Wikibooks ltwikibooks https://lt.wikibooks.org/wiki/Pagrindinis_puslapis MediaWiki 1.47.0-wmf.18 first-letter Medija Specialus Aptarimas Naudotojas Naudotojo aptarimas Wikibooks Wikibooks aptarimas Vaizdas Vaizdo aptarimas MediaWiki MediaWiki aptarimas Šablonas Šablono aptarimas Pagalba Pagalbos aptarimas Kategorija Kategorijos aptarimas TimedText TimedText talk Module Module talk Event Event talk 0 11878 58941 58940 2026-09-02T11:59:13Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58941 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. 6pejw9i1xlqnn0inmxerwdqry0st0qh 58942 58941 2026-09-02T12:17:26Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58942 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = (128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0) = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = (0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.5390625. :8 * 0.5390625 = 4.3125. Kažkas blogai. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. Vis tiek kažkas blogai. Gali būti mantisos užrašymo tvarka atvirkštinė. :Mantissa: 1010001 = (0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.6328125. :8 * (1 + 0.6328125) = 8 * 1.6328125 = 13.0625. Vėl blogai. dbv8jhlibujyd874uxdjs6k9nn76zle 58943 58942 2026-09-02T12:34:32Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58943 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = (128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0) = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = (0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.5390625. :8 * 0.5390625 = 4.3125. Kažkas blogai. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. Vis tiek kažkas blogai. Gali būti mantisos užrašymo tvarka atvirkštinė. :Mantissa: 1010001 = (0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.6328125. :8 * (1 + 0.6328125) = 8 * 1.6328125 = 13.0625. Vėl blogai. :Gali būti, kad integer part reikia skaičiuoti taip: :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0) reiškia 1, (6/2 = 3) (rem 0) reiškia 1, (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''0011'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''0011.101''' :(0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1) = 0.90625. :4*(1+0.90625) = 7.625. Blogai. 3dxu587tc3it90vxk4s87xeg6f8hnqz 58944 58943 2026-09-02T12:51:31Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58944 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = (128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0) = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = (0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.5390625. :8 * 0.5390625 = 4.3125. Kažkas blogai. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. Vis tiek kažkas blogai. Gali būti mantisos užrašymo tvarka atvirkštinė. :Mantissa: 1010001 = (0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.6328125. :8 * (1 + 0.6328125) = 8 * 1.6328125 = 13.0625. Vėl blogai. :Gali būti, kad integer part reikia skaičiuoti taip: :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0) reiškia 1, (6/2 = 3) (rem 0) reiškia 1, (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''0011'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''0011.101''' :(0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1) = 0.90625. :4*(1+0.90625) = 7.625. Blogai. :Vadinasi, iš tikrųjų reikia versti kitaip. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. 9uuzymuo4o2e1uc2itg38ezju2cch2i 58945 58944 2026-09-02T13:01:07Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58945 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = (128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0) = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = (0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.5390625. :8 * 0.5390625 = 4.3125. Kažkas blogai. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. Vis tiek kažkas blogai. Gali būti mantisos užrašymo tvarka atvirkštinė. :Mantissa: 1010001 = (0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.6328125. :8 * (1 + 0.6328125) = 8 * 1.6328125 = 13.0625. Vėl blogai. :Gali būti, kad integer part reikia skaičiuoti taip: :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0) reiškia 1, (6/2 = 3) (rem 0) reiškia 1, (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''0011'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''0011.101''' :(0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1) = 0.90625. :4*(1+0.90625) = 7.625. Blogai. :Vadinasi, iš tikrųjų reikia versti kitaip. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. g99m4vwq7bzt1nghim1kaob2vrjssyy 58946 58945 2026-09-02T13:06:02Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58946 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = (128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0) = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = (0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.5390625. :8 * 0.5390625 = 4.3125. Kažkas blogai. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. Vis tiek kažkas blogai. Gali būti mantisos užrašymo tvarka atvirkštinė. :Mantissa: 1010001 = (0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.6328125. :8 * (1 + 0.6328125) = 8 * 1.6328125 = 13.0625. Vėl blogai. :Gali būti, kad integer part reikia skaičiuoti taip: :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0) reiškia 1, (6/2 = 3) (rem 0) reiškia 1, (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''0011'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''0011.101''' :(0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1) = 0.90625. :4*(1+0.90625) = 7.625. Blogai. :Vadinasi, iš tikrųjų reikia versti kitaip. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. Todėl netgi ir taip blogai. o6oghng951dqagc474rq1lucl95g55q 58947 58946 2026-09-02T13:13:26Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58947 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = (128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0) = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = (0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.5390625. :8 * 0.5390625 = 4.3125. Kažkas blogai. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. Vis tiek kažkas blogai. Gali būti mantisos užrašymo tvarka atvirkštinė. :Mantissa: 1010001 = (0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.6328125. :8 * (1 + 0.6328125) = 8 * 1.6328125 = 13.0625. Vėl blogai. :Gali būti, kad integer part reikia skaičiuoti taip: :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0) reiškia 1, (6/2 = 3) (rem 0) reiškia 1, (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''0011'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''0011.101''' :(0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1) = 0.90625. :4*(1+0.90625) = 7.625. Blogai. :Vadinasi, iš tikrųjų reikia versti kitaip. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. Todėl netgi ir taip blogai. :Jeigu eksponėntė čia būtų ne 10^1, o pvz. 10^2=100, tai reikėtų -1.2625 dauginti iš 100, bet čia reikia dauginti iš 10. :Kaip skaičių 10 paversti į dvejetainį skaičių? Klausimas yra kaip sveikąjį skaičių teisingai paversti į dvejetainį skaičių. :Galima paimti skaičių 00001010 ir pastumti į kairę gnsco2bqqlte9aqhc170yi93gz1x6k6 58948 58947 2026-09-02T13:24:38Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58948 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = (128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0) = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = (0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.5390625. :8 * 0.5390625 = 4.3125. Kažkas blogai. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. Vis tiek kažkas blogai. Gali būti mantisos užrašymo tvarka atvirkštinė. :Mantissa: 1010001 = (0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.6328125. :8 * (1 + 0.6328125) = 8 * 1.6328125 = 13.0625. Vėl blogai. :Gali būti, kad integer part reikia skaičiuoti taip: :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0) reiškia 1, (6/2 = 3) (rem 0) reiškia 1, (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''0011'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''0011.101''' :(0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1) = 0.90625. :4*(1+0.90625) = 7.625. Blogai. :Vadinasi, iš tikrųjų reikia versti kitaip. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. Todėl netgi ir taip blogai. :Jeigu eksponėntė čia būtų ne 10^1, o pvz. 10^2=100, tai reikėtų -1.2625 dauginti iš 100, bet čia reikia dauginti iš 10. :Kaip skaičių 10 paversti į dvejetainį skaičių? Klausimas yra kaip sveikąjį skaičių teisingai paversti į dvejetainį skaičių. :Galima paimti skaičių 00001010 ir pastumti į kairę visus bitus keturiom pozicijom. Tada bus gautas skaičius: :10100000. Arba 0.1010000. :Aš jau žinau kaip reikia daryt: :10/2 = 5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :5/2 = 2.5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :2.5/2 = 1.25 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1). :Čia viskas baigta. Toliau reikia paversti skaičių 0.25 į dvejetainę formą. :0.25*2 = 0.5 (ne vienetas, reiškia bus 0), :0.5*2 = 1 (vienetas, reiškia bus 1). :Vadinasi 10 dešimtainėje sistemoje yra 111.01 dvejetainėje sistemoje. Arba 1.1101 kai eksponentė lygi 2. 9ppduidvasqa8jjfrvk5ic66tkw3mhn 58949 58948 2026-09-02T13:33:09Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58949 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = (128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0) = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = (0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.5390625. :8 * 0.5390625 = 4.3125. Kažkas blogai. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. Vis tiek kažkas blogai. Gali būti mantisos užrašymo tvarka atvirkštinė. :Mantissa: 1010001 = (0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.6328125. :8 * (1 + 0.6328125) = 8 * 1.6328125 = 13.0625. Vėl blogai. :Gali būti, kad integer part reikia skaičiuoti taip: :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0) reiškia 1, (6/2 = 3) (rem 0) reiškia 1, (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''0011'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''0011.101''' :(0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1) = 0.90625. :4*(1+0.90625) = 7.625. Blogai. :Vadinasi, iš tikrųjų reikia versti kitaip. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. Todėl netgi ir taip blogai. :Jeigu eksponėntė čia būtų ne 10^1, o pvz. 10^2=100, tai reikėtų -1.2625 dauginti iš 100, bet čia reikia dauginti iš 10. :Kaip skaičių 10 paversti į dvejetainį skaičių? Klausimas yra kaip sveikąjį skaičių teisingai paversti į dvejetainį skaičių. :Galima paimti skaičių 00001010 ir pastumti į kairę visus bitus keturiom pozicijom. Tada bus gautas skaičius: :10100000. Arba 0.1010000. :Aš jau žinau kaip reikia daryt: :10/2 = 5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :5/2 = 2.5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :2.5/2 = 1.25 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1). :Čia viskas baigta. Toliau reikia paversti skaičių 0.25 į dvejetainę formą. :0.25*2 = 0.5 (ne vienetas, reiškia bus 0), :0.5*2 = 1 (vienetas, reiškia bus 1). :Vadinasi 10 dešimtainėje sistemoje yra 111.01 dvejetainėje sistemoje. Arba 1.1101 kai eksponentė lygi 2. :Patikrinimas: :1.1101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 1.8125. :1.8125 * 2^2 = 1.8125 * 4 = 7.25. :O jeigu 111.01 yra 0.11101 su eksponente 3, tai: :0.11101 = 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 = 0.90625. :0.90625 * 2^3 = 7.25. :Reiškia nėra tikslaus būdo versti sveikuosius dešimtainius skaičius į sveikuosius dvejetainius skaičius. Arba Dirbtinis Intelektas to nežino. i6ifwin8jrhg36n5yi1bw5xv8mxrnzg 58950 58949 2026-09-02T13:43:40Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58950 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :8 * 0.5390625 = 4.3125. Kažkas blogai. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. Vis tiek kažkas blogai. Gali būti mantisos užrašymo tvarka atvirkštinė. :Mantissa: 1010001 = (0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.6328125. :8 * (1 + 0.6328125) = 8 * 1.6328125 = 13.0625. Vėl blogai. :Gali būti, kad integer part reikia skaičiuoti taip: :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0) reiškia 1, (6/2 = 3) (rem 0) reiškia 1, (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''0011'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''0011.101''' :(0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1) = 0.90625. :4*(1+0.90625) = 7.625. Blogai. :Vadinasi, iš tikrųjų reikia versti kitaip. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. Todėl netgi ir taip blogai. :Jeigu eksponėntė čia būtų ne 10^1, o pvz. 10^2=100, tai reikėtų -1.2625 dauginti iš 100, bet čia reikia dauginti iš 10. :Kaip skaičių 10 paversti į dvejetainį skaičių? Klausimas yra kaip sveikąjį skaičių teisingai paversti į dvejetainį skaičių. :Galima paimti skaičių 00001010 ir pastumti į kairę visus bitus keturiom pozicijom. Tada bus gautas skaičius: :10100000. Arba 0.1010000. :Aš jau žinau kaip reikia daryt: :10/2 = 5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :5/2 = 2.5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :2.5/2 = 1.25 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1). :Čia viskas baigta. Toliau reikia paversti skaičių 0.25 į dvejetainę formą. :0.25*2 = 0.5 (ne vienetas, reiškia bus 0), :0.5*2 = 1 (vienetas, reiškia bus 1). :Vadinasi 10 dešimtainėje sistemoje yra 111.01 dvejetainėje sistemoje. Arba 1.1101 kai eksponentė lygi 2. :Patikrinimas: :1.1101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 1.8125. :1.8125 * 2^2 = 1.8125 * 4 = 7.25. :O jeigu 111.01 yra 0.11101 su eksponente 3, tai: :0.11101 = 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 = 0.90625. :0.90625 * 2^3 = 7.25. :Reiškia nėra tikslaus būdo versti sveikuosius dešimtainius skaičius į sveikuosius dvejetainius skaičius. Arba Dirbtinis Intelektas to nežino. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.'''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. :Matosi, kad 0.3125*2 = 0.625. Vadinasi, galbūt skaičiaus 1100.101 kablelį reikia pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. bc0uqj3apmcd8izah1at3c9ouehpsmj 58951 58950 2026-09-02T13:46:28Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58951 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :8 * 0.5390625 = 4.3125. Kažkas blogai. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. Vis tiek kažkas blogai. Gali būti mantisos užrašymo tvarka atvirkštinė. :Mantissa: 1010001 = (0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.6328125. :8 * (1 + 0.6328125) = 8 * 1.6328125 = 13.0625. Vėl blogai. :Gali būti, kad integer part reikia skaičiuoti taip: :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0) reiškia 1, (6/2 = 3) (rem 0) reiškia 1, (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''0011'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''0011.101''' :(0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1) = 0.90625. :4*(1+0.90625) = 7.625. Blogai. :Vadinasi, iš tikrųjų reikia versti kitaip. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. Todėl netgi ir taip blogai. :Jeigu eksponėntė čia būtų ne 10^1, o pvz. 10^2=100, tai reikėtų -1.2625 dauginti iš 100, bet čia reikia dauginti iš 10. :Kaip skaičių 10 paversti į dvejetainį skaičių? Klausimas yra kaip sveikąjį skaičių teisingai paversti į dvejetainį skaičių. :Galima paimti skaičių 00001010 ir pastumti į kairę visus bitus keturiom pozicijom. Tada bus gautas skaičius: :10100000. Arba 0.1010000. :Aš jau žinau kaip reikia daryt: :10/2 = 5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :5/2 = 2.5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :2.5/2 = 1.25 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1). :Čia viskas baigta. Toliau reikia paversti skaičių 0.25 į dvejetainę formą. :0.25*2 = 0.5 (ne vienetas, reiškia bus 0), :0.5*2 = 1 (vienetas, reiškia bus 1). :Vadinasi 10 dešimtainėje sistemoje yra 111.01 dvejetainėje sistemoje. Arba 1.1101 kai eksponentė lygi 2. :Patikrinimas: :1.1101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 1.8125. :1.8125 * 2^2 = 1.8125 * 4 = 7.25. :O jeigu 111.01 yra 0.11101 su eksponente 3, tai: :0.11101 = 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 = 0.90625. :0.90625 * 2^3 = 7.25. :Reiškia nėra tikslaus būdo versti sveikuosius dešimtainius skaičius į sveikuosius dvejetainius skaičius. Arba Dirbtinis Intelektas to nežino. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. :Matosi, kad 0.3125*2 = 0.625. Vadinasi, galbūt skaičiaus 1100.101 kablelį reikia pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * (1 + 0.7890625) = 16 * 1.7890625 = 28.625. :Arba :16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Tai štai kaip verčiami tie skaičiai. 8womfs8pb9zcqkrsmnquuso88e0f60r 58952 58951 2026-09-02T13:58:06Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58952 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :8 * 0.5390625 = 4.3125. Kažkas blogai. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. Vis tiek kažkas blogai. Gali būti mantisos užrašymo tvarka atvirkštinė. :Mantissa: 1010001 = (0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.6328125. :8 * (1 + 0.6328125) = 8 * 1.6328125 = 13.0625. Vėl blogai. :Gali būti, kad integer part reikia skaičiuoti taip: :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0) reiškia 1, (6/2 = 3) (rem 0) reiškia 1, (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''0011'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''0011.101''' :(0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1) = 0.90625. :4*(1+0.90625) = 7.625. Blogai. :Vadinasi, iš tikrųjų reikia versti kitaip. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. Todėl netgi ir taip blogai. :Jeigu eksponėntė čia būtų ne 10^1, o pvz. 10^2=100, tai reikėtų -1.2625 dauginti iš 100, bet čia reikia dauginti iš 10. :Kaip skaičių 10 paversti į dvejetainį skaičių? Klausimas yra kaip sveikąjį skaičių teisingai paversti į dvejetainį skaičių. :Galima paimti skaičių 00001010 ir pastumti į kairę visus bitus keturiom pozicijom. Tada bus gautas skaičius: :10100000. Arba 0.1010000. :Aš jau žinau kaip reikia daryt: :10/2 = 5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :5/2 = 2.5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :2.5/2 = 1.25 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1). :Čia viskas baigta. Toliau reikia paversti skaičių 0.25 į dvejetainę formą. :0.25*2 = 0.5 (ne vienetas, reiškia bus 0), :0.5*2 = 1 (vienetas, reiškia bus 1). :Vadinasi 10 dešimtainėje sistemoje yra 111.01 dvejetainėje sistemoje. Arba 1.1101 kai eksponentė lygi 2. :Patikrinimas: :1.1101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 1.8125. :1.8125 * 2^2 = 1.8125 * 4 = 7.25. :O jeigu 111.01 yra 0.11101 su eksponente 3, tai: :0.11101 = 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 = 0.90625. :0.90625 * 2^3 = 7.25. :Reiškia nėra tikslaus būdo versti sveikuosius dešimtainius skaičius į sveikuosius dvejetainius skaičius. Arba Dirbtinis Intelektas to nežino. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. :Matosi, kad 0.3125*2 = 0.625. Vadinasi, galbūt skaičiaus 1100.101 kablelį reikia pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * (1 + 0.7890625) = 16 * 1.7890625 = 28.625. :Arba :16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Tai štai kaip verčiami tie skaičiai. :Tuomet skaičius 10 verčiamas taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2.5 (rem 1), :2.5/2 = 1.25 (rem 1) :1.25/2 = 0.625 (rem 1). :Vadinasi 12 kažkaip galima užrašyt ar kažka nulius sukeitė ir atspėjo, o 10 jau negalima užrašyti dvejetainėje sistemoje, nors akivaizdu, kad 10 yra 8+2, kas yra 1010 (8*1 + 4*0 + 2*1 + 1*0 = 10). :Vadinasi toks budas yra melangingas apie dešimtainių sveikųjų skaičių vertimas į dvejetainius sveikuosius skaičius. cxvrv853hzktk8rk59zd8em518zax5i 58953 58952 2026-09-02T14:06:31Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58953 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :8 * 0.5390625 = 4.3125. Kažkas blogai. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. Vis tiek kažkas blogai. Gali būti mantisos užrašymo tvarka atvirkštinė. :Mantissa: 1010001 = (0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.6328125. :8 * (1 + 0.6328125) = 8 * 1.6328125 = 13.0625. Vėl blogai. :Gali būti, kad integer part reikia skaičiuoti taip: :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0) reiškia 1, (6/2 = 3) (rem 0) reiškia 1, (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''0011'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''0011.101''' :(0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1) = 0.90625. :4*(1+0.90625) = 7.625. Blogai. :Vadinasi, iš tikrųjų reikia versti kitaip. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. Todėl netgi ir taip blogai. :Jeigu eksponėntė čia būtų ne 10^1, o pvz. 10^2=100, tai reikėtų -1.2625 dauginti iš 100, bet čia reikia dauginti iš 10. :Kaip skaičių 10 paversti į dvejetainį skaičių? Klausimas yra kaip sveikąjį skaičių teisingai paversti į dvejetainį skaičių. :Galima paimti skaičių 00001010 ir pastumti į kairę visus bitus keturiom pozicijom. Tada bus gautas skaičius: :10100000. Arba 0.1010000. :Aš jau žinau kaip reikia daryt: :10/2 = 5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :5/2 = 2.5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :2.5/2 = 1.25 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1). :Čia viskas baigta. Toliau reikia paversti skaičių 0.25 į dvejetainę formą. :0.25*2 = 0.5 (ne vienetas, reiškia bus 0), :0.5*2 = 1 (vienetas, reiškia bus 1). :Vadinasi 10 dešimtainėje sistemoje yra 111.01 dvejetainėje sistemoje. Arba 1.1101 kai eksponentė lygi 2. :Patikrinimas: :1.1101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 1.8125. :1.8125 * 2^2 = 1.8125 * 4 = 7.25. :O jeigu 111.01 yra 0.11101 su eksponente 3, tai: :0.11101 = 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 = 0.90625. :0.90625 * 2^3 = 7.25. :Reiškia nėra tikslaus būdo versti sveikuosius dešimtainius skaičius į sveikuosius dvejetainius skaičius. Arba Dirbtinis Intelektas to nežino. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. :Matosi, kad 0.3125*2 = 0.625. Vadinasi, galbūt skaičiaus 1100.101 kablelį reikia pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * (1 + 0.7890625) = 16 * 1.7890625 = 28.625. :Arba :16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Tai štai kaip verčiami tie skaičiai. :Tuomet skaičius 10 verčiamas taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2.5 (rem 1), :2.5/2 = 1.25 (rem 1) :1.25/2 = 0.625 (rem 1). :Vadinasi 12 kažkaip galima užrašyt ar kažka nulius sukeitė ir atspėjo, o 10 jau negalima užrašyti dvejetainėje sistemoje, nors akivaizdu, kad 10 yra 8+2, kas yra 1010 (8*1 + 4*0 + 2*1 + 1*0 = 10). :Vadinasi toks budas yra melangingas apie dešimtainių sveikųjų skaičių vertimas į dvejetainius sveikuosius skaičius. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). egezse8mlvg6xslpeafn2r08wx7kpce 58954 58953 2026-09-02T14:13:06Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58954 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :8 * 0.5390625 = 4.3125. Kažkas blogai. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. Vis tiek kažkas blogai. Gali būti mantisos užrašymo tvarka atvirkštinė. :Mantissa: 1010001 = (0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.6328125. :8 * (1 + 0.6328125) = 8 * 1.6328125 = 13.0625. Vėl blogai. :Gali būti, kad integer part reikia skaičiuoti taip: :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0) reiškia 1, (6/2 = 3) (rem 0) reiškia 1, (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''0011'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''0011.101''' :(0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1) = 0.90625. :4*(1+0.90625) = 7.625. Blogai. :Vadinasi, iš tikrųjų reikia versti kitaip. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. Todėl netgi ir taip blogai. :Jeigu eksponėntė čia būtų ne 10^1, o pvz. 10^2=100, tai reikėtų -1.2625 dauginti iš 100, bet čia reikia dauginti iš 10. :Kaip skaičių 10 paversti į dvejetainį skaičių? Klausimas yra kaip sveikąjį skaičių teisingai paversti į dvejetainį skaičių. :Galima paimti skaičių 00001010 ir pastumti į kairę visus bitus keturiom pozicijom. Tada bus gautas skaičius: :10100000. Arba 0.1010000. :Aš jau žinau kaip reikia daryt: :10/2 = 5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :5/2 = 2.5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :2.5/2 = 1.25 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1). :Čia viskas baigta. Toliau reikia paversti skaičių 0.25 į dvejetainę formą. :0.25*2 = 0.5 (ne vienetas, reiškia bus 0), :0.5*2 = 1 (vienetas, reiškia bus 1). :Vadinasi 10 dešimtainėje sistemoje yra 111.01 dvejetainėje sistemoje. Arba 1.1101 kai eksponentė lygi 2. :Patikrinimas: :1.1101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 1.8125. :1.8125 * 2^2 = 1.8125 * 4 = 7.25. :O jeigu 111.01 yra 0.11101 su eksponente 3, tai: :0.11101 = 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 = 0.90625. :0.90625 * 2^3 = 7.25. :Reiškia nėra tikslaus būdo versti sveikuosius dešimtainius skaičius į sveikuosius dvejetainius skaičius. Arba Dirbtinis Intelektas to nežino. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. :Matosi, kad 0.3125*2 = 0.625. Vadinasi, galbūt skaičiaus 1100.101 kablelį reikia pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * (1 + 0.7890625) = 16 * 1.7890625 = 28.625. :Arba :16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Tai štai kaip verčiami tie skaičiai. :Tuomet skaičius 10 verčiamas taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2.5 (rem 1), :2.5/2 = 1.25 (rem 1) :1.25/2 = 0.625 (rem 1). :Vadinasi 12 kažkaip galima užrašyt ar kažka nulius sukeitė ir atspėjo, o 10 jau negalima užrašyti dvejetainėje sistemoje, nors akivaizdu, kad 10 yra 8+2, kas yra 1010 (8*1 + 4*0 + 2*1 + 1*0 = 10). :Vadinasi toks budas yra melangingas apie dešimtainių sveikųjų skaičių vertimas į dvejetainius sveikuosius skaičius. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). a6iyb3nhol4dgingvlhxsc12q4oflsg 58955 58954 2026-09-02T14:31:30Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58955 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :8 * 0.5390625 = 4.3125. Kažkas blogai. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. Vis tiek kažkas blogai. Gali būti mantisos užrašymo tvarka atvirkštinė. :Mantissa: 1010001 = (0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.6328125. :8 * (1 + 0.6328125) = 8 * 1.6328125 = 13.0625. Vėl blogai. :Gali būti, kad integer part reikia skaičiuoti taip: :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0) reiškia 1, (6/2 = 3) (rem 0) reiškia 1, (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''0011'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''0011.101''' :(0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1) = 0.90625. :4*(1+0.90625) = 7.625. Blogai. :Vadinasi, iš tikrųjų reikia versti kitaip. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. Todėl netgi ir taip blogai. :Jeigu eksponėntė čia būtų ne 10^1, o pvz. 10^2=100, tai reikėtų -1.2625 dauginti iš 100, bet čia reikia dauginti iš 10. :Kaip skaičių 10 paversti į dvejetainį skaičių? Klausimas yra kaip sveikąjį skaičių teisingai paversti į dvejetainį skaičių. :Galima paimti skaičių 00001010 ir pastumti į kairę visus bitus keturiom pozicijom. Tada bus gautas skaičius: :10100000. Arba 0.1010000. :Aš jau žinau kaip reikia daryt: :10/2 = 5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :5/2 = 2.5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :2.5/2 = 1.25 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1). :Čia viskas baigta. Toliau reikia paversti skaičių 0.25 į dvejetainę formą. :0.25*2 = 0.5 (ne vienetas, reiškia bus 0), :0.5*2 = 1 (vienetas, reiškia bus 1). :Vadinasi 10 dešimtainėje sistemoje yra 111.01 dvejetainėje sistemoje. Arba 1.1101 kai eksponentė lygi 2. :Patikrinimas: :1.1101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 1.8125. :1.8125 * 2^2 = 1.8125 * 4 = 7.25. :O jeigu 111.01 yra 0.11101 su eksponente 3, tai: :0.11101 = 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 = 0.90625. :0.90625 * 2^3 = 7.25. :Reiškia nėra tikslaus būdo versti sveikuosius dešimtainius skaičius į sveikuosius dvejetainius skaičius. Arba Dirbtinis Intelektas to nežino. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. :Matosi, kad 0.3125*2 = 0.625. Vadinasi, galbūt skaičiaus 1100.101 kablelį reikia pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * (1 + 0.7890625) = 16 * 1.7890625 = 28.625. :Arba :16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Tai štai kaip verčiami tie skaičiai. :Tuomet skaičius 10 verčiamas taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2.5 (rem 1), :2.5/2 = 1.25 (rem 1) :1.25/2 = 0.625 (rem 1). :Vadinasi 12 kažkaip galima užrašyt ar kažka nulius sukeitė ir atspėjo, o 10 jau negalima užrašyti dvejetainėje sistemoje, nors akivaizdu, kad 10 yra 8+2, kas yra 1010 (8*1 + 4*0 + 2*1 + 1*0 = 10). :Vadinasi toks budas yra melangingas apie dešimtainių sveikųjų skaičių vertimas į dvejetainius sveikuosius skaičius. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). 35kewjx1xc6cm7ze4c4ihf5oj4voacg 58956 58955 2026-09-02T14:34:30Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58956 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :8 * 0.5390625 = 4.3125. Kažkas blogai. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. Vis tiek kažkas blogai. Gali būti mantisos užrašymo tvarka atvirkštinė. :Mantissa: 1010001 = (0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.6328125. :8 * (1 + 0.6328125) = 8 * 1.6328125 = 13.0625. Vėl blogai. :Gali būti, kad integer part reikia skaičiuoti taip: :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0) reiškia 1, (6/2 = 3) (rem 0) reiškia 1, (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''0011'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''0011.101''' :(0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1) = 0.90625. :4*(1+0.90625) = 7.625. Blogai. :Vadinasi, iš tikrųjų reikia versti kitaip. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. Todėl netgi ir taip blogai. :Jeigu eksponėntė čia būtų ne 10^1, o pvz. 10^2=100, tai reikėtų -1.2625 dauginti iš 100, bet čia reikia dauginti iš 10. :Kaip skaičių 10 paversti į dvejetainį skaičių? Klausimas yra kaip sveikąjį skaičių teisingai paversti į dvejetainį skaičių. :Galima paimti skaičių 00001010 ir pastumti į kairę visus bitus keturiom pozicijom. Tada bus gautas skaičius: :10100000. Arba 0.1010000. :Aš jau žinau kaip reikia daryt: :10/2 = 5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :5/2 = 2.5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :2.5/2 = 1.25 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1). :Čia viskas baigta. Toliau reikia paversti skaičių 0.25 į dvejetainę formą. :0.25*2 = 0.5 (ne vienetas, reiškia bus 0), :0.5*2 = 1 (vienetas, reiškia bus 1). :Vadinasi 10 dešimtainėje sistemoje yra 111.01 dvejetainėje sistemoje. Arba 1.1101 kai eksponentė lygi 2. :Patikrinimas: :1.1101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 1.8125. :1.8125 * 2^2 = 1.8125 * 4 = 7.25. :O jeigu 111.01 yra 0.11101 su eksponente 3, tai: :0.11101 = 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 = 0.90625. :0.90625 * 2^3 = 7.25. :Reiškia nėra tikslaus būdo versti sveikuosius dešimtainius skaičius į sveikuosius dvejetainius skaičius. Arba Dirbtinis Intelektas to nežino. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. :Matosi, kad 0.3125*2 = 0.625. Vadinasi, galbūt skaičiaus 1100.101 kablelį reikia pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * (1 + 0.7890625) = 16 * 1.7890625 = 28.625. :Arba :16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Tai štai kaip verčiami tie skaičiai. :Tuomet skaičius 10 verčiamas taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2.5 (rem 1), :2.5/2 = 1.25 (rem 1) :1.25/2 = 0.625 (rem 1). :Vadinasi 12 kažkaip galima užrašyt ar kažka nulius sukeitė ir atspėjo, o 10 jau negalima užrašyti dvejetainėje sistemoje, nors akivaizdu, kad 10 yra 8+2, kas yra 1010 (8*1 + 4*0 + 2*1 + 1*0 = 10). :Vadinasi toks budas yra melangingas apie dešimtainių sveikųjų skaičių vertimas į dvejetainius sveikuosius skaičius. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] apn1iwg3idk524zppwsfd5vu9aw7y1a 58958 58956 2026-09-03T06:02:13Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58958 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :Vadinasi, iš tikrųjų reikia versti kitaip. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. Todėl netgi ir taip blogai. :Jeigu eksponėntė čia būtų ne 10^1, o pvz. 10^2=100, tai reikėtų -1.2625 dauginti iš 100, bet čia reikia dauginti iš 10. :Kaip skaičių 10 paversti į dvejetainį skaičių? Klausimas yra kaip sveikąjį skaičių teisingai paversti į dvejetainį skaičių. :Galima paimti skaičių 00001010 ir pastumti į kairę visus bitus keturiom pozicijom. Tada bus gautas skaičius: :10100000. Arba 0.1010000. :Aš jau žinau kaip reikia daryt: :10/2 = 5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :5/2 = 2.5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :2.5/2 = 1.25 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1). :Čia viskas baigta. Toliau reikia paversti skaičių 0.25 į dvejetainę formą. :0.25*2 = 0.5 (ne vienetas, reiškia bus 0), :0.5*2 = 1 (vienetas, reiškia bus 1). :Vadinasi 10 dešimtainėje sistemoje yra 111.01 dvejetainėje sistemoje. Arba 1.1101 kai eksponentė lygi 2. :Patikrinimas: :1.1101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 1.8125. :1.8125 * 2^2 = 1.8125 * 4 = 7.25. :O jeigu 111.01 yra 0.11101 su eksponente 3, tai: :0.11101 = 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 = 0.90625. :0.90625 * 2^3 = 7.25. :Reiškia nėra tikslaus būdo versti sveikuosius dešimtainius skaičius į sveikuosius dvejetainius skaičius. Arba Dirbtinis Intelektas to nežino. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. :Matosi, kad 0.3125*2 = 0.625. Vadinasi, galbūt skaičiaus 1100.101 kablelį reikia pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * (1 + 0.7890625) = 16 * 1.7890625 = 28.625. :Arba :16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Tai štai kaip verčiami tie skaičiai. :Tuomet skaičius 10 verčiamas taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2.5 (rem 1), :2.5/2 = 1.25 (rem 1) :1.25/2 = 0.625 (rem 1). :Vadinasi 12 kažkaip galima užrašyt ar kažka nulius sukeitė ir atspėjo, o 10 jau negalima užrašyti dvejetainėje sistemoje, nors akivaizdu, kad 10 yra 8+2, kas yra 1010 (8*1 + 4*0 + 2*1 + 1*0 = 10). :Vadinasi toks budas yra melangingas apie dešimtainių sveikųjų skaičių vertimas į dvejetainius sveikuosius skaičius. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] 8ttqb0a32twsbqmyieyv4tci42oh4xy 58959 58958 2026-09-03T06:15:48Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58959 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] 8bgos2gu81qmjcetkif0a8oud7wb7q2 58960 58959 2026-09-03T06:22:22Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58960 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] gi3ysqor9dkxogfj3toyz7kybnjub3f 58961 58960 2026-09-03T06:45:22Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58961 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] bial2svzf7w19kpmb45qnqm63rrso4q 58962 58961 2026-09-03T06:54:45Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58962 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + : [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] 72l46nvsx8ye8cl33es5uy7jg07camf 58963 58962 2026-09-03T06:59:13Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58963 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] 1fqf1n7ouy8qbbusjo1p6k1rzm1eh0g 58964 58963 2026-09-03T07:17:36Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58964 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] fe56pbn7iijujlrcd42elf8jwv9l3v0 58965 58964 2026-09-03T07:26:44Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58965 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] 0oihdmox9m8f4hbsryxelrwz42h30v5 58966 58965 2026-09-03T07:31:11Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58966 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] 32wnjifdx09sdm20im6pu3kpeqbhu0x 58967 58966 2026-09-03T07:40:00Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58967 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant number yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] c7otdv5srsvfwpz7iep6ky1vsfak2fi 58968 58967 2026-09-03T07:47:18Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58968 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] 3gttm8yadlto8qeq8heevm4nqxt3hor 58969 58968 2026-09-03T07:53:40Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58969 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] 7y0otu1rleppfe1j9d9tu99cbrlq01x 58970 58969 2026-09-03T07:55:28Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58970 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] k9w5tr3f8stn17dwz2sybpyhxz0t4md 58971 58970 2026-09-03T08:04:34Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58971 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Toliau eilutė i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); :reiškia pastumti sveikąjį skaičių '''i''' viena pozicija į dešinę ir paskui atimti iš sveikojo skaičiaus 0x5f3759df ir rezultatą įdėti į skaičiaus '''i''' adresą. Skaičius 5f3759df turi 8 hexodecimal skaitmenis. Vienas heksodecimal skaitmuo sudaro 4 bitus. :5 yra 0101, f yra 1111, 3 yra 0011, 7 yra 0111, 5 yra 0101, 9 yra 1001, d yra 1101 (nes A yra 1010, B yra 1011, C yra 1100), f yra 1111. Todėl :5F3759DFh = 0101,1111,0011,0111,0101,1001,1101,1111; :5F3759DFh = 01011111001101110101100111011111. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] 3xvrm6s87tpxsrwekf2lby97nhk88t0 58972 58971 2026-09-03T08:09:50Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58972 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Toliau eilutė i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); :reiškia pastumti sveikąjį skaičių '''i''' viena pozicija į dešinę ir paskui atimti iš sveikojo skaičiaus 0x5f3759df ir rezultatą įdėti į skaičiaus '''i''' adresą. Skaičius 5f3759df turi 8 hexodecimal skaitmenis. Vienas heksodecimal skaitmuo sudaro 4 bitus. :5 yra 0101, f yra 1111, 3 yra 0011, 7 yra 0111, 5 yra 0101, 9 yra 1001, d yra 1101 (nes A yra 1010, B yra 1011, C yra 1100), f yra 1111. Todėl :5F3759DFh = 0101,1111,0011,0111,0101,1001,1101,1111; :5F3759DFh = 01011111001101110101100111011111. :Gale raidė h reiškia, kad tai hexodecimal skaičius. :Ši eilutė: y = * ( float * ) &i; :paverčia long int '''i''' į float, o paskui tą float perkelią į '''y'''. :Toliau daromos Niutono iteracijos: y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed :čia y jau turi apytikslią reikšmę <math>\frac{1}{\sqrt{\text{number}}}.</math> [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] gmf2fymvj7f625d5y8x4hephu1dn67x 58973 58972 2026-09-03T08:14:41Z Paraboloid 1294 /* Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius */ 58973 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. ==Skaičiavimas inverse square root su C kodu== :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Toliau eilutė i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); :reiškia pastumti sveikąjį skaičių '''i''' viena pozicija į dešinę ir paskui atimti iš sveikojo skaičiaus 0x5f3759df ir rezultatą įdėti į skaičiaus '''i''' adresą. Skaičius 5f3759df turi 8 hexodecimal skaitmenis. Vienas heksodecimal skaitmuo sudaro 4 bitus. :5 yra 0101, f yra 1111, 3 yra 0011, 7 yra 0111, 5 yra 0101, 9 yra 1001, d yra 1101 (nes A yra 1010, B yra 1011, C yra 1100), f yra 1111. Todėl :5F3759DFh = 0101,1111,0011,0111,0101,1001,1101,1111; :5F3759DFh = 01011111001101110101100111011111. :Gale raidė h reiškia, kad tai hexodecimal skaičius. :Ši eilutė: y = * ( float * ) &i; :paverčia long int '''i''' į float, o paskui tą float perkelią į '''y'''. :Toliau daromos Niutono iteracijos: y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed :čia y jau turi apytikslią reikšmę <math>\frac{1}{\sqrt{\text{number}}}.</math> ===Worked example=== As an example, the number <math>x=0.15625</math> can be used to calculate <math display=inline>\frac{1}{\sqrt{x}} \approx 2.52982</math>. The first steps of the algorithm are illustrated below: 0011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 Bit pattern of both x and i 0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 Shift right one position: (i &gt;&gt; 1) 0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111 The result of 0x5F3759DF - (i &gt;&gt; 1) Interpreting as [[IEEE 754|IEEE]] 32-bit representation: 0_01111100_01000000000000000000000 1.25 × 2⁻³ 0_00111110_00100000000000000000000 1.125 × 2⁻⁶⁵ 0_10111110_01101110101100111011111 1.432430... × 2⁶³ 0_10000000_01001110101100111011111 1.307430... × 2¹ Reinterpreting this last bit pattern as a floating point number gives the approximation <math>y=2.61486</math>, which has an error of about 3.4%. After one iteration of Newton's method, the final result is <math>y=2.52549</math>, an error of only 0.17%. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] 7lhjtqcrofbgtdc24e3m6qkaxe3dis9 58974 58973 2026-09-03T08:24:06Z Paraboloid 1294 /* Skaičiavimas inverse square root su C kodu */ 58974 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. ==Skaičiavimas inverse square root su C kodu== :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Toliau eilutė i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); :reiškia pastumti sveikąjį skaičių '''i''' viena pozicija į dešinę ir paskui atimti iš sveikojo skaičiaus 0x5f3759df ir rezultatą įdėti į skaičiaus '''i''' adresą. Skaičius 5f3759df turi 8 hexodecimal skaitmenis. Vienas heksodecimal skaitmuo sudaro 4 bitus. :5 yra 0101, f yra 1111, 3 yra 0011, 7 yra 0111, 5 yra 0101, 9 yra 1001, d yra 1101 (nes A yra 1010, B yra 1011, C yra 1100), f yra 1111. Todėl :5F3759DFh = 0101,1111,0011,0111,0101,1001,1101,1111; :5F3759DFh = 01011111001101110101100111011111. :Gale raidė h reiškia, kad tai hexodecimal skaičius. :Ši eilutė: y = * ( float * ) &i; :paverčia long int '''i''' į float, o paskui tą float perkelią į '''y'''. :Toliau daromos Niutono iteracijos: y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed :čia y jau turi apytikslią reikšmę <math>\frac{1}{\sqrt{\text{number}}}.</math> ===Worked example=== As an example, the number <math>x=0.15625</math> can be used to calculate <math display=inline>\frac{1}{\sqrt{x}} \approx 2.52982</math>. The first steps of the algorithm are illustrated below: 0011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 Bit pattern of both x and i 0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 Shift right one position: (i &gt;&gt; 1) 0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111 The result of 0x5F3759DF - (i &gt;&gt; 1) Interpreting as [[IEEE 754|IEEE]] 32-bit representation: 0_01111100_01000000000000000000000 1.25 × 2⁻³ 0_00111110_00100000000000000000000 1.125 × 2⁻⁶⁵ 0_10111110_01101110101100111011111 1.432430... × 2⁶³ 0_10000000_01001110101100111011111 1.307430... × 2¹ Reinterpreting this last bit pattern as a floating point number gives the approximation <math>y=2.61486</math>, which has an error of about 3.4%. After one iteration of Newton's method, the final result is <math>y=2.52549</math>, an error of only 0.17%. :'''Patikrinimas.''' :<math>x=0.15625.</math> :Sing: '''0'''011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 (1 bitas). :Exponent: 0'''011_1110_0''''010_0000_0000_0000_0000_0000 (8 bitai). :Mantissa: 0011_1110_0''''010_0000_0000_0000_0000_0000''' (23 bitai). :Exponente yra '''01111100'''. Tai yra :128*0 + 64*1 + 32*1 + 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*0 + 1*0 = 124. :124-127 = -3. Tada eksponentė yra '''-3'''. 2^(-3) = 0.125. :Mantisa yra ''''010_0000_0000_0000_0000_0000'''. :Arba '''101''' = 1 + 0.5*0 + 0.25*1 = '''1.25'''. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] o1bos7jtbohlc0cnkswhnh6b8a6w1nm 58975 58974 2026-09-03T08:25:01Z Paraboloid 1294 /* Skaičiavimas inverse square root su C kodu */ 58975 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. ==Skaičiavimas inverse square root su C kodu== :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Toliau eilutė i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); :reiškia pastumti sveikąjį skaičių '''i''' viena pozicija į dešinę ir paskui atimti iš sveikojo skaičiaus 0x5f3759df ir rezultatą įdėti į skaičiaus '''i''' adresą. Skaičius 5f3759df turi 8 hexodecimal skaitmenis. Vienas heksodecimal skaitmuo sudaro 4 bitus. :5 yra 0101, f yra 1111, 3 yra 0011, 7 yra 0111, 5 yra 0101, 9 yra 1001, d yra 1101 (nes A yra 1010, B yra 1011, C yra 1100), f yra 1111. Todėl :5F3759DFh = 0101,1111,0011,0111,0101,1001,1101,1111; :5F3759DFh = 01011111001101110101100111011111. :Gale raidė h reiškia, kad tai hexodecimal skaičius. :Ši eilutė: y = * ( float * ) &i; :paverčia long int '''i''' į float, o paskui tą float perkelią į '''y'''. :Toliau daromos Niutono iteracijos: y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed :čia y jau turi apytikslią reikšmę <math>\frac{1}{\sqrt{\text{number}}}.</math> ===Worked example=== As an example, the number <math>x=0.15625</math> can be used to calculate <math display=inline>\frac{1}{\sqrt{x}} \approx 2.52982</math>. The first steps of the algorithm are illustrated below: 0011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 Bit pattern of both x and i 0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 Shift right one position: (i &gt;&gt; 1) 0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111 The result of 0x5F3759DF - (i &gt;&gt; 1) Interpreting as [[IEEE 754|IEEE]] 32-bit representation: 0_01111100_01000000000000000000000 1.25 × 2⁻³ 0_00111110_00100000000000000000000 1.125 × 2⁻⁶⁵ 0_10111110_01101110101100111011111 1.432430... × 2⁶³ 0_10000000_01001110101100111011111 1.307430... × 2¹ Reinterpreting this last bit pattern as a floating point number gives the approximation <math>y=2.61486</math>, which has an error of about 3.4%. After one iteration of Newton's method, the final result is <math>y=2.52549</math>, an error of only 0.17%. :'''Patikrinimas.''' :<math>x=0.15625.</math> :Sing: '''0'''011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 (1 bitas). :Exponent: 0'''011_1110_0''''010_0000_0000_0000_0000_0000 (8 bitai). :Mantissa: 0011_1110_0''''010_0000_0000_0000_0000_0000''' (23 bitai). :Exponente yra '''01111100'''. Tai yra :128*0 + 64*1 + 32*1 + 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*0 + 1*0 = 124. :124-127 = -3. Tada eksponentė yra '''-3'''. 2^(-3) = 0.125. :Mantisa yra ''''010_0000_0000_0000_0000_0000'''. :Arba '''101''' = 1 + 0.5*0 + 0.25*1 = '''1.25'''. :1.25 * 0.125 = 0.15625. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] 1strgk2rz2jpefmo92gvv6boirlrt1k 58976 58975 2026-09-03T10:08:02Z Paraboloid 1294 /* Worked example */ 58976 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. ==Skaičiavimas inverse square root su C kodu== :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Toliau eilutė i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); :reiškia pastumti sveikąjį skaičių '''i''' viena pozicija į dešinę ir paskui atimti iš sveikojo skaičiaus 0x5f3759df ir rezultatą įdėti į skaičiaus '''i''' adresą. Skaičius 5f3759df turi 8 hexodecimal skaitmenis. Vienas heksodecimal skaitmuo sudaro 4 bitus. :5 yra 0101, f yra 1111, 3 yra 0011, 7 yra 0111, 5 yra 0101, 9 yra 1001, d yra 1101 (nes A yra 1010, B yra 1011, C yra 1100), f yra 1111. Todėl :5F3759DFh = 0101,1111,0011,0111,0101,1001,1101,1111; :5F3759DFh = 01011111001101110101100111011111. :Gale raidė h reiškia, kad tai hexodecimal skaičius. :Ši eilutė: y = * ( float * ) &i; :paverčia long int '''i''' į float, o paskui tą float perkelią į '''y'''. :Toliau daromos Niutono iteracijos: y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed :čia y jau turi apytikslią reikšmę <math>\frac{1}{\sqrt{\text{number}}}.