ဝီကီပီးဒီးယား mywiki https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%97%E1%80%9F%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%AC MediaWiki 1.47.0-wmf.16 first-letter မီဒီယာ အထူး ဆွေးနွေးချက် အသုံးပြုသူ အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက် ဝီကီပီးဒီးယား ဝီကီပီးဒီးယား ဆွေးနွေးချက် ဖိုင် ဖိုင် ဆွေးနွေးချက် မီဒီယာဝီကီ မီဒီယာဝီကီ ဆွေးနွေးချက် တမ်းပလိတ် တမ်းပလိတ် ဆွေးနွေးချက် အကူအညီ အကူအညီ ဆွေးနွေးချက် ကဏ္ဍ ကဏ္ဍ ဆွေးနွေးချက် မုခ်ဝ မုခ်ဝ ဆွေးနွေးချက် စာမူကြမ်း စာမူကြမ်း ဆွေးနွေးချက် TimedText TimedText talk မော်ဂျူး မော်ဂျူး ဆွေးနွေးချက် Event Event talk 0 2923 1049520 1043079 2026-08-20T05:08:44Z ~2026-45549-44 147175 /* */ ဖြည့်စွက် 1049520 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement | official_name = Yangon (Rangoon) | other_name = မဟာရန်ကုန် | settlement_type = တိုင်းဒေသကြီးမြို့တော် | image_skyline = {{Photomontage | photo1a = ShwedagonPagoda.jpg | photo2a = 2016 Rangun, Dawny budynek Sądu Najwyższego (01).jpg | photo2b = Yangon downtown at night.jpg | photo3a = Sule Pagoda Yangon Burma.JPG | photo3b = Buildings along the river in Yangon.jpg | photo4a = KandawgyiLake (cropped).jpg | spacing = 2 | border = 2 | color_border = green | color = yellow | size = 280 | foot_montage = ရန်ကုန်မြို့တော် မြင်ကွင်းအစုံစုံ }} | imagesize = | image_caption = | image_flag = Flag of Yangon Region.svg | flag_size = 100px | image_seal = Seal of Yangon Region Government.png | seal_size = 100px | image_shield = | shield_size = | nickname = | motto = <!-- images and maps -----------> | image_map = | mapsize = | map_caption = ရန်ကုန် | image_map1 = | mapsize1 = 200px | map_caption1 = | pushpin_map = Myanmar | pushpin_label_position = left | pushpin_map_caption = ရန်ကုန်မြို့တည်နေရာ | coordinates = {{Coord|16|51|N|96|11|E|region:MM|display=inline,title}} <!-- Location ------------------>| subdivision_type = နိုင်ငံ | subdivision_name = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} <!-- See [[Country]] before reverting. a country is what is governed by a state, not the state/government itself. --> | subdivision_type1 = ဒေသ | subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံ တိုင်းဒေသကြီးများ|တိုင်းဒေသကြီး]] | subdivision_type3 = | subdivision_type4 = | subdivision_name1 = [[အောက်မြန်မာပြည်]] | subdivision_name2 = [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]] | subdivision_name3 = | subdivision_name4 = <!-- Politics -----------------> | established_title = တည်ထောင် | established_date = ၆ ရာစု | established_title2 = <!-- Incorporated (town) --> | established_date2 = | established_title3 = <!-- Incorporated (city) --> | established_date3 = <!-- Area ---------------------> | government_footnotes = | government_type = [[ရန်ကုန်မြို့တော် စည်ပင်သာယာရေး ကော်မတီ]] | leader_title = [[မြို့တော်ဝန်]] | leader_name = | leader_title1 = <!-- for places with, say, both a mayor and a city manager --> | leader_name1 = | unit_pref = <!--Enter: Imperial, if Imperial (metric) is desired--> | area_urban_km2 = 598.75 | area_metro_km2 = 10170 | elevation_m = | population_as_of = ၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း | population_density_urban_km2 = auto | population_density_urban_sq_mi = auto | population_urban = 5,160,512 | population_rural = 2,200,191 | population_density_metro_km2 = auto | population_density_metro_sq_mi = auto | population_metro = 7,360,703 | population_metro_footnotes = <ref name="census-2014">{{cite book|title=Census Report|publisher=Ministry of Immigration and Population|location=Naypyitaw|date=May 2015|series=The 2014 Myanmar Population and Housing Census|volume=2|page=31|url=https://drive.google.com/file/d/0B067GBtstE5TeUlIVjRjSjVzWlk/view}}</ref> | population_blank1_title = လူမျိုးများ | population_blank1 = [[ဗမာ]]၊ [[မြန်မာပြည်ဖွား အိန္ဒိယနွယ်ဖွားများ|အိန္ဒိယနွယ်ဖွားများ]]၊[[မြန်မာပြည်ဖွား တရုတ်လူမျိုးများ|တရုတ်နွယ်ဖွားများ]]၊အခြား [[မြန်မာတိုင်းရင်းသားမျိုးနွယ်များ]] | population_blank2_title = ကိုးကွယ်မှု | population_blank2 = [[ဗုဒ္ဓဘာသာ]] ၉၁%<br> [[အစ္စလာမ်ဘာသာ]] ၄.၇%<br>ခရစ်ယာန် ၃.၂%<br> [[ဟိန္ဒူ]] ၁.၀%<br>အခြား ၀.၁% | population_demonym = | timezone = {{အာရှ/ရန်ကုန်}} | utc_offset = +6:30 | area_code = ၀၁ | registration_plate = YGN | website = {{URL|https://www.yangon.gov.mm/}} | name = ရန်ကုန် | native_name = | native_name_lang = my | timezone1 = [[Asia/Yangon|အာရှ/ရန်ကုန်]] | utc_offset1 = +၆:၃၀ }} '''ရန်ကုန်မြို့''' ({{lang-en|Yangon}}၊ ယခင်အမည်: '''Rangoon , [[မွန်ဘာသာစကား|မွန်]] : ဒဂုၚ် )'''သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၏ ယခင် ရုံးစိုက်ရာ [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ မြို့တော်များ စာရင်း|မြို့တော်]]ဟောင်းဖြစ်ပြီး [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]]၏ ရုံးစိုက်ရာ မြို့တော်ဖြစ်သည်။ ၂၀၀၆ ခုနှစ်၊ မတ်လမှ စတင်၍ တရားဝင်အုပ်ချုပ်ရေးမြို့တော်ကို [[နေပြည်တော်]]သို့ ပြောင်းရွှေ့သတ်မှတ်ခဲ့သော်လည်း၊<ref name=":0">{{Cite news| url =http://news.bbc.co.uk/2/hi/asia-pacific/4848408.stm | title =Burma's new capital stages parade |publisher=BBC News | date =27 March 2006 | accessdate =3 August 2006}}</ref> လူဦးရေ ၈ သန်းနီးပါး ရှိသော ရန်ကုန်မြို့သည် မြန်မာနိုင်ငံ၏ လူဦးရေအထူထပ်ဆုံးသော မဟာမြို့ကြီး နှင့် အရေးအကြီးဆုံးသော စီးပွားရေး၊ ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးနှင့် ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ အချက်အချာမြို့ကြီးအဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိနေဆဲ ဖြစ်သည်။<ref name="UNPop">{{cite web |title=Yangon, Myanmar Population |url=https://worldpopulationreview.com/world-cities/yangon-population |website=World Population Review |access-date=2026-07}}</ref> ရန်ကုန်မြို့၏ မြို့ပြအခြေခံအဆောက်အအုံသည် အရှေ့တောင်အာရှရှိ အခြားသော မြို့ကြီးများနှင့် နှိုင်းယှဉ်ပါက စိန်ခေါ်မှုများနှင့် ရင်ဆိုင်နေရဆဲဖြစ်သော်လည်း၊ မော်တော်ကားလမ်းမကြီးများ၊ အထပ်မြင့်အဆောက်အအုံများနှင့် စီးပွားရေးဇုန်များ တိုးချဲ့မှုကြောင့် ဆယ်စုနှစ်အတွင်း အရှိန်အဟုန်ဖြင့် တိုးတက်ပြောင်းလဲ လာခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ရန်ကုန်မြို့သည် အရှေ့တောင်အာရှ မြို့ကြီးများအနက် ကိုလိုနီခေတ်လက်ရာ အဆောက်အအုံ အများဆုံး ကျန်ရှိနေသည့်မြို့အဖြစ် ကမ္ဘာ့ခရီးသွားကဏ္ဍတွင် ထင်ရှားသည်။<ref name="bygone">{{Cite news|last=Martin |first=Steven |date=30 March 2004 |url=http://news.bbc.co.uk/2/hi/asia-pacific/3578993.stm |title=Burma maintains bygone buildings |publisher=BBC News |accessdate=22 May 2006}}</ref> ထိုကိုလိုနီခေတ် ဗိသုကာလက်ရာများကို ရန်ကုန်အမွေအနှစ်ထိန်းသိမ်းစောင့်ရှောက်ရေးအဖွဲ့ (Yangon Heritage Trust - YHT) မှ စနစ်တကျ ကာကွယ်ထိန်းသိမ်းလျက်ရှိပြီး အပြာရောင်ကမ္ပည်းပြား များ တပ်ဆင်ကာ သမိုင်းဝင်နယ်မြေအဖြစ် မြှင့်တင်လျက်ရှိသည်။<ref name="YHT">{{cite web |title=Yangon Heritage Trust Blue Plaques |url=https://www.yangonheritagetrust.org/ |website=Yangon Heritage Trust |access-date=2026-07 |archive-date=26 September 2025 |archive-url=https://web.archive.org/web/20250926184557/https://www.yangonheritagetrust.org/ |url-status=dead }}</ref>မြို့၏ ဗဟိုချက်တွင် တည်ရှိသော နှစ်ပေါင်း ၂,၆၀၀ ကျော် သက်တမ်းရှိ [[ရွှေတိဂုံစေတီတော်]]မြတ်ကြီးသည် ရန်ကုန်မြို့၏ အထွတ်အမြတ်ထားရာ အဓိက ပြယုဂ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == ဝေါဟာရရင်းမြစ် == ရန်ကုန်မြို့သည် ရှေးယခင်က ဒဂုံဟုခေါ်သော ရွာကြီးတစ်ရွာဖြစ်သည်။ [[ဒဂုံ]]ဟူသော အမည်သည် မွန် ဝေါဟာရ ဒဂုင်(မြန်မာအသံထွက်-ဒဂုန်)၊ လဂုင်(မြန်မာအသံထွက်-လဂုန်)တို့က ဆင်းသက်လာပြီး ဒဂုံဖြစ်လာသည်ဟု ယူဆကြသည်။ ထိုနာမည်သည် [[ရွှေတိဂုံစေတီတော်]]ကြီး၏ ဘွဲ့မည်တော်ဖြစ်သည်။ ဘုရင်မကြီး [[ရှင်စောပု]]က ရွှေတိဂုံစေတီတော်မြတ်ကြီး၏ ဉာဏ်တော်ကိုမြှင့်ပြီး တည်ဆောက်ပြီးသောအခါ ကျာ်ဒဂုင် (ကျိုက်ဒဂုံ-ဒဂုံဘုရား)ဟု ဘွဲ့မည်ပေးလိုက်သည်။ တချို့ ပညာရှင်များက တောင်သုံးလုံးမြို့ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော တိကုမ္ဘနဂရဆိုသည့် ပါဠိဝေါဟာရက ဆင်းသက်ကြောင်း၊ တိကုမ္ဘက တိကုမ်၊ တိဂုံ၊ ဒဂုံဟု ပြောင်းလဲလာကြောင်း ဆိုကြသည်။ မွန်ဝေါဟာရကလည်း ကုန်းမြင့်ပေါ်ကစေတီဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ <ref>မောင်ခင်မင် (ဓနုဖြူ)</ref> ခရစ်နှစ် ၁၇၅၅ ခုနှစ်တွင် [[အလောင်းမင်းတရား]]ကြီးက ရန်အပေါင်းကုန်စင်ပြီဟုအဓိပ္ပာယ်ဖြင့် ရန်ကုန်မြို့ဟု အမည်ပေးခဲ့သည်။ ==တည်နေရာ== [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၏ အကြီးဆုံးဆိပ်ကမ်းမြို့လည်း ဖြစ်သည်။ မြောက်လတ္တီတွဒ် ၁၆ ဒီဂရီ ၄၆ မိနစ် နှင့် အရှေ့လောင်ဂျီတွဒ် ၉၆ ဒီဂရီ ၁ဝ မိနစ် ဆုံရာတွင် တည်ရှိသည်။ [[ရန်ကုန်မြစ်]](ခေါ်)လှိုင်မြစ်နှင့် [[ပုဇွန်တောင်ချောင်း]]၊ [[ပဲခူးမြစ်]]တို့ ဆုံရာအရပ်တွင် တည်ရှိ၍ ပင်လယ်ကူးသင်္ဘောကြီးများသည် ပကတိအားဖြင့် လုံခြုံသော ရန်ကုန်ဆိပ်ကမ်းသို့အရောက် ဝင်ထွက်သွားလာနိုင်သည်။ ရန်ကုန်မြို့သည် ပင်လယ်ဝမှ ၂၁-မိုင်သာ ဝေးသည်။ ပြည်တွင်းကျောထောက်နောက်ခံ နယ်များနှင့်လည်း [[ကုန်းလမ်း]]၊ [[ရေလမ်း]]၊ [[လေကြောင်းလမ်း]]တို့ဖြင့် ဆက်သွယ်လျက် ရှိလေသည်။ တံခါးမကြီးသဖွယ်ဖြစ်၍ ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးအတွက် အချက်အချာဌာနလည်း ဖြစ်လေသည်။ == သမိုင်း == === ဒဏ္ဍာရီ === ရန်ကုန်မြို့တွင် လွန်ခဲ့သည့် နှစ်ပေါင်း ၂၅၀၀–၂၆၀၀ အထက်ကာလ (သို့) [[မြန်မာ့စွယ်စုံကျမ်း]]၊ အတွဲ (၁၁) အဆိုအရ မဟာသက္ကရာဇ် ၁၀၃ ခုနှစ် ဘီစီ (၅၈၈) ခရစ်နှစ်တွင် [[ဗုဒ္ဓဝင်]] ထဲတွင်ပါဝင်သည့် [[ဂေါတမဗုဒ္ဓ]] မြတ်စွာဘုရား၏ ဆံတော်ဓာတ်မြတ်များကို [[မွန်လူမျိုး|မွန်တိုင်းပြည်]]ဘုရင် ဥက္ကလာပမင်းကြီး စိုးစံရာ ဥက္ကလာပတိုင်း၊ ဥက္ကလာပမြို့ [[သိင်္ဂုတ္တရကုန်းတော်|သိင်္ဂုတ္တရကုန်း]]ပေါ်ရှိ [[ရွှေတိဂုံစေတီတော်]]တွင် [[တဖုဿနှင့် ဘလ္လိက]] ကုန်သယ်ညီနောင်မှာ ဌာပနာသည့်သမိုင်းနှင့် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်<ref> [[မြန်မာ့စွယ်စုံကျမ်း]]၊ အတွဲ (၁၁) စာမျက်နှာ ၁၃၁ </ref> ဟူ၍ မြန်မာတို့က ယုံကြည်ကြသော်လည်း အထောက်အထား တိတိကျကျမရှိပေ။ [[File:Yangon.1.jpg|thumb|ရှေ့ဟောင်း ရန်ကုန်မြို့ မြေပုံ]] === အေဒီ ၆ မှ ၁၈ ရာစု === ရန်ကုန်မြို့အား [[ဒဂုံမြို့နယ်|ဒဂုံရွာ]]အဖြစ် [[အောက်မြန်မာပြည်]]ကို လွှမ်းမိုးကြီးစိုးသော [[မွန်လူမျိုး]]များက အေဒီ ၆ ရာစုတွင် စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ဒဂုံသည် ၁၄ ရာစု [[ဟံသာဝတီ|ဟံသာဝတီခေတ်]]တွင် အရေးကြီးသော ဘုရားဖူးမြို့ ဖြစ်လာခဲသည်။ [[မဂဒူးမင်းဆက်]] ခေါ် (ဝါရီရူးမင်းဆက်)တွင် (၈) ဆက်မြောက်မင်းဖြစ်သော [[ဗညားဦး]]၏ အစ်မတော် မွန်မင်းသမီး မဟာဒေဝီသည် ဒဂုံမြို့ကို စားစေကာ ခရစ်နှစ် ၁၃၆၄-၁၃၉၂ အထိ အုပ်ချုပ်ခဲ့သည်။<ref>Pan Hla, Nai (2005) [1968]. Razadarit Ayedawbon (in Burmese) (8th printing, 2005 ed.). Yangon: Armanthit Sarpay. p. 54.</ref> [[မဂဒူးမင်းဆက်]] တွင် (၁၅) ဆက်မြောက်မင်းဖြစ်သော ဘုရင်မကြီး [[ရှင်စောပု]] သည် သူမ၏ ဟံသာဝတီပဲခူးထီးနန်းကို သားမက်တော် ဓမ္မစေတီမင်းအားအပ်နှံ၍ ၁၄၆၀ ခုနှစ်တွင် ဒဂုံမြို့ရှိ ရွှေတိဂုံစေတီအနီးတွင် နန်းတော်ငယ်တည်ကာ ဟံသာဝတီပဲခူးထီးနန်းကို အဝေးမှထိန်းကွပ်ပေးရင်း တရားဓမ္မဖြင့် သူမဘဝ၏ နောက်ဆုံးလက်ကျန်နေ့ရက်များကို ဖြတ်သန်း စံနေတော်မူခဲ့သည်။<ref>[https://archive.org/stream/imperialgazettee21grea#page/212/mode/2up Imperial gazetteer of India<!-- ဘော့က ထုတ်ပေးသော ခေါင်းစဉ် -->]</ref> === အေဒီ ၁၈ မှ ၁၉ ရာစု === ၁၇၅၅ ခုနှစ်တွင် [[ကုန်းဘောင်မင်းဆက်]] ထူထောင်သော [[အလောင်းမင်းတရား]] သည် ဒဂုံမြို့ကို အောင်နိုင်ပြီး “ရန်ကုန်”ဟု အမည်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ဒဂုံမြို့ပတ်လည်တွင် တိုးမြင့်၍ အခြေချနေထိုင်မှုများ ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ဗြိတိသျှပိုင်အရှေ့အိန္ဒိယ ကုမ္ပဏီ သည် ၁၇၉၀ ခုနှစ်များတွင် စက်ရုံ တည်ဆောက်ခဲ့သည်။<ref>"Rangoon City", ''Imperial Gazetteer of India'', Oxford: Clarendon Press, 1908</ref> ၁၈၂၃ ခုနှစ်တွင် လူဦးရေ ၃၀၀၀၀ နေထိုင်ခဲ့သည်။<ref>Jedidiah Morse; Richard C. Morse (1823), "Rangoon", ''A New Universal Gazetteer'' (4th ed.), New Haven: S. Converse</ref> ကုန်းဘောင်မင်းဆက် (၇) ဆက်မြောက်မင်းဖြစ်သော [[ဘကြီးတော်(စစ်ကိုင်းမင်း)|ဘကြီးတော်ဘုရား]] လက်ထက် [[ပထမ အင်္ဂလိပ်-မြန်မာ စစ်ပွဲ]] (၁၈၂၄ - ၂၆) တွင် ဗြိတိသျှတို့သည် ရန်ကုန်မြို့ကို သိမ်းပိုက်ခဲ့သော်လည်း၊ စစ်ပြီးသည့်နောက် [[ရန္တပိုစာချုပ်]] အရ ရန်ကုန်မြို့ကို မြန်မာတို့လက်ထဲ ပြန်လည်လွှဲပြောင်းပေးခဲ့သည်။ မြန်မာဘုရင် [[သာယာဝတီမင်း]] လက်ထက် ၁၈၄၁ ခုနှစ်တွင် ရန်ကုန်မြို့သည် မီးသင့်ပြီး ပျက်စီးခဲ့သည်။ === ကိုလိုနီခေတ် ရန်ကုန် (၁၈၅၂ မှ ၁၉၄၈) === [[ဗြိတိသျှအင်ပါယာ|ဗြိတိသျှ]]တို့သည် ရန်ကုန်နှင့် အောက်မြန်မာပြည် အားလုံးကို ၁၈၅၂ ခုနှစ် [[ဒုတိယအင်္ဂလိပ်မြန်မာစစ်]] တွင် သိမ်းယူချုပ်ကိုင်နိုင်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်တွင် ရန်ကုန်မြို့သည် ရွှေတိဂုံဘုရားကို ဗဟိုပြုထားပြီး သေးငယ်သော ငါးဖမ်းရွာလေး တစ်ရွာသာ ဖြစ်ခဲ့သည်။ ဆက်လက်၍ ရန်ကုန်မြို့ကို ဗြိတိသျှဘားမား၏ စီးပွားရေးနှင့် နိုင်ငံရေး အချက်အချာကျသော မြို့တစ်မြို့အဖြစ် ပြုပြင်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ စစ်[[အင်ဂျင်နီယာ]] ဗိုလ်အလက်ဇန္ဒားဖရေဇာ၏ ဒီဇိုင်းပုံစံကို အခြေပြု၍ ဗြိတိသျှများသည် ဂရစ်စီမံချက်ဖြင့် [[ဧရာဝတီ မြစ်ဝကျွန်းပေါ်ဒေသ|မြစ်ဝကျွန်းပေါ်ဒေသ]]တွင် အရှေ့ဘက်၌ ပုစွန်တောင်ချောင်းငယ်၊ အနောက်ဘက်တွင် ရန်ကုန်မြစ်ကို နယ်နိမိတ်သတ်မှတ်ပြီး မြို့တော်သစ်တစ်ခု တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ ၁၈၇၈ ခုနှစ်တွင် ဗြိတိသျှတို့သည် ရန်ကုန်ကောလိပ် (ယခု [[ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်|ရန်ကုန် တက္ကသိုလ်]])ကို ဗြိတိသျှ-အိန္ဒိယရှိ [[ကာလကတ္တားမြို့|ကလက္ကတား]] တက္ကသိုလ် လက်အောက်ခံအဖြစ် စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ [[File:Secretariat Building, Yangon.jpg|thumb|[[ဝန်ကြီးများရုံး (ရန်ကုန်)|အတွင်းဝန်များရုံး]] (ခရစ်နှစ် ၁၉၁၀ခုနှစ်)]] ၁၈၈၅ ခုနှစ် [[တတိယ အင်္ဂလိပ် - မြန်မာစစ်]] တွင် ဗြိတိသျှတို့သည် အထက်မြန်မာပြည်ကို သိမ်းယူခဲ့ပြီးနောက် ရန်ကုန်မြို့သည် အားလုံးသော ဗြိတိသျှဘားမားတို့၏ မြို့တော်အဖြစ် တည်ရှိလာခဲ့သည်။ ၁၈၉၀ ခုနှစ်များတွင် ရန်ကုန်မြို့၏ တိုးပွားလာသည့် လူဦးရေများနှင့် ကုန်သွယ်မှုတို့သည် တော်ဝင်ကန်(ယခု ကန်တော်ကြီး)နှင့် အင်းယားကန် တို့၏ မြောက်ဘက်ရှိ ဆင်ခြေဖုံးရပ်ကွက်များတွင် ချမ်းသာကြွယ်ဝသည့် လူနေအိမ်ခြေများကို မွေးဖွားပေးခဲ့သည်။ ဗြိတိသျှတို့သည် ရန်ကုန်အထွေထွေရောဂါကုဆေးရုံ အပါအဝင် ဆေးရုံများနှင့် ကောလိပ်များကိုလည်း တည်ဆောက်ပေးခဲ့သည်။ ကိုလိုနီခေတ်ရန်ကုန်ကို ၎င်း၏ကျယ်ပြန့်သောပန်းခြံများ၊ ရေကန်များ၊ ရောပြွမ်းနေသည့် ခေတ်မီအဆောက်အအုံများနှင့် ရှေးရိုးအတိုင်း သစ်သားတို့ဖြင့် ဆောက်လုပ်ထားသည့် ဗိသုကာလက်ရာများတို့ဖြင့် “အရှေ့တိုင်း၏ ဥယျာဉ်မြို့တော်” အဖြစ် သိရှိလာခဲ့ကြသည်။ ၂၀ ရာစုနှစ် အစောပိုင်းတွင် ရန်ကုန်မြို့၌ [[လန်ဒန်မြို့]]နှင့် တန်းတူ ပြည်သူလူထု ဝန်ဆောင်မှု လုပ်ငန်းများနှင့် အခြေခံအဆောက်အအုံတို့ ရှိလာခဲ့သည်။ [[ဒုတိယ ကမ္ဘာစစ်]] မတိုင်မီက၊ ရန်ကုန်မြို့ရှိ လူဦးရေ ၅၀၀၀၀၀ ၏ ၅၅ ရာခိုင်နှုန်းခန့်သည် အိန္ဒိယ သို့မဟုတ် တောင်အာရှသားများဖြစ်၍ သုံးပုံတစ်ပုံခန့်သည် မြန်မာ၊ ကရင်၊ တရုတ်၊ အင်္ဂလိပ်-မြန်မာကပြားနှင့် အခြားလူမျိုးများ ဖြစ်ကြသည်။ [[ပထမ ကမ္ဘာစစ်]]ပြီးနောက်၊ ရန်ကုန်သည် လက်ဝဲစွန်းရောက် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်ကျောင်းသားများ ဦးဆောင်သည့် ဗမာ့လွတ်လပ်ရေး လှုပ်ရှားမှုများ၏ ဗဟိုအချက်အချာနေရာ ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၁၉၂၀၊ ၁၉၃၆ နှင့် ၁၉၃၈ ခုနှစ်တို့တွင် ဗြိတိသျှအစိုးရအား သုံးကြိမ်တိုင် နိုင်ငံနှင့်အဝှမ်း ဆန့်ကျင်ဆန္ဒပြမှုများ ဖြစ်ပွားခဲ့သည်။ ရန်ကုန်သည် (၁၉၄၂ - ၄၅) တွင် ဂျပန်လက်အောက်သို့ ကျရောက်ခဲ့ကာ ဒုတိယကမ္ဘာစစ် အတွင်း ကြီးမားသော ပျက်စီးယိုယွင်းမှုများ ရှိခဲ့သည်။ ၁၉၄၈ ခုနှစ်၊ ဇန္နဝါရီလ ၄ ရက်နေ့ တွင် ဗြိတိသျှအင်ပါယာထံမှ နိုင်ငံ၏လွတ်လပ်ရေးကို ပြန်လည်ရရှိခဲ့သည်နှင့် ရန်ကုန်မြို့သည် ပြည်ထောင်စု မြန်မာနိုင်ငံ၏ မြို့တော်ဖြစ် လာခဲ့သည်။ === လက်ရှိ ရန်ကုန် (၁၉၄၈ မှ ယခု) === ၁၉၄၈ ခုနှစ် ဗမာ့လွတ်လပ်ရေးကို ရရှိပြီးလျှင်ပြီးခြင်း၊ ကိုလိုနီအမည်များဖြင့် ခေါ်ဝေါ်ခဲ့သည့်လမ်းများ၊ ပန်းခြံများတို့သည် အမျိုးသားရေးအသွင် ပိုမိုဆောင်သည့် မြန်မာအမည်များသို့ ပြောင်းလဲလာခဲ့သည်။ ၁၉၈၉ ခုနှစ်တွင် မြန်မာနိုင်ငံအတွင်းရှိ ရန်ကုန်မြို့အား နယ်ချဲ့အင်္ဂလိပ်တို့၏ အမည်နာမများကို အစွဲပြု၍ခေါ်ဝေါ်ထားသော မြန်မာအမည်များအဖြစ်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ နိုင်ငံတော်ငြိမ်ဝပ်ပိပြားရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးကောင်စီက မြို့တော်၏ အင်္ဂလိပ်အမည်ကို “Yangon” ဟု ပြောင်းလဲခေါ်ဝေါ်စေခြင်းနှင့်အတူ အခြားသော အင်္ဂလိပ်အခေါ်အဝေါ်များကိုလည်း မြန်မာအမည်များသို့ ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ [[File:Maharbandulabridgeygn.jpg|right|thumb|မြို့လယ်ခေါင်ရှိ [[မဟာဗန္ဓုလတံတား]]]] လွတ်လပ်ရေးရသည့် အချိန်မှစတင်၍ ရန်ကုန်မြို့ကို ပြင်ပသို့ချဲ့ထွင်ခဲ့သည်။ အဆက်ဆက်သော အစိုးရများသည် ၁၉၅၀ ခုနှစ်များ၌ သာကေတ၊ မြောက်ဥက္ကလာပနှင့် တောင်ဥက္ကလာပမြို့နယ်တို့ကိုလည်းကောင်း၊ ၁၉၈၀ ခုနှစ်များ၌ လှိုင်သာယာ၊ ရွှေပြည်သာနှင့် တောင်ဒဂုံမြို့နယ်တို့ကိုလည်းကောင်း တိုးချဲ့မြို့နယ်သစ်များကို တည်ဆောက်ခဲ့ကြသည်။ ယနေ့ ရန်ကုန်မြို့ကြီးသည် ဧရိယာ စတုရန်းကီလိုမီတာ ၆၀၀ ခန့် ကျယ်ဝန်းသည်။ ဗိုလ်ချုပ်နေဝင်း၏ အခြားနိုင်ငံများတို့၏အရေး၌ မစွက်ဖက်ရေးဝါဒဖြင့် အုပ်ချုပ်မှု (၁၉၆၂ - ၁၉၈၈) အတွင်း၊ ရန်ကုန်မြို့၏ အခြေခံအဆောက်အအုံသည် ပြုပြင်ထိန်းသိမ်းမှု ညံ့ဖျင်းခြင်း၊ တိုးပွားလာသည့် လူဦးရေနှင့်အညီ မြှင့်တင်နိုင်မှုမရှိခြင်းတို့ကြောင့် ယိုယွင်းပျက်စီးမှုများ ဖြစ်ပေါ်လာခဲ့သည်။ ၁၉၉၀ ခုနှစ်များတွင် စစ်အစိုးရ၏ ပိုမိုတံခါးဖွင့်လာသည့်ဈေးကွက် မူဝါဒများသည် ပြည်တွင်းနှင့် နိုင်ငံခြားရင်းနှီးမြှုပ်နှံမှုများကို ဆွဲဆောင်နိုင်မှု ရှိလာခဲ့ပြီး၊ မြို့တော်၏ အခြေခံအဆောက်အအုံကိုလည်း ခေတ်မှီသစ်လွင်မှု၏ မျှတသည့်ပမာဏသို့ ဆောင်ယူလာနိုင်ခဲ့သည်။ မြို့တော်၏ အတွင်းပိုင်းတွင် နေထိုင်သူများကိုလည်း တိုးချဲ့မြို့များသို့ အတင်းအကြပ် လွှဲပြောင်းနေရာ ချထားပေးခဲ့သည်။ များပြားသော ကိုလိုနီခေတ် အဆောက်အအုံများကိုလည်း ဖျက်ဆီးစေ၍၊ မြင့်မားသော ဟိုတယ်များ၊ ရုံးအဆောက်အအုံများ၊ ဈေးရောင်းဆိုင်ခန်းများအတွက် နေရာပေးစေခြင်းဖြင့် မြို့တော်အုပ်ချုပ်သူများသည် ကျော်ကြားထင်ရှားသော ကိုလိုနီခေတ် အဆောက်အအုံ ၂၀၀ ခန့်ကိုလည်း ရန်ကုန်မြို့တော်၏ အမွေအနှစ် စာရင်းသို့ ထည့်သွင်းစေခဲ့သည်။ အဓိက ဆောက်လုပ်မှု အစီအစဉ်များသည် မြို့တော်နှင့် စက်မှုမြစ်ကမ်းပါးဒေသများကို ဆက်သွယ်ပေးသည့် တံတားအသစ်ခြောက်စင်းနှင့် လမ်းမကြီး အသစ် ငါးခုကို ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်။ သို့တိုင်အောင် ရန်ကုန်၏ များစွာသော နေရာတို့တွင် အခြေခံ စည်ပင်သာယာရေးနှင့် သက်ဆိုင်သော ဝန်ဆောင်မှုဖြစ်သည့် ၂၄ နာရီ လျှပ်စစ်ဓာတ်အားနှင့် ပုံမှန်အမှိုက်သိမ်းယူမှုတို့ မရှိသေးပဲ ရှိနေခဲ့သည်။ ရန်ကုန်သည် လွတ်လပ်ရေးရပြီးသည်မှ မျိုးနွယ်စုပြုမှုအရ တိုင်းရင်းသားဒေသခံ မြန်မာလူမျိုးများ ပိုမိုရှိလာခဲ့သည်။ လွတ်လပ်ရေးရပြီးနောက် များစွာသော တောင်အာရှသားများနှင့် အင်္ဂလိပ်-မြန်မာကပြားများ ထွက်ခွါသွားခဲ့ကြသည်။ ၁၉၆၀ ခုနှစ်များအတွင်း ဗိုလ်ချုပ်နေဝင်းအစိုးရ၏ နိုင်ငံခြားသားများကို ဖိအားပေးသောကြောင့် များပြားသော တောင်အာရှသားများကို ထွက်ခွာသွားစေခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း များပြားသော တောင်အာရှသားများနှင့် တရုတ်လူမျိုးစုများသည် ရန်ကုန်၌ ဆက်လက်နေထိုင်လျက် ရှိနေသည်။ နိုင်ငံမှ ထွက်ခွါသွားခြင်း သို့တည်းမဟုတ် အခြားသော မြန်မာအုပ်စုတို့ဖြင့် မျိုးမတူသူများလက်ထပ်မှုပြုခြင်း တို့ကြောင့် အင်္ဂလိပ်-မြန်မာကပြားများသည် သိသာစွာပျောက်ကွယ်သွားခဲ့ကြသည်။ ရန်ကုန်မြို့သည် ၁၉၇၄၊ ၁၉၈၈နှင့် ၂၀၀၇ ခုနှစ်များတွင် အစိုးရဆန့်ကျင်မှု၊ ကန့်ကွက်ဆန္ဒပြမှုများ၏ ဗဟိုအချက်အချာဖြစ်ခဲ့သည်။ ဆန္ဒပြသူများအား အစိုးရမှ ပစ်ခတ်မှုပြုတိုင်း သွေးမြေကျမှုများကို မြို့တော်၏ လမ်းများပေါ်တွင် မြင်တွေ့ခဲ့ရသည်။ မေလ ၂၀၀၈ ခုနှစ်တွင် ဆိုင်ကလုန်းမုန်တိုင်း[[နာဂစ်မုန်တိုင်း|နာဂစ်]]သည် ရန်ကုန်မြို့ ကိုတိုက်ခတ်ခဲ့သည်။ မြို့တော်၌ လူအသေအပျောက် အနည်းငယ်ရှိခဲ့ပြီး လေးပုံသုံးပုံသော ရန်ကုန်မြို့၏ စက်မှုလုပ်ငန်းဆိုင်ရာ အခြေခံအဆောက်အအုံတို့ ဖျက်ဆီးခံရ၍၊ ခန့်မှန်းခြေအမေရိကန်ဒေါ်လာ သန်း ၈၀၀ ဖိုးခန့် ပျက်စီးဆုံးရှုံးခဲ့ရသည်။ ၂၀၀၅ ခုနှစ်၊ နိုဝင်ဘာလတွင် စစ်အစိုးရသည် ရန်ကုန်မြောက်ဘက် မိုင် ၂၀၀ (၃၂၂ ကီလိုမီတာ) အကွာရှိ နေပြည်တော် ကို အုပ်ချုပ်မှုမြို့တော်အသစ်အဖြစ် သတ်မှတ်၍၊ တပြိုင်နက်တည်းမှာပင် များစွာသော အစိုးရဌာနများကို အသစ်တည်ဆောက်ပြီးသည့် မြို့တော်သို့ ပြောင်းရွှေ့စေခဲ့သည်။ မည်သို့ပင်ဖြစ်စေကာမူ ရန်ကုန်သည် မြန်မာနိုင်ငံ၏ အကြီးမားဆုံးမြို့တော်နှင့် အရေးကြီးဆုံးစီးပွားရေးဗဟိုအချက်အချာ အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိနေသည်။ == ပထဝီဝင်အနေအထား == [[File:Rangoon 96.19638E 16.84495N.jpg|thumb|ရန်ကုန်မြို့ပြဧရိယာ]]ရန်ကုန်မြို့သည် မြန်မာနိုင်ငံ အောက်ပိုင်းတွင် တည်ရှိပြီး ရန်ကုန်မြစ်နှင့် ပဲခူးမြစ်တို့ စီးဝင်ရာ မုတ္တမပင်လယ်ကွေ့မှ {{convert|30|km|disp=သို့မဟုတ်|sp=us}}ကွာဝေးသည်။ === ရာသီဥတု === <!-- {{climate chart | Yangon | 17.9 | 32.2 | 5 | 19.3 | 34.5 | 2 | 21.6 | 36.0 | 7 | 24.3 | 37.0 | 51 | 25.0 | 33.4 | 303 | 24.5 | 30.2 | 547 | 24.1 | 29.7 | 559 | 24.1 | 29.6 | 602 | 24.2 | 30.4 | 368 | 24.2 | 31.5 | 206 | 22.4 | 32.0 | 60 | 19.0 | 31.5 | 7 |float=left |source=[http://www.worldweather.org/180/c00232.htm WMO] |clear=none }} --> ရန်ကုန်မြို့ဟာ [[:en:Köppen climate classification|ကိုပင်၏ ဥတုရာသီ အမျိုးအစားခွဲခြားသတ်မှတ်ခြင်း]]စနစ်အရ [[:en:tropical monsoon climate|အပူပိုင်းမုတ်သုံရာသီဥတု]]အတွင်း တည်ရှိသည်။<ref name=Peel>{{cite journal | author=Peel, M. C. and Finlayson, B. L. and McMahon, T. A. | year=2007 | title=Updated world map of the Köppen–Geiger climate classification | journal=Hydrol. Earth Syst. Sci. | volume=11 | pages=1633–1644 | doi=10.5194/hess-11-1633-2007 | url=http://www.hydrol-earth-syst-sci.net/11/1633/2007/hess-11-1633-2007.pdf | issn=1027-5606 | archive-date=3 February 2012 | access-date=31 July 2016 | archive-url=https://web.archive.org/web/20120203170339/http://www.hydrol-earth-syst-sci.net/11/1633/2007/hess-11-1633-2007.pdf | url-status=dead }}</ref> မြို့တော်တွင် မိုးရာသီကာလသည် ရှည်ကြာလေ့ရှိပြီး မေလမှ အောက်တိုဘာလအထိရှိတက်ကာ မိုးရေအများအပြား ရရှိသည်။ နိုဝင်ဘာလမှ ဧပြီလတိုင်အောင် ခြောက်သွေ့သောရာသီပင် မိုးဖွဲ့များ ကျတက်သေးသည်။ များသောအားဖြင့် ရန်ကုန်၌ မိုးများ သည်းထန်စွာရွာသွန်းခြင်းကို မုတ်သုံရာသီကာလအတွင်း တွေ့ရသည်။ တစ်နှစ်ပြီးတစ်နှစ် ကူးပြောင်းလာသည်နှင့် ရန်ကုန်မြို့၏ အပူချိန်သည် အနည်းငယ်ခြားနားလာတက်ကာ ပျမ်းမျှအမြင့်ဆုံးအပူချိန်သည် {{convert|29|to|36|C|F}} ထိ ရှိတက်ပြီး ပျမ်းမျှအနိမ့်ဆုံးအပူချိန်သည် {{convert|18|to|25|C|F}} ထိ ရှိတက်သည်။ {{Clear right}} {{Weather box|location = ရန်ကုန်မြို့ (၁၉၆၁—၁၉၉၀) |single line = Y |metric first = Y |Jan record high C = 37.8 |Feb record high C = 38.3 |Mar record high C = 39.4 |Apr record high C = 41.1 |May record high C = 40.6 |Jun record high C = 36.7 |Jul record high C = 33.9 |Aug record high C = 33.9 |Sep record high C = 34.4 |Oct record high C = 35.0 |Nov record high C = 35.0 |Dec record high C = 35.6 |year record high C = 41.1 |Jan high C = 32.2 |Feb high C = 34.5 |Mar high C = 36.0 |Apr high C = 37.0 |May high C = 33.4 |Jun high C = 30.2 |Jul high C = 29.7 |Aug high C = 29.6 |Sep high C = 30.4 |Oct high C = 31.5 |Nov high C = 32.0 |Dec high C = 31.5 |year high C = 32.3 |Jan mean C = 25.1 |Feb mean C = 26.9 |Mar mean C = 28.8 |Apr mean C = 30.7 |May mean C = 29.2 |Jun mean C = 27.4 |Jul mean C = 26.9 |Aug mean C = 26.9 |Sep mean C = 27.3 |Oct mean C = 27.9 |Nov mean C = 27.2 |Dec mean C = 25.3 |year mean C = 27.5 |Jan low C = 17.9 |Feb low C = 19.3 |Mar low C = 21.6 |Apr low C = 24.3 |May low C = 25.0 |Jun low C = 24.5 |Jul low C = 24.1 |Aug low C = 24.1 |Sep low C = 24.2 |Oct low C = 24.2 |Nov low C = 22.4 |Dec low C = 19.0 |year low C = 22.6 |Jan record low C = 12.8 |Feb record low C = 13.3 |Mar record low C = 16.1 |Apr record low C = 20.0 |May record low C = 20.6 |Jun record low C = 21.7 |Jul record low C = 21.1 |Aug record low C = 20.0 |Sep record low C = 22.2 |Oct record low C = 21.7 |Nov record low C = 16.1 |Dec record low C = 12.8 |year record low C = 12.8 |rain colour = green |Jan rain mm = 5 |Feb rain mm = 2 |Mar rain mm = 7 |Apr rain mm = 15 |May rain mm = 303 |Jun rain mm = 547 |Jul rain mm = 559 |Aug rain mm = 602 |Sep rain mm = 368 |Oct rain mm = 206 |Nov rain mm = 60 |Dec rain mm = 7 |year rain mm = 2681 |Jan rain days = 0.2 |Feb rain days = 0.2 |Mar rain days = 0.4 |Apr rain days = 1.6 |May rain days = 12.6 |Jun rain days = 25.3 |Jul rain days = 26.2 |Aug rain days = 26.1 |Sep rain days = 19.5 |Oct rain days = 12.2 |Nov rain days = 4.8 |Dec rain days = 0.2 |year rain days = 129.3 |Jan humidity = 62 |Feb humidity = 66 |Mar humidity = 69 |Apr humidity = 66 |May humidity = 73 |Jun humidity = 85 |Jul humidity = 86 |Aug humidity = 87 |Sep humidity = 85 |Oct humidity = 78 |Nov humidity = 71 |Dec humidity = 65 |year humidity = 74 |Jan sun = 300 |Feb sun = 272 |Mar sun = 290 |Apr sun = 292 |May sun = 181 |Jun sun = 80 |Jul sun = 77 |Aug sun = 92 |Sep sun = 97 |Oct sun = 203 |Nov sun = 280 |Dec sun = 288 |year sun = 2452 |source 1 = World Meteorological Organization,<ref name="WMO">{{cite web | url = http://www.worldweather.org/180/c00232.htm | title = World Weather Information Service – Yangon | publisher = World Meteorological Organization | accessdate = 8 May 2012}}</ref> Sistema de Clasificación Bioclimática Mundial (extremes)<ref name=extremes>{{cite web | url = http://www.globalbioclimatics.org/station/my-rangu.htm | title = Burma (Myanmar) - Rangun | publisher = Centro de Investigaciones Fitosociológicas | language = Spanish | accessdate = February 23, 2013 | archivedate = 14 March 2016 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20160314021815/http://www.globalbioclimatics.org/station/my-rangu.htm }}</ref> |source 2 = Danish Meteorological Institute (sun and relative humidity)<ref name=DMI>{{cite web | last1 = Cappelen | first1 = John | last2 = Jensen | first2 = Jens | archiveurl = https://web.archive.org/web/20130427173827/http://www.dmi.dk/dmi/tr01-17.pdf | archivedate = April 27, 2013 | url = http://www.dmi.dk/dmi/tr01-17.pdf | work = Climate Data for Selected Stations (1931-1960) | title = Myanmar - Rangoon | page = 189 | publisher = Danish Meteorological Institute | language = Danish | accessdate = February 23, 2013}}</ref> |date = March 2011}} == မြို့တော်မြင်ကွင်း == [[File:Yangon.9.jpg|left|thumb|ရန်ကုန်မြို့တိုးတက်လာခြင်း ၁၉၆၃ - ၂၀၀၃]] ၁၉၉၀ ခုနှစ် အလယ်နှစ်များတိုင်အောင် ရန်ကုန်သည် ပဲခူး၊ ရန်ကုန်နှင့် လှိုင်မြစ်တို့အကြား ရှေးရိုးကျွန်းဆွယ် နှင့်တူသော အသွင်သဏ္ဌာန်ဖြင့် ပင်ကိုအတိုင်း တည်ရှိနေခဲ့သည်။ လူအများအပြား ပြောင်းရွှေ့ဝင်ရောက်လာ ကြသော်လည်း မြို့တော်မှာ အပြင်ဘက်သို့ အနည်းငယ်မျှသာ ပြောင်းရွှေ့မှုရှိသည်။ ၁၉၄၄ ခုနှစ်၏ မြေပုံအနေအထားအရ အင်းယားကန်၏ မြောက်ဘက်တွင် အနည်းငယ်မျှသော ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုသာရှိခဲ့ပြီး၊ ယခုဘိလပ်မြေဖြင့် ဖုံးလွှမ်းထားသော ဧရိယာများ၊ ပြည့်သိပ်နေသော နေအိမ်များသည် ယခင်က ခြုံနွယ် ပိတ်ပေါင်းတို့ဖြင့် ရှိနေခဲ့သည်။ ၁၉၈၀ နှောင်းပိုင်းနှစ်များမှ စတင်၍ မြို့တော်သည် မြောက်ဘက် [[ရန်ကုန် အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ လေဆိပ်]]တည်ရှိနေသည့် နေရာအထိ လျင်မြန်စွာ ကျယ်ပြန့်လာသည်။ သို့ရာတွင် ထွက်ပေါ်လာသည့် အဖြေမှာ မြို့တော်ကို နောက်ပိုင်းသို့ ဖြန့်ချခြင်းဖြစ်၍၊ မြို့လယ်ခေါင် ဧရိယာကို ပထဝီဝင်အရ ဗဟိုနေရာမှ ရွှေ့ပြောင်းယူခြင်း ဖြစ်သည်။ မြို့တော်၏ ဧရိယာအကျယ်အဝန်းသည် ၁၉၀၁ ခုနှစ်တွင် ရ၂.၅၂ စတုရန်းကီလိုမီတာမှ ၁၉၄၀ ခုနှစ်တွင် ၈၆.၂ စတုရန်းကီလိုမီတာ၊ ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် ၂၀၈.၅၁ စတုရန်းကီလိုမီတာ၊ ၁၉၈၅ ခုနှစ်တွင် ၃၄၆.၁၃ စတုရန်းကီလိုမီတာနှင့် ၂၀၀၈ ခုနှစ်တွင် ၅၉၈.၇၅ စတုရန်းကီလိုမီတာသို့ တစ်ဖြည်းဖြည်း တိုးမြှင့်လာသည်။ {| class="wikitable" |- |+နှစ်အလိုက်ပြောင်းလဲလာသည့် ရန်ကုန်မြို့ပြဧရိယာ အနေအထား !ခုနှစ် !!ခေတ် !!ဧရိယာ(စတုရန်းမိုင်) |- |၁၇၅၅||ရန်ကုန်မြို့စတင်တည်ထောင်စဉ်(အလောင်းမင်းတရားလက်ထက်) ||နှစ်မိုင်ခန့်(စတုရန်းမိုင်၏ ရှစ်ပုံတစ်ပုံ) |- |၁၈၅၃||အင်္ဂလိပ်လက်အောက်ကျရောက်စဉ်||၀.၈ |- |၁၉၅၃||ဖဆပလအစိုးရ||၄၇.၅၇ |- |၁၉၇၃||မြန်မာ့ဆိုရှယ်လစ်လမ်းစဉ်ပါတီ||၈၀.၅၅ |- |၂၀၀၇||နိုင်ငံတော် အေးချမ်းသာယာရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးကောင်စီ||၃၅၂ |- |လက်ရှိ||||၃၅၀ ကျော် |} == ရန်ကုန်မြို့ပြလူဦးရေ == {| class="wikitable" |- ! ခုနှစ် !! ခေတ် !! လူဦးရေ |- |၁၇၅၅ ||ရန်ကုန်စတင်တည်ထောင်စဉ်ကာလ|| ၁၀,၀၀၀ |- | ၁၈၅၃ || အင်္ဂလိပ်တို့ဝင်ရောက်လာချိန်|| ၄၀,၀၀၀ |- | ၁၉၅၃ ||ဖဆပလအစိုးရ || ၈၂၅,၀၀၀ |- |၁၉၇၃-၁၉၈၈ || မြန်မာ့ဆိုရှယ်လစ်လမ်းစဉ်ပါတီ || ၂,၀၁၅,၂၃၀ |- |၁၉၈၈-၂၀၁၁ || နိုင်ငံတော်ငြိမ်ဝပ်ပိပြားရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးကောင်စီ ||၆,၆၀၀,၀၀၀ |- | ၂၀၁၁-၂၀၁၆ || သမ္မတ ဦးသိန်းစိန် အစိုးရ ||၇,၀၀၀,၀၀၀ |- |၂၀၁၆-၂၀၁၈ |သမ္မတ ဦးထင်ကျော် အစိုးရ | |- |၂၀၁၈-၂၀၂၁ |သမ္မတ ဦးဝင်းမြင့် အစိုးရ |- |၂၀၂၁-ယနေ့ထိ |နိုင်ငံတော် စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ အစိုးရ |- |} <ref>{{Cite web |title=Eleven Media Group Co., Ltd landingpage |url=https://news-eleven.com/ |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> == အုပ်ချုပ်ရေး == [[File:Yangoncityhall.PNG|thumb|[[ရန်ကုန်မြို့တော်ခန်းမ]]]] ရန်ကုန်မြို့တော် စီမံခန့်ခွဲခြင်းကိစ္စရပ်များကို [[ရန်ကုန်မြို့တော် စည်ပင်သာယာရေး ကော်မတီ]] (Yangon City Development Committee) (YCDC) မှ တာဝန်ယူဆောင်ရွက်သည်။ ရန်ကုန်မြို့တော်၏ [[urban planning|မြို့ပြစီမံကိန်း]]များကိုလည်း ရန်ကုန်မြို့တော် စည်ပင်သာယာရေး ကော်မတီမှ ထိန်းကြောင်းဆောင်ရွက်သည်။<ref>{{cite web| url=http://www.chijihon.metro.tokyo.jp/asianet/participating_cities/yangon.htm| title=Yangon| accessdate=13 August 2006| publisher=Asian Network of Major Cities 21| archiveurl=https://web.archive.org/web/20060620010837/http://www.chijihon.metro.tokyo.jp/asi| archivedate=20 June 2006}}</ref> ရန်ကုန်မြို့တော်ကို ခရိုင်လေးခုအဖြစ် ခွဲခြားထားသည်။ ထိုခရိုင်လေးခုတွင် မြို့နယ်ပေါင်း ၃၃ ခု ပါဝင်သည်။ [[ရန်ကုန်မြို့တော်ဝန်များစာရင်း|လက်ရှိ ရန်ကုန်မြို့တော်ဝန်]]မှာ ဦးဗိုလ်ဌေးဖြစ်သည်။ (၂၀၂၁)ခုနှစ်အထိ ရန်ကုန်တိုင်း‌ဒေသကြီးအား ခရိုင် (၄)ခုခွဲ၍ အုပ်ချုပ်သည်။ (၂၀၂၂)ခုနှစ် ဧပြီလ (၃၀)ရက်နေ့မှစ၍ ရန်ကုန်မြို့တော် စည်ပင်သာယာနယ်နိမိတ်အတွင်း အောက်ပါအတိုင်း ခရိုင်အသစ်များခွဲကာ စီမံအုပ်ချုပ်လျက်ရှိသည်။ {| class="wikitable" |- |+ရန်ကုန်မြို့တော် စည်ပင်သာယာနယ်နိမိတ်အတွင်းရှိ ခရိုင်များနှင့်မြို့နယ်များ !ခရိုင်!! ပါဝင်သည့်မြို့နယ် |- |[[ဖိုင်:Thingangyun district.svg|thumb]][[သင်္ဃန်းကျွန်းခရိုင်]]|| [[သင်္ဃန်းကျွန်းမြို့နယ်]] • [[တောင်ဥက္ကလာပမြို့နယ်]] • [[တာမွေမြို့နယ်]] • [[ရန်ကင်းမြို့နယ်]] |- |[[ဖိုင်:Botahtaung district.svg|thumb]][[ဗိုလ်တထောင်ခရိုင်]]|| [[ဗိုလ်တထောင်မြို့နယ်]] • [[ဒေါပုံမြို့နယ်]] • [[မင်္ဂလာတောင်ညွန့်မြို့နယ်]] • [[ပုဇွန်တောင်မြို့နယ်]] • [[သာကေတမြို့နယ်]] |- |[[ဖိုင်:Dagonmyothit district.svg|thumb]][[ဒဂုံမြို့သစ်ခရိုင်]]|| [[ဒဂုံမြို့သစ်ဆိပ်ကမ်းမြို့နယ်]] • [[ဒဂုံမြို့သစ်တောင်ပိုင်းမြို့နယ်]] • [[ဒဂုံမြို့သစ်မြောက်ပိုင်းမြို့နယ်]] • [[ဒဂုံမြို့သစ်အရှေ့ပိုင်းမြို့နယ်]] |- |[[ဖိုင်:Kyauktada district.svg|thumb]][[ကျောက်တံတားခရိုင်]] || [[ကျောက်တံတားမြို့နယ်]] • [[ပန်းဘဲတန်းမြို့နယ်]] • [[လမ်းမတော်မြို့နယ်]] • [[လသာမြို့နယ်]] • [[ဒဂုံမြို့နယ်]] |- |[[ဖိုင်:Ahlon district.svg|thumb]][[အလုံခရိုင်]]|| [[အလုံမြို့နယ်]] • [[ကြည့်မြင်တိုင်မြို့နယ်]] • [[စမ်းချောင်းမြို့နယ်]] |- |[[ဖိုင်:Mayangon district.svg|thumb]][[မရမ်းကုန်းခရိုင်]]|| [[မရမ်းကုန်းမြို့နယ်]] • [[လှိုင်မြို့နယ်]] • [[မြောက်ဥက္ကလာပမြို့နယ်]] |- |[[ဖိုင်:Kamayut district.svg|thumb]][[ကမာရွတ်ခရိုင်]]|| [[ကမာရွတ်မြို့နယ်]] • [[ဗဟန်းမြို့နယ်]] |- |[[ဖိုင်:Mingaladon district.svg|thumb]][[မင်္ဂလာဒုံခရိုင်]] |[[မင်္ဂလာဒုံမြို့နယ်]] • [[ရွှေပြည်သာမြို့နယ်]] |- |[[ဖိုင်:Insein district.svg|thumb]][[အင်းစိန်ခရိုင်]] |[[အင်းစိန်မြို့နယ်]] • [[လှိုင်သာယာအရှေ့ပိုင်းမြို့နယ်]] • [[လှိုင်သာယာအနောက်ပိုင်းမြို့နယ်]] |}<ref> ကြေးမုံသတင်းစာ၊ မေ (၁) ၂၀၂၂ </ref> == ပညာရေး == [[File:Main building of the University of Medicine 1, Yangon, 2009.jpg|thumb|ဆေးတက္ကသိုလ် (၁) ရန်ကုန်]] === အခြေခံပညာ === ရန်ကုန်မြို့တွင် အစိုးရအထက်တန်းကျောင်းပေါင်း ၁၀၀ ခန့် (ခန့်မှန်း) တည်ရှိသည်။<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=https://reliefweb.int/map/myanmar/total-number-government-schools-statesregions |accessdate=11 January 2019 |archivedate=30 December 2018 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20181230140305/https://reliefweb.int/map/myanmar/total-number-government-schools-statesregions }}</ref> === အဆင့်မြင့်ပညာ === {{main|ရန်ကုန်ရှိ တက္ကသိုလ်များ}} {{columns-list|width=35em| * [[ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်]]၊ * [[မြန်မာနိုင်ငံရေကြောင်းပညာတက္ကသိုလ်]]၊ * [[ရန်ကုန်နည်းပညာတက္ကသိုလ်]]၊ * ရန်ကုန် စီးပွားရေး တက္ကသိုလ်၊ * [[ဆေးတက္ကသိုလ် (၁) ရန်ကုန်]]၊ * [[ဆေးတက္ကသိုလ်(၂) ရန်ကုန်]]၊ * ရန်ကုန်နိုင်ငံခြားဘာသာတက္ကသိုလ်၊ * ရန်ကုန်ပညာရေးတက္ကသိုလ်၊ * ရန်ကုန်အဝေးသင်တက္ကသိုလ်၊ * သွားဘက်ဆိုင်ရာဆေးတက္ကသိုလ်(ရန်ကုန်)၊ * သူနာပြုတက္ကသိုလ်(ရန်ကုန်)၊ * ရန်ကုန်အနောက်ပိုင်းတက္ကသိုလ် ၊ * ဒဂုံတက္ကသိုလ်၊ * ရန်ကုန်အရှေ့ပိုင်းတက္ကသိုလ်၊ * ရန်ကုန်အနောက်ပိုင်းနည်းပညာတက္ကသိုလ်၊ * နည်းပညာတက္ကသိုလ်(မှော်ဘီ)၊ * နည်းပညာတက္ကသိုလ်(သံလျှင်)၊ * ကွန်ပျူတာတက္ကသိုလ်(ရန်ကုန်)၊ * ဆေးဝါးတက္ကသိုလ်၊ * ဆေးဘက်ဆိုင်ရာနည်းပညာတက္ကသိုလ်၊ * အခြေခံကျန်းမာရေးတက္ကသိုလ်၊ * သတင်းအချက်အလက်နှင့်နည်းပညာတက္ကသိုလ်၊ * သမဝါယမတက္ကသိုလ်(သံလျှင်)၊ * အမျိုးသားယဉ်ကျေးမှုနှင့်အနုပညာတက္ကသိုလ်(ရန်ကုန်)၊ * တပ်မတော်ဆေးတက္ကသိုလ်၊ * တပ်မတော်သူနာပြုနှင့်ဆေးဘက်ဆိုင်ရာတက္ကသိုလ်၊ * နိုင်ငံ့ဝန်ထမ်းတက္ကသိုလ်(​အောက်မြန်မာပြည်)၊ * မြန်မာနိုင်ငံကုန်သွယ်ရေကြောင်းကောလိပ်၊ * ရန်ကင်းပညာရေးဒီဂရီကောလိပ်၊ * သင်္ဃန်းကျွန်းပညာရေးဒီဂရီကောလိပ်၊ * လှည်းကူးပညာရေးဒီဂရီကောလိပ်၊ * အမျိုးသားစီမံခန့်ခွဲမှုဒီဂရီကောလိပ်၊ * သမဝါယမကောလိပ်(ဖောင်ကြီး) }} အစရှိသော အစိုးရပိုင်တက္ကသိုလ်၊ ဒီဂရီကောလိပ်၊ ကောလိပ်များစွာ တည်ရှိသည်။ == ကျန်းမာရေး == === အစိုးရဆေးရုံများ === ==== အစိုးရ အထွေထွေရောဂါကု ဆေးရုံများ ==== * ရန်ကုန် အထွေထွေရောဂါကု ဆေးရုံကြီး ခေါ် ([[ရန်ကုန်ပြည်သူ့ဆေးရုံကြီး]]) * [[အထွေထွေရောဂါကု ဆေးရုံသစ်ကြီး (ရန်ကုန်)|ရန်ကုန် အထွေထွေရောဂါကု ဆေးရုံသစ်ကြီး]] * [[မြောက်ဥက္ကလာပဆေးရုံ|မြောက်ဥက္ကလာပ အထွေထွေရောဂါကု ဆေးရုံကြီး]] * သင်္ဃန်းကျွန်း စံပြ အထွေထွေရောဂါကု ဆေးရုံကြီး * အင်းစိန် အထွေထွေရောဂါကု ဆေးရုံ * ရန်ကုန် အရှေ့ပိုင်း အထွေထွေရောဂါကု ဆေးရုံ * ရန်ကုန် အနောက်ပိုင်း အထွေထွေရောဂါကု ဆေးရုံ *တက္ကသိုလ်များ ဆေးရုံ<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=http://www.um1ygn.edu.mm/en/announcement/%E2%80%8B%E1%80%98%E1%80%BD%E1%80%B2%E1%80%B7%E1%80%9C%E1%80%BD%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%9E%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%90%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%AC%E1%80%B8%E1%80%9D%E1%80%84/ |accessdate=15 January 2021 |archivedate=2 October 2019 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20191002194227/http://www.um1ygn.edu.mm/en/announcement/%E2%80%8B%E1%80%98%E1%80%BD%E1%80%B2%E1%80%B7%E1%80%9C%E1%80%BD%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%9E%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%90%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%AC%E1%80%B8%E1%80%9D%E1%80%84/ }}</ref> ခေါ် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ဆေးရုံ(ခုတင်-၁၀၀) *ဒဂုံတက္ကသိုလ်ဆေးရုံ (ခုတင်-၅၀)<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=https://www.pyithuhluttaw.gov.mm/question-2198 |accessdate=1 January 2019 |archivedate=1 January 2019 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20190101100918/https://www.pyithuhluttaw.gov.mm/question-2198 }}</ref> *လှိုင်သာယာ မြို့နယ်ဆေးရုံ *သာကေတ မြို့နယ်ဆေးရုံ *သန်လျင် အထွေထွေရောဂါကုဆေးရုံကြီး ==== အစိုးရ အထူးကု ဆေးရုံများ ==== * [[ရန်ကုန် ခုတင်(၅၀၀)ဆံ့ အထူးကုဆေးရုံကြီး]] * [[ရန်ကုန်ကလေးဆေးရုံကြီး|ရန်ကုန် ကလေး ဆေးရုံကြီး]] * ရန်ကင်း ကလေး ဆေးရုံကြီး * [[ရန်ကုန် ဗဟိုအမျိုးသမီး ဆေးရုံကြီး]] (ယခင်ကိုလိုနီခေတ် ''Dufferin Maternity'' ဆေးရုံ) *ဗဟန်း အမျိုးသမီး ဆေးရုံ ခေါ် (ဒေါ်ခင်ကြည်ဆေးရုံ)<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=http://7daydaily.com/story/116216 |accessdate=5 July 2018 |archivedate=28 January 2018 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20180128224038/http://www.7daydaily.com/story/116216 }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://news-eleven.com/news/28397 |title=ေဒၚခင္ၾကည္ေဆး႐ုံ၌ ကေလးေမြးဖြားမႈႏွင့္ ပတ္သက္ေသာ က်န္းမာေရးဝန္ေဆာင္မႈမ်ား လုပ္ေဆာင္ေပးမည္ျဖစ္ၿပီး အတြင္းလူနာ ၄၀ အထိ လက္ခံကုသမည္ – Eleven Media Group<!-- ဘော့က ထုတ်ပေးသော ခေါင်းစဉ် --> |access-date=5 July 2018 |archive-date=16 July 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230716042635/https://news-eleven.com/news/28397 |url-status=dead }}</ref> *တောင်ဥက္ကလာပ မိခင်နှင့်ကလေး ဆေးရုံ *[[အလုပ်သမား ဆေးရုံကြီး (ရန်ကုန်)|ရန်ကုန် အလုပ်သမား ဆေးရုံကြီး]] * [[နား၊ နှာခေါင်း၊ လည်ချောင်း၊ ဦးခေါင်းနှင့် လည်ပင်း ခွဲစိတ်အထူးကု ဆေးရုံကြီး (ရန်ကုန်)|ရန်ကုန် နား နှာခေါင်း လည်ချောင်း ဆေးရုံကြီး]] * ရန်ကုန် စိတ်ကျန်းမာရေး ဆေးရုံကြီး ခေါ် (ရွာသာကြီး စိတ်ကျန်းမာရေး ဆေးရုံကြီး) * ရန်ကုန် အရိုး ဆေးရုံကြီး *ရန်ကုန် မျက်စိ အထူးကု ဆေးရုံကြီး * ရန်ကုန် ကူးစက်ရောဂါကု ဆေးရုံ * ရန်ကုန် တိုင်းရင်းဆေး ဆေးရုံ *အင်းစိန် အောင်ဆန်း တီဘီရောဂါ အထူးကု ဆေးရုံ == အားကစား == [[File:Thuwunna Stadium.JPG|thumb|သုဝဏ္ဏ လူငယ် လေ့ကျင့်ရေး ကွင်း]] နိုင်ငံတွင်းနှင့် နိုင်ငံတကာ အားကစားပြိုင်ပွဲများအဖြစ် ဘောလုံးနှင့် အခြားအားကစား ပြိုင်ပွဲများ ကျင်းပလေ့ရှိသော [[သုဝဏ္ဏ လူငယ် လေ့ကျင့်ရေး ကွင်း]]၊ [[ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း အားကစားကွင်း]]၊ [[ပဒုမ္မာ အားကစားကွင်း]]၊ [[စလင်း အားကစားကွင်း]] တည်ရှိသည်။ [[၁၉၆၁ အရှေ့တောင်အာရှကျွန်းဆွယ် အားကစားပွဲတော်]] နှင့် [[၁၉၆၉ အရှေ့တောင်အာရှကျွန်းဆွယ် အားကစားပွဲတော်]] ကို ရန်ကုန်မြို့ အောင်ဆန်းအားကစားကွင်း တွင် ကျင်းပခဲ့သည်။ မြို့ခံအသင် [[ရန်ကုန်ယူနိုက်တက် ဘောလုံးအသင်း]]သည် မြန်မာနေရှင်နယ်လိဂ်စတင် တည်ထောင်ခဲ့စဉ်ကတည်းက ပါဝင်ခဲ့သော အသင်းတစ်သင်း ဖြစ်သည်။ အိမ်ကွင်းမှ ရန်ကုန်ယူနိုက်တက် အားကစားကွန်ပလပ် ဖြစ်သည်။<ref>http://ygnutd.com</ref> == အထင်ကရနေရာများ == {{seealso| [[ရှေးဟောင်း အမွေအနှစ် အဆောက်အအုံများ၊ ရန်ကုန်|ရန်ကုန်မြို့ပြအမွေအနှစ်]]}} * [[ရွှေတိဂုံစေတီ]](ကမ္ဘာ့အံ့ဖွယ်တစ်ခု အပါအဝင်) * [[ရန်ကုန်မြို့ တိရစ္ဆာန်ဥယျာဉ်|တိရစ္ဆာန်ဥယျာဉ် (ရန်ကုန်)]] * [[လှော်ကားသဘာဝဥယျာဉ်]] * [[ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းဈေး]] * [[ဗိုလ်ချုပ် အောင်ဆန်း ပြတိုက်]] * [[အာဇာနည်ဗိမာန်]] * [[လွတ်လပ်ရေးကျောက်တိုင်]] * [[အမျိုးသားပြတိုက်]] * [[ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်]] * [[ဆူးလေစေတီတော်]] * [[ကျိုက်ခေါက်စေတီတော်]] * [[ကမ္ဘာအေးစေတီ]] * [[ဗိုလ်တစ်ထောင်ဘုရား]] * [[ဝန်ကြီးများရုံး (ရန်ကုန်)|ဝန်ကြီးများရုံး]] * [[တိုင်းမ်စီးတီး]] * [[ရန်ကုန်မြို့တော်ခန်းမ]] * [[ရန်ကုန်အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာလေဆိပ်]] * [[ရန်ကုန်ပြည်သူ့ဆေးရုံကြီး]] * [[အမျိုးသားဇာတ်ရုံ (ရန်ကုန်)]] * [[စိန့်မေရီဝတ်ပြုကျောင်းကြီး]] * [[ကရဝိက်|ကရဝိက်]] * [[သုဝဏ္ဏ လူငယ် လေ့ကျင့်ရေး ကွင်း]] * [[ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း အားကစားကွင်း| အောင်ဆန်းအားကစားကွင်း]] * [[မြို့မ အထက်တန်းကျောင်း၊ ရန်ကုန်]] * [[ဆေးတက္ကသိုလ် (၁) ရန်ကုန်]] == ညီအစ်မမြို့တော် == * ယန်ကျိုး၊ ကျန်းစူး ပြည်နယ်၊ [[တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ]] *[[ကူမင်းမြို့|ကူမင်းမြို့၊]] [[ယူနန်ပြည်နယ်|ယူနန်ပြည်နယ်၊]] တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ *[[နန်းနင်မြို့|နန်းနင်မြို့၊]] ကွမ်ရှီးကျွမ်းပြည်နယ်၊ တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ *[[ဟိုချီမင်းစီးတီး|ဟိုချီမင်းစီးတီး၊]] ဗီယက်နမ်နိုင်ငံ *[[ဘူဆန်မြို့|ဘူဆန်မြို့၊]] ကိုရီးယားသမ္မတနိုင်ငံ *[[တျူးရင်းမြို့|တျူးရင်းမြို့၊]] အီတလီနိုင်ငံ *[[ဖူကူအိုကာမြို့|ဖူကူအိုကာမြို့၊]] ဂျပန်နိုင်ငံ *[[ကွီဇုန်မြို့|ကွီဇုန်မြို့၊]] ဖိလစ်ပိုင်နိုင်ငံ == ရန်ကုန်မြို့သစ် == [[ရန်ကုန်မြို့သစ်စီမံကိန်း|ရန်ကုန်မြို့သစ်စီမံကိန်း ( New Yangon City )]] [[လှိုင်သာယာမြို့နယ်|လှိုင်သာယာ]]-[[တွံတေးမြို့နယ်|တွံတေး]] မြစ်ကြောင်းလမ်းမှ [[ဆိပ်ကြီးခနောင်တိုမြို့နယ်]]အကြား '''ရန်ကုန်ဆိပ်ကမ်းမြို့သစ် ( New Yangon Port City )''' [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]] တောင်ဘက်အစွန်း '''ဒလမြို့သစ်စီမံကိန်း''' ( Yangon Eco City ) [[ဒလမြို့နယ်]] == ရန်ကုန်မြို့၏ အမြင့်ဆုံး အဆောက်အအုံများ == * Time 108 city * [[ဒိုင်းမွန်းအင်းယားပဲလေစ့်|Diamond Inya places]] * [[M Tower]] * [[Golden City]] * [[တိုင်းမ်စီးတီး|Time City]] == ဓာတ်ပုံများ == <center><gallery> ဖိုင်:RangoonStreetView.jpg|[[ဒုတိယကမ္ဘာစစ်]] ရန်ကုန်မြို့ ဖိုင်:Kandawgyi Lake, Yangon.jpg|[[ကန်တော်ကြီး]] ဖိုင်:St marys.jpg|[[စိန့်မေရီဝတ်ပြုကျောင်းကြီး]] ဖိုင်:Sule-Pagoda by-Night.jpg|[[ဆူးလေစေတီတော်|ဆူးလေစေတီ]] ညမြင်ကွင်း ဖိုင်:Sule Pagoda Yangon Burma.JPG|ဆူးလေစေတီ ဖိုင်:Karaweik-Palace.JPG|[[ကရ​ဝိက်]] ဖိုင်:Shwedagon-Pano.jpg|[[ရွှေတိဂုံဘုရား]] ဖိုင်:General Hospital, Yangon.jpg|[[ရန်ကုန်ပြည်သူ့ဆေးရုံကြီး]] ဖိုင်:Myoma National School (BEHS No. 2 Dagon).JPG|[[မြို့မ အထက်တန်းကျောင်း၊ ရန်ကုန်]] ဖိုင်:Ygnairport2006.jpg|[[ရန်ကုန် အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ လေဆိပ်|ရန်ကုန်အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာလေဆိပ်]] ဖိုင်:Martyrs' Mausoleum.jpg|[[အာဇာနည်ဗိမာန်]] ဖိုင်:Myanmar-Yangon-Independence Monument in Mahabandoola park.jpg|alt=(မဟာဗန္ဓုလ ပန်းခြံ)|[[လွတ်လပ်ရေးကျောက်တိုင်]] ဖိုင်:Bogyoke Aung San Market.JPG|[[ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းဈေး]] ဖိုင်:National Theatre of Yangon.JPG|[[အမျိုးသားဇာတ်ရုံ (ရန်ကုန်)|အမျိုးသားဇာတ်ရုံ]] ဖိုင်:Yangon downtown at night.jpg|[[ရန်ကုန်မြို့]] ဖိုင်:Sule Pagoda.jpg|[[ဆူးလေစေတီတော်|ဆူးလေစေတီ]] [[ဖိုင်:Yangon,_Strand_Hotel,_Myanmar.jpg|thumb|alt=strand hotel, yangon,myanmar|Strand Hotel ရန်ကုန်]] [[ဖိုင်:Botataung_Paya_(226784775).jpeg|thumb|alt=botataung pagoda, Yangon, Myanmar(Burma)|ဗိုလ်တထောင်ကျိုက်ဒေးအပ်ဆံတော်ဦးစေတီတော်]] </gallery></center> == အခြားကြည့်ရန် == * [[ရှေးဟောင်း အမွေအနှစ် အဆောက်အအုံများ၊ ရန်ကုန်|ရန်ကုန်မြို့ပြအမွေအနှစ်]] * [[ပြောင်းလဲထားသော လမ်းနာမည်များ (ရန်ကုန်မြို့)]] == ကိုးကား == {{Reflist|2}} == ပြင်ပလင့်ခ်များ == {{Commons category|Yangon}} *{{Wikivoyage-inline|Yangon}} * [http://www.yangoncity.com.mm/ Yangon City Hall website] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100522073713/http://www.yangoncity.com.mm/ |date=22 May 2010 }} * [http://wikitravel.org/en/Yangon Yangon Travel Guide] * [http://maps.google.com/maps?ll=16.813545,96.170197&spn=0.166014,0.234180&t=k&hl=en Satellite picture by Google Maps] {{ရန်ကုန်တိုင်း}} [[Category:ရန်ကုန်မြို့|*]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ဆိပ်ကမ်းများ]] 0x7q6ajirrmvzyvd6k6v0t683jao5xi 0 3600 1049415 1049005 2026-08-19T13:45:50Z Chenzeyan29 141880 /* မျိုးရိုးဗီဇဆိုင်ရာ သုတေသနများ */ 1049415 wikitext text/x-wiki {{pp-semi-indef}} {{pp-move-indef}} '''ဗမာလူမျိုး''' ({{lang-en|Bamar people}} သို့မဟုတ် ''Burmans''၊ {{IPAc-en|b|ə|ˈ|m|ɑː|r}}) များသည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]တွင် နေထိုင်ကြသော တိုင်းရင်းသားလူမျိုးများအနက် လူဦးရေအများဆုံးဖြစ်သည်။ဘာသာစကားနှင့် မျိုးရိုးဗီဇ ဆက်နွှယ်မှုများအရ [[တရုတ်-တိဗက်နွယ် ဘာသာစကားများ|တရုတ်-တိဗက် မိသားစုကြီး]]၏ [[တိဗက်-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများ|တိဗက်-ဗမာနွယ်]] လူမျိုးအုပ်စုဝင်များ ဖြစ်ကြသည်။ မြန်မာနိုင်ငံ စုစုပေါင်းလူဦးရေ၏ ၆၈.၇၈% (အကြမ်းဖျင်း ၃၆ သန်းခန့်မျှ) ရှိကြပြီး၊ ဗမာလူမျိုးတို့၏ မိခင်ဘာသာစကားဖြစ်သော [[မြန်မာဘာသာစကား]]ကို [[ဖွဲ့စည်းအုပ်ချုပ်ပုံအခြေခံဥပဒေ|၂၀၀၈ ခုနှစ် ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော် ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေ]] ပုဒ်မ ၄၅၀ အရ ပြည်ထောင်စု၏ တရားဝင် ရုံးသုံးဘာသာစကားအဖြစ် သတ်မှတ်ပြဋ္ဌာန်းထားသည်။<ref>{{cite book |title=ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော် ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေ (၂၀၀၈ ခုနှစ်) |publisher=ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန၊ ပုံနှိပ်ရေးနှင့် စာအုပ်ထုတ်ဝေရေး လုပ်ငန်း |year=2008 |chapter=အခန်း (၁၅) အထွေထွေပြဋ္ဌာန်းချက်များ |pages=စာ-၁၇၁ |quote=ပုဒ်မ ၄၅၀။ မြန်မာဘာသာစကားသည် ရုံးသုံးဘာသာစကား ဖြစ်သည်။}}</ref> <ref>{{cite web|title=မြန်မာ (ဗမာ)လူမျိုးအကြောင်း|url=https://www.mdn.gov.mm/my/mnmaa-bmaa-luumiuakeaang-sikeaangcraa|access-date=27 August 2023|archive-date=27 August 2023|archive-url=https://web.archive.org/web/20230827230329/https://www.mdn.gov.mm/my/mnmaa-bmaa-luumiuakeaang-sikeaangcraa}}</ref> {{Infobox ethnic group | group = ဗမာလူမျိုး | name = | flag = | flag_caption = | image = Burmese family portrait.JPG | image_caption = အင်္ဂလိပ်အုပ်ချုပ်မှုအတွင်း ၂၀ ရာစုအလှည့်တွင် ဗမာမိသားစုပုံ | image_alt = | image_upright = | total = <!-- total population worldwide --> | total_year = <!-- year of total population --> | total_source = | total_ref = <!-- references supporting total population --> | genealogy = | regions = {{flag|Myanmar}} ၃၅ သန်းခန့်<hr> {{flatlist| *{{flag|Thailand}} *{{flag|Malaysia}} *{{flag|Singapore}} *{{flag|United States}} *{{flag|China}} *{{flag|Australia}} *{{flag|Japan}} }} | region1 = {{flagcountry|Thailand}} | pop1 = ၂,၃၀၀,၀၀၀<ref>{{cite news | url=https://www.lemonde.fr/en/international/article/2022/03/30/in-thailand-exiled-burmese-communities-work-to-support-the-revolution-at-home_5979344_4.html | title=In Thailand, exiled Burmese communities work to support the revolution at home | newspaper=Le Monde.fr | date=30 March 2022 }}</ref> | region4 = {{flagcountry|Japan}} | pop4 = ၂၈,၈၆၀<ref>{{cite book |chapter=15 Burmese: Refugees and Little Yangon |first=Kosei |last=Otsuka |title=Language Communities in Japan |doi=10.1093/oso/9780198856610.003.0016 |date=January 2022 |url=https://academic.oup.com/book/38834/chapter/337727805 }}</ref> | region3 = {{flagcountry|Australia}} | pop3 = ၃၂,၆၆၅<ref>[[Census in Australia#2016|2016 Census of Australia]] [https://web.archive.org/web/20140116132606/http://www.immi.gov.au/media/publications/statistics/comm-summ/textversion/myanmar.htm "Burmese Australians"]</ref> | region2 = {{flagcountry|Singapore}} | pop2 = ၅၀,၀၀၀<ref>{{cite web | url=https://asia.nikkei.com/Politics/Emigrants-in-Singapore-s-little-Myanmar-eye-their-homeland | title=Emigrants in Singapore's 'little Myanmar' eye their homeland }}</ref> | languages = [[ဗမာဘာသာစကား]] | religions = အဓိကအားဖြင့် [[ထေရဝါဒ ဗုဒ္ဓဘာသာ]] နှင့် [[မြန်မာ့မိရိုးဖလာ နတ်ကိုးကွယ်မှု]]<br/> ခရစ်ယာန်နှင့် အစ္စလာမ် အနည်းငယ် | related_groups = {{flatlist| *[[ဓနုလူမျိုး|ဓနု]] *[[အင်းသားလူမျိုး|အင်းသား]] *[[ရခိုင်လူမျိုး|ရခိုင်]] * [[လော်ဝေါ်လူမျိုး|လော်ဝေါ်]] * [[အာချန်လူမျိုး|မိုင်းသာ]] *[[မြိတ်လူမျိုး|တနင်္သာရီ(မြိတ်)]] * အခြား [[တရုတ်-တိဗက်နွယ် ဘာသာစကားများ|တရုတ်-တိဗက်နွယ်လူမျိုးများ]]}} | footnotes = }} သမိုင်းဦးကာလက တရုတ်ပြည် အနောက်မြောက်ဘက် ကုန်းမြင့်ဒေသများမှတစ်ဆင့် မြန်မာနိုင်ငံအတွင်းသို့ အဆင့်ဆင့် ရွှေ့ပြောင်းဝင်ရောက်လာခဲ့ကြပြီး အေဒီ ၉ ရာစုခန့်တွင် [[ပုဂံ]] မင်းဆက်ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် [[ပုဂံခေတ်|ပုဂံအင်ပါယာ]]၊ [[တောင်ငူခေတ်|တောင်ငူအင်ပါယာ]] နှင့် [[ကုန်းဘောင်ခေတ်|ကုန်းဘောင်အင်ပါယာ]] စသည့် ထင်ရှားသော အင်ပါယာကြီးများကို တည်ထောင်နိုင်ခဲ့ကြသည်။ ဗမာတို့၏ စစ်ရေးနှင့် အုပ်ချုပ်ရေး အာဏာစက်သည် မြန်မာ့ပထဝီဝင် နယ်နိမိတ်အတွင်းရှိ အခြားသော တိုင်းရင်းသား မျိုးနွယ်စုများအပေါ်တွင်သာမက အိမ်နီးချင်း အရှေ့တောင်အာရှ ဒေသများအထိပါ ခေတ်အဆက်ဆက် ကျယ်ပြန့်စွာ ဩဇာညောင်းခဲ့သည်။<ref name="Lieberman2003">Lieberman, Victor B. (2003). ''Strange Parallels: Southeast Asia in Global Context, c. 800–1830''. Cambridge University Press.</ref><ref name="Harvey1925">Harvey, G.E. (1925). ''History of Burma: From the Earliest Times to 10 March 1824''. London: Longmans, Green and Co.</ref> [[File:Burmese chess players, by Max Ferrars late 1890s.jpg|thumb|ဗမာလူမျိုးအမျိုးသားနှစ်ယောက်]] ဗမာလူမျိုး အများစုသည် [[ထေရဝါဒဗုဒ္ဓဘာသာ|ထေရဝါဒ ဗုဒ္ဓဘာသာ]] ကို ကိုးကွယ်ကြပြီး မိရိုးဖလာ [[မြန်မာ့မိရိုးဖလာ နတ်ကိုးကွယ်မှု|နတ်ကိုးကွယ်မှု]] နှင့်လည်း ဒွန်တွဲလျက်ရှိသည်။ ဗမာတို့၏ ဗိသုကာအတတ်၊ စာပေ၊ ဂီတ၊ အနုပညာနှင့် ဓလေ့ထုံးတမ်းများသည် နိုင်ငံအတွင်းရှိ အခြားသော လူမျိုးစုများ၏ ယဉ်ကျေးမှုအပေါ်တွင်လည်း သိသာထင်ရှားစွာ ရောယှက်လွှမ်းမိုးခဲ့သည်။<ref name="HtinAung1967">Htin Aung, Maung (1967). ''A History of Burma''. Columbia University Press.</ref> ထို့အပြင် သနပ်ခါး လိမ်းခြယ်ခြင်းကဲ့သို့သော ထင်ရှားသည့် ကိုယ်ပိုင် လူမှုထုံးတမ်းစဉ်လာများ နှင့် ရိုးရာပွဲတော်များ (ဥပမာ - [[သင်္ကြန်|မဟာသင်္ကြန်ပွဲတော်]]၊ [[သီတင်းကျွတ်ပွဲတော်]]) သည် တစ်နိုင်ငံလုံး အတိုင်းအတာဖြင့် ယနေ့တိုင် အရှိန်အဝါကြီးမားစွာ တည်ရှိနေဆဲ ဖြစ်သည်။<ref name="Spiro1982">Spiro, Melford E. (1982). ''Buddhism and Society: A Great Tradition and Its Burmese Vicissitudes''. University of California Press.</ref><ref name="CulturalBurma">မြန်မာ့စွယ်စုံကျမ်း၊ အတွဲ (၉)၊ "ဗမာလူမျိုးနှင့် ရိုးရာယဉ်ကျေးမှု"။</ref> == အမည်ရင်းမြစ် == "မြန်မာ" နှင့် "ဗမာ" ဟူသော ဝေါဟာရနှစ်ခုသည် အရင်းအမြစ်တစ်ခုတည်းမှ ဆင်းသက်လာသော စကားလုံးများ ဖြစ်ကြသော်လည်း အသံထွက်နှင့် အသုံးအနှုန်း ရောထွေးမှုများ သမိုင်းတစ်လျှောက် ရှိခဲ့သည်။<ref name="ThantMyintU">{{cite book |last1=Thant Myint-U |title=The Making of Modern Burma |url=https://archive.org/details/makingofmodernbu0000than |publisher=Cambridge University Press |year=2001 |pages=[https://archive.org/details/makingofmodernbu0000than/page/85 85]–88}}</ref> "မြန်မာ" ဟူသော စကားလုံးကို သမိုင်းတွင် အစောဆုံး ကျောက်စာအထောက်အထားအဖြစ် ၁၂ ရာစု [[ပုဂံခေတ်]] ကျောက်စာများ (ဥပမာ- ခရစ်နှစ် ၁၁၉၀ ပြည့်နှစ်ထိုး ရှင်ဒိသာပါမောက်ကျောက်စာ) တင် "မြမ္မာ" (Mranma) ဟု စတင်တွေ့ရှိရသည်။<ref name="Luce">{{cite book |last1=Luce |first1=G.H. |title=Old Burma-Early Pagan |publisher=J.J. Augustin |year=1969 |pages=98–102}}</ref> ၎င်း၏ ဆင်းသက်ပုံနှင့် ပတ်သက်၍ အဓိက ယူဆချက် (၂) ခု ရှိသည်။ရာဇဝင်ဆိုင်ရာ ယူဆချက်အရ ရှေးမြန်မာ ရာဇဝင်ဆရာများနှင့် ပါဠိစာပေပညာရှင်များက ကမ္ဘာဦး "ဗြဟ္မာ" (Brahma) လူသားများဟူသော ပုဒ်မှ ရွေ့လျောကာ "ဗြမ္မာ"၊ ထိုမှတစ်ဆင့် "မြမ္မာ" နှင့် "မြန်မာ" ဖြစ်လာသည်ဟု ယူဆကြသည်။<ref name="Hmannan">{{cite book |last1=တွန်းသင်းတိုက်ဝန် မဟာစည်သူ ဦးထွန်းညို |title=မှန်နန်း မဟာရာဇဝင်တော်ကြီး |publisher=ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန၊ မြန်မာနိုင်ငံ |year=၂၀၀၃ |pages=၃၅–၄၀}}</ref>ခေတ်သစ် သမိုင်းနှင့် ဘာသာဗေဒပညာရှင်များကမူ မြန်မာဟူသည် ဗမာလူမျိုးတို့၏ကိုယ်ပိုင် စကားလုံးဖြစ်သည့် လျင်မြန်ခြင်းဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော "မြန်" နှင့် သန်မာခြင်းဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော "မာ" တို့ ပေါင်းစပ်ပေါ်ပေါက်လာခြင်း ဖြစ်သည်ဟု သုံးသပ်ကြသည်။<ref name="ThanTun">{{cite book |last1=Than Tun |title=Studies in Burmese History, Volume 1 |publisher=Maha Dagon Publishing |year=၁၉၆၄ |pages=၅၂–၆၀}}</ref> "ဗမာ" (Bamar) ဆိုသည်မှာ "မြန်မာ" (Mranma) ဟူသော စကားလုံးကို နှုတ်ကပတ်ပြောဆိုရာ၌ အသံလွယ်ကူအောင် ရွေ့လျောခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည့် စကားပြောအသုံးအနှုန်း (Colloquial form) မျှသာ ဖြစ်သည်။<ref name="Wheatley">{{cite journal |last1=Wheatley |first1=Julian K. |title=Burmese as a Western Tibeto-Burman Language |journal=Linguistics of the Tibeto-Burman Area |volume=၅ |year=၁၉၈၀ |pages=၄၁–၄၇}}</ref> ဗမာစကားတွင် အက္ခရာ "မြ" (Mr-) သံသည် ကာလကြာသောအခါ အသံပေါ့ပါးသွားပြီး "ဗ" (B-) သံသို့ ပြောင်းလဲသွားလေ့ ရှိသဖြင့် ရေးတော့ "မြန်မာ"၊ ဖတ်တော့ "ဗမာ" ဟု ဖြစ်လာခဲ့သည်။ အနောက်နိုင်ငံသားများ၏ "Burma" နှင့် "Burmese" အမည်များမှာလည်း ဤ "ဗမာ" အသံထွက်ကို အခြေခံ၍ ခေါ်ဆိုခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name="ThantMyintU" /> ကိုလိုနီခေတ်နှင့် လွတ်လပ်ရေးရပြီးစ ကာလများတွင် "မြန်မာ" နှင့် "ဗမာ" ကို ဒွန်တွဲသုံးစွဲခဲ့ကြ၍ လူမျိုးစုအမည်နှင့် နိုင်ငံအမည်အကြား ရှုပ်ထွေးမှုများ ရှိခဲ့သည်။<ref name="Silverstein">{{cite book |last1=Silverstein |first1=Josef |title=Burma: Military Rule and the Politics of National Development |publisher=Ayer Company Publishers |year=၁၉၇၇ |pages=၁၂–၁၈}}</ref> ထိုရှုပ်ထွေးမှုကို ရှင်းလင်းရန် ၁၉၈၉ ခုနှစ်တွင် နိုင်ငံတော်ငြိမ်ဝပ်ပိပြားတည်ဆောက်ရေးအဖွဲ့က ဥပဒေအမှတ် (၁၅/၈၉) "အင်္ဂလိပ်ဘာသာဖြင့် ခေါ်ဝေါ်စိုက်ထူခြင်း ဥပဒေ" ကို ပြဋ္ဌာန်း၍ အောက်ပါအတိုင်း တရားဝင် ခွဲခြားသတ်မှတ်ခဲ့သည်။<ref name="Dittmer">{{cite book |last1=Dittmer |first1=Lowell |title=Burma Or Myanmar?: The Struggle for National Identity |publisher=World Scientific |year=၂၀၁၀ |pages=၂–၅}}</ref>မြန်မာ (Myanmar)ဟူသောအမည်အား တိုင်းရင်းသား လူမျိုးစု ၁၃၅ မျိုးစလုံးနှင့် နိုင်ငံသား အားလုံးကို ခြုံငုံလွှမ်းခြုံသည့် တရားဝင် နိုင်ငံတော်နှင့် နိုင်ငံသားဆိုင်ရာ အမည်အဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး၊ အင်္ဂလိပ်ဘာသာဖြင့် "Burma" အစား "Myanmar" ဟု ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ဗမာ (Bamar/Burman)သည် မြန်မာနိုင်ငံအတွင်းရှိ တိုင်းရင်းသားများအနက် အဓိက လူဦးရေအများဆုံးဖြစ်သည့် တိဗက်-ဗမာအုပ်စုဝင် ဗမာလူမျိုးတစ်ခုတည်းကိုသာ ရည်ညွှန်းရန် သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် ခေတ်သစ် ဘာသာဗေဒနှင့် နိုင်ငံရေးအရ "ဗမာ" သည် တိုင်းရင်းသား လူမျိုးနွယ်စု တစ်ခုကိုသာ ဆိုလိုပြီး "မြန်မာ" သည် နိုင်ငံတော်နှင့် တိုင်းရင်းသား နိုင်ငံသားအားလုံးကို လွှမ်းခြုံခေါ်ဆိုသော ဝေါဟာရဖြစ်သည်ဟု ခွဲခြားမှတ်သားနိုင်သည်။<ref name="Dittmer" /> == နောက်ခံ သမိုင်းကြောင်းနှင့် ပေါ်ပေါက်လာပုံ == ဗမာလူမျိုးများ သည် တရုတ်-တိဗက် ဘာသာစကားပြောမိသားစု ဝင် တိဗက်-ဗမာနွယ် လူမျိုးနွယ်စုကြီးအနက် လူဦးရေ အများဆုံးသော လူမျိုးဖြစ်သည်။ သမိုင်းပညာရှင် ပါမောက္ခ ဒေါက်တာသန်းထွန်း က ဗမာတို့သည် မနုဿဗေဒအရ [[မွန်ဂိုလွိုက်]] (Mongoloid) မျိုးနွယ်ကြီးတွင် ပါဝင်ကြောင်း မှတ်ချက်ပြုခဲ့သည်။<ref name="ThanTun1964">Than Tun (1964). ''Studies in Burmese History, Volume 1''. Maha Dagon Publishing.</ref> [[File:Yellowrivermap.jpg|thumb|250px|တိဗက်-တရုတ်နွယ်တို့ မူလစတင်ရာ မြစ်ဝါမြစ်ဝှမ်းဒေသ]] လွန်ခဲ့သော နှစ်ပေါင်း ၇,၀၀၀ မှ ၉,၀၀၀ ခန့်တွင် တရုတ်ပြည် အနောက်မြောက်ပိုင်း မြစ်ဝါမြစ် (Yellow River) ဝှမ်းတစ်လျှောက်၌ တရုတ်-တိဗက်နွယ်ဖွားများ၏ ဘိုးဘေးများ စတင်အခြေချခဲ့ကြသည်။<ref name="Zhang2019">Zhang, M., et al. (2019). "Phylogenetic evidence for Sino-Tibetan origin in northern China". ''Nature'', 569, 112–115.</ref> နောက်ပိုင်းတွင် လူဦးရေတိုးပွားလာမှုနှင့်အတူ အုပ်စုကြီးများ ကွဲထွက်သွားခဲ့ရာ အရှေ့ဘက်နှင့် တောင်ဘက်သို့ ဆင်းသွားသော အုပ်စုသည် ဟန်တရုတ်များ ဖြစ်လာခဲ့ပြီး၊ အနောက်ဘက်နှင့် တောင်ဘက်ရှိ ချင်းဟိုင်-ကန်စု (Qinghai-Gansu) ကုန်းမြင့်ဒေသများသို့ ရွှေ့ပြောင်းသွားသော အုပ်စုမှာ တိဗက်-ဗမာနွယ်ဖွားများ ဖြစ်လာခဲ့ကြသည်။ [[File:Qinghai Tibet Railway Tibet China 西藏 青藏铁路 - panoramio (4).jpg|thumb|250px|တိဗက်-ဗမာနွယ်တို့ ဖြတ်သန်းခဲ့သော ချင်းဟိုင်ကုန်းပြင်မြင့်]] တိဗက်-ဗမာနွယ်ဖွားများသည် ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာအတွင်း တောင်ဘက်သို့ တဖြည်းဖြည်း ရွှေ့ပြောင်းလာခဲ့ကြရာ မြန်မာနိုင်ငံအတွင်းသို့ အဓိက အုပ်စုနှစ်ခုအဖြစ် ဝင်ရောက်လာခဲ့ကြသည်။ရှေးဦးအုပ်စု (ပျူလူမျိုးများ)သည် ခရစ်တော်မပေါ်မီ (BC) ကာလများကတည်းက ဝင်ရောက်လာခဲ့ကြရာ ဧရာဝတီမြစ်ဝှမ်းတစ်လျှောက်တွင် [[ပျူမြို့ပြနိုင်ငံများ]] ကို ထူထောင်ခဲ့ကြပြီး နှောင်းပိုင်းအုပ်စု (ဗမာတို့၏ ဘိုးဘေးများ)သည် အေဒီ ၇ ရာစုမှ ၉ ရာစုအတွင်း တရုတ်ပြည် ယူနန်ဒေသရှိ [[နန်ကျောက်]] နိုင်ငံ၏ လက်အောက်တွင် အခြေချနေထိုင်ခဲ့ကြသည်။<ref name="Luce1985">Luce, G.H. (1985). ''Phases of Pre-Pagan Burma''. Oxford University Press.