ဝီကီပီးဒီးယား mywiki https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%97%E1%80%9F%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%AC MediaWiki 1.47.0-wmf.8 first-letter မီဒီယာ အထူး ဆွေးနွေးချက် အသုံးပြုသူ အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက် ဝီကီပီးဒီးယား ဝီကီပီးဒီးယား ဆွေးနွေးချက် ဖိုင် ဖိုင် ဆွေးနွေးချက် မီဒီယာဝီကီ မီဒီယာဝီကီ ဆွေးနွေးချက် တမ်းပလိတ် တမ်းပလိတ် ဆွေးနွေးချက် အကူအညီ အကူအညီ ဆွေးနွေးချက် ကဏ္ဍ ကဏ္ဍ ဆွေးနွေးချက် မုခ်ဝ မုခ်ဝ ဆွေးနွေးချက် စာမူကြမ်း စာမူကြမ်း ဆွေးနွေးချက် TimedText TimedText talk မော်ဂျူး မော်ဂျူး ဆွေးနွေးချက် Event Event talk 0 2100 1040766 1027889 2026-06-25T10:43:12Z Nyi Nyi Minn Maung 79574 /* လူငယ်ဘဝ */ စာလုံးပေါင်း ပြင်ခဲ့သည် 1040766 wikitext text/x-wiki {{pp-semi-indef}}{{pp-move-indef}} {{Infobox officeholder |honorific-prefix = ဗိုလ်ချုပ် |name = အောင်ဆန်း |honorific-suffix = |native_name = |native_name_lang = |image = Aung San color portrait.jpg |alt = |caption = |order = ငါးယောက်မြောက် ဗြိတိသျှနန်းရင်းဝန် <br />[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဝန်ကြီးချုပ်|အမှုဆောင်ကောင်စီ ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ]] |term_start = ၂၆ စက်တင်ဘာ ၁၉၄၆ |term_end = ၁၉ ဇူလိုင် ၁၉၄၇ |predecessor = [[ပေါ်ထွန်း၊ ဆာ|ဆာပေါ်ထွန်း]] |successor = [[နု၊ ဦး|ဦးနု]] ([[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဝန်ကြီးချုပ်|ဝန်ကြီးချုပ်]]အဖြစ်) |order1 = [[ဖဆပလ]] ဥက္ကဋ္ဌ |term_start1 = ၂၇ မတ် ၁၉၄၅ |term_end1 = ၁၉ ဇူလိုင် ၁၉၄၇ |predecessor1 = မရှိ |successor1 = [[နု၊ ဦး|ဦးနု]] |order2 = မြန်မာတပ်မတော် ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် |term_start2 = ၁ ဩဂုတ် ၁၉၄၃ |term_end2 = ၁၉ ဇူလိုင် ၁၉၄၇ |predecessor2 = မရှိ |successor2 = | party = {{flagicon image|Flag of the AFPFL.svg}} [[ဖဆပလ]]<br/> {{flagicon image|Communist Party of Burma flag (1939-1946) and (1946-1970).svg}} [[ဗမာပြည်ကွန်မြူနစ်ပါတီ]] | birth_name = ထိန်လင်း | birth_date = {{birth date|1915|2|13|df=y}} | birth_place = [[နတ်မောက်မြို့]]၊ [[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး|မကွေး]]၊ [[ကိုလိုနီခေတ်|ဗြိတိသျှဘားမား]] | death_date = {{Death date and age|1947|07|19|1915|13|02}} | death_place = [[ရန်ကုန်မြို့]]၊ ဗြိတိသျှဘားမား။ | death_cause = လုပ်ကြံခံရခြင်းကြောင့် | resting_place = အာဇာနည်ဗိမာန်၊ ရန်ကုန်မြို့။ | nationality = [[မြန်မာနိုင်ငံ]]/[[ဗမာလူမျိုး]] | ethnicity = [[ဗမာလူမျိုး|ဗမာ]] | other_names =ဗိုလ်တေဇ<br/>Omoda Monji<br/>Tan Lushou<br/>မျိုးအောင်<br/>နောင်ချို<br/>စံဖဲ | known_for = | religion = [[ထေရဝါဒ|ထေရဝါဒ ဗုဒ္ဓဘာသာ]] | occupation = နိုင်ငံရေးသမား၊ ဗိုလ်ချုပ် | spouse = [[ဒေါ်ခင်ကြည်]] (၆ စက်တင်ဘာ ၁၉၄၂) | children = [[အောင်ဆန်းဦး]]<br/>အောင်ဆန်းလင်း<br/><!--Aung San Chit--><br/>[[အောင်ဆန်းစုကြည်]] | relations = [[ဖာ၊ ဦး|ဦးဖာ]] (ဖခင်)<br/>[[စု၊ ဒေါ် (ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းမိခင်)|ဒေါ်စု]] (မိခင်)<br/>[[ဘဝင်း၊ ဦး|ဘဝင်း]] (အစ်ကို)<br/>[[စိန်ဝင်း၊ ဒေါက်တာ|စိန်ဝင်း]] (တူ) | alma_mater = [[ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်]]<br/> ရေနံချောင်း အထက်တန်းကျောင်း | signature = Aung San Signature.svg <!--Military service--> | nickname = | allegiance = [[ဗမာ့အမျိုးသားတပ်မတော်]]<br/>[[ဖက်ဆစ်ဆန့်ကျင်ရေး ပြည်သူ့လွတ်လပ်ရေး အဖွဲ့ချုပ်]]<br/>[[ဗမာပြည် ကွန်မြူနစ်ပါတီ]] | branch = | serviceyears = | rank = [[ဗိုလ်ချုပ်]] (ထိုစဉ်က တပ်မတော်တွင် အမြင့်ဆုံးရာထူး) | unit = | commands = | battles = | awards ={{plainlist| * [[File:JPN Kyokujitsu-sho (WW2) 2Class BAR.svg|border|36x10px]] [[:en:Order of the Rising Sun|Order of the Rising Sun, Gold and Silver Star (2nd class)]] (ဂျပန်){{Efn| ထိုခေတ်ကာလက ဂုဏ်ထူးဆောင်ဘွဲ့တံဆိပ်၏ တတိယတန်းစားအဖြစ် ချီးမြှင့်ခံခဲ့ရခြင်းဖြစ်သော်လည်း ၎င်းအား ၂၀၀၃ ခုနှစ်မှစ၍ ဒုတိယတန်းစားအဖြစ် ပြင်ဆင်သတ်မှတ်ထားသည်။|name=order}}၊ မေလ ၁၉၄၃<ref name="dsmuseum">{{Cite web |title=ဗိုလ်ချုပ် အောင်ဆန်း (၁၉၁၅ - ၁၉၄၇ ခုနှစ်) |url=https://dsmuseum.gov.mm/military-history-museum-and-army-archives/#elementor-action%3Aaction%3Dpopup%3Aopen%26settings%3DeyJpZCI6IjQyNTEiLCJ0b2dnbGUiOmZhbHNlfQ%3D%3D |url-status=live |access-date=16 August 2025 |publisher=[[တပ်မတော်စစ်သမိုင်းပြတိုက် (နေပြည်တော်)|စစ်သမိုင်းပြတိုက်နှင့်တပ်မတော်မော်ကွန်းတိုက်မှူးရုံး]] |archive-date=1 August 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240801175704/https://dsmuseum.gov.mm/military-history-museum-and-army-archives/#elementor-action%3Aaction%3Dpopup%3Aopen%26settings%3DeyJpZCI6IjQyNTEiLCJ0b2dnbGUiOmZhbHNlfQ%3D%3D }}</ref> * [[File:JPN Zuiho-sho (WW2) 1Class BAR.svg|border|36x10px]] [[:en:Order of the Sacred Treasure|Grand Cordon of the Order of the Sacred Treasure]] (ဂျပန်)၊ ဩဂုတ်လ ၁၉၄၃<ref name="dsmuseum" /> }} }} '''ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း''' ({{lang-en|General Aung San}})သည် မြန်မာနိုင်ငံ၏လွတ်လပ်ရေးဖခင်၊အမျိုးသားအာဇာနည်ခေါင်းဆောင်၊တော်လှန်ရေးသမား၊ မျိုးချစ်ပုဂ္ဂိုလ်၊ [[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်|စစ်သေနာပတိ]]တစ်ဦးဖြစ်သည်။ အောင်ဆန်းသည် မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၇၆-ခု၊ တပေါင်းလဆန်း (၁)ရက် (ခရစ်သက္ကရာဇ် ၁၉၁၅-ခု၊ ဖေဖော်ဝါရီလ ၁၃ ရက်) စနေနေ့ နံနက်လင်းအားကြီးချိန်တွင် နတ်မောက်မြို့၌ အဖရှေ့နေဦးဖာနှင့် အမိကုန်သည်ဒေါ်စုတို့မှ ဖွားမြင်သည်။ <ref>ဦးအောင်သန်း ရေး အောင်ဆန်းမိသားစု စာအုပ်မှ၊ ပဉ္စမအကြိမ်၊ ၂၀၂၀-ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ၊ စာ-၉</ref> မွေးချင်း ၉ ယောက်အနက် အငယ်ဆုံး ဖြစ်သည်။ မန္တလေးမြို့တော်ရှိ မြန်မာဘုရင်အုပ်ချုပ်ရေးစနစ်ကို ပျက်သုဉ်းစေပြီး မြန်မာတစ်နိုင်ငံလုံး ဗြိတိသျှအုပ်ချုပ်ရေးလက်အောက်သို့ ကျဆင်းစေခဲ့သော တတိယအင်္ဂလိပ်-မြန်မာစစ်ပွဲအပြီး နှစ်ပေါင်း (၃၀) အကြာတွင် ဖြစ်သည်။ နတ်မောက်နယ်သူနယ်သားများသည် မြန်မာဘုရင်များ၏ အမှုကိုထမ်းဆောင်သည့် အစဉ်အလာရှိသူများဖြစ်၏။ အောင်ဆန်း၏ မိခင်မျိုးရိုးထဲတွင် ရာထူးကြီး မင်းမှုထမ်းအချို့ ပါဝင်ခဲ့သည်။ ဖခင်ဖြစ်သူ ဦးဖာ သည် လယ် သမားမျိုးရိုးမှဖြစ်ပြီး လောကီရေးရာတွင် လိမ္မာရေးခြားမရှိ၊ စကားမပြော တုံဏှိဘာဝေ နေတတ်သူတဦး ဖြစ်သည်။ ဉာဏ်ရည်ကောင်း၍ စာပေဖက်တွင် ထူးချွန်သော်လည်း စကားနည်းလွန်းသဖြင့် ဦးဖာသည် မိမိ၏ အသက်မွေးဝမ်းကြောင်းအလုပ်ဖြစ်သော ရှေ့နေအလုပ်၌ အောင်မြင်ခြင်းမရှိခဲ့ပေ။ ထို့ကြောင့် ထက်မြက်သွက် လက်လှသော မိခင်ဒေါ်စုသာလျှင် မိသားစုစားဝတ်နေရေးကို အဓိကတာဝန်ယူရသည်။ ဒေါ်စု၏ ဦးလေးတော်သူသည် ဗြိတိသျှတို့ကို ရှေးဦးစွာ တော်လှန်ဆန့်ကျင်ခဲ့သော မြန်မာအုပ်စုတစုကို ခေါင်းဆောင်ခဲ့သည်။ နောက်ဆုံး၌ ဗိုလ်လရောင် ခေါ် ဦး[[မင်းရောင်၊ ဗိုလ် (မြို့လုလင်သူကြီး)|မင်းရောင်]] အား ဗြိတိသျှတို့က ဖမ်းဆီးသတ်ဖြတ်ခဲ့ကြသည်။ == အမည် == ဇာတာတွင်ပါရှိသည့် အမည်မှာ မောင်ထိန်လင်း ဖြစ်သည်။ မိဘများက အကိုဖြစ်သူ [[အောင်သန်း၊ ဦး|အောင်သန်း]] နှင့် လိုက်ရန် အောင်ဆန်း ဟု ခေါ်ခဲ့သည်။ [[တို့ဗမာအစည်းအရုံး]]ဝင်ရောက်သောအခါ သခင်အောင်ဆန်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ သခင်အောင်ဆန်း၏ တရုတ်အမည်မှာ ထန်လုရှို(တန်လုရှောင်)ဖြစ်ကာ၊ ဂျပန်အမည်မှာ အိုမိုဒါမွန်ဂျိ ဖြစ်သည်။ ထိုင်းနိုင်ငံ [[ဘန်ကောက်မြို့]]တွင် ရဲဘော်သုံးကျိတ်ဝင်များ ဗိုလ်အမည်ခံရာတွင် ဗိုလ်တေဇ ဖြစ်လာခဲ့သည်။ တိုင်းပြည်နှင့် လူမျိုးအတွက် နိုင်ငံရေးဆောင်ရွက်ရာတွင် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းအမည် ဖြင့်ထင်ရှားသည်။ တော်လှန်ရေးကာလအတွင်းတွင် အသုံးပြုခဲ့သော လျှို့ဝှက်အမည်များမှာ ဦးနောင်ချို၊ မျိုးအောင် ဟူ၍ဖြစ်ပြီး၊ ထောက်လှမ်းရေးရှေ့ပြေးဖြစ်သည့် [[နေဝင်း၊ ဦး|ဗိုလ်နေဝင်း]]နှင့် ဆက်သွယ်သော လျှို့ဝှက်အမည်မှာ ကိုစက်ဖေဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် အရိုင်း၊ ငမိုး စသည်ဖြင့် မိတ်ဆွေ၊ သူငယ်ချင်းများက ချစ်စနိုးဖြင့် နောက်ပြောင်ခေါ်သည့် အမည်များလည်း ရှိခဲ့သည်။ [[File:Aungsanfamilytree.jpg|thumb|150px|right|ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း၏ဆွေစဉ်မျိုးဆက် ဇယား]] [[File:Aungsan zartar.jpg|thumb|150px|ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း၏ ဇာတာ]] == လူငယ်ဘဝ == ညီအကိုမောင်နှမ (၆) ဦး (ကလေးဘဝကပင် ကွယ်လွန်ကြသူများအပါအဝင်ဆိုလျှင် မွေးချင်း - ၉ ဦး) အနက် အထွေးဆုံးဖြစ်သည်။ အောင်ဆန်း၏ အကို (၃) ဦးမှာ အသက်ငယ်⁠ငယ်လေးတွင် ကျောင်းစတက်ကြ၏။ သို့သော် အောင်ဆန်းမှာမူ အမေပါ တက်မှ ကျောင်းတက်မည် ဆိုကာ ကတ်ဖဲ့နေ၏။ ဒေါ်စုသည် သားထွေးလေးကို အလွန်ညှာတာလေ့ရှိပြီး သူ့စိတ်ပါမှသာ ကျောင်းတက်ပါစေတော့ဟု အလိုလိုက်ထားခဲ့၏။ သို့ဖြင့် (၈) နှစ်သားအရွယ်ရောက်သောအခါမှ အောင်ဆန်း ကျောင်းစတက်ခဲ့သည်။ အစ်ကိုဖြစ်သူ အောင်သန်း ရှင်သာမဏေဘောင်သို့ ဝင်သောအခါ အောင်ဆန်းက သူလည်း ရှင်ပြုချင်ပါသည်ဟု ဆိုလာခဲ့သည်။ အမေက အခွင့်ကောင်းကို ချက်ချင်းယူ၍ ရှင်မပြုမီ စာရေးစာဖတ်တတ်ရန် လိုမည်ဟု ထောက်ပြခဲ့သည်။ အောင်ဆန်း၏ ပထမကျောင်းမှာ နတ်မောက် ဦးသောဘိတ ဘုန်းတော်ကြီးကျောင်း ဖြစ်သည်။ လောကုတ္တရာပညာ သာမက ခေတ်သစ်ပညာရပ်အချို့ကိုပါ သင်ကြားပေးသော ထိုစဉ်အခေါ် လောကဓာတ်ကျောင်းမျိုးဖြစ်သည်။ သို့သော် နတ်မောက်ကျောင်းတွင် အင်္ဂလိပ်စာ သင်ကြားပေးခြင်းမရှိပေ။ ရေနံချောင်း အမျိုးသားကျောင်းသို့ အသက် (၁၃) နှစ်အရွယ်၌ ပြောင်းခဲ့သည်။ ရေနံချောင်းရောက်သောအခါ ကျောင်းတွင် ဆရာတစ်ဦးအဖြစ် အလုပ်လုပ်နေသော အစ်ကိုကြီး ဦးဘဝင်း၏ ထိန်းကျောင်းစောင့်ရှောက်မှုအောက်တွင် နေခဲ့ရသည်။ အသက် (၁၅) နှစ်အရွယ်၌ သတ္တမတန်းစာမေးပွဲတွင် [[ဗုဒ္ဓဘာသာ]]စာသင်ကျောင်းများနှင့် အမျိုးသားကျောင်းများ၌ ပထမစွဲသူများအား ချီးမြှင့်သော ဦးရွှေဘို ရွှေတံဆိပ်နှင့် ပညာသင်ထောက်ပံ့ကြေး ဆုကို ရရှိခဲ့၏။ [[အမျိုးသားကျောင်း]]များမှာ ၁၉၂၀ ခုနှစ် [[ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်]] အက်ဥပဒေဆန့်ကျင်သပိတ်မှ ထွက်ပေါ်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ထို[[အက်ဥပဒေ]]သည် အခွင့်ထူးခံ လူနည်းစုလေးကိုသာ အထက်တန်းပညာ သင်ကြားခွင့်ပေးရန် ရည်ရွယ်သည်ဟု ဆန့်ကျင်သူများကယူဆခဲ့သည်။ အမျိုးသားကျောင်း၌ နေစဉ်အတွင်း နိုင်ငံရေးလောက၌ နာမည်ကြီးသော ပုဂ္ဂိုလ်များ၏ မိန့်ခွန်းများကို စိတ်ဝင် စားခဲ့ပြီး စကားရည်လုပွဲများတွင်လည်း ပါဝင်ဆင်နွှဲခဲ့၏။ ထို့အပြင် [[ကျောင်းဂျာနယ်]] စာတည်းအဖြစ်လည်းဆောင်ရွက်ခဲ့၏။ ၁၉၃၂ ခုနှစ်တွင် တက္ကသိုလ်ဝင် စာမေးပွဲ၌ မြန်မာစာ၊ ပါဠိဘာသာဂုဏ်ထူးများဖြင့် အေ အဆင့်မှ အောင်မြင်ကာ [[ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်]]သို့ ပညာဆက်သင်ရန် ရောက်ရှိသွားခဲ့သည်။ အောင်ဆန်း ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်သို့ ရောက်လာသည့်နှစ်သည်ကား [[ဆရာစံ]]သူပုန်ကို ဗြိတိသျအစိုးရက ချေမှုန်း ကာ ခေါင်းဆောင်များကို သေဒဏ်ပေးခဲ့ပြီး တစ်နှစ်ကြာကာလကပင်ဖြစ်သည်။ အောင်ဆန်း တက္ကသိုလ်ရောက်စ ပထမနှစ်ပတ်တွင် ကျောင်းသားသမဂ္ဂမှ စကားရည်လုပွဲတစ်ရပ် ကျင်းပခဲ့ရာ ထိုစကားရည်လုပွဲအပြီး၌ အောင်ဆန်းသည် ပရိသတ်အကြားမှထကာ သူ့အကို အောင်သန်း တင်သွင်း သော "ဘုန်းတော်ကြီးများ နိုင်ငံရေးမလုပ်သင့်"ဟူသည့် အဆိုကို ထောက်ခံခဲ့သည်။ ကိုအောင်ဆန်း ကျောင်းသားနိုင်ငံရေးတွင် ပါဝင်မှုမှာ အစ၌ ခပ်ဖြေးဖြေး မှန်⁠မှန်သာဖြစ်သော်လည်း ၁၉၃၅ ခုနှစ်နောက်ပိုင်း၌ အရှိန်အဟုန် မြင့်မားလာ၏။ ထိုအချိန်တွင် သူသည် ကို[[နု၊ ဦး|နု]]၊ ကိုလှဖေ (နောင် [[လက်ျာ၊ ဗိုလ် (ရဲဘော် သုံးကျိပ်)|ဗိုလ်လက်ျာ]])၊ ကိုသိန်းဖေ၊ ကိုကျော်ငြိမ်း၊ ကိုရာရှစ်ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များနှင့်အတူ စတင်လုပ်ကိုင်နေပြီး မြန်မာ့လွတ်လပ်ရေး လှုပ်ရှားမှုတွင် ထင်ရှားလာမည့် ထိုလူငယ်များနှင့် အောင်ဆန်းတို့ လက်တွဲကာ ကျောင်းသားများ အတော်ပင် ဂရုပြုရမည့် နိုင်ငံရေးအင်အားစုတစုဖြစ်လာအောင် စည်းရုံးခဲ့သည်။ သူ၏ ပညာရေးကို နတ်မောက်နှင့် ရေနံချောင်းတို့တွင် သင်ကြားပြီးနောက် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်တွင် ဘီအေဘွဲ့ကို အင်္ဂလိပ်စာပေ၊ ခေတ်သစ်သမိုင်း နှင့် နိုင်ငံရေးသိပ္ပံ တို့ဖြင့် ရယူခဲ့သည်။ ကိုအောင်ဆန်းတို့လူစုသည် အာဏာပိုင်အလိုတော်ရိများ လွှမ်းမိုးထားသော တက္ကသိုလ်ကျောင်းသားသမဂ္ဂကို ထိုးထွင်းဝင်ရောက်နိုင်ရန် ကြိုးပမ်းခြင်းဖြင့် စတင်လှုပ်ရှား၏။ ပထမတွင် အောင်မြင်မှုသိပ်မရှိခဲ့ပေ။ ၎င်းတို့အထဲမှ ကိုကျော်ငြိမ်းနှင့် ကိုသိန်းဖေတို့သာ သမဂ္ဂအမှုဆောင်များအဖြစ် အရွေးချယ်ခံရသည်။ ၁၉၃၅-၃၆ စာသင်နှစ်အတွင်း ကျောင်းသားသမဂ္ဂအမှုဆောင် ရွေးကောက်ပွဲတွင် အဓိကနေရာအား လုံး အမျိုးသားရေးစိတ်ဓာတ် ထက်သန်သောလူငယ်များက ရရှိသွားကြ၏။ ကိုအောင်ဆန်းသည် အမှုဆောင် အဖွဲ့ဝင်တဦးအဖြစ် အရွေးခံရပြီး သမဂ္ဂမဂ္ဂဇင်း၏ အယ်ဒီတာလည်း ဖြစ်လာသည်။ သူသည် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်၏ ကျောင်းသားသမဂ္ဂတွင် အမှုဆောင်အဖွဲ့ဝင်အဖြစ် ရွေးချယ်ခြင်းခံခဲ့ရပြီး ၎င်းအဖွဲ့မှ ထုတ်ဝေသော [[အိုးဝေမဂ္ဂဇင်း]]တွင် အယ်ဒီတာအဖြစ် ပါဝင်ခဲ့သည်။ ၁၉၃၆ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ‘ငရဲ‌ခွေးကြီး လွတ်နေပြီ’ ဟူသည့် တက္ကသိုလ် အုပ်ချုပ်ရေးအရာရှိကြီးတစ်ဦးကို ရည်ညွှန်းထားသည့် ဆောင်းပါးတစ်ပုဒ်ကိုရေးသားခဲ့သည်။ ဆောင်းပါးရှင်အားဖော်ထုတ်ရန် တောင်းဆိုသည်ကို မဖော်ပြခြင်း၊ ကိုနုသည်လည်း ကျောင်းအုပ်ကြီးအား ပစ်⁠ပစ်ခါခါ ဝေ ဖန်မှုဖြင့် ကိုနု(နောင် သခင်နု) နှင့် အတူ တက္ကသိုလ်မှ ထုတ်ပယ်ခြင်းခံရသည်။ ကိုနု နှင့် ကိုအောင်ဆန်းတို့ ကျောင်းထုတ်ခံခဲ့ရသောကြောင့် ကျောင်းသားများထဲတွင် မကျေနပ်မှု၊ ဒေါသထွက်မှု ပို၍များပြားလာပြီး သပိတ်မှောက်ရန် ဆုံးဖြတ်ခဲ့ကြသည်။ သတင်းစာများနှင့်တကွ တနိုင်ငံလုံးက သပိတ်မှောက်ကျောင်းသားများကို ကြင်နာစွာ ထောက်ခံခဲ့ကြသည်။ အစိုးရအနေဖြင့်လည်း သပိတ်မှောက်သူများ၏ မကျေနပ်ချက်များကို လေးနက်စွာ မ စဉ်းစား၍ မဖြစ်တော့ပါ။ နောက်ဆုံး၌ နိုင်လူမင်းထက်ပြုတတ်သော ကျောင်းအုပ်ကြီးမှာ အငြိမ်းစားယူလိုက်ရ ၏။ တက္ကသိုလ်အက်ဥပဒေတွင် ကျောင်းသားများထည့်သွင်းလိုသော ပြင်ဆင်ချက်များကို လေ့လာရန် ကော်မ တီတရပ်ကိုလည်း ဖွဲ့စည်းလိုက်ရပြီး အရေးမပါလှသော တောင်းဆိုချက်များကိုမူ လိုက်လျောလိုက်လေသည်။ ထို့ကြောင့် သမိုင်းတွင် ကျောင်းသားသပိတ်ကို ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ကျောင်းထုတ်သည့် အမိန့်ကို ရုပ်သိမ်းခဲ့ရသည်။ ၁၉၃၈ ခုနှစ်တွင် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ကျောင်းသားသမဂ္ဂ နှင့် ကျောင်းသားသပိတ် မန္တလေးသို့ ကူးဆက်ပြီး နောက်ဖွဲ့စည်းသော မြန်မာနိုင်ငံလုံးဆိုင်ရာ ကျောင်းသားသမဂ္ဂ နှစ်ရပ်လုံး၌ ဥက္ကဋ္ဌ အဖြစ်ရွေးချယ်ခြင်းခံရသည်။ ထိုနှစ်မှာပင် အစိုးရသည် သူ့အား ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် အက်ဥပဒေပြင်ဆင်ရေး ကော်မတီတွင် ကျောင်းသားကိုယ်စားလှယ် အဖြစ်ရွေးချယ်ခဲ့သည်။[[File:As11gs.jpg|thumb|150px|left|ကိုအောင်ဆန်းနှင့် အိုးဝေမဂ္ဂဇင်း အယ်ဒီတာအဖွဲ့]] ၁၉၃၈ ခုနှစ်တွင် သမဂ္ဂနှစ်ရပ်စလုံး၏ ဥက္ကဋ္ဌဖြစ်လာသည်။ ထိုအချိန်၌ ကိုအောင်ဆန်း တက္ကသိုလ်မှ ဝိဇ္ဇာဘွဲ့ ရပြီး၍ ဥပဒေဝိဇ္ဇာတန်းတွင် တက်ရောက်နေ၏။ ၁၉၃၈ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလတွင် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် ကျောင်းသားနိုင်ငံရေးမှ အမျိုးသားနိုင်ငံရေးသို့ ကူးပြောင်းခဲ့သည်။ ဤအချိန်တွင် သူသည် ဗြိတိသျှဆန့်ကျင်ရေးသမားနှင့် ယုံကြည်မှုပြင်းထန်သော နယ်ချဲ့ဆန့်ကျင်ရေးသမား ဖြစ်ခဲ့သည်။ သူသည် ဒို့ဗမာအစည်းအရုံးဝင်တစ်ဦးဖြစ်လာသောအခါတွင် သခင်တစ်ဦးပါဖြစ်လာသည်။ အသင်းကြီးကို ၁၉၃၀ ခုနှစ် မေတွင် ဖွဲ့စည်းတည်ထောင်ခဲ့သည်။ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် အသင်းကြီး၏ အထွေထွေ အတွင်းရေးမှူးအဖြစ် ၁၉၄၀ ခုနှစ် ဩဂုတ်လအထိ ဆောင်ရွတ်ခဲ့သည်။ ဤတာဝန်ကို ထမ်းဆောင်စဉ် ၁၃၀၀ ပြည့် အရေးတော်ပုံဟု လူသိများသည့် နိုင်ငံတဝန်းသပိတ်ပွဲများကို လှုံ့ဆော်ဦးဆောင်ခဲ့သည်။ ထိုစဉ်ကပင် ဗမာ့ထွက်ရပ်ဂိုဏ်းကြီးအားထူထောင်ရာတွင် ပါဝင်ခဲ့ပြီး ၎င်းအဖွဲ့ကြီးမှာ ဒို့ဗမာအစည်းအရုံး၊ မြန်မာနိုင်ငံ ကျောင်းသားသမဂ္ဂ၊ နိုင်ငံရေး နိုးကြားသောရဟန်းများ၊ [[ဘမော်၊ ဒေါက်တာ|ဒေါက်တာဘမော်]]၏ ဆင်းရဲသားပါတီတို့ကို မဟာမိတ်ပြုထားခြင်းဖြစ်ပြီး သူသည် ယင်းမဟာမိတ်အဖွဲ့၏ အတွင်းရေးမှူးဖြစ်လာခဲ့သည်။[[File:AS10gs.jpg|thumb|150px|ကျောင်းသားခေါင်းဆောင် ကိုအောင်ဆန်း]]သူ၏ သမိုင်းတွင် လူအများကောင်းစွာ မရှင်းလင်းသောအချက်မှာ ၁၉၃၉ ခုနှစ် ဩဂုတ်လတွင် ဗမာပြည်ကွန်မြူနစ်ပါတီကို ထူထောင်ခဲ့သူ အဖွဲ့ဝင်တစ်ဦးနှင့် ပထမဆုံး အထွေထွေအတွင်းရေးမှူး ဖြစ်ခဲ့ကြောင်းပင် ဖြစ်သည်။ များမကြာမီတွင် သူသည့် ပြည်သူ့တော်လှန်ရေးပါတီကို ထူထောင်ရာတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ ဒုတိယကမ္ဘာစစ်ပြီးနောက်ပိုင်းတွင် ယင်းအဖွဲ့ကို ဆိုရှယ်လစ်ပါတီဟု ပြန်လည်အမည်ပေးခဲ့သည်။ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် ၁၉၄၀ ခုနှစ် မတ်လတွင် [[အိန္ဒိယနိုင်ငံ]] ရမ်ဂါတွင် ကျင်းပသော အိန္ဒိယ အမျိုးသားလွှတ်တော် စည်းဝေးပွဲသို့တက်ရောက်ခဲ့သည်။ သို့သော် အစိုးရသည် ဗြိတိသျှတို့ကို သခင်တို့က တော်လှန်ပုန်ကန် ကြိုးပမ်းအားထုတ်မှုဖြင့် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းအား ဖမ်းဝရမ်းထုတ်ပြန်ခဲ့ရာ သူသည် မြန်မာနိုင်ငံမှ ပြေးခဲ့ရသည်။ ပထမတွင် သူသည် တရုတ်ပြည်သို့သွား၍ ကွန်မြူနစ်တရုတ်များထံ အကူအညီတောင်းရန် ရည်ရွယ်သော်လည်း ဂျပန်စစ်တပ်မှ ပြည်သိမ်းတပ်များက သူ့အား အမွိုင်မြို့တွင် ကြားဖြတ်တားဆီးပြီး ဂျပန်ပြည်သို့သာ သွားရန် တိုက်တွန်းခဲ့လေသည်။ == ဒုတိယကမ္ဘာစစ်‌ကာလ == ၁၉၃၉ ခုနှစ် ဥရောပတိုက်တွင် ဒုတိယကမ္ဘာစစ်မီး စတင်လောင်ကျွမ်းပြီး များမကြာမီ ကိုလိုနီဝါဒအခက်၊ လွတ်လပ်ရေးအချက် ဟုမြင်ကာ [[ဗမာ့ထွက်ရပ်ဂိုဏ်း|ထွက်ရပ်ဂိုဏ်းကြီး]] တည်ထောင်နိုင်ရန် သခင်အောင်ဆန်း ကူညီပေးခဲ့သည်။ ဒေါက်တာဘမော်၏ ဆင်းရဲသားပါတီ၊ ဒို့ဗမာအစည်းအရုံး၊ ကျောင်းသားများနှင့် ပုဂ္ဂလိကနိုင်ငံရေးသမားများ စုပေါင်းဖွဲ့စည်းလိုက်သော ထိုထွက်ရပ်ဂိုဏ်းကြီးသည် သခင်အောင်ဆန်း၏ တီထွင်မှုဖြစ်သည်ဟု သခင်နုက သတ်မှတ်ခဲ့၏။ ထွက်ရပ်ဂိုဏ်းကြီး ၏ ပြည်သူလူထုကို တိုက်တွန်းဆော်ဩချက်မှာ စစ်ပြီးသည်နှင့် လွတ်လပ်ရေးပေးရန်သဘောတူသော ကတိရမှသာလျှင် ဗြိတိသျှစစ်ရေးကြိုးပမ်းချက်များကို ကူညီပံ့ပိုးရမည်။ ဗြိတိသျှအစိုးရအနေနှင့် ထိုကဲ့သို့ကတိကြေညာချက်မပြုပါက စစ်ရေးကြိုးပမ်းချက်များကို အင်တိုက်အားတိုက် ဆန့်ကျင်ရမည်။ တုံ့ပြန်သည့်အနေနှင့် ဗြိတိသျှအစိုးရသည် အမျိုးသားရေးလှုပ်ရှားနေသူအများအပြားကို ဖမ်းဆီးလိုက်ပါသည်။ ၁၉၄၀ ခုနှစ် ကုန်ဆုံးချိန်၌ သခင်ခေါင်းဆောင် အမြောက်အမြားနှင့် ဒေါက်တာဘမော်တို့မှာ ထောင်ထဲရောက်နေကြပေပြီ။ သခင်အောင်ဆန်းကို ဖမ်းဆီးရန် ဝရမ်းအမိန့်ထုတ်ခဲ့သော်လည်း အချိန်မီ သတိပေးချက်ရသဖြင့် သူသည် ခြေရာဖျောက်ကာ တိမ်းရှောင်သွားနိုင်ခဲ့သည်။ === ဂျပန်နှင့် ပူပေါင်းခြင်း === ၁၉၄၀ ခုနှစ် ဩဂုတ်လတွင် သခင်အောင်ဆန်းနှင့် သခင်လှမြိင် (နောင်အခါ ဗိုလ်ရန်အောင်ဟုထင်ရှားသူ)တို့ မြန်မာပြည်မှ ဟိုင်လီအမည်ရှိ သင်္ဘောနှင့် ထွက်ခွာခဲ့ရာ တရုတ်နိုင်ငံ အမွိုင်မြို့ရှိ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာဒေသဖြစ်သော ကူလန်စုသို့ ရောက်သွားကြသည်။ ထိုနေရာ၌ သူတို့နှစ်ဦး လအနည်းငယ်မျှ သောင်တင်နေပြီး တ ရုတ်ကွန်မြူနစ်များနှင့် ဆက်သွယ်ရန် ကြိုးစားချက်များလည်း အောင်မြင်ခြင်းမရှိခဲ့ပါ။ တရုတ်[[ကွန်မြူနစ်]]များနှင့် အဆက်အသွယ် မလုပ်နိုင်ခဲ့သော်လည်း ဂျပန်ကိုယ်စားလှယ်တဦး သူတို့အား ချဉ်းကပ်ပြီး ဂျပန်တပ်မတော် အရာရှိတဦးဖြစ်သူ [[ဗိုလ်မှူးကြီးစူဇူကီကေအီဂျီ]] နှင့်တွေ့ရန် တိုကျိုသို့ လေယာဉ်နှင့်ပို့လိုက်ပါသည်။ ထိုဗိုလ်မှူးကြီးသည် နောင်အခါ၌ မြန်မာပြည်လွတ်လပ်ရေးကို ကူညီရန်နှင့် တရုတ်မြန်မာလမ်းမကြီးကို ပိတ်ဆို့ရန် ရည်ရွယ်ချက်များနှင့် တည်ထောင်သော မီနာမီကီကန် လျှို့ဝှက်အသင်း၏ ခေါင်းဆောင်အဖြစ် ထင်ရှားမည့်သူဖြစ်သည်။ ၁၉၄၅ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း မြန်မာနိုင်ငံသို့ ပြန်လာသည်။ ဖူမီမာရိုကိုနိုး အစိုးရထံမှ လက်နက်နှင့် ငွေကြေးထောက်ပံ့မှု ကတိကဝတ်များရလာသည်။ သူသည် ရဲဘော်သုံးကျိပ်အဖွဲ့ဝင်များနှင့် အတူ စစ်သင်တန်းတက်ရောက်ရန် ဂျပန်ပြည်သို့ ခေတ္တပြန်လည် ထွက်ခွာသွားခဲ့သည်။ ၁၉၄၅ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာတွင် လျှို့ဝှက်ထောက်လှမ်းရေးအဖွဲ့ မီနာမီကီးကန်း၏ အကူအညီဖြင့် မြန်မာပြည်လမ်းမကြီးအား ပိတ်ဆို့ရန်နှင့် ပြည်တွင်းရှိ အမျိုးသားပုန်ကန်ထကြွမှုအား ထောက်ပံ့ကူညီရန်အတွက် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် ဗိုလ်မှူးကြီး ဆူဇူကီး၏ ဦးဆောင်မှုဖြင့် ဗမာ့လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်ကို ထိုင်းနိုင်ငံ ဗန်ကောက်မြို့ (ထိုအချိန်တွင် ထိုင်းနိုင်ငံမှာ ဂျပန်သိမ်းပိုက်မှု အောက်တွင် ရှိသည်) တွင် ထူထောင်ခဲ့သည်။ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် ဗိုလ်ချုပ်ရာထူးကို ရယူခဲ့ပြီး ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၁၉၄၁ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် သခင်အောင်ဆန်းသည် တရုတ်သင်္ဘောသားအသွင်ဖြင့် မြန်မာပြည်သို့ ပြန်ရောက်လာလေသည်။ သူမှတဆင့် ဂျပန်တို့ကမ်းလှမ်းလိုက်သည့် သဘောတူညီချက်အရ၊ တော်လှန်ပုန်ကန်ရန် လက်နက်များနှင့် ငွေကြေးထောက်ပံ့မည်ဟု မြန်မာတို့က နားလည်ခဲ့၏။ ထို့ပြင် လက်ရွေးစင်လူငယ်တစု ကို စစ်သင်တန်းပေးမည်။ ထိုလူငယ်များကို မြန်မာနိုင်ငံမှ ခိုးထုတ်သွားရန် လိုပေမည်။ သခင်အောင်ဆန်း မြန်မာပြည်၌ ကြာမြင့်စွာမနေပါ။ ဂျပန်သို့ သခင်လှဖေနှင့် အခြားလူငယ်သုံးဦးတို့နှင့်အတူ ပြန်သွားသည်။ ထို အုပ်စုမှာ [[ရဲဘော်သုံးကျိပ်]]၏ ရှေ့ပြေးတပ်ဦး ဖြစ်သည်။ ရဲဘော်သုံးကျိပ်သည် ဟိုင်နန်ကျွန်း၌ ပင်ပန်းကြီးစွာ စစ်ပညာသင်ယူရသည်။ ၎င်းတို့အနက် သခင်အောင်ဆန်း၊ သခင်လှဖေ (ဗိုလ်လင်္ကျာ)၊ သခင်အောင်သန်း([[စကြာ၊ ဗိုလ် (ရဲဘော်သုံးကျိပ်)|ဗိုလ်စင်္ကြာ]])နှင့် သခင်ထွန်းအုပ်တို့ကို စစ်ဌာနဦးစီးကွပ်ကဲရေးနှင့် အုပ်ချုပ်ရေးတို့ကို အထူးလေ့လာရန် ရွေးချယ်လိုက်ပါသည်။ သခင်ပါတီ အုပ်စုတစုကို ကိုယ်စားပြုသော သခင်ထွန်းအုပ်အား နိုင်ငံရေးခေါင်းဆောင်တင်မြှောက်လိုက်၏။ သို့သော်လည်း သခင်အောင်ဆန်းသည် ရဲဘော်သုံးကျိပ်၏ ခေါင်းဆောင်အဖြစ် ထင်ထင်ရှားရှား ပေါ်ထွက်လာသည်။ ဗမာ့လွတ်လပ်ရေးတပ်မတော် ဖွဲ့သောအခါ၌လည်း တပ်မတော်၏ ပြိုင်ဘက်မရှိခေါင်းဆောင် ဖြစ်လာလေသည်။ ၁၉၄၁ ခုနှစ်ကုန်ပိုင်း မြန်မာပြည်တွင်းသို့ မချီတက်မီကပင် ဗမာနှင့် ဂျပန်တို့အကြား ကတောက်ကဆဖြစ်မှုများ စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။[[File:Aungsanwithchiefofjapan8.jpg|thumb|150px|ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းနှင့် ဂျပန် စစ်ဘက်ဆိုင်ရာအရာရှိကြီးများ(အရှေ့တန်းဝဲမှ စတုထ္တမြောက်)]] မြန်မာနိုင်ငံ၏ မြို့တော်ရန်ကုန်သည် ဂျပန်တို့လက်အောက်သို့ ၁၉၄၂ ခုနှစ် မတ်လတွင် ကျရောက်သွားပြီး (ဒုတိယ ကမ္ဘာစစ်အတွင်း မြန်မာနိုင်ငံ စစ်ဆင်ရေး၏ တစ်စိတ်တစ်ဒေသ အဖြစ်) ဂျပန်စစ်ဘက် အုပ်ချုပ်ရေးအဖွဲ့က တိုင်းပြည်ကို သိမ်းပိုက်လိုက်သည်။ ဇူလိုင်လတွင် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် [[ဗမာ့လွတ်လပ်ရေးတပ်မတော်]](ဘီအိုင်အေ) တပ်မတော်အား [[ဗမာ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော်]] (ဘီဒီအေ) အဖြစ် ပြင်ဆင်ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သူသည် အဖွဲ့၏ ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်အဖြစ် ဆက်လက်ရပ်တည်ခဲ့သော်လည်း ဤအကြိမ်တွင် ဗိုလ်မှူးကြီးအောင်ဆန်း အဖြစ်သာနေခဲ့သည်။ ၁၉၄၄ ခုနှစ် မတ်လတွင် သူ့အား ဗိုလ်ချုပ်ရာထူးသို့ ပြန်လည်ခန့်အပ်ခဲ့သည်။ များမကြာမီတွင် ဂျပန်နိုင်ငံသို့ ဖိတ်ခေါ်ခြင်းခံရပြီး ဂျပန်ဧကရာဇ်မှ တက်နေဝန်းဂုဏ်ထူးဆောင် ဘွဲ့ကို ချီးမြှင့်ခဲ့သည်။ ၁၉၄၃ ခုနှစ် ဩဂုတ် ၁ ရက်တွင် ဂျပန်တို့က မြန်မာနိုင်ငံအား လွတ်လပ်ရေးကြေညာပေးခဲ့သည်။ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းအား စစ်ဝန်ကြီးအဖြစ် ခန့်အပ်ပြီး ၎င်း၏ တပ်မတော်ကိုလည်း ဗမာ့အမျိုးသားတပ်မတော် (ဘီအင်အေ)ဟု ပြောင်းလဲခေါ်ဝေါ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ဂျပန်တို့နှင့် ပူးပေါင်းမှုမှာ ကြာ⁠ကြာမခံပေ။ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် ဂျပန်များပြောသည့် လွတ်လပ်ရေးဆိုသည်ကို သံသယဝင်လာသည်။ ဗမာလူမျိုးများအပေါ် ဆက်ဆံသည့် ဆက်ဆံရေးကိုလည်း မနှစ်မြို့ပေ။ ဂျပန်တပ်များမဝင်ရောက်မီကပင် ဖက်ဆစ်တို့၏ အန္တရာယ်ကို ကြိုတင်သတိပေးခဲ့သည့် ကွန်မြူနစ်ခေါင်းဆောင်များဖြစ်သော သခင်သန်းထွန်းနှင့် သခင်စိုးတို့၏ အကူအညီဖြင့် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် ဂျပန်များအား တိုက်ထုတ်ရန် အိန္ဒိယပြည်ရှိ ဗြိတိသျှအာဏာပိုင်များနှင့် တိတ်တဆိတ် ဆက်သွယ်ခဲ့ပြီး လျှို့ဝှက်အစီအစဉ်များကို ရေးဆွဲခဲ့သည်။ ၁၉၄၅ ခုနှစ် မတ်လ ၂၇ ရက်တွင် သူသည် ဘီအင်အေတပ်ကို ဦးဆောင်၍ ဂျပန်ကျူးကျော်သူများအား မဟာမိတ်တို့နှင့် ပူးပေါင်းကာ တိုက်ထုတ်ခဲ့လေသည်။ မတ်လ ၂၇ ရက်နေ့ကို တော်လှန်ရေးနေ့ဟု သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ နောင်တွင် စစ်အစိုးရမှ [[တပ်မတော်နေ့]]ဟု ပြောင်းလဲခေါ်တွင်ခဲ့လေသည်။[[File:Aung 2.JPG|thumb|alt=ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း‎|စစ်ဝတ်စုံဖြင့် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း]] == ဒုတိယကမ္ဘာစစ်ပြီးခေတ် == ‌ဗြိတိသျှများ ပြန်လည်ဝင်ရောက်လာ၍ စစ်အုပ်ချုပ်ရေးတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းတည်ထောင်ခဲ့ပြီး နောက် ဖက်ဆစ်ဆန့်ကျင်ရေးအဖွဲ့ကို ညီညွတ်သောတပ်ပေါင်းစုအဖြစ် အသွင်ပြောင်းဖွဲ့စည်းခဲ့ရာတွင် ဘီအင်အေ၊ ကွန်မြူနစ်၊ ဆိုရှယ်လစ်များ ပါဝင်ကြပြီး ၁၉၄၄ ခုနှစ် ဩဂုတ်လတွင် ဖက်ဆစ်ဆန့်ကျင်ရေး ပြည်သူ့လွတ်လပ်ရေးအဖွဲ့ကြီး (ဖဆပလ) အဖြစ် အသစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ဗမာ့အမျိုးသားတပ်မတော်ကိုလည်း မျိုးချစ် ဗမာ့တပ်မတော်အဖြစ် ပြောင်းလဲဖွဲ့စည်းခဲ့၍ ဂျပန်များကို တိုက်ထုတ်ပြီးနောက် တဖြည်း⁠ဖြည်းဖျက်သိမ်းခဲ့သည်။ ၁၉၄၅ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလက သီဟိုဠ်တွင် ပြုလုပ်ခဲ့သော ကန္ဒီအစည်းအဝေးမှ သဘောတူညီချက်များအရ မျိုးချစ်ဗမာ့တပ်မတော်သားများအား ဗြိတိသျှတပ်မတော်အောက်ရှိ ဗမာ့တပ်မတော်အောက်သို့ သွတ်သွင်းယူခဲ့သည်။ စစ်ပြန်ရဲဘော်အချို့ကို ပြည်သူ့ရဲဘော်တပ်အဖြစ် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း၏အောက်တွင် အရန်အင်အားဖြင့် ဖွဲ့ထားပြီး လူမြင်ကွင်းတွင် စစ်ရေးလေ့ကျင့်ခဲ့ကြရာ ဗြိတိသျှအာဏာပိုင်များ၏ အစပိုင်းက မလိုက်လျောလိုမှုများကို ပြယ်စေခဲ့ဟန်တူ၏။ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းအား ဗမာ့တပ်မတော်၏ ဒုတိယစစ်ဆေးရေးမှူးရာထူးကို ကမ်းလှမ်းခဲ့သော်လည်း အရပ်သားနိုင်ငံရေးသမား ဘဝကို သာ ရွှေးချယ်ခဲ့သည်။ ၁၉၄၆ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလတွင် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် ဖဆပလ အဖွဲ့၏ ဥက္ကဋ္ဌ အဖြစ် လွန်ခဲ့သော အောက်တိုဘာက မြန်မာပြည် အရပ်ဘက် အုပ်ချုပ်ရေးပြန်လည် ထူထောင်ပြီးနောက် ခန့်အပ်ခြင်းခံရသည်။ စက်တင်ဘာလတွင် မြန်မာနိုင်ငံ အမှုဆောင်ကောင်စီ၏ ဒုတိယ ဥက္ကဋ္ဌ အဖြစ် ဗြိတိသျှဘုရင်ခံအသစ် ဆာဟူးဘတ်ရန့်မှ ခန့်ထားခြင်းခံရပြီးနောက် ကာကွယ်ရေးနှင့် နိုင်ငံခြားရေးရာတို့ကို တာဝန်ပေးအပ်ခဲ့သည်။ ရန့်နှင့် မောင်ဘတ်တန်တို့သည် ယခင်ဘုရင်ခံချုပ်ဟောင်း ဆာဒေါ်မန်စမစ်နှင့် ဝင်စတန်ချာချီတို့က ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းအား သစ္စာဖောက် သူပုန်ခေါင်းဆောင်ဟု သမုတ်ခဲ့သည်ကို လက်မခံခဲ့ပေ။ ဖဆပလ အဖွဲ့တွင်လည်း ကွန်မြူနစ်များနှင့် အမျိုးသားရေးနှင့် ဆိုရှယ်လစ်ကို ဦးဆောင်သည့် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းတို့ အကြားကွဲကြရာမှ အမှုဆောင်ကောင်စီတွင် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း နေရာယူသည်ကို အကြောင်းပြုပြီး ဖဆပလ အဖွဲ့မှ သခင်သန်းထွန်းနှင့် ဗမာပြည်ကွန်မြူနစ်ပါတီ တို့ကို ထုတ်ပစ်ခဲ့သည်။[[File:As6gs.jpg|thumb|150px|left|ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းနှင့် အက်တလီ]] ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် ဝန်ကြီးချုပ် လုံး⁠လုံးလျား⁠လျားဖြစ်နေပြီ ဖြစ်သော်လည်း ဗြိတိသျှ၏ ဗီတိုကျခံနိုင်လျက် ရှိသည်။ ၁၉၄၇ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီ ၂၇ ရက်တွင် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းနှင့် ဗြိတိသျှ ဝန်ကြီးချုပ် ကလီမင့်အက်တလီ တို့သည် လန်ဒန်မြို့တွင် တစ်နှစ်အတွင်း မြန်မာ့လွတ်လပ်ရေးကို ပေးရမည်ဖြစ်ကြောင်း သဘောတူစာချုပ် ချုပ်ဆိုခဲ့သည်။ နယူးဒေလီမြို့၌ တစ်ထောက်ရပ်နားစဉ် သတင်းစာရှင်းလင်းပွဲတွင် သူက မြန်မာတို့သည် အကြွင်းမဲ့လွတ်လပ်ရေးကို လိုလားကြောင်း၊ ဓနသဟာယ အဆင့်ကို မလိုလားကြောင်း ဤအခြေအနေကို ရရှိရန် အကြမ်းဖတ်သည့်နည်း သို့မဟုတ် မဖက်သည့်နည်း သို့မဟုတ် နှစ်နည်းစလုံးတို့ကို အသုံးပြုရန်တွန့်ဆုတ်နေမည် မဟုတ်ကြောင်းနှင့် အဆုံးသတ်တွင် သူသည် အကောင်းဆုံးဖြစ်လာရန် မျှော်လင့်ထားသော်လည်း အဆိုးဆုံးကိုလည်း ရင်ဆိုင်ရန်ပြင်ဆင်ထားကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ အချို့က သူ့အား ကရင်လူမျိုးတို့အပေါ် ဗြိတိသျှတို့အားသစ္စာရှိမှု၊ ဂျပန်နှင့် ဘီအိုင်အေတပ်များကို ပြန်လည်တိုက်ခိုက်မှုတို့ကို အကြောင်းပြု နှိပ်ကွပ်ခဲ့ခြင်းနှင့် ပတ်သတ်၍ တာဝန်ရှိသည်ဟု ယူဆကြသည်။ ဒေါ်မန်စမစ်သည် ဖဆပလ ကိုယ်စားလှယ်အဖွဲ့ လန်ဒန်သို့ လာရောက်ရန် ကိစ္စကို ငြင်းပယ်ခဲ့ပြီး ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းအားလည်း စစ်အတွင်းက သူကြီးတစ်ဦးအား ကွက်မျက်မှုနှင့် အရေးယူရန် ကြိုးစားအားထုတ်ခဲ့သည်။[[File:AS4gs.jpg|thumb|150px|ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းနှင့် သခင်မြ၊ Lord Pethwick-Lawrence၊(၁၉၄၇ ခုနှစ် လန်ဒန်မြို့၌)]] ၁၉၄၇ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီ ၁၂ ရက်တွင် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် [[မောင်ကြီး၊ ဆာ(ရဲတပ်ဗိုလ်ချုပ်)|ဆာမောင်ကြီး]]၊ [[မှူးအောင်၊ ဗိုလ် (ရဲဘော်သုံးကျိပ်)|ဗိုလ်မှူးအောင်]]၊ [[မြို့မ-ဦးသန်းကြွယ်]]၊ အခြားတိုင်းရင်းသား ခေါင်းဆောင်များနှင့် အတူ [[ပင်လုံညီလာခံ]]တွင် တက်ရောက်ခဲ့ပြီး၊ စည်းလုံးညီညွတ်ရေးဖော်ဆောင်သည့် စာချုပ်လက်မှတ်ရေးထိုးခဲ့သည်။ ဧပြီတွင် ဖဆပလသည် တိုင်းပြုပြည်ပြု လွှတ်တော်ရွေးကောက်ပွဲကြီးတွင် နေရာ ၂၀၂ နေရာအနက် ၁၉၆ နေရာကို ရရှိ အနိုင်ယူခဲ့သည်။ ဇူလိုင်လတွင် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် မြန်မာနိုင်ငံ ပြန်လည်ထူထောင်ရေးအတွက် ဆွေနွေးပွဲများကို ရန်ကုန်ရှိ ဆိုရန်တာဗီလာတွင် ကျင်းပခဲ့သည်။ လွတ်လပ်ရေးမရမီ လအနည်းငယ်အလို ၁၉၄၇ ခုနှစ် ဇူလိုင်လ ၁၉ ရက်တွင် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းနှင့် အတူ သူ၏ အစ်ကို ဦးဘဝင်း အပါအဝင် အသစ်ဖွဲ့စည်းထားသော ကက်လိနက်ဝန်ကြီး ခြောက်ဦးတို့ကို [[အာဇာနည်နေ့|လုပ်ကြံသတ်ဖြတ်]] ခံခဲ့ကြရသည်။ လုပ်ကြံမှုမှာ သူ၏ ပြိုင်ဘက်ဖြစ်သူ [[ဦးစော]]၏ လက်ချက်ဟု ယူဆရသော်လည်း ဦးစော၏ တရားခွင်စစ်ဆေးချက်များမှာ သံသယ ဖြစ်စရာများ တွေ့ရှိခဲ့သည်။ ၁၉၄၈ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၄ ရက်တွင် မြန်မာနိုင်ငံ လွတ်လပ်ရေးရ ရှိခဲ့သည်။ == မိသားစု== ၁၉၄၂ ခုနှစ် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီး တာဝန်ထမ်းဆောင်နေစဉ်တွင် [[ဒေါ်ခင်ကြည်]]နှင့် ထိမ်းမြားခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ညီမဖြစ်သူက ကွန်မြူနစ် ခေါင်းဆောင်သခင် သန်းထွန်းနှင့် အကြောင်းပါခဲ့လေသည်။ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း၏ သမီး ဒေါ် [[အောင်ဆန်းစုကြည်]]သည် ယခုအခါ အမျိုးသားဒီမိုကရေစီ အဖွဲ့ကို ခေါင်းဆောင်လျက်ရှိသည်။[[File:05153 bogyoke aung san native 01 122 366lo.jpg‎|thumb|300px|alt=နတ်မောက်မြို့ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း၏ နေအိမ်|နတ်မောက်မြို့ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း၏ နေအိမ်]] သူ၏ သားတစ်ဦးဖြစ်သူ အောင်ဆန်းလင်းမှာ ၈ နှစ်သား အရွယ်တွင် ရေနစ်သေဆုံးခဲ့သည်။ အခြားသားတစ်ဦးဖြစ်သူ ဦးအောင်ဆန်းဦးမှာ အမေရိကန်နိုင်ငံတွင် အလုပ်လုပ်လျက်ရှိသည်။ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း၏ ဇနီးဒေါ်ခင်ကြည်သည် ၁၉၈၈ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာ ၂၇ ရက်တွင် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ == ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းနှင့် ဗုဒ္ဓဘာသာ == ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် မြန်မာပြည်သူပြည်သား အများစု သက်ဝင်ယုံကြည်သည့် ဗုဒ္ဓဘာသာနှင့် ပတ်သက်ပြီး ၁၉၃၅ ခုနှစ် ဧပြီလထုတ် ဂန္ဓလောက မဂ္ဂဇင်းတွင် Burma and Buddhism ဟူသော ခေါင်းစဉ်နှင့် ဆောင်းပါးတပုဒ် ရေးသားခဲ့လေသည်။ အသက် (၂၀)အရွယ်က အင်္ဂလိပ်ဘာသာဖြင့် ရေးသားခဲ့သည့် ထိုဆောင်းပါးထဲတွင် ဗိုလ်ချုပ်က ‘ဗုဒ္ဓဘာသာ၏ အနှစ်သာရမှာ ဝေဖန်ဆန်းစစ်၍ လက်တွေ့ကျင့်သုံးနည်း ဖြစ်သည်။ ထိုနည်းမှာလည်း ကေသမုတ္တိသုတ်ခေါ် ကာလာမသုတ္တန်လာ ဂေါတမမြတ်စွာဘုရား၏ ဟောကြားချက်ဖြစ်သည်။ ထိုဟောကြား ချက်မှာ အယူဝါဒတခု၏ အမှားအမှန်ကို ဆုံးဖြတ်ရာတွင် တဆင့်ကြားမျှဖြင့်လည်း ဟုတ်ပြီ မှန်ပြီဟု လက်မခံသင့်၊ မိရိုးဖလာ အယူဝါဒဖြစ်၍လည်း လက်မခံသင့်၊ ဤအရာသည် ဤသို့ဖြစ်သကဲ့ဟူသော ကောလာဟာလဖြင့်လည်း လက်မခံသင့်၊ ကျမ်းဂန်စာပေနှင့် ညီညွတ်သည်ဆိုရုံနှင့်လည်း လက်မခံသင့်၊ မိမိတို့ ယုံကြည်ထိုက်သော ပုဂ္ဂိုလ်၏ စကားဖြစ်သည်ဟုဆိုကာ ပုဂ္ဂိုလ်စွဲဖြင့်လည်း လက်မခံသင့်၊ မိမိတို့ လေးစားသော ဆရာ၏ စကားဖြစ်သည်ဟုဆိုကာ ဆရာစွဲဖြင့်လည်း လက်မခံသင့်ဘဲ ဝေဖန်ဆန်းစစ်ကာ လက်တွေ့လုပ်ကြည့်၍ အကျိုးရှိသည့် အယူဝါဒ (ဝိဘဇ္စဝါဒ)ကိုသာ လက်ခံရမည် ဆိုသည့်အချက် ဖြစ်သည်၊ ဗုဒ္ဓဘာသာ၏ အနှစ်သာရဖြစ်သော အထက်ဖော်ပြပါ ဝိဘဇ္စဝါဒကိုသုံး၍ မြန်မာနိုင်ငံ လွတ်လပ်ရေးနှင့် တိုးတက်ကြီးပွားရေးအတွက် လုပ်ဆောင်သွားကြရန်မှာ မြန်မာနိုင်ငံသားအားလုံး၏ အဓိကတာဝန် ဖြစ်သည်’ ဟူ၍ ဗုဒ္ဓဘာသာအပေါ် သူ၏ အမြင်နှင့် တိုင်းပြည်လွတ်လပ် ရေးနှင့် တိုးတက်ကြီးပွားရေးအတွက် ဗုဒ္ဓဘာသာ၏ အနှစ်သာရကို လက်တွေ့ကျင့်သုံးနိုင်ကြောင်း ဓမ္မဓိဋ္ဌာန်ကျကျ ဆွေးနွေးတင်ပြထားသည်ကို တွေ့ရသည်။ == ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းနှင့် အနုပညာ == စာရေးဆရာကြီး [[ဒဂုန်တာရာ]]က သူ၏ ‘ရုပ်ပုံလွှာ’ အဖွဲ့အနွဲ့တွင် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းအား ‘အောင်ဆန်း (သို့မဟုတ်) အရိုင်း’ ဟူသော ခေါင်းစဉ်ဖြင့် ရေးသားခဲ့သည်ကို ဖတ်ရဖူးသည်။ ဆရာဒဂုန်တာရာက သူ၏ ရုပ်ပုံလွှာအဖွဲ့တွင် ဗိုလ်ချုပ်သည် မြန်မာပြည်လွတ်လပ်ရေး အကြောင်းကိုသာ အစဉ်အမြဲ တွေးတောနေပြီး ကျန်သည့်အရာများကို ဂရုမစိုက်ဘဲ နေတတ်ပုံ၊ လူရိုင်းတဦးနှင့် ပုံပန်းသဏ္ဌာန်တူကာ ဆက်ဆံရခက်ပြီး ဂွတီးဂွကျ နိုင်လှပုံ၊ သူ ယုံကြည်ရာကို စိုက်လိုက်မတ်တတ်နှင့် တဇွတ်ထိုး လုပ်တတ်ပုံ၊ သို့သော် သူ့တွင် အနုပညာဓာတ်ခံရှိပုံ စသည်တို့ကို ရသဟန်နှင့် လှလှပပ ခြယ်မှုန်းခဲ့လေသည်။ ထိုရုပ်ပုံလွှာ အဖွဲ့အနွဲ့ကိုဖတ်ပြီး ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းက ‘ကိုဌေးမြိုင် ပြောသလောက်လည်း ငါမရိုင်းသေးပါဘူးကွာ’ ဟု သူ၏ ကိုယ်ရံတော် ဗိုလ်ထွန်းလှကို ရယ်မောကာ ပြောခဲ့ဖူးကြောင်း ဆောင်းပါးတပုဒ်တွင် ဖတ်ရဖူးသည်။ ထို့အပြင် အလင်္ကာကျော်စွာ မြို့မငြိမ်း၏ ‘သက်ဝေ’၊ ‘ကဉ္စန’ သီချင်းများကို ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း နှစ်သက်ပုံ၊ ပင်လုံစာချုပ်အတွက် ရှမ်းပြည်သို့အသွား အင်းလေးကန်ထဲ လှေစီးနေစဉ် ‘လှေကလေးကို လှော်မည် … ဘေးမသမ်းဘဲ အေးချမ်းတော့မည် …’ ဆိုသည့် အဆိုတော် ဒိုရာသန်းအေး၏ သီချင်းအား ဗိုလ်ချုပ်ညည်းတွားပုံတို့ကို ဖတ်ရသည့်အခါ ဗိုလ်ချုပ်သည် တိုင်းပြည်လွတ်လပ်ရေးအတွက် မအားလပ်အောင် အလုပ်များနေလင့်ကစား သူ၏ ရင်ထဲ၌မူ အနုပညာဓာတ်အပြည့် ကိန်းအောင်နေကြောင်း တွေ့ရလေသည်။ ‘ဗမာအက၊ ဗမာဂီတတွေဟာ ဟိုဘက်က လှည့်လာတာတွေရှိတယ်။ ဒါတွေကို စုံစမ်းရမယ်။ အာရှတိုက်သားတွေ တဦးနဲ့တဦး ဘယ်လို ဆက်စပ်မှု ရှိတယ်ဆိုတာ လေ့လာရမယ်၊ ကျွန်တော်လည်း အနုပညာသမားပါဗျာ’ ဟူ၍လည်း ဗိုလ်ချုပ် ပြောကြားခဲ့ဖူးသည်။ == ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းနှင့် ပညာ == ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် ပညာနှင့် ပတ်သက်၍ သူမြင်သည့် အဓိပ္ပာယ်ကိုလည်း သူ၏ ကိုယ်တိုင်ရေး အတ္ထုပ္ပတ္တိတွင် ရှင်းပြခဲ့သည်။ ဗိုလ်ချုပ်က "ပညာသည် စာအုပ်များထဲ၌သာ ရှိသည်မဟုတ်။ စာအုပ်များကို ကျော်၍ မြင်စွမ်းနိုင်ခြင်းကို ဆောင်နိုင်ရပေမည်။ ပညာသည် လူ၏ ရာဇဝင်ကိုသာ ပြုပြင်တိုးချဲ့ရုံသည်မဟုတ်။ လူ၏ စိတ်နေစိတ်ထား၊ အယူအဆများကိုလည်း တိုးတက်စေရမည်။ ရာဇဝင်သိရုံသာ မဟုတ်၊ ရာဇဝင်ကို ဖန်တီးနိုင်စေရမည်။ လောကဓာတ်ပညာကို သိရုံသာမဟုတ်၊ လောကဓာတ်ပညာကို တိုးချဲ့ နိုင်စေရမည်။ လောကအကြောင်းကို နားလည်စေသာမဟုတ်၊ သည့်ထက်ကောင်းသော လောကကို ဖန်ဆင်းနိုင် စေရမည်။ လှေနံဓားထစ်ဆိုသော အလုပ်၊ အပြော၊ အတွေးတို့မှာ ပညာ၏ အဓိပ္ပာယ် ဆန့်ကျင်ဘက်ပေတည်း" ဟု အမြင်ကျယ်စွာ ရှင်းပြခဲ့လေသည်။ == ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းနှင့် စာပေ == ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသည် သူရိယ မဂ္ဂဇင်းတွင် "အညာသားလေး" ကလောင်နာမည်နှင့် စာရေးသားသည်။ ၁၉၄၇ခုနှစ် မေလ (၃၀)ရက်နေ့တွင် ကိုယ့်မင်းကိုယ့်ချင်းလမ်းရှိ [[ဖဆပလ]]ဌာနချုပ်၌ ပြုလုပ်သော သတင်းစာဆရာများ အစည်းအဝေးတွင် ဗိုလ်ချုပ်က "လွတ်လပ်ရေးရတဲ့ အချိန်အထိတော့ ကျုပ် နိုင်ငံရေး လုပ်ရအုံးမှာဘဲ၊ လွတ်လပ်ရေးရပြီးလို့ ပါတီတိုက်ပွဲတွေ ဖြစ်တဲ့အချိန်မှာ ကျုပ်က မပါချင်ဘူး။ ဘေးဖယ်နေမယ်။ သူများတွေလုပ်တာ ထိုင်ကြည့်ပြီး စာအုပ်ရေးမယ်" ဟူ၍ သူ၏ ချင်ခြင်းကို ဖွင့်ဟပြောကြားခဲ့သည်။ ဗိုလ်ချုပ်သည် မကွယ်လွန်မီ အချိန်အထိ နိုင်ငံရေး၊ ပညာရေး၊ စစ်ရေး၊ လောကီရေးရာများနှင့် ပတ်သက်သည့် ဆောင်းပါးများစွာကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဗိုလ်ချုပ်ရေးသားခဲ့သည့် စာများတွင် သူ၏ တိကျရှင်းလင်း အားကောင်းသော စကားပြေ အရေးအသားနှင့် ဦးတည်ချက်ရောက်အောင် ထိ⁠ထိမိမိ ကွင်း⁠ကွင်းကွက်ကွက် ရေးသားတတ်ပုံကို အားကျအတုယူဖွယ် တွေ့ရသည်။ ဗိုလ်ချုပ်တို့ ကွယ်လွန်ပြီးနောက် ၁၉၄၉ ခုနှစ်ထုတ် အိုးဝေမဂ္ဂဇင်းတွင် ဂုဏ်ပြုဖော်ပြခဲ့သည့် ‘ဗိုလ်ချုပ်နှင့်စာပေ’ ဟူသော ဆောင်းပါးတွင် ဗိုလ်ချုပ်၏ ခေတ်မီမီ ကမ္ဘာကြည့် ကြည့်မြင်တတ်ပုံကို အထင်အရှား တွေ့ရသည်။ ဗိုလ်ချုပ်က ‘တကမ္ဘာလုံးဟာ ယခုအခါ ခေတ်ပြောင်းနေတဲ့ အချိန်အခါကြီး ဖြစ်တယ်။ ကျွန်တော်တို့လည်း ကမ္ဘာကြီးနဲ့အတူ ခေတ်နောက်မကျအောင် လိုက်ကြစို့။ ကမ္ဘာ့ဇာတ်ခုံ ကြီးမှာ ကမ္ဘာ့တေးသံလိုက်၍ ကနိုင်တဲ့ ဗမာပြည်ကြီးဖြစ်အောင် ဖန်တီးပြုပြင်ကြစို့။ ဗမာပြည်ကြီးကို လွတ်လပ်ပြီး တိုးတက်ထွန်းကားတဲ့ တိုင်းပြည်ဖြစ်အောင် ကြံဆောင် ကြိုးစားကြစို့။ ကျွန်တော်တို့အားလုံး စစ်သားရော၊ နိုင်ငံရေးသမားရော၊ စာရေးဆရာရော၊ သတင်းစာဆရာရော၊ ဗမာတမျိုးသားလုံး ယခုပြောတဲ့အတိုင်း ခေတ်ပြောင်း အလုပ်ကို တူပြိုင်ပြိုင် လုပ်ကိုင်ကြပါစို့’ ဟု ပြောကြားခဲ့သည်။ == ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းနှင့် နိုင်ငံရေး == ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းကမူ တိုင်းပြည် တိုးတက်ထွန်းကားရေးအတွက် နိုင်ငံရေးသမားကောင်းတွေ များ⁠များရှိဖို့ လိုအပ်ပုံ၊ နိုင်ငံရေး လုပ်ဆောင်ခြင်း၏ မွန်မြတ်ပုံတို့ကို ၁၉၄ဝခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလထုတ် ဒဂုန်မဂ္ဂဇင်း၌ ဖော်ပြခဲ့သည့် ‘နိုင်ငံရေးအမျိုးမျိုး’ ဟူသည့် ဆောင်းပါးတွင် အရိပ်အမြွက် ထည့်သွင်း ရေးသားခဲ့သည်။ ထိုဆောင်းပါးတွင် ဗိုလ်ချုပ်က ‘အစိုးရဟု ဖြစ်ပေါ်လာစဉ်ကပင် လူတွေ တရားမစောင့်နိုင်၍ ဖြစ်၏။ လူတွေသာ တရားစောင့်နိုင်လျှင် အစိုးရ ရှိတော့မည်မဟုတ်။ ဤကား ဗမာ့ကျမ်းဂန်တွေ၌ပင် ရှိ၏။ လူတွေတရား မစောင့်နိုင်သည့် အကြောင်းမှာလည်း လောဘတရားကြောင့် ဖြစ်၏။ လောဘတရား ဖြစ်ခြင်းမှာလည်း ပုဂ္ဂလိက ပစ္စည်းပေါ်လာသဖြင့် ငါ့ဟာ၊ ငါ့အိမ်၊ ငါ့ခြံ စသဖြင့် ငါတည်းဟူသော သက္ကာယဒိဋ္ဌိ အရင်းခံသည့် လောဘ၊ ထိုလောဘကြောင့်ဖြစ်သော ဒေါသ၊ ထိုလောဘ ဒေါသမီးတို့ကြောင့် မောဟတည်းဟူသော မသိမလိမ္မာ မိုက်မဲမှုဖြစ်လာ၏။’ ‘ဦးဘဘေကြီး ပြောသလို ညစ်ပတ်တဲ့ အလုပ်လား ဆိုသည့် မေးခွန်းကိုလည်း ဖြေလို၏။ ဦးသိန်းမောင်ကြီးကတော့ ဝန်ခံသွားရှာပြီ။ ညစ်ပတ်တယ်တဲ့ သူတော့ မလုပ်ချင်ဟု ဖြေခဲ့ပြီ။ တေမိမင်း အားကျလို့ ထင်၏။ ယခုတော့ ဆွဲချခေါ်တဲ့ ရှေ့နေချုပ်ကြီး ဖြစ်နေတယ်။ အမှန်မှာ နိုင်ငံရေးသည် လောကီရေးပင်ဖြစ်၏။ နိုင်ငံရေးမှာ နိဗ္ဗာန်ရောက်ကြောင်း တရားမဟုတ်။ သို့သော်လည်း လောကီရှိမှလည်း လောကုတ်ရှိနိုင်၏။ လောကုတ်ရှိမှလည်း လောကီ တည်နိုင်၏။ အူမတောင့်မှ သီလစောင့်နိုင်၏။ လူတွေသည် ပြုပြင်လို့ရ၏။ ပြုပြင်လို၏။ တိုးတက်လို၏။ ဤအချက်မှာ ထင်ရှားနေပေပြီ။ စင်စစ်နိုင်ငံရေးမှာ ထိုပြုပြင် တိုးတက်လိုသည့် ပင်မတရားကြီးတရပ်ပင် ဖြစ်၏။ ထိုတရားကား လောကီနိဗ္ဗာန်ကို နောက်ဆုံးရည်မှန်းပေ၏။ ထို၌ကြောင့် အဘယ်မှာလျှင် ညစ်ပတ်ရပေမည်နည်း’ ဟု ပြတ်ပြတ်သားသား ရေးသားခဲ့သည်။ ထိုဆောင်းပါးထဲတွင် နိုင်ငံရေး လုပ်ဆောင်မှုနှင့် ပတ်သက်၍လည်း ‘မိမိကိုယ်ကို နာမည်ကြီးအောင်၊ ကြွယ်ဝအောင် လုပ်တတ်သည်မှာ နိုင်ငံရေးမဟုတ်။ တိုင်းပြည်ကောင်း အောင်လုပ်တတ်မှ နိုင်ငံရေးဖြစ်၏’ ဟု ဗိုလ်ချုပ် က သတိပေး ရေးသားခဲ့သေး၏။ ပင်လုံညီလာခံ အောင်မြင်စွာ ကျင်းပပြီးစီးခဲ့သည့် အထိမ်းအမှတ် ညစာစားပွဲတွင် ဗိုလ်ချုပ်က ‘ကျွန်တော် ဒီကို ရောက်လာတဲ့ကိစ္စ နားလည်တာ တခုရှိပါတယ်။ ဘာလဲဆိုရင် ဗမာပြည်ကြီး လွတ်လပ်စေချင်တယ်၊ ညီညွတ်စေချင်တယ်၊ ကြီးပွားစေချင်တယ် သည်ဟာပါဘဲ။ တိုင်းပြည် လွတ်လပ်အောင်၊ ညီညွတ်အောင်၊ ကြီးပွားအောင် ဘယ်လိုလုပ်ရမလဲ ဆိုတာကို လွန်ခဲ့တဲ့ (၁၀)နှစ်လောက်ကစပြီး ကြိုးစားလာပါတယ်။ နောင်လဲ ကြိုးစားပါဦးမယ်။ လုံး⁠လုံးလွတ်လပ်တဲ့ကိစ္စ ပြီးပြတ်သည်အထိ ကြိုးစားပါမယ်’ ဟု ပြောကြားခဲ့လေသည်။ == ဘဝနိဂုံး == ၁၉၄၇ ခုနှစ် ဇူလိုင်လ ၁၉ ရက်နေ့တွင် ရန်ကုန်မြို့ရှိ အတွင်းဝန်များရုံး၌ နိုင်ငံရေးတွင် အလွန်အရေးပါသော ခေါင်းဆောင်ကြီး များ ([[အာဇာနည် ကိုးဦး]])တို့နှင့်အတူ လုပ်ကြံခြင်းခံခဲ့ရပြီး ကျဆုံးခဲ့သည်။ [[File:Heroes.jpg|thumb|150px|ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း လုပ်ကြံခံရသဖြင့် ဆေးရုံ၌]][[File:အာဇာနည်ကုန်း.jpg|thumb|150px|ဗိုလ်ချုပ်နှင့် အတူတကွကျဆုံးသော အာဇာနည်ခေါင်းဆောင်ကြီးများ၏ ဂူသင်္ချိုင်း]] == ဗိုလ်ချုပ်၏ စကားများ == * ဗမာက တစ်မျိုး၊ ကရင်က တစ်ဖုံ၊ ရှမ်း၊ ကချင်၊ ချင်းတို့က တစ်ခြား အကွဲကွဲ အပြားပြား လုပ်နေကြရင် အကျိုးရှိမှာ မဟုတ်ဘူး။ စုပေါင်း လုပ်မှသာ အကျိုး ရှိနိုင်မယ်။ :: (၁၉၄၇၊ ဖေဖော်ဝါရီ ၁၁ ရက်၊ ပင်လုံမိန့်ခွန်း) * လူကြီးဆိုတာ အသက်ကြီးတာကို ဆိုလိုတာလား။ မဟုတ်ဘူး။ အသက်မကြီးပေမယ့် လုပ်တဲ့ အလုပ်ကြီးရင် လူကြီးပဲ။ :: (၁၉၄၄၊ မတ် ၁၄၊ ဗိုလ်သင်တန်း ကျောင်းဆင်းမိန့်ခွန်း) * ဟေ့ ... သေလဲ ဗမာပီပီ ဇာတိမာန်နှင့် သေကြပါ .. ရန်သူကို မိမိလက်အားနေရင် လက်နှင့်ထိုး၊ ခြေအားနေရင် ခြေနဲ့ကန်ပါ ..။ နောက်ဆုံး ပါးစပ်အားနေလျှင် ပါးစပ်နှင့် ကိုက်ပြီးမှ ရဲ⁠ရဲသေပြလိုက်ကြတာပေါ့ ...။ :: (ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းနှင့် ရဲဘော်သုံးကျိပ်တို့ ဟေနန်ကျွန်းတွင် ဂျပန်များက စစ်ပညာသင်ပေးနေကြစဉ် ဂျပန်တို့က ၎င်းတို့အား အားလုံးဖျောက်ဖျက်မည့် အခြေအနေမျိုးကို ကြုံတွေ့နေကြရစဉ်) * ရဲဘောသုံးကျိပ်ဟာ နိုင်ငံရေးအဖွဲ့ တဖွဲ့တည်း မဟုတ်ပဲ သခင်ဂိုဏ်းကြီးနှစ်ခုဖြစ်တယ်၊ အနာဂတ် လွတ်လပ်ရေးတိုက်ပွဲမှာ ဒီသုံးကျိပ် ညီညွတ်ဖို့ လိုတယ်။ ဒါမှ လူငယ်များဖြစ်တဲ့ သခင်ဂိုဏ်း နှစ်ဂိုဏ်းလုံး ညီညွတ်မယ်။ ဒါမှ လူများစုကို ကိုယ်စားပြုမဲ့လူတွေ တကယ်လဲ အလုပ်လုပ်ကြမဲ့ လူငယ်တွေ ညီညွတ်မယ်။ ဒါမှ လွတ်လပ်ရေးတိုက်ပွဲဟာ ခိုင်မာတောင့်တင်းမယ်။ * စစ်ထွက်ကြတာပေါ့၊ ရှေး⁠ရှေးတုန်းက ဗမာ့တပ်တွေ စစ်ထွက်ကြတာ တနင်္သာရီကို လှေကြီးတွေနဲ့ ရေကြောင်းလွှင့်ကြတော့ တချို့က ရေကြောင်းမှားပြီး ရခိုင်ပြည်ဘက် ရောက်လိုရောက်ဖြစ်ကြတာပဲ၊ ဒါပေမဲ့ ရောက်တဲ့နေရာက ဆက်ပြီး ဖြစ်သလို လုပ်ကြတာပေါ့ ...။ :: (ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းတို့ ယိုးဒယားတွင် တပ်များစုကြပြီး တပ်စစ်ကြောင်း အသီးသီးထွက်ရန် စီစဉ်ကြစဉ် ဖာပွန်စစ်ကြောင်း ချီတက်ရန် တာဝန်ကျသူ ဗိုလ်ကျော်ဇောက ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းအား ကန်တော့သောအခါ) * ခင်ဗျားတို့ရွှာကို ရှေးယခင်တုန်းက ယုံမိတယ်၊ ဘာ့ကြောင့်လဲဆိုတော့ ဆရာစံထတုန်းကလဲ ထထကြွကြွရှိတဲ့ ရွာတရွာလို့ အသိအမှတ်ပြုခဲ့တယ်၊ မှင်နီ အဝိုင်းခံခဲ့ရတယ်၊ ခုတော့ ကျုပ်အထင်ကြီးသလောက် မဟုတ်တာ တွေ့ရတယ် ...။ :: (ပဲခူးခရိုင် ဝေါအပိုင် အညာစုရွာ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း ရောက်၍၊ ရဲဘော် ၃၇ ယောက်စုရန်ပြောရာ ရပ်ရွာထဲက တုတ်တုတ်မလှုပ်ကြ၍ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းက) == အမွေအနှစ်‌== စကော့ဈေးနှင့် ကော်မရှင်နာ လမ်းများကို လည်း [[ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းဈေး]]နှင့် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းလမ်းများအဖြစ် လွတ်လပ်ရေး နောက်ပိုင်းတွင် ပြောင်းလဲမှည့်ခေါ်ခဲ့သည်။ မြန်မာနိုင်ငံအနှံ မြို့ကြီးပြကြီးရှိ လမ်းများ၊ ပန်းခြံများလည်း သူ့အား အမှတ်ရစေရန် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းလမ်းနှင့် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းပန်းခြံအဖြစ် မှည့်ခေါ်ကြသည်။ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း အားအမှတ်ရမိစေမည့် [[ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းသီချင်း]] မှာလည်း ထင်ရှားသည်။ ရှစ်လေးလုံးအရေးတော်ပုံ အတွင်း သူ၏ ဓာတ်ပုံအား ကိုင်ဆောင်လှည့်လည်ကြသည်။ သူကွယ်လွန်စဉ်က အသက် ၃၂ သာ ရှိသေးသည်။ ရွှေတိဂုံစေတီ ခြေရင်းတွင် အာဇာနည် ဗိမာန်တစ်ခု တည်ဆောက်ထားပြီး ဇူလိုင် ၁၉ ရက်ကို အာဇာနည်နေ့ အဖြစ် နှစ်စဉ် အခမ်းအနားကျင်းပ ကြသည်။ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း၏ မွေးနေ့ဖြစ်သော ဖေဖော်ဝါရီ (၁၃)ရက်နေ့ကို မြန်မာနိုင်ငံကလေးများနေ့အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။<ref>{{cite news|title=ဗိုလ်ချုပ်မွေးနေ့ ကလေးများနေ့အခမ်းအနားတွေကျင်းပ|url=https://www-bbc-com.cdn.ampproject.org/v/s/www.bbc.com/burmese/burma/2012/02/120213_childrenday.amp?amp_js_v=a6&amp_gsa=1&usqp=mq331AQKKAFQArABIIACAw%3D%3D#aoh=16326352625545&referrer=https%3A%2F%2Fwww.google.com&amp_tf=From%20%251%24s&ampshare=https%3A%2F%2Fwww.bbc.com%2Fburmese%2Fburma%2F2012%2F02%2F120213_childrenday|accessdate=26 September 2021|archivedate=26 September 2021|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210926055418/https://www-bbc-com.cdn.ampproject.org/v/s/www.bbc.com/burmese/burma/2012/02/120213_childrenday.amp?amp_js_v=a6&amp_gsa=1&usqp=mq331AQKKAFQArABIIACAw%3D%3D#aoh=16326352625545&referrer=https%3A%2F%2Fwww.google.com&amp_tf=From%20%251%24s&ampshare=https%3A%2F%2Fwww.bbc.com%2Fburmese%2Fburma%2F2012%2F02%2F120213_childrenday}}</ref><ref>{{cite news|title=မြန်မာနိုင်ငံကလေးများနေ့အထိမ်းအမှတ်အခမ်းအနားကျင်းပခြင်း|url=https://www.dsw.gov.mm/uni/node/1618|accessdate=26 September 2021|archivedate=26 September 2021|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210926055418/https://www.dsw.gov.mm/uni/node/1618}}</ref> == ဓာတ်ပုံများ == <gallery perrow="4"> File:Uaungsan.jpg|ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း File:Aungsan11.jpg|အင်္ဂလန်ရောက် ဗိုလ်ချုပ် File:Aung San statue, Myanmar.jpg|ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းအား အောက်မေ့ဖွယ်အထိမ်းအမှတ် ကြေးသွန်းရုပ် File:Aungsan45.jpg|ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းနှင့် တိုင်းရင်းသားခေါင်းဆောင်များ File:ImagesCASOJJLR.jpg|ဗိုလ်ချုပ်နှင့် မိသားစု(ကာလာဓာတ်ပုံ) FIle:Gen Aung San13.jpg|ကျောင်းသားခေါင်းဆောင် ကိုအောင်ဆန်း File:Aungsan46.jpg|တခါတစ်လေဖွာသော ဗိုလ်ချုပ် File:ImagesCANP9UTO.jpg|ဦးနု၊ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း(ရန်ကုန်) File:GeneralAungSan.jpg File:AungThan.jpg |ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းအစ်ကို ဦးအောင်သန်း File:GeneralAungSan6.jpg File:GeneralAungSan7.JPG|ပင်လုံစာချုပ်လက်မှတ်ရေးထိုးစဉ် File:GeneralAungSan8.jpg File:GeneralAungSan10.jpg File:GeneralAungSan13.jpg File:GeneralAungSan15.jpg File:GeneralAungSan17.jpg File:GeneralAungSan21.jpg File:GeneralAungSan22.jpg File:GeneralAungSan23.jpg File:GeneralAungSan25.jpg File:GeneralAungSan26.jpg File:GeneralAungSan28.jpg File:GeneralAungSan29.jpg File:GeneralAungSan30.jpg </gallery> == ရှင်းလင်းချက် မှတ်စုများ == {{notelist}} == ဆက်စပ်အကြောင်းအရာများ == # [[ဒုတိယ ကမ္ဘာစစ်]] # [[အာဇာနည်နေ့]] == ကိုးကား == {{reflist}} # အောင်ဆန်းစုကြည် (၁၉၄၈) မြန်မာနိုင်ငံ၏ အောင်ဆန်း၊ အီဒင်ဘရာ၊ ကစ္စကဒေလ်(၁၉⁠၉၁) # မာတင်စမစ် (၁၉⁠၉၁) ဘားမား-ပုန်ကန်ထကြွမှုနှင့် တိုင်းရင်းသား မျိုးနွယ်စုနိုင်ငံရေး လန်ဒန်၊ နယူးဂျာစီ၊ ဇတ်စာအုပ်များ # ပင်လုံသဘောတူညီချက် ၁၉၄၇ [http://www.ibiblio.org/docs/panglong.agreement.htm] # အောင်ဆန်းအား မည်သူသတ်သနည်း၊ ဗိုလ်ချုပ်ကျော်ဇောနှင့် တွေ့ဆုံမေးမြန်းခြင်း # ဧရာဝတီ (ဩဂုတ်၁၉⁠၉၇)[http://www.irrawaddy.org] # (ဒေါက်တာလွဏ်းဆွေ) “ဝင့်ထည်” ကလောင်အမည်ဖြင့် ဖော်ပြခဲ့သည့် ဆောင်းပါး # WiKiMyanmar [http://wikimyanmar.co.cc/wiki/index.php?title=%E1%80%97%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%9C%E1%80%B9%E1%80%81%E1%80%BA%E1%80%B3%E1%80%95%E1%80%B9_%E1%80%B1%E1%80%A1%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%B9%E1%80%86%E1%80%94%E1%80%B9%E1%80%B8] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110817133231/http://wikimyanmar.co.cc/wiki/index.php?title=%E1%80%97%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%9C%E1%80%B9%E1%80%81%E1%80%BA%E1%80%B3%E1%80%95%E1%80%B9_%E1%80%B1%E1%80%A1%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%B9%E1%80%86%E1%80%94%E1%80%B9%E1%80%B8 |date=17 August 2011 }} # အောင်သန်း ၏ အောင်ဆန်း[http://www.myanmarisp.com/documents/aungsan/2009-2/eBooks/Aung-San-by-Aung-Than/view] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090911053010/http://www.myanmarisp.com/documents/aungsan/2009-2/eBooks/Aung-San-by-Aung-Than/view |date=11 September 2009 }} # ကိုမိုးသီး[http://komoethee.blogspot.com/2009/07/blog-post_3764.html] # www.aungsan.com [http://www.aungsan.com] {{ရဲဘော်သုံးကျိပ်ဝင်များ}} {{အာဇာနည်ကိုးဦး}} {{မြန်မာနိုင်ငံ}} {{lifetime|၁၉၁၅|၁၉၄၇}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမိုင်း]] [[ကဏ္ဍ:ရဲဘော်သုံးကျိပ်]] [[ကဏ္ဍ:အာဇာနည်ကိုးဦး]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ့နိုင်ငံရေးသမားများ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ အမျိုးသား စာရေးဆရာများ]] [[ကဏ္ဍ:တို့ဗမာ အစည်းအရုံးဝင်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏ နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးများ]] [[ကဏ္ဍ:တပ်မတော် ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ စာရေးဆရာများ]] juy5qk4g7u668odsdug4sj6bro0kj4x 10 2722 1040700 1037574 2026-06-25T07:16:59Z Salai Rungtoi 22844 1040700 wikitext text/x-wiki {{သတင်းများ/ပုံ | image = Prime_Minister_Sir_Keir_Starmer_Official_Portrait_(cropped_2).jpg | width = 140px | caption = ဗြိတိန်ဝန်ကြီးချုပ် ဆာကီယာစတားမား | title = | alt = | link = | border = no <!-- only set if image has a light background --> | caption align = left }} *<!-- ဇွန် ၂၄ --> [[ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ]]တွင် '''[[၂၀၂၆ ဗင်နီဇွဲလား ငလျင်|ငလျင်နှစ်ကြိမ် လှုပ်ခတ်ခဲ့ပြီး]]''' လူ ၃၀ ကျော် သေဆုံးခဲ့ရသည်။ *<!-- ဇွန် ၂၂ --> [[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ၏ ဝန်ကြီးချုပ်]]ရာထူးမှ နုတ်ထွက်ရန် ရည်ရွယ်ကြောင်း '''[[ကီယာစတားမာ|ကီယာစတားမား]]'''က ကြေညာလိုက်သည်။ *<!-- ဇွန် ၁၁ --> နိုင်ငံများကိုယ်စားပြု အသင်းပေါင်း ၄၈ သင်းဝင်ပြိုင်မည့် '''[[၂၀၂၆ ဖီဖာ ကမ္ဘာ့ဖလား|၂၀၂၆ ဖီဖာကမ္ဘာ့ဖလားပြိုင်ပွဲ]]'''ကို သုံးနိုင်ငံပေါင်း အိမ်ရှင်အဖြစ် [[ကနေဒါနိုင်ငံ]]၊ [[မက္ကဆီကိုနိုင်ငံ]]နှင့် [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု]]တို့တွင် စတင်ကျင်းပခဲ့သည်။ *<!-- ဇွန် ၁၀ --> [[ရန်ကုန်မြို့]]၌ '''[[အမေရိကန်သံရုံး (ရန်ကုန်)|အမေရိကန်သံတမန်တစ်ဦး]]''' သေဆုံးမှုဖြစ်စဉ်နှင့် ပတ်သက်၍ ထိုင်းအမျိုးသမီးတစ်ဦးအား ဖမ်းဆီးထိန်းသိမ်းထားသည်။ *<!-- ဇွန် ၈ --> [[ဖိလစ်ပိုင်နိုင်ငံ]]၊ '''[[မင်ဒါနာအိုကျွန်း]]''' တောင်ဘက်ကမ်းရိုးတန်းတွင် ပြင်းအား [[ရစ်ခ်တာ စကေး|ရစ်ခ်ျတာစကေး]] ၇.၈ အဆင့်ရှိ အင်အားပြင်းငလျင်တစ်ခု လှုပ်ခတ်ခဲ့ရာ အနည်းဆုံး လူ ၄၇ ဦး သေဆုံးခဲ့သည်။ '''[[၂၀၂၆|ဖြစ်ပွားနေဆဲ]]''': [[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ)]] ([[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် အချိန်မှတ်တမ်း (၂၀၂၁-လက်ရှိ)|အချိန်မှတ်တမ်းများ]])၊ [[၂၀၂၆ အစ္စရေး–အမေရိကန်တို့၏ အီရန်အပေါ် တိုက်ခိုက်မှု|၂၀၂၆ အီရန်စစ်ပွဲ]] ([[၂၀၂၆ လက်ဘနွန် စစ်ပွဲ |လက်ဘနွန် စစ်ပွဲ]])၊ [[ရုရှားနိုင်ငံမှ ယူကရိန်းနိုင်ငံအား ကျူးကျော်ခြင်း| ရုရှား-ယူကရိန်း စစ်ပွဲ]] '''[[၂၀၂၆|လတ်တလောကွယ်လွန်သူများ]]''': [[ဝဇိရကိတ္တိယာဘာ]]၊ [[မင်းထင်ကိုကိုကြီး]]၊ [[ဂျက်ဆန်ထွန်း]]၊ [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ|အလီ ခါမေနီ]]၊ [[စိန်ဝင်း၊ ဒေါက်တာ|စိန်ဝင်း]] <noinclude> {{documentation}} </noinclude> 911112155s04ogsbfqtexryly9wyt3z 0 3581 1040612 844329 2026-06-24T17:29:15Z Mkant00 135890 /* ကိန်းပြည့်များ (Integers) */ 1040612 wikitext text/x-wiki '''ကိန်း'''ဆိုသည်မှာ ရေတွက်ရန်နှင့် တိုင်းတာရန် အတွက် အသုံးပြုသော [[သင်္ချာ]]ဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သင်္ချာပညာတွင် ကိန်းဂဏန်းများ၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်ကို တဖြည်းဖြည်း ချဲ့ကားလာခဲ့သဖြင့် နှစ်ပေါင်းများစွာ ကြာသောအခါတွင် [[#သုညကို စတင်အသုံးပြုလာခြင်း|သုည]]၊ [[#အနုတ်ကိန်းများ စတင်အသုံးပြုလာခြင်း|အနုတ်ကိန်းများ]] (negative numbers)၊ [[#ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Rational Numbers)|ရာရှင်နယ်ကိန်း (rational number)]] ခေါ် အပိုင်းကိန်းများ၊ [[#ရာရှင်နယ်ကိန်းစစ်နှင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းစစ် (Rational vs. Irrational)|အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number)]] ခေါ် အပိုင်းကိန်းမဟုတ်သောကိန်းများ နှင့် [[#ကိန်းထွေးများ (Complex Numbers)|ကိန်းထွေး (complex number)]] များ စသည်ဖြင့် ပါဝင်လာကြသည်။ သင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ (mathematical operations) တွင် ဂဏန်းတစ်ခု သို့မဟုတ် တစ်ခုထက်ပိုသော ဂဏန်းများကို အဝင်ကိန်းအဖြစ် လက်ခံကြပြီး ဂဏန်းတစ်ခုကို အထွက်ကိန်း အဖြစ် ပြန်ထုတ်ပေးသည်။ ယူနရီ တွက်ချက်မှု (unary operation) ခေါ် တစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုတွင် ဂဏန်းတစ်ခုကို အဝင်ကိန်း အဖြစ် လက်ခံပြီး ဂဏန်းတစ်ခုကို အထွက်ကိန်း အဖြစ် ထုတ်ပေးသည်။ ဆပ်ဆက်ဆာ တွက်ချက်မှု ( successor operation) ခေါ် နောက်ဆက်တွဲတွက်ချက်မှုမှာ တစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းတွက်ချက်မှုတွင် အဝင်ကိန်းတိုင်းကို ၁ ပေါင်းပေးရာ သာဓကဆိုသော် ၄ ထည့်လိုက်ပါက ၅ ပြန်ထွက်လာသည်။ ဘိုင်နရီ တွက်ချက်မှု (binary operation) ခေါ် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုတွင် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုကို လက်ခံပြီး အထွက်ကိန်းတစ်ခုကို ပြန်ထုတ်ပေးသည်။ ပေါင်းခြင်း၊ နှုတ်ခြင်း၊ မြှောက်ခြင်း၊ စားခြင်းနှင့် ပါဝါ (အထပ်ကိန်း) တင်ခြင်းတို့သည် ဘိုင်နရီ တွက်ချက်မှုများ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ အခြေခံဂဏန်းများ၏ တွက်ချက်မှုကို လေ့လာခြင်းအား အရစ်သ်မတစ် (arithmetic)၊ သို့မဟုတ် ဂဏန်းတွက်ခြင်း၊ သို့မဟုတ် [[ဂဏန်းသင်္ချာ]]ဟု ခေါ်သည်။ ကိန်းများတွင် အသုံးပြုသော သင်္ကေတများကို နျူမရယ် (numeral) သို့ နံပါတ်ဟု ခေါ်ကြသည်။ နံပါတ်များကို ရေတွက်ရန်နှင့် တိုင်းတာရန် အတွက်သာ မကဘဲ အမှတ်အသား ပြုလုပ်ရန် (ဖုန်းနံပါတ်)၊ စီစဉ်ရန် (နံပါတ်စဉ်) နှင့် ကုတ်ဒ်သင်္ကေတ (ISBN နံပါတ်) စသည် တို့အတွက်လည်း အသုံးပြုကြလေ့ ရှိသည်။ == ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြင်း == ကိန်းများကို အမျိုးအစားအဖုံဖုံ ခွဲခြားနိုင်သည်။ အမျိုးတူကိန်းများအားလုံးကို စုဝေး၍ [[အစု]]များ (sets) အတွင်းသို့ ခွဲခြားထည့်သွင်းခြင်းဖြင့် ကိန်းစနစ်များ (number systems) ဖြစ်ပေါ်လာသည်။ ကိန်းတစ်ခုတည်းကိုပင် ရေးသားပုံတစ်မျိုးမကသုံး၍ ရေးနိုင်သည်။ သာဓကအားဖြင့် ကိန်းဂဏန်းရှစ်ကို ဟိန္ဒူ-အာရေဗျနံပါတ် (Hindu-Arabic numeral) သုံး၍ ၈ ဟုရေးနိုင်သလို၊ ရောမနံပါတ် (Roman numeral) သုံး၍ VIII ဟုလည်း ရေးနိုင်သည်။ <center> {| class="wikitable" style="text-align: center; width: 400px; height: 200px;" |+ နံပါတ်စနစ် |- ! <math> \mathbb{N}</math> ! သဘာဝကိန်းများ | ၀၊၁၊၂၊၃၊၄... သို့ ၁၊၂၊၃၊၄... |- ! <math> \mathbb{Z}</math> ! ကိန်းပြည့်များ | ... -၅၊-၄၊-၃၊-၂၊-၁၊၀၊၁၊၂၊၃၊၄၊၅... |- ! <math> \mathbb{Q}</math> ! ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (အတိပြကိန်းများ) | <math>\frac{a}{b}</math> သဏ္ဌာန်ရှိကိန်းများ၊ (<math>a</math> နှင့် <math>b</math> သည် ကိန်းပြည့်များဖြစ်၍ <math>b</math> သည် သုညနှင့် မညီသော အခြေအနေ) |- ! <math> \mathbb{R}</math> ! ကိန်းစစ်များ | လားရာစုစည်းသော (convergent) ရာရှင်နယ်ကိန်းတန်း (sequence of rational numbers) တို့၏ လားရာဆုံမှတ်များ (limits) |- ! <math> \mathbb{C}</math> ! ကိန်းထွေးများ | <math>a+bi</math> သဏ္ဌာန်ရှိကိန်းများ၊ (<math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များဖြစ်၍ <math>i</math> ဟူသော [[ကိန်းတေး]]သည် <math>-1</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ဖြစ်သည့် အခြေအနေ) |} </center> === သဘာဝကိန်းများ (Natural numbers) === {{main|သဘာဝကိန်း}} လူတို့ နိစ္စဓူဝ ထိတွေ့ရင်းနှီးမှု အများဆုံး ကိန်းအမျိုးအစားမှာ သဘာဝကိန်းများ ဖြစ်သည်။ သဘာဝကိန်းများကို ရေတွက်ကိန်းများ (counting numbers) ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။ ဂဏန်း ၁၊ ၂၊ ၃၊ ၄၊ ... စသည်တို့မှာ သဘာဝကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ အချို့သင်္ချာသမားနှင့် စာအုပ်စာတမ်းများ (သာဓက၊ ဘိုဘာကီ ၁၉၆၈<ref>Bourbaki, N. ''Elements of Mathematics: Theory of Sets''. Paris, France: Hermann, 1968. </ref> နှင့် ဟဲမော့ ၁၉၇၄<ref>Halmos, P. R. ''Naive Set Theory''. New York: Springer-Verlag, 1974. </ref>)<ref name="wolfram_n">Weisstein, Eric W. "[http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html Natural Number]." From ''MathWorld''--A Wolfram Web Resource.</ref>တွင် သုညကို သဘာဝကိန်းဟု သတ်မှတ်ပြီး ကျန်အချို့က သုညကို သဘာဝကိန်းအဖြစ် မထည့်သွင်းပါ။ မည်သို့ဖြစ်စေ သဘာဝကိန်းစု၏ အသုံးများသောသင်္ကေတမှာ <math> \mathbb{N} </math> ဖြစ်သည်။ သုညကို သဘာဝကိန်းအဖြစ် သတ်မှတ်/မသတ်မှတ် ရှင်းလင်းစေချင်သောအခါတွင် သင်္ကေတ <math>\mathbb{N}_0</math> နှင့် <math>\mathbb{Z}_{\geqslant 0}</math> တို့ကို သုညပါသော သဘာဝကိန်းစုအတွက်လည်းကောင်း၊ သင်္ကေတ <math>\mathbb{N}_1</math> နှင့် <math>\mathbb{Z}_{>0}</math> တို့ကို သုညမပါသော သဘာဝကိန်းစုအတွက်လည်းကောင်း သုံးကြသည်။ === ကိန်းပြည့်များ (Integers) === အကျယ်တဝင့် ဖော်ပြထားသောဆောင်းပါး - ''[[ကိန်းပြည့်]]'' တွက်ချက်၊ ရေတွက်၊ တိုင်းတာမှုများတွင် သဘာဝကိန်းများသက်သက်ဖြင့် မလုံလောက်သောအခါ ကိန်းပြည့်များကို သုံးရသည်။ သုညနှင့် အပေါင်းကိန်းများ ဖြစ်သည့် ၀၊ ၁၊ ၂၊ ၃၊ ၄၊ ... စသည်တို့အပြင် အနုတ်ကိန်းများ ဖြစ်သည့် -၁၊ -၂၊ -၃၊ -၄၊ ... စသည်တို့ကို စုပေါင်း၍ ကိန်းပြည့်များဟုခေါ်သည်။ အနုတ်ကိန်းများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ရှိရင်းစွဲဖြစ်သည့် သုညအပါအဝင် သဘာဝကိန်းများနှင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သည့် ပေါင်းခြင်းကိုသုံး၍ သတ်မှတ်သည်။ သာဓကအနေဖြင့်၊ -၃ ဆိုသည်မှာ ၃နှင့်ပေါင်းပါက သုညရသည့် ဂဏန်းအဖြစ် သတ်မှတ်သည်၊ -၄ ဆိုသည်မှာ ၄နှင့်ပေါင်းပါက သုညရသည့် ဂဏန်းအဖြစ်သတ်မှတ်သည်၊ ယေဘုယျဆိုရသော် -n ဆိုသည်မှာ n နှင့်ပေါင်းပါက သုညရသည့် ဂဏန်းအဖြစ်သတ်မှတ်သည်။ ကိန်းပြည့်များ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ''သဘာဝကိန်းတိုင်းမှာ ကိန်းပြည့်ဖြစ်သော်လည်း၊ ကိန်းပြည့်တိုင်း သဘာဝကိန်းမဟုတ်ပေ''။ (သာဓက၊ အနုတ်ကိန်းပြည့်များမှာ သဘာဝကိန်းများ မဟုတ်။) ကိန်းပြည့်အစုကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{Z}</math> သုံး၍ ရေးသည်။ ကိန်းဂဏန်းများဟု အနက်ရသည့် ဂျာမန်စာလုံး "''Zahlen''“ ကိုအရင်းပြု၍ သုံးခြင်းဖြစ်သည်။<ref>Dummit, D. and Foote, R., ''Abstract Algebra''. John Wiley & Sons, Inc., p. 1, 2004.</ref> === ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Rational Numbers) === {{main|ရာရှင်နယ်ကိန်း}} '''''ရာရှင်နယ်ကိန်း'' (ခေါ်) ''အတိပြကိန်း''''' ဆိုသည်မှာ (ဥပမာအားဖြင့် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> ဟူသော) '''''စုံလိုက်သင့်လျော်ရာ [[ကိန်းပြည့်]] ၂ခုဖြင့်''''' (<math>\frac{a}{b}</math> ဟူသော) '''''အပိုင်းကိန်းဖွဲ့ကာ ၎င်း၏ တန်ဖိုးကို အတိအပပြနိုင်သည့် ကိန်းများ''''' ဖြစ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် ၁/၃၊ ၇/၈၊ -၁/၂ စသည်တို့မှာ (ဤသို့ အပိုင်းကိန်းအဖြစ် ရေးသည်ဖြစ်စေ၊ ဒသမကိန်းအဖြစ် ချရေးသည်ဖြစ်စေ) '''ရာရှင်နယ်''' (ဝါ) '''အတိပြကိန်း'''များ ဖြစ်ကြသည်။ ပိုင်းခြေ သုညမဖြစ်ရခြင်းမှာ အရေးကြီးသည့် ကန့်သတ်ချက်ဖြစ်သည်၊ သို့မှသာ တန်ဖိုးပမာဏ သတ်မှတ်၍ ရသော သင်္ချာကိန်းအဖြစ် ရှိနေမည်။<br> မြန်မာဘာသာဖြင့် ရေရွတ်သောအခါ ၁/၃၊ ၇/၈ နှင့် -၁/၂ တို့ကို "သုံးပုံ၊ တစ်ပုံ၊" "ရှစ်ပုံ၊ ခုနစ်ပုံ၊" "အနုတ် နှစ်ပုံ၊ တစ်ပုံ၊" စသည်ဖြင့် ပိုင်းခြေကိန်းကို ဦးစွာ ရေရွတ်ရသည်။ ("ပုံ" အစား "ပိုင်း" ဟုလည်း သုံးကြသည်။) တစ်စုံတစ်ခုကို သုံးပုံ၊ သုံးပိုင်း အညီအမျှပိုင်းပြီးနောက် တစ်ပုံနှင့် ညီမျှသော ပမာဏ၊ စသည့်ဖြင့် အနက်ကောက်ယူနိုင်သည်။<br> ကိန်းတစ်ခုတည်းကို အပိုင်းကိန်းဖြင့်ရေးရာတွင် တစ်မျိုးထက်ပို၍ ရေးနိုင်သည်။ သာဓကအားဖြင့် ၂/၄ နှင့် ၁/၂ နှစ်မျိုးစလုံးမှာ ကိန်းတစ်ခုတည်းကို ကိုယ်စားပြုသည်။ ထို့အတူ -၁/၂ ကို <math>\frac{-1}{2}</math> အနေဖြင့်လည်းကောင်း၊ <math>\frac{1}{-2}</math> အနေဖြင့်လည်းကောင်း ရေးနိုင်သည်။ သို့ရာတွင် အနုတ်ကိန်းကို ပိုင်းဝေမှာထား၍ ရေးခြင်းက ပို၍တွင်ကျယ်သည်။<br> သဘာဝကိန်းတိုင်းမှာ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်သည်ကို သတိပြုသင့်သည်။ သာဓကဆိုသော် သဘာဝကိန်း ၅ ကို ၅/၁ ဟုရေး၍ ရသောကြောင့် ၅ မှာ ရာရှင်နယ်ကိန်းလည်း ဖြစ်သည်။ သို့သော် သဘာဝကိန်းမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းများစွာရှိ၏။ သာဓက၊ ၁/၂၊ ၄/၅၊ -၁၃/၁၄။<br> ရာရှင်နယ်ကိန်းစုကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{Q}</math> သုံး၍ ရေးသည်။ အချိုး (ratio) ဟု အနက်ရသည့် &ldquo;''Quotient''&rdquo; ဆိုသည့် ဂျာမန်စာလုံးကို အရင်းပြုထားခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသင်္ကေတကို ၁၉၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များဆီက ဘိုဘာကီရေး ''Algèbre'' တွင်စတင် အသုံးပြုသည်။<ref name="wolfram_q">Weisstein, Eric W. "[http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html Rational Number]." From ''MathWorld''--A Wolfram Web Resource.</ref> === ကိန်းစစ်များ (Real Numbers) === လက်တွေ့တိုင်းတာရာတွင် သုံးသည့်နံပါတ်များ၊ ကိန်းများအားလုံးမှာ ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ တစ်နည်းဆိုသော် ကိန်စစ်မျဉ်း (real number line) ပေါ်တွင် နေရာချထား၍ ရသောကိန်းအားလုံးမှာ ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်မျဉ်းဆိုသည်မှာ မျဉ်းဖြောင့်တစ်ခုပေါ်တွင် နံပါတ်များကို အညီအမျှတိုင်းတာ၍ မှတ်သားထားသော အလျားလိုက်မျဉ်းဖြစ်သည်။ လက်တွေ့ဥပမာအားဖြင့် ကျောင်းသုံးပေတံမှာ ကိန်းစစ်မျဉ်း၏ တစ်စိတ်တစ်ဒေသဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်တစ်ခုနှင့် နောက်ကပ်လျက်ကိန်းတစ်ခု၏ အကွာအဝေးကို တစ်လက်မဟု သတ်မှတ်ပါလျှင်၊ တစ်ပေရှည်သော ပေတံသည် သုညနှင့် ၁၂အပါအဝင်နှင့် ယင်းကိန်းနှစ်ခုကြားရှိ ကိန်းစစ်များ အားလုံးကို ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။ သာဓကဆိုရသော် ၂.၅ ဆိုသည့်ကိန်းစစ်ကို ပေတံပေါ်ရှိ နှစ်လက်မ အမှတ်နှင့် သုံးလက်မ အမှတ်ကြားရှိ အလယ်တည့်တည့်အမှတ်ဖြင့် ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။ ထို့အတူ ၁/၃ ကို သုညနှင့် ၁လက်မ အမှတ်ကြား အကွာအဝေးကို သုံးပိုင်း အညီအမျှပိုင်းကာ သုညဘက်မှစ၍ ရေတွက်ပါက တစ်ပိုင်းမြောက် အမှတ်ဖြင့် ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။ ထို့အတူ [[ပိုင် (သင်္ချာ)|သင်္ချာကိန်းသေ <math>\pi</math>]] သည်လည်း ၃လက်မနှင့် ၄လက်မကြားရှိ တစ်နေရာတွင် ရှိပေလိမ့်မည်။ ကိန်းစစ်များကို ဒသမကိန်းစနစ်သုံး၍လည်း ရေးနိုင်သည်။ သာဓက၊ ၃.၅၊ -၆.၉၉၂၀၊ ၀.၃၃၃...၊ ၃.၁၄၁၅၉၂၆၅၄... အစရှိသဖြင့်။ ဒသမကိန်းတစ်ခုတွင် ဒသမပွိုင့် (decimal point) နောက်ပါ ဂဏန်းတွဲမှာ အဆုံးသတ်သည်လည်း ရှိသည်၊ အဆုံးမသတ်သည်လည်း ရှိသည်။ သာဓကဆိုသော် ရာရှင်နယ်ကိန်း ၁/၂ ကို ဒသမပုံစံဖြင့်ရေးပါက ၀.၅ ဖြစ်၍ အဆုံးသတ်သည့် ဒသမကိန်း (terminating decimal number) ဟုခေါ်သည့် ကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်း ၁/၃ကို ဒသမပုံစံဖြင့်ရေးပါမူ ၀.၃၃၃... ဟူ၍ ဒသမနောက်တွဲ ၃ ဂဏန်းမှာ အဆုံးမရှိ ထပ်ကာထပ်ကာ ပေါ်နေရာ အဆုံးမသတ်သည့် ဒသမကိန်း (non-terminating decimal number) တစ်ခုဖြစ်သည်။ သို့သော် ၁/၃ ကို <math>0.\bar{3}</math> ဟူ၍ ပြန်ထပ်သည့် ဂဏန်းများအပေါ် မျဉ်းတိုတစ်ခုတင်၍ ရေးနိုင်သည်။ ၎င်းဒသမကိန်းမျိုးကို ပြန်ထပ်ဒသမကိန်း (recursive/repeating decimal number) ဟုခေါ်သည်။ နောက်ဆုံးအနေဖြင့် <math>\pi</math>၊ <math>\sqrt{2}</math> အစရှိသည့် ကိန်းများကို ဒသမကိန်းပုံစံဖြင့်ရေးပါက ၃.၁၄၁၅၉၂၆၅၄...၊ ၁.၄၁၄၂၁၃၅၆... ဟူ၍ ဂဏန်းတွဲမှာ ဆုံးလည်း မဆုံး၊ ပြန်လည်းမထပ် ဖြစ်နေရာ ၎င်းကိန်းအမျိုးအစားကို ပြန်မထပ်ဒသမကိန်း (non-recursive/non-repeating decimal number) ဟု ခေါ်သည်။ အဆုံးသတ်ဒသမကိန်း၊ ပြန်ထပ်ဒသမကိန်း၊ ပြန်မထပ်ဒသမကိန်း အားလုံးကို စုပေါင်း၍ ကိန်းစစ်များဟု ခေါ်သည်။ ကိန်းစစ်များကို ပို၍စနစ်တကျ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်လိုပါက ကဲကုလသင်္ချာမှ လားရာစုစည်းသည့် ကိန်းစဉ်တန်း (convergent sequence)၊ ကိန်းစဉ်တန်းတို့၏ လားရာဆုံချက် (limit) အစရှိသည့် သဘောတရားတို့ကို သုံးလေ့ရှိသည်။ ထိုသို့အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ရသော် ကိန်းစစ်တစ်ခု ဟူသည်မှာ ကိုရှီရာရှင်နယ်ကိန်းစဉ်တန်း (Cauchy sequence of rational numbers) တစ်ခု၏ လားရာဆုံချက် (limit) ဖြစ်သည်။ ယခုဖော်ပြပြီးဖြစ်သည့် ကိန်းစုများအနက် ကိန်းစစ်အစု <math>\mathbb{R}</math> သည် (ပြင်သစ်သင်္ချာပညာရှင် ကိုရှီကို ဂုဏ်ပြုမှည့်ဆိုထားသော) ကိုရှီကိန်းစဉ်တန်းတိုင်း၏ လားရာဆုံချက်အားလုံးပါဝင်သည့် အသေးဆုံးသော အစုဖြစ်သည်။ အပိုင်းကိန်းအားလုံးကို ဒသမပုံစံဖြင့်ရေး၍ ရသောကြောင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းသည် ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ သို့သော် အပိုင်းကိန်းပုံစံဖြင့် ရေး၍မရသော ကိန်းစစ်များစွာရှိသည်။ သာဓက၊ <math>\sqrt{2}</math>၊ <math>\pi</math> အစရှိသဖြင့်။ ကိန်းစစ်အစုကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{R}</math> သုံး၍ရေးသည်။ === ကိန်းထွေးများ (Complex Numbers) === {{main|ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ကိန်းထွေး}} သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ အချို့ကိစ္စများတွင် ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေကို ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် အချို့သော ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) မှာ ကိန်းစစ်အဖြေမရှိပါ။ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်း <math>x^2-1=0</math> ကို <math>x</math> အတွက်ဖြေရှင်းပါက ၁ နှင့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း၊ <math>x^2+1=0</math> ကို ဖြေရှင်းပါက ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ (real root) တစ်ခုမျှမရှိသည်ကို တွေ့ရမည်။ (မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x</math> ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပြီးပါက <math>x^2</math> ၏တန်ဖိုးမှာ အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ရာ တစ်သာထပ်ပေါင်းပါက ပေါင်းလဒ်မှာ သုညထက် အနည်းဆုံး တစ်ယူနစ်ပိုကြီးနေမည် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>x^2+1</math> သည် သုညနှင့် မည်သို့မှ ညီမည်မဟုတ်ပါ။) ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားနိုင်ရန် ကိန်းအသစ်များလိုအပ်လာသည်။ ထိုအခါ <math>x^2+1=0</math> ၏ (ကိန်းစစ်မဖြစ်နိုင်သော) ကိန်းရင်းအဖြေတစ်ခုကို ''i'' ဟု သတ်မှတ်ကာ ၎င်းကို [[ကိန်းတေး]] (imaginary unit) ဟုခေါ်သည်။ (ဖော်ပြပါ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းကို ရှင်းပါက <math>x^2=-1</math> ဟုထွက်ရာ ''i'' ကို -၁ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။ ''i'' သည် -၁၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖြစ်ပါက ''-i'' သည်လည်း -၁၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း သတိချပ်သင့်သည်။) အချုပ်ဆိုရသော် ''i'' ဆိုသည်မှာ နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရသည့် ကိန်းသစ်တစ်ခုဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ မည်သည့်ကိန်းစစ်မဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ မရနိုင်ရာ ''i'' မှာ ကိန်းစစ်မဟုတ်သည့် ကိန်းအသစ်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှားသည်။ အထက်ပါ [[ကိန်းတေး]]ကို အသုံးပြု၍ ကိန်းထွေးများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခု ဆိုသည်မှာ ''a+bi'' သဏ္ဌာန်ရှိသည့် ကိန်းတစ်တွဲလုံးကို ဆိုသည်။ ဤတွင် ''a'' နှင့် ''b'' မှာ ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ သာဓက၊ <math>2+3i, -2+(1/3)i, 4-\pi i</math>။ ကိန်းထွေး ''-2+(1/3)i'' ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) မှာ ''-2'' ဖြစ်ပြီး ကိန်းတေးပိုင်း (imaginary part) မှာ ''1/3'' ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျဆိုရသော် ကိန်းထွေး ''a+bi'' ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းမှာ ''a'' ဖြစ်၍၊ ကိန်းတေးပိုင်းမှာ ''b'' ဖြစ်သည်။ ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော အထွေထွေခြုံကြည့်မှု (generalization) အားဖြင့်မူ ကိန်းစစ်တိုင်းမှာ ကိန်းထွေးဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ ကိန်းစစ် 4 ကို 4+0i ဟူ၍ ရေးနိုင်သောကြောင့် ကိန်းစစ် ၄မှာ ကိန်းစစ်ပိုင်း ၄ရှိပြီး ကိန်းတေးပိုင်း သုညရှိခြင်းဖြင့် ဖော်ဆောင်နေသည့် ကိန်းထွေးတစ်ခုဖြစ်သည်။ သို့သော် ကိန်းထွေးတိုင်း ကိန်းစစ်မဟုတ်ပါ။ ပို၍ တိတိကျကျ ဆိုရသော် ကိန်းတေးပိုင်း သုညမဟုတ်သည့် ကိန်းထွေးတိုင်းမှာ ကိန်းစစ်များအတွင်း မပါဝင်ကြတော့။ ကိန်းထွေးစုကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{C}</math> သုံး၍ ရေးနိုင်သည်။ ကိန်းထွေးအစုကို ပို၍စနစ်ကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ် တည်ဆောက်လိုပါက [[သဘောနက် အက္ခရာသင်္ချာ]] (abstract algebra) ရှိ ကွင်း (ring) များ တိုးချဲ့တည်ဆောက်ခြင်းဟူသည့် သဘောတရားကို သုံးလေ့ရှိသည်။ ထိုသို့အဓိပ္ပာယ် ဖွင့်လိုပါက <math>\mathbb{C}</math> ဆိုသည်မှာ <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် ကိန်းရင်းများဖြင့် ထပ်ဖြည့်တည်ဆောက်ထားသည့်အစု (algebraic closure of <math>\mathbb{R}</math>) ဖြစ်သည်။ === ကိန်းအမျိုးအစားအသီးသီးတို့ ဆက်နွယ်ချက် === သဘာဝကိန်းတိုင်း ကိန်းပြည့်ဖြစ်သည်၊ ဤအချက်ကြောင့် သဘာဝကိန်းအစု <math>\mathbb{N}</math> သည် ကိန်းပြည့်အစု <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အစုငယ် (subset) တစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ပြောလေ့ရှိသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}</math> ဟူ၍ ရေးနိုင်သည်။ သို့သော် ကိန်းပြည့်တိုင်း သဘာဝကိန်း ဖြစ်သည်ဟု မဆိုသာ၊ သဘာဝကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်များ ရှိ၍ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် သဘာဝကိန်းစုနှင့် ကိန်းပြည့်စုနှစ်ခုမှာ မတူညီ။ ဤသည်ကို <math>\mathbb{N}\neq \mathbb{Z}</math> ဟု ရေးနိုင်သည်။ ဤ <math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}</math> နှင့် <math>\mathbb{N}\neq \mathbb{Z}</math> နှစ်ချက်ကို ပေါင်း၍ <math>\mathbb{N}\subsetneq \mathbb{Z}</math> ဟူ၍ ရေးနိုင်သည်။ ထိုအခါ ကိန်းစုအမျိုးမျိုးကြား ဆက်နွယ်မှုကို <center> <math> \mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \mathbb{C} </math> </center> ဟု သင်္ချာသင်္ကေတများသုံး၍ ရေးနိုင်သည်။ == ကိန်းပြည့်အမျိုးအစားများ == === စုံကိန်းနှင့် မကိန်း (Even vs. Odd) === ကိန်းပြည့်များထဲတွင် ...၊ -၄၊ -၂၊ ၀၊ ၂၊ ၄၊ ... အစရှိသည်တို့ကို စုံကိန်းများဟု ခေါ်သည်။ အတိအကျဆိုရသော် ကိန်းပြည့် ၂ ဖြင့် စား၍ပြတ်သော (ဝါ) အကြွင်းမကျန်သော ကိန်းပြည့်ဟူသမျှကို စုံကိန်းများဟု ခေါ်သည်။ သုညကို ၂ ဖြင့်စားလျှင် အကြွင်းသုညသာ ကျန်သောကြောင့် သုညသည်လည်း စုံကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ နှစ်ခုတွဲ အစုံလိုက် အစုံလိုက် တွဲ၍ရသော ပမာဏများ ဖြစ်သောကြောင့် ''စုံ'' ဆိုသည့် ဝေါဟာရကို သုံးခြင်းဖြစ်သည်။ မြန်မာပြည် ကျေးလက်ဒေသအချို့တွင် တစ်စုံကို &ldquo;တစ်ပြူ&rdquo;<ref name="မြကေတု">မြကေတု။ &ldquo;ကလေးမှတ်ဉာဏ် တစ်ပြူ တစ်လံ။&rdquo; ''စာပေတန်ဆောင်''။ ၁၉၆၇။</ref> ဟုလည်း ခေါ်လေ့ရှိရာ ကိန်းပြည့် ၂ ကို မြန်မာလို တစ်ပြူဟု ခေါ်သည်လည်း ရှိသည်။ မြန်မာကျေးလက်ရှိ ကလေးများ ရေတွက်တတ်စေရန် ၂၊ ၄၊ ၆၊ ၈၊ ၁၀ စသည့် စုံကိန်းပြည့်များကို &ldquo;တစ်ပြူ၊ တစ်လံ၊ ညောင်ကန်၊ ထမ်းပိုး၊ အကျိုး&rdquo;<ref name="မြကေတု"></ref> ဟု စကားပုံဆောင်၍ မှတ်သည်လည်း ရှိသည်။<ref name="ext_blog">စုချစ်။ &ldquo;[http://suuchitthu.blogspot.sg/2012/10/blog-post_13.html တစ်ပြူ၊ တစ်လံ၊ ညောင်ကန်၊ ထမ်းပိုး၊ အချိုး (အကျိုး/ချိုး)]။&rdquo; ''စုချစ်သူ''။ ၂၀၁၂။</ref> စုံကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်များကို မ ကိန်းဟုခေါ်သည်။ ...၊ -၃၊ -၁၊ ၁၊ ၃၊ ... စသည့် ကိန်းပြည့်များမှာ မကိန်းများဖြစ်သည်။ အတိအကျဆိုရသော် ကိန်းပြည့် ၂ ဖြင့်စားသောအခါ အကြွင်း ၁ ကျန်သော ကိန်းပြည့်ဟူသမျှကို မကိန်းများဟု ခေါ်သည်။ စုံကိန်းစုနှင့် မကိန်းစုကို သင်္ကေတအဖုံဖုံ သုံး၍ကိုယ်စားပြုတတ်ကြသည်။ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှလာသည့် <math>2\mathbb{Z}</math> နှင့် <math>2\mathbb{Z}+1</math> ကို စုံကိန်းစုနှင့် မကိန်းစု အသီးသီးတို့ကို ဖော်ပြရန် သင်္ချာပညာရှင်များကြားတွင် သုံးလေ့ရှိသည်။ === သုဒ္ဓကိန်းပြည့်များ (Prime Integers) === {{main|သုဒ္ဓကိန်း}} တစ်ထက်ကြီးသော အပေါင်းကိန်းပြည့်တစ်ခုသည် ၎င်းကိန်းပြည့်ကိုယ်တိုင်နှင့် ကိန်းပြည့် ၁ မှအပါး အခြား[[ဆခွဲကိန်း]]မရှိပါက ၎င်းကိန်းပြည့်ကို သုဒ္ဓကိန်းပြည့်ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ကြသည်။ တစ်နည်းဆိုရသော် သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုကို ၎င်းကိန်းကိုယ်တိုင်နှင့် ကိန်းပြည့် ၁ မှအပါး အခြားမည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့်နှင့်မှ စား၍မပြတ်ပါ။ သာဓကအားဖြင့် ဆိုရသော် ၂၊ ၃၊ ၅၊ ၇၊ ... အစရှိသည်တို့မှာ အပေါင်းသုဒ္ဓကိန်းပြည့်များ ဖြစ်ကြသည်။ သုဒ္ဓကိန်းများ၏ လူသိများသော အထက်ဖော်ပြပါ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အပြင် ပို၍ယေဘုယျကျသော၊ ပို၍တိကျသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ကွင်းသီအိုရီ (ring theorey) တွင်တွေ့နိုင်သည်။ ၎င်းအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရဆိုလျှင် ယူနစ် (unit) (ဆိုလိုသည်မှာ တစ်နှင့် အနှုတ်တစ်) မဟုတ်သည့် ကိန်းပြည့် <math>x</math> သည် ကိန်းနှစ်ခု၏မြှောက်လဒ် <math>ab</math> ကို စား၍ပြတ်ပါက ၎င်းကိန်းနှစ်လုံးထဲမှ အနည်းဆုံးတစ်လုံးကိုလည်း စား၍ပြတ်မှသာ (ဆိုလိုသည်မှာ <math>x</math> သည် <math>a</math> ကိုသော်လည်းကောင်း၊ <math>b</math> ကိုသော်လည်းကောင်း စား၍ပြတ်မှသာ) ထိုကိန်းပြည့် <math>x</math> ကို သုဒ္ဓကိန်းဟုခေါ်သည်။ သာဓကအရ ကိန်းပြည့် ၂ ကိုကြည့်ပါ။ မည်သည့်ကိန်းနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကိုမဆို ၂ ဖြင့်စား၍ပြတ်ပါက ထိုကိန်းနှစ်လုံးထဲမှ အနည်းဆုံးတစ်လုံးကိုလည်း ၂ ဖြင့်စား၍ ပြတ်သည်၊ ထို့ကြောင့် ၂ သည် သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရဆိုလျှင် ကိန်းပြည့်စုထဲရှိ -၂၊ -၃၊ -၅၊ -၇၊ ... စသည်တို့သည်လည်း သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ သုဒ္ဓကိန်းများကို သင်္ချာသန့်သန့်နယ်ပယ်တွင်သာမက အသုံးချသင်္ချာ၊ သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ စသည့် ဘာသာရပ် နယ်ပယ်အသီးအသီးတို့တွင် တွေ့နိုင်သည်။ သုဒ္ဓကိန်းတို့၏ ဂုဏ်သတ္တိ မြောက်မြားစွာအနက် အချို့မှာ လူသိများသည်။ ကိန်းပြည့် ၂ သည် တစ်ခုတည်းသော အပေါင်း စုံ သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ပြီး၊ ကျန် အပေါင်း သုဒ္ဓကိန်းများမှာ မကိန်းများဖြစ်သည်။ တစ်ထက်ကြီးသော အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို သုဒ္ဓကိန်းများသက်သက်သာ သုံး၍ [[ဆခွဲကိန်း]] ခွဲနိုင်သည်။ (ဤအချက်ကို ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် Fundamental Theorem of Arithmetic ဟုခေါ်သည်။) သုဒ္ဓကိန်းများနှင့် ပတ်သက်၍ သက်သေမပြရသေးသောအဆိုများ (conjectures) များလည်းရှိ၏။ ၎င်းတို့အနက် &ldquo;နှစ်ထက်ကြီးသော စုံကိန်းများကို သုဒ္ဓကိန်းနှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်&rdquo; ဆိုသည့် ဂိုးဘ၏ အဆို (Goldbach's conjecture) သည် ထင်ရှားသည်။ === အခြားကိန်းပြည့်အမျိုးအစားများ === အထက်ဖော်ပြပါ ကိန်းပြည့်များအပြင် သင်္ချာနှင့် အခြားပညာရှင်များ လေ့လာစူးစမ်းသည့် အခြားကိန်းပြည့်အမျိုးအစားများလည်း ရှိသည်။ ထင်ရှားသော သာဓကများမှာ ဖီဘိုနာချီကိန်းစဉ်တန်း (Fibonacci sequence) (OEIS ရှိ [https://oeis.org/A000045 A000045]) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းဟု ခေါ်ဆိုနိုင်မည့် perfect number (OEIS ရှိ [https://oeis.org/A000396 A000396]) တို့ဖြစ်သည်။ ကျန်ရှိသော ကိန်းစဉ်တန်းအမျိုးအစားများကို [https://oeis.org On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)] တွင် ကြည့်နိုင်သည်။ == ကိန်းထွးအမျိုးအစားများ == === ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းတေး (Real vs. Imaginary) === အထက်ပါ [[#ကိန်းထွေးများ (Complex Numbers)|ကိန်းထွေး]] ခေါင်းစဉ်အောက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သည့်အတိုင်း၊ ကိန်းစစ်များဖြင့် မလုံလောက်သောအခါ ကိန်းထွေးများကိုလည်း အသုံးပြုရန်လိုအပ်လာသည်။ ကိန်းစစ်စုနှင့် ကိန်းထွေးစုတို့အကြား [[#ကိန်းအမျိုးအစားအသီးသီးတို့ ဆက်နွယ်ချက်|ဆက်နွယ်ချက်]]မှာ <math>\mathbb{R} \subsetneq \mathbb{C}</math> ဖြစ်သည်။ တစ်နည်းဆိုရသော် ကိန်းစစ်တိုင်း ကိန်းထွေးဖြစ်သော်လည်း ကိန်းစစ်မဟုတ်သော ကိန်းထွေးများလည်း ရှိသည်။ ထိုသို့ ကိန်းစစ်မဟုတ်သော ကွန်ကိန်းထွေးများကို [[ကိန်းတေး]]သီးသန့်များ (pure imaginary numbers) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထိုကိန်းတေးများသည် ''bi'' ပုံသဏ္ဌာန် (ဤတွင် ''b'' မှာ ကိန်းစစ်တစ်ခု) ရှိကြသည်။ သာဓက၊ <math>i,-i, 3i, (5/7)i, -\pi i</math>။ ကိန်းစစ်များကို ကိန်းစစ်မျဉ်းတစ်ခုတည်းဖြင့် ဖော်ပြ၍ ရသော်လည်း ကိန်းထွေးများကိုမူ ကိန်းမျဉ်းနှစ်ခု (ကိန်းစစ်ပိုင်းအတွက် အလျားလိုက်ဝင်ရိုး၊ ကိန်းတေးပိုင်းအတွက် ထောင်လိုက်ဝင်ရိုး) သုံးမှ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ထိုသို့ဖော်ပြသည့်စနစ်ကို ကိန်းထွေးပြင် (complex plane) ဟုခေါ်သည်။ ကိန်းစစ်များသည် ကိန်းထွေးပြင်တွင် အလျားလိုက်ဝင်ရိုးပေါ်ရှိ ကိန်းများဖြစ်ပြီး၊ ကိန်းတေးများသည် ထောင်လိုက်ဝင်ရိုးပေါ်ရှိ ကိန်းများဖြစ်သည်။ ကိန်းတေး(သီးသန့်) အစုကို <math>\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}</math> ဟု သင်္ကေတပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်။ === ရာရှင်နယ်ကိန်းစစ်နှင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းစစ် (Rational vs. Irrational) === [[#ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Rational Numbers)|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]]ခေါင်းစဉ်အောက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သည့်တိုင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းသည် ကိန်းစစ်ဖြစ်သော်လည်း ရာရှင်နယ်ကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းစစ်များလည်းရှိသည်။ ထို ရာရှင်နယ်ကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းစစ်များကို အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) (ဝါ) အပိုင်းကိန်း အတိဖော်ပြမှု မရနိုင်သည့် ကိန်းစစ်များ ဟု ခေါ်သည်။ တစ်နည်းဆိုရသော် အဆုံးလည်းမသတ်၊ ပြန်လည်းမထပ်သည့် ဒသမကိန်းများမှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\sqrt{2}</math> နှင့် <math>\pi</math> တို့မှာ အီရာရှင်နယ် (အတိမပြ)ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ အစုသီအိုရီရှိ အစုအရွယ်အစား (cardinality of a set) သဘောအရဆိုလျှင် ကိန်းစစ်စုအတွင်းရှိ ကိန်း &ldquo;''အားလုံးနီးပါး''&rdquo; (almost all) မှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြစ်ကြသည်။ (ဤတွင် &ldquo;''အားလုံးနီးပါး''&rdquo; ဟူသောအသုံးမှာ သာမန်မြန်မာစာ အသုံးမဟုတ်ဘဲ အစုသီအိုရီနှင့် အတိုင်းအတာသီအိုရီ (measure theory) ဆိုင်ရာ တိကျသည့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် ရှိသည်။) အီရာရှင်နယ်ကိန်းစစ်အစုကို <math>\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}</math> ဟုသင်္ကေတပြုနိုင်သည်။ === ကိန်းရင်းနှင့် ကိန်းလွန် (Algebraic vs. Transcendental) === ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခုကို ကိန်းပြည့်အမြှောက်ကိန်း (integer coefficient) များသာပါဝင်သည့် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ ကိန်းရင်းအဖြေ (root) အဖြစ်ဖော်ပြနိုင်ပါက ၎င်းကွန်ပလက်ကိန်းကို ကိန်းရင်းဟု ခေါ်သည်။ သာဓကဆောင်ရသော် -၃ မှာ <math>x^2-9=0</math> ၏ အဖြေတစ်ခုအဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သောကြောင့် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းမှာ ''a/b'' (ဤတွင် ''b'' မှာ သုညမဟုတ်) သဏ္ဌာန်ရှိ၍ <math>bx-a=0</math> ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်း၏ အဖြေဖြစ်ရာ ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းမှာ ကိန်းရင်းများဖြစ်သည်။ ထို့အတူ <math>\sqrt{2}</math>နှင့် <math>\sqrt{3}i</math> တို့မှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်းနှင့် ကိန်းယောင်အသီးသီး ဖြစ်သော်လည်း <math>x^2-2=0</math> နှင့် <math>x^2+3=0</math> တို့၏ မသိကိန်းအဖြေများ အသီးသီးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းတို့မှာလည်း ကိန်းရင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ကိန်းရင်းမဟုတ်သော ကိန်းထွေးများကို ကိန်းလွန်များ (transcendental numbers) ဟုခေါ်သည်။ တစ်နည်းဆိုရသော် ကိန်းပြည့်အမြှောက်ကိန်းသက်သက်ပါ ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ အဖြေအဖြစ် ဖော်ပြ၍မရသော ကိန်းထွေးများကို ကိန်းလွန်များဟု ခေါ်သည်။ သာဓကဆိုရသော် <math>\pi</math>၊ <math>e</math> အစရှိသည်တို့ဖြစ်သည်။ == အခြားကိန်း အမျိုးအစားများ == အထက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအမျိုးအစားများအပြင် တွက်ချက်နိုင်သောကိန်းများ (computable numbers)၊ &ldquo;''p''-အခြေခံကိန်းများ&rdquo; ဟုခေါ်ဆိုနိုင်မည့် ''p''-adic ကိန်းများ၊ ဟိုက်ပါကွန်ပလက်စ် (hypercomplex) ကိန်းများ၊ စံမဟုတ်သည့် ကိန်းများ (non-standard numbers) စသည်ဖြင့် ကိန်း၏သဘောတရားကို ချဲ့ထွင်ပြုပြင်ထားသော ကိန်းများစွာလည်းရှိသေးသည်။ == သမိုင်းကြောင်း == === ကိန်းများစတင်အသုံးပြုလာခြင်း === သမိုင်းဦးမတင်မီခေတ်ကပင် ကိန်းများကိုစတင်အသုံးပြုလာသော အထောက်အထားများရှိသည်။ တိရစ္ဆာန်အရိုးစသည့် ပစ္စည်းများတွင် ကိုက်ရာများဖြင့် တာလီမှတ်ခဲ့သည်ဟု ခန့်မှန်းကြသည်။<ref>Marshak, A. ''The Roots of Civilisation; Cognitive Beginnings of Man’s First Art, Symbol and Notation.'' London: Weidenfeld & Nicolson, 1972, pp. 81ff.</ref> သို့သော် တာလီစနစ်တွင် နေရာလိုက်တန်ဖိုး (positional value) သဘောကို အသုံးမပြုသောကြောင့် အကန့်အသတ်များ ရှိသည်။ ရှေးအကျဆုံးသော ကိန်းစနစ်များဖြစ်သည့် အီဂျစ်၊ ရောမ၊ ဟီဘရူးနှင့် ဂရိကိန်းစနစ်များတွင် နေရာလိုက်တန်ဖိုးကို အသုံးမပြုသော်လည်း၊ အခြားကိန်းစနစ်များဖြစ်သည့် ဘေဘီလုံ ကိန်းစနစ်၊ အိန္ဒိယကိန်းစနစ်တစ်မျိုး၊ တရုတ်ကိန်းစနစ်တစ်မျိုးနှင့် မာယာကိန်းစနစ်တို့တွင် နေရာကို အခြေခံ၍ တန်ဖိုးတွက်သည့် သဘောကိုတွေ့နိုင်သည်။<ref>&ldquo;Numeral system&rdquo;. Encyclopædia Britannica. Encyclopædia Britannica Online. Encyclopædia Britannica Inc., 2014. Web. 25 Dec. 2014 <[http://www.britannica.com/EBchecked/topic/422375/numeral-system http://www.britannica.com/EBchecked/topic/422375/numeral-system]>.</ref> === သုညကို စတင်အသုံးပြုလာခြင်း === သုညကို စတင်၍ အမှတ်အသားပြုသူတို့မှာ ဆူမယ်ရီယန် (Sumerian) များဖြစ်သည်ဟု ခန့်မှန်းရသည်။<ref name="yale_zero">Wallin, N. &ldquo;[http://yaleglobal.yale.edu/about/zero.jsp The History of Zero.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160825124525/http://yaleglobal.yale.edu/about/zero.jsp |date=25 August 2016 }}&rdquo; From ''YaleGlobal Online''--Web. 25 Dec 2014.</ref> သို့သော် သုည၏သဘောတရား၊ သုည၏နေရာလိုက်တန်ဖိုး စသည်တို့ကိုမူ ဆူမယ်ရီယန်တို့ အသေအချာ နားလည်ခဲ့ပုံမရချေ။ သင်္ချာအခြေခံများကို အီဂျစ်တို့ထံမှ သင်ယူခဲ့သည့် ဂရိပညာရှင်သည်လည်း ထိုသဘောကို နားလည်ကြောင်း အထောက်အထား အခိုင်အမာ မတွေ့ရပေ။<ref name="yale_zero"></ref> သုညကို သင်္ကေတအဖြစ်သာမကဘဲ သဘောတရားတစ်ခုအဖြစ်ပါ အသေအချာ စတင်အသုံးပြုခဲ့သူများမှာ အိန္ဒိယလူမျိုးများဖြစ်သည်။<ref name="yale_zero"></ref> အိန္ဒိယမှ ဗြာဟ္မဂုတ္တ (Brahmagupta) သည် ၆၅၀စီအီးတွင် သုညကိုသုံး၍ ဂဏန်းသင်္ချာတွက်ချက်ခြင်းကို စနစ်တကျလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။<ref name="yale_zero"></ref> သင်္ကရိုက် (Sanskrit) ဘာသာဖြင့် သုညကို &ldquo;sunya&rdquo; ဟုခေါ်ရာမှ မြန်မာဘာသာရှိ ပါဠိမွေးစားစကားလုံး &ldquo;သုည&rdquo; ဖြစ်လာဟန်ရှိသည်။ အာရပ်ကုန်သည်များသည် အိန္ဒိယမှ ဟင်းခတ်အမွှေးအကြိုင်နှင့် အခြားကုန်ပစ္စည်းအသစ်အဆန်းများအပြင် ဗြာဟ္မဂုတ္တ၏ သင်္ချာကျမ်းကိုပါ ပြန်လည်သယ်ဆောင်လာကြရာ ၇၇၃စီအီးသို့ရောက်သော် (ယခုခေတ် အီရတ်နိုင်ငံရှိ) ဘဂ္ဂဒက်မြို့သို့ သုည၏သဘောတရား ရောက်ရှိပြီးဖြစ်သည်။ အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသတွင် သုည၏သဘောတရား ပြန့်ပွားစည်ပင်လာရာ ကိုးရာစုနှစ်သို့ ရောက်သောအခါ [[မိုဟာမက် အီဘင်မူဆာ အယ်ခိုဝါရစ်ဇမီ]] (Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi) သည် သုညပါ ညီမျှခြင်းများကို စတင်လေ့လာခဲ့ပြီး မြှောက်ခြင်းနှင့် စားခြင်းတို့ကို အမြန်တွက်နည်းတို့ကိုလည်း တီထွင်တွေ့ရှိခဲ့သည်။<ref name="yale_zero"></ref> အယ်ခိုဝါရစ်ဇမီက သုညကို &ldquo;sifr&rdquo; ဟုခေါ်ခဲ့သည်။ ခုနှစ် ၈၇၉စီအီးသို့ရောက်သော် သုညကို မျက်မှောက်ခေတ်ရေးသားပုံအတိုင်း ဘဲဥပုံဖြင့် ရေးသားလာကြသည်။ စပိန်ပြည်တောင်ပိုင်းကို မောတို့ (Moors) သိမ်းပိုက်ရာမှစပြီး တစ်ဆယ့်နှစ်ရာစုအလယ်ပိုင်းသို့ ရောက်သောအခါ အယ်ခိုဝါရစ်ဇမီ၏ကျမ်းကို ဘာသာပြန်ထားသောကျမ်းများသည် အင်္ဂလန်သို့ တဖြည်းဖြည်း ရောက်ရှိလာသည်။ ကုန်သွယ်စီးပွားရေးရာများတွင် သုညသည် အလွန်အသုံးဝင်သော်လည်း သုညနှင့် နေရာလိုက်တန်ဖိုးကို အသုံးပြုရေးသားထားသော နံပါတ်များကို တုပပြင်ဆင်ရေးသားရန် လွယ်ကူလွန်းသည်ဟုဆိုကာ ဥရောပရှိ အစိုးရများက သုညနှင့် အာရေဗျ ကိန်းစနစ်ကို ပိတ်ပင်ခဲ့သည်များလည်းရှိသည်။<ref name="yale_zero"></ref> သို့သော် ကုန်သည်များက လျှို့ဝှက်သုံးစွဲခဲ့ရာမှာ &ldquo;sifr&rdquo; ခေါ်သုည၏ အာရေဗျအမည်မှ ရွေ့လျောလာသည့် &ldquo;cipher&rdquo; ဆိုသည့် မျက်မှောက်ခေတ်စကားလုံးမှာ ဝှက်စာ ဟု အဓိပ္ပာယ်ရလာသည်။<ref name="yale_zero"></ref> နောင်တွင် ရနေးဒေးကား (Rene Descartes) ၏ နာမည်ကျော် ကာတေးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် လည်းကောင်း၊ အခြားသင်္ချာပညာရှင်များဖြစ်သည့် [[နယူတန်]] (Newton) နှင့် [[ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘနစ်|လိုက်ဘနစ်]] (Leibniz) စသည်တို့၏ လေ့လာမှုများတွင် သုညကို အသုံးပြုခဲ့ပြီး ကဲကုလပ်နှင့် အခြားသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုများ ပေါ်ပေါက်ခဲ့ပေသည်။ === အနုတ်ကိန်းများ စတင်အသုံးပြုလာခြင်း === အနုတ်ကိန်းဟူသည့် သဘောတရားကို အစောဆုံး ၁၀၀ ဘီစီအီး နှင့် ၅၀ ဘီစီအီးအကြားတွင် [[တရုတ်]]လူမျိုးတို့ သိမြင်နားလည်ခဲ့ပုံရသည်။<ref name="utexas_m326k">Smith, M. K. &ldquo;[https://www.ma.utexas.edu/users/mks/326K/Negnos.html History of Negative Numbers].&rdquo; From ''M326K: Foundations of Number Systems''--Web. 25 Dec 2014.</ref> &ldquo;သင်္ချာအနုပညာနှင့် ပတ်သက်သည့် အခန်းကိုးခန်း&rdquo; အမည်ရ တရုတ်ကျမ်းတွင် ပုံသဏ္ဌာန်အမျိုးမျိုး၏ ဧရိယာရှာပုံရှာနည်းကို ဖော်ပြရာတွင် အပေါင်းအမြှောက်ကိန်း (positive coefficient) များကို အနီရောင်အစက်ပြောက်များနှင့်လည်းကောင်း၊ အနုတ်အမြှောက်ကိန်း (negative coefficient) များကို အနက်ရောင်အစက်ပြောက်များနှင့်လည်းကောင်း ကိုယ်စားပြုရေးသားထားသည်။<ref>Staszkow, R. and Bradshaw R. ''The Mathematical Palette'' (3rd ed.). Thomson Brooks/Cole, p. 41, 2004.</ref> သုံးရာစုနှစ်အတွင်းသို့ ရောက်သောအခါ [[ဂရိ]]ပညာရှင် ဒိုင်အိုဖန်တပ် (Diophantus) ၏ ''Arithmetica'' ခေါ် [[ဂဏန်းသင်္ချာ]]ကျမ်းတွင် <math>4x+20=0</math> ဟူ၍ ယခုခေတ်ပုံစံဖြင့် ရေး၍ရမည့် ညီမျှခြင်းကို ဖြေရှင်းရာတွင် ရရှိသည့် အနုတ်ကိန်းအဖြေကို အဓိပ္ပာယ်မရှိဟု ကျမ်းပြုသူကိုယ်တိုင် မှတ်ချက်ချဖူးသည်။ ဒိုင်အိုဖန်တပ်သည် အနုတ်ဂဏန်းပါ တွက်ချက်မှုအချို့ကို ပြုလုပ်ခဲ့သော်လည်း အနုတ်၏ ယေဘုယျသဘောတရားအကြောင်းကို ရှင်းလင်းရေးသားခဲ့ခြင်းမရှိပေ။<ref>Smith, David E. [http://www.amazon.com/History-Mathematics-Vol-Dover-Books/dp/0486204308 ''History of Mathematics''], Vol. 2. Dover, p. 258, 1958.</ref> စီအီး ခုနစ်ရာစုသို့ ရောက်သောအခါမှသာ [[အိန္ဒိယ]]ပညာရှင် ဗြာဟ္မဂုတ္တ၏ကျမ်းတွင် နှစ်ထပ်ကိန်းညီမျှခြင်းရှင်းနည်းကို အနုတ်ကိန်းများသုံး၍ ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref>Cajori, Florian. [https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&source=gbs_navlinks_s ''History of Mathematics''], 5th ed. New York: Chelsea, p. 94, 1991.</ref> အနုတ်ကိန်းသုံး၍ တွက်ချက်ရာတွင် လိုက်နာရမည့် စည်းမျဉ်းများကိုလည်း ရေးသားခဲ့သည်။<ref>Katz, Victor J. [https://books.google.com/books?id=vV8PAQAAMAAJ&source=gbs_navlinks_s ''A History of Mathematics: An Introduction''], 2nd edition, Reading, MA: Addison-Wesley, p. 226, 1998.</ref> နောက်ပိုင်းရာစုများတွင် အနုတ်ကိန်းအကြောင်းကို ကမ္ဘာအရပ်ရပ်မှ ပညာရှင်တို့ မှတ်ချက်ပြုရေးသားခဲ့သော်လည်း ဤအနုတ်သဘောကို အလွယ်တကူ လက်ခံခဲ့ခြင်းမရှိပေ။ စီအီး ကိုးရာစု အရှေ့အလယ်ပိုင်းမှ အယ်ခိုဝါရစ်ဇမီက အနုတ်ကိန်းများကို အသုံးမပြုဘဲ နှစ်ထပ်ကိန်းညီမျှခြင်းရှင်းနည်းကို ခြောက်မျိုးခွဲ၍ရေးသားခဲ့ပြီး<ref>Katz, Victor J. [https://books.google.com/books?id=vV8PAQAAMAAJ&source=gbs_navlinks_s ''A History of Mathematics: An Introduction''], 2nd edition, Reading, MA: Addison-Wesley, p. 245, 1998.</ref>၊ တစ်ဆယ့်နှစ်ရာစု အိန္ဒိယမှ ဘက်ရှ်ကာရာ (Bhaskara) က အနုတ်ကိန်းရင်းအဖြေကို &ldquo;မပြည့်စုံ၍၊ လူတို့သဘောမတူ၍ ယူစရာမလို&rdquo;<ref>Cajori, Florian. [https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&source=gbs_navlinks_s ''History of Mathematics''], 5th ed. New York: Chelsea, p. 93, 1991.</ref> ဟုလည်းကောင်း၊ ဆယ့်ငါးရာစု ဥရောပမှ ရှူကေး (Chuquet) က &ldquo;အဓိပ္ပာယ်မရှိသော နံပါတ်များ&rdquo; ဟူ၍လည်းကောင်း၊ ဆယ့်ခြောက်ရာစု ဥရောပမှ ရှတီဖယ်က သုညထက်နည်းသည့် အတုအယောင်ကိန်း အဖြစ်လည်းကောင်း၊ ဆယ့်ခုနစ်ရာစု ဥရောပမှ ဒေးကားက အနှုတ်ကိန်းရင်းများသော အဖြေမှားများ အဖြစ်လည်းကောင်း အသီးသီး ရေးသားခဲ့ကြသည်။ သမိုင်းအဆက်ဆက်မှ ပညာရှင်အချို့က အနုတ်ကိန်းကို အလုံးစုံသော်လည်းကောင်း၊ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းမျှသာလည်းကောင်း လက်ခံခဲ့သည့် ဖြစ်ရပ်များ ရှိသော်လည်း ၁၉ရာစု နောက်ပိုင်းရောက်မှသာ အနုတ်ကိန်းများကို တဖြည်းဖြည်း တွင်ကျယ်စွာ အသုံးပြုလာဟန်ရှိသည်။ == ကိုးကား == {{Reflist|2}}{{DEFAULTSORT:ကိန်းhtml}} [[Category:သင်္ချာ]] [[Category:သဒ္ဒါ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:Fontfix]] 2dmgj0h68ab2qqhsdigsigs46th6hwd 1040613 1040612 2026-06-24T17:30:12Z Mkant00 135890 /* ကိန်းပြည့်များ (Integers) */ 1040613 wikitext text/x-wiki '''ကိန်း'''ဆိုသည်မှာ ရေတွက်ရန်နှင့် တိုင်းတာရန် အတွက် အသုံးပြုသော [[သင်္ချာ]]ဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သင်္ချာပညာတွင် ကိန်းဂဏန်းများ၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်ကို တဖြည်းဖြည်း ချဲ့ကားလာခဲ့သဖြင့် နှစ်ပေါင်းများစွာ ကြာသောအခါတွင် [[#သုညကို စတင်အသုံးပြုလာခြင်း|သုည]]၊ [[#အနုတ်ကိန်းများ စတင်အသုံးပြုလာခြင်း|အနုတ်ကိန်းများ]] (negative numbers)၊ [[#ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Rational Numbers)|ရာရှင်နယ်ကိန်း (rational number)]] ခေါ် အပိုင်းကိန်းများ၊ [[#ရာရှင်နယ်ကိန်းစစ်နှင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းစစ် (Rational vs. Irrational)|အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number)]] ခေါ် အပိုင်းကိန်းမဟုတ်သောကိန်းများ နှင့် [[#ကိန်းထွေးများ (Complex Numbers)|ကိန်းထွေး (complex number)]] များ စသည်ဖြင့် ပါဝင်လာကြသည်။ သင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ (mathematical operations) တွင် ဂဏန်းတစ်ခု သို့မဟုတ် တစ်ခုထက်ပိုသော ဂဏန်းများကို အဝင်ကိန်းအဖြစ် လက်ခံကြပြီး ဂဏန်းတစ်ခုကို အထွက်ကိန်း အဖြစ် ပြန်ထုတ်ပေးသည်။ ယူနရီ တွက်ချက်မှု (unary operation) ခေါ် တစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုတွင် ဂဏန်းတစ်ခုကို အဝင်ကိန်း အဖြစ် လက်ခံပြီး ဂဏန်းတစ်ခုကို အထွက်ကိန်း အဖြစ် ထုတ်ပေးသည်။ ဆပ်ဆက်ဆာ တွက်ချက်မှု ( successor operation) ခေါ် နောက်ဆက်တွဲတွက်ချက်မှုမှာ တစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းတွက်ချက်မှုတွင် အဝင်ကိန်းတိုင်းကို ၁ ပေါင်းပေးရာ သာဓကဆိုသော် ၄ ထည့်လိုက်ပါက ၅ ပြန်ထွက်လာသည်။ ဘိုင်နရီ တွက်ချက်မှု (binary operation) ခေါ် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုတွင် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုကို လက်ခံပြီး အထွက်ကိန်းတစ်ခုကို ပြန်ထုတ်ပေးသည်။ ပေါင်းခြင်း၊ နှုတ်ခြင်း၊ မြှောက်ခြင်း၊ စားခြင်းနှင့် ပါဝါ (အထပ်ကိန်း) တင်ခြင်းတို့သည် ဘိုင်နရီ တွက်ချက်မှုများ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ အခြေခံဂဏန်းများ၏ တွက်ချက်မှုကို လေ့လာခြင်းအား အရစ်သ်မတစ် (arithmetic)၊ သို့မဟုတ် ဂဏန်းတွက်ခြင်း၊ သို့မဟုတ် [[ဂဏန်းသင်္ချာ]]ဟု ခေါ်သည်။ ကိန်းများတွင် အသုံးပြုသော သင်္ကေတများကို နျူမရယ် (numeral) သို့ နံပါတ်ဟု ခေါ်ကြသည်။ နံပါတ်များကို ရေတွက်ရန်နှင့် တိုင်းတာရန် အတွက်သာ မကဘဲ အမှတ်အသား ပြုလုပ်ရန် (ဖုန်းနံပါတ်)၊ စီစဉ်ရန် (နံပါတ်စဉ်) နှင့် ကုတ်ဒ်သင်္ကေတ (ISBN နံပါတ်) စသည် တို့အတွက်လည်း အသုံးပြုကြလေ့ ရှိသည်။ == ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြင်း == ကိန်းများကို အမျိုးအစားအဖုံဖုံ ခွဲခြားနိုင်သည်။ အမျိုးတူကိန်းများအားလုံးကို စုဝေး၍ [[အစု]]များ (sets) အတွင်းသို့ ခွဲခြားထည့်သွင်းခြင်းဖြင့် ကိန်းစနစ်များ (number systems) ဖြစ်ပေါ်လာသည်။ ကိန်းတစ်ခုတည်းကိုပင် ရေးသားပုံတစ်မျိုးမကသုံး၍ ရေးနိုင်သည်။ သာဓကအားဖြင့် ကိန်းဂဏန်းရှစ်ကို ဟိန္ဒူ-အာရေဗျနံပါတ် (Hindu-Arabic numeral) သုံး၍ ၈ ဟုရေးနိုင်သလို၊ ရောမနံပါတ် (Roman numeral) သုံး၍ VIII ဟုလည်း ရေးနိုင်သည်။ <center> {| class="wikitable" style="text-align: center; width: 400px; height: 200px;" |+ နံပါတ်စနစ် |- ! <math> \mathbb{N}</math> ! သဘာဝကိန်းများ | ၀၊၁၊၂၊၃၊၄... သို့ ၁၊၂၊၃၊၄... |- ! <math> \mathbb{Z}</math> ! ကိန်းပြည့်များ | ... -၅၊-၄၊-၃၊-၂၊-၁၊၀၊၁၊၂၊၃၊၄၊၅... |- ! <math> \mathbb{Q}</math> ! ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (အတိပြကိန်းများ) | <math>\frac{a}{b}</math> သဏ္ဌာန်ရှိကိန်းများ၊ (<math>a</math> နှင့် <math>b</math> သည် ကိန်းပြည့်များဖြစ်၍ <math>b</math> သည် သုညနှင့် မညီသော အခြေအနေ) |- ! <math> \mathbb{R}</math> ! ကိန်းစစ်များ | လားရာစုစည်းသော (convergent) ရာရှင်နယ်ကိန်းတန်း (sequence of rational numbers) တို့၏ လားရာဆုံမှတ်များ (limits) |- ! <math> \mathbb{C}</math> ! ကိန်းထွေးများ | <math>a+bi</math> သဏ္ဌာန်ရှိကိန်းများ၊ (<math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များဖြစ်၍ <math>i</math> ဟူသော [[ကိန်းတေး]]သည် <math>-1</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ဖြစ်သည့် အခြေအနေ) |} </center> === သဘာဝကိန်းများ (Natural numbers) === {{main|သဘာဝကိန်း}} လူတို့ နိစ္စဓူဝ ထိတွေ့ရင်းနှီးမှု အများဆုံး ကိန်းအမျိုးအစားမှာ သဘာဝကိန်းများ ဖြစ်သည်။ သဘာဝကိန်းများကို ရေတွက်ကိန်းများ (counting numbers) ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။ ဂဏန်း ၁၊ ၂၊ ၃၊ ၄၊ ... စသည်တို့မှာ သဘာဝကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ အချို့သင်္ချာသမားနှင့် စာအုပ်စာတမ်းများ (သာဓက၊ ဘိုဘာကီ ၁၉၆၈<ref>Bourbaki, N. ''Elements of Mathematics: Theory of Sets''. Paris, France: Hermann, 1968. </ref> နှင့် ဟဲမော့ ၁၉၇၄<ref>Halmos, P. R. ''Naive Set Theory''. New York: Springer-Verlag, 1974. </ref>)<ref name="wolfram_n">Weisstein, Eric W. "[http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html Natural Number]." From ''MathWorld''--A Wolfram Web Resource.</ref>တွင် သုညကို သဘာဝကိန်းဟု သတ်မှတ်ပြီး ကျန်အချို့က သုညကို သဘာဝကိန်းအဖြစ် မထည့်သွင်းပါ။ မည်သို့ဖြစ်စေ သဘာဝကိန်းစု၏ အသုံးများသောသင်္ကေတမှာ <math> \mathbb{N} </math> ဖြစ်သည်။ သုညကို သဘာဝကိန်းအဖြစ် သတ်မှတ်/မသတ်မှတ် ရှင်းလင်းစေချင်သောအခါတွင် သင်္ကေတ <math>\mathbb{N}_0</math> နှင့် <math>\mathbb{Z}_{\geqslant 0}</math> တို့ကို သုညပါသော သဘာဝကိန်းစုအတွက်လည်းကောင်း၊ သင်္ကေတ <math>\mathbb{N}_1</math> နှင့် <math>\mathbb{Z}_{>0}</math> တို့ကို သုညမပါသော သဘာဝကိန်းစုအတွက်လည်းကောင်း သုံးကြသည်။ === ကိန်းပြည့်များ (Integers) === {{main|ကိန်းပြည့်}} တွက်ချက်၊ ရေတွက်၊ တိုင်းတာမှုများတွင် သဘာဝကိန်းများသက်သက်ဖြင့် မလုံလောက်သောအခါ ကိန်းပြည့်များကို သုံးရသည်။ သုညနှင့် အပေါင်းကိန်းများ ဖြစ်သည့် ၀၊ ၁၊ ၂၊ ၃၊ ၄၊ ... စသည်တို့အပြင် အနုတ်ကိန်းများ ဖြစ်သည့် -၁၊ -၂၊ -၃၊ -၄၊ ... စသည်တို့ကို စုပေါင်း၍ ကိန်းပြည့်များဟုခေါ်သည်။ အနုတ်ကိန်းများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ရှိရင်းစွဲဖြစ်သည့် သုညအပါအဝင် သဘာဝကိန်းများနှင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သည့် ပေါင်းခြင်းကိုသုံး၍ သတ်မှတ်သည်။ သာဓကအနေဖြင့်၊ -၃ ဆိုသည်မှာ ၃နှင့်ပေါင်းပါက သုညရသည့် ဂဏန်းအဖြစ် သတ်မှတ်သည်၊ -၄ ဆိုသည်မှာ ၄နှင့်ပေါင်းပါက သုညရသည့် ဂဏန်းအဖြစ်သတ်မှတ်သည်၊ ယေဘုယျဆိုရသော် -n ဆိုသည်မှာ n နှင့်ပေါင်းပါက သုညရသည့် ဂဏန်းအဖြစ်သတ်မှတ်သည်။ ကိန်းပြည့်များ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ''သဘာဝကိန်းတိုင်းမှာ ကိန်းပြည့်ဖြစ်သော်လည်း၊ ကိန်းပြည့်တိုင်း သဘာဝကိန်းမဟုတ်ပေ''။ (သာဓက၊ အနုတ်ကိန်းပြည့်များမှာ သဘာဝကိန်းများ မဟုတ်။) ကိန်းပြည့်အစုကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{Z}</math> သုံး၍ ရေးသည်။ ကိန်းဂဏန်းများဟု အနက်ရသည့် ဂျာမန်စာလုံး "''Zahlen''“ ကိုအရင်းပြု၍ သုံးခြင်းဖြစ်သည်။<ref>Dummit, D. and Foote, R., ''Abstract Algebra''. John Wiley & Sons, Inc., p. 1, 2004.</ref> === ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Rational Numbers) === {{main|ရာရှင်နယ်ကိန်း}} '''''ရာရှင်နယ်ကိန်း'' (ခေါ်) ''အတိပြကိန်း''''' ဆိုသည်မှာ (ဥပမာအားဖြင့် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> ဟူသော) '''''စုံလိုက်သင့်လျော်ရာ [[ကိန်းပြည့်]] ၂ခုဖြင့်''''' (<math>\frac{a}{b}</math> ဟူသော) '''''အပိုင်းကိန်းဖွဲ့ကာ ၎င်း၏ တန်ဖိုးကို အတိအပပြနိုင်သည့် ကိန်းများ''''' ဖြစ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် ၁/၃၊ ၇/၈၊ -၁/၂ စသည်တို့မှာ (ဤသို့ အပိုင်းကိန်းအဖြစ် ရေးသည်ဖြစ်စေ၊ ဒသမကိန်းအဖြစ် ချရေးသည်ဖြစ်စေ) '''ရာရှင်နယ်''' (ဝါ) '''အတိပြကိန်း'''များ ဖြစ်ကြသည်။ ပိုင်းခြေ သုညမဖြစ်ရခြင်းမှာ အရေးကြီးသည့် ကန့်သတ်ချက်ဖြစ်သည်၊ သို့မှသာ တန်ဖိုးပမာဏ သတ်မှတ်၍ ရသော သင်္ချာကိန်းအဖြစ် ရှိနေမည်။<br> မြန်မာဘာသာဖြင့် ရေရွတ်သောအခါ ၁/၃၊ ၇/၈ နှင့် -၁/၂ တို့ကို "သုံးပုံ၊ တစ်ပုံ၊" "ရှစ်ပုံ၊ ခုနစ်ပုံ၊" "အနုတ် နှစ်ပုံ၊ တစ်ပုံ၊" စသည်ဖြင့် ပိုင်းခြေကိန်းကို ဦးစွာ ရေရွတ်ရသည်။ ("ပုံ" အစား "ပိုင်း" ဟုလည်း သုံးကြသည်။) တစ်စုံတစ်ခုကို သုံးပုံ၊ သုံးပိုင်း အညီအမျှပိုင်းပြီးနောက် တစ်ပုံနှင့် ညီမျှသော ပမာဏ၊ စသည့်ဖြင့် အနက်ကောက်ယူနိုင်သည်။<br> ကိန်းတစ်ခုတည်းကို အပိုင်းကိန်းဖြင့်ရေးရာတွင် တစ်မျိုးထက်ပို၍ ရေးနိုင်သည်။ သာဓကအားဖြင့် ၂/၄ နှင့် ၁/၂ နှစ်မျိုးစလုံးမှာ ကိန်းတစ်ခုတည်းကို ကိုယ်စားပြုသည်။ ထို့အတူ -၁/၂ ကို <math>\frac{-1}{2}</math> အနေဖြင့်လည်းကောင်း၊ <math>\frac{1}{-2}</math> အနေဖြင့်လည်းကောင်း ရေးနိုင်သည်။ သို့ရာတွင် အနုတ်ကိန်းကို ပိုင်းဝေမှာထား၍ ရေးခြင်းက ပို၍တွင်ကျယ်သည်။<br> သဘာဝကိန်းတိုင်းမှာ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်သည်ကို သတိပြုသင့်သည်။ သာဓကဆိုသော် သဘာဝကိန်း ၅ ကို ၅/၁ ဟုရေး၍ ရသောကြောင့် ၅ မှာ ရာရှင်နယ်ကိန်းလည်း ဖြစ်သည်။ သို့သော် သဘာဝကိန်းမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းများစွာရှိ၏။ သာဓက၊ ၁/၂၊ ၄/၅၊ -၁၃/၁၄။<br> ရာရှင်နယ်ကိန်းစုကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{Q}</math> သုံး၍ ရေးသည်။ အချိုး (ratio) ဟု အနက်ရသည့် &ldquo;''Quotient''&rdquo; ဆိုသည့် ဂျာမန်စာလုံးကို အရင်းပြုထားခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသင်္ကေတကို ၁၉၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များဆီက ဘိုဘာကီရေး ''Algèbre'' တွင်စတင် အသုံးပြုသည်။<ref name="wolfram_q">Weisstein, Eric W. "[http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html Rational Number]." From ''MathWorld''--A Wolfram Web Resource.</ref> === ကိန်းစစ်များ (Real Numbers) === လက်တွေ့တိုင်းတာရာတွင် သုံးသည့်နံပါတ်များ၊ ကိန်းများအားလုံးမှာ ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ တစ်နည်းဆိုသော် ကိန်စစ်မျဉ်း (real number line) ပေါ်တွင် နေရာချထား၍ ရသောကိန်းအားလုံးမှာ ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်မျဉ်းဆိုသည်မှာ မျဉ်းဖြောင့်တစ်ခုပေါ်တွင် နံပါတ်များကို အညီအမျှတိုင်းတာ၍ မှတ်သားထားသော အလျားလိုက်မျဉ်းဖြစ်သည်။ လက်တွေ့ဥပမာအားဖြင့် ကျောင်းသုံးပေတံမှာ ကိန်းစစ်မျဉ်း၏ တစ်စိတ်တစ်ဒေသဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်တစ်ခုနှင့် နောက်ကပ်လျက်ကိန်းတစ်ခု၏ အကွာအဝေးကို တစ်လက်မဟု သတ်မှတ်ပါလျှင်၊ တစ်ပေရှည်သော ပေတံသည် သုညနှင့် ၁၂အပါအဝင်နှင့် ယင်းကိန်းနှစ်ခုကြားရှိ ကိန်းစစ်များ အားလုံးကို ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။ သာဓကဆိုရသော် ၂.၅ ဆိုသည့်ကိန်းစစ်ကို ပေတံပေါ်ရှိ နှစ်လက်မ အမှတ်နှင့် သုံးလက်မ အမှတ်ကြားရှိ အလယ်တည့်တည့်အမှတ်ဖြင့် ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။ ထို့အတူ ၁/၃ ကို သုညနှင့် ၁လက်မ အမှတ်ကြား အကွာအဝေးကို သုံးပိုင်း အညီအမျှပိုင်းကာ သုညဘက်မှစ၍ ရေတွက်ပါက တစ်ပိုင်းမြောက် အမှတ်ဖြင့် ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။ ထို့အတူ [[ပိုင် (သင်္ချာ)|သင်္ချာကိန်းသေ <math>\pi</math>]] သည်လည်း ၃လက်မနှင့် ၄လက်မကြားရှိ တစ်နေရာတွင် ရှိပေလိမ့်မည်။ ကိန်းစစ်များကို ဒသမကိန်းစနစ်သုံး၍လည်း ရေးနိုင်သည်။ သာဓက၊ ၃.၅၊ -၆.၉၉၂၀၊ ၀.၃၃၃...၊ ၃.၁၄၁၅၉၂၆၅၄... အစရှိသဖြင့်။ ဒသမကိန်းတစ်ခုတွင် ဒသမပွိုင့် (decimal point) နောက်ပါ ဂဏန်းတွဲမှာ အဆုံးသတ်သည်လည်း ရှိသည်၊ အဆုံးမသတ်သည်လည်း ရှိသည်။ သာဓကဆိုသော် ရာရှင်နယ်ကိန်း ၁/၂ ကို ဒသမပုံစံဖြင့်ရေးပါက ၀.၅ ဖြစ်၍ အဆုံးသတ်သည့် ဒသမကိန်း (terminating decimal number) ဟုခေါ်သည့် ကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်း ၁/၃ကို ဒသမပုံစံဖြင့်ရေးပါမူ ၀.၃၃၃... ဟူ၍ ဒသမနောက်တွဲ ၃ ဂဏန်းမှာ အဆုံးမရှိ ထပ်ကာထပ်ကာ ပေါ်နေရာ အဆုံးမသတ်သည့် ဒသမကိန်း (non-terminating decimal number) တစ်ခုဖြစ်သည်။ သို့သော် ၁/၃ ကို <math>0.\bar{3}</math> ဟူ၍ ပြန်ထပ်သည့် ဂဏန်းများအပေါ် မျဉ်းတိုတစ်ခုတင်၍ ရေးနိုင်သည်။ ၎င်းဒသမကိန်းမျိုးကို ပြန်ထပ်ဒသမကိန်း (recursive/repeating decimal number) ဟုခေါ်သည်။ နောက်ဆုံးအနေဖြင့် <math>\pi</math>၊ <math>\sqrt{2}</math> အစရှိသည့် ကိန်းများကို ဒသမကိန်းပုံစံဖြင့်ရေးပါက ၃.၁၄၁၅၉၂၆၅၄...၊ ၁.၄၁၄၂၁၃၅၆... ဟူ၍ ဂဏန်းတွဲမှာ ဆုံးလည်း မဆုံး၊ ပြန်လည်းမထပ် ဖြစ်နေရာ ၎င်းကိန်းအမျိုးအစားကို ပြန်မထပ်ဒသမကိန်း (non-recursive/non-repeating decimal number) ဟု ခေါ်သည်။ အဆုံးသတ်ဒသမကိန်း၊ ပြန်ထပ်ဒသမကိန်း၊ ပြန်မထပ်ဒသမကိန်း အားလုံးကို စုပေါင်း၍ ကိန်းစစ်များဟု ခေါ်သည်။ ကိန်းစစ်များကို ပို၍စနစ်တကျ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်လိုပါက ကဲကုလသင်္ချာမှ လားရာစုစည်းသည့် ကိန်းစဉ်တန်း (convergent sequence)၊ ကိန်းစဉ်တန်းတို့၏ လားရာဆုံချက် (limit) အစရှိသည့် သဘောတရားတို့ကို သုံးလေ့ရှိသည်။ ထိုသို့အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ရသော် ကိန်းစစ်တစ်ခု ဟူသည်မှာ ကိုရှီရာရှင်နယ်ကိန်းစဉ်တန်း (Cauchy sequence of rational numbers) တစ်ခု၏ လားရာဆုံချက် (limit) ဖြစ်သည်။ ယခုဖော်ပြပြီးဖြစ်သည့် ကိန်းစုများအနက် ကိန်းစစ်အစု <math>\mathbb{R}</math> သည် (ပြင်သစ်သင်္ချာပညာရှင် ကိုရှီကို ဂုဏ်ပြုမှည့်ဆိုထားသော) ကိုရှီကိန်းစဉ်တန်းတိုင်း၏ လားရာဆုံချက်အားလုံးပါဝင်သည့် အသေးဆုံးသော အစုဖြစ်သည်။ အပိုင်းကိန်းအားလုံးကို ဒသမပုံစံဖြင့်ရေး၍ ရသောကြောင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းသည် ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ သို့သော် အပိုင်းကိန်းပုံစံဖြင့် ရေး၍မရသော ကိန်းစစ်များစွာရှိသည်။ သာဓက၊ <math>\sqrt{2}</math>၊ <math>\pi</math> အစရှိသဖြင့်။ ကိန်းစစ်အစုကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{R}</math> သုံး၍ရေးသည်။ === ကိန်းထွေးများ (Complex Numbers) === {{main|ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ကိန်းထွေး}} သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ အချို့ကိစ္စများတွင် ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေကို ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် အချို့သော ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) မှာ ကိန်းစစ်အဖြေမရှိပါ။ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်း <math>x^2-1=0</math> ကို <math>x</math> အတွက်ဖြေရှင်းပါက ၁ နှင့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း၊ <math>x^2+1=0</math> ကို ဖြေရှင်းပါက ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ (real root) တစ်ခုမျှမရှိသည်ကို တွေ့ရမည်။ (မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x</math> ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပြီးပါက <math>x^2</math> ၏တန်ဖိုးမှာ အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ရာ တစ်သာထပ်ပေါင်းပါက ပေါင်းလဒ်မှာ သုညထက် အနည်းဆုံး တစ်ယူနစ်ပိုကြီးနေမည် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>x^2+1</math> သည် သုညနှင့် မည်သို့မှ ညီမည်မဟုတ်ပါ။) ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားနိုင်ရန် ကိန်းအသစ်များလိုအပ်လာသည်။ ထိုအခါ <math>x^2+1=0</math> ၏ (ကိန်းစစ်မဖြစ်နိုင်သော) ကိန်းရင်းအဖြေတစ်ခုကို ''i'' ဟု သတ်မှတ်ကာ ၎င်းကို [[ကိန်းတေး]] (imaginary unit) ဟုခေါ်သည်။ (ဖော်ပြပါ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းကို ရှင်းပါက <math>x^2=-1</math> ဟုထွက်ရာ ''i'' ကို -၁ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။ ''i'' သည် -၁၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖြစ်ပါက ''-i'' သည်လည်း -၁၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း သတိချပ်သင့်သည်။) အချုပ်ဆိုရသော် ''i'' ဆိုသည်မှာ နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရသည့် ကိန်းသစ်တစ်ခုဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ မည်သည့်ကိန်းစစ်မဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ မရနိုင်ရာ ''i'' မှာ ကိန်းစစ်မဟုတ်သည့် ကိန်းအသစ်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှားသည်။ အထက်ပါ [[ကိန်းတေး]]ကို အသုံးပြု၍ ကိန်းထွေးများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခု ဆိုသည်မှာ ''a+bi'' သဏ္ဌာန်ရှိသည့် ကိန်းတစ်တွဲလုံးကို ဆိုသည်။ ဤတွင် ''a'' နှင့် ''b'' မှာ ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ သာဓက၊ <math>2+3i, -2+(1/3)i, 4-\pi i</math>။ ကိန်းထွေး ''-2+(1/3)i'' ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) မှာ ''-2'' ဖြစ်ပြီး ကိန်းတေးပိုင်း (imaginary part) မှာ ''1/3'' ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျဆိုရသော် ကိန်းထွေး ''a+bi'' ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းမှာ ''a'' ဖြစ်၍၊ ကိန်းတေးပိုင်းမှာ ''b'' ဖြစ်သည်။ ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော အထွေထွေခြုံကြည့်မှု (generalization) အားဖြင့်မူ ကိန်းစစ်တိုင်းမှာ ကိန်းထွေးဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ ကိန်းစစ် 4 ကို 4+0i ဟူ၍ ရေးနိုင်သောကြောင့် ကိန်းစစ် ၄မှာ ကိန်းစစ်ပိုင်း ၄ရှိပြီး ကိန်းတေးပိုင်း သုညရှိခြင်းဖြင့် ဖော်ဆောင်နေသည့် ကိန်းထွေးတစ်ခုဖြစ်သည်။ သို့သော် ကိန်းထွေးတိုင်း ကိန်းစစ်မဟုတ်ပါ။ ပို၍ တိတိကျကျ ဆိုရသော် ကိန်းတေးပိုင်း သုညမဟုတ်သည့် ကိန်းထွေးတိုင်းမှာ ကိန်းစစ်များအတွင်း မပါဝင်ကြတော့။ ကိန်းထွေးစုကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{C}</math> သုံး၍ ရေးနိုင်သည်။ ကိန်းထွေးအစုကို ပို၍စနစ်ကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ် တည်ဆောက်လိုပါက [[သဘောနက် အက္ခရာသင်္ချာ]] (abstract algebra) ရှိ ကွင်း (ring) များ တိုးချဲ့တည်ဆောက်ခြင်းဟူသည့် သဘောတရားကို သုံးလေ့ရှိသည်။ ထိုသို့အဓိပ္ပာယ် ဖွင့်လိုပါက <math>\mathbb{C}</math> ဆိုသည်မှာ <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် ကိန်းရင်းများဖြင့် ထပ်ဖြည့်တည်ဆောက်ထားသည့်အစု (algebraic closure of <math>\mathbb{R}</math>) ဖြစ်သည်။ === ကိန်းအမျိုးအစားအသီးသီးတို့ ဆက်နွယ်ချက် === သဘာဝကိန်းတိုင်း ကိန်းပြည့်ဖြစ်သည်၊ ဤအချက်ကြောင့် သဘာဝကိန်းအစု <math>\mathbb{N}</math> သည် ကိန်းပြည့်အစု <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အစုငယ် (subset) တစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ပြောလေ့ရှိသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}</math> ဟူ၍ ရေးနိုင်သည်။ သို့သော် ကိန်းပြည့်တိုင်း သဘာဝကိန်း ဖြစ်သည်ဟု မဆိုသာ၊ သဘာဝကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်များ ရှိ၍ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် သဘာဝကိန်းစုနှင့် ကိန်းပြည့်စုနှစ်ခုမှာ မတူညီ။ ဤသည်ကို <math>\mathbb{N}\neq \mathbb{Z}</math> ဟု ရေးနိုင်သည်။ ဤ <math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}</math> နှင့် <math>\mathbb{N}\neq \mathbb{Z}</math> နှစ်ချက်ကို ပေါင်း၍ <math>\mathbb{N}\subsetneq \mathbb{Z}</math> ဟူ၍ ရေးနိုင်သည်။ ထိုအခါ ကိန်းစုအမျိုးမျိုးကြား ဆက်နွယ်မှုကို <center> <math> \mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \mathbb{C} </math> </center> ဟု သင်္ချာသင်္ကေတများသုံး၍ ရေးနိုင်သည်။ == ကိန်းပြည့်အမျိုးအစားများ == === စုံကိန်းနှင့် မကိန်း (Even vs. Odd) === ကိန်းပြည့်များထဲတွင် ...၊ -၄၊ -၂၊ ၀၊ ၂၊ ၄၊ ... အစရှိသည်တို့ကို စုံကိန်းများဟု ခေါ်သည်။ အတိအကျဆိုရသော် ကိန်းပြည့် ၂ ဖြင့် စား၍ပြတ်သော (ဝါ) အကြွင်းမကျန်သော ကိန်းပြည့်ဟူသမျှကို စုံကိန်းများဟု ခေါ်သည်။ သုညကို ၂ ဖြင့်စားလျှင် အကြွင်းသုညသာ ကျန်သောကြောင့် သုညသည်လည်း စုံကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ နှစ်ခုတွဲ အစုံလိုက် အစုံလိုက် တွဲ၍ရသော ပမာဏများ ဖြစ်သောကြောင့် ''စုံ'' ဆိုသည့် ဝေါဟာရကို သုံးခြင်းဖြစ်သည်။ မြန်မာပြည် ကျေးလက်ဒေသအချို့တွင် တစ်စုံကို &ldquo;တစ်ပြူ&rdquo;<ref name="မြကေတု">မြကေတု။ &ldquo;ကလေးမှတ်ဉာဏ် တစ်ပြူ တစ်လံ။&rdquo; ''စာပေတန်ဆောင်''။ ၁၉၆၇။</ref> ဟုလည်း ခေါ်လေ့ရှိရာ ကိန်းပြည့် ၂ ကို မြန်မာလို တစ်ပြူဟု ခေါ်သည်လည်း ရှိသည်။ မြန်မာကျေးလက်ရှိ ကလေးများ ရေတွက်တတ်စေရန် ၂၊ ၄၊ ၆၊ ၈၊ ၁၀ စသည့် စုံကိန်းပြည့်များကို &ldquo;တစ်ပြူ၊ တစ်လံ၊ ညောင်ကန်၊ ထမ်းပိုး၊ အကျိုး&rdquo;<ref name="မြကေတု"></ref> ဟု စကားပုံဆောင်၍ မှတ်သည်လည်း ရှိသည်။<ref name="ext_blog">စုချစ်။ &ldquo;[http://suuchitthu.blogspot.sg/2012/10/blog-post_13.html တစ်ပြူ၊ တစ်လံ၊ ညောင်ကန်၊ ထမ်းပိုး၊ အချိုး (အကျိုး/ချိုး)]။&rdquo; ''စုချစ်သူ''။ ၂၀၁၂။</ref> စုံကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်များကို မ ကိန်းဟုခေါ်သည်။ ...၊ -၃၊ -၁၊ ၁၊ ၃၊ ... စသည့် ကိန်းပြည့်များမှာ မကိန်းများဖြစ်သည်။ အတိအကျဆိုရသော် ကိန်းပြည့် ၂ ဖြင့်စားသောအခါ အကြွင်း ၁ ကျန်သော ကိန်းပြည့်ဟူသမျှကို မကိန်းများဟု ခေါ်သည်။ စုံကိန်းစုနှင့် မကိန်းစုကို သင်္ကေတအဖုံဖုံ သုံး၍ကိုယ်စားပြုတတ်ကြသည်။ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှလာသည့် <math>2\mathbb{Z}</math> နှင့် <math>2\mathbb{Z}+1</math> ကို စုံကိန်းစုနှင့် မကိန်းစု အသီးသီးတို့ကို ဖော်ပြရန် သင်္ချာပညာရှင်များကြားတွင် သုံးလေ့ရှိသည်။ === သုဒ္ဓကိန်းပြည့်များ (Prime Integers) === {{main|သုဒ္ဓကိန်း}} တစ်ထက်ကြီးသော အပေါင်းကိန်းပြည့်တစ်ခုသည် ၎င်းကိန်းပြည့်ကိုယ်တိုင်နှင့် ကိန်းပြည့် ၁ မှအပါး အခြား[[ဆခွဲကိန်း]]မရှိပါက ၎င်းကိန်းပြည့်ကို သုဒ္ဓကိန်းပြည့်ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ကြသည်။ တစ်နည်းဆိုရသော် သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုကို ၎င်းကိန်းကိုယ်တိုင်နှင့် ကိန်းပြည့် ၁ မှအပါး အခြားမည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့်နှင့်မှ စား၍မပြတ်ပါ။ သာဓကအားဖြင့် ဆိုရသော် ၂၊ ၃၊ ၅၊ ၇၊ ... အစရှိသည်တို့မှာ အပေါင်းသုဒ္ဓကိန်းပြည့်များ ဖြစ်ကြသည်။ သုဒ္ဓကိန်းများ၏ လူသိများသော အထက်ဖော်ပြပါ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အပြင် ပို၍ယေဘုယျကျသော၊ ပို၍တိကျသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ကွင်းသီအိုရီ (ring theorey) တွင်တွေ့နိုင်သည်။ ၎င်းအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရဆိုလျှင် ယူနစ် (unit) (ဆိုလိုသည်မှာ တစ်နှင့် အနှုတ်တစ်) မဟုတ်သည့် ကိန်းပြည့် <math>x</math> သည် ကိန်းနှစ်ခု၏မြှောက်လဒ် <math>ab</math> ကို စား၍ပြတ်ပါက ၎င်းကိန်းနှစ်လုံးထဲမှ အနည်းဆုံးတစ်လုံးကိုလည်း စား၍ပြတ်မှသာ (ဆိုလိုသည်မှာ <math>x</math> သည် <math>a</math> ကိုသော်လည်းကောင်း၊ <math>b</math> ကိုသော်လည်းကောင်း စား၍ပြတ်မှသာ) ထိုကိန်းပြည့် <math>x</math> ကို သုဒ္ဓကိန်းဟုခေါ်သည်။ သာဓကအရ ကိန်းပြည့် ၂ ကိုကြည့်ပါ။ မည်သည့်ကိန်းနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကိုမဆို ၂ ဖြင့်စား၍ပြတ်ပါက ထိုကိန်းနှစ်လုံးထဲမှ အနည်းဆုံးတစ်လုံးကိုလည်း ၂ ဖြင့်စား၍ ပြတ်သည်၊ ထို့ကြောင့် ၂ သည် သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရဆိုလျှင် ကိန်းပြည့်စုထဲရှိ -၂၊ -၃၊ -၅၊ -၇၊ ... စသည်တို့သည်လည်း သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ သုဒ္ဓကိန်းများကို သင်္ချာသန့်သန့်နယ်ပယ်တွင်သာမက အသုံးချသင်္ချာ၊ သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ စသည့် ဘာသာရပ် နယ်ပယ်အသီးအသီးတို့တွင် တွေ့နိုင်သည်။ သုဒ္ဓကိန်းတို့၏ ဂုဏ်သတ္တိ မြောက်မြားစွာအနက် အချို့မှာ လူသိများသည်။ ကိန်းပြည့် ၂ သည် တစ်ခုတည်းသော အပေါင်း စုံ သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ပြီး၊ ကျန် အပေါင်း သုဒ္ဓကိန်းများမှာ မကိန်းများဖြစ်သည်။ တစ်ထက်ကြီးသော အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို သုဒ္ဓကိန်းများသက်သက်သာ သုံး၍ [[ဆခွဲကိန်း]] ခွဲနိုင်သည်။ (ဤအချက်ကို ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် Fundamental Theorem of Arithmetic ဟုခေါ်သည်။) သုဒ္ဓကိန်းများနှင့် ပတ်သက်၍ သက်သေမပြရသေးသောအဆိုများ (conjectures) များလည်းရှိ၏။ ၎င်းတို့အနက် &ldquo;နှစ်ထက်ကြီးသော စုံကိန်းများကို သုဒ္ဓကိန်းနှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်&rdquo; ဆိုသည့် ဂိုးဘ၏ အဆို (Goldbach's conjecture) သည် ထင်ရှားသည်။ === အခြားကိန်းပြည့်အမျိုးအစားများ === အထက်ဖော်ပြပါ ကိန်းပြည့်များအပြင် သင်္ချာနှင့် အခြားပညာရှင်များ လေ့လာစူးစမ်းသည့် အခြားကိန်းပြည့်အမျိုးအစားများလည်း ရှိသည်။ ထင်ရှားသော သာဓကများမှာ ဖီဘိုနာချီကိန်းစဉ်တန်း (Fibonacci sequence) (OEIS ရှိ [https://oeis.org/A000045 A000045]) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းဟု ခေါ်ဆိုနိုင်မည့် perfect number (OEIS ရှိ [https://oeis.org/A000396 A000396]) တို့ဖြစ်သည်။ ကျန်ရှိသော ကိန်းစဉ်တန်းအမျိုးအစားများကို [https://oeis.org On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)] တွင် ကြည့်နိုင်သည်။ == ကိန်းထွးအမျိုးအစားများ == === ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းတေး (Real vs. Imaginary) === အထက်ပါ [[#ကိန်းထွေးများ (Complex Numbers)|ကိန်းထွေး]] ခေါင်းစဉ်အောက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သည့်အတိုင်း၊ ကိန်းစစ်များဖြင့် မလုံလောက်သောအခါ ကိန်းထွေးများကိုလည်း အသုံးပြုရန်လိုအပ်လာသည်။ ကိန်းစစ်စုနှင့် ကိန်းထွေးစုတို့အကြား [[#ကိန်းအမျိုးအစားအသီးသီးတို့ ဆက်နွယ်ချက်|ဆက်နွယ်ချက်]]မှာ <math>\mathbb{R} \subsetneq \mathbb{C}</math> ဖြစ်သည်။ တစ်နည်းဆိုရသော် ကိန်းစစ်တိုင်း ကိန်းထွေးဖြစ်သော်လည်း ကိန်းစစ်မဟုတ်သော ကိန်းထွေးများလည်း ရှိသည်။ ထိုသို့ ကိန်းစစ်မဟုတ်သော ကွန်ကိန်းထွေးများကို [[ကိန်းတေး]]သီးသန့်များ (pure imaginary numbers) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထိုကိန်းတေးများသည် ''bi'' ပုံသဏ္ဌာန် (ဤတွင် ''b'' မှာ ကိန်းစစ်တစ်ခု) ရှိကြသည်။ သာဓက၊ <math>i,-i, 3i, (5/7)i, -\pi i</math>။ ကိန်းစစ်များကို ကိန်းစစ်မျဉ်းတစ်ခုတည်းဖြင့် ဖော်ပြ၍ ရသော်လည်း ကိန်းထွေးများကိုမူ ကိန်းမျဉ်းနှစ်ခု (ကိန်းစစ်ပိုင်းအတွက် အလျားလိုက်ဝင်ရိုး၊ ကိန်းတေးပိုင်းအတွက် ထောင်လိုက်ဝင်ရိုး) သုံးမှ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ထိုသို့ဖော်ပြသည့်စနစ်ကို ကိန်းထွေးပြင် (complex plane) ဟုခေါ်သည်။ ကိန်းစစ်များသည် ကိန်းထွေးပြင်တွင် အလျားလိုက်ဝင်ရိုးပေါ်ရှိ ကိန်းများဖြစ်ပြီး၊ ကိန်းတေးများသည် ထောင်လိုက်ဝင်ရိုးပေါ်ရှိ ကိန်းများဖြစ်သည်။ ကိန်းတေး(သီးသန့်) အစုကို <math>\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}</math> ဟု သင်္ကေတပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်။ === ရာရှင်နယ်ကိန်းစစ်နှင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းစစ် (Rational vs. Irrational) === [[#ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Rational Numbers)|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]]ခေါင်းစဉ်အောက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သည့်တိုင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းသည် ကိန်းစစ်ဖြစ်သော်လည်း ရာရှင်နယ်ကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းစစ်များလည်းရှိသည်။ ထို ရာရှင်နယ်ကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းစစ်များကို အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) (ဝါ) အပိုင်းကိန်း အတိဖော်ပြမှု မရနိုင်သည့် ကိန်းစစ်များ ဟု ခေါ်သည်။ တစ်နည်းဆိုရသော် အဆုံးလည်းမသတ်၊ ပြန်လည်းမထပ်သည့် ဒသမကိန်းများမှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\sqrt{2}</math> နှင့် <math>\pi</math> တို့မှာ အီရာရှင်နယ် (အတိမပြ)ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ အစုသီအိုရီရှိ အစုအရွယ်အစား (cardinality of a set) သဘောအရဆိုလျှင် ကိန်းစစ်စုအတွင်းရှိ ကိန်း &ldquo;''အားလုံးနီးပါး''&rdquo; (almost all) မှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြစ်ကြသည်။ (ဤတွင် &ldquo;''အားလုံးနီးပါး''&rdquo; ဟူသောအသုံးမှာ သာမန်မြန်မာစာ အသုံးမဟုတ်ဘဲ အစုသီအိုရီနှင့် အတိုင်းအတာသီအိုရီ (measure theory) ဆိုင်ရာ တိကျသည့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် ရှိသည်။) အီရာရှင်နယ်ကိန်းစစ်အစုကို <math>\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}</math> ဟုသင်္ကေတပြုနိုင်သည်။ === ကိန်းရင်းနှင့် ကိန်းလွန် (Algebraic vs. Transcendental) === ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခုကို ကိန်းပြည့်အမြှောက်ကိန်း (integer coefficient) များသာပါဝင်သည့် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ ကိန်းရင်းအဖြေ (root) အဖြစ်ဖော်ပြနိုင်ပါက ၎င်းကွန်ပလက်ကိန်းကို ကိန်းရင်းဟု ခေါ်သည်။ သာဓကဆောင်ရသော် -၃ မှာ <math>x^2-9=0</math> ၏ အဖြေတစ်ခုအဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သောကြောင့် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းမှာ ''a/b'' (ဤတွင် ''b'' မှာ သုညမဟုတ်) သဏ္ဌာန်ရှိ၍ <math>bx-a=0</math> ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်း၏ အဖြေဖြစ်ရာ ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းမှာ ကိန်းရင်းများဖြစ်သည်။ ထို့အတူ <math>\sqrt{2}</math>နှင့် <math>\sqrt{3}i</math> တို့မှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်းနှင့် ကိန်းယောင်အသီးသီး ဖြစ်သော်လည်း <math>x^2-2=0</math> နှင့် <math>x^2+3=0</math> တို့၏ မသိကိန်းအဖြေများ အသီးသီးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းတို့မှာလည်း ကိန်းရင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ကိန်းရင်းမဟုတ်သော ကိန်းထွေးများကို ကိန်းလွန်များ (transcendental numbers) ဟုခေါ်သည်။ တစ်နည်းဆိုရသော် ကိန်းပြည့်အမြှောက်ကိန်းသက်သက်ပါ ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ အဖြေအဖြစ် ဖော်ပြ၍မရသော ကိန်းထွေးများကို ကိန်းလွန်များဟု ခေါ်သည်။ သာဓကဆိုရသော် <math>\pi</math>၊ <math>e</math> အစရှိသည်တို့ဖြစ်သည်။ == အခြားကိန်း အမျိုးအစားများ == အထက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအမျိုးအစားများအပြင် တွက်ချက်နိုင်သောကိန်းများ (computable numbers)၊ &ldquo;''p''-အခြေခံကိန်းများ&rdquo; ဟုခေါ်ဆိုနိုင်မည့် ''p''-adic ကိန်းများ၊ ဟိုက်ပါကွန်ပလက်စ် (hypercomplex) ကိန်းများ၊ စံမဟုတ်သည့် ကိန်းများ (non-standard numbers) စသည်ဖြင့် ကိန်း၏သဘောတရားကို ချဲ့ထွင်ပြုပြင်ထားသော ကိန်းများစွာလည်းရှိသေးသည်။ == သမိုင်းကြောင်း == === ကိန်းများစတင်အသုံးပြုလာခြင်း === သမိုင်းဦးမတင်မီခေတ်ကပင် ကိန်းများကိုစတင်အသုံးပြုလာသော အထောက်အထားများရှိသည်။ တိရစ္ဆာန်အရိုးစသည့် ပစ္စည်းများတွင် ကိုက်ရာများဖြင့် တာလီမှတ်ခဲ့သည်ဟု ခန့်မှန်းကြသည်။<ref>Marshak, A. ''The Roots of Civilisation; Cognitive Beginnings of Man’s First Art, Symbol and Notation.'' London: Weidenfeld & Nicolson, 1972, pp. 81ff.</ref> သို့သော် တာလီစနစ်တွင် နေရာလိုက်တန်ဖိုး (positional value) သဘောကို အသုံးမပြုသောကြောင့် အကန့်အသတ်များ ရှိသည်။ ရှေးအကျဆုံးသော ကိန်းစနစ်များဖြစ်သည့် အီဂျစ်၊ ရောမ၊ ဟီဘရူးနှင့် ဂရိကိန်းစနစ်များတွင် နေရာလိုက်တန်ဖိုးကို အသုံးမပြုသော်လည်း၊ အခြားကိန်းစနစ်များဖြစ်သည့် ဘေဘီလုံ ကိန်းစနစ်၊ အိန္ဒိယကိန်းစနစ်တစ်မျိုး၊ တရုတ်ကိန်းစနစ်တစ်မျိုးနှင့် မာယာကိန်းစနစ်တို့တွင် နေရာကို အခြေခံ၍ တန်ဖိုးတွက်သည့် သဘောကိုတွေ့နိုင်သည်။<ref>&ldquo;Numeral system&rdquo;. Encyclopædia Britannica. Encyclopædia Britannica Online. Encyclopædia Britannica Inc., 2014. Web. 25 Dec. 2014 <[http://www.britannica.com/EBchecked/topic/422375/numeral-system http://www.britannica.com/EBchecked/topic/422375/numeral-system]>.</ref> === သုညကို စတင်အသုံးပြုလာခြင်း === သုညကို စတင်၍ အမှတ်အသားပြုသူတို့မှာ ဆူမယ်ရီယန် (Sumerian) များဖြစ်သည်ဟု ခန့်မှန်းရသည်။<ref name="yale_zero">Wallin, N. &ldquo;[http://yaleglobal.yale.edu/about/zero.jsp The History of Zero.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160825124525/http://yaleglobal.yale.edu/about/zero.jsp |date=25 August 2016 }}&rdquo; From ''YaleGlobal Online''--Web. 25 Dec 2014.</ref> သို့သော် သုည၏သဘောတရား၊ သုည၏နေရာလိုက်တန်ဖိုး စသည်တို့ကိုမူ ဆူမယ်ရီယန်တို့ အသေအချာ နားလည်ခဲ့ပုံမရချေ။ သင်္ချာအခြေခံများကို အီဂျစ်တို့ထံမှ သင်ယူခဲ့သည့် ဂရိပညာရှင်သည်လည်း ထိုသဘောကို နားလည်ကြောင်း အထောက်အထား အခိုင်အမာ မတွေ့ရပေ။<ref name="yale_zero"></ref> သုညကို သင်္ကေတအဖြစ်သာမကဘဲ သဘောတရားတစ်ခုအဖြစ်ပါ အသေအချာ စတင်အသုံးပြုခဲ့သူများမှာ အိန္ဒိယလူမျိုးများဖြစ်သည်။<ref name="yale_zero"></ref> အိန္ဒိယမှ ဗြာဟ္မဂုတ္တ (Brahmagupta) သည် ၆၅၀စီအီးတွင် သုညကိုသုံး၍ ဂဏန်းသင်္ချာတွက်ချက်ခြင်းကို စနစ်တကျလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။<ref name="yale_zero"></ref> သင်္ကရိုက် (Sanskrit) ဘာသာဖြင့် သုညကို &ldquo;sunya&rdquo; ဟုခေါ်ရာမှ မြန်မာဘာသာရှိ ပါဠိမွေးစားစကားလုံး &ldquo;သုည&rdquo; ဖြစ်လာဟန်ရှိသည်။ အာရပ်ကုန်သည်များသည် အိန္ဒိယမှ ဟင်းခတ်အမွှေးအကြိုင်နှင့် အခြားကုန်ပစ္စည်းအသစ်အဆန်းများအပြင် ဗြာဟ္မဂုတ္တ၏ သင်္ချာကျမ်းကိုပါ ပြန်လည်သယ်ဆောင်လာကြရာ ၇၇၃စီအီးသို့ရောက်သော် (ယခုခေတ် အီရတ်နိုင်ငံရှိ) ဘဂ္ဂဒက်မြို့သို့ သုည၏သဘောတရား ရောက်ရှိပြီးဖြစ်သည်။ အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသတွင် သုည၏သဘောတရား ပြန့်ပွားစည်ပင်လာရာ ကိုးရာစုနှစ်သို့ ရောက်သောအခါ [[မိုဟာမက် အီဘင်မူဆာ အယ်ခိုဝါရစ်ဇမီ]] (Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi) သည် သုညပါ ညီမျှခြင်းများကို စတင်လေ့လာခဲ့ပြီး မြှောက်ခြင်းနှင့် စားခြင်းတို့ကို အမြန်တွက်နည်းတို့ကိုလည်း တီထွင်တွေ့ရှိခဲ့သည်။<ref name="yale_zero"></ref> အယ်ခိုဝါရစ်ဇမီက သုညကို &ldquo;sifr&rdquo; ဟုခေါ်ခဲ့သည်။ ခုနှစ် ၈၇၉စီအီးသို့ရောက်သော် သုညကို မျက်မှောက်ခေတ်ရေးသားပုံအတိုင်း ဘဲဥပုံဖြင့် ရေးသားလာကြသည်။ စပိန်ပြည်တောင်ပိုင်းကို မောတို့ (Moors) သိမ်းပိုက်ရာမှစပြီး တစ်ဆယ့်နှစ်ရာစုအလယ်ပိုင်းသို့ ရောက်သောအခါ အယ်ခိုဝါရစ်ဇမီ၏ကျမ်းကို ဘာသာပြန်ထားသောကျမ်းများသည် အင်္ဂလန်သို့ တဖြည်းဖြည်း ရောက်ရှိလာသည်။ ကုန်သွယ်စီးပွားရေးရာများတွင် သုညသည် အလွန်အသုံးဝင်သော်လည်း သုညနှင့် နေရာလိုက်တန်ဖိုးကို အသုံးပြုရေးသားထားသော နံပါတ်များကို တုပပြင်ဆင်ရေးသားရန် လွယ်ကူလွန်းသည်ဟုဆိုကာ ဥရောပရှိ အစိုးရများက သုညနှင့် အာရေဗျ ကိန်းစနစ်ကို ပိတ်ပင်ခဲ့သည်များလည်းရှိသည်။<ref name="yale_zero"></ref> သို့သော် ကုန်သည်များက လျှို့ဝှက်သုံးစွဲခဲ့ရာမှာ &ldquo;sifr&rdquo; ခေါ်သုည၏ အာရေဗျအမည်မှ ရွေ့လျောလာသည့် &ldquo;cipher&rdquo; ဆိုသည့် မျက်မှောက်ခေတ်စကားလုံးမှာ ဝှက်စာ ဟု အဓိပ္ပာယ်ရလာသည်။<ref name="yale_zero"></ref> နောင်တွင် ရနေးဒေးကား (Rene Descartes) ၏ နာမည်ကျော် ကာတေးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် လည်းကောင်း၊ အခြားသင်္ချာပညာရှင်များဖြစ်သည့် [[နယူတန်]] (Newton) နှင့် [[ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘနစ်|လိုက်ဘနစ်]] (Leibniz) စသည်တို့၏ လေ့လာမှုများတွင် သုညကို အသုံးပြုခဲ့ပြီး ကဲကုလပ်နှင့် အခြားသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုများ ပေါ်ပေါက်ခဲ့ပေသည်။ === အနုတ်ကိန်းများ စတင်အသုံးပြုလာခြင်း === အနုတ်ကိန်းဟူသည့် သဘောတရားကို အစောဆုံး ၁၀၀ ဘီစီအီး နှင့် ၅၀ ဘီစီအီးအကြားတွင် [[တရုတ်]]လူမျိုးတို့ သိမြင်နားလည်ခဲ့ပုံရသည်။<ref name="utexas_m326k">Smith, M. K. &ldquo;[https://www.ma.utexas.edu/users/mks/326K/Negnos.html History of Negative Numbers].&rdquo; From ''M326K: Foundations of Number Systems''--Web. 25 Dec 2014.</ref> &ldquo;သင်္ချာအနုပညာနှင့် ပတ်သက်သည့် အခန်းကိုးခန်း&rdquo; အမည်ရ တရုတ်ကျမ်းတွင် ပုံသဏ္ဌာန်အမျိုးမျိုး၏ ဧရိယာရှာပုံရှာနည်းကို ဖော်ပြရာတွင် အပေါင်းအမြှောက်ကိန်း (positive coefficient) များကို အနီရောင်အစက်ပြောက်များနှင့်လည်းကောင်း၊ အနုတ်အမြှောက်ကိန်း (negative coefficient) များကို အနက်ရောင်အစက်ပြောက်များနှင့်လည်းကောင်း ကိုယ်စားပြုရေးသားထားသည်။<ref>Staszkow, R. and Bradshaw R. ''The Mathematical Palette'' (3rd ed.). Thomson Brooks/Cole, p. 41, 2004.</ref> သုံးရာစုနှစ်အတွင်းသို့ ရောက်သောအခါ [[ဂရိ]]ပညာရှင် ဒိုင်အိုဖန်တပ် (Diophantus) ၏ ''Arithmetica'' ခေါ် [[ဂဏန်းသင်္ချာ]]ကျမ်းတွင် <math>4x+20=0</math> ဟူ၍ ယခုခေတ်ပုံစံဖြင့် ရေး၍ရမည့် ညီမျှခြင်းကို ဖြေရှင်းရာတွင် ရရှိသည့် အနုတ်ကိန်းအဖြေကို အဓိပ္ပာယ်မရှိဟု ကျမ်းပြုသူကိုယ်တိုင် မှတ်ချက်ချဖူးသည်။ ဒိုင်အိုဖန်တပ်သည် အနုတ်ဂဏန်းပါ တွက်ချက်မှုအချို့ကို ပြုလုပ်ခဲ့သော်လည်း အနုတ်၏ ယေဘုယျသဘောတရားအကြောင်းကို ရှင်းလင်းရေးသားခဲ့ခြင်းမရှိပေ။<ref>Smith, David E. [http://www.amazon.com/History-Mathematics-Vol-Dover-Books/dp/0486204308 ''History of Mathematics''], Vol. 2. Dover, p. 258, 1958.</ref> စီအီး ခုနစ်ရာစုသို့ ရောက်သောအခါမှသာ [[အိန္ဒိယ]]ပညာရှင် ဗြာဟ္မဂုတ္တ၏ကျမ်းတွင် နှစ်ထပ်ကိန်းညီမျှခြင်းရှင်းနည်းကို အနုတ်ကိန်းများသုံး၍ ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref>Cajori, Florian. [https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&source=gbs_navlinks_s ''History of Mathematics''], 5th ed. New York: Chelsea, p. 94, 1991.</ref> အနုတ်ကိန်းသုံး၍ တွက်ချက်ရာတွင် လိုက်နာရမည့် စည်းမျဉ်းများကိုလည်း ရေးသားခဲ့သည်။<ref>Katz, Victor J. [https://books.google.com/books?id=vV8PAQAAMAAJ&source=gbs_navlinks_s ''A History of Mathematics: An Introduction''], 2nd edition, Reading, MA: Addison-Wesley, p. 226, 1998.</ref> နောက်ပိုင်းရာစုများတွင် အနုတ်ကိန်းအကြောင်းကို ကမ္ဘာအရပ်ရပ်မှ ပညာရှင်တို့ မှတ်ချက်ပြုရေးသားခဲ့သော်လည်း ဤအနုတ်သဘောကို အလွယ်တကူ လက်ခံခဲ့ခြင်းမရှိပေ။ စီအီး ကိုးရာစု အရှေ့အလယ်ပိုင်းမှ အယ်ခိုဝါရစ်ဇမီက အနုတ်ကိန်းများကို အသုံးမပြုဘဲ နှစ်ထပ်ကိန်းညီမျှခြင်းရှင်းနည်းကို ခြောက်မျိုးခွဲ၍ရေးသားခဲ့ပြီး<ref>Katz, Victor J. [https://books.google.com/books?id=vV8PAQAAMAAJ&source=gbs_navlinks_s ''A History of Mathematics: An Introduction''], 2nd edition, Reading, MA: Addison-Wesley, p. 245, 1998.</ref>၊ တစ်ဆယ့်နှစ်ရာစု အိန္ဒိယမှ ဘက်ရှ်ကာရာ (Bhaskara) က အနုတ်ကိန်းရင်းအဖြေကို &ldquo;မပြည့်စုံ၍၊ လူတို့သဘောမတူ၍ ယူစရာမလို&rdquo;<ref>Cajori, Florian. [https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&source=gbs_navlinks_s ''History of Mathematics''], 5th ed. New York: Chelsea, p. 93, 1991.</ref> ဟုလည်းကောင်း၊ ဆယ့်ငါးရာစု ဥရောပမှ ရှူကေး (Chuquet) က &ldquo;အဓိပ္ပာယ်မရှိသော နံပါတ်များ&rdquo; ဟူ၍လည်းကောင်း၊ ဆယ့်ခြောက်ရာစု ဥရောပမှ ရှတီဖယ်က သုညထက်နည်းသည့် အတုအယောင်ကိန်း အဖြစ်လည်းကောင်း၊ ဆယ့်ခုနစ်ရာစု ဥရောပမှ ဒေးကားက အနှုတ်ကိန်းရင်းများသော အဖြေမှားများ အဖြစ်လည်းကောင်း အသီးသီး ရေးသားခဲ့ကြသည်။ သမိုင်းအဆက်ဆက်မှ ပညာရှင်အချို့က အနုတ်ကိန်းကို အလုံးစုံသော်လည်းကောင်း၊ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းမျှသာလည်းကောင်း လက်ခံခဲ့သည့် ဖြစ်ရပ်များ ရှိသော်လည်း ၁၉ရာစု နောက်ပိုင်းရောက်မှသာ အနုတ်ကိန်းများကို တဖြည်းဖြည်း တွင်ကျယ်စွာ အသုံးပြုလာဟန်ရှိသည်။ == ကိုးကား == {{Reflist|2}}{{DEFAULTSORT:ကိန်းhtml}} [[Category:သင်္ချာ]] [[Category:သဒ္ဒါ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:Fontfix]] 7vhcgb6dgmoq3t0xo8zohjx6n6y5bsy 0 4121 1040669 963673 2026-06-25T04:53:28Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1040669 wikitext text/x-wiki {{Infobox scientist | name = စတီဖင်ဟော့ကင်း | image = Stephen Hawking.StarChild.jpg | image_size = 240px | alt = | caption = ၁၉၈၀ ခုနှစ်များက [[နာဆာ]]တွင် တွေ့ရသော စတီဖင်ဟော့ကင်း | birth_name = Stephen William Hawking | birth_date = {{birth date|1942|1|8|df=y}} | birth_place = [[အောက်စဖို့မြို့]]၊ [[အင်္ဂလန်နိုင်ငံ]] | death_date = {{death date and age|2018|03|14|1942|01|08|df=DMY}} | death_place = [[ကိန်းဘရစ်ချ်မြို့]]၊ အင်္ဂလန် | residence = ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း | nationality = ဗြိတိသျှ | fields = {{plainlist | * [[ယေဘုယျနှိုင်းရသီအိုရီ]] * [[ကွမ်တမ်ဒြပ်ဆွဲအားသီအိုရီ]] }} | workplaces = {{plainlist | * [[ကိန်းဘရစ်ချ် တက္ကသိုလ်]] * [[ကယ်လီဖိုးနီးယား တက်နိုလော်ဂျီ အင်စတီကျု (ကယ်တက်)|ကယ်လီဖိုးနီးယား နည်းပညာသိပ္ပံ]] * Perimeter Institute for Theoretical Physics }} | alma_mater = {{plainlist | * [[အောက်စ်ဖိုဒ် တက္ကသိုလ်]] (BA) * [[ကိန်းဘရစ်ချ် တက္ကသိုလ်]] (PhD) }} | doctoral_advisor = Dennis Sciama | thesis_title = Properties of Expanding Universes | thesis_url = http://www.worldcat.org/oclc/62793673 | thesis_year = ၁၉၆၅ | doctoral_students = | known_for = {{plainlist | * ဟောကင်း ဖြာထွက်မှု * Penrose–Hawking theorems * ဟောကင်း စွမ်းအင် * ''[[အချိန်၏သမိုင်း အကျဉ်း]]'' (၁၉၈၈) }} | awards = {{plainlist | style = white-space: nowrap; | * Adams Prize (၁၉၆၆) * Fellow of the Royal Society (၁၉၇၄) * Eddington Medal (၁၉၇၅) * Maxwell Medal and Prize (၁၉၇၆) * Heineman Prize (၁၉၇၆) * Hughes Medal (၁၉၇၆) * Albert Einstein Award (၁၉၇၈) * Order of the British Empire (၁၉၈၂) * RAS Gold Medal (၁၉၈၅) * Dirac Medal (၁၉၈၇) * Wolf Prize (၁၉၈၈) * Order of the Companions of Honour(၁၉၈၉) * Prince of Asturias Award (၁၉၈၉) * Andrew Gemant Award (၁၉၉၈) * Naylor Prize and Lectureship (၁၉၉၉) * Lilienfeld Prize (၁၉၉၉) * Albert Medal (Royal Society of Arts) (၁၉၉၉) * Copley Medal (၂၀၀၆) * Presidential Medal of Freedom (၂၀၀၉) * Fundamental Physics Prize (၂၀၁၂) * Royal Society of Arts }} | spouse = {{plainlist | * Jane Wilde Hawking (၁၉၆၅-၁၉၉၅ ကွာရှင်း) * Elaine Mason (၁၉၉၅-၂၀၀၆ ကွာရှင်း)}} | children = {{plainlist | * Robert * Lucy * Timothy }} |signature = | website = {{URL|hawking.org.uk}} }} '''စတီဖင် ဝီလီယံ ဟော့ကင်း''' ({{lang-en|Stephen William Hawking}}; {{nobr|1={{IPAc-en|audio=Stephen Hawking Pronunciation.ogg|ˈ|s|t|iː|v|ə|n|_|ˈ|h|ɔː|k|ɪ|ŋ}};}} ၈ ဇန်နဝါရီ ၁၉၄၂ – ၁၄ မတ် ၂၀၁၈) သည် သီအိုရီ ရူပဗေဒပညာရှင်၊ နက္ခတ္တဗေဒပညာရှင်တစ်ယောက်ဖြစ်သည်။ သူသည် [[ကွမ်တမ် မက္ကင်းနစ်]]နှင့်သက်ဆိုင်သော လုပ်ငန်းများစွာအား ထောက်ပံ့ပေးသူလည်း ဖြစ်သည်။<ref>Gardner, Martin (September/October 2001). [http://www.csicop.org/si/show/multiverses_and_blackberries "Multiverses and Blackberries"]. "Notes of a Fringe-Watcher". ''Skeptical Inquirer''. Volume 25, No. 5.</ref><ref>Price, Michael Clive (February 1995). [http://www.physics.wustl.edu/alford/many_worlds_FAQ.html#faq "THE EVERETT FAQ"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150703104843/http://www.physics.wustl.edu/alford/many_worlds_FAQ.html#faq |date=3 July 2015 }}. Department of Physics, Washington University in St. Louis. Retrieved 17 December 2014.</ref> မော်တာတပ်ဆင်ထားသည့် ဘီးတပ်ကုလားထိုင်ကလေးသည် ကိန်းဘရစ်တက္ကသိုလ်တွင် အထင်ရှားဆုံး ယာဉ်ကလေးဖြစ်သည်။ ဘီးတပ်ကုလားထိုင်ကလေးက အထင်ရှားဆုံးနိုင်ငံသားကို တင်ဆောင်ပြီး၊ လူပြည့်ကျပ်နေသည့် ကင်းစ်ပရိတ်လမ်းအတိုင်း ပြေးလာချိန်တွင် အမှောင်ထုက [[အင်္ဂလန်နိုင်ငံ]] ကိန်းဘရစ်မြို့ပေါ်သို့ လွှမ်းခြုံခဲ့ပြီဖြစ်သည်။ ဘီးတပ်ကုလားထိုင်ပေါ်တွင် ပါလာသူမှာ၊ သူ၏ မျက်နှာမှ ကြွက်သားများနှင့် ဘယ်ဘက်လက်ပေါ်မှ လက်နှစ်ချောင်းကိုသာ လှုပ်ရှားနိုင်သည်။ အဝတ်အစားကို ကိုယ်တိုင်ဝတ်ဆင်၍ မရ။ ဘီးတပ်ကုလားထိုင်တွင် ချိတ်ဆက်ထားသည့် [[ကွန်ပျူတာ]]ခလုတ်ခုံ တစ်ခုကို ပင်ပန်းကြီးစွာ ရိုက်နှိပ်ပြီး အလုပ်လုပ်စေသည့် အသံဖော်စက်မှ တဆင့်သာလျှင် အခြားသူများနှင့် ပြောဆိုဆက်သွယ်၍ ရသည်။ ရောဂါဘယက သည်ပုဂ္ဂိုလ်အား သူ၏ ရုပ်ခန္ဓာတွင် အကျဉ်းကျနေအောင် ဖန်တီးထားသည်။ သို့သော်လည်း သူ၏ သတ္တိနှင့် သူ၏ ဟာသစကားများကိုတော့ အကောင်းပကတိ ချန်ထားရစ်သည်။ သူ၏ အသိဉာဏ်က လွတ်လပ်စွာ လှည့်လည် ကျက်စားနိုင်အောင် ဖန်တီးပေးသည်။ သူ၏ အသိဉာဏ်က တကယ်လည်း လွတ်လပ်စွာ လှည့်လည်ကျက်စားသည်။ အနတ္တမှ အနန္တသို့ လည်းကောင်း၊ [[အက်တမ်]]ထက်ငယ်သည့် ကမ္ဘာလောကမှနေ၍ စင်္ကြာဝဠာ၏ ဟိုမှာဘက်ကမ်းသို့ လည်းကောင်း လှည့်လည်ကျက်စားသည်။ ဘီးတပ်ကုလားထိုင်ထဲမှ ပုဂ္ဂိုလ်မှာ ကမ္ဘာပေါ်တွင် အထူးချွန်ဆုံး ရူပဗေဒပညာရှင်တဦး ဖြစ်သည့် စတီဖင်ဟော့ကင်း ပင်ဖြစ်သည်။ [[File:Barack Obama speaks to Stephen Hawking.jpg|thumb|250px|left|အမေရိကန် သမ္မတ [[ဘာရက် အိုဘားမား|အိုဘားမား]]နှင့် [[အိမ်ဖြူတော်]]တွင် တွေ့ဆုံစဉ်၊ ၂ဝဝ၉ ခုနှစ်။]] [[ဇီဝဗေဒ]]ပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်သူ သူ၏ ဖခင်ကြီးက ဆေးပညာ ဆည်းပူးရန် တိုက်တွန်းသည်ကို ငြင်းဆန်ပြီး၊ စတီဖင်ဟော့ကင်းသည် [[သင်္ချာ]]နှင့် [[သီအိုရီ]]ဆန်သည့် [[ရူပဗေဒ]]ပညာတို့ကို အာရုံစူးစိုက် လေ့လာသည်။ ပထမ အောက်စဖို့ဒ်၊ ထို့နောက် ကိန်းဘရစ် တက္ကသိုလ်တွင် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း အသက် ၂၁ နှစ် အရွယ်တွင် လူဂီးရစ်ရောဂါ ဟု သိထားကြသည့် ရောဂါလက္ခဏာများ သူ့တွင် ပြသလာသည်။ သည်ရောဂါမျိုးက လူကို မလွဲမသေ သွက်ချာပါဒ ဝေဒနာ ခံစားရစေပြီး၊ အလုပ်အများစုကို လုပ်ကိုင်၍ မရအောင် ဖန်တီးလိမ့်မည်။<ref name=":0">{{cite news |title=How Has Stephen Hawking Lived to 70 with ALS? |url=http://www.scientificamerican.com/article/stephen-hawking-als/ |accessdate=23 December 2014 |work=Scientific American |date=7 January 2012 |quote=Q: How frequent are these cases of very slow-progressing forms of ALS? A: I would say probably less than a few percent.}}</ref> သီအိုရီဆန်သည့် ရှုပဗေဒပညာရှင် တစ်ဦးအတွက် ကိရိယာ၊ တစ်ရပ်သာ လိုအပ်ခြင်းကတော့ ကံကောင်းသည်ဟု ဆိုရမည်။ စိတ်ဆိုသည့် ကိရိယာပင် ဖြစ်သည်။ ဟော့ကင်းသည် ယင်းကိရိယာကို အလွန်ကျွမ်းကျင်ပိုင်နိုင်စွာ အသုံးချသည်။ ဘွဲ့ယူမည့် ကျောင်းသားဘဝတွင် ရှိနေသေးစဉ်၊ “ တွင်းနက်ကြီး ” များကို သူ စိတ်ဝင်စားလာခဲ့သည်။ တွင်းနက်ကြီးများဆိုသည်မှာ ကြယ်တာရာများ သေပွဲဝင်နေသည့် ကာလအတွင်း ဖန်တီးခြင်းခံရသည့် အလွန် ထူးဆန်းသည့်အရာများ ဖြစ်ကြသည်။ သူသည် သင်္ချာပညာရှင် ရောဂျာပင်းရို့စ်နှင့် အတူတွဲကာ တွင်းနက်ကြီးများ၏ အလယ်ဗဟိုတွင် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု လွန်စွာကွဲပြားသည့် အရာများရှိနေကြောင်း သင်္ချာနည်းအရသက်သေပြရန် နည်းစနစ်သစ် တစ်ရပ်ကို တီထွင်ခဲ့သည်။ သူ ရည်ညွှန်းသည့် အရာများမှာ တွန်းလှန်၍ မရလောက်သည့် ဒြပ်ဆွဲအားများ ရှိနေသည့် အလွန့်အလွန် သိပ်သည်းပြီး အတိုင်းအတာ မရှိသည့် အရာများ ဖြစ်ကြသည်။ စင်္ကြာဝဠာတခုလုံးသည် တခုတည်းသော ထူးခြားသည့်အရာမှ ဖြန့်ကြက်ထွက်လာခြင်း ဖြစ်နိုင်ပုံကိုလည်း သူက ဆက်လက် တွက်ချက်ပြခဲ့သည်။ [[စကြဝဠာ]]ကို မွေးဖွားပေးသည့် [[မဟာပေါက်ကွဲမှု]]ကြီးသည် [[တွင်းနက်]]ငယ်များကို ဖန်တီးပေးခဲ့ပုံရကြောင်း၊ တွင်းနက်ငယ် တစ်ခုစီသည် [[ပရိုတွန်]]၏ အရွယ်အစားသာ ရှိသော်လည်း၊ ဒြပ်ထုမှာမူ တောင်တစ်လုံးမျှ ကြီးမား နိုင်ကြောင်း နောက်ပိုင်းတွင် သူက အခိုင်အမာ ပြောကြားခဲ့သည်။ ထို့နောက်တွင် “ တွင်းနက်ကြီးများမှ နေ၍ မည်သည့်အရာမှ မလွတ်မြောက်နိုင်၊ [[အလင်း]]သည်ပင်လျှင် တွင်းနက်ကြီးများမှ မလွတ်မြောက်နိုင် ” ဟူသည့် တစ်ကမ္ဘာလုံး လက်သင့်ခံထားသည့် ယုံကြည်ချက်ကို ပယ်ဖျောက်သည့် အနေဖြင့် ဟော့ကင်းက တွင်းနက်ငယ်ကလေးများ (ပို၍ ကြီးသည်များလည်း ပါဝင်သည်) သည် ဖြာထွက်ရောင်ခြည်များ ထုတ်လွှင့်ကြသည်ဟု စောဒက တက်ခဲ့သည်။ တဖြည်းဖြည်းနှင့် နောက်ဆုံးတွင် ဟော့ကင်း၏အဆို မှန်ကန်သည်ဟု အခြားသိပ္ပံပညာရှင်များ ဝန်ခံခဲ့ကြရသည်။ တွင်းနက်ကြီးများမှ ရောင်ခြည်ထုတ်လွှင့်မှုများကိုလည်း ဟော့ကင်း ဖြာထွက်ရောင်ခြည် (Hawking Radiation) ဟု သိလာကြသည်။ [[File:Stephen hawking and lucy hawking nasa 2008.jpg|thumb|left|250px|နာဆာ၏ နှစ်ငါးဆယ်ပြည့်အခမ်းအနားတွင် သူ့သမီး လူစီဟော့ကင်းမှ သရုပ်ပြသပေးနေပုံ။]] ဟော့ကင်းသည် သူ၏ ဒုက္ခိတဘဝအပေါ် အာရုံနှစ်ထားခြင်း မရှိပါ။ သူ၏ အသံဖော်စက်မှ တဆင့် စကားလုံးနည်းနည်းဖြင့် ရှင်းလင်းအောင် ပြောကြားသည့် မှတ်ချက်များတွင် ဟာသများ နှောနေတတ်သည်။ သို့သော်လည်း သူသည် ခေါင်းလည်း မာတတ်သည်၊ ရိုင်းပျတတ်သည်၊ ဒေါသဖြစ် လွယ်တတ်သည်။ သူ၏ ဇနီး ဂျိန်းသာ မရှိပါက သူ၏ အလုပ်အကိုင် ဘယ်တော့မှ တစ်ရှိန်ထိုး အောင်မြင် မလာနိုင်ပါဟု ဟော့ကင်းက အလေးအနက် ပြောဆိုတတ်သည်။ လူဂီးရစ်ရောဂါ ရှိ မရှိ သူ ဆေးစစ်ခံပြီး၍ များမကြာမီ၊ ရောဂါဆိုးရွားပြီး တိုးတက်ကြီးထွားလာတတ်သည့် သဘောသဘာဝကို သတိထားမိသော ဂျိန်းက သူ့အားလက်ထပ်ခဲ့သည်။ သို့ဖြင့် ဟော့ကင်းမှာ မျှော်လင့်ချက်များ ရရှိလာပြီး၊ သူ၏ လေ့လာဆည်းပူးမှုများ ဆက်လက်ပြုလုပ်နိုင်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ အိမ်ထောင်ကျပြီးစ စောစောပိုင်း ကာလတွင် သားသမီးသုံးယောက် ထွန်းကားခဲ့သည်။ ဟော့ကင်း၏ ခြေလက်အင်္ဂါများ ပို၍ပို၍ မလှုပ်နိုင် မရှားနိုင် ဖြစ်လာသည့်အခါ၊ ဂျိန်းက သူ၏ လိုအပ်ချက်မှန်သမျှ ဖြည့်ဆည်းရန် ဝတ်ကြီးဝတ်ငယ် ပြုခဲ့သည်။ သူတို့၏ ၂၅ နှစ်တာ အိမ်ထောင်သက်ကို ၁၉၉၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဟော့ကင်း ဆိုင်းမဆင့် ဗုံမဆင့် ဖြတ်တောက်လိုက်သည့် အခါတွင်တော့ သူ၏ မိတ်ဆွေအပေါင်းအသင်းများ တုန်လှုပ်သွားခဲ့ကြရသည်။ သူသည် ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် ယခင်က သူ့အား ပြုစုခဲ့သည့် သူနာပြုဆရာမတဦးကို လက်ထပ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ၁၉၉၈ အရောင်းအသွက်ဆုံးစာအုပ် ဖြစ်သည့် ''[[အချိန်၏သမိုင်း အကျဉ်း]]'' အမည်ရှိ စာအုပ်ဖြင့် ဟော့ကင်းသည် ကမ္ဘာတွင် လူသိအများဆုံး သိပ္ပံပညာရှင် ဖြစ်လာခဲ့ပုံ ရသည်။ မယုံနိုင်လောက်သည့် အရေးအသားမျိုးများ ပါရှိသည့် ရူပဗေဒပညာရပ်ဆိုင်ရာ စာအုပ်ထူကြီး တစ်အုပ်ကို အဘယ်ကြောင့် အပြေးအလွှားဝယ်ယူနေကြပါ သလဲဟု မေးစရာ ရှိသည်။ ဟာသနှော၍ ပြောတတ်သည့် ဟော့ကင်းကတော့ သည်လို ဖြေကြားခဲ့သည်။ "ဒုက္ခိတဖြစ်နေတဲ့ ပါရမီရှင်တစ်ဦးရဲ့ အတွေးအခေါ်ကို ဘယ်သူမှ လွန်ဆန်လို့ မရပါဘူးဗျာ" ကွယ်လွန်ပြီးနောက်၂၀၁၈တွင် "The brief answers to the big questions" စာအုပ်ကို ထု​တ်ဝေခဲ့သည်။​ <ref>၂၀ ရာစု အကြီးကျယ်ဆုံး ပုဂ္ဂိုလ်များ</ref> == ကွယ်လွန်ခြင်း == ၂၀၁၈ ခုနှစ် မတ်လ ၁၄ ရက်နေ့တွင် ဟော့ကင်းသည် ကိန်းဘရစ်ချ်ရှိ သူ၏ နေအိမ်တွင် ကွယ်လွန်ခဲ့ကြောင်း မိသားစု ပြောရေးဆိုခွင့်ရှိသူက ပြောကြားခဲ့သည်။ သူ၏ သားသမီးများက ဝမ်းနည်းကြောင်း ထုတ်ပြန်ချက်တစ်ရပ်ကို ထုတ်ပြန်ခဲ့ကြသည်။<ref name="Guardian-Death">{{cite news |last=Sample |first=Ian |date=14 March 2018 |title=Stephen Hawking: modern cosmology's brightest star dies aged 76 |url=https://www.theguardian.com/science/2018/mar/14/stephen-hawking-professor-dies-aged-76 |work=The Guardian |accessdate=14 March 2018}}</ref><ref>{{cite news|title=Physicist Stephen Hawking dies aged 76 |url=http://www.bbc.com/news/uk-43396008|publisher=BBC News|date=14 March 2018|accessdate=14 March 2018}}</ref><ref>{{cite news | title = Professor Stephen Hawking dies aged 76 | url = https://www.9news.com.au/world/2018/03/14/14/45/stephen-hawking-dead-at-76 | publisher = 9News | date = 14 March 2018 | accessdate = March 14, 2018 | archive-date = 26 February 2019 | archive-url = https://web.archive.org/web/20190226234249/https://www.9news.com.au/world/2018/03/14/14/45/stephen-hawking-dead-at-76 | url-status = dead }}</ref> သေဆုံးရသည့်အကြောင်းရင်းကို မဖော်ပြခဲ့သော်လည်း ငြိမ်းချမ်းစွာ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်ဟုသာ ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=http://abcnews.go.com/International/award-winning-scientist-stephen-hawking-dies-76/story?id=53729818|title=Stephen Hawking, author of 'A Brief History of Time,' dies at 76|last=News|first=A. B. C.|date=2018-03-14|website=ABC News|language=en|access-date=2018-03-14}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{lifetime|၁၉၄၂|၂၀၁၈}} [[Category:အင်္ဂလိပ် ရူပဗေဒပညာရှင်များ]] [[Category:အင်္ဂလိပ် သိပ္ပံစာရေးဆရာများ]] [[ကဏ္ဍ:စကြဝဠာဗေဒ ပညာရှင်များ]] i1wqlsat99imook0d30bxd5kv0172wb 0 4304 1040584 879280 2026-06-24T14:39:55Z ~2026-36416-71 144815 /* ငယ်စဉ်ဘဝ */ စာလုံးပေါင်း ပြင်ခဲ့သည် 1040584 wikitext text/x-wiki [[ဖိုင်:U Ba Kyi Photo.jpeg|thumb|ပန်းချီ ဦးဘကြည် (F.R.S.A. London)]] [[File:U ba kyi.JPG|thumb|ဆရာကြီး ပန်းချီဦးဘကြည်]] [[File:Artist U Ba Kyi.jpg|thumb|ဆရာကြီး ဦးဘကြည် ပန်းချီဆွဲနေစဉ်]] == ငယ်စဉ်ဘဝ == ပန်းချီဆရာကြီး ဦးဘကြည်ကို ၁၉၁၂ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လ ၁၆ရက်နေ့တွင် [[ကျိုက်ထိုမြို့]]၌ မွေးဖွားသည်။ အဖ ဦးဘိုးအင်၊ အမိဒေါ်အေးမေဖြစ်သည်။ ငယ်စဉ်ကပင် ဝါသနာပါရာ ပန်းချီပညာကို လေ့လာဆည်းပူးခဲ့သည်။ [[ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်]]တွင် [[အိုင်အက်စီတန်း]] အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ဆရာဖြစ်သင်တန်းကိုလည်း တက်ရောက်အောင်မြင်ခဲ့သည်။ [[၁၉၃၃]] ခုနှစ်တွင် [[ဘိလပ်]]ပြန် ပန်းချီဆရာကြီး [[ဦးဘဉာဏ်]] (အာရ်၊စီ၊အေ၊လန်ဒန်) ထံတွင် ပန်းချီပညာဆည်းပူးခဲ့သည်။ == နိုင်ငံခြားပညာတော်သင်သွားခြင်း == [[၁၉၄၉]] ခုနှစ်တွင် [[ပြင်သစ်]]အစိုးရ ပညာသင်ဆုရကာ [[ပါရီအမျိုးသား အဆင့်မြင့်ပန်းချီသိပ္ပံ]]တွင် တစ်နှစ်ပညာသင်ခွင့် ရသည်။ ထိုသို့ ပညာဆည်းပူးနေစဉ် ကမ္ဘာ့ပန်းချီပြပွဲကြီး "Le Sa Lon 49" တွင် ဝင်ရောက်ပြသနိုင်ပြီး [[လန်ဒန်]]၊ [[မွန်တီကာလို]]မြို့များတွင် ကျင်းပသည့် ပန်းချီပြပွဲကြီးများတွင်လည်း ပါဝင်ပြသနိုင်ခဲ့သည်။ [[၁၉၅၈]] ခုနှစ်တွင် [[အမေရိကန်]]အစိုးရ ပညာသင်ဆုရ၍ [[ဖီလာဒဲလ်ဖီးရား]] ပန်းချီအကယ်ဒမီတွင် တစ်နှစ် ပညာဆည်းပူးခွင့်ရခဲ့သည်။ ထိုနှစ်မှာပင် [[ပင်စီလ်ဗေးနီးယား တက္ကသိုလ်]]တွင် [[ပန်းချီမဟာဝိဇ္ဇာ]]တန်း တက်ခွင့်ရခဲ့သည်။ [[၁၉၅၈]] ခုနှစ်တွင် [[လန်ဒန်တော်ဝင်ပန်းချီအသင်းကြီး]]မှ ရာသက်ပန်အဖွဲဝင်အဖြစ် "F.R.S.A." ဘွဲ့ချီးမြှင့်ခဲ့သည်။ ဆရာကြီး ဦးဘကြည်သည် မြန်မာပန်းချီလောက၏ ဖခင်ကြီးတစ်ဦးဖြစ်ပြီး မြန်မာရိုးရာပျော်ရွှင်မှုဆိုင်ရာ အကအခုန် သရုပ်ဖော်လက်ရာများ၊ ရိုးရာယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ [[ဆယ့်နှစ်ရာသီပွဲ]]လမ်းသဘင် သရုပ်ဖော်လက်ရာများ၊ ဇာတ်၊ [[နိပါတ်]]ဆိုင်ရာ [[ဗုဒ္ဓဝင်]]ပန်းချီကားများ၊ [[အောင်ခြင်းရှစ်ပါး]] သရုပ်ဖော်ပန်းချီကားများရေးဆွဲခဲ့သည်။ ခေတ်အမြင် ခေတ်အတေး ခေတ်အရေးဆိုင်ရာ ခေတ်သစ်ပန်းချီလက်ရာများကိုလည်း စိတ်ကူးကောင်းကောင်းဖြင့် ရေးဆွဲလေ့ရှိသည့် စွယ်စုံပန်းချီကျော်ကြီးဖြစ်သည်။ == မြန်မာ့ပန်းချီနှင့် ဗုဒ္ဓဘာသာသရုပ်ဖော်ပုံများ == ၁၉၅၂ မှစ၍ ရှေးရိုးမြန်မာပန်းချီရေးနည်းကို သုတေသနပြုကာ ဖော်ထုတ်ရေးဆွဲနိုင်ခဲ့သည်။ ထိုသို့ သုတေသနပြုရေးဆွဲနေဆဲ ပြင်သစ်နိုင်ငံတွင် ပန်းချီပညာဆည်းပူးပြီး ပြန်ရောက်လာသည်။ ၁၉၅၀ ပြည့်နှစ်တွင် [[ဝိုင်အမ်ဘီအေအသင်းကြီး]]မှ တာဝန်ပေးချက်အရ [[အဂ္ဂမဟာပဏ္ဍိတ]] [[အရှင်ဇနကာဘိဝံသ]] ဆရာတော်ကြီး ရေးသားတော်မူသည့် [[ဗုဒ္ဓဝင်]]ကို ပုံတော်များ ရေးဆွဲသရုပ်ဖော်ခဲ့သည်။ ၎င်းဗုဒ္ဓဝင်စာအုပ်ကြီးမှာ ယခုအခါ စတုတ္ထအကြိမ်မြောက် ထုတ်ဝေခဲ့ပြီးဖြစ်သည်။ ၎င်းဗုဒ္ဓဝင်စာအုပ်ကြီးကို သရုပ်ဖော်ရေးဆွဲရန် ဆရာတော်ကြီးများထံ ချဉ်းကပ်ခြင်း၊ တရားထိုင်ခြင်း၊ ပုတီးစိပ်ခြင်း စသောကောင်းမှုကုသိုလ်ပြု၍ အထူး စိတ်ကူးစိတ်သန်းကောင်းများဖြင့် ရေးဆွဲခဲ့ရာ ဗုဒ္ဓမြတ်စွာဘုရား၏ မေတ္တာတရားတော်များကို ထင်ရှားပေါ်လွင်အောင် သရုပ်ဖော်နိုင်ခဲ့သည်။ == တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သော ဌာနများ == ၁၉၃၉ တွင် ဖွင့်လှစ်သော [[စစ်ကြိုခေတ်]] [[ပန်းချီပန်းပုကျောင်း]]တွင် နည်းပြဆရာ အဖြစ်လည်းကောင်၊ ၁၉၄၁ တွင် ဖွင့်လှစ်သည့် [[ပန်းချီအကယ်ဒမီ]]တွင် ကထိက အဖြစ်လည်းကောင်း၊ [[ပညာရေးတက္ကသိုလ်]]တွင် ပန်းချီကထိက အဖြစ်လည်ကောင်း တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အငြိမ်းစားယူခဲ့သည်။ ဆရာကြီး ဦးဘကြည်သည် မြန်မာနိုင်ငံ [[ပန်းချီပန်းပု အစည်းအရုံး]]များတွင် ဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် ၁၀ ကြိမ်၊ [[စာပေလုပ်သား ဖြစ်မြောက်ရေး ကော်မတီ]]ဝင်၊ [[စွယ်စုံကျမ်း ပြုစုရေးအဖွဲ့]]ဝင်၊ [[ရုပ်ရှင်အကယ်ဒမီ ရွေးချယ်ရေးအဖွဲ့]]ဝင်၊ [[ယဉ်ကျေးမှုဌာန]] ပန်းချီအကြံပေးပုဂ္ဂိုလ်အဖြစ် ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံ ရိုးရာပန်းချီ]][[ပညာရှင်များ အစည်းအရုံး]](ဗဟို) နာယက အဖြစ်ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ == ထင်ရှားသော ပန်းချီလက်ရာများ == ဆရာကြီး၏ထင်ရှားသော ပန်းချီလက်ရာများကို ရန်ကုန်ရှိ [[အမျိုးသားပြတိုက်]]၊ [[တာရှ်ကင့်ပြတိုက်]]၊ [[ပီးကင်းအမျိုးသားပြတိုက်]]၊ ဟော်လန်နိုင်ငံ အမ်စတာဒန်မြို့ရှိ ပန်းချီပြတိုက်၊ [[ဗုဒ္ဓဂယာ]]တို့တွင် ချိတ်ဆွဲပြသထားကြသည်။ [[မင်္ဂလာဒုံလေဆိပ်]]တွင် စတုရန်းပေ ၃၀၀၀ ရှိ နံရံပန်းချီကားကြီးမှာ ဆရာ့အား ကမ္ဘာကျော်စေသည့် မြန်မာမှုသရုပ်ဖော် လက်ရာမွန် ပန်းချီကားကြီးဖြစ်သည်။ [[ဗိုလ်တထောင်ဘုရား]]၊ [[ရွှေတိဂုံစေတီတော်]]တို့တွင်လည်း သမိုင်းဝင် ဆီဆေးပန်းချီလက်ရာများ ရေးဆွဲခဲ့သည်။ [[မိတ္ထီလာဝန်ဇင်းဟိုတယ်]]၊ [[ကမ်းနားလမ်းဟိုတယ်]]၊ [[ပညာရေးတက္ကသိုလ်]]တို့တွင် နံရံပန်းချီလက်ရာများ ရေးဆွဲခဲ့သည်။ ထိုခေတ် ထိုအခါက ရွှေသွေးဂျာနယ်၊ တေဇရုပ်စုံ စသည့် အပတ်စဉ် နှင့် လစဉ်ထုတ် အစိုးရ စာစောင်များတွင် ပန်းချီဦးဘကြည်၏ လက်ရာနှင့် သရုပ်ဖော်တင်ဆက်ပုံများမှာ အထင်ကရ ဖြစ်ခဲ့သည်။ ၂၁ ရာစု မြန်မာနိုင်ငံရှိ အရွယ်ရောက် လူကြီးပိုင်း အများစုမှာ ပန်းချီဦးဘကြည် လက်ရာများ ဖြင့် ကြီးပြင်းခဲ့ရသူများ ဖြစ်သည်အထိ ဆရာကြီး၏ လွှမ်းမိုးမှုကြီးမားခဲ့ပါသည်။ == ဘဝနိဂုံး == ဆရာကြီးဦးဘကြည်သည် ၁၅ရက်၊ဧပြီလ၊၂၀၀၀ ခုနှစ်၊ ညနေ ၆နာရီ ၅၅မိနစ်တွင် ကွယ်လွန် အနိစ္စရောက်ခဲ့သည်။ ဇနီး ဒေါ်တင်မေ (ပညာရေးတက္ကသိုလ် ငြိမ်း) နှင့် သား ၂ဦး၊ သမီး ၁ဦး၊ မြေး ၆ဦးတို့ ကျန်ရစ်ပါသည်။ <ref>ဇာတ်တော်ကြီးဆယ်ဘွဲ့၊ ဆရာကြီး ပန်းချီဦးဘကြည်၊ တကြိမ်၊ ဇူလိုင် ၂၀၀၁၊ Quality Publishing House ၊ ရန်ကုန်</ref> == ကိုးကား == <references/> [[Category:မြန်မာ ပန်းချီဆရာများ]] {{Lifetime|၁၉၁၂|၂၀၀၀|}} kxie77k23zxowh1utb7p9dpb99m75pu 0 7272 1040570 1040360 2026-06-24T13:52:01Z ~2026-31129-83 143167 /* အဆိုတော်ဘဝ */ 1040570 wikitext text/x-wiki {{copyedit/doc}}<ref name=":0">ပြည်လှဖေနှင့် တွေ့ဆုံခြင်း သတင်း‌ောင်းပါး၊ ‌ောင်သက်ကြူ၊ ၁၉၉၄ ရွှေအမြူတေမဂ္ဂဇင်း။</ref>{{Infobox person|name=ပြည်လှဖေ|birth_date=၁၉၁၂|death_date={{death date and age | ၁၉၉၀ | ၃ | ၁၄ | ၁၉၁၂ | ၆ | ၂ | }}|birth_place=ပြည်မြို့၊ ပဲခူးတိုင်း၊ ဗြိတိသျှဘားမား|birth_name=လှဖေ|citizenship=မြန်မာ|death_cause=ကင်ဆာ|death_place=လန်ဒန်မြို့|education=အင်ဂျင်နီယာ|ethnicity=ဗမာ|parents=ဦးခူး၊ ဒေါ်ကြင်စီ|resting_place=လန်ဒန်မြို့၊ အင်္ဂလန်နိုင်ငံ|years_active=၁၉၃၆-၁၉၄၇|occupation=ဓာတ်ပြားအဆိုတော်၊ ရုပ်ရှင်မင်းသား၊ တယောအတီးသမား၊ တူရိယာအဖွဲ့အုပ်ချုပ်သူ၊ တပ်မတော်အင်ဂျင်နီယာ ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး၊ ဝါဇီစက်ရုံမှူး၊ စက်မှုလယ်ယာအရာရှိ၊ ဒုတိယဝန်ကြီး၊|home_town=ပြည်မြို့|known_for=အဆိုတော်|nationality=မြန်မာ|native_name=လှဖေ|native_name_lang=မြန်မာ|residence=ရန်ကုန်|image=P HlaBay.jpg}} ပြည်လှဖေ (၁၉၁၂ - ၁၉၉၀) သည် မြန်မာ့ဂီတလောကတွင် ထင်ရှားခဲ့သော ဓာတ်ပြားအဆိုတော်၊ ရုပ်ရှင်မင်းသားတစ်ဦးဖြစ်သည်။ ==ငယ်ဘဝ== မြန်မာသက္ကရာဇ် (၁၂၇၄)ခုနှစ်၊ ပြည်မြို့၊ ကြိုးတန်းရပ်တွင် မွေးဖွားသည်။ မိဘများမှာ အရေးပိုင် ဦးခူးနှင့် ဒေါ်ကြင်စီတို့ဖြစ်ပြီး သား(၄)ယောက်၊ သမီး(၂)ယောက်အနက် တတိယသားဖြစ်သည်။ ငယ်စဉ်ကတည်းက အနုပညာဝါသနာကြီးခဲ့ပြီး ပြည်မြို့မှ နာမည်ကျော် ပညာရှင်ကြီးများ၏ ပညာရည်နို့ကို သောက်စို့ခဲ့ရသည်။ ပြည်လှဖေတို့ ညီအကိုလေးယောက်လုံး ဂီတဝါသနာကြီးကြသည်။ အကိုအကြီးဆုံး ကိုလှငွေမှာ ဘင်ဂျိုအတီးကောင်းပြီး အကိုလတ် ကိုလှရွှေမှာ တယောနှင့်ဆိုင်းဝိုင်းကို အတော်အသင့် နိုင်နင်းသည်။ ပြည်လှဖေ ကိုယ်တိုင်ကလည်း ပြည်မြို့မှာ နေစဉ်ကတည်းက တယောထိုးတတ်ခဲ့သည်။ ပြည်မြို့တွင် (၁၀)တန်းအောင်သည်အထိ ကျောင်းနေခဲ့သည်။ ==အဆိုတော်ဘဝ== ပြည်လှဖေသည် တက္ကသိုလ်တက်ရန် ရန်ကုန်သို့လာရင်း တက္ကသိုလ်မရောက်ဘဲ အေဝမ်းကုမ္ပဏီမှ သူငယ်ချင်း ကိုတင်မောင်နှင့် တွေ့ဆုံရာမှ အေဝမ်းကုမ္ပဏီ၏ လခစားဖြစ်ခဲ့သည်။ ၁၉၃၆ ခုနှစ်မှစတင်၍ အေဝမ်းတူရိယာအဖွဲ့အုပ်ချုပ်သူအဖြစ် လုပ်ကိုင်၍ စန္ဒရား အေဝမ်းခင်မောင်တို့နှင့်အတူ အသံတိတ်ဇာတ်ကားများ၌ တီးမှုတ်ကြရသည်။ ၁၉၃၈ ခုနှစ် သဘင်ဝန်ဓာတ်ပြား ထုတ်လုပ်သောအခါ ဓာတ်ပြားအဆိုတော်ဖြစ်လာသည်။ ၁၉၃၉ မှစ၍ ပြည်လှဖေအမည်မှာ ကျော်ကြားခဲ့သည်။ လစဉ်ထုတ် အေဝမ်းသဘင်ဝန် ဓာတ်ပြားများ၌ တစ်ဦးချင်းအဆို၊ စုံတွဲအဆိုတို့ အဆက်မပြတ် လစဉ်ထုတ်ဝေဖြန့်ချိကာ ပြည်သူတို့အသည်းစွဲ အဆိုကျော်ဖြစ်လာသည်။ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း ကြိုက်သော အဆိုတော် ဖြစ်သည်။ သက်ဝေသီချင်း မှာလည်း ဗိုလ်ချုပ် နှင့် ရုပ်ရှင်မင်းသမီး အဆိုကျော် မေရှင်မှာ ပြည်လှဖေနှင့် တွဲဖက်အဆိုစုံတွဲ ဖြစ်ခဲ့သည်။ ကဉ္စနာသီချင်း မှာ ပြည်လှဖေ ကိုယ်တိုင်က အကြိုက်ဆုံးသီချင်းဟုဆိုသည်။ <ref name=":0" /> ==ဓာတ်ပြားသီချင်းများ== # ကဉ္စန၊ [[ရွှေပြည်အေး]]၊ ၁၉၄၀ ဇွန်လ # ခေတ်ပြောင်းချိန်၊ သဟာယဆရာတင်၊ # ချစ်ညွှတ်ကွင်း၊ (မေရှင် နှင့်) # ချစ်ဗျူဟာ၊ အေဝမ်းဆရာညှာ (မေရှင် နှင့်) # ချစ်မိုးစွေ၊ [[ရွှေပြည်အေး]]၊ ၁၉၄၁ ဩဂုတ်လ # ချစ်မှာလား၊ သဟာယဆရာတင်၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၀ နိုဝင်ဘာလ # ချစ်သဲစွဲ၊ စန်းသော်တာ၊ (မေရှင် နှင့်) # ဂုဏ်တော်ဖွင့်၊ [[အေဝမ်းဆရာညှာ]] ၊ ၁၉၃၉ ဇူလိုင်လ # ဂုဏ်မြင့်သူ၊ [[သဟာယ ဆရာတင်]]၊ ၁၉၃၉ နိုဝင်ဘာလ # ဇွဲ ၊ [[မြကလောင်]]၊ ၁၉၄၁ စက်တင်ဘာလ # နဂါးနိုင်မင်း၊ [[ဂျူဗလီစိန်]]၊ ၁၉၄၀ ‌အောက်တိုဘာလ # နတ်သျှင်နောင်၊ [[မြို့မငြိမ်း]]၊ ၁၉၄၁ ဧပြီလ # နန်းကေသီ၊ ရွှေပြည်အေး၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၀ ဩဂုတ်လ # နွဲ့မျိုးစုံ၊ မြို့မငြိမ်း၊ (တင်တင်အေး နှင့်)၊ ၁၉၃၉ ‌ေ အောက်တိုဘာလ # ပပဝင်းဝင်း၊ စိန်ဝေလျှံ၊ ၁၉၄၁ နိုဝင်ဘာလ # ဖုတ်သွင်းရထား၊ သဟာယဆရာတင်၊ ၁၉၄၁ ဇူလိုင်လ # မာနရှင် ၊ [[သဟာယ ဆရာတင်]]၊ ၁၉၄၁ ‌ ဖေ ဖော်ဝါရီလ # မေ့ပါနိုင် ၊ [[မြို့မငြိမ်း]]၊ ၁၉၄၁ ဇွန်လ # မင်းမဟာဂီရိ၊ [[ဂျူဗလီစိန်]] # မောင့်အချစ်တော်၊ ဝိုင်အမ်ဘီဆရာတင်၊ # မေတ္တာဂုဏ်၊ [[အေဝမ်းဆရာညှာ]]၊ ၁၉၄၀ ဒီဇင်ဘာလ # မိန်ရာသီ၊ ရန်နိုင်စိန်၊ (မေရှင် နှင့်) ၁၉၃၈ ဇူလိုင်လ # [[ရဲရဲတောက် တို့ဗမာ]]၊ # ရှေးကုသိုလ်၊ ရွှေပြည်အေး၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၁ ဇန္နဝါရီလ # ရှေးရေစက်၊ ရွှေတိုင်ညွန့်၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၀ ဇန္နဝါရီလ # ရှင်သီဝလိ၊[[ စစ်ကိုင်း ဆရာကြည်]]၊ ၁၉၄၀ မေလ # ရွှေတံငါ၊ [[စန်းသော်တာ]]၊ ၁၉၃၉ ဒီဇင်ဘာလ # သုဝဏ္ဏသျှံ၊ [[အေဝမ်းဆရာညှာ]]၊ ၁၉၄၁ မတ်လ # သက်ဝေ၊ မြို့မငြိမ်း၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၁ ‌မေလ # အောင်လံတော်၊ ဝိုင်အမ်ဘီဆရာတင်၊ (တင်တင်အေး နှင့်) # ဣန္ဒာနွယ်၊ ဂျူဘလီစိန်၊ ==မင်းသားဘဝ== ဒုတိယကမ္ဘာစစ်ပြီးစ ပြဇာတ်ခေတ် ဂျုဘလီဟောတွင် ဒါရိုက်တာ မောင်တင်မောင် စီစဉ်မှုဖြင့် စန္ဒကိန္နရီ ပြဇာတ်ကို အေးကြူ၊ မေရှင်၊ မေသစ် တို့နှင့် တွဲဖက်ကပြခဲ့ရာ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း လာရောက်ကြည့်ရှု အားပေး ချီးကျူး ခဲ့သည်။ ပြည်လှဖေသည် ရုပ်ရှင်မင်းသားအဖြစ် စောင်းတော်ရှင် နှင့် ကပ္ပလီ ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကား နှစ်ကား၌သာ ပါဝင် သရုပ်ဆောင်ခဲ့ပြီး သူ၏ သရုပ်ဆောင်မှုမှာလည်း နှစ်ကားဆို ဆိုသလောက် ထူးချွန် ပြောင်မြောက်ခဲ့သည်။ စစ်ပြီးခေတ်တွင် အေဝမ်းရုပ်ရှင် အသိုက် အဝန်းဖြစ်သော လျှပ်စစ် ရုပ်ရှင်မှ ဒါရိုက်တာမောင်တင်ယု ရိုက်ကူးသော ကပ္ပလီ ဇာတ်ကားတွင် မောင်တင်မောင် (အေဝမ်း ဦးတင်မောင်)နှင့်အတူ ပါဝင် ရိုက်ကူး ခဲ့သေးသည်။ အဆိုတော်ကြီး ပြည်လှဖေသည် စောင်းတော်ရှင် ဇာတ်ကား တစ်ကား တည်းဖြင့်ပင် အဓိက သရုပ်ဆောင် မင်းသားကောင်း တစ်ဦးအဖြစ် ပြောင်မြောက်စွာ စွမ်းဆောင်ခဲ့လေသည်။ ==စောင်းတော်ရှင် ဇာတ်ကားအကျဉ်းချုပ်== စောင်းတော်ရှင်ဇာတ်ကားမှာ လူအများသိကြသည့် ဦးရှင်ကြီး ဇာတ်လမ်းဖြစ်၏။ မောင်ရှင်၏မိခင်မှာ သားဖြစ်သူ ရှင်ပြုရန် ငွေရှာအသွား အစ်မဖြစ်သူက ဓနရှင်ပီပီငေါက်ထုတ်လိုက်၏။ မောင်ရှင်မှာ အဒေါ်ဖြစ်သူအပေါ် စိတ်ကွက်သွားလေ၏။ သို့နှင့် ဆင်းရဲသားသားအမိမှာ မျက်နှာငယ်နှင့် ပြန်လာခဲ့ကြသည်။ မောင်ရှင်သည် မိခင်တားသည့်ကြားက ကိုယ့်အားကိုယ်ကိုးကာ ထင်းခုတ်သွားသော လှေတွင်အလုပ်သမားအဖြစ် လိုက်ပါသွားလေသည်။ မိန်းမလှကျွန်းရောက်ပြီး လှေသူကြီးနှင့် လှေထိုးသားများက မောင်ရှင်ကို လှေစောင့်အဖြစ် ထမင်းချက်ရန် လှေပေါ်တွင် ထား၍ထင်းခုတ်သွားကြသည်။ မိန်းမလှကျွန်းတွင် မိန်းမလှနတ်များကြီးစိုး၍ မောင်ရှင့်အနေဖြင့် လုံးဝသီချင်းမဆိုရန်၊ မတီးမမှုတ်ရန် မှာခဲ့သည်။ အနုပညာသမား မောင်ရှင်မှာ ဝှက်ယူလာသော လက်စွဲတော်စောင်းလေးထုတ်၍ တီးတော့သည်။ စောင်းတီးခတ် သီချင်းဆိုလိုက်သည်နှင့် မိန်းမလှကျွန်းစောင့် နတ်သမီးလေးများပေါ်လာကာ မောင်ရှင်၏ဂီတတွင် နစ်မျောကခုန်ကြ၏။ ထင်းခုတ်နေစဉ်ရက်များအတွင်း မောင်ရှင်၏ဂီတဖြင့် နတ်သမီးများ နေ့တိုင်းပျော်ပါးနေကြပြီး မောင်ရှင်ကို စွဲလမ်းနှစ်သက်နေကြတော့သည်။ သို့နှင့် ထင်းခုတ်ကိစ္စပြီး၍ မောင်ရှင်တို့ လှေပြန်အလှည့်တွင် နတ်သမီးလေးများက လှေကိုမထွက်နိုင်အောင် ဆွဲထားကြသည်။ လှေသူကြီးသည် သူတို့ထုံးစံအတိုင်း မည်သူ့ကြောင့် လှေမထွက်နိုင်သည်ကို မဲချရာတွင် ကံဆိုးသူမောင်ရှင် မဲကျလေတော့သည်။ မောင်ရှင်အား ရေတွင် အရှင်လတ်လတ်ချရစ်ကာ လှေထွက်သွားသည်။ နတ်သမီးကလေးများက မောင်ရှင်အားပွေ့ယူကာ ကျွန်းပေါ်သို့ ခေါ်သွားကြသည်။ မောင်ရှင်သည် အရှင်လတ်လတ်ပင် နတ်စိမ်း ဖြစ်သွားသည်။ ပြည်လှဖေ ပါဝင်သော စောင်းတော်ရှင် ဇာတ်ကားကိုလည်း တေးဂီတဇာတ်ကား(Musical Film)ဟု ခေါ်ရပေမည်။ ပို၍ထူးခြားသည်က ရာဇဝင်ဇာတ်လမ်းကိုမှ တေးဂီတရုပ်ရှင် ဖြစ်နေခြင်းပေတည်း။ မင်းသား၊ မင်းသမီးမှာ ပြည်လှဖေနှင့် မေရှင်တို့ဖြစ်ရာ ထိပ်တန်းအဆိုတော်စုံတွဲဖြစ်နေ၍လည်း ပို၍ ထူးခြားသည်။ ဇာတ်ဝင်ခန်းတိုင်း အံဝင်ခွင်ကျ တေးဂီတများကို သီဆိုသရုပ်ဆောင်ဖော်ကျူးခဲ့ကြသည်။ စောင်းတော်ရှင် ဇာတ်ဝင်တေးများကို မင်းသားသိန်းဇော်က တေးစီးရီး သီဆိုထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ==တိုင်းပြည်ဝန်ထမ်းဘဝ== ပြည်လှဖေသည် ၁၉၄၇ ခုနှစ်တွင် အိန္ဒိယနိုင်ငံသို့ ထွက်ခွာသွား၍ အင်ဂျင်နီယာသိပ္ပံကျောင်းတက်ခဲ့ပြီး ပြန်လာသောအခါ ရုပ်ရှင်၊ ဂီတ၊ အနုပညာအလုပ်ကို လုံးဝမလုပ်တော့ဘဲ တပ်မတော်တွင်း ဝင်သွားသည်။ နှစ်ပေါင်း(၂၀)ကျော် အမှုထမ်းပြီး ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီးအဆင့်အထိ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ထို့နောက် မြေယာကျေးလက်ကော်ပိုရေးရှင်းတွင် အထူးအရာရှိ (စက်မှုလယ်ယာ) အဖြစ် ပြောင်းရွေ့အမှုထမ်းရသည်။ ယင်းနောက်တွင် အမှတ်(၂) စက်မှုဝန်ကြီးဌာနနှင့် ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာနတို့တွင် ဒုတိယဝန်ကြီးအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ ==ဘဝနိဂုံး== ပြည်လှဖေသည် ကျန်းမာရေးချို့ယွင်းလာသဖြင့် အင်္ဂလန်နိုင်ငံတွင် ဆေးသွားကုရာ ၁၄.၀၃.၁၉၉၀ အင်္ဂလန်မှာပင် ကွယ်လွန်အနိစ္စရောက်ခဲ့ရလေသည်။ ၁၆.၀၃.၁၉၉၀ ရက်နေ့တွင် ထိုနိုင်ငံ၌ပင် သင်္ဂြိုဟ်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == {{reflist}} * ခင်နှင်းယု၏ ဘကြီးမှိုင်းနှင့် စောင်းတော်ရှင် ဆောင်းပါး၊၁၉၇၂ ခု၊ မတ်လထုတ် ရှုမဝ၊ * စိန်သွေး၏ ရုပ်ရှင်မင်းသားကြီး ပြည်လှဖေ ၁၉၉၁ ခု၊ ဖေဖော်ဝါရီထုတ် မြဝတီ၊ * သန်းလှိုင် ပထမခေတ်ဟောင်းသီချင်းပေါင်းချုပ် {{DEFAULTSORT:လှဖေ၊ ပြည်}} [[Category:မြန်မာ အမျိုးသား အဆိုတော်များ]] [[ကဏ္ဍ:၁၉၉၀ ကွယ်လွန်သူများ]] 88unanceijyax0pil8wed8x0sbppuhw 1040571 1040570 2026-06-24T13:53:08Z ~2026-31129-83 143167 /* အဆိုတော်ဘဝ */ 1040571 wikitext text/x-wiki {{copyedit/doc}}<ref name=":0">ပြည်လှဖေနှင့် တွေ့ဆုံခြင်း သတင်း‌ောင်းပါး၊ ‌ောင်သက်ကြူ၊ ၁၉၉၄ ရွှေအမြူတေမဂ္ဂဇင်း။</ref>{{Infobox person|name=ပြည်လှဖေ|birth_date=၁၉၁၂|death_date={{death date and age | ၁၉၉၀ | ၃ | ၁၄ | ၁၉၁၂ | ၆ | ၂ | }}|birth_place=ပြည်မြို့၊ ပဲခူးတိုင်း၊ ဗြိတိသျှဘားမား|birth_name=လှဖေ|citizenship=မြန်မာ|death_cause=ကင်ဆာ|death_place=လန်ဒန်မြို့|education=အင်ဂျင်နီယာ|ethnicity=ဗမာ|parents=ဦးခူး၊ ဒေါ်ကြင်စီ|resting_place=လန်ဒန်မြို့၊ အင်္ဂလန်နိုင်ငံ|years_active=၁၉၃၆-၁၉၄၇|occupation=ဓာတ်ပြားအဆိုတော်၊ ရုပ်ရှင်မင်းသား၊ တယောအတီးသမား၊ တူရိယာအဖွဲ့အုပ်ချုပ်သူ၊ တပ်မတော်အင်ဂျင်နီယာ ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး၊ ဝါဇီစက်ရုံမှူး၊ စက်မှုလယ်ယာအရာရှိ၊ ဒုတိယဝန်ကြီး၊|home_town=ပြည်မြို့|known_for=အဆိုတော်|nationality=မြန်မာ|native_name=လှဖေ|native_name_lang=မြန်မာ|residence=ရန်ကုန်|image=P HlaBay.jpg}} ပြည်လှဖေ (၁၉၁၂ - ၁၉၉၀) သည် မြန်မာ့ဂီတလောကတွင် ထင်ရှားခဲ့သော ဓာတ်ပြားအဆိုတော်၊ ရုပ်ရှင်မင်းသားတစ်ဦးဖြစ်သည်။ ==ငယ်ဘဝ== မြန်မာသက္ကရာဇ် (၁၂၇၄)ခုနှစ်၊ ပြည်မြို့၊ ကြိုးတန်းရပ်တွင် မွေးဖွားသည်။ မိဘများမှာ အရေးပိုင် ဦးခူးနှင့် ဒေါ်ကြင်စီတို့ဖြစ်ပြီး သား(၄)ယောက်၊ သမီး(၂)ယောက်အနက် တတိယသားဖြစ်သည်။ ငယ်စဉ်ကတည်းက အနုပညာဝါသနာကြီးခဲ့ပြီး ပြည်မြို့မှ နာမည်ကျော် ပညာရှင်ကြီးများ၏ ပညာရည်နို့ကို သောက်စို့ခဲ့ရသည်။ ပြည်လှဖေတို့ ညီအကိုလေးယောက်လုံး ဂီတဝါသနာကြီးကြသည်။ အကိုအကြီးဆုံး ကိုလှငွေမှာ ဘင်ဂျိုအတီးကောင်းပြီး အကိုလတ် ကိုလှရွှေမှာ တယောနှင့်ဆိုင်းဝိုင်းကို အတော်အသင့် နိုင်နင်းသည်။ ပြည်လှဖေ ကိုယ်တိုင်ကလည်း ပြည်မြို့မှာ နေစဉ်ကတည်းက တယောထိုးတတ်ခဲ့သည်။ ပြည်မြို့တွင် (၁၀)တန်းအောင်သည်အထိ ကျောင်းနေခဲ့သည်။ ==အဆိုတော်ဘဝ== ပြည်လှဖေသည် တက္ကသိုလ်တက်ရန် ရန်ကုန်သို့လာရင်း တက္ကသိုလ်မရောက်ဘဲ အေဝမ်းကုမ္ပဏီမှ သူငယ်ချင်း ကိုတင်မောင်နှင့် တွေ့ဆုံရာမှ အေဝမ်းကုမ္ပဏီ၏ လခစားဖြစ်ခဲ့သည်။ ၁၉၃၆ ခုနှစ်မှစတင်၍ အေဝမ်းတူရိယာအဖွဲ့အုပ်ချုပ်သူအဖြစ် လုပ်ကိုင်၍ စန္ဒရား အေဝမ်းခင်မောင်တို့နှင့်အတူ အသံတိတ်ဇာတ်ကားများ၌ တီးမှုတ်ကြရသည်။ ၁၉၃၈ ခုနှစ် သဘင်ဝန်ဓာတ်ပြား ထုတ်လုပ်သောအခါ ဓာတ်ပြားအဆိုတော်ဖြစ်လာသည်။ ၁၉၃၉ မှစ၍ ပြည်လှဖေအမည်မှာ ကျော်ကြားခဲ့သည်။ လစဉ်ထုတ် အေဝမ်းသဘင်ဝန် ဓာတ်ပြားများ၌ တစ်ဦးချင်းအဆို၊ စုံတွဲအဆိုတို့ အဆက်မပြတ် လစဉ်ထုတ်ဝေဖြန့်ချိကာ ပြည်သူတို့အသည်းစွဲ အဆိုကျော်ဖြစ်လာသည်။ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း ကြိုက်သော အဆိုတော် ဖြစ်သည်။ သက်ဝေသီချင်း မှာလည်း ဗိုလ်ချုပ် ဒေါ်ခင်ကြည် မင်္ဂလာဆောင် ဘိသိက်သီချင်း ဖြစ်ခဲ့သည်။ ရုပ်ရှင်မင်းသမီး အဆိုကျော် မေရှင်မှာ ပြည်လှဖေနှင့် တွဲဖက်အဆိုစုံတွဲ ဖြစ်ခဲ့သည်။ ကဉ္စနာသီချင်း မှာ ပြည်လှဖေ ကိုယ်တိုင်က အကြိုက်ဆုံးသီချင်းဟုဆိုသည်။ <ref name=":0" /> ==ဓာတ်ပြားသီချင်းများ== # ကဉ္စန၊ [[ရွှေပြည်အေး]]၊ ၁၉၄၀ ဇွန်လ # ခေတ်ပြောင်းချိန်၊ သဟာယဆရာတင်၊ # ချစ်ညွှတ်ကွင်း၊ (မေရှင် နှင့်) # ချစ်ဗျူဟာ၊ အေဝမ်းဆရာညှာ (မေရှင် နှင့်) # ချစ်မိုးစွေ၊ [[ရွှေပြည်အေး]]၊ ၁၉၄၁ ဩဂုတ်လ # ချစ်မှာလား၊ သဟာယဆရာတင်၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၀ နိုဝင်ဘာလ # ချစ်သဲစွဲ၊ စန်းသော်တာ၊ (မေရှင် နှင့်) # ဂုဏ်တော်ဖွင့်၊ [[အေဝမ်းဆရာညှာ]] ၊ ၁၉၃၉ ဇူလိုင်လ # ဂုဏ်မြင့်သူ၊ [[သဟာယ ဆရာတင်]]၊ ၁၉၃၉ နိုဝင်ဘာလ # ဇွဲ ၊ [[မြကလောင်]]၊ ၁၉၄၁ စက်တင်ဘာလ # နဂါးနိုင်မင်း၊ [[ဂျူဗလီစိန်]]၊ ၁၉၄၀ ‌အောက်တိုဘာလ # နတ်သျှင်နောင်၊ [[မြို့မငြိမ်း]]၊ ၁၉၄၁ ဧပြီလ # နန်းကေသီ၊ ရွှေပြည်အေး၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၀ ဩဂုတ်လ # နွဲ့မျိုးစုံ၊ မြို့မငြိမ်း၊ (တင်တင်အေး နှင့်)၊ ၁၉၃၉ ‌ေ အောက်တိုဘာလ # ပပဝင်းဝင်း၊ စိန်ဝေလျှံ၊ ၁၉၄၁ နိုဝင်ဘာလ # ဖုတ်သွင်းရထား၊ သဟာယဆရာတင်၊ ၁၉၄၁ ဇူလိုင်လ # မာနရှင် ၊ [[သဟာယ ဆရာတင်]]၊ ၁၉၄၁ ‌ ဖေ ဖော်ဝါရီလ # မေ့ပါနိုင် ၊ [[မြို့မငြိမ်း]]၊ ၁၉၄၁ ဇွန်လ # မင်းမဟာဂီရိ၊ [[ဂျူဗလီစိန်]] # မောင့်အချစ်တော်၊ ဝိုင်အမ်ဘီဆရာတင်၊ # မေတ္တာဂုဏ်၊ [[အေဝမ်းဆရာညှာ]]၊ ၁၉၄၀ ဒီဇင်ဘာလ # မိန်ရာသီ၊ ရန်နိုင်စိန်၊ (မေရှင် နှင့်) ၁၉၃၈ ဇူလိုင်လ # [[ရဲရဲတောက် တို့ဗမာ]]၊ # ရှေးကုသိုလ်၊ ရွှေပြည်အေး၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၁ ဇန္နဝါရီလ # ရှေးရေစက်၊ ရွှေတိုင်ညွန့်၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၀ ဇန္နဝါရီလ # ရှင်သီဝလိ၊[[ စစ်ကိုင်း ဆရာကြည်]]၊ ၁၉၄၀ မေလ # ရွှေတံငါ၊ [[စန်းသော်တာ]]၊ ၁၉၃၉ ဒီဇင်ဘာလ # သုဝဏ္ဏသျှံ၊ [[အေဝမ်းဆရာညှာ]]၊ ၁၉၄၁ မတ်လ # သက်ဝေ၊ မြို့မငြိမ်း၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၁ ‌မေလ # အောင်လံတော်၊ ဝိုင်အမ်ဘီဆရာတင်၊ (တင်တင်အေး နှင့်) # ဣန္ဒာနွယ်၊ ဂျူဘလီစိန်၊ ==မင်းသားဘဝ== ဒုတိယကမ္ဘာစစ်ပြီးစ ပြဇာတ်ခေတ် ဂျုဘလီဟောတွင် ဒါရိုက်တာ မောင်တင်မောင် စီစဉ်မှုဖြင့် စန္ဒကိန္နရီ ပြဇာတ်ကို အေးကြူ၊ မေရှင်၊ မေသစ် တို့နှင့် တွဲဖက်ကပြခဲ့ရာ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း လာရောက်ကြည့်ရှု အားပေး ချီးကျူး ခဲ့သည်။ ပြည်လှဖေသည် ရုပ်ရှင်မင်းသားအဖြစ် စောင်းတော်ရှင် နှင့် ကပ္ပလီ ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကား နှစ်ကား၌သာ ပါဝင် သရုပ်ဆောင်ခဲ့ပြီး သူ၏ သရုပ်ဆောင်မှုမှာလည်း နှစ်ကားဆို ဆိုသလောက် ထူးချွန် ပြောင်မြောက်ခဲ့သည်။ စစ်ပြီးခေတ်တွင် အေဝမ်းရုပ်ရှင် အသိုက် အဝန်းဖြစ်သော လျှပ်စစ် ရုပ်ရှင်မှ ဒါရိုက်တာမောင်တင်ယု ရိုက်ကူးသော ကပ္ပလီ ဇာတ်ကားတွင် မောင်တင်မောင် (အေဝမ်း ဦးတင်မောင်)နှင့်အတူ ပါဝင် ရိုက်ကူး ခဲ့သေးသည်။ အဆိုတော်ကြီး ပြည်လှဖေသည် စောင်းတော်ရှင် ဇာတ်ကား တစ်ကား တည်းဖြင့်ပင် အဓိက သရုပ်ဆောင် မင်းသားကောင်း တစ်ဦးအဖြစ် ပြောင်မြောက်စွာ စွမ်းဆောင်ခဲ့လေသည်။ ==စောင်းတော်ရှင် ဇာတ်ကားအကျဉ်းချုပ်== စောင်းတော်ရှင်ဇာတ်ကားမှာ လူအများသိကြသည့် ဦးရှင်ကြီး ဇာတ်လမ်းဖြစ်၏။ မောင်ရှင်၏မိခင်မှာ သားဖြစ်သူ ရှင်ပြုရန် ငွေရှာအသွား အစ်မဖြစ်သူက ဓနရှင်ပီပီငေါက်ထုတ်လိုက်၏။ မောင်ရှင်မှာ အဒေါ်ဖြစ်သူအပေါ် စိတ်ကွက်သွားလေ၏။ သို့နှင့် ဆင်းရဲသားသားအမိမှာ မျက်နှာငယ်နှင့် ပြန်လာခဲ့ကြသည်။ မောင်ရှင်သည် မိခင်တားသည့်ကြားက ကိုယ့်အားကိုယ်ကိုးကာ ထင်းခုတ်သွားသော လှေတွင်အလုပ်သမားအဖြစ် လိုက်ပါသွားလေသည်။ မိန်းမလှကျွန်းရောက်ပြီး လှေသူကြီးနှင့် လှေထိုးသားများက မောင်ရှင်ကို လှေစောင့်အဖြစ် ထမင်းချက်ရန် လှေပေါ်တွင် ထား၍ထင်းခုတ်သွားကြသည်။ မိန်းမလှကျွန်းတွင် မိန်းမလှနတ်များကြီးစိုး၍ မောင်ရှင့်အနေဖြင့် လုံးဝသီချင်းမဆိုရန်၊ မတီးမမှုတ်ရန် မှာခဲ့သည်။ အနုပညာသမား မောင်ရှင်မှာ ဝှက်ယူလာသော လက်စွဲတော်စောင်းလေးထုတ်၍ တီးတော့သည်။ စောင်းတီးခတ် သီချင်းဆိုလိုက်သည်နှင့် မိန်းမလှကျွန်းစောင့် နတ်သမီးလေးများပေါ်လာကာ မောင်ရှင်၏ဂီတတွင် နစ်မျောကခုန်ကြ၏။ ထင်းခုတ်နေစဉ်ရက်များအတွင်း မောင်ရှင်၏ဂီတဖြင့် နတ်သမီးများ နေ့တိုင်းပျော်ပါးနေကြပြီး မောင်ရှင်ကို စွဲလမ်းနှစ်သက်နေကြတော့သည်။ သို့နှင့် ထင်းခုတ်ကိစ္စပြီး၍ မောင်ရှင်တို့ လှေပြန်အလှည့်တွင် နတ်သမီးလေးများက လှေကိုမထွက်နိုင်အောင် ဆွဲထားကြသည်။ လှေသူကြီးသည် သူတို့ထုံးစံအတိုင်း မည်သူ့ကြောင့် လှေမထွက်နိုင်သည်ကို မဲချရာတွင် ကံဆိုးသူမောင်ရှင် မဲကျလေတော့သည်။ မောင်ရှင်အား ရေတွင် အရှင်လတ်လတ်ချရစ်ကာ လှေထွက်သွားသည်။ နတ်သမီးကလေးများက မောင်ရှင်အားပွေ့ယူကာ ကျွန်းပေါ်သို့ ခေါ်သွားကြသည်။ မောင်ရှင်သည် အရှင်လတ်လတ်ပင် နတ်စိမ်း ဖြစ်သွားသည်။ ပြည်လှဖေ ပါဝင်သော စောင်းတော်ရှင် ဇာတ်ကားကိုလည်း တေးဂီတဇာတ်ကား(Musical Film)ဟု ခေါ်ရပေမည်။ ပို၍ထူးခြားသည်က ရာဇဝင်ဇာတ်လမ်းကိုမှ တေးဂီတရုပ်ရှင် ဖြစ်နေခြင်းပေတည်း။ မင်းသား၊ မင်းသမီးမှာ ပြည်လှဖေနှင့် မေရှင်တို့ဖြစ်ရာ ထိပ်တန်းအဆိုတော်စုံတွဲဖြစ်နေ၍လည်း ပို၍ ထူးခြားသည်။ ဇာတ်ဝင်ခန်းတိုင်း အံဝင်ခွင်ကျ တေးဂီတများကို သီဆိုသရုပ်ဆောင်ဖော်ကျူးခဲ့ကြသည်။ စောင်းတော်ရှင် ဇာတ်ဝင်တေးများကို မင်းသားသိန်းဇော်က တေးစီးရီး သီဆိုထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ==တိုင်းပြည်ဝန်ထမ်းဘဝ== ပြည်လှဖေသည် ၁၉၄၇ ခုနှစ်တွင် အိန္ဒိယနိုင်ငံသို့ ထွက်ခွာသွား၍ အင်ဂျင်နီယာသိပ္ပံကျောင်းတက်ခဲ့ပြီး ပြန်လာသောအခါ ရုပ်ရှင်၊ ဂီတ၊ အနုပညာအလုပ်ကို လုံးဝမလုပ်တော့ဘဲ တပ်မတော်တွင်း ဝင်သွားသည်။ နှစ်ပေါင်း(၂၀)ကျော် အမှုထမ်းပြီး ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီးအဆင့်အထိ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ထို့နောက် မြေယာကျေးလက်ကော်ပိုရေးရှင်းတွင် အထူးအရာရှိ (စက်မှုလယ်ယာ) အဖြစ် ပြောင်းရွေ့အမှုထမ်းရသည်။ ယင်းနောက်တွင် အမှတ်(၂) စက်မှုဝန်ကြီးဌာနနှင့် ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာနတို့တွင် ဒုတိယဝန်ကြီးအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ ==ဘဝနိဂုံး== ပြည်လှဖေသည် ကျန်းမာရေးချို့ယွင်းလာသဖြင့် အင်္ဂလန်နိုင်ငံတွင် ဆေးသွားကုရာ ၁၄.၀၃.၁၉၉၀ အင်္ဂလန်မှာပင် ကွယ်လွန်အနိစ္စရောက်ခဲ့ရလေသည်။ ၁၆.၀၃.၁၉၉၀ ရက်နေ့တွင် ထိုနိုင်ငံ၌ပင် သင်္ဂြိုဟ်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == {{reflist}} * ခင်နှင်းယု၏ ဘကြီးမှိုင်းနှင့် စောင်းတော်ရှင် ဆောင်းပါး၊၁၉၇၂ ခု၊ မတ်လထုတ် ရှုမဝ၊ * စိန်သွေး၏ ရုပ်ရှင်မင်းသားကြီး ပြည်လှဖေ ၁၉၉၁ ခု၊ ဖေဖော်ဝါရီထုတ် မြဝတီ၊ * သန်းလှိုင် ပထမခေတ်ဟောင်းသီချင်းပေါင်းချုပ် {{DEFAULTSORT:လှဖေ၊ ပြည်}} [[Category:မြန်မာ အမျိုးသား အဆိုတော်များ]] [[ကဏ္ဍ:၁၉၉၀ ကွယ်လွန်သူများ]] t85ausnsiofego1v7y7ndhmavr2s7vh 1040572 1040571 2026-06-24T13:54:02Z ~2026-31129-83 143167 /* အဆိုတော်ဘဝ */ 1040572 wikitext text/x-wiki {{copyedit/doc}}<ref name=":0">ပြည်လှဖေနှင့် တွေ့ဆုံခြင်း သတင်း‌ောင်းပါး၊ ‌ောင်သက်ကြူ၊ ၁၉၉၄ ရွှေအမြူတေမဂ္ဂဇင်း။</ref>{{Infobox person|name=ပြည်လှဖေ|birth_date=၁၉၁၂|death_date={{death date and age | ၁၉၉၀ | ၃ | ၁၄ | ၁၉၁၂ | ၆ | ၂ | }}|birth_place=ပြည်မြို့၊ ပဲခူးတိုင်း၊ ဗြိတိသျှဘားမား|birth_name=လှဖေ|citizenship=မြန်မာ|death_cause=ကင်ဆာ|death_place=လန်ဒန်မြို့|education=အင်ဂျင်နီယာ|ethnicity=ဗမာ|parents=ဦးခူး၊ ဒေါ်ကြင်စီ|resting_place=လန်ဒန်မြို့၊ အင်္ဂလန်နိုင်ငံ|years_active=၁၉၃၆-၁၉၄၇|occupation=ဓာတ်ပြားအဆိုတော်၊ ရုပ်ရှင်မင်းသား၊ တယောအတီးသမား၊ တူရိယာအဖွဲ့အုပ်ချုပ်သူ၊ တပ်မတော်အင်ဂျင်နီယာ ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး၊ ဝါဇီစက်ရုံမှူး၊ စက်မှုလယ်ယာအရာရှိ၊ ဒုတိယဝန်ကြီး၊|home_town=ပြည်မြို့|known_for=အဆိုတော်|nationality=မြန်မာ|native_name=လှဖေ|native_name_lang=မြန်မာ|residence=ရန်ကုန်|image=P HlaBay.jpg}} ပြည်လှဖေ (၁၉၁၂ - ၁၉၉၀) သည် မြန်မာ့ဂီတလောကတွင် ထင်ရှားခဲ့သော ဓာတ်ပြားအဆိုတော်၊ ရုပ်ရှင်မင်းသားတစ်ဦးဖြစ်သည်။ ==ငယ်ဘဝ== မြန်မာသက္ကရာဇ် (၁၂၇၄)ခုနှစ်၊ ပြည်မြို့၊ ကြိုးတန်းရပ်တွင် မွေးဖွားသည်။ မိဘများမှာ အရေးပိုင် ဦးခူးနှင့် ဒေါ်ကြင်စီတို့ဖြစ်ပြီး သား(၄)ယောက်၊ သမီး(၂)ယောက်အနက် တတိယသားဖြစ်သည်။ ငယ်စဉ်ကတည်းက အနုပညာဝါသနာကြီးခဲ့ပြီး ပြည်မြို့မှ နာမည်ကျော် ပညာရှင်ကြီးများ၏ ပညာရည်နို့ကို သောက်စို့ခဲ့ရသည်။ ပြည်လှဖေတို့ ညီအကိုလေးယောက်လုံး ဂီတဝါသနာကြီးကြသည်။ အကိုအကြီးဆုံး ကိုလှငွေမှာ ဘင်ဂျိုအတီးကောင်းပြီး အကိုလတ် ကိုလှရွှေမှာ တယောနှင့်ဆိုင်းဝိုင်းကို အတော်အသင့် နိုင်နင်းသည်။ ပြည်လှဖေ ကိုယ်တိုင်ကလည်း ပြည်မြို့မှာ နေစဉ်ကတည်းက တယောထိုးတတ်ခဲ့သည်။ ပြည်မြို့တွင် (၁၀)တန်းအောင်သည်အထိ ကျောင်းနေခဲ့သည်။ ==အဆိုတော်ဘဝ== ပြည်လှဖေသည် တက္ကသိုလ်တက်ရန် ရန်ကုန်သို့လာရင်း တက္ကသိုလ်မရောက်ဘဲ အေဝမ်းကုမ္ပဏီမှ သူငယ်ချင်း ကိုတင်မောင်နှင့် တွေ့ဆုံရာမှ အေဝမ်းကုမ္ပဏီ၏ လခစားဖြစ်ခဲ့သည်။ ၁၉၃၆ ခုနှစ်မှစတင်၍ အေဝမ်းတူရိယာအဖွဲ့အုပ်ချုပ်သူအဖြစ် လုပ်ကိုင်၍ စန္ဒရား အေဝမ်းခင်မောင်တို့နှင့်အတူ အသံတိတ်ဇာတ်ကားများ၌ တီးမှုတ်ကြရသည်။ ၁၉၃၈ ခုနှစ် သဘင်ဝန်ဓာတ်ပြား ထုတ်လုပ်သောအခါ ဓာတ်ပြားအဆိုတော်ဖြစ်လာသည်။ ၁၉၃၉ မှစ၍ ပြည်လှဖေအမည်မှာ ကျော်ကြားခဲ့သည်။ လစဉ်ထုတ် အေဝမ်းသဘင်ဝန် ဓာတ်ပြားများ၌ တစ်ဦးချင်းအဆို၊ စုံတွဲအဆိုတို့ အဆက်မပြတ် လစဉ်ထုတ်ဝေဖြန့်ချိကာ ပြည်သူတို့အသည်းစွဲ အဆိုကျော်ဖြစ်လာသည်။ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း ကြိုက်သော အဆိုတော် ဖြစ်သည်။ သက်ဝေသီချင်း မှာလည်း ဗိုလ်ချုပ် နှင့် ဒေါ်ခင်ကြည် မင်္ဂလာဆောင် ဘိသိက်သီချင်း ဖြစ်ခဲ့သည်။ ရုပ်ရှင်မင်းသမီး အဆိုကျော် မေရှင်မှာ ပြည်လှဖေနှင့် တွဲဖက်အဆိုစုံတွဲ ဖြစ်ခဲ့သည်။ ကဉ္စနာသီချင်း မှာ ပြည်လှဖေ ကိုယ်တိုင်က အကြိုက်ဆုံးသီချင်းဟုဆိုသည်။ <ref name=":0" /> ==ဓာတ်ပြားသီချင်းများ== # ကဉ္စန၊ [[ရွှေပြည်အေး]]၊ ၁၉၄၀ ဇွန်လ # ခေတ်ပြောင်းချိန်၊ သဟာယဆရာတင်၊ # ချစ်ညွှတ်ကွင်း၊ (မေရှင် နှင့်) # ချစ်ဗျူဟာ၊ အေဝမ်းဆရာညှာ (မေရှင် နှင့်) # ချစ်မိုးစွေ၊ [[ရွှေပြည်အေး]]၊ ၁၉၄၁ ဩဂုတ်လ # ချစ်မှာလား၊ သဟာယဆရာတင်၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၀ နိုဝင်ဘာလ # ချစ်သဲစွဲ၊ စန်းသော်တာ၊ (မေရှင် နှင့်) # ဂုဏ်တော်ဖွင့်၊ [[အေဝမ်းဆရာညှာ]] ၊ ၁၉၃၉ ဇူလိုင်လ # ဂုဏ်မြင့်သူ၊ [[သဟာယ ဆရာတင်]]၊ ၁၉၃၉ နိုဝင်ဘာလ # ဇွဲ ၊ [[မြကလောင်]]၊ ၁၉၄၁ စက်တင်ဘာလ # နဂါးနိုင်မင်း၊ [[ဂျူဗလီစိန်]]၊ ၁၉၄၀ ‌အောက်တိုဘာလ # နတ်သျှင်နောင်၊ [[မြို့မငြိမ်း]]၊ ၁၉၄၁ ဧပြီလ # နန်းကေသီ၊ ရွှေပြည်အေး၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၀ ဩဂုတ်လ # နွဲ့မျိုးစုံ၊ မြို့မငြိမ်း၊ (တင်တင်အေး နှင့်)၊ ၁၉၃၉ ‌ေ အောက်တိုဘာလ # ပပဝင်းဝင်း၊ စိန်ဝေလျှံ၊ ၁၉၄၁ နိုဝင်ဘာလ # ဖုတ်သွင်းရထား၊ သဟာယဆရာတင်၊ ၁၉၄၁ ဇူလိုင်လ # မာနရှင် ၊ [[သဟာယ ဆရာတင်]]၊ ၁၉၄၁ ‌ ဖေ ဖော်ဝါရီလ # မေ့ပါနိုင် ၊ [[မြို့မငြိမ်း]]၊ ၁၉၄၁ ဇွန်လ # မင်းမဟာဂီရိ၊ [[ဂျူဗလီစိန်]] # မောင့်အချစ်တော်၊ ဝိုင်အမ်ဘီဆရာတင်၊ # မေတ္တာဂုဏ်၊ [[အေဝမ်းဆရာညှာ]]၊ ၁၉၄၀ ဒီဇင်ဘာလ # မိန်ရာသီ၊ ရန်နိုင်စိန်၊ (မေရှင် နှင့်) ၁၉၃၈ ဇူလိုင်လ # [[ရဲရဲတောက် တို့ဗမာ]]၊ # ရှေးကုသိုလ်၊ ရွှေပြည်အေး၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၁ ဇန္နဝါရီလ # ရှေးရေစက်၊ ရွှေတိုင်ညွန့်၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၀ ဇန္နဝါရီလ # ရှင်သီဝလိ၊[[ စစ်ကိုင်း ဆရာကြည်]]၊ ၁၉၄၀ မေလ # ရွှေတံငါ၊ [[စန်းသော်တာ]]၊ ၁၉၃၉ ဒီဇင်ဘာလ # သုဝဏ္ဏသျှံ၊ [[အေဝမ်းဆရာညှာ]]၊ ၁၉၄၁ မတ်လ # သက်ဝေ၊ မြို့မငြိမ်း၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၁ ‌မေလ # အောင်လံတော်၊ ဝိုင်အမ်ဘီဆရာတင်၊ (တင်တင်အေး နှင့်) # ဣန္ဒာနွယ်၊ ဂျူဘလီစိန်၊ ==မင်းသားဘဝ== ဒုတိယကမ္ဘာစစ်ပြီးစ ပြဇာတ်ခေတ် ဂျုဘလီဟောတွင် ဒါရိုက်တာ မောင်တင်မောင် စီစဉ်မှုဖြင့် စန္ဒကိန္နရီ ပြဇာတ်ကို အေးကြူ၊ မေရှင်၊ မေသစ် တို့နှင့် တွဲဖက်ကပြခဲ့ရာ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း လာရောက်ကြည့်ရှု အားပေး ချီးကျူး ခဲ့သည်။ ပြည်လှဖေသည် ရုပ်ရှင်မင်းသားအဖြစ် စောင်းတော်ရှင် နှင့် ကပ္ပလီ ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကား နှစ်ကား၌သာ ပါဝင် သရုပ်ဆောင်ခဲ့ပြီး သူ၏ သရုပ်ဆောင်မှုမှာလည်း နှစ်ကားဆို ဆိုသလောက် ထူးချွန် ပြောင်မြောက်ခဲ့သည်။ စစ်ပြီးခေတ်တွင် အေဝမ်းရုပ်ရှင် အသိုက် အဝန်းဖြစ်သော လျှပ်စစ် ရုပ်ရှင်မှ ဒါရိုက်တာမောင်တင်ယု ရိုက်ကူးသော ကပ္ပလီ ဇာတ်ကားတွင် မောင်တင်မောင် (အေဝမ်း ဦးတင်မောင်)နှင့်အတူ ပါဝင် ရိုက်ကူး ခဲ့သေးသည်။ အဆိုတော်ကြီး ပြည်လှဖေသည် စောင်းတော်ရှင် ဇာတ်ကား တစ်ကား တည်းဖြင့်ပင် အဓိက သရုပ်ဆောင် မင်းသားကောင်း တစ်ဦးအဖြစ် ပြောင်မြောက်စွာ စွမ်းဆောင်ခဲ့လေသည်။ ==စောင်းတော်ရှင် ဇာတ်ကားအကျဉ်းချုပ်== စောင်းတော်ရှင်ဇာတ်ကားမှာ လူအများသိကြသည့် ဦးရှင်ကြီး ဇာတ်လမ်းဖြစ်၏။ မောင်ရှင်၏မိခင်မှာ သားဖြစ်သူ ရှင်ပြုရန် ငွေရှာအသွား အစ်မဖြစ်သူက ဓနရှင်ပီပီငေါက်ထုတ်လိုက်၏။ မောင်ရှင်မှာ အဒေါ်ဖြစ်သူအပေါ် စိတ်ကွက်သွားလေ၏။ သို့နှင့် ဆင်းရဲသားသားအမိမှာ မျက်နှာငယ်နှင့် ပြန်လာခဲ့ကြသည်။ မောင်ရှင်သည် မိခင်တားသည့်ကြားက ကိုယ့်အားကိုယ်ကိုးကာ ထင်းခုတ်သွားသော လှေတွင်အလုပ်သမားအဖြစ် လိုက်ပါသွားလေသည်။ မိန်းမလှကျွန်းရောက်ပြီး လှေသူကြီးနှင့် လှေထိုးသားများက မောင်ရှင်ကို လှေစောင့်အဖြစ် ထမင်းချက်ရန် လှေပေါ်တွင် ထား၍ထင်းခုတ်သွားကြသည်။ မိန်းမလှကျွန်းတွင် မိန်းမလှနတ်များကြီးစိုး၍ မောင်ရှင့်အနေဖြင့် လုံးဝသီချင်းမဆိုရန်၊ မတီးမမှုတ်ရန် မှာခဲ့သည်။ အနုပညာသမား မောင်ရှင်မှာ ဝှက်ယူလာသော လက်စွဲတော်စောင်းလေးထုတ်၍ တီးတော့သည်။ စောင်းတီးခတ် သီချင်းဆိုလိုက်သည်နှင့် မိန်းမလှကျွန်းစောင့် နတ်သမီးလေးများပေါ်လာကာ မောင်ရှင်၏ဂီတတွင် နစ်မျောကခုန်ကြ၏။ ထင်းခုတ်နေစဉ်ရက်များအတွင်း မောင်ရှင်၏ဂီတဖြင့် နတ်သမီးများ နေ့တိုင်းပျော်ပါးနေကြပြီး မောင်ရှင်ကို စွဲလမ်းနှစ်သက်နေကြတော့သည်။ သို့နှင့် ထင်းခုတ်ကိစ္စပြီး၍ မောင်ရှင်တို့ လှေပြန်အလှည့်တွင် နတ်သမီးလေးများက လှေကိုမထွက်နိုင်အောင် ဆွဲထားကြသည်။ လှေသူကြီးသည် သူတို့ထုံးစံအတိုင်း မည်သူ့ကြောင့် လှေမထွက်နိုင်သည်ကို မဲချရာတွင် ကံဆိုးသူမောင်ရှင် မဲကျလေတော့သည်။ မောင်ရှင်အား ရေတွင် အရှင်လတ်လတ်ချရစ်ကာ လှေထွက်သွားသည်။ နတ်သမီးကလေးများက မောင်ရှင်အားပွေ့ယူကာ ကျွန်းပေါ်သို့ ခေါ်သွားကြသည်။ မောင်ရှင်သည် အရှင်လတ်လတ်ပင် နတ်စိမ်း ဖြစ်သွားသည်။ ပြည်လှဖေ ပါဝင်သော စောင်းတော်ရှင် ဇာတ်ကားကိုလည်း တေးဂီတဇာတ်ကား(Musical Film)ဟု ခေါ်ရပေမည်။ ပို၍ထူးခြားသည်က ရာဇဝင်ဇာတ်လမ်းကိုမှ တေးဂီတရုပ်ရှင် ဖြစ်နေခြင်းပေတည်း။ မင်းသား၊ မင်းသမီးမှာ ပြည်လှဖေနှင့် မေရှင်တို့ဖြစ်ရာ ထိပ်တန်းအဆိုတော်စုံတွဲဖြစ်နေ၍လည်း ပို၍ ထူးခြားသည်။ ဇာတ်ဝင်ခန်းတိုင်း အံဝင်ခွင်ကျ တေးဂီတများကို သီဆိုသရုပ်ဆောင်ဖော်ကျူးခဲ့ကြသည်။ စောင်းတော်ရှင် ဇာတ်ဝင်တေးများကို မင်းသားသိန်းဇော်က တေးစီးရီး သီဆိုထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ==တိုင်းပြည်ဝန်ထမ်းဘဝ== ပြည်လှဖေသည် ၁၉၄၇ ခုနှစ်တွင် အိန္ဒိယနိုင်ငံသို့ ထွက်ခွာသွား၍ အင်ဂျင်နီယာသိပ္ပံကျောင်းတက်ခဲ့ပြီး ပြန်လာသောအခါ ရုပ်ရှင်၊ ဂီတ၊ အနုပညာအလုပ်ကို လုံးဝမလုပ်တော့ဘဲ တပ်မတော်တွင်း ဝင်သွားသည်။ နှစ်ပေါင်း(၂၀)ကျော် အမှုထမ်းပြီး ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီးအဆင့်အထိ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ထို့နောက် မြေယာကျေးလက်ကော်ပိုရေးရှင်းတွင် အထူးအရာရှိ (စက်မှုလယ်ယာ) အဖြစ် ပြောင်းရွေ့အမှုထမ်းရသည်။ ယင်းနောက်တွင် အမှတ်(၂) စက်မှုဝန်ကြီးဌာနနှင့် ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာနတို့တွင် ဒုတိယဝန်ကြီးအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ ==ဘဝနိဂုံး== ပြည်လှဖေသည် ကျန်းမာရေးချို့ယွင်းလာသဖြင့် အင်္ဂလန်နိုင်ငံတွင် ဆေးသွားကုရာ ၁၄.၀၃.၁၉၉၀ အင်္ဂလန်မှာပင် ကွယ်လွန်အနိစ္စရောက်ခဲ့ရလေသည်။ ၁၆.၀၃.၁၉၉၀ ရက်နေ့တွင် ထိုနိုင်ငံ၌ပင် သင်္ဂြိုဟ်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == {{reflist}} * ခင်နှင်းယု၏ ဘကြီးမှိုင်းနှင့် စောင်းတော်ရှင် ဆောင်းပါး၊၁၉၇၂ ခု၊ မတ်လထုတ် ရှုမဝ၊ * စိန်သွေး၏ ရုပ်ရှင်မင်းသားကြီး ပြည်လှဖေ ၁၉၉၁ ခု၊ ဖေဖော်ဝါရီထုတ် မြဝတီ၊ * သန်းလှိုင် ပထမခေတ်ဟောင်းသီချင်းပေါင်းချုပ် {{DEFAULTSORT:လှဖေ၊ ပြည်}} [[Category:မြန်မာ အမျိုးသား အဆိုတော်များ]] [[ကဏ္ဍ:၁၉၉၀ ကွယ်လွန်သူများ]] 13tyttin9rkitiw8idlc5seual7jjox 1040573 1040572 2026-06-24T13:54:36Z ~2026-31129-83 143167 /* မင်းသားဘဝ */ 1040573 wikitext text/x-wiki {{copyedit/doc}}<ref name=":0">ပြည်လှဖေနှင့် တွေ့ဆုံခြင်း သတင်း‌ောင်းပါး၊ ‌ောင်သက်ကြူ၊ ၁၉၉၄ ရွှေအမြူတေမဂ္ဂဇင်း။</ref>{{Infobox person|name=ပြည်လှဖေ|birth_date=၁၉၁၂|death_date={{death date and age | ၁၉၉၀ | ၃ | ၁၄ | ၁၉၁၂ | ၆ | ၂ | }}|birth_place=ပြည်မြို့၊ ပဲခူးတိုင်း၊ ဗြိတိသျှဘားမား|birth_name=လှဖေ|citizenship=မြန်မာ|death_cause=ကင်ဆာ|death_place=လန်ဒန်မြို့|education=အင်ဂျင်နီယာ|ethnicity=ဗမာ|parents=ဦးခူး၊ ဒေါ်ကြင်စီ|resting_place=လန်ဒန်မြို့၊ အင်္ဂလန်နိုင်ငံ|years_active=၁၉၃၆-၁၉၄၇|occupation=ဓာတ်ပြားအဆိုတော်၊ ရုပ်ရှင်မင်းသား၊ တယောအတီးသမား၊ တူရိယာအဖွဲ့အုပ်ချုပ်သူ၊ တပ်မတော်အင်ဂျင်နီယာ ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး၊ ဝါဇီစက်ရုံမှူး၊ စက်မှုလယ်ယာအရာရှိ၊ ဒုတိယဝန်ကြီး၊|home_town=ပြည်မြို့|known_for=အဆိုတော်|nationality=မြန်မာ|native_name=လှဖေ|native_name_lang=မြန်မာ|residence=ရန်ကုန်|image=P HlaBay.jpg}} ပြည်လှဖေ (၁၉၁၂ - ၁၉၉၀) သည် မြန်မာ့ဂီတလောကတွင် ထင်ရှားခဲ့သော ဓာတ်ပြားအဆိုတော်၊ ရုပ်ရှင်မင်းသားတစ်ဦးဖြစ်သည်။ ==ငယ်ဘဝ== မြန်မာသက္ကရာဇ် (၁၂၇၄)ခုနှစ်၊ ပြည်မြို့၊ ကြိုးတန်းရပ်တွင် မွေးဖွားသည်။ မိဘများမှာ အရေးပိုင် ဦးခူးနှင့် ဒေါ်ကြင်စီတို့ဖြစ်ပြီး သား(၄)ယောက်၊ သမီး(၂)ယောက်အနက် တတိယသားဖြစ်သည်။ ငယ်စဉ်ကတည်းက အနုပညာဝါသနာကြီးခဲ့ပြီး ပြည်မြို့မှ နာမည်ကျော် ပညာရှင်ကြီးများ၏ ပညာရည်နို့ကို သောက်စို့ခဲ့ရသည်။ ပြည်လှဖေတို့ ညီအကိုလေးယောက်လုံး ဂီတဝါသနာကြီးကြသည်။ အကိုအကြီးဆုံး ကိုလှငွေမှာ ဘင်ဂျိုအတီးကောင်းပြီး အကိုလတ် ကိုလှရွှေမှာ တယောနှင့်ဆိုင်းဝိုင်းကို အတော်အသင့် နိုင်နင်းသည်။ ပြည်လှဖေ ကိုယ်တိုင်ကလည်း ပြည်မြို့မှာ နေစဉ်ကတည်းက တယောထိုးတတ်ခဲ့သည်။ ပြည်မြို့တွင် (၁၀)တန်းအောင်သည်အထိ ကျောင်းနေခဲ့သည်။ ==အဆိုတော်ဘဝ== ပြည်လှဖေသည် တက္ကသိုလ်တက်ရန် ရန်ကုန်သို့လာရင်း တက္ကသိုလ်မရောက်ဘဲ အေဝမ်းကုမ္ပဏီမှ သူငယ်ချင်း ကိုတင်မောင်နှင့် တွေ့ဆုံရာမှ အေဝမ်းကုမ္ပဏီ၏ လခစားဖြစ်ခဲ့သည်။ ၁၉၃၆ ခုနှစ်မှစတင်၍ အေဝမ်းတူရိယာအဖွဲ့အုပ်ချုပ်သူအဖြစ် လုပ်ကိုင်၍ စန္ဒရား အေဝမ်းခင်မောင်တို့နှင့်အတူ အသံတိတ်ဇာတ်ကားများ၌ တီးမှုတ်ကြရသည်။ ၁၉၃၈ ခုနှစ် သဘင်ဝန်ဓာတ်ပြား ထုတ်လုပ်သောအခါ ဓာတ်ပြားအဆိုတော်ဖြစ်လာသည်။ ၁၉၃၉ မှစ၍ ပြည်လှဖေအမည်မှာ ကျော်ကြားခဲ့သည်။ လစဉ်ထုတ် အေဝမ်းသဘင်ဝန် ဓာတ်ပြားများ၌ တစ်ဦးချင်းအဆို၊ စုံတွဲအဆိုတို့ အဆက်မပြတ် လစဉ်ထုတ်ဝေဖြန့်ချိကာ ပြည်သူတို့အသည်းစွဲ အဆိုကျော်ဖြစ်လာသည်။ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း ကြိုက်သော အဆိုတော် ဖြစ်သည်။ သက်ဝေသီချင်း မှာလည်း ဗိုလ်ချုပ် နှင့် ဒေါ်ခင်ကြည် မင်္ဂလာဆောင် ဘိသိက်သီချင်း ဖြစ်ခဲ့သည်။ ရုပ်ရှင်မင်းသမီး အဆိုကျော် မေရှင်မှာ ပြည်လှဖေနှင့် တွဲဖက်အဆိုစုံတွဲ ဖြစ်ခဲ့သည်။ ကဉ္စနာသီချင်း မှာ ပြည်လှဖေ ကိုယ်တိုင်က အကြိုက်ဆုံးသီချင်းဟုဆိုသည်။ <ref name=":0" /> ==ဓာတ်ပြားသီချင်းများ== # ကဉ္စန၊ [[ရွှေပြည်အေး]]၊ ၁၉၄၀ ဇွန်လ # ခေတ်ပြောင်းချိန်၊ သဟာယဆရာတင်၊ # ချစ်ညွှတ်ကွင်း၊ (မေရှင် နှင့်) # ချစ်ဗျူဟာ၊ အေဝမ်းဆရာညှာ (မေရှင် နှင့်) # ချစ်မိုးစွေ၊ [[ရွှေပြည်အေး]]၊ ၁၉၄၁ ဩဂုတ်လ # ချစ်မှာလား၊ သဟာယဆရာတင်၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၀ နိုဝင်ဘာလ # ချစ်သဲစွဲ၊ စန်းသော်တာ၊ (မေရှင် နှင့်) # ဂုဏ်တော်ဖွင့်၊ [[အေဝမ်းဆရာညှာ]] ၊ ၁၉၃၉ ဇူလိုင်လ # ဂုဏ်မြင့်သူ၊ [[သဟာယ ဆရာတင်]]၊ ၁၉၃၉ နိုဝင်ဘာလ # ဇွဲ ၊ [[မြကလောင်]]၊ ၁၉၄၁ စက်တင်ဘာလ # နဂါးနိုင်မင်း၊ [[ဂျူဗလီစိန်]]၊ ၁၉၄၀ ‌အောက်တိုဘာလ # နတ်သျှင်နောင်၊ [[မြို့မငြိမ်း]]၊ ၁၉၄၁ ဧပြီလ # နန်းကေသီ၊ ရွှေပြည်အေး၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၀ ဩဂုတ်လ # နွဲ့မျိုးစုံ၊ မြို့မငြိမ်း၊ (တင်တင်အေး နှင့်)၊ ၁၉၃၉ ‌ေ အောက်တိုဘာလ # ပပဝင်းဝင်း၊ စိန်ဝေလျှံ၊ ၁၉၄၁ နိုဝင်ဘာလ # ဖုတ်သွင်းရထား၊ သဟာယဆရာတင်၊ ၁၉၄၁ ဇူလိုင်လ # မာနရှင် ၊ [[သဟာယ ဆရာတင်]]၊ ၁၉၄၁ ‌ ဖေ ဖော်ဝါရီလ # မေ့ပါနိုင် ၊ [[မြို့မငြိမ်း]]၊ ၁၉၄၁ ဇွန်လ # မင်းမဟာဂီရိ၊ [[ဂျူဗလီစိန်]] # မောင့်အချစ်တော်၊ ဝိုင်အမ်ဘီဆရာတင်၊ # မေတ္တာဂုဏ်၊ [[အေဝမ်းဆရာညှာ]]၊ ၁၉၄၀ ဒီဇင်ဘာလ # မိန်ရာသီ၊ ရန်နိုင်စိန်၊ (မေရှင် နှင့်) ၁၉၃၈ ဇူလိုင်လ # [[ရဲရဲတောက် တို့ဗမာ]]၊ # ရှေးကုသိုလ်၊ ရွှေပြည်အေး၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၁ ဇန္နဝါရီလ # ရှေးရေစက်၊ ရွှေတိုင်ညွန့်၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၀ ဇန္နဝါရီလ # ရှင်သီဝလိ၊[[ စစ်ကိုင်း ဆရာကြည်]]၊ ၁၉၄၀ မေလ # ရွှေတံငါ၊ [[စန်းသော်တာ]]၊ ၁၉၃၉ ဒီဇင်ဘာလ # သုဝဏ္ဏသျှံ၊ [[အေဝမ်းဆရာညှာ]]၊ ၁၉၄၁ မတ်လ # သက်ဝေ၊ မြို့မငြိမ်း၊ (မေရှင် နှင့်)၊ ၁၉၄၁ ‌မေလ # အောင်လံတော်၊ ဝိုင်အမ်ဘီဆရာတင်၊ (တင်တင်အေး နှင့်) # ဣန္ဒာနွယ်၊ ဂျူဘလီစိန်၊ ==မင်းသားဘဝ== ဒုတိယကမ္ဘာစစ်ပြီးစ ပြဇာတ်ခေတ် ဂျူဘလီဟောတွင် ဒါရိုက်တာ မောင်တင်မောင် စီစဉ်မှုဖြင့် စန္ဒကိန္နရီ ပြဇာတ်ကို အေးကြူ၊ မေရှင်၊ မေသစ် တို့နှင့် တွဲဖက်ကပြခဲ့ရာ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း လာရောက်ကြည့်ရှု အားပေး ချီးကျူး ခဲ့သည်။ ပြည်လှဖေသည် ရုပ်ရှင်မင်းသားအဖြစ် စောင်းတော်ရှင် နှင့် ကပ္ပလီ ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကား နှစ်ကား၌သာ ပါဝင် သရုပ်ဆောင်ခဲ့ပြီး သူ၏ သရုပ်ဆောင်မှုမှာလည်း နှစ်ကားဆို ဆိုသလောက် ထူးချွန် ပြောင်မြောက်ခဲ့သည်။ စစ်ပြီးခေတ်တွင် အေဝမ်းရုပ်ရှင် အသိုက် အဝန်းဖြစ်သော လျှပ်စစ် ရုပ်ရှင်မှ ဒါရိုက်တာမောင်တင်ယု ရိုက်ကူးသော ကပ္ပလီ ဇာတ်ကားတွင် မောင်တင်မောင် (အေဝမ်း ဦးတင်မောင်)နှင့်အတူ ပါဝင် ရိုက်ကူး ခဲ့သေးသည်။ အဆိုတော်ကြီး ပြည်လှဖေသည် စောင်းတော်ရှင် ဇာတ်ကား တစ်ကား တည်းဖြင့်ပင် အဓိက သရုပ်ဆောင် မင်းသားကောင်း တစ်ဦးအဖြစ် ပြောင်မြောက်စွာ စွမ်းဆောင်ခဲ့လေသည်။ ==စောင်းတော်ရှင် ဇာတ်ကားအကျဉ်းချုပ်== စောင်းတော်ရှင်ဇာတ်ကားမှာ လူအများသိကြသည့် ဦးရှင်ကြီး ဇာတ်လမ်းဖြစ်၏။ မောင်ရှင်၏မိခင်မှာ သားဖြစ်သူ ရှင်ပြုရန် ငွေရှာအသွား အစ်မဖြစ်သူက ဓနရှင်ပီပီငေါက်ထုတ်လိုက်၏။ မောင်ရှင်မှာ အဒေါ်ဖြစ်သူအပေါ် စိတ်ကွက်သွားလေ၏။ သို့နှင့် ဆင်းရဲသားသားအမိမှာ မျက်နှာငယ်နှင့် ပြန်လာခဲ့ကြသည်။ မောင်ရှင်သည် မိခင်တားသည့်ကြားက ကိုယ့်အားကိုယ်ကိုးကာ ထင်းခုတ်သွားသော လှေတွင်အလုပ်သမားအဖြစ် လိုက်ပါသွားလေသည်။ မိန်းမလှကျွန်းရောက်ပြီး လှေသူကြီးနှင့် လှေထိုးသားများက မောင်ရှင်ကို လှေစောင့်အဖြစ် ထမင်းချက်ရန် လှေပေါ်တွင် ထား၍ထင်းခုတ်သွားကြသည်။ မိန်းမလှကျွန်းတွင် မိန်းမလှနတ်များကြီးစိုး၍ မောင်ရှင့်အနေဖြင့် လုံးဝသီချင်းမဆိုရန်၊ မတီးမမှုတ်ရန် မှာခဲ့သည်။ အနုပညာသမား မောင်ရှင်မှာ ဝှက်ယူလာသော လက်စွဲတော်စောင်းလေးထုတ်၍ တီးတော့သည်။ စောင်းတီးခတ် သီချင်းဆိုလိုက်သည်နှင့် မိန်းမလှကျွန်းစောင့် နတ်သမီးလေးများပေါ်လာကာ မောင်ရှင်၏ဂီတတွင် နစ်မျောကခုန်ကြ၏။ ထင်းခုတ်နေစဉ်ရက်များအတွင်း မောင်ရှင်၏ဂီတဖြင့် နတ်သမီးများ နေ့တိုင်းပျော်ပါးနေကြပြီး မောင်ရှင်ကို စွဲလမ်းနှစ်သက်နေကြတော့သည်။ သို့နှင့် ထင်းခုတ်ကိစ္စပြီး၍ မောင်ရှင်တို့ လှေပြန်အလှည့်တွင် နတ်သမီးလေးများက လှေကိုမထွက်နိုင်အောင် ဆွဲထားကြသည်။ လှေသူကြီးသည် သူတို့ထုံးစံအတိုင်း မည်သူ့ကြောင့် လှေမထွက်နိုင်သည်ကို မဲချရာတွင် ကံဆိုးသူမောင်ရှင် မဲကျလေတော့သည်။ မောင်ရှင်အား ရေတွင် အရှင်လတ်လတ်ချရစ်ကာ လှေထွက်သွားသည်။ နတ်သမီးကလေးများက မောင်ရှင်အားပွေ့ယူကာ ကျွန်းပေါ်သို့ ခေါ်သွားကြသည်။ မောင်ရှင်သည် အရှင်လတ်လတ်ပင် နတ်စိမ်း ဖြစ်သွားသည်။ ပြည်လှဖေ ပါဝင်သော စောင်းတော်ရှင် ဇာတ်ကားကိုလည်း တေးဂီတဇာတ်ကား(Musical Film)ဟု ခေါ်ရပေမည်။ ပို၍ထူးခြားသည်က ရာဇဝင်ဇာတ်လမ်းကိုမှ တေးဂီတရုပ်ရှင် ဖြစ်နေခြင်းပေတည်း။ မင်းသား၊ မင်းသမီးမှာ ပြည်လှဖေနှင့် မေရှင်တို့ဖြစ်ရာ ထိပ်တန်းအဆိုတော်စုံတွဲဖြစ်နေ၍လည်း ပို၍ ထူးခြားသည်။ ဇာတ်ဝင်ခန်းတိုင်း အံဝင်ခွင်ကျ တေးဂီတများကို သီဆိုသရုပ်ဆောင်ဖော်ကျူးခဲ့ကြသည်။ စောင်းတော်ရှင် ဇာတ်ဝင်တေးများကို မင်းသားသိန်းဇော်က တေးစီးရီး သီဆိုထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ==တိုင်းပြည်ဝန်ထမ်းဘဝ== ပြည်လှဖေသည် ၁၉၄၇ ခုနှစ်တွင် အိန္ဒိယနိုင်ငံသို့ ထွက်ခွာသွား၍ အင်ဂျင်နီယာသိပ္ပံကျောင်းတက်ခဲ့ပြီး ပြန်လာသောအခါ ရုပ်ရှင်၊ ဂီတ၊ အနုပညာအလုပ်ကို လုံးဝမလုပ်တော့ဘဲ တပ်မတော်တွင်း ဝင်သွားသည်။ နှစ်ပေါင်း(၂၀)ကျော် အမှုထမ်းပြီး ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီးအဆင့်အထိ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ထို့နောက် မြေယာကျေးလက်ကော်ပိုရေးရှင်းတွင် အထူးအရာရှိ (စက်မှုလယ်ယာ) အဖြစ် ပြောင်းရွေ့အမှုထမ်းရသည်။ ယင်းနောက်တွင် အမှတ်(၂) စက်မှုဝန်ကြီးဌာနနှင့် ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာနတို့တွင် ဒုတိယဝန်ကြီးအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ ==ဘဝနိဂုံး== ပြည်လှဖေသည် ကျန်းမာရေးချို့ယွင်းလာသဖြင့် အင်္ဂလန်နိုင်ငံတွင် ဆေးသွားကုရာ ၁၄.၀၃.၁၉၉၀ အင်္ဂလန်မှာပင် ကွယ်လွန်အနိစ္စရောက်ခဲ့ရလေသည်။ ၁၆.၀၃.၁၉၉၀ ရက်နေ့တွင် ထိုနိုင်ငံ၌ပင် သင်္ဂြိုဟ်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == {{reflist}} * ခင်နှင်းယု၏ ဘကြီးမှိုင်းနှင့် စောင်းတော်ရှင် ဆောင်းပါး၊၁၉၇၂ ခု၊ မတ်လထုတ် ရှုမဝ၊ * စိန်သွေး၏ ရုပ်ရှင်မင်းသားကြီး ပြည်လှဖေ ၁၉၉၁ ခု၊ ဖေဖော်ဝါရီထုတ် မြဝတီ၊ * သန်းလှိုင် ပထမခေတ်ဟောင်းသီချင်းပေါင်းချုပ် {{DEFAULTSORT:လှဖေ၊ ပြည်}} [[Category:မြန်မာ အမျိုးသား အဆိုတော်များ]] [[ကဏ္ဍ:၁၉၉၀ ကွယ်လွန်သူများ]] 4pyay7zhkwq5llkcah5fkpzflknep1q 0 8041 1040688 1040281 2026-06-25T06:41:32Z Mkant00 135890 1040688 wikitext text/x-wiki [[File:Codomain2.SVG|thumb|<math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားသော ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု။ အနီရောင် ဘဲဥပုံ <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ဖြစ်သည်။ အပြာရောင် ဘဲဥပုံ <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စု(codomain) ဖြစ်သည်။ အဝါရောင် ဘဲဥပုံအတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပုံရိပ် (range/ image) ဖြစ်သည်။]] [[သင်္ချာ]]တွင် [[အစု]] <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ '''ဖန်ရှင်''' (function) <math>f : X \to Y</math> သည် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>Y</math> အတွင်းရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အစုဝင် (unique element) <math>f(x)</math> တစ်ခုစီကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဖန်ရှင်များကို ပုံဖော်မှုများ (maps သို့မဟုတ် mappings) သို့မဟုတ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) ဟူ၍လည်း အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ခေါ်ဆိုကြသည်။ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း <math>f : x \mapsto f(x)</math> သည် ဖန်ရှင် <math>f</math> က အစုဝင် <math>x</math> ကို <math>f(x)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တန်ဖိုးများတိကျစွာ စာရင်းချပြခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ တိကျသော သင်္ချာစည်းမျဉ်းတစ်ခုကို အသုံးပြု၍ဖြစ်စေ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (Category theory) တွင် အစုများ အားလုံးနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်ရှင်များကို စုစည်းလိုက်သောအခါ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of sets) ကို ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ၎င်းကို <math>\mathbf{Set}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ အစုများကို ဤကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ဖန်ရှင်များကိုမူ ထိုအရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ သို့မဟုတ် မြားများ (arrows) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ညီမျှခြင်း (equality) သဘောတရားကို အခြေခံအားဖြင့် ထိန်းသိမ်းထားသည် (preserves) ။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>x_1, x_2 \in X</math> အတွက်မဆို <math>x_1 = x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) = f(x_2)</math> ဖြစ်ပေါ်စေမည်ဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ဝေါဟာရများ == * '''[[အရင်းအမြစ်စု]]''' (Domain) <math>X</math> - ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော အစုဖြစ်သည်။ * '''[[ပစ်မှတ်စု]]''' (Codomain) <math>Y</math> - ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများ ကျရောက်နိုင်သော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပုံရိပ်''' (Range သို့မဟုတ် Image) <math>\text{im } f</math> - ဖန်ရှင်က ပုံဖော်ပေးလိုက်သော တိကျသည့် တန်ဖိုးများအစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\text{im } f = \{y \in Y \mid \exists x \in X, \, y = f(x)\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ {{main|ပုံရိပ် နှင့်မူလပုံရိပ်}} == ဖန်ရှင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ == {{main|အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်}} အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်များက ပစ်မှတ်စုသို့ မည်သို့ပုံဖော်သည်ဆိုသည့်အချက်အပေါ် မူတည်၍ ဖန်ရှင်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။ [[File:Non-injective function1.svg|thumb|အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော ဖန်ရှင် (non-injective function)]] * '''အင်ဂျက်တစ်''' (Injective) - အစု <math>X</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များကို <math>Y</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>x_1 \neq x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) \neq f(x_2)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို တစ်-တစ် ဖန်ရှင် (one-to-one) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဆာဂျက်တစ်''' (Surjective) - ဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်သည် ပစ်မှတ်စု တစ်ခုလုံးနှင့် ညီမျှနေသည် (<math>\text{im } f = Y</math>)။ <math>Y</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် <math>y</math> အတွက်မဆို <math>y = f(x)</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခု <math>X</math> အတွင်း အမြဲတမ်းတည်ရှိသည်။ ၎င်းကို လွှမ်းခြုံဖန်ရှင် (onto) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဘိုင်ဂျက်တစ်''' (Bijective) - အင်ဂျက်တစ်လည်းဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်လည်းဖြစ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ == ဂရပ်များ == ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ၏ ဂရပ် (graph) ဆိုသည်မှာ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (cartesian product) <math>X \times Y</math> ၏ အစုပိုင်း <math>G_f</math> ကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>G_f = \{(x, y) \in X \times Y : x \in X, y = f(x)\}</math> ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းကိုသာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် မည်သည့် ဒေါင်လိုက်မျဉ်း <math>L_x = \{(x, y) \in X \times Y : y \in Y\}</math> မဆို ဂရပ် <math>G_f</math> ကို <math>(x, f(x))</math> ဟူသော အမှတ်တစ်မှတ်တည်း၌သာ ဖြတ်သန်းသွားမည် ဖြစ်သည်။ <gallery class="center" caption="ဂရပ် အချို့၏ ဥပမာများ"> Graph describing a linear function.svg| မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် (linear function) (ပိုမိုတိကျစွာဆိုရသော် အဖိုင်း (affine) ပုံဖော်မှု) Polynomialdeg5.svg|၅-ဒီဂရီရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် (polynomial function of the 5th degree/ quintic function) Exp re.png|ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (complex exponential function) ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) Sin.svg| ဆိုင်း ဖန်ရှင် (sine function) Normal density-3.svg|ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (normal distribution) |ဂေါက်ရှန်း ခေါင်းလောင်းပုံ မျဉ်းကွေးများ (Gaussian bell curves) Graph of function of 2 variables.png| ကိန်းရှင် ၂ ခု ပါဝင်သော ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ မျက်နှာပြင် (surface) ပြ ဂရပ် Champ vecteurs python matplotlib.svg| ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီ (2D Euclidean plane) ပေါ်ရှိ ဗက်တာစက်ကွင်း (vector field) Complex zeta.jpg|ကိန်းထွေး ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (complex Riemann zeta function) အတွက် အရင်းအမြစ်စု အရောင်ခြယ်ထားမှု </gallery> == ဖန်ရှင် ဥပမာများ == [[File:Constant_function2.png|thumb|ကိန်းရှင် <math>x</math> တစ်ခုပါဝင်သော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant real-valued function) တစ်ခု]] * '''ထပ်တူရ ဖန်ရှင်''' (Identity function) - အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်တိုင်းကို ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင်ဆီသို့သာ ပြန်လည်ပုံဖော်ပေးသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{id}_X : X \to X</math> ဖြစ်ပြီး <math>\text{id}_X(x) = x</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင်''' (Characteristic function) - အစုဝင်တစ်ခုသည် အစုပိုင်း <math>A \subset X</math> အတွင်း ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိကို ညွှန်ပြပေးသည်။ ၎င်းကို အညွှန်း ဖန်ရှင် (indicator function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး <math>\chi_A : X \to \{0, 1\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏တန်ဖိုးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & : x \in A \\ 0 & : x \notin A \end{cases}</math> * '''ကိန်းသေ ဖန်ရှင်''' (Constant function) - အစု <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင် <math>x</math> ကိုမဆို <math>Y</math> အတွင်းရှိ ပုံသေအစုဝင် <math>c</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ဖြစ်သည်။ <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x) = c</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဗလာအစု ဖန်ရှင်''' (Empty function) - မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို ဗလာအစု ဖန်ရှင် <math>\emptyset \to X</math> သည် အမြဲတမ်း တည်ရှိပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်နေသည်။ ထို့ကြောင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> သည် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] <math>\mathbf{Set}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်သည်။ == ဖန်ရှင်များဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ == [[File:Example for a composition of two functions.svg|thumb| <math>f : A \to B</math> နှင့် <math>g : B \to C </math> တို့ကို ပေါင်းစပ်၍ <math>g \circ f : A \to C</math> ကို ရသည်။]] '''ကန့်သတ်ခြင်း''' (Restriction) အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>U \subset X</math> ဖြစ်ပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို <math>U</math> အပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအား <math>f|_U : U \to Y</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် <math>U</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f|_U(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ '''ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (Composition) ဖန်ရှင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>g : Y \to Z</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ဖန်ရှင်အသစ် <math>g \circ f : X \to Z</math> ကို ရရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math> ပေါင်းစပ်ခြင်းကို ညာဘက်မှ ဘယ်ဘက်သို့ တွက်ချက်ရသည်။ ပုံစံတကျဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စုသည် ဖန်ရှင် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်စုနှင့် ညီမျှနေမှသာလျှင် ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>g \circ f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အနည်းဆုံးအားဖြင့် ဤတွက်ချက်မှု မှန်ကန်စေရန် <math>\text{im } f \subseteq \text{dom } g</math> ဟူသော အခြေအနေ ပြည့်စုံရမည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် <math>g \circ f \neq f \circ g</math> ဖြစ်သည်။ '''ပြောင်းပြန်များ''' (Inverses) ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုတွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>f^{-1} : Y \to X</math> အမြဲရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>f(x) = y</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ (if and only if) <math>f^{-1}(y) = x</math> ဖြစ်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ ၎င်းသည် <math>f^{-1} \circ f = \text{id}_X</math> နှင့် <math>f \circ f^{-1} = \text{id}_Y</math> ဖြစ်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။ အကယ်၍ ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> သည် အင်ဂျက်တစ်သာဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်ပါက ၎င်းတွင် အလုံးစုံလွှမ်းခြုံနိုင်သော ပြောင်းပြန် <math>f^{-1} : Y \to X</math> မတည်ရှိပေ။ သို့ရာတွင် ပစ်မှတ်စုကို ၎င်းဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်အထိသာ ကန့်သတ်လိုက်မည်ဆိုပါက ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု <math>\tilde{f} : X \to \text{im } f</math> ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ ကန့်သတ်ထားသော ဖန်ရှင်တွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် အလုပ်လုပ်သော တိကျသည့် ပြောင်းပြန် <math>\tilde{f}^{-1} : \text{im} f \to X</math> တည်ရှိသည်။ == ပုံရိပ်များ၊ မူလပုံရိပ်များ နှင့် ဖန်ရှင်အစုများ == * '''အစုတစ်ခု၏ ပုံရိပ်''' (Image of a Set) - <math>A \subset X</math> ဖြစ်ပါက အစုပိုင်း <math>A</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအပေါ် သက်ရောက်သော <math>f</math> ၏ တန်ဖိုးများအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f(A) = \{y \in Y : \exists x \in A , y = f(x)\}</math> * '''အစုတစ်ခု၏ မူလပုံရိပ်''' (Pre-image of a Set) - <math>B \subset Y</math> ဖြစ်ပါက တန်ဖိုးများသည် အစုပိုင်း <math>B</math> အတွင်း ကျရောက်နေသော <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}</math> ဤမူလပုံရိပ်ရှာခြင်း တွက်ချက်မှု <math>f^{-1}(B)</math> သည် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် <math>f^{-1}</math> တည်ရှိသည်ဖြစ်စေ၊ မတည်ရှိသည်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်ပြည့်ဝသော အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * '''ဖန်ရှင်အစု''' (Function Set) - ပေးထားသော အစု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့အတွက် <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားနိုင်သည့် ဖြစ်နိုင်သမျှ ဖန်ရှင်များအားလုံး စုဝေးထားသော အစုကို <math>Y^X</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ == နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ == အစု <math>X</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု]] (binary operation) ကို <math>f : X \times X \to X</math> ဟူသော ဖန်ရှင်တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (Group) ဆိုသည်မှာ [[အစု]] (set) <math>G</math> တစ်ခုနှင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု <math>\star</math> တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[Category:သင်္ချာ]] m21gp0bougzz9zf1wu5mgabcfpcpg8z 1040689 1040688 2026-06-25T06:41:49Z Mkant00 135890 /* အခြေခံ ဝေါဟာရများ */ 1040689 wikitext text/x-wiki [[File:Codomain2.SVG|thumb|<math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားသော ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု။ အနီရောင် ဘဲဥပုံ <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ဖြစ်သည်။ အပြာရောင် ဘဲဥပုံ <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စု(codomain) ဖြစ်သည်။ အဝါရောင် ဘဲဥပုံအတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပုံရိပ် (range/ image) ဖြစ်သည်။]] [[သင်္ချာ]]တွင် [[အစု]] <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ '''ဖန်ရှင်''' (function) <math>f : X \to Y</math> သည် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>Y</math> အတွင်းရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အစုဝင် (unique element) <math>f(x)</math> တစ်ခုစီကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဖန်ရှင်များကို ပုံဖော်မှုများ (maps သို့မဟုတ် mappings) သို့မဟုတ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) ဟူ၍လည်း အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ခေါ်ဆိုကြသည်။ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း <math>f : x \mapsto f(x)</math> သည် ဖန်ရှင် <math>f</math> က အစုဝင် <math>x</math> ကို <math>f(x)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တန်ဖိုးများတိကျစွာ စာရင်းချပြခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ တိကျသော သင်္ချာစည်းမျဉ်းတစ်ခုကို အသုံးပြု၍ဖြစ်စေ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (Category theory) တွင် အစုများ အားလုံးနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်ရှင်များကို စုစည်းလိုက်သောအခါ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of sets) ကို ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ၎င်းကို <math>\mathbf{Set}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ အစုများကို ဤကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ဖန်ရှင်များကိုမူ ထိုအရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ သို့မဟုတ် မြားများ (arrows) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ညီမျှခြင်း (equality) သဘောတရားကို အခြေခံအားဖြင့် ထိန်းသိမ်းထားသည် (preserves) ။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>x_1, x_2 \in X</math> အတွက်မဆို <math>x_1 = x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) = f(x_2)</math> ဖြစ်ပေါ်စေမည်ဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ဝေါဟာရများ == * '''[[အရင်းအမြစ်စု]]''' (Domain) <math>X</math> - ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော အစုဖြစ်သည်။ * '''[[ပစ်မှတ်စု]]''' (Codomain) <math>Y</math> - ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများ ကျရောက်နိုင်သော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပုံရိပ်''' (Range သို့မဟုတ် Image) <math>\text{im } f</math> - ဖန်ရှင်က ပုံဖော်ပေးလိုက်သော တိကျသည့် တန်ဖိုးများအစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\text{im } f = \{y \in Y \mid \exists x \in X, \, y = f(x)\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ {{main|ပုံရိပ် နှင့် မူလပုံရိပ်}} == ဖန်ရှင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ == {{main|အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်}} အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်များက ပစ်မှတ်စုသို့ မည်သို့ပုံဖော်သည်ဆိုသည့်အချက်အပေါ် မူတည်၍ ဖန်ရှင်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။ [[File:Non-injective function1.svg|thumb|အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော ဖန်ရှင် (non-injective function)]] * '''အင်ဂျက်တစ်''' (Injective) - အစု <math>X</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များကို <math>Y</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>x_1 \neq x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) \neq f(x_2)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို တစ်-တစ် ဖန်ရှင် (one-to-one) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဆာဂျက်တစ်''' (Surjective) - ဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်သည် ပစ်မှတ်စု တစ်ခုလုံးနှင့် ညီမျှနေသည် (<math>\text{im } f = Y</math>)။ <math>Y</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် <math>y</math> အတွက်မဆို <math>y = f(x)</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခု <math>X</math> အတွင်း အမြဲတမ်းတည်ရှိသည်။ ၎င်းကို လွှမ်းခြုံဖန်ရှင် (onto) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဘိုင်ဂျက်တစ်''' (Bijective) - အင်ဂျက်တစ်လည်းဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်လည်းဖြစ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ == ဂရပ်များ == ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ၏ ဂရပ် (graph) ဆိုသည်မှာ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (cartesian product) <math>X \times Y</math> ၏ အစုပိုင်း <math>G_f</math> ကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>G_f = \{(x, y) \in X \times Y : x \in X, y = f(x)\}</math> ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းကိုသာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် မည်သည့် ဒေါင်လိုက်မျဉ်း <math>L_x = \{(x, y) \in X \times Y : y \in Y\}</math> မဆို ဂရပ် <math>G_f</math> ကို <math>(x, f(x))</math> ဟူသော အမှတ်တစ်မှတ်တည်း၌သာ ဖြတ်သန်းသွားမည် ဖြစ်သည်။ <gallery class="center" caption="ဂရပ် အချို့၏ ဥပမာများ"> Graph describing a linear function.svg| မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် (linear function) (ပိုမိုတိကျစွာဆိုရသော် အဖိုင်း (affine) ပုံဖော်မှု) Polynomialdeg5.svg|၅-ဒီဂရီရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် (polynomial function of the 5th degree/ quintic function) Exp re.png|ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (complex exponential function) ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) Sin.svg| ဆိုင်း ဖန်ရှင် (sine function) Normal density-3.svg|ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (normal distribution) |ဂေါက်ရှန်း ခေါင်းလောင်းပုံ မျဉ်းကွေးများ (Gaussian bell curves) Graph of function of 2 variables.png| ကိန်းရှင် ၂ ခု ပါဝင်သော ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ မျက်နှာပြင် (surface) ပြ ဂရပ် Champ vecteurs python matplotlib.svg| ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီ (2D Euclidean plane) ပေါ်ရှိ ဗက်တာစက်ကွင်း (vector field) Complex zeta.jpg|ကိန်းထွေး ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (complex Riemann zeta function) အတွက် အရင်းအမြစ်စု အရောင်ခြယ်ထားမှု </gallery> == ဖန်ရှင် ဥပမာများ == [[File:Constant_function2.png|thumb|ကိန်းရှင် <math>x</math> တစ်ခုပါဝင်သော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant real-valued function) တစ်ခု]] * '''ထပ်တူရ ဖန်ရှင်''' (Identity function) - အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်တိုင်းကို ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင်ဆီသို့သာ ပြန်လည်ပုံဖော်ပေးသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{id}_X : X \to X</math> ဖြစ်ပြီး <math>\text{id}_X(x) = x</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင်''' (Characteristic function) - အစုဝင်တစ်ခုသည် အစုပိုင်း <math>A \subset X</math> အတွင်း ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိကို ညွှန်ပြပေးသည်။ ၎င်းကို အညွှန်း ဖန်ရှင် (indicator function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး <math>\chi_A : X \to \{0, 1\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏တန်ဖိုးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & : x \in A \\ 0 & : x \notin A \end{cases}</math> * '''ကိန်းသေ ဖန်ရှင်''' (Constant function) - အစု <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင် <math>x</math> ကိုမဆို <math>Y</math> အတွင်းရှိ ပုံသေအစုဝင် <math>c</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ဖြစ်သည်။ <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x) = c</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဗလာအစု ဖန်ရှင်''' (Empty function) - မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို ဗလာအစု ဖန်ရှင် <math>\emptyset \to X</math> သည် အမြဲတမ်း တည်ရှိပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်နေသည်။ ထို့ကြောင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> သည် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] <math>\mathbf{Set}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်သည်။ == ဖန်ရှင်များဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ == [[File:Example for a composition of two functions.svg|thumb| <math>f : A \to B</math> နှင့် <math>g : B \to C </math> တို့ကို ပေါင်းစပ်၍ <math>g \circ f : A \to C</math> ကို ရသည်။]] '''ကန့်သတ်ခြင်း''' (Restriction) အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>U \subset X</math> ဖြစ်ပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို <math>U</math> အပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအား <math>f|_U : U \to Y</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် <math>U</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f|_U(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ '''ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (Composition) ဖန်ရှင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>g : Y \to Z</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ဖန်ရှင်အသစ် <math>g \circ f : X \to Z</math> ကို ရရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math> ပေါင်းစပ်ခြင်းကို ညာဘက်မှ ဘယ်ဘက်သို့ တွက်ချက်ရသည်။ ပုံစံတကျဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စုသည် ဖန်ရှင် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်စုနှင့် ညီမျှနေမှသာလျှင် ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>g \circ f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အနည်းဆုံးအားဖြင့် ဤတွက်ချက်မှု မှန်ကန်စေရန် <math>\text{im } f \subseteq \text{dom } g</math> ဟူသော အခြေအနေ ပြည့်စုံရမည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် <math>g \circ f \neq f \circ g</math> ဖြစ်သည်။ '''ပြောင်းပြန်များ''' (Inverses) ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုတွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>f^{-1} : Y \to X</math> အမြဲရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>f(x) = y</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ (if and only if) <math>f^{-1}(y) = x</math> ဖြစ်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ ၎င်းသည် <math>f^{-1} \circ f = \text{id}_X</math> နှင့် <math>f \circ f^{-1} = \text{id}_Y</math> ဖြစ်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။ အကယ်၍ ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> သည် အင်ဂျက်တစ်သာဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်ပါက ၎င်းတွင် အလုံးစုံလွှမ်းခြုံနိုင်သော ပြောင်းပြန် <math>f^{-1} : Y \to X</math> မတည်ရှိပေ။ သို့ရာတွင် ပစ်မှတ်စုကို ၎င်းဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်အထိသာ ကန့်သတ်လိုက်မည်ဆိုပါက ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု <math>\tilde{f} : X \to \text{im } f</math> ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ ကန့်သတ်ထားသော ဖန်ရှင်တွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် အလုပ်လုပ်သော တိကျသည့် ပြောင်းပြန် <math>\tilde{f}^{-1} : \text{im} f \to X</math> တည်ရှိသည်။ == ပုံရိပ်များ၊ မူလပုံရိပ်များ နှင့် ဖန်ရှင်အစုများ == * '''အစုတစ်ခု၏ ပုံရိပ်''' (Image of a Set) - <math>A \subset X</math> ဖြစ်ပါက အစုပိုင်း <math>A</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအပေါ် သက်ရောက်သော <math>f</math> ၏ တန်ဖိုးများအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f(A) = \{y \in Y : \exists x \in A , y = f(x)\}</math> * '''အစုတစ်ခု၏ မူလပုံရိပ်''' (Pre-image of a Set) - <math>B \subset Y</math> ဖြစ်ပါက တန်ဖိုးများသည် အစုပိုင်း <math>B</math> အတွင်း ကျရောက်နေသော <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}</math> ဤမူလပုံရိပ်ရှာခြင်း တွက်ချက်မှု <math>f^{-1}(B)</math> သည် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် <math>f^{-1}</math> တည်ရှိသည်ဖြစ်စေ၊ မတည်ရှိသည်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်ပြည့်ဝသော အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * '''ဖန်ရှင်အစု''' (Function Set) - ပေးထားသော အစု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့အတွက် <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားနိုင်သည့် ဖြစ်နိုင်သမျှ ဖန်ရှင်များအားလုံး စုဝေးထားသော အစုကို <math>Y^X</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ == နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ == အစု <math>X</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု]] (binary operation) ကို <math>f : X \times X \to X</math> ဟူသော ဖန်ရှင်တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (Group) ဆိုသည်မှာ [[အစု]] (set) <math>G</math> တစ်ခုနှင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု <math>\star</math> တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[Category:သင်္ချာ]] gk536pcd9oc4finp2li171zdw1s4knc 0 11314 1040763 1032039 2026-06-25T10:32:52Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1040763 wikitext text/x-wiki {{Coord|52|19|N|5|33|E|type:country|display=title}} {{Infobox country | နိုင်ငံအမည်အပြည့် = နယ်သာလန် နိုင်ငံ | အမည်_ရင်း = {{native name|nl|Nederland}}<!--Do not change to Kingdom of the Netherlands; it has its own article.--> | ပုံ_အလံ = Flag of the Netherlands.svg | ပုံ_တံဆိပ် = State coat of arms of the Netherlands.svg | နိုင်ငံတော်ဆောင်ပုဒ် = {{native name|fr|"[[Je maintiendrai]]"|nolink=on}}<br>"I will maintain" | နိုင်ငံတော်သီချင်း = {{native name|nl|"[[Wilhelmus]]"|nolink=on}} <br />"William of Nassau"<br/><div style="display:inline-block;margin-top:0.4em;">{{center|[[File:United States Navy Band - Het Wilhelmus (tempo corrected).ogg|Het Wilhelmus]]}}</div> | ပုံ_နေရာ = EU-Netherlands.svg | map_caption = {{map caption |countryprefix=ဥရောပတိုက်အတွင်း |location_color=အစိမ်းရင့်ရောင် |region=[[ဥရောပ]] | region_color=မီးခိုးရင့်ရောင် |subregion=[[ဥရောပသမဂ္ဂ]] | subregion_color=အစိမ်းရောင်}} | image_map2 = BES islands location map.svg | map_caption2 = {{map caption |countryprefix= |country=ကာရစ်ဘီယံ နယ်သာလန် |location_color=အစိမ်းရောင်}} | image_map3 = Netherlands-CIA WFB Map-10-10-10.png | မြို့တော် = [[အမ်စတာဒမ်မြို့]]{{efn|name=central_cities|အမ်စတာဒမ်မြို့သည် ဖွဲ့စည်းပုံအရ မြို့တော်ဖြစ်သော်လည်း အစိုးရအဖွဲ့နှင့် တော်ဝင်မိသားစုသည် ဟိတ်မြို့တော်တွင် ရုံးစိုက်ကြသည်။}} | coordinates = {{coord|52|22|N|4|53|E|type:city}} | အကြီးဆုံးမြို့ = မြို့တော် | admin_center = [[ဟိတ်မြို့တော်]]{{efn|name=central_cities}} | admin_center_type = Government seat | ရုံးသုံးဘာသာများ = [[ဒတ်ချ်ဘာသာစကား|ဒတ်ချ်]] | languages_type = တွဲဖက်ရုံးသုံးဘာသာစကားများ{{efn|name=co-official_languages|ဒတ်ချ်ဘာသာအပြင် အထူးမြူနီစပါယ်ဒေသများဖြစ်သော ဆာဘာကျွန်းနှင့် စိန့်ယူထရေးရှပ်ကျွန်းတို့တွင် ရုံးသုံးဘာသာစကားမှာ အင်္ဂလိပ်ဘာသာ၊ ဘာနေယားကျွန်းတွင် ရုံးသုံးဘာသာစကားမှာ Papiamentu ဘာသာစကားဖြစ်ပြီး အနောက်ဖရီရှန်းဘာသာစကားကို ဖရီစ်လန်းပြည်နယ်တွင် ရုံးသုံးဘာသာစကားအဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <ref name="official-and-recognised-languages">{{cite web |url=https://www.rijksoverheid.nl/onderwerpen/erkende-talen/vraag-en-antwoord/erkende-talen-nederland |title=Welke erkende talen heeft Nederland? |publisher=Rijksoverheid |accessdate=၅ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၀ |language=Dutch|date=11 January 2016 }}</ref>}} | languages_sub = yes | languages = {{unbulleted list|[[:en:English in the Netherlands|English]]|[[:en:Papiamentu|Papiamentu]]|[[:en:West Frisian language|West Frisian]]}} | languages2_type = အသိအမှတ်ပြုဘာသာစကား{{efn|name=recognised_languages|Having ratified the European Charter for Regional or Minority Languages in 1996, the Dutch government recognises Dutch Low Saxon, Limburgish, Sinte Romani and Yiddish as regional or non-territorial minority languages.<ref name="official-and-recognised-languages" />}} | languages2_sub = yes | languages2 = {{unbulleted list|[[:en:Dutch Low Saxon|Dutch Low Saxon]]|[[:en:Limburgish language|Limburgish]]|[[:en:Sinte Romani|Sinte Romani]]|[[:en:Yiddish|Yiddish]]}} | လူမျိုးများ = {{plainlist|class=nowrap| * ၇၅.၇၅% [[ဒတ်ချ်လူမျိုး]] * ၇.၉% အခြားသောဥရောပသားများ{{efn|Excluding people with a Turkish background, who are included separately in this table.}} * ၂.၃၉% [[:en:Turks in the Netherlands|တူရကီ]] * ၂.၃၅% [[:en:Dutch-Moroccans|မော်ရိုကန်]] * {{allow wrap|၂.၀၅% [[:en:Indonesians|အင်ဒိုနီးရှား]]}} * ၂.၀၅% [[:en:Surinamese people in the Netherlands|ဆူရီနမ်]] * ၀.၉၁% [[:en:Dutch-Antilleans (disambiguation)|Antillean]] * ၀.၆၁% [[:en:Arabs in the Netherlands|ဆီးရီးယား]] * ၅.၉၉% [[:en:Demography of the Netherlands|အခြား]]}} | ethnic_groups_year = 2017 | ethnic_groups_ref = <ref>[http://statline.cbs.nl/StatWeb/publication/?DM=SLNL&PA=37325&D1=0&D2=0&D3=0&D4=0&D5=a&D6=l&VW=T Official CBS website containing all Dutch demographic statistics]. Cbs.nl. Retrieved on 4 July 2017.</ref> | ဘာသာတရားများ = {{ublist |item_style=white-space:nowrap; |၅၄.၁% [[ဘာသာမဲ့ အယူဝါဒ|ဘာသာမဲ့]] |၃၈.၃% [[ခရစ်ယာန်ဘာသာ]] |—၂၀.၁% [[:en:Catholic Church in the Netherlands|ကတ်သလစ်]] |—၁၄.၈% [[:en:Protestantism|ပရိုတက်စတင့်]] |—၃.၄% အခြား [[:en:List of Christian denominations|ခရစ်ယာန်]] |၅.၀% [[:en:Islam in the Netherlands|အစ္စလာမ်]] |၂.၆% [[:en:Religion in the Netherlands|အခြား]] }} | religion_year = ၂၀၁၉ | religion_ref = <ref name="cbs2020"> {{Cite web | url = https://www.cbs.nl/nl-nl/nieuws/2020/51/meerderheid-nederlandse-bevolking-behoort-niet-tot-religieuze-groep | title = Meerderheid Nederlandse bevolking behoort niet tot religieuze groep | last = CBS | website = www.cbs.nl | language = nl-NL | access-date = 16 March 2021 | date = 18 December 2020 }} </ref> | demonym = Dutch | membership = [[နယ်သာလန် ဘုရင့်နိုင်ငံတော်]] | membership_type = အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင်နိုင်ငံ | အမျိုးအစား = [[ပြည်ထောင်စုစနစ်|ပြည်ထောင်စု]] [[ပါလီမန် ဒီမိုကရေစီ စနစ်|ပါလီမန်စနစ်]] စည်းမျဉ်းခံဘုရင်စနစ် | ခေါင်းဆောင်_ရာထူး(၁) = ဘုရင် | ခေါင်းဆောင်_ရာထူး(၂) = ဝန်ကြီးချုပ် | ခေါင်းဆောင်_ရာထူး(၃) = လက်ထောက်ဝန်ကြီးချုပ်များ | leader_title4 = [[:en:Vice-President of the Council of State (Netherlands)|နိုင်ငံတော်ကောင်စီ ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ]] | ခေါင်းဆောင်_အမည်(၁) = ဝိလမ်-အလက်ဇန္ဒား | ခေါင်းဆောင်_အမည်(၂) = Mark Rutte | ခေါင်းဆောင်_အမည်(၃) ={{ubl|Hugo de Jonge|Kajsa Ollongren|Carola Schouten}} | ခေါင်းဆောင်_အမည်(၄) =Thom de Graaf | legislature = [[:en:States General of the Netherlands|States General]] | upper_house = [[ဆီးနိတ်လွှတ်တော် (နယ်သာလန်)|ဆီးနိတ်လွှတ်တော်]] | lower_house = [[ကိုယ်စားလှယ်များလွှတ်တော် (နယ်သာလန်)|ကိုယ်စားများလွှတ်တော်]] | sovereignty_type = {{nobold|စပိန်အင်ပါယာမှ}} လွတ်လပ်ရေးရရှိခြင်း | ထူထောင်ရေး_အမည်(၁) = [[:en:Act of Abjuration|ကြေညာခြင်း]] | ထူထောင်ရေး_အမည်(၂) = [[:en:Peace of Münster|အသိအမှတ်ပြုခြင်း]] | established_event3 = ဘုရင့်နိုင်ငံ ထူထောင်ခြင်း | established_event4 = [[:en:Liberation Day (Netherlands)|လွတ်မြောက်ရေးနေ့]] | established_event5 = [[:en:United Nations Charter|ကုလသမဂ္ဂသို့ ဝင်ခွင့်ရခြင်း]] | established_event6 = [[:en:Charter for the Kingdom of the Netherlands|ဘုရင့်နိုင်ငံ ဖွဲ့စည်းခြင်း]] | established_event7 = [[:en:Caribbean Netherlands|ကာရစ်ဘီယံဒေသအား သိမ်းသွင်းခြင်း]] | ထူထောင်ရေး_ခုနှစ်(၁) = ဇူလိုင်လ ၂၆ ရက် ၁၅၈၁ ခုနှစ် | ထူထောင်ရေး_ခုနှစ်(၂) = ဇန်နဝါရီလ ၃၀ရက် ၁၆၄၈ခုနှစ် | established_date3 = မတ်လ ၁၆ ရ၈် ၁၈၁၅ ခုနှစ် | established_date4 = မေလ ၅ ရက် ၁၉၄၅ ခုနှစ် | established_date5 = ဒီဇင်ဘာလ ၁၀ ၁၉၄၅ ခုနှစ် | established_date6 = ဒီဇင်ဘာလ ၁၅ ၁၉၅၄ ခုနှစ် | established_date7 = အောက်တိုဘာလ ၁၀ ၂၀၁၀ ခုနှစ် | ဧရိယာ = ၄၁,၈၆၅ စတုရန်း ကီလိုမီတာ <ref name="auto2">{{Cite web|url=http://www.waarstaatjeprovincie.nl/Paginas/Ruimtelijke%20ordening/Oppervlakte.aspx|title=Oppervlakte|access-date=5 October 2020|archive-date=13 January 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200113200643/http://www.waarstaatjeprovincie.nl/Paginas/Ruimtelijke%20ordening/Oppervlakte.aspx}}</ref><ref name="auto2-additional">{{Cite web|url=https://www.rijksoverheid.nl/onderwerpen/caribische-deel-van-het-koninkrijk/vraag-en-antwoord/waaruit-bestaat-het-koninkrijk-der-nederlanden|title=Waaruit bestaat het Koninkrijk der Nederlanden? – Rijksoverheid.nl|first=Ministerie van Algemene|last=Zaken|date=19 May 2015|website=onderwerpen}}</ref> | ဧရိယာအဆင့် = ၁၃၁ | ဧရိယာရေရာခိုင်နှုန်း = ၁၈.၄၁ | population_estimate = {{IncreaseNeutral}} {{data Netherlands|poptoday|formatnum}}<ref name="Counter">{{Cite web|url=https://www.cbs.nl/nl-nl/visualisaties/dashboard-bevolking/bevolkingsteller|title=Bevolkingsteller|website=[[Statistics Netherlands]]|language=Dutch|accessdate=9 June 2021}}</ref> | population_estimate_year = {{CURRENTYEAR}} | population_census = ၁၆,၆၅၅,၇၉၉<ref name="2011Census">{{cite web|url=https://www.cbs.nl/-/media/imported/documents/2014/44/2014-b57-pub.pdf?la=en-gb|title=Dutch Census 2011 Analysis and Methodology|work=[[Statistics Netherlands]]|page=9|date=19 November 2014|accessdate=9 June 2021}}</ref> | population_census_year = ၂၀၁၁ | population_estimate_rank = ၆၇ | population_density_km2 = ၄၂၃ | population_density_rank = ၁၆ | population_density_sq_mi = | GDP_PPP = {{increase}}$၁.၀၅၅ ထရီလီယံ<ref name=imf2>{{cite web|url = https://www.imf.org/external/pubs/ft/weo/2019/01/weodata/weorept.aspx?pr.x=90&pr.y=17&sy=2019&ey=2019&scsm=1&ssd=1&sort=country&ds=.&br=1&c=138&s=NGDPD%2CPPPGDP%2CNGDPDPC%2CPPPPC&grp=0&a=|title = Netherlands|date = April 2019|publisher = International Monetary Fund }}</ref> | GDP_PPP_year = ၂၀၂၁ | GDP_PPP_အဆင့် = ၂၇ | GDP_PPP_per_capita = $၆၀,၄၆၁<ref name=imf2/> | GDP_PPP_per_capita_အဆင့် = ၁၁ | GDP_nominal = {{increase}} $၁.၀၁၂ ဘီလီယံ<ref name=imf2/> | GDP_nominal_year = ၂၀၂၁ | GDP_nominal_rank = ၁၇ | GDP_nominal_per_capita = $၅၈,၀၀၃<ref name=imf2/> | GDP_nominal_per_capita_rank = ၁၂ | Gini = ၂၇.၅<!--number only--> | Gini_year = ၂၀၂၀ | Gini_change = increase | Gini_ref = <ref name=eurogini>{{cite web |url=https://ec.europa.eu/eurostat/databrowser/view/tessi190/default/table?lang=en |title=Gini coefficient of equivalised disposable income – EU-SILC survey|publisher= Eurostat |website=ec.europa.eu |access-date=9 August 2021}}</ref> | Gini_rank = | HDI = ၀.၉၄၄<!--number only--> | HDI_year = ၂၀၁၉<!-- Please use the year to which the data refers, not the publication year--> | HDI_change = increase | HDI_ref = <ref name="UNHDR">{{cite web|url=http://hdr.undp.org/en/content/2019-human-development-index-ranking|title=Human Development Report 2019|language=en|publisher=[[ကုလသမဂ္ဂ ဖွံ့ဖြိုးမှု အစီအစဉ်]]|date=10 December 2019|accessdate=၅ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၀|format=PDF|archivedate=30 April 2020|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200430080741/http://hdr.undp.org/en/content/2019-human-development-index-ranking}}</ref> | HDI_အဆင့် = ၈ | ငွေ = {{unbulleted list|[[ယူရို]] (€, EUR)|[[အမေရိကန်ဒေါ်လာ]] ($, USD){{efn|ယူရိုကို နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ ဥရောပအခြမ်းတွင် သုံးစွဲခြင်းဖြစ်ပြီး ဒတ်ချ်ဂီဒါအစား ၂၀၀၂ ခုနှစ်တွင် အစားထိုးသုံးစွဲခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ အမေရိကန်ဒေါ်လာကို ကာရစ်ဘီယံနယ်သာလန်တွင် သုံးစွဲခြင်းဖြစ်ပြီး နယ်သာလန် အန်တီလီယန်းဂီဒါအစား ၂၀၁၁ တွင် အစားထိုးခဲခြင်းဖြစ်ပြီးသည်<ref>{{cite web |url = http://wetten.overheid.nl/BWBR0028551 |title=Wet geldstelsel BES |publisher=Dutch government |date=30 September 2010 |accessdate=၅ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၀}}</ref>}}}} | စံတော်ချိန်ဇုန် = {{ubl|[[UTC]]+1 ([[ဗဟိုဥရောပဒေသ စံတော်ချိန်|CET]])|[[UTC]]−4 ([[အတ္တလန္တိတ်ဒေသ စံတော်ချိန်|AST]]){{efn|CET and CEST are used in the European Netherlands, and AST is used in the Caribbean Netherlands.}}}} | utc_offset = | utc_offset_DST = | time_zone_DST = {{ubl|[[UTC]]+2 ([[ဗဟိုဥရောပဒေသ နွေရာသီစံတော်ချိန်|CEST]])|[[UTC]]−4 ([[အတ္တလန္တိတ်ဒေသ စံတော်ချိန်|AST]])}} | DST_note = {{smaller|Note: Even though the European Netherlands are located within the [[UTC±00:00|UTC±0]] longitudes, the country adopted [[UTC+1]] (Central European Time) as its standard time under German occupation on 2 November 1942, with a +0:40:28 offset (+1:40:28 during DST) from Amsterdam’s Local Mean Time (UTC+0:19:32).<ref>{{cite web |title=Time Zone & Clock Changes in Amsterdam, Netherlands |url=https://www.timeanddate.com/time/zone/netherlands/amsterdam |website=www.timeanddate.com |accessdate=၅ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၀ |language=en}}</ref>}} | date_format = dd-mm-yyyy | electricity = 230 V–50 Hz | drives_on = right | calling_code = +၃၁၊ +၅၉၉{{efn|+599 was the country code designated for the now dissolved Netherlands Antilles. The Caribbean Netherlands still use +599&nbsp;7 (for Bonaire), +599&nbsp;3 (for Sint Eustatius), and +599&nbsp;4 (for Saba).}} | iso3166code = NL | cctld = [[.nl]], [[.bq]]{{efn|.nl သည် နယ်သာလန်နိုင်ငံအတွက် ယေဘုယျ အင်တာနက် ထိပ်ဆုံးဒိုမိန်းအမည်ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် [[.eu]] ဒိုမိန်းကိုလည်း အခြားသော ဥရောပသမဂ္ဂနိုင်ငံများနှင့် မျှဝေအသုံးပြုသည်။ .bq ကို ကာရစ်ဘီယံနယ်သာလန်အတွက် သတ်မှတ်ထားသော်ငြား အသုံးပြုခြင်း မရှိကြပေ။}} | today = | အကြီးဆုံးပြည်နယ် = | အမြင့်ဆုံးနေရာ = | အရှေဆုံးမြစ် = | အကြီးဆုံးအင်း = | ကမ်ရိုးတန်း = | ပွဲများ = | ဗဟိုဘဏ် = | အထိမ်းအမှတ်များ = }} '''နယ်သာလန်နိုင်ငံ'''({{lang-nl|Nederland}} {{IPA-nl|ˈneːdərlɑnt||Nl-Nederland.ogg}})သည် ဥရောပအနောက်ပိုင်းတွင်ရှိသော အဓိကတည်ရှိသော နိုင်ငံဖြစ်ပြီး ကာရစ်ဘီယံဒေသမှ နယ်မြေအစိတ်အပိုင်းအချို့နှင့် ပေါင်းစပ်ပြီး စည်းမျဉ်းခံဘုရင်စနစ်ကျင့်သုံးသည့် နယ်သာလန်ဘုရင်နိုင်ငံတော်([[:en:Kingdom of the Neltherlands|Kingdom of the Neltherlands]])၏ အကြီးဆုံးသော နိုင်ငံဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |url=https://wetten.overheid.nl/BWBR0002154/2017-11-17 |title=Statuut voor het Koninkrijk der Nederlanden |trans-title=Charter for the Kingdom of the Netherlands |language=Dutch |work=Government of the Netherlands |date=17 November 2017 |accessdate=၃ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၀}}</ref> ထိုနယ်သာလန်နိုင်ငံကို ဟော်လန်နိုင်ငံ<ref name="Netherlands vs. Holland">{{cite web |url=https://www.holland.com/global/tourism/information/general/netherlands-vs-holland.htm |title=Netherlands vs. Holland |work=Netherlands Bureau for Tourism and Congresses |accessdate=၃ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၀ |date=18 October 2012 |archive-date=24 November 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201124192022/https://www.holland.com/global/tourism/information/general/netherlands-vs-holland.htm }}</ref>ဟု တရားဝင်မဟုတ်သော အသုံးရှိသည်။ ဥရောပတွင် ပြည်နယ် ၁၂ ခု ပါဝင်ပြီး အရှေ့ဘက်တွင် ဂျာမနီနိုင်ငံ၊ တောင်ဘက်တွင် ဘယ်လ်ဂျီယမ်နိုင်ငံနှင့် အနောက်မြောက်တွင် မြောက်ပင်လယ်တို့နှင့် ထိစပ်နေပြီး မြောက်ပင်လယ်ရှိ ရေပြင်နယ်နိမိတ်သည် ထိုနိုင်ငံတို့နှင့်အပြင် ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနှင့်ပါ ထိစပ်၍နေသည်။<ref>{{cite web |url = http://www.defensie.nl/english/topics/hydrography/contents/maritime-zones-and-boundaries/netherlands-boundaries-in-the-north-sea |title=Netherlands boundaries in the North Sea |publisher=Ministry of Defence |accessdate=၃ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၀|url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140819083824/http://www.defensie.nl/english/topics/hydrography/contents/maritime-zones-and-boundaries/netherlands-boundaries-in-the-north-sea |archivedate=19 August 2014}}</ref> == သမိုင်း == == မြေမျက်နှာသွင်ပြင် == ထူးဆန်းအံ့ဩဖွယ်ကောင်းလောက်အောင်ပင် နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ များစွာသော မြေမျက်နှာပြင် အစိတ်အပိုင်းတို့သည် ဆက်စပ်လျက် ရှိသော မြောက်ပင်လယ်ပြင်အောက် ပေ ၂၀ ခန့်နိမ့်ကျလျက်ရှိသည်။ ယင်းသို့ ပင်လယ် ရေမျက်နှာပြင်အောက် နိမ့်ကျနေသောကြောင့် နယ်သာလန်နိုင်ငံသားတို့သည် အမြဲတစေ ပင်လယ်ပြင်နှင့် ခုခံစစ်ပွဲ ဆင်နွှဲနေရသော တပ်သားများ ဖြစ်လာရလေသည်။ ထာဝစဉ်တိုက်ပွဲဝင်နေရသော တပ်သားများ ဖြစ်သည့်အလျောက် နယ်သာလန်နိုင်ငံသားတို့သည် ထကြွလုံ့လဥဿဟနှင့် ပြည့်စုံကုံလုံသော အမျိုးသားများဖြစ်လေသည်။ နိုင်ငံသားတို့၏ လုံ့လစွမ်းပကားကြောင့် နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် သေးငယ်သော နိုင်ငံဖြစ်လင့်ကစား နိုင်ငံများအလယ်တွင် ထည်ဝါစွာ ရပ်တည်နိုင်ခဲ့ပေသည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံသူ နိုင်ငံသားတို့သည် မိမိတို့ မှီတင်းနေထိုင်ရာ မြေနိမ့်ပိုင်းသို့ ပင်လယ်မှရေများ စီးဝင်မလာစေရန်၊ နည်းအသွယ်သွယ်ဖြင့် ကြိုးပမ်းတကုတ် အားထုတ်ကြရသည်။ ဒိုက်ခေါ် ပေ ၂၀၀၊ ၃၀၀ မျှ ထုထည်ရှိ၍ မြင့်မားလှသော ပင်လယ်ရေကာတာကြီးများကို ခိုင်မာစွာ ဆောက်လုပ်ရ၏။ မြေနိမ့်မှရေများကို လေရဟတ်များဖြင့် အဆင့်ဆင့်သယ်ဆောင်ကာ ပင်လယ်တွင်းသို့ ထုတ်ယူသွင်းပစ်ရ၏။ သို့ဖြစ်ရကား နယ်သာလန်နိုင်ငံကမ်းခြေတလျှောက်ရှိ မြို့ရွာများတွင် လေရဟတ်ကြီးငယ်များဖြင့် ပြည့်နှက်လျက် ရှိပေသည်။ ထိုလေရဟတ်များသည်ပင် နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ ကိုယ်ပိုင်အမှတ်အသားတခု ဖြစ်လာခဲ့သည်။ လေရဟတ်ငယ်ကလေးများသည် နေ့ရောညဉ့်ပါ လည်ပတ်၍ မြေနိမ့်ပိုင်းမှ ရေကိုတူးမြောင်းငယ်များသို့ ပို့ဆောင်ပေး၏။ တူးမြောင်းငယ်များမှ ရေကို တူးမြောင်းကျယ်ကြီးများသို့ လေရဟတ်ကြီးများ၊ လျှပ်စစ်မိုတာများ၊ ဒီဇယ်အင်ဂျင်စက်များဖြင့် ပို့ဆောင်ကာ ပင်လယ်ထဲသို့ ရေကို ထုတ်ပစ်ရလေသည်။ တခါတရံ မုန်တိုင်းထန်သောအခါ လှိုင်းလုံးကြီးများသည် ကြီးမားသောအရှိန်ဖြင့် တူးမြောင်းကြီးများမှ ရေကို လာလမ်းသို့ တွန်းပစ်တတ်၏။ ယင်းသို့သောဝီရိယလုံ့လဖြင့် ပင်လယ်ရေနှင့် အစဉ်စစ်ခင်းနေသည့် အခိုက်မှာပင် ပင်လယ်ရေလွှမ်းမိုးသော အဖြစ်မျိုးကိုလည်း ကြုံတွေ့ရသေး၏။ ၁၉၅၃ ခုနှစ်တွင် ရေလွှမ်းမိုး၍ အကြီးအကျယ်ပျက်စီးခဲ့ရသည်။ == နိုင်ငံရေး == == အစိုးရ == === အုပ်ချုပ်ရေး ဒေသများ === [[File:Map provinces Netherlands-en.svg|thumb|upright=0.9|[[:en:Provinces of the Netherlands|Provinces]] and [[:en:Caribbean Netherlands#Administration|territories]] of the Netherlands]] [[File:2022-NL-Gemeenten-basis-2500px.png|thumb|upright=0.9|[[:en:Municipalities of the Netherlands|Municipalities map]]]] နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် ပြည်နယ် ၁၂ ခုခွဲခြားထားပြီး ၎င်းပြည်နယ်တခုစီသည် ဘုရင့်ကော်မရှင်နာမင်းကြီး (Commissaris van de Koning)၏ လက်အောက်တွင်ရှိသည်။ တရားဝင်အသုံးအနှုန်းမဟုတ်သော်လည်း လင်းဘာ့ဂ်ပြည်နယ်တွင် ထိုရာထူးနေရာအား ဘုရင်ခံ(Gouverneur)ဟုလည်း သုံးနှုန်းသည်။ ပြည်နယ်အားလုံးကို မြူနီစပါယ်ဒေသများအဖြစ် ခွဲခြားထားပြီး ဒေသ ၃၅၅ ခု (၂၀၁၉) ရှိသည်။<ref name=MUNICPS>{{cite web |url = https://www.cbs.nl/nl-nl/onze-diensten/methoden/classificaties/overig/gemeentelijke-indelingen-per-jaar/indeling%20per%20jaar/gemeentelijke-indeling-op-1-januari-2019 |title = Gemeentelijke indeling op 1 januari 2019 |trans-title = Municipalities on 1 January 2019 |language = Dutch |author = <!--Staff writer(s); no by-line.--> |date = 1 January 2019 |work = CBS Classifications |publisher = Statistics Netherlands (CBS)] |accessdate = ၂၉ ဩဂုတ် ၂၀၂၀}}</ref> နိုင်ငံကို ရေထုခရိုင် ၂၁ ခု(၂၀၁၈ ခုနှစ်အရ) ခွဲခြားထားပြီး ရေထုဆိုင်ရာ ဘုတ်အဖွဲ့အစည်း(waterschap or hoogheemraadschap) မှ အုပ်ချုပ်ပြီး ရေကြောင်းနှင့်ဆိုင်သော ကိစ္စရပ်များအား စီမံကွပ်ကဲမှုနှင့်ပတ်သက်ပြီး လုပ်ပိုင်ခွင့်အာဏာတည်ရှိသည်။<ref name=WATER>{{cite web|url=http://www.uvw.nl/de-waterschappen.html |title=De waterschappen |language=Dutch |accessdate=၂၉ ဩဂုတ် ၂၀၂၀ |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20131103064157/http://www.uvw.nl/de-waterschappen.html |archivedate=3 November 2013 }}</ref> ရေထုဆိုင်ရာ ဘုတ်အဖွဲ့အစည်း၏ နိုင်ငံတော်တည်ရှိမှုထက်ပင် စော၍နေပြီး ပထမဆုံးပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်မှာ ၁၁၉၆ ခုနှစ်ကတည်းကပင်ဖြစ်သည်။ ဒတ်ချ် ရေထုဆိုင်ရာ ဘုတ်အဖွဲ့အစည်းသည် သက်တမ်းအရင့်ဆုံးသော ဒီမိုကရေစီနည်းကျ အဖွဲ့အစည်းများတွင် ယနေ့ထက်တိုင် ကမ္ဘာပေါ်၌ ဆက်လက်တည်ရှိနေသော အဖွဲ့အစည်းဖြစ်သည်။ ရေထုဆိုင်ရာ ဘုတ်အဖွဲ့အစည်း၏ တိုက်ရိုက်ရွေးကောက်တင်မြှောက်မှုကို လေးနှစ်လျှင် တစ်ကြိမ်ကျင်းပသည်။ Bonaire, Sint Eustatius နှင့် Saba ကျွန်းများ၏ အုပ်ချုပ်မှုဆိုင်ရာ အဖွဲ့အစည်းကို ကာရစ်ဘီယံနယ်သာလန်(Caribbean Netherlands) ဟုခေါ်ပြီး ပြည်နယ်၁၂ ခု၏ ပြင်ပတွင် တည်ရှိသည်။ ထိုကျွန်းများအား openbare lichamen (public bodies) ဟုသော အမည်နာမရှိပြီး နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် ဤအုပ်ချုပ်မှုဒေသများကို အထူးမြုနီစပယ်ဒေသဟုလည်း တခါတရံ၌ ရည်ညွှန်းကြသည်။<ref name=WOLBES>{{cite web|url=http://www.eerstekamer.nl/wetsvoorstel/31954_wet_openbare_lichamen|title=31.954, Wet openbare lichamen Bonaire, Sint Eustatius en Saba|language=Dutch|publisher=Eerste kamer der Staten-Generaal|quote=De openbare lichamen vallen rechtstreeks onder het Rijk omdat zij geen deel uitmaken van een provincie.<br />"Through the establishment of the BES islands as public bodies, rather than communities, the BES islands' rules may deviate from the rules in the European part of the Netherlands. The Dutch legislation will be introduced gradually. The public bodies fall directly under the central government because they are not part of a province."|accessdate=၂၉ ဩဂုတ် ၂၀၂၀}}</ref> နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် ဘယ်လ်ဂျီယမ်နိုင်ငံအတွင်းသို့ ဝင်ရောက်တည်ရှိနေသော နယ်မြေအများအပြားရှိပြီး ထိုနယ်မြေများသည် မြောက်ဘရာဘန့်ပြည်နယ်၏ အစိတ်အပိုင်းများ ဖြစ်ကြသည်။<ref>{{Cite web|url=http://www.exclave.eu/index.php?option=com_content&view=article&id=4&Itemid=10|title=Baarle-Hertog and Baarle Nassau|website=Exclave.eu|access-date=၂၉ ဩဂုတ် ၂၀၂၀}}</ref> နယ်သာလန်နှင့် ဘယ်လ်ဂျီယမ်နိုင်ငံတို့သည် Benelux နှင့် မကြာသေးမီက Schengen Area ထဲတွင်ပါဝင်ကြပြီး နိုင်ငံနှစ်ခုလုံးမှ နိုင်ငံသားအသီးသီးသည် ထိုနယ်မြေများတွင် ထိန်းချုပ်မှုမရှိပဲ သွားလာနိုင်သည်။ {| style="background:none;" cellspacing="2" | {| class="sortable wikitable" style="text-align:left;" |- ! style="width:40px;" class="unsortable"| အလံ ! style="width:110px;"| ပြည်နယ် ! style="width:120px;"| မြို့တော် ! style="width:100px;"| အကြီးဆုံး မြို့ ! style="width:60px;"| စုစုပေါင်း ဧရိယာ<ref name="auto2"/> ! style="width:60px;"| မြေ ဧရိယာ ! style="width:90px;"| လူဦးရေ<ref name="auto"/><br />(November 2019) ! style="width:80px;"| သိပ်သည်းမှု |- | style="text-align:center"|{{flagicon|Drenthe|size=27px}} || [[Drenthe]] || <center>[[Assen]]</center> || <center>[[Emmen, Netherlands|Emmen]]</center> || style="text-align:right"|{{convert|2680|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}||style="text-align:right"|{{convert|2634|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}|| style="text-align:right"|493,449|| style="text-align:right"|{{convert|188|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |- | style="text-align:center"|{{flagicon|Flevoland|size=27px}} || [[Flevoland]] || <center>[[Lelystad]]</center> || <center>[[Almere]]</center> || style="text-align:right"|{{convert|2413|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}||style="text-align:right"|{{convert|1413|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}|| style="text-align:right"|422,202|| style="text-align:right"|{{convert|299|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |- | style="text-align:center"|{{flagicon|Friesland|size=27px}} || [[Friesland]] ||colspan="2" | <center>[[Leeuwarden]]</center> || style="text-align:right"|{{convert|5749|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}||style="text-align:right"|{{convert|3324|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}|| style="text-align:right"|649,988|| style="text-align:right"|{{convert|196|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |- | style="text-align:center"|{{flagicon|Gelderland|size=27px}} || [[Gelderland]] || <center>[[Arnhem]]</center> || <center>[[Nijmegen]]</center> || style="text-align:right"|{{convert|5136|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}||style="text-align:right"|{{convert|4967|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}|| style="text-align:right"|2,084,478|| style="text-align:right"|{{convert|420|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |- | style="text-align:center"|{{flagicon|Groningen|size=27px}} || [[Groningen (province)|Groningen]] || colspan="2" | <center>[[Groningen (city)|Groningen]]</center> || style="text-align:right"|{{convert|2960|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}||style="text-align:right"|{{convert|2325|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}|| style="text-align:right"|585,881|| style="text-align:right"|{{convert|252|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |- | style="text-align:center"|{{flagicon|Limburg (Netherlands)|size=27px}} || [[Limburg (Netherlands)|Limburg]] || colspan="2" |<center>[[Maastricht]]</center> || style="text-align:right"|{{convert|2210|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}||style="text-align:right"|{{convert|2148|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}|| style="text-align:right"|1,118,223|| style="text-align:right"|{{convert|521|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |- | style="text-align:center"|{{flagicon|North Brabant|size=27px}} || [[North Brabant]]|| <center>[['s-Hertogenbosch]]</center><!-- spelled this way for table-aesthetic reasons--> || <center>[[Eindhoven]]</center> || style="text-align:right"|{{convert|5082|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}||style="text-align:right"|{{convert|4908|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}|| style="text-align:right"|2,562,566|| style="text-align:right"|{{convert|523|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |- | style="text-align:center"|{{flagicon|North Holland|size=27px}} || [[North Holland]] || <center>[[Haarlem]]</center> || <center>[[Amsterdam]]</center> || style="text-align:right"|{{convert|4092|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}||style="text-align:right"|{{convert|2662|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}|| style="text-align:right"|2,877,909|| style="text-align:right"|{{convert|1082|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |- | style="text-align:center"|{{flagicon|Overijssel|size=27px}} || [[Overijssel]] || <center>[[Zwolle]]</center> || <center>[[Enschede]]</center> || style="text-align:right"|{{convert|3421|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}||style="text-align:right"|{{convert|3323|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}|| style="text-align:right"|1,162,215|| style="text-align:right"|{{convert|350|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |- | style="text-align:center"|{{flagicon|South Holland|size=27px}} || [[South Holland]] || <center>[[The Hague]]</center> || <center>[[Rotterdam]]</center> || style="text-align:right"|{{convert|3419|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}||style="text-align:right"|{{convert|2814|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}|| style="text-align:right"|3,705,625|| style="text-align:right"|{{convert|1317|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |- | style="text-align:center"|{{flagicon|Utrecht|size=27px}} || [[Utrecht (province)|Utrecht]] || colspan="2" |<center>[[Utrecht (city)|Utrecht]]</center> || style="text-align:right"|{{convert|1449|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}||style="text-align:right"|{{convert|1380|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}|| style="text-align:right"|1,353,596|| style="text-align:right"|{{convert|981|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |- | style="text-align:center"|{{flagicon|Zeeland|size=27px}} || [[Zeeland]] || colspan="2" |<center>[[Middelburg]]</center> || style="text-align:right"|{{convert|2934|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}||style="text-align:right"|{{convert|1783|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}|| style="text-align:right"|383,689|| style="text-align:right"|{{convert|216|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |- class="sortbottom" ! colspan="2" style="text-align:right;"| Total ! colspan="2" style="text-align:right;"| <center>[[Amsterdam]]</center> ! style="text-align:right;"| {{convert|41545|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}} ! style="text-align:right;"| {{convert|33481|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}} ! style="text-align:right;"| 17,399,821 ! style="text-align:right;"| {{convert|521|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |} |} {| style="background:none;" cellspacing="2" | {| class="sortable wikitable" style="text-align:left;" |- ! style="width:40px;" class="unsortable"| Flag ! style="width:110px;"| Name ! style="width:120px;"| Capital ! style="width:60px;"| Area<ref name="auto1">{{Cite web|url=https://www.rijksoverheid.nl/onderwerpen/caribische-deel-van-het-koninkrijk/vraag-en-antwoord/waaruit-bestaat-het-koninkrijk-der-nederlanden|title=Waaruit bestaat het Koninkrijk der Nederlanden?|author=Ministerie van Algemene Zaken|date=19 May 2015|website=Rijksoverheid}}</ref> ! style="width:90px;"| Population<ref name="auto1"/><br />(January 2019) ! style="width:80px;"|Density |- | style="text-align:center"|{{flagicon|Bonaire|size=27px}} || [[Bonaire]] ||<center>[[Kralendijk]]</center> || style="text-align:right"|{{convert|294|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}|| style="text-align:right"|20,104|| style="text-align:right"|{{convert|69|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |- | style="text-align:center"|{{flagicon|Saba|size=27px}} || [[Saba]] ||<center>[[The Bottom]]</center> || style="text-align:right"|{{convert|13|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}|| style="text-align:right"|1,915|| style="text-align:right"|{{convert|148|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |- | style="text-align:center"|{{flagicon|Sint Eustatius|size=27px}} || [[Sint Eustatius]] ||<center>[[Oranjestad, Sint Eustatius|Oranjestad]]</center> || style="text-align:right"|{{convert|21|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}}|| style="text-align:right"|3,138|| style="text-align:right"|{{convert|150|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |- class="sortbottom" ! colspan="3" style="text-align:right;"| Total ! style="text-align:right;"| {{convert|328|km2|sqmi|abbr=on|sortable=on}} ! style="text-align:right;"| 25,157 ! style="text-align:right;"| {{convert|77|/km2|/sqmi|abbr=on|sortable=on}} |} |} === နိုင်ငံတကာ ဆက်ဆံရေး === [[File:International Court of Justice.jpg|thumb|left|The Peace Palace (''Vredespaleis''), in The Hague]] သမိုင်းတွင် ဒတ်ချ်နိုင်ငံခြားရေးမူဝါဒကို ဘက်မလိုက်မူဝါဒဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဒုတိယကမ္ဘာစစ်မှစ၍ နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် နိုင်ငံတကာအဖွဲ့အစည်း အများအပြားတွင် အဖွဲ့ဝင်ဖြစ်၍ လာခဲ့ပြီး အရေးပါထင်ရှားသော အဖွဲ့အစည်းများမှာ ကုလသမဂ္ဂ၊ နေတိုးနှင့် ဥရောပသမဂ္ဂတို့ဖြစ်သည်။ ဒတ်ချ်စီးပွားရေးသည် အလွန်ပွင့်လင်းမြင်သာပြီး နိုင်ငံတကာကုန်သွယ်ရေးကို ကြီးစွာ မှီတည်နေသည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ နိုင်ငံခြားရေးမူဝါဒသည် အခြေခံကတိကဝတ် ၄ ခုဖြစ်သော အတ္တလန်တစ် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု([[:en:Atlanticism|Atlanticism]])၊ ဥရောပ ပေါင်းစည်းမှု([[:en:European integration|European integration]])၊ နိုင်ငံတကာ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှု၊ နိုင်ငံတကာ ဥပဒေတို့တွင် အခြေတည်သည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံနှင့် စပ်လျဉ်း၍ နိုင်ငံတကာ အငြင်းပွားဖွယ် အကြောင်းအရာမှာ ဆေးခြောက်အပျော့စားနှင့်ပတ်သက်သော လွတ်လပ်ခွင့် မူဝါဒဖြစ်သည်။ ဒတ်ချ်ရွှေခေတ်နှင့် ထိုအလွန်ကာလများတွင် ဒတ်ခ်ျလူမျိုးတို့သည် စီးပွားရေးနှင့် ကိုလိနီ အင်ပါယာများကို တည်ဆောက်ခဲ့ကြသည်။ အရေးကြီးဆုံးသော ကိုလိုနီနယ်များမှာ ယနေ့ခေတ် ဆူရီနမ်နှင့် အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံတို့ဖြစ်သည်။ အင်ဒိုနီးရှားသည် အင်ဒိုနီးရှား အမျိုးသားတော်လှန်ရေးအပြီး လွတ်လပ်ရေးတိုက်ပွဲများ၊ နိုင်ငံတကာ ဖိအားများနှင့်ကုလသမဂ္ဂ လုံခြုံရေးကောင်စီ၏ ဖြေရှင်းချက်များကြောင့် လွတ်လပ်ရေးရရှိလာခဲ့သည်။ ဆူရီနမ်သည် ၁၉၇၅ ခုနှစ်တွင် လွတ်လပ်ရေးရရှိခဲ့သည်။ ကိုလိုနီခေတ် အတိတ်၏ ကောင်းမွေဆိုးမွေတို့သည် သမိုင်းနှင့်ဆက်နွယ်နေရာ အတိတ်သမိုင်းတို့သည် နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ နိုင်ငံခြားဆက်ဆံရေးကို ယခုထက်တိုင် လွှမ်းမိုးထားဆဲဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ထိုနိုင်ငံတို့မှ လူအများအပြားသည် နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် အမြဲတမ်းနေထိုင်သူများအဖြစ် နေထိုင်ကြသည်။ === တပ်မတော် === [[File:Rob Bauer.jpg|thumb|Lieutenant admiral Rob Bauer is the current [[:en:Chief of Defence (Netherlands)|Chief of Defence]].]] နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် ဥရောပတွင် သက်တမ်းအရင့်ဆုံး စစ်တပ်ရှိသည့် နိုင်ငံများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်ပြီး ပထမဆုံး တည်ထောင်ခဲ့သည်မှာ ၁၅၀၀ ခုနှစ်များနှောင်းပိုင်း Maurice of Nassau လက်ထက်ကဖြစ်သည်။ ဒတ်ချ်တပ်​မ​တော်ကို ဒတ်ချ်အင်ပါယာ ကာလတစ်​လျှောက် အသုံးပြုခဲ့သည်။ နပိုလီယံကို စစ်ရှုံးပြီးနောက်ပိုင်း ဒတဒတ်ချ်တပ်မတော်ကို စစ်မှုမထမ်းမနေရ တပ်မတော်အဖြစ် အသွင်ပြောင်းလဲခဲ့ကြသည်။ ထိုတပ်အား ဘယ်လဂျီယမ်တော်လှန်ရေးကာလတွင် မောင်မြင်စွာ တပ်ဖြန့်နိုင်ခြင်း မရှိခဲ့ပေ။ ၁၈၃၀ ခုနှစ်နောက်ပိုင်းတွင် အဓိကအားဖြင့် ဒတ်ချ်ကိုလိုနီနယ်များတွင် တပ်ဖြန့်ထားခဲ့ပြီး ပထမကမ္ဘာစစ်အပါအဝင် ဥရောပစစ်ပွဲများတွင် မပါဝင်တော့ပဲ ဘက်မလိုက်မူဝါဒကို ကျင့်သုံးခဲ့ရာ ဒုတိယကမ္ဘာစစ်အတွင်း ၁၉၄၀ ခုနှစ် မေလတွင် နယ်သာလန်နိုင်ငံအား ကျူးကျော်စီးနင်းမှာသာ စစ်ထဲသို့ပါဝင်ခဲ့ပြီး ရှုံးနိမ့်ခဲ့သည်။ [[File:HNLMS Holland.jpg|thumb|''Zr. Ms. Holland'', a Royal Netherlands Navy offshore patrol vessel]] ၁၉၄၈ ခုနှစ်တွင် နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် ဘက်မလိုက်မူကို စွန့်ခဲ့ပြီး ဘရပ်ဆဲစာချုပ်(Treaty of Brussels)တွင် လက်မှတ်ရေးထိုးခဲ့ပြီး ၁၉၄၉ ခုနှစ်တွင် နေတိုးအဖွဲ့၏ တည်ထောင်သူ အဖွဲ့ဝင် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် ဒတ်ချ်တပ်မတော်သည် နေတိုးအဖွဲ့၏ အင်အားတရပ်ဖြစ်ခဲ့ပြီး စစ်အေးကာလအတွင်း ဂျာမနီနိုင်ငံတွင် များစွာသော အခြေစိုက်စခန်းများတွင် တပ်ဖြန့်ထားရှိခဲ့သည်။ ကိုရီးယား စစ်ပွဲအတွင်း ဒတ်ချ်စစ်သား ၃,၀၀၀ ထောင်ကျော်သည် အမေရိကန်တပ်မတော်၏ အမှတ် ၂ ခြေလျင်တပ်မ (2nd Infantry Division) တွင် တာဝန်ပေးခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ ၁၉၉၆ ခုနှစ်တွင် စစ်မှုမထမ်းမနေရ ဥပဒေကို ရုပ်သိမ်းခဲ့ပြီး ဒတ်ချ်တပ်မ​တော်သည် ပ​ရော်ဖက်ရှင်နယ် တပ်မ​တော်တစ်ရပ်အဖြစ်သို့ ကူး​​ပြောင်းခဲ့သည်။ ၁၉၉၀ ခုနှစ်များမှကတည်းက ဒတ်ချ်တပ်မ​တော်သည် ​ဘောစနီးယားစစ်ပွဲနှင့် ကိုဆိုဗိုစစ်ပွဲများ၊ ဆက်ဒမ်ဟူစိန် စစ်ရှုံးပြီး​နောက် အီရတ်ရှိ ပြည်နယ်တစ်ခုတွင် တပ်စွဲထိန်းချုပ်ထားခြင်း၊ အာဖဂန်နစ္စတန်နိုင်ငံတွင် တိုက်ခိုက်ခဲ့ခြင်းတို့တွင် ပါဝင်ပတ်သက်ခဲ့သည်။ တပ်မတော်ကို အခွဲ ၄ ခုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားပြီး ရှေ့တွင် ကနဦးစာလုံး Koninklijke (တော်ဝင်)ဖြင့် စတင်ထားသည်: * Koninklijke Marine (KM)၊ နယ်သာလန် တော်ဝင် ရေတပ်မတော်၊ ရေကြောင်းဆိုင်ရာ လေယာဉ်များနှင့် ရေကြောင်းဆိုင်ရာ တပ်ဖွဲ့ဝင်များ ပါဝင်သည်။ * Koninklijke Landmacht (KL)၊ နယ်သာလန် တော်ဝင် ကြည်းတပ်မတော်၊ * Koninklijke Luchtmacht (KLu)၊ နယ်သာလန် တော်ဝင် လေတပ်မတော်၊ * Koninklijke Marechaussee (KMar), the Royal Marechaussee (Military Police)၊ တော်ဝင်ရဲတပ်ဖွဲ့၊ တပ်မတော်ရဲများနှင့် နယ်ခြားစောင့်တပ်ဖွဲ့များ ပါဝင်သည်။ ရေငုပ်သင်္ဘောတပ်ဖွဲ့နှင့်သက်ဆိုင်သော တာဝန်များကို အမျိုးသမီးများအတွက် ခွင့်ပြုခဲ့သည်မှာ ၂၀၁၇ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၁ ရက်နေ့မှ ဖြစ်သည်။ နယ်သာလန်တပ်မတော်၏ အထူးတပ်ဖွဲ့(Korps Commandotroepen)တွင် အမျိုးသမီးများအား ခွင့်ပြုထားသော်လည်း ကနဦးလေ့ကျင့်ရေးများတွင် အလွန်ပြင်းထန်သော ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာ လိုအပ်ချက်များကြောင့် အမျိုးသမီးတစ်ဦးအတွက် အထူးတပ်ဖွဲ့ဝင်တစ်ဦးဖြစ်နိုင်ရန် မဖြစ်နိုင်သလောက်ရှိသည်။<ref>[http://www.korpscommandotroepen.nl/index.php?l=nl&p=118 KCT. Official website of the Dutch Commando Foundation] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20110205094656/http://www.korpscommandotroepen.nl/index.php?l=nl&p=118 |date=5 February 2011 }}. Korpscommandotroepen.nl (14 April 2010). Retrieved on 21 August 2012.