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">240</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">26\ 23\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 1583</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">270</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">24\ 22\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 1462</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">300</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">19\ 43\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 1183</math> |- | style="padding:0 10px 0 10px;border-right:1px solid black;"|<math display="inline">330</math> | style="padding:0 10px 0 10px;"|<math display="inline">13\ 24\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ + 804</math> |}<noinclude></noinclude> dy3l285vr8x3rys2umz6nqu3zj2x8sq 104 86111 281350 281087 2026-09-20T00:58:19Z Sjgallagher2 29663 281350 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude><math display="block"> \begin{align} \text{terminus secundus} = \sin \mu a + \sin (\mu - 2)a\\ \text{ultimus} = \sin \mu a - \sin (\mu - 2)a\\ \text{porro terminus tertius} = \sin \mu a + \sin (\mu - 4)a\\ \text{terminus penultimus} = \sin \mu a - \sin (\mu - 4)a\\ \text{etc.}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \end{align} </math> Hinc colligitur, coëfficientem ipsius <math display="inline">A</math> in formula art. 16 pro <math display="inline">T</math> fieri <math display="block"> \frac{1}{\mu \sin \mu a} \{ \sin \mu a + 2 \sin (\mu - 1)a \cos t + 2 \sin (\mu - 2)a \cos 2t + \text{etc.} + 2 \sin a \sin (\mu - 1)t \} </math> Prorsus similes expressiones proveniunt pro coëfficientibus ipsorum <math display="inline">B, C, D</math> etc., mutando tantummodo <math display="inline">a</math> in <math display="inline">b, c, d</math> etc. Quamobrem statuendo <math display="block"> \begin{align} \varepsilon &= \frac{1}{\mu} (A + B + C + D + \text{etc.}) \\ \varepsilon' &= \frac{2}{\mu \sin \mu a} \{ A \sin (\mu - 1)a + B \sin (\mu - 1)b + C \sin (\mu - 1)c + D \sin (\mu - 1)d + \text{etc.} \} \\ \varepsilon'' &= \frac{2}{\mu \sin \mu a} \{ A \sin (\mu - 2)a + B \sin (\mu - 2)b + C \sin (\mu - 2)c + D \sin (\mu - 2)d + \text{etc.} \} \\ \varepsilon''' &= \frac{2}{\mu \sin \mu a} \{ A \sin (\mu - 3)a + B \sin (\mu - 3)b + C \sin (\mu - 3)c + D \sin (\mu - 3)d + \text{etc.} \} \\ &\text{etc.} \\ \varepsilon^n &= \frac{2}{\mu \sin \mu a} (A \sin a + B \sin b + C \sin c + D \sin d + \text{etc.}) \end{align} </math> erit <math display="block"> T = \varepsilon + \varepsilon' \cos t + \varepsilon'' \cos 2t + \varepsilon''' \cos 3t + \text{etc.} + \varepsilon^n \cos n t </math> Quum haec formula generaliter pro valore quocunque ipsius <math display="inline">t</math> valere debeat, necessario cum <math display="inline">X</math> identica fiet, mutata <math display="inline">t</math> in <math display="inline">x</math>, adeoque coëfficientes <math display="inline">\varepsilon, \varepsilon', \varepsilon''</math> etc. ipsis <math display="inline">\alpha, \alpha', \alpha''</math> etc. resp. aequales. <br /> {{center|31.}} Quum per praecepta supra explicata functio <math display="inline">X'</math> formae <math display="block"> \begin{align} \gamma + \gamma' \cos x + \gamma'' \cos 2x + \ldots + \gamma^m \cos mx \\ + \delta' \sin x + \delta'' \sin 2x + \ldots + \delta^m \sin mx \end{align} </math> quae omnibus <math display="inline">\mu</math> valoribus propositis satisfaciat, et in qua sit <math display="inline">m = \frac{1}{2}\mu - \frac{1}{2}</math> vel <math display="inline">\frac{1}{2}\mu</math>, prout <math display="inline">\mu</math> impar est vel par: operae pretium est, hanc functionem cum functione modo inventa <math display="block"> \varepsilon + \varepsilon' \cos x + \varepsilon'' \cos 2x + \varepsilon''' \cos 3x + \ldots + \varepsilon^{\mu-1} \cos (\mu - 1)x </math><noinclude></noinclude> f8l3fh8n1x3jv4eia9ir1roanvhbwzl 104 86112 281351 281088 2026-09-20T00:58:37Z Sjgallagher2 29663 281351 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>comparare, quam per <math display="inline">X''</math> exprimemus. Comparando valores coëfficientium <math display="inline">\gamma, \gamma', \delta', \gamma'', \delta''</math> etc. in artt. 20, 22 traditos cum valoribus coëfficientium <math display="inline">\varepsilon, \varepsilon', \varepsilon''</math> etc. modo inventis, invenitur <math display="block"> \begin{align} &\varepsilon = \gamma \\ &\varepsilon' = \gamma' - \delta' \text{cotang } \mu a, \quad \varepsilon^{\mu-1} = \delta' \text{cosec } \mu a \\ &\varepsilon'' = \gamma'' - \delta'' \text{cotang } \mu a, \quad \varepsilon^{\mu-2} = \delta'' \text{cosec } \mu a \\ &\varepsilon''' = \gamma''' - \delta''' \text{cotang } \mu a, \quad \varepsilon^{\mu-3} = \delta''' \text{cosec } \mu a \\ &\text{etc. usque ad} \\ &(\frac{1}{2}) \varepsilon^m = \gamma^m - \delta^m \text{cotang } \mu a, \quad (\frac{1}{2}) \varepsilon^{\mu-m} = \delta^m \text{cosec } \mu a \end{align} </math> Factor <math display="inline">\frac{1}{2}</math> ipsis <math display="inline">\varepsilon^m</math> et <math display="inline">\varepsilon^{\mu-m}</math> praepositus tunc tantummodo valet, quando <math display="inline">\mu</math> par est, omittique debet, quando <math display="inline">\mu</math> est impar. Quo pacto, in casu posteriore, ubi <math display="inline">\mu - m = m + 1</math> manifesto omnes <math display="inline">\mu</math> coëfficientes <math display="inline">\varepsilon, \varepsilon', \varepsilon''</math> etc. per <math display="inline">\gamma, \gamma', \delta'</math> etc. determinati sunt; in priore vero, ubi <math display="inline">m = \mu - m</math>, pro coëfficiente <math display="inline">\varepsilon^{\frac{1}{2}\mu}</math> valores duos <math display="inline">2 \gamma^{\frac{1}{2}\mu} - 2 \delta^{\frac{1}{2}\mu} \cot \mu a, \ 2 \delta^{\frac{1}{2}\mu} \text{cosec } \mu a</math> habemus, quorum aequalitatem ex aequatione <math display="inline">\gamma^{\frac{1}{2}\mu} \sin \frac{1}{2} \mu a = \delta^{\frac{1}{2}\mu} \cos \frac{1}{2} \mu a</math> facile perspicere, et pro quibus igitur etiam hunc <math display="inline">\gamma^{\frac{1}{2}\mu} - \delta^{\frac{1}{2}\mu} \text{cotg } \mu a + \delta^{\frac{1}{2}\mu} \text{cosec } \mu a</math> adoptare possumus. Hinc facile deducitur, esse in utroque casu <math display="block"> \begin{align} X'' - (X' - \delta' \sin x - \delta'' \sin 2x - \delta^m \sin 3x - \ldots - \delta^m \sin mx) \\ = - \text{cotg } \mu a (\delta' \cos x + \delta'' \cos 2x + \delta^m \cos 3x + \ldots + \delta^m \cos mx) \\ + \text{cosec } \mu a (\delta' \cos (\mu - 1)x + \delta'' \cos (\mu - 2)x + \ldots + \delta^m \cos (\mu - m)x) \end{align} </math> Hinc patet, <math display="inline">X''</math> ex <math display="inline">X'</math> deduci, si pro quovis termino <math display="inline">\delta^\lambda \sin \lambda x</math> substituatur <math display="block"> -\text{cotg } \mu a \ \delta^\lambda \cos \lambda x + \text{cosec } \mu a \ \delta^\lambda \cos (\mu - \lambda)x </math> sive <math display="block"> \frac{-\delta^\lambda \cos \mu a \cos \lambda x + \delta^\lambda \cos (\mu - \lambda)x}{\sin \mu a} </math> cuius praecepti comparationem cum iis, quae in art. 24 explicata sunt, lectoribus linquimus. <br /> {{center|32.}} Si functio <math display="inline">X</math> cum <math display="inline">\cos n x</math> non abrumpitur, sed ulterius excurrit, terminis sequentibus per <math display="inline">\alpha^\mu \cos \mu x + \alpha^{\mu+1} \cos (\mu + 1)x + \ldots</math> etc. expressis, habebimus<noinclude></noinclude> jhhu4uj8hz2yfbz1osbzut2ps9uiql5 104 86113 281352 281089 2026-09-20T00:58:53Z Sjgallagher2 29663 281352 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude><math display="block"> \begin{align} \varepsilon &= \alpha + \alpha^{\mu} \cos \mu a + \alpha^{2\mu} \cos 2\mu a + \text{etc.}\\[.5em] \varepsilon' &= \frac{1}{\sin \mu a} \{ \alpha' \sin \mu a + \alpha^{\mu+1} \sin 2\mu a + \alpha^{2\mu+1} \sin 3\mu a + \text{etc.}\\ &\qquad\qquad- \alpha^{2\mu-1} \sin \mu a - \alpha^{3\mu-1} \sin 2\mu a - \alpha^{4\mu-1} \sin 3\mu a - \text{etc.}\}\\[.5em] \varepsilon'' &= \frac{1}{\sin \mu a} \{ \alpha'' \sin \mu a + \alpha^{\mu+2} \sin 2\mu a + \alpha^{2\mu+2} \sin 3\mu a + \text{etc.}\\ &\qquad\qquad\alpha^{2\mu-2} \sin \mu a - \alpha^{3\mu-2} \sin 2\mu a - \alpha^{4\mu-2} \sin 3\mu a - \text{etc.}\} \\[.5em] &\text{etc.} \\[.5em] \varepsilon^{\mu-1} &= \frac{1}{\sin \mu a} \{ \alpha^{\mu-1} \sin \mu a + \alpha^{2\mu-1} \sin 2\mu a + \alpha^{3\mu-1} \sin 3\mu a + \text{etc.} \\ &\qquad\qquad- \alpha^{\mu+1} \sin \mu a - \alpha^{2\mu+1} \sin 2\mu a - \alpha^{3\mu+1} \sin 3\mu a - \text{etc.