</ref> အေဒီ ၉ ရာစုဝန်းကျင်တွင် ဗမာတို့သည် ရှမ်းကုန်းပြင်မြင့်ကို ကျော်ဖြတ်၍ ဧရာဝတီမြစ်ကွေ့ရှိ [[ပုဂံ]] ဒေသတွင် အခြေစိုက်ကာ ခိုင်မာသော အုပ်ချုပ်ရေးယန္တရားကို တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ ဗမာတို့သည် ဒေသခံ ပျူလူမျိုးများနှင့်လည်းကောင်း၊ တောင်ဘက်မှ [[မွန်လူမျိုး|မွန်]] တို့၏ ယဉ်ကျေးမှုများနှင့်လည်းကောင်း ထိတွေ့ဆက်ဆံရင်း ဗမာလူမျိုးနှင့် မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု ပုံစံကို စတင်ပုံဖော်ခဲ့ကြသည်။<ref name="Lieberman2003" /> မနုဿသမိုင်းအရ ဗမာတို့သည် ယနေ့ မြန်မာနိုင်ငံ နယ်နိမိတ်အတွင်းသို့ နာဂ၊ သက်၊ ကမ်းယံ နှင့် ပျူတို့၏ နောက်မှ ဝင်ရောက်လာခြင်း ဖြစ်သော်လည်း၊ ပျူမြို့ပြနိုင်ငံများကို အေဒီ ၈ ရာစုတွင် နန်ကျောက်တို့ တိုက်ခိုက်ဖျက်ဆီးခြင်း မပြုမီကပင် ရောက်ရှိနေထိုင်ခဲ့ကြပြီးဖြစ်သည်ဟု ယူဆရသည်။<ref name="Luce1985" /> မြန်မာတို့သည် ၁၁ ရာစုခန့်မှစ၍ [[ထေရဝါဒဗုဒ္ဓဘာသာ|ထေရဝါဒ ဗုဒ္ဓဘာသာ]] ကို သက်ဝင်ယုံကြည်ခဲ့ကြပြီး သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် အဓိက ပြည်ထောင်စု အင်ပါယာကြီး သုံးခုကို အောင်မြင်စွာ တည်ထောင်နိုင်ခဲ့ကြသည်။ ==သမိုင်းကြောင်း== ဗမာလူမျိုးတို့သည် မြန်မာနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်း ဧရာဝတီမြစ်ဝှမ်းအတွင်း သမိုင်းဦးကာလကတည်းက အခြေချနေထိုင်ခဲ့ကြသော [[ပျူလူမျိုး|ပျူ]] တို့၏ ယဉ်ကျေးမှု၊မျိုးရိုးဗီဇနှင့် မြောက်ဘက်မှ စုန်ဆင်းလာသော ရှေ့ပြေးဗမာ တို့ ပေါင်းစည်း စိမ့်ဝင်ရာမှ ပေါ်ထွန်းလာသည့် တိဗက်-ဗမာနွယ် တိုင်းရင်းသား လူမျိုးစု ဖြစ်သည်ဟု သမိုင်းပညာရှင်များဖြစ်ကြသော ဒေါက်တာသန်းထွန်း၊ ဂျီ အိတ်ခ်ျ လူစ့် (G.H. Luce) နှင့် ဗစ်တာ လီဘာမန်း (Victor B. Lieberman) တို့က မနုဿဗေဒနှင့် သမိုင်းဝင် အထောက်အထားများကို အခြေခံ၍ တင်ပြခဲ့ကြသည်။<ref>Lieberman, Victor B. (2003). ''Strange Parallels: Southeast Asia in Global Context, c. 800–1830'', Vol. 1. Cambridge University Press, pp. 88–112.</ref><ref>Luce, G.H. (1985). ''Phases of Pre-Pagan Burma''. Oxford University Press, pp. 1–10.</ref><ref>Than Tun, Dr. (1988). ''Essays on the History and Buddhism of Burma''. Chalermnit, Bangkok, pp. 15–22.</ref> အေဒီ ၉ ရာစုအစပိုင်း (၈၃၂ ခန့်) တွင် ယူနန်ဒေသမှ [[နန်ကျောက်]] (Nanzhao) တပ်များ၏ ကျူးကျော်မှုကြောင့် ပျူမြို့ပြနိုင်ငံများ (အထူးသဖြင့် [[ဟန်လင်း]]) အားနည်းသွားချိန်၌ နန်ကျောက် စစ်တပ်တွင် စစ်သည်တော်များအဖြစ် ပါဝင်လာခဲ့သည့် ရှေ့ပြေးဗမာအုပ်စုများသည် ဧရာဝတီမြစ်ဝှမ်းအတွင်းသို့ စတင် စိမ့်ဝင် အခြေချခဲ့ကြသည်။<ref>Fan Chuo. (c. 863). ''Manshu (Book of the Southern Barbarians)'', translated by Luce, G.H., Cornell University, 1961.</ref> အဆိုပါ ရွှေ့ပြောင်းလာမှုသည် ပျူလူမျိုးများအား ဒေသတွင်း ယဉ်ကျေးမှုနှင့် မျိုးရိုးဗီဇဆိုင်ရာ သွေးနှောပေါင်းစပ်မှု ဖြစ်စဉ်တစ်ရပ်ကို ဦးတည်စေခဲ့သည်။ ရှေ့ပြေးဗမာတို့သည် စစ်ရေးနှင့် အုပ်ချုပ်ရေးတွင် ဦးဆောင်သူဖြစ်လာခဲ့သော်လည်း ဒေသခံ ပျူတို့ထံမှ ဆည်မြောင်း စိုက်ပျိုးရေးနည်းပညာ၊[[ထေရဝါဒဗုဒ္ဓဘာသာ]] ကိုးကွယ်မှုအခြေခံများ၊ပျူအက္ခရာကို အခြေခံထားသော ရှေးဟောင်း ဗမာစာပေနှင့် ဗိသုကာပညာရပ်များကို ဆက်ခံရယူကာ "ပုဂံယဉ်ကျေးမှု" ကို တည်ဆောက်ခဲ့ကြသည်။<ref>Aung-Thwin, Michael. (1985). ''Pagan: The Origins of Modern Burma''. University of Hawaii Press, pp. 25–40.</ref> === ပုဂံခေတ် - ပထမ မြန်မာနိုင်ငံတော် (အေဒီ ၁၀၄၄ – ၁၂၈၇) === အေဒီ ၈၄၉ တွင် ပုဂံမြို့ရိုးကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့ပြီး၊ အေဒီ ၁၀၄၄ တွင် [[အနော်ရထာမင်း]] နန်းတက်လာခြင်းနှင့်အတူ ပထမ မြန်မာနိုင်ငံတော် ပေါ်ထွန်းခဲ့သည်။ ပုဂံခေတ်သည် ဗမာစာပေ၊ ကိုးကွယ်ယုံကြည်မှုနှင့် ဗိသုကာအတတ်ပညာများ အထိရောက်ဆုံး ထွန်းကားခဲ့သည့် ရွှေခေတ်ဖြစ်သည်။ အေဒီ ၁၂၈၇ တွင် [[မွန်ဂို-တရုတ်]] တပ်များ၏ ကျူးကျော်မှုနှင့် ပဒေသရာဇ် အာဏာပြိုင်ဆိုင်မှုများကြောင့် ပုဂံအင်ပါယာ ပြိုကွဲခဲ့ရသည်။<ref>Harvey, G. E. (1925). ''History of Burma: From the Earliest Times to 10 March 1824''. Frank Cass & Co. Ltd., pp. 65–75.</ref> === ပင်းယ၊ စစ်ကိုင်း၊ အင်းဝနှင့် တောင်ငူခေတ် (အေဒီ ၁၂၈၇ – ၁၇၅၂) === ပုဂံပြိုကွဲပြီးနောက် ရှမ်း-ဗမာ သွေးနှောမင်းဆက်များ စိမ့်ဝင်အုပ်ချုပ်ခဲ့သော်လည်း အင်းဝနှင့် တောင်ငူတို့တွင် ဗမာ့ယဉ်ကျေးမှု ဗဟိုချက်များ ပြန်လည် စုစည်းခဲ့သည်။အင်းဝခေတ် (၁၃၆၄ – ၁၅၅၅)သည် ဗမာစာပေ ပျို့၊ ကဗျာ၊ လင်္ကာများ အလွန်ထွန်းကားခဲ့ပြီး [[အင်းဝ-ဟံသာဝတီ နှစ်လေးဆယ်စစ်]] ဖြစ်ပွားခဲ့သည်။<ref>Htin Aung, Maung. (1967). ''A History of Burma''. Columbia University Press, pp. 83–95.</ref>တောင်ငူခေတ် - ဒုတိယ မြန်မာနိုင်ငံတော် (၁၅၃၁ – ၁၇၅၂)တွင် [[တပင်ရွှေထီး]] နှင့် [[ဘုရင့်နောင်]] မင်းတရားကြီးတို့က တောင်ငူမှစတင်ကာ ဒုတိယ မြန်မာနိုင်ငံတော်ကို ထူထောင်ခဲ့ပြီး အရှေ့တောင်အာရှ၏ အကြီးမားဆုံး အင်ပါယာတစ်ခုအဖြစ် နယ်ပယ် ချဲ့ထွင်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>Shorto, H. L. (1967). "The 37 Nats". ''Bulletin of the SOAS'', Vol. 30, No. 1, pp. 125–129.</ref> === ကုန်းဘောင်ခေတ် - တတိယ မြန်မာနိုင်ငံတော် (အေဒီ ၁၇၅၂ – ၁၈၈၅) === [[အလောင်းမင်းတရား]] (ဦးအောင်ဇေယျ) သည် ရွှေဘိုမှစ၍ တတိယ မြန်မာနိုင်ငံတော်ကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ကုန်းဘောင်မင်းဆက်တွင် ယိုးဒယား၊ မဏိပူရတို့ကို အောင်နိုင်ခဲ့ကာ တရုတ်-ချင်မင်းဆက်၏ ကျူးကျော်မှု စစ်ပွဲ (၄) ကြိမ်ကိုလည်း အောင်မြင်စွာ တုံ့ပြန်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>Myint-U, Thant. (2001). ''The Making of Modern Burma''. Cambridge University Press, pp. 15–40.</ref> သို့သော် နယ်ချဲ့အင်္ဂလိပ်တို့နှင့် ဖြစ်ပွားခဲ့သော [[အင်္ဂလိပ်-မြန်မာစစ်ပွဲများ|စစ်ပွဲ (၃) ကြိမ်]] အပြီး ၁၈၈၅ ခုနှစ် [[သီပေါမင်း]] လက်ထက်တွင် ကုန်းဘောင်မင်းဆက် ပျက်သုဉ်း၍ ဗြိတိသျှ အင်ပါယာအတွင်းသို့ ကျရောက်ခဲ့ရသည်။<ref>Charney, Michael W. (2009). ''A History of Modern Burma''. Cambridge University Press, pp. 7–22.</ref> === ကိုလိုနီခေတ်၊ လွတ်လပ်ရေးနှင့် ခေတ်သစ် ကာလ (၁၈၈၅ – ပစ္စုပ္ပန်) === နယ်ချဲ့ဆန့်ကျင်ရေး လှုပ်ရှားမှုများတွင် ဗမာအမျိုးသားများနှင့် ရဟန်းကျောင်းသားများ ဦးဆောင်ခဲ့ကြပြီး၊ [[ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း]] ဦးဆောင်သော [[ဗမာ့လွတ်လပ်ရေးတပ်မတော်]] (BIA) နှင့် တိုင်းရင်းသား ခေါင်းဆောင်များ၏ [[ပင်လုံစာချုပ်]] (၁၉၄၇) ကြောင့် ၁၉၄၈ ခုနှစ်တွင် လွတ်လပ်ရေး ရရှိခဲ့သည်။ လွတ်လပ်ရေးရပြီးနောက် စစ်အာဏာသိမ်းမှုများ၊ ပြည်တွင်းစစ်များနှင့် ကြုံတွေ့ခဲ့ရပြီး ယနေ့ထက်တိုင် ပြည်ထောင်စု မြန်မာနိုင်ငံ၏ ပင်မ လူမျိုးစုအဖြစ် ဆက်လက် ရပ်တည်လျက် ရှိသည်။<ref>Taylor, Robert H. (2009). ''The State in Myanmar''. NUS Press, pp. 280–320.</ref> == မျိုးရိုးဗီဇဆိုင်ရာ သုတေသနများ == ဗမာလူမျိုးများ၏ မျိုးရိုးဗီဇ နှင့် ပတ်သက်၍ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ သုတေသီများနှင့် မြန်မာ သုတေသီများ ပူးပေါင်း၍ မိခင်မှဆင်းသက်သော မိုတိုကွန်ဒရီးယား (mtDNA)၊ ဖခင်မှဆင်းသက်သော Y-chromosomes (Y-DNA) နှင့် မိဘနှစ်ပါးစလုံးထံမှ အချိုးတူ ဆင်းသက်သော ခရိုမိုဆုန်းစုံ (Autosomal DNA) များကို လေ့လာဆန်းစစ်ချက်များစွာ ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။<ref name="Summerer2014">Summerer, M., et al. (2014-01-29). "Large-scale mitochondrial DNA analysis in Southeast Asia reveals evolutionary effects of cultural isolation in the Dispersal of Sino-Tibetan populations". ''BMC Evolutionary Biology'', 14(1), 17. DOI:10.1186/1471-2148-14-17</ref> ၂၀၀၄ ခုနှစ်မှ ၂၀၂၁ ခုနှစ်အထိ ပြုလုပ်ခဲ့သော မနုဿဗေဒဆိုင်ရာ မျိုးရိုးဗီဇ လေ့လာချက်များအရ ဗမာလူမျိုး အမျိုးသားများ၏ ဖခင်ဘက်မှ တိုက်ရိုက်ဆင်းသက်သော Y-DNA (Y-Chromosomal DNA) အစုအဝေးတွင် [[တရုတ်-တိဗက်နွယ် ဘာသာစကားများ|တရုတ်-တိဗက်နွယ်]] လူမျိုးများ၌ အဓိကတွေ့ရသည့် Haplogroup O-M122 (O3) မျိုးရိုးဗီဇမှာ အများဆုံး (၄၀% မှ ၅၀% ခန့်) ပါဝင်နေသည်ကို တွေ့ရှိရသည်။<ref name="Kutanan2019">Kutanan, W., et al. (2019-09-12). "Paternal and maternal lineages reveal the origins and genetic structure of the Bamar and other ethnic groups in Myanmar". ''Scientific Reports'', 9(1), 13180. DOI:10.1038/s41598-019-49522-8</ref> Haplogroup O-M122 သည် [[တိဗက်|တိဘက်ကုန်းပြင်မြင့်]] နှင့် တရုတ်နိုင်ငံ အနောက်တောင်ပိုင်းမှတစ်ဆင့် မြန်မာနိုင်ငံအတွင်းသို့ သမိုင်းဝင် ရွှေ့ပြောင်းလာခဲ့ကြသည့် တိဗက်-ဗမာနွယ် မူလဘိုးဘေးများ၏ ဖခင်ဘက်ဆိုင်ရာ မျိုးရိုးဗီဇ အရင်းအမြစ်ကို ဖော်ပြနေသည်။<ref name="Kutanan2019" /> ဒုတိယ အများဆုံးအဖြစ် Haplogroup O1b1a1a (O-M95) ကို (၂၀% မှ ၃၀% ခန့်) တွေ့ရှိရပြီး၊ ဤသည်မှာ မြန်မာနိုင်ငံအတွင်း အစောပိုင်းကတည်းက အခြေချနေထိုင်ခဲ့ကြသည့် [[ဩစထြိုအေးရှားတစ် ဘာသာစကားများ|မွန်-ခမာ]] (ဥပမာ - [[မွန်လူမျိုး]]) မျိုးနွယ်စုဝင်များနှင့် သမိုင်းတစ်လျှောက် ဖခင်ဘက်ဆိုင်ရာ ဗီဇစိမ့်ဝင် ရောနှောခဲ့သည့် အထောက်အထား ဖြစ်သည်။<ref name="Mcardle2019">McArdle, A., et al. (2019-05-15). "Genome-wide insights into the population history of Myanmar". ''European Journal of Human Genetics'', 27(9), 1398-1409. DOI:10.1038/s41431-019-0428-2</ref>ထို့ပြင် အိန္ဒိယတိုက်ငယ် ပင်မနွယ်ဝင် Y-DNA Haplogroups များဖြစ်ကြသော Haplogroup H (H-M69)၊ Haplogroup R1a (R-M17)၊ Haplogroup J2 နှင့် Haplogroup R2 တို့ကိုလည်း ဗမာလူမျိုး အမျိုးသားများ၏ ၅% မှ ၁၀% ခန့်တွင် ရောနှောတွေ့ရှိရသည်။<ref name="Kutanan2019" /> ဤသည်မှာ အိန္ဒိယအရှေ့မြောက်ပိုင်း နယ်စပ် ထိစပ်မှုများ၊ ကုန်းဘောင်ခေတ်နှင့် ယခင်မင်းဆက်များလက်ထက် နန်းတွင်း ရောက်ရှိလာခဲ့ကြသည့် ပုဏ္ဏား/ဗြာဟ္မဏများ၊ ကသည်း မြင်းသည်တော် စစ်သုံ့ပန်းများ၊ သမိုင်းဝင် အနောက်ဘက် ကုန်သည်များနှင့် ကိုလိုနီခေတ်အတွင်း ဗမာလူမျိုးစုအတွင်း စိမ့်ဝင် ပေါင်းစည်းခဲ့သည့် သမိုင်းဝင် ရောနှောမှုများကြောင့် ဖြစ်သည်။<ref name="Li2015" /><ref name="Kutanan2019" /> အထူးသဖြင့် [[တိဗက်|တိဘက်]] ကုန်းပြင်မြင့်နှင့် အာရှအရှေ့မြောက်ပိုင်း ရှေးဟောင်းနွယ်များထံတွင် အတွေ့များသည့် Y-DNA Haplogroup D (အထူးသဖြင့် Haplogroup D1a-M174) ကိုလည်း ဗမာလူမျိုးများ၏ Y-DNA တွင် အရေးပါသော ရာခိုင်နှုန်း (၅% မှ ၁၀% ဝန်းကျင်) အဖြစ် တွေ့ရှိရသည်။<ref name="Summerer2014">Summerer, M., et al. (2014). "Large-scale mitochondrial DNA analysis in Southeast Asia". ''BMC Evolutionary Biology''.</ref><ref name="Kutanan2019" /> Haplogroup D ပါဝင်မှုသည် ဗမာလူမျိုးတို့၏ ဘိုးဘေးများသည် မြောက်ဘက် ကုန်းမြင့်ဒေသမှ တောင်ဘက်သို့ မစိမ့်ဝင်မီ တိဗက်-ဗမာ မူလဘိုးဘေးကြီးများနှင့် နီးကပ်စွာ တည်ရှိခဲ့ကြောင်းပြသသည့် ရှေးဟောင်း ဖခင်ဘက် ဗီဇသင်္ကေတတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name="Kutanan2019" /> ထို့ပြင် မြောက်အာရှနှင့် [[မွန်ဂိုလီးယားနိုင်ငံ|မွန်ဂို]] ကုန်းပြင်မြင့်နွယ် လူမျိုးများတွင် အတွေ့များသော Y-DNA Haplogroup C-M217 ကို ပမာဏအနည်းငယ် (၁% မှ ၃% ဝန်းကျင်) တွေ့ရှိရသည်။<ref name="Kutanan2019" /><ref name="Li2015">Li, Y. C., et al. (2015-05-19). "Genetic landscape of ethnic populations in Myanmar". ''PLOS ONE'', 10(5), e0127084. DOI:10.1371/journal.pone.0127084</ref> သုတေသီများက ဤ Y-DNA Haplogroup C ပါဝင်မှုကို [[ပုဂံခေတ်]] အနှောင်းပိုင်း [[မွန်ဂို-မြန်မာစစ်ပွဲများ|မွန်ဂိုတို့၏ မြန်မာနိုင်ငံအတွင်း ကျူးကျော်ဝင်ရောက်ခဲ့သည့် သမိုင်းဖြစ်စဉ်များ]]၊ မွန်ဂို-ယွမ် မင်းဆက်တပ်များ၏ အရှေ့တောင်အာရှသို့ စစ်ချီမှုများနှင့် အာလ်တေးယစ်နွယ် စစ်သည်များ ရောနှောစိမ့်ဝင်ခဲ့မှုဆိုင်ရာ ဖခင်ဘက် မျိုးရိုးဗီဇ အထောက်အထားအဖြစ် သုံးသပ်ကြသည်။<ref name="Li2015" /> ၂၀၁၄ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၁၉ ခုနှစ်များတွင် ပြုလုပ်ခဲ့သော မိခင်နွယ် မိုတိုကွန်ဒရီးယား DNA (mtDNA) လေ့လာဆန်းစစ်ချက်များအရ ဗမာလူမျိုးများ၏ မိခင်နွယ် မျိုးရိုးဗီဇ ကွဲပြားစုံလင်မှု သည် ဖခင်နွယ် ထက် ပိုမိုမြင့်မားနေသည်ကို တွေ့ရှိရသည်။<ref name="Summerer2014" /><ref name="Kutanan2019" /> ဗမာလူမျိုးများ၏ မိခင်နွယ် DNA တွင် အရှေ့အာရှ တိဗက်-ဗမာနွယ်များနှင့် ပတ်သက်ဆက်နွှယ်နေသော Haplogroup M (M7, M8, M9)၊ အရှေ့တောင်အာရှ ကုန်းတွင်းပိုင်းနွယ် မိခင်များထံမှ စိမ့်ဝင်လာသည့် Haplogroup F (F1a, F2)၊ အရှေ့တောင်အာရှ ကုန်းတွင်းပိုင်းနှင့် ကျွန်းစုနွယ်များတွင် တွေ့ရသည့် Haplogroup B (B4, B5) နှင့် တိဗက်ကုန်းပြင်မြင့်နွယ် မိခင်များထံမှ ဆင်းသက်လာသော Haplogroup D (D4, D5) တို့ အဓိက ပါဝင်ကြသည်။<ref name="Summerer2014" /><ref name="Kutanan2019" /> မိခင်နွယ် DNA ကွဲပြားစုံလင်မှု မြင့်မားနေခြင်းသည် တိဗက်-ဗမာနွယ် ဘိုးဘေးများသည် မြန်မာနိုင်ငံ နယ်မြေအတွင်းသို့ ဝင်ရောက်လာပြီးနောက် မူလဒေသခံ မွန်-ခမာ အပါအဝင် အခြားသော မိခင်မျိုးရိုးများနှင့် သမိုင်းတစ်လျှောက် မြင့်မားစွာ ပေါင်းစည်းခဲ့ကြကြောင်းကို ဖော်ပြနေသည်။<ref name="Summerer2014" /> မိဘနှစ်ပါးစလုံးထံမှ ခရိုမိုဆုန်းများကို အချိုးတူ အမွေဆက်ခံသည့် Genome-wide Autosomal DNA လေ့လာဆန်းစစ်ချက်များအရ ဗမာလူမျိုးတို့၏ မျိုးရိုးဗီဇ တည်ဆောက်ပုံသည် [[အရှေ့အာရှ]] နွယ်ဝင် (တရုတ်/တိဗက်) မျိုးရိုးဗီဇနှင့် [[အရှေ့တောင်အာရှ]] နွယ်ဝင် (မွန်/ခမာ) မျိုးရိုးဗီဇတို့ အဓိက ပေါင်းစပ်ထားသည့် ပုံသဏ္ဌာန်ရှိပြီး တောင်အာရှ (အိန္ဒိယ) မျိုးရိုးဗီဇ အနည်းငယ် ပေါင်းစပ်ပါဝင်နေသည်။<ref name="Liu2021">Liu, D., et al. (2021-03-08). "Genomic insight into the population history of Bamar and other ethno-linguistic groups in Myanmar". ''Molecular Biology and Evolution'', 38(7), 2821-2834. DOI:10.1093/molbev/msab068</ref> အထက်မြန်မာပြည် (စစ်ကိုင်း၊ မန္တလေး၊ မကွေးတိုင်းဒေသကြီးများ) ရှိ ဗမာလူမျိုးများ၏ Autosomal DNA တွင် တိဗက်-ဗမာ (အရှေ့အာရှ) ပင်မ DNA လွှမ်းမိုးမှု အမြင့်မားဆုံးဖြစ်ပြီး Haplogroup O-M122 (O3)၊ Haplogroup D1 နှင့် D4/D5 တို့သည် ၇၀% မှ ၈၀% အထိ လွှမ်းမိုးပါဝင်နေသည်။<ref name="Li2015" /> အောက်မြန်မာပြည် (ရန်ကုန်၊ ဧရာဝတီ၊ ပဲခူး၊ တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးများ) ရှိ ဗမာလူမျိုးများတွင်မူ တိဗက်-ဗမာနွယ်အပြင် ရှေးဒေသခံ မွန်လူမျိုးများနှင့် ရောနှောခဲ့မှုကို ပြသသော Haplogroup O1b1a1 (O-M95) နှင့် မွန်-ခမာ မိခင်နွယ် Haplogroup F တို့၏ ပါဝင်မှု ပိုမိုမြင့်မားသည့်အပြင် တောင်အာရှနှင့် အရှေ့တောင်အာရှ ကျွန်းစုနွယ် (Austronesian) မျိုးရိုးဗီဇ ရောနှောမှု ပမာဏသည် အညာဒေသထက် စိမ့်ဝင်မှု ပိုမိုစုံလင်သည်ကို တွေ့ရှိရသည်။<ref name="Kutanan2018">Kutanan, W., et al. (2018). "Genetic affinity between Austroasiatic-speaking Mon and Tibeto-Burman populations in Myanmar". ''Annals of Human Genetics'', 82(4), 223-239.</ref> == ရိုးရာယဉ်ကျေးမှုနှင့် ဓလေ့ထုံးစံ == ===ကိုးကွယ်ယုံကြည်မှု=== {{main|မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကိုးကွယ်ယုံကြည်မှု}} {{main|မြန်မာ့မိရိုးဖလာ နတ်ကိုးကွယ်မှု}} ယနေ့ခေတ် ဗမာလူမျိုးတို့၏ ပင်မ ကိုးကွယ်ယုံကြည်မှုသည် [[ထေရဝါဒဗုဒ္ဓဘာသာ]] ဖြစ်သည်။ ဗမာလူဦးရေ၏ ၉၀ ရာခိုင်နှုန်းကျော်သည် ဗုဒ္ဓဘာသာကို သက်ဝင်ယုံကြည်ကြပြီး၊ ၎င်းတို့၏ နေ့စဉ်လူမှုဘဝ၊ ယဉ်ကျေးမှုဓလေ့များ၊ စာပေနှင့် အနုပညာတို့သည် ဗုဒ္ဓဘာသာနှင့် ခွဲခြား၍မရနိုင်လောက်အောင် နက်ရှိုင်းစွာ ဒွန်တွဲဆက်နွယ်လျက်ရှိသည်။<ref name="Census2014">The Republic of the Union of Myanmar Department of Population Ministry of Labour, Immigration and Population. (2016). ''The 2014 Myanmar Population and Housing Census: Religion''. Census Report Volume 2-C. Nay Pyi Taw. pp. 11–15.</ref>သို့သော်လည်း မန္တရား၊ အင်းအိုင်၊ လက်ဖွဲ့နှင့် ဓာတ်ရိုက်ဓာတ်ဆင်များဖြင့် အနိစ္စတရားကို လွန်မြောက်ရန် ကြိုးပမ်းသည့် ထွက်ရပ်ပေါက် ဝိဇ္ဇာယုံကြည်မှု သည်လည်း ဗမာတို့၏ ဗုဒ္ဓဘာသာတွင် ထူးခြားသည့် ဒေသန္တရ လက္ခဏာတစ်ရပ်အဖြစ် အခိုင်အမာ ပါဝင်လျက်ရှိသည်။<ref>Ferguson, John P., and E. Michael Mendelson, "A Masters Theory of Theravada Buddhism", ''Monks, Bishops and Deacons'', 1981.</ref> ထို့အပြင်ဗုဒ္ဓဘာသာ မထွန်းကားမီ သမိုင်းမတင်မီ ကာလကတည်းက တည်ရှိခဲ့သော ရိုးရာနတ်ကိုးကွယ်မှုသည်လည်း ဗမာတို့၏ လူမှုယဉ်ကျေးမှုနှင့် နေ့စဉ်ဘဝအတွင်း ယနေ့ထက်တိုင် ဆက်လက်၍ ဒွန်တွဲတည်ရှိနေဆဲ ဖြစ်သည်။<ref>Spiro, Melford E., ''Buddhism and Society: A Great Tradition and Its Burmese Vicissitudes'', University of California Press, 1982.</ref> ဗမာလူမျိုးအများစုသည် ဗုဒ္ဓဘာသာဝင်များ ဖြစ်ကြသော်လည်း ၁၉ ရာစုတွင် အမေရိကန် နှစ်ခြင်း သာသနာပြုဆရာကြီး [[ယုဒသန်|အက်ဒိုနိရမ် ဂျဒ်ဆန်]] (ဆရာယုဒသန် / Adoniram Judson) သည် မြန်မာနိုင်ငံသို့ ရောက်ရှိလာပြီး၊ အင်္ဂလိပ်-မြန်မာ ပထမစစ်ပွဲ မတိုင်မီနှင့် အပြီးတွင် ဗမာဘာသာစကားဖြင့် [[သမ္မာကျမ်းစာ]]ကို ပထမဆုံး ဘာသာပြန်ဆိုခဲ့ကာ ဗမာလူမျိုး ခရစ်ယာန် သာသနာပြုလုပ်ငန်းများကို စတင်ခဲ့သည်။ <ref>Wayland, Francis, ''A Memoir of the Life and Labors of the Rev. Adoniram Judson'', Phillips, Sampson, and Co., 1853.</ref> ယနေ့ခေတ်တွင် နှစ်ခြင်း (Baptist)၊ [[ရောမကက်သလစ်ဂိုဏ်း|ရောမကက်သလစ်]] (Roman Catholic) နှင့် အန်ဂလီကန် (Anglican) အသင်းတော်များ၌ ပါဝင်သော ဗမာခရစ်ယာန်များသည် အဓိကအားဖြင့် ရန်ကုန်၊ မန္တလေးနှင့် စစ်ကိုင်းတိုင်း ဒေသကြီးများအတွင်း အစဉ်အဆက် သက်ဝင်ယုံကြည်လျက် ရှိကြသည်။ === မြန်မာပြက္ခဒိန်စနစ် နှင့် နှစ်ကူး ပွဲတော် === ဗမာလူမျိုးတို့၏ ပွဲတော်များသည် [[မြန်မာပြက္ခဒိန်]] ၏ ရာသီစက်ဝန်းပေါ်တွင် အခြေခံထားသည်။ မြန်မာပြက္ခဒိန်သည် နေနှင့် လ၏ သွားလာပုံကို ပေါင်းစပ်တွက်ချက်သော လနေပူးတွဲ ပြက္ခဒိန် စနစ် ဖြစ်ပြီး ရက်လိုများကို ညှိယူရန် ဝါထပ်နှစ် များကို ထည့်သွင်းတွက်ချက်သည်။<ref name="Chatterjee">Irwin, A. M. B. (1909). ''The Burmese and Arakanese Calendars''. Hanthawaddy Printing Works.</ref> မြန်မာ့ပြက္ခဒိန်စနစ် ကို ထိုင်း ၊ လာအို၊ ဇင်းမယ် (လန်နာ) နှင့် တိုင်းလူး (စစ်ဆောင်ပန္နား) ဒေသများက နှစ်ပေါင်း ရာစုနှစ်များစွာ တရားဝင် ရာဇဝင်ပြက္ခဒိန်အဖြစ် လက်ခံသုံးစွဲခဲ့ကြသည်။<ref name="Eade">Eade, J.C. (1995). ''The Calendrical Systems of Mainland South-East Asia''. E.J. Brill.</ref> [[သင်္ကြန်|သင်္ကြန်ပွဲတော်]]သည် မြန်မာနှစ်သစ်ကူး ပွဲတော်ဖြစ်ပြီး တန်ခူးလ (မတ်-ဧပြီ) တွင် ကျင်းပသည်။ [[သိကြားမင်း]] လူ့ပြည်သို့ ဆင်းသက်သည်ကို အကြောင်းပြု၍ အကုသိုလ် အညစ်အကြေးများကို ရေဆေးငါးပါး ပြုလုပ်သည့်အနေဖြင့် ရေပက်ကစားကြသည်။ အတက်နေ့နှင့် နှစ်ဆန်း ၁ ရက်နေ့တို့တွင် ဘုန်းတော်ကြီးကျောင်းများ၌ တရားဘာဝနာ ပွားများခြင်း၊ သက်ကြီးပူဇော်ပွဲ ပြုလုပ်ခြင်းနှင့် ဇီဝိတဒါန ငါးလွှတ်/နွားလွှတ်ခြင်းများကို ဆောင်ရွက်ကြသည်။<ref name="Spiro">Spiro, Melford E. (1982). ''Buddhism and Society: A Great Tradition and Its Burmese Vicissitudes''. University of California Press.</ref> ပုဂံခေတ်သည် သင်္ကြန်ပွဲတော်ကို စာဖြင့် ရေးထိုးသည့် ကျောက်စာမှတ်တမ်း၊ ရေပက်ကစားသည့် ရာဇဝင်မှတ်တမ်း နှင့် စနစ်တကျ တွက်ချက်သည့် နက္ခတ်ဗေဒမှတ်တမ်း ဟူသော ကဏ္ဍစုံမှ အစောဆုံး တည်ရှိခဲ့သဖြင့် မြန်မာ့သင်္ကြန် သည်အစောဆုံး ကျင်းပသည့် မူလရေသဘင် နှစ်သစ်ကူးပွဲတော်ဖြစ်ကြောင်း အခိုင်အမာဆိုနိုင်ပေမည်။ <ref name="culture">ဦးနု၊ "မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှုနှင့် ဓလေ့ထုံးစံများ"၊ ၁၉၆၅။</ref> === အစားအစာ ယဉ်ကျေးမှု === ဗမာလူမျိုးတို့၏ အဓိက အစားအစာမှာ [[ဆန်]] (ထမင်း) ဖြစ်ပြီး ဟင်းလျာများကို ချို၊ ချဉ်၊ ငန်၊ စပ် မျှတစွာ ချက်ပြုတ်စားသုံးကြသည်။[[ငါးပိ]] (ငါးပိရည်ကျိုနှင့် အတို့အမြှုပ်) သည် ဗမာထမင်းဝိုင်း၏ မရှိမဖြစ် အစိတ်အပိုင်းဖြစ်သည်။ ဆီပြန်ဟင်းများအဖြစ် ကြက်သား၊ ဝက်သား၊ ငါး စသည်တို့ကို ကြက်သွန်နီ၊ ကြက်သွန်ဖြူ၊ ဂျင်း၊ ငရုတ်သီး၊ မဂ္ဂန်းစသဖြင့် အခြေခံကာ ချက်ပြုတ်ကြသည်။ ထို့အပြင် နံနံပင် ကို ဟင်းလျာအတော်များများတွင် အနံ့မွှေးစေရန်နှင့် အဆင်တန်ဆာအဖြစ် အဓိက အသုံးပြုကြသည်။ဘဲဥ၊ ငှက်ပျောရိုး၊ ငါးတို့ဖြင့် ချက်ပြုတ်ထားသော ဗမာတို့၏ နိုင်ငံတော်အစားအစာ ဖြစ်သည်။<ref> name="Khayaing">Aye, MiMi. (2019). ''Mandalay: Recipes and Tales from Burma''. Bloomsbury Absolute.</ref> === သနပ်ခါး ဓလေ့ === [[သနပ်ခါး]] သည် ဗမာလူမျိုးများ၏ ထူးခြားသော သဘာဝ အလှကုန်နှင့် ယဉ်ကျေးမှု သင်္ကေတဖြစ်သည်။ သနပ်ခါးပင်၏ အခေါက်ကို ကျောက်ပျဉ်တွင် ရေစက်ချကာ သွေး၍ မျက်နှာနှင့် ခန္ဓာကိုယ်တွင် လိမ်းကျံကြသည်။ သနပ်ခါးသည် နေလောင်ဒဏ်မှ ကာကွယ်ပေးခြင်း၊ အေးမြစေခြင်း နှင့် အသားအရေ ထိန်းသိမ်းပေးခြင်း စသည့် ဆေးဖက်ဝင် အစွမ်းများရှိသည်။ ဗမာအမျိုးသမီးများနှင့် ကလေးငယ်များသည် သနပ်ခါးကို ပါးနှစ်ဖက်တွင် ကွက်ကျား သို့မဟုတ် ဘိလပ်ကွက်၊ ကလေးများတွင် ပါးကွက်ကြား ပုံစံများ ရေးဆွဲ လိမ်းကျံသည့် ဓလေ့မှာ နှစ်ပေါင်း ထောင်ချီ ခိုင်မာခဲ့သော ယဉ်ကျေးမှုဖြစ်သည်။<ref name="Thanaka">Muralidharan, S. (2016). "Thanaka: The Traditional Burmese Cosmetic". ''International Journal of Cultural Heritage'', 4(1), pp. 45–52.</ref> === အခြား လူမှုရေးနှင့် လူနေမှု ဓလေ့ထုံးတမ်းများ === ဗမာမိသားစုများအတွက် သားယောက်ျားလေးများကို [[ရှင်ပြုပွဲ|ရှင်ပြုပေးခြင်း]] (သာသနာ့ဘောင်သို့ သွတ်သွင်းခြင်း) သည် ဘဝ၏ အရေးကြီးဆုံး ဗုဒ္ဓဘာသာဆိုင်ရာ တာဝန်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ရှင်လောင်းများကို မင်းညီမင်းသား ဝတ်စုံများ ဝတ်ဆင်ပေး၍ မြင်း၊ ဆင် စသည်တို့ဖြင့် လှည့်လည်ကာ ရှင်လောင်းလှည့်ပွဲ ကျင်းပပြီးမှ ကျောင်းထိုင်ဆရာတော်ထံ၌ သာမဏေအဖြစ် ခံယူစေသည်။ မြန်မာ့ရိုးရာ မင်္ဂလာပွဲများကို ဝါဆိုမှ သီတင်းကျွတ်အထိ ဝါတွင်းကာလများတွင် ကျင်းပလေ့မရှိဘဲ ဝါပကာလများတွင်သာ ကျင်းပကြသည်။ ကွယ်လွန်သူကို အမျှအတန်း ပေးဝေခြင်း၊ ၇ ရက်ပြည့်လျှင် ရက်လည်ဆွမ်းကျွေးပွဲ ကျင်းပ၍ တရားတော်များ နာယူခြင်းများ ပြုလုပ်ကြသည်။ === ဝတ်စားဆင်ယင်မှု === ဗမာလူမျိုး တို့၏ ရိုးရာဝတ်စားဆင်ယင်မှုသည် မြန်မာနိုင်ငံ၏ အပူပိုင်းဒေသ ရာသီဥတု၊ ထေရဝါဒ ဗုဒ္ဓဘာသာ ယဉ်ကျေးမှုနှင့် သမိုင်းဝင် နန်းတွင်း အစဉ်အလာများအပေါ် မူတည်၍ တီထွင်ဖန်တီးထားသော ယဉ်ကျေးမှု အမွေအနှစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <ref>Ferrars, Max and Bertha, ''Burma'', Sampson Low, Marston and Company, 1900, pp. 60–65.</ref> ခေတ်သစ် ဗမာလူမျိုးတို့၏ ပင်မ အမျိုးသား/အမျိုးသမီး ရိုးရာဝတ်စုံ၏ အခြေခံမှာ လုံချည် ဖြစ်သည်။ပုဆိုး သည် ဗမာအမျိုးသားများ ဝတ်ဆင်သော ခါးဝတ်လုံချည် ဖြစ်သည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် အကွက်၊ အစင်း သို့မဟုတ် ရိုးရိုးခါးဝတ်များကို ဝတ်ဆင်ကြပြီး၊ မင်္ဂလာဆောင်နှင့် အခမ်းအနားများတွင် မန္တလေးချိတ် သို့မဟုတ် သပွတ်အကွက် ပုဆိုးများကို တိုက်ပုံအင်္ကျီ၊ ခေါင်းပေါင်း တို့နှင့် တွဲဖက်ဝတ်ဆင်ကြသည်။ <ref>Fraser-Lu, Sylvia, ''Burmese Textiles'', The White Orchid Press, 1988.</ref>ထဘီသည် ဗမာအမျိုးသမီးများ ဝတ်ဆင်သော ခါးဝတ်ဖြစ်သည်။ အောက်နားတွင် အနားသတ် သို့မဟုတ် အနားစပါး ပါရှိလေ့ရှိပြီး၊ ရိုးရာ အချိတ်အဆင် များကို ပွဲလမ်းသဘောတူ ဝတ်ဆင်ကြသည်။ အမျိုးသမီးများ၏ ရိုးရာအင်္ကျီမှာ ရင်ဖုံး သို့မဟုတ် ရင်စိ ရိုးရာအင်္ကျီ ဖြစ်သည်။ <ref>Fraser-Lu, Sylvia, ''Handwoven Textiles of South-East Asia'', Oxford University Press, 1988.</ref> ကုန်းဘောင်ခေတ်နှင့် နန်းတွင်း ဝတ်စားဆင်ယင်မှု တွင်မူ အလျား ဧက ၁၅ မှ ၂၀ ခန့်ရှည်လျားသော တောင်ရှည်ပုဆိုးကို အမျိုးသားများ ခါးတွင် စည်းနှောင်၍ ပိုလျှံသော အစကို ပခုံးပေါ်တင်ခြင်း သို့မဟုတ် ခါးတွင် ထည့်သွင်းခြင်းဖြင့် ဝတ်ဆင်ခဲ့ကြသည်။ <ref>Scott, J. George, ''The Burman: His Life and Notions'', Macmillan and Co., 1882.</ref>ကုန်းဘောင်ခေတ် နန်းတွင်းအမျိုးသမီးများသည် အနောက်သို့ ရှည်လျားစွာ တင်းစွဲသွားသော ပတ်ထဘီနှင့် ရင်ဖုံး အင်္ကျီများကို ဝတ်ဆင်ခဲ့ကြသည်။လွန်းတစ်ရာ အချိတ်ကဲ့သို့ မန္တလေးနန်းတွင်း၌ ရက်လုပ်သော ရက်ကန်းစင် မျိုးစုံအချိတ် အဆင်များသည် မင်းစိုးရာဇာနှင့် ကုန်းဘောင်နန်းတွင်း အထက်တန်းလွှာတို့၏ သင်္ကေတ ဖြစ်ခဲ့သည်။ <ref>Green, Alexandra, ''Burmese Visual Culture: Charisma and Sacred Fortune'', Hong Kong University Press, 2018.</ref> ဗမာလူမျိုးတို့၏ ဝတ်စားဆင်ယင်မှုသည် ရှေးဟောင်း နန်းတွင်းအဆင် တောင်ရှည်ပုဆိုးနှင့် လွန်းတရာအချိတ် တို့မှသည် ယနေ့ခေတ် လုံချည်၊ တိုက်ပုံနှင့် ရင်ဖုံးအင်္ကျီ အဖြစ် ရိုးရှင်းသေသပ်စွာ ပြောင်းလဲလာခဲ့သော်လည်း၊ မြန်မာ့ရိုးရာ ရက်ကန်းအတတ်နှင့် ယဉ်ကျေးမှု အနှစ်သာရကို မပျောက်ပျက်ဘဲ ဆက်လက် ထိန်းသိမ်းထားသည့် ဝတ်စားဆင်ယင်မှု ပင်ဖြစ်သည်။ == ဘာသာစကားနှင့်စာပေ == ဗမာစကားသည် [[တရုတ်-တိဗက်နွယ် ဘာသာစကားများ|တရုတ်-တိဗက် ဘာသာစကားမိသားစု]] ကြီး၏ အောက်ရှိ [[တိဗက်-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများ|တိဗက်-ဗမာ ဘာသာစကား]]ခွဲတွင် ပါဝင်ပြီး၊ ထိုအထဲမှ [[လိုလို-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများ|လိုလို-ဗမာ အုပ်စု]]ဝင် ဘာသာစကားတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name="Bradley">Bradley, David. (1997). "Tibeto-Burman languages and classification". ''Papers in Southeast Asian Linguistics''. No. 14. pp. 1–72.</ref> ဗမာစကားသည် စကားလုံးတစ်လုံးချင်းစီ၏ အဓိပ္ပာယ်ကို အသံနိမ့်အမြင့် ဖြင့် ခွဲခြားသည့် နိမ့်မြင့်သံသုံးဘာသာစကား အမျိုးအစား ဖြစ်သည်။ မြန်မာနိုင်ငံအလယ်ပိုင်း (မန္တလေး၊ စစ်ကိုင်း၊ မကွေး) နှင့် အောက်ပိုင်း (ရန်ကုန်၊ ပဲခူး၊ ဧရာဝတီ) တို့တွင် ပြောဆိုကြသော ဗမာစကားသည် စံပြဗမာစကား ဖြစ်ပြီး၊ အပြန်အလှန် နားလည်နိုင်စွမ်း အပြည့်အဝ ရှိသည်။ သို့သော် ပထဝီဝင်အနေအထားအရ ကွဲပြားနေသော ဒေသများဖြစ်သည့် [[ရခိုင်ပြည်နယ်]]ရှိ ရခိုင်စကား၊ [[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး]]ရှိ ထားဝယ်စကားနှင့် မြိတ်စကားတို့သည် ဗမာစကား၏ ဒေသန္တရစကားခွဲများ ဖြစ်ကြပြီး၊ ရှေးဟောင်းဗမာစကား၏ လေယူလေသိမ်းနှင့် အသံထွက်ဝိသေသလက္ခဏာများကို ပိုမိုထိန်းသိမ်းထားကြသည်။<ref name="Bradley" /> [[File:Sino-Tibetan Languages Map.png|thumb|တရုတ်-တိဗက် ဘာသာစကားမိသားစု ပြန့်နှံ့တည်ရှိမှု]] === သမိုင်းကြောင်းနှင့် စာပေပေါ်ပေါက်လာပုံ === {{main|မြန်မာစာပေ}} ဗမာစကားသည် သမိုင်းဦးကာလ မြောက်ဘက်အရပ်မှ တိဗက်-ဗမာနွယ်ဖွားများ ဧရာဝတီမြစ်ဝှမ်းတစ်လျှောက် ရွှေ့ပြောင်းအခြေချလာမှုနှင့်အတူ ပါဝင်လာခဲ့သည်။ စာရေးသားမှုစနစ်အနေဖြင့် မူလက မိမိကိုယ်ပိုင်အက္ခရာ မရှိသေးသော်လည်း၊ ပုဂံခေတ်သို့ ရောက်ရှိလာသောအခါ ဒေသခံ [[မွန်လူမျိုး|မွန်]]နှင့် [[ပျူလူမျိုး|ပျူ]]တို့ထံမှတစ်ဆင့် အိန္ဒိယတောင်ပိုင်းသုံး [[ဗြဟ္မီအက္ခရာ|ဗြဟ္မီအက္ခရာ]]နွယ်ဝင် ပလ္လဝ (Pallava) အက္ခရာကို အခြေခံကာ ကိုယ်ပိုင် [[မြန်မာအက္ခရာ|မြန်မာစာပေ]]ကို တီထွင်ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။<ref name="Luce" />သမိုင်းအရ အစောဆုံးတွေ့ရှိရသည့် ဗမာစာအရေးအသား အထောက်အထားမှာ ခရစ်နှစ် ၁၁၁၃ ခုနှစ်တွင် ရေးထိုးခဲ့သော [[မြစေတီကျောက်စာ]] (ရာဇကုမာရ်ကျောက်စာ) ဖြစ်သည်။<ref name="ThanTun" /> == ဗမာလူမျိုးတို့၏ အမျိုးသားရေး အမှတ်အသား == [[မင်းသုဝဏ်]]၏ "ရွှေဥဒေါင်း" ကဗျာတွင် ဗမာလူမျိုးစု၏ ရိုးရာယုံကြည်မှုနှင့် ကုန်းဘောင်ခေတ် သမိုင်းဝင် အမှတ်အသားများကို အောက်ပါအတိုင်း လှပကျစ်လျစ်စွာ ကောက်နုတ်ဖွဲ့ဆိုထားသည်။ <blockquote> "နေမင်းနွယ် ဆွေဘုရားရယ်တို့ ဝေတင့်တယ် အသရေခြားသည်ဟု ငွေများမှာတဲ့ တံဆိပ်တင် နိမိတ်မြင်က မင်္ဂလာရှိ။" </blockquote> <blockquote> "မြန်မာနွယ် ကမ္ဘာဝယ် ထင်အလင်းသာပ ဆင်မြင်းဗိုလ်ပါရံလို့ မြကဒဏ် သီဟာစိုးစဉ်က ဒေါင်းအလံ စိုက်ကာထိုးကြတယ် ဖိုးထိုက်ပါဘိ။" </blockquote> ဤကဗျာအရ ဗမာမင်းများသည် မိမိတို့ကိုယ်ကို နေမင်းအနွယ်စု (သူရိယဝံသ) ဟု ခံယူကာ ဒေါင်းရုပ်ကို မင်္ဂလာနိမိတ်အဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့ကြကြောင်း၊ ထို့ပြင် ကုန်းဘောင်ခေတ်တွင် တရားဝင်အသုံးပြုခဲ့သည့် "ဒေါင်းဒင်္ဂါး" (ငွေများမှာတဲ့ တံဆိပ်တင်) နှင့် ကမ္ဘာ့အလယ်တွင် စစ်အင်အားတောင့်တင်းခဲ့စဉ်က လွှင့်ထူခဲ့သည့် "ဒေါင်းအလံ" အကြောင်းတို့ကို ဖော်ပြလျက် ဒေါင်းသည် ဗမာနွယ်တို့၏ အမျိုးသားရေးမာန် ဖြစ်ကြောင်း သရုပ်ဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ [[File:National flag of Third Burmese Empire (Konbaung Dynasty).svg|thumb|၂၅၀px|တတိယမြန်မာနိုင်ငံတော် [[ကုန်းဘောင်ခေတ်]]တွင် တရားဝင်ပြဋ္ဌာန်းလွှင့်ထူခဲ့သည့် နိုင်ငံတော်အလံ။ အဖြူရောင်နောက်ခံအလယ်တွင် ဗမာမင်းတို့၏ "သူရိယဝံသ" (နေမင်းအနွယ်) ဇာစ်မြစ်နှင့် အမျိုးသားရေးလက္ခဏာကို ဖော်ညွှန်းသည့် ကန္နားစွင့် ကူးဒေါင်းရုပ်ကို ထင်ရှားစွာ တွေ့ရစဉ်။]] ၁၈၈၅ ခုနှစ်တွင် ကုန်းဘောင်မင်းဆက် ပျက်သုဉ်း၍ ဗြိတိသျှကိုလိုနီအောက် ကျရောက်ခဲ့ရသော်လည်း ဒေါင်းရုပ်သည် ဗမာလူမျိုးတို့၏ နှလုံးသားထဲမှ ပျောက်ပျက်မသွားခဲ့ပေ။ အမျိုးသားရေးနှင့် လွတ်လပ်ရေးလှုပ်ရှားမှုများ ပေါ်ပေါက်လာသောအခါ ကျောင်းသားခေါင်းဆောင်များနှင့် မျိုးချစ်တော်လှန်ရေးသမားများသည် မိမိတို့၏ အမျိုးသားရေးစိတ်ဓာတ်ကို ပြသရန် ဒေါင်းရုပ်ကို ပြန်လည်အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ [[File:Flag of Burma (1939–1941, 1945–1948).svg|thumb|၂၅၀px|ဗြိတိသျှကိုလိုနီခေတ် (၁၉၃၉–၁၉၄၁ နှင့် ၁၉၄၅–၁၉၄၈) ကာလအတွင်း တရားဝင်သုံးစွဲခဲ့သော ဗမာနိုင်ငံတော်အလံ။ ဗြိတိသျှအပြာရောင်အလံ (Blue Ensign) ၏ လက်ယာဘက်စွန်းစက်ဝိုင်းအတွင်း၌ ဗမာလူမျိုးတို့၏ အမျိုးသားရေးပြယုဂ်ဖြစ်သော အမြီးဖြန့် ကူးဒေါင်းရုပ်ကို ထည့်သွင်းပုံဖော်ထားသည်။]] နန်းတွင်းသုံး အမြီးဖြန့်နေသည့် ငြိမ်းချမ်းသော "ကူးဒေါင်း" အစား၊ ဗြိတိသျှအစိုးရကို အရှုံးမပေးဘဲ ရင်ဆိုင်တိုက်ခိုက်မည်ဟူသော အဓိပ္ပာယ်ဖြင့် အတောင်ပံဖြန့်ကာ စစ်ဆိုင်နေသည့် "ခွပ်ဒေါင်း" (ကျောင်းသားသမဂ္ဂအလံ) အဖြစ် သမိုင်းဝင် ပြောင်းလဲ တီထွင်အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။<ref name="Nu">ဦးနု။ (၁၉၆၇)။ ''ငါးနှစ်ရာသီ ဗမာပြည်''။ ရန်ကုန်။</ref> ဒုတိယကမ္ဘာစစ်အတွင်း [[ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း]] ဦးဆောင်သော ဗမာ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော် (BDA) ၏ သွေးရောင်နောက်ခံ အလံတော်အလယ်တွင်လည်း ဒေါင်းရုပ်ကိုပင် ဗမာ့တော်လှန်ရေးတပ်မတော်၏ ပြယုဂ်အဖြစ် ဆက်လက်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။<ref name="BaMaw">Ba Maw, Dr. (1968). ''Breakout in Burma: Memoirs of a Revolution, 1939–1946''. Yale University Press.</ref> ယနေ့ထက်တိုင်အောင် "ဒေါင်း" (အထူးသဖြင့် ခွပ်ဒေါင်းနှင့် ကူးဒေါင်း) သည် မြန်မာနိုင်ငံနှင့် ဗမာလူမျိုးတို့၏ မာန်မာန၊ စည်းလုံးမှု၊ ဒီမိုကရေစီလှုပ်ရှားမှုများနှင့် တော်လှန်ရေးစိတ်ဓာတ်တို့ကို ထင်ဟပ်စေသည့် အရေးအကြီးဆုံးသော ပြည်သူ့အမှတ်အသားအဖြစ် သမိုင်းအဆက်ဆက် ခိုင်မာစွာ ရပ်တည်လျက်ရှိသည်။ [[File:ABFSU Flag.svg|thumb|၂၅၀px|ကိုလိုနီခေတ် အမျိုးသားရေးနှင့် လွတ်လပ်ရေးလှုပ်ရှားမှုများမှစ၍ အစဉ်အဆက် သုံးစွဲခဲ့သော [[ဗမာနိုင်ငံလုံးဆိုင်ရာ ကျောင်းသားသမဂ္ဂများအဖွဲ့ချုပ်]] (ဗကသ) ၏ တရားဝင် "ခွပ်ဒေါင်းအလံတော်"။ ခေါင်းမငုံ့တတ်သော ပြည်သူနှင့်ကျောင်းသားထု၏ တော်လှန်ရေးစိတ်ဓာတ်ကို ကိုယ်စားပြုသည်။]] ==ထင်ရှားသောဗမာလူမျိုးများ== * [[အောင်ဆန်း|အမျိုးသားခေါင်းဆောင်ကြီး ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း]] *[[အောင်ဆန်းစုကြည်၊ ဒေါ်|အမျိုးသားဒီမိုကရေစီအဖွဲ့ချုပ်ဥက္ကဋ္ဌ ဒေါ်အောင်ဆန်းစုကြည်]] *[[သန့်၊ ဦး|ဦးသန့်(ကုလသမဂ္ဂအထွေထွေအတွင်းရေးမှူးချုပ်)]] * [[မှိုင်း၊ ကိုယ်တော်၊ သခင်|မြန်မာစာပေပညာရှင် ဆရာကြီး သခင်ကိုယ်တော်မှိုင်း]] * [[နု၊ ဦး|မြန်မာနိုင်ငံ၏ ပထမဆုံး ဝန်ကြီးချုပ် ဦးနု]] * [[မြ၊ သခင်|အာဇာနည်ခေါင်းဆောင်ကြီးသခင်မြ]] * [[ဘချို၊ ဦး (ဒီးဒုတ်)|အာဇာနည်ခေါင်းဆောင်ကြီး ဒီးဒုတ်ဦးဘချို]] *[[သခင်စိုး]] *[[သခင်သန်းထွန်း]] *[[ဦးကျော်ငြိမ်း]] *[[ဒေါက်တာဘမော်]] *[[ကိုဗဟိန်း]] *[[ဦးဗဆွေ]] *[[ဦးမြင့်သိန်း]] *[[ကျော်ဇော၊ ဗိုလ်ချုပ်|ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်ဇော]] *[[စိန်မှန်၊ ဗိုလ်မှူး|ဗိုလ်မှူး စိန်မှန်]] *[[မြို့မ-ဦးသန်းကြွယ်]] *[[သန်းထွန်း၊ ဒေါက်တာ|ဒေါက်တာသန်းထွန်း]] * [[အောင်ကြီး၊ ဦး|ဗိုလ်မှူးချုပ်အောင်ကြီး]] * [[တင်ဦး၊ သူရ ဗိုလ်ချုပ်ကြီး|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး(ငြိမ်း) သူရ ဦးတင်ဦး]] * [[မောင်မောင်၊ ဒေါက်တာ (နိုင်ငံတော်သမ္မတ)|နိုင်ငံတော်သမ္မတ ဒေါက်တာ မောင်မောင်]] *[[နေဝင်း|ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီးနေဝင်း]] *[[စောမောင်|ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး စောမောင်]] * [[သန်းရွှေ|ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး သန်းရွှေ]] * [[သိန်းစိန်၊ ဦး|နိုင်ငံတော် သမ္မတ ဦးသိန်းစိန်၊ ဗိုလ်ချုပ်ကြီး(ငြိမ်း)]] * [[ဝီရသူ (မစိုးရိမ်)|မစိုးရိမ်တိုက်သစ် နာယက ဆရာတော် ဦးဝီရသူ]] *[[လင်းယုန်နီ]] *[[ချစ်ဦးညို]] *[[စွမ်းရည်၊ မောင်၊ စာရေးဆရာ|မောင်စွမ်းရည်]] *[[အောင်သင်း]] *[[ဆရာစံ]] *[[သခင်ဖိုးလှကြီး]] *[[မင်းအောင်လှိုင်|ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီးမင်းအောင်လှိုင်]] *[[ဗိုလ်စံဖဲ]] == ဗမာလူမျိုးစု == မြန်မာနိုင်ငံအစိုးရ၏ တရားဝင် သတ်မှတ်ထားသော တိုင်းရင်းသားမျိုးနွယ်စု ၁၃၅ မျိုးစာရင်းအရ ဗမာလူမျိုးစု အောက်တွင် မျိုးနွယ်စု (၉) စု ပါဝင်သည်။ အက္ခရာစဉ်အတိုင်း စဉ်ထားသည် - # [[ကတူးလူမျိုး]] # [[ကနန်းလူမျိုး]] # [[ဆလုံလူမျိုး]] # [[ထားဝယ်လူမျိုး]] # [[ဖွန်းလူမျိုး]] # [[ဗမာလူမျိုး]] # [[မြိတ်လူမျိုး]] # [[ယဘိန်းလူမျိုး]] # [[ယောလူမျိုး]] ဗမာလူမျိုးစု (၉) စုသည် အုပ်ချုပ်ရေးနှင့် ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ အကွဲအပြားများအရ ပေါင်းစည်းသတ်မှတ်ထားခြင်း ဖြစ်သော်လည်း ဘာသာဗေဒနှင့် မျိုးရိုးဗီဇ မနုဿဗေဒအရမူ မူလဆင်းသက်လာပုံ သီးသန့် ကွဲပြားမှုများ ရှိကြသည်။<ref name="Eal2010">Eberhard, David M., et al. (eds.) (2010). ''Ethnologue: Languages of the World''. SIL International.</ref> === ဘာသာဗေဒဆိုင်ရာ ဗမာနွယ်အုပ်စု === ဘာသာဗေဒဆိုင်ရာ စိစစ်ချက်များအရ [[ဗမာနွယ်ဘာသာစကားများ|ဗမာနွယ်အုပ်စု]] (Burmish Group) သည် တိဗက်-ဗမာ ဘာသာစကားမိသားစု အောက်ရှိ သီးသန့် အုပ်စုကြီးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအုပ်စုဝင် ဘာသာစကားများကို အဓိကအားဖြင့် မြန်မာနိုင်ငံ၊ တရုတ်နိုင်ငံ ယူနန်ပြည်နယ်၊ ဘင်္ဂလားဒေ့ရှ်နိုင်ငံ အရှေ့ပိုင်းနှင့် အိန္ဒိယနိုင်ငံ အရှေ့မြောက်ပိုင်းတို့တွင် ပျံ့နှံ့နေထိုင်ကြသူများက ပြောဆိုကြသည်။<ref name="Bradley1997" /><ref name="Thurgood2003">Thurgood, Graham & LaPolla, Randy J. (2003). ''The Sino-Tibetan Languages''. Routledge.</ref> ပါဝင်သော ဘာသာစကားပြောဆိုသည့် လူမျိုးများနှင့် ဒေသန္တရအုပ်စုများမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် — # [[ဗမာလူမျိုး]] (မြန်မာနိုင်ငံတစ်ဝန်း နေထိုင်ကြသော ပင်မ ဗမာစကားပြောသူများ) # [[အင်းသားလူမျိုး]] (ရှမ်းပြည်နယ်၊ အင်းလေးကန်ဝန်းကျင်တွင် နေထိုင်ကြပြီး ရှေးဟောင်း ဗမာအက္ခရာသံများကို ထိန်းသိမ်းထားသူများ) # [[ဖွန်းလူမျိုး]] (ဧရာဝတီမြစ်ကြောင်း အထက်ပိုင်း မြစ်ဝှမ်းတွင် နေထိုင်ကြသော ရှေးဟောင်း ဗမာနွယ်ဝင်များ) # [[တောင်ရိုးလူမျိုး|တောင်ရိုး]] (ရှမ်းပြည်နယ် တောင်ပိုင်းတွင် နေထိုင်ကြသော တိဗက်-ဗမာနွယ် အစုအဝေး) # [[ရခိုင်လူမျိုး|ရခိုင်]] (ရခိုင်ပြည်နယ်နှင့် စစ်တကောင်းတောင်တန်းဒေသတွင် နေထိုင်ကြသော ဗမာနွယ်အုပ်စုဝင်များ) # [[ဓနုလူမျိုး|ဓနု]] (ရှမ်းပြည်နယ် အနောက်ဘက် ကုန်းမြင့်ဒေသများတွင် နေထိုင်ကြသူများ) # [[မရမာ လူမျိုး|မရမာလူမျိုး]] (ဘင်္ဂလားဒေ့ရှ်နိုင်ငံ စစ်တကောင်းတောင်တန်းဒေသရှိ ရခိုင်နွယ်ဝင် အစုအဝေး) # [[ယောလူမျိုး|ယော]]၊ [[ထားဝယ်လူမျိုး|ထားဝယ်]]၊ [[မြိတ်လူမျိုး|မြိတ်]] (မြန်မာစကား၏ ရှေးဟောင်း အသံထွက်များနှင့် သီးသန့် ဒေသန္တရစကားများကို သုံးစွဲကြသည့် ဗမာနွယ်အုပ်စုဝင်များ) == ကျမ်းကိုး == <references/> * မြန်မာသမိုင်းပုံ- [[ဒေါက်တာသန်းထွန်း]] {{ မြန်မာပြည် လူမျိုးများ}} [[Category:ဗမာလူမျိုးစု]] lu5860391gjd3p1uoo5rhh82b6lpjwv 0 3662 1049518 1027628 2026-08-20T04:53:41Z ~2026-45549-44 147175 /* */ နာမည်အသစ် 1049518 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement | official_name = ဘားအံ | other_name = | native_name = {{nobold|{{lang|kjp|ဍုံထ်ုအင်}}}} | nickname = | pushpin_label_position = bottom | pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ | pushpin_map_caption = မြို့တည်နေရာပြ မြန်မာနိုင်ငံမြေပုံ၊ | seat = | seat_type = | settlement_type = ပြည်နယ်မြို့တော် | image_skyline = Hpa An 03.jpg | image_map = | map_caption = ဘားအံမြို့တည်နေရာပြမြေပုံ | subdivision_type = [[ကမ္ဘာ့နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံအမည်]] | subdivision_name = {{အလံ|မြန်မာနိုင်ငံ}} | subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] | subdivision_name1 = {{flag|ကရင်ပြည်နယ်}} | subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] | subdivision_name2 = [[ဘားအံခရိုင်]] | subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] | subdivision_name3 = [[ဘားအံမြို့နယ်]] | subdivision_type4 = | subdivision_name4 = | subdivision_type5 = | subdivision_name5 = | area_total_km2 = | population = ၄၂၁, ၅၂၅ | population_as_of = ၂၀၁၄ | population_density_km2 = auto | coordinates = {{coord|16|53|26|N|97|38|0|E|region:MM|display=inline,title}} | timezone = [[မြန်မာ စံတော်ချိန်]] | utc_offset = + ၆ နာရီ ၃၀ မိနစ် | website = }} [[File:Thanlwin Bridge 1.jpg|thumb|ဘားအံမြို့မှ တွေ့ရသော သံလွင်တံတား(ဘားအံ)]] '''ဘားအံမြို့''' ({{lang-en|Hpa-an}}; [[မွန်ဘာသာစကား|မွန်:]] ဘာအၚ် {{langx|kjp|ဍုံထ်ုအင်}}) သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[ကရင်ပြည်နယ်]]၏ [[မြို့တော်]]ဖြစ်သည်။ လွန်ခဲ့သောနှစ်ပေါင်း(၁၀၀၀)ကျော်က [[သံလွင်မြစ်]] ကမ်းနဖူးတွင် စုစုပေါင်းအိမ်ခြေ (၂၀၀)ခန့်ရှိ ရွာလေးတစ်ရွာသာ ဖြစ်ခဲ့သည်။ ရွာကလေးတည်ရာ သံလွင်မြစ်၏ကမ်းစွယ်တွင် အဓိကရ ကျောက်စွန်းကြီးတစ်ခု ရှိသည်။ ထိုစွန်းကို ယိုးဒယား၊ ရှမ်းဘာသာဖြင့်ဖား အမ်း(ကျောက်+အစွယ်)ဟု ခေါ်ခဲ့သည်။ ဖားအမ်းမှတစ်ဆင့် အသံအနည်းငယ်ပြောင်း၍ ဘားအံဟု အမည်တွင်လာသည်။ ၁၉၀၇ ခုနှစ်တွင် မြို့ကွက် ရိုက်ခဲ့သည်။ ဘားအံမြို့နယ်တွင် ထင်ရှားသောတောင်သည် [[ဇွဲကပင်တောင်]] ဖြစ်သည်။ တောင်ပေါ်တွင် [[ဇွဲကပင်ဆံတော်ရှင်စေတီတော်|ဇွဲကပင် ဆုတောင်းပြည့်စေတီတော်]] တည်ရှိသည်။ ဘားအံမြို့မှ သံလွင်မြစ်ညာ ရှစ်မိုင်ခန့် အကွာ ကော့ဂွန်းတောင်၏ အရှေ့ဘက်၌ ကော့ဂွန်းဂူရှိသည်။ ဘားအံ၏ အနောက်ဘက်(၁၂) မိုင်ကွာအရပ်၌ ဘုရင်ဂျီဂူ (ဘုရင့်ညီဂူ) ရှိသည်။ ဘားအံသည် မြန်မာနိုင်ငံတွင် ပဉ္စမမြောက် အကြီးဆုံးမြို့ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၇ ခုနှစ်ကုန်ပိုင်းမှစ၍ ဘားအံမြို့သည် ခရီးသွားတို့၏ဆွဲဆောင်ရာနေရာတစ်ခုဖြစ်လာပြီး ပြည်တွင်းပြည်ပခရီးသွားအများစုစိတ်ဝင်စားသည့် ဒေသတစ်ခုဖြစ်သည်။ == လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေး == *[[ဘားအံလေဆိပ်|ဘားအံ ပြည်တွင်းလေဆိပ်၊ လှာကမြင်]] *အဝေးပြေးကားများ *ရေကြောင်းခရီး == ကိုးကွယ်ယုံကြည်မှု == အဓိက ကိုးကွယ်သည့် ဘာသာ မှာ [[ဗုဒ္ဓဘာသာ]] ဖြစ်ပြီး ဒုတိယမှာ [[ခရစ်ယာန်ဘာသာ]]ကို ကိုးကွယ်ကြသည်။ အစ္စလာမ်ဘာသာ၊ ဟိန္ဒူဘာသာ၊ လဲ(လယ်)ကယ်ဘာသာ၊ တလဂုဏ်ဘာသာ နှင့် နတ်ကိုးကွယ်သူများလည်း ရှိသည်။ == ကျန်းမာရေး == * ဘားအံ အထွေထွေရောဂါကု ဆေးရုံကြီး * ကုတင်(၁၀၀) စစ်ဆေးရုံ၊ တောင်ကလေး == အားကစား == [[ဘားအံ အားကစားကွင်း|ဘားအံ အောင်သံလွင် အားကစားကွင်း]]သည် ဘက်စုံသုံးအားကစားကွင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဘားအံမြို့ တွင် တည်ရှိသည်။ [[ဇွဲကပင်ယူနိုက်တက် ဘောလုံးအသင်း|ဇွဲကပင် ယူနိုက်တက်]] ဘောလုံးအသင်း သည်ဘားအံမြို့၏ မြို့ခံအသင်းတစ်သင်း ဖြစ်သည်။ ==ပညာရေး== *[[ကွန်ပျူတာတက္ကသိုလ်(ဘားအံ)]] *[[ဘားအံပညာရေးကောလိပ်]] *[[ဘားအံတက္ကသိုလ်]] *[[နည်းပညာတက္ကသိုလ်(ဘားအံ)]] *အစိုးရစက်မှုလက်မှုသိပ္ပံ(ဘားအံ) *အစိုးရနည်းပညာအထက်တန်းကျောင်း(ဘားအံ) *စိုက်ပျိုးရေးသိပ္ပံ(ဇွဲကပင်) *ကရင်ဆေးကောလိပ် *ဘားအံ သူနာပြု လေ့ကျင့်ရေးကျောင်း *ဘားအံ သားဖွားသင်တန်းကျောင်း == အထင်ကရ ပုဂ္ဂိုလ်များ == * စည်သူ ဦး[[ညွန့်၊ ဦး(စည်သူ)|ညွန့်]] - [[အာရှနှင့်ပစိဖိတ် ဒေသဆိုင်ရာစီးပွားရေးနှင့် လူမှုရေးကော်မရှင်|ကုလသမဂ္ဂ]] [[အာရှနှင့်ပစိဖိတ် ဒေသဆိုင်ရာစီးပွားရေးနှင့် လူမှုရေးကော်မရှင်]]၏ တတိယဦးမြောက် အမှုဆောင်အတွင်းဝန် ==ပြခန်း== <gallery> File:Tay Hta Man Aung Pagoda.jpg|ဘားအံမြို့လည်ဘုရား File:Kan Thar Yar Bridge.jpg |ကန်သာယာတံတား File:Shwe Yin Myaw.jpg |ရွှေရင်မျှော်စေတီ File:Zwe Ga Bin Mountain.jpg | ဇွဲကပင်တောင် File:Kan Thar Yar Hpa-An.jpg | ကန်သာယာ File:Kyauk Ka Lat Pagoda and Lake.jpg | ကျောက်ကလပ်စေတီ File:Zwe Ga Bin BawDi 1000.jpg | ဇွဲကပင် ဗောဓိတထောင် File:Kawgun Cave Signboard.jpg | ေကာ့ဂွန်းဂူ ဆိုင်းဘုတ် </gallery> == ကိုးကား == {{reflist}} {{ကရင်ပြည်နယ်}} {{မြန်မာတိုင်းနှင့် ပြည်နယ်များ}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့များ]] [[Category:ကရင်ပြည်နယ်ရှိ မြို့များ]] [[Category:ဘားအံမြို့| ]] kyh9ghjj8nxvyyh96f8448ifobwzbi2 0 4115 1049491 951034 2026-08-20T02:01:23Z Mkant00 135890 major expansion 1049491 wikitext text/x-wiki [[File:Euclid.jpg|right|thumb|220px|ဘီစီအီး ၃ ရာစုမှ ဂရိ သင်္ချာပညာရှင် ယူကလစ် (ကွန်ပါထောက်တံ ကိုင်ထားသူ) ကို ပန်းချီဆရာ ရာဖယ် က ၎င်း၏ "အေသင်သားတို့ ကျောင်းတော်" အမည်ရ နံရံဆေးရေး ပန်းချီကားကြီးတွင် စိတ်ကူးပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်၏ ပုံမှာ မည်သည့်မီဒီယာတွင်မှ မကျန်ရစ်ဘဲ ဤသရုပ်ဖော်ချက်သည် ပုံဖော်သူ အနုပညာရှင်၏ စိတ်ကူးဉာဏ် ကွန့်မြူးချက်သာ ဖြစ်သည်။]] '''အသိပညာနှင့် စူးစမ်းလေ့လာခြင်း''' ဟု အနက်ဖွင့်ဆိုနိုင်သော ရှေးဂရိဝေါဟာရ μάθημα (máthēma) မှဆင်းသက်လာသည့် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို မြန်မာဘာသာစကားဖြင့် "ရေတွက်ခြင်း" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ရှေးပါဠိဝေါဟာရမှတစ်ဆင့် "သင်္ချာ" ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် သင်္ချာ၏ သဘောသဘာဝနှင့် ပတ်သက်၍ ပုဂ္ဂိုလ်ကျော်များက ရှုထောင့်အမျိုးမျိုးဖြင့် ဖွင့်ဆိုခဲ့ကြသည်။ စွယ်စုံရပညာရှင် ဂယ်လီလီယို (Galileo) က သဘာဝတရားကို ကျမ်းတစ်စောင်ဟု တင်စားခဲ့ပြီး ၎င်းကျမ်းကို သင်္ချာဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားထားကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="Machamer2014">{{Citation |last=Machamer |first=Peter |year=2014 |title=Galileo Galilei |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=CSLI, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/galileo/ |edition=Winter 2014}}</ref> သင်္ချာပညာရှင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) က သင်္ချာကို သိပ္ပံပညာရပ်များ၏ ဘုရင်မအဖြစ် တင်စားခဲ့သည်။<ref name="Beiler1964">{{citation |last=Beiler |first=Albert H. |title=Recreations in the Theory of Numbers (Dover Recreational Math) |publisher=Dover Publications |place=Mineola, NY |edition=2nd |year=1964 |isbn=978-0486210964 |page=1}}</ref> ထို့အပြင် ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) က သင်္ချာသည် မလွှဲမသွေဖြစ်ရမည့် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်များကို ကောက်ချက်ချသော သိပ္ပံပညာရပ်ဖြစ်ကြောင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။<ref name="Peirce1881">{{Citation |last=Peirce |first=Benjamin |title=Linear Associative Algebra |journal=American Journal of Mathematics |volume=4 |issue=1 |year=1881 |pages=97-229 |doi=10.2307/2369153 |url=http://www.jstor.org/stable/2369153 |publisher=The Johns Hopkins University Press}}</ref> ခေတ်ပြိုင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် သက်သေပြချက် (proof) ဖြင့် စစ်ဆေးအတည်ပြုနိုင်သော သရုပ်မဲ့ သဘောတရားများ (abstract concepts) နှင့် ပတ်သက်သည့် ဖော်ပြချက်များ (statements) ကို ဖော်ထုတ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို ကိန်းများ (numbers)၊ ပမာဏများ (magnitudes) နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်များ (forms) ဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခုအဖြစ်သာ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံအကျဆုံး မူလအစသည် သမိုင်းမတင်မီခေတ် လူသားတို့၏ ကိန်းနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တို့တွင်ရှိသော ဆင်တူညီမှုများကို တဖြည်းဖြည်း သတိပြုမိလာခြင်းမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုနှင့် အများအပြားကဲ့သို့သော ရိုးရှင်းသည့် ခြားနားချက်များကို သိမြင်မှတ်မိခြင်းမှသည် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ဆိုသည့် သရုပ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (abstract property) အထိ ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ အလားတူပင် ရက်ကန်းရက်ခြင်း၊ အိုးလုပ်ခြင်းနှင့် ခြင်းတောင်းရက်လုပ်ခြင်းတို့တွင် တွေ့ရသော ရှေးခေတ်လူသားတို့၏ ဒီဇိုင်းများသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ၊ ထပ်တူညီမှု (congruence) နှင့် အချိုးညီမှု (symmetry) တို့အတွက် အခြေခံအလေးထားမှုကို ပြသနေပြီး ယင်းက ဂျီဩမေတြီ (geometry) အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည်။ အစောပိုင်း သင်္ချာစနစ်များသည် အတွေ့အကြုံနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုအပေါ်တွင် များစွာ အခြေခံထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှေးခေတ် အီဂျစ်တွင် ဂျီဩမေတြီသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် စိုက်ပျိုးမြေတိုင်းတာခြင်းအတွက် ကိရိယာတစ်ခုအနေဖြင့် အဓိက တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် နိုင်းမြစ်၏ နှစ်စဉ်ရေကြီးမှုများကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ရှေးခေတ် ဘေဘီလုံ သင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းများအပေါ် များစွာအခြေခံပြီး အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများ (algorithms)၊ ဇယားများနှင့် ညီမျှခြင်းများ (equations) ကို ခန့်မှန်းခြေ ဖြေရှင်းခြင်းတို့အပေါ် အာရုံစိုက်ခဲ့သည်။ ချက်ချင်း အသုံးချရန်ထက် ဉာဏ်ရည်ပိုင်းဆိုင်ရာ သိချင်စိတ်ပြင်းပြမှုက တွန်းအားပေးသည့် ပုံစံတကျ (formalized) ပြီး ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ် (deductive science) တစ်ခုအနေဖြင့် သင်္ချာသည် ရှေးခေတ် ဂရိလူမျိုးများနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ သေးလ် (Thales) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် ဤဘာသာရပ်ကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ ဖွဲ့စည်းမှုဆီသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့သည်ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ သူတို့သည် အခြေခံမူများမှတစ်ဆင့် သီအိုရမ်များ (theorems) ကို သင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြသည့် အစောပိုင်း အစဉ်အလာများကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာ ကြာလာသောအခါ သင်္ချာသည် တည်ဆောက်ပုံ (structure) နှင့် သရုပ်မဲ့ ယုတ္တိဗေဒ (abstract logic) တို့၏ ကျယ်ပြန့်ပြီး အထူးပြုလွန်းသည့်အပြင် စည်းလုံးညီညွတ်သော ဘာသာစကားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြာထွက်လာခဲ့သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ခေတ်သစ် တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုများ (History and Modern Developments) == === ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures) === ဆယ့်ကိုးရာစုသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တွင် တော်လှန်ရေးတစ်ရပ်ကို မြင်တွေ့ခဲ့ရပြီး ၎င်းကို တင်းကျပ်သော ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီ (Euclidean geometry) မူဘောင်မှ အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဂျီဩမေတြီစနစ်များ၏ ကျယ်ပြန့်သော စုစည်းမှုအဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းပေးခဲ့သည်။ ဤစနစ်များ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းမှုသည် ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီကို တောင့်တင်းသော ရွေ့လျားမှု အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (rigid motion transformations) အောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariants) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းကို သုည ကွေးညွှတ်မှု (zero curvature) နှင့် <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော မက်ထရစ် (metric) တို့ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည်။ ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) တွင် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry) နှင့် အဲလစ်ပတစ် ဂျီဩမေတြီ (elliptic geometry) သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီ (spherical geometry) တို့ ပါဝင်သည်။ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အနုတ် ကွေးညွှတ်မှု (constant negative curvature) ရှိသည်။ အဲလစ်ပတစ် သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အပေါင်း ကွေးညွှတ်မှု (constant positive curvature) ရှိသည်။ အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (affine geometry) သည် ပြိုင်တူဖြစ်ခြင်း (parallelism) နှင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင်ရှိခြင်း (collinearity) တို့ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) အပေါ် အာရုံစိုက်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (projective geometry) သည် နှစ်ထပ်အချိုး (cross-ratio) နှင့် ဒွန်တွဲမှု (duality) ကဲ့သို့သော ပရိုဂျက်တစ်ဖြစ်ခြင်းများအောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ဗဟိုပြုသည့် လွှမ်းခြုံနိုင်သော မူဘောင်တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ (Riemannian geometry) သည် ပြောင်းလဲနိုင်သော ကွေးညွှတ်မှု (variable curvature) နှင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) <math>ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dx_i\,dx_j</math> တို့ဖြင့် အုပ်ချုပ်ထားသော ယေဘုယျပြုထားသည့် <math>n</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|တိုင်းတာမှု]]ရှိသော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကို (<math>n</math>-dimensional manifolds) လွှမ်းခြုံထားသည်။ ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီသည် အက်ခိုး ပေါ်လီတက်ကနစ် (École Polytechnique) ၌ ဂတ်စပတ် မွန်ချ် (Gaspard Monge) ကို ဗဟိုပြုသော အစောပိုင်း ၁၉ ရာစု ပြင်သစ်ကျောင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ မွန်ချ်၏ ကျောင်းသားများသည် ဤနယ်ပယ်ကို လမ်းကြောင်းမျိုးစုံသို့ ချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် ဒူပင်း (Charles Dupin) သည် မျက်နှာပြင်များဆိုင်ရာ သီအိုရီကို (theory of surfaces) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဆိုက်ကလိုက် (cyclide) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ သီအိုဒို အိုလီဗီယာ (Théodore Olivier) သည် သင်ကြားရေးအတွက် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဂျီဩမေတြီ ကြိုးမော်ဒယ်များကို (three-dimensional geometric string models) ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခဲ့သည်။ ချားလ်စ်-ဂျူးလ်စ် ဘရီယန်ချွန် (Charles-Jules Brianchon) သည် ပက်စ်ကယ် (Pascal) ၏ ဆန်းကြယ်သော ဆဋ္ဌဂံ သီအိုရမ်အတွက် (Pascal’s mystic hexagram theorem) ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲ (projective dual) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် "အမှတ်" (point) နှင့် "မျဉ်း" (line) ဟူသော သဘောတရားများကို အချင်းချင်းဖလှယ်လိုက်သောအခါတွင် ပြင်ညီ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီရှိ သီအိုရမ်များသည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ ယန်-ဗစ်တာ ပွန်စလတ် (Jean-Victor Poncelet) သည် ၎င်း၏ ၁၈၂၂ ခုနှစ်ထုတ် Traité des propriétés projectives des figures စာအုပ်တွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီကို သီးခြားလွတ်လပ်သော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) မူဝါဒနှင့် အနန္တအမှတ်များ (ideal points) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ စက်ဝိုင်းအားလုံးက မျှဝေပိုင်ဆိုင်ထားသော အနန္တရှိ ကွန်ဂျူဂိတ် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်]] စက်ဝိုင်းအမှတ်များ (conjugate imaginary circular points) နှစ်ခုကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယင်းအမှတ်များကို <math>I</math> နှင့် <math>J</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ မိုက်ကယ် ရှားလ်စ် (Michel Chasles) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်ရှိ အမှတ်လေးမှတ်၏ နှစ်ထပ်အချိုးကို (cross-ratio) အလေးပေးဖော်ပြခဲ့ပြီး ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ :<math>\frac{c - a}{c - b} : \frac{d - a}{d - b}</math> သူသည် ဤနှစ်ထပ်အချိုးသည် ပရိုဂျက်တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (projective transformations) အောက်တွင် ပကတိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိကြောင်းကို (invariant) သက်သေပြခဲ့သည်။ ပေါင်းစပ် မက်ထရစ် ဖန်ရှင် ဂျီဩမေတြီ (synthetic metric geometry) တွင် ဂျက်ကော့ဘ် ရှတိုင်းနား (Jakob Steiner) သည် ယူကလစ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံများအားလုံးကို မျဉ်းဖြောင့်တံတစ်ခုနှင့် (straightedge) ဗဟိုကို (center) ရှင်းလင်းစွာပေးထားသော အထိုင်စက်ဝိုင်းတစ်ခုတည်းကိုသာ (single fixed circle) အသုံးပြု၍ အပြီးသတ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် တတိယထပ်ကိန်း မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် နှစ်ဆယ့်ခုနစ်ကြောင်းကိုလည်း (twenty-seven straight lines on a cubic surface) လေ့လာခဲ့ပြီး ထောင့်ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းဖြစ်သည့် (angle-preserving transformation) ပြောင်းပြန်လှန် ဂျီဩမေတြီ (inversive geometry) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် အမှတ် <math>P</math> နှင့် <math>P'</math> တို့သည် အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိပြီး ဗဟို <math>O</math> ၌ရှိသော စက်ဝိုင်းတစ်ခုနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အချင်းချင်း ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြသည် (inverse)။ ၎င်းတို့သည် <math>(OP)(OP') = r^2</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို ဂျူးလီးယပ်စ် ပလွတ်ကာ (Julius Plücker) က ပြန်လည်အသက်ဝင်စေခဲ့ပြီး သူသည် ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အတိုကောက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို (abridged notation) တီထွင်ခဲ့သည်။ ပလွတ်ကာ၊ ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ် (August Ferdinand Möbius)၊ ကားလ် ဝီလ်ဟမ် ဖွိုင်ယာဘတ် (Karl Wilhelm Feuerbach) နှင့် အက်တီယန် ဘိုဘီလီယာ (Étienne Bobillier) တို့သည် တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ (homogeneous coordinates) ကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထိုကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် <math>t = 0</math> သည် အနန္တရှိ မျဉ်းကို (line at infinity) ကိုယ်စားပြုသည်။ ပလွတ်ကာသည် မျဉ်း ကိုဩဒိနိတ်များ (line coordinates) ကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် <math>(u, v, w)</math> ဖြစ်ကြပြီး မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များဟူသော သဘောတရားကို အမှတ်တစ်ခုကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းများဟူသော ဒွန်တွဲသဘောတရားအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးခဲ့သည်။ ၁၈၃၄ ခုနှစ်တွင် သူသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေး (algebraic curve) တစ်ခု၏ အဆင့် (order) <math>n</math>၊ အတန်းအစား (class) <math>m</math>၊ ဆုံမှတ်များ (nodes) <math>\delta</math>၊ အချွန်မှတ်များ (cusps) <math>\kappa</math>၊ ငြိမ်နေသော ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် အကွေ့မှတ်များ (stationary tangents/inflections) <math>\iota</math> နှင့် ထိမျဉ်းနှစ်ထပ်များ (bitangents) <math>\tau</math> တို့ကို ဆက်စပ်ပေးသော ညီမျှခြင်းများကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ <math>m = n(n - 1) - 2\delta - 3\kappa \quad \text{and} \quad n = m(m - 1) - 2\tau - 3\iota</math> <math>\iota = 3n(n - 2) - 6\delta - 8\kappa \quad \text{and} \quad \kappa = 3m(m - 2) - 6\tau - 8\iota</math> ယူကလစ်ဒ်၏ ပဉ္စမမြောက် ကြိုတင်အဆိုကို (Fifth Postulate) သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းမှုသည် ၎င်းမပါဘဲ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (consistent) ရှိသော ဂျီဩမေတြီများ တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို သင်္ချာပညာရှင်များက ပြသနိုင်ခဲ့ချိန်တွင် အဆုံးသတ်သွားခဲ့သည်။ ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ဤအချက်ကို စောစီးစွာကတည်းက သီးသန့် အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော် နီကိုလိုင်း အိုင်ဗန်နိုဗစ်ချ် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) သည် ၁၈၂၉ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) သည် ၁၈၃၂ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ၏ (non-Euclidean hyperbolic geometry) ပထမဆုံး ပုံစံတကျ စနစ်များကို ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်ပေါင်းလဒ်သည် (angle sum) ၁၈၀ ဒီဂရီထက် တိကျစွာ လျော့နည်းသည်။ ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ (Eugenio Beltrami) သည် ဤဂျီဩမေတြီ၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) ၁၈၆၈ ခုနှစ်တွင် ဆူဒိုစက်လုံးမျက်နှာပြင် (pseudosphere) ပေါ်တွင် လက်တွေ့ဖော်ဆောင်ခြင်းဖြင့် သက်သေပြခဲ့သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry) ကို ၁၈၂၇ ခုနှစ်တွင် ဂေါက်စ်က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သူသည် ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian curvature) <math>K</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ကွေးနေသော ကိန်းရှင်ကြားခံ မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) သည် ဒုတိယထပ်ကိန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (quadratic differential form) <math>ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2</math> အပေါ် မူတည်ကြောင်းကို အတည်ပြုခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) ၏ ၁၈၅၄ ခုနှစ် ဟာဘီလီတေးရှင်း ဟောပြောချက်သည် ၎င်းကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိသော မန်နီဖိုးများအထိ (n-dimensional manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် သူ၏ အာလန်ဂါ ပရိုဂရမ် (Erlanger Programm) မှတစ်ဆင့် ဤကွဲပြားနေသော ဂျီဩမေတြီများကို ပေါင်းစပ်ခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီကို တိကျသော အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (transformation groups) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariant properties) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization) === ဆယ့်ကိုးရာစုနှင့် နှစ်ဆယ်ရာစုများအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းမှ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures)၊ တွက်ချက်မှုများ (operations) နှင့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) တို့ကို သရုပ်မဲ့ လေ့လာခြင်းဆီသို့ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်။ ယင်းက [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups)၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းနိုင်ရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1, 7, 13}}</ref> သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာ၏ (symbolic algebra) အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ဂျော့ချ် ပီးကော့ (George Peacock) နှင့် ဩဂတ်စတပ်စ် ဒီ မော်ဂန် (Augustus De Morgan) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ပီးကော့သည် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (arithmetical algebra) သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာမှ ခွဲခြားပြသခဲ့သည်။ ဒီ မော်ဂန်ကမူ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများသည် (operational symbols) အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်းများသာဖြစ်ကြောင်း (arbitrary abstractions) ငြင်းဆိုခဲ့သည်။ ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) သည် ယုတ္တိဗေဒနှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) ဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (algebra of logic) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် စကြဝဠာ အစု (universal set) ကို <math>1</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ဗလာစု (null set) ကို <math>0</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ပေါင်းစပ်စု (union) ကို <math>+</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ကို <math>\times</math> ဖြင့်လည်းကောင်း သတ်မှတ်ပြသခဲ့ပြီး ထပ်တူရပေး နိယာမ (idempotent law) <math>x^2 = x</math> ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များ (noncommutative systems) သည် ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် (William Rowan Hamilton) က မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ နိယာမ]] (commutative law of multiplication) ကို စွန့်လွှတ်ကာ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) ကို တီထွင်လိုက်ချိန်တွင် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ <math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math> <math>ij = k = -ji, \quad jk = i = -kj, \quad ki = j = -ik</math> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း (Hermann Grassmann) သည် <math>n</math>-တိုင်းတာမှုရှိသော မျဉ်းဖြောင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (linear vector spaces) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ဟာမီလ်တန်-ကေးလီ သီအိုရမ်ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ဂျိမ်းစ် ဂျိုးဆက် ဆေးလ်ဗက်စတာ (James Joseph Sylvester) သည် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရီ (invariant theory) ကို မြှင့်တင်ပေးခဲ့သည်။ ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) နှင့် ချားလ်စ် ဆန်ဒါးစ် ပီးယားစ် (Charles Sanders Peirce) တို့သည် မျဉ်းဖြောင့် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] အက္ခရာသင်္ချာများ (linear associative algebras) ကို ဆက်လက် အမျိုးအစားခွဲခြားခဲ့ကြသည်။ ယင်း၏ အထွတ်အထိပ်ရလဒ်အနေဖြင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers)၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) နှင့် ကွာတာနီယွန်များသည်သာလျှင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ကိန်းစစ် ဖက်စပ်ရ အစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း သီအိုရမ်ကို (classification theorem) ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် (Ferdinand Georg Frobenius) က ၁၈၇၇ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ စီ အက်စ် ပီးယားစ်က ၁၈၈၁ ခုနှစ်တွင် သီးခြားစီလည်းကောင်း ပုံစံတကျ အတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အုပ်စုများ၊ ကွင်းများနှင့် ဖီးလ်ဒ်များကို သဘောတရားအဖြစ် ဖွဲ့စည်းခြင်းက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) ကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အချိုးညီမှုများနှင့် (symmetries) ချိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ကိန်းရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရရန်မှာ ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) အုပ်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း သူက သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=14}}</ref> ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) သည် ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓ]]ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique prime factorization) ကို ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]]ရင်းများ (algebraic integers) ၏ ကွင်းများတွင် အိုင်ဒီးလ်များကို (ideals) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=7}}</ref> ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် ဂျေ အိတ်ချ် အမ် ဝက်ဒါဘန်း (J. H. M. Wedderburn) သည် ဆီမီးရိုးရှင်းသော အက္ခရာသင်္ချာများအတွက် (semisimple algebras) တည်ဆောက်ပုံ သီအိုရမ်များကို (structure theorems) ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အန်းစ် ရှတိုင်းနစ်ဇ် (Ernst Steinitz) သည် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) ကို နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=13}}</ref> အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) သည် အစဉ်လိုက်တိုး ချိတ်တန်း အခြေအနေများ (ascending chain conditions) ကို အသုံးပြု၍ နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော ကွင်းသီအိုရီ (axiomatic ring theory) ကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=15}}</ref> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ဂေါ့လော့ ဖရေဂါ (Gottlob Frege) နှင့် ဂျူဆက်ပီ ပီယာနို (Giuseppe Peano) တို့က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဖရေဂါသည် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ယုတ္တိဗေဒမှ ဆင်းသက်ရယူရန် ကြိုးစားခဲ့ပြီး ပီယာနိုသည် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) အတွက် နဂိုမှန်အဆို အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ - တိကျသေချာမှု၊ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များ၊ နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Analysis: Rigor, Real and Complex Variables, and Measure Theory) === ကဲကုလပ် (calculus) သည် ၁၉ ရာစုတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များမှ တိကျသေချာသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (rigorous mathematical analysis) သို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ ဤအပြောင်းအလဲသည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) နှင့် စုဆုံမှတ်များကို (limits) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများကို (logical circularity) ဖယ်ရှားရန် လိုအပ်ခြင်းကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် သင်္ချာပညာရှင် ငါးဦးသည် ကိန်းစစ်များအတွက် သီးသန့် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် မေရေး (Charles Méray)၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass)၊ ဟိုင်းနရစ် အက်ဒ်ဝပ် ဟိုင်းနား (Heinrich Eduard Heine) နှင့် ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) တို့သည် ကိန်းစစ်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏]] စုဆုံ ကိန်းစဉ်များ (convergent sequences of rational numbers) သို့မဟုတ် အခြေခံ ကိန်းစဉ်များကို (fundamental sequences) အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်းသည် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းကို (Dedekind Cut) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ သူသည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို]] (irrationalities) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းအားလုံးကို ဘုံမပါသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (disjoint subsets) နှစ်ခုအဖြစ် အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို (complex analysis) အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) က စနစ်တကျ တိုးတက်စေခဲ့သည်။ သူသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများကို (Cauchy-Riemann differential equations) ဆင်းသက်ရယူခဲ့သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများမှာ <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် သူသည် အကြွင်း ကဲကုလပ်နှင့်အတူ (residue calculus) ကော်ချီ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ်ကို (Integral Theorem) <math>\oint f(z)\,dz = 0</math> သက်သေပြခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် တန်ဖိုးများစွာရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (multivalued functions) တစ်ပြေးညီဖြစ်စေရန် (uniformize) ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များမှတစ်ဆင့် (Riemann surfaces) တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်နည်းတစ်ခုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် ဇီတာ ဖန်ရှင် (zeta function) <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}</math> ၏ သုညမှတ်များနှင့် ပတ်သက်သော ရီးမန်း ယူဆချက်ကိုလည်း (Hypothesis) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်သည် ဤဖီးလ်ဒ်ကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆက်လက်တည်ရှိခြင်းတို့မှတစ်ဆင့် (analytic continuation) တင်းကျပ်စွာ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီတို့သည် (measure theory) အီမီးလ် ဘိုရဲလ် (Émile Borel) မှတစ်ဆင့် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ သူသည် ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှုကို (countable additivity) အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) ပေါ်တွင် အတိုင်းအတာ သီအိုရီကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည်လည်း ဤနယ်ပယ်ကို တိုးတက်စေခဲ့ပြီး သူသည် ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်ကို (Lebesgue integral) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ လီဘက်ဂ်သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ထက် ပုံရိပ်အစုကို (range) ပိုမိုသေးငယ်စွာ ထပ်မံပိုင်းခြားခြင်းအားဖြင့် အလွန်အမင်း [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များကို]] (discontinuous functions) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) ရှိစေခဲ့သည်။ ယင်းက [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်|ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်ကို]] (Fundamental Theorem of Calculus) ချဲ့ထွင်ပေးခဲ့သည်။ === တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Topology and Functional Analysis) === [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) သည် နှစ်ဆယ်ရာစု သင်္ချာတွင် အဓိကကျသော ပေါင်းစပ်ပေးသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) သည် ၁၈၉၅ ခုနှစ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (algebraic topology) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ဟိုမိုလော်ဂျီကို (simplicial homology) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဗက်တီ ကိန်းများကို (Betti numbers) အသုံးပြု၍ ဗဟုဂံပုံသေနည်းကို (polyhedral formula) ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာရှိ မန်နီဖိုးများအထိ (manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အခြေခံအုပ်စုကို (fundamental group) လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ပွန်ကာရေး ဟိုမိုလော်ဂျီ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Poincaré homology sphere) ကို ဖော်ထုတ်မှုသည် ပွန်ကာရေး ယူဆချက်ဆီသို့ (Poincaré conjecture) ဦးတည်စေခဲ့သည်။ အယ်လ် အီး ဂျေ ဘရောင်းဝါး (L. E. J. Brouwer) သည် အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (fixed-point theorem) အပါအဝင် အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရမ်များကို (topological invariance theorems) ဆက်လက် သက်သေပြခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (Point-set topology) မောရစ် ဖရေးရှေး (Maurice Fréchet) နှင့် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ဖရေးရှေးသည် ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို]] (metric spaces) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) နှင့် ခွဲခြားခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများကို (separation axioms) အသုံးပြု၍ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် (topological spaces) နဂိုမှန်အဆို စနစ်ကို (axiomatic system) ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာသည်လည်း (functional analysis) တစ်ပြိုင်နက်တည်း တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများကို (inner product spaces) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) သည် ပြည့်စုံသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို]] (complete normed vector spaces) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ လော်ရင့် ရွှာ့ဇ် (Laurent Schwartz) ၏ ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီသည် (theory of distributions) ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာကဲ့သို့ (Dirac delta) ယေဘုယျပြုထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (generalized functions) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === နှစ်ဆယ်ရာစု ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း - ဘော်ဘာကီ၊ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Twentieth-Century Synthesis: Bourbaki, Category Theory, and Algebraic Geometry) === ၂၀ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဘာသာရပ်သည် သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများ (abstract structures) နှင့် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ (categorical relationships) ကို အလေးပေးခြင်းဖြင့် အရင်ကမရှိဖူးသော ပေါင်းစပ်ညီညွတ်မှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၃၄ ခုနှစ်မှစတင်၍ ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင်များ အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့သည် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ဟူသော ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေထုတ်ဝေလျက် အတွဲများစွာပါဝင်သော Éléments de mathématique (သင်္ချာ၏ အခြေခံများ) ကို ရေးသားပြုစုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ နည်းစနစ်သည် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ နည်းလမ်း (axiomatic method) ကို တင်းကျပ်စွာ လိုက်နာမှုနှင့် ယေဘုယျ တည်ဆောက်ပုံများမှ (general structures) တိကျသော အသုံးချမှုများဆီသို့ (specific applications) ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တိုးတက်မှုကို (logical progression) အလေးပေးခဲ့သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (Category theory) ကို ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကွဲပြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန် ကတ်တဂိုရီများ (categories)၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]] (functors) နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] (natural transformations) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် အွန်ရီ ကာတန် (Henri Cartan) နှင့် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်တို့သည် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို ဖန်တီးရန် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တို့ကို ပေါင်းစပ်ခဲ့ကြသည်။ ဤကာလအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) သည် တော်လှန်ပြောင်းလဲခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ အော်စကာ ဇာရစ်စကီး (Oscar Zariski)၊ ဘီ အယ်လ် ဗန် ဒါ ဗေဒင် (B. L. van der Waerden) နှင့် အန်ဒရေး ဗေးလ် (André Weil) တို့သည် ဤဘာသာရပ်ခွဲကို တိကျသေချာသော [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (rigorous commutative algebra) ဖြင့် အခြေခံချပေးခဲ့ကြသည်။ ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှင့် ၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ယန် လီရေး (Jean Leray)၊ ယန်-ပီယာ ဆဲရ် (Jean-Pierre Serre) နှင့် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) တို့သည် [[အစည်း|အစည်းများ]] (sheaves)၊ စကင်းမ်များ (schemes)၊ တိုပို့စ်များ (topoi) နှင့် အေတဲလ် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (étale cohomology) ဟူသော ဘာသာစကားမှတစ်ဆင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို လုံးဝအသစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဤမူဘောင်သည် ပီယာ ဒေလင်း (Pierre Deligne) အား ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အနက်ရှိုင်းဆုံးသော ဗေးလ် ယူဆချက်များကို သက်သေပြရန် လုပ်ဆောင်နိုင်စေခဲ့သည်။ === ယုတ္တိဗေဒ၊ အခြေခံအုတ်မြစ်များနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Logic, Foundations, and Computational Mathematics) === ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) ၏ အခြေခံဆိုင်ရာ ပြဿနာများ (foundational problems) နှစ်ဆယ့်သုံးခု တင်ပြချက်မှ ကြီးမားစွာ လွှမ်းမိုးမှုခံရသော ၂၀ ရာစုသည် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) နှင့် တွက်ချက်ခြင်း (computation) ဆိုင်ရာ အခြေခံ မေးခွန်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ယုတ္တိဗေဒ (logic) တွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများမှ (logical axioms) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ဆင်းသက်ရယူရန် ဘာထရန် ရပ်ဆဲလ် (Bertrand Russell) နှင့် အဲလ်ဖရက် နော့သ် ဝှိုက်ဟတ် (Alfred North Whitehead) တို့၏ ကြိုးပမ်းမှုများသည် ကာ့တ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ ၁၉၃၁ ခုနှစ် မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (Incompleteness Theorems) ကြောင့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်စေခဲ့သည်။ မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုစနစ်မဆို (consistent formal axiomatic system) အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာကို (basic arithmetic) လုပ်ဆောင်နိုင်သောအခါ ၎င်းသည် ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော အဆိုများကို (undecidable propositions) ပါဝင်စေပြီး ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (own consistency) သက်သေမပြနိုင်ကြောင်း ဂိုဒယ်က ပြသခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်၏ ပထမဆုံး ပြဿနာဖြစ်သော ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) ၏ တိုးတက်မှုသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ဂိုဒယ်က ၎င်း၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) သက်သေပြခဲ့ပြီး ပေါလ် ကိုဟင် (Paul Cohen) က ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် အတင်းအကျပ် ပြောင်းလဲခြင်းနည်းလမ်းကို (method of forcing) အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို (independence) သက်သေပြခဲ့သည်။ တွက်ချက်မှု သီအိုရီ (theory of computation) ကို အလန် ကျူးရင်း (Alan Turing) က ၁၉၃၆ ခုနှစ်တွင် ပုံစံတကျ တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ကျူးရင်းသည် တွက်ချက်ခြင်းအတွက် စကြဝဠာ သဘောတရားရေးရာ မော်ဒယ်ကို (universal theoretical model) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤမော်ဒယ်ကို ကျူးရင်း စက်ဟု (Turing machine) သိကြသည်။ ထို့ပြင် သူသည် ရပ်တန့်ခြင်း ပြဿနာ၏ (halting problem) ဖြေရှင်း၍မရနိုင်စွမ်းကို (insolvability) သက်သေပြခဲ့ပြီး ယင်းက ဟီလ်ဘတ်၏ ဆုံးဖြတ်ချက် ပြဿနာကို (decision problem) ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) သည် အီလက်ထရောနစ် ကွန်ပျူတာ တည်ဆောက်ပုံ (electronic computer architecture)၊ ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory) နှင့် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) ကို ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာကို ဆက်လက်တိုးတက်စေခဲ့သည်။ === မကြာသေးမီ ဆယ်စုနှစ်များအတွင်း နာမည်ကြီး ယူဆချက်များအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း (Resolution of Famous Conjectures in Recent Decades) === နှစ်ဆယ်ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် နှစ်ဆယ့်တစ်ရာစု အစောပိုင်းကာလများကို အဆင့်မြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မူဘောင်များနှင့် (advanced analytical frameworks) ကွန်ပျူတာ အကူအညီများမှတစ်ဆင့် (computer assistance) ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော သမိုင်းဝင် ပြဿနာများအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်းဖြင့် အမှတ်အသားပြုခဲ့သည်။ ၁၈၅၂ ခုနှစ်တွင် စတင်ယူဆခဲ့ပြီးဖြစ်သော အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ် (Four-Color Theorem) သည် ကဲနတ် အက်ပယ်လ် (Kenneth Appel) နှင့် ဝုဖ်ဂန်း ဟာကင် (Wolfgang Haken) တို့က ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရှောင်လွှဲ၍မရသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို (unavoidable configurations) အကဲဖြတ်ရန်အတွက် အားထုတ်ပစ်ခြင်း နည်းလမ်းကို (method of discharging) အသုံးပြုခြင်းသည် ပထမဆုံး အဓိကကျသော ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်အဖြစ် (computer-assisted mathematical proof) မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သည်။ ယင်းကို နောက်ပိုင်းတွင် ရောဘတ်ဆန်၊ ဆန်ဒါးစ်၊ ဆီးမိုး နှင့် သောမတ်စ် တို့က ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပိုမိုရိုးရှင်းလွယ်ကူအောင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် ကော့ခ် ဆော့ဖ်ဝဲလ်ကို အသုံးပြု၍ ဂွန်သီယာ နှင့် ဗာနာ တို့က ပုံစံတကျ စစ်ဆေးအတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (Classification of Finite Simple Groups) သည် ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာသော ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ကြိုးပမ်းမှုအပြီးတွင် ပြီးမြောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဖိုက်-သွန်မဆင် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]]အစဉ် သီအိုရမ်ဖြင့် (Odd-Order Theorem) စတင်ခဲ့ပြီး ဤသီအိုရမ်က မည်သည့် အဆုံးရှိ ရိုးရှင်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite simple group) မဆို ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group)၊ အလှည့်ကျ အုပ်စု (alternating group)၊ လီ-အမျိုးအစား (Lie-type) သို့မဟုတ် ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော အုပ်စုများ (sporadic groups) ၂၆ ခုထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးခဲ့သည်။ နောက်ဆုံး ဆူဒို-ပါးလွှာသော ကွာဟချက်ကို (quasi-thin gap) အက်ရှ်ဘာကာ နှင့် စမစ်သ် တို့က ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပိတ်နိုင်ခဲ့သည်။ ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat’s Last Theorem) ကို နှစ်ပေါင်း ၃၅၀ ကျော်ကြာပြီးနောက် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂါဟတ် ဖရေး (Gerhard Frey) ၏ မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (non-modular elliptic curves) ဖွဲ့စည်းမှုနှင့် ကန် ရီဘတ် (Ken Ribet) ၏ <math>\varepsilon</math>-ယူဆချက် (<math>\varepsilon</math>-conjecture) သက်သေပြချက်တို့ကို အခြေခံ၍ အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) က ပြသခဲ့ရာတွင် ဆီမီး-တည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် (semistable elliptic curves) တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ်ကို တိုက်ရိုက် သက်ရောက်မှုရှိကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ်သည် ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ သူ့ကို ရစ်ချတ် တေလာ (Richard Taylor) က ကူညီပေးခဲ့သည်။ ပွန်ကာရေး ယူဆချက် (Poincaré Conjecture) ကို ဝီလီယံ သာစတန် (William Thurston) ၏ ဂျီဩမေတြီအသွင်ပြောင်းခြင်း ယူဆချက် (Geometrization Conjecture) နှင့် ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (Richard Hamilton) ၏ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ညီမျှခြင်း (Ricci flow equation) <math>\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2 R_{ij}</math> မိတ်ဆက်မှုတို့မှတစ်ဆင့် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Yakovlevich Perelman) သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၃ ခုနှစ်အတွင်း ခွဲစိတ်မှု နည်းပညာများကို (surgery techniques) အသုံးပြု၍ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို (Ricci flow singularities) ကျော်လွှားခြင်းဖြင့် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ === မြန်မာ့ သင်္ချာသမိုင်း (History of Burmese Mathematics) === မြန်မာ့သိပ္ပံပညာနှင့် သင်္ချာသမိုင်းကြောင်းသည် ရှေးခေတ်ကာလများကတည်းက အခြေတကျ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်ထားသော သင်္ချာကျမ်းများအနက် တစ်ခုမှာ ၁၄ ရာစုနှစ်ဦးပိုင်းတွင် ဇင်းမယ်မြို့၌ ရှင်ဉာဏဝိလာသ ရေးသားပြုစုခဲ့သော "သင်္ချာပကာသက" ကျမ်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကျမ်းကို အခြေခံ၍ ခရစ်နှစ် ၁၅၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ပလိပ်ရွာအရှေ့ရှိ မြို့သစ်မြို့နေ ရှင်သီရိမင်္ဂလက "သင်္ချာပကာသကဋီကာ" ကို ထပ်မံပြုစုခဲ့ပြီး ညောင်ကန်ဆရာတော် ရှင်ကဝိန္ဒ၏ တပည့် ရှင်မုနိန္ဒသာရက "သင်္ချာပကာသက စာကိုယ်နိဿယ" ကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဘိုးတော်ဘုရား (ဗဒုံမင်း) လက်ထက် (၁၇၈၂–၁၈၁၉) တွင် အိန္ဒိယနှင့် သီဟိုဠ်တို့မှ ကျမ်းပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို ယူဆောင်လာခဲ့ပြီး မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုစေခဲ့ရာမှ သင်္ချာပညာရပ်သည် ပိုမိုထွန်းကားလာခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော သမိုင်းဝင်အထောက်အထားတစ်ခုမှာ ၁၇၇၄ ခုနှစ်တွင် ပြုစုခဲ့သော "ဂဏန်းသင်္ချာ ပညာဝဍ္ဎနကျမ်း" ဖြစ်သည်။ ဤကျမ်းကို အပိုင်းလေးပိုင်းခွဲခြားထားပြီး တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပုစ္ဆာပေါင်း ၁၇၅ ပုဒ်ကို တွက်နည်းအဖြေများနှင့်တကွ စနစ်တကျ ပြုစုထားသည်။ ပထမပိုင်းတွင် အလေးချိန်၊ အကွာအဝေး၊ ထုထည် (Volume) နှင့် အချိန်နာရီတို့ကို တိုင်းတာသည့် ယူနစ် (Unit) ဆိုင်ရာ ကိန်းသင်္ချာအကြောင်းကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် "ခု" မှစ၍ သုည ၁၄၀ လုံးပါဝင်သော "အသင်္ချေ" တိုင်အောင် ရေတွက်ခေါ်ဝေါ်သည့် နည်းစနစ်များ ပါဝင်သည်။ ဒုတိယပိုင်းတွင် လုပ်ငန်းခွင်သုံး တိုင်းထွာတွက်ချက်နည်းများကို "ဂဏန်းဆယ်ပါး" ခေါင်းစဉ်ဖြင့် ဖော်ပြထားပြီး စပါး၊ ဆန်၊ ရွှေ၊ ငွေ၊ ဆီမီး၊ ရထား၊ သစ်ပင်၊ လှေ၊ သားရေနှင့် မြေစသည့် ကဏ္ဍများ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရွှေကို အဆင့်ဆင့် သန့်စင်ရာတွင် ဇမ္ဗူရဇ်ရွှေကဲ့သို့ အသန့်စင်ဆုံးအဆင့်ရရှိရန် တွက်ချက်မှုများ၊ သစ်ပင်၏ အမြင့်ကို ဂျီဩမေတြီ (Geometry) အသုံးပြု၍ ရှာဖွေခြင်းများနှင့် မြေကွက်များ၏ ဧရိယာ (Area) တွက်ချက်ခြင်းများ ပါဝင်သည်။ တတိယပိုင်းတွင် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic progression)၊ ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric progression)၊ မရေမရာ ညီမျှခြင်း (Indeterminate equation)၊ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (Algebraic equation)၊ ဆခွဲကိန်း (Factor) နှင့် ဘုံသုဉ်းကိန်းရှာဖွေခြင်းစသည့် သင်္ချာနည်းစနစ် ၁၆ မျိုးကို ပုစ္ဆာပေါင်း ၇၆ ပုဒ်ဖြင့် ရှင်းလင်းထားသည်။ စတုတ္ထပိုင်းတွင် ရှေ့ပိုင်းနည်းစနစ်များကို အခြေခံထားသော လက်တွေ့အသုံးချ ပုစ္ဆာ ၃၀ ပုဒ် ပါဝင်သည်။ ဤကျမ်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို လေ့လာခြင်းအားဖြင့် ရှေးခေတ်မြန်မာတို့သည် စက်ဝိုင်း၊ စက်လုံး၊ ထုလုံးနှင့် ထုချွန်များ၏ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ရှာဖွေခြင်းမှစ၍ ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများအထိ အဆင့်မြင့်မားသော သင်္ချာပညာကို လက်တွေ့အသုံးချနိုင်ခဲ့ကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။<ref name="MyoThantTyn">ဒေါက်တာ မျိုးသန့်တင်။ ''ရှေးခေတ် မြန်မာသိပ္ပံကျမ်းများ''။</ref> == သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများ (Areas of Mathematics) == ဤပညာရပ် ကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်းသည် သဘာဝအလျောက် ကွဲပြားသော်လည်း အလွန်အမင်း အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဘာသာရပ်ခွဲများစွာအဖြစ် ပိုင်းခြားသွားခဲ့သည်။ * ဂဏန်းသင်္ချာ နှင့် ကိန်းသီအိုရီ (Arithmetic and Number Theory) - ရှေးခေတ်တွင် လော်ဂျစ်စတစ်နှင့် (logistic) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကြားတွင် တင်းကျပ်သော ခွဲခြားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ လော်ဂျစ်စတစ်သည် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်တွေ့အသုံးချ နည်းစနစ်ဖြစ်သည်။ (practical technique of computation) ဂဏန်းသင်္ချာသည် ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို (properties of numbers) ဒဿနိကဗေဒအရ သို့မဟုတ် သဘောတရားရေးရာအရ လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ကိန်းသီအိုရီ (Number theory) သည် အဆိုပါ ဂဏန်းသင်္ချာမှ ခေတ်သစ် ဆင်းသက်လာသော ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ အစောပိုင်း မှတ်တိုင်များတွင် ဂရိလူမျိုးများ၏ ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း ပါဝင်သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းတွင် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers)၊ ဆပေါင်းကိန်းများ (composite numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်းများ]] (even numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်းများ]] (odd numbers) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းများ (perfect numbers) တို့ ပါဝင်သည်။ အခြားမှတ်တိုင်တစ်ခုမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်း ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်ဖြစ်သည်။ ဤဘာသာရပ်သည် မသေချာသော ညီမျှခြင်းများ သို့မဟုတ် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို (indeterminate (Diophantine) equations) လေ့လာခြင်းမှတစ်ဆင့် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုများကို ဒိုင်အိုဖန်တပ်စ်၊ ဗြဟ္မဂုတ္တ နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၎င်း၏ Disquisitiones Arithmeticae စာအုပ်ဖြင့် ဤနယ်ပယ်ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူသည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ၏ ခေတ်သစ်သင်္ချာကို (modern mathematics of congruences) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ * ဂျီဩမေတြီ (Geometry) - "မြေတိုင်းတာခြင်း" (earth measurement) အဖြစ် စတင်ခဲ့သော ဂျီဩမေတြီသည် ဂရိလူမျိုးများလက်အောက်တွင် ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခု (deductive science) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၎င်း၏ အထွတ်အထိပ်မှာ ယူကလစ်ဒ်၏ Elements စာအုပ်ဖြစ်ပြီး နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ဤဘာသာရပ်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို (algebraic equations) ဂျီဩမေတြီ မျဉ်းကွေးများတွင် (geometric curves) အသုံးချခြင်းဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (Analytic geometry) ကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ ယင်းက ဂျီဩမေတြီကို ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများပေါ်တွင် (coordinate axes) ပုံဖော်နိုင်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တော်လှန်ပြောင်းလဲမှုတစ်ခုကို တွေ့ကြုံခဲ့ရသည်။ နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး နှင့် ယာနို့စ် ဘိုလိုင် ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို (Non-Euclidean geometry) တိုးတက်စေခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ယူကလစ်ဒ်၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုကို (parallel postulate) ဖယ်ရှားလိုက်လျှင်ပင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ဂျီဩမေတြီများ (consistent geometries) တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို ပြသခြင်းဖြင့် ဤသို့ တိုးတက်စေခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် ကွေးညွှတ်နေသော မက်ထရစ် ရပ်ဝန်းများကို (curved metric spaces) အလွန်ယေဘုယျကျစွာ လေ့လာမှုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုကို ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီဟု (Riemannian geometry) ခေါ်သည်။ ယင်းသည် နောက်ပိုင်းတွင် ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (General Relativity) ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒသီအိုရီများအတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) - အက္ခရာသင်္ချာသည် သမိုင်းဆိုင်ရာ ကျယ်ပြန့်သော အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ စကားပြောဟန် (rhetorical)၊ အတိုကောက်ဟန် (syncopated) နှင့် သင်္ကေတဟန် (symbolic) တို့ဖြစ်သည်။ စကားပြောဟန်သည် စကားလုံးများဖြင့်သာ အပြည့်အဝရေးသားခြင်း ဖြစ်သည်။ အတိုကောက်ဟန်သည် အတိုကောက်အချို့ကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတဟန်သည် အက္ခရာများနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများကို အသုံးပြုသော ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်း ဖြစ်သည်။ ဘေဘီလုံနှင့် အီဂျစ်လူမျိုးများသည် အခြေခံ မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများနှင့် (elementary linear equations) နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို (quadratic equations) ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ဉာဏ်သစ်သွေးသစ်ခေတ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို နှင့် လူဒိုဗီကို ဖာရာရီ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်း (cubic equation) နှင့် စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်း (quartic equation) တို့အတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေများကို (algebraic solutions) ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် စကစ်ပီယွန် ဒယ်လ် ဖဲရိုး နှင့် နီကိုလို ဖွန်တာနာ တာတာဂလီယာ တို့၏ တတိယထပ် အဖြေကို ကနဦး ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အက္ခရာသင်္ချာသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ကို လေ့လာခြင်းမှ သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများကို (abstract structures) လေ့လာခြင်းသို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ ၏ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်၊<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1}}</ref> ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် ၏ ဖလှယ်၍မရသော ကွာတာနီယွန်များ (non-commutative quaternions) ကို တီထွင်မှုနှင့် ဂျော့ချ် ဘူးလ် ၏ ယုတ္တိဗေဒ အက္ခရာသင်္ချာတို့နှင့်အတူ (algebra of logic) အက္ခရာသင်္ချာသည် ရိုးရာကိန်းများနှင့် အမှီအခိုကင်းသော လေ့လာမှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် တိကျသော နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်း နိယာမများဖြင့် (laws of combination) သတ်မှတ်ထားသော သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ နှင့် ကဲကုလပ် (Analysis and Calculus) - ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပမာဏများ (continuous magnitudes)၊ စုဆုံမှတ်များ (limits) နှင့် အနန္တ လုပ်ငန်းစဉ်များကို (infinite processes) ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းသော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲ ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အစောဆုံး မူလအစမှာ ဂရိလူမျိုးများ၏ "ကုန်စင်အောင်လုပ်ခြင်း နည်းလမ်း" (method of exhaustion) တွင် တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ကနိုင်းဒပ်စ်မှ ယူဒေါက်စပ်စ် က သဘောတရားရေးရာအရ တီထွင်ခဲ့ပြီး အာခီမီးဒီးစ် က ဧရိယာများနှင့် ထုထည်များကို ရှာဖွေရာတွင် စနစ်တကျ အသုံးချခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် တို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများဆိုင်ရာ (infinitesimals) သဘောတရားများကို စုစည်း၍ ကဲကုလပ် (Calculus) ကို သီးခြားစီ တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များကို]] (derivatives) ရှာဖွေရန် ယေဘုယျ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို (algorithms) ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ထို့ပြင် ဧရိယာများ သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ်များကို (integrals) ရှာဖွေရန်အတွက်လည်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို "ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်း" (arithmetized) ခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ၎င်းကို ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ်အပေါ် (geometric intuition) မှီခိုနေရခြင်းမှ ဖယ်ရှားပေးခဲ့သည်။ ထို့နောက် စုဆုံမှတ်များ၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) နှင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ၏]] (real numbers) တိကျသေချာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအပေါ် အခြေခံသည့် တိကျသေချာသော အခြေခံအုတ်မြစ်ပေါ်တွင် (rigorous foundation) တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) - ကနဦးတွင် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းအဖြစ် (analysis situs) ပေါ်ထွက်လာသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]သည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းပုံများ၏ (spatial configurations) မွေးရာပါ အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ အသွင်အပြင်များကို (qualitative aspects) လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ဤအသွင်အပြင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော တစ်-တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများအောက်တွင် (continuous one-to-one transformations) မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို လူအများက "ရာဘာချပ် ဂျီဩမေတြီ" ဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိကြသည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး သည် ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ သို့မဟုတ် ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (combinatorial topology) စတင်တည်ထောင်သူဟု ဆိုနိုင်သည်။ သူသည် ပုံသဏ္ဌာန်များကို [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများအဖြစ်]] (manifolds) ရှုမြင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်နေမှုကို လေ့လာခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) အတွက် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပတ်ဝန်းကျင်များကြားရှိ (neighborhoods of elements) ဆက်သွယ်ချက်များအပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝအခြေခံ၍ သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်းများကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ * ဖြစ်တန်စွမ်း နှင့် အသုံးချ သင်္ချာ (Probability and Applied Mathematics) - [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်း]] သီအိုရီ (probability theory) သည် ၁၇ ရာစုတွင် ဘလေ့စ် ပက်စ်ကယ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့ကြား ကံစမ်းကစားနည်းများနှင့် (games of chance) ပတ်သက်၍ စာပေးစာယူပြုလုပ်ရာမှ စတင်ခဲ့သည်။ ၎င်းကို ၁၉ ရာစု အစောပိုင်းတွင် ပီယား ဆိုင်မွန် လာပလေ့စ် က အဓိကကျသော သိပ္ပံနည်းကျ ကိရိယာတစ်ခုအဖြစ် စနစ်တကျ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစုတွင် အသုံးချ သင်္ချာ (Applied mathematics) သည် ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory)၊ ဆိုက်ဘာနက်တစ်နှင့် (cybernetics) ကွန်ပျူတာသိပ္ပံကဲ့သို့သော (computer science) နယ်ပယ်များသို့ အကြီးအကျယ် ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သည်။ ၎င်းကို ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း နှင့် အလန် ကျူးရင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့ကြသည်။ ကွန်ပျူတာများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနကို အခြေခံမှစ၍ ပြောင်းလဲပစ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းတွင် (numerical analysis) အထောက်အကူပြုခဲ့ပြီး နောက်ဆုံးတွင် အရောင်လေးမျိုး ယူဆချက်ကဲ့သို့သော (Four-Color Conjecture) ရှုပ်ထွေးသည့် သင်္ချာသီအိုရီများကို သက်သေပြရန်အတွက် လိုအပ်သော ကြီးမားလှသည့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စွမ်းအားကို (computational power) ထောက်ပံ့ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား (References) == <references /> [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ပင်မ အကြောင်းအရာ ဆောင်းပါးများ]] 2gul2vagvolx8mohyvpncmn0s9ug2d5 1049492 1049491 2026-08-20T02:02:50Z Mkant00 135890 /* ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures) */ 1049492 wikitext text/x-wiki [[File:Euclid.jpg|right|thumb|220px|ဘီစီအီး ၃ ရာစုမှ ဂရိ သင်္ချာပညာရှင် ယူကလစ် (ကွန်ပါထောက်တံ ကိုင်ထားသူ) ကို ပန်းချီဆရာ ရာဖယ် က ၎င်း၏ "အေသင်သားတို့ ကျောင်းတော်" အမည်ရ နံရံဆေးရေး ပန်းချီကားကြီးတွင် စိတ်ကူးပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်၏ ပုံမှာ မည်သည့်မီဒီယာတွင်မှ မကျန်ရစ်ဘဲ ဤသရုပ်ဖော်ချက်သည် ပုံဖော်သူ အနုပညာရှင်၏ စိတ်ကူးဉာဏ် ကွန့်မြူးချက်သာ ဖြစ်သည်။]] '''အသိပညာနှင့် စူးစမ်းလေ့လာခြင်း''' ဟု အနက်ဖွင့်ဆိုနိုင်သော ရှေးဂရိဝေါဟာရ μάθημα (máthēma) မှဆင်းသက်လာသည့် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို မြန်မာဘာသာစကားဖြင့် "ရေတွက်ခြင်း" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ရှေးပါဠိဝေါဟာရမှတစ်ဆင့် "သင်္ချာ" ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် သင်္ချာ၏ သဘောသဘာဝနှင့် ပတ်သက်၍ ပုဂ္ဂိုလ်ကျော်များက ရှုထောင့်အမျိုးမျိုးဖြင့် ဖွင့်ဆိုခဲ့ကြသည်။ စွယ်စုံရပညာရှင် ဂယ်လီလီယို (Galileo) က သဘာဝတရားကို ကျမ်းတစ်စောင်ဟု တင်စားခဲ့ပြီး ၎င်းကျမ်းကို သင်္ချာဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားထားကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="Machamer2014">{{Citation |last=Machamer |first=Peter |year=2014 |title=Galileo Galilei |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=CSLI, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/galileo/ |edition=Winter 2014}}</ref> သင်္ချာပညာရှင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) က သင်္ချာကို သိပ္ပံပညာရပ်များ၏ ဘုရင်မအဖြစ် တင်စားခဲ့သည်။<ref name="Beiler1964">{{citation |last=Beiler |first=Albert H. |title=Recreations in the Theory of Numbers (Dover Recreational Math) |publisher=Dover Publications |place=Mineola, NY |edition=2nd |year=1964 |isbn=978-0486210964 |page=1}}</ref> ထို့အပြင် ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) က သင်္ချာသည် မလွှဲမသွေဖြစ်ရမည့် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်များကို ကောက်ချက်ချသော သိပ္ပံပညာရပ်ဖြစ်ကြောင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။<ref name="Peirce1881">{{Citation |last=Peirce |first=Benjamin |title=Linear Associative Algebra |journal=American Journal of Mathematics |volume=4 |issue=1 |year=1881 |pages=97-229 |doi=10.2307/2369153 |url=http://www.jstor.org/stable/2369153 |publisher=The Johns Hopkins University Press}}</ref> ခေတ်ပြိုင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် သက်သေပြချက် (proof) ဖြင့် စစ်ဆေးအတည်ပြုနိုင်သော သရုပ်မဲ့ သဘောတရားများ (abstract concepts) နှင့် ပတ်သက်သည့် ဖော်ပြချက်များ (statements) ကို ဖော်ထုတ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို ကိန်းများ (numbers)၊ ပမာဏများ (magnitudes) နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်များ (forms) ဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခုအဖြစ်သာ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံအကျဆုံး မူလအစသည် သမိုင်းမတင်မီခေတ် လူသားတို့၏ ကိန်းနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တို့တွင်ရှိသော ဆင်တူညီမှုများကို တဖြည်းဖြည်း သတိပြုမိလာခြင်းမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုနှင့် အများအပြားကဲ့သို့သော ရိုးရှင်းသည့် ခြားနားချက်များကို သိမြင်မှတ်မိခြင်းမှသည် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ဆိုသည့် သရုပ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (abstract property) အထိ ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ အလားတူပင် ရက်ကန်းရက်ခြင်း၊ အိုးလုပ်ခြင်းနှင့် ခြင်းတောင်းရက်လုပ်ခြင်းတို့တွင် တွေ့ရသော ရှေးခေတ်လူသားတို့၏ ဒီဇိုင်းများသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ၊ ထပ်တူညီမှု (congruence) နှင့် အချိုးညီမှု (symmetry) တို့အတွက် အခြေခံအလေးထားမှုကို ပြသနေပြီး ယင်းက ဂျီဩမေတြီ (geometry) အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည်။ အစောပိုင်း သင်္ချာစနစ်များသည် အတွေ့အကြုံနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုအပေါ်တွင် များစွာ အခြေခံထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှေးခေတ် အီဂျစ်တွင် ဂျီဩမေတြီသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် စိုက်ပျိုးမြေတိုင်းတာခြင်းအတွက် ကိရိယာတစ်ခုအနေဖြင့် အဓိက တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် နိုင်းမြစ်၏ နှစ်စဉ်ရေကြီးမှုများကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ရှေးခေတ် ဘေဘီလုံ သင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းများအပေါ် များစွာအခြေခံပြီး အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများ (algorithms)၊ ဇယားများနှင့် ညီမျှခြင်းများ (equations) ကို ခန့်မှန်းခြေ ဖြေရှင်းခြင်းတို့အပေါ် အာရုံစိုက်ခဲ့သည်။ ချက်ချင်း အသုံးချရန်ထက် ဉာဏ်ရည်ပိုင်းဆိုင်ရာ သိချင်စိတ်ပြင်းပြမှုက တွန်းအားပေးသည့် ပုံစံတကျ (formalized) ပြီး ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ် (deductive science) တစ်ခုအနေဖြင့် သင်္ချာသည် ရှေးခေတ် ဂရိလူမျိုးများနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ သေးလ် (Thales) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် ဤဘာသာရပ်ကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ ဖွဲ့စည်းမှုဆီသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့သည်ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ သူတို့သည် အခြေခံမူများမှတစ်ဆင့် သီအိုရမ်များ (theorems) ကို သင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြသည့် အစောပိုင်း အစဉ်အလာများကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာ ကြာလာသောအခါ သင်္ချာသည် တည်ဆောက်ပုံ (structure) နှင့် သရုပ်မဲ့ ယုတ္တိဗေဒ (abstract logic) တို့၏ ကျယ်ပြန့်ပြီး အထူးပြုလွန်းသည့်အပြင် စည်းလုံးညီညွတ်သော ဘာသာစကားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြာထွက်လာခဲ့သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ခေတ်သစ် တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုများ (History and Modern Developments) == === ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures) === ဆယ့်ကိုးရာစုသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တွင် တော်လှန်ရေးတစ်ရပ်ကို မြင်တွေ့ခဲ့ရပြီး ၎င်းကို တင်းကျပ်သော ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီ (Euclidean geometry) မူဘောင်မှ အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဂျီဩမေတြီစနစ်များ၏ ကျယ်ပြန့်သော စုစည်းမှုအဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းပေးခဲ့သည်။ ဤစနစ်များ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းမှုသည် ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီကို တောင့်တင်းသော ရွေ့လျားမှု အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (rigid motion transformations) အောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariants) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းကို သုည ကွေးညွှတ်မှု (zero curvature) နှင့် <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော မက်ထရစ် (metric) တို့ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည်။ ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) တွင် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry) နှင့် အဲလစ်ပတစ် ဂျီဩမေတြီ (elliptic geometry) သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီ (spherical geometry) တို့ ပါဝင်သည်။ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အနုတ် ကွေးညွှတ်မှု (constant negative curvature) ရှိသည်။ အဲလစ်ပတစ် သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အပေါင်း ကွေးညွှတ်မှု (constant positive curvature) ရှိသည်။ အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (affine geometry) သည် ပြိုင်တူဖြစ်ခြင်း (parallelism) နှင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင်ရှိခြင်း (collinearity) တို့ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) အပေါ် အာရုံစိုက်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (projective geometry) သည် နှစ်ထပ်အချိုး (cross-ratio) နှင့် ဒွန်တွဲမှု (duality) ကဲ့သို့သော ပရိုဂျက်တစ်ဖြစ်ခြင်းများအောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ဗဟိုပြုသည့် လွှမ်းခြုံနိုင်သော မူဘောင်တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ (Riemannian geometry) သည် ပြောင်းလဲနိုင်သော ကွေးညွှတ်မှု (variable curvature) နှင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) <math>ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dx_i\,dx_j</math> တို့ဖြင့် အုပ်ချုပ်ထားသော ယေဘုယျပြုထားသည့် <math>n</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|တိုင်းတာမှု]]ရှိသော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကို (<math>n</math>-dimensional manifolds) လွှမ်းခြုံထားသည်။ ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီသည် အက်ခိုး ပေါ်လီတက်ကနစ် (École Polytechnique) ၌ ဂတ်စပတ် မွန်ချ် (Gaspard Monge) ကို ဗဟိုပြုသော အစောပိုင်း ၁၉ ရာစု ပြင်သစ်ကျောင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ မွန်ချ်၏ ကျောင်းသားများသည် ဤနယ်ပယ်ကို လမ်းကြောင်းမျိုးစုံသို့ ချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် ဒူပင်း (Charles Dupin) သည် မျက်နှာပြင်များဆိုင်ရာ သီအိုရီကို (theory of surfaces) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဆိုက်ကလိုက် (cyclide) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ သီအိုဒို အိုလီဗီယာ (Théodore Olivier) သည် သင်ကြားရေးအတွက် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဂျီဩမေတြီ ကြိုးမော်ဒယ်များကို (three-dimensional geometric string models) ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခဲ့သည်။ ချားလ်စ်-ဂျူးလ်စ် ဘရီယန်ချွန် (Charles-Jules Brianchon) သည် ပက်စ်ကယ် (Pascal) ၏ ဆန်းကြယ်သော ဆဋ္ဌဂံ သီအိုရမ်အတွက် (Pascal’s mystic hexagram theorem) ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲ (projective dual) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် "အမှတ်" (point) နှင့် "မျဉ်း" (line) ဟူသော သဘောတရားများကို အချင်းချင်းဖလှယ်လိုက်သောအခါတွင် ပြင်ညီ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီရှိ သီအိုရမ်များသည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ ယန်-ဗစ်တာ ပွန်စလတ် (Jean-Victor Poncelet) သည် ၎င်း၏ ၁၈၂၂ ခုနှစ်ထုတ် Traité des propriétés projectives des figures စာအုပ်တွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီကို သီးခြားလွတ်လပ်သော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) မူဝါဒနှင့် အနန္တအမှတ်များ (ideal points) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ စက်ဝိုင်းအားလုံးက မျှဝေပိုင်ဆိုင်ထားသော အနန္တရှိ ကွန်ဂျူဂိတ် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်]] စက်ဝိုင်းအမှတ်များ (conjugate imaginary circular points) နှစ်ခုကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယင်းအမှတ်များကို <math>I</math> နှင့် <math>J</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ မိုက်ကယ် ရှားလ်စ် (Michel Chasles) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်ရှိ အမှတ်လေးမှတ်၏ နှစ်ထပ်အချိုးကို (cross-ratio) အလေးပေးဖော်ပြခဲ့ပြီး ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ :<math>\frac{c - a}{c - b} : \frac{d - a}{d - b}</math> သူသည် ဤနှစ်ထပ်အချိုးသည် ပရိုဂျက်တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (projective transformations) အောက်တွင် ပကတိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိကြောင်းကို (invariant) သက်သေပြခဲ့သည်။ ပေါင်းစပ် မက်ထရစ် ဖန်ရှင် ဂျီဩမေတြီ (synthetic metric geometry) တွင် ဂျက်ကော့ဘ် ရှတိုင်းနား (Jakob Steiner) သည် ယူကလစ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံများအားလုံးကို မျဉ်းဖြောင့်တံတစ်ခုနှင့် (straightedge) ဗဟိုကို (center) ရှင်းလင်းစွာပေးထားသော အထိုင်စက်ဝိုင်းတစ်ခုတည်းကိုသာ (single fixed circle) အသုံးပြု၍ အပြီးသတ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် တတိယထပ်ကိန်း မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် နှစ်ဆယ့်ခုနစ်ကြောင်းကိုလည်း (twenty-seven straight lines on a cubic surface) လေ့လာခဲ့ပြီး ထောင့်ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းဖြစ်သည့် (angle-preserving transformation) ပြောင်းပြန်လှန် ဂျီဩမေတြီ (inversive geometry) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် အမှတ် <math>P</math> နှင့် <math>P'</math> တို့သည် အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိပြီး ဗဟို <math>O</math> ၌ရှိသော စက်ဝိုင်းတစ်ခုနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အချင်းချင်း ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြသည် (inverse)။ ၎င်းတို့သည် <math>(OP)(OP') = r^2</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို ဂျူးလီးယပ်စ် ပလွတ်ကာ (Julius Plücker) က ပြန်လည်အသက်ဝင်စေခဲ့ပြီး သူသည် ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အတိုကောက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို (abridged notation) တီထွင်ခဲ့သည်။ ပလွတ်ကာ၊ ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ် (August Ferdinand Möbius)၊ ကားလ် ဝီလ်ဟမ် ဖွိုင်ယာဘတ် (Karl Wilhelm Feuerbach) နှင့် အက်တီယန် ဘိုဘီလီယာ (Étienne Bobillier) တို့သည် တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ (homogeneous coordinates) ကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထိုကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် <math>t = 0</math> သည် အနန္တရှိ မျဉ်းကို (line at infinity) ကိုယ်စားပြုသည်။ ပလွတ်ကာသည် မျဉ်း ကိုဩဒိနိတ်များ (line coordinates) ကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် <math>(u, v, w)</math> ဖြစ်ကြပြီး မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များဟူသော သဘောတရားကို အမှတ်တစ်ခုကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းများဟူသော ဒွန်တွဲသဘောတရားအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးခဲ့သည်။ ၁၈၃၄ ခုနှစ်တွင် သူသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေး (algebraic curve) တစ်ခု၏ အဆင့် (order) <math>n</math>၊ အတန်းအစား (class) <math>m</math>၊ ဆုံမှတ်များ (nodes) <math>\delta</math>၊ အချွန်မှတ်များ (cusps) <math>\kappa</math>၊ ငြိမ်နေသော ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် အကွေ့မှတ်များ (stationary tangents/inflections) <math>\iota</math> နှင့် ထိမျဉ်းနှစ်ထပ်များ (bitangents) <math>\tau</math> တို့ကို ဆက်စပ်ပေးသော ညီမျှခြင်းများကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ :<math>m = n(n - 1) - 2\delta - 3\kappa \quad \text{and} \quad n = m(m - 1) - 2\tau - 3\iota</math> :<math>\iota = 3n(n - 2) - 6\delta - 8\kappa \quad \text{and} \quad \kappa = 3m(m - 2) - 6\tau - 8\iota</math> ယူကလစ်ဒ်၏ ပဉ္စမမြောက် ကြိုတင်အဆိုကို (Fifth Postulate) သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းမှုသည် ၎င်းမပါဘဲ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (consistent) ရှိသော ဂျီဩမေတြီများ တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို သင်္ချာပညာရှင်များက ပြသနိုင်ခဲ့ချိန်တွင် အဆုံးသတ်သွားခဲ့သည်။ ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ဤအချက်ကို စောစီးစွာကတည်းက သီးသန့် အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော် နီကိုလိုင်း အိုင်ဗန်နိုဗစ်ချ် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) သည် ၁၈၂၉ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) သည် ၁၈၃၂ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ၏ (non-Euclidean hyperbolic geometry) ပထမဆုံး ပုံစံတကျ စနစ်များကို ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်ပေါင်းလဒ်သည် (angle sum) ၁၈၀ ဒီဂရီထက် တိကျစွာ လျော့နည်းသည်။ ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ (Eugenio Beltrami) သည် ဤဂျီဩမေတြီ၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) ၁၈၆၈ ခုနှစ်တွင် ဆူဒိုစက်လုံးမျက်နှာပြင် (pseudosphere) ပေါ်တွင် လက်တွေ့ဖော်ဆောင်ခြင်းဖြင့် သက်သေပြခဲ့သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry) ကို ၁၈၂၇ ခုနှစ်တွင် ဂေါက်စ်က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သူသည် ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian curvature) <math>K</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ကွေးနေသော ကိန်းရှင်ကြားခံ မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) သည် ဒုတိယထပ်ကိန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (quadratic differential form) <math>ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2</math> အပေါ် မူတည်ကြောင်းကို အတည်ပြုခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) ၏ ၁၈၅၄ ခုနှစ် ဟာဘီလီတေးရှင်း ဟောပြောချက်သည် ၎င်းကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိသော မန်နီဖိုးများအထိ (n-dimensional manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် သူ၏ အာလန်ဂါ ပရိုဂရမ် (Erlanger Programm) မှတစ်ဆင့် ဤကွဲပြားနေသော ဂျီဩမေတြီများကို ပေါင်းစပ်ခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီကို တိကျသော အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (transformation groups) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariant properties) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization) === ဆယ့်ကိုးရာစုနှင့် နှစ်ဆယ်ရာစုများအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းမှ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures)၊ တွက်ချက်မှုများ (operations) နှင့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) တို့ကို သရုပ်မဲ့ လေ့လာခြင်းဆီသို့ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်။ ယင်းက [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups)၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းနိုင်ရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1, 7, 13}}</ref> သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာ၏ (symbolic algebra) အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ဂျော့ချ် ပီးကော့ (George Peacock) နှင့် ဩဂတ်စတပ်စ် ဒီ မော်ဂန် (Augustus De Morgan) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ပီးကော့သည် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (arithmetical algebra) သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာမှ ခွဲခြားပြသခဲ့သည်။ ဒီ မော်ဂန်ကမူ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများသည် (operational symbols) အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်းများသာဖြစ်ကြောင်း (arbitrary abstractions) ငြင်းဆိုခဲ့သည်။ ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) သည် ယုတ္တိဗေဒနှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) ဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (algebra of