</ref> ဒတ်ချ်ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာနတွင် ဝန်ထမ်း ၇၀,၀၀၀ ကျော် ခန့်အပ်ထားပြီး ၂၀,၀၀၀ ကျော်မှာ အရပ်သားများ ဖြစ်ပြီး၅၀,၀၀၀ ကျော်မှာ တပ်မတော်သားများ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.defensie.nl/onderwerpen/werken_bij_defensie |title=Ministerie van defensie – Werken bij Defensie |publisher=Mindef.nl |accessdate=၅ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၀ |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110811142105/http://www.defensie.nl/onderwerpen/werken_bij_defensie |archivedate=11 August 2011 }}</ref> ၂၀၁၁ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် အစိုးရသည် အစိုးရအသုံးစရိတ်များ ဖြတ်တောက်သည့်အတွက် စစ်သုံးစရိတ်များကို အကြီးအကျယ်လျော့ချမည့်အကြောင်း ကြေညာခဲ့ရာ ထို့အထဲတွင် တင့်၊ တိုက်လေယာဉ်၊ သင်္ဘောနှင့် အကြီးတန်းတပ်မတော်အရာရှိများ လျော့ချရေးတို့ပါဝင်သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.defensie.nl/actueel/nieuws/2011/04/08/46180709/Defensie_hard_getroffen_door_bezuinigingen_video |title=Defensie hard getroffen door bezuinigingen |publisher=Ministry of Defence |accessdate=၅ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၀ |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110807071458/http://www.defensie.nl/actueel/nieuws/2011/04/08/46180709/Defensie_hard_getroffen_door_bezuinigingen_video |archivedate=7 August 2011 }}</ref> နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် စစ်ဥပဒေနှင့်ပတ်သက်သော နိုင်ငံတကာ သဘောတူညီချက်များတွင် လက်မှတ်ရေးထိုးခဲ့သည်။ သို့သော် နျူးကလီယားလက်နက်လျော့ချရေးနှင့် ပတ်သက်သော ကုလသမဂ္ဂ စာချုပ်ကို လက်မှတ်မရေးထိုးရန် ဆုံးဖြတ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=Red Cross urges Netherlands to sign UN nuclear weapons ban |url=https://nltimes.nl/2019/02/11/red-cross-urges-netherlands-sign-un-nuclear-weapons-ban |work=NL Times |date=11 February 2019}}</ref> == စီးပွားရေး == [[File:Smile 29Aug07 5, at the Amazone harbour, Port of Rotterdam, Holland 29-Aug-2007.jpg|thumb|ဥရောပ၏အကြီးဆုံးဆိပ်ကမ်းဖြစ်သော ရော်တာဒမ်ဆိပ်ကမ်း]] နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် ဖွံ့ဖြိုးပြီး စီးပွားရေးရှိပြီး ရာစုနှစ်များစွာကြာအောင် ဥရောပစီးပွားရေး၏ အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ ၁၆ ရာစုမှစ၍ သင်္ဘောလုပ်ငန်း၊ ငါးလုပ်ငန်း၊ စိုက်ပျိုးရေး၊ ကုန်သွယ်မှုနှင့် ဘဏ်လုပ်ငန်းများသည် ဒတ်ချ်စီးပွားရေးလုပ်ငန်း၏ အဓိကအစိတ်အပိုင်းများဖြစ်ကြသည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် မြင့်မားသောအဆင့်ရှိသော စီးပွားရေးလွတ်လပ်ခွင့်ရှိသည်။ Global Enabling Trade Report(2nd in 2016) အစီရင်ခံစာတွင် ထိပ်ဆုံးနိုင်ငံထဲမှ တစ်နိုင်ငံဖြစ်ပြီး Swiss International Institute for Management Development ၏ ၂၀၁၇ ခုနှစ်စာရင်းအရ စီးပွားရေးဆိုင်ရာယှဉ်ပြိုင်နိုင်မှု၌ ကမ္ဘာပေါ်တွင် အဆင့် ၅ တွင်ရှိသော နိုင်ငံဖြစ်သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.imd.org/globalassets/wcc/docs/release-2017/2017-world_competitiveness_ranking.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20170604200349/http://www.imd.org/globalassets/wcc/docs/release-2017/2017-world_competitiveness_ranking.pdf|url-status=dead|archive-date=4 June 2017|title=Wayback Machine|date=4 June 2017|accessdate=၉ ဇွန် ၂၀၂၀}}</ref> ထို့ပြင် နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် 2018 Global Innovation Index ၏ညွှန်းကိန်းများအရ ကမ္ဘာပေါ်တွင် ဒုတိယမြောက် တီထွင်ဆန်းသစ်မှုအရှိဆုံးသော နိုင်ငံဖြစ်သည်။<ref>Cornell University, INSEAD, and WIPO (2018): The Global Innovation Index 2018: Energizing the World with Innovation. Ithaca, Fontainebleau and Geneva</ref> [[File:Netherlands.jpg|thumb|The Netherlands is a heavily developed country. Shown here is a motorway passing by a [[:en:polder|polder]] with a [[:en:windpump|drainage windmill]], and two [[:en:wind turbines|wind turbines]] in the background.]] ၂၀၁၆ ခုနှစ် စာရင်းများအရ နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ အဓိကကုန်သွယ်ဖက်နိုင်ငံများမှာ ဂျာမနီနိုင်ငံ၊ ဘယ်လ်ဂျီယမ်နိုင်ငံ၊ ယူနိုက်တက် ကင်းဒမ်း၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု၊ ပြင်သစ်၊ အီတလီ၊ တရုတ်နှင် ရုရှားနိုင်ငံတို့ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web|title = The World Factbook|url = https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/nl.html|website = www.cia.gov|accessdate = 22 April 2015|archivedate = 21 May 2020|archiveurl = https://web.archive.org/web/20200521043249/https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/nl.html}}</ref> ထို့ပြင် နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် ကမ္ဘာ့ပို့ကုန်ထိပ်သီး ၁၀ နိုင်ငံတွင်လည်း ပါဝင်သော နိုင်ငံတစ်နိုင်ငံဖြစ်သည်။ စားသောက်ကုန်လုပ်ငန်းသည် ကုန်ထုတ်လုပ်ငန်း၏ အကြီးမားဆုံးသော အစိတ်အပိုင်းဖြစ်ပြီး အခြားသော အဓိကကုန်ထုတ်စက်မှုလုပ်ငန်းများမှာ ဓာတုပစ္စည်းလုပ်ငန်း၊ သတ္တုလုပ်ငန်း၊ စက်ပစ္စည်းအစိတ်အပိုင်းလုပ်ငန်း၊ လျှပ်စစ်ပစ္စည်းလုပ်ငန်း၊ ကုန်သွယ်မှု၊ ဝန်ဆောင်မှုနှင့် ခရီသွားလုပ်ငန်းတို့ဖြစ်သည်။ နိုင်ငံတကာတွင် ကုမ္ပဏီခွဲများထားရှိလုပ်ဆောင်နေသော ဒတ်ချ်ကုမ္ပဏီများကို ဥပမာအဖြစ် ထုတ်နှုတ်ပြရလျှင် [[:en:Randstad Holding|Randstad]]၊ [[:en:Unilever|Unilever]]၊ [[:en:Heineken International|Heineken]]၊ [[:en:KLM|KLM]]၊ ဘဏ္ဍာရေးဝန်ဆောင်မှုလုပ်ငန်းများတွင် [[:en:ING Group|ING]]၊ [[:en:ABN AMRO|ABN AMRO]]၊ [[:en:Rabobank|Rabobank]]၊ ဓာတုပစ္စည်းလုပ်ငန်းများတွင် [[:en:DSM (company)|DSM]], [[:en:AkzoNobel|AKZO]]၊ ရေနံသန့်စင်မှုလုပ်ငန်းများတွင် [[:en:Royal Dutch Shell|Royal Dutch Shell]]၊ အီလက်ထရောနစ်ပစ္စည်းလုပ်ငန်းတွင် [[:en:Philips|Philips]]၊ [[:en:ASML Holding|ASML]]၊ ဂြုဟ်တုဖြင့် သွားလာမှုညွှန်ပြသော ကုမ္ပဏီအဖြစ် [[:en:Tom Tom|Tom Tom]] တို့ဖြစ်ကြသည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် ၁၇ နိုင်ငံမြောက် အကြီးဆုံးစီးပွားရေးလုပ်ငန်းရှိသော နိုင်ငံဖြစ်ပြီး နိုင်ငံသားတစ်ဦးချင်းအလိုက် GDP တွင်လည်း ၁၀ နိုင်ငံမြောက် အမြင့်ဆုံးသော နိုင်ငံဖြစ်သည်။ ၁၉၉၇ ခုနှစ်မှ ၂၀၀၀ ခုနှစ်အကြားတွင် နှစ်စဉ်စီးပွားရေးတိုးတက်မှု(GDP)သည် ပျမ်းမျှအားဖြင့် ၄% နီးပါးရှိပြီး ဥရောပပျမ်းမျှရာခိုင်နှုန်းထက် ကောင်းစွာ ကျော်လွန်ခဲ့သည်။ ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ စီးပွားရေးနှေးကွေးမှု ကြုံတွေ့ရသော ၂၀၀၁ ခုနှစ်မှ ၂၀၀၅ ခုနှစ်အထိ တိုးတက်မှုမှာ အတော်လေး နှေးကွေးလာခဲ့ပြီး၂၀၀၇ ခုနှစ်၏ တတိယလေးလပတ်တွင် ၄.၁% ထိ အရှိန်မြင့် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၂၀၁၃ ခုနှစ် မေလတွင် ငွေကြေးဖောင်းပွမှုနှုန်း(inflation)သည် တစ်နှစ်လျှင် ၂.၈% ထိရှိလာခဲ့သည်။<ref>{{cite web|title=Inflation up to 2.8 percent|url=http://www.cbs.nl/en-GB/menu/themas/dossiers/conjunctuur/publicaties/artikelen/archief/2013/2013-042-pb.htm|publisher=Statistics Netherlands|accessdate=၉ ဇွန် ၂၀၂၀|date=6 June 2013|archive-date=7 March 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160307040726/http://cbs.nl/en-gb/menu/themas/dossiers/conjunctuur/publicaties/artikelen/archief/2013/2013-042-pb.htm}}</ref> ၂၀၁၃ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် အလုပ်လက်မဲ့ရာခိုင်နှူန်းသည် ၈.၂%(သိုမဟုတ် ILO၏ သတ်မှတ်ချက်အရ ၆.၇%)<ref>{{cite web|url=http://www.cbs.nl/en-GB/menu/themas/dossiers/conjunctuur/publicaties/artikelen/archief/2013/2013-035-pb.htm|title=Unemployment further up|accessdate=၉ ဇွန် ၂၀၂၀|date=15 May 2013|publisher=Statistics Netherlands|archive-date=6 March 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160306033400/http://cbs.nl/en-gb/menu/themas/dossiers/conjunctuur/publicaties/artikelen/archief/2013/2013-035-pb.htm}}</ref> ရှိလာပြီး ၂၀၁၉ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလသို့ ရောက်ရှိလာသောအခါမှသာ ၃.၄% သို့ ကျဆင်းသွားခဲ့သည်။<ref>{{cite web|title=More employed in February|url=https://www.cbs.nl/en-gb/news/2019/12/more-employed-in-february|accessdate=၉ ဇွန် ၂၀၂၀|date=21 February 2019|archive-date=11 June 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200611083222/https://www.cbs.nl/en-gb/news/2019/12/more-employed-in-february}}</ref> နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် ဂီနီညွှန်းကိန်း(GINI coefficient)အရကြည့်မည်ဆိုလျှင်လည်း အလွန်နည်းပါးပြီး ၀.၃၂၆ သာ ရှိသည်။ နိုင်ငံသားအလိုက် ဂျီဒီပီမှာ ၇ နိုင်ငံမြောက် အမြင့်ဆုံးတွင်ရှိသော်လည်း ယူနီဆက်(UNICEF) ၏ ချမ်းသာသော နိုင်ငံများတွင် ကလေးများအတွက် သုခပြည့်စုံမှု၌ အဆင့်သတ်မှတ်ချက်တွင် ထိပ်ဆုံး အဆင့် ၁ နေရာတွင် ရှိနေသည်။ စီးပွားရေးလွတ်လပ်ခွင့် ညွှန်းကိန်း(Index of Economic Freedom)အရ လွတ်လပ်သော ဈေးကွက် အရင်းရှင်စီးပွားရေးတွင် ၁၅၇ နိုင်ငံအား တိုင်းတာခဲ့ရာတွင် အဆင့် ၁၃ ရှိသော နိုင်ငံဖြစ်သည်။ အမ်စတာဒမ်သည် နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ ဘဏ္ဍာရေးနှင့် စီးပွားရေးဆိုင်ရာ မြိုတော်ဖြစ်သည်။ Euronext ၏ အစိတ်အပိုင်းဖြစ်သော အမ်စတာဒမ်စတော့အိတ်ချိန်း(Amsterdam Stock Exchange, AEX)သည် ကမ္ဘာပေါ်ရှိ သက်တမ်းအရင့်ဆုံး စတော့အိတ်ချိန်းဖြစ်ပြီး ဥရောပ၏ အကြီးဆုံးစတော့အိတ်ချိန်းများထဲမှညတစ်ခုဖြစ်သည်။ စတော့အိတ်ချိန်းသည် မြို့တော်၏ အလယ် ဒမ်ရင်ပြင်(Dam Square)အနီးတွင် တည်ရှိသည်။ ယူရိုငွေကြေးကို တည်ထောင်သူ အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံတစ်နိုင်ငံအနေဖြင့် နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် ၎င်း၏ ယခင်ငွေကြေးဖြစ်သော "ဂီဒါ"နှင့် လဲလှယ်ခြင်းကို အခြားသော ထောက်ခံသူ ၁၅ နိုင်ငံနှင့်အတူ လဲလှယ်ခြင်းကို ၁ ဇန်နဝါရီ ၁၉၉၉ တွင် ဆောင်ရွက်ခဲ့ပြီး အမှန်တကယ် အသုံးပြုခြင်းကို ၁ ဇန်နဝါရီ ၂၀၀၂ ခုနှစ်တွင် ဆောင်ရွက်နိုင်ခဲ့သည်။ ၁ ယူရိုသည် ဒတ်ခ်ျဂီဒါ ၂.၂၀၃၇၁ နှင့် ညီမျှသည်။ ကာရစ်ဘီယံနယ်သာလန်တွင် အမေရိကန်ဒေါ်လာကို ယူရိုအစား အသုံးပြုကြသည်။ [[File:BlueEurozone.svg|thumb|left|The Netherlands is part of a monetary union, the [[:en:Eurozone|Eurozone]] (dark blue), and the [[:en:Internal Market (European Union)|EU single market]].]] ဥရောပ၏ အကြီးဆုံး ဆိပ်ကမ်းဖြစ်သော ရော်တာဒမ်ဆိပ်ကမ်းတည်ရှိရာ နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ တည်နေရာသည် ဂျာမနီနှင့် ယူနိုက်တက်ကမ်းဒမ်းအကြား ဈေးကွက်ချိတ်ဆက်ပေးရာ နေရာပင်ဖြစ်သည်။ စီးပွား‌ရေး၏ အခြားသော အရေးပါသည့် အစိတ်အပိုင်းမှာ နိုင်ငံတကာကုန်သွယ်ရေး၊ ဘဏ်လုပ်ငန်းနှင့် သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးတို့ဖြစ်သည်။ အမ်စတာဒမ်မြို့သည် နိုင်ငံတကာ ခရီးသွားဧည့်သည် ၄.၂ မီလီယံကျော် လာရောက်လည်ပတ်သည့် ဥရောပ၏ ၅ နေရာမြောက် ခရီးသွားထူထပ်ဆုံးသော မြို့ဖြစ်သည်။<ref name="42milvisitors">{{cite web|url=http://www.ez.amsterdam.nl/page.php?page=9&menu=27 |title=Amsterdam en de wereld: Toerisme en congreswezen |accessdate=၁၉ ဇွန် ၂၀၂၀ |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090215160103/http://www.ez.amsterdam.nl/page.php?page=9&menu=27 |archivedate=15 February 2009 }}. ez.amsterdam.nl</ref> ဥရောပသမဂ္ဂ၏ ရွေ့ပြောင်းလုပ်သားများ တိုးပွားလာမှုကြောင့် ဗဟိုနှင့် အရှေ့ဥရောပမှ ရွေ့ပြောင်းလုပ်သားများ နယ်သာလန်နိုင်ငံသို့ ရောက်ရှိလာခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite news |url=http://uk.reuters.com/article/2012/02/10/uk-dutch-immigrants-idUKTRE8191ML20120210 |title=Dutch allow Wilders' anti-Pole website, EU critical |work=Reuters |date=10 February 2012 |first=Gilbert |last=Kreijger |accessdate=19 June 2020 |archivedate=21 November 2015 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20151121020852/http://uk.reuters.com/article/2012/02/10/uk-dutch-immigrants-idUKTRE8191ML20120210 }}</ref> နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် နိုင်ငံခြားတိုက်ရိုက်ရင်းနှီးမြုပ်နှံမှုတွင် ထိပ်ဆုံးနိုင်ငံများမှ တစ်နိုင်ငံအဖြစ် ဆက်လက်ဦးဆောင်ခဲ့ပြီး အမေရိကန်နိုင်ငံတွင် ရင်နှီးမြုပ်နှံမှု အကြီးမားဆုံးသော နိုင်ငံကြီး ၅ နိုင်ငံမှ တစ်နိုင်ငံဖြစ်သည်။ ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် စီးပွားရေးနှေးကွေးလာမှုနှင့် ကြုံတွေ့ခဲ့ရသော်လည်း ၂၀၀၆ ခုနှစ်တွင် ပို့ကုန်တိုးမြှင့်မှုနှင့် ရင်းနှီးမြုပ်နှံမှု ခိုင်မာခြင်းတို့ကြောင့် ခြောက်နှစ်အတွင့် အမြင့်ဆုံးနေရာသို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ကမ္ဘာ့စီးပွားရေးဖိုရမ်၏ အရ နယ်သာလန်နိုင်ငံသည်ယှဉ်ပြိုင်နိုင်မှု စီးပွားရေးအရှိဆုံး စတုတ္ထမြောက်နိုင်ငံ ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref name="wefcomp">{{cite web|url=http://www.weforum.org/issues/global-competitiveness |title=Global Competitiveness Report 2012–2013 |publisher=World Economic Forum |date=5 September 2012 |accessdate=၁၉ ဇွန် ၂၀၂၀ |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20141210040419/http://www.weforum.org/issues/global-competitiveness |archivedate=10 December 2014}}</ref> === သဘာဝဓာတ်ငွေ့ === [[File:Natural gas NL.png|thumb|250px|Natural gas concessions in the Netherlands. Today the Netherlands accounts for more than 25% of all natural gas reserves in the EU.]] ၁၉၅၀ ခုနှစ်များ အစောပိုင်းတွင် နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် ကြီးမားသော သဘာဝဓာတ်ငွေ့သိုက်များကို တွေ့ရှိခဲ့သည်။ သဘာဝဓာတ်ငွေ့များ ရောင်းချခြင်းသည် ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာအောင် ယူရိုဘီလီယံများစွာကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် အစိုးရ၏ဝင်ငွေတိုးလာစေပြီး နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ ဘဏ္ဍာငွေကို များပြားလာစေရန် ပြုလုပ်ပေးနိုင်ခဲ့သည်။<ref name="vorige.nrc.nl">[http://vorige.nrc.nl//international/article2274261.ece/The_Dutch_curse_how_billions_from_natural_gas_went_up_in_smoke The Dutch curse: how billions from natural gas went up in smoke] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161221000129/http://vorige.nrc.nl//international/article2274261.ece/The_Dutch_curse_how_billions_from_natural_gas_went_up_in_smoke |date=21 December 2016 }} LEES MEER, 17 June 2009</ref> သို့ပေမယ်လည်း နိုင်ငံ၏ ကြီးမားသော စွမ်းအင်ကြွယ်ဝမှုသည် မမြင်နိုင်သော အကျိုးဆက်များအဖြစ် စီးပွားရေးအခြားသော အစိတ်အပိုင်းတို့၏ ယှဉ်ပြိုင်နိုင်စွမ်းကို ထိခိုက်ခဲ့ပြီး ထိုအခြေအနေကို [[ဒတ်ခ်ျရောဂါ]]ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။<ref name="vorige.nrc.nl"/> [[File:Wildervank natural gas field.jpg|thumb|250px|The Groningen gas field whose discovery in 1959 transformed the Dutch economy, generating €159 billion in revenue since the mid-1970s.]] ကျောက်မီးသွေးနှင့် ဓာတ်ငွေ့မှလွဲ၍ နိုင်ငံ၌ အခြားသော တွင်းထွက်သတ္တုများ မရှိချေ။ နောက်ဆုံးသော ကျောက်မီးသွေးတွင်းကို ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် ပိတ်သိမ်းခဲ့သည်။ ဂရိုနင်ဂန်ဓာတ်ငွေ့တူးဖော်ရာမြေသည် ကမ္ဘာပေါ်ရှိ အကြီးဆုံးသော ဓာတ်ငွေ့တူးဖော်သည့် လုပ်ငန်းမြေထဲမှ တစ်ခုဖြစ်ပြီး စလော့ချ်သာရင်းကျေးရွာအနီးတွင် တည်ရှိသည်။ ၁၉၇၀ ခုနှစ်များ အလယ်ပိုင်းကတည်းကပင် အဆိုပါ ဓာတ်ငွေ့လုပ်ငန်းမှ နိုင်ငံဘဏ္ဍာငွေ ယူရို ၁၅၉ ဘီလီယံခန့် ရရှိ၍နေသည်။<ref name="geo">{{cite web|url=http://www.geoexpro.com/article/The_Groningen_Gas_Field/bf349ab1.aspx|title=The Groningen Gas Field|year=2009|publisher=GEO ExPro Magazine|accessdate=၂၇ ဇွန် ၂၀၂၀|archivedate=19 October 2013|archiveurl=https://web.archive.org/web/20131019172237/http://www.geoexpro.com/article/The_Groningen_Gas_Field/bf349ab1.aspx}}</ref> ထိုဓာတ်ငွေ့တူးဖော်ခြင်းကို အစိုးရပိုင် Gasunie ကုမ္ပဏီမှ ဆောင်ရွက်ပြီး ထုတ်လုပ်မှုကို အစိုးရပိုင် Royal Dutch Shell နှင့် Exxon Mobil တို့မှ ပူပေါင်းဆောင်ရွက်သည်။ "ဓာတ်ငွေ့တူးဖော်ခြင်းသည် ကမ္ဘာမြေပြင်းထန်စွာ တုန်ခါမှုကို တိုးလာစေပြီး အချို့သော တိုင်းတာချက်များတွင် ၃.၆ ရစ်ချက်တာစကေးလောက်အထိ ပြင်းအားရှိသည်။ ပျက်စီးမှုများအား ပြင်ဆင်စရိတ်၊ အဆောက်အဦတို့၏ ဖွဲ့စည်းပုံအဆင့်မြှင့်ခြင်းနှင့် တန်ဖိုးနိမ့်ကျသွားသော အိမ်ရာများအတွက်လျော်ကြေးသည် ယူရို ၆.၅ ဘီလီလံ နီးပါးရှိ၍‌နေပြီဖြစ်သည်။ အိမ်ခြေ ၃၅,၀၀၀ နီးပါးသည် ဤအကျိုးသက်ရောက်မှုကို ခံစားရသည်ဟု ဆိုသည်။"<ref>UPDATE 2-Dutch gas field earthquake dangers ignored for decades -Safety Board Wed 18 February 2015, By Anthony Deutsch,18 Feb (Reuters)</ref> နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် ဥရောပသမ္မဂ္ဂ၏ ၂၅ % ခန့်သော သိုလှောင်ထားသော သဘာဝဓာတ်ငွေ့ရှိသည်။ စွမ်းအင်ထုတ်လုပ်မှုသည် ၂၀၁၄ ခုနှစ်၌ နိုင်ငံဂျီဒီပီ၏ ၁၁% နီးပါးရှိ၍နေသည်။<ref>{{cite web|url=http://www.iea.org/publications/freepublications/publication/Netherlands2014.pdf|title=Energy Policies of IEA Countries|publisher=International Energy Agency|access-date=23 March 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20160705030846/http://www.iea.org/publications/freepublications/publication/Netherlands2014.pdf|archive-date=5 July 2016|url-status=dead|accessdate=27 June 2020|archivedate=5 July 2016|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160705030846/http://www.iea.org/publications/freepublications/publication/Netherlands2014.pdf}}</ref> နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ စီးပွားရေးသည် သဘာဝဓာတ်ငွေ့သိုလှောင်မှုမှ အဓိကမျှဝေမှု ရရှိ၍နေသောကြောင့် စွမ်းအင်သတ်မှတ်ချက်တွင် အလွန်မြင့်သည့်အခြေအနေသို့ ရောက်ရှိနေသည်။<ref>{{cite web|url=https://www.energieakkoordser.nl/~/media/files/energieakkoord/publiciteit/agreement-on-energy-policy-in-practice.ashx|title=The Agreement on Energy for Sustainable Growth|publisher=SER|access-date=27 June 2020|archive-date=26 June 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190626200052/https://www.energieakkoordser.nl/~/media/files/energieakkoord/publiciteit/agreement-on-energy-policy-in-practice.ashx}}</ref> နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် စွမ်းအင်ထောက်ပံ့မှုတွင် အနာဂတ်စိန်ခေါ်မှုအဖြစ် ကြုံတွေ့နိုင်ပြီး ၂၀၂၅၌ ဓာတ်ငွေ့ထုတ်လုပ်ဖြန့်ဖြူးမှုတွင် လိုအပ်မှုများနှင့် ကြုံတွေ့နိုင်သည်ဟု ခန့်မှန်းကြသည်။ အထူးသဖြင့် နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ အဓိက ဓာတ်ငွေ့ထုတ်လုပ်ရာ‌နေရာဖြစ်သော ဂရိုနင်ဂန် ဓာတ်ငွေ့ထုတ်လုပ်ရေးနေရာတွင် ပြတ်တောက်မှုများနှင့် ကြုံတွေ့နိုင်ပြီး မြေငလျင်များသည် ဂရိုနင်ဂန်ဒေသကို လှုပ်ခတ်နိုင်သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.iea.org/publications/freepublications/publication/Netherlands2014.pdf|title=Energy Policies|publisher=IEA|access-date=၂၇ ဇွန် ၂၀၂၀|archive-url=https://web.archive.org/web/20160705030846/http://www.iea.org/publications/freepublications/publication/Netherlands2014.pdf|archive-date=5 July 2016|url-status=dead|accessdate=27 June 2020|archivedate=5 July 2016|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160705030846/http://www.iea.org/publications/freepublications/publication/Netherlands2014.pdf}}</ref> နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ စွမ်းအင်ထောက်ပံ့မှုသည် သဘာဝဓာတ်ငွေ့ပေါ်တွင် ကြီးမားစွာ မူတည်နေသည်။ ဓာတ်ငွေ့သည် နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ အိမ်များအား ပူနွေးမှုပေးနိုင်သည့် အဓိကရင်းမြစ်ဖြစ်ပြီး<ref name=stp/> ၂၀၁၄ ခုနှစ်တွင် စွမ်းအင်ပေါင်းစပ်မှု၏ ၃၅ ရာခိုင်နှုန်းအား ကိုယ်စားပြုသည်။<ref name=bbs>{{cite web|url=https://www.iea.org/media/countries/Netherlands.pdf|title=Netherlands Energy System Overview|publisher=IEA|access-date=၂၇ ဇွန် ၂၀၂၀|archive-url=https://web.archive.org/web/20171227075530/https://www.iea.org/media/countries/Netherlands.pdf|archive-date=27 December 2017|url-status=dead|accessdate=27 June 2020|archivedate=27 December 2017|archiveurl=https://web.archive.org/web/20171227075530/https://www.iea.org/media/countries/Netherlands.pdf}}</ref> ထို့အပြင် European Union 2020 package (GHG ထုတ်လွှတ်မှုအား ၂၀% လျော့ချရေး၊ စွမ်း‌အင်‌အစု၏ ၂၀% မှာ ပြန်လည်ပြည့်ဖြိုးမြဲစွမ်းအင်ဖြစ်ရေး၊ စွမ်းအင် ထိရောက်စွာ အသုံးချနိုင်မှု ၂၀ % တိုးမြှင့်နိုင်ရေး) အား ၂၀၀၉ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ပြန်ခဲ့ရာ နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ ပြည်တွင်းစွမ်းအင်မူဝါဒနှင့် ပတ်သက်၍ များစွာ လွှမ်းမိုးမှုရှိခဲ့ပြီး အစိုးရမဟုတ်သော လုပ်ဆောင်နေသူများအား စီးပွားရေး၏ ဝင်ငွေအရင်းအမြစ်အဖြစ် သဘာဝရင်းမြစ်များ အပေါ်တွင် မှီခိုအားထားမှုကို လျော့ချစေပြီး စွမ်းအင်ဆိုင်ရာ ပြုပြင်ပြောင်းလဲမှုတွင် သဘောတူညီစေရန် ဖိအားပေးခဲ့သည်။ <ref name=yea>{{cite web|url=https://www.iea.org/policiesandmeasures/pams/netherlands/name-158564-en.php?s=dHlwZT1yZSZzdGF0dXM9T2s,&return=PG5hdiBpZD0iYnJlYWRjcnVtYiI-PGEgaHJlZj0iLyI-SG9tZTwvYT4gJnJhcXVvOyA8YSBocmVmPSIvcG9saWNpZXNhbmRtZWFzdXJlcy8iPlBvbGljaWVzIGFuZCBNZWFzdXJlczwvYT4gJnJhcXVvOyA8YSBocmVmPSIvcG9saWNpZXNhbmRtZWFzdXJlcy9yZW5ld2FibGVlbmVyZ3kvIj5SZW5ld2FibGUgRW5lcmd5PC9hPjwvbmF2Pg|title=Energy Agreement for Sustainable Growth|publisher=International Energy Agency|access-date=27 June 2020|archive-date=18 June 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190618201520/https://www.iea.org/policiesandmeasures/pams/netherlands/name-158564-en.php?s=dHlwZT1yZSZzdGF0dXM9T2s,&return=PG5hdiBpZD0iYnJlYWRjcnVtYiI-PGEgaHJlZj0iLyI-SG9tZTwvYT4gJnJhcXVvOyA8YSBocmVmPSIvcG9saWNpZXNhbmRtZWFzdXJlcy8iPlBvbGljaWVzIGFuZCBNZWFzdXJlczwvYT4gJnJhcXVvOyA8YSBocmVmPSIvcG9saWNpZXNhbmRtZWFzdXJlcy9yZW5ld2FibGVlbmVyZ3kvIj5SZW5ld2FibGUgRW5lcmd5PC9hPjwvbmF2Pg}}</ref> ထို့ကြောင့် သဘာဝရင်းမြစ်များ ပြတ်တောက်သွားလျှင် အထူးသဖြင့် သဘာဝဓာတ်ငွေ့များ ပြတ်တောက်သွားခဲ့လျှင် နိုင်ငံ၏ စွမ်းအင်ဆိုင်ရာ လုံခြုံရေး လုံခြုံစိတ်ချမှု ရှိစေရန် ပြန်လည်ပြည့်ဖြိုးမြဲစွမ်းအင်သို့ ကူးပြောင်းရေးမှာ နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ အဓိကမူဝါဒ ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref name=stp>{{cite web|url=https://www.ebn.nl/oil-and-gas-in-the-netherlands/?lang=en|title=The hunt for gas and oil reserves that are more difficult to extract|publisher=EBN|url-status=dead|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150907041804/https://www.ebn.nl/oil-and-gas-in-the-netherlands/?lang=en|archivedate=7 September 2015}}</ref> ၂၀၂၀ ခုနှစ်တွင် နိုင်ငံစွမ်းအင်စုစုပေါင်း၏ ၁၄% သည် ပြန်လည်ပြည့်ဖြိုးမြဲစွမ်းအင်ဖြစ်လာရေး မူဝါဒချမှတ်ခဲ့သည်။<ref name=neo>{{cite web|url=https://english.rvo.nl/sites/default/files/2017/11/National%20Energy%20Outlook%202017_Summary.pdf |title=National Energy Outlook 2017|publisher=Energy Research Center of the Netherlands}}</ref> ၂၀၁၁ ခုနှစ်တွင် အစိုးရ၏ စုစုပေါင်း စွမ်းအင်ထုတ်လုပ်မှုအား ထောက်ပံ့ပေးမှု၌ ပြန်လည်ပြည့်ဖြိုးမြဲစွမ်းအင်ထုတ်လုပ်မှုတွင် ၃၁%(EUR 743MM) ရှိနေချိန်၌ သမာရိုးကျ စွမ်းအင်ထုတ်လုပ်မှုအပိုင်းတွင် ၆၉% (EUR 1.6B) ရှိသည်။<ref name=EuropeanEnvironmentalAgency>{{cite web|url=https://www.eea.europa.eu/publications/energy-support-measures/the-netherlands-country-profile/view|title=Energy support measures and their impact on innovation|publisher=European Environmental Agency}}</ref> ထို့အပြင် နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ စွမ်းအင်ဈေးကွက်၌ Nuon၊ RWE၊ E.ON၊ Eneco နှင့် Delta စသော အဓိက ကော်ပိုရေးရှင်းများက ဆက်လက်လွှမ်းမိုးထားပြီး ထိုကုပ္ပဏီများသည် စွမ်းအင်ဆိုင်ရာမူဝါဒကိုပင် သိသိသာသာ လွှမ်းမိုးမှု ရှိနေသည်။<ref name=deloitte>{{cite web|url=https://www2.deloitte.com/content/dam/Deloitte/global/Documents/Energy-and-Resources/gx-er-market-reform-netherlands.pdf|title=European Energy Market Reform|publisher=Deloitte|access-date=27 June 2020|archive-date=5 February 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210205175124/https://www2.deloitte.com/content/dam/Deloitte/global/Documents/Energy-and-Resources/gx-er-market-reform-netherlands.pdf}}</ref> ပြန်လည်ပြည့်ဖြိုးမြဲစွမ်းအင်သည် နိုင်ငံစွမ်းအင်ပေါင်းစပ်မှု၏ ၁၂.၄% သို့ ၂၀၂၀ ခုနှစ်တွင် ရောက်ရှိလာခဲ့ပြီး မူလရည်မှန်းချက်ဖြစ်သော ၁၄% ထက် ၁.၆% လျော့ကျ၍နေသည်။<ref name=neo/> === စိုက်ပျိုးမွေး‌မြူရေးနှင့် သဘာဝအရင်းအမြစ်များ === [[File:Dutch belted cows at Park Sonsbeek meadows in the centre of the city of Arnhem (look the background) - panoramio.jpg|left|thumb|Cows near the city of Arnhem]] ဒတ်ချ်စိုက်ပျိုး​ရေးကဏ္ဍသည် စက်မှုလယ်ယာသို့ ကြီးမားစွာ ပြောင်းလဲခဲ့ပြီးဖြစ်ပြီး နိုင်ငံတကာသို့ တင်ပို့မှုကို များစွာအဓိကထားခဲ့သည်။ စိုက်ပျိုးမွေးမြူရေးတွင် ဒတ်ခ်ျလုပ်သားစွမ်းအား၏ ၄ ရာခိုင်နှုန်းလောက်သာ အသုံးပြုသော်လည်း အစားအစာထုတ်လုပ်မှုတွင် များစွာပိုလျှံခဲ့ပြီး ဒတ်ချ်ပြည်ပပို့ကုန်တန်ဖိုးစုစု‌ပေါင်း၏ ၂၁ ရာနှုန်းရှိခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=https://www.hollandalumni.nl/files/documents/career/factsheets-key-sectors/factsheet-agri-food|title=Factsheet Agri-food : Holland is a world-leading supplier of sustainable, healthy, agri-food products|website=Hollandalumni.nl|accessdate=၇ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၀|archive-date=10 October 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20171010141804/https://www.hollandalumni.nl/files/documents/career/factsheets-key-sectors/factsheet-agri-food}}</ref> စိုက်ပျိုးရေးပို့ကုန်တန်ဖိုးတွင် ဒတ်ချ်တို့သည် ဥရောပသမဂ္ဂတွင် ပထမနေရာ၊ ကမ္ဘာတဝှမ်းတွင် ဒုတိယနေရာတွင်ရှိပြီး ၎င်း၏ရှေ့တွင် အမေရိကန်နိုင်ငံသာ ရှိသည်။ ထို့ပြင် စိုက်ပျိုးရေးပို့ကုန်များမှ ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် ယူရိုငွေ ၇၅.၄ ဘီလီယံရရှိခဲ့ပြီ<ref name="hollandtrade.com"/>း ၂၀၁၄ ခုနှစ်တွင် ယူရို ၈၀.၇ ဘီလီယံထိမြင့်တက်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news |author=<!--Staff writer(s); no by-line.--> |title=Farming in the Netherlands: Polder and wiser |url=https://www.economist.com/news/business/21613356-dutch-farmers-add-sustainability-their-enviable-productivity-polder-and-wiser |newspaper=The Economist |location=Sevenum |publisher=The Economist Group |date=23 August 2014 |accessdate=၇ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၀}}</ref><ref name="government.nl">{{cite web|url=http://www.government.nl/news/2015/01/16/dutch-agricultural-exports-top-80-billion-euros.html |title=Dutch agricultural exports top 80 billion Euros |date=16 January 2015 }}</ref> ၂၀၁၉ တွင် ယူရို ၉၄.၅ ဘီလီယံတန်ဖိုးရှိသော စိုက်ပျိုးရေးပို့ကုန်များ တင့်ပို့နိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.government.nl/latest/news/2020/01/17/dutch-agricultural-exports-worth-%E2%82%AC94.5-billion-in-2019|title=Dutch agricultural exports worth €94.5 billion in 2019 - News item - Government.nl|first=Natuur en Voedselkwaliteit|last=Ministerie van Landbouw|date=17 January 2020|website=www.government.nl}}</ref> နိုင်ငံတဝှမ်းမှ ငရုတ်ပွသီး၊ ခရမ်းချဉ်သီး၊ သခွားသီးတင်ပို့မှုသည် ကမ္ဘာတဝှမ်းတင်ပို့မှု၏ သုံးပုံပုံတစ်ပုံရှိသည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံ ကမ္ဘာတစ်ဝန်း ပန်းသီးတင်ပို့မှု၏ ၁၅ ပုံတစ်ပုံကိုလည်း တင်ပို့သော နိုင်ငံဖြစ်သည်။<ref name="USDA Foreign Agriculture Service"/> ထို့အပြင် ဒတ်ခ်ျစိုက်ပျိုး‌ရေးပို့ကုန်များ၏ ထင်ရှားသော အစိတ်အပိုင်းတွင် အပင်များ၊ ပန်းများနှင့် ပန်းဥများပါဝင်ပြီး နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ တင်ပို့မှုသည် ကမ္ဘာတစ်ဝန်းတင်ပို့မှု၏ သုံးပုံနှစ်ပုံရှိသည်။<ref name="USDA Foreign Agriculture Service">{{cite web|url = http://www.fas.usda.gov/gainfiles/200501/146118432.pdf#search=%22netherlands%20main%20agriculture%20export%20flowers%22|title = Netherlands: Agricultural situation|accessdate = ၇ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၀|publisher = USDA Foreign Agriculture Service|archivedate = 19 June 2007|archiveurl = https://web.archive.org/web/20070619213352/http://www.fas.usda.gov/gainfiles/200501/146118432.pdf#search=%22netherlands%20main%20agriculture%20export%20flowers%22}}</ref> === သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး === ၁၉၅၀ ခုနှစ်များကတည်းကစ၍ ဒတ်ချ်လမ်းမများ​ပေါ်တွင် သွားလာလှုပ်ရှားမှု မြင့်တက်များပြားလာခဲ့ကာ ယခုအချိန်တွင် တစ်နှစ်တွင် ကီလိုမီတာ ၂၀၀ ဘီလီယံ​ကျော်<ref>{{cite press release |title=SWOV Fact sheet | Mobility on Dutch roads |url=http://www.swov.nl/rapport/Factsheets/UK/FS_Mobility.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20100415044922/http://www.swov.nl/rapport/Factsheets/UK/FS_Mobility.pdf |url-status=dead |archive-date=15 April 2010 |location=Leidschendam, the Netherlands |publisher=SWOV, Dutch Institute for Road Safety Research |date=July 2013 |accessdate=၁၀ ​မေ ၂၀၂၀ }}</ref>မျှ သွားလာကြပြီး ​လေးပုံသုံးပုံမှာ ကားဖြင့်သွားလာကြသည်ကို ​တွေ့ရသည်။<ref name="OECD-ITF">{{cite report |last1=Waard |first1=Jan van der |last2=Jorritsma |first2=Peter |last3=Immers |first3=Ben |date=October 2012 |title=New Drivers in Mobility: What Moves the Dutch in 2012 and Beyond? |url=http://www.internationaltransportforum.org/jtrc/DiscussionPapers/DP201215.pdf |location=Delft, the Netherlands |publisher=Organisation for Economic Co-operation and Development International Transport Forum |accessdate=၁၀ ​မေ ၂၀၂၀ |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130117223717/http://internationaltransportforum.org/jtrc/DiscussionPapers/DP201215.pdf |archivedate=17 January 2013 }}</ref>နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင်းရှိ ခရီးအားလုံး၏ ထက်ဝက်ခန့်မှာ ကားဖြင့်သွားကြခြင်းဖြစ်ပြီး ၂၅%မှာ စက်ဘီးဖြင့်၊ ၂၀%မှာ လမ်း​လျှောက်၍ သွားကြပြီး ၅% နှုန်းမှာ အများပြည်သူ သယ်ယူပို့​ဆောင်​ရေးကို အသုံးပြုကြသည်။<ref name="OECD-ITF"/> ==== လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေး ==== [[File:A1-Hoog Buurlo.jpg|thumb|right|[[:en:A1 motorway (Netherlands)|A1 motorway]], in Gelderland]] ၂,၇၅၈ ကီလိုမီတာရှိ​သော အ​ဝေး​ပြေးလမ်းမကြီး<ref>{{cite web |url=https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/fields/2085.html#nl |title=CIA World Factbook |3=Field listing: Roadways |date=2012 |website=Cia.gov |publisher=U.S. Central Intelligence Agency |accessdate=၁၀ ​မေ ၂၀၂၀ |archivedate=26 December 2018 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20181226005021/https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/fields/2085.html#nl }}</ref> အပါအဝင် စုစု​ပေါင်း လမ်းကွန်ယက်သည် ၁၃၉,၂၉၅ ကီလိုမီတာရှိ​သော နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် ကမ္ဘာ​ပေါ်ရှိ လမ်းကွန်ယက် အထူထပ်ဆုံး​သော နိုင်ငံများမှတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဂျာမနီနှင့် ပြင်သစ်နိုင်ငံတို့ထက် ပို၍ထူထပ်​သော လမ်းကွန်ယက်ရှိ၍ ဘယ်လ်ဂျီယမ်နိုင်ငံ​လောက်​တော့ ထူထပ်မှု မရှိ​သေး​ချေ။<ref>{{cite web |url=http://data.worldbank.org/indicator/IS.ROD.DNST.K2?order=wbapi_data_value_2011%20wbapi_data_value%20wbapi_data_value-last&sort=desc |title=Road density (km of road per 100 sq. km of land area) | Data | Table |author=<!--Staff writer(s); no by-line.--> |date=2014 |website=data.worldbank.org |publisher=The World Bank Group |accessdate=၂၀ ​မေ ၂၀၂၀}}</ref> ပြန်လည်ပြည့်စွမ်းနိုင်​သော ဝန်းကျင်ဖြစ်လာ​စေ​ရေး ရင်းနှီးမြှပ်နှံမှု၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုအဖြစ် နယ်သာလန် အစိုးရသည် လျှပ်စစ်ကားများအတွက် နိုင်ငံတစ်ဝန်းတွင် ပြန်လည်အားသွင်းနိုင်​သော ​နေရာ ၂၀၀ ​ကျော်အား တည်​ဆောက်မည့် စီမံကိန်းကို စတင်ခဲ့သည်။ ဤဝန်​ဆောင်မှုကို ဆွစ်ဇာလန်ကုမ္ပဏီ ABB နှင့် ဒတ်ချ်ကုမ္ပဏီ Fastned တို့မှ တာဝန်ယူ ​ဆောင်ရွက်မည်ဖြစ်ပြီး အချင်းဝက် ၅၀ ကီလိုမီတာတွင် အနည်းဆုံး အားသွင်းနိုင်​သော ​နေရာဌာန ၁ ခု အနည်ဆုံး ထားရှိပြီး နယ်သာလန်နိုင်ငံရှိ အိမ်တိုင်းအတွက် ရည်ရွယ်ပါသည်။<ref>{{cite web|title=Every Dutch citizen will live within 31 miles of an electric vehicle charging station by 2015|url=https://www.theverge.com/2013/7/10/4509962/netherlands-nationwide-electric-vehicle-charging-network-abb-fastned|work=The Verge|publisher=Vox Media, Inc|accessdate=11 July 2013|last=Toor |first=Amar |date=10 July 2013 }}</ref> ==== အများပြည်သူဆိုင်ရာ သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး ==== [[File:NSR - Sprinter Lighttrain (SLT) - Wieldrechtse Zeedijk - Dordrecht (22087244596).jpg|thumb|A regional train operated by Nederlandse Spoorwegen (NS)]] သွားခဲ့သော ခရီးမိုင်အရှည်၏ ၁၃ ရာခိုင်နှုန်းမှာ အများပြည်သူ သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးစနစ်ကို အသုံးပြု၍ သွားလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး အများစုမှာ ရထားကို အသုံးပြု၍ သွားလာခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="OECD-ITF"/> အခြားသော ဥရောပနိုင်ငံများကဲ့သို့ပင် ဒတ်ချ်မီးရထားကွန်ယက်သည် ၃,၀၁၃ ကီလိုမီတာရှိပြီး အ​တော်ကို ထူထပ်ပါသည်။<ref>{{cite web |url=https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/fields/2121.html#nl |title=CIA World Factbook |3=Field listing: Railways |date=2012 |website=Cia.gov |publisher=U.S. Central Intelligence Agency |accessdate=၁၇ ​မေ ၂၀၂၀ |archivedate=13 May 2009 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090513124715/https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/fields/2121.html#nl }}</ref> မီးရထားကွန်ယက်ကို ခရီးသည်သယ်ယူပို့​ဆောင်​ရေးအတွက် အဓိကထား အသုံးပြုပြီး အဓိက မြို့ကြီးနှင့် တခြား​သော မြို့များကို ဆက်သွယ်ပေးထားသော မီးရထားဘူတာရုံ ၄၀၀ ​ကျော်ရှိသည်။ မီးရထားသွားလာမှုနှုန်းမှာသွားလာမှုနည်း​သော မီးရထားလိုင်း{{efn|Only 11 stations are served less than twice an hour during weekdays.}}တွင် တနာရီတွင် ရထား ၂ စီးခန့်ရှိပြီး ပုံမှန်သွားလာမှုရှိ​သော မီးရထားလိုင်းတွင် တနာရီ မီးရထား ၄ စင်းခန်ရှိကာ သွားလာမှုထူထပ်​သော လိုင်းတွင် တနာရီ ၈ စင်းမျှရှိသည်။<ref>{{Cite news|url=http://www.dutchnews.nl/news/archives/2017/06/ns-to-up-frequency-of-amsterdam-to-eindhoven-trains/|title=NS to up frequency of Amsterdam to Eindhoven trains to six an hour - DutchNews.nl|date=21 June 2017|work=DutchNews.nl|access-date=၁၇ ​မေ ၂၀၂၀8|language=en-GB}}</ref> ဒတ်ချ် နိုင်ငံ​တော် မီးရထားကွန်ယက်တွင် ​ကျောင်းသားများအတွက် အခမဲ့ဖြစ်ပြီး ထိုအခမဲ့စနစ်တွင် အမ်စတာဒမ်မီသရိုပိုလစ်တန်ဧရိယာမှ ဘယ်လ်ဂျီယမ်နယ်စပ်ကို ဖြတ်သန်း​၍ လန်ဒန်နှင့် ပဲရစ်ကို ​ပြေးဆွဲ​သော HSL-Zuid အမြန်မီးရထားလိုင်းပါ ပါဝင်သည်။ ==== စက်ဘီးစီးခြင်း ==== [[File:Bike entrance Rotterdam Central Station.jpg|thumb|right|Bike passage at Rotterdam Centraal station]] စက်ဘီးဖြင့် ခရီးသွားခြင်းသည် နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် ကျယ်ပြန့်စွာ အသုံးပြုသည် အပြုအမူဖြစ်ပြီး သွားလာမှုခရီးမိုင်အရှည်မှာ ရထားဖြင့်သွား​သော ခရီးမိုင်အရှည် နီးပါးဖြစ်သည်။<ref name="OECD-ITF"/> ဒတ်ချ်တို့တွင် စက်ဘီးအ​ရေအတွက် ၁၈ မီလီယံမျှ ပိုင်ဆိုင်ကြပြီး<ref>{{cite web|url=http://www.hollandtrade.com/media/features/feature-stories/?bstnum=4960|title=Holland Publications|first=Netherlands Enterprise Agency|last=(RVO)|work=hollandtrade.com|accessdate=၁၇ ​မေ ၂၀၂၀|date=17 July 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150924031010/http://www.hollandtrade.com/media/features/feature-stories/?bstnum=4960|archive-date=24 September 2015|url-status=dead|df=dmy-all}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.iamexpat.nl/lifestyle/cycling-netherlands|title=Cycling in the Netherlands|website=www.iamexpat.nl}}</ref> နိုင်ငံသားဦး​ရေအရ တစ်ဦးလျှင် စက်ဘီးတစ်စီးထက်မက ပို၍ပိုင်ဆိုင်ကြသည်ဖြစ်ရာ လမ်းမ​ပေါ်တွင် သွားလာကြ​သော ကားအ​ရေအတွက် ၉ မီလီယံခန့်ထက် နှစ်ဆ ပို၍များပြားသည်။ <ref>{{cite web|url=http://statline.cbs.nl/StatWeb/publication/?VW=T&DM=SLEN&PA=70071ENG&D1=0-12&D2=0&D3=a&HD=100315-1508&LA=EN&HDR=G1,G2&STB=T|title=CBS StatLine – Motor vehicles; general overview per period and technological features|publisher=}}</ref> ၂၀၁၃ ခုနှစ်တွင် ဥ​ရောပစက်ဘီးစီးဖက်ဒ​ရေးရှင်း၏အဆိုအရ နယ်သာလန်နှင့် ဒိန်းမတ်နိုင်ငံတို့ကို ဥ​ရောပတွင် စက်ဘီးစီးခြင်းကို နှစ်သက်ဆုံးသော နိုင်ငံများအဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့​သော်လည်း<ref>{{cite web|url=http://www.ecf.com/news/the-first-eu-wide-ecf-cycling-barometer-launched/ |title=European Cyclists' Federation – The first EU wide ECF Cycling Barometer launched |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140714151023/http://www.ecf.com/news/the-first-eu-wide-ecf-cycling-barometer-launched/ |archivedate=14 July 2014 }}</ref> ဒတ်ချ်(၃၆%)သည် ဒိန်းမတ်(၂၃%)ထက် သမာရိုးကျ​နေ့ရက်များတွင် စက်ဘီးဖြင့် ခရီးသွားလာခြင်းကို ပြုမှုကြသည်။<ref>{{cite report |author= |authorlink= |coauthors= |date=December 2014 |title=Quality of Transport report |url = http://ec.europa.eu/public_opinion/archives/ebs/ebs_422a_en.pdf |publisher=European Commission |page=11 |docket= |accessdate=၁၇ ​မေ ၂၀၂၀ |quote= |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150908145406/http://ec.europa.eu/public_opinion/archives/ebs/ebs_422a_en.pdf |archivedate=8 September 2015 }}</ref>{{efn|Up from 31% vs. 19% naming the bike their main mode of transport for daily activities in 2011.<ref>{{cite news|url=https://www.bbc.com/news/magazine-23587916 |title=Why is cycling so popular in the Netherlands? |work=BBC News |archive-url = https://web.archive.org/web/20140307050642/http://www.bbc.com/news/magazine-23587916 |archive-date=7 March 2014 }}</ref><ref>{{cite report |date=March 2011 |title=Future of Transport report |url = http://ec.europa.eu/public_opinion/flash/fl_312_en.pdf |publisher=European Commission |page=8 |docket= |accessdate=၁၇ ​မေ ၂၀၂၀ |quote= |url-status=live |archiveurl = https://web.archive.org/web/20150205185930/http://ec.europa.eu/public_opinion/flash/fl_312_en.pdf |archivedate = 5 February 2015 }}</ref>}} စက်ဘီးစီးခြင်းအတွက် လိုအပ်​သော အ​ခြေခံ အ​ဆောက်အဦများ ပြည့်စုံပြီး သွားလာမှုများပြား​သော လမ်းများ၌တွင်ပင် စက်ဘီးစီးလမ်းများအတွက် ၃၅,၀၀၀ ကီလိုမီတာ ခန့်အရှည်ရှိသော သီးခြားခွဲထားသော လမ်းများကို ပြုလုပ်ထားသည်။ သွားလာမှုရှုပ်​ထွေး​သော လမ်းဆုံများတွင် စက်ဘီးစီးသူများအတွက် သီးခြားမီးပွိုင့်များကို တပ်ဆင်ထားသည်။<ref>{{cite web|url=http://www.fietsberaad.nl/index.cfm?lang=nl&section=nieuws&mode=newsArticle&repository=The+Netherlands+boast+almost+35.000+km+of+cycling+paths|archive-url=https://web.archive.org/web/20140717230921/http://www.fietsberaad.nl/index.cfm?lang=nl&section=nieuws&mode=newsArticle&repository=The+Netherlands+boast+almost+35.000+km+of+cycling+paths|url-status=dead|archive-date=17 July 2014|title=CROW Fietsberaad|website=Fietsberaad.nl|accessdate=၁၇ ​မေ ၂၀၂၀|archivedate=17 July 2014|archiveurl=https://web.archive.org/web/20140717230921/http://www.fietsberaad.nl/index.cfm?lang=nl&section=nieuws&mode=newsArticle&repository=The+Netherlands+boast+almost+35.000+km+of+cycling+paths}}</ref> မြို့​တော်ရှိ စင်တာများ၊ မီးရထား ဘူတာရုံများတွင် စက်ဘီးများ ထားရှိရန် ရပ်နား​နေရာများကို ပြုလုပ်၍ထားသည်။ ==== ​ရေ​ကြောင်း သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး ==== ​​ရော်တာဒမ် ဆိပ်ကမ်းသည် ဥ​ရောပတွင် အကြီးဆုံးဆိပ်ကမ်းဖြစ်ပြီး [[မျုစမြစ်|မျူစ်မြစ်]]နှင့် [[ရိုင်းမြစ်]]တို့၏ ​​ကောင်း​မွန်​သော ​ရေ​ကြောင်းလမ်းများမှ တဆင့် ကုန်းတွင်းပိုင်း မြစ်ညာရှိ ဆွစ်ဇာလန်နိုင်ငံ၊ ဘာဆဲမြို့နှင့် ဂျာမနီနိုင်ငံ အတွင်းပိုင်း၊ ပြင်သစ်တို့ကို ​ရောက်ရှိနိုင်သည်။ ၂၀၁၃ ခုနှစ်အရ ​ရော်တာဒမ်ဆိပ်ကမ်းသည် ကမ္ဘာ​ပေါ်ရှိ ရှစ်ခု​မြောက် အကြီးဆုံး ကွန်တိန်နာဆိပ်ကမ်းဖြစ်ပြီး ၄၄၀.၅ မက်ထရစ်တန်ရှိသည့် ကုန်ပစ္စည်းကို နှစ်စဉ် သယ်ယူပို့​ဆောင်မှု ပြု​နေရသည်။<ref>{{cite web |url=http://www.portofrotterdam.com/en/Port/port-statistics/Documents/Port-statistics-2013/index.html#8 |title=Port of Rotterdam Statistics 2013 |publisher=Port of Rotterdam |accessdate=၁၇ ​မေ ၂၀၂၀ |archivedate=15 August 2014 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140815014048/http://www.portofrotterdam.com/en/Port/port-statistics/Documents/Port-statistics-2013/index.html#8 }}</ref> ဆိပ်ကမ်း၏ အဓိက လုပ်ငန်း​ဆောင်တာတို့တွင် ​ရေနံဓာတုပစ္စည်းများ သယ်ယူပို့​ဆောင်​ရေးနှင့် သင်္ဘောတစင်းမှ တစင်းသို့ ကုန်စည် ​ပြောင်း​ရွေ့​ပေးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။ ဆိပ်ကမ်း၏ လုပ်ငန်း​ဆောင်တာများတွင် ဥ​ရောပပင်မကုန်​မြေမှ နိုင်ငံရပ်ခြားသို့ ကုန်စည်ပို့​ဆောင်မှုများအကြား အ​ရေကြီး​သော ကုန်စည်ချိန်း​ပြောင်းရာ​နေရာအဖြစ်လည်း လုပ်​ဆောင်သည်။ ​ရော်တာဒမ်မှ ကုန်စည်များကို သင်္ဘော၊ မြစ်ကူးရေယာဉ်၊ ရထား သို့မဟုတ် ကားလမ်းများဖြင့် ပို့​ဆောင်သည်။ ၂၀၀၇ ခုနှစ်တွင် ​ရော်တာဒမ်မှ ဂျာမနီသို့ အမြန်ကုန်တင်ရထားလမ်း​ကြောင်းသစ်ဖြစ်​သော Betuweroute ကို တည်​ဆောင်နိုင်ခဲ့သည်။ ==== လေကြောင်း သယ်ယူ​ပို့​ဆောင်​ရေး ==== အမ်စတာဒမ်မြို့ အ​နောက်​တောင်ဘက်ရှိ ရှီပိုးလ်​လေဆိပ်(Schiphol airport) နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ အဓိက အပြည်ပြည်ဆိုင်​လေဆိပ်ဖြစ်ပြီး ခရီးသည် အဝင်အထွက်အရဥ​ရောပတွင် တတိယ​မြောက် အလုပ်အများဆုံးသော ​လေဆိပ်ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် ​တော်ဝင် ရှီပိုးအုပ်စု ​လေဆိပ်မှ ခရီးသည် ၇၀ မီလီယံ ခရီးသွားလာ​ရေးကိူ ​ဆောင်ရွက်​ပေးနိုင်ခဲ့သည်။<ref name="NOS Schiphol64">{{cite web |url=http://nos.nl/artikel/2152140-bijna-64-miljoen-zo-veel-passagiers-zag-schiphol-nog-nooit.html |title=Bijna 64 miljoen—zo veel passagiers zag Schiphol nog nooit – NOS |language=Dutch |trans-title=Almost 64 million—Schiphol never saw so many passengers – NOS |url-status=live |archiveurl = https://web.archive.org/web/20170109153121/http://nos.nl/artikel/2152140-bijna-64-miljoen-zo-veel-passagiers-zag-schiphol-nog-nooit.html |date=9 January 2017 |website=NOS.nl |publisher=Nederlandse Omroep Stichting |accessdate=၁၇ ​မေ ၂၀၂၀| archivedate=9 January 2017}}</ref> == လူမှုအခြေပြ == [[File:Population of the Netherlands 1900-2000.png|thumb|၁၉၀၀ မှ ၂၀၀၀ ခုနှစ်ထိ နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ လူဦးရေ]] ၂၀၁၉ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာလ ၁ ရက်နေ့စာရင်းအရ နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် ခန့်မှန်းလူဦး​ရေ ၁၇,၄၂၄,၉၇၈ ရှိပြီး မြို့ပြနိုင်ငံ အဆင့်သာရှိသော နိုင်ငံငယ်များဖြစ်သည့် [[မိုနာကိုနိုင်ငံ]]၊ [[ဆန်မာရီနိုနိုင်ငံ]]နှင့် [[ဗာတီကန်စီးတီး]]တို့အား ထည့်သွင်းတွက်ချက်ခြင်းမပြုပါက ဥရောပတွင် ပဉ္စမမြောက်လူဦးရေ သိပ်သည်းမှု အများဆုံးနိုင်ငံ ဖြစ်သည်။<ref name="auto"/> ကမ္ဘာပေါ်တွင် ၁၂ နိုင်ငံမြောက် လူဦးရေ သိပ်သည်းမှုအများဆုံးသော နိုင်ငံဖြစ်ပြီး သိပ်သည်းမှုမှာ {{convert|521|/km2}} ရှိသည်။ ထို့ပြင် ကမ္ဘာပေါ်တွင် ၆၄ နိုင်ငံမြောက် လူဦးရေ အများဆုံးနိုင်ငံဖြစ်သည်။ ၁၉၀၀ မှ ၁၉၅၀ ခုနှစ်အတွင်း နိုင်ငံ့လူဦးရေသည် နှစ်ဆနီးပါး မြင့်တက်သွားကာ ၅.၁ မှ ၁၀ မီလီယံအထိ မြှင့်တက်ခဲ့သည်။ ၁၉၅၀ ခုနှစ်မှ ၂၀၀၀ ခုနှစ်အတွင်း လူဦးရေသည် ဆက်လက်မြှင့်တက်လာခဲ့ရာ ၁၅.၉ မီလီယံထိ ရောက်ရှိလာခဲ့ပေမယ့် တိုးတက်နှုန်းမှာ နှေးကွေး‌သွားခဲ့သည်။<ref>[http://statline.cbs.nl/StatWeb/publication/?DM=SLEN&PA=37556ENG&D1=0-44,53-60&D2=1,11,21,31,41,51,61,71,81,91,101&LA=EN&VW=T CBS Statline – Population; history]. Statistics Netherlands. Retrieved on 8 March 2009.</ref> ခန့်မှန်းလူဦးရေ တိုးတက်မှုနှုန်းမှာ ၂၀၁၃ ခုနှစ်တွင် ၀.၄၄% ရှိသည်။<ref name="cia-worldfactbook-nl">{{cite web|title=The World Factbook – Netherlands|url=https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/nl.html|publisher=Central Intelligence Agency|accessdate=၁၈ မေ ၂၀၂၀|archivedate=21 May 2020|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200521043249/https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/nl.html}}</ref> [[File:Netherlandspop.svg|thumb|left|Population pyramid of the Netherlands in 2017]] အမျိုးသမီးများ၏ တစ်နှစ်အတွင်း ကလေးအရှင်[[မွေးဖွားနှုန်း]](fertility rate)သည် ၂၀၁၈ ခုနှစ် ခန့်မှန်းနှုန်းအရ အမျိုးသမီးတစ်ဦးလျှင် ကလေး ၁.၇၈ နှုန်းရှိပြီး<ref name="cia-worldfactbook-nl"/> အခြား ဥရောပနိုင်ငံများစွာနှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် မြင့်မားနေသောလည်း သက်ကြီးရွယ်အိုနိုင်ငံသားများအတွက် အစားထိုးလိုလားချက်(sub-replacement fertility)ဖြစ်သော အမျိုးသမီးတစ်ဦးလျှင် ကလေး ၂.၁ နှုန်းနှင့်ယှဉ်လျှင် နိမ့်၍နေပြီး ၁၈၇၉ ခုနှစ်မှ နှုန်းဖြစ်သည့် အမျိုးသမီးတစ်ဦးလျှင် ကလေး ၅.၃၉ နှုန်းနှင့်စာလျှင်လည်း နိမ့်ကျ၍နေသေးသည်။.<ref>{{citation|url=https://ourworldindata.org/grapher/children-born-per-woman?year=1800&country=ITA|title=Total Fertility Rate around the world over the last centuries|author=Max Roser|date=2014|work=Our World In Data, Gapminder Foundation|access-date=၂၀ မေ ၂၀၂၀|archive-url=https://web.archive.org/web/20180807185906/https://ourworldindata.org/grapher/children-born-per-woman?year=1800&country=ITA|archive-date=7 August 2018|url-status=dead}}</ref> ထို့ပြင် နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် ကမ္ဘာပေါ်ရှိ သက်ကြီးရွယ်အို လူဦးရေများစွာရှိသော နိုင်ငံများထဲမှ တစ်နိုင်ငံဖြစ်ပြီး နိုင်ငံသားအားလုံး၏ ပျမ်းမျှအသက်သည် ၄၂.၇ နှစ် ဖြစ်သည်။<ref name="cia-worldfactbook-nl"/> မျှော်မှန်းသော သက်တမ်းမှာ နယ်သာလန်နိုင်ငံ၌ မြင့်မားလျက်ရှိပြီး အမျိုးသမီးများအတွက် ၈၃.၂ နှစ်ဖြစ်ပြီး အမျိုးသားများအတွက် ၇၈.၉ နှစ် (၂၀၁၃ ခုနှစ် ခန့်မှန်းအရ) ဖြစ်သည်။<ref name="cia-worldfactbook-nl"/> နိုင်ငံတွင် ရွေ့ပြောင်းနေထိုင်သူနှုန်းမှာ တစ်နှစ်တွင် အခြေချနေထိုင်သူ ၁၀၀၀ တွင် ရွေ့ပြောင်းနေထိုင်သူ ၂.၀ နှုန်းရှိသည်။<ref name="cia-worldfactbook-nl"/> နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ လူဦးရေတွင် အဓိကမှာ ဒတ်ချ်လူမျိုးများဖြစ်ပြီး ၂၀၀၅ ခုနှစ် ခန့်မှန်းအရ လူဦး​ရေ၏ ၈၀.၉% မှာ ဒတ်ချ်လူမျိုးများဖြစ်ပြီး အင်ဒိုနီးရှား ၂.၄%၊ ဂျာမန် ၂.၄%၊ တူရကီ ၂.၂%၊ ဆူရာနမ် ၂.၀%၊ ​မော်ရိုကို ၀.၈%၊ နယ်သာလတ် ကာရစ်ဘီယံ​ဒေသနှင့် အာရူးဘားမှ ၀.၈%နှင့် အခြားလူမျိုး ၇.၄%ရှိသည်။<ref>{{cite web|url=http://www.cbs.nl/NR/rdonlyres/CCD504EA-9D41-40C2-AE28-BFB0A51C2045/0/2005k3b15p096art.pdf|title=Demografie van de allochtonen in Nederland|publisher=Centraal Bureau voor de Statistiek|author=Garssen, Joop, Han Nicolaas and Arno Sprangers|year=2005|language=Dutch|accessdate=၂၀ မေ ၂၀၂၀|archivedate=9 October 2018|archiveurl=https://web.archive.org/web/20181009222941/https://www.cbs.nl/NR/rdonlyres/CCD504EA-9D41-40C2-AE28-BFB0A51C2045/0/2005k3b15p096art.pdf}}</ref> နယ်သာလန်နိုင်ငံ၌ ​နေထိုင်ကြ​သော ၁၅၀,၀၀၀ မှ ၂၀၀,၀၀၀ ထိ​သော လူများမှာ အခြား​သော နိုင်ငံများမှ အလုပ်နှင့် အခြား​သော အ​ကြောင်းအရာများဖြင့် ​​ရောက်ရှိလာကြသူများဖြစ်ပြီး [[အမ်စတာဒမ်မြို့]]နှင့် [[ဟိတ်မြို့တော်|ဟိတ်မြို့]]တို့တွင် အဓိက​နေထိုင်ကြပြီး ယခုအခါတွင် ထိုမြို့များ၏ လူဦး​ရေ၏ ၁၀% ခန့်ရှိ၍ ​နေပြီဖြစ်သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.verhurenaanexpats.nl/verhuren-aan-expats/expats-de-feiten/|title=Expats in Nederland|url-status=dead|archiveurl=https://web.archive.org/web/20141019004614/http://www.verhurenaanexpats.nl/verhuren-aan-expats/expats-de-feiten/|archivedate=19 October 2014}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.onsamsterdam.nl/tijdschrift/jaargang-2011/1158-nummer-11-12-november-december-2011.html?start=4|title=Feiten en cijfers over immigratie – Pagina 5|work=Ons Amsterdam|accessdate=20 May 2020|archivedate=18 June 2018|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180618025728/http://www.onsamsterdam.nl/tijdschrift/jaargang-2011/1158-nummer-11-12-november-december-2011.html?start=4}}</ref> ဒတ်ချ်လူမျိုးများသည် နိုင်ငံသားအလိုက်ဆိုရင် ကမ္ဘာ​ပေါ်တွင် အရပ်အရှည်ဆုံး​သော သူများဖြစ်ပြီး<ref name="Science 2015-04-07">{{cite news|last=Enserink|first=Martin|date=7 April 2015|title=Did natural selection make the Dutch the tallest people on the planet?|url=http://news.sciencemag.org/biology/2015/04/did-natural-selection-make-dutch-tallest-people-planet|newspaper=Science (journal)|location=Amsterdam|access-date=၂၀ ​မေ ၂၀၂၀}}</ref> ၂၀၀၉ ခုနှစ်တွင် ပျမ်းမျှအရပ်မှာ အရွယ်​ရောက်ပြီးသား ​ယောက်ျား​လေးတစ်​ယောက်၏ အရပ်မှာ {{convert|1.81|m|ftin|1|abbr=out}} ရှိပြီး အရွယ်​ရောက်ပြီး အမျိုးသမီးမှာ {{convert|1.67|m|ftin|1|abbr=out}} ရှိသည်။ <ref>{{cite web|url=http://statline.cbs.nl/StatWeb/publication/?VW=T&DM=SLNL&PA=03799&D1=242,254,267-270&D2=0-17&HD=081103-1603&HDR=T.&STB=G1|publisher=Centraal Bureau voor de Statistiek|title=Reported health and lifestyle|accessdate=၂၀ ​မေ ၂၀၂၀}}</ref> ​တောင်ပိုင်းတွင်ရှိ​သော နိုင်ငံသားများမှာ ပျမ်းမျှအားဖြင့် ​မြောက်ပိုင်းတွင်​နေထိုင်သူများထက် အရပ် {{convert|2|cm|1|abbr=in}} ခန့် ပို၍ ပုသည်။ [[File:Grote drukte zomercarnaval Rotterdam.jpg|thumb|In Rotterdam almost half the population has an immigrant background.]] Eurostat ၏ အဆိုအရ ၂၀၁၀ ခုနှစ်၌ နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် နိုင်ငံခြားဖွား နေထိုင်သူ(foreign-born residents)ဦးရေသည် ၁.၈ မီလီယံရှိပြီး စုစုပေါင်း လူဦးရေ၏ ၁၁.၁% ရှိရာ ထိုအထဲတွင် ၁.၄ မီလီယံ(၈.၅%) သည် ဥရောပသမဂ္ဂပြင်ပတွင် မွေးဖွားခဲ့သူများဖြစ်ပြီး ၀.၄၃ မီလီယံ(၂.၆%)မီလီယံသည် အခြားသော ဥရောပသမဂ္ဂအဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများတွင် မွေးဖွားခဲ့သူများ ဖြစ်ကြသည်။<ref>Vasileva, Katya (2011) [http://epp.eurostat.ec.europa.eu/cache/ITY_OFFPUB/KS-SF-11-034/EN/KS-SF-11-034-EN.PDF 6.5% of the EU population are foreigners and 9.4% are born abroad] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20120128101046/http://epp.eurostat.ec.europa.eu/cache/ITY_OFFPUB/KS-SF-11-034/EN/KS-SF-11-034-EN.PDF |date=28 January 2012 }}, Eurostat, Statistics in focus vol. 34.</ref> ၂၀၁၆ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာ ၂၁ တွင် နယ်သာလန်နိုင်ငံ၌ နေထိုင်သူ ၃.၈ မီလီယံတွင် နိုင်ငံခြားဖွား မိဘတစ်ဦး(ရွေ့ပြောင်းနေထိုင်မှု ရာဇဝင်ရှိသူ) ပါဝင်ပြီး<ref>"[https://www.cbs.nl/en-gb/news/2016/47/migration-background-still-plays-a-role Migration background still plays a role] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200611213242/https://www.cbs.nl/en-gb/news/2016/47/migration-background-still-plays-a-role |date=11 June 2020 }}". Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS). 21 November 2016.</ref> အမ်စတာဒမ်နှင့် ရော်တာဒမ်တွင် လူငယ် ထက်ဝက်ကျော်သည်အနောက်တိုင်းနိုင်ငံ မဟုတ်သော နောက်ခံရှိကြသည်။ ဒတ်ချ်လူမျိုး သို့မဟုတ် ဒတ်ချ် အဆက်အနွယ်များမှ ဆင်းသက်လာသူများကို ကမ္ဘာအနှံတွင် ​ရွေ့​ပြောင်း​နေထိုင်သူ အသိုင်းအဝန်းတွင် ​တွေ့မြင်နိုင်ပြီး အထူးသဖြင့် က​နေဒါ၊ ဩစ​တေးလျ၊ ​တောင်အာဖရိကနှင့် အ​မေရိကန်ပြည်​ထောင်စု​တွင် ​တွေ့ရသည်။<ref>"[https://www.cbs.nl/en-gb/news/2006/31/half-of-young-big-city-dwellers-have-non-western-background Half of young big-city dwellers have non-western background] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190930090706/https://www.cbs.nl/en-gb/news/2006/31/half-of-young-big-city-dwellers-have-non-western-background |date=30 September 2019 }}". Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS). 1 August 2006.</ref> United States Census Bureau (၂၀၀၆ခုနှစ်)၏ အဆိုအရ အ​မေရိကန် ၅ မီလီယံ​ကျော်သည် ဒတ်ချ်လူမျိုးမှ တစိတ်တပိုင်း သို့ အပြည့်အဝ ဆင်းသက်လာခဲ့သူများအဖြစ် အခိုင်အမာ ဆိုကြသည်။<ref>{{cite web |author=American FactFinder, United States Census Bureau |url=http://factfinder.census.gov/servlet/ADPTable?_bm=y&-geo_id=01000US&-ds_name=ACS_2006_EST_G00_%2526amp%253B-_lang%253Den%2526amp%253B-_caller%253Dgeoselect%2526amp%253B-format%253D |title=Census 2006 ACS Ancestry estimates |publisher=Factfinder.census.gov |accessdate= ၃၀ ​မေ ၂၀၂၀ |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110428095854/http://factfinder.census.gov/servlet/ADPTable?_bm=y&-geo_id=01000US&-ds_name=ACS_2006_EST_G00_&%3B-_lang=en&%3B-_caller=geoselect&%3B-format= |archivedate=28 April 2011 }}</ref> ဤအ​ရေအတွက်မှာ ​တောင်အာဖရိကမှ ဒတ်ချ်လူမျိုးမှ ဆင်းသက်လာသူ အာဖရိကလူမျိုးများအဖြစ် ဆိုကြသူ ၃ မီလီယံခန့်နှင့် အ​ရေအတွက် နီးစပ်တူညီကြသည်။<ref>[http://countrystudies.us/south-africa/49.htm South Africa – Afrikaans Speakers]. ''Library of Congress.''</ref> ၁၉၄၀ ခုနှစ်တွင် အင်ဒိုနီးရှား၌ ဥ​ရောပနှင့် ယူ​ရေးရှန်းနွယ် ၂၉၀,၀၀၀ ရှိပြီး<ref>[http://repositories.cdlib.org/cgi/viewcontent.cgi?article=1077&context=ies A Hidden Language – Dutch in Indonesia] (PDF). Institute of European Studies (University of California, Berkeley).</ref> အများစုမှာ ယခုအခါ နိုင်ငံမှ ထွက်ခွာသွားပြီဖြစ်သည်။<ref>[http://www.kitlv.nl/pdf_documents/asia-migrations.pdf Dutch colonialism, migration and cultural heritage] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20110428094931/http://www.kitlv.nl/pdf_documents/asia-migrations.pdf |date=28 April 2011 }} (PDF). Royal Netherlands Institute of Southeast Asia and Caribbean Studies.</ref> နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် ကမ္ဘာ​ပေါ်တွင် ၁၂ နိုင်ငံ​​မြောက် လူဦး​ရေ အထူထပ်ဆုံး​သော နိုင်ငံဖြစ်ပြီး သိပ်သည်းမှု {{convert|521|/km2}} ရှိသည် <ref name="auto"/> နိုင်ငံ၏ အ​နောက်ပိုင်းရှိ အကြီးဆုံး​သော Randstad မြို့ပြဧရိယာတွင် အကြီးဆုံးမြို့ကြီးများဖြစ်သည့် ​မြောက်​ဟော်လန်ပြည်နယ်မှ [[အမ်စတာဒမ်မြို့]]၊ ​တောင်​ဟော်လန်ပြည်နယ်မှ [[ရော်တာဒမ်မြို့]]နှင့် [[ဟိတ်မြို့တော်]]၊ ယူးထရက်ပြည်နယ်မှ [[ယူးထရက်မြို့]]စ​သော မြို့ကြီး ​လေးမြို့ ပါဝင်သည်။ Randstad မြို့ပြဧရိယာတွင် ​နေထိုင်သူ ၈.၂ မီလီယံရှိပြီး<ref>{{Cite web|url=https://opendata.cbs.nl/statline/#/CBS/nl/dataset/03759ned/table?dl=DA8F|title=CBS Statline|website=opendata.cbs.nl}}</ref> ဥ​ရောပတွင် ပဉ္စမမြောက် အကြီးဆုံး မက်ထရိုပိုလစ်တန်ဧရိယာ ဖြစ်သည်။ Dutch Central Statistics Bureau အရ ၂၀၁၅ ခုနှစ်တွင် ဒတ်ချ်လူဦးရေ၏ ၂၈ ရာခိုင်နှုန်းတွင် သုံးစွဲနိုင်သော ဝင်ငွေ(spendable income) ၄၅,၀၀၀ ယူရို ရှိကြသည်။(ထိုအထဲတွင် ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုနှင့် ပညာရေးအတွက် မပါဝင်ပါ။)<ref>{{cite web|title = CBS – Income distribution – Extra|url = http://www.cbs.nl/en-GB/menu/themas/inkomen-bestedingen/cijfers/extra/inkomensverdeling.htm|website = www.cbs.nl|accessdate = ၂၉ မေ ၂၀၂၀|url-status=dead|archiveurl = https://web.archive.org/web/20150930184435/http://www.cbs.nl/en-GB/menu/themas/inkomen-bestedingen/cijfers/extra/inkomensverdeling.htm|archivedate = 30 September 2015|df = dmy-all}}</ref> === ဘာသာစကား === === ဘာသာရေး === {{Pie chart |thumb = right |caption = Religious identification in the Netherlands (2015)<ref name="cbs2016"/> |label1 = ဘာသာမဲ့ |value1 = 50.1 |color1 = Grey |label2 = [[:en:Catholic Church|ရိုမန်ကက်သလစ်]] |value2 = 23.7 |color2 = Purple |label3 = [[:en:Protestant Church in the Netherlands|နယ်သာလန် ပရိုတက်စတင့် ဘုရားကျောင်း]]{{efn|Provided statistics show Protestants by their allegiance to congregations of two denominations that do not exist anymore. In 2004, the [[:en:Dutch Reformed Church|Dutch Reformed Church]] (NHK), the [[:en:Reformed Churches in the Netherlands|Reformed Churches in Netherlands]] (GKN) and the [[:en:Evangelical Lutheran Church in the Kingdom of the Netherlands|Evangelical Lutheran Church in the Kingdom of the Netherlands]] merged to form the [[:en:Protestant Church in the Netherlands|Protestant Church in the Netherlands]] (PKN) and officially no longer exist. However, many people still tend to give their older affiliation even after the merger. People who declared themselves simply as belonging to the [[:en:Protestant Church in the Netherlands|Protestant Church in the Netherlands]] did not give an information about belonging to an older affiliation. For example, [[:en:Lutherans|Members]] of the former Evangelical Lutheran Church in the Kingdom of the Netherlands happened to do so. People who identified with one of those three categories (NHK/GKN/or simply PKN) are all members of the Protestant Church in the Netherlands.<ref>{{cite book|last1=Schmeets|first1=Hans|last2=Mensvoort|first2=Carly van|title=Religieuze betrokkenheid van bevolkingsgroepen, 2010–2014|date=2011|publisher=Centraal Bureau voor der Statistiek|url=http://www.cbs.nl/NR/rdonlyres/C3344AD7-8513-45AE-BB16-D1B277FE34BA/0/2015BT11religieuzebetrokkenheidvanbevolkingsgroepen20102014.pdf|accessdate=21 February 2018|archive-date=15 March 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170315174734/https://www.cbs.nl/NR/rdonlyres/C3344AD7-8513-45AE-BB16-D1B277FE34BA/0/2015BT11religieuzebetrokkenheidvanbevolkingsgroepen20102014.pdf|url-status=dead}}</ref>}} |value3 = 15.5 |color3 = DodgerBlue |label4 = အခြားသော ခရစ်ယာန်ဘာသာများ{{efn|Including other Protestants that are not members of the Protestant Church in the Netherlands.}} |value4 = 4.6 |color4 = DeepSkyBlue |label5 = [[:en:Islam in the Netherlands|မွတ်စလင်]] |value5 = 4.9 |color5 = Green |label6 = Other |value6 = 1.2 |color6 = Red }} ဒတ်ချ်သည် ကမ္ဘာ​ပေါ်ရှိ ဘာသာရေးကိုးကွယ်မှုအနည်းဆုံးသော လူမျိုးများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၂၀ ရာစု​နှောင်းပိုင်းကာလမတိုင်မီအထိ နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် ခရစ်ယာန်ဘာသာကို အဓိကကိုးကွယ်​သော နိုင်ငံတစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွဲပြား​သော ဘာ​သာ​ရေးကိုးကွယ်မှုများ ရှိ​နေ​​သော်လည်း ဘာသာ​ရေးအ​ပေါ် စွဲမြဲလိုက်နာမှုသည် ယုတ်​လျော့၍လာခဲ့သည်။ ၂၀၁၅ ခုနှစ်တွင် နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ စာရင်းအင်းနှင့်ဆိုင်​သော သတင်းအချက်အလက်များကို စု​ဆောင်း​သော ဒတ်ချ်အစိုးရအဖွဲ့အစည်းဖြစ်သည့် နယ်သာလန် စာရင်းအင်းဌာန(Statistics Netherlands)သည် စုစုပေါင်း လူဦးရေ၏ ၅၀.၁%သည် မည်သည့်ဘာသာ ကိုးကွယ်ခြင်းမရှိကြောင်း ပြောဆိုထားသည်ကို တွေ့ရှိခဲ့ရသည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ ဘာသာမဲ့များတွင် Humanistisch Verbond အဖွဲ့အစည်းအား ဝင်ထားသူများလည်း ပါဝင်သည်။ ခရစ်ယာန်ဘာသာကိုးကွယ်သူမှာ ၄၃.၈% ရှိပြီး ထိုအထဲမှ ကက်သလစ်ဘာသာကို ကိုးကွယ်သူ ၂၃.၇%၊ နယ်သာလန် ပရိုတက်စတင့် ဘုရားကျောင်းတော်ကို ကိုးကွယ်သူ ၁၅.၅%နှင့် အခြားသော ခရစ်ယာန်ဘာသာဝင်(နယ်သာလန် ပရိုတက်စတင့်ကျောင်းတော်တွင် ပါဝင်မှုမရှိသော အခြားသော ပရိုတက်စတင့်ဂိုဏ်းများ အပါအဝင်) ၄.၆% ပါဝင်သည်။ အစ္စလာမ်ဘာသာကိုးကွယ်သူမှာ စုစုပေါင်း လူဦးရေ၏ ၄.၉% ရှိပြီး အခြားသော ဘာသာတရားများ(ဂျူးဘာသာ၊ ဗုဒ္ဓဘာသာနှင့် ဟိန္ဒူဘာသာ) ကိုးကွယ်သူစုစုပေါင်းမှာ ၁.၁% ရှိသည်။<ref name="cbs2016"/> ၂၀၀၆ ခုနှစ်တွင် ရက်ဘောင်းဒ်တက္ကသိုလ်(Redboud University) နှင့် လွတ်လပ်သော အမ်စတာဒမ်တက္ကသိုလ်(Vrije Universiteit Amsterdam)တို့၏ အသေးစိတ် လေ့လာမေးမြန်းမှုများအရ ဒတ်ချ်လူဦးရေ၏ ၃၄%သည် ခရစ်ယာန်ဘာသာ ကိုးကွယ်ကြသည်ဟု ပြောဆိုခဲ့ပြီး<ref name="nos.nl">{{cite news|title=Hoe God (bijna) verdween uit Nederland|url=http://nos.nl/artikel/2092498-hoe-god-bijna-verdween-uit-nederland.html|accessdate=၁၆ ဩဂုတ် ၂၀၂၀|publisher=NOS|date=13 March 2016}}</ref> ၂၀၁၅ ခုနှစ်ထိ လျော့ကျသွားခဲ့မှုမှာ လူဦးရေ၏ ၂၅% သည် ခရစ်ယာအယူဝါဒများမှ တစ်ခုခု(၁၁.၇% ရိုမန်ကက်သလစ်၊ ၈.၆% PKN၊ ၄.၂% မှာ အခြားခရစ်ယာန်ဂိုဏ်းခွဲများ)ကိုသာ ကိုးကွယ်ကြပြီး မွတ်စလင်မှာ ၅%၊ ဟိန္ဒူ သို့မဟုတ် ဗုဒ္ဓဘာသာ ကိုးကွယ်သူ ၂ %နှင့် ဘာသာမဲ့မှာ လူဦးရေ၏ ၆၇.၈% ရှိခဲ့ရာ ၂၀၀၆ ခုနှစ်တွင် ၆၁%၊ ၁၉၉၆ ခုနှစ်တွင် ၅၃%၊ ၁၉၇၉ ခုနှစ်တွင် ၄၃%နှင့် ၁၉၆၆ ခုနှစ်တွင် ၃၃%မှမြင့်တက်လာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name="BerntsA"/><ref>{{Cite news|url=http://www.dutchnews.nl/news/archives/2016/03/two-thirds-of-people-in-netherlands-have-no-religious-faith/|title=Two-thirds of people in Netherlands have no religious faith|date=14 March 2016|work=DutchNews.nl|access-date=၁၆ ဩဂုတ် ၂၀၂၀|language=en-GB}}</ref> Sociaal en Cultureel Planbureau(လူမှုနှင့် ယဉ်ကျေးမှု အေဂျင်စီ၊ SCP) သည် ၂၀၂၀ ခုနှစ်တွင် ဘာသာမဲ့အရေအတွက်သည် ၇၂% ခန့် ဖြစ်လာမည်ဟု ခန့်မှန်းကြသည်။<ref>Sociaal en Cultureel Planbureau, God in Nederland (2006/2007)</ref> နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ ပညာရေးလွတ်လပ်ခွင့်ကို အာမခံပေးထားရာ ဆိုလိုသည်မှာ ယေဘုယျ စံအရည်အသွေးကို လိုက်နာသော ကျောင်းအားလုံးသည် အစိုးရဘဏ္ဍာငွေ တူညီစွာ ရရှိသည်။ ထိုအထဲတွင် ဘာသာရေးအုပ်စုများ(အထူးသဖြင့် ရိုမန်ကက်သလစ်နှင့် ပရိုတက်စတင့်ဂိုဏ်းခွဲများ)မှ ဘာသာရေးစည်းမျဉ်းအရ အခြေတည်ထားသော ကျောင်းများလည်း ပါဝင်သည်။ ဒတ်ချ်ပါလီမန်ရှိ နိုင်ငံရေးပါတီ ၃ ခု(Christen-Democratisch Appèl၊ Christian Union၊ Staatkundig Gereformeerde Partij Dutch)သည် ခရစ်ယာန် ယုံကြည်မှုတွင် အခြေတည်ထားသည်။ မားစွာသော ခရစ်ယာန် ဘာသာရေး အားလပ်ရက်များသည်လည်း နိုင်ငံတော် အားလပ်ရက်များ(ခရစ္စမတ်၊ အီစတာပွဲတော်နေ့၊ Pentecost၊‌ ယေရှုသခင် ကောင်းကင်ဘုံသို ကြွမြန်းသည့်နေ့)ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.beleven.org/feesten/lijsten/landen.php?land=Nederland |title=Feestdagen Nederland |publisher=Beleven.org |accessdate=၁၆ ဩဂုတ် ၂၀၂၀}}</ref> ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ထာဝရဘုရားသခင်မဲ့ဝါဒသည် လောကီသီးသန့်ဝါဒ၊ လစ်ဘရယ်ဝါဒနှင့် ဆိုရှယ်လစ်ဝါဒများအဖြစ် ကြီးထွားလာခဲ့သည်။ ၁၉၆၀ ခုနှစ်လောက်တွင် ပရိုတက်စတင့်သည် လူမှုအခြေပြများအရ နည်းပါးလာခဲ့ပြီး ကက်သလစ်ဝါဒနှင့် တူညီလာခဲ့ပြီး နောင်တွင် ခရစ်ယာန် ဂိုဏ်းခွဲနှစ်ခုလုံး ကိုးကွယ်မှု စ၍လျော့နည်းလာခဲ့သည်။ အဓိကချွင်းချက်တခုအနေဖြင့် ရွေ့ပြောင်းနေထိုင်သူများကြောင့် အစ္စလာမ်ဘာသာကိုးကွယ်မှုသည် သိသိသာသာ မြင့်တက်လာခဲ့သည်။ ၂၀၁၀ ခုနှစ်မှစ၍ မွတ်စလင်အစွန်းရောက်ဝါဒကြောင့် ဘာသာရေးအပေါ် စိုးရိမ်မှု မြင့်တက်လာခဲ့သည်။<ref>Knippenberg, Hans "The Changing Religious Landscape of Europe" edited by Knippenberg published by Het Spinhuis, Amsterdam 2005 {{ISBN|90-5589-248-3}}, pages 102-104</ref> ၂၀၁၄ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလတွင် လွတ်လပ်သော အမ်စတာဒမ်တက္ကသိုလ်မှ တိုင်းတာလေ့လာချက်များအရ နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် ထာဝရဘုရားအား ယုံကြည်သူ(၁၇%)ထက် ထာဝရဘုရားအား မယုံကြည်သူ(၂၅%) ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် ပိုတိုးလာကြောင်း လေ့လာသုံးသပ်ထားသည်။ လူဦးရေအများစုသည် ကင်္ခါဝါဒီ(ဘုရားတည်ရှိမှုကို သံသယရှိသူ)(၃၁%) သို့မဟုတ် ietsistic (27%) ရှိ၍နေပြီဖြစ်သည်။<ref name="trouw.nl">{{cite news|last1=van Beek|first1=Marije|title=Ongelovigen halen de gelovigen in|url=http://www.trouw.nl/tr/nl/5091/Religie/article/detail/3830831/2015/01/16/Ongelovigen-halen-de-gelovigen-in.dhtml|accessdate=၁၈ ဩဂုတ် ၂၀၂၀|work=Dossier Relige|publisher=der Verdieping Trouw|date=16 January 2015}}</ref> ၂၀၁၅ ခုနှစ်တွင် နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ အဓိကနေထိုင်သူ အများစု(၈၂%)သည် ဘုရားကျောင်းကို ဘယ်တော့မျှ သို့မဟုတ် ဘယ်တော့မျှနီးပါးအခြေအနေထိ ဘုရားကျောင်းကို မ‌သွားဘူးခဲ့ကြောင်း ပြောဆိုထားပြီး ၅၉% သည် မည်သည့်ဘုရားကျောင်း အမျိုးအစားကိုမဆို ဘယ်တော့မျှ မရောက်ဘူးကြောင်း ဖော်ပြထားကြသည်။ လူအားလုံးအား မေးမြန်းခဲ့ပြီးနောက် သူတို့ကို သူတို့ ဘုရားမဲ့ဝါဒီရှိသူဟု မြင်သူ ၂၄% ရှိပြီး ယခင် ၂၀၀၆ ခုနှစ် လေ့လာခဲ့မှုနှင့်နှိုင်းယှဉ်လျှင် ၁၁% မျှ တိုး၍လာခဲ့သည်။<ref name="BerntsA">{{cite book|last1=Bernts|first1=Tom|last2=Berghuijs|first2=Joantine|title=God in Nederland 1966-2015|date=2016|publisher=Ten Have|isbn=9789025905248}}</ref> မျှော်မှန်းထားသော ဘာသာရေးယုံကြည်မှု မြင့်တက်မှုသည် ၂၀၁၅ ခုနှစ်‌တွင် သု‌တေသနပြုချက်များအရ ရပ်တန့်သည့် အခြေအနေသို့ ရောက်ရှိသွားသည်။ ၂၀၀၆ ခုနှစ်တွင် ၄၀% သော ‌စစ်တမ်းဖြေကြားသူတို့က ဘာသာရေးယုံကြည်မှုရှိသူ(ietsism)ဟု ယူဆကြောင်းဖြေဆိုခဲ့ပြီး ၂၀၁၅ ခုနှစ်တွင်တော့ ၃၁% ထိ လျော့ကျသွားသည်။ ကြီးမြတ်သောစွမ်းအား၏ ဖြစ်တည်မှုပဓာန(existentialism)ကို ယုံကြည်မှုအရေအတွက်မှာလည်း ထိုကာလအတွင်း ၃၆% မှ ၂၈% သိူ့ ကျဆင်းသွားသည်။<ref name="nos.nl"/> နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင်ခရစ်ယာန်ဘာသာမှာ လက်ရှိတွင် ကိုးကွယ်ယုံကြည်မှု အများဆုံးသော ဘာသာဖြစ်သည်။ ‌မြောက် ဘရာဘန့်ပြည်နယ်နှင့် လင်းဘာ့ဂ်ပြည်နယ်တို့သည် သမိုင်းကြောင်းအရ ရိုမန်ကက်သလစ်ကို နှစ်နှစ်ကာကာ သက်ဝင်ယုံကြည်သူများဖြစ်ပြီး ထိုပြည်နယ်သားအချို့သည် ကက်သလစ်ဘုရားကျောင်းတော်သည် ၎င်းတို့၏ ယဉ်ကျေးမှု အမှတ်သရုပ်တည်ရာအဖြစ် မှတ်ယူကြ‌သေးသည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံရှိ ပရိုတက်စတင့်ဝါဒသည် မတူကွဲပြားသော ရိုးရာများအတွင်း ကျောင်းတော်တချို့ ပါဝင်သည်။ ထို့အထဲမှ အကြီးမားဆုံးဆုံးမှာ နယ်သာလန် ပရိုတက်စတင့် ဘုရားကျောင်း(Proteststant Church in Netherlands၊ PKN)ဖြစ်ပြီး ပြုပြင်ပြောင်းလဲရေးကျောင်းတော်နှင့် ရိုးရာအရပြောင်းလဲမှုပြုထားသော လူသာရန်ဘုရားကျောင်းတော်တို့ကို ပေါင်းစည်းထားသော ကျောင်းတော်ဖြစ်သည်။ ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင်မှ ဒတ်ချ်ပြုပြင်ပြောင်းလဲရေးကျောင်းတော်(Dutch Reformed Church)၊ နယ်သာလန်ပြုပြင်ပြောင်းလဲရေးဘုရားကျောင်းများ(the Reformed Churches in the Netherlands)နှင့် လူသာရန်ကျောင်းတော်တို့ ပေါင်းစည်းမှုမှ ဖြစ်ပေါ်လာခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="CBS 2009">{{cite news |url=http://statline.cbs.nl/StatWeb/publication/?DM=SLNL&PA=37944&D1=0-5,10&D2=29-40&VW=T |title=Kerkelijke gezindte en kerkbezoek; vanaf 1849; 18 jaar of ouder |date=15 October 2010}}</ref> များစွာသော အော်သို့ဒေါ့ ပြုပြင်ပြောင်းလဲရေးဘုရားကျောင်းများနှင့် လစ်ဘရယ်ဘုရားကျောင်းများသည် PKN အတွင်းသို့ ပေါင်းစည်းခြင်း မပြုကြချေ။ နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် ခရစ်ယာန်ဘာသာတစ်ခုလုံးအနေဖြင့် အနည်းစုဖြစ်လာသော်လည်း နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် ဇီးလန်းမှ မြောက်ဘက် အိုဗီးရိုက်ဆယ်ပြည်နယ်အထိ ကျယ်ပြန့်သော ခရစ်ယာန်ခါးပတ်ကွင်းရှိ၍နေပြီး ထို‌‌ဒေသတို့တွင် ပရိုတက်စတင့်(အထူးသဖြင့် ပြုပြင်ရေးဘုရားကျောင်း)အား ယုံကြည်ကိုးကွယ်မှုမှာ ပြင်ထန်နေဆဲဖြစ်ပြီး မြူနီစပါယ်ကောင်စီတွင် အဓိကဘာသာ ဖြစ်၍နေသေးသည်။ အစွစလာမ်ဘာသာသည် နိုင်ငံအတွင်း ဒုတိယ ကိုးကွယ်ယုံကြည်မှု အများဆုံးဖြစ်သည်။၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် နယ်သာလန်နိုင်ငံ၌ မွတ်စလင်အရေအတွက်မှာ ၈၂၅,၀၀၀(စုစုပေါင်း လူဦးရေ၏ ၅%) ရှိသည်။<ref name=CBS2>{{cite web|url=http://www.cbs.nl/nl-NL/menu/themas/vrije-tijd-cultuur/publicaties/artikelen/archief/2012/2012-3759-wm.htm|title=Een op de zes bezoekt regelmatig kerk of moskee|work=Central Bureau of Statistics, Netherlands|year=2012|accessdate=၁၈ ဩဂုတ် ၂၀၂၀}}</ref> ရွေ့ပြောင်းလုပ်သားများ များပြားလာမှု၏ အကျိုးရလဒ်အဖြစ် ၁၉၆၀ခုနှစ်မှစ၍ မွတ်စလင်လူဦးရေမှာ တိုးတက်၍ လာခဲ့သည်။ ထိုထဲတွင် တူရကီနှင့် မော်ရိုကိုတို့မှ ရွေ့ပြောင်းလုပ်သားများနှင့် ယခင်ဒတ်ချ်,ကိုလိုနီနယ်များဖြစ်ကြသည့် ဆူရီနမ်နှင့် အင်ဒိုနီးရှားတို့မှ ရွေ့ပြောင်းလုပ်သားများလည်း ပါဝင်ကြသည်။ ၁၉၉၀ ခုနှစ်များအတွင်းတွင် ဘော့စနီးယားနှင့် ဟက်ဇာဂိုဗေးနီးယား၊ အီရန်၊ အီရတ်၊ ဆိုမာလီယာနှင့် အာဖဂန်နစ္စတန်နိုင်ငံတို့မှ ဒုက္ခသည်များလည်း ရောက်ရှိ၍ လာခဲ့သေးသည်။<ref>{{cite web|url=http://www.scp.nl/publicaties/boeken/9037702597/Godsdienstige_veranderingen.pdf |title=Godsdienstige veranderingen in Nederland |accessdate=၁၈ ဩဂုတ် ၂၀၂၀ |archiveurl = https://web.archive.org/web/20070125142251/http://www.scp.nl/publicaties/boeken/9037702597/Godsdienstige_veranderingen.pdf |archivedate = 25 January 2007}}</ref> အခြားသော ဘာသာတရားတို့မှာ ဒတ်ချ်လူဦးရေ၏ ၆% လောက်သာရှိသည်။ ဟိန္ဒူဘာသာမှာ နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် အနည်းငယ်သာ ကိုးကွယ်သော ဘာသာတရားဖြစ်ပြီး ယုံကြည်ကိုးကွယ်သူ ၂၁၅,၀၀၀(လူဦးရေ ၁% ထက် အနည်းငယ်ပို) ရှိပြီး အများစုမှာ အင်ဒို-ဆူရီနမ်လူမျိုးများဖြစ်သည်။ ကိုးကွယ်သူများတွင် အိန္ဒိယနှင် သီရိလင်္ကာတို့မှာရွေ့ပြောင်းလာသူများနှင့် ဟာရီ ခရစ်ရှနား(Hare Krishna)ကဲ့သို့ ပြောင်းလဲထားသော ဟိန္ဒူဘာသာကို ကိုးကွယ်ကြသော အနောက်တိုင်းသားတို့လည်း ပမာဏတော်တော်များများ ပါဝင်ကြသည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် ဗုဒ္ဓဘာသာဝင် သို့မဟုတ် နှစ်နှစ်ကာကာ ယုံကြည်နေသူသည် ခန့်မှန်း ၂၅၀,၀၀၀ ရှိသည်။ ဂျူးဘာသာအနေဖြင့် နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် ၄၅,၀၀၀ ခန့်ရှိသည်။ === ပညာရေး === [[File:BSN Junior School Vlaskamp.jpg|thumb|left|A primary school in The Hague]] [[File:ACTA - panoramio.jpg|thumb|left|A University of Amsterdam building]] [[File:Utrecht-Uithof, from CambridgeLaan 01.jpg|thumb|left|View on the Utrecht Science Park of Utrecht University. The building in the centre is the library.]] နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ ပညာရေးသည် အသက် ၅ နှစ်မှ ၁၆ နှစ်အကြား မသင်မနေရ ပညာရေးစနစ်ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web|url=https://www.rijksoverheid.nl/onderwerpen/leerplicht|title=Leerplicht|website=Rijksoverheid.nl|accessdate=၆ ဇွန် ၂၀၂၀|date=11 December 2009}}</ref> အကယ်၍ ကလေးမှာ HAVO, VWO သို့မဟုတ် MBO 2+ ဒီဂရီကဲ့သို့‌သော အခြေခံအရည်အချင်း သတ်မှတ်ချက် မရှိပါက ထိုကလေးသည် မဖြစ်မနေ ထိုအရည်အချင်း သတ်မှတ်ချက်ရရှိအောင် သင်ကြားရမည် ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web|url=https://www.rijksoverheid.nl/onderwerpen/leerplicht/leerplicht-en-kwalificatieplicht|title=Leerplicht en kwalificatieplicht|website=Rijksoverheid.nl|accessdate=၆ ဇွန် ၂၀၂၀|date=February 2017|archive-date=9 August 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220809141235/http://www.rijksoverheid.nl/onderwerpen/leerplicht/leerplicht-en-kwalificatieplicht|url-status=dead}}</ref> နယ်သာလန်နိုင်ငံရှိ ‌ကလေးသူငယ်တိုင်းသည် အခြေခံပညာကျောင်းကို အသက် ၄ နှစ်မှ ၁၂ အတွင်း သင်ကြားကြရပြီး အတန်း ၈ ခု ပါဝင်သည်။ ပင်ကိုပါရမီ စမ်းသပ်မှုအပေါ် အခြေခံ၍ အဋ္ဌမတန်းမှဆရာ၏ မှတ်ချက်နှင့် ကျောင်းသားမိဘ သို့မဟုတ် အုပ်ထိန်းသူ၏ အမြင်ဖြင့် အလယ်တန်းသင်ရိုး ၃ ခုမှ တစ်ခုကို ရွေးချယ်ရသည်။ သီးခြားသင်ရိုးဖြင့် သင်ကြားပြီးသည့်နောက် နောက်ဆုံးနှစ်မတိုင်မီ တစ်နှစ်အလိုတွင် ကျောင်းသားသည် နောက်ထပ်သင်ရိုးကို ဆက်လက်သင်ကြားနိုင်သည်။ VMBO တွင် အတန်း ၄ ခု ပါဝင်ပြီး အခြားသော အဆင့်ခွဲများစွာရှိသည်။ VMBO အတန်းများအား အောင်မြင်ပြီးသည်နှင့် MBO အတန်းများအား ဆက်လက် တက်ရောက်နိုင်သည်။ MBO (middle-level applied education) သည် လက်တွေ့အသုံးချ အသက်မွေးဝမ်းကျောင်း ပညာရပ်များကို အဓိကထား သင်ကြားသော ပုံစံဖြစ်သည်။ MBO အောင်မြင်သည့် လတ်မှတ်ရှိသော ကျောင်းသားသည်သာ HBO ကို ‌‌တက်ရောက်ခွင့်ရှိမည် ဖြစ်သည်။ HAVO သည် အတန်း ၅ ခုရှိပြီး အောင်မြင်ပါက HBO ကို တက်ရောက်ခွင့် ရရှိမည် ဖြစ်သည်။ HBO(higher professional education) သည် တက္ကသိုလ် ပညာရေး(အသုံးချ သိပ္ပံ)ဖြစ်ပြီး အောင်မြင်ပါက သက်ဆိုင်ရာနယ်ပယ်အဘိုက် ဘွဲ့ဒီဂရီကို ရရှိမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် တက္ကသိုလ်အဆင့်ဘွဲ့နှင့် တူညီသည်။ VWO (comprising athenaeum and gymnasium) တွင် အတန်း ၆ ခုပါဝင်ပြီး သုတေသနတက္ကသိုလ်များတွင် သင်ကြားနိုင်ရေးအတွက် အကြိုပြင်ဆင်ခြင်း ဖြစ်သည်။ တက္ကသိုလ်တွင် သုံးနှစ်ကြာမြင့်သော ဘွဲ့ဒီဂရီကို သင်ကြားနိုင်ပြီး ၎င်းနောက် တစ်နှစ် သို့မဟုတ် နှစ်နှစ် ကြာသော ဘွဲ့လွန်ကို ဆက်လက်သင်ကြားနိုင်သည်။ ထိုသို့သင်ကြားပြီးပါက လေးနှစ် သို့မဟုတ် ငါးနှစ်ကြာမြင့်သော ပါရဂူဘွဲ့သင်တန်းကို ဆက်လက်သင်ကြားနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် ပါရဂူဘွဲ့ သင်တန်းသားများသည် ယေဘုယျအားဖြင့် တက္ကသိုလ်၏ အမြဲတမ်းခန့် ဝန်ထမ်းများတော့ မဟုတ်ချေ။ အများပြည်သူရံပုံ​ငွေဖြင့် အသုံးပြု​သော ဘာသာ​ရေး​ကျောင်းများမှလွဲ၍ ဒတ်ချ် ​ကျောင်းနှင့် တက္ကသိုလ်များသည် အများပြည်သူတက္ကသိုလ်များဖြစ်ပြီး ဘုရား​ကျောင်းများကိုလည်း နိုင်ငံ​တော်မှ စီမံခန့်ခွဲခြင်း မဟုတ်ပဲ လိုအပ်သည်များဖြည့်ဆည်းခြင်းဖြစ်သည်။ ဒတ်ချ်တက္ကသိုလ်များတွင် ကျူရှင်ခသည် နယ်သာလန်​နှင့် ယူရိုအဖွဲ့ဝင်ကျောင်းသားများအတွက် တနှစ်တာကုန်ကျ​ငွေ ယူရို ၂၀၀၀ ခန့် ရှိပြီး ယူရိုအဖွဲ့ဝင် မဟုတ်​သော နိုင်ငံများအတွက်မူ ယူရို ၁၀,၀၀၀ ခန့် ကုန်ကျသည်။ === ကျန်းမာရေး ​စောင့်​​ရှောက်မှု === [[File:Anthonie van Leeuwenhoek (1632-1723). Natuurkundige te Delft Rijksmuseum SK-A-957.jpeg|thumb|Portrait of Antonie van Leeuwenhoek (1632–1723), known as "the father of microbiology"]] [[File:Meander MC noordzijde 1.JPG|thumb|A public hospital in Amersfoort]] ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် Euro health consumer index (EHCI)၏ နံပါတ် ၁ နေရာကို ဆက်လက်ရရှိခဲ့သည်။ ၎င်းညွှန်းကိန်းသည် ဥရောပရှိ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုစနစ်များကို လေ့လာခြင်းဖြစ်ပြီး အမြင့်ဆုံးအမှတ် ၁,၀၀၀ တွင် ၉၁၆ မှတ်ရရှိခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် ၂၀၀၅ ခုနှစ်ကတည်းက ထုတ်ပြန်ခဲ့သော စစ်တမ်းတို့တွင် ထိပ်ဆုံးသုံးနိုင်ငံအနက် ပါဝင်ခဲ့သည်။ တိုင်းတာစစ်ဆေးမှု ၄၈ မျိုးတွင် ပါဝင်သည့် လူနာအခွင့်အရေး၊ သတင်းအချက်အလက်၊ ကာကွယ်စောင့်ရှောက်မှုနှင့် အကျိုးရလဒ်တို့တွင် နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် ဥရောပ ၃၇ နိုင်ငံတွင် ထိပ်ဆုံးနိုင်ငံအဖြစ် ၆ နှစ်ဆက်တိုက် အသိအမှတ်ပြုခြင်းကို ခံထားရသည်။<ref>{{cite web|url=http://www.healthpowerhouse.com/|title=Health Consumer Powerhouse|work=healthpowerhouse.com|accessdate=၂၃ ဇူလိုင် ၂၀၂၀|archive-date=17 August 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200817152201/https://healthpowerhouse.com/}}</ref> ၂၀၀၉ ခုနှစ်တွင် ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း၊ ဩစတေးလျ၊ ကနေဒါ၊ ဂျာမနီ၊ နယူးဇီလန်တို့နှင့် ကျန်း‌မာရေးစောင့်ရှောက်မှုနှင့်ပတ်သက်သော နှိုင်းယှဉ်လေ့လာမှုတစ်ရပ်တွင် ပထမနေရာတွင် ရှိနေခဲ့သည်။<ref>{{cite news| url=https://www.reuters.com/article/idUSTRE65M0SU20100623 | work=Reuters | title=U.S. scores dead last again in healthcare study | date=23 June 2010}}</ref><ref>{{cite web|url=http://content.healthaffairs.org/content/26/6/w717.full.pdf+html|archive-url=https://web.archive.org/web/20120110040524/http://content.healthaffairs.org/content/26/6/w717.full.pdf+html|url-status=dead|archive-date=10 January 2012|title=Toward Higher-Performance Health Systems: Adults' Health Care Experiences In Seven Countries, 2007}}</ref> ၂၀၀၆ ခုနှစ်တွင် ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုနှင့်ပတ်သက်၍ ကြီးမားသော ပြုပြင်ပြောင်းလဲမှုများ ပြုလုပ်ပြီးကတည်းကပင် ဒတ်ချ်တို့၏ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုစနစ်သည် နှစ်စဉ် ညွှန်းကိန်းများ၌ ပိုမိုများပြားသော အမှတ်များကို ရရှိခဲ့သည်။ HCP (Health Consumer Powerhouse) ၏ အဆိုအရ နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် 'ပရမ်းပတာဖြစ်သော စနစ်' ရှိပြီး ဆိုလိုသည်မှာ လူနာ၌ သူ၏ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုအတွက် ကျန်းမာရေးအာမခံအား လွတ်လပ်စွာဝယ်ယူနိုင်မှု ကြီးမားစွာ ရရှိထားခြင်းဖြစ်သည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံနှင့် အခြားသောနိုင်ငံတို့နှင့် ကွာခြားချက်မှာ ထိုပရမ်းပတာဖြစ်မှု(လွတ်လပ်စွာ ရွေးချယ်နိုင်ခွင့်)ကို အစီအစဉ်တကျဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုနှင့်ပတ်သက်သော ဆုဲးဖြတ်ချက်များသည် လူနာနှင့် ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှု ဝန်ဆောင်မှုပေးသူအကြား ပြောဆိုဆွေးနွေးမှုအတွင်းတွင် ပြုလုပ်နိုင်သည်။<ref>{{Cite web|url=https://healthpowerhouse.com/|title=Health Consumer Powerhouse – Health Care System's Indexes and reports|access-date=16 August 2020|archive-date=4 March 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220304194538/https://healthpowerhouse.com/}}</ref> ကျန်းမာရေး‌အာမခံသည် နယ်သာလန်နိုင်ငံ၌ ဥပဒေအရ မဖြစ်မနေလုပ်ကြရသည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံ၌ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုအား ဥပဒေအရ အာမခံပုံစံနှစ်ခုဖြင့် လွှမ်းခြုံထားသည်။ •Zorgverzekeringswet (ZVW)၊ "အခြေခံ အာမခံ" ဖြစ်ပြီး အထွေထွေ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှု ဖြစ်သည်။ •Algemene Wet Bijzondere Ziektekosten (AWBZ) သည် ကာလရှည် ပြုစုစောင့်ရှောက်မှု ဖြစ်သည်။ ဒတ်ချ်နိုင်ငံသားများအတွက် AWBZ အာမခံသည် အစိုးရမှ အလိုအလျောက် အာမခံပေးထားပြီး အခြေခံကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုကိုတော့ လူတိုင်းအနေဖြင့် ချုပ်ဆိုရန် လိုအပ်သည်။ အသက် ၁၈ နှစ်အောက် ကလေးများအနေဖြင့် ၎င်းတို့၏ မိဘအာမခံနှင့်ပင် အလိုအလျောက် အကျုံးဝင်သည်။ အကယ်၍ တစ်ဦးတစ်ယောက်အနေဖြင့် အာမခံ မယူလိုပါက ၎င်းသည် ‌ကျန်းမာရေးကောင်းမွန်ရမည်။ အာမခံကုမ္ပဏီအနေဖြင့် အသက် ၁၈ နှစ်ကျော်လွန်သူ လူတိုင်းအတွက် အသက်အရွယ်နှင့် ကျန်းမာရေးအခြေအနေကို မမှီတည်သည့် အထွေထွေကျန်းမာရေး အာမခံပုံစံများ ပေးရပြီး လျှောက်ထားခွင့် ငြင်းပယ်ခြင်းနှင့် အထူးအခြေအနေတစ်ရပ်ပြဋ္ဌာန်းခြင်းသည် တရားမဝင်သော ကိစ္စရပ်များ ဖြစ်သည်။ တခြားသော ဥရောပနိုင်ငံများနှင့်မတူသည်မှာတော့ ဒတ်ချ်အစိုးရသည် လွယ်ကူ​စေမှုနှင့် ကျန်းမာ​ရေး​စောင့်​ရှောက်မှုစနစ်၏ အရည်အ​သွေးများအတွက် တာဝန်ခံမှုရှိပြီး စီမံခန့်ခွဲမှုအတွက် မပါဝင်ပေ။ နယ်သာလန်၏ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုကို နည်းလမ်းများစွာဖြင့် ခွဲခြားနိုင်ပြီး somatic နှင့် စိတ်ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုနှင့် 'ကုသခြင်း'(ကာလတို)၊ 'စောင့်ရှောက်မှု'(ကာလရှည်)တွင် အဆင့် သုံးဆင့် ခွဲခြားထားသည်။ မိသားစုဆရာဝန်များ(huisartsen)သည် ပထမအဆင့်၏ အကြီးမားဆုံး အစိတ်အပိုင်းများအဖြစ် ဖွဲ့စည်းထားကြသည်။ ပထမအဆင့်မှ အဖွဲ့ဝင်တစ်ယောက်၏ ညွန်းဆိုမှုရှိမှသာ ဒုတိယနှင့် တတိယအဆင့်အတွက် လက်ခံရန် လုပ်ဆောင်ခွင့်ရှိသည်။<ref name="Boot">J.M. Boot, 'De Nederlandse Gezondheidszorg', Bohn Stafleu van Loghum 2011</ref> ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုစနစ်သည် အခြားသော ဥရောပနိုင်ငံများနှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင်အတော်လေးထိရောက်မှုရှိသော်လည်း ကုန်ကျစရိတ် ထိရောက်မှုအရှိဆုံးသော စနစ်တော့ မဟုတ်ပါ။<ref name=BCG>Boston Consulting Group, 'Zorg voor Waarde', 2011.</ref> နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုစနစ်သည် လမ်းနှစ်သွယ်စနစ်ဖြင့် ဘဏ္ဍာ‌ငွေသုံးစွဲသည်စနစ်ကို ၂၀၀၆ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီမှ စတင်ကျင့်သုံးခဲ့သည်။ တစ်စိတ်တပိုင်းဆေးရုံနေနှင့် ဘီးတပ်ကုလားထိုင်အစရှိသော မသန်စွမ်းကုန်ကျစရိတ်ကဲ့သို့ ကာလရှည်ကုသမှုတို့တွင် နိုင်ငံတော်မှထိန်းချုပ်သော အာမခံခွင့်ပြုမှုနှင့် ကုသခွင့်ပေးထားသည်။ ၎င်းသည် Algemene Wet Bijzondere Ziektekosten ("General Law on Exceptional Healthcare Costs") ခေါင်းစဉ်အောက်တွင်ရှိပြီး ၁၉၆၈ ခုနှစ်တွင်မှစ၍ ပထမဆုံးအသက်သွင်းခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ၂၀၀၉ ခုနှစ်တွင်စ၍ အာမခံသည် ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုကုန်ကျ‌ငွေ၏ ၂၇%ကို ကုန်ကျခံပေးခဲ့သည်။<ref name="statline.cbs.nl">{{cite web|url=http://statline.cbs.nl/StatWeb/publication/?DM=SLNL&PA=71914ned&D1=37-43&D2=a&HDR=G1&STB=T&VW=T|title=Zorgrekeningen; uitgaven (in lopende en constante prijzen) en financiering|date=20 May 2010|publisher=Centraal Bureau voor de Statistiek: StatLine|language=Dutch|accessdate=၁၄ ဩဂုတ် ၂၀၂၀}}</ref> ပုံမှန်ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှု(ကာလတို)အားလုံးအတွက်သည် ပုဂ္ဂလိက ကျန်းမာရေးအာမခံကုမ္ပဏီများ၏ မဖြစ်မနေထားရှိရသော ကျန်းမာရေးအာမခံစနစ်တွင် ဖြစ်သည်။ ဤကျန်းမာရေးအာမခံကုမ္ပဏီများကို တိကျသေချာသော အာမခံကုသမှုအမျိုးအစားအလိုက် ထောက်ပံ့ပေးရန် မဖြစ်မနေ လုပ်‌ဆောင်စေရသည်။<ref name="minvws.nl">{{cite web|url=http://www.minvws.nl/en/themes/health-insurance-system/|title=Ministerie van Volksgezondheid, Welzijn en Sport|first=Ministerie van Volksgezondheid, Welzijn en|last=Sport|work=minvws.nl|accessdate=၁၄ ဩဂုတ် ၂၀၂၀|date=18 February 2010}}</ref> အာမခံသည် ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှု အားလုံးကုန်ကျငွေ၏ ၄၁% ကို ထောက်ပံ့ပေးရသည်။<ref name="statline.cbs.nl"/> ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှု ငွေပေးချေမှု၏ အခြားသော ရင်းမြစ်များမှာ အခွန်(၁၄%)၊ တိုက်ရိုက်‌ငွေချေမှု(out of pocket payments) (၉%)၊ ထပ်တိုးစိတ်ကြိုက် ကျန်းမာရေးအာမခံအမျိုးအစား (၄%)နှင့် အခြားသော ရင်းမြစ်(range of other sources)(၄%) တို့ဖြစ်သည်။ <ref name="statline.cbs.nl"/> လက်ခံနိုင်မှု(affordablility)ကို ဝင်‌ငွေနှင့်ဆက်စပ်သော ကင်းလွတ်ခွင့်စနစ်နှင့် သီးခြားနှင့် အလုပ်သမားများမှ ပေးချေသော ဝင်ငွေနှင့် ဆင်စပ်သော ပရီမီယံတို့မှ အာမခံပေးသည်။ ဒတ်ချ်ကျန်းမာရေးစနစ်၏ အဓိကအကြောင်းအရာမှာအာမခံပရီမီယံမှာ ကျန်းမာရေးအခြေအနေနှင့် အသက်အရွယ်ကို ဆက်နွယ်မှု မရှိခြင်းဖြစ်သည်။ ကာလတို ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှု အားလုံးအတွက် ကုန်ကျစရိတ်ကို အာမခံကုမ္ပဏီမှ ၅၀%၊ အာမခံထားသူမှ ၄၅%နှင့် အစိုးရမှ ၅% ပေးဆောင်သည်။ အသက် ၁၈ နှစ်အောက် ကလေးငယ်များအား အခမဲ့ လွှမ်းခြုံမှုပေးထားသည်။ အာမခံကုမ္ပဏီများမှ အာမခံကြေးပေးချေမှုသည် တစ်လလျှင် ယူရို ၁၀၀ (၂၀၁၀ ဩဂုတ်တွင် အမေရိကန်ဒေါ်လာ ၁၂၇ ခန့်နှင့် ၂၀၁၂ တွင် ယူရို ၁၅၀ သို့မဟုတ် အမေရိကန်ဒေါ်လာ ၁၉၆၊ မတူကွဲပြားသော အာမခံကုမ္ပဏီများအကြား ကွဲပြားမှု ၅ % ခန့်)ရှိပြီး နှစ်စဉ် အခွန်မဆောင်မီပေးချေရမှုသည် ယူရို ၂၂၀(အမေရိကန်ဒေါ်လာ ၂၈၈)ခန့်ရှိသည်။ == ယဉ်ကျေးမှု == [[File:Hollande04.jpg|thumb|600px|center|<div style="text-align:center;">ဒတ်ချ် ယဉ်ကျေးမှု၏ လက္ခဏာနှင့် ပြယုဂ်အချို့</div>]] === အနုပညာ၊ ဒဿနိကဗေဒနှင့် စာပေ === {{multiple image|perrow=2/1/1|total_width=300|caption_align=center | image1 = Meisje met de parel.jpg|caption1= [[ဂျိုဟန်နက် ဗာမီယာ]]၏ ''[[ပုလဲနားဆွဲနဲ့ မိန်းကလေး]]'' | image2 = Vincent van Gogh - Self-portrait with grey felt hat - Google Art Project.jpg|caption2=[[ဗင်းဆင့် ဗန်ဂိုး]]၏ ကိုယ်တိုင်ရေးပုံတူ | image3 = Rijksmuseum 2022.jpg|caption3=The Rijksmuseum | image4 = NEMO and area.jpg|caption4=The National [[:en:NEMO (museum)|NEMO Science Museum]] and the [[Nederlands Scheepvaartmuseum]] in second plan, in Amsterdam }} နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် ပန်းချီဆရာကျော်များစွာ နေထိုင်ခဲ့ဖူးသော နိုင်ငံတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ဒတ်ချ်သမ္မတနိုင်ငံ ခေတ်ကောင်းရောက်ရှိစဉ်အချိန်က များစွာသော ပန်းချီဆရာများဖြစ်သည့် [[ရမ်းဗရန့်]]၊ [[ဂျိုဟန်နက် ဗာမီယာ]]၊ ဂျန် စတင်း(Jan Steen)၊ ဂျက်ကော့ ဗန် ရူအစ်ဒယ်(Jacob van Ruisdael) အစရှိသော ပန်းချီဆရာများစွာ ပေါ်ထွန်းခဲ့သည်။ [[ဗင်းဆင့် ဗန်ဂိုး]]၊ [[ပင်တာ မွန်ဒရီယွန်]]တို့သည် ၁၉ ရာစုနှင့် ၂၀ ရာစုတွင် ကျော်ကြားခဲ့သော ဒတ်ချ် ပန်းချီဆရာများဖြစ်သည်။ ထို့ပြင်  မော်ရစ် ကော်နယ်လစ် အက်ရှာ(M. C. Escher)ကဲ့သို့ ကျော်ကြားသော ဂရပ်ဖစ် ပညာရှင်များလည်းရှိသည်။ ဝီလျံ ဒီ ကော်နင်း(Willem de Kooning)သည် [[ရော်တာဒမ်မြို့]]တွင် မွေးဖွား၍ သင်ကြားခဲ့သော်လည်း အမေရိကန်အနုပညာရှင်တစ်ယောက်အဖြစ် ခံယူထားသူ ဖြစ်သည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် ရော်တာဒမ်မြို့မှ [[အီရက်ဇမတ်]]နှင့် [[ဗာရွတ် ဆပင်နိုဇာ|ဆပင်နိုဇာ]]ကဲ့သို့သော ဒဿနိကပညာရှင်များ ပေါ်ထွန်းရာ မြေလည်း ဖြစ်သည်။ ဒေးကား၏ အရေးပါသော အတွေးအခေါ်များသည်လည်း နယ်သာလန်နိုင်ငံ၌ ၎င်း လေဒင့်တက္ကသိုလ်တွင် ပညာသင်စဉ်တွင် ဖော်ထုတ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး ရာစုနှစ်များစွာအတွင်း ထိုတက္ကသိုလ်တွင် ပထဝီပညာရှင် ဂျိမ်း ဟတ်တန်(James Hutton)၊ ဗြိတိသျှဝန်ကြီးချုပ် ဂျွန် စတူးအတ် (John Stuart)၊ အမေရိကန်သမ္မတ [[ဂျွန် ကွင်စီ အဒမ်စ်]]၊ ရူပဗေဒဆိုင်ရာ နိုဘယ်ဆုရှင်များ ဖြစ်ကျသော ဟန်းဒရစ် လိုရန်ဇ်(Hendrik Lorentz) နှင့် အန်ရီကို ဖာမီ(Enrico Fermi) တို့ ပညာသင်ကြားခဲ့ကြသည်။ ဒတ်ချ် သိပ္ပံပညာရှင် ခရစ္စတင်းယန်း ဟေဂန်(Christiaan Huygens)(၁၆၂၉–၁၆၉၅) သည် [[စနေဂြိုဟ်|စေတန်ဂြိုဟ်]]၏ ဂြိုဟ်ရံလဖြစ်သော [[တိုက်တန် (ဂြိုဟ်ရံလ)|တိုင်တန်လ]]ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ပြီး အလင်းသည် လှိုင်းသဏ္ဍန်ဖြင့် သွားသည်ဟု ယုံကြည်စွာ ငြင်းဆိုခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ချိန်သီးနာရီကို တီထွင်ခဲ့ပြီး သင်္ချာညီမျှခြင်းများကို အသုံးပြုခဲ့သော ပထမဆုံးသော ရူပဗေဒပညာရှင်လည်းဖြစ်သည်။ အန်တိုနီ ဗန် လေဗင်ဟုပ်(Antonie van Leeuwenhoek) သည် မိုက်ခရိုစကုပ်ဖြင့် ကြည့်၍မြင်နိုင်သော ဆဲလ်တစ်လုံးတည်းရှိသော သက်ရှိများ အကြောင်းကို ပထမဆုံး တွေ့ရှိ ဖော်ထုတ်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ဒတ်ချ်ရွှေခေတ်တွင် အခြားသော အနုပညာလက်ရာများနှင့်အတူ ယော့ ဗန် ဒန် ဗွန်ဒယ်(Joost van den Vondel) နှင့် ပီတာ ကော်နယ်လစ်ဇွန် ဟော့(P. C. Hooft) တို့၏ လက်ရာများဖြင့် စာပေသည်လည်း ကျော်ဇောခြင်းအတိ ရှိခဲ့လေသည်။ ၁၉ ရာစုတွင်လည်း မူတာတူလီ(Multatuli) ရေးသည့် ယခုအခါ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံဖြစ်လာသည့် ဒတ်ချ်ကိုလိုနီနယ်များတွင် ဆိုးရွားစွာ ပြုမူဆက်ဆံခဲ့သည်တို့ကို ရေးသားခဲ့သော စာများသည်လည်း ထင်ရှားသည်။ ၂၀ ရာစုတွင် ထင်ရှားသော စာရေးဆရာများတွင် ဂေါ့ဒ်ဖရီး ဘိုးမန်း(Godfried Bomans)၊ ဟာရီ မူလစ်ချ်(Harry Mulisch)၊ ယန် ဝေါကာ(Jan Wolkers)၊ ဆိုင်မွန် ဗက်ဒေ့(Simon Vestdijk)၊ ဟယ်လာ ဟာဆယ်(Hella S. Haasse)၊ ဆီး နိုတီဘွန်း(Cees Nooteboom)၊Gerard Reve နှင့် ဝီလျံ ဖရက်ဒရစ် ဟားမန်း(Willem Frederik Hermans) တို့ ပါဝင်သည်။ ဂျူးလူမျိုးတို့ မျိုးတုန်းသတ်ဖြတ်မှုဖြစ်စဉ်အတွင်းတွင် အသတ်ခံခဲ့ရသော [[အာနယ်ဖရန့်ခ်]]၏ Diary of a Young Girl သည် ထင်ရှားသော စာအုပ်တစ်အုပ်ဖြစ်ပြီး ဒတ်ချ်ဘာသာမှ အခြားသော ထင်ရှားသော ဘာသာတို့ဖြင့် ပြန်ဆိုထုတ်ဝေခဲ့သော စာအုပ်တစ်အုပ်ဖြစ်သည်။ ဒတ်ချ်ရိုးရာဗိသုကာလက်ရာများကို အမ်စတာဒမ်မြို၊ လေဒင့်မြို့(Leiden)၊ ဒဲ့ဖ်မြို့(Delft)တို့တွင် ကောင်းစွာ ထိန်းသိမ်းထားပြီး တူးမြောင်းများတစ်လျှောက်တွင် ၁၇ ရာစုနှင့် ၁၈ ရာစုမှအဆောက်အဦများကို တွေ့မြင်နိုင်သည်။ သစ်ဖြင့်ဆောက်လုပ်ထားသော ကျေးလက်ဗိသုကာလက်ရာများကို ဇာအမ်ဒမ်မြို့(Zaandam) နှင့် မာကန်ရွာ(Marken) တို့တွင် တွေ့နိုင်သည်။ ဒတ်ချ် အဆောက်အဦများ၏ ပုံတူလက်ရာများကို [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[နာဂါဆာကီမြို့]]ရှိ Huis Ten Bosch ပန်းခြံတွင် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ ဟော်လန်ရွာငယ်ပုံစံကို [[တရုတ်နိုင်ငံ]]၊ ရှန်ယန်းမြို့တွင် တည်ဆောက်ပြီးစီးလျက်ရှိသည်။ [[လေရဟက်စက်|လေရဟတ်]]၊ ကျူးလစ်ပန်း၊ သစ်သားရှူးဖိနပ်၊ ဒဲ့ဖ် အိုးထည်များနှင့် ဆေးခြောက်ပင် (cannabis) တို့သည် နယ်သာလန်နိုင်ငံကို လာရောက်လည်ပတ်ကြသော ခရီးသွား ဧည့်သည်များအကြားတွင် ရေပန်းစားသော အ‌ကြောင်းအရာများ ဖြစ်သည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် တင်းကျပ်သည့် လူမှုရေးဆိုင်ရာ ရှည်လျားသော သမိုင်းများရှိ‌ခဲ့သော်ငြား ယနေ့အခါတွင် မူးယစ်ဆေးနှင့် သက်ဆိုင်သော မူဝါဒ၊ ညင်သာစွာ သေဆုံးခြင်းအား တရားဝင် ခွင့်ပြုပေးမှုတို့ကြောင့် လွတ်လပ်သော လစ်ဘရယ်နိုင်ငံတစ်ခုအဖြစ် ဆို၍ ရနေပြီဖြစ်သည်။ ၂၀၀၁ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့တွင် လိင်တူခြင်း လက်ထပ်ထိန်းမြှားခြင်းအား တရားဝင်ခွင့်ပြုပေးခဲ့ပြီး လိင်တူလက်ထပ်ခြင်းအား ခွင့်ပြုပေးခဲ့သည့် ပထမဆုံးသောနိုင်ငံဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref>{{cite news|url=http://transcripts.cnn.com/TRANSCRIPTS/0104/01/sm.10.html|title=Same-Sex Marriage Legalized in Amsterdam|date=1 April 2001|work=[[CNN]]|accessdate=၂၀ ဧပြီ ၂၀၂၀|url-status=dead|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160303221411/http://transcripts.cnn.com/TRANSCRIPTS/0104/01/sm.10.html|archivedate=3 March 2016}}</ref> === ဒတ်ချ်လူမျိုးနှင့် ဂေဟဗေဒစနစ် === တခြားသောနှစ်များ အနေဖြင့်လည်းကောင်း ၂၀၁၈ ခုနှစ် အနေဖြင့်ပါ နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် နိုင်ငံသားတစ်ဦးချင်းစီအလိုက်ဖြင့် ကာဗွန်ဒိုင်အောက်ဆိုဒ် ဓာတ်ငွေ့ထုတ်လွှတ်မှုသည် ဥရောပသမဂ္ဂနိုင်ငံများတွင် ထုတ်လွှတ်မှု အများဆုံး‌သော နိုင်ငံများထဲတွင်ပါဝင်ပြီး ဂျာမနီနိုင်ငံ၊ ပြင်သစ်နိုင်ငံ သို့မဟုတ် ဘယ်လ်ဂျီယမ်နိုင်ငံတို့ထက်ပင် မြင့်မားသည်။ <ref>{{cite web|url=https://ec.europa.eu/jrc/en/publication/fossil-co2-emissions-all-world-countries-2018-report |date=2018 |title=Fossil CO2 emissions of all world countries - 2018 Report |work=EU Science Hub |accessdate=၁၅ ဧပြီ ၂၀၂၀}}</ref> သို့ပေသော်ငြား နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် သဘာဝပတ်ဝန်းကျင် ထိန်းသိမ်းရေးနှင့် လူဦးရေ စီမံခန့်ခွဲမှု(population management)တွင် ဦးဆောင်နိုင်ငံတစ်ခုအဖြစ် ဂုဏ်သတင်း ကျော်ကြားဆဲပင် ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.iamexpat.nl/read-and-discuss/expat-page/news/amsterdam-and-rotterdam-among-worlds-most-sustainable-cities-2015|title=IAMEXPAT News|last=|first=|date=|website=Iamexpat.nl|access-date=၁၅ ဧပြီ ၂၀၂၀|archive-date=6 May 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150506104708/http://www.iamexpat.nl/read-and-discuss/expat-page/news/amsterdam-and-rotterdam-among-worlds-most-sustainable-cities-2015}}</ref> ၂၀၁၅ ခုနှစ်တွင် [[အမ်စတာဒမ်မြို့]]နှင့် [[ရော်တာဒမ်မြို့]]တို့သည် Arcadis Sustainable Cities Index တွင် အဆင့် ၄ နှင့် ၅ အသီးသီး ရရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite news|url=https://s3.amazonaws.com/arcadis-whitepaper/arcadis-sustainable-cities-index-report.pdf|title=Arcadis Sustainable Cities Index Report|last=|first=|date=2015|work=|access-date=၁၅ ဧပြီ ၂၀၂၀|via=https://s3.amazonaws.com/arcadis-whitepaper/arcadis-sustainable-cities-index-report.pdf|accessdate=19 April 2020|archivedate=30 August 2016|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160830053346/https://s3.amazonaws.com/arcadis-whitepaper/arcadis-sustainable-cities-index-report.pdf}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.sustainablecitiesindex.com/|title=Arcadis Sustainable Cities Index|website=Sustainablecitiesindex.com|access-date=၁၅ ဧပြီ ၂၀၂၀|archive-date=31 May 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200531070400/http://www.sustainablecitiesindex.com/}}</ref> Sustainability သည် ဒတ်ချ်လူမျိုးတို့အတွက် ပဓာနအရေးပါသော ကိစ္စရပ်ဖြစ်သည်။ ဒတ်ချ်အစိုးရ၏ ရည်မှန်းချက်မှာ ပြန်လည်ပြည့်ဖြိုးရေး၊ ယုံကြည်စိတ်ချရမှုနှင့် မျှတသော စွမ်းအင်စနစ်တို့ဖြစ်ပြီး ၂၀၅၀ ခုနှစ်တွင် ကာဗွန်အောက်ဆိုဒ် ထုတ်လွတ်မှုကို ထက်ဝက်ထိလျော့ချရေးနှင့် ပြန်ပြည့်ဖြိုးမြဲ စွမ်းအင်မှ ၄၀ ရာနှုန်းထိ လျှပ်စစ်ဓာတ်အား ထုတ်လုပ်နိုင်ရေးတို့ ပါဝင်သည်။<ref name=":0">{{cite web|url=http://english.rvo.nl/topics/sustainability|title=Sustainable enterprise {{!}} RVO.nl|website=english.rvo.nl|access-date=15 June 2016}}</ref> အစိုးရသည် လေ့လွင့်မှုနည်းသော ထိရောက်သည့် စွမ်းအင်သုံးစွဲမှု(energy efficency)၊ ပြန်ပြည့်ဖြိုးမြဲစွမ်းအင်နှင့် ကာဗွန်ဒိုင်အောက်ဆိုဒ်လျော့ချရေးတွင် ယူရိုဘီလျံနှင့်ချီ ရင်းနှီးမြုပ်နှံခဲ့သည်။ နိုင်ငံတော်အနေဖြင့် ဒတ်ချ်ကုမ္ပဏီများအား sustainable business/projects/facilities များတည်ဆောက်ရန် တိုက်တွန်းထားပြီး နိုင်ငံတော်မှ ဘဏ္ဏာရေးအကူအညီများပေးသည့်အပြင် စိတ်ဝင်စားသူများမှလည်း တသီးပုဂ္ဂလိကအနေဖြင့်လည်း အကူအညီပေးလျက်ရှိသည်။<ref name=":0" /> === ဂီတ === [[File:RUB9281213-111 1.jpg|thumb|upright=0.85|၁၉ ရာစုမှ [[:en:Concertgebouw|တော်ဝင် ဂီတခန်းမ]]]] နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် အမျိုးစုံသော ဂီတရိုးရာများ ရှိသည်။ ဒတ်ချ်ရိုးရာ ဂီတအမျိုအစားကို "''Levenslied''" ဟု ခေါ်ပြီး ဘဝရဲ့သီချင်း ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ ဤသီချင်းများသည် ပုံမှန်အားဖြင့် ရိုးရှင်းသော တေးသွားနှင့် ရမ်သမ်ရှိပြီး ရိုးရှင်းသော နှစ်ကြောင်းဆက်ကာရန်နှင့် ကောရပ် ဖွဲ့စည်းပုံရှိသည်။ ပေါ့ပါးသော တေးသွားသံစဉ်ပုံစံရှိပြီး လွမ်းဆွက်တမ်းသသော တေးသွားပုံစံဖြစ်လည်း ရေးဖွဲ့လေ့ရှိကာ အချစ်အကြောင်း၊ သေခြင်းတရားနှင့် အထီးကျန်ဆန်မှုတို့အကြောင်းပါဝင်သည်။ အကော်ဒီယံနှင့် လေမှုတ်အော်ဂန်ကဲ့သို့သော ရိုးရာတူရိယာများသည် levenslied ဂီတအတွက် အဓိကကျသော တူရိယာများဖြစ်ပြီး နောက်ပိုင်းခေတ်များတွင် ဂီတပညာရှင်များသည် synthesiser များနှင့် ဂစ်တာများကို အသုံးပြု၍လာခဲ့သည်။  ယန် စမစ်(Jan Smit)၊ ဖရန့် ဘောင်အာ(Frans Bauer) နှင့် အန်ဒရဲ ဟာ့ဇ်(André Hazes) တို့သည် ဤဂီတအမျိုးအစားကို သီဆိုသူအနုပညာရှင်များထဲတွင် ပါဝင်ကြသည်။ [[File:Anouk, ESC2013 press conference 09 (crop).jpg|thumb|upright=0.85|ပေါ့ အဆိုတော် [[:en:Anouk (singer)|Anouk]] (၂၀၁၃ ခုနစ်)]] [[File:Coldplay perform "Up&Up", Amsterdam Arena, June 2016 (5).jpg|thumb|upright=0.85|အကြီးဆုံး ဒတ်ချ်ဂီတဖျော်ဖြေရေးကွင်း ဖြစ်သော [[:en:Johan Cruyff Arena|Johan Cruyff Arena]]]] ခေတ်ပေါ် ဒတ်ချ် ရော့ခ်နှင့် ပေါ့ပ်ဂီတ([[:en:Nederpop|Nederpop]]) တို့သည် ၁၉၆၀ ခုနှစ်များထွန်း ပေါ်ထွန်းခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး ‌‌[[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု|အမေရိကန်]]နှင့် [[ယူနိုက်တက် ကင်းဒမ်း|ဗြိတိန်]]တို့၏ ခေတ်ပေါ်ဂီတတို့မှ ကြီးစွာလွှမ်းမိုးမှု ရှိခဲ့သည်။ ၁၉၆၀ ခုနှစ်များနှင့် ၇၀ ခုနှစ်များတွင် စာသားအားလုံးနီးပါးသည် အင်္ဂလိပ်စာသားများဖြင့်ပြီး အချို့သီချင်းများမှာ အတီးချည်းသပ်သပ်ဖြစ်သည်။ Shocking Blue၊ Golden Earring၊ Tee Set၊ George Baker Selection နှင့် Focus စသော တီးဝိုင်းအဖွဲ့များသည် နိုင်ငံတကာထိပါ အောင်မြင်မှုများ ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၈၀ ခုနှစ်များအရောက်တွင် အကြီးအကျယ် အောင်မြင်ခဲ့သည့် Doe Maar တီးဝိုင်းအဖွဲ့အား အတုယူ၍ များစွာသော ပေါ့ပ်ဂီတသမားများသည် ဒတ်ချ်ဘာသာဖြင့် စတင်ရေးဖွဲ့လာခဲ့ကြသည်။ ယနေ့အခါတွင် ဒတ်ချ် ရော့ခ်နှင့် ပေါ့ပ်ဂီတသည် ဘာသာစကားနှစ်ခုစလုံးဖြင့် ရှင်သန်၍လာခဲ့ပြီး အချို့သော အနုပညာရှင်များသည် ဘာသာစကားနှစ်ခုလုံးဖြင့်ပင် အသံသွင်းခြင်းများ ပြုလုပ်၍ လာခဲ့သည်။ လက်ရှိတွင် [[Symphonic metal]] တီးဝိုင်းအဖွဲ့များဖြစ်သော Epica, Delain, ReVamp, The Gathering, Asrai, Autumn, Ayreon and Within Temptation နှင့် [[ဂျက်စ်ဂီတ|ဂျက်စ်]]နှင့် ပေါ့ပ် အဆိုတော် Caro Emerald တို့သည် နိုင်ငံတကာ အောင်မြင်မှုများရနေသော အဖွဲ့များဖြစ်သည်။ မက်တယ်တီးဝိုင်းအဖွဲ့များဖြစ်သော Hail of Bullets, God Dethroned, Izegrim, Asphyx, Textures, Present Danger, Heidevolk and Slechtvalk တို့သည်လည်း ဥရောပ၏ အကြီးမားသော မက်တယ်ဂီတဖျော်ဖြေပွဲများတွင် ဝင်ရောက်တီးခတ်ကြသည့် အထူးဧည့်တီးဝိုင်းအဖွဲ့များ ဖြစ်ကြသည်။ ခေတ်ပြိုင် ဒေသတွင်း နာမည်ကျော်ကြားကြသူများတွင် ပေါ့ပ်အဆိုတော် Anouk၊ ကျေးလက်ပေါ့ပ်အဆိုတော် DeLange၊ South Guelderish နှင့် Limburgish ဘာသာစကားဖြင့်ဆိုသော Rowwen Hèze တီးဝိုင်းအဖွဲ့၊ ရော့ခ်ဂီတအဖွဲ့ဖြစ်သော BLØF နှင့် Nick & Simon အတွဲတို့ ပါဝင်ကြသည်။ စွယ်စုံရ အဆိုတော် တစ်ဦးဖြစ်သည့် Trijntje Oosterhuis သည် နိုင်ငံ၏ အကျော်ကြားဆုံးသော အနုပညာရှင်များထဲတွင်ပါဝင်ပြီး ကျော်ကြားသည့် အမေရိကန် တေးရေးဆရာများဖြစ်ကြသည့်  Vince Mendoza and Burt Bacharach တို့နှင့်တွဲဖက်ပြီး အယ်ဘမ်များစွာ သီဆိုခဲ့သည်။ ၁၉၉၀ ခုနှစ်များ အစောပိုင်းကာလတွင် ဒတ်ချ်နှင့် ဘယ်လဂျီယမ် house music တို့ပေါင်းစပ်ပြီး Eurodance ဟုခေါ်သော ဂီတအမျိုးအစား ပေါ်ပေါက်လာကာ 2 Unlimited ဟုခေါ်သော အဖွဲ့ပေါ်ထွက်လာခဲ့ပြီး ဓာတ်ပြားအချပ်ရေ ၁၈ မီလီယံခန့် ရောင်းချခဲ့သည့် စာရင်းဝင်ခဲ့ရာ ထိုအဆိုတော်နှစ်ယောက်ပါဝင်သော တီးဝိုင်းအဖွဲ့သည် ယနေ့ထိ ဒတ်ချ် ဂီတသမိုင်းတွင် အအောင်မြင်ဆုံး ဖြစ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web |url=https://www.allmusic.com/artist/2-unlimited-mn0000431439/biography |title=2 Unlimited | Biography | AllMusic |website=[[AllMusic]] |accessdate=၂၀ ဧပြီ ၂၀၂၀}}</ref> "Get Ready for This" ကဲ့သို့သော သီချင်းမျိုးသည် ယနေ့အချိန်ထိ နာမည်ကျော်ကြားလျက်ရှိပြီး NHL ကဲ့သို့သော အမေရိကန် အားကစားပြိုင်ပွဲများတွင် အသုံးပြုဆဲပင်ဖြစ်သည်။ ၁၉၉၀ ခုနှစ်များ အလယ်ပိုင်းကာလတွင် ဒတ်ချ်ဘာသာဖြင့် ရပ်နှင့် [[ဟစ်ဟော့ ဂီတ|ဟစ်ဟော့ဂီတ]] (Nederhop) များပေါ်ထွန်းလာခဲ့ပြီး နယ်သာလန်နှင့် ဘယ်လ်ဂျီယမ်နိုင်ငံတို့တွင် ကျော်ကြားလာခဲ့သည်။ ဤဂီတအမျိုးအစားတွင်မြောက်အာဖရိကန်၊ ကာရစ်ဘီယံ အနုပညာရှင်များမှ ကြီးစွာ လွှမ်းမိုးမှုရှိခဲ့သည်။ ၁၉၉၀ ခုနှစ်များကတည်းကစပြီး Dutch electronic dance music (EDM) ကမ္ဘာအနှံသို့ trance, techno နှင့် gabber မှ hardstyle ထိ ပုံသဏ္ဌာန်အမျိုးမျိုးဖြင့် ပျံ့နှံခဲ့သည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံမှ ကမ္ဘာအကောင်းဆုံး dance music DJs သမားအချို့တွင် Armin van Buuren, Tiësto, Hardwell, Martin Garrix, Dash Berlin, Julian Jordan, Nicky Romero, W&W, Don Diablo and Afrojack တို့ပါဝင်ပြီး ရှေ့ဆုံး လေးယောက်မှာ ကမ္ဘာအကောင်းဆုံးသော ဒီဂျေသမားများစာရင်းဖြစ်သည့် DJ Mag Top 100 DJs တွင် ပါဝင်ကြသည်။ Amsterdam Dance Event (ADE) သည့် ကမ္ဘာ့အကြီးကျယ်ဆုံးသော electronics music conference ဖြစ်ပြီး အီလက်ထရောနစ်ဂီတနှင့် ၎င်း၏မျိုးကွဲများစွာအတွက် အကြီးမားဆုံးသော ဖျော်ဖြေပွဲကြီးဖြစ်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://www.local-life.com/amsterdam/articles/amsterdam-dance-event|title=Amsterdam Dance Event|work=local-life.com}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.dutchdailynews.com/the-international-dance-industry-assembles-in-amsterdam-next-week/|title=The international Dance industry assembles in Amsterdam next week|work=Dutch Daily News|date=12 October 2012}}</ref> နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် ယူရိုဗားရှင်း သီချင်းဆိုပြိုင်ပွဲသို့ ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ထားခဲ့သော နိုင်ငံတစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ ထိုပြိုင်ပွဲသည် ၁၉၅၆ ခုနှစ်တွင် စတင်ကျင်းပခဲ့သော ပြိုင်ပွဲတစ်ခုဖြစ်ပြီး လက်ရှိအချိန်အထိ ၅ ကြိမ်အနိုင်ရရှိထားခဲ့ရာ နောက်ဆုံးအကြိမ် အနိုင်ရရှိခဲ့သည်မှာ ၂၀၁၉ ခုနှစ်တွင် ဖြစ်သည်။ ဂန္ထဝင်ဂီတတွင်လည်း Jan Sweelinck ကို ဒတ်ချ်၏ အကျော်ကြားဆုံးသော တေးပြုစာဆိုဟု ခေါ်ဆိုကြပြီး Louis Andriessen ကိုတော့ သက်ရှိထင်ရှား တေးပြုစာဆိုများတွင်တော့ အကောင်းဆုံးဟု ဆိုကြသည်။ Ton Koopman သည် ဒတ်ချ် ဂီတမှူး၊ အော်ဂင်နှင့် harpsichord ပညာရှင်ဖြစ်ပြီး [[ဟိတ်မြို့တော်|ဟိတ်မြို့]] တော်ဝင်ဂီတအကယ်ဒမီမှ ပါမောက္ခတစ်ဦးလည်းဖြစ်သည်။ ထင်ရှားသော တယောပညာရှင်များမှာ Janine Jansen နှင့် André Rieu တို့ဖြစ်ကြပြီး နောက်တွင် ၎င်းတည်ထောင်ထားသော Johann Strauss Orchestra နှင့်တွဲဖက်၍ ဂန္ထဝင်ဂီတနှင့် ဝေါ့ဇ်ဂီတ (Waltz music) တို့ကို ကမ္ဘာအနှံလှည့်လည် ဖျော်ဖြေခဲ့သည်။ ဒတ်ချ်တို့၏ ကျော်ကြားဆုံးသော ဂန္ထဝင်ဂီတတေးသွားမှာ "Canto Ostinato" ဖြစ်ပြီး Simeon ten Holt မှ ရေးဖွဲ့ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite web|url=http://www.canto-ostinato.com/canto/index.html|title=Canto Ostinato by Simeon ten Holt|website=www.canto-ostinato.com}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://press.andrerieu.com/tag/international/page/2/|title=international Archives » Page 2 of 3 » Andre Rieu|accessdate=20 April 2020|archivedate=18 January 2016|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160118042556/http://press.andrerieu.com/tag/international/page/2/}}</ref><ref>{{cite web|url=https://www.billboard.com/articles/news/266418/top-25-tours-of-2009|title=Top 25 Tours of 2009|date=11 December 2009|work=Billboard}}</ref> ချီးကျူးဖွယ်ရာ ဗျပ်စောင်းပညာရှင်မှာ Lavinia Meijer ဖြစ်ပြီး ၂၀၁၂ ခုနှစ်က ထုတ်ဝေခဲ့သော အယ်ဘမ်မှာ Philip Glass ၏ တေးသွားများဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ခွင့်ပြုချက်ဖြင့် သူမမှ ဗျပ်စောင်းဖြင့်တီးခတ်နိုင်သော တေးသွားများအဖြစ် ပြောင်းလဲခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref>[https://www.allmusic.com/album/philip-glass-metamorphosis-the-hours-mw0002435025 Lavinia Meijer – Philip Glass : Metamorphosis & The Hours], Allmusic.com</ref> အမ်စတာဒမ်မြို့ရှိ Concertgebouw (၁၈၈၈ ခုနှစ်တွင် တည်ဆောက်ပြီးစီးခဲ့သော) အဆောက်အဦးသည် တော်ဝင်ဂီတဖျော်ဖြေပွဲများ ကျင်းပရာနေရာဖြစ်ပြီး ကမ္ဘာ့အကောင်းဆုံး အနုလက်ရာများဖြစ်တည်ဆောက်ထားသော ဂီတအဆောက်အဦများထဲမှ တစ်ခုဟု ဆိုကြသည်။<ref>{{cite web|url=https://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=97291390|title=Chicago Symphony Tops U.S. Orchestras|date=21 November 2008|work=NPR.org}}</ref> === ရုပ်ရှင်နှင့် ရုပ်မြင်သံကြား အစီအစဉ် === အချို့သော ဒတ်ခ်ျရုပ်ရှင်များ အထူးသဖြင့် Paul Verhoeven ရိုက်ကူးခဲ့သောTurkish Delight ("Turks Fruit", ၁၉၇၃), Soldier of Orange ("Soldaat van Oranje", ၁၉၇၇), Spetters (၁၉၈၀) and The Fourth Man ("De Vierde Man", ၁၉၈၃) စသော ရုပ်ရှင်များသည် နိုင်ငံတကာသို့ဖြန့်ဖြူးခြင်းနှင့် အသိအမှတ်ပြုခံရခြင်းတို့ ရရှိခဲ့သည်။ Verhoeven သည် ဆက်လက်၍ ဟောလီးဝုဒ်ရုပ်ရှင်များဖြစ်သည့် RoboCop (၁၉၈၇), Total Recall (၁၉၉၀) နှင့် Basic Instinct (၁၉၉၂) တို့ကို့ရိုက်ကူးခဲ့ပြီး Black Book ("Zwartboek", ၂၀၀၆) ဒတ်ချ်ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားဖြင့် ဒတ်ချ်ရုပ်ရှင်လောကသို့ ပြန်လည်ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ အခြား ကျော်ကြားသော ဒတ်ချ်ရုပ်ရှင်ဒါရိုက်တာများမှာ Jan de Bont (Speed), Anton Corbijn (A Most wanted Man), Dick Maas (De Lift), Fons Rademakers (The Assault) တို့ဖြစ်ပြီး မှတ်တမ်းရုပ်ရှင် ဖန်တီးသူများဖြစ်ကြသော Bert Haanstra နှင့် Joris Ivens တို့ပါဝင်သည်။ ရုပ်ရှင်ဒါရိုက်တာ Theo van Gogh သည် ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ကမ္ဘာသိ ဖြစ်ရပ်ဆိုးဖြင့် ကျော်ကြားသူဖြစ်ပြီး Submission ရုပ်ရှင်ဇာတ်လမ်းတို ရိုက်ကူးပြီးချိန်တွင် အမ်စတာဒမ်လမ်းမပေါ်၌ Mohammed Bouyeri ၏ သတ်ဖြတ်ခြင်းကို ခံခဲ့ရသည်။ နိုင်ငံတကာ အတိုင်းအတာဖြင့် အောင်မြင်မှု ရရှိခဲ့သော နယ်သာလန်နိုင်ငံမှ ရုပ်ရှင်ကင်မရာမန်းများမှာ Hoyte van Hoytema  (Interstellar၊ Spectre၊ Dunkirk) နှင့် Theo van de Sande (Wayne's World နှင့် Blade) တို့ဖြစ်သည်။ Van Hoytema မှာ National Film School in Łódź (ပိုလန်) ကျောင်းထွက်ဖြစ်ပြီး Van de Sande မှာ နယ်သာလန် ရုပ်ရှင်အကယ်ဒမီ(Netherlands Film Academy)တွင် သင်ကြားခဲ့သူဖြစ်သည်။ နိုင်ငံတကာတွင် အောင်မြင်မှုရရှိခဲ့သော ဒတ်ခ်ျ သရုပ်ဆောင်များမှာ Famke Janssen (X-Men), Carice van Houten (Game of Thrones), Michiel Huisman (Game of Thrones), Rutger Hauer (Blade Runner), Jeroen Krabbé (The Living Daylights) နှင့် Derek de Lint (Three Men and a Baby) တို့ဖြစ်ကြသည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံ၌ ရုပ်မြင်သံကြားဈေးကွက်သည် စီးပွားရေးနှင့် အများနှင့်သက်ဆိုင်သော ရုပ်သံလွင့်ဌာနများဖြင့် ကောင်းစွာဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ ပြည်ပရုပ်သံလိုင်းများမှ အစီအစဉ်များ၊ နိုင်ငံခြားဘာသာစကားဖြင့် အင်တာဗျူးများကို မူလအသံအား စာတန်းထိုးဖြင့် ထုတ်လွှင့်သည်။ ကလေးများအတွက် အစီအစဉ်များကိုသာ နိုင်ငံခြားဘာသာစကားနှင့်အသံများမှ မိမိဘာသာစကားသို့ ပြောင်းလဲထုတ်လွှင့်သည်။<ref name="HaGanahl2013">''[https://books.google.com/books?id=chXSFH-gzVMC&pg=PA101 Webcasting Worldwide: Business Models of an Emerging Global Medium]''. Routledge; 2013. {{ISBN|978-1-135-24977-9}}. p. 101–103.</ref> နယ်သာလန်မှ ထုတ်လွှင့်သော ရုပ်သံအစီအစဉ်များသည် သီးခြားအစီအစဉ်နှင့် ဖရန့်ချိုင်းပုံစံဖြင့် နိုင်ငံတကာသို့ ထုတ်လွှင့်လျက်ရှိပြီး ဒတ်ခ်ျမီဒီယာ တိုင်ကွန်များဖြစ်ကြသော John de Mol နှင့် Joop van den Ende တို့တည်ထောင်သော Endemol ကော်ပိုရေးရှင်းသည် နိုင်ငံတကာ ရုပ်သံထုတ်လွှင့်မှုတွင် ထင်ရှားသော အစီအစဉ်များဖြင့် ကျော်ကြားသော ရုပ်သံလွှင့်ကုမ္ပဏီဖြစ်သည်။ Endemol ကုမ္ပဏီ၏ ရုံးချုပ်သည် အမ်စတာဒမ်မြို့၌တည်ရှိပြီး နိုင်ငံပေါင်း ၃၀ ကျော်တွင် ကုမ္ပဏီ ၉၀ ကျော်ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ Endemol နှင့် ၎င်း၏ ကုမ္ပဏီခွဲများသည် reality နှင့် talent show၊ ဂိမ်းကစားပွဲများကို တမ္ဘာလုံးအတိုင်းအတာဖြင့် ထုတ်လွှင့်ကြပြီး ထိုရှိုးပွဲများထဲတွင် ''Big Brother'' နှင့် ''Deal or No Deal'' ကဲ့သို့သော အစီအစဉ်များလည်း ပါဝင်သည်။ နောင်တွင် John de Mol သည် ၎င်း၏ကိုယ်ပိုင်ကုမ္ပဏီအဖြစ် Talpa ကုမ္ပဏီကို ထူထောင်ခဲ့ပြီး ထိုကုမ္ပဏီမှ ''The Voice'' နှင့် ''Utopia'' ကဲ့သို့သော ရုပ်သံအစီအစဉ်များကို ပြသခဲ့သည်။ === အားကစား === [[File:NED-DEN Euro 2012 (10).jpg|thumb|[[:en:Euro 2012|Euro 2012]] ပြိုင်ပွဲတွင် [[ဒိန်းမတ် အမျိုးသား ဘောလုံးအသင်း]]နှင့် ယှဉ်ပြိုင်ကစားနေသော [[နယ်သာလန် အမျိုးသား ဘောလုံးအသင်း]]]] နယ်သာလန်နိုင်ငံ၏ ၁၆.၈ သန်းသော လူဦးရေတွင် ၄.၅ သန်းခန့်မှာ နိုင်ငံတဝန်းရှိ အားကစားကလပ် ၃၅,၀၀၀ မှ တခုခုတွင် မှတ်ပုံတင်ထားကြပြီး အသက် ၁၅ နှစ်မှ ၇၅ နှစ်အကြား လူဦးရေ သုံးပုံနှစ်ပုံမှာ အပါတ်စဉ်တိုင်း အားကစား တစ်မျိုးမျိုး ပါဝင်လုပ်ဆောင်ကြသည်။<ref>{{cite web|url=http://s2.ned.univie.ac.at/NoN/landeskunde/nl/h11/index.htm |title=Sport in Nederland |accessdate=၂၆ ဧပြီ ၂၀၂၀ |url-status=bot: unknown |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080925042514/http://s2.ned.univie.ac.at/NoN/landeskunde/nl/h11/index.htm |archivedate=25 September 2008 |language=nl}} . ned.univie.ac.at</ref> ဘောလုံးအားကစားသည် နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် ပါဝင်သူအများဖြစ်ပြီး ၎င်းနောက်၌ မြတ်ခင်းပြင် ဟော်ကီ (field hockey) နှင့် ဘောလီဘောတို့သည် ဒုတိယနှင့် တတိယလိုက်သည့် လူကြိုက်များသော အဖွဲ့လိုက်အားကစားများ ဖြစ်သည်။ [[နယ်သာလန် အမျိုးသား ဘောလုံးအသင်း]]သည် ဒတ်ခ်ျအားကစားလောကတွင် အကျော်ကြားဆုံးသော ပုံရိပ်လက္ခဏာများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်ပြီး အထူးသဖြင့် ၁၉၇၀ ခုနှစ်များတွင် သမိုင်းတစ်လျှောက် အကောင်းဆုံးသော ဘောလုံးသမားများထဲက တစ်ယောက်ဖြစ်သော Johan Cruyff သည် ၎င်း၏ နည်းပြဖြစ်သော Rinus Michels နှင့် ပူးပေါင်း၍ Total Football ဟုခေါ်သော နည်းဗျူဟာဖြင့် ကစားခဲ့စဉ်ကတည်းက ဟုဆိုရပေမည်။<ref name="sport">{{cite web |url=http://www.sport.nl/content/nieuwsartikelen/nocnsf/223198?channel=nocnsf |title=Ledental sportbonden opnieuw gestegen |date=24 July 2006 |website=sport.nl |archive-url=https://archive.today/20070812034648/http://www.sport.nl/content/nieuwsartikelen/nocnsf/223198?channel=nocnsf |archive-date=12 August 2007 |accessdate=၂၆ ဧပြီ ၂၀၂၀ |url-status=dead |language=nl |archivedate=12 August 2007 |archiveurl=https://archive.today/20070812034648/http://www.sport.nl/content/nieuwsartikelen/nocnsf/223198?channel=nocnsf }}</ref> အားကစားအဖွဲ့အစည်းများကို ၁၉ ရာစုအကုန် ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် စတင်ဖွဲ့စည်းခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး အာကစားဖက်ဒရေးရှင်းများတည်ထောင်ခြင်း၊ စည်းကမ်းများ သတ်မှတ်ခြင်းနှင့် အားကစားကလပ်များ ပေါ်ထွန်းလာခဲ့သည်။ ဒတ်ချ် အမျိုးသား အိုလံပစ် ကော်မတီအား ၁၉၁၂ ခုနှစ်တွင် ဖွဲ့စည်းခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ ယခုအချိန်မတိုင်မှီအထိ နယ်သာလန်နိုင်ငံသည် ​နွေရာသီ အိုလံပစ်ပြိုင်ပွဲတွင် ဆုတံဆိပ် ၂၆၆ ခု၊ ​ဆောင်းရာသီ အိုလံပစ်ပြိုင်ပွဲတွင် ဆုတံဆိပ် ၁၁၀ ခု ရရှိခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။ နိုင်ငံတကာပြိုင်ပွဲများတွင် ဒတ်ချ် နိုင်ငံ့အသင်းနှင့် အားကစားသမားများသည် များစွာ​သော အားကစားနယ်ပယ်များတွင် ​အောင်မြင်မှုများစွာ ရရှိခဲ့ကြသည်။ ကမ္ဘာ့ဖလားသမိုင်းတွင် ဒတ်ချ်အမျိုးသမီး ​မြတ်ခင်းပြင်​ဟော်ကီအသင်းသည် ​အ​အောင်မြင်ဆုံး​သော အသင်းဖြစ်သည်။ နယ်သာလန် ​ဘေ့စ်​ဘောအသင်းသည် ဥ​ရောပ ချန်ပီယံရှစ်ပြိုင်ပွဲ ၃၂ ပွဲတွင် အကြိမ် ၂၀ မျှ ဗိုလ်စွဲခဲ့​သော အသင်းလည်း ဖြစ်သည်။ ဒတ်ချ် K-1 kickboxers သည်လည်း K-1 World Grand Prix ပွဲ ၁၉ခုတွင် ၁၅ ကြိမ်မျှ ဖလားရရှိခဲ့သည်။ ၂၀၁၄ ခုနှစ် ​ဆောင်းရာသီ အိုလံပစ်ပြိုင်ပွဲတွင် ဒတ်ချ် speed skater အသင်းဝင်​ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ရာ ပြိုင်ပွဲ ၁၂ ခုတွင် ၈ ခု၊ ဆုတံဆိပ် ၃၆ ခုတွင် ၂၃ ခုရရှိခဲ့ပြီး ထိုအထဲမှပြိုင်ပွဲ ၄ ခုမှာ ပြတ်ပြတ်သားသား အနိုင်ရခဲ့ခြင်းဖြစ်သည့်အတွက်​ကြောင့် အိုလံပစ်ပြိုင်ပွဲသမိုင်းတွင် အားကစားတမျိုးထဲ၌ အကြီးကျယ်ဆုံး​သော ​အောင်မြင်မှုရရှိခြင်း ဖြစ်သည်။ ​​မော်​တော်ဆိုင်ကယ်ပြိုင်ပွဲဖြစ်​သော TT Circuit Assen တွင်လည်း ရှည်လျားလှ​သော သမိုင်း​ကြောင်းများရှိ၍​နေသည်။ Assen သည် သည် ​မော်​တော်ဆိုင်ကယ် ကမ္ဘာ့ချန်ပီယံရှစ် စတင်ကျင်းပခဲ့စဉ် ၁၉၄၉ ခုနှစ်ကတည်းက ပြိုင်ပွဲကျင်းပခဲ့​နေရာလည်း ဖြစ်သည်။ Dutch TT အတွက် ပတ်လမ်းများကို တည်​​ဆောက်ရန် အဆိုပြုခဲ့သည်မှာ ၁၉၅၄ ခုနှစ်တွင်ဖြစ်ပြီး ထို့မတိုင်မှီက အများပြည်သူ့လမ်းများတွင် ကျင်းပခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ခရီးရှည် စက်ဘီးပြိုင်ပွဲကြီးဖြစ်သည့် 1968 Tour de France ပြိုင်ပွဲတွင် Jan Janssen အနိုင်ရရှိခဲ့ခြင်း၊ Joop Zoetemelk မှ 1985 UCI Road World Championship အနိုင်ရရှိခြင်း၊ မကြာ​သေးမှီက 2017 Giro d'Italia ပြိုင်ပွဲတွင် Tom Dumoulin အနိုင်ရရှိတို့​ကြောင့် နယ်သာလန်သည် ခရီးရှည်စက်ဘီးစီးပြိုင်ပွဲကြီး ၃ ခုတွင် ​အောင်မြင်မှုရရှိထား​သော နိုင်ငံဖြစ်သည်။ ဂန္ထဝင် စက်ဘီးစီးသမားကြီးဖြစ်သူ Joop Zoetemelk သည် 1979 Vuelta a Espana နှင့် 1980 Tour de France ပြိုင်ပွဲများတွင် အနိုင်ရရှိထားသူဖြစ်ပြီး Tour de France ပြိုင်ပွဲတွင် စံချိန်များစွာ ချိုးထားသူဖြစ်သည်။ လက်ရှိ[[ဖော်မြူလာ ဝမ်း]]တွင် ပြိုင်ပွဲဝင်​နေ​သော Max Verstappen သည် Grand Prix ရရှိခဲ့​သော ပထမဆုံး​သော ဒတ်ချ်လူမျိုးဖြစ်သည်။ ၁၉၅၈ ခုနှစ်မှ၁၉၈၅ ခုနှစ်ထိ Dutch Grand Prix ကို ကျင်းပခဲ့​သော Zandvoort ကမ်း​ခြေမြို့တွင် ပြိုင်ပွဲများအား ၂၀၂၀ ခုနှစ်တွင် ပြန်လည်ကျင်းပမည် ​ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{cite web| url=https://www.motorsport.com/f1/news/zandvoort-secures-return-dutch-gp/4388156/|title=Zandvoort secures F1 return as Dutch GP venue|date=14 May 2019|website=motorsports.com|accessdate=၁​ ​မေ ၂၀၂၀}}</ref> ဒတ်ချ်အမျိုးသား ​ဘောလုံးအသင်းသည် ​အောင်မြင်မှုများ ရရှိခဲ့​သော အသင်းဖြစ်ပြီး ၁၉၉၂ ​နွေရာသီ အိုလံပစ်ပြိုင်ပွဲတွင် ​ငွေတံဆိပ်၊ မကြာ​သေးမီနှစ်များက [[အတ္တလန္တာမြို့]]တွင် ကျင်းပခဲ့​သော ၁၉၉၆​ နွေရာသီ အိုလံပစ်ပြိုင်ပွဲတွင် ​ရွှေတံဆိပ် ရရှိခဲ့သည်။ ​အောင်မြင်မှု ကြီးကြီးမားမား ရရှိခဲ့သည်မှာ အမျိုးသမီး ​ဘောလီ​ဘောအသင်းဖြစ်ပြီး ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် ဥ​ရောပချန်ပီယံရှစ်၊ ၂၀၀၇ ခုနှစ်တွင် World Grand Prix ရရှိခဲ့သည်။ === ကိုလိုနီခေတ်ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ် === [[File:GezichtOpNieuwAmsterdam.jpg|200px|thumb|left|၁၆၆၄ ခုနှစ်တွင် နယူးအမ်စတာဒမ်မြို့ အဖြစ်တည်​ထောင်ခဲ့ပြီး ဗြိတိသျှတို့အုပ်ချုပ်​သောကာလအ​ရောက်တွင် [[နယူးယောက်မြို့]]အဖြစ် ​ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။]] ၁၇ ရာစု မဂိုအင်ပါယာအား ​အနိုင်ကျင့်အမြတ်ထုတ်ချိန်မှ ၁၉ ရာစု ကိုလိုနီပြုချိန်ထိ ၂၀ ရာစုအ​စောပိုင်း ဒတ်ချ်အရှေ့အင်ဒီးနယ်၏ လွမ်းမိုးမှုထူ​ထောင်နိုင်ခြင်းဖြင့် ဒတ်ချ်အ​င်ပါယာ၏ ပိုင်ဆိုင်မှုများသည် ကျယ်ပြန့်လာပြီး ၎င်းတို့၏အကြီးမြတ်ဆုံး​သော အချိန်သို့​ရောက်လာခဲ့သည်။ ယ​နေ့​​ခေတ် အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံဖြစ်လာသည့် ဒတ်ချ်အ​ရှေ့အင်ဒီးနယ်သည် ကမ္ဘာ​ပေါ်ရှိ တန်ဖိုးကြီးမား​သော ဥ​ရောကိုလိုနီနယ်များထဲမှတစ်ခုဖြစ်ပြီး နယ်သာလန်အတွက် အလွန်အ​ရေးပါဆုံး​သော နယ်တစ်ခုဖြစ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite book |author=Hart, Jonathan |title=Empires and Colonies |url = https://books.google.com/?id=LnevC1FYdnEC&pg=PA201 |accessdate=၅ ​မေ ၂၀၂၀ |year=2008|publisher=Polity |isbn=978-0-7456-2614-7 |pages=201–}}</ref> နှစ် ၃၅၀ ​ကျော် ကြာခဲ့​သော ယဉ်ကျေးမှုများသည် နယ်သာလန်နိုင်ငံတွင် ထင်ရှား​သော ယဉ်ကျေးမှုအမှတ်လက္ခဏာများအဖြစ် ကျန်ရှိခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစု ဒတ်ချ် ​ရွှေ​ခေတ်အ​ရောက်တွင် အာရှကုန်သွယ်​ရေး လက်ဝါးကြီးအုပ်မှုတို့မှ ရရှိလာ​သော ဘဏ္ဍာ​​ငွေရရှိမှုတို့မှ နယ်သာလန်သည် မြို့ပြအသွင်​ပြောင်းလဲ​ရေး အ​တော်ကို​ ​ဆောင်ရွက်နိုင်ခဲ့သည်။ ကုန်သည်တို့၏ ဝင်​ငွေ​ပေါ် မှီတည်​နေ​သော လူမှုအ​ခြေအ​နေသည် ​မြေရှင်ပ​ဒေသရာဇ်စနစ်ကို ​လျော့ချနိုင်ခဲ့ပြီး ဒတ်ချ်လူမှုအဖွဲ့အစည်း၏အ​ရွေ့ကို ​ပြောင်းလဲ​စေခဲ့သည်။ ၁၈၁၅ တွင် ဒတ်ချ်​တော်ဝင်မိသားစုအား ထူ​ထောင်နိုင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့၏ကြွယ်ဝမှုအများစုသည် ကိုလိုနီကုန်သွယ်မှုမှ ရရှိခဲ့သည်။ <ref>အမှန်​တော့ ယ​နေ့ထိ ဒတ်ချ်​တော်ဝင်မိသားစု နယ်သာလန်နိုင်ငံ၌ အချမ်းသာဆုံးမိသားစုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့ကြွယ်ဝမှု၏အ​ခြေခံအ​ကြောင်းတစ်ခုမှာ ကိုလိုနီ​ခေတ်ကုန်သွယ်​ရေးဖြစ်သည်။{{cite news|url=https://www.forbes.com/2007/08/30/worlds-richest-royals-biz-royals07-cx_lk_0830royalintro_slide_15.html?thisSpeed=30000 |title=In Pictures: The World's Richest Royals |work=Forbes |date=30 August 2007 |accessdate=၅ ​မေ ၂၀၂၀ |first1=Devon |last1=Pendleton |first2=Tatiana |last2=Serafin}}</ref> ၁၇ ရာစုအ​ရောက်တွင် ဒတ်ချ်အ​ရှေ့အိန္ဒိယကုမ္ပဏီသည် ၎င်းတို့၏ အ​ခြေစိုက်စခန်းကို စီလုံ (ယ​နေ့​ခေတ် [[သီရိလင်္ကာနိုင်ငံ]])တွင် တည်​ထောင်နိုင်ခဲ့သည်။ ​နောက်တွင် ဒတ်ချ်တို့သည် မလဘာကိုသိမ်းပိုက်ပြီး ကုန်သွယ်​ရေးစခန်းတည်​ထောင်နိူင်ခဲ့ကာ အိန္ဒိယတွင် အ​ခြေ​ချ​နေရာနှင့် ကုန်သွယ်​ရေးစခန်းများတည်​ထောင်ခြင်းကို ​ဆောင်ရွက်ခဲ့ကြသည်။ သို့​ပေ​သော်ငြား တြာဗန်ကိုနိုင်ငံ(Kingdom of Travancore)နှင့် ဖြစ်ပွား​သော ကိုလာချယ်တိုက်ပွဲ(Battle of Colachel)တွင် ရှုံးနိမ့်ခဲပြီး အိန္ဒိယသို့ နယ်ချဲ့ခြင်း ရပ်တန့်သွားခဲ့သည်။ ဒတ်ချ်တို့သည် ထိုသို့​သော ရှုံးနိမ့်မှုမှ မကုစားနိုင်​တော့ပဲ ဘန်​ဂေါနယ်တွင် ကိုလိုနီပြု စခန်းချခြင်းများကို ဆက်လက်​ဆောင်ရွက်နိုင်ခြင်း မရှိ​တော့​ချေ။<ref>{{cite book|first1=M. O.|last1=Koshy|title=The Dutch Power in Kerala, 1729–1758|url=https://books.google.com/?id=ro8SLhyAc9AC|year=1989|publisher=Mittal Publications|isbn=978-81-7099-136-6|page=61}}</ref><ref>[http://mod.nic.in/samachar/april15-04/body.html#l1] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160312081154/http://mod.nic.in/samachar/april15-04/body.html |date=12 March 2016 }} 9th Madras Regiment</ref> ၁၆ ရာစုနှစ်တွင် တည်​ထောင်ခဲ့​သော ​လေဒင့်တက္ကသိုလ်ကဲ့သို့ တက္ကသိုလ်များတွင် အင်ဒိုနီးရှားနှင့် [[အရှေ့တောင်အာရှ]]လေ့လာရေးဌာနများ ​ပေါ်ထွန်းလာခဲ့သည်။ ​{{efn|Some of the university faculties still include: Indonesian Languages and Cultures; South-east Asia and Oceania Languages and Cultures; Cultural Anthropology.}} လေဒင့်တက္ကသိုလ်မှ Christiaan Snouck Hurgronje ကဲ့သို့ ပညာရှင်များ ​မွေးထုတ်​ပေးနိုင်ခဲ့ပြီး အင်ဒိုနီးရှားဘာသာစကားနှင့် ယဉ်​ကျေးမှုကို အထူးပြု​လေ့လာကြသူများ ယခုထက်တိုင်​အောင် ရှိ​သေးသည်။ ​လေဒင့်တက္ကသိုလ် အထူးသဖြင့် အ​ရှေ့​တောင်အာရှနှင့် ကာရစ်ဘီယံ​လေ့လာ​ရေး နယ်သာလန်​ တော်ဝင်အင်စတီကျူ(KITLV)များသည် ယ​နေ့အချိန်ထိတိုင်​အောင် အင်ဒိုနီးရှား​လေ့လာ​ရေးတွင် ဉာဏနှင့် သမိုင်းဆိုင်ရာလေ့လာမှုများအတွက် ပညာရေးဆိုင်ရာ နေရာများအဖြစ် ရှိ၍နေသည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံ၌ အခြားလေ့လာနိုင်သေးသော နေရာများမှာ အမ်စတာဒမ်ရှိ မနုဿဗေဒဆိုင်ရာ Tropenmuseum ပြတိုက်ဖြစ်ပြီး အင်ဒိုနီးရှား အနုပညာ၊ ယဉ်ကျေးမှု၊ လူမျိုးခွဲ‌ဗေဒ၊ မနုဿဗေဒနှင့်ဆိုင်သော များပြားလှစွာသော စုဆောင်းမှုများ ရှိ၍နေသည်။ [[File:COLLECTIE TROPENMUSEUM Een Europeaan vaccineert Indonesische patiënten met neosalvarsaan tegen de ziekte framboesia TMnr 10006691.jpg|200px|thumb|left|ဒတ်ချ်ဆရာဝန်မှ ဒေသခံအင်ဒိုနီးရှားအမျိုးသမီးအား ကာကွယ်ဆေးထိုးပေးနေပုံ]] တော်ဝင်ဒတ်ချ်အရှေ့အင်ဒီးတပ်(KNIL)အား အစဉ်အလာထိန်းသိမ်းသောအားဖြင့် Van Heutsz တပ်ရင်းအဖြစ် တော်ဝင်နယ်သာလန်တပ်မတော်တွင် ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ KNIL မှ အနားယူခဲ့သော စစ်မှုထမ်းဟောင်းများအတွက် နေရာဖြစ်သော ဘရွန်ဘက်နန်းတော်ပြတိုက်(Bronbeek Museum)သည် Arnhem မြို့တွင် ယနေ့ထက်တိုင် တည်ရှိနေ‌သည်။ ဒတ်ချ်စာ​ပေတွင် ဒတ်ချ်အင်ဒီးစာ​ပေဟု​ခေါ်​သော အ​ရေးပါ​သော အစိတ်အပိုင်း တည်ရှိ​နေပြီး ၎င်းစာ​ပေအမျိုးအစားတွင် ကိုလိုနီ​ခေတ်အား ကွန့်မြူးစရာအ​ရေးပါ​သောအရာဌာနအဖြစ် ဖြစ်​စေခဲ့​သော "The Hidden Force " အား​ရေးသားသူ Louis Couperus တို့ပါဝင်သည်။<ref>Nieuwenhuys, Rob ''Mirror of the Indies: A History of Dutch Colonial Literature'' translated from Dutch by E. M. Beekman (Publisher: Periplus, 1999) [http://dannyreviews.com/h/Mirror_Indies.html Book review.]</ref> ဒတ်ချ်စာ​ပေ၏ လက်ရာမွန်များထဲမှ တစ်ခုဖြစ်​သော "Max Havelaar" အား ၁၈၆၀ ခုနှစ်တွင် Multatuli မှ ​ရေးသားခဲ့သည်။<ref>Etty, Elsbeth (July 1998). [http://retro.nrc.nl/W2/Lab/Profiel/Nederland/novels.html "Novels: Coming to terms with Calvinism, colonies and the war."] NRC Handelsblad</ref> အင်ဒိုနီးရှားဟင်းလျာနှင့် စား​သောက်ကုန်များကို နယ်သာလန်နိုင်ငံ၌ အလွယ်တကူရရှိနိုင်သည်။ ကိုလိုနီ​ခေတ်လက်ရာလွှမ်း​နေ​သော Rijsttafel၊ Nasi goreng နှင့် [[ဆာတေး]] ကဲ့သို့​သော ဟင်းလျာများသည် နိုင်ငံတွင်း လူကြိုက်များ​သော ဟင်းလျာများ ဖြစ်သည်။ နယ်သာလန်နိုင်ငံအတွင်းရှိ မည်သည့်မြို့တွင်မဆို မြို့အရွယ်အစား မည်မျှရှိသည်ဖြစ်​စေ ""တိုကို(toko)ဟု​ခေါ်​သော ဒတ်ချ်-အင်ဒိုနီးရှားဆိုင် သို့မဟုတ် တရုတ်-အင်ဒိုနီးရှားဆိုင် ရှိ၍​နေသည်။ ထို့ပြင် 'ပါဆာ မာလန်(Pasar Malam)ဟု​ခေါ်​သော ည​ဈေးပွဲ​တော်များကို တနှစ်ပတ်လုံး ဖွင့်လှစ်ကြသည် == မှတ်စုများ == {{Notelist}} == ကိုးကား == {{reflist}} [[Category:နယ်သာလန်နိုင်ငံ]] [[Category:ဥရောပတိုက်ရှိ နိုင်ငံများ]] [[Category:ဥရောပ သမဂ္ဂ အဖွဲ့ဝင် နိုင်ငံများ]] [[Category:ကုလသမဂ္ဂ အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများ]] [[Category:နေတိုး အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများ]] omsepbygk5cyupmb57bqu8zw55tsyza 0 14350 1040585 769123 2026-06-24T14:44:17Z ~2026-36421-80 144816 PyaePhyoAung 1040585 wikitext text/x-wiki {{Infobox website <nowiki>|</nowiki> name = Wiktionary <nowiki>|</nowiki> logo = [[File:Wiktionary-logo-en.svg|125px|Wiktionary logo]][[Image:WiktionaryEn.svg|125px|ဝစ်ရှင်နရီ၏ လိုဂို]] | screenshot = [[File:Www.wiktionary.org screenshot.png|border|250px|Detail of the Wiktionary main page. All major wiktionaries are listed by number of articles.]] | captio = wiktionary.org ၏ ပင်မစာမျက်နှာ | url = {{URL|www.wiktionary.org}} | commercial = မရှိ | type = [[အဘိဓာန်|အွန်လိုင်းအဘိဓာန်]] | language = ဘာသာစကား ၁၇၀ ကျော် | registration = Optional | owner = [[ဝီကီမီဒီယာ ဖောင်ဒေးရှင်း]] | author = [[ဘီသူံး)နှင့် [[ဝီကီမီဒီယာ ဖောင်ဒေးရှင်း|ဝီကီမီဒီယာ]]အဖွဲ့အစည်း | launch date = ဒီဇင်ဘာ ၁၂၊ ၂၀၀၂ | current status = သက်ဝင်နေဆဲ |alexa = {{Decrease}} ၇၅၆ (၂၀၁၅ ဩဂုတ်)<ref name="alexa">{{cite web |url= http://www.alexa.com/siteinfo/wiktionary.org |title= Wiktionary.org Site Info |publisher= [[Alexa Internet]] |accessdate= 2015-08-01 |archivedate= 26 December 2018 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20181226130245/https://www.pyaephyoaung.com/siteinfo/wiktionary.org }}</ref> | revenue = <nowiki>|</nowiki> slogan = လွတ်လပ်အဘိဓာန် }} '''ဝစ်ရှင်နရီ'''သည် [[မီဒီယာဝီကီ]] အသုံးပြုထားပြီး မည်သူမဆို တည်းဖြတ်နိုင်သော အခမဲ့ လွတ်လပ် [[အဘိဓာန်]] ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား == {{reflist}} == ပြင်ပလင့်ခ်များ == * [[m:Wiktionary/Table|ဝစ်ရှင်နရီများစာရင်း]] * [//www.wiktionary.org/ ဝစ်ရှင်နရီ ပင်မစာမျက်နှာ] ** [//my.wiktionary.org/wiki/ဗဟိုစာမျက်နှာ မြန်မာဘာသာ ဝစ်ရှင်နရီ] * [//en.wiktionary.org/wiki/Wiktionary:Multilingual_statistics ဝစ်ရှင်နရီ ဘာသာစကားပေါင်းစုံ စာရင်းအချက်အလက်များ] * [[meta:List of Wiktionaries|Wikimedia's page on Wiktionary]] * [[meta:Category:Wiktionary|Pages about Wiktionary in Meta]]. * [http://OmegaWiki.org/Meta:Main_Page Meta:Main Page&nbsp;– OmegaWiki] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211030051731/http://omegawiki.org/Meta:Main_Page |date=30 October 2021 }} {{ဝီကီမီဒီယာဖောင်ဒေးရှင်း}} [[ကဏ္ဍ:မီဒီယာဝီကီ ဝက်ဘ်ဆိုဒ်များ]] [[Category:အွန်လိုင်းအဘိဓာန်များ]] [[Category:ဝီကီမီဒီယာ ပရောဂျက်များ]] __INDEX__ __NEWSECTIONLINK__ f5hysn5uqf5ho1f00zfc3txyls25b04 1040648 1040585 2026-06-25T03:35:02Z Zawzawaungthwin 100038 [[Special:Contributions/~2026-36421-80|~2026-36421-80]] ([[User talk:~2026-36421-80|ဆွေးနွေး]]) ၏ တည်းဖြတ်မူ [[Special:Diff/1040585|1040585]] ကို ပြန်လည်ပယ်ဖျက်လိုက်သည် 1040648 wikitext text/x-wiki {{Infobox website | name = Wiktionary | logo = [[File:Wiktionary-logo-en.svg|125px|Wiktionary logo]][[Image:WiktionaryEn.svg|125px|ဝစ်ရှင်နရီ၏ လိုဂို]] | screenshot = [[File:Www.wiktionary.org screenshot.png|border|250px|Detail of the Wiktionary main page. All major wiktionaries are listed by number of articles.]] | caption = wiktionary.org ၏ ပင်မစာမျက်နှာ | url = {{URL|www.wiktionary.org}} | commercial = မရှိ | type = [[အဘိဓာန်|အွန်လိုင်းအဘိဓာန်]] | language = ဘာသာစကား ၁၇၀ ကျော် | registration = Optional | owner = [[ဝီကီမီဒီယာ ဖောင်ဒေးရှင်း]] | author = [[ဂျင်မီဝေးလ်စ်]] နှင့် [[ဝီကီမီဒီယာ ဖောင်ဒေးရှင်း|ဝီကီမီဒီယာ]]အဖွဲ့အစည်း | launch date = ဒီဇင်ဘာ ၁၂၊ ၂၀၀၂ | current status = သက်ဝင်နေဆဲ |alexa = {{Decrease}} ၇၅၆ (၂၀၁၅ ဩဂုတ်)<ref name="alexa">{{cite web |url= http://www.alexa.com/siteinfo/wiktionary.org |title= Wiktionary.org Site Info |publisher= [[Alexa Internet]] |accessdate= 2015-08-01 |archivedate= 26 December 2018 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20181226130245/https://www.alexa.com/siteinfo/wiktionary.org }}</ref> | revenue = | slogan = လွတ်လပ်အဘိဓာန် }} '''ဝစ်ရှင်နရီ'''သည် [[မီဒီယာဝီကီ]] အသုံးပြုထားပြီး မည်သူမဆို တည်းဖြတ်နိုင်သော အခမဲ့ လွတ်လပ် [[အဘိဓာန်]] ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား == {{reflist}} == ပြင်ပလင့်ခ်များ == * [[m:Wiktionary/Table|ဝစ်ရှင်နရီများစာရင်း]] * [//www.wiktionary.org/ ဝစ်ရှင်နရီ ပင်မစာမျက်နှာ] ** [//my.wiktionary.org/wiki/ဗဟိုစာမျက်နှာ မြန်မာဘာသာ ဝစ်ရှင်နရီ] * [//en.wiktionary.org/wiki/Wiktionary:Multilingual_statistics ဝစ်ရှင်နရီ ဘာသာစကားပေါင်းစုံ စာရင်းအချက်အလက်များ] * [[meta:List of Wiktionaries|Wikimedia's page on Wiktionary]] * [[meta:Category:Wiktionary|Pages about Wiktionary in Meta]]. * [http://OmegaWiki.org/Meta:Main_Page Meta:Main Page&nbsp;– OmegaWiki] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211030051731/http://omegawiki.org/Meta:Main_Page |date=30 October 2021 }} {{ဝီကီမီဒီယာဖောင်ဒေးရှင်း}} [[ကဏ္ဍ:မီဒီယာဝီကီ ဝက်ဘ်ဆိုဒ်များ]] [[Category:အွန်လိုင်းအဘိဓာန်များ]] [[Category:ဝီကီမီဒီယာ ပရောဂျက်များ]] f76x8tkgv0bttzjhbgb05fn4910e7dr 100 16561 1040614 823367 2026-06-24T17:30:55Z Mkant00 135890 1040614 wikitext text/x-wiki {| width="100%" bgcolor="#fff" border="0" cellpadding="3px" cellspacing="2px" style="margin:auto;" |- align="center" bgcolor="tan" ! width="25%" | '''အထွေထွေ''' ! width="25%" | '''အခြေခံအုတ်မြစ်''' ! width="25%" | '''ကိန်းသီအိုရီ (Number theory)''' ! width="25%" | '''ပိုင်းစသီးခြားသင်္ချာ (Discrete mathematics)''' |- valign="top" align="left" style="background: antiquewhite; font-size: 92%;" | <div style="float: right"> [[Image:Nuvola apps bookcase.svg|32px]] </div> *[[သင်္ချာပညာရှင်များ]] *[[သင်္ချာ၏ သမိုင်းကြောင်း]] *[[သင်္ချာဆိုင်ရာအတွေးအခေါ်]] *[[သင်္ချာသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများ]] *[[သင်္ချာဆိုင်ရာအလှအပ]] *[[သင်္ချာပညာရေး]] *[[သင်္ချာပညာရပ်နယ်ပယ်များ]] | <div style="float: right"> [[File:Set theory icon.svg|32px]] </div> *[[သင်္ချာအခြေခံ]] *[[သင်္ချာယုတ္တိဗေဒ]] **[[သက်သေပြချက်သီအိုရီ]] (Proof theory) ***[[ဂူဒယ်၏ မပြည့်စုံခြင်းသီအိုရမ်များ]] (Gödel's incompleteness theorems) **[[မိုဒယ်သီအိုရီ]] (Model theory) **[[ထပ်ကာကျော့သီအိုရီ]] (Recursion theory) *[[အစုသီအိုရီ]] **[[ရိုးရိုးအစုသီအိုရီ]] (Naive set theory) **[[အက်ဆီယမ်ကျကျအစုသီအိုရီ]] (Axiomatic set theory) *[[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (Category theory) **[[တိုပိုသီအိုရီ]] (Topos theory) | <div style="float: right"> [[Image:Nuvola apps kwin4.png|32px]] </div> *[[ကိန်းသီအိုရီ]] (Number theory) *[[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းသီအိုရီ]] (Algebraic number theory) *[[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းသီအိုရီ]] (Analytic number theory) *[[ဂဏန်းသင်္ချာ]] (Arithmetic) **[[ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (Fundamental theorem of arithmetic) *[[ကိန်း|ကိန်းများ]] **[[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (Natural numbers) **[[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (Integers) **[[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (Prime numbers) **[[ရာရှင်နယ်ကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Rational numbers) (ဝါ) အပိုင်းကိန်းများ]] **[[ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ကွန်ပလက်စ်ကိန်း (Complex numbers) (ဝါ) ကိန်းရှုပ်များ]] **[[ကိန်းရင်း|ကိန်းရင်းများ]] (Algebraic numbers) | <div style="float: right"> [[Image:Nuvola apps atlantik.png|32px]] </div> *[[ပိုင်းစသီးခြားသင်္ချာ]] (Discrete mathematics) *[[ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ်|ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ်]] (Combinatorics) **[[ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ် ဂျီဩမေတြီ|ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ် ဂျီဩမေတြီ]] (Combinatorial geometry) **[[ကုတ်ဒင်းသီအိုရီ|ကုတ်ဒင်းသီအိုရီ]] (Coding theory) **[[ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ်ဒီဇိုင်း|ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ် ဒီဇိုင်း]] (Combinatorial design) **[[ရေတွက်ခြင်းဆိုင်ရာ ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ်|ရေတွက်ခြင်းဆိုင်ရာ ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ်]] (Enumerative combinatorics) **[[ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ်ဆိုင်ရာ ဘောင်တွင်းအကောင်းဆုံးအဖြေရှာခြင်း|ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ်ဆိုင်ရာ ဘောင်တွင်း အကောင်းဆုံးအဖြေရှာခြင်း]] (Combinatorial optimization) *[[ဂရပ်သီအိုရီ|ဂရပ်သီအိုရီ]] (Graph theory) *[[အဆင့်သီအိုရီ|အဆင့်သီအိုရီ]] (Order theory) **[[ဇကာကွက်သီအိုရီ|ဇကာကွက်သီအိုရီ]] (Lattice theory) |- align="center" bgcolor="tan" ! width="25%" | '''ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis)''' ! width="25%" | '''အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra)''' ! width="25%" | '''ဂျီဩမေတြီနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Geometry and topology)''' ! width="25%" | '''အသုံးချသင်္ချာ (Applied mathematics)''' |- valign="top" align="left" style="background: antiquewhite; font-size: 92%;" | <div style="float: right"> [[Image:Nuvola apps kmplot.svg|32px]]</div> *[[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ|ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (Mathematical analysis) *[[ကဲကုလပ်|ကဲကုလပ်]] (Calculus) **[[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်|ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (Fundamental theorem of calculus) **[[ဗက်တာကဲကုလပ်|ဗက်တာကဲကုလပ်]] (Vector calculus) *[[နီးစပ်ခန့်မှန်းသီအိုရီ|နီးစပ်ခန့်မှန်းသီအိုရီ]] (Approximation theory) *[[အထူးတလယ်ဖန်ရှင်များ|အထူးတလယ်ဖန်ရှင်များ]] (Special functions) *[[ပိုတင်ရှယ်သီအိုရီ|ပိုတင်ရှယ်သီအိုရီ]] (Potential theory) *[[ဟာမောနစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ|ဟာမောနစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (Harmonic analysis) **[[ဖိုးရီးယား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ|ဖိုးရီးယား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (Fourier analysis) **[[ဟားအတိုင်းအတာ|ဟား အတိုင်းအတာ]] (Haar measure) *[[အတိုင်းအတာသီအိုရီ|အတိုင်းအတာသီအိုရီ]] (Measure theory) *[[ကိန်းစစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ|ကိန်းစစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (Real analysis) *[[ကွန်ပလက်စ်ကိန်း ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ|ကွန်ပလက်စ်ကိန်း ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (Complex analysis) *[[ဖန်ရှင်ဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ|ဖန်ရှင်ဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (Functional analysis) *[[အော်ပရေတာသီအိုရီ|အော်ပရေတာသီအိုရီ]] (Operator theory) | <div style="float: right"> [[Image:Arithmetic symbols.svg|32px]] </div> *[[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာ]] (Algebra) *[[အခြေခံအက္ခရာသင်္ချာ|အခြေခံအက္ခရာသင်္ချာ]] (Elementary algebra) *[[ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ|ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ]] (Abstract algebra) **[[အုပ်စုသီအိုရီ|အုပ်စုသီအိုရီ]] (Group theory) **[[ကွင်းသီအိုရီ|ကွင်းသီအိုရီ]] (Ring theory) **[[ဖီးသီအို (သင်္ချာ)|ဖီးသီအိုရီ]] (Field theory) **[[ပတ်လည်ညီအက္ခရာသင်္ချာ|ပတ်လည်ညီအက္ခရာသင်္ချာ]] (Commutative algebra) *[[ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ|ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာအက္ခရာသင်္ချာ]] (Geometric algebra) *[[လီနီယာအက္ခရာသင်္ချာ|မျဉ်းညီချိုးကျအက္ခရာသင်္ချာ]] (Linear algebra) **[[မေးထရစ်သီအိုရီ|မေးထရစ်သီအိုရီ]] (Matrix theory) **[[မာလတီလီနီယာအက္ခရာသင်္ချာ|မာလတီလီနီယာအက္ခရာသင်္ချာ]] (Multilinear algebra) *[[ယူနီဗာဆယ်အက္ခရာသင်္ချာ|ယူနီဗာဆယ်အက္ခရာသင်္ချာ]] (Universal algebra) *[[အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ်|အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (Fundamental theorem of algebra) | <div style="float: right"> [[Image:Nuvola apps kpovmodeler.svg|32px]] </div> *[[ဂျီဩမေတြီ|ဂျီဩမေတြီ (Geometry)]] *[[ယူကလစ် ဂျီဩမေတြီ|ယူကလစ် ဂျီဩမေတြီ]] (Euclidean geometry) **[[တြီဂိုနိုမေတြီ|တြီဂိုနိုမေတြီ]] (Trigonometry) *[[ယူကလစ်လွန်ဂျီဩမေတြီ|ယူကလစ်လွန် ဂျီဩမေတြီ]] (Non-Euclidean geometry) *[[အက်ဖိုင်းဂျီဩမေတြီ|အက်ဖိုင်းဂျီဩမေတြီ]] (Affine geometry) *[[ပရိုဂျက်တစ်ဂျီဩမေတြီ|ပရိုဂျက်တစ်ဂျီဩမေတြီ]] (Projective geometry) *[[ခုံးထွက်ဂျီဩမေတြီ|ခုံးထွက်ဂျီဩမေတြီ]] (Convex geometry) *[[ပိုင်းစသီးခြားဂျီဩမေတြီ|ပိုင်းစသီးခြားဂျီဩမေတြီ]] (Discrete geometry) *[[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီ|အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီ]] (Algebraic geometry) *[[ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဂျီဩမေတြီ|ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဂျီဩမေတြီ]] (Differential geometry) **[[ရီမန်ဂျီဩမေတြီ|ရီမန်ဂျီဩမေတြီ]] (Riemannian geometry) **[[လီးအုပ်စု|လီးအုပ်စုများ]] (Lie groups) *[[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) **[[အထွေထွေတိုပေါ်လော်ဂျီ|အထွေထွေတိုပေါ်လော်ဂျီ]] (General topology) **[[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တိုပေါ်လော်ဂျီ|အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Algebraic topology) **[[ဂျီဩမေတြီနည်းကျ တိုပေါ်လော်ဂျီ|ဂျီဩမေတြီနည်းကျ တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Geometric topology) **[[ဒစ်ဖရန်ရှယ်တိုပေါ်လော်ဂျီ|ဒစ်ဖရန်ရှယ်တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Differential topology) | <div style="float: right"> [[Image:Gcalctool.svg|32px]] </div> *[[အသုံးချသင်္ချာ|အသုံးချသင်္ချာ (Applied mathematics)]] *[[သင်္ချာမော်ဒယ်တည်ဆောက်ခြင်း|သင်္ချာမော်ဒယ်တည်ဆောက်ခြင်း]] (Mathematical modeling) *[[သင်္ချာကဲရူပဗေဒ|သင်္ချာကဲရူပဗေဒ]] (Mathematical physics) *[[ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်း|ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ]] (Differential equations) **[[ရိုးရိုးဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်း|ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ]] (Ordinary differential equations) **[[ပါရှယ်ဒစ်ဖန်ရှယ်ညီမျှခြင်း|ပါရှယ် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ]] (Partial differential equations) *[[အင်တီဂရယ်ညီမျှခြင်း|အင်တီဂရယ် ညီမျှခြင်းများ]] (Integral equations) *[[ပြောင်းလဲလှုပ်ရှားစနစ်|ပြောင်းလဲလှုပ်ရှားစနစ်များ]] (Dynamical systems) **[[ထိန်းချုပ်မှုသီအိုရီ|ထိန်းချုပ်မှုသီအိုရီ]] (Control theory) ***[[ပြောင်းလဲမှုကဲကုလပ်|ပြောင်းလဲမှုကဲကုလပ်]] (Calculus of variations) *[[အကောင်းဆုံးအဖြေရှာခြင်း|(ဘောင်တွင်း) အကောင်းဆုံးအဖြေရှာခြင်း]] (Optimization) *[[ကိန်းဂဏန်းခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း|ကိန်းဂဏန်းခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း]] (Numerical analysis) *[[သဘောတရားဆိုင်ရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ|သဘောတရားဆိုင်ရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]] (Theoretical computer science) **[[တွက်ချက်နိုင်စွမ်းသီအိုရီ|တွက်ချက်နိုင်စွမ်းသီအိုရီ]] (Computability theory) **[[တွက်ချက်နိုင်စွမ်းဆိုင်ရာ ရှုပ်ထွေးမှုအဆင့်သီအိုရီ |ရှုပ်ထွေးမှုအဆင့်သီအိုရီ]] (Complexity theory) *[[ဝှက်စာဗေဒ|ဝှက်စာဗေဒ]] (Cryptography) *[[သတင်းအချက်အလက်သီအိုရီ|သတင်းအချက်အလက်သီအိုရီ]] (Information theory) *[[စာရင်းအင်းဗေဒ|စာရင်းအင်းဗေဒ]] (Statistics) *[[ဖြစ်နိုင်ခြေသီအိုရီ| ဖြစ်နိုင်ခြေသီအိုရီ]] (Probability theory) **[[ကျပန်းဖြစ်စဉ်|ကျပန်းဖြစ်စဉ်များ]] (Stochastic processes) *[[သင်္ချာဘောဂဗေဒ|သင်္ချာဘောဂဗေဒ]] (Mathematical economics) **[[ဂိမ်းသီအိုရီ|ဂိမ်းသီအိုရီ]] (Game theory) **[[သင်္ချာသုံးဘဏ္ဍာရေး|သင်္ချာသုံးဘဏ္ဍာရေး]] (Mathematical finances) **[https://www.neonics.co.th/ (neonics)] |} 6cuwfvm75bmwcqsw3jqlwx7be1rnwdu 0 47616 1040733 1035760 2026-06-25T08:40:45Z Salai Rungtoi 22844 /* သမိုင်းကြောင်း */ 1040733 wikitext text/x-wiki {{Infobox company |company_name = ဧရာဝတီဘဏ် အများနှင့်သက်ဆိုင်သော ကုမ္ပဏီလီမိတက် |company_logo = File:Ayeyarwady-bank-logo.jpg |native name = <small>Ayeyarwady Bank Public Company Limited</small> |native_name_lang = my |company_type = အများပိုင်ကုမ္ပဏီ (PCL) |slogan = စိတ်ချယုံကြည် ဧရာဝတီ |image = 2016 Rangun, Bank AYA (04).jpg |caption = |foundation = {{start date and age|2010|8|10}} |founder = [[ဇော်ဇော်၊ ဦး|ဦးဇော်ဇော်]] |key_people = [[ဇော်ဇော်၊ ဦး| ဦးဇော်ဇော်]]<br/><small>([[ဥက္ကဋ္ဌ]])</small><br/>ဒေါ်ခင်စောဦး<br/><small>(အမှုဆောင်ဥက္ကဋ္ဌ)</small><br/>ဒေါ်သဇင်အောင်<br/><small>(အမှုဆောင်အရာရှိချုပ်)</small> <ref name="aya-profile">{{cite web|url=https://www.ayabank.com/about-aya/who-we-are/corporate-profile/ayabank-profile|title=AYA Bank Profile |publisher=ဧရာဝတီဘဏ် |access-date=နိုဝင်ဘာ ၂၀, ၂၀၂၅}}</ref> |industry = [[ဘဏ်|ဘဏ်လုပ်ငန်း]] |location=အမှတ်(၁၆၄)၊ မဟာဗန္ဓုလလမ်းမကြီး၊ <br> [[ကျောက်တံတားမြို့နယ်]]၊ [[ရန်ကုန်မြို့]] |products = ငွေစုဘဏ်လုပ်ငန်း၊ ချေးငွေလုပ်ငန်း၊ ကတ်ဝန်ဆောင်မှု၊ ငွေလဲလှယ်ခြင်း၊ Mobile Banking၊ Mobile Wallet |num_employees = ၆,၅၀၀ ကျော် (ဧပြီ ၂၀၂၆)<ref>{{cite web |url=https://www.ayabank.com/about-aya/who-we-are/corporate-profile/ayabank-profile |title=AYA Bank Profile |publisher=AYA Bank |access-date=2026-06-02}}</ref> |assets = {{profit}} ကျပ် ၉.၅ ထရီလီယံ (ဧပြီ ၂၀၂၆)<ref>{{cite web |url=https://www.ayabank.com/about-aya/who-we-are/corporate-profile/ayabank-profile |title=AYA Bank Profile |publisher=AYA Bank |access-date=2026-06-02}}</ref> |equity = {{profit}} ကျပ် ၅၀၀.၃ ဘီလီယံ (ဧပြီ ၂၀၂၆)<ref>{{cite web |url=https://www.ayabank.com/about-aya/who-we-are/corporate-profile/ayabank-profile |title=AYA Bank Profile |publisher=AYA Bank |access-date=2026-06-02}}</ref> |capital = ကျပ် ၂၉၇ ဘီလီယံ (ဧပြီ ၂၀၂၆)<ref>{{cite web |url=https://www.ayabank.com/about-aya/who-we-are/corporate-profile/ayabank-profile |title=AYA Bank Profile |publisher=AYA Bank |access-date=2026-06-02}}</ref> |operating_income = |homepage = {{url|https://www.ayabank.com/}} |image_caption=ဧရာဝတီဘဏ်ရုံးချုပ်}} '''ဧရာဝတီဘဏ်''' ({{langx|en|Ayeyarwady Bank}}; အတိုကောက် '''AYA''') သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၏ ပုဂ္ဂလိကဘဏ်တစ်ခုအဖြစ် စတင်တည်ထောင်ခဲ့ပြီး၊ ၂၀၂၃ ခုနှစ် မတ်လ ၁၀ ရက်နေ့တွင် အများပိုင်ကုမ္ပဏီ (Public Company Limited - PCL) အဖြစ် တရားဝင် ပြောင်းလဲဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref>{{cite web |url=https://www.ayabank.com/about-aya/news-room/press-release/Statement_by_Ayeyarwady_Bank_on_Changing_to_Public_Company_Limited |title=Statement by Ayeyarwady Bank on Changing to Public Company Limited |publisher=ဧရာဝတီဘဏ် |date=မတ် ၁၀, ၂၀၂၃ |access-date=နိုဝင်ဘာ ၂၀, ၂၀၂၅}}</ref> ၂၀၁၀ ပြည့်နှစ် ဇူလှိုင်လတွင် [[မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ်]]၏ ခွင့်ပြုချက်ဖြင့် တည်ထောင်ခဲ့ပြီး၊ ဦးဆောင်တည်ထောင်သူမှာ [[ဇော်ဇော်၊ ဦး|ဦးဇော်ဇော်]]ဖြစ်သည်။ ဧရာဝတီဘဏ် ရန်ကုန်ရုံးချုပ်သည် အမှတ်(၁၆၄)၊ မဟာဗန္ဓုလလမ်းမကြီး၊ [[ကျောက်တံတားမြို့နယ်]]၊ [[ရန်ကုန်မြို့]]တွင် တည်ရှိပြီး၊ [[နေပြည်တော်]]ရုံးချုပ်မှာ ၁၁၀-၁၁၂၊ သီရိရတနာအဆင့်မြင့်ဈေး၊ [[ဒက္ခိဏသီရိမြို့နယ်]]၊ [[နေပြည်တော်]]တွင် တည်ရှိသည်။ ယခုအခါ မြန်မာနိုင်ငံအနှံ့ ဘဏ်ခွဲပေါင်း ၂၆၁ ခု၊ ငွေလဲကောင်တာ ၁၆၂ ခုနှင့် ATM စက်ပေါင်း ၆၂၃ ခု ဖွင့်လှစ်ထားရှိပြီး ဝန်ထမ်းပေါင်း ၆,၅၀၀ ကျော်ဖြင့် ဝန်ဆောင်မှုပေးလျက်ရှိသည်။<ref>{{cite web |url=https://www.ayabank.com/about-aya/who-we-are/corporate-profile/ayabank-profile |title=AYA Bank Profile |publisher=AYA Bank |access-date=2026-06-02}}</ref> == သမိုင်းကြောင်း == ဧရာဝတီဘဏ်ကို ၂ ဇူလှိုင် ၂၀၁၀ ခုနှစ်တွင် မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ်မှ ခွင့်ပြုမိန့် ရရှိခဲ့ပြီး ၁၁ ဩဂုတ်လ ၂၀၁၀ ခုနှစ်တွင် စတင်လည်ပတ်ခဲ့သည်။ === ၂၀၂၆ သုံးစွဲသူအချက်အလက်များ ဟက်ကာအဖွဲ့၏ ခြိမ်းခြောက်ခံရမှု === ၂၀၂၆ ဇွန်လ ၂၄ ရက်နေ့တွင် Dark Web Informer မှ ၎င်း၏ X လူမှုကွန်ရက်စာမျက်နှာ၌ ဖော်ပြချက်အရ LAPSUS$ GROUP ဟက်ကာအဖွဲ့သည် မြန်မာနိုင်ငံ၏ ထိပ်တန်းပုဂ္ဂလိကဘဏ်တစ်ခုဖြစ်သည့် ဧရာဝတီဘဏ် (AYA Bank) ၏ သုံးစွဲသူအချက်အလက်များကို ဖောက်ထွင်းရယူထားပြီး သတ်မှတ်ရက်အတွင်း ဆက်သွယ်ညှိနှိုင်းခြင်းမရှိပါက Dark Web ပေါ်တွင် ရောင်းချမည်ဟု ခြိမ်းခြောက်ထားသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-06-25 |title=ဗင်နီဇွဲလားမှာ အားပြင်း ငလျင် ၂ ခု စက္ကန့်ပိုင်းအတွင်း လှုပ်ခတ်လို့ သေဆုံးသူ ၃၂ ဦးအထိမြင့်တက် - ၂၀၂၆၊ ဇွန်လ ၂၅ ရက် ဘီဘီစီသတင်းများတိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု |url=https://www.bbc.com/burmese/live/ckg4k2pym0et |access-date=2026-06-25 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> အဆိုပါဟက်ကာအဖွဲ့က ယင်းတို့အနေဖြင့် ဘဏ်၏ပင်မစနစ်အတွင်းရှိ လူတစ်ဦးချင်းဆိုင်ရာ ကိုယ်ရေးအချက်အလက် (PII) များအားလုံးကို ရယူထားပြီးဖြစ်ကြောင်းနှင့် လာမည့် ဇူလိုင်လ ၈ ရက်နေ့မတိုင်မီ ဘဏ်ဘက်မှ တုံ့ပြန်ဆောင်ရွက်ခြင်းမရှိပါက ရာဇဝတ်မှုဆိုင်ရာလုပ်ငန်းများတွင် အသုံးပြုနိုင်သည့် Dark Web စျေးကွက်၌ အဆိုပါအချက်အလက်များကို စတင်ရောင်းချမည်ဟု ခြိမ်းခြောက်ထားသည်။<ref>{{Cite news |date=2026-06-25 |title=AYA Bank သုံးစွဲသူတွေရဲ့ အချက်အလက်တွေ Dark Web မှာ ရောင်းချခံရ၊ ဘဏ်အကောင့်ဖွင့်ထားသူ တဦးချင်းရဲ့ အချက်အလက်တွေ ပေါက်ကြားနိုင် - New Day Myanmar |url=https://newdaymyanmar.com/aya-bank-%E1%80%9E%E1%80%AF%E1%80%B6%E1%80%B8%E1%80%85%E1%80%BD%E1%80%B2%E1%80%9E%E1%80%B0%E1%80%90%E1%80%BD%E1%80%B1%E1%80%9B%E1%80%B2%E1%80%B7-%E1%80%A1%E1%80%81%E1%80%BB%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%A1/ |access-date=2026-06-25 |work=New Day Myanmar |language=en-US}}</ref> AYA Bank အနေဖြင့် ယင်းခြိမ်းခြောက်မှုကို သိရှိထားကြောင်း ဘဏ်အရာရှိတစ်ဦးနှင့် နီးစပ်သူက အတည်ပြုပြောကြားသည်။ ဘဏ်၏တရားဝင်ထုတ်ပြန်ချက်အရ အသုံးပြုဆောင်ရွက်နေသည့် Application Portal အဟောင်းတစ်ခုမှ ဘဏ္ဍာရေးဆိုင်ရာမပါဝင်သော လျှောက်လွှာအချက်အလက်အချို့သာ ပြင်ပသို့ ပေါက်ကြားခဲ့ခြင်းဖြစ်ကြောင်း၊ အဆိုပါ Portal သည် Core Banking System၊ AYA Pay System နှင့် Card System စသည့် ပင်မစနစ်များနှင့် တိုက်ရိုက်ချိတ်ဆက်ထားမှုမရှိသည့်အပြင် အခြားစနစ်များကိုလည်း ထိခိုက်မှုမရှိကြောင်း ရှင်းလင်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် AYA Pay၊ Internet Banking နှင့် Mobile Banking စနစ်များကို ပုံမှန်အတိုင်း လုံခြုံစွာ ဆက်လက်အသုံးပြုနိုင်ကြောင်း ဘဏ်က အာမခံထားသည်။<ref>{{Cite web |title=■ ဧရာဝတီဘဏ်၏ Application Portal အဟောင်းတစ်ခုမှ ငွေကြေးဆိုင်ရာမပါသော လျှောက်လွှာပေါ်ရှိ အချက်အလက်အချို့ ပြင်ပသို့ ပေါက်ကြားခဲ့သော ဖြစ်စဉ်ဖြစ်ပွား |url=https://news-eleven.com/article/312925 |access-date=2026-06-25 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> == မတည်ရင်းနှီးငွေ == ခွင့်ပြုပြီး မတည်ရင်းနှီးငွေမှာ မြန်မာကျပ်ငွေ ၇၅ ဘီလီယံဖြစ်ပြီး ၅၅ ကျပ်ဘီလီယံ ထည့်ဝင်ပြီးဖြစ်သည်။ == ဝန်ဆောင်မှုများ == ဧရာဝတီဘဏ်သည် သုံးစွဲသူများ၏ လိုအပ်ချက်အလိုက် အောက်ပါ ဘဏ်လုပ်ငန်းဝန်ဆောင်မှုများကို ပံ့ပိုးပေးလျက်ရှိသည်။ * ငွေစုဘဏ်လုပ်ငန်း: ငွေစုစာရင်း၊ လက်ရှိစာရင်း၊ ပုံသေအပ်ငွေစာရင်း (Fixed Deposit) * ချေးငွေလုပ်ငန်း: အိမ်ချေးငွေ၊ ကားချေးငွေ၊ စီးပွားရေးလုပ်ငန်း ချေးငွေ * ငွေလွှဲလုပ်ငန်း: ပြည်တွင်း ငွေလွှဲခြင်းနှင့် SWIFT အပါအဝင် နိုင်ငံတကာ ငွေလွှဲဝန်ဆောင်မှုများ * Card Management: ဗီဇာကတ် (Visa)၊ မာစတာကတ် (Mastercard) စသည့် ကတ်များ ထုတ်ပေးခြင်းနှင့် စီမံခန့်ခွဲခြင်း * အခြား ဝန်ဆောင်မှုများ: လစာပေးခြင်း၊ ငွေကောက်ခံပေးခြင်း၊ ဘဏ်အာမခံ (Bancassurance) နှင့် လုံခြုံမှုသေတ္တာငှားရမ်းခြင်း == ဆုတံဆိပ်များ == {| class="wikitable sortable" ! နှစ် ! ဆုပေးအပ်သူ ! ဆုအမည် (မြန်မာ) ! Award (English) |- | ၂၀၁၃ | [[World Finance]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ အကောင်းဆုံး ပုဂ္ဂလိကဘဏ် | Best Private Bank, Myanmar<ref name="aya-awards">{{cite web |url=https://www.ayabank.com/about-aya/who-we-are/corporate-profile/awards |title=Awards |publisher=AYA Bank |access-date=2 June 2026 }}</ref> |- | ၂၀၁၄ | [[World Finance]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ အကောင်းဆုံး ပုဂ္ဂလိကဘဏ် | Best Private Bank, Myanmar<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၄ | [[World Finance]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ အကောင်းဆုံး လက်လီဘဏ် | Best Retail Bank, Myanmar<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၄ | [[Global Banking & Finance Awards]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ အမြန်ဆုံးတိုးတက်နေသော လက်လီဘဏ် | Fastest Growing Retail Bank, Myanmar<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၄ | [[Global Banking & Finance Awards]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဆန်းသစ်တီထွင်မှုအကောင်းဆုံး ဘဏ်ဝန်ဆောင်မှု | Most Innovative Banking Services, Myanmar<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၄ | ''The Myanmar Times'' | တစ်နှစ်တာ အကောင်းဆုံး ဘဏ်ခေါင်းဆောင် | Banker of the Year<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၅ | [[World Finance]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ အကောင်းဆုံး ပုဂ္ဂလိကဘဏ် | Best Private Bank, Myanmar<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၅ | [[World Finance]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ အကောင်းဆုံး ဘဏ်အုပ်စု | Best Banking Group, Myanmar<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၅ | [[World Finance]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရေရှည်တည်တံ့မှု အကောင်းဆုံးဘဏ် | Most Sustainable Bank, Myanmar<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၆ | [[World Finance]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ အကောင်းဆုံး ပုဂ္ဂလိကဘဏ် | Best Private Bank, Myanmar<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၆ | [[World Finance]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ အကောင်းဆုံး ဘဏ်အုပ်စု | Best Banking Group, Myanmar<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၆ | [[World Finance]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရေရှည်တည်တံ့မှု အကောင်းဆုံးဘဏ် | Most Sustainable Bank, Myanmar<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၇ | [[World Finance]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ အကောင်းဆုံး လက်လီဘဏ် | Best Retail Bank, Myanmar<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၇ | [[World Finance]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ အကောင်းဆုံး ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးဘဏ် | Best Commercial Bank, Myanmar<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၇ | CFI.co Awards | အရှေ့တောင်အာရှ၏ အကောင်းဆုံး ဒေသဆိုင်ရာ ဘဏ်မိတ်ဖက် | Best Regional Banking Partner, Southeast Asia<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၇ | [[Asiamoney]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ အကောင်းဆုံး CSR ဘဏ် | Myanmar's Best Bank for CSR<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၈ | [[Asiamoney]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ အကောင်းဆုံး ပြည်တွင်းဘဏ် | Myanmar's Best Domestic Bank<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၉ | [[Asiamoney]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ အကောင်းဆုံး SME ဘဏ် | Myanmar's Best Bank for SMEs<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၉ | [[Asiamoney]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ အကောင်းဆုံး CSR ဘဏ် | Myanmar's Best Bank for CSR<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၁၉ | The Business Coalition for Gender Equality (BCGE) | ကျား/မ တန်းတူညီမျှရေး EDGE အသိအမှတ်ပြုလက်မှတ် | EDGE Certificate for Gender Equality<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၂၀ | [[Asiamoney]] | မြန်မာနိုင်ငံ၏ အကောင်းဆုံး SME ဘဏ် | Myanmar's Best Bank for SMEs<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၂၃ | The Business Coalition for Gender Equality (BCGE) | ကျား/မ တန်းတူညီမျှရေး GEARS အသိအမှတ်ပြုလက်မှတ် | GEARS Certificate for Gender Equality<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၂၅ | [[မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ်]] | အလုပ်သမားငွေလွှဲလုပ်ငန်း အကောင်းဆုံးဘဏ် (တတိယဆု) | Best Bank Award (Workers' Remittance) – Third Prize<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၂၅ | [[မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ်]] | MMQR စွမ်းဆောင်ရည်အကောင်းဆုံးဆု (AYA Pay) | Best Performance Award (MMQR)<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၂၅ | [[မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ်]] | စွမ်းဆောင်ရည်အကောင်းဆုံးဆု (AYA Bank CEO) | Best Performance Award<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၂၅ | [[မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ်]] | MMQR ပါဝင်ဆောင်ရွက်မှုအကောင်းဆုံးဆု (AYA Pay) | Best Participation Award (MMQR)<ref name="aya-awards" /> |- | ၂၀၂၅ | [[PCI Security Standards Council]] | PCI DSS v4.0.1 လုံခြုံရေးစံနှုန်း လိုက်နာမှု အသိအမှတ်ပြုလက်မှတ် | PCI DSS v4.0.1 Compliance Certification<ref name="pci-dss">{{cite web |url=https://www.ayabank.com/about-aya/news-room/announcements/AYA_Bank_PCL_Achieves_PCI_DSS_v4.0.1_Compliance%2C_Strengthening_Digital_Security_Standards |title=AYA Bank PCL Achieves PCI DSS v4.0.1 Compliance, Strengthening Digital Security Standards |publisher=AYA Bank |date=17 July 2025 |access-date=2 June 2026 }}</ref> |} == အဓိကဖြစ်ရပ်များ == * ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဧပြီ (၉) ရက်နေ့တွင် ဆိုက်ဘာရာဇဝတ်မှု တစ်မျိုးဖြစ်သည့် ဧရာဝတီဘဏ် Visa Prepaid Card မှ transaction များဖြတ်တောက်ခံရမှု သုံးစွဲသူ အများအပြား ခံခဲ့ရသည်။<ref>{{Cite web|title=■ AYA Visa Prepaid Card မှ transaction များဖြတ်တောက်ခံရမှုများ ဖြစ်ပွား|url=https://news-eleven.com/article/311181|website=Eleven Media Group Co., Ltd|access-date=2026-04-10|language=my}}</ref> == ကိုးကား == <references/> ==ပြင်ပလင့်== * [https://www.ayabank.com ဧရာဝတီဘဏ် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်] {{မြန်မာနိုင်ငံရှိ ဘဏ်များ}} {{မြန်မာ-stub}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဘဏ်များ]] df9otc4pha293yga6ohtp3o0shm58b7 0 48840 1040601 1040083 2026-06-24T15:57:53Z Naingli 144794 1040601 wikitext text/x-wiki {| class="wikitable sortable mw-datatable" style="width:100%; border-radius: 8px; box-shadow: 0 4px 6px rgba(0,0,0,0.1);" |+ ဒေါ်ဩဘာသောင်း၏ အနုပညာမှတ်တမ်း ! စဉ် !! ခေါင်းစဉ် !! ဖော်ပြချက် !! မှတ်ချက် |- | ၁ || အမည်ရင်း || မသောင်းတင် || - |- | ၂ || အသက်မွေးဝမ်းကျောင်း || အငြိမ့်မင်းသမီး/အဆိုတော် || အသက် ၁၄ နှစ်မှ စတင် |- | ၃ || ထူးခြားချက် || ကဗျာလွတ်အက || တီထွင်သူ |- | ၄ || ဂီတတူရိယာ || စန္ဒယား၊ ပတ္တလား၊ ဟွန်းတယော || ကိုယ်တိုင်တီးခတ်နိုင် |- | ၅ || ဘွဲ့တံဆိပ် || ဝဏ္ဏကျော်ထင် || - |} == ဝဏ္ဏကျော်ထင် ဒေါ်ဩဘာသောင်း (၁၈၉၈–၁၉၇၁) == ဒေါ်ဩဘာသောင်း (၁၁ ဧပြီ ၁၈၉၈ – ၁၃ ဇန်နဝါရီ ၁၉၇၁) သည် မြန်မာ့ရိုးရာအငြိမ့်သဘင်လောကကို ခေတ်တစ်ခေတ်ပြောင်းလဲစေခဲ့သော အငြိမ့်မင်းသမီးနှင့် အဆိုတော်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ မြန်မာ့အကသမိုင်းတွင် အထင်ကရဖြစ်သော "ကဗျာလွတ်အက"ကို တီထွင်သူတစ်ဦးအဖြစ်လည်း မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် မိသားစုအကြောင်း == ဒေါ်ဩဘာသောင်းကို ၁၈၉၈ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁၁ ရက်နေ့တွင် ရန်ကုန်မြို့၌ အဘ အင်ဂျင်နီယာ ဦးစံဒွန်းနှင့် အမိ ဒေါ်သာလိတို့မှ မွေးဖွားခဲ့သည်။ ငယ်မည်မှာ မသောင်းတင်ဖြစ်သည်။ သူမသည် သဘင်မျိုးရိုးမှ ဆင်းသက်လာသူမဟုတ်သော်လည်း အတီးအမှုတ်ကို ဝါသနာပါသော ဖခင်ဖြစ်သူ၏ အားပေးမှုကြောင့် အနုပညာလောကသို့ ရောက်ရှိလာခဲ့သည်။ ငယ်စဉ်ကပင် ရန်ကုန်၊ ကြက်တန်း၊ ဘုရားဖြူဆရာတော် ပျံတော်မူရာ ရေကျော်ဆီဆုံတန်း၌ ယိမ်းအကတွင် ပါဝင်ကပြရာမှ အကကောင်းသူအဖြစ် ချီးမွမ်းခြင်းခံခဲ့ရသည်။ အသက် ၁၃ နှစ်အရွယ်တွင် မိခင်ကွယ်လွန်သွားသဖြင့် ဖခင်ဖြစ်သူနှင့်အတူ မန္တလေးမြို့သို့ ပြောင်းရွှေ့နေထိုင်ခဲ့ကြသည်။ == အနုပညာပညာရပ်ကို သင်ယူခြင်း == ဖခင်ဖြစ်သူသည် သမီးဖြစ်သူအား အဆိုအကတွင် ထွန်းထွန်းပေါက်ပေါက် ဖြစ်စေရန်အတွက် ထိုခေတ်က ပန်တျာကျောင်းကဲ့သို့ အဆိုအကပညာကို သင်ကြားပေးနေသော ပေါက်တန်းဇာတ်စာရေးဆရာ ဦးထွန်းရထံတွင် အပ်နှံသင်ကြားစေခဲ့သည်။ ပညာသင်ကြားပြီး ငါးလခန့်အကြာတွင် အငြိမ့်တစ်ငြိမ့်မှ သဘောကျသဖြင့် ခေါ်ယူကပြစေခဲ့ရာ အသက် ၁၄ နှစ်အရွယ်မှာပင် အငြိမ့်မင်းသမီးဖြစ်လာခဲ့သည်။ ဆရာဖြစ်သူက "ဩဘာသောင်းတင်" ဟူသောအမည်ကို ရွေးချယ်ပေးခဲ့သော်လည်း နောက်ပိုင်းတွင် "ဩဘာသောင်း" အမည်ဖြင့်သာ ထင်ရှားကျော်ကြားလာခဲ့သည်။ ထို့အပြင် မင်းသမီး မထွေးလေး၊ မင်္ဂလာသိန်းညွန့်၊ မစံထား၊ မစံရှား၊ ဇာတ်မင်းသား ဦးစိန်အုပ်နှင့် ရွာစားကြီး စိန်ဗေဒါ၊ အဆိုတော်ဆရာမှန် စသည့် ဂီတပညာရှင်များထံမှလည်း အဆိုအကပညာများကို သင်ယူခဲ့သည်။ ဖခင်ကြီးက ရုပ်သေးမင်းသမီး ကြိုးဆွဲဆရာ ဆရာမှန်ကို အိမ်သို့ပင့်ဖိတ်၍ သင်ကြားပေးခဲ့ရာမှ ဆရာမှန်၏ မင်းသမီးရုပ်ကို အတုယူကပြခဲ့ပြီး ခြေ၊ လက်၊ ခေါင်း၊ ခါး မင်းသမီးဂွင်အနေအထားတွင် အလွန်လှပညက်ညောသူအဖြစ် ကျော်ကြားခဲ့သည်။ သူမကိုယ်တိုင်လည်း စန္ဒယား၊ ပတ္တလား၊ ဟွန်းတယော စသည့် ဂီတတူရိယာများကို တီးခတ်နိုင်သူ ဖြစ်သည်။ == အငြိမ့်လောကကို ပြောင်းလဲခြင်းနှင့် ထင်ရှားသောသီချင်းများ == ဩဘာသောင်း အငြိမ့်လောကသို့ မရောက်မီက အငြိမ့်မင်းသမီးကြီးများသည် သီချင်းကြီး၊ သီချင်းခန့်၊ မြိုင်ထ၊ ဘောလယ်များကို သီဆို၍ ညင်သာစွာ ကပြကြသည်။ သို့သော် ဩဘာသောင်း ရောက်ရှိလာသောအခါ အဆို၊ အတီး၊ အကတို့တွင် မြူးမြူးကြွကြွရှိပြီး သွက်သွက်လက်လက်ရှိသော ဟန်ပန်များဖြင့် အငြိမ့်ခေတ်တစ်ခေတ်ကို ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူမ သီဆိုကပြခဲ့သော သီချင်းများမှာ ယောက်ျားများကို စိတ်လှုပ်ရှားစေသည့် ဆန်းထွေထူး (ဆန်းနွေဦးယိုးဒယားအလိုက်)၊ ဘာဂီတင် (မြင်းရထားကို ဆိုလို)၊ ကာတစ် (ထိုခေတ်က တင်ပါးကို ဆိုလို) တို့ ဖြစ်သည်။ အခြားထင်ရှားသော တေးသီချင်းများမှာ ပေါ်ပြူလာဘလူးဘလပ်၊ စုံနံသာမြိုင်လယ်၊ လှေကြီးထိုးရိုးရိုးမှန်မှန်လှော်၊ ချစ်ယောင်ယောင်၊ ကြာလေငယ်လေ၊ ဇာကွဲ စသည်တို့ ဖြစ်သည်။ အငြိမ့်သဘင်လောကတွင် "အဆစ်ကျဲကျဲ ကရာမှာ လေဘာတီမြရင်၊ အဆစ်စိပ်စိပ် ကရာမှာ ဩဘာသောင်း" ဟု ပြောစမှတ်ပြုကြသည်။ သူမသည် တက္ကသိုလ်ကျောင်းသားများနှင့် ကာလသားများ ဝိုင်းဝိုင်းလည်ခဲ့ရလောက်အောင် စန်းပွင့်ခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့်ပင် ဇာတ်မင်းသားကြီး ဖိုးစိန်က "ဇာတ်သမကို မခင်တွယ်ကြနဲ့ သဘင်သည် ဝေးရာကကြည့်" ဟူသော သီချင်းဖြင့် ဥက္ကာသေနမယ်ရူပဇာတ်တွင် သတိပေးကပြခဲ့ရသည်ဟု ဆိုကြသည်။ အသက် ၃၈ နှစ်တွင် ခင်ပွန်းသည်၏ ဆန္ဒအရ အငြိမ့်လောကမှ အနားယူခဲ့သည်။ == ကဗျာလွတ်အကနှင့် ပညာရေး == ၁၉၅၃ ခုနှစ်တွင် မန္တလေးပန်တျာကျောင်း စတင်ဖွင့်လှစ်သည့်အခါ အကနည်းပြဆရာအဖြစ် တာဝန်ယူခဲ့သည်။ ထိုကာလတွင် မင်းသား ရွှေဒေါင်းညို၊ စိန်လှမောင်တို့နှင့် ညှိနှိုင်းတိုင်ပင်၍ "ကဗျာလွတ်အက" ကို တီထွင်ခဲ့ရာ မြန်မာ့အကသမိုင်းတွင် မှတ်တမ်းတင်ခြင်းခံရသည်အထိ အောင်မြင်ကျော်ကြားခဲ့သည်။ သို့သော် အာဏာရှင်ဦးနေဝင်း၏ တော်လှန်ရေးကောင်စီခေတ်မှစ၍ ၈၈ အရေးအခင်းနောက်ပိုင်းတွင် ကဗျာလွတ်အကမှာ သင်ရိုးဖျက်ဆီးခံခဲ့ရသည်။ မူမှန်သော ကဗျာလွတ်မူကို ဖျောက်ဖျက်ကာ မူမမှန်သောမူကို နိုင်ငံတော်မူဟု သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် မူမှန်သောအကနည်းစနစ်တို့ ပျောက်ကွယ်ခဲ့ရသည်။ တပည့်ရင်းဖြစ်သူ ဒေါ်ခင်ဝင်းနွယ်က မူမှန်ကဗျာလွတ်ကို ဖော်ထုတ်ရန် ကြိုးပမ်းခဲ့ရာတွင် များစွာ အတိုက်အခိုက် ခံခဲ့ရသည်။ == ဘဝနိဂုံး == ကဗျာလွတ်အက၏ မိခင်ကြီး၊ ဝဏ္ဏကျော်ထင်ဘွဲ့ရ ဒေါ်ဩဘာသောင်းသည် ၁၉၇၁ ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလ ၁ ရက်နေ့တွင် မန္တလေးမြို့၌ ကွယ်လွန်သည်။ <ref>စွယ်စုံကျမ်းနှစ်ချုပ်၊ ၁၉၇၈</ref> ==ကိုးကား== <references/> {{Lifetime|၁၈၉၈|၁၉၇၁}} [[Category:မြန်မာ သဘင်ပညာရှင်များ]] 6zwfcl3xbfkvwdwplxgsp4l5dhleejc 0 51334 1040674 1027520 2026-06-25T05:34:32Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1040674 wikitext text/x-wiki {{Infobox officeholder | honorific prefix = ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး(ငြိမ်း)<br>[[မဟာသရေစည်သူ]]<ref name="nationalday"/> | name = စိုးဝင်း | image = Soe Win.jpg | image_size = 230px | office = [[ပြည်ထောင်စုအတိုင်ပင်ခံကောင်စီ]] ဥက္ကဋ္ဌ | termstart = ၁၀ ဧပြီ ၂၀၂၆ | termend = | appointer = [[ဦးမင်းအောင်လှိုင်အစိုးရ|မင်းအောင်လှိုင်]] | 1blankname = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမ္မတ|သမ္မတ]] | 1namedata = [[မင်းအောင်လှိုင်]] | deputy = {{Collapsible list | title = အဖွဲ့ဝင်များ | 1 = [[မောင်မောင်အေး]] (အတွင်းရေးမှူး) | 2 = [[သန်းဆွေ (ဝန်ကြီး)|သန်းဆွေ]] | 3 = [[ကိုကိုလှိုင်]] | 4 = [[မိုးအောင်]] | 5 = ဒေါက်တာရင်ရင်နွယ် | 6 = ချိုချိုကျော်ငြိမ်း | 7 = [[ကိုကိုကြီး (နိုင်ငံရေးသမား)|ကိုကိုကြီး]] | 8 = [[မန်းငြိမ်းမောင်]] | 9 = [[ဒွဲဘူ]] | 10 = [[ဇော်အေးမောင်]] }} | office1 = [[နိုင်ငံတော်လုံခြုံရေး နှင့် အေးချမ်းသာယာရေးကော်မရှင်]]<br>ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ | termstart1 = ၃၁ ဇူလိုင် ၂၀၂၅ | termend1 = ၁၀ ဧပြီ ၂၀၂၆ | appointer1 = [[အမျိုးသား ကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ]] | office2 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဒုတိယ ဝန်ကြီးချုပ်|ဒုတိယဝန်ကြီးချုပ်]] | termstart2 = ၁ ဩဂုတ် ၂၀၂၁ | termend2 = ၃၁ ဇူလိုင် ၂၀၂၅ | 1blankname2 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဝန်ကြီးချုပ်|ဝန်ကြီးချုပ်]] | 1namedata2 = [[မင်းအောင်လှိုင်|ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး မင်းအောင်လှိုင်]] | alongside2 = [[တင်အောင်စန်း]]၊ [[မြထွန်းဦး]]၊ [[မောင်မောင်အေး]]၊ [[ဝင်းရှိန်]]၊ [[သန်းဆွေ (ဝန်ကြီး)|သန်းဆွေ]] နှင့်အတူ | office3 = [[နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ]]<br/>ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ | termstart3 = ၂ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၁ | termend3 = ၃၁ ဇူလိုင် ၂၀၂၅ | appointer3 = တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်ရုံး အမိန့်အမှတ် ၉/၂၀၂၁ | 1blankname3 = ဥက္ကဋ္ဌ | 1namedata3 = [[ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး]] [[မင်းအောင်လှိုင်]] | office4 = [[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] | title4 = {{flagicon image|Flag of the Deputy Commander-in-Chief of Defence Services (Myanmar).svg}} [[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] | termstart4 = ၃၀ မတ် ၂၀၁၁ | termend4 = ၃၀ မတ် ၂၀၂၆ | predecessor4 = [[မောင်အေး (ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး)|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး မောင်အေး]] | successor4 = ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကျော်စွာလင်း]] | office5 = [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ကြည်း)]] | title5 = {{flagicon image|Commander in Chief (Army) flag of Myanmar.svg}} [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ကြည်း)]] | termstart5 = ၃၀ မတ် ၂၀၁၁ | termend5 = ၃၀ မတ် ၂၀၂၆ | predecessor5 = [[မောင်အေး (ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး)|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး မောင်အေး]] | successor5 = ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ရဲဝင်းဦး]]<ref name="bbc_ye_win_oo"/> | birth_date = {{birth date and age|1960|3|1}} | birth_place = | alma_mater = [[စစ်တက္ကသိုလ်]] (၂၂ ပတ်စဉ်) | spouse = ဒေါ်သန်းသန်းနွယ် | children = ဟန်ထူး<br>လင်းထူး | citizenship = မြန်မာနိုင်ငံသား | nationality = [[ဗမာ]] | religion = [[ဗုဒ္ဓဘာသာ]] | awards = {{bulleted list |[[မဟာသရေစည်သူ]] (၂၀၂၂) |[[သရေစည်သူ]] (၂၀၂၁) |[[သီရိပျံချီ]]}} | allegiance = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} | branch = {{Army|Myanmar}} | serviceyears = ၁၉၈၀–၂၀၂၆ | rank = {{flagicon image|17. Myanmar Army VSGEN.svg}} [[ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး]] | military_blank1 = ကိုယ်ပိုင်အမှတ် | military_data1 = ကြည်း/ ၁၆၄၈၉ }} '''<ref name="nationalday"/><ref name=":0">{{Cite journal|author=ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော် ၊နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး|url=https://www.moi.gov.mm/ppd/sites/default/files/book-pdf/2021-02/Vol-74,No-5.pdf|title=ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်၊ နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး၏ ၂၀၂၁ ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလ ၄ ရက် နေ့စွဲပါ အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ် (၂/၂၀၂၁)|pages=၂၅၉|language=မြန်မာဘာသာ|accessdate=၂၀၂၁-၀၉-၂၉|publisher=ပုံနှိပ်ရေးနှင့်ထုတ်ဝေရေးဦးစီးဌာန၊ ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန၊ ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်|date=၂၀၂၁ ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလ ၄ ရက်|format=PDF|journal=ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော် ပြန်တမ်းစာစောင်|volume=အတွဲ(၇၄)|issue=အမှတ်(၅၁)}}</ref>ဦးစိုးဝင်း''' (၁ မတ် ၁၉၆၀ မွေးဖွား<ref>{{cite web|title=Issuance of Executive Order "Blocking Property With Respect To The Situation In Burma;" Burma-related Designations and Designations Updates {{!}} U.S. Department of the Treasury|url=https://home.treasury.gov/policy-issues/financial-sanctions/recent-actions/20210211|website=home.treasury.gov|access-date=၁၂ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၁}}</ref>) သည် ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး(ငြိမ်း) သီရိပျံချီ၊ မဟာသရေစည်သူဘွဲ့ရ မြန်မာ့တပ်မတော် ထိပ်တန်းအရာရှိတစ်ဦး ဖြစ်ခဲ့ပြီး၊လက်ရှိတွင် [[ပြည်ထောင်စုအတိုင်ပင်ခံကောင်စီ]]၏ ဥက္ကဋ္ဌ အဖြစ် ထမ်းဆောင်လျှက်ရှိသည်။ ယင်းမတိုင်မီက [[နိုင်ငံတော်လုံခြုံရေး နှင့် အေးချမ်းသာယာရေးကော်မရှင်|နိုင်ငံတော်လုံခြုံရေးနှင့်အေးချမ်းသာယာရေးကော်မရှင်]]၏ ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ အဖြစ်လည်းကောင်း၊ ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး သီရိပျံချီ၊ မဟာသရေစည်သူ ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် ရာထူးကို ၂၀၁၁ ခုနှစ်မှ ၂၀၂၆ ခုနှစ်အထိလည်းကောင်း ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်၊ မြန်မာ့တပ်မတော်၏ ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်တာဝန်လွှဲပြောင်းလက်ခံခြင်း ဂုဏ်ပြုစစ်ရေးပြအခမ်းအနား ကျင်းပပြုလုပ် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/81254 |access-date=2026-03-30 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> [[စစ်တက္ကသိုလ်]]၊ ဗိုလ်လောင်သင်တန်း အမှတ်စဉ် (၂၂) ကျောင်းဆင်းအရာရှိတစ်ဦးဖြစ်ပြီး ကိုယ်ပိုင်အမှတ်သည် ကြည်း/၁၆၄၈၉ ဖြစ်သည်။ [[ဗထူးတပ်မြို့]]ရှိ တပ်မတော်(ကြည်း)၊ တိုက်ခိုက်ရေးကျောင်း (ဗထူး)၏ ကျောင်းအုပ်ကြီး၊ [[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] တိုင်းမှူး၊ [[အမှတ် (၆) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့မှူး]] စသည့် တာဝန်များကိုထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး ၂၀၁၁ ခုနှစ် မတ်လ ၃၀ ရက်နေ့မှစတင်ကာ "ဒုတိယ တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်/ ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ကြည်း)" အဖြစ် စတင်တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ [[၂၀၂၁ မြန်မာနိုင်ငံစစ်အာဏာသိမ်းခံရခြင်း|၂၀၂၁ စစ်အာဏာသိမ်းမှု]]တွင် ဒုတိယ​ခေါင်း​ဆောင်ဖြစ်ကာ ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလ ၂ ရက်နေ့တွင် ဖွဲ့စည်းခဲ့သော [[နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ]]တွင် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် တာဝန်ပေးအပ်ခြင်း ခံရသည်။<ref>{{cite web|title=မြန်မာအာဏာသိမ်း- နိုင်ငံတော် စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီကို ဖွဲ့စည်း - ဘီဘီစီ မြန်မာ {{!}} အထူးသတင်း {{!}} နောက်ဆုံးရ သတင်း {{!}} နောက်ဆုံးရခေါင်းစဉ် သတင်း {{!}}မြန်မာသတင်း|url=https://www.bbc.com/burmese/live/burma-55882493|website=https://www.bbc.com/burmese|publisher=[[BBC News]] မြန်မာပိုင်း|access-date=၂ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၁|language=မြန်မာဘာသာ}}</ref> ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဇူလိုင် ၃၁ ရက်တွင် နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီကို ဖျက်သိမ်းပြီးနောက် အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီအား အုပ်ချုပ်ရေးယန္တရားအဖြစ် ပြင်ဆင်ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဇူလိုင် ၃၁ ရက် တွင် [[နိုင်ငံတော်လုံခြုံရေး နှင့် အေးချမ်းသာယာရေးကော်မရှင်|နိုင်ငံတော်လုံခြုံရေးနှင့်အေးချမ်းသာယာရေးကော်မရှင်]]၏ ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=https://www.moi.gov.mm/announcements/73053|title=နိုင်ငံတော်လုံခြုံရေးနှင့် အေးချမ်းသာယာရေးကော်မရှင် ဖွဲ့စည်းခြင်း|work=MOI Myanmar|access-date=၃၁ ဇူလိုင် ၂၀၂၅|date=၃၁ ဇူလိုင် ၂၀၂၅}}</ref> == အစောပိုင်းဘဝနှင့် ပညာရေး == ဦးချစ်စိန်နှင့် ဒေါ်ကြင်ထွေးတို့မှ ၁၉၆၀ ပြည့်နှစ် မတ်လ ၁ ရက်နေ့တွင် [[မန္တလေးမြို့]]၌ မွေးဖွားခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|date=2020-12-05|title=တပ်ချုပ် ဖြစ်လာနိုင်သူ စစ်သားကောင်း ဒုတိယ ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး စိုးဝင်း|url=https://burma.irrawaddy.com/article/2020/12/05/234398.html|access-date=2021-02-02|website=ဧရာဝတီ|language=en-US|archive-date=2020-12-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20201206065500/https://burma.irrawaddy.com/article/2020/12/05/234398.html|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite news |date=19 April 2024 |title=As Myanmar’s Military Stumbles, a Top General’s Disappearance Fuels Intrigue |url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/as-myanmars-military-stumbles-a-top-generals-dissapearance-fuels-intrigue.html |work=[[The Irrawaddy]]}}</ref><ref>{{Cite news |date=9 April 2024 |title=PDF Drones Target Southeastern Regional Military Command During visit of Junta’s Deputy Chief |url=https://www.bnionline.net/en/news/pdf-drones-target-southeastern-regional-military-command-during-visit-juntas-deputy-chief |work=Burma News International}}</ref><ref>{{Cite news |date=11 July 2023 |title=Vice-Chairman of State Administration Council Deputy Prime Minister Vice-Senior General Soe Win Attends 2023 Monsoon Tree Planting Ceremony in Nay Pyi Taw Union Territory |url=https://myanmar.gov.mm/news-media/news/-/asset_publisher/9ZewUq5mfR5F/content/vice-chairman-of-state-administration-council-deputy-prime-minister-vice-senior-general-soe-win-attends-2023monsoon-tree-planting-ceremony-in-nay-pyi-?_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_redirect=https%3A%2F%2Fmyanmar.gov.mm%2Fnews-media%2Fnews%3Fp_p_id%3Dcom_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F%26p_p_lifecycle%3D0%26p_p_state%3Dnormal%26p_p_mode%3Dview%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_cur%3D0%26p_r_p_resetCur%3Dfalse%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_assetEntryId%3D192602200 |work=Myanmar National Portal}}</ref><ref>{{Cite news |date=20 September 2023 |title=Myanmar Junta Continues Tightening the Screws on Its Economic Team |url=https://www.irrawaddy.com/business/myanmar-junta-continues-tightening-the-screws-on-its-economic-team.html |work=[[The Irrawaddy]]}}</ref><ref>{{Cite news |date=29 March 2023 |title=Retired Top Brass Wheeled Out For Embattled Myanmar Junta Chief |url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/retired-top-brass-wheeled-out-for-embattled-myanmar-junta-chief.html |work=[[The Irrawaddy]]}}</ref><ref>{{Cite news |date=30 November 2021 |title=Over 50 Top Officials From Myanmar’s Ousted NLD Govt Face Long Jail Terms |url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/over-50-top-officials-from-myanmars-ousted-nld-govt-face-long-jail-terms.html |work=[[The Irrawaddy]]}}</ref> ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် [[စစ်တက္ကသိုလ်]]သို့ တက်ရောက်ခဲ့ပြီး ၁၉၈၁ ခုနှစ်တွင် ဘွဲ့ရရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2021-08-04 |title=Min Aung Hlaing and His Generals: Some Biographical Notes |url=https://fulcrum.sg/min-aung-hlaing-and-his-generals-some-biographical-notes/ |access-date=2022-09-22 |website=FULCRUM |language=en-US |archive-date=2022-09-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220922043703/https://fulcrum.sg/min-aung-hlaing-and-his-generals-some-biographical-notes/ |url-status=live }}</ref><ref>{{Cite web |date=6 February 2024 |title=Vice-Chairman of State Administration Council Deputy Prime Minister Vice-Senior General Soe Win Honours Myanmar Academy Awards Ceremony for 2023 |url=https://myanmar.gov.mm/news-media/news/-/asset_publisher/9ZewUq5mfR5F/content/vice-chairman-of-state-administration-council-deputy-prime-minister-vice-senior-general-soe-win-honours-myanmar-academy-awards-ceremony-for-2023?_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_redirect=https%3A%2F%2Fmyanmar.gov.mm%2Fnews-media%2Fnews%3Fp_p_id%3Dcom_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F%26p_p_lifecycle%3D0%26p_p_state%3Dnormal%26p_p_mode%3Dview%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_cur%3D0%26p_r_p_resetCur%3Dfalse%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_assetEntryId%3D219648266 |website=Myanmar National Portal}}</ref><ref>{{Cite news |last=Subir Bhaumik |date=5 February 2024 |title=Three Years After Coup, Myanmar Military Junta Falling Apart – OpEd |url=https://www.eurasiareview.com/05022024-three-years-after-coup-myanmar-military-junta-falling-apart-oped/ |work=Eurasia Review}}</ref><ref>{{Cite news |last=Ei Thinzar Myint |date=10 April 2024 |title=Resistance Drones Strike Myanmar Military’s SE Command During Junta No. 2’s Visit |url=https://www.irrawaddy.com/news/resistance-drones-strike-myanmar-militarys-se-command-during-junta-no-2s-visit.html |work=[[The Irrawaddy]]}}</ref><ref>{{Cite news |date=19 January 2024 |title=Political analysts note that the calls from Junta supporters for coup leader General Min Aung Hlaing to step down as Commander-in-Chief are evident signs of internal divisions within the coup regime. During a pro-Junta event in Pyin Oo Lwin on January 16th, Monk U Ariya Wun Tha, also known as Pauk Ko Taw, suggested that Senior General Min Aung Hlaing is better suited for a civilian role, advocating for him to transition to such a position and transfer the Commander-in-Chief role to his deputy, Vice Senior General Soe Win. |url=https://www.bnionline.net/en/news/growing-demands-coup-leader-general-min-aung-hlaing-resign-exposes-internal-splits-inside-junta |work=[[Burma News International]]}}</ref> ==စစ်မှုထမ်းခြင်း== ၁၉၈၁ ခုနှစ်တွင် စစ်တက္ကသိုလ်မှ အပတ်စဉ် (၂၂)ဖြင့် ဘွဲ့ရရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=22 January 2024 |title=Last week, an ultranationalist Buddhist monk who helped set up pro-junta militias was detained and questioned by authorities after he joined calls for Min Aung Hlaing to resign to show responsibility for the string of humiliating military defeats. He told a crowd gathered for a pro-military rally in Mandalay Region’s Pyin Oo Lwin town that Min Aung Hlaing should step down from his post as military chief and hand over control to his deputy, Vice Senior General Soe Win. |url=https://www.irrawaddy.com/opinion/analysis/will-the-myanmar-junta-boss-step-down-all-sides-now-want-him-gone.html |work=[[The Irrawaddy]]}}</ref><ref>{{Cite news |last=Brian Wei |date=25 January 2024 |title=Junta No. 2 Fails to Persuade Allied Karen Armed Group to Stay With Myanmar Military |url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/junta-no-2-fails-to-persuade-allied-karen-armed-group-to-stay-with-myanmar-military.html |work=[[The Irrawaddy]]}}</ref><ref>{{Cite news |date=14 November 2023 |title=General Soe Win is now deputy leader of the State Administration Council, the junta’s governing body, and army commander-in-chief, while General Yar Pyae is now home affairs minister. General Kyaw Swe served as home affairs minister under the Daw Aung San Suu Kyi administration. In a twist of fate, General Yar Pyae is now handling Ye Htut’s case. |url=https://www.irrawaddy.com/opinion/analysis/what-happened-to-ye-htut-intrigue-in-myanmars-corridors-of-power.html |work=[[The Irrawaddy]]}}</ref><ref>{{Cite news |date=16 August 2022 |title=Don’t Bet on Myanmar Junta No. 2 Ousting His Boss |url=https://www.irrawaddy.com/opinion/analysis/dont-bet-on-myanmar-junta-no-2-ousting-his-boss.html |work=[[The Irrawaddy]]}}</ref><ref>{{Cite news |date=21 January 2023 |title=SAC Vice-Chair Dy PM Vice-Senior General Soe Win attends 1st coordination meeting of Central Census Commission |url=https://myanmar.gov.mm/news-media/news/-/asset_publisher/9ZewUq5mfR5F/content/sac-vice-chair-dy-pm-vice-senior-general-soe-win-attends-1st-coordination-meeting-of-central-census-commission?_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_redirect=https%3A%2F%2Fmyanmar.gov.mm%2Fnews-media%2Fnews%3Fp_p_id%3Dcom_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F%26p_p_lifecycle%3D0%26p_p_state%3Dnormal%26p_p_mode%3Dview%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_cur%3D0%26p_r_p_resetCur%3Dfalse%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_assetEntryId%3D155266317 |work=Myanmar National Portal}}</ref><ref>{{Cite web |date=10 February 2014 |title=Myanmar Deputy Commander-In-Chief of Defence Services and Commander-In-Chief (Army) Calls on Minister for Defence |url=https://www.mindef.gov.sg/web/portal/mindef/news-and-events/latest-releases/article-detail/2014/february/2014feb10-news-releases-02103/!ut/p/z0/fY27EoIwFES_xYIycy_4qhELdVQadDCNE-SiUQwCEeTvDTCUWp6d3bPAIQSuRCWvQstMidTwic_Oc3_prXDi7P1pYKN7DILtdLFfH-Yz2AD_XzAGec9z7gK_ZErTR0P4lCqmhHWstIW37EkWKqpLJlTMqDJpaWEqNJWaFZSSKMkEDtoTCxOKircomp4N2ci67VBk6Ng4bp-dYuftrsBfQt-YVEkGYbuBcHD0_NvxevCoqd3RFxjYJ0o!/ |website=MINDEF Singapore |access-date=10 May 2024 |archive-date=27 April 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240427192727/https://www.mindef.gov.sg/web/portal/mindef/news-and-events/latest-releases/article-detail/2014/february/2014feb10-news-releases-02103/!ut/p/z0/fY27EoIwFES_xYIycy_4qhELdVQadDCNE-SiUQwCEeTvDTCUWp6d3bPAIQSuRCWvQstMidTwic_Oc3_prXDi7P1pYKN7DILtdLFfH-Yz2AD_XzAGec9z7gK_ZErTR0P4lCqmhHWstIW37EkWKqpLJlTMqDJpaWEqNJWaFZSSKMkEDtoTCxOKircomp4N2ci67VBk6Ng4bp-dYuftrsBfQt-YVEkGYbuBcHD0_NvxevCoqd3RFxjYJ0o!/ }}</ref> ၂၀၀၈ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် ကချင်ပြည်နယ်၊ [[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] တိုင်းမှူး ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=23 April 2024 |title=In Myanmar, The General Who Vanished Has Grabbed The Spotlight |url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/in-myanmar-the-general-who-vanished-has-grabbed-the-spotlight.html |work=The Irrawaddy}}</ref><ref>{{Cite news |date=20 April 2024 |title=Junta Watch: Mystery Deepens Over Fate of Regime No. 2; Finding Uses for Rohingya; and More |url=https://www.irrawaddy.com/specials/junta-watch/junta-watch-mystery-deepens-over-fate-of-regime-no-2-finding-uses-for-rohingya-and-more.html |work=The Irrawaddy}}</ref><ref>{{Cite news |date=31 July 2023 |title=Myanmar Extends State of Emergency, Forcing Delay in Promised Election |url=https://www.voanews.com/a/myanmar-extends-state-of-emergency-forcing-delay-in-promised-election-/7205072.html |work=Voice of America}}</ref><ref>{{Cite news |date=8 June 2023 |title=Vice-Chairman of State Administration Council Deputy Prime Minister Vice-Senior General Soe Win Attends and Delivers a Speech at Rehabilitation Coordination Meeting of Natural Disaster Management Committee |url=https://myanmar.gov.mm/news-media/news/-/asset_publisher/9ZewUq5mfR5F/content/vice-chairman-of-state-administration-council-deputy-prime-minister-vice-senior-general-soe-win-attends-and-delivers-a-speech-at-rehabilitation-coordi?_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_redirect=https%3A%2F%2Fmyanmar.gov.mm%2Fnews-media%2Fnews%3Fp_p_id%3Dcom_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F%26p_p_lifecycle%3D0%26p_p_state%3Dnormal%26p_p_mode%3Dview%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_cur%3D0%26p_r_p_resetCur%3Dfalse%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_assetEntryId%3D187198633 |work=Myanmar National Portal}}</ref><ref>{{Cite news |date=18 October 2017 |title=Swiss visit by Myanmar army officials sparks controversy |url=https://www.swissinfo.ch/eng/politics/federalism-talks_swiss-visit-by-myanmar-army-officials-sparks-controversy/43606808 |work=[[SWI swissinfo.ch]]}}</ref><ref>{{Cite news |date=1 August 2021 |title=Myanmar military forms caretaker gov't with army chief as PM |url=https://english.kyodonews.net/news/2021/08/0a0f75b65840-myanmar-military-forms-caretaker-govt-with-army-chief-as-pm.html |work=[[Kyodo News]]}}</ref> ၂၀၁၀ ပြည့်နှစ် ဩဂုတ်လတွင် [[အမှတ် (၆) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့မှူး]]အဖြစ် [[ချင်းပြည်နယ်]]၊ [[ရခိုင်ပြည်နယ်]]နှင့် [[မကွေးတိုင်း]]များရှိ စစ်ဖက်ဆိုင်ရာ စစ်ဆင်ရေးများကို ကြီးကြပ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=5 January 2024 |title=Myanmar regime vows to hold 2024 census despite spike in clashes |url=https://asia.nikkei.com/Spotlight/Myanmar-Crisis/Myanmar-regime-vows-to-hold-2024-census-despite-spike-in-clashes |work=Nikkei Asia}}</ref><ref>{{Cite web |date=17 October 2023 |title=Vice-Senior General Soe Win Attends and Delivers a Speech at Meeting 1/2023 of Myanmar Special Economic Zone Central Committee |url=https://myanmar.gov.mm/news-media/news/-/asset_publisher/9ZewUq5mfR5F/content/vice-senior-general-soe-win-attends-and-delivers-a-speech-at-meeting-1%2F2023-of-myanmar-special-economic-zone-central-committee?_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_redirect=https%3A%2F%2Fmyanmar.gov.mm%2Fnews-media%2Fnews%3Fp_p_id%3Dcom_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F%26p_p_lifecycle%3D0%26p_p_state%3Dnormal%26p_p_mode%3Dview%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_cur%3D0%26p_r_p_resetCur%3Dfalse%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_assetEntryId%3D205854141 |website=Myanmar National Portal}}</ref><ref>{{Cite web |date=12 December 2023 |title=Vice-Chairman of State Administration Council Deputy Prime Minister Vice-Senior General Soe Win Attends and Delivers a Speech at Ceremony to Mark 75th Anniversary of Human Rights Day |url=https://myanmar.gov.mm/news-media/-/asset_publisher/Jb7SCMXVsWI1/content/vice-chairman-of-state-administration-council-deputy-prime-minister-vice-senior-general-soe-win-attends-and-delivers-a-speech-at-ceremony-to-mark-75th?_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_Jb7SCMXVsWI1_redirect=https%3A%2F%2Fmyanmar.gov.mm%2Fnews-media%3Fp_p_id%3Dcom_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_Jb7SCMXVsWI1%26p_p_lifecycle%3D0%26p_p_state%3Dnormal%26p_p_mode%3Dview%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_Jb7SCMXVsWI1_cur%3D0%26p_r_p_resetCur%3Dfalse%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_Jb7SCMXVsWI1_assetEntryId%3D212171316 |website=Myanmar National Portal}}</ref><ref>{{Cite news |date=31 May 2023 |title=Top Chinese Intelligence Official Visits Myanmar for ‘Cooperation’ Talks. Major General Yang Yang, acting director-general of the Intelligence Bureau of the Joint Staff Department of China’s Central Military Commission, met the junta’s number two official, Soe Win, for talks on “cooperation between the two armies”, state media said. |url=https://www.irrawaddy.com/news/myanmars-crisis-the-world/top-chinese-intelligence-official-visits-myanmar-for-cooperation-talks.html |work=The Irrawaddy}}</ref><ref>{{Cite news |date=19 February 2023 |title=SAC Vice-Chairman Deputy Prime Minister Vice-Senior General Soe Win attends reception to mark 75th anniversary of founding Russia-Myanmar diplomatic ties |url=https://myanmar.gov.mm/news-media/news/latest-news/-/asset_publisher/idasset354/content/sac-vice-chairman-deputy-prime-minister-vice-senior-general-soe-win-attends-reception-to-mark-75th-anniversary-of-founding-russia-myanmar-diplomatic-t |work=Myanmar National Portal}}</ref><ref>{{Cite news |date=18 April 2019 |title=NLD-Tatmadaw relations: strong words, rising tensions |url=https://www.frontiermyanmar.net/en/nld-tatmadaw-relations-strong-words-rising-tensions/ |work=Frontier Myanmar}}</ref> [[ကချင်လွတ်လပ်ရေးတပ်မတော်]] (ကေအိုင်အေ) အား [[တပ်မတော်]]၏ လက်အောက်ခံ [[နယ်ခြားစောင့်တပ်ဖွဲ့]]အဖြစ် အသွင်ကူးပြောင်းရန် ဖိအားပေးခဲ့ဖူးသူလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite news |date=19 December 2023 |title=Vice-Chairman of State Administration Council Deputy Commander-in-Chief of Defence Services Commander-in-Chief (Army) Vice-Senior General Soe Win Comforts Military Personnel, Myanmar Police Force Members, and People’s Militia got Injuries in Serving State Defence and Security Duties |url=https://myanmar.gov.mm/news-media/news/latest-news/-/asset_publisher/idasset354/content/vice-chairman-of-state-administration-council-deputy-commander-in-chief-of-defence-services-commander-in-chief-army-vice-senior-general-soe-win-comfor |work=Myanmar National Portal}}</ref><ref>{{Cite web |date=5 January 2024 |title=Vice-Chairman of State Administration Council Deputy Prime Minister Vice-Senior General Soe Win Inspects Preparations for Hosting Dinner and Entertainment Programmes to honour 76th Anniversary of Independence Day |url=https://myanmar.gov.mm/news-media/news/-/asset_publisher/9ZewUq5mfR5F/content/vice-chairman-of-state-administration-council-deputy-prime-minister-vice-senior-general-soe-win-inspects-preparations-for-hosting-dinner-and-entertain?_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_redirect=https%3A%2F%2Fmyanmar.gov.mm%2Fnews-media%2Fnews%3Fp_p_id%3Dcom_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F%26p_p_lifecycle%3D0%26p_p_state%3Dnormal%26p_p_mode%3Dview%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_cur%3D0%26p_r_p_resetCur%3Dfalse%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_assetEntryId%3D215521793 |website=Myanmar National Portal}}</ref><ref>{{Cite web |date=6 October 2023 |title=SAC Vice-Chairman Deputy Commander-in-Chief of Defence Services Commander-in-Chief (Army) Vice-Senior General Soe Win Attends Centennial Celebration of No.1 Military Hospital (700-Bed) and 30th Myanmar Tatmadaw Medical Conference |url=https://myanmar.gov.mm/news-media/news/-/asset_publisher/9ZewUq5mfR5F/content/sac-vice-chairman-deputy-commander-in-chief-of-defence-services-commander-in-chief-army-vice-senior-general-soe-win-attends-centennial-celebration-of-?_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_redirect=https%3A%2F%2Fmyanmar.gov.mm%2Fnews-media%2Fnews%3Fp_p_id%3Dcom_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F%26p_p_lifecycle%3D0%26p_p_state%3Dnormal%26p_p_mode%3Dview%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_cur%3D0%26p_r_p_resetCur%3Dfalse%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_assetEntryId%3D206330956 |website=Myanmar National Portal}}</ref><ref>{{Cite news |date=13 June 2023 |title=Vice-Chairman of State Administration Council Deputy Prime Minister Vice-Senior General Soe Win Pays Homage to Remains of SSMNC Chairman Bhamo Sayadaw, and Inspects Preparations for Final Rites Ceremony |url=https://myanmar.gov.mm/news-media/news/-/asset_publisher/9ZewUq5mfR5F/content/vice-chairman-of-state-administration-council-deputy-prime-minister-vice-senior-general-soe-win-pays-homage-to-remains-of-ssmnc-chairman-bhamo-sayad-1?_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_redirect=https%3A%2F%2Fmyanmar.gov.mm%2Fnews-media%2Fnews%3Fp_p_id%3Dcom_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F%26p_p_lifecycle%3D0%26p_p_state%3Dnormal%26p_p_mode%3Dview%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_cur%3D0%26p_r_p_resetCur%3Dfalse%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_assetEntryId%3D188103612 |work=Myanmar National Portal}}</ref><ref>{{Cite news |last=Michael Sullivan |date=29 April 2020 |title=U.N. Envoy Brings New Allegations Of War Crimes Against Myanmar |url=https://www.npr.org/2020/04/29/847733031/u-n-envoy-brings-new-allegations-of-war-crimes-in-myanmar |work=NPR}}</ref><ref>{{Cite news |date=16 July 2019 |title=US Imposes Sanctions on Myanmar Military Commander Over Rohingya Abuses |url=https://www.voanews.com/a/east-asia-pacific_us-imposes-sanctions-myanmar-military-commander-over-rohingya-abuses/6172005.html |work=Voice of America}}</ref> ၂၀၀၉ ခုနှစ် ဇူလိုင်လမှ ၂၀၁၀ ဩဂုတ်လအတွင်း ကေအိုင်အေ ခေါင်းဆောင်များနှင့် အကြိမ်ကြိမ် တွေ့ဆုံဆွေးနွေးခဲ့သော်လည်း နယ်ခြားစောင့်တပ်ပြောင်းလဲရေးအတွက် မအောင်မြင်ခဲ့ပေ။<ref>{{Cite news |date=28 September 2023 |title=Tracing Myanmar Junta’s Repeated Governing Body Shakeups Since Coup |url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/tracing-myanmar-juntas-repeated-governing-body-shakeups-since-coup.html |work=The Irrawaddy}}</ref><ref>{{Cite news |date=19 September 2023 |title=Vice-Chairman of State Administration Council Deputy Commander-in-Chief of Defence Services Commander-in-Chief (Army) Vice-Senior General Soe Win Receives Chiefs of ASEAN Air Forces |url=https://myanmar.gov.mm/news-media/news/-/asset_publisher/9ZewUq5mfR5F/content/vice-chairman-of-state-administration-council-deputy-commander-in-chief-of-defence-services-commander-in-chief-army-vice-senior-general-soe-win-receiv?_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_redirect=https%3A%2F%2Fmyanmar.gov.mm%2Fnews-media%2Fnews%3Fp_p_id%3Dcom_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F%26p_p_lifecycle%3D0%26p_p_state%3Dnormal%26p_p_mode%3Dview%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_cur%3D0%26p_r_p_resetCur%3Dfalse%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_assetEntryId%3D203940677 |work=Myanmar National Portal}}</ref><ref>{{Cite news |date=29 June 2023 |title=SAC Vice-Chairman Deputy Prime Minister Vice-Senior General Soe Win receives Russian Ambassador to Myanmar who has completed his tour of duty |url=https://myanmar.gov.mm/news-media/news/-/asset_publisher/9ZewUq5mfR5F/content/sac-vice-chairman-deputy-prime-minister-vice-senior-general-soe-win-receives-russian-ambassador-to-myanmar-who-has-completed-his-tour-of-duty?_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_redirect=https%3A%2F%2Fmyanmar.gov.mm%2Fnews-media%2Fnews%3Fp_p_id%3Dcom_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F%26p_p_lifecycle%3D0%26p_p_state%3Dnormal%26p_p_mode%3Dview%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_cur%3D0%26p_r_p_resetCur%3Dfalse%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_assetEntryId%3D191073867 |work=Myanmar National Portal}}</ref><ref>{{Cite news |date=26 January 2024 |title=Powerful BGF leader Protecting Chinese- Gangs at Shwe Kokko Declares Autonomous Zone in Myawaddy – Colonel Chit Thu also ends Karen BGF’s Proxy Role Under the Junta |url=https://www.bnionline.net/en/news/powerful-bgf-leader-protecting-chinese-gangs-shwe-kokko-declares-autonomous-zone-myawaddy |work=Burma News International}}</ref><ref>{{Cite news |date=29 August 2022 |title=SAC Vice-Chairman Deputy Commander-in-Chief of Defence Services Commander-in-Chief (Army) Vice-Senior General Soe Win attends closing ceremony of International Army Games-2022 |url=https://myanmar.gov.mm/news-media/news/-/asset_publisher/9ZewUq5mfR5F/content/sac-vice-chairman-deputy-commander-in-chief-of-defence-services-commander-in-chief-army-vice-senior-general-soe-win-attends-closing-ceremony-of-intern?_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_redirect=https%3A%2F%2Fmyanmar.gov.mm%2Fnews-media%2Fnews%3Fp_p_id%3Dcom_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F%26p_p_lifecycle%3D0%26p_p_state%3Dnormal%26p_p_mode%3Dview%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_cur%3D0%26p_r_p_resetCur%3Dfalse%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_9ZewUq5mfR5F_assetEntryId%3D135184278 |work=Myanmar National Portal}}</ref> === ၂၀၂၄ ဖြစ်ရပ် === ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဧပြီလအတွင်းက မွန်ပြည်နယ်၊ မော်လမြိုင်မြို့ရှိ [[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]]ကို တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များက ဒရုန်းဖြင့် တိုက်ခိုက်ခဲ့ရာ ထိုစဉ်က စခန်း၌ရှိနေသည်ဟု ယူဆရသော ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး စိုးဝင်း ပြင်းထန်စွာ ဒဏ်ရာရရှိခဲ့သည်ဟူသော သတင်းများ ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် ထွက်ပေါ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=25 May 2024 |title=SAC Vice-Senior General Soe Win stresses thorough preparation for Dawei SEZ MOI to ensure mutual benefits |url=https://elevenmyanmar.com/news/sac-vice-senior-general-soe-win-stresses-thorough-preparation-for-dawei-sez-moi-to-ensure |work=Eleven Media Group}}</ref><ref>{{Cite news |date=25 April 2024 |title=Rumours swirl about General Soe Win's fate |url=https://eng.mizzima.com/2024/04/25/9298 |work=[[Mizzima News]]}}</ref> အထူးသဖြင့် ဧပြီလ ၉ ရက်နေ့ ဒရုန်းတိုက်ခိုက်မှုအပြီးတွင် ၎င်းသည် လူမြင်ကွင်းမှ နှစ်ပတ်ကျော်ကြာ ပျောက်ဆုံးနေခဲ့သဖြင့် အမျိုးမျိုးသော ခန့်မှန်းချက်များ ပိုမိုအားကောင်းလာခဲ့သည်။ ၎င်း၏ နောက်ဆုံးခရီးစဉ်မှာ ဧပြီလ ၃ ရက်နေ့က ရှမ်းပြည်နယ်တောင်ပိုင်း၊ [[ဗထူးတပ်မြို့]]သို့ သွားရောက်ခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး [[နေပြည်တော်မြို့|နေပြည်တော်]]တွင် ကျင်းပသည့် ရိုးရာ[[သင်္ကြန်|သင်္ကြန်ပွဲ]]တော်များသို့ တက်ရောက်ခြင်း မရှိခဲ့သည့်အတွက် ၎င်း၏ အခြေအနေအပေါ် စိုးရိမ်ပူပန်မှုနှင့် သံသယများ မြင့်တက်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=16 April 2024 |title=Myanmar's dampened and explosive Thingyan water festival celebration |url=https://eng.mizzima.com/2024/04/16/9043 |work=[[Mizzima News]]}}</ref><ref>{{Cite news |last=Sebastian Strangio |date=1 August 2023 |title=Myanmar Junta Extends State of Emergency for Fourth Time |url=https://thediplomat.com/2023/08/myanmar-junta-extends-state-of-emergency-for-fourth-time/ |work=The Diplomat}}</ref> တရားဝင် ငြင်းဆိုမှုများရှိသော်လည်း ရာထူးမှ ဖယ်ရှားခံရနိုင်သည်ဟူသော ကောလာဟလများနှင့် စစ်ရေးရှုံးနိမ့်မှုများကြားတွင် ၎င်းအား စစ်ဘက်ဦးဆောင်မှုနေရာ၌ အစားထိုးရန် ထောက်ခံမှုများ ရှိနေသည်ဟူသော သတင်းများလည်း ထွက်ပေါ်ခဲ့သည်။ <ref>{{Cite news |date=30 April 2024 |title=His No. 2, Vice Senior General Soe Win, commander-in-chief of the army and deputy head of the State Administration Council (as the junta calls itself), disappeared for nearly a month after an April 3 visit to Ba Htoo, a garrison town in southern Shan State, finally reappearing on state TV's evening news on Monday. |url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/sleepless-in-naypyitaw-myanmar-junta-leader-lives-in-fear-of-assassination.html |work=The Irrawaddy}}</ref>သို့သော်လည်း ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဧပြီလ ၃၀ ရက်နေ့တွင် [[မော်လမြိုင်မြို့|မော်လမြိုင်]]ရှိ စစ်ဆေးရုံတွင် ဒဏ်ရာရစစ်သည်များကို သွားရောက်ကြည့်ရှုပြီး ဆုငွေများ ပေးအပ်နေသည့် ရုပ်သံသတင်းများ ထွက်ပေါ်လာခြင်းက မရေရာမှုများကို တစ်ခန်းရပ်စေခဲ့သည်။ <ref>{{Cite news |last=Saw Reh |date=16 April 2024 |title=KNLA and allies repel Myanmar junta troops trying to reach Myawaddy |url=https://myanmar-now.org/en/news/knla-and-allies-repel-myanmar-junta-troops-trying-to-reach-myawaddy/ |work=Myanmar Now}}</ref><ref>{{cite web |title=As Myanmar's Military Stumbles, a Top General's Disappearance Fuels Intrigue |url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/as-myanmars-military-stumbles-a-top-generals-dissapearance-fuels-intrigue.html |access-date=April 21, 2024 |website=The Irrawaddy}}</ref><ref>{{Cite news |date=5 July 2023 |title=Wives of Generals Pray for Their Husbands on Myanmar Women's Day |url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/wives-of-generals-pray-for-their-husbands-on-myanmar-womens-day.html |work=The Irrawaddy}}</ref><ref>{{Cite news |date=30 April 2024 |title=He's Back: Myanmar Junta No. 2 Returns With His Sights Set on Thai Border |url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/hes-back-myanmar-junta-no-2-returns-with-his-sights-set-on-thai-border.html |work=The Irrawaddy}}</ref>ထို့ပြင် ၎င်းသည် ကရင်ပြည်နယ်နှင့် မွန်ပြည်နယ် ဝန်ကြီးချုပ်များနှင့် တွေ့ဆုံ၍ ထိုင်းနယ်စပ် တည်ငြိမ်ရေးကိစ္စများကို ဆွေးနွေးခဲ့သလို၊ အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်ရှိ အရာရှိများနှင့် တွေ့ဆုံရာတွင်လည်း စစ်ရေးဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များကိုသာ အဓိကထား ဆွေးနွေးခဲ့ကြောင်း သိရသည်။<ref>{{Cite news |date=7 May 2022 |title=Junta Watch: Regime Admits It's Not in Full Control; ASEAN Rebuffed, and More |url=https://www.irrawaddy.com/specials/junta-watch/junta-watch-regime-admits-its-not-in-full-control-asean-rebuffed-and-more.html |work=[[The Irrawaddy]]}}</ref><ref>{{Cite news |date=17 March 2023 |title=Vice Senior General Soe Win instructs Loikaw military personnel on effective use of weapons and ammunition |url=https://www.bnionline.net/en/news/vice-senior-general-soe-win-instructs-loikaw-military-personnel-effective-use-weapons-and |work=Burma News International}}</ref> ဤကဲ့သို့ လူမြင်ကွင်းသို့ ပြန်လည်ရောက်ရှိလာခြင်းက ပြင်းထန်သော ဝေဖန်ခန့်မှန်းချက်များ ထွက်ပေါ်နေသည့် ကာလအတွင်း အခြေအနေကို အတိုင်းအတာတစ်ခုအထိ ရှင်းလင်းသွားစေခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=1 April 2023 |title=Myanmar Junta Sacks Commander After Heavy Casualties in Karen State |url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/myanmar-junta-sacks-commander-after-heavy-casualties-in-karen-state.html |work=[[The Irrawaddy]]}}</ref><ref>{{Cite web |title=လူမြင်ကွင်းပြန်ပေါ်လာသည့် ဒုစစ်ခေါင်းဆောင် အောင်ဇေယျစစ်ဆင်ရေးကို ဆက်ကွပ်ကဲနိုင် |url=https://burmese.dvb.no/post/650318 |access-date=2026-03-12 |website=ရက်အတော်ကြာပျောက်နေခဲ့တဲ့ အာဏာသိမ်းစစ်ကောင်စီရဲ့ ဒုခေါင်းဆောင် စိုးဝင်း လူမြင်ကွင်းကို ပြန်ပေါ်လာပြီး အောင်ဇေယျ စစ်ဆင်ရေးကို နေပြည်တော်ကနေ ကွပ်ကဲလိမ့်မယ်လို့ သုံးသပ်တာတွေ ရှိပါတယ်။အာဏာသိမ်းစစ်ကော… |language=en}}</ref> === တာဝန်ရာထူး အပြောင်းအလဲ === ၂၀၂၅ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလအတွင်း ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး စိုးဝင်းသည် ၎င်းတာဝန်ယူထားသည့် နိုင်ငံရေးနှင့် အုပ်ချုပ်ရေးဆိုင်ရာ တာဝန်များထဲက နိုင်ငံတော်အဆင့် ကော်မတီဆယ်ခုခန့်ရှိ ဥက္ကဋ္ဌနှင့် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ရာထူးများကို ဝန်ကြီးချုပ် ဦးညိုစောထံသို့ လွှဲပြောင်းပေးအပ်ခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |date=2025-10-10 |title=ဒုဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီးစိုးဝင်းရဲ့ နိုင်ငံရေးတာဝန်တွေ ဦးညိုစောလွှဲယူ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cn7636k5vpeo |access-date=2026-03-12 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ မတ်လအတွင်း တပ်မတော်၏ ရာထူးတာဝန် ပြောင်းလဲမှုများအရ ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး စိုးဝင်းသည် မိမိပူးတွဲတာဝန်ယူထားသော ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် (ကြည်း) ရာထူးကို ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ရဲဝင်းဦး]]ထံသို့ လွှဲပြောင်းပေးအပ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=ဒုစစ်ခေါင်းဆောင်က ဗိုလ်ချုပ်ကြီးရဲဝင်းဦးကို ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် (ကြည်း) တာဝန်လွှဲပေး |url=https://burmese.dvb.no/post/749592 |access-date=2026-03-12 |website=စစ်ကောင်စီတပ်မှာ ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်ပြီးရင် ရာထူးအကြီးဆုံးဖြစ်တဲ့ ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် (ကြည်း) တာဝန်ကို ဒီကနေ့ ဒုဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီးစိုးဝင်းက ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ရဲဝင်းဦးကို လွှဲပေးလိုက်တယ်လို့ နေပြည်တော်သတ… |language=en}}</ref> ထိုသို့ လွှဲပြောင်းပြီးနောက် ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး စိုးဝင်းသည် ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် တာဝန်ကိုသာ ဆက်လက်ထမ်းဆောင်သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-03-04 |title=၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ မတ် ၄ ရက် ဘီဘီစီတိုက်ရိုက်သတင်းထုတ်လွှင့်ချက် - အာဖဂန်၊ ဆူဒန်တို့နဲ့အတူ မြန်မာကို ပညာရေးဗီဇာ UK ရပ်ဆိုင်း |url=https://www.bbc.com/burmese/live/c6266rdr3d2t |access-date=2026-03-12 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref><ref>{{Cite web |title=ထောက်လှမ်းရေးမှူးချုပ်က တပ်ချုပ်ဖြစ်လာတော့မလား |url=https://burma.irrawaddy.com/opinion/viewpoint/2026/03/06/411596.html |url-status=live |access-date=၁၂ မတ် ၂၀၂၆ |website=ဧရာဝတီသတင်းဌာန}}</ref> ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ မတ်လ (၃၀) ရက်နေ့၌ တပ်မတော်အကြီးအကဲများ ရာထူးတာဝန်လွှဲပြောင်းမှုအရ [[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]]ရာထူးကို ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး (ကြည်း၊ ရေ၊ လေ) ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇေယျကျော်ထင်၊ သရေစည်သူ [[ကျော်စွာလင်း]]ထံ တာဝန်လွှဲပြောင်းခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |last=Journal |first=Popular |date=2026-03-30 |title=မြန်မာ့တပ်မတော်၏ ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်တာဝန်နှင့် ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ကြည်း)ရာထူးတို့အား ဗိုလ်ချုပ်ကြီးကျော်စွာလင်းကိုပူးတွဲခန့်အပ် |url=https://www.popularmyanmar.com/%E1%80%99%E1%80%BC%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%AC%E1%80%B7%E1%80%90%E1%80%95%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%90%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%BA%E1%81%8F-%E1%80%92%E1%80%AF%E1%80%90%E1%80%AD%E1%80%9A%E1%80%90/ |access-date=2026-03-30 |website=Popular |language=en-US}}</ref> == ရရှိခဲ့သော ဂုဏ်ထူးဆောင်ဘွဲ့တံဆိပ်များ == ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး သီရိပျံချီ စိုးဝင်း သည် (၀၄-၀၁-၂၀၂၁) လွတ်လပ်ရေးနေ့တွင် “[[သီရိပျံချီ]] ”ဘွဲ့မှ [[ပြည်ထောင်စုစည်သူသင်္ဂဟ|ပြည်ထောင်စုစည်သူသင်္ဂဟဘွဲ့]] ဖြစ်သော “[[သရေစည်သူ]]”သင်္ဂဟဘွဲ့သို့ တိုးမြှင့်၍ “နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး၏ ၂၀၂၁ ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလ ၄ ရက် နေ့စွဲပါ အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ်(၂/၂၀၂၁)” ဖြင့် ချီးမြှင့်ခံခဲ့ရသည်။<ref name=":0" /> ၂၀၂၂ ခုနှစ်၊ နိုဝင်ဘာလ ၁၇ ရက်တွင် နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ် ၂၁၁/၂၀၂၂ အားဖြင့် [[ပြည်ထောင်စုစည်သူသင်္ဂဟ|ပြည်ထောင်စုစည်သူသင်္ဂဟဘွဲ့]]ဖြစ်သော “[[မဟာသရေစည်သူ|မဟာသရေစည်သူဘွဲ့]]” ကို [[နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ ဥက္ကဋ္ဌ|နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီဥက္ကဋ္ဌ]]က ချီးမြှင့်အပ်နှံခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web|url=https://myanmar.gov.mm/news-media/news/latest-news/-/asset_publisher/idasset354/content/%25E1%2580%2594%25E1%2580%25AD%25E1%2580%25AF%25E1%2580%2584%25E1%2580%25BA%25E1%2580%2584%25E1%2580%25B6%25E1%2580%2590%25E1%2580%25B1%25E1%2580%25AC%25E1%2580%25BA%25E1%2580%2585%25E1%2580%25AE%25E1%2580%2599%25E1%2580%25B6%25E1%2580%25A1%25E-784|title=နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ် ၂၁၁/၂၀၂၂ ဂုဏ်ထူးဆောင်ဘွဲ့များ၊ ဂုဏ်ထူးဆောင်တံဆိပ်များ ချီးမြှင့်အပ်နှင်းခြင်း|accessdate=2 August 2025|publisher=Myanmar National Portal|archive-date=23 February 2026|archive-url=https://web.archive.org/web/20260223042710/https://myanmar.gov.mm/news-media/news/latest-news/-/asset_publisher/idasset354/content/%E1%80%94%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%84%E1%80%B6%E1%80%90%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%BA%E1%80%85%E1%80%AE%E1%80%99%E1%80%B6%E1%80%A1%E-784|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} {{နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ}} {{တပ်မတော်}} {{တပ်မတော် (ကြည်း)}} [[Category:မြန်မာ စစ်ဖက်ဆိုင်ရာ လူပုဂ္ဂိုလ်များ]] [[ကဏ္ဍ:သက်ရှိထင်ရှားပုဂ္ဂိုလ်များ]] [[ကဏ္ဍ:၁၉၆၀ မွေးဖွားသူများ]] [[ကဏ္ဍ:နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီဝင်များ]] [[ကဏ္ဍ:စစ်တက္ကသိုလ် ကျောင်းဆင်းများ]] 7evn57aztp1zpgi4h2tbscs90bspm2t 0 52480 1040690 1040406 2026-06-25T06:42:30Z Mkant00 135890 /* တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (Adjunction) */ 1040690 wikitext text/x-wiki {{ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ}} [[File:Trasformazione_naturale_kf.png|right|thumb|250px|အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် ဖန်တာ <math>F</math> မှ <math>G</math> သို့သွားသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation)''' <math>\alpha</math> ၏ သဘာဝကျမှု အခြေအနေကို ဖော်ပြထားသော '''ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative diagram)''']] '''ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ''' (category theory) သည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခြုံငုံလေ့လာသည့် ယေဘုယျ သင်္ချာသီအိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရီသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို မြားပုံကြမ်းများ (diagrams of arrows) အမျိုးမျိုး အသုံးပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အယူအဆအပေါ် အခြေခံသည်။ ဤသို့ အလွန်ယေဘုယျကျသော အခြေအနေတွင် လေ့လာခြင်းကြောင့် သင်္ချာပညာရပ်ရှိ ဘုံတူသော တည်ဆောက်ပုံများနှင့် ပုံစံများကို ပိုမိုနားလည်သဘောပေါက်စေသည်။ သို့ကြောင့် ကွဲပြားခြားနားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများအကြားရှိ ဆင်တူသော သဘောတရားများကို စုစည်းလေ့လာနိုင်စေသည်။ အစောပိုင်း ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ [[အုပ်စု ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (group cohomology)၊ [[လီအက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Lie algebra cohomology) နှင့် [[ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (associative algebra cohomology) တို့အား သင့်လျော်သော [[မော်ဂျူး]] ကတ်တဂိုရီ (suitable module category) တစ်ခုတွင် [[ဆင်းသက်ဖန်တာ|ဆင်းသက်ဖန်တာများ]] (derived functors) အဖြစ် ပြန်လည်ပုံဖော်ခဲ့နိုင်ခြင်းဖြစ်သည်။{{sfn|Cartan|Eilenberg|1956}} [[File:Saunders MacLane.jpg|right|thumb|250px|'''ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း''' (Saunders Mac Lane) သည် အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ကို ပူးတွဲတည်ဆောက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ သူသည် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု သီအိုရမ်များ (coherence theorems) နှင့်ပတ်သက်သော လုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် အထူးထင်ရှားသည်။]] [[File:Samuel Eilenberg MFO.jpeg|right|thumb|250px|'''ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်''' (Samuel Eilenberg) သည် ပိုလန်ဖွား အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး သူ၏ အဓိကလုပ်ဆောင်ချက်များသည် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နယ်ပယ်တွင် ဖြစ်သည်။ သူသည် နော်မန် စတင်းရော့ဒ် (Norman Steenrod) နှင့်အတူ [[ဟိုမိုလော်ဂျီ သီအိုရီ]] (homology theory) အား နဂိုမှန်အဆိုများဖြင့် တည်ဆောက်ခြင်းကို လည်းကောင်း ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို လည်းကောင်း ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။]] ကတ်တဂိုရီများ၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]]နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] ဟူသော သုံးခုတွဲကို ၁၉၄၂ ခုနှစ်တွင် ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ကြပြီး၊ ၁၉၄၅ ခုနှစ် စာတမ်းတွင် သီးခြားလွတ်လပ်သော [[အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ|အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ]] (Algebraic structures) အဖြစ် ပုံစံတကျ ထပ်မံဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> ၎င်းတို့၏ ကနဦး အဓိက ရည်ရွယ်ချက်မှာ အက္ခရာသင်္ချာအသစ်တစ်ခု တီထွင်ရန်မဟုတ်ဘဲ၊ ထိုခေတ်အခါက [[ချက် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Čech cohomology) ရှိ [[စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်|စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်များ]] (Universal coefficient theorems) လိုအပ်သော စုဆုံမှတ်များကို လေ့လာရန်နှင့်၊ အထူးသဖြင့် [[အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Algebraic topology) ရှိ စာတမ်းများစွာတွင် အလွတ်သဘော အသုံးပြုနေကြသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟူသည့် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ပေးရန်ဖြစ်သည်။ ဤအခြေခံကျသော စာတမ်းများတွင် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် ပုံနှိပ်ဖော်ပြခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။ မက်လိန်း၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သော <math>Ext(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}_{p}</math> သည် တိကျသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ကိုက်ညီနေကြောင်းကို အိုင်လန်ဘာ့ဂ်က သတိပြုမိရာမှ ဤသီအိုရီ စတင်မွေးဖွားလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး၊ [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (derived functor) <math>\text{Ext}</math> သည် ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခံရသော အစောဆုံး ဖန်တာများထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ရပ်ဝန်းမှာ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဆော်လီနွိုက်၏ 3-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြည့်စွက်စု ဖြစ်သည်။ ဤဆက်စပ်မှုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာခြင်းသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ အုပ်စုများကို ဆက်စပ်ပေးသော စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိစေခဲ့သည်။ တိုက်ရိုက် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသော ရပ်ဝန်းများဆီသို့ ဤသီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် နှင့် မက်လိန်း တို့သည် စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်၏ တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းရှိ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များမှာ သဘာဝကျကြောင်း သက်သေပြရန် လိုအပ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က သဘာဝကျခြင်း ဆိုသည်မှာ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်မှုများ မပါဝင်ဘဲ သတ်မှတ်ထားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခေါ်ဆိုသည့် အရပ်သုံးစကားတစ်ရပ်မျှသာ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] နှင့် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် တို့ကြားရှိ ပုံမှန်[[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]သည် မည်သည့် အခြေအစုကိုမျှ ရွေးချယ်ရန် မလိုအပ်ခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ရလဒ်များကို ခိုင်လုံစွာ သက်သေပြနိုင်ရန်အတွက် ဤပင်ကိုသိစိတ်ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ကိုဩဒိနိတ် ကင်းစင်သော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများကို ဦးစွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့ကို သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်ရန် ဖန်တာများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဖန်တာများ အလုပ်လုပ်ဆောင်မည့် ပတ်ဝန်းကျင်ကို သတ်မှတ်ပေးနိုင်ရန် ကတ်တဂိုရီများကို နောက်ဆုံးတွင် တီထွင်ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဤသီအိုရီသည် သူ့သဘောသူဆောင်၍ တစတစ ကျယ်ပြန့်လာရာ ယခုအခါတွင် မျက်မှောက်ခေတ် သင်္ချာနှင့် [[သဘောတရားရေးရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]]တို့တွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အဓိကကျသည့် အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လာပြီး၊ ၎င်းကို သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒတွင်လည်း အသုံးပြုလာကြသည်။ သိပ္ပံဘာသာရပ် အသီးသီးရှိ တည်ဆောက်ပုံအမျိုးမျိုး၏ ဘုံတူညီမှုများကို ဖော်ပြသည့် ဘာသာစကားအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ၎င်း ဘုံတည်ဆောက်မှုများကို ပုံစံတကျ (formal) ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း အသုံးပြုလာကြသည်။{{sfn|Spivak|2013}} '''ပိုမိုမြင့်မားသော ကတ်တဂိုရီများ (Higher categories)''' ၏ ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည့် '''2-ကတ်တဂိုရီ (2-category)''' အကြောင်းကို [[2-ကတ်တဂိုရီ]] တွင် ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဒဿနဆိုင်ရာ မှတ်စုများ (Historical and Philosophical Notes) <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> == ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်း မဟုတ်ပေ။ ယင်းသည် ၂၀ ရာစုအလယ်ပိုင်းရှိ အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ တိကျသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းနှင့် သဘောတရားရေးရာ လိုအပ်ချက်များကြောင့် တွန်းအားပေး ပေါ်ထွက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ === မြားသင်္ကေတ၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာမှု (The Evolution of the Arrow) === ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တိကျသော မြားသင်္ကေတ <math>f: X \rightarrow Y</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် အခြေခံအယူအဆသည် ၁၉၄၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဤတီထွင်မှုသည် နှိုင်းရ ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ (relative homotopy groups) နှင့် ပတ်သက်သော ဟူးရီဗစ်ဇ် (Hurewicz) ၏ ဟောပြောပို့ချချက်များနှင့် စာတမ်းများမှ အဓိက ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤပြေပြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် ဖောက်စ် (Fox) နှင့် စတင်းရော့ဒ် (Steenrod) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ၏ အာရုံစိုက်မှုကို လျင်မြန်စွာ ရရှိခဲ့သည်။ မြားသင်္ကေတသည် ရှေးကျ၍ အဓိပ္ပာယ်မကွဲပြားသော <math>f(X) \subset Y</math> သင်္ကေတနေရာတွင် အလျင်အမြန် အစားထိုးဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ထိုရှေးကျသော သင်္ကေတသည် ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ <math>X</math> ၏ ပုံရိပ်သည် <math>Y</math> ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်းကိုသာ ရိုးရှင်းစွာ ညွှန်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ မြားသင်္ကေတသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ ဗဟိုအချက်အချာဖြစ်သော သတ်မှတ်ထားသည့် အရင်းအမြစ်မှ သတ်မှတ်ထားသည့် ပစ်မှတ်ဆီသို့သွားသော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုကို တိကျစွာ ဖမ်းဆုပ်နိုင်ခဲ့သောကြောင့် ထူးခြားစွာ အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ယင်းသည် ရိုးရှင်းသော သင်္ကေတပြောင်းလဲမှုတစ်ခုက နက်နဲသော သင်္ချာသဘောတရားသစ် (ကတ်တဂိုရီ) တစ်ခုကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် မည်သို့ တိုက်ရိုက် လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ကြောင်း ပြသသည့် အဓိက သမိုင်းဝင် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဟူးရီဗစ်ဇ်သည် ဤမြားပုံဖော်မှုများကို အမြင်အာရုံဖြင့် ခြေရာခံနိုင်ရန်အတွက် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို စတင်အသုံးပြုခဲ့သူအဖြစ်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ === ဒဿနဆိုင်ရာ ဝေါဟာရများ (Philosophical Terminology)=== ဤနယ်ပယ်၏ ဝေါဟာရများသည် ယုတ္တိဗေဒ ဒဿနိကဗေဒမှ အများအပြား ရယူထားပြီး ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားခြင်းကို ထင်ဟပ်နေသည်။ ကတ်တဂိုရီ (Category) ဟူသော ဝေါဟာရကို အရစ္စတိုတယ် (Aristotle) နှင့် ကန့်တ် (Kant) တို့၏ ဒဿနဆိုင်ရာ ခွဲခြားသတ်မှတ်မှုများမှ ရယူသုံးစွဲခဲ့သည်။ ဖန်တာ (Functor) ဟူသော ဝေါဟာရကို ရူးဒေါ့ဖ် ကာနပ် (Rudolf Carnap) ၏ Logische Syntax der Sprache စာအုပ်မှ ယူငင်သုံးစွဲခဲ့သည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း ဟူသော ဝေါဟာရကို ထိုခေတ်အခါက အလွတ်သဘော သုံးနှုန်းနေကြသော သင်္ချာဝေါဟာရမှနေ၍ တိကျခိုင်မာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုအဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်ခဲ့သည်။ === အမ်မီ နိုသာ၏ အမွေအနှစ် (The Legacy of Emmy Noether) === ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များသည်ဘာလဲ ဟူသော မေးခွန်းကို မဖြစ်မနေ မေးမြန်းရန် တောင်းဆိုထားသည်။ ၎င်းသီအိုရီက သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း သတ်မှတ်၍ လေ့လာရန် အခိုင်အမာ တိုက်တွန်းထားသည်။ အစုဝင်များထက် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များအပေါ် ဤသို့ နက်နက်နဲနဲ အလေးပေးမှုသည် အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) ၏ အမွေအနှစ် တစ်စိတ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သူမသည် အုပ်စုများနှင့် ကွင်းများကို လေ့လာရာတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ဖွဲ့စည်းပုံအရ အသုံးပြုခြင်းအား ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ ပညာရှင်အများစုသည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ အရာဝတ္ထုများကို အစွဲပြု၍ အမည်ပေးလေ့ရှိကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbf{Set}</math> နှင့် <math>\mathbf{Cat}</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် မြားများအပေါ် အလေးပေးမှုသည် အလွန်အရေးပါလှသောကြောင့် အချို့သော ပညာရှင်အုပ်စုများသည် ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ မြားများဖြင့်သာ အမည်ပေးကြသည်။ အထူးသဖြင့် ချားလ်စ် အဲရက်စမန်း (Charles Ehresmann) ၏ ကျောင်းသည် ထင်ရှားပြီး ၎င်းတို့က <math>\mathbf{Cat}</math> ကို ဖန်တာများ၏ ကတ်တဂိုရီအဖြစ် တင်းကျပ်စွာ ရည်ညွှန်းကြသည်။ [[File:Emmy Noether.jpg|right|thumb|250px| အာမာလီယာ အမ်မီ နိုသာ (Amalie Emmy Noether) သည် ဘာဗေးရီးယန်း လူမျိုး ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမကို ဘာဗေးရီးယား ဘုရင်နိုင်ငံ၊ အာလန်ဂန် (Erlangen) မြို့တွင် ၁၈၈၂ ခုနှစ် မတ်လ ၂၃ ရက်နေ့၌ မွေးဖွားခဲ့ပြီး ပင်ဆယ်ဗေးနီးယားပြည်နယ်၊ ဘရင်မော (Bryn Mawr) မြို့တွင် ၁၉၃၅ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၄ ရက်နေ့၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမသည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) နှင့် သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒ (theoretical physics) တို့အတွက် အခြေခံကျသော ပံ့ပိုးကူညီမှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် သူမသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)| ကွင်း]]များ (rings)၊[[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ (algebras) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တော်လှန်ပြောင်းလဲနိုင်ခဲ့သည်။ သူမ ဖော်ထုတ်ခဲ့သော နိုသာ သီအိုရမ် (Noether's theorem) သည် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ သဘာဝနိယာမများ၏ အချိုးညီမှုများ (symmetries) ကို ၎င်းတို့နှင့် ဆက်စပ်နေသော တည်မြဲပမာဏများ (conservation quantities) တည်ရှိမှုနှင့် ပေါင်းစပ်ဖော်ပြထားသည်။]] ==အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်== '''ကတ်တဂိုရီ (category)''' တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>X, Y, Z, \dots</math> စသည့် အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုတစ်ခု။ * '''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>f, g, h, \dots</math> စသည့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုတစ်ခု။ မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''အရင်းအမြစ် (domain)''' နှင့် '''ပစ်မှတ် (codomain)''' အရာဝတ္ထုများ သတ်သတ်မှတ်မှတ်ပါရှိသည်။ သင်္ကေတအရ <math>f:X\rightarrow Y</math> တွင် <math>f</math> သည် အရင်းအမြစ် <math>X</math> နှင့် ပစ်မှတ် <math>Y</math> တို့၏ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုသည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) '''<math>1_{X}:X\rightarrow X</math> တစ်ခုစီ အသီးသီး သတ်သတ်မှတ်မှတ်ရှိသည်။ <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်တို့ ထပ်တူညီပြီး ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>gf</math> ဟုခေါ်သော '''ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (composite morphism)''' တစ်ခု ရှိသည်။ ထို <math>gf</math> ၏ အရင်းအမြစ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီပြီး ၎င်း၏ ပစ်မှတ်သည် <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် တူညီသည်။ (မှတ်ချက်။ ဤတွင် "domain" နှင့် "codomain" တို့ကို ဘာသာပြန်ဆိုရာ၌ "အရင်းအမြစ်စု" နှင့် "ပစ်မှတ်စု" အစား "စု" (set) နောက်ဆက်တွဲကို ချန်၍ "အရင်းအမြစ်" နှင့် "ပစ်မှတ်" ဟုသာ အသုံးပြုထားသည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီရှိ အရာဝတ္ထု (object) များသည် အစုများသာ ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ဘဲ အခြားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ "စု" ဟု ထည့်သွင်းခေါ်ဆိုခြင်းသည် အစုသီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို သွယ်ဝိုက်သက်ရောက်စေနိုင်သောကြောင့် ဤသို့ ချန်လှပ်အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။) === နဂိုမှန်အဆိုများ (Axioms) === အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * မည်သည့် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက်မဆို ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>1_{Y}f</math> နှင့် <math>f1_{X}</math> တို့ နှစ်ခုလုံးသည် <math>f</math> နှင့် ညီမျှသည်။ * ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်သုံးခု <math>f, g, h</math> တိုင်းအတွက် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သည့် <math>h(gf)</math> နှင့် <math>(hg)f</math> တို့သည် တူညီပြီး ၎င်းတို့ကို <math>hgf</math> ဟု တူတူသတ်မှတ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းနိယာမသည် '''ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity)''' နှင့် '''ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital)''' တို့နှင့် ပြည့်စုံသည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''ကွီဗာ''' (quiver) ခေါ် လားရာပြဂရပ် (directed graph) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည် ။ ၎င်းတွင် မျဉ်းပြိုင်မြားများ (parallel arrows) နှင့် ကွင်းပိတ်များ (loops) ပါဝင်နိုင်သည် ။ == ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ == *'''Quiver''': ကွီဗာများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော ကွီဗာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (quiver homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Set</math>) *[[တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Top</math>) *'''Man''': ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများကို (smooth manifolds) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Meas''': အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်းများကို (measurable spaces) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အတိုင်းအတာ ဖန်ရှင်များကို (measurable functions) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Poset''': တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများကို (partially-ordered sets) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်ရှင်များ (order-preserving functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>\textbf{hTop}</math>''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) သည် ဟွမ်း-အစုများ (Hom sets) အဖြစ် <math>\text{Hom}(X, Y) = [X, Y]</math> သတ်မှတ်သည်။ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစား (homotopy class) များအားလုံး ပါဝင်သည့် မိသားစုကို <math>[X, Y]</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ *'''<math>Set_{*}</math> နှင့် <math>Top_{*}</math>''': အခြေခံအမှတ် (basepoint) သတ်မှတ်ထားသော အစုများ သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ကို မပြောင်းလဲစေသော (အဆက်မပြတ်) ဖန်ရှင်များ (basepoint-preserving (continuous) functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ * [[အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Grp</math>) * [[အဘီလီယန်အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Ab</math>) * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Ring</math>) *'''Field''': [[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို (field homomorphisms) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mod_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် ဘယ် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]]များကို (left R-modules) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Ch_{R}</math>''': <math>R</math>-မော်ဂျူးများ၏ ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (chain complexes) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချိတ်တန်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mat_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် <math>Mat_{R}</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်။ <math>n</math> မှ <math>m</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>R</math> မှ တန်ဖိုးများပါရှိသော <math>m \times n</math> ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်ပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံများသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ *'''BG''' (ကတ်တဂိုရီဖြစ် အုပ်စု): အုပ်စု <math>G</math> သို့မဟုတ် ယေဘုယျအားဖြင့် [[မိုနွိုက်]] (monoid) တစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ '''BG''' အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်းကို အစုဝင်များ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်သည်။ *'''Graph''': ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များကို (simple graphs) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဂရပ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီ''' (Discrete category): အစုတစ်ခုကို ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည် ။ ၎င်းတွင် အစုဝင်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သည် ။ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်နေသော ကတ်တဂိုရီကို တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီဟု ခေါ်သည် ။ === ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ နှင့် သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (Concrete and Abstract Categories) === အထက်ပါ ဥပမာအများစုသည်''' ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories)''' ဖြစ်ကြသည် ။ ၎င်းကတ်တဂိုရီများရှိ အရာဝတ္ထုများတွင် အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိကြသည် ။ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် အဆိုပါ အခြေခံအစုများကြားရှိ ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည် ။ သို့သော် ကတ်တဂိုရီတိုင်းသည် ဤကဲ့သို့ ဖန်ရှင်များကိုသာ အခြေခံထားခြင်း မဟုတ်ပေ ။ မော်ဖစ်ဇင်များသည် ဖန်ရှင်များ မဟုတ်သော '''သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (abstract categories)''' လည်း များစွာတည်ရှိသည် ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>Mat_{R}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကိန်းအုံများကို (matrices) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ထို့အတူ အုပ်စုတစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအဖြစ် သတ်မှတ်ပါက ထိုအုပ်စု၏ အစုဝင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်လာကြသည် ။ ဤသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင်များသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်မရှိကြောင်း ပြသနေသည် ။ == မော်ဖစ်ဇင် အမျိုးအစားများ (Types of Morphisms) == *'''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) <math>h,k: w\rightrightarrows x</math> အတွက်မဆို <math>fh=fk</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ <math>h,k: y\rightrightarrows z</math> အတွက်မဆို <math>hf=kf</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက် <math>gf=1_X</math> နှင့် <math>fg=1_Y</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>g: Y\rightarrow X</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို <math>f</math> ကို [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]ဟု ခေါ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကြားတွင် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]တစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို '''အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထုများ (isomorphic objects)''' ဟု သတ်မှတ်ပြီး သင်္ကေတအားဖြင့် <math>X \cong Y</math> ဟု ရေးသားသည်။ *'''အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (Endomorphism):''' အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တူညီသော မော်ဖစ်ဇင်ကို [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]]ဟု ခေါ်သည်။ *'''အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (Automorphism):''' [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]လည်းဖြစ်သော [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]]ကို [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]]ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပိုင်း နှင့် ရုပ်သိမ်းခြင်း (Section and Retraction):''' <math> x\overset{s}{\longrightarrow} y \overset{r}{\longrightarrow} x</math> တို့သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပြီး <math>rs=1_{x}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>s</math> ကို '''အပိုင်း (section)''' သို့မဟုတ် <math>r</math> ၏ ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဟုခေါ်ပြီး <math>r</math> ကို '''ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction)''' သို့မဟုတ် <math>s</math> ၏ ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>s</math> သည် အမြဲတမ်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>r</math> သည် အမြဲတမ်း အပီမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤ တစ်ဖက်သတ် ပြောင်းပြန်များ (one-sided inverses) ရှိနေခြင်းကို အသိအမှတ်ပြုသောအားဖြင့် <math>s</math> ကို ခွဲထွက် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (split monomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>r</math> ကို ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်း၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များ]]''' (injective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့အတူပင် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များ]]''' (surjective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့ကြောင့် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]]နှင့် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်]] [[ဖန်ရှင်]] သဘောတရားများ၏ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ နှိုင်းယှဉ်ချက်များအဖြစ် ရှုမြင်သင့်သည်။ လက်တွေ့တွင် <math>C</math> သည် အရာဝတ္ထုများ၌ အခြေခံ[[အစု|အစုများ]] (underlying sets) ပါရှိသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကြားရှိ အင်ဂျက်တစ် သို့မဟုတ် ဆာဂျက်တစ် [[ဖန်ရှင်]]ကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည့် မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ထိုသို့သော ကတ်တဂိုရီများ၌ပင်လျှင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင် သဘောတရားများသည် ပိုမို၍ ယေဘုယျကျနိုင်သည်။ အခြေခံ[[ဖန်ရှင်]]သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories) ရှိသည်။ ထို့အတူ ၎င်း၏ အခြေခံ[[ဖန်ရှင်]]သည် ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ လည်း ရှိသည်။ '''ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို''' (axiom of choice) ကို ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ''[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ မည်သည့် အပီမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဖြစ်သည်'' ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ === မော်ဖစ်ဇင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် ဒွန်တွဲမှု (Properties and Duality) === *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင်(if and only if) ၎င်းသည် ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ <math>C^{op}</math> တွင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (by duality) <math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf</math> အား မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်စေသော မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် monic) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>gf</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ပါက <math>g</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် epic) ဖြစ်သည်။ *မည်သည့်ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>C</math> အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် <math>C^{op}</math> အတွင်းရှိ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိုက်ရိုက် သက်ဆိုင်သောကြောင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း ကတ်တဂိုရီပိုင်း တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ *[[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ *ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (unital rings) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ|Ring]] တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) <math>i: \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ရော အပီမော်ဖစ်ဇင်ပါ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) မဟုတ်ပေ။ === အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ထပ်တူညီမှုများ (Isomorphism Equivalences) === အောက်ဖော်ပြပါ အဆိုများသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) *(i) <math>f:x\rightarrow y</math> သည် <math>C</math> အတွင်းရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ *(ii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (postcomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (bijection) <math>f_{*}:C(c,x)\rightarrow C(c,y)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ *(iii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (precomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] <math>f^{*}:C(y,c)\rightarrow C(x,c)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ ဤအခြေအနေတွင် "ဘိုင်ဂျက်ရှင်း" နှင့် "အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်" ဟူသော ဝေါဟာရများသည် သင်္ချာသဘောတရားအရ အဓိပ္ပာယ်တူညီကြသည်။ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]]သည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ]]ပင် ဖြစ်သည်။ <math>C(c,x)</math> နှင့် <math>C(c,y)</math> တို့သည် ဟွမ်း-အစုများ (hom-sets) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သည့် [[အစု|အစုများ]]ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် ပုံဖော်မှု <math>f_{*}</math> သည် [[အစု]]တစ်ခုမှ အခြား[[အစု]]တစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ကတ်တဂိုရီ တည်ဆောက်ပုံများ (Basic Category Constructions) == === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Small Category) နှင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Locally Small Category) === ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ မော်ဖစ်ဇင်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစု (set) တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>x, y</math> တိုင်းအတွက်မဆို ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>C(X, Y)</math> သို့မဟုတ် <math>\text{Hom}(X, Y)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည် ။ ဤစုစည်းမှုကို '''ဟွမ်း-အစု''' (hom-set) ဟု ခေါ်ဆိုသည် ။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အလွန်အသုံးဝင်သောကြောင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မသေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည် ။ ကတ်တဂိုရီများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အစု (set) ဟူသော စကားလုံးအစား စုစည်းမှု (collection) ဟူသော စကားလုံးကို သတိပြု၍ အသုံးပြုထားသည် ။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ အစုများအားလုံး ပါဝင်သော အစုဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ ။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် အစုများအားလုံးပါဝင်သော Set ကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပေ ။ ဤကဲ့သို့ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ရှုပ်ထွေးမှုများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကတ်တဂိုရီများ၏ အရွယ်အစားကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်လာသည် ။ === ဂရုပွိုက် (Groupoid) === '''ဂရုပွိုက် (groupoid)''' ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ဖြစ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု (group) သည် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ဂရုပွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''အခြေခံ ဂရုပွိုက် (fundamental groupoid)''' <math> \Pi_{1}X</math> သည် <math>X</math> ၏ အမှတ်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''အစွန်းမှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော လမ်းကြောင်းများ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစားများ (endpoint-preserving homotopy classes of paths)''' ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တွင်မဆို '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက် (maximal groupoid)''' တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများအားလုံး ပါဝင်ပြီး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည့် မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) နှင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin_{iso}</math> သည် အဆုံးရှိအစုများနှင့် ဖန်ရှင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin</math> ၏ '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက်ပိုင်း (maximal subgroupoid)''' ဖြစ်သည်။ ဤဂရုပွိုက်ကို သဘာဝကိန်းများ၏ '''ကတ်တဂိုရီအသွင်ပြောင်းခြင်း (categorification)''' တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကတ်တဂိုရီပိုင်း (Subcategory) === ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' <math>D</math> တစ်ခုကို <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of objects) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of morphisms) တို့ကို ကန့်သတ်ယူဆောင်၍ သတ်မှတ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချက်အလက်များကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု၏ ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ === ကတ်တဂိုရီ မြှောက်လဒ် (Product Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ '''မြှောက်လဒ် ကတ်တဂိုရီ (product category)''' <math>C \times D</math> တစ်ခု ရှိသည်။ *၎င်း၏ အရာဝတ္ထုများသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(c, d)</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>c</math> သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်ကာ <math>d</math> သည် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ *မော်ဖစ်ဇင်များသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(f, g): (c, d) \rightarrow (c^{\prime}, d^{\prime})</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>f: c \rightarrow c^{\prime} \in C</math> နှင့် <math>g: d \rightarrow d^{\prime} \in D</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) အသီးသီး သတ်မှတ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (Opposite Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\text{C}</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (opposite category)''' <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *'''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>\text{C}</math> တွင်ရှိသော အရာဝတ္ထုများအတိုင်း တူညီစွာ ပါဝင်သည်။ *'''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် မော်ဖစ်ဇင် <math>f^{\text{op}}</math> တစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>f^{\text{op}}</math> ၏ အရင်းအမြစ် သည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ် အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>f^{\text{op}}</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y \in \text{C}^{\text{op}} \Leftrightarrow f: Y \rightarrow X \in \text{C}</math> <math>\text{C}^{\text{op}}</math> ၏ ကျန်ရှိသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>1_{X}^{\text{op}}</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>1_{X}^{\text{op}}:X\rightarrow X</math> ဖြစ်သည်။ *'''ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition)''' ကို သတ်မှတ်ရာတွင် <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ <math>g, f</math> တွဲ ပေါင်းစပ်နိုင်မှသာ <math>\text{C}^{\text{op}}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f^{\text{op}}, g^{\text{op}}</math> ကို ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီမှသာ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို <math>g^{\text{op}} f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}</math> အဖြစ် ရေးသည်။ <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y, g^{\text{op}}: Y \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}} \quad \rightsquigarrow \quad g^{\text{op}}f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}: X \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}}</math> <math>\qquad \qquad \qquad \Updownarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Updownarrow</math> <math>g: Z \rightarrow Y, f: Y \rightarrow X \in \text{C} \qquad \quad \rightsquigarrow \qquad \quad fg: Z \rightarrow X \in \text{C}</math> ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း ရေးသားခဲ့ဖူးသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွက် မည်သည့် နဂိုမှန်အဆို၏ ဒွန်တွဲမှု (duality) မဆိုသည်လည်း နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခု ဖြစ်သည် ဟူ၍ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုနှင့်ပတ်သက်သော မည်သည့်အဆိုကိုမဆို ၎င်းကတ်တဂိုရီ၏ နဂိုမှန်အဆိုများမှ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါက ၎င်း၏ ဒွန်တွဲအဆိုကိုလည်း ကောက်ချက်ချနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (Slice Categories) === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (slice categories) ကို <math>c/C</math> နှင့် <math>C/c</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>c/C</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow x</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: c \rightarrow x</math> မှ <math>g: c \rightarrow y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>g = hf</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C/c</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x \rightarrow c</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: x \rightarrow c</math> မှ <math>g: y \rightarrow c</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>f = gh</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>c/C</math> သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်ဟူသော အချက်မှနေ၍ <math>C/c := (c/(C^{op}))^{op}</math> ဟူသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>C/c</math> သည်လည်း ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ == ဖန်တာ (Functor) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[ဖန်တာ]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီသီအိုရီတွင် '''ဖန်တာ''' (functor) ဆိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုမှ အခြားကတ်တဂိုရီတစ်ခုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ကြားရှိ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် <math>C</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများကို <math>D</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများဆီသို့ လည်းကောင်း၊ <math>C</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များကို <math>D</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များဆီသို့ လည်းကောင်း အသီးသီး ချိတ်ဆက်ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ထိုသို့ ပုံဖော်ရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ၏ လားရာကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)|လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)]] ဟုခေါ်ဆိုပြီး လားရာကို ပြောင်းပြန်လှန်ပစ်သော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)|ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)]] ဟု ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ === ဖန်တာကို အသုံးပြုသော တည်ဆောက်ပုံများ (Functor-based Constructions) === ==== ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ (Comma category) ==== ဖန်တာ <math>F \colon \mathsf{D} \to \mathsf{C}</math> နှင့် <math>G \colon \mathsf{E} \to \mathsf{C}</math> တို့ ပေးထားသော '''ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ''' <math>F \downarrow G</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>(d \in \mathsf{D}, e \in \mathsf{E}, f \colon Fd \to Ge \in \mathsf{C})</math> ဟူသော သုံးခုတွဲ (triples) များ။ *<math>(d, e, f)</math> မှ <math>(d', e', f')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် <math>f' \cdot Fh = Gk \cdot f</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲများ <math>(h \colon d \to d', k \colon e \to e')</math> ==== အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements) ==== လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) <math>F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x) = x'</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ (forgetful functor) <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ဤမေ့လျော့ဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\int F</math> မှ အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> ကို ကတ်တဂိုရီ <math>\mathsf{C}</math> ရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> ကို မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း တိုက်ရိုက် ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ဆန့်ကျင်ဘက်ဖန်တာ၏ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements of a contravariant functor) ==== ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) <math>F \colon \mathsf{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x') = x</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင်လည်း ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိပြီး ၎င်းသည် အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> အား <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အား <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ပုံကြမ်း (Diagram) ==== ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တစ်ခုရှိ ပုံကြမ်း (diagram) ဆိုသည်မှာ ဖန်တာ <math>F:J\rightarrow C</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အရင်းအမြစ် (domain) ကို ပုံကြမ်း၏ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (indexing category of the diagram) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ပုံကြမ်းတစ်ခုသည် ဖန်တာတစ်ခုသာ ဖြစ်သော်လည်း လက်တွေ့တွင်မူ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီထက် ပိုမိုသေးငယ်သောအခါ ထိုဖန်တာကို ပုံကြမ်းအဖြစ် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) ဖြစ်ပါက ထိုပုံကြမ်းကို သေးငယ်သော ပုံကြမ်းဟု သတ်မှတ်သည်။ ==== ကိန်းသေ ဖန်တာ (Constant Functor) ==== <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) <math>\mathcal{J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor)''' <math>\Delta_c: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(i) = c</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(f) = \operatorname{id}_c</math> ဖြစ်သည်။ === ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (Cone Over a Diagram) === ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (cone over a diagram)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''ထိပ်ဖျား (summit or apex)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဤသဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတွင် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစုဖြစ်သော <math>\lambda_i: c \to F(i)</math> များ ပါဝင်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်များကို '''ခြေတံများ (legs)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>F(f) \circ \lambda_i = \lambda_j</math> ==== ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ သို့မဟုတ် ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (Cone Under a Diagram / Cocone) ==== ဒွန်တွဲစွာဖြင့် ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ''' သို့မဟုတ် '''ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (cone under a diagram / cocone)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_c</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''အောက်ခြေ (nadir)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ၎င်းတွင် ခြေတံများဖြစ်သည့် <math>\mu_i: F(i) \to c</math> များ ပါဝင်သည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>\mu_j \circ F(f) = \mu_i</math> ==== <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ (The Category of Cones Over <math>F</math>) ==== <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ အရာဝတ္ထုများ (Objects): အရာဝတ္ထုများမှာ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တို့ပါဝင်သော အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(c, \lambda)</math> များ ဖြစ်ကြသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms): ကတော့ပုံ <math>(c, \lambda)</math> မှ ကတော့ပုံ <math>(d, \eta)</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: c \to d</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>i \in \mathcal{J}</math> တိုင်းအတွက်မဆို ခြေတံ <math>\lambda_i</math> ကို <math>h</math> မှတစ်ဆင့် ခြေတံ <math>\eta_i</math> သို့ ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားစေရမည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်၊ *<math>\eta_i \circ h = \lambda_i</math> ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition): ကတော့ပုံများအကြား မော်ဖစ်ဇင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ သက်ဆိုင်ရာ မော်ဖစ်ဇင်များကို ပုံမှန်ပေါင်းစပ်ခြင်းမျှသာ ဖြစ်သည်။ ဤသို့ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားသော ဂုဏ်သတ္တိကို သဘာဝအလျောက် ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းထားသည်။ == သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (Natural Transformation) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် ဖန်တာ (functor) များကို လေ့လာပြီးနောက် ထိုဖန်တာများအချင်းချင်းကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ဆက်လက်လေ့လာရန် လိုအပ်လာသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာများ (parallel functors) ဖြစ်သော <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့ကြားတွင် တည်ရှိသော ဆက်သွယ်မှု ပုံဖော်ခြင်းကို '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဖန်တာတစ်ခုမှ အခြားဖန်တာတစ်ခုသို့ ကူးပြောင်းရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီများ၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံများကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ အစိတ်အပိုင်းတိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်နေသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းကို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism of Categories) === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ်နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{Cat}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ဤကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော်လည်း သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ မဟုတ်ပေ။ ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများ (large categories) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{CAT}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ <math>\text{CAT}</math> သည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်နေလောက်အောင် ကြီးမားနေခြင်းမျိုး မဖြစ်သင့်သဖြင့် <math>\text{CAT}</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>\text{CAT}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်ခြင်းမရှိသောကြောင့် ဤနည်းအားဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်မှုမှ ချန်လှပ်ထားခံရသည်။ ပါဝင်မှု ဖန်တာ <math>\text{Cat} \hookrightarrow \text{CAT}</math> တစ်ခု တစ်ဖက်တွင် ရှိသော်လည်း အခြားတစ်ဖက်သို့ ပြန်သွားသည့် ဖန်တာ မရှိပါ။ <math>\text{Cat}</math> သို့မဟုတ် <math>\text{CAT}</math> တွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism of categories)''' သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို ပြောင်းပြန် ဖန်တာ (inverse functors) အတွဲ <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းများဖြစ်သော <math>GF</math> နှင့် <math>FG</math> တို့သည် <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူရဖန်တာများ နှင့် အသီးသီး ညီမျှရမည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများနှင့် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုများကြား ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုနည်းတူစွာ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များကြားတွင် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု (Equivalence of Categories) === လက်တွေ့တွင် ကတ်တဂိုရီနှစ်ခု အတိအကျ တူညီသည် (အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်သည်) ဟု ဆိုရန်မှာ အလွန်ခက်ခဲတင်းကျပ်လွန်းသော သတ်မှတ်ချက်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု''' (equivalence of categories) ဟူသော သဘောတရားကို ပိုမိုအသုံးပြုကြသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားတွင် ထပ်တူညီမှု ရှိသည်ဆိုသည်မှာ ဖန်တာများဖြစ်သော <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့အပြင် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\eta: 1_C \cong GF</math> နှင့် <math>\epsilon: FG \cong 1_D</math> တို့ တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ကဲ့သို့ <math>GF = 1_C</math> ဟု တိကျစွာ ညီမျှရန် မလိုအပ်ဘဲ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ညီမျှနေခြင်းက လုံလောက်ပါသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ထပ်တူညီမှု (equivalence) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုပြီး ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကို ထပ်တူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (equivalent categories) ဟု သတ်မှတ်ကာ <math>C \simeq D</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဖန်တာတစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီများကို ထပ်တူညီစေခြင်း ရှိ မရှိကို အောက်ပါ သီအိုရမ်ဖြင့် အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) လည်းဖြစ်၍ အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (essentially surjective functor on objects) လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အလားတူပင် ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော မည်သည့် ဖန်တာမဆိုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိပြီး အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ရမည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုအရ ဤအချက်နှစ်ခုသည် အပြန်အလှန် မှန်ကန်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများသည် အချင်းချင်း အိုင်ဆိုမောဖစ် မဖြစ်ပါက ထိုအရာဝတ္ထုများသာ ပါဝင်သော ပြည့်ဝသည့် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ကို မူလကတ်တဂိုရီ၏ '''အရိုးစု''' (skeleton) ဟု ခေါ်သည်။ အရိုးစု ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုနှစ်ခု အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့သည် အတိအကျ တူညီသော အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ရမည်။ အရေးပါသော သီအိုရမ်တစ်ခုမှာ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီမဆိုသည် ၎င်း၏ အရိုးစုနှင့် အမြဲတမ်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟူသောအချက် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများအားလုံး ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>FinSet</math> သည် ၎င်း၏ အရိုးစုဖြစ်သော <math>\{1, 2, \dots, n\}</math> ပုံစံရှိ အစုများသာ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီနှင့် ထပ်တူညီသည်။ == ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (Categorical Product) == <math>J</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''တစ်ပိုင်းတစ်စ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (discrete indexing category)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (categorical product)''' ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအရာဝတ္ထုတွင် <math>k \in J</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ပရိုဂျက်ရှင်း (projection) ဟုခေါ်သော မော်ဖစ်ဇင်များ <math>\pi_k: P \to X_k</math> အသီးသီး ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းမြှောက်လဒ်သည် အောက်ပါ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ *မည်သည့် <math>j \in J</math> အားလုံးအတွက်မဆို မော်ဖစ်ဇင် <math>f_j: A \to X_j</math> များ ပါရှိသော အရာဝတ္ထု <math>A \in C</math> တိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင် <math>h: A \to P</math> သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေရမည်။ === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Product Topology) === အလိုရှိသလောက် များပြားနိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုမြှောက်လဒ်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> ပင်ဖြစ်သည်။ <math>P</math> အပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (product topology) ကို အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (coarsest topology) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် အဖွင့်စု အနည်းဆုံးသာ ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု <math>\pi_k: P \to X_k</math> တိုင်းသည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီအတွက် အခြေအစုပိုင်း (subbasis) တွင် <math>\pi_k^{-1}(U)</math> ပုံစံရှိသော အစုများ ပါဝင်သည်။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု (open set) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြေအစု (basis) တစ်ခုကိုမူ ဤအခြေအစုပိုင်းများ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစုများ (finite intersections) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အခြေခံ အဖွင့်စု (basic open set) တစ်ခုသည် အဆုံးရှိသော ကိုဩဒိနိတ်များကိုသာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ကျန်ရှိနေသော အနန္တဖြစ်နိုင်သည့် ကိုဩဒိနိတ်များကိုမူ မည်သည့် ကန့်သတ်ချက်မျှမထားဘဲ လွတ်လပ်စွာ ချန်လှပ်ထားသည်။ === Top ကတ်တဂိုရီရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် <math>\prod_{j \in J} X_j</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': <math>(X_j)_{j \in J}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တွင် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုများ <math>\pi_j: P \to X_j</math> တပ်ဆင်ထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>A</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>(f_j: A \to X_j)_{j \in J}</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>Set</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မြှောက်လဒ်၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>h(a) = (f_j(a))_{j \in J}</math> ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် အစုသီအိုရီအခြေခံ ဖန်ရှင် <math>h: A \to P</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤဖန်ရှင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>h</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ပြသရန်အတွက် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြရမည်။ ၎င်းအတွက် <math>P</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) မဆိုသည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စု ဖြစ်ကြောင်း ပြသနိုင်လျှင် လုံလောက်ပြီဖြစ်သည်။ <math>S = \pi_k^{-1}(U)</math> သည် <math>P</math> အတွင်းရှိ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>h</math> အောက်ရှိ <math>S</math> ၏ မူလပုံရိပ်ကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ <math>h^{-1}(S) = h^{-1}(\pi_k^{-1}(U)) = (\pi_k \circ h)^{-1}(U)</math> ကျွန်ုပ်တို့၏ တည်ဆောက်ပုံအရ <math>\pi_k \circ h = f_k</math> ဖြစ်သောကြောင့် ယင်းကို အစားထိုးလိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math>h^{-1}(S) = f_k^{-1}(U)</math> <math>f_k</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ပေးထားချက်အရ မူလပုံရိပ် <math>f_k^{-1}(U)</math> သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သည်။ <math>P</math> ၏ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တိုင်း၏ မူလပုံရိပ်သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သောကြောင့် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော <math>P</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) ၏ စုဆုံမှတ် (limit) အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာများ (Representable Functors) == သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ဤသို့သော ဆက်သွယ်မှုများကို ဖန်တာများ အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === <math>F</math> သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>Set</math> သို့သွားသော လားရာတူ သို့မဟုတ် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ဖန်တာ <math>F</math> အတွက် '''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်''' (representation) ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> နှင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ပါဝင်ခြင်းဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် လားရာတူ ဖန်တာဖြစ်ပါက ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်သည် <math>c \in C</math> နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(c,-) \cong F</math> ဖြစ်ပြီး <math>F</math> သည် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာဖြစ်ပါက သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(-,c) \cong F</math> ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပြီး ဖန်တာ <math>F</math> ကို '''ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ''' (representable functor) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ လားရာတူ ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် <math>c</math> မှနေ၍ အခြားအရာဝတ္ထုများဆီသို့ သွားသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အပြင်သို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping out universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် အခြားအရာဝတ္ထုများမှနေ၍ <math>c</math> ဆီသို့ လာသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အတွင်းသို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping in universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ ဥပမာများ (Examples of Representable Functors) === *'''သဘာဝကိန်းများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ''' (Universal property of the natural numbers) တွင်အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>f: X \rightarrow X</math> နှင့် ထူးခြားသော အစုဝင် <math>x_0</math> တစ်ခု ပါဝင်သည့် အစု <math>X</math> ကို '''တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ်''' (discrete dynamical system) ဟု ခေါ်သည်။ သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math>၊ နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (successor function) <math>s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> နှင့် အစုဝင် <math>0 \in \mathbb{N}</math> တို့သည် စကြဝဠာ တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ် အဖြစ် တည်ရှိကြသည်။ ၎င်းအချက်မှာ <math>r(0) = x_0</math> နှင့် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>r \circ s = f \circ r</math> ဟူသည့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>r: \mathbb{N} \rightarrow X</math> တစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *'''ထပ်တူရ ဖန်တာ''' (Identity functor) တွင် <math>I_{Set}: Set \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အစု <math>X</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\text{Set}(*, X) \cong X</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ယင်းက အစုဝင် <math>x \in X</math> များနှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုမှ အစုဝင်ကို <math>x</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>x: * \rightarrow X</math> များကြားရှိ ဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှု (bijective correspondence) ကို သတ်မှတ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' (Forgetful functor) တွင် <math>U: Group \rightarrow Set</math> ကို အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Group(\mathbb{Z},G) \cong UG</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အစုဝင် <math>g \in UG</math> တိုင်းအတွက် ကိန်းပြည့် <math>1</math> ကို <math>g</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) <math>g: \mathbb{Z} \rightarrow G</math> ကို ဆက်စပ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' <math>U: Ring \rightarrow Set</math> ကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ၎င်းကွင်းသည် ကိန်းရှင်တစ်ခုနှင့် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များ ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည် ။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (unital ring homomorphism) <math>\phi: \mathbb{Z}[x] \rightarrow R</math> တစ်ခုကို <math>x</math> ၏ ပုံရိပ်အားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်အောင် သတ်မှတ်နိုင်သည် ။ *'''ဆန့်ကျင်ဘက် ပါဝါအစု ဖန်တာ''' (Contravariant power set functor) တွင် <math>P: Set^{op} \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်သော အစု <math>\Omega = \{\top, \bot\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Set(A,\Omega) \cong PA</math> သည် အစုပိုင်း (subset) <math>A^{\prime} \subset A</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ခွဲခြားခြင်း ဖန်ရှင် (classifying function) <math>\chi_{A^{\prime}}: A \rightarrow \Omega</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးသည် ။ ဤဖန်ရှင်သည် <math>A^{\prime}</math> ၏ အစုဝင်များကိုသာ <math>\top</math> ဆီသို့ တိကျစွာ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ အဖွင့်စုများ (open subsets) ပါဝင်သော အစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် ဖန်တာ <math>O: Top^{op} \rightarrow Set</math> ကို ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း (Sierpinski space) <math>S</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း ဆိုသည်မှာ အပိတ်မှတ်တစ်ခုနှင့် အဖွင့်မှတ်တစ်ခု ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည် ။ သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (natural bijection) <math>Top(X,S) \cong O(X)</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) <math>f: X \rightarrow S</math> တစ်ခုကို အဖွင့်မှတ်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည် ။ == ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (The Yoneda Lemma) == ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (represented functor) <math>C(c,-)</math> မှနေ၍ အခြား ဖန်တာ <math>F</math> ဆီသို့ သွားသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ရန် မည်သည့် အချက်အလက်များ လိုအပ်မည်မေးခွန်းကို ဖြေဆိုရာတွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သီအိုရမ်တစ်ခုဖြစ်သည့် ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Yoneda lemma) သည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>\text{Set}</math> သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow \text{Set}</math> နှင့်မဆို <math>C</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>ev_{1_c}: \text{Hom}(C(c, -), F) \cong Fc</math> ဤဘိုင်ဂျက်ရှင်းသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\alpha</math> ကို အစုဝင် <math>\alpha_c(1_c)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤကိုက်ညီမှုသည် <math>c</math> နှင့် <math>F</math> နှစ်ခုလုံးအတွက် သဘာဝကျမှု (natural) ရှိသည်။ မှတ်ချက်။ <math>C</math> သည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်နေနိုင်သော်လည်း သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ စုစည်းမှုဖြစ်သော <math>\text{Hom}(C(c, -), F)</math> သည် အစု (set) တစ်ခုသာ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ '''ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြချက် (Proof of the Bijection)''': *အစုဝင် <math>x \in Fc</math> တစ်ခုမှနေ၍ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးမည့် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>\Psi: Fc \rightarrow \text{Hom}(C(c, -), F)</math> ကို ဦးစွာ သတ်မှတ်မည်။ *<math>1_c \in C(c,c)</math> မှ <math>Fd</math> သို့ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်လျှောက် ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျမှုဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေရန်အတွက် ၎င်း၏ အစိတ်အပိုင်းများကို <math>\Psi(x)_d(f) := Ff(x)</math> အဖြစ် မဖြစ်မနေ သတ်မှတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative square) ၏ လိုအပ်ချက်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ *ယေဘုယျ မော်ဖစ်ဇင် <math>g: d \rightarrow e</math> တစ်ခုအတွက် <math>\Psi(x)</math> သည် သဘာဝကျကြောင်းကို စစ်ဆေးနိုင်သည်။ <math>F</math> ၏ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (functoriality) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>F(gf)(x) = Fg(Ff(x))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *၎င်းကို တန်ဖိုးရှာ တွက်ချက်ကြည့်ပါက <math>ev_{1_c}(\Psi(x)) = \Psi(x)_c(1_c) = F(1_c)(x) = 1_{Fc}(x) = x</math> ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ *အခြားတစ်ဖက်တွင် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည့် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းတစ်ခု ရှိသည်။ ဤအချက်က <math>\Psi(ev_{1_c}(\alpha))_d = \alpha_d</math> ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးသဖြင့် <math>\Psi</math> သည် ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) လည်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ *ဘယ်နှင့် ညာ ပြောင်းပြန် နှစ်ခုလုံးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> '''သဘာဝကျမှု သက်သေပြချက် (Proof of Naturality)''': *'''ဖန်တာအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Functor):''' သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\beta: F \Rightarrow G</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_c</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>\beta</math> သက်ရောက်ခြင်းနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ <math>ev_{1_c}^G(\beta \cdot \alpha) = (\beta \cdot \alpha)_c(1_c) = \beta_c(\alpha_c(1_c)) = \beta_c(ev_{1_c}^F(\alpha))</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\text{Hom}(C(c,-), F)</math> မှ <math>Gc</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျကြောင်း ပြသခြင်းဖြစ်သည်။ *'''အရာဝတ္ထုအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Object):''' မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_d</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>f^{*}</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း (precomposition) အပြင် <math>Ff</math> မှတစ်ဆင့် ပုံဖော်ခြင်းတို့နှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ အထက်တွင် သက်သေပြခဲ့သည့် <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ကို အသုံးပြု၍ <math>(\alpha \cdot f^{*})_d(1_d) = \alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း ရရှိသည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (The Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်၏ အလွန်အရေးပါသော အကျိုးဆက်တစ်ခုမှာ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (Yoneda embedding) ပင်ဖြစ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို ၎င်း၏ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများဖြစ်သော <math>C(c,-)</math> သို့မဟုတ် <math>C(-,c)</math> ဆီသို့ အသီးသီး ပုံဖော်ပေးခြင်းသည် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> မှ ဖန်တာ ကတ်တဂိုရီများ (functor categories) ဖြစ်သော <math>Set^{C^{op}}</math> သို့မဟုတ် <math>Set^C</math> ဆီသို့ သွားသည့် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (full and faithful functor) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤအချက်၏ အလွန်စွမ်းအားကြီးမားသော သက်ရောက်မှုမှာ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများကြားရှိ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများသည် ၎င်းတို့ကို ကိုယ်စားပြုသော အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) များနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီနေခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို လေ့လာခြင်းဖြင့် မူလ အရာဝတ္ထုများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို အပြည့်အဝ နားလည်သဘောပေါက်နိုင်သည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုများ (Applications of the Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုတစ်ခုမှာ ကေးလီ၏ သီအိုရမ် (Cayley's theorem) ကို သက်သေပြခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်အရ မည်သည့် သရုပ်မဲ့ အုပ်စု (abstract group) မဆိုသည် ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု (permutation group) တစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ထိုအခါ လားရာတူ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်းက ၎င်းကို ညာ <math>G</math>-အစု (right G-set) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသည်။ ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ ဤအစု၏ <math>G</math>-အချိုးညီ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ (G-equivariant endomorphisms) အားလုံးသည် ဘယ်ဘက်မှ မြှောက်ခြင်းဖြင့်သာ သတ်မှတ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) သာ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနည်းအားဖြင့် အုပ်စု <math>G</math> သည် အစု <math>G</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ == စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများကို ၎င်းတို့၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံထက် အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် မည်သို့ ဆက်သွယ်ပြုမူသနည်းဟူသော စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများ (universal properties) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။ ပုံကြမ်းတစ်ခုအထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#စုဆုံမှတ်(Limit)|စုဆုံမှတ်(Limit)]] ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ပုံကြမ်းအောက်ရှိ အစ ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Coimit)|ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Coimit)]]ဟု သတ်မှတ်သည်။ [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ]]၊ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ်များ၊ ပူးလ်ဘက် (pullback) များနှင့် ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) များသည် စုဆုံမှတ်နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ == တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (Adjunction) == {{main|တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း}} '''တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (adjunction) သည် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် အလွန်အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာအတွဲများကြားရှိ သဘာဝကျသော ဆက်သွယ်မှုကို ဖော်ပြသည်။ ဖန်တာနှစ်ခုကြားတွင် ဘယ်တွဲဖက် (left adjoint) နှင့် ညာတွဲဖက် (right adjoint) ဟူသော ဆက်သွယ်ချက် ရှိနေပါက ယင်းကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများစွာရှိ လွတ်လပ်သော ဖန်တာ (free functor) နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာ (forgetful functor) တို့၏ ဆက်သွယ်ချက်များသည် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} * {{citation | last1 = Eilenberg | first1 = S. | last2 = Mac Lane | first2 = S. | title = General theory of natural equivalences | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 58 | pages = 231–294 | year = 1945 }} * {{citation | last1 = Cartan | first1 = H. | last2 = Eilenberg | first2 = S. | title = Homological Algebra | publisher = Princeton University Press | place = Princeton | year = 1956 }} * {{Citation | last = Spivak | first = David | title = 18.S996 Category Theory for Scientists, Spring 2013 | date = 2013 | work = MIT OpenCourseWare | access-date = February 2, 2015 | url = http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/# }} {{refend}} [[Category:သိပ္ပံ]] [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] 9jfhpij1zi9jqsd41st7m1mptxixetj 1040691 1040690 2026-06-25T06:43:11Z Mkant00 135890 /* စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits) */ 1040691 wikitext text/x-wiki {{ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ}} [[File:Trasformazione_naturale_kf.png|right|thumb|250px|အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် ဖန်တာ <math>F</math> မှ <math>G</math> သို့သွားသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation)''' <math>\alpha</math> ၏ သဘာဝကျမှု အခြေအနေကို ဖော်ပြထားသော '''ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative diagram)''']] '''ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ''' (category theory) သည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခြုံငုံလေ့လာသည့် ယေဘုယျ သင်္ချာသီအိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရီသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို မြားပုံကြမ်းများ (diagrams of arrows) အမျိုးမျိုး အသုံးပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အယူအဆအပေါ် အခြေခံသည်။ ဤသို့ အလွန်ယေဘုယျကျသော အခြေအနေတွင် လေ့လာခြင်းကြောင့် သင်္ချာပညာရပ်ရှိ ဘုံတူသော တည်ဆောက်ပုံများနှင့် ပုံစံများကို ပိုမိုနားလည်သဘောပေါက်စေသည်။ သို့ကြောင့် ကွဲပြားခြားနားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများအကြားရှိ ဆင်တူသော သဘောတရားများကို စုစည်းလေ့လာနိုင်စေသည်။ အစောပိုင်း ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ [[အုပ်စု ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (group cohomology)၊ [[လီအက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Lie algebra cohomology) နှင့် [[ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (associative algebra cohomology) တို့အား သင့်လျော်သော [[မော်ဂျူး]] ကတ်တဂိုရီ (suitable module category) တစ်ခုတွင် [[ဆင်းသက်ဖန်တာ|ဆင်းသက်ဖန်တာများ]] (derived functors) အဖြစ် ပြန်လည်ပုံဖော်ခဲ့နိုင်ခြင်းဖြစ်သည်။{{sfn|Cartan|Eilenberg|1956}} [[File:Saunders MacLane.jpg|right|thumb|250px|'''ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း''' (Saunders Mac Lane) သည် အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ကို ပူးတွဲတည်ဆောက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ သူသည် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု သီအိုရမ်များ (coherence theorems) နှင့်ပတ်သက်သော လုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် အထူးထင်ရှားသည်။]] [[File:Samuel Eilenberg MFO.jpeg|right|thumb|250px|'''ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်''' (Samuel Eilenberg) သည် ပိုလန်ဖွား အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး သူ၏ အဓိကလုပ်ဆောင်ချက်များသည် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နယ်ပယ်တွင် ဖြစ်သည်။ သူသည် နော်မန် စတင်းရော့ဒ် (Norman Steenrod) နှင့်အတူ [[ဟိုမိုလော်ဂျီ သီအိုရီ]] (homology theory) အား နဂိုမှန်အဆိုများဖြင့် တည်ဆောက်ခြင်းကို လည်းကောင်း ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို လည်းကောင်း ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။]] ကတ်တဂိုရီများ၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]]နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] ဟူသော သုံးခုတွဲကို ၁၉၄၂ ခုနှစ်တွင် ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ကြပြီး၊ ၁၉၄၅ ခုနှစ် စာတမ်းတွင် သီးခြားလွတ်လပ်သော [[အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ|အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ]] (Algebraic structures) အဖြစ် ပုံစံတကျ ထပ်မံဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> ၎င်းတို့၏ ကနဦး အဓိက ရည်ရွယ်ချက်မှာ အက္ခရာသင်္ချာအသစ်တစ်ခု တီထွင်ရန်မဟုတ်ဘဲ၊ ထိုခေတ်အခါက [[ချက် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Čech cohomology) ရှိ [[စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်|စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်များ]] (Universal coefficient theorems) လိုအပ်သော စုဆုံမှတ်များကို လေ့လာရန်နှင့်၊ အထူးသဖြင့် [[အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Algebraic topology) ရှိ စာတမ်းများစွာတွင် အလွတ်သဘော အသုံးပြုနေကြသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟူသည့် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ပေးရန်ဖြစ်သည်။ ဤအခြေခံကျသော စာတမ်းများတွင် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် ပုံနှိပ်ဖော်ပြခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။ မက်လိန်း၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သော <math>Ext(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}_{p}</math> သည် တိကျသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ကိုက်ညီနေကြောင်းကို အိုင်လန်ဘာ့ဂ်က သတိပြုမိရာမှ ဤသီအိုရီ စတင်မွေးဖွားလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး၊ [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (derived functor) <math>\text{Ext}</math> သည် ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခံရသော အစောဆုံး ဖန်တာများထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ရပ်ဝန်းမှာ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဆော်လီနွိုက်၏ 3-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြည့်စွက်စု ဖြစ်သည်။ ဤဆက်စပ်မှုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာခြင်းသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ အုပ်စုများကို ဆက်စပ်ပေးသော စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိစေခဲ့သည်။ တိုက်ရိုက် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသော ရပ်ဝန်းများဆီသို့ ဤသီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် နှင့် မက်လိန်း တို့သည် စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်၏ တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းရှိ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များမှာ သဘာဝကျကြောင်း သက်သေပြရန် လိုအပ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က သဘာဝကျခြင်း ဆိုသည်မှာ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်မှုများ မပါဝင်ဘဲ သတ်မှတ်ထားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခေါ်ဆိုသည့် အရပ်သုံးစကားတစ်ရပ်မျှသာ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] နှင့် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် တို့ကြားရှိ ပုံမှန်[[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]သည် မည်သည့် အခြေအစုကိုမျှ ရွေးချယ်ရန် မလိုအပ်ခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ရလဒ်များကို ခိုင်လုံစွာ သက်သေပြနိုင်ရန်အတွက် ဤပင်ကိုသိစိတ်ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ကိုဩဒိနိတ် ကင်းစင်သော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများကို ဦးစွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့ကို သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်ရန် ဖန်တာများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဖန်တာများ အလုပ်လုပ်ဆောင်မည့် ပတ်ဝန်းကျင်ကို သတ်မှတ်ပေးနိုင်ရန် ကတ်တဂိုရီများကို နောက်ဆုံးတွင် တီထွင်ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဤသီအိုရီသည် သူ့သဘောသူဆောင်၍ တစတစ ကျယ်ပြန့်လာရာ ယခုအခါတွင် မျက်မှောက်ခေတ် သင်္ချာနှင့် [[သဘောတရားရေးရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]]တို့တွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အဓိကကျသည့် အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လာပြီး၊ ၎င်းကို သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒတွင်လည်း အသုံးပြုလာကြသည်။ သိပ္ပံဘာသာရပ် အသီးသီးရှိ တည်ဆောက်ပုံအမျိုးမျိုး၏ ဘုံတူညီမှုများကို ဖော်ပြသည့် ဘာသာစကားအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ၎င်း ဘုံတည်ဆောက်မှုများကို ပုံစံတကျ (formal) ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း အသုံးပြုလာကြသည်။{{sfn|Spivak|2013}} '''ပိုမိုမြင့်မားသော ကတ်တဂိုရီများ (Higher categories)''' ၏ ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည့် '''2-ကတ်တဂိုရီ (2-category)''' အကြောင်းကို [[2-ကတ်တဂိုရီ]] တွင် ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဒဿနဆိုင်ရာ မှတ်စုများ (Historical and Philosophical Notes) <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> == ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်း မဟုတ်ပေ။ ယင်းသည် ၂၀ ရာစုအလယ်ပိုင်းရှိ အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ တိကျသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းနှင့် သဘောတရားရေးရာ လိုအပ်ချက်များကြောင့် တွန်းအားပေး ပေါ်ထွက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ === မြားသင်္ကေတ၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာမှု (The Evolution of the Arrow) === ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တိကျသော မြားသင်္ကေတ <math>f: X \rightarrow Y</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် အခြေခံအယူအဆသည် ၁၉၄၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဤတီထွင်မှုသည် နှိုင်းရ ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ (relative homotopy groups) နှင့် ပတ်သက်သော ဟူးရီဗစ်ဇ် (Hurewicz) ၏ ဟောပြောပို့ချချက်များနှင့် စာတမ်းများမှ အဓိက ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤပြေပြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် ဖောက်စ် (Fox) နှင့် စတင်းရော့ဒ် (Steenrod) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ၏ အာရုံစိုက်မှုကို လျင်မြန်စွာ ရရှိခဲ့သည်။ မြားသင်္ကေတသည် ရှေးကျ၍ အဓိပ္ပာယ်မကွဲပြားသော <math>f(X) \subset Y</math> သင်္ကေတနေရာတွင် အလျင်အမြန် အစားထိုးဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ထိုရှေးကျသော သင်္ကေတသည် ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ <math>X</math> ၏ ပုံရိပ်သည် <math>Y</math> ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်းကိုသာ ရိုးရှင်းစွာ ညွှန်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ မြားသင်္ကေတသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ ဗဟိုအချက်အချာဖြစ်သော သတ်မှတ်ထားသည့် အရင်းအမြစ်မှ သတ်မှတ်ထားသည့် ပစ်မှတ်ဆီသို့သွားသော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုကို တိကျစွာ ဖမ်းဆုပ်နိုင်ခဲ့သောကြောင့် ထူးခြားစွာ အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ယင်းသည် ရိုးရှင်းသော သင်္ကေတပြောင်းလဲမှုတစ်ခုက နက်နဲသော သင်္ချာသဘောတရားသစ် (ကတ်တဂိုရီ) တစ်ခုကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် မည်သို့ တိုက်ရိုက် လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ကြောင်း ပြသသည့် အဓိက သမိုင်းဝင် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဟူးရီဗစ်ဇ်သည် ဤမြားပုံဖော်မှုများကို အမြင်အာရုံဖြင့် ခြေရာခံနိုင်ရန်အတွက် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို စတင်အသုံးပြုခဲ့သူအဖြစ်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ === ဒဿနဆိုင်ရာ ဝေါဟာရများ (Philosophical Terminology)=== ဤနယ်ပယ်၏ ဝေါဟာရများသည် ယုတ္တိဗေဒ ဒဿနိကဗေဒမှ အများအပြား ရယူထားပြီး ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားခြင်းကို ထင်ဟပ်နေသည်။ ကတ်တဂိုရီ (Category) ဟူသော ဝေါဟာရကို အရစ္စတိုတယ် (Aristotle) နှင့် ကန့်တ် (Kant) တို့၏ ဒဿနဆိုင်ရာ ခွဲခြားသတ်မှတ်မှုများမှ ရယူသုံးစွဲခဲ့သည်။ ဖန်တာ (Functor) ဟူသော ဝေါဟာရကို ရူးဒေါ့ဖ် ကာနပ် (Rudolf Carnap) ၏ Logische Syntax der Sprache စာအုပ်မှ ယူငင်သုံးစွဲခဲ့သည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း ဟူသော ဝေါဟာရကို ထိုခေတ်အခါက အလွတ်သဘော သုံးနှုန်းနေကြသော သင်္ချာဝေါဟာရမှနေ၍ တိကျခိုင်မာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုအဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်ခဲ့သည်။ === အမ်မီ နိုသာ၏ အမွေအနှစ် (The Legacy of Emmy Noether) === ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များသည်ဘာလဲ ဟူသော မေးခွန်းကို မဖြစ်မနေ မေးမြန်းရန် တောင်းဆိုထားသည်။ ၎င်းသီအိုရီက သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း သတ်မှတ်၍ လေ့လာရန် အခိုင်အမာ တိုက်တွန်းထားသည်။ အစုဝင်များထက် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များအပေါ် ဤသို့ နက်နက်နဲနဲ အလေးပေးမှုသည် အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) ၏ အမွေအနှစ် တစ်စိတ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သူမသည် အုပ်စုများနှင့် ကွင်းများကို လေ့လာရာတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ဖွဲ့စည်းပုံအရ အသုံးပြုခြင်းအား ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ ပညာရှင်အများစုသည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ အရာဝတ္ထုများကို အစွဲပြု၍ အမည်ပေးလေ့ရှိကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbf{Set}</math> နှင့် <math>\mathbf{Cat}</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် မြားများအပေါ် အလေးပေးမှုသည် အလွန်အရေးပါလှသောကြောင့် အချို့သော ပညာရှင်အုပ်စုများသည် ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ မြားများဖြင့်သာ အမည်ပေးကြသည်။ အထူးသဖြင့် ချားလ်စ် အဲရက်စမန်း (Charles Ehresmann) ၏ ကျောင်းသည် ထင်ရှားပြီး ၎င်းတို့က <math>\mathbf{Cat}</math> ကို ဖန်တာများ၏ ကတ်တဂိုရီအဖြစ် တင်းကျပ်စွာ ရည်ညွှန်းကြသည်။ [[File:Emmy Noether.jpg|right|thumb|250px| အာမာလီယာ အမ်မီ နိုသာ (Amalie Emmy Noether) သည် ဘာဗေးရီးယန်း လူမျိုး ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမကို ဘာဗေးရီးယား ဘုရင်နိုင်ငံ၊ အာလန်ဂန် (Erlangen) မြို့တွင် ၁၈၈၂ ခုနှစ် မတ်လ ၂၃ ရက်နေ့၌ မွေးဖွားခဲ့ပြီး ပင်ဆယ်ဗေးနီးယားပြည်နယ်၊ ဘရင်မော (Bryn Mawr) မြို့တွင် ၁၉၃၅ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၄ ရက်နေ့၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမသည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) နှင့် သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒ (theoretical physics) တို့အတွက် အခြေခံကျသော ပံ့ပိုးကူညီမှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် သူမသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)| ကွင်း]]များ (rings)၊[[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ (algebras) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တော်လှန်ပြောင်းလဲနိုင်ခဲ့သည်။ သူမ ဖော်ထုတ်ခဲ့သော နိုသာ သီအိုရမ် (Noether's theorem) သည် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ သဘာဝနိယာမများ၏ အချိုးညီမှုများ (symmetries) ကို ၎င်းတို့နှင့် ဆက်စပ်နေသော တည်မြဲပမာဏများ (conservation quantities) တည်ရှိမှုနှင့် ပေါင်းစပ်ဖော်ပြထားသည်။]] ==အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်== '''ကတ်တဂိုရီ (category)''' တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>X, Y, Z, \dots</math> စသည့် အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုတစ်ခု။ * '''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>f, g, h, \dots</math> စသည့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုတစ်ခု။ မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''အရင်းအမြစ် (domain)''' နှင့် '''ပစ်မှတ် (codomain)''' အရာဝတ္ထုများ သတ်သတ်မှတ်မှတ်ပါရှိသည်။ သင်္ကေတအရ <math>f:X\rightarrow Y</math> တွင် <math>f</math> သည် အရင်းအမြစ် <math>X</math> နှင့် ပစ်မှတ် <math>Y</math> တို့၏ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုသည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) '''<math>1_{X}:X\rightarrow X</math> တစ်ခုစီ အသီးသီး သတ်သတ်မှတ်မှတ်ရှိသည်။ <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်တို့ ထပ်တူညီပြီး ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>gf</math> ဟုခေါ်သော '''ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (composite morphism)''' တစ်ခု ရှိသည်။ ထို <math>gf</math> ၏ အရင်းအမြစ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီပြီး ၎င်း၏ ပစ်မှတ်သည် <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် တူညီသည်။ (မှတ်ချက်။ ဤတွင် "domain" နှင့် "codomain" တို့ကို ဘာသာပြန်ဆိုရာ၌ "အရင်းအမြစ်စု" နှင့် "ပစ်မှတ်စု" အစား "စု" (set) နောက်ဆက်တွဲကို ချန်၍ "အရင်းအမြစ်" နှင့် "ပစ်မှတ်" ဟုသာ အသုံးပြုထားသည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီရှိ အရာဝတ္ထု (object) များသည် အစုများသာ ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ဘဲ အခြားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ "စု" ဟု ထည့်သွင်းခေါ်ဆိုခြင်းသည် အစုသီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို သွယ်ဝိုက်သက်ရောက်စေနိုင်သောကြောင့် ဤသို့ ချန်လှပ်အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။) === နဂိုမှန်အဆိုများ (Axioms) === အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * မည်သည့် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက်မဆို ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>1_{Y}f</math> နှင့် <math>f1_{X}</math> တို့ နှစ်ခုလုံးသည် <math>f</math> နှင့် ညီမျှသည်။ * ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်သုံးခု <math>f, g, h</math> တိုင်းအတွက် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သည့် <math>h(gf)</math> နှင့် <math>(hg)f</math> တို့သည် တူညီပြီး ၎င်းတို့ကို <math>hgf</math> ဟု တူတူသတ်မှတ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းနိယာမသည် '''ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity)''' နှင့် '''ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital)''' တို့နှင့် ပြည့်စုံသည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''ကွီဗာ''' (quiver) ခေါ် လားရာပြဂရပ် (directed graph) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည် ။ ၎င်းတွင် မျဉ်းပြိုင်မြားများ (parallel arrows) နှင့် ကွင်းပိတ်များ (loops) ပါဝင်နိုင်သည် ။ == ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ == *'''Quiver''': ကွီဗာများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော ကွီဗာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (quiver homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Set</math>) *[[တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Top</math>) *'''Man''': ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများကို (smooth manifolds) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Meas''': အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်းများကို (measurable spaces) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အတိုင်းအတာ ဖန်ရှင်များကို (measurable functions) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Poset''': တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများကို (partially-ordered sets) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်ရှင်များ (order-preserving functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>\textbf{hTop}</math>''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) သည် ဟွမ်း-အစုများ (Hom sets) အဖြစ် <math>\text{Hom}(X, Y) = [X, Y]</math> သတ်မှတ်သည်။ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစား (homotopy class) များအားလုံး ပါဝင်သည့် မိသားစုကို <math>[X, Y]</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ *'''<math>Set_{*}</math> နှင့် <math>Top_{*}</math>''': အခြေခံအမှတ် (basepoint) သတ်မှတ်ထားသော အစုများ သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ကို မပြောင်းလဲစေသော (အဆက်မပြတ်) ဖန်ရှင်များ (basepoint-preserving (continuous) functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ * [[အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Grp</math>) * [[အဘီလီယန်အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Ab</math>) * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Ring</math>) *'''Field''': [[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို (field homomorphisms) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mod_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် ဘယ် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]]များကို (left R-modules) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Ch_{R}</math>''': <math>R</math>-မော်ဂျူးများ၏ ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (chain complexes) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချိတ်တန်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mat_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် <math>Mat_{R}</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်။ <math>n</math> မှ <math>m</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>R</math> မှ တန်ဖိုးများပါရှိသော <math>m \times n</math> ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်ပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံများသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ *'''BG''' (ကတ်တဂိုရီဖြစ် အုပ်စု): အုပ်စု <math>G</math> သို့မဟုတ် ယေဘုယျအားဖြင့် [[မိုနွိုက်]] (monoid) တစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ '''BG''' အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်းကို အစုဝင်များ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်သည်။ *'''Graph''': ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များကို (simple graphs) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဂရပ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီ''' (Discrete category): အစုတစ်ခုကို ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည် ။ ၎င်းတွင် အစုဝင်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သည် ။ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်နေသော ကတ်တဂိုရီကို တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီဟု ခေါ်သည် ။ === ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ နှင့် သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (Concrete and Abstract Categories) === အထက်ပါ ဥပမာအများစုသည်''' ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories)''' ဖြစ်ကြသည် ။ ၎င်းကတ်တဂိုရီများရှိ အရာဝတ္ထုများတွင် အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိကြသည် ။ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် အဆိုပါ အခြေခံအစုများကြားရှိ ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည် ။ သို့သော် ကတ်တဂိုရီတိုင်းသည် ဤကဲ့သို့ ဖန်ရှင်များကိုသာ အခြေခံထားခြင်း မဟုတ်ပေ ။ မော်ဖစ်ဇင်များသည် ဖန်ရှင်များ မဟုတ်သော '''သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (abstract categories)''' လည်း များစွာတည်ရှိသည် ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>Mat_{R}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကိန်းအုံများကို (matrices) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ထို့အတူ အုပ်စုတစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအဖြစ် သတ်မှတ်ပါက ထိုအုပ်စု၏ အစုဝင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်လာကြသည် ။ ဤသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင်များသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်မရှိကြောင်း ပြသနေသည် ။ == မော်ဖစ်ဇင် အမျိုးအစားများ (Types of Morphisms) == *'''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) <math>h,k: w\rightrightarrows x</math> အတွက်မဆို <math>fh=fk</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ <math>h,k: y\rightrightarrows z</math> အတွက်မဆို <math>hf=kf</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက် <math>gf=1_X</math> နှင့် <math>fg=1_Y</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>g: Y\rightarrow X</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို <math>f</math> ကို [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]ဟု ခေါ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကြားတွင် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]တစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို '''အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထုများ (isomorphic objects)''' ဟု သတ်မှတ်ပြီး သင်္ကေတအားဖြင့် <math>X \cong Y</math> ဟု ရေးသားသည်။ *'''အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (Endomorphism):''' အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တူညီသော မော်ဖစ်ဇင်ကို [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]]ဟု ခေါ်သည်။ *'''အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (Automorphism):''' [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]လည်းဖြစ်သော [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]]ကို [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]]ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပိုင်း နှင့် ရုပ်သိမ်းခြင်း (Section and Retraction):''' <math> x\overset{s}{\longrightarrow} y \overset{r}{\longrightarrow} x</math> တို့သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပြီး <math>rs=1_{x}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>s</math> ကို '''အပိုင်း (section)''' သို့မဟုတ် <math>r</math> ၏ ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဟုခေါ်ပြီး <math>r</math> ကို '''ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction)''' သို့မဟုတ် <math>s</math> ၏ ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>s</math> သည် အမြဲတမ်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>r</math> သည် အမြဲတမ်း အပီမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤ တစ်ဖက်သတ် ပြောင်းပြန်များ (one-sided inverses) ရှိနေခြင်းကို အသိအမှတ်ပြုသောအားဖြင့် <math>s</math> ကို ခွဲထွက် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (split monomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>r</math> ကို ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်း၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များ]]''' (injective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့အတူပင် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များ]]''' (surjective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့ကြောင့် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]]နှင့် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်]] [[ဖန်ရှင်]] သဘောတရားများ၏ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ နှိုင်းယှဉ်ချက်များအဖြစ် ရှုမြင်သင့်သည်။ လက်တွေ့တွင် <math>C</math> သည် အရာဝတ္ထုများ၌ အခြေခံ[[အစု|အစုများ]] (underlying sets) ပါရှိသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကြားရှိ အင်ဂျက်တစ် သို့မဟုတ် ဆာဂျက်တစ် [[ဖန်ရှင်]]ကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည့် မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ထိုသို့သော ကတ်တဂိုရီများ၌ပင်လျှင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင် သဘောတရားများသည် ပိုမို၍ ယေဘုယျကျနိုင်သည်။ အခြေခံ[[ဖန်ရှင်]]သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories) ရှိသည်။ ထို့အတူ ၎င်း၏ အခြေခံ[[ဖန်ရှင်]]သည် ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ လည်း ရှိသည်။ '''ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို''' (axiom of choice) ကို ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ''[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ မည်သည့် အပီမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဖြစ်သည်'' ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ === မော်ဖစ်ဇင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် ဒွန်တွဲမှု (Properties and Duality) === *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင်(if and only if) ၎င်းသည် ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ <math>C^{op}</math> တွင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (by duality) <math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf</math> အား မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်စေသော မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် monic) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>gf</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ပါက <math>g</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် epic) ဖြစ်သည်။ *မည်သည့်ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>C</math> အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် <math>C^{op}</math> အတွင်းရှိ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိုက်ရိုက် သက်ဆိုင်သောကြောင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း ကတ်တဂိုရီပိုင်း တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ *[[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ *ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (unital rings) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ|Ring]] တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) <math>i: \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ရော အပီမော်ဖစ်ဇင်ပါ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) မဟုတ်ပေ။ === အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ထပ်တူညီမှုများ (Isomorphism Equivalences) === အောက်ဖော်ပြပါ အဆိုများသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) *(i) <math>f:x\rightarrow y</math> သည် <math>C</math> အတွင်းရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ *(ii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (postcomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (bijection) <math>f_{*}:C(c,x)\rightarrow C(c,y)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ *(iii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (precomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] <math>f^{*}:C(y,c)\rightarrow C(x,c)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ ဤအခြေအနေတွင် "ဘိုင်ဂျက်ရှင်း" နှင့် "အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်" ဟူသော ဝေါဟာရများသည် သင်္ချာသဘောတရားအရ အဓိပ္ပာယ်တူညီကြသည်။ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]]သည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ]]ပင် ဖြစ်သည်။ <math>C(c,x)</math> နှင့် <math>C(c,y)</math> တို့သည် ဟွမ်း-အစုများ (hom-sets) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သည့် [[အစု|အစုများ]]ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် ပုံဖော်မှု <math>f_{*}</math> သည် [[အစု]]တစ်ခုမှ အခြား[[အစု]]တစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ကတ်တဂိုရီ တည်ဆောက်ပုံများ (Basic Category Constructions) == === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Small Category) နှင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Locally Small Category) === ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ မော်ဖစ်ဇင်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစု (set) တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>x, y</math> တိုင်းအတွက်မဆို ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>C(X, Y)</math> သို့မဟုတ် <math>\text{Hom}(X, Y)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည် ။ ဤစုစည်းမှုကို '''ဟွမ်း-အစု''' (hom-set) ဟု ခေါ်ဆိုသည် ။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အလွန်အသုံးဝင်သောကြောင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မသေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည် ။ ကတ်တဂိုရီများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အစု (set) ဟူသော စကားလုံးအစား စုစည်းမှု (collection) ဟူသော စကားလုံးကို သတိပြု၍ အသုံးပြုထားသည် ။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ အစုများအားလုံး ပါဝင်သော အစုဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ ။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် အစုများအားလုံးပါဝင်သော Set ကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပေ ။ ဤကဲ့သို့ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ရှုပ်ထွေးမှုများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကတ်တဂိုရီများ၏ အရွယ်အစားကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်လာသည် ။ === ဂရုပွိုက် (Groupoid) === '''ဂရုပွိုက် (groupoid)''' ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ဖြစ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု (group) သည် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ဂရုပွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''အခြေခံ ဂရုပွိုက် (fundamental groupoid)''' <math> \Pi_{1}X</math> သည် <math>X</math> ၏ အမှတ်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''အစွန်းမှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော လမ်းကြောင်းများ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစားများ (endpoint-preserving homotopy classes of paths)''' ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တွင်မဆို '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက် (maximal groupoid)''' တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများအားလုံး ပါဝင်ပြီး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည့် မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) နှင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin_{iso}</math> သည် အဆုံးရှိအစုများနှင့် ဖန်ရှင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin</math> ၏ '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက်ပိုင်း (maximal subgroupoid)''' ဖြစ်သည်။ ဤဂရုပွိုက်ကို သဘာဝကိန်းများ၏ '''ကတ်တဂိုရီအသွင်ပြောင်းခြင်း (categorification)''' တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကတ်တဂိုရီပိုင်း (Subcategory) === ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' <math>D</math> တစ်ခုကို <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of objects) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of morphisms) တို့ကို ကန့်သတ်ယူဆောင်၍ သတ်မှတ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချက်အလက်များကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု၏ ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ === ကတ်တဂိုရီ မြှောက်လဒ် (Product Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ '''မြှောက်လဒ် ကတ်တဂိုရီ (product category)''' <math>C \times D</math> တစ်ခု ရှိသည်။ *၎င်း၏ အရာဝတ္ထုများသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(c, d)</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>c</math> သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်ကာ <math>d</math> သည် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ *မော်ဖစ်ဇင်များသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(f, g): (c, d) \rightarrow (c^{\prime}, d^{\prime})</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>f: c \rightarrow c^{\prime} \in C</math> နှင့် <math>g: d \rightarrow d^{\prime} \in D</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) အသီးသီး သတ်မှတ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (Opposite Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\text{C}</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (opposite category)''' <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *'''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>\text{C}</math> တွင်ရှိသော အရာဝတ္ထုများအတိုင်း တူညီစွာ ပါဝင်သည်။ *'''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် မော်ဖစ်ဇင် <math>f^{\text{op}}</math> တစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>f^{\text{op}}</math> ၏ အရင်းအမြစ် သည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ် အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>f^{\text{op}}</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y \in \text{C}^{\text{op}} \Leftrightarrow f: Y \rightarrow X \in \text{C}</math> <math>\text{C}^{\text{op}}</math> ၏ ကျန်ရှိသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>1_{X}^{\text{op}}</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>1_{X}^{\text{op}}:X\rightarrow X</math> ဖြစ်သည်။ *'''ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition)''' ကို သတ်မှတ်ရာတွင် <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ <math>g, f</math> တွဲ ပေါင်းစပ်နိုင်မှသာ <math>\text{C}^{\text{op}}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f^{\text{op}}, g^{\text{op}}</math> ကို ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီမှသာ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို <math>g^{\text{op}} f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}</math> အဖြစ် ရေးသည်။ <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y, g^{\text{op}}: Y \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}} \quad \rightsquigarrow \quad g^{\text{op}}f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}: X \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}}</math> <math>\qquad \qquad \qquad \Updownarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Updownarrow</math> <math>g: Z \rightarrow Y, f: Y \rightarrow X \in \text{C} \qquad \quad \rightsquigarrow \qquad \quad fg: Z \rightarrow X \in \text{C}</math> ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း ရေးသားခဲ့ဖူးသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွက် မည်သည့် နဂိုမှန်အဆို၏ ဒွန်တွဲမှု (duality) မဆိုသည်လည်း နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခု ဖြစ်သည် ဟူ၍ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုနှင့်ပတ်သက်သော မည်သည့်အဆိုကိုမဆို ၎င်းကတ်တဂိုရီ၏ နဂိုမှန်အဆိုများမှ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါက ၎င်း၏ ဒွန်တွဲအဆိုကိုလည်း ကောက်ချက်ချနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (Slice Categories) === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (slice categories) ကို <math>c/C</math> နှင့် <math>C/c</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>c/C</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow x</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: c \rightarrow x</math> မှ <math>g: c \rightarrow y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>g = hf</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C/c</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x \rightarrow c</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: x \rightarrow c</math> မှ <math>g: y \rightarrow c</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>f = gh</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>c/C</math> သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်ဟူသော အချက်မှနေ၍ <math>C/c := (c/(C^{op}))^{op}</math> ဟူသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>C/c</math> သည်လည်း ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ == ဖန်တာ (Functor) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[ဖန်တာ]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီသီအိုရီတွင် '''ဖန်တာ''' (functor) ဆိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုမှ အခြားကတ်တဂိုရီတစ်ခုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ကြားရှိ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် <math>C</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများကို <math>D</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများဆီသို့ လည်းကောင်း၊ <math>C</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များကို <math>D</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များဆီသို့ လည်းကောင်း အသီးသီး ချိတ်ဆက်ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ထိုသို့ ပုံဖော်ရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ၏ လားရာကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)|လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)]] ဟုခေါ်ဆိုပြီး လားရာကို ပြောင်းပြန်လှန်ပစ်သော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)|ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)]] ဟု ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ === ဖန်တာကို အသုံးပြုသော တည်ဆောက်ပုံများ (Functor-based Constructions) === ==== ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ (Comma category) ==== ဖန်တာ <math>F \colon \mathsf{D} \to \mathsf{C}</math> နှင့် <math>G \colon \mathsf{E} \to \mathsf{C}</math> တို့ ပေးထားသော '''ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ''' <math>F \downarrow G</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>(d \in \mathsf{D}, e \in \mathsf{E}, f \colon Fd \to Ge \in \mathsf{C})</math> ဟူသော သုံးခုတွဲ (triples) များ။ *<math>(d, e, f)</math> မှ <math>(d', e', f')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် <math>f' \cdot Fh = Gk \cdot f</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲများ <math>(h \colon d \to d', k \colon e \to e')</math> ==== အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements) ==== လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) <math>F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x) = x'</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ (forgetful functor) <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ဤမေ့လျော့ဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\int F</math> မှ အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> ကို ကတ်တဂိုရီ <math>\mathsf{C}</math> ရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> ကို မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း တိုက်ရိုက် ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ဆန့်ကျင်ဘက်ဖန်တာ၏ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements of a contravariant functor) ==== ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) <math>F \colon \mathsf{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x') = x</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင်လည်း ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိပြီး ၎င်းသည် အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> အား <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အား <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ပုံကြမ်း (Diagram) ==== ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တစ်ခုရှိ ပုံကြမ်း (diagram) ဆိုသည်မှာ ဖန်တာ <math>F:J\rightarrow C</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အရင်းအမြစ် (domain) ကို ပုံကြမ်း၏ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (indexing category of the diagram) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ပုံကြမ်းတစ်ခုသည် ဖန်တာတစ်ခုသာ ဖြစ်သော်လည်း လက်တွေ့တွင်မူ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီထက် ပိုမိုသေးငယ်သောအခါ ထိုဖန်တာကို ပုံကြမ်းအဖြစ် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) ဖြစ်ပါက ထိုပုံကြမ်းကို သေးငယ်သော ပုံကြမ်းဟု သတ်မှတ်သည်။ ==== ကိန်းသေ ဖန်တာ (Constant Functor) ==== <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) <math>\mathcal{J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor)''' <math>\Delta_c: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(i) = c</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(f) = \operatorname{id}_c</math> ဖြစ်သည်။ === ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (Cone Over a Diagram) === ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (cone over a diagram)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''ထိပ်ဖျား (summit or apex)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဤသဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတွင် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစုဖြစ်သော <math>\lambda_i: c \to F(i)</math> များ ပါဝင်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်များကို '''ခြေတံများ (legs)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>F(f) \circ \lambda_i = \lambda_j</math> ==== ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ သို့မဟုတ် ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (Cone Under a Diagram / Cocone) ==== ဒွန်တွဲစွာဖြင့် ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ''' သို့မဟုတ် '''ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (cone under a diagram / cocone)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_c</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''အောက်ခြေ (nadir)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ၎င်းတွင် ခြေတံများဖြစ်သည့် <math>\mu_i: F(i) \to c</math> များ ပါဝင်သည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>\mu_j \circ F(f) = \mu_i</math> ==== <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ (The Category of Cones Over <math>F</math>) ==== <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ အရာဝတ္ထုများ (Objects): အရာဝတ္ထုများမှာ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တို့ပါဝင်သော အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(c, \lambda)</math> များ ဖြစ်ကြသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms): ကတော့ပုံ <math>(c, \lambda)</math> မှ ကတော့ပုံ <math>(d, \eta)</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: c \to d</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>i \in \mathcal{J}</math> တိုင်းအတွက်မဆို ခြေတံ <math>\lambda_i</math> ကို <math>h</math> မှတစ်ဆင့် ခြေတံ <math>\eta_i</math> သို့ ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားစေရမည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်၊ *<math>\eta_i \circ h = \lambda_i</math> ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition): ကတော့ပုံများအကြား မော်ဖစ်ဇင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ သက်ဆိုင်ရာ မော်ဖစ်ဇင်များကို ပုံမှန်ပေါင်းစပ်ခြင်းမျှသာ ဖြစ်သည်။ ဤသို့ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားသော ဂုဏ်သတ္တိကို သဘာဝအလျောက် ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းထားသည်။ == သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (Natural Transformation) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် ဖန်တာ (functor) များကို လေ့လာပြီးနောက် ထိုဖန်တာများအချင်းချင်းကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ဆက်လက်လေ့လာရန် လိုအပ်လာသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာများ (parallel functors) ဖြစ်သော <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့ကြားတွင် တည်ရှိသော ဆက်သွယ်မှု ပုံဖော်ခြင်းကို '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဖန်တာတစ်ခုမှ အခြားဖန်တာတစ်ခုသို့ ကူးပြောင်းရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီများ၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံများကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ အစိတ်အပိုင်းတိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်နေသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းကို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism of Categories) === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ်နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{Cat}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ဤကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော်လည်း သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ မဟုတ်ပေ။ ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများ (large categories) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{CAT}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ <math>\text{CAT}</math> သည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်နေလောက်အောင် ကြီးမားနေခြင်းမျိုး မဖြစ်သင့်သဖြင့် <math>\text{CAT}</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>\text{CAT}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်ခြင်းမရှိသောကြောင့် ဤနည်းအားဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်မှုမှ ချန်လှပ်ထားခံရသည်။ ပါဝင်မှု ဖန်တာ <math>\text{Cat} \hookrightarrow \text{CAT}</math> တစ်ခု တစ်ဖက်တွင် ရှိသော်လည်း အခြားတစ်ဖက်သို့ ပြန်သွားသည့် ဖန်တာ မရှိပါ။ <math>\text{Cat}</math> သို့မဟုတ် <math>\text{CAT}</math> တွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism of categories)''' သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို ပြောင်းပြန် ဖန်တာ (inverse functors) အတွဲ <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းများဖြစ်သော <math>GF</math> နှင့် <math>FG</math> တို့သည် <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူရဖန်တာများ နှင့် အသီးသီး ညီမျှရမည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများနှင့် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုများကြား ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုနည်းတူစွာ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များကြားတွင် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု (Equivalence of Categories) === လက်တွေ့တွင် ကတ်တဂိုရီနှစ်ခု အတိအကျ တူညီသည် (အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်သည်) ဟု ဆိုရန်မှာ အလွန်ခက်ခဲတင်းကျပ်လွန်းသော သတ်မှတ်ချက်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု''' (equivalence of categories) ဟူသော သဘောတရားကို ပိုမိုအသုံးပြုကြသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားတွင် ထပ်တူညီမှု ရှိသည်ဆိုသည်မှာ ဖန်တာများဖြစ်သော <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့အပြင် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\eta: 1_C \cong GF</math> နှင့် <math>\epsilon: FG \cong 1_D</math> တို့ တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ကဲ့သို့ <math>GF = 1_C</math> ဟု တိကျစွာ ညီမျှရန် မလိုအပ်ဘဲ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ညီမျှနေခြင်းက လုံလောက်ပါသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ထပ်တူညီမှု (equivalence) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုပြီး ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကို ထပ်တူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (equivalent categories) ဟု သတ်မှတ်ကာ <math>C \simeq D</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဖန်တာတစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီများကို ထပ်တူညီစေခြင်း ရှိ မရှိကို အောက်ပါ သီအိုရမ်ဖြင့် အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) လည်းဖြစ်၍ အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (essentially surjective functor on objects) လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အလားတူပင် ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော မည်သည့် ဖန်တာမဆိုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိပြီး အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ရမည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုအရ ဤအချက်နှစ်ခုသည် အပြန်အလှန် မှန်ကန်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများသည် အချင်းချင်း အိုင်ဆိုမောဖစ် မဖြစ်ပါက ထိုအရာဝတ္ထုများသာ ပါဝင်သော ပြည့်ဝသည့် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ကို မူလကတ်တဂိုရီ၏ '''အရိုးစု''' (skeleton) ဟု ခေါ်သည်။ အရိုးစု ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုနှစ်ခု အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့သည် အတိအကျ တူညီသော အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ရမည်။ အရေးပါသော သီအိုရမ်တစ်ခုမှာ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီမဆိုသည် ၎င်း၏ အရိုးစုနှင့် အမြဲတမ်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟူသောအချက် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများအားလုံး ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>FinSet</math> သည် ၎င်း၏ အရိုးစုဖြစ်သော <math>\{1, 2, \dots, n\}</math> ပုံစံရှိ အစုများသာ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီနှင့် ထပ်တူညီသည်။ == ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (Categorical Product) == <math>J</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''တစ်ပိုင်းတစ်စ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (discrete indexing category)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (categorical product)''' ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအရာဝတ္ထုတွင် <math>k \in J</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ပရိုဂျက်ရှင်း (projection) ဟုခေါ်သော မော်ဖစ်ဇင်များ <math>\pi_k: P \to X_k</math> အသီးသီး ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းမြှောက်လဒ်သည် အောက်ပါ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ *မည်သည့် <math>j \in J</math> အားလုံးအတွက်မဆို မော်ဖစ်ဇင် <math>f_j: A \to X_j</math> များ ပါရှိသော အရာဝတ္ထု <math>A \in C</math> တိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင် <math>h: A \to P</math> သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေရမည်။ === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Product Topology) === အလိုရှိသလောက် များပြားနိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုမြှောက်လဒ်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> ပင်ဖြစ်သည်။ <math>P</math> အပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (product topology) ကို အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (coarsest topology) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် အဖွင့်စု အနည်းဆုံးသာ ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု <math>\pi_k: P \to X_k</math> တိုင်းသည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီအတွက် အခြေအစုပိုင်း (subbasis) တွင် <math>\pi_k^{-1}(U)</math> ပုံစံရှိသော အစုများ ပါဝင်သည်။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု (open set) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြေအစု (basis) တစ်ခုကိုမူ ဤအခြေအစုပိုင်းများ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစုများ (finite intersections) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အခြေခံ အဖွင့်စု (basic open set) တစ်ခုသည် အဆုံးရှိသော ကိုဩဒိနိတ်များကိုသာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ကျန်ရှိနေသော အနန္တဖြစ်နိုင်သည့် ကိုဩဒိနိတ်များကိုမူ မည်သည့် ကန့်သတ်ချက်မျှမထားဘဲ လွတ်လပ်စွာ ချန်လှပ်ထားသည်။ === Top ကတ်တဂိုရီရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် <math>\prod_{j \in J} X_j</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': <math>(X_j)_{j \in J}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တွင် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုများ <math>\pi_j: P \to X_j</math> တပ်ဆင်ထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>A</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>(f_j: A \to X_j)_{j \in J}</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>Set</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မြှောက်လဒ်၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>h(a) = (f_j(a))_{j \in J}</math> ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် အစုသီအိုရီအခြေခံ ဖန်ရှင် <math>h: A \to P</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤဖန်ရှင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>h</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ပြသရန်အတွက် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြရမည်။ ၎င်းအတွက် <math>P</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) မဆိုသည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စု ဖြစ်ကြောင်း ပြသနိုင်လျှင် လုံလောက်ပြီဖြစ်သည်။ <math>S = \pi_k^{-1}(U)</math> သည် <math>P</math> အတွင်းရှိ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>h</math> အောက်ရှိ <math>S</math> ၏ မူလပုံရိပ်ကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ <math>h^{-1}(S) = h^{-1}(\pi_k^{-1}(U)) = (\pi_k \circ h)^{-1}(U)</math> ကျွန်ုပ်တို့၏ တည်ဆောက်ပုံအရ <math>\pi_k \circ h = f_k</math> ဖြစ်သောကြောင့် ယင်းကို အစားထိုးလိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math>h^{-1}(S) = f_k^{-1}(U)</math> <math>f_k</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ပေးထားချက်အရ မူလပုံရိပ် <math>f_k^{-1}(U)</math> သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သည်။ <math>P</math> ၏ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တိုင်း၏ မူလပုံရိပ်သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သောကြောင့် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော <math>P</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) ၏ စုဆုံမှတ် (limit) အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာများ (Representable Functors) == သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ဤသို့သော ဆက်သွယ်မှုများကို ဖန်တာများ အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === <math>F</math> သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>Set</math> သို့သွားသော လားရာတူ သို့မဟုတ် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ဖန်တာ <math>F</math> အတွက် '''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်''' (representation) ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> နှင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ပါဝင်ခြင်းဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် လားရာတူ ဖန်တာဖြစ်ပါက ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်သည် <math>c \in C</math> နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(c,-) \cong F</math> ဖြစ်ပြီး <math>F</math> သည် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာဖြစ်ပါက သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(-,c) \cong F</math> ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပြီး ဖန်တာ <math>F</math> ကို '''ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ''' (representable functor) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ လားရာတူ ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် <math>c</math> မှနေ၍ အခြားအရာဝတ္ထုများဆီသို့ သွားသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အပြင်သို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping out universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် အခြားအရာဝတ္ထုများမှနေ၍ <math>c</math> ဆီသို့ လာသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အတွင်းသို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping in universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ ဥပမာများ (Examples of Representable Functors) === *'''သဘာဝကိန်းများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ''' (Universal property of the natural numbers) တွင်အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>f: X \rightarrow X</math> နှင့် ထူးခြားသော အစုဝင် <math>x_0</math> တစ်ခု ပါဝင်သည့် အစု <math>X</math> ကို '''တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ်''' (discrete dynamical system) ဟု ခေါ်သည်။ သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math>၊ နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (successor function) <math>s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> နှင့် အစုဝင် <math>0 \in \mathbb{N}</math> တို့သည် စကြဝဠာ တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ် အဖြစ် တည်ရှိကြသည်။ ၎င်းအချက်မှာ <math>r(0) = x_0</math> နှင့် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>r \circ s = f \circ r</math> ဟူသည့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>r: \mathbb{N} \rightarrow X</math> တစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *'''ထပ်တူရ ဖန်တာ''' (Identity functor) တွင် <math>I_{Set}: Set \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အစု <math>X</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\text{Set}(*, X) \cong X</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ယင်းက အစုဝင် <math>x \in X</math> များနှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုမှ အစုဝင်ကို <math>x</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>x: * \rightarrow X</math> များကြားရှိ ဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှု (bijective correspondence) ကို သတ်မှတ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' (Forgetful functor) တွင် <math>U: Group \rightarrow Set</math> ကို အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Group(\mathbb{Z},G) \cong UG</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အစုဝင် <math>g \in UG</math> တိုင်းအတွက် ကိန်းပြည့် <math>1</math> ကို <math>g</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) <math>g: \mathbb{Z} \rightarrow G</math> ကို ဆက်စပ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' <math>U: Ring \rightarrow Set</math> ကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ၎င်းကွင်းသည် ကိန်းရှင်တစ်ခုနှင့် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များ ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည် ။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (unital ring homomorphism) <math>\phi: \mathbb{Z}[x] \rightarrow R</math> တစ်ခုကို <math>x</math> ၏ ပုံရိပ်အားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်အောင် သတ်မှတ်နိုင်သည် ။ *'''ဆန့်ကျင်ဘက် ပါဝါအစု ဖန်တာ''' (Contravariant power set functor) တွင် <math>P: Set^{op} \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်သော အစု <math>\Omega = \{\top, \bot\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Set(A,\Omega) \cong PA</math> သည် အစုပိုင်း (subset) <math>A^{\prime} \subset A</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ခွဲခြားခြင်း ဖန်ရှင် (classifying function) <math>\chi_{A^{\prime}}: A \rightarrow \Omega</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးသည် ။ ဤဖန်ရှင်သည် <math>A^{\prime}</math> ၏ အစုဝင်များကိုသာ <math>\top</math> ဆီသို့ တိကျစွာ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ အဖွင့်စုများ (open subsets) ပါဝင်သော အစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် ဖန်တာ <math>O: Top^{op} \rightarrow Set</math> ကို ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း (Sierpinski space) <math>S</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း ဆိုသည်မှာ အပိတ်မှတ်တစ်ခုနှင့် အဖွင့်မှတ်တစ်ခု ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည် ။ သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (natural bijection) <math>Top(X,S) \cong O(X)</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) <math>f: X \rightarrow S</math> တစ်ခုကို အဖွင့်မှတ်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည် ။ == ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (The Yoneda Lemma) == ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (represented functor) <math>C(c,-)</math> မှနေ၍ အခြား ဖန်တာ <math>F</math> ဆီသို့ သွားသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ရန် မည်သည့် အချက်အလက်များ လိုအပ်မည်မေးခွန်းကို ဖြေဆိုရာတွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သီအိုရမ်တစ်ခုဖြစ်သည့် ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Yoneda lemma) သည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>\text{Set}</math> သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow \text{Set}</math> နှင့်မဆို <math>C</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>ev_{1_c}: \text{Hom}(C(c, -), F) \cong Fc</math> ဤဘိုင်ဂျက်ရှင်းသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\alpha</math> ကို အစုဝင် <math>\alpha_c(1_c)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤကိုက်ညီမှုသည် <math>c</math> နှင့် <math>F</math> နှစ်ခုလုံးအတွက် သဘာဝကျမှု (natural) ရှိသည်။ မှတ်ချက်။ <math>C</math> သည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်နေနိုင်သော်လည်း သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ စုစည်းမှုဖြစ်သော <math>\text{Hom}(C(c, -), F)</math> သည် အစု (set) တစ်ခုသာ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ '''ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြချက် (Proof of the Bijection)''': *အစုဝင် <math>x \in Fc</math> တစ်ခုမှနေ၍ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးမည့် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>\Psi: Fc \rightarrow \text{Hom}(C(c, -), F)</math> ကို ဦးစွာ သတ်မှတ်မည်။ *<math>1_c \in C(c,c)</math> မှ <math>Fd</math> သို့ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်လျှောက် ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျမှုဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေရန်အတွက် ၎င်း၏ အစိတ်အပိုင်းများကို <math>\Psi(x)_d(f) := Ff(x)</math> အဖြစ် မဖြစ်မနေ သတ်မှတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative square) ၏ လိုအပ်ချက်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ *ယေဘုယျ မော်ဖစ်ဇင် <math>g: d \rightarrow e</math> တစ်ခုအတွက် <math>\Psi(x)</math> သည် သဘာဝကျကြောင်းကို စစ်ဆေးနိုင်သည်။ <math>F</math> ၏ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (functoriality) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>F(gf)(x) = Fg(Ff(x))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *၎င်းကို တန်ဖိုးရှာ တွက်ချက်ကြည့်ပါက <math>ev_{1_c}(\Psi(x)) = \Psi(x)_c(1_c) = F(1_c)(x) = 1_{Fc}(x) = x</math> ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ *အခြားတစ်ဖက်တွင် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည့် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းတစ်ခု ရှိသည်။ ဤအချက်က <math>\Psi(ev_{1_c}(\alpha))_d = \alpha_d</math> ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးသဖြင့် <math>\Psi</math> သည် ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) လည်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ *ဘယ်နှင့် ညာ ပြောင်းပြန် နှစ်ခုလုံးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> '''သဘာဝကျမှု သက်သေပြချက် (Proof of Naturality)''': *'''ဖန်တာအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Functor):''' သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\beta: F \Rightarrow G</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_c</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>\beta</math> သက်ရောက်ခြင်းနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ <math>ev_{1_c}^G(\beta \cdot \alpha) = (\beta \cdot \alpha)_c(1_c) = \beta_c(\alpha_c(1_c)) = \beta_c(ev_{1_c}^F(\alpha))</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\text{Hom}(C(c,-), F)</math> မှ <math>Gc</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျကြောင်း ပြသခြင်းဖြစ်သည်။ *'''အရာဝတ္ထုအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Object):''' မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_d</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>f^{*}</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း (precomposition) အပြင် <math>Ff</math> မှတစ်ဆင့် ပုံဖော်ခြင်းတို့နှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ အထက်တွင် သက်သေပြခဲ့သည့် <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ကို အသုံးပြု၍ <math>(\alpha \cdot f^{*})_d(1_d) = \alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း ရရှိသည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (The Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်၏ အလွန်အရေးပါသော အကျိုးဆက်တစ်ခုမှာ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (Yoneda embedding) ပင်ဖြစ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို ၎င်း၏ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများဖြစ်သော <math>C(c,-)</math> သို့မဟုတ် <math>C(-,c)</math> ဆီသို့ အသီးသီး ပုံဖော်ပေးခြင်းသည် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> မှ ဖန်တာ ကတ်တဂိုရီများ (functor categories) ဖြစ်သော <math>Set^{C^{op}}</math> သို့မဟုတ် <math>Set^C</math> ဆီသို့ သွားသည့် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (full and faithful functor) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤအချက်၏ အလွန်စွမ်းအားကြီးမားသော သက်ရောက်မှုမှာ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများကြားရှိ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများသည် ၎င်းတို့ကို ကိုယ်စားပြုသော အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) များနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီနေခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို လေ့လာခြင်းဖြင့် မူလ အရာဝတ္ထုများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို အပြည့်အဝ နားလည်သဘောပေါက်နိုင်သည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုများ (Applications of the Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုတစ်ခုမှာ ကေးလီ၏ သီအိုရမ် (Cayley's theorem) ကို သက်သေပြခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်အရ မည်သည့် သရုပ်မဲ့ အုပ်စု (abstract group) မဆိုသည် ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု (permutation group) တစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ထိုအခါ လားရာတူ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်းက ၎င်းကို ညာ <math>G</math>-အစု (right G-set) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသည်။ ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ ဤအစု၏ <math>G</math>-အချိုးညီ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ (G-equivariant endomorphisms) အားလုံးသည် ဘယ်ဘက်မှ မြှောက်ခြင်းဖြင့်သာ သတ်မှတ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) သာ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနည်းအားဖြင့် အုပ်စု <math>G</math> သည် အစု <math>G</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ == စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits) == {{main| စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်}} ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများကို ၎င်းတို့၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံထက် အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် မည်သို့ ဆက်သွယ်ပြုမူသနည်းဟူသော စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများ (universal properties) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။ ပုံကြမ်းတစ်ခုအထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#စုဆုံမှတ်(Limit)|စုဆုံမှတ်(Limit)]] ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ပုံကြမ်းအောက်ရှိ အစ ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Coimit)|ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Coimit)]]ဟု သတ်မှတ်သည်။ [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ]]၊ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ်များ၊ ပူးလ်ဘက် (pullback) များနှင့် ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) များသည် စုဆုံမှတ်နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ == တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (Adjunction) == {{main|တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း}} '''တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (adjunction) သည် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် အလွန်အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာအတွဲများကြားရှိ သဘာဝကျသော ဆက်သွယ်မှုကို ဖော်ပြသည်။ ဖန်တာနှစ်ခုကြားတွင် ဘယ်တွဲဖက် (left adjoint) နှင့် ညာတွဲဖက် (right adjoint) ဟူသော ဆက်သွယ်ချက် ရှိနေပါက ယင်းကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများစွာရှိ လွတ်လပ်သော ဖန်တာ (free functor) နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာ (forgetful functor) တို့၏ ဆက်သွယ်ချက်များသည် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} * {{citation | last1 = Eilenberg | first1 = S. | last2 = Mac Lane | first2 = S. | title = General theory of natural equivalences | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 58 | pages = 231–294 | year = 1945 }} * {{citation | last1 = Cartan | first1 = H. | last2 = Eilenberg | first2 = S. | title = Homological Algebra | publisher = Princeton University Press | place = Princeton | year = 1956 }} * {{Citation | last = Spivak | first = David | title = 18.S996 Category Theory for Scientists, Spring 2013 | date = 2013 | work = MIT OpenCourseWare | access-date = February 2, 2015 | url = http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/# }} {{refend}} [[Category:သိပ္ပံ]] [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] 0uk1vlli3fq7yo2e6ks9s0x1rafo1nu 1040692 1040691 2026-06-25T06:44:02Z Mkant00 135890 /* သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (Natural Transformation) */ 1040692 wikitext text/x-wiki {{ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ}} [[File:Trasformazione_naturale_kf.png|right|thumb|250px|အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် ဖန်တာ <math>F</math> မှ <math>G</math> သို့သွားသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation)''' <math>\alpha</math> ၏ သဘာဝကျမှု အခြေအနေကို ဖော်ပြထားသော '''ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative diagram)''']] '''ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ''' (category theory) သည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခြုံငုံလေ့လာသည့် ယေဘုယျ သင်္ချာသီအိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရီသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို မြားပုံကြမ်းများ (diagrams of arrows) အမျိုးမျိုး အသုံးပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အယူအဆအပေါ် အခြေခံသည်။ ဤသို့ အလွန်ယေဘုယျကျသော အခြေအနေတွင် လေ့လာခြင်းကြောင့် သင်္ချာပညာရပ်ရှိ ဘုံတူသော တည်ဆောက်ပုံများနှင့် ပုံစံများကို ပိုမိုနားလည်သဘောပေါက်စေသည်။ သို့ကြောင့် ကွဲပြားခြားနားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများအကြားရှိ ဆင်တူသော သဘောတရားများကို စုစည်းလေ့လာနိုင်စေသည်။ အစောပိုင်း ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ [[အုပ်စု ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (group cohomology)၊ [[လီအက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Lie algebra cohomology) နှင့် [[ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (associative algebra cohomology) တို့အား သင့်လျော်သော [[မော်ဂျူး]] ကတ်တဂိုရီ (suitable module category) တစ်ခုတွင် [[ဆင်းသက်ဖန်တာ|ဆင်းသက်ဖန်တာများ]] (derived functors) အဖြစ် ပြန်လည်ပုံဖော်ခဲ့နိုင်ခြင်းဖြစ်သည်။{{sfn|Cartan|Eilenberg|1956}} [[File:Saunders MacLane.jpg|right|thumb|250px|'''ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း''' (Saunders Mac Lane) သည် အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ကို ပူးတွဲတည်ဆောက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ သူသည် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု သီအိုရမ်များ (coherence theorems) နှင့်ပတ်သက်သော လုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် အထူးထင်ရှားသည်။]] [[File:Samuel Eilenberg MFO.jpeg|right|thumb|250px|'''ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်''' (Samuel Eilenberg) သည် ပိုလန်ဖွား အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး သူ၏ အဓိကလုပ်ဆောင်ချက်များသည် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နယ်ပယ်တွင် ဖြစ်သည်။ သူသည် နော်မန် စတင်းရော့ဒ် (Norman Steenrod) နှင့်အတူ [[ဟိုမိုလော်ဂျီ သီအိုရီ]] (homology theory) အား နဂိုမှန်အဆိုများဖြင့် တည်ဆောက်ခြင်းကို လည်းကောင်း ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို လည်းကောင်း ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။]] ကတ်တဂိုရီများ၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]]နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] ဟူသော သုံးခုတွဲကို ၁၉၄၂ ခုနှစ်တွင် ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ကြပြီး၊ ၁၉၄၅ ခုနှစ် စာတမ်းတွင် သီးခြားလွတ်လပ်သော [[အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ|အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ]] (Algebraic structures) အဖြစ် ပုံစံတကျ ထပ်မံဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> ၎င်းတို့၏ ကနဦး အဓိက ရည်ရွယ်ချက်မှာ အက္ခရာသင်္ချာအသစ်တစ်ခု တီထွင်ရန်မဟုတ်ဘဲ၊ ထိုခေတ်အခါက [[ချက် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Čech cohomology) ရှိ [[စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်|စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်များ]] (Universal coefficient theorems) လိုအပ်သော စုဆုံမှတ်များကို လေ့လာရန်နှင့်၊ အထူးသဖြင့် [[အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Algebraic topology) ရှိ စာတမ်းများစွာတွင် အလွတ်သဘော အသုံးပြုနေကြသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟူသည့် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ပေးရန်ဖြစ်သည်။ ဤအခြေခံကျသော စာတမ်းများတွင် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် ပုံနှိပ်ဖော်ပြခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။ မက်လိန်း၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သော <math>Ext(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}_{p}</math> သည် တိကျသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ကိုက်ညီနေကြောင်းကို အိုင်လန်ဘာ့ဂ်က သတိပြုမိရာမှ ဤသီအိုရီ စတင်မွေးဖွားလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး၊ [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (derived functor) <math>\text{Ext}</math> သည် ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခံရသော အစောဆုံး ဖန်တာများထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ရပ်ဝန်းမှာ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဆော်လီနွိုက်၏ 3-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြည့်စွက်စု ဖြစ်သည်။ ဤဆက်စပ်မှုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာခြင်းသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ အုပ်စုများကို ဆက်စပ်ပေးသော စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိစေခဲ့သည်။ တိုက်ရိုက် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသော ရပ်ဝန်းများဆီသို့ ဤသီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် နှင့် မက်လိန်း တို့သည် စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်၏ တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းရှိ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များမှာ သဘာဝကျကြောင်း သက်သေပြရန် လိုအပ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က သဘာဝကျခြင်း ဆိုသည်မှာ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်မှုများ မပါဝင်ဘဲ သတ်မှတ်ထားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခေါ်ဆိုသည့် အရပ်သုံးစကားတစ်ရပ်မျှသာ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] နှင့် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် တို့ကြားရှိ ပုံမှန်[[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]သည် မည်သည့် အခြေအစုကိုမျှ ရွေးချယ်ရန် မလိုအပ်ခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ရလဒ်များကို ခိုင်လုံစွာ သက်သေပြနိုင်ရန်အတွက် ဤပင်ကိုသိစိတ်ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ကိုဩဒိနိတ် ကင်းစင်သော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများကို ဦးစွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့ကို သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်ရန် ဖန်တာများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဖန်တာများ အလုပ်လုပ်ဆောင်မည့် ပတ်ဝန်းကျင်ကို သတ်မှတ်ပေးနိုင်ရန် ကတ်တဂိုရီများကို နောက်ဆုံးတွင် တီထွင်ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဤသီအိုရီသည် သူ့သဘောသူဆောင်၍ တစတစ ကျယ်ပြန့်လာရာ ယခုအခါတွင် မျက်မှောက်ခေတ် သင်္ချာနှင့် [[သဘောတရားရေးရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]]တို့တွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အဓိကကျသည့် အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လာပြီး၊ ၎င်းကို သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒတွင်လည်း အသုံးပြုလာကြသည်။ သိပ္ပံဘာသာရပ် အသီးသီးရှိ တည်ဆောက်ပုံအမျိုးမျိုး၏ ဘုံတူညီမှုများကို ဖော်ပြသည့် ဘာသာစကားအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ၎င်း ဘုံတည်ဆောက်မှုများကို ပုံစံတကျ (formal) ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း အသုံးပြုလာကြသည်။{{sfn|Spivak|2013}} '''ပိုမိုမြင့်မားသော ကတ်တဂိုရီများ (Higher categories)''' ၏ ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည့် '''2-ကတ်တဂိုရီ (2-category)''' အကြောင်းကို [[2-ကတ်တဂိုရီ]] တွင် ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဒဿနဆိုင်ရာ မှတ်စုများ (Historical and Philosophical Notes) <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> == ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်း မဟုတ်ပေ။ ယင်းသည် ၂၀ ရာစုအလယ်ပိုင်းရှိ အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ တိကျသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းနှင့် သဘောတရားရေးရာ လိုအပ်ချက်များကြောင့် တွန်းအားပေး ပေါ်ထွက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ === မြားသင်္ကေတ၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာမှု (The Evolution of the Arrow) === ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တိကျသော မြားသင်္ကေတ <math>f: X \rightarrow Y</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် အခြေခံအယူအဆသည် ၁၉၄၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဤတီထွင်မှုသည် နှိုင်းရ ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ (relative homotopy groups) နှင့် ပတ်သက်သော ဟူးရီဗစ်ဇ် (Hurewicz) ၏ ဟောပြောပို့ချချက်များနှင့် စာတမ်းများမှ အဓိက ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤပြေပြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် ဖောက်စ် (Fox) နှင့် စတင်းရော့ဒ် (Steenrod) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ၏ အာရုံစိုက်မှုကို လျင်မြန်စွာ ရရှိခဲ့သည်။ မြားသင်္ကေတသည် ရှေးကျ၍ အဓိပ္ပာယ်မကွဲပြားသော <math>f(X) \subset Y</math> သင်္ကေတနေရာတွင် အလျင်အမြန် အစားထိုးဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ထိုရှေးကျသော သင်္ကေတသည် ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ <math>X</math> ၏ ပုံရိပ်သည် <math>Y</math> ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်းကိုသာ ရိုးရှင်းစွာ ညွှန်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ မြားသင်္ကေတသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ ဗဟိုအချက်အချာဖြစ်သော သတ်မှတ်ထားသည့် အရင်းအမြစ်မှ သတ်မှတ်ထားသည့် ပစ်မှတ်ဆီသို့သွားသော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုကို တိကျစွာ ဖမ်းဆုပ်နိုင်ခဲ့သောကြောင့် ထူးခြားစွာ အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ယင်းသည် ရိုးရှင်းသော သင်္ကေတပြောင်းလဲမှုတစ်ခုက နက်နဲသော သင်္ချာသဘောတရားသစ် (ကတ်တဂိုရီ) တစ်ခုကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် မည်သို့ တိုက်ရိုက် လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ကြောင်း ပြသသည့် အဓိက သမိုင်းဝင် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဟူးရီဗစ်ဇ်သည် ဤမြားပုံဖော်မှုများကို အမြင်အာရုံဖြင့် ခြေရာခံနိုင်ရန်အတွက် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို စတင်အသုံးပြုခဲ့သူအဖြစ်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ === ဒဿနဆိုင်ရာ ဝေါဟာရများ (Philosophical Terminology)=== ဤနယ်ပယ်၏ ဝေါဟာရများသည် ယုတ္တိဗေဒ ဒဿနိကဗေဒမှ အများအပြား ရယူထားပြီး ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားခြင်းကို ထင်ဟပ်နေသည်။ ကတ်တဂိုရီ (Category) ဟူသော ဝေါဟာရကို အရစ္စတိုတယ် (Aristotle) နှင့် ကန့်တ် (Kant) တို့၏ ဒဿနဆိုင်ရာ ခွဲခြားသတ်မှတ်မှုများမှ ရယူသုံးစွဲခဲ့သည်။ ဖန်တာ (Functor) ဟူသော ဝေါဟာရကို ရူးဒေါ့ဖ် ကာနပ် (Rudolf Carnap) ၏ Logische Syntax der Sprache စာအုပ်မှ ယူငင်သုံးစွဲခဲ့သည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း ဟူသော ဝေါဟာရကို ထိုခေတ်အခါက အလွတ်သဘော သုံးနှုန်းနေကြသော သင်္ချာဝေါဟာရမှနေ၍ တိကျခိုင်မာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုအဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်ခဲ့သည်။ === အမ်မီ နိုသာ၏ အမွေအနှစ် (The Legacy of Emmy Noether) === ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များသည်ဘာလဲ ဟူသော မေးခွန်းကို မဖြစ်မနေ မေးမြန်းရန် တောင်းဆိုထားသည်။ ၎င်းသီအိုရီက သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း သတ်မှတ်၍ လေ့လာရန် အခိုင်အမာ တိုက်တွန်းထားသည်။ အစုဝင်များထက် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များအပေါ် ဤသို့ နက်နက်နဲနဲ အလေးပေးမှုသည် အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) ၏ အမွေအနှစ် တစ်စိတ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သူမသည် အုပ်စုများနှင့် ကွင်းများကို လေ့လာရာတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ဖွဲ့စည်းပုံအရ အသုံးပြုခြင်းအား ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ ပညာရှင်အများစုသည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ အရာဝတ္ထုများကို အစွဲပြု၍ အမည်ပေးလေ့ရှိကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbf{Set}</math> နှင့် <math>\mathbf{Cat}</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် မြားများအပေါ် အလေးပေးမှုသည် အလွန်အရေးပါလှသောကြောင့် အချို့သော ပညာရှင်အုပ်စုများသည် ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ မြားများဖြင့်သာ အမည်ပေးကြသည်။ အထူးသဖြင့် ချားလ်စ် အဲရက်စမန်း (Charles Ehresmann) ၏ ကျောင်းသည် ထင်ရှားပြီး ၎င်းတို့က <math>\mathbf{Cat}</math> ကို ဖန်တာများ၏ ကတ်တဂိုရီအဖြစ် တင်းကျပ်စွာ ရည်ညွှန်းကြသည်။ [[File:Emmy Noether.jpg|right|thumb|250px| အာမာလီယာ အမ်မီ နိုသာ (Amalie Emmy Noether) သည် ဘာဗေးရီးယန်း လူမျိုး ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမကို ဘာဗေးရီးယား ဘုရင်နိုင်ငံ၊ အာလန်ဂန် (Erlangen) မြို့တွင် ၁၈၈၂ ခုနှစ် မတ်လ ၂၃ ရက်နေ့၌ မွေးဖွားခဲ့ပြီး ပင်ဆယ်ဗေးနီးယားပြည်နယ်၊ ဘရင်မော (Bryn Mawr) မြို့တွင် ၁၉၃၅ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၄ ရက်နေ့၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမသည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) နှင့် သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒ (theoretical physics) တို့အတွက် အခြေခံကျသော ပံ့ပိုးကူညီမှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် သူမသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)| ကွင်း]]များ (rings)၊[[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ (algebras) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တော်လှန်ပြောင်းလဲနိုင်ခဲ့သည်။ သူမ ဖော်ထုတ်ခဲ့သော နိုသာ သီအိုရမ် (Noether's theorem) သည် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ သဘာဝနိယာမများ၏ အချိုးညီမှုများ (symmetries) ကို ၎င်းတို့နှင့် ဆက်စပ်နေသော တည်မြဲပမာဏများ (conservation quantities) တည်ရှိမှုနှင့် ပေါင်းစပ်ဖော်ပြထားသည်။]] ==အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်== '''ကတ်တဂိုရီ (category)''' တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>X, Y, Z, \dots</math> စသည့် အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုတစ်ခု။ * '''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>f, g, h, \dots</math> စသည့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုတစ်ခု။ မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''အရင်းအမြစ် (domain)''' နှင့် '''ပစ်မှတ် (codomain)''' အရာဝတ္ထုများ သတ်သတ်မှတ်မှတ်ပါရှိသည်။ သင်္ကေတအရ <math>f:X\rightarrow Y</math> တွင် <math>f</math> သည် အရင်းအမြစ် <math>X</math> နှင့် ပစ်မှတ် <math>Y</math> တို့၏ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုသည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) '''<math>1_{X}:X\rightarrow X</math> တစ်ခုစီ အသီးသီး သတ်သတ်မှတ်မှတ်ရှိသည်။ <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်တို့ ထပ်တူညီပြီး ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>gf</math> ဟုခေါ်သော '''ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (composite morphism)''' တစ်ခု ရှိသည်။ ထို <math>gf</math> ၏ အရင်းအမြစ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီပြီး ၎င်း၏ ပစ်မှတ်သည် <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် တူညီသည်။ (မှတ်ချက်။ ဤတွင် "domain" နှင့် "codomain" တို့ကို ဘာသာပြန်ဆိုရာ၌ "အရင်းအမြစ်စု" နှင့် "ပစ်မှတ်စု" အစား "စု" (set) နောက်ဆက်တွဲကို ချန်၍ "အရင်းအမြစ်" နှင့် "ပစ်မှတ်" ဟုသာ အသုံးပြုထားသည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီရှိ အရာဝတ္ထု (object) များသည် အစုများသာ ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ဘဲ အခြားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ "စု" ဟု ထည့်သွင်းခေါ်ဆိုခြင်းသည် အစုသီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို သွယ်ဝိုက်သက်ရောက်စေနိုင်သောကြောင့် ဤသို့ ချန်လှပ်အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။) === နဂိုမှန်အဆိုများ (Axioms) === အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * မည်သည့် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက်မဆို ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>1_{Y}f</math> နှင့် <math>f1_{X}</math> တို့ နှစ်ခုလုံးသည် <math>f</math> နှင့် ညီမျှသည်။ * ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်သုံးခု <math>f, g, h</math> တိုင်းအတွက် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သည့် <math>h(gf)</math> နှင့် <math>(hg)f</math> တို့သည် တူညီပြီး ၎င်းတို့ကို <math>hgf</math> ဟု တူတူသတ်မှတ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းနိယာမသည် '''ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity)''' နှင့် '''ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital)''' တို့နှင့် ပြည့်စုံသည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''ကွီဗာ''' (quiver) ခေါ် လားရာပြဂရပ် (directed graph) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည် ။ ၎င်းတွင် မျဉ်းပြိုင်မြားများ (parallel arrows) နှင့် ကွင်းပိတ်များ (loops) ပါဝင်နိုင်သည် ။ == ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ == *'''Quiver''': ကွီဗာများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော ကွီဗာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (quiver homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Set</math>) *[[တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Top</math>) *'''Man''': ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများကို (smooth manifolds) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Meas''': အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်းများကို (measurable spaces) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အတိုင်းအတာ ဖန်ရှင်များကို (measurable functions) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Poset''': တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများကို (partially-ordered sets) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်ရှင်များ (order-preserving functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>\textbf{hTop}</math>''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) သည် ဟွမ်း-အစုများ (Hom sets) အဖြစ် <math>\text{Hom}(X, Y) = [X, Y]</math> သတ်မှတ်သည်။ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစား (homotopy class) များအားလုံး ပါဝင်သည့် မိသားစုကို <math>[X, Y]</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ *'''<math>Set_{*}</math> နှင့် <math>Top_{*}</math>''': အခြေခံအမှတ် (basepoint) သတ်မှတ်ထားသော အစုများ သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ကို မပြောင်းလဲစေသော (အဆက်မပြတ်) ဖန်ရှင်များ (basepoint-preserving (continuous) functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ * [[အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Grp</math>) * [[အဘီလီယန်အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Ab</math>) * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Ring</math>) *'''Field''': [[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို (field homomorphisms) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mod_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် ဘယ် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]]များကို (left R-modules) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Ch_{R}</math>''': <math>R</math>-မော်ဂျူးများ၏ ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (chain complexes) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချိတ်တန်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mat_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် <math>Mat_{R}</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်။ <math>n</math> မှ <math>m</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>R</math> မှ တန်ဖိုးများပါရှိသော <math>m \times n</math> ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်ပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံများသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ *'''BG''' (ကတ်တဂိုရီဖြစ် အုပ်စု): အုပ်စု <math>G</math> သို့မဟုတ် ယေဘုယျအားဖြင့် [[မိုနွိုက်]] (monoid) တစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ '''BG''' အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်းကို အစုဝင်များ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်သည်။ *'''Graph''': ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များကို (simple graphs) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဂရပ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီ''' (Discrete category): အစုတစ်ခုကို ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည် ။ ၎င်းတွင် အစုဝင်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သည် ။ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်နေသော ကတ်တဂိုရီကို တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီဟု ခေါ်သည် ။ === ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ နှင့် သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (Concrete and Abstract Categories) === အထက်ပါ ဥပမာအများစုသည်''' ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories)''' ဖြစ်ကြသည် ။ ၎င်းကတ်တဂိုရီများရှိ အရာဝတ္ထုများတွင် အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိကြသည် ။ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် အဆိုပါ အခြေခံအစုများကြားရှိ ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည် ။ သို့သော် ကတ်တဂိုရီတိုင်းသည် ဤကဲ့သို့ ဖန်ရှင်များကိုသာ အခြေခံထားခြင်း မဟုတ်ပေ ။ မော်ဖစ်ဇင်များသည် ဖန်ရှင်များ မဟုတ်သော '''သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (abstract categories)''' လည်း များစွာတည်ရှိသည် ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>Mat_{R}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကိန်းအုံများကို (matrices) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ထို့အတူ အုပ်စုတစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအဖြစ် သတ်မှတ်ပါက ထိုအုပ်စု၏ အစုဝင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်လာကြသည် ။ ဤသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင်များသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်မရှိကြောင်း ပြသနေသည် ။ == မော်ဖစ်ဇင် အမျိုးအစားများ (Types of Morphisms) == *'''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) <math>h,k: w\rightrightarrows x</math> အတွက်မဆို <math>fh=fk</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ <math>h,k: y\rightrightarrows z</math> အတွက်မဆို <math>hf=kf</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက် <math>gf=1_X</math> နှင့် <math>fg=1_Y</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>g: Y\rightarrow X</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို <math>f</math> ကို [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]ဟု ခေါ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကြားတွင် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]တစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို '''အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထုများ (isomorphic objects)''' ဟု သတ်မှတ်ပြီး သင်္ကေတအားဖြင့် <math>X \cong Y</math> ဟု ရေးသားသည်။ *'''အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (Endomorphism):''' အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တူညီသော မော်ဖစ်ဇင်ကို [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]]ဟု ခေါ်သည်။ *'''အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (Automorphism):''' [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]လည်းဖြစ်သော [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]]ကို [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]]ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပိုင်း နှင့် ရုပ်သိမ်းခြင်း (Section and Retraction):''' <math> x\overset{s}{\longrightarrow} y \overset{r}{\longrightarrow} x</math> တို့သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပြီး <math>rs=1_{x}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>s</math> ကို '''အပိုင်း (section)''' သို့မဟုတ် <math>r</math> ၏ ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဟုခေါ်ပြီး <math>r</math> ကို '''ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction)''' သို့မဟုတ် <math>s</math> ၏ ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>s</math> သည် အမြဲတမ်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>r</math> သည် အမြဲတမ်း အပီမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤ တစ်ဖက်သတ် ပြောင်းပြန်များ (one-sided inverses) ရှိနေခြင်းကို အသိအမှတ်ပြုသောအားဖြင့် <math>s</math> ကို ခွဲထွက် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (split monomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>r</math> ကို ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်း၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များ]]''' (injective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့အတူပင် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များ]]''' (surjective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့ကြောင့် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]]နှင့် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်]] [[ဖန်ရှင်]] သဘောတရားများ၏ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ နှိုင်းယှဉ်ချက်များအဖြစ် ရှုမြင်သင့်သည်။ လက်တွေ့တွင် <math>C</math> သည် အရာဝတ္ထုများ၌ အခြေခံ[[အစု|အစုများ]] (underlying sets) ပါရှိသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကြားရှိ အင်ဂျက်တစ် သို့မဟုတ် ဆာဂျက်တစ် [[ဖန်ရှင်]]ကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည့် မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ထိုသို့သော ကတ်တဂိုရီများ၌ပင်လျှင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင် သဘောတရားများသည် ပိုမို၍ ယေဘုယျကျနိုင်သည်။ အခြေခံ[[ဖန်ရှင်]]သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories) ရှိသည်။ ထို့အတူ ၎င်း၏ အခြေခံ[[ဖန်ရှင်]]သည် ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ လည်း ရှိသည်။ '''ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို''' (axiom of choice) ကို ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ''[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ မည်သည့် အပီမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဖြစ်သည်'' ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ === မော်ဖစ်ဇင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် ဒွန်တွဲမှု (Properties and Duality) === *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင်(if and only if) ၎င်းသည် ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ <math>C^{op}</math> တွင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (by duality) <math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf</math> အား မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်စေသော မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် monic) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>gf</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ပါက <math>g</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် epic) ဖြစ်သည်။ *မည်သည့်ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>C</math> အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် <math>C^{op}</math> အတွင်းရှိ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိုက်ရိုက် သက်ဆိုင်သောကြောင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း ကတ်တဂိုရီပိုင်း တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ *[[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ *ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (unital rings) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ|Ring]] တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) <math>i: \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ရော အပီမော်ဖစ်ဇင်ပါ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) မဟုတ်ပေ။ === အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ထပ်တူညီမှုများ (Isomorphism Equivalences) === အောက်ဖော်ပြပါ အဆိုများသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) *(i) <math>f:x\rightarrow y</math> သည် <math>C</math> အတွင်းရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ *(ii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (postcomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (bijection) <math>f_{*}:C(c,x)\rightarrow C(c,y)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ *(iii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (precomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] <math>f^{*}:C(y,c)\rightarrow C(x,c)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ ဤအခြေအနေတွင် "ဘိုင်ဂျက်ရှင်း" နှင့် "အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်" ဟူသော ဝေါဟာရများသည် သင်္ချာသဘောတရားအရ အဓိပ္ပာယ်တူညီကြသည်။ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]]သည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ]]ပင် ဖြစ်သည်။ <math>C(c,x)</math> နှင့် <math>C(c,y)</math> တို့သည် ဟွမ်း-အစုများ (hom-sets) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သည့် [[အစု|အစုများ]]ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် ပုံဖော်မှု <math>f_{*}</math> သည် [[အစု]]တစ်ခုမှ အခြား[[အစု]]တစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ကတ်တဂိုရီ တည်ဆောက်ပုံများ (Basic Category Constructions) == === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Small Category) နှင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Locally Small Category) === ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ မော်ဖစ်ဇင်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစု (set) တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>x, y</math> တိုင်းအတွက်မဆို ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>C(X, Y)</math> သို့မဟုတ် <math>\text{Hom}(X, Y)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည် ။ ဤစုစည်းမှုကို '''ဟွမ်း-အစု''' (hom-set) ဟု ခေါ်ဆိုသည် ။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အလွန်အသုံးဝင်သောကြောင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မသေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည် ။ ကတ်တဂိုရီများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အစု (set) ဟူသော စကားလုံးအစား စုစည်းမှု (collection) ဟူသော စကားလုံးကို သတိပြု၍ အသုံးပြုထားသည် ။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ အစုများအားလုံး ပါဝင်သော အစုဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ ။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် အစုများအားလုံးပါဝင်သော Set ကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပေ ။ ဤကဲ့သို့ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ရှုပ်ထွေးမှုများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကတ်တဂိုရီများ၏ အရွယ်အစားကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်လာသည် ။ === ဂရုပွိုက် (Groupoid) === '''ဂရုပွိုက် (groupoid)''' ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ဖြစ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု (group) သည် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ဂရုပွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''အခြေခံ ဂရုပွိုက် (fundamental groupoid)''' <math> \Pi_{1}X</math> သည် <math>X</math> ၏ အမှတ်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''အစွန်းမှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော လမ်းကြောင်းများ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစားများ (endpoint-preserving homotopy classes of paths)''' ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တွင်မဆို '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက် (maximal groupoid)''' တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများအားလုံး ပါဝင်ပြီး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည့် မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) နှင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin_{iso}</math> သည် အဆုံးရှိအစုများနှင့် ဖန်ရှင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin</math> ၏ '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက်ပိုင်း (maximal subgroupoid)''' ဖြစ်သည်။ ဤဂရုပွိုက်ကို သဘာဝကိန်းများ၏ '''ကတ်တဂိုရီအသွင်ပြောင်းခြင်း (categorification)''' တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကတ်တဂိုရီပိုင်း (Subcategory) === ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' <math>D</math> တစ်ခုကို <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of objects) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of morphisms) တို့ကို ကန့်သတ်ယူဆောင်၍ သတ်မှတ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချက်အလက်များကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု၏ ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ === ကတ်တဂိုရီ မြှောက်လဒ် (Product Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ '''မြှောက်လဒ် ကတ်တဂိုရီ (product category)''' <math>C \times D</math> တစ်ခု ရှိသည်။ *၎င်း၏ အရာဝတ္ထုများသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(c, d)</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>c</math> သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်ကာ <math>d</math> သည် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ *မော်ဖစ်ဇင်များသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(f, g): (c, d) \rightarrow (c^{\prime}, d^{\prime})</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>f: c \rightarrow c^{\prime} \in C</math> နှင့် <math>g: d \rightarrow d^{\prime} \in D</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) အသီးသီး သတ်မှတ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (Opposite Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\text{C}</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (opposite category)''' <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *'''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>\text{C}</math> တွင်ရှိသော အရာဝတ္ထုများအတိုင်း တူညီစွာ ပါဝင်သည်။ *'''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် မော်ဖစ်ဇင် <math>f^{\text{op}}</math> တစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>f^{\text{op}}</math> ၏ အရင်းအမြစ် သည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ် အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>f^{\text{op}}</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y \in \text{C}^{\text{op}} \Leftrightarrow f: Y \rightarrow X \in \text{C}</math> <math>\text{C}^{\text{op}}</math> ၏ ကျန်ရှိသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>1_{X}^{\text{op}}</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>1_{X}^{\text{op}}:X\rightarrow X</math> ဖြစ်သည်။ *'''ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition)''' ကို သတ်မှတ်ရာတွင် <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ <math>g, f</math> တွဲ ပေါင်းစပ်နိုင်မှသာ <math>\text{C}^{\text{op}}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f^{\text{op}}, g^{\text{op}}</math> ကို ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီမှသာ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို <math>g^{\text{op}} f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}</math> အဖြစ် ရေးသည်။ <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y, g^{\text{op}}: Y \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}} \quad \rightsquigarrow \quad g^{\text{op}}f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}: X \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}}</math> <math>\qquad \qquad \qquad \Updownarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Updownarrow</math> <math>g: Z \rightarrow Y, f: Y \rightarrow X \in \text{C} \qquad \quad \rightsquigarrow \qquad \quad fg: Z \rightarrow X \in \text{C}</math> ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း ရေးသားခဲ့ဖူးသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွက် မည်သည့် နဂိုမှန်အဆို၏ ဒွန်တွဲမှု (duality) မဆိုသည်လည်း နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခု ဖြစ်သည် ဟူ၍ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုနှင့်ပတ်သက်သော မည်သည့်အဆိုကိုမဆို ၎င်းကတ်တဂိုရီ၏ နဂိုမှန်အဆိုများမှ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါက ၎င်း၏ ဒွန်တွဲအဆိုကိုလည်း ကောက်ချက်ချနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (Slice Categories) === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (slice categories) ကို <math>c/C</math> နှင့် <math>C/c</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>c/C</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow x</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: c \rightarrow x</math> မှ <math>g: c \rightarrow y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>g = hf</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C/c</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x \rightarrow c</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: x \rightarrow c</math> မှ <math>g: y \rightarrow c</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>f = gh</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>c/C</math> သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်ဟူသော အချက်မှနေ၍ <math>C/c := (c/(C^{op}))^{op}</math> ဟူသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>C/c</math> သည်လည်း ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ == ဖန်တာ (Functor) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[ဖန်တာ]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီသီအိုရီတွင် '''ဖန်တာ''' (functor) ဆိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုမှ အခြားကတ်တဂိုရီတစ်ခုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ကြားရှိ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် <math>C</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများကို <math>D</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများဆီသို့ လည်းကောင်း၊ <math>C</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များကို <math>D</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များဆီသို့ လည်းကောင်း အသီးသီး ချိတ်ဆက်ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ထိုသို့ ပုံဖော်ရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ၏ လားရာကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)|လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)]] ဟုခေါ်ဆိုပြီး လားရာကို ပြောင်းပြန်လှန်ပစ်သော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)|ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)]] ဟု ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ === ဖန်တာကို အသုံးပြုသော တည်ဆောက်ပုံများ (Functor-based Constructions) === ==== ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ (Comma category) ==== ဖန်တာ <math>F \colon \mathsf{D} \to \mathsf{C}</math> နှင့် <math>G \colon \mathsf{E} \to \mathsf{C}</math> တို့ ပေးထားသော '''ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ''' <math>F \downarrow G</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>(d \in \mathsf{D}, e \in \mathsf{E}, f \colon Fd \to Ge \in \mathsf{C})</math> ဟူသော သုံးခုတွဲ (triples) များ။ *<math>(d, e, f)</math> မှ <math>(d', e', f')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် <math>f' \cdot Fh = Gk \cdot f</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲများ <math>(h \colon d \to d', k \colon e \to e')</math> ==== အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements) ==== လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) <math>F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x) = x'</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ (forgetful functor) <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ဤမေ့လျော့ဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\int F</math> မှ အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> ကို ကတ်တဂိုရီ <math>\mathsf{C}</math> ရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> ကို မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း တိုက်ရိုက် ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ဆန့်ကျင်ဘက်ဖန်တာ၏ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements of a contravariant functor) ==== ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) <math>F \colon \mathsf{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x') = x</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင်လည်း ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိပြီး ၎င်းသည် အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> အား <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အား <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ပုံကြမ်း (Diagram) ==== ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တစ်ခုရှိ ပုံကြမ်း (diagram) ဆိုသည်မှာ ဖန်တာ <math>F:J\rightarrow C</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အရင်းအမြစ် (domain) ကို ပုံကြမ်း၏ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (indexing category of the diagram) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ပုံကြမ်းတစ်ခုသည် ဖန်တာတစ်ခုသာ ဖြစ်သော်လည်း လက်တွေ့တွင်မူ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီထက် ပိုမိုသေးငယ်သောအခါ ထိုဖန်တာကို ပုံကြမ်းအဖြစ် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) ဖြစ်ပါက ထိုပုံကြမ်းကို သေးငယ်သော ပုံကြမ်းဟု သတ်မှတ်သည်။ ==== ကိန်းသေ ဖန်တာ (Constant Functor) ==== <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) <math>\mathcal{J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor)''' <math>\Delta_c: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(i) = c</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(f) = \operatorname{id}_c</math> ဖြစ်သည်။ === ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (Cone Over a Diagram) === ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (cone over a diagram)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''ထိပ်ဖျား (summit or apex)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဤသဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတွင် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစုဖြစ်သော <math>\lambda_i: c \to F(i)</math> များ ပါဝင်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်များကို '''ခြေတံများ (legs)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>F(f) \circ \lambda_i = \lambda_j</math> ==== ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ သို့မဟုတ် ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (Cone Under a Diagram / Cocone) ==== ဒွန်တွဲစွာဖြင့် ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ''' သို့မဟုတ် '''ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (cone under a diagram / cocone)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_c</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''အောက်ခြေ (nadir)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ၎င်းတွင် ခြေတံများဖြစ်သည့် <math>\mu_i: F(i) \to c</math> များ ပါဝင်သည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>\mu_j \circ F(f) = \mu_i</math> ==== <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ (The Category of Cones Over <math>F</math>) ==== <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ အရာဝတ္ထုများ (Objects): အရာဝတ္ထုများမှာ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တို့ပါဝင်သော အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(c, \lambda)</math> များ ဖြစ်ကြသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms): ကတော့ပုံ <math>(c, \lambda)</math> မှ ကတော့ပုံ <math>(d, \eta)</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: c \to d</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>i \in \mathcal{J}</math> တိုင်းအတွက်မဆို ခြေတံ <math>\lambda_i</math> ကို <math>h</math> မှတစ်ဆင့် ခြေတံ <math>\eta_i</math> သို့ ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားစေရမည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်၊ *<math>\eta_i \circ h = \lambda_i</math> ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition): ကတော့ပုံများအကြား မော်ဖစ်ဇင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ သက်ဆိုင်ရာ မော်ဖစ်ဇင်များကို ပုံမှန်ပေါင်းစပ်ခြင်းမျှသာ ဖြစ်သည်။ ဤသို့ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားသော ဂုဏ်သတ္တိကို သဘာဝအလျောက် ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းထားသည်။ == သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (Natural Transformation) == {{main| သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း}} ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် ဖန်တာ (functor) များကို လေ့လာပြီးနောက် ထိုဖန်တာများအချင်းချင်းကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ဆက်လက်လေ့လာရန် လိုအပ်လာသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာများ (parallel functors) ဖြစ်သော <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့ကြားတွင် တည်ရှိသော ဆက်သွယ်မှု ပုံဖော်ခြင်းကို '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဖန်တာတစ်ခုမှ အခြားဖန်တာတစ်ခုသို့ ကူးပြောင်းရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီများ၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံများကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ အစိတ်အပိုင်းတိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်နေသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းကို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism of Categories) === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ်နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{Cat}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ဤကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော်လည်း သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ မဟုတ်ပေ။ ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများ (large categories) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{CAT}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ <math>\text{CAT}</math> သည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်နေလောက်အောင် ကြီးမားနေခြင်းမျိုး မဖြစ်သင့်သဖြင့် <math>\text{CAT}</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>\text{CAT}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်ခြင်းမရှိသောကြောင့် ဤနည်းအားဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်မှုမှ ချန်လှပ်ထားခံရသည်။ ပါဝင်မှု ဖန်တာ <math>\text{Cat} \hookrightarrow \text{CAT}</math> တစ်ခု တစ်ဖက်တွင် ရှိသော်လည်း အခြားတစ်ဖက်သို့ ပြန်သွားသည့် ဖန်တာ မရှိပါ။ <math>\text{Cat}</math> သို့မဟုတ် <math>\text{CAT}</math> တွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism of categories)''' သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို ပြောင်းပြန် ဖန်တာ (inverse functors) အတွဲ <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းများဖြစ်သော <math>GF</math> နှင့် <math>FG</math> တို့သည် <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူရဖန်တာများ နှင့် အသီးသီး ညီမျှရမည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများနှင့် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုများကြား ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုနည်းတူစွာ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များကြားတွင် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု (Equivalence of Categories) === လက်တွေ့တွင် ကတ်တဂိုရီနှစ်ခု အတိအကျ တူညီသည် (အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်သည်) ဟု ဆိုရန်မှာ အလွန်ခက်ခဲတင်းကျပ်လွန်းသော သတ်မှတ်ချက်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု''' (equivalence of categories) ဟူသော သဘောတရားကို ပိုမိုအသုံးပြုကြသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားတွင် ထပ်တူညီမှု ရှိသည်ဆိုသည်မှာ ဖန်တာများဖြစ်သော <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့အပြင် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\eta: 1_C \cong GF</math> နှင့် <math>\epsilon: FG \cong 1_D</math> တို့ တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ကဲ့သို့ <math>GF = 1_C</math> ဟု တိကျစွာ ညီမျှရန် မလိုအပ်ဘဲ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ညီမျှနေခြင်းက လုံလောက်ပါသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ထပ်တူညီမှု (equivalence) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုပြီး ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကို ထပ်တူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (equivalent categories) ဟု သတ်မှတ်ကာ <math>C \simeq D</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဖန်တာတစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီများကို ထပ်တူညီစေခြင်း ရှိ မရှိကို အောက်ပါ သီအိုရမ်ဖြင့် အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) လည်းဖြစ်၍ အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (essentially surjective functor on objects) လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အလားတူပင် ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော မည်သည့် ဖန်တာမဆိုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိပြီး အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ရမည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုအရ ဤအချက်နှစ်ခုသည် အပြန်အလှန် မှန်ကန်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများသည် အချင်းချင်း အိုင်ဆိုမောဖစ် မဖြစ်ပါက ထိုအရာဝတ္ထုများသာ ပါဝင်သော ပြည့်ဝသည့် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ကို မူလကတ်တဂိုရီ၏ '''အရိုးစု''' (skeleton) ဟု ခေါ်သည်။ အရိုးစု ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုနှစ်ခု အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့သည် အတိအကျ တူညီသော အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ရမည်။ အရေးပါသော သီအိုရမ်တစ်ခုမှာ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီမဆိုသည် ၎င်း၏ အရိုးစုနှင့် အမြဲတမ်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟူသောအချက် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများအားလုံး ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>FinSet</math> သည် ၎င်း၏ အရိုးစုဖြစ်သော <math>\{1, 2, \dots, n\}</math> ပုံစံရှိ အစုများသာ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီနှင့် ထပ်တူညီသည်။ == ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (Categorical Product) == <math>J</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''တစ်ပိုင်းတစ်စ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (discrete indexing category)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (categorical product)''' ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအရာဝတ္ထုတွင် <math>k \in J</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ပရိုဂျက်ရှင်း (projection) ဟုခေါ်သော မော်ဖစ်ဇင်များ <math>\pi_k: P \to X_k</math> အသီးသီး ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းမြှောက်လဒ်သည် အောက်ပါ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ *မည်သည့် <math>j \in J</math> အားလုံးအတွက်မဆို မော်ဖစ်ဇင် <math>f_j: A \to X_j</math> များ ပါရှိသော အရာဝတ္ထု <math>A \in C</math> တိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင် <math>h: A \to P</math> သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေရမည်။ === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Product Topology) === အလိုရှိသလောက် များပြားနိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုမြှောက်လဒ်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> ပင်ဖြစ်သည်။ <math>P</math> အပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (product topology) ကို အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (coarsest topology) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် အဖွင့်စု အနည်းဆုံးသာ ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု <math>\pi_k: P \to X_k</math> တိုင်းသည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီအတွက် အခြေအစုပိုင်း (subbasis) တွင် <math>\pi_k^{-1}(U)</math> ပုံစံရှိသော အစုများ ပါဝင်သည်။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု (open set) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြေအစု (basis) တစ်ခုကိုမူ ဤအခြေအစုပိုင်းများ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစုများ (finite intersections) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အခြေခံ အဖွင့်စု (basic open set) တစ်ခုသည် အဆုံးရှိသော ကိုဩဒိနိတ်များကိုသာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ကျန်ရှိနေသော အနန္တဖြစ်နိုင်သည့် ကိုဩဒိနိတ်များကိုမူ မည်သည့် ကန့်သတ်ချက်မျှမထားဘဲ လွတ်လပ်စွာ ချန်လှပ်ထားသည်။ === Top ကတ်တဂိုရီရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် <math>\prod_{j \in J} X_j</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': <math>(X_j)_{j \in J}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တွင် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုများ <math>\pi_j: P \to X_j</math> တပ်ဆင်ထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>A</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>(f_j: A \to X_j)_{j \in J}</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>Set</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မြှောက်လဒ်၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>h(a) = (f_j(a))_{j \in J}</math> ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် အစုသီအိုရီအခြေခံ ဖန်ရှင် <math>h: A \to P</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤဖန်ရှင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>h</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ပြသရန်အတွက် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြရမည်။ ၎င်းအတွက် <math>P</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) မဆိုသည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စု ဖြစ်ကြောင်း ပြသနိုင်လျှင် လုံလောက်ပြီဖြစ်သည်။ <math>S = \pi_k^{-1}(U)</math> သည် <math>P</math> အတွင်းရှိ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>h</math> အောက်ရှိ <math>S</math> ၏ မူလပုံရိပ်ကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ <math>h^{-1}(S) = h^{-1}(\pi_k^{-1}(U)) = (\pi_k \circ h)^{-1}(U)</math> ကျွန်ုပ်တို့၏ တည်ဆောက်ပုံအရ <math>\pi_k \circ h = f_k</math> ဖြစ်သောကြောင့် ယင်းကို အစားထိုးလိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math>h^{-1}(S) = f_k^{-1}(U)</math> <math>f_k</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ပေးထားချက်အရ မူလပုံရိပ် <math>f_k^{-1}(U)</math> သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သည်။ <math>P</math> ၏ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တိုင်း၏ မူလပုံရိပ်သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သောကြောင့် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော <math>P</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) ၏ စုဆုံမှတ် (limit) အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာများ (Representable Functors) == သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ဤသို့သော ဆက်သွယ်မှုများကို ဖန်တာများ အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === <math>F</math> သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>Set</math> သို့သွားသော လားရာတူ သို့မဟုတ် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ဖန်တာ <math>F</math> အတွက် '''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်''' (representation) ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> နှင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ပါဝင်ခြင်းဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် လားရာတူ ဖန်တာဖြစ်ပါက ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်သည် <math>c \in C</math> နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(c,-) \cong F</math> ဖြစ်ပြီး <math>F</math> သည် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာဖြစ်ပါက သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(-,c) \cong F</math> ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပြီး ဖန်တာ <math>F</math> ကို '''ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ''' (representable functor) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ လားရာတူ ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် <math>c</math> မှနေ၍ အခြားအရာဝတ္ထုများဆီသို့ သွားသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အပြင်သို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping out universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် အခြားအရာဝတ္ထုများမှနေ၍ <math>c</math> ဆီသို့ လာသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အတွင်းသို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping in universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ ဥပမာများ (Examples of Representable Functors) === *'''သဘာဝကိန်းများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ''' (Universal property of the natural numbers) တွင်အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>f: X \rightarrow X</math> နှင့် ထူးခြားသော အစုဝင် <math>x_0</math> တစ်ခု ပါဝင်သည့် အစု <math>X</math> ကို '''တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ်''' (discrete dynamical system) ဟု ခေါ်သည်။ သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math>၊ နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (successor function) <math>s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> နှင့် အစုဝင် <math>0 \in \mathbb{N}</math> တို့သည် စကြဝဠာ တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ် အဖြစ် တည်ရှိကြသည်။ ၎င်းအချက်မှာ <math>r(0) = x_0</math> နှင့် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>r \circ s = f \circ r</math> ဟူသည့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>r: \mathbb{N} \rightarrow X</math> တစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *'''ထပ်တူရ ဖန်တာ''' (Identity functor) တွင် <math>I_{Set}: Set \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အစု <math>X</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\text{Set}(*, X) \cong X</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ယင်းက အစုဝင် <math>x \in X</math> များနှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုမှ အစုဝင်ကို <math>x</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>x: * \rightarrow X</math> များကြားရှိ ဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှု (bijective correspondence) ကို သတ်မှတ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' (Forgetful functor) တွင် <math>U: Group \rightarrow Set</math> ကို အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Group(\mathbb{Z},G) \cong UG</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အစုဝင် <math>g \in UG</math> တိုင်းအတွက် ကိန်းပြည့် <math>1</math> ကို <math>g</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) <math>g: \mathbb{Z} \rightarrow G</math> ကို ဆက်စပ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' <math>U: Ring \rightarrow Set</math> ကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ၎င်းကွင်းသည် ကိန်းရှင်တစ်ခုနှင့် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များ ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည် ။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (unital ring homomorphism) <math>\phi: \mathbb{Z}[x] \rightarrow R</math> တစ်ခုကို <math>x</math> ၏ ပုံရိပ်အားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်အောင် သတ်မှတ်နိုင်သည် ။ *'''ဆန့်ကျင်ဘက် ပါဝါအစု ဖန်တာ''' (Contravariant power set functor) တွင် <math>P: Set^{op} \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်သော အစု <math>\Omega = \{\top, \bot\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Set(A,\Omega) \cong PA</math> သည် အစုပိုင်း (subset) <math>A^{\prime} \subset A</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ခွဲခြားခြင်း ဖန်ရှင် (classifying function) <math>\chi_{A^{\prime}}: A \rightarrow \Omega</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးသည် ။ ဤဖန်ရှင်သည် <math>A^{\prime}</math> ၏ အစုဝင်များကိုသာ <math>\top</math> ဆီသို့ တိကျစွာ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ အဖွင့်စုများ (open subsets) ပါဝင်သော အစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် ဖန်တာ <math>O: Top^{op} \rightarrow Set</math> ကို ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း (Sierpinski space) <math>S</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း ဆိုသည်မှာ အပိတ်မှတ်တစ်ခုနှင့် အဖွင့်မှတ်တစ်ခု ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည် ။ သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (natural bijection) <math>Top(X,S) \cong O(X)</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) <math>f: X \rightarrow S</math> တစ်ခုကို အဖွင့်မှတ်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည် ။ == ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (The Yoneda Lemma) == ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (represented functor) <math>C(c,-)</math> မှနေ၍ အခြား ဖန်တာ <math>F</math> ဆီသို့ သွားသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ရန် မည်သည့် အချက်အလက်များ လိုအပ်မည်မေးခွန်းကို ဖြေဆိုရာတွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သီအိုရမ်တစ်ခုဖြစ်သည့် ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Yoneda lemma) သည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>\text{Set}</math> သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow \text{Set}</math> နှင့်မဆို <math>C</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>ev_{1_c}: \text{Hom}(C(c, -), F) \cong Fc</math> ဤဘိုင်ဂျက်ရှင်းသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\alpha</math> ကို အစုဝင် <math>\alpha_c(1_c)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤကိုက်ညီမှုသည် <math>c</math> နှင့် <math>F</math> နှစ်ခုလုံးအတွက် သဘာဝကျမှု (natural) ရှိသည်။ မှတ်ချက်။ <math>C</math> သည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်နေနိုင်သော်လည်း သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ စုစည်းမှုဖြစ်သော <math>\text{Hom}(C(c, -), F)</math> သည် အစု (set) တစ်ခုသာ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ '''ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြချက် (Proof of the Bijection)''': *အစုဝင် <math>x \in Fc</math> တစ်ခုမှနေ၍ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးမည့် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>\Psi: Fc \rightarrow \text{Hom}(C(c, -), F)</math> ကို ဦးစွာ သတ်မှတ်မည်။ *<math>1_c \in C(c,c)</math> မှ <math>Fd</math> သို့ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်လျှောက် ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျမှုဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေရန်အတွက် ၎င်း၏ အစိတ်အပိုင်းများကို <math>\Psi(x)_d(f) := Ff(x)</math> အဖြစ် မဖြစ်မနေ သတ်မှတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative square) ၏ လိုအပ်ချက်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ *ယေဘုယျ မော်ဖစ်ဇင် <math>g: d \rightarrow e</math> တစ်ခုအတွက် <math>\Psi(x)</math> သည် သဘာဝကျကြောင်းကို စစ်ဆေးနိုင်သည်။ <math>F</math> ၏ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (functoriality) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>F(gf)(x) = Fg(Ff(x))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *၎င်းကို တန်ဖိုးရှာ တွက်ချက်ကြည့်ပါက <math>ev_{1_c}(\Psi(x)) = \Psi(x)_c(1_c) = F(1_c)(x) = 1_{Fc}(x) = x</math> ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ *အခြားတစ်ဖက်တွင် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည့် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းတစ်ခု ရှိသည်။ ဤအချက်က <math>\Psi(ev_{1_c}(\alpha))_d = \alpha_d</math> ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးသဖြင့် <math>\Psi</math> သည် ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) လည်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ *ဘယ်နှင့် ညာ ပြောင်းပြန် နှစ်ခုလုံးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> '''သဘာဝကျမှု သက်သေပြချက် (Proof of Naturality)''': *'''ဖန်တာအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Functor):''' သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\beta: F \Rightarrow G</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_c</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>\beta</math> သက်ရောက်ခြင်းနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ <math>ev_{1_c}^G(\beta \cdot \alpha) = (\beta \cdot \alpha)_c(1_c) = \beta_c(\alpha_c(1_c)) = \beta_c(ev_{1_c}^F(\alpha))</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\text{Hom}(C(c,-), F)</math> မှ <math>Gc</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျကြောင်း ပြသခြင်းဖြစ်သည်။ *'''အရာဝတ္ထုအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Object):''' မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_d</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>f^{*}</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း (precomposition) အပြင် <math>Ff</math> မှတစ်ဆင့် ပုံဖော်ခြင်းတို့နှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ အထက်တွင် သက်သေပြခဲ့သည့် <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ကို အသုံးပြု၍ <math>(\alpha \cdot f^{*})_d(1_d) = \alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း ရရှိသည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (The Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်၏ အလွန်အရေးပါသော အကျိုးဆက်တစ်ခုမှာ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (Yoneda embedding) ပင်ဖြစ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို ၎င်း၏ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများဖြစ်သော <math>C(c,-)</math> သို့မဟုတ် <math>C(-,c)</math> ဆီသို့ အသီးသီး ပုံဖော်ပေးခြင်းသည် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> မှ ဖန်တာ ကတ်တဂိုရီများ (functor categories) ဖြစ်သော <math>Set^{C^{op}}</math> သို့မဟုတ် <math>Set^C</math> ဆီသို့ သွားသည့် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (full and faithful functor) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤအချက်၏ အလွန်စွမ်းအားကြီးမားသော သက်ရောက်မှုမှာ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများကြားရှိ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများသည် ၎င်းတို့ကို ကိုယ်စားပြုသော အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) များနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီနေခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို လေ့လာခြင်းဖြင့် မူလ အရာဝတ္ထုများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို အပြည့်အဝ နားလည်သဘောပေါက်နိုင်သည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုများ (Applications of the Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုတစ်ခုမှာ ကေးလီ၏ သီအိုရမ် (Cayley's theorem) ကို သက်သေပြခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်အရ မည်သည့် သရုပ်မဲ့ အုပ်စု (abstract group) မဆိုသည် ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု (permutation group) တစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ထိုအခါ လားရာတူ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်းက ၎င်းကို ညာ <math>G</math>-အစု (right G-set) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသည်။ ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ ဤအစု၏ <math>G</math>-အချိုးညီ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ (G-equivariant endomorphisms) အားလုံးသည် ဘယ်ဘက်မှ မြှောက်ခြင်းဖြင့်သာ သတ်မှတ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) သာ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနည်းအားဖြင့် အုပ်စု <math>G</math> သည် အစု <math>G</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ == စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits) == {{main| စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်}} ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများကို ၎င်းတို့၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံထက် အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် မည်သို့ ဆက်သွယ်ပြုမူသနည်းဟူသော စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများ (universal properties) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။ ပုံကြမ်းတစ်ခုအထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#စုဆုံမှတ်(Limit)|စုဆုံမှတ်(Limit)]] ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ပုံကြမ်းအောက်ရှိ အစ ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Coimit)|ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Coimit)]]ဟု သတ်မှတ်သည်။ [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ]]၊ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ်များ၊ ပူးလ်ဘက် (pullback) များနှင့် ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) များသည် စုဆုံမှတ်နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ == တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (Adjunction) == {{main|တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း}} '''တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (adjunction) သည် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် အလွန်အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာအတွဲများကြားရှိ သဘာဝကျသော ဆက်သွယ်မှုကို ဖော်ပြသည်။ ဖန်တာနှစ်ခုကြားတွင် ဘယ်တွဲဖက် (left adjoint) နှင့် ညာတွဲဖက် (right adjoint) ဟူသော ဆက်သွယ်ချက် ရှိနေပါက ယင်းကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများစွာရှိ လွတ်လပ်သော ဖန်တာ (free functor) နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာ (forgetful functor) တို့၏ ဆက်သွယ်ချက်များသည် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} * {{citation | last1 = Eilenberg | first1 = S. | last2 = Mac Lane | first2 = S. | title = General theory of natural equivalences | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 58 | pages = 231–294 | year = 1945 }} * {{citation | last1 = Cartan | first1 = H. | last2 = Eilenberg | first2 = S. | title = Homological Algebra | publisher = Princeton University Press | place = Princeton | year = 1956 }} * {{Citation | last = Spivak | first = David | title = 18.S996 Category Theory for Scientists, Spring 2013 | date = 2013 | work = MIT OpenCourseWare | access-date = February 2, 2015 | url = http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/# }} {{refend}} [[Category:သိပ္ပံ]] [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] sct1ahyhzp8cbba4sn7ao3db0ddgn00 1040693 1040692 2026-06-25T06:44:34Z Mkant00 135890 /* ဖန်တာ (Functor) */ 1040693 wikitext text/x-wiki {{ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ}} [[File:Trasformazione_naturale_kf.png|right|thumb|250px|အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် ဖန်တာ <math>F</math> မှ <math>G</math> သို့သွားသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation)''' <math>\alpha</math> ၏ သဘာဝကျမှု အခြေအနေကို ဖော်ပြထားသော '''ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative diagram)''']] '''ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ''' (category theory) သည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခြုံငုံလေ့လာသည့် ယေဘုယျ သင်္ချာသီအိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရီသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို မြားပုံကြမ်းများ (diagrams of arrows) အမျိုးမျိုး အသုံးပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အယူအဆအပေါ် အခြေခံသည်။ ဤသို့ အလွန်ယေဘုယျကျသော အခြေအနေတွင် လေ့လာခြင်းကြောင့် သင်္ချာပညာရပ်ရှိ ဘုံတူသော တည်ဆောက်ပုံများနှင့် ပုံစံများကို ပိုမိုနားလည်သဘောပေါက်စေသည်။ သို့ကြောင့် ကွဲပြားခြားနားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများအကြားရှိ ဆင်တူသော သဘောတရားများကို စုစည်းလေ့လာနိုင်စေသည်။ အစောပိုင်း ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ [[အုပ်စု ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (group cohomology)၊ [[လီအက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Lie algebra cohomology) နှင့် [[ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (associative algebra cohomology) တို့အား သင့်လျော်သော [[မော်ဂျူး]] ကတ်တဂိုရီ (suitable module category) တစ်ခုတွင် [[ဆင်းသက်ဖန်တာ|ဆင်းသက်ဖန်တာများ]] (derived functors) အဖြစ် ပြန်လည်ပုံဖော်ခဲ့နိုင်ခြင်းဖြစ်သည်။{{sfn|Cartan|Eilenberg|1956}} [[File:Saunders MacLane.jpg|right|thumb|250px|'''ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း''' (Saunders Mac Lane) သည် အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ကို ပူးတွဲတည်ဆောက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ သူသည် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု သီအိုရမ်များ (coherence theorems) နှင့်ပတ်သက်သော လုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် အထူးထင်ရှားသည်။]] [[File:Samuel Eilenberg MFO.jpeg|right|thumb|250px|'''ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်''' (Samuel Eilenberg) သည် ပိုလန်ဖွား အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး သူ၏ အဓိကလုပ်ဆောင်ချက်များသည် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နယ်ပယ်တွင် ဖြစ်သည်။ သူသည် နော်မန် စတင်းရော့ဒ် (Norman Steenrod) နှင့်အတူ [[ဟိုမိုလော်ဂျီ သီအိုရီ]] (homology theory) အား နဂိုမှန်အဆိုများဖြင့် တည်ဆောက်ခြင်းကို လည်းကောင်း ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို လည်းကောင်း ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။]] ကတ်တဂိုရီများ၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]]နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] ဟူသော သုံးခုတွဲကို ၁၉၄၂ ခုနှစ်တွင် ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ကြပြီး၊ ၁၉၄၅ ခုနှစ် စာတမ်းတွင် သီးခြားလွတ်လပ်သော [[အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ|အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ]] (Algebraic structures) အဖြစ် ပုံစံတကျ ထပ်မံဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> ၎င်းတို့၏ ကနဦး အဓိက ရည်ရွယ်ချက်မှာ အက္ခရာသင်္ချာအသစ်တစ်ခု တီထွင်ရန်မဟုတ်ဘဲ၊ ထိုခေတ်အခါက [[ချက် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Čech cohomology) ရှိ [[စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်|စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်များ]] (Universal coefficient theorems) လိုအပ်သော စုဆုံမှတ်များကို လေ့လာရန်နှင့်၊ အထူးသဖြင့် [[အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Algebraic topology) ရှိ စာတမ်းများစွာတွင် အလွတ်သဘော အသုံးပြုနေကြသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟူသည့် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ပေးရန်ဖြစ်သည်။ ဤအခြေခံကျသော စာတမ်းများတွင် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် ပုံနှိပ်ဖော်ပြခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။ မက်လိန်း၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သော <math>Ext(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}_{p}</math> သည် တိကျသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ကိုက်ညီနေကြောင်းကို အိုင်လန်ဘာ့ဂ်က သတိပြုမိရာမှ ဤသီအိုရီ စတင်မွေးဖွားလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး၊ [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (derived functor) <math>\text{Ext}</math> သည် ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခံရသော အစောဆုံး ဖန်တာများထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ရပ်ဝန်းမှာ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဆော်လီနွိုက်၏ 3-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြည့်စွက်စု ဖြစ်သည်။ ဤဆက်စပ်မှုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာခြင်းသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ အုပ်စုများကို ဆက်စပ်ပေးသော စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိစေခဲ့သည်။ တိုက်ရိုက် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသော ရပ်ဝန်းများဆီသို့ ဤသီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် နှင့် မက်လိန်း တို့သည် စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်၏ တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းရှိ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များမှာ သဘာဝကျကြောင်း သက်သေပြရန် လိုအပ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က သဘာဝကျခြင်း ဆိုသည်မှာ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်မှုများ မပါဝင်ဘဲ သတ်မှတ်ထားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခေါ်ဆိုသည့် အရပ်သုံးစကားတစ်ရပ်မျှသာ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] နှင့် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် တို့ကြားရှိ ပုံမှန်[[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]သည် မည်သည့် အခြေအစုကိုမျှ ရွေးချယ်ရန် မလိုအပ်ခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ရလဒ်များကို ခိုင်လုံစွာ သက်သေပြနိုင်ရန်အတွက် ဤပင်ကိုသိစိတ်ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ကိုဩဒိနိတ် ကင်းစင်သော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများကို ဦးစွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့ကို သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်ရန် ဖန်တာများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဖန်တာများ အလုပ်လုပ်ဆောင်မည့် ပတ်ဝန်းကျင်ကို သတ်မှတ်ပေးနိုင်ရန် ကတ်တဂိုရီများကို နောက်ဆုံးတွင် တီထွင်ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဤသီအိုရီသည် သူ့သဘောသူဆောင်၍ တစတစ ကျယ်ပြန့်လာရာ ယခုအခါတွင် မျက်မှောက်ခေတ် သင်္ချာနှင့် [[သဘောတရားရေးရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]]တို့တွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အဓိကကျသည့် အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လာပြီး၊ ၎င်းကို သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒတွင်လည်း အသုံးပြုလာကြသည်။ သိပ္ပံဘာသာရပ် အသီးသီးရှိ တည်ဆောက်ပုံအမျိုးမျိုး၏ ဘုံတူညီမှုများကို ဖော်ပြသည့် ဘာသာစကားအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ၎င်း ဘုံတည်ဆောက်မှုများကို ပုံစံတကျ (formal) ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း အသုံးပြုလာကြသည်။{{sfn|Spivak|2013}} '''ပိုမိုမြင့်မားသော ကတ်တဂိုရီများ (Higher categories)''' ၏ ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည့် '''2-ကတ်တဂိုရီ (2-category)''' အကြောင်းကို [[2-ကတ်တဂိုရီ]] တွင် ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဒဿနဆိုင်ရာ မှတ်စုများ (Historical and Philosophical Notes) <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> == ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်း မဟုတ်ပေ။ ယင်းသည် ၂၀ ရာစုအလယ်ပိုင်းရှိ အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ တိကျသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းနှင့် သဘောတရားရေးရာ လိုအပ်ချက်များကြောင့် တွန်းအားပေး ပေါ်ထွက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ === မြားသင်္ကေတ၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာမှု (The Evolution of the Arrow) === ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တိကျသော မြားသင်္ကေတ <math>f: X \rightarrow Y</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် အခြေခံအယူအဆသည် ၁၉၄၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဤတီထွင်မှုသည် နှိုင်းရ ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ (relative homotopy groups) နှင့် ပတ်သက်သော ဟူးရီဗစ်ဇ် (Hurewicz) ၏ ဟောပြောပို့ချချက်များနှင့် စာတမ်းများမှ အဓိက ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤပြေပြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် ဖောက်စ် (Fox) နှင့် စတင်းရော့ဒ် (Steenrod) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ၏ အာရုံစိုက်မှုကို လျင်မြန်စွာ ရရှိခဲ့သည်။ မြားသင်္ကေတသည် ရှေးကျ၍ အဓိပ္ပာယ်မကွဲပြားသော <math>f(X) \subset Y</math> သင်္ကေတနေရာတွင် အလျင်အမြန် အစားထိုးဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ထိုရှေးကျသော သင်္ကေတသည် ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ <math>X</math> ၏ ပုံရိပ်သည် <math>Y</math> ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်းကိုသာ ရိုးရှင်းစွာ ညွှန်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ မြားသင်္ကေတသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ ဗဟိုအချက်အချာဖြစ်သော သတ်မှတ်ထားသည့် အရင်းအမြစ်မှ သတ်မှတ်ထားသည့် ပစ်မှတ်ဆီသို့သွားသော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုကို တိကျစွာ ဖမ်းဆုပ်နိုင်ခဲ့သောကြောင့် ထူးခြားစွာ အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ယင်းသည် ရိုးရှင်းသော သင်္ကေတပြောင်းလဲမှုတစ်ခုက နက်နဲသော သင်္ချာသဘောတရားသစ် (ကတ်တဂိုရီ) တစ်ခုကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် မည်သို့ တိုက်ရိုက် လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ကြောင်း ပြသသည့် အဓိက သမိုင်းဝင် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဟူးရီဗစ်ဇ်သည် ဤမြားပုံဖော်မှုများကို အမြင်အာရုံဖြင့် ခြေရာခံနိုင်ရန်အတွက် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို စတင်အသုံးပြုခဲ့သူအဖြစ်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ === ဒဿနဆိုင်ရာ ဝေါဟာရများ (Philosophical Terminology)=== ဤနယ်ပယ်၏ ဝေါဟာရများသည် ယုတ္တိဗေဒ ဒဿနိကဗေဒမှ အများအပြား ရယူထားပြီး ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားခြင်းကို ထင်ဟပ်နေသည်။ ကတ်တဂိုရီ (Category) ဟူသော ဝေါဟာရကို အရစ္စတိုတယ် (Aristotle) နှင့် ကန့်တ် (Kant) တို့၏ ဒဿနဆိုင်ရာ ခွဲခြားသတ်မှတ်မှုများမှ ရယူသုံးစွဲခဲ့သည်။ ဖန်တာ (Functor) ဟူသော ဝေါဟာရကို ရူးဒေါ့ဖ် ကာနပ် (Rudolf Carnap) ၏ Logische Syntax der Sprache စာအုပ်မှ ယူငင်သုံးစွဲခဲ့သည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း ဟူသော ဝေါဟာရကို ထိုခေတ်အခါက အလွတ်သဘော သုံးနှုန်းနေကြသော သင်္ချာဝေါဟာရမှနေ၍ တိကျခိုင်မာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုအဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်ခဲ့သည်။ === အမ်မီ နိုသာ၏ အမွေအနှစ် (The Legacy of Emmy Noether) === ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များသည်ဘာလဲ ဟူသော မေးခွန်းကို မဖြစ်မနေ မေးမြန်းရန် တောင်းဆိုထားသည်။ ၎င်းသီအိုရီက သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း သတ်မှတ်၍ လေ့လာရန် အခိုင်အမာ တိုက်တွန်းထားသည်။ အစုဝင်များထက် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များအပေါ် ဤသို့ နက်နက်နဲနဲ အလေးပေးမှုသည် အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) ၏ အမွေအနှစ် တစ်စိတ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သူမသည် အုပ်စုများနှင့် ကွင်းများကို လေ့လာရာတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ဖွဲ့စည်းပုံအရ အသုံးပြုခြင်းအား ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ ပညာရှင်အများစုသည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ အရာဝတ္ထုများကို အစွဲပြု၍ အမည်ပေးလေ့ရှိကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbf{Set}</math> နှင့် <math>\mathbf{Cat}</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် မြားများအပေါ် အလေးပေးမှုသည် အလွန်အရေးပါလှသောကြောင့် အချို့သော ပညာရှင်အုပ်စုများသည် ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ မြားများဖြင့်သာ အမည်ပေးကြသည်။ အထူးသဖြင့် ချားလ်စ် အဲရက်စမန်း (Charles Ehresmann) ၏ ကျောင်းသည် ထင်ရှားပြီး ၎င်းတို့က <math>\mathbf{Cat}</math> ကို ဖန်တာများ၏ ကတ်တဂိုရီအဖြစ် တင်းကျပ်စွာ ရည်ညွှန်းကြသည်။ [[File:Emmy Noether.jpg|right|thumb|250px| အာမာလီယာ အမ်မီ နိုသာ (Amalie Emmy Noether) သည် ဘာဗေးရီးယန်း လူမျိုး ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမကို ဘာဗေးရီးယား ဘုရင်နိုင်ငံ၊ အာလန်ဂန် (Erlangen) မြို့တွင် ၁၈၈၂ ခုနှစ် မတ်လ ၂၃ ရက်နေ့၌ မွေးဖွားခဲ့ပြီး ပင်ဆယ်ဗေးနီးယားပြည်နယ်၊ ဘရင်မော (Bryn Mawr) မြို့တွင် ၁၉၃၅ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၄ ရက်နေ့၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမသည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) နှင့် သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒ (theoretical physics) တို့အတွက် အခြေခံကျသော ပံ့ပိုးကူညီမှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် သူမသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)| ကွင်း]]များ (rings)၊[[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ (algebras) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တော်လှန်ပြောင်းလဲနိုင်ခဲ့သည်။ သူမ ဖော်ထုတ်ခဲ့သော နိုသာ သီအိုရမ် (Noether's theorem) သည် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ သဘာဝနိယာမများ၏ အချိုးညီမှုများ (symmetries) ကို ၎င်းတို့နှင့် ဆက်စပ်နေသော တည်မြဲပမာဏများ (conservation quantities) တည်ရှိမှုနှင့် ပေါင်းစပ်ဖော်ပြထားသည်။]] ==အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်== '''ကတ်တဂိုရီ (category)''' တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>X, Y, Z, \dots</math> စသည့် အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုတစ်ခု။ * '''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>f, g, h, \dots</math> စသည့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုတစ်ခု။ မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''အရင်းအမြစ် (domain)''' နှင့် '''ပစ်မှတ် (codomain)''' အရာဝတ္ထုများ သတ်သတ်မှတ်မှတ်ပါရှိသည်။ သင်္ကေတအရ <math>f:X\rightarrow Y</math> တွင် <math>f</math> သည် အရင်းအမြစ် <math>X</math> နှင့် ပစ်မှတ် <math>Y</math> တို့၏ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုသည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) '''<math>1_{X}:X\rightarrow X</math> တစ်ခုစီ အသီးသီး သတ်သတ်မှတ်မှတ်ရှိသည်။ <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်တို့ ထပ်တူညီပြီး ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>gf</math> ဟုခေါ်သော '''ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (composite morphism)''' တစ်ခု ရှိသည်။ ထို <math>gf</math> ၏ အရင်းအမြစ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီပြီး ၎င်း၏ ပစ်မှတ်သည် <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် တူညီသည်။ (မှတ်ချက်။ ဤတွင် "domain" နှင့် "codomain" တို့ကို ဘာသာပြန်ဆိုရာ၌ "အရင်းအမြစ်စု" နှင့် "ပစ်မှတ်စု" အစား "စု" (set) နောက်ဆက်တွဲကို ချန်၍ "အရင်းအမြစ်" နှင့် "ပစ်မှတ်" ဟုသာ အသုံးပြုထားသည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီရှိ အရာဝတ္ထု (object) များသည် အစုများသာ ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ဘဲ အခြားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ "စု" ဟု ထည့်သွင်းခေါ်ဆိုခြင်းသည် အစုသီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို သွယ်ဝိုက်သက်ရောက်စေနိုင်သောကြောင့် ဤသို့ ချန်လှပ်အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။) === နဂိုမှန်အဆိုများ (Axioms) === အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * မည်သည့် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက်မဆို ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>1_{Y}f</math> နှင့် <math>f1_{X}</math> တို့ နှစ်ခုလုံးသည် <math>f</math> နှင့် ညီမျှသည်။ * ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်သုံးခု <math>f, g, h</math> တိုင်းအတွက် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သည့် <math>h(gf)</math> နှင့် <math>(hg)f</math> တို့သည် တူညီပြီး ၎င်းတို့ကို <math>hgf</math> ဟု တူတူသတ်မှတ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းနိယာမသည် '''ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity)''' နှင့် '''ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital)''' တို့နှင့် ပြည့်စုံသည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''ကွီဗာ''' (quiver) ခေါ် လားရာပြဂရပ် (directed graph) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည် ။ ၎င်းတွင် မျဉ်းပြိုင်မြားများ (parallel arrows) နှင့် ကွင်းပိတ်များ (loops) ပါဝင်နိုင်သည် ။ == ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ == *'''Quiver''': ကွီဗာများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော ကွီဗာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (quiver homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Set</math>) *[[တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Top</math>) *'''Man''': ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများကို (smooth manifolds) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Meas''': အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်းများကို (measurable spaces) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အတိုင်းအတာ ဖန်ရှင်များကို (measurable functions) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Poset''': တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများကို (partially-ordered sets) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်ရှင်များ (order-preserving functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>\textbf{hTop}</math>''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) သည် ဟွမ်း-အစုများ (Hom sets) အဖြစ် <math>\text{Hom}(X, Y) = [X, Y]</math> သတ်မှတ်သည်။ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစား (homotopy class) များအားလုံး ပါဝင်သည့် မိသားစုကို <math>[X, Y]</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ *'''<math>Set_{*}</math> နှင့် <math>Top_{*}</math>''': အခြေခံအမှတ် (basepoint) သတ်မှတ်ထားသော အစုများ သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ကို မပြောင်းလဲစေသော (အဆက်မပြတ်) ဖန်ရှင်များ (basepoint-preserving (continuous) functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ * [[အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Grp</math>) * [[အဘီလီယန်အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Ab</math>) * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Ring</math>) *'''Field''': [[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို (field homomorphisms) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mod_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် ဘယ် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]]များကို (left R-modules) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Ch_{R}</math>''': <math>R</math>-မော်ဂျူးများ၏ ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (chain complexes) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချိတ်တန်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mat_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် <math>Mat_{R}</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်။ <math>n</math> မှ <math>m</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>R</math> မှ တန်ဖိုးများပါရှိသော <math>m \times n</math> ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်ပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံများသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ *'''BG''' (ကတ်တဂိုရီဖြစ် အုပ်စု): အုပ်စု <math>G</math> သို့မဟုတ် ယေဘုယျအားဖြင့် [[မိုနွိုက်]] (monoid) တစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ '''BG''' အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်းကို အစုဝင်များ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်သည်။ *'''Graph''': ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များကို (simple graphs) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဂရပ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီ''' (Discrete category): အစုတစ်ခုကို ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည် ။ ၎င်းတွင် အစုဝင်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သည် ။ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်နေသော ကတ်တဂိုရီကို တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီဟု ခေါ်သည် ။ === ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ နှင့် သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (Concrete and Abstract Categories) === အထက်ပါ ဥပမာအများစုသည်''' ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories)''' ဖြစ်ကြသည် ။ ၎င်းကတ်တဂိုရီများရှိ အရာဝတ္ထုများတွင် အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိကြသည် ။ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် အဆိုပါ အခြေခံအစုများကြားရှိ ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည် ။ သို့သော် ကတ်တဂိုရီတိုင်းသည် ဤကဲ့သို့ ဖန်ရှင်များကိုသာ အခြေခံထားခြင်း မဟုတ်ပေ ။ မော်ဖစ်ဇင်များသည် ဖန်ရှင်များ မဟုတ်သော '''သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (abstract categories)''' လည်း များစွာတည်ရှိသည် ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>Mat_{R}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကိန်းအုံများကို (matrices) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ထို့အတူ အုပ်စုတစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအဖြစ် သတ်မှတ်ပါက ထိုအုပ်စု၏ အစုဝင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်လာကြသည် ။ ဤသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင်များသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်မရှိကြောင်း ပြသနေသည် ။ == မော်ဖစ်ဇင် အမျိုးအစားများ (Types of Morphisms) == *'''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) <math>h,k: w\rightrightarrows x</math> အတွက်မဆို <math>fh=fk</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ <math>h,k: y\rightrightarrows z</math> အတွက်မဆို <math>hf=kf</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက် <math>gf=1_X</math> နှင့် <math>fg=1_Y</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>g: Y\rightarrow X</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို <math>f</math> ကို [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]ဟု ခေါ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကြားတွင် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]တစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို '''အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထုများ (isomorphic objects)''' ဟု သတ်မှတ်ပြီး သင်္ကေတအားဖြင့် <math>X \cong Y</math> ဟု ရေးသားသည်။ *'''အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (Endomorphism):''' အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တူညီသော မော်ဖစ်ဇင်ကို [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]]ဟု ခေါ်သည်။ *'''အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (Automorphism):''' [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]လည်းဖြစ်သော [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]]ကို [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]]ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပိုင်း နှင့် ရုပ်သိမ်းခြင်း (Section and Retraction):''' <math> x\overset{s}{\longrightarrow} y \overset{r}{\longrightarrow} x</math> တို့သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပြီး <math>rs=1_{x}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>s</math> ကို '''အပိုင်း (section)''' သို့မဟုတ် <math>r</math> ၏ ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဟုခေါ်ပြီး <math>r</math> ကို '''ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction)''' သို့မဟုတ် <math>s</math> ၏ ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>s</math> သည် အမြဲတမ်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>r</math> သည် အမြဲတမ်း အပီမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤ တစ်ဖက်သတ် ပြောင်းပြန်များ (one-sided inverses) ရှိနေခြင်းကို အသိအမှတ်ပြုသောအားဖြင့် <math>s</math> ကို ခွဲထွက် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (split monomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>r</math> ကို ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်း၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များ]]''' (injective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့အတူပင် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များ]]''' (surjective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့ကြောင့် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]]နှင့် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်]] [[ဖန်ရှင်]] သဘောတရားများ၏ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ နှိုင်းယှဉ်ချက်များအဖြစ် ရှုမြင်သင့်သည်။ လက်တွေ့တွင် <math>C</math> သည် အရာဝတ္ထုများ၌ အခြေခံ[[အစု|အစုများ]] (underlying sets) ပါရှိသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကြားရှိ အင်ဂျက်တစ် သို့မဟုတ် ဆာဂျက်တစ် [[ဖန်ရှင်]]ကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည့် မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ထိုသို့သော ကတ်တဂိုရီများ၌ပင်လျှင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင် သဘောတရားများသည် ပိုမို၍ ယေဘုယျကျနိုင်သည်။ အခြေခံ[[ဖန်ရှင်]]သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories) ရှိသည်။ ထို့အတူ ၎င်း၏ အခြေခံ[[ဖန်ရှင်]]သည် ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ လည်း ရှိသည်။ '''ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို''' (axiom of choice) ကို ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ''[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ မည်သည့် အပီမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဖြစ်သည်'' ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ === မော်ဖစ်ဇင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် ဒွန်တွဲမှု (Properties and Duality) === *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင်(if and only if) ၎င်းသည် ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ <math>C^{op}</math> တွင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (by duality) <math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf</math> အား မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်စေသော မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် monic) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>gf</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ပါက <math>g</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် epic) ဖြစ်သည်။ *မည်သည့်ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>C</math> အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် <math>C^{op}</math> အတွင်းရှိ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိုက်ရိုက် သက်ဆိုင်သောကြောင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း ကတ်တဂိုရီပိုင်း တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ *[[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ *ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (unital rings) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ|Ring]] တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) <math>i: \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ရော အပီမော်ဖစ်ဇင်ပါ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) မဟုတ်ပေ။ === အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ထပ်တူညီမှုများ (Isomorphism Equivalences) === အောက်ဖော်ပြပါ အဆိုများသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) *(i) <math>f:x\rightarrow y</math> သည် <math>C</math> အတွင်းရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ *(ii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (postcomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (bijection) <math>f_{*}:C(c,x)\rightarrow C(c,y)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ *(iii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (precomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] <math>f^{*}:C(y,c)\rightarrow C(x,c)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ ဤအခြေအနေတွင် "ဘိုင်ဂျက်ရှင်း" နှင့် "အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်" ဟူသော ဝေါဟာရများသည် သင်္ချာသဘောတရားအရ အဓိပ္ပာယ်တူညီကြသည်။ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]]သည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ]]ပင် ဖြစ်သည်။ <math>C(c,x)</math> နှင့် <math>C(c,y)</math> တို့သည် ဟွမ်း-အစုများ (hom-sets) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သည့် [[အစု|အစုများ]]ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် ပုံဖော်မှု <math>f_{*}</math> သည် [[အစု]]တစ်ခုမှ အခြား[[အစု]]တစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ကတ်တဂိုရီ တည်ဆောက်ပုံများ (Basic Category Constructions) == === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Small Category) နှင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Locally Small Category) === ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ မော်ဖစ်ဇင်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစု (set) တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>x, y</math> တိုင်းအတွက်မဆို ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>C(X, Y)</math> သို့မဟုတ် <math>\text{Hom}(X, Y)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည် ။ ဤစုစည်းမှုကို '''ဟွမ်း-အစု''' (hom-set) ဟု ခေါ်ဆိုသည် ။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အလွန်အသုံးဝင်သောကြောင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မသေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည် ။ ကတ်တဂိုရီများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အစု (set) ဟူသော စကားလုံးအစား စုစည်းမှု (collection) ဟူသော စကားလုံးကို သတိပြု၍ အသုံးပြုထားသည် ။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ အစုများအားလုံး ပါဝင်သော အစုဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ ။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် အစုများအားလုံးပါဝင်သော Set ကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပေ ။ ဤကဲ့သို့ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ရှုပ်ထွေးမှုများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကတ်တဂိုရီများ၏ အရွယ်အစားကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်လာသည် ။ === ဂရုပွိုက် (Groupoid) === '''ဂရုပွိုက် (groupoid)''' ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ဖြစ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု (group) သည် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ဂရုပွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''အခြေခံ ဂရုပွိုက် (fundamental groupoid)''' <math> \Pi_{1}X</math> သည် <math>X</math> ၏ အမှတ်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''အစွန်းမှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော လမ်းကြောင်းများ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစားများ (endpoint-preserving homotopy classes of paths)''' ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တွင်မဆို '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက် (maximal groupoid)''' တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများအားလုံး ပါဝင်ပြီး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည့် မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) နှင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin_{iso}</math> သည် အဆုံးရှိအစုများနှင့် ဖန်ရှင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin</math> ၏ '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက်ပိုင်း (maximal subgroupoid)''' ဖြစ်သည်။ ဤဂရုပွိုက်ကို သဘာဝကိန်းများ၏ '''ကတ်တဂိုရီအသွင်ပြောင်းခြင်း (categorification)''' တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကတ်တဂိုရီပိုင်း (Subcategory) === ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' <math>D</math> တစ်ခုကို <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of objects) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of morphisms) တို့ကို ကန့်သတ်ယူဆောင်၍ သတ်မှတ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချက်အလက်များကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု၏ ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ === ကတ်တဂိုရီ မြှောက်လဒ် (Product Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ '''မြှောက်လဒ် ကတ်တဂိုရီ (product category)''' <math>C \times D</math> တစ်ခု ရှိသည်။ *၎င်း၏ အရာဝတ္ထုများသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(c, d)</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>c</math> သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်ကာ <math>d</math> သည် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ *မော်ဖစ်ဇင်များသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(f, g): (c, d) \rightarrow (c^{\prime}, d^{\prime})</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>f: c \rightarrow c^{\prime} \in C</math> နှင့် <math>g: d \rightarrow d^{\prime} \in D</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) အသီးသီး သတ်မှတ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (Opposite Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\text{C}</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (opposite category)''' <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *'''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>\text{C}</math> တွင်ရှိသော အရာဝတ္ထုများအတိုင်း တူညီစွာ ပါဝင်သည်။ *'''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် မော်ဖစ်ဇင် <math>f^{\text{op}}</math> တစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>f^{\text{op}}</math> ၏ အရင်းအမြစ် သည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ် အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>f^{\text{op}}</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y \in \text{C}^{\text{op}} \Leftrightarrow f: Y \rightarrow X \in \text{C}</math> <math>\text{C}^{\text{op}}</math> ၏ ကျန်ရှိသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>1_{X}^{\text{op}}</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>1_{X}^{\text{op}}:X\rightarrow X</math> ဖြစ်သည်။ *'''ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition)''' ကို သတ်မှတ်ရာတွင် <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ <math>g, f</math> တွဲ ပေါင်းစပ်နိုင်မှသာ <math>\text{C}^{\text{op}}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f^{\text{op}}, g^{\text{op}}</math> ကို ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီမှသာ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို <math>g^{\text{op}} f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}</math> အဖြစ် ရေးသည်။ <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y, g^{\text{op}}: Y \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}} \quad \rightsquigarrow \quad g^{\text{op}}f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}: X \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}}</math> <math>\qquad \qquad \qquad \Updownarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Updownarrow</math> <math>g: Z \rightarrow Y, f: Y \rightarrow X \in \text{C} \qquad \quad \rightsquigarrow \qquad \quad fg: Z \rightarrow X \in \text{C}</math> ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း ရေးသားခဲ့ဖူးသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွက် မည်သည့် နဂိုမှန်အဆို၏ ဒွန်တွဲမှု (duality) မဆိုသည်လည်း နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခု ဖြစ်သည် ဟူ၍ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုနှင့်ပတ်သက်သော မည်သည့်အဆိုကိုမဆို ၎င်းကတ်တဂိုရီ၏ နဂိုမှန်အဆိုများမှ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါက ၎င်း၏ ဒွန်တွဲအဆိုကိုလည်း ကောက်ချက်ချနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (Slice Categories) === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (slice categories) ကို <math>c/C</math> နှင့် <math>C/c</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>c/C</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow x</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: c \rightarrow x</math> မှ <math>g: c \rightarrow y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>g = hf</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C/c</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x \rightarrow c</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: x \rightarrow c</math> မှ <math>g: y \rightarrow c</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>f = gh</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>c/C</math> သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်ဟူသော အချက်မှနေ၍ <math>C/c := (c/(C^{op}))^{op}</math> ဟူသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>C/c</math> သည်လည်း ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ == ဖန်တာ (Functor) == {{main| ဖန်တာ}} ကတ်တဂိုရီသီအိုရီတွင် '''ဖန်တာ''' (functor) ဆိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုမှ အခြားကတ်တဂိုရီတစ်ခုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ကြားရှိ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် <math>C</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများကို <math>D</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများဆီသို့ လည်းကောင်း၊ <math>C</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များကို <math>D</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များဆီသို့ လည်းကောင်း အသီးသီး ချိတ်ဆက်ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ထိုသို့ ပုံဖော်ရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ၏ လားရာကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)|လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)]] ဟုခေါ်ဆိုပြီး လားရာကို ပြောင်းပြန်လှန်ပစ်သော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)|ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)]] ဟု ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ === ဖန်တာကို အသုံးပြုသော တည်ဆောက်ပုံများ (Functor-based Constructions) === ==== ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ (Comma category) ==== ဖန်တာ <math>F \colon \mathsf{D} \to \mathsf{C}</math> နှင့် <math>G \colon \mathsf{E} \to \mathsf{C}</math> တို့ ပေးထားသော '''ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ''' <math>F \downarrow G</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>(d \in \mathsf{D}, e \in \mathsf{E}, f \colon Fd \to Ge \in \mathsf{C})</math> ဟူသော သုံးခုတွဲ (triples) များ။ *<math>(d, e, f)</math> မှ <math>(d', e', f')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် <math>f' \cdot Fh = Gk \cdot f</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲများ <math>(h \colon d \to d', k \colon e \to e')</math> ==== အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements) ==== လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) <math>F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x) = x'</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ (forgetful functor) <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ဤမေ့လျော့ဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\int F</math> မှ အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> ကို ကတ်တဂိုရီ <math>\mathsf{C}</math> ရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> ကို မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း တိုက်ရိုက် ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ဆန့်ကျင်ဘက်ဖန်တာ၏ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements of a contravariant functor) ==== ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) <math>F \colon \mathsf{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x') = x</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင်လည်း ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိပြီး ၎င်းသည် အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> အား <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အား <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ပုံကြမ်း (Diagram) ==== ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တစ်ခုရှိ ပုံကြမ်း (diagram) ဆိုသည်မှာ ဖန်တာ <math>F:J\rightarrow C</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အရင်းအမြစ် (domain) ကို ပုံကြမ်း၏ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (indexing category of the diagram) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ပုံကြမ်းတစ်ခုသည် ဖန်တာတစ်ခုသာ ဖြစ်သော်လည်း လက်တွေ့တွင်မူ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီထက် ပိုမိုသေးငယ်သောအခါ ထိုဖန်တာကို ပုံကြမ်းအဖြစ် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) ဖြစ်ပါက ထိုပုံကြမ်းကို သေးငယ်သော ပုံကြမ်းဟု သတ်မှတ်သည်။ ==== ကိန်းသေ ဖန်တာ (Constant Functor) ==== <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) <math>\mathcal{J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor)''' <math>\Delta_c: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(i) = c</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(f) = \operatorname{id}_c</math> ဖြစ်သည်။ === ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (Cone Over a Diagram) === ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (cone over a diagram)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''ထိပ်ဖျား (summit or apex)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဤသဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတွင် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစုဖြစ်သော <math>\lambda_i: c \to F(i)</math> များ ပါဝင်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်များကို '''ခြေတံများ (legs)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>F(f) \circ \lambda_i = \lambda_j</math> ==== ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ သို့မဟုတ် ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (Cone Under a Diagram / Cocone) ==== ဒွန်တွဲစွာဖြင့် ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ''' သို့မဟုတ် '''ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (cone under a diagram / cocone)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_c</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''အောက်ခြေ (nadir)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ၎င်းတွင် ခြေတံများဖြစ်သည့် <math>\mu_i: F(i) \to c</math> များ ပါဝင်သည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>\mu_j \circ F(f) = \mu_i</math> ==== <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ (The Category of Cones Over <math>F</math>) ==== <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ အရာဝတ္ထုများ (Objects): အရာဝတ္ထုများမှာ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တို့ပါဝင်သော အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(c, \lambda)</math> များ ဖြစ်ကြသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms): ကတော့ပုံ <math>(c, \lambda)</math> မှ ကတော့ပုံ <math>(d, \eta)</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: c \to d</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>i \in \mathcal{J}</math> တိုင်းအတွက်မဆို ခြေတံ <math>\lambda_i</math> ကို <math>h</math> မှတစ်ဆင့် ခြေတံ <math>\eta_i</math> သို့ ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားစေရမည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်၊ *<math>\eta_i \circ h = \lambda_i</math> ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition): ကတော့ပုံများအကြား မော်ဖစ်ဇင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ သက်ဆိုင်ရာ မော်ဖစ်ဇင်များကို ပုံမှန်ပေါင်းစပ်ခြင်းမျှသာ ဖြစ်သည်။ ဤသို့ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားသော ဂုဏ်သတ္တိကို သဘာဝအလျောက် ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းထားသည်။ == သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (Natural Transformation) == {{main| သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း}} ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် ဖန်တာ (functor) များကို လေ့လာပြီးနောက် ထိုဖန်တာများအချင်းချင်းကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ဆက်လက်လေ့လာရန် လိုအပ်လာသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာများ (parallel functors) ဖြစ်သော <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့ကြားတွင် တည်ရှိသော ဆက်သွယ်မှု ပုံဖော်ခြင်းကို '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဖန်တာတစ်ခုမှ အခြားဖန်တာတစ်ခုသို့ ကူးပြောင်းရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီများ၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံများကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ အစိတ်အပိုင်းတိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်နေသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းကို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism of Categories) === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ်နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{Cat}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ဤကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော်လည်း သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ မဟုတ်ပေ။ ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများ (large categories) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{CAT}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ <math>\text{CAT}</math> သည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်နေလောက်အောင် ကြီးမားနေခြင်းမျိုး မဖြစ်သင့်သဖြင့် <math>\text{CAT}</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>\text{CAT}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်ခြင်းမရှိသောကြောင့် ဤနည်းအားဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်မှုမှ ချန်လှပ်ထားခံရသည်။ ပါဝင်မှု ဖန်တာ <math>\text{Cat} \hookrightarrow \text{CAT}</math> တစ်ခု တစ်ဖက်တွင် ရှိသော်လည်း အခြားတစ်ဖက်သို့ ပြန်သွားသည့် ဖန်တာ မရှိပါ။ <math>\text{Cat}</math> သို့မဟုတ် <math>\text{CAT}</math> တွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism of categories)''' သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို ပြောင်းပြန် ဖန်တာ (inverse functors) အတွဲ <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းများဖြစ်သော <math>GF</math> နှင့် <math>FG</math> တို့သည် <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူရဖန်တာများ နှင့် အသီးသီး ညီမျှရမည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများနှင့် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုများကြား ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုနည်းတူစွာ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များကြားတွင် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု (Equivalence of Categories) === လက်တွေ့တွင် ကတ်တဂိုရီနှစ်ခု အတိအကျ တူညီသည် (အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်သည်) ဟု ဆိုရန်မှာ အလွန်ခက်ခဲတင်းကျပ်လွန်းသော သတ်မှတ်ချက်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု''' (equivalence of categories) ဟူသော သဘောတရားကို ပိုမိုအသုံးပြုကြသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားတွင် ထပ်တူညီမှု ရှိသည်ဆိုသည်မှာ ဖန်တာများဖြစ်သော <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့အပြင် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\eta: 1_C \cong GF</math> နှင့် <math>\epsilon: FG \cong 1_D</math> တို့ တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ကဲ့သို့ <math>GF = 1_C</math> ဟု တိကျစွာ ညီမျှရန် မလိုအပ်ဘဲ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ညီမျှနေခြင်းက လုံလောက်ပါသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ထပ်တူညီမှု (equivalence) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုပြီး ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကို ထပ်တူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (equivalent categories) ဟု သတ်မှတ်ကာ <math>C \simeq D</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဖန်တာတစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီများကို ထပ်တူညီစေခြင်း ရှိ မရှိကို အောက်ပါ သီအိုရမ်ဖြင့် အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) လည်းဖြစ်၍ အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (essentially surjective functor on objects) လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အလားတူပင် ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော မည်သည့် ဖန်တာမဆိုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိပြီး အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ရမည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုအရ ဤအချက်နှစ်ခုသည် အပြန်အလှန် မှန်ကန်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများသည် အချင်းချင်း အိုင်ဆိုမောဖစ် မဖြစ်ပါက ထိုအရာဝတ္ထုများသာ ပါဝင်သော ပြည့်ဝသည့် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ကို မူလကတ်တဂိုရီ၏ '''အရိုးစု''' (skeleton) ဟု ခေါ်သည်။ အရိုးစု ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုနှစ်ခု အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့သည် အတိအကျ တူညီသော အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ရမည်။ အရေးပါသော သီအိုရမ်တစ်ခုမှာ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီမဆိုသည် ၎င်း၏ အရိုးစုနှင့် အမြဲတမ်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟူသောအချက် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများအားလုံး ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>FinSet</math> သည် ၎င်း၏ အရိုးစုဖြစ်သော <math>\{1, 2, \dots, n\}</math> ပုံစံရှိ အစုများသာ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီနှင့် ထပ်တူညီသည်။ == ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (Categorical Product) == <math>J</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''တစ်ပိုင်းတစ်စ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (discrete indexing category)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (categorical product)''' ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအရာဝတ္ထုတွင် <math>k \in J</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ပရိုဂျက်ရှင်း (projection) ဟုခေါ်သော မော်ဖစ်ဇင်များ <math>\pi_k: P \to X_k</math> အသီးသီး ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းမြှောက်လဒ်သည် အောက်ပါ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ *မည်သည့် <math>j \in J</math> အားလုံးအတွက်မဆို မော်ဖစ်ဇင် <math>f_j: A \to X_j</math> များ ပါရှိသော အရာဝတ္ထု <math>A \in C</math> တိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင် <math>h: A \to P</math> သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေရမည်။ === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Product Topology) === အလိုရှိသလောက် များပြားနိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုမြှောက်လဒ်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> ပင်ဖြစ်သည်။ <math>P</math> အပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (product topology) ကို အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (coarsest topology) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် အဖွင့်စု အနည်းဆုံးသာ ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု <math>\pi_k: P \to X_k</math> တိုင်းသည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီအတွက် အခြေအစုပိုင်း (subbasis) တွင် <math>\pi_k^{-1}(U)</math> ပုံစံရှိသော အစုများ ပါဝင်သည်။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု (open set) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြေအစု (basis) တစ်ခုကိုမူ ဤအခြေအစုပိုင်းများ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစုများ (finite intersections) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အခြေခံ အဖွင့်စု (basic open set) တစ်ခုသည် အဆုံးရှိသော ကိုဩဒိနိတ်များကိုသာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ကျန်ရှိနေသော အနန္တဖြစ်နိုင်သည့် ကိုဩဒိနိတ်များကိုမူ မည်သည့် ကန့်သတ်ချက်မျှမထားဘဲ လွတ်လပ်စွာ ချန်လှပ်ထားသည်။ === Top ကတ်တဂိုရီရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် <math>\prod_{j \in J} X_j</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': <math>(X_j)_{j \in J}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တွင် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုများ <math>\pi_j: P \to X_j</math> တပ်ဆင်ထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>A</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>(f_j: A \to X_j)_{j \in J}</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>Set</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မြှောက်လဒ်၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>h(a) = (f_j(a))_{j \in J}</math> ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် အစုသီအိုရီအခြေခံ ဖန်ရှင် <math>h: A \to P</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤဖန်ရှင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>h</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ပြသရန်အတွက် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြရမည်။ ၎င်းအတွက် <math>P</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) မဆိုသည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စု ဖြစ်ကြောင်း ပြသနိုင်လျှင် လုံလောက်ပြီဖြစ်သည်။ <math>S = \pi_k^{-1}(U)</math> သည် <math>P</math> အတွင်းရှိ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>h</math> အောက်ရှိ <math>S</math> ၏ မူလပုံရိပ်ကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ <math>h^{-1}(S) = h^{-1}(\pi_k^{-1}(U)) = (\pi_k \circ h)^{-1}(U)</math> ကျွန်ုပ်တို့၏ တည်ဆောက်ပုံအရ <math>\pi_k \circ h = f_k</math> ဖြစ်သောကြောင့် ယင်းကို အစားထိုးလိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math>h^{-1}(S) = f_k^{-1}(U)</math> <math>f_k</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ပေးထားချက်အရ မူလပုံရိပ် <math>f_k^{-1}(U)</math> သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သည်။ <math>P</math> ၏ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တိုင်း၏ မူလပုံရိပ်သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သောကြောင့် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော <math>P</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) ၏ စုဆုံမှတ် (limit) အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာများ (Representable Functors) == သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ဤသို့သော ဆက်သွယ်မှုများကို ဖန်တာများ အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === <math>F</math> သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>Set</math> သို့သွားသော လားရာတူ သို့မဟုတ် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ဖန်တာ <math>F</math> အတွက် '''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်''' (representation) ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> နှင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ပါဝင်ခြင်းဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် လားရာတူ ဖန်တာဖြစ်ပါက ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်သည် <math>c \in C</math> နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(c,-) \cong F</math> ဖြစ်ပြီး <math>F</math> သည် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာဖြစ်ပါက သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(-,c) \cong F</math> ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပြီး ဖန်တာ <math>F</math> ကို '''ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ''' (representable functor) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ လားရာတူ ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် <math>c</math> မှနေ၍ အခြားအရာဝတ္ထုများဆီသို့ သွားသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အပြင်သို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping out universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် အခြားအရာဝတ္ထုများမှနေ၍ <math>c</math> ဆီသို့ လာသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အတွင်းသို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping in universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ ဥပမာများ (Examples of Representable Functors) === *'''သဘာဝကိန်းများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ''' (Universal property of the natural numbers) တွင်အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>f: X \rightarrow X</math> နှင့် ထူးခြားသော အစုဝင် <math>x_0</math> တစ်ခု ပါဝင်သည့် အစု <math>X</math> ကို '''တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ်''' (discrete dynamical system) ဟု ခေါ်သည်။ သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math>၊ နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (successor function) <math>s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> နှင့် အစုဝင် <math>0 \in \mathbb{N}</math> တို့သည် စကြဝဠာ တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ် အဖြစ် တည်ရှိကြသည်။ ၎င်းအချက်မှာ <math>r(0) = x_0</math> နှင့် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>r \circ s = f \circ r</math> ဟူသည့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>r: \mathbb{N} \rightarrow X</math> တစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *'''ထပ်တူရ ဖန်တာ''' (Identity functor) တွင် <math>I_{Set}: Set \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အစု <math>X</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\text{Set}(*, X) \cong X</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ယင်းက အစုဝင် <math>x \in X</math> များနှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုမှ အစုဝင်ကို <math>x</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>x: * \rightarrow X</math> များကြားရှိ ဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှု (bijective correspondence) ကို သတ်မှတ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' (Forgetful functor) တွင် <math>U: Group \rightarrow Set</math> ကို အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Group(\mathbb{Z},G) \cong UG</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အစုဝင် <math>g \in UG</math> တိုင်းအတွက် ကိန်းပြည့် <math>1</math> ကို <math>g</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) <math>g: \mathbb{Z} \rightarrow G</math> ကို ဆက်စပ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' <math>U: Ring \rightarrow Set</math> ကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ၎င်းကွင်းသည် ကိန်းရှင်တစ်ခုနှင့် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များ ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည် ။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (unital ring homomorphism) <math>\phi: \mathbb{Z}[x] \rightarrow R</math> တစ်ခုကို <math>x</math> ၏ ပုံရိပ်အားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်အောင် သတ်မှတ်နိုင်သည် ။ *'''ဆန့်ကျင်ဘက် ပါဝါအစု ဖန်တာ''' (Contravariant power set functor) တွင် <math>P: Set^{op} \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်သော အစု <math>\Omega = \{\top, \bot\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Set(A,\Omega) \cong PA</math> သည် အစုပိုင်း (subset) <math>A^{\prime} \subset A</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ခွဲခြားခြင်း ဖန်ရှင် (classifying function) <math>\chi_{A^{\prime}}: A \rightarrow \Omega</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးသည် ။ ဤဖန်ရှင်သည် <math>A^{\prime}</math> ၏ အစုဝင်များကိုသာ <math>\top</math> ဆီသို့ တိကျစွာ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ အဖွင့်စုများ (open subsets) ပါဝင်သော အစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် ဖန်တာ <math>O: Top^{op} \rightarrow Set</math> ကို ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း (Sierpinski space) <math>S</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း ဆိုသည်မှာ အပိတ်မှတ်တစ်ခုနှင့် အဖွင့်မှတ်တစ်ခု ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည် ။ သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (natural bijection) <math>Top(X,S) \cong O(X)</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) <math>f: X \rightarrow S</math> တစ်ခုကို အဖွင့်မှတ်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည် ။ == ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (The Yoneda Lemma) == ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (represented functor) <math>C(c,-)</math> မှနေ၍ အခြား ဖန်တာ <math>F</math> ဆီသို့ သွားသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ရန် မည်သည့် အချက်အလက်များ လိုအပ်မည်မေးခွန်းကို ဖြေဆိုရာတွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သီအိုရမ်တစ်ခုဖြစ်သည့် ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Yoneda lemma) သည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>\text{Set}</math> သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow \text{Set}</math> နှင့်မဆို <math>C</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>ev_{1_c}: \text{Hom}(C(c, -), F) \cong Fc</math> ဤဘိုင်ဂျက်ရှင်းသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\alpha</math> ကို အစုဝင် <math>\alpha_c(1_c)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤကိုက်ညီမှုသည် <math>c</math> နှင့် <math>F</math> နှစ်ခုလုံးအတွက် သဘာဝကျမှု (natural) ရှိသည်။ မှတ်ချက်။ <math>C</math> သည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်နေနိုင်သော်လည်း သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ စုစည်းမှုဖြစ်သော <math>\text{Hom}(C(c, -), F)</math> သည် အစု (set) တစ်ခုသာ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ '''ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြချက် (Proof of the Bijection)''': *အစုဝင် <math>x \in Fc</math> တစ်ခုမှနေ၍ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးမည့် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>\Psi: Fc \rightarrow \text{Hom}(C(c, -), F)</math> ကို ဦးစွာ သတ်မှတ်မည်။ *<math>1_c \in C(c,c)</math> မှ <math>Fd</math> သို့ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်လျှောက် ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျမှုဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေရန်အတွက် ၎င်း၏ အစိတ်အပိုင်းများကို <math>\Psi(x)_d(f) := Ff(x)</math> အဖြစ် မဖြစ်မနေ သတ်မှတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative square) ၏ လိုအပ်ချက်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ *ယေဘုယျ မော်ဖစ်ဇင် <math>g: d \rightarrow e</math> တစ်ခုအတွက် <math>\Psi(x)</math> သည် သဘာဝကျကြောင်းကို စစ်ဆေးနိုင်သည်။ <math>F</math> ၏ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (functoriality) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>F(gf)(x) = Fg(Ff(x))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *၎င်းကို တန်ဖိုးရှာ တွက်ချက်ကြည့်ပါက <math>ev_{1_c}(\Psi(x)) = \Psi(x)_c(1_c) = F(1_c)(x) = 1_{Fc}(x) = x</math> ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ *အခြားတစ်ဖက်တွင် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည့် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းတစ်ခု ရှိသည်။ ဤအချက်က <math>\Psi(ev_{1_c}(\alpha))_d = \alpha_d</math> ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးသဖြင့် <math>\Psi</math> သည် ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) လည်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ *ဘယ်နှင့် ညာ ပြောင်းပြန် နှစ်ခုလုံးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> '''သဘာဝကျမှု သက်သေပြချက် (Proof of Naturality)''': *'''ဖန်တာအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Functor):''' သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\beta: F \Rightarrow G</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_c</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>\beta</math> သက်ရောက်ခြင်းနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ <math>ev_{1_c}^G(\beta \cdot \alpha) = (\beta \cdot \alpha)_c(1_c) = \beta_c(\alpha_c(1_c)) = \beta_c(ev_{1_c}^F(\alpha))</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\text{Hom}(C(c,-), F)</math> မှ <math>Gc</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျကြောင်း ပြသခြင်းဖြစ်သည်။ *'''အရာဝတ္ထုအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Object):''' မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_d</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>f^{*}</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း (precomposition) အပြင် <math>Ff</math> မှတစ်ဆင့် ပုံဖော်ခြင်းတို့နှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ အထက်တွင် သက်သေပြခဲ့သည့် <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ကို အသုံးပြု၍ <math>(\alpha \cdot f^{*})_d(1_d) = \alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း ရရှိသည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (The Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်၏ အလွန်အရေးပါသော အကျိုးဆက်တစ်ခုမှာ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (Yoneda embedding) ပင်ဖြစ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို ၎င်း၏ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများဖြစ်သော <math>C(c,-)</math> သို့မဟုတ် <math>C(-,c)</math> ဆီသို့ အသီးသီး ပုံဖော်ပေးခြင်းသည် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> မှ ဖန်တာ ကတ်တဂိုရီများ (functor categories) ဖြစ်သော <math>Set^{C^{op}}</math> သို့မဟုတ် <math>Set^C</math> ဆီသို့ သွားသည့် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (full and faithful functor) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤအချက်၏ အလွန်စွမ်းအားကြီးမားသော သက်ရောက်မှုမှာ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများကြားရှိ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများသည် ၎င်းတို့ကို ကိုယ်စားပြုသော အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) များနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီနေခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို လေ့လာခြင်းဖြင့် မူလ အရာဝတ္ထုများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို အပြည့်အဝ နားလည်သဘောပေါက်နိုင်သည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုများ (Applications of the Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုတစ်ခုမှာ ကေးလီ၏ သီအိုရမ် (Cayley's theorem) ကို သက်သေပြခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်အရ မည်သည့် သရုပ်မဲ့ အုပ်စု (abstract group) မဆိုသည် ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု (permutation group) တစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ထိုအခါ လားရာတူ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်းက ၎င်းကို ညာ <math>G</math>-အစု (right G-set) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသည်။ ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ ဤအစု၏ <math>G</math>-အချိုးညီ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ (G-equivariant endomorphisms) အားလုံးသည် ဘယ်ဘက်မှ မြှောက်ခြင်းဖြင့်သာ သတ်မှတ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) သာ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနည်းအားဖြင့် အုပ်စု <math>G</math> သည် အစု <math>G</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ == စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits) == {{main| စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်}} ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများကို ၎င်းတို့၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံထက် အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် မည်သို့ ဆက်သွယ်ပြုမူသနည်းဟူသော စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများ (universal properties) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။ ပုံကြမ်းတစ်ခုအထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#စုဆုံမှတ်(Limit)|စုဆုံမှတ်(Limit)]] ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ပုံကြမ်းအောက်ရှိ အစ ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Coimit)|ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Coimit)]]ဟု သတ်မှတ်သည်။ [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ]]၊ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ်များ၊ ပူးလ်ဘက် (pullback) များနှင့် ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) များသည် စုဆုံမှတ်နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ == တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (Adjunction) == {{main|တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း}} '''တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (adjunction) သည် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် အလွန်အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာအတွဲများကြားရှိ သဘာဝကျသော ဆက်သွယ်မှုကို ဖော်ပြသည်။ ဖန်တာနှစ်ခုကြားတွင် ဘယ်တွဲဖက် (left adjoint) နှင့် ညာတွဲဖက် (right adjoint) ဟူသော ဆက်သွယ်ချက် ရှိနေပါက ယင်းကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများစွာရှိ လွတ်လပ်သော ဖန်တာ (free functor) နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာ (forgetful functor) တို့၏ ဆက်သွယ်ချက်များသည် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} * {{citation | last1 = Eilenberg | first1 = S. | last2 = Mac Lane | first2 = S. | title = General theory of natural equivalences | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 58 | pages = 231–294 | year = 1945 }} * {{citation | last1 = Cartan | first1 = H. | last2 = Eilenberg | first2 = S. | title = Homological Algebra | publisher = Princeton University Press | place = Princeton | year = 1956 }} * {{Citation | last = Spivak | first = David | title = 18.S996 Category Theory for Scientists, Spring 2013 | date = 2013 | work = MIT OpenCourseWare | access-date = February 2, 2015 | url = http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/# }} {{refend}} [[Category:သိပ္ပံ]] [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] mxceqg32b0dgjxv6441m8ndpy31f7pu 10 52484 1040718 544562 2026-06-25T08:05:37Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 1040718 wikitext text/x-wiki {{Navbox |name = ပုဂံ |title = [[ပုဂံ]] |state = {{{state|autocollapse}}} |listclass = hlist |image = | titlestyle = background:#fff000; | groupstyle = background:#bbeb85; | belowstyle = background:#bbeb85; |group1=သမိုင်းကြောင်း |list1 = * [[ပုဂံခေတ်]] * [[ပုဂံမင်းဆက်]] * [[ပုဂံခေတ်ကဗျာ]] * [[မြစေတီကျောက်စာ]] * [[တန္တရအယူဝါဒ]] |group2= စွယ်တော်လေးဆူ |list2 = * [[ရွှေစည်းခုံ စေတီတော် (ပုဂံ)|ရွှေစည်းခုံစေတီ]] * [[တန့်ကြည့်တောင်စေတီ]] * [[လောကနန္ဒာစေတီ(ပုဂံ)|လောကနန္ဒာစေတီ]] * [[တုရင်တောင်စေတီ(ပုဂံ)|တုရင်တောင်စေတီ]] |group3= ဘုရားပုထိုးများ |list3= * [[ဂူပြောက်ကြီး (ဝက်ကြီးအင်း)]] * [[ဂူပြောက်ငယ် (ဝက်ကြီးအင်း)]] * [[ဆပဒစေတီ(ပုဂံ)|ဆပဒစေတီ]] * [[ကျောက်ဂူဥမင်ဘုရား(ပုဂံ)|ကျောက်ဂူဥမင်ဘုရား]] * [[ကုန်းတော်ကြီးဂူဘုရား]] * [[သကျမုနိဂူဘုရား]] * [[ထီးလိုမင်းလိုဘုရား]] * [[အာနန္ဒာဘုရား]] * [[ရွှေဂူကြီးဘုရား (ပုဂံ)|ရွှေဂူကြီးဘုရား]] * [[သံတော်ကြားဘုရား]] * [[သဗ္ဗညုဘုရား(ပုဂံ)|သဗ္ဗညုဘုရား]] * [[ဓမ္မရံကြီးဘုရား]] * [[ရွှေဆံတော်စေတီ (ပုဂံ)|ရွှေဆံတော်စေတီ]] * [[ရှင်ပင်သာလျောင်း]] * [[မင်္ဂလာစေတီတော် (ပုဂံ)|မင်္ဂလာစေတီ]] * [[ပုထိုးသားများဂူဘုရား]] * [[ကန်တော့ပလ္လင်ဘုရား]] * [[မဟာဗောဓိစေတီတော်(ပုဂံ)|မဟာဗောဓိစေတီ]] * [[ဗူးဘုရား(ပုဂံ)|ဗူးဘုရား]] * [[ဂူပြောက်ကြီး (မြင်းကပါ)]] * [[ဂူပြောက်ငယ် (မြင်းကပါ)]] * [[မြင်းကပါစေတီ]] * [[ပေါ်တော်မူဘုရား]] * [[မနူဟာဘုရား]] * [[နန်းဘုရားကျောင်း]] * [[အပယ်ရတနာဘုရား]] * [[နဂါးရုံဂူဘုရား (ပုဂံ)|နဂါးရုံဂူဘုရား]] * [[စိမ်းညက်အစ်မဘုရား]] * [[စိမ်းညက်ညီမဘုရား]] * [[နန္ဒာမညာဂူဘုရား]] * [[သမ္ဘူလဘုရား]] * [[ဘုရားသုံးဆူ(ပုဂံ)|ဘုရားသုံးဆူ]] * [[လေးမျက်နှာဂူဘုရား]] * [[ဓမ္မရာဇိကဘုရား]] * [[စူဠာမဏိဘုရား]] * [[မြစေတီတော် (ပုဂံ)|မြစေတီ]] * [[ပြဿဒါးကြီး (ပြဿဒ်ကြီး)]] * [[အလိုတော်ပြည့်ဂူဘုရား]] * [[ရှင်မထီးဘုရား]] * [[ငကျွဲနားတောင်းစေတီ]] * [[လောကထိပ်ပန်ဘုရား]] * [[စိုးမင်းကြီးစေတီ]] * [[ဖက်လိပ်ဘုရားများ]] * [[စေတနာကြီးဘုရား (စည်စနာ)]] * [[ဂူပြောက် (ဗိုလ်ချိုမိဂူပြောက်)]] * [[တရုတ်ပြေးဘုရားကြီး]] * [[ရပ်စောက်ဂူဘုရား(ပုဂံ)|ရပ်စောက်ဂူဘုရား]] * [[တောင်ပုံလောကနာထ ဂူဘုရား]] * [[တိုင်းချွတ်ဂူဘုရား]] * [[ပုတ္တလင်ပုထိုး]] * [[မြင်းပြဂူဘုရား]] * [[ကျဆင်းဂူဘုရား]] * [[အဇ္ဇဂေါဏဂူဘုရား]] * [[ငလူးဂူဘုရား]] * [[စောလှဝန်းဂူဘုရား]] * [[မလာဖြစ်ဂူဘုရား]] * [[မလုံးဖြစ်ဂူဘုရား]] * [[လက်ပွတ်ကန်ဂူဘုရား]] * [[သင်္ကန်းရုံဂူဘုရား]] * [[သမန်းဂူဘုရား]] * [[ဇံသီးဂူဘုရား]] * [[ထောက်လှော်ကားဂူဘုရား]] * [[တပ်ခလေးဂူဘုရား]] * [[ပိန္နဲဂူဘုရား]] * [[ဇေယျသွတ်ဂူဘုရား]] * [[ကဇွန်းအိုဘုရား]] * [[သုံးနယ်ခြားဂူဘုရား]] * [[ဆင်များရှင်ဘုရား]] * [[ရှင်ပင်သက်ရှည်ဘုရား]] * [[သက်တော်ရစေတီတော်]] * [[ထီးတန်ဆောင်ဘုရား]] * [[ငှက်ပစ်တောင်ဘုရား]] * [[နရသီဟပတေ့မင်းကောင်းမှုဘုရား]] * [[အိမ်ရာကျောင်းငါးမျက်နှာ]] * [[တန်ဆောင်းဂူဘုရား]] * [[မြေပုံသာဘုရားလှ(လောကမုနိ)]] * [[တာမနိဘုရား]] * [[ ချောက်ဘုရားလှ]] * [[ ချောက်ဘုရားလှငယ်]] * [[ ဂူနီဘုရား ]] |group4= အထင်ကရ နေရာများ |list4= * [[ပုဂံမြို့ဟောင်း]] * [[ပုဂံမြို့သစ်]] * [[ရှေးဟောင်းသုတေသနပြတိုက် (ပုဂံ)|ပုဂံရှေးဟောင်းသုတေသနပြတိုက်]] * [[ပုဂံနန်းတော်ရာ]] * [[သရပါတံခါး]] * [[ငှက်ပစ်တောင်]] * [[မြင်းကပါ]] * [[ဥပါလိသိမ်]] * [[နတ်လှောင်ကျောင်း]] * [[ရှင်အာနန္ဒာအုတ်ကျောင်း]] * [[ကျန်စစ်သားဥမင်]] * [[မြကန်]] -[[ပိဋကတ်တိုက်(ပုဂံ)|ပိဋကတ်တိုက်]] * [[မီးမလောင်ကျောင်း]] * [[စိုးမင်းကြီးကျောင်း]] * [[အာမနာကျောင်း]] -[[ဖွားစောရွာ]] -[[မင်းနန်သူရွာ]] * [[သူဌေးမုခ်ဂူ]] * [[ကျောက်စာဂူ]] * [[စာသင်ဂူ]] * [[တုရင်တောင်]] *[[ မြကန်စက္ကူတိုက်]] * [[တန့်ကြည့်တောင်]] * [[သမီးဝှက်ဥမင်နှင့် မြားသဂူ]] * [[သီရိပစ္စယာ]] }} tf9du24r0ks64izopuu8us2yiv4w07o 0 52496 1040605 946658 2026-06-24T16:31:39Z Naingli 144794 1040605 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | honorific_prefix = ဝဏ္ဏကျော်ထင် | name = ဒေါ်အောင်ကြည် | image = [[File:Daw Aung Kyi.jpg|thumb|ဂီတမိခင်ကြီး ဝဏ္ဏကျော်ထင် ဒေါ်အောင်ကြည်]] | caption = | birth_date = ၁၈၉၆၊ ဇန်နဝါရီလ ၁၉ | birth_place = တံတားဦးမြို့၊ မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး | death_date = ၁၉၈၉၊ ဖေဖော်ဝါရီလ ၁၇ | death_place = ရန်ကုန်မြို့ | occupation = ဂီတပညာရှင်၊ အဆိုတော်၊ အကပညာရှင် | known_for = ဂီတမိခင်ကြီး၊ မဟာဂီတပညာ | spouse = မြန်မာညွန့် ဦးချစ်မောင် | parents = ဦးဘစီ (ဖခင်)၊ ဒေါ်သင်း (မိခင်) | awards = ဝဏ္ဏကျော်ထင် (၁၉၅၉) }} == ဝဏ္ဏကျော်ထင် ဒေါ်အောင်ကြည် (၁၈၉၆ - ၁၉၈၉) == မြန်မာ့ဂီတလောကတွင် "ဂီတမိခင်ကြီး" ဟု ထင်ရှားကျော်ကြားသည့် ဝဏ္ဏကျော်ထင် ဒေါ်အောင်ကြည်၏ အတ္ထုပ္ပတ္တိ အပြည့်အစုံမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်ရေးအချက်အလက်နှင့် မိသားစုဝင်များ == = မွေးသက္ကရာဇ်: ၁၈၉၆-ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလ (၁၉)ရက်နေ့။ = မွေးဖွားရာဒေသ: မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၊ တံတားဦးမြို့။ = မိဘများ: ဖခင် ရုပ်သေးမင်းသားကြီး ဦးဘစီနှင့် မိခင် ဒေါ်သင်း။ = ငယ်မည်: မစိန်ဥ (သမီးဦးဖြစ်၍ မဦး ဟုလည်း ခေါ်တွင်)။ == မျိုးရိုး == အဘိုးဖြစ်သူမှာ သီပေါမင်းလက်ထက် အသုံးတော်ခံ "သမီးတော်ဆိုင်း" ကို တီးခတ်ရသည့် ဆိုင်းဆရာကြီး ဦးထွန်းအောင် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အင်းဝမြို့ဝန် ဦးလွှာ၏ အဆက်အသွယ်ဖြင့် နန်းတွင်း၌ ခစားဖျော်ဖြေခဲ့ရသူ ဖြစ်သည်။ ဖခင် ဦးဘစီမှာ သီပေါမင်းလက်ထက် စင်တော်မင်းသား (ရုပ်သေးမင်းသား) ဖြစ်သည်။ မိခင် ဒေါ်သင်းမှာလည်း စင်တော်ကလေး ဆိုင်းဆရာ ဦးထွန်းအောင်၏ သမီးဖြစ်ရာ ဒေါ်အောင်ကြည်သည် သဘင်နှင့် ဆိုင်းမျိုးရိုးမှ ဆင်းသက်လာသူဖြစ်သည်။ == ပညာသင်ယူမှုနှင့် အနုပညာခရီးစဉ် == ငယ်စဉ်က သင်ယူမှု: (၇)နှစ်သမီးအရွယ်မှစ၍ အဘိုးဖြစ်သူ ဆိုင်းဆရာကြီး ဦးထွန်းအောင်ထံတွင် မဟာဂီတ သင်ရိုးများကို စတင်သင်ကြားခဲ့သည်။ အကပညာကိုလည်း (၇)နှစ်သမီးအရွယ်ကပင် သင်ကြားခဲ့ရာ (၉)နှစ်၊ (၁၀)နှစ်အရွယ်တွင် အရွယ်နှင့်မလိုက်အောင် ထူးချွန်စွာ ကပြနိုင်ခဲ့သည်။ == ဇာတ်လောကသို့ ဝင်ရောက်ခြင်း == အဘိုးနှင့် အဖေတို့ထံမှ ဇာတ်ပညာများ သင်ယူခဲ့ပြီး အသက် (၁၆)နှစ်အရွယ်တွင် ဦးလေးတော်သူ လူရွှင်တော်ကြီး ဦးချစ်စရာနှင့် ရှမ်းပွဲဆရာတင်တို့၏ ဇာတ်အဖွဲ့၌ စတင်ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်တွင် ရှမ်းပွဲဆရာတင်က "မအောင်ကြည်" ဟူသောအမည်ကို ပေးခဲ့သည်။ == အနုပညာနယ်ပယ်အသီးသီးတွင် ပါဝင်ခဲ့မှု == ရှမ်းပွဲဆရာတင်ဇာတ်တွင် (၂)နှစ်ကျော် ကပြခဲ့သည်။ ဦးလေးဖြစ်သူ လူရွှင်တော် ဦးချစ်စရာ၏ အငြိမ့်အဖွဲ့၌ ခေါင်းဆောင်မင်းသမီးအဖြစ် ကပြခဲ့သည်။ ဇာတ်လောကတွင် ဦးစိန်အုပ်၊ ဦးဘကွန်း၊ ဦးဘလှိုင်၊ ဦးကျော်ရှိန် တို့နှင့် တွဲဖက်ကပြခဲ့သည်။ စန္ဒရား မမကြီး၏ အငြိမ့်အဖွဲ့တွင်လည်း ခေါင်းဆောင်မင်းသမီး မအောင်ကြည်အဖြစ် နာမည်ကျော်ခဲ့သည်။ သီတာဒေဝီ မင်းသမီးကြီး ဒေါ်မြနုထံတွင် ရာမဇာတ်ပညာကို သင်ကြားပြီး စကော့ဈေး ရာမဇာတ်အဖွဲ့၌ သီတာဒေဝီ မင်းသမီးအဖြစ် ပါဝင်ကပြခဲ့သည်။ == ဂီတပညာ ဆည်းပူးမှု == မဟာဂီတ သီချင်းကြီးများကို အဘိုးနှင့် ဖခင်ထံတွင် သင်ရိုးကျွတ်သည်အထိ သင်ကြားခဲ့သည်။ ထို့ပြင် ရုပ်သေးမင်းသားကြီး ဦးထွန်းအိုင်၊ ရုပ်သေးမင်းသမီး ဆရာမှန်း၊ ဘာဂျာ ဆရာလွှား၊ ဒေဝဣန္ဒာမောင်မောင်ကြီး၊ စောင်းမောင်မောင်လတ်၊ စန္ဒရား မောင်မောင်လေး၊ ဆရာဘကြီး၊ ဆရာဘလေး တို့ထံတွင်လည်း မဟာဂီတ သီချင်းကြီး၊ သီချင်းခန့်များကို သင်ကြားတတ်မြောက်ခဲ့သည်။ == ကိုယ်ရေးကိုယ်တာနှင့် ဂီတလုပ်ဆောင်ချက်များ == ခင်ပွန်း: ရွာစားကြီး ဦးစိန်ဗေဒါ ဆိုင်းအဖွဲ့မှ နှဲဆရာနှင့် ပတ္တလားကို နိုင်နင်းစွာ တီးခတ်နိုင်သူ မြန်မာညွန့် ဦးချစ်မောင်နှင့် အိမ်ထောင်ကျခဲ့သည်။ ခင်ပွန်းဖြစ်သူနှင့်အတူ မဟာဂီတကို သင်ရိုးမပျက် တီထွင်ဆန်းသစ် တီးမှုတ်သီဆိုခဲ့သည်။ == ဘွဲ့တံဆိပ်နှင့် နိုင်ငံတော်တာဝန်များ == ဝဏ္ဏကျော်ထင်ဘွဲ့: မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု အဆိုအက၊ အနုသုခုမပညာလုပ်ငန်းများ၌ စွမ်းစွမ်းတမံ ပါဝင်ဆောင်ရွက်ခဲ့သဖြင့် ၁၉၅၉-ခုနှစ်တွင် ချီးမြှင့်ခံရသည်။ == ဆောင်ရွက်ခဲ့သည့် တာဝန်များ == =သီချင်းကြီး ပန်ထျာမူမှန် ပြုစုရေးအဖွဲ့ (အဖွဲ့ဝင်) =ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာန၊ အနုပညာဦးစီးဌာန (ဂီတအကြံပေးပုဂ္ဂိုလ်) =ပြန်ကြားရေးနှင့် အသံလွှင့်ဦးစီးဌာန (ဂီတစိစစ်ရေးအဖွဲ့ဝင်) =မြန်မာ့အသံ (သီချင်းကြီး စိစစ်ရေးအဖွဲ့ဝင်) == ပညာပေးခြင်းနှင့် ဂီတအမွေအနှစ်များ ==ထ င်ပေါ်ကျော်ကြားသော အဆိုအက ဂီတပညာရှင်အများစုမှာ ဒေါ်အောင်ကြည်ထံတွင် အခြေခံဂီတပညာများကို ဆည်းပူးခဲ့ကြသူများ ဖြစ်သည်။ == သင်ကြားပြသမှု == မဟာဂီတ သီချင်းကြီးများ၏ ဆိုနည်းဆိုဟန်များသာမက တီးရိုးတီးကွက်များကိုပါ သင်ကြားပေးနိုင်သူဖြစ်သည်။ အသက် (၉၃)နှစ် အရွယ်အထိ သီချင်းကြီးစာသားများနှင့် တီးရိုးတီးကွက်များကို မမေ့မလျော့ဘဲ သင်ကြားပြသနိုင်ခဲ့သည်။ == ဖော်ထုတ်မှု == မဟာဂီတစာအုပ်များ၌ မပါဝင်သော ရှားပါးသီချင်းကြီးများကို သီချင်းစာသားများ ရွတ်ဆိုပြလျက် ဖော်ထုတ်ပေးခဲ့သည်။ == မှတ်တမ်းတင်မှု == ဒေါ်အောင်ကြည်၏ အဆိုအက ဂီတပညာကို အသံသွင်းခြင်း၊ ရုပ်မြင်သံကြား ရိုက်ကူးခြင်းများဖြင့် သက်ဆိုင်ရာက မှတ်တမ်းတင်ထားခဲ့သည်။ == ဘဝနိဂုံး == ဂီတမိခင်ကြီးဟု ထင်ရှားသော ဝဏ္ဏကျော်ထင် ဒေါ်အောင်ကြည်သည် ၁၉၈၉-ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ (၁၇)ရက်နေ့တွင် ရန်ကုန်မြို့၌ ကွယ်လွန်သည်။ ကွယ်လွန်ချိန်တွင် အသက် (၉၃)နှစ်ရှိပြီ ဖြစ်သည်။ [[။<ref>မြန်မာစွယ်စုံကျမ်းနှစ်ချုပ်(၁၉၉၀)</ref> ==ကိုးကား== <references/> {{lifetime|၁၈၉၆|၁၉၈၉}} [[Category:မြန်မာလူမျိုးများ အတ္ထုပ္ပတ္တိ]] 1k4xraa5e0pcs7kjvvy675d1bo48pjy 1040645 1040605 2026-06-25T03:31:04Z Zawzawaungthwin 100038 မွမ်းမံခြင်း 1040645 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | honorific_prefix = ဝဏ္ဏကျော်ထင် | name = ဒေါ်အောင်ကြည် | image = Daw Aung Kyi.jpg | caption = ဂီတမိခင်ကြီး ဝဏ္ဏကျော်ထင် ဒေါ်အောင်ကြည် | birth_date = {{Birth date|1896|01|19}} | birth_place = [[တံတားဦးမြို့]]၊ [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]] | death_date = {{Death date and age|1989|02|17|1896|01|19}} | death_place = ရန်ကုန်မြို့ | occupation = ဂီတပညာရှင်၊ အဆိုတော်၊ အကပညာရှင် | known_for = ဂီတမိခင်ကြီး၊ မဟာဂီတပညာ | spouse = မြန်မာညွန့် [[ချစ်မောင် (မြန်မာညွန့်)|ချစ်မောင်]] | parents = ဘစီ (ဖခင်)၊ ဒေါ်သင်း (မိခင်) | awards = ဝဏ္ဏကျော်ထင် (၁၉၅၉) }} '''ဒေါ်အောင်ကြည်''' (၁၉ ဇန်နဝါရီ ၁၈၉၆ - ၁၇ ဖေဖော်ဝါရီ ၁၉၈၉) သည် မြန်မာ့ရိုးရာ အဆို၊ အက၊ ဂီတလောကတွင် "ဂီတမိခင်ကြီး" ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည့် ထင်ရှားသော မဟာဂီတပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်ပြီး မဟာဂီတစာအုပ်များ၌ မပါဝင်သော ရှားပါးသီချင်းကြီးများကို သီချင်းစာသားများ ရွတ်ဆိုပြလျက် ဖော်ထုတ်ပေးခဲ့သူဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=မှားမှန်းသိရင် ရဲရဲပြင်ကြဖို့ {{!