}\} \end{align} </math> ex quibus formulis iudicari potest, quatenus differentiam coëfficientium <math display="inline">\varepsilon, \varepsilon', \varepsilon''</math> etc. a veris <math display="inline">\alpha, \alpha', \alpha''</math> etc. negligere liceat. In hoc itaque casu functio <math display="inline">X''</math> non erit <math display="inline">X</math> ipsa, cum qua tamen in eo convenit, quod omnibus <math display="inline">\mu</math> valoribus propositis satisfacit. Omnes autem similes functiones his valoribus satisfacientes sub forma <math display="inline">X'' + Y(\cos \mu x - \cos \mu a)</math> contenti erunt, designante <math display="inline">Y</math> functionem indefinitam arcus <math display="inline">x</math> eiusdem formae ut <math display="inline">X</math>, scilicet a sinubus liberam. Functio <math display="inline">X''</math> erit unica ordinis <math display="inline">\mu - 1</math>: quaevis alia similis valoribus datis satisfaciens ad ordinem altiorem ascendet. Quodsi talis functio <math display="inline">X'''</math> aliunde constaret, omnes similes functiones, per quos valores dati repraesentantur, in hac quoque forma <math display="inline">X''' + Y(\cos \mu x - \cos \mu a)</math> contenti erunt, poteritque <math display="inline">Y</math> ita determinari, ut functio ad ordinem <math display="inline">\mu - 1</math> tum depressa prodeat, quae erit ipsa <math display="inline">X''</math>. Methodus vero facillima ad hunc finem videtur esse, si primo ex <math display="inline">X''</math> derivetur <math display="inline">X'</math> per art. 24 atque hinc <math display="inline">X''</math> per art. 31. Sit itaque terminus quicunque in <math display="inline">X''' L \cos \lambda x</math>, ponaturque <math display="inline">\lambda = k\mu + \lambda'</math>, ita ut sit <math display="inline">\lambda' < \mu</math> atque <math display="inline">k</math> integer. Tunc per art. 24 pro illo termino scribi debet in <math display="inline">X'</math> <math display="block"> \begin{align} &L \cos k\mu a \cos \lambda' x - L \sin k\mu a \sin \lambda' x, \quad \text{si } \lambda' < \frac{1}{2}\mu, \text{ neque vero } \lambda' = 0 \\ &L \cos (k+1)\mu a \cos (\mu - \lambda') x + L \sin (k+1)\mu a \sin (\mu - \lambda') x, \quad \text{si } \lambda' > \frac{1}{2}\mu \\ &L \cos \frac{1}{2}\mu a \cos (k+\frac{1}{2})\mu a \cos \frac{1}{2}\mu x + L \sin \frac{1}{2}\mu a \cos (k+\frac{1}{2})\mu a \sin \frac{1}{2}\mu x, \quad \text{si } \lambda' = \frac{1}{2}\mu \end{align} </math> Hinc autem prodit in <math display="inline">X''</math>, per art. praec. in casu primo <math display="block"> L \cos k\mu a \cos \lambda' x + L \sin k\mu a \text{ cotang } \mu a \cos \lambda' x - L \sin k\mu a \text{ cosec } \mu a \cos (\mu - \lambda') x </math> in casu secundo <math display="block"> \begin{align} L \cos (k+1)\mu a \cos (\mu - \lambda') x - L \sin (k+1)\mu a \text{cotg } \mu a \cos (\mu - \lambda') x \\ \qquad + L \sin (k+1)\mu a \text{cosec } \mu a \cos \lambda' x \end{align} </math><noinclude></noinclude> 6jqr5z9582wiwch2cv3gfsk1ekk78no 104 86114 281353 281090 2026-09-20T00:59:11Z Sjgallagher2 29663 281353 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>in casu tertio <math display="block"> \begin{align} L \cos \frac{1}{2} \mu a \cos (k + \frac{1}{2}) \mu a \cos \frac{1}{2} \mu x - L \sin \frac{1}{2} \mu a \cos (k + \frac{1}{2}) \mu a \text{cotg } \mu a \cos \frac{1}{2} \mu x \\ + L \sin \frac{1}{2} \mu a \cos (k + \frac{1}{2}) \mu a \text{cosec } \mu a \cos \frac{1}{2} \mu x \end{align} </math> quae expressio in omnibus tribus casibus reducitur ad <math display="block"> \frac{L \sin (k + 1) \mu a \cos \lambda' x - L \sin k \mu a \cos (\mu - \lambda') x}{\sin \mu a} </math> Quoties autem <math display="inline">\lambda' = 0</math>, habemus in <math display="inline">X'</math> simpliciter <math display="inline">L \cos k \mu a</math>, qui terminus sine variatione in <math display="inline">X''</math> retinetur. <br /> {{center|33.}} Sit secundo <math display="inline">X</math> functio formae <math display="block"> \delta' \sin x + \delta'' \sin 2x + \delta''' \sin 3x + \text{etc.} + \delta^n \sin nx </math> unde esse debetit <math display="inline">\mu = n</math>. Hic fit, ex art. 30, coëfficiens ipsius <math display="inline">A</math> in formula secunda art. 16 pro <math display="inline">T</math> <math display="block"> \begin{align} &= \frac{1}{\mu \sin \mu a} \times \frac{\sin t}{\sin a} (\sin \mu a + 2 \sin (\mu - 1)a \cos t + 2 \sin (\mu - 2)a \cos 2t + \text{etc.} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad+ 2 \sin a \cos (\mu - 1)t)\\ &= \frac{1}{\mu \sin \mu a} (2 \cos (\mu - 1)a \sin t + 2 \cos (\mu - 2)a \sin 2t + 2 \cos (\mu - 3)a \sin 3t + \text{etc.} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad+ 2 \cos a \sin (\mu - 1)t + \sin \mu t) \end{align} </math> Prorsus similes expressiones pro coëfficientibus ipsorum <math display="inline">B, C, D</math> etc. prodeunt, mutato tantummodo arcu <math display="inline">a</math> in <math display="inline">b, c, d</math> etc. Quamobrem faciendo <math display="block"> \begin{align} \zeta' &= \frac{2}{\mu \sin \mu a} \{A \cos (\mu - 1)a + B \cos (\mu - 1)b + C \cos (\mu - 1)c + D \cos (\mu - 1)d + \text{etc.}\}\\ \zeta'' &= \frac{2}{\mu \sin \mu a} \{A \cos (\mu - 2)a + B \cos (\mu - 2)b + C \cos (\mu - 2)c + D \cos (\mu - 2)d + \text{etc.}\}\\ \zeta''' &= \frac{2}{\mu \sin \mu a} \{A \cos (\mu - 3)a + B \cos (\mu - 3)b + C \cos (\mu - 3)c + D \cos (\mu - 3)d + \text{etc.}\}\\ &\text{etc.}\\ \zeta^{\mu-1} &= \frac{2}{\mu \sin \mu a} \{A \cos a + B \cos b + C \cos c + D \cos d + \text{etc.}\}\\ \zeta^\mu &= \frac{1}{\mu \sin \mu a} \{A + B + C + D + \text{etc.}\} \end{align} </math> erit <math display="block"> T = \zeta' \sin t + \zeta'' \sin 2t + \zeta''' \sin 3t + \text{etc.} + \zeta^\mu \sin \mu t </math> Quum haec formula generaliter pro valore quocunque ipsius <math display="inline">t</math> valeat, necessario<noinclude></noinclude> 8489k56xgdpm1s0b676w80g9lybfnwn 104 86115 281354 281091 2026-09-20T00:59:27Z Sjgallagher2 29663 281354 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>cum <math display="inline">X</math> identica erit, mutando <math display="inline">t</math> in <math display="inline">x</math>, unde coëfficientes <math display="inline">\zeta', \zeta'', \zeta'''</math> etc. ipsis <math display="inline">\beta',\beta'',\beta'''</math> etc. resp. aequales erunt. <br /> {{center|34.}} Si ut in art. 31 omnibus valoribus propositis per functionem talem <math display="block"> \begin{align} X' = \gamma + \gamma'\cos x + \gamma'\cos 2x + \text{etc.} + \gamma^m \cos mx \\ + \delta'\sin x + \delta''\sin 2x + \text{etc.} + \delta^m \sin mx \end{align} </math> satisfactum est, existente <math display="inline">m = \frac{1}{2}\mu - \frac{1}{2}</math> vel <math display="inline">= \frac{1}{2}\mu</math>, prout <math display="inline">\mu</math> impar vel par est, comparatio huius functionis cum hac <math display="block"> X'' = \zeta'\sin x + \zeta''\sin 2x + \zeta'''\sin 3x + \text{etc.} + \zeta^\mu \sin \mu x </math> quam in art. praec. eruimus, hasce aequationes suppeditant: <math display="block"> \begin{align} \zeta' &= \delta' + \gamma' \text{cotg } \mu a, & \zeta'^{\mu-1} &= \gamma' \text{cosec } \mu a \\ \zeta'' &= \delta'' + \gamma'' \text{cotg } \mu a, & \zeta'^{\mu-2} &= \gamma'' \text{cosec } \mu a \\ \zeta''' &= \delta''' + \gamma''' \text{cotg } \mu a, & \zeta'^{\mu-3} &= \gamma''' \text{cosec } \mu a \\ &\text{etc. usque ad} \\ (\frac{1}{2})\zeta^m &= \delta^m + \gamma^m \text{cotg } \mu a, & (\frac{1}{2})\zeta^{\mu-m} &= \gamma^m \text{cosec } \mu a \end{align} </math> ubi factor <math display="inline">\frac{1}{2}</math> coëfficientibus <math display="inline">\zeta^m, \zeta^{\mu-m}</math> praepositus pro eo tantum casu valet, ubi <math display="inline">\mu</math> par est, pro altero vero, ubi <math display="inline">\mu</math> impar est. omitti debet. In casu itaque posteriore ubi <math display="inline">\mu - m = m + 1</math>, pro quovis coëfficiente <math display="inline">\zeta', \zeta''</math> etc. valorem unum per <math display="inline">\gamma, \gamma', \gamma''</math> etc. et <math display="inline">\delta', \delta''</math> etc. habemus; in priore vero, ubi <math display="inline">\mu - m = m</math>, pro coëfficiente <math display="inline">\zeta^{\frac{1}{2}\mu}</math> duos aequales, pro quibus etiam valor <math display="inline">\delta^{\frac{1}{2}\mu} + \gamma^{\frac{1}{2}\mu} \cot \mu a + \gamma^{\frac{1}{2}\mu} \csc \mu a</math> adoptari potest. Hinc colligitur <math display="block"> \begin{align} X'' &= X' - \gamma - \gamma'\cos x - \gamma''\cos 2x - \text{etc.