</math> ===Worked example=== As an example, the number <math>x=0.15625</math> can be used to calculate <math display=inline>\frac{1}{\sqrt{x}} \approx 2.52982</math>. The first steps of the algorithm are illustrated below: 0011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 Bit pattern of both x and i 0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 Shift right one position: (i &gt;&gt; 1) 0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111 The result of 0x5F3759DF - (i &gt;&gt; 1) Interpreting as [[IEEE 754|IEEE]] 32-bit representation: 0_01111100_01000000000000000000000 1.25 × 2⁻³ 0_00111110_00100000000000000000000 1.125 × 2⁻⁶⁵ 0_10111110_01101110101100111011111 1.432430... × 2⁶³ 0_10000000_01001110101100111011111 1.307430... × 2¹ Reinterpreting this last bit pattern as a floating point number gives the approximation <math>y=2.61486</math>, which has an error of about 3.4%. After one iteration of Newton's method, the final result is <math>y=2.52549</math>, an error of only 0.17%. :'''Patikrinimas.''' :<math>x=0.15625.</math> :Sing: '''0'''011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 (1 bitas). :Exponent: 0'''011_1110_0''''010_0000_0000_0000_0000_0000 (8 bitai). :Mantissa: 0011_1110_0''''010_0000_0000_0000_0000_0000''' (23 bitai). :Exponente yra '''01111100'''. Tai yra :128*0 + 64*1 + 32*1 + 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*0 + 1*0 = 124. :124-127 = -3. Tada eksponentė yra '''-3'''. 2^(-3) = 0.125. :Mantisa yra ''''010_0000_0000_0000_0000_0000'''. :Arba '''101''' = 1 + 0.5*0 + 0.25*1 = '''1.25'''. :1.25 * 0.125 = 0.15625. :Visi bitai pastumiami viena bito pozicija į dešinę. Tai tas pats kas padalinti iš dviejų mantisą ir eksponentę. Po pastumimo 32 bitų skaičius tampa: :0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 :Eksponentė tampa 001_1111_0 arba '''00111110'''. Tai yra 128*0+64*0+32*1+16*1+8*1+4*1+2*1+1*0 = 62. :62-127 = -65. Padauginus iš 2^(-65) = 2.7105054312137610850186320021749e-20 mantisoje nieko neliks. :Mantisa tapo 001_0000_0000_0000_0000_0000, kas yra :1001 = 1 + 0.5*0 + 0.25*0 + 0.125*1 = 1.125. :1.125 * 2^62 = 5,188,146,770,730,811,392. :1.125 * 2^(-65) = 3.0493186101154812206459610024467e-20 = 3.0493186101154812206459610024467*10^(-20). :Vat ir išlindo yla iš maišo. Jei nereikėtų prirašyt priekyje vienetoje mantisoje, o eksponentė butų vienetu didesnė, tai rezultatas būtų :1001 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 0.5 + 0.0625 = 0.5625. (0.5625*2 = 1.125) :Eksponentė būtų vienetu didesnė (63 arba -64 po atėmimo 127). :0.5625 * 2^63 = 5,188,146,770,730,811,392. :0.5625 * 2^(-64) = 3.0493186101154812206459610024467e-20. :Vadinasi išekstraktuojant atskirai eksponentę ir mantisą ir pastumus mantisos bitus į dešine viena pozicija, į kairiausį bitą turi įeitį vienetas. O prie eksponentės prisidėti vienetas, jeigu norima turėti tą patį skaičių. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] ocp1widgspf0uxsviqonfj2ucebrhkp 58977 58976 2026-09-03T10:23:36Z Paraboloid 1294 /* Skaičiavimas inverse square root su C kodu */ 58977 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. ==Skaičiavimas inverse square root su C kodu== :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Toliau eilutė i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); :reiškia pastumti sveikąjį skaičių '''i''' viena pozicija į dešinę ir paskui atimti iš sveikojo skaičiaus 0x5f3759df ir rezultatą įdėti į skaičiaus '''i''' adresą. Skaičius 5f3759df turi 8 hexodecimal skaitmenis. Vienas heksodecimal skaitmuo sudaro 4 bitus. :5 yra 0101, f yra 1111, 3 yra 0011, 7 yra 0111, 5 yra 0101, 9 yra 1001, d yra 1101 (nes A yra 1010, B yra 1011, C yra 1100), f yra 1111. Todėl :5F3759DFh = 0101,1111,0011,0111,0101,1001,1101,1111; :5F3759DFh = 01011111001101110101100111011111. :Gale raidė h reiškia, kad tai hexodecimal skaičius. :Ši eilutė: y = * ( float * ) &i; :paverčia long int '''i''' į float, o paskui tą float perkelią į '''y'''. :Toliau daromos Niutono iteracijos: y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed :čia y jau turi apytikslią reikšmę <math>\frac{1}{\sqrt{\text{number}}}.</math> ===Worked example=== As an example, the number <math>x=0.15625</math> can be used to calculate <math display=inline>\frac{1}{\sqrt{x}} \approx 2.52982</math>. The first steps of the algorithm are illustrated below: 0011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 Bit pattern of both x and i 0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 Shift right one position: (i &gt;&gt; 1) 0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111 The result of 0x5F3759DF - (i &gt;&gt; 1) Interpreting as [[IEEE 754|IEEE]] 32-bit representation: 0_01111100_01000000000000000000000 1.25 × 2⁻³ 0_00111110_00100000000000000000000 1.125 × 2⁻⁶⁵ 0_10111110_01101110101100111011111 1.432430... × 2⁶³ 0_10000000_01001110101100111011111 1.307430... × 2¹ Reinterpreting this last bit pattern as a floating point number gives the approximation <math>y=2.61486</math>, which has an error of about 3.4%. After one iteration of Newton's method, the final result is <math>y=2.52549</math>, an error of only 0.17%. :'''Patikrinimas.''' :<math>x=0.15625.</math> :Sing: '''0'''011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 (1 bitas). :Exponent: 0'''011_1110_0''''010_0000_0000_0000_0000_0000 (8 bitai). :Mantissa: 0011_1110_0''''010_0000_0000_0000_0000_0000''' (23 bitai). :Exponente yra '''01111100'''. Tai yra :128*0 + 64*1 + 32*1 + 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*0 + 1*0 = 124. :124-127 = -3. Tada eksponentė yra '''-3'''. 2^(-3) = 0.125. :Mantisa yra ''''010_0000_0000_0000_0000_0000'''. :Arba '''101''' = 1 + 0.5*0 + 0.25*1 = '''1.25'''. :1.25 * 0.125 = 0.15625. :Visi bitai pastumiami viena bito pozicija į dešinę. Tai tas pats kas padalinti iš dviejų mantisą ir eksponentę. Po pastumimo 32 bitų skaičius tampa: :0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 :Eksponentė tampa 001_1111_0 arba '''00111110'''. Tai yra 128*0+64*0+32*1+16*1+8*1+4*1+2*1+1*0 = 62. :62-127 = -65. Padauginus iš 2^(-65) = 2.7105054312137610850186320021749e-20 mantisoje nieko neliks. :Mantisa tapo 001_0000_0000_0000_0000_0000, kas yra :1001 = 1 + 0.5*0 + 0.25*0 + 0.125*1 = 1.125. :1.125 * 2^62 = 5,188,146,770,730,811,392. :1.125 * 2^(-65) = 3.0493186101154812206459610024467e-20 = 3.0493186101154812206459610024467*10^(-20). :Vat ir išlindo yla iš maišo. Jei nereikėtų prirašyt priekyje vienetoje mantisoje, o eksponentė butų vienetu didesnė, tai rezultatas būtų :1001 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 0.5 + 0.0625 = 0.5625. (0.5625*2 = 1.125) :Eksponentė būtų vienetu didesnė (63 arba -64 po atėmimo 127). :0.5625 * 2^63 = 5,188,146,770,730,811,392. :0.5625 * 2^(-64) = 3.0493186101154812206459610024467e-20. :Vadinasi išekstraktuojant atskirai eksponentę ir mantisą ir pastumus mantisos bitus į dešine viena pozicija, į kairiausį bitą turi įeitį vienetas. O prie eksponentės prisidėti vienetas, jeigu norima turėti tą patį skaičių. :'''Magiškas skaičius reikalingas šiam darbui.''' :Magiškas skaičius yra :0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF :Sing: '''0''' (1 bitas). :Exponent: '''101_1111_0''' (8 bitai). :Mantissa: '''011_0111_0101_1001_1101_1111''' (23 bitai). :Eksponentė yra 10111110 = 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 190. Atėmus 127 ji tampa 190-127 = 63. :Mantisa yra :011_0111_0101_1001_1101_1111 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*1 + 0.0078125*1 + 0.00390625*0 + 0.001953125*1 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 + :+ 0.00000762939453125*1 + 0.000003814697265625*0 + 0.0000019073486328125*1 + 0.00000095367431640625*1 + 0.000000476837158203125*1 + 0.0000002384185791015625*1 + 0.00000011920928955078125*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 + 0.00001132488250732421875 = 0.26250827312469482421875. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] kurgq2w34896p8n2nwttoms91pn872h 58978 58977 2026-09-03T10:26:52Z Paraboloid 1294 /* Worked example */ 58978 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. ==Skaičiavimas inverse square root su C kodu== :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Toliau eilutė i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); :reiškia pastumti sveikąjį skaičių '''i''' viena pozicija į dešinę ir paskui atimti iš sveikojo skaičiaus 0x5f3759df ir rezultatą įdėti į skaičiaus '''i''' adresą. Skaičius 5f3759df turi 8 hexodecimal skaitmenis. Vienas heksodecimal skaitmuo sudaro 4 bitus. :5 yra 0101, f yra 1111, 3 yra 0011, 7 yra 0111, 5 yra 0101, 9 yra 1001, d yra 1101 (nes A yra 1010, B yra 1011, C yra 1100), f yra 1111. Todėl :5F3759DFh = 0101,1111,0011,0111,0101,1001,1101,1111; :5F3759DFh = 01011111001101110101100111011111. :Gale raidė h reiškia, kad tai hexodecimal skaičius. :Ši eilutė: y = * ( float * ) &i; :paverčia long int '''i''' į float, o paskui tą float perkelią į '''y'''. :Toliau daromos Niutono iteracijos: y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed :čia y jau turi apytikslią reikšmę <math>\frac{1}{\sqrt{\text{number}}}.</math> ===Worked example=== As an example, the number <math>x=0.15625</math> can be used to calculate <math display=inline>\frac{1}{\sqrt{x}} \approx 2.52982</math>. The first steps of the algorithm are illustrated below: 0011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 Bit pattern of both x and i 0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 Shift right one position: (i &gt;&gt; 1) 0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111 The result of 0x5F3759DF - (i &gt;&gt; 1) Interpreting as [[IEEE 754|IEEE]] 32-bit representation: 0_01111100_01000000000000000000000 1.25 × 2⁻³ 0_00111110_00100000000000000000000 1.125 × 2⁻⁶⁵ 0_10111110_01101110101100111011111 1.432430... × 2⁶³ 0_10000000_01001110101100111011111 1.307430... × 2¹ Reinterpreting this last bit pattern as a floating point number gives the approximation <math>y=2.61486</math>, which has an error of about 3.4%. After one iteration of Newton's method, the final result is <math>y=2.52549</math>, an error of only 0.17%. :'''Patikrinimas.''' :<math>x=0.15625.</math> :Sing: '''0'''011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 (1 bitas). :Exponent: 0'''011_1110_0''''010_0000_0000_0000_0000_0000 (8 bitai). :Mantissa: 0011_1110_0''''010_0000_0000_0000_0000_0000''' (23 bitai). :Exponente yra '''01111100'''. Tai yra :128*0 + 64*1 + 32*1 + 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*0 + 1*0 = 124. :124-127 = -3. Tada eksponentė yra '''-3'''. 2^(-3) = 0.125. :Mantisa yra ''''010_0000_0000_0000_0000_0000'''. :Arba '''101''' = 1 + 0.5*0 + 0.25*1 = '''1.25'''. :1.25 * 0.125 = 0.15625. :Visi bitai pastumiami viena bito pozicija į dešinę. Tai tas pats kas padalinti iš dviejų mantisą ir eksponentę. Po pastumimo 32 bitų skaičius tampa: :0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 :Eksponentė tampa 001_1111_0 arba '''00111110'''. Tai yra 128*0+64*0+32*1+16*1+8*1+4*1+2*1+1*0 = 62. :62-127 = -65. Padauginus iš 2^(-65) = 2.7105054312137610850186320021749e-20 mantisoje nieko neliks. :Mantisa tapo 001_0000_0000_0000_0000_0000, kas yra :1001 = 1 + 0.5*0 + 0.25*0 + 0.125*1 = 1.125. :1.125 * 2^62 = 5,188,146,770,730,811,392. :1.125 * 2^(-65) = 3.0493186101154812206459610024467e-20 = 3.0493186101154812206459610024467*10^(-20). :Vat ir išlindo yla iš maišo. Jei nereikėtų prirašyt priekyje vienetoje mantisoje, o eksponentė butų vienetu didesnė, tai rezultatas būtų :1001 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 0.5 + 0.0625 = 0.5625. (0.5625*2 = 1.125) :Eksponentė būtų vienetu didesnė (63 arba -64 po atėmimo 127). :0.5625 * 2^63 = 5,188,146,770,730,811,392. :0.5625 * 2^(-64) = 3.0493186101154812206459610024467e-20. :Vadinasi išekstraktuojant atskirai eksponentę ir mantisą ir pastumus mantisos bitus į dešine viena pozicija, į kairiausį bitą turi įeitį vienetas. O prie eksponentės prisidėti vienetas, jeigu norima turėti tą patį skaičių. :'''Magiškas skaičius reikalingas šiam darbui.''' :Magiškas skaičius yra :0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF :Sing: '''0''' (1 bitas). :Exponent: '''101_1111_0''' (8 bitai). :Mantissa: '''011_0111_0101_1001_1101_1111''' (23 bitai). :Eksponentė yra 10111110 = 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 190. Atėmus 127 ji tampa 190-127 = 63. :Mantisa yra :011_0111_0101_1001_1101_1111 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*1 + 0.0078125*1 + 0.00390625*0 + 0.001953125*1 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 + :+ 0.00000762939453125*1 + 0.000003814697265625*0 + 0.0000019073486328125*1 + 0.00000095367431640625*1 + :+ 0.000000476837158203125*1 + 0.0000002384185791015625*1 + 0.00000011920928955078125*1 = := 0.431640625 + 0.0007781982421875 + 0.00078868865966796875 + 0.00000083446502685546875 = 0.43320834636688232421875. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] ob1w40a7xdb3dlzyuaf2oe7yoip7j9f 58979 58978 2026-09-03T10:27:13Z Paraboloid 1294 /* Worked example */ 58979 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. ==Skaičiavimas inverse square root su C kodu== :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Toliau eilutė i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); :reiškia pastumti sveikąjį skaičių '''i''' viena pozicija į dešinę ir paskui atimti iš sveikojo skaičiaus 0x5f3759df ir rezultatą įdėti į skaičiaus '''i''' adresą. Skaičius 5f3759df turi 8 hexodecimal skaitmenis. Vienas heksodecimal skaitmuo sudaro 4 bitus. :5 yra 0101, f yra 1111, 3 yra 0011, 7 yra 0111, 5 yra 0101, 9 yra 1001, d yra 1101 (nes A yra 1010, B yra 1011, C yra 1100), f yra 1111. Todėl :5F3759DFh = 0101,1111,0011,0111,0101,1001,1101,1111; :5F3759DFh = 01011111001101110101100111011111. :Gale raidė h reiškia, kad tai hexodecimal skaičius. :Ši eilutė: y = * ( float * ) &i; :paverčia long int '''i''' į float, o paskui tą float perkelią į '''y'''. :Toliau daromos Niutono iteracijos: y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed :čia y jau turi apytikslią reikšmę <math>\frac{1}{\sqrt{\text{number}}}.</math> ===Worked example=== As an example, the number <math>x=0.15625</math> can be used to calculate <math display=inline>\frac{1}{\sqrt{x}} \approx 2.52982</math>. The first steps of the algorithm are illustrated below: 0011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 Bit pattern of both x and i 0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 Shift right one position: (i &gt;&gt; 1) 0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111 The result of 0x5F3759DF - (i &gt;&gt; 1) Interpreting as [[IEEE 754|IEEE]] 32-bit representation: 0_01111100_01000000000000000000000 1.25 × 2⁻³ 0_00111110_00100000000000000000000 1.125 × 2⁻⁶⁵ 0_10111110_01101110101100111011111 1.432430... × 2⁶³ 0_10000000_01001110101100111011111 1.307430... × 2¹ Reinterpreting this last bit pattern as a floating point number gives the approximation <math>y=2.61486</math>, which has an error of about 3.4%. After one iteration of Newton's method, the final result is <math>y=2.52549</math>, an error of only 0.17%. :'''Patikrinimas.''' :<math>x=0.15625.</math> :Sing: '''0'''011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 (1 bitas). :Exponent: 0'''011_1110_0'''010_0000_0000_0000_0000_0000 (8 bitai). :Mantissa: 0011_1110_0'''010_0000_0000_0000_0000_0000''' (23 bitai). :Exponente yra '''01111100'''. Tai yra :128*0 + 64*1 + 32*1 + 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*0 + 1*0 = 124. :124-127 = -3. Tada eksponentė yra '''-3'''. 