logic) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် စကြဝဠာ အစု (universal set) ကို <math>1</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ဗလာစု (null set) ကို <math>0</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ပေါင်းစပ်စု (union) ကို <math>+</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ကို <math>\times</math> ဖြင့်လည်းကောင်း သတ်မှတ်ပြသခဲ့ပြီး ထပ်တူရပေး နိယာမ (idempotent law) <math>x^2 = x</math> ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များ (noncommutative systems) သည် ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် (William Rowan Hamilton) က မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ နိယာမ]] (commutative law of multiplication) ကို စွန့်လွှတ်ကာ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) ကို တီထွင်လိုက်ချိန်တွင် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ <math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math> <math>ij = k = -ji, \quad jk = i = -kj, \quad ki = j = -ik</math> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း (Hermann Grassmann) သည် <math>n</math>-တိုင်းတာမှုရှိသော မျဉ်းဖြောင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (linear vector spaces) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ဟာမီလ်တန်-ကေးလီ သီအိုရမ်ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ဂျိမ်းစ် ဂျိုးဆက် ဆေးလ်ဗက်စတာ (James Joseph Sylvester) သည် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရီ (invariant theory) ကို မြှင့်တင်ပေးခဲ့သည်။ ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) နှင့် ချားလ်စ် ဆန်ဒါးစ် ပီးယားစ် (Charles Sanders Peirce) တို့သည် မျဉ်းဖြောင့် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] အက္ခရာသင်္ချာများ (linear associative algebras) ကို ဆက်လက် အမျိုးအစားခွဲခြားခဲ့ကြသည်။ ယင်း၏ အထွတ်အထိပ်ရလဒ်အနေဖြင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers)၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) နှင့် ကွာတာနီယွန်များသည်သာလျှင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ကိန်းစစ် ဖက်စပ်ရ အစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း သီအိုရမ်ကို (classification theorem) ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် (Ferdinand Georg Frobenius) က ၁၈၇၇ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ စီ အက်စ် ပီးယားစ်က ၁၈၈၁ ခုနှစ်တွင် သီးခြားစီလည်းကောင်း ပုံစံတကျ အတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အုပ်စုများ၊ ကွင်းများနှင့် ဖီးလ်ဒ်များကို သဘောတရားအဖြစ် ဖွဲ့စည်းခြင်းက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) ကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အချိုးညီမှုများနှင့် (symmetries) ချိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ကိန်းရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရရန်မှာ ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) အုပ်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း သူက သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=14}}</ref> ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) သည် ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓ]]ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique prime factorization) ကို ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]]ရင်းများ (algebraic integers) ၏ ကွင်းများတွင် အိုင်ဒီးလ်များကို (ideals) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=7}}</ref> ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် ဂျေ အိတ်ချ် အမ် ဝက်ဒါဘန်း (J. H. M. Wedderburn) သည် ဆီမီးရိုးရှင်းသော အက္ခရာသင်္ချာများအတွက် (semisimple algebras) တည်ဆောက်ပုံ သီအိုရမ်များကို (structure theorems) ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အန်းစ် ရှတိုင်းနစ်ဇ် (Ernst Steinitz) သည် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) ကို နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=13}}</ref> အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) သည် အစဉ်လိုက်တိုး ချိတ်တန်း အခြေအနေများ (ascending chain conditions) ကို အသုံးပြု၍ နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော ကွင်းသီအိုရီ (axiomatic ring theory) ကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=15}}</ref> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ဂေါ့လော့ ဖရေဂါ (Gottlob Frege) နှင့် ဂျူဆက်ပီ ပီယာနို (Giuseppe Peano) တို့က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဖရေဂါသည် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ယုတ္တိဗေဒမှ ဆင်းသက်ရယူရန် ကြိုးစားခဲ့ပြီး ပီယာနိုသည် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) အတွက် နဂိုမှန်အဆို အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ - တိကျသေချာမှု၊ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များ၊ နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Analysis: Rigor, Real and Complex Variables, and Measure Theory) === ကဲကုလပ် (calculus) သည် ၁၉ ရာစုတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များမှ တိကျသေချာသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (rigorous mathematical analysis) သို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ ဤအပြောင်းအလဲသည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) နှင့် စုဆုံမှတ်များကို (limits) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများကို (logical circularity) ဖယ်ရှားရန် လိုအပ်ခြင်းကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် သင်္ချာပညာရှင် ငါးဦးသည် ကိန်းစစ်များအတွက် သီးသန့် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် မေရေး (Charles Méray)၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass)၊ ဟိုင်းနရစ် အက်ဒ်ဝပ် ဟိုင်းနား (Heinrich Eduard Heine) နှင့် ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) တို့သည် ကိန်းစစ်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏]] စုဆုံ ကိန်းစဉ်များ (convergent sequences of rational numbers) သို့မဟုတ် အခြေခံ ကိန်းစဉ်များကို (fundamental sequences) အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်းသည် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းကို (Dedekind Cut) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ သူသည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို]] (irrationalities) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းအားလုံးကို ဘုံမပါသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (disjoint subsets) နှစ်ခုအဖြစ် အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို (complex analysis) အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) က စနစ်တကျ တိုးတက်စေခဲ့သည်။ သူသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများကို (Cauchy-Riemann differential equations) ဆင်းသက်ရယူခဲ့သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများမှာ <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် သူသည် အကြွင်း ကဲကုလပ်နှင့်အတူ (residue calculus) ကော်ချီ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ်ကို (Integral Theorem) <math>\oint f(z)\,dz = 0</math> သက်သေပြခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် တန်ဖိုးများစွာရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (multivalued functions) တစ်ပြေးညီဖြစ်စေရန် (uniformize) ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များမှတစ်ဆင့် (Riemann surfaces) တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်နည်းတစ်ခုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် ဇီတာ ဖန်ရှင် (zeta function) <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}</math> ၏ သုညမှတ်များနှင့် ပတ်သက်သော ရီးမန်း ယူဆချက်ကိုလည်း (Hypothesis) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်သည် ဤဖီးလ်ဒ်ကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆက်လက်တည်ရှိခြင်းတို့မှတစ်ဆင့် (analytic continuation) တင်းကျပ်စွာ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီတို့သည် (measure theory) အီမီးလ် ဘိုရဲလ် (Émile Borel) မှတစ်ဆင့် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ သူသည် ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှုကို (countable additivity) အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) ပေါ်တွင် အတိုင်းအတာ သီအိုရီကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည်လည်း ဤနယ်ပယ်ကို တိုးတက်စေခဲ့ပြီး သူသည် ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်ကို (Lebesgue integral) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ လီဘက်ဂ်သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ထက် ပုံရိပ်အစုကို (range) ပိုမိုသေးငယ်စွာ ထပ်မံပိုင်းခြားခြင်းအားဖြင့် အလွန်အမင်း [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များကို]] (discontinuous functions) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) ရှိစေခဲ့သည်။ ယင်းက [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်|ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်ကို]] (Fundamental Theorem of Calculus) ချဲ့ထွင်ပေးခဲ့သည်။ === တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Topology and Functional Analysis) === [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) သည် နှစ်ဆယ်ရာစု သင်္ချာတွင် အဓိကကျသော ပေါင်းစပ်ပေးသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) သည် ၁၈၉၅ ခုနှစ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (algebraic topology) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ဟိုမိုလော်ဂျီကို (simplicial homology) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဗက်တီ ကိန်းများကို (Betti numbers) အသုံးပြု၍ ဗဟုဂံပုံသေနည်းကို (polyhedral formula) ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာရှိ မန်နီဖိုးများအထိ (manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အခြေခံအုပ်စုကို (fundamental group) လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ပွန်ကာရေး ဟိုမိုလော်ဂျီ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Poincaré homology sphere) ကို ဖော်ထုတ်မှုသည် ပွန်ကာရေး ယူဆချက်ဆီသို့ (Poincaré conjecture) ဦးတည်စေခဲ့သည်။ အယ်လ် အီး ဂျေ ဘရောင်းဝါး (L. E. J. Brouwer) သည် အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (fixed-point theorem) အပါအဝင် အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရမ်များကို (topological invariance theorems) ဆက်လက် သက်သေပြခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (Point-set topology) မောရစ် ဖရေးရှေး (Maurice Fréchet) နှင့် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ဖရေးရှေးသည် ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို]] (metric spaces) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) နှင့် ခွဲခြားခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများကို (separation axioms) အသုံးပြု၍ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် (topological spaces) နဂိုမှန်အဆို စနစ်ကို (axiomatic system) ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာသည်လည်း (functional analysis) တစ်ပြိုင်နက်တည်း တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများကို (inner product spaces) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) သည် ပြည့်စုံသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို]] (complete normed vector spaces) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ လော်ရင့် ရွှာ့ဇ် (Laurent Schwartz) ၏ ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီသည် (theory of distributions) ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာကဲ့သို့ (Dirac delta) ယေဘုယျပြုထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (generalized functions) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === နှစ်ဆယ်ရာစု ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း - ဘော်ဘာကီ၊ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Twentieth-Century Synthesis: Bourbaki, Category Theory, and Algebraic Geometry) === ၂၀ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဘာသာရပ်သည် သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများ (abstract structures) နှင့် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ (categorical relationships) ကို အလေးပေးခြင်းဖြင့် အရင်ကမရှိဖူးသော ပေါင်းစပ်ညီညွတ်မှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၃၄ ခုနှစ်မှစတင်၍ ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင်များ အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့သည် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ဟူသော ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေထုတ်ဝေလျက် အတွဲများစွာပါဝင်သော Éléments de mathématique (သင်္ချာ၏ အခြေခံများ) ကို ရေးသားပြုစုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ နည်းစနစ်သည် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ နည်းလမ်း (axiomatic method) ကို တင်းကျပ်စွာ လိုက်နာမှုနှင့် ယေဘုယျ တည်ဆောက်ပုံများမှ (general structures) တိကျသော အသုံးချမှုများဆီသို့ (specific applications) ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တိုးတက်မှုကို (logical progression) အလေးပေးခဲ့သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (Category theory) ကို ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကွဲပြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန် ကတ်တဂိုရီများ (categories)၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]] (functors) နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] (natural transformations) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် အွန်ရီ ကာတန် (Henri Cartan) နှင့် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်တို့သည် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို ဖန်တီးရန် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တို့ကို ပေါင်းစပ်ခဲ့ကြသည်။ ဤကာလအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) သည် တော်လှန်ပြောင်းလဲခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ အော်စကာ ဇာရစ်စကီး (Oscar Zariski)၊ ဘီ အယ်လ် ဗန် ဒါ ဗေဒင် (B. L. van der Waerden) နှင့် အန်ဒရေး ဗေးလ် (André Weil) တို့သည် ဤဘာသာရပ်ခွဲကို တိကျသေချာသော [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (rigorous commutative algebra) ဖြင့် အခြေခံချပေးခဲ့ကြသည်။ ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှင့် ၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ယန် လီရေး (Jean Leray)၊ ယန်-ပီယာ ဆဲရ် (Jean-Pierre Serre) နှင့် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) တို့သည် [[အစည်း|အစည်းများ]] (sheaves)၊ စကင်းမ်များ (schemes)၊ တိုပို့စ်များ (topoi) နှင့် အေတဲလ် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (étale cohomology) ဟူသော ဘာသာစကားမှတစ်ဆင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို လုံးဝအသစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဤမူဘောင်သည် ပီယာ ဒေလင်း (Pierre Deligne) အား ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အနက်ရှိုင်းဆုံးသော ဗေးလ် ယူဆချက်များကို သက်သေပြရန် လုပ်ဆောင်နိုင်စေခဲ့သည်။ === ယုတ္တိဗေဒ၊ အခြေခံအုတ်မြစ်များနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Logic, Foundations, and Computational Mathematics) === ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) ၏ အခြေခံဆိုင်ရာ ပြဿနာများ (foundational problems) နှစ်ဆယ့်သုံးခု တင်ပြချက်မှ ကြီးမားစွာ လွှမ်းမိုးမှုခံရသော ၂၀ ရာစုသည် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) နှင့် တွက်ချက်ခြင်း (computation) ဆိုင်ရာ အခြေခံ မေးခွန်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ယုတ္တိဗေဒ (logic) တွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများမှ (logical axioms) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ဆင်းသက်ရယူရန် ဘာထရန် ရပ်ဆဲလ် (Bertrand Russell) နှင့် အဲလ်ဖရက် နော့သ် ဝှိုက်ဟတ် (Alfred North Whitehead) တို့၏ ကြိုးပမ်းမှုများသည် ကာ့တ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ ၁၉၃၁ ခုနှစ် မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (Incompleteness Theorems) ကြောင့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်စေခဲ့သည်။ မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုစနစ်မဆို (consistent formal axiomatic system) အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာကို (basic arithmetic) လုပ်ဆောင်နိုင်သောအခါ ၎င်းသည် ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော အဆိုများကို (undecidable propositions) ပါဝင်စေပြီး ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (own consistency) သက်သေမပြနိုင်ကြောင်း ဂိုဒယ်က ပြသခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်၏ ပထမဆုံး ပြဿနာဖြစ်သော ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) ၏ တိုးတက်မှုသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ဂိုဒယ်က ၎င်း၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) သက်သေပြခဲ့ပြီး ပေါလ် ကိုဟင် (Paul Cohen) က ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် အတင်းအကျပ် ပြောင်းလဲခြင်းနည်းလမ်းကို (method of forcing) အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို (independence) သက်သေပြခဲ့သည်။ တွက်ချက်မှု သီအိုရီ (theory of computation) ကို အလန် ကျူးရင်း (Alan Turing) က ၁၉၃၆ ခုနှစ်တွင် ပုံစံတကျ တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ကျူးရင်းသည် တွက်ချက်ခြင်းအတွက် စကြဝဠာ သဘောတရားရေးရာ မော်ဒယ်ကို (universal theoretical model) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤမော်ဒယ်ကို ကျူးရင်း စက်ဟု (Turing machine) သိကြသည်။ ထို့ပြင် သူသည် ရပ်တန့်ခြင်း ပြဿနာ၏ (halting problem) ဖြေရှင်း၍မရနိုင်စွမ်းကို (insolvability) သက်သေပြခဲ့ပြီး ယင်းက ဟီလ်ဘတ်၏ ဆုံးဖြတ်ချက် ပြဿနာကို (decision problem) ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) သည် အီလက်ထရောနစ် ကွန်ပျူတာ တည်ဆောက်ပုံ (electronic computer architecture)၊ ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory) နှင့် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) ကို ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာကို ဆက်လက်တိုးတက်စေခဲ့သည်။ === မကြာသေးမီ ဆယ်စုနှစ်များအတွင်း နာမည်ကြီး ယူဆချက်များအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း (Resolution of Famous Conjectures in Recent Decades) === နှစ်ဆယ်ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် နှစ်ဆယ့်တစ်ရာစု အစောပိုင်းကာလများကို အဆင့်မြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မူဘောင်များနှင့် (advanced analytical frameworks) ကွန်ပျူတာ အကူအညီများမှတစ်ဆင့် (computer assistance) ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော သမိုင်းဝင် ပြဿနာများအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်းဖြင့် အမှတ်အသားပြုခဲ့သည်။ ၁၈၅၂ ခုနှစ်တွင် စတင်ယူဆခဲ့ပြီးဖြစ်သော အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ် (Four-Color Theorem) သည် ကဲနတ် အက်ပယ်လ် (Kenneth Appel) နှင့် ဝုဖ်ဂန်း ဟာကင် (Wolfgang Haken) တို့က ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရှောင်လွှဲ၍မရသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို (unavoidable configurations) အကဲဖြတ်ရန်အတွက် အားထုတ်ပစ်ခြင်း နည်းလမ်းကို (method of discharging) အသုံးပြုခြင်းသည် ပထမဆုံး အဓိကကျသော ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်အဖြစ် (computer-assisted mathematical proof) မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သည်။ ယင်းကို နောက်ပိုင်းတွင် ရောဘတ်ဆန်၊ ဆန်ဒါးစ်၊ ဆီးမိုး နှင့် သောမတ်စ် တို့က ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပိုမိုရိုးရှင်းလွယ်ကူအောင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် ကော့ခ် ဆော့ဖ်ဝဲလ်ကို အသုံးပြု၍ ဂွန်သီယာ နှင့် ဗာနာ တို့က ပုံစံတကျ စစ်ဆေးအတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (Classification of Finite Simple Groups) သည် ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာသော ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ကြိုးပမ်းမှုအပြီးတွင် ပြီးမြောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဖိုက်-သွန်မဆင် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]]အစဉ် သီအိုရမ်ဖြင့် (Odd-Order Theorem) စတင်ခဲ့ပြီး ဤသီအိုရမ်က မည်သည့် အဆုံးရှိ ရိုးရှင်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite simple group) မဆို ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group)၊ အလှည့်ကျ အုပ်စု (alternating group)၊ လီ-အမျိုးအစား (Lie-type) သို့မဟုတ် ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော အုပ်စုများ (sporadic groups) ၂၆ ခုထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးခဲ့သည်။ နောက်ဆုံး ဆူဒို-ပါးလွှာသော ကွာဟချက်ကို (quasi-thin gap) အက်ရှ်ဘာကာ နှင့် စမစ်သ် တို့က ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပိတ်နိုင်ခဲ့သည်။ ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat’s Last Theorem) ကို နှစ်ပေါင်း ၃၅၀ ကျော်ကြာပြီးနောက် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂါဟတ် ဖရေး (Gerhard Frey) ၏ မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (non-modular elliptic curves) ဖွဲ့စည်းမှုနှင့် ကန် ရီဘတ် (Ken Ribet) ၏ <math>\varepsilon</math>-ယူဆချက် (<math>\varepsilon</math>-conjecture) သက်သေပြချက်တို့ကို အခြေခံ၍ အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) က ပြသခဲ့ရာတွင် ဆီမီး-တည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် (semistable elliptic curves) တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ်ကို တိုက်ရိုက် သက်ရောက်မှုရှိကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ်သည် ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ သူ့ကို ရစ်ချတ် တေလာ (Richard Taylor) က ကူညီပေးခဲ့သည်။ ပွန်ကာရေး ယူဆချက် (Poincaré Conjecture) ကို ဝီလီယံ သာစတန် (William Thurston) ၏ ဂျီဩမေတြီအသွင်ပြောင်းခြင်း ယူဆချက် (Geometrization Conjecture) နှင့် ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (Richard Hamilton) ၏ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ညီမျှခြင်း (Ricci flow equation) <math>\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2 R_{ij}</math> မိတ်ဆက်မှုတို့မှတစ်ဆင့် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Yakovlevich Perelman) သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၃ ခုနှစ်အတွင်း ခွဲစိတ်မှု နည်းပညာများကို (surgery techniques) အသုံးပြု၍ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို (Ricci flow singularities) ကျော်လွှားခြင်းဖြင့် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ === မြန်မာ့ သင်္ချာသမိုင်း (History of Burmese Mathematics) === မြန်မာ့သိပ္ပံပညာနှင့် သင်္ချာသမိုင်းကြောင်းသည် ရှေးခေတ်ကာလများကတည်းက အခြေတကျ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်ထားသော သင်္ချာကျမ်းများအနက် တစ်ခုမှာ ၁၄ ရာစုနှစ်ဦးပိုင်းတွင် ဇင်းမယ်မြို့၌ ရှင်ဉာဏဝိလာသ ရေးသားပြုစုခဲ့သော "သင်္ချာပကာသက" ကျမ်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကျမ်းကို အခြေခံ၍ ခရစ်နှစ် ၁၅၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ပလိပ်ရွာအရှေ့ရှိ မြို့သစ်မြို့နေ ရှင်သီရိမင်္ဂလက "သင်္ချာပကာသကဋီကာ" ကို ထပ်မံပြုစုခဲ့ပြီး ညောင်ကန်ဆရာတော် ရှင်ကဝိန္ဒ၏ တပည့် ရှင်မုနိန္ဒသာရက "သင်္ချာပကာသက စာကိုယ်နိဿယ" ကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဘိုးတော်ဘုရား (ဗဒုံမင်း) လက်ထက် (၁၇၈၂–၁၈၁၉) တွင် အိန္ဒိယနှင့် သီဟိုဠ်တို့မှ ကျမ်းပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို ယူဆောင်လာခဲ့ပြီး မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုစေခဲ့ရာမှ သင်္ချာပညာရပ်သည် ပိုမိုထွန်းကားလာခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော သမိုင်းဝင်အထောက်အထားတစ်ခုမှာ ၁၇၇၄ ခုနှစ်တွင် ပြုစုခဲ့သော "ဂဏန်းသင်္ချာ ပညာဝဍ္ဎနကျမ်း" ဖြစ်သည်။ ဤကျမ်းကို အပိုင်းလေးပိုင်းခွဲခြားထားပြီး တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပုစ္ဆာပေါင်း ၁၇၅ ပုဒ်ကို တွက်နည်းအဖြေများနှင့်တကွ စနစ်တကျ ပြုစုထားသည်။ ပထမပိုင်းတွင် အလေးချိန်၊ အကွာအဝေး၊ ထုထည် (Volume) နှင့် အချိန်နာရီတို့ကို တိုင်းတာသည့် ယူနစ် (Unit) ဆိုင်ရာ ကိန်းသင်္ချာအကြောင်းကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် "ခု" မှစ၍ သုည ၁၄၀ လုံးပါဝင်သော "အသင်္ချေ" တိုင်အောင် ရေတွက်ခေါ်ဝေါ်သည့် နည်းစနစ်များ ပါဝင်သည်။ ဒုတိယပိုင်းတွင် လုပ်ငန်းခွင်သုံး တိုင်းထွာတွက်ချက်နည်းများကို "ဂဏန်းဆယ်ပါး" ခေါင်းစဉ်ဖြင့် ဖော်ပြထားပြီး စပါး၊ ဆန်၊ ရွှေ၊ ငွေ၊ ဆီမီး၊ ရထား၊ သစ်ပင်၊ လှေ၊ သားရေနှင့် မြေစသည့် ကဏ္ဍများ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရွှေကို အဆင့်ဆင့် သန့်စင်ရာတွင် ဇမ္ဗူရဇ်ရွှေကဲ့သို့ အသန့်စင်ဆုံးအဆင့်ရရှိရန် တွက်ချက်မှုများ၊ သစ်ပင်၏ အမြင့်ကို ဂျီဩမေတြီ (Geometry) အသုံးပြု၍ ရှာဖွေခြင်းများနှင့် မြေကွက်များ၏ ဧရိယာ (Area) တွက်ချက်ခြင်းများ ပါဝင်သည်။ တတိယပိုင်းတွင် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic progression)၊ ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric progression)၊ မရေမရာ ညီမျှခြင်း (Indeterminate equation)၊ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (Algebraic equation)၊ ဆခွဲကိန်း (Factor) နှင့် ဘုံသုဉ်းကိန်းရှာဖွေခြင်းစသည့် သင်္ချာနည်းစနစ် ၁၆ မျိုးကို ပုစ္ဆာပေါင်း ၇၆ ပုဒ်ဖြင့် ရှင်းလင်းထားသည်။ စတုတ္ထပိုင်းတွင် ရှေ့ပိုင်းနည်းစနစ်များကို အခြေခံထားသော လက်တွေ့အသုံးချ ပုစ္ဆာ ၃၀ ပုဒ် ပါဝင်သည်။ ဤကျမ်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို လေ့လာခြင်းအားဖြင့် ရှေးခေတ်မြန်မာတို့သည် စက်ဝိုင်း၊ စက်လုံး၊ ထုလုံးနှင့် ထုချွန်များ၏ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ရှာဖွေခြင်းမှစ၍ ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများအထိ အဆင့်မြင့်မားသော သင်္ချာပညာကို လက်တွေ့အသုံးချနိုင်ခဲ့ကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။<ref name="MyoThantTyn">ဒေါက်တာ မျိုးသန့်တင်။ ''ရှေးခေတ် မြန်မာသိပ္ပံကျမ်းများ''။</ref> == သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများ (Areas of Mathematics) == ဤပညာရပ် ကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်းသည် သဘာဝအလျောက် ကွဲပြားသော်လည်း အလွန်အမင်း အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဘာသာရပ်ခွဲများစွာအဖြစ် ပိုင်းခြားသွားခဲ့သည်။ * ဂဏန်းသင်္ချာ နှင့် ကိန်းသီအိုရီ (Arithmetic and Number Theory) - ရှေးခေတ်တွင် လော်ဂျစ်စတစ်နှင့် (logistic) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကြားတွင် တင်းကျပ်သော ခွဲခြားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ လော်ဂျစ်စတစ်သည် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်တွေ့အသုံးချ နည်းစနစ်ဖြစ်သည်။ (practical technique of computation) ဂဏန်းသင်္ချာသည် ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို (properties of numbers) ဒဿနိကဗေဒအရ သို့မဟုတ် သဘောတရားရေးရာအရ လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ကိန်းသီအိုရီ (Number theory) သည် အဆိုပါ ဂဏန်းသင်္ချာမှ ခေတ်သစ် ဆင်းသက်လာသော ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ အစောပိုင်း မှတ်တိုင်များတွင် ဂရိလူမျိုးများ၏ ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း ပါဝင်သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းတွင် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers)၊ ဆပေါင်းကိန်းများ (composite numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်းများ]] (even numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်းများ]] (odd numbers) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းများ (perfect numbers) တို့ ပါဝင်သည်။ အခြားမှတ်တိုင်တစ်ခုမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်း ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်ဖြစ်သည်။ ဤဘာသာရပ်သည် မသေချာသော ညီမျှခြင်းများ သို့မဟုတ် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို (indeterminate (Diophantine) equations) လေ့လာခြင်းမှတစ်ဆင့် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုများကို ဒိုင်အိုဖန်တပ်စ်၊ ဗြဟ္မဂုတ္တ နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၎င်း၏ Disquisitiones Arithmeticae စာအုပ်ဖြင့် ဤနယ်ပယ်ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူသည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ၏ ခေတ်သစ်သင်္ချာကို (modern mathematics of congruences) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ * ဂျီဩမေတြီ (Geometry) - "မြေတိုင်းတာခြင်း" (earth measurement) အဖြစ် စတင်ခဲ့သော ဂျီဩမေတြီသည် ဂရိလူမျိုးများလက်အောက်တွင် ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခု (deductive science) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၎င်း၏ အထွတ်အထိပ်မှာ ယူကလစ်ဒ်၏ Elements စာအုပ်ဖြစ်ပြီး နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ဤဘာသာရပ်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို (algebraic equations) ဂျီဩမေတြီ မျဉ်းကွေးများတွင် (geometric curves) အသုံးချခြင်းဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (Analytic geometry) ကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ ယင်းက ဂျီဩမေတြီကို ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများပေါ်တွင် (coordinate axes) ပုံဖော်နိုင်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တော်လှန်ပြောင်းလဲမှုတစ်ခုကို တွေ့ကြုံခဲ့ရသည်။ နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး နှင့် ယာနို့စ် ဘိုလိုင် ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို (Non-Euclidean geometry) တိုးတက်စေခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ယူကလစ်ဒ်၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုကို (parallel postulate) ဖယ်ရှားလိုက်လျှင်ပင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ဂျီဩမေတြီများ (consistent geometries) တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို ပြသခြင်းဖြင့် ဤသို့ တိုးတက်စေခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် ကွေးညွှတ်နေသော မက်ထရစ် ရပ်ဝန်းများကို (curved metric spaces) အလွန်ယေဘုယျကျစွာ လေ့လာမှုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုကို ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီဟု (Riemannian geometry) ခေါ်သည်။ ယင်းသည် နောက်ပိုင်းတွင် ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (General Relativity) ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒသီအိုရီများအတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) - အက္ခရာသင်္ချာသည် သမိုင်းဆိုင်ရာ ကျယ်ပြန့်သော အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ စကားပြောဟန် (rhetorical)၊ အတိုကောက်ဟန် (syncopated) နှင့် သင်္ကေတဟန် (symbolic) တို့ဖြစ်သည်။ စကားပြောဟန်သည် စကားလုံးများဖြင့်သာ အပြည့်အဝရေးသားခြင်း ဖြစ်သည်။ အတိုကောက်ဟန်သည် အတိုကောက်အချို့ကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတဟန်သည် အက္ခရာများနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများကို အသုံးပြုသော ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်း ဖြစ်သည်။ ဘေဘီလုံနှင့် အီဂျစ်လူမျိုးများသည် အခြေခံ မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများနှင့် (elementary linear equations) နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို (quadratic equations) ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ဉာဏ်သစ်သွေးသစ်ခေတ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို နှင့် လူဒိုဗီကို ဖာရာရီ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်း (cubic equation) နှင့် စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်း (quartic equation) တို့အတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေများကို (algebraic solutions) ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် စကစ်ပီယွန် ဒယ်လ် ဖဲရိုး နှင့် နီကိုလို ဖွန်တာနာ တာတာဂလီယာ တို့၏ တတိယထပ် အဖြေကို ကနဦး ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အက္ခရာသင်္ချာသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ကို လေ့လာခြင်းမှ သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများကို (abstract structures) လေ့လာခြင်းသို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ ၏ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်၊<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1}}</ref> ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် ၏ ဖလှယ်၍မရသော ကွာတာနီယွန်များ (non-commutative quaternions) ကို တီထွင်မှုနှင့် ဂျော့ချ် ဘူးလ် ၏ ယုတ္တိဗေဒ အက္ခရာသင်္ချာတို့နှင့်အတူ (algebra of logic) အက္ခရာသင်္ချာသည် ရိုးရာကိန်းများနှင့် အမှီအခိုကင်းသော လေ့လာမှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် တိကျသော နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်း နိယာမများဖြင့် (laws of combination) သတ်မှတ်ထားသော သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ နှင့် ကဲကုလပ် (Analysis and Calculus) - ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပမာဏများ (continuous magnitudes)၊ စုဆုံမှတ်များ (limits) နှင့် အနန္တ လုပ်ငန်းစဉ်များကို (infinite processes) ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းသော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲ ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အစောဆုံး မူလအစမှာ ဂရိလူမျိုးများ၏ "ကုန်စင်အောင်လုပ်ခြင်း နည်းလမ်း" (method of exhaustion) တွင် တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ကနိုင်းဒပ်စ်မှ ယူဒေါက်စပ်စ် က သဘောတရားရေးရာအရ တီထွင်ခဲ့ပြီး အာခီမီးဒီးစ် က ဧရိယာများနှင့် ထုထည်များကို ရှာဖွေရာတွင် စနစ်တကျ အသုံးချခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် တို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများဆိုင်ရာ (infinitesimals) သဘောတရားများကို စုစည်း၍ ကဲကုလပ် (Calculus) ကို သီးခြားစီ တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များကို]] (derivatives) ရှာဖွေရန် ယေဘုယျ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို (algorithms) ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ထို့ပြင် ဧရိယာများ သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ်များကို (integrals) ရှာဖွေရန်အတွက်လည်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို "ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်း" (arithmetized) ခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ၎င်းကို ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ်အပေါ် (geometric intuition) မှီခိုနေရခြင်းမှ ဖယ်ရှားပေးခဲ့သည်။ ထို့နောက် စုဆုံမှတ်များ၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) နှင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ၏]] (real numbers) တိကျသေချာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအပေါ် အခြေခံသည့် တိကျသေချာသော အခြေခံအုတ်မြစ်ပေါ်တွင် (rigorous foundation) တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) - ကနဦးတွင် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းအဖြစ် (analysis situs) ပေါ်ထွက်လာသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]သည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းပုံများ၏ (spatial configurations) မွေးရာပါ အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ အသွင်အပြင်များကို (qualitative aspects) လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ဤအသွင်အပြင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော တစ်-တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများအောက်တွင် (continuous one-to-one transformations) မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို လူအများက "ရာဘာချပ် ဂျီဩမေတြီ" ဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိကြသည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး သည် ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ သို့မဟုတ် ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (combinatorial topology) စတင်တည်ထောင်သူဟု ဆိုနိုင်သည်။ သူသည် ပုံသဏ္ဌာန်များကို [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများအဖြစ်]] (manifolds) ရှုမြင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်နေမှုကို လေ့လာခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) အတွက် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပတ်ဝန်းကျင်များကြားရှိ (neighborhoods of elements) ဆက်သွယ်ချက်များအပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝအခြေခံ၍ သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်းများကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ * ဖြစ်တန်စွမ်း နှင့် အသုံးချ သင်္ချာ (Probability and Applied Mathematics) - [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်း]] သီအိုရီ (probability theory) သည် ၁၇ ရာစုတွင် ဘလေ့စ် ပက်စ်ကယ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့ကြား ကံစမ်းကစားနည်းများနှင့် (games of chance) ပတ်သက်၍ စာပေးစာယူပြုလုပ်ရာမှ စတင်ခဲ့သည်။ ၎င်းကို ၁၉ ရာစု အစောပိုင်းတွင် ပီယား ဆိုင်မွန် လာပလေ့စ် က အဓိကကျသော သိပ္ပံနည်းကျ ကိရိယာတစ်ခုအဖြစ် စနစ်တကျ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစုတွင် အသုံးချ သင်္ချာ (Applied mathematics) သည် ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory)၊ ဆိုက်ဘာနက်တစ်နှင့် (cybernetics) ကွန်ပျူတာသိပ္ပံကဲ့သို့သော (computer science) နယ်ပယ်များသို့ အကြီးအကျယ် ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သည်။ ၎င်းကို ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း နှင့် အလန် ကျူးရင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့ကြသည်။ ကွန်ပျူတာများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနကို အခြေခံမှစ၍ ပြောင်းလဲပစ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းတွင် (numerical analysis) အထောက်အကူပြုခဲ့ပြီး နောက်ဆုံးတွင် အရောင်လေးမျိုး ယူဆချက်ကဲ့သို့သော (Four-Color Conjecture) ရှုပ်ထွေးသည့် သင်္ချာသီအိုရီများကို သက်သေပြရန်အတွက် လိုအပ်သော ကြီးမားလှသည့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စွမ်းအားကို (computational power) ထောက်ပံ့ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား (References) == <references /> [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ပင်မ အကြောင်းအရာ ဆောင်းပါးများ]] ai1q6rys8noucir3kbaqclx1dhpe910 1049494 1049492 2026-08-20T02:03:14Z Mkant00 135890 /* ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization) */ 1049494 wikitext text/x-wiki [[File:Euclid.jpg|right|thumb|220px|ဘီစီအီး ၃ ရာစုမှ ဂရိ သင်္ချာပညာရှင် ယူကလစ် (ကွန်ပါထောက်တံ ကိုင်ထားသူ) ကို ပန်းချီဆရာ ရာဖယ် က ၎င်း၏ "အေသင်သားတို့ ကျောင်းတော်" အမည်ရ နံရံဆေးရေး ပန်းချီကားကြီးတွင် စိတ်ကူးပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်၏ ပုံမှာ မည်သည့်မီဒီယာတွင်မှ မကျန်ရစ်ဘဲ ဤသရုပ်ဖော်ချက်သည် ပုံဖော်သူ အနုပညာရှင်၏ စိတ်ကူးဉာဏ် ကွန့်မြူးချက်သာ ဖြစ်သည်။]] '''အသိပညာနှင့် စူးစမ်းလေ့လာခြင်း''' ဟု အနက်ဖွင့်ဆိုနိုင်သော ရှေးဂရိဝေါဟာရ μάθημα (máthēma) မှဆင်းသက်လာသည့် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို မြန်မာဘာသာစကားဖြင့် "ရေတွက်ခြင်း" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ရှေးပါဠိဝေါဟာရမှတစ်ဆင့် "သင်္ချာ" ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် သင်္ချာ၏ သဘောသဘာဝနှင့် ပတ်သက်၍ ပုဂ္ဂိုလ်ကျော်များက ရှုထောင့်အမျိုးမျိုးဖြင့် ဖွင့်ဆိုခဲ့ကြသည်။ စွယ်စုံရပညာရှင် ဂယ်လီလီယို (Galileo) က သဘာဝတရားကို ကျမ်းတစ်စောင်ဟု တင်စားခဲ့ပြီး ၎င်းကျမ်းကို သင်္ချာဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားထားကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="Machamer2014">{{Citation |last=Machamer |first=Peter |year=2014 |title=Galileo Galilei |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=CSLI, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/galileo/ |edition=Winter 2014}}</ref> သင်္ချာပညာရှင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) က သင်္ချာကို သိပ္ပံပညာရပ်များ၏ ဘုရင်မအဖြစ် တင်စားခဲ့သည်။<ref name="Beiler1964">{{citation |last=Beiler |first=Albert H. |title=Recreations in the Theory of Numbers (Dover Recreational Math) |publisher=Dover Publications |place=Mineola, NY |edition=2nd |year=1964 |isbn=978-0486210964 |page=1}}</ref> ထို့အပြင် ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) က သင်္ချာသည် မလွှဲမသွေဖြစ်ရမည့် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်များကို ကောက်ချက်ချသော သိပ္ပံပညာရပ်ဖြစ်ကြောင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။<ref name="Peirce1881">{{Citation |last=Peirce |first=Benjamin |title=Linear Associative Algebra |journal=American Journal of Mathematics |volume=4 |issue=1 |year=1881 |pages=97-229 |doi=10.2307/2369153 |url=http://www.jstor.org/stable/2369153 |publisher=The Johns Hopkins University Press}}</ref> ခေတ်ပြိုင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် သက်သေပြချက် (proof) ဖြင့် စစ်ဆေးအတည်ပြုနိုင်သော သရုပ်မဲ့ သဘောတရားများ (abstract concepts) နှင့် ပတ်သက်သည့် ဖော်ပြချက်များ (statements) ကို ဖော်ထုတ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို ကိန်းများ (numbers)၊ ပမာဏများ (magnitudes) နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်များ (forms) ဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခုအဖြစ်သာ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံအကျဆုံး မူလအစသည် သမိုင်းမတင်မီခေတ် လူသားတို့၏ ကိန်းနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တို့တွင်ရှိသော ဆင်တူညီမှုများကို တဖြည်းဖြည်း သတိပြုမိလာခြင်းမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုနှင့် အများအပြားကဲ့သို့သော ရိုးရှင်းသည့် ခြားနားချက်များကို သိမြင်မှတ်မိခြင်းမှသည် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ဆိုသည့် သရုပ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (abstract property) အထိ ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ အလားတူပင် ရက်ကန်းရက်ခြင်း၊ အိုးလုပ်ခြင်းနှင့် ခြင်းတောင်းရက်လုပ်ခြင်းတို့တွင် တွေ့ရသော ရှေးခေတ်လူသားတို့၏ ဒီဇိုင်းများသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ၊ ထပ်တူညီမှု (congruence) နှင့် အချိုးညီမှု (symmetry) တို့အတွက် အခြေခံအလေးထားမှုကို ပြသနေပြီး ယင်းက ဂျီဩမေတြီ (geometry) အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည်။ အစောပိုင်း သင်္ချာစနစ်များသည် အတွေ့အကြုံနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုအပေါ်တွင် များစွာ အခြေခံထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှေးခေတ် အီဂျစ်တွင် ဂျီဩမေတြီသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် စိုက်ပျိုးမြေတိုင်းတာခြင်းအတွက် ကိရိယာတစ်ခုအနေဖြင့် အဓိက တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် နိုင်းမြစ်၏ နှစ်စဉ်ရေကြီးမှုများကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ရှေးခေတ် ဘေဘီလုံ သင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းများအပေါ် များစွာအခြေခံပြီး အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများ (algorithms)၊ ဇယားများနှင့် ညီမျှခြင်းများ (equations) ကို ခန့်မှန်းခြေ ဖြေရှင်းခြင်းတို့အပေါ် အာရုံစိုက်ခဲ့သည်။ ချက်ချင်း အသုံးချရန်ထက် ဉာဏ်ရည်ပိုင်းဆိုင်ရာ သိချင်စိတ်ပြင်းပြမှုက တွန်းအားပေးသည့် ပုံစံတကျ (formalized) ပြီး ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ် (deductive science) တစ်ခုအနေဖြင့် သင်္ချာသည် ရှေးခေတ် ဂရိလူမျိုးများနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ သေးလ် (Thales) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် ဤဘာသာရပ်ကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ ဖွဲ့စည်းမှုဆီသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့သည်ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ သူတို့သည် အခြေခံမူများမှတစ်ဆင့် သီအိုရမ်များ (theorems) ကို သင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြသည့် အစောပိုင်း အစဉ်အလာများကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာ ကြာလာသောအခါ သင်္ချာသည် တည်ဆောက်ပုံ (structure) နှင့် သရုပ်မဲ့ ယုတ္တိဗေဒ (abstract logic) တို့၏ ကျယ်ပြန့်ပြီး အထူးပြုလွန်းသည့်အပြင် စည်းလုံးညီညွတ်သော ဘာသာစကားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြာထွက်လာခဲ့သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ခေတ်သစ် တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုများ (History and Modern Developments) == === ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures) === ဆယ့်ကိုးရာစုသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တွင် တော်လှန်ရေးတစ်ရပ်ကို မြင်တွေ့ခဲ့ရပြီး ၎င်းကို တင်းကျပ်သော ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီ (Euclidean geometry) မူဘောင်မှ အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဂျီဩမေတြီစနစ်များ၏ ကျယ်ပြန့်သော စုစည်းမှုအဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းပေးခဲ့သည်။ ဤစနစ်များ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းမှုသည် ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီကို တောင့်တင်းသော ရွေ့လျားမှု အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (rigid motion transformations) အောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariants) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းကို သုည ကွေးညွှတ်မှု (zero curvature) နှင့် <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော မက်ထရစ် (metric) တို့ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည်။ ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) တွင် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry) နှင့် အဲလစ်ပတစ် ဂျီဩမေတြီ (elliptic geometry) သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီ (spherical geometry) တို့ ပါဝင်သည်။ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အနုတ် ကွေးညွှတ်မှု (constant negative curvature) ရှိသည်။ အဲလစ်ပတစ် သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အပေါင်း ကွေးညွှတ်မှု (constant positive curvature) ရှိသည်။ အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (affine geometry) သည် ပြိုင်တူဖြစ်ခြင်း (parallelism) နှင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင်ရှိခြင်း (collinearity) တို့ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) အပေါ် အာရုံစိုက်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (projective geometry) သည် နှစ်ထပ်အချိုး (cross-ratio) နှင့် ဒွန်တွဲမှု (duality) ကဲ့သို့သော ပရိုဂျက်တစ်ဖြစ်ခြင်းများအောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ဗဟိုပြုသည့် လွှမ်းခြုံနိုင်သော မူဘောင်တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ (Riemannian geometry) သည် ပြောင်းလဲနိုင်သော ကွေးညွှတ်မှု (variable curvature) နှင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) <math>ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dx_i\,dx_j</math> တို့ဖြင့် အုပ်ချုပ်ထားသော ယေဘုယျပြုထားသည့် <math>n</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|တိုင်းတာမှု]]ရှိသော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကို (<math>n</math>-dimensional manifolds) လွှမ်းခြုံထားသည်။ ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီသည် အက်ခိုး ပေါ်လီတက်ကနစ် (École Polytechnique) ၌ ဂတ်စပတ် မွန်ချ် (Gaspard Monge) ကို ဗဟိုပြုသော အစောပိုင်း ၁၉ ရာစု ပြင်သစ်ကျောင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ မွန်ချ်၏ ကျောင်းသားများသည် ဤနယ်ပယ်ကို လမ်းကြောင်းမျိုးစုံသို့ ချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် ဒူပင်း (Charles Dupin) သည် မျက်နှာပြင်များဆိုင်ရာ သီအိုရီကို (theory of surfaces) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဆိုက်ကလိုက် (cyclide) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ သီအိုဒို အိုလီဗီယာ (Théodore Olivier) သည် သင်ကြားရေးအတွက် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဂျီဩမေတြီ ကြိုးမော်ဒယ်များကို (three-dimensional geometric string models) ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခဲ့သည်။ ချားလ်စ်-ဂျူးလ်စ် ဘရီယန်ချွန် (Charles-Jules Brianchon) သည် ပက်စ်ကယ် (Pascal) ၏ ဆန်းကြယ်သော ဆဋ္ဌဂံ သီအိုရမ်အတွက် (Pascal’s mystic hexagram theorem) ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲ (projective dual) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် "အမှတ်" (point) နှင့် "မျဉ်း" (line) ဟူသော သဘောတရားများကို အချင်းချင်းဖလှယ်လိုက်သောအခါတွင် ပြင်ညီ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီရှိ သီအိုရမ်များသည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ ယန်-ဗစ်တာ ပွန်စလတ် (Jean-Victor Poncelet) သည် ၎င်း၏ ၁၈၂၂ ခုနှစ်ထုတ် Traité des propriétés projectives des figures စာအုပ်တွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီကို သီးခြားလွတ်လပ်သော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) မူဝါဒနှင့် အနန္တအမှတ်များ (ideal points) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ စက်ဝိုင်းအားလုံးက မျှဝေပိုင်ဆိုင်ထားသော အနန္တရှိ ကွန်ဂျူဂိတ် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်]] စက်ဝိုင်းအမှတ်များ (conjugate imaginary circular points) နှစ်ခုကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယင်းအမှတ်များကို <math>I</math> နှင့် <math>J</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ မိုက်ကယ် ရှားလ်စ် (Michel Chasles) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်ရှိ အမှတ်လေးမှတ်၏ နှစ်ထပ်အချိုးကို (cross-ratio) အလေးပေးဖော်ပြခဲ့ပြီး ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ :<math>\frac{c - a}{c - b} : \frac{d - a}{d - b}</math> သူသည် ဤနှစ်ထပ်အချိုးသည် ပရိုဂျက်တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (projective transformations) အောက်တွင် ပကတိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိကြောင်းကို (invariant) သက်သေပြခဲ့သည်။ ပေါင်းစပ် မက်ထရစ် ဖန်ရှင် ဂျီဩမေတြီ (synthetic metric geometry) တွင် ဂျက်ကော့ဘ် ရှတိုင်းနား (Jakob Steiner) သည် ယူကလစ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံများအားလုံးကို မျဉ်းဖြောင့်တံတစ်ခုနှင့် (straightedge) ဗဟိုကို (center) ရှင်းလင်းစွာပေးထားသော အထိုင်စက်ဝိုင်းတစ်ခုတည်းကိုသာ (single fixed circle) အသုံးပြု၍ အပြီးသတ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် တတိယထပ်ကိန်း မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် နှစ်ဆယ့်ခုနစ်ကြောင်းကိုလည်း (twenty-seven straight lines on a cubic surface) လေ့လာခဲ့ပြီး ထောင့်ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းဖြစ်သည့် (angle-preserving transformation) ပြောင်းပြန်လှန် ဂျီဩမေတြီ (inversive geometry) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် အမှတ် <math>P</math> နှင့် <math>P'</math> တို့သည် အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိပြီး ဗဟို <math>O</math> ၌ရှိသော စက်ဝိုင်းတစ်ခုနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အချင်းချင်း ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြသည် (inverse)။ ၎င်းတို့သည် <math>(OP)(OP') = r^2</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို ဂျူးလီးယပ်စ် ပလွတ်ကာ (Julius Plücker) က ပြန်လည်အသက်ဝင်စေခဲ့ပြီး သူသည် ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အတိုကောက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို (abridged notation) တီထွင်ခဲ့သည်။ ပလွတ်ကာ၊ ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ် (August Ferdinand Möbius)၊ ကားလ် ဝီလ်ဟမ် ဖွိုင်ယာဘတ် (Karl Wilhelm Feuerbach) နှင့် အက်တီယန် ဘိုဘီလီယာ (Étienne Bobillier) တို့သည် တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ (homogeneous coordinates) ကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထိုကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် <math>t = 0</math> သည် အနန္တရှိ မျဉ်းကို (line at infinity) ကိုယ်စားပြုသည်။ ပလွတ်ကာသည် မျဉ်း ကိုဩဒိနိတ်များ (line coordinates) ကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် <math>(u, v, w)</math> ဖြစ်ကြပြီး မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များဟူသော သဘောတရားကို အမှတ်တစ်ခုကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းများဟူသော ဒွန်တွဲသဘောတရားအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးခဲ့သည်။ ၁၈၃၄ ခုနှစ်တွင် သူသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေး (algebraic curve) တစ်ခု၏ အဆင့် (order) <math>n</math>၊ အတန်းအစား (class) <math>m</math>၊ ဆုံမှတ်များ (nodes) <math>\delta</math>၊ အချွန်မှတ်များ (cusps) <math>\kappa</math>၊ ငြိမ်နေသော ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် အကွေ့မှတ်များ (stationary tangents/inflections) <math>\iota</math> နှင့် ထိမျဉ်းနှစ်ထပ်များ (bitangents) <math>\tau</math> တို့ကို ဆက်စပ်ပေးသော ညီမျှခြင်းများကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ :<math>m = n(n - 1) - 2\delta - 3\kappa \quad \text{and} \quad n = m(m - 1) - 2\tau - 3\iota</math> :<math>\iota = 3n(n - 2) - 6\delta - 8\kappa \quad \text{and} \quad \kappa = 3m(m - 2) - 6\tau - 8\iota</math> ယူကလစ်ဒ်၏ ပဉ္စမမြောက် ကြိုတင်အဆိုကို (Fifth Postulate) သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းမှုသည် ၎င်းမပါဘဲ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (consistent) ရှိသော ဂျီဩမေတြီများ တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို သင်္ချာပညာရှင်များက ပြသနိုင်ခဲ့ချိန်တွင် အဆုံးသတ်သွားခဲ့သည်။ ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ဤအချက်ကို စောစီးစွာကတည်းက သီးသန့် အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော် နီကိုလိုင်း အိုင်ဗန်နိုဗစ်ချ် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) သည် ၁၈၂၉ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) သည် ၁၈၃၂ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ၏ (non-Euclidean hyperbolic geometry) ပထမဆုံး ပုံစံတကျ စနစ်များကို ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်ပေါင်းလဒ်သည် (angle sum) ၁၈၀ ဒီဂရီထက် တိကျစွာ လျော့နည်းသည်။ ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ (Eugenio Beltrami) သည် ဤဂျီဩမေတြီ၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) ၁၈၆၈ ခုနှစ်တွင် ဆူဒိုစက်လုံးမျက်နှာပြင် (pseudosphere) ပေါ်တွင် လက်တွေ့ဖော်ဆောင်ခြင်းဖြင့် သက်သေပြခဲ့သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry) ကို ၁၈၂၇ ခုနှစ်တွင် ဂေါက်စ်က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သူသည် ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian curvature) <math>K</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ကွေးနေသော ကိန်းရှင်ကြားခံ မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) သည် ဒုတိယထပ်ကိန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (quadratic differential form) <math>ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2</math> အပေါ် မူတည်ကြောင်းကို အတည်ပြုခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) ၏ ၁၈၅၄ ခုနှစ် ဟာဘီလီတေးရှင်း ဟောပြောချက်သည် ၎င်းကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိသော မန်နီဖိုးများအထိ (n-dimensional manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် သူ၏ အာလန်ဂါ ပရိုဂရမ် (Erlanger Programm) မှတစ်ဆင့် ဤကွဲပြားနေသော ဂျီဩမေတြီများကို ပေါင်းစပ်ခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီကို တိကျသော အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (transformation groups) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariant properties) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization) === ဆယ့်ကိုးရာစုနှင့် နှစ်ဆယ်ရာစုများအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းမှ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures)၊ တွက်ချက်မှုများ (operations) နှင့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) တို့ကို သရုပ်မဲ့ လေ့လာခြင်းဆီသို့ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်။ ယင်းက [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups)၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းနိုင်ရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1, 7, 13}}</ref> သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာ၏ (symbolic algebra) အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ဂျော့ချ် ပီးကော့ (George Peacock) နှင့် ဩဂတ်စတပ်စ် ဒီ မော်ဂန် (Augustus De Morgan) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ပီးကော့သည် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (arithmetical algebra) သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာမှ ခွဲခြားပြသခဲ့သည်။ ဒီ မော်ဂန်ကမူ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများသည် (operational symbols) အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်းများသာဖြစ်ကြောင်း (arbitrary abstractions) ငြင်းဆိုခဲ့သည်။ ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) သည် ယုတ္တိဗေဒနှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) ဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (algebra of logic) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် စကြဝဠာ အစု (universal set) ကို <math>1</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ဗလာစု (null set) ကို <math>0</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ပေါင်းစပ်စု (union) ကို <math>+</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ကို <math>\times</math> ဖြင့်လည်းကောင်း သတ်မှတ်ပြသခဲ့ပြီး ထပ်တူရပေး နိယာမ (idempotent law) <math>x^2 = x</math> ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များ (noncommutative systems) သည် ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် (William Rowan Hamilton) က မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ နိယာမ]] (commutative law of multiplication) ကို စွန့်လွှတ်ကာ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) ကို တီထွင်လိုက်ချိန်တွင် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ :<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math> :<math>ij = k = -ji, \quad jk = i = -kj, \quad ki = j = -ik</math> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း (Hermann Grassmann) သည် <math>n</math>-တိုင်းတာမှုရှိသော မျဉ်းဖြောင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (linear vector spaces) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ဟာမီလ်တန်-ကေးလီ သီအိုရမ်ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ဂျိမ်းစ် ဂျိုးဆက် ဆေးလ်ဗက်စတာ (James Joseph Sylvester) သည် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရီ (invariant theory) ကို မြှင့်တင်ပေးခဲ့သည်။ ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) နှင့် ချားလ်စ် ဆန်ဒါးစ် ပီးယားစ် (Charles Sanders Peirce) တို့သည် မျဉ်းဖြောင့် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] အက္ခရာသင်္ချာများ (linear associative algebras) ကို ဆက်လက် အမျိုးအစားခွဲခြားခဲ့ကြသည်။ ယင်း၏ အထွတ်အထိပ်ရလဒ်အနေဖြင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers)၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) နှင့် ကွာတာနီယွန်များသည်သာလျှင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ကိန်းစစ် ဖက်စပ်ရ အစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း သီအိုရမ်ကို (classification theorem) ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် (Ferdinand Georg Frobenius) က ၁၈၇၇ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ စီ အက်စ် ပီးယားစ်က ၁၈၈၁ ခုနှစ်တွင် သီးခြားစီလည်းကောင်း ပုံစံတကျ အတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အုပ်စုများ၊ ကွင်းများနှင့် ဖီးလ်ဒ်များကို သဘောတရားအဖြစ် ဖွဲ့စည်းခြင်းက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) ကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အချိုးညီမှုများနှင့် (symmetries) ချိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ကိန်းရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရရန်မှာ ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) အုပ်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း သူက သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=14}}</ref> ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) သည် ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓ]]ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique prime factorization) ကို ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]]ရင်းများ (algebraic integers) ၏ ကွင်းများတွင် အိုင်ဒီးလ်များကို (ideals) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=7}}</ref> ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် ဂျေ အိတ်ချ် အမ် ဝက်ဒါဘန်း (J. H. M. Wedderburn) သည် ဆီမီးရိုးရှင်းသော အက္ခရာသင်္ချာများအတွက် (semisimple algebras) တည်ဆောက်ပုံ သီအိုရမ်များကို (structure theorems) ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အန်းစ် ရှတိုင်းနစ်ဇ် (Ernst Steinitz) သည် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) ကို နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=13}}</ref> အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) သည် အစဉ်လိုက်တိုး ချိတ်တန်း အခြေအနေများ (ascending chain conditions) ကို အသုံးပြု၍ နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော ကွင်းသီအိုရီ (axiomatic ring theory) ကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=15}}</ref> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ဂေါ့လော့ ဖရေဂါ (Gottlob Frege) နှင့် ဂျူဆက်ပီ ပီယာနို (Giuseppe Peano) တို့က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဖရေဂါသည် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ယုတ္တိဗေဒမှ ဆင်းသက်ရယူရန် ကြိုးစားခဲ့ပြီး ပီယာနိုသည် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) အတွက် နဂိုမှန်အဆို အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ - တိကျသေချာမှု၊ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များ၊ နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Analysis: Rigor, Real and Complex Variables, and Measure Theory) === ကဲကုလပ် (calculus) သည် ၁၉ ရာစုတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များမှ တိကျသေချာသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (rigorous mathematical analysis) သို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ ဤအပြောင်းအလဲသည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) နှင့် စုဆုံမှတ်များကို (limits) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများကို (logical circularity) ဖယ်ရှားရန် လိုအပ်ခြင်းကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် သင်္ချာပညာရှင် ငါးဦးသည် ကိန်းစစ်များအတွက် သီးသန့် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် မေရေး (Charles Méray)၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass)၊ ဟိုင်းနရစ် အက်ဒ်ဝပ် ဟိုင်းနား (Heinrich Eduard Heine) နှင့် ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) တို့သည် ကိန်းစစ်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏]] စုဆုံ ကိန်းစဉ်များ (convergent sequences of rational numbers) သို့မဟုတ် အခြေခံ ကိန်းစဉ်များကို (fundamental sequences) အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်းသည် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းကို (Dedekind Cut) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ သူသည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို]] (irrationalities) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းအားလုံးကို ဘုံမပါသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (disjoint subsets) နှစ်ခုအဖြစ် အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို (complex analysis) အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) က စနစ်တကျ တိုးတက်စေခဲ့သည်။ သူသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများကို (Cauchy-Riemann differential equations) ဆင်းသက်ရယူခဲ့သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများမှာ <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် သူသည် အကြွင်း ကဲကုလပ်နှင့်အတူ (residue calculus) ကော်ချီ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ်ကို (Integral Theorem) <math>\oint f(z)\,dz = 0</math> သက်သေပြခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် တန်ဖိုးများစွာရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (multivalued functions) တစ်ပြေးညီဖြစ်စေရန် (uniformize) ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များမှတစ်ဆင့် (Riemann surfaces) တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်နည်းတစ်ခုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် ဇီတာ ဖန်ရှင် (zeta function) <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}</math> ၏ သုညမှတ်များနှင့် ပတ်သက်သော ရီးမန်း ယူဆချက်ကိုလည်း (Hypothesis) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်သည် ဤဖီးလ်ဒ်ကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆက်လက်တည်ရှိခြင်းတို့မှတစ်ဆင့် (analytic continuation) တင်းကျပ်စွာ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီတို့သည် (measure theory) အီမီးလ် ဘိုရဲလ် (Émile Borel) မှတစ်ဆင့် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ သူသည် ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှုကို (countable additivity) အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) ပေါ်တွင် အတိုင်းအတာ သီအိုရီကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည်လည်း ဤနယ်ပယ်ကို တိုးတက်စေခဲ့ပြီး သူသည် ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်ကို (Lebesgue integral) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ လီဘက်ဂ်သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ထက် ပုံရိပ်အစုကို (range) ပိုမိုသေးငယ်စွာ ထပ်မံပိုင်းခြားခြင်းအားဖြင့် အလွန်အမင်း [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များကို]] (discontinuous functions) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) ရှိစေခဲ့သည်။ ယင်းက [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်|ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်ကို]] (Fundamental Theorem of Calculus) ချဲ့ထွင်ပေးခဲ့သည်။ === တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Topology and Functional Analysis) === [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) သည် နှစ်ဆယ်ရာစု သင်္ချာတွင် အဓိကကျသော ပေါင်းစပ်ပေးသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) သည် ၁၈၉၅ ခုနှစ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (algebraic topology) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ဟိုမိုလော်ဂျီကို (simplicial homology) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဗက်တီ ကိန်းများကို (Betti numbers) အသုံးပြု၍ ဗဟုဂံပုံသေနည်းကို (polyhedral formula) ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာရှိ မန်နီဖိုးများအထိ (manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အခြေခံအုပ်စုကို (fundamental group) လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ပွန်ကာရေး ဟိုမိုလော်ဂျီ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Poincaré homology sphere) ကို ဖော်ထုတ်မှုသည် ပွန်ကာရေး ယူဆချက်ဆီသို့ (Poincaré conjecture) ဦးတည်စေခဲ့သည်။ အယ်လ် အီး ဂျေ ဘရောင်းဝါး (L. E. J. Brouwer) သည် အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (fixed-point theorem) အပါအဝင် အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရမ်များကို (topological invariance theorems) ဆက်လက် သက်သေပြခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (Point-set topology) မောရစ် ဖရေးရှေး (Maurice Fréchet) နှင့် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ဖရေးရှေးသည် ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို]] (metric spaces) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) နှင့် ခွဲခြားခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများကို (separation axioms) အသုံးပြု၍ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် (topological spaces) နဂိုမှန်အဆို စနစ်ကို (axiomatic system) ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာသည်လည်း (functional analysis) တစ်ပြိုင်နက်တည်း တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများကို (inner product spaces) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) သည် ပြည့်စုံသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို]] (complete normed vector spaces) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ လော်ရင့် ရွှာ့ဇ် (Laurent Schwartz) ၏ ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီသည် (theory of distributions) ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာကဲ့သို့ (Dirac delta) ယေဘုယျပြုထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (generalized functions) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === နှစ်ဆယ်ရာစု ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း - ဘော်ဘာကီ၊ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Twentieth-Century Synthesis: Bourbaki, Category Theory, and Algebraic Geometry) === ၂၀ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဘာသာရပ်သည် သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများ (abstract structures) နှင့် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ (categorical relationships) ကို အလေးပေးခြင်းဖြင့် အရင်ကမရှိဖူးသော ပေါင်းစပ်ညီညွတ်မှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၃၄ ခုနှစ်မှစတင်၍ ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင်များ အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့သည် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ဟူသော ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေထုတ်ဝေလျက် အတွဲများစွာပါဝင်သော Éléments de mathématique (သင်္ချာ၏ အခြေခံများ) ကို ရေးသားပြုစုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ နည်းစနစ်သည် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ နည်းလမ်း (axiomatic method) ကို တင်းကျပ်စွာ လိုက်နာမှုနှင့် ယေဘုယျ တည်ဆောက်ပုံများမှ (general structures) တိကျသော အသုံးချမှုများဆီသို့ (specific applications) ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တိုးတက်မှုကို (logical progression) အလေးပေးခဲ့သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (Category theory) ကို ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကွဲပြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန် ကတ်တဂိုရီများ (categories)၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]] (functors) နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] (natural transformations) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် အွန်ရီ ကာတန် (Henri Cartan) နှင့် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်တို့သည် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို ဖန်တီးရန် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တို့ကို ပေါင်းစပ်ခဲ့ကြသည်။ ဤကာလအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) သည် တော်လှန်ပြောင်းလဲခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ အော်စကာ ဇာရစ်စကီး (Oscar Zariski)၊ ဘီ အယ်လ် ဗန် ဒါ ဗေဒင် (B. L. van der Waerden) နှင့် အန်ဒရေး ဗေးလ် (André Weil) တို့သည် ဤဘာသာရပ်ခွဲကို တိကျသေချာသော [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (rigorous commutative algebra) ဖြင့် အခြေခံချပေးခဲ့ကြသည်။ ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှင့် ၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ယန် လီရေး (Jean Leray)၊ ယန်-ပီယာ ဆဲရ် (Jean-Pierre Serre) နှင့် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) တို့သည် [[အစည်း|အစည်းများ]] (sheaves)၊ စကင်းမ်များ (schemes)၊ တိုပို့စ်များ (topoi) နှင့် အေတဲလ် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (étale cohomology) ဟူသော ဘာသာစကားမှတစ်ဆင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို လုံးဝအသစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဤမူဘောင်သည် ပီယာ ဒေလင်း (Pierre Deligne) အား ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အနက်ရှိုင်းဆုံးသော ဗေးလ် ယူဆချက်များကို သက်သေပြရန် လုပ်ဆောင်နိုင်စေခဲ့သည်။ === ယုတ္တိဗေဒ၊ အခြေခံအုတ်မြစ်များနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Logic, Foundations, and Computational Mathematics) === ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) ၏ အခြေခံဆိုင်ရာ ပြဿနာများ (foundational problems) နှစ်ဆယ့်သုံးခု တင်ပြချက်မှ ကြီးမားစွာ လွှမ်းမိုးမှုခံရသော ၂၀ ရာစုသည် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) နှင့် တွက်ချက်ခြင်း (computation) ဆိုင်ရာ အခြေခံ မေးခွန်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ယုတ္တိဗေဒ (logic) တွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများမှ (logical axioms) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ဆင်းသက်ရယူရန် ဘာထရန် ရပ်ဆဲလ် (Bertrand Russell) နှင့် အဲလ်ဖရက် နော့သ် ဝှိုက်ဟတ် (Alfred North Whitehead) တို့၏ ကြိုးပမ်းမှုများသည် ကာ့တ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ ၁၉၃၁ ခုနှစ် မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (Incompleteness Theorems) ကြောင့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်စေခဲ့သည်။ မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုစနစ်မဆို (consistent formal axiomatic system) အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာကို (basic arithmetic) လုပ်ဆောင်နိုင်သောအခါ ၎င်းသည် ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော အဆိုများကို (undecidable propositions) ပါဝင်စေပြီး ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (own consistency) သက်သေမပြနိုင်ကြောင်း ဂိုဒယ်က ပြသခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်၏ ပထမဆုံး ပြဿနာဖြစ်သော ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) ၏ တိုးတက်မှုသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ဂိုဒယ်က ၎င်း၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) သက်သေပြခဲ့ပြီး ပေါလ် ကိုဟင် (Paul Cohen) က ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် အတင်းအကျပ် ပြောင်းလဲခြင်းနည်းလမ်းကို (method of forcing) အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို (independence) သက်သေပြခဲ့သည်။ တွက်ချက်မှု သီအိုရီ (theory of computation) ကို အလန် ကျူးရင်း (Alan Turing) က ၁၉၃၆ ခုနှစ်တွင် ပုံစံတကျ တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ကျူးရင်းသည် တွက်ချက်ခြင်းအတွက် စကြဝဠာ သဘောတရားရေးရာ မော်ဒယ်ကို (universal theoretical model) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤမော်ဒယ်ကို ကျူးရင်း စက်ဟု (Turing machine) သိကြသည်။ ထို့ပြင် သူသည် ရပ်တန့်ခြင်း ပြဿနာ၏ (halting problem) ဖြေရှင်း၍မရနိုင်စွမ်းကို (insolvability) သက်သေပြခဲ့ပြီး ယင်းက ဟီလ်ဘတ်၏ ဆုံးဖြတ်ချက် ပြဿနာကို (decision problem) ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) သည် အီလက်ထရောနစ် ကွန်ပျူတာ တည်ဆောက်ပုံ (electronic computer architecture)၊ ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory) နှင့် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) ကို ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာကို ဆက်လက်တိုးတက်စေခဲ့သည်။ === မကြာသေးမီ ဆယ်စုနှစ်များအတွင်း နာမည်ကြီး ယူဆချက်များအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း (Resolution of Famous Conjectures in Recent Decades) === နှစ်ဆယ်ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် နှစ်ဆယ့်တစ်ရာစု အစောပိုင်းကာလများကို အဆင့်မြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မူဘောင်များနှင့် (advanced analytical frameworks) ကွန်ပျူတာ အကူအညီများမှတစ်ဆင့် (computer assistance) ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော သမိုင်းဝင် ပြဿနာများအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်းဖြင့် အမှတ်အသားပြုခဲ့သည်။ ၁၈၅၂ ခုနှစ်တွင် စတင်ယူဆခဲ့ပြီးဖြစ်သော အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ် (Four-Color Theorem) သည် ကဲနတ် အက်ပယ်လ် (Kenneth Appel) နှင့် ဝုဖ်ဂန်း ဟာကင် (Wolfgang Haken) တို့က ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရှောင်လွှဲ၍မရသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို (unavoidable configurations) အကဲဖြတ်ရန်အတွက် အားထုတ်ပစ်ခြင်း နည်းလမ်းကို (method of discharging) အသုံးပြုခြင်းသည် ပထမဆုံး အဓိကကျသော ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်အဖြစ် (computer-assisted mathematical proof) မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သည်။ ယင်းကို နောက်ပိုင်းတွင် ရောဘတ်ဆန်၊ ဆန်ဒါးစ်၊ ဆီးမိုး နှင့် သောမတ်စ် တို့က ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပိုမိုရိုးရှင်းလွယ်ကူအောင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် ကော့ခ် ဆော့ဖ်ဝဲလ်ကို အသုံးပြု၍ ဂွန်သီယာ နှင့် ဗာနာ တို့က ပုံစံတကျ စစ်ဆေးအတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (Classification of Finite Simple Groups) သည် ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာသော ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ကြိုးပမ်းမှုအပြီးတွင် ပြီးမြောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဖိုက်-သွန်မဆင် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]]အစဉ် သီအိုရမ်ဖြင့် (Odd-Order Theorem) စတင်ခဲ့ပြီး ဤသီအိုရမ်က မည်သည့် အဆုံးရှိ ရိုးရှင်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite simple group) မဆို ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group)၊ အလှည့်ကျ အုပ်စု (alternating group)၊ လီ-အမျိုးအစား (Lie-type) သို့မဟုတ် ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော အုပ်စုများ (sporadic groups) ၂၆ ခုထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးခဲ့သည်။ နောက်ဆုံး ဆူဒို-ပါးလွှာသော ကွာဟချက်ကို (quasi-thin gap) အက်ရှ်ဘာကာ နှင့် စမစ်သ် တို့က ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပိတ်နိုင်ခဲ့သည်။ ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat’s Last Theorem) ကို နှစ်ပေါင်း ၃၅၀ ကျော်ကြာပြီးနောက် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂါဟတ် ဖရေး (Gerhard Frey) ၏ မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (non-modular elliptic curves) ဖွဲ့စည်းမှုနှင့် ကန် ရီဘတ် (Ken Ribet) ၏ <math>\varepsilon</math>-ယူဆချက် (<math>\varepsilon</math>-conjecture) သက်သေပြချက်တို့ကို အခြေခံ၍ အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) က ပြသခဲ့ရာတွင် ဆီမီး-တည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် (semistable elliptic curves) တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ်ကို တိုက်ရိုက် သက်ရောက်မှုရှိကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ်သည် ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ သူ့ကို ရစ်ချတ် တေလာ (Richard Taylor) က ကူညီပေးခဲ့သည်။ ပွန်ကာရေး ယူဆချက် (Poincaré Conjecture) ကို ဝီလီယံ သာစတန် (William Thurston) ၏ ဂျီဩမေတြီအသွင်ပြောင်းခြင်း ယူဆချက် (Geometrization Conjecture) နှင့် ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (Richard Hamilton) ၏ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ညီမျှခြင်း (Ricci flow equation) <math>\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2 R_{ij}</math> မိတ်ဆက်မှုတို့မှတစ်ဆင့် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Yakovlevich Perelman) သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၃ ခုနှစ်အတွင်း ခွဲစိတ်မှု နည်းပညာများကို (surgery techniques) အသုံးပြု၍ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို (Ricci flow singularities) ကျော်လွှားခြင်းဖြင့် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ === မြန်မာ့ သင်္ချာသမိုင်း (History of Burmese Mathematics) === မြန်မာ့သိပ္ပံပညာနှင့် သင်္ချာသမိုင်းကြောင်းသည် ရှေးခေတ်ကာလများကတည်းက အခြေတကျ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်ထားသော သင်္ချာကျမ်းများအနက် တစ်ခုမှာ ၁၄ ရာစုနှစ်ဦးပိုင်းတွင် ဇင်းမယ်မြို့၌ ရှင်ဉာဏဝိလာသ ရေးသားပြုစုခဲ့သော "သင်္ချာပကာသက" ကျမ်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကျမ်းကို အခြေခံ၍ ခရစ်နှစ် ၁၅၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ပလိပ်ရွာအရှေ့ရှိ မြို့သစ်မြို့နေ ရှင်သီရိမင်္ဂလက "သင်္ချာပကာသကဋီကာ" ကို ထပ်မံပြုစုခဲ့ပြီး ညောင်ကန်ဆရာတော် ရှင်ကဝိန္ဒ၏ တပည့် ရှင်မုနိန္ဒသာရက "သင်္ချာပကာသက စာကိုယ်နိဿယ" ကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဘိုးတော်ဘုရား (ဗဒုံမင်း) လက်ထက် (၁၇၈၂–၁၈၁၉) တွင် အိန္ဒိယနှင့် သီဟိုဠ်တို့မှ ကျမ်းပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို ယူဆောင်လာခဲ့ပြီး မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုစေခဲ့ရာမှ သင်္ချာပညာရပ်သည် ပိုမိုထွန်းကားလာခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော သမိုင်းဝင်အထောက်အထားတစ်ခုမှာ ၁၇၇၄ ခုနှစ်တွင် ပြုစုခဲ့သော "ဂဏန်းသင်္ချာ ပညာဝဍ္ဎနကျမ်း" ဖြစ်သည်။ ဤကျမ်းကို အပိုင်းလေးပိုင်းခွဲခြားထားပြီး တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပုစ္ဆာပေါင်း ၁၇၅ ပုဒ်ကို တွက်နည်းအဖြေများနှင့်တကွ စနစ်တကျ ပြုစုထားသည်။ ပထမပိုင်းတွင် အလေးချိန်၊ အကွာအဝေး၊ ထုထည် (Volume) နှင့် အချိန်နာရီတို့ကို တိုင်းတာသည့် ယူနစ် (Unit) ဆိုင်ရာ ကိန်းသင်္ချာအကြောင်းကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် "ခု" မှစ၍ သုည ၁၄၀ လုံးပါဝင်သော "အသင်္ချေ" တိုင်အောင် ရေတွက်ခေါ်ဝေါ်သည့် နည်းစနစ်များ ပါဝင်သည်။ ဒုတိယပိုင်းတွင် လုပ်ငန်းခွင်သုံး တိုင်းထွာတွက်ချက်နည်းများကို "ဂဏန်းဆယ်ပါး" ခေါင်းစဉ်ဖြင့် ဖော်ပြထားပြီး စပါး၊ ဆန်၊ ရွှေ၊ ငွေ၊ ဆီမီး၊ ရထား၊ သစ်ပင်၊ လှေ၊ သားရေနှင့် မြေစသည့် ကဏ္ဍများ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရွှေကို အဆင့်ဆင့် သန့်စင်ရာတွင် ဇမ္ဗူရဇ်ရွှေကဲ့သို့ အသန့်စင်ဆုံးအဆင့်ရရှိရန် တွက်ချက်မှုများ၊ သစ်ပင်၏ အမြင့်ကို ဂျီဩမေတြီ (Geometry) အသုံးပြု၍ ရှာဖွေခြင်းများနှင့် မြေကွက်များ၏ ဧရိယာ (Area) တွက်ချက်ခြင်းများ ပါဝင်သည်။ တတိယပိုင်းတွင် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic progression)၊ ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric progression)၊ မရေမရာ ညီမျှခြင်း (Indeterminate equation)၊ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (Algebraic equation)၊ ဆခွဲကိန်း (Factor) နှင့် ဘုံသုဉ်းကိန်းရှာဖွေခြင်းစသည့် သင်္ချာနည်းစနစ် ၁၆ မျိုးကို ပုစ္ဆာပေါင်း ၇၆ ပုဒ်ဖြင့် ရှင်းလင်းထားသည်။ စတုတ္ထပိုင်းတွင် ရှေ့ပိုင်းနည်းစနစ်များကို အခြေခံထားသော လက်တွေ့အသုံးချ ပုစ္ဆာ ၃၀ ပုဒ် ပါဝင်သည်။ ဤကျမ်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို လေ့လာခြင်းအားဖြင့် ရှေးခေတ်မြန်မာတို့သည် စက်ဝိုင်း၊ စက်လုံး၊ ထုလုံးနှင့် ထုချွန်များ၏ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ရှာဖွေခြင်းမှစ၍ ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများအထိ အဆင့်မြင့်မားသော သင်္ချာပညာကို လက်တွေ့အသုံးချနိုင်ခဲ့ကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။<ref name="MyoThantTyn">ဒေါက်တာ မျိုးသန့်တင်။ ''ရှေးခေတ် မြန်မာသိပ္ပံကျမ်းများ''။</ref> == သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများ (Areas of Mathematics) == ဤပညာရပ် ကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်းသည် သဘာဝအလျောက် ကွဲပြားသော်လည်း အလွန်အမင်း အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဘာသာရပ်ခွဲများစွာအဖြစ် ပိုင်းခြားသွားခဲ့သည်။ * ဂဏန်းသင်္ချာ နှင့် ကိန်းသီအိုရီ (Arithmetic and Number Theory) - ရှေးခေတ်တွင် လော်ဂျစ်စတစ်နှင့် (logistic) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကြားတွင် တင်းကျပ်သော ခွဲခြားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ လော်ဂျစ်စတစ်သည် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်တွေ့အသုံးချ နည်းစနစ်ဖြစ်သည်။ (practical technique of computation) ဂဏန်းသင်္ချာသည် ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို (properties of numbers) ဒဿနိကဗေဒအရ သို့မဟုတ် သဘောတရားရေးရာအရ လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ကိန်းသီအိုရီ (Number theory) သည် အဆိုပါ ဂဏန်းသင်္ချာမှ ခေတ်သစ် ဆင်းသက်လာသော ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ အစောပိုင်း မှတ်တိုင်များတွင် ဂရိလူမျိုးများ၏ ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း ပါဝင်သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းတွင် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers)၊ ဆပေါင်းကိန်းများ (composite numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်းများ]] (even numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်းများ]] (odd numbers) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းများ (perfect numbers) တို့ ပါဝင်သည်။ အခြားမှတ်တိုင်တစ်ခုမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်း ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်ဖြစ်သည်။ ဤဘာသာရပ်သည် မသေချာသော ညီမျှခြင်းများ သို့မဟုတ် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို (indeterminate (Diophantine) equations) လေ့လာခြင်းမှတစ်ဆင့် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုများကို ဒိုင်အိုဖန်တပ်စ်၊ ဗြဟ္မဂုတ္တ နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၎င်း၏ Disquisitiones Arithmeticae စာအုပ်ဖြင့် ဤနယ်ပယ်ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူသည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ၏ ခေတ်သစ်သင်္ချာကို (modern mathematics of congruences) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ * ဂျီဩမေတြီ (Geometry) - "မြေတိုင်းတာခြင်း" (earth measurement) အဖြစ် စတင်ခဲ့သော ဂျီဩမေတြီသည် ဂရိလူမျိုးများလက်အောက်တွင် ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခု (deductive science) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၎င်း၏ အထွတ်အထိပ်မှာ ယူကလစ်ဒ်၏ Elements စာအုပ်ဖြစ်ပြီး နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ဤဘာသာရပ်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို (algebraic equations) ဂျီဩမေတြီ မျဉ်းကွေးများတွင် (geometric curves) အသုံးချခြင်းဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (Analytic geometry) ကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ ယင်းက ဂျီဩမေတြီကို ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများပေါ်တွင် (coordinate axes) ပုံဖော်နိုင်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တော်လှန်ပြောင်းလဲမှုတစ်ခုကို တွေ့ကြုံခဲ့ရသည်။ နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး နှင့် ယာနို့စ် ဘိုလိုင် ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို (Non-Euclidean geometry) တိုးတက်စေခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ယူကလစ်ဒ်၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုကို (parallel postulate) ဖယ်ရှားလိုက်လျှင်ပင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ဂျီဩမေတြီများ (consistent geometries) တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို ပြသခြင်းဖြင့် ဤသို့ တိုးတက်စေခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် ကွေးညွှတ်နေသော မက်ထရစ် ရပ်ဝန်းများကို (curved metric spaces) အလွန်ယေဘုယျကျစွာ လေ့လာမှုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုကို ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီဟု (Riemannian geometry) ခေါ်သည်။ ယင်းသည် နောက်ပိုင်းတွင် ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (General Relativity) ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒသီအိုရီများအတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) - အက္ခရာသင်္ချာသည် သမိုင်းဆိုင်ရာ ကျယ်ပြန့်သော အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ စကားပြောဟန် (rhetorical)၊ အတိုကောက်ဟန် (syncopated) နှင့် သင်္ကေတဟန် (symbolic) တို့ဖြစ်သည်။ စကားပြောဟန်သည် စကားလုံးများဖြင့်သာ အပြည့်အဝရေးသားခြင်း ဖြစ်သည်။ အတိုကောက်ဟန်သည် အတိုကောက်အချို့ကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတဟန်သည် အက္ခရာများနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများကို အသုံးပြုသော ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်း ဖြစ်သည်။ ဘေဘီလုံနှင့် အီဂျစ်လူမျိုးများသည် အခြေခံ မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများနှင့် (elementary linear equations) နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို (quadratic equations) ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ဉာဏ်သစ်သွေးသစ်ခေတ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို နှင့် လူဒိုဗီကို ဖာရာရီ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်း (cubic equation) နှင့် စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်း (quartic equation) တို့အတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေများကို (algebraic solutions) ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် စကစ်ပီယွန် ဒယ်လ် ဖဲရိုး နှင့် နီကိုလို ဖွန်တာနာ တာတာဂလီယာ တို့၏ တတိယထပ် အဖြေကို ကနဦး ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အက္ခရာသင်္ချာသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ကို လေ့လာခြင်းမှ သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများကို (abstract structures) လေ့လာခြင်းသို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ ၏ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်၊<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1}}</ref> ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် ၏ ဖလှယ်၍မရသော ကွာတာနီယွန်များ (non-commutative quaternions) ကို တီထွင်မှုနှင့် ဂျော့ချ် ဘူးလ် ၏ ယုတ္တိဗေဒ အက္ခရာသင်္ချာတို့နှင့်အတူ (algebra of logic) အက္ခရာသင်္ချာသည် ရိုးရာကိန်းများနှင့် အမှီအခိုကင်းသော လေ့လာမှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် တိကျသော နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်း နိယာမများဖြင့် (laws of combination) သတ်မှတ်ထားသော သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ နှင့် ကဲကုလပ် (Analysis and Calculus) - ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပမာဏများ (continuous magnitudes)၊ စုဆုံမှတ်များ (limits) နှင့် အနန္တ လုပ်ငန်းစဉ်များကို (infinite processes) ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းသော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲ ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အစောဆုံး မူလအစမှာ ဂရိလူမျိုးများ၏ "ကုန်စင်အောင်လုပ်ခြင်း နည်းလမ်း" (method of exhaustion) တွင် တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ကနိုင်းဒပ်စ်မှ ယူဒေါက်စပ်စ် က သဘောတရားရေးရာအရ တီထွင်ခဲ့ပြီး အာခီမီးဒီးစ် က ဧရိယာများနှင့် ထုထည်များကို ရှာဖွေရာတွင် စနစ်တကျ အသုံးချခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် တို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများဆိုင်ရာ (infinitesimals) သဘောတရားများကို စုစည်း၍ ကဲကုလပ် (Calculus) ကို သီးခြားစီ တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များကို]] (derivatives) ရှာဖွေရန် ယေဘုယျ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို (algorithms) ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ထို့ပြင် ဧရိယာများ သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ်များကို (integrals) ရှာဖွေရန်အတွက်လည်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို "ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်း" (arithmetized) ခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ၎င်းကို ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ်အပေါ် (geometric intuition) မှီခိုနေရခြင်းမှ ဖယ်ရှားပေးခဲ့သည်။ ထို့နောက် စုဆုံမှတ်များ၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) နှင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ၏]] (real numbers) တိကျသေချာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအပေါ် အခြေခံသည့် တိကျသေချာသော အခြေခံအုတ်မြစ်ပေါ်တွင် (rigorous foundation) တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) - ကနဦးတွင် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းအဖြစ် (analysis situs) ပေါ်ထွက်လာသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]သည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းပုံများ၏ (spatial configurations) မွေးရာပါ အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ အသွင်အပြင်များကို (qualitative aspects) လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ဤအသွင်အပြင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော တစ်-တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများအောက်တွင် (continuous one-to-one transformations) မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို လူအများက "ရာဘာချပ် ဂျီဩမေတြီ" ဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိကြသည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး သည် ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ သို့မဟုတ် ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (combinatorial topology) စတင်တည်ထောင်သူဟု ဆိုနိုင်သည်။ သူသည် ပုံသဏ္ဌာန်များကို [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများအဖြစ်]] (manifolds) ရှုမြင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်နေမှုကို လေ့လာခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) အတွက် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပတ်ဝန်းကျင်များကြားရှိ (neighborhoods of elements) ဆက်သွယ်ချက်များအပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝအခြေခံ၍ သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်းများကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ * ဖြစ်တန်စွမ်း နှင့် အသုံးချ သင်္ချာ (Probability and Applied Mathematics) - [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်း]] သီအိုရီ (probability theory) သည် ၁၇ ရာစုတွင် ဘလေ့စ် ပက်စ်ကယ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့ကြား ကံစမ်းကစားနည်းများနှင့် (games of chance) ပတ်သက်၍ စာပေးစာယူပြုလုပ်ရာမှ စတင်ခဲ့သည်။ ၎င်းကို ၁၉ ရာစု အစောပိုင်းတွင် ပီယား ဆိုင်မွန် လာပလေ့စ် က အဓိကကျသော သိပ္ပံနည်းကျ ကိရိယာတစ်ခုအဖြစ် စနစ်တကျ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစုတွင် အသုံးချ သင်္ချာ (Applied mathematics) သည် ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory)၊ ဆိုက်ဘာနက်တစ်နှင့် (cybernetics) ကွန်ပျူတာသိပ္ပံကဲ့သို့သော (computer science) နယ်ပယ်များသို့ အကြီးအကျယ် ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သည်။ ၎င်းကို ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း နှင့် အလန် ကျူးရင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့ကြသည်။ ကွန်ပျူတာများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနကို အခြေခံမှစ၍ ပြောင်းလဲပစ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းတွင် (numerical analysis) အထောက်အကူပြုခဲ့ပြီး နောက်ဆုံးတွင် အရောင်လေးမျိုး ယူဆချက်ကဲ့သို့သော (Four-Color Conjecture) ရှုပ်ထွေးသည့် သင်္ချာသီအိုရီများကို သက်သေပြရန်အတွက် လိုအပ်သော ကြီးမားလှသည့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စွမ်းအားကို (computational power) ထောက်ပံ့ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား (References) == <references /> [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ပင်မ အကြောင်းအရာ ဆောင်းပါးများ]] k0gbg9mb5royqgeorwhr8uctfpqcmf3 1049498 1049494 2026-08-20T02:13:18Z Mkant00 135890 /* နှစ်ဆယ်ရာစု ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း - ဘော်ဘာကီ၊ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Twentieth-Century Synthesis: Bourbaki, Category Theory, and Algebraic Geometry) */ 1049498 wikitext text/x-wiki [[File:Euclid.jpg|right|thumb|220px|ဘီစီအီး ၃ ရာစုမှ ဂရိ သင်္ချာပညာရှင် ယူကလစ် (ကွန်ပါထောက်တံ ကိုင်ထားသူ) ကို ပန်းချီဆရာ ရာဖယ် က ၎င်း၏ "အေသင်သားတို့ ကျောင်းတော်" အမည်ရ နံရံဆေးရေး ပန်းချီကားကြီးတွင် စိတ်ကူးပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်၏ ပုံမှာ မည်သည့်မီဒီယာတွင်မှ မကျန်ရစ်ဘဲ ဤသရုပ်ဖော်ချက်သည် ပုံဖော်သူ အနုပညာရှင်၏ စိတ်ကူးဉာဏ် ကွန့်မြူးချက်သာ ဖြစ်သည်။]] '''အသိပညာနှင့် စူးစမ်းလေ့လာခြင်း''' ဟု အနက်ဖွင့်ဆိုနိုင်သော ရှေးဂရိဝေါဟာရ μάθημα (máthēma) မှဆင်းသက်လာသည့် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို မြန်မာဘာသာစကားဖြင့် "ရေတွက်ခြင်း" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ရှေးပါဠိဝေါဟာရမှတစ်ဆင့် "သင်္ချာ" ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် သင်္ချာ၏ သဘောသဘာဝနှင့် ပတ်သက်၍ ပုဂ္ဂိုလ်ကျော်များက ရှုထောင့်အမျိုးမျိုးဖြင့် ဖွင့်ဆိုခဲ့ကြသည်။ စွယ်စုံရပညာရှင် ဂယ်လီလီယို (Galileo) က သဘာဝတရားကို ကျမ်းတစ်စောင်ဟု တင်စားခဲ့ပြီး ၎င်းကျမ်းကို သင်္ချာဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားထားကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="Machamer2014">{{Citation |last=Machamer |first=Peter |year=2014 |title=Galileo Galilei |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=CSLI, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/galileo/ |edition=Winter 2014}}</ref> သင်္ချာပညာရှင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) က သင်္ချာကို သိပ္ပံပညာရပ်များ၏ ဘုရင်မအဖြစ် တင်စားခဲ့သည်။<ref name="Beiler1964">{{citation |last=Beiler |first=Albert H. |title=Recreations in the Theory of Numbers (Dover Recreational Math) |publisher=Dover Publications |place=Mineola, NY |edition=2nd |year=1964 |isbn=978-0486210964 |page=1}}</ref> ထို့အပြင် ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) က သင်္ချာသည် မလွှဲမသွေဖြစ်ရမည့် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်များကို ကောက်ချက်ချသော သိပ္ပံပညာရပ်ဖြစ်ကြောင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။<ref name="Peirce1881">{{Citation |last=Peirce |first=Benjamin |title=Linear Associative Algebra |journal=American Journal of Mathematics |volume=4 |issue=1 |year=1881 |pages=97-229 |doi=10.2307/2369153 |url=http://www.jstor.org/stable/2369153 |publisher=The Johns Hopkins University Press}}</ref> ခေတ်ပြိုင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် သက်သေပြချက် (proof) ဖြင့် စစ်ဆေးအတည်ပြုနိုင်သော သရုပ်မဲ့ သဘောတရားများ (abstract concepts) နှင့် ပတ်သက်သည့် ဖော်ပြချက်များ (statements) ကို ဖော်ထုတ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို ကိန်းများ (numbers)၊ ပမာဏများ (magnitudes) နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်များ (forms) ဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခုအဖြစ်သာ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံအကျဆုံး မူလအစသည် သမိုင်းမတင်မီခေတ် လူသားတို့၏ ကိန်းနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တို့တွင်ရှိသော ဆင်တူညီမှုများကို တဖြည်းဖြည်း သတိပြုမိလာခြင်းမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုနှင့် အများအပြားကဲ့သို့သော ရိုးရှင်းသည့် ခြားနားချက်များကို သိမြင်မှတ်မိခြင်းမှသည် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ဆိုသည့် သရုပ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (abstract property) အထိ ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ အလားတူပင် ရက်ကန်းရက်ခြင်း၊ အိုးလုပ်ခြင်းနှင့် ခြင်းတောင်းရက်လုပ်ခြင်းတို့တွင် တွေ့ရသော ရှေးခေတ်လူသားတို့၏ ဒီဇိုင်းများသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ၊ ထပ်တူညီမှု (congruence) နှင့် အချိုးညီမှု (symmetry) တို့အတွက် အခြေခံအလေးထားမှုကို ပြသနေပြီး ယင်းက ဂျီဩမေတြီ (geometry) အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည်။ အစောပိုင်း သင်္ချာစနစ်များသည် အတွေ့အကြုံနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုအပေါ်တွင် များစွာ အခြေခံထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှေးခေတ် အီဂျစ်တွင် ဂျီဩမေတြီသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် စိုက်ပျိုးမြေတိုင်းတာခြင်းအတွက် ကိရိယာတစ်ခုအနေဖြင့် အဓိက တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် နိုင်းမြစ်၏ နှစ်စဉ်ရေကြီးမှုများကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ရှေးခေတ် ဘေဘီလုံ သင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းများအပေါ် များစွာအခြေခံပြီး အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများ (algorithms)၊ ဇယားများနှင့် ညီမျှခြင်းများ (equations) ကို ခန့်မှန်းခြေ ဖြေရှင်းခြင်းတို့အပေါ် အာရုံစိုက်ခဲ့သည်။ ချက်ချင်း အသုံးချရန်ထက် ဉာဏ်ရည်ပိုင်းဆိုင်ရာ သိချင်စိတ်ပြင်းပြမှုက တွန်းအားပေးသည့် ပုံစံတကျ (formalized) ပြီး ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ် (deductive science) တစ်ခုအနေဖြင့် သင်္ချာသည် ရှေးခေတ် ဂရိလူမျိုးများနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ သေးလ် (Thales) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် ဤဘာသာရပ်ကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ ဖွဲ့စည်းမှုဆီသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့သည်ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ သူတို့သည် အခြေခံမူများမှတစ်ဆင့် သီအိုရမ်များ (theorems) ကို သင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြသည့် အစောပိုင်း အစဉ်အလာများကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာ ကြာလာသောအခါ သင်္ချာသည် တည်ဆောက်ပုံ (structure) နှင့် သရုပ်မဲ့ ယုတ္တိဗေဒ (abstract logic) တို့၏ ကျယ်ပြန့်ပြီး အထူးပြုလွန်းသည့်အပြင် စည်းလုံးညီညွတ်သော ဘာသာစကားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြာထွက်လာခဲ့သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ခေတ်သစ် တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုများ (History and Modern Developments) == === ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures) === ဆယ့်ကိုးရာစုသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တွင် တော်လှန်ရေးတစ်ရပ်ကို မြင်တွေ့ခဲ့ရပြီး ၎င်းကို တင်းကျပ်သော ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီ (Euclidean geometry) မူဘောင်မှ အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဂျီဩမေတြီစနစ်များ၏ ကျယ်ပြန့်သော စုစည်းမှုအဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းပေးခဲ့သည်။ ဤစနစ်များ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းမှုသည် ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီကို တောင့်တင်းသော ရွေ့လျားမှု အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (rigid motion transformations) အောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariants) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းကို သုည ကွေးညွှတ်မှု (zero curvature) နှင့် <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော မက်ထရစ် (metric) တို့ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည်။ ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) တွင် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry) နှင့် အဲလစ်ပတစ် ဂျီဩမေတြီ (elliptic geometry) သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီ (spherical geometry) တို့ ပါဝင်သည်။ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အနုတ် ကွေးညွှတ်မှု (constant negative curvature) ရှိသည်။ အဲလစ်ပတစ် သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အပေါင်း ကွေးညွှတ်မှု (constant positive curvature) ရှိသည်။ အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (affine geometry) သည် ပြိုင်တူဖြစ်ခြင်း (parallelism) နှင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင်ရှိခြင်း (collinearity) တို့ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) အပေါ် အာရုံစိုက်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (projective geometry) သည် နှစ်ထပ်အချိုး (cross-ratio) နှင့် ဒွန်တွဲမှု (duality) ကဲ့သို့သော ပရိုဂျက်တစ်ဖြစ်ခြင်းများအောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ဗဟိုပြုသည့် လွှမ်းခြုံနိုင်သော မူဘောင်တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ (Riemannian geometry) သည် ပြောင်းလဲနိုင်သော ကွေးညွှတ်မှု (variable curvature) နှင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) <math>ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dx_i\,dx_j</math> တို့ဖြင့် အုပ်ချုပ်ထားသော ယေဘုယျပြုထားသည့် <math>n</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|တိုင်းတာမှု]]ရှိသော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကို (<math>n</math>-dimensional manifolds) လွှမ်းခြုံထားသည်။ ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီသည် အက်ခိုး ပေါ်လီတက်ကနစ် (École Polytechnique) ၌ ဂတ်စပတ် မွန်ချ် (Gaspard Monge) ကို ဗဟိုပြုသော အစောပိုင်း ၁၉ ရာစု ပြင်သစ်ကျောင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ မွန်ချ်၏ ကျောင်းသားများသည် ဤနယ်ပယ်ကို လမ်းကြောင်းမျိုးစုံသို့ ချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် ဒူပင်း (Charles Dupin) သည် မျက်နှာပြင်များဆိုင်ရာ သီအိုရီကို (theory of surfaces) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဆိုက်ကလိုက် (cyclide) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ သီအိုဒို အိုလီဗီယာ (Théodore Olivier) သည် သင်ကြားရေးအတွက် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဂျီဩမေတြီ ကြိုးမော်ဒယ်များကို (three-dimensional geometric string models) ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခဲ့သည်။ ချားလ်စ်-ဂျူးလ်စ် ဘရီယန်ချွန် (Charles-Jules Brianchon) သည် ပက်စ်ကယ် (Pascal) ၏ ဆန်းကြယ်သော ဆဋ္ဌဂံ သီအိုရမ်အတွက် (Pascal’s mystic hexagram theorem) ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲ (projective dual) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် "အမှတ်" (point) နှင့် "မျဉ်း" (line) ဟူသော သဘောတရားများကို အချင်းချင်းဖလှယ်လိုက်သောအခါတွင် ပြင်ညီ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီရှိ သီအိုရမ်များသည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ ယန်-ဗစ်တာ ပွန်စလတ် (Jean-Victor Poncelet) သည် ၎င်း၏ ၁၈၂၂ ခုနှစ်ထုတ် Traité des propriétés projectives des figures စာအုပ်တွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီကို သီးခြားလွတ်လပ်သော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) မူဝါဒနှင့် အနန္တအမှတ်များ (ideal points) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ စက်ဝိုင်းအားလုံးက မျှဝေပိုင်ဆိုင်ထားသော အနန္တရှိ ကွန်ဂျူဂိတ် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်]] စက်ဝိုင်းအမှတ်များ (conjugate imaginary circular points) နှစ်ခုကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယင်းအမှတ်များကို <math>I</math> နှင့် <math>J</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ မိုက်ကယ် ရှားလ်စ် (Michel Chasles) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်ရှိ အမှတ်လေးမှတ်၏ နှစ်ထပ်အချိုးကို (cross-ratio) အလေးပေးဖော်ပြခဲ့ပြီး ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ :<math>\frac{c - a}{c - b} : \frac{d - a}{d - b}</math> သူသည် ဤနှစ်ထပ်အချိုးသည် ပရိုဂျက်တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (projective transformations) အောက်တွင် ပကတိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိကြောင်းကို (invariant) သက်သေပြခဲ့သည်။ ပေါင်းစပ် မက်ထရစ် ဖန်ရှင် ဂျီဩမေတြီ (synthetic metric geometry) တွင် ဂျက်ကော့ဘ် ရှတိုင်းနား (Jakob Steiner) သည် ယူကလစ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံများအားလုံးကို မျဉ်းဖြောင့်တံတစ်ခုနှင့် (straightedge) ဗဟိုကို (center) ရှင်းလင်းစွာပေးထားသော အထိုင်စက်ဝိုင်းတစ်ခုတည်းကိုသာ (single fixed circle) အသုံးပြု၍ အပြီးသတ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် တတိယထပ်ကိန်း မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် နှစ်ဆယ့်ခုနစ်ကြောင်းကိုလည်း (twenty-seven straight lines on a cubic surface) လေ့လာခဲ့ပြီး ထောင့်ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းဖြစ်သည့် (angle-preserving transformation) ပြောင်းပြန်လှန် ဂျီဩမေတြီ (inversive geometry) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် အမှတ် <math>P</math> နှင့် <math>P'</math> တို့သည် အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိပြီး ဗဟို <math>O</math> ၌ရှိသော စက်ဝိုင်းတစ်ခုနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အချင်းချင်း ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြသည် (inverse)။ ၎င်းတို့သည် <math>(OP)(OP') = r^2</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို ဂျူးလီးယပ်စ် ပလွတ်ကာ (Julius Plücker) က ပြန်လည်အသက်ဝင်စေခဲ့ပြီး သူသည် ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အတိုကောက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို (abridged notation) တီထွင်ခဲ့သည်။ ပလွတ်ကာ၊ ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ် (August Ferdinand Möbius)၊ ကားလ် ဝီလ်ဟမ် ဖွိုင်ယာဘတ် (Karl Wilhelm Feuerbach) နှင့် အက်တီယန် ဘိုဘီလီယာ (Étienne Bobillier) တို့သည် တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ (homogeneous coordinates) ကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထိုကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် <math>t = 0</math> သည် အနန္တရှိ မျဉ်းကို (line at infinity) ကိုယ်စားပြုသည်။ ပလွတ်ကာသည် မျဉ်း ကိုဩဒိနိတ်များ (line coordinates) ကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် <math>(u, v, w)</math> ဖြစ်ကြပြီး မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များဟူသော သဘောတရားကို အမှတ်တစ်ခုကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းများဟူသော ဒွန်တွဲသဘောတရားအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးခဲ့သည်။ ၁၈၃၄ ခုနှစ်တွင် သူသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေး (algebraic curve) တစ်ခု၏ အဆင့် (order) <math>n</math>၊ အတန်းအစား (class) <math>m</math>၊ ဆုံမှတ်များ (nodes) <math>\delta</math>၊ အချွန်မှတ်များ (cusps) <math>\kappa</math>၊ ငြိမ်နေသော ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် အကွေ့မှတ်များ (stationary tangents/inflections) <math>\iota</math> နှင့် ထိမျဉ်းနှစ်ထပ်များ (bitangents) <math>\tau</math> တို့ကို ဆက်စပ်ပေးသော ညီမျှခြင်းများကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ :<math>m = n(n - 1) - 2\delta - 3\kappa \quad \text{and} \quad n = m(m - 1) - 2\tau - 3\iota</math> :<math>\iota = 3n(n - 2) - 6\delta - 8\kappa \quad \text{and} \quad \kappa = 3m(m - 2) - 6\tau - 8\iota</math> ယူကလစ်ဒ်၏ ပဉ္စမမြောက် ကြိုတင်အဆိုကို (Fifth Postulate) သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းမှုသည် ၎င်းမပါဘဲ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (consistent) ရှိသော ဂျီဩမေတြီများ တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို သင်္ချာပညာရှင်များက ပြသနိုင်ခဲ့ချိန်တွင် အဆုံးသတ်သွားခဲ့သည်။ ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ဤအချက်ကို စောစီးစွာကတည်းက သီးသန့် အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော် နီကိုလိုင်း အိုင်ဗန်နိုဗစ်ချ် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) သည် ၁၈၂၉ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) သည် ၁၈၃၂ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ၏ (non-Euclidean hyperbolic geometry) ပထမဆုံး ပုံစံတကျ စနစ်များကို ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်ပေါင်းလဒ်သည် (angle sum) ၁၈၀ ဒီဂရီထက် တိကျစွာ လျော့နည်းသည်။ ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ (Eugenio Beltrami) သည် ဤဂျီဩမေတြီ၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) ၁၈၆၈ ခုနှစ်တွင် ဆူဒိုစက်လုံးမျက်နှာပြင် (pseudosphere) ပေါ်တွင် လက်တွေ့ဖော်ဆောင်ခြင်းဖြင့် သက်သေပြခဲ့သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry) ကို ၁၈၂၇ ခုနှစ်တွင် ဂေါက်စ်က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သူသည် ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian curvature) <math>K</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ကွေးနေသော ကိန်းရှင်ကြားခံ မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) သည် ဒုတိယထပ်ကိန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (quadratic differential form) <math>ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2</math> အပေါ် မူတည်ကြောင်းကို အတည်ပြုခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) ၏ ၁၈၅၄ ခုနှစ် ဟာဘီလီတေးရှင်း ဟောပြောချက်သည် ၎င်းကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိသော မန်နီဖိုးများအထိ (n-dimensional manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် သူ၏ အာလန်ဂါ ပရိုဂရမ် (Erlanger Programm) မှတစ်ဆင့် ဤကွဲပြားနေသော ဂျီဩမေတြီများကို ပေါင်းစပ်ခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီကို တိကျသော အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (transformation groups) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariant properties) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization) === ဆယ့်ကိုးရာစုနှင့် နှစ်ဆယ်ရာစုများအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းမှ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures)၊ တွက်ချက်မှုများ (operations) နှင့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) တို့ကို သရုပ်မဲ့ လေ့လာခြင်းဆီသို့ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်။ ယင်းက [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups)၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းနိုင်ရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1, 7, 13}}</ref> သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာ၏ (symbolic algebra) အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ဂျော့ချ် ပီးကော့ (George Peacock) နှင့် ဩဂတ်စတပ်စ် ဒီ မော်ဂန် (Augustus De Morgan) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ပီးကော့သည် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (arithmetical