}} News and Periodical Enterprise |url=https://www.moi.gov.mm/npe/maamnsirng-rairaipngkphiu |access-date=2026-06-25 |website=www.moi.gov.mm}}</ref> == ငယ်ဘဝ == ၁၈၉၆ ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလ ၁၉ ရက်နေ့တွင် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တံတားဦးမြို့]]၌ မွေးဖွားခဲ့သည်။ မိဘများမှာ ရုပ်သေးမင်းသားကြီး ဦးဘစီနှင့် ဒေါ်သင်းတို့ ဖြစ်သည်။ ငယ်မည်မှာ မစိန်ဥ (သို့မဟုတ်) မဦး ဖြစ်သည်။ဒေါ်အောင်ကြည်သည် သဘင်နှင့် ဆိုင်းမျိုးရိုးမှ ဆင်းသက်လာသူဖြစ်သည်။ အဘိုးဖြစ်သူမှာ သီပေါမင်းလက်ထက် အသုံးတော်ခံ "သမီးတော်ဆိုင်း" ကို တီးခတ်ရသည့် ဆိုင်းဆရာကြီး ဦးထွန်းအောင် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အင်းဝမြို့ဝန် ဦးလွှာ၏ အဆက်အသွယ်ဖြင့် နန်းတွင်း၌ ခစားဖျော်ဖြေခဲ့ရသူ ဖြစ်သည်။ဖခင် ဦးဘစီမှာ သီပေါမင်းလက်ထက် စင်တော်မင်းသား (ရုပ်သေးမင်းသား) ဖြစ်သည်။မိခင် ဒေါ်သင်းမှာလည်း စင်တော်ကလေး ဆိုင်းဆရာ ဦးထွန်းအောင်၏ သမီးဖြစ်ရာ ဒေါ်အောင်ကြည်သည် သဘင်နှင့် ဆိုင်းမျိုးရိုးမှ ဆင်းသက်လာသူဖြစ်သည်။ == အနုပညာခရီးစဉ် == ဒေါ်အောင်ကြည်သည် (၇) နှစ်သမီးအရွယ်မှစ၍ အဘိုးဖြစ်သူ ဆရာကြီး ဦးထွန်းအောင်ထံတွင် မဟာဂီတသင်ရိုးများကို စတင်သင်ယူခဲ့သည်။ အသက် (၁၆) နှစ်အရွယ်တွင် ဦးလေးတော်သူ လူရွှင်တော်ကြီး ဦးချစ်စရာနှင့် ရှမ်းပွဲဆရာတင်တို့၏ ဇာတ်အဖွဲ့၌ စတင်ပါဝင်ခဲ့ရာ ရှမ်းပွဲဆရာတင်က "မအောင်ကြည်" ဟူသော အမည်ကို ပေးခဲ့သည်။သူသည် စန္ဒရား မမကြီး၏ အငြိမ့်အဖွဲ့၊ စကော့ဈေး ရာမဇာတ်အဖွဲ့တို့အပြင် ထင်ရှားသော ဇာတ်မင်းသားကြီးများဖြစ်သည့် ဦးစိန်အုပ်၊ ဦးဘကွန်း၊ ဦးဘလှိုင်၊ ဦးကျော်ရှိန်တို့နှင့် တွဲဖက်၍ မင်းသမီးအဖြစ် ကပြဖျော်ဖြေခဲ့သည်။ စန္ဒရား မမကြီး၏ အငြိမ့်အဖွဲ့တွင် ခေါင်းဆောင်မင်းသမီး မအောင်ကြည်အဖြစ် နာမည်ကျော်ခဲ့သူလည်း ဖြစ်သည်။ သီတာဒေဝီ မင်းသမီးကြီး ဒေါ်မြနုထံတွင် ရာမဇာတ်ပညာကို သင်ကြားပြီး စကော့ဈေး ရာမဇာတ်အဖွဲ့၌ သီတာဒေဝီ မင်းသမီးအဖြစ် ပါဝင်ကပြခဲ့သည်။ == ဂီတခရီးလမ်း == ဒေါ်အောင်ကြည်သည် မဟာဂီတ သီချင်းကြီးများကို သင်ရိုးကျွတ်သည်အထိ သင်ယူတတ်မြောက်ခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော ဂီတပညာရှင်ကြီးများဖြစ်သည့် ရုပ်သေးမင်းသားကြီး ဦးထွန်းအိုင်၊ ဘာဂျာ ဆရာလွှား၊ [[မောင်မောင်ကြီး၊ ဒေဝဣန္ဒာ|ဒေဝဣန္ဒာမောင်မောင်ကြီး]]၊ စောင်းမောင်မောင်လတ်၊ စန္ဒရား မောင်မောင်လေးတို့ထံတွင်လည်း သီချင်းကြီး၊ သီချင်းခန့်များကို ဆည်းပူးခဲ့သည်။ခင်ပွန်းဖြစ်သူ မြန်မာညွန့် [[ချစ်မောင် (မြန်မာညွန့်)|ဦးချစ်မောင်]] နှင့်အတူ မဟာဂီတသီချင်းများကို တီထွင်ဆန်းသစ် တီးမှုတ်သီဆိုခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=ယနေ့လူငယ်များနှင့် ဆို၊ က၊ ရေး၊ တီး ရိုးရာခရီး |url=http://mdn.gov.mm/my/yneluungymaanng-chiu-k-re-ttii-riuraakhrii-0 |access-date=2026-06-25 |website=MDN - Myanmar DigitalNews |language=my}}</ref> == တာဝန်ထမ်းဆောင်မှုများ == နိုင်ငံတော်၏ ယဉ်ကျေးမှုလုပ်ငန်းများဖြစ်သည့် သီချင်းကြီး ပန်ထျာမူမှန် ပြုစုရေးအဖွဲ့ (အဖွဲ့ဝင်) အဖြစ်လည်းကောင်း၊ [[ယဉ်ကျေးမှု ဝန်ကြီးဌာန|ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာန]]၊ [[အနုပညာ ဦးစီးဌာန|အနုပညာဦးစီးဌာန]] (ဂီတအကြံပေးပုဂ္ဂိုလ်) အဖြစ်လည်းကောင်း၊ [[မြန်မာ့အသံ]] (သီချင်းကြီး စိစစ်ရေးအဖွဲ့ဝင်) အဖြစ်လည်းကောင်း အစရှိသည့် တာဝန်များ ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Burmese Classical Music |date=2023-01-23 |title=ရှေးသံဆန်း ( ဆို - ဝဏ္ဏကျော်ထင်ဒေါ်အောင်ကြည်) ဆိုင်း - ဦးဘမောင် စောင်း-ဦးဘသန်း နှဲ- ဝိဇ္ဇာညွန့် |url=https://www.youtube.com/watch?v=IIqYP723UCI |access-date=2026-06-25}}</ref> == ဘွဲ့တံဆိပ်နှင့် ဂုဏ်ပြုခံရခြင်း == မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု အဆိုအက၊ အနုသုခုမပညာလုပ်ငန်းများ၌ စွမ်းစွမ်းတမံ ပါဝင်ဆောင်ရွက်ခဲ့သဖြင့် ၁၉၅၉ ခုနှစ်တွင် နိုင်ငံတော်က [[ဝဏ္ဏကျော်ထင်ဘွဲ့|ဝဏ္ဏကျော်ထင်]] ဘွဲ့ကို ချီးမြှင့်အပ်နှင်းခဲ့သည်။ယင်းအပြင် ဒေါ်အောင်ကြည်၏ အဆိုအက ဂီတပညာများကို သက်ဆိုင်ရာဌာနများက အသံသွင်းခြင်း၊ ရုပ်မြင်သံကြားမှ မှတ်တမ်းတင်ခြင်းများ ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ == ဘဝနိဂုံး == "ဂီတမိခင်ကြီး" ဝဏ္ဏကျော်ထင် ဒေါ်အောင်ကြည်သည် ၁၉၈၉ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ ၁၇ ရက်နေ့တွင် ရန်ကုန်မြို့၌ ကွယ်လွန်သည်။ ကွယ်လွန်ချိန်တွင် အသက် ၉၃ နှစ် ရှိပြီဖြစ်သည်။ == ပုဂ္ဂိုလ်ရေးဘဝ == သူသည် ရွာစားကြီး ဦးစိန်ဗေဒါ ဆိုင်းအဖွဲ့မှ နှဲဆရာလည်းဖြစ်၊ ပတ္တလားကို နိုင်နင်းစွာ တီးခတ်နိုင်သူလည်းဖြစ်သည့် မြန်မာညွန့် ဦးချစ်မောင်နှင့် အိမ်ထောင်ကျခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=ဘွဲ့နှင်းသဘင်ခန်းမထဲက ဝတ်တော်ရုံဘွဲ့တေးဂီတ |url=http://www.moi.gov.mm/article/8410 |access-date=2026-06-25 |website=Ministry Of Information |language=en}}</ref> == ကိုးကား == <references/> {{lifetime|၁၈၉၆|၁၉၈၉}} [[Category:မြန်မာ ဂီတပညာရှင်များ]] 9k79rtdyrwoxmy2ox52hvk60zj5syfr 1040646 1040645 2026-06-25T03:31:30Z Zawzawaungthwin 100038 [[အောင်ကြည်၊ ဒေါ်(ဝဏ္ဏကျော်ထင်)]] စာမျက်နှာကို [[အောင်ကြည် (ဝဏ္ဏကျော်ထင်)]] သို့ Zawzawaungthwinက ရွှေ့ခဲ့သည်: စကားဘညှပ်၊ သံတူကြောင်းကွဲ ထည့်ခြင်း 1040645 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | honorific_prefix = ဝဏ္ဏကျော်ထင် | name = ဒေါ်အောင်ကြည် | image = Daw Aung Kyi.jpg | caption = ဂီတမိခင်ကြီး ဝဏ္ဏကျော်ထင် ဒေါ်အောင်ကြည် | birth_date = {{Birth date|1896|01|19}} | birth_place = [[တံတားဦးမြို့]]၊ [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]] | death_date = {{Death date and age|1989|02|17|1896|01|19}} | death_place = ရန်ကုန်မြို့ | occupation = ဂီတပညာရှင်၊ အဆိုတော်၊ အကပညာရှင် | known_for = ဂီတမိခင်ကြီး၊ မဟာဂီတပညာ | spouse = မြန်မာညွန့် [[ချစ်မောင် (မြန်မာညွန့်)|ချစ်မောင်]] | parents = ဘစီ (ဖခင်)၊ ဒေါ်သင်း (မိခင်) | awards = ဝဏ္ဏကျော်ထင် (၁၉၅၉) }} '''ဒေါ်အောင်ကြည်''' (၁၉ ဇန်နဝါရီ ၁၈၉၆ - ၁၇ ဖေဖော်ဝါရီ ၁၉၈၉) သည် မြန်မာ့ရိုးရာ အဆို၊ အက၊ ဂီတလောကတွင် "ဂီတမိခင်ကြီး" ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည့် ထင်ရှားသော မဟာဂီတပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်ပြီး မဟာဂီတစာအုပ်များ၌ မပါဝင်သော ရှားပါးသီချင်းကြီးများကို သီချင်းစာသားများ ရွတ်ဆိုပြလျက် ဖော်ထုတ်ပေးခဲ့သူဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=မှားမှန်းသိရင် ရဲရဲပြင်ကြဖို့ {{!}} News and Periodical Enterprise |url=https://www.moi.gov.mm/npe/maamnsirng-rairaipngkphiu |access-date=2026-06-25 |website=www.moi.gov.mm}}</ref> == ငယ်ဘဝ == ၁၈၉၆ ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလ ၁၉ ရက်နေ့တွင် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တံတားဦးမြို့]]၌ မွေးဖွားခဲ့သည်။ မိဘများမှာ ရုပ်သေးမင်းသားကြီး ဦးဘစီနှင့် ဒေါ်သင်းတို့ ဖြစ်သည်။ ငယ်မည်မှာ မစိန်ဥ (သို့မဟုတ်) မဦး ဖြစ်သည်။ဒေါ်အောင်ကြည်သည် သဘင်နှင့် ဆိုင်းမျိုးရိုးမှ ဆင်းသက်လာသူဖြစ်သည်။ အဘိုးဖြစ်သူမှာ သီပေါမင်းလက်ထက် အသုံးတော်ခံ "သမီးတော်ဆိုင်း" ကို တီးခတ်ရသည့် ဆိုင်းဆရာကြီး ဦးထွန်းအောင် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အင်းဝမြို့ဝန် ဦးလွှာ၏ အဆက်အသွယ်ဖြင့် နန်းတွင်း၌ ခစားဖျော်ဖြေခဲ့ရသူ ဖြစ်သည်။ဖခင် ဦးဘစီမှာ သီပေါမင်းလက်ထက် စင်တော်မင်းသား (ရုပ်သေးမင်းသား) ဖြစ်သည်။မိခင် ဒေါ်သင်းမှာလည်း စင်တော်ကလေး ဆိုင်းဆရာ ဦးထွန်းအောင်၏ သမီးဖြစ်ရာ ဒေါ်အောင်ကြည်သည် သဘင်နှင့် ဆိုင်းမျိုးရိုးမှ ဆင်းသက်လာသူဖြစ်သည်။ == အနုပညာခရီးစဉ် == ဒေါ်အောင်ကြည်သည် (၇) နှစ်သမီးအရွယ်မှစ၍ အဘိုးဖြစ်သူ ဆရာကြီး ဦးထွန်းအောင်ထံတွင် မဟာဂီတသင်ရိုးများကို စတင်သင်ယူခဲ့သည်။ အသက် (၁၆) နှစ်အရွယ်တွင် ဦးလေးတော်သူ လူရွှင်တော်ကြီး ဦးချစ်စရာနှင့် ရှမ်းပွဲဆရာတင်တို့၏ ဇာတ်အဖွဲ့၌ စတင်ပါဝင်ခဲ့ရာ ရှမ်းပွဲဆရာတင်က "မအောင်ကြည်" ဟူသော အမည်ကို ပေးခဲ့သည်။သူသည် စန္ဒရား မမကြီး၏ အငြိမ့်အဖွဲ့၊ စကော့ဈေး ရာမဇာတ်အဖွဲ့တို့အပြင် ထင်ရှားသော ဇာတ်မင်းသားကြီးများဖြစ်သည့် ဦးစိန်အုပ်၊ ဦးဘကွန်း၊ ဦးဘလှိုင်၊ ဦးကျော်ရှိန်တို့နှင့် တွဲဖက်၍ မင်းသမီးအဖြစ် ကပြဖျော်ဖြေခဲ့သည်။ စန္ဒရား မမကြီး၏ အငြိမ့်အဖွဲ့တွင် ခေါင်းဆောင်မင်းသမီး မအောင်ကြည်အဖြစ် နာမည်ကျော်ခဲ့သူလည်း ဖြစ်သည်။ သီတာဒေဝီ မင်းသမီးကြီး ဒေါ်မြနုထံတွင် ရာမဇာတ်ပညာကို သင်ကြားပြီး စကော့ဈေး ရာမဇာတ်အဖွဲ့၌ သီတာဒေဝီ မင်းသမီးအဖြစ် ပါဝင်ကပြခဲ့သည်။ == ဂီတခရီးလမ်း == ဒေါ်အောင်ကြည်သည် မဟာဂီတ သီချင်းကြီးများကို သင်ရိုးကျွတ်သည်အထိ သင်ယူတတ်မြောက်ခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော ဂီတပညာရှင်ကြီးများဖြစ်သည့် ရုပ်သေးမင်းသားကြီး ဦးထွန်းအိုင်၊ ဘာဂျာ ဆရာလွှား၊ [[မောင်မောင်ကြီး၊ ဒေဝဣန္ဒာ|ဒေဝဣန္ဒာမောင်မောင်ကြီး]]၊ စောင်းမောင်မောင်လတ်၊ စန္ဒရား မောင်မောင်လေးတို့ထံတွင်လည်း သီချင်းကြီး၊ သီချင်းခန့်များကို ဆည်းပူးခဲ့သည်။ခင်ပွန်းဖြစ်သူ မြန်မာညွန့် [[ချစ်မောင် (မြန်မာညွန့်)|ဦးချစ်မောင်]] နှင့်အတူ မဟာဂီတသီချင်းများကို တီထွင်ဆန်းသစ် တီးမှုတ်သီဆိုခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=ယနေ့လူငယ်များနှင့် ဆို၊ က၊ ရေး၊ တီး ရိုးရာခရီး |url=http://mdn.gov.mm/my/yneluungymaanng-chiu-k-re-ttii-riuraakhrii-0 |access-date=2026-06-25 |website=MDN - Myanmar DigitalNews |language=my}}</ref> == တာဝန်ထမ်းဆောင်မှုများ == နိုင်ငံတော်၏ ယဉ်ကျေးမှုလုပ်ငန်းများဖြစ်သည့် သီချင်းကြီး ပန်ထျာမူမှန် ပြုစုရေးအဖွဲ့ (အဖွဲ့ဝင်) အဖြစ်လည်းကောင်း၊ [[ယဉ်ကျေးမှု ဝန်ကြီးဌာန|ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာန]]၊ [[အနုပညာ ဦးစီးဌာန|အနုပညာဦးစီးဌာန]] (ဂီတအကြံပေးပုဂ္ဂိုလ်) အဖြစ်လည်းကောင်း၊ [[မြန်မာ့အသံ]] (သီချင်းကြီး စိစစ်ရေးအဖွဲ့ဝင်) အဖြစ်လည်းကောင်း အစရှိသည့် တာဝန်များ ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Burmese Classical Music |date=2023-01-23 |title=ရှေးသံဆန်း ( ဆို - ဝဏ္ဏကျော်ထင်ဒေါ်အောင်ကြည်) ဆိုင်း - ဦးဘမောင် စောင်း-ဦးဘသန်း နှဲ- ဝိဇ္ဇာညွန့် |url=https://www.youtube.com/watch?v=IIqYP723UCI |access-date=2026-06-25}}</ref> == ဘွဲ့တံဆိပ်နှင့် ဂုဏ်ပြုခံရခြင်း == မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု အဆိုအက၊ အနုသုခုမပညာလုပ်ငန်းများ၌ စွမ်းစွမ်းတမံ ပါဝင်ဆောင်ရွက်ခဲ့သဖြင့် ၁၉၅၉ ခုနှစ်တွင် နိုင်ငံတော်က [[ဝဏ္ဏကျော်ထင်ဘွဲ့|ဝဏ္ဏကျော်ထင်]] ဘွဲ့ကို ချီးမြှင့်အပ်နှင်းခဲ့သည်။ယင်းအပြင် ဒေါ်အောင်ကြည်၏ အဆိုအက ဂီတပညာများကို သက်ဆိုင်ရာဌာနများက အသံသွင်းခြင်း၊ ရုပ်မြင်သံကြားမှ မှတ်တမ်းတင်ခြင်းများ ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ == ဘဝနိဂုံး == "ဂီတမိခင်ကြီး" ဝဏ္ဏကျော်ထင် ဒေါ်အောင်ကြည်သည် ၁၉၈၉ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ ၁၇ ရက်နေ့တွင် ရန်ကုန်မြို့၌ ကွယ်လွန်သည်။ ကွယ်လွန်ချိန်တွင် အသက် ၉၃ နှစ် ရှိပြီဖြစ်သည်။ == ပုဂ္ဂိုလ်ရေးဘဝ == သူသည် ရွာစားကြီး ဦးစိန်ဗေဒါ ဆိုင်းအဖွဲ့မှ နှဲဆရာလည်းဖြစ်၊ ပတ္တလားကို နိုင်နင်းစွာ တီးခတ်နိုင်သူလည်းဖြစ်သည့် မြန်မာညွန့် ဦးချစ်မောင်နှင့် အိမ်ထောင်ကျခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=ဘွဲ့နှင်းသဘင်ခန်းမထဲက ဝတ်တော်ရုံဘွဲ့တေးဂီတ |url=http://www.moi.gov.mm/article/8410 |access-date=2026-06-25 |website=Ministry Of Information |language=en}}</ref> == ကိုးကား == <references/> {{lifetime|၁၈၉၆|၁၉၈၉}} [[Category:မြန်မာ ဂီတပညာရှင်များ]] 9k79rtdyrwoxmy2ox52hvk60zj5syfr 0 54154 1040742 428362 2026-06-25T08:54:08Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1040742 wikitext text/x-wiki [[File:Bagan, Hpaya-thon-zu-Group.JPG|thumb|ဘုရားသုံးဆူ]] *စေတီပုထိုးအမှတ် = ၄၇၇/၂၇၈−က၊ ၄၇၇/၂၇၈−ခ၊ ၄၇၇/၂၇၈−ဂ '''ဘုရားသုံးဆူ'''သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပုဂံ]]ရှိ [[မင်းနန်သူရွာ]]၏ မြောက်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ တည်ဆောက်ထားပြီး ပေါင်းကူးစင်္ကြလမ်း ကျဉ်းကျဉ်းဖြင့် တစ်ဆူနှင့် တစ်ဆူ ဆက်ထားသည်။ ဂူသုံးလုံးသည် အရွယ်တူ ပုံစံတူဖြစ်သည်။ == ဗိသုကာ လက်ရာများ == ပန္နက်ပုံများမှာ စတုရန်းပုံဖြစ်ပြီး ဂူတိုင်းတွင် တစ်ဖက်၌ အာရုခံမုခ်များ စွန်းထွက်လျက် အထက်၌လည်း ပစ္စယာများ ကွမ်းထောင်များ ပါရှိသည်။ ဘုရားတည်ဆောက်သော ခုနှစ်ကို တိကျစွာ မသိရသော်လည်း ၁၃ ရာစုနောက်ပိုင်းဟု မှန်းဆကြသည်။ ဤသို့ လိုဏ်ဂူ ဘုရားသုံးဆူ ဆက်လျက်တည်ဆောက်ပုံမှာ ထူးခြားလျက်ရှိသည်။ တစ်ဆူချင်း လေ့လာလျှင်လည်း ဂူဘုရားများသည် ပုဂံခေတ် နောက်ပိုင်းကျသည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ <br /> ဘုရားသုံးဆူအတွင်း၌ ထူးခြားဆန်းကြယ်သော နံရံဆေးရေးပန်းချီများ ရှိသည်။ ဘုရားသုံးဆူတွင် အရှေ့ဂူနှင့် အလယ်ဂူများ၌သာ နံရံပန်းချီများ တွေ့ရပြီး အနောက်ဂူ၌ နံရံပန်းချီလုံးဝ မတွေ့ရချေ။ အလယ်ဂူ၌ ရေးလက်စ ပန်းချီများကိုလည်း တွေ့ရသဖြင့် ဘုရားတည်ခိုက် ပန်းချီရေးနေစဉ် အကြောင်း တစ်ခုခုကြောင့် အပြီးမသတ်နိုင်ခဲ့ဟု ယူဆရသည်။ <br /> နံရံပန်းချီများတွင် ဗုဒ္ဓဝင်ရှစ်ခန်း၊ နှစ်ကျိပ် ရှစ်ဆူဘုရားများ၊ သဗ္ဗုဒ္ဓေဘုရားများ၊ ငါးရာ့ငါးဆယ် ဇာတ်ဖော် ပန်းနွယ်၊ ပန်းကနုတ်များ၊ နတ်၊ ကိန္နရာ၊ ဘီလူး၊ သားရဲ၊ မြွေ၊ နဂါး၊ ဆင် စသည်များကို တွေ့နိုင်သည်။ ထူးခြားမှုများတွင် နတ်သမီးနှစ်ဦးကို ဖက်နေသော နတ်သားပုံ ဖြစ်သည်။ ပန်းချီများမှာ အသေးစိတ် ရေးဆွဲထားသည်။ ဆေးနီရောင်ကို သုံးစွဲ၍ တောက်ပြောင်လှပသည်။<ref>ဦးကျော်အောင်(စာတည်းမှူး)၊ တက္ကသိုလ် ဘာသာပြန်နှင့်စာအုပ်ထုတ်ဝေရေးဌာန၊အဆင့်မြင့်ပညာဦးစီးဌာန - ပုဂံစေတီပုထိုးများ</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} {{coord|21.162334268027823, 94.90332899242021|format=dms|region:MM|display=inline,title}} {{ပုဂံ}} [[Category:ပုဂံရှိ စေတီပုထိုးများ]] hetkuc4zxyvlxjwz6da5h28xb551rtm 1040743 1040742 2026-06-25T08:54:24Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1040743 wikitext text/x-wiki [[File:Bagan, Hpaya-thon-zu-Group.JPG|thumb|ဘုရားသုံးဆူ]] *စေတီပုထိုးအမှတ် = ၄၇၇/၂၇၈−က၊ ၄၇၇/၂၇၈−ခ၊ ၄၇၇/၂၇၈−ဂ '''ဘုရားသုံးဆူ'''သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပုဂံ]]ရှိ [[မင်းနန်သူရွာ]]၏ မြောက်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ တည်ဆောက်ထားပြီး ပေါင်းကူးစင်္ကြလမ်း ကျဉ်းကျဉ်းဖြင့် တစ်ဆူနှင့် တစ်ဆူ ဆက်ထားသည်။ ဂူသုံးလုံးသည် အရွယ်တူ ပုံစံတူဖြစ်သည်။ == ဗိသုကာ လက်ရာများ == ပန္နက်ပုံများမှာ စတုရန်းပုံဖြစ်ပြီး ဂူတိုင်းတွင် တစ်ဖက်၌ အာရုခံမုခ်များ စွန်းထွက်လျက် အထက်၌လည်း ပစ္စယာများ ကွမ်းထောင်များ ပါရှိသည်။ ဘုရားတည်ဆောက်သော ခုနှစ်ကို တိကျစွာ မသိရသော်လည်း ၁၃ ရာစုနောက်ပိုင်းဟု မှန်းဆကြသည်။ ဤသို့ လိုဏ်ဂူ ဘုရားသုံးဆူ ဆက်လျက်တည်ဆောက်ပုံမှာ ထူးခြားလျက်ရှိသည်။ တစ်ဆူချင်း လေ့လာလျှင်လည်း ဂူဘုရားများသည် ပုဂံခေတ် နောက်ပိုင်းကျသည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ <br /> ဘုရားသုံးဆူအတွင်း၌ ထူးခြားဆန်းကြယ်သော နံရံဆေးရေးပန်းချီများ ရှိသည်။ ဘုရားသုံးဆူတွင် အရှေ့ဂူနှင့် အလယ်ဂူများ၌သာ နံရံပန်းချီများ တွေ့ရပြီး အနောက်ဂူ၌ နံရံပန်းချီလုံးဝ မတွေ့ရချေ။ အလယ်ဂူ၌ ရေးလက်စ ပန်းချီများကိုလည်း တွေ့ရသဖြင့် ဘုရားတည်ခိုက် ပန်းချီရေးနေစဉ် အကြောင်း တစ်ခုခုကြောင့် အပြီးမသတ်နိုင်ခဲ့ဟု ယူဆရသည်။ <br /> နံရံပန်းချီများတွင် ဗုဒ္ဓဝင်ရှစ်ခန်း၊ နှစ်ကျိပ် ရှစ်ဆူဘုရားများ၊ သဗ္ဗုဒ္ဓေဘုရားများ၊ ငါးရာ့ငါးဆယ် ဇာတ်ဖော် ပန်းနွယ်၊ ပန်းကနုတ်များ၊ နတ်၊ ကိန္နရာ၊ ဘီလူး၊ သားရဲ၊ မြွေ၊ နဂါး၊ ဆင် စသည်များကို တွေ့နိုင်သည်။ ထူးခြားမှုများတွင် နတ်သမီးနှစ်ဦးကို ဖက်နေသော နတ်သားပုံ ဖြစ်သည်။ ပန်းချီများမှာ အသေးစိတ် ရေးဆွဲထားသည်။ ဆေးနီရောင်ကို သုံးစွဲ၍ တောက်ပြောင်လှပသည်။<ref>ဦးကျော်အောင်(စာတည်းမှူး)၊ တက္ကသိုလ် ဘာသာပြန်နှင့်စာအုပ်ထုတ်ဝေရေးဌာန၊အဆင့်မြင့်ပညာဦးစီးဌာန - ပုဂံစေတီပုထိုးများ</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} {{coord|21.162334268027823|94.90332899242021|format=dms|region:MM|display=inline,title}} {{ပုဂံ}} [[Category:ပုဂံရှိ စေတီပုထိုးများ]] 89asgw71hzlryijtn1r85n185nye5eo 0 54886 1040744 1040419 2026-06-25T08:55:20Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1040744 wikitext text/x-wiki [[File:Thambula Temple, Bagan.jpg|thumb|သမ္ဘူလဘုရား ]] *စေတီပုထိုးအမှတ် = ၄၈၂/၂၈၁ '''သမ္ဘူလဘုရား'''သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပုဂံ]]ရှိ [[မင်းနန်သူရွာ]]အနီးတွင် တည်ရှိသည်။ == စေတီသမိုင်း == ၁၂၅၅ ခုနှစ်တွင် ဘုရင် [[ဥဇနာ (ပုဂံ)|ဥဇနာ]] (၁၂၄၉-၁၂၅၆)၏ မိဖုရား[[သမ္ဘူလ]] တည်ထားသော ကောင်းမှုဖြစ်သည်။ ကျောက်စာအရ '''တိလောက စန္ဒာဒေဝီ''' ခေါ် ''သုံးလူလ'' ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။ == ဗိသုကာလက်ရာများ == ပန္နက်ပုံစံမှာ စတုရန်းပုံဖြစ်၍ အရှေ့မုခ်လှည့် အာရုံခံဖြင့် ဆောက်ထားသည်။ ဗဟိုမဏ္ဍိုင်ကို လိုဏ်ပတ်စင်္ကြံဖြင့် တည်ဆောက်လျက် လေးမျက်နှာ၌ မုခ်ပေါက်များ ရှိသည်။ လိုဏ်ဂူသည် တစ်ထပ်သာဖြစ်၍ ပုဂံခေတ်နောက်ပိုင်းဟန်ကို တွေ့နိုင်သည်။ အထက်၌မူ ပစ္စယာများနှင့် ကွမ်းတောင်ပါရှိသည်။ အတွင်းနံရံဆေးရေး ဗုဒ္ဓဝင်ဇာတ်တော်များ ရှိသည်။ ပါဠိဘာသာဖြင့် နံရံမင်စာများသည် ဗုဒ္ဓဝင်၊ မဟာဝင်ဆိုင်ရာ အကြောင်းဖြစ်၍ စာပေသမိုင်းအတွက် အထူးအရေးပါလေသည်။ <ref>ဦးကျော်အောင်(စာတည်းမှူး)၊ တက္ကသိုလ် ဘာသာပြန်နှင့်စာအုပ်ထုတ်ဝေရေးဌာန၊အဆင့်မြင့်ပညာဦးစီးဌာန - ပုဂံစေတီပုထိုးများ</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} {{coord|21.163233725757635|94.90410059677019|format=dms|region:MM|display=inline,title}} {{ပုဂံ}} [[Category:ပုဂံရှိ စေတီပုထိုးများ]] lxuzeb1armz8g74fy1fuvqyo71rrvnr 0 60479 1040679 830974 2026-06-25T06:08:54Z Zawzawaungthwin 100038 ထီလက်မှတ်ပုံများ ထည့်သွင်းခြင်း 1040679 wikitext text/x-wiki {{Infobox organization | name = အောင်ဘာလေသိန်းဆုဌာနခွဲ | image = {{Multiple image | align = center | direction = horizontal | width = 130 | image1 = Myanmar Lottery tickets 1951.png | caption1 = ၁၉၅၁ | image2 = Myanmar Lottery tickets 1974.png | caption2 = ၁၉၇၄ | image3 = Myanmar Lottery tickets.jpg | caption3 = ၂၀၁၆ | image4 = Yangon State Lottery Directorate.jpg | caption4 = ရုံးချုပ် }} | caption = ခေတ်အဆက်ဆက် ထီလက်မှတ်များနှင့် အောင်ဘာလေသိန်းဆုဌာနခွဲရုံး | formation = {{Start date and age|1938|6|1}} | type = အစိုးရဌာန | headquarters = ရန်ကုန်၊ မြန်မာနိုင်ငံ | price = ၁,၀၀၀ ကျပ် | top_prize = ၅,၀၀၀ သိန်းကျပ် | frequency = တစ်လလျှင် တစ်ကြိမ် }} '''အောင်ဘာလေ''' ဟူသည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]တွင် လစဉ် ရောင်းချဖွင့်လှစ်ပေးနေသော တရားဝင်[[ထီ]]အစီအစဉ် ဖြစ်သည်။ [[စီမံကိန်းနှင့် ဘဏ္ဍာရေး ဝန်ကြီးဌာန]] လက်အောက်ရှိ [[ပြည်တွင်းအခွန်များ ဦးစီးဌာန|ပြည်တွင်းအခွန်များဦးစီးဌာန]]မှ လစဉ်ဖွင့်လှစ်ပေးနေခြင်း ဖြစ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်း == === ကုန်းဘောင်ခေတ် ထီ === မြန်မာနိုင်ငံတွင် [[သီပေါမင်း]]လက်ထက်တော် မတိုင်မီက ထီ ဟူသောအမည်ဖြင့် ဖွင့်ခြင်းအလေ့အထရှိခဲ့သော်လည်း ထီနှင့်အလားတူ မဲချသောစံနစ်မျိုးဖြစ်သည့် စာရေးတံမဲပွဲမှာ ရှေးနှစ်ပေါင်းများစွာက ပေါ်ထွန်းခဲ့သဖြင့် ဝါခေါင်လ၏ ရာသီပွဲအဖြစ်ပင် ထင်ရှားခဲ့လေသည်။ ပင်လယ်ခရီး မြစ်ကြောင်းခရီးများ၌ လှေသင်္ဘောတို့ဖြင့် သွားလာရာဝယ် လှေသင်္ဘောတို့ မရွေ့မလျား တန့်နေပါက၊ စာရေးတံမဲချ၍ မဲကျသူအား ရေသို့ ချရသောအလေ့ရှိကြောင်းကို [[ဦးရှင်ကြီး]]သမိုင်း၊ ပေါင်းလောင်းရှင် [[မဟာကဿပ]]၏သမိုင်း စသည်တို့အရ သိကြရသည်။ မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၁၄၄ ခုနှစ်၌ နန်းတက်သော အမရပူရ ရွှေနန်းသခင် ဘိုးတော်မင်းတရားကြီး လက်ထက်တော်တွင် နိုင်ငံခြားသား ကုလားလူမျိုးတို့နှင့် ကုန်ကူးသန်းဆက်သွယ်ခဲ့ရာမှ အင်္ဂလိပ်လူမျိုးတို့၏ ထီစံနစ်ကို မြန်မာတို့ သိရှိခဲ့ကြသည်။ ကုန်ရောင်းကုန်ဝယ်ကိစ္စများ၌ အငြင်းပွားသည့်အခါ မြန်မာခုံတော်များက ကုလားလူမျိုးတို့၏ အရောင်းအဝယ်ဆိုင်ရာထုံးစံဖြစ်သော ပြင်ကူ၊ ဇိတံဝတံ၊ ဖီမာ၊ လေလံ စသည့် ထုံးနှုန်းတို့ကိုဆင်ခြင်၍ အဆုံးအဖြတ်ပေးကြရကုန်ရာ ပြင်ကူ ဟူသော သဘောသည် ထီ၏သဘောနှင့် ဆင်တူသည်။ ကံစမ်းစက္ကူလိပ်များကို မဲနှိုက်စေ၍ အငြင်းပွားနေသော ကုန်၏တန်ဘိုးကို ဖြတ်ကာ ခွဲဝေပေးသောစံနစ်ကို ပြင်ကူဟု ခေါ်သည်။ သီပေါမင်းလက်ထက်တွင် အင်္ဂလိပ်အစိုးရပိုင်နက်ဖြစ်သော အောက်မြန်မာနိုင်ငံတွင် ထီဖွင့်မှုခေတ်စားနေလေသည်။ မန္တလေးနေပြည်တော်၌လည်း တရုတ်အမျိုးသားများ၏ [[၃၆-ကောင် ထီ|၃၆ ကောင်ထီ]] များ ပေါ်ပေါက်နေပြီးဖြစ်သည်။ အခွန်တော်တိုးစေရန် သဿမေဓအခွန်တော်ကို အတင်းအကြပ် ကောက်ခံခြင်းထက် အင်္ဂလိပ်အစိုးရကဲ့သို့ ထီဖွင့်၍ ခိုင်နှုန်းကောက်ခံခြင်းက ပို၍ အကျိုးများမည်ဟု ယူဆကာ သီပေါမင်းတရားသည် ထီရုံများ ဖွင့်လှစ်စေသည်။ နောက်ဆုံးတွင် အကျိုးမရှိဘဲ ဆင်းရဲသား ကျွန်တော်မျိုးတို့ မွဲတေခြင်း၊ ခိုးသားထားပြ အလွန်ဆူပူသောင်းခြင်းတို့ ဖြစ်လာသဖြင့် ၁၂၄၃ ခု ပြာသိုလတွင် ထီရုံများပိတ်စေရသည်။ ==== ထီ အစီအစဉ် ==== သီပေါမင်းလက်ထက် ထီဖွင့်ပုံဖွင့်နည်းမှာ အင်္ဂလိပ်တို့၏ ထီစံနစ်နှင့် အနည်းငယ်ကွာခြားသည်။ ထိုစဉ်က ထီကို နှစ်မျိုးခွဲ၍ ဖွင့်လှစ်သည်။ နေ့စဉ်ဖွင့်သောထီနှင့် လစဉ်ဖွင့်သောထီဟူ၍ ဖြစ်သည်။ နေ့စဉ်ဖွင့်သောထီမှာ ထီလက်မှတ်တစ်စောင်ကို တစ်ပဲဖြစ်သည်။ ထီလက်မှတ်များကို ထီကိုယ်စားလှယ်များ ထံတွင် ဝယ်ယူကံစမ်းနိုင်သည်။ မြို့တော်အတွင်း၌ ထီရုံးအများအပြား ထားရှိဖွင့်လှစ်ပြီး ထီလက်မှတ်များကို ရောင်းသည်။ နေ့စဉ်ဖွင့်သောထီအတွက် အောင်ဘာလေမဲကို မွန်းတည့်ချိန်တွင် ဖွင့်သည်။ ထီပေါက်သူအား တစ်ဆကို လေးဆယ့်ရှစ်ဆ လျော်သည်။ တစ်ပဲထိုးလျှင် သုံးကျပ်၊ တစ်ကျပ်ထိုးလျှင် လေးဆယ့်ရှစ်ကျပ်၊ တစ်ရာဖိုးထိုးလျှင် လေးရာ့ရှစ်ဆယ် ရ၏။ ထီရုံးဖွင့်ထားသူတို့သည် ထီပေါက်သူအား မလျော်နိုင်လျှင် အဖမ်းခံရသည်။ အများအားဖြင့် လျော်ငွေရကြသည်။ ၁၂၄၀ ပြည့်နှစ် တပေါင်းလတွင် ထီသဘောပေါက်သော အကွက် ၆၀ ခုံကို တီထွင်သည်။ ထိုခုံတွင် အမှတ် ၁ မှ ၆၀ အထိ ဂဏန်းများပါဝင်ရာ ထီထိုးသူက ကြိုက်ရာအမှတ်ကို အကန့်အသတ် မရှိထိုးနိုင်သည်။ တစ်ဂဏန်းလျှင် တစ်ကျပ်ဖြစ်၍ ရောင်းရငွေမှ ၂၀ ရာခိုင်နှုန်းကို နုတ်ယူပြီးလျှင် ကျန်ငွေကို အောင်ဘာလေ ဖွင့်သည်။ ပေသီးအလုံး ၆၀ ပေါ်တွင် တစ်ဂဏန်းမှ ခြောက်ဆယ်ဂဏန်းတိုင်အောင်ရေးထိုး၍ ငွေအိုးတစ်လုံးတွင်ထည့်ကာ ဗလာပေသီး ၅၉ လုံးနှင့် ရွှေပေသီးတစ်လုံးကို အခြားငွေအိုး တစ်လုံးတွင်ထည့်ပြီးနောက် ကလေးနှစ်ယောက်အား အိုးတစ်လုံးစီမှ ပေသီးတစ်လုံးစီ နှိုက်ယူစေသည်။ ရွှေပေသီးနှင့်တွဲ၍ ထွက်သော ဂဏန်းသည် အောင်ဘာလေဂဏန်းဖြစ်၍ ထိုဂဏန်း ထိုးသူတို့အား သတ်မှတ်ထားသော ဆုငွေကို အညီအမျှ ခွဲဝေပေးသည်။ ယင်းအကွက် ၆၀ ထီမျိုးကို လူကြိုက်နည်းလာသဖြင့် ၁၂၄၁ ခု သီတင်းကျွတ်လပြည့်ကျော် ၁ ရက်နေ့တွင် အောင်ဘာလေပေါက်ဂဏန်းကို တစ်ခုတည်းထား၍ လက်မှတ်ပေါင်း ၁၂၀၀၀ ရိုက်သည်။ တစ်လက်မှတ်လျှင် ငါးကျပ်ကျနှင့် ရောင်းချရာ၊ ငွေပေါင်း ၆၀၀၀၀ ရရှိလေသည်။ ယင်းခြောက်သောင်းမှ အခွန်တော်အတွက် ငွေတစ်သောင်း နုတ်ယူပြီးနောက် ကျန်ငွေ ငါးသောင်းကို အောင်ဘာလေမဲ ဖွင့်သည်။ အောင်ဘာလေ ရွှေပေသီးနှင့် တိုက်ဆိုင်သူ လက်မှတ်ရှင်အား ငွေငါးသောင်း အပ်နှင်းပြီးလျှင် သူဌေးအရာခန့်ထား သူကောင်းပြုမည်ဟုပင် စည်လည်ထားသည်။ ထီပေါက်သူထံသို့ ငွေအိတ်ကို ဆင်ပေါ်တွင်တင်၍ အိမ်တိုင်ယာရောက် ပို့လေသည်။ ထိုနောက် ထိုထီစံနစ်ကို ဘုရင်ကိုယ်တိုင် နှစ်သက်တော်မူသဖြင့် ထီရုံပေါင်း ၁၀ ရုံဖွင့်စေတော်မူလျက် ထီရုံတရုံတွင် လက်မှတ်ပေါင်း ၆၀၀၀ ထား၍ တစ်လက်မှတ်လျှင် နှစ်ကျပ်ကျနှင့် ရောင်းချရာ ထီတစ်ရုံလျှင် ငွေပေါင်း ၁၂၀၀၀ ရရှိသည်။ ယင်းငွေမှ ငွေ ၂၀၀၀ ကိုနုတ်၍ ကျန်ငွေ ၁၀၀၀၀ ကို အောင်ဘာလေဖွင့်စေ သည်။ ဤနည်းအတိုင်း ထီရုံ ၁၀ ရုံထား၍ တစ်လလျှင် ၁၀ ကြိမ်ထီဖွင့်စေရာ ထီတော်မှ အခွန်တော်ငွေပေါင်း တစ်လလျှင် ၂ သိန်းကျစီ ရလေသည်။ ရှိသမျှလူတို့သည် ထီနောက် ကောက်ကောက်ပါအောင် လိုက်နေကြရင်း မွဲသူမွဲ၊ မူးသူမူး၊ ရူးသူရူး၊ သေသူသေ၊ ခိုးဆိုးလုယက်သူများ လာသည်။ ထီကြောင့် နေပြည်တော်တွင် ဒုစရိုက်မှုများ ထူပြောလာပြီး စီးပွားပျက်ကာ ချွတ်ခြုံကျလာသည်။ ထီဖွင့်ပွဲ ကျင်းပနေသည့် သုံးနှစ်အတွင်း နေပြည်တော်ရှိ သူတို့၏ အခြေအနေမှာ ဆယ်မရလောက်အောင် ပျက်စီးကုန်၏။ ထီသည် ဘုရင့်ဘဏ္ဍာတိုက်အတွက် ဘဏ္ဍာငွေများ ပြည့်လျှံလာသော်လည်း ပြည်သူအများစု၏ ဘဝပျက်စေသည့် သတင်းက သီပေါမင်းနားသို့ ပေါက်ကြားလာသည်။ ထိုအခါ ဘုရင်အဖို့ စိတ်မရွှင်လန်းနိုင်ဖြစ်ကာ သုံးနှစ်သုံးမိုးအကြာတွင် သီပေါဘုရင်က ထီကို ပိတ်ပစ်လိုက်တော့သည်။ ရက်အတော်ကြာကြာတွင် အခြေအနေများ ပြန်လည်တည်ငြိမ်လာသည်။ ထီပိတ်လိုက်ခြင်းကြောင့် တိုင်းပြည်တစ်ပြည်လုံး ပျက်စီးတော့မည့်ဘေးမှ ဝေးသွားခဲ့ရသည်။ <ref>ကောင်းထက်၏ စုဖုရားလတ်ရှင်းတမ်းနှင့် ပါတော်မူဖြစ်ရပ်များ(၂၀၀၄၊ ဩဂုတ်လ၊ပအကြိမ်)</ref> === ယနေ့ခေတ် ထီ၏ သမိုင်း === ၁၉၃၈ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ (၁) ရက်နေ့တွင် မြန်မာပြည်အစိုးရ ထီအုပ်ချုပ်ရေး အရာရှိရုံးကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ [[ဂျပန်ခေတ်]]တွင် ဗမာနိုင်ငံတော်အစိုးရ၊ အောင်မင်္ဂလာသိန်းဆုတော်ရုံဟု ခေါ်တွင်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ၁၉၄၅ ခုနှစ်၊ ဩဂုတ်လတွင် အစိုးရသိန်းထီဌာန အဖြစ် ပြန်လည်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ လွတ်လပ်ရေးရပြီးချိန်တွင် အစိုးရသိန်းထီဌာန ကို အောင်ဘာလေသိန်းဆုဌာနခွဲ ဟု ပြောင်းလဲခေါ်တွင်ခဲ့သည်။ ၁၉၃၈ ခုနှစ်တွင် ၂ ကျပ်တန်ထီစနစ် စတင်ပေါ်ပေါက်စဉ်က အမြင့်ဆုံးချီးမြှင့်သောဆုမှာ ကျပ်တစ်သိန်းဆုဖြစ်သောကြောင့် ထီနှင့်ပတ်သက်ပြီး သိန်းထီဆုကြီး၊ သိန်းထီဖွင့်ပွဲ စသည်ဖြင့် ခေါ်ဝေါ်သုံးနှုန်းခဲ့ကြသည်။ ၂ ကျပ်တန်ထီစနစ်မှစ၍ ထီစနစ်များ တစ်ခုပြီးတစ်ခု ခေတ်အဆက်ဆက် တိုးတက် ပြောင်းလဲလာခဲ့ရာ ၅ ကျပ်တန်၊ ၁၀ ကျပ်တန်၊ ၅၀ ကျပ်တန်၊ ၁၀၀ ကျပ်တန် ထီစနစ်မှ ယခုအခါ ၂၀၀ ကျပ်တန် ထီစနစ်အထိ အဆင့်ဆင့်ပြောင်းလဲဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ၁၉၈၉ ခုနှစ်အထိ နှစ်လလျှင် တစ်ကြိမ် ထီဖွင့်ပွဲကျင်းပခဲ့ပြီး နောက်ပိုင်းတွင် တစ်လ လျှင်တစ်ကြိမ် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ၂၀၀ကျပ်တန်ထီစနစ်တွင် အမြင့်ဆုံးအထူးဆုကြီးသိန်း ၁၅၀၀ ၊ ဆုကြီးတစ်ဆုကြီးချင်း သိန်း ၁၀၀၀၊ ဆုကြီးတစ်ဆုကြီးချင်း သိန်း ၅၀၀ နှင့် သိန်း ၃၀၀ ဆုများ၊ သိန်း ၂၀၀ ဆုများအပါအဝင် သိန်း ၁၀၀ မင်္ဂလာစုံတွဲစနစ်၊ ဖြည့်စွက် ယူနစ်စနစ်နှင့် အပိုဆုဆုမဲများကို ထည့်သွင်းဖွင့်လှစ် ထားသည်။ ၂၀၁၂ ခုနှစ် စက်တင်ဘာ ၁ ရက်နေ့တွင် ဖွင့်လှစ်သော ၂၈၆ ကြိမ်မြောက် ထီဖွင့်ပွဲမှစတင်၍ ကျပ်သိန်း ၁၅၀၀ အထူးဆုကြီးနှင့် အက္ခရာတူရှေ့ဂဏန်း ၂ လုံးအစဉ်လိုက်တူ ဆုမဲ ၉၉၉၉ အား မိတ်သဟာပူးတွဲဆုအဖြစ် ကျပ် ၅၀၀၀၀ ချီးမြှင့်ဖွင့်လှစ်ပေးခဲ့သည်။ ထီလက်မှတ် တစ်စောင်၏ ရောင်းဈေးမှာ ကျပ် ၂၀၀ ဖြစ်ပြီး ထီစာအုပ်တစ်အုပ်တွင် ထီလက်မှတ် ၁၁ စောင်ပါရှိ၍ ထီစာအုပ်တစ်အုပ်လျှင် ကျပ် ၂၀၀၀ နှုန်းဖြင့် ထီရောင်းချသူများကို ရောင်းချပေးသည်။ ဤနည်းအား ဖြင့် ထီရောင်းချသူများအား ထီစာအုပ် တစ်အုပ်လျှင် အမြတ်ငွေ ၂၀၀ ကျပ် ခံစားခွင့်ပေးထားသည်။ ထီအုပ်များကို အောင်ဘာလေသိန်းဆုဌာနခွဲ ရန်ကုန်(ရုံးချုပ်) အရောင်းကောင်တာ၊ မန္တလေး(ရုံးခွဲ) အရောင်းကောင်တာနှင့် [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]]ရှိ မြို့နယ်အခွန်ဦးစီးဌာနမှူးရုံးများမှအပ ကျန်ပြည်နယ်/တိုင်းဒေသကြီးများရှိ မြို့နယ် ပြည်တွင်းအခွန်များဦးစီးဌာန ရုံးများတွင် ရောင်းချပေးသည်။ အောင်ဘာလေသိန်းဆုခွန်သည် ထီစာအုပ်များကိုရောင်းချခြင်းမှ အခွန်ကောက်ခံရရှိသည့် အခွန်ဖြစ်သည်။ ရောင်းရ ငွေများ၏ ၄၀% ကို အခွန် အဖြစ်ကောက်ခံပြီး ကျန် ၆၀% ကို ထီဆုငွေများအဖြစ် ခွဲဝေပေးသည်။<ref>{{cite web|url=http://www.aungbarlay-mm.com/index.php/about-aungbarlay-lottery.html|title=အောင်ဘာလေထီအကြောင်း|accessdate=၂၃ ဇန်နဝါရီ ၂၀၁၆|archivedate=25 January 2016|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160125191813/http://aungbarlay-mm.com/index.php/about-aungbarlay-lottery.html}}</ref> ၂၀၁၉ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလမှစတင်၍ လက်ရှိအချိန်အထိ ထီလက်မှတ်တစ်စောင်‌‌ဈေးနှုန်းမှာ ၁၀၀၀ ကျပ် အထိ တိုးမြင့်သွားပြီဖြစ်ပြီး အမြင့်ဆုံး ဆုငွေမှာလည်း သိန်း တစ်သောင်းခွဲသို့ ‌ပြောင်းလဲ ချီးမြှင့်ခဲ့သည်။ ၂၀၂၁ နောက် ပိုင်းတွင် ထီလက်မှတ် တစောင် ၁၀၀၀ကျပ်နှုန်းဖြင့် ရောင်းချပြီး အမြင့်ဆုံးဆု‌ကြေးငွေ မှာ သိန်း၅၀၀၀ကျပ်ဖြစ်သည်။ == အောင်ဘာလေ အွန်လိုင်းထီ == အောင်ဘာလေအွန်လိုင်းထီစနစ်ကို ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဇွန်လ ၈ ရက်နေ့တွင် ထီတစ်စောင် ၁၀၀၀ ကျပ်ဖြင့် စတင်ရောင်းချခဲ့သည်။ အွန်လိုင်းထီစနစ်ကို စီမံကိန်းနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီးဌာန၊ ပြည်တွင်းအခွန်များဦးစီးဌာနနှင့် Telecom International Myanmar Co.,Ltd ([[မိုင်တဲလ် မြန်မာ|Mytel]]) တို့က ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=အောင်ဘာလေ အွန်လိုင်းသိန်းဆုထီစနစ်စတင်ခြင်း ဖွင့်ပွဲ ဇွန် ၈ ရက်က ကျင်းပခဲ့ခြင်းနှင့် ကျပ် ၁၀ သိန်းနှင့်အောက် အောင်ဘာလေ အွန်လိုင်းထီဆုငွေများကို အီလက်ထရွန်နစ် ငွေပေးချေမှုစနစ်ဖြင့် ထုတ်ပေးမည်ဟုကြေညာခြင်း |url=https://news-eleven.com/article/249469 |access-date=၁၃ ဇူလိုင် ၂၀၂၃ |work=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref><ref>{{cite web |title=အောင်ဘာလေ အွန်လိုင်းထီစနစ် စတင် |url=http://www.mmgpmedia.com/static/content/MFN/2023-06-09/1116814419587252224.html |website=www.mmgpmedia.com |access-date=၁၃ ဇူလိုင် ၂၀၂၃}}</ref><ref>{{cite news |title=မြန်မာနိုင်ငံ၌ အွန်လိုင်းထီစနစ်ကို စတင်အသုံးပြုမည် |url=https://npnewsmm.com/news/6481a6b3911cbd79ed75de2e |access-date=၁၃ ဇူလိုင် ၂၀၂၃ |work=npnewsmm.com}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist| <ref>မြန်မာ့စွယ်စုံကျမ်း၊ အတွဲ(၅)</ref> }} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံ၏ စီးပွားရေး]] hp6v5lq47rq4db3k9xmqtdacg0pf1bf 0 63754 1040632 1020361 2026-06-24T22:31:28Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1040632 wikitext text/x-wiki {{Infobox Galaxy | name =NGC 5545 | image = N5544s.jpg | caption = NGC 5545 (left) and NGC 5544 imaged with a 32-inch telescope | credit = Adam Block/Mount Lemmon SkyCenter/University of Arizona| epoch = [[J2000]] | type = SA(s)bc:<ref name=NED/> | ra = {{RA|14|17|05.222}}<ref name="ApJ131_1163"/> | dec = {{DEC|+36|34|30.87}}<ref name="ApJ131_1163"/> | dist_ly = {{Convert|48.56|Mpc|Mly|order=flip|abbr=on|lk=on}}<ref name="Crook2007"/> | z = {{val|0.010270|0.000033}}<ref name=aas112_429/> <br> (+3070<ref name="Crook2007"/>&nbsp;km/[[second|s]]) | appmag_v = 18.5<ref name=NED/> | size_v = {{nowrap|0.08′ × 0.08′}}<ref name=NED/> | constellation name = [[ဘိုးတီ]] | notes = Paired with [[NGC 5544]] | names = [[2MASX]] J14170522+3634308, [[Atlas of Peculiar Galaxies|ARP]] 199, [[Boss General Catalogue|GC]] 3834, [[IRAS]] 14149+3648, [[KPG]] 422b, [[KUG]] 1414+368, [[Lyon-Meudon Extragalactic Database|LEDA]] 51023, [[Morphological Catalogue of Galaxies|MCG]]+06-31-091, [[Lyon-Meudon Extragalactic Database|PGC]] 51023, [[PRC D]]-46, [[Uppsala General Catalogue|UGC]] 9143, [[UZC]] J141705.3+363432, [[Atlas of Interacting Galaxies|VV]] 210a, [[Atlas of Interacting Galaxies|VV]] 210. }} '''NGC 5545''' သည် [[ခရုပတ်ပုံစံ ဂယ်လက်ဆီ]]ဖြစ်ပြီး [[ဘိုးတီ]] ကြယ်စုတန်း၌ တည်ရှိကာ [[NGC 5544]] နှင့် ချိတ်ဆက်နေသည်။ ==ကိုးကား== {{reflist|refs= <ref name="ApJ131_1163">{{Citation | first1 = M. F. | last1 = Skrutskie | first2 = R. M. | last2 = Cutri | first3 = R. | last3 = Stiening | first4 = M. D. | last4 = Weinberg | first5 = S. | last5 = Schneider | first6 = J. M. | last6 = Carpenter | first7 = C. | last7 = Beichman | first8 = R. | last8 = Capps | first9 = T. | last9 = Chester | first10 = J. | last10 = Elias | first11 = J. | last11 = Huchra | first12 = J. | last12 = Liebert | first13 = C. | last13 = Lonsdale | first14 = D. G. | last14 = Monet | first15 = S. | last15 = Price | first16 = P. | last16 = Seitzer | first17 = T. | last17 = Jarrett | first18 = J. D. | last18 = Kirkpatrick | first19 = J. E. | last19 = Gizis | first20 = E. | last20 = Howard | first21 = T. | last21 = Evans | first22 = J. | last22 = Fowler | first23 = L. | last23 = Fullmer | first24 = R. | last24 = Hurt | first25 = R. | last25 = Light | first26 = E. L. | last26 = Kopan | first27 = K. A. | last27 = Marsh | first28 = H. L. | last28 = McCallon | first29 = R. | last29 = Tam | first30 = S. | last30 = Van Dyk | first31 = S. | last31 = Wheelock | display-authors = 1 | title = The Two Micron All Sky Survey (2MASS) | journal = The Astronomical Journal | volume = 131 | issue = 2 | pages = 1163–1183 |date=February 2006 | doi = 10.1086/498708 | bibcode = 2006AJ....131.1163S | postscript = . }}</ref> <ref name="Crook2007">{{Citation | last1 = Crook | first1 = Aidan C. | last2 = Huchra | first2 = John P. | last3 = Martimbeau | first3 = Nathalie | last4 = Masters | first4 = Karen L. | last5 = Jarrett | first5 = Tom | last6 = Macri | first6 = Lucas M. | display-authors = 1 | title = Groups of Galaxies in the Two Micron All Sky Redshift Survey | journal = The Astrophysical Journal | volume = 655 | issue = 2 | pages = 790–813 |date=February 2007 | doi = 10.1086/510201 | bibcode = 2007ApJ...655..790C | arxiv = astro-ph/0610732 | postscript = . }}</ref> <ref name=aas112_429>{{citation | last1=Freudling | first1=W. | title=Neutral hydrogen observations of galaxies in the Hercules supercluster. III. CGCG fields at the edge of the void | journal=Astronomy and Astrophysics Supplement | volume=112 | page=429 | date=September 1995 | bibcode=1995A&AS..112..429F | postscript = . }}</ref> <ref name=NED>{{citation | title=NED results for object NGC 5545 | work=NASA/IPAC Extragalactic Database | publisher=NASA | url=http://ned.ipac.caltech.edu/cgi-bin/objsearch?objname=NGC+5545&list_limit=5 | accessdate=2015-10-29 | postscript=. }}</ref> }} ==ပြင်ပလင့်== * [http://arp.schoenball.de/galaxien_e.htm Distance] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110516200620/http://arp.schoenball.de/galaxien_e.htm |date=16 May 2011 }} * [http://aladin.u-strasbg.fr/AladinPreview?-c=14+17+05.25%2B36+34+29.1&ident=NGC++5545&submit=Aladin+previewer Image NGC 5545]{{Dead link|date=March 2026 }} * [http://seds.org/~spider/ngc/ngc.cgi?5545 http://seds.org/] {{Webarchive|url=https://archive.today/20121221030452/http://seds.org/~spider/ngc/ngc.cgi?5545 |date=21 December 2012 }} {| border="0" width="50%" cellpadding="1" cellspacing="1" style="float:left; margin-right:0.5em; background:#CDC9C9;" ! colspan="1" | '''Database references''' |- bgcolor="#FFFAFA" | '''Simbad''' || '' [http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/sim-id?Ident=NGC+5545&NbIdent=1&Radius=2&Radius.unit=arcmin&submit=submit+id data] '' |} {{Clear}} {{Ngc60}} [[ကဏ္ဍ:ဘိုးတီ]] {{galaxy-stub}} dvj5rupab14gzsz0efkq5dg453izwu6 0 66428 1040745 438450 2026-06-25T08:56:17Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1040745 wikitext text/x-wiki *စေတီပုထိုးအမှတ် = ၅၃၉/၂၉၅−က '''တရုတ်ပြေးဘုရားကြီး'''သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပုဂံ]]တွင် တည်ရှိသည့် စေတီဖြစ်သည်။ တရုတ်ပြေးဘုရားကြီးသည် ကွမ်းတောင် ပေါက် လိုဏ်နှစ်ဆင့် ဂူဘုရားဖြစ်ပြီး ဂူဘုရား အတွင်းနံရံ ကမ္ဗည်းစာများအရ ခရစ်(၁၃)ရာစုတွင် [[ကျစွာမင်း]]လက်ထက် အမတ်ကြီးကင်္ကဖြစ် ဆောက်လုပ်ခဲ့ပြီး ဘုရားအပြီးမသတ်၍ [[နရသီဟပတေ့]]မင်းက ဆက်လက် တည်ခဲ့သည်ဟု ယူဆကြသည်။ ဂူဘုရားအတွင်းရှိ နံရံဆေးရေး ပန်းချီများမှာ အစိမ်းရောင်မှ တစ်ပါး အခြားဆေးရောင်များ မှေးမှိန်နေပြီဖြစ်သည်။ သို့သော် ပုဂံခေတ် နံရံဆေးရေးပန်းချီကွက်ကြီးများကို ကမ္ပည်းစာနှင့်တကွ တွေ့မြင်နိုင်သေးသည်။ ဂူဘုရားအပေါ်ထပ် အဝင်ခန်းမ ပေါင်းကူးမျက်နှာကြက်နှင့် နံရံတွင် ဗုဒ္ဓရုပ်ပွားပုံအတန်းများ သစ်ရွက်ပုံ၊ ပန်းတန်းများ ရှိသည်။ ဖြတ်ကူးလမ်းနှင့် အာရုံခံခန်းမ ပေါင်းကူး မျက်နှာကြက်တွင် ဗုဒ္ဓရုပ်ပွားပုံအတန်းများ၊ နံရံတွင် ပန်းဆွဲများ၊ ဗုဒ္ဓဝင်ဇာတ်ကွက်များရှိသည်။ စင်္ကြံလမ်း ပေါင်းကူးမျက်နှာကြက်တွင် ထောင့်ဘောင်ပန်းများ၊ ဗုဒ္ဓရုပ်ပွားပုံအတန်းများ၊ နံရံတွင် ပန်းဆွဲများနှင့် ဗုဒ္ဓဝင်ဇာတ်ကွက်များရှိသည်။ ဂူဘုရားမြေညီထပ် အဝင်ခန်းမတွင် ဗုဒ္ဓခြေတော်ရာပုံနှင့် ဗုဒ္ဓရုပ်ပွားပုံများ၊ နံရံတွင် ဗုဒ္ဓဝင်ဇာတ်လမ်းများနှင့် အဆောက်အဦးပုံ ရှိသည်။ စင်္ကြံလမ်း ပေါင်းကူးမျက်နှာကြက်တွင် ဗုဒ္ဓရုပ်ပွားပုံပါသော စက်ဝိုင်းကွက်များ၊ နံရံတွင် သစ်ရွက်ပုံပန်းတန်းများ၊ [[နှစ်ကျိပ်ရှစ်ဆူ]] ဘုရားပုံနှင့် အမည်များရှိသည်။ ဂူဘုရား အလယ်မဏ္ဍိုင်၏ နံရံတွင် ဗောဓိညောင်ပင်ပုံများ ရှိသည်။ အလယ်မဏ္ဍိုင်ရှိ ဗုဒ္ဓရုပ်ပွားဆင်းတု၏ ပေါင်းကူးမျက်နှာကြက်တွင် ဗုဒ္ဓရုပ်ပွားပုံ ပါရှိသည့် ရှစ်မြှောင့်အကွက်များ၊ စက်ဝိုင်းအတွင်းမှ ဗုဒ္ဓရုပ်ပွားပုံနှင့် ပန်းကွက်အလှများ၊ နံရံတွင် ပန်းဆွဲများ၊ ဗုဒ္ဓဝင်ဇာတ်ကွက်များရှိသည်။ တရုတ်ပြေးဂူဘုရား အပေါ်ဆင့် စိန်တန်းများတွင် စဉ့်ကွက်များရှိသည်။ ဂူဘုရား အပေါ်ထပ် ​ထောင့်စေတီများရှိ [[အင်္ဂတေ]] [[ပန်းတော့]]လက်ရာများ၊ အရှေ့ဘက်အဝင်မုခ်မှ အင်္ဂတေ ပန်းတော့လက်ရာများနှင့် ဂူဘုရားအပြင် နံရံပတ်လည်ရှိ တိုင်ဖုံးပန်းများ၊ ပန်းဆွဲများ၊ တိရစ္ဆာန် ရုပ်ပုံများကို လေ့လာနိုင်သည်။<ref>ဦးမောင်မောင် - ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ၏ ပုဂံစေတီပုထိုးများ</ref> == ကိုးကား == <references/> {{coord|21.16294889806796|94.90074090282964|format=dms|region:MM|display=inline,title}} {{ပုဂံ}} [[Category:ပုဂံရှိ စေတီပုထိုးများ]] 057znzufcos3deltyl5pwjtqlugmb9z 0 66544 1040738 816151 2026-06-25T08:47:04Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1040738 wikitext text/x-wiki [[File:Mya Kan Se.jpg|thumb|မြကန်ဆည်]] '''မြကန်'''သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]] [[ပုဂံ]]ဒေသရှိ ရှေးခေတ်ရေကန်တစ်ကန် ဖြစ်ပြီး [[တုရင်တောင်]] အနောက်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ ထိုမြကန်အား ထီးလှိုင်ရှင် [[ကျန်စစ်သား]]မင်းကြီး ကိုယ်တိုင် ဦးဆောင်လျက် ပုဂံသူ ပုဂံသားတို့ စီမံပြုလုပ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ မြကန်၏ မူလအမည်မှာ မဟာနိဗ္ဗာန လက်ဆွဲချီရေ (မဟာနိဗ္ဗာန် လက်ဆွဲချီကန်)ဟု ကျောက်စာများ၌ တွေ့ရသည်။ မြကန်သည် ပိုက်လှမ်းတောင်အား တာတမံ အရံအတားမျိုး ပိတ်ဆို့ကာဆီး၍ စီမံထားသော တစ်ဖက်ဆည်ကန် ဖြစ်သည်။ မြကန်ကို အမရကန်ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။ (မ−မရဏ) သေခြင်းမရှိသော ဟူ၍လည်း အနက်အဓိပ္ပာယ် ဖွင့်ဆိုကြသည်။ သက္ကရာဇ် ၅၉၈−ခုနှစ်တွင် ပုဂံ[[ကျစွာမင်း]]ကြီးက မြကန်ကို ပြန်လည်၍ ပြုပြင်ထိန်းသိမ်း စောင့်ရှောက်ခဲ့သည်။ မြကန်အနီးတွင် ကျစွာမင်းကြီး၏သမီးတော် သံပျင်မင်းသမီး ကောင်းမှုတော် (သမ်းတော်မူ)ဘုရားစေတီ တစ်ဆူရှိသည်။ ==အစောဆုံး မြန်မာအက္ခရာ== ရာဇကုမာရ် ကျောက်စာမျှ သိပ်မထင်ရှားသော ကျန်စစ်သားမင်း၏ [[မြကန်ကျောက်စာ|မြကန် မွန်ကျောက်စာ]]မှာ ရေကန်အမည်ကို မဟာနိဗ္ဗာန် လက်ဆုယ်ခိရိယ် ( မူရင်း အတိုင်း) ဟု တွေ့ရသည်မှာ အစောဆုံး မြန်မာ အက္ခရာဟု ပြောနိုင်သည်။ ==ကိုးကား== {{reflist| <ref>{{cite book|author=ရေနံ့သာဝင်းမောင်|title=စွယ်တော်ငါးဆူ ပြည့်(၅)ပြည့်}}</ref> }} {{coord|21.12011848970166|94.9412851560041|format=dms|region:MM|display=inline,title}} {{ပုဂံ}} [[Category:ပုဂံ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ရေကန်များ]] 957lngdsc2v2bscb9vqj8qpl7cy7l2m 0 66677 1040747 544373 2026-06-25T08:58:25Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1040747 wikitext text/x-wiki *စေတီပုထိုးအမှတ် = ၆၆၇/၃၄၅−က မလုံးဖြစ်ဂူဘုရားသည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပုဂံ]]တွင် တည်ရှိသည်။ [[မလာဖြစ်ဂူဘုရား|မလာဖြစ်ဂူ]] ဘုရားတံတိုင်း၏ မြောက်ဘက်ကပ်၍ မလုံးဖြစ်ဂူ ဘုရားတံတိုင်းရှိလေသည်။ တံတိုင်းမှာ မလာဖြစ်ထက် ပို၍ကျယ်ဝန်းပြီး မလုံးဖြစ်ဂူဘုရားမှ တောင်ဘက်တံတိုင်း အလယ်လောက်တွင် ကပ်၍ရှိလေသည်။ ဂူအနောက်မြောက်ဘက် တံတိုင်းတွင်းတွင် အုတ်ကျောင်း အလတ်စားနှစ်ခု တောင်မြောက်တန်း၍ ရှိပြီး တောင်ဘက်ကျောင်းသည် လေးထောင့်မတ်မတ် အောက်နှစ်ခန်း၊ အပေါ်ထပ်ရှိလေသည်။ မလုံးဖြစ်ဂူအတွင်းတွင် ကျောက်စာနှစ်ခုရှိရာ တစ်ခုမှာ သက္ကရာဇ် ၅၉၂-ခုတွင် ကောင်းမှုရှင် (ဖုန်းသည်) သူဖရစ်လင်မယားသည် စရပ်လှမည်သော နေရာအရှေ့တွင် ဂူကျောင်းပြုလုပ်ကြောင်း၊ ကျွန်လှူကြောင်း၊ သက္ကရာဇ် ၆၀၇ တွင်လည်း သူဖရစ်မယားက မြေလှူကြောင်းများ ပါရှိလေသည်။ အခြားကျောက်စာတစ်ခုတွင် သက္ကရာဇ် ၆၀၀ ၌ သံဗျင်သက်ရှည်ဆိုသူက စရပ်လှရှေ့တောကျောင်း၌ မြေလှူသည့်အကြောင်း ပါရှိလေသည်။ မလုံးဖြစ်ဂူဘုရားတွင် အပြင်ဘက် အင်္ဂတေပန်းများ ကျန်သော်လည်း လက်ရာမှာမူကား မကောင်းလှပေ။ အတွင်းပန်းချီများအနက် အနောက်မျက်နှာအမိုးမှ ပန်းဝိုင်းများ လက်ရာကောင်းမွန် လှပစွာရှိလေသည်။<ref>ဦးဗိုကေ - ပုဂံသုတေသနလမ်းညွှန်</ref> == ကိုးကား == <references/> {{coord|21.16786584658638|94.89866721613026|format=dms|region:MM|display=inline,title}} {{ပုဂံ}} [[Category:ပုဂံရှိ စေတီပုထိုးများ]] 44deqa1q6j4zjt3sa23n215096heu6m 0 68130 1040636 887137 2026-06-25T00:32:31Z Giuliotf 131820 coords + sourcing 1040636 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = ကောင်းတုံ |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ကျေးရွာ]] |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |subdivision_type = နိုင်ငံ |subdivision_name = {{Flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ကချင်ပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ဗန်းမော်ခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ဗန်းမော်မြို့နယ်]] |unit_pref = Imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |population_density_km2 = auto |coordinates_display = inline,title |coordinates_region = MM |coordinates = {{Coord|24|08|11|N|97|06|18|E|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''ကောင်းတုံရွာ''' သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[ကချင်ပြည်နယ်]]၊ [[ဗန်းမော်ခရိုင်]]၊ [[ဗန်းမော်မြို့နယ်]]ရှိ ရွာတစ်ရွာ ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=Place codes (Pcodes) |url=https://themimu.info/sites/themimu.info/files/documents/Myanmar_PCodes_Release_9.7_Jan2026_Kachin.xlsm |access-date=2026-05-24 |website=MIMU - Myanmar Information Management Unit}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{ကချင်ပြည်နယ်}} [[Category:ကချင်ပြည်နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Kachin-geo-stub}} e9bisf1ntbgs44kjfbp70pr74c9fka6 1040637 1040636 2026-06-25T00:32:49Z Giuliotf 131820 format 1040637 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = ကောင်းတုံ |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ကျေးရွာ]] |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |subdivision_type = နိုင်ငံ |subdivision_name = {{Flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ကချင်ပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ဗန်းမော်ခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ဗန်းမော်မြို့နယ်]] |unit_pref = Imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |population_density_km2 = auto |coordinates_display = inline,title |coordinates_region = MM |coordinates = {{Coord|24|08|11|N|97|06|18|E|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''ကောင်းတုံရွာ''' သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[ကချင်ပြည်နယ်]]၊ [[ဗန်းမော်ခရိုင်]]၊ [[ဗန်းမော်မြို့နယ်]]ရှိ ရွာတစ်ရွာ ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=Place codes (Pcodes) |url=https://themimu.info/sites/themimu.info/files/documents/Myanmar_PCodes_Release_9.7_Jan2026_Kachin.xlsm |access-date=2026-05-24 |website=MIMU - Myanmar Information Management Unit}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{ကချင်ပြည်နယ်}} [[Category:ကချင်ပြည်နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Kachin-geo-stub}} h2ir5ldt7zcuyjj0a2jh00eye90qmch 3 68433 1040706 1036092 2026-06-25T07:50:35Z جودت 128483 /* Help */ အကြောင်းပြန်ခြင်း 1040706 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ ကြိုဆိုပါ၏! == [[File:Mr. Smiley Face.svg||thumb|300px|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] <div class="borderc6 backgroundc2" style="border-style:solid;border-width:medium;padding:0.3em 0.5em;color:lightgrey"> <!--{{<includeonly>subst:</includeonly>void|{{error:not substituted|welcome}}}}--> <div class="lang-en" lang="en" style="color:black"> မင်္ဂလာပါ {{PAGENAME}}။ [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယားမှ]] ကြိုဆိုပါတယ်။ ဝီကီရဲ့ [[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]ကို ဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ *အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia ဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီဘယ်လိုစသုံးရမယ်ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]]စာမျက်နှာမှာကြည့်ပါ။ တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို_တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ *စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ် ။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [http://www.myanmarlanguage.org/installing_myanmar_unicode ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ *ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [http://www.myanmarlanguage.org/unicode/input-methods-unicode ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ ဝီကီမှာ အပီအပြင်ပျော်ရွှင်ပါစေဗျား။ (ဝီကီရောင်းရင်းများ) ---- Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, like 'Interwikis' and updating images from Commons, etc. So don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> </div> [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၂:၅၇၊ ၉ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၆ (UTC) ==သင် ရေးသားထားသော [[:တရားဂုဏ်တော် ​ခြောက်ပါး]] ဆောင်းပါး== [[Image:Information icon4.svg|48px|left|alt=|link=]] {{Quote box|quote=<p>ဤသည်မှာ သင် ပထမဆုံး ဖန်တီးသော ဆောင်းပါးဖြစ်ပါက [[WP:Your first article|သင်၏ ပထမဆုံး ဆောင်းပါးအား ရေးသားနည်း လမ်းညွှန်]]ကို ဖတ်ရှုပေးပါ။</p><!---<p>You may want to consider using the [[Wikipedia:Article wizard|Article Wizard]] to help you create articles.</p> --->|width=20%|align=right}} မင်္ဂလာပါ။ '''[[:တရားဂုဏ်တော် ​ခြောက်ပါး]]''' အမည်ရှိတဲ့ စာမျက်နှာအသစ်ကို သင်ဖန်တီးလိုက်တာကို သတိထားမိလိုက်ပါတယ်။ ပထမဆုံးအနေနဲ့ သင့်ရဲ့ ပါဝင်ရေးသားမှုကို ကျေးဇူးတင်ရှိပါတယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားဟာ သင်ကဲ့သို့သော စေတနာ့ဝန်ထမ်းများရဲ့ ကြိုးစားအားထုတ်မှုပေါ်မှာ မူတည်နေပါတယ်။ ကံမကောင်းလှစွာပဲ သင်ဖန်တီးလိုက်တဲ့ ခေါင်းစဉ်အတွက် ကျွန်ုပ်တို့မှာ '''[[:တရားဂုဏ်တော်]]''' အမည်နဲ့ စာမျက်နှာတစ်ခု ရှိနှင့်ပြီး ဖြစ်ပါတယ်။ တူညီနေတဲ့အတွက် သင့်ဆောင်းပါးကို [[WP:A10|မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်]] သတ်မှတ်ခံထားရပါတယ်။ ဤသည်မှာ သင့်အပေါ်မှာ ပုဂ္ဂိုလ်ရေးရာ သုံးသပ်ချက်ပေးတာ မဟုတ်ဘူးဆိုတာ ကျေးဇူးပြု၍ မှတ်သားစေလိုပါတယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားကို တိုးတက်လာစေဖို့ သင်ဆက်လက် ကူညီပေးလိမ့်မယ်လို့ ကျွန်ုပ်တို့ မျှော်လင့်ပါတယ်။ သင်ဖန်တီးလိုက်တဲ့ ဆောင်းပါးအကြောင်းအရာဟာ သင်စိတ်ဝင်စားတဲ့ အကြောင်းအရာဖြစ်ပါက [[:တရားဂုဏ်တော်]] မှာ ဆက်လက်ရေးသားပြီး ကူညီနိုင်ပါတယ်။ အချက်အလက်အသစ်တွေနဲ့ ပတ်သက်ပြီး ဆွေးနွေးလိုပါက [[Talk:တရားဂုဏ်တော်|ဆောင်းပါးရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာ]] မှာ ဝင်ရောက်ရေးသားနိုင်ပါတယ်။ အကယ်၍ သင့်အနေဖြင့် သင်ဖန်တီးလိုက်သော ဆောင်းပါးသည် သီးသန့်ရှိသင့်သည်ဟု ယူဆပါက၊ [[:တရားဂုဏ်တော် ​ခြောက်ပါး|စာမျက်နှာသို့ သွားရောက်ကာ]] "ဤမဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ခြင်းကို ကန့်ကွက်ရန်"ကို နှိပ်ပြီး '''အဆိုပြုခြင်းကို ကန့်ကွက်နိုင်သည်'''။ ဤသို့ဖြင့် သင်သည် ရှင်းပြနိုင်မည့် အခွင့်အရေး ရရှိမည် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း စာမျက်နှာတစ်ခုသည် မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန် သတ်မှတ်ခံရပြီးပါက စာမျက်နှာကို ချက်ခြင်း ဖယ်ရှားပစ်နိုင်သည်ကို သတိပြုပါ။ မဆိုင်းမတွ ဖျက်ရန် သတိပေးချက်ကို သင်ကိုယ်တိုင် မဖယ်ရှားပါနှင့်။ အကယ်၍ စာမျက်နှာသည် ဖျက်ပစ်ပြီးဖြစ်ပြီး ဖျက်ပစ်ခံလိုက်ရသော အချက်အလက်များအား နောင်တွင် ကိုးကားရန် ပြန်လည်အလိုရှိပါက ကျေးဇူးပြု၍ ဖျက်ပစ်လိုက်သော စီမံခန့်ခွဲသူ (အက်ဒမင်)အား ဆက်သွယ်ပါ။ ဝီကီပီးဒီးယားက သင်၏ နောက်ထပ် ပါဝင်ရေးသားမှုများကို မျှော်လင့်နေပါသည်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၆:၃၄၊ ၂၂ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၆ (UTC) ==သင် ရေးသားထားသော [[:ဘုရားဂုဏ်တော် ကိုးပါး]] ဆောင်းပါး== [[Image:Information icon4.svg|48px|left|alt=|link=]] {{Quote box|quote=<p>ဤသည်မှာ သင် ပထမဆုံး ဖန်တီးသော ဆောင်းပါးဖြစ်ပါက [[WP:Your first article|သင်၏ ပထမဆုံး ဆောင်းပါးအား ရေးသားနည်း လမ်းညွှန်]]ကို ဖတ်ရှုပေးပါ။</p><!---<p>You may want to consider using the [[Wikipedia:Article wizard|Article Wizard]] to help you create articles.</p> --->|width=20%|align=right}} မင်္ဂလာပါ။ '''[[:ဘုရားဂုဏ်တော် ကိုးပါး]]''' အမည်ရှိတဲ့ စာမျက်နှာအသစ်ကို သင်ဖန်တီးလိုက်တာကို သတိထားမိလိုက်ပါတယ်။ ပထမဆုံးအနေနဲ့ သင့်ရဲ့ ပါဝင်ရေးသားမှုကို ကျေးဇူးတင်ရှိပါတယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားဟာ သင်ကဲ့သို့သော စေတနာ့ဝန်ထမ်းများရဲ့ ကြိုးစားအားထုတ်မှုပေါ်မှာ မူတည်နေပါတယ်။ ကံမကောင်းလှစွာပဲ သင်ဖန်တီးလိုက်တဲ့ ခေါင်းစဉ်အတွက် ကျွန်ုပ်တို့မှာ '''[[:ဘုရားဂုဏ်တော်]]''' အမည်နဲ့ စာမျက်နှာတစ်ခု ရှိနှင့်ပြီး ဖြစ်ပါတယ်။ တူညီနေတဲ့အတွက် သင့်ဆောင်းပါးကို [[WP:A10|မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်]] သတ်မှတ်ခံထားရပါတယ်။ ဤသည်မှာ သင့်အပေါ်မှာ ပုဂ္ဂိုလ်ရေးရာ သုံးသပ်ချက်ပေးတာ မဟုတ်ဘူးဆိုတာ ကျေးဇူးပြု၍ မှတ်သားစေလိုပါတယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားကို တိုးတက်လာစေဖို့ သင်ဆက်လက် ကူညီပေးလိမ့်မယ်လို့ ကျွန်ုပ်တို့ မျှော်လင့်ပါတယ်။ သင်ဖန်တီးလိုက်တဲ့ ဆောင်းပါးအကြောင်းအရာဟာ သင်စိတ်ဝင်စားတဲ့ အကြောင်းအရာဖြစ်ပါက [[:ဘုရားဂုဏ်တော်]] မှာ ဆက်လက်ရေးသားပြီး ကူညီနိုင်ပါတယ်။ အချက်အလက်အသစ်တွေနဲ့ ပတ်သက်ပြီး ဆွေးနွေးလိုပါက [[Talk:ဘုရားဂုဏ်တော်|ဆောင်းပါးရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာ]] မှာ ဝင်ရောက်ရေးသားနိုင်ပါတယ်။ အကယ်၍ သင့်အနေဖြင့် သင်ဖန်တီးလိုက်သော ဆောင်းပါးသည် သီးသန့်ရှိသင့်သည်ဟု ယူဆပါက၊ [[:ဘုရားဂုဏ်တော် ကိုးပါး|စာမျက်နှာသို့ သွားရောက်ကာ]] "ဤမဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ခြင်းကို ကန့်ကွက်ရန်"ကို နှိပ်ပြီး '''အဆိုပြုခြင်းကို ကန့်ကွက်နိုင်သည်'''။ ဤသို့ဖြင့် သင်သည် ရှင်းပြနိုင်မည့် အခွင့်အရေး ရရှိမည် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း စာမျက်နှာတစ်ခုသည် မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန် သတ်မှတ်ခံရပြီးပါက စာမျက်နှာကို ချက်ခြင်း ဖယ်ရှားပစ်နိုင်သည်ကို သတိပြုပါ။ မဆိုင်းမတွ ဖျက်ရန် သတိပေးချက်ကို သင်ကိုယ်တိုင် မဖယ်ရှားပါနှင့်။ အကယ်၍ စာမျက်နှာသည် ဖျက်ပစ်ပြီးဖြစ်ပြီး ဖျက်ပစ်ခံလိုက်ရသော အချက်အလက်များအား နောင်တွင် ကိုးကားရန် ပြန်လည်အလိုရှိပါက ကျေးဇူးပြု၍ ဖျက်ပစ်လိုက်သော စီမံခန့်ခွဲသူ (အက်ဒမင်)အား ဆက်သွယ်ပါ။ ဝီကီပီးဒီးယားက သင်၏ နောက်ထပ် ပါဝင်ရေးသားမှုများကို မျှော်လင့်နေပါသည်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၆:၄၄၊ ၂၂ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၆ (UTC) == FYI == ဆောင်းပါးသစ်တစ်ခုကို မရေးသားခင်မှာ အကြောင်းအရာတူ ဆောင်းပါးရှိ/မရှိကို အရင် [[Special:Search|ရှာဖွေကြည့်ပါ]]။ အကြောင်းအရာတူ ဆောင်းပါးဆိုရင်တော့ [[WP:A10|ဖျက်ပစ်ခြင်း]] ခံရနိုင်ပါတယ်။ [[Wikipedia:သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] ကို ဖတ်ရှုကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါရစေ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၄:၃၀၊ ၂ ဇန်နဝါရီ ၂၀၁၇ (UTC) == citing sources == မြန်မာစာပေနဲ့ ပတ်သက်တဲ့ ဆောင်းပါးတွေ ဖန်တီးပေးတဲ့အတွက် ကျေးဇူးပါ။ ကိုးကားစာအုပ်ကို ရည်ညွှန်းတဲ့နေရာမှာ စာအုပ်အမည် တစ်ခုထဲ မဟုတ်ဘဲ ရေးသားသူ၊ ထုတ်ဝေခုနှစ်၊ အကြိမ်၊ ထုတ်ဝေတဲ့ စာအုပ်တိုက်၊ စာမျက်နှာ စတဲ့ အချက်တွေကို ဖြစ်နိုင်ရန် ထည့်သွင်းပေးပါက ပိုပြီးပြည့်စုံပါတယ်။ ဝီကီပီးဒီးယား ဆောင်းပါးတစ်ခုအတွက် ကိုးကားချက်ဟာ ယုံကြည်စိတ်ချရတဲ့ ခိုင်လုံတဲ့ ရင်းမြစ်ဖြစ်ဖို့ လိုအပ်ပါတယ်။ အဲဒါကြောင့် ကိုးကားစာအုပ်အကြောင်းအပြည့်အစုံ ထည့်စေချင်ပါတယ်။ တမ်းပလိတ်သုံးပြီးထည့်ဖို့ဆိုရင် [[Template:Cite book]] ကို အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ နမူနာအနေနဲ့ [[မြောက်ဦးမြို့နယ်]] ဆောင်းပါးမှာ သုံးထားတဲ့ ကိုးကားချက်ကို ကြည့်နိုင်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၅:၁၇၊ ၃ ဇန်နဝါရီ ၂၀၁၇ (UTC) == [[ဆွမ်း၊ ပန်း၊ ရေချမ်း ကပ်လှူပူဇော်ရန်(မူဟောင်း)]] နှင့် [[ဘုရား ရှိခိုး၊ ဦးချနည်း]] == အစ်ကိုရေးထားတဲ့ [[ဆွမ်း၊ ပန်း၊ ရေချမ်း ကပ်လှူပူဇော်ရန်(မူဟောင်း)]] နဲ့ [[ဘုရား ရှိခိုး၊ ဦးချနည်း]] စာမျက်နှာနှစ်ခုကို ဖျက်ပစ်ဖို့ အဆိုပြုထားပါတယ်။ [[Wikipedia:ဖျက်ပစ်ရမည့်ဆောင်းပါးများ#ဆွမ်း၊ ပန်း၊ ရေချမ်း ကပ်လှူပူဇော်ရန်(မူဟောင်း) နှင့် ဘုရား ရှိခိုး၊ ဦးချနည်း|ဒီမှာ]] ဝင်ရောက်ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၆:၄၄၊ ၈ ဇန်နဝါရီ ၂၀၁၇ (UTC) == File:မာရ်အောင်မြင် ပြည်တော်ပြန်ဘုရား.jpg ၏ ဖိုင်ရင်းမြစ်နှင့် မူပိုင်ခွင့် ပြဿနာ== [[File:Copyright-problem.svg|64px|left|File Copyright problem|link=]] '''[[:File:မာရ်အောင်မြင် ပြည်တော်ပြန်ဘုရား.jpg]]''' ဖိုင်ကို upload တင်သည့်အတွက် ကျေးဇူးတင်ပါသည်။ သို့သော် ထိုဖိုင်တွင် '''မူပိုင်ခွင့်''' အခြေအနေနှင့် '''ရင်းမြစ်'''များ လိုအပ်နေပါသည်။ ဝီကီပီးဒီးယားသည် [[Wikipedia:Copyrights|မူပိုင်ခွင့်]]နှင့် ပတ်သက်၍ အထူးဂရုပြု ဆောင်ရွက်ပါသည်။ ဤဖိုင်ကို သင်ကိုယ်တိုင် ဖန်တီးထားခြင်း မဟုတ်ခဲ့ပါက မူပိုင်ခွင့် ပိုင်ဆိုင်သူကို သင့်အနေဖြင့် သတ်မှတ်ဖော်ပြပေးရန် လိုအပ်ပါသည်။ အကယ်၍ သင်သည် ဤဖိုင်ကို ဝက်ဘ်ဆိုဒ်တစ်ခုခုမှ ရရှိခဲ့ပါက၊ ကျေးဇူးပြု၍ ရယူခဲ့သည့် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်လင့်ခ်နှင့် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်၏ အကြောင်းအရာများ အသုံးပြုခြင်းဆိုင်ရာ သတ်မှတ်ချက်များကို ကျေးဇူးပြု၍ ပြန်လည် ဖော်ပြပေးပါ။ အကယ်၍ မူလမူပိုင်ခွင့် ပိုင်ဆိုင်သူနှင့် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်တို့ ဆက်နွယ်မှုမရှိပါက ထိုမူလပိုင်ဆိုင်သူကိုလည်း မှတ်တမ်းတင် ထည့်သွင်းရန် လိုအပ်ပါသည်။ မည်သည့်လိုင်စင်သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်ကိုလည်း ဖော်ပြရန် လိုအပ်ပါလိမ့်မည်။ ဝီကီပီးဒီးယားတွင် မည်သည့်ဖိုင်များ တင်သင့်/မတင်သင့်ဆိုသည်ကို လေ့လာနိုင်ရန်အတွက် '''[[WP:IUP#ပုံများ ပေါင်းထည့်ခြင်း|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]]''' ကို ဖတ်ရှုပါ။ [[:File:မာရ်အောင်မြင် ပြည်တော်ပြန်ဘုရား.jpg|ဖိုင် အကြောင်းဖော်ပြချက် စာမျက်နှာ]]ကို တည်းဖြတ်ပြီး အချက်အလက်များကို ထည့်သွင်းပေးပါ။ လိုအပ်သည့် အချက်အလက်များကို ခုနစ်ရက်အတွင်း ထည့်သွင်းခြင်း မရှိပါက ဖိုင်သည် ဖျက်ပစ်ခြင်း ခံရမည် ဖြစ်သည်။ သင် upload တင်ခဲ့သည့် အခြားဖိုင်များကိုလည်း မှန်ကန်စွာ tag လုပ်ထားခြင်း ရှိမရှိကိုလည်း ကျေးဇူးပြု၍ စစ်ဆေးပါ။ သင်၏ ဖိုင်တင်ထားခဲ့သည့် မှတ်တမ်းများကို [{{fullurl:Special:ListFiles/%E1%80%81%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%9C%E1%80%BD%E1%80%84%E1%80%BA}} ဤနေရာတွင်] တွေ့ရှိနိုင်ပါသည်။ ကျေးဇူးအထူးတင်ရှိပါသည်။<!-- Template:Di-no source no license-notice --> [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၂:၃၈၊ ၈ မတ် ၂၀၁၇ (UTC) == File:အရှင်ဝီရိယ.jpeg ၏ ဖိုင်ရင်းမြစ်နှင့် မူပိုင်ခွင့် ပြဿနာ== [[File:Copyright-problem.svg|64px|left|File Copyright problem|link=]] '''[[:File:အရှင်ဝီရိယ.jpeg]]''' ဖိုင်ကို upload တင်သည့်အတွက် ကျေးဇူးတင်ပါသည်။ သို့သော် ထိုဖိုင်တွင် '''မူပိုင်ခွင့်''' အခြေအနေနှင့် '''ရင်းမြစ်'''များ လိုအပ်နေပါသည်။ ဝီကီပီးဒီးယားသည် [[Wikipedia:Copyrights|မူပိုင်ခွင့်]]နှင့် ပတ်သက်၍ အထူးဂရုပြု ဆောင်ရွက်ပါသည်။ ဤဖိုင်ကို သင်ကိုယ်တိုင် ဖန်တီးထားခြင်း မဟုတ်ခဲ့ပါက မူပိုင်ခွင့် ပိုင်ဆိုင်သူကို သင့်အနေဖြင့် သတ်မှတ်ဖော်ပြပေးရန် လိုအပ်ပါသည်။ အကယ်၍ သင်သည် ဤဖိုင်ကို ဝက်ဘ်ဆိုဒ်တစ်ခုခုမှ ရရှိခဲ့ပါက၊ ကျေးဇူးပြု၍ ရယူခဲ့သည့် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်လင့်ခ်နှင့် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်၏ အကြောင်းအရာများ အသုံးပြုခြင်းဆိုင်ရာ သတ်မှတ်ချက်များကို ကျေးဇူးပြု၍ ပြန်လည် ဖော်ပြပေးပါ။ အကယ်၍ မူလမူပိုင်ခွင့် ပိုင်ဆိုင်သူနှင့် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်တို့ ဆက်နွယ်မှုမရှိပါက ထိုမူလပိုင်ဆိုင်သူကိုလည်း မှတ်တမ်းတင် ထည့်သွင်းရန် လိုအပ်ပါသည်။ မည်သည့်လိုင်စင်သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်ကိုလည်း ဖော်ပြရန် လိုအပ်ပါလိမ့်မည်။ ဝီကီပီးဒီးယားတွင် မည်သည့်ဖိုင်များ တင်သင့်/မတင်သင့်ဆိုသည်ကို လေ့လာနိုင်ရန်အတွက် '''[[WP:IUP#ပုံများ ပေါင်းထည့်ခြင်း|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]]''' ကို ဖတ်ရှုပါ။ [[:File:အရှင်ဝီရိယ.jpeg|ဖိုင် အကြောင်းဖော်ပြချက် စာမျက်နှာ]]ကို တည်းဖြတ်ပြီး အချက်အလက်များကို ထည့်သွင်းပေးပါ။ လိုအပ်သည့် အချက်အလက်များကို ခုနစ်ရက်အတွင်း ထည့်သွင်းခြင်း မရှိပါက ဖိုင်သည် ဖျက်ပစ်ခြင်း ခံရမည် ဖြစ်သည်။ သင် upload တင်ခဲ့သည့် အခြားဖိုင်များကိုလည်း မှန်ကန်စွာ tag လုပ်ထားခြင်း ရှိမရှိကိုလည်း ကျေးဇူးပြု၍ စစ်ဆေးပါ။ သင်၏ ဖိုင်တင်ထားခဲ့သည့် မှတ်တမ်းများကို [{{fullurl:Special:ListFiles/%E1%80%81%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%9C%E1%80%BD%E1%80%84%E1%80%BA}} ဤနေရာတွင်] တွေ့ရှိနိုင်ပါသည်။ ကျေးဇူးအထူးတင်ရှိပါသည်။<!-- Template:Di-no source no license-notice --> [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၂:၄၀၊ ၈ မတ် ၂၀၁၇ (UTC) == အရှင်ဝီရိယ.jpg နှင့် မာရ်အောင်မြင် ပြည်တော်ပြန်ဘုရား.jpeg == အကို Ninja Striker ရေ ကျွန်တော် ဘယ်ကပြန်ပြောရမယ်မှန်း မသိလို့ ဒီကပဲ ရေးလိုက်ပါတယ်။ အရှင်ဝီရီယ.jpg ကို facebook ရဲ့ ဓမ္မရေချမ်းစင် Page ဆီက အကူအညီတောင်းပြီး ပုံကို တောင်းခဲ့ပါတယ်။ အဲ့ဒိ page ကပဲ ပုံကို ပို့ပေးခဲ့တာပါ။<br /><br /> မာရ်အောင်မြင် ပြည်တော်ပြန်ဘုရားပုံကတော့ ဘယ် page က save ခဲ့မှန်း မမှတ်မိတော့ပါဘူး။ အစ်ကို ပြောသလို မူပိုင်ခွင့် အခြေအနေ နှင့် ရင်းမြစ်တွေကို အကိုပဲ သင့်သလို ကြည့်လုပ်လိုက်ပါ။ ကျွန်တော် အဲ့ဒါတွေ ဘယ်လိုလုပ်ရမယ်ဆိုတာလဲ သိပ်နားမလည်ပါဘူး။ နောက်အချိန်ရရင်တော့ လေ့လာပါ့မယ်။ အခု စာမေးပွဲ တစ်ဖက်နဲ့မို့လို့ အကိုပဲ ကြည့်စီစဉ်လိုက်ပါ။ ကျေးဇူးပါ အကိုနင်ဂျာ။ [[User:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[User talk:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၁၀၊ ၈ မတ် ၂၀၁၇ (UTC) :ဓာတ်ပုံတင်မယ်ဆိုရင် '''ကိုယ်တိုင်ရိုက်ကူးထားတဲ့ ပုံ''' ဖြစ်ရင် အကောင်းဆုံးပါ။ အခြားတစ်နေရာကနေ ရရှိလာတဲ့ပုံကို တင်မယ်ဆိုရင် မူပိုင်ခွင့်ပြဿနာရှိလာနိုင်ပါတယ်။ နောက်ပြီး ဝီကီပီးဒီးယားမှာပဲ အသုံးပြုနိုင်ဖို့ ခွင့်ပြုချက်ပေးထားတဲ့ပုံမျိုးဆို တင်ခွင့်မပြုပါဘူး။ အခုနှစ်ပုံဟာ အခြားတစ်နေရာက ရယူထားပြီး ရင်းမြစ်၊ မူရင်းပိုင်ရှင် မသိနိုင်တဲ့ပုံတွေ ဖြစ်နေတာကြောင့် မူပိုင်ခွင့်၊ ရင်းမြစ် သတ်မှတ်ပေးနိုင်ဖို့ အခက်အခဲရှိတဲ့အတွက် နှစ်ပုံလုံးကို ဖယ်ရှားလိုက်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၀၃:၄၃၊ ၉ မတ် ၂၀၁၇ (UTC) ==File:Mg Kyi Thant.jpg ၏ ဖိုင်မူပိုင်ခွင့် ပြဿနာ== [[File:Copyright-problem.svg|64px|left|alt=|link=]] [[:File:Mg Kyi Thant.jpg]] ဖိုင်ကို upload တင်သည့်အတွက် ကျေးဇူးတင်ပါသည်။ သို့သော် ထိုဖိုင်တွင် '''မူပိုင်ခွင့်''' အခြေအနေနှင့် '''ရင်းမြစ်'''များ လိုအပ်နေပါသည်။ ဝီကီပီးဒီးယားသည် [[Wikipedia:Copyrights|မူပိုင်ခွင့်]]နှင့် ပတ်သက်၍ အထူးဂရုပြု ဆောင်ရွက်ပါသည်။ လက်ခံနိုင်သော လိုင်စင်အခြေအနေနှင့် ခိုင်မာသော ရင်းမြစ်ကို အတည်ပြုနိုင်ခြင်း မရှိပါက ဖိုင်သည် မကြာမီ ဖျက်ပစ်ခြင်း ခံရမည်ဖြစ်သည်။ [[:File:Mg Kyi Thant.jpg|ဖိုင် အကြောင်းဖော်ပြချက် စာမျက်နှာ]]ကို တည်းဖြတ်ပြီး အချက်အလက်များကို ထည့်သွင်းပေးပါ။ ဝီကီပီးဒီးယားတွင် မည်သည့်ဖိုင်များ တင်သင့်/မတင်သင့်ဆိုသည်ကို လေ့လာနိုင်ရန်အတွက် '''[[WP:IUP#ပုံများ ပေါင်းထည့်ခြင်း|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]]''' ကို ဖတ်ရှုပါ။ သင် upload တင်ခဲ့သည့် အခြားဖိုင်များကိုလည်း မှန်ကန်စွာ tag လုပ်ထားခြင်း ရှိမရှိကိုလည်း ကျေးဇူးပြု၍ စစ်ဆေးပါ။ သင်၏ ဖိုင်တင်ထားခဲ့သည့် မှတ်တမ်းများကို [{{fullurl:Special:ListFiles/%E1%80%81%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%9C%E1%80%BD%E1%80%84%E1%80%BA}} ဤနေရာတွင်] တွေ့ရှိနိုင်ပါသည်။ သိရှိလိုသည့် မေးခွန်းများရှိပါက ကျေးဇူးပြု၍ [[Wikipedia:မီဒီယာ မူပိုင်ခွင့် မေးခွန်းများ|မီဒီယာ မူပိုင်ခွင့် မေးခွန်းများ စာမျက်နှာ]]တွင် ဝင်ရောက်မေးမြန်းနိုင်ပါသည်။ ပူးပေါင်းပါဝင်သည့်အတွက် ထပ်မံကျေးဇူးတင်ပါသည်။<!-- Template:Di-no license-notice --> [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၀၅:၅၄၊ ၁၈ မတ် ၂၀၁၇ (UTC) :သက်ရှိ ပုဂ္ဂိုလ်တစ်ဦးရဲ့ ပုံကို ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တင်တဲ့အခါမှာ ပုံတစ်ခုလုံးဟာ [[WP:IUP|ကိုယ်တိုင်ဖန်တီးထားတဲ့ပုံ]] ဖြစ်ရပါမယ်။ ရှိနှင့်ပြီး ပုံကို ပြန်လည်ရိုက်ကူးထားတဲ့ပုံကို ''ကိုယ်ပိုင်ဖန်တီးမှု'' (own work) အဖြစ် သတ်မှတ်လို့မရပါဘူး။ စာအုပ်မှာ ပါဝင်တဲ့ ပုံကို လူပုဂ္ဂိုလ်အကြောင်း ဆောင်းပါးမှာ ထည့်သွင်းအသုံးပြုခြင်းဟာ ဝီကီပီးဒီးယားရဲ့ [[:en:WP:NFC#UULP|အခမဲ့မဟုတ်သော အကြောင်းအရာများ အသုံးပြုခြင်း]]မှာလည်း အကျုံးမဝင်ပါဘူး။ ပုံမတင်မီ သိလိုတဲ့ မရှင်းတဲ့အချက်တွေရှိရင် [[Wikipedia:မီဒီယာ မူပိုင်ခွင့် မေးခွန်းများ|မီဒီယာ မူပိုင်ခွင့် မေးခွန်းများ စာမျက်နှာ]] ဒါမှမဟုတ် ကျွန်တော့ရဲ့ [[User talk:Ninjastrikers|ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာ]] မှာ မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၃:၄၄၊ ၁၈ မတ် ၂၀၁၇ (UTC) == [[:ဆိုးခိုး တိုက်ခိုက်ခြင်း၏ အပြစ်များ]] အား ဖျက်ပစ်ရန် အဆိုပြုထားခြင်း == <div class="floatleft" style="margin-bottom:0">[[File:Ambox warning orange.svg|48px|alt=|link=]]</div>'''[[:ဆိုးခိုး တိုက်ခိုက်ခြင်း၏ အပြစ်များ]]''' သည် [[WP:PGLIST|ဝီကီပီးဒီးယား၏ မူဝါဒများနှင့် လမ်းညွှန်ချက်များ]]အရ ဝီကီပီးဒီးယားတွင် ပါဝင်ရန် သင့်လျော်မှုရှိမရှိ သို့မဟုတ် [[Wikipedia:Deletion policy|ဖျက်ပစ်ရန်]]အတွက် ဆွေးနွေးချက်တစ်ခု ပြုလုပ်နေပါသည်။ ဆောင်းပါးအား [[Wikipedia:ဖျက်ပစ်ရမည့်ဆောင်းပါးများ#ဆိုးခိုး တိုက်ခိုက်ခြင်း၏ အပြစ်များ|ဤနေရာတွင်]] အများသဘောဆန္ဒကောက်ခံလျက် ဆွေးနွေးလျက်ရှိပြီး မည်သူမဆို ပါဝင်ဆွေးနွေးနိုင်ပါသည်။ အဆိုပြုထားချက်တွင် သက်ဆိုင်သော မူဝါဒများနှင့် လမ်းညွှန်ချက်များအား ရှင်းပြထားပါသည်။ ဆွေးနွေးနေစဉ်ကာလအတွင်း အသုံးပြုသူများအနေဖြင့် ဆောင်းပါးအား တိုးတက်ကောင်းမွန်လာစေရန် ပြင်ဆင်တည်းဖြတ်နိုင်သည်။ သို့သော်လည်း ဆောင်းပါးစာမျက်နှာထိပ်ဆုံးရှိ ဖျက်ပစ်ရန် အသိပေးချက်အား မဖယ်ရှားပါနှင့်။<!-- Template:afd-notice --> [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၁:၀၃၊ ၂၉ ဧပြီ ၂၀၁၇ (UTC) ==Barnstar for you!== {| class="barnstar" style="border:1px solid gray; background:#fdffe7;" |- |rowspan="2" style="padding-right:5px;" | {{#ifeq:{{{3}}}|alt|[[file:Working Wikimedian's Barnstar Hires.png|100px]]|[[Image:Working Wikimedian's Barnstar Hires.png|100px]]}} |style="font-size:1.65em; padding:0; height: 1.1em;" | '''The {{GENDER:{{PAGENAME}}|Working Man's|Working Woman's|Working Wikipedian's}} Barnstar''' |- |style="border-top: 1px solid gray;" | Thanks for your contributions in Myanmar Wikipedia. [[User:Dr Lotus Black|Dr Lotus Black]] ([[User talk:Dr Lotus Black|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၂၈၊ ၂၇ မေ ၂၀၁၇ (UTC) |} == Interwiki Links (link to English Wikipedia and other Wikipedias) == Languages at left lower corner⇒Add links⇒ Language:English (enwiki)⇒Page:xxxxx⇒link with page⇒Comfirm. [[File:Lightbulb.png|16px]] This is how we link pages between Myanmar and other Wikis. [[User:Dr Lotus Black|Dr Lotus Black]] ([[User talk:Dr Lotus Black|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၁၈၊ ၃ ဇွန် ၂၀၁၇ (UTC) :အခုလို ပြောပြပေးတာကျေးဇူးပါ။ နောက်ဆောင်းပါးတွေကျရင် စမ်းကြည့်မယ်။[[User:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[User talk:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၄၀၊ ၃ ဇွန် ၂၀၁၇ (UTC) == Barnstar For You == {| style="border: 1px solid gray; background-color: #fdffe7;" |rowspan="2" style="vertical-align:middle;" | [[File:BuddhismBarnstarProposal4.png|100px]] |rowspan="2" | |style="font-size: x-large; padding: 0; vertical-align: middle; height: 1.1em;" | '''The Buddhism Barnstar''' |- |style="vertical-align: middle; border-top: 1px solid gray;" | For your work in creating articles for Buddhism, you deserve this! [[User:NayiMuu|<span style="background:#74DF00"><span style="color:#FFFFFF">'''Nayi'''</span></span><span style="color:#86B404">'''Muu^®'''</span>]]^{[[User talk:NayiMuu|<span style="color:#86B404"> talk</span>]]} ၀၉:၃၈၊ ၂၃ နိုဝင်ဘာ ၂၀၁၇ (UTC) |} :ပျော်တယ်။ ကျေးဇူးပါ။ [[User:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[User talk:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၂၅၊ ၂၃ နိုဝင်ဘာ ၂၀၁၇ (UTC) == မြန်မာနာမည်လေး သုံးဖို့ အကြံပေးချင်ပါတယ် == ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်တွေကို အင်္ဂလိပ်လို နာမည်တပ်မယ့် အစား မြန်မာလိုလေး အသံဖလှယ်ပြီး သုံးပေးရင် ပိုကောင်းမယ်လို့ ထင်ပါတယ်။ တကယ်လို့ အသံထွက်ရတာ အခက်အခဲ ရှိရင် Google မှာ အင်္ဂလိပ်နာမည် နဲ့ Pronunciation လို့ ရိုက်ရှာလိုက်ရင် အသံထွက်ထားတဲ့ နေရာတွေ တွေ့ပါလိမ့်မယ်။ YouTube, [http://www.forvo.com Forvo] နဲ့ [http://www.howtopronounce.com HowToPronounce] Website တွေမှာလည်း ရှာကြည့်လို့ရပါတယ်။ ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ [[User:Zawthet|Zawthet]] ([[User talk:Zawthet|ဆွေးနွေး]]) ၀၆:၂၂၊ ၉ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၇ (UTC) :ဟုတ်ကဲ့ပါ။ နောက်ဆောင်းပါးတွေကျ လုပ်လိုက်ပါ့မယ်။ [[User:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[User talk:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၃၈၊ ၉ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၇ (UTC) ::ဆောင်းပါးတွေကို ရွေ့ပြောင်းတဲ့အခါ English name ကနေ မြန်မာလိုပြောင်းရင် ပြန်ညွန်း redirect မချန်ပဲ ရွေ့ပြောင်းစေချင်ပါတယ်။ မလိုအပ်ဘဲ name space တွေ ရှုပ်ပွမနေတော့ဘူးပေါ့ဗျာ။ [[User:Dr Lotus Black|Dr Lotus Black]] ([[User talk:Dr Lotus Black|ဆွေးနွေး]]) ၁၃:၁၉၊ ၉ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၇ (UTC) :::redirect မချန်ပဲ ပြောင်းတာက admin တွေပဲ ရတာထင်တယ်။ user တွေမှာ အဲဒီ right မရှိဘူးထင်တယ်။ --<font style="white-space:nowrap;text-shadow:blue 0em 0em 0.8em,green -0.8em -0.8em 0.9em,black 0.7em 0.7em 0.8em;color:#000000">[[User:Phyo WP|'''ဖြိုးWP''']] [[User talk:Phyo WP|<small>''(ဆွေးနွေးရန်)''</small>]] </font> ၁၅:၁၅၊ ၉ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၇ (UTC) ပြန်ညွှန်းမချန်ဘဲ ရွှေ့မရဘူး။ အက်ဒမင်တွေကပဲ ပြန်ညွှန်းစာမျက်နှာတွေကို ဖျက်ပေးမှ ရမှာ။ [[User:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[User talk:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၀၂:၂၅၊ ၁၀ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၇ (UTC) == ESEAP Conference == Hello ခင်မောင်မောင်လွင်, Scholarship applications for '''[[metawiki:ESEAP_Conference_2018|ESEAP Conference 2018]]''' is now open! '''[[metawiki:ESEAP_Conference_2018|ESEAP Conference 2018]]''' is a regional conference for Wikimedia communities around the ESEAP regions. ESEAP stands for East, Southeast Asia, and Pacific. Taking place in Bali, Indonesia on 5-6 May 2018, this is the first regional conference for the Wikimedia communities around the regions. Full scholarships are subject to quotas, maximum two people per country and your country is eligible to apply, visit [[metawiki:ESEAP_Conference_2018/Attend|this page]]. We also accept [[metawiki:ESEAP_Conference_2018/Submissions|submissions]] of several formats, including: *'''Workshop & Tutorial''': these are presentations with a focus on practical work directed either to acquiring a specific skill or doing a specific task. Sessions are 55 minutes led by the presenters in a classroom space suitable for laptops and work. *'''Posters''': A2-size format to give news, share your community event/program, set out an idea, propose a concept, or explain a problem. The poster itself must be uploaded to Wikimedia Commons with a suitable license. *'''Short Presentation/Sharing talks''': 10-15 minutes presentation on certain topic. Deadline for submissions and scholarship applications is on 15 March 2018. If you have any question, don't hesitate to contact me or send your e-mail to eseap@wikimedia.or.id. Best regards, [[User:Wirjadisastra|Wirjadisastra]] ([[User talk:Wirjadisastra|ဆွေးနွေး]]) ၀၂:၄၂၊ ၁၄ မတ် ၂၀၁၈ (UTC) == စာအုပ်မျက်နှာဖုံးပုံများ == ကိုခင်မောင်မောင်လွင်ရေ .. [[:commons:File:ရတနာသုံးပါး.png|စာအုပ်မျက်နှာဖုံးပုံတစ်ခု]]ကို high resolution နဲ့ Commons မှာတင်ထားတာတွေ့တယ်။ ဖျက်ခံရလိမ့်မယ်နော်။ မြန်မာဝီကီဖက်ကို ပုံအသေးပြောင်းပြီး ပြန်တင်လိုက်ပါ။ commons က ပုံကို deletion request တင်လိုက်ပါ။ ပုံအသေးပြောင်းဖို့ အဆင်မပြေရင်လည်း ဒီအတိုင်းပဲ ပြောင်းတင်လိုက်ပါ။ ပြန်ပြင်ပေးပါ့မယ်။ စာအုပ်ပုံတွေရဲ့ အကျဉ်းချုပ် အတွက် {{Tlx|Non-free use rationale book cover}} တမ်းပလိတ်နဲ့ အချက်အလက်တွေ ဖြည့်ပေးရင် ပိုအဆင်ပြေပါမယ်။ နမူနာကို [[:File:Pyu Reader Front Cover Second Printing.jpeg|ဒီပုံမှာ]] ကြည့်ကြည့်ပါ။ အဆင်ပြေပါစေ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၀၂:၅၈၊ ၇ ဩဂုတ် ၂၀၁၈ (UTC) :မနေ့က Deletion request တင်ထားတယ်။ ဒါပေမယ့် ဖျက်မပေးသေးဘူး။[[User:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[User talk:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၀၃:၁၀၊ ၇ ဩဂုတ် ၂၀၁၈ (UTC) == မဂ်လာပါ == ဆာယိုနာဒါး[[User:Wonnral|Wonnral]] ([[User talk:Wonnral|ဆွေးနွေး]]) ၀၈:၃၆၊ ၁၁ နိုဝင်ဘာ ၂၀၁၈ (UTC) :{{ping|Wonnral}} မင်္ဂလာပါ။ こんにちは。　[[User:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[User talk:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၃၉၊ ၁၁ နိုဝင်ဘာ ၂၀၁၈ (UTC) == International School Yangon: Burmese name == Hi! Re: [[:en:International School Yangon]] I found a Burmese name here https://www.isyedu.org/uploaded/template/images/logo.svg Should the article be moved to its Burmese title? [[User:WhisperToMe|WhisperToMe]] ([[User talk:WhisperToMe|ဆွေးနွေး]]) ၁၈:၃၅၊ ၁၄ နိုဝင်ဘာ ၂၀၁၈ (UTC) :Yes, bro. Thanks. [[User:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[User talk:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၀၀:၂၂၊ ၁၅ နိုဝင်ဘာ ၂၀၁၈ (UTC) == File:Kawa Bridge.PNG ၏ ဖိုင်ရင်းမြစ် ပြဿနာ== [[File:Copyright-problem.svg|64px|left|alt=|link=]] '''[[:File:Kawa Bridge.PNG]]''' ဖိုင်ကို upload တင်သည့်အတွက် ကျေးဇူးတင်ပါသည်။ သို့သော် ဖိုင်အကြောင်း ဖော်ပြချက်စာမျက်နှာတွင် မည်သူဖန်တီးခဲ့သည်ဆိုသော အကြောင်းအရာ မပါဝင်သည့်အတွက် [[မူပိုင်ခွင့်]] အခြေအနေသည် မပြတ်မသား ဖြစ်နေပါသည်။ အကယ်၍ ဤဖိုင်ကို သင်ကိုယ်တိုင် ဖန်တီးထားခြင်း မဟုတ်ခဲ့ပါက မူပိုင်ခွင့် ပိုင်ဆိုင်သူကို သင့်အနေဖြင့် သတ်မှတ်ဖော်ပြပေးရန် လိုအပ်ပါသည်။ အကယ်၍ သင်သည် ဤဖိုင်ကို ဝက်ဘ်ဆိုဒ်တစ်ခုခုမှ ရရှိခဲ့ပါက၊ ကျေးဇူးပြု၍ ရယူခဲ့သည့် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်လင့်ခ်နှင့် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်၏ အကြောင်းအရာများ အသုံးပြုခြင်းဆိုင်ရာ သတ်မှတ်ချက်များကို ကျေးဇူးပြု၍ ပြန်လည် ဖော်ပြပေးပါ။ အကယ်၍ မူလမူပိုင်ခွင့် ပိုင်ဆိုင်သူနှင့် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်တို့ ဆက်နွယ်မှုမရှိပါက ထိုမူလပိုင်ဆိုင်သူကိုလည်း မှတ်တမ်းတင် ထည့်သွင်းရန် လိုအပ်ပါသည်။ [[:File:Kawa Bridge.PNG|ဖိုင်အကြောင်း ဖော်ပြချက် စာမျက်နှာ]]အား ပြင်ဆင်ပြီး လိုအပ်သော အချက်အလက်များ ထည့်သွင်းပေးပါ။ လိုအပ်သည့် အချက်အလက်များကို ခုနစ်ရက်အတွင်း ထည့်သွင်းခြင်း မရှိပါက ဖိုင်သည် ဖျက်ပစ်ခြင်း ခံရမည် ဖြစ်သည်။ '''[[WP:IUP#Adding images|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]]''' ကို ဖတ်ရှုပြီး ဝီကီပီးဒီးယားသို့ မည်သည့်ဖိုင်များ တင်သင့်/မတင်သင့်ဆိုသည်ကို လေ့လာပါ။ သင် upload တင်ခဲ့သည့် အခြားဖိုင်များကိုလည်း မှန်ကန်စွာ tag လုပ်ထားခြင်း ရှိမရှိကိုလည်း ကျေးဇူးပြု၍ စစ်ဆေးပါ။ သင်၏ ဖိုင်တင်ထားခဲ့သည့် မှတ်တမ်းများကို [{{fullurl:Special:ListFiles/%E1%80%81%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%9C%E1%80%BD%E1%80%84%E1%80%BA}} ဤနေရာတွင်] တွေ့ရှိနိုင်ပါသည်။ သိလိုသည့် မေးခွန်းများရှိပါက [[Wikipedia:မီဒီယာ မူပိုင်ခွင့် မေးခွန်းများ|မီဒီယာ မူပိုင်ခွင့် မေးခွန်းများ]]တွင် ဝင်ရောက်မေးမြန်းနိုင်ပါသည်။ ကျေးဇူးတင်ပါသည်။<!-- Template:Di-no source-notice --> [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၀၃:၁၃၊ ၄ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၈ (UTC) ==အသုံးမပြုထားသော မူပိုင်ခွင့်ရှိ ပုံ File:ကိုယ်ကျင့်အဘိဓမ္မာ.jpg== [[File:Ambox warning blue.svg|35px|text-top|left|⚠|link=]] '''[[:File:ကိုယ်ကျင့်အဘိဓမ္မာ.jpg]]''' ကို တင်ခဲ့သည့်အတွက် ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ ပုံအကြောင်း စာမျက်နှာမှာ လက်ရှိဖော်ပြထားချက်အရ ပုံဟာ အခမဲ့မဟုတ်ဘဲ မူပိုင်ခွင့်ရှိနေပြီး ဝီကီပီးဒီးယားပေါ်တွင် [[WP:FU|တရားမျှတစွာ အသုံးပြုနိုင်ကြောင်း]] ခိုင်လုံမှသာ အသုံးပြုနိုင်မှာ ဖြစ်ပါတယ်။ ဒါပေမယ့် ဝီကီပီးဒီးယားရှိ မည်သည့်ဆောင်းပါးတွင်မှာမှ ပုံကို အသုံးပြုထားခြင်း မရှိပါ။ အကယ်၍ ဆောင်းပါးတစ်ခုမှာ ယခင်က အသုံးပြုထားခဲ့ပါက ဆောင်းပါးသို့ သွားရောက်၍ ပုံအား အဘယ်ကြောင့် ဖယ်ရှားခဲ့သည်ကို ကျေးဇူးပြု၍ စစ်ဆေးပါ။ အသုံးဝင်နိုင်သည်ဟု ယူဆပါက ပုံကို ပြန်လည်ထည့်သွင်းနိုင်ပါတယ်။ မည်သည့် '''ဆောင်ပါးများ'''တွင်မှ အသုံးပြုထားခြင်း မရှိတဲ့ အခမဲ့မဟုတ်သည့် မူပိုင်ခွင့်ရှိ ပုံများကို [[WP:CSD#F5|မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်အတွက် သတ်မှတ်ချက် အပိုင်း F5]] မှာ ဖော်ပြထားတဲ့အတိုင်း ခုနစ်ရက်အကြာတွင် ဖျက်ပစ်ခြင်း ခံရမှာ ဖြစ်ပါတယ်။ ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။<!-- Template:Di-orphaned fair use-notice --> [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၀၈:၂၂၊ ၆ ဧပြီ ၂၀၁၉ (UTC) == Community Insights Survey == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> '''Share your experience in this survey''' Hi {{PAGENAME}}, The Wikimedia Foundation is asking for your feedback in a survey about your experience with {{SITENAME}} and Wikimedia. The purpose of this survey is to learn how well the Foundation is supporting your work on wiki and how we can change or improve things in the future. The opinions you share will directly affect the current and future work of the Wikimedia Foundation. Please take 15 to 25 minutes to '''[https://wikimedia.qualtrics.com/jfe/form/SV_0pSrrkJAKVRXPpj?Target=CI2019List(asiawps,act5) give your feedback through this survey]'''. It is available in various languages. This survey is hosted by a third-party and [https://foundation.wikimedia.org/wiki/Community_Insights_2019_Survey_Privacy_Statement governed by this privacy statement] (in English). Find [[m:Community Insights/Frequent questions|more information about this project]]. [mailto:surveys@wikimedia.org Email us] if you have any questions, or if you don't want to receive future messages about taking this survey. Sincerely, </div> [[User:RMaung (WMF)|RMaung (WMF)]] ၁၄:၃၃၊ ၆ စက်တင်ဘာ ၂၀၁၉ (UTC) <!-- Message sent by User:RMaung (WMF)@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=CI2019List(asia_wps,act5)&oldid=19352606 --> == Reminder: Community Insights Survey == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> '''Share your experience in this survey''' Hi {{PAGENAME}}, A couple of weeks ago, we invited you to take the Community Insights Survey. It is the Wikimedia Foundation’s annual survey of our global communities. We want to learn how well we support your work on wiki. We are 10% towards our goal for participation. If you have not already taken the survey, you can help us reach our goal! '''Your voice matters to us.''' Please take 15 to 25 minutes to '''[https://wikimedia.qualtrics.com/jfe/form/SV_0pSrrkJAKVRXPpj?Target=CI2019List(asiawps,act5) give your feedback through this survey]'''. It is available in various languages. This survey is hosted by a third-party and [https://foundation.wikimedia.org/wiki/Community_Insights_2019_Survey_Privacy_Statement governed by this privacy statement] (in English). Find [[m:Community Insights/Frequent questions|more information about this project]]. [mailto:surveys@wikimedia.org Email us] if you have any questions, or if you don't want to receive future messages about taking this survey. Sincerely, </div> [[User:RMaung (WMF)|RMaung (WMF)]] ၁၅:၀၉၊ ၂၀ စက်တင်ဘာ ၂၀၁၉ (UTC) <!-- Message sent by User:RMaung (WMF)@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=CI2019List(asia_wps,act5)&oldid=19395159 --> == Reminder: Community Insights Survey == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> '''Share your experience in this survey''' Hi {{PAGENAME}}, There are only a few weeks left to take the Community Insights Survey! We are 30% towards our goal for participation. If you have not already taken the survey, you can help us reach our goal! With this poll, the Wikimedia Foundation gathers feedback on how well we support your work on wiki. It only takes 15-25 minutes to complete, and it has a direct impact on the support we provide. Please take 15 to 25 minutes to '''[https://wikimedia.qualtrics.com/jfe/form/SV_0pSrrkJAKVRXPpj?Target=CI2019List(asiawps,act5) give your feedback through this survey]'''. It is available in various languages. This survey is hosted by a third-party and [https://foundation.wikimedia.org/wiki/Community_Insights_2019_Survey_Privacy_Statement governed by this privacy statement] (in English). Find [[m:Community Insights/Frequent questions|more information about this project]]. [mailto:surveys@wikimedia.org Email us] if you have any questions, or if you don't want to receive future messages about taking this survey. Sincerely, </div> [[User:RMaung (WMF)|RMaung (WMF)]] ၁၉:၀၁၊ ၃ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၉ (UTC) <!-- Message sent by User:RMaung (WMF)@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=CI2019List(asia_wps,act5)&oldid=19433228 --> == ပဉ္စာနန္တရိယကံ == [[ပဉ္စာနန္တရိယကံ]] ဆောင်းပါးလေးတစ်ချက်လောက် ပြန်ကြည့်ပေးပါဦး bro! အဇာတသတ်က လောဟကုမ္ဘီ ငရဲပဲကျတာဆိုတော့ သူ အဲ့ကံမြောက်မမြောက်လေးတစ်ချက်လောက်၊ ကျွန်တော့်မှာ ကိုးကားစရာ စာအုပ်လောလောဆယ်မရှိလို့၊ :) [[အသုံးပြုသူ:Aungookingofcelestials|Aungookingofcelestials]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Aungookingofcelestials|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၄၆၊ ၂၈ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၀ (UTC) :sorry! ဒေဝဒတ်နဲ့ရောပြီး ဘုရားကိုပဲ အာရုံရောက်သွားလို့ ဖခင်သတ်တာမေ့နေတာ ဟီး!!! [[အသုံးပြုသူ:Aungookingofcelestials|Aungookingofcelestials]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Aungookingofcelestials|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၅၆၊ ၂၈ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၀ (UTC) :::No Problem!!! Thank bro....[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၀၁:၄၂၊ ၂၉ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၀ (UTC) Buddhism မှာ ဘုရား အကြောင်း မပါတာ ဘာကြောင့် ဘုရားဆိုတာ ထည့်ရေးထားတာလဲ။ Gautam ကို နောက်တာလား။--[[အသုံးပြုသူ:T-Dharma|T-Dharma]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:T-Dharma|ဆွေးနွေး]]) ၀၇:၃၉၊ ၁၇ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၀ (UTC) :{{ping|T-Dharma}} အစ်ကိုလား အစ်မလားတော့ မသိဘူး။ သာကိုပြောချင်တာလဲ မသိဘူး။ [[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၀၈:၁၉၊ ၁၇ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၀ (UTC) ==မြန်မာနိုင်ငံဆရာဝန်အသင်း== အသင်းက ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုပေးတဲ့ အသင်းမဟုတ်တဲ့အတွက် ဖယ်လိုက်ပါတယ်။ ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ {{unsigned2|10:24, 13 December 2020|မျိုးကြည်သာ}} :ဟုတ်ကဲ့ပါ။ {{ping|မျိုးကြည်သာ}} ဆွေးနွေးချက်တွေမှာ စကားပြောပြီးရင် '''Tide Key''' လေးခုချန်ခဲ့ရင် ကိုယ့်ရဲ့လက်မှတ် ကျန်ခဲ့ပါတယ်။ [[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၀၄:၄၉၊ ၁၆ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၀ (UTC) == သိလိုပါသည် == မိဘအုပ်ထိမ်းသော အမျိုးသမီးတစ်ဦးအား အလိုတူ၍ပေါင်းသင်းသောမိန်းမယား (မိန်းမ ၂၀ အနက်မှ ၁၂ ခုမြောက်မယား) အဖြစ်ဖြင့်ပေါင်းသင်းလိုပါက သူမ၏မိဘတို့အားအသိပေးရန်လိုပါသလား။ [[အသုံးပြုသူ:Jim Maung|Jim Maung]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Jim Maung|ဆွေးနွေး]]) ၁၃:၃၂၊ ၂၈ မေ ၂၀၂၁ (UTC) == category looping == ..နိုင်ငံရှိ မြစ်များ ကဏ္ဍတွေလုပ်တဲ့အခါ ကဏ္ဍနာမည်ကိုပဲ အောက်မှာ ပြန်ထည့်ရင် looping ဖြစ်နေပါလိမ့်မယ်။ ([https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=%E1%80%80%E1%80%8F%E1%80%B9%E1%80%8D:%E1%80%82%E1%80%BB%E1%80%95%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%84%E1%80%B6%E1%80%9B%E1%80%BE%E1%80%AD_%E1%80%99%E1%80%BC%E1%80%85%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%AC%E1%80%B8&oldid=671018 ဥပမာ]) အဲဒီအစား သူနဲ့သက်ဆိုင်ရာ တဆင့်မြင့် ကဏ္ဍတွေကိုပဲ ထည့်သင့်ပါတယ်။ ဥပမာ [[:ကဏ္ဍ:ပီရူးနိုင်ငံ၏ မြစ်များ]] ကဏ္ဍစာမျက်နှာကို တဆင့်မြင့်ကဏ္ဍတွေ ဖြစ်တဲ့ [[:ကဏ္ဍ:နိုင်ငံအလိုက် မြစ်များ]] နဲ့ [[:ကဏ္ဍ:ပီရူးနိုင်ငံ၏ ပထဝီဝင်]] စတဲ့ ကဏ္ဍအောက်တွေမှာ ထည့်သင့်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၀၉:၃၄၊ ၁၅ ဩဂုတ် ၂၀၂၁ (UTC) :Thanks!!![[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၄၉၊ ၁၅ ဩဂုတ် ၂၀၂၁ (UTC) == [[WP:NCPI]] == Hi. As I've said before, you're kindly encouraged to refer [[WP:NCPI|the naming convention]] whenever you encountered Pali names. Pls consider using transliteration - representing alphabets for alphabets - for Pali words as per WP:NCPI. Thank you. ~ [[အသုံးပြုသူ:Htanaungg|ထနောင်း]] ([[User talk:Htanaungg|🔔]] • [[Special:Contributions/Htanaungg|📝]]) ၀၈:၀၃၊ ၂၆ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၁ (UTC) :Thank bro for your advice.[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၄၂၊ ၂၈ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၁ (UTC) == Translation request == Hello. Can you translate and upload the articles [[:en:National Museum of History of Azerbaijan]], [[:en:National Art Museum of Azerbaijan]] and [[:en:Azerbaijan State Academic Opera and Ballet Theater]] in Burmese Wikipedia? They do not need to be long. Yours sincerely, [[အသုံးပြုသူ:Multituberculata|Multituberculata]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Multituberculata|ဆွေးနွေး]]) ၁၈:၀၁၊ ၁၆ မေ ၂၀၂၂ (UTC) :{{ping|Multituberculata}}Yes, I will try to write that articles when I have time.[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၅၃၊ ၁၈ မေ ၂၀၂၂ (UTC) == Autopatrolled granted == [[File:Wikipedia Autopatrolled.svg|right|80px]] Hi ခင်မောင်မောင်လွင်, I just wanted to let you know that I have added the [[WP:AUTOPAT|autopatrolled user right]] to your account. This means that pages you create will automatically be marked as 'reviewed'. Autopatrolled is assigned to prolific creators of articles, where those articles do not require further review, and may have been [[WP:RFP|requested]] on your behalf by someone else. It doesn't affect how you edit; it is used only to manage the workload of new page patrollers. Since the articles you create will no longer be systematically reviewed by other editors, it is important that you maintain the high standard you have achieved so far in all your future creations. Please also try to remember to add relevant [[Wikipedia:Stub|stub tags]], [[Wikipedia:Categorization|categories]], and [[:en:Wikipedia:Orphan|incoming links]] to them. Feel free to leave me a message if you have any questions. Happy editing! [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၃:၃၅၊ ၂၂ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) ::{{ping|Ninjastrikers}}ကျေးဇူးတင်ပါတယ်ဗျာ။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၅၃၊ ၂၂ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) == Thank you for being a medical contributors! == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> {| style="background-color: #fdffe7; border: 1px solid #fceb92;" |rowspan="2" style="vertical-align: middle; padding: 5px;" | [[File:Wiki Project Med Foundation logo.svg|130px]] |style="font-size: x-large; padding: 3px 3px 0 3px; height: 1.5em;" |'''The 2024 Cure Award''' |- | style="vertical-align: middle; padding: 3px;" |In 2024 you '''[[mdwiki:WikiProjectMed:WikiProject_Medicine/Stats/Top_medical_editors_2024_(all)|were one of the top medical editors in your language]]'''. Thank you from [[m:WikiProject_Med|Wiki Project Med]] for helping bring free, complete, accurate, up-to-date health information to the public. We really appreciate you and the vital work you do! Wiki Project Med Foundation is a [[meta:Wikimedia_thematic_organizations|thematic organization]] whose mission is to improve our health content. '''[[meta:Wiki_Project_Med#People_interested|Consider joining for 2025]]''', there are no associated costs. Additionally one of our primary efforts revolves around translating health content. We invite you to '''[https://mdwiki.toolforge.org/Translation_Dashboard/index.php try our new workflow]''' if you have not already. Our dashboard automatically [https://mdwiki.toolforge.org/Translation_Dashboard/leaderboard.php collects statistics] of your efforts and we are working on [https://mdwiki.toolforge.org/fixwikirefs.php tools to automatically improve formating]. |} Thanks again :-) -- [[mdwiki:User:Doc_James|<span style="color:#0000f1">'''Doc James'''</span>]] along with the rest of the team at '''[[m:WikiProject_Med|Wiki Project Med Foundation]]''' ၀၆:၂၄၊ ၂၆ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၅ (UTC) </div> <!-- Message sent by User:Doc James@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Top_Other_Language_Editors_2024&oldid=28172893 --> == Barnstar for you! == {| style="border: 1px solid gray; background-color: #fdffe7;" | rowspan="2" style="vertical-align:middle;" |[[ဖိုင်:Japan Barnstar.png|103x103px|frameless]] | rowspan="2" | | style="font-size: x-large; padding: 0; vertical-align: middle; height: 1.1em;" |'''The Japan Barnstar''' |- | style="vertical-align: middle; border-top: 1px solid gray;" |For your significant contributions to topics related to Japan. [[အသုံးပြုသူ:Pho Sai|🌐 Pho Sai®️]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Pho Sai|ဆွေးနွေး]]) ၁၈:၄၄၊ ၁၆ ဇူလိုင် ၂၀၂၅ (UTC) |} :@[[အသုံးပြုသူ:Pho Sai|Pho Sai]] ကျေးဇူးပါ။ おおきに。 [[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၀၁:၄၇၊ ၁၇ ဇူလိုင် ၂၀၂၅ (UTC) == Help == Hello, I recently created [[ဂါဇာလူမျိုးတုံးသတ်ဖြတ်မှု|this]] article and I need your help in improving it as I do not speak Burmese. Thank you. [[အသုံးပြုသူ:جودت|جودت]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:جودت|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၀၃၊ ၂၆ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၆ (UTC) :@[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] [[အသုံးပြုသူ:جودت|جودت]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:جودت|ဆွေးနွေး]]) ၀၇:၅၀၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) == Regarding deletion request == ဆောင်းပါးတွေကို ဖျက်ဖို့ တောင်းဆိုတဲ့အခါ လင့်ခ်တွေကို အရင် စစ်ဆေးပေးစေချင်ပါတယ်။ နို့မို့ဆိုရင် ဖျက်လိုက်တဲ့ ဆောင်းပါးဆီကို လင့်ခ်ချိတ်ထားတဲ့ နေရာတွေမှာ လင့်ခ်နီပြီး အချိတ်အဆက်ပြတ်သွားနိုင်တာမို့ပါ။ ဥပမာ [https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%A1%E1%80%91%E1%80%B0%E1%80%B8:%E1%80%98%E1%80%9A%E1%80%BA%E1%80%80%E1%80%9C%E1%80%84%E1%80%B7%E1%80%BA%E1%80%91%E1%80%AC%E1%80%B8%E1%80%9C%E1%80%B2/%E1%80%96%E1%80%AF%E1%80%9B%E1%80%BE%E1%80%AD%E1%80%99%E1%80%AD%E1%80%A1%E1%80%AD%E1%80%94%E1%80%9B%E1%80%AD%E1%80%94%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%80%E1%80%BD%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8_%E1%80%94%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%9B%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8 ဒီဆောင်းပါး]ကို ဗလာလုပ်လိုက်ပေမယ့် သူ့ဆီကို ချိတ်ထားတဲ့ ဆောင်းပါးတွေ ရှိနေပါသေးတယ်။ ဒါကြောင့် incoming link တွေ စစ်ပြီးမှ deletion request လုပ်စေချင်ပါတယ်။ ကျေးဇူးပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:Montserrat;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၀၇:၃၉၊ ၁၂ မေ ၂၀၂၆ (UTC) :ဟုတ်ကဲ့။ နောက်အခါတွေကျရင် စစ်ပြီးလုပ်လိုက်ပါမယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၀၃:၂၁၊ ၁၃ မေ ၂၀၂၆ (UTC) == မြန်မာဗန်းစကားများ == မြန်မာဗန်းစကားတွေနဲ့ ပတ်သက်တဲ့ ဆောင်းပါးသစ်တွေ ဖန်တီးပေးတာ ကျေးဇူးပါ။ ဒါပေမယ့် ဆောင်းပါးတွေက စာတစ်ကြောင်းနှစ်ကြောင်းလောက်ပဲ ရှိတာရယ်၊ နောင်မှာလဲ ထပ်ဖြည့်ရေးဖို့ အလားအလာ နည်းတာရယ်ကြောင့် ဝီကီပီးဒီးယား ဆောင်းပါးအစား မြန်မာ ဝစ်ရှင်နရီဖက်မှာ အဘိဓာန်ပုံစံနဲ့ ရေးတာက ပိုသင့်တော်ပါလိမ့်မယ်ဗျ။ ဥပမာ [[ဇယားကိုက်သည်]] အစား [[:my:wikt:ဇယားကိုက်]] ဆိုတာမျိုးပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:Montserrat;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၆:၀၈၊ ၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) :ဟုတ်ကဲ့။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၀၃:၂၂၊ ၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 6le0a9c1m4dkriihiqrjd23prx6vh6p 0 70251 1040627 357144 2026-06-24T21:20:45Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1040627 wikitext text/x-wiki {{Infobox galaxy | name = [[New General Catalogue|NGC]] 350 | epoch = [[J2000]] | ra = {{RA|01|01|56.7}}<ref name="ned">{{cite web | title=NASA/IPAC Extragalactic Database | work=Results for NGC 0350 | url=http://ned.ipac.caltech.edu/cgi-bin/objsearch?objname=NGC+350&extend=no&hconst=73&omegam=0.27&omegav=0.73&corr_z=1&out_csys=Equatorial&out_equinox=J2000.0&obj_sort=RA+or+Longitude&of=pre_text&zv_breaker=30000.0&list_limit=5&img_stamp=YES | accessdate=September 2, 2016 | archive-date=16 January 2019 | archive-url=https://web.archive.org/web/20190116200855/http://ned.ipac.caltech.edu/cgi-bin/objsearch?objname=NGC+350&extend=no&hconst=73&omegam=0.27&omegav=0.73&corr_z=1&out_csys=Equatorial&out_equinox=J2000.0&obj_sort=RA+or+Longitude&of=pre_text&zv_breaker=30000.0&list_limit=5&img_stamp=YES | url-status=dead }}</ref> | dec = {{DEC|-06|47|45}}<ref name="ned" /> | constellation name = [[စီတပ် (ကြယ်စုတန်း)|စီတပ်]] | z = 0.020254<ref name="ned" /> | h_radial_v = 6,072 km/s<ref name="ned" /> | type = S0<ref name="ned" /> | appmag_v = 15<ref name="ned" /> | size_v = 0.3' &times; 0.2'<ref name="ned" /> | notes = | names = [[Morphological Catalogue of Galaxies|MCG]] -01-03-069, [[2MASS|2MASX]] J01015671-0647444, 2MASXi J0101567-064744, [[Principal Galaxies Catalogue|PGC]] 3690.<ref name="ned" /> }} '''NGC 350''' သည် [[စီတပ် (ကြယ်စုတန်း)|စီတပ်]] [[ကြယ်စုတန်း]]မှ နှစ်ဖက်ခုံး ဂယ်လက်ဆီဖြစ်ပြီး ၁၈၆၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာ ၂၇ တွင် Albert Marth ဆိုသူမှ ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။<ref>{{cite web|title=New General Catalog Objects: NGC 300 - 349|url=http://cseligman.com/text/atlas/ngc3a.htm#350|publisher=Cseligman|accessdate=November 10, 2016}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{Ngc5}} [[Category:စီတပ် (ကြယ်စုတန်း)]] {{galaxy-stub}} 2g4m93odh9zr85n89uru56znre0mij9 0 72392 1040629 688190 2026-06-24T21:47:24Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1040629 wikitext text/x-wiki {{Infobox open cluster | name = NGC 411 | image = [[File:Appearances can be deceptive.jpg|300px]] | caption = Hubble image of the open cluster NGC 411 | credit = [[NASA]]/[[ESA]] | epoch = [[J2000]] | constellation = [[တူကင်နာ]] | ra = {{RA|01|07|55.95}}<ref name=simbad/> | dec = {{DEC|-71|46|04.5}}<ref name=simbad/> | dist_ly = {{convert|55000|+/-|4000|pc|ly|abbr=on|lk=on|order=flip}}<ref name=ned>{{cite web|title=NASA/IPAC Extragalactic Database|work=Results for NGC 0411|url=http://ned.ipac.caltech.edu/cgi-bin/objsearch?objname=NGC+411&extend=no&hconst=73&omegam=0.27&omegav=0.73&corr_z=1&out_csys=Equatorial&out_equinox=J2000.0&obj_sort=RA+or+Longitude&of=pre_text&zv_breaker=30000.0&list_limit=5&img_stamp=YES|accessdate=2 September 2016|archive-date=24 July 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200724110230/https://ned.ipac.caltech.edu/cgi-bin/objsearch?objname=NGC+411&extend=no&hconst=73&omegam=0.27&omegav=0.73&corr_z=1&out_csys=Equatorial&out_equinox=J2000.0&obj_sort=RA+or+Longitude&of=pre_text&zv_breaker=30000.0&list_limit=5&img_stamp=YES|url-status=dead}}</ref> | appmag_v = ၁၂.၁<ref name=simbad>{{cite simbad|title=NGC 411|accessdate=6 February 2017}}</ref> | size_v = 2.1&prime; &times; 1.9&prime;<ref name=simbad/> | mass_msol = | age = ၁.၅ ဘီလီယံနှစ်<ref name=Li>{{cite journal|title=The tight subgiant branch of the intermediate-age star cluster NGC 411 implies a single-aged stellar population|author1=Li, C.|author2=de Grijs, R.|author3=Bastian, N.|author4=Deng, L.|author5=Niederhofer, F.|author6=Zhang, C.|journal=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society|volume=461|issue=3|pages=3212–3221|date=2016|bibcode=2016MNRAS.461.3212L|doi=10.1093/mnras/stw1491|arxiv=1606.05394}}</ref> | notes = | names = Kron 60, Lindsay 82, ESO 51-19<ref name=simbad/> }} '''NGC 411''' သည် [[တူကင်နာ]] [[ကြယ်စုတန်း]]မှ [[အလင်းနှစ်]] ၁၈၀၀၀၀ နီးပါးအကွာ၌ တည်ရှိသော ကြယ်အစုအဝေးဖြစ်ပြီး ၁၈၂၆ ခုနှစ်တွင် James Dunlop ဆိုသူက ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။<ref name="NGC 411">{{cite web|title=New General Catalog Objects: NGC 400 - 449|url=http://cseligman.com/text/atlas/ngc4.htm#411|publisher=Cseligman|accessdate=6 February 2017}}</ref> ၂၀၁၃ ခနှစ်တွင် [[ဟာဘယ် အာကာသ တယ်လီစကုပ်]]ဖြင့် လေ့လာရာ ကြယ်ပြာများမှ ကြယ်နီများထိ ကြယ်တာရာများ ပေါများသည်ကို တွေ့ရှိရသည်။<ref name=Hubble>{{cite news|url=https://www.nasa.gov/mission_pages/hubble/science/ngc411.html|title=Hubble Finds Appearances can be Deceptive|website=www.nasa.gov|date=2013}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} {{Ngc5}} [[ကဏ္ဍ:တူကင်နာ (ကြယ်စုတန်း)]] {{Star-cluster-stub}} 96c06a9rb9c3wp6gsbra22rizsy18tr 0 72628 1040676 1037944 2026-06-25T05:59:12Z Mkant00 135890 1040676 wikitext text/x-wiki [[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|ခွက် နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲ (solid torus) တို့သည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ကြသည်။ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဆိုသည်မှာ ခွက်နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲတို့၏ အမှတ်များကြားရှိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] ပုံဖော်မှု (bijective mapping) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံတွင် အချိန်နှင့်အမျှ ပြောင်းလဲသွားသော ကြားခံပုံပန်းသဏ္ဌာန်များသည် ထိုပုံဖော်မှု၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သဘောတရားကို သရုပ်ဖော်ပြထားခြင်းသာ ဖြစ်သည်။]] '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology)''' သည် ရပ်ဝန်း (space) အတွင်းရှိ ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ တည်နေရာနှင့် အစီအစဉ်ကို လေ့လာသော ပညာရပ်ဖြစ်ပြီး သင်္ချာဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော အဓိကနယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အဆက်မပြတ် ပုံပျက်သွားခြင်းများ (continuous deformations) အောက်တွင် မပြောင်းမလဲဘဲ ကျန်ရှိနေသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) နှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) တို့၏ သဘောတရားများမှ ဆင်းသက်ပေါက်ဖွားလာခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ၎င်းသည် သီးခြားဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့ပြီး ယင်းကို လက်တင်ဘာသာဖြင့် တည်နေရာ ဂျီဩမေတြီ ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော geometria situs သို့မဟုတ် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော analysis situs ဟူ၍ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ ဆယ်စုနှစ်များစွာတိုင်အောင် တိုပေါ်လော်ဂျီကို အခြေခံကျသော ဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် အသိအမှတ်ပြုခဲ့ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းကို အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) နည်းတူ အခြားသော သင်္ချာနယ်ပယ်များစွာအတွက် ဒုတိယမြောက် မဏ္ဍိုင်ကြီးတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ဂျီဩမေတြီ၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis)၊ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နှင့် လီအုပ်စု သီအိုရီ (Lie group theory) တို့အတွက် အထူးပင် အရေးပါလှသည်။ ၎င်းသည် [[အစုသီအိုရီ]]နှင့် [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) တို့ကိုလည်း များစွာ အထောက်အကူပြု တိုးတက်စေခဲ့သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သဘောတရားမှာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် နီးစပ်မှု (nearness) ဟူသော အယူအဆကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalised) ဖြစ်ပြီး ထိုမှတစ်ဆင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း နှင့် စုဆုံမှတ် (limit) ကဲ့သို့သော သင်္ချာအယူအဆများကို ယေဘုယျပြုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံ အများအပြားကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း၏ တည်ဆောက်ပုံပေါ်တွင်သာ မူတည်နေသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ခေါ်ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် ပုံပျက်သွားခြင်းများ သို့မဟုတ် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာများအနေဖြင့် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်တစ်ခုကို ဆွဲဆန့်ခြင်း၊ ဖိခြင်း၊ ကွေးခြင်း၊ လိမ်ခြင်း နှင့် ဖိလိမ်ခြင်းတို့ ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်သည်။ စက်လုံး (sphere) တစ်ခုနှင့် ကုဗတုံး (cube) တစ်ခုကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ခွဲခြား၍မရနိုင်ပေ။ ၎င်းတို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အတူ မုန့်လက်ကောက်အခဲ နှင့် လက်ကိုင်ကွင်းတစ်ခုပါသော ခွက်တို့သည်လည်း ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ အကြောင်းမှာ ၎င်းတို့အနက်မှ တစ်ခုကို အခြားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြတ်တောက်ခြင်းမရှိဘဲ အသွင်ပြောင်းနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် (torus) ၏ မျက်နှာပြင်သည် စက်လုံး၏ မျက်နှာပြင်နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီသဘောအရ ကွဲပြားခြားနားသည်။ စက်လုံးပေါ်ရှိ မည်သည့် မျဉ်းကွေးပိတ် (closed curve) ကိုမဆို အမှတ်တစ်ခုတည်းဖြစ်သွားရန် အဆက်မပြတ် ကျုံ့ယူသွားနိုင်သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် ပေါ်တွင်မူ မျဉ်းကွေးတိုင်းကို ထိုသို့ပြုလုပ်၍ မရနိုင်ပေ။ တိုပေါ်လော်ဂျီကို နယ်ပယ်ခွဲများအဖြစ် ထပ်မံခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းနယ်ပယ်ခွဲတို့တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology)၊ ဂျီဩမေတြီသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (geometric topology) အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂရပ်သီအိုရီ (topological graph theory) နှင့် အထုံးသီအိုရီ (knot theory) တို့ ပါဝင်သည်။ အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) ကို ဤနယ်ပယ်ခွဲများအားလုံး၏ အခြေခံအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းတွင် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် အလွန်ကွဲပြားခြားနားသော ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကိုပါ အထူးတလည် လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အခြားသော သင်္ချာကတ်တဂိုရီများတွင် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms) ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည့်အရာများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ (continuous mappings) သည် သဘောတရားကိုက်ညီမှု ရှိသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကြားတွင် မိမိကိုယ်တိုင်သာမက မိမိ၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) ပါ အဆက်မပြတ်ဖြစ်နေသော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ကို ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် အခြားသော ကတ်တဂိုရီများရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) နှင့် သဘောတရား တူညီသည်။ ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းများကို တိုပေါ်လော်ဂျီ နည်းလမ်းများဖြင့် ခွဲခြားမရနိုင်ပါ။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော ပြဿနာတစ်ခုမှာ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုသည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဆုံးဖြတ်ရန် ဖြစ်သည်။ ပို၍ ယေဘုယျကျကျဆိုရလျှင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ တည်ရှိခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဖြစ်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == '''တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space)''' <math>(X, \mathcal{T})</math> တစ်ခုတွင် အစု (set) <math>X</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ ပြည့်စုံသော <math>X</math> ၏ အစုပိုင်းများ (subsets) စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် <math>X</math> တို့သည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ အရေအတွက် အကန့်အသတ်မရှိ မည်မျှပင်များပြားစေကာမူ အစုဝင်များ၏ ပေါင်းစပ်စု (union) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင်များ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစု (finite intersection) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီကို နားလည်သဘောပေါက်ပြီးဖြစ်ပါက <math>(X,\mathcal{T})</math> အစား <math>X</math> ဟုသာ ရေးသားသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ၏ အစုဝင်များကို '''အဖွင့်စုများ (open sets)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အစုတစ်ခု၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) သည် အဖွင့်စု ဖြစ်မှသာလျှင် ထိုအစုကို '''အပိတ်စု (closed set)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) နှင့် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>X</math> ၏ အစုပိုင်းအားလုံးပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>2^X</math> သည် <math>X</math> အပေါ် '''တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အစု {<math>{\emptyset, X}</math>} သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology)''' သို့မဟုတ် '''အသေးအဖွဲ တိုပေါ်လော်ဂျီ (trivial topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === အကြမ်းတိုပေါ်လော်ဂျီ (coarse topology) နှင့် အသေးစိတ်တိုပေါ်လော်ဂျီ (fine topology) === တစ်ခါတရံတွင် အစုတစ်ခုတည်းအပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီ နှစ်ခုကို နှိုင်းယှဉ်နိုင်သည်။ <math>\mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}'</math> ဖြစ်သောအခါ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>\mathcal{T}'</math> ထက် '''ပို၍ ကြမ်းသည် (coarser)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်ပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}'</math> ကို <math>\mathcal{T}</math> ထက် '''ပို၍ အသေးစိတ်သည် (finer)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ ကြမ်းသည် နှင့် အသေးစိတ်သည် တို့အစား အချို့က '''ပိုငယ်သည် (smaller)''' နှင့် '''ပိုကြီးသည် (larger)''' သို့မဟုတ် '''ပိုအားနည်းသည် (weaker)''' နှင့် '''ပိုအားကောင်းသည် (stronger)''' ဟု သုံးနှုန်းလေ့ရှိကြသည်။ == အခြေအစု (Basis) == လက်တွေ့တွင် တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုလုံးကို ဖော်ပြမည့်အစား ၎င်းကို ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်သည့် အရေအတွက်ပိုနည်းသော အဖွင့်စုများကိုသာ အသုံးပြု၍ ပို၍ လွယ်ကူစေသည်။ အစု <math>X</math> ၏ အစုပိုင်းများ ပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>\mathcal{B}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် '''အခြေအစု (basis)''' ဖြစ်ရန် အောက်ပါ အခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ *<math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ *အကယ်၍ <math>A, B \in \mathcal{B}</math> ဖြစ်ပြီး <math>x \in A \cap B</math> ဖြစ်ပါက <math>x \in C \subseteq A \cap B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>C \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ <math> \mathcal{T}</math> ဆိုသည်မှာ<math> \mathcal{B}</math> ကို ငုံထားသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီများအနက် အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ အခြားတစ်နည်းဆိုရသော် <math> U \subset X</math> သည် အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီတွင် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>U</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B \subseteq U</math> ဖြစ်စေမည့် <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု ရှိနေခြင်းဖြစ်သည်။ <math>x \in B</math> ဖြစ်စေသော <math>\mathcal{B}</math> အတွင်းရှိ အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အခြေခံ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (basic open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ <math>x</math> ပါဝင်သော အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းတို့အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\mathcal{T}_x</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (Metric spaces) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသော ပုံဖော်မှု (mapping) <math>d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric)''' ဟု ခေါ်သည်။ မည်သည့် <math>\varphi, \psi, \chi\in X</math> အတွက်မဆို *(M1) အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု (Positivity)၊ <math>d(\varphi,\psi)\ge0</math>။ *(M2) တိကျသေချာမှု (Definiteness)၊ <math>d(\varphi,\psi)=0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>\varphi=\psi</math> ဖြစ်သည်။ *(M3) အချိုးညီမှု (Symmetry)၊ <math>d(\varphi,\psi)=d(\psi,\varphi)</math>။ *(M4) တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality)၊ <math>d(\varphi,\psi)\le d(\varphi,\chi)+d(\chi,\psi)</math>။ ဤကဲ့သို့ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တပ်ဆင်ထားသော အစုစုံတွဲ <math>(X, d)</math> ကို '''အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ အစုဝင်တစ်ခုဖြစ်သော <math>\varphi</math> နှင့် <math>r>0</math> တို့အတွက် အစု <math>B(\varphi;r):=\{\psi\in X:d(\varphi,\psi)<r\}</math> ကို <math>\varphi</math> ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် <math>r</math> ရှိသော '''အဖွင့်စက်လုံး (open ball)''' ဟု ခေါ်သည်။ အဆိုပါ စက်လုံးများဖြစ်သော <math>\{B(\varphi;r)}\</math> အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် အခြေအစုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုတိုပေါ်လော်ဂျီကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ (metric topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ကြောင့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တစ်ခု ပါဝင်သော မည်သည့်အစုမဆိုသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ရှိသော ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အပေါ်တွင် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် <math>\mathcal{T}</math> တို့ ထပ်တူကျစေမည့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် <math>d</math> တစ်ခု ရှိနေပါက ထိုရပ်ဝန်း <math>Y</math> ကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်သည် (metrizable)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆိုသည်လည်း အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် သာမန် '''ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Euclidean distance function)''' ပါဝင်သော <math> \mathbb{R}^n</math> သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ အစုပိုင်းများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် ဥပမာကောင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် '''ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line)''' <math>\mathbb{R}</math> ၊ '''ယူနစ် အပိုင်းအခြား (unit interval)''' I := [0,1] ၊ '''အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး (closed unit ball)''' <math> \mathcal{D}^n := \{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1^2 + \ldots + x_n^2 \le 1\}</math> နှင့် '''အတိုင်းအတာ <math>n</math> ခုရှိသော စက်လုံးမျက်နှာပြင် (n-sphere)''' <math>S^n := \{(x_1, \ldots, x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} | x_1^2 + \ldots + x_{n+1}^2 = 1\}</math> တို့သည် အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း ဥပမာများ (Examples of topological spaces) == *မည်သည့် အစု <math>X </math> ကိုမဆို '''အဆုံးရှိဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cofinite topology)''' ဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ ၎င်းတွင် အစုပိုင်း <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်း၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) <math>X \setminus U</math> သည် အဆုံးရှိအစု (finite set) ဖြစ်နေခြင်း သို့မဟုတ် <math>U = \emptyset </math> ဖြစ်နေခြင်း ဖြစ်သည် ။ အလားတူပင် မည်သည့်အစုကိုမဆို ဖြည့်စွက်စုသည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) ဖြစ်နေသော အဖွင့်စုများပါဝင်သည့် '''ရေတွက်နိုင်သောဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cocountable topology)''' ဖြင့်လည်း ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ *ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစု (one-point set) <math>* </math> တို့သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့၏ တိုပေါ်လော်ဂျီများသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) တိုပေါ်လော်ဂျီများ ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X </math>အတွက်မဆို <math>\emptyset \to X</math> နှင့် <math>X \to *</math> ဟူသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် ဖန်ရှင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြသည်။ <math>Set </math> ကတ်တဂိုရီတွင်ကဲ့သို့ပင် <math>Top </math> ကတ်တဂိုရီတွင် ဗလာအစုသည် အစ အရာဝတ္ထု (initial object) ဖြစ်ပြီး အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစုသည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object) ဖြစ်သည်။ *ကိန်းစစ်မျဉ်း <math>\mathbb{R}</math> သည် သာမန်အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီအပြင် အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများကိုလည်း လက်ခံနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် <math>a < b</math> ဖြစ်သော <math>[a, b)</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများကို အခြေအစု (basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု ရှိသည်။ ၎င်းကို '''စုဆုံမှတ်အောက်ခြေ တိုပေါ်လော်ဂျီ (lower limit topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစု (totally ordered set) <math>X </math> တစ်ခုအတွက် <math>(a, b) = \{x \in X | a < x < b\}</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများနှင့်အတူ <math>(a, \infty)</math> နှင့် <math>(-\infty, b)</math> တို့သည် '''အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (order topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ကိန်းစစ်အစု <math>\mathbb{R}</math> သည် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစုဖြစ်ပြီး ၎င်းအပေါ်ရှိ အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီသည် သာမန် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် ထပ်တူကျသည်။ *သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math> နှင့် ကိန်းပြည့်များ (integers) <math>\mathbb{Z}</math> အစုတို့ကို အများအားဖြင့် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီများ (discrete topologies) အဖြစ် သတ်မှတ်လေ့ရှိသော်လည်း အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများလည်း တည်ရှိသည်။ အထူးသဖြင့် <math>a \in \mathbb{Z} \setminus {0}</math> နှင့် <math>b \in \mathbb{Z}</math> တို့အတွက် <math>S(a,b) = \{an+b | n \in \mathbb{N}\}</math> ပုံစံရှိ အစုများနှင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> တို့ကို အဖွင့်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ ဤတိုပေါ်လော်ဂျီကို အသုံးပြု၍ သုဒ္ဓကိန်းများ (prime numbers) အနန္တတိုင် တည်ရှိကြောင်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။ *<math>R </math> သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (commutative ring with unit) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\text{spec } R</math> သည် <math>R </math> ၏ [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်]]များ (prime ideals) အစုဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>\text{spec } R</math> အပေါ်ရှိ '''ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီ (Zariski topology)''' ကို <math>V(E) = \{p \in \text{spec } R | E \subseteq p\}</math> ပုံစံရှိ အစုများကို အပိတ်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤနေရာတွင် <math>E</math> သည် <math>R </math> ၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆို ဖြစ်သည်။ *ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) <math>V </math>တစ်ခုပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဆိုသည်မှာ<math> || \cdot ||: V \to \mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C} </math> သို့ ပုံဖော်ထားသော ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းစံနှုန်းသည် <math>||v|| \ge 0</math> နှင့် <math>||v||=0 </math> <math>\iff</math> <math>v =0 </math> ဖြစ်ခြင်း၊ <math>||v+w|| \le ||v|| + ||w||</math> ဖြစ်ခြင်း နှင့်<math> ||\alpha v|| = |\alpha| ||v||</math> ဖြစ်ခြင်း စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ စံနှုန်းရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းသည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>d(\varphi,\psi) = ||\varphi-\psi||</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အတိုင်းအတာအကန့်အသတ်ရှိသော (finite dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်တွင် မည်သည့် စံနှုန်းကို ရွေးချယ်သည်ဖြစ်စေ သက်ဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ရုံသာမက လုံးဝတူညီသော ရပ်ဝန်းများပင် ဖြစ်ကြသည်။ == အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (Continuous function) == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုကြားရှိ ဖန်ရှင်<math> f: X \to Y</math> တစ်ခုသည် '''အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function)''' ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>Y </math> အတွင်းရှိ <math>U </math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်တိုင်း ၎င်း၏ '''မူလပုံရိပ် (preimage)''' ဖြစ်သော <math>f^{-1}U</math> သည် <math>X</math> အတွင်း၌ အဖွင့်စု ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ မည်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X </math> အတွက်မဆို ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) <math>id_X: X \to X</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း စစ်ဆေးရန် လွယ်ကူသည်။ ထို့အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများဖြစ်သော <math>X </math> ၊ <math>Y</math> ၊ <math>Z </math> တို့နှင့် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>f: X \to Y</math> နှင့် <math>g: Y \to Z</math> တို့အတွက် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သော <math>gf := g \circ f: X \to Z</math> သည်လည်း အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) နှင့်လည်း ပြည့်စုံသည်။ ဤအချက်များကို စုစည်းကြည့်ပါက တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် '''Top''' ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Topological properties) == သင်္ချာဘာသာရပ်သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]များအောက်တွင် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို အဓိကထားလေ့လာလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ဆိုသည်မှာ '''ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms)''' ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည့် ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့သော ဂုဏ်သတ္တိများကို '''တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (topological properties)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ရပ်ဝန်းတစ်ခုနှင့်တစ်ခုကို ခွဲခြားရာတွင် အသုံးပြုသည်။ အကယ်၍ <math>X </math>နှင့် <math>Y </math>တို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်ပြီး <math>X </math>တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ရှိနေပါက <math>Y </math>တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ ရှိရမည် (သို့မဟုတ် မရှိနိုင်ပါ)။ သို့မဟုတ် <math>X </math>တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု မရှိပါက <math>Y </math>တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ မရှိနိုင်ပါ။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် f: X \to Y မဆိုသည် ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်ဖြစ်သောကြောင့် X နှင့် Y တို့ကို အစုများအနေဖြင့် ကြည့်လျှင် အရွယ်အစား တူညီရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်ခြင်း (metrizability) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဆက်စပ်နေမှု (connectedness) ၊ ကျစ်လျစ်မှု (compactness) ၊ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်မှု (Hausdorff) ၊ ပထမအကြိမ် ရေတွက်နိုင်မှု (first countability) စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများသည်လည်း အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: X \to Y</math> မဆိုသည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>X </math> နှင့် <math>Y </math> တို့ကို အစုများအနေဖြင့် ကြည့်လျှင် အရွယ်အစား တူညီရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်ခြင်း (metrizability) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဆက်စပ်နေမှု (connectedness) ၊ ကျစ်လျစ်မှု (compactness) ၊ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်မှု (Hausdorff) ၊ ပထမအကြိမ် ရေတွက်နိုင်မှု (first countability) စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများသည်လည်း အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ သို့သော် ဂုဏ်သတ္တိတိုင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ ဖြစ်သည်ဟု မဆိုနိုင်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) တိုင်း စုဆုံသည်ဆိုပါက ထိုအကွာအဝေး ရပ်ဝန်းကို '''ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း (complete metric space)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သို့သော် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်းဖြစ်ခြင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ပါ။ သက်သေပြရမည်ဆိုလျှင် <math>(-1, 1) \to \mathbb{R}</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော <math>x \mapsto \frac{x}{(1-x^2)}</math> သည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>(-1, 1)</math> သည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤဥပမာအရ '''အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (boundedness)''' သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်သည် အကန့်အသတ်ရှိသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပါက ထိုရပ်ဝန်းကို အကန့်အသတ်ရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သိသာထင်ရှားစွာပင် <math>(-1, 1)</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိသော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် အကန့်အသတ်မရှိပါ။ == ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ နှင့် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ == === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ၏ အရေးပါသော အတန်းအစားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းရပ်ဝန်းများတွင် အမှတ်များကို ပတ်ဝန်းကျင်များ (neighborhoods) ဖြင့် ခွဲခြားထားနိုင်သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများကို ခွဲခြားနိုင်သော ရပ်ဝန်းများ (separated spaces) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ *တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> တစ်ခုရှိ မတူညီသော အမှတ်အတွဲ <math>x, y \in X</math> တိုင်းအတွက် <math>x \in U</math> နှင့် <math>y \in V</math> ဖြစ်စေမည့် ဘုံမပါသော အဖွင့်စုများ (disjoint open sets) <math>U, V \subset X</math> တည်ရှိနေခြင်းသည် ထိုရပ်ဝန်း <math>X</math> '''ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်''' ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်သည်။ *'''ထောင့်ဖြတ် (diagonal)''' <math>\Delta(X) \subset X \times X</math> သည် အပိတ်စုပိုင်း တစ်ခုဖြစ်နေခြင်းသည် ရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ *အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>Y</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက <math>f</math> ၏ ဂရပ် (graph) သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ *အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>s : Y \to X</math> တို့သည် <math>f \circ s = \text{id}_Y</math> ဖြစ်သော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ ဖြစ်ပြီး <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက ပုံရိပ် (image) <math>s(Y)</math> သည် အပိတ် ဖြစ်သည်။ *အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော <math>X \to Z</math> နှင့် <math>Y \to Z</math> တို့အတွက် အကယ်၍ <math>Z</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fibre product) <math>X \times_Z Y</math> သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ၏ သဘောတရားကို အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ဆီသို့ ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။ *အကယ်၍ ထောင့်ဖြတ် <math>\Delta : X \to X \times_Y X</math> သည် အပိတ် ပုံဖော်မှု (closed map) တစ်ခုဖြစ်ပါက အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> ကို '''ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ *ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုသည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>\Delta(X) \subset X \times_Y X</math> သည် အပိတ်စုပိုင်း ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုအချက်သည် <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုတည်းသို့ ပုံဖော်ထားသော <math>X</math> အတွင်းမှ မည်သည့် မတူညီသော အမှတ်များ <math>x, x' \in X</math> မဆိုတွင် ဘုံမပါသော အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (disjoint open neighbourhoods) ရှိရမည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့်လည်း ထပ်တူညီသည်။ *အကယ်၍ အရင်းအမြစ် (domain) <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> မဆိုသည် အလိုအလျောက် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သွားသည်။ *အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>Y' \to Y</math> တစ်လျှောက်မဆိုရှိ ၎င်း၏ '''အခြေပြောင်းလဲခြင်း (base change)''' <math>Y' \times_Y X \to Y'</math> သည်လည်း ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သည်။ [[Category:တိုပေါ်လော်ဂျီ]] 09171ug74fmg528uemroipy5wb2smsc 1040677 1040676 2026-06-25T06:03:15Z Mkant00 135890 1040677 wikitext text/x-wiki [[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|ခွက် နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲ (solid torus) တို့သည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ကြသည်။ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဆိုသည်မှာ ခွက်နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲတို့၏ အမှတ်များကြားရှိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] ပုံဖော်မှု (bijective mapping) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံတွင် အချိန်နှင့်အမျှ ပြောင်းလဲသွားသော ကြားခံပုံပန်းသဏ္ဌာန်များသည် ထိုပုံဖော်မှု၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သဘောတရားကို သရုပ်ဖော်ပြထားခြင်းသာ ဖြစ်သည်။]] '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology)''' သည် ရပ်ဝန်း (space) အတွင်းရှိ ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ တည်နေရာနှင့် အစီအစဉ်ကို လေ့လာသော ပညာရပ်ဖြစ်ပြီး သင်္ချာဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော အဓိကနယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အဆက်မပြတ် ပုံပျက်သွားခြင်းများ (continuous deformations) အောက်တွင် မပြောင်းမလဲဘဲ ကျန်ရှိနေသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) နှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) တို့၏ သဘောတရားများမှ ဆင်းသက်ပေါက်ဖွားလာခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ၎င်းသည် သီးခြားဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့ပြီး ယင်းကို လက်တင်ဘာသာဖြင့် တည်နေရာ ဂျီဩမေတြီ ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော geometria situs သို့မဟုတ် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော analysis situs ဟူ၍ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ ဆယ်စုနှစ်များစွာတိုင်အောင် တိုပေါ်လော်ဂျီကို အခြေခံကျသော ဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် အသိအမှတ်ပြုခဲ့ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းကို အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) နည်းတူ အခြားသော သင်္ချာနယ်ပယ်များစွာအတွက် ဒုတိယမြောက် မဏ္ဍိုင်ကြီးတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ဂျီဩမေတြီ၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis)၊ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နှင့် လီအုပ်စု သီအိုရီ (Lie group theory) တို့အတွက် အထူးပင် အရေးပါလှသည်။ ၎င်းသည် [[အစုသီအိုရီ]]နှင့် [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) တို့ကိုလည်း များစွာ အထောက်အကူပြု တိုးတက်စေခဲ့သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သဘောတရားမှာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် နီးစပ်မှု (nearness) ဟူသော အယူအဆကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalised) ဖြစ်ပြီး ထိုမှတစ်ဆင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း နှင့် စုဆုံမှတ် (limit) ကဲ့သို့သော သင်္ချာအယူအဆများကို ယေဘုယျပြုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံ အများအပြားကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း၏ တည်ဆောက်ပုံပေါ်တွင်သာ မူတည်နေသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ခေါ်ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် ပုံပျက်သွားခြင်းများ သို့မဟုတ် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာများအနေဖြင့် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်တစ်ခုကို ဆွဲဆန့်ခြင်း၊ ဖိခြင်း၊ ကွေးခြင်း၊ လိမ်ခြင်း နှင့် ဖိလိမ်ခြင်းတို့ ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်သည်။ စက်လုံး (sphere) တစ်ခုနှင့် ကုဗတုံး (cube) တစ်ခုကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ခွဲခြား၍မရနိုင်ပေ။ ၎င်းတို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အတူ မုန့်လက်ကောက်အခဲ နှင့် လက်ကိုင်ကွင်းတစ်ခုပါသော ခွက်တို့သည်လည်း ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ အကြောင်းမှာ ၎င်းတို့အနက်မှ တစ်ခုကို အခြားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြတ်တောက်ခြင်းမရှိဘဲ အသွင်ပြောင်းနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် (torus) ၏ မျက်နှာပြင်သည် စက်လုံး၏ မျက်နှာပြင်နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီသဘောအရ ကွဲပြားခြားနားသည်။ စက်လုံးပေါ်ရှိ မည်သည့် မျဉ်းကွေးပိတ် (closed curve) ကိုမဆို အမှတ်တစ်ခုတည်းဖြစ်သွားရန် အဆက်မပြတ် ကျုံ့ယူသွားနိုင်သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် ပေါ်တွင်မူ မျဉ်းကွေးတိုင်းကို ထိုသို့ပြုလုပ်၍ မရနိုင်ပေ။ တိုပေါ်လော်ဂျီကို နယ်ပယ်ခွဲများအဖြစ် ထပ်မံခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းနယ်ပယ်ခွဲတို့တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology)၊ ဂျီဩမေတြီသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (geometric topology) အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂရပ်သီအိုရီ (topological graph theory) နှင့် အထုံးသီအိုရီ (knot theory) တို့ ပါဝင်သည်။ အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) ကို ဤနယ်ပယ်ခွဲများအားလုံး၏ အခြေခံအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းတွင် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် အလွန်ကွဲပြားခြားနားသော ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကိုပါ အထူးတလည် လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အခြားသော သင်္ချာကတ်တဂိုရီများတွင် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms) ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည့်အရာများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ (continuous mappings) သည် သဘောတရားကိုက်ညီမှု ရှိသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကြားတွင် မိမိကိုယ်တိုင်သာမက မိမိ၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) ပါ အဆက်မပြတ်ဖြစ်နေသော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ကို ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် အခြားသော ကတ်တဂိုရီများရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) နှင့် သဘောတရား တူညီသည်။ ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းများကို တိုပေါ်လော်ဂျီ နည်းလမ်းများဖြင့် ခွဲခြားမရနိုင်ပါ။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော ပြဿနာတစ်ခုမှာ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုသည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဆုံးဖြတ်ရန် ဖြစ်သည်။ ပို၍ ယေဘုယျကျကျဆိုရလျှင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ တည်ရှိခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဖြစ်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == '''တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space)''' <math>(X, \mathcal{T})</math> တစ်ခုတွင် အစု (set) <math>X</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ ပြည့်စုံသော <math>X</math> ၏ အစုပိုင်းများ (subsets) စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် <math>X</math> တို့သည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ အရေအတွက် အကန့်အသတ်မရှိ မည်မျှပင်များပြားစေကာမူ အစုဝင်များ၏ ပေါင်းစပ်စု (union) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင်များ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစု (finite intersection) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီကို နားလည်သဘောပေါက်ပြီးဖြစ်ပါက <math>(X,\mathcal{T})</math> အစား <math>X</math> ဟုသာ ရေးသားသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ၏ အစုဝင်များကို '''အဖွင့်စုများ (open sets)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အစုတစ်ခု၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) သည် အဖွင့်စု ဖြစ်မှသာလျှင် ထိုအစုကို '''အပိတ်စု (closed set)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) နှင့် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>X</math> ၏ အစုပိုင်းအားလုံးပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>2^X</math> သည် <math>X</math> အပေါ် '''တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အစု {<math>{\emptyset, X}</math>} သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology)''' သို့မဟုတ် '''အသေးအဖွဲ တိုပေါ်လော်ဂျီ (trivial topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === အကြမ်းတိုပေါ်လော်ဂျီ (coarse topology) နှင့် အသေးစိတ်တိုပေါ်လော်ဂျီ (fine topology) === တစ်ခါတရံတွင် အစုတစ်ခုတည်းအပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီ နှစ်ခုကို နှိုင်းယှဉ်နိုင်သည်။ <math>\mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}'</math> ဖြစ်သောအခါ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>\mathcal{T}'</math> ထက် '''ပို၍ ကြမ်းသည် (coarser)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်ပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}'</math> ကို <math>\mathcal{T}</math> ထက် '''ပို၍ အသေးစိတ်သည် (finer)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ ကြမ်းသည် နှင့် အသေးစိတ်သည် တို့အစား အချို့က '''ပိုငယ်သည် (smaller)''' နှင့် '''ပိုကြီးသည် (larger)''' သို့မဟုတ် '''ပိုအားနည်းသည် (weaker)''' နှင့် '''ပိုအားကောင်းသည် (stronger)''' ဟု သုံးနှုန်းလေ့ရှိကြသည်။ == အခြေအစု (Basis) == လက်တွေ့တွင် တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုလုံးကို ဖော်ပြမည့်အစား ၎င်းကို ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်သည့် အရေအတွက်ပိုနည်းသော အဖွင့်စုများကိုသာ အသုံးပြု၍ ပို၍ လွယ်ကူစေသည်။ အစု <math>X</math> ၏ အစုပိုင်းများ ပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>\mathcal{B}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် '''အခြေအစု (basis)''' ဖြစ်ရန် အောက်ပါ အခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ *<math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ *အကယ်၍ <math>A, B \in \mathcal{B}</math> ဖြစ်ပြီး <math>x \in A \cap B</math> ဖြစ်ပါက <math>x \in C \subseteq A \cap B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>C \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ <math> \mathcal{T}</math> ဆိုသည်မှာ<math> \mathcal{B}</math> ကို ငုံထားသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီများအနက် အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ အခြားတစ်နည်းဆိုရသော် <math> U \subset X</math> သည် အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီတွင် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>U</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B \subseteq U</math> ဖြစ်စေမည့် <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု ရှိနေခြင်းဖြစ်သည်။ <math>x \in B</math> ဖြစ်စေသော <math>\mathcal{B}</math> အတွင်းရှိ အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အခြေခံ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (basic open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ <math>x</math> ပါဝင်သော အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းတို့အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\mathcal{T}_x</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (Metric spaces) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသော ပုံဖော်မှု (mapping) <math>d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric)''' ဟု ခေါ်သည်။ မည်သည့် <math>\varphi, \psi, \chi\in X</math> အတွက်မဆို *(M1) အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု (Positivity)၊ <math>d(\varphi,\psi)\ge0</math>။ *(M2) တိကျသေချာမှု (Definiteness)၊ <math>d(\varphi,\psi)=0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>\varphi=\psi</math> ဖြစ်သည်။ *(M3) အချိုးညီမှု (Symmetry)၊ <math>d(\varphi,\psi)=d(\psi,\varphi)</math>။ *(M4) တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality)၊ <math>d(\varphi,\psi)\le d(\varphi,\chi)+d(\chi,\psi)</math>။ ဤကဲ့သို့ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တပ်ဆင်ထားသော အစုစုံတွဲ <math>(X, d)</math> ကို '''အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ အစုဝင်တစ်ခုဖြစ်သော <math>\varphi</math> နှင့် <math>r>0</math> တို့အတွက် အစု <math>B(\varphi;r):=\{\psi\in X:d(\varphi,\psi)<r\}</math> ကို <math>\varphi</math> ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် <math>r</math> ရှိသော '''အဖွင့်စက်လုံး (open ball)''' ဟု ခေါ်သည်။ အဆိုပါ စက်လုံးများဖြစ်သော <math>\{B(\varphi;r)}\</math> အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် အခြေအစုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုတိုပေါ်လော်ဂျီကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ (metric topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ကြောင့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တစ်ခု ပါဝင်သော မည်သည့်အစုမဆိုသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ရှိသော ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အပေါ်တွင် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် <math>\mathcal{T}</math> တို့ ထပ်တူကျစေမည့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် <math>d</math> တစ်ခု ရှိနေပါက ထိုရပ်ဝန်း <math>Y</math> ကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်သည် (metrizable)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆိုသည်လည်း အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် သာမန် '''ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Euclidean distance function)''' ပါဝင်သော <math> \mathbb{R}^n</math> သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ အစုပိုင်းများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် ဥပမာကောင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် '''ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line)''' <math>\mathbb{R}</math> ၊ '''ယူနစ် အပိုင်းအခြား (unit interval)''' I := [0,1] ၊ '''အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး (closed unit ball)''' <math> \mathcal{D}^n := \{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1^2 + \ldots + x_n^2 \le 1\}</math> နှင့် '''အတိုင်းအတာ <math>n</math> ခုရှိသော စက်လုံးမျက်နှာပြင် (n-sphere)''' <math>S^n := \{(x_1, \ldots, x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} | x_1^2 + \ldots + x_{n+1}^2 = 1\}</math> တို့သည် အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း ဥပမာများ (Examples of topological spaces) == * မည်သည့် အစု <math>X</math> ကိုမဆို '''အဆုံးရှိဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cofinite topology)''' ဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ ၎င်းတွင် အစုပိုင်း <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်း၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) ဖြစ်သော <math>X \setminus U</math> သည် အဆုံးရှိအစု (finite set) ဖြစ်နေခြင်း သို့မဟုတ် <math>U = \emptyset</math> ဖြစ်နေခြင်း ဖြစ်သည်။ အလားတူပင် မည်သည့်အစုကိုမဆို ဖြည့်စွက်စုသည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) ဖြစ်နေသော အဖွင့်စုများပါဝင်သည့် '''ရေတွက်နိုင်သောဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cocountable topology)''' ဖြင့်လည်း ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ * ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစု (one-point set) <math>*</math> တို့သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့၏ တိုပေါ်လော်ဂျီများသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) တိုပေါ်လော်ဂျီများ ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို <math>\emptyset \to X</math> နှင့် <math>X \to *</math> ဟူသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် ဖန်ရှင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြသည်။ <math>\mathbf{Set}</math> ကတ်တဂိုရီတွင်ကဲ့သို့ပင် <math>\mathbf{Top}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် ဗလာအစုသည် အစ အရာဝတ္ထု (initial object) ဖြစ်ပြီး အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစုသည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object) ဖြစ်သည်။ * ကိန်းစစ်မျဉ်း <math>\mathbb{R}</math> သည် သာမန်အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီအပြင် အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများကိုလည်း လက်ခံနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် <math>a < b</math> ဖြစ်သော <math>[a, b)</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများကို အခြေအစု (basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု ရှိသည်။ ၎င်းကို '''စုဆုံမှတ်အောက်ခြေ တိုပေါ်လော်ဂျီ (lower limit topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစု (totally ordered set) <math>X</math> တစ်ခုအတွက် <math>(a, b) = \{x \in X \mid a < x < b\}</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများနှင့်အတူ <math>(a, \infty)</math> နှင့် <math>(-\infty, b)</math> တို့သည် '''အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (order topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ကိန်းစစ်အစု <math>\mathbb{R}</math> သည် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစုဖြစ်ပြီး ၎င်းအပေါ်ရှိ အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီသည် သာမန် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် ထပ်တူကျသည်။ * သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math> နှင့် ကိန်းပြည့်များ (integers) <math>\mathbb{Z}</math> အစုတို့ကို အများအားဖြင့် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီများ (discrete topologies) အဖြစ် သတ်မှတ်လေ့ရှိသော်လည်း အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများလည်း တည်ရှိသည်။ အထူးသဖြင့် <math>a \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math> နှင့် <math>b \in \mathbb{Z}</math> တို့အတွက် <math>S(a,b) = \{an+b \mid n \in \mathbb{N}\}</math> ပုံစံရှိ အစုများနှင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> တို့ကို အဖွင့်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ ဤတိုပေါ်လော်ဂျီကို အသုံးပြု၍ သုဒ္ဓကိန်းများ (prime numbers) အနန္တတိုင် တည်ရှိကြောင်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။ * <math>R</math> သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (commutative ring with unit) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\operatorname{spec} R</math> သည် <math>R</math> ၏ [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်|သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ]] (prime ideals) အစုဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>\operatorname{spec} R</math> အပေါ်ရှိ '''ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီ (Zariski topology)''' ကို <math>V(E) = \{p \in \operatorname{spec} R \mid E \subseteq p\}</math> ပုံစံရှိ အစုများကို အပိတ်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤနေရာတွင် <math>E</math> သည် <math>R</math> ၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆို ဖြစ်သည်။ * ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) <math>V</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဆိုသည်မှာ <math>\| \cdot \|: V \to \mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းစံနှုန်းသည် <math>\|v\| \ge 0</math> နှင့် <math>\|v\|=0 \iff v=0</math> ဖြစ်ခြင်း၊ <math>\|v+w\| \le \|v\| + \|w\|</math> ဖြစ်ခြင်း နှင့် <math>\|\alpha v\| = |\alpha| \|v\|</math> ဖြစ်ခြင်း စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ စံနှုန်းရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းသည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>d(\varphi,\psi) = \|\varphi-\psi\|</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အတိုင်းအတာအကန့်အသတ်ရှိသော (finite-dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်တွင် မည်သည့် စံနှုန်းကို ရွေးချယ်သည်ဖြစ်စေ သက်ဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ရုံသာမက လုံးဝတူညီသော ရပ်ဝန်းများပင် ဖြစ်ကြသည်။ == အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (Continuous function) == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုကြားရှိ ဖန်ရှင် <math>f: X \to Y</math> တစ်ခုသည် '''အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function)''' ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>Y</math> အတွင်းရှိ <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်တိုင်း ၎င်း၏ မူလပုံရိပ် (preimage) ဖြစ်သော <math>f^{-1}(U)</math> သည် <math>X</math> အတွင်း၌ အဖွင့်စု ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ မည်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) <math>\operatorname{id}_X: X \to X</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း စစ်ဆေးရန် လွယ်ကူသည်။ ထို့အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများဖြစ်သော <math>X</math>၊ <math>Y</math>၊ <math>Z</math> တို့နှင့် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>f: X \to Y</math> နှင့် <math>g: Y \to Z</math> တို့အတွက် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သော <math>gf := g \circ f: X \to Z</math> သည်လည်း အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) နှင့်လည်း ပြည့်စုံသည်။ ဤအချက်များကို စုစည်းကြည့်ပါက တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် '''Top''' ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Topological properties) == သင်္ချာဘာသာရပ်သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]]အောက်တွင် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို အဓိကထားလေ့လာလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ဆိုသည်မှာ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည့် ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့သော ဂုဏ်သတ္တိများကို '''တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (topological properties)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ရပ်ဝန်းတစ်ခုနှင့်တစ်ခုကို ခွဲခြားရာတွင် အသုံးပြုသည်။ အကယ်၍ <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်ပြီး <math>X</math> တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ရှိနေပါက <math>Y</math> တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် <math>X</math> တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု မရှိပါက <math>Y</math> တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ မရှိနိုင်ပါ။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: X \to Y</math> မဆိုသည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကို အစုများအနေဖြင့် ကြည့်လျှင် အရွယ်အစား တူညီရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်ခြင်း (metrizability) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဆက်စပ်နေမှု (connectedness)၊ ကျစ်လျစ်မှု (compactness)၊ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်မှု (Hausdorff)၊ ပထမအကြိမ် ရေတွက်နိုင်မှု (first countability) စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများသည်လည်း အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ သို့သော် ဂုဏ်သတ္တိတိုင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ ဖြစ်သည်ဟု မဆိုနိုင်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) တိုင်း စုဆုံသည်ဆိုပါက ထိုအကွာအဝေး ရပ်ဝန်းကို ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (complete metric space) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သို့သော် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ခြင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ပါ။ သက်သေပြရမည်ဆိုလျှင် <math>(-1, 1) \to \mathbb{R}</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော <math>x \mapsto \frac{x}{1-x^2}</math> သည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>(-1, 1)</math> သည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤဥပမာအရ အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (boundedness) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်သည် အကန့်အသတ်ရှိသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပါက ထိုရပ်ဝန်းကို အကန့်အသတ်ရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သိသာထင်ရှားစွာပင် <math>(-1, 1)</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိသော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် အကန့်အသတ်မရှိပါ။ == ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ နှင့် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Hausdorff spaces and Separated maps) == === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ၏ အရေးပါသော အတန်းအစားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းရပ်ဝန်းများတွင် အမှတ်များကို ပတ်ဝန်းကျင်များ (neighborhoods) ဖြင့် ခွဲခြားထားနိုင်သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများကို ခွဲခြားနိုင်သော ရပ်ဝန်းများ (separated spaces) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> တစ်ခုရှိ မတူညီသော အမှတ်အတွဲ <math>x, y \in X</math> တိုင်းအတွက် <math>x \in U</math> နှင့် <math>y \in V</math> ဖြစ်စေမည့် ဘုံမပါသော အဖွင့်စုများ (disjoint open sets) <math>U, V \subset X</math> တည်ရှိနေခြင်းသည် ထိုရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်သည်။ * ထောင့်ဖြတ် (diagonal) <math>\Delta(X) \subset X \times X</math> သည် အပိတ်စုပိုင်း (closed subset) တစ်ခုဖြစ်နေခြင်းသည် ရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>Y</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက <math>f</math> ၏ ဂရပ် (graph) သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>s : Y \to X</math> တို့သည် <math>f \circ s = \operatorname{id}_Y</math> ဖြစ်သော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ ဖြစ်ပြီး <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက ပုံရိပ် (image) <math>s(Y)</math> သည် အပိတ် ဖြစ်သည်။ * အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော <math>X \to Z</math> နှင့် <math>Y \to Z</math> တို့အတွက် အကယ်၍ <math>Z</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fibre product) <math>X \times_Z Y</math> သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ၏ သဘောတရားကို အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များဆီသို့ ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ ထောင့်ဖြတ် <math>\Delta : X \to X \times_Y X</math> သည် အပိတ် ပုံဖော်မှု (closed map) တစ်ခုဖြစ်ပါက အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> ကို '''ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုသည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>\Delta(X) \subset X \times_Y X</math> သည် အပိတ်စုပိုင်း ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုအချက်သည် <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုတည်းသို့ ပုံဖော်ထားသော <math>X</math> အတွင်းမှ မည်သည့် မတူညီသော အမှတ်များ <math>x, x' \in X</math> မဆိုတွင် ဘုံမပါသော အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (disjoint open neighborhoods) ရှိရမည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့်လည်း ထပ်တူညီသည်။ * အကယ်၍ အရင်းအမြစ် (domain) <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> မဆိုသည် အလိုအလျောက် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သွားသည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>Y' \to Y</math> တစ်လျှောက်မဆိုရှိ ၎င်း၏ အခြေပြောင်းလဲခြင်း (base change) <math>Y' \times_Y X \to Y'</math> သည်လည်း ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သည်။ [[Category:တိုပေါ်လော်ဂျီ]] mp3146yc8videak15satotaztdomq74 1040678 1040677 2026-06-25T06:07:06Z Mkant00 135890 1040678 wikitext text/x-wiki [[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|ခွက် နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲ (solid torus) တို့သည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ကြသည်။ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဆိုသည်မှာ ခွက်နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲတို့၏ အမှတ်များကြားရှိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] ပုံဖော်မှု (bijective mapping) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံတွင် အချိန်နှင့်အမျှ ပြောင်းလဲသွားသော ကြားခံပုံပန်းသဏ္ဌာန်များသည် ထိုပုံဖော်မှု၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သဘောတရားကို သရုပ်ဖော်ပြထားခြင်းသာ ဖြစ်သည်။]] '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology)''' သည် ရပ်ဝန်း (space) အတွင်းရှိ ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ တည်နေရာနှင့် အစီအစဉ်ကို လေ့လာသော ပညာရပ်ဖြစ်ပြီး သင်္ချာဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော အဓိကနယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အဆက်မပြတ် ပုံပျက်သွားခြင်းများ (continuous deformations) အောက်တွင် မပြောင်းမလဲဘဲ ကျန်ရှိနေသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) နှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) တို့၏ သဘောတရားများမှ ဆင်းသက်ပေါက်ဖွားလာခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ၎င်းသည် သီးခြားဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့ပြီး ယင်းကို လက်တင်ဘာသာဖြင့် တည်နေရာ ဂျီဩမေတြီ ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော geometria situs သို့မဟုတ် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော analysis situs ဟူ၍ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ ဆယ်စုနှစ်များစွာတိုင်အောင် တိုပေါ်လော်ဂျီကို အခြေခံကျသော ဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် အသိအမှတ်ပြုခဲ့ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းကို အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) နည်းတူ အခြားသော သင်္ချာနယ်ပယ်များစွာအတွက် ဒုတိယမြောက် မဏ္ဍိုင်ကြီးတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ဂျီဩမေတြီ၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis)၊ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နှင့် လီအုပ်စု သီအိုရီ (Lie group theory) တို့အတွက် အထူးပင် အရေးပါလှသည်။ ၎င်းသည် [[အစုသီအိုရီ]]နှင့် [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) တို့ကိုလည်း များစွာ အထောက်အကူပြု တိုးတက်စေခဲ့သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သဘောတရားမှာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် နီးစပ်မှု (nearness) ဟူသော အယူအဆကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalised) ဖြစ်ပြီး ထိုမှတစ်ဆင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း နှင့် စုဆုံမှတ် (limit) ကဲ့သို့သော သင်္ချာအယူအဆများကို ယေဘုယျပြုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံ အများအပြားကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း၏ တည်ဆောက်ပုံပေါ်တွင်သာ မူတည်နေသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ခေါ်ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် ပုံပျက်သွားခြင်းများ သို့မဟုတ် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာများအနေဖြင့် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်တစ်ခုကို ဆွဲဆန့်ခြင်း (stretching)၊ ချုံ့ခြင်း (squashing/shrinking)၊ ကွေးခြင်း (Bending)၊ ပုံပျက်စေခြင်း (Distorting) နှင့် လိမ်ခြင်း (Twisting) တို့ ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်သည်။ စက်လုံး (sphere) တစ်ခုနှင့် ကုဗတုံး (cube) တစ်ခုကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ခွဲခြား၍မရနိုင်ပေ။ ၎င်းတို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အတူ မုန့်လက်ကောက်အခဲ နှင့် လက်ကိုင်ကွင်းတစ်ခုပါသော ခွက်တို့သည်လည်း ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ အကြောင်းမှာ ၎င်းတို့အနက်မှ တစ်ခုကို အခြားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြတ်တောက်ခြင်းမရှိဘဲ အသွင်ပြောင်းနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် (torus) ၏ မျက်နှာပြင်သည် စက်လုံး၏ မျက်နှာပြင်နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီသဘောအရ ကွဲပြားခြားနားသည်။ စက်လုံးပေါ်ရှိ မည်သည့် မျဉ်းကွေးပိတ် (closed curve) ကိုမဆို အမှတ်တစ်ခုတည်းဖြစ်သွားရန် အဆက်မပြတ် ကျုံ့ယူသွားနိုင်သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် ပေါ်တွင်မူ မျဉ်းကွေးတိုင်းကို ထိုသို့ပြုလုပ်၍ မရနိုင်ပေ။ တိုပေါ်လော်ဂျီကို နယ်ပယ်ခွဲများအဖြစ် ထပ်မံခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းနယ်ပယ်ခွဲတို့တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology)၊ ဂျီဩမေတြီသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (geometric topology) အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂရပ်သီအိုရီ (topological graph theory) နှင့် အထုံးသီအိုရီ (knot theory) တို့ ပါဝင်သည်။ အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) ကို ဤနယ်ပယ်ခွဲများအားလုံး၏ အခြေခံအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းတွင် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် အလွန်ကွဲပြားခြားနားသော ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကိုပါ အထူးတလည် လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အခြားသော သင်္ချာကတ်တဂိုရီများတွင် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms) ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည့်အရာများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ (continuous mappings) သည် သဘောတရားကိုက်ညီမှု ရှိသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကြားတွင် မိမိကိုယ်တိုင်သာမက မိမိ၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) ပါ အဆက်မပြတ်ဖြစ်နေသော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ကို ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် အခြားသော ကတ်တဂိုရီများရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) နှင့် သဘောတရား တူညီသည်။ ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းများကို တိုပေါ်လော်ဂျီ နည်းလမ်းများဖြင့် ခွဲခြားမရနိုင်ပါ။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော ပြဿနာတစ်ခုမှာ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုသည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဆုံးဖြတ်ရန် ဖြစ်သည်။ ပို၍ ယေဘုယျကျကျဆိုရလျှင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ တည်ရှိခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဖြစ်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == '''တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space)''' <math>(X, \mathcal{T})</math> တစ်ခုတွင် အစု (set) <math>X</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ ပြည့်စုံသော <math>X</math> ၏ အစုပိုင်းများ (subsets) စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် <math>X</math> တို့သည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ အရေအတွက် အကန့်အသတ်မရှိ မည်မျှပင်များပြားစေကာမူ အစုဝင်များ၏ ပေါင်းစပ်စု (union) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင်များ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစု (finite intersection) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီကို နားလည်သဘောပေါက်ပြီးဖြစ်ပါက <math>(X,\mathcal{T})</math> အစား <math>X</math> ဟုသာ ရေးသားသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ၏ အစုဝင်များကို '''အဖွင့်စုများ (open sets)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အစုတစ်ခု၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) သည် အဖွင့်စု ဖြစ်မှသာလျှင် ထိုအစုကို '''အပိတ်စု (closed set)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) နှင့် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>X</math> ၏ အစုပိုင်းအားလုံးပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>2^X</math> သည် <math>X</math> အပေါ် '''တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အစု {<math>{\emptyset, X}</math>} သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology)''' သို့မဟုတ် '''အသေးအဖွဲ တိုပေါ်လော်ဂျီ (trivial topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === အကြမ်းတိုပေါ်လော်ဂျီ (coarse topology) နှင့် အသေးစိတ်တိုပေါ်လော်ဂျီ (fine topology) === တစ်ခါတရံတွင် အစုတစ်ခုတည်းအပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီ နှစ်ခုကို နှိုင်းယှဉ်နိုင်သည်။ <math>\mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}'</math> ဖြစ်သောအခါ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>\mathcal{T}'</math> ထက် '''ပို၍ ကြမ်းသည် (coarser)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်ပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}'</math> ကို <math>\mathcal{T}</math> ထက် '''ပို၍ အသေးစိတ်သည် (finer)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ ကြမ်းသည် နှင့် အသေးစိတ်သည် တို့အစား အချို့က '''ပိုငယ်သည် (smaller)''' နှင့် '''ပိုကြီးသည် (larger)''' သို့မဟုတ် '''ပိုအားနည်းသည် (weaker)''' နှင့် '''ပိုအားကောင်းသည် (stronger)''' ဟု သုံးနှုန်းလေ့ရှိကြသည်။ == အခြေအစု (Basis) == လက်တွေ့တွင် တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုလုံးကို ဖော်ပြမည့်အစား ၎င်းကို ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်သည့် အရေအတွက်ပိုနည်းသော အဖွင့်စုများကိုသာ အသုံးပြု၍ ပို၍ လွယ်ကူစေသည်။ အစု <math>X</math> ၏ အစုပိုင်းများ ပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>\mathcal{B}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် '''အခြေအစု (basis)''' ဖြစ်ရန် အောက်ပါ အခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ *<math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ *အကယ်၍ <math>A, B \in \mathcal{B}</math> ဖြစ်ပြီး <math>x \in A \cap B</math> ဖြစ်ပါက <math>x \in C \subseteq A \cap B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>C \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ <math> \mathcal{T}</math> ဆိုသည်မှာ<math> \mathcal{B}</math> ကို ငုံထားသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီများအနက် အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ အခြားတစ်နည်းဆိုရသော် <math> U \subset X</math> သည် အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီတွင် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>U</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B \subseteq U</math> ဖြစ်စေမည့် <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု ရှိနေခြင်းဖြစ်သည်။ <math>x \in B</math> ဖြစ်စေသော <math>\mathcal{B}</math> အတွင်းရှိ အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အခြေခံ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (basic open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ <math>x</math> ပါဝင်သော အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းတို့အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\mathcal{T}_x</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (Metric spaces) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသော ပုံဖော်မှု (mapping) <math>d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric)''' ဟု ခေါ်သည်။ မည်သည့် <math>\varphi, \psi, \chi\in X</math> အတွက်မဆို *(M1) အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု (Positivity)၊ <math>d(\varphi,\psi)\ge0</math>။ *(M2) တိကျသေချာမှု (Definiteness)၊ <math>d(\varphi,\psi)=0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>\varphi=\psi</math> ဖြစ်သည်။ *(M3) အချိုးညီမှု (Symmetry)၊ <math>d(\varphi,\psi)=d(\psi,\varphi)</math>။ *(M4) တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality)၊ <math>d(\varphi,\psi)\le d(\varphi,\chi)+d(\chi,\psi)</math>။ ဤကဲ့သို့ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တပ်ဆင်ထားသော အစုစုံတွဲ <math>(X, d)</math> ကို '''အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ အစုဝင်တစ်ခုဖြစ်သော <math>\varphi</math> နှင့် <math>r>0</math> တို့အတွက် အစု <math>B(\varphi;r):=\{\psi\in X:d(\varphi,\psi)<r\}</math> ကို <math>\varphi</math> ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် <math>r</math> ရှိသော '''အဖွင့်စက်လုံး (open ball)''' ဟု ခေါ်သည်။ အဆိုပါ စက်လုံးများဖြစ်သော <math>\{B(\varphi;r)}\</math> အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် အခြေအစုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုတိုပေါ်လော်ဂျီကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ (metric topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ကြောင့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တစ်ခု ပါဝင်သော မည်သည့်အစုမဆိုသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ရှိသော ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အပေါ်တွင် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် <math>\mathcal{T}</math> တို့ ထပ်တူကျစေမည့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် <math>d</math> တစ်ခု ရှိနေပါက ထိုရပ်ဝန်း <math>Y</math> ကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်သည် (metrizable)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆိုသည်လည်း အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် သာမန် '''ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Euclidean distance function)''' ပါဝင်သော <math> \mathbb{R}^n</math> သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ အစုပိုင်းများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် ဥပမာကောင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် '''ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line)''' <math>\mathbb{R}</math> ၊ '''ယူနစ် အပိုင်းအခြား (unit interval)''' I := [0,1] ၊ '''အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး (closed unit ball)''' <math> \mathcal{D}^n := \{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1^2 + \ldots + x_n^2 \le 1\}</math> နှင့် '''အတိုင်းအတာ <math>n</math> ခုရှိသော စက်လုံးမျက်နှာပြင် (n-sphere)''' <math>S^n := \{(x_1, \ldots, x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} | x_1^2 + \ldots + x_{n+1}^2 = 1\}</math> တို့သည် အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း ဥပမာများ (Examples of topological spaces) == * မည်သည့် အစု <math>X</math> ကိုမဆို '''အဆုံးရှိဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cofinite topology)''' ဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ ၎င်းတွင် အစုပိုင်း <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်း၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) ဖြစ်သော <math>X \setminus U</math> သည် အဆုံးရှိအစု (finite set) ဖြစ်နေခြင်း သို့မဟုတ် <math>U = \emptyset</math> ဖြစ်နေခြင်း ဖြစ်သည်။ အလားတူပင် မည်သည့်အစုကိုမဆို ဖြည့်စွက်စုသည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) ဖြစ်နေသော အဖွင့်စုများပါဝင်သည့် '''ရေတွက်နိုင်သောဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cocountable topology)''' ဖြင့်လည်း ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ * ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစု (one-point set) <math>*</math> တို့သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့၏ တိုပေါ်လော်ဂျီများသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) တိုပေါ်လော်ဂျီများ ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို <math>\emptyset \to X</math> နှင့် <math>X \to *</math> ဟူသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် ဖန်ရှင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြသည်။ <math>\mathbf{Set}</math> ကတ်တဂိုရီတွင်ကဲ့သို့ပင် <math>\mathbf{Top}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် ဗလာအစုသည် အစ အရာဝတ္ထု (initial object) ဖြစ်ပြီး အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစုသည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object) ဖြစ်သည်။ * ကိန်းစစ်မျဉ်း <math>\mathbb{R}</math> သည် သာမန်အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီအပြင် အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများကိုလည်း လက်ခံနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် <math>a < b</math> ဖြစ်သော <math>[a, b)</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများကို အခြေအစု (basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု ရှိသည်။ ၎င်းကို '''စုဆုံမှတ်အောက်ခြေ တိုပေါ်လော်ဂျီ (lower limit topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစု (totally ordered set) <math>X</math> တစ်ခုအတွက် <math>(a, b) = \{x \in X \mid a < x < b\}</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများနှင့်အတူ <math>(a, \infty)</math> နှင့် <math>(-\infty, b)</math> တို့သည် '''အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (order topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ကိန်းစစ်အစု <math>\mathbb{R}</math> သည် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစုဖြစ်ပြီး ၎င်းအပေါ်ရှိ အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီသည် သာမန် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် ထပ်တူကျသည်။ * သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math> နှင့် ကိန်းပြည့်များ (integers) <math>\mathbb{Z}</math> အစုတို့ကို အများအားဖြင့် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီများ (discrete topologies) အဖြစ် သတ်မှတ်လေ့ရှိသော်လည်း အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများလည်း တည်ရှိသည်။ အထူးသဖြင့် <math>a \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math> နှင့် <math>b \in \mathbb{Z}</math> တို့အတွက် <math>S(a,b) = \{an+b \mid n \in \mathbb{N}\}</math> ပုံစံရှိ အစုများနှင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> တို့ကို အဖွင့်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ ဤတိုပေါ်လော်ဂျီကို အသုံးပြု၍ သုဒ္ဓကိန်းများ (prime numbers) အနန္တတိုင် တည်ရှိကြောင်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။ * <math>R</math> သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (commutative ring with unit) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\operatorname{spec} R</math> သည် <math>R</math> ၏ [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်|သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ]] (prime ideals) အစုဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>\operatorname{spec} R</math> အပေါ်ရှိ '''ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီ (Zariski topology)''' ကို <math>V(E) = \{p \in \operatorname{spec} R \mid E \subseteq p\}</math> ပုံစံရှိ အစုများကို အပိတ်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤနေရာတွင် <math>E</math> သည် <math>R</math> ၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆို ဖြစ်သည်။ * ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) <math>V</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဆိုသည်မှာ <math>\| \cdot \|: V \to \mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းစံနှုန်းသည် <math>\|v\| \ge 0</math> နှင့် <math>\|v\|=0 \iff v=0</math> ဖြစ်ခြင်း၊ <math>\|v+w\| \le \|v\| + \|w\|</math> ဖြစ်ခြင်း နှင့် <math>\|\alpha v\| = |\alpha| \|v\|</math> ဖြစ်ခြင်း စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ စံနှုန်းရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းသည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>d(\varphi,\psi) = \|\varphi-\psi\|</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အတိုင်းအတာအကန့်အသတ်ရှိသော (finite-dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်တွင် မည်သည့် စံနှုန်းကို ရွေးချယ်သည်ဖြစ်စေ သက်ဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ရုံသာမက လုံးဝတူညီသော ရပ်ဝန်းများပင် ဖြစ်ကြသည်။ == အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (Continuous function) == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုကြားရှိ ဖန်ရှင် <math>f: X \to Y</math> တစ်ခုသည် '''အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function)''' ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>Y</math> အတွင်းရှိ <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်တိုင်း ၎င်း၏ မူလပုံရိပ် (preimage) ဖြစ်သော <math>f^{-1}(U)</math> သည် <math>X</math> အတွင်း၌ အဖွင့်စု ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ မည်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) <math>\operatorname{id}_X: X \to X</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း စစ်ဆေးရန် လွယ်ကူသည်။ ထို့အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများဖြစ်သော <math>X</math>၊ <math>Y</math>၊ <math>Z</math> တို့နှင့် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>f: X \to Y</math> နှင့် <math>g: Y \to Z</math> တို့အတွက် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သော <math>gf := g \circ f: X \to Z</math> သည်လည်း အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) နှင့်လည်း ပြည့်စုံသည်။ ဤအချက်များကို စုစည်းကြည့်ပါက တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် '''Top''' ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Topological properties) == သင်္ချာဘာသာရပ်သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]]အောက်တွင် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို အဓိကထားလေ့လာလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ဆိုသည်မှာ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည့် ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့သော ဂုဏ်သတ္တိများကို '''တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (topological properties)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ရပ်ဝန်းတစ်ခုနှင့်တစ်ခုကို ခွဲခြားရာတွင် အသုံးပြုသည်။ အကယ်၍ <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်ပြီး <math>X</math> တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ရှိနေပါက <math>Y</math> တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် <math>X</math> တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု မရှိပါက <math>Y</math> တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ မရှိနိုင်ပါ။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: X \to Y</math> မဆိုသည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကို အစုများအနေဖြင့် ကြည့်လျှင် အရွယ်အစား တူညီရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်ခြင်း (metrizability) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဆက်စပ်နေမှု (connectedness)၊ ကျစ်လျစ်မှု (compactness)၊ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်မှု (Hausdorff)၊ ပထမအကြိမ် ရေတွက်နိုင်မှု (first countability) စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများသည်လည်း အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ သို့သော် ဂုဏ်သတ္တိတိုင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ ဖြစ်သည်ဟု မဆိုနိုင်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) တိုင်း စုဆုံသည်ဆိုပါက ထိုအကွာအဝေး ရပ်ဝန်းကို ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (complete metric space) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သို့သော် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ခြင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ပါ။ သက်သေပြရမည်ဆိုလျှင် <math>(-1, 1) \to \mathbb{R}</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော <math>x \mapsto \frac{x}{1-x^2}</math> သည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>(-1, 1)</math> သည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤဥပမာအရ အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (boundedness) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်သည် အကန့်အသတ်ရှိသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပါက ထိုရပ်ဝန်းကို အကန့်အသတ်ရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သိသာထင်ရှားစွာပင် <math>(-1, 1)</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိသော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် အကန့်အသတ်မရှိပါ။ == ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ နှင့် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Hausdorff spaces and Separated maps) == === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ၏ အရေးပါသော အတန်းအစားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းရပ်ဝန်းများတွင် အမှတ်များကို ပတ်ဝန်းကျင်များ (neighborhoods) ဖြင့် ခွဲခြားထားနိုင်သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများကို ခွဲခြားနိုင်သော ရပ်ဝန်းများ (separated spaces) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> တစ်ခုရှိ မတူညီသော အမှတ်အတွဲ <math>x, y \in X</math> တိုင်းအတွက် <math>x \in U</math> နှင့် <math>y \in V</math> ဖြစ်စေမည့် ဘုံမပါသော အဖွင့်စုများ (disjoint open sets) <math>U, V \subset X</math> တည်ရှိနေခြင်းသည် ထိုရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်သည်။ * ထောင့်ဖြတ် (diagonal) <math>\Delta(X) \subset X \times X</math> သည် အပိတ်စုပိုင်း (closed subset) တစ်ခုဖြစ်နေခြင်းသည် ရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>Y</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက <math>f</math> ၏ ဂရပ် (graph) သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>s : Y \to X</math> တို့သည် <math>f \circ s = \operatorname{id}_Y</math> ဖြစ်သော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ ဖြစ်ပြီး <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက ပုံရိပ် (image) <math>s(Y)</math> သည် အပိတ် ဖြစ်သည်။ * အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော <math>X \to Z</math> နှင့် <math>Y \to Z</math> တို့အတွက် အကယ်၍ <math>Z</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fibre product) <math>X \times_Z Y</math> သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ၏ သဘောတရားကို အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များဆီသို့ ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ ထောင့်ဖြတ် <math>\Delta : X \to X \times_Y X</math> သည် အပိတ် ပုံဖော်မှု (closed map) တစ်ခုဖြစ်ပါက အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> ကို '''ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုသည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>\Delta(X) \subset X \times_Y X</math> သည် အပိတ်စုပိုင်း ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုအချက်သည် <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုတည်းသို့ ပုံဖော်ထားသော <math>X</math> အတွင်းမှ မည်သည့် မတူညီသော အမှတ်များ <math>x, x' \in X</math> မဆိုတွင် ဘုံမပါသော အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (disjoint open neighborhoods) ရှိရမည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့်လည်း ထပ်တူညီသည်။ * အကယ်၍ အရင်းအမြစ် (domain) <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> မဆိုသည် အလိုအလျောက် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သွားသည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>Y' \to Y</math> တစ်လျှောက်မဆိုရှိ ၎င်း၏ အခြေပြောင်းလဲခြင်း (base change) <math>Y' \times_Y X \to Y'</math> သည်လည်း ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သည်။ [[Category:တိုပေါ်လော်ဂျီ]] t1g7zrpghffoowrbrbc1rmyhksbs7c9 1040682 1040678 2026-06-25T06:10:40Z Mkant00 135890 1040682 wikitext text/x-wiki [[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|ခွက် နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲ (solid torus) တို့သည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ကြသည်။ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဆိုသည်မှာ ခွက်နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲတို့၏ အမှတ်များကြားရှိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] ပုံဖော်မှု (bijective mapping) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံတွင် အချိန်နှင့်အမျှ ပြောင်းလဲသွားသော ကြားခံပုံပန်းသဏ္ဌာန်များသည် ထိုပုံဖော်မှု၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သဘောတရားကို သရုပ်ဖော်ပြထားခြင်းသာ ဖြစ်သည်။]] '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology)''' သည် ရပ်ဝန်း (space) အတွင်းရှိ ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ တည်နေရာနှင့် အစီအစဉ်ကို လေ့လာသော ပညာရပ်ဖြစ်ပြီး သင်္ချာဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော အဓိကနယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အဆက်မပြတ် ပုံပျက်သွားခြင်းများ (continuous deformations) အောက်တွင် မပြောင်းမလဲဘဲ ကျန်ရှိနေသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) နှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) တို့၏ သဘောတရားများမှ ဆင်းသက်ပေါက်ဖွားလာခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ၎င်းသည် သီးခြားဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့ပြီး ယင်းကို လက်တင်ဘာသာဖြင့် တည်နေရာ ဂျီဩမေတြီ ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော geometria situs သို့မဟုတ် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော analysis situs ဟူ၍ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ ဆယ်စုနှစ်များစွာတိုင်အောင် တိုပေါ်လော်ဂျီကို အခြေခံကျသော ဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် အသိအမှတ်ပြုခဲ့ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းကို အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) နည်းတူ အခြားသော သင်္ချာနယ်ပယ်များစွာအတွက် ဒုတိယမြောက် မဏ္ဍိုင်ကြီးတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ဂျီဩမေတြီ၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis)၊ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နှင့် လီအုပ်စု သီအိုရီ (Lie group theory) တို့အတွက် အထူးပင် အရေးပါလှသည်။ ၎င်းသည် [[အစုသီအိုရီ]]နှင့် [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) တို့ကိုလည်း များစွာ အထောက်အကူပြု တိုးတက်စေခဲ့သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သဘောတရားမှာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် နီးစပ်မှု (nearness) ဟူသော အယူအဆကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalised) ဖြစ်ပြီး ထိုမှတစ်ဆင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း နှင့် [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်]] (limit) ကဲ့သို့သော သင်္ချာအယူအဆများကို ယေဘုယျပြုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံ အများအပြားကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း၏ တည်ဆောက်ပုံပေါ်တွင်သာ မူတည်နေသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ခေါ်ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် ပုံပျက်သွားခြင်းများ သို့မဟုတ် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာများအနေဖြင့် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်တစ်ခုကို ဆွဲဆန့်ခြင်း (stretching)၊ ချုံ့ခြင်း (squashing/shrinking)၊ ကွေးခြင်း (Bending)၊ ပုံပျက်စေခြင်း (Distorting) နှင့် လိမ်ခြင်း (Twisting) တို့ ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်သည်။ စက်လုံး (sphere) တစ်ခုနှင့် ကုဗတုံး (cube) တစ်ခုကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ခွဲခြား၍မရနိုင်ပေ။ ၎င်းတို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အတူ မုန့်လက်ကောက်အခဲ နှင့် လက်ကိုင်ကွင်းတစ်ခုပါသော ခွက်တို့သည်လည်း ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ အကြောင်းမှာ ၎င်းတို့အနက်မှ တစ်ခုကို အခြားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြတ်တောက်ခြင်းမရှိဘဲ အသွင်ပြောင်းနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် (torus) ၏ မျက်နှာပြင်သည် စက်လုံး၏ မျက်နှာပြင်နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီသဘောအရ ကွဲပြားခြားနားသည်။ စက်လုံးပေါ်ရှိ မည်သည့် မျဉ်းကွေးပိတ် (closed curve) ကိုမဆို အမှတ်တစ်ခုတည်းဖြစ်သွားရန် အဆက်မပြတ် ကျုံ့ယူသွားနိုင်သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် ပေါ်တွင်မူ မျဉ်းကွေးတိုင်းကို ထိုသို့ပြုလုပ်၍ မရနိုင်ပေ။ တိုပေါ်လော်ဂျီကို နယ်ပယ်ခွဲများအဖြစ် ထပ်မံခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းနယ်ပယ်ခွဲတို့တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology)၊ ဂျီဩမေတြီသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (geometric topology) အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂရပ်သီအိုရီ (topological graph theory) နှင့် အထုံးသီအိုရီ (knot theory) တို့ ပါဝင်သည်။ အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) ကို ဤနယ်ပယ်ခွဲများအားလုံး၏ အခြေခံအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းတွင် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် အလွန်ကွဲပြားခြားနားသော ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကိုပါ အထူးတလည် လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အခြားသော သင်္ချာကတ်တဂိုရီများတွင် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms) ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည့်အရာများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ (continuous mappings) သည် သဘောတရားကိုက်ညီမှု ရှိသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကြားတွင် မိမိကိုယ်တိုင်သာမက မိမိ၏ ပြောင်းပြန် [[ဖန်ရှင်]] (inverse function) ပါ အဆက်မပြတ်ဖြစ်နေသော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ကို ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် အခြားသော ကတ်တဂိုရီများရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) နှင့် သဘောတရား တူညီသည်။ ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းများကို တိုပေါ်လော်ဂျီ နည်းလမ်းများဖြင့် ခွဲခြားမရနိုင်ပါ။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော ပြဿနာတစ်ခုမှာ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုသည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဆုံးဖြတ်ရန် ဖြစ်သည်။ ပို၍ ယေဘုယျကျကျဆိုရလျှင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ တည်ရှိခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဖြစ်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == '''တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space)''' <math>(X, \mathcal{T})</math> တစ်ခုတွင် [[အစု]] (set) <math>X</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ ပြည့်စုံသော <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (subsets) စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် <math>X</math> တို့သည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ အရေအတွက် အကန့်အသတ်မရှိ မည်မျှပင်များပြားစေကာမူ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပေါင်းစပ်စု (union) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင်များ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစု (finite intersection) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီကို နားလည်သဘောပေါက်ပြီးဖြစ်ပါက <math>(X,\mathcal{T})</math> အစား <math>X</math> ဟုသာ ရေးသားသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ၏ အစုဝင်များကို '''အဖွင့်စုများ (open sets)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အစုတစ်ခု၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) သည် အဖွင့်စု ဖြစ်မှသာလျှင် ထိုအစုကို '''အပိတ်စု (closed set)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) နှင့် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းအားလုံး]]ပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>2^X</math> သည် <math>X</math> အပေါ် '''တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အစု <math>\{\emptyset, X\}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology)''' သို့မဟုတ် '''အသေးအဖွဲ တိုပေါ်လော်ဂျီ (trivial topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === အကြမ်းတိုပေါ်လော်ဂျီ (coarse topology) နှင့် အသေးစိတ်တိုပေါ်လော်ဂျီ (fine topology) === တစ်ခါတရံတွင် အစုတစ်ခုတည်းအပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီ နှစ်ခုကို နှိုင်းယှဉ်နိုင်သည်။ <math>\mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}'</math> ဖြစ်သောအခါ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>\mathcal{T}'</math> ထက် '''ပို၍ ကြမ်းသည် (coarser)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်ပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}'</math> ကို <math>\mathcal{T}</math> ထက် '''ပို၍ အသေးစိတ်သည် (finer)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ ကြမ်းသည် နှင့် အသေးစိတ်သည် တို့အစား အချို့က '''ပိုငယ်သည် (smaller)''' နှင့် '''ပိုကြီးသည် (larger)''' သို့မဟုတ် '''ပိုအားနည်းသည် (weaker)''' နှင့် '''ပိုအားကောင်းသည် (stronger)''' ဟု သုံးနှုန်းလေ့ရှိကြသည်။ == အခြေအစု (Basis) == လက်တွေ့တွင် တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုလုံးကို ဖော်ပြမည့်အစား ၎င်းကို ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်သည့် အရေအတွက်ပိုနည်းသော အဖွင့်စုများကိုသာ အသုံးပြု၍ ပို၍ လွယ်ကူစေသည်။ [[အစု]] <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] ပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>\mathcal{B}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် '''အခြေအစု (basis)''' ဖြစ်ရန် အောက်ပါ အခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ *<math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် [[အစုဝင်]] <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ *အကယ်၍ <math>A, B \in \mathcal{B}</math> ဖြစ်ပြီး <math>x \in A \cap B</math> ဖြစ်ပါက <math>x \in C \subseteq A \cap B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>C \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ <math> \mathcal{T}</math> ဆိုသည်မှာ<math> \mathcal{B}</math> ကို ငုံထားသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီများအနက် အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ အခြားတစ်နည်းဆိုရသော် <math> U \subset X</math> သည် အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီတွင် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>U</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B \subseteq U</math> ဖြစ်စေမည့် <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု ရှိနေခြင်းဖြစ်သည်။ <math>x \in B</math> ဖြစ်စေသော <math>\mathcal{B}</math> အတွင်းရှိ အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အခြေခံ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (basic open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ <math>x</math> ပါဝင်သော အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းတို့အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\mathcal{T}_x</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (Metric spaces) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသော ပုံဖော်မှု (mapping) <math>d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric)''' ဟု ခေါ်သည်။ မည်သည့် <math>\varphi, \psi, \chi\in X</math> အတွက်မဆို *(M1) အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု (Positivity)၊ <math>d(\varphi,\psi)\ge0</math>။ *(M2) တိကျသေချာမှု (Definiteness)၊ <math>d(\varphi,\psi)=0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>\varphi=\psi</math> ဖြစ်သည်။ *(M3) အချိုးညီမှု (Symmetry)၊ <math>d(\varphi,\psi)=d(\psi,\varphi)</math>။ *(M4) တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality)၊ <math>d(\varphi,\psi)\le d(\varphi,\chi)+d(\chi,\psi)</math>။ ဤကဲ့သို့ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တပ်ဆင်ထားသော အစုစုံတွဲ <math>(X, d)</math> ကို '''[[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခု]]ဖြစ်သော <math>\varphi</math> နှင့် <math>r>0</math> တို့အတွက် အစု <math>B(\varphi;r):=\{\psi\in X:d(\varphi,\psi)<r\}</math> ကို <math>\varphi</math> ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် <math>r</math> ရှိသော '''အဖွင့်စက်လုံး (open ball)''' ဟု ခေါ်သည်။ အဆိုပါ စက်လုံးများဖြစ်သော <math>\{B(\varphi;r)\}</math> အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် အခြေအစုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုတိုပေါ်လော်ဂျီကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ (metric topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ကြောင့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တစ်ခု ပါဝင်သော မည်သည့်အစုမဆိုသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ရှိသော ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အပေါ်တွင် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် <math>\mathcal{T}</math> တို့ ထပ်တူကျစေမည့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် <math>d</math> တစ်ခု ရှိနေပါက ထိုရပ်ဝန်း <math>Y</math> ကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်သည် (metrizable)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆိုသည်လည်း အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် သာမန် '''ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Euclidean distance function)''' ပါဝင်သော <math> \mathbb{R}^n</math> သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ အစုပိုင်းများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် ဥပမာကောင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် '''ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line)''' <math>\mathbb{R}</math> ၊ '''ယူနစ် အပိုင်းအခြား (unit interval)''' <math>I := [0,1]</math> ၊ '''အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး (closed unit ball)''' <math> \mathcal{D}^n := \{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1^2 + \ldots + x_n^2 \le 1\}</math> နှင့် '''အတိုင်းအတာ <math>n</math> ခုရှိသော စက်လုံးမျက်နှာပြင် (n-sphere)''' <math>S^n := \{(x_1, \ldots, x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} | x_1^2 + \ldots + x_{n+1}^2 = 1\}</math> တို့သည် အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း ဥပမာများ (Examples of topological spaces) == * မည်သည့် [[အစု]] <math>X</math> ကိုမဆို '''အဆုံးရှိဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cofinite topology)''' ဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ ၎င်းတွင် [[အစုပိုင်း]] <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်း၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) ဖြစ်သော <math>X \setminus U</math> သည် အဆုံးရှိအစု (finite set) ဖြစ်နေခြင်း သို့မဟုတ် <math>U = \emptyset</math> ဖြစ်နေခြင်း ဖြစ်သည်။ အလားတူပင် မည်သည့်အစုကိုမဆို ဖြည့်စွက်စုသည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) ဖြစ်နေသော အဖွင့်စုများပါဝင်သည့် '''ရေတွက်နိုင်သောဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cocountable topology)''' ဖြင့်လည်း ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ * ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစု (one-point set) <math>*</math> တို့သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့၏ တိုပေါ်လော်ဂျီများသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) တိုပေါ်လော်ဂျီများ ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို <math>\emptyset \to X</math> နှင့် <math>X \to *</math> ဟူသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် ဖန်ရှင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြသည်။ <math>\mathbf{Set}</math> ကတ်တဂိုရီတွင်ကဲ့သို့ပင် <math>\mathbf{Top}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် ဗလာအစုသည် [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်ပြီး အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစုသည် [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (terminal object) ဖြစ်သည်။ * ကိန်းစစ်မျဉ်း <math>\mathbb{R}</math> သည် သာမန်အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီအပြင် အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများကိုလည်း လက်ခံနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် <math>a < b</math> ဖြစ်သော <math>[a, b)</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများကို အခြေအစု (basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု ရှိသည်။ ၎င်းကို '''စုဆုံမှတ်အောက်ခြေ တိုပေါ်လော်ဂျီ (lower limit topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစု (totally ordered set) <math>X</math> တစ်ခုအတွက် <math>(a, b) = \{x \in X \mid a < x < b\}</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများနှင့်အတူ <math>(a, \infty)</math> နှင့် <math>(-\infty, b)</math> တို့သည် '''အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (order topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ကိန်းစစ်အစု <math>\mathbb{R}</math> သည် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစုဖြစ်ပြီး ၎င်းအပေါ်ရှိ အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီသည် သာမန် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် ထပ်တူကျသည်။ * သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (integers) <math>\mathbb{Z}</math> အစုတို့ကို အများအားဖြင့် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီများ (discrete topologies) အဖြစ် သတ်မှတ်လေ့ရှိသော်လည်း အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများလည်း တည်ရှိသည်။ အထူးသဖြင့် <math>a \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math> နှင့် <math>b \in \mathbb{Z}</math> တို့အတွက် <math>S(a,b) = \{an+b \mid n \in \mathbb{N}\}</math> ပုံစံရှိ အစုများနှင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> တို့ကို အဖွင့်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ ဤတိုပေါ်လော်ဂျီကို အသုံးပြု၍ [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers) အနန္တတိုင် တည်ရှိကြောင်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။ * <math>R</math> သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring with unit) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\operatorname{spec} R</math> သည် <math>R</math> ၏ [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်|သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ]] (prime ideals) အစုဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>\operatorname{spec} R</math> အပေါ်ရှိ '''ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီ (Zariski topology)''' ကို <math>V(E) = \{p \in \operatorname{spec} R \mid E \subseteq p\}</math> ပုံစံရှိ အစုများကို အပိတ်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤနေရာတွင် <math>E</math> သည် <math>R</math> ၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆို ဖြစ်သည်။ * ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) <math>V</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဆိုသည်မှာ <math>\| \cdot \|: V \to \mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းစံနှုန်းသည် <math>\|v\| \ge 0</math> နှင့် <math>\|v\|=0 \iff v=0</math> ဖြစ်ခြင်း၊ <math>\|v+w\| \le \|v\| + \|w\|</math> ဖြစ်ခြင်း နှင့် <math>\|\alpha v\| = |\alpha| \|v\|</math> ဖြစ်ခြင်း စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ စံနှုန်းရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းသည် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု]]ဖြစ်ပြီး <math>d(\varphi,\psi) = \|\varphi-\psi\|</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အတိုင်းအတာအကန့်အသတ်ရှိသော (finite-dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်တွင် မည်သည့် စံနှုန်းကို ရွေးချယ်သည်ဖြစ်စေ သက်ဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ရုံသာမက လုံးဝတူညီသော ရပ်ဝန်းများပင် ဖြစ်ကြသည်။ == အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (Continuous function) == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုကြားရှိ [[ဖန်ရှင်]] <math>f: X \to Y</math> တစ်ခုသည် '''[[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function)''' ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>Y</math> အတွင်းရှိ <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်တိုင်း ၎င်း၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] (preimage) ဖြစ်သော <math>f^{-1}(U)</math> သည် <math>X</math> အတွင်း၌ အဖွင့်စု ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ မည်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) <math>\operatorname{id}_X: X \to X</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း စစ်ဆေးရန် လွယ်ကူသည်။ ထို့အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများဖြစ်သော <math>X</math>၊ <math>Y</math>၊ <math>Z</math> တို့နှင့် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်သော <math>f: X \to Y</math> နှင့် <math>g: Y \to Z</math> တို့အတွက် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သော <math>gf := g \circ f: X \to Z</math> သည်လည်း အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) နှင့်လည်း ပြည့်စုံသည်။ ဤအချက်များကို စုစည်းကြည့်ပါက တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် <math>\mathbf{Top}</math> ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Topological properties) == သင်္ချာဘာသာရပ်သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]]အောက်တွင် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို အဓိကထားလေ့လာလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ဆိုသည်မှာ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည့် ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့သော ဂုဏ်သတ္တိများကို '''တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (topological properties)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ရပ်ဝန်းတစ်ခုနှင့်တစ်ခုကို ခွဲခြားရာတွင် အသုံးပြုသည်။ အကယ်၍ <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်ပြီး <math>X</math> တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ရှိနေပါက <math>Y</math> တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် <math>X</math> တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု မရှိပါက <math>Y</math> တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ မရှိနိုင်ပါ။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: X \to Y</math> မဆိုသည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကို အစုများအနေဖြင့် ကြည့်လျှင် အရွယ်အစား တူညီရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်ခြင်း (metrizability) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဆက်စပ်နေမှု (connectedness)၊ ကျစ်လျစ်မှု (compactness)၊ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်မှု (Hausdorff)၊ ပထမအကြိမ် ရေတွက်နိုင်မှု (first countability) စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများသည်လည်း အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ သို့သော် ဂုဏ်သတ္တိတိုင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ ဖြစ်သည်ဟု မဆိုနိုင်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) တိုင်း စုဆုံသည်ဆိုပါက ထိုအကွာအဝေး ရပ်ဝန်းကို ပြည့်စုံသော [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (complete metric space) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သို့သော် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ခြင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ပါ။ သက်သေပြရမည်ဆိုလျှင် <math>(-1, 1) \to \mathbb{R}</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော <math>x \mapsto \frac{x}{1-x^2}</math> သည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>(-1, 1)</math> သည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤဥပမာအရ အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (boundedness) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်သည် အကန့်အသတ်ရှိသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပါက ထိုရပ်ဝန်းကို အကန့်အသတ်ရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သိသာထင်ရှားစွာပင် <math>(-1, 1)</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိသော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် အကန့်အသတ်မရှိပါ။ == ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ နှင့် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Hausdorff spaces and Separated maps) == === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ၏ အရေးပါသော အတန်းအစားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းရပ်ဝန်းများတွင် အမှတ်များကို ပတ်ဝန်းကျင်များ (neighborhoods) ဖြင့် ခွဲခြားထားနိုင်သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများကို ခွဲခြားနိုင်သော ရပ်ဝန်းများ (separated spaces) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> တစ်ခုရှိ မတူညီသော အမှတ်အတွဲ <math>x, y \in X</math> တိုင်းအတွက် <math>x \in U</math> နှင့် <math>y \in V</math> ဖြစ်စေမည့် ဘုံမပါသော အဖွင့်စုများ (disjoint open sets) <math>U, V \subset X</math> တည်ရှိနေခြင်းသည် ထိုရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်သည်။ * ထောင့်ဖြတ် (diagonal) <math>\Delta(X) \subset X \times X</math> သည် [[အစုပိုင်း|အပိတ်စုပိုင်း]] (closed subset) တစ်ခုဖြစ်နေခြင်းသည် ရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>Y</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက <math>f</math> ၏ ဂရပ် (graph) သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>s : Y \to X</math> တို့သည် <math>f \circ s = \operatorname{id}_Y</math> ဖြစ်သော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ ဖြစ်ပြီး <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (image) <math>s(Y)</math> သည် အပိတ် ဖြစ်သည်။ * [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ]]ဖြစ်သော <math>X \to Z</math> နှင့် <math>Y \to Z</math> တို့အတွက် အကယ်၍ <math>Z</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fibre product) <math>X \times_Z Y</math> သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ၏ သဘောတရားကို အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များဆီသို့ ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ ထောင့်ဖြတ် <math>\Delta : X \to X \times_Y X</math> သည် အပိတ် ပုံဖော်မှု (closed map) တစ်ခုဖြစ်ပါက အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> ကို '''ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုသည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>\Delta(X) \subset X \times_Y X</math> သည် အပိတ်စုပိုင်း ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုအချက်သည် <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုတည်းသို့ ပုံဖော်ထားသော <math>X</math> အတွင်းမှ မည်သည့် မတူညီသော အမှတ်များ <math>x, x' \in X</math> မဆိုတွင် ဘုံမပါသော အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (disjoint open neighborhoods) ရှိရမည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့်လည်း ထပ်တူညီသည်။ * အကယ်၍ အရင်းအမြစ် (domain) <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> မဆိုသည် အလိုအလျောက် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သွားသည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>Y' \to Y</math> တစ်လျှောက်မဆိုရှိ ၎င်း၏ အခြေပြောင်းလဲခြင်း (base change) <math>Y' \times_Y X \to Y'</math> သည်လည်း ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သည်။ [[Category:တိုပေါ်လော်ဂျီ]] 4kj413fm69zijl2kt9e31khpqjolr0p 1040683 1040682 2026-06-25T06:17:04Z Mkant00 135890 1040683 wikitext text/x-wiki [[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|ခွက် နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲ (solid torus) တို့သည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ကြသည်။ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဆိုသည်မှာ ခွက်နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲတို့၏ အမှတ်များကြားရှိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] ပုံဖော်မှု (bijective mapping) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံတွင် အချိန်နှင့်အမျှ ပြောင်းလဲသွားသော ကြားခံပုံပန်းသဏ္ဌာန်များသည် ထိုပုံဖော်မှု၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သဘောတရားကို သရုပ်ဖော်ပြထားခြင်းသာ ဖြစ်သည်။]] '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology)''' သည် ရပ်ဝန်း (space) အတွင်းရှိ ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ တည်နေရာနှင့် အစီအစဉ်ကို လေ့လာသော ပညာရပ်ဖြစ်ပြီး သင်္ချာဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော အဓိကနယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အဆက်မပြတ် ပုံပျက်သွားခြင်းများ (continuous deformations) အောက်တွင် မပြောင်းမလဲဘဲ ကျန်ရှိနေသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) နှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) တို့၏ သဘောတရားများမှ ဆင်းသက်ပေါက်ဖွားလာခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ၎င်းသည် သီးခြားဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့ပြီး ယင်းကို လက်တင်ဘာသာဖြင့် တည်နေရာ ဂျီဩမေတြီ ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော geometria situs သို့မဟုတ် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော analysis situs ဟူ၍ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ ဆယ်စုနှစ်များစွာတိုင်အောင် တိုပေါ်လော်ဂျီကို အခြေခံကျသော ဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် အသိအမှတ်ပြုခဲ့ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းကို အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) နည်းတူ အခြားသော သင်္ချာနယ်ပယ်များစွာအတွက် ဒုတိယမြောက် မဏ္ဍိုင်ကြီးတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ဂျီဩမေတြီ၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis)၊ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နှင့် လီအုပ်စု သီအိုရီ (Lie group theory) တို့အတွက် အထူးပင် အရေးပါလှသည်။ ၎င်းသည် [[အစုသီအိုရီ]]နှင့် [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) တို့ကိုလည်း များစွာ အထောက်အကူပြု တိုးတက်စေခဲ့သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သဘောတရားမှာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် နီးစပ်မှု (nearness) ဟူသော အယူအဆကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalised) ဖြစ်ပြီး ထိုမှတစ်ဆင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း နှင့် [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်]] (limit) ကဲ့သို့သော သင်္ချာအယူအဆများကို ယေဘုယျပြုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံ အများအပြားကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း၏ တည်ဆောက်ပုံပေါ်တွင်သာ မူတည်နေသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ခေါ်ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် ပုံပျက်သွားခြင်းများ သို့မဟုတ် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာများအနေဖြင့် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်တစ်ခုကို ဆွဲဆန့်ခြင်း (stretching)၊ ချုံ့ခြင်း (squashing/shrinking)၊ ကွေးခြင်း (Bending)၊ ပုံပျက်စေခြင်း (Distorting) နှင့် လိမ်ခြင်း (Twisting) တို့ ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်သည်။ စက်လုံး (sphere) တစ်ခုနှင့် ကုဗတုံး (cube) တစ်ခုကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ခွဲခြား၍မရနိုင်ပေ။ ၎င်းတို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အတူ မုန့်လက်ကောက်အခဲ နှင့် လက်ကိုင်ကွင်းတစ်ခုပါသော ခွက်တို့သည်လည်း ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ အကြောင်းမှာ ၎င်းတို့အနက်မှ တစ်ခုကို အခြားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြတ်တောက်ခြင်းမရှိဘဲ အသွင်ပြောင်းနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် (torus) ၏ မျက်နှာပြင်သည် စက်လုံး၏ မျက်နှာပြင်နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီသဘောအရ ကွဲပြားခြားနားသည်။ စက်လုံးပေါ်ရှိ မည်သည့် မျဉ်းကွေးပိတ် (closed curve) ကိုမဆို အမှတ်တစ်ခုတည်းဖြစ်သွားရန် အဆက်မပြတ် ကျုံ့ယူသွားနိုင်သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် ပေါ်တွင်မူ မျဉ်းကွေးတိုင်းကို ထိုသို့ပြုလုပ်၍ မရနိုင်ပေ။ တိုပေါ်လော်ဂျီကို နယ်ပယ်ခွဲများအဖြစ် ထပ်မံခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းနယ်ပယ်ခွဲတို့တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology)၊ ဂျီဩမေတြီသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (geometric topology) အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂရပ်သီအိုရီ (topological graph theory) နှင့် အထုံးသီအိုရီ (knot theory) တို့ ပါဝင်သည်။ အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) ကို ဤနယ်ပယ်ခွဲများအားလုံး၏ အခြေခံအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းတွင် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် အလွန်ကွဲပြားခြားနားသော ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကိုပါ အထူးတလည် လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အခြားသော သင်္ချာကတ်တဂိုရီများတွင် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms) ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည့်အရာများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ (continuous mappings) သည် သဘောတရားကိုက်ညီမှု ရှိသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကြားတွင် မိမိကိုယ်တိုင်သာမက မိမိ၏ ပြောင်းပြန် [[ဖန်ရှင်]] (inverse function) ပါ အဆက်မပြတ်ဖြစ်နေသော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ကို ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် အခြားသော ကတ်တဂိုရီများရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) နှင့် သဘောတရား တူညီသည်။ ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းများကို တိုပေါ်လော်ဂျီ နည်းလမ်းများဖြင့် ခွဲခြားမရနိုင်ပါ။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော ပြဿနာတစ်ခုမှာ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုသည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဆုံးဖြတ်ရန် ဖြစ်သည်။ ပို၍ ယေဘုယျကျကျဆိုရလျှင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ တည်ရှိခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဖြစ်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == '''တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space)''' <math>(X, \mathcal{T})</math> တစ်ခုတွင် [[အစု]] (set) <math>X</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ ပြည့်စုံသော <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (subsets) စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် <math>X</math> တို့သည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ အရေအတွက် အကန့်အသတ်မရှိ မည်မျှပင်များပြားစေကာမူ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပေါင်းစပ်စု (union) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင်များ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစု (finite intersection) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီကို နားလည်သဘောပေါက်ပြီးဖြစ်ပါက <math>(X,\mathcal{T})</math> အစား <math>X</math> ဟုသာ ရေးသားသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ၏ အစုဝင်များကို '''အဖွင့်စုများ (open sets)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အစုတစ်ခု၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) သည် အဖွင့်စု ဖြစ်မှသာလျှင် ထိုအစုကို '''အပိတ်စု (closed set)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) နှင့် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းအားလုံး]]ပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>2^X</math> သည် <math>X</math> အပေါ် '''တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အစု<math>\{\emptyset, X\}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology)''' သို့မဟုတ် '''အသေးအဖွဲ တိုပေါ်လော်ဂျီ (trivial topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === အကြမ်းတိုပေါ်လော်ဂျီ (coarse topology) နှင့် အသေးစိတ်တိုပေါ်လော်ဂျီ (fine topology) === တစ်ခါတရံတွင် အစုတစ်ခုတည်းအပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီ နှစ်ခုကို နှိုင်းယှဉ်နိုင်သည်။ <math>\mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}'</math> ဖြစ်သောအခါ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>\mathcal{T}'</math> ထက် '''ပို၍ ကြမ်းသည် (coarser)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်ပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}'</math> ကို <math>\mathcal{T}</math> ထက် '''ပို၍ အသေးစိတ်သည် (finer)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ ကြမ်းသည် နှင့် အသေးစိတ်သည် တို့အစား အချို့က '''ပိုငယ်သည် (smaller)''' နှင့် '''ပိုကြီးသည် (larger)''' သို့မဟုတ် '''ပိုအားနည်းသည် (weaker)''' နှင့် '''ပိုအားကောင်းသည် (stronger)''' ဟု သုံးနှုန်းလေ့ရှိကြသည်။ == အခြေအစု (Basis) == လက်တွေ့တွင် တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုလုံးကို ဖော်ပြမည့်အစား ၎င်းကို ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်သည့် အရေအတွက်ပိုနည်းသော အဖွင့်စုများကိုသာ အသုံးပြု၍ ပို၍ လွယ်ကူစေသည်။ [[အစု]] <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] ပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>\mathcal{B}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် '''အခြေအစု (basis)''' ဖြစ်ရန် အောက်ပါ အခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ *<math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် [[အစုဝင်]] <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ *အကယ်၍ <math>A, B \in \mathcal{B}</math> ဖြစ်ပြီး <math>x \in A \cap B</math> ဖြစ်ပါက <math>x \in C \subseteq A \cap B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>C \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ <math> \mathcal{T}</math> ဆိုသည်မှာ<math> \mathcal{B}</math> ကို ငုံထားသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီများအနက် အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ အခြားတစ်နည်းဆိုရသော် <math> U \subset X</math> သည် အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီတွင် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>U</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B \subseteq U</math> ဖြစ်စေမည့် <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု ရှိနေခြင်းဖြစ်သည်။ <math>x \in B</math> ဖြစ်စေသော <math>\mathcal{B}</math> အတွင်းရှိ အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အခြေခံ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (basic open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ <math>x</math> ပါဝင်သော အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းတို့အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\mathcal{T}_x</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (Metric spaces) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသော ပုံဖော်မှု (mapping) <math>d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric)''' ဟု ခေါ်သည်။ မည်သည့် <math>\varphi, \psi, \chi\in X</math> အတွက်မဆို *(M1) အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု (Positivity)၊ <math>d(\varphi,\psi)\ge0</math>။ *(M2) တိကျသေချာမှု (Definiteness)၊ <math>d(\varphi,\psi)=0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>\varphi=\psi</math> ဖြစ်သည်။ *(M3) အချိုးညီမှု (Symmetry)၊ <math>d(\varphi,\psi)=d(\psi,\varphi)</math>။ *(M4) တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality)၊ <math>d(\varphi,\psi)\le d(\varphi,\chi)+d(\chi,\psi)</math>။ ဤကဲ့သို့ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တပ်ဆင်ထားသော အစုစုံတွဲ <math>(X, d)</math> ကို '''[[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခု]]ဖြစ်သော <math>\varphi</math> နှင့် <math>r>0</math> တို့အတွက် အစု <math>B(\varphi;r):=\{\psi\in X:d(\varphi,\psi)<r\}</math> ကို <math>\varphi</math> ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် <math>r</math> ရှိသော '''အဖွင့်စက်လုံး (open ball)''' ဟု ခေါ်သည်။ အဆိုပါ စက်လုံးများဖြစ်သော <math>\{B(\varphi;r)\}</math> အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် အခြေအစုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုတိုပေါ်လော်ဂျီကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ (metric topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ကြောင့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တစ်ခု ပါဝင်သော မည်သည့်အစုမဆိုသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ရှိသော ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အပေါ်တွင် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် <math>\mathcal{T}</math> တို့ ထပ်တူကျစေမည့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် <math>d</math> တစ်ခု ရှိနေပါက ထိုရပ်ဝန်း <math>Y</math> ကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်သည် (metrizable)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆိုသည်လည်း အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် သာမန် '''ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Euclidean distance function)''' ပါဝင်သော <math> \mathbb{R}^n</math> သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ အစုပိုင်းများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် ဥပမာကောင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် '''ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line)''' <math>\mathbb{R}</math> ၊ '''ယူနစ် အပိုင်းအခြား (unit interval)''' <math>I := [0,1]</math> ၊ '''အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး (closed unit ball)''' <math> \mathcal{D}^n := \{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1^2 + \ldots + x_n^2 \le 1\}</math> နှင့် '''အတိုင်းအတာ <math>n</math> ခုရှိသော စက်လုံးမျက်နှာပြင် (n-sphere)''' <math>S^n := \{(x_1, \ldots, x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} | x_1^2 + \ldots + x_{n+1}^2 = 1\}</math> တို့သည် အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း ဥပမာများ (Examples of topological spaces) == * မည်သည့် [[အစု]] <math>X</math> ကိုမဆို '''အဆုံးရှိဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cofinite topology)''' ဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ ၎င်းတွင် [[အစုပိုင်း]] <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်း၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) ဖြစ်သော <math>X \setminus U</math> သည် အဆုံးရှိအစု (finite set) ဖြစ်နေခြင်း သို့မဟုတ် <math>U = \emptyset</math> ဖြစ်နေခြင်း ဖြစ်သည်။ အလားတူပင် မည်သည့်အစုကိုမဆို ဖြည့်စွက်စုသည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) ဖြစ်နေသော အဖွင့်စုများပါဝင်သည့် '''ရေတွက်နိုင်သောဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cocountable topology)''' ဖြင့်လည်း ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ * ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစု (one-point set) <math>*</math> တို့သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့၏ တိုပေါ်လော်ဂျီများသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) တိုပေါ်လော်ဂျီများ ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို <math>\emptyset \to X</math> နှင့် <math>X \to *</math> ဟူသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် ဖန်ရှင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြသည်။ <math>\mathbf{Set}</math> ကတ်တဂိုရီတွင်ကဲ့သို့ပင် <math>\mathbf{Top}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် ဗလာအစုသည် [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်ပြီး အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစုသည် [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (terminal object) ဖြစ်သည်။ * ကိန်းစစ်မျဉ်း <math>\mathbb{R}</math> သည် သာမန်အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီအပြင် အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများကိုလည်း လက်ခံနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် <math>a < b</math> ဖြစ်သော <math>[a, b)</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများကို အခြေအစု (basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု ရှိသည်။ ၎င်းကို '''စုဆုံမှတ်အောက်ခြေ တိုပေါ်လော်ဂျီ (lower limit topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစု (totally ordered set) <math>X</math> တစ်ခုအတွက် <math>(a, b) = \{x \in X \mid a < x < b\}</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများနှင့်အတူ <math>(a, \infty)</math> နှင့် <math>(-\infty, b)</math> တို့သည် '''အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (order topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ကိန်းစစ်အစု <math>\mathbb{R}</math> သည် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစုဖြစ်ပြီး ၎င်းအပေါ်ရှိ အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီသည် သာမန် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် ထပ်တူကျသည်။ * သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (integers) <math>\mathbb{Z}</math> အစုတို့ကို အများအားဖြင့် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီများ (discrete topologies) အဖြစ် သတ်မှတ်လေ့ရှိသော်လည်း အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများလည်း တည်ရှိသည်။ အထူးသဖြင့် <math>a \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math> နှင့် <math>b \in \mathbb{Z}</math> တို့အတွက် <math>S(a,b) = \{an+b \mid n \in \mathbb{N}\}</math> ပုံစံရှိ အစုများနှင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> တို့ကို အဖွင့်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ ဤတိုပေါ်လော်ဂျီကို အသုံးပြု၍ [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers) အနန္တတိုင် တည်ရှိကြောင်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။ * <math>R</math> သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring with unit) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\operatorname{spec} R</math> သည် <math>R</math> ၏ [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်|သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ]] (prime ideals) အစုဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>\operatorname{spec} R</math> အပေါ်ရှိ '''ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီ (Zariski topology)''' ကို <math>V(E) = \{p \in \operatorname{spec} R \mid E \subseteq p\}</math> ပုံစံရှိ အစုများကို အပိတ်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤနေရာတွင် <math>E</math> သည် <math>R</math> ၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆို ဖြစ်သည်။ * ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) <math>V</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဆိုသည်မှာ <math>\| \cdot \|: V \to \mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းစံနှုန်းသည် <math>\|v\| \ge 0</math> နှင့် <math>\|v\|=0 \iff v=0</math> ဖြစ်ခြင်း၊ <math>\|v+w\| \le \|v\| + \|w\|</math> ဖြစ်ခြင်း နှင့် <math>\|\alpha v\| = |\alpha| \|v\|</math> ဖြစ်ခြင်း စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ စံနှုန်းရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းသည် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု]]ဖြစ်ပြီး <math>d(\varphi,\psi) = \|\varphi-\psi\|</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အတိုင်းအတာအကန့်အသတ်ရှိသော (finite-dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်တွင် မည်သည့် စံနှုန်းကို ရွေးချယ်သည်ဖြစ်စေ သက်ဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ရုံသာမက လုံးဝတူညီသော ရပ်ဝန်းများပင် ဖြစ်ကြသည်။ == အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (Continuous function) == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုကြားရှိ [[ဖန်ရှင်]] <math>f: X \to Y</math> တစ်ခုသည် '''[[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function)''' ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>Y</math> အတွင်းရှိ <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်တိုင်း ၎င်း၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] (preimage) ဖြစ်သော <math>f^{-1}(U)</math> သည် <math>X</math> အတွင်း၌ အဖွင့်စု ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ မည်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) <math>\operatorname{id}_X: X \to X</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း စစ်ဆေးရန် လွယ်ကူသည်။ ထို့အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများဖြစ်သော <math>X</math>၊ <math>Y</math>၊ <math>Z</math> တို့နှင့် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်သော <math>f: X \to Y</math> နှင့် <math>g: Y \to Z</math> တို့အတွက် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သော <math>gf := g \circ f: X \to Z</math> သည်လည်း အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) နှင့်လည်း ပြည့်စုံသည်။ ဤအချက်များကို စုစည်းကြည့်ပါက တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် <math>\mathbf{Top}</math> ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Topological properties) == သင်္ချာဘာသာရပ်သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]]အောက်တွင် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို အဓိကထားလေ့လာလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ဆိုသည်မှာ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည့် ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့သော ဂုဏ်သတ္တိများကို '''တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (topological properties)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ရပ်ဝန်းတစ်ခုနှင့်တစ်ခုကို ခွဲခြားရာတွင် အသုံးပြုသည်။ အကယ်၍ <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်ပြီး <math>X</math> တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ရှိနေပါက <math>Y</math> တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် <math>X</math> တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု မရှိပါက <math>Y</math> တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ မရှိနိုင်ပါ။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: X \to Y</math> မဆိုသည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကို အစုများအနေဖြင့် ကြည့်လျှင် အရွယ်အစား တူညီရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်ခြင်း (metrizability) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဆက်စပ်နေမှု (connectedness)၊ ကျစ်လျစ်မှု (compactness)၊ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်မှု (Hausdorff)၊ ပထမအကြိမ် ရေတွက်နိုင်မှု (first countability) စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများသည်လည်း အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ သို့သော် ဂုဏ်သတ္တိတိုင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ ဖြစ်သည်ဟု မဆိုနိုင်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) တိုင်း စုဆုံသည်ဆိုပါက ထိုအကွာအဝေး ရပ်ဝန်းကို ပြည့်စုံသော [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (complete metric space) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သို့သော် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ခြင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ပါ။ သက်သေပြရမည်ဆိုလျှင် <math>(-1, 1) \to \mathbb{R}</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော <math>x \mapsto \frac{x}{1-x^2}</math> သည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>(-1, 1)</math> သည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤဥပမာအရ အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (boundedness) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်သည် အကန့်အသတ်ရှိသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပါက ထိုရပ်ဝန်းကို အကန့်အသတ်ရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သိသာထင်ရှားစွာပင် <math>(-1, 1)</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိသော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် အကန့်အသတ်မရှိပါ။ == ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ နှင့် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Hausdorff spaces and Separated maps) == === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ၏ အရေးပါသော အတန်းအစားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းရပ်ဝန်းများတွင် အမှတ်များကို ပတ်ဝန်းကျင်များ (neighborhoods) ဖြင့် ခွဲခြားထားနိုင်သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများကို ခွဲခြားနိုင်သော ရပ်ဝန်းများ (separated spaces) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> တစ်ခုရှိ မတူညီသော အမှတ်အတွဲ <math>x, y \in X</math> တိုင်းအတွက် <math>x \in U</math> နှင့် <math>y \in V</math> ဖြစ်စေမည့် ဘုံမပါသော အဖွင့်စုများ (disjoint open sets) <math>U, V \subset X</math> တည်ရှိနေခြင်းသည် ထိုရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်သည်။ * ထောင့်ဖြတ် (diagonal) <math>\Delta(X) \subset X \times X</math> သည် [[အစုပိုင်း|အပိတ်စုပိုင်း]] (closed subset) တစ်ခုဖြစ်နေခြင်းသည် ရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>Y</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက <math>f</math> ၏ ဂရပ် (graph) သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>s : Y \to X</math> တို့သည် <math>f \circ s = \operatorname{id}_Y</math> ဖြစ်သော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ ဖြစ်ပြီး <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (image) <math>s(Y)</math> သည် အပိတ် ဖြစ်သည်။ * [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ]]ဖြစ်သော <math>X \to Z</math> နှင့် <math>Y \to Z</math> တို့အတွက် အကယ်၍ <math>Z</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fibre product) <math>X \times_Z Y</math> သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ၏ သဘောတရားကို အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များဆီသို့ ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ ထောင့်ဖြတ် <math>\Delta : X \to X \times_Y X</math> သည် အပိတ် ပုံဖော်မှု (closed map) တစ်ခုဖြစ်ပါက အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> ကို '''ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုသည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>\Delta(X) \subset X \times_Y X</math> သည် အပိတ်စုပိုင်း ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုအချက်သည် <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုတည်းသို့ ပုံဖော်ထားသော <math>X</math> အတွင်းမှ မည်သည့် မတူညီသော အမှတ်များ <math>x, x' \in X</math> မဆိုတွင် ဘုံမပါသော အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (disjoint open neighborhoods) ရှိရမည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့်လည်း ထပ်တူညီသည်။ * အကယ်၍ အရင်းအမြစ် (domain) <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> မဆိုသည် အလိုအလျောက် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သွားသည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>Y' \to Y</math> တစ်လျှောက်မဆိုရှိ ၎င်း၏ အခြေပြောင်းလဲခြင်း (base change) <math>Y' \times_Y X \to Y'</math> သည်လည်း ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သည်။ [[Category:တိုပေါ်လော်ဂျီ]] hyhr5dt65jv3cfh7bimbbkhnoh3w4zy 1040684 1040683 2026-06-25T06:21:27Z Mkant00 135890 1040684 wikitext text/x-wiki [[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|ခွက် နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲ (solid torus) တို့သည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ကြသည်။ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဆိုသည်မှာ ခွက်နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲတို့၏ အမှတ်များကြားရှိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] ပုံဖော်မှု (bijective mapping) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံတွင် အချိန်နှင့်အမျှ ပြောင်းလဲသွားသော ကြားခံပုံပန်းသဏ္ဌာန်များသည် ထိုပုံဖော်မှု၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သဘောတရားကို သရုပ်ဖော်ပြထားခြင်းသာ ဖြစ်သည်။]] '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology)''' သည် ရပ်ဝန်း (space) အတွင်းရှိ ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ တည်နေရာနှင့် အစီအစဉ်ကို လေ့လာသော ပညာရပ်ဖြစ်ပြီး သင်္ချာဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော အဓိကနယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အဆက်မပြတ် ပုံပျက်သွားခြင်းများ (continuous deformations) အောက်တွင် မပြောင်းမလဲဘဲ ကျန်ရှိနေသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) နှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) တို့၏ သဘောတရားများမှ ဆင်းသက်ပေါက်ဖွားလာခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ၎င်းသည် သီးခြားဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့ပြီး ယင်းကို လက်တင်ဘာသာဖြင့် တည်နေရာ ဂျီဩမေတြီ ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော geometria situs သို့မဟုတ် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော analysis situs ဟူ၍ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ ဆယ်စုနှစ်များစွာတိုင်အောင် တိုပေါ်လော်ဂျီကို အခြေခံကျသော ဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် အသိအမှတ်ပြုခဲ့ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းကို အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) နည်းတူ အခြားသော သင်္ချာနယ်ပယ်များစွာအတွက် ဒုတိယမြောက် မဏ္ဍိုင်ကြီးတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ဂျီဩမေတြီ၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis)၊ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နှင့် လီအုပ်စု သီအိုရီ (Lie group theory) တို့အတွက် အထူးပင် အရေးပါလှသည်။ ၎င်းသည် [[အစုသီအိုရီ]]နှင့် [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) တို့ကိုလည်း များစွာ အထောက်အကူပြု တိုးတက်စေခဲ့သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သဘောတရားမှာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် နီးစပ်မှု (nearness) ဟူသော အယူအဆကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalised) ဖြစ်ပြီး ထိုမှတစ်ဆင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း နှင့် [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်]] (limit) ကဲ့သို့သော သင်္ချာအယူအဆများကို ယေဘုယျပြုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံ အများအပြားကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း၏ တည်ဆောက်ပုံပေါ်တွင်သာ မူတည်နေသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ခေါ်ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် ပုံပျက်သွားခြင်းများ သို့မဟုတ် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာများအနေဖြင့် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်တစ်ခုကို ဆွဲဆန့်ခြင်း (stretching)၊ ချုံ့ခြင်း (squashing/shrinking)၊ ကွေးခြင်း (Bending)၊ ပုံပျက်စေခြင်း (Distorting) နှင့် လိမ်ခြင်း (Twisting) တို့ ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်သည်။ စက်လုံး (sphere) တစ်ခုနှင့် ကုဗတုံး (cube) တစ်ခုကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ခွဲခြား၍မရနိုင်ပေ။ ၎င်းတို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အတူ မုန့်လက်ကောက်အခဲ နှင့် လက်ကိုင်ကွင်းတစ်ခုပါသော ခွက်တို့သည်လည်း ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ အကြောင်းမှာ ၎င်းတို့အနက်မှ တစ်ခုကို အခြားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြတ်တောက်ခြင်းမရှိဘဲ အသွင်ပြောင်းနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် (torus) ၏ မျက်နှာပြင်သည် စက်လုံး၏ မျက်နှာပြင်နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီသဘောအရ ကွဲပြားခြားနားသည်။ စက်လုံးပေါ်ရှိ မည်သည့် မျဉ်းကွေးပိတ် (closed curve) ကိုမဆို အမှတ်တစ်ခုတည်းဖြစ်သွားရန် အဆက်မပြတ် ကျုံ့ယူသွားနိုင်သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် ပေါ်တွင်မူ မျဉ်းကွေးတိုင်းကို ထိုသို့ပြုလုပ်၍ မရနိုင်ပေ။ တိုပေါ်လော်ဂျီကို နယ်ပယ်ခွဲများအဖြစ် ထပ်မံခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းနယ်ပယ်ခွဲတို့တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology)၊ ဂျီဩမေတြီသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (geometric topology) အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂရပ်သီအိုရီ (topological graph theory) နှင့် အထုံးသီအိုရီ (knot theory) တို့ ပါဝင်သည်။ အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) ကို ဤနယ်ပယ်ခွဲများအားလုံး၏ အခြေခံအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းတွင် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် အလွန်ကွဲပြားခြားနားသော ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကိုပါ အထူးတလည် လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အခြားသော သင်္ချာကတ်တဂိုရီများတွင် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms) ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည့်အရာများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ (continuous mappings) သည် သဘောတရားကိုက်ညီမှု ရှိသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကြားတွင် မိမိကိုယ်တိုင်သာမက မိမိ၏ ပြောင်းပြန် [[ဖန်ရှင်]] (inverse function) ပါ အဆက်မပြတ်ဖြစ်နေသော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ကို ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် အခြားသော ကတ်တဂိုရီများရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) နှင့် သဘောတရား တူညီသည်။ ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းများကို တိုပေါ်လော်ဂျီ နည်းလမ်းများဖြင့် ခွဲခြားမရနိုင်ပါ။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော ပြဿနာတစ်ခုမှာ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုသည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဆုံးဖြတ်ရန် ဖြစ်သည်။ ပို၍ ယေဘုယျကျကျဆိုရလျှင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ တည်ရှိခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဖြစ်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == '''တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space)''' <math>(X, \mathcal{T})</math> တစ်ခုတွင် [[အစု]] (set) <math>X</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ ပြည့်စုံသော <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (subsets) စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် <math>X</math> တို့သည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ အရေအတွက် အကန့်အသတ်မရှိ မည်မျှပင်များပြားစေကာမူ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပေါင်းစပ်စု (union) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင်များ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစု (finite intersection) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီကို နားလည်သဘောပေါက်ပြီးဖြစ်ပါက <math>(X,\mathcal{T})</math> အစား <math>X</math> ဟုသာ ရေးသားသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ၏ အစုဝင်များကို '''အဖွင့်စုများ (open sets)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အစုတစ်ခု၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) သည် အဖွင့်စု ဖြစ်မှသာလျှင် ထိုအစုကို '''အပိတ်စု (closed set)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) နှင့် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းအားလုံး]]ပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>2^X</math> သည် <math>X</math> အပေါ် '''တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အစု<math>\{\emptyset, X\}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology)''' သို့မဟုတ် '''အသေးအဖွဲ တိုပေါ်လော်ဂျီ (trivial topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === အကြမ်းတိုပေါ်လော်ဂျီ (coarse topology) နှင့် အသေးစိတ်တိုပေါ်လော်ဂျီ (fine topology) === တစ်ခါတရံတွင် အစုတစ်ခုတည်းအပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီ နှစ်ခုကို နှိုင်းယှဉ်နိုင်သည်။ <math>\mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}'</math> ဖြစ်သောအခါ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>\mathcal{T}'</math> ထက် '''ပို၍ ကြမ်းသည် (coarser)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်ပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}'</math> ကို <math>\mathcal{T}</math> ထက် '''ပို၍ အသေးစိတ်သည် (finer)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ ကြမ်းသည် နှင့် အသေးစိတ်သည် တို့အစား အချို့က '''ပိုငယ်သည် (smaller)''' နှင့် '''ပိုကြီးသည် (larger)''' သို့မဟုတ် '''ပိုအားနည်းသည် (weaker)''' နှင့် '''ပိုအားကောင်းသည် (stronger)''' ဟု သုံးနှုန်းလေ့ရှိကြသည်။ == အခြေအစု (Basis) == လက်တွေ့တွင် တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုလုံးကို ဖော်ပြမည့်အစား ၎င်းကို ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်သည့် အရေအတွက်ပိုနည်းသော အဖွင့်စုများကိုသာ အသုံးပြု၍ ပို၍ လွယ်ကူစေသည်။ [[အစု]] <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] ပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>\mathcal{B}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် '''အခြေအစု (basis)''' ဖြစ်ရန် အောက်ပါ အခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ *<math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် [[အစုဝင်]] <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ *အကယ်၍ <math>A, B \in \mathcal{B}</math> ဖြစ်ပြီး <math>x \in A \cap B</math> ဖြစ်ပါက <math>x \in C \subseteq A \cap B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>C \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ <math> \mathcal{T}</math> ဆိုသည်မှာ<math> \mathcal{B}</math> ကို ငုံထားသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီများအနက် အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ အခြားတစ်နည်းဆိုရသော် <math> U \subset X</math> သည် အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီတွင် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>U</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B \subseteq U</math> ဖြစ်စေမည့် <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု ရှိနေခြင်းဖြစ်သည်။ <math>x \in B</math> ဖြစ်စေသော <math>\mathcal{B}</math> အတွင်းရှိ အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အခြေခံ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (basic open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ <math>x</math> ပါဝင်သော အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းတို့အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\mathcal{T}_x</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (Metric spaces) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသော ပုံဖော်မှု (mapping) <math>d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric)''' ဟု ခေါ်သည်။ မည်သည့် <math>\varphi, \psi, \chi\in X</math> အတွက်မဆို *(M1) အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု (Positivity)၊ <math>d(\varphi,\psi)\ge0</math>။ *(M2) တိကျသေချာမှု (Definiteness)၊ <math>d(\varphi,\psi)=0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>\varphi=\psi</math> ဖြစ်သည်။ *(M3) အချိုးညီမှု (Symmetry)၊ <math>d(\varphi,\psi)=d(\psi,\varphi)</math>။ *(M4) တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality)၊ <math>d(\varphi,\psi)\le d(\varphi,\chi)+d(\chi,\psi)</math>။ ဤကဲ့သို့ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တပ်ဆင်ထားသော အစုစုံတွဲ <math>(X, d)</math> ကို '''[[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခု]]ဖြစ်သော <math>\varphi</math> နှင့် <math>r>0</math> တို့အတွက် အစု <math>\{B(\varphi;r)\}</math> ကို <math>\varphi</math> ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် <math>r</math> ရှိသော '''အဖွင့်စက်လုံး (open ball)''' ဟု ခေါ်သည်။ အဆိုပါ စက်လုံးများဖြစ်သော <math>\{B(\varphi;r)\}</math> အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် အခြေအစုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုတိုပေါ်လော်ဂျီကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ (metric topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ကြောင့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တစ်ခု ပါဝင်သော မည်သည့်အစုမဆိုသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ရှိသော ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အပေါ်တွင် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် <math>\mathcal{T}</math> တို့ ထပ်တူကျစေမည့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် <math>d</math> တစ်ခု ရှိနေပါက ထိုရပ်ဝန်း <math>Y</math> ကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်သည် (metrizable)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆိုသည်လည်း အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် သာမန် '''ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Euclidean distance function)''' ပါဝင်သော <math> \mathbb{R}^n</math> သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ အစုပိုင်းများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် ဥပမာကောင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် '''ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line)''' <math>\mathbb{R}</math> ၊ '''ယူနစ် အပိုင်းအခြား (unit interval)''' <math>I := [0,1]</math> ၊ '''အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး (closed unit ball)''' <math>\mathcal{D}^n := \{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n \mid x_1^2 + \ldots + x_n^2 \le 1\}</math> နှင့် '''အတိုင်းအတာ <math>n</math> ခုရှိသော စက်လုံးမျက်နှာပြင် (n-sphere)''' <math>S^n := \{(x_1, \ldots, x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x_1^2 + \ldots + x_{n+1}^2 = 1\}</math> တို့သည် အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း ဥပမာများ (Examples of topological spaces) == * မည်သည့် [[အစု]] <math>X</math> ကိုမဆို '''အဆုံးရှိဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cofinite topology)''' ဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ ၎င်းတွင် [[အစုပိုင်း]] <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်း၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) ဖြစ်သော <math>X \setminus U</math> သည် အဆုံးရှိအစု (finite set) ဖြစ်နေခြင်း သို့မဟုတ် <math>U = \emptyset</math> ဖြစ်နေခြင်း ဖြစ်သည်။ အလားတူပင် မည်သည့်အစုကိုမဆို ဖြည့်စွက်စုသည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) ဖြစ်နေသော အဖွင့်စုများပါဝင်သည့် '''ရေတွက်နိုင်သောဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cocountable topology)''' ဖြင့်လည်း ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ * ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစု (one-point set) <math>\{*\}</math> တို့သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့၏ တိုပေါ်လော်ဂျီများသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) တိုပေါ်လော်ဂျီများ ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို <math>\emptyset \to X</math> နှင့် <math>X \to *</math> ဟူသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် ဖန်ရှင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြသည်။ <math>\mathbf{Set}</math> ကတ်တဂိုရီတွင်ကဲ့သို့ပင် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ_ရပ်ဝန်းများ_ကတ်တဂိုရီ|<math>\mathbf{Top}</math> ကတ်တဂိုရီ]]တွင် ဗလာအစုသည် [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်ပြီး အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစုသည် [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (terminal object) ဖြစ်သည်။ * ကိန်းစစ်မျဉ်း <math>\mathbb{R}</math> သည် သာမန်အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီအပြင် အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများကိုလည်း လက်ခံနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် <math>a < b</math> ဖြစ်သော <math>[a, b)</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများကို အခြေအစု (basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု ရှိသည်။ ၎င်းကို '''စုဆုံမှတ်အောက်ခြေ တိုပေါ်လော်ဂျီ (lower limit topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစု (totally ordered set) <math>X</math> တစ်ခုအတွက် <math>(a, b) = \{x \in X \mid a < x < b\}</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများနှင့်အတူ <math>(a, \infty)</math> နှင့် <math>(-\infty, b)</math> တို့သည် '''အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (order topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ကိန်းစစ်အစု <math>\mathbb{R}</math> သည် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစုဖြစ်ပြီး ၎င်းအပေါ်ရှိ အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီသည် သာမန် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် ထပ်တူကျသည်။ * သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (integers) <math>\mathbb{Z}</math> အစုတို့ကို အများအားဖြင့် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီများ (discrete topologies) အဖြစ် သတ်မှတ်လေ့ရှိသော်လည်း အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများလည်း တည်ရှိသည်။ အထူးသဖြင့် <math>a \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math> နှင့် <math>b \in \mathbb{Z}</math> တို့အတွက် <math>S(a,b) = \{an+b \mid n \in \mathbb{N}\}</math> ပုံစံရှိ အစုများနှင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> တို့ကို အဖွင့်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ ဤတိုပေါ်လော်ဂျီကို အသုံးပြု၍ [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers) အနန္တတိုင် တည်ရှိကြောင်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။ * <math>R</math> သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring with unit) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\operatorname{spec} R</math> သည် <math>R</math> ၏ [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်|သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ]] (prime ideals) အစုဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>\operatorname{spec} R</math> အပေါ်ရှိ '''ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီ (Zariski topology)''' ကို <math>V(E) = \{p \in \operatorname{spec} R \mid E \subseteq p\}</math> ပုံစံရှိ အစုများကို အပိတ်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤနေရာတွင် <math>E</math> သည် <math>R</math> ၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆို ဖြစ်သည်။ * ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) <math>V</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဆိုသည်မှာ <math>\| \cdot \|: V \to \mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းစံနှုန်းသည် <math>\|v\| \ge 0</math> နှင့် <math>\|v\|=0 \iff v=0</math> ဖြစ်ခြင်း၊ <math>\|v+w\| \le \|v\| + \|w\|</math> ဖြစ်ခြင်း နှင့် <math>\|\alpha v\| = |\alpha| \|v\|</math> ဖြစ်ခြင်း စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ စံနှုန်းရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းသည် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု]]ဖြစ်ပြီး <math>d(\varphi,\psi) = \|\varphi-\psi\|</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အတိုင်းအတာအကန့်အသတ်ရှိသော (finite-dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်တွင် မည်သည့် စံနှုန်းကို ရွေးချယ်သည်ဖြစ်စေ သက်ဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ရုံသာမက လုံးဝတူညီသော ရပ်ဝန်းများပင် ဖြစ်ကြသည်။ == အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (Continuous function) == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုကြားရှိ [[ဖန်ရှင်]] <math>f: X \to Y</math> တစ်ခုသည် '''[[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function)''' ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>Y</math> အတွင်းရှိ <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်တိုင်း ၎င်း၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] (preimage) ဖြစ်သော <math>f^{-1}(U)</math> သည် <math>X</math> အတွင်း၌ အဖွင့်စု ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ မည်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) <math>\operatorname{id}_X: X \to X</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း စစ်ဆေးရန် လွယ်ကူသည်။ ထို့အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများဖြစ်သော <math>X</math>၊ <math>Y</math>၊ <math>Z</math> တို့နှင့် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်သော <math>f: X \to Y</math> နှင့် <math>g: Y \to Z</math> တို့အတွက် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သော <math>gf := g \circ f: X \to Z</math> သည်လည်း အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) နှင့်လည်း ပြည့်စုံသည်။ ဤအချက်များကို စုစည်းကြည့်ပါက တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် <math>\mathbf{Top}</math> ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Topological properties) == သင်္ချာဘာသာရပ်သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]]အောက်တွင် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို အဓိကထားလေ့လာလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ဆိုသည်မှာ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည့် ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့သော ဂုဏ်သတ္တိများကို '''တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (topological properties)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ရပ်ဝန်းတစ်ခုနှင့်တစ်ခုကို ခွဲခြားရာတွင် အသုံးပြုသည်။ အကယ်၍ <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်ပြီး <math>X</math> တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ရှိနေပါက <math>Y</math> တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် <math>X</math> တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု မရှိပါက <math>Y</math> တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ မရှိနိုင်ပါ။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: X \to Y</math> မဆိုသည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကို အစုများအနေဖြင့် ကြည့်လျှင် အရွယ်အစား တူညီရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်ခြင်း (metrizability) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဆက်စပ်နေမှု (connectedness)၊ ကျစ်လျစ်မှု (compactness)၊ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်မှု (Hausdorff)၊ ပထမအကြိမ် ရေတွက်နိုင်မှု (first countability) စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများသည်လည်း အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ သို့သော် ဂုဏ်သတ္တိတိုင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ ဖြစ်သည်ဟု မဆိုနိုင်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) တိုင်း စုဆုံသည်ဆိုပါက ထိုအကွာအဝေး ရပ်ဝန်းကို ပြည့်စုံသော [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (complete metric space) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သို့သော် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ခြင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ပါ။ သက်သေပြရမည်ဆိုလျှင် <math>(-1, 1) \to \mathbb{R}</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော <math>x \mapsto \frac{x}{1-x^2}</math> သည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>(-1, 1)</math> သည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤဥပမာအရ အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (boundedness) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်သည် အကန့်အသတ်ရှိသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပါက ထိုရပ်ဝန်းကို အကန့်အသတ်ရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သိသာထင်ရှားစွာပင် <math>(-1, 1)</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိသော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် အကန့်အသတ်မရှိပါ။ == ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ နှင့် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Hausdorff spaces and Separated maps) == === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ၏ အရေးပါသော အတန်းအစားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းရပ်ဝန်းများတွင် အမှတ်များကို ပတ်ဝန်းကျင်များ (neighborhoods) ဖြင့် ခွဲခြားထားနိုင်သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများကို ခွဲခြားနိုင်သော ရပ်ဝန်းများ (separated spaces) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> တစ်ခုရှိ မတူညီသော အမှတ်အတွဲ <math>x, y \in X</math> တိုင်းအတွက် <math>x \in U</math> နှင့် <math>y \in V</math> ဖြစ်စေမည့် ဘုံမပါသော အဖွင့်စုများ (disjoint open sets) <math>U, V \subset X</math> တည်ရှိနေခြင်းသည် ထိုရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်သည်။ * ထောင့်ဖြတ် (diagonal) <math>\Delta(X) \subset X \times X</math> သည် [[အစုပိုင်း|အပိတ်စုပိုင်း]] (closed subset) တစ်ခုဖြစ်နေခြင်းသည် ရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>Y</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက <math>f</math> ၏ ဂရပ် (graph) သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>s : Y \to X</math> တို့သည် <math>f \circ s = \operatorname{id}_Y</math> ဖြစ်သော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ ဖြစ်ပြီး <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (image) <math>s(Y)</math> သည် အပိတ် ဖြစ်သည်။ * [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ]]ဖြစ်သော <math>X \to Z</math> နှင့် <math>Y \to Z</math> တို့အတွက် အကယ်၍ <math>Z</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fibre product) <math>X \times_Z Y</math> သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ၏ သဘောတရားကို အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များဆီသို့ ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ ထောင့်ဖြတ် <math>\Delta : X \to X \times_Y X</math> သည် အပိတ် ပုံဖော်မှု (closed map) တစ်ခုဖြစ်ပါက အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> ကို '''ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုသည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>\Delta(X) \subset X \times_Y X</math> သည် အပိတ်စုပိုင်း ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုအချက်သည် <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုတည်းသို့ ပုံဖော်ထားသော <math>X</math> အတွင်းမှ မည်သည့် မတူညီသော အမှတ်များ <math>x, x' \in X</math> မဆိုတွင် ဘုံမပါသော အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (disjoint open neighborhoods) ရှိရမည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့်လည်း ထပ်တူညီသည်။ * အကယ်၍ အရင်းအမြစ် (domain) <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> မဆိုသည် အလိုအလျောက် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သွားသည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>Y' \to Y</math> တစ်လျှောက်မဆိုရှိ ၎င်း၏ အခြေပြောင်းလဲခြင်း (base change) <math>Y' \times_Y X \to Y'</math> သည်လည်း ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သည်။ [[Category:တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ezjincfedqy1jy4jf3ctdnitwi8npqz 1040685 1040684 2026-06-25T06:23:12Z Mkant00 135890 1040685 wikitext text/x-wiki [[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|ခွက် နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲ (solid torus) တို့သည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ကြသည်။ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဆိုသည်မှာ ခွက်နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲတို့၏ အမှတ်များကြားရှိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] ပုံဖော်မှု (bijective mapping) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံတွင် အချိန်နှင့်အမျှ ပြောင်းလဲသွားသော ကြားခံပုံပန်းသဏ္ဌာန်များသည် ထိုပုံဖော်မှု၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သဘောတရားကို သရုပ်ဖော်ပြထားခြင်းသာ ဖြစ်သည်။]] '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology)''' သည် ရပ်ဝန်း (space) အတွင်းရှိ ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ တည်နေရာနှင့် အစီအစဉ်ကို လေ့လာသော ပညာရပ်ဖြစ်ပြီး သင်္ချာဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော အဓိကနယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အဆက်မပြတ် ပုံပျက်သွားခြင်းများ (continuous deformations) အောက်တွင် မပြောင်းမလဲဘဲ ကျန်ရှိနေသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) နှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) တို့၏ သဘောတရားများမှ ဆင်းသက်ပေါက်ဖွားလာခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ၎င်းသည် သီးခြားဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့ပြီး ယင်းကို လက်တင်ဘာသာဖြင့် တည်နေရာ ဂျီဩမေတြီ ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော geometria situs သို့မဟုတ် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော analysis situs ဟူ၍ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ ဆယ်စုနှစ်များစွာတိုင်အောင် တိုပေါ်လော်ဂျီကို အခြေခံကျသော ဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် အသိအမှတ်ပြုခဲ့ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းကို အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) နည်းတူ အခြားသော သင်္ချာနယ်ပယ်များစွာအတွက် ဒုတိယမြောက် မဏ္ဍိုင်ကြီးတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ဂျီဩမေတြီ၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis)၊ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နှင့် လီအုပ်စု သီအိုရီ (Lie group theory) တို့အတွက် အထူးပင် အရေးပါလှသည်။ ၎င်းသည် [[အစုသီအိုရီ]]နှင့် [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) တို့ကိုလည်း များစွာ အထောက်အကူပြု တိုးတက်စေခဲ့သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သဘောတရားမှာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် နီးစပ်မှု (nearness) ဟူသော အယူအဆကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalised) ဖြစ်ပြီး ထိုမှတစ်ဆင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း နှင့် [[စုဆုံမှတ်]] (limit) ကဲ့သို့သော သင်္ချာအယူအဆများကို ယေဘုယျပြုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံ အများအပြားကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း၏ တည်ဆောက်ပုံပေါ်တွင်သာ မူတည်နေသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ခေါ်ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် ပုံပျက်သွားခြင်းများ သို့မဟုတ် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာများအနေဖြင့် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်တစ်ခုကို ဆွဲဆန့်ခြင်း (stretching)၊ ချုံ့ခြင်း (squashing/shrinking)၊ ကွေးခြင်း (Bending)၊ ပုံပျက်စေခြင်း (Distorting) နှင့် လိမ်ခြင်း (Twisting) တို့ ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်သည်။ စက်လုံး (sphere) တစ်ခုနှင့် ကုဗတုံး (cube) တစ်ခုကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ခွဲခြား၍မရနိုင်ပေ။ ၎င်းတို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အတူ မုန့်လက်ကောက်အခဲ နှင့် လက်ကိုင်ကွင်းတစ်ခုပါသော ခွက်တို့သည်လည်း ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ အကြောင်းမှာ ၎င်းတို့အနက်မှ တစ်ခုကို အခြားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြတ်တောက်ခြင်းမရှိဘဲ အသွင်ပြောင်းနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် (torus) ၏ မျက်နှာပြင်သည် စက်လုံး၏ မျက်နှာပြင်နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီသဘောအရ ကွဲပြားခြားနားသည်။ စက်လုံးပေါ်ရှိ မည်သည့် မျဉ်းကွေးပိတ် (closed curve) ကိုမဆို အမှတ်တစ်ခုတည်းဖြစ်သွားရန် အဆက်မပြတ် ကျုံ့ယူသွားနိုင်သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် ပေါ်တွင်မူ မျဉ်းကွေးတိုင်းကို ထိုသို့ပြုလုပ်၍ မရနိုင်ပေ။ တိုပေါ်လော်ဂျီကို နယ်ပယ်ခွဲများအဖြစ် ထပ်မံခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းနယ်ပယ်ခွဲတို့တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology)၊ ဂျီဩမေတြီသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (geometric topology) အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂရပ်သီအိုရီ (topological graph theory) နှင့် အထုံးသီအိုရီ (knot theory) တို့ ပါဝင်သည်။ အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) ကို ဤနယ်ပယ်ခွဲများအားလုံး၏ အခြေခံအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းတွင် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် အလွန်ကွဲပြားခြားနားသော ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကိုပါ အထူးတလည် လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အခြားသော သင်္ချာကတ်တဂိုရီများတွင် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms) ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည့်အရာများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ (continuous mappings) သည် သဘောတရားကိုက်ညီမှု ရှိသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကြားတွင် မိမိကိုယ်တိုင်သာမက မိမိ၏ ပြောင်းပြန် [[ဖန်ရှင်]] (inverse function) ပါ အဆက်မပြတ်ဖြစ်နေသော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ကို ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် အခြားသော ကတ်တဂိုရီများရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) နှင့် သဘောတရား တူညီသည်။ ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းများကို တိုပေါ်လော်ဂျီ နည်းလမ်းများဖြင့် ခွဲခြားမရနိုင်ပါ။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော ပြဿနာတစ်ခုမှာ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုသည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဆုံးဖြတ်ရန် ဖြစ်သည်။ ပို၍ ယေဘုယျကျကျဆိုရလျှင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ တည်ရှိခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဖြစ်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == '''တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space)''' <math>(X, \mathcal{T})</math> တစ်ခုတွင် [[အစု]] (set) <math>X</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ ပြည့်စုံသော <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (subsets) စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် <math>X</math> တို့သည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ အရေအတွက် အကန့်အသတ်မရှိ မည်မျှပင်များပြားစေကာမူ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပေါင်းစပ်စု (union) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင်များ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစု (finite intersection) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီကို နားလည်သဘောပေါက်ပြီးဖြစ်ပါက <math>(X,\mathcal{T})</math> အစား <math>X</math> ဟုသာ ရေးသားသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ၏ အစုဝင်များကို '''အဖွင့်စုများ (open sets)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အစုတစ်ခု၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) သည် အဖွင့်စု ဖြစ်မှသာလျှင် ထိုအစုကို '''အပိတ်စု (closed set)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) နှင့် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းအားလုံး]]ပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>2^X</math> သည် <math>X</math> အပေါ် '''တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အစု<math>\{\emptyset, X\}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology)''' သို့မဟုတ် '''အသေးအဖွဲ တိုပေါ်လော်ဂျီ (trivial topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === အကြမ်းတိုပေါ်လော်ဂျီ (coarse topology) နှင့် အသေးစိတ်တိုပေါ်လော်ဂျီ (fine topology) === တစ်ခါတရံတွင် အစုတစ်ခုတည်းအပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီ နှစ်ခုကို နှိုင်းယှဉ်နိုင်သည်။ <math>\mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}'</math> ဖြစ်သောအခါ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>\mathcal{T}'</math> ထက် '''ပို၍ ကြမ်းသည် (coarser)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်ပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}'</math> ကို <math>\mathcal{T}</math> ထက် '''ပို၍ အသေးစိတ်သည် (finer)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ ကြမ်းသည် နှင့် အသေးစိတ်သည် တို့အစား အချို့က '''ပိုငယ်သည် (smaller)''' နှင့် '''ပိုကြီးသည် (larger)''' သို့မဟုတ် '''ပိုအားနည်းသည် (weaker)''' နှင့် '''ပိုအားကောင်းသည် (stronger)''' ဟု သုံးနှုန်းလေ့ရှိကြသည်။ == အခြေအစု (Basis) == လက်တွေ့တွင် တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုလုံးကို ဖော်ပြမည့်အစား ၎င်းကို ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်သည့် အရေအတွက်ပိုနည်းသော အဖွင့်စုများကိုသာ အသုံးပြု၍ ပို၍ လွယ်ကူစေသည်။ [[အစု]] <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] ပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>\mathcal{B}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် '''အခြေအစု (basis)''' ဖြစ်ရန် အောက်ပါ အခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ *<math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် [[အစုဝင်]] <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ *အကယ်၍ <math>A, B \in \mathcal{B}</math> ဖြစ်ပြီး <math>x \in A \cap B</math> ဖြစ်ပါက <math>x \in C \subseteq A \cap B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>C \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ <math> \mathcal{T}</math> ဆိုသည်မှာ<math> \mathcal{B}</math> ကို ငုံထားသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီများအနက် အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ အခြားတစ်နည်းဆိုရသော် <math> U \subset X</math> သည် အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီတွင် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>U</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B \subseteq U</math> ဖြစ်စေမည့် <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု ရှိနေခြင်းဖြစ်သည်။ <math>x \in B</math> ဖြစ်စေသော <math>\mathcal{B}</math> အတွင်းရှိ အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အခြေခံ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (basic open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ <math>x</math> ပါဝင်သော အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းတို့အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\mathcal{T}_x</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (Metric spaces) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသော ပုံဖော်မှု (mapping) <math>d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric)''' ဟု ခေါ်သည်။ မည်သည့် <math>\varphi, \psi, \chi\in X</math> အတွက်မဆို *(M1) အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု (Positivity)၊ <math>d(\varphi,\psi)\ge0</math>။ *(M2) တိကျသေချာမှု (Definiteness)၊ <math>d(\varphi,\psi)=0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>\varphi=\psi</math> ဖြစ်သည်။ *(M3) အချိုးညီမှု (Symmetry)၊ <math>d(\varphi,\psi)=d(\psi,\varphi)</math>။ *(M4) တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality)၊ <math>d(\varphi,\psi)\le d(\varphi,\chi)+d(\chi,\psi)</math>။ ဤကဲ့သို့ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တပ်ဆင်ထားသော အစုစုံတွဲ <math>(X, d)</math> ကို '''[[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခု]]ဖြစ်သော <math>\varphi</math> နှင့် <math>r>0</math> တို့အတွက် အစု <math>\{B(\varphi;r)\}</math> ကို <math>\varphi</math> ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် <math>r</math> ရှိသော '''အဖွင့်စက်လုံး (open ball)''' ဟု ခေါ်သည်။ အဆိုပါ စက်လုံးများဖြစ်သော <math>\{B(\varphi;r)\}</math> အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် အခြေအစုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုတိုပေါ်လော်ဂျီကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ (metric topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ကြောင့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တစ်ခု ပါဝင်သော မည်သည့်အစုမဆိုသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ရှိသော ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အပေါ်တွင် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် <math>\mathcal{T}</math> တို့ ထပ်တူကျစေမည့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် <math>d</math> တစ်ခု ရှိနေပါက ထိုရပ်ဝန်း <math>Y</math> ကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်သည် (metrizable)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆိုသည်လည်း အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် သာမန် '''ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Euclidean distance function)''' ပါဝင်သော <math> \mathbb{R}^n</math> သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ အစုပိုင်းများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် ဥပမာကောင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် '''ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line)''' <math>\mathbb{R}</math> ၊ '''ယူနစ် အပိုင်းအခြား (unit interval)''' <math>I := [0,1]</math> ၊ '''အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး (closed unit ball)''' <math>\mathcal{D}^n := \{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n \mid x_1^2 + \ldots + x_n^2 \le 1\}</math> နှင့် '''အတိုင်းအတာ <math>n</math> ခုရှိသော စက်လုံးမျက်နှာပြင် (n-sphere)''' <math>S^n := \{(x_1, \ldots, x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x_1^2 + \ldots + x_{n+1}^2 = 1\}</math> တို့သည် အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း ဥပမာများ (Examples of topological spaces) == * မည်သည့် [[အစု]] <math>X</math> ကိုမဆို '''အဆုံးရှိဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cofinite topology)''' ဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ ၎င်းတွင် [[အစုပိုင်း]] <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်း၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) ဖြစ်သော <math>X \setminus U</math> သည် အဆုံးရှိအစု (finite set) ဖြစ်နေခြင်း သို့မဟုတ် <math>U = \emptyset</math> ဖြစ်နေခြင်း ဖြစ်သည်။ အလားတူပင် မည်သည့်အစုကိုမဆို ဖြည့်စွက်စုသည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) ဖြစ်နေသော အဖွင့်စုများပါဝင်သည့် '''ရေတွက်နိုင်သောဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cocountable topology)''' ဖြင့်လည်း ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ * ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစု (one-point set) <math>\{*\}</math> တို့သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့၏ တိုပေါ်လော်ဂျီများသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) တိုပေါ်လော်ဂျီများ ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို <math>\emptyset \to X</math> နှင့် <math>X \to *</math> ဟူသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် ဖန်ရှင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြသည်။ <math>\mathbf{Set}</math> ကတ်တဂိုရီတွင်ကဲ့သို့ပင် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ_ရပ်ဝန်းများ_ကတ်တဂိုရီ|<math>\mathbf{Top}</math> ကတ်တဂိုရီ]]တွင် ဗလာအစုသည် [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်ပြီး အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစုသည် [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (terminal object) ဖြစ်သည်။ * ကိန်းစစ်မျဉ်း <math>\mathbb{R}</math> သည် သာမန်အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီအပြင် အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများကိုလည်း လက်ခံနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် <math>a < b</math> ဖြစ်သော <math>[a, b)</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများကို အခြေအစု (basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု ရှိသည်။ ၎င်းကို '''စုဆုံမှတ်အောက်ခြေ တိုပေါ်လော်ဂျီ (lower limit topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစု (totally ordered set) <math>X</math> တစ်ခုအတွက် <math>(a, b) = \{x \in X \mid a < x < b\}</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများနှင့်အတူ <math>(a, \infty)</math> နှင့် <math>(-\infty, b)</math> တို့သည် '''အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (order topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ကိန်းစစ်အစု <math>\mathbb{R}</math> သည် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစုဖြစ်ပြီး ၎င်းအပေါ်ရှိ အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီသည် သာမန် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် ထပ်တူကျသည်။ * သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (integers) <math>\mathbb{Z}</math> အစုတို့ကို အများအားဖြင့် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီများ (discrete topologies) အဖြစ် သတ်မှတ်လေ့ရှိသော်လည်း အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများလည်း တည်ရှိသည်။ အထူးသဖြင့် <math>a \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math> နှင့် <math>b \in \mathbb{Z}</math> တို့အတွက် <math>S(a,b) = \{an+b \mid n \in \mathbb{N}\}</math> ပုံစံရှိ အစုများနှင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> တို့ကို အဖွင့်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ ဤတိုပေါ်လော်ဂျီကို အသုံးပြု၍ [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers) အနန္တတိုင် တည်ရှိကြောင်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။ * <math>R</math> သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring with unit) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\operatorname{spec} R</math> သည် <math>R</math> ၏ [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်|သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ]] (prime ideals) အစုဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>\operatorname{spec} R</math> အပေါ်ရှိ '''ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီ (Zariski topology)''' ကို <math>V(E) = \{p \in \operatorname{spec} R \mid E \subseteq p\}</math> ပုံစံရှိ အစုများကို အပိတ်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤနေရာတွင် <math>E</math> သည် <math>R</math> ၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆို ဖြစ်သည်။ * ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) <math>V</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဆိုသည်မှာ <math>\| \cdot \|: V \to \mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းစံနှုန်းသည် <math>\|v\| \ge 0</math> နှင့် <math>\|v\|=0 \iff v=0</math> ဖြစ်ခြင်း၊ <math>\|v+w\| \le \|v\| + \|w\|</math> ဖြစ်ခြင်း နှင့် <math>\|\alpha v\| = |\alpha| \|v\|</math> ဖြစ်ခြင်း စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ စံနှုန်းရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းသည် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု]]ဖြစ်ပြီး <math>d(\varphi,\psi) = \|\varphi-\psi\|</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အတိုင်းအတာအကန့်အသတ်ရှိသော (finite-dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်တွင် မည်သည့် စံနှုန်းကို ရွေးချယ်သည်ဖြစ်စေ သက်ဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ရုံသာမက လုံးဝတူညီသော ရပ်ဝန်းများပင် ဖြစ်ကြသည်။ == အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (Continuous function) == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုကြားရှိ [[ဖန်ရှင်]] <math>f: X \to Y</math> တစ်ခုသည် '''[[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function)''' ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>Y</math> အတွင်းရှိ <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်တိုင်း ၎င်း၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] (preimage) ဖြစ်သော <math>f^{-1}(U)</math> သည် <math>X</math> အတွင်း၌ အဖွင့်စု ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ မည်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) <math>\operatorname{id}_X: X \to X</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း စစ်ဆေးရန် လွယ်ကူသည်။ ထို့အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများဖြစ်သော <math>X</math>၊ <math>Y</math>၊ <math>Z</math> တို့နှင့် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်သော <math>f: X \to Y</math> နှင့် <math>g: Y \to Z</math> တို့အတွက် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သော <math>gf := g \circ f: X \to Z</math> သည်လည်း အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) နှင့်လည်း ပြည့်စုံသည်။ ဤအချက်များကို စုစည်းကြည့်ပါက တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် <math>\mathbf{Top}</math> ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Topological properties) == သင်္ချာဘာသာရပ်သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]]အောက်တွင် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို အဓိကထားလေ့လာလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ဆိုသည်မှာ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည့် ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့သော ဂုဏ်သတ္တိများကို '''တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (topological properties)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ရပ်ဝန်းတစ်ခုနှင့်တစ်ခုကို ခွဲခြားရာတွင် အသုံးပြုသည်။ အကယ်၍ <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်ပြီး <math>X</math> တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ရှိနေပါက <math>Y</math> တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် <math>X</math> တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု မရှိပါက <math>Y</math> တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ မရှိနိုင်ပါ။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: X \to Y</math> မဆိုသည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကို အစုများအနေဖြင့် ကြည့်လျှင် အရွယ်အစား တူညီရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်ခြင်း (metrizability) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဆက်စပ်နေမှု (connectedness)၊ ကျစ်လျစ်မှု (compactness)၊ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်မှု (Hausdorff)၊ ပထမအကြိမ် ရေတွက်နိုင်မှု (first countability) စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများသည်လည်း အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ သို့သော် ဂုဏ်သတ္တိတိုင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ ဖြစ်သည်ဟု မဆိုနိုင်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) တိုင်း စုဆုံသည်ဆိုပါက ထိုအကွာအဝေး ရပ်ဝန်းကို ပြည့်စုံသော [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (complete metric space) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သို့သော် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ခြင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ပါ။ သက်သေပြရမည်ဆိုလျှင် <math>(-1, 1) \to \mathbb{R}</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော <math>x \mapsto \frac{x}{1-x^2}</math> သည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>(-1, 1)</math> သည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤဥပမာအရ အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (boundedness) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်သည် အကန့်အသတ်ရှိသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပါက ထိုရပ်ဝန်းကို အကန့်အသတ်ရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သိသာထင်ရှားစွာပင် <math>(-1, 1)</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိသော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် အကန့်အသတ်မရှိပါ။ == ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ နှင့် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Hausdorff spaces and Separated maps) == === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ၏ အရေးပါသော အတန်းအစားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းရပ်ဝန်းများတွင် အမှတ်များကို ပတ်ဝန်းကျင်များ (neighborhoods) ဖြင့် ခွဲခြားထားနိုင်သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများကို ခွဲခြားနိုင်သော ရပ်ဝန်းများ (separated spaces) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> တစ်ခုရှိ မတူညီသော အမှတ်အတွဲ <math>x, y \in X</math> တိုင်းအတွက် <math>x \in U</math> နှင့် <math>y \in V</math> ဖြစ်စေမည့် ဘုံမပါသော အဖွင့်စုများ (disjoint open sets) <math>U, V \subset X</math> တည်ရှိနေခြင်းသည် ထိုရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်သည်။ * ထောင့်ဖြတ် (diagonal) <math>\Delta(X) \subset X \times X</math> သည် [[အစုပိုင်း|အပိတ်စုပိုင်း]] (closed subset) တစ်ခုဖြစ်နေခြင်းသည် ရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>Y</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက <math>f</math> ၏ ဂရပ် (graph) သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>s : Y \to X</math> တို့သည် <math>f \circ s = \operatorname{id}_Y</math> ဖြစ်သော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ ဖြစ်ပြီး <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (image) <math>s(Y)</math> သည် အပိတ် ဖြစ်သည်။ * [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ]]ဖြစ်သော <math>X \to Z</math> နှင့် <math>Y \to Z</math> တို့အတွက် အကယ်၍ <math>Z</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fibre product) <math>X \times_Z Y</math> သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ၏ သဘောတရားကို အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များဆီသို့ ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ ထောင့်ဖြတ် <math>\Delta : X \to X \times_Y X</math> သည် အပိတ် ပုံဖော်မှု (closed map) တစ်ခုဖြစ်ပါက အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> ကို '''ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုသည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>\Delta(X) \subset X \times_Y X</math> သည် အပိတ်စုပိုင်း ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုအချက်သည် <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုတည်းသို့ ပုံဖော်ထားသော <math>X</math> အတွင်းမှ မည်သည့် မတူညီသော အမှတ်များ <math>x, x' \in X</math> မဆိုတွင် ဘုံမပါသော အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (disjoint open neighborhoods) ရှိရမည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့်လည်း ထပ်တူညီသည်။ * အကယ်၍ အရင်းအမြစ် (domain) <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> မဆိုသည် အလိုအလျောက် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သွားသည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>Y' \to Y</math> တစ်လျှောက်မဆိုရှိ ၎င်း၏ အခြေပြောင်းလဲခြင်း (base change) <math>Y' \times_Y X \to Y'</math> သည်လည်း ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သည်။ [[Category:တိုပေါ်လော်ဂျီ]] in3hn02ce8k1w9qkxpszqnilp88dh3w 1040686 1040685 2026-06-25T06:26:41Z Mkant00 135890 1040686 wikitext text/x-wiki [[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|ခွက် နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲ (solid torus) တို့သည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ကြသည်။ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဆိုသည်မှာ ခွက်နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲတို့၏ အမှတ်များကြားရှိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] ပုံဖော်မှု (bijective mapping) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံတွင် အချိန်နှင့်အမျှ ပြောင်းလဲသွားသော ကြားခံပုံပန်းသဏ္ဌာန်များသည် ထိုပုံဖော်မှု၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သဘောတရားကို သရုပ်ဖော်ပြထားခြင်းသာ ဖြစ်သည်။]] '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology)''' သည် ရပ်ဝန်း (space) အတွင်းရှိ ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ တည်နေရာနှင့် အစီအစဉ်ကို လေ့လာသော ပညာရပ်ဖြစ်ပြီး သင်္ချာဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော အဓိကနယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အဆက်မပြတ် ပုံပျက်သွားခြင်းများ (continuous deformations) အောက်တွင် မပြောင်းမလဲဘဲ ကျန်ရှိနေသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) နှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) တို့၏ သဘောတရားများမှ ဆင်းသက်ပေါက်ဖွားလာခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ၎င်းသည် သီးခြားဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့ပြီး ယင်းကို လက်တင်ဘာသာဖြင့် တည်နေရာ ဂျီဩမေတြီ ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော geometria situs သို့မဟုတ် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော analysis situs ဟူ၍ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ ဆယ်စုနှစ်များစွာတိုင်အောင် တိုပေါ်လော်ဂျီကို အခြေခံကျသော ဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် အသိအမှတ်ပြုခဲ့ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းကို အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) နည်းတူ အခြားသော သင်္ချာနယ်ပယ်များစွာအတွက် ဒုတိယမြောက် မဏ္ဍိုင်ကြီးတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ဂျီဩမေတြီ၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis)၊ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နှင့် လီအုပ်စု သီအိုရီ (Lie group theory) တို့အတွက် အထူးပင် အရေးပါလှသည်။ ၎င်းသည် [[အစုသီအိုရီ]]နှင့် [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) တို့ကိုလည်း များစွာ အထောက်အကူပြု တိုးတက်စေခဲ့သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သဘောတရားမှာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် နီးစပ်မှု (nearness) ဟူသော အယူအဆကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalised) ဖြစ်ပြီး ထိုမှတစ်ဆင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း နှင့် [[စုဆုံမှတ်]] (limit) ကဲ့သို့သော သင်္ချာအယူအဆများကို ယေဘုယျပြုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံ အများအပြားကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း၏ တည်ဆောက်ပုံပေါ်တွင်သာ မူတည်နေသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ခေါ်ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် ပုံပျက်သွားခြင်းများ သို့မဟုတ် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာများအနေဖြင့် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်တစ်ခုကို ဆွဲဆန့်ခြင်း (stretching)၊ ချုံ့ခြင်း (squashing/shrinking)၊ ကွေးခြင်း (Bending)၊ ပုံပျက်စေခြင်း (Distorting) နှင့် လိမ်ခြင်း (Twisting) တို့ ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်သည်။ စက်လုံး (sphere) တစ်ခုနှင့် ကုဗတုံး (cube) တစ်ခုကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ခွဲခြား၍မရနိုင်ပေ။ ၎င်းတို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အတူ မုန့်လက်ကောက်အခဲ နှင့် လက်ကိုင်ကွင်းတစ်ခုပါသော ခွက်တို့သည်လည်း ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ အကြောင်းမှာ ၎င်းတို့အနက်မှ တစ်ခုကို အခြားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြတ်တောက်ခြင်းမရှိဘဲ အသွင်ပြောင်းနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် (torus) ၏ မျက်နှာပြင်သည် စက်လုံး၏ မျက်နှာပြင်နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီသဘောအရ ကွဲပြားခြားနားသည်။ စက်လုံးပေါ်ရှိ မည်သည့် မျဉ်းကွေးပိတ် (closed curve) ကိုမဆို အမှတ်တစ်ခုတည်းဖြစ်သွားရန် အဆက်မပြတ် ကျုံ့ယူသွားနိုင်သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် ပေါ်တွင်မူ မျဉ်းကွေးတိုင်းကို ထိုသို့ပြုလုပ်၍ မရနိုင်ပေ။ တိုပေါ်လော်ဂျီကို နယ်ပယ်ခွဲများအဖြစ် ထပ်မံခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းနယ်ပယ်ခွဲတို့တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology)၊ ဂျီဩမေတြီသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (geometric topology) အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂရပ်သီအိုရီ (topological graph theory) နှင့် အထုံးသီအိုရီ (knot theory) တို့ ပါဝင်သည်။ အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) ကို ဤနယ်ပယ်ခွဲများအားလုံး၏ အခြေခံအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းတွင် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် အလွန်ကွဲပြားခြားနားသော ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကိုပါ အထူးတလည် လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အခြားသော သင်္ချာကတ်တဂိုရီများတွင် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms) ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည့်အရာများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ (continuous mappings) သည် သဘောတရားကိုက်ညီမှု ရှိသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကြားတွင် မိမိကိုယ်တိုင်သာမက မိမိ၏ ပြောင်းပြန် [[ဖန်ရှင်]] (inverse function) ပါ အဆက်မပြတ်ဖြစ်နေသော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ကို ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် အခြားသော ကတ်တဂိုရီများရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) နှင့် သဘောတရား တူညီသည်။ ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းများကို တိုပေါ်လော်ဂျီ နည်းလမ်းများဖြင့် ခွဲခြားမရနိုင်ပါ။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော ပြဿနာတစ်ခုမှာ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုသည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဆုံးဖြတ်ရန် ဖြစ်သည်။ ပို၍ ယေဘုယျကျကျဆိုရလျှင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ တည်ရှိခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဖြစ်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == '''တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space)''' <math>(X, \mathcal{T})</math> တစ်ခုတွင် [[အစု]] (set) <math>X</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ ပြည့်စုံသော <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (subsets) စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် <math>X</math> တို့သည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ အရေအတွက် အကန့်အသတ်မရှိ မည်မျှပင်များပြားစေကာမူ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပေါင်းစပ်စု (union) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင်များ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစု (finite intersection) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီကို နားလည်သဘောပေါက်ပြီးဖြစ်ပါက <math>(X,\mathcal{T})</math> အစား <math>X</math> ဟုသာ ရေးသားသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ၏ အစုဝင်များကို '''အဖွင့်စုများ (open sets)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အစုတစ်ခု၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) သည် အဖွင့်စု ဖြစ်မှသာလျှင် ထိုအစုကို '''အပိတ်စု (closed set)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) နှင့် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းအားလုံး]]ပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>2^X</math> သည် <math>X</math> အပေါ် '''တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အစု<math>\{\emptyset, X\}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology)''' သို့မဟုတ် '''အသေးအဖွဲ တိုပေါ်လော်ဂျီ (trivial topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === အကြမ်းတိုပေါ်လော်ဂျီ (coarse topology) နှင့် အသေးစိတ်တိုပေါ်လော်ဂျီ (fine topology) === တစ်ခါတရံတွင် အစုတစ်ခုတည်းအပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီ နှစ်ခုကို နှိုင်းယှဉ်နိုင်သည်။ <math>\mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}'</math> ဖြစ်သောအခါ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>\mathcal{T}'</math> ထက် '''ပို၍ ကြမ်းသည် (coarser)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်ပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}'</math> ကို <math>\mathcal{T}</math> ထက် '''ပို၍ အသေးစိတ်သည် (finer)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ ကြမ်းသည် နှင့် အသေးစိတ်သည် တို့အစား အချို့က '''ပိုငယ်သည် (smaller)''' နှင့် '''ပိုကြီးသည် (larger)''' သို့မဟုတ် '''ပိုအားနည်းသည် (weaker)''' နှင့် '''ပိုအားကောင်းသည် (stronger)''' ဟု သုံးနှုန်းလေ့ရှိကြသည်။ == အခြေအစု (Basis) == လက်တွေ့တွင် တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုလုံးကို ဖော်ပြမည့်အစား ၎င်းကို ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်သည့် အရေအတွက်ပိုနည်းသော အဖွင့်စုများကိုသာ အသုံးပြု၍ ပို၍ လွယ်ကူစေသည်။ [[အစု]] <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] ပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>\mathcal{B}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် '''အခြေအစု (basis)''' ဖြစ်ရန် အောက်ပါ အခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ *<math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် [[အစုဝင်]] <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ *အကယ်၍ <math>A, B \in \mathcal{B}</math> ဖြစ်ပြီး <math>x \in A \cap B</math> ဖြစ်ပါက <math>x \in C \subseteq A \cap B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>C \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ <math> \mathcal{T}</math> ဆိုသည်မှာ<math> \mathcal{B}</math> ကို ငုံထားသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီများအနက် အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ အခြားတစ်နည်းဆိုရသော် <math> U \subset X</math> သည် အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီတွင် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>U</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B \subseteq U</math> ဖြစ်စေမည့် <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု ရှိနေခြင်းဖြစ်သည်။ <math>x \in B</math> ဖြစ်စေသော <math>\mathcal{B}</math> အတွင်းရှိ အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အခြေခံ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (basic open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ <math>x</math> ပါဝင်သော အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းတို့အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\mathcal{T}_x</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (Metric spaces) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသော ပုံဖော်မှု (mapping) <math>d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric)''' ဟု ခေါ်သည်။ မည်သည့် <math>\varphi, \psi, \chi\in X</math> အတွက်မဆို *(M1) အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု (Positivity)၊ <math>d(\varphi,\psi)\ge0</math>။ *(M2) တိကျသေချာမှု (Definiteness)၊ <math>d(\varphi,\psi)=0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>\varphi=\psi</math> ဖြစ်သည်။ *(M3) အချိုးညီမှု (Symmetry)၊ <math>d(\varphi,\psi)=d(\psi,\varphi)</math>။ *(M4) တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality)၊ <math>d(\varphi,\psi)\le d(\varphi,\chi)+d(\chi,\psi)</math>။ ဤကဲ့သို့ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တပ်ဆင်ထားသော အစုစုံတွဲ <math>(X, d)</math> ကို '''[[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခု]]ဖြစ်သော <math>\varphi</math> နှင့် <math>r>0</math> တို့အတွက် အစု <math>\{B(\varphi;r)\}</math> ကို <math>\varphi</math> ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် <math>r</math> ရှိသော '''အဖွင့်စက်လုံး (open ball)''' ဟု ခေါ်သည်။ အဆိုပါ စက်လုံးများဖြစ်သော <math>\{B(\varphi;r)\}</math> အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် အခြေအစုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုတိုပေါ်လော်ဂျီကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ (metric topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ကြောင့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တစ်ခု ပါဝင်သော မည်သည့်အစုမဆိုသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ရှိသော ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အပေါ်တွင် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် <math>\mathcal{T}</math> တို့ ထပ်တူကျစေမည့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် <math>d</math> တစ်ခု ရှိနေပါက ထိုရပ်ဝန်း <math>Y</math> ကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်သည် (metrizable)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆိုသည်လည်း အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် သာမန် '''ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Euclidean distance function)''' ပါဝင်သော <math> \mathbb{R}^n</math> သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ အစုပိုင်းများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် ဥပမာကောင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် '''ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line)''' <math>\mathbb{R}</math> ၊ '''ယူနစ် အပိုင်းအခြား (unit interval)''' <math>I := [0,1]</math> ၊ '''အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး (closed unit ball)''' <math>\mathcal{D}^n := \{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n \mid x_1^2 + \ldots + x_n^2 \le 1\}</math> နှင့် '''အတိုင်းအတာ <math>n</math> ခုရှိသော စက်လုံးမျက်နှာပြင် (n-sphere)''' <math>S^n := \{(x_1, \ldots, x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x_1^2 + \ldots + x_{n+1}^2 = 1\}</math> တို့သည် အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း ဥပမာများ (Examples of topological spaces) == * မည်သည့် [[အစု]] <math>X</math> ကိုမဆို '''အဆုံးရှိဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cofinite topology)''' ဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ ၎င်းတွင် [[အစုပိုင်း]] <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်း၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) ဖြစ်သော <math>X \setminus U</math> သည် အဆုံးရှိအစု (finite set) ဖြစ်နေခြင်း သို့မဟုတ် <math>U = \emptyset</math> ဖြစ်နေခြင်း ဖြစ်သည်။ အလားတူပင် မည်သည့်အစုကိုမဆို ဖြည့်စွက်စုသည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) ဖြစ်နေသော အဖွင့်စုများပါဝင်သည့် '''ရေတွက်နိုင်သောဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cocountable topology)''' ဖြင့်လည်း ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ * ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစု (one-point set) <math>\{*\}</math> တို့သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့၏ တိုပေါ်လော်ဂျီများသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) တိုပေါ်လော်ဂျီများ ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို <math>\emptyset \to X</math> နှင့် <math>X \to *</math> ဟူသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် ဖန်ရှင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြသည်။ <math>\mathbf{Set}</math> ကတ်တဂိုရီတွင်ကဲ့သို့ပင် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ_ရပ်ဝန်းများ_ကတ်တဂိုရီ|<math>\mathbf{Top}</math> ကတ်တဂိုရီ]]တွင် ဗလာအစုသည် [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်ပြီး အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစုသည် [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (terminal object) ဖြစ်သည်။ * ကိန်းစစ်မျဉ်း <math>\mathbb{R}</math> သည် သာမန်အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီအပြင် အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများကိုလည်း လက်ခံနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် <math>a < b</math> ဖြစ်သော <math>[a, b)</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများကို အခြေအစု (basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု ရှိသည်။ ၎င်းကို '''စုဆုံမှတ်အောက်ခြေ တိုပေါ်လော်ဂျီ (lower limit topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစု (totally ordered set) <math>X</math> တစ်ခုအတွက် <math>(a, b) = \{x \in X \mid a < x < b\}</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများနှင့်အတူ <math>(a, \infty)</math> နှင့် <math>(-\infty, b)</math> တို့သည် '''အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (order topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ကိန်းစစ်အစု <math>\mathbb{R}</math> သည် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစုဖြစ်ပြီး ၎င်းအပေါ်ရှိ အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီသည် သာမန် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် ထပ်တူကျသည်။ * သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (integers) <math>\mathbb{Z}</math> အစုတို့ကို အများအားဖြင့် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီများ (discrete topologies) အဖြစ် သတ်မှတ်လေ့ရှိသော်လည်း အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများလည်း တည်ရှိသည်။ အထူးသဖြင့် <math>a \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math> နှင့် <math>b \in \mathbb{Z}</math> တို့အတွက် <math>S(a,b) = \{an+b \mid n \in \mathbb{N}\}</math> ပုံစံရှိ အစုများနှင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> တို့ကို အဖွင့်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ ဤတိုပေါ်လော်ဂျီကို အသုံးပြု၍ [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers) အနန္တတိုင် တည်ရှိကြောင်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။ * <math>R</math> သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring with unit) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\operatorname{spec} R</math> သည် <math>R</math> ၏ [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်|သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ]] (prime ideals) အစုဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>\operatorname{spec} R</math> အပေါ်ရှိ '''ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီ (Zariski topology)''' ကို <math>V(E) = \{p \in \operatorname{spec} R \mid E \subseteq p\}</math> ပုံစံရှိ အစုများကို အပိတ်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤနေရာတွင် <math>E</math> သည် <math>R</math> ၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆို ဖြစ်သည်။ * ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) <math>V</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဆိုသည်မှာ <math>\| \cdot \|: V \to \mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းစံနှုန်းသည် <math>\|v\| \ge 0</math> နှင့် <math>\|v\|=0 \iff v=0</math> ဖြစ်ခြင်း၊ <math>\|v+w\| \le \|v\| + \|w\|</math> ဖြစ်ခြင်း နှင့် <math>\|\alpha v\| = |\alpha| \|v\|</math> ဖြစ်ခြင်း စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ စံနှုန်းရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းသည် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု]]ဖြစ်ပြီး <math>d(\varphi,\psi) = \|\varphi-\psi\|</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အတိုင်းအတာအကန့်အသတ်ရှိသော (finite-dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်တွင် မည်သည့် စံနှုန်းကို ရွေးချယ်သည်ဖြစ်စေ သက်ဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ရုံသာမက လုံးဝတူညီသော ရပ်ဝန်းများပင် ဖြစ်ကြသည်။ == အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (Continuous function) == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုကြားရှိ [[ဖန်ရှင်]] <math>f: X \to Y</math> တစ်ခုသည် '''[[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function)''' ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>Y</math> အတွင်းရှိ <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်တိုင်း ၎င်း၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] (preimage) ဖြစ်သော <math>f^{-1}(U)</math> သည် <math>X</math> အတွင်း၌ အဖွင့်စု ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ မည်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) <math>\operatorname{id}_X: X \to X</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း စစ်ဆေးရန် လွယ်ကူသည်။ ထို့အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများဖြစ်သော <math>X</math>၊ <math>Y</math>၊ <math>Z</math> တို့နှင့် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်သော <math>f: X \to Y</math> နှင့် <math>g: Y \to Z</math> တို့အတွက် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သော <math>gf := g \circ f: X \to Z</math> သည်လည်း အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) နှင့်လည်း ပြည့်စုံသည်။ ဤအချက်များကို စုစည်းကြည့်ပါက တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် <math>\mathbf{Top}</math> ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Topological properties) == သင်္ချာဘာသာရပ်သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]]အောက်တွင် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို အဓိကထားလေ့လာလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ဆိုသည်မှာ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည့် ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့သော ဂုဏ်သတ္တိများကို '''တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (topological properties)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ရပ်ဝန်းတစ်ခုနှင့်တစ်ခုကို ခွဲခြားရာတွင် အသုံးပြုသည်။ အကယ်၍ <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်ပြီး <math>X</math> တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ရှိနေပါက <math>Y</math> တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် <math>X</math> တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု မရှိပါက <math>Y</math> တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ မရှိနိုင်ပါ။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: X \to Y</math> မဆိုသည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကို အစုများအနေဖြင့် ကြည့်လျှင် အရွယ်အစား တူညီရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်ခြင်း (metrizability) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဆက်စပ်နေမှု (connectedness)၊ ကျစ်လျစ်မှု (compactness)၊ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်မှု (Hausdorff)၊ ပထမအကြိမ် ရေတွက်နိုင်မှု (first countability) စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများသည်လည်း အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ သို့သော် ဂုဏ်သတ္တိတိုင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ ဖြစ်သည်ဟု မဆိုနိုင်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) တိုင်း စုဆုံသည်ဆိုပါက ထိုအကွာအဝေး ရပ်ဝန်းကို ပြည့်စုံသော [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (complete metric space) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သို့သော် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ခြင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ပါ။ သက်သေပြရမည်ဆိုလျှင် <math>(-1, 1) \to \mathbb{R}</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော <math>x \mapsto \frac{x}{1-x^2}</math> သည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>(-1, 1)</math> သည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤဥပမာအရ အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (boundedness) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်သည် အကန့်အသတ်ရှိသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပါက ထိုရပ်ဝန်းကို အကန့်အသတ်ရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သိသာထင်ရှားစွာပင် <math>(-1, 1)</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိသော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် အကန့်အသတ်မရှိပါ။ == ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ နှင့် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Hausdorff spaces and Separated maps) == === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ၏ အရေးပါသော အတန်းအစားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းရပ်ဝန်းများတွင် အမှတ်များကို ပတ်ဝန်းကျင်များ (neighborhoods) ဖြင့် ခွဲခြားထားနိုင်သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများကို ခွဲခြားနိုင်သော ရပ်ဝန်းများ (separated spaces) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> တစ်ခုရှိ မတူညီသော အမှတ်အတွဲ <math>x, y \in X</math> တိုင်းအတွက် <math>x \in U</math> နှင့် <math>y \in V</math> ဖြစ်စေမည့် ဘုံမပါသော အဖွင့်စုများ (disjoint open sets) <math>U, V \subset X</math> တည်ရှိနေခြင်းသည် ထိုရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်သည်။ * ထောင့်ဖြတ် (diagonal) <math>\Delta(X) \subset X \times X</math> သည် [[အစုပိုင်း|အပိတ်စုပိုင်း]] (closed subset) တစ်ခုဖြစ်နေခြင်းသည် ရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>Y</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက <math>f</math> ၏ ဂရပ် (graph) သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>s : Y \to X</math> တို့သည် <math>f \circ s = \operatorname{id}_Y</math> ဖြစ်သော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ ဖြစ်ပြီး <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (image) <math>s(Y)</math> သည် အပိတ် ဖြစ်သည်။ * [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ]]ဖြစ်သော <math>X \to Z</math> နှင့် <math>Y \to Z</math> တို့အတွက် အကယ်၍ <math>Z</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fibre product) <math>X \times_Z Y</math> သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ၏ သဘောတရားကို အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များဆီသို့ ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ ထောင့်ဖြတ် <math>\Delta : X \to X \times_Y X</math> သည် အပိတ် ပုံဖော်မှု (closed map) တစ်ခုဖြစ်ပါက အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> ကို '''ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုသည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>\Delta(X) \subset X \times_Y X</math> သည် အပိတ်စုပိုင်း ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုအချက်သည် <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုတည်းသို့ ပုံဖော်ထားသော <math>X</math> အတွင်းမှ မည်သည့် မတူညီသော အမှတ်များ <math>x, x' \in X</math> မဆိုတွင် ဘုံမပါသော အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (disjoint open neighborhoods) ရှိရမည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့်လည်း ထပ်တူညီသည်။ * အကယ်၍ အရင်းအမြစ် (domain) <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> မဆိုသည် အလိုအလျောက် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သွားသည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>Y' \to Y</math> တစ်လျှောက်မဆိုရှိ ၎င်း၏ အခြေပြောင်းလဲခြင်း (base change) <math>Y' \times_Y X \to Y'</math> သည်လည်း ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |author=The Stacks project authors |title=Chapter 5: Topology |website=The Stacks project |url=https://stacks.math.columbia.edu/ |access-date=25 June 2026}} * {{Citation |last1=Bradley |first1=Tai-Danae |last2=Bryson |first2=Tyler |last3=Terilla |first3=John |title=Topology: A Categorical Approach |date=2020 |publisher=The MIT Press |isbn=978-0262539357}} [[Category:တိုပေါ်လော်ဂျီ]] torhxg0p1usrswn34eszgap840iuzmk 1040687 1040686 2026-06-25T06:32:48Z Mkant00 135890 1040687 wikitext text/x-wiki [[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|ခွက် နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲ (solid torus) တို့သည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ကြသည်။ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဆိုသည်မှာ ခွက်နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲတို့၏ အမှတ်များကြားရှိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] ပုံဖော်မှု (bijective mapping) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံတွင် အချိန်နှင့်အမျှ ပြောင်းလဲသွားသော ကြားခံပုံပန်းသဏ္ဌာန်များသည် ထိုပုံဖော်မှု၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သဘောတရားကို သရုပ်ဖော်ပြထားခြင်းသာ ဖြစ်သည်။]] '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology)''' သည် ရပ်ဝန်း (space) အတွင်းရှိ ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ တည်နေရာနှင့် အစီအစဉ်ကို လေ့လာသော ပညာရပ်ဖြစ်ပြီး သင်္ချာဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော အဓိကနယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အဆက်မပြတ် ပုံပျက်သွားခြင်းများ (continuous deformations) အောက်တွင် မပြောင်းမလဲဘဲ ကျန်ရှိနေသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) နှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) တို့၏ သဘောတရားများမှ ဆင်းသက်ပေါက်ဖွားလာခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ၎င်းသည် သီးခြားဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့ပြီး ယင်းကို လက်တင်ဘာသာဖြင့် တည်နေရာ ဂျီဩမေတြီ ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော geometria situs သို့မဟုတ် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော analysis situs ဟူ၍ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ ဆယ်စုနှစ်များစွာတိုင်အောင် တိုပေါ်လော်ဂျီကို အခြေခံကျသော ဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် အသိအမှတ်ပြုခဲ့ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းကို အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) နည်းတူ အခြားသော သင်္ချာနယ်ပယ်များစွာအတွက် ဒုတိယမြောက် မဏ္ဍိုင်ကြီးတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ဂျီဩမေတြီ၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis)၊ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နှင့် လီအုပ်စု သီအိုရီ (Lie group theory) တို့အတွက် အထူးပင် အရေးပါလှသည်။ ၎င်းသည် [[အစုသီအိုရီ]]နှင့် [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) တို့ကိုလည်း များစွာ အထောက်အကူပြု တိုးတက်စေခဲ့သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သဘောတရားမှာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် နီးစပ်မှု (nearness) ဟူသော အယူအဆကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalised) ဖြစ်ပြီး ထိုမှတစ်ဆင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း နှင့် [[စုဆုံမှတ်]] (limit) ကဲ့သို့သော သင်္ချာအယူအဆများကို ယေဘုယျပြုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံ အများအပြားကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း၏ တည်ဆောက်ပုံပေါ်တွင်သာ မူတည်နေသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ခေါ်ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် ပုံပျက်သွားခြင်းများ သို့မဟုတ် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာများအနေဖြင့် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်တစ်ခုကို ဆွဲဆန့်ခြင်း (stretching)၊ ချုံ့ခြင်း (squashing/shrinking)၊ ကွေးခြင်း (Bending)၊ ပုံပျက်စေခြင်း (Distorting) နှင့် လိမ်ခြင်း (Twisting) တို့ ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်သည်။ စက်လုံး (sphere) တစ်ခုနှင့် ကုဗတုံး (cube) တစ်ခုကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ခွဲခြား၍မရနိုင်ပေ။ ၎င်းတို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အတူ မုန့်လက်ကောက်အခဲ နှင့် လက်ကိုင်ကွင်းတစ်ခုပါသော ခွက်တို့သည်လည်း ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ အကြောင်းမှာ ၎င်းတို့အနက်မှ တစ်ခုကို အခြားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြတ်တောက်ခြင်းမရှိဘဲ အသွင်ပြောင်းနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် (torus) ၏ မျက်နှာပြင်သည် စက်လုံး၏ မျက်နှာပြင်နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီသဘောအရ ကွဲပြားခြားနားသည်။ စက်လုံးပေါ်ရှိ မည်သည့် မျဉ်းကွေးပိတ် (closed curve) ကိုမဆို အမှတ်တစ်ခုတည်းဖြစ်သွားရန် အဆက်မပြတ် ကျုံ့ယူသွားနိုင်သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် ပေါ်တွင်မူ မျဉ်းကွေးတိုင်းကို ထိုသို့ပြုလုပ်၍ မရနိုင်ပေ။ တိုပေါ်လော်ဂျီကို နယ်ပယ်ခွဲများအဖြစ် ထပ်မံခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းနယ်ပယ်ခွဲတို့တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology)၊ ဂျီဩမေတြီသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (geometric topology) အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂရပ်သီအိုရီ (topological graph theory) နှင့် အထုံးသီအိုရီ (knot theory) တို့ ပါဝင်သည်။ အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) ကို ဤနယ်ပယ်ခွဲများအားလုံး၏ အခြေခံအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းတွင် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် အလွန်ကွဲပြားခြားနားသော ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကိုပါ အထူးတလည် လေ့လာသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အခြားသော သင်္ချာကတ်တဂိုရီများတွင် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms) ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည့်အရာများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ (continuous mappings) သည် သဘောတရားကိုက်ညီမှု ရှိသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကြားတွင် မိမိကိုယ်တိုင်သာမက မိမိ၏ ပြောင်းပြန် [[ဖန်ရှင်]] (inverse function) ပါ အဆက်မပြတ်ဖြစ်နေသော [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ကို ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် အခြားသော ကတ်တဂိုရီများရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) နှင့် သဘောတရား တူညီသည်။ ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းများကို တိုပေါ်လော်ဂျီ နည်းလမ်းများဖြင့် ခွဲခြားမရနိုင်ပါ။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော ပြဿနာတစ်ခုမှာ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုသည် ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဆုံးဖြတ်ရန် ဖြစ်သည်။ ပို၍ ယေဘုယျကျကျဆိုရလျှင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ တည်ရှိခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဖြစ်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == '''တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space)''' <math>(X, \mathcal{T})</math> တစ်ခုတွင် [[အစု]] (set) <math>X</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ ပြည့်စုံသော <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (subsets) စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် <math>X</math> တို့သည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ အရေအတွက် အကန့်အသတ်မရှိ မည်မျှပင်များပြားစေကာမူ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပေါင်းစပ်စု (union) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ *<math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင်များ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစု (finite intersection) မဆိုသည် <math>\mathcal{T}</math> တွင် ပါဝင်သည်။ စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီကို နားလည်သဘောပေါက်ပြီးဖြစ်ပါက <math>(X,\mathcal{T})</math> အစား <math>X</math> ဟုသာ ရေးသားသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ၏ အစုဝင်များကို '''အဖွင့်စုများ (open sets)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အစုတစ်ခု၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) သည် အဖွင့်စု ဖြစ်မှသာလျှင် ထိုအစုကို '''အပိတ်စု (closed set)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) နှင့် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းအားလုံး]]ပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>2^X</math> သည် <math>X</math> အပေါ် '''တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အစု<math>\{\emptyset, X\}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology)''' သို့မဟုတ် '''အသေးအဖွဲ တိုပေါ်လော်ဂျီ (trivial topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === အကြမ်းတိုပေါ်လော်ဂျီ (coarse topology) နှင့် အသေးစိတ်တိုပေါ်လော်ဂျီ (fine topology) === တစ်ခါတရံတွင် အစုတစ်ခုတည်းအပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီ နှစ်ခုကို နှိုင်းယှဉ်နိုင်သည်။ <math>\mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}'</math> ဖြစ်သောအခါ တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>\mathcal{T}'</math> ထက် '''ပို၍ ကြမ်းသည် (coarser)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်ပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}'</math> ကို <math>\mathcal{T}</math> ထက် '''ပို၍ အသေးစိတ်သည် (finer)''' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ ကြမ်းသည် နှင့် အသေးစိတ်သည် တို့အစား အချို့က '''ပိုငယ်သည် (smaller)''' နှင့် '''ပိုကြီးသည် (larger)''' သို့မဟုတ် '''ပိုအားနည်းသည် (weaker)''' နှင့် '''ပိုအားကောင်းသည် (stronger)''' ဟု သုံးနှုန်းလေ့ရှိကြသည်။ == အခြေအစု (Basis) == လက်တွေ့တွင် တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုလုံးကို ဖော်ပြမည့်အစား ၎င်းကို ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်သည့် အရေအတွက်ပိုနည်းသော အဖွင့်စုများကိုသာ အသုံးပြု၍ ပို၍ လွယ်ကူစေသည်။ [[အစု]] <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] ပါဝင်သော စုစည်းမှု <math>\mathcal{B}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် '''အခြေအစု (basis)''' ဖြစ်ရန် အောက်ပါ အခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ *<math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် [[အစုဝင်]] <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ *အကယ်၍ <math>A, B \in \mathcal{B}</math> ဖြစ်ပြီး <math>x \in A \cap B</math> ဖြစ်ပါက <math>x \in C \subseteq A \cap B</math> ဖြစ်စေမည့် အစု <math>C \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။ အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ <math> \mathcal{T}</math> ဆိုသည်မှာ<math> \mathcal{B}</math> ကို ငုံထားသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီများအနက် အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ အခြားတစ်နည်းဆိုရသော် <math> U \subset X</math> သည် အခြေအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီတွင် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>U</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B \subseteq U</math> ဖြစ်စေမည့် <math>B \in \mathcal{B}</math> တစ်ခု ရှိနေခြင်းဖြစ်သည်။ <math>x \in B</math> ဖြစ်စေသော <math>\mathcal{B}</math> အတွင်းရှိ အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အခြေခံ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (basic open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> အတွင်းရှိ <math>x</math> ပါဝင်သော အစုများကို <math>x</math> ၏ '''အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းတို့အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\mathcal{T}_x</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (Metric spaces) === <math>X</math> သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသော ပုံဖော်မှု (mapping) <math>d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ရှိ '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric)''' ဟု ခေါ်သည်။ မည်သည့် <math>\varphi, \psi, \chi\in X</math> အတွက်မဆို *(M1) အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု (Positivity)၊ <math>d(\varphi,\psi)\ge0</math>။ *(M2) တိကျသေချာမှု (Definiteness)၊ <math>d(\varphi,\psi)=0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>\varphi=\psi</math> ဖြစ်သည်။ *(M3) အချိုးညီမှု (Symmetry)၊ <math>d(\varphi,\psi)=d(\psi,\varphi)</math>။ *(M4) တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality)၊ <math>d(\varphi,\psi)\le d(\varphi,\chi)+d(\chi,\psi)</math>။ ဤကဲ့သို့ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တပ်ဆင်ထားသော အစုစုံတွဲ <math>(X, d)</math> ကို '''[[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခု]]ဖြစ်သော <math>\varphi</math> နှင့် <math>r>0</math> တို့အတွက် အစု <math>\{B(\varphi;r)\}</math> ကို <math>\varphi</math> ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် <math>r</math> ရှိသော '''အဖွင့်စက်လုံး (open ball)''' ဟု ခေါ်သည်။ အဆိုပါ စက်လုံးများဖြစ်သော <math>\{B(\varphi;r)\}</math> အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် အခြေအစုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုတိုပေါ်လော်ဂျီကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ (metric topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ကြောင့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တစ်ခု ပါဝင်သော မည်သည့်အစုမဆိုသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ရှိသော ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အပေါ်တွင် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် <math>\mathcal{T}</math> တို့ ထပ်တူကျစေမည့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် <math>d</math> တစ်ခု ရှိနေပါက ထိုရပ်ဝန်း <math>Y</math> ကို '''အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်သည် (metrizable)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆိုသည်လည်း အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် သာမန် '''ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Euclidean distance function)''' ပါဝင်သော <math> \mathbb{R}^n</math> သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ အစုပိုင်းများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် ဥပမာကောင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် '''ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line)''' <math>\mathbb{R}</math> ၊ '''ယူနစ် အပိုင်းအခြား (unit interval)''' <math>I := [0,1]</math> ၊ '''အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး (closed unit ball)''' <math>\mathcal{D}^n := \{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n \mid x_1^2 + \ldots + x_n^2 \le 1\}</math> နှင့် '''အတိုင်းအတာ <math>n</math> ခုရှိသော စက်လုံးမျက်နှာပြင် (n-sphere)''' <math>S^n := \{(x_1, \ldots, x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x_1^2 + \ldots + x_{n+1}^2 = 1\}</math> တို့သည် အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း ဥပမာများ (Examples of topological spaces) == * မည်သည့် [[အစု]] <math>X</math> ကိုမဆို '''အဆုံးရှိဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cofinite topology)''' ဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ ၎င်းတွင် [[အစုပိုင်း]] <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်း၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) ဖြစ်သော <math>X \setminus U</math> သည် အဆုံးရှိအစု (finite set) ဖြစ်နေခြင်း သို့မဟုတ် <math>U = \emptyset</math> ဖြစ်နေခြင်း ဖြစ်သည်။ အလားတူပင် မည်သည့်အစုကိုမဆို ဖြည့်စွက်စုသည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) ဖြစ်နေသော အဖွင့်စုများပါဝင်သည့် '''ရေတွက်နိုင်သောဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cocountable topology)''' ဖြင့်လည်း ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ * ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နှင့် အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစု (one-point set) <math>\{*\}</math> တို့သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့၏ တိုပေါ်လော်ဂျီများသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) တိုပေါ်လော်ဂျီများ ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို <math>\emptyset \to X</math> နှင့် <math>X \to *</math> ဟူသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် ဖန်ရှင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြသည်။ <math>\mathbf{Set}</math> ကတ်တဂိုရီတွင်ကဲ့သို့ပင် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ_ရပ်ဝန်းများ_ကတ်တဂိုရီ|<math>\mathbf{Top}</math> ကတ်တဂိုရီ]]တွင် ဗလာအစုသည် [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်ပြီး အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစုသည် [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (terminal object) ဖြစ်သည်။ * ကိန်းစစ်မျဉ်း <math>\mathbb{R}</math> သည် သာမန်အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီအပြင် အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများကိုလည်း လက်ခံနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် <math>a < b</math> ဖြစ်သော <math>[a, b)</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများကို အခြေအစု (basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု ရှိသည်။ ၎င်းကို '''စုဆုံမှတ်အောက်ခြေ တိုပေါ်လော်ဂျီ (lower limit topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစု (totally ordered set) <math>X</math> တစ်ခုအတွက် <math>(a, b) = \{x \in X \mid a < x < b\}</math> ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများနှင့်အတူ <math>(a, \infty)</math> နှင့် <math>(-\infty, b)</math> တို့သည် '''အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (order topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ကိန်းစစ်အစု <math>\mathbb{R}</math> သည် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစုဖြစ်ပြီး ၎င်းအပေါ်ရှိ အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီသည် သာမန် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် ထပ်တူကျသည်။ * သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (integers) <math>\mathbb{Z}</math> အစုတို့ကို အများအားဖြင့် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီများ (discrete topologies) အဖြစ် သတ်မှတ်လေ့ရှိသော်လည်း အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများလည်း တည်ရှိသည်။ အထူးသဖြင့် <math>a \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math> နှင့် <math>b \in \mathbb{Z}</math> တို့အတွက် <math>S(a,b) = \{an+b \mid n \in \mathbb{N}\}</math> ပုံစံရှိ အစုများနှင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> တို့ကို အဖွင့်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ ဤတိုပေါ်လော်ဂျီကို အသုံးပြု၍ [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers) အနန္တတိုင် တည်ရှိကြောင်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။ * <math>R</math> သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring with unit) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\operatorname{spec} R</math> သည် <math>R</math> ၏ [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်|သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ]] (prime ideals) အစုဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>\operatorname{spec} R</math> အပေါ်ရှိ '''ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီ (Zariski topology)''' ကို <math>V(E) = \{p \in \operatorname{spec} R \mid E \subseteq p\}</math> ပုံစံရှိ အစုများကို အပိတ်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤနေရာတွင် <math>E</math> သည် <math>R</math> ၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆို ဖြစ်သည်။ * ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) <math>V</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဆိုသည်မှာ <math>\| \cdot \|: V \to \mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\Complex</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းစံနှုန်းသည် <math>\|v\| \ge 0</math> နှင့် <math>\|v\|=0 \iff v=0</math> ဖြစ်ခြင်း၊ <math>\|v+w\| \le \|v\| + \|w\|</math> ဖြစ်ခြင်း နှင့် <math>\|\alpha v\| = |\alpha| \|v\|</math> ဖြစ်ခြင်း စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ စံနှုန်းရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းသည် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု]]ဖြစ်ပြီး <math>d(\varphi,\psi) = \|\varphi-\psi\|</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အတိုင်းအတာအကန့်အသတ်ရှိသော (finite-dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်တွင် မည်သည့် စံနှုန်းကို ရွေးချယ်သည်ဖြစ်စေ သက်ဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ရုံသာမက လုံးဝတူညီသော ရပ်ဝန်းများပင် ဖြစ်ကြသည်။ == အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (Continuous function) == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုကြားရှိ [[ဖန်ရှင်]] <math>f: X \to Y</math> တစ်ခုသည် '''[[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function)''' ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>Y</math> အတွင်းရှိ <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်တိုင်း ၎င်း၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] (preimage) ဖြစ်သော <math>f^{-1}(U)</math> သည် <math>X</math> အတွင်း၌ အဖွင့်စု ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ မည်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) <math>\operatorname{id}_X: X \to X</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း စစ်ဆေးရန် လွယ်ကူသည်။ ထို့အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများဖြစ်သော <math>X</math>၊ <math>Y</math>၊ <math>Z</math> တို့နှင့် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်သော <math>f: X \to Y</math> နှင့် <math>g: Y \to Z</math> တို့အတွက် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သော <math>gf := g \circ f: X \to Z</math> သည်လည်း အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) နှင့်လည်း ပြည့်စုံသည်။ ဤအချက်များကို စုစည်းကြည့်ပါက တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် <math>\mathbf{Top}</math> ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Topological properties) == သင်္ချာဘာသာရပ်သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]]အောက်တွင် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို အဓိကထားလေ့လာလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ဆိုသည်မှာ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည့် ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့သော ဂုဏ်သတ္တိများကို '''တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (topological properties)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ရပ်ဝန်းတစ်ခုနှင့်တစ်ခုကို ခွဲခြားရာတွင် အသုံးပြုသည်။ အကယ်၍ <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်ပြီး <math>X</math> တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ရှိနေပါက <math>Y</math> တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် <math>X</math> တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု မရှိပါက <math>Y</math> တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ မရှိနိုင်ပါ။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: X \to Y</math> မဆိုသည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကို အစုများအနေဖြင့် ကြည့်လျှင် အရွယ်အစား တူညီရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်ခြင်း (metrizability) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဆက်စပ်နေမှု (connectedness)၊ ကျစ်လျစ်မှု (compactness)၊ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်မှု (Hausdorff)၊ ပထမအကြိမ် ရေတွက်နိုင်မှု (first countability) စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများသည်လည်း အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ သို့သော် ဂုဏ်သတ္တိတိုင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ ဖြစ်သည်ဟု မဆိုနိုင်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) တိုင်း စုဆုံသည်ဆိုပါက ထိုအကွာအဝေး ရပ်ဝန်းကို ပြည့်စုံသော [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (complete metric space) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သို့သော် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ခြင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ပါ။ သက်သေပြရမည်ဆိုလျှင် <math>(-1, 1) \to \mathbb{R}</math> သို့ ပုံဖော်ထားသော <math>x \mapsto \frac{x}{1-x^2}</math> သည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>(-1, 1)</math> သည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤဥပမာအရ အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (boundedness) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်သည် အကန့်အသတ်ရှိသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပါက ထိုရပ်ဝန်းကို အကန့်အသတ်ရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သိသာထင်ရှားစွာပင် <math>(-1, 1)</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိသော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် အကန့်အသတ်မရှိပါ။ == ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ နှင့် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Hausdorff spaces and Separated maps) == === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ၏ အရေးပါသော အတန်းအစားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းရပ်ဝန်းများတွင် အမှတ်များကို ပတ်ဝန်းကျင်များ (neighborhoods) ဖြင့် ခွဲခြားထားနိုင်သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများကို ခွဲခြားနိုင်သော ရပ်ဝန်းများ (separated spaces) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> တစ်ခုရှိ မတူညီသော အမှတ်အတွဲ <math>x, y \in X</math> တိုင်းအတွက် <math>x \in U</math> နှင့် <math>y \in V</math> ဖြစ်စေမည့် ဘုံမပါသော အဖွင့်စုများ (disjoint open sets) <math>U, V \subset X</math> တည်ရှိနေခြင်းသည် ထိုရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်သည်။ * ထောင့်ဖြတ် (diagonal) <math>\Delta(X) \subset X \times X</math> သည် [[အစုပိုင်း|အပိတ်စုပိုင်း]] (closed subset) တစ်ခုဖြစ်နေခြင်းသည် ရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>Y</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက <math>f</math> ၏ ဂရပ် (graph) သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>s : Y \to X</math> တို့သည် <math>f \circ s = \operatorname{id}_Y</math> ဖြစ်သော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ ဖြစ်ပြီး <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (image) <math>s(Y)</math> သည် အပိတ် ဖြစ်သည်။ * [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ]]ဖြစ်သော <math>X \to Z</math> နှင့် <math>Y \to Z</math> တို့အတွက် အကယ်၍ <math>Z</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fibre product) <math>X \times_Z Y</math> သည် <math>X \times Y</math> အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။ === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) === ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ၏ သဘောတရားကို အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များဆီသို့ ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ ထောင့်ဖြတ် <math>\Delta : X \to X \times_Y X</math> သည် အပိတ် ပုံဖော်မှု (closed map) တစ်ခုဖြစ်ပါက အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> ကို '''ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုသည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>\Delta(X) \subset X \times_Y X</math> သည် အပိတ်စုပိုင်း ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုအချက်သည် <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုတည်းသို့ ပုံဖော်ထားသော <math>X</math> အတွင်းမှ မည်သည့် မတူညီသော အမှတ်များ <math>x, x' \in X</math> မဆိုတွင် ဘုံမပါသော အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (disjoint open neighborhoods) ရှိရမည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့်လည်း ထပ်တူညီသည်။ * အကယ်၍ အရင်းအမြစ် (domain) <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> မဆိုသည် အလိုအလျောက် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သွားသည်။ * အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု <math>Y' \to Y</math> တစ်လျှောက်မဆိုရှိ ၎င်း၏ အခြေပြောင်းလဲခြင်း (base change) <math>Y' \times_Y X \to Y'</math> သည်လည်း ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |author=The Stacks project authors |title=Chapter 5: Topology |website=The Stacks project |url=https://stacks.math.columbia.edu/ |access-date=25 June 2026}} * {{Citation |last1=Bradley |first1=Tai-Danae |last2=Bryson |first2=Tyler |last3=Terilla |first3=John |title=Topology: A Categorical Approach |date=2020 |publisher=The MIT Press |isbn=978-0262539357}} [[Category:တိုပေါ်လော်ဂျီ]] p4fngdh6mu7htgq9s26izwcui22ab6x 0 76065 1040633 809827 2026-06-24T22:51:25Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1040633 wikitext text/x-wiki {{Infobox Galaxy | name = [[New General Catalogue|NGC]] 7010 | image =NGC7010 - SDSS DR14.jpg| caption = Elliptical galaxy NGC 7010. | epoch = [[J2000]] | type = E5 or E/S0<ref name="ned">{{cite web | title=NASA/IPAC Extragalactic Database | work=Results for NGC 7010 | url=http://nedwww.ipac.caltech.edu/ | accessdate=2017-05-06 }}</ref> | ra = {{RA|21|04|39}}<ref name="ned" /> | dec = {{DEC|-12|20|16}}<ref name="ned" /> | dist_ly = 390 [[အလင်းနှစ်|Mly]] | z =0.0283/8,486 km/s<ref name="ned" /> | appmag_v = 13.0<ref name="ned" /> | size_v =1.9' x 1'<ref name="ned" /> | constellation name= [[ကုံ နက္ခတာရာ]] | names = IC 5082, MCG -2-53-24, NPM1G -12.0537, PGC 66039.<ref name="ned" /> }} '''NGC 7010''' သည် နှစ်ဘက်ခုံး<ref name=":1" /> သို့မဟုတ် ဘဲဥပုံစံ<ref name=":2" /> ဂလက်ဆီဖြစ်ပြီး [[ကုံ နက္ခတာရာ]]မှ [[အလင်းနှစ်]] ၃၉၀ မီလီယံအကွာ၌ တည်ရှိသည်။<ref name=":2">{{Cite web|url=https://dso-browser.com/deep-sky/8197/ngc-7010/galaxy|title=Galaxy NGC 7010 Deep Sky Objects Browser|last=Rojas|first=Sebastián García|date=|website=DSO Browser|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20170807070604/https://dso-browser.com/deep-sky/8197/ngc-7010/galaxy|archive-date=7 August 2017|dead-url=|access-date=2017-05-06}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|url=http://ned.ipac.caltech.edu/cgi-bin/objsearch?objname=NGC+7010&extend=yes&hconst=73&omegam=0.27&omegav=0.73&corr_z=1&out_csys=Equatorial&out_equinox=J2000.0&obj_sort=RA+or+Longitude&of=pre_text&zv_breaker=30000.0&list_limit=5&img_stamp=YES|title=Your NED Search Results|last=|first=|date=|website=ned.ipac.caltech.edu|archive-url=https://web.archive.org/web/20230603040507/http://ned.ipac.caltech.edu/cgi-bin/objsearch?objname=NGC+7010&extend=yes&hconst=73&omegam=0.27&omegav=0.73&corr_z=1&out_csys=Equatorial&out_equinox=J2000.0&obj_sort=RA+or+Longitude&of=pre_text&zv_breaker=30000.0&list_limit=5&img_stamp=YES|archive-date=3 June 2023|dead-url=|access-date=2017-05-06|url-status=dead}}</ref> NGC 7010 ၏ ရေဒီယယ် အလျင်မှာ ၈၄၈၆ km/s ဟုတွက်ချက်ထားပြီး <ref name=":0" /> ၁၈၂၃ ဩဂုတ်လ ၆ ရက်တွင် [[ဂျွန် ဟာရှယ်]]ဆိုသူက ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။<ref name=":1">{{Cite web|url=http://cseligman.com/text/atlas/ngc70.htm|title=New General Catalog Objects: NGC 7000 - 7049|website=cseligman.com|language=en-US|access-date=2017-05-08}}</ref> ==ပြင်ပလင့်== {{WikiSky}} ==ကိုးကား== {{Reflist}} <!-- Inline citations added to your article will automatically display here. See https://en.wikipedia.org/wiki/WP:REFB for instructions on how to add citations. --> [[ကဏ္ဍ:ကုံ နက္ခတ်တာရာ]] {{Galaxy-stub}} cc47zku4wr0iyji3njwnp6qx9yhzvse 0 76481 1040784 1039631 2026-06-25T11:57:31Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1040784 wikitext text/x-wiki {{Infobox officeholder|honorific-prefix=[[The Honourable]]|name=Paolo Gentiloni|honorific-suffix=[[:en:Member of Parliament|MP]]|image=Paolo Gentiloni EP Parliament (cropped).jpg|office2=[[:en:Ministry of Communications (Italy)|Minister of Communications]]|predecessor2=Mario Landolfi|primeminister2=Romano Prodi|successor2=Claudio Scajola {{small|([[:en:Ministry of Economic Development (Italy)|Economic Development]])}}|term_end2=8 May 2008|term_start2=17 May 2006|party=[[:en:Democratic Party (Italy)|Democratic Party]] {{small|(2007–present)}}|office=[[:en:List of Prime Ministers of Italy|၅၇ ယောက်မြောက်]] [[:en:Prime Minister of Italy|အီတလီ ဝန်ကြီးချုပ်]]|predecessor=Matteo Renzi|president=Sergio Mattarella|term_start=12 December 2016|office1=[[:en:Italian Minister of Foreign Affairs|Minister of Foreign Affairs]]|predecessor1=Federica Mogherini|primeminister1=Matteo Renzi|successor1=Angelino Alfano|term_end1=12 December 2016|term_start1=31 October 2014|constituency3=[[:en:Piedmont|Piedmont 2]] {{small|(2001–2006)}}<br>[[:en:Lazio|Lazio 1]] {{small|(2006–present)}}|office3=Member of the [[:en:Chamber of Deputies (Italy)|Chamber of Deputies]]|term_start3=30 May 2001|birth_name=Paolo Gentiloni Silveri|birth_date={{birth date and age|1954|11|22|df=y}}|birth_place=[[ရောမမြို့]], [[အီတလီနိုင်ငံ]]|otherparty=[[:en:Democracy is Freedom – The Daisy|The Daisy]] {{small|(2002–2007)}}|spouse=Emanuela Mauro<ref>{{Cite web |title=Chi è Emanuela Mauro, la moglie di Paolo Gentiloni |url=http://www.liberoquotidiano.it/gallery/personaggi/12248201/chi-e-emanuela-mauro--la-moglie-di-paolo-gentiloni.html |accessdate=23 May 2017 |archivedate=10 July 2017 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170710004928/http://www.liberoquotidiano.it/gallery/personaggi/12248201/chi-e-emanuela-mauro--la-moglie-di-paolo-gentiloni.html }}</ref>|residence=Palazzo Chigi|alma_mater=[[:en:Sapienza University of Rome|Sapienza University]]|profession={{Hlist|Journalist|politician}}|signature=Gentiloni firma.svg}}'''ပေါင်လို ဂျင့်ထိလွန်းနီ ဆီးလဗားရိ'''<ref>{{cite web|url=http://www.camera.it/leg17/29?shadow_deputato=300637&idpersona=300637&idlegislatura=17|website=Camera dei Deputati - Paolo Gentiloni Silveri|title=Camera dei Deputati- Paolo Gentiloni Silveri}}</ref> ({{IPA-it|ˈpaːolo dʒentiˈloːni}}; ၂၂ နိုဝင်ဘာ ၁၉၅၄ မွေး) ၂၀၁၆ ဒီဇင်ဘာက ၁၂ ကတည်းက အီတလီဝန်ကြီးချုပ် ဖြစ်ခဲ့သော အီတလီနိုင်ငံရေးသမား ဖြစ်သည်။<ref name="cor2">{{cite news|last1=Rovelli|first1=Michela|title=Governo, Gentiloni accetta l'incarico di governo: «Un grande onore»|url=http://www.corriere.it/la-crisi-di-governo/notizie/crisi-governo-sergio-mattarella-convoca-gentiloni-quirinale-6b7c7ed8-bf78-11e6-ab31-2a5a06e0ce0a.shtml|accessdate=11 December 2016|publisher=Corriere della Sera|date=11 December 2016}}</ref> သမ္မတ ဆာဂျီယို မတ္တာရဲလာ က သူ့ကို အစိုးရသစ် ဖွဲ့ရန် ပြောဆိုသည့် အချိန်တွင်၊ ဂျင့်ထိလွန်းနီသည် ဒီမိုကရက်တစ်ပါတီဝင် တဦးအနေနှင့် ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၄ မှ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၆ တိုင်အောင် နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်နေခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.europaquotidiano.it/2014/10/31/chi-e-paolo-gentiloni-nuovo-ministro-degli-esteri/|title=Chi è Paolo Gentiloni, nuovo ministro degli esteri|author=|date=|publisher=|accessdate=24 October 2016|archivedate=2 August 2016|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160802143331/http://www.europaquotidiano.it/2014/10/31/chi-e-paolo-gentiloni-nuovo-ministro-degli-esteri/}}</ref> ထိုမတိုင်ခင်က ရိုမန်နို ပရိုဒီ၏ ဒုတိယအစိုးရသက်တမ်းအတွင်း ၂၀၀၆ မှ ၂၀၀၈ အထိ ဆက်ဆံရေးဝန်ကြီး ဖြစ်ခဲ့သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် မိသားစု == [[:en:Count|ကောင့်]]ဘွဲ့ရ ဂျင့်ထိလွန်းနီ ဆီးလဗားရိ၏ မျိုးဆက်တယောက် ဖြစ်သော သူသည် ကွန်ဆာဗေးတစ် ကက်သလစ် ရွေးကောက်သမဂ္ဂ၏ ခေါင်းဆောင်လည်း ဖြစ်၊ သက်တမ်းကြာဝန်ကြီးချုပ် [[:en:Giovanni Giolitti|ဂျီအိုဗန်းနိ ဂျီအိုလစ်ထ်]]၏ အရေးပါ အရာရောက်သူလည်း ဖြစ်သော အီတလီ နိုင်ငံရေးသမား [[:en:Vincenzo Ottorino Gentiloni|ဗင်းဆင်ဇို အောတ္တာရိနို ဂျင့်ထိလွန်းနီ]]နှင့် ဆက်စပ်နေသည်(ဆွေမျိုး နည်းနည်းတော်သည်)။ ဂျင့်ထိလွန်းနီတွင် [[:en:Filottrano|ဖိုင်းလိုထြာနို]][[:en:Nobile|မျိုးမြင့်သူဘွဲ့]]၊ [[:en:Cingoli|စင်ဂိုးလီ]][[:en:Nobile|မျိုးမြင့်ဘွဲ့]]၊ [[:en:Macerata|မာ့ဆာရားထာ]]မျိုးရိုးဘွဲ့များ ရှိသည်။ [[ရောမမြို့]]၌ မွေးသော သူသည် မြို့ထဲက ဂန္ထဝင်ကျောင်း လိုင်ဆီယံ တောကွာတို တာ့ဆိုကို တက်ရောက်ပြီး၊ [[:en:La Sapienza University|လာ ဆာပီယင်းဇာ တက္ကသိုလ်]]၌ [[နိုင်ငံရေးသိပ္ပံ]]ဘွဲ့ရသည်။ နိုင်ငံရေးမလုပ်မီက ဂျင့်ထိလွန်းနီသည် ပရို [[:en:journalist|ဂျာနယ်လစ်]]တဦး ဖြစ်ခဲ့သည်။ == အစောပိုင်း နိုင်ငံရေးဘဝ == မာရီယို ခပဲနာ ဦးဆောင်သည့် အစွန်းရောက် လက်ဝဲယိမ်း လူငယ်အဖွဲ့အစည်း ဖြစ်သော <nowiki>'''ကျောင်းသားလှုပ်ရှားမှု'''</nowiki>၏ အဖွဲ့ဝင် ဖြစ်ခဲ့ပြီး၊<ref>{{cite news|last1=Trocino|first1=Alessandro|title=Gentiloni, Mario Capanna: «Negli anni 70 Paolo era con noi ma neanche mi accorsi di lui»|url=http://www.corriere.it/la-crisi-di-governo/notizie/negli-anni-70-paolo-era-noi-ma-neanche-mi-accorsi-lui-742288ca-c121-11e6-ba45-25063c27d0aa.shtml|accessdate=14 December 2016|publisher=Corriere della Sera|date=13 December 2016|language=Italian}}</ref> ခပဲနာက ပစ္စည်းမဲ့(လူတန်းစား)ဒီမိုကရက်တစ်ပါတီ(Proletarian Democracy Party)ကို တည်​ထောင်လိုက်သည့်အခါ မလိုက်ပါတော့ဘဲ [[ဆိုရှယ်လစ်ဝါဒ]]အတွက် အလုပ်သမားလှုပ်ရှားမှုတွင် ပါဝင်လေသည်။ ထိုနှစ်များအတွင်း ဂျင့်ထိလွန်းနီသည် လယ်ဂံဘီယင့်တီ၏ တရားဝင်သတင်းစာ ဖြစ်သော လာ နျိုဗာ အီကိုလိုဂျီယာ(<nowiki>''The New Ecology''</nowiki>)၏ ဒါရိုက်တာ ဖြစ်အောင် သူ့ကို ကူညီပေးသော ချစ်ကို တက်စတာ၏ ခင်မင်ရင်းနှီးသော သူငယ်ချင်း ဖြစ်လာသည်။ ဤသတင်းစာ၏ ဒါရိုက်တာ တယောက်အဖြစ်ဖြင့် သူသည် ဂရင်းဖယ်ဒရေးရှင်း၏လူငယ်ခေါင်းဆောင် ဖရန့်စဲစကို ရုထယ်လီနှင့် တွေ့ခဲ့သည်။ === ရောမ မြို့ကောင်စီ === ၁၉၉၃ ၌၊ ရောမမြို့တော်ဝန် ဖြစ်လာရန် စည်းရုံးရေးဝယ် သူသည် ရုထယ်လီ၏ ပြောရေးဆိုခွင့်ရှိသူ တဦး ဖြစ်လာသည်၊ ရွေးကောက်ပွဲ ပြီးသော်၊ ဂျီယံဖရန်ကိုဖိနီ ဦးဆောင်သော လက်ယာယိမ်း ယာယီညွန့်ပေါင်းအဖွဲ့ကို ရုထယ်လီတို့က အကြီးအကျယ် အောင်ပွဲဆင်နိုင်ခဲ့ပြီး၊ ဂျင့်ထိလွန်းနီသည် ရောမမြို့ကောင်စီတွင် ဂျူဘလီနှင့် တိုးရစ်ဇင် ကောင်စီဝင် ခန့်အပ်ခံရသည်။ === ပါလီမန်ဝင်နှင့် ဝန်ကြီး === ၂၀၀၁ အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲတွင်၊ ဂျင့်ထိလွန်းနီသည် ပါလီမန်ဝင်အဖြစ် ရွေးကောက်ခံရကာ၊ နိုင်ငံရေးသမားဘဝ စတင်သည်။ ၂၀၀၂ တွင် ဒေစီပါတီ ထူထောင်သူဝင် တဦး ဖြစ်ခဲ့ပြီး၊ ပါတီ၏ လူမှုဆက်ဆံရေး ပြောရေးဆိုခွင့်အဖြစ် ငါးနှစ်ကြာ လုပ်ခဲ့သည်။<ref>[http://www.partitodemocratico.it/utenti/profilo.htm?id=2707 Profilo personale.]</ref> ၂၀၀၅ မှ ၂၀၀၆ ထိ၊ ရုပ်သံလွှင့်ဌာန စောင့်ကြည့်ရေးကော်မတီ ချယ်ယာမင်ဥက္ကဋ္ဌ ဖြစ်၊ ပြည်သူပိုင် နိုင်ငံ့အသံလွှင့်ဌာန အာအေအိုင်(RAI)၏ လှုပ်ရှားမှုကို ကော်မတီက ကွပ်ကဲသည်။ <ref name="auto">Paolo Biondi and Roberto Landucci (October 31, 2014), [http://www.reuters.com/article/italy-politics-foreign-minister-idUSL5N0SQ39A20141031 Italy PM picks Paolo Gentiloni as new foreign minister in surprise choice] ''[//en.wikipedia.org/wiki/Reuters Reuters]''.</ref> [[File:Paolo_Gentiloni_2006.jpg|right|thumb|228x228px|Gentiloni in 2006]] ဘိုလော့ညာလူမျိုး စီးပွားရေးပညာရှင် ရိုမန်နို ပရိုဒီ ဦးဆောင်သော နိုင်ငံရေးညွန့်ပေါင်းအဖွဲ့ ဖြစ်သည့် သံလွင်ပင်အဖွဲ့၏ အဖွဲ့ဝင်အဖြစ် ၂၀၀၆ ရွေးကောက်ပွဲ၌ ပြန်အရွေးခံရသည်။ လက်ဝဲမယိမ်းတယိမ်းတို့ အောင်မြင်ပြီးနောက်၊ ၂၀၀၆ မှ ၂၀၀၈ အထိ ဂျင့်ထိလွန်းနီသည် ပရိုဒီ၏ ဒုတိယအစိုးသက်တမ်းတွင် ဆက်ဆံရေးဝန်ကြီးအဖြစ် အမှုထမ်းသည်။<ref>Giada Zampano (October 31, 2014), [https://www.wsj.com/articles/italys-prime-minister-names-paolo-gentiloni-as-foreign-minister-1414783315 Italy’s Prime Minister Names Paolo Gentiloni as Foreign Minister] ''[//en.wikipedia.org/wiki/Wall_Street_Journal Wall Street Journal]''.</ref> ၂၀၀၇ တွင် ဒီမိုကရက်တစ်ဆိုရှယ်လစ်သမဂ္ဂ (လက်ဝဲဒီမိုကရက်တစ်များ)နှင့် ခရစ်ယာန်လက်ဝဲဝါဒီ (ဒေစီ)တို့ တည်ထောင်သော ဒီမိုကရက်တစ်ပါတီကို ထူထောင်သူ ကော်မတီဝင် ၄၅ ဦးထဲမှ တဦး ဖြစ်သည်။ ၂၀၀၈ အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ၌ ပြန်အရွေးခံရသည်။ ဆယ်လ်ဗီယို ဘာလူစကိုနီ ဦးဆောင်သော ကွန်ဆာဗေးတစ်ညွန့်ပေါင်း၏ အောင်မြင်မှု ဖြစ်သည်။ ၆ ဧပြီ ၂၀၁၃ ၌ ရောမမြို့တော်ဝန် ဖြစ်ရန်အတွက် လက်ဝဲမယိမ်းတယိမ်းကို ရွေးချယ်ရန် ဝင်ပြိုင်ရာ၊ မြို့တော်ဝန် ဖြစ်လာခဲ့သူ အဂ္ဂနာဇီယို မာရီနိုနှင့် ဂျာနယ်လစ် ဒေးဗစ် ဆက်ဆိုလီတို့နောက် တတိယ လိုက်ခဲ့သည်။ <ref>{{cite web|url=http://www.firstonline.info/a/2013/04/08/primarie-pd-a-roma-stravince-marino-secondo-sassol/817bc555-db1c-4917-beff-b446aa0e4f00|title=Primarie Pd, a Roma stravince Marino: secondo Sassoli, terzo Gentiloni|author=|date=|publisher=|accessdate=24 October 2016}}</ref> အမြဲတမ်းကော်မတီအတွင်းရေးမှူးချုပ် ပီးယာ လူးဝီဂီ ဘာဆနီ ဦးဆောင်သော လက်ဝဲမယိမ်းတယိမ်း(Centre-left) အီတလီညွန့်ပေါင်းအဖွဲ့(coalition '''Italy. Common Good''')၏ တစိတ်တဒေသအဖြစ်၊ ၂၀၁၃ အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ၌ ဝန်ကြီးအဖွဲ့(The Chamber of Deputies)၌ ပါဝင်ရန် ထပ်အရွေးခံရသည်။ ၂၀၁၃ ၌၊ အတွင်းရေးမှူအဖြစ်မှ ဘာဆနီ နုတ်ထွက်သွားပြီးနောက်၊ ဖလော့ရင်မြို့တော်ဝန် ဖြစ်သူ မတ္တီယို ရင်ဇီကို ဒီမိုကရက်တစ်ပါတီ ခေါင်းဆောင်ရွေးပွဲ၌ ထောက်ခံပေးခဲ့သည်။ == နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး == [[File:Secretary_Kerry_Speaks_to_the_Press_(27639382360).jpg|right|thumb|250x250px|Gentiloni with U.S. Secretary of State John Kerry in [[ရောမမြို့|Rome]], June 2016.]] ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၄ တွင် ဂျင်းထိလွန်းနီသည် ဝန်ကြီးချုပ် မတ္တီယို ရင်ဇီက နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးအဖြစ် ခန့်အပ်ခြင်း ခံရကာ၊ နိုင်ငံခြားရေးသမဂ္ဂနှင့် လုံခြုံရေးပေါ်လစီ၏ အထက်လွှတ်တော်အမတ် ဖြစ်သွားသူ ဖယ်ဒရီးကာ မိုဂါးရိနီ နေရာ၌ ဆက်ခံရသည်။<ref>{{cite web|url=http://www.repubblica.it/politica/2014/10/31/news/renzi_ministro_esteri-99422968/|title=Gentiloni giura al Quirinale, è il nuovo ministro degli Esteri: "Governo dev'essere all'altezza"|author=|date=31 October 2014|publisher=|accessdate=24 October 2016}}</ref> အီတလီတာဝန်ယူထားသော ဥရောပသမဂ္ဂ၏ အလှည့်ကျ ကောင်စီဥက္ကဋ္ဌသက်တမ်း ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၄ တွင် မကုန်ဆုံးမီ နှစ်လကြာ ရုံးတာဝန် ယူခဲ့သည်။ ရာထူး ခန့်အပ်ချိန်တွင်၊ ဂျင့်ထိလွန်းနီသည် ရွေးကောက်ခံသူအဖြစ် နိုင်ငံရေးလောက၌ ဖော်ပြမခံခဲ့ရ။ ၁၆ ဦးပါ ဝန်ကြီးအဖွဲ့အတွင်း ကျားမအချိုးအစား ညီညွတ်ရေးအတွက် မိုဂါးရိနီနေရာ၌ အခြား အမျိုးသမီးကို အစားထိုးလိုသည်ဟု ရင်ဇီက ကြေညာခဲ့သည်။ အလားတူပင် ဂျင့်ထိလွန်းနီသည် နိုင်ငံတကာ သံတမန်ရေး၌ ကျွမ်းကျင်သူဟုလည်း မထင်ရှားခဲ့ပေ။(ကျွမ်းကျင်သူ မဟုတ်ဟု ဆိုလို) ၁၃ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၁၅ စကိုင်း တီဂျီ၂၄ လိုင်း၏ အင်တာဗျူးဝယ်၊ ဂျင်းထိလွန်းနီက ပြောသည်မှာ "လိုအပ်ရင် အီတလီက အိုင်အက်စ်ဆိုတာကို ဆန့်ကျင်ပြီး လစ်ဗျားကို တိုက်ဖို့ အဆင်သင့်ပဲ၊ ဘာကြောင့်လဲဆိုတော့ အီတလီကနေ နာရီအနည်းငယ်အတွင်းမှာ လှေနဲ့ အချိန်မရွေး အကြမ်းဖက်ခြိမ်းခြောက်မှုတွေ ရှိတယ်ဆိုတဲ့ စိတ်ကူးကို အီတလီအစိုးရကနေ လက်မခံနိုင်လို့ပဲ"ဟူ၍ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web|url=https://en-maktoob.news.yahoo.com/italy-ready-fight-libya-needed-foreign-minister-202348452.html|title=Italy "ready to fight" in Libya if needed - foreign minister|author=|date=|publisher=|accessdate=24 October 2016|archive-date=17 November 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20151117061744/https://en-maktoob.news.yahoo.com/italy-ready-fight-libya-needed-foreign-minister-202348452.html|url-status=dead}}</ref> နောက်တနေ့တွင် ဂျင့်ထိလွန်းနီသည် အိုင်အက်စ်တို့ ခြိမ်းခြောက်ခြင်းကို ခံရပြီး၊ ရန်သူနိုင်ငံ၏ လမ်းပြဝန်ကြီး ဖြစ်နေပြီဟု စွပ်စွဲလိုက်သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.repubblica.it/esteri/2015/02/14/news/is_isis_terrorismo_radio_dello_stato_islamico_cita_gentiloni_ministro_dell_italia_crociata-107316671/?ref=HREC1-2|title=Terrorismo, radio dello Stato islamico cita Gentiloni: "Ministro dell'Italia crociata"|author=|date=14 February 2015|publisher=|accessdate=24 October 2016}}</ref> [[File:President_Rouhani_in_meeting_with_Italian_FM_Paolo_Gentiloni_04.jpg|left|thumb|Gentiloni with the Iranian President Hassan Rouhani.]] မတ် ၂၀၁၅ တွင် မက္ကဆီကိုနှင့် ကျူးဘားသို့ လည်ပတ်ကာ၊ ကျူးဘားသမ္မတ ရော် ကက်စထြိုနှင့် တွေ့ဆုံပြီး ကျူးဘားနှင့် အမေရိကန်ကြား ဆက်ဆံရေး ပြေလည်အောင် အီတလီမှ အကူအညီ ပေးမည် ဖြစ်ကြောင်း ဆွေးနွေးခဲ့သည်။ <ref>{{cite web|url=http://www.lastampa.it/2015/03/13/esteri/gentiloni-incontra-raul-castro-a-cuba-3GsQ6rj8utBQ67S0IpG2RN/pagina.html|title=Gentiloni incontra Raul Castro a Cuba|author=|date=|publisher=|accessdate=24 October 2016|archive-date=31 July 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150731053208/http://www.lastampa.it/2015/03/13/esteri/gentiloni-incontra-raul-castro-a-cuba-3GsQ6rj8utBQ67S0IpG2RN/pagina.html|url-status=dead}}</ref> ၁၁ ဇူလိုင် ၂၀၁၅ ဝယ်၊ အီဂျစ်နိုင်ငံ၊ မြို့တော် ကိုင်ရိုရှိ အီတလီကောင်စစ်ဝန်ရုံးအပြင်ဘက်တွင် ကားဗုံးပေါက်ကွဲရာ၊ အနည်းဆုံ း တဦးသေဆုံး၊ လေးဦး ဒဏ်ရာရရာ၊ အိုင်အက်စ်မှ မိမိတို့ လက်ချက်ဟု ကြေညာသည်။<ref>{{cite web|url=https://www.dailystar.com.lb/News/Middle-East/2015/Jul-11/306244-isis-claims-responsibility-for-bomb-attack-against-italian-consulate-in-cairo.ashx|title=ISIS claims responsibility for bomb attack against Italian consulate in Cairo &#124; News , Middle East|publisher=The Daily Star|date=2015-07-06|accessdate=2015-07-11}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.bbc.com/news/world-middle-east-33491512|title=Islamic State 'behind blast' at Italian consulate in Cairo - BBC News|publisher=Bbc.com|date=|accessdate=2015-07-11}}</ref><ref>{{cite web|author=|url=http://edition.cnn.com/2015/07/11/middleeast/egypt-cairo-explosion/index.html|title=1 dead in car bomb blast at Italian Consulate in Egypt - CNN.com|publisher=Edition.cnn.com|date=|accessdate=2015-07-11}}</ref> နေ့ချင်းပင်၊ ဂျင့်ထိလွန်းနီက အီတလီက ကြောက်သေးပါမည် မဟုတ်၊ အကြမ်းဖက်ဝါဒကို ဆက်လက် တိုက်ဖျက်သွားမည်ဟု ဆိုလိုက်သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.business-standard.com/article/pti-stories/italy-not-intimidated-by-cairo-consulate-attack-minister-115071100255_1.html|title=Italy not 'intimidated' by Cairo consulate attack: Foreign Minister Paolo Gentiloni|first=|last=AFP/PTI|date=11 July 2015|publisher=|accessdate=24 October 2016|via=Business Standard}}</ref> ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၅ တွင်၊ ပြည်တွင်းစစ်ဆင်နွဲနေသော လစ်ဗျား၏ နှစ်ဘက် အစိုးရမှ ကိုယ်စားလှယ်များကို ဖိတ်ခေါ်ပြီး ရောမ၌ ငြိမ်းချမ်းရေးဆွေးနွေးပွဲကို ကျင်းပပေးခဲ့ကာ၊ ကုလသမဂ္ဂ၊ အမေရိကန်နှင့် ရုရှားမှ ကိုယ်စားလှယ်များကိုပါ ဖိတ်ခေါ်ခဲ့သည်။ <ref>{{cite news|title=Heads of rival Libyan parliaments meet in Malta, seek more time for unity government|url=http://www.timesofmalta.com/articles/view/20151215/local/fresh-attempt-for-rival-libyan-governments-to-meet-in-malta.595842|accessdate=16 December 2015|work=Times of Malta|date=15 December 2015}}</ref> [[File:EU_High_Representative_for_Foreign_Affairs_Mogherini_Addresses_Students_at_Tufts_University_in_Massachusetts_(29867259846).jpg|right|thumb|250x250px|Gentiloni with Boris Johnson and Federica Mogherini in September 2016.]] နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးတယောက်အဖြစ် ဂျင့်ထိလွန်းနီသည် အီတလီနိုင်ငံသားများ၏ လုပ်ရပ်အမျိုးမျိုးကို ကြုံတွေ့ရသည်။ ဇန်နဝါရီ ၂၀၁၅ တွင် ဆီးရီးယားအကြမ်းဖက်များက ၁၆၈ ရက်ကြာ ဓားစာခံအဖြစ် ဖမ်းဆီးခြင်း ခံရသည့် ဗာနစ္ဆာ မာဇူးလိုနှင့် ဂရီတာ ရာမဲလီ ကို လွှတ်ပေးရန် စေ့စပ်ဆွေးနွေးသည်။<ref>Liam Moloney (January 16, 2015), [https://www.wsj.com/articles/italy-says-opposed-to-paying-ransom-to-free-hostages-1421432021 Italy Says Against Paying Ransom for Hostages] ''[//en.wikipedia.org/wiki/Wall_Street_Journal Wall Street Journal]''.</ref> နောက်ထပ် အရေးကြီး ဖြစ်ရပ်မှာ [[ကိန်းဘရစ်ချ်တက္ကသိုလ်]] ဘွဲ့ရကျောင်းသား ဂယိုလီယို ရဲဂီနီ အသတ်ခံရမှု ဖြစ်ပြီး၊ ၂၀၁၆ ဇန်နဝါရီ ၂၅ ရက်နေ့ သူ၏ လုပ်ဆောင်မှု အပြီး ကိုင်ရို၌ အသတ်ခံရခြင်း ဖြစ်သည်၊<ref>{{cite web|url=https://www.theguardian.com/world/2016/feb/07/italian-student-giulio-regeni-dead-cairo-killed-violent-blow-head|title=Italian student found dead in Cairo 'killed by violent blow to the head'|work=The Guardian}}</ref> ရဲဂီနီမှာ ပီအိတ်ချ်ဒီကျောင်းသား တယောက် ဖြစ်ခဲ့ကာ၊<ref>{{cite web|url=http://www.cambridge-news.co.uk/Cambridge-Italian-student-confirmed-dead/story-28672069-detail/story.html|title=Cambridge University student Giulio Regeni 'was tortured and suffered burns' in Egypt, claim reports|work=Cambridge News}}</ref> [[အီဂျစ်]] လွတ်လပ်စွာ ကုန်သွယ်ရေးသမဂ္ဂကို သုတေသနလုပ်နေသူ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web|url=https://www.wsj.com/articles/italy-summons-egyptian-ambassador-over-death-of-student-in-cairo-1454589460|title=Italy Summons Egyptian Ambassador Over Death of Student in Cairo|date=4 February 2016|work=The Wall Street Journal}}</ref> ၂၀၁၆ [[ကုလသမဂ္ဂ လုံခြုံရေးကောင်စီ]][[ကိန်းဘရစ်ချ် တက္ကသိုလ်]]ရွေးကောက်ပွဲ၌၊ နောက်ဆုံးလက်ကျန် ၂၀၁၇-၁၈ နှစ်နှစ်အတွက် နေရာကို မဲငါးချီ ပေးကြပြီးနောက်၊ အီတလီနှင့် နယ်သာလန် မည်သူ့ကို ရွေးရမည်ဟု အကြပ်ဆိုက်နေစဉ် ဂျင့်ထိလွန်းနီနှင့် သူ့ပြိုင်ဘက် ဒတ်ချ်လူမျိုး ဘာ့ ကိုအင်ဒါးတို့က ကုလသမဂ္ဂလုံခြုံရေးကောင်စီတွင် နှစ်နှစ်သက်တမ်းကို ခွဲထိုင်မည်ဟု သဘောတူခဲ့ကြသည်။ ယင်းသို့ နှစ်နှစ်သက်တမ်းကို တနိုင်ငံလျှင် တနှစ်စီ တာဝန်ယူပါမည်ဟု သဘောတူကြခြင်းမှာ ရှားရှားပါးပါး ဖြစ်ပြီး၊ နှစ်ပ​ေါင်း ၅၀ အတွင်း ပထမဆုံး ဖြစ်ရပ်ပင်။  <ref>Michelle Nichols (June 28, 2016), [http://www.reuters.com/article/us-un-securitycouncil-election-idUSKCN0ZE23O Italy, Netherlands propose split U.N. Security Council seat for 2017-18] ''[//en.wikipedia.org/wiki/Reuters Reuters]''.</ref> == အီတလီဝန်ကြီးချုပ် == [[File:Cerimonia_di_insediamento_del_Governo_Gentiloni_2016.jpg|right|thumb|250x250px|Gentiloni with former Prime Minister Matteo Renzi during the swearing ceremony.]] ၇ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၆ ဝယ်၊ ဝန်ကြီးချုပ် မတ္တီယို ရင်ဇီက နုတ်ထွက်ကြောင်း ကြေညာသည့်အကြောင်းရင်းမှာ ၂၀၁၆ အီတလီဖွဲ့စည်းပုံဆွေးနွေးပွဲတွင် အီတလီဆီးနိတ်လွှတ်တော်ကို ပြုပြင်ပြောင်းလဲရန် ရင်ဇီ၏ အဆို ပယ်ချခံရသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ရက်အနည်းကြာသော ၁၁ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၆ တွင်၊ သမ္မတ မတ္တာရဲလာက ဂျင့်ထိလွန်းနီကို အစိုးရသစ် ဖွဲ့ခိုင်းလေသည်။<ref name="cor">{{cite journal|date=31 October 2014|title=L'ascesa di Paolo Gentiloni, dalla Margherita alla Farnesina|trans-title=Paolo Gentiloni's rise: from the Daisy to the Farnesina|language=Italian|newspaper=La Repubblica|publication-place=Rome|publisher=Gruppo Editoriale L’Espresso|url=http://www.repubblica.it/politica/2014/10/31/news/paolo_gentiloni_vita_scheda-99433494/|access-date=20 February 2015}}</ref> နောက်တရက်၌၊ ဂျင့်ထိလွန်းနီသည် အစိုးရအဖွဲ့၏ ခေါင်းဆောင်သစ်အဖြစ် တရားဝင် ကျမ်းကျိန်ရသည်။<ref>[http://www.repubblica.it/politica/2016/12/12/news/consultazioni_gentiloni_ministri_governo-153941735/?ref=HREA-1 Nasce il governo Gentiloni, ministri confermati tranne Giannini.]</ref> အီတလီအလယ်ထိုင်ဝါဒီများနှင့် လက်ယာမယိမ်းတယိမ်းအသစ်တို့က ဖွဲ့စည်းသော ခရစ်ယာန် ဒီမိုကရက်တစ် ပေါ်ပြူလာ ဧရိယာနှင့် သူပိုင် ဒီမိုကရက်တစ်ပါတီတို့ အထောက်ပံ့သော ညွန့်ပေါင်းအစိုးရကို သူ ဦးဆောင်ရသည်။(ညွန့်ပေါင်းအစိုးရ ဆိုသည်မှာ နိုင်ငံပါတီ နှစ်ခုမှ ကိုယ်စားလှယ်များကို ပေါင်းထားခြင်း ဖြစ်သည်) ရင်ဇီအစိုးရကို သုံးနှစ်နီးပါးမျှ ထောက်ခံခဲ့သည့် ထိုလူအများစုပင် ဖြစ်သည်။<ref>[http://www.ilfattoquotidiano.it/2016/12/11/paolo-gentiloni-presidente-del-consiglio-incaricato-ci-muoveremo-nel-quadro-della-maggioranza/3251036/ Governo Gentiloni, il ministro scelto da Mattarella: “Stessa maggioranza, gli altri non ci stanno”.]</ref> တချိန်တည်းတွင်၊ ဒဲနစ် ဗာဒိနီ ဦးဆောင်သော အလယ်ထိုင်ဖြစ်သည့် "လစ်ဘရယ် ပေါ်ပြူလာ မဟာမိတ်(ALA)က၊ မိမိတို့ အေအယ်အေအဖွဲ့ဝင် တယောက်မှပင် ဝန်ကြီးအဖြစ် မခန့်အပ်ခံရသည့်အတွက် ဝန်ကြီးအဖွဲ့သစ်ကို မထောက်ခံခဲ့ပေ။ (စိတ်ဆိုးတာပေါ့)<ref>[http://www.corriere.it/la-crisi-di-governo/notizie/governo-denis-verdini-si-sfila-no-fiducia-governo-fotocopia-ae48522c-c091-11e6-84a3-703e0bacaa0c.shtml Governo, Denis Verdini si sfila: «No fiducia a governo fotocopia»]</ref> ၁၃ ဒီဇင်ဘာတွင် ဝန်ကြီးများအစည်းအဝေးပွဲ၌၊ လီဂါ နော့အပြင် ကြယ်ငါးလုံးလှုပ်ရှားမှု၏ ဝန်ကြီးများ အဖွဲ့မှ ထွက်သွားပြီး၊ ကန့်ကွက်မဲ ၁၀၅၊ ထောက်ခံ ၃၆၈ မဲဖြင့် သူ့ ဝန်ကြီးအဖွဲ့က အနိုင်ရသည်။<ref>[http://www.repubblica.it/politica/2016/12/13/news/governo_gentiloni_fiducia-154006154/ Governo, Gentiloni ha la fiducia della Camera]</ref> နောက်တနေ့တွင် ရီပတ်ဘလစ်ဆီးနိတ်လွှတ်တော်၌ ကန့်ကွက် ၉၉ မဲ၊ ထောက်ခံ ၁၆၉ မဲဖြင့် အစိုးရ နိုင်ပြန်သည်။<ref>[http://www.repubblica.it/politica/2016/12/14/news/governo_gentiloni_fiducia_senato-154066159/?ref=fbpr Governo Gentiloni, fiducia al Senato con 169 "sì".]</ref> ၂၉ ဒီဇင်ဘာ၌ အီတလီဆိုရှယ်လစ်ပါတီနှင့် ဒီမိုကရေစီညီညွတ်ရေးအလားတူပင်၊ လက်ယာမယိမ်းတယိမ်းသစ်၊ ဒီမိုကရက်တစ်ပါတီတို့၏လက်ထောက်ဝန်ကြီးများအဖြစ် ခန့်အပ်ခံရသည်။ ဒီမိုကရက်တစ်ပါတီသည် ဒီမိုကရက်များနှင့် ရှေ့ဆက်ရေးဟု နှစ်ပိုင်း ကွဲသွားပြီးနောက်၊ ထိုပါတီကို အစိုးရထဲမှ လက်ထောက်ဝန်ကြီးတယောက်က တင်ပြခဲ့သည်။ === လူဝင်မှု === [[File:Gentiloni_portrait_03.jpg|right|thumb|230x230px|Paolo Gentiloni during a press conference in May 2017.]] ၂၀၁၆ ဝန်ကြီးချုပ် ဖြစ်လာသော် ဂျင့်ထိလွန်းနီ ရင်ဆိုင်ရသည့် အဓိကပြဿနာမှာ အလွန်အရေးကြီးသော အီတလီသို့ ရွှေ့ပြောင်း တရားမဝင် ခိုးဝင်မှု ဖြစ်သည်။ ၂ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၁၇ ၌၊ ရွှေ့ပြောင်းများကို ဟန့်တားရန်အတွက် လစ်ဗျားသမ္မတကောင်စီဥက္ကဋ္ဌ ဖရေးဇ်အားဆရေ့နှင့် ရောမ၌ စာချုပ်ချုပ်သည်။ လစ်ဗျားက မြေထဲပင်လယ်ကို ဖြတ်ကာ ထွက်လာသည့် ခိုးဝင်များကို ရပ်တန့်ရန် ကြိုးစားမည်ဟု သဘောတူသည်။<ref>[http://www.foxnews.com/world/2017/02/02/italy-libya-reach-deal-on-halting-migration-ahead-eu-summit.html Italy, Libya reach deal on halting migration ahead of EU summit]</ref> ၉ ဖေဖော်ဝါရီ၊ မြေထဲပင်လယ်ကို ဖြတ်သော ခိုးဝင်များကို တားဆီးရန် ဂျင့်ထိလွန်းနီသည် တူနီးရှားသမ္မတ ဘဲ့ဂျီး ကေ့ အဆက်ဘဆီး နှင့် အလားတူ စာချုပ်ကို လက်မှတ်ထိုးသည်။ <ref>[http://www.ansa.it/sito/notizie/mondo/2017/02/08/migranti-alfano-domani-accordo-tunisia_2e1c7252-bd1c-47ff-bf08-ca703eca9d5c.html Migranti: Alfano, domani accordo Tunisia]</ref> === အလုပ်သမားမူဝါဒ === ၂၀၁၇ မတ်၊ တခုသော အကြောင်းပြချက်၊ တခုသော ကုန်စည်အမျိုးအစား၊ အများအားဖြင့် တကြိမ်တည်းဖြင့် လုံလောက် လုပ်အားဝန်ဆောင်မှုအတွက်သက်သက် ထုတ်ဝေထားသော၊ တခုသော ငွေတန်ဖိုး ရှိသည့် ပြန်အမ်နိုင်သည့် ငွေလဲစာချုပ်များ၊ အလုပ်သမားဘောက်ချာ/ကူပွန်များ အသုံးပြုခြင်းကို အစိုးရက ဖျက်သိမ်းလိုက်သည်။<ref>[http://www.ilsole24ore.com/art/norme-e-tributi/2017-03-18/abolizione-voucher-ecco-decreto-legge-114459.shtml?uuid=AEaJuAp Abolizione dei voucher: ecco il decreto legge]</ref> အီတလီအထင်ကရ ကုန်သွယ်ကြီးများသမဂ္ဂ (CGIL)က ကျင်းပသော အစည်းအဝေးအပြီးတွင် ဤဥပဒေကို မွမ်းမံရန် အစိုးရက ဆုံးဖြတ်သည်။<ref>[http://www.tempi.it/la-cgil-e-contro-i-voucher-perche-chi-viene-pagato-cosi-non-si-iscrive-al-sindacato Voucher, perché la CGIL li ha voluti abolire]</ref> ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၆ အခြေခံဥပဒေ တစ် ပြီးနောက် နောက်ထပ်အစည်းအဝေးပွဲတွင် တိုင်းပြည်မပြိုကွဲစေလိုသောကြောင့်၊ ယင်းတို့ကို ဖျက်သိမ်းရန် ဆုံးဖြတ်လိုက်ကြောင်း ဂျင့်ထိလွန်းနီက ကြေညာသည်။<ref>[http://www.unita.tv/focus/addio-ai-voucher-decreto-gentiloni-poletti/ Addio ai voucher, Gentiloni: “Sarebbe stato un errore dividere il paese”]</ref> === လူ့အဖွဲ့အစည်းမူဝါဒများ === ၁၉ မေ ၂၀၁၇ တွင်၊ ဝန်ကြီးချုပ် ဂျင့်ထိလွန်းနီနှင့် ကျန်းမာရေးဝန်ကြီး ဘိထရိ လော်ရင်းဇင်တို့ အဆိုပြုချက်အရ၊ ဝန်ကြီးများကောင်စီသည်၊ အရေးပေါ်ကာကွယ်ဆေးထိုးတားဆီးခြင်းစီမံချက်(urgent vaccine prevention measures)ပါဝင်သော အမိန့်ဥပဒေကို အတည်ပြုလိုက်ကာ၊ ယင်း၌ အသက်လေးနှစ်မှ ဆယ့်နှစ်နှစ်အတွင်း မဖြစ်မနေ ကာကွယ်ဆေးထိုးရမည့် အရေအတွက်ကို ပြုစုရန်နှင့် ကာကွယ်ဆေး မထိုးသေးသူများကို ကျောင်းတက်ခွင့် မပြုရန်တို့ ပါဝင်သည်။ <ref>[http://video.repubblica.it/dossier/vaccini/gentiloni-vaccini-obbligatori-sanzioni-per-i-trasgressori/276298/276880 Gentiloni: "Vaccini obbligatori.]</ref><ref>[http://www.repubblica.it/salute/2017/05/19/news/vaccini_oggi_testo_in_cdm_boschi_no_scherzi_su_salute-165815370/ Vaccini, approvato il decreto sull'obbligo fin da nidi e materne]</ref> === နိုင်ငံခြားရေးမူဝါဒ === [[File:Paolo_Gentiloni_and_Donald_Trump.jpg|right|thumb|250x250px|ကန်သမ္မတ [[ဒေါ်နယ်လ် ထရန့်]]နှင့် ပေါင်လို ဂျင့်ထိလွန်းနီ၊ ဧပြီ ၂၀၁၇]] ဂျင့်ထိလွန်းနီသည် ဥရောဘက်စုံပေါင်းစည်းရေး(European integration)နှင့် စုံညီ(multispeed)ဥရောပတိုက် ဖြစ်လာရေးအတွက် ထောက်ခံသည်။ <ref>[http://www.ilfattoquotidiano.it/2017/03/06/ue-merkel-si-a-europa-a-due-velocita-gentiloni-ci-siano-diversi-livelli-di-integrazione/3435134/ Ue, Merkel: “Sì a Europa a due velocità”.]</ref> ဝန်ကြီးချုပ် ဖြစ်လာသည့် ခဏ၊ သူသည် နိုင်ငံခြားရေးမူဝါဒကို စိန်ခေါ်သည် အခြေအနေမြောက်မြားစွာ ရင်ဆိုင်ရသည်၊ ဥပမာ ဥရောပကြွေးမြီအန္တရာယ်၊ [[လစ်ဗျားနိုင်ငံ|လစ်ဗျား]]ပြည်တွင်းစစ်၊ [[အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသ|အရှေ့အလယ်ပိုင်း]] [[အစ္စလာမ္မစ်နိုင်ငံအဖွဲ့ (အိုင်အက်စ်)|အိုင်အက်စ်]]ထကြွခြင်း။ ကနေဒါဝန်ကြီးချုပ် ဂျပ်စတင် ထရုဒေါ်၊ ယူကေဝန်ကြီးချုပ် သီရဆာ မေး၊ ဂျာမန်ဝန်ကြီးချုပ် အိန်ဂျလာ မားကယ်နှင့် ဂျပန်ဝန်ကြီး [[ရှင်ဇို အာ့ဘဲ့]]တို့နှင့် ဆက်ဆံရေးကောင်း ထူထောင်နိုင်ခဲ့သည်။ <ref>[https://voce.com.ve/2017/04/21/235495/migranti-e-libero-mercato-asse-tra-gentiloni-e-trudeau/ Migranti e libero mercato, asse tra Gentiloni e Trudeau]</ref> ဝန်ကြီးချုပ်အဖြစ်နှင့်၊ ဆီစလီကျွန်း၊ တောမိနာမြို့ဝယ် ၄၃ ကြိမ်မြောက် ဂျီ၇ ထိပ်သီးကို ၂၀၁၇ မေလ ၂၆-၂၇ နှစ်ရက်လက်ခံကျင်းပသည်။ ၎င်းအစည်းအဝေးသည် သူ့အတွက် ပထမဦးဆုံး ဖြစ်သလို၊ ဗြိတိန်က သီရဆာ မေး၊ ကန်သမ္မတ ဒေါ်နယ်လ် ထရန့်နှင့် ပြင်သစ်သမ္မတ အမ္မာနျူဝဲ မာခရာန်တို့အတွက်လည်း ပထဦးဆုံး ဖြစ်လေသည်။ == ကျန်းမာရေး == ၁၀ ဇန်နဝါရီ ၂၀၁၇ တွင်၊ သမ္မတ [[ဖရန်ဆွာ ဟော်လန်]]ကို တွေ့ဆုံရန် ပါရီသို့ တရားဝင်ခရီးသွား အပြီး၊ ဂျင့်ထိလွန်းနီသည် နှလုံးပတ်သွေးကြော ပိတ်ခြင်း ခံစားရပြီး၊ အရေးပေါ် သွေးကြောခွဲစိတ်ပြုပြင်ခြင်းကို ခံယူခဲ့သည်။<ref>[http://www.reuters.com/article/us-italy-politics-gentiloni-idUSKBN14V0Q5?il=0 Italian PM Gentiloni's heart procedure completely successful]</ref> နောက်တနေ့ဝယ် [[တွစ်တာ]]၌ သူပြန်ကောင်းလာပြီ၊ မကြာခင် အလုပ်ပြန်လုပ်နိုင်လိမ့်မည်ဟု တွစ်လိုက်သည်။<ref>[https://www.wsj.com/articles/italys-new-prime-minister-has-angioplasty-still-in-intensive-care-1484129840 Italy’s New Prime Minister in Intensive Care After Emergency Heart Procedure]</ref> နေ့ပင်မကူး၊ သမ္မတ ဆာဂျီယို မတ္တာရဲလာ၊ ဝန်ကြီးချုပ်ဟောင်း မတ္တီယို ရင်ဇီ၊ [[ဆယ်လ်ဗီယို ဘာလူစကိုနီ]]တို့အပြင် ကနေဒါဝန်ကြီးချုပ် ဂျပ်စတင် ထရုဒေါ်ထံမှလည်း ဆုတောင်းပေးခြင်းကို ရရှိသည်။<ref>{{Cite web |url=http://www.lastampa.it/2017/01/11/italia/cronache/lieve-malore-per-gentiloni-al-rientro-da-parigi-Zu7bFM66BJDEfXMwTYCAvL/pagina.html |title=Gentiloni : “Grazie dell’affetto, sto bene e presto torno al lavoro” |access-date=23 May 2017 |archive-date=14 September 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170914220223/http://www.lastampa.it/2017/01/11/italia/cronache/lieve-malore-per-gentiloni-al-rientro-da-parigi-Zu7bFM66BJDEfXMwTYCAvL/pagina.html |url-status=dead }}</ref> == ကိုးကား == {{reflist|30em}} == ပြင်ပလင့် == * (အီတလီ) (အင်္ဂလိပ်) [http://www.governo.it/governo/gentiloni-paolo/presidente-del-consiglio/paolo-gentiloni-silveri Presidente del Consiglio dei Ministri] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170522224458/http://www.governo.it/governo/gentiloni-paolo/presidente-del-consiglio/paolo-gentiloni-silveri |date=22 May 2017 }} * (အီတလီ) [http://www.camera.it/leg17/29?tipoAttivita=&tipoVisAtt=&tipoPersona=&shadow_deputato=300637&lettera=&idLegislatura=17 Official page at the Italian Chamber of Deputies] [[Category:၁၉၅၄ မွေးဖွားသူများ]] [[Category:သက်ရှိထင်ရှားပုဂ္ဂိုလ်များ]] sc2gj3z625qo3h8e52m4jhcjynjzbi9 0 77823 1040631 810470 2026-06-24T22:12:37Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1040631 wikitext text/x-wiki {{Infobox Galaxy | name = [[New General Catalogue|NGC]] 489 | image =File:NGC 489.jpg | caption = The galaxy NGC 489. | epoch = [[J2000]] | type = S? <ref name="ned">{{cite web | title=NASA/IPAC Extragalactic Database | work=Results for NGC 0489 | url=http://nedwww.ipac.caltech.edu/ | accessdate=2017-06-04}}</ref> | ra = {{RA|01|21|53.9}}<ref name="ned" /> | dec = {{DEC|09|12|24}}<ref name="ned" /> | dist_ly = 115 million [[အလင်းနှစ်|ly]] | z =0.008362 /2507 km/s<ref name="ned" /> | appmag_v = 12.7<ref name="ned" /> | size_v = 1.7' x 24''<ref name="ned" /> | constellation name = [[မိန် နက္ခတာရာ]] | names = CGCG 411-34, MCG 1-4-34, [[Principal Galaxies Catalogue|PGC]] 4957, [[Uppsala General Catalogue|UGC]] 908 <ref name="ned" />}} ''' NGC 489 '''သည် [[မိန် နက္ခတာရာ]]မှ [[ခရုပတ်ပုံစံ ဂလက်ဆီ]]ဖြစ်ပြီး ကမ္ဘာမြေမှ [[အလင်းနှစ်]] ၁၁၅ မီလီယံ ကွာဝေးသည်။<ref>{{Cite web|url=https://dso-browser.com/deep-sky/1378/ngc-489/galaxy|title=Galaxy NGC 489 - Galaxy in Pisces Constellation · Deep Sky Objects Browser|last=Rojas|first=Sebastián García|website=DSO Browser|language=en|access-date=2017-06-04|archive-date=2 October 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20171002070547/https://dso-browser.com/deep-sky/1378/ngc-489/galaxy}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|url=https://ned.ipac.caltech.edu/cgi-bin/objsearch?objname=NGC+489&extend=no&hconst=73&omegam=0.27&omegav=0.73&corr_z=1&out_csys=Equatorial&out_equinox=J2000.0&obj_sort=RA+or+Longitude&of=pre_text&zv_breaker=30000.0&list_limit=5&img_stamp=YES|title=Your NED Search Results|website=ned.ipac.caltech.edu|access-date=2017-06-04|archive-date=10 October 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20181010095524/http://ned.ipac.caltech.edu/cgi-bin/objsearch?objname=ngc+489&extend=no&hconst=73&omegam=0.27&omegav=0.73&corr_z=1&out_csys=Equatorial&out_equinox=J2000.0&obj_sort=RA+or+Longitude&of=pre_text&zv_breaker=30000.0&list_limit=5&img_stamp=YES|url-status=dead}}</ref> ယင်းအား ၁၈၆၂ ဒီဇင်ဘာဘာ ၂၂ ၌ ဂျာမန် နက္ခတ္တပညာရှင် Heinrich Louis d'Arrest ဆိုသူက ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=http://cseligman.com/text/atlas/ngc4a.htm#480|title=New General Catalog Objects: NGC 450 - 499|website=cseligman.com|language=en-US|access-date=2017-06-04}}</ref> NGC 489 သည် HDC 71 ဟုခေါ်သော ဂလက်ဆီအုပ်စု၏ အဖွဲ့ဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web|url=http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/sim-id?Ident=NGC+++489&NbIdent=query_hlinks&Coord=01+21+53.903+09+12+23.36&parents=3&submit=parents&siblings=13&hlinksdisplay=h_all|title=NGC 489|website=simbad.u-strasbg.fr|access-date=2017-06-04}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{Ngc5}} [[ကဏ္ဍ:မိန် နက္ခတ်တာရာ]] [[Category:ခရုပတ်ပုံစံ ဂလက်ဆီများ]] {{galaxy-stub}} 688qgb3yq87b6bfahrpyeg4g0xuzfk2 0 78145 1040606 1040182 2026-06-24T16:50:39Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 1040606 wikitext text/x-wiki {{Infobox school | name = Yangon Japanese School | logo = YangonJSlogo.gif | native_name = ヤンゴン日本人学校 | address = No. 1, Thantaman Road, Dagon T/S, Yangon, MYANMAR | coordinates = {{coord|16.7866182|96.139717}}<!-- As "1 Than Taman Rd, Yangon, Myanmar (Burma)" --> | website = {{URL|neoyjs.web.fc2.com}} }} {{nihongo|'''Yangon Japanese School'''|ヤンゴン日本人学校|Yangon Nihonjin Gakkō}} ကို ယခင်က {{nihongo|'''Rangoon Japanese School'''|ラングーン日本人学校|''Rangūn Nihonjin Gakkō}} ဟု သိကြသည်။ [[Nihonjin gakko|ဂျပန်အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာကျောင်း]] တစ်ကျောင်း ဖြစ်သည်။ တည်နေရာမှာ ဒဂုံမြို့နယ်၊ [[ရန်ကုန်မြို့]]၊ [[မြန်မာနိုင်ငံ]]တွင် ဖြစ်သည်။<ref>"[http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/clarinet/002/006/001/001/001.htm アジアの日本人学校一覧（平成25年4月15日現在）] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141113030157/http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/clarinet/002/006/001/001/001.htm |date=13 November 2014 }}." () Ministry of Education, Culture, Sports, Science and Technology. Retrieved on 6 January 2014. "No.1, Thantaman Road, Dagon T/S, Yangon, MYANMAR"</ref> ==ပြင်ပလင့်များ== * [http://neoyjs.web.fc2.com/ Yangon Japanese School] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170901044029/http://neoyjs.web.fc2.com/ |date=1 September 2017 }} {{ja icon}} * [http://web.archive.org/web/*/http://yjs.fc2web.com/ Yangon Japanese School] {{ja icon}} (2005-2011 Archive) ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|16.7865|96.1382|type:edu_region:MM|display=title}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] [[Category:ရန်ကုန်မြို့]] 6jv4w2651szq40b01ev84cf3qog76ag 10 80959 1040641 380356 2026-06-25T03:06:40Z WereWolf370 142690 The user Example is better for these warning templates than Jimbo 1040641 wikitext text/x-wiki {{{icon|[[File:Information.svg|25px|alt=Information icon]]}}} မင်္ဂလာပါ၊ ကျွန်ုပ်ကတော့ <includeonly>[[User:{{safesub<noinclude></noinclude>st:REVISIONUSER}}|{{safesub<noinclude></noinclude>st:REVISIONUSER}}]]</includeonly><noinclude>[[User:Example|Example]]</noinclude> ဖြစ်ပါတယ်။ မကြာသေးမီက သင်ဟာ {{<includeonly>safesubst:</includeonly>#if:{{{1|}}}|[[:{{{1}}}]]&nbsp;မှ&nbsp;}} အကြောင်းအရာများကို လုံလောက်စွာ ရှင်းပြခြင်း မရှိဘဲ ဖယ်ရှားလိုက်တယ်ဆိုတာကို သတိပြုမိလိုက်ပါတယ်။ နောင်အခါ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ သင်ပြုလုပ်တဲ့ ပြင်ဆင်မှုများမှာ လုံလောက်တဲ့ [[H:ES|တည်းဖြတ်ခြင်း အတိုချုပ်]]ကို ဖော်ပြပေးနိုင်ရင် အခြားသူတွေအတွက် အကူအညီဖြစ်မှာပါ။ ဒါဟာ မှားယွင်းပြုလုပ်မှုတစ်ခု ဖြစ်တယ်ဆိုရင် မစိုးရိမ်ပါနဲ့။ ဖယ်ရှားလိုက်တဲ့ အကြောင်းအရာများကို ပြန်လည်ထိန်းသိမ်းပြီးပါပြီ။ စမ်းသပ်မှုတွေ ပြုလုပ်ချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:Sandbox|sandbox]] ကို အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ ကျွန်ုပ် အမှားပြုလုပ်မိတယ်လို့ သင်ယူဆခဲ့ရင်၊ ဒါမှမဟုတ် မေးမြန်းစရာရှိတယ်ဆိုရင် [[User_talk:<includeonly>{{safesub<noinclude></noinclude>st:REVISIONUSER}}</includeonly><noinclude>Jimbo Wales</noinclude>|ကျွန်ုပ်ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာ]]မှာ စာတိုချန်ခဲ့နိုင်ပါတယ်။ {{{2|ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။}}}<!-- Template:uw-delete1 --><noinclude> {{Templatesnotice|series = uw-delete|s1 = uwd| s2 = uw-d1|s3 = uw-b1|max = 4im}} </noinclude> 1v78bcjg3lz0qimvrg9ylg4sa122bwv 0 94170 1040728 642920 2026-06-25T08:33:29Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 1040728 wikitext text/x-wiki {{unreferenced}} [[File:Moe Kaung Pagoda1 (Kha May Gyi).jpg|thumb|မိုးကောင်းဘုရား]] '''မိုးကောင်းဘုရား''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ကဝမြို့နယ်]]၊ [[ခမေကြီးရွာ၊ ကဝမြို့နယ်|ခမေကြီးရွာ]]တွင် တည်ရှိသည့် ရှေးဟောင်းစေတီတော်တစ်ဆူ ဖြစ်သည်။ ==တည်နေရာ== စေတီတော်သည် ခမေကြီးရွာ၏ အနောက်တောင်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ စေတီတော်ကို ရွှေသင်္ကန်းသုတ်လိမ်းထားသည်။ စေတီတော်သည် ခမေကြီးရွာ၏ ရွာပြင်တွင်တည်ရှိသည်။ ==ရုပ်ပုံများ== <gallery widths="150px" heights="120px"> File:Moe Kaung Pagoda2 (Kha May Gyi).jpg|မိုးကောင်းဘုရား </gallery> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|17.067552497293182|96.43375550421034|type:landmark|display:title}} [[Category:ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးအတွင်းရှိ စေတီပုထိုးများ]] {{Myanmar-struct-stub}} 9dwyucysrlm1a3ql250xrb5vqxlcg9t 1040731 1040728 2026-06-25T08:35:37Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1040731 wikitext text/x-wiki {{unreferenced}} [[File:Moe Kaung Pagoda1 (Kha May Gyi).jpg|thumb|မိုးကောင်းဘုရား]] '''မိုးကောင်းဘုရား''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ကဝမြို့နယ်]]၊ [[ခမေကြီးရွာ၊ ကဝမြို့နယ်|ခမေကြီးရွာ]]တွင် တည်ရှိသည့် ရှေးဟောင်းစေတီတော်တစ်ဆူ ဖြစ်သည်။ ==တည်နေရာ== စေတီတော်သည် ခမေကြီးရွာ၏ အနောက်တောင်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ စေတီတော်ကို ရွှေသင်္ကန်းသုတ်လိမ်းထားသည်။ စေတီတော်သည် ခမေကြီးရွာ၏ ရွာပြင်တွင်တည်ရှိသည်။ ==ရုပ်ပုံများ== <gallery widths="150px" heights="120px"> File:Moe Kaung Pagoda2 (Kha May Gyi).jpg|မိုးကောင်းဘုရား </gallery> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|17.067552497293182|96.50712|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးအတွင်းရှိ စေတီပုထိုးများ]] {{Myanmar-struct-stub}} 644qqvtmjiroqrpgnkdh58eltqz18cv 0 98894 1040581 1037789 2026-06-24T14:29:30Z ~2026-36610-94 144814 စာလုံးပေါင်း ပြင်ခဲ့သည် 1040581 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | name = Elon Musk | image = Elon_Musk_Royal_Society.jpg | caption = ဇူလိုင်လ ၂၀၁၈ လန်ဒန်ရှိတော်ဝင်လူ့အဖွဲ့အစည်း အဖွဲ့ဝင်ဖြစ်သော နေ့၌ တွေ့မြင်ရစဉ် | birth_name = Elon Reeve Musk | birth_date = {{Birth date and age|mf=yes|1971|6|28}} | birth_place = ပရီတိုးရီးယား ၊ ထရန်စဗားနယ် ၊ [[တောင်အာဖရိကနိုင်ငံ]] | residence = ဘယ်လ်အဲ ၊ လော့စ်အိန်ဂျယ်လိစ်မြို့ ၊ ကယ်လီဖိုးနီးယားပြည်နယ် ၊ အမေရိကန်ပြည်တောင်စု <ref name="forbesbuyshome.com">{{cite news |title=Billionaire Tesla CEO Elon Musk Buys Neighbor's Home in Bel Air For Million |work=Forbes |url=https://www.forbes.com/sites/trulia/2013/11/01/billionaire-tesla-ceo-elon-musk-buys-home/ |accessdate=November 1, 2013}}</ref><ref name=bloombergbuyshome>{{cite news |title=Inside Elon Musk's M Bel Air Mansion |work=Bloomberg News |url=https://www.bloomberg.com/news/videos/b/6e27fcba-309d-494e-b87d-c73fb8bb1750 |accessdate=August 21, 2013 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150207033543/http://www.bloomberg.com/news/videos/b/6e27fcba-309d-494e-b87d-c73fb8bb1750 |archivedate=February 7, 2015 |df=mdy-all }}</ref> | citizenship = {{Plainlist| * {{flag|South Africa}} (၁၉၇၁–လက်ရှိ) * {{flag|Canada}} (၁၉၈၉–လက်ရှိ) * {{flag|United States}} (၂၀၀၂–လက်ရှိ) }} | alma mater = {{plainlist| * ကွင်း တက္ကသိုလ် * ပင်နဆင်ဗေးနီးယားတက္ကသိုလ်<ref>{{Cite news |url=http://www.mercurynews.com/business/ci_25541448/timeline-elon-musk-accomplishments |title=Timeline: Elon Musk's accomplishments |last=Hull |first=Dana |date=April 11, 2014 |accessdate=June 11, 2015 |via=Mercury News}}</ref><ref>{{cite web |url=http://csq.com/2013/01/elon-musk-patriarchs-and-prodigies/ |title=Elon Musk: Patriarchs and Prodigies |year=2013 |accessdate=June 11, 2015 |website=CSQ |publisher=C-Suite Quarterly |last=Zanerhaft |first=Jaron}}</ref>}} | occupation = စွန့်ဦးတီထွင်သူ နှင့် ရင်းနှီးမြုပ်နှံသူ | known_for = | networth = [[အမေရိကန်ဒေါ်လာ|US$]] 1.1 trillion 2026 <!-- DO NOT UPDATE THIS UNLESS YOU UPDATE THE ACCESS DATE AND THE NET WORTH NUMBER IN THE LEAD SECTION --><ref name="forbes_networth">{{cite web |url=https://www.forbes.com/profile/elon-musk/ |title=Elon Musk |work=Forbes |accessdate=July 14, 2020}}</ref> | title = {{plainlist| * SpaceX တည်တောင်သူ ၊ ဗိသုကာဒီဇိုင်း ခေါင်းဆောင် * Tesla, Inc ၏စီအီးအို * Neuralink ပူးတွဲတည်ဆောင်သူ ၊ စီအီးအို * ဘိုးရင်း တည်တောင်သူ * Zip2 ပူးတွဲတည်တောင်သူ * X.com (နောင် [[PayPal]])တည်တောင်သူ * OpenAI ပူးတွဲတည်တောင်သူ * SolarCity ဥက္ကဋ္ဌ }} | years_active = ၁၉၉၅–လက်ရှိ | awards = ဗြိတိန် တော်ဝင်လူ့အဖွဲ့အစည်း အဖွဲ့ဝင် | party = တစ်သီးပုဂ္ဂိုလ | spouse = {{Plainlist| * {{marriage|Justine Musk|2000|2008|reason=divorced}} * {{marriage|Talulah Riley|2010|2012|reason=divorced}} <br> ({{abbr|m.|married}} 2013; {{abbr|div.|divorced}} 2016)<ref>{{Cite news |url=https://www.theguardian.com/technology/2016/mar/21/elon-musk-talulah-riley-file-divorce-second-marriage |title=Actor Talulah Riley files to divorce billionaire Elon Musk, again |date=March 21, 2016 |accessdate=April 20, 2016 |work=The Guardian |quote="The pair first married in 2010 and divorced in 2012. They remarried 18 months later."}}</ref> }} | children = ၆ဦး (တစ်ဦး ကွယ်လွန်) | parents = {{plainlist| * Maye Musk (မိခင်) * Errol Musk (ဖခင်) }} | relatives = {{plainlist| * Kimbal Musk (ညီ) * Tosca Musk (ညီမ) * Lyndon Rive (ဝမ်းကွဲ)}} | signature = Elon Musk Signature.svg | signature_alt = Elon Musk }} '''အီလွန် မက်စ်''' (Elon Reeve Musk, ၂၈ ဇွန် ၁၉၇၁ မွေးဖွား) သည် စွန့်ဦးတီထွင်သူနှင့် ရင်းနှီးမြုပ်နှံသူတစ်ဦးဖြစ်သည်။<ref>{{Cite news |url =https://www.telegraph.co.uk/technology/news/11220326/Elon-Musk-to-launch-fleet-of-internet-satellites.html |title=Elon Musk 'to launch fleet of internet satellites' |date=November 10, 2014 |accessdate=June 23, 2015 |work=The Daily Telegraph |last=Curtis |first=Sophie |quote="Elon Musk, inventor and business magnate" |location=London}}</ref><ref>{{cite web |url=https://www.bloomberg.com/amp/news/articles/2012-09-13/elon-musk-the-21st-century-industrialist |title=Elon Musk, the 21st Century Industrialist |date=September 13, 2012 |accessdate=June 23, 2015 |website=Bloomberg BusinessWeek |last=Vance |first=Ashlee |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170426091133/https://www.bloomberg.com/amp/news/articles/2012-09-13/elon-musk-the-21st-century-industrialist |archivedate=April 26, 2017 |df=mdy-all }}</ref><ref>{{cite web |url=https://www.asme.org/career-education/early-career-engineers/me-today/engineer-in-focus-elon-musk |title=Engineer in Focus: Elon Musk|publisher=asme.org |accessdate=November 4, 2015}}</ref> သူသည် တောင်အာဖရိက၊ ကနေဒါနှင့် အမေရိကန်နိုင်ငံသားဖြစ်ပြီး SpaceX ကုမ္ပဏီ၏ အမှုဆောင်အရာရှိနှင့် ခေါင်းဆောင်ဒီဇိုင်နာဖြစ်ပြီး<ref name="SpaceX">{{cite web |last1=Shanklin |first1=Emily |title=Elon Musk |url=http://www.spacex.com/elon-musk |website=SpaceX |accessdate=June 17, 2017 |language=en |date=March 27, 2017 |archivedate=31 March 2017 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170331030852/http://www.spacex.com/elon-musk }}</ref> Tesla ကုမ္ပဏီ၏ ထုတ်ကုန် ဗိသုကာပညာရှင်လည်းဖြစ်ကာ<ref>{{Cite web|url=https://www.tesla.com/elon-musk|title=Elon Musk {{!}} Tesla|website=www.tesla.com|access-date=2018-09-07}}</ref> Paypal နှင့် Neuralink ၏ ပူးတွဲတည်ထောင်သူလည်းဖြစ်သည်။ ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် Forbes မဂ္ဂဇင်း၏စာရင်းတွင် ၂၁ ယောက်မြောက် ကမ္ဘာ့ဩဇာအရှိဆုံး ပုဂ္ဂိုလ်အဖြစ် သတ်မှတ်ခံရသည်။<ref name="auto1">{{cite news |title=The World's Most Powerful People |author= |url=https://www.forbes.com/sites/davidewalt/2016/12/14/the-worlds-most-powerful-people-2016/#26ec03f2368d |newspaper=Forbes |date=December 2016 |accessdate=December 14, 2016}}</ref> မတ်စ်ခ်သည် ၂၀၂၅ ခုနှစ်ကတည်းက ကမ္ဘာ့အချမ်းသာဆုံးပုဂ္ဂိုလ်အဖြစ် ရပ်တည်လာခဲ့သူဖြစ်ပြီး ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇွန်လအထိ ဖို့စ် (Forbes) မဂ္ဂဇင်း၏ ခန့်မှန်းချက်အရ ၎င်း၏ အသားတင်ပိုင်ဆိုင်မှုမှာ အမေရိကန်ဒေါ်လာ ၁ ဒသမ ၂ ထရီလျံ ရှိသည်။ ၎င်းသည် အမေရိကန်ဒေါ်လာတန်ဖိုးဖြင့် တွက်ချက်မှုအရ ကမ္ဘာ့ပထမဆုံးနှင့် တစ်ဦးတည်းသော ထရီလျံနာ ဖြစ်သည်။ အီလွန် မက်စ်ကို ကနေဒါသူ မိခင်နှင့် တောင်အာဖရိကသား ဖခင် တို့မှ ၁၉၇၁ ဇွန် ၂၈ တွင် ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ မက်စ် သည် သူ၏ ငယ်စဉ်ဘဝကို [[တောင်အာဖရိကနိုင်ငံ]] ၊ ပရီတိုးရီးယားဒေသ ၌ ကုန်ဆုံးခဲ့သည်။ အသက် ၁၇ နှစ်အရွယ်တွင် [[ကနေဒါနိုင်ငံ]]သို့ ရွေ့ပြောင်းခဲ့ကာ Queen's University သို့ တက်ရောက်ခဲ့ကာ ၂ နှစ်ကြာသော် ပင်နဆင်ဗေးနီးယားတက္ကသိုလ်သို့ ပြောင်းခဲ့သည်။ စတန်းဖို့တက္ကသိုလ်တွင် အသုံးချရူပဗေဒနှင့်သိပ္ပံဘာသာရပ်ဖြင့် ပါရဂူဘွဲ့ကို တက်ရောက်ခဲ့သော်လည်း စီးပွားရေးလုပ်ငန်းအတွက် ထွက်လိုက်သည်။ မက်စ်သည် X.com ဟူသော အွန်လိုင်းဘဏ်ကို လုပ်ဆောင်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၂ ခုနှစ်တွင် ယင်းအား eBay မှ အမေရိကန်ဒေါ်လာ ၁.၅ ဘီလီယံဖြင့် ဝယ်ယူလိုက်သည်။ ယင်းသည် နောင်တွင် နာမည်ကြီး အွန်လိုင်း ဘဏ်ဝန်ဆောင်မှု လုပ်ငန်း PayPal ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၂၀၀၂ ခုနှစ် မေလတွင် SpaceX ဟူသော လေကြောင်းဆိုင်ရာ ထုတ်လုပ်ရေးနှင့် အာကာသ သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး ကုမ္ပဏီအား ထူထောင်လိုက်သည်။ သူသည် လျှပ်စစ်ကားများ ထုတ်လုပ်သော Tesla ကုမ္ပဏီအားလည်း ထောက်ပံ့ခဲ့သည်။ ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ၎င်း၏ ထုတ်ကုန်ဗိသုကာရှင် ဖြစ်လာခဲ့ပြီး ၂၀၀၈ အောက်တိုဘာလတွင် CEO ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၂၀၀၆ ခုနှစ်တွင် မက်စ်သည် SolarCity ဟူသည့် နေရောင်ခြည်စွမ်းအင်သုံး ဝန်ဆောင်မှုပေးသော ကုမ္ပဏီ (ယခုတက်စလာ၏လက်အောက်ခံကုမ္ပဏီ)အား ထူထောင်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၅ တွင် မက်စ် သည်အကျိုးအမြတ်မယူသည့်သုတေသနကုမ္ပဏီဖြစ်သော OpenAI ကိုပူးတွဲတည်ထောင်ခဲ့ပြီး ပိုမိုကောင်းမွန်သောဉာဏ်ရည်တုကို မြှင့်တင်နိုင်ရန် ရည်ရွယ်သည်။ ၂၀၁၆ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လတွင် သူသည် ဉာဏ်ရေးတု နည်းပညာ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးကို အထူးပြုလုပ်ဆောင်နေသော Neuralink ကုမ္ပဏီ ကိုပူးတွဲတည်ထောင်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် အဆောက်အဦနှင့် လှိုဏ်ခေါင်းဖောက် ကုမ္ပဏီ ဘိုရင်းကုမ္ပဏီအားလည်း ထူထောင်လိုက်သေးသည်။ မက်စ် သည် သူ၏ ပင်မစီပွားရေး လုပ်ငန်းများ အပြင် Hyperloop ဟု ခေါ်သော မြန်နှုန်းမြင့် သယ်သူပို့ဆောင်ရေး စနစ် ကို အောင်မြင်ဖို့ရာ မျှော်လင့်နေသည်။ Hpyerloop သည် တစ်ဖြောင့်တည်း ရှိနေသော (သို့မဟုတ်) အထူးပြုထားသော ပြွန်ခေါ် အထူးကြီးမားသော ပိုက်ကြီးမှ အတွင်းမှ ဖိအား တစ်ခုကို အသုံးချကာ လူလိုက်ပါနိုင်သော ယာဉ်ကို အထူးမြန်နှုန်းဖြင့် တွန်းပို့နိုင်သော ခေတ်သစ် သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး စနစ် တစ်မျိုးဖြစ်သည်။ မတ်စ်ခ် (Musk) သည် ကမ္ဘာတစ်ဝန်းရှိ [[လက်ယာစွန်း နိုင်ငံရေး|လက်ယာစွန်းနိုင်ငံရေး]] (Far-right politics)၊ လက်ယာစွန်းနိုင်ငံရေးသမားများနှင့် ပါတီများကို ထောက်ခံအားပေးသူတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[ဒေါ်နယ်လ် ထရမ့်|ဒေါ်နယ်ထရမ့်]]ကို ထောက်ခံခဲ့သည့် ၂၀၂၄ ခုနှစ် အမေရိကန်သမ္မတရွေးကောက်ပွဲတွင် အလှူငွေအများဆုံး ထည့်ဝင်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလတွင် ထရမ့်သမ္မတအဖြစ် ကျမ်းသစ္စာကျိန်ဆိုပြီးနောက် မတ်စ်ခ်သည် သမ္မတ၏ အကြီးတန်းအကြံပေးအဖြစ်လည်းကောင်း၊ အစိုးရစွမ်းဆောင်ရည်မြှင့်တင်ရေးဌာန (DOGE) ၏ အမှန်တကယ် ဦးဆောင်မောင်းနှင်သူ (de facto head) အဖြစ်လည်းကောင်း တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် သမ္မတထရမ့်နှင့် လူသိရှင်ကြား အခြေအတင် အငြင်းပွားမှုများ မဖြစ်ပွားမီ မရှေးမနှောင်း၊ ၂၀၂၅ ခုနှစ် မေလတွင် မတ်စ်ခ်သည် ထရမ့်အစိုးရအဖွဲ့မှ နုတ်ထွက်ခဲ့ပြီး ၎င်း၏ ကုမ္ပဏီများကို ပြန်လည်ဦးစီးလုပ်ကိုင်ခဲ့သည်။ သူသည် [[ကမ္ဘာကြီး ပူနွေးလာမှု]]ကို လျှော့ချရန် လိုလားသူဖြစ်ပြီး လူသားမျိုးနွယ်များ မျိုးသုဉ်းပျောက်ကွယ်ခြင်းမှာ ရှောင်လွဲနိုင်ရန်အတွက် [[အင်္ဂါဂြိုဟ်]]တွင် [[အင်္ဂါဂြိုဟ်အား ကိုလိုနီချဲ့သိမ်းပိုက်ခြင်း|ကိုလိုနီနယ်ချဲထွင်ရန်]] နှင့် ကျွန်ပြုရန် ရည်မှန်းထားသူလည်းဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |url=https://aeon.co/essays/elon-musk-puts-his-case-for-a-multi-planet-civilisation |title=Elon Musk puts his case for a multi-planet civilisation |author=Ross Andersen |date=September 30, 2014 |website=Aeon |accessdate=February 21, 2016 |archive-date=13 March 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180313035412/https://aeon.co/essays/elon-musk-puts-his-case-for-a-multi-planet-civilisation |url-status=dead }}</ref> ==ကိုးကား== {{Reflist}} {{Lifetime|၁၉၇၁||}} [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ဘီလျံနာများ]] [[ကဏ္ဍ:တိုင်းမ်မဂ္ဂဇင်း ဩဇာအရှိဆုံး ပုဂ္ဂိုလ်]] [[ကဏ္ဍ:၁၉၇၁ မွေးဖွားသူများ]] 4218eihg001a1h68qs1flq380pyye6p 0 116062 1040734 1035518 2026-06-25T08:41:27Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 1040734 wikitext text/x-wiki {{coord|17.130548298620045|96.60076070370509|display=inline,title}} '''ခမဲပြင်ဘိုးဘိုးကြီး''' သည် မြန်မာ့တို့ကိုးကွယ်ယုံကြည်ကြသည့် နတ်တစ်ပါး ဖြစ်သည်။ ခမဲပြင်ဘိုးဘိုးကြီးနတ်နန်းသည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ကဝမြို့နယ်]]၊ [[ခမဲပြင်ရွာ]]အနီးတွင် တည်ရှိသည်။<ref name="eleven1">https://www.youtube.com/watch?v=295ur2X4v4E</ref><ref name="eleven2">https://www.youtube.com/watch?v=H12nFiAGnWI</ref> ==သမိုင်းကြောင်း== ခမဲပြင်ဘိုးဘိုးကြီးသည် မွန်လူမျိုး ဖြစ်သည်။ ကဝမြို့နယ်ရှိ ဆယ်ရွာကို အုပ်ချုပ်ရသည့် ဆယ်ရွာသူကြီး ဖြစ်သည်။ ကွယ်လွန်သည့်အခါတွင် မိမိအုပ်ချုပ်ခဲ့သည့် ရွာဆယ်ရွာကို စောင့်ရှောက်ပေးခဲ့သည်။ ရွာသူရွာသားများသည်လည်း ဘိုးဘိုးကြီးအား ယုံကြည်ကိုးခဲ့ကြသည်။ နောင်အခါတွင် ကိုးကွယ်ယုံကြည်သူများ များပြားတိုးပွားလာခဲ့သည်။ ခမဲပြင်ဘိုးဘိုးကြီးသည် ကြက်တိုက်ခြင်းကို နှစ်သက်သည်။ လူအများသည် နာမကျန်းဖြစ်သည့်အခါတွင် ကြက်များကို ဘိုးဘိုးကြီး၏ နန်းတော်တွင် လွှတ်ကြသည်။ ၎င်းကို "ခြေနှစ်ချောင်းလွှတ်သည်" ဟု ခေါ်ကြသည်။ နေအိမ်မှ ခြေနှစ်ချောင်းထွက်ကိန်းရှိသည်ဟု ယုံကြည်ပါက ယတြာချေသည့်အနေဖြင့် ဤကဲ့သို့ ပြုလုပ်ကြသည်။ ဘိုးဘိုးကြီး၏ ပွဲတော်ရက်ရောက်သည့်အခါတွင် ရွာသားများသည် နတ်နန်းတွင် လွှတ်ထားသည့် ကြက်များနှင့် မိမိတို့၏ ကြက်ကို တိုက်ကြသည်။ နိုင်သူစားကြေးဟူသည့် လောင်းကြေးဖြင့် လုပ်ကြသည့် အလေ့သည် ယခုထက်တိုင် မြင်တွေ့နိုင်သည်။{{citation needed}} ==ယုံကြည်ကိုးကွယ်မှု== ပဲခူး၊ ရန်ကုန်၊ ကဝမြို့နယ်၊ သနပ်ပင် အစရှိသဖြင့် နယ်များမှ ယုံကြည်သူများသည် မိမိတို့ဝယ်ထားသည့် ကား၊ လှေ၊ လှည်း၊ ဆိုင်ကယ် စသည်တို့ကို အန္တရာယ်ကင်းရှင်းစေရန် လာရောက်ပြသကြသည်။ နှစ်စဉ်ဝါဆိုလပြည့်နေ့ရောက်တိုင်း ခမဲပြင်ဘိုးဘိုးကြီးပွဲတော်ကို ကျင်းပသည်။<ref name="eleven1"/><ref name="eleven2"/> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[Category:နတ်]] [[ကဏ္ဍ:ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]] {{Myanmar-stub}} 21zbyg0kp3qxy8ad98p1jexgtjbpimi 1040735 1040734 2026-06-25T08:42:02Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 1040735 wikitext text/x-wiki {{coord|17.130548298620045|96.60076070370509|format=dms|region:MM|display=inline,title}} '''ခမဲပြင်ဘိုးဘိုးကြီး''' သည် မြန်မာ့တို့ကိုးကွယ်ယုံကြည်ကြသည့် နတ်တစ်ပါး ဖြစ်သည်။ ခမဲပြင်ဘိုးဘိုးကြီးနတ်နန်းသည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ကဝမြို့နယ်]]၊ [[ခမဲပြင်ရွာ]]အနီးတွင် တည်ရှိသည်။<ref name="eleven1">https://www.youtube.com/watch?v=295ur2X4v4E</ref><ref name="eleven2">https://www.youtube.com/watch?v=H12nFiAGnWI</ref> ==သမိုင်းကြောင်း== ခမဲပြင်ဘိုးဘိုးကြီးသည် မွန်လူမျိုး ဖြစ်သည်။ ကဝမြို့နယ်ရှိ ဆယ်ရွာကို အုပ်ချုပ်ရသည့် ဆယ်ရွာသူကြီး ဖြစ်သည်။ ကွယ်လွန်သည့်အခါတွင် မိမိအုပ်ချုပ်ခဲ့သည့် ရွာဆယ်ရွာကို စောင့်ရှောက်ပေးခဲ့သည်။ ရွာသူရွာသားများသည်လည်း ဘိုးဘိုးကြီးအား ယုံကြည်ကိုးခဲ့ကြသည်။ နောင်အခါတွင် ကိုးကွယ်ယုံကြည်သူများ များပြားတိုးပွားလာခဲ့သည်။ ခမဲပြင်ဘိုးဘိုးကြီးသည် ကြက်တိုက်ခြင်းကို နှစ်သက်သည်။ လူအများသည် နာမကျန်းဖြစ်သည့်အခါတွင် ကြက်များကို ဘိုးဘိုးကြီး၏ နန်းတော်တွင် လွှတ်ကြသည်။ ၎င်းကို "ခြေနှစ်ချောင်းလွှတ်သည်" ဟု ခေါ်ကြသည်။ နေအိမ်မှ ခြေနှစ်ချောင်းထွက်ကိန်းရှိသည်ဟု ယုံကြည်ပါက ယတြာချေသည့်အနေဖြင့် ဤကဲ့သို့ ပြုလုပ်ကြသည်။ ဘိုးဘိုးကြီး၏ ပွဲတော်ရက်ရောက်သည့်အခါတွင် ရွာသားများသည် နတ်နန်းတွင် လွှတ်ထားသည့် ကြက်များနှင့် မိမိတို့၏ ကြက်ကို တိုက်ကြသည်။ နိုင်သူစားကြေးဟူသည့် လောင်းကြေးဖြင့် လုပ်ကြသည့် အလေ့သည် ယခုထက်တိုင် မြင်တွေ့နိုင်သည်။{{citation needed}} ==ယုံကြည်ကိုးကွယ်မှု== ပဲခူး၊ ရန်ကုန်၊ ကဝမြို့နယ်၊ သနပ်ပင် အစရှိသဖြင့် နယ်များမှ ယုံကြည်သူများသည် မိမိတို့ဝယ်ထားသည့် ကား၊ လှေ၊ လှည်း၊ ဆိုင်ကယ် စသည်တို့ကို အန္တရာယ်ကင်းရှင်းစေရန် လာရောက်ပြသကြသည်။ နှစ်စဉ်ဝါဆိုလပြည့်နေ့ရောက်တိုင်း ခမဲပြင်ဘိုးဘိုးကြီးပွဲတော်ကို ကျင်းပသည်။<ref name="eleven1"/><ref name="eleven2"/> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[Category:နတ်]] [[ကဏ္ဍ:ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]] {{Myanmar-stub}} d9gdkxmedtkkewd1fm5tn5nrwnuue8h 1040736 1040735 2026-06-25T08:42:23Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 1040736 wikitext text/x-wiki '''ခမဲပြင်ဘိုးဘိုးကြီး''' သည် မြန်မာ့တို့ကိုးကွယ်ယုံကြည်ကြသည့် နတ်တစ်ပါး ဖြစ်သည်။ ခမဲပြင်ဘိုးဘိုးကြီးနတ်နန်းသည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ကဝမြို့နယ်]]၊ [[ခမဲပြင်ရွာ]]အနီးတွင် တည်ရှိသည်။<ref name="eleven1">https://www.youtube.com/watch?v=295ur2X4v4E</ref><ref name="eleven2">https://www.youtube.com/watch?v=H12nFiAGnWI</ref> ==သမိုင်းကြောင်း== ခမဲပြင်ဘိုးဘိုးကြီးသည် မွန်လူမျိုး ဖြစ်သည်။ ကဝမြို့နယ်ရှိ ဆယ်ရွာကို အုပ်ချုပ်ရသည့် ဆယ်ရွာသူကြီး ဖြစ်သည်။ ကွယ်လွန်သည့်အခါတွင် မိမိအုပ်ချုပ်ခဲ့သည့် ရွာဆယ်ရွာကို စောင့်ရှောက်ပေးခဲ့သည်။ ရွာသူရွာသားများသည်လည်း ဘိုးဘိုးကြီးအား ယုံကြည်ကိုးခဲ့ကြသည်။ နောင်အခါတွင် ကိုးကွယ်ယုံကြည်သူများ များပြားတိုးပွားလာခဲ့သည်။ ခမဲပြင်ဘိုးဘိုးကြီးသည် ကြက်တိုက်ခြင်းကို နှစ်သက်သည်။ လူအများသည် နာမကျန်းဖြစ်သည့်အခါတွင် ကြက်များကို ဘိုးဘိုးကြီး၏ နန်းတော်တွင် လွှတ်ကြသည်။ ၎င်းကို "ခြေနှစ်ချောင်းလွှတ်သည်" ဟု ခေါ်ကြသည်။ နေအိမ်မှ ခြေနှစ်ချောင်းထွက်ကိန်းရှိသည်ဟု ယုံကြည်ပါက ယတြာချေသည့်အနေဖြင့် ဤကဲ့သို့ ပြုလုပ်ကြသည်။ ဘိုးဘိုးကြီး၏ ပွဲတော်ရက်ရောက်သည့်အခါတွင် ရွာသားများသည် နတ်နန်းတွင် လွှတ်ထားသည့် ကြက်များနှင့် မိမိတို့၏ ကြက်ကို တိုက်ကြသည်။ နိုင်သူစားကြေးဟူသည့် လောင်းကြေးဖြင့် လုပ်ကြသည့် အလေ့သည် ယခုထက်တိုင် မြင်တွေ့နိုင်သည်။{{citation needed}} ==ယုံကြည်ကိုးကွယ်မှု== ပဲခူး၊ ရန်ကုန်၊ ကဝမြို့နယ်၊ သနပ်ပင် အစရှိသဖြင့် နယ်များမှ ယုံကြည်သူများသည် မိမိတို့ဝယ်ထားသည့် ကား၊ လှေ၊ လှည်း၊ ဆိုင်ကယ် စသည်တို့ကို အန္တရာယ်ကင်းရှင်းစေရန် လာရောက်ပြသကြသည်။ နှစ်စဉ်ဝါဆိုလပြည့်နေ့ရောက်တိုင်း ခမဲပြင်ဘိုးဘိုးကြီးပွဲတော်ကို ကျင်းပသည်။<ref name="eleven1"/><ref name="eleven2"/> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|17.130548298620045|96.60076070370509|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:နတ်]] [[ကဏ္ဍ:ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]] {{Myanmar-stub}} ih0ph0uax8pcrg9lfi8vl21ptq30tg5 0 133749 1040698 748955 2026-06-25T07:11:56Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1040698 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |official_name = တပ်တောင်မြို့ |image_skyline = |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = တပ်တောင်မြို့ တည်နေရာ၊ မြန်မာ။ |pushpin_mapsize = 300 |subdivision_type = နိုင်ငံ |subdivision_name = {{flag|Myanmar}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံပြည်နယ်များ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ရခိုင်ပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[အမ်းခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[အမ်းမြို့နယ်]] |coordinates = {{Coord|19.5682|93.9358|region:MM|format=dms}} |population_footnotes = |population_total = ၇၉၁၇ |population_as_of = မတ် ၂၀၁၈ |population_urban = |population_density_km2 = | area_total_km2 = ၁.၉၇ }} '''တပ်တောင်မြို့'''သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[ရခိုင်ပြည်နယ်]]၊ [[အမ်းခရိုင်]]၊ အမ်းမြို့နယ်တွင် ပါဝင်သည့် မြို့တစ်မြို့ဖြစ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်း == တပ်တောင်မြို့ကို [[ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန]]၏ ၂၀၁၅ ခုနှစ် ဇွန်လ ၂၃ ရက်နေ့ရက်စွဲပါ အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ် ၇၉၉/၂၀၁၅ ဖြင့် ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ မြို့ဝန်ခေတ်က တပ်စွဲခဲ့၍ တပ်တောင်ဟု အမည်တွင်ခဲ့သည်။ == ပထဝီဝင် == တပ်တောင်မြို့သည် ပင်လယ်ရေမျက်နှာပြင်အမြင့် ပေ ၂၀ တွင် တည်ရှိသည်။ အမ်းချောင်းသည် တပ်တောင်မြို့အတွင်းတွင် အရှေ့မှ အနောက်သို့ ဖြတ်သန်းစီးဆင်းသည်။ === တည်နေရာ === တပ်တောင်မြို့သည် အမ်းမြစ်ဝမှ ၇ မိုင်အကွာ လက်ဝဲကမ်းတွင် တည်ရှိသည်။ [[အမ်းမြို့]]မှ တောင်ဘက် ၂၆ မိုင်အကွာတွင် တည်ရှိသည်။ မြောက်လတ္တီတွဒ် ၁၉ ဒီဂရီ ၄၀ မိနစ်မှ ၂၀ ဒီဂရီ ၃၀ မိနစ်နှင့် အရှေ့လောင်ဂျီတွဒ် ၉၃ ဒီဂရီ ၄၀ မိနစ်မှ ၉၃ ဒီဂရီ ၂၂ မိနစ်တို့အကြားတွင် တည်ရှိသည်။ === အကျယ်အဝန်း === တပ်တောင်မြို့သည် အရှေ့မှ အနောက်သို့ ၂ မိုင်နှင့် တောင်မှ မြောက်သို့ ၁.၅ မိုင် ရှည်လျားသည်။ အကျယ်အဝန်းအနေဖြင့် {{convert|0.762|sqmi}} ရှိသည်။ === နယ်နမိတ်=== တပ်တောင်မြို့၏ အရှေ့ဘက်တွင် အမ်းမြို့နယ်ရှိ လောင်းဒုံကွင်းအုပ်စု၊ တောင်ဘက်တွင် [[ဖက်ချောင်းရွာ|ဖက်ချောင်း]]အုပ်စုတို့နှင့် လည်းကောင်း၊ အနောက်ဘက်တွင် ကင်းခြေအုပ်စုနှင့် မြောက်ဘက်တွင် [[တိုက်မော်ရွာ|တိုက်မော်]]အုပ်စုတို့နှင့် နယ်နိမိတ် ထိစပ်လျက်ရှိသည်။ == ရာသီဥတု == တပ်တောင်မြို့သည် ပူအိုက်စွတ်စိုသော ရာသီဥတုရှိပြီး အမြင့်ဆုံး ၃၈ ဒီဂရီ စင်တီဂရိတ်နှင့် အနိမ့်ဆုံး ၇ ဒီဂရီ စင်တီဂရိတ် ဖြစ်သည်။ == လူနေမှု == တပ်တောင်မြို့၏ လူဦးရေမှာ ၂၀၁၈ မတ်လ စာရင်းအရ ၇၉၁၇ ဦးဖြစ်ပြီး [[ရခိုင်လူမျိုး]] အများစု ဖြစ်ကာ [[ချင်းလူမျိုး|ချင်း]]နှင့် [[ကရင်လူမျိုး]]များလည်း နေထိုင်ကြသည်။ == စီးပွားရေး == တပ်တောင်မြို့သည် စီးပွားရေးအချက်အချာကျသော ဒေသတွင် တည်ရှိသည်။ စီးပွားရေးအနေဖြင့် ကုန်ရောင်းကုန်ဝယ်၊ လယ်ယာကိုင်းကျွန်းလုပ်ငန်းများကို အဓိက လုပ်ကိုင်ကြသည်။ == ပညာရေး == တပ်တောင်မြို့တွင် အခြေခံပညာအထက်တန်းကျောင်း ၁ ကျောင်း၊ အလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ၁ ကျောင်း၊ မူလတန်းလွန်ကျောင်း ၁ ကျောင်း၊ မူလတန်းကျောင်း ၁ ကျောင်းနှင့် မူလတန်းကြိုကျောင်း ၁ ကျောင်းတို့ တည်ရှိသည်။ ==ကိုးကား== {{reflist| <ref>{{cite book|url=https://myanmar.gov.mm/documents/20143/0/%E1%80%90%E1%80%95%E1%80%B9%E1%80%B1%E1%80%90%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%B9%E1%81%BF%E1%80%99%E1%80%AD%E1%80%B3%E1%82%95%E1%80%B1%E1%80%92%E1%80%9E%E1%80%86%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%B9%E1%80%9B%E1%80%AC%E1%80%A1%E1%80%81%E1%80%BA%E1%80%80%E1%80%B9%E1%80%A1%E1%80%9C%E1%80%80%E1%80%B9.pdf/5d5a3a80-4ac4-bafd-9ee0-6e532ca98322?t=1540799862012|title=တပ်တောင်မြို့၏ ဒေသဆိုင်ရာ အချက်အလက်များ|work=တပ်တောင်မြို့ အထွေထွေအုပ်ချုပ်ရေးဦးစီးဌာန|date=စက်တင်ဘာ ၂၀၁၈|accessdate=၁၀ မေ ၂၀၂၀|archive-date=8 July 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220708072408/https://www.myanmar.gov.mm/documents/20143/0/%E1%80%90%E1%80%95%E1%80%B9%E1%80%B1%E1%80%90%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%B9%E1%81%BF%E1%80%99%E1%80%AD%E1%80%B3%E1%82%95%E1%80%B1%E1%80%92%E1%80%9E%E1%80%86%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%B9%E1%80%9B%E1%80%AC%E1%80%A1%E1%80%81%E1%80%BA%E1%80%80%E1%80%B9%E1%80%A1%E1%80%9C%E1%80%80%E1%80%B9.pdf/5d5a3a80-4ac4-bafd-9ee0-6e532ca98322?t=1540799862012|url-status=dead}}</ref> }} {{ရခိုင်ပြည်နယ်}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့များ]] [[Category:ရခိုင်ပြည်နယ်ရှိ မြို့များ]] 7xr1ebfoeywpxc2163t9wtbcmdk2qmz 0 143119 1040748 700092 2026-06-25T08:59:09Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1040748 wikitext text/x-wiki {{ref improve}} '''မလာဖြစ်ဂူဘုရား''' (ဘုရားအမှတ် ၆၆၄) သည် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၊ ပုဂံတွင် တည်ရှိသော ဂူဘုရားတစ်ဆူ ဖြစ်သည်။ နာရသီဟပတေ့ဘုရား၏ အနောက်မြောက်ဘက် (သို့မဟုတ်) သိင်္ဃသူသမီးကျောက်စာရုံ၏ အနောက်ဘက်တည့်တည့် အနည်းငယ်အလှမ်းဝေးသော နေရာတွင် မလာဖြစ်ဂူဘုရား တည်ရှိသည်။ ဘုရား၏ အနောက်မြောက်ဘက်တည့်တည့်တွင် အုတ်ကျောင်းပျက်ကြီး တစ်ဆောင် ရှိသည်။ ဂူအတွင်းရှိသော ကျောက်စာအရ သက္ကရာဇ် ၆၃၆ခုတွင် တရုတ်ပြေးမင်း၏ အမတ်တျာသည် ဤမြေအရပ်တွင် တံတိုင်း၊ ဂူဘုရား၊ ကျောင်းကြီး၊ တန်ဆောင်း၊ ကပ္ပိယကုဋီ စသောအဆောက်အအုံများတည်ဆောက်ကြောင်း သိရလေသည်။ ၎င်းကျောက်စာ၌ "တကာကြီး မ္လပြစ်" ဟုပါရှိသောကြောင့် ထိုအမတ်တျာ၏ အမည်မှာ မ္လပြစ် (မလပြစ်) ဟု ယူဆပြီး ဘုရား၏ ဘွဲ့အမည်ကိုလည်း "မလပြစ်"၊ ယင်းမှ ကာလကြာသောအခါ မလာဖြစ် ဂူဘုရားဟု ခေါ်ဝေါ်ခဲ့ကြသည်။<ref name="ks">မလာဖြစ်ဂူဘုရားအတွင်းရှိကျောက်စာ</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} {{coord|21.166771539881744|94.89850646522402|format=dms|region:MM|display=inline,title}} {{ပုဂံ}} [[ကဏ္ဍ:ပုဂံရှိ စေတီပုထိုးများ]] 2x4pg91ew02rzo74zc9rileffrednlb 0 143120 1040740 862933 2026-06-25T08:50:00Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 1040740 wikitext text/x-wiki {{Multiple issues| {{unreferenced}} {{cleanup}} {{copyedit}} }} မြကန်စက္ကူတိုက်မှာ မြန်မာနိုင်ငံ၊ မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၊ ညောင်ဦးမြို့တွင်တည်ရှိသည်။ ပုဂံဒေသတွင် ကျောက်အုတ်ဖြင့် တည်ထားသော ဗုဒ္ဓသာသနိကအဆောက်အဦ လေးခုရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ ရွှေစည်းခုံစေတီ၊ နန်းဘုရား၊ ကျောက်ဂူဥမင် နှင့် မြကန်စက္ကူတိုက် တို့ ဖြစ်ကြသည်။ တူရွင်းတောင်တက်ကားဂိတ်အနီးတွင် စက္ကူတိုက်ဟူသောလမ်းညွှန်ဆိုင်းဘုတ်မှ လမ်း၏ညာဘက်တစ်ဖက်အနီး ကိုင်းပင် ဆူးပင်(ဒေသအခေါ် ရှပင်) များ အကြားတွင် တွေ့နိုင်သည်။ ကျစွာမင်းကြီး၏ သမီးတော် သံပျင်မင်းသမီးက ရဟန်းတော်များကို စာချရာ နေရာဖြစ်သော မြကန်စက္ကူတိုက်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် အဆောက်အဦဟူ၍ မရှိတော့ဘဲ ကျောက်အုတ်ဖြင့် တည်ထားသော လေးထောင့် ပန္နက်ခုံကိုသာ တွေ့ရှိခဲ့ရသည်။  တစ်ချိန်က အမျိုးသမီး စာဆိုတော်တစ်ဦး စတင်ရာနေရာ နိမိတ်သဖွယ်ပင်ဖြစ်သည်ဟု မှတ်ယူရမည်ဖြစ်သော်လည်း ယနေ့အချိန်တွင် အောက်ခြေခုံမျှသာ မြင်တွေ့နိုင်တော့သည်။ ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|21.128844788709618, 94.93918019228268|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[ကဏ္ဍ:ပုဂံ]] n7hzi6ncerbxqeamjb912ctn90duohk 0 154353 1040634 966748 2026-06-24T23:24:04Z Giuliotf 131820 coordinates 1040634 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = ကံသာ |official_name = ကံသာရွာ |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |subdivision_type = [[အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင် နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံ]] |subdivision_name ={{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 =[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ကချင်ပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ဗန်းမော်ခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ဗန်းမော်မြို့နယ်]] |subdivision_type4 = [[ကျေးရွာအုပ်စု]] |subdivision_name4 = ကံသာ |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ရွာ]] |unit_pref = Imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |coordinates = {{Coord|24|10|59|N|97|11|12|E|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''ကံသာရွာ'''({{Lang-en|Kanthar}})သည် [[ကချင်ပြည်နယ်]]၊ [[ဗန်းမော်ခရိုင်]]၊ [[ဗန်းမော်မြို့နယ်]]၊ [[ကံသာကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည်။ ရွာနေရာကုတ်မှာ ၁၆၆၈၉၀ ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ သန်းခေါင်စာရင်း#၂၀၁၄ ခုနှစ် သန်းခေါင်စာရင်း|၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း]]အရ ကံသာကျေးရွာအုပ်စုတွင် ကျား ၂၉၇ ဦး၊ မ ၂၉၉ ဦး၊ လူဦးရေစုစုပေါင်း ၅၉၆ ဦး နေထိုင်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://themimu.info/place-codes|title=Place codes (Pcodes)|work=Myanmar Information Management Unit|date=June 2020|access-date=21 December 2020|archive-date=21 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121081823/https://themimu.info/place-codes|url-status=dead}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{ပထဝီဝင်တည်နေရာ |Centre = ကံသာ |North = |Northeast = |East = |Southeast = |South = |Southwest = |West = |Northwest = }} {{ဗန်းမော်မြို့နယ်}} [[ကဏ္ဍ:ဗန်းမော်မြို့နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Kachin-geo-stub}} l6jpdrqds1v5ud6acbzcaa5ebk718ny 0 203496 1040675 918372 2026-06-25T05:41:04Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1040675 wikitext text/x-wiki {{Infobox officeholder | honorific_prefix = | name =စောဒန်နီယယ် | honorific_suffix = | image = | image_size = | image_upright = | smallimage = <!--If this is specified, "image" should not be.--> | smallimage_alt = | alt = | caption = |office1=[[အမျိုးသား ကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ|အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့်လုံခြုံရေးကောင်စီ၏ <br>ဗဟိုအကြံပေးအဖွဲ့ဝင်]] |appointer1=အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့်လုံခြုံရေးကောင်စီ |term_start1 = ၃၁ ဇူလိုင် ၂၀၂၅ |term_end1 = |president1 = [[ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး]] [[မင်းအောင်လှိုင်]] {{small|(ယာယီတာဝန်)}} |leader1= စောထွန်းအောင်မြင့်၊ အဖွဲ့ခေါင်းဆောင် |predecessor1 = အဖွဲ့စတင် |successor1 = |office2 = [[နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ]]<br> ဗဟိုအကြံပေးအဖွဲ့ဝင် |term_start2 = ၁ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၃ |term_end2 = ၃၁ ဇူလိုင် ၂၀၂၅ | 1blankname2 = [[နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ ဥက္ကဋ္ဌ]] | 1namedata2= ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး [[မင်းအောင်လှိုင်]] | office3 = [[နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ]] အဖွဲ့ဝင် |appointer3=နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ | term_start3 = ၃ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၁ | term_end3 = ၁ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၃ | predecessor3 = ကောင်စီစတင် |successor3=ရာထူးအနားပေး |president3 = ဦး[[မြင့်ဆွေ (ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|မြင့်ဆွေ]] {{small|(ယာယီ)}} |leader3 = ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး [[မင်းအောင်လှိုင်]] | office4 = [[ကယားပြည်နယ်ဒီမိုကရက်တစ်ပါတီ]] ဒုဥက္ကဋ္ဌ | pronunciation = | birth_name = | birth_date = {{b-da|25 November 1957}} | birth_place = မြန်မာနိုင်ငံ | death_date = <!-- {{Death date and age|YYYY|MM|DD|YYYY|MM|DD}} --> | death_place = | death_cause = | resting_place = | resting_place_coordinates = | citizenship = | nationality = | party = [[ကယားပြည်နယ်ဒီမိုကရက်တစ်ပါတီ]] (၂၀၁၆-၂၀၂၁) | otherparty = | height = <!-- "X cm", "X m" or "X ft Y in" plus optional reference (conversions are automatic) --> | spouse = | partner = <!--For those with a domestic partner and not married--> | relations = | children = | mother = | father = | relatives = | residence = | education = | alma_mater = | occupation = {{hlist|နိုင်ငံရေးသမား}} | profession = | known_for = | salary = | net_worth = <!-- Net worth should be supported with a citation from a reliable source --> | cabinet = | committees = | portfolio = | awards = <!-- For civilian awards - appears as "Awards" if |mawards= is not set --> | signature = | signature_alt = | website = |honorific prefix=[[စည်သူဘွဲ့ |စည်သူ]]}} '''စောဒန်နီယယ်''' ({{lang-en|Saw Daniel}}; ၁၉၅၇ မွေးဖွား <ref name=":0">{{Cite web|date=2 December 2020|title=Karenni armed group urges govt, Tatmadaw on single stand in peace talks|url=https://www.mmtimes.com/news/karenni-armed-group-urges-govt-tatmadaw-single-stand-peace-talks.html|access-date=4 February 2021|website=The Myanmar Times|archive-date=8 February 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210208143227/https://www.mmtimes.com/news/karenni-armed-group-urges-govt-tatmadaw-single-stand-peace-talks.html}}</ref>) သည် [[ကယားလူမျိုး]] နိုင်ငံရေးသမားတစ်ဦးဖြစ်ပြီး လက်ရှိတွင် ကာလုံဗဟိုအကြံပေးအဖွဲ့ဝင် ဖြစ်သည်။​ နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီကောင်စီလက်ထက်တွင် စကစ ကောင်စီနှင့် စကစ၏ ဗဟိုအကြံပေးအဖွဲ့  အဖွဲ့ဝင်တစ်ဦး ဖြစ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=https://news-eleven.com/article/243868|title=နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ ဗဟိုအကြံပေးအဖွဲ့ ဖွဲ့စည်း |work=Eleven Media Group|access-date=၇ မတ် ၂၀၂၃ |date= ၁ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၃ }}</ref>ယင်းမတိုင်ခင် [[ကယားပြည်နယ်ဒီမိုကရက်တစ်ပါတီ]]၏ ဒုဥက္ကဋ္ဌ ဟောင်းတစ်ဦး ဖြစ်သည်။<ref name=":0" /> == နိုင်ငံရေးဘဝ == [[၂၀၂၁ မြန်မာနိုင်ငံစစ်အာဏာသိမ်းခံရခြင်း|၂၀၂၁ ခုနှစ် စစ်အာဏာသိမ်းမှု]]တွင် စောဒန်နီယယ်အား [[နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ]] အဖွဲ့ဝင်အဖြစ် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလ ၃ ရက်နေ့တွင် ခန့်အပ်ခဲ့သည်။<ref name=":1">{{Cite web|last=|first=|date=|title=ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော် နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ အမိန့်အမှတ် ( ၁၄ / ၂၀၂၁) ၁၃၈၂ ခုနှစ်၊ ပြာသိုလပြည့်ကျော် ၇ ရက် ၂၀၂၁ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ ၃ ရက်|url=http://www.dsinfo.org/node/973|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=4 February 2021|website=Tatmadaw Information Team|language=my|accessdate=16 February 2021|archivedate=7 March 2021|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210307110636/http://www.dsinfo.org/node/973}}</ref> အဆိုပါရာထူးလက်ခံခြင်းအတွက် ဖေဖော်ဝါရီလ ၄ ရက်နေ့တွင် ကယားပြည်နယ်ဒီမိုကရက်တစ်ပါတီက စောဒန်နီယယ်အား ပါတီမှ ထုတ်ပယ်လိုက်ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref name=":0" /> ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီ ၁ ရက်တွင် ကောင်စီအဖွဲ့ဝင်အဖြစ်မှ ဖယ်ထုတ်ခြင်းခံရပြီး၊ စကစ ဗဟိုအကြံပေးအဖွဲ့ဝင်အဖြစ် ပြောင်းရွေ့ခံရသည်။ === ကာလုံအကြံပေးအဖွဲ့ဝင် === [[နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ]]ကို ဖျက်သိမ်းပြီးနောက် [[အမျိုးသား ကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ|အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီရုံး]]၏ အမိန့်အမှတ် ၁၀/၂၀၂၅ ဖြင့် ယခင်နစက ကောင်စီဝင်များနှင့် နစက ဗဟိုအကြံပေးအဖွဲ့ဝင်များကို ကာလုံဗဟိုအကြံပေးအဖွဲ့သစ်တွင် တာဝန်ပေးခံရသည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.cincds.gov.mm/node/29778?d=1|title=အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့်လုံခြုံရေးကောင်စီ၏ ဗဟိုအကြံပေးအဖွဲ့ ဖွဲ့စည်းတာဝန်ပေးခြင်း|publisher=CINCDS|accessdate=2025 August 2}}</ref> == အရေးယူပိတ်ဆို့ခံရမှု == နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီဝင်အဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ခြင်းနှင့်စပ်လျဉ်းပြီး ဥရောပသမဂ္ဂက ၂၀၂၁ ဧပြီ ၁၉ရက် တွင်လည်းကောင်း၊အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုက ၂၀၂၁ ဇူလိုင် ၂၁ရက် တွင်လည်းကောင်း၊ဩစတြေးလျအစိုးရက ၂၀၂၃ ဇန်နဝါရီ ၂၅တွင်လည်းကောင်း ဒဏ်ခတ်ပိတ်ဆို့မှုစာရင်းထဲ ထည့်သွင်းသည်။<ref>{{cite web|url=https://mm.usembassy.gov/treasury-sanctions-senior-officials-and-family-members-connected-to-burmas-military/?_ga=2.146885687.1489531749.1678176675-1213731328.1677229645|title= Treasury Sanctions Senior Officials and Family Members Connected to Burma’s Military|work=U.S. Embassy in Burma|access-date=7 March 2023 |date=2 July 2021 }}</ref> <ref>{{cite web|url=https://eur-lex.europa.eu/legal-content/EN/TXT/PDF/?uri=OJ:L:2021:132I:FULL&from=EN|title=COUNCIL IMPLEMENTING REGULATION (EU)|work=the European Union|access-date=7 March 2023 |date=19 April 2021}}</ref> <ref>{{cite web|url=https://www.legislation.gov.au/Details/F2023L00076|title=Autonomous Sanctions (Designated and Declared Persons – Myanmar) Amendment Instrument 2023|work=Australian Government|access-date=7 March 2023 |date= 25 January 2023 }}</ref> == ဂုဏ်ပြုခံရခြင်း == ၂၀၂၂ ခုနှစ်၊ နိုဝင်ဘာလ ၁၇ ရက်တွင် နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ် ၂၁၁/၂၀၂၂ အားဖြင့် ပြည်ထောင်စုစည်သူသင်္ဂဟဘွဲ့ဖြစ်သော “[[စည်သူဘွဲ့]]” ကို နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီဥက္ကဋ္ဌက ချီးမြှင့်အပ်နှံခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://myanmar.gov.mm/news-media/news/latest-news/-/asset_publisher/idasset354/content/%25E1%2580%2594%25E1%2580%25AD%25E1%2580%25AF%25E1%2580%2584%25E1%2580%25BA%25E1%2580%2584%25E1%2580%25B6%25E1%2580%2590%25E1%2580%25B1%25E1%2580%25AC%25E1%2580%25BA%25E1%2580%2585%25E1%2580%25AE%25E1%2580%2599%25E1%2580%25B6%25E1%2580%25A1%25E-784|title=နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ် ၂၁၁/၂၀၂၂ ဂုဏ်ထူးဆောင်ဘွဲ့များ၊ ဂုဏ်ထူးဆောင်တံဆိပ်များ ချီးမြှင့်အပ်နှင်းခြင်း|accessdate=2 August 2025|publisher=Myanmar National Portal|archive-date=23 February 2026|archive-url=https://web.archive.org/web/20260223042710/https://myanmar.gov.mm/news-media/news/latest-news/-/asset_publisher/idasset354/content/%E1%80%94%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%84%E1%80%B6%E1%80%90%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%BA%E1%80%85%E1%80%AE%E1%80%99%E1%80%B6%E1%80%A1%E-784|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} {{နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ}} {{DEFAULTSORT:ဒန်နီယယ်၊ စော}} [[Category:၁၉၅၇ မွေးဖွားသူများ]] [[Category:သက်ရှိထင်ရှားပုဂ္ဂိုလ်များ]] [[Category:မြန်မာ့နိုင်ငံရေးသမားများ]] [[Category:နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီဝင်များ]] 5jjonhvfa7up1xag39tkdxk406y631d 0 207611 1040628 1040540 2026-06-24T21:21:11Z Naingli 144794 1040628 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | honorific_prefix = အကဝိဇ္ဇာ | name = ဗလပြန် | image = [[File:Balapann.png|thumb|ဆရာမကြီး ဒေါ်ဗလပြန်]] | alt = | caption = | birth_name = စောနန်းရွှေ<br />မစိမ်းမြ | birth_date = {{Birth date|1914|6|27}} | birth_place = [[ပဲခူးမြို့နယ်]]၊ [[ပဲခူးတိုင်း]]၊ မြန်မာ | death_date = {{Death year and age|1987|1914}} | death_place = ရန်ကုန်၊ မြန်မာ | nationality = မြန်မာနိုင်ငံသား | other_names = | occupation = အကပညာရှင် | years_active = | known_for = စံတော်ချိန်အက | notable_works = }} == အကဝိဇ္ဇာ မင်းသမီးကြီး ဒေါ်ဗလပြန် == == ငယ်ဘဝနှင့် "ဗလပြန်" ဖြစ်လာရခြင်း == ဒေါ်ဗလပြန်၏ ငယ်နာမည်မှာ မစိမ်းမြ ( ကရင်နာမည် - စောနန်းရွှေ ) ဖြစ်ပြီး ၁၂၇၆ ခုနှစ်၊ ဝါဆိုလဆန်း ၆ ရက်တွင် ပဲခူးမြို့နယ်၊ ရေအေးစမ်းရွာ၌ မွေးဖွားခဲ့သည်။ မိဘများမှာ ဦးချမ်းအေးနှင့် ဒေါ်နော်ရွှေမိတို့ ဖြစ်သည်။ ငယ်စဉ် ၇ နှစ်သမီးအရွယ်တွင် ဧရာဝဏ်ဦးတင့်ကြီးနှင့် တလိုင်းမ မငွေတင်တို့၏ ဇာတ်ပွဲ၌ စင်ပေါ်သို့ ရုတ်တရက်တက်ရောက်ကာ "ကိုတင့်ကြီးရဲ့ မေ့ပြီလား၊ ကျွန်မ မယ်အောင်ဗလလေ" ဟု ဆိုပြီး အောင်ဗလ၏ တေးသီချင်းများကို ဆိုပြခဲ့ခြင်းသည် သူမ၏ အနုပညာသမိုင်းကို စတင်စေခဲ့သည်။ ထိုအချိန်မှစ၍ "ဗလပြန်" ဟူသောအမည်ဖြင့် လူသိများလာခဲ့သည်။ == ပံ့ပိုးပေးသူများ၏ အခန်းကဏ္ဍ == ဗလပြန်ကို ဒိုက်ဦးမှ ဆန်စက်သူဌေး ဦးမောင်မောင်က စင်တင်ပေးရာတွင် ထိုစဉ်က နာမည်ကြီး မင်းသား ဦးစိန်ခို၊ မင်းသမီး မငွေမြိုင်နှင့် ဆိုင်းဆရာ စိန်ဗေဒါကြီးတို့နှင့်အတူ တွဲဖက်ကပြခဲ့ရသည်။ ထို့နောက် ဇာတ်ပွဲစားကြီး ဦးဖိုးဇုံက သူမ၏ အရည်အချင်းကို အသိအမှတ်ပြု၍ အသက် ၁၂ နှစ်အရွယ်တွင် ဇာတ်အဖွဲ့တစ်ခုကို တည်ထောင်ပေးခဲ့သည်။ == အနုပညာခရီးလမ်းနှင့် တွဲဖက်များ == အသက် ၁၆ နှစ်မှစတင်၍ ထင်ရှားသော မင်းသားကြီးများဖြစ်သည့် ဘားမားစိန်၊ နေပြည်တော် ဘသက်၊ စန္ဒရားဦးဘအုန်း၊ ဆရာလတ်၊ ဒုတိယဘိုးစိန်၊ အောင်ဘညိုတို့နှင့် တွဲဖက်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် စိန်အောင်မင်းနှင့် ၁၀ နှစ်၊ အောင်မောင်းနှင့် ၇ နှစ်ကြာ တွဲဖက်ခဲ့ပြီး၊ ရွှေမန်းတင်မောင်နှင့်လည်း ဂျပန်ခေတ်တွင် ခေတ္တတွဲဖက် ကပြခဲ့ဖူးသည်။ == အကဝိဇ္ဇာဘွဲ့နှင့် ဆန်းသစ်တီထွင်မှုများ == အိမ်စောင့်အစိုးရလက်ထက် တပ်မတော်ကပွဲရုံတွင် ရုပ်သေးနှင့် လူ အပြိုင်ကပြသည့် အကဖြင့် မြို့တော်ဝန် ဗိုလ်မှူးကြီးထွန်းစိန်၏ ဂုဏ်ပြုရွှေတံဆိပ်နှင့် "အကဝိဇ္ဇာ" ဘွဲ့ကို ရရှိခဲ့သည်။ သူမ၏ ခင်ပွန်းဖြစ်သူ ဦးဇော်သည်လည်း အနုပညာရှင်ဖြစ်သည့်အတွက် သူမကို အရုပ်နှင့်ပြိုင် ကပြစေခြင်းစသည့် ဆန်းသစ်သော အကကွက်များကို ဖန်တီးစေခဲ့သည်။ ၁၉၆၉-၇၀ ခုနှစ်တွင် "စံတော်ချိန်" အကကို တီထွင်ခဲ့ပြီး ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာန၏ ယိမ်းအဆင့်အတန်း မြင့်မားရေးတွင်လည်း အဓိကနေရာမှ ပါဝင်ခဲ့သည်။ == လက်ရာများ၊ ခရီးစဉ်များနှင့် နောက်ဆုံးအချိန် == သူမ၏ ထင်ရှားသော ဇာတ်လမ်းများမှာ - စိန်အောင်မင်းနှင့်တွဲဖက်: ငမိုးရိပ်၊ ရာဇသင်္ကြံ၊ မင်းညီနောင်၊ မောင်မစ္စက၊ ဝိဇယကုမ္မာဇာတ်။ အောင်မောင်းနှင့်တွဲဖက်: မဟာပဒုမ၊ ပန်းပဲမောင်တင့်တယ်၊ တာနောယက္ခ၊ သုဓနုမေဓာဝီဇာတ်။ အခြားဇာတ်လမ်းများ: မင်းကုသ၊ ပဋိက္ခရား၊ ဥဒါရီကုမာရီ။ သူမသည် တရုတ်နှင့် ဗီယက်နမ်နိုင်ငံများသို့ ယဉ်ကျေးမှုဖလှယ်ရေး ခရီးစဉ်များ သွားရောက်ခဲ့သည်။ အသက် ၅၀ မှစ၍ အသက် ၇၄ နှစ်အထိ ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာနတွင် အကြံပေးအရာရှိအဖြစ် ထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး ၁၉၈၇ ခုနှစ်တွင် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ ==ကိုးကား== {{reflist}} ==ပြင်ပလင့်ခ်များ== * [https://www.facebook.com/329611677117410/videos/392313268409530/ စံတော်ချိန်အက (အမျိုးသား)] * [https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=3582830825064351&id=1332465993434190 စံတော်ချိန်အက (အမျိုးသမီး)] [[ကဏ္ဍ:၁၉၁၄ မွေးဖွားသူများ]] [[ကဏ္ဍ:၁၉၈၇ ကွယ်လွန်သူများ]] [[Category:မြန်မာ သဘင်ပညာရှင်များ‎]] i8v43fyyiizmj5dqjtip7xwccnq6nc7 0 209988 1040761 1020628 2026-06-25T10:26:22Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1040761 wikitext text/x-wiki {{Infobox newspaper | name = The New York Times | motto = ''ကောင်းနိုးရာရာ စုံလင်သတင်း ပုံနှိပ်ခြင်း" <br />"All the News That's Fit to Print'' | logo = NewYorkTimes.svg | image = | image_alt = border | caption = Front page on March 26, 2018 | type = [[နေ့စဉ်သတင်းစာ]] | format = ဆိုက်ကြီး | owners = The New York Times Company | founders = {{ubl|Henry Jarvis Raymond|George Jones}} | publisher = A. G. Sulzberger<ref name="masthead"/> | chiefeditor = Dean Baquet<ref name="masthead"/> | maneditor = Joseph Kahn<ref name="masthead">{{cite news |title=The Masthead of The New York Times |url=https://www.nytimes.com/interactive/2021/01/01/admin/the-new-york-times-masthead.html |access-date=January 5, 2021 |work=The New York Times |date=January 1, 2021}}</ref> | opeditor = Kathleen Kingsbury (လက်ရှိ)<ref>{{cite web |title=Kathleen Kingsbury |url=https://www.nytco.com/person/kathleen-kingsbury/ |website=The New York Times Company |date=April 11, 2019 |access-date=July 20, 2020}}</ref> | sportseditor = Randal C. Archibold<ref>{{cite news |title=Randal C. Archibold |url=https://www.nytimes.com/by/randal-c-archibold |access-date=January 5, 2021 |work=The New York Times}}</ref> | staff = သတင်းသမား ၁,၃၀၀ (၂၀၁၆)<ref>{{cite web|url=https://www.nytimes.com/2016/05/26/business/media/new-york-times-co-to-offer-buyouts-to-employees.html | title=New York Times Co. to Offer Buyouts to Employees | last = Rogers | first = Katie | website=The New York Times | date= May 25, 2016}}</ref> | foundation = {{Start date and age|1851|9|18}} ( ''နယူးယောက်နေ့စဉ်တိုင်းစ်အဖြစ်'') | ceased publication = | headquarters = [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု]]၊ နယူးယောက်မြို့၊<br />အမှတ် (၈) ရိပ်သာလမ်း၊ အမှတ် (၆၂၀)၊နယူးယောက်တိုင်းစ် အဆောက်အဦ။ | circulation = {{bulleted list| * 5,496,000 news subscribers * 4,665,000 digital-only * 831,000 print * 1,398,000 games, cooking, and Audm subscribers }} | ISSN = 0362-4331 | eISSN = 1553-8095 | oclc = 1645522 | website = {{plain list| * {{URL|http://nytimes.com|nytimes.com}} * {{Onion URL|nytimes3xbfgragh}}<ref>{{cite web |last1=Sandvik |first1=Runa |title=The New York Times is Now Available as a Tor Onion Service |url=https://open.nytimes.com/https-open-nytimes-com-the-new-york-times-as-a-tor-onion-service-e0d0b67b7482 |access-date=January 11, 2021 |language=en |date=April 26, 2018 |archive-date=26 April 2026 |archive-url=https://web.archive.org/web/20260426004507/https://open.nytimes.com/https-open-nytimes-com-the-new-york-times-as-a-tor-onion-service-e0d0b67b7482?gi=3fe55bdc6c90 |url-status=dead }}</ref> }} | publishing_country = အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု | circulation_date = ၂၀၂၀ နိုဝင်ဘာ<ref>{{cite web |title= Press Release |url=https://nytco-assets.nytimes.com/2020/11/Press-Release-9.27.2020-Final-for-posting.pdf |website= The New York Times}}</ref> }} '''''နယူးယောက်တိုင်းမ်''''' ({{lang-en|the New York Times}}, N.Y.T. or N.Y. Times) သည် [[နယူးယောက်မြို့]]တွင် အခြေစိုက်သည့် အမေရိကန် နေ့စဉ်သတင်းစာ<ref>{{cite news| url=https://www.politico.com/media/story/2015/08/is-the-washington-post-closing-in-on-the-times-004045| title=Is The Washington Post closing in on the Times?| work=Politico| access-date=November 5, 2017}}</ref><ref>{{cite news| url=https://www.economist.com/node/21550262|title=News of the world| date=March 17, 2012| work=[[The Economist]]| access-date=November 5, 2017| issn=0013-0613}}</ref> ဖြစ်ပြီး ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံးနှင့် ဩဇာအရှိဆုံး သတင်းမီဒီယာများထဲမှ တစ်ခုအဖြစ် ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသိအမှတ်ပြုခံထားရသည်။ ၎င်းကို '''"မှတ်တမ်းစာအုပ် (The Record)"''' ဟုလည်း ရည်ညွှန်းလေ့ရှိပြီး၊ ၎င်း၏ သတင်းရေးသားမှုအရည်အသွေး၊ စုံစမ်းစစ်ဆေးမှုများ (investigative journalism) နှင့် နိုင်ငံတကာသတင်းလွှမ်းခြုံမှုများကြောင့် ကျော်ကြားသည်။ ၁၈၅၁ တွင်တည်ထောင်ခဲ့သော ဤသတင်းစာသည် [[ပူလစ်ဇာဆု]] (Putlizer Prize) ၁၃၀ ခုကို ရရှိထား၍ သတင်းစာလောကတွင် အများဆုံးဖြစ်သည်။<ref name="Pulitzer2">{{cite news|url=http://www.nytco.com/pulitzer-prizes/|title=Pulitzer Prizes|accedate=November 5, 2017|publisher=The New York Times Company}}</ref> သတင်းစာလုပ်ငန်း အဝန်းအဝိုင်းတွင် ယုံကြည်ခိုင်မာသော အမျိုးသားသတင်းစာအဖြစ် ကြာလရှည်ကြာသတ်မှတ်ခံရသော သတင်းစာလည်းဖြစ်သည်။<ref name="EB">{{cite encyclopedia |title=The New York Times |encyclopedia=[[Encyclopædia Britannica]] |access-date=September 27, 2011 |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/412546/The-New-York-Times}}</ref> သတင်းစာစောင်ရေအရ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုတွင် တတိယမြောက်ဖြစ်ပြီး ကမ္ဘာပေါ်တွင် အဆင့် ၁၈ ရှိသည်။<ref>{{cite web| url=https://www.cision.com/us/2019/01/top-ten-us-daily-newspapers/| title=Top 10 U.S. Daily Newspapers| website=Cision| access-date=July 13, 2019| archive-url=https://web.archive.org/web/20190722203322/https://www.cision.com/us/2019/01/top-ten-us-daily-ဟnewspapers/| archive-date=July 22, 2019| url-status=dead| accessdate=20 August 2021| archivedate=22 July 2019| archiveurl=https://web.archive.org/web/20190722203322/https://www.cision.com/us/2019/01/top-ten-us-daily-newspapers/}}</ref> သတင်းစာကို အများပိုင်ကုမ္ပဏီဖြစ်သည့် နယူးယောက်တိုင်းမ်ကုမ္ပဏီမှ ပိုင်ဆိုင်၍ ရှယ်ယာများကို အများပြည်သူထံ ရောင်းချပြီးနောက် ရှယ်ယာပုံစံ နှစ်မျိုး/ဆင့် တည်ဆောက်ပုံ (dual-class share) မှတစ်ဆင့် ဆာ(လ်တ်စ်)ဘာဂါမိသားစုက ၁၈၉၆ ကတည်းက အုပ်ချုပ်စီမံခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite news| url=https://www.nytimes.com/2009/01/20/business/media/20times.html| title=Mexican Billionaire Invests in The New York Times Company| last=Dash| first=Eric| date=January 19, 2009| work=The New York Times| access-date=November 5, 2017| issn=0362-4331}}</ref> အေ. ဂျီ ဆာ(လ်တ်စ်)ဘာဂါ နှင့် ၎င်း၏ဖခင် အာသာ အောခ်စ် ဆာ(လ်တ်စ်)ဘာဂါ ဂျူနီယာ (Ochs Sulzberger Jr.) တို့သည် ထိုမိသားစုမျိုးဆက်၏ ပဉ္စမမြောက်၊ စတုတ္ထမြောက် ထုတ်ဝေသူ၊ ကုမ္ပဏီဥက္ကဋ္ဌတို့ အသီးသီး ဖြစ်ကြသည်။<ref>{{cite magazine| url=https://nymag.com/daily/intelligencer/2016/10/a-g-sulzberger-becomes-deputy-publisher-of-new-york-times.html| title=A. G. Sulzberger Vanquishes His Cousins, Becomes Deputy Publisher of the New York Times| last=Levitz| first=Eric| date=October 19, 2016| magazine=[[New York (magazine)|New York]]}}</ref> ၁၉၇၀ ခုနှစ်များမှစ၍ သတင်းစာ၏ အပြင်အဆင်၊ အစီအစဉ်များကို တိုးချဲ့ခဲ့၍ ပုံမှန်သတင်း၊ အယ်ဒီတာအာဘော် (ခေါင်းကြီးပိုင်း)၊ အားကစား၊ အထူးအကြောင်းအရာများကို ဖြည့်စွက်အားဖြည့်ပေးနိုင်သော အမျိုးမျိုးသော အကြောင်းအရာများအပေါ် အပတ်စဉ် အထူးကဏ္ဍများကိုလည်း ထည့်သွင်းခဲ့ကြသည်။ ၂၀၀၈ မှစ၍<ref name="Pérez-Peña, Richard">{{cite news| url=https://www.nytimes.com/2008/09/06/business/media/06times.html| title=Times Plans to Combine Sections of the Paper| author=Pérez-Peña, Richard| date=September 5, 2008| work=The New York Times| access-date=September 16, 2008}}</ref> နယူးယောက်တိုင်းမ်တွင် သတင်း၊ အယ်ဒီတာအာဘော်၊ ရှုထောင့်အမြင်ဆိုင်ရာ ကော်လံများ/ဆန့်ကျင်ဘက်မျက်နှာရှိ အကြောင်းအရာများ၊ နယူးယောက်မြို့တော်ဆိုင်ရာအကြောင်း၊ စီးပွားရေး၊ အားကစား၊ အနုပညာ၊ သိပ္ပံ၊ ဖက်ရှင်၊ နေအိမ်၊ ခရီးသွားနှင့် အခြားအကြောင်းအရာများကို စုစည်းစီစဉ် ဖော်ပြသည်။<ref>{{cite web|url=https://www.nytimes.com/info/contents/contents.html|title=The New York Times Site Index|website=The New York Times|access-date=February 25, 2017 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20171023221621/http://www.nytimes.com/info/contents/ |archive-date=October 23, 2017}}</ref> တနင်္ဂနွေနေ့များ၌ သတင်းစာကို "တနင်္ဂနွေသုံးသပ်ချက်" စာစောင်<ref>{{Cite news|url=https://www.nytimes.com/2011/06/19/opinion/19sunday-review-letter.html|title=A Letter to Our Readers About the Sunday Review|date=June 18, 2011|newspaper=The New York Times|issn=0362-4331|access-date=January 26, 2017}}</ref> "စာအုပ်ရေးရာသုံးသပ်ချက်"စာစောင်၊<ref>{{Cite web|url=https://www.c-span.org/video/?195760-1/inside-new-york-times-book-review|title=Inside The New York Times Book Review|website=C-SPAN.org|access-date=January 26, 2017}}</ref> ''နယူးယောက်တိုင်း မဂ္ဂဇင်း"အားဖြည့်စာစောင်<ref>{{Cite news|url=https://www.nytimes.com/2015/02/22/magazine/behind-the-relaunch-of-the-new-york-times-magazine-by-jake-silverstein.html|title=Behind the Relaunch of The New York Times Magazine|last=Silverstein|first=Jake|date=February 18, 2015|newspaper=The New York Times|issn=0362-4331|access-date=January 26, 2017}}</ref> တို့နှင့် အားဖြည့်၍ ထုတ်ဝေကြသည်။'' == ဒစ်ဂျစ်တယ် မဟာဗျူဟာ == ၂၁ ရာစုတွင် သတင်းလုပ်ငန်း၏ စိန်ခေါ်မှုများကို ရင်ဆိုင်ရန် သည် နယူးယောက်တိုင်းမ်သည် ဒစ်ဂျစ်တယ်နည်းပညာကို အားကောင်းစွာ အသုံးချခဲ့သည်။ ၂၀၁၁ ခုနှစ်တွင် "metered paywall" ဟုခေါ်သည့် အခမဲ့ဖတ်ရှုခွင့် အကန့်အသတ်ပြီးနောက် အခပေးစာရင်းသွင်းခိုင်းသည့် စနစ်ကို စတင်ကျင့်သုံးခဲ့သည်။ ဤမဟာဗျူဟာသည် အစပိုင်းတွင် သံသယများရှိခဲ့သော်လည်း အောင်မြင်မှုရရှိခဲ့ပြီး ဒစ်ဂျစ်တယ်စာရင်းသွင်းသူ သန်းပေါင်းများစွာကို ဆွဲဆောင်နိုင်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ ဒစ်ဂျစ်တယ်အောင်မြင်မှုသည် မြင့်မားသော သတင်းအရည်အသွေး၊ ခေတ်မီဒေတာဆန်းစစ်မှုများ (data analytics)၊ မာလ်တီမီဒီယာအကြောင်းအရာများ (ဥပမာ- ပေါ့တ်ကတ်များ၊ ဗီဒီယိုများ၊ အပြန်အလှန်တုံ့ပြန်နိုင်သော ဂရပ်ဖစ်များ) နှင့် "NYT Crossword" ကဲ့သို့သော နယ်ပယ်သစ်များသို့ တိုးချဲ့မှုများကြောင့် ဖြစ်သည်။ ၂၀၂၃ ခုနှစ်တွင် ဒစ်ဂျစ်တယ်စာရင်းသွင်းခြင်းမှ နှစ်စဉ်ဝင်ငွေ ဒေါ်လာ ၁ ဘီလီယံကျော် ရရှိခဲ့သည်။ == လွှမ်းမိုးမှုနှင့် ဝေဖန်မှုများ == သည် နယူးယောက်တိုင်းမ်သည် အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုနှင့် ကမ္ဘာတစ်ဝန်းရှိ သတင်းမီဒီယာလောကတွင် ကြီးမားသော ဩဇာလွှမ်းမိုးမှုရှိသည်။ ၎င်း၏ သတင်းများ၊ ဆောင်းပါးများနှင့် အယ်ဒီတာ့အာဘော်များသည် လူထုအမြင်နှင့် နိုင်ငံရေးဆိုင်ရာ ဆွေးနွေးငြင်းခုံမှုများအပေါ် သက်ရောက်မှုရှိသည်။ သို့သော်လည်း ၎င်း၏ သတင်းရေးသားမှုများနှင့်ပတ်သက်၍ ဘက်လိုက်မှု၊ တိကျမှုနှင့် နိုင်ငံရေးအမြင်များကြောင့် ဝေဖန်မှုများလည်း မကြာခဏ ရှိတတ်သည်။ ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:အမေရိကန် သတင်းစာများ]] {{stub}} ru764qai5jvy3721knyxvzw17hv19i7 0 252025 1040639 816674 2026-06-25T02:48:23Z ~2026-36661-78 144835 1040639 wikitext text/x-wiki {{unreferenced}} '''အမှတ် (၁၀၈) ခြေမြန်တပ်ရင်း''' (အတိုကောက် '''ခမရ (၁၀၈)''') သည် [[အမှတ်(၆၆)ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ်]] လက်အောက်ခံတပ်ရင်း တစ်ရင်းဖြစ်ပြီး ဧရာဝတီတိုင်း‌ဒေသကြီး၊ [[ဓနုဖြူမြို့]]တွင် အခြေစိုက်သည်။ {{တပ်မတော် (ကြည်း)}} [[ကဏ္ဍ:ခြေလျင်တပ်ရင်းများ]] {{တပ်မတော်-stub}} q7yqlhorogv8ufdaclsbizq60p70nef 0 266106 1040598 1040130 2026-06-24T15:32:03Z Naingli 144794 1040598 wikitext text/x-wiki {| class="infobox vcard" style="width: 25em; text-align: left; font-size: 95%;" |+ style="font-size: large; font-weight: bold; background-color: #f0e68c;" | ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်း |- | colspan="2" style="text-align: center;" | [[ဖိုင်:Example.jpg|200px|ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်း]] |- ! scope="row" | မွေးဖွား | ၁၉၄၁ |- ! scope="row" | မွေးရပ်မြေ | လင်းကတော၊ မြိုင်၊ ပခုက္ကူ |- ! scope="row" | လုပ်ငန်း | ရုပ်ရှင်မင်းသမီး၊ အငြိမ့်မင်းသမီး |- ! scope="row" | ထင်ရှားသောဆုများ | စည်သူဘွဲ့၊ မြန်မာ့ရုပ်ရှင်တစ်သက်တာဆု |- ! scope="row" | အဖွဲ့အစည်း | အမေများအဖွဲ့ (တည်ထောင်သူ) |} === အနုပညာမှတ်တမ်း === {| class="wikitable sortable" ! ခုနှစ် !! ဇာတ်ကား !! ဆုတံဆိပ်/မှတ်ချက် |- | ၁၉၉၄ || သရဖူ || မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု (ဇာတ်ပို့) |- | ၂၀၂၃ || - || မြန်မာ့ရုပ်ရှင်တစ်သက်တာဆု |} ဆိုဗီယက်ပြန် '''ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်း''' (၁၉၄၁ မွေးဖွား) သည် မြန်မာ့ဇာတ်,အငြိမ့်သဘင်လောကတွင်သာမက မြန်မာ့ရုပ်ရှင်လောကတွင်ပါ ထင်ရှားသော မင်းသမီးတစ်ဦးဖြစ်သည်။ "'''အမေများအဖွဲ့'''" ကိုတည်ထောင်သူတစ်ဦးဖြစ်ပြီး ရုပ်ရှင်နှင့်သဘင်လောကမှ သက်ကြီးသရုပ်ဆောင်အမျိုးသမီးများအတွက် ကူညီဆောင်ရွက်ပေးသူဖြစ်သည်။ သူမ၏ ပြောင်မြောက်လှစွာသော သရုပ်ဆောင်ချက်များနှင့် နိုင်ငံတော်အကျိုးအတွက်သဘင်ပညာဖြင့်အကျိုးပြုမှုများအတွက် လူမှုထူးချွန်တံဆိပ်(ပထမအဆင့်)။ [[စည်သူဘွဲ့]]၊ [[မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု]] ၊ မြန်မာ့ရုပ်ရှင်တစ်သက်တာထူးချွန်ဆုများ ရရှိခဲ့သူ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite news |title=ရုပ်ရှင်တစ်သက်တာဆုကို နွဲ့နွဲ့စန်း အပါအဝင် ၃ ဦး ရရှိ |url=https://cnimyanmar.com/index.php/local-news-2/local-entertainment/20184-2024-02-03-13-32-26 |access-date=၂ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၅ |work=cnimyanmar.com |language=en-gb}}</ref> == ငယ်ဘဝ == ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်းကို ၁၉၄၁ ခုနှစ်တွင် မကွေးတိုင်းဒေသကြီး၊ ပခုက္ကူခရိုင်၊ မြိုင်မြို့နယ်၊ [[လင်းကတောရွာ၊ မြိုင်မြို့နယ်|လင်းကတော ကျေးရွာ]]တွင် မွေးဖွားခဲ့သည်။ မွေးချင်းငါးယောက်ရှိသည့်အနက် သုံးယောက်မြောက်ဖြစ်သည်။ သူမငယ်စဉ်အချိန်ကပင် ဖခင်ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမ ခုနှစ်နှစ်အရွယ်တွင် မန္တလေးမြို့သို့ပြောင်းရွှေ့နေထိုင်ခဲ့ပြီး မန္တလေးပန်တျာကျောင်းတွင် ပန်တျာပညာများကို သင်ယူခဲ့သည်။ သူမ၏ အကနည်းပြဆရာမှာ ဝဏ္ဏကျော်ထင် ဒေါ်[[ဩဘာသောင်း]] ဖြစ်ပြီး အဆိုနည်းပြဆရာမှာ ဂီတမယ်ဒေါ်လှကလေးစိန်တို့ ဖြစ်ကြသည်။ သူမနှင့်အတူ ပညာသင်ကြားခဲ့ကြသူများမှာ - ယိုးဒယားပြန်ဒေါ်အမာစိန်၊ပန်တျာကျင်ကျင်မြိုင်၊လှထိပ်တင်၊ယုဝတီမြင့်မြင့်၊ မရှပ်တေး၊ညိုညိုစန်း စသူတို့ဖြစ်သည်။ သူမအသက်ရှစ်နှစ်တွင် ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဦးခင်မောင်လေး၏ တရုတ်နိုင်ငံခရီးစဉ်တွင် လိုက်ပါကပြခဲ့ရသည်။ အဆိုပါ ခရီးစဉ်သည် သူမ၏ ပထမဆုံးနိုင်ငံခြားခရီးစဉ်ဖြစ်ခဲ့သည်။ == အငြိမ့်မင်းသမီးဘဝ == ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်းသည် အသက်တစ်ဆယ့်တစ်နှစ်တိုင်အောင် မန္တလေးပန်တျာကျောင်းတွင် ပညာသင်ယူခဲ့သည်။ သူမသည် မန္တလေးမှအငြိမ့်တည်ထောင်သူ ဦးမန်းရီ တည်ထောင်သော မင်္ဂလာအငြိမ့်တွင် အငြိမ့်မင်းသမီးအဖြစ် စတင်ကပြခဲ့သည်။ သူမနှင့်အတူကပြခဲ့သူများမှာ လူရွှင်တော်ကြီးများဖြစ်ကြသော ဦးရွှေဒေါင်း၊ ဦးငွေမောင်း စသူတို့ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် နိုင်ငံတော်အဆင့်အခမ်းအနားများတွင်လည်း ကပြဖျော်ဖြေခဲ့ရသည်။ သူမ အသက်တစ်ဆယ့်လေးနှစ်အရွယ်တွင် အိန္ဒိယဝန်ကြီးချုပ်နေရူးနှင့်ဇနီးတို့လာရောက်စဉ် ယိုးဒယားအကဖြင့်ကပြဖျော်ဖြေခဲ့ရာ ထဘီတစ်ထည်ဆုချခြင်းခံရသည်။ သူမအသက်တစ်ဆယ့်ရှစ်နှစ်အရွယ်တွင် သူမ၏ ဆိုဗီယက်ပြန်နွဲ့နွဲ့စန်း ဟုနာမည်ကျော်စေမည့် ဆိုဗီယက်ပြည်ထောင်စုသို့ အနုပညာရှင်ကြီးများဖြစ်ကြသော [[ရွှေမန်းတင်မောင်]]၊ ဦး[[ကက်နက်စိန်]]၊ ဦးစိန်အောင်မင်း၊ ဦးဟန်ပ၊ ဦးဘသန်းစသော အနုပညာရှင်များပါဝင်သော ချစ်ကြည်ရေးအဖွဲ့ကြီးဖြင့်သွားရောက်ဖျော်ဖြေခဲ့ရသည်။ ထို့နောက် အသက်နှစ်ဆယ်ခန့်တွင် တရုတ်နိုင်ငံနှင့်နယ်နမိတ်ရေးဆွဲရေးကိစ္စနှင့်ပတ်သက်၍ ချစ်ကြည်ရေးခရီးစဉ်အဖြစ် တရုတ်နိုင်ငံသို့ထပ်မံသွား ရောက်ဖျော်ဖြေခဲ့ရသည်။ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်း ၏ တစ်ပုဒ်တည်းသော ဓာတ်ပြားသီချင်းမှာ မြို့မငြိမ်း ရေးသားသော ပျို့မှတ်တမ်း သီချင်းဖြစ်သည်။ == ရုပ်ရှင်မင်းသမီးဘဝ == ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်းသည် အသက်နှစ်ဆယ်ခန့်အရွယ်တွင် မန္တလေးမှ စက်သူဌေး ဦးမောင်မောင်ခင်နှင့် အိမ်ထောင်ကျခဲ့သည်။ ''မုန်း'' ဇာတ်ကားဖြင့် ရုပ်ရှင်နယ်ပယ်သို့ စတင်ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ အိမ်ထောင်ဖက်၏ ချုပ်ချယ်မှုကြောင့် အနှောင့်အယှက်များစွာဖြစ်ခဲ့သော်လည်း ''ထားသခင်'' ၊ ''မိုးညအိပ်မက်မြူ'' စသော ရုပ်ရှင်ကားများကို ရိုက်ကူးခဲ့သည်။ အိမ်ထောင်သက် ၁၁ နှစ်အရတွင် ဦးမောင်မောင်ခင်နှင့် ကွာရှင်းခဲ့သည်။ ထို့နောက် ကျော်ဟိန်း၊ ကိုအောင်ဆွေတို့ပါဝင်သော ''မဟာဗောဓိ''ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားဖြင့် ရုပ်ရှင်လောကသို့ ဒုတိယအကြိမ်ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၉၄ ခုနှစ်တွင် ''သရဖူ'' ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားဖြင့် [[မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု]](ဇာတ်ပို့ဆု) ရရှိခဲ့သည်။ ၂၀၂၃ ခုနှစ်တွင် မြန်မာရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု(တသက်တာဆု) ရရှိခဲ့သည်။စုစုပေါင်း မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု နှစ်ဆု ရရှိခဲ့သည်။<ref>မြန်မာ ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ စာရင်း - [https://www.wikiwand.com/my/articles/%E1%80%99%E1%80%BC%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%AC_%E1%80%9B%E1%80%AF%E1%80%95%E1%80%BA%E1%80%9B%E1%80%BE%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%87%E1%80%AC%E1%80%90%E1%80%BA%E1%80%80%E1%80%AC%E1%80%B8%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%AC%E1%80%B8_%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%9B%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8 Wikiwand]</ref> ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားပေါင်း (၁၅၀)ခန့် နှင့် ဗီဒီယိုဇာတ်ကားပေါင်းများစွာရိုက်ကူးခဲ့သည်။ == ပရဟိတလုပ်ငန်းများ == ၁၉၉၃ ခုနှစ်တွင် အမေများအဖွဲ့ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ယခင်ပါဝင်သူများသည် ‌‌ရှေး‌ ခေတ်နာမည်ကြီး မင်းသမီးကြီးများဖြစ်ကြသာ တင်တင်မူ၊မေနွဲ့၊ခင်လေးဆွေ၊တင်တင်လှ၊မအေးကြည်၊သင်းသင်းလဲ့၊စမ်းစမ်းဝင်း အစရှိသော မင်းသမီးကြီးများဖြင့် ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ယခင်၊ယခု ပါဝင်‌သော ဇာတ်ပို့၊ ဇာတ်ရံအလွှာအသီးသီးမှ ဆင်းရဲနွမ်းပါးသော သက်ကြီးပညာရှင်များဖြစ်သည်။ ၂၀၀၆ ခုနှစ်တွင် အမေများအဖွဲ့ဝင်များနေထိုင်ရန် အမေများအဖွဲ့ကို စတင်တည်ထောင်၍ သက်ကြီးပညာရှင်များ နေထိုင်နိုင်ရန်ဆောင်ရွက်ပေးခဲ့သည်။ == တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့မှုများ == ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်းသည် [[မြန်မာနိုင်ငံရုပ်ရှင်အစည်းအရုံး]]၊ (ဇာတ်ပို့ဇာတ်ရံအလွှာ ဥက္ကဋ္ဌ) နှင့် [[မြန်မာနိုင်ငံသဘင်အစည်းအရုံး]]၊ အတွင်းရေးမှူး အဖြစ်တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ဆို၊က၊ရေး၊တီးပြိုင်ပွဲကြီးတွင်လည်း အကပညာပြိုင်ပွဲ ဒိုင်လူကြီးအဖြစ်တာဝန်ယူခဲ့သည်။ == ရရှိခဲ့သောဘွဲ့တံဆိပ်နှင့်ဆုတံဆိပ်များ == ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်းသည် သဘင်ပညာဖြင့် နိုင်ငံတော်ကို အကျိုးပြုမှုများကြောင့် ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် [[စည်သူဘွဲ့]] ဖြင့်ချီးမြှင့်ခံခဲ့ရသည်။ ထို့အပြင် သူမသည် ပရဟိတလုပ်ငန်းများ ဆောင်ရွက်ခြင်းကြောင့် လူမှုထူးချွန်တံဆိပ်(ပထမအဆင့်) ကိုလည်း ချီးမြှင့်ခြင်းခံခဲ့ရသည်။ သူမ၏ ရုပ်ရှင်လောကဖွံ့ဖြိုးရေးဆောင်ရွက်မှု၊ ရုပ်ရှင်လောကတိုးတက်ရေးဆောင်ရွက်မှုများကြောင့် ၂၀၂၃ ခုနှစ်တွင် မြန်မာ့ရုပ်ရှင်တစ်သက်တာဆု ကိုချီးမြှင့်ခြင်းခံရသည်။ == ကိုးကား == {{reflist}} {{Lifetime|၁၉၄၁| }} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ့ ရုပ်ရှင် ထူးချွန်ဆုရှင်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ အမျိုးသမီး သရုပ်ဆောင်များ]] s6k2cnpxtkdj47717f7mguimoy2qc3o 1040599 1040598 2026-06-24T15:32:28Z Quinlan83 93319 Fix 1040599 wikitext text/x-wiki {| class="infobox vcard" style="width: 25em; text-align: left; font-size: 95%;" |+ style="font-size: large; font-weight: bold; background-color: #f0e68c;" | ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်း |- | colspan="2" style="text-align: center;" | [[ဖိုင်:Example.jpg|200px|ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်း]] |- ! scope="row" | မွေးဖွား | ၁၉၄၁ |- ! scope="row" | မွေးရပ်မြေ | လင်းကတော၊ မြိုင်၊ ပခုက္ကူ |- ! scope="row" | လုပ်ငန်း | ရုပ်ရှင်မင်းသမီး၊ အငြိမ့်မင်းသမီး |- ! scope="row" | ထင်ရှားသောဆုများ | စည်သူဘွဲ့၊ မြန်မာ့ရုပ်ရှင်တစ်သက်တာဆု |- ! scope="row" | အဖွဲ့အစည်း | အမေများအဖွဲ့ (တည်ထောင်သူ) |} === အနုပညာမှတ်တမ်း === {| class="wikitable sortable" ! ခုနှစ် !! ဇာတ်ကား !! ဆုတံဆိပ်/မှတ်ချက် |- | ၁၉၉၄ || သရဖူ || မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု (ဇာတ်ပို့) |- | ၂၀၂၃ || - || မြန်မာ့ရုပ်ရှင်တစ်သက်တာဆု |} ဆိုဗီယက်ပြန် '''ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်း''' (၁၉၄၁ မွေးဖွား) သည် မြန်မာ့ဇာတ်,အငြိမ့်သဘင်လောကတွင်သာမက မြန်မာ့ရုပ်ရှင်လောကတွင်ပါ ထင်ရှားသော မင်းသမီးတစ်ဦးဖြစ်သည်။ "'''အမေများအဖွဲ့'''" ကိုတည်ထောင်သူတစ်ဦးဖြစ်ပြီး ရုပ်ရှင်နှင့်သဘင်လောကမှ သက်ကြီးသရုပ်ဆောင်အမျိုးသမီးများအတွက် ကူညီဆောင်ရွက်ပေးသူဖြစ်သည်။ သူမ၏ ပြောင်မြောက်လှစွာသော သရုပ်ဆောင်ချက်များနှင့် နိုင်ငံတော်အကျိုးအတွက်သဘင်ပညာဖြင့်အကျိုးပြုမှုများအတွက် လူမှုထူးချွန်တံဆိပ်(ပထမအဆင့်)။ [[စည်သူဘွဲ့]]၊ [[မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု]] ၊ မြန်မာ့ရုပ်ရှင်တစ်သက်တာထူးချွန်ဆုများ ရရှိခဲ့သူ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite news |title=ရုပ်ရှင်တစ်သက်တာဆုကို နွဲ့နွဲ့စန်း အပါအဝင် ၃ ဦး ရရှိ |url=https://cnimyanmar.com/index.php/local-news-2/local-entertainment/20184-2024-02-03-13-32-26 |access-date=၂ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၅ |work=cnimyanmar.com |language=en-gb}}</ref> == ငယ်ဘဝ == ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်းကို ၁၉၄၁ ခုနှစ်တွင် မကွေးတိုင်းဒေသကြီး၊ ပခုက္ကူခရိုင်၊ မြိုင်မြို့နယ်၊ [[လင်းကတောရွာ၊ မြိုင်မြို့နယ်|လင်းကတော ကျေးရွာ]]တွင် မွေးဖွားခဲ့သည်။ မွေးချင်းငါးယောက်ရှိသည့်အနက် သုံးယောက်မြောက်ဖြစ်သည်။ သူမငယ်စဉ်အချိန်ကပင် ဖခင်ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမ ခုနှစ်နှစ်အရွယ်တွင် မန္တလေးမြို့သို့ပြောင်းရွှေ့နေထိုင်ခဲ့ပြီး မန္တလေးပန်တျာကျောင်းတွင် ပန်တျာပညာများကို သင်ယူခဲ့သည်။ သူမ၏ အကနည်းပြဆရာမှာ ဝဏ္ဏကျော်ထင် ဒေါ်[[ဩဘာသောင်း]] ဖြစ်ပြီး အဆိုနည်းပြဆရာမှာ ဂီတမယ်ဒေါ်လှကလေးစိန်တို့ ဖြစ်ကြသည်။ သူမနှင့်အတူ ပညာသင်ကြားခဲ့ကြသူများမှာ - ယိုးဒယားပြန်ဒေါ်အမာစိန်၊ပန်တျာကျင်ကျင်မြိုင်၊လှထိပ်တင်၊ယုဝတီမြင့်မြင့်၊ မရှပ်တေး၊ညိုညိုစန်း စသူတို့ဖြစ်သည်။ သူမအသက်ရှစ်နှစ်တွင် ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဦးခင်မောင်လေး၏ တရုတ်နိုင်ငံခရီးစဉ်တွင် လိုက်ပါကပြခဲ့ရသည်။ အဆိုပါ ခရီးစဉ်သည် သူမ၏ ပထမဆုံးနိုင်ငံခြားခရီးစဉ်ဖြစ်ခဲ့သည်။ == အငြိမ့်မင်းသမီးဘဝ == ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်းသည် အသက်တစ်ဆယ့်တစ်နှစ်တိုင်အောင် မန္တလေးပန်တျာကျောင်းတွင် ပညာသင်ယူခဲ့သည်။ သူမသည် မန္တလေးမှအငြိမ့်တည်ထောင်သူ ဦးမန်းရီ တည်ထောင်သော မင်္ဂလာအငြိမ့်တွင် အငြိမ့်မင်းသမီးအဖြစ် စတင်ကပြခဲ့သည်။ သူမနှင့်အတူကပြခဲ့သူများမှာ လူရွှင်တော်ကြီးများဖြစ်ကြသော ဦးရွှေဒေါင်း၊ ဦးငွေမောင်း စသူတို့ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် နိုင်ငံတော်အဆင့်အခမ်းအနားများတွင်လည်း ကပြဖျော်ဖြေခဲ့ရသည်။ သူမ အသက်တစ်ဆယ့်လေးနှစ်အရွယ်တွင် အိန္ဒိယဝန်ကြီးချုပ်နေရူးနှင့်ဇနီးတို့လာရောက်စဉ် ယိုးဒယားအကဖြင့်ကပြဖျော်ဖြေခဲ့ရာ ထဘီတစ်ထည်ဆုချခြင်းခံရသည်။ သူမအသက်တစ်ဆယ့်ရှစ်နှစ်အရွယ်တွင် သူမ၏ ဆိုဗီယက်ပြန်နွဲ့နွဲ့စန်း ဟုနာမည်ကျော်စေမည့် ဆိုဗီယက်ပြည်ထောင်စုသို့ အနုပညာရှင်ကြီးများဖြစ်ကြသော [[ရွှေမန်းတင်မောင်]]၊ ဦး[[ကက်နက်စိန်]]၊ ဦးစိန်အောင်မင်း၊ ဦးဟန်ပ၊ ဦးဘသန်းစသော အနုပညာရှင်များပါဝင်သော ချစ်ကြည်ရေးအဖွဲ့ကြီးဖြင့်သွားရောက်ဖျော်ဖြေခဲ့ရသည်။ ထို့နောက် အသက်နှစ်ဆယ်ခန့်တွင် တရုတ်နိုင်ငံနှင့်နယ်နမိတ်ရေးဆွဲရေးကိစ္စနှင့်ပတ်သက်၍ ချစ်ကြည်ရေးခရီးစဉ်အဖြစ် တရုတ်နိုင်ငံသို့ထပ်မံသွား ရောက်ဖျော်ဖြေခဲ့ရသည်။ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်း ၏ တစ်ပုဒ်တည်းသော ဓာတ်ပြားသီချင်းမှာ မြို့မငြိမ်း ရေးသားသော ပျို့မှတ်တမ်း သီချင်းဖြစ်သည်။ == ရုပ်ရှင်မင်းသမီးဘဝ == ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်းသည် အသက်နှစ်ဆယ်ခန့်အရွယ်တွင် မန္တလေးမှ စက်သူဌေး ဦးမောင်မောင်ခင်နှင့် အိမ်ထောင်ကျခဲ့သည်။ ''မုန်း'' ဇာတ်ကားဖြင့် ရုပ်ရှင်နယ်ပယ်သို့ စတင်ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ အိမ်ထောင်ဖက်၏ ချုပ်ချယ်မှုကြောင့် အနှောင့်အယှက်များစွာဖြစ်ခဲ့သော်လည်း ''ထားသခင်'' ၊ ''မိုးညအိပ်မက်မြူ'' စသော ရုပ်ရှင်ကားများကို ရိုက်ကူးခဲ့သည်။ အိမ်ထောင်သက် ၁၁ နှစ်အရတွင် ဦးမောင်မောင်ခင်နှင့် ကွာရှင်းခဲ့သည်။ ထို့နောက် ကျော်ဟိန်း၊ ကိုအောင်ဆွေတို့ပါဝင်သော ''မဟာဗောဓိ''ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားဖြင့် ရုပ်ရှင်လောကသို့ ဒုတိယအကြိမ်ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၉၄ ခုနှစ်တွင် ''သရဖူ'' ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားဖြင့် [[မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု]](ဇာတ်ပို့ဆု) ရရှိခဲ့သည်။ ၂၀၂၃ ခုနှစ်တွင် မြန်မာရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု(တသက်တာဆု) ရရှိခဲ့သည်။စုစုပေါင်း မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု နှစ်ဆု ရရှိခဲ့သည်။<ref>မြန်မာ ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ စာရင်း - [https://www.wikiwand.com/my/articles/%E1%80%99%E1%80%BC%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%AC_%E1%80%9B%E1%80%AF%E1%80%95%E1%80%BA%E1%80%9B%E1%80%BE%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%87%E1%80%AC%E1%80%90%E1%80%BA%E1%80%80%E1%80%AC%E1%80%B8%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%AC%E1%80%B8_%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%9B%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8 Wikiwand]</ref> ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားပေါင်း (၁၅၀)ခန့် နှင့် ဗီဒီယိုဇာတ်ကားပေါင်းများစွာရိုက်ကူးခဲ့သည်။ == ပရဟိတလုပ်ငန်းများ == ၁၉၉၃ ခုနှစ်တွင် အမေများအဖွဲ့ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ယခင်ပါဝင်သူများသည် ‌‌ရှေး‌ ခေတ်နာမည်ကြီး မင်းသမီးကြီးများဖြစ်ကြသာ တင်တင်မူ၊မေနွဲ့၊ခင်လေးဆွေ၊တင်တင်လှ၊မအေးကြည်၊သင်းသင်းလဲ့၊စမ်းစမ်းဝင်း အစရှိသော မင်းသမီးကြီးများဖြင့် ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ယခင်၊ယခု ပါဝင်‌သော ဇာတ်ပို့၊ ဇာတ်ရံအလွှာအသီးသီးမှ ဆင်းရဲနွမ်းပါးသော သက်ကြီးပညာရှင်များဖြစ်သည်။ ၂၀၀၆ ခုနှစ်တွင် အမေများအဖွဲ့ဝင်များနေထိုင်ရန် အမေများအဖွဲ့ကို စတင်တည်ထောင်၍ သက်ကြီးပညာရှင်များ နေထိုင်နိုင်ရန်ဆောင်ရွက်ပေးခဲ့သည်။ == တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့မှုများ == ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်းသည် [[မြန်မာနိုင်ငံရုပ်ရှင်အစည်းအရုံး]]၊ (ဇာတ်ပို့ဇာတ်ရံအလွှာ ဥက္ကဋ္ဌ) နှင့် [[မြန်မာနိုင်ငံသဘင်အစည်းအရုံး]]၊ အတွင်းရေးမှူး အဖြစ်တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ဆို၊က၊ရေး၊တီးပြိုင်ပွဲကြီးတွင်လည်း အကပညာပြိုင်ပွဲ ဒိုင်လူကြီးအဖြစ်တာဝန်ယူခဲ့သည်။ == ရရှိခဲ့သောဘွဲ့တံဆိပ်နှင့်ဆုတံဆိပ်များ == ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်းသည် သဘင်ပညာဖြင့် နိုင်ငံတော်ကို အကျိုးပြုမှုများကြောင့် ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် [[စည်သူဘွဲ့]] ဖြင့်ချီးမြှင့်ခံခဲ့ရသည်။ ထို့အပြင် သူမသည် ပရဟိတလုပ်ငန်းများ ဆောင်ရွက်ခြင်းကြောင့် လူမှုထူးချွန်တံဆိပ်(ပထမအဆင့်) ကိုလည်း ချီးမြှင့်ခြင်းခံခဲ့ရသည်။ သူမ၏ ရုပ်ရှင်လောကဖွံ့ဖြိုးရေးဆောင်ရွက်မှု၊ ရုပ်ရှင်လောကတိုးတက်ရေးဆောင်ရွက်မှုများကြောင့် ၂၀၂၃ ခုနှစ်တွင် မြန်မာ့ရုပ်ရှင်တစ်သက်တာဆု ကိုချီးမြှင့်ခြင်းခံရသည်။ == ကိုးကား == {{reflist}} {{Lifetime|၁၉၄၁| }} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ့ ရုပ်ရှင် ထူးချွန်ဆုရှင်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ အမျိုးသမီး သရုပ်ဆောင်များ]] ih2bv2ikzarherxu43ex49da6084zif 1040600 1040599 2026-06-24T15:34:45Z Naingli 144794 1040600 wikitext text/x-wiki {| class="infobox" style="width: 320px; border: 1px solid #a2a9b1; background-color: #f8f9fa; padding: 5px; font-size: 90%;" |+ style="font-size: 1.2em; font-weight: bold; background-color: #cedff2; padding: 5px;" | ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်း |- | colspan="2" style="text-align: center; padding: 10px;" | (ဓာတ်ပုံနေရာ) |- ! colspan="2" style="background-color: #e0e0e0; text-align: center;" | ကိုယ်ရေးအကျဉ်း |- ! မွေးဖွား | ၁၉၄၁၊ လင်းကတော၊ မြိုင် |- ! အသက်မွေးဝမ်းကျောင်း | ရုပ်ရှင်သရုပ်ဆောင်၊ အငြိမ့်မင်းသမီး |- ! တက်ကြွလှုပ်ရှားမှု | အမေများအဖွဲ့ (တည်ထောင်သူ) |- ! တာဝန်ထမ်းဆောင်မှု | ရုပ်ရှင်/သဘင်အစည်းအရုံး (အမှုဆောင်) |- ! colspan="2" style="background-color: #e0e0e0; text-align: center;" | ဂုဏ်ပြုဆုတံဆိပ်များ |- ! ဘွဲ့တံဆိပ် | စည်သူဘွဲ့၊ လူမှုထူးချွန်တံဆိပ်(ပထမအဆင့်) |- ! ရုပ်ရှင်ဆု | မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု (ဇာတ်ပို့ - ၁၉၉၄)<br>မြန်မာ့ရုပ်ရှင်တစ်သက်တာဆု (၂၀၂၃) |} === အနုပညာမှတ်တမ်း ဇယား === {| class="wikitable" style="width: 100%; text-align: center;" ! ကာလ !! နယ်ပယ် !! မှတ်ချက် |- | ၁၉၄၈ - ၁၉၆၀ || သဘင်/ပန်တျာ || မန္တလေးပန်တျာကျောင်းထွက်၊ ဆိုဗီယက်/တရုတ်ခရီးစဉ် |- | ၁၉၆၀ နောက်ပိုင်း || ရုပ်ရှင် || 'မုန်း' ဇာတ်ကားဖြင့် စတင်၊ ဇာတ်ကားပေါင်း ၁၅၀ ကျော် |- | ၁၉၉၃ - လက်ရှိ || ပရဟိတ || 'အမေများအဖွဲ့' တည်ထောင်၍ သက်ကြီးပညာရှင်များကို ကူညီ |} ဆိုဗီယက်ပြန် '''ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်း''' (၁၉၄၁ မွေးဖွား) သည် မြန်မာ့ဇာတ်,အငြိမ့်သဘင်လောကတွင်သာမက မြန်မာ့ရုပ်ရှင်လောကတွင်ပါ ထင်ရှားသော မင်းသမီးတစ်ဦးဖြစ်သည်။ "'''အမေများအဖွဲ့'''" ကိုတည်ထောင်သူတစ်ဦးဖြစ်ပြီး ရုပ်ရှင်နှင့်သဘင်လောကမှ သက်ကြီးသရုပ်ဆောင်အမျိုးသမီးများအတွက် ကူညီဆောင်ရွက်ပေးသူဖြစ်သည်။ သူမ၏ ပြောင်မြောက်လှစွာသော သရုပ်ဆောင်ချက်များနှင့် နိုင်ငံတော်အကျိုးအတွက်သဘင်ပညာဖြင့်အကျိုးပြုမှုများအတွက် လူမှုထူးချွန်တံဆိပ်(ပထမအဆင့်)။ [[စည်သူဘွဲ့]]၊ [[မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု]] ၊ မြန်မာ့ရုပ်ရှင်တစ်သက်တာထူးချွန်ဆုများ ရရှိခဲ့သူ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite news |title=ရုပ်ရှင်တစ်သက်တာဆုကို နွဲ့နွဲ့စန်း အပါအဝင် ၃ ဦး ရရှိ |url=https://cnimyanmar.com/index.php/local-news-2/local-entertainment/20184-2024-02-03-13-32-26 |access-date=၂ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၅ |work=cnimyanmar.com |language=en-gb}}</ref> == ငယ်ဘဝ == ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်းကို ၁၉၄၁ ခုနှစ်တွင် မကွေးတိုင်းဒေသကြီး၊ ပခုက္ကူခရိုင်၊ မြိုင်မြို့နယ်၊ [[လင်းကတောရွာ၊ မြိုင်မြို့နယ်|လင်းကတော ကျေးရွာ]]တွင် မွေးဖွားခဲ့သည်။ မွေးချင်းငါးယောက်ရှိသည့်အနက် သုံးယောက်မြောက်ဖြစ်သည်။ သူမငယ်စဉ်အချိန်ကပင် ဖခင်ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမ ခုနှစ်နှစ်အရွယ်တွင် မန္တလေးမြို့သို့ပြောင်းရွှေ့နေထိုင်ခဲ့ပြီး မန္တလေးပန်တျာကျောင်းတွင် ပန်တျာပညာများကို သင်ယူခဲ့သည်။ သူမ၏ အကနည်းပြဆရာမှာ ဝဏ္ဏကျော်ထင် ဒေါ်[[ဩဘာသောင်း]] ဖြစ်ပြီး အဆိုနည်းပြဆရာမှာ ဂီတမယ်ဒေါ်လှကလေးစိန်တို့ ဖြစ်ကြသည်။ သူမနှင့်အတူ ပညာသင်ကြားခဲ့ကြသူများမှာ - ယိုးဒယားပြန်ဒေါ်အမာစိန်၊ပန်တျာကျင်ကျင်မြိုင်၊လှထိပ်တင်၊ယုဝတီမြင့်မြင့်၊ မရှပ်တေး၊ညိုညိုစန်း စသူတို့ဖြစ်သည်။ သူမအသက်ရှစ်နှစ်တွင် ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဦးခင်မောင်လေး၏ တရုတ်နိုင်ငံခရီးစဉ်တွင် လိုက်ပါကပြခဲ့ရသည်။ အဆိုပါ ခရီးစဉ်သည် သူမ၏ ပထမဆုံးနိုင်ငံခြားခရီးစဉ်ဖြစ်ခဲ့သည်။ == အငြိမ့်မင်းသမီးဘဝ == ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်းသည် အသက်တစ်ဆယ့်တစ်နှစ်တိုင်အောင် မန္တလေးပန်တျာကျောင်းတွင် ပညာသင်ယူခဲ့သည်။ သူမသည် မန္တလေးမှအငြိမ့်တည်ထောင်သူ ဦးမန်းရီ တည်ထောင်သော မင်္ဂလာအငြိမ့်တွင် အငြိမ့်မင်းသမီးအဖြစ် စတင်ကပြခဲ့သည်။ သူမနှင့်အတူကပြခဲ့သူများမှာ လူရွှင်တော်ကြီးများဖြစ်ကြသော ဦးရွှေဒေါင်း၊ ဦးငွေမောင်း စသူတို့ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် နိုင်ငံတော်အဆင့်အခမ်းအနားများတွင်လည်း ကပြဖျော်ဖြေခဲ့ရသည်။ သူမ အသက်တစ်ဆယ့်လေးနှစ်အရွယ်တွင် အိန္ဒိယဝန်ကြီးချုပ်နေရူးနှင့်ဇနီးတို့လာရောက်စဉ် ယိုးဒယားအကဖြင့်ကပြဖျော်ဖြေခဲ့ရာ ထဘီတစ်ထည်ဆုချခြင်းခံရသည်။ သူမအသက်တစ်ဆယ့်ရှစ်နှစ်အရွယ်တွင် သူမ၏ ဆိုဗီယက်ပြန်နွဲ့နွဲ့စန်း ဟုနာမည်ကျော်စေမည့် ဆိုဗီယက်ပြည်ထောင်စုသို့ အနုပညာရှင်ကြီးများဖြစ်ကြသော [[ရွှေမန်းတင်မောင်]]၊ ဦး[[ကက်နက်စိန်]]၊ ဦးစိန်အောင်မင်း၊ ဦးဟန်ပ၊ ဦးဘသန်းစသော အနုပညာရှင်များပါဝင်သော ချစ်ကြည်ရေးအဖွဲ့ကြီးဖြင့်သွားရောက်ဖျော်ဖြေခဲ့ရသည်။ ထို့နောက် အသက်နှစ်ဆယ်ခန့်တွင် တရုတ်နိုင်ငံနှင့်နယ်နမိတ်ရေးဆွဲရေးကိစ္စနှင့်ပတ်သက်၍ ချစ်ကြည်ရေးခရီးစဉ်အဖြစ် တရုတ်နိုင်ငံသို့ထပ်မံသွား ရောက်ဖျော်ဖြေခဲ့ရသည်။ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်း ၏ တစ်ပုဒ်တည်းသော ဓာတ်ပြားသီချင်းမှာ မြို့မငြိမ်း ရေးသားသော ပျို့မှတ်တမ်း သီချင်းဖြစ်သည်။ == ရုပ်ရှင်မင်းသမီးဘဝ == ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်းသည် အသက်နှစ်ဆယ်ခန့်အရွယ်တွင် မန္တလေးမှ စက်သူဌေး ဦးမောင်မောင်ခင်နှင့် အိမ်ထောင်ကျခဲ့သည်။ ''မုန်း'' ဇာတ်ကားဖြင့် ရုပ်ရှင်နယ်ပယ်သို့ စတင်ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ အိမ်ထောင်ဖက်၏ ချုပ်ချယ်မှုကြောင့် အနှောင့်အယှက်များစွာဖြစ်ခဲ့သော်လည်း ''ထားသခင်'' ၊ ''မိုးညအိပ်မက်မြူ'' စသော ရုပ်ရှင်ကားများကို ရိုက်ကူးခဲ့သည်။ အိမ်ထောင်သက် ၁၁ နှစ်အရတွင် ဦးမောင်မောင်ခင်နှင့် ကွာရှင်းခဲ့သည်။ ထို့နောက် ကျော်ဟိန်း၊ ကိုအောင်ဆွေတို့ပါဝင်သော ''မဟာဗောဓိ''ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားဖြင့် ရုပ်ရှင်လောကသို့ ဒုတိယအကြိမ်ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၉၄ ခုနှစ်တွင် ''သရဖူ'' ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားဖြင့် [[မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု]](ဇာတ်ပို့ဆု) ရရှိခဲ့သည်။ ၂၀၂၃ ခုနှစ်တွင် မြန်မာရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု(တသက်တာဆု) ရရှိခဲ့သည်။စုစုပေါင်း မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု နှစ်ဆု ရရှိခဲ့သည်။<ref>မြန်မာ ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ စာရင်း - [https://www.wikiwand.com/my/articles/%E1%80%99%E1%80%BC%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%AC_%E1%80%9B%E1%80%AF%E1%80%95%E1%80%BA%E1%80%9B%E1%80%BE%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%87%E1%80%AC%E1%80%90%E1%80%BA%E1%80%80%E1%80%AC%E1%80%B8%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%AC%E1%80%B8_%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%9B%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8 Wikiwand]</ref> ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားပေါင်း (၁၅၀)ခန့် နှင့် ဗီဒီယိုဇာတ်ကားပေါင်းများစွာရိုက်ကူးခဲ့သည်။ == ပရဟိတလုပ်ငန်းများ == ၁၉၉၃ ခုနှစ်တွင် အမေများအဖွဲ့ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ယခင်ပါဝင်သူများသည် ‌‌ရှေး‌ ခေတ်နာမည်ကြီး မင်းသမီးကြီးများဖြစ်ကြသာ တင်တင်မူ၊မေနွဲ့၊ခင်လေးဆွေ၊တင်တင်လှ၊မအေးကြည်၊သင်းသင်းလဲ့၊စမ်းစမ်းဝင်း အစရှိသော မင်းသမီးကြီးများဖြင့် ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ယခင်၊ယခု ပါဝင်‌သော ဇာတ်ပို့၊ ဇာတ်ရံအလွှာအသီးသီးမှ ဆင်းရဲနွမ်းပါးသော သက်ကြီးပညာရှင်များဖြစ်သည်။ ၂၀၀၆ ခုနှစ်တွင် အမေများအဖွဲ့ဝင်များနေထိုင်ရန် အမေများအဖွဲ့ကို စတင်တည်ထောင်၍ သက်ကြီးပညာရှင်များ နေထိုင်နိုင်ရန်ဆောင်ရွက်ပေးခဲ့သည်။ == တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့မှုများ == ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်းသည် [[မြန်မာနိုင်ငံရုပ်ရှင်အစည်းအရုံး]]၊ (ဇာတ်ပို့ဇာတ်ရံအလွှာ ဥက္ကဋ္ဌ) နှင့် [[မြန်မာနိုင်ငံသဘင်အစည်းအရုံး]]၊ အတွင်းရေးမှူး အဖြစ်တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ဆို၊က၊ရေး၊တီးပြိုင်ပွဲကြီးတွင်လည်း အကပညာပြိုင်ပွဲ ဒိုင်လူကြီးအဖြစ်တာဝန်ယူခဲ့သည်။ == ရရှိခဲ့သောဘွဲ့တံဆိပ်နှင့်ဆုတံဆိပ်များ == ဒေါ်နွဲ့နွဲ့စန်းသည် သဘင်ပညာဖြင့် နိုင်ငံတော်ကို အကျိုးပြုမှုများကြောင့် ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် [[စည်သူဘွဲ့]] ဖြင့်ချီးမြှင့်ခံခဲ့ရသည်။ ထို့အပြင် သူမသည် ပရဟိတလုပ်ငန်းများ ဆောင်ရွက်ခြင်းကြောင့် လူမှုထူးချွန်တံဆိပ်(ပထမအဆင့်) ကိုလည်း ချီးမြှင့်ခြင်းခံခဲ့ရသည်။ သူမ၏ ရုပ်ရှင်လောကဖွံ့ဖြိုးရေးဆောင်ရွက်မှု၊ ရုပ်ရှင်လောကတိုးတက်ရေးဆောင်ရွက်မှုများကြောင့် ၂၀၂၃ ခုနှစ်တွင် မြန်မာ့ရုပ်ရှင်တစ်သက်တာဆု ကိုချီးမြှင့်ခြင်းခံရသည်။ == ကိုးကား == {{reflist}} {{Lifetime|၁၉၄၁| }} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ့ ရုပ်ရှင် ထူးချွန်ဆုရှင်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ အမျိုးသမီး သရုပ်ဆောင်များ]] bj5twb1qzu633l6ason8tr9z6pokev7 3 277166 1040704 1035266 2026-06-25T07:48:37Z جودت 128483 /* Help */ အပိုင်းသစ် 1040704 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Mkant00 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၂၀:၁၉၊ ၁ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၅ (UTC) == စာမျက်နှာခေါင်းစဉ် == ခေါင်းစဉ်တွေကို ဖြစ်နိုင်ရင် မြန်မာဘာသာတစ်မျိုးတည်းနှင့်သာလျှင် ရေးသားသင့်ပါတယ်။ မြန်မာ (အင်္ဂလိပ်) နှစ်မျိုးရေးသားခြင်းက ရှာဖွေတဲ့နေရာမှာ ဆိုလိုရင်းခေါင်းစဉ်ဆီ မရောက်နိုင်တာမျိုး ရှိတာမို့ပါ။ လိုအပ်ရင် အင်္ဂလိပ်နာမည်ကို မြန်မာခေါင်းစဉ်ဆီကို ပြန်ညွှန်းထားတာမျိုး ဆောင်ရွက်နိုင်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:Montserrat;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၀:၁၅၊ ၁၅ မတ် ၂၀၂၆ (UTC) :အကြံပြုချက်အတွက် ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ နောက်ထပ် ဆောင်းပါးတွေ ရေး/တည်းဖြတ်တဲ့အခါ ဒါကို သတိပြုမှတ်ထားပါမယ်။ [[အသုံးပြုသူ:Mkant00|Mkant00]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Mkant00|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၃၀၊ ၁၅ မတ် ၂၀၂၆ (UTC) == Categorizing new articles in respective umbrella branches under ကဏ္ဍ:သင်္ချာ == Hello, @[[အသုံးပြုသူ:Mkant00|Mkant00]], I love that you have been contributing mathematic articles in the past months and wanna thank you for doing them so. At the same time, as a category (ကဏ္ဍ) organizer, can I request that you put new article under different topics, rather than [[:ကဏ္ဍ:သင်္ချာ]]. As I am sure, you will contribute more new articles, I don't want them to end up all in one category under [[:ကဏ္ဍ:သင်္ချာ]] I don't understand much of maths (blame it on my BEHS days) so I don't know how to organize them; thus, can you request that you create new category you see fit, maybe correspondingly to ENG Wiki? Have a great day! [[အသုံးပြုသူ:Salai Rungtoi|Salai Rungtoi]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Salai Rungtoi|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၅၇၊ ၁ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) :Thank you for the kind words in regard to my contributions. I also greatly appreciate your ongoing work to organise the wiki's categories. :I would like to acknowledge the necessity of maintaining a proper category hierarchy. Going forward, I will make sure to set up the appropriate subcategories of mathematics and slot any new articles into them accurately. Additionally, I will ensure that my existing entries are retrospectively amended. I am most grateful for your advice and guidance. :Cheers! [[အသုံးပြုသူ:Mkant00|Mkant00]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Mkant00|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၅၁၊ ၁ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) == Help == Hello, can you help me to improve [[ဂါဇာလူမျိုးတုံးသတ်ဖြတ်မှု|this]] article. Thank you [[အသုံးပြုသူ:جودت|جودت]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:جودت|ဆွေးနွေး]]) ၀၇:၄၈၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) rxu1ygl2gwdht2tndta91o3c71rkb5m 1040730 1040704 2026-06-25T08:35:08Z Mkant00 135890 /* Help */ အကြောင်းပြန်ခြင်း 1040730 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Mkant00 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၂၀:၁၉၊ ၁ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၅ (UTC) == စာမျက်နှာခေါင်းစဉ် == ခေါင်းစဉ်တွေကို ဖြစ်နိုင်ရင် မြန်မာဘာသာတစ်မျိုးတည်းနှင့်သာလျှင် ရေးသားသင့်ပါတယ်။ မြန်မာ (အင်္ဂလိပ်) နှစ်မျိုးရေးသားခြင်းက ရှာဖွေတဲ့နေရာမှာ ဆိုလိုရင်းခေါင်းစဉ်ဆီ မရောက်နိုင်တာမျိုး ရှိတာမို့ပါ။ လိုအပ်ရင် အင်္ဂလိပ်နာမည်ကို မြန်မာခေါင်းစဉ်ဆီကို ပြန်ညွှန်းထားတာမျိုး ဆောင်ရွက်နိုင်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:Montserrat;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၀:၁၅၊ ၁၅ မတ် ၂၀၂၆ (UTC) :အကြံပြုချက်အတွက် ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ နောက်ထပ် ဆောင်းပါးတွေ ရေး/တည်းဖြတ်တဲ့အခါ ဒါကို သတိပြုမှတ်ထားပါမယ်။ [[အသုံးပြုသူ:Mkant00|Mkant00]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Mkant00|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၃၀၊ ၁၅ မတ် ၂၀၂၆ (UTC) == Categorizing new articles in respective umbrella branches under ကဏ္ဍ:သင်္ချာ == Hello, @[[အသုံးပြုသူ:Mkant00|Mkant00]], I love that you have been contributing mathematic articles in the past months and wanna thank you for doing them so. At the same time, as a category (ကဏ္ဍ) organizer, can I request that you put new article under different topics, rather than [[:ကဏ္ဍ:သင်္ချာ]]. As I am sure, you will contribute more new articles, I don't want them to end up all in one category under [[:ကဏ္ဍ:သင်္ချာ]] I don't understand much of maths (blame it on my BEHS days) so I don't know how to organize them; thus, can you request that you create new category you see fit, maybe correspondingly to ENG Wiki? Have a great day! [[အသုံးပြုသူ:Salai Rungtoi|Salai Rungtoi]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Salai Rungtoi|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၅၇၊ ၁ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) :Thank you for the kind words in regard to my contributions. I also greatly appreciate your ongoing work to organise the wiki's categories. :I would like to acknowledge the necessity of maintaining a proper category hierarchy. Going forward, I will make sure to set up the appropriate subcategories of mathematics and slot any new articles into them accurately. Additionally, I will ensure that my existing entries are retrospectively amended. I am most grateful for your advice and guidance. :Cheers! [[အသုံးပြုသူ:Mkant00|Mkant00]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Mkant00|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၅၁၊ ၁ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) == Help == Hello, can you help me to improve [[ဂါဇာလူမျိုးတုံးသတ်ဖြတ်မှု|this]] article. Thank you [[အသုံးပြုသူ:جودت|جودت]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:جودت|ဆွေးနွေး]]) ၀၇:၄၈၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) :Thank you for reaching out. My focus is usually mathematics but I will read through the article and see what assistance I can provide in time. [[အသုံးပြုသူ:Mkant00|Mkant00]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Mkant00|ဆွေးနွေး]]) ၀၈:၃၅၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) otsdxkgmlthgq1o8qc6elg4l3urthnq 0 282074 1040707 1020046 2026-06-25T07:52:40Z جودت 128483 /* */ 1040707 wikitext text/x-wiki {{Pp}} <references /> '''Please improve this article. It needs improvement. Thank you!'''