2^(-3) = 0.125. :Mantisa yra ''''010_0000_0000_0000_0000_0000'''. :Arba '''101''' = 1 + 0.5*0 + 0.25*1 = '''1.25'''. :1.25 * 0.125 = 0.15625. :Visi bitai pastumiami viena bito pozicija į dešinę. Tai tas pats kas padalinti iš dviejų mantisą ir eksponentę. Po pastumimo 32 bitų skaičius tampa: :0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 :Eksponentė tampa 001_1111_0 arba '''00111110'''. Tai yra 128*0+64*0+32*1+16*1+8*1+4*1+2*1+1*0 = 62. :62-127 = -65. Padauginus iš 2^(-65) = 2.7105054312137610850186320021749e-20 mantisoje nieko neliks. :Mantisa tapo 001_0000_0000_0000_0000_0000, kas yra :1001 = 1 + 0.5*0 + 0.25*0 + 0.125*1 = 1.125. :1.125 * 2^62 = 5,188,146,770,730,811,392. :1.125 * 2^(-65) = 3.0493186101154812206459610024467e-20 = 3.0493186101154812206459610024467*10^(-20). :Vat ir išlindo yla iš maišo. Jei nereikėtų prirašyt priekyje vienetoje mantisoje, o eksponentė butų vienetu didesnė, tai rezultatas būtų :1001 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 0.5 + 0.0625 = 0.5625. (0.5625*2 = 1.125) :Eksponentė būtų vienetu didesnė (63 arba -64 po atėmimo 127). :0.5625 * 2^63 = 5,188,146,770,730,811,392. :0.5625 * 2^(-64) = 3.0493186101154812206459610024467e-20. :Vadinasi išekstraktuojant atskirai eksponentę ir mantisą ir pastumus mantisos bitus į dešine viena pozicija, į kairiausį bitą turi įeitį vienetas. O prie eksponentės prisidėti vienetas, jeigu norima turėti tą patį skaičių. :'''Magiškas skaičius reikalingas šiam darbui.''' :Magiškas skaičius yra :0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF :Sing: '''0''' (1 bitas). :Exponent: '''101_1111_0''' (8 bitai). :Mantissa: '''011_0111_0101_1001_1101_1111''' (23 bitai). :Eksponentė yra 10111110 = 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 190. Atėmus 127 ji tampa 190-127 = 63. :Mantisa yra :011_0111_0101_1001_1101_1111 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*1 + 0.0078125*1 + 0.00390625*0 + 0.001953125*1 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 + :+ 0.00000762939453125*1 + 0.000003814697265625*0 + 0.0000019073486328125*1 + 0.00000095367431640625*1 + :+ 0.000000476837158203125*1 + 0.0000002384185791015625*1 + 0.00000011920928955078125*1 = := 0.431640625 + 0.0007781982421875 + 0.00078868865966796875 + 0.00000083446502685546875 = 0.43320834636688232421875. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] bf844cry9nrb4xj92pprzqetfmr7pnw 58980 58979 2026-09-03T10:30:13Z Paraboloid 1294 /* Worked example */ 58980 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. ==Skaičiavimas inverse square root su C kodu== :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Toliau eilutė i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); :reiškia pastumti sveikąjį skaičių '''i''' viena pozicija į dešinę ir paskui atimti iš sveikojo skaičiaus 0x5f3759df ir rezultatą įdėti į skaičiaus '''i''' adresą. Skaičius 5f3759df turi 8 hexodecimal skaitmenis. Vienas heksodecimal skaitmuo sudaro 4 bitus. :5 yra 0101, f yra 1111, 3 yra 0011, 7 yra 0111, 5 yra 0101, 9 yra 1001, d yra 1101 (nes A yra 1010, B yra 1011, C yra 1100), f yra 1111. Todėl :5F3759DFh = 0101,1111,0011,0111,0101,1001,1101,1111; :5F3759DFh = 01011111001101110101100111011111. :Gale raidė h reiškia, kad tai hexodecimal skaičius. :Ši eilutė: y = * ( float * ) &i; :paverčia long int '''i''' į float, o paskui tą float perkelią į '''y'''. :Toliau daromos Niutono iteracijos: y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed :čia y jau turi apytikslią reikšmę <math>\frac{1}{\sqrt{\text{number}}}.</math> ===Worked example=== As an example, the number <math>x=0.15625</math> can be used to calculate <math display=inline>\frac{1}{\sqrt{x}} \approx 2.52982</math>. The first steps of the algorithm are illustrated below: 0011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 Bit pattern of both x and i 0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 Shift right one position: (i &gt;&gt; 1) 0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111 The result of 0x5F3759DF - (i &gt;&gt; 1) Interpreting as [[IEEE 754|IEEE]] 32-bit representation: 0_01111100_01000000000000000000000 1.25 × 2⁻³ 0_00111110_00100000000000000000000 1.125 × 2⁻⁶⁵ 0_10111110_01101110101100111011111 1.432430... × 2⁶³ 0_10000000_01001110101100111011111 1.307430... × 2¹ Reinterpreting this last bit pattern as a floating point number gives the approximation <math>y=2.61486</math>, which has an error of about 3.4%. After one iteration of Newton's method, the final result is <math>y=2.52549</math>, an error of only 0.17%. :'''Patikrinimas.''' :<math>x=0.15625.</math> :Sing: '''0'''011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 (1 bitas). :Exponent: 0'''011_1110_0'''010_0000_0000_0000_0000_0000 (8 bitai). :Mantissa: 0011_1110_0'''010_0000_0000_0000_0000_0000''' (23 bitai). :Exponente yra '''01111100'''. Tai yra :128*0 + 64*1 + 32*1 + 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*0 + 1*0 = 124. :124-127 = -3. Tada eksponentė yra '''-3'''. 2^(-3) = 0.125. :Mantisa yra ''''010_0000_0000_0000_0000_0000'''. :Arba '''101''' = 1 + 0.5*0 + 0.25*1 = '''1.25'''. :1.25 * 0.125 = 0.15625. :Visi bitai pastumiami viena bito pozicija į dešinę. Tai tas pats kas padalinti iš dviejų mantisą ir eksponentę. Po pastumimo 32 bitų skaičius tampa: :0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 :Eksponentė tampa 001_1111_0 arba '''00111110'''. Tai yra 128*0+64*0+32*1+16*1+8*1+4*1+2*1+1*0 = 62. :62-127 = -65. Padauginus iš 2^(-65) = 2.7105054312137610850186320021749e-20 mantisoje nieko neliks. :Mantisa tapo 001_0000_0000_0000_0000_0000, kas yra :1001 = 1 + 0.5*0 + 0.25*0 + 0.125*1 = 1.125. :1.125 * 2^62 = 5,188,146,770,730,811,392. :1.125 * 2^(-65) = 3.0493186101154812206459610024467e-20 = 3.0493186101154812206459610024467*10^(-20). :Vat ir išlindo yla iš maišo. Jei nereikėtų prirašyt priekyje vienetoje mantisoje, o eksponentė butų vienetu didesnė, tai rezultatas būtų :1001 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 0.5 + 0.0625 = 0.5625. (0.5625*2 = 1.125) :Eksponentė būtų vienetu didesnė (63 arba -64 po atėmimo 127). :0.5625 * 2^63 = 5,188,146,770,730,811,392. :0.5625 * 2^(-64) = 3.0493186101154812206459610024467e-20. :Vadinasi išekstraktuojant atskirai eksponentę ir mantisą ir pastumus mantisos bitus į dešine viena pozicija, į kairiausį bitą turi įeitį vienetas. O prie eksponentės prisidėti vienetas, jeigu norima turėti tą patį skaičių. :'''Magiškas skaičius reikalingas šiam darbui.''' :Magiškas skaičius yra :0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF :Sing: '''0''' (1 bitas). :Exponent: '''101_1111_0''' (8 bitai). :Mantissa: '''011_0111_0101_1001_1101_1111''' (23 bitai). :Eksponentė yra 10111110 = 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 190. Atėmus 127 ji tampa 190-127 = 63. :Mantisa yra :011_0111_0101_1001_1101_1111 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*1 + 0.0078125*1 + 0.00390625*0 + 0.001953125*1 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 + :+ 0.00000762939453125*1 + 0.000003814697265625*0 + 0.0000019073486328125*1 + 0.00000095367431640625*1 + :+ 0.000000476837158203125*1 + 0.0000002384185791015625*1 + 0.00000011920928955078125*1 = := 0.431640625 + 0.0007781982421875 + 0.00078868865966796875 + 0.00000083446502685546875 = 0.43320834636688232421875. :Viso skaičiaus reikšmė yra: :0.43320834636688232421875 * 2^190 = 6.7982321569088782954188335838252e+56 = 6.7982321569088782954188335838252 * 10^56. :Arba: :0.43320834636688232421875 * 2^63 = 3,995,641,748,012,400,640 = 3.995641748012400640 * 10^18. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] 0wsxo6bldl3lzj2p7jtum8o0ixny3bf 58981 58980 2026-09-03T10:33:10Z Paraboloid 1294 /* Worked example */ 58981 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. ==Skaičiavimas inverse square root su C kodu== :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Toliau eilutė i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); :reiškia pastumti sveikąjį skaičių '''i''' viena pozicija į dešinę ir paskui atimti iš sveikojo skaičiaus 0x5f3759df ir rezultatą įdėti į skaičiaus '''i''' adresą. Skaičius 5f3759df turi 8 hexodecimal skaitmenis. Vienas heksodecimal skaitmuo sudaro 4 bitus. :5 yra 0101, f yra 1111, 3 yra 0011, 7 yra 0111, 5 yra 0101, 9 yra 1001, d yra 1101 (nes A yra 1010, B yra 1011, C yra 1100), f yra 1111. Todėl :5F3759DFh = 0101,1111,0011,0111,0101,1001,1101,1111; :5F3759DFh = 01011111001101110101100111011111. :Gale raidė h reiškia, kad tai hexodecimal skaičius. :Ši eilutė: y = * ( float * ) &i; :paverčia long int '''i''' į float, o paskui tą float perkelią į '''y'''. :Toliau daromos Niutono iteracijos: y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed :čia y jau turi apytikslią reikšmę <math>\frac{1}{\sqrt{\text{number}}}.</math> ===Worked example=== As an example, the number <math>x=0.15625</math> can be used to calculate <math display=inline>\frac{1}{\sqrt{x}} \approx 2.52982</math>. The first steps of the algorithm are illustrated below: 0011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 Bit pattern of both x and i 0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 Shift right one position: (i &gt;&gt; 1) 0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111 The result of 0x5F3759DF - (i &gt;&gt; 1) Interpreting as [[IEEE 754|IEEE]] 32-bit representation: 0_01111100_01000000000000000000000 1.25 × 2⁻³ 0_00111110_00100000000000000000000 1.125 × 2⁻⁶⁵ 0_10111110_01101110101100111011111 1.432430... × 2⁶³ 0_10000000_01001110101100111011111 1.307430... × 2¹ Reinterpreting this last bit pattern as a floating point number gives the approximation <math>y=2.61486</math>, which has an error of about 3.4%. After one iteration of Newton's method, the final result is <math>y=2.52549</math>, an error of only 0.17%. :'''Patikrinimas.''' :<math>x=0.15625.</math> :Sing: '''0'''011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 (1 bitas). :Exponent: 0'''011_1110_0'''010_0000_0000_0000_0000_0000 (8 bitai). :Mantissa: 0011_1110_0'''010_0000_0000_0000_0000_0000''' (23 bitai). :Exponente yra '''01111100'''. Tai yra :128*0 + 64*1 + 32*1 + 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*0 + 1*0 = 124. :124-127 = -3. Tada eksponentė yra '''-3'''. 2^(-3) = 0.125. :Mantisa yra ''''010_0000_0000_0000_0000_0000'''. :Arba '''101''' = 1 + 0.5*0 + 0.25*1 = '''1.25'''. :1.25 * 0.125 = 0.15625. :Visi bitai pastumiami viena bito pozicija į dešinę. Tai tas pats kas padalinti iš dviejų mantisą ir eksponentę. Po pastumimo 32 bitų skaičius tampa: :0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 :Eksponentė tampa 001_1111_0 arba '''00111110'''. Tai yra 128*0+64*0+32*1+16*1+8*1+4*1+2*1+1*0 = 62. :62-127 = -65. Padauginus iš 2^(-65) = 2.7105054312137610850186320021749e-20 mantisoje nieko neliks. :Mantisa tapo 001_0000_0000_0000_0000_0000, kas yra :1001 = 1 + 0.5*0 + 0.25*0 + 0.125*1 = 1.125. :1.125 * 2^62 = 5,188,146,770,730,811,392. :1.125 * 2^(-65) = 3.0493186101154812206459610024467e-20 = 3.0493186101154812206459610024467*10^(-20). :Vat ir išlindo yla iš maišo. Jei nereikėtų prirašyt priekyje vienetoje mantisoje, o eksponentė butų vienetu didesnė, tai rezultatas būtų :1001 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 0.5 + 0.0625 = 0.5625. (0.5625*2 = 1.125) :Eksponentė būtų vienetu didesnė (63 arba -64 po atėmimo 127). :0.5625 * 2^63 = 5,188,146,770,730,811,392. :0.5625 * 2^(-64) = 3.0493186101154812206459610024467e-20. :Vadinasi išekstraktuojant atskirai eksponentę ir mantisą ir pastumus mantisos bitus į dešine viena pozicija, į kairiausį bitą turi įeitį vienetas. O prie eksponentės prisidėti vienetas, jeigu norima turėti tą patį skaičių. :'''Magiškas skaičius reikalingas šiam darbui.''' :Magiškas skaičius yra :0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF :Sing: '''0''' (1 bitas). :Exponent: '''101_1111_0''' (8 bitai). :Mantissa: '''011_0111_0101_1001_1101_1111''' (23 bitai). :Eksponentė yra 10111110 = 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 190. Atėmus 127 ji tampa 190-127 = 63. :Mantisa yra :011_0111_0101_1001_1101_1111 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*1 + 0.0078125*1 + 0.00390625*0 + 0.001953125*1 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 + :+ 0.00000762939453125*1 + 0.000003814697265625*0 + 0.0000019073486328125*1 + 0.00000095367431640625*1 + :+ 0.000000476837158203125*1 + 0.0000002384185791015625*1 + 0.00000011920928955078125*1 = := 0.431640625 + 0.0007781982421875 + 0.00078868865966796875 + 0.00000083446502685546875 = 0.43320834636688232421875. :Viso skaičiaus reikšmė yra: :1.43320834636688232421875 * 2^190 = 2.2490986495375580205008307141844e+57 = 2.2490986495375580205008307141844 * 10^57. :Arba: :1.43320834636688232421875 * 2^63 = 13,219,013,784,867,176,448 = 1.3219013784867176448 * 10^19. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] pfrhsglz9kyv29og0ghmdr3g854rdzb 58982 58981 2026-09-03T11:23:22Z Paraboloid 1294 /* Worked example */ 58982 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. ==Skaičiavimas inverse square root su C kodu== :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Toliau eilutė i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); :reiškia pastumti sveikąjį skaičių '''i''' viena pozicija į dešinę ir paskui atimti iš sveikojo skaičiaus 0x5f3759df ir rezultatą įdėti į skaičiaus '''i''' adresą. Skaičius 5f3759df turi 8 hexodecimal skaitmenis. Vienas heksodecimal skaitmuo sudaro 4 bitus. :5 yra 0101, f yra 1111, 3 yra 0011, 7 yra 0111, 5 yra 0101, 9 yra 1001, d yra 1101 (nes A yra 1010, B yra 1011, C yra 1100), f yra 1111. Todėl :5F3759DFh = 0101,1111,0011,0111,0101,1001,1101,1111; :5F3759DFh = 01011111001101110101100111011111. :Gale raidė h reiškia, kad tai hexodecimal skaičius. :Ši eilutė: y = * ( float * ) &i; :paverčia long int '''i''' į float, o paskui tą float perkelią į '''y'''. :Toliau daromos Niutono iteracijos: y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed :čia y jau turi apytikslią reikšmę <math>\frac{1}{\sqrt{\text{number}}}.</math> ===Worked example=== As an example, the number <math>x=0.15625</math> can be used to calculate <math display=inline>\frac{1}{\sqrt{x}} \approx 2.52982</math>. The first steps of the algorithm are illustrated below: 0011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 Bit pattern of both x and i 0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 Shift right one position: (i &gt;&gt; 1) 0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111 The result of 0x5F3759DF - (i &gt;&gt; 1) Interpreting as [[IEEE 754|IEEE]] 32-bit representation: 0_01111100_01000000000000000000000 1.25 × 2⁻³ 0_00111110_00100000000000000000000 1.125 × 2⁻⁶⁵ 0_10111110_01101110101100111011111 1.432430... × 2⁶³ 0_10000000_01001110101100111011111 1.307430... × 2¹ Reinterpreting this last bit pattern as a floating point number gives the approximation <math>y=2.61486</math>, which has an error of about 3.4%. After one iteration of Newton's method, the final result is <math>y=2.52549</math>, an error of only 0.17%. :'''Patikrinimas.''' :<math>x=0.15625.</math> :Sing: '''0'''011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 (1 bitas). :Exponent: 0'''011_1110_0'''010_0000_0000_0000_0000_0000 (8 bitai). :Mantissa: 0011_1110_0'''010_0000_0000_0000_0000_0000''' (23 bitai). :Exponente yra '''01111100'''. Tai yra :128*0 + 64*1 + 32*1 + 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*0 + 1*0 = 124. :124-127 = -3. Tada eksponentė yra '''-3'''. 