algebra) သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာမှ ခွဲခြားပြသခဲ့သည်။ ဒီ မော်ဂန်ကမူ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများသည် (operational symbols) အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်းများသာဖြစ်ကြောင်း (arbitrary abstractions) ငြင်းဆိုခဲ့သည်။ ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) သည် ယုတ္တိဗေဒနှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) ဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (algebra of logic) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် စကြဝဠာ အစု (universal set) ကို <math>1</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ဗလာစု (null set) ကို <math>0</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ပေါင်းစပ်စု (union) ကို <math>+</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ကို <math>\times</math> ဖြင့်လည်းကောင်း သတ်မှတ်ပြသခဲ့ပြီး ထပ်တူရပေး နိယာမ (idempotent law) <math>x^2 = x</math> ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များ (noncommutative systems) သည် ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် (William Rowan Hamilton) က မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ နိယာမ]] (commutative law of multiplication) ကို စွန့်လွှတ်ကာ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) ကို တီထွင်လိုက်ချိန်တွင် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ :<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math> :<math>ij = k = -ji, \quad jk = i = -kj, \quad ki = j = -ik</math> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း (Hermann Grassmann) သည် <math>n</math>-တိုင်းတာမှုရှိသော မျဉ်းဖြောင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (linear vector spaces) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ဟာမီလ်တန်-ကေးလီ သီအိုရမ်ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ဂျိမ်းစ် ဂျိုးဆက် ဆေးလ်ဗက်စတာ (James Joseph Sylvester) သည် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရီ (invariant theory) ကို မြှင့်တင်ပေးခဲ့သည်။ ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) နှင့် ချားလ်စ် ဆန်ဒါးစ် ပီးယားစ် (Charles Sanders Peirce) တို့သည် မျဉ်းဖြောင့် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] အက္ခရာသင်္ချာများ (linear associative algebras) ကို ဆက်လက် အမျိုးအစားခွဲခြားခဲ့ကြသည်။ ယင်း၏ အထွတ်အထိပ်ရလဒ်အနေဖြင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers)၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) နှင့် ကွာတာနီယွန်များသည်သာလျှင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ကိန်းစစ် ဖက်စပ်ရ အစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း သီအိုရမ်ကို (classification theorem) ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် (Ferdinand Georg Frobenius) က ၁၈၇၇ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ စီ အက်စ် ပီးယားစ်က ၁၈၈၁ ခုနှစ်တွင် သီးခြားစီလည်းကောင်း ပုံစံတကျ အတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အုပ်စုများ၊ ကွင်းများနှင့် ဖီးလ်ဒ်များကို သဘောတရားအဖြစ် ဖွဲ့စည်းခြင်းက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) ကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အချိုးညီမှုများနှင့် (symmetries) ချိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ကိန်းရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရရန်မှာ ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) အုပ်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း သူက သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=14}}</ref> ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) သည် ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓ]]ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique prime factorization) ကို ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]]ရင်းများ (algebraic integers) ၏ ကွင်းများတွင် အိုင်ဒီးလ်များကို (ideals) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=7}}</ref> ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် ဂျေ အိတ်ချ် အမ် ဝက်ဒါဘန်း (J. H. M. Wedderburn) သည် ဆီမီးရိုးရှင်းသော အက္ခရာသင်္ချာများအတွက် (semisimple algebras) တည်ဆောက်ပုံ သီအိုရမ်များကို (structure theorems) ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အန်းစ် ရှတိုင်းနစ်ဇ် (Ernst Steinitz) သည် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) ကို နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=13}}</ref> အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) သည် အစဉ်လိုက်တိုး ချိတ်တန်း အခြေအနေများ (ascending chain conditions) ကို အသုံးပြု၍ နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော ကွင်းသီအိုရီ (axiomatic ring theory) ကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=15}}</ref> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ဂေါ့လော့ ဖရေဂါ (Gottlob Frege) နှင့် ဂျူဆက်ပီ ပီယာနို (Giuseppe Peano) တို့က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဖရေဂါသည် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ယုတ္တိဗေဒမှ ဆင်းသက်ရယူရန် ကြိုးစားခဲ့ပြီး ပီယာနိုသည် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) အတွက် နဂိုမှန်အဆို အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ - တိကျသေချာမှု၊ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များ၊ နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Analysis: Rigor, Real and Complex Variables, and Measure Theory) === ကဲကုလပ် (calculus) သည် ၁၉ ရာစုတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များမှ တိကျသေချာသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (rigorous mathematical analysis) သို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ ဤအပြောင်းအလဲသည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) နှင့် စုဆုံမှတ်များကို (limits) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများကို (logical circularity) ဖယ်ရှားရန် လိုအပ်ခြင်းကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် သင်္ချာပညာရှင် ငါးဦးသည် ကိန်းစစ်များအတွက် သီးသန့် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် မေရေး (Charles Méray)၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass)၊ ဟိုင်းနရစ် အက်ဒ်ဝပ် ဟိုင်းနား (Heinrich Eduard Heine) နှင့် ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) တို့သည် ကိန်းစစ်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏]] စုဆုံ ကိန်းစဉ်များ (convergent sequences of rational numbers) သို့မဟုတ် အခြေခံ ကိန်းစဉ်များကို (fundamental sequences) အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်းသည် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းကို (Dedekind Cut) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ သူသည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို]] (irrationalities) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းအားလုံးကို ဘုံမပါသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (disjoint subsets) နှစ်ခုအဖြစ် အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို (complex analysis) အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) က စနစ်တကျ တိုးတက်စေခဲ့သည်။ သူသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများကို (Cauchy-Riemann differential equations) ဆင်းသက်ရယူခဲ့သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများမှာ <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် သူသည် အကြွင်း ကဲကုလပ်နှင့်အတူ (residue calculus) ကော်ချီ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ်ကို (Integral Theorem) <math>\oint f(z)\,dz = 0</math> သက်သေပြခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် တန်ဖိုးများစွာရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (multivalued functions) တစ်ပြေးညီဖြစ်စေရန် (uniformize) ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များမှတစ်ဆင့် (Riemann surfaces) တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်နည်းတစ်ခုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် ဇီတာ ဖန်ရှင် (zeta function) <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}</math> ၏ သုညမှတ်များနှင့် ပတ်သက်သော ရီးမန်း ယူဆချက်ကိုလည်း (Hypothesis) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်သည် ဤဖီးလ်ဒ်ကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆက်လက်တည်ရှိခြင်းတို့မှတစ်ဆင့် (analytic continuation) တင်းကျပ်စွာ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီတို့သည် (measure theory) အီမီးလ် ဘိုရဲလ် (Émile Borel) မှတစ်ဆင့် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ သူသည် ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှုကို (countable additivity) အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) ပေါ်တွင် အတိုင်းအတာ သီအိုရီကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည်လည်း ဤနယ်ပယ်ကို တိုးတက်စေခဲ့ပြီး သူသည် ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်ကို (Lebesgue integral) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ လီဘက်ဂ်သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ထက် ပုံရိပ်အစုကို (range) ပိုမိုသေးငယ်စွာ ထပ်မံပိုင်းခြားခြင်းအားဖြင့် အလွန်အမင်း [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များကို]] (discontinuous functions) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) ရှိစေခဲ့သည်။ ယင်းက [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်|ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်ကို]] (Fundamental Theorem of Calculus) ချဲ့ထွင်ပေးခဲ့သည်။ === တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Topology and Functional Analysis) === [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) သည် နှစ်ဆယ်ရာစု သင်္ချာတွင် အဓိကကျသော ပေါင်းစပ်ပေးသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) သည် ၁၈၉၅ ခုနှစ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (algebraic topology) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ဟိုမိုလော်ဂျီကို (simplicial homology) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဗက်တီ ကိန်းများကို (Betti numbers) အသုံးပြု၍ ဗဟုဂံပုံသေနည်းကို (polyhedral formula) ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာရှိ မန်နီဖိုးများအထိ (manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အခြေခံအုပ်စုကို (fundamental group) လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ပွန်ကာရေး ဟိုမိုလော်ဂျီ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Poincaré homology sphere) ကို ဖော်ထုတ်မှုသည် ပွန်ကာရေး ယူဆချက်ဆီသို့ (Poincaré conjecture) ဦးတည်စေခဲ့သည်။ အယ်လ် အီး ဂျေ ဘရောင်းဝါး (L. E. J. Brouwer) သည် အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (fixed-point theorem) အပါအဝင် အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရမ်များကို (topological invariance theorems) ဆက်လက် သက်သေပြခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (Point-set topology) မောရစ် ဖရေးရှေး (Maurice Fréchet) နှင့် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ဖရေးရှေးသည် ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို]] (metric spaces) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) နှင့် ခွဲခြားခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများကို (separation axioms) အသုံးပြု၍ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် (topological spaces) နဂိုမှန်အဆို စနစ်ကို (axiomatic system) ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာသည်လည်း (functional analysis) တစ်ပြိုင်နက်တည်း တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများကို (inner product spaces) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) သည် ပြည့်စုံသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို]] (complete normed vector spaces) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ လော်ရင့် ရွှာ့ဇ် (Laurent Schwartz) ၏ ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီသည် (theory of distributions) ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာကဲ့သို့ (Dirac delta) ယေဘုယျပြုထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (generalized functions) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === နှစ်ဆယ်ရာစု ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း - ဘော်ဘာကီ၊ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Twentieth-Century Synthesis: Bourbaki, Category Theory, and Algebraic Geometry) === [[File:Weil.jpg|right|thumb|220px|အန်ဒရေး ဗေးလ် (1956)]] [[File:NBourbaki 3.png|right|thumb|220px|ဘော်ဘာကီ ညီလာခံ (1951)]] ၂၀ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဘာသာရပ်သည် သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများ (abstract structures) နှင့် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ (categorical relationships) ကို အလေးပေးခြင်းဖြင့် အရင်ကမရှိဖူးသော ပေါင်းစပ်ညီညွတ်မှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၃၄ ခုနှစ်မှစတင်၍ ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင်များ အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့သည် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ဟူသော ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေထုတ်ဝေလျက် အတွဲများစွာပါဝင်သော Éléments de mathématique (သင်္ချာ၏ အခြေခံများ) ကို ရေးသားပြုစုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ နည်းစနစ်သည် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ နည်းလမ်း (axiomatic method) ကို တင်းကျပ်စွာ လိုက်နာမှုနှင့် ယေဘုယျ တည်ဆောက်ပုံများမှ (general structures) တိကျသော အသုံးချမှုများဆီသို့ (specific applications) ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တိုးတက်မှုကို (logical progression) အလေးပေးခဲ့သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (Category theory) ကို ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကွဲပြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန် ကတ်တဂိုရီများ (categories)၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]] (functors) နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] (natural transformations) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် အွန်ရီ ကာတန် (Henri Cartan) နှင့် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်တို့သည် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို ဖန်တီးရန် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တို့ကို ပေါင်းစပ်ခဲ့ကြသည်။ ဤကာလအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) သည် တော်လှန်ပြောင်းလဲခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ အော်စကာ ဇာရစ်စကီး (Oscar Zariski)၊ ဘီ အယ်လ် ဗန် ဒါ ဗေဒင် (B. L. van der Waerden) နှင့် အန်ဒရေး ဗေးလ် (André Weil) တို့သည် ဤဘာသာရပ်ခွဲကို တိကျသေချာသော [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (rigorous commutative algebra) ဖြင့် အခြေခံချပေးခဲ့ကြသည်။ ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှင့် ၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ယန် လီရေး (Jean Leray)၊ ယန်-ပီယာ ဆဲရ် (Jean-Pierre Serre) နှင့် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) တို့သည် [[အစည်း|အစည်းများ]] (sheaves)၊ စကင်းမ်များ (schemes)၊ တိုပို့စ်များ (topoi) နှင့် အေတဲလ် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (étale cohomology) ဟူသော ဘာသာစကားမှတစ်ဆင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို လုံးဝအသစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဤမူဘောင်သည် ပီယာ ဒေလင်း (Pierre Deligne) အား ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အနက်ရှိုင်းဆုံးသော ဗေးလ် ယူဆချက်များကို သက်သေပြရန် လုပ်ဆောင်နိုင်စေခဲ့သည်။ === ယုတ္တိဗေဒ၊ အခြေခံအုတ်မြစ်များနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Logic, Foundations, and Computational Mathematics) === ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) ၏ အခြေခံဆိုင်ရာ ပြဿနာများ (foundational problems) နှစ်ဆယ့်သုံးခု တင်ပြချက်မှ ကြီးမားစွာ လွှမ်းမိုးမှုခံရသော ၂၀ ရာစုသည် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) နှင့် တွက်ချက်ခြင်း (computation) ဆိုင်ရာ အခြေခံ မေးခွန်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ယုတ္တိဗေဒ (logic) တွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများမှ (logical axioms) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ဆင်းသက်ရယူရန် ဘာထရန် ရပ်ဆဲလ် (Bertrand Russell) နှင့် အဲလ်ဖရက် နော့သ် ဝှိုက်ဟတ် (Alfred North Whitehead) တို့၏ ကြိုးပမ်းမှုများသည် ကာ့တ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ ၁၉၃၁ ခုနှစ် မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (Incompleteness Theorems) ကြောင့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်စေခဲ့သည်။ မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုစနစ်မဆို (consistent formal axiomatic system) အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာကို (basic arithmetic) လုပ်ဆောင်နိုင်သောအခါ ၎င်းသည် ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော အဆိုများကို (undecidable propositions) ပါဝင်စေပြီး ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (own consistency) သက်သေမပြနိုင်ကြောင်း ဂိုဒယ်က ပြသခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်၏ ပထမဆုံး ပြဿနာဖြစ်သော ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) ၏ တိုးတက်မှုသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ဂိုဒယ်က ၎င်း၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) သက်သေပြခဲ့ပြီး ပေါလ် ကိုဟင် (Paul Cohen) က ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် အတင်းအကျပ် ပြောင်းလဲခြင်းနည်းလမ်းကို (method of forcing) အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို (independence) သက်သေပြခဲ့သည်။ တွက်ချက်မှု သီအိုရီ (theory of computation) ကို အလန် ကျူးရင်း (Alan Turing) က ၁၉၃၆ ခုနှစ်တွင် ပုံစံတကျ တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ကျူးရင်းသည် တွက်ချက်ခြင်းအတွက် စကြဝဠာ သဘောတရားရေးရာ မော်ဒယ်ကို (universal theoretical model) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤမော်ဒယ်ကို ကျူးရင်း စက်ဟု (Turing machine) သိကြသည်။ ထို့ပြင် သူသည် ရပ်တန့်ခြင်း ပြဿနာ၏ (halting problem) ဖြေရှင်း၍မရနိုင်စွမ်းကို (insolvability) သက်သေပြခဲ့ပြီး ယင်းက ဟီလ်ဘတ်၏ ဆုံးဖြတ်ချက် ပြဿနာကို (decision problem) ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) သည် အီလက်ထရောနစ် ကွန်ပျူတာ တည်ဆောက်ပုံ (electronic computer architecture)၊ ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory) နှင့် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) ကို ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာကို ဆက်လက်တိုးတက်စေခဲ့သည်။ === မကြာသေးမီ ဆယ်စုနှစ်များအတွင်း နာမည်ကြီး ယူဆချက်များအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း (Resolution of Famous Conjectures in Recent Decades) === နှစ်ဆယ်ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် နှစ်ဆယ့်တစ်ရာစု အစောပိုင်းကာလများကို အဆင့်မြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မူဘောင်များနှင့် (advanced analytical frameworks) ကွန်ပျူတာ အကူအညီများမှတစ်ဆင့် (computer assistance) ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော သမိုင်းဝင် ပြဿနာများအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်းဖြင့် အမှတ်အသားပြုခဲ့သည်။ ၁၈၅၂ ခုနှစ်တွင် စတင်ယူဆခဲ့ပြီးဖြစ်သော အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ် (Four-Color Theorem) သည် ကဲနတ် အက်ပယ်လ် (Kenneth Appel) နှင့် ဝုဖ်ဂန်း ဟာကင် (Wolfgang Haken) တို့က ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရှောင်လွှဲ၍မရသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို (unavoidable configurations) အကဲဖြတ်ရန်အတွက် အားထုတ်ပစ်ခြင်း နည်းလမ်းကို (method of discharging) အသုံးပြုခြင်းသည် ပထမဆုံး အဓိကကျသော ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်အဖြစ် (computer-assisted mathematical proof) မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သည်။ ယင်းကို နောက်ပိုင်းတွင် ရောဘတ်ဆန်၊ ဆန်ဒါးစ်၊ ဆီးမိုး နှင့် သောမတ်စ် တို့က ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပိုမိုရိုးရှင်းလွယ်ကူအောင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် ကော့ခ် ဆော့ဖ်ဝဲလ်ကို အသုံးပြု၍ ဂွန်သီယာ နှင့် ဗာနာ တို့က ပုံစံတကျ စစ်ဆေးအတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (Classification of Finite Simple Groups) သည် ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာသော ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ကြိုးပမ်းမှုအပြီးတွင် ပြီးမြောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဖိုက်-သွန်မဆင် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]]အစဉ် သီအိုရမ်ဖြင့် (Odd-Order Theorem) စတင်ခဲ့ပြီး ဤသီအိုရမ်က မည်သည့် အဆုံးရှိ ရိုးရှင်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite simple group) မဆို ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group)၊ အလှည့်ကျ အုပ်စု (alternating group)၊ လီ-အမျိုးအစား (Lie-type) သို့မဟုတ် ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော အုပ်စုများ (sporadic groups) ၂၆ ခုထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးခဲ့သည်။ နောက်ဆုံး ဆူဒို-ပါးလွှာသော ကွာဟချက်ကို (quasi-thin gap) အက်ရှ်ဘာကာ နှင့် စမစ်သ် တို့က ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပိတ်နိုင်ခဲ့သည်။ ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat’s Last Theorem) ကို နှစ်ပေါင်း ၃၅၀ ကျော်ကြာပြီးနောက် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂါဟတ် ဖရေး (Gerhard Frey) ၏ မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (non-modular elliptic curves) ဖွဲ့စည်းမှုနှင့် ကန် ရီဘတ် (Ken Ribet) ၏ <math>\varepsilon</math>-ယူဆချက် (<math>\varepsilon</math>-conjecture) သက်သေပြချက်တို့ကို အခြေခံ၍ အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) က ပြသခဲ့ရာတွင် ဆီမီး-တည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် (semistable elliptic curves) တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ်ကို တိုက်ရိုက် သက်ရောက်မှုရှိကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ်သည် ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ သူ့ကို ရစ်ချတ် တေလာ (Richard Taylor) က ကူညီပေးခဲ့သည်။ ပွန်ကာရေး ယူဆချက် (Poincaré Conjecture) ကို ဝီလီယံ သာစတန် (William Thurston) ၏ ဂျီဩမေတြီအသွင်ပြောင်းခြင်း ယူဆချက် (Geometrization Conjecture) နှင့် ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (Richard Hamilton) ၏ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ညီမျှခြင်း (Ricci flow equation) <math>\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2 R_{ij}</math> မိတ်ဆက်မှုတို့မှတစ်ဆင့် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Yakovlevich Perelman) သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၃ ခုနှစ်အတွင်း ခွဲစိတ်မှု နည်းပညာများကို (surgery techniques) အသုံးပြု၍ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို (Ricci flow singularities) ကျော်လွှားခြင်းဖြင့် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ === မြန်မာ့ သင်္ချာသမိုင်း (History of Burmese Mathematics) === မြန်မာ့သိပ္ပံပညာနှင့် သင်္ချာသမိုင်းကြောင်းသည် ရှေးခေတ်ကာလများကတည်းက အခြေတကျ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်ထားသော သင်္ချာကျမ်းများအနက် တစ်ခုမှာ ၁၄ ရာစုနှစ်ဦးပိုင်းတွင် ဇင်းမယ်မြို့၌ ရှင်ဉာဏဝိလာသ ရေးသားပြုစုခဲ့သော "သင်္ချာပကာသက" ကျမ်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကျမ်းကို အခြေခံ၍ ခရစ်နှစ် ၁၅၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ပလိပ်ရွာအရှေ့ရှိ မြို့သစ်မြို့နေ ရှင်သီရိမင်္ဂလက "သင်္ချာပကာသကဋီကာ" ကို ထပ်မံပြုစုခဲ့ပြီး ညောင်ကန်ဆရာတော် ရှင်ကဝိန္ဒ၏ တပည့် ရှင်မုနိန္ဒသာရက "သင်္ချာပကာသက စာကိုယ်နိဿယ" ကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဘိုးတော်ဘုရား (ဗဒုံမင်း) လက်ထက် (၁၇၈၂–၁၈၁၉) တွင် အိန္ဒိယနှင့် သီဟိုဠ်တို့မှ ကျမ်းပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို ယူဆောင်လာခဲ့ပြီး မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုစေခဲ့ရာမှ သင်္ချာပညာရပ်သည် ပိုမိုထွန်းကားလာခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော သမိုင်းဝင်အထောက်အထားတစ်ခုမှာ ၁၇၇၄ ခုနှစ်တွင် ပြုစုခဲ့သော "ဂဏန်းသင်္ချာ ပညာဝဍ္ဎနကျမ်း" ဖြစ်သည်။ ဤကျမ်းကို အပိုင်းလေးပိုင်းခွဲခြားထားပြီး တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပုစ္ဆာပေါင်း ၁၇၅ ပုဒ်ကို တွက်နည်းအဖြေများနှင့်တကွ စနစ်တကျ ပြုစုထားသည်။ ပထမပိုင်းတွင် အလေးချိန်၊ အကွာအဝေး၊ ထုထည် (Volume) နှင့် အချိန်နာရီတို့ကို တိုင်းတာသည့် ယူနစ် (Unit) ဆိုင်ရာ ကိန်းသင်္ချာအကြောင်းကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် "ခု" မှစ၍ သုည ၁၄၀ လုံးပါဝင်သော "အသင်္ချေ" တိုင်အောင် ရေတွက်ခေါ်ဝေါ်သည့် နည်းစနစ်များ ပါဝင်သည်။ ဒုတိယပိုင်းတွင် လုပ်ငန်းခွင်သုံး တိုင်းထွာတွက်ချက်နည်းများကို "ဂဏန်းဆယ်ပါး" ခေါင်းစဉ်ဖြင့် ဖော်ပြထားပြီး စပါး၊ ဆန်၊ ရွှေ၊ ငွေ၊ ဆီမီး၊ ရထား၊ သစ်ပင်၊ လှေ၊ သားရေနှင့် မြေစသည့် ကဏ္ဍများ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရွှေကို အဆင့်ဆင့် သန့်စင်ရာတွင် ဇမ္ဗူရဇ်ရွှေကဲ့သို့ အသန့်စင်ဆုံးအဆင့်ရရှိရန် တွက်ချက်မှုများ၊ သစ်ပင်၏ အမြင့်ကို ဂျီဩမေတြီ (Geometry) အသုံးပြု၍ ရှာဖွေခြင်းများနှင့် မြေကွက်များ၏ ဧရိယာ (Area) တွက်ချက်ခြင်းများ ပါဝင်သည်။ တတိယပိုင်းတွင် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic progression)၊ ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric progression)၊ မရေမရာ ညီမျှခြင်း (Indeterminate equation)၊ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (Algebraic equation)၊ ဆခွဲကိန်း (Factor) နှင့် ဘုံသုဉ်းကိန်းရှာဖွေခြင်းစသည့် သင်္ချာနည်းစနစ် ၁၆ မျိုးကို ပုစ္ဆာပေါင်း ၇၆ ပုဒ်ဖြင့် ရှင်းလင်းထားသည်။ စတုတ္ထပိုင်းတွင် ရှေ့ပိုင်းနည်းစနစ်များကို အခြေခံထားသော လက်တွေ့အသုံးချ ပုစ္ဆာ ၃၀ ပုဒ် ပါဝင်သည်။ ဤကျမ်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို လေ့လာခြင်းအားဖြင့် ရှေးခေတ်မြန်မာတို့သည် စက်ဝိုင်း၊ စက်လုံး၊ ထုလုံးနှင့် ထုချွန်များ၏ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ရှာဖွေခြင်းမှစ၍ ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများအထိ အဆင့်မြင့်မားသော သင်္ချာပညာကို လက်တွေ့အသုံးချနိုင်ခဲ့ကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။<ref name="MyoThantTyn">ဒေါက်တာ မျိုးသန့်တင်။ ''ရှေးခေတ် မြန်မာသိပ္ပံကျမ်းများ''။</ref> == သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများ (Areas of Mathematics) == ဤပညာရပ် ကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်းသည် သဘာဝအလျောက် ကွဲပြားသော်လည်း အလွန်အမင်း အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဘာသာရပ်ခွဲများစွာအဖြစ် ပိုင်းခြားသွားခဲ့သည်။ * ဂဏန်းသင်္ချာ နှင့် ကိန်းသီအိုရီ (Arithmetic and Number Theory) - ရှေးခေတ်တွင် လော်ဂျစ်စတစ်နှင့် (logistic) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကြားတွင် တင်းကျပ်သော ခွဲခြားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ လော်ဂျစ်စတစ်သည် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်တွေ့အသုံးချ နည်းစနစ်ဖြစ်သည်။ (practical technique of computation) ဂဏန်းသင်္ချာသည် ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို (properties of numbers) ဒဿနိကဗေဒအရ သို့မဟုတ် သဘောတရားရေးရာအရ လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ကိန်းသီအိုရီ (Number theory) သည် အဆိုပါ ဂဏန်းသင်္ချာမှ ခေတ်သစ် ဆင်းသက်လာသော ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ အစောပိုင်း မှတ်တိုင်များတွင် ဂရိလူမျိုးများ၏ ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း ပါဝင်သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းတွင် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers)၊ ဆပေါင်းကိန်းများ (composite numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်းများ]] (even numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်းများ]] (odd numbers) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းများ (perfect numbers) တို့ ပါဝင်သည်။ အခြားမှတ်တိုင်တစ်ခုမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်း ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်ဖြစ်သည်။ ဤဘာသာရပ်သည် မသေချာသော ညီမျှခြင်းများ သို့မဟုတ် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို (indeterminate (Diophantine) equations) လေ့လာခြင်းမှတစ်ဆင့် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုများကို ဒိုင်အိုဖန်တပ်စ်၊ ဗြဟ္မဂုတ္တ နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၎င်း၏ Disquisitiones Arithmeticae စာအုပ်ဖြင့် ဤနယ်ပယ်ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူသည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ၏ ခေတ်သစ်သင်္ချာကို (modern mathematics of congruences) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ * ဂျီဩမေတြီ (Geometry) - "မြေတိုင်းတာခြင်း" (earth measurement) အဖြစ် စတင်ခဲ့သော ဂျီဩမေတြီသည် ဂရိလူမျိုးများလက်အောက်တွင် ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခု (deductive science) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၎င်း၏ အထွတ်အထိပ်မှာ ယူကလစ်ဒ်၏ Elements စာအုပ်ဖြစ်ပြီး နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ဤဘာသာရပ်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို (algebraic equations) ဂျီဩမေတြီ မျဉ်းကွေးများတွင် (geometric curves) အသုံးချခြင်းဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (Analytic geometry) ကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ ယင်းက ဂျီဩမေတြီကို ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများပေါ်တွင် (coordinate axes) ပုံဖော်နိုင်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တော်လှန်ပြောင်းလဲမှုတစ်ခုကို တွေ့ကြုံခဲ့ရသည်။ နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး နှင့် ယာနို့စ် ဘိုလိုင် ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို (Non-Euclidean geometry) တိုးတက်စေခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ယူကလစ်ဒ်၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုကို (parallel postulate) ဖယ်ရှားလိုက်လျှင်ပင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ဂျီဩမေတြီများ (consistent geometries) တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို ပြသခြင်းဖြင့် ဤသို့ တိုးတက်စေခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် ကွေးညွှတ်နေသော မက်ထရစ် ရပ်ဝန်းများကို (curved metric spaces) အလွန်ယေဘုယျကျစွာ လေ့လာမှုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုကို ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီဟု (Riemannian geometry) ခေါ်သည်။ ယင်းသည် နောက်ပိုင်းတွင် ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (General Relativity) ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒသီအိုရီများအတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) - အက္ခရာသင်္ချာသည် သမိုင်းဆိုင်ရာ ကျယ်ပြန့်သော အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ စကားပြောဟန် (rhetorical)၊ အတိုကောက်ဟန် (syncopated) နှင့် သင်္ကေတဟန် (symbolic) တို့ဖြစ်သည်။ စကားပြောဟန်သည် စကားလုံးများဖြင့်သာ အပြည့်အဝရေးသားခြင်း ဖြစ်သည်။ အတိုကောက်ဟန်သည် အတိုကောက်အချို့ကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတဟန်သည် အက္ခရာများနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများကို အသုံးပြုသော ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်း ဖြစ်သည်။ ဘေဘီလုံနှင့် အီဂျစ်လူမျိုးများသည် အခြေခံ မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများနှင့် (elementary linear equations) နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို (quadratic equations) ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ဉာဏ်သစ်သွေးသစ်ခေတ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို နှင့် လူဒိုဗီကို ဖာရာရီ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်း (cubic equation) နှင့် စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်း (quartic equation) တို့အတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေများကို (algebraic solutions) ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် စကစ်ပီယွန် ဒယ်လ် ဖဲရိုး နှင့် နီကိုလို ဖွန်တာနာ တာတာဂလီယာ တို့၏ တတိယထပ် အဖြေကို ကနဦး ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အက္ခရာသင်္ချာသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ကို လေ့လာခြင်းမှ သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများကို (abstract structures) လေ့လာခြင်းသို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ ၏ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်၊<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1}}</ref> ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် ၏ ဖလှယ်၍မရသော ကွာတာနီယွန်များ (non-commutative quaternions) ကို တီထွင်မှုနှင့် ဂျော့ချ် ဘူးလ် ၏ ယုတ္တိဗေဒ အက္ခရာသင်္ချာတို့နှင့်အတူ (algebra of logic) အက္ခရာသင်္ချာသည် ရိုးရာကိန်းများနှင့် အမှီအခိုကင်းသော လေ့လာမှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် တိကျသော နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်း နိယာမများဖြင့် (laws of combination) သတ်မှတ်ထားသော သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ နှင့် ကဲကုလပ် (Analysis and Calculus) - ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပမာဏများ (continuous magnitudes)၊ စုဆုံမှတ်များ (limits) နှင့် အနန္တ လုပ်ငန်းစဉ်များကို (infinite processes) ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းသော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲ ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အစောဆုံး မူလအစမှာ ဂရိလူမျိုးများ၏ "ကုန်စင်အောင်လုပ်ခြင်း နည်းလမ်း" (method of exhaustion) တွင် တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ကနိုင်းဒပ်စ်မှ ယူဒေါက်စပ်စ် က သဘောတရားရေးရာအရ တီထွင်ခဲ့ပြီး အာခီမီးဒီးစ် က ဧရိယာများနှင့် ထုထည်များကို ရှာဖွေရာတွင် စနစ်တကျ အသုံးချခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် တို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများဆိုင်ရာ (infinitesimals) သဘောတရားများကို စုစည်း၍ ကဲကုလပ် (Calculus) ကို သီးခြားစီ တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များကို]] (derivatives) ရှာဖွေရန် ယေဘုယျ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို (algorithms) ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ထို့ပြင် ဧရိယာများ သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ်များကို (integrals) ရှာဖွေရန်အတွက်လည်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို "ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်း" (arithmetized) ခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ၎င်းကို ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ်အပေါ် (geometric intuition) မှီခိုနေရခြင်းမှ ဖယ်ရှားပေးခဲ့သည်။ ထို့နောက် စုဆုံမှတ်များ၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) နှင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ၏]] (real numbers) တိကျသေချာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအပေါ် အခြေခံသည့် တိကျသေချာသော အခြေခံအုတ်မြစ်ပေါ်တွင် (rigorous foundation) တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) - ကနဦးတွင် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းအဖြစ် (analysis situs) ပေါ်ထွက်လာသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]သည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းပုံများ၏ (spatial configurations) မွေးရာပါ အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ အသွင်အပြင်များကို (qualitative aspects) လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ဤအသွင်အပြင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော တစ်-တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများအောက်တွင် (continuous one-to-one transformations) မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို လူအများက "ရာဘာချပ် ဂျီဩမေတြီ" ဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိကြသည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး သည် ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ သို့မဟုတ် ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (combinatorial topology) စတင်တည်ထောင်သူဟု ဆိုနိုင်သည်။ သူသည် ပုံသဏ္ဌာန်များကို [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများအဖြစ်]] (manifolds) ရှုမြင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်နေမှုကို လေ့လာခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) အတွက် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပတ်ဝန်းကျင်များကြားရှိ (neighborhoods of elements) ဆက်သွယ်ချက်များအပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝအခြေခံ၍ သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်းများကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ * ဖြစ်တန်စွမ်း နှင့် အသုံးချ သင်္ချာ (Probability and Applied Mathematics) - [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်း]] သီအိုရီ (probability theory) သည် ၁၇ ရာစုတွင် ဘလေ့စ် ပက်စ်ကယ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့ကြား ကံစမ်းကစားနည်းများနှင့် (games of chance) ပတ်သက်၍ စာပေးစာယူပြုလုပ်ရာမှ စတင်ခဲ့သည်။ ၎င်းကို ၁၉ ရာစု အစောပိုင်းတွင် ပီယား ဆိုင်မွန် လာပလေ့စ် က အဓိကကျသော သိပ္ပံနည်းကျ ကိရိယာတစ်ခုအဖြစ် စနစ်တကျ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစုတွင် အသုံးချ သင်္ချာ (Applied mathematics) သည် ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory)၊ ဆိုက်ဘာနက်တစ်နှင့် (cybernetics) ကွန်ပျူတာသိပ္ပံကဲ့သို့သော (computer science) နယ်ပယ်များသို့ အကြီးအကျယ် ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သည်။ ၎င်းကို ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း နှင့် အလန် ကျူးရင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့ကြသည်။ ကွန်ပျူတာများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနကို အခြေခံမှစ၍ ပြောင်းလဲပစ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းတွင် (numerical analysis) အထောက်အကူပြုခဲ့ပြီး နောက်ဆုံးတွင် အရောင်လေးမျိုး ယူဆချက်ကဲ့သို့သော (Four-Color Conjecture) ရှုပ်ထွေးသည့် သင်္ချာသီအိုရီများကို သက်သေပြရန်အတွက် လိုအပ်သော ကြီးမားလှသည့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စွမ်းအားကို (computational power) ထောက်ပံ့ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား (References) == <references /> [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ပင်မ အကြောင်းအရာ ဆောင်းပါးများ]] rzvobqmjxvgbjnqxe2dakjn1pfbti93 1049499 1049498 2026-08-20T02:17:44Z Mkant00 135890 /* တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Topology and Functional Analysis) */ 1049499 wikitext text/x-wiki [[File:Euclid.jpg|right|thumb|220px|ဘီစီအီး ၃ ရာစုမှ ဂရိ သင်္ချာပညာရှင် ယူကလစ် (ကွန်ပါထောက်တံ ကိုင်ထားသူ) ကို ပန်းချီဆရာ ရာဖယ် က ၎င်း၏ "အေသင်သားတို့ ကျောင်းတော်" အမည်ရ နံရံဆေးရေး ပန်းချီကားကြီးတွင် စိတ်ကူးပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်၏ ပုံမှာ မည်သည့်မီဒီယာတွင်မှ မကျန်ရစ်ဘဲ ဤသရုပ်ဖော်ချက်သည် ပုံဖော်သူ အနုပညာရှင်၏ စိတ်ကူးဉာဏ် ကွန့်မြူးချက်သာ ဖြစ်သည်။]] '''အသိပညာနှင့် စူးစမ်းလေ့လာခြင်း''' ဟု အနက်ဖွင့်ဆိုနိုင်သော ရှေးဂရိဝေါဟာရ μάθημα (máthēma) မှဆင်းသက်လာသည့် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို မြန်မာဘာသာစကားဖြင့် "ရေတွက်ခြင်း" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ရှေးပါဠိဝေါဟာရမှတစ်ဆင့် "သင်္ချာ" ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် သင်္ချာ၏ သဘောသဘာဝနှင့် ပတ်သက်၍ ပုဂ္ဂိုလ်ကျော်များက ရှုထောင့်အမျိုးမျိုးဖြင့် ဖွင့်ဆိုခဲ့ကြသည်။ စွယ်စုံရပညာရှင် ဂယ်လီလီယို (Galileo) က သဘာဝတရားကို ကျမ်းတစ်စောင်ဟု တင်စားခဲ့ပြီး ၎င်းကျမ်းကို သင်္ချာဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားထားကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="Machamer2014">{{Citation |last=Machamer |first=Peter |year=2014 |title=Galileo Galilei |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=CSLI, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/galileo/ |edition=Winter 2014}}</ref> သင်္ချာပညာရှင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) က သင်္ချာကို သိပ္ပံပညာရပ်များ၏ ဘုရင်မအဖြစ် တင်စားခဲ့သည်။<ref name="Beiler1964">{{citation |last=Beiler |first=Albert H. |title=Recreations in the Theory of Numbers (Dover Recreational Math) |publisher=Dover Publications |place=Mineola, NY |edition=2nd |year=1964 |isbn=978-0486210964 |page=1}}</ref> ထို့အပြင် ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) က သင်္ချာသည် မလွှဲမသွေဖြစ်ရမည့် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်များကို ကောက်ချက်ချသော သိပ္ပံပညာရပ်ဖြစ်ကြောင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။<ref name="Peirce1881">{{Citation |last=Peirce |first=Benjamin |title=Linear Associative Algebra |journal=American Journal of Mathematics |volume=4 |issue=1 |year=1881 |pages=97-229 |doi=10.2307/2369153 |url=http://www.jstor.org/stable/2369153 |publisher=The Johns Hopkins University Press}}</ref> ခေတ်ပြိုင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် သက်သေပြချက် (proof) ဖြင့် စစ်ဆေးအတည်ပြုနိုင်သော သရုပ်မဲ့ သဘောတရားများ (abstract concepts) နှင့် ပတ်သက်သည့် ဖော်ပြချက်များ (statements) ကို ဖော်ထုတ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို ကိန်းများ (numbers)၊ ပမာဏများ (magnitudes) နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်များ (forms) ဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခုအဖြစ်သာ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံအကျဆုံး မူလအစသည် သမိုင်းမတင်မီခေတ် လူသားတို့၏ ကိန်းနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တို့တွင်ရှိသော ဆင်တူညီမှုများကို တဖြည်းဖြည်း သတိပြုမိလာခြင်းမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုနှင့် အများအပြားကဲ့သို့သော ရိုးရှင်းသည့် ခြားနားချက်များကို သိမြင်မှတ်မိခြင်းမှသည် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ဆိုသည့် သရုပ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (abstract property) အထိ ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ အလားတူပင် ရက်ကန်းရက်ခြင်း၊ အိုးလုပ်ခြင်းနှင့် ခြင်းတောင်းရက်လုပ်ခြင်းတို့တွင် တွေ့ရသော ရှေးခေတ်လူသားတို့၏ ဒီဇိုင်းများသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ၊ ထပ်တူညီမှု (congruence) နှင့် အချိုးညီမှု (symmetry) တို့အတွက် အခြေခံအလေးထားမှုကို ပြသနေပြီး ယင်းက ဂျီဩမေတြီ (geometry) အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည်။ အစောပိုင်း သင်္ချာစနစ်များသည် အတွေ့အကြုံနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုအပေါ်တွင် များစွာ အခြေခံထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှေးခေတ် အီဂျစ်တွင် ဂျီဩမေတြီသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် စိုက်ပျိုးမြေတိုင်းတာခြင်းအတွက် ကိရိယာတစ်ခုအနေဖြင့် အဓိက တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် နိုင်းမြစ်၏ နှစ်စဉ်ရေကြီးမှုများကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ရှေးခေတ် ဘေဘီလုံ သင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းများအပေါ် များစွာအခြေခံပြီး အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများ (algorithms)၊ ဇယားများနှင့် ညီမျှခြင်းများ (equations) ကို ခန့်မှန်းခြေ ဖြေရှင်းခြင်းတို့အပေါ် အာရုံစိုက်ခဲ့သည်။ ချက်ချင်း အသုံးချရန်ထက် ဉာဏ်ရည်ပိုင်းဆိုင်ရာ သိချင်စိတ်ပြင်းပြမှုက တွန်းအားပေးသည့် ပုံစံတကျ (formalized) ပြီး ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ် (deductive science) တစ်ခုအနေဖြင့် သင်္ချာသည် ရှေးခေတ် ဂရိလူမျိုးများနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ သေးလ် (Thales) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် ဤဘာသာရပ်ကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ ဖွဲ့စည်းမှုဆီသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့သည်ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ သူတို့သည် အခြေခံမူများမှတစ်ဆင့် သီအိုရမ်များ (theorems) ကို သင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြသည့် အစောပိုင်း အစဉ်အလာများကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာ ကြာလာသောအခါ သင်္ချာသည် တည်ဆောက်ပုံ (structure) နှင့် သရုပ်မဲ့ ယုတ္တိဗေဒ (abstract logic) တို့၏ ကျယ်ပြန့်ပြီး အထူးပြုလွန်းသည့်အပြင် စည်းလုံးညီညွတ်သော ဘာသာစကားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြာထွက်လာခဲ့သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ခေတ်သစ် တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုများ (History and Modern Developments) == === ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures) === ဆယ့်ကိုးရာစုသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တွင် တော်လှန်ရေးတစ်ရပ်ကို မြင်တွေ့ခဲ့ရပြီး ၎င်းကို တင်းကျပ်သော ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီ (Euclidean geometry) မူဘောင်မှ အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဂျီဩမေတြီစနစ်များ၏ ကျယ်ပြန့်သော စုစည်းမှုအဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းပေးခဲ့သည်။ ဤစနစ်များ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းမှုသည် ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီကို တောင့်တင်းသော ရွေ့လျားမှု အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (rigid motion transformations) အောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariants) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းကို သုည ကွေးညွှတ်မှု (zero curvature) နှင့် <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော မက်ထရစ် (metric) တို့ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည်။ ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) တွင် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry) နှင့် အဲလစ်ပတစ် ဂျီဩမေတြီ (elliptic geometry) သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီ (spherical geometry) တို့ ပါဝင်သည်။ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အနုတ် ကွေးညွှတ်မှု (constant negative curvature) ရှိသည်။ အဲလစ်ပတစ် သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အပေါင်း ကွေးညွှတ်မှု (constant positive curvature) ရှိသည်။ အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (affine geometry) သည် ပြိုင်တူဖြစ်ခြင်း (parallelism) နှင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင်ရှိခြင်း (collinearity) တို့ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) အပေါ် အာရုံစိုက်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (projective geometry) သည် နှစ်ထပ်အချိုး (cross-ratio) နှင့် ဒွန်တွဲမှု (duality) ကဲ့သို့သော ပရိုဂျက်တစ်ဖြစ်ခြင်းများအောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ဗဟိုပြုသည့် လွှမ်းခြုံနိုင်သော မူဘောင်တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ (Riemannian geometry) သည် ပြောင်းလဲနိုင်သော ကွေးညွှတ်မှု (variable curvature) နှင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) <math>ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dx_i\,dx_j</math> တို့ဖြင့် အုပ်ချုပ်ထားသော ယေဘုယျပြုထားသည့် <math>n</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|တိုင်းတာမှု]]ရှိသော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကို (<math>n</math>-dimensional manifolds) လွှမ်းခြုံထားသည်။ ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီသည် အက်ခိုး ပေါ်လီတက်ကနစ် (École Polytechnique) ၌ ဂတ်စပတ် မွန်ချ် (Gaspard Monge) ကို ဗဟိုပြုသော အစောပိုင်း ၁၉ ရာစု ပြင်သစ်ကျောင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ မွန်ချ်၏ ကျောင်းသားများသည် ဤနယ်ပယ်ကို လမ်းကြောင်းမျိုးစုံသို့ ချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် ဒူပင်း (Charles Dupin) သည် မျက်နှာပြင်များဆိုင်ရာ သီအိုရီကို (theory of surfaces) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဆိုက်ကလိုက် (cyclide) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ သီအိုဒို အိုလီဗီယာ (Théodore Olivier) သည် သင်ကြားရေးအတွက် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဂျီဩမေတြီ ကြိုးမော်ဒယ်များကို (three-dimensional geometric string models) ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခဲ့သည်။ ချားလ်စ်-ဂျူးလ်စ် ဘရီယန်ချွန် (Charles-Jules Brianchon) သည် ပက်စ်ကယ် (Pascal) ၏ ဆန်းကြယ်သော ဆဋ္ဌဂံ သီအိုရမ်အတွက် (Pascal’s mystic hexagram theorem) ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲ (projective dual) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် "အမှတ်" (point) နှင့် "မျဉ်း" (line) ဟူသော သဘောတရားများကို အချင်းချင်းဖလှယ်လိုက်သောအခါတွင် ပြင်ညီ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီရှိ သီအိုရမ်များသည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ ယန်-ဗစ်တာ ပွန်စလတ် (Jean-Victor Poncelet) သည် ၎င်း၏ ၁၈၂၂ ခုနှစ်ထုတ် Traité des propriétés projectives des figures စာအုပ်တွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီကို သီးခြားလွတ်လပ်သော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) မူဝါဒနှင့် အနန္တအမှတ်များ (ideal points) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ စက်ဝိုင်းအားလုံးက မျှဝေပိုင်ဆိုင်ထားသော အနန္တရှိ ကွန်ဂျူဂိတ် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်]] စက်ဝိုင်းအမှတ်များ (conjugate imaginary circular points) နှစ်ခုကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယင်းအမှတ်များကို <math>I</math> နှင့် <math>J</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ မိုက်ကယ် ရှားလ်စ် (Michel Chasles) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်ရှိ အမှတ်လေးမှတ်၏ နှစ်ထပ်အချိုးကို (cross-ratio) အလေးပေးဖော်ပြခဲ့ပြီး ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ :<math>\frac{c - a}{c - b} : \frac{d - a}{d - b}</math> သူသည် ဤနှစ်ထပ်အချိုးသည် ပရိုဂျက်တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (projective transformations) အောက်တွင် ပကတိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိကြောင်းကို (invariant) သက်သေပြခဲ့သည်။ ပေါင်းစပ် မက်ထရစ် ဖန်ရှင် ဂျီဩမေတြီ (synthetic metric geometry) တွင် ဂျက်ကော့ဘ် ရှတိုင်းနား (Jakob Steiner) သည် ယူကလစ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံများအားလုံးကို မျဉ်းဖြောင့်တံတစ်ခုနှင့် (straightedge) ဗဟိုကို (center) ရှင်းလင်းစွာပေးထားသော အထိုင်စက်ဝိုင်းတစ်ခုတည်းကိုသာ (single fixed circle) အသုံးပြု၍ အပြီးသတ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် တတိယထပ်ကိန်း မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် နှစ်ဆယ့်ခုနစ်ကြောင်းကိုလည်း (twenty-seven straight lines on a cubic surface) လေ့လာခဲ့ပြီး ထောင့်ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းဖြစ်သည့် (angle-preserving transformation) ပြောင်းပြန်လှန် ဂျီဩမေတြီ (inversive geometry) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် အမှတ် <math>P</math> နှင့် <math>P'</math> တို့သည် အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိပြီး ဗဟို <math>O</math> ၌ရှိသော စက်ဝိုင်းတစ်ခုနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အချင်းချင်း ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြသည် (inverse)။ ၎င်းတို့သည် <math>(OP)(OP') = r^2</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို ဂျူးလီးယပ်စ် ပလွတ်ကာ (Julius Plücker) က ပြန်လည်အသက်ဝင်စေခဲ့ပြီး သူသည် ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အတိုကောက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို (abridged notation) တီထွင်ခဲ့သည်။ ပလွတ်ကာ၊ ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ် (August Ferdinand Möbius)၊ ကားလ် ဝီလ်ဟမ် ဖွိုင်ယာဘတ် (Karl Wilhelm Feuerbach) နှင့် အက်တီယန် ဘိုဘီလီယာ (Étienne Bobillier) တို့သည် တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ (homogeneous coordinates) ကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထိုကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် <math>t = 0</math> သည် အနန္တရှိ မျဉ်းကို (line at infinity) ကိုယ်စားပြုသည်။ ပလွတ်ကာသည် မျဉ်း ကိုဩဒိနိတ်များ (line coordinates) ကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် <math>(u, v, w)</math> ဖြစ်ကြပြီး မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များဟူသော သဘောတရားကို အမှတ်တစ်ခုကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းများဟူသော ဒွန်တွဲသဘောတရားအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးခဲ့သည်။ ၁၈၃၄ ခုနှစ်တွင် သူသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေး (algebraic curve) တစ်ခု၏ အဆင့် (order) <math>n</math>၊ အတန်းအစား (class) <math>m</math>၊ ဆုံမှတ်များ (nodes) <math>\delta</math>၊ အချွန်မှတ်များ (cusps) <math>\kappa</math>၊ ငြိမ်နေသော ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် အကွေ့မှတ်များ (stationary tangents/inflections) <math>\iota</math> နှင့် ထိမျဉ်းနှစ်ထပ်များ (bitangents) <math>\tau</math> တို့ကို ဆက်စပ်ပေးသော ညီမျှခြင်းများကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ :<math>m = n(n - 1) - 2\delta - 3\kappa \quad \text{and} \quad n = m(m - 1) - 2\tau - 3\iota</math> :<math>\iota = 3n(n - 2) - 6\delta - 8\kappa \quad \text{and} \quad \kappa = 3m(m - 2) - 6\tau - 8\iota</math> ယူကလစ်ဒ်၏ ပဉ္စမမြောက် ကြိုတင်အဆိုကို (Fifth Postulate) သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းမှုသည် ၎င်းမပါဘဲ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (consistent) ရှိသော ဂျီဩမေတြီများ တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို သင်္ချာပညာရှင်များက ပြသနိုင်ခဲ့ချိန်တွင် အဆုံးသတ်သွားခဲ့သည်။ ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ဤအချက်ကို စောစီးစွာကတည်းက သီးသန့် အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော် နီကိုလိုင်း အိုင်ဗန်နိုဗစ်ချ် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) သည် ၁၈၂၉ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) သည် ၁၈၃၂ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ၏ (non-Euclidean hyperbolic geometry) ပထမဆုံး ပုံစံတကျ စနစ်များကို ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်ပေါင်းလဒ်သည် (angle sum) ၁၈၀ ဒီဂရီထက် တိကျစွာ လျော့နည်းသည်။ ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ (Eugenio Beltrami) သည် ဤဂျီဩမေတြီ၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) ၁၈၆၈ ခုနှစ်တွင် ဆူဒိုစက်လုံးမျက်နှာပြင် (pseudosphere) ပေါ်တွင် လက်တွေ့ဖော်ဆောင်ခြင်းဖြင့် သက်သေပြခဲ့သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry) ကို ၁၈၂၇ ခုနှစ်တွင် ဂေါက်စ်က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သူသည် ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian curvature) <math>K</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ကွေးနေသော ကိန်းရှင်ကြားခံ မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) သည် ဒုတိယထပ်ကိန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (quadratic differential form) <math>ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2</math> အပေါ် မူတည်ကြောင်းကို အတည်ပြုခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) ၏ ၁၈၅၄ ခုနှစ် ဟာဘီလီတေးရှင်း ဟောပြောချက်သည် ၎င်းကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိသော မန်နီဖိုးများအထိ (n-dimensional manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် သူ၏ အာလန်ဂါ ပရိုဂရမ် (Erlanger Programm) မှတစ်ဆင့် ဤကွဲပြားနေသော ဂျီဩမေတြီများကို ပေါင်းစပ်ခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီကို တိကျသော အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (transformation groups) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariant properties) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization) === ဆယ့်ကိုးရာစုနှင့် နှစ်ဆယ်ရာစုများအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းမှ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures)၊ တွက်ချက်မှုများ (operations) နှင့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) တို့ကို သရုပ်မဲ့ လေ့လာခြင်းဆီသို့ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်။ ယင်းက [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups)၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းနိုင်ရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1, 