} - \gamma^m \cos mx \\ &+ \text{cotg } \mu a (\gamma'\sin x + \gamma''\sin 2x + \gamma'''\sin 3x + \text{etc.} + \gamma^m \sin mx) \\ &+ \text{cosec } \mu a (\gamma \sin \mu x + \gamma' \sin (\mu - 1)x + \gamma'' \sin (\mu - 2)x + \text{etc.} + \gamma^{\mu-m} \sin (\mu - m)x) \end{align} </math> Quamobrem ex <math display="inline">X'</math> producitur <math display="inline">X''</math>, scribendo pro <math display="inline">\gamma</math>, <math display="inline">\gamma \text{ cosec } \mu a \sin \mu x = \frac{\gamma \sin \mu x}{\sin \mu a}</math> et, pro quovis termino <math display="inline">\gamma^\lambda \cos \lambda x</math><noinclude></noinclude> g0wi8tg37dgykv541c5m0tfjc5p7abx 281355 281354 2026-09-20T01:00:15Z Sjgallagher2 29663 281355 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>cum <math display="inline">X</math> identica erit, mutando <math display="inline">t</math> in <math display="inline">x</math>, unde coëfficientes <math display="inline">\zeta', \zeta'', \zeta'''</math> etc. ipsis <math display="inline">\beta',\beta'',\beta'''</math> etc. resp. aequales erunt. <br /> {{center|34.}} Si ut in art. 31 omnibus valoribus propositis per functionem talem <math display="block"> \begin{align} X' = \gamma + \gamma'\cos x + \gamma'\cos 2x + \text{etc.} + \gamma^m \cos mx \\ + \delta'\sin x + \delta''\sin 2x + \text{etc.} + \delta^m \sin mx \end{align} </math> satisfactum est, existente <math display="inline">m = \frac{1}{2}\mu - \frac{1}{2}</math> vel <math display="inline">= \frac{1}{2}\mu</math>, prout <math display="inline">\mu</math> impar vel par est, comparatio huius functionis cum hac <math display="block"> X'' = \zeta'\sin x + \zeta''\sin 2x + \zeta'''\sin 3x + \text{etc.} + \zeta^\mu \sin \mu x </math> quam in art. praec. eruimus, hasce aequationes suppeditant: <math display="block"> \begin{align} \zeta' &= \delta' + \gamma' \text{cotg } \mu a, & \zeta'^{\mu-1} &= \gamma' \text{cosec } \mu a \\ \zeta'' &= \delta'' + \gamma'' \text{cotg } \mu a, & \zeta'^{\mu-2} &= \gamma'' \text{cosec } \mu a \\ \zeta''' &= \delta''' + \gamma''' \text{cotg } \mu a, & \zeta'^{\mu-3} &= \gamma''' \text{cosec } \mu a \\ &\text{etc. usque ad} \\ (\tfrac{1}{2})\zeta^m &= \delta^m + \gamma^m \text{cotg } \mu a, & (\tfrac{1}{2})\zeta^{\mu-m} &= \gamma^m \text{cosec } \mu a \end{align} </math> ubi factor <math display="inline">\frac{1}{2}</math> coëfficientibus <math display="inline">\zeta^m, \zeta^{\mu-m}</math> praepositus pro eo tantum casu valet, ubi <math display="inline">\mu</math> par est, pro altero vero, ubi <math display="inline">\mu</math> impar est. omitti debet. In casu itaque posteriore ubi <math display="inline">\mu - m = m + 1</math>, pro quovis coëfficiente <math display="inline">\zeta', \zeta''</math> etc. valorem unum per <math display="inline">\gamma, \gamma', \gamma''</math> etc. et <math display="inline">\delta', \delta''</math> etc. habemus; in priore vero, ubi <math display="inline">\mu - m = m</math>, pro coëfficiente <math display="inline">\zeta^{\frac{1}{2}\mu}</math> duos aequales, pro quibus etiam valor <math display="inline">\delta^{\frac{1}{2}\mu} + \gamma^{\frac{1}{2}\mu} \cot \mu a + \gamma^{\frac{1}{2}\mu} \csc \mu a</math> adoptari potest. Hinc colligitur <math display="block"> \begin{align} X'' &= X' - \gamma - \gamma'\cos x - \gamma''\cos 2x - \text{etc.} - \gamma^m \cos mx \\ &+ \text{cotg } \mu a (\gamma'\sin x + \gamma''\sin 2x + \gamma'''\sin 3x + \text{etc.} + \gamma^m \sin mx) \\ &+ \text{cosec } \mu a (\gamma \sin \mu x + \gamma' \sin (\mu - 1)x + \gamma'' \sin (\mu - 2)x + \text{etc.} + \gamma^{\mu-m} \sin (\mu - m)x) \end{align} </math> Quamobrem ex <math display="inline">X'</math> producitur <math display="inline">X''</math>, scribendo pro <math display="inline">\gamma</math>, <math display="inline">\gamma \text{ cosec } \mu a \sin \mu x = \frac{\gamma \sin \mu x}{\sin \mu a}</math> et, pro quovis termino <math display="inline">\gamma^\lambda \cos \lambda x</math><noinclude></noinclude> o8bi2obju5gaxf11tzmsa5liimtqa99 104 86116 281356 281092 2026-09-20T01:00:31Z Sjgallagher2 29663 281356 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude><math display="block"> \gamma^{\lambda}\text{ cotg }\mu a \sin \lambda x + \gamma^{\lambda}\text{ cosec } \mu a\sin(\mu-\lambda)x\ \text{ sive }\ \frac{\gamma^{\lambda}\cos \mu a\sin \lambda x+\gamma^{\lambda}\sin(\mu-\lambda)x}{\sin \mu a} </math> quod praeceptum lectores cum iis, quae in art. 24 tradidimus, ipsi comparent. <br /> {{center|35.}} Si functio <math display="inline">X</math> cum <math display="inline">\sin n x</math> non abrumpitur, sed ulterius excurrit, terminis sequentibus per <math display="inline">\delta^{k+1} \sin (\mu + 1)x + \delta^{u+2} \sin (\mu + 2)x</math> etc. expressis, habebimus: <math display="block"> \begin{align} \zeta' = \frac{1}{\sin \mu a} \{ \delta' \sin \mu a + \delta^{\mu+1} \sin 2 \mu a + \delta^{2\mu+1} \sin 3 \mu a + \text{etc.} \\ + \delta^{2\mu-1} \sin \mu a + \delta^{3\mu-1} \sin 2 \mu a + \delta^{4\mu-1} \sin 3 \mu a + \text{etc.} \}\\ \zeta'' = \frac{1}{\sin \mu a} \{ \delta'' \sin \mu a + \delta^{\mu+2} \sin 2 \mu a + \delta^{2\mu+2} \sin 3 \mu a + \text{etc.} \\ + \delta^{2\mu-2} \sin \mu a + \delta^{3\mu-2} \sin 2 \mu a + \delta^{4\mu-2} \sin 3 \mu a + \text{etc.} \}\\ \zeta''' = \frac{1}{\sin \mu a} \{ \delta''' \sin \mu a + \delta^{\mu+3} \sin 2 \mu a + \delta^{2\mu+3} \sin 3 \mu a + \text{etc.} \\ + \delta^{2\mu-3} \sin \mu a + \delta^{3\mu-3} \sin 2 \mu a + \delta^{4\mu-3} \sin 3 \mu a + \text{etc.} \}\\ \end{align} </math> etc. Pro coëfficiente ultimo autem <math display="block"> \zeta^\mu = \frac{1}{\sin \mu a} (\delta^\mu \sin \mu a + \delta^{2\mu} \sin 2 \mu a + \delta^{3\mu} \sin 3 \mu a + \text{etc.}) </math> Hae formulae ostendunt, quatenus differentia inter <math display="inline">X</math> et <math display="inline">X''</math> negligi possit. Haec posterior formula simplicissima erit inter omnes similes, per quas <math display="inline">\mu</math> valoribus propositis satisfit; hae vero omnes in formula <math display="inline">X'' + Y \sin x (\cos \mu x - \cos \mu a)</math> contentae erunt, designante <math display="inline">Y</math>, ut in art. 32 functionem indefinitam arcus <math display="inline">x</math> a sinubus liberam. Et generaliter, si <math display="inline">X''</math> est functio quaecunque eiusdem formae ut <math display="inline">X</math>, i.e. solos sinus continens, per quam <math display="inline">\mu</math> valoribus datis satisfit, formula <math display="inline">X'' + Y \sin x (\cos \mu x - \cos \mu a)</math> omnes huiusmodi functiones continebit, quae si <math display="inline">Y</math> rite determinatur, ad ordinem <math display="inline">\mu^{\text{tum}}</math> deprimi potest, quo pacto necessario functio <math display="inline">X''</math> ipsa prodire debet. Prorsus simili modo ut in art. 32 regula generalis sequens ad hunc finem eruitur: Pro quovis termino in <math display="inline">X''</math> tali <math display="inline">L \sin \lambda x</math>, ubi <math display="inline">\lambda</math> est maior quam <math display="inline">\mu</math>, substituere oportet in <math display="inline">X''</math>, faciendo <math display="inline">\lambda = k \mu + \lambda'</math>, ita ut <math display="inline">k \mu</math> sit multiplum ipsius <math display="inline">\mu</math> proxime minus quam <math display="inline">\lambda</math> adeoque <math display="inline">\lambda'</math> inter limites 1 et <math display="inline">\mu</math> incl. situs, terminos <math display="block"> L \frac{\sin (k+1)\mu a}{\sin \mu a} \sin \lambda' x + L \frac{\sin k\mu a}{\sin \mu a} \sin (\mu - \lambda') x </math> qui, quoties fit <math display="inline">\lambda' = \mu</math>, ad unum <math display="inline">L \frac{\sin \lambda a}{\sin \mu a} \sin \mu x</math> reducuntur.{{nop}}<noinclude></noinclude> 4tfquy7ocppvntis1r5i7tvo9cx14ls 104 86119 281357 281095 2026-09-20T01:00:56Z Sjgallagher2 29663 281357 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>Sit primo <math display="inline">X</math> functio formae <math display="block"> \gamma + \gamma' \cos x + \gamma'' \cos 2x + \text{etc.