2^(-3) = 0.125. :Mantisa yra ''''010_0000_0000_0000_0000_0000'''. :Arba '''101''' = 1 + 0.5*0 + 0.25*1 = '''1.25'''. :1.25 * 0.125 = 0.15625. :Visi bitai pastumiami viena bito pozicija į dešinę. Tai tas pats kas padalinti iš dviejų mantisą ir eksponentę. Po pastumimo 32 bitų skaičius tampa: :0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 :Eksponentė tampa 001_1111_0 arba '''00111110'''. Tai yra 128*0+64*0+32*1+16*1+8*1+4*1+2*1+1*0 = 62. :62-127 = -65. Padauginus iš 2^(-65) = 2.7105054312137610850186320021749e-20 mantisoje nieko neliks. :Mantisa tapo 001_0000_0000_0000_0000_0000, kas yra :1001 = 1 + 0.5*0 + 0.25*0 + 0.125*1 = 1.125. :1.125 * 2^62 = 5,188,146,770,730,811,392. :1.125 * 2^(-65) = 3.0493186101154812206459610024467e-20 = 3.0493186101154812206459610024467*10^(-20). :Vat ir išlindo yla iš maišo. Jei nereikėtų prirašyt priekyje vienetoje mantisoje, o eksponentė butų vienetu didesnė, tai rezultatas būtų :1001 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 0.5 + 0.0625 = 0.5625. (0.5625*2 = 1.125) :Eksponentė būtų vienetu didesnė (63 arba -64 po atėmimo 127). :0.5625 * 2^63 = 5,188,146,770,730,811,392. :0.5625 * 2^(-64) = 3.0493186101154812206459610024467e-20. :Vadinasi išekstraktuojant atskirai eksponentę ir mantisą ir pastumus mantisos bitus į dešine viena pozicija, į kairiausį bitą turi įeitį vienetas. O prie eksponentės prisidėti vienetas, jeigu norima turėti tą patį skaičių. :'''Magiškas skaičius reikalingas šiam darbui.''' :Magiškas skaičius yra :0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF :Sing: '''0''' (1 bitas). :Exponent: '''101_1111_0''' (8 bitai). :Mantissa: '''011_0111_0101_1001_1101_1111''' (23 bitai). :Eksponentė yra 10111110 = 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 190. Atėmus 127 ji tampa 190-127 = 63. :Mantisa yra :011_0111_0101_1001_1101_1111 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*1 + 0.0078125*1 + 0.00390625*0 + 0.001953125*1 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 + :+ 0.00000762939453125*1 + 0.000003814697265625*0 + 0.0000019073486328125*1 + 0.00000095367431640625*1 + :+ 0.000000476837158203125*1 + 0.0000002384185791015625*1 + 0.00000011920928955078125*1 = := 0.431640625 + 0.0007781982421875 + 0.00078868865966796875 + 0.00000083446502685546875 = 0.43320834636688232421875. :Viso skaičiaus reikšmė yra: :1.43320834636688232421875 * 2^190 = 2.2490986495375580205008307141844e+57 = 2.2490986495375580205008307141844 * 10^57. :Arba: :1.43320834636688232421875 * 2^63 = 13,219,013,784,867,176,448 = 1.3219013784867176448 * 10^19. :32 bitų skaičius pastumtas viena bito pozicija į dešinę atimamas iš magiško skaičiaus kaip atiminėjami sveikieji skaičiai. :0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111- :0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000= :0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111. :Gautas skaičius 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111. :Sign bit: '''0'''100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111. :Exponent: 0'''100_0000_0'''010_0111_0101_1001_1101_1111. :Mantissa: 0100_0000_0'''010_0111_0101_1001_1101_1111'''. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] tdhr20jtoo8guufzrnyd8un0jkvygtz 58983 58982 2026-09-03T11:33:25Z Paraboloid 1294 /* Worked example */ 58983 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. ==Skaičiavimas inverse square root su C kodu== :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Toliau eilutė i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); :reiškia pastumti sveikąjį skaičių '''i''' viena pozicija į dešinę ir paskui atimti iš sveikojo skaičiaus 0x5f3759df ir rezultatą įdėti į skaičiaus '''i''' adresą. Skaičius 5f3759df turi 8 hexodecimal skaitmenis. Vienas heksodecimal skaitmuo sudaro 4 bitus. :5 yra 0101, f yra 1111, 3 yra 0011, 7 yra 0111, 5 yra 0101, 9 yra 1001, d yra 1101 (nes A yra 1010, B yra 1011, C yra 1100), f yra 1111. Todėl :5F3759DFh = 0101,1111,0011,0111,0101,1001,1101,1111; :5F3759DFh = 01011111001101110101100111011111. :Gale raidė h reiškia, kad tai hexodecimal skaičius. :Ši eilutė: y = * ( float * ) &i; :paverčia long int '''i''' į float, o paskui tą float perkelią į '''y'''. :Toliau daromos Niutono iteracijos: y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed :čia y jau turi apytikslią reikšmę <math>\frac{1}{\sqrt{\text{number}}}.</math> ===Worked example=== As an example, the number <math>x=0.15625</math> can be used to calculate <math display=inline>\frac{1}{\sqrt{x}} \approx 2.52982</math>. The first steps of the algorithm are illustrated below: 0011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 Bit pattern of both x and i 0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 Shift right one position: (i &gt;&gt; 1) 0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111 The result of 0x5F3759DF - (i &gt;&gt; 1) Interpreting as [[IEEE 754|IEEE]] 32-bit representation: 0_01111100_01000000000000000000000 1.25 × 2⁻³ 0_00111110_00100000000000000000000 1.125 × 2⁻⁶⁵ 0_10111110_01101110101100111011111 1.432430... × 2⁶³ 0_10000000_01001110101100111011111 1.307430... × 2¹ Reinterpreting this last bit pattern as a floating point number gives the approximation <math>y=2.61486</math>, which has an error of about 3.4%. After one iteration of Newton's method, the final result is <math>y=2.52549</math>, an error of only 0.17%. :'''Patikrinimas.''' :<math>x=0.15625.</math> :Sing: '''0'''011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 (1 bitas). :Exponent: 0'''011_1110_0'''010_0000_0000_0000_0000_0000 (8 bitai). :Mantissa: 0011_1110_0'''010_0000_0000_0000_0000_0000''' (23 bitai). :Exponente yra '''01111100'''. Tai yra :128*0 + 64*1 + 32*1 + 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*0 + 1*0 = 124. :124-127 = -3. Tada eksponentė yra '''-3'''. 2^(-3) = 0.125. :Mantisa yra ''''010_0000_0000_0000_0000_0000'''. :Arba '''101''' = 1 + 0.5*0 + 0.25*1 = '''1.25'''. :1.25 * 0.125 = 0.15625. :Visi bitai pastumiami viena bito pozicija į dešinę. Tai tas pats kas padalinti iš dviejų mantisą ir eksponentę. Po pastumimo 32 bitų skaičius tampa: :0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 :Eksponentė tampa 001_1111_0 arba '''00111110'''. Tai yra 128*0+64*0+32*1+16*1+8*1+4*1+2*1+1*0 = 62. :62-127 = -65. Padauginus iš 2^(-65) = 2.7105054312137610850186320021749e-20 mantisoje nieko neliks. :Mantisa tapo 001_0000_0000_0000_0000_0000, kas yra :1001 = 1 + 0.5*0 + 0.25*0 + 0.125*1 = 1.125. :1.125 * 2^62 = 5,188,146,770,730,811,392. :1.125 * 2^(-65) = 3.0493186101154812206459610024467e-20 = 3.0493186101154812206459610024467*10^(-20). :Vat ir išlindo yla iš maišo. Jei nereikėtų prirašyt priekyje vienetoje mantisoje, o eksponentė butų vienetu didesnė, tai rezultatas būtų :1001 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 0.5 + 0.0625 = 0.5625. (0.5625*2 = 1.125) :Eksponentė būtų vienetu didesnė (63 arba -64 po atėmimo 127). :0.5625 * 2^63 = 5,188,146,770,730,811,392. :0.5625 * 2^(-64) = 3.0493186101154812206459610024467e-20. :Vadinasi išekstraktuojant atskirai eksponentę ir mantisą ir pastumus mantisos bitus į dešine viena pozicija, į kairiausį bitą turi įeitį vienetas. O prie eksponentės prisidėti vienetas, jeigu norima turėti tą patį skaičių. :'''Magiškas skaičius reikalingas šiam darbui.''' :Magiškas skaičius yra :0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF :Sing: '''0''' (1 bitas). :Exponent: '''101_1111_0''' (8 bitai). :Mantissa: '''011_0111_0101_1001_1101_1111''' (23 bitai). :Eksponentė yra 10111110 = 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 190. Atėmus 127 ji tampa 190-127 = 63. :Mantisa yra :011_0111_0101_1001_1101_1111 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*1 + 0.0078125*1 + 0.00390625*0 + 0.001953125*1 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 + :+ 0.00000762939453125*1 + 0.000003814697265625*0 + 0.0000019073486328125*1 + 0.00000095367431640625*1 + :+ 0.000000476837158203125*1 + 0.0000002384185791015625*1 + 0.00000011920928955078125*1 = := 0.431640625 + 0.0007781982421875 + 0.00078868865966796875 + 0.00000083446502685546875 = 0.43320834636688232421875. :Viso skaičiaus reikšmė yra: :1.43320834636688232421875 * 2^190 = 2.2490986495375580205008307141844e+57 = 2.2490986495375580205008307141844 * 10^57. :Arba: :1.43320834636688232421875 * 2^63 = 13,219,013,784,867,176,448 = 1.3219013784867176448 * 10^19. :Kaip sakyta, 32 bitų skaičius pastumtas viena bito pozicija į dešinę atimamas iš magiško skaičiaus kaip atiminėjami sveikieji skaičiai. :0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111- :0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000= :0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111. :Gautas skaičius 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111. :Sign bit: '''0'''100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111. :Exponent: 0'''100_0000_0'''010_0111_0101_1001_1101_1111. :Mantissa: 0100_0000_0'''010_0111_0101_1001_1101_1111'''. :Eksponentė yra '''10000000''' = 128. Atėmus 127, eksponentė yra 128-127 = 1. :Mantisa yra '''010_0111_0101_1001_1101_1111''' = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*1 + 0.0078125*1 + 0.00390625*0 + 0.001953125*1 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 + :+ 0.00000762939453125*1 + 0.000003814697265625*0 + 0.0000019073486328125*1 + 0.00000095367431640625*1 + :+ 0.000000476837158203125*1 + 0.0000002384185791015625*1 + 0.00000011920928955078125*1 = := 0.306640625 + 0.0007781982421875 + 0.00001049041748046875 + 0.00000083446502685546875 = 0.30743014812469482421875. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] 1j8ao247bjxk3immhxzn934u0muper5 58984 58983 2026-09-03T11:36:46Z Paraboloid 1294 /* Worked example */ 58984 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. ==Skaičiavimas inverse square root su C kodu== :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Toliau eilutė i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); :reiškia pastumti sveikąjį skaičių '''i''' viena pozicija į dešinę ir paskui atimti iš sveikojo skaičiaus 0x5f3759df ir rezultatą įdėti į skaičiaus '''i''' adresą. Skaičius 5f3759df turi 8 hexodecimal skaitmenis. Vienas heksodecimal skaitmuo sudaro 4 bitus. :5 yra 0101, f yra 1111, 3 yra 0011, 7 yra 0111, 5 yra 0101, 9 yra 1001, d yra 1101 (nes A yra 1010, B yra 1011, C yra 1100), f yra 1111. Todėl :5F3759DFh = 0101,1111,0011,0111,0101,1001,1101,1111; :5F3759DFh = 01011111001101110101100111011111. :Gale raidė h reiškia, kad tai hexodecimal skaičius. :Ši eilutė: y = * ( float * ) &i; :paverčia long int '''i''' į float, o paskui tą float perkelią į '''y'''. :Toliau daromos Niutono iteracijos: y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed :čia y jau turi apytikslią reikšmę <math>\frac{1}{\sqrt{\text{number}}}.</math> ===Worked example=== As an example, the number <math>x=0.15625</math> can be used to calculate <math display=inline>\frac{1}{\sqrt{x}} \approx 2.52982</math>. The first steps of the algorithm are illustrated below: 0011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 Bit pattern of both x and i 0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 Shift right one position: (i &gt;&gt; 1) 0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111 The result of 0x5F3759DF - (i &gt;&gt; 1) Interpreting as [[IEEE 754|IEEE]] 32-bit representation: 0_01111100_01000000000000000000000 1.25 × 2⁻³ 0_00111110_00100000000000000000000 1.125 × 2⁻⁶⁵ 0_10111110_01101110101100111011111 1.432430... × 2⁶³ 0_10000000_01001110101100111011111 1.307430... × 2¹ Reinterpreting this last bit pattern as a floating point number gives the approximation <math>y=2.61486</math>, which has an error of about 3.4%. After one iteration of Newton's method, the final result is <math>y=2.52549</math>, an error of only 0.17%. :'''Patikrinimas.''' :<math>x=0.15625.</math> :Sing: '''0'''011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 (1 bitas). :Exponent: 0'''011_1110_0'''010_0000_0000_0000_0000_0000 (8 bitai). :Mantissa: 0011_1110_0'''010_0000_0000_0000_0000_0000''' (23 bitai). :Exponente yra '''01111100'''. Tai yra :128*0 + 64*1 + 32*1 + 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*0 + 1*0 = 124. :124-127 = -3. Tada eksponentė yra '''-3'''. 2^(-3) = 0.125. :Mantisa yra ''''010_0000_0000_0000_0000_0000'''. :Arba '''101''' = 1 + 0.5*0 + 0.25*1 = '''1.25'''. :1.25 * 0.125 = 0.15625. :Visi bitai pastumiami viena bito pozicija į dešinę. Tai tas pats kas padalinti iš dviejų mantisą ir eksponentę. Po pastumimo 32 bitų skaičius tampa: :0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 :Eksponentė tampa 001_1111_0 arba '''00111110'''. Tai yra 128*0+64*0+32*1+16*1+8*1+4*1+2*1+1*0 = 62. :62-127 = -65. Padauginus iš 2^(-65) = 2.7105054312137610850186320021749e-20 mantisoje nieko neliks. :Mantisa tapo 001_0000_0000_0000_0000_0000, kas yra :1001 = 1 + 0.5*0 + 0.25*0 + 0.125*1 = 1.125. :1.125 * 2^62 = 5,188,146,770,730,811,392. :1.125 * 2^(-65) = 3.0493186101154812206459610024467e-20 = 3.0493186101154812206459610024467*10^(-20). :Vat ir išlindo yla iš maišo. Jei nereikėtų prirašyt priekyje vienetoje mantisoje, o eksponentė butų vienetu didesnė, tai rezultatas būtų :1001 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 0.5 + 0.0625 = 0.5625. (0.5625*2 = 1.125) :Eksponentė būtų vienetu didesnė (63 arba -64 po atėmimo 127). :0.5625 * 2^63 = 5,188,146,770,730,811,392. :0.5625 * 2^(-64) = 3.0493186101154812206459610024467e-20. :Vadinasi išekstraktuojant atskirai eksponentę ir mantisą ir pastumus mantisos bitus į dešine viena pozicija, į kairiausį bitą turi įeitį vienetas. O prie eksponentės prisidėti vienetas, jeigu norima turėti tą patį skaičių. :'''Magiškas skaičius reikalingas šiam darbui.''' :Magiškas skaičius yra :0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF :Sing: '''0''' (1 bitas). :Exponent: '''101_1111_0''' (8 bitai). :Mantissa: '''011_0111_0101_1001_1101_1111''' (23 bitai). :Eksponentė yra 10111110 = 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 190. Atėmus 127 ji tampa 190-127 = 63. :Mantisa yra :011_0111_0101_1001_1101_1111 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*1 + 0.0078125*1 + 0.00390625*0 + 0.001953125*1 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 + :+ 0.00000762939453125*1 + 0.000003814697265625*0 + 0.0000019073486328125*1 + 0.00000095367431640625*1 + :+ 0.000000476837158203125*1 + 0.0000002384185791015625*1 + 0.00000011920928955078125*1 = := 0.431640625 + 0.0007781982421875 + 0.00078868865966796875 + 0.00000083446502685546875 = 0.43320834636688232421875. :Viso skaičiaus reikšmė yra: :1.43320834636688232421875 * 2^190 = 2.2490986495375580205008307141844e+57 = 2.2490986495375580205008307141844 * 10^57. :Arba: :1.43320834636688232421875 * 2^63 = 13,219,013,784,867,176,448 = 1.3219013784867176448 * 10^19. :Kaip sakyta, 32 bitų skaičius pastumtas viena bito pozicija į dešinę atimamas iš magiško skaičiaus kaip atiminėjami sveikieji skaičiai. :0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111- :0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000= :0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111. :Gautas skaičius 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111. :Sign bit: '''0'''100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111. :Exponent: 0'''100_0000_0'''010_0111_0101_1001_1101_1111. :Mantissa: 0100_0000_0'''010_0111_0101_1001_1101_1111'''. :Eksponentė yra '''10000000''' = 128. Atėmus 127, eksponentė yra 128-127 = 1. :Mantisa yra '''010_0111_0101_1001_1101_1111''' = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*1 + 0.0078125*1 + 0.00390625*0 + 0.001953125*1 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 + :+ 0.00000762939453125*1 + 0.000003814697265625*0 + 0.0000019073486328125*1 + 0.00000095367431640625*1 + :+ 0.000000476837158203125*1 + 0.0000002384185791015625*1 + 0.00000011920928955078125*1 = := 0.306640625 + 0.0007781982421875 + 0.00001049041748046875 + 0.00000083446502685546875 = 0.30743014812469482421875. :Gautas skaičius yra: :1.30743014812469482421875 * 2^1 = 2.6148602962493896484375. :Arba: :1.30743014812469482421875 * 2^128 = 4.4489542538766432951275906695431e+38 = 4.4489542538766432951275906695431 * 10^38. [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] gh3vu7srj4d45a0dzbfh8f4q5ye4g4j 58985 58984 2026-09-03T11:51:19Z Paraboloid 1294 /* Worked example */ 58985 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. ==Skaičiavimas inverse square root su C kodu== :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Toliau eilutė i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); :reiškia pastumti sveikąjį skaičių '''i''' viena pozicija į dešinę ir paskui atimti iš sveikojo skaičiaus 0x5f3759df ir rezultatą įdėti į skaičiaus '''i''' adresą. Skaičius 5f3759df turi 8 hexodecimal skaitmenis. Vienas heksodecimal skaitmuo sudaro 4 bitus. :5 yra 0101, f yra 1111, 3 yra 0011, 7 yra 0111, 5 yra 0101, 9 yra 1001, d yra 1101 (nes A yra 1010, B yra 1011, C yra 1100), f yra 1111. Todėl :5F3759DFh = 0101,1111,0011,0111,0101,1001,1101,1111; :5F3759DFh = 01011111001101110101100111011111. :Gale raidė h reiškia, kad tai hexodecimal skaičius. :Ši eilutė: y = * ( float * ) &i; :paverčia long int '''i''' į float, o paskui tą float perkelią į '''y'''. :Toliau daromos Niutono iteracijos: y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed :čia y jau turi apytikslią reikšmę <math>\frac{1}{\sqrt{\text{number}}}.