7, 13}}</ref> သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာ၏ (symbolic algebra) အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ဂျော့ချ် ပီးကော့ (George Peacock) နှင့် ဩဂတ်စတပ်စ် ဒီ မော်ဂန် (Augustus De Morgan) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ပီးကော့သည် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (arithmetical algebra) သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာမှ ခွဲခြားပြသခဲ့သည်။ ဒီ မော်ဂန်ကမူ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများသည် (operational symbols) အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်းများသာဖြစ်ကြောင်း (arbitrary abstractions) ငြင်းဆိုခဲ့သည်။ ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) သည် ယုတ္တိဗေဒနှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) ဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (algebra of logic) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် စကြဝဠာ အစု (universal set) ကို <math>1</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ဗလာစု (null set) ကို <math>0</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ပေါင်းစပ်စု (union) ကို <math>+</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ကို <math>\times</math> ဖြင့်လည်းကောင်း သတ်မှတ်ပြသခဲ့ပြီး ထပ်တူရပေး နိယာမ (idempotent law) <math>x^2 = x</math> ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များ (noncommutative systems) သည် ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် (William Rowan Hamilton) က မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ နိယာမ]] (commutative law of multiplication) ကို စွန့်လွှတ်ကာ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) ကို တီထွင်လိုက်ချိန်တွင် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ :<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math> :<math>ij = k = -ji, \quad jk = i = -kj, \quad ki = j = -ik</math> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း (Hermann Grassmann) သည် <math>n</math>-တိုင်းတာမှုရှိသော မျဉ်းဖြောင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (linear vector spaces) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ဟာမီလ်တန်-ကေးလီ သီအိုရမ်ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ဂျိမ်းစ် ဂျိုးဆက် ဆေးလ်ဗက်စတာ (James Joseph Sylvester) သည် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရီ (invariant theory) ကို မြှင့်တင်ပေးခဲ့သည်။ ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) နှင့် ချားလ်စ် ဆန်ဒါးစ် ပီးယားစ် (Charles Sanders Peirce) တို့သည် မျဉ်းဖြောင့် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] အက္ခရာသင်္ချာများ (linear associative algebras) ကို ဆက်လက် အမျိုးအစားခွဲခြားခဲ့ကြသည်။ ယင်း၏ အထွတ်အထိပ်ရလဒ်အနေဖြင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers)၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) နှင့် ကွာတာနီယွန်များသည်သာလျှင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ကိန်းစစ် ဖက်စပ်ရ အစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း သီအိုရမ်ကို (classification theorem) ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် (Ferdinand Georg Frobenius) က ၁၈၇၇ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ စီ အက်စ် ပီးယားစ်က ၁၈၈၁ ခုနှစ်တွင် သီးခြားစီလည်းကောင်း ပုံစံတကျ အတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အုပ်စုများ၊ ကွင်းများနှင့် ဖီးလ်ဒ်များကို သဘောတရားအဖြစ် ဖွဲ့စည်းခြင်းက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) ကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အချိုးညီမှုများနှင့် (symmetries) ချိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ကိန်းရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရရန်မှာ ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) အုပ်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း သူက သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=14}}</ref> ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) သည် ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓ]]ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique prime factorization) ကို ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]]ရင်းများ (algebraic integers) ၏ ကွင်းများတွင် အိုင်ဒီးလ်များကို (ideals) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=7}}</ref> ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် ဂျေ အိတ်ချ် အမ် ဝက်ဒါဘန်း (J. H. M. Wedderburn) သည် ဆီမီးရိုးရှင်းသော အက္ခရာသင်္ချာများအတွက် (semisimple algebras) တည်ဆောက်ပုံ သီအိုရမ်များကို (structure theorems) ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အန်းစ် ရှတိုင်းနစ်ဇ် (Ernst Steinitz) သည် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) ကို နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=13}}</ref> အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) သည် အစဉ်လိုက်တိုး ချိတ်တန်း အခြေအနေများ (ascending chain conditions) ကို အသုံးပြု၍ နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော ကွင်းသီအိုရီ (axiomatic ring theory) ကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=15}}</ref> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ဂေါ့လော့ ဖရေဂါ (Gottlob Frege) နှင့် ဂျူဆက်ပီ ပီယာနို (Giuseppe Peano) တို့က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဖရေဂါသည် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ယုတ္တိဗေဒမှ ဆင်းသက်ရယူရန် ကြိုးစားခဲ့ပြီး ပီယာနိုသည် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) အတွက် နဂိုမှန်အဆို အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ - တိကျသေချာမှု၊ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များ၊ နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Analysis: Rigor, Real and Complex Variables, and Measure Theory) === ကဲကုလပ် (calculus) သည် ၁၉ ရာစုတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များမှ တိကျသေချာသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (rigorous mathematical analysis) သို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ ဤအပြောင်းအလဲသည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) နှင့် စုဆုံမှတ်များကို (limits) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများကို (logical circularity) ဖယ်ရှားရန် လိုအပ်ခြင်းကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် သင်္ချာပညာရှင် ငါးဦးသည် ကိန်းစစ်များအတွက် သီးသန့် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် မေရေး (Charles Méray)၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass)၊ ဟိုင်းနရစ် အက်ဒ်ဝပ် ဟိုင်းနား (Heinrich Eduard Heine) နှင့် ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) တို့သည် ကိန်းစစ်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏]] စုဆုံ ကိန်းစဉ်များ (convergent sequences of rational numbers) သို့မဟုတ် အခြေခံ ကိန်းစဉ်များကို (fundamental sequences) အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်းသည် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းကို (Dedekind Cut) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ သူသည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို]] (irrationalities) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းအားလုံးကို ဘုံမပါသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (disjoint subsets) နှစ်ခုအဖြစ် အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို (complex analysis) အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) က စနစ်တကျ တိုးတက်စေခဲ့သည်။ သူသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများကို (Cauchy-Riemann differential equations) ဆင်းသက်ရယူခဲ့သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများမှာ <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် သူသည် အကြွင်း ကဲကုလပ်နှင့်အတူ (residue calculus) ကော်ချီ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ်ကို (Integral Theorem) <math>\oint f(z)\,dz = 0</math> သက်သေပြခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် တန်ဖိုးများစွာရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (multivalued functions) တစ်ပြေးညီဖြစ်စေရန် (uniformize) ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များမှတစ်ဆင့် (Riemann surfaces) တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်နည်းတစ်ခုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် ဇီတာ ဖန်ရှင် (zeta function) <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}</math> ၏ သုညမှတ်များနှင့် ပတ်သက်သော ရီးမန်း ယူဆချက်ကိုလည်း (Hypothesis) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်သည် ဤဖီးလ်ဒ်ကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆက်လက်တည်ရှိခြင်းတို့မှတစ်ဆင့် (analytic continuation) တင်းကျပ်စွာ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီတို့သည် (measure theory) အီမီးလ် ဘိုရဲလ် (Émile Borel) မှတစ်ဆင့် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ သူသည် ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှုကို (countable additivity) အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) ပေါ်တွင် အတိုင်းအတာ သီအိုရီကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည်လည်း ဤနယ်ပယ်ကို တိုးတက်စေခဲ့ပြီး သူသည် ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်ကို (Lebesgue integral) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ လီဘက်ဂ်သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ထက် ပုံရိပ်အစုကို (range) ပိုမိုသေးငယ်စွာ ထပ်မံပိုင်းခြားခြင်းအားဖြင့် အလွန်အမင်း [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များကို]] (discontinuous functions) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) ရှိစေခဲ့သည်။ ယင်းက [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်|ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်ကို]] (Fundamental Theorem of Calculus) ချဲ့ထွင်ပေးခဲ့သည်။ === တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Topology and Functional Analysis) === [[File:Curie_and_Poincare_1911_Solvay.jpg|right|thumb|220px|ဆိုးလ်ဗေး ညီလာခံတွင် မာရီ ကျူရီ နှင့် ပွန်ကာရေးတို့ စကားပြောဆိုနေစဉ် (1911)]] [[File:Hilbert.jpg|right|thumb|220px|ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (1912)]] [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) သည် နှစ်ဆယ်ရာစု သင်္ချာတွင် အဓိကကျသော ပေါင်းစပ်ပေးသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) သည် ၁၈၉၅ ခုနှစ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (algebraic topology) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ဟိုမိုလော်ဂျီကို (simplicial homology) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဗက်တီ ကိန်းများကို (Betti numbers) အသုံးပြု၍ ဗဟုဂံပုံသေနည်းကို (polyhedral formula) ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာရှိ မန်နီဖိုးများအထိ (manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အခြေခံအုပ်စုကို (fundamental group) လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ပွန်ကာရေး ဟိုမိုလော်ဂျီ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Poincaré homology sphere) ကို ဖော်ထုတ်မှုသည် ပွန်ကာရေး ယူဆချက်ဆီသို့ (Poincaré conjecture) ဦးတည်စေခဲ့သည်။ အယ်လ် အီး ဂျေ ဘရောင်းဝါး (L. E. J. Brouwer) သည် အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (fixed-point theorem) အပါအဝင် အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရမ်များကို (topological invariance theorems) ဆက်လက် သက်သေပြခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (Point-set topology) မောရစ် ဖရေးရှေး (Maurice Fréchet) နှင့် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ဖရေးရှေးသည် ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို]] (metric spaces) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) နှင့် ခွဲခြားခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများကို (separation axioms) အသုံးပြု၍ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် (topological spaces) နဂိုမှန်အဆို စနစ်ကို (axiomatic system) ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာသည်လည်း (functional analysis) တစ်ပြိုင်နက်တည်း တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများကို (inner product spaces) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) သည် ပြည့်စုံသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို]] (complete normed vector spaces) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ လော်ရင့် ရွှာ့ဇ် (Laurent Schwartz) ၏ ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီသည် (theory of distributions) ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာကဲ့သို့ (Dirac delta) ယေဘုယျပြုထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (generalized functions) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === နှစ်ဆယ်ရာစု ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း - ဘော်ဘာကီ၊ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Twentieth-Century Synthesis: Bourbaki, Category Theory, and Algebraic Geometry) === [[File:Weil.jpg|right|thumb|220px|အန်ဒရေး ဗေးလ် (1956)]] [[File:NBourbaki 3.png|right|thumb|220px|ဘော်ဘာကီ ညီလာခံ (1951)]] ၂၀ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဘာသာရပ်သည် သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများ (abstract structures) နှင့် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ (categorical relationships) ကို အလေးပေးခြင်းဖြင့် အရင်ကမရှိဖူးသော ပေါင်းစပ်ညီညွတ်မှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၃၄ ခုနှစ်မှစတင်၍ ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင်များ အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့သည် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ဟူသော ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေထုတ်ဝေလျက် အတွဲများစွာပါဝင်သော Éléments de mathématique (သင်္ချာ၏ အခြေခံများ) ကို ရေးသားပြုစုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ နည်းစနစ်သည် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ နည်းလမ်း (axiomatic method) ကို တင်းကျပ်စွာ လိုက်နာမှုနှင့် ယေဘုယျ တည်ဆောက်ပုံများမှ (general structures) တိကျသော အသုံးချမှုများဆီသို့ (specific applications) ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တိုးတက်မှုကို (logical progression) အလေးပေးခဲ့သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (Category theory) ကို ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကွဲပြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန် ကတ်တဂိုရီများ (categories)၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]] (functors) နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] (natural transformations) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် အွန်ရီ ကာတန် (Henri Cartan) နှင့် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်တို့သည် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို ဖန်တီးရန် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တို့ကို ပေါင်းစပ်ခဲ့ကြသည်။ ဤကာလအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) သည် တော်လှန်ပြောင်းလဲခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ အော်စကာ ဇာရစ်စကီး (Oscar Zariski)၊ ဘီ အယ်လ် ဗန် ဒါ ဗေဒင် (B. L. van der Waerden) နှင့် အန်ဒရေး ဗေးလ် (André Weil) တို့သည် ဤဘာသာရပ်ခွဲကို တိကျသေချာသော [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (rigorous commutative algebra) ဖြင့် အခြေခံချပေးခဲ့ကြသည်။ ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှင့် ၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ယန် လီရေး (Jean Leray)၊ ယန်-ပီယာ ဆဲရ် (Jean-Pierre Serre) နှင့် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) တို့သည် [[အစည်း|အစည်းများ]] (sheaves)၊ စကင်းမ်များ (schemes)၊ တိုပို့စ်များ (topoi) နှင့် အေတဲလ် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (étale cohomology) ဟူသော ဘာသာစကားမှတစ်ဆင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို လုံးဝအသစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဤမူဘောင်သည် ပီယာ ဒေလင်း (Pierre Deligne) အား ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အနက်ရှိုင်းဆုံးသော ဗေးလ် ယူဆချက်များကို သက်သေပြရန် လုပ်ဆောင်နိုင်စေခဲ့သည်။ === ယုတ္တိဗေဒ၊ အခြေခံအုတ်မြစ်များနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Logic, Foundations, and Computational Mathematics) === ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) ၏ အခြေခံဆိုင်ရာ ပြဿနာများ (foundational problems) နှစ်ဆယ့်သုံးခု တင်ပြချက်မှ ကြီးမားစွာ လွှမ်းမိုးမှုခံရသော ၂၀ ရာစုသည် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) နှင့် တွက်ချက်ခြင်း (computation) ဆိုင်ရာ အခြေခံ မေးခွန်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ယုတ္တိဗေဒ (logic) တွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများမှ (logical axioms) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ဆင်းသက်ရယူရန် ဘာထရန် ရပ်ဆဲလ် (Bertrand Russell) နှင့် အဲလ်ဖရက် နော့သ် ဝှိုက်ဟတ် (Alfred North Whitehead) တို့၏ ကြိုးပမ်းမှုများသည် ကာ့တ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ ၁၉၃၁ ခုနှစ် မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (Incompleteness Theorems) ကြောင့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်စေခဲ့သည်။ မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုစနစ်မဆို (consistent formal axiomatic system) အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာကို (basic arithmetic) လုပ်ဆောင်နိုင်သောအခါ ၎င်းသည် ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော အဆိုများကို (undecidable propositions) ပါဝင်စေပြီး ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (own consistency) သက်သေမပြနိုင်ကြောင်း ဂိုဒယ်က ပြသခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်၏ ပထမဆုံး ပြဿနာဖြစ်သော ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) ၏ တိုးတက်မှုသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ဂိုဒယ်က ၎င်း၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) သက်သေပြခဲ့ပြီး ပေါလ် ကိုဟင် (Paul Cohen) က ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် အတင်းအကျပ် ပြောင်းလဲခြင်းနည်းလမ်းကို (method of forcing) အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို (independence) သက်သေပြခဲ့သည်။ တွက်ချက်မှု သီအိုရီ (theory of computation) ကို အလန် ကျူးရင်း (Alan Turing) က ၁၉၃၆ ခုနှစ်တွင် ပုံစံတကျ တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ကျူးရင်းသည် တွက်ချက်ခြင်းအတွက် စကြဝဠာ သဘောတရားရေးရာ မော်ဒယ်ကို (universal theoretical model) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤမော်ဒယ်ကို ကျူးရင်း စက်ဟု (Turing machine) သိကြသည်။ ထို့ပြင် သူသည် ရပ်တန့်ခြင်း ပြဿနာ၏ (halting problem) ဖြေရှင်း၍မရနိုင်စွမ်းကို (insolvability) သက်သေပြခဲ့ပြီး ယင်းက ဟီလ်ဘတ်၏ ဆုံးဖြတ်ချက် ပြဿနာကို (decision problem) ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) သည် အီလက်ထရောနစ် ကွန်ပျူတာ တည်ဆောက်ပုံ (electronic computer architecture)၊ ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory) နှင့် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) ကို ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာကို ဆက်လက်တိုးတက်စေခဲ့သည်။ === မကြာသေးမီ ဆယ်စုနှစ်များအတွင်း နာမည်ကြီး ယူဆချက်များအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း (Resolution of Famous Conjectures in Recent Decades) === နှစ်ဆယ်ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် နှစ်ဆယ့်တစ်ရာစု အစောပိုင်းကာလများကို အဆင့်မြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မူဘောင်များနှင့် (advanced analytical frameworks) ကွန်ပျူတာ အကူအညီများမှတစ်ဆင့် (computer assistance) ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော သမိုင်းဝင် ပြဿနာများအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်းဖြင့် အမှတ်အသားပြုခဲ့သည်။ ၁၈၅၂ ခုနှစ်တွင် စတင်ယူဆခဲ့ပြီးဖြစ်သော အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ် (Four-Color Theorem) သည် ကဲနတ် အက်ပယ်လ် (Kenneth Appel) နှင့် ဝုဖ်ဂန်း ဟာကင် (Wolfgang Haken) တို့က ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရှောင်လွှဲ၍မရသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို (unavoidable configurations) အကဲဖြတ်ရန်အတွက် အားထုတ်ပစ်ခြင်း နည်းလမ်းကို (method of discharging) အသုံးပြုခြင်းသည် ပထမဆုံး အဓိကကျသော ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်အဖြစ် (computer-assisted mathematical proof) မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သည်။ ယင်းကို နောက်ပိုင်းတွင် ရောဘတ်ဆန်၊ ဆန်ဒါးစ်၊ ဆီးမိုး နှင့် သောမတ်စ် တို့က ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပိုမိုရိုးရှင်းလွယ်ကူအောင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် ကော့ခ် ဆော့ဖ်ဝဲလ်ကို အသုံးပြု၍ ဂွန်သီယာ နှင့် ဗာနာ တို့က ပုံစံတကျ စစ်ဆေးအတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (Classification of Finite Simple Groups) သည် ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာသော ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ကြိုးပမ်းမှုအပြီးတွင် ပြီးမြောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဖိုက်-သွန်မဆင် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]]အစဉ် သီအိုရမ်ဖြင့် (Odd-Order Theorem) စတင်ခဲ့ပြီး ဤသီအိုရမ်က မည်သည့် အဆုံးရှိ ရိုးရှင်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite simple group) မဆို ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group)၊ အလှည့်ကျ အုပ်စု (alternating group)၊ လီ-အမျိုးအစား (Lie-type) သို့မဟုတ် ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော အုပ်စုများ (sporadic groups) ၂၆ ခုထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးခဲ့သည်။ နောက်ဆုံး ဆူဒို-ပါးလွှာသော ကွာဟချက်ကို (quasi-thin gap) အက်ရှ်ဘာကာ နှင့် စမစ်သ် တို့က ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပိတ်နိုင်ခဲ့သည်။ ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat’s Last Theorem) ကို နှစ်ပေါင်း ၃၅၀ ကျော်ကြာပြီးနောက် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂါဟတ် ဖရေး (Gerhard Frey) ၏ မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (non-modular elliptic curves) ဖွဲ့စည်းမှုနှင့် ကန် ရီဘတ် (Ken Ribet) ၏ <math>\varepsilon</math>-ယူဆချက် (<math>\varepsilon</math>-conjecture) သက်သေပြချက်တို့ကို အခြေခံ၍ အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) က ပြသခဲ့ရာတွင် ဆီမီး-တည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် (semistable elliptic curves) တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ်ကို တိုက်ရိုက် သက်ရောက်မှုရှိကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ်သည် ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ သူ့ကို ရစ်ချတ် တေလာ (Richard Taylor) က ကူညီပေးခဲ့သည်။ ပွန်ကာရေး ယူဆချက် (Poincaré Conjecture) ကို ဝီလီယံ သာစတန် (William Thurston) ၏ ဂျီဩမေတြီအသွင်ပြောင်းခြင်း ယူဆချက် (Geometrization Conjecture) နှင့် ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (Richard Hamilton) ၏ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ညီမျှခြင်း (Ricci flow equation) <math>\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2 R_{ij}</math> မိတ်ဆက်မှုတို့မှတစ်ဆင့် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Yakovlevich Perelman) သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၃ ခုနှစ်အတွင်း ခွဲစိတ်မှု နည်းပညာများကို (surgery techniques) အသုံးပြု၍ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို (Ricci flow singularities) ကျော်လွှားခြင်းဖြင့် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ === မြန်မာ့ သင်္ချာသမိုင်း (History of Burmese Mathematics) === မြန်မာ့သိပ္ပံပညာနှင့် သင်္ချာသမိုင်းကြောင်းသည် ရှေးခေတ်ကာလများကတည်းက အခြေတကျ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်ထားသော သင်္ချာကျမ်းများအနက် တစ်ခုမှာ ၁၄ ရာစုနှစ်ဦးပိုင်းတွင် ဇင်းမယ်မြို့၌ ရှင်ဉာဏဝိလာသ ရေးသားပြုစုခဲ့သော "သင်္ချာပကာသက" ကျမ်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကျမ်းကို အခြေခံ၍ ခရစ်နှစ် ၁၅၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ပလိပ်ရွာအရှေ့ရှိ မြို့သစ်မြို့နေ ရှင်သီရိမင်္ဂလက "သင်္ချာပကာသကဋီကာ" ကို ထပ်မံပြုစုခဲ့ပြီး ညောင်ကန်ဆရာတော် ရှင်ကဝိန္ဒ၏ တပည့် ရှင်မုနိန္ဒသာရက "သင်္ချာပကာသက စာကိုယ်နိဿယ" ကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဘိုးတော်ဘုရား (ဗဒုံမင်း) လက်ထက် (၁၇၈၂–၁၈၁၉) တွင် အိန္ဒိယနှင့် သီဟိုဠ်တို့မှ ကျမ်းပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို ယူဆောင်လာခဲ့ပြီး မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုစေခဲ့ရာမှ သင်္ချာပညာရပ်သည် ပိုမိုထွန်းကားလာခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော သမိုင်းဝင်အထောက်အထားတစ်ခုမှာ ၁၇၇၄ ခုနှစ်တွင် ပြုစုခဲ့သော "ဂဏန်းသင်္ချာ ပညာဝဍ္ဎနကျမ်း" ဖြစ်သည်။ ဤကျမ်းကို အပိုင်းလေးပိုင်းခွဲခြားထားပြီး တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပုစ္ဆာပေါင်း ၁၇၅ ပုဒ်ကို တွက်နည်းအဖြေများနှင့်တကွ စနစ်တကျ ပြုစုထားသည်။ ပထမပိုင်းတွင် အလေးချိန်၊ အကွာအဝေး၊ ထုထည် (Volume) နှင့် အချိန်နာရီတို့ကို တိုင်းတာသည့် ယူနစ် (Unit) ဆိုင်ရာ ကိန်းသင်္ချာအကြောင်းကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် "ခု" မှစ၍ သုည ၁၄၀ လုံးပါဝင်သော "အသင်္ချေ" တိုင်အောင် ရေတွက်ခေါ်ဝေါ်သည့် နည်းစနစ်များ ပါဝင်သည်။ ဒုတိယပိုင်းတွင် လုပ်ငန်းခွင်သုံး တိုင်းထွာတွက်ချက်နည်းများကို "ဂဏန်းဆယ်ပါး" ခေါင်းစဉ်ဖြင့် ဖော်ပြထားပြီး စပါး၊ ဆန်၊ ရွှေ၊ ငွေ၊ ဆီမီး၊ ရထား၊ သစ်ပင်၊ လှေ၊ သားရေနှင့် မြေစသည့် ကဏ္ဍများ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရွှေကို အဆင့်ဆင့် သန့်စင်ရာတွင် ဇမ္ဗူရဇ်ရွှေကဲ့သို့ အသန့်စင်ဆုံးအဆင့်ရရှိရန် တွက်ချက်မှုများ၊ သစ်ပင်၏ အမြင့်ကို ဂျီဩမေတြီ (Geometry) အသုံးပြု၍ ရှာဖွေခြင်းများနှင့် မြေကွက်များ၏ ဧရိယာ (Area) တွက်ချက်ခြင်းများ ပါဝင်သည်။ တတိယပိုင်းတွင် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic progression)၊ ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric progression)၊ မရေမရာ ညီမျှခြင်း (Indeterminate equation)၊ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (Algebraic equation)၊ ဆခွဲကိန်း (Factor) နှင့် ဘုံသုဉ်းကိန်းရှာဖွေခြင်းစသည့် သင်္ချာနည်းစနစ် ၁၆ မျိုးကို ပုစ္ဆာပေါင်း ၇၆ ပုဒ်ဖြင့် ရှင်းလင်းထားသည်။ စတုတ္ထပိုင်းတွင် ရှေ့ပိုင်းနည်းစနစ်များကို အခြေခံထားသော လက်တွေ့အသုံးချ ပုစ္ဆာ ၃၀ ပုဒ် ပါဝင်သည်။ ဤကျမ်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို လေ့လာခြင်းအားဖြင့် ရှေးခေတ်မြန်မာတို့သည် စက်ဝိုင်း၊ စက်လုံး၊ ထုလုံးနှင့် ထုချွန်များ၏ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ရှာဖွေခြင်းမှစ၍ ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများအထိ အဆင့်မြင့်မားသော သင်္ချာပညာကို လက်တွေ့အသုံးချနိုင်ခဲ့ကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။<ref name="MyoThantTyn">ဒေါက်တာ မျိုးသန့်တင်။ ''ရှေးခေတ် မြန်မာသိပ္ပံကျမ်းများ''။</ref> == သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများ (Areas of Mathematics) == ဤပညာရပ် ကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်းသည် သဘာဝအလျောက် ကွဲပြားသော်လည်း အလွန်အမင်း အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဘာသာရပ်ခွဲများစွာအဖြစ် ပိုင်းခြားသွားခဲ့သည်။ * ဂဏန်းသင်္ချာ နှင့် ကိန်းသီအိုရီ (Arithmetic and Number Theory) - ရှေးခေတ်တွင် လော်ဂျစ်စတစ်နှင့် (logistic) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကြားတွင် တင်းကျပ်သော ခွဲခြားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ လော်ဂျစ်စတစ်သည် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်တွေ့အသုံးချ နည်းစနစ်ဖြစ်သည်။ (practical technique of computation) ဂဏန်းသင်္ချာသည် ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို (properties of numbers) ဒဿနိကဗေဒအရ သို့မဟုတ် သဘောတရားရေးရာအရ လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ကိန်းသီအိုရီ (Number theory) သည် အဆိုပါ ဂဏန်းသင်္ချာမှ ခေတ်သစ် ဆင်းသက်လာသော ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ အစောပိုင်း မှတ်တိုင်များတွင် ဂရိလူမျိုးများ၏ ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း ပါဝင်သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းတွင် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers)၊ ဆပေါင်းကိန်းများ (composite numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်းများ]] (even numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်းများ]] (odd numbers) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းများ (perfect numbers) တို့ ပါဝင်သည်။ အခြားမှတ်တိုင်တစ်ခုမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်း ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်ဖြစ်သည်။ ဤဘာသာရပ်သည် မသေချာသော ညီမျှခြင်းများ သို့မဟုတ် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို (indeterminate (Diophantine) equations) လေ့လာခြင်းမှတစ်ဆင့် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုများကို ဒိုင်အိုဖန်တပ်စ်၊ ဗြဟ္မဂုတ္တ နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၎င်း၏ Disquisitiones Arithmeticae စာအုပ်ဖြင့် ဤနယ်ပယ်ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူသည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ၏ ခေတ်သစ်သင်္ချာကို (modern mathematics of congruences) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ * ဂျီဩမေတြီ (Geometry) - "မြေတိုင်းတာခြင်း" (earth measurement) အဖြစ် စတင်ခဲ့သော ဂျီဩမေတြီသည် ဂရိလူမျိုးများလက်အောက်တွင် ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခု (deductive science) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၎င်း၏ အထွတ်အထိပ်မှာ ယူကလစ်ဒ်၏ Elements စာအုပ်ဖြစ်ပြီး နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ဤဘာသာရပ်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို (algebraic equations) ဂျီဩမေတြီ မျဉ်းကွေးများတွင် (geometric curves) အသုံးချခြင်းဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (Analytic geometry) ကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ ယင်းက ဂျီဩမေတြီကို ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများပေါ်တွင် (coordinate axes) ပုံဖော်နိုင်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တော်လှန်ပြောင်းလဲမှုတစ်ခုကို တွေ့ကြုံခဲ့ရသည်။ နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး နှင့် ယာနို့စ် ဘိုလိုင် ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို (Non-Euclidean geometry) တိုးတက်စေခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ယူကလစ်ဒ်၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုကို (parallel postulate) ဖယ်ရှားလိုက်လျှင်ပင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ဂျီဩမေတြီများ (consistent geometries) တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို ပြသခြင်းဖြင့် ဤသို့ တိုးတက်စေခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် ကွေးညွှတ်နေသော မက်ထရစ် ရပ်ဝန်းများကို (curved metric spaces) အလွန်ယေဘုယျကျစွာ လေ့လာမှုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုကို ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီဟု (Riemannian geometry) ခေါ်သည်။ ယင်းသည် နောက်ပိုင်းတွင် ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (General Relativity) ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒသီအိုရီများအတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) - အက္ခရာသင်္ချာသည် သမိုင်းဆိုင်ရာ ကျယ်ပြန့်သော အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ စကားပြောဟန် (rhetorical)၊ အတိုကောက်ဟန် (syncopated) နှင့် သင်္ကေတဟန် (symbolic) တို့ဖြစ်သည်။ စကားပြောဟန်သည် စကားလုံးများဖြင့်သာ အပြည့်အဝရေးသားခြင်း ဖြစ်သည်။ အတိုကောက်ဟန်သည် အတိုကောက်အချို့ကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတဟန်သည် အက္ခရာများနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများကို အသုံးပြုသော ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်း ဖြစ်သည်။ ဘေဘီလုံနှင့် အီဂျစ်လူမျိုးများသည် အခြေခံ မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများနှင့် (elementary linear equations) နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို (quadratic equations) ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ဉာဏ်သစ်သွေးသစ်ခေတ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို နှင့် လူဒိုဗီကို ဖာရာရီ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်း (cubic equation) နှင့် စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်း (quartic equation) တို့အတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေများကို (algebraic solutions) ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် စကစ်ပီယွန် ဒယ်လ် ဖဲရိုး နှင့် နီကိုလို ဖွန်တာနာ တာတာဂလီယာ တို့၏ တတိယထပ် အဖြေကို ကနဦး ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အက္ခရာသင်္ချာသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ကို လေ့လာခြင်းမှ သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများကို (abstract structures) လေ့လာခြင်းသို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ ၏ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်၊<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1}}</ref> ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် ၏ ဖလှယ်၍မရသော ကွာတာနီယွန်များ (non-commutative quaternions) ကို တီထွင်မှုနှင့် ဂျော့ချ် ဘူးလ် ၏ ယုတ္တိဗေဒ အက္ခရာသင်္ချာတို့နှင့်အတူ (algebra of logic) အက္ခရာသင်္ချာသည် ရိုးရာကိန်းများနှင့် အမှီအခိုကင်းသော လေ့လာမှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် တိကျသော နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်း နိယာမများဖြင့် (laws of combination) သတ်မှတ်ထားသော သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ နှင့် ကဲကုလပ် (Analysis and Calculus) - ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပမာဏများ (continuous magnitudes)၊ စုဆုံမှတ်များ (limits) နှင့် အနန္တ လုပ်ငန်းစဉ်များကို (infinite processes) ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းသော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲ ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အစောဆုံး မူလအစမှာ ဂရိလူမျိုးများ၏ "ကုန်စင်အောင်လုပ်ခြင်း နည်းလမ်း" (method of exhaustion) တွင် တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ကနိုင်းဒပ်စ်မှ ယူဒေါက်စပ်စ် က သဘောတရားရေးရာအရ တီထွင်ခဲ့ပြီး အာခီမီးဒီးစ် က ဧရိယာများနှင့် ထုထည်များကို ရှာဖွေရာတွင် စနစ်တကျ အသုံးချခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် တို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများဆိုင်ရာ (infinitesimals) သဘောတရားများကို စုစည်း၍ ကဲကုလပ် (Calculus) ကို သီးခြားစီ တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များကို]] (derivatives) ရှာဖွေရန် ယေဘုယျ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို (algorithms) ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ထို့ပြင် ဧရိယာများ သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ်များကို (integrals) ရှာဖွေရန်အတွက်လည်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို "ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်း" (arithmetized) ခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ၎င်းကို ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ်အပေါ် (geometric intuition) မှီခိုနေရခြင်းမှ ဖယ်ရှားပေးခဲ့သည်။ ထို့နောက် စုဆုံမှတ်များ၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) နှင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ၏]] (real numbers) တိကျသေချာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအပေါ် အခြေခံသည့် တိကျသေချာသော အခြေခံအုတ်မြစ်ပေါ်တွင် (rigorous foundation) တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) - ကနဦးတွင် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းအဖြစ် (analysis situs) ပေါ်ထွက်လာသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]သည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းပုံများ၏ (spatial configurations) မွေးရာပါ အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ အသွင်အပြင်များကို (qualitative aspects) လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ဤအသွင်အပြင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော တစ်-တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများအောက်တွင် (continuous one-to-one transformations) မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို လူအများက "ရာဘာချပ် ဂျီဩမေတြီ" ဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိကြသည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး သည် ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ သို့မဟုတ် ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (combinatorial topology) စတင်တည်ထောင်သူဟု ဆိုနိုင်သည်။ သူသည် ပုံသဏ္ဌာန်များကို [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများအဖြစ်]] (manifolds) ရှုမြင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်နေမှုကို လေ့လာခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) အတွက် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပတ်ဝန်းကျင်များကြားရှိ (neighborhoods of elements) ဆက်သွယ်ချက်များအပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝအခြေခံ၍ သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်းများကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ * ဖြစ်တန်စွမ်း နှင့် အသုံးချ သင်္ချာ (Probability and Applied Mathematics) - [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်း]] သီအိုရီ (probability theory) သည် ၁၇ ရာစုတွင် ဘလေ့စ် ပက်စ်ကယ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့ကြား ကံစမ်းကစားနည်းများနှင့် (games of chance) ပတ်သက်၍ စာပေးစာယူပြုလုပ်ရာမှ စတင်ခဲ့သည်။ ၎င်းကို ၁၉ ရာစု အစောပိုင်းတွင် ပီယား ဆိုင်မွန် လာပလေ့စ် က အဓိကကျသော သိပ္ပံနည်းကျ ကိရိယာတစ်ခုအဖြစ် စနစ်တကျ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစုတွင် အသုံးချ သင်္ချာ (Applied mathematics) သည် ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory)၊ ဆိုက်ဘာနက်တစ်နှင့် (cybernetics) ကွန်ပျူတာသိပ္ပံကဲ့သို့သော (computer science) နယ်ပယ်များသို့ အကြီးအကျယ် ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သည်။ ၎င်းကို ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း နှင့် အလန် ကျူးရင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့ကြသည်။ ကွန်ပျူတာများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနကို အခြေခံမှစ၍ ပြောင်းလဲပစ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းတွင် (numerical analysis) အထောက်အကူပြုခဲ့ပြီး နောက်ဆုံးတွင် အရောင်လေးမျိုး ယူဆချက်ကဲ့သို့သော (Four-Color Conjecture) ရှုပ်ထွေးသည့် သင်္ချာသီအိုရီများကို သက်သေပြရန်အတွက် လိုအပ်သော ကြီးမားလှသည့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စွမ်းအားကို (computational power) ထောက်ပံ့ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား (References) == <references /> [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ပင်မ အကြောင်းအရာ ဆောင်းပါးများ]] bsslqf5zbmw4j0vwf4p6zjipcbujftd 1049500 1049499 2026-08-20T02:21:54Z Mkant00 135890 /* ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ - တိကျသေချာမှု၊ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များ၊ နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Analysis: Rigor, Real and Complex Variables, and Measure Theory) */ 1049500 wikitext text/x-wiki [[File:Euclid.jpg|right|thumb|220px|ဘီစီအီး ၃ ရာစုမှ ဂရိ သင်္ချာပညာရှင် ယူကလစ် (ကွန်ပါထောက်တံ ကိုင်ထားသူ) ကို ပန်းချီဆရာ ရာဖယ် က ၎င်း၏ "အေသင်သားတို့ ကျောင်းတော်" အမည်ရ နံရံဆေးရေး ပန်းချီကားကြီးတွင် စိတ်ကူးပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်၏ ပုံမှာ မည်သည့်မီဒီယာတွင်မှ မကျန်ရစ်ဘဲ ဤသရုပ်ဖော်ချက်သည် ပုံဖော်သူ အနုပညာရှင်၏ စိတ်ကူးဉာဏ် ကွန့်မြူးချက်သာ ဖြစ်သည်။]] '''အသိပညာနှင့် စူးစမ်းလေ့လာခြင်း''' ဟု အနက်ဖွင့်ဆိုနိုင်သော ရှေးဂရိဝေါဟာရ μάθημα (máthēma) မှဆင်းသက်လာသည့် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို မြန်မာဘာသာစကားဖြင့် "ရေတွက်ခြင်း" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ရှေးပါဠိဝေါဟာရမှတစ်ဆင့် "သင်္ချာ" ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် သင်္ချာ၏ သဘောသဘာဝနှင့် ပတ်သက်၍ ပုဂ္ဂိုလ်ကျော်များက ရှုထောင့်အမျိုးမျိုးဖြင့် ဖွင့်ဆိုခဲ့ကြသည်။ စွယ်စုံရပညာရှင် ဂယ်လီလီယို (Galileo) က သဘာဝတရားကို ကျမ်းတစ်စောင်ဟု တင်စားခဲ့ပြီး ၎င်းကျမ်းကို သင်္ချာဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားထားကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="Machamer2014">{{Citation |last=Machamer |first=Peter |year=2014 |title=Galileo Galilei |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=CSLI, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/galileo/ |edition=Winter 2014}}</ref> သင်္ချာပညာရှင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) က သင်္ချာကို သိပ္ပံပညာရပ်များ၏ ဘုရင်မအဖြစ် တင်စားခဲ့သည်။<ref name="Beiler1964">{{citation |last=Beiler |first=Albert H. |title=Recreations in the Theory of Numbers (Dover Recreational Math) |publisher=Dover Publications |place=Mineola, NY |edition=2nd |year=1964 |isbn=978-0486210964 |page=1}}</ref> ထို့အပြင် ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) က သင်္ချာသည် မလွှဲမသွေဖြစ်ရမည့် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်များကို ကောက်ချက်ချသော သိပ္ပံပညာရပ်ဖြစ်ကြောင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။<ref name="Peirce1881">{{Citation |last=Peirce |first=Benjamin |title=Linear Associative Algebra |journal=American Journal of Mathematics |volume=4 |issue=1 |year=1881 |pages=97-229 |doi=10.2307/2369153 |url=http://www.jstor.org/stable/2369153 |publisher=The Johns Hopkins University Press}}</ref> ခေတ်ပြိုင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် သက်သေပြချက် (proof) ဖြင့် စစ်ဆေးအတည်ပြုနိုင်သော သရုပ်မဲ့ သဘောတရားများ (abstract concepts) နှင့် ပတ်သက်သည့် ဖော်ပြချက်များ (statements) ကို ဖော်ထုတ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို ကိန်းများ (numbers)၊ ပမာဏများ (magnitudes) နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်များ (forms) ဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခုအဖြစ်သာ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံအကျဆုံး မူလအစသည် သမိုင်းမတင်မီခေတ် လူသားတို့၏ ကိန်းနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တို့တွင်ရှိသော ဆင်တူညီမှုများကို တဖြည်းဖြည်း သတိပြုမိလာခြင်းမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုနှင့် အများအပြားကဲ့သို့သော ရိုးရှင်းသည့် ခြားနားချက်များကို သိမြင်မှတ်မိခြင်းမှသည် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ဆိုသည့် သရုပ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (abstract property) အထိ ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ အလားတူပင် ရက်ကန်းရက်ခြင်း၊ အိုးလုပ်ခြင်းနှင့် ခြင်းတောင်းရက်လုပ်ခြင်းတို့တွင် တွေ့ရသော ရှေးခေတ်လူသားတို့၏ ဒီဇိုင်းများသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ၊ ထပ်တူညီမှု (congruence) နှင့် အချိုးညီမှု (symmetry) တို့အတွက် အခြေခံအလေးထားမှုကို ပြသနေပြီး ယင်းက ဂျီဩမေတြီ (geometry) အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည်။ အစောပိုင်း သင်္ချာစနစ်များသည် အတွေ့အကြုံနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုအပေါ်တွင် များစွာ အခြေခံထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှေးခေတ် အီဂျစ်တွင် ဂျီဩမေတြီသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် စိုက်ပျိုးမြေတိုင်းတာခြင်းအတွက် ကိရိယာတစ်ခုအနေဖြင့် အဓိက တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် နိုင်းမြစ်၏ နှစ်စဉ်ရေကြီးမှုများကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ရှေးခေတ် ဘေဘီလုံ သင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းများအပေါ် များစွာအခြေခံပြီး အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများ (algorithms)၊ ဇယားများနှင့် ညီမျှခြင်းများ (equations) ကို ခန့်မှန်းခြေ ဖြေရှင်းခြင်းတို့အပေါ် အာရုံစိုက်ခဲ့သည်။ ချက်ချင်း အသုံးချရန်ထက် ဉာဏ်ရည်ပိုင်းဆိုင်ရာ သိချင်စိတ်ပြင်းပြမှုက တွန်းအားပေးသည့် ပုံစံတကျ (formalized) ပြီး ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ် (deductive science) တစ်ခုအနေဖြင့် သင်္ချာသည် ရှေးခေတ် ဂရိလူမျိုးများနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ သေးလ် (Thales) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် ဤဘာသာရပ်ကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ ဖွဲ့စည်းမှုဆီသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့သည်ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ သူတို့သည် အခြေခံမူများမှတစ်ဆင့် သီအိုရမ်များ (theorems) ကို သင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြသည့် အစောပိုင်း အစဉ်အလာများကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာ ကြာလာသောအခါ သင်္ချာသည် တည်ဆောက်ပုံ (structure) နှင့် သရုပ်မဲ့ ယုတ္တိဗေဒ (abstract logic) တို့၏ ကျယ်ပြန့်ပြီး အထူးပြုလွန်းသည့်အပြင် စည်းလုံးညီညွတ်သော ဘာသာစကားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြာထွက်လာခဲ့သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ခေတ်သစ် တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုများ (History and Modern Developments) == === ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures) === ဆယ့်ကိုးရာစုသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တွင် တော်လှန်ရေးတစ်ရပ်ကို မြင်တွေ့ခဲ့ရပြီး ၎င်းကို တင်းကျပ်သော ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီ (Euclidean geometry) မူဘောင်မှ အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဂျီဩမေတြီစနစ်များ၏ ကျယ်ပြန့်သော စုစည်းမှုအဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းပေးခဲ့သည်။ ဤစနစ်များ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းမှုသည် ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီကို တောင့်တင်းသော ရွေ့လျားမှု အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (rigid motion transformations) အောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariants) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းကို သုည ကွေးညွှတ်မှု (zero curvature) နှင့် <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော မက်ထရစ် (metric) တို့ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည်။ ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) တွင် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry) နှင့် အဲလစ်ပတစ် ဂျီဩမေတြီ (elliptic geometry) သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီ (spherical geometry) တို့ ပါဝင်သည်။ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အနုတ် ကွေးညွှတ်မှု (constant negative curvature) ရှိသည်။ အဲလစ်ပတစ် သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အပေါင်း ကွေးညွှတ်မှု (constant positive curvature) ရှိသည်။ အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (affine geometry) သည် ပြိုင်တူဖြစ်ခြင်း (parallelism) နှင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင်ရှိခြင်း (collinearity) တို့ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) အပေါ် အာရုံစိုက်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (projective geometry) သည် နှစ်ထပ်အချိုး (cross-ratio) နှင့် ဒွန်တွဲမှု (duality) ကဲ့သို့သော ပရိုဂျက်တစ်ဖြစ်ခြင်းများအောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ဗဟိုပြုသည့် လွှမ်းခြုံနိုင်သော မူဘောင်တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ (Riemannian geometry) သည် ပြောင်းလဲနိုင်သော ကွေးညွှတ်မှု (variable curvature) နှင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) <math>ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dx_i\,dx_j</math> တို့ဖြင့် အုပ်ချုပ်ထားသော ယေဘုယျပြုထားသည့် <math>n</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|တိုင်းတာမှု]]ရှိသော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကို (<math>n</math>-dimensional manifolds) လွှမ်းခြုံထားသည်။ ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီသည် အက်ခိုး ပေါ်လီတက်ကနစ် (École Polytechnique) ၌ ဂတ်စပတ် မွန်ချ် (Gaspard Monge) ကို ဗဟိုပြုသော အစောပိုင်း ၁၉ ရာစု ပြင်သစ်ကျောင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ မွန်ချ်၏ ကျောင်းသားများသည် ဤနယ်ပယ်ကို လမ်းကြောင်းမျိုးစုံသို့ ချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် ဒူပင်း (Charles Dupin) သည် မျက်နှာပြင်များဆိုင်ရာ သီအိုရီကို (theory of surfaces) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဆိုက်ကလိုက် (cyclide) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ သီအိုဒို အိုလီဗီယာ (Théodore Olivier) သည် သင်ကြားရေးအတွက် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဂျီဩမေတြီ ကြိုးမော်ဒယ်များကို (three-dimensional geometric string models) ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခဲ့သည်။ ချားလ်စ်-ဂျူးလ်စ် ဘရီယန်ချွန် (Charles-Jules Brianchon) သည် ပက်စ်ကယ် (Pascal) ၏ ဆန်းကြယ်သော ဆဋ္ဌဂံ သီအိုရမ်အတွက် (Pascal’s mystic hexagram theorem) ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲ (projective dual) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် "အမှတ်" (point) နှင့် "မျဉ်း" (line) ဟူသော သဘောတရားများကို အချင်းချင်းဖလှယ်လိုက်သောအခါတွင် ပြင်ညီ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီရှိ သီအိုရမ်များသည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ ယန်-ဗစ်တာ ပွန်စလတ် (Jean-Victor Poncelet) သည် ၎င်း၏ ၁၈၂၂ ခုနှစ်ထုတ် Traité des propriétés projectives des figures စာအုပ်တွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီကို သီးခြားလွတ်လပ်သော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) မူဝါဒနှင့် အနန္တအမှတ်များ (ideal points) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ စက်ဝိုင်းအားလုံးက မျှဝေပိုင်ဆိုင်ထားသော အနန္တရှိ ကွန်ဂျူဂိတ် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်]] စက်ဝိုင်းအမှတ်များ (conjugate imaginary circular points) နှစ်ခုကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယင်းအမှတ်များကို <math>I</math> နှင့် <math>J</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ မိုက်ကယ် ရှားလ်စ် (Michel Chasles) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်ရှိ အမှတ်လေးမှတ်၏ နှစ်ထပ်အချိုးကို (cross-ratio) အလေးပေးဖော်ပြခဲ့ပြီး ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ :<math>\frac{c - a}{c - b} : \frac{d - a}{d - b}</math> သူသည် ဤနှစ်ထပ်အချိုးသည် ပရိုဂျက်တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (projective transformations) အောက်တွင် ပကတိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိကြောင်းကို (invariant) သက်သေပြခဲ့သည်။ ပေါင်းစပ် မက်ထရစ် ဖန်ရှင် ဂျီဩမေတြီ (synthetic metric geometry) တွင် ဂျက်ကော့ဘ် ရှတိုင်းနား (Jakob Steiner) သည် ယူကလစ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံများအားလုံးကို မျဉ်းဖြောင့်တံတစ်ခုနှင့် (straightedge) ဗဟိုကို (center) ရှင်းလင်းစွာပေးထားသော အထိုင်စက်ဝိုင်းတစ်ခုတည်းကိုသာ (single fixed circle) အသုံးပြု၍ အပြီးသတ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် တတိယထပ်ကိန်း မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် နှစ်ဆယ့်ခုနစ်ကြောင်းကိုလည်း (twenty-seven straight lines on a cubic surface) လေ့လာခဲ့ပြီး ထောင့်ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းဖြစ်သည့် (angle-preserving transformation) ပြောင်းပြန်လှန် ဂျီဩမေတြီ (inversive geometry) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် အမှတ် <math>P</math> နှင့် <math>P'</math> တို့သည် အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိပြီး ဗဟို <math>O</math> ၌ရှိသော စက်ဝိုင်းတစ်ခုနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အချင်းချင်း ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြသည် (inverse)။ ၎င်းတို့သည် <math>(OP)(OP') = r^2</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို ဂျူးလီးယပ်စ် ပလွတ်ကာ (Julius Plücker) က ပြန်လည်အသက်ဝင်စေခဲ့ပြီး သူသည် ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အတိုကောက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို (abridged notation) တီထွင်ခဲ့သည်။ ပလွတ်ကာ၊ ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ် (August Ferdinand Möbius)၊ ကားလ် ဝီလ်ဟမ် ဖွိုင်ယာဘတ် (Karl Wilhelm Feuerbach) နှင့် အက်တီယန် ဘိုဘီလီယာ (Étienne Bobillier) တို့သည် တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ (homogeneous coordinates) ကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထိုကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် <math>t = 0</math> သည် အနန္တရှိ မျဉ်းကို (line at infinity) ကိုယ်စားပြုသည်။ ပလွတ်ကာသည် မျဉ်း ကိုဩဒိနိတ်များ (line coordinates) ကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် <math>(u, v, w)</math> ဖြစ်ကြပြီး မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များဟူသော သဘောတရားကို အမှတ်တစ်ခုကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းများဟူသော ဒွန်တွဲသဘောတရားအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးခဲ့သည်။ ၁၈၃၄ ခုနှစ်တွင် သူသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေး (algebraic curve) တစ်ခု၏ အဆင့် (order) <math>n</math>၊ အတန်းအစား (class) <math>m</math>၊ ဆုံမှတ်များ (nodes) <math>\delta</math>၊ အချွန်မှတ်များ (cusps) <math>\kappa</math>၊ ငြိမ်နေသော ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် အကွေ့မှတ်များ (stationary tangents/inflections) <math>\iota</math> နှင့် ထိမျဉ်းနှစ်ထပ်များ (bitangents) <math>\tau</math> တို့ကို ဆက်စပ်ပေးသော ညီမျှခြင်းများကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ :<math>m = n(n - 1) - 2\delta - 3\kappa \quad \text{and} \quad n = m(m - 1) - 2\tau - 3\iota</math> :<math>\iota = 3n(n - 2) - 6\delta - 8\kappa \quad \text{and} \quad \kappa = 3m(m - 2) - 6\tau - 8\iota</math> ယူကလစ်ဒ်၏ ပဉ္စမမြောက် ကြိုတင်အဆိုကို (Fifth Postulate) သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းမှုသည် ၎င်းမပါဘဲ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (consistent) ရှိသော ဂျီဩမေတြီများ တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို သင်္ချာပညာရှင်များက ပြသနိုင်ခဲ့ချိန်တွင် အဆုံးသတ်သွားခဲ့သည်။ ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ဤအချက်ကို စောစီးစွာကတည်းက သီးသန့် အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော် နီကိုလိုင်း အိုင်ဗန်နိုဗစ်ချ် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) သည် ၁၈၂၉ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) သည် ၁၈၃၂ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ၏ (non-Euclidean hyperbolic geometry) ပထမဆုံး ပုံစံတကျ စနစ်များကို ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်ပေါင်းလဒ်သည် (angle sum) ၁၈၀ ဒီဂရီထက် တိကျစွာ လျော့နည်းသည်။ ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ (Eugenio Beltrami) သည် ဤဂျီဩမေတြီ၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) ၁၈၆၈ ခုနှစ်တွင် ဆူဒိုစက်လုံးမျက်နှာပြင် (pseudosphere) ပေါ်တွင် လက်တွေ့ဖော်ဆောင်ခြင်းဖြင့် သက်သေပြခဲ့သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry) ကို ၁၈၂၇ ခုနှစ်တွင် ဂေါက်စ်က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သူသည် ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian curvature) <math>K</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ကွေးနေသော ကိန်းရှင်ကြားခံ မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) သည် ဒုတိယထပ်ကိန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (quadratic differential form) <math>ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2</math> အပေါ် မူတည်ကြောင်းကို အတည်ပြုခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) ၏ ၁၈၅၄ ခုနှစ် ဟာဘီလီတေးရှင်း ဟောပြောချက်သည် ၎င်းကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိသော မန်နီဖိုးများအထိ (n-dimensional manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် သူ၏ အာလန်ဂါ ပရိုဂရမ် (Erlanger Programm) မှတစ်ဆင့် ဤကွဲပြားနေသော ဂျီဩမေတြီများကို