} + \gamma^n \cos nx </math> adeoque multitudo coëfficientium incognitorum <math display="inline">= 1 + n</math>. Iam scimus, ex omnibus valoribus propositis functionis <math display="inline">X</math> eos reiicii debere, qui respondent valori ipsius maior quam 180°: quatuor itaque casus hic sunt distinguendi: # quando <math display="inline">\mu</math> par, atque <math display="inline">a = 0</math>, erit 180° valor <math display="inline">\frac{1}{2} \mu + 1^{\text{tus}}</math> ipsius <math display="inline">x</math>; quare quum sequentes reiicii debeant, remanent valores <math display="inline">\frac{1}{2} \mu + 1</math>. Hinc esse debet <math display="inline">n = \frac{1}{2} \mu</math>. # quando <math display="inline">\mu</math> par, atque <math display="inline">a = \frac{180^\circ}{\mu}</math>, valor <math display="inline">\frac{1}{2} \mu^{\text{tus}}</math> ipsius <math display="inline">x</math> erit <math display="inline">180^\circ - \frac{180^\circ}{\mu}</math>; sequentes, qui fiunt maiores quam 180°, reiiciendi sunt. Hinc esse debet <math display="inline">n = \frac{1}{2} \mu - 1</math>. # quando <math display="inline">\mu</math> impar est, atque <math display="inline">a = 0</math>, fit valor <math display="inline">\frac{1}{2} \mu + \frac{1}{2}^{\text{tus}} = 180^\circ - \frac{180^\circ}{\mu}</math>, et # quando <math display="inline">\mu</math> impar est, atque <math display="inline">a = \frac{180^\circ}{\mu}</math>, fit valor <math display="inline">\frac{1}{2} \mu + \frac{1}{2}^{\text{tus}} = 180^\circ</math>: sequentes in utroque casu reiicii debent, adeoque erit <math display="inline">n = \frac{1}{2} \mu - \frac{1}{2}</math>. Iam quoniam methodus in praecc. adhibita ad casum praesentem, ubi pars valorum datorum a periodo completa antea rescindenda esset, non sine quibusdam ambagibus applicari posset, methodum sequentem praeferimus. Si per praecerta artt. 20, 22 functio formae <math display="block"> \begin{align} \gamma + \gamma' \cos x + \gamma'' \cos 2x + \text{etc.} + \gamma^m \cos mx \\ + \delta' \sin x + \delta'' \sin 2x + \text{etc.} + \delta^m \sin mx \end{align} </math> investigatur, per quam omnibus <math display="inline">\mu</math> valoribus datis satisfit. et in qua <math display="inline">m = \frac{1}{2} \mu - \frac{1}{2}</math> vel <math display="inline">= \frac{1}{2} \mu</math>, prout <math display="inline">\mu</math> impar est vel par, coëfficientes <math display="inline">\delta', \delta'', \delta'''</math> etc. sponte fient <math display="inline">= 0</math>. Nullo enim negotio patet, in expressione tali <math display="block"> A \sin \lambda a + B \sin \lambda b + C \sin \lambda c + D \sin \lambda d + \text{etc.} </math> fieri vel partem primam <math display="inline">= 0</math>, atque ultimam <math display="inline">= -B \sin \lambda b</math>, penultimam <math display="inline">= -C \sin \lambda c</math>, antepenultimam <math display="inline">= -D \sin \lambda d</math> etc. puta quando <math display="inline">a = 0</math>; vel ultimam <math display="inline">= -A \sin \lambda a</math>, penultimam <math display="inline">= -B \sin \lambda b</math>, antepenultimam <math display="inline">= -C \sin \lambda c</math> etc., quando <math display="inline">a = \frac{180^\circ}{\mu}</math>, quum pro talibus valoribus ipsius <math display="inline">x</math>, quorum alter alterius complementum ad 360° est, valores functionis <math display="inline">X</math> aequales sint. Quamobrem functio <math display="block"> X' = \gamma + \gamma' \cos x + \gamma'' \cos 2x + \text{etc.} + \gamma^m \cos mx </math><noinclude></noinclude> 6a8sh281lhyscywrgr496ylj9qlzpw0 104 86120 281358 281096 2026-09-20T01:01:09Z Sjgallagher2 29663 281358 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>in qua coëfficientes <math display="inline">\gamma, \gamma', \gamma''</math> etc. determinantur per formulas <math display="block"> \begin{align} \gamma & = \frac{1}{\mu}(A + B + C + D + \text{etc.})\\ \gamma' & = \frac{2}{\mu}(A \cos a + B \cos b + C \cos c + D \cos d + \text{etc.})\\ \gamma'' & = \frac{2}{\mu}(A \cos 2a + B \cos 2b + C \cos 2c + D \cos 2d + \text{etc.})\\ \end{align} </math> etc., ultimus autem, quando <math display="inline">\mu</math> par est atque adeo <math display="inline">m = \frac{1}{2}\mu</math>, per hanc <math display="block"> \gamma^m = \frac{1}{\mu}(A \cos ma + B \cos mb + C \cos mc + D \cos md + \text{etc.}) </math> necessario cum functione <math display="inline">X</math> identica erit, siquidem haec non est gradus altioris quam supra definivimus. Namque in casibus 3 et 4 <math display="inline">X</math> est ordinis <math display="inline">\frac{1}{2}\mu - \frac{1}{2}^{ti}</math>, i.e. eiusdem ut <math display="inline">X'</math> et proin per art. 24 cum <math display="inline">X'</math> identica. In casu primo <math display="inline">X</math> est eiusdem ordinis ut <math display="inline">X'</math> et in casu secundo non maioris, quare tum hic tum illic omnes termini saltem usque ad ordinem <math display="inline">\frac{1}{2}\mu - 1^{tum}</math> in utraque functione convenient (art. 24). Terminos ordinis <math display="inline">\frac{1}{2}\mu^{ti}</math> in his functionibus quoque convenire debere, inde per eundem art.24 patet, quod in <math display="inline">X</math> aequatio conditionalis <math display="inline">K \sin ma = L \cos ma</math> locum habet; scilicet fit <math display="inline">L = 0</math>, atque in casu primo <math display="inline">\sin ma = 0</math>, in secundo, ubi <math display="inline">X</math> ad ordinem <math display="inline">\frac{1}{2}\mu - 1</math> tantummodo ascendit, <math display="inline">K = 0</math>. Ceterum in casu secundo <math display="inline">X'</math> ordinis altioris esse videtur quam <math display="inline">X</math>, sed in hoc casu terminus ordinis <math display="inline">\frac{1}{2}\mu^{ti}</math> in <math display="inline">X'</math> quoque evanescit, quum fiat <math display="block"> \gamma^{\frac{1}{2}\mu} = \frac{1}{\mu}(A \cos 90^\circ + B \cos 270^\circ + C \cos 450^\circ + D \cos 630^\circ + \text{etc.}) = 0 </math> ita ut in hoc quoque casu <math display="inline">X'</math> revera sit ordinis <math display="inline">m - 1^{ti}</math> sive <math display="inline">\frac{1}{2}\mu - 1^{ti}</math>. <br /> {{center|38.}} Si functio <math display="inline">X</math> cum termino <math display="inline">\cos nx</math> non abrumpitur, sed ulterius excurrit: denotatis terminis sequentibus per <math display="inline">\alpha^{n+1} \cos(n+1)x + \alpha^{n+2} \cos(n+2)x + \text{etc.}</math> erit per artt. 21, 23 <math display="block"> \begin{align} \gamma &= \alpha \pm \alpha^{\mu} \pm \alpha^{2\mu} \pm \text{etc.}\\ \gamma' &= \alpha' \pm \alpha^{\mu-1} \pm \alpha^{\mu+1} \pm \alpha^{2\mu-1} \pm \alpha^{2\mu+1} \pm \text{etc.}\\ \gamma'' &= \alpha'' \pm \alpha^{\mu-2} \pm \alpha^{\mu+2} \pm \alpha^{2\mu-2} \pm \alpha^{2\mu+2} \pm \text{etc.}\\ \gamma''' &= \alpha''' \pm \alpha^{\mu-3} \pm \alpha^{\mu+3} \pm \alpha^{2\mu-3} \pm \alpha^{2\mu+3} \pm \text{etc.} \end{align} </math> et sic porro usque ad ultimum <math display="inline">\gamma^m</math>, quando <math display="inline">\mu</math> impar est, vel ad penultimum <math display="inline">\gamma^{m-1}</math>, quando <math display="inline">\mu</math> par est; signum inferius hic valet, quoties <math display="inline">a = \frac{180^\circ}{\mu}</math>, adeoque<noinclude></noinclude> gl1h268b6ofh84pifb1myp5e84xwg3s 104 86121 281359 281097 2026-09-20T01:01:28Z Sjgallagher2 29663 281359 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>in casu 2 et 4, superius in casu 1 et 2; denique pro ultimo habebitur in casu primo <math display="block"> \gamma^m = \alpha^m + \alpha^{3m} + \alpha^{5m} + \text{etc.} </math> in casu secundo autem <math display="inline">\gamma^m = 0</math>. Hae aequationes ostendunt, quatenus differentiam inter functiones <math display="inline">X</math> et <math display="inline">X'</math> negligere permissum esse possit. Haec posterior functio inter omnes, quae <math display="inline">\mu</math> valoribus propositis satisfaciunt, simplicissima erit, quae omnes sub forma <math display="inline">X' + Y \sin (\frac{1}{2} \mu x - \frac{1}{2} \mu a)</math> contenti erunt, quae in casu 1 et 3 ad <math display="inline">X' + Y \sin \frac{1}{2} \mu x</math>, in casibus 2 et 4 vero ad <math display="inline">X' + Y \cos \frac{1}{2} \mu x</math> reducitur. Manifesto autem, si haec expressio eiusdem formae esse debet ut <math display="inline">X</math> i.e. a sinibus libera, <math display="inline">Y</math> esse debet <math display="block"> \begin{align} &\text{in casu primo formae } &g \sin x + g' \sin 2x + g'' \sin 3x + \text{etc.} \\ &\text{in casu secondo formae } &g + g' \cos x + g'' \cos 2x + \text{etc.} \\ &\text{in casu tertio formae } &g \sin \tfrac{1}{2} x + g' \sin \tfrac{3}{2} x + g'' \sin \tfrac{5}{2} x + \text{etc.}\\ &\text{in casu quarto formae } &g \cos \tfrac{1}{2} x + g' \cos \tfrac{3}{2} x + g'' \cos \tfrac{5}{2} x + \text{etc.