</math> ===Worked example=== As an example, the number <math>x=0.15625</math> can be used to calculate <math display=inline>\frac{1}{\sqrt{x}} \approx 2.52982</math>. The first steps of the algorithm are illustrated below: 0011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 Bit pattern of both x and i 0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 Shift right one position: (i &gt;&gt; 1) 0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111 The result of 0x5F3759DF - (i &gt;&gt; 1) Interpreting as [[IEEE 754|IEEE]] 32-bit representation: 0_01111100_01000000000000000000000 1.25 × 2⁻³ 0_00111110_00100000000000000000000 1.125 × 2⁻⁶⁵ 0_10111110_01101110101100111011111 1.432430... × 2⁶³ 0_10000000_01001110101100111011111 1.307430... × 2¹ Reinterpreting this last bit pattern as a floating point number gives the approximation <math>y=2.61486</math>, which has an error of about 3.4%. After one iteration of Newton's method, the final result is <math>y=2.52549</math>, an error of only 0.17%. :'''Patikrinimas.''' :<math>x=0.15625.</math> :Sing: '''0'''011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 (1 bitas). :Exponent: 0'''011_1110_0'''010_0000_0000_0000_0000_0000 (8 bitai). :Mantissa: 0011_1110_0'''010_0000_0000_0000_0000_0000''' (23 bitai). :Exponente yra '''01111100'''. Tai yra :128*0 + 64*1 + 32*1 + 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*0 + 1*0 = 124. :124-127 = -3. Tada eksponentė yra '''-3'''. 2^(-3) = 0.125. :Mantisa yra ''''010_0000_0000_0000_0000_0000'''. :Arba '''101''' = 1 + 0.5*0 + 0.25*1 = '''1.25'''. :1.25 * 0.125 = 0.15625. :Visi bitai pastumiami viena bito pozicija į dešinę. Tai tas pats kas padalinti iš dviejų mantisą ir eksponentę. Po pastumimo 32 bitų skaičius tampa: :0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 :Eksponentė tampa 001_1111_0 arba '''00111110'''. Tai yra 128*0+64*0+32*1+16*1+8*1+4*1+2*1+1*0 = 62. :62-127 = -65. Padauginus iš 2^(-65) = 2.7105054312137610850186320021749e-20 mantisoje nieko neliks. :Mantisa tapo 001_0000_0000_0000_0000_0000, kas yra :1001 = 1 + 0.5*0 + 0.25*0 + 0.125*1 = 1.125. :1.125 * 2^62 = 5,188,146,770,730,811,392. :1.125 * 2^(-65) = 3.0493186101154812206459610024467e-20 = 3.0493186101154812206459610024467*10^(-20). :Vat ir išlindo yla iš maišo. Jei nereikėtų prirašyt priekyje vienetoje mantisoje, o eksponentė butų vienetu didesnė, tai rezultatas būtų :1001 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 0.5 + 0.0625 = 0.5625. (0.5625*2 = 1.125) :Eksponentė būtų vienetu didesnė (63 arba -64 po atėmimo 127). :0.5625 * 2^63 = 5,188,146,770,730,811,392. :0.5625 * 2^(-64) = 3.0493186101154812206459610024467e-20. :Vadinasi išekstraktuojant atskirai eksponentę ir mantisą ir pastumus mantisos bitus į dešine viena pozicija, į kairiausį bitą turi įeitį vienetas. O prie eksponentės prisidėti vienetas, jeigu norima turėti tą patį skaičių. :'''Magiškas skaičius reikalingas šiam darbui.''' :Magiškas skaičius yra :0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF :Sing: '''0''' (1 bitas). :Exponent: '''101_1111_0''' (8 bitai). :Mantissa: '''011_0111_0101_1001_1101_1111''' (23 bitai). :Eksponentė yra 10111110 = 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 190. Atėmus 127 ji tampa 190-127 = 63. :Mantisa yra :011_0111_0101_1001_1101_1111 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*1 + 0.0078125*1 + 0.00390625*0 + 0.001953125*1 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 + :+ 0.00000762939453125*1 + 0.000003814697265625*0 + 0.0000019073486328125*1 + 0.00000095367431640625*1 + :+ 0.000000476837158203125*1 + 0.0000002384185791015625*1 + 0.00000011920928955078125*1 = := 0.431640625 + 0.0007781982421875 + 0.00078868865966796875 + 0.00000083446502685546875 = 0.43320834636688232421875. :Viso skaičiaus reikšmė yra: :1.43320834636688232421875 * 2^190 = 2.2490986495375580205008307141844e+57 = 2.2490986495375580205008307141844 * 10^57. :Arba: :1.43320834636688232421875 * 2^63 = 13,219,013,784,867,176,448 = 1.3219013784867176448 * 10^19. :Kaip sakyta, 32 bitų skaičius pastumtas viena bito pozicija į dešinę atimamas iš magiško skaičiaus kaip atiminėjami sveikieji skaičiai. :0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111- :0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000= :0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111. :Gautas skaičius 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111. :Sign bit: '''0'''100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111. :Exponent: 0'''100_0000_0'''010_0111_0101_1001_1101_1111. :Mantissa: 0100_0000_0'''010_0111_0101_1001_1101_1111'''. :Eksponentė yra '''10000000''' = 128. Atėmus 127, eksponentė yra 128-127 = 1. :Mantisa yra '''010_0111_0101_1001_1101_1111''' = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*1 + 0.0078125*1 + 0.00390625*0 + 0.001953125*1 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 + :+ 0.00000762939453125*1 + 0.000003814697265625*0 + 0.0000019073486328125*1 + 0.00000095367431640625*1 + :+ 0.000000476837158203125*1 + 0.0000002384185791015625*1 + 0.00000011920928955078125*1 = := 0.306640625 + 0.0007781982421875 + 0.00001049041748046875 + 0.00000083446502685546875 = 0.30743014812469482421875. :Gautas skaičius yra: :1.30743014812469482421875 * 2^1 = 2.6148602962493896484375. :Arba: :1.30743014812469482421875 * 2^128 = 4.4489542538766432951275906695431e+38 = 4.4489542538766432951275906695431 * 10^38. :Toliau tereikia daryti iteracijas pagal formulę: :y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); :y_0 = 2.6148602962493896484375. z = x/2 = 0.15625/2 = 0.078125. :y_1 = y_0 * (1.5 - z * y_0 * y_0) = := 2.6148602962493896484375 * (1.5 - 0.078125 * 2.6148602962493896484375 * 2.6148602962493896484375) = := '''2.52'''54863388218057175296506574507. :Tikroji reikšmė: :1/(0.15625)^0.5 = 2.5298221281347034655991148355462. :Antra iteracija: :y_2 = y_1 * (1.5 - z * y_1 * y_1) = := 2.5254863388218057175296506574507 * (1.5 - 0.078125 * 2.5254863388218057175296506574507 * 2.5254863388218057175296506574507) = := '''2.5298'''109880258619023169570466177. 2.5298109880258619023169570466177 :Trečia iteracija: :y_3 = y_2 * (1.5 - z * y_2 * y_2) = := 2.5298109880258619023169570466177 * (1.5 - 0.078125 * 2.5298109880258619023169570466177 * 2.5298109880258619023169570466177) = := '''2.529822128'''0611201246242590927426. :10 pirmų teisingų skaitmenų (beveik 11). [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] sklbbtrtjcyux5funrd0tcgds5kbxhu 58986 58985 2026-09-03T11:56:26Z Paraboloid 1294 /* Worked example */ 58986 wikitext text/x-wiki ==Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius skaičius== [https://www.google.com/search?client=opera&q=single+precision&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8&udm=50&fbs=ABfTbFVyMZGZf1hfvX9uKjN_-G8c4u0nXx4bEIpwm1lnNH832VTJOOCxW_fyN-Q_ezyf8gKjm3rhh_G8jdZ2Q6tji4z8Mva6cfvBj5rpPch2IC955IbzrbwHf6tkbFbd-nuFdbKth9Y-58t5LtnYgTA4TWDFYCUNl4d7F9XBAwiEq2T2c7SNgrvMxYiRBXL4fnQnnTOewx28&aep=10&ntc=1&sxsrf=APpeQnvZo3fX2PwO881uSdWsoRELP18NhQ%3A1788348274309&mstk=AUtExfAJ0Kp9BqT3EJbzHOz3MHMalnyXkoOTLvgho5ZQ9lzjrnmmUFCgux_RVe7bouRlyBSGpkUcLpvfZ39N45TUoor6TyyEW7_PpE7eOwP-kU7IFxE6monk-HtsDXkDu7g362AN4NTW3oRjfwn9OtD0BIj2r4QAVauMhDPCIAiWgLimDuate6cf2o6bB5R-6-vzcCqbCju1KJQTdR4HSF9puZ_HCG1hXQ8QaCIqD1LJ_HWonNnZGma6Biu3I1wWFPy6esLnfaKpIX6VFWZsArfQN97XGipwkH7FLKCyZiev5rZBrhE8KincMthP7B9AJDugKLy8qJfORQ7PQR2GslAaCLnkechjBCnXfrmSohwJskbEWU9db6Q279uO4dGu0eI2YUvpEwoQUqkbREqJqrGpJQWFy7WoTzI93_o_2I61PU1FTiuGq-4AVN7erT0WmuWizHDEE2XsTes&aioh=3&csuir=1&atvm=2&mtid=dQeYaumuDL2Ixc8Px6Ts0QE DI atsakymas] :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101'''. *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625_______ :Sign____________________1_______________________1______________ :Exponent________________8____________________10000010__________ :Mantissa________________23______________10010100000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010010100000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10010100000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 100101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 0.578125. :8 * 0.578125 = 4.625. :8 * 1 = 8. :8 + 4.625 = 12.625. :Reikia gražinti paimtą vienetą priekyje ('''12.625''' = '''1100.101'''; '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''): :8 * (1 + 0.578125) = 8 * 1.578125 = 12.625. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Skaičius 1010 pakeičiamas skaičiu 1.010 su eksponente 3 (2^3 = 8). :Tada skaičius 1.010 iškoduojamas taip: :1 + 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 = 1.25. :Padauginama iš dviejų pakelta eksponente 3: :1.25 * 2^3 = 1.25 * 8 = 10. :Tuomet :1.2625 * 10 = 12.625. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Skaičiaus 1100.101 kablelį galima pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * 0.7890625 = 16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). :Trumpas paaiškinimas kodėl eksponentė saugoma formate nuo 1 iki 254, pridedant 127 prie -126 ir iki 127. Tai greičiausia yra todėl, kad sudedant single precision skaičių tokiame formate kokiame jis yra, jo reiikšmė gali būti gana tiksliai traktuojama kaip sveikojo skaičiaus reikšmė. Su kai kuriais pakeitimais. :'''-12.625''' yra '''11000001010010100000000000000000'''. :Pridėjus 127 ('''01111111''') prie eksponentės 3 ('''00000011''') gauname 130 ('''10000010'''): :'''00000011'''+ :'''01111111'''= :'''10000010'''. :Vadinasi tada skaičius '''-12.625''' tampa :Mantissa: 1100101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 + 0.03125*0 + 0.015625*1 + 0.0078125*0 = 1.578125; :2^130 = 1.3611294676837538538534984297271e+39 = 1.3611294676837538538534984297271 * 10^39. :O sveikasis skaičius '''11000001010010100000000000000000''' be minuso yra '''01000001010010100000000000000000''' ir užrašomas taip: :1*0 + 2*0 + 4*0 + 8*0 + 16*0 + 32*0 + 64*0 + 128*0 + 256*0 + 512*0 + 1024*0 + :+ 2048*0 + 4096*0 + 8192*0 + 16,384*0 + 32,768*0 + 65,536*0 + 131,072*0 + :+ 262,144*1 + 524,288*0 + 1,048,576*1 + 2,097,152*0 + 4,194,304*0 + 8,388,608*1 + 16,777,216*0 + 33,554,432*1 + :+ 67,108,864*0 + 134,217,728*0 + 268,435,456*0 + 536,870,912*0 + 1,073,741,824*0 + :+ 2,147,483,648*1 + 4,294,967,296*0 = := 0 + 0 + 43,253,760 + 0 + 2,147,483,648 = 2,190,737,408. :Kažka supainiojau. Atrodė, kad eksponentė beveik tas pats kas didesni skaičiai priekyje. ==Skaičiavimas inverse square root su C kodu== :Čia https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root aiškinama kaip naudojant sveikuosius skaičius galima apsakičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :"The fast inverse square generates a good approximation through integer operations by adding and subtracting the integer form of floating-point numbers, and taking a square root by dividing by two (which is just a right-shift)." :Iš čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Sekos_riba#Greitas_šaknies_iš_skaičiaus_a_traukimo_būdas gauta formulė :<math>y_{n+1} = \frac{y_{n}\left(3-xy_n^2\right)}{2}. \quad (4)</math> :<math>y_n\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :Ją dar galima pagreitint, pakeitus z = x/2. Tada ši formulė tampa tokia: :<math>y_{n+1} = y_{n}\left(1.5 - zy_n^2\right). \quad (4.1)</math> :Programavimo kalbos C kodas skaičiuoti <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> yra toks: <syntaxhighlight lang="c"> float Q_rsqrt( float number ) { long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y; } </syntaxhighlight> :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Šito kodo paaiškinimas yra toks: :Skaičius '''i''' yra ''long integer'' (32 bitų sveikasis skaičius, https://en.wikipedia.org/wiki/C_data_types). :Skaičiai '''x2''' ir '''y''' yra floating point skaičiai (32 bitų arba 64 bitų). Jeigu 32 bitų, tai tada tai yra single precision 32 bitų float skaičiai. :Konstanta threehalfs = 1.5F yra 32 bitų single precision skaičius 1.5. :Skaičius '''number''' yra 32 bitų single precision float ir paduodamas funkcijai. Kitaip tariant '''number''' yra '''x''', o '''y''' bus <math>y\approx \frac{1}{\sqrt{x}}.</math> :'''x2''' yra '''number'''*0.5 = z. :Eilutė i = * ( long * ) &y; :paverčia ''floating point number'' '''y''' į ''long integer number'' '''i'''. Dabar i yra toks pat kaip y, tik laikomas kaip sveikasis skaičius, o ne slankaus kablelio skaičius. Simbolis * yra pointer to memory address, skirtas įdėti į tą adresą kažką, o ženklas & skirtas paemimui iš tam tikro RAM adreso (arba atvirkščiai, * paėmimui, o & įdėjimui, gerai neatsimenu). :Todėl ši eilutė gali būti suprantama kaip :( long * ) &y :paimti iš y RAM adreso y reikšmę ir įdėti į ''long integer'' (kol kas be pavadinimo) RAM adresą. :Paskui iš to ''long integer'' RAM adreso įdėti į sveikojo skaičiaus '''i''' RAM adresą (ši kodo dalis "i = *"). Kaip sakyta, iš esmės floating number '''y''' paverčiamas į long integer number '''i'''. :Toliau eilutė i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); :reiškia pastumti sveikąjį skaičių '''i''' viena pozicija į dešinę ir paskui atimti iš sveikojo skaičiaus 0x5f3759df ir rezultatą įdėti į skaičiaus '''i''' adresą. Skaičius 5f3759df turi 8 hexodecimal skaitmenis. Vienas heksodecimal skaitmuo sudaro 4 bitus. :5 yra 0101, f yra 1111, 3 yra 0011, 7 yra 0111, 5 yra 0101, 9 yra 1001, d yra 1101 (nes A yra 1010, B yra 1011, C yra 1100), f yra 1111. Todėl :5F3759DFh = 0101,1111,0011,0111,0101,1001,1101,1111; :5F3759DFh = 01011111001101110101100111011111. :Gale raidė h reiškia, kad tai hexodecimal skaičius. :Ši eilutė: y = * ( float * ) &i; :paverčia long int '''i''' į float, o paskui tą float perkelią į '''y'''. :Toliau daromos Niutono iteracijos: y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed :čia y jau turi apytikslią reikšmę <math>\frac{1}{\sqrt{\text{number}}}.</math> ===Worked example=== As an example, the number <math>x=0.15625</math> can be used to calculate <math display=inline>\frac{1}{\sqrt{x}} \approx 2.52982</math>. The first steps of the algorithm are illustrated below: 0011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 Bit pattern of both x and i 0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 Shift right one position: (i &gt;&gt; 1) 0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111 The result of 0x5F3759DF - (i &gt;&gt; 1) Interpreting as [[IEEE 754|IEEE]] 32-bit representation: 0_01111100_01000000000000000000000 1.25 × 2⁻³ 0_00111110_00100000000000000000000 1.125 × 2⁻⁶⁵ 0_10111110_01101110101100111011111 1.432430... × 2⁶³ 0_10000000_01001110101100111011111 1.307430... × 2¹ Reinterpreting this last bit pattern as a floating point number gives the approximation <math>y=2.61486</math>, which has an error of about 3.4%. After one iteration of Newton's method, the final result is <math>y=2.52549</math>, an error of only 0.17%. :'''Patikrinimas.''' :<math>x=0.15625.