<br> {{Databox}} '''ဂါဇာ''' စစ်ပွဲ အတွင်း [[အစ္စရေးနိုင်ငံ|အစ္စရေး]] က [[ဂါဇာကမ်းမြောင်]] ဒေသရှိ ပါလက်စတိုင်းလူမျိုးများ အပေါ် ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ နှင့် စနစ်တကျ ဖျက်ဆီးမှုများ<ref>{{Cite news |last=Segal |first=Raz |author-link=Raz Segal |date=28 November 2025 |title=The genocide in Gaza is far from over |url=https://www.theguardian.com/commentisfree/2025/nov/28/the-genocide-in-gaza-is-far-from-over |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20251128115413/https://www.theguardian.com/commentisfree/2025/nov/28/the-genocide-in-gaza-is-far-from-over |archive-date=28 November 2025 |access-date=4 January 2026 |work=[[The Guardian]] |ref=none}}</ref><ref>{{Cite web |date=27 November 2025 |title=Israel's genocide against Palestinians 'not over' despite ceasefire - new Amnesty briefing |url=https://www.amnesty.org.uk/press-releases/israels-genocide-against-palestinians-not-over-despite-ceasefire-new-amnesty |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20251128172416/https://www.amnesty.org.uk/press-releases/israels-genocide-against-palestinians-not-over-despite-ceasefire-new-amnesty |archive-date=28 November 2025 |access-date=4 January 2026 |publisher=[[Amnesty International]]}}</ref> ၎င်းတွင် အစုလိုက်အပြုံလိုက် သတ်ဖြတ်ခြင်း ၊ ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ ငတ်မွတ်ခေါင်းပါးခြင်း ၊ ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာနှင့် စိတ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ပြင်းထန်စွာ ထိခိုက်ဒဏ်ရာရစေခြင်းနှင့် မွေးဖွားခြင်းကို တားဆီးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။ အခြားလုပ်ရပ်များတွင် ပိတ်ဆို့ခြင်း ၊ အရပ်သားအခြေခံအဆောက်အအုံများကို ဖျက်ဆီးခြင်း ၊ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုဌာနများကို ဖျက်ဆီးခြင်း၊ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုလုပ်သားများ နှင့် အကူအညီတောင်းခံသူများကို သတ်ဖြတ်ခြင်း၊ အစုလိုက်အပြုံလိုက် အတင်းအကျပ် ရွှေ့ပြောင်းခြင်း ၊ လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ အကြမ်းဖက်မှု ကျူးလွန်ခြင်းနှင့် ပညာရေး ၊ ဘာသာရေး နှင့် ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ နေရာများကို ဖျက်ဆီးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။<ref name="UNCommissionGenocide">{{Cite web |date=16 September 2025 |title=Israel has committed genocide in the Gaza Strip, UN Commission finds |url=https://www.ohchr.org/en/press-releases/2025/09/israel-has-committed-genocide-gaza-strip-un-commission-finds |archive-url=https://web.archive.org/web/20250925113927/https://www.ohchr.org/en/press-releases/2025/09/israel-has-committed-genocide-gaza-strip-un-commission-finds |archive-date=25 September 2025 |access-date=21 September 2025 |website=[[Office of the United Nations High Commissioner for Human Rights]] |language=en}}</ref> ==ကိုးကား== sj8qhdzpil6qvb9hcc22z1h1kqgroaf 1040708 1040707 2026-06-25T07:53:00Z جودت 128483 /* */ 1040708 wikitext text/x-wiki {{Pp}} <references /> {{Databox}} '''ဂါဇာ''' စစ်ပွဲ အတွင်း [[အစ္စရေးနိုင်ငံ|အစ္စရေး]] က [[ဂါဇာကမ်းမြောင်]] ဒေသရှိ ပါလက်စတိုင်းလူမျိုးများ အပေါ် ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ နှင့် စနစ်တကျ ဖျက်ဆီးမှုများ<ref>{{Cite news |last=Segal |first=Raz |author-link=Raz Segal |date=28 November 2025 |title=The genocide in Gaza is far from over |url=https://www.theguardian.com/commentisfree/2025/nov/28/the-genocide-in-gaza-is-far-from-over |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20251128115413/https://www.theguardian.com/commentisfree/2025/nov/28/the-genocide-in-gaza-is-far-from-over |archive-date=28 November 2025 |access-date=4 January 2026 |work=[[The Guardian]] |ref=none}}</ref><ref>{{Cite web |date=27 November 2025 |title=Israel's genocide against Palestinians 'not over' despite ceasefire - new Amnesty briefing |url=https://www.amnesty.org.uk/press-releases/israels-genocide-against-palestinians-not-over-despite-ceasefire-new-amnesty |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20251128172416/https://www.amnesty.org.uk/press-releases/israels-genocide-against-palestinians-not-over-despite-ceasefire-new-amnesty |archive-date=28 November 2025 |access-date=4 January 2026 |publisher=[[Amnesty International]]}}</ref> ၎င်းတွင် အစုလိုက်အပြုံလိုက် သတ်ဖြတ်ခြင်း ၊ ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ ငတ်မွတ်ခေါင်းပါးခြင်း ၊ ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာနှင့် စိတ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ပြင်းထန်စွာ ထိခိုက်ဒဏ်ရာရစေခြင်းနှင့် မွေးဖွားခြင်းကို တားဆီးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။ အခြားလုပ်ရပ်များတွင် ပိတ်ဆို့ခြင်း ၊ အရပ်သားအခြေခံအဆောက်အအုံများကို ဖျက်ဆီးခြင်း ၊ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုဌာနများကို ဖျက်ဆီးခြင်း၊ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုလုပ်သားများ နှင့် အကူအညီတောင်းခံသူများကို သတ်ဖြတ်ခြင်း၊ အစုလိုက်အပြုံလိုက် အတင်းအကျပ် ရွှေ့ပြောင်းခြင်း ၊ လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ အကြမ်းဖက်မှု ကျူးလွန်ခြင်းနှင့် ပညာရေး ၊ ဘာသာရေး နှင့် ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ နေရာများကို ဖျက်ဆီးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။<ref name="UNCommissionGenocide">{{Cite web |date=16 September 2025 |title=Israel has committed genocide in the Gaza Strip, UN Commission finds |url=https://www.ohchr.org/en/press-releases/2025/09/israel-has-committed-genocide-gaza-strip-un-commission-finds |archive-url=https://web.archive.org/web/20250925113927/https://www.ohchr.org/en/press-releases/2025/09/israel-has-committed-genocide-gaza-strip-un-commission-finds |archive-date=25 September 2025 |access-date=21 September 2025 |website=[[Office of the United Nations High Commissioner for Human Rights]] |language=en}}</ref> ==ကိုးကား== 6v80awg36cpzhhvz532nbystw5lg3dt 1040711 1040708 2026-06-25T07:56:03Z جودت 128483 /* */ 1040711 wikitext text/x-wiki {{Pp}} <references /> {{Databox}} ဂါဇာ စစ်ပွဲ အတွင်း [[အစ္စရေးနိုင်ငံ|အစ္စရေး]] က [[ဂါဇာကမ်းမြောင်]] ဒေသရှိ ပါလက်စတိုင်းလူမျိုးများ အပေါ် ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ နှင့် စနစ်တကျ ဖျက်ဆီးမှုများ<ref>{{Cite news |last=Segal |first=Raz |author-link=Raz Segal |date=28 November 2025 |title=The genocide in Gaza is far from over |url=https://www.theguardian.com/commentisfree/2025/nov/28/the-genocide-in-gaza-is-far-from-over |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20251128115413/https://www.theguardian.com/commentisfree/2025/nov/28/the-genocide-in-gaza-is-far-from-over |archive-date=28 November 2025 |access-date=4 January 2026 |work=[[The Guardian]] |ref=none}}</ref><ref>{{Cite web |date=27 November 2025 |title=Israel's genocide against Palestinians 'not over' despite ceasefire - new Amnesty briefing |url=https://www.amnesty.org.uk/press-releases/israels-genocide-against-palestinians-not-over-despite-ceasefire-new-amnesty |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20251128172416/https://www.amnesty.org.uk/press-releases/israels-genocide-against-palestinians-not-over-despite-ceasefire-new-amnesty |archive-date=28 November 2025 |access-date=4 January 2026 |publisher=[[Amnesty International]]}}</ref> ၎င်းတွင် အစုလိုက်အပြုံလိုက် သတ်ဖြတ်ခြင်း ၊ ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ ငတ်မွတ်ခေါင်းပါးခြင်း ၊ ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာနှင့် စိတ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ပြင်းထန်စွာ ထိခိုက်ဒဏ်ရာရစေခြင်းနှင့် မွေးဖွားခြင်းကို တားဆီးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။ အခြားလုပ်ရပ်များတွင် ပိတ်ဆို့ခြင်း ၊ အရပ်သားအခြေခံအဆောက်အအုံများကို ဖျက်ဆီးခြင်း ၊ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုဌာနများကို ဖျက်ဆီးခြင်း၊ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုလုပ်သားများ နှင့် အကူအညီတောင်းခံသူများကို သတ်ဖြတ်ခြင်း၊ အစုလိုက်အပြုံလိုက် အတင်းအကျပ် ရွှေ့ပြောင်းခြင်း ၊ လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ အကြမ်းဖက်မှု ကျူးလွန်ခြင်းနှင့် ပညာရေး ၊ ဘာသာရေး နှင့် ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ နေရာများကို ဖျက်ဆီးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။<ref name="UNCommissionGenocide">{{Cite web |date=16 September 2025 |title=Israel has committed genocide in the Gaza Strip, UN Commission finds |url=https://www.ohchr.org/en/press-releases/2025/09/israel-has-committed-genocide-gaza-strip-un-commission-finds |archive-url=https://web.archive.org/web/20250925113927/https://www.ohchr.org/en/press-releases/2025/09/israel-has-committed-genocide-gaza-strip-un-commission-finds |archive-date=25 September 2025 |access-date=21 September 2025 |website=[[Office of the United Nations High Commissioner for Human Rights]] |language=en}}</ref> ==ကိုးကား== 63th5q5u8bgerl2jp0u3snomxr426sk 1040717 1040711 2026-06-25T08:04:08Z جودت 128483 /* */ 1040717 wikitext text/x-wiki {{Pp}} <references /> {{Databox}} '''ဂါဇာ လူမျိုးတုံးသတ်ဖြတ်မှု''' ဂါဇာ စစ်ပွဲ အတွင်း [[အစ္စရေးနိုင်ငံ|အစ္စရေး]] က [[ဂါဇာကမ်းမြောင်]] ဒေသရှိ ပါလက်စတိုင်းလူမျိုးများ အပေါ် ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ နှင့် စနစ်တကျ ဖျက်ဆီးမှုများ<ref>{{Cite news |last=Segal |first=Raz |author-link=Raz Segal |date=28 November 2025 |title=The genocide in Gaza is far from over |url=https://www.theguardian.com/commentisfree/2025/nov/28/the-genocide-in-gaza-is-far-from-over |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20251128115413/https://www.theguardian.com/commentisfree/2025/nov/28/the-genocide-in-gaza-is-far-from-over |archive-date=28 November 2025 |access-date=4 January 2026 |work=[[The Guardian]] |ref=none}}</ref><ref>{{Cite web |date=27 November 2025 |title=Israel's genocide against Palestinians 'not over' despite ceasefire - new Amnesty briefing |url=https://www.amnesty.org.uk/press-releases/israels-genocide-against-palestinians-not-over-despite-ceasefire-new-amnesty |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20251128172416/https://www.amnesty.org.uk/press-releases/israels-genocide-against-palestinians-not-over-despite-ceasefire-new-amnesty |archive-date=28 November 2025 |access-date=4 January 2026 |publisher=[[Amnesty International]]}}</ref> ၎င်းတွင် အစုလိုက်အပြုံလိုက် သတ်ဖြတ်ခြင်း ၊ ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ ငတ်မွတ်ခေါင်းပါးခြင်း ၊ ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာနှင့် စိတ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ပြင်းထန်စွာ ထိခိုက်ဒဏ်ရာရစေခြင်းနှင့် မွေးဖွားခြင်းကို တားဆီးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။ အခြားလုပ်ရပ်များတွင် ပိတ်ဆို့ခြင်း ၊ အရပ်သားအခြေခံအဆောက်အအုံများကို ဖျက်ဆီးခြင်း ၊ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုဌာနများကို ဖျက်ဆီးခြင်း၊ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုလုပ်သားများ နှင့် အကူအညီတောင်းခံသူများကို သတ်ဖြတ်ခြင်း၊ အစုလိုက်အပြုံလိုက် အတင်းအကျပ် ရွှေ့ပြောင်းခြင်း ၊ လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ အကြမ်းဖက်မှု ကျူးလွန်ခြင်းနှင့် ပညာရေး ၊ ဘာသာရေး နှင့် ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ နေရာများကို ဖျက်ဆီးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။<ref name="UNCommissionGenocide">{{Cite web |date=16 September 2025 |title=Israel has committed genocide in the Gaza Strip, UN Commission finds |url=https://www.ohchr.org/en/press-releases/2025/09/israel-has-committed-genocide-gaza-strip-un-commission-finds |archive-url=https://web.archive.org/web/20250925113927/https://www.ohchr.org/en/press-releases/2025/09/israel-has-committed-genocide-gaza-strip-un-commission-finds |archive-date=25 September 2025 |access-date=21 September 2025 |website=[[Office of the United Nations High Commissioner for Human Rights]] |language=en}}</ref> ==ကိုးကား== 40o3etuprc17penn0xxwq26uwzt3jmx 1040719 1040717 2026-06-25T08:06:12Z جودت 128483 /* */ 1040719 wikitext text/x-wiki {{Pp}} <references /> {{Databox}} '''ဂါဇာ လူမျိုးတုံးသတ်ဖြတ်မှု''' ဆိုသည်မှာ ဂါဇာ စစ်ပွဲ အတွင်း [[အစ္စရေးနိုင်ငံ|အစ္စရေး]] က [[ဂါဇာကမ်းမြောင်]] ဒေသရှိ ပါလက်စတိုင်းလူမျိုးများ အပေါ် ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ နှင့် စနစ်တကျ ဖျက်ဆီးမှုများ<ref>{{Cite news |last=Segal |first=Raz |author-link=Raz Segal |date=28 November 2025 |title=The genocide in Gaza is far from over |url=https://www.theguardian.com/commentisfree/2025/nov/28/the-genocide-in-gaza-is-far-from-over |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20251128115413/https://www.theguardian.com/commentisfree/2025/nov/28/the-genocide-in-gaza-is-far-from-over |archive-date=28 November 2025 |access-date=4 January 2026 |work=[[The Guardian]] |ref=none}}</ref><ref>{{Cite web |date=27 November 2025 |title=Israel's genocide against Palestinians 'not over' despite ceasefire - new Amnesty briefing |url=https://www.amnesty.org.uk/press-releases/israels-genocide-against-palestinians-not-over-despite-ceasefire-new-amnesty |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20251128172416/https://www.amnesty.org.uk/press-releases/israels-genocide-against-palestinians-not-over-despite-ceasefire-new-amnesty |archive-date=28 November 2025 |access-date=4 January 2026 |publisher=[[Amnesty International]]}}</ref> ၎င်းတွင် အစုလိုက်အပြုံလိုက် သတ်ဖြတ်ခြင်း ၊ ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ ငတ်မွတ်ခေါင်းပါးခြင်း ၊ ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာနှင့် စိတ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ပြင်းထန်စွာ ထိခိုက်ဒဏ်ရာရစေခြင်းနှင့် မွေးဖွားခြင်းကို တားဆီးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။ အခြားလုပ်ရပ်များတွင် ပိတ်ဆို့ခြင်း ၊ အရပ်သားအခြေခံအဆောက်အအုံများကို ဖျက်ဆီးခြင်း ၊ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုဌာနများကို ဖျက်ဆီးခြင်း၊ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုလုပ်သားများ နှင့် အကူအညီတောင်းခံသူများကို သတ်ဖြတ်ခြင်း၊ အစုလိုက်အပြုံလိုက် အတင်းအကျပ် ရွှေ့ပြောင်းခြင်း ၊ လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ အကြမ်းဖက်မှု ကျူးလွန်ခြင်းနှင့် ပညာရေး ၊ ဘာသာရေး နှင့် ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ နေရာများကို ဖျက်ဆီးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။<ref name="UNCommissionGenocide">{{Cite web |date=16 September 2025 |title=Israel has committed genocide in the Gaza Strip, UN Commission finds |url=https://www.ohchr.org/en/press-releases/2025/09/israel-has-committed-genocide-gaza-strip-un-commission-finds |archive-url=https://web.archive.org/web/20250925113927/https://www.ohchr.org/en/press-releases/2025/09/israel-has-committed-genocide-gaza-strip-un-commission-finds |archive-date=25 September 2025 |access-date=21 September 2025 |website=[[Office of the United Nations High Commissioner for Human Rights]] |language=en}}</ref> ==ကိုးကား== cezi691rj1rx9ps28wfl5fdea8pqdg0 1040727 1040719 2026-06-25T08:32:43Z جودت 128483 /* */ 1040727 wikitext text/x-wiki {{Pp}} <references /> {{Databox}} '''ဂါဇာ လူမျိုးတုံးသတ်ဖြတ်မှု''' ဆိုသည်မှာ [[en:Gaza war|ဂါဇာ စစ်ပွဲ]] အတွင်း [[အစ္စရေးနိုင်ငံ|အစ္စရေး]] က [[ဂါဇာကမ်းမြောင်]] ဒေသရှိ ပါလက်စတိုင်းလူမျိုးများ အပေါ် ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ နှင့် စနစ်တကျ ဖျက်ဆီးမှုများ<ref>{{Cite news |last=Segal |first=Raz |author-link=Raz Segal |date=28 November 2025 |title=The genocide in Gaza is far from over |url=https://www.theguardian.com/commentisfree/2025/nov/28/the-genocide-in-gaza-is-far-from-over |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20251128115413/https://www.theguardian.com/commentisfree/2025/nov/28/the-genocide-in-gaza-is-far-from-over |archive-date=28 November 2025 |access-date=4 January 2026 |work=[[The Guardian]] |ref=none}}</ref><ref>{{Cite web |date=27 November 2025 |title=Israel's genocide against Palestinians 'not over' despite ceasefire - new Amnesty briefing |url=https://www.amnesty.org.uk/press-releases/israels-genocide-against-palestinians-not-over-despite-ceasefire-new-amnesty |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20251128172416/https://www.amnesty.org.uk/press-releases/israels-genocide-against-palestinians-not-over-despite-ceasefire-new-amnesty |archive-date=28 November 2025 |access-date=4 January 2026 |publisher=[[Amnesty International]]}}</ref> ၎င်းတွင် အစုလိုက်အပြုံလိုက် သတ်ဖြတ်ခြင်း ၊ ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ ငတ်မွတ်ခေါင်းပါးခြင်း ၊ ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာနှင့် စိတ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ပြင်းထန်စွာ ထိခိုက်ဒဏ်ရာရစေခြင်းနှင့် မွေးဖွားခြင်းကို တားဆီးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။ အခြားလုပ်ရပ်များတွင် ပိတ်ဆို့ခြင်း ၊ အရပ်သားအခြေခံအဆောက်အအုံများကို ဖျက်ဆီးခြင်း ၊ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုဌာနများကို ဖျက်ဆီးခြင်း၊ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုလုပ်သားများ နှင့် အကူအညီတောင်းခံသူများကို သတ်ဖြတ်ခြင်း၊ အစုလိုက်အပြုံလိုက် အတင်းအကျပ် ရွှေ့ပြောင်းခြင်း ၊ လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ အကြမ်းဖက်မှု ကျူးလွန်ခြင်းနှင့် ပညာရေး ၊ ဘာသာရေး နှင့် ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ နေရာများကို ဖျက်ဆီးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။<ref name="UNCommissionGenocide">{{Cite web |date=16 September 2025 |title=Israel has committed genocide in the Gaza Strip, UN Commission finds |url=https://www.ohchr.org/en/press-releases/2025/09/israel-has-committed-genocide-gaza-strip-un-commission-finds |archive-url=https://web.archive.org/web/20250925113927/https://www.ohchr.org/en/press-releases/2025/09/israel-has-committed-genocide-gaza-strip-un-commission-finds |archive-date=25 September 2025 |access-date=21 September 2025 |website=[[Office of the United Nations High Commissioner for Human Rights]] |language=en}}</ref> ==ကိုးကား== m6d34ilivvh2d4hs5mf2pintpw92bsy 1040729 1040727 2026-06-25T08:33:38Z جودت 128483 /* */ 1040729 wikitext text/x-wiki {{Pp}} <references /> {{Databox}} '''ဂါဇာ လူမျိုးတုံးသတ်ဖြတ်မှု''' ဆိုသည်မှာ [[:en:Gaza_war|ဂါဇာ စစ်ပွဲ]] အတွင်း [[အစ္စရေးနိုင်ငံ|အစ္စရေး]] က [[ဂါဇာကမ်းမြောင်]] ဒေသရှိ ပါလက်စတိုင်းလူမျိုးများ အပေါ် ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ နှင့် စနစ်တကျ ဖျက်ဆီးမှုများ<ref>{{Cite news |last=Segal |first=Raz |author-link=Raz Segal |date=28 November 2025 |title=The genocide in Gaza is far from over |url=https://www.theguardian.com/commentisfree/2025/nov/28/the-genocide-in-gaza-is-far-from-over |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20251128115413/https://www.theguardian.com/commentisfree/2025/nov/28/the-genocide-in-gaza-is-far-from-over |archive-date=28 November 2025 |access-date=4 January 2026 |work=[[The Guardian]] |ref=none}}</ref><ref>{{Cite web |date=27 November 2025 |title=Israel's genocide against Palestinians 'not over' despite ceasefire - new Amnesty briefing |url=https://www.amnesty.org.uk/press-releases/israels-genocide-against-palestinians-not-over-despite-ceasefire-new-amnesty |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20251128172416/https://www.amnesty.org.uk/press-releases/israels-genocide-against-palestinians-not-over-despite-ceasefire-new-amnesty |archive-date=28 November 2025 |access-date=4 January 2026 |publisher=[[Amnesty International]]}}</ref> ၎င်းတွင် အစုလိုက်အပြုံလိုက် သတ်ဖြတ်ခြင်း ၊ ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ ငတ်မွတ်ခေါင်းပါးခြင်း ၊ ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာနှင့် စိတ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ပြင်းထန်စွာ ထိခိုက်ဒဏ်ရာရစေခြင်းနှင့် မွေးဖွားခြင်းကို တားဆီးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။ အခြားလုပ်ရပ်များတွင် ပိတ်ဆို့ခြင်း ၊ အရပ်သားအခြေခံအဆောက်အအုံများကို ဖျက်ဆီးခြင်း ၊ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုဌာနများကို ဖျက်ဆီးခြင်း၊ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုလုပ်သားများ နှင့် အကူအညီတောင်းခံသူများကို သတ်ဖြတ်ခြင်း၊ အစုလိုက်အပြုံလိုက် အတင်းအကျပ် ရွှေ့ပြောင်းခြင်း ၊ လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ အကြမ်းဖက်မှု ကျူးလွန်ခြင်းနှင့် ပညာရေး ၊ ဘာသာရေး နှင့် ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ နေရာများကို ဖျက်ဆီးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။<ref name="UNCommissionGenocide">{{Cite web |date=16 September 2025 |title=Israel has committed genocide in the Gaza Strip, UN Commission finds |url=https://www.ohchr.org/en/press-releases/2025/09/israel-has-committed-genocide-gaza-strip-un-commission-finds |archive-url=https://web.archive.org/web/20250925113927/https://www.ohchr.org/en/press-releases/2025/09/israel-has-committed-genocide-gaza-strip-un-commission-finds |archive-date=25 September 2025 |access-date=21 September 2025 |website=[[Office of the United Nations High Commissioner for Human Rights]] |language=en}}</ref> ==ကိုးကား== a41wd8889kf0b4ho8cesfnh1uh8dlmh 1040732 1040729 2026-06-25T08:36:27Z جودت 128483 /* */ 1040732 wikitext text/x-wiki {{Pp}} <references /> {{Databox}} '''ဂါဇာ လူမျိုးတုံးသတ်ဖြတ်မှု''' ဆိုသည်မှာ [[:en:Gaza_war|ဂါဇာ စစ်ပွဲ]] အတွင်း [[အစ္စရေးနိုင်ငံ|အစ္စရေး]] က [[ဂါဇာကမ်းမြောင်]] ဒေသရှိ [[:en:Gaza_genocide|ပါလက်စတိုင်းလူမျိုးများ]] အပေါ် ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ နှင့် စနစ်တကျ ဖျက်ဆီးမှုများ<ref>{{Cite news |last=Segal |first=Raz |author-link=Raz Segal |date=28 November 2025 |title=The genocide in Gaza is far from over |url=https://www.theguardian.com/commentisfree/2025/nov/28/the-genocide-in-gaza-is-far-from-over |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20251128115413/https://www.theguardian.com/commentisfree/2025/nov/28/the-genocide-in-gaza-is-far-from-over |archive-date=28 November 2025 |access-date=4 January 2026 |work=[[The Guardian]] |ref=none}}</ref><ref>{{Cite web |date=27 November 2025 |title=Israel's genocide against Palestinians 'not over' despite ceasefire - new Amnesty briefing |url=https://www.amnesty.org.uk/press-releases/israels-genocide-against-palestinians-not-over-despite-ceasefire-new-amnesty |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20251128172416/https://www.amnesty.org.uk/press-releases/israels-genocide-against-palestinians-not-over-despite-ceasefire-new-amnesty |archive-date=28 November 2025 |access-date=4 January 2026 |publisher=[[Amnesty International]]}}</ref> ၎င်းတွင် အစုလိုက်အပြုံလိုက် သတ်ဖြတ်ခြင်း ၊ ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ ငတ်မွတ်ခေါင်းပါးခြင်း ၊ ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာနှင့် စိတ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ပြင်းထန်စွာ ထိခိုက်ဒဏ်ရာရစေခြင်းနှင့် မွေးဖွားခြင်းကို တားဆီးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။ အခြားလုပ်ရပ်များတွင် ပိတ်ဆို့ခြင်း ၊ အရပ်သားအခြေခံအဆောက်အအုံများကို ဖျက်ဆီးခြင်း ၊ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုဌာနများကို ဖျက်ဆီးခြင်း၊ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုလုပ်သားများ နှင့် အကူအညီတောင်းခံသူများကို သတ်ဖြတ်ခြင်း၊ အစုလိုက်အပြုံလိုက် အတင်းအကျပ် ရွှေ့ပြောင်းခြင်း ၊ လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ အကြမ်းဖက်မှု ကျူးလွန်ခြင်းနှင့် ပညာရေး ၊ ဘာသာရေး နှင့် ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ နေရာများကို ဖျက်ဆီးခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။<ref name="UNCommissionGenocide">{{Cite web |date=16 September 2025 |title=Israel has committed genocide in the Gaza Strip, UN Commission finds |url=https://www.ohchr.org/en/press-releases/2025/09/israel-has-committed-genocide-gaza-strip-un-commission-finds |archive-url=https://web.archive.org/web/20250925113927/https://www.ohchr.org/en/press-releases/2025/09/israel-has-committed-genocide-gaza-strip-un-commission-finds |archive-date=25 September 2025 |access-date=21 September 2025 |website=[[Office of the United Nations High Commissioner for Human Rights]] |language=en}}</ref> ==ကိုးကား== fhnuwkgcap7uoimehxv2jdc2q2q00r3 0 284421 1040751 1040028 2026-06-25T09:49:10Z Mkant00 135890 1040751 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည် ။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည် ။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည် ။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည် ။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည် ။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည် ။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော မော်ဂျူး သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) အဘီလီယန်အုပ်စု (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများအတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ဖီးလ်ဒ် (Field) တစ်ခုဖြစ်ပြီး တနည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော အစုဝင်များသည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]များ (vector spaces over <math>R</math>) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]များအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ === အပေါင်းအခြေခံ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ကိန်းပြည့်များ၏ ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring of intergers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \Z</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\Z</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု (Basis) ရှိရန် မလိုအပ်ပါ၊ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (Torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စုများဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\Z</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\Z</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\Q</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\R</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb A</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb A \cap \R</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\Complex</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ဖီးလ်ဒ်များပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် ဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း (k-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် (one to one) ထပ်တူကျညီမျှမှု ရှိသည်။ *<math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်းပေးထားသည်။ *<math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v.</math> *<math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ *<math>X \cdot v := A(v)</math> *ပြီးလျှင် ၎င်းကို <math>K[X]</math> ပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအတိုင်း ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> *အားလုံးအတွက် ကျွန်ုပ်တို့ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (ring ideals) === ကွင်းတိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်း (submodule) များသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူးများ (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm,</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ပေါင်းခြင်းဂုဏ်သတ္တိအတိုင်း ဖြန့်ဝေနိုင်ရမည် (distributive)။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r,r_1,r_2 \in R, m,m_1,m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m </math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1,r_2\in R,\ m\in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ ''ညာမော်ဂျူး'' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။<br /> <math>R</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr,</math> ၎င်းသည် <math>r,r_1,r_2 \in R, m,m_1,m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2 </math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r </math> *<math>r_1,r_2\in R,\ m\in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-''မော်ဂျူးများ'' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ === *<math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့်(လိုအပ်ပါက ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော) အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ ::<math>R \to \operatorname{End}_\Z(M).</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\Z(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်းဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ ::<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ *<math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့်(လိုအပ်ပါက ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော) အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ ::<math>R \to (\operatorname{End}_\Z(M))^\mathrm{op}.</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ ::<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများ ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r\in R,m\in M,s\in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math> ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး (<math>m\in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math>) ကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ :<math>R\otimes_{\mathbb Z}S^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}_\Z(M).</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R\otimes_{\mathbb Z}S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (module homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် ကွင်းသက်ရောက်ချက် (ring action) နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု (R-linear map) ဟုခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ အစုဝင် <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ *<math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> *<math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် ဗက်တာရပ်ဝန်းများအကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကိုသာ အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း အမှတ်လိုက် (pointwise) အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ *<math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> *<math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို ဖန်ရှင်တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>Hom</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သည် (naturally isomorphic)။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံကွင်း <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရအစုဝင် <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (submodules and quotient modules) == <math>M</math> ၏ '''မော်ဂျူးပိုင်း''' (submodule) <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ ကွင်း <math>R</math> ၏ အစုဝင်များဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closed) ရှိသော အုပ်စုပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး (quotient module) <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ အဘီလီယန်အုပ်စုသည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု (natural projection mapping) သည် မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော (is contained in) <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော၊ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ကာနယ် (kernel) သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံရိပ် (image) သို့မဟုတ် <math>\operatorname{Im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း (canonical embedding) ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (associative R-algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (R-module homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' (representation) ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု (K-bilinear map) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Lie algebra homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာ (commutator) ကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ် (Lie bracket) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာ (universal enveloping algebra) အောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စု (group) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (external binary operation) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း (group ring) <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (K-linear representation) နှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] if0c4mw0xa27jow9idzafviyn9014hh 1040753 1040751 2026-06-25T09:57:09Z Mkant00 135890 /* ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (ring ideals) */ 1040753 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည် ။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည် ။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည် ။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည် ။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည် ။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည် ။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော မော်ဂျူး သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) အဘီလီယန်အုပ်စု (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများအတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ဖီးလ်ဒ် (Field) တစ်ခုဖြစ်ပြီး တနည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော အစုဝင်များသည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]များ (vector spaces over <math>R</math>) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]များအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ === အပေါင်းအခြေခံ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ကိန်းပြည့်များ၏ ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring of intergers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \Z</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\Z</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု (Basis) ရှိရန် မလိုအပ်ပါ၊ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (Torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စုများဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\Z</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\Z</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\Q</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\R</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb A</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb A \cap \R</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\Complex</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ဖီးလ်ဒ်များပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် ဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း (k-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် (one to one) ထပ်တူကျညီမျှမှု ရှိသည်။ *<math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်းပေးထားသည်။ *<math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v.</math> *<math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ *<math>X \cdot v := A(v)</math> *ပြီးလျှင် ၎င်းကို <math>K[X]</math> ပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအတိုင်း ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> *အားလုံးအတွက် ကျွန်ုပ်တို့ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (ring ideals) === ကွင်းတိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်း (submodule) များသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ === ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) === အောက်ပါတို့သည် မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သော ထင်ရှားသည့် အခြေခံဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ * ကွင်း <math> A</math> သည် မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ဖလှယ်ရ အုပ်စုတိုင်းသည် <math> \mathbb{Z}</math> -မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math> 0</math> သီးသန့်သာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စုတစ်ခုသည် မည်သည့်ကွင်းပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math> A</math> ၏ မည်သည့် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်မဆိုသည် <math> A</math> -မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math> J</math> သည် <math> A</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ်ကွင်း <math> A/J</math> သည် <math> a(x+J) = ax+J</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math> A</math> -မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math> L</math> သည် <math> A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ် <math> A/L</math> သည်လည်း <math> A</math> -မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math> V</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math> K</math> အပေါ်ရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက အကယ်၍ <math> R</math> သည် <math> V</math> မှ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုများအားလုံး၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math> V</math> သည် <math> R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math> V = K^n</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math> K</math> အပေါ်ရှိ ဒေါင်လိုက် <math> n</math> -ခုတွဲ (vertical <math> n</math> -tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math> R</math> သည် <math> K</math> အပေါ်ရှိ <math> n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းဖြစ်ပါက <math> V</math> သည် <math> R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ပုံဖော်မှုများ၏ မော်ဂျူး (Module of Maps) === <math> S</math> သည် ဗလာမဟုတ်သောအစု တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math> M</math> သည် <math> A</math> -မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုများ၏ အစု <math> \text{Map}(S, M)</math> သည် <math> A</math> -မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math> f \in \text{Map}(S, M)</math> နှင့် <math> a \in A</math> တို့အတွက် စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) <math> (af)(s) = af(s)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူးများ (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm,</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ပေါင်းခြင်းဂုဏ်သတ္တိအတိုင်း ဖြန့်ဝေနိုင်ရမည် (distributive)။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r,r_1,r_2 \in R, m,m_1,m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m </math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1,r_2\in R,\ m\in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ ''ညာမော်ဂျူး'' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။<br /> <math>R</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr,</math> ၎င်းသည် <math>r,r_1,r_2 \in R, m,m_1,m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2 </math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r </math> *<math>r_1,r_2\in R,\ m\in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-''မော်ဂျူးများ'' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ === *<math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့်(လိုအပ်ပါက ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော) အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ ::<math>R \to \operatorname{End}_\Z(M).</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\Z(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်းဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ ::<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ *<math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့်(လိုအပ်ပါက ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော) အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ ::<math>R \to (\operatorname{End}_\Z(M))^\mathrm{op}.</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ ::<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများ ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r\in R,m\in M,s\in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math> ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး (<math>m\in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math>) ကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ :<math>R\otimes_{\mathbb Z}S^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}_\Z(M).</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R\otimes_{\mathbb Z}S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (module homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် ကွင်းသက်ရောက်ချက် (ring action) နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု (R-linear map) ဟုခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ အစုဝင် <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ *<math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> *<math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် ဗက်တာရပ်ဝန်းများအကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကိုသာ အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း အမှတ်လိုက် (pointwise) အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ *<math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> *<math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို ဖန်ရှင်တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>Hom</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သည် (naturally isomorphic)။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံကွင်း <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရအစုဝင် <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (submodules and quotient modules) == <math>M</math> ၏ '''မော်ဂျူးပိုင်း''' (submodule) <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ ကွင်း <math>R</math> ၏ အစုဝင်များဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closed) ရှိသော အုပ်စုပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး (quotient module) <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ အဘီလီယန်အုပ်စုသည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု (natural projection mapping) သည် မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော (is contained in) <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော၊ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ကာနယ် (kernel) သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံရိပ် (image) သို့မဟုတ် <math>\operatorname{Im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း (canonical embedding) ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (associative R-algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (R-module homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' (representation) ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု (K-bilinear map) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Lie algebra homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာ (commutator) ကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ် (Lie bracket) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာ (universal enveloping algebra) အောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စု (group) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (external binary operation) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း (group ring) <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (K-linear representation) နှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] o0oamowcxj3205q01hj7vly8fxb6gg6 1040756 1040753 2026-06-25T10:07:07Z Mkant00 135890 /* ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) */ 1040756 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည် ။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည် ။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည် ။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည် ။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည် ။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည် ။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော [[မော်ဂျူး]] သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]]အတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုဖြစ်ပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces over R) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ ဖလှယ်ရ ကွင်းများအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ (Abelian groups) === အပေါင်းအခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring of integers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \mathbb{Z}</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (additive notation) ဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု (basis) ရှိရန် မလိုအပ်ပါ။ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုရှိရန် မလိုအပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb{A}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{A} \cap \mathbb{R}</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\mathbb{C}</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]မြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]ပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]]သည် <math>K</math>-[[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (K-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ရှိသည်။ <math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v</math> <math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X \cdot v := A(v)</math> ထို့နောက် ၎င်းကို <math>K[X]</math> အပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအရ ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် <math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (Ring ideals) === [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်း (submodule) များသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ === ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) === အောက်ပါတို့သည် [[မော်ဂျူး]] တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သော ထင်ရှားသည့် အခြေခံဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ * [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>A</math> သည် မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]တိုင်းသည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>0</math> သီးသန့်သာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]တစ်ခုသည် မည်သည့်ကွင်းပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math>A</math> ၏ မည်သည့် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်မဆိုသည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>J</math> သည် <math>A</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) <math>A/J</math> သည် <math>a(x+J) = ax+J</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>L</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ် <math>A/L</math> သည်လည်း <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါက အကယ်၍ <math>R</math> သည် <math>V</math> မှ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]]များအားလုံး၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V = K^n</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ဒေါင်လိုက် <math>n</math>-ခုတွဲ (vertical <math>n</math>-tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>R</math> သည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ပုံဖော်မှုများ၏ မော်ဂျူး (Module of Maps) === <math>S</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော[[အစု]] (non-empty set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုများ၏ အစု <math>\text{Map}(S, M)</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>f \in \text{Map}(S, M)</math> နှင့် <math>a \in A</math> တို့အတွက် စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) <math>(af)(s) = af(s)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူးများ (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm,</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ပေါင်းခြင်းဂုဏ်သတ္တိအတိုင်း ဖြန့်ဝေနိုင်ရမည် (distributive)။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r,r_1,r_2 \in R, m,m_1,m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m </math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1,r_2\in R,\ m\in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ ''ညာမော်ဂျူး'' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။<br /> <math>R</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr,</math> ၎င်းသည် <math>r,r_1,r_2 \in R, m,m_1,m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2 </math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r </math> *<math>r_1,r_2\in R,\ m\in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-''မော်ဂျူးများ'' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ === *<math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့်(လိုအပ်ပါက ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော) အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ ::<math>R \to \operatorname{End}_\Z(M).</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\Z(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်းဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ ::<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ *<math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့်(လိုအပ်ပါက ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော) အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ ::<math>R \to (\operatorname{End}_\Z(M))^\mathrm{op}.</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ ::<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများ ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r\in R,m\in M,s\in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math> ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး (<math>m\in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math>) ကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ :<math>R\otimes_{\mathbb Z}S^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}_\Z(M).</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R\otimes_{\mathbb Z}S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (module homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် ကွင်းသက်ရောက်ချက် (ring action) နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု (R-linear map) ဟုခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ အစုဝင် <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ *<math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> *<math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် ဗက်တာရပ်ဝန်းများအကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကိုသာ အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း အမှတ်လိုက် (pointwise) အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ *<math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> *<math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို ဖန်ရှင်တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>Hom</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သည် (naturally isomorphic)။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံကွင်း <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရအစုဝင် <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (submodules and quotient modules) == <math>M</math> ၏ '''မော်ဂျူးပိုင်း''' (submodule) <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ ကွင်း <math>R</math> ၏ အစုဝင်များဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closed) ရှိသော အုပ်စုပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး (quotient module) <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ အဘီလီယန်အုပ်စုသည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု (natural projection mapping) သည် မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော (is contained in) <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော၊ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ကာနယ် (kernel) သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံရိပ် (image) သို့မဟုတ် <math>\operatorname{Im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း (canonical embedding) ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (associative R-algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (R-module homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' (representation) ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု (K-bilinear map) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Lie algebra homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာ (commutator) ကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ် (Lie bracket) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာ (universal enveloping algebra) အောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စု (group) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (external binary operation) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း (group ring) <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (K-linear representation) နှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] 8akdrgajsx7nelews56u1fbfg8gvabq 1040759 1040756 2026-06-25T10:22:01Z Mkant00 135890 /* မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ */ 1040759 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည် ။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည် ။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည် ။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည် ။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည် ။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည် ။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော [[မော်ဂျူး]] သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]]အတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုဖြစ်ပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces over R) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ ဖလှယ်ရ ကွင်းများအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ (Abelian groups) === အပေါင်းအခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring of integers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \mathbb{Z}</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (additive notation) ဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု (basis) ရှိရန် မလိုအပ်ပါ။ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုရှိရန် မလိုအပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb{A}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{A} \cap \mathbb{R}</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\mathbb{C}</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]မြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]ပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]]သည် <math>K</math>-[[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (K-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ရှိသည်။ <math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v</math> <math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X \cdot v := A(v)</math> ထို့နောက် ၎င်းကို <math>K[X]</math> အပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအရ ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် <math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (Ring ideals) === [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်း (submodule) များသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ === ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) === အောက်ပါတို့သည် [[မော်ဂျူး]] တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သော ထင်ရှားသည့် အခြေခံဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ * [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>A</math> သည် မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]တိုင်းသည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>0</math> သီးသန့်သာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]တစ်ခုသည် မည်သည့်ကွင်းပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math>A</math> ၏ မည်သည့် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်မဆိုသည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>J</math> သည် <math>A</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) <math>A/J</math> သည် <math>a(x+J) = ax+J</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>L</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ် <math>A/L</math> သည်လည်း <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါက အကယ်၍ <math>R</math> သည် <math>V</math> မှ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]]များအားလုံး၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V = K^n</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ဒေါင်လိုက် <math>n</math>-ခုတွဲ (vertical <math>n</math>-tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>R</math> သည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ပုံဖော်မှုများ၏ မော်ဂျူး (Module of Maps) === <math>S</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော[[အစု]] (non-empty set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုများ၏ အစု <math>\text{Map}(S, M)</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>f \in \text{Map}(S, M)</math> နှင့် <math>a \in A</math> တို့အတွက် စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) <math>(af)(s) = af(s)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ (Modules over a ring) == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူး (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-'''ဘယ်မော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributive property) များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ '''ညာမော်ဂျူး''' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။ <math>R</math>-'''ညာမော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr</math> ၎င်းသည် <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2</math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-'''မော်ဂျူးများ''' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ မော်ဂျူး တွက်ချက်မှုများနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အောက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများကို အလွယ်တကူ သက်သေပြနိုင်သည်။ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် <math>x \in M</math> အတွက်မဆို အောက်ပါတို့ မှန်ကန်သည်။ * <math>a(-x) = -(ax)</math> * <math>0x = 0</math> မှတ်ချက်။ ဖော်ပြချက်မပါရှိပါက "မော်ဂျူး" ဟူသော ဝေါဟာရသည် အများအားဖြင့် "ဘယ်မော်ဂျူး" ကိုသာ ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Alternative Definitions) === * <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်|အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]ဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ * <math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (Bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r \in R, m \in M, s \in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math>။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူးကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math> ဟု မှန်ကန်ရမည်။ :<math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}} \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (module homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် ကွင်းသက်ရောက်ချက် (ring action) နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု (R-linear map) ဟုခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ အစုဝင် <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ *<math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> *<math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် ဗက်တာရပ်ဝန်းများအကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကိုသာ အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း အမှတ်လိုက် (pointwise) အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ *<math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> *<math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို ဖန်ရှင်တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>Hom</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သည် (naturally isomorphic)။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံကွင်း <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရအစုဝင် <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (submodules and quotient modules) == <math>M</math> ၏ '''မော်ဂျူးပိုင်း''' (submodule) <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ ကွင်း <math>R</math> ၏ အစုဝင်များဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closed) ရှိသော အုပ်စုပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး (quotient module) <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ အဘီလီယန်အုပ်စုသည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု (natural projection mapping) သည် မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော (is contained in) <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော၊ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ကာနယ် (kernel) သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံရိပ် (image) သို့မဟုတ် <math>\operatorname{Im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း (canonical embedding) ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (associative R-algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (R-module homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' (representation) ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု (K-bilinear map) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Lie algebra homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာ (commutator) ကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ် (Lie bracket) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာ (universal enveloping algebra) အောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စု (group) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (external binary operation) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း (group ring) <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (K-linear representation) နှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] fnoztxjjt626zliymm7ejys9inh1mxm 1040762 1040759 2026-06-25T10:32:20Z Mkant00 135890 /* မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (module homomorphisms) */ 1040762 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည် ။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည် ။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည် ။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည် ။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည် ။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည် ။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော [[မော်ဂျူး]] သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]]အတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုဖြစ်ပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces over R) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ ဖလှယ်ရ ကွင်းများအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ (Abelian groups) === အပေါင်းအခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring of integers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \mathbb{Z}</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (additive notation) ဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု (basis) ရှိရန် မလိုအပ်ပါ။ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုရှိရန် မလိုအပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb{A}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{A} \cap \mathbb{R}</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\mathbb{C}</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]မြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]ပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]]သည် <math>K</math>-[[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (K-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ရှိသည်။ <math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v</math> <math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X \cdot v := A(v)</math> ထို့နောက် ၎င်းကို <math>K[X]</math> အပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအရ ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် <math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (Ring ideals) === [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်း (submodule) များသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ === ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) === အောက်ပါတို့သည် [[မော်ဂျူး]] တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သော ထင်ရှားသည့် အခြေခံဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ * [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>A</math> သည် မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]တိုင်းသည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>0</math> သီးသန့်သာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]တစ်ခုသည် မည်သည့်ကွင်းပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math>A</math> ၏ မည်သည့် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်မဆိုသည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>J</math> သည် <math>A</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) <math>A/J</math> သည် <math>a(x+J) = ax+J</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>L</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ် <math>A/L</math> သည်လည်း <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါက အကယ်၍ <math>R</math> သည် <math>V</math> မှ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]]များအားလုံး၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V = K^n</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ဒေါင်လိုက် <math>n</math>-ခုတွဲ (vertical <math>n</math>-tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>R</math> သည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ပုံဖော်မှုများ၏ မော်ဂျူး (Module of Maps) === <math>S</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော[[အစု]] (non-empty set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုများ၏ အစု <math>\text{Map}(S, M)</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>f \in \text{Map}(S, M)</math> နှင့် <math>a \in A</math> တို့အတွက် စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) <math>(af)(s) = af(s)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ (Modules over a ring) == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူး (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-'''ဘယ်မော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributive property) များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ '''ညာမော်ဂျူး''' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။ <math>R</math>-'''ညာမော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr</math> ၎င်းသည် <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2</math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-'''မော်ဂျူးများ''' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ မော်ဂျူး တွက်ချက်မှုများနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အောက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများကို အလွယ်တကူ သက်သေပြနိုင်သည်။ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် <math>x \in M</math> အတွက်မဆို အောက်ပါတို့ မှန်ကန်သည်။ * <math>a(-x) = -(ax)</math> * <math>0x = 0</math> မှတ်ချက်။ ဖော်ပြချက်မပါရှိပါက "မော်ဂျူး" ဟူသော ဝေါဟာရသည် အများအားဖြင့် "ဘယ်မော်ဂျူး" ကိုသာ ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Alternative Definitions) === * <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်|အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]ဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ * <math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (Bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r \in R, m \in M, s \in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math>။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူးကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math> ဟု မှန်ကန်ရမည်။ :<math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}} \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Module Homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]သက်ရောက်ချက် နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (R-linear map) ဟု ခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်]] <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> * <math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]အကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ === သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Zero Homomorphism) === မည်သည့် မော်ဂျူး <math> M'</math> အတွက်မဆို <math> x \in M</math> အားလုံးအတွက် <math> \zeta(x) = 0</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှု <math> \zeta: M \rightarrow M'</math> သည် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (zero homomorphism) ဟု ခေါ်သည်။ === ဒွန်တွဲကာနယ် (Cokernel) === <math> f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> f</math> ၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M'/\text{Im } f</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math> M'/f(M)</math> ဟုလည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ ဒွန်တွဲကာနယ်ဆိုသော ဝေါဟာရသည် ပုံမှန် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math> M' \rightarrow M'/f(M)</math> ကိုလည်း တိုက်ရိုက်ရည်ညွှန်းနိုင်သည်။ === စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (Universal Property) === <math> M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math> N</math> သည် မော်ဂျူးပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> M</math> မှ စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M/N</math> သို့ ပုံမှန် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math> f: M \rightarrow M/N</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်း၏ကာနယ်အတွင်း <math> N</math> ပါဝင်နေသော <math> M</math> ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် <math> f</math> သည် စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) ရှိသည်။ === ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ဟွမ်း-မော်ဂျူး (Composition and Hom-module) === မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ * <math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> * <math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>\operatorname{Hom}</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမောဖစ်]] (naturally isomorphic) ဖြစ်သည်။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံ[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရ[[အစုဝင်]] <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (submodules and quotient modules) == <math>M</math> ၏ '''မော်ဂျူးပိုင်း''' (submodule) <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ ကွင်း <math>R</math> ၏ အစုဝင်များဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closed) ရှိသော အုပ်စုပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး (quotient module) <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ အဘီလီယန်အုပ်စုသည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု (natural projection mapping) သည် မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော (is contained in) <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော၊ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ကာနယ် (kernel) သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံရိပ် (image) သို့မဟုတ် <math>\operatorname{Im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း (canonical embedding) ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (associative R-algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (R-module homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' (representation) ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု (K-bilinear map) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Lie algebra homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာ (commutator) ကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ် (Lie bracket) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာ (universal enveloping algebra) အောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စု (group) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (external binary operation) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း (group ring) <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (K-linear representation) နှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] knbj0phfj65vlo7wdtpnxz80o7kcxbs 1040765 1040762 2026-06-25T10:41:14Z Mkant00 135890 /* မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (submodules and quotient modules) */ 1040765 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည် ။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည် ။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည် ။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည် ။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည် ။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည် ။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော [[မော်ဂျူး]] သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]]အတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုဖြစ်ပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces over R) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ ဖလှယ်ရ ကွင်းများအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ (Abelian groups) === အပေါင်းအခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring of integers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \mathbb{Z}</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (additive notation) ဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု (basis) ရှိရန် မလိုအပ်ပါ။ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုရှိရန် မလိုအပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb{A}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{A} \cap \mathbb{R}</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\mathbb{C}</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]မြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]ပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]]သည် <math>K</math>-[[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (K-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ရှိသည်။ <math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v</math> <math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X \cdot v := A(v)</math> ထို့နောက် ၎င်းကို <math>K[X]</math> အပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအရ ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် <math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (Ring ideals) === [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်း (submodule) များသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ === ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) === အောက်ပါတို့သည် [[မော်ဂျူး]] တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သော ထင်ရှားသည့် အခြေခံဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ * [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>A</math> သည် မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]တိုင်းသည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>0</math> သီးသန့်သာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]တစ်ခုသည် မည်သည့်ကွင်းပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math>A</math> ၏ မည်သည့် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်မဆိုသည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>J</math> သည် <math>A</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) <math>A/J</math> သည် <math>a(x+J) = ax+J</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>L</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ် <math>A/L</math> သည်လည်း <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါက အကယ်၍ <math>R</math> သည် <math>V</math> မှ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]]များအားလုံး၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V = K^n</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ဒေါင်လိုက် <math>n</math>-ခုတွဲ (vertical <math>n</math>-tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>R</math> သည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ပုံဖော်မှုများ၏ မော်ဂျူး (Module of Maps) === <math>S</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော[[အစု]] (non-empty set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုများ၏ အစု <math>\text{Map}(S, M)</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>f \in \text{Map}(S, M)</math> နှင့် <math>a \in A</math> တို့အတွက် စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) <math>(af)(s) = af(s)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ (Modules over a ring) == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူး (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-'''ဘယ်မော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributive property) များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ '''ညာမော်ဂျူး''' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။ <math>R</math>-'''ညာမော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr</math> ၎င်းသည် <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2</math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-'''မော်ဂျူးများ''' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ မော်ဂျူး တွက်ချက်မှုများနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အောက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများကို အလွယ်တကူ သက်သေပြနိုင်သည်။ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် <math>x \in M</math> အတွက်မဆို အောက်ပါတို့ မှန်ကန်သည်။ * <math>a(-x) = -(ax)</math> * <math>0x = 0</math> မှတ်ချက်။ ဖော်ပြချက်မပါရှိပါက "မော်ဂျူး" ဟူသော ဝေါဟာရသည် အများအားဖြင့် "ဘယ်မော်ဂျူး" ကိုသာ ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Alternative Definitions) === * <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်|အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]ဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ * <math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (Bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r \in R, m \in M, s \in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math>။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူးကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math> ဟု မှန်ကန်ရမည်။ :<math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}} \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Module Homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]သက်ရောက်ချက် နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (R-linear map) ဟု ခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်]] <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> * <math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]အကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ === သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Zero Homomorphism) === မည်သည့် မော်ဂျူး <math> M'</math> အတွက်မဆို <math> x \in M</math> အားလုံးအတွက် <math> \zeta(x) = 0</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှု <math> \zeta: M \rightarrow M'</math> သည် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (zero homomorphism) ဟု ခေါ်သည်။ === ဒွန်တွဲကာနယ် (Cokernel) === <math> f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> f</math> ၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M'/\text{Im } f</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math> M'/f(M)</math> ဟုလည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ ဒွန်တွဲကာနယ်ဆိုသော ဝေါဟာရသည် ပုံမှန် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math> M' \rightarrow M'/f(M)</math> ကိုလည်း တိုက်ရိုက်ရည်ညွှန်းနိုင်သည်။ === စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (Universal Property) === <math> M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math> N</math> သည် မော်ဂျူးပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> M</math> မှ စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M/N</math> သို့ ပုံမှန် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math> f: M \rightarrow M/N</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်း၏ကာနယ်အတွင်း <math> N</math> ပါဝင်နေသော <math> M</math> ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် <math> f</math> သည် စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) ရှိသည်။ === ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ဟွမ်း-မော်ဂျူး (Composition and Hom-module) === မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ * <math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> * <math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>\operatorname{Hom}</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမောဖစ်]] (naturally isomorphic) ဖြစ်သည်။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံ[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရ[[အစုဝင်]] <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (Submodules and Quotient Modules) == <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း (Submodule) <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသော [[အုပ်စုပိုင်း]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး (Quotient module) <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]သည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု (Natural projection mapping) သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော၊ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (Order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် ။ * ကာနယ် (Kernel) သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ * [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (Image) သို့မဟုတ် <math>\operatorname{im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ === အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion Submodule) === <math>A</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion submodule) <math>M_{\text{tor}}</math> ဆိုသည်မှာ <math>ax = 0</math> ဖြစ်စေမည့် သုညမဟုတ်သော <math>a \in A</math> တစ်ခု တည်ရှိသော <math>x \in M</math> [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သည့် [[အစုပိုင်း]]ဖြစ်သည်။ === အိုင်ဒီးလ်နှင့် မော်ဂျူး၏ မြှောက်လဒ် (Product of an Ideal and a Module) === <math>\mathfrak{a}</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>\mathfrak{a}M</math> ကို <math>a_i \in \mathfrak{a}</math> နှင့် <math>x_i \in M</math> ဖြစ်သော <math>a_1x_1 + \dots + a_nx_n</math> ပုံစံရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]အားလုံး၏ [[အစု]]အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အိုင်ဒီးလ် သက်ရောက်ချက်များနှင့် ပတ်သက်၍ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ မှန်ကန်သည် ။ * အကယ်၍ <math>\mathfrak{a}</math> နှင့် <math>\mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပါက ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associativity) <math>\mathfrak{a}(\mathfrak{b}M) = (\mathfrak{a}\mathfrak{b})M</math> မှန်ကန်သည်။ * <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု၊ <math>N, N'</math> တို့သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများဖြစ်ပြီး <math>\mathfrak{a}, \mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပါက ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributivity) <math>(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})M = \mathfrak{a}M + \mathfrak{b}M</math> နှင့် <math>\mathfrak{a}(N+N') = \mathfrak{a}N + \mathfrak{a}N'</math> တို့ မှန်ကန်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း (canonical embedding) ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (associative R-algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (R-module homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' (representation) ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု (K-bilinear map) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Lie algebra homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာ (commutator) ကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ် (Lie bracket) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာ (universal enveloping algebra) အောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စု (group) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (external binary operation) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း (group ring) <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (K-linear representation) နှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] jfv3tn7iogp4nj087xhkjpkeel369mn 1040768 1040765 2026-06-25T10:50:43Z Mkant00 135890 1040768 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည် ။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည် ။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည် ။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည် ။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည် ။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည် ။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော [[မော်ဂျူး]] သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]]အတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုဖြစ်ပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces over R) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ ဖလှယ်ရ ကွင်းများအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ (Abelian groups) === အပေါင်းအခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring of integers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \mathbb{Z}</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (additive notation) ဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု (basis) ရှိရန် မလိုအပ်ပါ။ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုရှိရန် မလိုအပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb{A}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{A} \cap \mathbb{R}</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\mathbb{C}</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]မြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]ပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]]သည် <math>K</math>-[[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (K-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ရှိသည်။ <math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v</math> <math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X \cdot v := A(v)</math> ထို့နောက် ၎င်းကို <math>K[X]</math> အပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအရ ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် <math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (Ring ideals) === [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်း (submodule) များသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ === ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) === အောက်ပါတို့သည် [[မော်ဂျူး]] တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သော ထင်ရှားသည့် အခြေခံဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ * [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>A</math> သည် မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]တိုင်းသည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>0</math> သီးသန့်သာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]တစ်ခုသည် မည်သည့်ကွင်းပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math>A</math> ၏ မည်သည့် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်မဆိုသည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>J</math> သည် <math>A</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) <math>A/J</math> သည် <math>a(x+J) = ax+J</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>L</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ် <math>A/L</math> သည်လည်း <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါက အကယ်၍ <math>R</math> သည် <math>V</math> မှ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]]များအားလုံး၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V = K^n</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ဒေါင်လိုက် <math>n</math>-ခုတွဲ (vertical <math>n</math>-tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>R</math> သည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ပုံဖော်မှုများ၏ မော်ဂျူး (Module of Maps) === <math>S</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော[[အစု]] (non-empty set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုများ၏ အစု <math>\text{Map}(S, M)</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>f \in \text{Map}(S, M)</math> နှင့် <math>a \in A</math> တို့အတွက် စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) <math>(af)(s) = af(s)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ (Modules over a ring) == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူး (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-'''ဘယ်မော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributive property) များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ '''ညာမော်ဂျူး''' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။ <math>R</math>-'''ညာမော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr</math> ၎င်းသည် <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2</math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-'''မော်ဂျူးများ''' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ မော်ဂျူး တွက်ချက်မှုများနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အောက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများကို အလွယ်တကူ သက်သေပြနိုင်သည်။ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် <math>x \in M</math> အတွက်မဆို အောက်ပါတို့ မှန်ကန်သည်။ * <math>a(-x) = -(ax)</math> * <math>0x = 0</math> မှတ်ချက်။ ဖော်ပြချက်မပါရှိပါက "မော်ဂျူး" ဟူသော ဝေါဟာရသည် အများအားဖြင့် "ဘယ်မော်ဂျူး" ကိုသာ ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Alternative Definitions) === * <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်|အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]ဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ * <math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (Bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r \in R, m \in M, s \in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math>။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူးကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math> ဟု မှန်ကန်ရမည်။ :<math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}} \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Module Homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]သက်ရောက်ချက် နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (R-linear map) ဟု ခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်]] <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> * <math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]အကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ === သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Zero Homomorphism) === မည်သည့် မော်ဂျူး <math> M'</math> အတွက်မဆို <math> x \in M</math> အားလုံးအတွက် <math> \zeta(x) = 0</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှု <math> \zeta: M \rightarrow M'</math> သည် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (zero homomorphism) ဟု ခေါ်သည်။ === ဒွန်တွဲကာနယ် (Cokernel) === <math> f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> f</math> ၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M'/\text{Im } f</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math> M'/f(M)</math> ဟုလည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ ဒွန်တွဲကာနယ်ဆိုသော ဝေါဟာရသည် ပုံမှန် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math> M' \rightarrow M'/f(M)</math> ကိုလည်း တိုက်ရိုက်ရည်ညွှန်းနိုင်သည်။ === စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (Universal Property) === <math> M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math> N</math> သည် မော်ဂျူးပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> M</math> မှ စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M/N</math> သို့ ပုံမှန် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math> f: M \rightarrow M/N</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်း၏ကာနယ်အတွင်း <math> N</math> ပါဝင်နေသော <math> M</math> ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် <math> f</math> သည် စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) ရှိသည်။ === ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ဟွမ်း-မော်ဂျူး (Composition and Hom-module) === မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ * <math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> * <math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>\operatorname{Hom}</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမောဖစ်]] (naturally isomorphic) ဖြစ်သည်။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံ[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရ[[အစုဝင်]] <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ===မူလပုံရိပ်နှင့် လှုံ့ဆော်ခံဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Preimage and Induced Homomorphism)=== <math>f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>N'</math> သည် <math>M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] <math>f^{-1}(N')</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်လာပြီး <math>\overline{f}: M/f^{-1}(N') \rightarrow M'/N'</math> ဟူသော ပုံမှန် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သည့်]] ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အကယ်၍ <math>f</math> သည် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ပါက]] <math>\overline{f}</math> သည် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (module-isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ]]သည် <math>A</math>-မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထပ်တူအသုံးဝင်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (Submodules and Quotient Modules) == <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း (Submodule) <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသော [[အုပ်စုပိုင်း]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး (Quotient module) <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]သည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု (Natural projection mapping) သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော၊ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (Order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် ။ * ကာနယ် (Kernel) သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ * [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (Image) သို့မဟုတ် <math>\operatorname{im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ === အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion Submodule) === <math>A</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion submodule) <math>M_{\text{tor}}</math> ဆိုသည်မှာ <math>ax = 0</math> ဖြစ်စေမည့် သုညမဟုတ်သော <math>a \in A</math> တစ်ခု တည်ရှိသော <math>x \in M</math> [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သည့် [[အစုပိုင်း]]ဖြစ်သည်။ === အိုင်ဒီးလ်နှင့် မော်ဂျူး၏ မြှောက်လဒ် (Product of an Ideal and a Module) === <math>\mathfrak{a}</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>\mathfrak{a}M</math> ကို <math>a_i \in \mathfrak{a}</math> နှင့် <math>x_i \in M</math> ဖြစ်သော <math>a_1x_1 + \dots + a_nx_n</math> ပုံစံရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]အားလုံး၏ [[အစု]]အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အိုင်ဒီးလ် သက်ရောက်ချက်များနှင့် ပတ်သက်၍ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ မှန်ကန်သည် ။ * အကယ်၍ <math>\mathfrak{a}</math> နှင့် <math>\mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပါက ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associativity) <math>\mathfrak{a}(\mathfrak{b}M) = (\mathfrak{a}\mathfrak{b})M</math> မှန်ကန်သည်။ * <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု၊ <math>N, N'</math> တို့သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများဖြစ်ပြီး <math>\mathfrak{a}, \mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပါက ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributivity) <math>(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})M = \mathfrak{a}M + \mathfrak{b}M</math> နှင့် <math>\mathfrak{a}(N+N') = \mathfrak{a}N + \mathfrak{a}N'</math> တို့ မှန်ကန်သည်။ == တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းများ (Exact Sequences) == မော်ဂျူးများအတွက် အခြေခံ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ မူဘောင်များကို အောက်ပါ သဘောတရားများဖြင့် တည်ဆောက်ထားသည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] * '''[[တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact Sequence):''' <math>\text{im } f = \text{ker } g</math> ဖြစ်ပါက မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] ကိန်းစဉ်တန်း <math>M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M''</math> ကို တိကျသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism သို့မဟုတ် Embedding):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>0 \rightarrow N \xrightarrow{u} M</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် ထည့်သွင်းခြင်း (embedding) ဟုခေါ်သည်။ * '''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>N \xrightarrow{u} M \rightarrow 0</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင် ဟုခေါ်သည်။ မော်ဂျူး <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း <math>N</math> နှင့် ဆက်စပ်၍ ပုံမှန်အားဖြင့် <math>0 \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow M/N \rightarrow 0</math> ဟူသော ပုံမှန် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း တစ်ခုရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math>N</math> မှ <math>M</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion) ဖြစ်ပြီး <math>M</math> မှ <math>M/N</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပုံမှန် ပုံဖော်ခြင်း (canonical map) ဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း (canonical embedding) ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (associative R-algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (R-module homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' (representation) ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု (K-bilinear map) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Lie algebra homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာ (commutator) ကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ် (Lie bracket) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာ (universal enveloping algebra) အောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စု (group) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (external binary operation) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း (group ring) <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (K-linear representation) နှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] 6f9rrcwfrkgsaun6dz38v3q59i0rx04 1040769 1040768 2026-06-25T10:57:58Z Mkant00 135890 1040769 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည်။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည်။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော [[မော်ဂျူး]] သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]]အတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုဖြစ်ပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces over R) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ ဖလှယ်ရ ကွင်းများအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ (Abelian groups) === အပေါင်းအခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring of integers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \mathbb{Z}</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (additive notation) ဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု (basis) ရှိရန် မလိုအပ်ပါ။ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုရှိရန် မလိုအပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb{A}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{A} \cap \mathbb{R}</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\mathbb{C}</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]မြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]ပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]]သည် <math>K</math>-[[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (K-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ရှိသည်။ <math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v</math> <math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X \cdot v := A(v)</math> ထို့နောက် ၎င်းကို <math>K[X]</math> အပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအရ ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် <math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (Ring ideals) === [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်း (submodule) များသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ === ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) === အောက်ပါတို့သည် [[မော်ဂျူး]] တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သော ထင်ရှားသည့် အခြေခံဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ * [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>A</math> သည် မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]တိုင်းသည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>0</math> သီးသန့်သာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]တစ်ခုသည် မည်သည့်ကွင်းပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math>A</math> ၏ မည်သည့် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်မဆိုသည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>J</math> သည် <math>A</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) <math>A/J</math> သည် <math>a(x+J) = ax+J</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>L</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ် <math>A/L</math> သည်လည်း <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါက အကယ်၍ <math>R</math> သည် <math>V</math> မှ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]]များအားလုံး၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V = K^n</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ဒေါင်လိုက် <math>n</math>-ခုတွဲ (vertical <math>n</math>-tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>R</math> သည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ပုံဖော်မှုများ၏ မော်ဂျူး (Module of Maps) === <math>S</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော[[အစု]] (non-empty set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုများ၏ အစု <math>\text{Map}(S, M)</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>f \in \text{Map}(S, M)</math> နှင့် <math>a \in A</math> တို့အတွက် စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) <math>(af)(s) = af(s)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ (Modules over a ring) == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူး (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-'''ဘယ်မော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributive property) များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ '''ညာမော်ဂျူး''' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။ <math>R</math>-'''ညာမော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr</math> ၎င်းသည် <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2</math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-'''မော်ဂျူးများ''' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ မော်ဂျူး တွက်ချက်မှုများနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အောက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများကို အလွယ်တကူ သက်သေပြနိုင်သည်။ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် <math>x \in M</math> အတွက်မဆို အောက်ပါတို့ မှန်ကန်သည်။ * <math>a(-x) = -(ax)</math> * <math>0x = 0</math> မှတ်ချက်။ ဖော်ပြချက်မပါရှိပါက "မော်ဂျူး" ဟူသော ဝေါဟာရသည် အများအားဖြင့် "ဘယ်မော်ဂျူး" ကိုသာ ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Alternative Definitions) === * <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်|အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]ဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ * <math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (Bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r \in R, m \in M, s \in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math>။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူးကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math> ဟု မှန်ကန်ရမည်။ :<math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}} \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Module Homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]သက်ရောက်ချက် နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (R-linear map) ဟု ခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်]] <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> * <math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]အကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ === သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Zero Homomorphism) === မည်သည့် မော်ဂျူး <math> M'</math> အတွက်မဆို <math> x \in M</math> အားလုံးအတွက် <math> \zeta(x) = 0</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှု <math> \zeta: M \rightarrow M'</math> သည် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (zero homomorphism) ဟု ခေါ်သည်။ === ဒွန်တွဲကာနယ် (Cokernel) === <math> f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> f</math> ၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M'/\text{Im } f</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math> M'/f(M)</math> ဟုလည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ ဒွန်တွဲကာနယ်ဆိုသော ဝေါဟာရသည် ပုံမှန် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math> M' \rightarrow M'/f(M)</math> ကိုလည်း တိုက်ရိုက်ရည်ညွှန်းနိုင်သည်။ === စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (Universal Property) === <math> M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math> N</math> သည် မော်ဂျူးပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> M</math> မှ စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M/N</math> သို့ ပုံမှန် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math> f: M \rightarrow M/N</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်း၏ကာနယ်အတွင်း <math> N</math> ပါဝင်နေသော <math> M</math> ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် <math> f</math> သည် စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) ရှိသည်။ === ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ဟွမ်း-မော်ဂျူး (Composition and Hom-module) === မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ * <math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> * <math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>\operatorname{Hom}</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမောဖစ်]] (naturally isomorphic) ဖြစ်သည်။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံ[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရ[[အစုဝင်]] <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ===မူလပုံရိပ်နှင့် လှုံ့ဆော်ခံဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Preimage and Induced Homomorphism)=== <math>f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>N'</math> သည် <math>M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] <math>f^{-1}(N')</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်လာပြီး <math>\overline{f}: M/f^{-1}(N') \rightarrow M'/N'</math> ဟူသော ပုံမှန် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သည့်]] ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အကယ်၍ <math>f</math> သည် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ပါက]] <math>\overline{f}</math> သည် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (module-isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ]]သည် <math>A</math>-မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထပ်တူအသုံးဝင်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (Submodules and Quotient Modules) == <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း (Submodule) <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသော [[အုပ်စုပိုင်း]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး (Quotient module) <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]သည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု (Natural projection mapping) သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော၊ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (Order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် ။ * ကာနယ် (Kernel) သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ * [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (Image) သို့မဟုတ် <math>\operatorname{im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ === အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion Submodule) === <math>A</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion submodule) <math>M_{\text{tor}}</math> ဆိုသည်မှာ <math>ax = 0</math> ဖြစ်စေမည့် သုညမဟုတ်သော <math>a \in A</math> တစ်ခု တည်ရှိသော <math>x \in M</math> [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သည့် [[အစုပိုင်း]]ဖြစ်သည်။ === အိုင်ဒီးလ်နှင့် မော်ဂျူး၏ မြှောက်လဒ် (Product of an Ideal and a Module) === <math>\mathfrak{a}</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>\mathfrak{a}M</math> ကို <math>a_i \in \mathfrak{a}</math> နှင့် <math>x_i \in M</math> ဖြစ်သော <math>a_1x_1 + \dots + a_nx_n</math> ပုံစံရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]အားလုံး၏ [[အစု]]အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အိုင်ဒီးလ် သက်ရောက်ချက်များနှင့် ပတ်သက်၍ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ မှန်ကန်သည် ။ * အကယ်၍ <math>\mathfrak{a}</math> နှင့် <math>\mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပါက ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associativity) <math>\mathfrak{a}(\mathfrak{b}M) = (\mathfrak{a}\mathfrak{b})M</math> မှန်ကန်သည်။ * <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု၊ <math>N, N'</math> တို့သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများဖြစ်ပြီး <math>\mathfrak{a}, \mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပါက ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributivity) <math>(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})M = \mathfrak{a}M + \mathfrak{b}M</math> နှင့် <math>\mathfrak{a}(N+N') = \mathfrak{a}N + \mathfrak{a}N'</math> တို့ မှန်ကန်သည်။ == တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းများ (Exact Sequences) == မော်ဂျူးများအတွက် အခြေခံ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ မူဘောင်များကို အောက်ပါ သဘောတရားများဖြင့် တည်ဆောက်ထားသည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] * '''[[တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact Sequence):''' <math>\text{im } f = \text{ker } g</math> ဖြစ်ပါက မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] ကိန်းစဉ်တန်း <math>M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M''</math> ကို တိကျသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism သို့မဟုတ် Embedding):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>0 \rightarrow N \xrightarrow{u} M</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် ထည့်သွင်းခြင်း (embedding) ဟုခေါ်သည်။ * '''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>N \xrightarrow{u} M \rightarrow 0</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင် ဟုခေါ်သည်။ မော်ဂျူး <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း <math>N</math> နှင့် ဆက်စပ်၍ ပုံမှန်အားဖြင့် <math>0 \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow M/N \rightarrow 0</math> ဟူသော ပုံမှန် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း တစ်ခုရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math>N</math> မှ <math>M</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion) ဖြစ်ပြီး <math>M</math> မှ <math>M/N</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပုံမှန် ပုံဖော်ခြင်း (canonical map) ဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း (canonical embedding) ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (associative R-algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (R-module homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' (representation) ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု (K-bilinear map) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Lie algebra homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာ (commutator) ကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ် (Lie bracket) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာ (universal enveloping algebra) အောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စု (group) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (external binary operation) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း (group ring) <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (K-linear representation) နှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] k5j9ryrx0z8u2puw61zp8aog1i2szze 1040771 1040769 2026-06-25T11:01:09Z Mkant00 135890 /* ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) */ 1040771 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည်။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည်။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော [[မော်ဂျူး]] သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]]အတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces over R) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ ဖလှယ်ရ ကွင်းများအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ (Abelian groups) === အပေါင်းအခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring of integers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \mathbb{Z}</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (additive notation) ဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု ရှိရန် မလိုအပ်ပါ။ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုရှိရန် မလိုအပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb{A}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{A} \cap \mathbb{R}</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\mathbb{C}</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]မြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]ပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]]သည် <math>K</math>-[[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (K-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ရှိသည်။ <math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v</math> <math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X \cdot v := A(v)</math> ထို့နောက် ၎င်းကို <math>K[X]</math> အပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအရ ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် <math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (Ring ideals) === [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်း (submodule) များသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ === ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) === အောက်ပါတို့သည် [[မော်ဂျူး]] တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သော ထင်ရှားသည့် အခြေခံဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ * [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>A</math> သည် မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]တိုင်းသည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>0</math> သီးသန့်သာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]တစ်ခုသည် မည်သည့်ကွင်းပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math>A</math> ၏ မည်သည့် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်မဆိုသည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>J</math> သည် <math>A</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) <math>A/J</math> သည် <math>a(x+J) = ax+J</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>L</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ် <math>A/L</math> သည်လည်း <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါက အကယ်၍ <math>R</math> သည် <math>V</math> မှ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]]များအားလုံး၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V = K^n</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ဒေါင်လိုက် <math>n</math>-ခုတွဲ (vertical <math>n</math>-tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>R</math> သည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ပုံဖော်မှုများ၏ မော်ဂျူး (Module of Maps) === <math>S</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော[[အစု]] (non-empty set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုများ၏ အစု <math>\text{Map}(S, M)</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>f \in \text{Map}(S, M)</math> နှင့် <math>a \in A</math> တို့အတွက် စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) <math>(af)(s) = af(s)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ (Modules over a ring) == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူး (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-'''ဘယ်မော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributive property) များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ '''ညာမော်ဂျူး''' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။ <math>R</math>-'''ညာမော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr</math> ၎င်းသည် <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2</math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-'''မော်ဂျူးများ''' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ မော်ဂျူး တွက်ချက်မှုများနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အောက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများကို အလွယ်တကူ သက်သေပြနိုင်သည်။ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် <math>x \in M</math> အတွက်မဆို အောက်ပါတို့ မှန်ကန်သည်။ * <math>a(-x) = -(ax)</math> * <math>0x = 0</math> မှတ်ချက်။ ဖော်ပြချက်မပါရှိပါက "မော်ဂျူး" ဟူသော ဝေါဟာရသည် အများအားဖြင့် "ဘယ်မော်ဂျူး" ကိုသာ ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Alternative Definitions) === * <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်|အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]ဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ * <math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (Bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r \in R, m \in M, s \in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math>။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူးကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math> ဟု မှန်ကန်ရမည်။ :<math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}} \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Module Homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]သက်ရောက်ချက် နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (R-linear map) ဟု ခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်]] <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> * <math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]အကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ === သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Zero Homomorphism) === မည်သည့် မော်ဂျူး <math> M'</math> အတွက်မဆို <math> x \in M</math> အားလုံးအတွက် <math> \zeta(x) = 0</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှု <math> \zeta: M \rightarrow M'</math> သည် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (zero homomorphism) ဟု ခေါ်သည်။ === ဒွန်တွဲကာနယ် (Cokernel) === <math> f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> f</math> ၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M'/\text{Im } f</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math> M'/f(M)</math> ဟုလည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ ဒွန်တွဲကာနယ်ဆိုသော ဝေါဟာရသည် ပုံမှန် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math> M' \rightarrow M'/f(M)</math> ကိုလည်း တိုက်ရိုက်ရည်ညွှန်းနိုင်သည်။ === စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (Universal Property) === <math> M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math> N</math> သည် မော်ဂျူးပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> M</math> မှ စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M/N</math> သို့ ပုံမှန် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math> f: M \rightarrow M/N</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်း၏ကာနယ်အတွင်း <math> N</math> ပါဝင်နေသော <math> M</math> ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် <math> f</math> သည် စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) ရှိသည်။ === ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ဟွမ်း-မော်ဂျူး (Composition and Hom-module) === မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ * <math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> * <math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>\operatorname{Hom}</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမောဖစ်]] (naturally isomorphic) ဖြစ်သည်။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံ[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရ[[အစုဝင်]] <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ===မူလပုံရိပ်နှင့် လှုံ့ဆော်ခံဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Preimage and Induced Homomorphism)=== <math>f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>N'</math> သည် <math>M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] <math>f^{-1}(N')</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်လာပြီး <math>\overline{f}: M/f^{-1}(N') \rightarrow M'/N'</math> ဟူသော ပုံမှန် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သည့်]] ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အကယ်၍ <math>f</math> သည် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ပါက]] <math>\overline{f}</math> သည် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (module-isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ]]သည် <math>A</math>-မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထပ်တူအသုံးဝင်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (Submodules and Quotient Modules) == <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း (Submodule) <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသော [[အုပ်စုပိုင်း]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး (Quotient module) <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]သည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု (Natural projection mapping) သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော၊ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (Order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် ။ * ကာနယ် (Kernel) သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ * [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (Image) သို့မဟုတ် <math>\operatorname{im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ === အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion Submodule) === <math>A</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion submodule) <math>M_{\text{tor}}</math> ဆိုသည်မှာ <math>ax = 0</math> ဖြစ်စေမည့် သုညမဟုတ်သော <math>a \in A</math> တစ်ခု တည်ရှိသော <math>x \in M</math> [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သည့် [[အစုပိုင်း]]ဖြစ်သည်။ === အိုင်ဒီးလ်နှင့် မော်ဂျူး၏ မြှောက်လဒ် (Product of an Ideal and a Module) === <math>\mathfrak{a}</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>\mathfrak{a}M</math> ကို <math>a_i \in \mathfrak{a}</math> နှင့် <math>x_i \in M</math> ဖြစ်သော <math>a_1x_1 + \dots + a_nx_n</math> ပုံစံရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]အားလုံး၏ [[အစု]]အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အိုင်ဒီးလ် သက်ရောက်ချက်များနှင့် ပတ်သက်၍ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ မှန်ကန်သည် ။ * အကယ်၍ <math>\mathfrak{a}</math> နှင့် <math>\mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပါက ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associativity) <math>\mathfrak{a}(\mathfrak{b}M) = (\mathfrak{a}\mathfrak{b})M</math> မှန်ကန်သည်။ * <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု၊ <math>N, N'</math> တို့သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများဖြစ်ပြီး <math>\mathfrak{a}, \mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပါက ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributivity) <math>(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})M = \mathfrak{a}M + \mathfrak{b}M</math> နှင့် <math>\mathfrak{a}(N+N') = \mathfrak{a}N + \mathfrak{a}N'</math> တို့ မှန်ကန်သည်။ == တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းများ (Exact Sequences) == မော်ဂျူးများအတွက် အခြေခံ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ မူဘောင်များကို အောက်ပါ သဘောတရားများဖြင့် တည်ဆောက်ထားသည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] * '''[[တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact Sequence):''' <math>\text{im } f = \text{ker } g</math> ဖြစ်ပါက မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] ကိန်းစဉ်တန်း <math>M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M''</math> ကို တိကျသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism သို့မဟုတ် Embedding):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>0 \rightarrow N \xrightarrow{u} M</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် ထည့်သွင်းခြင်း (embedding) ဟုခေါ်သည်။ * '''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>N \xrightarrow{u} M \rightarrow 0</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင် ဟုခေါ်သည်။ မော်ဂျူး <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း <math>N</math> နှင့် ဆက်စပ်၍ ပုံမှန်အားဖြင့် <math>0 \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow M/N \rightarrow 0</math> ဟူသော ပုံမှန် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း တစ်ခုရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math>N</math> မှ <math>M</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion) ဖြစ်ပြီး <math>M</math> မှ <math>M/N</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပုံမှန် ပုံဖော်ခြင်း (canonical map) ဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း (canonical embedding) ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (associative R-algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (R-module homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' (representation) ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု (K-bilinear map) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Lie algebra homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာ (commutator) ကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ် (Lie bracket) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာ (universal enveloping algebra) အောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စု (group) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (external binary operation) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း (group ring) <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (K-linear representation) နှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] rwtwmsq9altokv11be8svfnskqiw4f0 1040772 1040771 2026-06-25T11:02:04Z Mkant00 135890 /* ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (Ring ideals) */ 1040772 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည်။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည်။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော [[မော်ဂျူး]] သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]]အတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces over R) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ ဖလှယ်ရ ကွင်းများအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ (Abelian groups) === အပေါင်းအခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring of integers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \mathbb{Z}</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (additive notation) ဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု ရှိရန် မလိုအပ်ပါ။ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုရှိရန် မလိုအပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb{A}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{A} \cap \mathbb{R}</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\mathbb{C}</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]မြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]ပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]]သည် <math>K</math>-[[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (K-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ရှိသည်။ <math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v</math> <math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X \cdot v := A(v)</math> ထို့နောက် ၎င်းကို <math>K[X]</math> အပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအရ ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် <math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (Ring ideals) === [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်းများသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ === ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) === အောက်ပါတို့သည် [[မော်ဂျူး]] တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သော ထင်ရှားသည့် အခြေခံဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ * [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>A</math> သည် မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]တိုင်းသည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>0</math> သီးသန့်သာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]တစ်ခုသည် မည်သည့်ကွင်းပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math>A</math> ၏ မည်သည့် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်မဆိုသည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>J</math> သည် <math>A</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) <math>A/J</math> သည် <math>a(x+J) = ax+J</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>L</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ် <math>A/L</math> သည်လည်း <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါက အကယ်၍ <math>R</math> သည် <math>V</math> မှ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]]များအားလုံး၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V = K^n</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ဒေါင်လိုက် <math>n</math>-ခုတွဲ (vertical <math>n</math>-tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>R</math> သည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ပုံဖော်မှုများ၏ မော်ဂျူး (Module of Maps) === <math>S</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော[[အစု]] (non-empty set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုများ၏ အစု <math>\text{Map}(S, M)</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>f \in \text{Map}(S, M)</math> နှင့် <math>a \in A</math> တို့အတွက် စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) <math>(af)(s) = af(s)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ (Modules over a ring) == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူး (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-'''ဘယ်မော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributive property) များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ '''ညာမော်ဂျူး''' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။ <math>R</math>-'''ညာမော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr</math> ၎င်းသည် <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2</math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-'''မော်ဂျူးများ''' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ မော်ဂျူး တွက်ချက်မှုများနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အောက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများကို အလွယ်တကူ သက်သေပြနိုင်သည်။ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် <math>x \in M</math> အတွက်မဆို အောက်ပါတို့ မှန်ကန်သည်။ * <math>a(-x) = -(ax)</math> * <math>0x = 0</math> မှတ်ချက်။ ဖော်ပြချက်မပါရှိပါက "မော်ဂျူး" ဟူသော ဝေါဟာရသည် အများအားဖြင့် "ဘယ်မော်ဂျူး" ကိုသာ ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Alternative Definitions) === * <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်|အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]ဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ * <math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (Bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r \in R, m \in M, s \in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math>။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူးကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math> ဟု မှန်ကန်ရမည်။ :<math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}} \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Module Homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]သက်ရောက်ချက် နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (R-linear map) ဟု ခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်]] <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> * <math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]အကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ === သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Zero Homomorphism) === မည်သည့် မော်ဂျူး <math> M'</math> အတွက်မဆို <math> x \in M</math> အားလုံးအတွက် <math> \zeta(x) = 0</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှု <math> \zeta: M \rightarrow M'</math> သည် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (zero homomorphism) ဟု ခေါ်သည်။ === ဒွန်တွဲကာနယ် (Cokernel) === <math> f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> f</math> ၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M'/\text{Im } f</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math> M'/f(M)</math> ဟုလည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ ဒွန်တွဲကာနယ်ဆိုသော ဝေါဟာရသည် ပုံမှန် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math> M' \rightarrow M'/f(M)</math> ကိုလည်း တိုက်ရိုက်ရည်ညွှန်းနိုင်သည်။ === စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (Universal Property) === <math> M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math> N</math> သည် မော်ဂျူးပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> M</math> မှ စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M/N</math> သို့ ပုံမှန် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math> f: M \rightarrow M/N</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်း၏ကာနယ်အတွင်း <math> N</math> ပါဝင်နေသော <math> M</math> ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် <math> f</math> သည် စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) ရှိသည်။ === ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ဟွမ်း-မော်ဂျူး (Composition and Hom-module) === မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ * <math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> * <math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>\operatorname{Hom}</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမောဖစ်]] (naturally isomorphic) ဖြစ်သည်။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံ[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရ[[အစုဝင်]] <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ===မူလပုံရိပ်နှင့် လှုံ့ဆော်ခံဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Preimage and Induced Homomorphism)=== <math>f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>N'</math> သည် <math>M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] <math>f^{-1}(N')</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်လာပြီး <math>\overline{f}: M/f^{-1}(N') \rightarrow M'/N'</math> ဟူသော ပုံမှန် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သည့်]] ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အကယ်၍ <math>f</math> သည် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ပါက]] <math>\overline{f}</math> သည် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (module-isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ]]သည် <math>A</math>-မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထပ်တူအသုံးဝင်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (Submodules and Quotient Modules) == <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း (Submodule) <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသော [[အုပ်စုပိုင်း]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး (Quotient module) <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]သည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု (Natural projection mapping) သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော၊ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (Order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် ။ * ကာနယ် (Kernel) သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ * [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (Image) သို့မဟုတ် <math>\operatorname{im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ === အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion Submodule) === <math>A</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion submodule) <math>M_{\text{tor}}</math> ဆိုသည်မှာ <math>ax = 0</math> ဖြစ်စေမည့် သုညမဟုတ်သော <math>a \in A</math> တစ်ခု တည်ရှိသော <math>x \in M</math> [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သည့် [[အစုပိုင်း]]ဖြစ်သည်။ === အိုင်ဒီးလ်နှင့် မော်ဂျူး၏ မြှောက်လဒ် (Product of an Ideal and a Module) === <math>\mathfrak{a}</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>\mathfrak{a}M</math> ကို <math>a_i \in \mathfrak{a}</math> နှင့် <math>x_i \in M</math> ဖြစ်သော <math>a_1x_1 + \dots + a_nx_n</math> ပုံစံရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]အားလုံး၏ [[အစု]]အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အိုင်ဒီးလ် သက်ရောက်ချက်များနှင့် ပတ်သက်၍ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ မှန်ကန်သည် ။ * အကယ်၍ <math>\mathfrak{a}</math> နှင့် <math>\mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပါက ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associativity) <math>\mathfrak{a}(\mathfrak{b}M) = (\mathfrak{a}\mathfrak{b})M</math> မှန်ကန်သည်။ * <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု၊ <math>N, N'</math> တို့သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများဖြစ်ပြီး <math>\mathfrak{a}, \mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပါက ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributivity) <math>(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})M = \mathfrak{a}M + \mathfrak{b}M</math> နှင့် <math>\mathfrak{a}(N+N') = \mathfrak{a}N + \mathfrak{a}N'</math> တို့ မှန်ကန်သည်။ == တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းများ (Exact Sequences) == မော်ဂျူးများအတွက် အခြေခံ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ မူဘောင်များကို အောက်ပါ သဘောတရားများဖြင့် တည်ဆောက်ထားသည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] * '''[[တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact Sequence):''' <math>\text{im } f = \text{ker } g</math> ဖြစ်ပါက မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] ကိန်းစဉ်တန်း <math>M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M''</math> ကို တိကျသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism သို့မဟုတ် Embedding):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>0 \rightarrow N \xrightarrow{u} M</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် ထည့်သွင်းခြင်း (embedding) ဟုခေါ်သည်။ * '''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>N \xrightarrow{u} M \rightarrow 0</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင် ဟုခေါ်သည်။ မော်ဂျူး <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း <math>N</math> နှင့် ဆက်စပ်၍ ပုံမှန်အားဖြင့် <math>0 \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow M/N \rightarrow 0</math> ဟူသော ပုံမှန် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း တစ်ခုရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math>N</math> မှ <math>M</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion) ဖြစ်ပြီး <math>M</math> မှ <math>M/N</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပုံမှန် ပုံဖော်ခြင်း (canonical map) ဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း (canonical embedding) ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (associative R-algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (R-module homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' (representation) ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု (K-bilinear map) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Lie algebra homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာ (commutator) ကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ် (Lie bracket) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာ (universal enveloping algebra) အောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စု (group) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (external binary operation) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း (group ring) <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (K-linear representation) နှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] l7e3tp2ysrevupwl8hkzwifuldnwrue 1040773 1040772 2026-06-25T11:02:40Z Mkant00 135890 /* ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) */ 1040773 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည်။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည်။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော [[မော်ဂျူး]] သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]]အတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces over R) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ ဖလှယ်ရ ကွင်းများအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ (Abelian groups) === အပေါင်းအခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring of integers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \mathbb{Z}</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (additive notation) ဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု ရှိရန် မလိုအပ်ပါ။ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုရှိရန် မလိုအပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb{A}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{A} \cap \mathbb{R}</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\mathbb{C}</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]မြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]ပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]]သည် <math>K</math>-[[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (K-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ရှိသည်။ <math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v</math> <math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X \cdot v := A(v)</math> ထို့နောက် ၎င်းကို <math>K[X]</math> အပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအရ ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် <math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (Ring ideals) === [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်းများသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ === ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) === အောက်ပါတို့သည် [[မော်ဂျူး]] တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သော ထင်ရှားသည့် အခြေခံဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ * [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>A</math> သည် မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]တိုင်းသည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>0</math> သီးသန့်သာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]တစ်ခုသည် မည်သည့်ကွင်းပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math>A</math> ၏ မည်သည့် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်မဆိုသည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>J</math> သည် <math>A</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ်ကွင်း <math>A/J</math> သည် <math>a(x+J) = ax+J</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>L</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ် <math>A/L</math> သည်လည်း <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါက အကယ်၍ <math>R</math> သည် <math>V</math> မှ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]]များအားလုံး၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V = K^n</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ဒေါင်လိုက် <math>n</math>-ခုတွဲ (vertical <math>n</math>-tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>R</math> သည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ပုံဖော်မှုများ၏ မော်ဂျူး (Module of Maps) === <math>S</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော[[အစု]] (non-empty set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုများ၏ အစု <math>\text{Map}(S, M)</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>f \in \text{Map}(S, M)</math> နှင့် <math>a \in A</math> တို့အတွက် စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) <math>(af)(s) = af(s)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ (Modules over a ring) == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူး (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-'''ဘယ်မော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributive property) များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ '''ညာမော်ဂျူး''' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။ <math>R</math>-'''ညာမော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr</math> ၎င်းသည် <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2</math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-'''မော်ဂျူးများ''' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ မော်ဂျူး တွက်ချက်မှုများနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အောက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများကို အလွယ်တကူ သက်သေပြနိုင်သည်။ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် <math>x \in M</math> အတွက်မဆို အောက်ပါတို့ မှန်ကန်သည်။ * <math>a(-x) = -(ax)</math> * <math>0x = 0</math> မှတ်ချက်။ ဖော်ပြချက်မပါရှိပါက "မော်ဂျူး" ဟူသော ဝေါဟာရသည် အများအားဖြင့် "ဘယ်မော်ဂျူး" ကိုသာ ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Alternative Definitions) === * <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်|အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]ဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ * <math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (Bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r \in R, m \in M, s \in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math>။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူးကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math> ဟု မှန်ကန်ရမည်။ :<math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}} \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Module Homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]သက်ရောက်ချက် နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (R-linear map) ဟု ခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်]] <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> * <math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]အကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ === သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Zero Homomorphism) === မည်သည့် မော်ဂျူး <math> M'</math> အတွက်မဆို <math> x \in M</math> အားလုံးအတွက် <math> \zeta(x) = 0</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှု <math> \zeta: M \rightarrow M'</math> သည် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (zero homomorphism) ဟု ခေါ်သည်။ === ဒွန်တွဲကာနယ် (Cokernel) === <math> f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> f</math> ၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M'/\text{Im } f</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math> M'/f(M)</math> ဟုလည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ ဒွန်တွဲကာနယ်ဆိုသော ဝေါဟာရသည် ပုံမှန် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math> M' \rightarrow M'/f(M)</math> ကိုလည်း တိုက်ရိုက်ရည်ညွှန်းနိုင်သည်။ === စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (Universal Property) === <math> M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math> N</math> သည် မော်ဂျူးပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> M</math> မှ စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M/N</math> သို့ ပုံမှန် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math> f: M \rightarrow M/N</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်း၏ကာနယ်အတွင်း <math> N</math> ပါဝင်နေသော <math> M</math> ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် <math> f</math> သည် စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) ရှိသည်။ === ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ဟွမ်း-မော်ဂျူး (Composition and Hom-module) === မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ * <math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> * <math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>\operatorname{Hom}</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမောဖစ်]] (naturally isomorphic) ဖြစ်သည်။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံ[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရ[[အစုဝင်]] <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ===မူလပုံရိပ်နှင့် လှုံ့ဆော်ခံဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Preimage and Induced Homomorphism)=== <math>f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>N'</math> သည် <math>M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] <math>f^{-1}(N')</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်လာပြီး <math>\overline{f}: M/f^{-1}(N') \rightarrow M'/N'</math> ဟူသော ပုံမှန် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သည့်]] ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အကယ်၍ <math>f</math> သည် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ပါက]] <math>\overline{f}</math> သည် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (module-isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ]]သည် <math>A</math>-မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထပ်တူအသုံးဝင်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (Submodules and Quotient Modules) == <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း (Submodule) <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသော [[အုပ်စုပိုင်း]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး (Quotient module) <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]သည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု (Natural projection mapping) သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော၊ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (Order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် ။ * ကာနယ် (Kernel) သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ * [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (Image) သို့မဟုတ် <math>\operatorname{im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ === အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion Submodule) === <math>A</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion submodule) <math>M_{\text{tor}}</math> ဆိုသည်မှာ <math>ax = 0</math> ဖြစ်စေမည့် သုညမဟုတ်သော <math>a \in A</math> တစ်ခု တည်ရှိသော <math>x \in M</math> [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သည့် [[အစုပိုင်း]]ဖြစ်သည်။ === အိုင်ဒီးလ်နှင့် မော်ဂျူး၏ မြှောက်လဒ် (Product of an Ideal and a Module) === <math>\mathfrak{a}</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>\mathfrak{a}M</math> ကို <math>a_i \in \mathfrak{a}</math> နှင့် <math>x_i \in M</math> ဖြစ်သော <math>a_1x_1 + \dots + a_nx_n</math> ပုံစံရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]အားလုံး၏ [[အစု]]အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အိုင်ဒီးလ် သက်ရောက်ချက်များနှင့် ပတ်သက်၍ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ မှန်ကန်သည် ။ * အကယ်၍ <math>\mathfrak{a}</math> နှင့် <math>\mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပါက ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associativity) <math>\mathfrak{a}(\mathfrak{b}M) = (\mathfrak{a}\mathfrak{b})M</math> မှန်ကန်သည်။ * <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု၊ <math>N, N'</math> တို့သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများဖြစ်ပြီး <math>\mathfrak{a}, \mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပါက ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributivity) <math>(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})M = \mathfrak{a}M + \mathfrak{b}M</math> နှင့် <math>\mathfrak{a}(N+N') = \mathfrak{a}N + \mathfrak{a}N'</math> တို့ မှန်ကန်သည်။ == တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းများ (Exact Sequences) == မော်ဂျူးများအတွက် အခြေခံ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ မူဘောင်များကို အောက်ပါ သဘောတရားများဖြင့် တည်ဆောက်ထားသည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] * '''[[တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact Sequence):''' <math>\text{im } f = \text{ker } g</math> ဖြစ်ပါက မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] ကိန်းစဉ်တန်း <math>M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M''</math> ကို တိကျသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism သို့မဟုတ် Embedding):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>0 \rightarrow N \xrightarrow{u} M</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် ထည့်သွင်းခြင်း (embedding) ဟုခေါ်သည်။ * '''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>N \xrightarrow{u} M \rightarrow 0</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင် ဟုခေါ်သည်။ မော်ဂျူး <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း <math>N</math> နှင့် ဆက်စပ်၍ ပုံမှန်အားဖြင့် <math>0 \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow M/N \rightarrow 0</math> ဟူသော ပုံမှန် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း တစ်ခုရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math>N</math> မှ <math>M</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion) ဖြစ်ပြီး <math>M</math> မှ <math>M/N</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပုံမှန် ပုံဖော်ခြင်း (canonical map) ဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း (canonical embedding) ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (associative R-algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (R-module homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' (representation) ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု (K-bilinear map) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Lie algebra homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာ (commutator) ကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ် (Lie bracket) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာ (universal enveloping algebra) အောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စု (group) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (external binary operation) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း (group ring) <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (K-linear representation) နှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] b4r4o6nykxol09x87wux39n5ilkulgx 1040774 1040773 2026-06-25T11:03:39Z Mkant00 135890 /* မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ (Modules over a ring) */ 1040774 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည်။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည်။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော [[မော်ဂျူး]] သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]]အတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces over R) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ ဖလှယ်ရ ကွင်းများအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ (Abelian groups) === အပေါင်းအခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring of integers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \mathbb{Z}</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (additive notation) ဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု ရှိရန် မလိုအပ်ပါ။ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုရှိရန် မလိုအပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb{A}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{A} \cap \mathbb{R}</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\mathbb{C}</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]မြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]ပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]]သည် <math>K</math>-[[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (K-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ရှိသည်။ <math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v</math> <math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X \cdot v := A(v)</math> ထို့နောက် ၎င်းကို <math>K[X]</math> အပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအရ ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် <math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (Ring ideals) === [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်းများသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ === ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) === အောက်ပါတို့သည် [[မော်ဂျူး]] တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သော ထင်ရှားသည့် အခြေခံဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ * [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>A</math> သည် မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]တိုင်းသည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>0</math> သီးသန့်သာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]တစ်ခုသည် မည်သည့်ကွင်းပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math>A</math> ၏ မည်သည့် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်မဆိုသည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>J</math> သည် <math>A</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ်ကွင်း <math>A/J</math> သည် <math>a(x+J) = ax+J</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>L</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ် <math>A/L</math> သည်လည်း <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါက အကယ်၍ <math>R</math> သည် <math>V</math> မှ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]]များအားလုံး၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V = K^n</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ဒေါင်လိုက် <math>n</math>-ခုတွဲ (vertical <math>n</math>-tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>R</math> သည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ပုံဖော်မှုများ၏ မော်ဂျူး (Module of Maps) === <math>S</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော[[အစု]] (non-empty set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုများ၏ အစု <math>\text{Map}(S, M)</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>f \in \text{Map}(S, M)</math> နှင့် <math>a \in A</math> တို့အတွက် စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) <math>(af)(s) = af(s)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ (Modules over a ring) == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူး (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-'''ဘယ်မော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributive property) များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ '''ညာမော်ဂျူး''' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။ <math>R</math>-'''ညာမော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr</math> ၎င်းသည် <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2</math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-'''မော်ဂျူးများ''' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ မော်ဂျူး တွက်ချက်မှုများနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အောက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများကို အလွယ်တကူ သက်သေပြနိုင်သည်။ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် <math>x \in M</math> အတွက်မဆို အောက်ပါတို့ မှန်ကန်သည်။ * <math>a(-x) = -(ax)</math> * <math>0x = 0</math> မှတ်ချက်။ ဖော်ပြချက်မပါရှိပါက "မော်ဂျူး" ဟူသော ဝေါဟာရသည် အများအားဖြင့် "ဘယ်မော်ဂျူး" ကိုသာ ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Alternative Definitions) === * <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်|အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]ဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ * <math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (Bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r \in R, m \in M, s \in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math>။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူးကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math> ဟု မှန်ကန်ရမည်။ :<math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}} \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Module Homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]သက်ရောက်ချက် နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (R-linear map) ဟု ခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်]] <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> * <math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]အကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ === သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Zero Homomorphism) === မည်သည့် မော်ဂျူး <math> M'</math> အတွက်မဆို <math> x \in M</math> အားလုံးအတွက် <math> \zeta(x) = 0</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှု <math> \zeta: M \rightarrow M'</math> သည် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (zero homomorphism) ဟု ခေါ်သည်။ === ဒွန်တွဲကာနယ် (Cokernel) === <math> f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> f</math> ၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M'/\text{Im } f</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math> M'/f(M)</math> ဟုလည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ ဒွန်တွဲကာနယ်ဆိုသော ဝေါဟာရသည် ပုံမှန် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math> M' \rightarrow M'/f(M)</math> ကိုလည်း တိုက်ရိုက်ရည်ညွှန်းနိုင်သည်။ === စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (Universal Property) === <math> M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math> N</math> သည် မော်ဂျူးပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> M</math> မှ စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M/N</math> သို့ ပုံမှန် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math> f: M \rightarrow M/N</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်း၏ကာနယ်အတွင်း <math> N</math> ပါဝင်နေသော <math> M</math> ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် <math> f</math> သည် စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) ရှိသည်။ === ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ဟွမ်း-မော်ဂျူး (Composition and Hom-module) === မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ * <math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> * <math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>\operatorname{Hom}</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမောဖစ်]] (naturally isomorphic) ဖြစ်သည်။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံ[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရ[[အစုဝင်]] <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ===မူလပုံရိပ်နှင့် လှုံ့ဆော်ခံဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Preimage and Induced Homomorphism)=== <math>f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>N'</math> သည် <math>M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] <math>f^{-1}(N')</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်လာပြီး <math>\overline{f}: M/f^{-1}(N') \rightarrow M'/N'</math> ဟူသော ပုံမှန် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သည့်]] ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အကယ်၍ <math>f</math> သည် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ပါက]] <math>\overline{f}</math> သည် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (module-isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ]]သည် <math>A</math>-မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထပ်တူအသုံးဝင်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (Submodules and Quotient Modules) == <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း (Submodule) <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသော [[အုပ်စုပိုင်း]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး (Quotient module) <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]သည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု (Natural projection mapping) သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော၊ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (Order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် ။ * ကာနယ် (Kernel) သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ * [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (Image) သို့မဟုတ် <math>\operatorname{im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ === အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion Submodule) === <math>A</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion submodule) <math>M_{\text{tor}}</math> ဆိုသည်မှာ <math>ax = 0</math> ဖြစ်စေမည့် သုညမဟုတ်သော <math>a \in A</math> တစ်ခု တည်ရှိသော <math>x \in M</math> [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သည့် [[အစုပိုင်း]]ဖြစ်သည်။ === အိုင်ဒီးလ်နှင့် မော်ဂျူး၏ မြှောက်လဒ် (Product of an Ideal and a Module) === <math>\mathfrak{a}</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>\mathfrak{a}M</math> ကို <math>a_i \in \mathfrak{a}</math> နှင့် <math>x_i \in M</math> ဖြစ်သော <math>a_1x_1 + \dots + a_nx_n</math> ပုံစံရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]အားလုံး၏ [[အစု]]အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အိုင်ဒီးလ် သက်ရောက်ချက်များနှင့် ပတ်သက်၍ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ မှန်ကန်သည် ။ * အကယ်၍ <math>\mathfrak{a}</math> နှင့် <math>\mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပါက ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associativity) <math>\mathfrak{a}(\mathfrak{b}M) = (\mathfrak{a}\mathfrak{b})M</math> မှန်ကန်သည်။ * <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု၊ <math>N, N'</math> တို့သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများဖြစ်ပြီး <math>\mathfrak{a}, \mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပါက ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributivity) <math>(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})M = \mathfrak{a}M + \mathfrak{b}M</math> နှင့် <math>\mathfrak{a}(N+N') = \mathfrak{a}N + \mathfrak{a}N'</math> တို့ မှန်ကန်သည်။ == တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းများ (Exact Sequences) == မော်ဂျူးများအတွက် အခြေခံ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ မူဘောင်များကို အောက်ပါ သဘောတရားများဖြင့် တည်ဆောက်ထားသည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] * '''[[တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact Sequence):''' <math>\text{im } f = \text{ker } g</math> ဖြစ်ပါက မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] ကိန်းစဉ်တန်း <math>M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M''</math> ကို တိကျသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism သို့မဟုတ် Embedding):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>0 \rightarrow N \xrightarrow{u} M</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် ထည့်သွင်းခြင်း (embedding) ဟုခေါ်သည်။ * '''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>N \xrightarrow{u} M \rightarrow 0</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင် ဟုခေါ်သည်။ မော်ဂျူး <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း <math>N</math> နှင့် ဆက်စပ်၍ ပုံမှန်အားဖြင့် <math>0 \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow M/N \rightarrow 0</math> ဟူသော ပုံမှန် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း တစ်ခုရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math>N</math> မှ <math>M</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion) ဖြစ်ပြီး <math>M</math> မှ <math>M/N</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပုံမှန် ပုံဖော်ခြင်း (canonical map) ဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း (canonical embedding) ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (associative R-algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (R-module homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' (representation) ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု (K-bilinear map) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Lie algebra homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာ (commutator) ကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ် (Lie bracket) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာ (universal enveloping algebra) အောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စု (group) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (external binary operation) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း (group ring) <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (K-linear representation) နှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] cbbbl1t0qe9y6kroq1ah4o4txkf45n3 1040775 1040774 2026-06-25T11:07:14Z Mkant00 135890 /* မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (Submodules and Quotient Modules) */ 1040775 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည်။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည်။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော [[မော်ဂျူး]] သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]]အတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces over R) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ ဖလှယ်ရ ကွင်းများအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ (Abelian groups) === အပေါင်းအခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring of integers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \mathbb{Z}</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (additive notation) ဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု ရှိရန် မလိုအပ်ပါ။ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုရှိရန် မလိုအပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb{A}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{A} \cap \mathbb{R}</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\mathbb{C}</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]မြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]ပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]]သည် <math>K</math>-[[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (K-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ရှိသည်။ <math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v</math> <math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X \cdot v := A(v)</math> ထို့နောက် ၎င်းကို <math>K[X]</math> အပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအရ ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် <math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (Ring ideals) === [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်းများသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ === ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) === အောက်ပါတို့သည် [[မော်ဂျူး]] တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သော ထင်ရှားသည့် အခြေခံဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ * [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>A</math> သည် မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]တိုင်းသည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>0</math> သီးသန့်သာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]တစ်ခုသည် မည်သည့်ကွင်းပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math>A</math> ၏ မည်သည့် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်မဆိုသည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>J</math> သည် <math>A</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ်ကွင်း <math>A/J</math> သည် <math>a(x+J) = ax+J</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>L</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ် <math>A/L</math> သည်လည်း <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါက အကယ်၍ <math>R</math> သည် <math>V</math> မှ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]]များအားလုံး၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V = K^n</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ဒေါင်လိုက် <math>n</math>-ခုတွဲ (vertical <math>n</math>-tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>R</math> သည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ပုံဖော်မှုများ၏ မော်ဂျူး (Module of Maps) === <math>S</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော[[အစု]] (non-empty set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုများ၏ အစု <math>\text{Map}(S, M)</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>f \in \text{Map}(S, M)</math> နှင့် <math>a \in A</math> တို့အတွက် စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) <math>(af)(s) = af(s)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ (Modules over a ring) == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူး (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-'''ဘယ်မော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributive property) များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ '''ညာမော်ဂျူး''' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။ <math>R</math>-'''ညာမော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr</math> ၎င်းသည် <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2</math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-'''မော်ဂျူးများ''' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ မော်ဂျူး တွက်ချက်မှုများနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အောက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများကို အလွယ်တကူ သက်သေပြနိုင်သည်။ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် <math>x \in M</math> အတွက်မဆို အောက်ပါတို့ မှန်ကန်သည်။ * <math>a(-x) = -(ax)</math> * <math>0x = 0</math> မှတ်ချက်။ ဖော်ပြချက်မပါရှိပါက "မော်ဂျူး" ဟူသော ဝေါဟာရသည် အများအားဖြင့် "ဘယ်မော်ဂျူး" ကိုသာ ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Alternative Definitions) === * <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်|အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]ဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ * <math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (Bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r \in R, m \in M, s \in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math>။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူးကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math> ဟု မှန်ကန်ရမည်။ :<math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}} \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Module Homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]သက်ရောက်ချက် နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (R-linear map) ဟု ခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်]] <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> * <math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]အကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ === သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Zero Homomorphism) === မည်သည့် မော်ဂျူး <math> M'</math> အတွက်မဆို <math> x \in M</math> အားလုံးအတွက် <math> \zeta(x) = 0</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှု <math> \zeta: M \rightarrow M'</math> သည် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (zero homomorphism) ဟု ခေါ်သည်။ === ဒွန်တွဲကာနယ် (Cokernel) === <math> f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> f</math> ၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M'/\text{Im } f</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math> M'/f(M)</math> ဟုလည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ ဒွန်တွဲကာနယ်ဆိုသော ဝေါဟာရသည် ပုံမှန် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math> M' \rightarrow M'/f(M)</math> ကိုလည်း တိုက်ရိုက်ရည်ညွှန်းနိုင်သည်။ === စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (Universal Property) === <math> M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math> N</math> သည် မော်ဂျူးပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> M</math> မှ စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M/N</math> သို့ ပုံမှန် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math> f: M \rightarrow M/N</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်း၏ကာနယ်အတွင်း <math> N</math> ပါဝင်နေသော <math> M</math> ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် <math> f</math> သည် စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) ရှိသည်။ === ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ဟွမ်း-မော်ဂျူး (Composition and Hom-module) === မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ * <math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> * <math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>\operatorname{Hom}</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမောဖစ်]] (naturally isomorphic) ဖြစ်သည်။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံ[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရ[[အစုဝင်]] <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ===မူလပုံရိပ်နှင့် လှုံ့ဆော်ခံဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Preimage and Induced Homomorphism)=== <math>f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>N'</math> သည် <math>M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] <math>f^{-1}(N')</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်လာပြီး <math>\overline{f}: M/f^{-1}(N') \rightarrow M'/N'</math> ဟူသော ပုံမှန် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သည့်]] ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အကယ်၍ <math>f</math> သည် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ပါက]] <math>\overline{f}</math> သည် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (module-isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ]]သည် <math>A</math>-မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထပ်တူအသုံးဝင်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (Submodules and Quotient Modules) == <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသော [[အုပ်စုပိုင်း]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]သည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုသည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * ကာနယ် သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ * [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] သို့မဟုတ် <math>\operatorname{im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ === အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion Submodule) === <math>A</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း <math>M_{\text{tor}}</math> ဆိုသည်မှာ <math>ax = 0</math> ဖြစ်စေမည့် သုညမဟုတ်သော <math>a \in A</math> တစ်ခု တည်ရှိသော <math>x \in M</math> [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သည့် [[အစုပိုင်း]]ဖြစ်သည်။ === အိုင်ဒီးလ်နှင့် မော်ဂျူး၏ မြှောက်လဒ် (Product of an Ideal and a Module) === <math>\mathfrak{a}</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>\mathfrak{a}M</math> ကို <math>a_i \in \mathfrak{a}</math> နှင့် <math>x_i \in M</math> ဖြစ်သော <math>a_1x_1 + \dots + a_nx_n</math> ပုံစံရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]အားလုံး၏ [[အစု]]အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အိုင်ဒီးလ် သက်ရောက်ချက်များနှင့် ပတ်သက်၍ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ မှန်ကန်သည်။ * အကယ်၍ <math>\mathfrak{a}</math> နှင့် <math>\mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပါက ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ <math>\mathfrak{a}(\mathfrak{b}M) = (\mathfrak{a}\mathfrak{b})M</math> မှန်ကန်သည်။ * <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု၊ <math>N, N'</math> တို့သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများဖြစ်ပြီး <math>\mathfrak{a}, \mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပါက ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ <math>(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})M = \mathfrak{a}M + \mathfrak{b}M</math> နှင့် <math>\mathfrak{a}(N+N') = \mathfrak{a}N + \mathfrak{a}N'</math> တို့ မှန်ကန်သည်။ == တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းများ (Exact Sequences) == မော်ဂျူးများအတွက် အခြေခံ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ မူဘောင်များကို အောက်ပါ သဘောတရားများဖြင့် တည်ဆောက်ထားသည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] * '''[[တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact Sequence):''' <math>\text{im } f = \text{ker } g</math> ဖြစ်ပါက မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] ကိန်းစဉ်တန်း <math>M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M''</math> ကို တိကျသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism သို့မဟုတ် Embedding):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>0 \rightarrow N \xrightarrow{u} M</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် ထည့်သွင်းခြင်း (embedding) ဟုခေါ်သည်။ * '''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>N \xrightarrow{u} M \rightarrow 0</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင် ဟုခေါ်သည်။ မော်ဂျူး <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း <math>N</math> နှင့် ဆက်စပ်၍ ပုံမှန်အားဖြင့် <math>0 \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow M/N \rightarrow 0</math> ဟူသော ပုံမှန် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း တစ်ခုရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math>N</math> မှ <math>M</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion) ဖြစ်ပြီး <math>M</math> မှ <math>M/N</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပုံမှန် ပုံဖော်ခြင်း (canonical map) ဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း (canonical embedding) ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (associative R-algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (R-module homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' (representation) ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု (K-bilinear map) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Lie algebra homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာ (commutator) ကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ် (Lie bracket) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာ (universal enveloping algebra) အောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စု (group) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (external binary operation) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း (group ring) <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (K-linear representation) နှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] fyq5d4c10optzsinid6xvn2b4zaatcz 1040776 1040775 2026-06-25T11:07:39Z Mkant00 135890 /* တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းများ (Exact Sequences) */ 1040776 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည်။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည်။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော [[မော်ဂျူး]] သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]]အတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces over R) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ ဖလှယ်ရ ကွင်းများအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ (Abelian groups) === အပေါင်းအခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring of integers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \mathbb{Z}</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (additive notation) ဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု ရှိရန် မလိုအပ်ပါ။ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုရှိရန် မလိုအပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb{A}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{A} \cap \mathbb{R}</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\mathbb{C}</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]မြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]ပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]]သည် <math>K</math>-[[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (K-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ရှိသည်။ <math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v</math> <math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X \cdot v := A(v)</math> ထို့နောက် ၎င်းကို <math>K[X]</math> အပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအရ ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် <math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (Ring ideals) === [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်းများသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ === ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) === အောက်ပါတို့သည် [[မော်ဂျူး]] တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သော ထင်ရှားသည့် အခြေခံဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ * [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>A</math> သည် မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]တိုင်းသည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>0</math> သီးသန့်သာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]တစ်ခုသည် မည်သည့်ကွင်းပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math>A</math> ၏ မည်သည့် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်မဆိုသည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>J</math> သည် <math>A</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ်ကွင်း <math>A/J</math> သည် <math>a(x+J) = ax+J</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>L</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ် <math>A/L</math> သည်လည်း <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါက အကယ်၍ <math>R</math> သည် <math>V</math> မှ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]]များအားလုံး၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V = K^n</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ဒေါင်လိုက် <math>n</math>-ခုတွဲ (vertical <math>n</math>-tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>R</math> သည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ပုံဖော်မှုများ၏ မော်ဂျူး (Module of Maps) === <math>S</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော[[အစု]] (non-empty set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုများ၏ အစု <math>\text{Map}(S, M)</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>f \in \text{Map}(S, M)</math> နှင့် <math>a \in A</math> တို့အတွက် စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) <math>(af)(s) = af(s)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ (Modules over a ring) == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူး (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-'''ဘယ်မော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributive property) များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ '''ညာမော်ဂျူး''' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။ <math>R</math>-'''ညာမော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr</math> ၎င်းသည် <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2</math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-'''မော်ဂျူးများ''' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ မော်ဂျူး တွက်ချက်မှုများနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အောက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများကို အလွယ်တကူ သက်သေပြနိုင်သည်။ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် <math>x \in M</math> အတွက်မဆို အောက်ပါတို့ မှန်ကန်သည်။ * <math>a(-x) = -(ax)</math> * <math>0x = 0</math> မှတ်ချက်။ ဖော်ပြချက်မပါရှိပါက "မော်ဂျူး" ဟူသော ဝေါဟာရသည် အများအားဖြင့် "ဘယ်မော်ဂျူး" ကိုသာ ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Alternative Definitions) === * <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်|အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]ဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ * <math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (Bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r \in R, m \in M, s \in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math>။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူးကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math> ဟု မှန်ကန်ရမည်။ :<math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}} \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Module Homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]သက်ရောက်ချက် နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (R-linear map) ဟု ခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်]] <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> * <math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]အကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ === သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Zero Homomorphism) === မည်သည့် မော်ဂျူး <math> M'</math> အတွက်မဆို <math> x \in M</math> အားလုံးအတွက် <math> \zeta(x) = 0</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှု <math> \zeta: M \rightarrow M'</math> သည် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (zero homomorphism) ဟု ခေါ်သည်။ === ဒွန်တွဲကာနယ် (Cokernel) === <math> f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> f</math> ၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M'/\text{Im } f</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math> M'/f(M)</math> ဟုလည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ ဒွန်တွဲကာနယ်ဆိုသော ဝေါဟာရသည် ပုံမှန် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math> M' \rightarrow M'/f(M)</math> ကိုလည်း တိုက်ရိုက်ရည်ညွှန်းနိုင်သည်။ === စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (Universal Property) === <math> M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math> N</math> သည် မော်ဂျူးပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> M</math> မှ စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M/N</math> သို့ ပုံမှန် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math> f: M \rightarrow M/N</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်း၏ကာနယ်အတွင်း <math> N</math> ပါဝင်နေသော <math> M</math> ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် <math> f</math> သည် စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) ရှိသည်။ === ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ဟွမ်း-မော်ဂျူး (Composition and Hom-module) === မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ * <math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> * <math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>\operatorname{Hom}</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမောဖစ်]] (naturally isomorphic) ဖြစ်သည်။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံ[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရ[[အစုဝင်]] <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ===မူလပုံရိပ်နှင့် လှုံ့ဆော်ခံဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Preimage and Induced Homomorphism)=== <math>f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>N'</math> သည် <math>M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] <math>f^{-1}(N')</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်လာပြီး <math>\overline{f}: M/f^{-1}(N') \rightarrow M'/N'</math> ဟူသော ပုံမှန် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သည့်]] ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အကယ်၍ <math>f</math> သည် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ပါက]] <math>\overline{f}</math> သည် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (module-isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ]]သည် <math>A</math>-မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထပ်တူအသုံးဝင်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (Submodules and Quotient Modules) == <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသော [[အုပ်စုပိုင်း]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]သည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုသည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * ကာနယ် သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ * [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] သို့မဟုတ် <math>\operatorname{im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ === အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion Submodule) === <math>A</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း <math>M_{\text{tor}}</math> ဆိုသည်မှာ <math>ax = 0</math> ဖြစ်စေမည့် သုညမဟုတ်သော <math>a \in A</math> တစ်ခု တည်ရှိသော <math>x \in M</math> [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သည့် [[အစုပိုင်း]]ဖြစ်သည်။ === အိုင်ဒီးလ်နှင့် မော်ဂျူး၏ မြှောက်လဒ် (Product of an Ideal and a Module) === <math>\mathfrak{a}</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>\mathfrak{a}M</math> ကို <math>a_i \in \mathfrak{a}</math> နှင့် <math>x_i \in M</math> ဖြစ်သော <math>a_1x_1 + \dots + a_nx_n</math> ပုံစံရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]အားလုံး၏ [[အစု]]အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အိုင်ဒီးလ် သက်ရောက်ချက်များနှင့် ပတ်သက်၍ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ မှန်ကန်သည်။ * အကယ်၍ <math>\mathfrak{a}</math> နှင့် <math>\mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပါက ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ <math>\mathfrak{a}(\mathfrak{b}M) = (\mathfrak{a}\mathfrak{b})M</math> မှန်ကန်သည်။ * <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု၊ <math>N, N'</math> တို့သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများဖြစ်ပြီး <math>\mathfrak{a}, \mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပါက ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ <math>(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})M = \mathfrak{a}M + \mathfrak{b}M</math> နှင့် <math>\mathfrak{a}(N+N') = \mathfrak{a}N + \mathfrak{a}N'</math> တို့ မှန်ကန်သည်။ == တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းများ (Exact Sequences) == မော်ဂျူးများအတွက် အခြေခံ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ မူဘောင်များကို [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] သဘောတရားများနည်းတူ အောက်ပါအတိုင်း တည်ဆောက်ထားသည်။ * '''[[တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact Sequence):''' <math>\text{im } f = \text{ker } g</math> ဖြစ်ပါက မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] ကိန်းစဉ်တန်း <math>M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M''</math> ကို တိကျသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism) သို့မဟုတ် ထည့်သွင်းခြင်း (Embedding):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>0 \rightarrow N \xrightarrow{u} M</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် ထည့်သွင်းခြင်း ဟုခေါ်သည်။ * '''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>N \xrightarrow{u} M \rightarrow 0</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင် ဟုခေါ်သည်။ မော်ဂျူး <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း <math>N</math> နှင့် ဆက်စပ်၍ ပုံမှန်အားဖြင့် <math>0 \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow M/N \rightarrow 0</math> ဟူသော ပုံမှန် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း တစ်ခုရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math>N</math> မှ <math>M</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း ဖြစ်ပြီး <math>M</math> မှ <math>M/N</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပုံမှန် ပုံဖော်မှု ဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း (canonical embedding) ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (associative R-algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (R-module homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' (representation) ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု (K-bilinear map) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Lie algebra homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာ (commutator) ကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ် (Lie bracket) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာ (universal enveloping algebra) အောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စု (group) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (external binary operation) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း (group ring) <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (K-linear representation) နှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] 0eg0bc8kczzy67iuack5je56s79144u 1040778 1040776 2026-06-25T11:08:43Z Mkant00 135890 1040778 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည်။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည်။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော [[မော်ဂျူး]] သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]]အတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces over R) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ ဖလှယ်ရ ကွင်းများအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ (Abelian groups) === အပေါင်းအခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring of integers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \mathbb{Z}</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (additive notation) ဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု ရှိရန် မလိုအပ်ပါ။ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုရှိရန် မလိုအပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb{A}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{A} \cap \mathbb{R}</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\mathbb{C}</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]မြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]ပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]]သည် <math>K</math>-[[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (K-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ရှိသည်။ <math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v</math> <math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X \cdot v := A(v)</math> ထို့နောက် ၎င်းကို <math>K[X]</math> အပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအရ ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် <math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (Ring ideals) === [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်းများသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ === ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) === အောက်ပါတို့သည် [[မော်ဂျူး]] တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သော ထင်ရှားသည့် အခြေခံဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ * [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>A</math> သည် မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]တိုင်းသည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>0</math> သီးသန့်သာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]တစ်ခုသည် မည်သည့်ကွင်းပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math>A</math> ၏ မည်သည့် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်မဆိုသည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>J</math> သည် <math>A</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ်ကွင်း <math>A/J</math> သည် <math>a(x+J) = ax+J</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>L</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ် <math>A/L</math> သည်လည်း <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါက အကယ်၍ <math>R</math> သည် <math>V</math> မှ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]]များအားလုံး၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V = K^n</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ဒေါင်လိုက် <math>n</math>-ခုတွဲ (vertical <math>n</math>-tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>R</math> သည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ပုံဖော်မှုများ၏ မော်ဂျူး (Module of Maps) === <math>S</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော[[အစု]] (non-empty set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုများ၏ အစု <math>\text{Map}(S, M)</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>f \in \text{Map}(S, M)</math> နှင့် <math>a \in A</math> တို့အတွက် စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) <math>(af)(s) = af(s)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ (Modules over a ring) == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူး (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-'''ဘယ်မော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributive property) များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ '''ညာမော်ဂျူး''' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။ <math>R</math>-'''ညာမော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr</math> ၎င်းသည် <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2</math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-'''မော်ဂျူးများ''' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ မော်ဂျူး တွက်ချက်မှုများနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အောက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများကို အလွယ်တကူ သက်သေပြနိုင်သည်။ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် <math>x \in M</math> အတွက်မဆို အောက်ပါတို့ မှန်ကန်သည်။ * <math>a(-x) = -(ax)</math> * <math>0x = 0</math> မှတ်ချက်။ ဖော်ပြချက်မပါရှိပါက "မော်ဂျူး" ဟူသော ဝေါဟာရသည် အများအားဖြင့် "ဘယ်မော်ဂျူး" ကိုသာ ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Alternative Definitions) === * <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်|အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]ဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ * <math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (Bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r \in R, m \in M, s \in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math>။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူးကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math> ဟု မှန်ကန်ရမည်။ :<math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}} \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Module Homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]သက်ရောက်ချက် နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (R-linear map) ဟု ခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်]] <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> * <math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]အကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ === သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Zero Homomorphism) === မည်သည့် မော်ဂျူး <math> M'</math> အတွက်မဆို <math> x \in M</math> အားလုံးအတွက် <math> \zeta(x) = 0</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှု <math> \zeta: M \rightarrow M'</math> သည် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (zero homomorphism) ဟု ခေါ်သည်။ === ဒွန်တွဲကာနယ် (Cokernel) === <math> f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> f</math> ၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M'/\text{Im } f</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math> M'/f(M)</math> ဟုလည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ ဒွန်တွဲကာနယ်ဆိုသော ဝေါဟာရသည် ပုံမှန် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math> M' \rightarrow M'/f(M)</math> ကိုလည်း တိုက်ရိုက်ရည်ညွှန်းနိုင်သည်။ === စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (Universal Property) === <math> M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math> N</math> သည် မော်ဂျူးပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> M</math> မှ စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M/N</math> သို့ ပုံမှန် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math> f: M \rightarrow M/N</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်း၏ကာနယ်အတွင်း <math> N</math> ပါဝင်နေသော <math> M</math> ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် <math> f</math> သည် စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) ရှိသည်။ === ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ဟွမ်း-မော်ဂျူး (Composition and Hom-module) === မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ * <math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> * <math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>\operatorname{Hom}</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမောဖစ်]] (naturally isomorphic) ဖြစ်သည်။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံ[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရ[[အစုဝင်]] <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ===မူလပုံရိပ်နှင့် လှုံ့ဆော်ခံဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Preimage and Induced Homomorphism)=== <math>f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>N'</math> သည် <math>M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] <math>f^{-1}(N')</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်လာပြီး <math>\overline{f}: M/f^{-1}(N') \rightarrow M'/N'</math> ဟူသော ပုံမှန် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သည့်]] ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အကယ်၍ <math>f</math> သည် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ပါက]] <math>\overline{f}</math> သည် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (module-isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ]]သည် <math>A</math>-မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထပ်တူအသုံးဝင်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (Submodules and Quotient Modules) == <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသော [[အုပ်စုပိုင်း]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]သည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုသည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * ကာနယ် သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ * [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] သို့မဟုတ် <math>\operatorname{im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ === အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion Submodule) === <math>A</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း <math>M_{\text{tor}}</math> ဆိုသည်မှာ <math>ax = 0</math> ဖြစ်စေမည့် သုညမဟုတ်သော <math>a \in A</math> တစ်ခု တည်ရှိသော <math>x \in M</math> [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သည့် [[အစုပိုင်း]]ဖြစ်သည်။ === အိုင်ဒီးလ်နှင့် မော်ဂျူး၏ မြှောက်လဒ် (Product of an Ideal and a Module) === <math>\mathfrak{a}</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>\mathfrak{a}M</math> ကို <math>a_i \in \mathfrak{a}</math> နှင့် <math>x_i \in M</math> ဖြစ်သော <math>a_1x_1 + \dots + a_nx_n</math> ပုံစံရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]အားလုံး၏ [[အစု]]အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အိုင်ဒီးလ် သက်ရောက်ချက်များနှင့် ပတ်သက်၍ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ မှန်ကန်သည်။ * အကယ်၍ <math>\mathfrak{a}</math> နှင့် <math>\mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပါက ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ <math>\mathfrak{a}(\mathfrak{b}M) = (\mathfrak{a}\mathfrak{b})M</math> မှန်ကန်သည်။ * <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု၊ <math>N, N'</math> တို့သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများဖြစ်ပြီး <math>\mathfrak{a}, \mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပါက ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ <math>(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})M = \mathfrak{a}M + \mathfrak{b}M</math> နှင့် <math>\mathfrak{a}(N+N') = \mathfrak{a}N + \mathfrak{a}N'</math> တို့ မှန်ကန်သည်။ == တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းများ (Exact Sequences) == မော်ဂျူးများအတွက် အခြေခံ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ မူဘောင်များကို [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] သဘောတရားများနည်းတူ အောက်ပါအတိုင်း တည်ဆောက်ထားသည်။ * '''[[တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact Sequence):''' <math>\text{im } f = \text{ker } g</math> ဖြစ်ပါက မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] ကိန်းစဉ်တန်း <math>M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M''</math> ကို တိကျသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism) သို့မဟုတ် ထည့်သွင်းခြင်း (Embedding):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>0 \rightarrow N \xrightarrow{u} M</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် ထည့်သွင်းခြင်း ဟုခေါ်သည်။ * '''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>N \xrightarrow{u} M \rightarrow 0</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင် ဟုခေါ်သည်။ မော်ဂျူး <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း <math>N</math> နှင့် ဆက်စပ်၍ ပုံမှန်အားဖြင့် <math>0 \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow M/N \rightarrow 0</math> ဟူသော ပုံမှန် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း တစ်ခုရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math>N</math> မှ <math>M</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း ဖြစ်ပြီး <math>M</math> မှ <math>M/N</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပုံမှန် ပုံဖော်မှု ဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း (Change of Rings) == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over associative algebras) == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over Lie algebras) == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာအောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over a group) == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စုတစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုနှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] i7hv8nzrt6vyovny0my2lh9tc4swymj 1040779 1040778 2026-06-25T11:11:29Z Mkant00 135890 /* မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Module Homomorphisms) */ 1040779 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည်။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည်။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော [[မော်ဂျူး]] သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]]အတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces over R) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ ဖလှယ်ရ ကွင်းများအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ (Abelian groups) === အပေါင်းအခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring of integers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \mathbb{Z}</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (additive notation) ဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု ရှိရန် မလိုအပ်ပါ။ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုရှိရန် မလိုအပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb{A}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{A} \cap \mathbb{R}</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\mathbb{C}</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]မြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]ပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]]သည် <math>K</math>-[[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (K-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ရှိသည်။ <math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v</math> <math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X \cdot v := A(v)</math> ထို့နောက် ၎င်းကို <math>K[X]</math> အပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအရ ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် <math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (Ring ideals) === [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်းများသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ === ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) === အောက်ပါတို့သည် [[မော်ဂျူး]] တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သော ထင်ရှားသည့် အခြေခံဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ * [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>A</math> သည် မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]တိုင်းသည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>0</math> သီးသန့်သာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]တစ်ခုသည် မည်သည့်ကွင်းပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math>A</math> ၏ မည်သည့် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်မဆိုသည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>J</math> သည် <math>A</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ်ကွင်း <math>A/J</math> သည် <math>a(x+J) = ax+J</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>L</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ် <math>A/L</math> သည်လည်း <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါက အကယ်၍ <math>R</math> သည် <math>V</math> မှ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]]များအားလုံး၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V = K^n</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ဒေါင်လိုက် <math>n</math>-ခုတွဲ (vertical <math>n</math>-tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>R</math> သည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ပုံဖော်မှုများ၏ မော်ဂျူး (Module of Maps) === <math>S</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော[[အစု]] (non-empty set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုများ၏ အစု <math>\text{Map}(S, M)</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>f \in \text{Map}(S, M)</math> နှင့် <math>a \in A</math> တို့အတွက် စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) <math>(af)(s) = af(s)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ (Modules over a ring) == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူး (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-'''ဘယ်မော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributive property) များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ '''ညာမော်ဂျူး''' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။ <math>R</math>-'''ညာမော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr</math> ၎င်းသည် <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2</math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-'''မော်ဂျူးများ''' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ မော်ဂျူး တွက်ချက်မှုများနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အောက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများကို အလွယ်တကူ သက်သေပြနိုင်သည်။ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် <math>x \in M</math> အတွက်မဆို အောက်ပါတို့ မှန်ကန်သည်။ * <math>a(-x) = -(ax)</math> * <math>0x = 0</math> မှတ်ချက်။ ဖော်ပြချက်မပါရှိပါက "မော်ဂျူး" ဟူသော ဝေါဟာရသည် အများအားဖြင့် "ဘယ်မော်ဂျူး" ကိုသာ ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Alternative Definitions) === * <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်|အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]ဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ * <math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (Bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r \in R, m \in M, s \in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math>။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူးကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math> ဟု မှန်ကန်ရမည်။ :<math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}} \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Module Homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]သက်ရောက်ချက် နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (R-linear map) ဟု ခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်]] <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> * <math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]အကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ === သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Zero Homomorphism) === မည်သည့် မော်ဂျူး <math> M'</math> အတွက်မဆို <math> x \in M</math> အားလုံးအတွက် <math> \zeta(x) = 0</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှု <math> \zeta: M \rightarrow M'</math> သည် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (zero homomorphism) ဟု ခေါ်သည်။ === ဒွန်တွဲကာနယ် (Cokernel) === <math> f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> f</math> ၏ ဒွန်တွဲကာနယ်သည် စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M'/\text{Im } f</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math> M'/f(M)</math> ဟုလည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ ဒွန်တွဲကာနယ်ဆိုသော ဝေါဟာရသည် ပုံမှန် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math> M' \rightarrow M'/f(M)</math> ကိုလည်း တိုက်ရိုက်ရည်ညွှန်းနိုင်သည်။ === စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (Universal Property) === <math> M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math> N</math> သည် မော်ဂျူးပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> M</math> မှ စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M/N</math> သို့ ပုံမှန် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math> f: M \rightarrow M/N</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်း၏ကာနယ်အတွင်း <math> N</math> ပါဝင်နေသော <math> M</math> ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် <math> f</math> သည် စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသည်။ === ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ဟွမ်း-မော်ဂျူး (Composition and Hom-module) === မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ * <math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> * <math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>\operatorname{Hom}</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမောဖစ်]] ဖြစ်သည်။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံ[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရ[[အစုဝင်]] <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ === မူလပုံရိပ်နှင့် လှုံ့ဆော်ခံဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Preimage and Induced Homomorphism) === <math>f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>N'</math> သည် <math>M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] <math>f^{-1}(N')</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်လာပြီး <math>\overline{f}: M/f^{-1}(N') \rightarrow M'/N'</math> ဟူသော ပုံမှန် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သည့်]] ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အကယ်၍ <math>f</math> သည် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ပါက]] <math>\overline{f}</math> သည် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ]]သည် <math>A</math>-မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထပ်တူအသုံးဝင်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (Submodules and Quotient Modules) == <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသော [[အုပ်စုပိုင်း]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]သည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုသည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * ကာနယ် သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ * [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] သို့မဟုတ် <math>\operatorname{im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ === အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion Submodule) === <math>A</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း <math>M_{\text{tor}}</math> ဆိုသည်မှာ <math>ax = 0</math> ဖြစ်စေမည့် သုညမဟုတ်သော <math>a \in A</math> တစ်ခု တည်ရှိသော <math>x \in M</math> [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သည့် [[အစုပိုင်း]]ဖြစ်သည်။ === အိုင်ဒီးလ်နှင့် မော်ဂျူး၏ မြှောက်လဒ် (Product of an Ideal and a Module) === <math>\mathfrak{a}</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>\mathfrak{a}M</math> ကို <math>a_i \in \mathfrak{a}</math> နှင့် <math>x_i \in M</math> ဖြစ်သော <math>a_1x_1 + \dots + a_nx_n</math> ပုံစံရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]အားလုံး၏ [[အစု]]အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အိုင်ဒီးလ် သက်ရောက်ချက်များနှင့် ပတ်သက်၍ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ မှန်ကန်သည်။ * အကယ်၍ <math>\mathfrak{a}</math> နှင့် <math>\mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပါက ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ <math>\mathfrak{a}(\mathfrak{b}M) = (\mathfrak{a}\mathfrak{b})M</math> မှန်ကန်သည်။ * <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု၊ <math>N, N'</math> တို့သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများဖြစ်ပြီး <math>\mathfrak{a}, \mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပါက ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ <math>(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})M = \mathfrak{a}M + \mathfrak{b}M</math> နှင့် <math>\mathfrak{a}(N+N') = \mathfrak{a}N + \mathfrak{a}N'</math> တို့ မှန်ကန်သည်။ == တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းများ (Exact Sequences) == မော်ဂျူးများအတွက် အခြေခံ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ မူဘောင်များကို [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] သဘောတရားများနည်းတူ အောက်ပါအတိုင်း တည်ဆောက်ထားသည်။ * '''[[တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact Sequence):''' <math>\text{im } f = \text{ker } g</math> ဖြစ်ပါက မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] ကိန်းစဉ်တန်း <math>M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M''</math> ကို တိကျသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism) သို့မဟုတ် ထည့်သွင်းခြင်း (Embedding):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>0 \rightarrow N \xrightarrow{u} M</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် ထည့်သွင်းခြင်း ဟုခေါ်သည်။ * '''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>N \xrightarrow{u} M \rightarrow 0</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင် ဟုခေါ်သည်။ မော်ဂျူး <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း <math>N</math> နှင့် ဆက်စပ်၍ ပုံမှန်အားဖြင့် <math>0 \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow M/N \rightarrow 0</math> ဟူသော ပုံမှန် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း တစ်ခုရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math>N</math> မှ <math>M</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း ဖြစ်ပြီး <math>M</math> မှ <math>M/N</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပုံမှန် ပုံဖော်မှု ဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း (Change of Rings) == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over associative algebras) == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over Lie algebras) == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာအောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over a group) == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စုတစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုနှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] jtdbe7b0ido1isgdcm7328gn4et0dkb 1040780 1040779 2026-06-25T11:14:56Z Mkant00 135890 1040780 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) များ၏ သဘောတရားကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) များအပေါ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများတွင် အခြေအစု (basis) တစ်ခု အမြဲပါရှိသော်လည်း ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများအတွက်မူ ဤအချက်သည် သေချာသော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပေ။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါရှိသည့် သီးခြားအခြေအနေများကို လေ့လာစူးစမ်းရန်မှာ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည်။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းတစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်ပြီး ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် မော်ဂျူးပိုင်းများ (submodules)၊ စားလဒ်မော်ဂျူးများ၊ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms)၊ ကာနယ်များ (kernels) နှင့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) စသည့် အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှ အခြေခံအယူအဆများကို မော်ဂျူးနယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့အသုံးချနိုင်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၊ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups)၊ ကွင်းများ၊ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် [[ဖန်ရှင်]][[အစု|အစုများ]] (function sets) အားလုံးသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများကို ပိုင်ဆိုင်ထားကြရာ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မော်ဂျူးများသည် ဗဟိုချက်ကျသော ပေါင်းစည်းပေးသည့် သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်လာသည်။ သို့သော် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိပြီး [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော [[မော်ဂျူး]] သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]]အတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces over R) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ ဖလှယ်ရ ကွင်းများအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ (Abelian groups) === အပေါင်းအခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring of integers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \mathbb{Z}</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (additive notation) ဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု ရှိရန် မလိုအပ်ပါ။ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် အခြေအစုရှိရန် မလိုအပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb{A}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{A} \cap \mathbb{R}</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\mathbb{C}</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]မြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]ပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]]သည် <math>K</math>-[[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (K-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ရှိသည်။ <math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v</math> <math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X \cdot v := A(v)</math> ထို့နောက် ၎င်းကို <math>K[X]</math> အပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအရ ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် <math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (Ring ideals) === [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်းများသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ === ထင်ရှားသော မော်ဂျူး ဥပမာများ (Notable Examples of Modules) === အောက်ပါတို့သည် [[မော်ဂျူး]] တည်ဆောက်ပုံများ ပါဝင်သော ထင်ရှားသည့် အခြေခံဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ * [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>A</math> သည် မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]တိုင်းသည် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>0</math> သီးသန့်သာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]တစ်ခုသည် မည်သည့်ကွင်းပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math>A</math> ၏ မည်သည့် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်မဆိုသည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>J</math> သည် <math>A</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ်ကွင်း <math>A/J</math> သည် <math>a(x+J) = ax+J</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>L</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပါက စားလဒ် <math>A/L</math> သည်လည်း <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါက အကယ်၍ <math>R</math> သည် <math>V</math> မှ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]]များအားလုံး၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ * <math>V = K^n</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ဒေါင်လိုက် <math>n</math>-ခုတွဲ (vertical <math>n</math>-tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>R</math> သည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းဖြစ်ပါက <math>V</math> သည် <math>R</math> အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ပုံဖော်မှုများ၏ မော်ဂျူး (Module of Maps) === <math>S</math> သည် ဗလာမဟုတ်သော[[အစု]] (non-empty set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-[[မော်ဂျူး]] တစ်ခုဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုများ၏ အစု <math>\text{Map}(S, M)</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>f \in \text{Map}(S, M)</math> နှင့် <math>a \in A</math> တို့အတွက် စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) <math>(af)(s) = af(s)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ (Modules over a ring) == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူး (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-'''ဘယ်မော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributive property) များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ '''ညာမော်ဂျူး''' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။ <math>R</math>-'''ညာမော်ဂျူး''' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr</math> ၎င်းသည် <math>r, r_1, r_2 \in R, m, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2</math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r</math> * <math>r_1, r_2 \in R, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-'''မော်ဂျူးများ''' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ မော်ဂျူး တွက်ချက်မှုများနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အောက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများကို အလွယ်တကူ သက်သေပြနိုင်သည်။ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် <math>x \in M</math> အတွက်မဆို အောက်ပါတို့ မှန်ကန်သည်။ * <math>a(-x) = -(ax)</math> * <math>0x = 0</math> မှတ်ချက်။ ဖော်ပြချက်မပါရှိပါက "မော်ဂျူး" ဟူသော ဝေါဟာရသည် အများအားဖြင့် "ဘယ်မော်ဂျူး" ကိုသာ ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Alternative Definitions) === * <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်|အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]ဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ * <math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပူးပေါင်းပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်နိုင်သည်။ :<math>R \to (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\mathbb{Z}(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (Bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r \in R, m \in M, s \in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math>။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူးကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math> ဟု မှန်ကန်ရမည်။ :<math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}} \to \operatorname{End}_\mathbb{Z}(M)</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R \otimes_{\mathbb{Z}} S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Module Homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]သက်ရောက်ချက် နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (R-linear map) ဟု ခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်]] <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> * <math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]အကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ === သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Zero Homomorphism) === မည်သည့် မော်ဂျူး <math> M'</math> အတွက်မဆို <math> x \in M</math> အားလုံးအတွက် <math> \zeta(x) = 0</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှု <math> \zeta: M \rightarrow M'</math> သည် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို သုည ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (zero homomorphism) ဟု ခေါ်သည်။ === ဒွန်တွဲကာနယ် (Cokernel) === <math> f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> f</math> ၏ ဒွန်တွဲကာနယ်သည် စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M'/\text{Im } f</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math> M'/f(M)</math> ဟုလည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ ဒွန်တွဲကာနယ်ဆိုသော ဝေါဟာရသည် ပုံမှန် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math> M' \rightarrow M'/f(M)</math> ကိုလည်း တိုက်ရိုက်ရည်ညွှန်းနိုင်သည်။ === စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (Universal Property) === <math> M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math> N</math> သည် မော်ဂျူးပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math> M</math> မှ စားလဒ်မော်ဂျူး <math> M/N</math> သို့ ပုံမှန် အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math> f: M \rightarrow M/N</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်း၏ကာနယ်အတွင်း <math> N</math> ပါဝင်နေသော <math> M</math> ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် <math> f</math> သည် စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသည်။ === ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ဟွမ်း-မော်ဂျူး (Composition and Hom-module) === မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ * <math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> * <math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>\operatorname{Hom}</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမောဖစ်]] ဖြစ်သည်။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံ[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရ[[အစုဝင်]] <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ === မူလပုံရိပ်နှင့် လှုံ့ဆော်ခံဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Preimage and Induced Homomorphism) === <math>f: M \rightarrow M'</math> သည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>N'</math> သည် <math>M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] <math>f^{-1}(N')</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်လာပြီး <math>\overline{f}: M/f^{-1}(N') \rightarrow M'/N'</math> ဟူသော ပုံမှန် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သည့်]] ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အကယ်၍ <math>f</math> သည် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ပါက]] <math>\overline{f}</math> သည် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် သဘာဝအလျောက် မော်ဂျူး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ]]သည် <math>A</math>-မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထပ်တူအသုံးဝင်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (Submodules and Quotient Modules) == <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသော [[အုပ်စုပိုင်း]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]သည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုသည် မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * ကာနယ် သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ * [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] သို့မဟုတ် <math>\operatorname{im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ === အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း (Torsion Submodule) === <math>A</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ အလိမ် မော်ဂျူးပိုင်း <math>M_{\text{tor}}</math> ဆိုသည်မှာ <math>ax = 0</math> ဖြစ်စေမည့် သုညမဟုတ်သော <math>a \in A</math> တစ်ခု တည်ရှိသော <math>x \in M</math> [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သည့် [[အစုပိုင်း]]ဖြစ်သည်။ === အိုင်ဒီးလ်နှင့် မော်ဂျူး၏ မြှောက်လဒ် (Product of an Ideal and a Module) === <math>\mathfrak{a}</math> သည် <math>A</math> ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>\mathfrak{a}M</math> ကို <math>a_i \in \mathfrak{a}</math> နှင့် <math>x_i \in M</math> ဖြစ်သော <math>a_1x_1 + \dots + a_nx_n</math> ပုံစံရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]အားလုံး၏ [[အစု]]အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အိုင်ဒီးလ် သက်ရောက်ချက်များနှင့် ပတ်သက်၍ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ မှန်ကန်သည်။ * အကယ်၍ <math>\mathfrak{a}</math> နှင့် <math>\mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပြီး <math>M</math> သည် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပါက ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ <math>\mathfrak{a}(\mathfrak{b}M) = (\mathfrak{a}\mathfrak{b})M</math> မှန်ကန်သည်။ * <math>M</math> သည် <math>A</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု၊ <math>N, N'</math> တို့သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများဖြစ်ပြီး <math>\mathfrak{a}, \mathfrak{b}</math> တို့သည် ဘယ် အိုင်ဒီးလ်များဖြစ်ပါက ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ <math>(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})M = \mathfrak{a}M + \mathfrak{b}M</math> နှင့် <math>\mathfrak{a}(N+N') = \mathfrak{a}N + \mathfrak{a}N'</math> တို့ မှန်ကန်သည်။ == တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းများ (Exact Sequences) == မော်ဂျူးများအတွက် အခြေခံ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ မူဘောင်များကို [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏]] သဘောတရားများနည်းတူ အောက်ပါအတိုင်း တည်ဆောက်ထားသည်။ * '''[[တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact Sequence):''' <math>\text{im } f = \text{ker } g</math> ဖြစ်ပါက မော်ဂျူး [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏]] ကိန်းစဉ်တန်း <math>M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M''</math> ကို တိကျသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism) သို့မဟုတ် ထည့်သွင်းခြင်း (Embedding):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>0 \rightarrow N \xrightarrow{u} M</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် ထည့်သွင်းခြင်း ဟုခေါ်သည်။ * '''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကိန်းစဉ်တန်း <math>N \xrightarrow{u} M \rightarrow 0</math> သည် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>u: N \rightarrow M</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင် ဟုခေါ်သည်။ မော်ဂျူး <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း <math>N</math> နှင့် ဆက်စပ်၍ ပုံမှန်အားဖြင့် <math>0 \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow M/N \rightarrow 0</math> ဟူသော ပုံမှန် တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း တစ်ခုရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math>N</math> မှ <math>M</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း ဖြစ်ပြီး <math>M</math> မှ <math>M/N</math> သို့ ပုံဖော်မှုမှာ ပုံမှန် ပုံဖော်မှု ဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း (Change of Rings) == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over associative algebras) == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over Lie algebras) == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာအောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over a group) == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စုတစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုနှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last=Lang |first=Serge |title=Algebra |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=211 |edition=Revised Third |publisher=Springer-Verlag |date=2002}} * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }} [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] lhjyb9c7ou99gd0ipvpchvlyljp26zk 0 287978 1040754 1038512 2026-06-25T09:58:09Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 0 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 1 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1040754 wikitext text/x-wiki {{Infobox Film|name=နတ်ဝင်သည်|image=Nat Win The poster.jpg|caption=ရုံတင်ပိုစတာ|director=ဝင်းလွင်ထက်|writer=ဝင်းလွင်ထက်|screenplay=မိုးညီလွင်|producer=သန္ဒာကိုကို|starring=[[အလင်းရောင် (သရုပ်ဆောင်)|အလင်းရောင်]]<br>[[ဝတ်မှုံရွှေရည်]]|cinematography=သီဟထက်|editing=|music=|studio=W Entertainment|distributor=|released={{Film date|2025|10|31|Myanmar}}|country=မြန်မာ|language=ဗမာ}} '''''နတ်ဝင်သည်''''' သည် ၂၀၂၅ ခုနှစ်တွင် ထွက်ရှိခဲ့သော မြန်မာ သဘာဝလွန်ထိတ်လန့်ဖွယ် ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားဖြစ်ပြီး ဝင်းလွင်ထက်က ဒါရိုက်တာနှင့် ဇာတ်လမ်းရေးသားသူအဖြစ် ဆောင်ရွက်ထားသည်။ ဇာတ်ညွှန်းကို မိုးညီလွင်က ရေးသားထားပြီး W Entertainment မှ ထုတ်လုပ်ခဲ့သည်။ ယင်းဇာတ်ကားတွင် [[အလင်းရောင် (သရုပ်ဆောင်)|အလင်းရောင်]] နှင့် [[ဝတ်မှုံရွှေရည်]] တို့က အဓိကပါဝင်သရုပ်ဆောင်ထားသည်။<ref>{{Cite web |date=10 February 2026 |title=၂၀၂၅ ခုနှစ် မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆုရ ဇာတ်ကားများဖြင့် ပြန်လည်ပြသ ဆင်နွှဲမည့် တစ်နှစ်တစ်ခါ ကြုံတောင့်ကြုံခဲ ၂၀၂၆ ခုနှစ် မြန်မာ့ရုပ်ရှင် ရက်သတ္တပတ်ပွဲတော် |url=https://presoffministry.gov.mm/my/news/25045 |access-date=14 June 2026 |website=Ministries of the President's Office }}{{Dead link|date=June 2026 }}</ref><ref>{{Cite web |title=ဝတ်မှုန်ရွှေရည်ရဲ့ နတ်ဝင်သည်ရုပ်ရှင်ကို ပရိသတ်တွေ Boycott လုပ်ဖို့ တော်လှန်ရေးအင်အားစုတွေတောင်းဆို |url=https://www.ludunwayoo.com/news-mm/2025/11/01/138450/ |website=LuduNwayOo}}</ref> ယင်းဇာတ်ကားကို ၂၀၂၅ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလ ၃၁ ရက်နေ့တွင် မြန်မာနိုင်ငံ၌ ရုံတင်ပြသခဲ့သည်။ == ဇာတ်လမ်းအကျဉ်း == ဤဇာတ်ကားသည် နတ်ဝင်သည်တစ်ဦး၏ ဘဝကို အခြေခံရိုက်ကူးထားပြီး လူ့လောကနှင့် သဘာဝလွန်လောကကြား ဆက်နွယ်မှုများကို ဖော်ပြထားသည်။ == သရုပ်ဆောင်များ == * ဖိုးတေး အဖြစ် [[အလင်းရောင် (သရုပ်ဆောင်)|အလင်းရောင်]] * လေးငုံ အဖြစ် [[ဝတ်မှုံရွှေရည်]] * နေထက်လင်း * ချာလီ * ညီနန္ဒ * [[မေသန်းနု]] * မျိုးသန္တာထွန်း * ဖူးစုံ * ပြည့်ကောင်းစုသန့် * စန်းစန်းဝင်း * ဝင်းမင်းသန်း * ထူးသာ * နှင်း * လွန်းချယ် * ယွန်းရွှေရုပ်လွှာ * နေဘုန်းထက်ကျော် * နန်းကုဋေစံဦး * ရှင်မင်းအိမ် == ထုတ်လုပ်မှု == ဤရုပ်ရှင်ကို W Entertainment မှ ထုတ်လုပ်ခဲ့ပြီး ဝင်းလွင်ထက်က ဇာတ်လမ်းရေးသားခြင်းနှင့် ဒါရိုက်တာအဖြစ် ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ ဇာတ်ညွှန်းကို မိုးညီလွင်က ရေးသားခဲ့သည်။ == ထုတ်ဝေမှု == နတ်ဝင်သည်ရုပ်ရှင်ကို ၂၀၂၅ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလ ၃၁ ရက်နေ့တွင် မြန်မာနိုင်ငံ၌ ရုံတင်ပြသခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Win |first=Hay Mann Hla |date=30 October 2025 |title=This Week's Movie Lineup |url=https://myyangon.com.mm/en/article/this-week-s-movie-lineup |access-date=27 April 2026 |website=MY Yangon Guide}}</ref> == အသိအမှတ်ပြုခြင်း == ၂၀၂၅ ခုနှစ် မြန်မာ့ရုပ်ရှင် အကယ်ဒမီဆုပေးပွဲအတွက် ထည့်သွင်းစဉ်းစားရန် ပြသခဲ့သော ရုပ်ရှင်များထဲတွင် ''နတ်ဝင်သည်'' ဇာတ်ကားလည်း ပါဝင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=3 December 2025 |title=Screenings underway for 2025 Myanmar Motion Pictures Academy Award nominees |url=https://www.gnlm.com.mm/screenings-underway-for-2025-myanmar-motion-pictures-academy-award-nominees/ |website=Global New Light Of Myanmar |language=en}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[Category:၂၀၂၅ ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ]] [[Category:မြန်မာဘာသာစကား ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ]] [[Category:မြန်မာ ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ]] {{Myanmar-film-stub}} bku30x74gjlqw4rpk0t91dk6uj7kjvi 0 288166 1040658 1039290 2026-06-25T04:18:11Z Mkant00 135890 /* ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (real-valued continous functions) */ 1040658 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် [[ဖန်ရှင်]] (function) တစ်ခု၏ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ]] (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပဏာမအနေဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) <math>x</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) <math>f(x)</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ၏ ပထမဆုံး ဥပမာအနေဖြင့် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များကို ပြသနိုင်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ် (graph) ကို ဆွဲရာတွင် ကျောက်သင်ပုန်းပေါ်တွင် မြေဖြူခဲတံ မကြွဘဲ ဆက်တိုက်ဆွဲယူနိုင်သည်။ ဤဥပမာက ဖန်ရှင်သည် ရုတ်တရက် ခုန်မသွားပေဟူသော အခြေခံသဘောတရားကို နားလည်စေသည်။ '''သို့သော်လည်း''' ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် '''မလုံလောက်ပေ'''။ အကြောင်းမှာ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် ဖန်ရှင် (Weierstrass function) ကဲ့သို့သော အချို့သော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များသည် နေရာတိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော်လည်း မည်သည့်အမှတ်တွင်မျှ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရသော (nowhere differentiable) ကြောင့် အနန္တတိုင်အောင် ချွန်ထက်နေပြီး မြေဖြူတံ မကြွဘဲ ဆွဲရန် လက်တွေ့အားဖြင့် မဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် (real variable) တစ်ခုပါဝင်သော ဖန်ရှင်များအတွက် စတင်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော်လည်း ယခုအခါတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုထားသည်။ ၎င်းကို ဒေသအလိုက် (locally) နှင့် အလုံးစုံ (globally) ပုံစံနှစ်မျိုးလုံးဖြင့် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ]] (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် '''Top''' ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များကို လေ့လာခြင်းသည် ၎င်းတို့ပိုင်ဆိုင်ထားသော ထူးခြားသည့် ဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာ ၎င်းဖန်ရှင်များတွင် <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဟူသည့် သဘောတရားအရ စုဆုံခြင်း (convergence) ဂုဏ်သတ္တိ ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Intermediate Value Theorem)၊ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme Value Theorem) နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) စသည့် အရေးပါသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] သည် ဤ <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဂုဏ်သတ္တိကိုပင် သရုပ်မဲ့ သဘောတရား (abstract) အဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ်များ]] (categorical limits) ကို ထိန်းသိမ်းထားသော [[ဖန်တာ]]တစ်ခုကို အဆက်မပြတ် ဖန်တာ (continuous functor) အဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏ ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] တန်ဖိုးရှိ ဟွမ်း ဖန်တာ (hom-functor) ကို ပြသနိုင်သည်။ == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (real-valued continous functions) == <math>A</math> ကို ကိန်းစစ်အစုပိုင်း (real subset) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ထို <math>A</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (real-valued function) တစ်ခုကို <math>f : A \to \mathbb{R}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ထို့နောက် <math>a \in A</math> ဖြစ်ပါစေ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous) ဟု ဆိုနိုင်သည်။ *<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x \in A \quad\left(|x - a| <\delta \Rightarrow|f(x) - f(a)|<\varepsilon\right)</math> ထို့ကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အမှတ် <math>a</math> ရှိ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) အကန့်အသတ်တစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိနေမှသာလျှင် ၎င်း <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ စုဆုံမှတ်တည်ရှိပါက ၎င်းတန်ဖိုးသည် <math>f(a)</math> နှင့် မလွဲမသွေ ညီမျှရမည်။ ၎င်းကို သင်္ချာနည်းအရ <math>\lim_{x \to a} f(x) = f(a)</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် စုဆုံမှတ်၏ သဘောတရားနှင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း၏ သဘောတရားကြား ကွာခြားချက်ကို သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ စုဆုံမှတ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင် <math>0 < |x - a| < \delta</math> ဟူသော အခြေအနေ ပါဝင်သည်။ သို့သော် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင်မူ <math>|x - a| < \delta</math> ဟူ၍သာ ပါဝင်သည်။ အကြောင်းရင်းမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားတွင် <math>f(a)</math> အတိအကျ တည်ရှိနေသည်ဟု ကြိုတင်ယူဆထားသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x = a</math> ဖြစ်ခဲ့လျှင် <math>|f(x) - f(a)| < \varepsilon</math> သည် <math>0 < \varepsilon</math> အဖြစ်သို့ ရောက်ရှိသွားမည် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေသည် မည်သို့ပင်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်းမှန်ကန်နေသောကြောင့် <math>x = a</math> ဖြစ်နိုင်ခြေကို ဖယ်ထုတ်ရန် မလိုအပ်ပါ။ ထို့ကြောင့် <math>0 < |x - a|</math> ဟူသော ကန့်သတ်ချက်ကို ဖြုတ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> အပါအဝင် ၎င်း၏ ပတ်ဝန်းကျင် (neighbourhood) တစ်ခုခုတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရမည် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x > a</math> အတွက် ညာဘက်မှသာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်မှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous from the right) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အမှတ် <math>a</math> အတွက် ဘယ်ဘက်မှ ချဉ်းကပ်ရာတွင်လည်း ဤသဘောတရားအတိုင်းပင် ဖြစ်သည် ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းမှာ ၎င်းသည် အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်နှင့် ဘယ်ဘက် နှစ်ဖက်စလုံးမှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့် သဘောတရားအရ ထပ်တူညီသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ အမှတ်တိုင်းအတွက် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ကိုက်ညီအောင် စစ်ဆေးနိုင်ပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို ထိုအပိုင်းအခြားပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်နိုင်သည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အဖွင့် ကြားပိုင်း (open interval) <math>(a, b)</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အမှတ် <math>c</math> ၌မဆို <math>\lim_{x \to c} f(x) = f(c)</math> ဖြစ်နေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>(a, b)</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) <math>[a, b]</math> အတွက်မူ အခြေအနေပိုမိုလိုအပ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>[a, b]</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တိုင်းတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>(a, b)</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အမှတ် <math>c</math> ၌မဆို <math>\lim_{x \to c} f(x) = f(c)</math> ဖြစ်ရမည်။ ထို့နောက် အစွန်းမှတ်များအတွက် <math>\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)</math> နှင့် <math>\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)</math> တို့ ဖြစ်တည်နေမှသာလျှင် ၎င်းဖန်ရှင်ကို အပိတ် ကြားပိုင်း <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ == အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များ (Discontinuous Functions) == ခုန်တက်သွားခြင်း သို့မဟုတ် ခုန်ဆင်းသွားခြင်းများ (jumps) ရှိနေသော ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ပါ (discontinuous)။ ဤသို့ ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (jump discontinuity) ဆိုသည်မှာ ညာဘက် စုဆုံမှတ်နှင့် ဘယ်ဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး တည်ရှိနေသော်လည်း ၎င်းတို့၏ တန်ဖိုးများ အချင်းချင်း မညီမျှသော အခြေအနေကို ဆိုလိုသည်။ ထို့အပြင် ဘယ်ဘက်နှင့် ညာဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး အချင်းချင်း ညီမျှနေသော်လည်း ၎င်းတို့၏ တန်ဖိုးသည် ဖန်ရှင်၏တန်ဖိုး <math>f(a)</math> နှင့် မညီမျှပါက ၎င်းကို ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (removable discontinuity) ဟု သီးခြားခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ အကယ်၍ တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် (one-sided limit) နှစ်ခုအနက် အနည်းဆုံးတစ်ခုသည် ကိန်းစစ်အစုအတွင်း အကန့်အသတ် (finite) မရှိပါက ၎င်းကို မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (essential discontinuity) ဟု သတ်မှတ်သည်။ အောက်ပါ အမျိုးအစား တစ်ခုစီအတွက် အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော အမှတ် <math>x_0</math> ၏ ပတ်ဝန်းကျင် (neighbour) တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် <math>x</math> ပါဝင်သည့် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါမည်။ === ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (removable discontinuity) === [[File:Discontinuity removable.eps.png|thumb|ဥပမာ ၁ တွင် ဖော်ပြထားသော ဖန်ရှင်သည် ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်]] အပိုင်းလိုက် (piecewise) ဖန်ရှင်တစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ * <math>x < 1</math> အတွက် <math>f(x) = x^2</math> * <math>x = 1</math> အတွက် <math>f(x) = 0</math> * <math>x > 1</math> အတွက် <math>f(x) = 2-x</math> အမှတ် <math>x_0 = 1</math> သည် ''ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း'' (removable discontinuity) ဖြစ်သည်။ ဤအဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း အမျိုးအစားအတွက် အောက်ပါအခြေအနေများ ရှိသည်။ အနုတ်လားရာမှ ချဉ်းကပ်သော တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် (one-sided limit) အား <math display=block>L^- = \lim_{x\to x_0^-} f(x)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ အပေါင်းလားရာမှ ချဉ်းကပ်သော တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ်အား <math display=block>L^+ = \lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ အမှတ် <math>x_0</math> တွင် ထိုစုဆုံမှတ် နှစ်ခုစလုံးသည် အကန့်အသတ်တစ်ခုအနေဖြင့် တည်ရှိကြသည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် အချင်းချင်းညီမျှကြပြီး <math>L = L^- = L^+</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုရသော် တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုစလုံး တည်ရှိပြီး တူညီနေသောကြောင့် <math>x</math> သည် <math>x_0</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f(x)</math> ၏ စုဆုံမှတ် <math>L</math> သည်လည်း တည်ရှိနေပြီး အဆိုပါတန်ဖိုးနှင့် ညီမျှနေမည် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>f(x_0)</math> ၏ အမှန်တကယ်တန်ဖိုးသည် <math>L</math> နှင့် မညီမျှပါက <math>x_0</math> ကို '''{{visible anchor|ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း}}''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>x_0</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်စေရန် ဤအဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်းကို ဖယ်ရှားနိုင်သည်။ ပိုမိုတိကျစွာ ဆိုရသော် အောက်ပါ ဖန်ရှင် <math>g(x)</math> သည် အမှတ် <math>x = x_0</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်။ * <math>x \neq x_0</math> အတွက် <math>g(x) = f(x)</math> * <math>x = x_0</math> အတွက် <math>g(x) = L</math> === ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (jump discontinuity) === [[File:Discontinuity jump.eps.png|thumb|ဥပမာ ၂ တွင် ဖော်ပြထားသော ဖန်ရှင်သည် ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်]] အောက်ပါဖန်ရှင်ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ * <math>x < 1</math> အတွက် <math>f(x) = x^2</math> * <math>x = 1</math> အတွက် <math>f(x) = 0</math> * <math>x > 1</math> အတွက် <math>f(x) = 2 - (x-1)^2</math> ထိုအခါ အမှတ် <math>x_0 = 1</math> သည် ''{{visible anchor|ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း}}'' (jump discontinuity) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဘုံစုဆုံမှတ် တစ်ခုတည်း တည်ရှိနေမည်မဟုတ်ပေ။ တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ်များဖြစ်ကြသော <math>L^-</math> နှင့် <math>L^+</math> တို့သည် အကန့်အသတ်တစ်ခုအနေဖြင့် တည်ရှိနေသော်လည်း အချင်းချင်း '''မညီမျှသောကြောင့်''' ဖြစ်သည်။ <math>L^- \neq L^+</math> ဖြစ်သောကြောင့် စုဆုံမှတ် <math>L</math> သည် မတည်ရှိပါ။ ထို့ကြောင့် <math>x_0</math> ကို ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤအဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း အမျိုးအစားအတွက် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>x_0</math> တွင် မည်သည့်တန်ဖိုးကိုမဆို ပိုင်ဆိုင်နိုင်သည်။ === မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (essential discontinuity)=== [[File:Discontinuity essential.svg|thumb|ဥပမာ ၃ တွင် ဖော်ပြထားသော ဖန်ရှင်သည် မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်]] မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (essential discontinuity) တစ်ခုတွင် တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုအနက် အနည်းဆုံးတစ်ခုသည် ကိန်းစစ်အစု <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း မတည်ရှိပေ။ ဤနေရာတွင် တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် တစ်ခု သို့မဟုတ် နှစ်ခုစလုံးသည် <math>\pm\infty</math> အဖြစ်သို့ ရောက်ရှိသွားနိုင်ကြောင်းကို သတိပြုသင့်သည်။ အောက်ပါဖန်ရှင်ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ * <math>x < 1</math> အတွက် <math>f(x) = \sin\frac{5}{x-1}</math> * <math>x = 1</math> အတွက် <math>f(x) = 0</math> * <math>x > 1</math> အတွက် <math>f(x) = \frac{1}{x-1}</math> ထိုအခါ အမှတ် <math>x_0 = 1</math> သည် ''{{visible anchor|မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း}}'' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤဥပမာတွင် <math>L^-</math> နှင့် <math>L^+</math> နှစ်ခုစလုံးသည် <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း မတည်ရှိကြပေ။ ထို့ကြောင့် မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း၏ အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီနေသည်။ ထို့ကြောင့် <math>x_0</math> သည် မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ == အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကြားရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions between metric spaces) == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ၏ သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဆိုသည်မှာ အစု <math>X</math> နှင့် ၎င်းပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် <math>d_X</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည့် ရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်ကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင်နှစ်ခုကြားမဆို အကွာအဝေးကို တိုင်းတာခြင်းအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ပေးထားသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း နှစ်ခုဖြစ်သည့် <math>(X, d_X)</math> နှင့် <math>(Y, d_Y)</math> အပြင် အောက်ပါ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ *<math>f : X \to Y</math> အကယ်၍ မည်သည့် အပေါင်းကိန်းစစ် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>d_X(x, c) < \delta</math> နှင့် ကိုက်ညီသော <math>x \in X</math> အားလုံးသည် <math>d_Y(f(x), f(c)) < \varepsilon</math> နှင့်လည်း ကိုက်ညီစေမည့် အပေါင်းကိန်းစစ် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု တည်ရှိနေမည်ဆိုပါစို့။ ထိုသို့ဆိုလျှင် ပေးထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်များကို အခြေခံ၍ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c \in X</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များနည်းတူ စုဆုံမှတ် <math>\lim x_n = c</math> ရှိသော <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းစဉ် (sequence) <math>(x_n)</math> အတွက်မဆို <math>\lim f(x_n) = f(c)</math> ဖြစ်သည်။ စုဆုံမှတ် <math>c</math> ရှိသော <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် စုဆုံ ကိန်းစဉ် (convergent sequence) <math>(x_n)</math> အတွက်မဆို ကိန်းစဉ် <math>(f(x_n))</math> သည် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) ဖြစ်မည်ဆိုပါစို့။ ထို့အပြင် <math>c</math> သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် (domain) အတွင်း၌ ပါဝင်နေမည်ဆိုပါစို့။ ဤအခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံမှသာလျှင် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ဤအဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို ဥပမာအားဖြင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) တွင် အသုံးချသည်။ ၎င်းမှာ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (normed vector spaces) ဖြစ်သည့် <math>V</math> နှင့် <math>W</math> ကြားရှိ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) သို့မဟုတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု <math>T : V \to W</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ရန်ဖြစ်သည်။ ထိုစံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများဆိုသည်မှာ ကိုက်ညီမှုရှိသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector spaces) များဖြစ်ကြပြီး ၎င်းစံနှုန်းကို <math>\|.\|</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုသည်။ ထိုမျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာသည် အကန့်အသတ်ရှိ (bounded) မှသာလျှင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ အကန့်အသတ်ရှိသည်ဆိုခြင်းမှာ <math>V</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေမည့် ကိန်းသေ <math>K</math> တစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *<math>\|T(x)\| \leq K \|x\|</math> == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကြားရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions between topological spaces) == ပိုမို၍ သရုပ်မဲ့ (abstract) ဆန်သော အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားတစ်ခုမှာ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များ၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် ထိုရပ်ဝန်းများတွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) ၌ကဲ့သို့ ပုံစံတကျသတ်မှတ်ထားသော အကွာအဝေး (distance) သဘောတရား မပါဝင်ပေ။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို အစု (set) <math>X</math> နှင့် ၎င်းအပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology) <math>\mathcal{T}</math> တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုသည်မှာ အစု <math>X</math> ၏ အစုပိုင်းများ (subsets) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အစုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအစုပိုင်းများသည် ပေါင်းစပ်စုများ (unions) နှင့် ထပ်တူပိုင်းအစုများ (intersections) နှင့် ပတ်သက်သော သတ်မှတ်ချက်အချို့ကို ပြည့်စုံရန် လိုအပ်သည်။ ထိုတိုပေါ်လော်ဂျီအတွင်းရှိ အစုဝင်များကို အစု <math>X</math> ၏ အဖွင့်စုပိုင်းများ (open subsets) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုဖြစ်သည့် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ ဖန်ရှင်တစ်ခု <math>f : X \to Y</math> သည် ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အဖွင့်စု (open set) <math>V \subseteq Y</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ မူလပုံရိပ် (inverse image) <math>f^{-1}(V) = \{x \in X \; | \; f(x) \in V \}</math> သည် ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ အဖွင့်စုပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်နေပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>f</math> သည် အစု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ အစုဝင်များကိုသာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>T_X</math> ၏ အစုဝင်များကို ပုံဖော်ခြင်း မဟုတ်ပေ။ သို့သော် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်မှုသည် အစု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့အပေါ်တွင် အသုံးပြုထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများအပေါ်၌ တိုက်ရိုက်မူတည်နေသည်။ အပိတ်စုများ (closed sets) ဆိုသည်မှာ အဖွင့်စုပိုင်းများ၏ ဖြည့်စွက်စုများ (complements) ဖြစ်ကြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခု အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အခြေအနေကို ထိုအပိတ်စုများအသုံးပြု၍လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အတွင်းရှိ အပိတ်စုများ၏ မူလပုံရိပ်များ (preimages) အားလုံးသည် ရပ်ဝန်း <math>X</math> တွင် အပိတ်စုများ ဖြစ်နေပါက ၎င်းဖန်ရှင်သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်။ ဤသတ်မှတ်ချက်နှစ်ခုသည် သင်္ချာနည်းအရ ထပ်တူညီကြသည်။ တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) တွင် အစုပိုင်းတိုင်းကို အဖွင့်စုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် အစု <math>X</math> ကို တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ အခြား မည်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>T</math> သို့မဆို သွားမည့် ဖန်ရှင် <math>f : X \to T</math> အားလုံးသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြသည်။ ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology) တွင် ဗလာအစု (empty set) နှင့် မူလအစု <math>X</math> တို့သာလျှင် အဖွင့်စုပိုင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ အကယ်၍ အစု <math>X</math> ကို တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့အပြင် ပစ်မှတ်ရပ်ဝန်း <math>T</math> သည် အနည်းဆုံး <math>T_0</math> ရပ်ဝန်း (<math>T_0</math> space) ဖြစ်နေမည်ဆိုပါက ကိန်းသေ ဖန်ရှင်များ (constant functions) သာလျှင် အဆက်မပြတ်ဖန်ရှင်များ ဖြစ်နိုင်ကြသည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင်မူ ပစ်မှတ်စု (codomain) သည် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်နေပါက မည်သည့်ဖန်ရှင်မဆို အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] 6odt1mlbe3elicnkfwq7g3f6g8mzn0e 0 288223 1040652 1040258 2026-06-25T03:57:05Z Mkant00 135890 1040652 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Calculus) သည် ကဲကုလပ် (calculus) ၏ အဓိက သဘောတရား နှစ်ခုဖြစ်သော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (differentiation) တို့ကို ဆက်သွယ်ပေးထားသော သီအိုရမ် (theorem) ဖြစ်သည်။ ယင်းသီအိုရမ်က ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း တို့သည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု [[မျဉ်းဖြောင့်_အော်ပရေတာ|ပြောင်းပြန် တွက်ချက်မှုများ]] (inverse operations) ဖြစ်ကြသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ သီအိုရမ်တွင် အပိုင်းနှစ်ပိုင်း ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ပထမ နှင့် ဒုတိယ ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် ဟူ၍ တစ်ခါတစ်ရံ ခေါ်ဆိုကြသည်။ <ref>{{Literatur |Autor=T. Arens et al. |Titel=Mathematik |Auflage=4. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2018 |ISBN=978-3-8274-2347-4 |Seiten=386, 389}}</ref> သီအိုရမ်၏ တိကျသော ဖော်ပြချက် နှင့် သက်သေပြချက် (proof) တို့သည် အသုံးပြုသော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း သီအိုရီ (integration theory) အပေါ် မူတည်၍ ကွဲပြားနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (Riemann integral) ကို ဦးစွာ လေ့လာသွားမည် ဖြစ်သည်။ <math>f\colon [a, b] \to \mathbb{R}</math> သည် [[ဖန်ရှင်]] (function) တစ်ခုဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ <math>f</math> ၏ [[ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်]] (antiderivative) ဆိုသည်မှာ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (differential equation) <math>F'(x) = f(x)</math> အတွက် အဖြေ <math>F</math> ဖြစ်သည်။ <math>f</math> ၏ [[ယေဘုယျ အင်တီဂရယ်]] (indefinite integral) ဆိုသည်မှာ အောက်ပါပုံစံရှိသော ဖန်ရှင် <math>F</math> မျိုးကို ဆိုလိုသည်။ *<math>F(x) = \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C</math> ဤနေရာတွင် <math>C</math> သည် ကိန်းစစ် ကိန်းသေ (real constant) ဖြစ်သည်။ == ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Calculus) == === ဖော်ပြချက် (Statement) === <math>F</math> နှင့် <math>f</math> တို့သည် သင့်လျော်သော ဖန်ရှင်များဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် သင့်လျော်သော ဆင်းသက်ချက် (derivative) နှင့် အင်တီဂရယ် (integral) သဘောတရားများကို အသုံးပြုထားသည်ဟု ယူဆပါမည်။ ထိုအခါ အောက်ပါအချက်များ မှန်ကန်သည်။ * <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဖြစ်သည်။ * <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်။ * '''တည်ရှိမှု (Existence)'''- <math>f</math> တွင် ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ * '''တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Uniqueness)'''- <math>F_1</math> နှင့် <math>F_2</math> တို့သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များ ဖြစ်ကြလျှင် <math>F_1 - F_2</math> သည် ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant function) ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ အခြေအနေများအနက်မှ တစ်ခုခုနှင့် ကိုက်ညီပါက အထက်ပါသီအိုရမ်သည် မှန်ကန်သည် *<math>F</math> သည် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင် (continuously differentiable function) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် [[ရီးမန်း အင်တီဂရယ်]] (Riemann integral) ဖြစ်သည်။ *<math>F</math> သည် ပကတိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (absolutely continuous function) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင် (integrable function) ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) တွင်ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue integral) ဖြစ်သည်။ *ပေါင်းစပ် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (synthetic differential geometry) တွင် <math>F</math> နှင့် <math>f</math> တို့သည် ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ (smooth maps) ဖြစ်ကြသည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် နဂိုမှန်အဆို (axiomatic) ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းကို အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆို (integration axiom) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === သီအိုရမ်အား ပြန်လည်ဖော်ပြခြင်း=== <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဖြစ်သည်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ပထမဦးစွာ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ရိုးရှင်းစွာ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C\right) = f(x)</math> :ဖန်ရှင်တစ်ခုကို ကိန်းသေတစ်ခု ပေါင်းထည့်ခြင်းသည် ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်ကို မပြောင်းလဲစေဟု မှတ်ယူထားပါက ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(x)</math> :ယင်းကို ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) နှင့် ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြု (generalize) နိုင်သည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^{q(x)} f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(q(x)) q'(x)</math> :<math>\int_u^v = \int_a^v - \int_a^u</math> ဖြစ်သည်ကို မှတ်ယူထားပါက ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_{p(x)}^{q(x)} f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(q(x)) q'(x) - f(p(x)) p'(x)</math> :<math>p(x)</math> အတွက် <math>u</math> ဟု ရေး၍ <math>q(x)</math> အတွက် <math>v</math> ဟု ရေးကာ နှစ်ဖက်စလုံးကို <math>\mathrm{d}x</math> ဖြင့် မြှောက်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (differential form) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\mathrm{d}\left(\int_u^v f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(v) \,\mathrm{d}v - f(u) \,\mathrm{d}u</math> တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) ၏ အပိုင်းအခြားများက ညွှန်ကြားသည့်အတိုင်း အစားထိုးခြင်း (substitution) ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာ (operator) တို့သည် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်ကိုလည်း အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ပထမဦးစွာ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ရိုးရှင်းစွာ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ကိန်းသေ <math>C</math> တစ်ခုအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\int_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t + C = F(x)</math> :<math>\int_a^a = 0</math> ဖြစ်သည်ကို မှတ်ယူထားပါက <math>C = F(a)</math> ဖြစ်သည်ကို တွေ့မြင်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ *<math>F(x) = F(a) + \int_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t</math> :ယင်းကို <math>x = b</math> ဖြစ်သည့် အထူးအခြေအနေတစ်ခုအတွက် စဉ်းစားလျှင် လုံလောက်သည်။ *<math>\int_a^b F'(t) \,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)</math> :ပထမပိုင်း၏ နောက်ဆုံးပုံစံနှင့် ကိုက်ညီစေရန်အတွက် ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်းလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ *<math>\int_a^b \mathrm{d}F(t) = F(b) - F(a)</math> :ယခင်ကဲ့သို့ပင် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်၏ အပိုင်းအခြားများက ညွှန်ကြားသည့်အတိုင်း အစားထိုးခြင်း ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာတို့သည် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ ယခုအကြိမ်တွင်မူ ဆန့်ကျင်ဘက် အစီအစဉ်ဖြင့် ချေဖျက်သွားခြင်း ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== * nLab authors: ''fundamental theorem of calculus'', nLab, 2026, Revision 19, https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+theorem+of+calculus [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ သီအိုရမ်များ]] dfsyxab4orm3l8ilp8itkv9cvho6c69 1040653 1040652 2026-06-25T04:00:59Z Mkant00 135890 1040653 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Calculus) သည် ကဲကုလပ် (calculus) ၏ အဓိက သဘောတရား နှစ်ခုဖြစ်သော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (differentiation) တို့ကို ဆက်သွယ်ပေးထားသော သီအိုရမ် (theorem) ဖြစ်သည်။ ယင်းသီအိုရမ်က ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း တို့သည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု [[မျဉ်းဖြောင့်_အော်ပရေတာ|ပြောင်းပြန် တွက်ချက်မှုများ]] (inverse operations) ဖြစ်ကြသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ သီအိုရမ်တွင် အပိုင်းနှစ်ပိုင်း ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ပထမ နှင့် ဒုတိယ ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် ဟူ၍ တစ်ခါတစ်ရံ ခေါ်ဆိုကြသည်။ <ref>{{Literatur |Autor=T. Arens et al. |Titel=Mathematik |Auflage=4. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2018 |ISBN=978-3-8274-2347-4 |Seiten=386, 389}}</ref> သီအိုရမ်၏ တိကျသော ဖော်ပြချက် နှင့် သက်သေပြချက် (proof) တို့သည် အသုံးပြုသော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း သီအိုရီ (integration theory) အပေါ် မူတည်၍ ကွဲပြားနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (Riemann integral) ကို ဦးစွာ လေ့လာသွားမည် ဖြစ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်း နှင့် လက်ခံရရှိမှု (History and Reception) == အိုင်ဆက် နယူတန် (Isaac Newton) ၏ ပညာရေးဆိုင်ရာ လမ်းပြဆရာဖြစ်သူ အိုင်ဆက် ဘာရိုး (Isaac Barrow) သည် ဧရိယာများ တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း နှင့် ထိမျဉ်းများ(tangents) တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သော ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း တို့သည် ပြောင်းပြန် လုပ်ငန်းစဉ်များ ဖြစ်ကြောင်းကို ကြိုတင်သိရှိခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း သူသည် အခြေခံသီအိုရမ်ကို ကိုယ်တိုင် ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ခြင်း မရှိပေ။ ဤသီအိုရမ်ကို ပထမဆုံး ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သူမှာ ဂျိမ်းစ် ဂရီဂိုရီ (James Gregory) ဖြစ်သည်။ သူသည် ၁၆၆၇ ခုနှစ်တွင် ၎င်း၏စာအုပ် ဂျီဩမေတြီယယ် ပါ့စ် ယူနီဗာဆလစ် (Geometriae pars universalis) ၌ ထည့်သွင်းဖော်ပြခဲ့သည်။ <ref>{{MacTutor|id=Gregory|title=James Gregory}}</ref> သို့ရာတွင် အဆိုပါ ဆက်သွယ်ချက် နှင့် ၎င်း၏ နက်ရှိုင်းသော အရေးပါမှု နှစ်ခုစလုံးကို သီးခြားစီ သိမြင်ခဲ့ကြသည့် ပထမဆုံး သင်္ချာပညာရှင်များမှာ အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရီး ဗီလ်ဟမ်း လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Gottfried Wilhelm Leibniz) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများ (infinitesimals) ကို အသုံးပြုသည့် ကဲကုလပ်ကို တီထွင်ရာမှတစ်ဆင့် ယင်းကို သိမြင်ခဲ့ကြခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၆၆၆ ခုနှစ်တွင် ရေးသားခဲ့သော အခြေခံသီအိုရမ်နှင့် ပတ်သက်သည့် နယူတန်၏ အစောပိုင်း မှတ်စုများတွင် သူသည် မူလနေရာ (origin) ကို ဖြတ်သန်းသွားသော မည်သည့် မျဉ်းကွေးများ (curves) အတွက်မဆို သီအိုရမ်ကို ရှင်းပြခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် သူသည် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းဆိုင်ရာ ကိန်းသေကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခဲ့ခြင်း မရှိပေ။ နယူတန်သည် ဤအချက်ကို ၁၆၈၆ ခုနှစ်တွင်မှ ၎င်း၏စာအုပ် ဖီလော်ဆိုဖီယယ် နာတူရာလစ် ပရင်စီပီယာ မာသမာတီကာ (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) ၌ ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ လိုက်ဘ်နစ်ဇ်သည် သီအိုရမ်ကို ၁၆၇၇ ခုနှစ်တွင် တွေ့ရှိခဲ့သည်။ သူသည် ယနေ့တိုင် အသုံးပြုနေဆဲဖြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) ကို အခြေခံအားဖြင့် အသုံးပြု၍ ရေးမှတ်ခဲ့သည်။ သီအိုရမ်၏ ခေတ်သစ် တိကျသောပုံစံကို အိုဂူးစတင်-လူဝီ ကော်ချီ (Augustin-Louis Cauchy) ထံမှ ရရှိခဲ့သည်။ သူသည် အင်တီဂရယ်၏ ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (formal definition) ကို ပထမဆုံး ဖော်ထုတ်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အင်တီဂရယ်များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Mean Value Theorem for Integrals) ကို အသုံးပြု၍ သက်သေပြချက် တစ်ခုကိုလည်း ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤအချက်များကို ၁၈၂၃ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော ၎င်း၏ ကူးရ် ဒါနာလစ်ဇ် (Cours d'Analyse) စာအုပ် အဆက်တွင် ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ကော်ချီသည် သီအိုရမ်ကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ (complex plane) တွင်လည်း လေ့လာစူးစမ်းခဲ့သည်။ ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (complex analysis) ရှိ အဓိကကျသော ရလဒ်များစွာကို သက်သေပြရန်အတွက် ယင်းသီအိုရမ်ကို သူအသုံးပြုခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစု အတွင်းတွင် ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာ (dimension) များအတွက် ယေဘုယျပြုချက်များကို တွေ့ရှိခဲ့ကြသည်။ ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည် ၎င်း၏ လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue integral) ကို အသုံးပြု၍ အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ အခြေခံသီအိုရမ်ကို တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ <math>f\colon [a, b] \to \mathbb{R}</math> သည် [[ဖန်ရှင်]] (function) တစ်ခုဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ <math>f</math> ၏ [[ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်]] (antiderivative) ဆိုသည်မှာ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (differential equation) <math>F'(x) = f(x)</math> အတွက် အဖြေ <math>F</math> ဖြစ်သည်။ <math>f</math> ၏ [[ယေဘုယျ အင်တီဂရယ်]] (indefinite integral) ဆိုသည်မှာ အောက်ပါပုံစံရှိသော ဖန်ရှင် <math>F</math> မျိုးကို ဆိုလိုသည်။ *<math>F(x) = \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C</math> ဤနေရာတွင် <math>C</math> သည် ကိန်းစစ် ကိန်းသေ (real constant) ဖြစ်သည်။ == ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Calculus) == === ဖော်ပြချက် (Statement) === <math>F</math> နှင့် <math>f</math> တို့သည် သင့်လျော်သော ဖန်ရှင်များဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် သင့်လျော်သော ဆင်းသက်ချက် (derivative) နှင့် အင်တီဂရယ် (integral) သဘောတရားများကို အသုံးပြုထားသည်ဟု ယူဆပါမည်။ ထိုအခါ အောက်ပါအချက်များ မှန်ကန်သည်။ * <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဖြစ်သည်။ * <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်။ * '''တည်ရှိမှု (Existence)'''- <math>f</math> တွင် ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ * '''တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Uniqueness)'''- <math>F_1</math> နှင့် <math>F_2</math> တို့သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များ ဖြစ်ကြလျှင် <math>F_1 - F_2</math> သည် ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant function) ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ အခြေအနေများအနက်မှ တစ်ခုခုနှင့် ကိုက်ညီပါက အထက်ပါသီအိုရမ်သည် မှန်ကန်သည် *<math>F</math> သည် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင် (continuously differentiable function) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် [[ရီးမန်း အင်တီဂရယ်]] (Riemann integral) ဖြစ်သည်။ *<math>F</math> သည် ပကတိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (absolutely continuous function) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင် (integrable function) ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) တွင်ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue integral) ဖြစ်သည်။ *ပေါင်းစပ် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (synthetic differential geometry) တွင် <math>F</math> နှင့် <math>f</math> တို့သည် ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ (smooth maps) ဖြစ်ကြသည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် နဂိုမှန်အဆို (axiomatic) ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းကို အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆို (integration axiom) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === သီအိုရမ်အား ပြန်လည်ဖော်ပြခြင်း=== <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဖြစ်သည်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ပထမဦးစွာ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ရိုးရှင်းစွာ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C\right) = f(x)</math> :ဖန်ရှင်တစ်ခုကို ကိန်းသေတစ်ခု ပေါင်းထည့်ခြင်းသည် ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်ကို မပြောင်းလဲစေဟု မှတ်ယူထားပါက ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(x)</math> :ယင်းကို ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) နှင့် ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြု (generalize) နိုင်သည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^{q(x)} f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(q(x)) q'(x)</math> :<math>\int_u^v = \int_a^v - \int_a^u</math> ဖြစ်သည်ကို မှတ်ယူထားပါက ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_{p(x)}^{q(x)} f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(q(x)) q'(x) - f(p(x)) p'(x)</math> :<math>p(x)</math> အတွက် <math>u</math> ဟု ရေး၍ <math>q(x)</math> အတွက် <math>v</math> ဟု ရေးကာ နှစ်ဖက်စလုံးကို <math>\mathrm{d}x</math> ဖြင့် မြှောက်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (differential form) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\mathrm{d}\left(\int_u^v f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(v) \,\mathrm{d}v - f(u) \,\mathrm{d}u</math> တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) ၏ အပိုင်းအခြားများက ညွှန်ကြားသည့်အတိုင်း အစားထိုးခြင်း (substitution) ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာ (operator) တို့သည် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်ကိုလည်း အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ပထမဦးစွာ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ရိုးရှင်းစွာ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ကိန်းသေ <math>C</math> တစ်ခုအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\int_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t + C = F(x)</math> :<math>\int_a^a = 0</math> ဖြစ်သည်ကို မှတ်ယူထားပါက <math>C = F(a)</math> ဖြစ်သည်ကို တွေ့မြင်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ *<math>F(x) = F(a) + \int_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t</math> :ယင်းကို <math>x = b</math> ဖြစ်သည့် အထူးအခြေအနေတစ်ခုအတွက် စဉ်းစားလျှင် လုံလောက်သည်။ *<math>\int_a^b F'(t) \,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)</math> :ပထမပိုင်း၏ နောက်ဆုံးပုံစံနှင့် ကိုက်ညီစေရန်အတွက် ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်းလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ *<math>\int_a^b \mathrm{d}F(t) = F(b) - F(a)</math> :ယခင်ကဲ့သို့ပင် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်၏ အပိုင်းအခြားများက ညွှန်ကြားသည့်အတိုင်း အစားထိုးခြင်း ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာတို့သည် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ ယခုအကြိမ်တွင်မူ ဆန့်ကျင်ဘက် အစီအစဉ်ဖြင့် ချေဖျက်သွားခြင်း ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== * nLab authors: ''fundamental theorem of calculus'', nLab, 2026, Revision 19, https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+theorem+of+calculus [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ သီအိုရမ်များ]] aeu5sqcxv88uhyrbe2cy0eystk0956q 1040656 1040653 2026-06-25T04:14:30Z Mkant00 135890 1040656 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Calculus) သည် ကဲကုလပ် (calculus) ၏ အဓိက သဘောတရား နှစ်ခုဖြစ်သော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (differentiation) တို့ကို ဆက်သွယ်ပေးထားသော သီအိုရမ် (theorem) ဖြစ်သည်။ ယင်းသီအိုရမ်က ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း တို့သည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု [[မျဉ်းဖြောင့်_အော်ပရေတာ|ပြောင်းပြန် တွက်ချက်မှုများ]] (inverse operations) ဖြစ်ကြသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ သီအိုရမ်တွင် အပိုင်းနှစ်ပိုင်း ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ပထမ နှင့် ဒုတိယ ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် ဟူ၍ တစ်ခါတစ်ရံ ခေါ်ဆိုကြသည်။ <ref>{{Literatur |Autor=T. Arens et al. |Titel=Mathematik |Auflage=4. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2018 |ISBN=978-3-8274-2347-4 |Seiten=386, 389}}</ref> သီအိုရမ်၏ တိကျသော ဖော်ပြချက် နှင့် သက်သေပြချက် (proof) တို့သည် အသုံးပြုသော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း သီအိုရီ (integration theory) အပေါ် မူတည်၍ ကွဲပြားနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (Riemann integral) ကို ဦးစွာ လေ့လာသွားမည် ဖြစ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်း နှင့် လက်ခံရရှိမှု (History and Reception) == အိုင်ဆက် နယူတန် (Isaac Newton) ၏ ပညာရေးဆိုင်ရာ လမ်းပြဆရာဖြစ်သူ အိုင်ဆက် ဘာရိုး (Isaac Barrow) သည် ဧရိယာများ တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း နှင့် ထိမျဉ်းများ(tangents) တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သော ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း တို့သည် ပြောင်းပြန် လုပ်ငန်းစဉ်များ ဖြစ်ကြောင်းကို ကြိုတင်သိရှိခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း သူသည် အခြေခံသီအိုရမ်ကို ကိုယ်တိုင် ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ခြင်း မရှိပေ။ ဤသီအိုရမ်ကို ပထမဆုံး ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သူမှာ ဂျိမ်းစ် ဂရီဂိုရီ (James Gregory) ဖြစ်သည်။ သူသည် ၁၆၆၇ ခုနှစ်တွင် ၎င်း၏စာအုပ် ဂျီဩမေတြီယယ် ပါ့စ် ယူနီဗာဆလစ် (Geometriae pars universalis) ၌ ထည့်သွင်းဖော်ပြခဲ့သည်။ <ref>{{MacTutor|id=Gregory|title=James Gregory}}</ref> သို့ရာတွင် အဆိုပါ ဆက်သွယ်ချက် နှင့် ၎င်း၏ နက်ရှိုင်းသော အရေးပါမှု နှစ်ခုစလုံးကို သီးခြားစီ သိမြင်ခဲ့ကြသည့် ပထမဆုံး သင်္ချာပညာရှင်များမှာ အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရီး ဗီလ်ဟမ်း လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Gottfried Wilhelm Leibniz) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများ (infinitesimals) ကို အသုံးပြုသည့် ကဲကုလပ်ကို တီထွင်ရာမှတစ်ဆင့် ယင်းကို သိမြင်ခဲ့ကြခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၆၆၆ ခုနှစ်တွင် ရေးသားခဲ့သော အခြေခံသီအိုရမ်နှင့် ပတ်သက်သည့် နယူတန်၏ အစောပိုင်း မှတ်စုများတွင် သူသည် မူလနေရာ (origin) ကို ဖြတ်သန်းသွားသော မည်သည့် မျဉ်းကွေးများ (curves) အတွက်မဆို သီအိုရမ်ကို ရှင်းပြခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် သူသည် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းဆိုင်ရာ ကိန်းသေကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခဲ့ခြင်း မရှိပေ။ နယူတန်သည် ဤအချက်ကို ၁၆၈၆ ခုနှစ်တွင်မှ ၎င်း၏စာအုပ် ဖီလော်ဆိုဖီယယ် နာတူရာလစ် ပရင်စီပီယာ မာသမာတီကာ (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) ၌ ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ လိုက်ဘ်နစ်ဇ်သည် သီအိုရမ်ကို ၁၆၇၇ ခုနှစ်တွင် တွေ့ရှိခဲ့သည်။ သူသည် ယနေ့တိုင် အသုံးပြုနေဆဲဖြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) ကို အခြေခံအားဖြင့် အသုံးပြု၍ ရေးမှတ်ခဲ့သည်။ သီအိုရမ်၏ ခေတ်သစ် တိကျသောပုံစံကို အိုဂူးစတင်-လူဝီ ကော်ချီ (Augustin-Louis Cauchy) ထံမှ ရရှိခဲ့သည်။ သူသည် အင်တီဂရယ်၏ ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (formal definition) ကို ပထမဆုံး ဖော်ထုတ်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အင်တီဂရယ်များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Mean Value Theorem for Integrals) ကို အသုံးပြု၍ သက်သေပြချက် တစ်ခုကိုလည်း ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤအချက်များကို ၁၈၂၃ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော ၎င်း၏ ကူးရ် ဒါနာလစ်ဇ် (Cours d'Analyse) စာအုပ် အဆက်တွင် ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ကော်ချီသည် သီအိုရမ်ကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ (complex plane) တွင်လည်း လေ့လာစူးစမ်းခဲ့သည်။ ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (complex analysis) ရှိ အဓိကကျသော ရလဒ်များစွာကို သက်သေပြရန်အတွက် ယင်းသီအိုရမ်ကို သူအသုံးပြုခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစု အတွင်းတွင် ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာ (dimension) များအတွက် ယေဘုယျပြုချက်များကို တွေ့ရှိခဲ့ကြသည်။ ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည် ၎င်း၏ လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue integral) ကို အသုံးပြု၍ အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ အခြေခံသီအိုရမ်ကို တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ == ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (The Theorem) == === ပထမပိုင်း သီအိုရမ် (First Fundamental Theorem of Calculus) === သီအိုရမ်၏ ပထမပိုင်းသည် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များ (antiderivatives) ၏ တည်ရှိမှု (existence) ကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း တို့အကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်ကိုလည်း တည်ဆောက်ပေးသည်။ <math>f: I \to \mathbb{R}</math> သည် ကိန်းစစ် အပိုင်းအခြား (real interval) <math>I</math> ပေါ်ရှိ ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ <math>c \in I</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော စုဆောင်း ဖန်ရှင် (accumulation function) သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ် ဖန်ရှင်<math>F: I \to \mathbb{R}</math> သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ :<math>F(x) = \int_{c}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t</math> ထို့အပြင် ယင်း <math> F</math> သည် <math> f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math> x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math> F'(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ ကျစ်လျစ်သော အပိုင်းအခြား (compact interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ မည်သည့် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်အတွက်မဆို ရီးမန်း အင်တီဂရယ် တည်ရှိသည်ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိ (property) မှတစ်ဆင့် ဖန်ရှင် <math> F</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> I</math> တစ်ခုလုံးပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားကြောင်းကို သိရှိနိုင်သည်။အထူးသဖြင့် <math> f</math> သည် အမှတ် <math> x_0</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပါက <math> F</math> သည်လည်း <math> x_0</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရပြီး <math> F'(x_0) = f(x_0)</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math> x_0</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> I</math> ၏ အစွန်းမှတ် (endpoint) တစ်ခုဖြစ်ပါက ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုကို တစ်ဖက်သတ် (one-sided) အနေဖြင့် နားလည်မှတ်ယူရမည်။ === ဒုတိယပိုင်း သီအိုရမ် (Second Fundamental Theorem of Calculus) === သီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းသည် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များကို အသုံးပြု၍ သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်များ (definite integrals) ကို မည်သို့ တွက်ချက်ရမည်ကို ရှင်းပြထားသည်။ <math> f: [a,b] \to \mathbb{R}</math> သည် အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) <math> [a,b]</math> ပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ၎င်းတွင် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် <math> F: [a,b] \to \mathbb{R}</math> တစ်ခု ရှိသည်ဟု ယူဆပါမည်။ ထိုအခါ အောက်ပါ နယူတန်-လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ပုံသေနည်း (Newton-Leibniz formula) သည် မှန်ကန်သည်။ <ref>{{Literatur |Autor=Vladimir A. Zorich |Titel=Analysis I |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-33277-0 |Seiten=380 |Abruf=}}</ref> :<math> \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math> အများသုံး အတိုချုံး သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းဖြစ်သော <math> F(x) \big|_a^b := F(b) - F(a)</math> သို့မဟုတ် <math> [F(x)]_a^b</math> ကို အသုံးပြု၍ သီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းကို အောက်ပါအတိုင်း မကြာခဏ ရေးသားလေ့ရှိသည်။ :<math> \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = F(x) \big|_a^b</math> မှတ်ချက်။ <math> f</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> [a,b]</math> တစ်ခုလုံးပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်ကို ဖြေလျှော့ပေးနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math> f</math> သည် <math> [a,b]</math> အတွင်း အဆုံးရှိအကြိမ်အရေအတွက် (finite number of times) သာ ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (jump discontinuity) များ ရှိနေပါကလည်း သီအိုရမ်သည် ဆက်လက် မှန်ကန်နေဆဲ ဖြစ်သည်။ == ယေဘုယျပြုချက်များ နှင့် အဆင့်မြင့် ဖော်ပြချက်များ (Generalizations and Advanced Formulations) == ယေဘုယျအားဖြင့် <math> F</math> သည် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (differential equation) <math> F'(x) = f(x)</math> ၏ အဖြေတစ်ခု ဖြစ်ပါက ယင်း <math> F</math> ကို <math> f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ <math> C</math> သည် ကိန်းစစ် ကိန်းသေ (real constant) ဖြစ်ပါက <math> F(x) = \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C</math> ပုံစံရှိသော ဖန်ရှင်များကို ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် (indefinite integral) ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ သင့်လျော်သော ဖန်ရှင်များနှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း သဘောတရားများကို အသုံးပြုပါက အောက်ပါအချက်များ မှန်ကန်သည်။ * <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဖြစ်သည်။ * <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်။ * '''တည်ရှိမှု (Existence)'''- <math>f</math> တွင် ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ * '''တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Uniqueness)'''- <math>F_1</math> နှင့် <math>F_2</math> တို့သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များ ဖြစ်ကြလျှင် <math>F_1 - F_2</math> သည် ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant function) ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ အခြေအနေများအနက်မှ တစ်ခုခုနှင့် ကိုက်ညီပါကလည်း အခြေခံသီအိုရမ်သည် ပိုမိုကျယ်ပြန့်စွာ မှန်ကန်သည်။ *<math>F</math> သည် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင် (continuously differentiable function) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် [[ရီးမန်း အင်တီဂရယ်]] (Riemann integral) ဖြစ်သည်။ *<math>F</math> သည် ပကတိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (absolutely continuous function) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင် (integrable function) ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) တွင်ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue integral) ဖြစ်သည်။ *ပေါင်းစပ် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (synthetic differential geometry) တွင် <math>F</math> နှင့် <math>f</math> တို့သည် ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ (smooth maps) ဖြစ်ကြသည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် နဂိုမှန်အဆို (axiomatic) ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းကို အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆို (integration axiom) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === သီအိုရမ်အား ပြန်လည်ဖော်ပြခြင်း (Restatement of the Theorem)=== <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဖြစ်သည်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ပထမဦးစွာ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ရိုးရှင်းစွာ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C\right) = f(x)</math> :ဖန်ရှင်တစ်ခုကို ကိန်းသေတစ်ခု ပေါင်းထည့်ခြင်းသည် ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်ကို မပြောင်းလဲစေဟု မှတ်ယူထားပါက ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(x)</math> :ယင်းကို ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) နှင့် ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြု (generalize) နိုင်သည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^{q(x)} f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(q(x)) q'(x)</math> :<math>\int_u^v = \int_a^v - \int_a^u</math> ဖြစ်သည်ကို မှတ်ယူထားပါက ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_{p(x)}^{q(x)} f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(q(x)) q'(x) - f(p(x)) p'(x)</math> :<math>p(x)</math> အတွက် <math>u</math> ဟု ရေး၍ <math>q(x)</math> အတွက် <math>v</math> ဟု ရေးကာ နှစ်ဖက်စလုံးကို <math>\mathrm{d}x</math> ဖြင့် မြှောက်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (differential form) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\mathrm{d}\left(\int_u^v f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(v) \,\mathrm{d}v - f(u) \,\mathrm{d}u</math> တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) ၏ အပိုင်းအခြားများက ညွှန်ကြားသည့်အတိုင်း အစားထိုးခြင်း (substitution) ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာ (operator) တို့သည် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်ကိုလည်း အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ပထမဦးစွာ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ရိုးရှင်းစွာ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ကိန်းသေ <math>C</math> တစ်ခုအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\int_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t + C = F(x)</math> :<math>\int_a^a = 0</math> ဖြစ်သည်ကို မှတ်ယူထားပါက <math>C = F(a)</math> ဖြစ်သည်ကို တွေ့မြင်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ *<math>F(x) = F(a) + \int_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t</math> :ယင်းကို <math>x = b</math> ဖြစ်သည့် အထူးအခြေအနေတစ်ခုအတွက် စဉ်းစားလျှင် လုံလောက်သည်။ *<math>\int_a^b F'(t) \,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)</math> :ပထမပိုင်း၏ နောက်ဆုံးပုံစံနှင့် ကိုက်ညီစေရန်အတွက် ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်းလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ *<math>\int_a^b \mathrm{d}F(t) = F(b) - F(a)</math> :ယခင်ကဲ့သို့ပင် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်၏ အပိုင်းအခြားများက ညွှန်ကြားသည့်အတိုင်း အစားထိုးခြင်း ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာတို့သည် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ ယခုအကြိမ်တွင်မူ ဆန့်ကျင်ဘက် အစီအစဉ်ဖြင့် ချေဖျက်သွားခြင်း ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== * nLab authors: ''fundamental theorem of calculus'', nLab, 2026, Revision 19, https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+theorem+of+calculus [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ သီအိုရမ်များ]] qidron7fnynmye2afp0iw5tn65x7rdr 1040666 1040656 2026-06-25T04:33:04Z Mkant00 135890 1040666 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Calculus) သည် ကဲကုလပ် (calculus) ၏ အဓိက သဘောတရား နှစ်ခုဖြစ်သော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (differentiation) တို့ကို ဆက်သွယ်ပေးထားသော သီအိုရမ် (theorem) ဖြစ်သည်။ ယင်းသီအိုရမ်က ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း တို့သည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု [[မျဉ်းဖြောင့်_အော်ပရေတာ|ပြောင်းပြန် တွက်ချက်မှုများ]] (inverse operations) ဖြစ်ကြသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ သီအိုရမ်တွင် အပိုင်းနှစ်ပိုင်း ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ပထမ နှင့် ဒုတိယ ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် ဟူ၍ တစ်ခါတစ်ရံ ခေါ်ဆိုကြသည်။ <ref>{{Literatur |Autor=T. Arens et al. |Titel=Mathematik |Auflage=4. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2018 |ISBN=978-3-8274-2347-4 |Seiten=386, 389}}</ref> သီအိုရမ်၏ တိကျသော ဖော်ပြချက် နှင့် သက်သေပြချက် (proof) တို့သည် အသုံးပြုသော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း သီအိုရီ (integration theory) အပေါ် မူတည်၍ ကွဲပြားနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (Riemann integral) ကို ဦးစွာ လေ့လာသွားမည် ဖြစ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်း နှင့် လက်ခံရရှိမှု (History and Reception) == အိုင်ဆက် နယူတန် (Isaac Newton) ၏ ပညာရေးဆိုင်ရာ လမ်းပြဆရာဖြစ်သူ အိုင်ဆက် ဘာရိုး (Isaac Barrow) သည် ဧရိယာများ တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း နှင့် ထိမျဉ်းများ(tangents) တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သော ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း တို့သည် ပြောင်းပြန် လုပ်ငန်းစဉ်များ ဖြစ်ကြောင်းကို ကြိုတင်သိရှိခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း သူသည် အခြေခံသီအိုရမ်ကို ကိုယ်တိုင် ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ခြင်း မရှိပေ။ ဤသီအိုရမ်ကို ပထမဆုံး ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သူမှာ ဂျိမ်းစ် ဂရီဂိုရီ (James Gregory) ဖြစ်သည်။ သူသည် ၁၆၆၇ ခုနှစ်တွင် ၎င်း၏စာအုပ် ဂျီဩမေတြီယယ် ပါ့စ် ယူနီဗာဆလစ် (Geometriae pars universalis) ၌ ထည့်သွင်းဖော်ပြခဲ့သည်။ <ref>{{MacTutor|id=Gregory|title=James Gregory}}</ref> သို့ရာတွင် အဆိုပါ ဆက်သွယ်ချက် နှင့် ၎င်း၏ နက်ရှိုင်းသော အရေးပါမှု နှစ်ခုစလုံးကို သီးခြားစီ သိမြင်ခဲ့ကြသည့် ပထမဆုံး သင်္ချာပညာရှင်များမှာ အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရီး ဗီလ်ဟမ်း လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Gottfried Wilhelm Leibniz) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများ (infinitesimals) ကို အသုံးပြုသည့် ကဲကုလပ်ကို တီထွင်ရာမှတစ်ဆင့် ယင်းကို သိမြင်ခဲ့ကြခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၆၆၆ ခုနှစ်တွင် ရေးသားခဲ့သော အခြေခံသီအိုရမ်နှင့် ပတ်သက်သည့် နယူတန်၏ အစောပိုင်း မှတ်စုများတွင် သူသည် မူလနေရာ (origin) ကို ဖြတ်သန်းသွားသော မည်သည့် မျဉ်းကွေးများ (curves) အတွက်မဆို သီအိုရမ်ကို ရှင်းပြခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် သူသည် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းဆိုင်ရာ ကိန်းသေကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခဲ့ခြင်း မရှိပေ။ နယူတန်သည် ဤအချက်ကို ၁၆၈၆ ခုနှစ်တွင်မှ ၎င်း၏စာအုပ် ဖီလော်ဆိုဖီယယ် နာတူရာလစ် ပရင်စီပီယာ မာသမာတီကာ (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) ၌ ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ လိုက်ဘ်နစ်ဇ်သည် သီအိုရမ်ကို ၁၆၇၇ ခုနှစ်တွင် တွေ့ရှိခဲ့သည်။ သူသည် ယနေ့တိုင် အသုံးပြုနေဆဲဖြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) ကို အခြေခံအားဖြင့် အသုံးပြု၍ ရေးမှတ်ခဲ့သည်။ သီအိုရမ်၏ ခေတ်သစ် တိကျသောပုံစံကို အိုဂူးစတင်-လူဝီ ကော်ချီ (Augustin-Louis Cauchy) ထံမှ ရရှိခဲ့သည်။ သူသည် အင်တီဂရယ်၏ ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (formal definition) ကို ပထမဆုံး ဖော်ထုတ်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အင်တီဂရယ်များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Mean Value Theorem for Integrals) ကို အသုံးပြု၍ သက်သေပြချက် တစ်ခုကိုလည်း ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤအချက်များကို ၁၈၂၃ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော ၎င်း၏ ကူးရ် ဒါနာလစ်ဇ် (Cours d'Analyse) စာအုပ် အဆက်တွင် ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ကော်ချီသည် သီအိုရမ်ကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ (complex plane) တွင်လည်း လေ့လာစူးစမ်းခဲ့သည်။ ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (complex analysis) ရှိ အဓိကကျသော ရလဒ်များစွာကို သက်သေပြရန်အတွက် ယင်းသီအိုရမ်ကို သူအသုံးပြုခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစု အတွင်းတွင် ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာ (dimension) များအတွက် ယေဘုယျပြုချက်များကို တွေ့ရှိခဲ့ကြသည်။ ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည် ၎င်း၏ လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue integral) ကို အသုံးပြု၍ အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ အခြေခံသီအိုရမ်ကို တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ == ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (The Theorem) == === ပထမပိုင်း သီအိုရမ် (First Fundamental Theorem of Calculus) === သီအိုရမ်၏ ပထမပိုင်းသည် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များ (antiderivatives) ၏ တည်ရှိမှု (existence) ကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း တို့အကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်ကိုလည်း တည်ဆောက်ပေးသည်။ <math>f: I \to \mathbb{R}</math> သည် ကိန်းစစ် အပိုင်းအခြား (real interval) <math>I</math> ပေါ်ရှိ ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ <math>c \in I</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော စုဆောင်း ဖန်ရှင် (accumulation function) သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ် ဖန်ရှင်<math>F: I \to \mathbb{R}</math> သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ :<math>F(x) = \int_{c}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t</math> ထို့အပြင် ယင်း <math> F</math> သည် <math> f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math> x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math> F'(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ ကျစ်လျစ်သော အပိုင်းအခြား (compact interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ မည်သည့် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်အတွက်မဆို ရီးမန်း အင်တီဂရယ် တည်ရှိသည်ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိ (property) မှတစ်ဆင့် ဖန်ရှင် <math> F</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> I</math> တစ်ခုလုံးပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားကြောင်းကို သိရှိနိုင်သည်။အထူးသဖြင့် <math> f</math> သည် အမှတ် <math> x_0</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပါက <math> F</math> သည်လည်း <math> x_0</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရပြီး <math> F'(x_0) = f(x_0)</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math> x_0</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> I</math> ၏ အစွန်းမှတ် (endpoint) တစ်ခုဖြစ်ပါက ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုကို တစ်ဖက်သတ် (one-sided) အနေဖြင့် နားလည်မှတ်ယူရမည်။ === ဒုတိယပိုင်း သီအိုရမ် (Second Fundamental Theorem of Calculus) === သီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းသည် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များကို အသုံးပြု၍ သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်များ (definite integrals) ကို မည်သို့ တွက်ချက်ရမည်ကို ရှင်းပြထားသည်။ <math> f: [a,b] \to \mathbb{R}</math> သည် အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) <math> [a,b]</math> ပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ၎င်းတွင် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် <math> F: [a,b] \to \mathbb{R}</math> တစ်ခု ရှိသည်ဟု ယူဆပါမည်။ ထိုအခါ အောက်ပါ နယူတန်-လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ပုံသေနည်း (Newton-Leibniz formula) သည် မှန်ကန်သည်။ <ref>{{Literatur |Autor=Vladimir A. Zorich |Titel=Analysis I |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-33277-0 |Seiten=380 |Abruf=}}</ref> :<math> \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math> အများသုံး အတိုချုံး သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းဖြစ်သော <math> F(x) \big|_a^b := F(b) - F(a)</math> သို့မဟုတ် <math> [F(x)]_a^b</math> ကို အသုံးပြု၍ သီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းကို အောက်ပါအတိုင်း မကြာခဏ ရေးသားလေ့ရှိသည်။ :<math> \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = F(x) \big|_a^b</math> မှတ်ချက်။ <math> f</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> [a,b]</math> တစ်ခုလုံးပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်ကို ဖြေလျှော့ပေးနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math> f</math> သည် <math> [a,b]</math> အတွင်း အဆုံးရှိအကြိမ်အရေအတွက် (finite number of times) သာ ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (jump discontinuity) များ ရှိနေပါကလည်း သီအိုရမ်သည် ဆက်လက် မှန်ကန်နေဆဲ ဖြစ်သည်။ == သက်သေပြချက် (Proof) == === ပထမပိုင်း (First Part) === ပထမပိုင်းအတွက် <math>F</math> ၏ ဆင်းသက်ချက် (derivative) ဖြစ်သော စုဆုံမှတ် (limit) <math>\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}</math> သည် တည်ရှိပြီး <math>f(x)</math> နှင့် ညီမျှကြောင်းကို ပြသရမည် ဖြစ်သည်။ <math>x \in I</math> ကို အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသည် ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ <math>x + h \in I</math> ဖြစ်စေမည့် မည်သည့် <math>h \neq 0</math> အတွက်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်းကို ရရှိသည်။ :<math>\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \left( \int_{c}^{x+h} f(t) \, \mathrm{d}t - \int_{c}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \right) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) \, \mathrm{d}t</math> သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Mean Value Theorem) အရ <math>x</math> နှင့် <math>x+h</math> ကြားတွင် ကိန်းစစ် (real number) <math>\xi_h</math> တစ်ခု တည်ရှိပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) \, \mathrm{d}t = f(\xi_h)</math> <math>h \to 0</math> ဖြစ်သောအခါ <math>\xi_h \to x</math> ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>f</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) ဖြစ်သောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဆက်လက်ရရှိသည်။ :<math>\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \lim_{h \to 0} f(\xi_h) = f(x)</math> သို့ဖြစ်၍ <math>F'(x)</math> သည် တည်ရှိပြီး <math>f(x)</math> နှင့် ညီမျှသည်။ === အခြား သက်သေပြနည်း (Alternative Proof) === ဤသက်သေပြနည်းတွင် အင်တီဂရယ်များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို အသုံးပြုထားခြင်း မရှိပေ။ ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များစွာတွင် အင်တီဂရယ်များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို အခြေခံသီအိုရမ်မှတစ်ဆင့် ဆင်းသက်ဖော်ပြလေ့ရှိကြသည်။ ထို့ကြောင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (Riemann integral) ၏ အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများပေါ်တွင်သာ မှီခိုသော အခြားသက်သေပြနည်း တစ်ခုကို ဤနေရာတွင် ဖော်ပြပေးမည် ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများမှာ မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု(linearity)၊ တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality)၊ အစဉ်လိုက်ဖြစ်မှု (monotonicity) နှင့် ကြားပိုင်း ပေါင်းစပ်နိုင်မှု (interval additivity) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ အထက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သကဲ့သို့ပင် <math>F</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော အမှတ် (arbitrary point) <math>x_0</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရကြောင်းနှင့် <math>F'(x_0) = f(x_0)</math> ဖြစ်ကြောင်းကို ပြသသွားမည် ဖြစ်သည်။ ဤသို့ ပြသရန်အတွက် စုဆုံမှတ်၏ ပုံစံတကျ (formal) <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math> အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို စစ်ဆေးရမည် ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>\left| \frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} - f(x_0) \right| \leq \varepsilon</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု တည်ရှိကြောင်းကို ပြသရမည် ဖြစ်သည်။ <math>\varepsilon > 0</math> ကို အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသည် ဆိုပါစို့။ <math>x \neq x_0</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math> \begin{align} \left| \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} - f(x_0) \right| & = \left| \frac{1}{x-x_0} \left( \int_c^x f(t)\,\mathrm dt - \int_c^{x_0} f(t)\,\mathrm dt \right) -f(x_0) \right|\\ & = \left| \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(t)\,\mathrm dt - \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(x_0)\, \mathrm dt \right|\\ & = \left| \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x (f(t)-f(x_0))\, \mathrm dt \right|\\ & \leq \frac{1}{|x-x_0|}\int_{x_0}^x |f(t)-f(x_0)|\,\mathrm dt. \end{align} </math> ညာဘက်ခြမ်းရှိ ဖော်ပြချက်ကို အထက်ဘောင် (upper bound) သတ်မှတ်ရန်အတွက် အမှတ် <math>x_0</math> ရှိ <math>f</math> ၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုရမည် ဖြစ်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိအရ <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု အသေအချာ တည်ရှိနေသည်။ ယင်း <math>x</math> များအတွက် နောက်ဆုံးကြောင်းရှိ အင်တီဂရယ်ကို <math>\int_{x_0}^{x} |f(t) - f(x_0)| \, \mathrm{d}t \leq |x - x_0| \varepsilon</math> ဖြင့် ဘောင်ခတ်နိုင်သည်။ ခြုံငုံကြည့်လျှင် ဤအချက်က <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>\left| \frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} - f(x_0) \right| \leq \varepsilon</math> ဖြစ်စေကြောင်းကို ဖော်ပြနေသည်။ === ဒုတိယပိုင်း (Second Part) === <math>f</math> သည် အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) <math>[a,b]</math> ပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ပထမပိုင်းရှိ စုဆောင်း ဖန်ရှင် (accumulation function) တွင် <math>c = a</math> ဟု သတ်မှတ်လိုက်ပါက <math>F(a) = 0</math> နှင့် <math>F(b) = \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x</math> ဖြစ်လာမည် ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ ဤသီးသန့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (antiderivative) အတွက် <math>\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t = F(b) - F(a)</math> သည် မှန်ကန်သည်။ သို့ရာတွင် အခြားသော မည်သည့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်မဆို ဤပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်နှင့် ကိန်းသေ (constant) တစ်ခုစာမျှသာ ကွာခြားပြီး အဆိုပါ ကိန်းသေသည် နှုတ်ခြင်း ပြုလုပ်စဉ်တွင် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ ထို့ကြောင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် အားလုံးအတွက် သီအိုရမ် မှန်ကန်ကြောင်းကို သက်သေပြပြီး ဖြစ်သည်။ မှတ်ချက်။ အခြေခံသီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းကို ရီးမန်း ပေါင်းလဒ်များ (Riemann sums) ၏ စုဆုံမှတ် ဟူသော ရီးမန်း အင်တီဂရယ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ဆီသို့ ပြန်သွားခြင်းဖြင့် ပထမပိုင်းနှင့် အမှီအခိုကင်းစွာ သီးခြား သက်သေပြနိုင်သည်။ ဤကိစ္စတွင် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခံကိန်း (integrand) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ရန် မလိုအပ်ဘဲ ရီးမန်း အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသည် (Riemann-integrable) ဟု ယူဆရန်သာ လိုအပ်သည်။ <ref>{{Literatur |Autor=Oliver Deiser |Titel=Analysis 2 |Datum=2021 |Seiten=74 |Online=https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=analysis2_1_4_Hauptsatz%20I}}</ref> == ယေဘုယျပြုချက်များ နှင့် အဆင့်မြင့် ဖော်ပြချက်များ (Generalizations and Advanced Formulations) == ယေဘုယျအားဖြင့် <math> F</math> သည် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (differential equation) <math> F'(x) = f(x)</math> ၏ အဖြေတစ်ခု ဖြစ်ပါက ယင်း <math> F</math> ကို <math> f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ <math> C</math> သည် ကိန်းစစ် ကိန်းသေ (real constant) ဖြစ်ပါက <math> F(x) = \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C</math> ပုံစံရှိသော ဖန်ရှင်များကို ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် (indefinite integral) ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ သင့်လျော်သော ဖန်ရှင်များနှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း သဘောတရားများကို အသုံးပြုပါက အောက်ပါအချက်များ မှန်ကန်သည်။ * <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဖြစ်သည်။ * <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်။ * '''တည်ရှိမှု (Existence)'''- <math>f</math> တွင် ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ * '''တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Uniqueness)'''- <math>F_1</math> နှင့် <math>F_2</math> တို့သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များ ဖြစ်ကြလျှင် <math>F_1 - F_2</math> သည် ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant function) ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ အခြေအနေများအနက်မှ တစ်ခုခုနှင့် ကိုက်ညီပါကလည်း အခြေခံသီအိုရမ်သည် ပိုမိုကျယ်ပြန့်စွာ မှန်ကန်သည်။ *<math>F</math> သည် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင် (continuously differentiable function) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် [[ရီးမန်း အင်တီဂရယ်]] (Riemann integral) ဖြစ်သည်။ *<math>F</math> သည် ပကတိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (absolutely continuous function) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင် (integrable function) ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) တွင်ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue integral) ဖြစ်သည်။ *ပေါင်းစပ် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (synthetic differential geometry) တွင် <math>F</math> နှင့် <math>f</math> တို့သည် ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ (smooth maps) ဖြစ်ကြသည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် နဂိုမှန်အဆို (axiomatic) ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းကို အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆို (integration axiom) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === သီအိုရမ်အား ပြန်လည်ဖော်ပြခြင်း (Restatement of the Theorem)=== <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဖြစ်သည်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ပထမဦးစွာ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ရိုးရှင်းစွာ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C\right) = f(x)</math> :ဖန်ရှင်တစ်ခုကို ကိန်းသေတစ်ခု ပေါင်းထည့်ခြင်းသည် ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်ကို မပြောင်းလဲစေဟု မှတ်ယူထားပါက ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(x)</math> :ယင်းကို ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) နှင့် ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြု (generalize) နိုင်သည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^{q(x)} f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(q(x)) q'(x)</math> :<math>\int_u^v = \int_a^v - \int_a^u</math> ဖြစ်သည်ကို မှတ်ယူထားပါက ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_{p(x)}^{q(x)} f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(q(x)) q'(x) - f(p(x)) p'(x)</math> :<math>p(x)</math> အတွက် <math>u</math> ဟု ရေး၍ <math>q(x)</math> အတွက် <math>v</math> ဟု ရေးကာ နှစ်ဖက်စလုံးကို <math>\mathrm{d}x</math> ဖြင့် မြှောက်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (differential form) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\mathrm{d}\left(\int_u^v f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(v) \,\mathrm{d}v - f(u) \,\mathrm{d}u</math> တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) ၏ အပိုင်းအခြားများက ညွှန်ကြားသည့်အတိုင်း အစားထိုးခြင်း (substitution) ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာ (operator) တို့သည် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်ကိုလည်း အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ပထမဦးစွာ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ရိုးရှင်းစွာ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ကိန်းသေ <math>C</math> တစ်ခုအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\int_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t + C = F(x)</math> :<math>\int_a^a = 0</math> ဖြစ်သည်ကို မှတ်ယူထားပါက <math>C = F(a)</math> ဖြစ်သည်ကို တွေ့မြင်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ *<math>F(x) = F(a) + \int_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t</math> :ယင်းကို <math>x = b</math> ဖြစ်သည့် အထူးအခြေအနေတစ်ခုအတွက် စဉ်းစားလျှင် လုံလောက်သည်။ *<math>\int_a^b F'(t) \,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)</math> :ပထမပိုင်း၏ နောက်ဆုံးပုံစံနှင့် ကိုက်ညီစေရန်အတွက် ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်းလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ *<math>\int_a^b \mathrm{d}F(t) = F(b) - F(a)</math> :ယခင်ကဲ့သို့ပင် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်၏ အပိုင်းအခြားများက ညွှန်ကြားသည့်အတိုင်း အစားထိုးခြင်း ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာတို့သည် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ ယခုအကြိမ်တွင်မူ ဆန့်ကျင်ဘက် အစီအစဉ်ဖြင့် ချေဖျက်သွားခြင်း ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== * nLab authors: ''fundamental theorem of calculus'', nLab, 2026, Revision 19, https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+theorem+of+calculus [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ သီအိုရမ်များ]] k2z3xkak1chu6bpdg1g1fmfslb5lzr7 1040667 1040666 2026-06-25T04:38:47Z Mkant00 135890 1040667 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Calculus) သည် ကဲကုလပ် (calculus) ၏ အဓိက သဘောတရား နှစ်ခုဖြစ်သော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (differentiation) တို့ကို ဆက်သွယ်ပေးထားသော သီအိုရမ် (theorem) ဖြစ်သည်။ ယင်းသီအိုရမ်က ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း တို့သည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု [[မျဉ်းဖြောင့်_အော်ပရေတာ|ပြောင်းပြန် တွက်ချက်မှုများ]] (inverse operations) ဖြစ်ကြသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ သီအိုရမ်တွင် အပိုင်းနှစ်ပိုင်း ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ပထမ နှင့် ဒုတိယ ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် ဟူ၍ တစ်ခါတစ်ရံ ခေါ်ဆိုကြသည်။ <ref> {{Citation |author=T. Arens et al. |title=Mathematik |edition=4. |publication-place=Berlin |publisher=Springer |date=2018 |isbn=978-3-8274-2347-4 |pages=386, 389 |language=de}}</ref> သီအိုရမ်၏ တိကျသော ဖော်ပြချက် နှင့် သက်သေပြချက် (proof) တို့သည် အသုံးပြုသော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း သီအိုရီ (integration theory) အပေါ် မူတည်၍ ကွဲပြားနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (Riemann integral) ကို ဦးစွာ လေ့လာသွားမည် ဖြစ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်း နှင့် လက်ခံရရှိမှု (History and Reception) == အိုင်ဆက် နယူတန် (Isaac Newton) ၏ ပညာရေးဆိုင်ရာ လမ်းပြဆရာဖြစ်သူ အိုင်ဆက် ဘာရိုး (Isaac Barrow) သည် ဧရိယာများ တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း နှင့် ထိမျဉ်းများ(tangents) တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သော ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း တို့သည် ပြောင်းပြန် လုပ်ငန်းစဉ်များ ဖြစ်ကြောင်းကို ကြိုတင်သိရှိခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း သူသည် အခြေခံသီအိုရမ်ကို ကိုယ်တိုင် ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ခြင်း မရှိပေ။ ဤသီအိုရမ်ကို ပထမဆုံး ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သူမှာ ဂျိမ်းစ် ဂရီဂိုရီ (James Gregory) ဖြစ်သည်။ သူသည် ၁၆၆၇ ခုနှစ်တွင် ၎င်း၏စာအုပ် ဂျီဩမေတြီယယ် ပါ့စ် ယူနီဗာဆလစ် (Geometriae pars universalis) ၌ ထည့်သွင်းဖော်ပြခဲ့သည်။ <ref>{{Citation |last1=O'Connor |first1=John J. |last2=Robertson |first2=Edmund F. |title=James Gregory |work=MacTutor History of Mathematics Archive |publisher=University of St Andrews |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gregory/}}</ref> သို့ရာတွင် အဆိုပါ ဆက်သွယ်ချက် နှင့် ၎င်း၏ နက်ရှိုင်းသော အရေးပါမှု နှစ်ခုစလုံးကို သီးခြားစီ သိမြင်ခဲ့ကြသည့် ပထမဆုံး သင်္ချာပညာရှင်များမှာ အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရီး ဗီလ်ဟမ်း လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Gottfried Wilhelm Leibniz) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများ (infinitesimals) ကို အသုံးပြုသည့် ကဲကုလပ်ကို တီထွင်ရာမှတစ်ဆင့် ယင်းကို သိမြင်ခဲ့ကြခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၆၆၆ ခုနှစ်တွင် ရေးသားခဲ့သော အခြေခံသီအိုရမ်နှင့် ပတ်သက်သည့် နယူတန်၏ အစောပိုင်း မှတ်စုများတွင် သူသည် မူလနေရာ (origin) ကို ဖြတ်သန်းသွားသော မည်သည့် မျဉ်းကွေးများ (curves) အတွက်မဆို သီအိုရမ်ကို ရှင်းပြခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် သူသည် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းဆိုင်ရာ ကိန်းသေကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခဲ့ခြင်း မရှိပေ။ နယူတန်သည် ဤအချက်ကို ၁၆၈၆ ခုနှစ်တွင်မှ ၎င်း၏စာအုပ် ဖီလော်ဆိုဖီယယ် နာတူရာလစ် ပရင်စီပီယာ မာသမာတီကာ (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) ၌ ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ လိုက်ဘ်နစ်ဇ်သည် သီအိုရမ်ကို ၁၆၇၇ ခုနှစ်တွင် တွေ့ရှိခဲ့သည်။ သူသည် ယနေ့တိုင် အသုံးပြုနေဆဲဖြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) ကို အခြေခံအားဖြင့် အသုံးပြု၍ ရေးမှတ်ခဲ့သည်။ သီအိုရမ်၏ ခေတ်သစ် တိကျသောပုံစံကို အိုဂူးစတင်-လူဝီ ကော်ချီ (Augustin-Louis Cauchy) ထံမှ ရရှိခဲ့သည်။ သူသည် အင်တီဂရယ်၏ ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (formal definition) ကို ပထမဆုံး ဖော်ထုတ်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အင်တီဂရယ်များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Mean Value Theorem for Integrals) ကို အသုံးပြု၍ သက်သေပြချက် တစ်ခုကိုလည်း ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤအချက်များကို ၁၈၂၃ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော ၎င်း၏ ကူးရ် ဒါနာလစ်ဇ် (Cours d'Analyse) စာအုပ် အဆက်တွင် ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ကော်ချီသည် သီအိုရမ်ကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ (complex plane) တွင်လည်း လေ့လာစူးစမ်းခဲ့သည်။ ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (complex analysis) ရှိ အဓိကကျသော ရလဒ်များစွာကို သက်သေပြရန်အတွက် ယင်းသီအိုရမ်ကို သူအသုံးပြုခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစု အတွင်းတွင် ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာ (dimension) များအတွက် ယေဘုယျပြုချက်များကို တွေ့ရှိခဲ့ကြသည်။ ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည် ၎င်း၏ လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue integral) ကို အသုံးပြု၍ အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ အခြေခံသီအိုရမ်ကို တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ == ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (The Theorem) == === ပထမပိုင်း သီအိုရမ် (First Fundamental Theorem of Calculus) === သီအိုရမ်၏ ပထမပိုင်းသည် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များ (antiderivatives) ၏ တည်ရှိမှု (existence) ကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း တို့အကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်ကိုလည်း တည်ဆောက်ပေးသည်။ <math>f: I \to \mathbb{R}</math> သည် ကိန်းစစ် အပိုင်းအခြား (real interval) <math>I</math> ပေါ်ရှိ ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ <math>c \in I</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော စုဆောင်း ဖန်ရှင် (accumulation function) သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ် ဖန်ရှင်<math>F: I \to \mathbb{R}</math> သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ :<math>F(x) = \int_{c}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t</math> ထို့အပြင် ယင်း <math> F</math> သည် <math> f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math> x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math> F'(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ ကျစ်လျစ်သော အပိုင်းအခြား (compact interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ မည်သည့် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်အတွက်မဆို ရီးမန်း အင်တီဂရယ် တည်ရှိသည်ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိ (property) မှတစ်ဆင့် ဖန်ရှင် <math> F</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> I</math> တစ်ခုလုံးပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားကြောင်းကို သိရှိနိုင်သည်။အထူးသဖြင့် <math> f</math> သည် အမှတ် <math> x_0</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပါက <math> F</math> သည်လည်း <math> x_0</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရပြီး <math> F'(x_0) = f(x_0)</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math> x_0</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> I</math> ၏ အစွန်းမှတ် (endpoint) တစ်ခုဖြစ်ပါက ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုကို တစ်ဖက်သတ် (one-sided) အနေဖြင့် နားလည်မှတ်ယူရမည်။ === ဒုတိယပိုင်း သီအိုရမ် (Second Fundamental Theorem of Calculus) === သီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းသည် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များကို အသုံးပြု၍ သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်များ (definite integrals) ကို မည်သို့ တွက်ချက်ရမည်ကို ရှင်းပြထားသည်။ <math> f: [a,b] \to \mathbb{R}</math> သည် အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) <math> [a,b]</math> ပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ၎င်းတွင် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် <math> F: [a,b] \to \mathbb{R}</math> တစ်ခု ရှိသည်ဟု ယူဆပါမည်။ ထိုအခါ အောက်ပါ နယူတန်-လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ပုံသေနည်း (Newton-Leibniz formula) သည် မှန်ကန်သည်။ <ref>{{Citation |last=Zorich |first=Vladimir A. |title=Analysis I |publication-place=Berlin |publisher=Springer |date=2007 |isbn=978-3-540-33277-0 |page=380 |language=de}} </ref> :<math> \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math> အများသုံး အတိုချုံး သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းဖြစ်သော <math> F(x) \big|_a^b := F(b) - F(a)</math> သို့မဟုတ် <math> [F(x)]_a^b</math> ကို အသုံးပြု၍ သီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းကို အောက်ပါအတိုင်း မကြာခဏ ရေးသားလေ့ရှိသည်။ :<math> \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = F(x) \big|_a^b</math> မှတ်ချက်။ <math> f</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> [a,b]</math> တစ်ခုလုံးပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်ကို ဖြေလျှော့ပေးနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math> f</math> သည် <math> [a,b]</math> အတွင်း အဆုံးရှိအကြိမ်အရေအတွက် (finite number of times) သာ ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (jump discontinuity) များ ရှိနေပါကလည်း သီအိုရမ်သည် ဆက်လက် မှန်ကန်နေဆဲ ဖြစ်သည်။ == သက်သေပြချက် (Proof) == === ပထမပိုင်း (First Part) === ပထမပိုင်းအတွက် <math>F</math> ၏ ဆင်းသက်ချက် (derivative) ဖြစ်သော စုဆုံမှတ် (limit) <math>\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}</math> သည် တည်ရှိပြီး <math>f(x)</math> နှင့် ညီမျှကြောင်းကို ပြသရမည် ဖြစ်သည်။ <math>x \in I</math> ကို အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသည် ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ <math>x + h \in I</math> ဖြစ်စေမည့် မည်သည့် <math>h \neq 0</math> အတွက်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်းကို ရရှိသည်။ :<math>\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \left( \int_{c}^{x+h} f(t) \, \mathrm{d}t - \int_{c}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \right) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) \, \mathrm{d}t</math> သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Mean Value Theorem) အရ <math>x</math> နှင့် <math>x+h</math> ကြားတွင် ကိန်းစစ် (real number) <math>\xi_h</math> တစ်ခု တည်ရှိပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) \, \mathrm{d}t = f(\xi_h)</math> <math>h \to 0</math> ဖြစ်သောအခါ <math>\xi_h \to x</math> ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>f</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) ဖြစ်သောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဆက်လက်ရရှိသည်။ :<math>\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \lim_{h \to 0} f(\xi_h) = f(x)</math> သို့ဖြစ်၍ <math>F'(x)</math> သည် တည်ရှိပြီး <math>f(x)</math> နှင့် ညီမျှသည်။ === အခြား သက်သေပြနည်း (Alternative Proof) === ဤသက်သေပြနည်းတွင် အင်တီဂရယ်များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို အသုံးပြုထားခြင်း မရှိပေ။ ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များစွာတွင် အင်တီဂရယ်များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို အခြေခံသီအိုရမ်မှတစ်ဆင့် ဆင်းသက်ဖော်ပြလေ့ရှိကြသည်။ ထို့ကြောင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (Riemann integral) ၏ အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများပေါ်တွင်သာ မှီခိုသော အခြားသက်သေပြနည်း တစ်ခုကို ဤနေရာတွင် ဖော်ပြပေးမည် ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများမှာ မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု(linearity)၊ တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality)၊ အစဉ်လိုက်ဖြစ်မှု (monotonicity) နှင့် ကြားပိုင်း ပေါင်းစပ်နိုင်မှု (interval additivity) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ အထက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သကဲ့သို့ပင် <math>F</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော အမှတ် (arbitrary point) <math>x_0</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရကြောင်းနှင့် <math>F'(x_0) = f(x_0)</math> ဖြစ်ကြောင်းကို ပြသသွားမည် ဖြစ်သည်။ ဤသို့ ပြသရန်အတွက် စုဆုံမှတ်၏ ပုံစံတကျ (formal) <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math> အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို စစ်ဆေးရမည် ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>\left| \frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} - f(x_0) \right| \leq \varepsilon</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု တည်ရှိကြောင်းကို ပြသရမည် ဖြစ်သည်။ <math>\varepsilon > 0</math> ကို အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသည် ဆိုပါစို့။ <math>x \neq x_0</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math> \begin{align} \left| \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} - f(x_0) \right| & = \left| \frac{1}{x-x_0} \left( \int_c^x f(t)\,\mathrm dt - \int_c^{x_0} f(t)\,\mathrm dt \right) -f(x_0) \right|\\ & = \left| \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(t)\,\mathrm dt - \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(x_0)\, \mathrm dt \right|\\ & = \left| \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x (f(t)-f(x_0))\, \mathrm dt \right|\\ & \leq \frac{1}{|x-x_0|}\int_{x_0}^x |f(t)-f(x_0)|\,\mathrm dt. \end{align} </math> ညာဘက်ခြမ်းရှိ ဖော်ပြချက်ကို အထက်ဘောင် (upper bound) သတ်မှတ်ရန်အတွက် အမှတ် <math>x_0</math> ရှိ <math>f</math> ၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုရမည် ဖြစ်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိအရ <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု အသေအချာ တည်ရှိနေသည်။ ယင်း <math>x</math> များအတွက် နောက်ဆုံးကြောင်းရှိ အင်တီဂရယ်ကို <math>\int_{x_0}^{x} |f(t) - f(x_0)| \, \mathrm{d}t \leq |x - x_0| \varepsilon</math> ဖြင့် ဘောင်ခတ်နိုင်သည်။ ခြုံငုံကြည့်လျှင် ဤအချက်က <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>\left| \frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} - f(x_0) \right| \leq \varepsilon</math> ဖြစ်စေကြောင်းကို ဖော်ပြနေသည်။ === ဒုတိယပိုင်း (Second Part) === <math>f</math> သည် အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) <math>[a,b]</math> ပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ပထမပိုင်းရှိ စုဆောင်း ဖန်ရှင် (accumulation function) တွင် <math>c = a</math> ဟု သတ်မှတ်လိုက်ပါက <math>F(a) = 0</math> နှင့် <math>F(b) = \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x</math> ဖြစ်လာမည် ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ ဤသီးသန့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (antiderivative) အတွက် <math>\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t = F(b) - F(a)</math> သည် မှန်ကန်သည်။ သို့ရာတွင် အခြားသော မည်သည့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်မဆို ဤပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်နှင့် ကိန်းသေ (constant) တစ်ခုစာမျှသာ ကွာခြားပြီး အဆိုပါ ကိန်းသေသည် နှုတ်ခြင်း ပြုလုပ်စဉ်တွင် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ ထို့ကြောင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် အားလုံးအတွက် သီအိုရမ် မှန်ကန်ကြောင်းကို သက်သေပြပြီး ဖြစ်သည်။ မှတ်ချက်။ အခြေခံသီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းကို ရီးမန်း ပေါင်းလဒ်များ (Riemann sums) ၏ စုဆုံမှတ် ဟူသော ရီးမန်း အင်တီဂရယ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ဆီသို့ ပြန်သွားခြင်းဖြင့် ပထမပိုင်းနှင့် အမှီအခိုကင်းစွာ သီးခြား သက်သေပြနိုင်သည်။ ဤကိစ္စတွင် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခံကိန်း (integrand) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ရန် မလိုအပ်ဘဲ ရီးမန်း အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသည် (Riemann-integrable) ဟု ယူဆရန်သာ လိုအပ်သည်။ <ref>{{Citation |last=Deiser |first=Oliver |title=Analysis 2 |date=2021 |page=74 |url=https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=analysis2_1_4_Hauptsatz%20I |language=de}}</ref> == ယေဘုယျပြုချက်များ နှင့် အဆင့်မြင့် ဖော်ပြချက်များ (Generalizations and Advanced Formulations) == ယေဘုယျအားဖြင့် <math> F</math> သည် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (differential equation) <math> F'(x) = f(x)</math> ၏ အဖြေတစ်ခု ဖြစ်ပါက ယင်း <math> F</math> ကို <math> f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ <math> C</math> သည် ကိန်းစစ် ကိန်းသေ (real constant) ဖြစ်ပါက <math> F(x) = \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C</math> ပုံစံရှိသော ဖန်ရှင်များကို ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် (indefinite integral) ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ သင့်လျော်သော ဖန်ရှင်များနှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း သဘောတရားများကို အသုံးပြုပါက အောက်ပါအချက်များ မှန်ကန်သည်။ * <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဖြစ်သည်။ * <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်။ * '''တည်ရှိမှု (Existence)'''- <math>f</math> တွင် ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ * '''တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Uniqueness)'''- <math>F_1</math> နှင့် <math>F_2</math> တို့သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များ ဖြစ်ကြလျှင် <math>F_1 - F_2</math> သည် ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant function) ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ အခြေအနေများအနက်မှ တစ်ခုခုနှင့် ကိုက်ညီပါကလည်း အခြေခံသီအိုရမ်သည် ပိုမိုကျယ်ပြန့်စွာ မှန်ကန်သည်။ *<math>F</math> သည် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင် (continuously differentiable function) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် [[ရီးမန်း အင်တီဂရယ်]] (Riemann integral) ဖြစ်သည်။ *<math>F</math> သည် ပကတိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (absolutely continuous function) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင် (integrable function) ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) တွင်ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue integral) ဖြစ်သည်။ *ပေါင်းစပ် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (synthetic differential geometry) တွင် <math>F</math> နှင့် <math>f</math> တို့သည် ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ (smooth maps) ဖြစ်ကြသည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် နဂိုမှန်အဆို (axiomatic) ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းကို အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆို (integration axiom) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === သီအိုရမ်အား ပြန်လည်ဖော်ပြခြင်း (Restatement of the Theorem)=== <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဖြစ်သည်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ပထမဦးစွာ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ရိုးရှင်းစွာ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C\right) = f(x)</math> :ဖန်ရှင်တစ်ခုကို ကိန်းသေတစ်ခု ပေါင်းထည့်ခြင်းသည် ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်ကို မပြောင်းလဲစေဟု မှတ်ယူထားပါက ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(x)</math> :ယင်းကို ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) နှင့် ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြု (generalize) နိုင်သည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^{q(x)} f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(q(x)) q'(x)</math> :<math>\int_u^v = \int_a^v - \int_a^u</math> ဖြစ်သည်ကို မှတ်ယူထားပါက ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_{p(x)}^{q(x)} f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(q(x)) q'(x) - f(p(x)) p'(x)</math> :<math>p(x)</math> အတွက် <math>u</math> ဟု ရေး၍ <math>q(x)</math> အတွက် <math>v</math> ဟု ရေးကာ နှစ်ဖက်စလုံးကို <math>\mathrm{d}x</math> ဖြင့် မြှောက်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (differential form) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\mathrm{d}\left(\int_u^v f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(v) \,\mathrm{d}v - f(u) \,\mathrm{d}u</math> တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) ၏ အပိုင်းအခြားများက ညွှန်ကြားသည့်အတိုင်း အစားထိုးခြင်း (substitution) ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာ (operator) တို့သည် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်ကိုလည်း အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ပထမဦးစွာ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ရိုးရှင်းစွာ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ကိန်းသေ <math>C</math> တစ်ခုအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\int_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t + C = F(x)</math> :<math>\int_a^a = 0</math> ဖြစ်သည်ကို မှတ်ယူထားပါက <math>C = F(a)</math> ဖြစ်သည်ကို တွေ့မြင်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ *<math>F(x) = F(a) + \int_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t</math> :ယင်းကို <math>x = b</math> ဖြစ်သည့် အထူးအခြေအနေတစ်ခုအတွက် စဉ်းစားလျှင် လုံလောက်သည်။ *<math>\int_a^b F'(t) \,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)</math> :ပထမပိုင်း၏ နောက်ဆုံးပုံစံနှင့် ကိုက်ညီစေရန်အတွက် ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်းလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ *<math>\int_a^b \mathrm{d}F(t) = F(b) - F(a)</math> :ယခင်ကဲ့သို့ပင် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်၏ အပိုင်းအခြားများက ညွှန်ကြားသည့်အတိုင်း အစားထိုးခြင်း ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာတို့သည် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ ယခုအကြိမ်တွင်မူ ဆန့်ကျင်ဘက် အစီအစဉ်ဖြင့် ချေဖျက်သွားခြင်း ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== * nLab authors: ''fundamental theorem of calculus'', nLab, 2026, Revision 19, https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+theorem+of+calculus [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ သီအိုရမ်များ]] 0any8bkf54td5zateew15fgnibei2gx 1040668 1040667 2026-06-25T04:53:26Z Mkant00 135890 /* ဒုတိယပိုင်း သီအိုရမ် (Second Fundamental Theorem of Calculus) */ 1040668 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Calculus) သည် ကဲကုလပ် (calculus) ၏ အဓိက သဘောတရား နှစ်ခုဖြစ်သော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (differentiation) တို့ကို ဆက်သွယ်ပေးထားသော သီအိုရမ် (theorem) ဖြစ်သည်။ ယင်းသီအိုရမ်က ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း တို့သည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု [[မျဉ်းဖြောင့်_အော်ပရေတာ|ပြောင်းပြန် တွက်ချက်မှုများ]] (inverse operations) ဖြစ်ကြသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ သီအိုရမ်တွင် အပိုင်းနှစ်ပိုင်း ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ပထမ နှင့် ဒုတိယ ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် ဟူ၍ တစ်ခါတစ်ရံ ခေါ်ဆိုကြသည်။ <ref> {{Citation |author=T. Arens et al. |title=Mathematik |edition=4. |publication-place=Berlin |publisher=Springer |date=2018 |isbn=978-3-8274-2347-4 |pages=386, 389 |language=de}}</ref> သီအိုရမ်၏ တိကျသော ဖော်ပြချက် နှင့် သက်သေပြချက် (proof) တို့သည် အသုံးပြုသော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း သီအိုရီ (integration theory) အပေါ် မူတည်၍ ကွဲပြားနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (Riemann integral) ကို ဦးစွာ လေ့လာသွားမည် ဖြစ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်း နှင့် လက်ခံရရှိမှု (History and Reception) == အိုင်ဆက် နယူတန် (Isaac Newton) ၏ ပညာရေးဆိုင်ရာ လမ်းပြဆရာဖြစ်သူ အိုင်ဆက် ဘာရိုး (Isaac Barrow) သည် ဧရိယာများ တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း နှင့် ထိမျဉ်းများ(tangents) တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သော ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း တို့သည် ပြောင်းပြန် လုပ်ငန်းစဉ်များ ဖြစ်ကြောင်းကို ကြိုတင်သိရှိခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း သူသည် အခြေခံသီအိုရမ်ကို ကိုယ်တိုင် ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ခြင်း မရှိပေ။ ဤသီအိုရမ်ကို ပထမဆုံး ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သူမှာ ဂျိမ်းစ် ဂရီဂိုရီ (James Gregory) ဖြစ်သည်။ သူသည် ၁၆၆၇ ခုနှစ်တွင် ၎င်း၏စာအုပ် ဂျီဩမေတြီယယ် ပါ့စ် ယူနီဗာဆလစ် (Geometriae pars universalis) ၌ ထည့်သွင်းဖော်ပြခဲ့သည်။ <ref>{{Citation |last1=O'Connor |first1=John J. |last2=Robertson |first2=Edmund F. |title=James Gregory |work=MacTutor History of Mathematics Archive |publisher=University of St Andrews |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gregory/}}</ref> သို့ရာတွင် အဆိုပါ ဆက်သွယ်ချက် နှင့် ၎င်း၏ နက်ရှိုင်းသော အရေးပါမှု နှစ်ခုစလုံးကို သီးခြားစီ သိမြင်ခဲ့ကြသည့် ပထမဆုံး သင်္ချာပညာရှင်များမှာ အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရီး ဗီလ်ဟမ်း လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Gottfried Wilhelm Leibniz) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများ (infinitesimals) ကို အသုံးပြုသည့် ကဲကုလပ်ကို တီထွင်ရာမှတစ်ဆင့် ယင်းကို သိမြင်ခဲ့ကြခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၆၆၆ ခုနှစ်တွင် ရေးသားခဲ့သော အခြေခံသီအိုရမ်နှင့် ပတ်သက်သည့် နယူတန်၏ အစောပိုင်း မှတ်စုများတွင် သူသည် မူလနေရာ (origin) ကို ဖြတ်သန်းသွားသော မည်သည့် မျဉ်းကွေးများ (curves) အတွက်မဆို သီအိုရမ်ကို ရှင်းပြခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် သူသည် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းဆိုင်ရာ ကိန်းသေကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခဲ့ခြင်း မရှိပေ။ နယူတန်သည် ဤအချက်ကို ၁၆၈၆ ခုနှစ်တွင်မှ ၎င်း၏စာအုပ် ဖီလော်ဆိုဖီယယ် နာတူရာလစ် ပရင်စီပီယာ မာသမာတီကာ (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) ၌ ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ လိုက်ဘ်နစ်ဇ်သည် သီအိုရမ်ကို ၁၆၇၇ ခုနှစ်တွင် တွေ့ရှိခဲ့သည်။ သူသည် ယနေ့တိုင် အသုံးပြုနေဆဲဖြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) ကို အခြေခံအားဖြင့် အသုံးပြု၍ ရေးမှတ်ခဲ့သည်။ သီအိုရမ်၏ ခေတ်သစ် တိကျသောပုံစံကို အိုဂူးစတင်-လူဝီ ကော်ချီ (Augustin-Louis Cauchy) ထံမှ ရရှိခဲ့သည်။ သူသည် အင်တီဂရယ်၏ ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (formal definition) ကို ပထမဆုံး ဖော်ထုတ်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အင်တီဂရယ်များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Mean Value Theorem for Integrals) ကို အသုံးပြု၍ သက်သေပြချက် တစ်ခုကိုလည်း ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤအချက်များကို ၁၈၂၃ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော ၎င်း၏ ကူးရ် ဒါနာလစ်ဇ် (Cours d'Analyse) စာအုပ် အဆက်တွင် ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ကော်ချီသည် သီအိုရမ်ကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ (complex plane) တွင်လည်း လေ့လာစူးစမ်းခဲ့သည်။ ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (complex analysis) ရှိ အဓိကကျသော ရလဒ်များစွာကို သက်သေပြရန်အတွက် ယင်းသီအိုရမ်ကို သူအသုံးပြုခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစု အတွင်းတွင် ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာ (dimension) များအတွက် ယေဘုယျပြုချက်များကို တွေ့ရှိခဲ့ကြသည်။ ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည် ၎င်း၏ လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue integral) ကို အသုံးပြု၍ အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ အခြေခံသီအိုရမ်ကို တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ == ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (The Theorem) == === ပထမပိုင်း သီအိုရမ် (First Fundamental Theorem of Calculus) === သီအိုရမ်၏ ပထမပိုင်းသည် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များ (antiderivatives) ၏ တည်ရှိမှု (existence) ကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း တို့အကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်ကိုလည်း တည်ဆောက်ပေးသည်။ <math>f: I \to \mathbb{R}</math> သည် ကိန်းစစ် အပိုင်းအခြား (real interval) <math>I</math> ပေါ်ရှိ ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ <math>c \in I</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော စုဆောင်း ဖန်ရှင် (accumulation function) သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ် ဖန်ရှင်<math>F: I \to \mathbb{R}</math> သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ :<math>F(x) = \int_{c}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t</math> ထို့အပြင် ယင်း <math> F</math> သည် <math> f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math> x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math> F'(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ ကျစ်လျစ်သော အပိုင်းအခြား (compact interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ မည်သည့် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်အတွက်မဆို ရီးမန်း အင်တီဂရယ် တည်ရှိသည်ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိ (property) မှတစ်ဆင့် ဖန်ရှင် <math> F</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> I</math> တစ်ခုလုံးပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားကြောင်းကို သိရှိနိုင်သည်။အထူးသဖြင့် <math> f</math> သည် အမှတ် <math> x_0</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပါက <math> F</math> သည်လည်း <math> x_0</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရပြီး <math> F'(x_0) = f(x_0)</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math> x_0</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> I</math> ၏ အစွန်းမှတ် (endpoint) တစ်ခုဖြစ်ပါက ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုကို တစ်ဖက်သတ် (one-sided) အနေဖြင့် နားလည်မှတ်ယူရမည်။ === ဒုတိယပိုင်း သီအိုရမ် (Second Fundamental Theorem of Calculus) === သီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းသည် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များကို အသုံးပြု၍ သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်များ (definite integrals) ကို မည်သို့ တွက်ချက်ရမည်ကို ရှင်းပြထားသည်။ <math> f: [a,b] \to \mathbb{R}</math> သည် အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) <math> [a,b]</math> ပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ၎င်းတွင် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် <math> F: [a,b] \to \mathbb{R}</math> တစ်ခု ရှိသည်ဟု ယူဆပါမည်။ ထိုအခါ အောက်ပါ နယူတန်-လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ပုံသေနည်း (Newton-Leibniz formula) သည် မှန်ကန်သည်။ <ref>{{Citation |last=Zorich |first=Vladimir A. |title=Analysis I |publication-place=Berlin |publisher=Springer |date=2007 |isbn=978-3-540-33277-0 |page=380 |language=de}} </ref> :<math> \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math> အများသုံး အတိုချုံး သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းဖြစ်သော <math> F(x) \big|_a^b := F(b) - F(a)</math> သို့မဟုတ် <math> [F(x)]_a^b</math> ကို အသုံးပြု၍ သီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းကို အောက်ပါအတိုင်း မကြာခဏ ရေးသားလေ့ရှိသည်။ :<math> \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = F(x) \big|_a^b</math> မှတ်ချက်။ <math> f</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> [a,b]</math> တစ်ခုလုံးပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်ကို ဖြေလျှော့ပေးနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math> f</math> သည် <math> [a,b]</math> အတွင်း အဆုံးရှိအကြိမ်အရေအတွက် (finite number of times) သာ ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (jump discontinuity) များ ရှိနေပါက ဒါဘူး သီအိုရမ် (Darboux's theorem) အရ နေရာတိုင်းအတွက် မှန်ကန်သော အလုံးစုံ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (global antiderivative) မတည်ရှိနိုင်ပါ။ သို့သော်လည်း အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော အမှတ်များတွင် အပိုင်းအခြားကို ခွဲထုတ်၍ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော အပိုင်းအခြားပိုင်းများ (subintervals) တစ်ခုချင်းစီအပေါ်တွင် အခြေခံသီအိုရမ်ကို အပိုင်းလိုက် (piecewise) အသုံးချခြင်းဖြင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်များကို ဆက်လက်တွက်ချက်နိုင်သည်။ == သက်သေပြချက် (Proof) == === ပထမပိုင်း (First Part) === ပထမပိုင်းအတွက် <math>F</math> ၏ ဆင်းသက်ချက် (derivative) ဖြစ်သော စုဆုံမှတ် (limit) <math>\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}</math> သည် တည်ရှိပြီး <math>f(x)</math> နှင့် ညီမျှကြောင်းကို ပြသရမည် ဖြစ်သည်။ <math>x \in I</math> ကို အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသည် ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ <math>x + h \in I</math> ဖြစ်စေမည့် မည်သည့် <math>h \neq 0</math> အတွက်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်းကို ရရှိသည်။ :<math>\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \left( \int_{c}^{x+h} f(t) \, \mathrm{d}t - \int_{c}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \right) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) \, \mathrm{d}t</math> သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Mean Value Theorem) အရ <math>x</math> နှင့် <math>x+h</math> ကြားတွင် ကိန်းစစ် (real number) <math>\xi_h</math> တစ်ခု တည်ရှိပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) \, \mathrm{d}t = f(\xi_h)</math> <math>h \to 0</math> ဖြစ်သောအခါ <math>\xi_h \to x</math> ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>f</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) ဖြစ်သောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဆက်လက်ရရှိသည်။ :<math>\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \lim_{h \to 0} f(\xi_h) = f(x)</math> သို့ဖြစ်၍ <math>F'(x)</math> သည် တည်ရှိပြီး <math>f(x)</math> နှင့် ညီမျှသည်။ === အခြား သက်သေပြနည်း (Alternative Proof) === ဤသက်သေပြနည်းတွင် အင်တီဂရယ်များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို အသုံးပြုထားခြင်း မရှိပေ။ ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များစွာတွင် အင်တီဂရယ်များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို အခြေခံသီအိုရမ်မှတစ်ဆင့် ဆင်းသက်ဖော်ပြလေ့ရှိကြသည်။ ထို့ကြောင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (Riemann integral) ၏ အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများပေါ်တွင်သာ မှီခိုသော အခြားသက်သေပြနည်း တစ်ခုကို ဤနေရာတွင် ဖော်ပြပေးမည် ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများမှာ မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု(linearity)၊ တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality)၊ အစဉ်လိုက်ဖြစ်မှု (monotonicity) နှင့် ကြားပိုင်း ပေါင်းစပ်နိုင်မှု (interval additivity) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ အထက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သကဲ့သို့ပင် <math>F</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော အမှတ် (arbitrary point) <math>x_0</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရကြောင်းနှင့် <math>F'(x_0) = f(x_0)</math> ဖြစ်ကြောင်းကို ပြသသွားမည် ဖြစ်သည်။ ဤသို့ ပြသရန်အတွက် စုဆုံမှတ်၏ ပုံစံတကျ (formal) <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math> အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို စစ်ဆေးရမည် ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>\left| \frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} - f(x_0) \right| \leq \varepsilon</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု တည်ရှိကြောင်းကို ပြသရမည် ဖြစ်သည်။ <math>\varepsilon > 0</math> ကို အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသည် ဆိုပါစို့။ <math>x \neq x_0</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math> \begin{align} \left| \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} - f(x_0) \right| & = \left| \frac{1}{x-x_0} \left( \int_c^x f(t)\,\mathrm dt - \int_c^{x_0} f(t)\,\mathrm dt \right) -f(x_0) \right|\\ & = \left| \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(t)\,\mathrm dt - \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(x_0)\, \mathrm dt \right|\\ & = \left| \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x (f(t)-f(x_0))\, \mathrm dt \right|\\ & \leq \frac{1}{|x-x_0|}\int_{x_0}^x |f(t)-f(x_0)|\,\mathrm dt. \end{align} </math> ညာဘက်ခြမ်းရှိ ဖော်ပြချက်ကို အထက်ဘောင် (upper bound) သတ်မှတ်ရန်အတွက် အမှတ် <math>x_0</math> ရှိ <math>f</math> ၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုရမည် ဖြစ်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိအရ <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု အသေအချာ တည်ရှိနေသည်။ ယင်း <math>x</math> များအတွက် နောက်ဆုံးကြောင်းရှိ အင်တီဂရယ်ကို <math>\int_{x_0}^{x} |f(t) - f(x_0)| \, \mathrm{d}t \leq |x - x_0| \varepsilon</math> ဖြင့် ဘောင်ခတ်နိုင်သည်။ ခြုံငုံကြည့်လျှင် ဤအချက်က <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>\left| \frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} - f(x_0) \right| \leq \varepsilon</math> ဖြစ်စေကြောင်းကို ဖော်ပြနေသည်။ === ဒုတိယပိုင်း (Second Part) === <math>f</math> သည် အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) <math>[a,b]</math> ပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ပထမပိုင်းရှိ စုဆောင်း ဖန်ရှင် (accumulation function) တွင် <math>c = a</math> ဟု သတ်မှတ်လိုက်ပါက <math>F(a) = 0</math> နှင့် <math>F(b) = \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x</math> ဖြစ်လာမည် ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ ဤသီးသန့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (antiderivative) အတွက် <math>\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t = F(b) - F(a)</math> သည် မှန်ကန်သည်။ သို့ရာတွင် အခြားသော မည်သည့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်မဆို ဤပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်နှင့် ကိန်းသေ (constant) တစ်ခုစာမျှသာ ကွာခြားပြီး အဆိုပါ ကိန်းသေသည် နှုတ်ခြင်း ပြုလုပ်စဉ်တွင် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ ထို့ကြောင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် အားလုံးအတွက် သီအိုရမ် မှန်ကန်ကြောင်းကို သက်သေပြပြီး ဖြစ်သည်။ မှတ်ချက်။ အခြေခံသီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းကို ရီးမန်း ပေါင်းလဒ်များ (Riemann sums) ၏ စုဆုံမှတ် ဟူသော ရီးမန်း အင်တီဂရယ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ဆီသို့ ပြန်သွားခြင်းဖြင့် ပထမပိုင်းနှင့် အမှီအခိုကင်းစွာ သီးခြား သက်သေပြနိုင်သည်။ ဤကိစ္စတွင် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခံကိန်း (integrand) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ရန် မလိုအပ်ဘဲ ရီးမန်း အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသည် (Riemann-integrable) ဟု ယူဆရန်သာ လိုအပ်သည်။ <ref>{{Citation |last=Deiser |first=Oliver |title=Analysis 2 |date=2021 |page=74 |url=https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=analysis2_1_4_Hauptsatz%20I |language=de}}</ref> == ယေဘုယျပြုချက်များ နှင့် အဆင့်မြင့် ဖော်ပြချက်များ (Generalizations and Advanced Formulations) == ယေဘုယျအားဖြင့် <math> F</math> သည် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (differential equation) <math> F'(x) = f(x)</math> ၏ အဖြေတစ်ခု ဖြစ်ပါက ယင်း <math> F</math> ကို <math> f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ <math> C</math> သည် ကိန်းစစ် ကိန်းသေ (real constant) ဖြစ်ပါက <math> F(x) = \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C</math> ပုံစံရှိသော ဖန်ရှင်များကို ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် (indefinite integral) ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ သင့်လျော်သော ဖန်ရှင်များနှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း သဘောတရားများကို အသုံးပြုပါက အောက်ပါအချက်များ မှန်ကန်သည်။ * <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဖြစ်သည်။ * <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်။ * '''တည်ရှိမှု (Existence)'''- <math>f</math> တွင် ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ * '''တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Uniqueness)'''- <math>F_1</math> နှင့် <math>F_2</math> တို့သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များ ဖြစ်ကြလျှင် <math>F_1 - F_2</math> သည် ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant function) ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ အခြေအနေများအနက်မှ တစ်ခုခုနှင့် ကိုက်ညီပါကလည်း အခြေခံသီအိုရမ်သည် ပိုမိုကျယ်ပြန့်စွာ မှန်ကန်သည်။ *<math>F</math> သည် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင် (continuously differentiable function) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် [[ရီးမန်း အင်တီဂရယ်]] (Riemann integral) ဖြစ်သည်။ *<math>F</math> သည် ပကတိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (absolutely continuous function) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင် (integrable function) ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) တွင်ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue integral) ဖြစ်သည်။ *ပေါင်းစပ် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (synthetic differential geometry) တွင် <math>F</math> နှင့် <math>f</math> တို့သည် ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ (smooth maps) ဖြစ်ကြသည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် နဂိုမှန်အဆို (axiomatic) ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းကို အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆို (integration axiom) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === သီအိုရမ်အား ပြန်လည်ဖော်ပြခြင်း (Restatement of the Theorem)=== <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဖြစ်သည်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ပထမဦးစွာ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ရိုးရှင်းစွာ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C\right) = f(x)</math> :ဖန်ရှင်တစ်ခုကို ကိန်းသေတစ်ခု ပေါင်းထည့်ခြင်းသည် ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်ကို မပြောင်းလဲစေဟု မှတ်ယူထားပါက ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(x)</math> :ယင်းကို ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) နှင့် ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြု (generalize) နိုင်သည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^{q(x)} f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(q(x)) q'(x)</math> :<math>\int_u^v = \int_a^v - \int_a^u</math> ဖြစ်သည်ကို မှတ်ယူထားပါက ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_{p(x)}^{q(x)} f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(q(x)) q'(x) - f(p(x)) p'(x)</math> :<math>p(x)</math> အတွက် <math>u</math> ဟု ရေး၍ <math>q(x)</math> အတွက် <math>v</math> ဟု ရေးကာ နှစ်ဖက်စလုံးကို <math>\mathrm{d}x</math> ဖြင့် မြှောက်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (differential form) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\mathrm{d}\left(\int_u^v f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(v) \,\mathrm{d}v - f(u) \,\mathrm{d}u</math> တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) ၏ အပိုင်းအခြားများက ညွှန်ကြားသည့်အတိုင်း အစားထိုးခြင်း (substitution) ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာ (operator) တို့သည် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်ကိုလည်း အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ပထမဦးစွာ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ရိုးရှင်းစွာ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ကိန်းသေ <math>C</math> တစ်ခုအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\int_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t + C = F(x)</math> :<math>\int_a^a = 0</math> ဖြစ်သည်ကို မှတ်ယူထားပါက <math>C = F(a)</math> ဖြစ်သည်ကို တွေ့မြင်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ *<math>F(x) = F(a) + \int_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t</math> :ယင်းကို <math>x = b</math> ဖြစ်သည့် အထူးအခြေအနေတစ်ခုအတွက် စဉ်းစားလျှင် လုံလောက်သည်။ *<math>\int_a^b F'(t) \,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)</math> :ပထမပိုင်း၏ နောက်ဆုံးပုံစံနှင့် ကိုက်ညီစေရန်အတွက် ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်းလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ *<math>\int_a^b \mathrm{d}F(t) = F(b) - F(a)</math> :ယခင်ကဲ့သို့ပင် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်၏ အပိုင်းအခြားများက ညွှန်ကြားသည့်အတိုင်း အစားထိုးခြင်း ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာတို့သည် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ ယခုအကြိမ်တွင်မူ ဆန့်ကျင်ဘက် အစီအစဉ်ဖြင့် ချေဖျက်သွားခြင်း ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== * nLab authors: ''fundamental theorem of calculus'', nLab, 2026, Revision 19, https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+theorem+of+calculus [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ သီအိုရမ်များ]] 2w7g44274t2umr6ssdbz4fpi6bc14hd 1040670 1040668 2026-06-25T04:59:57Z Mkant00 135890 1040670 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Calculus) သည် ကဲကုလပ် (calculus) ၏ အဓိက သဘောတရား နှစ်ခုဖြစ်သော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း]] (differentiation) တို့ကို ဆက်သွယ်ပေးထားသော သီအိုရမ် (theorem) ဖြစ်သည်။ ယင်းသီအိုရမ်က ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း တို့သည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|ပြောင်းပြန် တွက်ချက်မှုများ]] (inverse operations) ဖြစ်ကြသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ သီအိုရမ်တွင် အပိုင်းနှစ်ပိုင်း ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ပထမ နှင့် ဒုတိယ ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် ဟူ၍ တစ်ခါတစ်ရံ ခေါ်ဆိုကြသည်။ <ref> {{Citation |author=T. Arens et al. |title=Mathematik |edition=4. |publication-place=Berlin |publisher=Springer |date=2018 |isbn=978-3-8274-2347-4 |pages=386, 389 |language=de}}</ref> သီအိုရမ်၏ တိကျသော ဖော်ပြချက် နှင့် သက်သေပြချက် (proof) တို့သည် အသုံးပြုသော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း သီအိုရီ (integration theory) အပေါ် မူတည်၍ ကွဲပြားနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (Riemann integral) ကို ဦးစွာ လေ့လာသွားမည် ဖြစ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်း နှင့် လက်ခံရရှိမှု (History and Reception) == အိုင်ဆက် နယူတန် (Isaac Newton) ၏ ပညာရေးဆိုင်ရာ လမ်းပြဆရာဖြစ်သူ အိုင်ဆက် ဘာရိုး (Isaac Barrow) သည် ဧရိယာများ တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း နှင့် ထိမျဉ်းများ(tangents) တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သော [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း]] တို့သည် ပြောင်းပြန် လုပ်ငန်းစဉ်များ ဖြစ်ကြောင်းကို ကြိုတင်သိရှိခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း သူသည် အခြေခံသီအိုရမ်ကို ကိုယ်တိုင် ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ခြင်း မရှိပေ။ ဤသီအိုရမ်ကို ပထမဆုံး ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သူမှာ ဂျိမ်းစ် ဂရီဂိုရီ (James Gregory) ဖြစ်သည်။ သူသည် ၁၆၆၇ ခုနှစ်တွင် ၎င်း၏စာအုပ် ဂျီဩမေတြီယယ် ပါ့စ် ယူနီဗာဆလစ် (Geometriae pars universalis) ၌ ထည့်သွင်းဖော်ပြခဲ့သည်။ <ref>{{Citation |last1=O'Connor |first1=John J. |last2=Robertson |first2=Edmund F. |title=James Gregory |work=MacTutor History of Mathematics Archive |publisher=University of St Andrews |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gregory/}}</ref> သို့ရာတွင် အဆိုပါ ဆက်သွယ်ချက် နှင့် ၎င်း၏ နက်ရှိုင်းသော အရေးပါမှု နှစ်ခုစလုံးကို သီးခြားစီ သိမြင်ခဲ့ကြသည့် ပထမဆုံး သင်္ချာပညာရှင်များမှာ အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရီး ဗီလ်ဟမ်း လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Gottfried Wilhelm Leibniz) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများ (infinitesimals) ကို အသုံးပြုသည့် ကဲကုလပ်ကို တီထွင်ရာမှတစ်ဆင့် ယင်းကို သိမြင်ခဲ့ကြခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၆၆၆ ခုနှစ်တွင် ရေးသားခဲ့သော အခြေခံသီအိုရမ်နှင့် ပတ်သက်သည့် နယူတန်၏ အစောပိုင်း မှတ်စုများတွင် သူသည် မူလနေရာ (origin) ကို ဖြတ်သန်းသွားသော မည်သည့် မျဉ်းကွေးများ (curves) အတွက်မဆို သီအိုရမ်ကို ရှင်းပြခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် သူသည် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းဆိုင်ရာ ကိန်းသေကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခဲ့ခြင်း မရှိပေ။ နယူတန်သည် ဤအချက်ကို ၁၆၈၆ ခုနှစ်တွင်မှ ၎င်း၏စာအုပ် ဖီလော်ဆိုဖီယယ် နာတူရာလစ် ပရင်စီပီယာ မာသမာတီကာ (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) ၌ ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ လိုက်ဘ်နစ်ဇ်သည် သီအိုရမ်ကို ၁၆၇၇ ခုနှစ်တွင် တွေ့ရှိခဲ့သည်။ သူသည် ယနေ့တိုင် အသုံးပြုနေဆဲဖြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) ကို အခြေခံအားဖြင့် အသုံးပြု၍ ရေးမှတ်ခဲ့သည်။ သီအိုရမ်၏ ခေတ်သစ် တိကျသောပုံစံကို အိုဂူးစတင်-လူဝီ ကော်ချီ (Augustin-Louis Cauchy) ထံမှ ရရှိခဲ့သည်။ သူသည် အင်တီဂရယ်၏ ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (formal definition) ကို ပထမဆုံး ဖော်ထုတ်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အင်တီဂရယ်များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Mean Value Theorem for Integrals) ကို အသုံးပြု၍ သက်သေပြချက် တစ်ခုကိုလည်း ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤအချက်များကို ၁၈၂၃ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော ၎င်း၏ ကူးရ် ဒါနာလစ်ဇ် (Cours d'Analyse) စာအုပ် အဆက်တွင် ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ကော်ချီသည် သီအိုရမ်ကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ (complex plane) တွင်လည်း လေ့လာစူးစမ်းခဲ့သည်။ ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (complex analysis) ရှိ အဓိကကျသော ရလဒ်များစွာကို သက်သေပြရန်အတွက် ယင်းသီအိုရမ်ကို သူအသုံးပြုခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစု အတွင်းတွင် ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာ (dimension) များအတွက် ယေဘုယျပြုချက်များကို တွေ့ရှိခဲ့ကြသည်။ ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည် ၎င်း၏ လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue integral) ကို အသုံးပြု၍ [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များ]]အတွက်ပါ အခြေခံသီအိုရမ်ကို တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ == ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (The Theorem) == === ပထမပိုင်း သီအိုရမ် (First Fundamental Theorem of Calculus) === သီအိုရမ်၏ ပထမပိုင်းသည် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များ (antiderivatives) ၏ တည်ရှိမှု (existence) ကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း]] နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း တို့အကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်ကိုလည်း တည်ဆောက်ပေးသည်။ <math>f: I \to \mathbb{R}</math> သည် ကိန်းစစ် အပိုင်းအခြား (real interval) <math>I</math> ပေါ်ရှိ ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ <math>c \in I</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော စုဆောင်း ဖန်ရှင် (accumulation function) သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]]<math>F: I \to \mathbb{R}</math> သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ :<math>F(x) = \int_{c}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t</math> ထို့အပြင် ယင်း <math> F</math> သည် <math> f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math> x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math> F'(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ ကျစ်လျစ်သော အပိုင်းအခြား (compact interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ မည်သည့် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်အတွက်မဆို ရီးမန်း အင်တီဂရယ် တည်ရှိသည်ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိ (property) မှတစ်ဆင့် ဖန်ရှင် <math> F</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> I</math> တစ်ခုလုံးပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားကြောင်းကို သိရှိနိုင်သည်။အထူးသဖြင့် <math> f</math> သည် အမှတ် <math> x_0</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပါက <math> F</math> သည်လည်း <math> x_0</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရပြီး <math> F'(x_0) = f(x_0)</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math> x_0</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> I</math> ၏ အစွန်းမှတ် (endpoint) တစ်ခုဖြစ်ပါက ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုကို တစ်ဖက်သတ် (one-sided) အနေဖြင့် နားလည်မှတ်ယူရမည်။ === ဒုတိယပိုင်း သီအိုရမ် (Second Fundamental Theorem of Calculus) === သီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းသည် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များကို အသုံးပြု၍ သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်များ (definite integrals) ကို မည်သို့ တွက်ချက်ရမည်ကို ရှင်းပြထားသည်။ <math> f: [a,b] \to \mathbb{R}</math> သည် အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) <math> [a,b]</math> ပေါ်ရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု]] ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ၎င်းတွင် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် <math> F: [a,b] \to \mathbb{R}</math> တစ်ခု ရှိသည်ဟု ယူဆပါမည်။ ထိုအခါ အောက်ပါ နယူတန်-လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ပုံသေနည်း (Newton-Leibniz formula) သည် မှန်ကန်သည်။ <ref>{{Citation |last=Zorich |first=Vladimir A. |title=Analysis I |publication-place=Berlin |publisher=Springer |date=2007 |isbn=978-3-540-33277-0 |page=380 |language=de}} </ref> :<math> \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math> အများသုံး အတိုချုံး သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းဖြစ်သော <math> F(x) \big|_a^b := F(b) - F(a)</math> သို့မဟုတ် <math> [F(x)]_a^b</math> ကို အသုံးပြု၍ သီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းကို အောက်ပါအတိုင်း မကြာခဏ ရေးသားလေ့ရှိသည်။ :<math> \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = F(x) \big|_a^b</math> မှတ်ချက်။ <math> f</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> [a,b]</math> တစ်ခုလုံးပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်ကို ဖြေလျှော့ပေးနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math> f</math> သည် <math> [a,b]</math> အတွင်း အဆုံးရှိအကြိမ်အရေအတွက် (finite number of times) သာ ခုန်သွားသော [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း]] (jump discontinuity) များ ရှိနေပါက ဒါဘူး သီအိုရမ် (Darboux's theorem) အရ နေရာတိုင်းအတွက် မှန်ကန်သော အလုံးစုံ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (global antiderivative) မတည်ရှိနိုင်ပါ။ သို့သော်လည်း အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော အမှတ်များတွင် အပိုင်းအခြားကို ခွဲထုတ်၍ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော အပိုင်းအခြားပိုင်းများ (subintervals) တစ်ခုချင်းစီအပေါ်တွင် အခြေခံသီအိုရမ်ကို အပိုင်းလိုက် (piecewise) အသုံးချခြင်းဖြင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်များကို ဆက်လက်တွက်ချက်နိုင်သည်။ == သက်သေပြချက် (Proof) == === ပထမပိုင်း (First Part) === [[File:Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.svg|300px]] ပထမပိုင်းအတွက် <math>F</math> ၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ဖြစ်သော [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်]] (limit) <math>\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}</math> သည် တည်ရှိပြီး <math>f(x)</math> နှင့် ညီမျှကြောင်းကို ပြသရမည် ဖြစ်သည်။ <math>x \in I</math> ကို အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသည် ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ <math>x + h \in I</math> ဖြစ်စေမည့် မည်သည့် <math>h \neq 0</math> အတွက်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်းကို ရရှိသည်။ :<math>\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \left( \int_{c}^{x+h} f(t) \, \mathrm{d}t - \int_{c}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \right) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) \, \mathrm{d}t</math> သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Mean Value Theorem) အရ <math>x</math> နှင့် <math>x+h</math> ကြားတွင် ကိန်းစစ် (real number) <math>\xi_h</math> တစ်ခု တည်ရှိပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) \, \mathrm{d}t = f(\xi_h)</math> <math>h \to 0</math> ဖြစ်သောအခါ <math>\xi_h \to x</math> ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>f</math> သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) ဖြစ်သောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဆက်လက်ရရှိသည်။ :<math>\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \lim_{h \to 0} f(\xi_h) = f(x)</math> သို့ဖြစ်၍ <math>F'(x)</math> သည် တည်ရှိပြီး <math>f(x)</math> နှင့် ညီမျှသည်။ === အခြား သက်သေပြနည်း (Alternative Proof) === ဤသက်သေပြနည်းတွင် အင်တီဂရယ်များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို အသုံးပြုထားခြင်း မရှိပေ။ ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များစွာတွင် အင်တီဂရယ်များအတွက် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို အခြေခံသီအိုရမ်မှတစ်ဆင့် ဆင်းသက်ဖော်ပြလေ့ရှိကြသည်။ ထို့ကြောင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (Riemann integral) ၏ အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများပေါ်တွင်သာ မှီခိုသော အခြားသက်သေပြနည်း တစ်ခုကို ဤနေရာတွင် ဖော်ပြပေးမည် ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများမှာ မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု(linearity)၊ တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality)၊ အစဉ်လိုက်ဖြစ်မှု (monotonicity) နှင့် ကြားပိုင်း ပေါင်းစပ်နိုင်မှု (interval additivity) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ အထက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သကဲ့သို့ပင် <math>F</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော အမှတ် (arbitrary point) <math>x_0</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရကြောင်းနှင့်]] <math>F'(x_0) = f(x_0)</math> ဖြစ်ကြောင်းကို ပြသသွားမည် ဖြစ်သည်။ ဤသို့ ပြသရန်အတွက် [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်၏]] ပုံစံတကျ (formal) <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math> အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို စစ်ဆေးရမည် ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>\left| \frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} - f(x_0) \right| \leq \varepsilon</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု တည်ရှိကြောင်းကို ပြသရမည် ဖြစ်သည်။ <math>\varepsilon > 0</math> ကို အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသည် ဆိုပါစို့။ <math>x \neq x_0</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math> \begin{align} \left| \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} - f(x_0) \right| & = \left| \frac{1}{x-x_0} \left( \int_c^x f(t)\,\mathrm dt - \int_c^{x_0} f(t)\,\mathrm dt \right) -f(x_0) \right|\\ & = \left| \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(t)\,\mathrm dt - \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(x_0)\, \mathrm dt \right|\\ & = \left| \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x (f(t)-f(x_0))\, \mathrm dt \right|\\ & \leq \frac{1}{|x-x_0|}\int_{x_0}^x |f(t)-f(x_0)|\,\mathrm dt. \end{align} </math> ညာဘက်ခြမ်းရှိ ဖော်ပြချက်ကို အထက်ဘောင် (upper bound) သတ်မှတ်ရန်အတွက် အမှတ် <math>x_0</math> ရှိ <math>f</math> ၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုရမည် ဖြစ်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိအရ <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု အသေအချာ တည်ရှိနေသည်။ ယင်း <math>x</math> များအတွက် နောက်ဆုံးကြောင်းရှိ အင်တီဂရယ်ကို <math>\int_{x_0}^{x} |f(t) - f(x_0)| \, \mathrm{d}t \leq |x - x_0| \varepsilon</math> ဖြင့် ဘောင်ခတ်နိုင်သည်။ ခြုံငုံကြည့်လျှင် ဤအချက်က <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>\left| \frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} - f(x_0) \right| \leq \varepsilon</math> ဖြစ်စေကြောင်းကို ဖော်ပြနေသည်။ === ဒုတိယပိုင်း (Second Part) === <math>f</math> သည် အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) <math>[a,b]</math> ပေါ်ရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု]] ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ပထမပိုင်းရှိ စုဆောင်း [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (accumulation function) တွင် <math>c = a</math> ဟု သတ်မှတ်လိုက်ပါက <math>F(a) = 0</math> နှင့် <math>F(b) = \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x</math> ဖြစ်လာမည် ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ ဤသီးသန့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (antiderivative) အတွက် <math>\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t = F(b) - F(a)</math> သည် မှန်ကန်သည်။ သို့ရာတွင် အခြားသော မည်သည့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်မဆို ဤပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်နှင့် ကိန်းသေ (constant) တစ်ခုစာမျှသာ ကွာခြားပြီး အဆိုပါ ကိန်းသေသည် နှုတ်ခြင်း ပြုလုပ်စဉ်တွင် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ ထို့ကြောင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် အားလုံးအတွက် သီအိုရမ် မှန်ကန်ကြောင်းကို သက်သေပြပြီး ဖြစ်သည်။ မှတ်ချက်။ အခြေခံသီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းကို ရီးမန်း ပေါင်းလဒ်များ (Riemann sums) ၏ စုဆုံမှတ် ဟူသော ရီးမန်း အင်တီဂရယ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ဆီသို့ ပြန်သွားခြင်းဖြင့် ပထမပိုင်းနှင့် အမှီအခိုကင်းစွာ သီးခြား သက်သေပြနိုင်သည်။ ဤကိစ္စတွင် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခံကိန်း (integrand) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ရန် မလိုအပ်ဘဲ ရီးမန်း အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသည် (Riemann-integrable) ဟု ယူဆရန်သာ လိုအပ်သည်။ <ref>{{Citation |last=Deiser |first=Oliver |title=Analysis 2 |date=2021 |page=74 |url=https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=analysis2_1_4_Hauptsatz%20I |language=de}}</ref> == ယေဘုယျပြုချက်များ နှင့် အဆင့်မြင့် ဖော်ပြချက်များ (Generalizations and Advanced Formulations) == ယေဘုယျအားဖြင့် <math> F</math> သည် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (differential equation) <math> F'(x) = f(x)</math> ၏ အဖြေတစ်ခု ဖြစ်ပါက ယင်း <math> F</math> ကို <math> f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ <math> C</math> သည် ကိန်းစစ် ကိန်းသေ (real constant) ဖြစ်ပါက <math> F(x) = \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C</math> ပုံစံရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် (indefinite integral) ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ သင့်လျော်သော ဖန်ရှင်များနှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း သဘောတရားများကို အသုံးပြုပါက အောက်ပါအချက်များ မှန်ကန်သည်။ * <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဖြစ်သည်။ * <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်။ * '''တည်ရှိမှု (Existence)'''- <math>f</math> တွင် ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ * '''တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Uniqueness)'''- <math>F_1</math> နှင့် <math>F_2</math> တို့သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များ ဖြစ်ကြလျှင် <math>F_1 - F_2</math> သည် ကိန်းသေ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (constant function) ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ အခြေအနေများအနက်မှ တစ်ခုခုနှင့် ကိုက်ညီပါကလည်း အခြေခံသီအိုရမ်သည် ပိုမိုကျယ်ပြန့်စွာ မှန်ကန်သည်။ *<math>F</math> သည် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင် (continuously differentiable function) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) ဖြစ်သည်။ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည်]] သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (Riemann integral) ဖြစ်သည်။ *<math>F</math> သည် ပကတိ အဆက်မပြတ် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (absolutely continuous function) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင် (integrable function) ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) တွင်ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue integral) ဖြစ်သည်။ *ပေါင်းစပ် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (synthetic differential geometry) တွင် <math>F</math> နှင့် <math>f</math> တို့သည် ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ (smooth maps) ဖြစ်ကြသည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် နဂိုမှန်အဆို (axiomatic) ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းကို အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆို (integration axiom) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === သီအိုရမ်အား ပြန်လည်ဖော်ပြခြင်း (Restatement of the Theorem)=== <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဖြစ်သည်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ပထမဦးစွာ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ရိုးရှင်းစွာ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C\right) = f(x)</math> :ဖန်ရှင်တစ်ခုကို ကိန်းသေတစ်ခု ပေါင်းထည့်ခြင်းသည် ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်ကို မပြောင်းလဲစေဟု မှတ်ယူထားပါက ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(x)</math> :ယင်းကို ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) နှင့် ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြု (generalize) နိုင်သည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^{q(x)} f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(q(x)) q'(x)</math> :<math>\int_u^v = \int_a^v - \int_a^u</math> ဖြစ်သည်ကို မှတ်ယူထားပါက ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_{p(x)}^{q(x)} f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(q(x)) q'(x) - f(p(x)) p'(x)</math> :<math>p(x)</math> အတွက် <math>u</math> ဟု ရေး၍ <math>q(x)</math> အတွက် <math>v</math> ဟု ရေးကာ နှစ်ဖက်စလုံးကို <math>\mathrm{d}x</math> ဖြင့် မြှောက်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (differential form) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\mathrm{d}\left(\int_u^v f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(v) \,\mathrm{d}v - f(u) \,\mathrm{d}u</math> တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) ၏ အပိုင်းအခြားများက ညွှန်ကြားသည့်အတိုင်း အစားထိုးခြင်း (substitution) ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာ (operator) တို့သည် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်ကိုလည်း အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ပထမဦးစွာ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ရိုးရှင်းစွာ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ကိန်းသေ <math>C</math> တစ်ခုအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\int_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t + C = F(x)</math> :<math>\int_a^a = 0</math> ဖြစ်သည်ကို မှတ်ယူထားပါက <math>C = F(a)</math> ဖြစ်သည်ကို တွေ့မြင်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ *<math>F(x) = F(a) + \int_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t</math> :ယင်းကို <math>x = b</math> ဖြစ်သည့် အထူးအခြေအနေတစ်ခုအတွက် စဉ်းစားလျှင် လုံလောက်သည်။ *<math>\int_a^b F'(t) \,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)</math> :ပထမပိုင်း၏ နောက်ဆုံးပုံစံနှင့် ကိုက်ညီစေရန်အတွက် ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်းလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ *<math>\int_a^b \mathrm{d}F(t) = F(b) - F(a)</math> :ယခင်ကဲ့သို့ပင် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်၏ အပိုင်းအခြားများက ညွှန်ကြားသည့်အတိုင်း အစားထိုးခြင်း ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာတို့သည် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ ယခုအကြိမ်တွင်မူ ဆန့်ကျင်ဘက် အစီအစဉ်ဖြင့် ချေဖျက်သွားခြင်း ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== * nLab authors: ''fundamental theorem of calculus'', nLab, 2026, Revision 19, https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+theorem+of+calculus [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ သီအိုရမ်များ]] maldogifalwrs5ymjx4oc2ppe9lr433 0 288396 1040595 1040184 2026-06-24T15:24:34Z Naingli 144794 1040595 wikitext text/x-wiki == ဒေါ်လှကလေးစိန် ( အငြိမ့်မင်းသမီး ) == {| class="infobox" style="width: 25em; text-align: left; font-size: 90%;" |+ style="font-size: larger; font-weight: bold;" | ဒေါ်လှကလေးစိန် |- ! ငယ်နာမည် | ဒေါ်လှကြီး |- ! အသက်မွေးဝမ်းကျောင်း | အဆိုတော်၊ အငြိမ့်မင်းသမီး၊ ပညာပေး |- ! ထင်ရှားသော ဘွဲ့ | ဂီတမယ် |- ! ကျော်ကြားသော သီချင်းများ | * မောင်မောင်ဆိုလေ ထီးရိုးရှည် * အပျိုကြီးသက်တော်ရှည် * ဦးထင်ပေါ် * သာသနာပိုင်သွားလျောက်ချေ * ရဲစိတ်ရဲမာန် * တမန်တော် |- ! လုပ်ငန်းနယ်ပယ် | အနုပညာ၊ ပညာရေး (မန္တလေးပန်တျာ)၊ စီးပွားရေး (ထိုးမုန့်) |} === အကျဉ်းချုပ် === ဒေါ်လှကလေးစိန် (ငယ်နာမည် ဒေါ်လှကြီး) သည် မြန်မာ့ဂီတလောကတွင် 'ဂီတမယ်' ဟု အမည်တွင်သည့် ထင်ရှားသော အဆိုတော်နှင့် အငြိမ့်မင်းသမီးတစ်ဦးဖြစ်သည်။ သူမသည် မဟာဂီတသီချင်းကြီးများကို အလွန်ပိုင်နိုင်စွာ သီဆိုနိုင်သူအဖြစ် လူသိများသည်။ === အနုပညာခရီး === * **အငြိမ့်သက်တမ်း:** အသက် ၉ နှစ်မှ ၃၉ နှစ်အထိ နှစ်ပေါင်း ၃၀ ကျော် အနုပညာလောကတွင် ကျင်လည်ခဲ့သည်။ * **ဆရာများ:** ဆရာခန့် (ဖခင်)၊ ဆရာဘကြီး၊ စိန်ဗေဒါ ဦးမောင်ကလေး၊ စန္ဒရား ဆရာမောင်၊ ပတ္တလား ဆရာဘကလေး၊ ရုပ်သေးဆရာ ဦးထွန်းအိုင်၊ ဆရာထူး၊ ဒေါ်စောမြဧကြည်နှင့် ဒေါ်အောင်ကြည်တို့ထံတွင် ပညာဆည်းပူးခဲ့သည်။ * **အနုပညာလုပ်ဆောင်ချက်:** * ၁၇ နှစ်အရွယ်တွင် ဖခင်တည်ထောင်သော အငြိမ့်၌ ခေါင်းဆောင်မင်းသမီးအဖြစ် ပါဝင်ခဲ့သည်။ * ညီမဖြစ်သူ မတင်ရွှေနှင့်အတူ တွဲဖက်၍ မင်းသားအသွင်ဖြင့် ကပြဖျော်ဖြေလေ့ရှိသည်။ * မြန်မာ့အငြိမ့်မိခင်ကြီး လေဘာတီမမြရင်နှင့်လည်း တွဲဖက်ကပြခဲ့ဖူးသည်။ === ပညာရေးနှင့် အခြားလုပ်ငန်းများ === * **သင်ကြားရေး:** မန္တလေးပန်တျာကျောင်းတွင် မိန်းကလေးအဆိုနည်းပြအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ * **စီးပွားရေး:** ဒေါ်လှကလေးစိန်အမည်ဖြင့် ထိုးမုန့်လုပ်ငန်းသည် စီးပွားရေးနယ်ပယ်တွင်လည်း အောင်မြင်ကျော်ကြားခဲ့သည်။ ဒေါ်လှကလေးစိန် (ငယ်နာမည်: ဒေါ်လှကြီး) သည် မြန်မာ့ရိုးရာ အငြိမ့်လောကနှင့် မဟာဂီတလောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော ထိပ်တန်းအနုပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမသည် အက၊ အဆို နှစ်ဘက်လုံးတွင် ကျွမ်းကျင်ပိုင်နိုင်သူဖြစ်ပြီး၊ အထူးသဖြင့် မဟာဂီတသီချင်းများကို ပိုင်နိုင်စွာ သီဆိုနိုင်မှုကြောင့် 'ဂီတမယ်' ဘွဲ့ကို ရရှိခဲ့သူဖြစ်သည်။ == ဘဝဖြစ်စဉ်နှင့် အနုပညာခရီး == ဒေါ်လှကလေးစိန်သည် ငယ်စဉ်ကပင် အနုပညာကို ဝါသနာပါခဲ့ပြီး အသက် ၉ နှစ်အရွယ်မှစတင်ကာ အငြိမ့်လောကသို့ ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ သူမ၏ အနုပညာသက်တမ်းမှာ နှစ်ပေါင်း ၃၀ ရှည်လျားခဲ့သည်။ ပညာသင်ယူမှု: ဖခင်ဖြစ်သူ ဘာဂျာဆရာ ဆရာခန့်၏ အားပေးမှုဖြင့် ငယ်စဉ်ကပင် ဆရာဘကြီး၊ စိန်ဗေဒါ ဦးမောင်ကလေး၊ စန္ဒရား ဆရာမောင်၊ ပတ္တလား ဆရာဘကလေး၊ ရုပ်သေးဆရာ ဦးထွန်းအိုင်၊ ဆရာထူး၊ ဒေါ်စောမြဧကြည်နှင့် ဒေါ်အောင်ကြည်တို့ထံတွင် အဆို၊ အက ပညာရပ်များကို စနစ်တကျ သင်ကြားခဲ့သည်။ == အနုပညာသက်တမ်း == အသက် ၉ နှစ်အရွယ်တွင် မင်းသမီး ဥက္ကလာဧကြည်ထံ၌ အကသင်ရင်း ရှေ့ထွက်မင်းသမီးအဖြစ် စတင်ခဲ့သည်။ ဦးချစ်ဖွယ်၊ ဒေါ်စိန်သုံတို့၏ စန္ဒရားအငြိမ့်ကြီးတွင် ပွဲဦးထွက် ကပြခဲ့သည်။ အသက် ၁၇ နှစ်အရွယ်တွင် ဖခင်တည်ထောင်သော အငြိမ့်၌ ခေါင်းဆောင်မင်းသမီးအဖြစ် တာဝန်ယူခဲ့သည်။ ထိုစဉ်က သူမနှင့်အတူ ညီမဖြစ်သူ မတင်ရွှေက မင်းသမီးအဖြစ် တွဲဖက်ကပြလေ့ရှိသည်။ ထင်ရှားမှု: မြန်မာ့အငြိမ့်မိခင်ကြီး လေဘာတီမမြရင်နှင့်လည်း အငြိမ့်တွဲ၍ ကပြခဲ့ဖူးသည်။ == ဓာတ်ပြားနှင့် ဂီတလောက == ဒေါ်လှကလေးစိန်သည် အကကောင်းရုံသာမက ဓာတ်ပြားလောက၌လည်း အလွန်ကျော်ကြားခဲ့သည်။ သူမသီဆိုခဲ့သော သီချင်းများအနက် ထင်ရှားသည့်သီချင်းအချို့မှာ - မောင်မောင်ဆိုလေ ထီးရိုးရှည် အပျိုကြီးသက်တော်ရှည် ဦးထင်ပေါ် သာသနာပိုင်သွားလျောက်ချေ ရဲစိတ်ရဲမာန် တမန်တော် == နောက်ပိုင်းကာလနှင့် အမွေအနှစ် ==အ နုပညာလောကမှ အနားယူပြီးနောက်ပိုင်းတွင် မန္တလေးပန်တျာကျောင်းတွင် မိန်းကလေးအဆိုနည်းပြအဖြစ် ဒေါ်ဩဘာသောင်း (အကနည်းပြ) နှင့်အတူ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ == စီးပွားရေး == ဒေါ်လှကလေးစိန်၏ အမည်ဖြင့် နာမည်ကြီးသည့် မန္တလေးထိုးမုန့်လုပ်ငန်းကို ညီမများက ဆက်လက်လုပ်ကိုင်ခဲ့ရာ စီးပွားရေးနယ်ပယ်တွင်လည်း လှကလေးစိန်ထိုးမုန့် မှာ ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) g3xjhad2tmq94f67reri2akc1q19b3m 1040596 1040595 2026-06-24T15:25:52Z Naingli 144794 1040596 wikitext text/x-wiki == ဒေါ်လှကလေးစိန် ( အငြိမ့်မင်းသမီး ) == {| class="infobox" style="width: 25em; text-align: left; font-size: 90%;" |+ style="font-size: larger; font-weight: bold;" | ဒေါ်လှကလေးစိန် |- ! ငယ်နာမည် | ဒေါ်လှကြီး |- ! အသက်မွေးဝမ်းကျောင်း | အဆိုတော်၊ အငြိမ့်မင်းသမီး၊ ပညာပေး |- ! ထင်ရှားသော ဘွဲ့ | ဂီတမယ် |- ! ကျော်ကြားသော သီချင်းများ | * မောင်မောင်ဆိုလေ ထီးရိုးရှည် * အပျိုကြီးသက်တော်ရှည် * ဦးထင်ပေါ် * သာသနာပိုင်သွားလျောက်ချေ * ရဲစိတ်ရဲမာန် * တမန်တော် |- ! လုပ်ငန်းနယ်ပယ် | အနုပညာ၊ ပညာရေး (မန္တလေးပန်တျာ) |} === အကျဉ်းချုပ် === ဒေါ်လှကလေးစိန် (ငယ်နာမည် ဒေါ်လှကြီး) သည် မြန်မာ့ဂီတလောကတွင် 'ဂီတမယ်' ဟု အမည်တွင်သည့် ထင်ရှားသော အဆိုတော်နှင့် အငြိမ့်မင်းသမီးတစ်ဦးဖြစ်သည်။ သူမသည် မဟာဂီတသီချင်းကြီးများကို အလွန်ပိုင်နိုင်စွာ သီဆိုနိုင်သူအဖြစ် လူသိများသည်။ === အနုပညာခရီး === * **အငြိမ့်သက်တမ်း:** အသက် ၉ နှစ်မှ ၃၉ နှစ်အထိ နှစ်ပေါင်း ၃၀ ကျော် အနုပညာလောကတွင် ကျင်လည်ခဲ့သည်။ * **ဆရာများ:** ဆရာခန့် (ဖခင်)၊ ဆရာဘကြီး၊ စိန်ဗေဒါ ဦးမောင်ကလေး၊ စန္ဒရား ဆရာမောင်၊ ပတ္တလား ဆရာဘကလေး၊ ရုပ်သေးဆရာ ဦးထွန်းအိုင်၊ ဆရာထူး၊ ဒေါ်စောမြဧကြည်နှင့် ဒေါ်အောင်ကြည်တို့ထံတွင် ပညာဆည်းပူးခဲ့သည်။ * **အနုပညာလုပ်ဆောင်ချက်:** * ၁၇ နှစ်အရွယ်တွင် ဖခင်တည်ထောင်သော အငြိမ့်၌ ခေါင်းဆောင်မင်းသမီးအဖြစ် ပါဝင်ခဲ့သည်။ * ညီမဖြစ်သူ မတင်ရွှေနှင့်အတူ တွဲဖက်၍ မင်းသားအသွင်ဖြင့် ကပြဖျော်ဖြေလေ့ရှိသည်။ * မြန်မာ့အငြိမ့်မိခင်ကြီး လေဘာတီမမြရင်နှင့်လည်း တွဲဖက်ကပြခဲ့ဖူးသည်။ === ပညာရေးနှင့် အခြားလုပ်ငန်းများ === * **သင်ကြားရေး:** မန္တလေးပန်တျာကျောင်းတွင် မိန်းကလေးအဆိုနည်းပြအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ * **စီးပွားရေး:** ဒေါ်လှကလေးစိန်အမည်ဖြင့် ထိုးမုန့်လုပ်ငန်းသည် စီးပွားရေးနယ်ပယ်တွင်လည်း အောင်မြင်ကျော်ကြားခဲ့သည်။ ဒေါ်လှကလေးစိန် (ငယ်နာမည်: ဒေါ်လှကြီး) သည် မြန်မာ့ရိုးရာ အငြိမ့်လောကနှင့် မဟာဂီတလောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော ထိပ်တန်းအနုပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမသည် အက၊ အဆို နှစ်ဘက်လုံးတွင် ကျွမ်းကျင်ပိုင်နိုင်သူဖြစ်ပြီး၊ အထူးသဖြင့် မဟာဂီတသီချင်းများကို ပိုင်နိုင်စွာ သီဆိုနိုင်မှုကြောင့် 'ဂီတမယ်' ဘွဲ့ကို ရရှိခဲ့သူဖြစ်သည်။ == ဘဝဖြစ်စဉ်နှင့် အနုပညာခရီး == ဒေါ်လှကလေးစိန်သည် ငယ်စဉ်ကပင် အနုပညာကို ဝါသနာပါခဲ့ပြီး အသက် ၉ နှစ်အရွယ်မှစတင်ကာ အငြိမ့်လောကသို့ ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ သူမ၏ အနုပညာသက်တမ်းမှာ နှစ်ပေါင်း ၃၀ ရှည်လျားခဲ့သည်။ ပညာသင်ယူမှု: ဖခင်ဖြစ်သူ ဘာဂျာဆရာ ဆရာခန့်၏ အားပေးမှုဖြင့် ငယ်စဉ်ကပင် ဆရာဘကြီး၊ စိန်ဗေဒါ ဦးမောင်ကလေး၊ စန္ဒရား ဆရာမောင်၊ ပတ္တလား ဆရာဘကလေး၊ ရုပ်သေးဆရာ ဦးထွန်းအိုင်၊ ဆရာထူး၊ ဒေါ်စောမြဧကြည်နှင့် ဒေါ်အောင်ကြည်တို့ထံတွင် အဆို၊ အက ပညာရပ်များကို စနစ်တကျ သင်ကြားခဲ့သည်။ == အနုပညာသက်တမ်း == အသက် ၉ နှစ်အရွယ်တွင် မင်းသမီး ဥက္ကလာဧကြည်ထံ၌ အကသင်ရင်း ရှေ့ထွက်မင်းသမီးအဖြစ် စတင်ခဲ့သည်။ ဦးချစ်ဖွယ်၊ ဒေါ်စိန်သုံတို့၏ စန္ဒရားအငြိမ့်ကြီးတွင် ပွဲဦးထွက် ကပြခဲ့သည်။ အသက် ၁၇ နှစ်အရွယ်တွင် ဖခင်တည်ထောင်သော အငြိမ့်၌ ခေါင်းဆောင်မင်းသမီးအဖြစ် တာဝန်ယူခဲ့သည်။ ထိုစဉ်က သူမနှင့်အတူ ညီမဖြစ်သူ မတင်ရွှေက မင်းသမီးအဖြစ် တွဲဖက်ကပြလေ့ရှိသည်။ ထင်ရှားမှု: မြန်မာ့အငြိမ့်မိခင်ကြီး လေဘာတီမမြရင်နှင့်လည်း အငြိမ့်တွဲ၍ ကပြခဲ့ဖူးသည်။ == ဓာတ်ပြားနှင့် ဂီတလောက == ဒေါ်လှကလေးစိန်သည် အကကောင်းရုံသာမက ဓာတ်ပြားလောက၌လည်း အလွန်ကျော်ကြားခဲ့သည်။ သူမသီဆိုခဲ့သော သီချင်းများအနက် ထင်ရှားသည့်သီချင်းအချို့မှာ - မောင်မောင်ဆိုလေ ထီးရိုးရှည် အပျိုကြီးသက်တော်ရှည် ဦးထင်ပေါ် သာသနာပိုင်သွားလျောက်ချေ ရဲစိတ်ရဲမာန် တမန်တော် == နောက်ပိုင်းကာလနှင့် အမွေအနှစ် == အနုပညာလောကမှ အနားယူပြီးနောက်ပိုင်းတွင် မန္တလေးပန်တျာကျောင်းတွင် မိန်းကလေးအဆိုနည်းပြအဖြစ် ဒေါ်ဩဘာသောင်း (အကနည်းပြ) နှင့်အတူ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ == စီးပွားရေး == ဒေါ်လှကလေးစိန်၏ အမည်ဖြင့် နာမည်ကြီးသည့် မန္တလေးထိုးမုန့်လုပ်ငန်းကို ညီမများက လုပ်ကိုင်ခဲ့ရာ စီးပွားရေးနယ်ပယ်တွင်လည်း လှကလေးစိန်ထိုးမုန့် မှာ ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) c01lzukgy50mo3rmn9hey67zlgzbe2z 1040597 1040596 2026-06-24T15:28:29Z Naingli 144794 1040597 wikitext text/x-wiki == ဒေါ်လှကလေးစိန် ( အငြိမ့်မင်းသမီး ) == {| class="infobox" style="width: 25em; text-align: left; font-size: 90%;" |+ style="font-size: larger; font-weight: bold;" | ဒေါ်လှကလေးစိန် |- ! ငယ်နာမည် | ဒေါ်လှကြီး |- ! အသက်မွေးဝမ်းကျောင်း | အဆိုတော်၊ အငြိမ့်မင်းသမီး၊ ပညာပေး |- ! ထင်ရှားသော ဘွဲ့ | ဂီတမယ် |- ! ကျော်ကြားသော သီချင်းများ | * မောင်မောင်ဆိုလေ ထီးရိုးရှည် * အပျိုကြီးသက်တော်ရှည် * ဦးထင်ပေါ် * သာသနာပိုင်သွားလျောက်ချေ * ရဲစိတ်ရဲမာန် * တမန်တော် |- ! လုပ်ငန်းနယ်ပယ် | အနုပညာ၊ ပညာရေး (မန္တလေးပန်တျာ) |} ဒေါ်လှကလေးစိန် (ငယ်နာမည်: ဒေါ်လှကြီး) သည် မြန်မာ့ရိုးရာ အငြိမ့်လောကနှင့် မဟာဂီတလောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော ထိပ်တန်းအနုပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမသည် အက၊ အဆို နှစ်ဘက်လုံးတွင် ကျွမ်းကျင်ပိုင်နိုင်သူဖြစ်ပြီး၊ အထူးသဖြင့် မဟာဂီတသီချင်းများကို ပိုင်နိုင်စွာ သီဆိုနိုင်မှုကြောင့် 'ဂီတမယ်' ဘွဲ့ကို ရရှိခဲ့သူဖြစ်သည်။ == ဘဝဖြစ်စဉ်နှင့် အနုပညာခရီး == ဒေါ်လှကလေးစိန်သည် ငယ်စဉ်ကပင် အနုပညာကို ဝါသနာပါခဲ့ပြီး အသက် ၉ နှစ်အရွယ်မှစတင်ကာ အငြိမ့်လောကသို့ ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ သူမ၏ အနုပညာသက်တမ်းမှာ နှစ်ပေါင်း ၃၀ ရှည်လျားခဲ့သည်။ ပညာသင်ယူမှု: ဖခင်ဖြစ်သူ ဘာဂျာဆရာ ဆရာခန့်၏ အားပေးမှုဖြင့် ငယ်စဉ်ကပင် ဆရာဘကြီး၊ စိန်ဗေဒါ ဦးမောင်ကလေး၊ စန္ဒရား ဆရာမောင်၊ ပတ္တလား ဆရာဘကလေး၊ ရုပ်သေးဆရာ ဦးထွန်းအိုင်၊ ဆရာထူး၊ ဒေါ်စောမြဧကြည်နှင့် ဒေါ်အောင်ကြည်တို့ထံတွင် အဆို၊ အက ပညာရပ်များကို စနစ်တကျ သင်ကြားခဲ့သည်။ == အနုပညာသက်တမ်း == အသက် ၉ နှစ်အရွယ်တွင် မင်းသမီး ဥက္ကလာဧကြည်ထံ၌ အကသင်ရင်း ရှေ့ထွက်မင်းသမီးအဖြစ် စတင်ခဲ့သည်။ ဦးချစ်ဖွယ်၊ ဒေါ်စိန်သုံတို့၏ စန္ဒရားအငြိမ့်ကြီးတွင် ပွဲဦးထွက် ကပြခဲ့သည်။ အသက် ၁၇ နှစ်အရွယ်တွင် ဖခင်တည်ထောင်သော အငြိမ့်၌ ခေါင်းဆောင်မင်းသမီးအဖြစ် တာဝန်ယူခဲ့သည်။ ထိုစဉ်က သူမနှင့်အတူ ညီမဖြစ်သူ မတင်ရွှေက မင်းသမီးအဖြစ် တွဲဖက်ကပြလေ့ရှိသည်။ ထင်ရှားမှု: မြန်မာ့အငြိမ့်မိခင်ကြီး လေဘာတီမမြရင်နှင့်လည်း အငြိမ့်တွဲ၍ ကပြခဲ့ဖူးသည်။ == ဓာတ်ပြားနှင့် ဂီတလောက == ဒေါ်လှကလေးစိန်သည် အကကောင်းရုံသာမက ဓာတ်ပြားလောက၌လည်း အလွန်ကျော်ကြားခဲ့သည်။ သူမသီဆိုခဲ့သော သီချင်းများအနက် ထင်ရှားသည့်သီချင်းအချို့မှာ - မောင်မောင်ဆိုလေ ထီးရိုးရှည် အပျိုကြီးသက်တော်ရှည် ဦးထင်ပေါ် သာသနာပိုင်သွားလျောက်ချေ ရဲစိတ်ရဲမာန် တမန်တော် == နောက်ပိုင်းကာလနှင့် အမွေအနှစ် == အနုပညာလောကမှ အနားယူပြီးနောက်ပိုင်းတွင် မန္တလေးပန်တျာကျောင်းတွင် မိန်းကလေးအဆိုနည်းပြအဖြစ် ဒေါ်ဩဘာသောင်း (အကနည်းပြ) နှင့်အတူ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ == စီးပွားရေး == ဒေါ်လှကလေးစိန်၏ အမည်ဖြင့် နာမည်ကြီးသည့် မန္တလေးထိုးမုန့်လုပ်ငန်းကို ညီမများက လုပ်ကိုင်ခဲ့ရာ စီးပွားရေးနယ်ပယ်တွင်လည်း လှကလေးစိန်ထိုးမုန့် မှာ ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) ema57bglwgp34dv6z0rr1iqnw5fyhej 0 288397 1040594 1040505 2026-06-24T15:15:06Z Naingli 144794 1040594 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | name = ပန်တျာတင်တင်မြင့် | image = [[ဖိုင်:Tintinmyint|thumb|[[File:Tintinmyint.png|thumb|ဂန္တဝင် အငြိမ့်မိခင်ကြီး ပန်တျာတင်တင်မြင့်]]]] | caption = | birth_name = | birth_date = ၇ စက်တင်ဘာ ၁၉၄၆ | birth_place = ခလောက်ချိုင်ရွာ၊ ကြည့်မြင်တိုင်တစ်ဖက်ကမ်း၊ ရန်ကုန်မြို့ | death_date = ဇူလိုင် ၂၀၂၁ | death_place = | occupation = သဘင်အနုပညာရှင် (ဇာတ်နှင့် အငြိမ့်မင်းသမီး)၊ သီချင်းအဆိုတော် | years_active = | spouse = ပန်တျာကြည်လင် (၁၉၆၂–၁၉၇၄) | children = ၅ ဦး | relatives = မျိုးကို (သား)၊ စောမြတ်မိုး (သမီး)၊ သွေးသစ် (မြေး)၊ ဆုလတ်ဝေ (မြေး) | awards = }} == ပန်တျာတင်တင်မြင့် == ပန်တျာ တင်တင်မြင့် (၁၉၄၆–၂၀၂၁) သည် မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် အငြိမ့်မင်းသမီးကြီးအဖြစ်လည်းကောင်း၊ ဇာတ်မင်းသမီးအဖြစ်လည်းကောင်း ထူးခြားပြောင်မြောက်စွာ အောင်မြင်ခဲ့သည့် ထင်ရှားကျော်ကြားသော အနုပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ မိန်းမသားဦးဆောင်သည့် ပြဇာတ်အဖွဲ့ကို တည်ထောင်ကာ တစ်နိုင်ငံလုံးအတိုင်းအတာဖြင့် အောင်မြင်မှုရရှိခဲ့ပြီး အငြိမ့်လောက၏ မိခင်ကြီးတစ်ဦးအဖြစ် တင်စားခေါ်ဝေါ်ခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ == ကိုယ်ရေးအကျဉ်း == မွေးဖွားရက် ၁၉၄၆ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလ ၇ ရက် မွေးဖွားရာဒေသ ရန်ကုန်မြို့၊ ကြည့်မြင်တိုင်တစ်ဖက်ကမ်း၊ ခလောက်ချိုင်ရွာ ကွယ်လွန်ရက် ၂၀၂၁ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လခန့် အလုပ်အကိုင်သဘင်အနုပညာရှင် (ဇာတ်နှင့် အငြိမ့်မင်းသမီး)၊ သီချင်းအဆိုတော် အမည်ကျော်ကြားခြင်း အငြိမ့်လောက၏ မိခင်ကြီး၊ "ပြည်သူ့မုန်တိုင်း" ပြဇာတ်အဖွဲ့ခေါင်းဆောင် အိမ်ထောင်ဖက် ပန်တျာကြည်လင် (၁၉၆၂ ခုနှစ်တွင် လက်ထပ်၊ ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် ကွာရှင်း) မျိုးဆက်များ သားသမီး ၅ ဦး (ကွယ်လွန်ချိန်တွင် ၄ ဦး ကျန်ရစ်)၊ မြေး ၁၁ ဦး၊ မြစ် ၂ ဦး == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာရေး == ပန်တျာတင်တင်မြင့်ကို ၁၉၄၆ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလ ၇ ရက်နေ့တွင် ကြည့်မြင်တိုင်တစ်ဖက်ကမ်းရှိ ခလောက်ချိုင်ရွာ၌ အဖ ဦးသိုက်၊ အမိ ဒေါ်ကြည်ညွန့်တို့မှ မွေးဖွားခဲ့သည်။ မွေးချင်း ၆ ယောက်အနက် စတုတ္ထမြောက် သမီးဖြစ်သည်။ သူမ၏ မိသားစုတွင် အနုပညာမျိုးရိုး မရှိခဲ့ဘဲ မိခင်ဖြစ်သူက ပညာတတ်တစ်ဦး ဖြစ်စေချင်ခဲ့သော်လည်း ငယ်စဉ် အသက် ၁၀ နှစ်အရွယ်ကတည်းက အနုပညာကို အလွန်ဝါသနာကြီးခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် မိဘများမသိအောင် ခိုးဝှက်၍ အနုပညာပညာရပ်များကို သင်ယူခဲ့သည်။ ငယ်စဉ်က ကျောင်းမှန်မှန်မတက်ဘဲ ကျောင်းလွယ်အိတ်ကို မုန့်ဆိုင်တွင်အပ်ကာ ပလုတ်တုတ်တီးဝိုင်းနှင့် အလှူခံရာနောက်သို့ လိုက်လံကပြခဲ့ဖူးသည်။ ပြင်ပကျောင်းပညာရေးကို ဒုတိယတန်းအထိသာ သင်ကြားခဲ့ဖူးသည်။ အသက် ၁၃ နှစ်အရွယ်တွင် လက်ဦးဆရာဖြစ်သူ စာရေးဆရာ ဦးသိန်းဆွေလေး၏ ကူညီမှုဖြင့် ထိုခေတ်က အနည်းဆုံး လေးတန်းအောင်မှ တက်ရောက်ခွင့်ရှိသည့် ပန်တျာကျောင်းသို့ တက်ရောက်ခွင့် ရရှိခဲ့သည်။ ပန်တျာကျောင်းတွင် ၃ နှစ်ကြာ ပညာသင်ကြားခဲ့ပြီး နိုင်ငံတော်အဆင့် “ဆို၊ က၊ ရေး၊ တီး” ပြိုင်ပွဲများတွင် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ကာ ဆုတံဆိပ်များ ဆွတ်ခူးခဲ့သည်။ == အနုပညာလှုပ်ရှားမှုများ ဇာတ်သဘင်လောက သို့ ဝင်ရောက်ခြင်း == ပန်တျာကျောင်းဆင်းပြီးနောက် ပန်တျာဇာတ်အဖွဲ့သို့ ဝင်ရောက်ကာ အနုပညာခရီးကို စတင်ခဲ့သည်။ ဇာတ်လောက၏ ပထမခြေလှမ်းအဖြစ် ယိမ်းသမခေါင်းဆောင်အဖြစ် ကပြခဲ့ရပြီး ခေတ်ပြိုင်မင်းသမီးကြီးများဖြစ်ကြသည့် အောင်သန်းတင်၊ ခင်ခင်ညွန့်၊ ခင်အုန်းမြင့်လေး၊ မနယ်လီမြိုင် စသည့် ဝါရင့်အနုပညာရှင်များနှင့် တွဲဖက်ကပြခွင့်ရခဲ့သည်။ ကိုယ်ခန္ဓာသေးငယ်ပြီး အသက်ငယ်ဆုံးဖြစ်သဖြင့် နှစ်ပါးသွားအခန်းများတွင် နောက်ဆုံးမှသာ ကပြခွင့်ရလေ့ရှိသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် မင်းသားကြီး ပန်တျာကြည်လင်နှင့် တွဲဖက်ညီစွာ နှစ်ပါးခွင်ဇာတ်များ၊ ပြဇာတ်များကို ကပြဖျော်ဖြေခဲ့သည်။ ၎င်းတို့ တွဲဖက်ကပြခဲ့သည့် ရသာစုံလင် “နှစ်ပါးခွင်” နှင့် “မြစိမ်းရှင် သိုက်သမိုင်း” ဇာတ်ထုပ်တို့မှာ လူကြိုက်များ ထင်ရှားခဲ့သည်။ ဓာတ်ပြားခေတ်တွင် သီဆိုခဲ့သည့် “တောသူအချစ်” သီချင်းသည်လည်း အထူးအောင်မြင်ခဲ့သည်။ == အငြိမ့်လောကသို့ ကူးပြောင်းခြင်းနှင့် အောင်မြင်မှု == ၁၉၇၅ ခုနှစ်တွင် ဇာတ်သဘင်လောကမှ အငြိမ့်လောကသို့ ကူးပြောင်းခဲ့သည်။ ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် ဦးကျော်စိုး တည်ထောင်သည့် “ပြည်သူ့မုန်တိုင်း” ပဒေသာအငြိမ့်အဖွဲ့တွင် စတင်ကပြခဲ့သည်။ ပြဇာတ်မင်းသား လူငယ်ကြည်ခိုင်၊ မင်းသားသန့်ဇင်တို့နှင့် တွဲဖက်ကာ “မိန်းမသားဦးဆောင်သည့် ပြဇာတ်အဖွဲ့” အဖြစ် အမြို့မြို့အနယ်နယ်တွင် လှည့်လည်ကပြခဲ့ရာ တစ်နှစ်လျှင် ပွဲချီ ၃၄၀ အထိ ရုံပြည့်ရုံလျှံ အားပေးခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ မြန်မာနိုင်ငံတွင် မင်းသမီးဦးဆောင်သည့် အငြိမ့်အဖွဲ့အစည်းအနေဖြင့် ပန်တျာတင်တင်မြင့် တစ်ဦးတည်းသာ ထူးခြားစွာ အောင်မြင်မှု ရရှိခဲ့သည်။ ၎င်းသည် ပရိသတ်ကို ငိုအောင်၊ ရယ်အောင်၊ ပျော်အောင် သရုပ်ဆောင်နိုင်စွမ်းရှိသည့် သဘာဝမင်းသမီးကြီးအဖြစ် လူရွှင်တော်ကြီး ထင်ပေါ်အပါအဝင် သဘင်မျိုးဆက်များ၏ လေးစားမှုကို ခံခဲ့ရသည်။ == ထင်ရှားသော တေးသီချင်းများ== ပန်တျာတင်တင်မြင့်သည် ဓာတ်ပြားခေတ်မှ ကက်ဆက်ခေတ်အထိ အငြိမ့်သီချင်း၊ အော်ပရာနှင့် တေးသီချင်းပေါင်းများစွာကို သီဆိုအောင်မြင်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့အနက် ထင်ရှားသော သီချင်းအချို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ တောသူအချစ် အာရောဂျံ ပရမံလာဘံ ပါးမှာနံ့သာ ခါးမှာပဝါ မဟူရာည ယသော်ဓယာအလွမ်း စိန်စီသောတေး ဘဝတဆစ်ချိုး အချစ်နာကျသော ရောဂါ သဘင်သည် အနုပညာ ကျမ မိန်းမသား == ကိုယ်ရေးကိုယ်တာနှင့် အနုပညာအမွေ == ၁၉၆၂ ခုနှစ်၊ အသက် ၁၈ နှစ်အရွယ်တွင် မင်းသားကြီး ပန်တျာကြည်လင်နှင့် အိမ်ထောင်ကျခဲ့ပြီး သားသမီး ၅ ဦး ထွန်းကားခဲ့သည်။ အသက် ၂၈ နှစ် (၁၉၇၄ ခုနှစ်ခန့်) တွင် အိမ်ထောင်ကွဲခဲ့သည်။ သူမသည် မျိုးရိုးမရှိဘဲ ခက်ခဲစွာ သင်ယူခဲ့ရသည့် မိမိ၏ အနုပညာအမွေကို နောက်မျိုးဆက်များထံ လက်ဆင့်ကမ်းနိုင်ခဲ့သည်။ သားဖြစ်သူ မင်းသား မျိုးကို၊ သမီးဖြစ်သူ မင်းသမီး စောမြတ်မိုး၊ မြေးဖြစ်သူ မင်းသား သွေးသစ်နှင့် အမျိုးသားယဉ်ကျေးမှုနှင့် အနုပညာတက္ကသိုလ်တွင် ပညာသင်ကြားနေသည့် မြေးမလေး ဆုလတ်ဝေတို့အထိ အနုပညာမျိုးဆက် သုံးဆက်တိုင်တိုင် လက်ဆင့်ကမ်းနိုင်ခဲ့သည်။ == ဘဝနိဂုံးနှင့် သာသနာပြုလုပ်ငန်းများ == အသက် ၃၈ နှစ်အရွယ်တွင် ကျန်းမာရေးအခြေအနေ (အသည်းတွင် ပြည်တည်သည့်ရောဂါ) ကြောင့် အနုပညာလောကမှ ခေတ္တအနားယူခဲ့ရပြီး မကွေးဆေးရုံတွင် ၃ လကြာ ဆေးကုသမှု ခံယူခဲ့ရသည်။ ဆေးရုံဆင်းပြီးနောက် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၊ မိတ္ထီလာခရိုင်၊ မလှိုင်မြို့နယ်ရှိ ရွှေပေါ်ကျွန်း သာသနာမြေတွင် သာသနာပြုလုပ်ငန်းများကို တစိုက်မတ်မတ် လုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ သာသနာပြုစဉ်ကာလအတွင်း ဘုရားစေတီပေါင်း ၁,၂၀၀ ကျော်ကို ထီးတော်တင်လှူပူဇော်နိုင်ခဲ့ပြီး ဘုရားပွဲများတွင်လည်း အနုပညာဖြင့် ကုသိုလ်ဖြစ် သီဆိုဖျော်ဖြေခဲ့သည်။ သူမ၏ နောက်ဆုံးဆန္ဒမှာ စေတီပေါင်း ၁,၅၀၀ ပြည့်အောင် ထီးတင်ရန်နှင့် "အရိမေတ္တယျအကြိုစေတီတော်" ကို အပြီးသတ်တည်ထားကိုးကွယ်ရန် ဖြစ်သော်လည်း ကွယ်လွန်ချိန်အထိ ပြည့်မြောက်ခြင်း မရှိခဲ့ပေ။ ကွယ်လွန်ခါနီး ၂ နှစ်ခန့်အလိုတွင် အဆုတ်ကင်ဆာရောဂါ ဝေဒနာကို ပြင်းထန်စွာ ခံစားခဲ့ရပြီး ဆေးရုံတက်ရောက်ကုသမှု ခံယူရင်း ၂၀၂၁ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လခန့်တွင် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ ကွယ်လွန်ချိန်တွင် အသက် ၇၅ နှစ်ရှိပြီဖြစ်ပြီး သားသမီး ၄ ဦး၊ မြေး ၁၁ ဦးနှင့် မြစ် ၂ ဦး ကျန်ရစ်ခဲ့သည်။ ၎င်းကွယ်လွန်ခြင်းသည် မြန်မာ့သဘင်လောကအတွက် ကြီးမားသော ဆုံးရှုံးမှုတစ်ရပ် ဖြစ်ခဲ့သည်။ == ကိုယ်ကားချက်များ == ဧရာဝတီသတင်းဌာနတွင် ၁ ဩဂုတ် ၂၀၂၁ ၌ ဖော်ပြခဲ့သော အနုပညာဆောင်းပါး။ qs53h9tmlquny7skikwixzazan56k52 0 288460 1040746 1040415 2026-06-25T08:57:04Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1040746 wikitext text/x-wiki '''ဆင်ဖြူရှင်ဘုရား''' သည် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်ဦးခရိုင်]]၊ [[မင်းနန်သူရွာ၊ ညောင်ဦးမြို့နယ်|မင်းနန်သူရွာ]]၏ မြောက်ဘက်တွင်တည်ရှိသည်။ စေတီပုထိုးအမှတ် - ၆၉၇ ဖြစ်သည်။<ref name="bgn">https://baganmyanmar.net/sinphyushin-temple.htm</ref> ==အကြောင်းအရာ== ကွမ်းတောင်ပေါက်ဂူ အမျိုးအစား ဖြစ်သည်။ [[တစ်စီးရှင် သီဟသူ|ပင်းယဆင်ဖြူရှင် ဘုရင်သီဟသူ]]က တည်ထားကိုးကွယ်ခဲ့သည်။ အိန္ဒိယပုံစံ ဂူဘုရားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အတွင်းပိုင်းတွင် ရှေးခေတ်မုဒြာဟန်ပန်းချီများကို တွေ့နိုင်သည်။ ဆောက်လုပ်လှူဒါန်းသူ၊ ဘုရားနှင့် ဘုရားနယ်မြေတို့နှင့်ပတ်သက်သည်များကို ရေထိုးထားသည့် ကျောက်စာ ငါးခု ရှိသည်။<ref name="bgn"/> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|21.16291891617401| 94.89535574747038|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[ကဏ္ဍ:ပုဂံရှိ စေတီပုထိုးများ]] ihpjfv2njptxu3j4odqvjaevb5qi00c 100 288494 1040551 1040459 2026-06-24T12:22:22Z Salai Rungtoi 22844 1040551 wikitext text/x-wiki {{Current events|year=2026|month=06|day=24|content= <!-- All news items below this line --> '''ဥပဒေနှင့် ရာဇဝတ်မှု''' *[[လိမ်လည်မှု ဂိုဏ်းစခန်း]] **[[ထိုင်းနိုင်ငံ]]၊ [[မဲဆောက်မြို့]]လယ်ရှိ တိုက်ခန်းတစ်ခန်းတွင် လည်ပတ်နေသော အွန်လိုင်းလောင်းကစားဂိုဏ်းအား ထိုင်းအာဏာပိုင်များက ဝင်ရောက်ဖမ်းဆီးခဲ့ပြီး ထိုင်းနိုင်ငံသားနှင့် မြန်မာနိုင်ငံသား ကိုးဦးကို ဖမ်းဆီးရမိခဲ့ကြောင်း [[တာ့ခ်ခရိုင်]] လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးဌာနက ထုတ်ပြန်ကြေညာခဲ့သည်။ [https://www.bbc.com/burmese/live/c2kynnxe3dlt (BBC)] <!-- All news items above this line -->}} 0dsfvtjk69c8a668lzj66m8qswtla5b 1040553 1040551 2026-06-24T12:25:22Z Salai Rungtoi 22844 1040553 wikitext text/x-wiki {{Current events|year=2026|month=06|day=24|content= <!-- All news items below this line --> '''ဥပဒေနှင့် ရာဇဝတ်မှု''' *[[လိမ်လည်မှု ဂိုဏ်းစခန်း]] **[[ထိုင်းနိုင်ငံ]]၊ [[မဲဆောက်မြို့]]လယ်ရှိ တိုက်ခန်းတစ်ခန်းတွင် လည်ပတ်နေသော အွန်လိုင်းလောင်းကစားဂိုဏ်းအား ထိုင်းအာဏာပိုင်များက ဝင်ရောက်ဖမ်းဆီးခဲ့ပြီး ထိုင်းနိုင်ငံသားနှင့် မြန်မာနိုင်ငံသား ကိုးဦးကို ဖမ်းဆီးရမိခဲ့ကြောင်း [[တာ့ခ်ခရိုင်]] လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးဌာနက ထုတ်ပြန်ကြေညာခဲ့သည်။ [https://www.bbc.com/burmese/live/c2kynnxe3dlt (BBC)] *[[ထိုင်း-မြန်မာ နယ်စပ်]] **[[ထိုင်း-မြန်မာ နယ်စပ်|မြန်မာ-ထိုင်းနယ်စပ်]]ရှိ ကျားဖြန့်ငွေလိမ်လုပ်ငန်းများတွင် ပိတ်မိနေသူ ၅,၃၀၀ ကျော်ရှိနေသေးကြောင်း လူကုန်ကူးခံရသူများအား ကူညီစောင့်ရှောက်ရေး အရပ်ဘက်ကွန်ရက် (CSNHTV) က ပြောကြားခဲ့သည်။ ပြည်ပနိုင်ငံသားများဖြစ်ကာ [[ဒီမိုကရေစီအကျိုးပြုကရင်တပ်မတော်]] ထိန်းချုပ်ထားသော နယ်မြေများအတွင်းရှိ ကျားဖြန့်လုပ်ငန်းများတွင် ပိတ်မိနေကြောင်းလည်း ဆိုသည်။ [https://www.bbc.com/burmese/live/c2kynnxe3dlt (BBC)] <!-- All news items above this line -->}} a56csym26ghxhtbnug9wv6b1qqkiwcz 0 288502 1040593 1040486 2026-06-24T15:09:50Z Naingli 144794 1040593 wikitext text/x-wiki == ယုဝတီ == {{Infobox person | name = ဒေါ်ယုဝတီ | image = | caption = | birth_name = မရီလေး | birth_place = ဟင်္သာရွာ၊ သာဝတ္တီမြို့၊ ရမည်းသင်းခရိုင်၊ မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၊ မြန်မာနိုင်ငံ | occupation = အငြိမ့်မင်းသမီး | spouse = ဦးစံနီ (လူရွှင်တော်) | known_for = ၁၉၉၅ ခုနှစ် မြဝတီအငြိမ့်ပြိုင်ပွဲ ဆုတံဆိပ်ရရှိခြင်း }} ဒေါ်ယုဝတီ သည် မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်လောက၊ အထူးသဖြင့် အငြိမ့်သဘင်နယ်ပယ်တွင် ထင်ရှားသော မြန်မာ့အငြိမ့်မင်းသမီးတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမသည် ၁၉၉၅ ခုနှစ် မြဝတီအငြိမ့်ပြိုင်ပွဲတွင် ဆုတံဆိပ် ဆွတ်ခူးရရှိခဲ့သူလည်း ဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် အနုပညာမျိုးစေ့ == ဒေါ်ယုဝတီကို မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၊ ရမည်းသင်းခရိုင်၊ သာဝတ္တီမြို့၊ ဟင်္သာရွာတွင် မွေးဖွားခဲ့သည်။ နာမည်အရင်းမှာ မရီလေး ဖြစ်သည်။ မွေးချင်း မောင်နှမ (၇) ဦးအနက် အငယ်ဆုံး ဖြစ်သည်။ အခြားမောင်နှမများမှာ အနုပညာဝါသနာ မပါကြသော်လည်း မရီလေးတစ်ဦးတည်းသာ ငယ်စဉ်ကတည်းက အနုပညာဗီဇ ထုံမွှန်းခဲ့ပြီး မိခင်ရွာ၌ပင် ကပြဖျော်ဖြေခဲ့သည်။ ထိုစဉ်က ကပြခဲ့သည့် အနုပညာအမည်မှာ ရွှေမန်းရီ ဖြစ်သည်။ == အနုပညာလောကသို့ ရောက်ရှိခြင်းနှင့် ဆရာသမားများ == ဒေါ်ယုဝတီအား အနုပညာပညာရပ်များ သင်ကြားပြသပေးခဲ့သည့် ငယ်ဆရာများမှာ ဒေါ်လှလှရီ၊ တိုင်းချစ်တင်၊ မြနန်းကြည်နှင့် မျိုးချစ်သောင်း တို့ ဖြစ်ကြသည်။ မန္တလေးမြို့မှ ပညာရှင်ကြီးများဖြစ်ကြသော ဦးအောင်စိန်၊ ဒေါ်အဝေရာကြည်နှင့် လူရွှင်တော်ကြီး ဦးမြတ်သာတို့က အငြိမ့်ကပြရန် ဟင်္သာသို့ လာရောက်ခေါ်ယူခဲ့ကြသည်။ ထိုသို့ လာရောက်ခေါ်ဆိုစဉ်က အနုပညာဝါသနာပါသော ဒေါ်ယုဝတီက လိုက်ပါလိုသော်လည်း မိခင်နှင့် အစ်ကိုဖြစ်သူများက ခွင့်မပြုလိုသဖြင့် အခက်အခဲအချို့ ရှိခဲ့သော်လည်း နောက်ဆုံးတွင် မန္တလေးမြို့သို့ လိုက်ပါခွင့် ရရှိခဲ့သည်။ မန္တလေးသို့ ရောက်ရှိပြီးနောက် အကပညာကို မန္တလေးပြုံးချို ထံတွင် လေ့လာသင်ယူခဲ့ပြီး၊ ဆို၊ ငို၊ ပြော ပညာရပ်များကိုမူ ခေတ္တရာဥဩကြည်၊ မွတ်တားမလေးခင်နှင်းရီနှင့် ရန်ကုန်နှင်းဆီ တို့ထံတွင် ဆက်လက်ဆည်းပူးခဲ့သည်။ ဒေါ်ယုဝတီသည် ဦးမြတ်သာနှင့် ဒေါ်ခင်ညွန့် တို့ တည်ထောင်သော အငြိမ့်အဖွဲ့တွင် စတင်ကပြခဲ့ပြီး မန္တလေး၌ အငြိမ့်စတင်ကပြစဉ်က စဘော်ငွေ သုံးထောင်ကျပ်သာ ရရှိခဲ့သည်။ == "ယုဝတီ" အမည်ဖြစ်ပေါ်လာပုံ == မန္တလေးသို့ ရောက်ရှိချိန်တွင် ပုဂံတိုက်မှ ဆရာတော်တစ်ပါးက သူမ၏ အငြိမ့်မင်းသမီးအမည်ကို "ယုဝတီ" ဟု ပေးခဲ့သည်။ စတင်အမည်ပေးခါစတွင် ဒေါ်ယုဝတီကိုယ်တိုင်က ထိုအမည်ကို တစ်လုံးတည်းဖြစ်၍ မနှစ်သက်ခဲ့သော်လည်း၊ ဆရာတော်က "ယုဝတီ" ဆိုသည်မှာ ပါဠိဘာသာစကားမှ ဆင်းသက်လာပြီး မြန်မာလို "ကောင်းသော သမီးပျို" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရကြောင်း ရှင်းလင်းမိန့်ကြားခဲ့သည်။ အဆိုပါ ဆရာတော် ပျံလွန်တော်မူသည့် အခမ်းအနားတွင် ဒေါ်ယုဝတီကိုယ်တိုင် ဧယဉ်ကျူး၍ ပူဇော်ခဲ့ရသည်။ == မြဝတီအငြိမ့်ပြိုင်ပွဲနှင့် အောင်မြင်မှု == ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် ကျင်းပပြုလုပ်သော မြဝတီအငြိမ့်ပြိုင်ပွဲ သို့ ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည်။ ပြိုင်ပွဲမဝင်မီ (၃) လခန့် ဇာတ်တိုက် တီးလုံးတိုက်ခဲ့ရပြီး ပင်ပန်းခက်ခဲမှုများကြောင့် ငိုကြွေးခဲ့ရသည်အထိ ကြိုးစားခဲ့ရသည်။ ထိုပြိုင်ပွဲတွင် အကယ်ဒမီ စိန်မွတ်တား၏ ကူညီပံ့ပိုးမှု၊ ကျေးဇူးတရားများစွာ ရှိခဲ့ကြောင်း သိရသည်။ ဒေါ်ယုဝတီသည် အဆိုပါ မြဝတီအငြိမ့်ပြိုင်ပွဲတွင် ဆုတံဆိပ် ဆွတ်ခူးရရှိခဲ့သည်။ == မိသားစုဘဝ == ဒေါ်ယုဝတီသည် လူရွှင်တော် ဦးစံနီနှင့် အိမ်ထောင်ပြုခဲ့သည်။ အိမ်ထောင်ဖက်အဖြစ် လူရွှင်တော်ကို ရွေးချယ်ခဲ့ခြင်းမှာ အနုပညာပွဲများ အတူတူကပြရလိမ့်မည်ဟု တွေးတောမျှော်လင့်ခဲ့ခြင်းကြောင့်ဖြစ်ပြီး၊ အမှန်တကယ်လည်း အားလပ်ရက်မရှိရအောင်ပင် ပွဲများဆက်တိုက် ကပြခဲ့ရသည်။ ဒေါ်ယုဝတီသည် ဂန္တဝင် အငြိမ့်မိခင်ကြီး ပင် ဖြစ်တော့သည်။ == ကိုးကား == "မြန်မာ့အငြိမ့်သဘင်အင်တာဗြူး (၂၀၂၂)"၊ ယူကျု (YouTube) ဗီဒီယို အင်တာဗြူးအစီအစဉ်။ c28a7u713r8t3400zkv6fpdc9n1s2gj 2 288511 1040555 1040525 2026-06-24T12:40:22Z Daw lay sein 144662 စာလုံးပေါင်း ပြင်ခဲ့သည် 1040555 wikitext text/x-wiki =='''''​ ဦးဘိုးစံညွန့်''''' [[ဗဒုံမင်း]]နှင့်ကုန်းသာမိဘုရား တို့၏တီတော်== . '''ထိပ်တင်ကြီးစံညွန့်''' သည် ၏ အဘိုးသည် [[မင်းတုန်းမင်း]] လက်ထက်အမှုတော်ထမ်း သော ဝန်မင်းဦးကော့ ဖြစ်သည် ။ အဘိုးဖြစ်သူ ဝန်မင်းဦးကော သည် [[ဗဒုံမင်း]]၏မြေးတော်ဖြစ်ပြီး အဘေးဖြစ်သူကလည်း [[သာယာဝတီမင်း]]လက်ထက်၌ ရွာစားဝန်ထောက်တော်မင်း မဟာဦးဓေါ ဖြစ်သည်။ '''ဦးဘိုစံညွန့်''' သည် ၏ မိခင်သည် ဝန်ကတော်သခင်​ ကြီး မရွှေထင်ဖြစ်သည်။ * ဗဒုံမင်းတြား +မှန်ကင်းမိဘုရား(သုမဟာသီရိဝတီ) * သမီးတော် ကုန်းသာမင်းသမီး(သီရိမဂ်လာဒေဝီ) * မြေးတော် ဝန်မင်းဦးကော + (အမည်အတိအကျမသိရ) * မြစ်တော် ရွာစားဝန်ထောက်တော်မင်း မဟာဦးဓေါ + ဝန်ကတော်သခင်မ မရွှေထင် * တီတော် ဦးဘိုးစံညွန့် + ထိပ်တင်မရွှေမှန်ဘုရား <ref>မြန်မာသမိုင်းစာမျက်နှာ အတွဲ၂ နှာ ၁၀၉ </ref> p89mlnci7qwxymuvzbjw2xgangsjbmz 1040557 1040555 2026-06-24T12:54:21Z Daw lay sein 144662 လင့်ခ်များပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1040557 wikitext text/x-wiki =='''''​ ဦးဘိုးစံညွန့်''''' [[ဗဒုံမင်း]]နှင့်ကုန်းသာမိဘုရား တို့၏တီတော်== . '''ထိပ်တင်ကြီးစံညွန့်''' သည် ၏ အဘိုးသည် [[မင်းတုန်းမင်း]] လက်ထက်အမှုတော်ထမ်း သော ဝန်မင်းဦးကော့ ဖြစ်သည် ။ အဘိုးဖြစ်သူ ဝန်မင်းဦးကော သည် [[ဗဒုံမင်း]]၏မြေးတော်ဖြစ်ပြီး အဘေးဖြစ်သူကလည်း [[သာယာဝတီမင်း]]လက်ထက်၌ ရွာစားဝန်ထောက်တော်မင်း မဟာဦးဓေါ ဖြစ်သည်။ '''ဦးဘိုစံညွန့်''' သည် ၏ မိခင်သည် ဝန်ကတော်သခင်​ ကြီး မရွှေထင်ဖြစ်သည်။ * =ဗဒုံမင်းတြား +မှန်ကင်းမိဘုရား(သုမဟာသီရိဝတီ)= * သမီးတော် ကုန်းသာမင်းသမီး(သီရိမဂ်လာဒေဝီ) * မြေးတော် ဝန်မင်းဦးကော + (အမည်အတိအကျမသိရ) * မြစ်တော် ရွာစားဝန်ထောက်တော်မင်း မဟာဦးဓေါ + ဝန်ကတော်သခင်မ မရွှေထင် * တီတော် ဦးဘိုးစံညွန့် + ထိပ်တင်မရွှေမှန်ဘုရား <ref>မြန်မာသမိုင်းစာမျက်နှာ အတွဲ၂ နှာ ၁၀၉ </ref> r78ypin520zcp8ijc71lmb69819dpt2 1040582 1040557 2026-06-24T14:34:18Z Daw lay sein 144662 စာလုံးပေါင်း ပြင်ခဲ့သည် 1040582 wikitext text/x-wiki သည် ၏ အဘိုးသည် [[မင်းတုန်းမင်း]] လက်ထက်အမှုတော်ထမ်း သော ဝန်မင်းဦးကော့ ဖြစ်သည် ။ အဘိုးဖြစ်သူ ဝန်မင်းဦးကော သည် [[ဗဒုံမင်း]]၏မြေးတော်ဖြစ်ပြီး အဘေးဖြစ်သူကလည်း [[သာယာဝတီမင်း]]လက်ထက်၌ ရွာစားဝန်ထောက်တော်မင်း မဟာဦးဓေါ ဖြစ်သည်။ '''ဦးဘိုစံညွန့်''' သည် ၏ မိခင်သည် ဝန်ကတော်သခင်​ ကြီး မရွှေထင်ဖြစ်သည်။ * =ဗဒုံမင်းတြား +မှန်ကင်းမိဘုရား(သုမဟာသီရိဝတီ)= * သမီးတော် ကုန်းသာမင်းသမီး(သီရိမဂ်လာဒေဝီ) * မြေးတော် ဝန်မင်းဦးကော + (အမည်အတိအကျမသိရ) * မြစ်တော် ရွာစားဝန်ထောက်တော်မင်း မဟာဦးဓေါ + ဝန်ကတော်သခင်မ <ref>မြန်မာသမိုင်းစာမျက်နှာ အတွဲ၂ နှာ ၁၀၉ </ref> gtf75v93vpke9voj5ih2pu961cefg7r 1040583 1040582 2026-06-24T14:35:01Z Daw lay sein 144662 စာလုံးပေါင်း ပြင်ခဲ့သည် 1040583 wikitext text/x-wiki သည် ၏ အဘိုးသည် [[မင်းတုန်းမင်း]] လက်ထက်အမှုတော်ထမ်း သော ဝန်မင်းဦးကော့ ဖြစ်သည် ။ အဘိုးဖြစ်သူ ဝန်မင်းဦးကော သည် [[ဗဒုံမင်း]]၏မြေးတော်ဖြစ်ပြီး အဘေးဖြစ်သူကလည်း [[သာယာဝတီမင်း]]လက်ထက်၌ ရွာစားဝန်ထောက်တော်မင်း မဟာဦးဓေါ ဖြစ်သည * =ဗဒုံမင်းတြား +မှန်ကင်းမိဘုရား(သုမဟာသီရိဝတီ)= * သမီးတော် ကုန်းသာမင်းသမီး(သီရိမဂ်လာဒေဝီ) * မြေးတော် ဝန်မင်းဦးကော + (အမည်အတိအကျမသိရ) * မြစ်တော် ရွာစားဝန်ထောက်တော်မင်း မဟာဦးဓေါ + ဝန်ကတော်သခင်မ <ref>မြန်မာသမိုင်းစာမျက်နှာ အတွဲ၂ နှာ ၁၀၉ </ref> 5maxpa3gpf5b9ekzn8pxip04l3kxj8u 1040586 1040583 2026-06-24T14:47:50Z Min chan saw 144752 1040586 wikitext text/x-wiki == ဒေါ်လှအေး(ခ)ထိပ်တင်လှအေး == ဒေါ်လှအေး သည် မင်းတုန်းမင်း နှင့်ဆောင်ရမိဘုရား၏ မြစ်တော် တစ်ပါးဖြစ်သည်။ သူမ၏ မိခင်မှာ ထိပ်တင်မရွှေမှန်ဘုရား ဖြစ်ပြီး ဖခင်မှာ တိုက်သူကြီးမင်းဦးစံညွန့် ဖြစ်သည်။ {| class="wikitable" |+ဒေါ်လှအေး(ခ)ထိပ်တင်လှအေး !မွေးဖွားရာဒေသ !မွေးဖွားရာခုနှစ် !မိခင် !ဖခင် |- |မန္တလေး | |ထိပ်တင်ဘုရားမရွှေမှန် |တိုက်သူကြီးမင်းဦးစံညွန့် |- | | | | |- | | | | |} <ref>မြန်မာသမိုင်းစာမျက်နှာ အတွဲ၂ နှာ ၁၀၉ </ref> fnbeuo22aypvhjsrhim2gr1ys2dpvlv 0 288519 1040615 1040543 2026-06-24T18:00:28Z Naingli 144794 1040615 wikitext text/x-wiki == မျိုးချစ်သန်း ( အငြိမ့်မင်းသမီး ) == == အနုပညာမှတ်တမ်း == {| class="wikitable" style="width: 100%;" |+ ဒေါ်မျိုးချစ်သန်း၏ အနုပညာမှတ်တမ်းအကျဉ်း |- ! အချက်အလက် !! အသေးစိတ် |- |- | '''ဇာတိ''' || ဟင်္သာတမြို့ |- | '''အနုပညာနယ်ပယ်''' || သဘင် (အငြိမ့်မင်းသမီး) |- | '''ထင်ရှားသည့်အမည်''' || သန်းသုံးသန်း (အငြိမ့်မင်းသမီး ၃ လက်အနက် ၁ ဦး) |- | '''အငြိမ့်အဖွဲ့များ''' || ဦးလှစိန်အငြိမ့်၊ ကိုတိုင်းကျော်အငြိမ့်၊ မန္တလေးသက်ကြီးအငြိမ့် |- | '''ထင်ရှားသောတေးသီချင်းများ''' || "သကျသီဟဘုရား"၊ "မဟာမြတ်မုနိ"၊ "အနန္တောအနန္တငါးပါး"၊ "တောင်ဇမ္ဗူပိုင်" |- | '''ထူးခြားချက်''' || ပရိသတ်အကြိုက်ကို ထိန်းကျောင်းနိုင်သည့် "ဝါနှင့်သမ္ဘာ" ပြည့်ဝခြင်း |} === ထင်ရှားသည့် တေးသီချင်းများ === {{Columns-list|colwidth=20em| * သကျသီဟဘုရား * မဟာမြတ်မုနိ * အနန္တောအနန္တငါးပါး * တောင်ဇမ္ဗူပိုင် }} မျိုးချစ်သန်းသည် မန္တလေး၏ တံခွန်စိုက် နာမည်ကျော် အငြိမ့်မင်းသမီးတစ်ဦး ဖြစ်ပြီး မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားသော "သန်းသုံးသန်း" ဟု သတ်မှတ်ခံရသည့် မင်းသမီးသုံးလက် ထဲမှ တစ်ဦးအပါအဝင် ဖြစ်သည်။ ဟင်္သာတဇာတိ ဖြစ်ပြီး ငယ်ရွယ်စဉ်ကတည်းက ဦးလှစိန်အငြိမ့်တွင် ခေါင်းဆောင်မင်းသမီးအဖြစ် ပါဝင်ကပြခဲ့ရာမှ နောက်ပိုင်းတွင် ကိုတိုင်းကျော်အငြိမ့်စသည်တို့၌ ဆက်လက် ကပြခဲ့သည်။ သူမ၏ ထူးခြားချက်များနှင့် အနုပညာမှတ်တမ်းတချို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် == အမည်တွင်ခြင်း == ပွဲဦးထွက်ကပြသည့်နှစ်မှာပင် ပရိသတ်အားပေးမှုနှင့် အရည်အချင်းကြောင့် ဦးလှစိန်အငြိမ့် မှ မျိုးချစ်သန်းအငြိမ့် ဟု အမည်ပြောင်းလဲသည်အထိ အောင်မြင်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။သရုပ်နှင့် အဆို - အလှအပနှင့် ကိုယ်လုံးကိုယ်ပေါက်တွင် ထင်ရှားလှပပြီး သီချင်းမျိုးစုံကို ကျွမ်းကျင်ပိုင်နိုင်စွာ သီဆိုကပြနိုင်သူတစ်ဦး ဖြစ်သည်။သက်ကြီးအငြိမ့် - မန္တလေးတွင် (၁၅) နှစ်ကျော်ကြာ ကပြဖျော်ဖြေခဲ့ပြီးနောက် ဟင်္သာတမြို့သို့ ပြန်လည်အခြေချ၍ အနားယူခဲ့ကာ နောက်ပိုင်းတွင် ပန်းချီလေးဝင်း စီစဉ်သည့် "မန္တလေးသက်ကြီးအငြိမ့်" အခွေတွင်လည်း ပါဝင်ကပြခဲ့သေးသည်။ ဤသက်ကြီးအငြိမ့်ခွေများကို ဖြူနီဝါပြာတေးသံသာများ ကဲ့သို့သော ဘလော့ဂ်များတွင် ရှာဖွေနားဆင်နိုင်သည်။ == မန္တလေး လူရွင်တော်ကြီး ဦးချစ်စရာ ဒေါ်မျိုးချစ်သန်း အကြောင်း အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားသည်။ == "ဝါနဲ့သမ္ဘာ" စာပေဟောပြောပွဲတပွဲမှာ ဆရာမဂျူးနဲ့ဆုံတော့ ကျွန်တော့်ကို "ဆရာ့စာတွေကို ကျွန်မ များများမဖတ်ဖူးပါဘူးတဲ့။ (ကျွန်တော်ကလည်း များများရေးတဲ့သူ မဟုတ်ပါဘူး)တစ်ပုဒ်တော့ ဖတ်ဖူးပါတယ်။"ဝါနဲ့သမ္ဘာ"ဆိုတဲ့ ဆောင်းပါးပါ" တဲ့။ "အဲဒီဆောင်းပါးလဲ ဖတ်ပြီးရော အဲဒီမင်းသမီးကြီးကို လေးစားမိသလို လက်ရည်တစ်ပြင်တည်းသီချင်းကိုလဲ အတော်ကြိုက်မိသွားတယ်"လို့ ပြောခဲ့ဖူးပါတယ်။ အခု ဒီစာရေးနေချိန်မှာတော့ အဲဒီမင်းသမီးကြီးလဲ ကွယ်လွန်သွားခဲ့ရှာပါပြီ။ ဒါပေမဲ့ ကျွန်တော့်ရင်ထဲမှာတော့ အဲဒီမင်းသမီးကြီးရဲ့ နယ်ကြမ်းတစ်ခုက ခပ်ကြမ်းကြမ်းပရိသတ်တွေကို ငြိမ်ကျသွားအောင် သမ္ဘာနဲ့ထိန်းသွားနိုင်တဲ့ သူ့အတတ်ပညာဟာ ခုချိန်ထိ စွဲထင်ကျန်ရစ်နေတုံးပါပဲ။ အဲဒီမင်းသမီးကြီးနာမည်က "ဒေါ်မျိုးချစ်သန်း" ...တဲ့။ ကျွန်တော်တို့သဘင်လောကမှာ ပညာချင်းတူရင် ဝါရင့်သူက သာတယ်။ ဝါချင်းတူရင် သမ္ဘာရင့်သူက သာတယ်လို့ အဆိုရှိပါတယ်။ ဝါ ဆိုတာ လုပ်သက်ကိုခေါ်တာဖြစ်ပြီး သမ္ဘာကတော့ လုပ်သက်အပေါ်ကရလာတဲ့ အတွေ့အကြုံကို လိမ္မာစွာအသုံးချတတ်ခြင်းကို ခေါ်ပါတယ်။ မျိုးချစ်သန်းက မန္တလေးတံခွန်စိုက်မင်းသမီးတယောက်ပါ။ အရွယ်ကောင်းစဉ်က ဦးလှစိန်အငြိမ့်မှာ ခေါင်းဆောင်က,ပါတယ်။ အဲဒီခေတ်က မန္တလေးအငြိမ့်တွေဟာ အငြိမ့်ထောင်ဆရာတွေရဲ့နာမည်နဲ့ တည်ထောင်ကြတာပါ။ ဦးဩဘာအငြိမ့်၊ အောင်စိန်လေးအငြိမ့်၊ စန္ဒယားဘသိန်းအငြိမ့် စသည်ဖြင့်ပေါ့။ (နှစ်တိုင်း လေနဲ့ထောင်ပြီး တစ်နှစ်မှအကောင်အထည်ပေါ်မသွားတဲ့ အငြိမ့်တစ်ငြိမ့်လဲရှိခဲ့ဖူးပါတယ်။ ကိုဒီပါရဲ့ ချန်ပီယံအငြိမ့်လေ)။ စပြီး က,တဲ့နှစ်မှာပဲ ဦးလှစိန်အငြိမ့်ကနေ မျိုးချစ်သန်းအငြိမ့် ဖြစ်သွားပါရော။ စန်းကောင်း၊ အရည်အချင်းကောင်းကိုး။ ပွဲချီကလည်း ရသလား မမေးနဲ့။ လာတဲ့ပွဲတိုင်းက မျိုးချစ်သန်းနာမည်နဲ့ချည်းပဲတဲ့။ လူရွှင်တော် ဦးလိမ္မော်ကတော့ "ကိုလှစိန် ဟင်္သာတက မဒီ(မင်းသမီး) အခေါ်ကောင်းလိုက်တာ ခြင်း(ပုဆိုး)ကနေ ဒိုင်း(ထဘီ)အငြိမ့် ဖြစ်သွားတာပဲ"လို့ ပြောဖူးပါတယ်။ မျိုးချစ်သန်းက ဟင်္သာတဇာတိကိုး။ ဖြီးလိမ်းလိုက်ရင် အလှအပရော ကိုယ်လုံးကိုယ်ပေါက်ရောက တကယ့်ဒေါ်ကြည်ကြည်ဋ္ဌေးပဲ။ သီချင်းပေါင်းစုံကလဲ ရသလားမမေးနဲ့။ ဦးလှစိန်ပြီးတော့ ကိုတိုင်းကျော်အငြိမ့်မှာ ကတယ်။ မန္တလေးမှာ ဆယ့်ငါးနှစ်ကျော် ကပြီး ဟင်္သာတကိုပြန်သွားပြီး နားနေပါတယ်။ "ငဗျိုင်းကျန်းမာရေးကလဲ မကောင်းဘူးလေ"တဲ့။ ကျွန်တော်တို့လူရွှင်တော်လောက(တနိုင်ငံလုံး)မှာ ဗျိုင်းသုံးဗျိုင်း ရှိပါတယ်။ အဲဒါကတော့ ဟင်္သာတဗျိုင်း၊ ဝါးခယ်မဗျိုင်းနဲ့ မင်းလှဗျိုင်းတို့ပါ။ နာမည်အပြည့်အစုံက ကိုရွှေဗျိုင်းချည့်ပါ။ ကျွန်တော့်ကို ပဋ္ဌမဆုံးပညာသင်ပေးခဲ့တာ(ကလေးဘဝက)ဝါးခယ်မဗျိုင်းပါ။ လူပြက်လားမြောက်လာတော့ သားအဖလို တသက်လုံးနေသွားခဲ့တာ မင်းလှဗျိုင်းပါ (ကြည်ခိုင်ရွှေဗျိုင်းလို့လဲ ခေါ်ပါတယ်)။ ဒေါ်မျိုးချစ်သန်းရဲ့မောင် ဦးရွှေဗျိုင်း(ဟင်္သာတ)ကိုတော့ နှုတ်ဆိပ်ကောင်းတယ်ဆိုတဲ့ အကြားနဲ့တင် ကြည်ညိုချစ်ခင်ခဲ့ရတာပါ။ နောက်ပိုင်း မန္တလေးမှာ သက်ကြီးအငြိမ့် ခေတ်စားလာတော့ ဒေါ်မျိုးချစ်သန်း တကြော့ပြန်လာပြီး ဦးအောင်စိန်၊ ဦးနောက်တိုး၊ ဦးညိုသန်းတို့နဲ့ တွဲလို့ အောင်ပွဲခံပြန်ပါတယ်။ အဲဒီနှစ်က ကျွန်တော်နဲ့ ကိုဒီပါက နန်းမြို့တော်အငြိမ့်မှာ ကပါတယ်။ ရွှေဘိုနယ်က ရွာတရွာကို ပွဲကသွားရမဲ့နေ့မှာ ခေါင်းဆောင်မင်းသမီးဖခင်က ဆုံးပါလေရော။ အငြိမ့်တွေ ပွဲပေါတဲ့လ ဆိုတော့ အစားခေါ်ဖို့မင်းသမီးကလဲ ရှား၊ သွားရမှာက ချက်ချင်းကြီး (ခရီးထွက်ခါနီးမှ ကပ်ဖြစ်တာကိုး)။ အဲဒီမှာ ကြံရာမရဖြစ်ပြီး ဒေါ်မျိုးချစ်သန်းကို အကူအညီတောင်းပြီး ခေါ်လာရပါရော။ ခေါ်သာခေါ်လာရတာ ရင်ကတော့ တထိတ်ထိတ်ပါနော့။ နှစ်ဆယ့်နှစ်နှစ် အပျိုစင်နေရာကို အစားဝင်ကရမှာက ခုနှစ်ဆယ်ကျော်အဖွားကြီးကိုး။ က,ရတဲ့နယ်က နယ်ကြမ်း။ "ကြိုက်ရင် ပုလင်း၊ မကြိုက်ရင် နားရင်း"ဆိုတဲ့ နယ်တွေ....။ ဆိုလိုတာက သဘောကျရင် အရက်ခေါ်တိုက်မယ်။ မကြိုက်ရင် နားရင်းရိုက်မယ်ပေါ့.။ ဒီလိုနဲ့ ညပွဲကလို့ သူ့အလှည့်လဲရောက်ရော၊ သူထွက်လာတာနဲ့ စင်အောက်ကလူငယ်တွေက ..." အဖွားကြီး ဘာလုပ်တာတုန်းတို့ ...." ၊ "အမေကြီး... အမေကြီး ရိပ်သာသွား ..."တို့ ဝိုင်းအော်ကြပါလေရော။ သူ တခွန်းမှ မတုန့်ပြန်ဘဲ အော်နေတဲ့သူတွေကို ပြုံးပြုံးလေး ကြည့်ရင်း"သားတွေ တူတွေက နှုတ်ဆက်ကြတာလေ ကိုယ်ကလဲ မရောက်တာကြာပြီကိုး...။ အော် ....တချိန်ကတော့ ဒီတနယ်လုံး မသန်းအချစ်တော် သူငယ်ချင်းတွေချည့်ပေါ့။ ညနေက ရောက်ရောက်ချင်း ရွာထဲကသူငယ်ချင်းတွေဆီ သွားနှုတ်ဆက်တော့ အိမ်တိုင်းအိမ်တိုင်းက ဝမ်းသာအားရ ခေါ်လိုက်ကြတာ ...ဟေ့ မသန်း၊ ဟေ့သူငယ်ချင်း ... ဟေ့သူငယ်ချင်းနဲ့ ....""" ဟေ့သူငယ်ချင်းရေ... တို့နယ်ပယ်တွင် မိုးသက်ကယ်ဆင်.....ရှစ်ခွင်ကမဲ ...မိုးရွာမလိုလိုနဲ့ပင် ညီညွတ်ရေးနဲ့ အသက်ရှည်ရှည် ခင်ခင်မင်မင် လက်ရည်တပြင်တည်း ရှေးကထက် ပိုချစ်ကြမယ် ...""" လို့ ဆိုပြီး ကချလိုက်တာ အရွယ်နဲ့မလိုက်အောင် မြူးကြွသွက်လက်နေတော့ လက်ခေါက်မှုတ်သံ လက်ခုပ်သံတွေ ခြိမ့်ခြိမ့်ညံသွားပါရော။ အဲဒီမှာ သူက လက်ခုတ်တီးနေတဲ့သူတွေဘက်ကို "ရွှီ"ခနဲ လက်ခေါက်မှုတ်တဲ့ပြီး ခေါင်းကလေးညွှတ်ပြီး အလေးပြန်ပြုလိုက်တော့ အဖွားကြီးကနေ....."ဒါမှ တို့အမေကွ" ဖြစ်ကုန်ရော...။ အော်သံတွေ စဲပြီဆိုမှ ကျွန်တော်တို့လူရွှင်တော်တွေကို နှုတ်ဆက်ရင်း.......‌"ရှေးအဆိုစကားရှိတယ် မဟုတ်လား အကိုတို့ရယ်"ဆိုတော့ ရယ်ကြပြန်ရော....။ ကျွန်တော်တို့က သူ့တူအရွယ် ရှိသေးတာကိုးနော့။ ကိုဒီပါက "ခြင်ထောင်ထဲတုန်းက ဒီလိုခေါ်တာမဟုတ်ပါဘူး မောင်ချစ်ရာ"လို့လဲ ပြန်လိုက်ရော သူက"ရှင် ခြင်ထောင်နဲ့ အိပ်နိုင်လို့လား"တဲ့။ အဲဒီမှာ ကိုဒီပါက "ခင်ဗျားထဘီဟာ ကျုပ်ခြင်ထောင်ဘဲလေ"တဲ့။ ကျွန်တော်က"ကိုဒီပါ ခင်ဗျား ငှက်ဖျားမဖြစ်တော့ဘူး၊ ခြင်ထောင်က ပိုးသတ်ဆေးနံ့ကို မွှန်နေတာဘဲ"။ အဲဒါ သမ္ဘာပါဘဲ။ လူရွှင်တော်ကို ခင်းပေးတယ် ...ဆိတ်ဆွတယ်..ပရိသတ် ကိုယ့်နောက်ပါလာပြီဆိုမှ "တော်ကြပါရှင်"ဆိုတာကို ကိုဒီပါက"တော်ပါဘီ၊ ပိုက်ဆံလဲကုန်ပါဘီ"လုပ်သေးတာ....။ သူက လက်ကလေး ကာရင်း ...."အဆိုစကားရှိတယ် မဟုတ်လားရှင့်....၊ ဝချင်ရင် ပိုစားရသတဲ့.....၊ ကချင်ရင် ကိုယ်ယားရတယ်တဲ့....။ မသန်းကတော့ ဟောဒီရွာမှာ..အားရပါးရ ကချင်လို့ကို ပိုစားပစ်လိုက်တယ် သိလား......မြိန်လိုက်တာ....ကြက်သား ဝက်သား မလိုဘူး။ ငရုပ်သီးထောင်းနဲ့ စားကောင်းတာ ...ဘယ်အိမ်မယ်စားသလဲ မမေးနဲ့။ ဟောဒီ """ တောရွာသူတို့အိမ်မယ် မြိန်ဖွယ်ပ ထမင်း..... မိုးမျှော်... ငရုတ်သီး..ထောင်းနဲ့ ကိုဘိုကေရယ်... ဒေါင်းလန်းကြီးရဲ့ အလယ် ..ညီညွတ်ရေးနဲ့ ...အသက်ရှည်ရှည် ခင်ခင်မင်မင်.. ‌လက်ရည်တပြင်တည်း ရှေးကထက် ပိုချစ်ကြတယ်"""" စကားကနေ သီချင်း၊ သီချင်းကနေ အက(ဒီကြားထဲမှာ လူရွှင်တော်နဲ့ လက်ခုပ်လက်ပြန် ပြက်လုံးတွေလဲ ပါပါသေးတယ်)။ အရွယ်နဲ့မလိုက်အောင် ကြိုးပမ်းမှုတွေရဲ့ရလာဒ်ကတော့ သူနဲ့ရွယ်တူ ရွာသူအဖွားကြီးတွေ စင်ပေါ်တက်ပြီး ဆုချကြတာပါပဲ။ ကျွန်တော်တို့ကလဲ ဆုချ၊ ပြက်လုံးတွေပြက်ကြ၊ ပြက်လုံးတွေပြီးတော့ ယပ်တောင်လေး ခတ်ရင်း ... "မတွေ့တာကြာလို့ ရွှေဘိုသူ အမ၊ ညီမတွေ ဝိုင်းပြီးဆုချတာလဲ ကျေးဇူးတင်ပါရဲ့ရှင်။ ငြိမ်ငြိမ်လေး နားထောင် အားပေးကြတဲ့ သားတွေ၊ တူတွေကို ပိုကျေးဇူးတင်ပါရဲ့။ ဪ ...ရွှေဘိုဆိုမှ သတိရတယ်။ ငါတို့ရွှေဘိုသူများဟာလေ လယ်ထဲဆင်းပြီး ကောက်စိုက်၊ ပျိုးနှုတ်တာတောင် ဆိုင်းနဲ့ဗုံနဲ့ ပျော်ပျော်ပါးပါးတော့...။ နားထောင်ကြည့်"ဆိုပြီး ဗုံကြီးသံကို ဆိုပြပြန်ရော။ လက်ရည်တစ်ပြင်တည်း တတိယပိုဒ် ဆက်မဆိုသေးဘူးနော်။ ပြီးမှ ဆက်တယ်။ "ဒါပေမယ့် ဒီရာသီက တပေါင်းလဆိုတော့ ရိတ်တဲ့ သိမ်းတဲ့ရာသီလေ။ ငါတို့ ရွာထဲကိုဝင်လာတော့ ရွာအဝင်မှာ စီတန်းပေါက်နေတဲ့ လက်ပံပင်ကြီးတွေအောက်မှာ လက်ပံပွင့်ကောက်နေကြတဲ့ သမီးတွေကို မြင်ရတော့ မသန်းလည်း ဆင်းကောက်ချင်လိုက်တာ။ မသန်းက လက်ပံခေါင်းချဉ်ရည်ဆို သိပ်ကြိုက်တာလေ။ အဲ့တော့ တို့ဗုံကြီးသံလေးနဲ့ လက်ပံပွင့် သွားကောက်ရအောင်။ ကောင်မတွေ.. ညည်းတို့ရော လိုက်မယ်မလားဟေ့ဆိုပြီး ကျွန်တော်တို့ကို ခေါ်လိုက်ပါတယ်။ ကျွန်တော်တို့ကလည်း တောင်ရှည်ပုဆိုးတွေကို ထဘီလို ရင်ဘတ်မှာစည်း၊ ပုဝါလေးတွေကို ခေါင်းပေါ်မှာ ခြုံပြီး မိန်းကလေးတွေလို သရုပ်ဆောင်ရတော့တာပေါ့။ သူဆိုတဲ့သီချင်းက """"လိုက်ကြမလားဟေ့ သူငယ်ချင်းကောင်း ယောက်မတို့ရေ ....တို့ရွာဦးဆီက ပင်လက်ပံတွေတော့...ဆက်ရက်တွေ ငှက်တွေ တူစုံတွဲ ...လေမှာဝဲ ပွင့်လက်ပံတွေ .... မြေမှာကြဲ နည်းပါဘူးအေ ....သွားကောက်ကြပါစို့လေ ....""""" သူ က,သလို ကျွန်တော်တို့က ကိုးရို့ကားယား လိုက်က,ကြရင်း သူမှန်တယ် ကိုယ်မှန်တယ်နဲ့ မိန်းမချင်းရန်ဖြစ်တဲ့ခွင် ဝင်ကြရပြန်ရော။ ပြီးလည်းပြီးရော ကျွန်တော်က "မမသန်း ...မမသန်း၊ ကျွန်မ ဟောဒီ မိဒီပါနဲ့ မတွဲချင်တော့ဘူး။ ဒီကောင်မ အကျင့်မကောင်းဘူးမမရဲ့ " "ဟဲ့ ဘယ်လို အကျင့်မကောင်းတာလဲ" "ဒီကောင်မက မိန်းမတန်မဲ့ ဘောလုံးပွဲလောင်းတယ် မမရဲ့" "သူ ဘောလုံးပွဲလောင်းတာ ညည်း ဘယ်က မြင်ရတာတုန်း " "ညီမလေး ဖဲရိုက်ရာက မြင်ရတာ " " ဟုတ်တယ်မမ...ကျွန်မလည်း မယ်ချစ်နဲ့ မတွဲနိုင်တော့ဘူး ...ဒီကောင်မက အရက်သောက်တယ်မမရဲ့ " "သူသောက်တာ ညည်းက ဘယ်ကမြင်တာတုန်း " "ကျွန်မဘိန်းရှူရာက မြင်လိုက်တာ " (ဒါက ဥပမာသဘော ရေးပြတာပါ။ တကယ်ဆိုရင်တော့ ဒီပြက်လုံးတွေက အချိန်တော်တော်ရတဲ့ ပြက်လုံးအမျိုးအစားတွေပါ။ ) ဂွင်ကုန်ပြီဆိုတော့မှ "တော်ကြပါကွယ်...ညီမလေးတို့ကလဲ၊ ရာသီဥတုကလည်း တပေါင်းတန်ခူး မိုးသားကြူးသတဲ့။ ဟိုမှာ ကြည့်စမ်း၊ စနေထောင့်မှာ မိုးတွေတက်လာတာ တရိပ်ရိပ်နဲ့။ ကြည့်ကြစမ်း """ မိုး...မိုး...မိုး တိမ်အာကာလယ် ... ရွာလယ်ပြင်လမ်းမှာလ ...."""" အပိုဒ်ကို ဆိုပြီး က,ပြန်ပါရော။ အပြောက ပါပါ၊ ဝမ်းစာက ကောင်းကောင်း က,လိုက် ဆိုလိုက်ကြတာ လက်ရည်တစ်ပြင်တည်း နောက်ဆုံးအပိုဒ်လည်း ပြီးရော...မနက်၃နာရီထိုးတာပါပဲ။ ဆိုင်းနဲ့လည်း တီးလုံးမတိုက်၊ လူရွှင်တော်နဲ့လည်း ခွင်မချရဘဲ ဖြတ်သန်းလာခဲ့ရတဲ့ ဘဝအတွေ့အကြုံများကို လိုအပ်သလို ပါးနပ်စွာ အသုံးချသွားခဲ့တဲ့ ဒေါ်မျိုးချစ်သန်းရဲ့သမ္ဘာကြောင့် ကျွန်တော်တို့အငြိမ့်တစ်ဖွဲ့လုံး ကြီးမားတဲ့ပြဿနာတစ်ခုကို အောင်မြင်စွာ ကျော်လွှားနိုင်ခဲ့ကြပါတယ်။ နောက်နေ့ မနက်မိုးလင်းလို့ အငြိမ့်အဖွဲ့ ရွာက ပြန်ခါနီးမှာ ဒေါ်မျိုးချစ်သန်းအတွက် ဆန်အိတ်ပိုင်းတွေ၊ ဆီပုလင်းတွေ လက်ဆောင်လာပေးကြတယ်။ "နောက်လဲ လာကပါဦး။ တစ်ညထဲ ကြည့်ရတာ အားမရဘူး"တို့(နောက်တစ်ညငှါးပေမဲ့ ကျွန်တော်တို့က ပွဲကူးရှိနေလို့ လက်မခံခဲ့ပါဘူး)၊ "ဘုရားပွဲကျရင် လိုက်ခဲ့ဦး" တို့ စတဲ့ သံယောဇဉ်စကားတွေနဲ့ နှုတ်ဆက်ကြပါတယ်။ အဖွားကြီးတွေကတော့ မျက်ရည်လေးတစမ်းစမ်းနဲ့ပေါ့။ မနက်ရှစ်နာရီခွဲလောက်မှာ အငြိမ့်အဖွဲ့ကို ရွာက ထမင်းကျွေးပါတယ်။ ဟင်းတွေကို ဒီအချိန်ထိ ကျွန်တော်မေ့လို့မရတော့ပါဘူး။ ကြွက်ကြော်၊ လက်ပံခေါင်းချဉ်ရည်နဲ့ ငရုပ်သီးထောင်းတို့ဖြစ်ကြောင်းပါခင်ဗျား။ == သီဆိုခဲ့သော ကျော်ကြားသည့် တေးသီချင်းများ == ဒေါ်မျိုးချစ်သန်းသည် အဆိုပိုင်းတွင်လည်း ကျွမ်းကျင်ပိုင်နိုင်သူဖြစ်ပြီး ၎င်းသီဆိုခဲ့သော တေးသီချင်းအချို့ကို မြန်မာ့ဂီတဆိုင်ရာ အွန်လိုင်းမှတ်တမ်းများနှင့် YouTube ချန်နယ်များတွင် ယခုတိုင် ရှာဖွေနားဆင်နိုင်သည်။ ထင်ရှားသော တေးသီချင်းအချို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ "သကျသီဟဘုရား" "မဟာမြတ်မုနိ" "အနန္တောအနန္တငါးပါး" "တောင်ဇမ္ဗူပိုင်" == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( ချစ်စရာရေးသော ဆောင်ပါး မှ ဖော်ပြခြင်းဖြစ်ပါသည်။ ) ‌ dcocxz45q4n9gp3xjestocnjrtkwc6i 3 288523 1040548 2026-06-24T12:04:03Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040548 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-35395-34 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၀၄၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 1ybx35a4lp3v09hs5pyy2o863dchsad 3 288524 1040549 2026-06-24T12:04:13Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040549 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် 1Mg.Mg ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၀၄၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) h61p4bmv4ubeknajqj1rskqtcd8isvo 3 288525 1040550 2026-06-24T12:04:23Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040550 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Jcuhfehl ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၀၄၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) c4mh6ncpaou4wf3cljjmwyw66qtptx8 0 288526 1040552 2026-06-24T12:23:51Z Naingli 144794 "== ရန်ကုန်သူ မခင်စိန် == ရန်ကုန်သူ မခင်စိန် (၁၂၉၆ ခုနှစ်ဖွား) သည် မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်လောက၏ ထင်ရှားကျော်ကြားသော မင်းသမီးကြီးတစ်ဦးဖ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040552 wikitext text/x-wiki == ရန်ကုန်သူ မခင်စိန် == ရန်ကုန်သူ မခင်စိန် (၁၂၉၆ ခုနှစ်ဖွား) သည် မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်လောက၏ ထင်ရှားကျော်ကြားသော မင်းသမီးကြီးတစ်ဦးဖြစ်ပြီး ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာန၏ အကနည်းပြအကြံပေး နှင့် ဆိုကရေးတီးပြိုင်ပွဲ ဗဟိုအကဒိုင်လူကြီးအဖြစ် ဆောင်ရွက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာရေး == ရန်ကုန်သူ မခင်စိန်ကို မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၉၆ ခုနှစ်၊ ဝါဆိုလဆန်း ၇ ရက်နေ့တွင် သုံးခွမြို့နယ်၊ ကျောင်းစုပတုတ်ရွာ၌ ဖခင် ဦးဖိုးရီ၊ မိခင် ဒေါ်အုန်းညွန့်တို့မှ မွေးဖွားခဲ့ပြီး အမည်ရင်းမှာ မညွန့်တင် ဖြစ်သည်။ မောင်နှမ လေးယောက်အနက် အထွေးဆုံး ဖြစ်သည်။ မိဘမျိုးရိုးတွင် သဘင်သည် မရှိသော်လည်း ငယ်စဉ်ကပင် အဆိုအက၌ အလွန်ဝါသနာကြီးခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ == သဘင်လောကသို့ ဝင်ရောက်ခြင်း == အသက် ၉ နှစ်သမီးအရွယ်တွင် မိမိရွာသို့ လာရောက်ကပြသော ဇာတ်ဆရာ ဦးဘညွန့်၏ အငြိမ့်အဖွဲ့နှင့်အတူ လိုက်ပါသွားကာ "ရဲညွန့်စိန်" အမည်ဖြင့် စတင်ကပြခဲ့သည်။ သို့သော် အသက်ငယ်လွန်းသေးသဖြင့် မိဘများက ပြန်လည်ခေါ်ယူကာ ကျောင်းပြန်ထားခဲ့သည်။ အသက် ၁၆ နှစ် အရွယ်သို့ ရောက်ရှိသောအခါတွင်မူ မိဘများက တားမြစ်ခြင်းမရှိတော့ဘဲ "ရန်ကုန်သူ မခင်စိန်" အမည်ဖြင့် ဗန္ဓုလကျော်စိန်ဇာတ်တွင် စတင်ဝင်ရောက် ကပြခဲ့သည်။ == ဇာတ်သဘင်သက်တမ်းနှင့် အနုပညာခရီးစဉ် == ရန်ကုန်သူ မခင်စိန်သည် ဗန္ဓုလကျော်စိန်ဇာတ်တွင် ၂ နှစ်မျှ ပါဝင်ကပြခဲ့ပြီးနောက် မြို့တော်တင်ရွှေဇာတ်နှင့် အောင်မင်းစိန်ဇာတ်တို့သို့ ရောက်ရှိခဲ့သော်လည်း ကြာမြင့်စွာ မကပြခဲ့ချေ။ ထို့နောက် အောက်ပါဇာတ်သဘင်အဖွဲ့များတွင် အစဉ်လိုက် ပါဝင်ကပြခဲ့သည် ကျော်ဝင်းစိန်ဇာတ်: (၃) နှစ် တွဲဖက်ကပြခဲ့သည်။ တိုင်းချစ်သန်းစိန်ဇာတ်: (၅) နှစ် ကပြခဲ့သည်။ ရွှေမန်းပန်တျာကြည်လင်ဇာတ်: (၅) နှစ် ကပြခဲ့သည်။ ရွှေမန်းကျော်အောင်ဇာတ်: ဇာတ်အဖွဲ့၏ ထောက်ခံအားကိုးမှုဖြင့် (၁၀) နှစ်တိုင်တိုင် လက်တွဲကပြခဲ့သည်။ ရွှေမန်းကျော်အောင်ဇာတ်မှ နုတ်ထွက်ပြီးနောက် ကိုယ်ပိုင်ဇာတ်အဖွဲ့ကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ၎င်းနှင့်အတူ တွဲဖက်ကပြခဲ့သော မင်းသားများမှာ အောင်ကြည်စိန်၊ စိန်ဝင်းတင်နှင့် မြဝင်းတင်တို့ ဖြစ်ကြသည်။ == နိုင်ငံ့တာဝန် ထမ်းဆောင်ခြင်း == ဇာတ်သဘင်လောကမှ အနားယူပြီးနောက် ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာနတွင် "အကနည်းပြအကြံပေး" အဖြစ် (၅) နှစ်တိုင်တိုင် တာဝန်ထမ်းဆောင်ကာ မျိုးဆက်သစ်များကို ပညာအမွေပေးခဲ့သည်။ ဆို၊က၊ရေး၊တီး ပြိုင်ပွဲ တွင်လည်း ဗဟိုအကဒိုင်လူကြီး အဖြစ် တာဝန်ယူ ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ == မိသားစုဘဝ == ဗန္ဓုလကျော်စိန်ဇာတ်တွင် ကပြနေစဉ် ထိုဇာတ်အဖွဲ့မှ ပြဇာတ်မင်းသား မောင်တင်မောင် (ဦးတင်မောင်) နှင့် အကြောင်းပါကာ လက်ထပ်ခဲ့သည်။ ဦးတင်မောင်နှင့် ဒေါ်ရန်ကုန်သူမခင်စိန်တို့တွင် သားသမီး (၄) ယောက် ထွန်းကားခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) rvhel00q8acnqoxlcs57m39s2uhlhqc 1040554 1040552 2026-06-24T12:30:33Z Naingli 144794 1040554 wikitext text/x-wiki == ရန်ကုန်သူ မခင်စိန် == ရန်ကုန်သူ မခင်စိန် (၁၂၉၆ ခုနှစ်ဖွား) သည် မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်လောက၏ ထင်ရှားကျော်ကြားသော မင်းသမီးကြီးတစ်ဦးဖြစ်ပြီး ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာန၏ အကနည်းပြအကြံပေး နှင့် ဆိုကရေးတီးပြိုင်ပွဲ ဗဟိုအကဒိုင်လူကြီးအဖြစ် ဆောင်ရွက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာရေး == ရန်ကုန်သူ မခင်စိန်ကို မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၉၆ ခုနှစ်၊ ဝါဆိုလဆန်း ၇ ရက်နေ့တွင် သုံးခွမြို့နယ်၊ ကျောင်းစုပတုတ်ရွာ၌ ဖခင် ဦးဖိုးရီ၊ မိခင် ဒေါ်အုန်းညွန့်တို့မှ မွေးဖွားခဲ့ပြီး အမည်ရင်းမှာ မညွန့်တင် ဖြစ်သည်။ မောင်နှမ လေးယောက်အနက် အထွေးဆုံး ဖြစ်သည်။ မိဘမျိုးရိုးတွင် သဘင်သည် မရှိသော်လည်း ငယ်စဉ်ကပင် အဆိုအက၌ အလွန်ဝါသနာကြီးခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ == သဘင်လောကသို့ ဝင်ရောက်ခြင်း == အသက် ၉ နှစ်သမီးအရွယ်တွင် မိမိရွာသို့ လာရောက်ကပြသော ဇာတ်ဆရာ ဦးဘညွန့်၏ အငြိမ့်အဖွဲ့နှင့်အတူ လိုက်ပါသွားကာ "ရဲညွန့်စိန်" အမည်ဖြင့် စတင်ကပြခဲ့သည်။ သို့သော် အသက်ငယ်လွန်းသေးသဖြင့် မိဘများက ပြန်လည်ခေါ်ယူကာ ကျောင်းပြန်ထားခဲ့သည်။ အသက် ၁၆ နှစ် အရွယ်သို့ ရောက်ရှိသောအခါတွင်မူ မိဘများက တားမြစ်ခြင်းမရှိတော့ဘဲ "ရန်ကုန်သူ မခင်စိန်" အမည်ဖြင့် ဗန္ဓုလကျော်စိန်ဇာတ်တွင် စတင်ဝင်ရောက် ကပြခဲ့သည်။ == ဇာတ်သဘင်သက်တမ်းနှင့် အနုပညာခရီးစဉ် == {{Infobox person | name = ရန်ကုန်သူ မခင်စိန် | native_name = မညွန့်တင် | image = | caption = | birth_date = ၁၂၉၆ ခုနှစ်၊ ဝါဆိုလဆန်း ၇ ရက် | birth_place = ကျောင်းစုပတုတ်ရွာ၊ သုံးခွမြို့နယ်၊ မြန်မာနိုင်ငံ | occupation = ဇာတ်မင်းသမီး၊ အကနည်းပြအကြံပေး၊ ဗဟိုအကဒိုင်လူကြီး | years_active = ၁၆ နှစ်သမီးမှ စတင်၍ | spouse = ဦးတင်မောင် (ပြဇာတ်မင်းသား) | children = ၄ ဦး | parents = ဦးဖိုးရီ (ဖခင်)<br>ဒေါ်အုန်းညွန့် (မိခင်) }} ရန်ကုန်သူ မခင်စိန်သည် ဗန္ဓုလကျော်စိန်ဇာတ်တွင် ၂ နှစ်မျှ ပါဝင်ကပြခဲ့ပြီးနောက် မြို့တော်တင်ရွှေဇာတ်နှင့် အောင်မင်းစိန်ဇာတ်တို့သို့ ရောက်ရှိခဲ့သော်လည်း ကြာမြင့်စွာ မကပြခဲ့ချေ။ ထို့နောက် အောက်ပါဇာတ်သဘင်အဖွဲ့များတွင် အစဉ်လိုက် ပါဝင်ကပြခဲ့သည် ကျော်ဝင်းစိန်ဇာတ်: (၃) နှစ် တွဲဖက်ကပြခဲ့သည်။ တိုင်းချစ်သန်းစိန်ဇာတ်: (၅) နှစ် ကပြခဲ့သည်။ ရွှေမန်းပန်တျာကြည်လင်ဇာတ်: (၅) နှစ် ကပြခဲ့သည်။ ရွှေမန်းကျော်အောင်ဇာတ်: ဇာတ်အဖွဲ့၏ ထောက်ခံအားကိုးမှုဖြင့် (၁၀) နှစ်တိုင်တိုင် လက်တွဲကပြခဲ့သည်။ ရွှေမန်းကျော်အောင်ဇာတ်မှ နုတ်ထွက်ပြီးနောက် ကိုယ်ပိုင်ဇာတ်အဖွဲ့ကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ၎င်းနှင့်အတူ တွဲဖက်ကပြခဲ့သော မင်းသားများမှာ အောင်ကြည်စိန်၊ စိန်ဝင်းတင်နှင့် မြဝင်းတင်တို့ ဖြစ်ကြသည်။ == နိုင်ငံ့တာဝန် ထမ်းဆောင်ခြင်း == ဇာတ်သဘင်လောကမှ အနားယူပြီးနောက် ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာနတွင် "အကနည်းပြအကြံပေး" အဖြစ် (၅) နှစ်တိုင်တိုင် တာဝန်ထမ်းဆောင်ကာ မျိုးဆက်သစ်များကို ပညာအမွေပေးခဲ့သည်။ ဆို၊က၊ရေး၊တီး ပြိုင်ပွဲ တွင်လည်း ဗဟိုအကဒိုင်လူကြီး အဖြစ် တာဝန်ယူ ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ == မိသားစုဘဝ == ဗန္ဓုလကျော်စိန်ဇာတ်တွင် ကပြနေစဉ် ထိုဇာတ်အဖွဲ့မှ ပြဇာတ်မင်းသား မောင်တင်မောင် (ဦးတင်မောင်) နှင့် အကြောင်းပါကာ လက်ထပ်ခဲ့သည်။ ဦးတင်မောင်နှင့် ဒေါ်ရန်ကုန်သူမခင်စိန်တို့တွင် သားသမီး (၄) ယောက် ထွန်းကားခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) e0rdrc3mqpx4m33mhvcezw64ymeenpy 10 288527 1040556 2026-06-24T12:54:06Z WorldKing1 144788 PyaePhyoAung 1040556 wikitext text/x-wiki destroys all programs world use il9519lqrcwwmzkczf1n1tg0ye34xe5 1040559 1040556 2026-06-24T13:03:29Z NDG 133983 Requesting deletion 1040559 wikitext text/x-wiki {{delete|Nonsense}}destroys all programs world use 9nyu4qjb6ju83hiuxtqltaiebkqdow2 0 288528 1040558 2026-06-24T13:00:43Z Naingli 144794 "== ယူတီစီ စိန်ပိုးတီ == {| class="infobox vcard" style="width: 25em; font-size: 90%; border: 1px solid #a2a9b1; background-color: #f8f9fa; padding: 5px; box-shadow: 0 2px 4px rgba(0,0,0,0.1);" |- ! colspan="2" class="fn" style="font-size: 130%; text-align: center; background-color: #b0c4de; padding: 8px;" |..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040558 wikitext text/x-wiki == ယူတီစီ စိန်ပိုးတီ == {| class="infobox vcard" style="width: 25em; font-size: 90%; border: 1px solid #a2a9b1; background-color: #f8f9fa; padding: 5px; box-shadow: 0 2px 4px rgba(0,0,0,0.1);" |- ! colspan="2" class="fn" style="font-size: 130%; text-align: center; background-color: #b0c4de; padding: 8px;" | ယူတီစီ စိန်ပိုးတီ |- | colspan="2" style="text-align: center; padding: 5px; font-size: 85%; color: #54595d; border-bottom: 1px solid #a2a9b1;" | အငြိမ့်မင်းသမီးကြီး ယူတီစီ စိန်ပိုးတီ |- ! scope="row" style="text-align: left; padding: 4px;" | အမည်ရင်း | class="nickname" style="padding: 4px;" | ညွန့်ညွန့်စိန် |- ! scope="row" style="text-align: left; padding: 4px;" | မွေးဖွား | style="padding: 4px;" | ၁၃၁ဝ ပြည့်နှစ်၊ သီတင်းကျွတ်လဆန်း ၁ဝ ရက် (အင်္ဂါနေ့)<br>[[ပုစွန်တောင်မြို့နယ်|ပုစွန်တောင်]]၊ ပေတောကုန်း၊ [[ရန်ကုန်မြို့]] |- ! scope="row" style="text-align: left; padding: 4px;" | နိုင်ငံသား | style="padding: 4px;" | [[မြန်မာ]] |- ! scope="row" style="text-align: left; padding: 4px;" | အလုပ်အကိုင် | class="role" style="padding: 4px;" | [[အငြိမ့်]]မင်းသမီး |- ! scope="row" style="text-align: left; padding: 4px;" | ထင်ရှားသည့် လုပ်ဆောင်ချက် | style="padding: 4px;" | ရွှေရတနာအငြိမ့် ခေါင်းဆောင်မင်းသမီး |- ! scope="row" style="text-align: left; padding: 4px;" | မိဘများ | style="padding: 4px;" | ဦးသောင်းဟန် (ပန်းချီဆရာကြီး ဦးသာဝ)<br>ဒေါ်အုန်းမြိုင် (ခေတ်ဟောင်းမင်းသမီး နဂါးနီအုန်းမြိုင်) |- ! scope="row" style="text-align: left; padding: 4px;" | အဘိုး | style="padding: 4px;" | လူရွှင်တော် ဦးဓာတ်ပြား |- ! scope="row" style="text-align: left; padding: 4px;" | မောင်နှမ | style="padding: 4px;" | မြပိုးတီ (ညီမ၊ အငြိမ့်မင်းသမီး) |- ! scope="row" style="text-align: left; padding: 4px;" | အိမ်ထောင်ဖက် | style="padding: 4px;" | ၁။ ကိုတိုင်းကျော် (ဟာသမင်းသား)<br>၂။ ဦးဓာတ်စံ (လူရွှင်တော်) |- ! scope="row" style="text-align: left; padding: 4px;" | သားသမီး | style="padding: 4px;" | သမီး ၁ ဦး |} ယူတီစီ စိန်ပိုးတီ (၁၃၁ဝ ပြည့်နှစ် ဖွား) သည် မြန်မာ့အနုပညာလောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော အငြိမ့်မင်းသမီးတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ "ရွှေရတနာအငြိမ့်" တွင် ခေါင်းဆောင်မင်းသမီးအဖြစ် အထူးပင် အောင်မြင်ကျော်ကြားခဲ့သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် အနုပညာမျိုးရိုး == ယူတီစီ စိန်ပိုးတီကို ၁၃၁ဝ ပြည့်နှစ်၊ သီတင်းကျွတ်လဆန်း ၁ဝ ရက် (အင်္ဂါနေ့) တွင် ရန်ကုန်မြို့၊ ပုစွန်တောင်မြို့နယ်၊ ပေတောကုန်း၌ မွေးဖွားခဲ့သည်။ မိဘများမှာ ပန်းချီဆရာကြီး ဦးသာဝ (ဟုလူသိများသော ဦးသောင်းဟန်) နှင့် ခေတ်ဟောင်းမင်းသမီး "နဂါးနီ အုန်းမြိုင်" တို့ ဖြစ်ကြသည်။ စိန်ပိုးတီ၏ အရပ်သုံးငယ်နာမည်မှာ ညွန့်ညွန့်စိန် ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အဘိုးဖြစ်သူမှာ ထင်ရှားသော လူရွှင်တော်ကြီး ဦးဓာတ်ပြား ဖြစ်သဖြင့် မိခင်ဘက်မှကော အဘိုးဘက်မှပါ အနုပညာဗီဇ စီးဆင်းလာသူ ဖြစ်သည်။ နှမဖြစ်သူ မြပိုးတီသည်လည်း အငြိမ့်မင်းသမီးတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ == အနုပညာခရီးလမ်း နှင့် အောင်မြင်မှု == အသက် ၁၂ နှစ်သမီးအရွယ်ကတည်းက ပညာသင်ယိမ်းသမအဖြစ် အငြိမ့်စင်ပေါ်သို့ စတင်ရောက်ရှိခဲ့သည်။ အနုပညာပညာရပ်များကို အောက်ပါဆရာကြီး၊ ဆရာသမားများထံတွင် ဆည်းပူးခဲ့သည်။ ယူတီစီရွှေနှင်းဆီ (လက်ဦးဆရာ) ရွှေဟင်္သာယုဝတီခင်ညွန့် မာလာသောင်း ပဲခူးမြ "ကမ္ဘောဇခင်စန်းဝင်းအငြိမ့်" တွင် မင်းသမီးအဖြစ် ကပြခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် "ရွှေရတနာအငြိမ့်" ၌ ခေါင်းဆောင်မင်းသမီးအဖြစ် တင်ဆက်ကပြရာမှ အထူးပင် လူကြိုက်များကာ အောင်မြင်မှု အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ အသက် ၄၂ နှစ်အရွယ်တွင် အငြိမ့်လောကမှ အနားယူခဲ့သည်။ == ကိုယ်ရေးကိုယ်တာဘဝ == ကမ္ဘောဇခင်စန်းဝင်းအငြိမ့်တွင် ကပြနေစဉ်အတွင်း ဟာသမင်းသား ကိုတိုင်းကျော် နှင့် ပထမဆုံး အိမ်ထောင်ဖက်အဖြစ် ဖူးစာဆုံခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် လူရွှင်တော် ဦးဓာတ်စံ နှင့် ဒုတိယအိမ်ထောင်ပြုခဲ့ပြီး သမီးတစ်ဦး ထွန်းကားခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) 7q324xxyb121kwf22ins8r3ymv74aoj 3 288529 1040560 2026-06-24T13:04:33Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040560 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် PagePolisher2026 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၃:၀၄၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 4anf2lxfhjjnsgbhg3xewdhaou1jgp4 3 288530 1040561 2026-06-24T13:04:43Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040561 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Minpyaehein ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၃:၀၄၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) sa5cemz8gjukvh40l0oxh8ibbheyzyg 0 288531 1040562 2026-06-24T13:14:55Z Naingli 144794 "== အိန္ဒိယ မစိန်မှုံ == {{Infobox musical artist | name = အိန္ဒိယ မစိန်မှုံ | image = | caption = အိန္ဒိယ မစိန်မှုံ | birth_name = မစိန်မှုံ | birth_date = ၁၂၅..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040562 wikitext text/x-wiki == အိန္ဒိယ မစိန်မှုံ == {{Infobox musical artist | name = အိန္ဒိယ မစိန်မှုံ | image = | caption = အိန္ဒိယ မစိန်မှုံ | birth_name = မစိန်မှုံ | birth_date = ၁၂၅၉ ခုနှစ်၊ တော်သလင်းလပြည့်ကျော် ၁၁ ရက် (အင်္ဂါနေ့) | birth_place = ဆီးဖြူကုန်းရွာ၊ တွံတေးမြို့နယ် | death_date = | death_place = | occupation = အငြိမ့်မင်းသမီး | years_active = | spouse = ဦးစံညွန့် (ပုသိမ်မြို့ ဈေးခေါင်း) | parents = ဦးလှဘော် (ဖခင်)၊ ဒေါ်ဝါယုံ (မိခင်) }} အိန္ဒိယ မစိန်မှုံ သည် ကိုလိုနီခေတ်ဦးကာလတွင် အလွန်ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော မြန်မာ့အငြိမ့်မင်းသမီးတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ "အိန္ဒိယ မစိန်မှုံ" ဟု အမည်တွင်သော်လည်း အိန္ဒိယကပြဖျော်ဖြေမှုများနှင့် ဆက်စပ်၍ အမည်ကျော်ကြားလာခဲ့သော မြန်မာစစ်စစ် ဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာရေး == မစိန်မှုံကို ၁၂၅၉ ခုနှစ်၊ တော်သလင်းလပြည့်ကျော် ၁၁ ရက် (အင်္ဂါနေ့) ည ၁၁ နာရီတွင် ရန်ကုန်တိုင်း၊ တွံတေးမြို့နယ်အပိုင် ဆီးဖြူကုန်းရွာ၌ ဖခင် ဦးလှဘော်၊ မိခင် ဒေါ်ဝါယုံတို့မှ မွေးဖွားခဲ့သည်။ မွေးချင်းလေးယောက်အနက် တတိယမြောက် (နို့ညှာ) သမီး ဖြစ်သည်။ သူမအား မွေးဖွားချိန်၌ ဇီးဖြူကုန်းရွာတစ်လွှားတွင် နာမည်ကျော်ကြားလှသော ဇာတ်မင်းသား စံရှားနှင့် ဇာတ်မင်းသမီး စိန်မှုန်တို့ ကပြဖျော်ဖြေနေချိန်နှင့် တိုက်ဆိုင်နေသဖြင့် မင်းသမီးစိန်မှုန်ကို အစွဲပြု၍ "စိန်မှုံ" ဟု အမည်ပေးခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ ငယ်စဉ်က မြန်မာမင်းတို့၏ ရွှေထက်ထက်တော်က အမတ်ကြီးတစ်ပါး ဖြစ်ခဲ့ဖူးသူ ဆရာမင်းထံတွင် ကျောင်းအပ်နှံကာ စာရေးစာဖတ် သင်ကြားခဲ့သည်။ ဆရာမင်းထံတွင် ရေးတတ်ဖတ်တတ်ရုံမျှ သင်ကြားပြီးနောက် ခဲအိုဖြစ်သူက ကျောင်းထုတ်ကာ ပတ္တလားဆရာ "ဆရာအပ်" ထံတွင် အနုပညာပညာရပ်များ သင်ကြားရန် အပ်နှံခဲ့သည်။ == အနုပညာလောကသို့ ရောက်ရှိခြင်း == ပတ္တလားဆရာအပ်ထံမှတစ်ဆင့် ဇာတ်ဆရာ ဦးလူကလေးထံသို့ ရောက်ရှိခဲ့ပြီး အကပညာကို ဆက်လက်သင်ယူခဲ့သည်။ ဆရာဦးလူကလေးထံတွင် တော်ရုံသင့်ရုံမျှ ကတတ်ရုံအဆင့်ရှိသေးစဉ် ကိုဖိုးဟန် တည်ထောင်သော အငြိမ့်အဖွဲ့၌ ခေါင်းဆောင်မင်းသမီးအဖြစ် စတင်ကပြခွင့်ရခဲ့သည်။ ထိုစဉ်က အဆိုအက မပီမသကပြရသည့် ကာလတွင် တွဲဖက်ခဲ့ရသော လူရွှင်တော်များမှာ ဦးဆာမိနှင့် ဦးတောက်ထိန်တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့နောက် ရန်ကုန်မြို့မှ အငြိမ့်ထောင်လိုသူ ဦးဖိုးညှင်းက မစိန်မှုံ၏ ကပြပုံကို သဘောကျသဖြင့် ရန်ကုန်သို့ ခေါ်ယူကာ "မစိန်မှုံ အငြိမ့်အဖွဲ့" ကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါအဖွဲ့တွင် လူရွှင်တော် ဦးကြင်ခဲ၊ ဦးဗေဒါတို့နှင့် တွဲဖက်ကာ မြန်မာပြည်အနှံ့ လှည့်လည်ကပြခဲ့ကြသည်။ == "အိန္ဒိယ မစိန်မှုံ" ဖြစ်လာပုံ == မစိန်မှုံသည် ထီးတန်းဒေါ်လှ တည်ထောင်သော အငြိမ့်အဖွဲ့သို့ ရောက်ရှိချိန်တွင် မြန်မာပြည်၌သာမက အိန္ဒိယနိုင်ငံအထိပါ သတင်းကျော်ကြားလာခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် အိန္ဒိယသို့ လိုက်လံကပြရန် ငှားရမ်းခြင်းခံရသဖြင့် အငြိမ့်အဖွဲ့သားများနှင့်အတူ အိန္ဒိယသို့ သွားရောက်ခဲ့သော်လည်း သင်္ဘောပေါ်မှပင် ဆင်းခွင့်မရခဲ့ပေ။ အကြောင်းမှာ မစိန်မှုံအငြိမ့်ကို ကြည့်ရှုလိုသော အိန္ဒိယမှ ကုန်သည်ကြီးများသည် မစိန်မှုံတို့ ရောက်ရှိလာမည့်အချိန်ကို မစောင့်နိုင်တော့ဘဲ ရန်ကုန်သို့ ကြိုတင်ထွက်ခွာသွားကြပြီ ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ မစိန်မှုံတို့အဖွဲ့သည် အဆိုပါသင်္ဘောနှင့်ပင် ရန်ကုန်သို့ ပြန်လည်လိုက်ပါလာခဲ့ရသည်။ ရန်ကုန်သို့ ရောက်ရှိသောအခါ ရန်ကုန်ရောက်နေသည့် အိန္ဒိယကုန်သည်ကြီးများကို စုဆောင်းကာ ဂျင်မခါနာကလပ် (Gymkhana Club) ၌ အထူးကပြဖျော်ဖြေခဲ့ရသည်။ အဆိုပါ ဂျင်မခါနာကလပ် ဖျော်ဖြေပွဲတွင် မစိန်မှုံနှင့်အတူ - လက်ထောက်မင်းသမီး: ဒါလင်မြိုင် လူရွှင်တော်များ: ဦးချိပ်ပန်း၊ ဦးကြင်ခဲ၊ ဦးငွေပန်း တူရိယာအဖွဲ့: ပတ္တလား ကိုရှန်၊ ပလွေဆရာခင်ကြီး၊ ဒိုးတီး မောင်ညွန့်၊ ကြေးတီး မောင်အုန်းဆိုင် (နောင်အခါတွင် ဂီတစာဆို ရွှေတိုင်ညွန့် ဖြစ်လာသူ)၊ စည်တီး ကိုကုလား နှင့် ဝါးတီး နောက်ထသား ကိုရွှေခဲ တို့က တီးခတ်ဖျော်ဖြေခဲ့ကြသည်။ အဆိုပါပွဲပြီးနောက်တွင် မစိန်မှုံသည် "အိန္ဒိယ မစိန်မှုံ" ဟု သမိုင်းတွင် အမည်ကျော်ကြားလာခဲ့သည်။ == နာမည်ကျော် သီချင်း == ဂျင်မခါနာကလပ်တွင် ကပြစဉ်က လူရွှင်တော် ဦးကြင်ခဲ ရေးသားစပ်ဆိုပေးသော "မှောင်ရီဝေ" သီချင်းသည် အထူးကျော်ကြားခဲ့သည်။ ၎င်းသီချင်းမှာ - "သဉ္ဇာဖွေ ချိုမြခြင်းပါပဲ ယဉ်တာတွေ အဆိုပထမသွင်းပါရစေတော့၊ မင်းအပေါင်းတို့မျှော်တဲ့ စိန်မှုံမှာလေ..." အစချီကာ "...