}\\ \end{align} </math> Et generalius, designante <math display="inline">X''</math> functionem quamcunque ipsi <math display="inline">X</math> similem, quae <math display="inline">\mu</math> valoribus propositis satisfacit, omnes huiusmodi formae sub formula <math display="inline">X'' + Y \sin \frac{1}{2} \mu x</math> vel <math display="inline">X'' + Y \cos \frac{1}{2} \mu x</math> contentae erunt, ubi <math display="inline">Y</math> functionem indefinitam eius, quam modo docuimus formae designat. Hoc ita perficere licet, ut sic functio ad ordinem <math display="inline">\frac{1}{2} \mu, \frac{1}{2} \mu - 1, \frac{1}{2} \mu - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \mu - \frac{1}{2}</math> depressa prodeat, quae manifesto cum <math display="inline">X'</math> identica erit. Regula autem generalis pro reductione talis functionis <math display="inline">X''</math> ad <math display="inline">X'</math> ex art. 24 facile deducitur. Pro quovis termino <math display="inline">L \cos \lambda x</math> in <math display="inline">X''</math> substitui debet in <math display="inline">X'</math>, facto <math display="inline">\lambda = k \mu \pm \lambda'</math>, ita ut <math display="inline">\lambda'</math> non sit maior quam <math display="inline">\frac{1}{2} \mu</math>, terminus <math display="inline">\pm L \cos \lambda' x</math>, ubi signum inferius accipendum est, quoties simul <math display="inline">a = \frac{180^\circ}{\mu}</math> atque <math display="inline">k</math> par, superius in casibus reliquis; denique quoties in casu secundo, i.e. pro <math display="inline">a = \frac{180^\circ}{\mu}</math> et valore pari ipsius <math display="inline">\mu</math>, evadit <math display="inline">\lambda' = \frac{1}{2} \mu</math>, pro <math display="inline">L \cos \lambda x</math> statim poni debet 0 in <math display="inline">X'</math>, sive terminus ille omnino neglegi. <br /> {{center|39.}} Si secundo functio <math display="inline">X</math> est formae <math display="block"> \beta' \sin x + \beta'' \sin 2x + \beta''' \sin 3x + \text{etc.} + \beta^n \sin nx </math> adeoque multitudo coëfficientium incognitorum <math display="inline">= n</math>, etiam multitudo valorum<noinclude></noinclude> ggxkprzv1vzngdhss4mkg6evp848hf1 104 86122 281360 281098 2026-09-20T01:01:47Z Sjgallagher2 29663 281360 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>datorum, subductis superfluis, esse debet <math display="inline">= n</math>, ut ad coëfficientium determinationem completam sufficiant. Iam quum ut superflui in hoc casu reiiciendi sint valores functionis <math display="inline">X</math> ii, qui respondent valori ipsius <math display="inline">x</math> maiori quam <math display="inline">180^0</math> nec non valori <math display="inline">0</math> et <math display="inline">180^0</math>, habebimus pro quatuor casibus supra distinctis: <math display="block"> \begin{align} 1. & \text{ quando } \mu\text{ par, }\qquad &&a=0, && \text{ erit } n=\tfrac{1}{2}\mu-1 \\ 2. & \text{ quando } \mu\text{ par, }\qquad &&a=\tfrac{180^{\circ}}{\mu}, & & \text{ erit } n=\tfrac{1}{2}\mu \\ 3. & \text{ quando } \mu\text{ impar, }\qquad &&a=0, && \text{ erit } n=\tfrac{1}{2}\mu- \tfrac{1}{2} \\ 4. & \text{ quando } \mu\text{ impar, }\qquad &&a=\tfrac{180^{\circ}}{\mu}, && \text{ erit } n=\tfrac{1}{2}\mu-\tfrac{1}{2} \end{align} </math> Iam prorsus simili modo ut in art. 37, in functione <math display="block"> \begin{align} \gamma + \gamma' \cos x + \gamma'' \cos 2x + \text{etc.} + \gamma^m \cos mx \\ + \delta' \sin x + \delta'' \sin 2x + \text{etc.} + \delta^m \sin mx \end{align} </math> ad normam artt. 20, 22 eruta, quae omnibus <math display="inline">\mu</math> valoribus satisfacit, et in qua <math display="inline">m</math> vel <math display="inline">= \frac{1}{2}\mu - \frac{1}{2}</math>, vel <math display="inline">= \frac{1}{2}\mu</math>, coëfficientes <math display="inline">\gamma, \gamma', \gamma''</math> etc. sponte evanescent. Quum enim in serie <math display="inline">A, B, C, D</math> etc. vel termini ultimi ordine retrogrado in casu praesenti vel fiant <math display="inline">= -B, -C, -D</math> etc. vel <math display="inline">= -A, -B, -C</math> etc., prout <math display="inline">a = 0</math>, vel <math display="inline">= \frac{180^\circ}{\mu}</math>, insuperque pro illo casu <math display="inline">A = 0</math>, manifesto <math display="block"> A \cos \lambda a + B \cos \lambda b + C \cos \lambda c + D \cos \lambda d + \text{etc.} </math> pro quovis valore ipsius <math display="inline">x</math> erit <math display="inline">= 0</math>. Quamobrem functio <math display="inline">X' =</math> <math display="block"> \delta' \sin x + \delta'' \sin 2x + \delta''' \sin 3x + \text{etc.} + \delta^m \sin mx </math> in qua coëfficientes <math display="inline">\delta', \delta'', \delta'''</math> etc. determinantur per aequationes <math display="block"> \begin{align} \delta' &= \tfrac{2}{\mu} (A \sin a + B \sin b + C \sin c + D \sin d + \text{etc.}) \\ \delta'' &= \tfrac{2}{\mu} (A \sin 2a + B \sin 2b + C \sin 2c + D \sin 2d + \text{etc.}) \\ \delta''' &= \tfrac{2}{\mu} (A \sin 3a + B \sin 3b + C \sin 3c + D \sin 3d + \text{etc.}) \end{align} </math> etc., ultimus autem, quando <math display="inline">\mu</math> par est, adeoque <math display="inline">m = \frac{1}{2}\mu</math>, per hanc <math display="block"> \delta^m = \frac{1}{\mu} (A \sin ma + B \sin mb + C \sin mc + D \sin md + \text{etc.}) </math> necessario cum <math display="inline">X</math> identica erit, quod eodem modo, ut in art. 37, facile demonstratur. Ceterum functio <math display="inline">X'</math> in casu primo, ubi <math display="inline">a = 0</math>, <math display="inline">\mu</math> par, revera ad or-<noinclude></noinclude> 75f0jj38rzwf5fd09ihrsylvdh8benb 104 86123 281361 281208 2026-09-20T01:02:08Z Sjgallagher2 29663 281361 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>dinem <math display="inline">\frac{1}{2} \mu - 1</math> tantum ascendit, quum fiat <math display="block"> \begin{align} \delta^m &= \frac{1}{\mu} (A \sin 0 + B \sin 180^\circ + C \sin 360^\circ + D \sin 540^\circ + \text{etc.}) \\ &= 0 \end{align} </math> <br /> {{center|40.}} Si functio <math display="inline">X</math> non est ordinis <math display="inline">n^{\text{ti}}</math>, ut supposuimus, sed ulterius excurrit, aequationes sequentes docebunt, quomodo differentia inter <math display="inline">X'</math> et <math display="inline">X</math> a coëfficientibus sequentibus pendeat (v. artt. 21, 23) <math display="block"> \begin{align} \delta' &= \beta' \mp \beta^{\mu-1} \pm \beta^{\mu+1} - \beta^{2\mu-1} + \beta^{2\mu+1} \mp \text{etc.} \\ \delta'' &= \beta'' \mp \beta^{\mu-2} \pm \beta^{\mu+2} - \beta^{2\mu-2} + \beta^{2\mu+2} \mp \text{etc.} \\ \delta''' &= \beta''' \mp \beta^{\mu-3} \pm \beta^{\mu+3} - \beta^{2\mu-3} + \beta^{2\mu+3} \mp \text{etc.} \end{align} </math> et sic porro usque ad ultimum <math display="inline">\delta^m</math> vel penultimum <math display="inline">\delta^{m-1}</math>, prout <math display="inline">\mu</math> impar est vel par; signa superiore hic valent, quando <math display="inline">a = 0</math>, inferiora, quando <math display="inline">a = \frac{180^\circ}{\mu}</math>: denique pro ultimo habetur in casu (1) <math display="inline">\delta^m = 0</math>, in casu (2) vero <math display="inline">\delta^m = \beta^m - \beta^{3m} + \beta^{5m} - \beta^{7m} + \text{etc}</math>. Omnes functiones periodicae, per quas <math display="inline">\mu</math> valoribus propositis satisfit, et ex quibus <math display="inline">X'</math> est simplicissima, sub forma <math display="inline">X' + Y \sin (\frac{1}{2} \mu x - \frac{1}{2} \mu a)</math> sive generalius sub forma <math display="inline">X'' + Y \sin (\frac{1}{2} \mu x - \frac{1}{2} \mu a)</math> contentae erunt, designante <math display="inline">X''</math> functionem talem quamcunque, quae formula pro casu 1 et 3 ad <math display="inline">X'' + Y \sin \frac{1}{2} \mu x</math>, pro casu 2 et 4 autem ad <math display="inline">X'' + Y \cos \frac{1}{2} \mu x</math> reducitur; <math display="inline">Y</math> vero, siquidem alias functiones non consideramus, nisi quae ipsi <math display="inline">X</math> sunt similes, i.e. e solis sinibus compositae, necessario debet esse: <math display="block"> \begin{align} &\text{in casu 1 formae } &g + g' \cos x + g'' \cos 2x + \text{etc.} \\ &\text{in casu 2 formae } &g \sin x + g' \sin 2x + g'' \sin 3x + \text{etc.} \\ &\text{in casu 3 formae } &g \cos \tfrac{1}{2} x + g' \cos \tfrac{3}{2} x + g'' \cos \tfrac{5}{2} x + \text{etc.}\\ &\text{in casu 4 formae } &g \sin \tfrac{1}{2} x + g' \sin \tfrac{3}{2} x + g'' \sin \tfrac{5}{2} x + \text{etc.