</math> :Sing: '''0'''011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 (1 bitas). :Exponent: 0'''011_1110_0'''010_0000_0000_0000_0000_0000 (8 bitai). :Mantissa: 0011_1110_0'''010_0000_0000_0000_0000_0000''' (23 bitai). :Exponente yra '''01111100'''. Tai yra :128*0 + 64*1 + 32*1 + 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*0 + 1*0 = 124. :124-127 = -3. Tada eksponentė yra '''-3'''. 2^(-3) = 0.125. :Mantisa yra ''''010_0000_0000_0000_0000_0000'''. :Arba '''101''' = 1 + 0.5*0 + 0.25*1 = '''1.25'''. :1.25 * 0.125 = 0.15625. :Visi bitai pastumiami viena bito pozicija į dešinę. Tai tas pats kas padalinti iš dviejų mantisą ir eksponentę. Po pastumimo 32 bitų skaičius tampa: :0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 :Eksponentė tampa 001_1111_0 arba '''00111110'''. Tai yra 128*0+64*0+32*1+16*1+8*1+4*1+2*1+1*0 = 62. :62-127 = -65. Padauginus iš 2^(-65) = 2.7105054312137610850186320021749e-20 mantisoje nieko neliks. :Mantisa tapo 001_0000_0000_0000_0000_0000, kas yra :1001 = 1 + 0.5*0 + 0.25*0 + 0.125*1 = 1.125. :1.125 * 2^62 = 5,188,146,770,730,811,392. :1.125 * 2^(-65) = 3.0493186101154812206459610024467e-20 = 3.0493186101154812206459610024467*10^(-20). :Vat ir išlindo yla iš maišo. Jei nereikėtų prirašyt priekyje vienetoje mantisoje, o eksponentė butų vienetu didesnė, tai rezultatas būtų :1001 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 0.5 + 0.0625 = 0.5625. (0.5625*2 = 1.125) :Eksponentė būtų vienetu didesnė (63 arba -64 po atėmimo 127). :0.5625 * 2^63 = 5,188,146,770,730,811,392. :0.5625 * 2^(-64) = 3.0493186101154812206459610024467e-20. :Vadinasi išekstraktuojant atskirai eksponentę ir mantisą ir pastumus mantisos bitus į dešine viena pozicija, į kairiausį bitą turi įeitį vienetas. O prie eksponentės prisidėti vienetas, jeigu norima turėti tą patį skaičių. :'''Magiškas skaičius reikalingas šiam darbui.''' :Magiškas skaičius yra :0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF :Sing: '''0''' (1 bitas). :Exponent: '''101_1111_0''' (8 bitai). :Mantissa: '''011_0111_0101_1001_1101_1111''' (23 bitai). :Eksponentė yra 10111110 = 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 190. Atėmus 127 ji tampa 190-127 = 63. :Mantisa yra :011_0111_0101_1001_1101_1111 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*1 + 0.0078125*1 + 0.00390625*0 + 0.001953125*1 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 + :+ 0.00000762939453125*1 + 0.000003814697265625*0 + 0.0000019073486328125*1 + 0.00000095367431640625*1 + :+ 0.000000476837158203125*1 + 0.0000002384185791015625*1 + 0.00000011920928955078125*1 = := 0.431640625 + 0.0007781982421875 + 0.00078868865966796875 + 0.00000083446502685546875 = 0.43320834636688232421875. :Viso skaičiaus reikšmė yra: :1.43320834636688232421875 * 2^190 = 2.2490986495375580205008307141844e+57 = 2.2490986495375580205008307141844 * 10^57. :Arba: :1.43320834636688232421875 * 2^63 = 13,219,013,784,867,176,448 = 1.3219013784867176448 * 10^19. :Kaip sakyta, 32 bitų skaičius pastumtas viena bito pozicija į dešinę atimamas iš magiško skaičiaus kaip atiminėjami sveikieji skaičiai. :0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111- :0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000= :0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111. :Gautas skaičius 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111. :Sign bit: '''0'''100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111. :Exponent: 0'''100_0000_0'''010_0111_0101_1001_1101_1111. :Mantissa: 0100_0000_0'''010_0111_0101_1001_1101_1111'''. :Eksponentė yra '''10000000''' = 128. Atėmus 127, eksponentė yra 128-127 = 1. :Mantisa yra '''010_0111_0101_1001_1101_1111''' = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*1 + 0.0078125*1 + 0.00390625*0 + 0.001953125*1 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 + :+ 0.00000762939453125*1 + 0.000003814697265625*0 + 0.0000019073486328125*1 + 0.00000095367431640625*1 + :+ 0.000000476837158203125*1 + 0.0000002384185791015625*1 + 0.00000011920928955078125*1 = := 0.306640625 + 0.0007781982421875 + 0.00001049041748046875 + 0.00000083446502685546875 = 0.30743014812469482421875. :Gautas skaičius yra: :1.30743014812469482421875 * 2^1 = 2.6148602962493896484375. :Arba: :1.30743014812469482421875 * 2^128 = 4.4489542538766432951275906695431e+38 = 4.4489542538766432951275906695431 * 10^38. :Toliau tereikia daryti iteracijas pagal formulę: :y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); :y_0 = 2.6148602962493896484375. z = x/2 = 0.15625/2 = 0.078125. :y_1 = y_0 * (1.5 - z * y_0 * y_0) = := 2.6148602962493896484375 * (1.5 - 0.078125 * 2.6148602962493896484375 * 2.6148602962493896484375) = := '''2.52'''54863388218057175296506574507. :Tikroji reikšmė: :1/(0.15625)^0.5 = 2.5298221281347034655991148355462. :Antra iteracija: :y_2 = y_1 * (1.5 - z * y_1 * y_1) = := 2.5254863388218057175296506574507 * (1.5 - 0.078125 * 2.5254863388218057175296506574507 * 2.5254863388218057175296506574507) = := '''2.5298'''109880258619023169570466177. 2.5298109880258619023169570466177 :Trečia iteracija: :y_3 = y_2 * (1.5 - z * y_2 * y_2) = := 2.5298109880258619023169570466177 * (1.5 - 0.078125 * 2.5298109880258619023169570466177^2) = := '''2.529822128'''0611201246242590927426. 2.5298221280611201246242590927426 :10 pirmų teisingų skaitmenų (beveik 11). :Ketvirta iteracija: :y_4 = y_3 * (1.5 - z * y_3 * y_3) = := 2.5298221280611201246242590927426 * (1.5 - 0.078125 * 2.5298221280611201246242590927426^2) = := '''2.52982212813470346559'''59044271886. :21 teisingas skaitmenuo po 4 iteracijų. Tai didesnis tikslumas nei Double precision (64 bits). Maždaug toks tikslumas kaip Double Extended precision (80 bits). [https://lt.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Knygos/High_Level_Shading_Language High Level Shading Language] r9j2fhr3ru2lgxvktgvmfqos3uox5fy 1 11879 58957 2026-09-03T05:51:09Z Paraboloid 1294 /* Mantisoje vienu nuliu per daug dėl to nevisai tikslus vertimas gavosi */ naujas skyrius 58957 wikitext text/x-wiki == Mantisoje vienu nuliu per daug dėl to nevisai tikslus vertimas gavosi == Čia pateikti tikrinimai ir papildomi skaičiavimai dėl užrašymo klaidos mantisoje. :Single-precision is a 32-bit computer number format that stores fractional and large numbers using a sign bit, an exponent, and a mantissa. Structure of Single-Precision (Binary32) According to Wikipedia, “Single-precision floating-point format (sometimes called FP32, float32, or float) is a computer number format, usually occupying 32 bits in computer memory.” The 32 bits are divided into three specific parts: *Sign bit (1 bit): Determines if the number is positive (0) or negative (1). *Biased exponent (8 bits): Stores the magnitude with an excess-127 bias, giving an actual exponent range of -126 to +127. *Mantissa/Significand (23 explicitly stored bits): Represents the precision digits of the number, with an implicit leading 1 for normalized values. :Precision and Applications. Decimal Precision: Provides about 7 to 8 decimal digits of accuracy. Most users on StackOverflow agree that “Single precision typically offers 7-8 decimal digits of precision.” :'''Dešimtainių skaičių vertimas į dvejetainius.''' :Step-by-Step Conversion Framework. *Step 1: Determine the Sign Bit (1 bit). If the number is positive, the sign bit is 0. If the number is negative, the sign bit is 1. Example (-12.625): It is negative, so the sign bit is 1. *Step 2: Convert the Absolute Value to Binary. Separate the number into its integer and fractional parts, convert both to binary, and combine them. :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0), (6/2 = 3) (rem 0), (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''1100'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''1100.101''' *Step 3: Normalize the Binary Number. Shift the binary point so that exactly one non-zero digit (which will always be 1) remains to its left. Count how many places you moved the point. This count is your exponent (E). :Move the point 3 places to the left: '''1100.101''' <math>\rightarrow </math> '''1.100101'''. :Example Exponent: Because we moved it 3 places, E = 3. *Step 4: Calculate the Biased Exponent (8 bits) IEEE 754 single-precision uses a bias of 127. Add your exponent E to this bias, and convert the resulting integer to an 8-bit binary number. :Calculation: 127 + 3 = 130. :Convert 130 to 8-bit binary: '''130''' = '''10000010'''. *Step 5: Extract the Mantissa/Significand (23 bits). :Take the fractional bits from your normalized number (everything to the right of the binary point). Drop the leading 1. If the bits are fewer than 23, pad the right side with zeros until you reach exactly 23 bits. :Normalized bits: 1.100101 <math>\rightarrow </math> Drop the ''1.'' (atmesti kairiausią vienetą ir tašką po jo) to get '''100101'''. :Example Pad to 23 bits: 10010100000000000000000. :'''Final Assembly.''' :Combine the three components in order: Sign (1 bit) + Exponent (8 bits) + Mantissa (23 bits). :Component_____________Bits______________Value for -12.625 :Sign____________________1_________________________1______________ :Exponent________________8______________________10000010 :Mantissa________________23________________10001010000000000000000 *Final 32-bit Binary String: '''11000001010001010000000000000000'''. *Hexadecimal Representation: '''C1450000'''. :Sign: '''1'''1000001010001010000000000000000. :Exponent: 1'''10000010'''10001010000000000000000. :Mantissa: 110000010'''10001010000000000000000'''. :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :8 * 0.5390625 = 4.3125. Kažkas blogai. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. Vis tiek kažkas blogai. Gali būti mantisos užrašymo tvarka atvirkštinė. :Mantissa: 1010001 = (0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1) = 0.6328125. :8 * (1 + 0.6328125) = 8 * 1.6328125 = 13.0625. Vėl blogai. :Gali būti, kad integer part reikia skaičiuoti taip: :Integer part '''12''': (12/2 = 6) ('''rem'''ainder 0) reiškia 1, (6/2 = 3) (rem 0) reiškia 1, (3/2 = 1) (rem 1), (1/2 = 0) (rem 1) <math>\rightarrow </math> '''0011'''. :Fractional part '''0.625''': (0.625 * 2 = 1.25) (1), (0.25 * 2 = 0.5) (0), (0.5 * 2 = 1.0) (1) <math>\rightarrow </math> '''101'''. :Example Combined: '''12.625''' = '''0011.101''' :(0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1) = 0.90625. :4*(1+0.90625) = 7.625. Blogai. :Vadinasi, iš tikrųjų reikia versti kitaip. :-12.625 = -1.2625 * 10^1. :Čia mantisa 0.2625, o ekspontentė 1 dešimtainėje sistemoje. Skačių 0.2625 reikia kaskart dauginti iš 2. :0.2625*2 = 0.525 (ne vienetas, reiškia pirmas skaitmuo 0), :0.525*2 = 1.05 (vienetas, reiškia antras skaitmuo 1), :0.05*2 = 0.1 (ne vienetas, reiškia trečias skaitmuo 0), :0.1*2 = 0.2 (ne vienetas, reiškia ketvirtas skaitmuo 0), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia penktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia šeštas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia septintas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia aštuntas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia devintas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia dešimtas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia vienuoliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia dviliktas skaitmuo 1), :0.2*2 = 0.4 (ne vienetas, reiškia tryliktas skaitmuo 0), :0.4*2 = 0.8 (ne vienetas, reiškia keturioliktas skaitmuo 0), :0.8*2 = 1.6 (vienetas, reiškia penkioliktas skaitmuo 1), :0.6*2 = 1.2 (vienetas, reiškia šešioliktas skaitmuo 1). :Tada galutinis skaičius '''0.2625''' yra toks: :0.0100001100110011. :Kad gauti didesnį tikslumą, procesą reikia kartoti begalo arba iki reikiamo tikslumo. :Skaičiau '''0.2625''' reikšmė yra: :0.0100001100110011 = := 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*0 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 + 0.00390625*1 + 0.001953125*0 + 0.0009765625*0 + :+ 0.00048828125*1 + 0.000244140625*1 + 0.0001220703125*0 + 0.00006103515625*0 + 0.000030517578125*1 + 0.0000152587890625*1 = := 0.26171875 + 0.0007781982421875 = '''0.26249'''69482421875. :Taigi, 0.26249 labai panašus į 0.2625. :Vadinasi '''1.2625''' dvejetainėje sistemoje apytiksliai yra '''1.0100001100110011'''. :Eksponentę 10 reikia versti taip: :10 = 8 + 2. Tada 10 dvejetainėje sistemoje yra 00001010 (1*0 + 2*1 + 4*0 + 8*1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 10). :Bet eksponentė single precision formate gali būti tik, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir taip toliau. Todėl netgi ir taip blogai. :Jeigu eksponėntė čia būtų ne 10^1, o pvz. 10^2=100, tai reikėtų -1.2625 dauginti iš 100, bet čia reikia dauginti iš 10. :Kaip skaičių 10 paversti į dvejetainį skaičių? Klausimas yra kaip sveikąjį skaičių teisingai paversti į dvejetainį skaičių. :Galima paimti skaičių 00001010 ir pastumti į kairę visus bitus keturiom pozicijom. Tada bus gautas skaičius: :10100000. Arba 0.1010000. :Aš jau žinau kaip reikia daryt: :10/2 = 5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :5/2 = 2.5 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1), :2.5/2 = 1.25 (bus 1 nes rezultatas daugiau už 1). :Čia viskas baigta. Toliau reikia paversti skaičių 0.25 į dvejetainę formą. :0.25*2 = 0.5 (ne vienetas, reiškia bus 0), :0.5*2 = 1 (vienetas, reiškia bus 1). :Vadinasi 10 dešimtainėje sistemoje yra 111.01 dvejetainėje sistemoje. Arba 1.1101 kai eksponentė lygi 2. :Patikrinimas: :1.1101 = 1 + 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*1 = 1.8125. :1.8125 * 2^2 = 1.8125 * 4 = 7.25. :O jeigu 111.01 yra 0.11101 su eksponente 3, tai: :0.11101 = 0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*1 + 0.0625*0 + 0.03125*1 = 0.90625. :0.90625 * 2^3 = 7.25. :Reiškia nėra tikslaus būdo versti sveikuosius dešimtainius skaičius į sveikuosius dvejetainius skaičius. Arba Dirbtinis Intelektas to nežino. :'''Grįžimas prie pavyzdžio.''' :Patikrinimas (-12.625). :Exponent: 10000010 = 128*1 + 64*0 + 32*0 + 16*0 + 8*0 + 4*0 + 2*1 +1*0 = 130. 130-127 = 3. 2^3 = 8. :Mantissa: 1000101 = 0.5*1 + 0.25*0 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.5390625. :Turbut reikia dar pridėti vienetą prie mantisos: :8 * (1 + 0.5390625) = 8 * 1.5390625 = 12.3125. :Matosi, kad 0.3125*2 = 0.625. Vadinasi, galbūt skaičiaus 1100.101 kablelį reikia pastumti 4 pozicijom į kairę ir eksponentę duoti 4. Mantisa tada yra 0.1100101, o eksponentė yra 4. :0.5*1 + 0.25*1 + 0.125*0 + 0.0625*0 + 0.03125*1 + 0.015625*0 + 0.0078125*1 = 0.7890625. :2^4 * (1 + 0.7890625) = 16 * 1.7890625 = 28.625. :Arba :16 * 0.7890625 = '''12.625'''. :Tai štai kaip verčiami tie skaičiai. :Tuomet skaičius 10 verčiamas taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2.5 (rem 1), :2.5/2 = 1.25 (rem 1) :1.25/2 = 0.625 (rem 1). :Vadinasi 12 kažkaip galima užrašyt ar kažka nulius sukeitė ir atspėjo, o 10 jau negalima užrašyti dvejetainėje sistemoje, nors akivaizdu, kad 10 yra 8+2, kas yra 1010 (8*1 + 4*0 + 2*1 + 1*0 = 10). :Vadinasi toks budas yra melangingas apie dešimtainių sveikųjų skaičių vertimas į dvejetainius sveikuosius skaičius. :Arba reikia daryti taip: :10/2 = 5 (rem 0), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0) :1/2 = 0.5 (rem 1). :Va štai šitaip ir gaunamas skaičius 10. Tai yra 1010. :Bandomas kitas skaičius 24: :24/2 = 12 (rem 0), :12/2 = 6 (rem 0), :6/2 = 3 (rem 0), :3/2 = 1 (rem 1), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 24 yra 11000 (16*1 + 8*1 + 4*0 + 2*0 + 1*0 = 24). :Bandomas kitas skaičius 19: :19/2 = 9 (rem 1), :9/2 = 4 (rem 1), :4/2 = 2 (rem 0), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 19 yra 10011 (16*1 + 8*0 + 4*0 + 2*1 + 1*1 = 19). :Bandomas skaičius 22: :22/2 = 11 (rem 0), :11/2 = 5 (rem 1), :5/2 = 2 (rem 1), :2/2 = 1 (rem 0), :1/2 = 0.5 (rem 1). :Reiškia 22 yra 10110 (16*1 + 8*0 + 4*1 + 2*1 + 1*0 = 16+4+2 = 22). [[Naudotojas:Paraboloid|Paraboloid]] ([[Naudotojo aptarimas:Paraboloid|aptarimas]]) 05:51, 3 rugsėjo 2026 (UTC) dispo95l2n3h9k7vcpn29bsvnl447o6