အားလုံးမိတ်ဆွေ သင်္ဂဟတွေ နှုတ်ဆက်ဖို့ရာ ဂါရဝမေတ္တာခြွေ၊ ဟံသာနယ်မြေ မှိုင်းညို့ညို့ နေ၊ ကြည်နူးပေ၊ နန်းမြရီမှောင်ဝေ" ဟူ၍ အဆုံးသတ်ထားသည်။ == ကိုယ်ရေးကိုယ်တာဘဝ == ဂျင်မခါနာကလပ်ပွဲပြီးနောက် ပိုမိုကျော်ကြားလာခဲ့သည့် အိန္ဒိယမစိန်မှုံသည် ပုသိမ်မြို့နေ ဈေးခေါင်းဦးစံညွန့်နှင့် အကြောင်းပါကာ အိမ်ထောင်ကျခဲ့သော်လည်း သားသမီး ထွန်းကားခြင်းမရှိခဲ့ပေ။ == အနုပညာလောကမှ အနားယူခြင်း == အသက် ၄၇ နှစ်အရွယ်တွင် ခင်ပွန်းဖြစ်သူ ဦးစံညွန့် ကွယ်လွန်သွားခဲ့ပြီးနောက် မစိန်မှုံသည် အငြိမ့်စင်ပေါ်တက်၍ ကပြဖျော်ဖြေသည့် အနုပညာလုပ်ငန်းများကို တစ်ပါတည်း အပြီးတိုင် ရပ်စဲကာ အနားယူခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) tg85ce968ari3mm4odrxsww5uo11u40 1040563 1040562 2026-06-24T13:16:58Z Naingli 144794 1040563 wikitext text/x-wiki == အိန္ဒိယ မစိန်မှုံ == {{Infobox artist | name = အိန္ဒိယမစိန်မှုံ | image = | caption = အိန္ဒိယမစိန်မှုံ | birth_name = မစိန်မှုံ | birth_date = {{Birth date|1259|06|22|df=y}} <br> (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၅၉ ခုနှစ်၊ တော်သလင်းလပြည့်ကျော် ၁၁ ရက်၊ အင်္ဂါနေ့ည ၁၁ နာရီ) | birth_place = [[တွံတေးမြို့နယ်|တွံတေးမြို့အပိုင်]] ဆီးဖြူကုန်းရွာ | death_date = | death_place = | nationality = [[မြန်မာလူမျိုး|မြန်မာ]] | occupation = [[အငြိမ့်]]မင်းသမီး | Years_active = ကိုလိုနီခေတ် | notable_works = "မှောင်ရီဝေ" တေးသီချင်း | spouse = ဦးစံညွန့် (ပုသိမ်မြို့နေ ဈေးခေါင်း) | parents = ဦးလှဘော် (ဖခင်)<br>ဒေါ်ဝါယုံ (မိခင်) }} အိန္ဒိယ မစိန်မှုံ သည် ကိုလိုနီခေတ်ဦးကာလတွင် အလွန်ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော မြန်မာ့အငြိမ့်မင်းသမီးတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ "အိန္ဒိယ မစိန်မှုံ" ဟု အမည်တွင်သော်လည်း အိန္ဒိယကပြဖျော်ဖြေမှုများနှင့် ဆက်စပ်၍ အမည်ကျော်ကြားလာခဲ့သော မြန်မာစစ်စစ် ဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာရေး == မစိန်မှုံကို ၁၂၅၉ ခုနှစ်၊ တော်သလင်းလပြည့်ကျော် ၁၁ ရက် (အင်္ဂါနေ့) ည ၁၁ နာရီတွင် ရန်ကုန်တိုင်း၊ တွံတေးမြို့နယ်အပိုင် ဆီးဖြူကုန်းရွာ၌ ဖခင် ဦးလှဘော်၊ မိခင် ဒေါ်ဝါယုံတို့မှ မွေးဖွားခဲ့သည်။ မွေးချင်းလေးယောက်အနက် တတိယမြောက် (နို့ညှာ) သမီး ဖြစ်သည်။ သူမအား မွေးဖွားချိန်၌ ဇီးဖြူကုန်းရွာတစ်လွှားတွင် နာမည်ကျော်ကြားလှသော ဇာတ်မင်းသား စံရှားနှင့် ဇာတ်မင်းသမီး စိန်မှုန်တို့ ကပြဖျော်ဖြေနေချိန်နှင့် တိုက်ဆိုင်နေသဖြင့် မင်းသမီးစိန်မှုန်ကို အစွဲပြု၍ "စိန်မှုံ" ဟု အမည်ပေးခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ ငယ်စဉ်က မြန်မာမင်းတို့၏ ရွှေထက်ထက်တော်က အမတ်ကြီးတစ်ပါး ဖြစ်ခဲ့ဖူးသူ ဆရာမင်းထံတွင် ကျောင်းအပ်နှံကာ စာရေးစာဖတ် သင်ကြားခဲ့သည်။ ဆရာမင်းထံတွင် ရေးတတ်ဖတ်တတ်ရုံမျှ သင်ကြားပြီးနောက် ခဲအိုဖြစ်သူက ကျောင်းထုတ်ကာ ပတ္တလားဆရာ "ဆရာအပ်" ထံတွင် အနုပညာပညာရပ်များ သင်ကြားရန် အပ်နှံခဲ့သည်။ == အနုပညာလောကသို့ ရောက်ရှိခြင်း == ပတ္တလားဆရာအပ်ထံမှတစ်ဆင့် ဇာတ်ဆရာ ဦးလူကလေးထံသို့ ရောက်ရှိခဲ့ပြီး အကပညာကို ဆက်လက်သင်ယူခဲ့သည်။ ဆရာဦးလူကလေးထံတွင် တော်ရုံသင့်ရုံမျှ ကတတ်ရုံအဆင့်ရှိသေးစဉ် ကိုဖိုးဟန် တည်ထောင်သော အငြိမ့်အဖွဲ့၌ ခေါင်းဆောင်မင်းသမီးအဖြစ် စတင်ကပြခွင့်ရခဲ့သည်။ ထိုစဉ်က အဆိုအက မပီမသကပြရသည့် ကာလတွင် တွဲဖက်ခဲ့ရသော လူရွှင်တော်များမှာ ဦးဆာမိနှင့် ဦးတောက်ထိန်တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့နောက် ရန်ကုန်မြို့မှ အငြိမ့်ထောင်လိုသူ ဦးဖိုးညှင်းက မစိန်မှုံ၏ ကပြပုံကို သဘောကျသဖြင့် ရန်ကုန်သို့ ခေါ်ယူကာ "မစိန်မှုံ အငြိမ့်အဖွဲ့" ကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါအဖွဲ့တွင် လူရွှင်တော် ဦးကြင်ခဲ၊ ဦးဗေဒါတို့နှင့် တွဲဖက်ကာ မြန်မာပြည်အနှံ့ လှည့်လည်ကပြခဲ့ကြသည်။ == "အိန္ဒိယ မစိန်မှုံ" ဖြစ်လာပုံ == မစိန်မှုံသည် ထီးတန်းဒေါ်လှ တည်ထောင်သော အငြိမ့်အဖွဲ့သို့ ရောက်ရှိချိန်တွင် မြန်မာပြည်၌သာမက အိန္ဒိယနိုင်ငံအထိပါ သတင်းကျော်ကြားလာခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် အိန္ဒိယသို့ လိုက်လံကပြရန် ငှားရမ်းခြင်းခံရသဖြင့် အငြိမ့်အဖွဲ့သားများနှင့်အတူ အိန္ဒိယသို့ သွားရောက်ခဲ့သော်လည်း သင်္ဘောပေါ်မှပင် ဆင်းခွင့်မရခဲ့ပေ။ အကြောင်းမှာ မစိန်မှုံအငြိမ့်ကို ကြည့်ရှုလိုသော အိန္ဒိယမှ ကုန်သည်ကြီးများသည် မစိန်မှုံတို့ ရောက်ရှိလာမည့်အချိန်ကို မစောင့်နိုင်တော့ဘဲ ရန်ကုန်သို့ ကြိုတင်ထွက်ခွာသွားကြပြီ ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ မစိန်မှုံတို့အဖွဲ့သည် အဆိုပါသင်္ဘောနှင့်ပင် ရန်ကုန်သို့ ပြန်လည်လိုက်ပါလာခဲ့ရသည်။ ရန်ကုန်သို့ ရောက်ရှိသောအခါ ရန်ကုန်ရောက်နေသည့် အိန္ဒိယကုန်သည်ကြီးများကို စုဆောင်းကာ ဂျင်မခါနာကလပ် (Gymkhana Club) ၌ အထူးကပြဖျော်ဖြေခဲ့ရသည်။ အဆိုပါ ဂျင်မခါနာကလပ် ဖျော်ဖြေပွဲတွင် မစိန်မှုံနှင့်အတူ - လက်ထောက်မင်းသမီး: ဒါလင်မြိုင် လူရွှင်တော်များ: ဦးချိပ်ပန်း၊ ဦးကြင်ခဲ၊ ဦးငွေပန်း တူရိယာအဖွဲ့: ပတ္တလား ကိုရှန်၊ ပလွေဆရာခင်ကြီး၊ ဒိုးတီး မောင်ညွန့်၊ ကြေးတီး မောင်အုန်းဆိုင် (နောင်အခါတွင် ဂီတစာဆို ရွှေတိုင်ညွန့် ဖြစ်လာသူ)၊ စည်တီး ကိုကုလား နှင့် ဝါးတီး နောက်ထသား ကိုရွှေခဲ တို့က တီးခတ်ဖျော်ဖြေခဲ့ကြသည်။ အဆိုပါပွဲပြီးနောက်တွင် မစိန်မှုံသည် "အိန္ဒိယ မစိန်မှုံ" ဟု သမိုင်းတွင် အမည်ကျော်ကြားလာခဲ့သည်။ == နာမည်ကျော် သီချင်း == ဂျင်မခါနာကလပ်တွင် ကပြစဉ်က လူရွှင်တော် ဦးကြင်ခဲ ရေးသားစပ်ဆိုပေးသော "မှောင်ရီဝေ" သီချင်းသည် အထူးကျော်ကြားခဲ့သည်။ ၎င်းသီချင်းမှာ - "သဉ္ဇာဖွေ ချိုမြခြင်းပါပဲ ယဉ်တာတွေ အဆိုပထမသွင်းပါရစေတော့၊ မင်းအပေါင်းတို့မျှော်တဲ့ စိန်မှုံမှာလေ..." အစချီကာ "...အားလုံးမိတ်ဆွေ သင်္ဂဟတွေ နှုတ်ဆက်ဖို့ရာ ဂါရဝမေတ္တာခြွေ၊ ဟံသာနယ်မြေ မှိုင်းညို့ညို့ နေ၊ ကြည်နူးပေ၊ နန်းမြရီမှောင်ဝေ" ဟူ၍ အဆုံးသတ်ထားသည်။ == ကိုယ်ရေးကိုယ်တာဘဝ == ဂျင်မခါနာကလပ်ပွဲပြီးနောက် ပိုမိုကျော်ကြားလာခဲ့သည့် အိန္ဒိယမစိန်မှုံသည် ပုသိမ်မြို့နေ ဈေးခေါင်းဦးစံညွန့်နှင့် အကြောင်းပါကာ အိမ်ထောင်ကျခဲ့သော်လည်း သားသမီး ထွန်းကားခြင်းမရှိခဲ့ပေ။ == အနုပညာလောကမှ အနားယူခြင်း == အသက် ၄၇ နှစ်အရွယ်တွင် ခင်ပွန်းဖြစ်သူ ဦးစံညွန့် ကွယ်လွန်သွားခဲ့ပြီးနောက် မစိန်မှုံသည် အငြိမ့်စင်ပေါ်တက်၍ ကပြဖျော်ဖြေသည့် အနုပညာလုပ်ငန်းများကို တစ်ပါတည်း အပြီးတိုင် ရပ်စဲကာ အနားယူခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) rxwp9rspt9n9g5yivwrj0phe6arm3cf 0 288532 1040564 2026-06-24T13:29:44Z Naingli 144794 "== ဒဂုန်ခင်လှကြည် (အငြိမ့်မင်းသမီး) == {{အနုပညာရှင် အချက်အလက်သေတ္တာ | အမည် = ဒဂုန်ခင်လှကြည် | ဓာတ်ပုံ = | ဓာတ်ပုံ စာတန်း = ၁၉၃၀ ဝန်းကျ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040564 wikitext text/x-wiki == ဒဂုန်ခင်လှကြည် (အငြိမ့်မင်းသမီး) == {{အနုပညာရှင် အချက်အလက်သေတ္တာ | အမည် = ဒဂုန်ခင်လှကြည် | ဓာတ်ပုံ = | ဓာတ်ပုံ စာတန်း = ၁၉၃၀ ဝန်းကျင်က တွေ့ရသော အငြိမ့်မင်းသမီး ဒဂုန်ခင်လှကြည် | မွေးဖွားရက် = ခရစ်နှစ် ၁၉၁၂ ခုနှစ် (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၇၄၊ တန်ဆောင်မုန်းလဆန်း ၃ ရက်) | မွေးဖွားရာဒေသ = မအူပင်မြို့၊ မလက်တိုရွာ၊ ဗြိတိသျှမြန်မာနိုင်ငံ | ကွယ်လွန်ရက် = | အမည်ရင်း = မတင်မေ | အခြားအမည်များ = ပျော်တော်ဆက်မတင်မေ၊ ဦးကလိမ် | လူမျိုး = ဗမာ | အလုပ်အကိုင် = အငြိမ့်မင်းသမီး၊ ဇာတ်မင်းသမီး၊ အဆိုတော် | အားတက်ကြွလှုပ်ရှားသည့်နှစ်များ = ၁၉၂၀ စုနှစ်များ – ၁၉၅၀ စုနှစ်များ | ကြင်ဖော် = တက္ကသိုလ်ရွှေကျီးညို | မိဘများ = ဦးဘဖေ (ဖခင်)၊ ဒေါ်သန်းယဉ် (မိခင်) | သားသမီးများ = စိန်ကျီးညို၊ မြကျီးညို၊ ရွှေမန်းကြည်လှိုင်၊ မြဧယဉ် }} ဒဂုန်ခင်လှကြည် (၁၉၁၂–??) သည် ၁၉၃၀ ပြည့်နှစ်ဝန်းကျင်ကာလများတွင် ဗြိတိသျှမြန်မာနိုင်ငံ၌ အလွန်ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော ထိပ်တန်းမြန်မာ့အငြိမ့်နှင့် ဇာတ်သဘင်မင်းသမီးကြီးတစ်ဦးဖြစ်သည်။ နန်းတော်ရှေ့ဆရာတင် ရေးစပ်ပြီး ဒဂုန်ခင်လှကြည် သီဆိုခဲ့သော "ဦးကလိမ်" သီချင်းသည် တစ်နိုင်ငံလုံးအတိုင်းအတာဖြင့် ကျော်ကြားခဲ့ရာ ၎င်းအား "မခင်လှကြည်" ဟု မခေါ်ဘဲ "ဦးကလိမ်" ဟုပင် အချို့က အမည်လွှဲ၍ ခေါ်ဆိုကြရသည်အထိ အောင်မြင်ခဲ့သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာရေး == ဒဂုန်ခင်လှကြည်ကို မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၇၄ ခုနှစ်၊ တန်ဆောင်မုန်းလဆန်း ၃ ရက် (ခရစ်နှစ် ၁၉၁၂ ခုနှစ်၊ နိုဝင်ဘာလခန့်) တနင်္လာနေ့တွင် မအူပင်မြို့၊ မလက်တိုရွာ၌ ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ အမည်ရင်းမှာ မတင်မေ ဖြစ်သည်။ မိဘများမှာ ဆိုင်းဆရာ ဦးဘဖေနှင့် ဒေါ်သန်းယဉ်တို့ ဖြစ်ကြပြီး မတင်မေနှင့် မညွန့်ညွန့်ဟူ၍ သမီးနှစ်ဦး ရှိသည့်အနက် အကြီးဖြစ်ပြီး ငယ်စဉ် ၄-၅ နှစ်သမီးအရွယ်ကပင် ဂီတဝါသနာထုံကာ အဆိုအတီးနှင့် ယဉ်ပါးခဲ့သည်။ မိသားစု ရန်ကုန်သို့ ပြောင်းရွှေ့လာသောအခါ အကပညာရှင် ဘိလပ်ပြန်မညွန့်ရီထံတွင် အကပညာ စတင်သင်ယူခဲ့သည်။ ဖခင်ဖြစ်သူ ဦးဘဖေသည် မင်းသား ဇီးကွက်ဦးဖေသက်၊ မင်းသမီး အောင်မြကြည်တို့နှင့် တွဲဖက်၍ ဆိုင်းတီးခဲ့သဖြင့် မတင်မေသည် အောင်မြကြည်ထံတွင်လည်းကောင်း၊ မြခြေကျင်းမငွေမြိုင်၊ ပဲခူးမယ်ကျော့၊ ယူနီယံအောင်မြစိန်တို့ထံတွင်လည်းကောင်း အကပညာရပ်များကို ဆက်လက်ဆည်းပူးခွင့်ရခဲ့သည်။ အသက် ၈ နှစ်အရွယ်တွင် မိဘများက ဇာတ်အဖွဲ့ထောင်ရာ ၎င်းဇာတ်အဖွဲ့ရှိ အနုပညာရှင်စုံထံမှ ပညာစုံ ရရှိခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် အဆိုပါဇာတ်အဖွဲ့ခွဲပြီး ဖခင်၏ဆိုင်းအဖွဲ့ကို မင်းသားကြီး စိန်ကတုံးက ငှားရမ်းသည့်အခါ ဖခင်နှင့်အတူ လိုက်ပါရင်း ဦးစိန်ကတုံးထံတွင် ၄-၅ နှစ်မျှ အကပညာကို စနစ်တကျ သင်ယူခွင့်ရရှိခဲ့သည်။ == အနုပညာလုပ်ငန်းနှင့် အောင်မြင်မှု == အသက် ၁၅ နှစ်အရွယ်တွင် မျက်လုံးပြူးပြူး၊ အသားဖြူဖြူနှင့် ပြည့်ပြည့်ဝဝရှိလှသော မတင်မေကို ဒဂုန်ဆရာတင် (နန်းတော်ရှေ့ဆရာတင်) က သဘောကျသဖြင့် ၁၃ လမ်းရှိ ဦးဖိုးဆင်၊ ဒေါ်ညွန့်တို့အား အငြိမ့်ထောင်စေပြီး ရှေ့ထွက်မင်းသမီး စိန်လှကြည်၊ နောက်ပိုင်းမင်းသမီးအဖြစ် မတင်မေကို ကပြစေခဲ့သည်။ ထိုအခါ မိဘများပေးထားသော "ပျော်တော်ဆက်မတင်မေ" အမည်မှ ဒဂုန်ခင်လှကြည် ဟု အမည်သစ် ပြောင်းလဲခဲ့ပြီး နန်းတော်ရှေ့ဆရာတင်၏ မွေးစားသမီးလည်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ဒဂုန်ခင်လှကြည် အမည်သစ်ပေးပွဲတွင် တစ်ခေတ်ဆန်းစေရန် ဆရာတင်က "ဦးကလိမ်" သီချင်းကို ရေးစပ်ပေးခဲ့သည်။ လက်နှစ်ဖက်ကို ခေါင်းပေါ်ဝိုင်း၍ ကပြသီဆိုပုံမှာ အလွန်ခေတ်စားခဲ့ပြီး ခွေးတံဆိပ်ဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီနှင့် အသံသွင်းယူခဲ့ရာ နှစ်နှစ်အတွင်း ထိပ်တန်းမင်းသမီးအဆင့်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ထို့ပြင် ဆရာတင်ရေးစပ်သော "မော်တော်ကား" သီချင်း၊ ၁၂ လမ်း ဆရာမောင် ရေးစပ်သော "လက်ညှိုးထောင်" သီချင်း၊ ဆရာဒေါင်းညို၏ "ရွှေလက်ပတ်နာရီ"၊ ဦးသက်တင်၏ "ရွှေလသာသာ" နှင့် "ဆောင်းလရာသီ" သီချင်းတို့မှာလည်း ကျော်ကြားခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် မန္တလေးမှ စည်တီး ကိုလှဘော်၏ ဖိတ်ခေါ်ချက်၊ ဆရာတင်၏ တိုက်တွန်းချက်တို့ကြောင့် မန္တလေးသို့ သွားရောက်ကပြခဲ့ရာ ပတ္တလားဆရာလင်း၏ အငြိမ့်၊ ဦးသင်ခါ၊ ဦးဓာတ်ခိုး၊ ဦးညှပ်ကြီး၊ ဦးငှက်မိုး၊ ဦးဘလှိုင် စသော လူရွှင်တော်ကြီးများနှင့် တွဲဖက်ကာ အောင်မြင်မှုရရှိခဲ့သည်။ မန္တလေး၌ ရှိနေစဉ် ဆရာတင်က "အသည်းကျော်" နှင့် "တောင်တော်သခင်မ" သီချင်းများကို ထပ်မံရေးစပ်ပေးခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဆင်ဖြူကျွန်း ဦးဘခင်ဇာတ်၌ မင်းသား ရွှေဒေါင်းညို၊ မင်းသမီး သြဘာရအေးတင်တို့နှင့် တစ်နှစ်မျှ တွဲဖက်ကပြခဲ့ပြီး မန္တလေးသို့ ပြန်လာကာ ပန်းစံပယ် ခင်စန်းရီ၊ တောင်မြို့ မစိန်ဟန်တို့နှင့်အတူ ခေါင်းဆောင်မင်းသမီးအဖြစ် ဆက်လက်ကပြခဲ့သည်။ == ကိုယ်ရေးကိုယ်တာ == မန္တလေးတွင် အကူအညီပေးကပြရင်း တက္ကသိုလ်ရွှေကျီးညို (ဇာတ်မင်းသား) နှင့် ဖူးစာဆုံခဲ့သည်။ အိမ်ထောင်ကျချိန်တွင် ဒဂုန်ခင်လှကြည်သည် အသက် ၂၆ နှစ်ရှိပြီဖြစ်သည်။ လင်မယားနှစ်ဦးတွဲ၍ "ရွှေကျီးညိုဇာတ်အဖွဲ့" ကို တည်ထောင်ကာ ရန်ကုန်နှင့် မန္တလေးတို့တွင် ကပြခဲ့သည်။ ဒုတိယကမ္ဘာစစ်အတွင်း စစ်ဘေးရှောင်အဖြစ် မအူပင်မြို့၊ ရေလဲကလေးရွာသို့ ခေတ္တတိမ်းရှောင်ခဲ့ရပြီး စစ်ပြီးခေတ်တွင် ရန်ကုန်သို့ ပြန်လည်အခြေချခဲ့သည်။ ၎င်းတို့တွင် သားသမီးများ ထွန်းကားခဲ့ပြီး သားသမီးများဖြစ်ကြသော စိန်ကျီးညို၊ မြကျီးညို၊ ရွှေမန်းကြည်လှိုင်နှင့် မြဧယဉ်တို့မှာလည်း စစ်ပြီးခေတ် "ကြုံတိုင်းသဘင်" ဇာတ်အဖွဲ့တွင် ထင်ရှားသော အနုပညာရှင်များ ဖြစ်လာခဲ့ကြသည်။ == သီဆိုဓာတ်ပြားသွင်းခဲ့သော သီချင်းများနှင့် ဇာတ်ထုပ်များ == ဒဂုန်ခင်လှကြည်သည် ခွေးတံဆိပ်ဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီအပြင် ကိုလံဘီယာဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီနှင့်လည်း သီချင်းနှင့် ဇာတ်ထုပ်များစွာကို အသံသွင်းယူခဲ့သည်။ == ထင်ရှားသော သီချင်းများ == ဦးကလိမ် (ပထမ နှင့် ဒုတိယ) လက်ညှိုးထောင် (ပထမ နှင့် ဒုတိယ) ကုမ္မာရီ မော်တော်ကား အသည်းကျော် ကြမ်းပိုးမ ရွှေလသာသာ ဒဂုန်မဂ္ဂဇင်း ဆောင်းလရာသီ နွေရာသီ == ဓာတ်ပြားသွင်းခဲ့သော သီဆိုကပြချက် အော်ပရာ/ဇာတ်ထုပ်များ == ဥဒါယီကုမာရီ ဖိုးဦးတောင်သမိုင်း ရွှေဂုဏ်ဘဏ်ဘီလူးကြီး စန္ဒကုမာရ ရှင်သာရိပုတြာ ပရိနိဗ္ဗာန်ပြုခန်း မိတ္ထီလာကန်သမိုင်း ကြိုးကြာစည်တီး == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) pfhcluk7236olfdu80l3zt2cxr3iq22 1040565 1040564 2026-06-24T13:32:24Z Naingli 144794 1040565 wikitext text/x-wiki == ဒဂုန်ခင်လှကြည် (အငြိမ့်မင်းသမီး) == {{Infobox musical artist | name = ဒဂုန်ခင်လှကြည် | image = | caption = ၁၉၃၀ ဝန်းကျင်က အငြိမ့်မင်းသမီး ဒဂုန်ခင်လှကြည် | birth_name = မတင်မေ | alias = ပျော်တော်ဆက်မတင်မေ၊ ဦးကလိမ် | birth_date = ၁၉၁၂ | birth_place = မလက်တိုရွာ၊ မအူပင်မြို့၊ ဗြိတိသျှမြန်မာနိုင်ငံ | origin = ရန်ကုန်မြို့ | occupation = အငြိမ့်မင်းသမီး၊ ဇာတ်မင်းသမီး၊ အဆိုတော် | genre = မြန်မာမဟာဂီတ၊ ခေတ်ဟောင်းသီချင်း၊ သဘင်အတတ် | years_active = ၁၉၂၀ စုနှစ်များ – ၁၉၅၀ စုနှစ်များ | label = ခွေးတံဆိပ် ဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီ၊ ကိုလံဘီယာ ဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီ | spouse = တက္ကသိုလ်ရွှေကျီးညို | children = စိန်ကျီးညို၊ မြကျီးညို၊ ရွှေမန်းကြည်လှိုင်၊ မြဧယဉ် | parents = ဦးဘဖေ (ဖခင်)<br>ဒေါ်သန်းယဉ် (မိခင်) }} ဒဂုန်ခင်လှကြည် (၁၉၁၂–??) သည် ၁၉၃၀ ပြည့်နှစ်ဝန်းကျင်ကာလများတွင် ဗြိတိသျှမြန်မာနိုင်ငံ၌ အလွန်ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော ထိပ်တန်းမြန်မာ့အငြိမ့်နှင့် ဇာတ်သဘင်မင်းသမီးကြီးတစ်ဦးဖြစ်သည်။ နန်းတော်ရှေ့ဆရာတင် ရေးစပ်ပြီး ဒဂုန်ခင်လှကြည် သီဆိုခဲ့သော "ဦးကလိမ်" သီချင်းသည် တစ်နိုင်ငံလုံးအတိုင်းအတာဖြင့် ကျော်ကြားခဲ့ရာ ၎င်းအား "မခင်လှကြည်" ဟု မခေါ်ဘဲ "ဦးကလိမ်" ဟုပင် အချို့က အမည်လွှဲ၍ ခေါ်ဆိုကြရသည်အထိ အောင်မြင်ခဲ့သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာရေး == ဒဂုန်ခင်လှကြည်ကို မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၇၄ ခုနှစ်၊ တန်ဆောင်မုန်းလဆန်း ၃ ရက် (ခရစ်နှစ် ၁၉၁၂ ခုနှစ်၊ နိုဝင်ဘာလခန့်) တနင်္လာနေ့တွင် မအူပင်မြို့၊ မလက်တိုရွာ၌ ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ အမည်ရင်းမှာ မတင်မေ ဖြစ်သည်။ မိဘများမှာ ဆိုင်းဆရာ ဦးဘဖေနှင့် ဒေါ်သန်းယဉ်တို့ ဖြစ်ကြပြီး မတင်မေနှင့် မညွန့်ညွန့်ဟူ၍ သမီးနှစ်ဦး ရှိသည့်အနက် အကြီးဖြစ်ပြီး ငယ်စဉ် ၄-၅ နှစ်သမီးအရွယ်ကပင် ဂီတဝါသနာထုံကာ အဆိုအတီးနှင့် ယဉ်ပါးခဲ့သည်။ မိသားစု ရန်ကုန်သို့ ပြောင်းရွှေ့လာသောအခါ အကပညာရှင် ဘိလပ်ပြန်မညွန့်ရီထံတွင် အကပညာ စတင်သင်ယူခဲ့သည်။ ဖခင်ဖြစ်သူ ဦးဘဖေသည် မင်းသား ဇီးကွက်ဦးဖေသက်၊ မင်းသမီး အောင်မြကြည်တို့နှင့် တွဲဖက်၍ ဆိုင်းတီးခဲ့သဖြင့် မတင်မေသည် အောင်မြကြည်ထံတွင်လည်းကောင်း၊ မြခြေကျင်းမငွေမြိုင်၊ ပဲခူးမယ်ကျော့၊ ယူနီယံအောင်မြစိန်တို့ထံတွင်လည်းကောင်း အကပညာရပ်များကို ဆက်လက်ဆည်းပူးခွင့်ရခဲ့သည်။ အသက် ၈ နှစ်အရွယ်တွင် မိဘများက ဇာတ်အဖွဲ့ထောင်ရာ ၎င်းဇာတ်အဖွဲ့ရှိ အနုပညာရှင်စုံထံမှ ပညာစုံ ရရှိခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် အဆိုပါဇာတ်အဖွဲ့ခွဲပြီး ဖခင်၏ဆိုင်းအဖွဲ့ကို မင်းသားကြီး စိန်ကတုံးက ငှားရမ်းသည့်အခါ ဖခင်နှင့်အတူ လိုက်ပါရင်း ဦးစိန်ကတုံးထံတွင် ၄-၅ နှစ်မျှ အကပညာကို စနစ်တကျ သင်ယူခွင့်ရရှိခဲ့သည်။ == အနုပညာလုပ်ငန်းနှင့် အောင်မြင်မှု == အသက် ၁၅ နှစ်အရွယ်တွင် မျက်လုံးပြူးပြူး၊ အသားဖြူဖြူနှင့် ပြည့်ပြည့်ဝဝရှိလှသော မတင်မေကို ဒဂုန်ဆရာတင် (နန်းတော်ရှေ့ဆရာတင်) က သဘောကျသဖြင့် ၁၃ လမ်းရှိ ဦးဖိုးဆင်၊ ဒေါ်ညွန့်တို့အား အငြိမ့်ထောင်စေပြီး ရှေ့ထွက်မင်းသမီး စိန်လှကြည်၊ နောက်ပိုင်းမင်းသမီးအဖြစ် မတင်မေကို ကပြစေခဲ့သည်။ ထိုအခါ မိဘများပေးထားသော "ပျော်တော်ဆက်မတင်မေ" အမည်မှ ဒဂုန်ခင်လှကြည် ဟု အမည်သစ် ပြောင်းလဲခဲ့ပြီး နန်းတော်ရှေ့ဆရာတင်၏ မွေးစားသမီးလည်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ဒဂုန်ခင်လှကြည် အမည်သစ်ပေးပွဲတွင် တစ်ခေတ်ဆန်းစေရန် ဆရာတင်က "ဦးကလိမ်" သီချင်းကို ရေးစပ်ပေးခဲ့သည်။ လက်နှစ်ဖက်ကို ခေါင်းပေါ်ဝိုင်း၍ ကပြသီဆိုပုံမှာ အလွန်ခေတ်စားခဲ့ပြီး ခွေးတံဆိပ်ဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီနှင့် အသံသွင်းယူခဲ့ရာ နှစ်နှစ်အတွင်း ထိပ်တန်းမင်းသမီးအဆင့်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ထို့ပြင် ဆရာတင်ရေးစပ်သော "မော်တော်ကား" သီချင်း၊ ၁၂ လမ်း ဆရာမောင် ရေးစပ်သော "လက်ညှိုးထောင်" သီချင်း၊ ဆရာဒေါင်းညို၏ "ရွှေလက်ပတ်နာရီ"၊ ဦးသက်တင်၏ "ရွှေလသာသာ" နှင့် "ဆောင်းလရာသီ" သီချင်းတို့မှာလည်း ကျော်ကြားခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် မန္တလေးမှ စည်တီး ကိုလှဘော်၏ ဖိတ်ခေါ်ချက်၊ ဆရာတင်၏ တိုက်တွန်းချက်တို့ကြောင့် မန္တလေးသို့ သွားရောက်ကပြခဲ့ရာ ပတ္တလားဆရာလင်း၏ အငြိမ့်၊ ဦးသင်ခါ၊ ဦးဓာတ်ခိုး၊ ဦးညှပ်ကြီး၊ ဦးငှက်မိုး၊ ဦးဘလှိုင် စသော လူရွှင်တော်ကြီးများနှင့် တွဲဖက်ကာ အောင်မြင်မှုရရှိခဲ့သည်။ မန္တလေး၌ ရှိနေစဉ် ဆရာတင်က "အသည်းကျော်" နှင့် "တောင်တော်သခင်မ" သီချင်းများကို ထပ်မံရေးစပ်ပေးခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဆင်ဖြူကျွန်း ဦးဘခင်ဇာတ်၌ မင်းသား ရွှေဒေါင်းညို၊ မင်းသမီး သြဘာရအေးတင်တို့နှင့် တစ်နှစ်မျှ တွဲဖက်ကပြခဲ့ပြီး မန္တလေးသို့ ပြန်လာကာ ပန်းစံပယ် ခင်စန်းရီ၊ တောင်မြို့ မစိန်ဟန်တို့နှင့်အတူ ခေါင်းဆောင်မင်းသမီးအဖြစ် ဆက်လက်ကပြခဲ့သည်။ == ကိုယ်ရေးကိုယ်တာ == မန္တလေးတွင် အကူအညီပေးကပြရင်း တက္ကသိုလ်ရွှေကျီးညို (ဇာတ်မင်းသား) နှင့် ဖူးစာဆုံခဲ့သည်။ အိမ်ထောင်ကျချိန်တွင် ဒဂုန်ခင်လှကြည်သည် အသက် ၂၆ နှစ်ရှိပြီဖြစ်သည်။ လင်မယားနှစ်ဦးတွဲ၍ "ရွှေကျီးညိုဇာတ်အဖွဲ့" ကို တည်ထောင်ကာ ရန်ကုန်နှင့် မန္တလေးတို့တွင် ကပြခဲ့သည်။ ဒုတိယကမ္ဘာစစ်အတွင်း စစ်ဘေးရှောင်အဖြစ် မအူပင်မြို့၊ ရေလဲကလေးရွာသို့ ခေတ္တတိမ်းရှောင်ခဲ့ရပြီး စစ်ပြီးခေတ်တွင် ရန်ကုန်သို့ ပြန်လည်အခြေချခဲ့သည်။ ၎င်းတို့တွင် သားသမီးများ ထွန်းကားခဲ့ပြီး သားသမီးများဖြစ်ကြသော စိန်ကျီးညို၊ မြကျီးညို၊ ရွှေမန်းကြည်လှိုင်နှင့် မြဧယဉ်တို့မှာလည်း စစ်ပြီးခေတ် "ကြုံတိုင်းသဘင်" ဇာတ်အဖွဲ့တွင် ထင်ရှားသော အနုပညာရှင်များ ဖြစ်လာခဲ့ကြသည်။ == သီဆိုဓာတ်ပြားသွင်းခဲ့သော သီချင်းများနှင့် ဇာတ်ထုပ်များ == ဒဂုန်ခင်လှကြည်သည် ခွေးတံဆိပ်ဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီအပြင် ကိုလံဘီယာဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီနှင့်လည်း သီချင်းနှင့် ဇာတ်ထုပ်များစွာကို အသံသွင်းယူခဲ့သည်။ == ထင်ရှားသော သီချင်းများ == ဦးကလိမ် (ပထမ နှင့် ဒုတိယ) လက်ညှိုးထောင် (ပထမ နှင့် ဒုတိယ) ကုမ္မာရီ မော်တော်ကား အသည်းကျော် ကြမ်းပိုးမ ရွှေလသာသာ ဒဂုန်မဂ္ဂဇင်း ဆောင်းလရာသီ နွေရာသီ == ဓာတ်ပြားသွင်းခဲ့သော သီဆိုကပြချက် အော်ပရာ/ဇာတ်ထုပ်များ == ဥဒါယီကုမာရီ ဖိုးဦးတောင်သမိုင်း ရွှေဂုဏ်ဘဏ်ဘီလူးကြီး စန္ဒကုမာရ ရှင်သာရိပုတြာ ပရိနိဗ္ဗာန်ပြုခန်း မိတ္ထီလာကန်သမိုင်း ကြိုးကြာစည်တီး == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) r0wpj7h5ugem2h74i6pljkxbufed2mb 0 288533 1040566 2026-06-24T13:43:30Z Naingli 144794 "== အမယ်အိုကြီး ဦးအောင်စိန် == အမယ်ကြီးအိုအောင်စိန် သည် မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော ဇာတ်မင်းသားတစ်ဦး ဖြစ်ပြီ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040566 wikitext text/x-wiki == အမယ်အိုကြီး ဦးအောင်စိန် == အမယ်ကြီးအိုအောင်စိန် သည် မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော ဇာတ်မင်းသားတစ်ဦး ဖြစ်ပြီး နောက်ပိုင်းတွင် စာရေးဆရာအဖြစ်လည်း ဆောင်ရွက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ၁၂ ထွေအက အပါအဝင် "အမယ်ကြီးအို" အကဖြင့် လူသိများ ထင်ရှားခဲ့သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် သဘင်လောကသို့ ရောက်ရှိခြင်း == မင်းသားကြီး အမယ်ကြီးအိုအောင်စိန်၏ ငယ်မည်မှာ မောင်အောင်သိန်း ဖြစ်သည်။ ရန်ကုန်မြို့၊ သာယာကုန်းဇာတိ ဖြစ်သည်။ မိဘမျိုးရိုးမှာ သဘင်မျိုးရိုးမရှိဘဲ ကုန်သည်နှင့် အရာရှိမျိုးရိုးသာ ဖြစ်သော်လည်း မောင်အောင်သိန်းတွင် ငယ်စဉ်ကတည်းက သဘင်စိတ် အခံရှိခဲ့သည်။ မောင်အောင်သိန်း ၁ဝ နှစ်သားအရွယ်တွင် အရိုးကုန်းရပ်ရှိ အဒေါ်များထံ သွားရောက်လည်ပတ်ရာမှ ဇာတ်ပွဲကို ၂ ရက်တိုင်တိုင် စွဲလန်းစွာ ကြည့်ရှုခဲ့သဖြင့် ဖခင်ဖြစ်သူက စိတ်ဆိုးကာ "ပွဲကြည့်လိုက ဇာတ်ထဲလိုက်သွား" ဟု ရွဲ့ငေါ့ပြောဆိုခဲ့သည်။ မောင်အောင်သိန်းက ဖခင်ဖြစ်သူ၏ စကားကို အတည်မှတ်ယူကာ အဝတ်အစားတစ်စုံဖြင့် အရိုးကုန်းရှိ ဇာတ်ရုံသို့ သွားရောက်ခဲ့ပြီး လူရွှင်တော် ဦးဉာဏ်ကျယ်ထံတွင် တပည့်ခံကာ သဘင်လောကသို့ စတင်ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ == သဘင်သည်ဘဝ ဆောင်ရွက်ချက်များ == မောင်အောင်သိန်းသည် ဆရာနှင့် ဆရာကတော်အပေါ် ရိုသေကျိုးနွံမှုရှိပြီး ဇာတ်အဖွဲ့သားများ၏ အနွံအတာကိုလည်း ခံနိုင်သူ ဖြစ်သဖြင့် မကြာမီပင် ဆရာဖြစ်သူက "အောင်သိန်းကျော်" ဟူသော အမည်ဖြင့် ပွဲထုတ်ပေးခဲ့သည်။ ၎င်းသည် တစ်ညလျှင် ငါးကျပ်ရသော ဝင်ငွေဖြင့် ဆရာဖြစ်သူကို ၁၄ နှစ်တိုင်တိုင် လုပ်ကျွေးခဲ့သည်။ ရန်ကုန်၊ မော်လမြိုင်၊ ကျိုက်ထို၊ အနောက်ချောင်း၊ မအူပင်၊ ဒေးဒရဲ၊ ဖျာပုံ စသည့် ဒေသများသို့ လှည့်လည်ကပြစဉ် တစ်ညလျှင် ဆယ်ကျပ်ပေးသည့်အထိ အောင်မြင်လာခဲ့သည်။ ထိုခေတ်က ခေတ်စားခဲ့သော ခုနစ်ထွေအက၊ ၁၂ ထွေအကများအနက် အောင်သိန်းကျော် ကပြသော "အမယ်ကြီးအို" အကမှာ အလွန်ပင် ကောင်းမွန်လှသဖြင့် ပရိသတ်များက ၎င်းကို "အမယ်ကြီးအိုဘွဲ့" ပေးခဲ့ကြသည်။ ထိုအချိန်မှစ၍ အောင်သိန်းကျော်အမည်ပျောက်ကာ "အမယ်ကြီးအို အောင်စိန်" ဟု လူသိများလာခဲ့သည်။ ၎င်းသည် လေဘာတီမမြရင်၊ သြဘာရအေးတင်၊ တရုတ်မ မကျင်စိန် စသည့် ခေတ်ပြိုင်မင်းသမီးများစွာနှင့် တွဲဖက်ကပြခဲ့ဖူးပြီး ၎င်းမလိုက်ဖူးသော ဇာတ်အဖွဲ့နှင့် မတွဲဖူးသော မင်းသမီး ရှားပါးလှသည်အထိ သဘင်လောကတွင် ကျင်လည်ခဲ့သည်။ == စီးပွားရေးလုပ်ကိုင်ခြင်းနှင့် လောကဓံ == အမယ်ကြီးအိုအောင်စိန်အဖြစ် သဘင်အလုပ်ကို ပင်ပန်းကြီးစွာ လုပ်ကိုင်နေသော်လည်း ဇနီးနှင့် ယောက္ခမဖြစ်သူတို့က သဘင်အလုပ်ကို သဘောမကျသဖြင့် သဘင်သည်ဘဝကို စွန့်လွှတ်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ပြည်မြို့တွင် "ဆင်ပေါင်ဝဲ" အမည်ဖြင့် ပွဲရုံဖွင့်လှစ်ကာ ကုန်သည်ဘဝဖြင့် အခြေချခဲ့သည်။ သို့သော် ပြည်မြို့တွင် မီးကြီးလောင်ရာ၌ ပွဲရုံနှင့် နေအိမ်ပါ မီးထဲပါသွားခဲ့သဖြင့် စီးပွားပျက်ခဲ့ရသည်။ == သဘင်လောကသို့ ပြန်လည်ရောက်ရှိခြင်း == မီးဘေးသင့်ပြီးနောက်ပိုင်း မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားသော သဘင်ပညာရှင် ရွှေမန်းတင်မောင် ရောက်ရှိလာပြီး ဇွတ်အတင်းခေါ်ယူခဲ့သဖြင့် သဘင်လောကသို့ ပြန်လည်ဝင်ရောက်ခဲ့ကာ "စာရေးဆရာ အမယ်ကြီးအို ဦးအောင်စိန်" အဖြစ်ဖြင့် ကွယ်လွန်သည်အထိ လိုက်ပါဆောင်ရွက်ခဲ့လေသည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) 8jwkaxepssuka5gp8886polfkqdyrun 1040567 1040566 2026-06-24T13:46:08Z Naingli 144794 1040567 wikitext text/x-wiki == အမယ်အိုကြီး ဦးအောင်စိန် == {{သတင်းအချက်အလက်သေတ္တာ အနုပညာရှင် | name = အမယ်ကြီးအို အောင်စိန် | image = | image_size = | alt = | caption = | birth_name = မောင်အောင်သိန်း | birth_date = <!-- {{မွေးသက္ကရာဇ်နှင့် အသက်|ခုနှစ်|လ|ရက်}} --> | birth_place = [[ရန်ကုန်မြို့]]၊ သာယာကုန်း | death_date = | death_place = | death_cause = | resting_place = | residence = | nationality = [[မြန်မာလူမျိုး|မြန်မာ]] | other_names = အောင်သိန်းကျော် | education = | alma_mater = | occupation = [[ဇာတ်မင်းသား]]၊ စာရေးဆရာ | years_active = | eras = | employer = | organization = | agent = | known_for = ၁၂ ထွေအက (အမယ်ကြီးအိုအက) | works = | style = | net_worth = | height = | weight = | television = | title = | term = | predecessor = | successor = | party = | movement = | relations = | spouse = | partner = | children = | parents = | relatives = | awards = | signature = | signature_alt = | signature_size = | module = | website = | footnotes = }} အမယ်ကြီးအိုအောင်စိန် သည် မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော ဇာတ်မင်းသားတစ်ဦး ဖြစ်ပြီး နောက်ပိုင်းတွင် စာရေးဆရာအဖြစ်လည်း ဆောင်ရွက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ၁၂ ထွေအက အပါအဝင် "အမယ်ကြီးအို" အကဖြင့် လူသိများ ထင်ရှားခဲ့သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် သဘင်လောကသို့ ရောက်ရှိခြင်း == မင်းသားကြီး အမယ်ကြီးအိုအောင်စိန်၏ ငယ်မည်မှာ မောင်အောင်သိန်း ဖြစ်သည်။ ရန်ကုန်မြို့၊ သာယာကုန်းဇာတိ ဖြစ်သည်။ မိဘမျိုးရိုးမှာ သဘင်မျိုးရိုးမရှိဘဲ ကုန်သည်နှင့် အရာရှိမျိုးရိုးသာ ဖြစ်သော်လည်း မောင်အောင်သိန်းတွင် ငယ်စဉ်ကတည်းက သဘင်စိတ် အခံရှိခဲ့သည်။ မောင်အောင်သိန်း ၁ဝ နှစ်သားအရွယ်တွင် အရိုးကုန်းရပ်ရှိ အဒေါ်များထံ သွားရောက်လည်ပတ်ရာမှ ဇာတ်ပွဲကို ၂ ရက်တိုင်တိုင် စွဲလန်းစွာ ကြည့်ရှုခဲ့သဖြင့် ဖခင်ဖြစ်သူက စိတ်ဆိုးကာ "ပွဲကြည့်လိုက ဇာတ်ထဲလိုက်သွား" ဟု ရွဲ့ငေါ့ပြောဆိုခဲ့သည်။ မောင်အောင်သိန်းက ဖခင်ဖြစ်သူ၏ စကားကို အတည်မှတ်ယူကာ အဝတ်အစားတစ်စုံဖြင့် အရိုးကုန်းရှိ ဇာတ်ရုံသို့ သွားရောက်ခဲ့ပြီး လူရွှင်တော် ဦးဉာဏ်ကျယ်ထံတွင် တပည့်ခံကာ သဘင်လောကသို့ စတင်ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ == သဘင်သည်ဘဝ ဆောင်ရွက်ချက်များ == မောင်အောင်သိန်းသည် ဆရာနှင့် ဆရာကတော်အပေါ် ရိုသေကျိုးနွံမှုရှိပြီး ဇာတ်အဖွဲ့သားများ၏ အနွံအတာကိုလည်း ခံနိုင်သူ ဖြစ်သဖြင့် မကြာမီပင် ဆရာဖြစ်သူက "အောင်သိန်းကျော်" ဟူသော အမည်ဖြင့် ပွဲထုတ်ပေးခဲ့သည်။ ၎င်းသည် တစ်ညလျှင် ငါးကျပ်ရသော ဝင်ငွေဖြင့် ဆရာဖြစ်သူကို ၁၄ နှစ်တိုင်တိုင် လုပ်ကျွေးခဲ့သည်။ ရန်ကုန်၊ မော်လမြိုင်၊ ကျိုက်ထို၊ အနောက်ချောင်း၊ မအူပင်၊ ဒေးဒရဲ၊ ဖျာပုံ စသည့် ဒေသများသို့ လှည့်လည်ကပြစဉ် တစ်ညလျှင် ဆယ်ကျပ်ပေးသည့်အထိ အောင်မြင်လာခဲ့သည်။ ထိုခေတ်က ခေတ်စားခဲ့သော ခုနစ်ထွေအက၊ ၁၂ ထွေအကများအနက် အောင်သိန်းကျော် ကပြသော "အမယ်ကြီးအို" အကမှာ အလွန်ပင် ကောင်းမွန်လှသဖြင့် ပရိသတ်များက ၎င်းကို "အမယ်ကြီးအိုဘွဲ့" ပေးခဲ့ကြသည်။ ထိုအချိန်မှစ၍ အောင်သိန်းကျော်အမည်ပျောက်ကာ "အမယ်ကြီးအို အောင်စိန်" ဟု လူသိများလာခဲ့သည်။ ၎င်းသည် လေဘာတီမမြရင်၊ သြဘာရအေးတင်၊ တရုတ်မ မကျင်စိန် စသည့် ခေတ်ပြိုင်မင်းသမီးများစွာနှင့် တွဲဖက်ကပြခဲ့ဖူးပြီး ၎င်းမလိုက်ဖူးသော ဇာတ်အဖွဲ့နှင့် မတွဲဖူးသော မင်းသမီး ရှားပါးလှသည်အထိ သဘင်လောကတွင် ကျင်လည်ခဲ့သည်။ == စီးပွားရေးလုပ်ကိုင်ခြင်းနှင့် လောကဓံ == အမယ်ကြီးအိုအောင်စိန်အဖြစ် သဘင်အလုပ်ကို ပင်ပန်းကြီးစွာ လုပ်ကိုင်နေသော်လည်း ဇနီးနှင့် ယောက္ခမဖြစ်သူတို့က သဘင်အလုပ်ကို သဘောမကျသဖြင့် သဘင်သည်ဘဝကို စွန့်လွှတ်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ပြည်မြို့တွင် "ဆင်ပေါင်ဝဲ" အမည်ဖြင့် ပွဲရုံဖွင့်လှစ်ကာ ကုန်သည်ဘဝဖြင့် အခြေချခဲ့သည်။ သို့သော် ပြည်မြို့တွင် မီးကြီးလောင်ရာ၌ ပွဲရုံနှင့် နေအိမ်ပါ မီးထဲပါသွားခဲ့သဖြင့် စီးပွားပျက်ခဲ့ရသည်။ == သဘင်လောကသို့ ပြန်လည်ရောက်ရှိခြင်း == မီးဘေးသင့်ပြီးနောက်ပိုင်း မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားသော သဘင်ပညာရှင် ရွှေမန်းတင်မောင် ရောက်ရှိလာပြီး ဇွတ်အတင်းခေါ်ယူခဲ့သဖြင့် သဘင်လောကသို့ ပြန်လည်ဝင်ရောက်ခဲ့ကာ "စာရေးဆရာ အမယ်ကြီးအို ဦးအောင်စိန်" အဖြစ်ဖြင့် ကွယ်လွန်သည်အထိ လိုက်ပါဆောင်ရွက်ခဲ့လေသည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) k0jw41m33zvew1rg89ug0x8mcodiz9n 1040568 1040567 2026-06-24T13:47:44Z Naingli 144794 1040568 wikitext text/x-wiki {{သတင်းအချက်အလက်သေတ္တာ အနုပညာရှင် | name = အမယ်ကြီးအို အောင်စိန် | birth_name = မောင်အောင်သိန်း | birth_place = [[ရန်ကုန်မြို့]]၊ သာယာကုန်း | nationality = [[မြန်မာလူမျိုး|မြန်မာ]] | other_names = အောင်သိန်းကျော် | occupation = [[ဇာတ်မင်းသား]]၊ စာရေးဆရာ | known_for = ၁၂ ထွေအက (အမယ်ကြီးအိုအက) }} == အမယ်အိုကြီး ဦးအောင်စိန် == အမယ်ကြီးအိုအောင်စိန် သည် မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော ဇာတ်မင်းသားတစ်ဦး ဖြစ်ပြီး နောက်ပိုင်းတွင် စာရေးဆရာအဖြစ်လည်း ဆောင်ရွက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ၁၂ ထွေအက အပါအဝင် "အမယ်ကြီးအို" အကဖြင့် လူသိများ ထင်ရှားခဲ့သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် သဘင်လောကသို့ ရောက်ရှိခြင်း == မင်းသားကြီး အမယ်ကြီးအိုအောင်စိန်၏ ငယ်မည်မှာ မောင်အောင်သိန်း ဖြစ်သည်။ ရန်ကုန်မြို့၊ သာယာကုန်းဇာတိ ဖြစ်သည်။ မိဘမျိုးရိုးမှာ သဘင်မျိုးရိုးမရှိဘဲ ကုန်သည်နှင့် အရာရှိမျိုးရိုးသာ ဖြစ်သော်လည်း မောင်အောင်သိန်းတွင် ငယ်စဉ်ကတည်းက သဘင်စိတ် အခံရှိခဲ့သည်။ မောင်အောင်သိန်း ၁ဝ နှစ်သားအရွယ်တွင် အရိုးကုန်းရပ်ရှိ အဒေါ်များထံ သွားရောက်လည်ပတ်ရာမှ ဇာတ်ပွဲကို ၂ ရက်တိုင်တိုင် စွဲလန်းစွာ ကြည့်ရှုခဲ့သဖြင့် ဖခင်ဖြစ်သူက စိတ်ဆိုးကာ "ပွဲကြည့်လိုက ဇာတ်ထဲလိုက်သွား" ဟု ရွဲ့ငေါ့ပြောဆိုခဲ့သည်။ မောင်အောင်သိန်းက ဖခင်ဖြစ်သူ၏ စကားကို အတည်မှတ်ယူကာ အဝတ်အစားတစ်စုံဖြင့် အရိုးကုန်းရှိ ဇာတ်ရုံသို့ သွားရောက်ခဲ့ပြီး လူရွှင်တော် ဦးဉာဏ်ကျယ်ထံတွင် တပည့်ခံကာ သဘင်လောကသို့ စတင်ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ == သဘင်သည်ဘဝ ဆောင်ရွက်ချက်များ == မောင်အောင်သိန်းသည် ဆရာနှင့် ဆရာကတော်အပေါ် ရိုသေကျိုးနွံမှုရှိပြီး ဇာတ်အဖွဲ့သားများ၏ အနွံအတာကိုလည်း ခံနိုင်သူ ဖြစ်သဖြင့် မကြာမီပင် ဆရာဖြစ်သူက "အောင်သိန်းကျော်" ဟူသော အမည်ဖြင့် ပွဲထုတ်ပေးခဲ့သည်။ ၎င်းသည် တစ်ညလျှင် ငါးကျပ်ရသော ဝင်ငွေဖြင့် ဆရာဖြစ်သူကို ၁၄ နှစ်တိုင်တိုင် လုပ်ကျွေးခဲ့သည်။ ရန်ကုန်၊ မော်လမြိုင်၊ ကျိုက်ထို၊ အနောက်ချောင်း၊ မအူပင်၊ ဒေးဒရဲ၊ ဖျာပုံ စသည့် ဒေသများသို့ လှည့်လည်ကပြစဉ် တစ်ညလျှင် ဆယ်ကျပ်ပေးသည့်အထိ အောင်မြင်လာခဲ့သည်။ ထိုခေတ်က ခေတ်စားခဲ့သော ခုနစ်ထွေအက၊ ၁၂ ထွေအကများအနက် အောင်သိန်းကျော် ကပြသော "အမယ်ကြီးအို" အကမှာ အလွန်ပင် ကောင်းမွန်လှသဖြင့် ပရိသတ်များက ၎င်းကို "အမယ်ကြီးအိုဘွဲ့" ပေးခဲ့ကြသည်။ ထိုအချိန်မှစ၍ အောင်သိန်းကျော်အမည်ပျောက်ကာ "အမယ်ကြီးအို အောင်စိန်" ဟု လူသိများလာခဲ့သည်။ ၎င်းသည် လေဘာတီမမြရင်၊ သြဘာရအေးတင်၊ တရုတ်မ မကျင်စိန် စသည့် ခေတ်ပြိုင်မင်းသမီးများစွာနှင့် တွဲဖက်ကပြခဲ့ဖူးပြီး ၎င်းမလိုက်ဖူးသော ဇာတ်အဖွဲ့နှင့် မတွဲဖူးသော မင်းသမီး ရှားပါးလှသည်အထိ သဘင်လောကတွင် ကျင်လည်ခဲ့သည်။ == စီးပွားရေးလုပ်ကိုင်ခြင်းနှင့် လောကဓံ == အမယ်ကြီးအိုအောင်စိန်အဖြစ် သဘင်အလုပ်ကို ပင်ပန်းကြီးစွာ လုပ်ကိုင်နေသော်လည်း ဇနီးနှင့် ယောက္ခမဖြစ်သူတို့က သဘင်အလုပ်ကို သဘောမကျသဖြင့် သဘင်သည်ဘဝကို စွန့်လွှတ်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ပြည်မြို့တွင် "ဆင်ပေါင်ဝဲ" အမည်ဖြင့် ပွဲရုံဖွင့်လှစ်ကာ ကုန်သည်ဘဝဖြင့် အခြေချခဲ့သည်။ သို့သော် ပြည်မြို့တွင် မီးကြီးလောင်ရာ၌ ပွဲရုံနှင့် နေအိမ်ပါ မီးထဲပါသွားခဲ့သဖြင့် စီးပွားပျက်ခဲ့ရသည်။ == သဘင်လောကသို့ ပြန်လည်ရောက်ရှိခြင်း == မီးဘေးသင့်ပြီးနောက်ပိုင်း မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားသော သဘင်ပညာရှင် ရွှေမန်းတင်မောင် ရောက်ရှိလာပြီး ဇွတ်အတင်းခေါ်ယူခဲ့သဖြင့် သဘင်လောကသို့ ပြန်လည်ဝင်ရောက်ခဲ့ကာ "စာရေးဆရာ အမယ်ကြီးအို ဦးအောင်စိန်" အဖြစ်ဖြင့် ကွယ်လွန်သည်အထိ လိုက်ပါဆောင်ရွက်ခဲ့လေသည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) mcwf3xgkaac98x4wyvhtv53xrsf44sg 1040569 1040568 2026-06-24T13:52:00Z Naingli 144794 /* အမယ်အိုကြီး ဦးအောင်စိန် */ 1040569 wikitext text/x-wiki {{သတင်းအချက်အလက်သေတ္တာ အနုပညာရှင် | name = အမယ်ကြီးအို အောင်စိန် | birth_name = မောင်အောင်သိန်း | birth_place = [[ရန်ကုန်မြို့]]၊ သာယာကုန်း | nationality = [[မြန်မာလူမျိုး|မြန်မာ]] | other_names = အောင်သိန်းကျော် | occupation = [[ဇာတ်မင်းသား]]၊ စာရေးဆရာ | known_for = ၁၂ ထွေအက (အမယ်ကြီးအိုအက) }} == အမယ်ကြီးအို == အမယ်ကြီးအိုအောင်စိန် သည် မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော ဇာတ်မင်းသားတစ်ဦး ဖြစ်ပြီး နောက်ပိုင်းတွင် စာရေးဆရာအဖြစ်လည်း ဆောင်ရွက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ၁၂ ထွေအက အပါအဝင် "အမယ်ကြီးအို" အကဖြင့် လူသိများ ထင်ရှားခဲ့သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် သဘင်လောကသို့ ရောက်ရှိခြင်း == မင်းသားကြီး အမယ်ကြီးအိုအောင်စိန်၏ ငယ်မည်မှာ မောင်အောင်သိန်း ဖြစ်သည်။ ရန်ကုန်မြို့၊ သာယာကုန်းဇာတိ ဖြစ်သည်။ မိဘမျိုးရိုးမှာ သဘင်မျိုးရိုးမရှိဘဲ ကုန်သည်နှင့် အရာရှိမျိုးရိုးသာ ဖြစ်သော်လည်း မောင်အောင်သိန်းတွင် ငယ်စဉ်ကတည်းက သဘင်စိတ် အခံရှိခဲ့သည်။ မောင်အောင်သိန်း ၁ဝ နှစ်သားအရွယ်တွင် အရိုးကုန်းရပ်ရှိ အဒေါ်များထံ သွားရောက်လည်ပတ်ရာမှ ဇာတ်ပွဲကို ၂ ရက်တိုင်တိုင် စွဲလန်းစွာ ကြည့်ရှုခဲ့သဖြင့် ဖခင်ဖြစ်သူက စိတ်ဆိုးကာ "ပွဲကြည့်လိုက ဇာတ်ထဲလိုက်သွား" ဟု ရွဲ့ငေါ့ပြောဆိုခဲ့သည်။ မောင်အောင်သိန်းက ဖခင်ဖြစ်သူ၏ စကားကို အတည်မှတ်ယူကာ အဝတ်အစားတစ်စုံဖြင့် အရိုးကုန်းရှိ ဇာတ်ရုံသို့ သွားရောက်ခဲ့ပြီး လူရွှင်တော် ဦးဉာဏ်ကျယ်ထံတွင် တပည့်ခံကာ သဘင်လောကသို့ စတင်ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ == သဘင်သည်ဘဝ ဆောင်ရွက်ချက်များ == မောင်အောင်သိန်းသည် ဆရာနှင့် ဆရာကတော်အပေါ် ရိုသေကျိုးနွံမှုရှိပြီး ဇာတ်အဖွဲ့သားများ၏ အနွံအတာကိုလည်း ခံနိုင်သူ ဖြစ်သဖြင့် မကြာမီပင် ဆရာဖြစ်သူက "အောင်သိန်းကျော်" ဟူသော အမည်ဖြင့် ပွဲထုတ်ပေးခဲ့သည်။ ၎င်းသည် တစ်ညလျှင် ငါးကျပ်ရသော ဝင်ငွေဖြင့် ဆရာဖြစ်သူကို ၁၄ နှစ်တိုင်တိုင် လုပ်ကျွေးခဲ့သည်။ ရန်ကုန်၊ မော်လမြိုင်၊ ကျိုက်ထို၊ အနောက်ချောင်း၊ မအူပင်၊ ဒေးဒရဲ၊ ဖျာပုံ စသည့် ဒေသများသို့ လှည့်လည်ကပြစဉ် တစ်ညလျှင် ဆယ်ကျပ်ပေးသည့်အထိ အောင်မြင်လာခဲ့သည်။ ထိုခေတ်က ခေတ်စားခဲ့သော ခုနစ်ထွေအက၊ ၁၂ ထွေအကများအနက် အောင်သိန်းကျော် ကပြသော "အမယ်ကြီးအို" အကမှာ အလွန်ပင် ကောင်းမွန်လှသဖြင့် ပရိသတ်များက ၎င်းကို "အမယ်ကြီးအိုဘွဲ့" ပေးခဲ့ကြသည်။ ထိုအချိန်မှစ၍ အောင်သိန်းကျော်အမည်ပျောက်ကာ "အမယ်ကြီးအို အောင်စိန်" ဟု လူသိများလာခဲ့သည်။ ၎င်းသည် လေဘာတီမမြရင်၊ သြဘာရအေးတင်၊ တရုတ်မ မကျင်စိန် စသည့် ခေတ်ပြိုင်မင်းသမီးများစွာနှင့် တွဲဖက်ကပြခဲ့ဖူးပြီး ၎င်းမလိုက်ဖူးသော ဇာတ်အဖွဲ့နှင့် မတွဲဖူးသော မင်းသမီး ရှားပါးလှသည်အထိ သဘင်လောကတွင် ကျင်လည်ခဲ့သည်။ == စီးပွားရေးလုပ်ကိုင်ခြင်းနှင့် လောကဓံ == အမယ်ကြီးအိုအောင်စိန်အဖြစ် သဘင်အလုပ်ကို ပင်ပန်းကြီးစွာ လုပ်ကိုင်နေသော်လည်း ဇနီးနှင့် ယောက္ခမဖြစ်သူတို့က သဘင်အလုပ်ကို သဘောမကျသဖြင့် သဘင်သည်ဘဝကို စွန့်လွှတ်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ပြည်မြို့တွင် "ဆင်ပေါင်ဝဲ" အမည်ဖြင့် ပွဲရုံဖွင့်လှစ်ကာ ကုန်သည်ဘဝဖြင့် အခြေချခဲ့သည်။ သို့သော် ပြည်မြို့တွင် မီးကြီးလောင်ရာ၌ ပွဲရုံနှင့် နေအိမ်ပါ မီးထဲပါသွားခဲ့သဖြင့် စီးပွားပျက်ခဲ့ရသည်။ == သဘင်လောကသို့ ပြန်လည်ရောက်ရှိခြင်း == မီးဘေးသင့်ပြီးနောက်ပိုင်း မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားသော သဘင်ပညာရှင် ရွှေမန်းတင်မောင် ရောက်ရှိလာပြီး ဇွတ်အတင်းခေါ်ယူခဲ့သဖြင့် သဘင်လောကသို့ ပြန်လည်ဝင်ရောက်ခဲ့ကာ "စာရေးဆရာ အမယ်ကြီးအို ဦးအောင်စိန်" အဖြစ်ဖြင့် ကွယ်လွန်သည်အထိ လိုက်ပါဆောင်ရွက်ခဲ့လေသည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) al5yr3jmj95hmio3gzszqh9jg8gijjd 1040574 1040569 2026-06-24T13:54:39Z Naingli 144794 /* အမယ်ကြီးအို */ 1040574 wikitext text/x-wiki {{သတင်းအချက်အလက်သေတ္တာ အနုပညာရှင် | name = အမယ်ကြီးအို အောင်စိန် | birth_name = မောင်အောင်သိန်း | birth_place = [[ရန်ကုန်မြို့]]၊ သာယာကုန်း | nationality = [[မြန်မာလူမျိုး|မြန်မာ]] | other_names = အောင်သိန်းကျော် | occupation = [[ဇာတ်မင်းသား]]၊ စာရေးဆရာ | known_for = ၁၂ ထွေအက (အမယ်ကြီးအိုအက) }} == အမယ်ကြီးအို ဦးအောင်စိန် == အမယ်ကြီးအိုအောင်စိန် သည် မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော ဇာတ်မင်းသားတစ်ဦး ဖြစ်ပြီး နောက်ပိုင်းတွင် စာရေးဆရာအဖြစ်လည်း ဆောင်ရွက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ၁၂ ထွေအက အပါအဝင် "အမယ်ကြီးအို" အကဖြင့် လူသိများ ထင်ရှားခဲ့သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် သဘင်လောကသို့ ရောက်ရှိခြင်း == မင်းသားကြီး အမယ်ကြီးအိုအောင်စိန်၏ ငယ်မည်မှာ မောင်အောင်သိန်း ဖြစ်သည်။ ရန်ကုန်မြို့၊ သာယာကုန်းဇာတိ ဖြစ်သည်။ မိဘမျိုးရိုးမှာ သဘင်မျိုးရိုးမရှိဘဲ ကုန်သည်နှင့် အရာရှိမျိုးရိုးသာ ဖြစ်သော်လည်း မောင်အောင်သိန်းတွင် ငယ်စဉ်ကတည်းက သဘင်စိတ် အခံရှိခဲ့သည်။ မောင်အောင်သိန်း ၁ဝ နှစ်သားအရွယ်တွင် အရိုးကုန်းရပ်ရှိ အဒေါ်များထံ သွားရောက်လည်ပတ်ရာမှ ဇာတ်ပွဲကို ၂ ရက်တိုင်တိုင် စွဲလန်းစွာ ကြည့်ရှုခဲ့သဖြင့် ဖခင်ဖြစ်သူက စိတ်ဆိုးကာ "ပွဲကြည့်လိုက ဇာတ်ထဲလိုက်သွား" ဟု ရွဲ့ငေါ့ပြောဆိုခဲ့သည်။ မောင်အောင်သိန်းက ဖခင်ဖြစ်သူ၏ စကားကို အတည်မှတ်ယူကာ အဝတ်အစားတစ်စုံဖြင့် အရိုးကုန်းရှိ ဇာတ်ရုံသို့ သွားရောက်ခဲ့ပြီး လူရွှင်တော် ဦးဉာဏ်ကျယ်ထံတွင် တပည့်ခံကာ သဘင်လောကသို့ စတင်ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ == သဘင်သည်ဘဝ ဆောင်ရွက်ချက်များ == မောင်အောင်သိန်းသည် ဆရာနှင့် ဆရာကတော်အပေါ် ရိုသေကျိုးနွံမှုရှိပြီး ဇာတ်အဖွဲ့သားများ၏ အနွံအတာကိုလည်း ခံနိုင်သူ ဖြစ်သဖြင့် မကြာမီပင် ဆရာဖြစ်သူက "အောင်သိန်းကျော်" ဟူသော အမည်ဖြင့် ပွဲထုတ်ပေးခဲ့သည်။ ၎င်းသည် တစ်ညလျှင် ငါးကျပ်ရသော ဝင်ငွေဖြင့် ဆရာဖြစ်သူကို ၁၄ နှစ်တိုင်တိုင် လုပ်ကျွေးခဲ့သည်။ ရန်ကုန်၊ မော်လမြိုင်၊ ကျိုက်ထို၊ အနောက်ချောင်း၊ မအူပင်၊ ဒေးဒရဲ၊ ဖျာပုံ စသည့် ဒေသများသို့ လှည့်လည်ကပြစဉ် တစ်ညလျှင် ဆယ်ကျပ်ပေးသည့်အထိ အောင်မြင်လာခဲ့သည်။ ထိုခေတ်က ခေတ်စားခဲ့သော ခုနစ်ထွေအက၊ ၁၂ ထွေအကများအနက် အောင်သိန်းကျော် ကပြသော "အမယ်ကြီးအို" အကမှာ အလွန်ပင် ကောင်းမွန်လှသဖြင့် ပရိသတ်များက ၎င်းကို "အမယ်ကြီးအိုဘွဲ့" ပေးခဲ့ကြသည်။ ထိုအချိန်မှစ၍ အောင်သိန်းကျော်အမည်ပျောက်ကာ "အမယ်ကြီးအို အောင်စိန်" ဟု လူသိများလာခဲ့သည်။ ၎င်းသည် လေဘာတီမမြရင်၊ သြဘာရအေးတင်၊ တရုတ်မ မကျင်စိန် စသည့် ခေတ်ပြိုင်မင်းသမီးများစွာနှင့် တွဲဖက်ကပြခဲ့ဖူးပြီး ၎င်းမလိုက်ဖူးသော ဇာတ်အဖွဲ့နှင့် မတွဲဖူးသော မင်းသမီး ရှားပါးလှသည်အထိ သဘင်လောကတွင် ကျင်လည်ခဲ့သည်။ == စီးပွားရေးလုပ်ကိုင်ခြင်းနှင့် လောကဓံ == အမယ်ကြီးအိုအောင်စိန်အဖြစ် သဘင်အလုပ်ကို ပင်ပန်းကြီးစွာ လုပ်ကိုင်နေသော်လည်း ဇနီးနှင့် ယောက္ခမဖြစ်သူတို့က သဘင်အလုပ်ကို သဘောမကျသဖြင့် သဘင်သည်ဘဝကို စွန့်လွှတ်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ပြည်မြို့တွင် "ဆင်ပေါင်ဝဲ" အမည်ဖြင့် ပွဲရုံဖွင့်လှစ်ကာ ကုန်သည်ဘဝဖြင့် အခြေချခဲ့သည်။ သို့သော် ပြည်မြို့တွင် မီးကြီးလောင်ရာ၌ ပွဲရုံနှင့် နေအိမ်ပါ မီးထဲပါသွားခဲ့သဖြင့် စီးပွားပျက်ခဲ့ရသည်။ == သဘင်လောကသို့ ပြန်လည်ရောက်ရှိခြင်း == မီးဘေးသင့်ပြီးနောက်ပိုင်း မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားသော သဘင်ပညာရှင် ရွှေမန်းတင်မောင် ရောက်ရှိလာပြီး ဇွတ်အတင်းခေါ်ယူခဲ့သဖြင့် သဘင်လောကသို့ ပြန်လည်ဝင်ရောက်ခဲ့ကာ "စာရေးဆရာ အမယ်ကြီးအို ဦးအောင်စိန်" အဖြစ်ဖြင့် ကွယ်လွန်သည်အထိ လိုက်ပါဆောင်ရွက်ခဲ့လေသည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) dzi2g1zvo2d7twf3rg0ae1j4ofl66za 3 288534 1040575 2026-06-24T14:04:53Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040575 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Sai Husky ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၀၄၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) czm8c50m1igjq6ko98iqo6it6cr777m 3 288535 1040576 2026-06-24T14:05:03Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040576 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Arpan472 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၀၅၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) n5xae340tg9v89wdwjxyzv0zw6qf3et 3 288536 1040577 2026-06-24T14:05:13Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040577 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Nyein akari aung ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၀၅၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) mv9am2t88as2wpcku7x0omdul0mrhoq 1 288537 1040578 2026-06-24T14:07:29Z ~2026-36586-82 144813 /* မြန်မာ */ အပိုင်းသစ် 1040578 wikitext text/x-wiki == မြန်မာ == မြန်မာ [[အထူး:ဆောင်ရွက်ချက်များ/&#126;2026-36586-82|&#126;2026-36586-82]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:&#126;2026-36586-82|talk]]) ၁၄:၀၇၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) bon4489oz887fqgce08ojrrjhn6bvwk 0 288538 1040579 2026-06-24T14:19:52Z Naingli 144794 "== ချစ်အာရုံ မြညွန့်ရည် == {{Infobox artist | name = ချစ်အာရုံ မြညွန့်ရည် | image = | caption = အငြိမ့်မင်းသမီးကြီး ချစ်အာရုံ မြညွန့်ရည် | birth_date..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040579 wikitext text/x-wiki == ချစ်အာရုံ မြညွန့်ရည် == {{Infobox artist | name = ချစ်အာရုံ မြညွန့်ရည် | image = | caption = အငြိမ့်မင်းသမီးကြီး ချစ်အာရုံ မြညွန့်ရည် | birth_date = မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၉၀ ပြည့်နှစ် | birth_place = ကျုံတနီရွာ၊ ဖျာပုံခရိုင်၊ မြန်မာနိုင်ငံ | occupation = အငြိမ့်မင်းသမီး၊ သဘင်ပညာရှင် | parents = ဦးဖားယုံ (ဖခင်) <br> ဒေါ်သိန်းတင် (မိခင်) | relatives = မောင်နှမ ၆ ဦးအနက် ၅ ဦးမြောက် }} ချစ်အာရုံ မြညွန့်ရည် သည် မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်နှင့် အငြိမ့်လောကတွင် ထင်ရှားသော ဝါရင့်အငြိမ့်မင်းသမီးကြီး တစ်ဦးဖြစ်သည်။ သူမကို မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၉၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဖျာပုံခရိုင်၊ ကျုံတနီရွာ၌ ဖခင် ဦးဖားယုံ၊ မိခင် ဒေါ်သိန်းတင်တို့မှ မွေးဖွားခဲ့ပြီး မောင်နှမ ခြောက်ယောက်အနက် ပဉ္စမမြောက်သမီး ဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာသင်ယူခြင်း == ငယ်စဉ်ကပင် အနုပညာဝါသနာ ထုံခဲ့သော်လည်း အသက် ၇ နှစ်အရွယ်တွင် ဖခင်ကွယ်လွန်ခဲ့သဖြင့် မိသားစုဘဝ ရုန်းကန်ခဲ့ရသည်။ သို့သော် ကပြခြင်းအတတ်ပညာ၌ ထူးချွန်ထက်မြက်သဖြင့် ပတ်ဝန်းကျင်အရပ်ထဲတွင် အကခြေလှမ်းများဖြင့် စတင်ခြေဆန့်ခဲ့သည်။ ထိုသို့ ကပြရာတွင် သူမ၏ ကကွက်ကဟန် ထူးချွန်မှုကို ရုပ်သေးဆရာကြီး ဦးဖားစိန်က သတိပြုမိရာမှတစ်ဆင့် ၎င်းထံတွင် မင်းသမီးအတတ်ပညာရပ်များကို စနစ်တကျ စတင်သင်ယူခွင့်ရရှိခဲ့သည်။ ရုပ်သေးဆရာကြီး ဦးဖားစိန်ထံတွင် ပညာဆည်းပူးပြီးနောက် ဇီးကုန်းမြို့ရှိ မင်းသား ကျော်စိန်သန်းထံတွင် ဆက်လက်ပညာသင်ယူခဲ့သည်။ ထို့နောက် မိခင်ဖြစ်သူ ဒေါ်သိန်းတင် (စာသားပါ ဒေါ်သိန်းရင်အား မူရင်းမိခင်အမည် ဒေါ်သိန်းတင်အတိုင်း ညှိနှိုင်းပြင်ဆင်ထားပါသည်) ၏ ချိတ်ဆက်ကူညီမှုဖြင့် နန်းတော်ရှေ့ဆရာတင်၏ဇနီး ဒေါ်ပေါ်လင်တင်ထံတွင် အနုပညာပညာရပ်များ ဆက်လက်ဆည်းပူးရန် အပ်နှံခြင်းခံခဲ့ရသည်။ == အနုပညာသက်တမ်းနှင့် အောင်မြင်မှု == ဒေါ်ပေါ်လင်တင်၏ ပံ့ပိုးကူညီမှုဖြင့် ခေတ်ပြိုင်အကျော်အမော် ရွှေမန်းတင်မောင်၏ ရွှေမန်းတင်မောင်ဇာတ်အဖွဲ့ တွင် မင်းသမီးအဖြစ် စတင်ဝင်ရောက် ကပြခွင့်ရရှိခဲ့သည်။ ထိုမှတစ်ဆင့် ရွှေမန်းကျော်အောင်ဇာတ်အဖွဲ့ သို့ ပြောင်းရွှေ့ကာ မင်းသမီးကြီးအဖြစ် အောင်မြင်စွာ ကပြအသုံးတော်ခံခဲ့သည်။ == အနုပညာမှအနားယူခြင်း == ချစ်အာရုံ မြညွန့်ရည်သည် အသက် ၅၂ နှစ်အရွယ်တွင် အငြိမ့်မင်းသမီးဘဝမှ အနားယူခဲ့သည်။ အနုပညာမှ အနားယူပြီးနောက်ပိုင်း ၂၀၂၂ ခုနှစ် အင်တာဗြူးတစ်ခုတွင် ၎င်း၏ အနုပညာဖြတ်သန်းမှုများနှင့် ပတ်သက်၍ "အသက် (၅၂) နှစ် အရွယ်က အငြိမ့်မင်းသမီး ဘဝကို နားခဲ့တာပါ။ ဟိုးတုန်းက ကခဲ့တာတွေကို ပြန်တွေးပြီး ဝမ်းနည်းလို့ မျက်ရည်ကျရတယ်" ဟု အတိတ်နောက်ခံ အနုပညာလှုပ်ရှားမှုများကို လွမ်းဆွတ်တသစွာ ပြောကြားခဲ့ဖူးသည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) e3idvd2a4gluwayrnhdp7i03hnwl67d 0 288539 1040580 2026-06-24T14:24:14Z Naingli 144794 "== ဥသြရွှေ (ဇာတ်မင်းသမီး) == {{Infobox person | name = ဥသြရွှေ | image = | caption = | birth_date = မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၈၆ | birth_place = ရေကြည်မြို့၊ ဧရာဝတီတိုင်းဒေသက..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040580 wikitext text/x-wiki == ဥသြရွှေ (ဇာတ်မင်းသမီး) == {{Infobox person | name = ဥသြရွှေ | image = | caption = | birth_date = မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၈၆ | birth_place = ရေကြည်မြို့၊ ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး | death_date = ၁၉၈၈ | death_place = | occupation = ဇာတ်မင်းသမီး | years_active = | spouse = ဦးအေး (ပထမ)၊ စိန်အောင်မင်း (ဒုတိယ) | children = သား ၂ ဦး၊ သမီး ၁ ဦး | parents = ဦးစိန်ကြယ်၊ ဒေါ်ငြိမ်း }} ဥသြရွှေ (မြန်မာ ၁၂၈၆ – ၁၉၈၈) သည် မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်လောကတွင် အဆိုအက စွမ်းရည် ထက်မြက်လှပြီး ဥသြငှက်ကဲ့သို့ သာယာငြိမ့်ငြောင်းသော အသံပိုင်ရှင်အဖြစ် ကျော်ကြားခဲ့သည့် ဇာတ်မင်းသမီးကြီး တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာရေး == မင်းသမီး ဥသြရွှေကို မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၈၆ ခုနှစ်တွင် ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး၊ ရေကြည်မြို့၌ အဖ ဦးစိန်ကြယ်၊ အမိ ဒေါ်ငြိမ်းတို့မှ မွေးဖွားခဲ့သည်။ ငယ်နာမည်မှာ မတင်ရွှေ ဖြစ်သည်။ မောင်နှမ သုံးယောက်အနက် ဒုတိယမြောက်သမီး ဖြစ်သည်။ ငယ်စဉ်ကပင် အကအခုန်၊ အဆိုအတီးတို့တွင် အထူးဝါသနာထုံခဲ့ပြီး အသံအလွန်ကောင်းမွန်သူ ဖြစ်သည်။ အသက် ၁၂ နှစ်အရွယ်တွင် ပုသိမ်မြို့သို့ စိန်အောင်မင်းဇာတ်အဖွဲ့ ရောက်ရှိလာစဉ် အကပညာသင်ယူရန်အတွက် ဇာတ်အဖွဲ့နှင့်အတူ လိုက်ပါခဲ့သည်။ == ဇာတ်သဘင်အသက်မွေးဝမ်းကျောင်း == ဇာတ်အဖွဲ့တွင် ပညာသင်ယူရင်း မင်းသမီးအဖြစ် ကပြခွင့်ရရှိခဲ့ကာ အမြို့မြို့အနယ်နယ်သို့ လှည့်လည်ဖျော်ဖြေခဲ့သည်။ ဥသြငှက်ကဲ့သို့ အသံသာယာလွန်းခြင်းကြောင့် "ဥသြရွှေ" ဟု အမည်တွင်ခဲ့သည်။ မင်းသမီး ဥသြရွှေသည် အဆိုပိုင်းတွင်သာမက အကအခုန်ပိုင်းတွင်လည်း အလွန်ထက်မြက်လှသဖြင့် ခေတ်ပြိုင်ဇာတ်မင်းသားကြီးများဖြစ်ကြသော ဦးဖိုးစိန်၊ ဦးအောင်မောင်း၊ စိန်အောင်မင်း၊ ကနက်စိန်၊ ကျော်ဝင်းစိန်၊ တိုင်းချစ်သန်းစိန် စသည့် ထိပ်တန်းမင်းသားကြီးများနှင့် တွဲဖက်ကပြခဲ့ရသည်။ == ကိုယ်ရေးကိုယ်တာဘဝ == ဇာတ်အဖွဲ့နှင့်အတူ လှည့်လည်ကပြနေစဉ်အတွင်း ပထမအိမ်ထောင်အဖြစ် စာရေးဆရာ ဦးအေးနှင့် ဖူးစာဆုံခဲ့ပြီး သားနှစ်ဦး ထွန်းကားခဲ့သည်။ သားနှစ်ယောက်ရရှိပြီးနောက် စာရေးဆရာ ဦးအေး ကွယ်လွန်သွားခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဇာတ်မင်းသားကြီး စိန်အောင်မင်းနှင့် ဒုတိယအိမ်ထောင်ပြုခဲ့ပြီး သမီးတစ်ဦး ထွန်းကားခဲ့သည်။ == ဘဝနိဂုံး == ဇာတ်မင်းသမီးကြီး ဥသြရွှေသည် ၁၉၈၈ ခုနှစ်တွင် အသက် ၆၆ နှစ်အရွယ်၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) gmt5i8ldbtzhqwv92yf67kclzjlqhcg 3 288540 1040587 2026-06-24T15:05:24Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040587 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် KINO29THD03 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၀၅၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) c6d08no711brlwyhgifxvquerryahma 3 288541 1040588 2026-06-24T15:05:34Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040588 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-36421-80 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၀၅၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) shsuhftcv29rfe72gcrry2ghlfvy66l 3 288542 1040589 2026-06-24T15:05:44Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040589 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-36416-71 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၀၅၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) q2u83sv36nk42j4ns0oh5v062w1j1u7 0 288543 1040590 2026-06-24T15:05:44Z Naingli 144794 "== ပခန်းဆရာညို == {| class="wikitable" style="width:100%; text-align:center;" |+ ပခန်းဆရာညို၏ အချက်အလက်များ |- ! အကြောင်းအရာ ! အသေးစိတ် |- | အမည် | ပခန်းဆရာညို |- | မွေးသက္ကရာဇ်..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040590 wikitext text/x-wiki == ပခန်းဆရာညို == {| class="wikitable" style="width:100%; text-align:center;" |+ ပခန်းဆရာညို၏ အချက်အလက်များ |- ! အကြောင်းအရာ ! အသေးစိတ် |- | အမည် | ပခန်းဆရာညို |- | မွေးသက္ကရာဇ် | ၁၂၀၆ ခုနှစ် |- | ကွယ်လွန်နှစ် | ၁၂၇၆ ခုနှစ် |- | လုပ်ငန်းနယ်ပယ် | ရုပ်သေးသဘင်ပညာ |- | ထင်ရှားသောလူရွှင်တော်များ | ရွှေသဲ၊ မန်းမောင် |- | ထင်ရှားသောမင်းသမီးများ | မစိန်ဖော့၊ မစိန်အိ၊ မဆင်ပျံ၊ မပန်းစိန်၊ မမြတန်၊ မမြဒင် |} ပခန်းဆရာညို (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၀၆–၁၂၇၆) သည် မြန်မာ့ရုပ်သေးသဘင်လောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော ရုပ်သေးမင်းသားကြီးတစ်ဦးဖြစ်သည်။ ယောက်ျားမင်းသမီးများလွှမ်းမိုးနေသော ထိုခေတ်ကာလတွင် ယောက်ျားမင်းသားဦးစီးသည့် စင်ကို တည်ထောင်နိုင်ခဲ့သူဖြစ်ပြီး၊ ရုပ်သေးလောကတွင် အမျိုးသမီးမင်းသမီးကို စတင်အသုံးပြုသူဟုလည်း ဆိုကြသည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် မိသားစု == ဆရာညိုကို မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၀၆ ခုနှစ်ခန့်တွင် ပခန်းတောင်လက် ဆင်ကြိုးရွာ၌ ဖခင် ရုပ်သေးမင်းသား ဦးရန်ဝေးနှင့် မိခင် မယ်အိမ်မြဲတို့မှ ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ ဆရာညို၏မျိုးရိုးမှာ သဘင်မျိုးရိုးဖြစ်သည်။ ဦးချင်းတောင် (မဓုသဒ္ဒ ရွှေတော်ကျော်သူဘွဲ့ခံ၊ ရုပ်သေးမင်းသမီးနှင့် သဘင်ဝန်) မှာ ဆရာညို၏ အဒေါ် (အမေ့မောင်) ဖြစ်သည်။ ငယ်စဉ်က အသံပျက်နေသည့် အချိန်တွင် ဘကြီးဖြစ်သူ ဦးချင်းတောင်၏ အထင်သေးစကားကို ကြားရသောကြောင့် "ပညာစုံသောမင်းသား မုချဖြစ်ရမည်" ဟု ကြုံးဝါးကာ အောက်ပြည်အောက်ရွာသို့ ထွက်ခွာပြီး ပညာဆည်းပူးခဲ့သည်။ == သဘင်ပညာနှင့် ထင်ရှားမှု == ဆရာညိုသည် ပင်ကိုအသံကောင်းသူဖြစ်သည့်အတွက် အောက်ပြည်အောက်ရွာတွင် နာမည်ကြီးလာပြီးနောက် အညာအရပ်သို့ ပြန်လည်ကျော်ကြားလာသည်။ သူသည် ယောက်ျားမင်းသားဦးစီးသော စင်ကို ထူထောင်နိုင်ခဲ့ပြီး ပြည်ရွှေတောင်သူ မစိန်နှင့် အကြောင်းပါကာ မောင်တင်အမည်ရှိ သားတစ်ယောက်ထွန်းကားခဲ့သည်။ သူ၏ အသံပါဝါမှာ ကြီးမားသည့်အတွက် နာမည်ကျော်ဇာတ်မင်းသားကြီး ဂရိတ်ဖိုးစိန်နှင့် ဟင်္သာတတွင် ဆုံမိသည့်အခါ ဖိုးစိန်ကိုယ်တိုင်က "ဆရာ့အသံက ကျွန်တော့်ရုံထဲကို လွှမ်းလာတယ်" ဟု ဝန်ခံခဲ့ရသည်။ ထိုသို့ လေးစားသည့်အနေဖြင့် ဖိုးစိန်ကြီးက မောင်းတစ်လုံးဖြင့် ဆရာညိုကို ကန်တော့ခဲ့သည်။ ဆရာညိုသည် ရုပ်သေးလောကတွင် အရုပ်များကို ပိုမိုကြီးမားသော "ရုပ်ကြီးစင်" များဖြင့် အစားထိုး ပြောင်းလဲမှုများ လုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ == ဆရာညို၏ စင်ပေါ်မှ ထင်ရှားသူများ == == မင်းသမီးများ == မစိန်ဖော့၊ မစိန်အိ၊ မဆင်ပျံ၊ မပန်းစိန် (မအူရွာ)၊ မမြတန် (ရေယှားရွာ)၊ မမြဒင် (ပခန်းငယ်ရွာ) == လူရွှင်တော်များ == ရွှေသဲ၊ မန်းမောင် == ဆိုင်းနှင့် အခြားပညာရှင်များ == ဆိုင်းဦးလူဒင်၊ နှဲဦးဖိုး၊ ဦးမြတ်သာ၊ ပိဋကတ်ဆရာမောင်၊ ဦးဖိုးတုတ်ကြီး == ကွယ်လွန်ခြင်း == ဆရာညိုသည် ၁၂၇၆ ခုနှစ်တွင် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူ၏ ကွယ်လွန်ချိန်တွင် တပည့်ဖြစ်သူ "ဆရာညိုလေး" က တမ်းချင်းသီဆိုကာ ဝမ်းနည်းပူဆွေးခဲ့ရသည်။ သူသည် ဘဝတစ်လျှောက်လုံးတွင် ပညာကို အဓိကထားပြီး သဘင်လောကကို မြှင့်တင်ပေးခဲ့သူအဖြစ် မှတ်တမ်းဝင်သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) dyc3wbztrggrfh87ju40zv1qby58wpc 3 288544 1040591 2026-06-24T15:05:54Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040591 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-36610-94 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၀၅၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) obpnslv4pea6fuo0mg55nqew9vir0un 3 288545 1040592 2026-06-24T15:06:04Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040592 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-36586-82 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၀၆၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) h5npezlfup2g7uiljnmo3txj2bs7juh 3 288546 1040602 2026-06-24T16:06:16Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040602 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Yuki Li Li ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၆:၀၆၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) eiy37jhjq4xte7reag1n38ndp8fuy40 3 288547 1040603 2026-06-24T16:06:26Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040603 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Rx9ine ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၆:၀၆၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) fmyndud0jhtjcegsd94g8b887hobqo7 3 288548 1040604 2026-06-24T16:06:36Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040604 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Hlayaminoousdp204 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၆:၀၆၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) lx74sz6c3gwp940imn1a0mkz66ath7b 0 288549 1040607 2026-06-24T16:57:20Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 " '''အိုးအိတမြစ်''' (大分川, Ōita-gawa) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]၊ [[အိုးအိတခရိုင်]]ရှိ မြစ်တစ်စင်း ဖြစ်သည်။ ဤမြစ်သည် အဆင့် (၁) ရှိ မ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040607 wikitext text/x-wiki '''အိုးအိတမြစ်''' (大分川, Ōita-gawa) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]၊ [[အိုးအိတခရိုင်]]ရှိ မြစ်တစ်စင်း ဖြစ်သည်။ ဤမြစ်သည် အဆင့် (၁) ရှိ မြစ်ဖြစ်သည်။ ၅၅ ကီလိုမီတာ (၃၄ မိုင်) ရှည်သည်။ မြစ်ဝှမ်းဒေသသည် ၆၅၀ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၂၅၀ စတုရန်းမိုင်) ရှိသည်။ မြစ်သည် [[ယုဖုတောင်]]၏ တောင်စောင်းများစ စတင်စီးဆင်းဖြစ်ပေါ်လာသည်။ ထို့နောက် အနောက်တောင်ဘက်သို့ စီးဆင်းကာ ယုဖုအင်းမြစ်ဝှမ်းဒေသကို ဖြတ်သန်းသည်။ တောင်ကြားစောက်နက်များကို ဖြတ်သန်းပြီးနောက် အိုးအိတလွင်ပြင်ကို ဖြတ်သန်းစီးဆင်းသည်။ နောက်ဆုံးတွင် ဘက်ပုပင်လယ်အော်အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။ ==ကိုးကား== {{reflist}} 8xkvefxsnyvnaj0dwf53gxauh41ll1x 1040608 1040607 2026-06-24T16:59:15Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 1040608 wikitext text/x-wiki {{Infobox river | name = အိုးအိတမြစ် | native_name = {{native name|ja|大分川}} | name_other = | name_etymology = <!---------------------- IMAGE & MAP --> | image = The mouth of the Oita River.jpg | image_size = | image_caption = The mouth of the Oita River, 2020 | map = {{Maplink|zoom=|frame=yes|plain=yes|frame-align=center|frame-width=250|frame-height=250 |raw=[ { "type": "ExternalData", "service": "geoline", "properties": { "stroke": "#66F", "stroke-width": 2 }, "query": "SELECT ?id ?geo ?idLabel (?idLabel as ?title) WHERE { ?id wdt:P403 wd:{{wikidata|label|raw|page={{PAGENAME}}}} . SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language 'en'. } }" }, { "type": "ExternalData", "service": "geoline", "properties": { "stroke": "#555", "stroke-width": 2 }, "query": "SELECT ?id ?geo ?idLabel (?idLabel as ?title) WHERE { ?id wdt:P885 wd:{{wikidata|label|raw|page={{PAGENAME}}}} . SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language 'en'. } }" }, { "type": "ExternalData", "service": "geoline", "properties": { "title": "{{wikidata|label|page={{PAGENAME}}}}", "stroke": "#05F", "stroke-width": 4 }, "ids": "{{wikidata|label|raw|page={{PAGENAME}}}}" } ] }} | map_size = | map_caption = | pushpin_map = Japan | pushpin_map_size = | pushpin_map_caption= <!---------------------- LOCATION --> | subdivision_type1 = Country | subdivision_name1 = [[Japan]] | subdivision_type2 = Prefectures | subdivision_name2 = [[Ōita Prefecture|Ōita]] | subdivision_type3 = | subdivision_name3 = | subdivision_type4 = | subdivision_name4 = | subdivision_type5 = | subdivision_name5 = <!---------------------- PHYSICAL CHARACTERISTICS --> | length = {{convert|55|km|mi|abbr=on}} | width_min = | width_avg = | width_max = | depth_min = | depth_avg = | depth_max = | discharge1_location= | discharge1_min = | discharge1_avg = | discharge1_max = <!---------------------- BASIN FEATURES --> | source1 = | source1_location = | source1_coordinates= {{coord|33.2639|131.3778}} | source1_elevation = | mouth = [[Beppu Bay]] | mouth_location = | mouth_coordinates = {{coord|33.2626|131.6178}} | mouth_elevation = | progression = | river_system = | basin_size = {{convert|650|km2|abbr=on}} | tributaries_left = | tributaries_right = | custom_label = | custom_data = | extra = }} '''အိုးအိတမြစ်''' (大分川, Ōita-gawa) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]၊ [[အိုးအိတခရိုင်]]ရှိ မြစ်တစ်စင်း ဖြစ်သည်။ ဤမြစ်သည် အဆင့် (၁) ရှိ မြစ်ဖြစ်သည်။<ref name="mlit" /><ref name="kihonhousin">{{cite web |author = |url = https://www.mlit.go.jp/river/basic_info/jigyo_keikaku/gaiyou/seibi/pdf/oitagawa-1.pdf |title = 大分川水系河川整備基本方針 |lang = ja |website = |date = |access-date = 2021-12-11 |url-status = live |archive-url = https://web.archive.org/web/20211211164552/https://www.mlit.go.jp/river/basic_info/jigyo_keikaku/gaiyou/seibi/pdf/oitagawa-1.pdf |archive-date = 2021-12-11 }}</ref> ၅၅ ကီလိုမီတာ (၃၄ မိုင်) ရှည်သည်။ မြစ်ဝှမ်းဒေသသည် ၆၅၀ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၂၅၀ စတုရန်းမိုင်) ရှိသည်။<ref name="mlit">{{cite web |author = |url = https://www.mlit.go.jp/river/toukei_chousa/kasen/jiten/nihon_kawa/0903_ooita/0903_ooita_00.html |url-status = live |archive-url = https://web.archive.org/web/20210920212103/https://www.mlit.go.jp/river/toukei_chousa/kasen/jiten/nihon_kawa/0903_ooita/0903_ooita_00.html |archive-date = 2021-09-20 |title = 大分川 |lang = ja |website = 日本の川 |publisher = [[MLIT]] |date = |access-date = 2021-12-11 }}</ref> မြစ်သည် [[ယုဖုတောင်]]၏ တောင်စောင်းများစ စတင်စီးဆင်းဖြစ်ပေါ်လာသည်။ ထို့နောက် အနောက်တောင်ဘက်သို့ စီးဆင်းကာ ယုဖုအင်းမြစ်ဝှမ်းဒေသကို ဖြတ်သန်းသည်။ တောင်ကြားစောက်နက်များကို ဖြတ်သန်းပြီးနောက် အိုးအိတလွင်ပြင်ကို ဖြတ်သန်းစီးဆင်းသည်။ နောက်ဆုံးတွင် ဘက်ပုပင်လယ်အော်အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။<ref name="kihonhousin" /><ref name="mlit" /> ==ကိုးကား== {{reflist}} kyxvt2lsa3j2jfgcmeq6ti67bstxfx2 1040609 1040608 2026-06-24T16:59:35Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:အိုးအိတခရိုင်ရှိ မြစ်များ]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1040609 wikitext text/x-wiki {{Infobox river | name = အိုးအိတမြစ် | native_name = {{native name|ja|大分川}} | name_other = | name_etymology = <!---------------------- IMAGE & MAP --> | image = The mouth of the Oita River.jpg | image_size = | image_caption = The mouth of the Oita River, 2020 | map = {{Maplink|zoom=|frame=yes|plain=yes|frame-align=center|frame-width=250|frame-height=250 |raw=[ { "type": "ExternalData", "service": "geoline", "properties": { "stroke": "#66F", "stroke-width": 2 }, "query": "SELECT ?id ?geo ?idLabel (?idLabel as ?title) WHERE { ?id wdt:P403 wd:{{wikidata|label|raw|page={{PAGENAME}}}} . SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language 'en'. } }" }, { "type": "ExternalData", "service": "geoline", "properties": { "stroke": "#555", "stroke-width": 2 }, "query": "SELECT ?id ?geo ?idLabel (?idLabel as ?title) WHERE { ?id wdt:P885 wd:{{wikidata|label|raw|page={{PAGENAME}}}} . SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language 'en'. } }" }, { "type": "ExternalData", "service": "geoline", "properties": { "title": "{{wikidata|label|page={{PAGENAME}}}}", "stroke": "#05F", "stroke-width": 4 }, "ids": "{{wikidata|label|raw|page={{PAGENAME}}}}" } ] }} | map_size = | map_caption = | pushpin_map = Japan | pushpin_map_size = | pushpin_map_caption= <!---------------------- LOCATION --> | subdivision_type1 = Country | subdivision_name1 = [[Japan]] | subdivision_type2 = Prefectures | subdivision_name2 = [[Ōita Prefecture|Ōita]] | subdivision_type3 = | subdivision_name3 = | subdivision_type4 = | subdivision_name4 = | subdivision_type5 = | subdivision_name5 = <!---------------------- PHYSICAL CHARACTERISTICS --> | length = {{convert|55|km|mi|abbr=on}} | width_min = | width_avg = | width_max = | depth_min = | depth_avg = | depth_max = | discharge1_location= | discharge1_min = | discharge1_avg = | discharge1_max = <!---------------------- BASIN FEATURES --> | source1 = | source1_location = | source1_coordinates= {{coord|33.2639|131.3778}} | source1_elevation = | mouth = [[Beppu Bay]] | mouth_location = | mouth_coordinates = {{coord|33.2626|131.6178}} | mouth_elevation = | progression = | river_system = | basin_size = {{convert|650|km2|abbr=on}} | tributaries_left = | tributaries_right = | custom_label = | custom_data = | extra = }} '''အိုးအိတမြစ်''' (大分川, Ōita-gawa) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]၊ [[အိုးအိတခရိုင်]]ရှိ မြစ်တစ်စင်း ဖြစ်သည်။ ဤမြစ်သည် အဆင့် (၁) ရှိ မြစ်ဖြစ်သည်။<ref name="mlit" /><ref name="kihonhousin">{{cite web |author = |url = https://www.mlit.go.jp/river/basic_info/jigyo_keikaku/gaiyou/seibi/pdf/oitagawa-1.pdf |title = 大分川水系河川整備基本方針 |lang = ja |website = |date = |access-date = 2021-12-11 |url-status = live |archive-url = https://web.archive.org/web/20211211164552/https://www.mlit.go.jp/river/basic_info/jigyo_keikaku/gaiyou/seibi/pdf/oitagawa-1.pdf |archive-date = 2021-12-11 }}</ref> ၅၅ ကီလိုမီတာ (၃၄ မိုင်) ရှည်သည်။ မြစ်ဝှမ်းဒေသသည် ၆၅၀ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၂၅၀ စတုရန်းမိုင်) ရှိသည်။<ref name="mlit">{{cite web |author = |url = https://www.mlit.go.jp/river/toukei_chousa/kasen/jiten/nihon_kawa/0903_ooita/0903_ooita_00.html |url-status = live |archive-url = https://web.archive.org/web/20210920212103/https://www.mlit.go.jp/river/toukei_chousa/kasen/jiten/nihon_kawa/0903_ooita/0903_ooita_00.html |archive-date = 2021-09-20 |title = 大分川 |lang = ja |website = 日本の川 |publisher = [[MLIT]] |date = |access-date = 2021-12-11 }}</ref> မြစ်သည် [[ယုဖုတောင်]]၏ တောင်စောင်းများစ စတင်စီးဆင်းဖြစ်ပေါ်လာသည်။ ထို့နောက် အနောက်တောင်ဘက်သို့ စီးဆင်းကာ ယုဖုအင်းမြစ်ဝှမ်းဒေသကို ဖြတ်သန်းသည်။ တောင်ကြားစောက်နက်များကို ဖြတ်သန်းပြီးနောက် အိုးအိတလွင်ပြင်ကို ဖြတ်သန်းစီးဆင်းသည်။ နောက်ဆုံးတွင် ဘက်ပုပင်လယ်အော်အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။<ref name="kihonhousin" /><ref name="mlit" /> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:အိုးအိတခရိုင်ရှိ မြစ်များ]] 46nuybedip20nsgov9wyc5dcmvhbjox 1040610 1040609 2026-06-24T16:59:48Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ မြစ်များ]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1040610 wikitext text/x-wiki {{Infobox river | name = အိုးအိတမြစ် | native_name = {{native name|ja|大分川}} | name_other = | name_etymology = <!---------------------- IMAGE & MAP --> | image = The mouth of the Oita River.jpg | image_size = | image_caption = The mouth of the Oita River, 2020 | map = {{Maplink|zoom=|frame=yes|plain=yes|frame-align=center|frame-width=250|frame-height=250 |raw=[ { "type": "ExternalData", "service": "geoline", "properties": { "stroke": "#66F", "stroke-width": 2 }, "query": "SELECT ?id ?geo ?idLabel (?idLabel as ?title) WHERE { ?id wdt:P403 wd:{{wikidata|label|raw|page={{PAGENAME}}}} . SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language 'en'. } }" }, { "type": "ExternalData", "service": "geoline", "properties": { "stroke": "#555", "stroke-width": 2 }, "query": "SELECT ?id ?geo ?idLabel (?idLabel as ?title) WHERE { ?id wdt:P885 wd:{{wikidata|label|raw|page={{PAGENAME}}}} . SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language 'en'. } }" }, { "type": "ExternalData", "service": "geoline", "properties": { "title": "{{wikidata|label|page={{PAGENAME}}}}", "stroke": "#05F", "stroke-width": 4 }, "ids": "{{wikidata|label|raw|page={{PAGENAME}}}}" } ] }} | map_size = | map_caption = | pushpin_map = Japan | pushpin_map_size = | pushpin_map_caption= <!---------------------- LOCATION --> | subdivision_type1 = Country | subdivision_name1 = [[Japan]] | subdivision_type2 = Prefectures | subdivision_name2 = [[Ōita Prefecture|Ōita]] | subdivision_type3 = | subdivision_name3 = | subdivision_type4 = | subdivision_name4 = | subdivision_type5 = | subdivision_name5 = <!---------------------- PHYSICAL CHARACTERISTICS --> | length = {{convert|55|km|mi|abbr=on}} | width_min = | width_avg = | width_max = | depth_min = | depth_avg = | depth_max = | discharge1_location= | discharge1_min = | discharge1_avg = | discharge1_max = <!---------------------- BASIN FEATURES --> | source1 = | source1_location = | source1_coordinates= {{coord|33.2639|131.3778}} | source1_elevation = | mouth = [[Beppu Bay]] | mouth_location = | mouth_coordinates = {{coord|33.2626|131.6178}} | mouth_elevation = | progression = | river_system = | basin_size = {{convert|650|km2|abbr=on}} | tributaries_left = | tributaries_right = | custom_label = | custom_data = | extra = }} '''အိုးအိတမြစ်''' (大分川, Ōita-gawa) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]၊ [[အိုးအိတခရိုင်]]ရှိ မြစ်တစ်စင်း ဖြစ်သည်။ ဤမြစ်သည် အဆင့် (၁) ရှိ မြစ်ဖြစ်သည်။<ref name="mlit" /><ref name="kihonhousin">{{cite web |author = |url = https://www.mlit.go.jp/river/basic_info/jigyo_keikaku/gaiyou/seibi/pdf/oitagawa-1.pdf |title = 大分川水系河川整備基本方針 |lang = ja |website = |date = |access-date = 2021-12-11 |url-status = live |archive-url = https://web.archive.org/web/20211211164552/https://www.mlit.go.jp/river/basic_info/jigyo_keikaku/gaiyou/seibi/pdf/oitagawa-1.pdf |archive-date = 2021-12-11 }}</ref> ၅၅ ကီလိုမီတာ (၃၄ မိုင်) ရှည်သည်။ မြစ်ဝှမ်းဒေသသည် ၆၅၀ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၂၅၀ စတုရန်းမိုင်) ရှိသည်။<ref name="mlit">{{cite web |author = |url = https://www.mlit.go.jp/river/toukei_chousa/kasen/jiten/nihon_kawa/0903_ooita/0903_ooita_00.html |url-status = live |archive-url = https://web.archive.org/web/20210920212103/https://www.mlit.go.jp/river/toukei_chousa/kasen/jiten/nihon_kawa/0903_ooita/0903_ooita_00.html |archive-date = 2021-09-20 |title = 大分川 |lang = ja |website = 日本の川 |publisher = [[MLIT]] |date = |access-date = 2021-12-11 }}</ref> မြစ်သည် [[ယုဖုတောင်]]၏ တောင်စောင်းများစ စတင်စီးဆင်းဖြစ်ပေါ်လာသည်။ ထို့နောက် အနောက်တောင်ဘက်သို့ စီးဆင်းကာ ယုဖုအင်းမြစ်ဝှမ်းဒေသကို ဖြတ်သန်းသည်။ တောင်ကြားစောက်နက်များကို ဖြတ်သန်းပြီးနောက် အိုးအိတလွင်ပြင်ကို ဖြတ်သန်းစီးဆင်းသည်။ နောက်ဆုံးတွင် ဘက်ပုပင်လယ်အော်အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။<ref name="kihonhousin" /><ref name="mlit" /> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:အိုးအိတခရိုင်ရှိ မြစ်များ]] [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ မြစ်များ]] p7odcxwvhtmpubkcot7c7mrcw79a735 1040705 1040610 2026-06-25T07:48:47Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 1040705 wikitext text/x-wiki {{Infobox river | name = အိုးအိတမြစ် | native_name = {{native name|ja|大分川}} | name_other = | name_etymology = <!---------------------- IMAGE & MAP --> | image = The mouth of the Oita River.jpg | image_size = | image_caption = The mouth of the Oita River, 2020 | map = {{Maplink|zoom=|frame=yes|plain=yes|frame-align=center|frame-width=250|frame-height=250 |raw=[ { "type": "ExternalData", "service": "geoline", "properties": { "stroke": "#66F", "stroke-width": 2 }, "query": "SELECT ?id ?geo ?idLabel (?idLabel as ?title) WHERE { ?id wdt:P403 wd:{{wikidata|label|raw|page={{PAGENAME}}}} . SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language 'en'. } }" }, { "type": "ExternalData", "service": "geoline", "properties": { "stroke": "#555", "stroke-width": 2 }, "query": "SELECT ?id ?geo ?idLabel (?idLabel as ?title) WHERE { ?id wdt:P885 wd:{{wikidata|label|raw|page={{PAGENAME}}}} . SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language 'en'. } }" }, { "type": "ExternalData", "service": "geoline", "properties": { "title": "{{wikidata|label|page={{PAGENAME}}}}", "stroke": "#05F", "stroke-width": 4 }, "ids": "{{wikidata|label|raw|page={{PAGENAME}}}}" } ] }} | map_size = | map_caption = | pushpin_map = Japan | pushpin_map_size = | pushpin_map_caption= <!---------------------- LOCATION --> | subdivision_type1 = Country | subdivision_name1 = [[Japan]] | subdivision_type2 = Prefectures | subdivision_name2 = [[Ōita Prefecture|Ōita]] | subdivision_type3 = | subdivision_name3 = | subdivision_type4 = | subdivision_name4 = | subdivision_type5 = | subdivision_name5 = <!---------------------- PHYSICAL CHARACTERISTICS --> | length = {{convert|55|km|mi|abbr=on}} | width_min = | width_avg = | width_max = | depth_min = | depth_avg = | depth_max = | discharge1_location= | discharge1_min = | discharge1_avg = | discharge1_max = <!---------------------- BASIN FEATURES --> | source1 = | source1_location = | source1_coordinates= {{coord|33.2639|131.3778}} | source1_elevation = | mouth = [[Beppu Bay]] | mouth_location = | mouth_coordinates = {{coord|33.2626|131.6178}} | mouth_elevation = | progression = | river_system = | basin_size = {{convert|650|km2|abbr=on}} | tributaries_left = | tributaries_right = | custom_label = | custom_data = | extra = }} '''အိုးအိတမြစ်''' (大分川, Ōita-gawa) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]၊ [[အိုးအိတခရိုင်]]ရှိ မြစ်တစ်စင်း ဖြစ်သည်။ ဤမြစ်သည် အဆင့် (၁) ရှိ မြစ်ဖြစ်သည်။<ref name="mlit" /><ref name="kihonhousin">{{cite web |author = |url = https://www.mlit.go.jp/river/basic_info/jigyo_keikaku/gaiyou/seibi/pdf/oitagawa-1.pdf |title = 大分川水系河川整備基本方針 |lang = ja |website = |date = |access-date = 2021-12-11 |url-status = live |archive-url = https://web.archive.org/web/20211211164552/https://www.mlit.go.jp/river/basic_info/jigyo_keikaku/gaiyou/seibi/pdf/oitagawa-1.pdf |archive-date = 2021-12-11 }}</ref> ၅၅ ကီလိုမီတာ (၃၄ မိုင်) ရှည်သည်။ မြစ်ဝှမ်းဒေသသည် ၆၅၀ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၂၅၀ စတုရန်းမိုင်) ရှိသည်။<ref name="mlit">{{cite web |author = |url = https://www.mlit.go.jp/river/toukei_chousa/kasen/jiten/nihon_kawa/0903_ooita/0903_ooita_00.html |url-status = live |archive-url = https://web.archive.org/web/20210920212103/https://www.mlit.go.jp/river/toukei_chousa/kasen/jiten/nihon_kawa/0903_ooita/0903_ooita_00.html |archive-date = 2021-09-20 |title = 大分川 |lang = ja |website = 日本の川 |publisher = [[MLIT]] |date = |access-date = 2021-12-11 }}</ref> မြစ်သည် [[ယုဖုတောင်]]၏ တောင်စောင်းများစ စတင်စီးဆင်းဖြစ်ပေါ်လာသည်။ ထို့နောက် အနောက်တောင်ဘက်သို့ စီးဆင်းကာ ယုဖုအင်းမြစ်ဝှမ်းဒေသကို ဖြတ်သန်းသည်။ တောင်ကြားစောက်နက်များကို ဖြတ်သန်းပြီးနောက် အိုးအိတလွင်ပြင်ကို ဖြတ်သန်းစီးဆင်းသည်။ နောက်ဆုံးတွင် ဘက်ပုပင်လယ်အော်အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။<ref name="kihonhousin" /><ref name="mlit" /> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:အိုးအိတခရိုင်ရှိ မြစ်များ]] [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ မြစ်များ]] pezyzhau0r483pzw7g9wclxcoqajzk0 3 288550 1040611 2026-06-24T17:06:47Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040611 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Zin26 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၀၆၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) ri18t10rynd54zlgf6v1k2b365f8r6o 3 288551 1040616 2026-06-24T18:07:06Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040616 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Willett013 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၈:၀၇၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 5l5cuwkkrsg1jnpuhgqia1jjv6le065 1 288552 1040617 2026-06-24T18:41:16Z ~2026-36638-36 144825 /* အဿဝဏီနက္ခတ် ရဲ့ ငွေရေးကြေးရေး */ အပိုင်းသစ် 1040617 wikitext text/x-wiki == အဿဝဏီနက္ခတ် ရဲ့ ငွေရေးကြေးရေး == အဿဝဏီနက္ခတ် ရဲ့ ငွေရေးကြေးရေး [[အထူး:ဆောင်ရွက်ချက်များ/&#126;2026-36638-36|&#126;2026-36638-36]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:&#126;2026-36638-36|talk]]) ၁၈:၄၁၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) cx42raceqsnasmuzr1agsj4ddhjp0f7 3 288553 1040618 2026-06-24T19:07:17Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040618 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Johnson kyro ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၉:၀၇၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) qwohtf55uhz75zf0s4ojem0hsnacc3p 3 288554 1040619 2026-06-24T19:07:27Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040619 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-36638-36 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၉:၀၇၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) gttfzcugdla8azxcr5xp2plb2vn8oii 3 288555 1040620 2026-06-24T19:07:37Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040620 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် EvilRomulus ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၉:၀၇၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) izeuv3n5cey4q7gegihl01sf82g5qzr 2 288556 1040621 2026-06-24T19:22:06Z Johnailu1987 144827 /* */ 1040621 wikitext text/x-wiki ဖရိုဂ်လူမျိုး(Pharoke) ကမ္ဘာ့လူမျိုးများအနက်မှ ဖရိုဂ်လူမျိုး အကြောင်းအနည်းငယ် တင်ပြပါမည်။ လူမျိုးအမည် ဖရိုဂ် ( Pharoke ) ဘာသာစကားနောက်ခံ တိဘတ်-မြန်မာ လေယယူလေသိမ်း မွန်အခမာစကားလုံး ကိုးကွယ်ယုံကြည်မှု နတ် ဗုဒ္ဓဘာသာ ခရစ်ယာန် အခြား နေရပ် အရှေ့တောင်အာရှ လူဦးရေ သန်းကျော် အသားအရောင် ဖြူညို စာပေသမိုင်း စိစစ်ဆဲ g5q23xuggee4lkv0cvwxpv31hwpqvyb 1040622 1040621 2026-06-24T19:36:17Z Johnailu1987 144827 1040622 wikitext text/x-wiki ဖရိုဂ်လူမျိုး(Pharoke) ကမ္ဘာ့လူမျိုးများအနက်မှ Pharoke အကြောင်းအနည်းငယ် တင်ပြပါမည်။ လူမျိုးအမည် ဖရိုဂ် ( Pharoke ) ဘာသာစကားနောက်ခံ တိဘတ်-မြန်မာ လေယယူလေသိမ်း မွန်အခမာစကားလုံး ကိုးကွယ်ယုံကြည်မှု နတ် ဗုဒ္ဓဘာသာ ခရစ်ယာန် အခြား နေရပ် အရှေ့တောင်အာရှ လူဦးရေ သန်းကျော် အသားအရောင် ဖြူညို စာပေသမိုင်း စိစစ်ဆဲ mu4rinnzk6tsmcugt5d06cix5l3oqeb 0 288557 1040623 2026-06-24T19:58:16Z ~2026-36656-29 144828 CC BY-SA 4.0 1040623 wikitext text/x-wiki <blockquote> # </blockquote> f2jj1jp9wo4bphby2fmajr8ediryvxp 3 288558 1040624 2026-06-24T20:07:48Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040624 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-36656-29 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၂၀:၀၇၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) mqm5vduljiqypqemgcpob0rfujvsyar 3 288559 1040625 2026-06-24T20:07:58Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040625 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Johnailu1987 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၂၀:၀၇၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 6eeojavndge8pxg5j4igauf3eyhq749 3 288560 1040626 2026-06-24T21:08:08Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040626 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Yuji nashida ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၂၁:၀၈၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) aqszn12kaui7fivxmu6ytneg8w5evjf 3 288561 1040630 2026-06-24T22:08:19Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040630 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Wai Yan Mor ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၂၂:၀၈၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) dnahi2kjkwvmyr3i0aqbazdk410k7vk 3 288562 1040635 2026-06-25T00:08:39Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040635 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် ကျော်ဆန်းလင်း ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၀:၀၈၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) guo7h4xysr7q5cg74aocyrzlg6i2iqr 3 288563 1040638 2026-06-25T02:08:59Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040638 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် NlinA1KOnline ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၂:၀၈၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) oy62z3wn8th1ko4hzm2f6kgxqqg06n8 0 288564 1040640 2026-06-25T02:53:22Z Zawzawaungthwin 100038 အောင်ကြည် (သံတူကြောင်းကွဲ) 1040640 wikitext text/x-wiki '''အောင်ကြည်''' အမည်ဖြင့် အောက်ပါတို့အနက် တစ်ခုခုဖြစ်နိုင်သည်။ == လူပုဂ္ဂိုလ်များ == * [[အောင်ကြည်|အောင်ကြည် (ဗိုလ်ချုပ်)]] - အငြိမ်းစား တပ်မတော်အရာရှိကြီး နှင့် ဝန်ကြီး(ငြိမ်း) * [[အောင်ကြည်၊ ဒေါ်(ဝဏ္ဏကျော်ထင်)|ဒေါ်အောင်ကြည်]] - မဟာဂီတပညာရှင် == နေရာဒေသများ == * [[အောင်ကြည်ရွာ၊ ကျောက်ကြီးမြို့နယ်|အောင်ကြည်ရွာ]] - ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး၊ တောင်ငူခရိုင်၊ ကျောက်ကြီးမြို့နယ်ရှိ ရွာ။ {{သံတူကြောင်းကွဲ}} ry6vwijx79c2kkacdsobenldg976srz 3 288565 1040642 2026-06-25T03:09:09Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040642 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-36661-78 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၃:၀၉၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) noyc09ln3waso4hyomou4hr2fwe2tep 3 288566 1040643 2026-06-25T03:09:19Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040643 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် COMPGROUND(JANTICO) ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၃:၀၉၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 93bjomrz5t1ubj48lknwkfv7uo37puj 3 288567 1040644 2026-06-25T03:09:29Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040644 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် WWW willow ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၃:၀၉၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) o3jpxhs3jkdos8dco7rgpe3hkz147yi 0 288568 1040647 2026-06-25T03:31:31Z Zawzawaungthwin 100038 [[အောင်ကြည်၊ ဒေါ်(ဝဏ္ဏကျော်ထင်)]] စာမျက်နှာကို [[အောင်ကြည် (ဝဏ္ဏကျော်ထင်)]] သို့ Zawzawaungthwinက ရွှေ့ခဲ့သည်: စကားဘညှပ်၊ သံတူကြောင်းကွဲ ထည့်ခြင်း 1040647 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[အောင်ကြည် (ဝဏ္ဏကျော်ထင်)]] of0tcpxbsoik1sybivi8ki27l0qi0x0 100 288569 1040649 2026-06-25T03:35:57Z Salai Rungtoi 22844 "{{Current events|year=2026|month=06|day=25|content= <!-- All news items below this line --> <!-- All news items above this line -->}}" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040649 wikitext text/x-wiki {{Current events|year=2026|month=06|day=25|content= <!-- All news items below this line --> <!-- All news items above this line -->}} 6tjsejqymy2lu8kuszo8lgmq7mhnvve 1040694 1040649 2026-06-25T07:09:17Z Salai Rungtoi 22844 1040694 wikitext text/x-wiki {{Current events|year=2026|month=06|day=25|content= <!-- All news items below this line --> '''ဥပဒေနှင့် ရာဇဝတ်မှု''' *Lapsus$ ဟုခေါ်သည့် [[ဟက်ကာ]]အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့က [[ဧရာဝတီဘဏ်]]၏ သုံးစွဲသူများဆိုင်ရာ အချက်အလက်များကို ဖောက်ထွင်းရယူထားပြီး သတ်မှတ်ရက်အတွင်း ငွေကြေးပေးအပ်ခြင်းမရှိပါက အဆိုပါအချက်အလက်များကို ရောင်းချမည်ဟု ခြိမ်းခြောက်လိုက်သည်။ [https://www.bbc.com/burmese/live/ckg4k2pym0et BBC)] <!-- All news items above this line -->}} 4yy7lbpddogq6mm5xux0jvw8kyrhu45 1040697 1040694 2026-06-25T07:11:23Z Salai Rungtoi 22844 1040697 wikitext text/x-wiki {{Current events|year=2026|month=06|day=25|content= <!-- All news items below this line --> '''ဘေးအန္တရာယ်နှင့် မတော်တဆမှုများ''' *[[၂၀၂၆ ဗင်နီဇွဲလား ငလျင်]] **[[ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ]]တွင် ဇွန်လ ၂၄ ရက်နေ့ ညနေပိုင်းက စက္ကန့်ပိုင်းမျှသာ ခြားလျက် လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် အားပြင်းငလျင် နှစ်ခုကြောင့် သေဆုံးသူ အနည်းဆုံး ၃၂ ဦးအထိ ရှိလာပြီး နောက်ထပ် လူ ၇၀၀ နီးပါး ဒဏ်ရာရရှိကြောင်း ယာယီသမ္မတ ဒယ်လ်စီ ရိုဒရီးဂတ်ဇ်က ပြောကြားခဲ့သည်။ [https://www.bbc.com/burmese/live/ckg4k2pym0et BBC)] '''ဥပဒေနှင့် ရာဇဝတ်မှု''' *Lapsus$ ဟုခေါ်သည့် [[ဟက်ကာ]]အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့က [[ဧရာဝတီဘဏ်]]၏ သုံးစွဲသူများဆိုင်ရာ အချက်အလက်များကို ဖောက်ထွင်းရယူထားပြီး သတ်မှတ်ရက်အတွင်း ငွေကြေးပေးအပ်ခြင်းမရှိပါက အဆိုပါအချက်အလက်များကို ရောင်းချမည်ဟု ခြိမ်းခြောက်လိုက်သည်။ [https://www.bbc.com/burmese/live/ckg4k2pym0et BBC)] <!-- All news items above this line -->}} ed684j17xyrqirsdjqqaqtc45hiwq0j 0 288570 1040650 2026-06-25T03:47:47Z Zawzawaungthwin 100038 '''၂၀၂၆ ဗင်နီဇွဲလား ငလျင်''' သည် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ (၂၄) ရက်နေ့တွင် [[ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ]] အနောက်ပိုင်း၌ လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ပြင်းအားမြင့် ငလျင်နှစ်ခုဖြစ်သည်။ 1040650 wikitext text/x-wiki {{Under construction}} {{Infobox earthquake | image = | caption = | map2 = {{Location map | Venezuela | relief = yes | label = | lat = 10.453 | long = -68.514 | mark = Bullseye1.png | marksize = 50 | position = right | width = 260 | float = center | caption = }} | local-date = 24 June 2026 | timestamp = 2026-06-24 22:04:33 | timestamp-A = 2026-06-24 22:05:11 | local-time = 18:04:33 [[Time in Venezuela|VET]] ([[UTC-4]]) | local-time-A = 18:05:11 VET (UTC-4) | magnitude = {{M|w|link=y|7.2}} | magnitude-A = {{M|w|link=y|7.5}} | affected = | location = {{coord|10.435|N|68.472|W}} | intensity = {{MMI|IX}} | tsunami = | landslide = | fault = | type = [[Strike-slip fault|Strike-slip]] | damage = | foreshocks = | aftershocks = 20+ | anss-url = us6000t7zc | anss-url-A = us6000t7zp | depth = {{cvt|21.9|km|mi|0|abbr=on}} | depth-A = {{cvt|10|km|mi|0|abbr=on}} | casualties = Unknown number of fatalities, 48+ injuries | isc-event = | pga = | pgv = | duration = }} '''၂၀၂၆ ဗင်နီဇွဲလား ငလျင်''' သည် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ (၂၄) ရက်နေ့တွင် [[ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ]] အနောက်ပိုင်း၌ လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ပြင်းအားမြင့် ငလျင်နှစ်ခုဖြစ်သည်။ ဇွန်လ (၂၄) ရက်၊ ဒေသစံတော်ချိန် ၁၈:၀၄ နာရီတွင် ပြင်းအား (၇.၂) ရှိသော ငလျင်တစ်ခု စတင်လှုပ်ခတ်ခဲ့ပြီး၊ စက္ကန့် (၄၀) ခန့်အကြာတွင် ပြင်းအား (၇.၅) ရှိသော နောက်ထပ်ငလျင်တစ်ခု ထပ်မံလှုပ်ခတ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=Butler |first=Gavin |last2=Mann |first2=Toby |date=2026-06-25 |title=Strong earthquakes hit Venezuela as buildings collapse in Caracas - follow live |url=https://www.bbc.com/news/live/c621z18wznet |access-date=2026-06-25 |website=BBC News |language=en-GB}}</ref> အဆိုပါ ငလျင်လှုပ်ခတ်မှုများကြောင့် နိုင်ငံတစ်ဝန်းတွင် ကျယ်ပြန့်သော ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှုများ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့ပြီး၊ အထူးသဖြင့် မြို့တော်ကာရာကတ်စ် (Caracas) တွင် အဆောက်အအုံများစွာ ပြိုကျခဲ့ရသည်။ ငလျင်ဒဏ်ကြောင့် လူအသေအပျောက်စာရင်းကို တိကျစွာ မသိရှိရသေးသော်လည်း ဒဏ်ရာရရှိသူဦးရေမှာ (၄၈) ဦးထက်မနည်း ရှိနေသည်။ ဤငလျင်လှုပ်ခတ်မှုအား ကိုလံဘီယာ၊ ဘရာဇီးနှင့် ကာရစ်ဘီယံကျွန်းစုများအထိ ခံစားခဲ့ရသည်။ ဗင်နီဇွဲလားအစိုးရက နိုင်ငံတော်အရေးပေါ်အခြေအနေ ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-06-25 |title=Buildings collapse, people flee as earthquakes hit Venezuela: VIDEOS |url=https://indianexpress.com/article/world/venezuela-earthquake-videos-caracas-delcy-rodriguez-emergency-10756223/ |access-date=2026-06-25 |website=The Indian Express |language=en}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:လတ်တလော ဖြစ်ရပ်များ]] [[Category:၂၀၂၆ ငလျင်များ]] n196xiay9lfplxtnj6pimwwa3d8gsum 1040660 1040650 2026-06-25T04:20:01Z Zawzawaungthwin 100038 [[Category:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် ဖြစ်ပွားသော ငလျင်များ]] 1040660 wikitext text/x-wiki {{Under construction}} {{Infobox earthquake | image = | caption = | map2 = {{Location map | Venezuela | relief = yes | label = | lat = 10.453 | long = -68.514 | mark = Bullseye1.png | marksize = 50 | position = right | width = 260 | float = center | caption = }} | local-date = 24 June 2026 | timestamp = 2026-06-24 22:04:33 | timestamp-A = 2026-06-24 22:05:11 | local-time = 18:04:33 [[Time in Venezuela|VET]] ([[UTC-4]]) | local-time-A = 18:05:11 VET (UTC-4) | magnitude = {{M|w|link=y|7.2}} | magnitude-A = {{M|w|link=y|7.5}} | affected = | location = {{coord|10.435|N|68.472|W}} | intensity = {{MMI|IX}} | tsunami = | landslide = | fault = | type = [[Strike-slip fault|Strike-slip]] | damage = | foreshocks = | aftershocks = 20+ | anss-url = us6000t7zc | anss-url-A = us6000t7zp | depth = {{cvt|21.9|km|mi|0|abbr=on}} | depth-A = {{cvt|10|km|mi|0|abbr=on}} | casualties = Unknown number of fatalities, 48+ injuries | isc-event = | pga = | pgv = | duration = }} '''၂၀၂၆ ဗင်နီဇွဲလား ငလျင်''' သည် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ (၂၄) ရက်နေ့တွင် [[ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ]] အနောက်ပိုင်း၌ လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ပြင်းအားမြင့် ငလျင်နှစ်ခုဖြစ်သည်။ ဇွန်လ (၂၄) ရက်၊ ဒေသစံတော်ချိန် ၁၈:၀၄ နာရီတွင် ပြင်းအား (၇.၂) ရှိသော ငလျင်တစ်ခု စတင်လှုပ်ခတ်ခဲ့ပြီး၊ စက္ကန့် (၄၀) ခန့်အကြာတွင် ပြင်းအား (၇.၅) ရှိသော နောက်ထပ်ငလျင်တစ်ခု ထပ်မံလှုပ်ခတ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=Butler |first=Gavin |last2=Mann |first2=Toby |date=2026-06-25 |title=Strong earthquakes hit Venezuela as buildings collapse in Caracas - follow live |url=https://www.bbc.com/news/live/c621z18wznet |access-date=2026-06-25 |website=BBC News |language=en-GB}}</ref> အဆိုပါ ငလျင်လှုပ်ခတ်မှုများကြောင့် နိုင်ငံတစ်ဝန်းတွင် ကျယ်ပြန့်သော ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှုများ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့ပြီး၊ အထူးသဖြင့် မြို့တော်ကာရာကတ်စ် (Caracas) တွင် အဆောက်အအုံများစွာ ပြိုကျခဲ့ရသည်။ ငလျင်ဒဏ်ကြောင့် လူအသေအပျောက်စာရင်းကို တိကျစွာ မသိရှိရသေးသော်လည်း ဒဏ်ရာရရှိသူဦးရေမှာ (၄၈) ဦးထက်မနည်း ရှိနေသည်။ ဤငလျင်လှုပ်ခတ်မှုအား ကိုလံဘီယာ၊ ဘရာဇီးနှင့် ကာရစ်ဘီယံကျွန်းစုများအထိ ခံစားခဲ့ရသည်။ ဗင်နီဇွဲလားအစိုးရက နိုင်ငံတော်အရေးပေါ်အခြေအနေ ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-06-25 |title=Buildings collapse, people flee as earthquakes hit Venezuela: VIDEOS |url=https://indianexpress.com/article/world/venezuela-earthquake-videos-caracas-delcy-rodriguez-emergency-10756223/ |access-date=2026-06-25 |website=The Indian Express |language=en}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:လတ်တလော ဖြစ်ရပ်များ]] [[Category:၂၀၂၆ ငလျင်များ]] [[Category:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် ဖြစ်ပွားသော ငလျင်များ]] o201mc38s6q4tun1za3guf9eowrirer 1040665 1040660 2026-06-25T04:28:24Z Zawzawaungthwin 100038 {{current}} 1040665 wikitext text/x-wiki {{current}} {{Under construction}} {{Infobox earthquake | image = | caption = | map2 = {{Location map | Venezuela | relief = yes | label = | lat = 10.453 | long = -68.514 | mark = Bullseye1.png | marksize = 50 | position = right | width = 260 | float = center | caption = }} | local-date = 24 June 2026 | timestamp = 2026-06-24 22:04:33 | timestamp-A = 2026-06-24 22:05:11 | local-time = 18:04:33 [[Time in Venezuela|VET]] ([[UTC-4]]) | local-time-A = 18:05:11 VET (UTC-4) | magnitude = {{M|w|link=y|7.2}} | magnitude-A = {{M|w|link=y|7.5}} | affected = | location = {{coord|10.435|N|68.472|W}} | intensity = {{MMI|IX}} | tsunami = | landslide = | fault = | type = [[Strike-slip fault|Strike-slip]] | damage = | foreshocks = | aftershocks = 20+ | anss-url = us6000t7zc | anss-url-A = us6000t7zp | depth = {{cvt|21.9|km|mi|0|abbr=on}} | depth-A = {{cvt|10|km|mi|0|abbr=on}} | casualties = Unknown number of fatalities, 48+ injuries | isc-event = | pga = | pgv = | duration = }} '''၂၀၂၆ ဗင်နီဇွဲလား ငလျင်''' သည် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ (၂၄) ရက်နေ့တွင် [[ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ]] အနောက်ပိုင်း၌ လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ပြင်းအားမြင့် ငလျင်နှစ်ခုဖြစ်သည်။ ဇွန်လ (၂၄) ရက်၊ ဒေသစံတော်ချိန် ၁၈:၀၄ နာရီတွင် ပြင်းအား (၇.၂) ရှိသော ငလျင်တစ်ခု စတင်လှုပ်ခတ်ခဲ့ပြီး၊ စက္ကန့် (၄၀) ခန့်အကြာတွင် ပြင်းအား (၇.၅) ရှိသော နောက်ထပ်ငလျင်တစ်ခု ထပ်မံလှုပ်ခတ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=Butler |first=Gavin |last2=Mann |first2=Toby |date=2026-06-25 |title=Strong earthquakes hit Venezuela as buildings collapse in Caracas - follow live |url=https://www.bbc.com/news/live/c621z18wznet |access-date=2026-06-25 |website=BBC News |language=en-GB}}</ref> အဆိုပါ ငလျင်လှုပ်ခတ်မှုများကြောင့် နိုင်ငံတစ်ဝန်းတွင် ကျယ်ပြန့်သော ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှုများ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့ပြီး၊ အထူးသဖြင့် မြို့တော်ကာရာကတ်စ် (Caracas) တွင် အဆောက်အအုံများစွာ ပြိုကျခဲ့ရသည်။ ငလျင်ဒဏ်ကြောင့် လူအသေအပျောက်စာရင်းကို တိကျစွာ မသိရှိရသေးသော်လည်း ဒဏ်ရာရရှိသူဦးရေမှာ (၄၈) ဦးထက်မနည်း ရှိနေသည်။ ဤငလျင်လှုပ်ခတ်မှုအား ကိုလံဘီယာ၊ ဘရာဇီးနှင့် ကာရစ်ဘီယံကျွန်းစုများအထိ ခံစားခဲ့ရသည်။ ဗင်နီဇွဲလားအစိုးရက နိုင်ငံတော်အရေးပေါ်အခြေအနေ ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-06-25 |title=Buildings collapse, people flee as earthquakes hit Venezuela: VIDEOS |url=https://indianexpress.com/article/world/venezuela-earthquake-videos-caracas-delcy-rodriguez-emergency-10756223/ |access-date=2026-06-25 |website=The Indian Express |language=en}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:လတ်တလော ဖြစ်ရပ်များ]] [[Category:၂၀၂၆ ငလျင်များ]] [[Category:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် ဖြစ်ပွားသော ငလျင်များ]] t5ntplxupq21ie9qupvj7lffzx7k21e 1040671 1040665 2026-06-25T05:23:34Z Zawzawaungthwin 100038 အချက်အလက်များ ဆက်လက် ထည့်သွင်း 1040671 wikitext text/x-wiki {{current}} {{Infobox earthquake | image = {{multiple image | align = center | total_width = 250 | image1 = M 7.2 - 24 km ENE of San Felipe, Venezuela.png | caption1 = M7.2 (22:04) | image2 = M 7.5 - 23 km SE of Yumare, Venezuela.png | caption2 = M7.5 (22:05) }} | caption = ငလျင်ဖြစ်ပွားမှုပြမြေပုံ | map2 = {{Location map | Venezuela | relief = yes | label = | lat = 10.453 | long = -68.514 | mark = Bullseye1.png | marksize = 15 | position = right | width = 250 | float = center | caption = ငလျင်ဗဟိုချက် }} | local-date = ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ | timestamp = 2026-06-24 22:04:33 | timestamp-A = 2026-06-24 22:05:11 | local-time = ၁၈:၀၄:၃၃ VET (UTC-4) | local-time-A = ၁၈:၀၅:၁၁ VET (UTC-4) | magnitude = {{M|w|link=y|7.2}} | magnitude-A = {{M|w|link=y|7.5}} | affected = [[ဗင်နီဇွဲလား]]၊ [[ကိုလံဘီယာ]]၊ [[ဘရာဇီး]] | location = {{coord|10.435|N|68.472|W}} | intensity = {{MMI|IX}} | tsunami = မရှိ | landslide = အတည်ပြုရန်ကျန် | fault = [[Boconó–Morón–El Pilar Fault System]] | type = [[Strike-slip fault|Strike-slip]] | damage = ပြင်းထန်သော ပျက်စီးမှုများ | aftershocks = ၂၀+ | anss-url = us6000t7zc | anss-url-A = us6000t7zp | depth = {{cvt|21.9|km|mi|0|abbr=on}} | depth-A = {{cvt|10|km|mi|0|abbr=on}} | casualties = မသိရှိရ (သေဆုံးသူ အရေအတွက် အတည်မပြုနိုင်)၊ ဒဏ်ရာရသူ ၄၈+ }} '''၂၀၂၆ ဗင်နီဇွဲလား ငလျင်''' သည် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ (၂၄) ရက်နေ့တွင် [[ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ]] အနောက်ပိုင်း၌ လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ပြင်းအားမြင့် ငလျင်နှစ်ခုဖြစ်သည်။ ဇွန်လ (၂၄) ရက်၊ ဒေသစံတော်ချိန် ၁၈:၀၄ နာရီတွင် ပြင်းအား (၇.၂) ရှိသော ငလျင်တစ်ခု စတင်လှုပ်ခတ်ခဲ့ပြီး၊ စက္ကန့် (၄၀) ခန့်အကြာတွင် ပြင်းအား (၇.၅) ရှိသော နောက်ထပ်ငလျင်တစ်ခု ထပ်မံလှုပ်ခတ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=Butler |first=Gavin |last2=Mann |first2=Toby |date=2026-06-25 |title=Strong earthquakes hit Venezuela as buildings collapse in Caracas - follow live |url=https://www.bbc.com/news/live/c621z18wznet |access-date=2026-06-25 |website=BBC News |language=en-GB}}</ref> အဆိုပါ ငလျင်လှုပ်ခတ်မှုများကြောင့် နိုင်ငံတစ်ဝန်းတွင် ကျယ်ပြန့်သော ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှုများ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့ပြီး၊ အထူးသဖြင့် မြို့တော်ကာရာကတ်စ် (Caracas) တွင် အဆောက်အအုံများစွာ ပြိုကျခဲ့ရသည်။ ငလျင်ဒဏ်ကြောင့် လူအသေအပျောက်စာရင်းကို တိကျစွာ မသိရှိရသေးသော်လည်း ဒဏ်ရာရရှိသူဦးရေမှာ (၄၈) ဦးထက်မနည်း ရှိနေသည်။ ဤငလျင်လှုပ်ခတ်မှုအား ကိုလံဘီယာ၊ ဘရာဇီးနှင့် ကာရစ်ဘီယံကျွန်းစုများအထိ ခံစားခဲ့ရသည်။ ဗင်နီဇွဲလားအစိုးရက နိုင်ငံတော်အရေးပေါ်အခြေအနေ ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-06-25 |title=Buildings collapse, people flee as earthquakes hit Venezuela: VIDEOS |url=https://indianexpress.com/article/world/venezuela-earthquake-videos-caracas-delcy-rodriguez-emergency-10756223/ |access-date=2026-06-25 |website=The Indian Express |language=en}}</ref> == ဘူမိဗေဒဆိုင်ရာ အခြေအနေ == ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ မြောက်ပိုင်းတွင် ကာရစ်ဘီယံပြား (Caribbean plate) နှင့် တောင်အမေရိကပြား (South American plate) တို့သည် Boconó–Morón–El Pilar အမည်ရှိ ရှုပ်ထွေးသော ပြတ်ရွေ့စနစ် (BMEPFS) တစ်လျှောက် အပြန်အလှန် သက်ရောက်မှုရှိနေသည်။ ၎င်းသည် Tertiary ခေတ်နှောင်းပိုင်းတွင် ဖြစ်ပေါ်လာသော အားပြင်းသည့် ဘယ်ဖက်စောင်း/ညာဖက်စောင်း ရွေ့လျားသော ပြတ်ရွေ့ (compressional right-lateral strike-slip faults) များ၏ ရှုပ်ထွေးသော စီးရီးတစ်ခုဖြစ်ပြီး တောင်ကာရစ်ဘီယံရှိ Transform plate boundary ၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းဖြစ်သည်။ ဤပြတ်ရွေ့သည် ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ မြောက်ပိုင်းတစ်လျှောက် အလယ်ပိုင်း ဗင်နီဇွဲလား အန်းဒီးစ်တောင်တန်းမှသည် မြောက်အလယ်ပိုင်းနှင့် အရှေ့မြောက်ပိုင်း ကမ်းရိုးတန်းကိုဖြတ်၍ ထရီနီဒက်ကျွန်းဘက်သို့ ၁,၃၀၀ ကီလိုမီတာ (၈၁၀ မိုင်) ရှည်လျားစွာ တည်ရှိသည်။<ref name="Schubert842">{{cite journal |last1=Schubert |first1=Carlos |date=1984 |title=Basin formation along the Bocono-Moron-El Pilar Fault System, Venezuela |journal=Journal of Geophysical Research: Solid Earth |volume=89 |issue=B7 |pages=5711–5718 |bibcode=1984JGR....89.5711S |doi=10.1029/JB089iB07p05711}}</ref> ဘူမိဗေဒနှင့် ဘူမိတိုင်းတာရေး အချက်အလက်များအရ BMEPFS ပြတ်ရွေ့စနစ်သည် တစ်နှစ်လျှင် ၁၀ မီလီမီတာ (၀.၃၉ လက်မ) နှုန်းဖြင့် ရွေ့လျားလျက်ရှိသည်။ ၎င်းသည် ရံဖန်ရံခါတွင် Strike-slip သို့မဟုတ် Reverse faulting ကဲ့သို့သော ပြတ်ရွေ့လှုပ်ရှားမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပြီး ငလျင်များကိုလည်း မကြာခဏဆိုသလို လှုပ်ခတ်စေသည်။ San Sebastián ပြတ်ရွေ့ (မြောက်ပိုင်းကမ်းရိုးတန်း) တစ်ခုလုံးနှင့် El Pilar ပြတ်ရွေ့ (အရှေ့ပိုင်း ဗင်နီဇွဲလား) ၏ အပိုင်းအချို့သည် ပင်လယ်ပြင်တွင် တည်ရှိသည်။ အရှေ့ပိုင်း ဗင်နီဇွဲလားတွင် El Pilar ပြတ်ရွေ့၏ ကုန်းတွင်းပိုင်းဖြတ်သန်းရာ တစ်ခုတည်းသောအပိုင်းမှာ Cariaco ပင်လယ်ကွေ့နှင့် Paria ပင်လယ်ကွေ့အကြား ဖြစ်သည်။ San Sebastián ပြတ်ရွေ့သည် Cerro Machado တောင်တန်း၏ တောင်ဘက်မျက်နှာစာတစ်လျှောက် ကုန်းတွင်းပိုင်းသို့ ရောက်ရှိလာပြီး Simon Bolivar နိုင်ငံတကာလေဆိပ်အောက်မှ ဖြတ်သန်းသွားသည်။ El Pilar ပြတ်ရွေ့သည် San Sebastián ပြတ်ရွေ့၏ အရှေ့ဘက်တွင် တည်ရှိသော်လည်း Cariaco pull-apart မြေဧရိယာဖြင့် ပိုင်းခြားထားသည်။ ဤပြတ်ရွေ့ဇုန်သည် ၁၆၄၁၊ ၁၇၆၆၊ ၁၈၁၂၊ ၁၉၀၀ နှင့် ၁၉၆၇ ခုနှစ်တို့တွင် ဖြစ်ပွားခဲ့သော ငလျင်ကြီးများအတွက် အဓိကတရားခံ ဖြစ်ခဲ့သည်။ ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ် က လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် Mw 7.6 ရှိ San Narciso ငလျင်မှာ ပင်လယ်ပြင်တွင် ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည့် မျက်နှာပြင်ကွဲအက်မှုများကို ရှာဖွေတွေ့ရှိချက်အရ San Sebastián ပြတ်ရွေ့၏ အပိုင်းတစ်ခု ရွေ့လျားမှုနှင့် ဆက်စပ်နေကြောင်း သိရှိရသည်။<ref name="ColónA2">{{cite journal |last1=Colón |first1=S. |year=2015 |title=The 1900 Mw 7.6 earthquake offshore north–central Venezuela: Is La Tortuga or San Sebastián the source fault? |journal=Marine and Petroleum Geology |publisher=Elsevier BV |volume=67 |pages=498–511 |bibcode=2015MarPG..67..498C |doi=10.1016/j.marpetgeo.2015.06.005 |issn=0264-8172 |last2=Audemard |first2=F.A. |last3=Beck |first3=C. |last4=Avila |first4=J. |last5=Padrón |first5=C. |last6=De Batist |first6=M. |last7=Paolini |first7=M. |last8=Leal |first8=A.F. |last9=Van Welden |first9=A.}}</ref> == ဖြစ်စဥ် == {{main|ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ငလျင်များစာရင်း}} ပထမဆုံးလှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ငလျင်သည် Mww 7.2 ဖြစ်ပြီး UTC စံတော်ချိန် ၂၂:၀၄ နာရီတွင် ယူမာရီ (Yumare) မြို့၏ အရှေ့-အရှေ့မြောက်ဘက်၊ အနက် ၁၂.၆ မိုင် (၂၀.၃ ကီလိုမီတာ) တွင် ဗဟိုပြုလှုပ်ခတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် အရှေ့-အနောက် တန်းလျက်ရှိသော ပြတ်ရွေ့တစ်ခုပေါ်တွင် ဘယ်ဖက်စောင်း ရွေ့လျားမှုကြောင့်သော်လည်းကောင်း၊ သို့မဟုတ် မြောက်-တောင် တန်းလျက်ရှိသော ပြတ်ရွေ့တစ်ခုပေါ်တွင် ညာဖက်စောင်း ရွေ့လျားမှုကြောင့်သော်လည်းကောင်း ဖြစ်ပေါ်လာခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="Schubert84">{{cite journal |last1=Schubert |first1=Carlos |date=1984 |title=Basin formation along the Bocono-Moron-El Pilar Fault System, Venezuela |journal=Journal of Geophysical Research: Solid Earth |volume=89 |issue=B7 |pages=5711–5718 |bibcode=1984JGR....89.5711S |doi=10.1029/JB089iB07p05711}}</ref> (၃၈) စက္ကန့်အကြာတွင် Mww 7.5 ရှိသည့် ဒုတိယမြောက် ငလျင်တစ်ခုသည် ပထမငလျင်၏ အရှေ့ဘက်တည့်တည့်၊ အနက် ၆.၂ မိုင် (၁၀ ကီလိုမီတာ) တွင် လှုပ်ခတ်ခဲ့သည်။ ငလျင်နှစ်ခုစလုံးသည် ယားရာကူ (Yaracuy) ပြည်နယ်၊ ဗီရိုအက်စ် (Veroes) မြူနီစီပယ်အတွင်းတွင် တည်ရှိသည်။ ဤငလျင်သည် အရှေ့-အနောက် တန်းလျက်ရှိသော ပြတ်ရွေ့တစ်ခုပေါ်တွင် ညာဖက်စောင်း ရွေ့လျားမှုကြောင့်သော်လည်းကောင်း၊ သို့မဟုတ် မြောက်-တောင် တန်းလျက်ရှိသော ပြတ်ရွေ့တစ်ခုပေါ်တွင် ဘယ်ဖက်စောင်း ရွေ့လျားမှုကြောင့်သော်လည်းကောင်း ဖြစ်ပေါ်ခြင်းဖြစ်သည်။ အမေရိကန်ဘူမိဗေဒဌာန (USGS) ၏ အဆိုအရ ၎င်းသည် ၁၅၀ x ၂၀ ကီလိုမီတာ (၉၃ x ၁၂ မိုင်) ရှိသော ဧရိယာအတွင်း ပြတ်ရွေ့တစ်လျှောက် ရွေ့လျားခဲ့ခြင်းဖြစ်ဖွယ်ရှိသည်ဟု ဆိုသည်။အဓိက ငလျင်လှုပ်ခတ်ပြီး နှစ်နာရီအတွင်း [[ကရာကက်စ်မြို့|ကာရာကတ်စ်]] မြို့တွင် နောက်ဆက်တွဲငလျင် (၆) ကြိမ် ခံစားခဲ့ရပြီး စုစုပေါင်း နောက်ဆက်တွဲငလျင် အကြိမ် (၂၀) ကျော် မှတ်တမ်းတင်နိုင်ခဲ့သည်။<ref name="ColónA">{{cite journal |last1=Colón |first1=S. |year=2015 |title=The 1900 Mw 7.6 earthquake offshore north–central Venezuela: Is La Tortuga or San Sebastián the source fault? |journal=Marine and Petroleum Geology |publisher=Elsevier BV |volume=67 |pages=498–511 |bibcode=2015MarPG..67..498C |doi=10.1016/j.marpetgeo.2015.06.005 |issn=0264-8172 |last2=Audemard |first2=F.A. |last3=Beck |first3=C. |last4=Avila |first4=J. |last5=Padrón |first5=C. |last6=De Batist |first6=M. |last7=Paolini |first7=M. |last8=Leal |first8=A.F. |last9=Van Welden |first9=A.}}</ref> ငလျင်၏ လှုပ်ခတ်မှုဒဏ်ကို [[ကိုလံဘီယာနိုင်ငံ]] အရှေ့မြောက်ပိုင်းနှင့် [[ဘရာဇီးနိုင်ငံ]] မြောက်ပိုင်းတစ်လျှောက်တွင်လည်း ခံစားခဲ့ရသည်။ ဘရာဇီးနိုင်ငံရှိ မာနော့စ် (Manaus)၊ ဘီလမ် (Belém) နှင့် မာကာပါ (Macapá) မြို့များတွင်လည်း ငလျင်လှုပ်ခတ်မှုကြောင့် ပြည်သူများအား ဘေးလွတ်ရာသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့ရသည်။ ထို့ပြင် အာရူးဗား (Aruba)၊ ဘိုနဲရား (Bonaire) နှင့် ကူရာစောင် (Curaçao) ကျွန်းများတွင်လည်း ငလျင်လှုပ်ခတ်မှုများ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည်။<ref name="BBC Live">{{Cite news |date=24 June 2026 |title=Powerful back-to-back earthquakes strike Venezuela, collapsing buildings in Caracas |url=https://www.bbc.com/news/live/c621z18wznet |access-date=24 June 2026 |publisher=[[BBC News]]}}</ref> == ထိခိုက်ပျက်စီးမှုနှင့် လူသေဆုံးမှုများ == ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံအတွင်း ဆက်သွယ်ရေး ပြတ်တောက်နေခြင်း သို့မဟုတ် သတင်းအမှောင်ချထားခြင်းတို့ကြောင့် လက်ရှိအချိန်အထိ လူသေဆုံးမှု အရေအတွက် အတိအကျကို မသိရှိရသေးပေ။ အာဏာပိုင်များက သေဆုံးသူ သို့မဟုတ် ဒဏ်ရာရသူ အရေအတွက်ကို တရားဝင် ထုတ်ပြန်ထားခြင်း မရှိသေးသော်လည်း၊ ဒေသခံအရာရှိများနှင့် မျက်မြင်သက်သေများ၏ အဆိုအရ ဒဏ်ရာရရှိသူ အရေအတွက်မှာ တိုးမြင့်လာနေကြောင်း သိရသည်။ USGS ၏ ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ငလျင်တုံ့ပြန်မှုဆိုင်ရာ ခန့်မှန်းချက် (PAGER) အရ "လူသေဆုံးမှုများပြားပြီး ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှု အလွန်ကြီးမားကာ ဘေးအန္တရာယ်မှာ ကျယ်ပြန့်နိုင်ခြေရှိသည်" ဟု ဖော်ပြထားသည်။ Mw 7.5 ရှိ ငလျင်အတွက် လူပေါင်း ၁,၀၀၀ မှ ၁၀,၀၀၀ အထိ သေဆုံးနိုင်ခြေ ၃၉%၊ ၁၀,၀၀၀ မှ ၁၀၀,၀၀၀ အထိ သေဆုံးနိုင်ခြေ ၃၇% ရှိပြီး၊ သေဆုံးသူ ၁၀၀,၀၀၀ ကျော်နိုင်ခြေ ၁၁% ရှိကြောင်း ခန့်မှန်းထားသည်။ Mw 7.2 ရှေ့ပြေးငလျင်အတွက်လည်း အလားတူ သေဆုံးမှုနှုန်း မြင့်မားနိုင်ခြေရှိကြောင်း ခန့်မှန်းထားသည်။ ကာရာကတ်စ်မြို့တစ်လျှောက် အဆောက်အဦ ဒါဇင်ပေါင်းများစွာ ပြိုကျခဲ့သည်။ ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီး Diosdado Cabello ၏ အဆိုအရ Los Palos Grandes နှင့် Altamira မြူနီစီပယ်များသည် မြို့၏ အဆိုးရွားဆုံး ထိခိုက်ခံရသည့် နေရာများဖြစ်ကြောင်း သိရသည်။ Altamira တွင် အဆောက်အဦ အနည်းဆုံး သုံးခု ပြိုကျခဲ့သည်။ ကာရာကတ်စ် အရှေ့တောင်ပိုင်းရှိ နေရာတစ်ခုတွင် မြင့်မားသည့် အဆောက်အဦ အများစုမှာ ပြင်းထန်စွာ ပျက်စီးခဲ့ပြီး အများအပြား ပြိုကျခဲ့သည်။ Catia La Mar တွင် ဘိုလီဗာရေတပ်မတော်၏ စစ်တက္ကသိုလ်နှင့် အဆောက်အဦမြင့်များ ပြင်းထန်စွာ ပျက်စီးခဲ့သည်။ Chacao မြူနီစီပယ်တွင် မြို့တော်ဝန် Gustavo Duque က သေဆုံးသူများရှိကြောင်းနှင့် ဒဏ်ရာရသူ ၁၆ ဦး အနည်းဆုံးရှိကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ Baruta မြူနီစီပယ်တွင် အဆောက်အဦ နှစ်ခု ပြိုကျမှုကြောင့် အနည်းဆုံး လူသုံးဦး သေဆုံးခဲ့ပြီး၊ Pinto Salinas တွင် အဆောက်အဦ ပြိုကျမှုကြောင့် လူနှစ်ဦးထက်မနည်း သေဆုံးခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=24 June 2026 |title=Venezuela Live Updates: 2 Major Earthquakes Hit Country’s Center |url=https://www.nytimes.com/live/2026/06/24/world/venezuela-earthquake |access-date=24 June 2026 |publisher=[[The New York Times]]}}</ref> ထရူဟီးယိုး၊ ကာရာဘိုဘို၊ အာရာဂွာ၊ မိရန်ဒါနှင့် လာဂွာအီရာ ပြည်နယ်များတွင်လည်း အဆောက်အဦများ ပြိုကျခဲ့သည်။ ကာရာကတ်စ်မြို့မြောက်ဘက် အဆိုးရွားဆုံး ထိခိုက်သည့် လာဂွာအီရာတွင် မြို့တော်၏ အဓိကလေဆိပ်ဖြစ်သော ဆီမွန်ဘိုလီဗာ နိုင်ငံတကာလေဆိပ်မှာ ပြင်းထန်စွာ ပျက်စီးခဲ့ပြီး လေကြောင်းခရီးစဉ်အားလုံးကို ဖျက်သိမ်းခဲ့ရသည်။ လူမှုကွန်ရက်တွင် ပျံ့နှံ့နေသော ရုပ်ပုံများအရ အဆောက်အဦများ လုံးဝ (သို့) တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပြိုကျနေသည်ကို တွေ့ရသည်။ ဆက်သွယ်ရေး ဝန်ဆောင်မှုများလည်း ပြတ်တောက်နေသည်။ ဖယ်လ်ကွန်ပြည်နယ် အုပ်ချုပ်ရေးမှူး Víctor Clark က ဒဏ်ရာရသူ ၃၂ ဦးကို ကုသပေးနေရပြီး ၁၅ ဦးမှာ ပြိုကျနေသော အဆောက်အဦများအောက်တွင် ပိတ်မိနေကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။<ref name="Cano25a">{{cite news |last1=Cano |first1=Regina Garcia |date=25 June 2026 |title=Back-to-back powerful earthquakes hit Venezuela, causing widespread damage |url=https://apnews.com/article/venezuela-earthquake-caracas-7179acaee70a9c543f953852f15d4814 |access-date=25 June 2026 |work=Associated Press |last2=Arraez |first2=Juan Pablo}}</ref> == ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေး == ကာရာကတ်စ်မြို့တွင် ကယ်ဆယ်ရေး ဝန်ထမ်းများနှင့် စေတနာ့ဝန်ထမ်းများသည် ပြိုကျနေသည့် အဆောက်အဦ အပျက်အစီးများအောက်တွင် ပိတ်မိနေသူများကို ရှာဖွေကယ်ဆယ်လျက်ရှိသည်။<ref name="PhillipsGuardian1">{{cite news |last1=Phillips |first1=Tom |date=25 June 2026 |title=Venezuela earthquake: powerful back-to-back quakes collapse buildings in capital Caracas |url=https://www.theguardian.com/world/2026/jun/25/earthquake-venezuela-caracas-tremors-aftershocks |access-date=25 June 2026 |work=The Guardian |last2=Montilla |first2=Camille Rodríguez}}</ref> == တုံ့ပြန်ဆောင်ရွက်မှုများ == ယာယီသမ္မတ Delcy Rodríguez က ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် အရေးပေါ်အခြေအနေ ကြေညာခဲ့သည်။ ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးက ပြည်နယ်အများအပြား ထိခိုက်ခဲ့ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ အစိုးရက ပေါက်ကွဲမှုများမဖြစ်စေရန် ဂတ်စ်ပေးဝေမှုကို ရပ်ဆိုင်းခဲ့ပြီး၊ ကာရာကတ်စ် မက်ထရို ရထားဝန်ဆောင်မှုများကို ဆိုင်းငံ့ထားကာ ကျောင်းများကို ရက်အနည်းငယ်ကြာ ပိတ်ထားရန် ညွှန်ကြားခဲ့သည်။ ငလျင်အပြီးတွင် ဒိုမီနီကန်သမ္မတနိုင်ငံ၊ ပွာတိုရီကိုနှင့် ဗာဂျင်ကျွန်းစုများအတွက် ဆူနာမီသတိပေးချက် ထုတ်ပြန်ခဲ့သော်လည်း နောက်ပိုင်းတွင် ပြန်လည်ရုပ်သိမ်းခဲ့သည်။<ref>{{cite news |date=24 June 2026 |title=Delcy Rodríguez declaró el estado de emergencia en Venezuela tras los dos terremotos que sacudieron al país |url=https://www.infobae.com/venezuela/2026/06/25/delcy-rodriguez-informara-sobre-la-situacion-en-venezuela-tras-los-dos-terremotos-que-sacudieron-el-pais/ |work=[[Infobae]]}}</ref> == နိုင်ငံတကာ၏ တုံ့ပြန်မှုများ == * {{flag|El Salvador}} : သမ္မတ Nayib Bukele က ကယ်ဆယ်ရေးနှင့် ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ ဝန်ထမ်း ၃၀၀ နှင့် ထောက်ပံ့ရေးပစ္စည်း တန် ၅၀ ပေးပို့ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။<ref>{{cite news |last1=Cerón |first1=José |date=24 June 2026 |title=El Salvador ofrece envío de 300 rescatistas y 50 toneladas de suministros a Venezuela tras fuertes sismos |url=https://www.infobae.com/el-salvador/2026/06/25/el-salvador-ofrece-envio-de-300-rescatistas-y-50-toneladas-de-ayuda-a-venezuela/ |work=[[Infobae]] |lang=es}}</ref> * {{flag|United States}} : ဒုတိယနိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Christopher Landau က ဗင်နီဇွဲလားသို့ အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် စီစဉ်နေကြောင်းနှင့် ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့များ၊ ဆေးဘက်ဆိုင်ရာနှင့် လူသားချင်းစာနာထောက်ထားမှုဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်များ ပံ့ပိုးပေးရန် ဗင်နီဇွဲလား ကြားဖြတ်အစိုးရနှင့် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မည်ဖြစ်ကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{cite news |date=25 June 2026 |title=US says it is mobilizing assistance for Venezuela after earthquakes |url=https://www.straitstimes.com/world/us-says-it-is-mobilizing-assistance-for-venezuela-after-earthquakes |access-date=25 June 2026 |work=Reuters |publisher=The Straits Times}}</ref> * {{flag|Argentina}} : အာဂျင်တီးနားအစိုးရက ငလျင်ဖြစ်ပွားမှုအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်း ဖော်ပြကာ လူသားချင်းစာနာထောက်ထားမှုဆိုင်ရာ အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Clarín |first=Redacción |date=2026-06-25 |title=“Más allá de las diferencias”: Argentina expresó su solidaridad con Venezuela tras los terremotos |url=https://www.clarin.com/politica/alla-diferencias-argentina-expreso-solidaridad-venezuela-terremotos_0_nEV10bAwvh.html |access-date=2026-06-25 |website=Clarín |language=es}}</ref> * {{flag|Brazil}} : သမ္မတ Lula Da Silva က လက်ရှိအခြေအနေကို အကဲဖြတ်ရန်အတွက် နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနနှင့် ကာရာကတ်စ်မြို့ရှိ ဘရာဇီးသံရုံးတို့နှင့် ဆွေးနွေးသွားမည်ဖြစ်ကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-06-24 |title=Lula manifesta apoio à Venezuela após terremotos |url=https://www.cnnbrasil.com.br/politica/lula-manifesta-apoio-a-venezuela-apos-terremotos/ |access-date=2026-06-25 |website=CNN Brasil |language=pt-BR}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:လတ်တလော ဖြစ်ရပ်များ]] [[Category:၂၀၂၆ ငလျင်များ]] [[Category:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် ဖြစ်ပွားသော ငလျင်များ]] ss90llww4p20cnnbzrhtaanynd5rzss 14 288571 1040651 2026-06-25T03:49:18Z Zawzawaungthwin 100038 ကဏ္ဍ:၂၀၂၆ ငလျင်များ 1040651 wikitext text/x-wiki {{year by category |m=၂ |c=၀ |d=၂ |y=၆ |cat=ငလျင်များ |sortkey=ငလျင်များ |parent=၂၁ ရာစု ငလျင်များ |subcat=၂၀၂၆ သဘာဝဘေးအန္တရာယ်များ }} <!--Seismology is an important part of earth science.--> {{Commons category|Earthquakes of 2026}} [[Category:၂၁ ရာစု ငလျင်များ]] [[Category:၂၀၂၀ ဆယ်စုနှစ် ငလျင်များ]] [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၆ သိပ္ပံ]] 4fv3ka24krnu47zma42tzex1mj080zk 3 288572 1040654 2026-06-25T04:09:39Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040654 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် TtPpQq ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၄:၀၉၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) sp2xaza1d2u3owayeh0htjfdkghnusb 3 288573 1040655 2026-06-25T04:09:49Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040655 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် KoNyiLay ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၄:၀၉၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) de1x2n7aa2w7qjp87n928jr0tmpmjr4 1040662 1040655 2026-06-25T04:21:59Z KoNyiLay 144836 /* ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် KoNyiLay ! */ အကြောင်းပြန်ခြင်း 1040662 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် KoNyiLay ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၄:၀၉၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) :ကျနော့်ရဲ့ကိုယ်ရေးအချက်အလက်ကိုမျှဝေလိုပါတယ် :ဦးမြင့်စိုး :ဦးမြင့်စိုး (မွေးဖွား ၂၁ မတ် ၁၉၆၃) သည် မြန်မာနိုင်ငံသား မြို့ပြအင်ဂျင်နီယာတစ်ဦးဖြစ်ပြီး အစိုးရအုပ်ချုပ်ရေးနှင့် ရေအရင်းအမြစ်စီမံခန့်ခွဲမှုနယ်ပယ်တွင် နှစ်ပေါင်းများစွာ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သူဖြစ်သည်။ လက်ရှိတွင် ရခိုင်ပြည်နယ်အစိုးရအဖွဲ့၏ သယံဇာတနှင့် သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီးအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်လျက်ရှိသည်။ :အစောပိုင်းဘဝနှင့် ပညာရေး :ဦးမြင့်စိုးကို ၁၉၆၃ ခုနှစ် မတ်လ ၂၁ ရက်နေ့တွင် ရခိုင်ပြည်နယ်၊ သံတွဲမြို့နယ်၊ စပါးကြီးကျေးရွာ၌ မွေးဖွားခဲ့သည်။ အခြေခံပညာသင်ကြားပြီးနောက် ရန်ကုန်စက်မှုတက္ကသိုလ်တွင် တက်ရောက်ပညာသင်ကြားခဲ့ပြီး ၁၉၈၅ ခုနှစ်တွင် B.E (Civil) ဘွဲ့ ရရှိခဲ့သည်။ :လုပ်ငန်းဘဝ :ဦးမြင့်စိုးသည် ဆည်မြောင်းနှင့် ရေအသုံးချမှုစီမံခန့်ခွဲရေးဦးစီးဌာနတွင် ၁၉၉၃ ခုနှစ်မှ ၂၀၂၅ ခုနှစ်အထိ ၃၂ နှစ်ကြာ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ တာဝန်ထမ်းဆောင်စဉ်ကာလအတွင်း ရေအရင်းအမြစ်စီမံခန့်ခွဲမှု၊ ဆည်မြောင်းစီမံကိန်းများနှင့် စိုက်ပျိုးရေစနစ်ဖွံ့ဖြိုးရေးလုပ်ငန်းများတွင် ပါဝင်ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ :အုပ်ချုပ်ရေးအတွေ့အကြုံနှင့် ကျွမ်းကျင်မှုများကြောင့် ဌာန၏ ညွှန်ကြားရေးမှူးရာထူးအထိ တိုးတက်တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး ၂၀၂၅ ခုနှစ်တွင် သက်ပြည့်ပင်စင်ဖြင့် အနားယူခဲ့သည်။ :နိုင်ငံ့ဝန်ထမ်းနှင့် နိုင်ငံရေးတာဝန် :၂၀၂၆ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၀ ရက်နေ့မှစတင်၍ ရခိုင်ပြည်နယ်အစိုးရအဖွဲ့တွင် သယံဇာတနှင့် သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီးအဖြစ် တာဝန်ပေးအပ်ခံရပြီး သဘာဝသယံဇာတ စီမံခန့်ခွဲမှု၊ သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးနှင့် ရေရှည်ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များကို ဦးဆောင်ဆောင်ရွက်လျက်ရှိသည်။ :ကိုယ်ပိုင်ဘဝ :ဦးမြင့်စိုးသည် ဒေါ်သော်တာမြင့်နှင့် ၁၉၉၇ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၃ ရက်နေ့တွင် လက်ထပ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့တွင် သမီးတစ်ဦးရှိပြီး မယဉ်ယဉ်သော်ကို ၁၉၉၈ ခုနှစ် ဩဂုတ်လ ၁၇ ရက်နေ့တွင် မွေးဖွားခဲ့သည်။ [[အသုံးပြုသူ:KoNyiLay|KoNyiLay]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:KoNyiLay|ဆွေးနွေး]]) ၀၄:၂၁၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 1sfnf7z6rwi1oa9rsl7jxp6zpo50kbg 0 288574 1040657 2026-06-25T04:15:35Z Zawzawaungthwin 100038 ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ငလျင်များစာရင်း 1040657 wikitext text/x-wiki ဤသည်မှာ [[ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ]]တွင် ဗဟိုပြု၍ လှုပ်ခတ်ခဲ့သော သို့မဟုတ် နိုင်ငံအတွင်း သိသာထင်ရှားသော သက်ရောက်မှုရှိခဲ့သော ငလျင်များ၏ စာရင်းဖြစ်သည်။ ဤဒေသရှိ လူဦးရေအများစုသည် ငလျင်ဒဏ်ကို ခံနိုင်ရည်ရှိသည့် အဆောက်အဦများတွင် နေထိုင်ကြသော်လည်း ငလျင်ဒဏ်ကြောင့် ထိခိုက်ပျက်စီးလွယ်သည့် အဆောက်အဦများလည်း ရှိနေသည်။ ငလျင်ဒဏ်ကို အထူးထိခိုက်လွယ်သည့် အဆောက်အဦအမျိုးအစားများမှာ အားဖြည့်ထားခြင်းမရှိသည့် အုတ်စီအဆောက်အဦများနှင့် ရွှံ့အုတ် (adobe) ဖြင့် ဆောက်လုပ်ထားသည့် အဆောက်အဦများ ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=PAGER |url=https://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eventpage/us2000iy0q/pager |access-date=2022-11-06 |publisher=United States Geological Survey}}</ref> ==ငလျင်များစာရင်း== {| class="wikitable sortable" style="text-align: center;" ! ရက်စွဲ ! တည်နေရာ ! ပြင်းအား (Mag) ! MMI ! သေဆုံးသူ ! ဒဏ်ရာရသူ ! မှတ်ချက် |- | data-sort-value="2026-06-24" | ၂၄-၀၆-၂၀၂၆ | Yaracuy | ၇.၂/၇.၅ Mw | IX | | | [[၂၀၂၆ ဗင်နီဇွဲလား ငလျင်]] |- | data-sort-value="2025-09-24" | ၂၄-၀၉-၂၀၂၅ | Zulia | ၆.၂/၆.၃ Mw | VIII | ၁ | ၁၁၀ | ပြင်းထန်စွာပျက်စီး |- | data-sort-value="2018-11-24" | ၂၄-၁၁-၂၀၁၈ | Trujillo | ၅.၂ Mw | VI | | ၂ | ပျက်စီးမှုအနည်းငယ် |- | data-sort-value="2018-08-21" | ၂၁-၀၈-၂၀၁၈ | Sucre | ၇.၃ Mw | VII | ၅ | ၁၂၂ | အသင့်အတင့်ပျက်စီး |- | data-sort-value="2010-01-15" | ၁၅-၀၁-၂၀၁၀ | Carúpano | ၅.၆ Mw | VII | | ၁၁ | ပျက်စီးမှုအနည်းငယ် |- | data-sort-value="2009-11-27" | ၂၇-၁၁-၂၀၀၉ | Lara | ၅.၄ Mw | VII | | | ပျက်စီးမှုအနည်းငယ် |- | data-sort-value="2009-09-12" | ၁၂-၀၉-၂၀၀၉ | Carabobo | ၆.၃ Mw | V | | ၁၈ | ပျက်စီးမှုအနည်းငယ် |- | data-sort-value="1997-07-09" | ၀၉-၀၇-၁၉၉၇ | Sucre | ၆.၉ Mw | VIII | ၈၁ | ၆၈၃ | ပြင်းထန်စွာပျက်စီး |- | data-sort-value="1974-06-12" | ၁၂-၀၆-၁၉၇၄ | Lara | ၆.၁ Mw | VIII | ၅ | ၁ | အသင့်အတင့်ပျက်စီး |- | data-sort-value="1967-07-30" | ၃၀-၀၇-၁၉၆၇ | Caracas | ၆.၆ Mw | VIII | ၃၀၀ | ၁,၅၃၆ | ပြင်းထန်စွာပျက်စီး |- | data-sort-value="1929-01-17" | ၁၇-၀၁-၁၉၂၉ | Cumaná | ၆.၉ Ms | IX | ၂၀၀+ | | ပြင်းထန်စွာပျက်စီး / ဆူနာမီ |- | data-sort-value="1900-10-29" | ၂၉-၁၀-၁၉၀၀ | Miranda | ၇.၆ Ms | | ၁၀၁ | ၅၀+ | ပြင်းထန်စွာပျက်စီး / ဆူနာမီ |- | data-sort-value="1894-04-28" | ၂၈-၀၄-၁၈၉၄ | Mérida | ၇.၀ Mw | VIII | ၃၅၀ | | |- | data-sort-value="1875-05-18" | ၁၈-၀၅-၁၈၇၅ | Cúcuta | ၇.၅ Mw | IX | ၁၀,၀၀၀ | | အလွန်ပြင်းထန်စွာ ပျက်စီး |- | data-sort-value="1853-07-15" | ၁၅-၀၇-၁၈၅၃ | Sucre | ၇.၅ | | | | ဆူနာမီ ၁၅ မီတာ (၄၉ ပေ) |- | data-sort-value="1812-03-26" | ၂၆-၀၃-၁၈၁၂ | Caracas၊ Vargas | ၇.၇ Mw | X | ၁၅,၀၀၀–၂၀,၀၀၀ | | အလွန်ပြင်းထန်စွာ ပျက်စီး |- | data-sort-value="1766-10-21" | ၂၁-၁၀-၁၇၆၆ | Sucre | ၆.၅–၇.၅ Ms | IX–X | | | |- | data-sort-value="1641-06-11" | ၁၁-၀၆-၁၆၄၁ | Caracas | ၆.၅ | | ၂၀၀ | | ပြင်းထန်စွာပျက်စီး |- class="sortbottom" | colspan="7" style="text-align: center;" | <small>မှတ်ချက်- Mw = moment magnitude scale, Ms = surface-wave magnitude။ ပျက်စီးမှု၊ ထိခိုက်မှု သို့မဟုတ် သေဆုံးမှုရှိသော ငလျင်များကိုသာ မှတ်တမ်းတင်ထားပါသည်။</small> |} ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် ဖြစ်ပွားသော ငလျင်များ]] 4vrurpzq5r0e6abrfhqsci66gml33fz 14 288575 1040659 2026-06-25T04:18:35Z Zawzawaungthwin 100038 ကဏ္ဍ:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် ဖြစ်ပွားသော ငလျင်များ 1040659 wikitext text/x-wiki {{commonscat|Earthquakes in Venezuela}} [[Category:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် ဖြစ်ပွားသော သဘာဝဘေးအန္တရာယ်များ|ငလျင်များ]] [[Category:နိုင်ငံအလိုက် ငလျင်များ]] [[Category:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ၏ ပထဝီဝင်|ငလျင်များ]] 648ucnyyihc10s02i23zn94faja22ap 14 288576 1040661 2026-06-25T04:21:53Z Zawzawaungthwin 100038 ကဏ္ဍ:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် ဖြစ်ပွားသော သဘာဝဘေးအန္တရာယ်များ 1040661 wikitext text/x-wiki {{Commons category|Natural disasters in Venezuela|ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် ဖြစ်ပွားသော သဘာဝဘေးအန္တရာယ်များ}} [[Category:နိုင်ငံအလိုက် သဘာဝဘေးအန္တရာယ်များ]] [[Category:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် ဖြစ်ပွားသော ဘေးအန္တရာယ်များ|သဘာဝဘေးအန္တရာယ်များ]] [[Category:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ၏ ပထဝီဝင်|သဘာဝဘေးအန္တရာယ်များ]] 52tjib5shhq29ev3qx39v9r8hoiapk6 14 288577 1040663 2026-06-25T04:22:49Z Zawzawaungthwin 100038 ကဏ္ဍ:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် ဖြစ်ပွားသော ဘေးအန္တရာယ်များ 1040663 wikitext text/x-wiki [[Category:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ၏ သမိုင်း|ဖြစ်ပွားသော ဘေးအန္တရာယ်များ]] [[Category:နိုင်ငံအလိုက် ဘေးအန္တရာယ်များ]] pwhnqlswdy47zso0al2f4cgbke9ny8p 14 288578 1040664 2026-06-25T04:24:11Z Zawzawaungthwin 100038 ကဏ္ဍ:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ၏ သမိုင်း 1040664 wikitext text/x-wiki {{cat main}} {{Commons cat|History of Venezuela|ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ၏ သမိုင်း}} [[Category:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ|သမိုင်း]] [[Category:နိုင်ငံအလိုက် သမိုင်း]] do9ntjwnn24795daeibjs1xhssvx7s0 0 288579 1040672 2026-06-25T05:25:36Z ~2026-36099-43 144674 စိုလင်းမောင်ခေါရာနဲ့ရင်ခုန်ရာဂြိုလ်တုကုမဏီပှိင်ရှင်ရှမ်ပြည်နယ်လာရီူးကတန/နိူင်/9/191284/လဆန်အဂါသာ/5-9-1353/အိုသွေး1991/ 1040672 wikitext text/x-wiki စိုလင်းမောင်ခေါရာနဲ့ရင်ခုန်ရာဂြိုလ်တုကုမဏီပှိင်ရှင်ရှမ်ပြည်နယ်လာရီူးမန်အိုင်55ကြာအိမ်အမှတ်50/507စစ်တပ်ဘေကဆန/နိူင်/နိူင်/9/191284/လဆန်အဂါသာ/5-9-1353/အိုသွေး1991 5bc208wmoclkvne8lhauctg06irv3lq 1040673 1040672 2026-06-25T05:27:43Z Zawzawaungthwin 100038 {{delete|Test page}} 1040673 wikitext text/x-wiki {{delete|Test page}} စိုလင်းမောင်ခေါရာနဲ့ရင်ခုန်ရာဂြိုလ်တုကုမဏီပှိင်ရှင်ရှမ်ပြည်နယ်လာရီူးမန်အိုင်55ကြာအိမ်အမှတ်50/507စစ်တပ်ဘေကဆန/နိူင်/နိူင်/9/191284/လဆန်အဂါသာ/5-9-1353/အိုသွေး1991 ks5nk0wuyvecacjd04m854yaw91kcr7 3 288580 1040680 2026-06-25T06:10:08Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040680 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Theniti1990 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၆:၁၀၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) epmisjhra347ryq3aqjsxnswg3unssg 3 288581 1040681 2026-06-25T06:10:18Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040681 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Haymnn ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၆:၁၀၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 7pwrcg9oiji5hgc3fhapk7qck780zrx 3 288582 1040695 2026-06-25T07:10:28Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040695 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် MyatMin209 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၇:၁၀၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) mjxp1f2i1ux4z759vmoabipkjbzr1pp 3 288583 1040696 2026-06-25T07:10:38Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040696 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Yuliadhi ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၇:၁၀၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) j4ybl0461o9yze1g3d4bbxzouh4l1pq 0 288584 1040699 2026-06-25T07:15:00Z Naingli 144794 "== ရုပ်သေးပညာရှင်ကြီး ဦးဟင်္သာ == {| class="wikitable" style="width:100%; text-align:center;" |+ style="font-size:120%; margin-bottom:0.5em;" | ရုပ်သေးပညာရှင်ကြီး ဦးဟင်္သာ၏ ဘဝမှတ်တမ်း ! ခုနှစ် (AD) !! အ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040699 wikitext text/x-wiki == ရုပ်သေးပညာရှင်ကြီး ဦးဟင်္သာ == {| class="wikitable" style="width:100%; text-align:center;" |+ style="font-size:120%; margin-bottom:0.5em;" | ရုပ်သေးပညာရှင်ကြီး ဦးဟင်္သာ၏ ဘဝမှတ်တမ်း ! ခုနှစ် (AD) !! အသက် !! အကြောင်းအရာ |- | ၁၉၂၁ || - || ဟင်္သာတမြို့၌ မွေးဖွား |- | - || - || ဖခင်ဦးပေါ်ထွန်းနှင့် ဆရာကြီးဦးလွန်းပြည်တို့ထံတွင် ပညာသင်ကြား |- | ၁၉၄၆ || ၂၅ || ကိုယ်ပိုင်ရုပ်စုံသဘင် စတင်ထူထောင်၊ ဇာတ်စီးမင်းသားအဖြစ် ပါဝင် |- | ၁၉၅၆ || - || "ဦးဟင်္သာရုပ်စုံ" အဖွဲ့ကို ဖွဲ့စည်းတည်ထောင် |- | ၁၉၅၇ || - || "စိန်နှစ်စိန်ရုပ်စုံသဘင်" အဖွဲ့ကို တည်ထောင် |- | ၁၉၅၉ || - || ဒေါ်ကြင်အိနှင့် အိမ်ထောင်ပြု (သားသမီး ၄ ဦး ထွန်းကား) |- | ၁၉၇၉ || - || ဖျာပုံမြို့၌ "ရွှေဟင်္သာရုပ်စုံ" သဘင်အဖွဲ့ တည်ထောင် |- | ၁၉၉၃ || ၇၇ || ဖျာပုံမြို့၌ ကွယ်လွန် |} ရုပ်သေးပညာရပ်နယ်ပယ်တွင် ထင်ရှားကျော်ကြားသော ပညာရှင်ကြီး ဦးဟင်္သာကို ၁၉၂၁ ခုနှစ်တွင် ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး၊ ဟင်္သာတမြို့၌ မွေးဖွားခဲ့သည်။ မိဘများမှာ မင်းသားကြီး ဦးပေါ်ထွန်းနှင့် အမိ ဒေါ်ဖြူနုတို့ ဖြစ်ကြသည်။ == ပညာသင်ယူခဲ့ခြင်းနှင့် အစောပိုင်းကာလ == ဦးဟင်္သာသည် ငယ်စဉ်ကတည်းက အနုပညာဝါသနာပါသူဖြစ်ပြီး ဖခင်ဖြစ်သူ မင်းသားကြီး ဦးပေါ်ထွန်း၏ ဇာတ်ခုံများသို့ လိုက်ပါရင်း အနုပညာပညာရပ်များကို စတင်လေ့လာသင်ယူခဲ့သည်။ ထို့နောက် ရုပ်သေးပညာရပ်တွင် ထူးချွန်သော ဆရာကြီး ဦးလွန်းပြည်ထံတွင် တပည့်ခံ၍ ရုပ်သေးပညာရပ်ဆိုင်ရာ အတတ်ပညာများကို အသေးစိတ် ဆက်လက်ဆည်းပူးခဲ့သည်။ == ရုပ်စုံသဘင်လောကသို့ ဝင်ရောက်ခြင်း == ဦးဟင်္သာသည် အသက် ၂၅ နှစ်အရွယ်၊ ၁၉၄၆ ခုနှစ်တွင် ကိုယ်ပိုင်ရုပ်စုံသဘင်ကို စတင်ထူထောင်ခဲ့သည်။ ထိုနှစ်မှာပင် ရုပ်စုံစင်ဇာတ်၏ အဓိကဇာတ်စီးမင်းသားအဖြစ် ကိုယ်တိုင်ဦးဆောင်ကာ ပါဝင်ခဲ့သည်။ ဤသို့ဖြင့် ရုပ်စုံသဘင်ပညာရပ်ကို ဆယ်နှစ်တိုင်တိုင် စဉ်ဆက်မပြတ် ဆောင်ရွက်ခဲ့ပြီး အနုပညာနယ်ပယ်တွင် အတွေ့အကြုံများ ရင့်ကျက်လာခဲ့သည်။ == အဖွဲ့အစည်းများ တည်ထောင်ခြင်းနှင့် မိသားစုဘဝ == ၁၉၅၆ ခုနှစ်တွင် "ဦးဟင်္သာရုပ်စုံ" အဖွဲ့ကို ဖွဲ့စည်းတည်ထောင်ခဲ့သည်။ ၁၉၅၇ ခုနှစ်တွင် "စိန်နှစ်စိန်ရုပ်စုံသဘင်" အမည်ဖြင့် ကိုယ်ပိုင်အဖွဲ့ကို ထပ်မံတည်ထောင်ခဲ့ပြန်သည်။ ၎င်းနောက် နှစ်နှစ်ခန့်အကြာတွင် ဒေါ်ကြင်အိနှင့် အိမ်ထောင်ပြုခဲ့ပြီး သားသမီး လေးယောက် ထွန်းကားခဲ့သည်။ == နောက်ပိုင်းကာလနှင့် ရွှေဟင်္သာရုပ်စုံ == ဦးဟင်္သာသည် အနုပညာလုပ်ငန်းများအတွက် ဟင်္သာတမြို့မှတစ်ဆင့် ညောင်တုန်း၊ ကျိုက်လတ်နှင့် ဖျာပုံမြို့များသို့ ပြောင်းရွှေ့နေထိုင်ခဲ့သည်။ ၁၉၇၉ ခုနှစ်တွင် ဖျာပုံမြို့၌ ရုပ်စုံသဘင်အဖွဲ့သစ်ကို ထပ်မံတည်ထောင်ခဲ့ပြီး ယင်းအဖွဲ့ကို “ရွှေဟင်္သာရုပ်စုံ” သဘင်အဖွဲ့ဟု အမည်တွင်စေခဲ့သည်။ == ကွယ်လွန်ခြင်း == ရုပ်သေးပညာရပ်ကို တစ်သက်တာလုံး မြတ်နိုးစွာဖြင့် ထိန်းသိမ်းတိုးတက်အောင် ဆောင်ရွက်ခဲ့သော ဆရာကြီး ဦးဟင်္သာသည် ၁၉၉၃ ခုနှစ်၊ အသက် ၇၇ နှစ်အရွယ်တွင် ဖျာပုံမြို့၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ ဆရာကြီး ဦးဟင်္သာ၏ ဘဝဖြတ်သန်းမှုသည် မြန်မာ့ရုပ်စုံသဘင်လောကအတွက် အရေးပါသော မှတ်တိုင်တစ်ခုဖြစ်ပြီး မျိုးဆက်သစ်များအတွက်လည်း လေ့လာစရာ ပညာရပ်များစွာ ကျန်ရစ်ခဲ့သည့် အနုပညာရှင်ကြီးတစ်ဦး ဖြစ်ပေသည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) kr7k7hcnxqy6hm4nnplcvkp2rluatkh 0 288585 1040701 2026-06-25T07:28:44Z Naingli 144794 "== ပုဏ္ဏားပျံဦးကျော်အေး == {{Infobox person | name = ပုဏ္ဏားပျံဦးကျော်အေး | image = | birth_date = ၁၉၀၄ (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၆၆၊ တန်ဆောင်မုန်းလပြည့်) | birth_pl..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040701 wikitext text/x-wiki == ပုဏ္ဏားပျံဦးကျော်အေး == {{Infobox person | name = ပုဏ္ဏားပျံဦးကျော်အေး | image = | birth_date = ၁၉၀၄ (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၆၆၊ တန်ဆောင်မုန်းလပြည့်) | birth_place = သပေါ့ချောင်းကျေးရွာ၊ ထန်းတစ်ပင်မြို့နယ် | death_date = ၁၉၇၉ (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၃၄၁၊ ဝါခေါင်လဆန်း ၁၁) | death_place = | nationality = မြန်မာ | occupation = ရုပ်သေးပညာရှင်၊ ဇာတ်မင်းသား၊ ဓာတ်ပြားဝိဇ္ဇာ | spouse = ဒေါ်မြခင် (ခေါ်) ဒေါ်ပု | children = ရွှေမန်းမေရီ၊ မတင်ဝင်း၊ လူရွှင်တော်ချာတိတ်၊ မတရုတ်မ၊ ငုဝါ၊ ပုဏ္ဏားပျံဇော်ဝင်းနိုင်၊ မထွေးထွေး }} ပုဏ္ဏားပျံဦးကျော်အေး (၁၉၀၄–၁၉၇၉) သည် ထင်ရှားကျော်ကြားသော မြန်မာ့ရုပ်သေးပညာရှင်၊ ဇာတ်မင်းသားနှင့် ဓာတ်ပြားဝိဇ္ဇာတစ်ဦးဖြစ်သည်။ သူ၏အမည်ရင်းမှာ မောင်အေးမောင်ဖြစ်သည်။ အမှတ်မဲ့ရေးသားပြောဆိုရာတွင် “ပုဏ္ဏားပျံ” ဟု ခေါ်ဆိုကြသော်လည်း မူလအမည်မှာ ပုဏ္ဏားတို့နှင့် ယှဉ်ပြိုင်နိုင်စွမ်းရှိသူဟူသော အဓိပ္ပာယ်ဖြင့် “ပုဏ္ဏားပြန်” ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာဆည်းပူးခြင်း == မောင်အေးမောင်ကို ၁၉၀၄ ခုနှစ်၊ နိုဝင်ဘာလ (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၆၆ ခုနှစ်၊ တန်ဆောင်မုန်းလပြည့်နေ့၊ တနင်္လာနေ့) တွင် ထန်းတစ်ပင်မြို့နယ်၊ ဘောလယ်အပိုင်၊ သပေါ့ချောင်းကျေးရွာ၌ ဦးဖိုးသစ်နှင့် ဒေါ်ဇော်တို့မှ မွေးဖွားခဲ့သည်။ မွေးချင်းငါးယောက်အနက် အကြီးဆုံးသားဖြစ်သည်။ ငယ်စဉ်က ဦးသုန္ဒရ၊ ဦးပညာရံနှင့် ဆရာတော် ဦးသုန်တို့ထံတွင် အဘိဓမ္မတ္ထသင်္ဂဟ၊ ကစ္စည်းသဒ္ဒါကျမ်းများအထိ သင်ကြားတတ်မြောက်ခဲ့သည်။ အသက် ၂၀ အရွယ်တွင် မြေဝိုင်းကဇာတ်မင်းသားကြီး ဦးအောင်ကျော်ထံတွင် သဘင်ပညာများကို စတင်သင်ကြားခဲ့သည်။ ထို့နောက် ရာမဆရာဦးကြီး၊ မင်းသားကြီး စန္ဒရားဦးမိုးညှင်း၊ ခြင်္သေ့ပျံဦးဖိုးသာ၊ သောနုတ္တိုရ်ဆရာမှဲ့၊ သပြုချောင်းဆရာလွန်း၊ ဓမ္မကထိကဆရာအောင်၊ ဗုဒ္ဓဝင်ဦးအောင်ကြီး၊ ကေဒိုးဆရာဉာဏ်၊ ဦးတရုတ်ကြီး၊ ဦးကျော်အုန်းနှင့် နာမည်ကျော် ရုပ်သေးမင်းသမီး ဦးဖူးညိုတို့ထံတွင် အကပညာများကို အပတ်တကုတ် သင်ယူခဲ့သည်။ == အမည်တွင်ပုံနှင့် အနုပညာခရီး == ဝံသာနုအသင်း (G.C.B.A) အရှိန်အဝါကြီးမားချိန်တွင် ဆရာဖြစ်သူ ရုပ်သေးမင်းသမီး ဦးဖူးညိုက သူ့အား "ဝံသာနုကျော်ရှိန်" အမည်ပေး၍ မင်းသားအဖြစ် မြှောက်စားခဲ့သည်။ မော်လမြိုင်မြို့၊ ဒိုင်းဝန်းကွင်း၌ ကျင်းပသော ပုဏ္ဏားစာပြန်ပွဲတွင် ကစ္စည်းသဒ္ဒါကျမ်းတတ်မြောက်မှုဖြင့် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ရာ ငါးကျပ်သားရှိ ရွှေတံဆိပ်ဆု ရရှိခဲ့သည်။ ပုဏ္ဏားများပင် အောင်ဖျာလိပ်ပြီး ပြန်သွားရအောင် ထူးချွန်စွာ ယှဉ်ပြိုင်နိုင်ခဲ့သဖြင့် ဆရာဦးဖူးညိုက "ပုဏ္ဏားပြန်ကျော်အေး" ဟု အမည်ပြောင်းလဲပေးခဲ့ရာမှ နောင်တွင် "ပုဏ္ဏားပျံကျော်အေး" ဟု ထင်ရှားလာသည်။ ကျန်းမာရေးကြောင့် အကကို စွန့်လွှတ်ချိန်တွင် "လူရွှင်တော်ဦးကျော်သူ" အဖြစ် ပါဝင်ကပြခဲ့သေးသည်။ == ဓာတ်ပြားလောက == အသံချဲ့စက်မပေါ်သေးသောခေတ်တွင် လှည်းဝိုင်းကြီးများကို ကျော်လွန်အောင် အသံပေါက်သဖြင့် "ဓာတ်ပြားဝိဇ္ဇာ" ဟု ထင်ရှားခဲ့သည်။ == ကိုလံဘီယာဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီ == ၁၉၃၅ ခုနှစ်တွင် ကိုလံဘီယာဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီက ကမ်းလှမ်းခဲ့ရာ တစ်လလျှင် လစာ ၁၅၀ ကျပ်နှင့် ဓာတ်ပြားတစ်ချပ်လျှင် ၆ ပြားနှုန်းဖြင့် ကော်မရှင်ရရှိခဲ့သည်။ သူသည် ဓာတ်ပြားပေါင်း ၈၁ ချပ်အထိ သွင်းခဲ့သည်။ တွဲဖက်ခဲ့သော ဆိုင်းအဖွဲ့များမှာ ဥက္ကံစိုးဆိုင်းနှင့် စိန်ဘမောင်ဆိုင်းအဖွဲ့တို့ ဖြစ်သည်။ တွဲဖက်သရုပ်ဆောင် မင်းသမီးများမှာ ပဲခူးမြ၊ မကြာလှ၊ စိန်ပါတီ၊ မအေးမိ၊ စိန်မြကျင်၊ ယောက်ျားမင်းသမီး တွံတေးကိုသောင်းစိန်နှင့် အဆိုတော် ခင်ခင်ညွန့် (ကုလားမညွန့်) တို့ဖြစ်သည်။ လူရွှင်တော်များအဖြစ် ကြာဘော်၊ ရာကျော်၊ ဦးကြင်ခဲ၊ မှော်ဘီဦးပန်းခ၊ ကိုစိန်နှင်းတို့ ပါဝင်ခဲ့သည်။ == ထင်ရှားသော ဇာတ်ထုပ်များ == {| class="wikitable" |+ ကိုလံဘီယာဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီမှ အသံသွင်းခဲ့သော ဇာတ်ထုပ်များ ! စဉ် !! ဇာတ်ထုပ်အမည် |- | ၁ || ဗုဒ္ဓဝင်ဖွားတော်မူခန်း |- | ၂ || ဗုဒ္ဓဝင်လေးတော်တင်ခန်း |- | ၃ || ဗုဒ္ဓဝင်တောထွက်ခန်း |- | ၄ || သုဝဏ္ဏသျှံ |- | ၅ || (စာရင်းမပါ) |- | ၆ || ပဋ္ဌဒီပါငဇင်ကာ |- | ၇ || ရေငန်ပိုင်ဦးရှင်ကြီး |- | ၈ || ဖိုးအောင်ကျွန်ဖြစ် (၂ တွဲ) |- | ၉ || ရန်နိုင်ရန်အောင် |- | ၁၀ || တေမိ |- | ၁၁ || ဝိဓူရ |- | ၁၂ || ဆဒ္ဒန်ဆင်မင်း |- | ၁၃ || စမွေယျနဂါးမင်း |- | ၁၄ || ကျိုက်ထီးရိုးသမိုင်း |- | ၁၅ || သီလဝတီမောင်နန္ဒီ |- | ၁၆ || ငမိုးရိပ်မိကျောင်း |} ၁။ ဗုဒ္ဓဝင်ဖွားတော်မူခန်း | ၂။ ဗုဒ္ဓဝင်လေးတော်တင်ခန်း | ၃။ ဗုဒ္ဓဝင်တောထွက်ခန်း | ၄။ သုဝဏ္ဏသျှံ | ၅။ (စာရင်းမပါ) | ၆။ ပဋ္ဌဒီပါငဇင်ကာ | ၇။ ရေငန်ပိုင်ဦးရှင်ကြီး | ၈။ ဖိုးအောင်ကျွန်ဖြစ် (၂ တွဲ) | ၉။ ရန်နိုင်ရန်အောင် | ၁၀။ တေမိ | ၁၁။ ဝိဓူရ | ၁၂။ ဆဒ္ဒန်ဆင်မင်း | ၁၃။ စမွေယျနဂါးမင်း | ၁၄။ ကျိုက်ထီးရိုးသမိုင်း | ၁၅။ သီလဝတီမောင်နန္ဒီ | ၁၆။ ငမိုးရိပ်မိကျောင်း == စိန်တံဆိပ်ဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီ == လွတ်လပ်ရေးခေတ်တွင် ဦးဘစိန်၏ စိန်တံဆိပ်ကုမ္ပဏီ၌ အသံသွင်းခဲ့သည်။ တွဲဖက်ဆိုင်းပညာရှင်များမှာ စိန်လက်မ၊ ဦးသာဟန်၊ ဦးဖိုးဖေ၊ မင်းသားကြီး ရေဒီယိုစိန်၊ ကိုချမ်းအေးနှင့် နှဲကိုမျှင်တို့ဖြစ်သည်။ မင်းသမီးများမှာ ဒဂုန်ခင်လှကြည်၊ စိန်မြကြည်၊ ညွန့်ရီနှင့် သမီးကြီးဖြစ်သူ ရွှေမန်းမေရီတို့ ဖြစ်ကြသည်။ == စိန်တံဆိပ်မှ ဇာတ်ထုပ်များ == {| class="wikitable" |+ စိန်တံဆိပ်ဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီမှ အသံသွင်းခဲ့သော ဇာတ်ထုပ်များ ! စဉ် !! ဇာတ်ထုပ်အမည် |- | ၁ || မိဘမေတ္တာ ကေသရာဇာ |- | ၂ || ရှင်မောဂ္ဂလာန် |- | ၃ || ရှင်ဥပဂုတ္တမထေရ် |- | ၄ || ငမိုးရိပ်မိကျောင်း |- | ၅ || ညီတော်မင်းနန်ချွတ်ခန်း |- | ၆ || ငတက်ပြား |- | ၇ || ပြည်ဖိုးဦးတောင်သမိုင်း |} ၁။ မိဘမေတ္တာ ကေသရာဇာ (၁၉၇၆ တွင် မြန်မာ့အသံ၌ အသံသွင်း) | ၂။ ရှင်မောဂ္ဂလာန် | ၃။ ရှင်ဥပဂုတ္တမထေရ် | ၄။ ငမိုးရိပ်မိကျောင်း | ၅။ ညီတော်မင်းနန်ချွတ်ခန်း | ၆။ ငတက်ပြား | ၇။ ပြည်ဖိုးဦးတောင်သမိုင်း == ပုဂ္ဂိုလ်ရေးနှင့် မိသားစု == {| class="wikitable" |+ ပုဏ္ဏားပျံဦးကျော်အေး၏ မျိုးဆက်သစ်များ ! အမည် !! အချက်အလက် |- | ရွှေမန်းမေရီ || သမီးကြီး |- | မတင်ဝင်း (ခေါ်) မဝင်း || သားသမီး |- | လူရွှင်တော်ချာတိတ် || သားသမီး |- | မတရုတ်မ (ခေါ်) မသန်းသန်း || သားသမီး |- | ငုဝါ (မအေးအေး) || တေးသံရှင် |- | ပုဏ္ဏားပျံဇော်ဝင်းနိုင် || သားသမီး |- | မထွေးထွေး || သားသမီး |} ဇနီးမှာ ဒေါ်မြခင် (ခေါ်) ဒေါ်ပု ဖြစ်သည်။ သားသမီးများမှာ ရွှေမန်းမေရီ၊ မတင်ဝင်း (မဝင်း)၊ လူရွှင်တော်ချာတိတ်၊ မတရုတ်မ (မသန်းသန်း)၊ တေးသံရှင် ငုဝါ (မအေးအေး)၊ ပုဏ္ဏားပျံဇော်ဝင်းနိုင်နှင့် မထွေးထွေးတို့ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မြေး ၁၁ ယောက်နှင့် မြစ် ၄ ယောက် ကျန်ရစ်ခဲ့သည်။ == ကွယ်လွန်ခြင်း == ပုဏ္ဏားပျံဦးကျော်အေးသည် တပ်ရှ်ကင့်၌ ဖွဲ့စည်းသော ကမ္ဘာ့ဆယ့်တစ်နိုင်ငံ ရုပ်သေးအနုပညာအသင်းတွင် မြန်မာနိုင်ငံကိုယ်စားပြု ပါဝင်ခဲ့သည်။ မြန်မာနိုင်ငံ သဘင်ကောင်စီ နာယကအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်နေစဉ် ၁၉၇၉ ခုနှစ် (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၃၄၁ ခုနှစ်၊ ဝါခေါင်လဆန်း ၁၁ ရက်၊ ဗုဒ္ဓဟူးနေ့) တွင် အသက် ၇၅ နှစ်အရွယ်ဖြင့် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) mz0u7x8dk9l4ktob8qpycs4qwea367p 0 288586 1040702 2026-06-25T07:41:27Z Naingli 144794 "== နဂါးပေါက် မသိန်းတင် (၁၈၈၅ - ၁၉၄၇) == {| class="infobox biography vcard" style="width:25em; text-align:left; font-size:95%;" |+ style="font-size:120%;" | '''နဂါးပေါက် မသိန်းတင်''' |- | colspan="2" style="text-align:center;" | |- ! မွေးဖွာ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040702 wikitext text/x-wiki == နဂါးပေါက် မသိန်းတင် (၁၈၈၅ - ၁၉၄၇) == {| class="infobox biography vcard" style="width:25em; text-align:left; font-size:95%;" |+ style="font-size:120%;" | '''နဂါးပေါက် မသိန်းတင်''' |- | colspan="2" style="text-align:center;" | |- ! မွေးဖွား | ၁၈၈၅ |- ! ကွယ်လွန် | ၁၉၄၇ |- ! အလုပ်အကိုင် | ရုပ်သေးမင်းသမီး၊ ဇာတ်မင်းသမီး |- ! မိဘများ | ဦးသာမှူး၊ ဒေါ်အေးသူ |- ! ထင်ရှားသောတပည့်များ | ဘုန်းချစ်ထွန်းစိန်၊ နေပြည်တော် မတင်မြိုင်၊ စည်ပိုင်းမ မကျင်စိန် |} === အတ္ထုပ္ပတ္တိ အနှစ်ချုပ် === {| class="wikitable" ! အကြောင်းအရာ !! အသေးစိတ် |- | '''မွေးဖွားရာဒေသ''' || နဂါးပေါက်ရွာ၊ မြောင်မြို့နယ် |- | '''မွေးချင်း (၅) ယောက်''' || ဒေါ်ပု၊ ဦးဖိုးမောင်၊ ဦးတိုးမောင်၊ ဦးဖိုးခေါင် (ဦးစိန်ဝါ)၊ ဒေါ်သိန်းတင် |- | '''ထင်ရှားသောဇာတ်များ''' || ဂရိတ်ဖိုးစိန်ဇာတ်၊ ဒုတိယဖိုးစိန်ဇာတ်၊ ဦးပြည်ကျော်ဇာတ် |- | '''ကွယ်လွန်ရာဒေသ''' || တံစဉ်လှရွာ၊ ငါန်းဇွန်မြို့နယ် |} ရုပ်သေးနှင့် ဇာတ်သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားခဲ့သော နဂါးပေါက် မသိန်းတင်သည် မြန်မာ့သဘင်သမိုင်းတွင် အဆို၊ အငို၊ အပြော၊ အမူအရာတို့ဖြင့် ပရိသတ်ကို ဖမ်းစားနိုင်ခဲ့သည့် ထူးချွန်သော မင်းသမီးတစ်လက် ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်ရေးအချက်အလက်နှင့် မိသားစုနောက်ခံ == နဂါးပေါက် မသိန်းတင်ကို မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၄၇ ခုနှစ် (ခရစ်နှစ် ၁၈၈၅ ခုနှစ်) တွင် မြောင်မြို့နယ်၊ နဂါးပေါက်ရွာ၌ ဖခင် ဦးသာမှူးနှင့် မိခင် ဒေါ်အေးသူတို့မှ ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ “နဂါးပေါက် မသိန်းတင်” ဟူသော အမည်သည် မြောင်မြို့နယ်ရှိ ကျွန်း ၁၂ ကျွန်းတွင် တစ်ကျွန်းအပါအဝင်ဖြစ်သော နဂါးပေါက်ရွာကို အစွဲပြု၍ ခေါ်တွင်ခြင်းဖြစ်သည်။ သူမတွင် မွေးချင်း ၅ ယောက် ရှိရာ ကြီးစဉ်ငယ်လိုက်မှာ - ဒေါ်ပု ဦးဖိုးမောင် (ဇာတ်မင်းသားကြီး) ဦးတိုးမောင် (ဇာတ်မင်းသားကြီး) ဦးဖိုးခေါင် (ခေါ်) မင်းသားကြီး ဦးစိန်ဝါ (ရုပ်သေးမင်းသားကြီး - ရုပ်စုံအဖွဲ့ပေါင်းများစွာတွင် ပါဝင်ခဲ့ပြီး စစ်ပြီးခေတ်တွင် ရတနာပုံအောင်မြေသောင်း ရုပ်စုံသဘင်၌ ပါဝင်ခဲ့သူ) ဒေါ်သိန်းတင် (မသိန်းတင်) တို့ဖြစ်ကြသည်။ == "သုံးသိန်းကျော်သည့် နဂါးပေါက်" ဂုဏ်ပုဒ် == ထိုခေတ်က နဂါးပေါက်ရွာတွင် “သုံးသိန်းကျော်သည့် နဂါးပေါက်” ဟူသော စကားရပ်သည် အလွန်ခေတ်စားခဲ့သည်။ ၎င်းသည် - ဒေါ်သိန်းတင်၏တူ ဖြစ်သူ ဆိုင်းဆရာ မောင်ဘသိန်း အတောင်သုံးဆယ်ရှည်သည့် သိန်းလှေကြီး နဂါးပေါက် မသိန်းတင် တို့ကို ဂုဏ်ပြုခေါ်ဝေါ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ == အနုပညာသက်တမ်းနှင့် အမြင့်သဘင်သို့ဝင်ရောက်ခြင်း == မသိန်းတင်သည် အသက် ၂၀ အရွယ် (ခရစ်နှစ် ၁၉၀၅ ဝန်းကျင်) တွင် ရုပ်သေးမင်းသမီး ဦးဖူးညို၏ ရုပ်သေးကြိုးဆွဲဖြစ်ခဲ့ဖူးသော ငါန်းဇွန်မြို့နယ် ဆင်တပ်ရွာသား ဆရာသန့်၏ ရုပ်သေးစင်၌ စတင်ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထိုခေတ်က အမြင့်သဘင် (ရုပ်သေးစင်) ပေါ်တွင် အမျိုးသမီးများ တက်ရောက်ခွင့်မရှိခဲ့ဘဲ အမျိုးသားများသာ ကပြကြရသည်။ သို့သော် အမျိုးသားမင်းသမီးများ ရှားပါးလာပြီး အမျိုးသားဓလေ့ကို မလေးမခန့်ပြုလာကြသောကြောင့် အမျိုးသမီးများ အမြင့်သဘင်စင်ပေါ်သို့ စတင်ရောက်ရှိလာခဲ့ရာ မသိန်းတင်သည် ထိုအပြောင်းအလဲတွင် ပါဝင်လာသူဖြစ်သည်။ == အသံနှင့် အဆိုအငို == အသံချဲ့စက်မရှိသည့်ခေတ်တွင် လှည်းဝိုင်းကို ကျော်လွန်အောင် အသံပေါက်သူများသာ ဇာတ်အသုံးခံသည်။ မသိန်းတင်သည် အသံကို လိုသလိုဆွဲနိုင်ပြီး ပင်ကိုသံ ချိုအေးသည်။ အဆို၊ အငို၊ အပြောတွင် ပိုင်နိုင်သူဖြစ်ပြီး အထူးသဖြင့် လွမ်းခန်းတွင်ပိုင်၍ အပူတိုက်နှင့် အငိုကောင်းသူဖြစ်သည်။ ရုပ်ရည်နှင့် ဇာတ်ဟန်: အရပ်သွယ်၍ အသားဝင်းသည်။ ဆံပင်ကောင်းပြီး တံကောက်ကွေးကျော်သည်။ ပရိသတ်ရှေ့တွင် တော်ဝင်မင်းသမီး မထွေးလေးကဲ့သို့ပင် ဇာတ်ဟန်ကဲလွန်းသည်။ == ဇာတ်သို့ကူးပြောင်းခြင်း == ရုပ်သေး၌ အသံနှင့် အဆိုပိုင်သလို ဇာတ်တွင်လည်း ဟန်ပိုင်သဖြင့် ရုပ်သေးမှ ဇာတ်သို့ ကူးပြောင်းကပြခဲ့သည်။ ဘုရားဒါယကာကြီး ဂရိတ်ဖိုးစိန်၊ ဒုတိယဖိုးစိန်၊ ဦးပြည်ကျော်၊ ဦးအောင်မောင်း၊ စိန်အောင်မင်းဇာတ်တို့တွင် မင်းသမီးအဖြစ် ပါဝင်ခဲ့သည်။ == တွဲဖက်ကပြခဲ့သူများ == ဂရိတ်ဖိုးစိန်ဇာတ်တွင် မင်းသမီး မမြလွင် (ကောလိပ်စိန်)၊ မြခြေကျင်း မငွေမြိုင်၊ လေဘာတီ မခင်ညွန့်တို့နှင့်အတူ တွဲ၍ ကပြခဲ့သည်။ ဒုတိယဖိုးစိန်ဇာတ်တွင် မင်းသမီး မရေသွယ်၊ စိန်ခြေကျင်း မငွေမြိုင်တို့နှင့်အတူ ကပြခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က ရုံဝင်ခမှာ တစ်မတ် (တစ်ကျပ်၏ လေးပုံတစ်ပုံ)၊ ဖျာတစ်ချပ်လျှင် တစ်မူး (တစ်ကျပ်၏ ရှစ်ပုံတစ်ပုံ) ဖြစ်သည်။ == တပည့်များနှင့် နှစ်သက်ရာသီချင်း == သူမသည် တပည့်များကို အလေးအနက်ထား သင်ကြားပေးခဲ့သူဖြစ်သည်။ ထင်ရှားသော တပည့်များမှာ: မင်းသား ဘုန်းချစ်ထွန်းစိန် မင်းသမီး နေပြည်တော် မတင်မြိုင် စည်ပိုင်းမ မကျင်စိန် တို့ဖြစ်ကြသည်။ သူမသည် အရောင်နုများကို နှစ်သက်၍ “ပန်းမြိုင်လယ်နှင့် စိန်ကြောင် နီလာ” ကို ဆိုလေ့ရှိသည်။ သူမ၏ ပွဲထွက်သီချင်းတစ်ပုဒ်မှာ “အပြည်ပြည်အရွာရွာ သတင်းလျှံလို့ ဖြစ်ရတာဖြင့် ဧရာဝတီ၊ မြင်းခြံအထက်ဘက်က အရင်းခံ မြွက်ရမှာဖြင့် နဂါးပေါက်သိန်းတင်၊ ဆံတောက် မသိမ်းခင်ကတော့ မြင်းဖူးသူတွေများ” စသည်တို့ ပါဝင်သည်။ == ဘဝနိဂုံး == လွတ်လပ်ရေး ကြေညာခါနီး (ခရစ်နှစ် ၁၉၄၇ ဝန်းကျင်) ကာလတွင် မွေးဇာတိသို့ အလည်ပြန်စဉ် မကျန်းမာသောကြောင့် မန္တလေးသို့ အလျင်အမြန်ပြန်ရာ ငါန်းဇွန်မြို့အထက် “တံစဉ်လှရွာ” တွင် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) 2y71vrlq2vhvd1mwmd42orlr96ggpuh 1040703 1040702 2026-06-25T07:42:47Z Naingli 144794 1040703 wikitext text/x-wiki == နဂါးပေါက် မသိန်းတင် (၁၈၈၅ - ၁၉၄၇) == {| class="infobox biography vcard" style="width:25em; text-align:left; font-size:95%;" |+ style="font-size:120%;" | '''နဂါးပေါက် မသိန်းတင်''' |- | colspan="2" style="text-align:center;" | |- ! မွေးဖွား | ၁၈၈၅ |- ! ကွယ်လွန် | ၁၉၄၇ |- ! အလုပ်အကိုင် | ရုပ်သေးမင်းသမီး၊ ဇာတ်မင်းသမီး |- ! မိဘများ | ဦးသာမှူး၊ ဒေါ်အေးသူ |- ! ထင်ရှားသောတပည့်များ | ဘုန်းချစ်ထွန်းစိန်၊ နေပြည်တော် မတင်မြိုင်၊ စည်ပိုင်းမ မကျင်စိန် |} === အတ္ထုပ္ပတ္တိ အနှစ်ချုပ် === {| class="wikitable" ! အကြောင်းအရာ !! အသေးစိတ် |- | '''မွေးဖွားရာဒေသ''' || နဂါးပေါက်ရွာ၊ မြောင်မြို့နယ် |- | '''မွေးချင်း (၅) ယောက်''' || ဒေါ်ပု၊ ဦးဖိုးမောင်၊ ဦးတိုးမောင်၊ ဦးဖိုးခေါင် (ဦးစိန်ဝါ)၊ ဒေါ်သိန်းတင် |- | '''ထင်ရှားသောဇာတ်များ''' || ဂရိတ်ဖိုးစိန်ဇာတ်၊ ဒုတိယဖိုးစိန်ဇာတ်၊ ဦးပြည်ကျော်ဇာတ် |- | '''ကွယ်လွန်ရာဒေသ''' || တံစဉ်လှရွာ၊ ငါန်းဇွန်မြို့နယ် |} ရုပ်သေးနှင့် ဇာတ်သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားခဲ့သော နဂါးပေါက် မသိန်းတင်သည် မြန်မာ့သဘင်သမိုင်းတွင် အဆို၊ အငို၊ အပြော၊ အမူအရာတို့ဖြင့် ပရိသတ်ကို ဖမ်းစားနိုင်ခဲ့သည့် ထူးချွန်သော မင်းသမီးတစ်လက် ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်ရေးအချက်အလက်နှင့် မိသားစုနောက်ခံ == နဂါးပေါက် မသိန်းတင်ကို မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၄၇ ခုနှစ် (ခရစ်နှစ် ၁၈၈၅ ခုနှစ်) တွင် မြောင်မြို့နယ်၊ နဂါးပေါက်ရွာ၌ ဖခင် ဦးသာမှူးနှင့် မိခင် ဒေါ်အေးသူတို့မှ ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ “နဂါးပေါက် မသိန်းတင်” ဟူသော အမည်သည် မြောင်မြို့နယ်ရှိ ကျွန်း ၁၂ ကျွန်းတွင် တစ်ကျွန်းအပါအဝင်ဖြစ်သော နဂါးပေါက်ရွာကို အစွဲပြု၍ ခေါ်တွင်ခြင်းဖြစ်သည်။ သူမတွင် မွေးချင်း ၅ ယောက် ရှိရာ ကြီးစဉ်ငယ်လိုက်မှာ - ဒေါ်ပု ဦးဖိုးမောင် (ဇာတ်မင်းသားကြီး) ဦးတိုးမောင် (ဇာတ်မင်းသားကြီး) ဦးဖိုးခေါင် (ခေါ်) မင်းသားကြီး ဦးစိန်ဝါ (ရုပ်သေးမင်းသားကြီး - ရုပ်စုံအဖွဲ့ပေါင်းများစွာတွင် ပါဝင်ခဲ့ပြီး စစ်ပြီးခေတ်တွင် ရတနာပုံအောင်မြေသောင်း ရုပ်စုံသဘင်၌ ပါဝင်ခဲ့သူ) ဒေါ်သိန်းတင် (မသိန်းတင်) တို့ဖြစ်ကြသည်။ == "သုံးသိန်းကျော်သည့် နဂါးပေါက်" ဂုဏ်ပုဒ် == ထိုခေတ်က နဂါးပေါက်ရွာတွင် “သုံးသိန်းကျော်သည့် နဂါးပေါက်” ဟူသော စကားရပ်သည် အလွန်ခေတ်စားခဲ့သည်။ ၎င်းသည် - ဒေါ်သိန်းတင်၏တူ ဖြစ်သူ ဆိုင်းဆရာ မောင်ဘသိန်း အတောင်သုံးဆယ်ရှည်သည့် သိန်းလှေကြီး နဂါးပေါက် မသိန်းတင် တို့ကို ဂုဏ်ပြုခေါ်ဝေါ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ == အနုပညာသက်တမ်းနှင့် အမြင့်သဘင်သို့ဝင်ရောက်ခြင်း == မသိန်းတင်သည် အသက် ၂၀ အရွယ် (ခရစ်နှစ် ၁၉၀၅ ဝန်းကျင်) တွင် ရုပ်သေးမင်းသမီး ဦးဖူးညို၏ ရုပ်သေးကြိုးဆွဲဖြစ်ခဲ့ဖူးသော ငါန်းဇွန်မြို့နယ် ဆင်တပ်ရွာသား ဆရာသန့်၏ ရုပ်သေးစင်၌ စတင်ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထိုခေတ်က အမြင့်သဘင် (ရုပ်သေးစင်) ပေါ်တွင် အမျိုးသမီးများ တက်ရောက်ခွင့်မရှိခဲ့ဘဲ အမျိုးသားများသာ ကပြကြရသည်။ သို့သော် အမျိုးသားမင်းသမီးများ ရှားပါးလာပြီး အမျိုးသားဓလေ့ကို မလေးမခန့်ပြုလာကြသောကြောင့် အမျိုးသမီးများ အမြင့်သဘင်စင်ပေါ်သို့ စတင်ရောက်ရှိလာခဲ့ရာ မသိန်းတင်သည် ထိုအပြောင်းအလဲတွင် ပါဝင်လာသူဖြစ်သည်။ == အသံနှင့် အဆိုအငို == အသံချဲ့စက်မရှိသည့်ခေတ်တွင် လှည်းဝိုင်းကို ကျော်လွန်အောင် အသံပေါက်သူများသာ ဇာတ်အသုံးခံသည်။ မသိန်းတင်သည် အသံကို လိုသလိုဆွဲနိုင်ပြီး ပင်ကိုသံ ချိုအေးသည်။ အဆို၊ အငို၊ အပြောတွင် ပိုင်နိုင်သူဖြစ်ပြီး အထူးသဖြင့် လွမ်းခန်းတွင်ပိုင်၍ အပူတိုက်နှင့် အငိုကောင်းသူဖြစ်သည်။ ရုပ်ရည်နှင့် ဇာတ်ဟန်: အရပ်သွယ်၍ အသားဝင်းသည်။ ဆံပင်ကောင်းပြီး တံကောက်ကွေးကျော်သည်။ ပရိသတ်ရှေ့တွင် တော်ဝင်မင်းသမီး မထွေးလေးကဲ့သို့ပင် ဇာတ်ဟန်ကဲလွန်းသည်။ == ဇာတ်သို့ကူးပြောင်းခြင်း == ရုပ်သေး၌ အသံနှင့် အဆိုပိုင်သလို ဇာတ်တွင်လည်း ဟန်ပိုင်သဖြင့် ရုပ်သေးမှ ဇာတ်သို့ ကူးပြောင်းကပြခဲ့သည်။ ဘုရားဒါယကာကြီး ဂရိတ်ဖိုးစိန်၊ ဒုတိယဖိုးစိန်၊ ဦးပြည်ကျော်၊ ဦးအောင်မောင်း၊ စိန်အောင်မင်းဇာတ်တို့တွင် မင်းသမီးအဖြစ် ပါဝင်ခဲ့သည်။ == တွဲဖက်ကပြခဲ့သူများ == ဂရိတ်ဖိုးစိန်ဇာတ်တွင် မင်းသမီး မမြလွင် (ကောလိပ်စိန်)၊ မြခြေကျင်း မငွေမြိုင်၊ လေဘာတီ မခင်ညွန့်တို့နှင့်အတူ တွဲ၍ ကပြခဲ့သည်။ ဒုတိယဖိုးစိန်ဇာတ်တွင် မင်းသမီး မရေသွယ်၊ စိန်ခြေကျင်း မငွေမြိုင်တို့နှင့်အတူ ကပြခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က ရုံဝင်ခမှာ တစ်မတ် (တစ်ကျပ်၏ လေးပုံတစ်ပုံ)၊ ဖျာတစ်ချပ်လျှင် တစ်မူး (တစ်ကျပ်၏ ရှစ်ပုံတစ်ပုံ) ဖြစ်သည်။ == တပည့်များနှင့် နှစ်သက်ရာသီချင်း == သူမသည် တပည့်များကို အလေးအနက်ထား သင်ကြားပေးခဲ့သူဖြစ်သည်။ ထင်ရှားသော တပည့်များမှာ: မင်းသား ဘုန်းချစ်ထွန်းစိန် မင်းသမီး နေပြည်တော် မတင်မြိုင် စည်ပိုင်းမ မကျင်စိန် တို့ဖြစ်ကြသည်။ သူမသည် အရောင်နုများကို နှစ်သက်၍ “ပန်းမြိုင်လယ်နှင့် စိန်ကြောင် နီလာ” ကို ဆိုလေ့ရှိသည်။ သူမ၏ ပွဲထွက်သီချင်းတစ်ပုဒ်မှာ “အပြည်ပြည်အရွာရွာ သတင်းလျှံလို့ ဖြစ်ရတာဖြင့် ဧရာဝတီ၊ မြင်းခြံအထက်ဘက်က အရင်းခံ မြွက်ရမှာဖြင့် နဂါးပေါက်သိန်းတင်၊ ဆံတောက် မသိမ်းခင်ကတော့ မြင်းဖူးသူတွေများ” စသည်တို့ ပါဝင်သည်။ == ဘဝနိဂုံး == လွတ်လပ်ရေး ကြေညာခါနီး (ခရစ်နှစ် ၁၉၄၇ ဝန်းကျင်) ကာလတွင် မွေးဇာတိသို့ အလည်ပြန်စဉ် မကျန်းမာသောကြောင့် မန္တလေးသို့ အလျင်အမြန်ပြန်ရာ ငါန်းဇွန်မြို့အထက် “တံစဉ်လှရွာ” တွင် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) frgce8ym4i6ztm2m3f6rxr1bcts7rk1 0 288587 1040709 2026-06-25T07:54:47Z Naingli 144794 "== ရွှေဘိုတင်မောင် == {{Infobox person | name = ရွှေဘိုတင်မောင် | image = | caption = | birth_date = ၁၆ ဇန်နဝါရီ ၁၉၁၂ | birth_place = ပိတောက်ခေါင်း၊ ရွှေဘိုမြို့နယ် |..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040709 wikitext text/x-wiki == ရွှေဘိုတင်မောင် == {{Infobox person | name = ရွှေဘိုတင်မောင် | image = | caption = | birth_date = ၁၆ ဇန်နဝါရီ ၁၉၁၂ | birth_place = ပိတောက်ခေါင်း၊ ရွှေဘိုမြို့နယ် | death_date = ၂၇ ဇူလိုင် ၁၉၇၆ | death_place = ပြည်ကြီးမျက်ရှင်၊ မြန်မာ | occupation = ရုပ်သေးပညာရှင်၊ အဆိုတော် | years_active = ၁၉၂၈ - ၁၉၇၆ | known_for = ရွှေဘိုတင်မောင် ရုပ်စုံသဘင် }} ရွှေဘိုတင်မောင် (ခရစ်နှစ် ၁၉၁၂ - ၁၉၇၆) သည် မြန်မာ့ရုပ်သေးသဘင်လောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားသော ရုပ်သေးပညာရှင်၊ အဆိုတော်နှင့် ရုပ်စုံသဘင်ခေါင်းဆောင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ မြန်မာ့ရုပ်သေးအနုပညာကို အသက်မွေးဝမ်းကျောင်းအဖြစ်သာမက အနုပညာအမွေအနှစ်တစ်ခုအဖြစ် မြတ်နိုးတန်ဖိုးထားပြီး ကွယ်လွန်ချိန်အထိ ထိန်းသိမ်းသွားခဲ့သူဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝ == ရွှေဘိုတင်မောင်ကို ခရစ်နှစ် ၁၉၁၂ ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလ ၁၆ ရက် (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၇၄ ခုနှစ်၊ ပြာသိုလဆန်း ၈ ရက်) အင်္ဂါနေ့တွင် ရွှေဘိုမြို့နယ်၊ ပိတောက်ခေါင်းကျေးရွာ၌ တောင်သူကြီး ဦးစနှင့် ဒေါ်ခင်မိတို့မှ မွေးဖွားခဲ့သည်။ ငယ်မည်မှာ မောင်တင်မောင် ဖြစ်သည်။ ငယ်စဉ်ကတည်းက အသံကောင်းသော်လည်း မင်းသားလုပ်ရန် စိတ်မဝင်စားဘဲ နှဲမှုတ်ပညာကိုသာ စတင်လေ့လာခဲ့သည်။ == သဘင်ပညာ လမ်းကြောင်း == အသက် ၁၆ နှစ်အရွယ်တွင် မခေါက်ဦးအောင်စိန်နှင့် မင်းသားကြီး ဆရာကောင်းတို့က ရွှေဘိုတင်မောင်၏ အရည်အချင်းကို တွေ့ရှိသွားပြီး ရုပ်သေးပညာများကို စတင်သင်ကြားပေးခဲ့သည်။ ထိုခေတ်က အမြင့်ဆုံးသဘင်ဖြစ်သော အမြင့်သဘင်တွင် နေရာရစေရန် စေတနာဖြင့် ကူညီဆောင်ရွက်ပေးခဲ့ကြသည်။ ဦးစွာ "ရွှေဘိုစိန်" အမည်ဖြင့် မြစ်ရိုးတစ်လျှောက် လှည့်လည်ကပြခဲ့သည်။ နောင်တွင် ရွှေမန်းတင်မောင်နှင့် အမည်ချင်း ဆင်တူနေသဖြင့် ဆရာသမားတစ်ဦးက "မန္တလေးမှာ ရွှေမန်းတင်မောင်ဆိုတော့ မင်းက ရွှေဘိုတင်မောင်ပေါ့ကွာ" ဟု ဆိုရာမှ "ရွှေဘိုတင်မောင်" ဟူသော အမည်ဖြင့် ထင်ရှားလာခဲ့သည်။ == ပညာဆည်းပူးခြင်း == ရွှေဘိုတင်မောင်သည် ရှေးခေတ်နိုင်ငံကျော် ပညာရှင်ကြီးများဖြစ်ကြသည့် ဦးဖူးညို၊ ဦးစိန်၊ ဆရာကျော်ကြီးနှင့် ဆရာကြော့တို့ထံတွင် ရုပ်သေးပညာများကို ဆည်းပူးခဲ့သည်။ မြန်မာ့အသံနှင့် ပန်တျာကျောင်းမှ ခေါ်ယူကမ်းလှမ်းသော်လည်း ရုပ်သေးပညာကို စွန့်လွှတ်ရမည်ကို စိုးရိမ်သဖြင့် ငြင်းပယ်ခဲ့သည်။ == မှတ်တမ်းတင်ခြင်းနှင့် စေတနာ == သူသည် စာပေလေ့လာဖတ်ရှုရန် ဝါသနာထုံသူဖြစ်ပြီး၊ သူကြည်ညိုလေးစားသော ဆရာကြီး (၁၁) ဦး၏ နာမည်နှင့် ကျွမ်းကျင်နိုင်နင်းမှုများကို သူ၏မှတ်တမ်းစာအုပ်တွင် ရေးမှတ်ထားခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ- ၁။ ဝမ်းပြည့်ဆရာဖိုး (ဇာတ်ထုပ်ရေးဆရာကြီး၊ ဘယ်သူနှင့်မျှ နှိုင်းစရာမရှိ) ၂။ ဓာတ်တော်ပြန် ဆရာမဲ ၃။ ဧရာဝဏ် ဦးအောင်ဒွန်း ၄။ အင်္ဂပူ ဆရာဒင် ၅။ ရှမ်းပွဲ ဆရာတင် ၆။ ရွှေမန်း ဆရာကြည် ၇။ ပိဋကတ် ဆရာမောင် ၈။ ဆရာ ကုန်းဘောင်အံ့ ၉။ ဆရာကောင်း ၁၀။ ကျောက်ဆည်က ရာဇဝင်ဆရာထိုက် ၁၁။ ရွှေကြက်ယက် ဆရာကျန် (စာရေး အင်မတန်ကောင်းတဲ့ဆရာ) သူသည် တပည့်ဖြစ်လာသူတိုင်းကို "မည်သည့်အခါမျှ ရုပ်သေးပညာကို မစွန့်လွှတ်ပါ" ဟု ဝန်ခံကတိလက်မှတ် ရေးထိုးခိုင်းလေ့ရှိပြီး လက်မှတ်ထိုးပြီးမှသာ ပုတီးစိပ်လေ့ရှိသည်။ ရုပ်သေးပညာ ပျောက်ကွယ်သွားမည်ကို စိုးရိမ်သဖြင့် ရုံသွင်းကပြခြင်းများကို ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ == အနုပညာ အောင်မြင်မှု == ခရစ်နှစ် ၁၉၇၅ ခုနှစ် (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၃၃၇ ခုနှစ်) တွင် ရဲလုံးကျော်စွာ ဘုရားထီးတင်ပွဲ၌ ကျန်းမာရေး မကောင်းပါလျက်နှင့် ဝင်ရောက်သီဆိုခဲ့သည်။ ပရိသတ်များက သူ့အသံကိုကြားရုံဖြင့် ကျန်းမာရေးအခြေအနေကို သိရှိသွားပြီး "ကျေနပ်ပါတယ် ဆရာကြီး" ဟု ဝိုင်းဝန်းတောင်းပန်မှသာ အနားယူခဲ့သည်။ ထိုနှစ် ပွဲရာသီတွင်ပင် ရွှေဘိုတင်မောင် ရုပ်စုံသဘင်၏ ပွဲချီပေါင်းမှာ ၁၇၀ ကျော်အထိ ရှိခဲ့သည်။ == ရုပ်စုံသဘင်မှ ပညာရှင်များ == {| class="wikitable" style="width: 100%; text-align: left;" |+ ရွှေဘိုတင်မောင် ရုပ်စုံသဘင်မှ ပညာရှင်များ ! အခန်းကဏ္ဍ !! ပညာရှင်အမည်များ |- | မင်းသားကြီး || ဦးမုန်း |- | လူရွှင်တော်များ || ဦးသန်းဒီ၊ ဦးတိမ်ခိုး၊ ဦးမန်းကြည် |- | ကြိုးဆွဲပညာရှင်များ || ဦးထွန်းရင်၊ ဦးမြဟန်၊ ဦးအုန်းမောင် |- | မင်းသမီးများ || ကြိုးကြာမယ် မခင်ညွန့်၊ ရွှေဘိုသူ ကြည်ကြည်မိုး၊ ရွှေဘိုသူ တင်တင်ဆင့်၊ ရွှေဘိုကြည် |- | ပြဇာတ်မင်းသားများ || ရွှေဘိုမြတင်၊ ရွှေဘိုမြဟန် |} မင်းသားကြီး: ဦးမုန်း လူရွှင်တော်များ: ဦးသန်းဒီ၊ ဦးတိမ်ခိုး၊ ဦးမန်းကြည် ကြိုးဆွဲပညာရှင်များ: ဦးထွန်းရင်၊ ဦးမြဟန်၊ ဦးအုန်းမောင် မင်းသမီးများ: ကြိုးကြာမယ် မခင်ညွန့်၊ ရွှေဘိုသူ ကြည်ကြည်မိုး၊ ရွှေဘိုသူ တင်တင်ဆင့်၊ ရွှေဘိုကြည် ပြဇာတ်မင်းသားများ: ရွှေဘိုမြတင်၊ ရွှေဘိုမြဟန် == ဓာတ်ပြားသွင်းခဲ့သော ဇာတ်ထုပ်များ == {| class="wikitable" style="width: 100%; text-align: left;" |+ ရွှေဘိုတင်မောင် ဓာတ်ပြားသွင်းခဲ့သော ဇာတ်ထုပ်များ ! စဉ် !! ဇာတ်ထုပ်အမည် !! မှတ်ချက် / တွဲဖက်ပညာရှင်များ |- | ၁ || ဆဒ္ဒန်ဆင်မင်း || ပုဏ္ဏားပျံဦးကျော်အေး၊ ညောင်တုန်းဦးဘကျော် |- | ၂ || ဘုရားလောင်းမျောက်မင်း || - |- | ၃ || မဟာနန္ဒိယဇာတ် || - |- | ၄ || ကြိုးကြာစည်တီးဇာတ် || - |- | ၅ || စောရသတ္တိ – စောရဗလ ဇာတ် || - |} ရွှေဘိုတင်မောင် ဓာတ်ပြားသွင်းခဲ့သော ထင်ရှားသည့် ဇာတ်ထုပ်များမှာ- ၁။ ဆဒ္ဒန်ဆင်မင်း ၂။ ဘုရားလောင်းမျောက်မင်း ၃။ မဟာနန္ဒိယဇာတ် ၄။ ကြိုးကြာစည်တီးဇာတ် ၅။ စောရသတ္တိ – စောရဗလ ဇာတ် ပထမဆုံးဇာတ်ထုပ်ကို ခရစ်နှစ် ၁၉၄၅ ခုနှစ်ခန့် (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၃၀၇ ခုနှစ်) တွင် ပုဏ္ဏားပျံဦးကျော်အေး၊ ညောင်တုန်းဦးဘကျော်တို့နှင့် တွဲဖက်အသံသွင်းခဲ့သည်။ == ကွယ်လွန်ခြင်း == ရုပ်သေးပညာရှင်ကြီး ရွှေဘိုတင်မောင်သည် ခရစ်နှစ် ၁၉၇၆ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လ ၂၇ ရက်တွင် အသက် ၆၄ နှစ်အရွယ်၌ သဘင်ပညာရှင်တိုင်း ကြောက်ရွံ့သော လျှာကင်ဆာရောဂါဖြင့် ပြည်ကြီးမျက်ရှင် တံမြက်စည်းစုရွာကလေး၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) pvyknxc5ur4lokex4pz2xa5t2p7t4ek 1040712 1040709 2026-06-25T07:56:37Z Naingli 144794 1040712 wikitext text/x-wiki == ရွှေဘိုတင်မောင် == {{Infobox person | name = ရွှေဘိုတင်မောင် | image = | caption = | birth_date = ၁၆ ဇန်နဝါရီ ၁၉၁၂ | birth_place = ပိတောက်ခေါင်း၊ ရွှေဘိုမြို့နယ် | death_date = ၂၇ ဇူလိုင် ၁၉၇၆ | death_place = ပြည်ကြီးမျက်ရှင်၊ မြန်မာ | occupation = ရုပ်သေးပညာရှင်၊ အဆိုတော် | years_active = ၁၉၂၈ - ၁၉၇၆ | known_for = ရွှေဘိုတင်မောင် ရုပ်စုံသဘင် }} ရွှေဘိုတင်မောင် (ခရစ်နှစ် ၁၉၁၂ - ၁၉၇၆) သည် မြန်မာ့ရုပ်သေးသဘင်လောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားသော ရုပ်သေးပညာရှင်၊ အဆိုတော်နှင့် ရုပ်စုံသဘင်ခေါင်းဆောင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ မြန်မာ့ရုပ်သေးအနုပညာကို အသက်မွေးဝမ်းကျောင်းအဖြစ်သာမက အနုပညာအမွေအနှစ်တစ်ခုအဖြစ် မြတ်နိုးတန်ဖိုးထားပြီး ကွယ်လွန်ချိန်အထိ ထိန်းသိမ်းသွားခဲ့သူဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝ == ရွှေဘိုတင်မောင်ကို ခရစ်နှစ် ၁၉၁၂ ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလ ၁၆ ရက် (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၇၄ ခုနှစ်၊ ပြာသိုလဆန်း ၈ ရက်) အင်္ဂါနေ့တွင် ရွှေဘိုမြို့နယ်၊ ပိတောက်ခေါင်းကျေးရွာ၌ တောင်သူကြီး ဦးစနှင့် ဒေါ်ခင်မိတို့မှ မွေးဖွားခဲ့သည်။ ငယ်မည်မှာ မောင်တင်မောင် ဖြစ်သည်။ ငယ်စဉ်ကတည်းက အသံကောင်းသော်လည်း မင်းသားလုပ်ရန် စိတ်မဝင်စားဘဲ နှဲမှုတ်ပညာကိုသာ စတင်လေ့လာခဲ့သည်။ == သဘင်ပညာ လမ်းကြောင်း == အသက် ၁၆ နှစ်အရွယ်တွင် မခေါက်ဦးအောင်စိန်နှင့် မင်းသားကြီး ဆရာကောင်းတို့က ရွှေဘိုတင်မောင်၏ အရည်အချင်းကို တွေ့ရှိသွားပြီး ရုပ်သေးပညာများကို စတင်သင်ကြားပေးခဲ့သည်။ ထိုခေတ်က အမြင့်ဆုံးသဘင်ဖြစ်သော အမြင့်သဘင်တွင် နေရာရစေရန် စေတနာဖြင့် ကူညီဆောင်ရွက်ပေးခဲ့ကြသည်။ ဦးစွာ "ရွှေဘိုစိန်" အမည်ဖြင့် မြစ်ရိုးတစ်လျှောက် လှည့်လည်ကပြခဲ့သည်။ နောင်တွင် ရွှေမန်းတင်မောင်နှင့် အမည်ချင်း ဆင်တူနေသဖြင့် ဆရာသမားတစ်ဦးက "မန္တလေးမှာ ရွှေမန်းတင်မောင်ဆိုတော့ မင်းက ရွှေဘိုတင်မောင်ပေါ့ကွာ" ဟု ဆိုရာမှ "ရွှေဘိုတင်မောင်" ဟူသော အမည်ဖြင့် ထင်ရှားလာခဲ့သည်။ == ပညာဆည်းပူးခြင်း == ရွှေဘိုတင်မောင်သည် ရှေးခေတ်နိုင်ငံကျော် ပညာရှင်ကြီးများဖြစ်ကြသည့် ဦးဖူးညို၊ ဦးစိန်၊ ဆရာကျော်ကြီးနှင့် ဆရာကြော့တို့ထံတွင် ရုပ်သေးပညာများကို ဆည်းပူးခဲ့သည်။ မြန်မာ့အသံနှင့် ပန်တျာကျောင်းမှ ခေါ်ယူကမ်းလှမ်းသော်လည်း ရုပ်သေးပညာကို စွန့်လွှတ်ရမည်ကို စိုးရိမ်သဖြင့် ငြင်းပယ်ခဲ့သည်။ == မှတ်တမ်းတင်ခြင်းနှင့် စေတနာ == {| class="wikitable" style="width: 100%; text-align: left;" |+ ရွှေဘိုတင်မောင် ကြည်ညိုလေးစားသော ပညာရှင်ကြီးများ ! စဉ် !! ပညာရှင်အမည် !! ကျွမ်းကျင်နိုင်နင်းမှု / မှတ်ချက် |- | ၁ || ဝမ်းပြည့်ဆရာဖိုး || ဇာတ်ထုပ်ရေးဆရာကြီး၊ ဘယ်သူနှင့်မျှ နှိုင်းစရာမရှိ |- | ၂ || ဓာတ်တော်ပြန် ဆရာမဲ || - |- | ၃ || ဧရာဝဏ် ဦးအောင်ဒွန်း || - |- | ၄ || အင်္ဂပူ ဆရာဒင် || - |- | ၅ || ရှမ်းပွဲ ဆရာတင် || - |- | ၆ || ရွှေမန်း ဆရာကြည် || - |- | ၇ || ပိဋကတ် ဆရာမောင် || - |- | ၈ || ဆရာ ကုန်းဘောင်အံ့ || - |- | ၉ || ဆရာကောင်း || - |- | ၁၀ || ကျောက်ဆည်က ရာဇဝင်ဆရာထိုက် || - |- | ၁၁ || ရွှေကြက်ယက် ဆရာကျန် || စာရေး အင်မတန်ကောင်းတဲ့ဆရာ |} သူသည် စာပေလေ့လာဖတ်ရှုရန် ဝါသနာထုံသူဖြစ်ပြီး၊ သူကြည်ညိုလေးစားသော ဆရာကြီး (၁၁) ဦး၏ နာမည်နှင့် ကျွမ်းကျင်နိုင်နင်းမှုများကို သူ၏မှတ်တမ်းစာအုပ်တွင် ရေးမှတ်ထားခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ- ၁။ ဝမ်းပြည့်ဆရာဖိုး (ဇာတ်ထုပ်ရေးဆရာကြီး၊ ဘယ်သူနှင့်မျှ နှိုင်းစရာမရှိ) ၂။ ဓာတ်တော်ပြန် ဆရာမဲ ၃။ ဧရာဝဏ် ဦးအောင်ဒွန်း ၄။ အင်္ဂပူ ဆရာဒင် ၅။ ရှမ်းပွဲ ဆရာတင် ၆။ ရွှေမန်း ဆရာကြည် ၇။ ပိဋကတ် ဆရာမောင် ၈။ ဆရာ ကုန်းဘောင်အံ့ ၉။ ဆရာကောင်း ၁၀။ ကျောက်ဆည်က ရာဇဝင်ဆရာထိုက် ၁၁။ ရွှေကြက်ယက် ဆရာကျန် (စာရေး အင်မတန်ကောင်းတဲ့ဆရာ) သူသည် တပည့်ဖြစ်လာသူတိုင်းကို "မည်သည့်အခါမျှ ရုပ်သေးပညာကို မစွန့်လွှတ်ပါ" ဟု ဝန်ခံကတိလက်မှတ် ရေးထိုးခိုင်းလေ့ရှိပြီး လက်မှတ်ထိုးပြီးမှသာ ပုတီးစိပ်လေ့ရှိသည်။ ရုပ်သေးပညာ ပျောက်ကွယ်သွားမည်ကို စိုးရိမ်သဖြင့် ရုံသွင်းကပြခြင်းများကို ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ == အနုပညာ အောင်မြင်မှု == ခရစ်နှစ် ၁၉၇၅ ခုနှစ် (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၃၃၇ ခုနှစ်) တွင် ရဲလုံးကျော်စွာ ဘုရားထီးတင်ပွဲ၌ ကျန်းမာရေး မကောင်းပါလျက်နှင့် ဝင်ရောက်သီဆိုခဲ့သည်။ ပရိသတ်များက သူ့အသံကိုကြားရုံဖြင့် ကျန်းမာရေးအခြေအနေကို သိရှိသွားပြီး "ကျေနပ်ပါတယ် ဆရာကြီး" ဟု ဝိုင်းဝန်းတောင်းပန်မှသာ အနားယူခဲ့သည်။ ထိုနှစ် ပွဲရာသီတွင်ပင် ရွှေဘိုတင်မောင် ရုပ်စုံသဘင်၏ ပွဲချီပေါင်းမှာ ၁၇၀ ကျော်အထိ ရှိခဲ့သည်။ == ရုပ်စုံသဘင်မှ ပညာရှင်များ == {| class="wikitable" style="width: 100%; text-align: left;" |+ ရွှေဘိုတင်မောင် ရုပ်စုံသဘင်မှ ပညာရှင်များ ! အခန်းကဏ္ဍ !! ပညာရှင်အမည်များ |- | မင်းသားကြီး || ဦးမုန်း |- | လူရွှင်တော်များ || ဦးသန်းဒီ၊ ဦးတိမ်ခိုး၊ ဦးမန်းကြည် |- | ကြိုးဆွဲပညာရှင်များ || ဦးထွန်းရင်၊ ဦးမြဟန်၊ ဦးအုန်းမောင် |- | မင်းသမီးများ || ကြိုးကြာမယ် မခင်ညွန့်၊ ရွှေဘိုသူ ကြည်ကြည်မိုး၊ ရွှေဘိုသူ တင်တင်ဆင့်၊ ရွှေဘိုကြည် |- | ပြဇာတ်မင်းသားများ || ရွှေဘိုမြတင်၊ ရွှေဘိုမြဟန် |} မင်းသားကြီး: ဦးမုန်း လူရွှင်တော်များ: ဦးသန်းဒီ၊ ဦးတိမ်ခိုး၊ ဦးမန်းကြည် ကြိုးဆွဲပညာရှင်များ: ဦးထွန်းရင်၊ ဦးမြဟန်၊ ဦးအုန်းမောင် မင်းသမီးများ: ကြိုးကြာမယ် မခင်ညွန့်၊ ရွှေဘိုသူ ကြည်ကြည်မိုး၊ ရွှေဘိုသူ တင်တင်ဆင့်၊ ရွှေဘိုကြည် ပြဇာတ်မင်းသားများ: ရွှေဘိုမြတင်၊ ရွှေဘိုမြဟန် == ဓာတ်ပြားသွင်းခဲ့သော ဇာတ်ထုပ်များ == {| class="wikitable" style="width: 100%; text-align: left;" |+ ရွှေဘိုတင်မောင် ဓာတ်ပြားသွင်းခဲ့သော ဇာတ်ထုပ်များ ! စဉ် !! ဇာတ်ထုပ်အမည် !! မှတ်ချက် / တွဲဖက်ပညာရှင်များ |- | ၁ || ဆဒ္ဒန်ဆင်မင်း || ပုဏ္ဏားပျံဦးကျော်အေး၊ ညောင်တုန်းဦးဘကျော် |- | ၂ || ဘုရားလောင်းမျောက်မင်း || - |- | ၃ || မဟာနန္ဒိယဇာတ် || - |- | ၄ || ကြိုးကြာစည်တီးဇာတ် || - |- | ၅ || စောရသတ္တိ – စောရဗလ ဇာတ် || - |} ရွှေဘိုတင်မောင် ဓာတ်ပြားသွင်းခဲ့သော ထင်ရှားသည့် ဇာတ်ထုပ်များမှာ- ၁။ ဆဒ္ဒန်ဆင်မင်း ၂။ ဘုရားလောင်းမျောက်မင်း ၃။ မဟာနန္ဒိယဇာတ် ၄။ ကြိုးကြာစည်တီးဇာတ် ၅။ စောရသတ္တိ – စောရဗလ ဇာတ် ပထမဆုံးဇာတ်ထုပ်ကို ခရစ်နှစ် ၁၉၄၅ ခုနှစ်ခန့် (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၃၀၇ ခုနှစ်) တွင် ပုဏ္ဏားပျံဦးကျော်အေး၊ ညောင်တုန်းဦးဘကျော်တို့နှင့် တွဲဖက်အသံသွင်းခဲ့သည်။ == ကွယ်လွန်ခြင်း == ရုပ်သေးပညာရှင်ကြီး ရွှေဘိုတင်မောင်သည် ခရစ်နှစ် ၁၉၇၆ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လ ၂၇ ရက်တွင် အသက် ၆၄ နှစ်အရွယ်၌ သဘင်ပညာရှင်တိုင်း ကြောက်ရွံ့သော လျှာကင်ဆာရောဂါဖြင့် ပြည်ကြီးမျက်ရှင် တံမြက်စည်းစုရွာကလေး၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) 2j4s501bygzobvcb7cezrdp17gdkfkv 0 288588 1040710 2026-06-25T07:55:05Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 " '''မိဒိုရိမြစ်''' (緑川, Midorikawa) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]၊ [[ခုမမိုတိုခရိုင်]]တွင် ဖြတ်သန်းစီးဆင်းနေသည့် မြစ်ဖြစ်သည်။ မြစ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040710 wikitext text/x-wiki '''မိဒိုရိမြစ်''' (緑川, Midorikawa) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]၊ [[ခုမမိုတိုခရိုင်]]တွင် ဖြတ်သန်းစီးဆင်းနေသည့် မြစ်ဖြစ်သည်။ မြစ်သည် ယမတိုမြို့တွင်ရှိသည့် မိခတတောင် (အမြင့် - ၁၅၇၈ မီတ,, ၅၁၇၇ ပေ) ၏ တောင်စောင်းများမှ စတင်စီးဆင်းလာသည်။ မြစ်သည် မိဖုနဲမြစ်နှင့် ပေါင်စည်းသွားပြီးနောက်တွင် ခုမမိုတိုလွင်ပြင်ကို ဖြတ်သန်းသည်။ ခဆဲဂဝမြစ်၊ ဟမဒိုဂဝမြစ်များနှင့်အတူ ပေါင်းဆုံသွားပြီးနောက်တွင် အရိအခဲပင်လယ်အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။ အရိအခဲပင်လယ်သည် အရှေ့တရုတ်ပင်လယ်၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== {{reflist}} snaw985b4j1zunthygwx7lzf0fpdx6a 1040713 1040710 2026-06-25T07:58:34Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ မြစ်များ]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1040713 wikitext text/x-wiki '''မိဒိုရိမြစ်''' (緑川, Midorikawa) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]၊ [[ခုမမိုတိုခရိုင်]]တွင် ဖြတ်သန်းစီးဆင်းနေသည့် မြစ်ဖြစ်သည်။ မြစ်သည် ယမတိုမြို့တွင်ရှိသည့် မိခတတောင် (အမြင့် - ၁၅၇၈ မီတ,, ၅၁၇၇ ပေ) ၏ တောင်စောင်းများမှ စတင်စီးဆင်းလာသည်။ မြစ်သည် မိဖုနဲမြစ်နှင့် ပေါင်စည်းသွားပြီးနောက်တွင် ခုမမိုတိုလွင်ပြင်ကို ဖြတ်သန်းသည်။ ခဆဲဂဝမြစ်၊ ဟမဒိုဂဝမြစ်များနှင့်အတူ ပေါင်းဆုံသွားပြီးနောက်တွင် အရိအခဲပင်လယ်အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။ အရိအခဲပင်လယ်သည် အရှေ့တရုတ်ပင်လယ်၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ မြစ်များ]] 01yky7iyyr2omif9b9e94dreyhqfftz 1040714 1040713 2026-06-25T08:00:26Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 1040714 wikitext text/x-wiki {{Infobox river | name = မိဒိုရိမြစ် | name_native = {{native name|ja|緑川}} | name_native_lang = | name_other = | name_etymology = <!---------------------- IMAGE & MAP --> | image = Reitai Bridge 01.jpg | image_size = | image_caption = Reitai Bridge over Midori in Misato Town | map = | map_size = | map_caption = | pushpin_map = Japan | pushpin_map_size = | pushpin_map_caption= <!---------------------- LOCATION --> | subdivision_type1 = Country | subdivision_name1 = [[Japan]] | subdivision_type2 = Prefecture | subdivision_name2 = [[Kumamoto Prefecture]] | subdivision_type3 = | subdivision_name3 = | subdivision_type4 = | subdivision_name4 = | subdivision_type5 = | subdivision_name5 = <!---------------------- PHYSICAL CHARACTERISTICS --> | length_km = 76 | width_min = | width_avg = | width_max = | depth_min = | depth_avg = | depth_max = | discharge1_location= | discharge1_min = | discharge1_avg = | discharge1_max = <!---------------------- BASIN FEATURES --> | source1 = | source1_location = | source1_coordinates= {{coord|32.5943|131.0643}} | source1_elevation = | mouth = [[Ariake Sea]] | mouth_location = | mouth_coordinates = {{coord|32.7164|130.6031}}} | mouth_elevation = 0 m | progression = | river_system = | basin_size_km2 = 1100 | tributaries_left = | tributaries_right = | custom_label = | custom_data = | extra = }} '''မိဒိုရိမြစ်''' (緑川, Midorikawa) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]၊ [[ခုမမိုတိုခရိုင်]]တွင် ဖြတ်သန်းစီးဆင်းနေသည့် မြစ်ဖြစ်သည်။<ref name="mlit">{{cite web |author = |url = https://www.mlit.go.jp/river/toukei_chousa/kasen/jiten/nihon_kawa/0912_midori/0912_midori_00.html |url-status = live |archive-url = https://web.archive.org/web/20210824161119/https://www.mlit.go.jp/river/toukei_chousa/kasen/jiten/nihon_kawa/0912_midori/0912_midori_00.html |archive-date = 2021-08-24 |title = 緑川 |lang = ja |website = 日本の川 |publisher = MLIT Japan |date = 2008 |access-date = 2021-08-24 }}</ref> မြစ်သည် ယမတိုမြို့တွင်ရှိသည့် မိခတတောင် (အမြင့် - ၁၅၇၈ မီတ,, ၅၁၇၇ ပေ) ၏ တောင်စောင်းများမှ စတင်စီးဆင်းလာသည်။ မြစ်သည် မိဖုနဲမြစ်နှင့် ပေါင်စည်းသွားပြီးနောက်တွင် ခုမမိုတိုလွင်ပြင်ကို ဖြတ်သန်းသည်။ ခဆဲဂဝမြစ်၊ ဟမဒိုဂဝမြစ်များနှင့်အတူ ပေါင်းဆုံသွားပြီးနောက်တွင် အရိအခဲပင်လယ်အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။ အရိအခဲပင်လယ်သည် အရှေ့တရုတ်ပင်လယ်၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name="mlit" /><ref name="Taniguchi2003">{{Cite journal |author = Taniguchi, Makoto, Jun Shimada, and Takeshi Uemura |editor= |format= |url= https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1474706503000676 |title= Transient effects of surface temperature and groundwater flow on subsurface temperature in Kumamoto Plain, Japan |type= |orig-year= | agency = |edition= Physics and Chemistry of the Earth, Parts A/B/C |location= |date= 2003 |year= 2003 |publisher= |at= |volume= 28 |issue= |number= 9—11|pages = 477—486 |page= |series= |isbn = |issn = |doi = |bibcode = |arxiv = |pmid = |ref= |archive-url = https://web.archive.org/web/20210831100337/https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1474706503000676 |archive-date = 2021-08-31 |language= en |quote= }}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ မြစ်များ]] f3xbvvhd0gmkm3j74ctu42pyzz6q74j 1040715 1040714 2026-06-25T08:00:48Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:ခုမမိုတိုခရိုင်ရှိ မြစ်များ]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1040715 wikitext text/x-wiki {{Infobox river | name = မိဒိုရိမြစ် | name_native = {{native name|ja|緑川}} | name_native_lang = | name_other = | name_etymology = <!---------------------- IMAGE & MAP --> | image = Reitai Bridge 01.jpg | image_size = | image_caption = Reitai Bridge over Midori in Misato Town | map = | map_size = | map_caption = | pushpin_map = Japan | pushpin_map_size = | pushpin_map_caption= <!---------------------- LOCATION --> | subdivision_type1 = Country | subdivision_name1 = [[Japan]] | subdivision_type2 = Prefecture | subdivision_name2 = [[Kumamoto Prefecture]] | subdivision_type3 = | subdivision_name3 = | subdivision_type4 = | subdivision_name4 = | subdivision_type5 = | subdivision_name5 = <!---------------------- PHYSICAL CHARACTERISTICS --> | length_km = 76 | width_min = | width_avg = | width_max = | depth_min = | depth_avg = | depth_max = | discharge1_location= | discharge1_min = | discharge1_avg = | discharge1_max = <!---------------------- BASIN FEATURES --> | source1 = | source1_location = | source1_coordinates= {{coord|32.5943|131.0643}} | source1_elevation = | mouth = [[Ariake Sea]] | mouth_location = | mouth_coordinates = {{coord|32.7164|130.6031}}} | mouth_elevation = 0 m | progression = | river_system = | basin_size_km2 = 1100 | tributaries_left = | tributaries_right = | custom_label = | custom_data = | extra = }} '''မိဒိုရိမြစ်''' (緑川, Midorikawa) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]၊ [[ခုမမိုတိုခရိုင်]]တွင် ဖြတ်သန်းစီးဆင်းနေသည့် မြစ်ဖြစ်သည်။<ref name="mlit">{{cite web |author = |url = https://www.mlit.go.jp/river/toukei_chousa/kasen/jiten/nihon_kawa/0912_midori/0912_midori_00.html |url-status = live |archive-url = https://web.archive.org/web/20210824161119/https://www.mlit.go.jp/river/toukei_chousa/kasen/jiten/nihon_kawa/0912_midori/0912_midori_00.html |archive-date = 2021-08-24 |title = 緑川 |lang = ja |website = 日本の川 |publisher = MLIT Japan |date = 2008 |access-date = 2021-08-24 }}</ref> မြစ်သည် ယမတိုမြို့တွင်ရှိသည့် မိခတတောင် (အမြင့် - ၁၅၇၈ မီတ,, ၅၁၇၇ ပေ) ၏ တောင်စောင်းများမှ စတင်စီးဆင်းလာသည်။ မြစ်သည် မိဖုနဲမြစ်နှင့် ပေါင်စည်းသွားပြီးနောက်တွင် ခုမမိုတိုလွင်ပြင်ကို ဖြတ်သန်းသည်။ ခဆဲဂဝမြစ်၊ ဟမဒိုဂဝမြစ်များနှင့်အတူ ပေါင်းဆုံသွားပြီးနောက်တွင် အရိအခဲပင်လယ်အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။ အရိအခဲပင်လယ်သည် အရှေ့တရုတ်ပင်လယ်၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name="mlit" /><ref name="Taniguchi2003">{{Cite journal |author = Taniguchi, Makoto, Jun Shimada, and Takeshi Uemura |editor= |format= |url= https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1474706503000676 |title= Transient effects of surface temperature and groundwater flow on subsurface temperature in Kumamoto Plain, Japan |type= |orig-year= | agency = |edition= Physics and Chemistry of the Earth, Parts A/B/C |location= |date= 2003 |year= 2003 |publisher= |at= |volume= 28 |issue= |number= 9—11|pages = 477—486 |page= |series= |isbn = |issn = |doi = |bibcode = |arxiv = |pmid = |ref= |archive-url = https://web.archive.org/web/20210831100337/https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1474706503000676 |archive-date = 2021-08-31 |language= en |quote= }}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ မြစ်များ]] [[ကဏ္ဍ:ခုမမိုတိုခရိုင်ရှိ မြစ်များ]] 2nj6zbx04w8nq29l9alim0wz3hto5z1 14 288589 1040716 2026-06-25T08:01:23Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "[[ကဏ္ဍ:ခုမမိုတိုခရိုင်ရှိ မြစ်များ]]" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040716 wikitext text/x-wiki [[ကဏ္ဍ:ခုမမိုတိုခရိုင်ရှိ မြစ်များ]] ilxgimzqty0bu19nyyxf5ri2k04wt6d 3 288590 1040720 2026-06-25T08:10:49Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040720 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် ဦးအောင်မင်းခန့် ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၈:၁၀၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) tku3ke6bk8euduuyiilr95adgniythm 3 288591 1040721 2026-06-25T08:10:59Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040721 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် June Saw Tun ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၈:၁၀၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) ewigi7nx2ubdsegisj98zb7q38mr19i 3 288592 1040722 2026-06-25T08:11:09Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040722 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Damir Zotov 67 67 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၈:၁၁၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) ks1s2634x2u8l1t79y04nd06gi6gk12 0 288593 1040723 2026-06-25T08:14:05Z Naingli 144794 "== မင်းသားရွှေကျီးညို == {{Infobox person | name = မင်းသားရွှေကျီးညို | image = | caption = | birth_date = ၁၉၁၈ | birth_place = ဟင်္သာတမြို့၊ မြန်မာနိုင်ငံ | death_date = | death_place =..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040723 wikitext text/x-wiki == မင်းသားရွှေကျီးညို == {{Infobox person | name = မင်းသားရွှေကျီးညို | image = | caption = | birth_date = ၁၉၁၈ | birth_place = ဟင်္သာတမြို့၊ မြန်မာနိုင်ငံ | death_date = | death_place = ပဲခူးမြို့ | occupation = သဘင်မင်းသား | years_active = ၁၉၃၅ - ၁၉၇၈ ကွယ်လွန်ချိန်အထိ | spouse = လှလေးကြည် | children = စိန်ကျီးညို၊ မြကျီးညို | parents = နယားပျံဆရာခ (ဖခင်)၊ ဒေါ်ကြင်မြိုင် (မိခင်) }} မင်းသားရွှေကျီးညိုသည် မြန်မာ့ရိုးရာသဘင်လောကနှင့် ဓာတ်ပြားခေတ်တွင် အသံအကောင်းဆုံးနှင့် အအောင်မြင်ဆုံး မင်းသားများထဲတွင် တစ်ဦးအပါအဝင်ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏အမည်နှင့် ပတ်သက်၍ အစောပိုင်းတွင် “ရွှေကျီးညို” (ကကြီး၊ ယပင့်) ဟု စာလုံးပေါင်းသော်လည်း၊ နောက်ပိုင်းတွင် “ရွှေကြီးညို” ဟု ပြောင်းလဲရေးသားခြင်းများ ရှိခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း ပရိသတ်များကြားတွင်မူ “ရွှေကျီးညို” (ကကြီး၊ ယပင့်) ဟူသည့် အမည်ဖြင့်သာ ပိုမိုရေပန်းစား ထင်ရှားသည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် မိသားစု == မင်းသားရွှေကျီးညိုကို ၁၉၁၈ ခုနှစ် (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၈ဝ ပြည့်နှစ်) တွင် ဟင်္သာတမြို့၌ မွေးဖွားခဲ့သည်။ ဖခင်ဖြစ်သူ နယားပျံဆရာခနှင့် မိခင် ဒေါ်ကြင်မြိုင်တို့၏ သားသမီး ကိုးယောက်အနက် တတိယမြောက် သားဖြစ်သည်။ သဘင်မျိုးရိုးမှ ဆင်းသက်လာသူဖြစ်သည့်အတွက် ငယ်စဉ်ကတည်းက အက၊ အခုန်နှင့် အတီးအမှုတ်ပညာရပ်များတွင် ဝါသနာထက်သန်ခဲ့သူဖြစ်သည်။ == သဘင်လောကသို့ ဝင်ရောက်ခြင်းနှင့် အနုပညာခရီး == အသက် ၁၇ နှစ်အရွယ်တွင် သဘင်လောကသို့ ဝင်ရောက်ကာ မင်းသားတစ်ဦး ဖြစ်လာခဲ့ပြီး၊ ထိုခေတ်က ထင်ရှားသော မင်းသား ရွှေဘုတ်နှင့် ခေတ်ပြိုင် တိုက်ပွဲဝင်ခဲ့သည်။ {| class="wikitable" style="width: 100%;" |+ မင်းသားရွှေကျီးညိုနှင့် တွဲဖက်ကပြခဲ့သော မင်းသမီးများ ! အစဉ် !! မင်းသမီးအမည် |- | ၁ || အာဇာနည်လှကြည် |- | ၂ || အောင်ဗလ |- | ၃ || ဗလပြန် |- | ၄ || ပဲခူးမြ |- | ၅ || မျိုးချစ်ဆွေ |- | ၆ || ရွှေဘိုကျော့ |- | ၇ || ပဟိုရ်စည်လှလှရီ |- | ၈ || ပဲခူးကြည် |} အနုပညာသက်တမ်း တစ်လျှောက်တွင် နာမည်ကျော် မင်းသမီးများနှင့် တွဲဖက်ကပြခဲ့ရာ အစောပိုင်းကာလတွင် မင်းသားအာဇာနည်လှကြည်နှင့် တွဲဖက်ပွဲထွက်ခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် “အသံမင်းသား” ဟု အမည်တွင်သည်အထိ ထင်ရှားလာပြီး မင်းသမီးအောင်ဗလနှင့်လည်းကောင်း၊ အောက်ပါ မင်းသမီးများနှင့်လည်း တွဲဖက်ကပြခဲ့သည် - ဗလပြန်နှင့် ပဲခူးမြ မျိုးချစ်ဆွေ ရွှေဘိုကျော့ ပဟိုရ်စည်လှလှရီ ပဲခူးကြည် == လူကြိုက်များ ထင်ရှားသော ဇာတ်ထုပ်များ == {| class="wikitable" style="width: 100%;" |+ မင်းသားရွှေကျီးညို၏ ထင်ရှားသော ဇာတ်ထုပ်များ ! စဉ် !! ဇာတ်ထုပ်အမည် |- | ၁ || ပဒုမပေါင်တိုနှင့် သဒ္ဓါသုမန |- | ၂ || ယက္ခကုမ္ဘာန် |- | ၃ || ဖေလူဝံ |- | ၄ || ဝိဇယကုမ္ဘာန် |- | ၅ || နံကရိုင်းမယ်တော် |- | ၆ || ကျိုက်ထီးရိုးသမိုင်း |- | ၇ || ပန်းပဲမောင်တင့်တယ် |- | ၈ || ကျွန်းညိုကြီးရာဇဝင် |} မင်းသားရွှေကျီးညို၏ သဘင်ပညာနှင့် အသံကို ပရိသတ်များ အထူးနှစ်ခြိုက်ခဲ့သည်။ သူ၏ ထင်ရှားသော ဇာတ်ထုပ်များမှာ - ပဒုမပေါင်တိုနှင့် သဒ္ဓါသုမန ယက္ခကုမ္ဘာန် ဖေလူဝံ ဝိဇယကုမ္ဘာန် နံကရိုင်းမယ်တော် ကျိုက်ထီးရိုးသမိုင်း ပန်းပဲမောင်တင့်တယ် ကျွန်းညိုကြီးရာဇဝင် == ကိုယ်ရေးကိုယ်တာနှင့် ဘဝနိဂုံး == ရွှေကျီးညိုသည် အငြိမ့်မင်းသမီး လှလေးကြည်နှင့် အိမ်ထောင်ကျခဲ့ပြီး သားနှစ်ယောက် ဖြစ်သော မင်းသားစိန်ကျီးညိုနှင့် မြကျီးညိုတို့ကို ထွန်းကားခဲ့သည်။ နောက်ဆုံးတွင် ပဲခူးမြို့၌ ပွဲကပြနေစဉ် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) od1z2z22fmaqdpxtvljd4fkru4hkfmk 0 288594 1040724 2026-06-25T08:26:13Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''ဝိနည်းဓိုရ်ဘုရား ''' သည် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၊ ညောင်ဦးခရိုင်၊ ပုဂံ၊ မင်းနန်သူရွာ၏ မြောက်ဘက်တွင် ရှိသည်။ စေတီပုထိုးအမှတ် - ၆..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040724 wikitext text/x-wiki '''ဝိနည်းဓိုရ်ဘုရား ''' သည် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၊ ညောင်ဦးခရိုင်၊ ပုဂံ၊ မင်းနန်သူရွာ၏ မြောက်ဘက်တွင် ရှိသည်။ စေတီပုထိုးအမှတ် - ၆၅၉ ဖြစ်သည်။ အေဒီ ၁၂၄၃ တွင် သံပျင်သမန္တကုံတံလင်မယားက တည်ထားခဲ့သည်။ ==အကြောင်းအရာ== ပုံစံ ၃ စေတီပေါက်ဂူအမျိုးအစား ဖြစ်သည်။ ဝိနည်းဓိုရ်ဘုရားသည် ဘုရားစေတီများ ပေါင်းစုတည်ရှိနေသည့် စေတီအစုကို ဆိုလိုသည်။ သွားလာရန် ခက်ခဲသဖြင့် ဘုရားဖူး နည်းပါးသည်။ ဘုရားတွင် ပုဂံခေတ်နှောင်းပိုင်း ပန်းချီများကို လေ့လာနိုင်သည်။ ၁၃ ရာစုခေတ် ကျောက်စာတစ်ခုကိုလည်းတွေ့ရှိခဲ့ရပြီး ဘုရားအလှူနှင့်ပတ်သက်၍ ဖော်ပြထားသည်။ ==ကိုးကား== {{reflist}} 741u9d76m0jo79u0dkig6dz29xyzm7f 1040725 1040724 2026-06-25T08:26:43Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 1040725 wikitext text/x-wiki '''ဝိနည်းဓိုရ်ဘုရား ''' သည် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၊ ညောင်ဦးခရိုင်၊ ပုဂံ၊ မင်းနန်သူရွာ၏ မြောက်ဘက်တွင် ရှိသည်။ စေတီပုထိုးအမှတ် - ၆၅၉ ဖြစ်သည်။ အေဒီ ၁၂၄၃ တွင် သံပျင်သမန္တကုံတံလင်မယားက တည်ထားခဲ့သည်။<ref name="bgn">https://baganmyanmar.net/winido.htm</ref> ==အကြောင်းအရာ== ပုံစံ ၃ စေတီပေါက်ဂူအမျိုးအစား ဖြစ်သည်။ ဝိနည်းဓိုရ်ဘုရားသည် ဘုရားစေတီများ ပေါင်းစုတည်ရှိနေသည့် စေတီအစုကို ဆိုလိုသည်။ သွားလာရန် ခက်ခဲသဖြင့် ဘုရားဖူး နည်းပါးသည်။ ဘုရားတွင် ပုဂံခေတ်နှောင်းပိုင်း ပန်းချီများကို လေ့လာနိုင်သည်။ ၁၃ ရာစုခေတ် ကျောက်စာတစ်ခုကိုလည်းတွေ့ရှိခဲ့ရပြီး ဘုရားအလှူနှင့်ပတ်သက်၍ ဖော်ပြထားသည်။<ref name="bgn"/> ==ကိုးကား== {{reflist}} c2ratp13xh899zegfc61pxixy2ad0ty 1040726 1040725 2026-06-25T08:27:21Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 1040726 wikitext text/x-wiki '''ဝိနည်းဓိုရ်ဘုရား ''' သည် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်ဦးခရိုင်]]၊ [[ပုဂံ]]၊ [[မင်းနန်သူရွာ၊ ညောင်ဦးမြို့နယ်|မင်းနန်သူရွာ]]၏ မြောက်ဘက်တွင် ရှိသည်။ စေတီပုထိုးအမှတ် - ၆၅၉ ဖြစ်သည်။ အေဒီ ၁၂၄၃ တွင် သံပျင်သမန္တကုံတံလင်မယားက တည်ထားခဲ့သည်။<ref name="bgn">https://baganmyanmar.net/winido.htm</ref> ==အကြောင်းအရာ== ပုံစံ ၃ စေတီပေါက်ဂူအမျိုးအစား ဖြစ်သည်။ ဝိနည်းဓိုရ်ဘုရားသည် ဘုရားစေတီများ ပေါင်းစုတည်ရှိနေသည့် စေတီအစုကို ဆိုလိုသည်။ သွားလာရန် ခက်ခဲသဖြင့် ဘုရားဖူး နည်းပါးသည်။ ဘုရားတွင် ပုဂံခေတ်နှောင်းပိုင်း ပန်းချီများကို လေ့လာနိုင်သည်။ ၁၃ ရာစုခေတ် ကျောက်စာတစ်ခုကိုလည်းတွေ့ရှိခဲ့ရပြီး ဘုရားအလှူနှင့်ပတ်သက်၍ ဖော်ပြထားသည်။<ref name="bgn"/> ==ကိုးကား== {{reflist}} ldnx5j7yn8y72om4eunhzt4286ie3sy 1040737 1040726 2026-06-25T08:45:05Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:ပုဂံရှိ စေတီပုထိုးများ]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1040737 wikitext text/x-wiki '''ဝိနည်းဓိုရ်ဘုရား ''' သည် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်ဦးခရိုင်]]၊ [[ပုဂံ]]၊ [[မင်းနန်သူရွာ၊ ညောင်ဦးမြို့နယ်|မင်းနန်သူရွာ]]၏ မြောက်ဘက်တွင် ရှိသည်။ စေတီပုထိုးအမှတ် - ၆၅၉ ဖြစ်သည်။ အေဒီ ၁၂၄၃ တွင် သံပျင်သမန္တကုံတံလင်မယားက တည်ထားခဲ့သည်။<ref name="bgn">https://baganmyanmar.net/winido.htm</ref> ==အကြောင်းအရာ== ပုံစံ ၃ စေတီပေါက်ဂူအမျိုးအစား ဖြစ်သည်။ ဝိနည်းဓိုရ်ဘုရားသည် ဘုရားစေတီများ ပေါင်းစုတည်ရှိနေသည့် စေတီအစုကို ဆိုလိုသည်။ သွားလာရန် ခက်ခဲသဖြင့် ဘုရားဖူး နည်းပါးသည်။ ဘုရားတွင် ပုဂံခေတ်နှောင်းပိုင်း ပန်းချီများကို လေ့လာနိုင်သည်။ ၁၃ ရာစုခေတ် ကျောက်စာတစ်ခုကိုလည်းတွေ့ရှိခဲ့ရပြီး ဘုရားအလှူနှင့်ပတ်သက်၍ ဖော်ပြထားသည်။<ref name="bgn"/> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ပုဂံရှိ စေတီပုထိုးများ]] r24caoddy58p5t19osw6sj97wsxomcr 1040749 1040737 2026-06-25T09:00:06Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1040749 wikitext text/x-wiki '''ဝိနည်းဓိုရ်ဘုရား ''' သည် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်ဦးခရိုင်]]၊ [[ပုဂံ]]၊ [[မင်းနန်သူရွာ၊ ညောင်ဦးမြို့နယ်|မင်းနန်သူရွာ]]၏ မြောက်ဘက်တွင် ရှိသည်။ စေတီပုထိုးအမှတ် - ၆၅၉ ဖြစ်သည်။ အေဒီ ၁၂၄၃ တွင် သံပျင်သမန္တကုံတံလင်မယားက တည်ထားခဲ့သည်။<ref name="bgn">https://baganmyanmar.net/winido.htm</ref> ==အကြောင်းအရာ== ပုံစံ ၃ စေတီပေါက်ဂူအမျိုးအစား ဖြစ်သည်။ ဝိနည်းဓိုရ်ဘုရားသည် ဘုရားစေတီများ ပေါင်းစုတည်ရှိနေသည့် စေတီအစုကို ဆိုလိုသည်။ သွားလာရန် ခက်ခဲသဖြင့် ဘုရားဖူး နည်းပါးသည်။ ဘုရားတွင် ပုဂံခေတ်နှောင်းပိုင်း ပန်းချီများကို လေ့လာနိုင်သည်။ ၁၃ ရာစုခေတ် ကျောက်စာတစ်ခုကိုလည်းတွေ့ရှိခဲ့ရပြီး ဘုရားအလှူနှင့်ပတ်သက်၍ ဖော်ပြထားသည်။<ref name="bgn"/> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|21.16979960174424|94.90361834403998|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[ကဏ္ဍ:ပုဂံရှိ စေတီပုထိုးများ]] kawagk5yg6nmwjo7kaxuwdt3g61894r 0 288595 1040739 2026-06-25T08:47:52Z Naingli 144794 "== စည်သူ ဦးရွှေနန်းတင် (မြန်မာ့ဇာတ်သဘင် ပညာရှင်) == {{Infobox person | honorific_prefix = စည်သူ | name = ဦးရွှေနန်းတင် | image = | caption = | birth_name = မောင်နန်းတင် | birth_date = {{birth date|19..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040739 wikitext text/x-wiki == စည်သူ ဦးရွှေနန်းတင် (မြန်မာ့ဇာတ်သဘင် ပညာရှင်) == {{Infobox person | honorific_prefix = စည်သူ | name = ဦးရွှေနန်းတင် | image = | caption = | birth_name = မောင်နန်းတင် | birth_date = {{birth date|1923|12|01}} | birth_place = ရန်ကုန်မြို့၊ မြန်မာနိုင်ငံ | death_date = {{death date and age|2022|06|06|1923|12|01}} | death_place = မန္တလေးမြို့၊ မြန်မာနိုင်ငံ | nationality = မြန်မာ | occupation = ဇာတ်မင်းသား၊ သဘင်ပညာရှင် | spouse = ခင်စန်းတင် (ကွာရှင်း)၊ ခင်ဆွေဝင်း | children = နန်းခင်အေး၊ နန်းခင်ဌေး၊ နန်းဝင်း၊ နန်းခင်မွှေး | parents = နန်းတော်ရှေ့ ဆရာတင်၊ ပေါ်လင်တင် | awards = လူမှုထူးချွန်ဆု (၂၀၀၄)၊ စည်သူဘွဲ့ (၂၀၁၄) }} စည်သူ ဦးရွှေနန်းတင် (ငယ်နာမည် မောင်နန်းတင်) သည် မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားသည့် မင်းသားကြီးတစ်ဦးဖြစ်ပြီး၊ နန်းတော်ရှေ့ ဆရာတင်၏ သားသမီးများအနက် ရွှေမန်းညွန့်လှိုင်နှင့်အတူ အထူးအောင်မြင်ခဲ့သော သဘင်ပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်သည်။ == မွေးဖွားခြင်း == မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၉၁ ခုနှစ်၊ ပြာသိုလဆန်း ၁ ရက်၊ တနင်္လာနေ့တွင် ရန်ကုန်မြို့၌ ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ (ခရစ်နှစ် ၁၉၂၃ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ဖြစ်သည်)။ ==မိဘများ == ဖခင်မှာ နာမည်ကျော် စာရေးဆရာ၊ သီချင်းရေးဆရာ နန်းတော်ရှေ့ ဆရာတင်ဖြစ်ပြီး၊ မိခင်မှာ ဇာတ်မင်းသမီးကြီး ပေါ်လင်တင် ဖြစ်သည်။ ==ပညာရေး == ရန်ကုန်မြို့ရှိ စိန်ပေါကျောင်းနှင့် မက်သဒစ်ကျောင်းတို့တွင် စာပေပညာ သင်ကြားခဲ့သည်။ အနုပညာသက်တမ်း: အသက် ၁၇ နှစ်၊ ၁၈ နှစ်အရွယ်တွင် ဇာတ်မင်းသားအဖြစ် စတင်ကျင်လည်ခဲ့သည်။ == အနုပညာနှင့် ဇာတ်သဘင်ခရီး == ဦးရွှေနန်းတင်သည် ဇာတ်သဘင်လောကတွင် ကိုယ်ပိုင်ဟန်ဖြင့် အောင်မြင်မှုများစွာ ရရှိခဲ့သူဖြစ်သည်။ ==အောင်မြင်ခဲ့သော ဇာတ်များ == “သကုန္တလာဇာတ်”၊ “အဇာတသတ်ဇာတ်” နှင့် “ဆင်ခိုးမလေး” ဇာတ်တို့မှာ သူ၏ နာမည်ကို ပိုမိုကျော်ကြားစေခဲ့သည်။ == ဇာတ်အဖွဲ့ == ၁၉၅၀ ပြည့်နှစ်တွင် “ရွှေနန်းတင်ဇာတ်အဖွဲ့” ကို ကိုယ်တိုင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ == ရေးသားဖန်တီးမှု == ကိုယ်ပိုင်ပြဇာတ်များဖြစ်သည့် “ပွင့်ဖူးကြာလား မှော်စာလား”၊ “ငရဲခန်းလား၊ ဘုံခန်းလား” နှင့် “မောင်ငယ်လူထွေး” တို့မှာ လူသိများသည်။ ထို့အပြင် တေးသီချင်းများကို ကိုယ်တိုင်ရေး၊ ကိုယ်တိုင်တီးခတ်၊ ကိုယ်တိုင်သီဆိုနိုင်သူဖြစ်သည်။ == စာပေပြုစုမှု == ၂၀၂၁ ခုနှစ်တွင် ၎င်း၏ သဘင်သက်တမ်းတစ်လျှောက် အတွေ့အကြုံများနှင့် တိမ်မြုပ်နေသော ဇာတ်စာ၊ ဇာတ်စကားများကို စုစည်း၍ “သဘင်သည်ဘဝ အတွေ့အကြုံ” စာအုပ်ကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ == ဂုဏ်ပြုဆုတံဆိပ်များ == မြန်မာ့အနုပညာလောကတွင် တိုင်းပြည်အတွက် ပါဝင်ဆောင်ရွက်ခဲ့မှုများကြောင့် အောက်ပါဘွဲ့တံဆိပ်များကို ရရှိခဲ့သည်။ လူမှုထူးချွန်ဆု (ပထမအဆင့်): ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ရရှိခဲ့သည်။ စည်သူဘွဲ့: ၂၀၁၄ ခုနှစ်တွင် ရရှိခဲ့သည်။ == နိုင်ငံတော်အဆင့် တာဝန်များ == မြန်မာနိုင်ငံ သဘင်ပညာရှင်များအစည်းအရုံး နာယက။ မြန်မာ့ရုပ်စုံသဘင် ပညာရှင်များအသင်း နာယက။ ယဉ်ကျေးမှုတက္ကသိုလ် အကြံပေးပုဂ္ဂိုလ်။ == မိသားစုဘဝ == == ဇနီး == ပထမဇနီး မင်းသမီး ခင်စန်းတင်နှင့် ၁၉၆၉ ခုနှစ်တွင် ကွာရှင်းခဲ့သည်။ ၁၉၉၂ ခုနှစ်တွင် ဒေါ်ခင်ဆွေဝင်းနှင့် ထပ်မံလက်ထပ်ခဲ့သည်။ ==သားသမီးများ == နန်းခင်အေး၊ နန်းခင်ဌေး (ကွယ်လွန်)၊ နန်းဝင်းနှင့် နန်းခင်မွှေးတို့ ဖြစ်သည်။ သားဖြစ်သူ နန်းဝင်းနှင့် သမီးဖြစ်သူ နန်းခင်မွှေးတို့မှာလည်း ထင်ရှားသော ဇာတ်မင်းသား၊ မင်းသမီးများ ဖြစ်ကြသည်။ == ကွယ်လွန်ခြင်း == ဦးရွှေနန်းတင်သည် အသက် (၉၈) နှစ်အရွယ် (အသက် ၁၀၀ ပြည့်ရန် ၂ နှစ်အလို) ဇွန်လ ၆ ရက်နေ့၊ မွန်းလွဲ ၁ နာရီ ၃၅ မိနစ်အချိန်တွင် မန္တလေးမြို့ရှိ နေအိမ်၌ သက်ကြီးရောဂါဖြင့် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ ၎င်း၏ ကွယ်လွန်မှုကို သမီးဖြစ်သူ ဒေါ်နန်းခင်မွှေးနှင့် သားမက်ဖြစ်သူ အကယ်ဒမီ ငြိမ်းမင်းတို့က အတည်ပြု ပြောကြားခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) q0eep1wc1pcz6r74i6mhar5tdw0p5u2 1040741 1040739 2026-06-25T08:50:35Z Naingli 144794 1040741 wikitext text/x-wiki == စည်သူ ဦးရွှေနန်းတင် (မြန်မာ့ဇာတ်သဘင် ပညာရှင်) == {{Infobox person | honorific_prefix = စည်သူ | name = ဦးရွှေနန်းတင် | image = | caption = | birth_name = မောင်နန်းတင် | birth_date = {{birth date|1923|12|01}} | birth_place = ရန်ကုန်မြို့၊ မြန်မာနိုင်ငံ | death_date = {{death date and age|2022|06|06|1923|12|01}} | death_place = မန္တလေးမြို့၊ မြန်မာနိုင်ငံ | nationality = မြန်မာ | occupation = ဇာတ်မင်းသား၊ သဘင်ပညာရှင် | spouse = ခင်စန်းတင် (ကွာရှင်း)၊ ခင်ဆွေဝင်း | children = နန်းခင်အေး၊ နန်းခင်ဌေး၊ နန်းဝင်း၊ နန်းခင်မွှေး | parents = နန်းတော်ရှေ့ ဆရာတင်၊ ပေါ်လင်တင် | awards = လူမှုထူးချွန်ဆု (၂၀၀၄)၊ စည်သူဘွဲ့ (၂၀၁၄) }} စည်သူ ဦးရွှေနန်းတင် (ငယ်နာမည် မောင်နန်းတင်) သည် မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားသည့် မင်းသားကြီးတစ်ဦးဖြစ်ပြီး၊ နန်းတော်ရှေ့ ဆရာတင်၏ သားသမီးများအနက် ရွှေမန်းညွန့်လှိုင်နှင့်အတူ အထူးအောင်မြင်ခဲ့သော သဘင်ပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်သည်။ == မွေးဖွားခြင်း == မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၈၅ ခုနှစ်၊ ပြာသိုလဆန်း ၁ ရက်၊ တနင်္လာနေ့တွင် ရန်ကုန်မြို့၌ ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ (ခရစ်နှစ် ၁၉၂၃ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ဖြစ်သည်)။ ==မိဘများ == ဖခင်မှာ နာမည်ကျော် စာရေးဆရာ၊ သီချင်းရေးဆရာ နန်းတော်ရှေ့ ဆရာတင်ဖြစ်ပြီး၊ မိခင်မှာ ဇာတ်မင်းသမီးကြီး ပေါ်လင်တင် ဖြစ်သည်။ ==ပညာရေး == ရန်ကုန်မြို့ရှိ စိန်ပေါကျောင်းနှင့် မက်သဒစ်ကျောင်းတို့တွင် စာပေပညာ သင်ကြားခဲ့သည်။ အနုပညာသက်တမ်း: အသက် ၁၇ နှစ်၊ ၁၈ နှစ်အရွယ်တွင် ဇာတ်မင်းသားအဖြစ် စတင်ကျင်လည်ခဲ့သည်။ == အနုပညာနှင့် ဇာတ်သဘင်ခရီး == ဦးရွှေနန်းတင်သည် ဇာတ်သဘင်လောကတွင် ကိုယ်ပိုင်ဟန်ဖြင့် အောင်မြင်မှုများစွာ ရရှိခဲ့သူဖြစ်သည်။ ==အောင်မြင်ခဲ့သော ဇာတ်များ == “သကုန္တလာဇာတ်”၊ “အဇာတသတ်ဇာတ်” နှင့် “ဆင်ခိုးမလေး” ဇာတ်တို့မှာ သူ၏ နာမည်ကို ပိုမိုကျော်ကြားစေခဲ့သည်။ == ဇာတ်အဖွဲ့ == ၁၉၅၀ ပြည့်နှစ်တွင် “ရွှေနန်းတင်ဇာတ်အဖွဲ့” ကို ကိုယ်တိုင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ == ရေးသားဖန်တီးမှု == ကိုယ်ပိုင်ပြဇာတ်များဖြစ်သည့် “ပွင့်ဖူးကြာလား မှော်စာလား”၊ “ငရဲခန်းလား၊ ဘုံခန်းလား” နှင့် “မောင်ငယ်လူထွေး” တို့မှာ လူသိများသည်။ ထို့အပြင် တေးသီချင်းများကို ကိုယ်တိုင်ရေး၊ ကိုယ်တိုင်တီးခတ်၊ ကိုယ်တိုင်သီဆိုနိုင်သူဖြစ်သည်။ == စာပေပြုစုမှု == ၂၀၂၁ ခုနှစ်တွင် ၎င်း၏ သဘင်သက်တမ်းတစ်လျှောက် အတွေ့အကြုံများနှင့် တိမ်မြုပ်နေသော ဇာတ်စာ၊ ဇာတ်စကားများကို စုစည်း၍ “သဘင်သည်ဘဝ အတွေ့အကြုံ” စာအုပ်ကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ == ဂုဏ်ပြုဆုတံဆိပ်များ == မြန်မာ့အနုပညာလောကတွင် တိုင်းပြည်အတွက် ပါဝင်ဆောင်ရွက်ခဲ့မှုများကြောင့် အောက်ပါဘွဲ့တံဆိပ်များကို ရရှိခဲ့သည်။ လူမှုထူးချွန်ဆု (ပထမအဆင့်): ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ရရှိခဲ့သည်။ စည်သူဘွဲ့: ၂၀၁၄ ခုနှစ်တွင် ရရှိခဲ့သည်။ == နိုင်ငံတော်အဆင့် တာဝန်များ == မြန်မာနိုင်ငံ သဘင်ပညာရှင်များအစည်းအရုံး နာယက။ မြန်မာ့ရုပ်စုံသဘင် ပညာရှင်များအသင်း နာယက။ ယဉ်ကျေးမှုတက္ကသိုလ် အကြံပေးပုဂ္ဂိုလ်။ == မိသားစုဘဝ == == ဇနီး == ပထမဇနီး မင်းသမီး ခင်စန်းတင်နှင့် ၁၉၆၉ ခုနှစ်တွင် ကွာရှင်းခဲ့သည်။ ၁၉၉၂ ခုနှစ်တွင် ဒေါ်ခင်ဆွေဝင်းနှင့် ထပ်မံလက်ထပ်ခဲ့သည်။ ==သားသမီးများ == နန်းခင်အေး၊ နန်းခင်ဌေး (ကွယ်လွန်)၊ နန်းဝင်းနှင့် နန်းခင်မွှေးတို့ ဖြစ်သည်။ သားဖြစ်သူ နန်းဝင်းနှင့် သမီးဖြစ်သူ နန်းခင်မွှေးတို့မှာလည်း ထင်ရှားသော ဇာတ်မင်းသား၊ မင်းသမီးများ ဖြစ်ကြသည်။ == ကွယ်လွန်ခြင်း == ဦးရွှေနန်းတင်သည် အသက် (၉၈) နှစ်အရွယ် (အသက် ၁၀၀ ပြည့်ရန် ၂ နှစ်အလို) ဇွန်လ ၆ ရက်နေ့၊ မွန်းလွဲ ၁ နာရီ ၃၅ မိနစ်အချိန်တွင် မန္တလေးမြို့ရှိ နေအိမ်၌ သက်ကြီးရောဂါဖြင့် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ ၎င်း၏ ကွယ်လွန်မှုကို သမီးဖြစ်သူ ဒေါ်နန်းခင်မွှေးနှင့် သားမက်ဖြစ်သူ အကယ်ဒမီ ငြိမ်းမင်းတို့က အတည်ပြု ပြောကြားခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) o5qs0172t4o7tfrj3jawxjk2tkmqg4u 0 288596 1040750 2026-06-25T09:42:10Z Naingli 144794 "== ပန်တျာကြည်လင် == {{Infobox person | name = ပန်တျာကြည်လင် | image = | caption = | birth_date = ၁၉၄၀ | birth_place = မန္တလေး၊ မြန်မာနိုင်ငံ | death_date = | death_place = | occupation = သဘင်..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040750 wikitext text/x-wiki == ပန်တျာကြည်လင် == {{Infobox person | name = ပန်တျာကြည်လင် | image = | caption = | birth_date = ၁၉၄၀ | birth_place = မန္တလေး၊ မြန်မာနိုင်ငံ | death_date = | death_place = | occupation = သဘင်မင်းသား | years_active = ၁၉၆၀ ဝန်းကျင် - ၁၉၇၀ ဝန်းကျင် | spouse = ပန်တျာတင်တင်မြင့် (၁၉၆၂-၁၉၇၄) | parents = ဦးအံ့၊ ဒေါ်စောမေ | notable_works = မြစိမ်းရှင်၊ သိုက်သမိုင်း }} == ကိုယ်ရေးအကျဉ်း == ပန်တျာကြည်လင်သည် မန္တလေးမြို့ အရိုးအိုးကြီးရပ်တွင် ၁၉၄၀ ခုနှစ်၌ ဖွားမြင်သည်။ သားရေကုန်သည်ကြီး ဦးအံ့နှင့် ဒေါ်စောမေတို့၏ သားသမီး ခြောက်ယောက်အနက် တတိယမြောက်သားဖြစ်သည်။ မန္တလေးပန်တျာကျောင်း စတင်ဖွင့်လှစ်ချိန်တွင် ဝင်ရောက်ပညာသင်ယူခဲ့ပြီး အကနည်းပြဆရာ ဦးရွှေနှောင်းညိုထံတွင် သင်ယူခဲ့သည်။ == အနုပညာလှုပ်ရှားမှု == * မြို့တော် သိန်းအောင်ဇာတ်တွင် သုံးနှစ်ကြာ ပညာသင်ယူခဲ့သည်။ * ရွှေမန်းဘိုကေထံတွင်လည်း ဆက်လက်ပညာသင်ယူခဲ့သည်။ * ပြဇာတ်မင်းသား မျိုးချစ်ဘသော်နှင့်အတူ တွဲဖက်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ * ၁၉၆၃ ခုနှစ် သဘင်ရာသီတွင် နာမည်ကျော် မင်းသားတစ်လက်အဖြစ် ထင်ရှားလာခဲ့သည်။ == ထင်ရှားသောဇာတ်ထုပ်များ == * မြစိမ်းရှင် * သိုက်သမိုင်း * (ဇနီးဖြစ်သူ ပန်တျာတင်တင်မြင့်နှင့် တွဲဖက်၍) ပန်တျာကြည်လင် သည် မြန်မာနိုင်ငံ၏ ထင်ရှားသော သဘင်ပညာရှင်၊ ပြဇာတ်မင်းသားနှင့် အဆိုတော်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ အရွယ်ကောင်း၊ အသံကောင်းနှင့် ရုပ်ရည်ချောမောမှုတို့ကြောင့် ၁၉၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် အထူးအောင်မြင်ကျော်ကြားခဲ့သော မင်းသားတစ်လက် ဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် မိသားစု == ပန်တျာကြည်လင်ကို ၁၉၄၀ ပြည့်နှစ်တွင် မန္တလေးမြို့၊ အရိုးအိုးကြီးရပ်၌ မွေးဖွားသည်။ ဖခင်မှာ သားရေကုန်သည်ကြီး ဦးအံ့ဖြစ်ပြီး မိခင်မှာ ဒေါ်စောမေ ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မိဘနှစ်ပါးမှ ထွန်းကားသော သားသမီးခြောက်ယောက်အနက် တတိယမြောက်သား ဖြစ်သည်။ == သဘင်ပညာနှင့် အနုပညာခရီး == "တစ်မိပေါက်၊ တစ်ယောက်ထွန်း" ဟု ဆိုရလောက်အောင်ပင် သဘင်ပညာအပေါ် ဝါသနာထက်သန်သူဖြစ်သည်။ မန္တလေးပန်တျာကျောင်း စတင်ဖွင့်လှစ်ချိန်တွင် ပထမဆုံး ဝင်ရောက်ပညာသင်ယူသူများထဲတွင် ပန်တျာကြည်လင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ ကျောင်းတက်စဉ်ကာလတွင် အကနည်းပြဆရာ ဦးရွှေနှောင်းညိုထံ၌ အကပညာကို သင်ယူခဲ့သည်။ ==ကျောင်းမှ သင်တန်းဆင်းပြီးနောက်ပိုင်း အနုပညာလမ်းကြောင်းပေါ်သို့ == မြို့တော်သိန်းအောင်ဇာတ်: သုံးနှစ်သုံးမိုးကြာ ပညာသင်ယူခဲ့သည်။ ရွှေမန်းဘိုကေ: ရွှေမန်းတင်မောင်၏ ညီဖြစ်သူ ရွှေမန်းဘိုကေထံတွင်လည်း ပညာဆက်လက် ဆည်းပူးခဲ့သည်။ တက်တိုးဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီ: ရန်ကုန်မြို့ရှိ တက်တိုးဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီပိုင်ရှင် ဦးတင်မောင်၊ ဒေါ်သန်းတို့သည် ထူးချွန်သော အနုပညာရှင်များဖြင့် ဇာတ်အဖွဲ့များ ဖွဲ့စည်းရာတွင် ပြဇာတ်မင်းသား မျိုးချစ်ဘသော်နှင့်အတူ ပန်တျာကြည်လင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထူးချွန်သော အနုပညာရှင်များနှင့် တွဲဖက်လုပ်ကိုင်ရခြင်း၊ အရည်အချင်းရှိခြင်းတို့ကြောင့် နေ့ချင်းညချင်း နာမည်ကျော်ကြားလာခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ် သဘင်ရာသီတွင် ပွဲအလွန်ချီရသော မင်းသားတစ်လက်အဖြစ် သတင်းကြီးလာခဲ့ပြီး ဆက်လက်ထင်ရှားလာခဲ့ခြင်း ဖြစ်ပေသည်။ == ကိုယ်ရေးကိုယ်တာ == ပန်တျာကြည်လင်သည် ၁၉၆၂ ခုနှစ်တွင် အိမ်ထောင်ပြုခဲ့ပြီး ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် ကွာရှင်းခဲ့သည်။ ၎င်း၏ ဇနီးဖြစ်သူ ပန်တျာတင်တင်မြင့်နှင့် တွဲဖက်၍ အနုပညာဖျော်ဖြေမှုများစွာ ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ == ထင်ရှားသော လက်ရာများ == ပန်တျာကြည်လင်၏ အထူးထင်ရှားသော ဇာတ်ထုပ်မှာ "မြစိမ်းရှင် သိုက်သမိုင်း" ဖြစ်သည်။ ဂီတလောကတွင်လည်း "မြိုင်ထ" သံစဉ်များဖြင့် အောင်မြင်မှုရရှိခဲ့သည်။ ၎င်း၏ မှတ်တမ်းတင်ထားသော မြိုင်ထသံစဉ်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် - {| class="wikitable sortable" |+ ပန်တျာကြည်လင်၏ ထင်ရှားသော သီချင်းများ ! စဉ် ! အဆိုတော်များ ! သီချင်းခေါင်းစဉ် |- | ၁ | ပန်တျာကြည်လင်၊ ဌေးဌေးမြင့် | ရှေးမြိုင်ထသံဆန်း |- | ၂ | ပန်တျာကြည်လင်၊ ဌေးဌေးမြင့် | မြိုင်ထ |- | ၃ | ပန်တျာကြည်လင်၊ ပန်တျာတင်တင်မြင့်၊ အဖွဲ့ | သစ္စာ |- | ၄ | ပန်တျာကြည်လင် | လေးပျိုနှမ (၇ သံချီမြိုင်ထ) (ရေး - မုံ) |- | ၅ | ပန်တျာကြည်လင်၊ ပန်တျာတင်တင်မြင့် | ဒါန်းစီးမြိုင်ထ |- | ၆ | ပန်တျာကြည်လင် | တောအလှလုံမေ |- | ၇ | ပန်တျာကြည်လင်၊ ခင်ခင်ညွန့်၊ မြင့်မြင့်ရှိန် | ဒါန်းစီး |- | ၈ | ပန်တျာကြည်လင်၊ ခင်ခင်ညွန့် | ပုပ္ပယက္ခ |} == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) lrt57j4oh0n5zgy23jtjl52v9wwwn28 0 288597 1040752 2026-06-25T09:53:12Z Naingli 144794 "== မင်းသားကြီး မင်္ဂလာသိန်းအောင်၏ ဘဝမှတ်တိုင်များ == {{Infobox person | name = မင်္ဂလာသိန်းအောင် | image = | caption = | birth_date = ၁၉၂၈ | birth_place = ရေကြည်မြိ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040752 wikitext text/x-wiki == မင်းသားကြီး မင်္ဂလာသိန်းအောင်၏ ဘဝမှတ်တိုင်များ == {{Infobox person | name = မင်္ဂလာသိန်းအောင် | image = | caption = | birth_date = ၁၉၂၈ | birth_place = ရေကြည်မြို့၊ ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး၊ မြန်မာနိုင်ငံ | death_date = | death_place = | occupation = သဘင်မင်းသား | years_active = ၁၉၃၆–၁၉၈၆+ | known_for = "လွတ်လပ်ရေး တည်တံ့ပါစေ" အော်ပရာ၊ ပဒေသာဓာတ်ပြားများ | awards = နိုင်ငံတော်သမ္မတကြီး ဦးဝင်းမောင်၏ ရွှေတံဆိပ်ဆု }} == ဘဝမှတ်တိုင်များ == {| class="wikitable" ! ကာလ (ခရစ်နှစ်) !! အကြောင်းအရာ |- | ၁၉၂၈ || မွေးဖွားခြင်း |- | ၁၉၃၆ || သဘင်ပညာ စတင်သင်ယူခြင်း |- | ၁၉၃၈ || ရွှေမန်းထွန်းကြိုင်ဇာတ်၌ တပည့်ခံခြင်း |- | ၁၉၄၇ || လပွတ္တာ လွတ်လပ်ရေးအောင်ပွဲ၌ ကပြခြင်း |- | ၁၉၅၄ || ကိုယ်ပိုင်ဇာတ်ထောင်၍ အထက်မြန်မာပြည်လှည့်လည်ခြင်း |- | ၁၉၅၅ || ပဒေသာဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီ၌ ဓာတ်ပြားသွင်းခြင်း |- | ၁၉၈၆ || "နန်းခိုင်ထိပ်တန်းဇာတ်" တည်ထောင်ခြင်း |} မင်းသားကြီး မင်္ဂလာသိန်းအောင်သည် မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော မင်းသားတစ်ပါးဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ ဘဝခရီးလမ်းမှာ ပညာသင်ကြားမှုမှသည် နိုင်ငံတော်အဆင့် ချီးမြှင့်ခံရသည့် အနုပညာရှင်တစ်ဦးအဖြစ်အထိ စိတ်ဝင်စားဖွယ် ကောင်းလှသည်။ == မွေးဖွားခြင်းနှင့် ငယ်ဘဝ == မင်းသား မင်္ဂလာသိန်းအောင်ကို ခရစ်နှစ် ၁၉၂၈ ခုနှစ်တွင် ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး၊ ရေကြည်မြို့နယ်၌ မွေးဖွားခဲ့သည်။ ဖခင်မှာ ကျောင်းဆရာ ဦးမြချမ်းဖြစ်ပြီး မိခင်မှာ ဒေါ်သောင်းခင်ဖြစ်သည်။ မောင်နှမ လေးယောက်အနက် အငယ်ဆုံးသား ဖြစ်သည်။ သူသည် ငယ်စဉ်ကတည်းက သဘင်ပညာကို ဝါသနာပါလွန်သဖြင့် အသက်ရှစ်နှစ်အရွယ်တွင် မင်းသား စိန်ကျော်တင့်နှင့် စိန်မြခင်တို့ထံတွင် တပည့်ခံကာ အနုပညာပညာရပ်များကို စတင်သင်ယူခဲ့သည်။ == သဘင်လောကသို့ ဝင်ရောက်ခြင်း == ခရစ်နှစ် ၁၉၃၈ ခုနှစ်ခန့်တွင် အသုတ်မြို့သို့ ရွှေမန်းထွန်းကြိုင်ဇာတ်အဖွဲ့ ရောက်ရှိလာသည်။ ထိုအချိန်တွင် မောင်သိန်းအောင်သည် အခြေခံပညာရပ်များကို ရရှိနေပြီဖြစ်သဖြင့် မိဘများက ရွှေမန်းထွန်းကြိုင်ထံတွင် သားတပည့်အဖြစ် အပ်နှံခဲ့သည်။ ရွှေမန်းထွန်းကြိုင်ထံတွင် ငါးနှစ်ကြာ အရိပ်ခို ပညာဆည်းပူးပြီးနောက်၊ နာမည်ကျော် မင်္ဂလာဦးအောင်မောင်း၏ ဇာတ်အဖွဲ့သို့ ကူးပြောင်းဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ ဦးအောင်မောင်းက သူ့ကို “ရဲရဲတောက် သိန်းအောင်” ဟူသော အမည်ဖြင့် ပွဲထုတ်ပေးခဲ့သည်။ == ဇာတ်အဖွဲ့များ ပြောင်းလဲခြင်းနှင့် "မင်္ဂလာသိန်းအောင်" အမည်ခံယူခြင်း == ရဲရဲတောက် သိန်းအောင်သည် ဦးအောင်မောင်းထံတွင် တစ်နှစ်ပညာသင်ယူပြီးနောက် လေးမျက်နှာမြို့မှ ဆိုင်းဆရာကြီး ဦးစံပ၏ ဇာတ်အဖွဲ့တွင် ပါဝင်ကပြခဲ့သည်။ တစ်နှစ်အကြာတွင် ဇာတ်ခေါင်းကွဲသွားသဖြင့် ဇာတ်အဖွဲ့သစ် ရှာဖွေနေစဉ် ငါးသိုင်းချောင်းမြို့မှ ဆိုင်းဆရာကြီး ဦးစိန်ဖေနှင့် တွေ့ဆုံခဲ့သည်။ ထိုအချိန်တွင် ဆရာကြီး ဦးစိန်ဖေက အမည်ကို “မင်္ဂလာသိန်းအောင်” ဟု ပြောင်းလဲရန် အကြံပြုခဲ့သည်။ အမည်ဟောင်းကို ကြိုက်နှစ်သက်သော်လည်း အမည်သစ်၏ ငြိမ်သက်အေးချမ်းမှုကို သဘောကျသဖြင့် ခံယူခဲ့သည်။ ခရစ်နှစ် ၁၉၄၇ ခုနှစ်တွင် မင်းသား မင်္ဂလာသိန်းအောင်သည် အသက် ၁၉ နှစ်အရွယ်သို့ ရောက်ရှိလာပြီး လပွတ္တာမြို့တွင် ကျင်းပသည့် လွတ်လပ်ရေးအောင်ပွဲတွင် ဝင်ရောက်ကပြခဲ့ရသည်။ == အနုပညာအောင်မြင်မှုနှင့် အော်ပရာ == လွတ်လပ်ရေးရပြီးစကာလတွင် နိုင်ငံရေးအသိအမြင်များဖြင့် “လွတ်လပ်ရေး တည်တံ့ပါစေ” ဟူသော အော်ပရာကို တီထွင်ကပြခဲ့ရာ နိုင်ငံတော်သမ္မတကြီး ဦးဝင်းမောင်၏ ရွှေတံဆိပ်ဆုကို ချီးမြှင့်ခြင်းခံခဲ့ရသည်။ ထို့နောက် ကိုယ်ပိုင်ဇာတ်အဖွဲ့ ထောင်ခဲ့သော်လည်း ဇာတ်ကိရိယာ တီထွင်မှုပိုင်းတွင် အခက်အခဲရှိသဖြင့် လေးနှစ်အကြာတွင် ဖျက်သိမ်းခဲ့ရသည်။ == ထိပ်တန်းမင်းသားအဖြစ် ရောက်ရှိခြင်းနှင့် ဓာတ်ပြားသွင်းခြင်း == အသက် ၂၆ နှစ်အရွယ် (ခရစ်နှစ် ၁၉၅၄ ခုနှစ်) တွင် ရန်ကုန်မြို့မှ ဦးသိန်းနှင့် ဒေါ်ရင်မေတို့၏ အကူအညီဖြင့် ဇာတ်အဖွဲ့သစ် ထောင်ခဲ့သည်။ ပခုက္ကူသီဟိုဠ်ရှင်ဘုရားပွဲမှစ၍ အထက်မြန်မာပြည်တစ်ခွင် လှည့်လည်ကပြခဲ့ရာမှ အထူးနာမည်ကြီးလာခဲ့သည်။ အသက် ၂၇ နှစ်အရွယ် (ခရစ်နှစ် ၁၉၅၅ ခုနှစ်) တွင် ပဒေသာဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီ၌ ဓာတ်ပြားများ သွင်းယူခဲ့သည်။ သွင်းခဲ့သည့် ဇာတ်ထုပ်များမှာ- (၁) မိဘမေတ္တာ သားလိမ္မာ (၂) အင်္ဂပူဆရာဒင် ရေးသားသော “သမ္မာဇီဝကုမာရ” (၃) ငါးဆူဒါယကာ (အသံသွင်းပြီးမှ ပျက်ပြယ်) (၄) ပဉ္စသိန္နဝ (အသံသွင်းပြီးမှ ပျက်ပြယ်) တို့ဖြစ်သည်။ == နောက်ဆုံးကာလ == မင်းသားကြီး မင်္ဂလာသိန်းအောင်သည် ရန်ကုန်တွင် ၁၁ နှစ်ခန့် ကပြပြီးနောက် မန္တလေးသို့ ပြောင်းရွှေ့အခြေချခဲ့သည်။ ခရစ်နှစ် ၁၉၈၆ ခုနှစ် ဝန်းကျင်တွင် “နန်းခိုင်ထိပ်တန်းဇာတ်” အမည်ဖြင့် ဇာတ်အဖွဲ့ကို တည်ထောင်ကာ ရုံပွဲများ၊ ဗလာပွဲများတွင် ကပြဖျော်ဖြေခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) bhse9zre49qtdrkj3fbvul1dkyqrj3v 0 288598 1040755 2026-06-25T10:01:39Z Naingli 144794 "== မိန်းမမင်းသား ကုလားမညွန့်စိန် (အောင်ညွန့်စိန်) == {| class="infobox" style="width:25em; text-align:left; font-size:90%;" |+ style="font-size:large; font-weight:bold;" | ကုလားမညွန့်စိန် |- ! colspan="2" style="text-align:cente..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040755 wikitext text/x-wiki == မိန်းမမင်းသား ကုလားမညွန့်စိန် (အောင်ညွန့်စိန်) == {| class="infobox" style="width:25em; text-align:left; font-size:90%;" |+ style="font-size:large; font-weight:bold;" | ကုလားမညွန့်စိန် |- ! colspan="2" style="text-align:center;" | {{#invoke:InfoboxImage|InfoboxImage|image=|size=200px|alt=}} |- ! မွေးဖွားနာမည် | မညွန့်စိန် |- ! အခြားအမည် | အောင်ညွန့်စိန် |- ! မွေးဖွားရာဒေသ | မော်လမြိုင်ကျွန်း |- ! မိဘများ | ဦးဖိုးမြိုင်၊ ဒေါ်စောမြိုင် |- ! အသက်မွေးဝမ်းကျောင်း | သဘင်မင်းသား (မိန်းမမင်းသား) |- ! ထင်ရှားသောဇာတ်ထုပ်များ | ရွှေလူဝံ၊ ပဲခူးသမိုင်း၊ ရေငန်ပိုင်ဦးရှင်ကြီး |- ! ခင်ပွန်း | ဦးသူတော် (နှဲဆရာ) |- ! ဆရာများ | ဆီကျော်စိန်တင်၊ ဦးစော်ဘွား၊ မင်းသားတောကျော် |} မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်သမိုင်းတွင် မိန်းမသားဖြစ်လျက်နှင့် မင်းသားနေရာမှ အောင်မြင်စွာ ကပြနိုင်ခဲ့သည့် ထင်ရှားသောပုဂ္ဂိုလ်မှာ "ကုလားမညွန့်စိန်" ဖြစ်သည်။ သူမသည် အရပ်အမောင်း၊ အသံနှင့် အကအခုန်တို့တွင် ထူးချွန်ပြီး ပရိသတ်တို့၏ အားပေးမှုကို အထူးရရှိခဲ့သော မင်းသားတစ်လက်ဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် မိသားစုနောက်ခံ == မော်လမြိုင်ကျွန်းဇာတိဖြစ်သော မညွန့်စိန်ကို ဖခင် ဦးဖိုးမြိုင်နှင့် မိခင် ဒေါ်စောမြိုင်တို့မှ မွေးဖွားခဲ့သည်။ သူမသည် မွေးချင်းနှစ်ဦးတွင် အစ်မအကြီးဆုံးဖြစ်သည်။ သူမ၏မောင်ငယ်မှာလည်း အငြိမ့်လောကသို့ ဝင်ရောက်ခဲ့ပြီး နောက်ပိုင်းတွင် လူရွှင်တော် "ဥသြ" အဖြစ် ထင်ရှားခဲ့ကာ အသက် ၄၀ အရွယ်တွင် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ == အနုပညာလမ်းကြောင်းပေါ်သို့ စတင်ခြင်း == မညွန့်စိန်သည် ငယ်စဉ်က ကျောင်းစာပေထက် အကအခုန်၊ အတီးအမှုတ်ကိုသာ ပိုမိုစိတ်ဝင်စားခဲ့သည်။ ပညာရေးအပိုင်းတွင် ရေးတတ်ဖတ်တတ်ရုံမျှသာ သင်ကြားခဲ့ပြီး အနုပညာလောကသို့ စတင်ခြေချသည့်အနေဖြင့် ရှေ့နေ ဦးဘသော် တည်ထောင်သော "မဟာဒုတ်အသင်း" တွင် ယိမ်းမင်းသမီးအဖြစ် ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် "သုံးပန်လှ ထိပ်တင်ညွန့်" ဟု အမည်ရသည့် ကလေးဇာတ်အဖွဲ့တွင် မင်းသမီး၊ အပျိုတော်၊ မိန်းမကြမ်း စသည့် ဇာတ်ရုပ်မျိုးစုံကို သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ == ဆရာသမားများနှင့် အနုပညာသင်ယူမှု == မညွန့်စိန်သည် အနုပညာပညာရပ်များကို ဆရာအဆင့်ဆင့်ထံတွင် သင်ယူခဲ့သည် - ဆီကျော်စိန်တင်: ဂရိတ်ဦးဖိုးစိန်ဇာတ်အဖွဲ့မှ မင်းသမီးဖြစ်ပြီး မညွန့်စိန်၏ လက်ဦးဆရာဖြစ်သည်။ ရေကျော်ရပ်မှ မင်းသမီးတစ်ဦးကို အကြောင်းပြု၍ နာမည်မှည့်ခေါ်ရာမှ "ဆီကျော်စိန်တင်" ဟု ထင်ရှားလာခြင်းဖြစ်သည်။ မင်းသားကြီး ဦးစော်ဘွား: ဆီကျော်စိန်တင်ထံတွင် ပညာယူပြီးနောက် မင်းသားကြီး ဦးစော်ဘွားထံသို့ ရောက်ရှိသွားသည်။ မင်းသားတောကျော်: ဗန္ဓုလကျော်စိန်ဇာတ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့ပြီး ဇာတ်မင်းသမီးတို့၏ အဓိကကျသော အဆို၊ အငို၊ အပြောပညာရပ်များကို မင်းသားတောကျော်ထံမှ စနစ်တကျ သင်ယူခဲ့သည်။ == မင်းသမီးဘဝမှ မင်းသားဘဝသို့ ပြောင်းလဲခြင်း == မညွန့်စိန်သည် အသက် ၂၃ နှစ်အရွယ် (ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် ၁၉၂၀ ဝန်းကျင်) အထိ မင်းသမီးအဖြစ်သာ ကပြခဲ့သည်။ သို့သော် သူမနှင့် တွဲဖက်ကပြနေသည့် "ဒေါင်းဖို" အမည်ရှိ မင်းသားကို ပရိသတ်က “မင်းသမီးကို တို့ပါ၊ ဆိတ်ပါ” ဟု ပွဲတောင်းကြသည့်အတွက် သူမအလွန်ရှက်ရွံ့မိသည်။ ထိုအချိန်က ဟီရိသြတ္တပ္ပတရားကို အလေးထားသည့်ခေတ်ဖြစ်ရာ မင်းသမီးအဖြစ် ဆက်လက်မကတော့ရန် ဆုံးဖြတ်ခဲ့သည်။ မိန်းမသားဖြစ်သော်လည်း သူမ၏ အရပ်အမောင်း၊ အသံဟန်ပန်နှင့် အကအခုန်တို့က မင်းသားနေရာအတွက် အထူးသင့်လျော်နေသဖြင့် ပရိသတ်၏ အားပေးမှုနှင့်အတူ "အောင်ညွန့်စိန်" ဟူသော အမည်ဖြင့် မင်းသားစတင်လုပ်ကိုင်ခဲ့သည်။ ရန်ကုန်မြို့မှ အပျိုကြီးညီအစ်မနှစ်ဦးဖြစ်သော ဒေါ်ညိုနှင့် ဒေါ်လှတို့က သူမ၏ ဇာတ်ပိုင်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည်။ မင်းသားအမည်မှာ "အောင်ညွန့်စိန်" ဖြစ်သော်လည်း ပရိသတ်ကမူ "ကုလားမညွန့်စိန်" ဟုသာ ရင်းနှီးစွာ ခေါ်ဝေါ်ခဲ့ကြသည်။ == ထင်ရှားသော ဇာတ်ထုပ်များ == ကုလားမညွန့်စိန်သည် အောက်ပါဇာတ်ထုပ်များကို အနိုင်နင်းဆုံး ကပြနိုင်ခဲ့သည် - ရွှေလူဝံ (ဆရာတောကျော်ပင် ချီးကျူးရသည်အထိ နိုင်နင်းခဲ့သည်) ပဲခူးသမိုင်း ရေငန်ပိုင်ဦးရှင်ကြီး ရှင်သီဝလိ ငွေကုမ္ဘာန်ဘီလူး ပဒုမ ပုဖွယက္ခ မိတ္ထီလာကန်တော်သမိုင်း ဇီဝိတသာမဏေ ထို့အပြင် သူမသည် မင်းသား၊ မင်းသမီးအများစု မတတ်ကျွမ်းကြသည့် “ဧယဉ်ကျူး” သည့်အလုပ်တွင်လည်း အလွန်ကျွမ်းကျင်သူဖြစ်သည်။ == ဘဝနှောင်းပိုင်းနှင့် ကိုယ်ပိုင်သီချင်း == အသက် ၅၀ အရွယ်တွင် မင်းသားအလုပ်မှ အနားယူခဲ့သည်။ သူမ၏ ခင်ပွန်းမှာ နှဲဆရာ ဦးသူတော်ဖြစ်သည်။ သူမသည် မင်းသားအောင်ညွန့်စိန်အမည်ဖြင့် ပွဲဦးထွက်တွင် ပရိသတ်ကို မေတ္တာပို့လေ့ရှိသော ထင်ရှားသည့် မေတ္တာပို့တေးမှာ - “သဗ္ဗေသတ္တာ ဝေနေယျာအများတို့ × × စိတ်သွားတိုင်း ကိုယ်ပါ စေ × × လိုရာဆန္ဒ သဗ္ဗစိတ္တ ပြည့်စုံတော်မူကြပါစေ × × လက်ယာအောင်သပြေ × × မပျက်ပါ ညောင်ရေ × × ဘေး အပေါင်းရန်ကွာ × ကျန်းမာကြစေ (မာရဲ့လားလေ × × သာ ရဲ့လားလေ) သဘောစိတ်မှာ × အနောဒိသာ × သြဒိဿ မေတ္တာရေ × × အောင်ပါစေယခု × × ဇေယျတုဖြာဝေ × တင် ပဏ္ဏာခြွေ × × ဆင်ကာရဝေ × × ကြွလာကြတဲ့ မိဘများကို မေးပါရတော့ × × အောင်ညွန့်စိန်ကလေ × × မာကြရဲ့လား ဗျာ × × ကျန်းမာပါစေ × × စကားလက်ဆောင်ဝေ” ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ ကုလားမညွန့်စိန်သည် အသားမည်းသော်လည်း မီးရောင်အောက်တွင် အလွန်လှပသူဖြစ်ပြီး၊ သူမ၏ အနုပညာစွမ်းရည်ဖြင့် မြန်မာ့သဘင်သမိုင်းတွင် မိန်းမမင်းသားအဖြစ် ထူးခြားစွာ မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သူတစ်ဦးဖြစ်သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) o9tgr9f08iwjj5gs1l4b6zaon52sfg2 3 288599 1040757 2026-06-25T10:11:29Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040757 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် AK Sports FC-KPG ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၁၁၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) m8xc2nzmjintxv5hau3eeam17r4jkh0 3 288600 1040758 2026-06-25T10:11:39Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1040758 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Naygyi99 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၁၁၊ ၂၅ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) awdwnu598j5fvhj3eludj1t4schmo1z 0 288601 1040760 2026-06-25T10:25:23Z Naingli 144794 "== မင်းသားကြီး ဦးအောင်ငြိမ်း (၁၈၉၁ - ၁၉၅၆) == {| class="infobox" style="width: 25em; text-align: left; font-size: 90%;" |+ style="font-size: larger; font-weight: bold;" | ဦးအောင်ငြိမ်း |- ! colspan="2" style="text-align: center;" | |- ! မွေး..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040760 wikitext text/x-wiki == မင်းသားကြီး ဦးအောင်ငြိမ်း (၁၈၉၁ - ၁၉၅၆) == {| class="infobox" style="width: 25em; text-align: left; font-size: 90%;" |+ style="font-size: larger; font-weight: bold;" | ဦးအောင်ငြိမ်း |- ! colspan="2" style="text-align: center;" | |- ! မွေးဖွား | ၁၈၉၁ |- ! ကွယ်လွန် | ၁၉၅၆ (ဇွန်လ) |- ! ဇာတိ | ရွှေမန်းမြို့ (မန္တလေး) |- ! မိဘများ | ဦးလှရွှေ၊ ဒေါ်လဲ့ |- ! အလုပ်အကိုင် | သဘင်မင်းသား၊ အကနည်းပြ |- ! အိမ်ထောင်ဖက် | လှလေးစိန် (မင်းသမီး/အဆိုတော်) |- ! ထင်ရှားသောလုပ်ဆောင်ချက် | မင်္ဂလာဦးအောင်ငြိမ်းဇာတ်အဖွဲ့တည်ထောင်သူ |} == အတ္ထုပ္ပတ္တိ == '''ဦးအောင်ငြိမ်း''' (၁၈၉၁–၁၉၅၆) သည် မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားခဲ့သော အနုပညာရှင်ကြီးတစ်ဦးဖြစ်သည်။ === ငယ်ဘဝ === ဦးအောင်ငြိမ်းကို ရွှေမန်းမြို့၌ မွေးဖွားခဲ့ပြီး ငယ်မည်မှာ အေးငြိမ်းဖြစ်သည်။ မိဘများမှာ ရွှေကုန်သည် ဦးလှရွှေနှင့် ဒေါ်လဲ့တို့ဖြစ်သည်။ အင်္ဂလိပ်-မြန်မာ နှစ်ဘာသာသင်ကျောင်းတွင် မူလတန်းအထိ ပညာသင်ကြားခဲ့သည်။ === သဘင်လမ်းကြောင်း === ငယ်စဉ်ကတည်းက ကခုန်တီးမှုတ်ခြင်းကို ဝါသနာပါသဖြင့် ဦးစိန်ရုံး၏ ကလေးဇာတ်အဖွဲ့တွင် လူရွှင်တော်အဖြစ် စတင်ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် မင်းသားအဖြစ် ကပြခွင့်ရခဲ့ပြီး "အောင်ငြိမ်း" ဟူသော အမည်ဖြင့် လူသိများလာသည်။ ၎င်း၏ ကျော်ကြားသော ဇာတ်အဖွဲ့မှာ "မင်္ဂလာဦးအောင်ငြိမ်းဇာတ်" ဖြစ်သည်။ === ကွယ်လွန်ခြင်း === ၁၉၅၆ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် သလိပ်ခဲလည်ချောင်းရောဂါဖြင့် ကွယ်လွန်သည်။ မင်းသားကြီး ဦးအောင်ငြိမ်းသည် မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် ထူးခြားသော အနုပညာစွမ်းရည်များဖြင့် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သည့် ခေတ်တစ်ခေတ်၏ အကျော်အမော် မင်းသားတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာရေး == ဦးအောင်ငြိမ်းကို ရွှေမန်းဇာတိသားအဖြစ် မွေးဖွားခဲ့ပြီး ငယ်မည်မှာ အေးငြိမ်း ဖြစ်သည်။ မိဘများမှာ ရွှေကုန်သည် ဦးလှရွှေနှင့် ဒေါ်လဲ့တို့ ဖြစ်သည်။ ငယ်စဉ်က အင်္ဂလိပ်-မြန်မာ နှစ်ဘာသာသင်ကျောင်းတွင် မူလတန်းအဆင့်အထိ ပညာသင်ကြားခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း ကျောင်းစာပေထက် ကခုန်တီးမှုတ်ခြင်းကို ပိုမိုဝါသနာထက်သန်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ == သဘင်လောကသို့ ဝင်ရောက်ခြင်း == ငယ်ရွယ်စဉ်ကာလကပင် နာမည်ကျော် ရှေးလူရွှင်တော်ကြီး ဦးစိန်ရုံး တည်ထောင်ထားသော ကလေးဇာတ်အဖွဲ့သို့ ဝင်ရောက်ခဲ့ပြီး "အေးငြိမ်း" ဟူသော အမည်ဖြင့် လူရွှင်တော်အဖြစ် စတင်ကျင်လည်ခဲ့သည်။ ထိုဇာတ်အဖွဲ့၏ ခေါင်းဆောင်မင်းသား စိန်မြသွင် အပြင်းအထန်ဖျားနာနေချိန်တွင်၊ ပွဲကရန် အခက်အခဲကြုံနေသော ဦးစိန်ရုံးထံသို့ လူရွှင်တော် အေးငြိမ်းက ချဉ်းကပ်၍ မင်းသားအဖြစ် ကပြခွင့်တောင်းခံခဲ့သည်။ ထိုအခါ ဦးစိန်ရုံးက အေးငြိမ်းကို "အောင်ငြိမ်း" ဟု အမည်ပြောင်းလဲပေးကာ မင်းသားအဖြစ် ကပြစေခဲ့သည်။ ၎င်းသည် ကလေးမင်းသမီး ဥက္ကလာအေးကြည်နှင့် တွဲဖက်ကပြရာမှ ပရိသတ်၏ အားပေးမှုကို တစ်စတစ်စ ရရှိလာခဲ့သည်။ ထို့နောက် ရွှေမန်းမြို့ရှိ သဘင်ပညာရှင်ကြီးများထံတွင် ပညာရပ်များကို ဆက်လက်ဆည်းပူးခဲ့သည်။ == အနုပညာခရီးနှင့် ကျော်ကြားမှု == မကြာမီ ရတနာပုံနေပြည်တော်မှ ထွက်ခွာလာပြီး ဦးဖိုးဆင်၊ မအရှာဘီတို့၏ ဇာတ်အဖွဲ့တွင် ခေါင်းဆောင်မင်းသားအဖြစ် ပါဝင်ခဲ့သည်။ မင်းသမီး မညွန့်ရီနှင့် တွဲဖက်ကပြခဲ့သော ထိုအချိန်ကာလသည် မင်းသားအောင်ငြိမ်း၏ အမည်သည် ဂရိတ်ဦးဖိုးစိန်ကြီးပင် အံ့ဩရလောက်အောင် မြန်မာတစ်ပြည်လုံးသို့ ပျံ့နှံ့ကျော်ကြားခဲ့သည့် ကာလဖြစ်သည်။ ကျော်ကြားမှုကြောင့် ဂရိတ်ဦးဖိုးစိန်ကြီးက မင်းသားအောင်ငြိမ်းနှင့် ဇာတ်အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့လုံးကို လစာငွေ ၁,၅ဝဝ ကျပ် (မင်းသားအတွက် သီးသန့် ၃ဝဝ ကျပ်) ဖြင့် ခေါ်ယူအသုံးပြုခဲ့သည်။ ၂ နှစ်ကြာမြင့်ပြီးနောက် ထိုဇာတ်အဖွဲ့မှ ခွဲထွက်ကာ "မင်္ဂလာဦးအောင်ငြိမ်းဇာတ်အဖွဲ့" ကို ကိုယ်ပိုင်ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ၎င်း၏ ဇာတ်အဖွဲ့တွင် တွဲဖက်ကပြခဲ့သော မင်းသမီးများမှာ - ဘိလပ်ပြန်မဗလခင် တလိုင်းမမငွေခင် မငွေကျင် ယိုးဒယားမသိန်းမေ ပဲခူးမကျော်တင့် မင်းသားအောင်ငြိမ်းသည် ကြိုးက၊ ကလပ်ကများတွင် တစ်မူထူးခြားသော အကဟန်များဖြင့် ထင်ရှားခဲ့သည်။ "နေ့ရောညရော အရောင်မမှိန်၊ အောင်ငြိမ်းတက်ခေတ်စိန်" ဟူသော သီချင်းမှာ မင်းသားတက်ခေတ်စိန်ကို မြေတောင်မြှောက်ပေးရန် "တက်ခေတ်စိန်" သဘင်အဖွဲ့ကို ဖွဲ့စည်းပေးခဲ့စဉ်က ပရိသတ်တို့ နှစ်သက်စွဲလမ်းခဲ့ရာမှ ပါးစပ်ဖျားတွင် ရေပန်းစားလာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်ရေးကိုယ်တာနှင့် နောက်ဆုံးနေ့ရက်များ == ဒုတိယကမ္ဘာစစ်အပြီးတွင် နာမည်ကျော် မင်းသမီးနှင့် အဆိုတော် "လှလေးစိန်" နှင့် အိမ်ထောင်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော် သားသမီးထွန်းကားခြင်း မရှိခဲ့ပေ။ နိုင်ငံတော်၏ ကိုယ်စားလှယ်အဖြစ် ယဉ်ကျေးမှုအဖွဲ့နှင့်အတူ ပါကစ္စတန်နှင့် တရုတ်နိုင်ငံများသို့ သွားရောက်ခဲ့ဖူးသည်။ နောက်ပိုင်းကာလတွင် ကျန်းမာရေးအခြေအနေကြောင့် သဘင်လောကမှ အနားယူခဲ့ရသော်လည်း ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာန လက်အောက်ရှိ ပန်တျာကျောင်းတွင် အကနည်းပြဆရာအဖြစ် လစာငွေ ၃ဝဝ ကျပ်ဖြင့် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ မင်းသားကြီး ဦးအောင်ငြိမ်းသည် အသက် ၆၅ နှစ်အရွယ်၊ ၁၉၅၆ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် သလိပ်ခဲလည်ချောင်းရောဂါဖြင့် ကွယ်လွန်အနိစ္စရောက်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) dp67w776uw8q6ebdlvw93jivspey45f 0 288602 1040764 2026-06-25T10:39:54Z Naingli 144794 "== တိုင်းချစ်သန်းစိန် == {{Infobox person | name = တိုင်းချစ်သန်းစိန် | image = | birth_date = ၁၉၃၀ | birth_place = တောင်ငူမြို့၊ အုန်းပင်စုရွာ၊ မြန်မာနိုင်ငံ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040764 wikitext text/x-wiki == တိုင်းချစ်သန်းစိန် == {{Infobox person | name = တိုင်းချစ်သန်းစိန် | image = | birth_date = ၁၉၃၀ | birth_place = တောင်ငူမြို့၊ အုန်းပင်စုရွာ၊ မြန်မာနိုင်ငံ | death_date = | occupation = သဘင်ပညာရှင်၊ ဇာတ်မင်းသား | years_active = ၁၉၄၀ - ၁၉၇၀ ဝန်းကျင် | parents = ဦးဆော့တင် (ဖခင်)၊ ဒေါ်သော့ (မိခင်) }} တိုင်းချစ်သန်းစိန် (ခရစ်နှစ် ၁၉၃၀ - [ကွယ်လွန်ရက် အချက်အလက်မရှိ]) သည် မြန်မာနိုင်ငံ၏ သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားခဲ့သော ဇာတ်မင်းသားတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူသည် အနေအထိုင် ရိုးသားတည်ငြိမ်ပြီး အနုပညာတွင် အားပါသော ဆိုဟန်၊ ပြောဟန်များဖြင့် ပရိသတ်အား အထူးဆွဲဆောင်နိုင်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် မိသားစု == တိုင်းချစ်သန်းစိန်ကို ခရစ်နှစ် ၁၉၃၀ ခုနှစ်တွင် တောင်ငူမြို့၊ အုန်းပင်စုရွာ၌ ခမည်းတော် ဦးဆော့တင်နှင့် မယ်တော် ဒေါ်သော့တို့မှ မွေးဖွားခဲ့သည်။ သူသည် မိဘတို့၏ သားသမီးခုနစ်ယောက်အနက် တတိယမြောက်သား ဖြစ်သည်။ == သဘင်ပညာ လေ့လာဆည်းပူးခြင်း == ဇာတ်သဘင်မျိုးရိုး မရှိသော်လည်း ငယ်စဉ်ကတည်းက အကအခုန်၌ အလွန်ဝါသနာကြီးသူ ဖြစ်သည်။ သူ၏ အနုပညာခရီးလမ်းမှာ အောက်ပါအတိုင်း အဆင့်ဆင့် တိုးတက်လာခဲ့သည် - အခြေခံပညာ: အသက် ၁၁ နှစ်အရွယ်တွင် မိဘများ၏ ခွင့်ပြုချက်ဖြင့် မင်းသားကြီး ရာဖြတ်စိန်ကြီး၏ တပည့်ဖြစ်သူ "ရာဖြတ်စိန်လေး" ထံတွင် သုံးနှစ်သုံးမိုး တပည့်ခံကာ အခြေခံအကအခုန် ပညာရပ်များကို စတင်သင်ယူခဲ့သည်။ မန္တလေးကာလ: ထိုမှတစ်ဆင့် မန္တလေးမြို့သို့ ရောက်ရှိသွားပြီး မင်းသားကြီး ဒဂုန်တင်ထံတွင် ဆက်လက်တပည့်ခံခဲ့သည်။ ဤကာလတွင်ပင် "တိုင်းချစ်သန်းစိန်" ဟူသော အမည်နာမကို ရရှိခဲ့သည်။ ပျော်ဘွယ်နှင့် ရှမ်းပြည်နယ်: ဆရာ ဒဂုန်တင်ထံတွင် ပညာယူပြီးနောက် ပျော်ဘွယ်မြို့မှ ဇာတ်ဆရာ ဦးစံမြိုင်ထံသို့ ရောက်ရှိကာ ရှမ်းပြည်နယ် တောင်ပိုင်းနှင့် မြောက်ပိုင်းတစ်ခွင်သို့ သုံးနှစ်ကြာ လှည့်လည်ကပြခဲ့သည်။ ရမည်းသင်းကာလ: ထိုမှတစ်ဖန် ရမည်းသင်းမြို့ရှိ ဦးရွှေကံထံသို့ ရောက်ရှိကာ သာစည်၊ ရမည်းသင်းနှင့် ပျဉ်းမနားနယ်တစ်ဝိုက်တွင် ငါးနှစ်မျှကြာအောင် လှည့်လည်ဖျော်ဖြေခဲ့သည်။ == အောင်မြင်ကျော်ကြားခြင်း == တိုင်းချစ်သန်းစိန်၏ အနုပညာဘဝသည် ရန်ကုန်မြို့မှ နာမည်ကျော် ဇာတ်ဆရာ ဦးကြင်နှင့် ချိတ်ဆက်မိသည့်အချိန်တွင် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ထိုသို့ ချိတ်ဆက်မိခြင်းမှာ ရမည်းသင်း မော်တော်ယာဉ်ဥက္ကဋ္ဌ ဦးအောင်ဖေနှင့် ဦးမြင့်တို့၏ ကူညီမှုကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဦးကြင်နှင့် လက်တွဲခြင်း: သဘင်နယ်တွင် မင်းသားမင်းသမီးများကို မြေတောင်မြှောက်ပေးရာ၌ ထင်ရှားသူ ဦးကြင်နှင့် သုံးနှစ်စာချုပ် ချုပ်ဆိုကာ မြန်မာပြည်အနှံ့ လှည့်လည်ကပြခဲ့သည်။ ကျော်ကြားမှု: တစ်နှစ်အတွင်းမှာပင် အောင်မြင်ကျော်ကြား လူသိများလာခဲ့သောကြောင့် စာချုပ်သက်တမ်း သုံးနှစ်ကုန်ဆုံးသည့်အခါတွင် နောက်ထပ် သုံးနှစ်သက်တမ်းရှိသည့် စာချုပ်တစ်ခုကို ထပ်မံချုပ်ဆိုခဲ့ရသည်။ == ကိုယ်ရည်ကိုယ်သွေးနှင့် အနုပညာဟန် == တိုင်းချစ်သန်းစိန်သည် အနေအထိုင် ရိုးသားသူ၊ တည်ငြိမ်သူနှင့် မာနမရှိသူအဖြစ် လူသိများသည်။ လူနေမှုပုံစံ: ဇာတ်နှင့်သက်ဆိုင်သော ကိစ္စရပ်များတွင် မန်နေဂျာနှင့် ဇာတ်ဆရာတို့သာ တာဝန်ယူဆောင်ရွက်စေပြီး၊ မိမိကိုယ်တိုင်မှာ မမေးလျှင် မပြောဘဲ အေးဆေးစွာ နေလေ့ရှိသည်။ ဆိုဟန်၊ ပြောဟန်: သူ၏ ဆိုပေါက် ပြောပေါက်မှာ နာမည်ကျော် မင်းသားကြီးများဖြစ်ကြသည့် ရွှေမန်းတင်မောင်နှင့် စိန်အောင်မင်းတို့နှင့် ဆင်တူလျက်ရှိသည်။ အသံပါဝါ: ဇာတ်ဆရာ ဦးကြင်၏ အဆိုအရ၊ တစ်ခါတစ်ရံ အော်ငေါက်ပြီး ဆိုလိုက်သော သူ၏ အသံမှာ ဆိုင်းဝိုင်းထဲမှ ဆရာကြီး ဦးဘမောင်ပင် သတိထား၍ ခေါင်းထောင်ကြည့်ရသည်အထိ အားပါလှသည်ဟု ဆိုသည်။ == အသံသွင်းမှတ်တမ်း == ၁၉၇၅ ခုနှစ်တွင် ပဒေသာဓာတ်ပြားကုမ္ပဏီ၌ မြိုင်ထနှင့်အတူ နှစ်ပါးသွားများအပြင် ဇာတ်ထုပ်ရှစ်ထုပ်ကို အသံသွင်းပေးခဲ့သည့် မှတ်တမ်းများ ရှိသည်။ == ဘဝအဆုံးသတ် ရည်မှန်းချက် == မည်သို့ပင် သဘင်ပညာသည်အဖြစ် အောင်မြင်ကျော်ကြားနေစေကာမူ၊ တိုင်းချစ်သန်းစိန်သည် နောက်ဆုံးတွင် အနုပညာလောက၌ အမြဲမနေဘဲ ကုန်သည်အလုပ်ဖြင့်သာ အသက်မွေးဝမ်းကျောင်းပြုကာ ဘဝကို အရိုးထုတ်ရန် အားသန်လျက်ရှိသူ ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) 49hc5c2nwptw21fz1kzp2xt4c8lrbn3 0 288603 1040767 2026-06-25T10:47:49Z AK Sports FC-KPG 144847 အချက်အလက်အသစ်ဖြည့်စွက်ခြင်း 1040767 wikitext text/x-wiki {{Infobox football club | clubname = AK Sports FC-KPG | image = AK Sports FC Logo.jpg | fullname = AK Sports Football Club (KPG) | nickname = Eagle | founded = {{Start date and age|2019|8|5}} | ground = ကျောက်ပန်းတောင်းမြို့နယ် ဘောလုံးကွင်း | owner = ဦးအောင်ကျော်မင်း (ခ) ဦးဖိုးညို | chairman = ဦးထွန်းကို | administrator = ဦးသန့်ဇင် | manager = ကိုပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို | coach = ဦးကျော်ကျော်အောင် (ခ) ဦးဖိုးကျော်<br>ဦးမြင့်သူ (ခ) ဦးသံချောင်း<br>ဦးနိုင်ထူးလွင် (ခ) ကိုနိုင်<br>ဦးပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို | captain = အောင်ဘုန်းပြည့် | pattern_la1 = |pattern_b1=_thinbluesides|pattern_ra1=|pattern_sh1=|pattern_so1= | leftarm1 = FFFFFF |body1 = FFFFFF |rightarm1 = FFFFFF |shorts1 = 00008B |socks1 = 00008B }} '''AK Sports FC-KPG''' သည် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ကျောက်ပန်းတောင်းမြို့]]တွင် အခြေစိုက်သည့် မြန်မာ ဘောလုံးကလပ်အသင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းအသင်းကို ၂၀၁၉ ခုနှစ် ဩဂုတ်လ ၅ ရက်နေ့တွင် အသက် ၂၁ နှစ်အရွယ်ရှိ ကိုပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို က အောင်မင်္ဂလာကျောင်းကွင်း၌ လူငယ်များဖြင့် ''Galar United'' အမည်ဖြင့် စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အသင်း၏ ကိုယ်စားပြုတံဆိပ်မှာ Eagle (လင်းယုန်) ဖြစ်ပြီး အဓိကအရောင်မှာ အဖြူရောင်နှင့် အပြာရင့်ရောင် ဖြစ်သည်။ အသင်းစတင်တည်ထောင်ချိန်မှစ၍ ယခုအချိန်ထိ ကိုဘိုဘို၏ လမ်းညွှန်ထိန်းသိမ်းမှု၊ လေ့ကျင့်သင်ကြားပေးမှုများနှင့်အတူ လူငယ်များအတွက် အခွင့်အရေးများ ဖန်တီးပေးလျက်ရှိပြီး ၂၀၁၉ ခုနှစ်မှ ၂၀၂၆ ခုနှစ်အထိ ပါဝင်ယှဉ်ပြိုင်သော ပြိုင်ပွဲတိုင်းတွင် အသင်းမှ မွေးထုတ်သော လူငယ်ကစားသမားများကိုသာ အသုံးပြုသည်။ == အုပ်ချုပ်မှုနှင့် နည်းပြအဖွဲ့ == * '''အသင်းပိုင်ရှင်:''' ဦးအောင်ကျော်မင်း (ခ) ဦးဖိုးညို * '''အသင်းဥက္ကဋ္ဌ:''' ဦးထွန်းကို * '''အသင်းအုပ်ချုပ်သူ:''' ဦးသန့်ဇင် * '''အသင်းမန်နေဂျာ:''' ကိုပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို * '''နည်းပြများ:''' ဦးကျော်ကျော်အောင် (ခ) ဦးဖိုးကျော်၊ ဦးမြင့်သူ (ခ) ဦးသံချောင်း၊ ဦးနိုင်ထူးလွင် (ခ) ကိုနိုင်၊ ဦးပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို == ပြိုင်ပွဲများနှင့် အောင်မြင်မှုများ == * '''၂၀၁၁ ခုနှစ်:''' Galaticos Futsal ပြိုင်ပွဲတွင် မြို့မှ ဝါရင့်ကစားသမားများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အသင်း ၇ သင်းနှင့် ပါဝင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ရာ အဆင့် (၄) ချိတ်ခဲ့သည်။ * '''၂၀၁၂ ခုနှစ်:''' Galaticos U-19 Futsal ပြိုင်ပွဲတွင် ရှုံးပွဲမရှိဘဲ ပထမဆုဖလား ဆွတ်ခူးရရှိခဲ့သည်။ * '''၂၀၁၃ ခုနှစ်:''' အလွတ်တန်း ဖူဆယ်ပြိုင်ပွဲတွင် ပထမဆု ဆွတ်ခူးခဲ့သည်။ * '''၂၀၁၅ ခုနှစ်:''' ကျောက်ပန်းတောင်းမြို့နယ် U-18 ပြိုင်ပွဲတွင် ရှုံးပွဲမရှိ ပထမဆုဖလား ဆွတ်ခူးခဲ့သည်။ * '''၂၀၂၅ ခုနှစ်:''' ညောင်ဦးမြို့နယ်မှ ကျင်းပသော ငလျင်ဘေးသင့်ဒေသများ ပြန်လည်ထောက်ပံ့ရေး ရန်ပုံငွေပြိုင်ပွဲတွင် ရှုံးပွဲမရှိ ပထမဆု ရရှိခဲ့သည်။ * '''၂၀၂၅ ခုနှစ်:''' ရေနံမြေ သခင်ဖိုးလှကြီးဒိုင်း အလွတ်တန်းဘောလုံးပြိုင်ပွဲတွင် ''Glory Troopers FC-KPG'' အမည်ဖြင့် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ပြီး အဖွင့်ပွဲစဉ်တွင် လက်ရှိချန်ပီယံ အိမ်ရှင် မကွေး UYN အသင်းကို ၃-၂ ရလဒ်ဖြင့် ရှုံးနိမ့်ခဲ့သော်လည်း ပရိသတ်များအကြား ရေပန်းစားခဲ့သည်။<ref>[https://mrtv.gov.mm/en/radioprogram/2025-khunc-rennmeskhngphiulkiidiung-alttttnphitthe-runthkbheaalunpiungpai ၂၀၂၅ ခုနှစ် ရေနံမြေသခင်ဖိုးလှကြီးဒိုင်း အလွတ်တန်းဖိတ်ခေါ် ရှုံးထွက်ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ ယှဉ်ပြိုင်ကစားလျက်ရှိ - MRTV သတင်း]</ref> == ထင်ရှားသော ကစားသမားများ == AK Sports FC-KPG အသင်းသည် မြန်မာ့လက်ရွေးစင် ပဏာမအဆင့်နှင့် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး လက်ရွေးစင်အဆင့် ကစားသမားများကို မွေးထုတ်ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ လက်ရှိ မြန်မာနေရှင်နယ်လိဂ် (National League) ကလပ်အသင်းများဖြစ်ကြသည့် ရတနာပုံ U-20 အသင်း၊ သစ္စာအားမာန် စီနီယာအသင်းနှင့် သစ္စာအားမာန် U-20 အသင်းတို့တွင် အသင်းမှ မွေးထုတ်ပေးခဲ့သော လူငယ်ကစားသမားများ သွားရောက်ကစားလျက်ရှိသည်။ == အကိုးအကားများ == <references /> == ပြင်ပလင့်ခ်များ == * '''ဆိုရှယ်မီဒီယာ အကောင့်များ:''' ** [https://www.facebook.com/share/1BHPd9pcqG/ AK Sports FC တရားဝင် Facebook စာမျက်နှာ] ** [https://www.tiktok.com/@ak.sports.fc2019 AK Sports FC တရားဝင် TikTok အကောင့်] ** [https://www.youtube.com/@aksportsfc AK Sports FC တရားဝင် YouTube ချန်နယ်] * '''မီဒီယာနှင့် သတင်းမှတ်တမ်းများ:''' ** [https://www.youtube.com/watch?v=GaISn9tIfaw ပြိုင်ပွဲဗီဒီယို မှတ်တမ်း (YouTube)] ** [https://www.youtube.com/watch?v=w-zBogqDipM Live ထုတ်လွှင့်မှုမှတ်တမ်း (YouTube)] ** [https://www.facebook.com/share/v/193irwk6oR/ ပြိုင်ပွဲဗီဒီယိုမှတ်တမ်း (Facebook)] ** [https://www.facebook.com/share/p/17jtgorpKc/ အသင်းလှုပ်ရှားမှုမှတ်တမ်း (Facebook)] ** [https://www.facebook.com/share/p/1BE9obakCB/ အသင်းသတင်းထုတ်ပြန်ချက် (Facebook)] 828ksts7mjrhis6ulhgc7q3frm9uyvg 1040782 1040767 2026-06-25T11:30:42Z Pyae Phyoe Mg Mg 144174 သဒ္ဒါပြင်ခဲ့သညဲ by 1040782 wikitext text/x-wiki {{Infobox football club | clubname = AK Sports FC-KPG | image = AK Sports FC Logo.jpg | fullname = AK Sports Football Club (KPG) | nickname = Eagle | founded = {{Start date and age|2019|8|5}} | ground = ကျောက်ပန်းတောင်းမြို့နယ် ဘောလုံးကွင်း | owner = ဦးအောင်ကျော်မင်း (ခ) ဦးဖိုးညို | chairman = ဦးထွန်းကို | administrator = ဦးသန့်ဇင် | manager = ကိုပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို | coach = ဦးကျော်ကျော်အောင် (ခ) ဦးဖိုးကျော်<br>ဦးမြင့်သူ (ခ) ဦးသံချောင်း<br>ဦးနိုင်ထူးလွင် (ခ) ကိုနိုင်<br>ဦးပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို | captain = အောင်ဘုန်းပြည့် | pattern_la1 = |pattern_b1=_thinbluesides|pattern_ra1=|pattern_sh1=|pattern_so1= | leftarm1 = FFFFFF |body1 = FFFFFF |rightarm1 = FFFFFF |shorts1 = 00008B |socks1 = 00008B }} '''AK Sports FC-KPG''' သည် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ကျောက်ပန်းတောင်းမြို့]]တွင် အခြေစိုက်သည့် မြန်မာ ဘောလုံးကလပ်အသင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းအသင်းကို ၂၀၁၉ ခုနှစ် ဩဂုတ်လ ၅ ရက်နေ့တွင် အသက် ၂၁ နှစ်အရွယ်ရှိ ကိုပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို က အောင်မင်္ဂလာကျောင်းကွင်း၌ လူငယ်များဖြင့် ''Galar United'' အမည်ဖြင့် စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အသင်း၏ ကိုယ်စားပြုတံဆိပ်မှာ Eagle (လင်းယုန်) ဖြစ်ပြီး အဓိကအရောင်မှာ အဖြူရောင်နှင့် အပြာရင့်ရောင် ဖြစ်သည်။ အသင်းစတင်တည်ထောင်ချိန်မှစ၍ ယခုအချိန်ထိ ကိုဘိုဘို၏ လမ်းညွှန်ထိန်းသိမ်းမှု၊ လေ့ကျင့်သင်ကြားပေးမှုများနှင့်အတူ လူငယ်များအတွက် အခွင့်အရေးများ ဖန်တီးပေးလျက်ရှိပြီး ၂၀၁၉ ခုနှစ်မှ ၂၀၂၆ ခုနှစ်အထိ ပါဝင်ယှဉ်ပြိုင်သော ပြိုင်ပွဲတိုင်းတွင် အသင်းမှ မွေးထုတ်သော လူငယ်ကစားသမားများကိုသာ အသုံးပြုသည်။ == အုပ်ချုပ်မှုနှင့် နည်းပြအဖွဲ့ == * '''အသင်းပိုင်ရှင်:''' ဦးအောင်ကျော်မင်း (ခ) ဦးဖိုးညို * '''အသင်းဥက္ကဋ္ဌ:''' ဦးထွန်းကို * '''အသင်းအုပ်ချုပ်သူ:''' ဦးသန့်ဇင် * '''အသင်းမန်နေဂျာ:''' ကိုပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို * '''နည်းပြများ:''' ဦးကျော်ကျော်အောင် (ခ) ဦးဖိုးကျော်၊ ဦးမြင့်သူ (ခ) ဦးသံချောင်း၊ ဦးနိုင်ထူးလွင် (ခ) ကိုနိုင်၊ ဦးပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို == ပြိုင်ပွဲများနှင့် အောင်မြင်မှုများ == * '''၂၀၂၁ ခုနှစ်:''' Galaticos Futsal ပြိုင်ပွဲတွင် မြို့မှ ဝါရင့်ကစားသမားများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အသင်း ၇ သင်းနှင့် ပါဝင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ရာ အဆင့် (၄) ချိတ်ခဲ့သည်။ * '''၂၀၂၂ ခုနှစ်:''' Galaticos U-19 Futsal ပြိုင်ပွဲတွင် ရှုံးပွဲမရှိဘဲ ပထမဆုဖလား ဆွတ်ခူးရရှိခဲ့သည်။ * '''၂၀၂၃ ခုနှစ်:''' အလွတ်တန်း ဖူဆယ်ပြိုင်ပွဲတွင် ပထမဆု ဆွတ်ခူးခဲ့သည်။ * '''၂၀၂၅ ခုနှစ်:''' ကျောက်ပန်းတောင်းမြို့နယ် U-18 ပြိုင်ပွဲတွင် ရှုံးပွဲမရှိ ပထမဆုဖလား ဆွတ်ခူးခဲ့သည်။ * '''၂၀၂၅ ခုနှစ်:''' ညောင်ဦးမြို့နယ်မှ ကျင်းပသော ငလျင်ဘေးသင့်ဒေသများ ပြန်လည်ထောက်ပံ့ရေး ရန်ပုံငွေပြိုင်ပွဲတွင် ရှုံးပွဲမရှိ ပထမဆု ရရှိခဲ့သည်။ * '''၂၀၂၅ ခုနှစ်:''' ရေနံမြေ သခင်ဖိုးလှကြီးဒိုင်း အလွတ်တန်းဘောလုံးပြိုင်ပွဲတွင် ''Glory Troopers FC-KPG'' အမည်ဖြင့် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ပြီး အဖွင့်ပွဲစဉ်တွင် လက်ရှိချန်ပီယံ အိမ်ရှင် မကွေး UYN အသင်းကို ၃-၂ ရလဒ်ဖြင့် ရှုံးနိမ့်ခဲ့သော်လည်း ပရိသတ်များအကြား ရေပန်းစားခဲ့သည်။<ref>[https://mrtv.gov.mm/en/radioprogram/2025-khunc-rennmeskhngphiulkiidiung-alttttnphitthe-runthkbheaalunpiungpai ၂၀၂၅ ခုနှစ် ရေနံမြေသခင်ဖိုးလှကြီးဒိုင်း အလွတ်တန်းဖိတ်ခေါ် ရှုံးထွက်ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ ယှဉ်ပြိုင်ကစားလျက်ရှိ - MRTV သတင်း]</ref> == ထင်ရှားသော ကစားသမားများ == AK Sports FC-KPG အသင်းသည် မြန်မာ့လက်ရွေးစင် ပဏာမအဆင့်နှင့် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး လက်ရွေးစင်အဆင့် ကစားသမားများကို မွေးထုတ်ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ လက်ရှိ မြန်မာနေရှင်နယ်လိဂ် (National League) ကလပ်အသင်းများဖြစ်ကြသည့် ရတနာပုံ U-20 အသင်း၊ သစ္စာအားမာန် စီနီယာအသင်းနှင့် သစ္စာအားမာန် U-20 အသင်းတို့တွင် အသင်းမှ မွေးထုတ်ပေးခဲ့သော လူငယ်ကစားသမားများ သွားရောက်ကစားလျက်ရှိသည်။ == အကိုးအကားများ == <references /> == ပြင်ပလင့်ခ်များ == * '''ဆိုရှယ်မီဒီယာ အကောင့်များ:''' ** [https://www.facebook.com/share/1BHPd9pcqG/ AK Sports FC တရားဝင် Facebook စာမျက်နှာ] ** [https://www.tiktok.com/@ak.sports.fc2019 AK Sports FC တရားဝင် TikTok အကောင့်] ** [https://www.youtube.com/@aksportsfc AK Sports FC တရားဝင် YouTube ချန်နယ်] * '''အသင်းကွင်း တည်နေရာ:''' ** [https://www.google.com/maps?q=20.8351512,95.1278144 ကျောက်ပန်းတောင်းမြို့နယ် ဘောလုံးကွင်း တည်နေရာ (Google Maps)] * '''မီဒီယာနှင့် သတင်းမှတ်တမ်းများ:''' ** [https://www.youtube.com/watch?v=GaISn9tIfaw ပြိုင်ပွဲဗီဒီယို မှတ်တမ်း (YouTube)] ** [https://www.youtube.com/watch?v=w-zBogqDipM Live ထုတ်လွှင့်မှုမှတ်တမ်း (YouTube)] ** [https://www.facebook.com/share/v/193irwk6oR/ ပြိုင်ပွဲဗီဒီယိုမှတ်တမ်း (Facebook)] ** [https://www.facebook.com/share/p/17jtgorpKc/ အသင်းလှုပ်ရှားမှုမှတ်တမ်း (Facebook)] ** [https://www.facebook.com/share/p/1BE9obakCB/ အသင်းသတင်းထုတ်ပြန်ချက် (Facebook)] == အုပ်ချုပ်မှုနှင့် နည်းပြအဖွဲ့ == * '''အသင်းပိုင်ရှင်:''' ဦးအောင်ကျော်မင်း (ခ) ဦးဖိုးညို * '''အသင်းဥက္ကဋ္ဌ:''' ဦးထွန်းကို * '''အသင်းအုပ်ချုပ်သူ:''' ဦးသန့်ဇင် * '''အသင်းမန်နေဂျာ:''' ကိုပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို * '''နည်းပြများ:''' ဦးကျော်ကျော်အောင် (ခ) ဦးဖိုးကျော်၊ ဦးမြင့်သူ (ခ) ဦးသံချောင်း၊ ဦးနိုင်ထူးလွင် (ခ) ကိုနိုင်၊ ဦးပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို == ပြိုင်ပွဲများနှင့် အောင်မြင်မှုများ == * '''၂၀၁၁ ခုနှစ်:''' Galaticos Futsal ပြိုင်ပွဲတွင် မြို့မှ ဝါရင့်ကစားသမားများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အသင်း ၇ သင်းနှင့် ပါဝင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ရာ အဆင့် (၄) ချိတ်ခဲ့သည်။ * '''၂၀၁၂ ခုနှစ်:''' Galaticos U-19 Futsal ပြိုင်ပွဲတွင် ရှုံးပွဲမရှိဘဲ ပထမဆုဖလား ဆွတ်ခူးရရှိခဲ့သည်။ * '''၂၀၁၃ ခုနှစ်:''' အလွတ်တန်း ဖူဆယ်ပြိုင်ပွဲတွင် ပထမဆု ဆွတ်ခူးခဲ့သည်။ * '''၂၀၁၅ ခုနှစ်:''' ကျောက်ပန်းတောင်းမြို့နယ် U-18 ပြိုင်ပွဲတွင် ရှုံးပွဲမရှိ ပထမဆုဖလား ဆွတ်ခူးခဲ့သည်။ * '''၂၀၂၅ ခုနှစ်:''' ညောင်ဦးမြို့နယ်မှ ကျင်းပသော ငလျင်ဘေးသင့်ဒေသများ ပြန်လည်ထောက်ပံ့ရေး ရန်ပုံငွေပြိုင်ပွဲတွင် ရှုံးပွဲမရှိ ပထမဆု ရရှိခဲ့သည်။ * '''၂၀၂၅ ခုနှစ်:''' ရေနံမြေ သခင်ဖိုးလှကြီးဒိုင်း အလွတ်တန်းဘောလုံးပြိုင်ပွဲတွင် ''Glory Troopers FC-KPG'' အမည်ဖြင့် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ပြီး အဖွင့်ပွဲစဉ်တွင် လက်ရှိချန်ပီယံ အိမ်ရှင် မကွေး UYN အသင်းကို ၃-၂ ရလဒ်ဖြင့် ရှုံးနိမ့်ခဲ့သော်လည်း ပရိသတ်များအကြား ရေပန်းစားခဲ့သည်။<ref>[https://mrtv.gov.mm/en/radioprogram/2025-khunc-rennmeskhngphiulkiidiung-alttttnphitthe-runthkbheaalunpiungpai ၂၀၂၅ ခုနှစ် ရေနံမြေသခင်ဖိုးလှကြီးဒိုင်း အလွတ်တန်းဖိတ်ခေါ် ရှုံးထွက်ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ ယှဉ်ပြိုင်ကစားလျက်ရှိ - MRTV သတင်း]</ref> == ထင်ရှားသော ကစားသမားများ == AK Sports FC-KPG အသင်းသည် မြန်မာ့လက်ရွေးစင် ပဏာမအဆင့်နှင့် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး လက်ရွေးစင်အဆင့် ကစားသမားများကို မွေးထုတ်ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ လက်ရှိ မြန်မာနေရှင်နယ်လိဂ် (National League) ကလပ်အသင်းများဖြစ်ကြသည့် ရတနာပုံ U-20 အသင်း၊ သစ္စာအားမာန် စီနီယာအသင်းနှင့် သစ္စာအားမာန် U-20 အသင်းတို့တွင် အသင်းမှ မွေးထုတ်ပေးခဲ့သော လူငယ်ကစားသမားများ သွားရောက်ကစားလျက်ရှိသည်။ == အကိုးအကားများ == <references /> == ပြင်ပလင့်ခ်များ == * '''ဆိုရှယ်မီဒီယာ အကောင့်များ:''' ** [https://www.facebook.com/share/1BHPd9pcqG/ AK Sports FC တရားဝင် Facebook စာမျက်နှာ] ** [https://www.tiktok.com/@ak.sports.fc2019 AK Sports FC တရားဝင် TikTok အကောင့်] ** [https://www.youtube.com/@aksportsfc AK Sports FC တရားဝင် YouTube ချန်နယ်] * '''မီဒီယာနှင့် သတင်းမှတ်တမ်းများ:''' ** [https://www.youtube.com/watch?v=GaISn9tIfaw ပြိုင်ပွဲဗီဒီယို မှတ်တမ်း (YouTube)] ** [https://www.youtube.com/watch?v=w-zBogqDipM Live ထုတ်လွှင့်မှုမှတ်တမ်း (YouTube)] ** [https://www.facebook.com/share/v/193irwk6oR/ ပြိုင်ပွဲဗီဒီယိုမှတ်တမ်း (Facebook)] ** [https://www.facebook.com/share/p/17jtgorpKc/ အသင်းလှုပ်ရှားမှုမှတ်တမ်း (Facebook)] ** [https://www.facebook.com/share/p/1BE9obakCB/ အသင်းသတင်းထုတ်ပြန်ချက် (Facebook)] i006fj5gendqyfl8u8x81b46q2215qo 1040783 1040782 2026-06-25T11:35:04Z Pyae Phyoe Mg Mg 144174 /* အုပ်ချုပ်မှုနှင့် နည်းပြအဖွဲ့ 2 */ စာလုံးပေါင်း ပြင်ခဲ့သည် 1040783 wikitext text/x-wiki {{Infobox football club | clubname = AK Sports FC-KPG | image = AK Sports FC Logo.jpg | fullname = AK Sports Football Club (KPG) | nickname = Eagle | founded = {{Start date and age|2019|8|5}} | ground = ကျောက်ပန်းတောင်းမြို့နယ် ဘောလုံးကွင်း | owner = ဦးအောင်ကျော်မင်း (ခ) ဦးဖိုးညို | chairman = ဦးထွန်းကို | administrator = ဦးသန့်ဇင် | manager = ကိုပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို | coach = ဦးကျော်ကျော်အောင် (ခ) ဦးဖိုးကျော်<br>ဦးမြင့်သူ (ခ) ဦးသံချောင်း<br>ဦးနိုင်ထူးလွင် (ခ) ကိုနိုင်<br>ဦးပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို | captain = အောင်ဘုန်းပြည့် | pattern_la1 = |pattern_b1=_thinbluesides|pattern_ra1=|pattern_sh1=|pattern_so1= | leftarm1 = FFFFFF |body1 = FFFFFF |rightarm1 = FFFFFF |shorts1 = 00008B |socks1 = 00008B }} '''AK Sports FC-KPG''' သည် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ကျောက်ပန်းတောင်းမြို့]]တွင် အခြေစိုက်သည့် မြန်မာ ဘောလုံးကလပ်အသင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းအသင်းကို ၂၀၁၉ ခုနှစ် ဩဂုတ်လ ၅ ရက်နေ့တွင် အသက် ၂၁ နှစ်အရွယ်ရှိ ကိုပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို က အောင်မင်္ဂလာကျောင်းကွင်း၌ လူငယ်များဖြင့် ''Galar United'' အမည်ဖြင့် စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အသင်း၏ ကိုယ်စားပြုတံဆိပ်မှာ Eagle (လင်းယုန်) ဖြစ်ပြီး အဓိကအရောင်မှာ အဖြူရောင်နှင့် အပြာရင့်ရောင် ဖြစ်သည်။ အသင်းစတင်တည်ထောင်ချိန်မှစ၍ ယခုအချိန်ထိ ကိုဘိုဘို၏ လမ်းညွှန်ထိန်းသိမ်းမှု၊ လေ့ကျင့်သင်ကြားပေးမှုများနှင့်အတူ လူငယ်များအတွက် အခွင့်အရေးများ ဖန်တီးပေးလျက်ရှိပြီး ၂၀၁၉ ခုနှစ်မှ ၂၀၂၆ ခုနှစ်အထိ ပါဝင်ယှဉ်ပြိုင်သော ပြိုင်ပွဲတိုင်းတွင် အသင်းမှ မွေးထုတ်သော လူငယ်ကစားသမားများကိုသာ အသုံးပြုသည်။ == အုပ်ချုပ်မှုနှင့် နည်းပြအဖွဲ့ == * '''အသင်းပိုင်ရှင်:''' ဦးအောင်ကျော်မင်း (ခ) ဦးဖိုးညို * '''အသင်းဥက္ကဋ္ဌ:''' ဦးထွန်းကို * '''အသင်းအုပ်ချုပ်သူ:''' ဦးသန့်ဇင် * '''အသင်းမန်နေဂျာ:''' ကိုပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို * '''နည်းပြများ:''' ဦးကျော်ကျော်အောင် (ခ) ဦးဖိုးကျော်၊ ဦးမြင့်သူ (ခ) ဦးသံချောင်း၊ ဦးနိုင်ထူးလွင် (ခ) ကိုနိုင်၊ ဦးပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို == ပြိုင်ပွဲများနှင့် အောင်မြင်မှုများ == * '''၂၀၂၁ ခုနှစ်:''' Galaticos Futsal ပြိုင်ပွဲတွင် မြို့မှ ဝါရင့်ကစားသမားများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အသင်း ၇ သင်းနှင့် ပါဝင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ရာ အဆင့် (၄) ချိတ်ခဲ့သည်။ * '''၂၀၂၂ ခုနှစ်:''' Galaticos U-19 Futsal ပြိုင်ပွဲတွင် ရှုံးပွဲမရှိဘဲ ပထမဆုဖလား ဆွတ်ခူးရရှိခဲ့သည်။ * '''၂၀၂၃ ခုနှစ်:''' အလွတ်တန်း ဖူဆယ်ပြိုင်ပွဲတွင် ပထမဆု ဆွတ်ခူးခဲ့သည်။ * '''၂၀၂၅ ခုနှစ်:''' ကျောက်ပန်းတောင်းမြို့နယ် U-18 ပြိုင်ပွဲတွင် ရှုံးပွဲမရှိ ပထမဆုဖလား ဆွတ်ခူးခဲ့သည်။ * '''၂၀၂၅ ခုနှစ်:''' ညောင်ဦးမြို့နယ်မှ ကျင်းပသော ငလျင်ဘေးသင့်ဒေသများ ပြန်လည်ထောက်ပံ့ရေး ရန်ပုံငွေပြိုင်ပွဲတွင် ရှုံးပွဲမရှိ ပထမဆု ရရှိခဲ့သည်။ * '''၂၀၂၅ ခုနှစ်:''' ရေနံမြေ သခင်ဖိုးလှကြီးဒိုင်း အလွတ်တန်းဘောလုံးပြိုင်ပွဲတွင် ''Glory Troopers FC-KPG'' အမည်ဖြင့် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ပြီး အဖွင့်ပွဲစဉ်တွင် လက်ရှိချန်ပီယံ အိမ်ရှင် မကွေး UYN အသင်းကို ၃-၂ ရလဒ်ဖြင့် ရှုံးနိမ့်ခဲ့သော်လည်း ပရိသတ်များအကြား ရေပန်းစားခဲ့သည်။<ref>[https://mrtv.gov.mm/en/radioprogram/2025-khunc-rennmeskhngphiulkiidiung-alttttnphitthe-runthkbheaalunpiungpai ၂၀၂၅ ခုနှစ် ရေနံမြေသခင်ဖိုးလှကြီးဒိုင်း အလွတ်တန်းဖိတ်ခေါ် ရှုံးထွက်ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ ယှဉ်ပြိုင်ကစားလျက်ရှိ - MRTV သတင်း]</ref> == ထင်ရှားသော ကစားသမားများ == AK Sports FC-KPG အသင်းသည် မြန်မာ့လက်ရွေးစင် ပဏာမအဆင့်နှင့် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး လက်ရွေးစင်အဆင့် ကစားသမားများကို မွေးထုတ်ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ လက်ရှိ မြန်မာနေရှင်နယ်လိဂ် (National League) ကလပ်အသင်းများဖြစ်ကြသည့် ရတနာပုံ U-20 အသင်း၊ သစ္စာအားမာန် စီနီယာအသင်းနှင့် သစ္စာအားမာန် U-20 အသင်းတို့တွင် အသင်းမှ မွေးထုတ်ပေးခဲ့သော လူငယ်ကစားသမားများ သွားရောက်ကစားလျက်ရှိသည်။ == အကိုးအကားများ == <references /> == ပြင်ပလင့်ခ်များ == * '''ဆိုရှယ်မီဒီယာ အကောင့်များ:''' ** [https://www.facebook.com/share/1BHPd9pcqG/ AK Sports FC တရားဝင် Facebook စာမျက်နှာ] ** [https://www.tiktok.com/@ak.sports.fc2019 AK Sports FC တရားဝင် TikTok အကောင့်] ** [https://www.youtube.com/@aksportsfc AK Sports FC တရားဝင် YouTube ချန်နယ်] * '''အသင်းကွင်း တည်နေရာ:''' ** [https://www.google.com/maps?q=20.8351512,95.1278144 ကျောက်ပန်းတောင်းမြို့နယ် ဘောလုံးကွင်း တည်နေရာ (Google Maps)] * '''မီဒီယာနှင့် သတင်းမှတ်တမ်းများ:''' ** [https://www.youtube.com/watch?v=GaISn9tIfaw ပြိုင်ပွဲဗီဒီယို မှတ်တမ်း (YouTube)] ** [https://www.youtube.com/watch?v=w-zBogqDipM Live ထုတ်လွှင့်မှုမှတ်တမ်း (YouTube)] ** [https://www.facebook.com/share/v/193irwk6oR/ ပြိုင်ပွဲဗီဒီယိုမှတ်တမ်း (Facebook)] ** [https://www.facebook.com/share/p/17jtgorpKc/ အသင်းလှုပ်ရှားမှုမှတ်တမ်း (Facebook)] ** [https://www.facebook.com/share/p/1BE9obakCB/ အသင်းသတင်းထုတ်ပြန်ချက် (Facebook)] == အုပ်ချုပ်မှုနှင့် နည်းပြအဖွဲ့ == * '''အသင်းပိုင်ရှင်:''' ဦးအောင်ကျော်မင်း (ခ) ဦးဖိုးညို * '''အသင်းဥက္ကဋ္ဌ:''' ဦးထွန်းကို * '''အသင်းအုပ်ချုပ်သူ:''' ဦးသန့်ဇင် * '''အသင်းမန်နေဂျာ:''' ကိုပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို * '''နည်းပြများ:''' ဦးကျော်ကျော်အောင် (ခ) ဦးဖိုးကျော် ဦးမြင့်သူ (ခ) ဦးသံချောင်းဦးနိုင်ထူးလွင် (ခ) ကိုနိုင် ပြည့်ဖြိုးမောင်မောင် (ခ) ကိုဘိုဘို == ပြိုင်ပွဲများနှင့် အောင်မြင်မှုများ == * '''၂၀၁၁ ခုနှစ်:''' Galaticos Futsal ပြိုင်ပွဲတွင် မြို့မှ ဝါရင့်ကစားသမားများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အသင်း ၇ သင်းနှင့် ပါဝင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ရာ အဆင့် (၄) ချိတ်ခဲ့သည်။ * '''၂၀၁၂ ခုနှစ်:''' Galaticos U-19 Futsal ပြိုင်ပွဲတွင် ရှုံးပွဲမရှိဘဲ ပထမဆုဖလား ဆွတ်ခူးရရှိခဲ့သည်။ * '''၂၀၁၃ ခုနှစ်:''' အလွတ်တန်း ဖူဆယ်ပြိုင်ပွဲတွင် ပထမဆု ဆွတ်ခူးခဲ့သည်။ * '''၂၀၁၅ ခုနှစ်:''' ကျောက်ပန်းတောင်းမြို့နယ် U-18 ပြိုင်ပွဲတွင် ရှုံးပွဲမရှိ ပထမဆုဖလား ဆွတ်ခူးခဲ့သည်။ * '''၂၀၂၅ ခုနှစ်:''' ညောင်ဦးမြို့နယ်မှ ကျင်းပသော ငလျင်ဘေးသင့်ဒေသများ ပြန်လည်ထောက်ပံ့ရေး ရန်ပုံငွေပြိုင်ပွဲတွင် ရှုံးပွဲမရှိ ပထမဆု ရရှိခဲ့သည်။ * '''၂၀၂၅ ခုနှစ်:''' ရေနံမြေ သခင်ဖိုးလှကြီးဒိုင်း အလွတ်တန်းဘောလုံးပြိုင်ပွဲတွင် ''Glory Troopers FC-KPG'' အမည်ဖြင့် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ပြီး အဖွင့်ပွဲစဉ်တွင် လက်ရှိချန်ပီယံ အိမ်ရှင် မကွေး UYN အသင်းကို ၃-၂ ရလဒ်ဖြင့် ရှုံးနိမ့်ခဲ့သော်လည်း ပရိသတ်များအကြား ရေပန်းစားခဲ့သည်။<ref>[https://mrtv.gov.mm/en/radioprogram/2025-khunc-rennmeskhngphiulkiidiung-alttttnphitthe-runthkbheaalunpiungpai ၂၀၂၅ ခုနှစ် ရေနံမြေသခင်ဖိုးလှကြီးဒိုင်း အလွတ်တန်းဖိတ်ခေါ် ရှုံးထွက်ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ ယှဉ်ပြိုင်ကစားလျက်ရှိ - MRTV သတင်း]</ref> == ထင်ရှားသော ကစားသမားများ == AK Sports FC-KPG အသင်းသည် မြန်မာ့လက်ရွေးစင် ပဏာမအဆင့်နှင့် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး လက်ရွေးစင်အဆင့် ကစားသမားများကို မွေးထုတ်ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ လက်ရှိ မြန်မာနေရှင်နယ်လိဂ် (National League) ကလပ်အသင်းများဖြစ်ကြသည့် ရတနာပုံ U-20 အသင်း၊ သစ္စာအားမာန် စီနီယာအသင်းနှင့် သစ္စာအားမာန် U-20 အသင်းတို့တွင် အသင်းမှ မွေးထုတ်ပေးခဲ့သော လူငယ်ကစားသမားများ သွားရောက်ကစားလျက်ရှိသည်။ == အကိုးအကားများ == <references /> == ပြင်ပလင့်ခ်များ == * '''ဆိုရှယ်မီဒီယာ အကောင့်များ:''' ** [https://www.facebook.com/share/1BHPd9pcqG/ AK Sports FC တရားဝင် Facebook စာမျက်နှာ] ** [https://www.tiktok.com/@ak.sports.fc2019 AK Sports FC တရားဝင် TikTok အကောင့်] ** [https://www.youtube.com/@aksportsfc AK Sports FC တရားဝင် YouTube ချန်နယ်] * '''မီဒီယာနှင့် သတင်းမှတ်တမ်းများ:''' ** [https://www.youtube.com/watch?v=GaISn9tIfaw ပြိုင်ပွဲဗီဒီယို မှတ်တမ်း (YouTube)] ** [https://www.youtube.com/watch?v=w-zBogqDipM Live ထုတ်လွှင့်မှုမှတ်တမ်း (YouTube)] ** [https://www.facebook.com/share/v/193irwk6oR/ ပြိုင်ပွဲဗီဒီယိုမှတ်တမ်း (Facebook)] ** [https://www.facebook.com/share/p/17jtgorpKc/ အသင်းလှုပ်ရှားမှုမှတ်တမ်း (Facebook)] ** [https://www.facebook.com/share/p/1BE9obakCB/ အသင်းသတင်းထုတ်ပြန်ချက် (Facebook)] 57e5rgb8wqvkby1zm8rybrb3hj83fsw 0 288604 1040770 2026-06-25T11:00:15Z Naingli 144794 "== ပန်တျာကျော်ဝင်း ( ဇာတ်မင်းသား ) == {{Infobox person | name = ပန်တျာကျော်ဝင်း | image = | caption = | birth_name = အငွေ | birth_date = ၁၉၄ဝ | birth_place = မော်လမြိုင်ကျွန်း..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040770 wikitext text/x-wiki == ပန်တျာကျော်ဝင်း ( ဇာတ်မင်းသား ) == {{Infobox person | name = ပန်တျာကျော်ဝင်း | image = | caption = | birth_name = အငွေ | birth_date = ၁၉၄ဝ | birth_place = မော်လမြိုင်ကျွန်း၊ မြန်မာနိုင်ငံ | occupation = သဘင်ပညာရှင်၊ ခေါင်းဆောင်မင်းသား | years_active = ၁၉၅၈ – ၁၉၆၃ (နှင့် နောက်ပိုင်း) | spouse = | parents = ဦးဖိုးဖေ၊ ဒေါ်တင် | relatives = စိန်မြဝင်း (အစ်ကို) | awards = ရွှေတံဆိပ်ဆု (ဗမာ့ခေတ်သတင်းစာ)၊ ကျားခေါင်းဆုတံဆိပ် }} ပန်တျာကျော်ဝင်း (၁၉၄ဝ - ) သည် မြန်မာနိုင်ငံ၏ ထင်ရှားသော သဘင်ပညာရှင်၊ ခေါင်းဆောင်မင်းသားတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ ငယ်နာမည် အငွေ ဖြစ်သည်။ မန္တလေးပန်တျာကျောင်းထွက်တစ်ဦးဖြစ်သည်နှင့်အညီ ဂန္ထဝင်မြောက် သဘင်အနုပညာများကို ကျွမ်းကျင်ပိုင်နိုင်သူအဖြစ် လူသိများသည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် မိသားစု == ၁၉၄ဝ ခုနှစ်တွင် မော်လမြိုင်ကျွန်းမြို့၌ ဖခင် ဦးဖိုးဖေနှင့် မိခင် ဒေါ်တင်တို့မှ ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ မွေးချင်း ခုနစ်ယောက်အနက် သားယောက်ျားများတွင် အထွေးဆုံးဖြစ်သည်။ သူ၏ မိသားစုသည် အနုပညာမျိုးရိုးရှိသူများဖြစ်ပြီး သူ၏အစ်ကိုမှာ ယိုးဒယားပြန် စိန်မြဝင်းဖြစ်သဖြင့် မျိုးရိုးစဉ်ဆက် သဘင်သည်မိသားစုမှ ဆင်းသက်လာသူဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ == ပညာသင်ယူမှု == ပန်တျာကျော်ဝင်းသည် မန္တလေးမြို့ရှိ ပန်တျာကျောင်းတွင် အက၊ အဆိုနှင့် စန္ဒရားသင်တန်းများကို ငါးနှစ်တိုင်တိုင် စနစ်တကျ သင်ကြားခဲ့သည်။ ကျောင်းသားဘဝတွင်ပင် အထက်မြန်မာနိုင်ငံ အရပ်ရပ်သို့ လှည့်လည်ကပြဖျော်ဖြေခဲ့ပြီး၊ ထူးချွန်သော ကျောင်းသားတစ်ဦးအဖြစ် အသိအမှတ်ပြုခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ == အနုပညာခရီးလမ်း == == အစောပိုင်းကာလနှင့် ဆုတံဆိပ်များ == ၁၉၅၈ ခုနှစ်တွင် ပန်တျာကျော်ဝင်း၏ အနုပညာသက်တမ်းအတွက် မှတ်တိုင်တစ်ခု စိုက်ထူနိုင်ခဲ့သည်။ ပုထိုးတော်ကြီး ထီးတင်ပွဲ: ကနက်စိန်၊ ရွှေမန်းတင်မောင်တို့ကဲ့သို့သော သဘင်ပညာရှင်ကြီးများနှင့်အတူ တွဲဖက်ကပြနိုင်ခဲ့သည်။ ထိုဖျော်ဖြေမှုအတွက် ဗမာ့ခေတ်သတင်းစာ က ချီးမြှင့်သော ရွှေတံဆိပ်ဆု ကို ရရှိခဲ့သည်။ ဂျူဗလီဟော ပြပွဲ: ရန်ကုန်မြို့ ဂျူဗလီဟောတွင် ကျင်းပသည့် ပြပွဲ၌ မန္တလေးပန်တျာကျောင်းကိုယ်စားပြု၍ ကပြရာတွင် ဂရိတ်ဖိုးစိန်နှင့် တူညီအောင် ကပြပြောဆိုနိုင်သဖြင့် ပရိသတ်၏ ချီးမွမ်းခြင်းကို ခံခဲ့ရသည်။ == အောင်မြင်မှုနှင့် နိုင်ငံတော်အဆင့် ပါဝင်မှုများ == ၁၉၅၈ ခုနှစ်တွင် ကျောင်းထွက်ပြီးနောက် မြောက်ပိုင်းတိုင်း စစ်ဌာနချုပ်မှ တည်ထောင်သော "ရွှေမန်းမင်္ဂလာ" အမှတ် ၁ ဇာတ်အဖွဲ့ တွင် ခေါင်းဆောင်မင်းသားအဖြစ် တာဝန်ယူခဲ့သည်။ ၁၉၆ဝ ခုနှစ်တွင် ကျင်းပသော မြန်မာ-တရုတ် နယ်နိမိတ်စာချုပ် ချုပ်ဆိုသည့်ပွဲ၌ အဖွဲ့ငယ်(၂) ၏ ခေါင်းဆောင်အဖြစ် ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က ဧရာဝတီပြောသောပုံပြင် နှင့် စန္ဒကိန္ဒရီအက ပြဇာတ် များတွင် ဆိုဗီယက်ပြန် [[နွဲ့နွဲ့စန်း]] နှင့် တွဲဖက်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ ထိုလုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် ၁၉၆၁ ခုနှစ်တွင် မြောက်ပိုင်းတိုင်း စစ်ဌာနချုပ်၏ ကျားခေါင်းဆုတံဆိပ် ကို ရရှိခဲ့သည်။ == နောက်ပိုင်းကာလများ == တရုတ်နိုင်ငံမှ ပြန်လည်ရောက်ရှိပြီးနောက် အစ်ကိုဖြစ်သူ ရွှေမန်းပန်တျာမြဝင်းနှင့်အတူ ကိုယ်ပိုင်ဇာတ်ထောင်ကာ ကပြဖျော်ဖြေခဲ့ကြသည်။ သို့သော် ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် စိန်မြဝင်းမှာ ပခုက္ကူမြို့ရှိ ရှမ်းမလေးငွေကြင် တည်ထောင်သောဇာတ်သို့ ခေါင်းဆောင်မင်းသားအဖြစ် ပြောင်းရွှေ့သွားခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် မြို့တော်သိန်းအောင် ကျန်းမာရေးအရ နားနေချိန်၌၊ မန္တလေးမြို့ ထီးရိုးဝင်းနေ ဦးသန်းဝေ၏ သားများ စုစည်းဖွဲ့စည်းထားသည့် "မြို့တော်အဖွဲ့သားများ၏ဇာတ်" တွင် ခေါင်းဆောင်မင်းသား ပန်တျာကျော်ဝင်း အမည်ဖြင့် ဆက်လက်ကပြခဲ့သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ [[ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း]] ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) b1isxoy8kq7uqu622natl5gszo7gofd 0 288605 1040777 2026-06-25T11:08:30Z Naingli 144794 "== ရွှေမြိုင်စိန်မောင် ( ဇာတ်မင်းသား ) == <table class="infobox" style="width: 25em; border: 1px solid #a2a9b1; background-color: #f8f9fa; padding: 5px;"> <tr> <th colspan="2" style="text-align: center; font-size: 1.2em; background-color: #cedff2;">ရွှေမြိုင..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040777 wikitext text/x-wiki == ရွှေမြိုင်စိန်မောင် ( ဇာတ်မင်းသား ) == <table class="infobox" style="width: 25em; border: 1px solid #a2a9b1; background-color: #f8f9fa; padding: 5px;"> <tr> <th colspan="2" style="text-align: center; font-size: 1.2em; background-color: #cedff2;">ရွှေမြိုင်စိန်မောင်</th> </tr> <tr> <td><b>အမည်ရင်း</b></td> <td>မောင်တင်မြင့်</td> </tr> <tr> <td><b>အခြားအမည်</b></td> <td>အမြင့်</td> </tr> <tr> <td><b>မွေးဖွားရက်</b></td> <td>၁၉၄၂</td> </tr> <tr> <td><b>မွေးဖွားရာဒေသ</b></td> <td>တောင်စွန်းရွာ၊ ဘီလူးကျွန်း</td> </tr> <tr> <td><b>မိဘ</b></td> <td>ဦးအောင်တင် (ကုန်သည်)၊ ဒေါ်ကြွေ</td> </tr> <tr> <td><b>ထင်ရှားသောဦးလေး</b></td> <td>ကျော်ဝင်းစိန် (မင်းသား)</td> </tr> <tr> <td><b>သဘင်ပညာစတင်သင်ယူ</b></td> <td>ကိုးနှစ်သား</td> </tr> <tr> <td><b>ဇာတ်စီးမင်းသားဖြစ်သည့်အရွယ်</b></td> <td>၁၂ နှစ်သား</td> </tr> <tr> <td><b>ဆရာများ</b></td> <td>ဦးအောင်မာဒင်၊ ဦးမျောက်ရှုံး၊ ဝိဇ္ဇာမောင်</td> </tr> </table> ရွှေမြိုင်စိန်မောင်သည် မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားခဲ့သော ဇာတ်မင်းသားတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် မိသားစု == ရွှေမြိုင်စိန်မောင်ကို ၁၉၄၂ ခုနှစ်တွင် ဘီလူးကျွန်း၊ တောင်စွန်းရွာ၌ ဖခင် ဦးအောင်တင်နှင့် မိခင် ဒေါ်ကြွေတို့မှ ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ မိဘများမှာ ကုန်သည်များဖြစ်ကြပြီး၊ မောင်နှမ လေးယောက်အနက် အကြီးဆုံးသား ဖြစ်သည်။ သူ၏ အမည်ရင်းမှာ မောင်တင်မြင့် ဖြစ်သော်လည်း မိဘများက ချစ်စနိုးဖြင့် “အမြင့်” ဟု ခေါ်ဝေါ်ရာမှ သူငယ်ချင်းမိတ်ဆွေများနှင့် ပရိသတ်များ၏ နှုတ်ဖျားတွင်လည်း “အမြင့်” ဟုပင် ထင်ရှားလာခဲ့သည်။ == သဘင်ပညာ လေ့လာဆည်းပူးခြင်း == အမြင့်သည် ဇာတ်သဘင်မျိုးရိုးရှိသူတစ်ဦးဖြစ်သည်။ သူ၏ဦးလေးအရင်းမှာ ထင်ရှားသော မင်းသားကြီး ကျော်ဝင်းစိန် ဖြစ်သည်။ အမြင့်သည် ငယ်စဉ် ကိုးနှစ်သားအရွယ်ကတည်းက သဘင်ပညာကို စတင်သင်ယူခဲ့သည်။ သူ၏ လက်ဦးဆရာများမှာ ရုပ်သေးမင်းသား ဦးအောင်မာဒင်၊ ဦးမျောက်ရှုံးနှင့် ဝိဇ္ဇာမောင်တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ဇာတ်စီးခေါင်းဆောင် မင်းသားတစ်ပါး ဖြစ်လာခဲ့သော်လည်း၊ သူသည် မိမိ၏ဦးလေးဖြစ်သူ မင်းသားကြီး ကျော်ဝင်းစိန်ထံတွင် တပည့်ခံ၍ သဘင်ပညာရပ်များကို ဆက်လက်လေ့လာ ဆည်းပူးခဲ့သည်။ == သဘင်လောကသို့ ဝင်ရောက်ခြင်း== အမြင့်သည် အလွန်ငယ်ရွယ်သော အရွယ် ၁၂ နှစ်သားအရွယ်မှာပင် ဇာတ်စီးခေါင်းဆောင်မင်းသားအဖြစ် တင်ဆက်နိုင်ခဲ့သူဖြစ်သည်။ သူ၏ ဇာတ်သဘင်ခရီးတစ်လျှောက်တွင်လည်း ပရိသတ်အားပေးမှုများစွာကို ရရှိခဲ့သော မင်းသားတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ 392glfstrzolc8t9onknq63q42hz39n 0 288606 1040781 2026-06-25T11:23:44Z Naingli 144794 "== ရွှေဒေါင်းညို (သဘင်ပညာရှင်) == {{Infobox person | name = ရွှေဒေါင်းညို | image = | caption = | birth_name = မောင်ဉာဏ် | birth_date = {{birth date|1911|01|15}} (ခန့်မှန်း) | birth_place = ရန်..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1040781 wikitext text/x-wiki == ရွှေဒေါင်းညို (သဘင်ပညာရှင်) == {{Infobox person | name = ရွှေဒေါင်းညို | image = | caption = | birth_name = မောင်ဉာဏ် | birth_date = {{birth date|1911|01|15}} (ခန့်မှန်း) | birth_place = ရန်ကုန်မြို့၊ ကြည့်မြင်တိုင်ရပ်ကွက်၊ မြန်မာနိုင်ငံ | death_date = {{death date and age|2005|10|4|1911|1|15}} | death_place = မြန်မာနိုင်ငံ | occupation = သဘင်ပညာရှင်၊ မင်းသား | years_active = ၁၉၂၅ – ၂၀၀၅ | known_for = ဇာတ်သဘင်၊ အကနည်းပြ | children = [[ချစ်ဦးညို]] (သားကြီး)၊ ဒေါင်းမလေး (သမီး) | relatives = [[အမာစိန်]] (တူမ) | awards = ဝိဇ္ဇာပညာထူးချွန် (ပထမအဆင့်) }} ရွှေဒေါင်းညို (ခရစ်နှစ် ၁၉၁၁ - ၂၀၀၅) သည် မြန်မာ့ရိုးရာ သဘင်လောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားသော မင်းသားကြီးနှင့် အနုပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ငယ်နာမည် မောင်ဉာဏ် ဟု ခေါ်တွင်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့် မိသားစုနောက်ခံ == မောင်ဉာဏ်ကို မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၇၂ ခုနှစ်၊ ပြာသိုလပြည့်ကျော် ၂ ရက် (ခရစ်နှစ် ၁၉၁၁ ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလ)၊ တနင်္လာနေ့တွင် ရန်ကုန်မြို့၊ ကြည့်မြင်တိုင်ရပ်ကွက်၌ ဦးမြနှင့် ဒေါ်မိတို့မှ ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ သူသည် ဆိုင်းမျိုးရိုးမှ ဆင်းသက်လာသူဖြစ်ပြီး အဘိုးဖြစ်သူမှာ ဆိုင်းဆရာကြီး ဆရာလပ်ကြီး ဖြစ်သည်။ ဆရာလပ်ကြီးသည် သီပေါမင်း လက်ထက်တော်က မန္တလေးအရိုးအိုးဆိုင်းဝိုင်းကို အသနားတော်ခံရသူဖြစ်သည်။ အဘိုးဖြစ်သူ၏ အစ်ကိုမှာ [[မင်းတုန်းမင်း|မင်းတုန်းမင်း]]နှင့် [[သီပေါမင်း]] လက်ထက်တော်တို့တွင် ဝဲယာဆိုင်းတော်တီးအဖြစ် ထမ်းရွက်ခဲ့သည့် “နေမျိုးသီရိကျော်စွာခေါင်” ဘွဲ့ရ ဆရာမင်းကြီးဖြစ်သည်။ ဆရာမြနှင့် ဒေါ်မိတို့မှ သားလေးယောက် ထွန်းကားခဲ့သည် - ၁။ ဦးဘစံ ([[မြရင်၊ မ (လေဘာတီ)|လေဘာတီမမြရင်]]အငြိမ့်မှ ပတ္တလားတီး) ၂။ ဦးအုန်းဖေ (အငြိမ့်ကြေးတီး၊ ယိုးဒယားပြန်[[အမာစိန်]]၏ ဖခင်) ၃။ ကိုမှန် ၄။ ကိုဉာဏ် (ရွှေဒေါင်းညို) ထိုလေးယောက်အနက် နောင်အခါတွင် မင်းသားရွှေဒေါင်းညို ဖြစ်လာမည့် ကိုဉာဏ်သည် ငယ်စဉ်ကပင် အစ်ကိုနှစ်ဝမ်းကွဲတော်သူ စိန်မြသွင် (မန္တလေး ပန်တျာကျောင်း၊ အကနည်းပြ (ကွယ်လွန်) ၏ ဇာတ်ထဲတွင် ပညာသင်ရင်း ဆီးသီးကောက်မင်းသားအဖြစ် နှစ်ပါးခွင် ၌ ကပြခဲ့ရသည်။ == အနုပညာခရီးလမ်း == ကိုဉာဏ်သည် ငယ်စဉ်ကပင် အစ်ကိုနှစ်ဝမ်းကွဲတော်စပ်သူ မန္တလေးပန်တျာကျောင်းမှ အကနည်းပြဆရာကြီး စိန်မြသွင်၏ ဇာတ်အဖွဲ့တွင် ပညာသင်ကြားခဲ့သည်။ ထိုစဉ်က အနုပညာအမည်မှာ “ဘီအေဉာဏ်” ဖြစ်သည်။ သူသည် လေဘာတီမမြရင်အငြိမ့်၊ ပုစွန်တောင်မစိန်ဆင်ဇာတ်အဖွဲ့နှင့် မြခြေကျင်းမငွေမြိုင်ဇာတ်တို့တွင် ဝင်ရောက်လုပ်ကိုင်ခဲ့သည်။ အသက် ၁၄ နှစ်အရွယ် (ခရစ်နှစ် ၁၉၂၅ ခုနှစ်) တွင် [[ငွေမြိုင်၊ မ၊ မြခြေချင်း|မြခြေကျင်းမငွေမြိုင်]]၏ မောင်ဖြစ်သူ ဦးသာဒွန်းအေးက ဇာတ်ခွဲထောင်လိုက်သောအခါ မောင်ဉာဏ်မှာ ခေါင်းဆောင်မင်းသား ဖြစ်လာသည်။ ဒေါင်းသီချင်း အဆိုအကတွင် ထူးချွန်သောကြောင့် “ရွှေဒေါင်းညို” ဟူသော အမည်ကို ခံယူခဲ့သည်။ == ဝန်ထမ်းဘဝနှင့် အနုပညာဆိုင်ရာ တာဝန်များ == ၁၉၅၃ ခုနှစ်: မန္တလေးပန်တျာကျောင်း၌ “အမျိုးသားအကနည်းပြဆရာ” အဖြစ် ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ ၁၉၅၄ - ၁၉၅၅ ခုနှစ်: မန္တလေးဆရာအတတ်သင်ကျောင်း၌ ဂီတနှင့်အက ကထိကအဖြစ် အမှုထမ်းခဲ့သည်။ ၁၉၆၂ ခုနှစ်: ရန်ကုန်ယဉ်ကျေးမှုဇာတ်ဌာနတွင် နည်းပြအကြံပေး၊ ယဉ်ကျေးမှုတက္ကသိုလ်ကောင်စီဝင်နှင့် ယဉ်ကျေးမှုအဘိဓာန် (သဘင်) ပြုစုရေးအဖွဲ့ဝင်အဖြစ် တာဝန်ယူခဲ့သည်။ == ကွယ်လွန်ခြင်းနှင့် ဂုဏ်ပြုမှတ်တမ်း == ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် ဦးဉာဏ် (ရွှေဒေါင်းညို) သည် ၂၀၀၅ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၄ ရက်နေ့ (အသက် ၉၅ နှစ်) တွင် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူသည် ဝိဇ္ဇာပညာထူးချွန် (ပထမအဆင့်)၊ ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာန အကြံပေးပညာရှင်၊ ယဉ်ကျေးမှုတက္ကသိုလ်ကောင်စီဝင်၊ မြန်မာနိုင်ငံ သဘင်အစည်းအရုံးနာယက၊ မြန်မာ့ရိုးရာယဉ်ကျေးမှု အဆိုအကအရေးအတီးပြိုင်ပွဲ (ဇာတ်တော်ကြီး) ဗဟိုအကဲဖြတ်ဒိုင်အဖွဲ့ဝင်အဖြစ် တာဝန်ယူခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ == မိသားစုဝင်များ == သားကြီးမှာ စာရေးဆရာ ချစ်ဦးညို ဖြစ်ပြီး သမီးမှာ မင်းသမီး ဒေါင်းမလေး ဖြစ်သည်။ တူမဖြစ်သူ ယိုးဒယားပြန် အမာစိန်မှာ ထင်ရှားသော အငြိမ့်မင်းသမီးကြီးတစ်ဦးဖြစ်သည်။ == ကိုးကား == * ရင်းမြစ် - ( စာရေးဆရာ ဆင်ဖြူကျွန်းအောင်သိန်း ရေးသားသော မြန်မာ့ဇာတ်သဘင်ပညာရှင် များစာအုပ်မှ ဖော်ပြသည်။ ) 00mru0s6x2irlon78vzcrbwebkpbmdd