}\\ \end{align} </math> Functionem <math display="inline">Y</math> hic ita determinare licebit, ut prodeat functio ad ordinem <math display="inline">\frac{1}{2} \mu - 1, \frac{1}{2} \mu, \frac{1}{2} \mu - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \mu - \frac{3}{2}</math> depressa, quae cum <math display="inline">X'</math> necessario identica erit. Pro reductione functionis <math display="inline">X''</math> ad <math display="inline">X'</math> regula generalis sequens habetur: Quivis terminus in <math display="inline">X''</math> talis <math display="inline">L \sin \lambda x = L \sin (k \mu \pm \lambda') x</math>, transmutetur aut in <math display="inline">\pm L \sin \lambda' x</math> (quoties <math display="inline">a = 0</math>, vel <math display="inline">k</math> par), aut in <math display="inline">\mp L \sin \lambda' x</math> (quoties nec <math display="inline">a = 0</math>, nec <math display="inline">k</math> par, i.e. quoties simul <math display="inline">a = \frac{180^\circ}{\mu}</math> atque <math display="inline">k</math> impar): denique quoties in casu<noinclude></noinclude> gszwlbjedvg5q2it77lj0fjwhb3wivh 104 86125 281362 281101 2026-09-20T01:02:36Z Sjgallagher2 29663 281362 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>ubi pro coëfficientibus <math display="inline">\gamma, \gamma', \delta'</math> etc. valores sequentes invenimus: <table> <tr> <th> Periodus </th> <th> <math display="inline">y = 6x</math> </th> <th> <math display="inline">\gamma</math> </th> <th> <math display="inline">\gamma'</math> </th> <th> <math display="inline">\gamma''</math> </th> <th> <math display="inline">\gamma'''</math> </th> <th> <math display="inline">\delta'</math> </th> <th> <math display="inline">\delta''</math> </th> <th> <math display="inline">\delta'''</math> </th> </tr> <tr> <td> prima </td> <td> 0° </td> <td> 0 </td> <td> 0 </td> <td> 0 </td> <td> 0 </td> <td> -103830,145 </td> <td> +15406,638 </td> <td> 0 </td> </tr> <tr> <td> secunda </td> <td> 60 </td> <td> +56°205 </td> <td> -217°757 </td> <td> +761°671 </td> <td> -1528,925 </td> <td> -103937,346 </td> <td> +15841,387 </td> <td> -892,667 </td> </tr> <tr> <td> tertia </td> <td> 120 </td> <td> +56°115 </td> <td> -217°467 </td> <td> +760,805 </td> <td> -1527,397 </td> <td> -104151,314 </td> <td> +16709,402 </td> <td> -2645,530 </td> </tr> <tr> <td> quarta </td> <td> 180 </td> <td> 0 </td> <td> 0 </td> <td> 0 </td> <td> 0 </td> <td> -104258,100 </td> <td> +17142,684 </td> <td> -3525,740 </td> </tr> <tr> <td> quinta </td> <td> 240 </td> <td> -56°115 </td> <td> -217°467 </td> <td> -760,805 </td> <td> +1527,397 </td> <td> -104151,314 </td> <td> +16709,402 </td> <td> -2645,530 </td> </tr> <tr> <td> sexta </td> <td> 300 </td> <td> -56°205 </td> <td> -217°757 </td> <td> -781,671 </td> <td> +1528,925 </td> <td> -103937,346 </td> <td> +15841,387 </td> <td> -882,667 </td> </tr> </table> Singuli coëfficientes <math display="inline">\gamma, \gamma', \gamma'', \gamma''', \delta', \delta'', \delta'''</math> rursus sub formam talem <math display="block"> \begin{align} \varepsilon + \varepsilon' \cos 6x + \varepsilon'' \cos 12x + \varepsilon''' \cos 18x \\ + \zeta' \sin 6x + \zeta'' \sin 12x + \zeta''' \sin 18x \end{align} </math> reducentur: nullo vero negotio perspicitur, pro quattuor prioribus evanescere debere <math display="inline">\varepsilon, \varepsilon', \varepsilon'', \varepsilon'''</math>; et pro tribus posterioribus, <math display="inline">\zeta', \zeta'', \zeta'''</math>. Hoc modo invenitur <math display="block"> \begin{align} \gamma &= +\quad 64'',848 \sin 6x + 0'',052 \sin 12x \\ \gamma' &= -\ \ 251'',277 \sin 6x - 0'',167 \sin 12x \\ \gamma'' &= +\ \ 879'',002 \sin 6x + 0'',500 \sin 12x \\ \gamma''' &= -1764'',511 \sin 6x - 0'',824 \sin 12x \\ \delta' &= -104044'',264 +\ 213'',968 \cos 6x + 0'',132 \cos 12x + 0'',000 \cos 18x \\ \delta'' &= +\ \ 16275'',150 -\ 868'',020 \cos 6x - 0'',489 \cos 12x - 0'',003 \cos 18x \\ \delta''' &= -\quad1763'',689 +1762'',868 \cos 6x + 0'',819 \cos 12x + 0'',002 \cos 18x \end{align} </math> His valoribus pro <math display="inline">\gamma, \gamma'</math> etc. substitutis, praeceptisque art. praec. observatis, prodit functio sequens pro aequatione centri, in qua singuli coëfficientes intra centesimam minuti secundi partem exacti sunt. <math display="block"> \begin{array}{l|l} -104044''264 \sin x & -1''643 \sin 9x \\ +\ 16275,150 \sin 2x & +0,494 \sin 10x \\ -\ \ \ 3527,378 \sin 3x & -0,149 \sin 11x \\ +\quad873,511 \sin 4x & +0,052 \sin 12x \\ -\quad232,622 \sin 5x & -0,017 \sin 13x \\ +\ \quad64,848 \sin 6x & +0,006 \sin 14x \\ -\ \quad18,655 \sin 7x & -0,004 \sin 15x \\ +\quad\ \ \ 5,491 \sin 8x & +0,003 \sin 16x \end{array} </math><noinclude></noinclude> 4kahuuv4wmaebi7t5el18dgfpazibv3 104 86195 281371 281266 2026-09-20T01:57:06Z Sjgallagher2 29663 /* Emendata */ 281371 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="Sjgallagher2" /></noinclude>ELIAS VINETVS De Ioan. de Sacro Bosco. AD IOANNEM TACITUM. IOANNI ''de Sacro Bosco patria fuit, quæ nunc Anglia insula, olim Albion &amp; Britannia appellata. Lutetiæ literas &amp; philosophiam didicit, doctorq́; Parisiensis fuit. Scripsit de Sphæra mundi, de astrolabo, de algorithmo (supputandi artem ita vocarunt barbari) &amp; de computo ecclesiastico, ad annum Christi MCCLVI, vt ex eo carmine liquet, quo is libellus de computo concluditur. Lutetiæ sepultus est, in sodalium Maturinalium claustris: cuius medio tumulo insculpta sphæra, ac circum illam hoc epitaphium,'' <poem> ''De Sacro Bosco qui compotista Ioannes'' ''Tempora qui sequeris, memor esto quod morieris'' ''Si miser es, plora. Miserans pro me precor ora.'' </poem> ''Ex quo quidem vel solo carmine, quale id fuerit sæ-''<noinclude></noinclude> 9p6sl4qu4cl60h7q4ibbhxlm4nbxuzi 281372 281371 2026-09-20T02:04:30Z Sjgallagher2 29663 281372 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="Sjgallagher2" /></noinclude>{{center| {{x-larger|ELIAS VINETVS}} {{larger|De Ioan. de Sacro Bosco.}} {{larger|AD IOANNEM TACITUM.}} φιλίτρον }} {{dropinitial|I}}OANNI ''de Sacro Bosco patria fuit, quæ nunc Anglia insula, olim Albion &amp; Britannia appellata. Lutetiæ literas &amp; philosophiam didicit, doctorq́; Parisiensis fuit. Scripsit de Sphæra mundi, de astrolabo, de algorithmo (supputandi artem ita vocarunt barbari) &amp; de computo ecclesiastico, ad annum Christi MCCLVI, vt ex eo carmine liquet, quo is libellus de computo concluditur. Lutetiæ sepultus est, in sodalium Maturinalium claustris: cuius medio tumulo insculpta sphæra, ac circum illam hoc epitaphium,'' <poem> ''De Sacro Bosco qui compotista Ioannes'' ''Tempora qui sequeris, memor esto quod morieris'' ''Si miser es, plora. Miserans pro me precor ora.'' </poem> ''Ex quo quidem vel solo carmine, quale id fuerit sæ-''<noinclude></noinclude> 6douin4s7qng0g16tthm008sbbelljc 104 86196 281373 281267 2026-09-20T02:12:42Z Sjgallagher2 29663 /* Emendata */ 281373 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="Sjgallagher2" /></noinclude>''culum, conijcere, satis, ni fallor iis liceret, qui quod in Ioannis de Sacro Bosco sermone non placet, nihil verentur statim detrahere, commutare ve, hoc non considerantes, ei tempestati Latinum visum, probatumq́ue fuisse, quicquid formam aliquă Latine linguæ haberet, &amp; aliquo modo posset ab illis intelligi, qui literas Latinas tractarent. Hinc maiorari, &amp; minorari, &amp; alia huiusmodi innumera nata, quæ ipsis adeò lepida visa sunt, qui effinxerunt, vt iis sæpientius quàm Latinis ipsis, quæ etiam in promptu erant vterentur. Nihil itaque in eius sæculi scriptis tam temere audendum: quæ si cui ex elegantioribus ita nimium barbara videntur, scribat ille quidpiam purius, quod pro illis legamus, postquam veteres illi Latini nihil quicquam tale, quod quidem ad nos peruenerit, ediderint. Mea certè sic semper fuit ratio, mi Tacite, vt veterum omnium, etiam barbarorum, scripta, in quibus sit quod discamus, sancta &amp; integra pro viribus conservanda curemus. Quare ne mireris, si tam diligens fuerim in hoc restituendo libello, explicandisque obiter locis compluribus, quæ aut rudiori imponere lectori, aut eum remorari posse videbantur: sed tantum laborem hunc nostrum probes; &amp; si dignus tibi visus fuerit, qui in lucem exeat, eum in tuo nomine apparere sinas. Vale, Burdinalæ tuæ Calen. Mart. M D L.''<noinclude></noinclude> h3nazu2hhoeg9x3od5qyyqu037d4gr8 104 86197 281374 281268 2026-09-20T02:19:00Z Sjgallagher2 29663 /* Emendata */ 281374 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="Sjgallagher2" /></noinclude>{{center| {{larger|IOAN. DE SACRO BOSCO}} IN SVAM SPHAERAM. <br /> <br /> {{larger|PROEMIVM}} }} {{dropinitial|T}}''Ractatum de Sphera quatuor capitulis distinguimus, dicturi primo compositionem Sphæræ, quid sit Sphæra, quid sit eius centrum, quid axis Sphæræ, quid sit polus mundi, quot sint Sphæræ, quæ sit forma mundi: In secundo, de circulis, ex quibus Sphæra materialis componitur, &amp; illa supercœlestis (quæ per istam imaginatur) componi intelligitur. In tertio, de ortu &amp; occasu signorum, &amp; de diversitate dierum &amp; noctium &amp; de diuisione climatum. In quarto, de circulis, &amp; motibus planetarum &amp; de causis eclipsium.''{{nop}}<noinclude></noinclude> 888dxdhssez0z24nf9q89y4ye5f66qr 104 86198 281375 281269 2026-09-20T02:30:54Z Sjgallagher2 29663 /* Emendata */ 281375 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="Sjgallagher2" /></noinclude>{{center|''Sphæræ Joannis'' {{x-larger|Capitulum Primum}} }} {{dropinitial|S}}Phæra igitur ab Euclide sic describitur: Sphæra est transitus circúferentiæ dimidij circuli quę (fixa diametro) eousque circunducitur, quousq́; ad locum suum redeat, id est: Sphæra est tale rotúdum &amp; solidú, quod describitur ab arcu semicirculi circunducto. Sphæra etiam a Theodosio sic describitur: Sphæra est solidú quoddam una superficie contentum, in cuius medio púctus est, a quo omnes lineæ ductę ad circumferentiá sunt æquales: &amp; ille punctus dicitur centrum sphęræ. Linea vero recta, trásiens per centrum sphæræ, applicans extremitates suas ad circunferentiam ex vtraque parte, circa quam sphæra voluitur, dicitur axis sphæræ. Duo verò puncta axem terminantia dicuntur poli sphæræ. {{center|{{larger|''SCHOLION VINETI.''}}}} ''Euclidis definitio sphæra est hæc in elemento undecimo. Sphæra est quando semicirculi manente diametro, circunductus semicirculus in idem rursus redit, vnde cœpit circunscribi figura illa. Huius definitionis sententia ex subjectis picturis patere potest. Quam autem ponit auctor, corruperunt Græcorum Euclidis interpretes. Si enim linea in latum fluens describit tantum superficiem, circumferentia semicirculi circumducta, describet superficiem globi solum, non globum solidú.''<noinclude></noinclude> bg573qve6r2d2e750sfucxkncgxxa76 104 86199 281376 281270 2026-09-20T02:31:41Z Sjgallagher2 29663 281376 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>DIVISIO SPHÆRAE MUNDI. Sphæra autem mundi dupliciter diuiditur, secundum substantiam, &amp; secundum accidens. Secundum substantiam in sphæras nouem. In sphæras nouem.) Recentiores Astologi decimam sphæram addiderunt, propter tertium in octaua sphæra animaduersum motum, quem dixerunt motum trepidationis, &amp; motum accessus &amp; recessus; de quo Purbachius in Theoricis. Scilicet sphæra noua, quæ primus motus siue primum mobile drit: &amp; in sphæram stellarum fixarum, quæ firmamentum nuncupatur: &amp; in septem sphæras septe planetarũ, quarũ qdam sunt maiores, quæ dã minores secúdũ plus accedunt vel recedunt à firmamento. Unde iter illas sphæras, sphæra Saturni<noinclude></noinclude> nqi2qgm21vl9cde3tkf7bc16urn2gfd 104 86200 281377 281271 2026-09-20T02:32:17Z Sjgallagher2 29663 281377 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>maxima, sphæra vero Lunæ minima, prout in sequenti figura continentur. ''Figura ostendens numerum ac ordinem sphærarum cælestium, indicansque divisionem mundi secundum ubi antiam.'' Secundum accidens autem dividitur in sphæram rectam &amp; sphæram obliquam. Illi autem dicuntur habere sphæram rectam, qui manent sub equinoctiali, De sacro Bosco. (ap. 1.)<noinclude></noinclude> 0qlj37impigbos3pjbelipp46n8x47p 104 86201 281378 281272 2026-09-20T02:34:01Z Sjgallagher2 29663 281378 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>li, si aliquis ibi manere possit. Et dicitur eis recta, quia neuter polorum magis altero illis eleuatur: vel quoniam eorum horizon intersecat æquinoctiale, &amp; intersecatur ab eodem ad angulos rectos sphæra les. illi verò dicuntur hæc sphæram obliquam, quicunque habitant citra æquinoctialem, vel ultra. Illis.n. supra horizontem alter polorum semp eleutur, alter verò semp deprimitur: vel quonia illorum horizon artificialis intersecat æquinoctialem, &amp; intersecatur ab eodé ad angulos impares &amp; obliquos. SCHOLION VINETI. Horizon artificialis, quis hic dicatur, dum quærant &amp; contendant interpretes, tu eum interim accipito, qui capitè secundo obliquis &amp; decliviis appellabitur. DE PARTIBVS MUNDI, Et quæ sunt partes eiusdem. VNiversalis autem mundi machina in duo di uiditur, in ætheream. s. &amp; elementarem regionem. Elementaris quidè alterationi continuæ peruia existens, in quatuor diuiditur. Est em terra tanquam mundi centrum in medio omnium<noinclude></noinclude> ahuvfvmiwly1furz0o7vvf0s88ln51u 104 86202 281379 281273 2026-09-20T02:34:21Z Sjgallagher2 29663 281379 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>sita, circa quam aqua, circa aquam æret, circa ærem ignis, illic purus &amp; non turbidus orbem Lunæ attinges, vt ait Aristoteles in libro Meteororú. Sic enim ea dispositit Deus gloriosus &amp; sublimis. Et hæc qua tuor elementa dicuntur, quæ vicissim à femetipsis alterantur, corrumputur, &amp; generantur. Sunt autem elementa corpora simplicia, quæ in partes diversarú formarú minime diuidi possunt; ex quorum comixtione diversæ generatorum species fit. Quorum trium quodlibet terram orbiculariter vndiq́; circundat nisi quantum licitas terræ humori aquæ oblistit ad vitam animantium tuerdam. Omnia etiam præter terram mobilia existút, quæ vt centrum mundi, ponderositate sui, magnú extremorum motum vndique equaliter fugiens, ro tundæ sphæræ medium possidet. Circa clementarem quidem regionem ætheræ regio lucida ab omni variatione, sua immutabili essentia, immunis existens, motu continuo circulariter incedit, &amp; hæc à Philosophis quinta nuncupatur essentia: cuius nouem sunt Sphæræ, si- SCHOLION VINETI. Quinta nuncupatur essentia) Ab Aristotele ou’ox quidem, idest, essentia lib primo de Cælo, in libro vero de mundo (quem eiusdem esse Aristotelis quidam negant) soix eiov, id est, elementum, alius a quattuor illis, igne, ære aqua terra. cut in proximo pertractatum est, scilicet, Lunæ, Mercurij; Veneris, Solis, Martis, Iouis Saturni, stellarum fixarum, &amp; cæli ultimi. Istarum<noinclude></noinclude> 9cqh3tul6ftac5numhenp4ow2oiz3si 104 86203 281380 281274 2026-09-20T02:34:50Z Sjgallagher2 29663 281380 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>autem autem sphærarum qualibet superior inferioré sphæricè circundat: quarum quidem duo sunt motus. Vnus est coeli vltimi super duas axis extremitates, scilicet, polum arcticum &amp; antarcticum, ab oriëte per occidentem iterum rediens in orientem, quem æquinoctialis circulus per medium diuidit. Est etià alius inferiorum sphærarum motus obliquu huic oppositus super polos suos distantés à primis viginti tribus gradibus &amp; triginta tribus minutis. SCHOLION VINETI. A primis scilicet polis mundi, id est, arcticó &amp; antarcticó. Pro viginti tribus minutis hoc loco solum Fabri Stavulensis exemplar habet vnum et quinquaginta, fortasse, quod is numerus sit cap. secundo, ubi de coluris et circulis minoribus.” Quoniam aut hec ex Ptolemæo ferè sunt, qua obseruarunt diversa recentiores Astrologi, ea lege in Purbachy Theoricis. Sed primus omnes alias sphæras secum impetu suo rapit intra dié &amp; noctem circa terram semel, illis tamen contra nitentibus. vt octaua sphæra in centum annis gradu uno. Húc siquidem motum secundú diuidit per mediu Zodiacus, sub quo quilibet septem plane tarum sphæram habet, propriam, in qua desertur motu proprio contra<noinclude></noinclude> 60kkjbdacdk2hdwq16i0jp80rq21tml 104 86204 281381 281275 2026-09-20T02:35:15Z Sjgallagher2 29663 281381 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>coeli intimi motum, &amp; in diversis spatijis temporis ipsum metitur: vt Saturnus in triginta annis: Iuppiter in duodecim: Mars in duobus: Sol in trecentis sexaginta quinque diebus &amp; sex horis ferè: Venus &amp; Mercurius similiter ferè cum Sole. Luna vero in viginti septem &amp; octo horis. COELUM MOVERI CIRCULARITER &amp; esse figuræ Sphæricæ. Qvod autem coelum euoluatur ab oriente in occidentem, signum est. Stellæ quæ oriuntur in oriente, semper elevantur paulatim &amp; successivè, quousque in medium coeli veniant; &amp; sunt semper in eadem propinquitate &amp; remotione adiuicem: &amp; ita semper se habentes, tendunt in occasum continuè, &amp; uniformiter. Est &amp; aliud signum. Stellæ quæ sunt iuxta polu arcticum, quæ nunquam nobis occidunt, mouétur continuè, &amp; uniformiter circa polum describendo circulos suos, &amp; semper sunt in æquali distantia ad inuicem &amp; propinquitate. Unde per istos duos motus continuos stellarum tam tendentium ad occasionum, quam non, patet, quòd firmamentum movetur ab oriente in occidentem.<noinclude></noinclude> 8rn6itj8sx6cfv00mxh26gww064if4m 104 86205 281382 281276 2026-09-20T02:35:37Z Sjgallagher2 29663 281382 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>Quod autem cælum sit rotundurn, tripex est ratio, similitudo, commoditas, &amp; necessitas. Similitudo, quoniam mundus sensibilis factus est ad similitudinem mundi archetypi, in quo nec est principium, nec finis. Vnde ad huius similitudinem factus mundus sensibilis, habet formam rotundam, in qua non est assignare principium, neque finem. SCHOLION VINETI. Αρχέτυπος substant. prima forma, idea, &amp; exemplar, quod imitetur. Mundus Archetyprus (vt archetypas nugas, archetypos Cleantas dixerunt Iunenalis &amp; Martialis) hic dicitur ea mundi forma, quam mente concepit Deus mundum facturus, qua tui cogitatio æterna est, vt Deus ipse. Sic hunc locu interpretantur. Commoditas, quia omnium corporum isoperimetrorum sphæra maximum est: omnium etiam formarum rotunda capacissima est. quoniam igitur maximum &amp; rotundum, ideo capacissimum: unde cum mundus omnia contineat, talis forma fuit illi utilis &amp; commoda. SCHOLION VINETI. ισόν equale, ωδῆ circum, μήτω mensura τοπίου τοα linea circundans, &amp; ambitus. Si itaque fuerint duæ insulæ, verbi gratia, ambitus vicenum stadiorum quatuor altera triquetra sit, altera rotunda sit circuli; speciem habeat, isoperimetrarum illarum maior erit rotunda. Sic babebit, si ex eodem luto vas rotundum<noinclude></noinclude> 66p95py18hqwnlc366985fkdb9mecfh 104 86207 281385 281278 2026-09-20T02:46:12Z Sjgallagher2 29663 /* Emendata */ 281385 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="3" user="Sjgallagher2" /></noinclude>Propter quod legitur Dionysium Areopagitam in eadem passione dixisse, aut Deus naturæ patitur, aut mundi machina dissoluetur. {{center|{{larger|''SCHOLION VINETI.''}}}} ''De Dionysio quodam Areopagita, hoc tantum in Act. Apostolorum Lucas scriptum reliquit, eum, cum Paulus Athenis Christum prædicaret, credidisse, &amp; Christianum effectum fuisse. Vide quid in illum locum Lau. Valla, &amp; Des. Erasmus annotarint, quoniam dubitant nonnulli an is Dionysius sit, qui apud Parisios pro Christo capite plexus sit. &amp; cuius nunc reliquiæ illic tam religiosè colantur. Quod autem ad prodigiosas illas tenbras &amp; Solis in Christi morte defactum attinet, sunt qui illud Lucæ, [Greek illegible] de vniversa duntaxat terra Palæstina Iudeæve exponát, licet Michael Syngelus Hierosolimitanus [Greek illegible], cuius meminit [suidas] in vocabulo Μιχαήλ, in eo libello quem de laudibus D. Dionysii Græco sermone conscripsit, non solum Parisiorum Dionysium eundem illum Solis eidem Dionysio Areopagitæ, &amp; Apollophani cuidam sophistæ etiam in Aegypto visum velit, cum illuc e Græcia vterque philosophiæ gratia fortè tum profectus fuisset.'' {{center|F I N I S.}}<noinclude></noinclude> oyw7kyhouga5lgu8a0zweqnsvjdnd53 0 86246 281333 281331 2026-09-19T15:58:18Z Demetrius Talpa 13304 281333 wikitext text/x-wiki {{titulus2 |Scriptor=Georgius Niemirycz |OperaeTitulus=Tractatus de Corsun |Annus=1657 |Fons=[https://sok.riksarkivet.se/bildvisning/R0000480_00260#?cv=259&xywh=-3464%2C-398%2C9670%2C5095] }} <pages index="1657 Treaty of Korsun.pdf" from=1 to=9 /> j2iihm5r0nym02njetorz4dik0jkn2d 102 86247 281334 2026-09-19T16:00:01Z Demetrius Talpa 13304 nova 281334 wikitext text/x-wiki {{Scriptor |IndicisNomen=Niemirycz, Georgius }} ==Opera== *[[Discursus de bello Moscovitico]] *[[Tractatus de Corsun]] ffhoiwe0supx2st36fj3qayhwkjsga3 14 86248 281335 2026-09-19T16:01:38Z Demetrius Talpa 13304 nova 281335 wikitext text/x-wiki {{Vide|Scriptor:Georgius Niemirycz}} [[Categoria:Opera per scriptores digesta|Niemirycz, Georgius]] 26tgw4kdek84yw6rdc4bkpo1y4wkpaz 104 86249 281383 2026-09-20T02:36:14Z Sjgallagher2 29663 /* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens '&amp; quaSphæræ Joannis &amp; quadratum finxerit. Theon in lib. i magnæ Syntaxes Ptolemæi. Necessestas, quoniam si mundus esset alterius formæ, quam rotunda; scilicet trilateræ, vel quadrilateræ, vel multilateræ, sequentur duo impossibilia, scilicet quod aliquis loc’ esset vacuus &amp; corpus sine loco: quorum utriquæ est falsum, sicut patet in angulis eleucatis &amp; circunvolutis. Item sicut dicit Alfraganus, si celum esset planum, aliqua... 281383 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>&amp; quaSphæræ Joannis &amp; quadratum finxerit. Theon in lib. i magnæ Syntaxes Ptolemæi. Necessestas, quoniam si mundus esset alterius formæ, quam rotunda; scilicet trilateræ, vel quadrilateræ, vel multilateræ, sequentur duo impossibilia, scilicet quod aliquis loc’ esset vacuus &amp; corpus sine loco: quorum utriquæ est falsum, sicut patet in angulis eleucatis &amp; circunvolutis. Item sicut dicit Alfraganus, si celum esset planum, aliqua pars coeli esset nobis propinquior alia, illa scilicet, quæ esset supra caput nostrum.<noinclude></noinclude> r9tmrahbc9w22rzdw55p7v8n0pju65m 104 86250 281384 2026-09-20T02:36:59Z Sjgallagher2 29663 /* Nondum emendata */ Paginam instituit, scribens 'SCHOLION VINETI. Alfraganus tuus differentia secunda nugatur, quia cæli in orbem acti puncta singula à centro semper æqualiter distantia converterentur. Annotavit Petrus Nonius. Igitur stella ibi existens, esset nobis propinquior, quam stella in ortu vel occasu. Sed quæ nobis propinquiora sunt, maiora videntur. Ergo Sol, vel alia stella existens in medio cæli, maior deberet videri, quam in ortu existens vel in occasu. Cuuius contrarium vide... 281384 proofread-page text/x-wiki <noinclude><pagequality level="1" user="Sjgallagher2" /></noinclude>SCHOLION VINETI. Alfraganus tuus differentia secunda nugatur, quia cæli in orbem acti puncta singula à centro semper æqualiter distantia converterentur. Annotavit Petrus Nonius. Igitur stella ibi existens, esset nobis propinquior, quam stella in ortu vel occasu. Sed quæ nobis propinquiora sunt, maiora videntur. Ergo Sol, vel alia stella existens in medio cæli, maior deberet videri, quam in ortu existens vel in occasu. Cuuius contrarium videmus contingere: maior enim apparet Sol, vel alia stella existens in oriente, vel occidente, quam in medio cæli. Sed cum rei veritas ita non sit, huius apparentiæ causa eit, quod in tempore hyemali vel pluuiali vapores quidam ascendunt inter aspectum nostrum &amp; Solem, vel aliam stellam. &amp; cum illi vapores sint corpus diaphanum, disagregant radios nostros vituales, ita quod non comprehenditur rem in sua naturali &amp; vera quantitate, sicut patet in denario proiecto in fundo aquæ limpidæ, qui propter similem disagregationè radiorum apparet majoris, quam suæ veræ quantitatis. SCHOLION VINETI. Diaphanum necnon apud probatos autores legavit Rhodiginus; ego διαφανείο τανι μεμνήσκω. Sunt aut διαφαναι, aqua, vitrum, crystallas, vapores, &amp; alia huiusmodi, ita rara, utque ea videbepossis. Pellucida latinos dixisse purum, sicut &amp; cribrum, &amp; laternam<noinclude></noinclude> tpzbrhxzp8sjns91mzaen8pagbwfyrn 0 86251 281388 2026-09-20T11:27:15Z Coronus Tenebrosius 31709 Paginam instituit, scribens '== ORDO DIURNUS == <poem> Ad alia opera, quae mihi agenda sunt, hodie me confero. Exspectat me opus cloacarum (in sensu verborum omnium simplicissimo). Et verba, quid valent, quid possunt, hae verba, princeps ... ? Corpus bene erit motum, et hauriet solem ac lucem post nocturnam pluviam. Humida est terra. Non sentit reditum meum neque propinquitatem. Et vere, et metaphore vere, omnibus in gradibus, tempus est proficisci. In luto stans, radiis Solis perfus...' 281388 wikitext text/x-wiki == ORDO DIURNUS == <poem> Ad alia opera, quae mihi agenda sunt, hodie me confero. Exspectat me opus cloacarum (in sensu verborum omnium simplicissimo). Et verba, quid valent, quid possunt, hae verba, princeps ... ? Corpus bene erit motum, et hauriet solem ac lucem post nocturnam pluviam. Humida est terra. Non sentit reditum meum neque propinquitatem. Et vere, et metaphore vere, omnibus in gradibus, tempus est proficisci. In luto stans, radiis Solis perfusus, sentio et scio: tota Gea est somnium vivum. Quam aliam rem veram, praeter eam quae ex Terra oritur, nos duo omnino scimus? Aliquid audivimus, aliquid sentimus, sed non vidimus. </poem> dz9qc06kntmf1xect031jcpetfs2xp7 281389 281388 2026-09-20T11:29:22Z Coronus Tenebrosius 31709 281389 wikitext text/x-wiki [[Carmina non adlecta]] == ORDO DIURNUS == <poem> Ad alia opera, quae mihi agenda sunt, hodie me confero. Exspectat me opus cloacarum (in sensu verborum omnium simplicissimo). Et verba, quid valent, quid possunt, hae verba, princeps ... ? Corpus bene erit motum, et hauriet solem ac lucem post nocturnam pluviam. Humida est terra. Non sentit reditum meum neque propinquitatem. Et vere, et metaphore vere, omnibus in gradibus, tempus est proficisci. In luto stans, radiis Solis perfusus, sentio et scio: tota Gea est somnium vivum. Quam aliam rem veram, praeter eam quae ex Terra oritur, nos duo omnino scimus? Aliquid audivimus, aliquid sentimus, sed non vidimus. </poem> pkw4m2o8yf4350m4gasevlv68kbwti5