ပေါင်းစပ်ခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီကို တိကျသော အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (transformation groups) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariant properties) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization) === ဆယ့်ကိုးရာစုနှင့် နှစ်ဆယ်ရာစုများအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းမှ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures)၊ တွက်ချက်မှုများ (operations) နှင့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) တို့ကို သရုပ်မဲ့ လေ့လာခြင်းဆီသို့ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်။ ယင်းက [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups)၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းနိုင်ရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1, 7, 13}}</ref> သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာ၏ (symbolic algebra) အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ဂျော့ချ် ပီးကော့ (George Peacock) နှင့် ဩဂတ်စတပ်စ် ဒီ မော်ဂန် (Augustus De Morgan) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ပီးကော့သည် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (arithmetical algebra) သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာမှ ခွဲခြားပြသခဲ့သည်။ ဒီ မော်ဂန်ကမူ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများသည် (operational symbols) အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်းများသာဖြစ်ကြောင်း (arbitrary abstractions) ငြင်းဆိုခဲ့သည်။ ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) သည် ယုတ္တိဗေဒနှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) ဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (algebra of logic) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် စကြဝဠာ အစု (universal set) ကို <math>1</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ဗလာစု (null set) ကို <math>0</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ပေါင်းစပ်စု (union) ကို <math>+</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ကို <math>\times</math> ဖြင့်လည်းကောင်း သတ်မှတ်ပြသခဲ့ပြီး ထပ်တူရပေး နိယာမ (idempotent law) <math>x^2 = x</math> ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များ (noncommutative systems) သည် ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် (William Rowan Hamilton) က မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ နိယာမ]] (commutative law of multiplication) ကို စွန့်လွှတ်ကာ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) ကို တီထွင်လိုက်ချိန်တွင် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ :<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math> :<math>ij = k = -ji, \quad jk = i = -kj, \quad ki = j = -ik</math> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း (Hermann Grassmann) သည် <math>n</math>-တိုင်းတာမှုရှိသော မျဉ်းဖြောင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (linear vector spaces) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ဟာမီလ်တန်-ကေးလီ သီအိုရမ်ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ဂျိမ်းစ် ဂျိုးဆက် ဆေးလ်ဗက်စတာ (James Joseph Sylvester) သည် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရီ (invariant theory) ကို မြှင့်တင်ပေးခဲ့သည်။ ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) နှင့် ချားလ်စ် ဆန်ဒါးစ် ပီးယားစ် (Charles Sanders Peirce) တို့သည် မျဉ်းဖြောင့် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] အက္ခရာသင်္ချာများ (linear associative algebras) ကို ဆက်လက် အမျိုးအစားခွဲခြားခဲ့ကြသည်။ ယင်း၏ အထွတ်အထိပ်ရလဒ်အနေဖြင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers)၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) နှင့် ကွာတာနီယွန်များသည်သာလျှင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ကိန်းစစ် ဖက်စပ်ရ အစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း သီအိုရမ်ကို (classification theorem) ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် (Ferdinand Georg Frobenius) က ၁၈၇၇ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ စီ အက်စ် ပီးယားစ်က ၁၈၈၁ ခုနှစ်တွင် သီးခြားစီလည်းကောင်း ပုံစံတကျ အတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အုပ်စုများ၊ ကွင်းများနှင့် ဖီးလ်ဒ်များကို သဘောတရားအဖြစ် ဖွဲ့စည်းခြင်းက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) ကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အချိုးညီမှုများနှင့် (symmetries) ချိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ကိန်းရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရရန်မှာ ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) အုပ်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း သူက သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=14}}</ref> ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) သည် ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓ]]ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique prime factorization) ကို ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]]ရင်းများ (algebraic integers) ၏ ကွင်းများတွင် အိုင်ဒီးလ်များကို (ideals) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=7}}</ref> ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် ဂျေ အိတ်ချ် အမ် ဝက်ဒါဘန်း (J. H. M. Wedderburn) သည် ဆီမီးရိုးရှင်းသော အက္ခရာသင်္ချာများအတွက် (semisimple algebras) တည်ဆောက်ပုံ သီအိုရမ်များကို (structure theorems) ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အန်းစ် ရှတိုင်းနစ်ဇ် (Ernst Steinitz) သည် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) ကို နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=13}}</ref> အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) သည် အစဉ်လိုက်တိုး ချိတ်တန်း အခြေအနေများ (ascending chain conditions) ကို အသုံးပြု၍ နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော ကွင်းသီအိုရီ (axiomatic ring theory) ကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=15}}</ref> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ဂေါ့လော့ ဖရေဂါ (Gottlob Frege) နှင့် ဂျူဆက်ပီ ပီယာနို (Giuseppe Peano) တို့က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဖရေဂါသည် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ယုတ္တိဗေဒမှ ဆင်းသက်ရယူရန် ကြိုးစားခဲ့ပြီး ပီယာနိုသည် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) အတွက် နဂိုမှန်အဆို အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ - တိကျသေချာမှု၊ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များ၊ နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Analysis: Rigor, Real and Complex Variables, and Measure Theory) === [[File:Bernhard_Riemann_3.jpg|right|thumb|220px|ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (1862)]] [[File:Augustin-Louis_Cauchy_1901.jpg|right|thumb|220px| ကော်ချီ၏ ကျောက်ပုံနှိပ်ပုံ (1840)]] ကဲကုလပ် (calculus) သည် ၁၉ ရာစုတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များမှ တိကျသေချာသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (rigorous mathematical analysis) သို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ ဤအပြောင်းအလဲသည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) နှင့် စုဆုံမှတ်များကို (limits) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများကို (logical circularity) ဖယ်ရှားရန် လိုအပ်ခြင်းကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် သင်္ချာပညာရှင် ငါးဦးသည် ကိန်းစစ်များအတွက် သီးသန့် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် မေရေး (Charles Méray)၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass)၊ ဟိုင်းနရစ် အက်ဒ်ဝပ် ဟိုင်းနား (Heinrich Eduard Heine) နှင့် ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) တို့သည် ကိန်းစစ်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏]] စုဆုံ ကိန်းစဉ်များ (convergent sequences of rational numbers) သို့မဟုတ် အခြေခံ ကိန်းစဉ်များကို (fundamental sequences) အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်းသည် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းကို (Dedekind Cut) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ သူသည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို]] (irrationalities) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းအားလုံးကို ဘုံမပါသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (disjoint subsets) နှစ်ခုအဖြစ် အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို (complex analysis) အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) က စနစ်တကျ တိုးတက်စေခဲ့သည်။ သူသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများကို (Cauchy-Riemann differential equations) ဆင်းသက်ရယူခဲ့သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများမှာ <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် သူသည် အကြွင်း ကဲကုလပ်နှင့်အတူ (residue calculus) ကော်ချီ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ်ကို (Integral Theorem) <math>\oint f(z)\,dz = 0</math> သက်သေပြခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် တန်ဖိုးများစွာရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (multivalued functions) တစ်ပြေးညီဖြစ်စေရန် (uniformize) ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များမှတစ်ဆင့် (Riemann surfaces) တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်နည်းတစ်ခုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် ဇီတာ ဖန်ရှင် (zeta function) <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}</math> ၏ သုညမှတ်များနှင့် ပတ်သက်သော ရီးမန်း ယူဆချက်ကိုလည်း (Hypothesis) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်သည် ဤဖီးလ်ဒ်ကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆက်လက်တည်ရှိခြင်းတို့မှတစ်ဆင့် (analytic continuation) တင်းကျပ်စွာ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီတို့သည် (measure theory) အီမီးလ် ဘိုရဲလ် (Émile Borel) မှတစ်ဆင့် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ သူသည် ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှုကို (countable additivity) အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) ပေါ်တွင် အတိုင်းအတာ သီအိုရီကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည်လည်း ဤနယ်ပယ်ကို တိုးတက်စေခဲ့ပြီး သူသည် ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်ကို (Lebesgue integral) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ လီဘက်ဂ်သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ထက် ပုံရိပ်အစုကို (range) ပိုမိုသေးငယ်စွာ ထပ်မံပိုင်းခြားခြင်းအားဖြင့် အလွန်အမင်း [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များကို]] (discontinuous functions) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) ရှိစေခဲ့သည်။ ယင်းက [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်|ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်ကို]] (Fundamental Theorem of Calculus) ချဲ့ထွင်ပေးခဲ့သည်။ === တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Topology and Functional Analysis) === [[File:Curie_and_Poincare_1911_Solvay.jpg|right|thumb|220px|ဆိုးလ်ဗေး ညီလာခံတွင် မာရီ ကျူရီ နှင့် ပွန်ကာရေးတို့ စကားပြောဆိုနေစဉ် (1911)]] [[File:Hilbert.jpg|right|thumb|220px|ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (1912)]] [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) သည် နှစ်ဆယ်ရာစု သင်္ချာတွင် အဓိကကျသော ပေါင်းစပ်ပေးသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) သည် ၁၈၉၅ ခုနှစ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (algebraic topology) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ဟိုမိုလော်ဂျီကို (simplicial homology) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဗက်တီ ကိန်းများကို (Betti numbers) အသုံးပြု၍ ဗဟုဂံပုံသေနည်းကို (polyhedral formula) ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာရှိ မန်နီဖိုးများအထိ (manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အခြေခံအုပ်စုကို (fundamental group) လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ပွန်ကာရေး ဟိုမိုလော်ဂျီ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Poincaré homology sphere) ကို ဖော်ထုတ်မှုသည် ပွန်ကာရေး ယူဆချက်ဆီသို့ (Poincaré conjecture) ဦးတည်စေခဲ့သည်။ အယ်လ် အီး ဂျေ ဘရောင်းဝါး (L. E. J. Brouwer) သည် အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (fixed-point theorem) အပါအဝင် အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရမ်များကို (topological invariance theorems) ဆက်လက် သက်သေပြခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (Point-set topology) မောရစ် ဖရေးရှေး (Maurice Fréchet) နှင့် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ဖရေးရှေးသည် ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို]] (metric spaces) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) နှင့် ခွဲခြားခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများကို (separation axioms) အသုံးပြု၍ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် (topological spaces) နဂိုမှန်အဆို စနစ်ကို (axiomatic system) ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာသည်လည်း (functional analysis) တစ်ပြိုင်နက်တည်း တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများကို (inner product spaces) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) သည် ပြည့်စုံသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို]] (complete normed vector spaces) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ လော်ရင့် ရွှာ့ဇ် (Laurent Schwartz) ၏ ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီသည် (theory of distributions) ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာကဲ့သို့ (Dirac delta) ယေဘုယျပြုထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (generalized functions) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === နှစ်ဆယ်ရာစု ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း - ဘော်ဘာကီ၊ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Twentieth-Century Synthesis: Bourbaki, Category Theory, and Algebraic Geometry) === [[File:Weil.jpg|right|thumb|220px|အန်ဒရေး ဗေးလ် (1956)]] [[File:NBourbaki 3.png|right|thumb|220px|ဘော်ဘာကီ ညီလာခံ (1951)]] ၂၀ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဘာသာရပ်သည် သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများ (abstract structures) နှင့် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ (categorical relationships) ကို အလေးပေးခြင်းဖြင့် အရင်ကမရှိဖူးသော ပေါင်းစပ်ညီညွတ်မှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၃၄ ခုနှစ်မှစတင်၍ ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင်များ အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့သည် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ဟူသော ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေထုတ်ဝေလျက် အတွဲများစွာပါဝင်သော Éléments de mathématique (သင်္ချာ၏ အခြေခံများ) ကို ရေးသားပြုစုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ နည်းစနစ်သည် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ နည်းလမ်း (axiomatic method) ကို တင်းကျပ်စွာ လိုက်နာမှုနှင့် ယေဘုယျ တည်ဆောက်ပုံများမှ (general structures) တိကျသော အသုံးချမှုများဆီသို့ (specific applications) ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တိုးတက်မှုကို (logical progression) အလေးပေးခဲ့သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (Category theory) ကို ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကွဲပြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန် ကတ်တဂိုရီများ (categories)၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]] (functors) နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] (natural transformations) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် အွန်ရီ ကာတန် (Henri Cartan) နှင့် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်တို့သည် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို ဖန်တီးရန် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တို့ကို ပေါင်းစပ်ခဲ့ကြသည်။ ဤကာလအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) သည် တော်လှန်ပြောင်းလဲခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ အော်စကာ ဇာရစ်စကီး (Oscar Zariski)၊ ဘီ အယ်လ် ဗန် ဒါ ဗေဒင် (B. L. van der Waerden) နှင့် အန်ဒရေး ဗေးလ် (André Weil) တို့သည် ဤဘာသာရပ်ခွဲကို တိကျသေချာသော [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (rigorous commutative algebra) ဖြင့် အခြေခံချပေးခဲ့ကြသည်။ ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှင့် ၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ယန် လီရေး (Jean Leray)၊ ယန်-ပီယာ ဆဲရ် (Jean-Pierre Serre) နှင့် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) တို့သည် [[အစည်း|အစည်းများ]] (sheaves)၊ စကင်းမ်များ (schemes)၊ တိုပို့စ်များ (topoi) နှင့် အေတဲလ် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (étale cohomology) ဟူသော ဘာသာစကားမှတစ်ဆင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို လုံးဝအသစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဤမူဘောင်သည် ပီယာ ဒေလင်း (Pierre Deligne) အား ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အနက်ရှိုင်းဆုံးသော ဗေးလ် ယူဆချက်များကို သက်သေပြရန် လုပ်ဆောင်နိုင်စေခဲ့သည်။ === ယုတ္တိဗေဒ၊ အခြေခံအုတ်မြစ်များနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Logic, Foundations, and Computational Mathematics) === ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) ၏ အခြေခံဆိုင်ရာ ပြဿနာများ (foundational problems) နှစ်ဆယ့်သုံးခု တင်ပြချက်မှ ကြီးမားစွာ လွှမ်းမိုးမှုခံရသော ၂၀ ရာစုသည် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) နှင့် တွက်ချက်ခြင်း (computation) ဆိုင်ရာ အခြေခံ မေးခွန်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ယုတ္တိဗေဒ (logic) တွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများမှ (logical axioms) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ဆင်းသက်ရယူရန် ဘာထရန် ရပ်ဆဲလ် (Bertrand Russell) နှင့် အဲလ်ဖရက် နော့သ် ဝှိုက်ဟတ် (Alfred North Whitehead) တို့၏ ကြိုးပမ်းမှုများသည် ကာ့တ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ ၁၉၃၁ ခုနှစ် မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (Incompleteness Theorems) ကြောင့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်စေခဲ့သည်။ မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုစနစ်မဆို (consistent formal axiomatic system) အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာကို (basic arithmetic) လုပ်ဆောင်နိုင်သောအခါ ၎င်းသည် ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော အဆိုများကို (undecidable propositions) ပါဝင်စေပြီး ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (own consistency) သက်သေမပြနိုင်ကြောင်း ဂိုဒယ်က ပြသခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်၏ ပထမဆုံး ပြဿနာဖြစ်သော ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) ၏ တိုးတက်မှုသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ဂိုဒယ်က ၎င်း၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) သက်သေပြခဲ့ပြီး ပေါလ် ကိုဟင် (Paul Cohen) က ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် အတင်းအကျပ် ပြောင်းလဲခြင်းနည်းလမ်းကို (method of forcing) အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို (independence) သက်သေပြခဲ့သည်။ တွက်ချက်မှု သီအိုရီ (theory of computation) ကို အလန် ကျူးရင်း (Alan Turing) က ၁၉၃၆ ခုနှစ်တွင် ပုံစံတကျ တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ကျူးရင်းသည် တွက်ချက်ခြင်းအတွက် စကြဝဠာ သဘောတရားရေးရာ မော်ဒယ်ကို (universal theoretical model) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤမော်ဒယ်ကို ကျူးရင်း စက်ဟု (Turing machine) သိကြသည်။ ထို့ပြင် သူသည် ရပ်တန့်ခြင်း ပြဿနာ၏ (halting problem) ဖြေရှင်း၍မရနိုင်စွမ်းကို (insolvability) သက်သေပြခဲ့ပြီး ယင်းက ဟီလ်ဘတ်၏ ဆုံးဖြတ်ချက် ပြဿနာကို (decision problem) ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) သည် အီလက်ထရောနစ် ကွန်ပျူတာ တည်ဆောက်ပုံ (electronic computer architecture)၊ ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory) နှင့် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) ကို ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာကို ဆက်လက်တိုးတက်စေခဲ့သည်။ === မကြာသေးမီ ဆယ်စုနှစ်များအတွင်း နာမည်ကြီး ယူဆချက်များအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း (Resolution of Famous Conjectures in Recent Decades) === နှစ်ဆယ်ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် နှစ်ဆယ့်တစ်ရာစု အစောပိုင်းကာလများကို အဆင့်မြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မူဘောင်များနှင့် (advanced analytical frameworks) ကွန်ပျူတာ အကူအညီများမှတစ်ဆင့် (computer assistance) ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော သမိုင်းဝင် ပြဿနာများအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်းဖြင့် အမှတ်အသားပြုခဲ့သည်။ ၁၈၅၂ ခုနှစ်တွင် စတင်ယူဆခဲ့ပြီးဖြစ်သော အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ် (Four-Color Theorem) သည် ကဲနတ် အက်ပယ်လ် (Kenneth Appel) နှင့် ဝုဖ်ဂန်း ဟာကင် (Wolfgang Haken) တို့က ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရှောင်လွှဲ၍မရသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို (unavoidable configurations) အကဲဖြတ်ရန်အတွက် အားထုတ်ပစ်ခြင်း နည်းလမ်းကို (method of discharging) အသုံးပြုခြင်းသည် ပထမဆုံး အဓိကကျသော ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်အဖြစ် (computer-assisted mathematical proof) မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သည်။ ယင်းကို နောက်ပိုင်းတွင် ရောဘတ်ဆန်၊ ဆန်ဒါးစ်၊ ဆီးမိုး နှင့် သောမတ်စ် တို့က ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပိုမိုရိုးရှင်းလွယ်ကူအောင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် ကော့ခ် ဆော့ဖ်ဝဲလ်ကို အသုံးပြု၍ ဂွန်သီယာ နှင့် ဗာနာ တို့က ပုံစံတကျ စစ်ဆေးအတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (Classification of Finite Simple Groups) သည် ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာသော ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ကြိုးပမ်းမှုအပြီးတွင် ပြီးမြောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဖိုက်-သွန်မဆင် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]]အစဉ် သီအိုရမ်ဖြင့် (Odd-Order Theorem) စတင်ခဲ့ပြီး ဤသီအိုရမ်က မည်သည့် အဆုံးရှိ ရိုးရှင်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite simple group) မဆို ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group)၊ အလှည့်ကျ အုပ်စု (alternating group)၊ လီ-အမျိုးအစား (Lie-type) သို့မဟုတ် ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော အုပ်စုများ (sporadic groups) ၂၆ ခုထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးခဲ့သည်။ နောက်ဆုံး ဆူဒို-ပါးလွှာသော ကွာဟချက်ကို (quasi-thin gap) အက်ရှ်ဘာကာ နှင့် စမစ်သ် တို့က ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပိတ်နိုင်ခဲ့သည်။ ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat’s Last Theorem) ကို နှစ်ပေါင်း ၃၅၀ ကျော်ကြာပြီးနောက် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂါဟတ် ဖရေး (Gerhard Frey) ၏ မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (non-modular elliptic curves) ဖွဲ့စည်းမှုနှင့် ကန် ရီဘတ် (Ken Ribet) ၏ <math>\varepsilon</math>-ယူဆချက် (<math>\varepsilon</math>-conjecture) သက်သေပြချက်တို့ကို အခြေခံ၍ အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) က ပြသခဲ့ရာတွင် ဆီမီး-တည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် (semistable elliptic curves) တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ်ကို တိုက်ရိုက် သက်ရောက်မှုရှိကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ်သည် ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ သူ့ကို ရစ်ချတ် တေလာ (Richard Taylor) က ကူညီပေးခဲ့သည်။ ပွန်ကာရေး ယူဆချက် (Poincaré Conjecture) ကို ဝီလီယံ သာစတန် (William Thurston) ၏ ဂျီဩမေတြီအသွင်ပြောင်းခြင်း ယူဆချက် (Geometrization Conjecture) နှင့် ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (Richard Hamilton) ၏ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ညီမျှခြင်း (Ricci flow equation) <math>\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2 R_{ij}</math> မိတ်ဆက်မှုတို့မှတစ်ဆင့် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Yakovlevich Perelman) သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၃ ခုနှစ်အတွင်း ခွဲစိတ်မှု နည်းပညာများကို (surgery techniques) အသုံးပြု၍ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို (Ricci flow singularities) ကျော်လွှားခြင်းဖြင့် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ === မြန်မာ့ သင်္ချာသမိုင်း (History of Burmese Mathematics) === မြန်မာ့သိပ္ပံပညာနှင့် သင်္ချာသမိုင်းကြောင်းသည် ရှေးခေတ်ကာလများကတည်းက အခြေတကျ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်ထားသော သင်္ချာကျမ်းများအနက် တစ်ခုမှာ ၁၄ ရာစုနှစ်ဦးပိုင်းတွင် ဇင်းမယ်မြို့၌ ရှင်ဉာဏဝိလာသ ရေးသားပြုစုခဲ့သော "သင်္ချာပကာသက" ကျမ်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကျမ်းကို အခြေခံ၍ ခရစ်နှစ် ၁၅၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ပလိပ်ရွာအရှေ့ရှိ မြို့သစ်မြို့နေ ရှင်သီရိမင်္ဂလက "သင်္ချာပကာသကဋီကာ" ကို ထပ်မံပြုစုခဲ့ပြီး ညောင်ကန်ဆရာတော် ရှင်ကဝိန္ဒ၏ တပည့် ရှင်မုနိန္ဒသာရက "သင်္ချာပကာသက စာကိုယ်နိဿယ" ကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဘိုးတော်ဘုရား (ဗဒုံမင်း) လက်ထက် (၁၇၈၂–၁၈၁၉) တွင် အိန္ဒိယနှင့် သီဟိုဠ်တို့မှ ကျမ်းပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို ယူဆောင်လာခဲ့ပြီး မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုစေခဲ့ရာမှ သင်္ချာပညာရပ်သည် ပိုမိုထွန်းကားလာခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော သမိုင်းဝင်အထောက်အထားတစ်ခုမှာ ၁၇၇၄ ခုနှစ်တွင် ပြုစုခဲ့သော "ဂဏန်းသင်္ချာ ပညာဝဍ္ဎနကျမ်း" ဖြစ်သည်။ ဤကျမ်းကို အပိုင်းလေးပိုင်းခွဲခြားထားပြီး တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပုစ္ဆာပေါင်း ၁၇၅ ပုဒ်ကို တွက်နည်းအဖြေများနှင့်တကွ စနစ်တကျ ပြုစုထားသည်။ ပထမပိုင်းတွင် အလေးချိန်၊ အကွာအဝေး၊ ထုထည် (Volume) နှင့် အချိန်နာရီတို့ကို တိုင်းတာသည့် ယူနစ် (Unit) ဆိုင်ရာ ကိန်းသင်္ချာအကြောင်းကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် "ခု" မှစ၍ သုည ၁၄၀ လုံးပါဝင်သော "အသင်္ချေ" တိုင်အောင် ရေတွက်ခေါ်ဝေါ်သည့် နည်းစနစ်များ ပါဝင်သည်။ ဒုတိယပိုင်းတွင် လုပ်ငန်းခွင်သုံး တိုင်းထွာတွက်ချက်နည်းများကို "ဂဏန်းဆယ်ပါး" ခေါင်းစဉ်ဖြင့် ဖော်ပြထားပြီး စပါး၊ ဆန်၊ ရွှေ၊ ငွေ၊ ဆီမီး၊ ရထား၊ သစ်ပင်၊ လှေ၊ သားရေနှင့် မြေစသည့် ကဏ္ဍများ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရွှေကို အဆင့်ဆင့် သန့်စင်ရာတွင် ဇမ္ဗူရဇ်ရွှေကဲ့သို့ အသန့်စင်ဆုံးအဆင့်ရရှိရန် တွက်ချက်မှုများ၊ သစ်ပင်၏ အမြင့်ကို ဂျီဩမေတြီ (Geometry) အသုံးပြု၍ ရှာဖွေခြင်းများနှင့် မြေကွက်များ၏ ဧရိယာ (Area) တွက်ချက်ခြင်းများ ပါဝင်သည်။ တတိယပိုင်းတွင် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic progression)၊ ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric progression)၊ မရေမရာ ညီမျှခြင်း (Indeterminate equation)၊ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (Algebraic equation)၊ ဆခွဲကိန်း (Factor) နှင့် ဘုံသုဉ်းကိန်းရှာဖွေခြင်းစသည့် သင်္ချာနည်းစနစ် ၁၆ မျိုးကို ပုစ္ဆာပေါင်း ၇၆ ပုဒ်ဖြင့် ရှင်းလင်းထားသည်။ စတုတ္ထပိုင်းတွင် ရှေ့ပိုင်းနည်းစနစ်များကို အခြေခံထားသော လက်တွေ့အသုံးချ ပုစ္ဆာ ၃၀ ပုဒ် ပါဝင်သည်။ ဤကျမ်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို လေ့လာခြင်းအားဖြင့် ရှေးခေတ်မြန်မာတို့သည် စက်ဝိုင်း၊ စက်လုံး၊ ထုလုံးနှင့် ထုချွန်များ၏ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ရှာဖွေခြင်းမှစ၍ ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများအထိ အဆင့်မြင့်မားသော သင်္ချာပညာကို လက်တွေ့အသုံးချနိုင်ခဲ့ကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။<ref name="MyoThantTyn">ဒေါက်တာ မျိုးသန့်တင်။ ''ရှေးခေတ် မြန်မာသိပ္ပံကျမ်းများ''။</ref> == သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများ (Areas of Mathematics) == ဤပညာရပ် ကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်းသည် သဘာဝအလျောက် ကွဲပြားသော်လည်း အလွန်အမင်း အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဘာသာရပ်ခွဲများစွာအဖြစ် ပိုင်းခြားသွားခဲ့သည်။ * ဂဏန်းသင်္ချာ နှင့် ကိန်းသီအိုရီ (Arithmetic and Number Theory) - ရှေးခေတ်တွင် လော်ဂျစ်စတစ်နှင့် (logistic) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကြားတွင် တင်းကျပ်သော ခွဲခြားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ လော်ဂျစ်စတစ်သည် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်တွေ့အသုံးချ နည်းစနစ်ဖြစ်သည်။ (practical technique of computation) ဂဏန်းသင်္ချာသည် ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို (properties of numbers) ဒဿနိကဗေဒအရ သို့မဟုတ် သဘောတရားရေးရာအရ လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ကိန်းသီအိုရီ (Number theory) သည် အဆိုပါ ဂဏန်းသင်္ချာမှ ခေတ်သစ် ဆင်းသက်လာသော ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ အစောပိုင်း မှတ်တိုင်များတွင် ဂရိလူမျိုးများ၏ ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း ပါဝင်သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းတွင် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers)၊ ဆပေါင်းကိန်းများ (composite numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်းများ]] (even numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်းများ]] (odd numbers) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းများ (perfect numbers) တို့ ပါဝင်သည်။ အခြားမှတ်တိုင်တစ်ခုမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်း ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်ဖြစ်သည်။ ဤဘာသာရပ်သည် မသေချာသော ညီမျှခြင်းများ သို့မဟုတ် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို (indeterminate (Diophantine) equations) လေ့လာခြင်းမှတစ်ဆင့် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုများကို ဒိုင်အိုဖန်တပ်စ်၊ ဗြဟ္မဂုတ္တ နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၎င်း၏ Disquisitiones Arithmeticae စာအုပ်ဖြင့် ဤနယ်ပယ်ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူသည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ၏ ခေတ်သစ်သင်္ချာကို (modern mathematics of congruences) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ * ဂျီဩမေတြီ (Geometry) - "မြေတိုင်းတာခြင်း" (earth measurement) အဖြစ် စတင်ခဲ့သော ဂျီဩမေတြီသည် ဂရိလူမျိုးများလက်အောက်တွင် ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခု (deductive science) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၎င်း၏ အထွတ်အထိပ်မှာ ယူကလစ်ဒ်၏ Elements စာအုပ်ဖြစ်ပြီး နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ဤဘာသာရပ်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို (algebraic equations) ဂျီဩမေတြီ မျဉ်းကွေးများတွင် (geometric curves) အသုံးချခြင်းဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (Analytic geometry) ကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ ယင်းက ဂျီဩမေတြီကို ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများပေါ်တွင် (coordinate axes) ပုံဖော်နိုင်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တော်လှန်ပြောင်းလဲမှုတစ်ခုကို တွေ့ကြုံခဲ့ရသည်။ နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး နှင့် ယာနို့စ် ဘိုလိုင် ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို (Non-Euclidean geometry) တိုးတက်စေခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ယူကလစ်ဒ်၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုကို (parallel postulate) ဖယ်ရှားလိုက်လျှင်ပင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ဂျီဩမေတြီများ (consistent geometries) တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို ပြသခြင်းဖြင့် ဤသို့ တိုးတက်စေခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် ကွေးညွှတ်နေသော မက်ထရစ် ရပ်ဝန်းများကို (curved metric spaces) အလွန်ယေဘုယျကျစွာ လေ့လာမှုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုကို ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီဟု (Riemannian geometry) ခေါ်သည်။ ယင်းသည် နောက်ပိုင်းတွင် ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (General Relativity) ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒသီအိုရီများအတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) - အက္ခရာသင်္ချာသည် သမိုင်းဆိုင်ရာ ကျယ်ပြန့်သော အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ စကားပြောဟန် (rhetorical)၊ အတိုကောက်ဟန် (syncopated) နှင့် သင်္ကေတဟန် (symbolic) တို့ဖြစ်သည်။ စကားပြောဟန်သည် စကားလုံးများဖြင့်သာ အပြည့်အဝရေးသားခြင်း ဖြစ်သည်။ အတိုကောက်ဟန်သည် အတိုကောက်အချို့ကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတဟန်သည် အက္ခရာများနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများကို အသုံးပြုသော ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်း ဖြစ်သည်။ ဘေဘီလုံနှင့် အီဂျစ်လူမျိုးများသည် အခြေခံ မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများနှင့် (elementary linear equations) နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို (quadratic equations) ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ဉာဏ်သစ်သွေးသစ်ခေတ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို နှင့် လူဒိုဗီကို ဖာရာရီ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်း (cubic equation) နှင့် စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်း (quartic equation) တို့အတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေများကို (algebraic solutions) ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် စကစ်ပီယွန် ဒယ်လ် ဖဲရိုး နှင့် နီကိုလို ဖွန်တာနာ တာတာဂလီယာ တို့၏ တတိယထပ် အဖြေကို ကနဦး ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အက္ခရာသင်္ချာသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ကို လေ့လာခြင်းမှ သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများကို (abstract structures) လေ့လာခြင်းသို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ ၏ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်၊<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1}}</ref> ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် ၏ ဖလှယ်၍မရသော ကွာတာနီယွန်များ (non-commutative quaternions) ကို တီထွင်မှုနှင့် ဂျော့ချ် ဘူးလ် ၏ ယုတ္တိဗေဒ အက္ခရာသင်္ချာတို့နှင့်အတူ (algebra of logic) အက္ခရာသင်္ချာသည် ရိုးရာကိန်းများနှင့် အမှီအခိုကင်းသော လေ့လာမှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် တိကျသော နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်း နိယာမများဖြင့် (laws of combination) သတ်မှတ်ထားသော သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ နှင့် ကဲကုလပ် (Analysis and Calculus) - ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပမာဏများ (continuous magnitudes)၊ စုဆုံမှတ်များ (limits) နှင့် အနန္တ လုပ်ငန်းစဉ်များကို (infinite processes) ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းသော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲ ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အစောဆုံး မူလအစမှာ ဂရိလူမျိုးများ၏ "ကုန်စင်အောင်လုပ်ခြင်း နည်းလမ်း" (method of exhaustion) တွင် တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ကနိုင်းဒပ်စ်မှ ယူဒေါက်စပ်စ် က သဘောတရားရေးရာအရ တီထွင်ခဲ့ပြီး အာခီမီးဒီးစ် က ဧရိယာများနှင့် ထုထည်များကို ရှာဖွေရာတွင် စနစ်တကျ အသုံးချခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် တို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများဆိုင်ရာ (infinitesimals) သဘောတရားများကို စုစည်း၍ ကဲကုလပ် (Calculus) ကို သီးခြားစီ တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များကို]] (derivatives) ရှာဖွေရန် ယေဘုယျ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို (algorithms) ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ထို့ပြင် ဧရိယာများ သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ်များကို (integrals) ရှာဖွေရန်အတွက်လည်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို "ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်း" (arithmetized) ခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ၎င်းကို ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ်အပေါ် (geometric intuition) မှီခိုနေရခြင်းမှ ဖယ်ရှားပေးခဲ့သည်။ ထို့နောက် စုဆုံမှတ်များ၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) နှင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ၏]] (real numbers) တိကျသေချာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအပေါ် အခြေခံသည့် တိကျသေချာသော အခြေခံအုတ်မြစ်ပေါ်တွင် (rigorous foundation) တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) - ကနဦးတွင် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းအဖြစ် (analysis situs) ပေါ်ထွက်လာသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]သည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းပုံများ၏ (spatial configurations) မွေးရာပါ အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ အသွင်အပြင်များကို (qualitative aspects) လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ဤအသွင်အပြင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော တစ်-တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများအောက်တွင် (continuous one-to-one transformations) မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို လူအများက "ရာဘာချပ် ဂျီဩမေတြီ" ဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိကြသည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး သည် ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ သို့မဟုတ် ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (combinatorial topology) စတင်တည်ထောင်သူဟု ဆိုနိုင်သည်။ သူသည် ပုံသဏ္ဌာန်များကို [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများအဖြစ်]] (manifolds) ရှုမြင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်နေမှုကို လေ့လာခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) အတွက် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပတ်ဝန်းကျင်များကြားရှိ (neighborhoods of elements) ဆက်သွယ်ချက်များအပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝအခြေခံ၍ သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်းများကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ * ဖြစ်တန်စွမ်း နှင့် အသုံးချ သင်္ချာ (Probability and Applied Mathematics) - [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်း]] သီအိုရီ (probability theory) သည် ၁၇ ရာစုတွင် ဘလေ့စ် ပက်စ်ကယ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့ကြား ကံစမ်းကစားနည်းများနှင့် (games of chance) ပတ်သက်၍ စာပေးစာယူပြုလုပ်ရာမှ စတင်ခဲ့သည်။ ၎င်းကို ၁၉ ရာစု အစောပိုင်းတွင် ပီယား ဆိုင်မွန် လာပလေ့စ် က အဓိကကျသော သိပ္ပံနည်းကျ ကိရိယာတစ်ခုအဖြစ် စနစ်တကျ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစုတွင် အသုံးချ သင်္ချာ (Applied mathematics) သည် ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory)၊ ဆိုက်ဘာနက်တစ်နှင့် (cybernetics) ကွန်ပျူတာသိပ္ပံကဲ့သို့သော (computer science) နယ်ပယ်များသို့ အကြီးအကျယ် ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သည်။ ၎င်းကို ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း နှင့် အလန် ကျူးရင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့ကြသည်။ ကွန်ပျူတာများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနကို အခြေခံမှစ၍ ပြောင်းလဲပစ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းတွင် (numerical analysis) အထောက်အကူပြုခဲ့ပြီး နောက်ဆုံးတွင် အရောင်လေးမျိုး ယူဆချက်ကဲ့သို့သော (Four-Color Conjecture) ရှုပ်ထွေးသည့် သင်္ချာသီအိုရီများကို သက်သေပြရန်အတွက် လိုအပ်သော ကြီးမားလှသည့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စွမ်းအားကို (computational power) ထောက်ပံ့ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား (References) == <references /> [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ပင်မ အကြောင်းအရာ ဆောင်းပါးများ]] pymjullv8h3qtm6hb6n14obac8yee10 1049502 1049500 2026-08-20T02:26:19Z Mkant00 135890 /* ယုတ္တိဗေဒ၊ အခြေခံအုတ်မြစ်များနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Logic, Foundations, and Computational Mathematics) */ 1049502 wikitext text/x-wiki [[File:Euclid.jpg|right|thumb|220px|ဘီစီအီး ၃ ရာစုမှ ဂရိ သင်္ချာပညာရှင် ယူကလစ် (ကွန်ပါထောက်တံ ကိုင်ထားသူ) ကို ပန်းချီဆရာ ရာဖယ် က ၎င်း၏ "အေသင်သားတို့ ကျောင်းတော်" အမည်ရ နံရံဆေးရေး ပန်းချီကားကြီးတွင် စိတ်ကူးပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်၏ ပုံမှာ မည်သည့်မီဒီယာတွင်မှ မကျန်ရစ်ဘဲ ဤသရုပ်ဖော်ချက်သည် ပုံဖော်သူ အနုပညာရှင်၏ စိတ်ကူးဉာဏ် ကွန့်မြူးချက်သာ ဖြစ်သည်။]] '''အသိပညာနှင့် စူးစမ်းလေ့လာခြင်း''' ဟု အနက်ဖွင့်ဆိုနိုင်သော ရှေးဂရိဝေါဟာရ μάθημα (máthēma) မှဆင်းသက်လာသည့် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို မြန်မာဘာသာစကားဖြင့် "ရေတွက်ခြင်း" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ရှေးပါဠိဝေါဟာရမှတစ်ဆင့် "သင်္ချာ" ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် သင်္ချာ၏ သဘောသဘာဝနှင့် ပတ်သက်၍ ပုဂ္ဂိုလ်ကျော်များက ရှုထောင့်အမျိုးမျိုးဖြင့် ဖွင့်ဆိုခဲ့ကြသည်။ စွယ်စုံရပညာရှင် ဂယ်လီလီယို (Galileo) က သဘာဝတရားကို ကျမ်းတစ်စောင်ဟု တင်စားခဲ့ပြီး ၎င်းကျမ်းကို သင်္ချာဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားထားကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="Machamer2014">{{Citation |last=Machamer |first=Peter |year=2014 |title=Galileo Galilei |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=CSLI, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/galileo/ |edition=Winter 2014}}</ref> သင်္ချာပညာရှင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) က သင်္ချာကို သိပ္ပံပညာရပ်များ၏ ဘုရင်မအဖြစ် တင်စားခဲ့သည်။<ref name="Beiler1964">{{citation |last=Beiler |first=Albert H. |title=Recreations in the Theory of Numbers (Dover Recreational Math) |publisher=Dover Publications |place=Mineola, NY |edition=2nd |year=1964 |isbn=978-0486210964 |page=1}}</ref> ထို့အပြင် ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) က သင်္ချာသည် မလွှဲမသွေဖြစ်ရမည့် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်များကို ကောက်ချက်ချသော သိပ္ပံပညာရပ်ဖြစ်ကြောင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။<ref name="Peirce1881">{{Citation |last=Peirce |first=Benjamin |title=Linear Associative Algebra |journal=American Journal of Mathematics |volume=4 |issue=1 |year=1881 |pages=97-229 |doi=10.2307/2369153 |url=http://www.jstor.org/stable/2369153 |publisher=The Johns Hopkins University Press}}</ref> ခေတ်ပြိုင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် သက်သေပြချက် (proof) ဖြင့် စစ်ဆေးအတည်ပြုနိုင်သော သရုပ်မဲ့ သဘောတရားများ (abstract concepts) နှင့် ပတ်သက်သည့် ဖော်ပြချက်များ (statements) ကို ဖော်ထုတ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို ကိန်းများ (numbers)၊ ပမာဏများ (magnitudes) နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်များ (forms) ဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခုအဖြစ်သာ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံအကျဆုံး မူလအစသည် သမိုင်းမတင်မီခေတ် လူသားတို့၏ ကိန်းနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တို့တွင်ရှိသော ဆင်တူညီမှုများကို တဖြည်းဖြည်း သတိပြုမိလာခြင်းမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုနှင့် အများအပြားကဲ့သို့သော ရိုးရှင်းသည့် ခြားနားချက်များကို သိမြင်မှတ်မိခြင်းမှသည် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ဆိုသည့် သရုပ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (abstract property) အထိ ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ အလားတူပင် ရက်ကန်းရက်ခြင်း၊ အိုးလုပ်ခြင်းနှင့် ခြင်းတောင်းရက်လုပ်ခြင်းတို့တွင် တွေ့ရသော ရှေးခေတ်လူသားတို့၏ ဒီဇိုင်းများသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ၊ ထပ်တူညီမှု (congruence) နှင့် အချိုးညီမှု (symmetry) တို့အတွက် အခြေခံအလေးထားမှုကို ပြသနေပြီး ယင်းက ဂျီဩမေတြီ (geometry) အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည်။ အစောပိုင်း သင်္ချာစနစ်များသည် အတွေ့အကြုံနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုအပေါ်တွင် များစွာ အခြေခံထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှေးခေတ် အီဂျစ်တွင် ဂျီဩမေတြီသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် စိုက်ပျိုးမြေတိုင်းတာခြင်းအတွက် ကိရိယာတစ်ခုအနေဖြင့် အဓိက တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် နိုင်းမြစ်၏ နှစ်စဉ်ရေကြီးမှုများကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ရှေးခေတ် ဘေဘီလုံ သင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းများအပေါ် များစွာအခြေခံပြီး အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများ (algorithms)၊ ဇယားများနှင့် ညီမျှခြင်းများ (equations) ကို ခန့်မှန်းခြေ ဖြေရှင်းခြင်းတို့အပေါ် အာရုံစိုက်ခဲ့သည်။ ချက်ချင်း အသုံးချရန်ထက် ဉာဏ်ရည်ပိုင်းဆိုင်ရာ သိချင်စိတ်ပြင်းပြမှုက တွန်းအားပေးသည့် ပုံစံတကျ (formalized) ပြီး ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ် (deductive science) တစ်ခုအနေဖြင့် သင်္ချာသည် ရှေးခေတ် ဂရိလူမျိုးများနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ သေးလ် (Thales) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် ဤဘာသာရပ်ကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ ဖွဲ့စည်းမှုဆီသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့သည်ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ သူတို့သည် အခြေခံမူများမှတစ်ဆင့် သီအိုရမ်များ (theorems) ကို သင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြသည့် အစောပိုင်း အစဉ်အလာများကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာ ကြာလာသောအခါ သင်္ချာသည် တည်ဆောက်ပုံ (structure) နှင့် သရုပ်မဲ့ ယုတ္တိဗေဒ (abstract logic) တို့၏ ကျယ်ပြန့်ပြီး အထူးပြုလွန်းသည့်အပြင် စည်းလုံးညီညွတ်သော ဘာသာစကားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြာထွက်လာခဲ့သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ခေတ်သစ် တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုများ (History and Modern Developments) == === ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures) === ဆယ့်ကိုးရာစုသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တွင် တော်လှန်ရေးတစ်ရပ်ကို မြင်တွေ့ခဲ့ရပြီး ၎င်းကို တင်းကျပ်သော ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီ (Euclidean geometry) မူဘောင်မှ အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဂျီဩမေတြီစနစ်များ၏ ကျယ်ပြန့်သော စုစည်းမှုအဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းပေးခဲ့သည်။ ဤစနစ်များ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းမှုသည် ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီကို တောင့်တင်းသော ရွေ့လျားမှု အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (rigid motion transformations) အောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariants) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းကို သုည ကွေးညွှတ်မှု (zero curvature) နှင့် <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော မက်ထရစ် (metric) တို့ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည်။ ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) တွင် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry) နှင့် အဲလစ်ပတစ် ဂျီဩမေတြီ (elliptic geometry) သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီ (spherical geometry) တို့ ပါဝင်သည်။ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အနုတ် ကွေးညွှတ်မှု (constant negative curvature) ရှိသည်။ အဲလစ်ပတစ် သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အပေါင်း ကွေးညွှတ်မှု (constant positive curvature) ရှိသည်။ အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (affine geometry) သည် ပြိုင်တူဖြစ်ခြင်း (parallelism) နှင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင်ရှိခြင်း (collinearity) တို့ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) အပေါ် အာရုံစိုက်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (projective geometry) သည် နှစ်ထပ်အချိုး (cross-ratio) နှင့် ဒွန်တွဲမှု (duality) ကဲ့သို့သော ပရိုဂျက်တစ်ဖြစ်ခြင်းများအောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ဗဟိုပြုသည့် လွှမ်းခြုံနိုင်သော မူဘောင်တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ (Riemannian geometry) သည် ပြောင်းလဲနိုင်သော ကွေးညွှတ်မှု (variable curvature) နှင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) <math>ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dx_i\,dx_j</math> တို့ဖြင့် အုပ်ချုပ်ထားသော ယေဘုယျပြုထားသည့် <math>n</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|တိုင်းတာမှု]]ရှိသော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကို (<math>n</math>-dimensional manifolds) လွှမ်းခြုံထားသည်။ ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီသည် အက်ခိုး ပေါ်လီတက်ကနစ် (École Polytechnique) ၌ ဂတ်စပတ် မွန်ချ် (Gaspard Monge) ကို ဗဟိုပြုသော အစောပိုင်း ၁၉ ရာစု ပြင်သစ်ကျောင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ မွန်ချ်၏ ကျောင်းသားများသည် ဤနယ်ပယ်ကို လမ်းကြောင်းမျိုးစုံသို့ ချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် ဒူပင်း (Charles Dupin) သည် မျက်နှာပြင်များဆိုင်ရာ သီအိုရီကို (theory of surfaces) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဆိုက်ကလိုက် (cyclide) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ သီအိုဒို အိုလီဗီယာ (Théodore Olivier) သည် သင်ကြားရေးအတွက် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဂျီဩမေတြီ ကြိုးမော်ဒယ်များကို (three-dimensional geometric string models) ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခဲ့သည်။ ချားလ်စ်-ဂျူးလ်စ် ဘရီယန်ချွန် (Charles-Jules Brianchon) သည် ပက်စ်ကယ် (Pascal) ၏ ဆန်းကြယ်သော ဆဋ္ဌဂံ သီအိုရမ်အတွက် (Pascal’s mystic hexagram theorem) ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲ (projective dual) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် "အမှတ်" (point) နှင့် "မျဉ်း" (line) ဟူသော သဘောတရားများကို အချင်းချင်းဖလှယ်လိုက်သောအခါတွင် ပြင်ညီ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီရှိ သီအိုရမ်များသည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ ယန်-ဗစ်တာ ပွန်စလတ် (Jean-Victor Poncelet) သည် ၎င်း၏ ၁၈၂၂ ခုနှစ်ထုတ် Traité des propriétés projectives des figures စာအုပ်တွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီကို သီးခြားလွတ်လပ်သော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) မူဝါဒနှင့် အနန္တအမှတ်များ (ideal points) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ စက်ဝိုင်းအားလုံးက မျှဝေပိုင်ဆိုင်ထားသော အနန္တရှိ ကွန်ဂျူဂိတ် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်]] စက်ဝိုင်းအမှတ်များ (conjugate imaginary circular points) နှစ်ခုကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယင်းအမှတ်များကို <math>I</math> နှင့် <math>J</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ မိုက်ကယ် ရှားလ်စ် (Michel Chasles) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်ရှိ အမှတ်လေးမှတ်၏ နှစ်ထပ်အချိုးကို (cross-ratio) အလေးပေးဖော်ပြခဲ့ပြီး ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ :<math>\frac{c - a}{c - b} : \frac{d - a}{d - b}</math> သူသည် ဤနှစ်ထပ်အချိုးသည် ပရိုဂျက်တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (projective transformations) အောက်တွင် ပကတိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိကြောင်းကို (invariant) သက်သေပြခဲ့သည်။ ပေါင်းစပ် မက်ထရစ် ဖန်ရှင် ဂျီဩမေတြီ (synthetic metric geometry) တွင် ဂျက်ကော့ဘ် ရှတိုင်းနား (Jakob Steiner) သည် ယူကလစ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံများအားလုံးကို မျဉ်းဖြောင့်တံတစ်ခုနှင့် (straightedge) ဗဟိုကို (center) ရှင်းလင်းစွာပေးထားသော အထိုင်စက်ဝိုင်းတစ်ခုတည်းကိုသာ (single fixed circle) အသုံးပြု၍ အပြီးသတ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် တတိယထပ်ကိန်း မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် နှစ်ဆယ့်ခုနစ်ကြောင်းကိုလည်း (twenty-seven straight lines on a cubic surface) လေ့လာခဲ့ပြီး ထောင့်ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းဖြစ်သည့် (angle-preserving transformation) ပြောင်းပြန်လှန် ဂျီဩမေတြီ (inversive geometry) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် အမှတ် <math>P</math> နှင့် <math>P'</math> တို့သည် အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိပြီး ဗဟို <math>O</math> ၌ရှိသော စက်ဝိုင်းတစ်ခုနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အချင်းချင်း ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြသည် (inverse)။ ၎င်းတို့သည် <math>(OP)(OP') = r^2</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို ဂျူးလီးယပ်စ် ပလွတ်ကာ (Julius Plücker) က ပြန်လည်အသက်ဝင်စေခဲ့ပြီး သူသည် ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အတိုကောက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို (abridged notation) တီထွင်ခဲ့သည်။ ပလွတ်ကာ၊ ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ် (August Ferdinand Möbius)၊ ကားလ် ဝီလ်ဟမ် ဖွိုင်ယာဘတ် (Karl Wilhelm Feuerbach) နှင့် အက်တီယန် ဘိုဘီလီယာ (Étienne Bobillier) တို့သည် တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ (homogeneous coordinates) ကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထိုကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် <math>t = 0</math> သည် အနန္တရှိ မျဉ်းကို (line at infinity) ကိုယ်စားပြုသည်။ ပလွတ်ကာသည် မျဉ်း ကိုဩဒိနိတ်များ (line coordinates) ကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် <math>(u, v, w)</math> ဖြစ်ကြပြီး မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များဟူသော သဘောတရားကို အမှတ်တစ်ခုကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းများဟူသော ဒွန်တွဲသဘောတရားအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးခဲ့သည်။ ၁၈၃၄ ခုနှစ်တွင် သူသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေး (algebraic curve) တစ်ခု၏ အဆင့် (order) <math>n</math>၊ အတန်းအစား (class) <math>m</math>၊ ဆုံမှတ်များ (nodes) <math>\delta</math>၊ အချွန်မှတ်များ (cusps) <math>\kappa</math>၊ ငြိမ်နေသော ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် အကွေ့မှတ်များ (stationary tangents/inflections) <math>\iota</math> နှင့် ထိမျဉ်းနှစ်ထပ်များ (bitangents) <math>\tau</math> တို့ကို ဆက်စပ်ပေးသော ညီမျှခြင်းများကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ :<math>m = n(n - 1) - 2\delta - 3\kappa \quad \text{and} \quad n = m(m - 1) - 2\tau - 3\iota</math> :<math>\iota = 3n(n - 2) - 6\delta - 8\kappa \quad \text{and} \quad \kappa = 3m(m - 2) - 6\tau - 8\iota</math> ယူကလစ်ဒ်၏ ပဉ္စမမြောက် ကြိုတင်အဆိုကို (Fifth Postulate) သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းမှုသည် ၎င်းမပါဘဲ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (consistent) ရှိသော ဂျီဩမေတြီများ တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို သင်္ချာပညာရှင်များက ပြသနိုင်ခဲ့ချိန်တွင် အဆုံးသတ်သွားခဲ့သည်။ ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ဤအချက်ကို စောစီးစွာကတည်းက သီးသန့် အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော် နီကိုလိုင်း အိုင်ဗန်နိုဗစ်ချ် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) သည် ၁၈၂၉ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) သည် ၁၈၃၂ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ၏ (non-Euclidean hyperbolic geometry) ပထမဆုံး ပုံစံတကျ စနစ်များကို ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်ပေါင်းလဒ်သည် (angle sum) ၁၈၀ ဒီဂရီထက် တိကျစွာ လျော့နည်းသည်။ ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ (Eugenio Beltrami) သည် ဤဂျီဩမေတြီ၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) ၁၈၆၈ ခုနှစ်တွင် ဆူဒိုစက်လုံးမျက်နှာပြင် (pseudosphere) ပေါ်တွင် လက်တွေ့ဖော်ဆောင်ခြင်းဖြင့် သက်သေပြခဲ့သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry) ကို ၁၈၂၇ ခုနှစ်တွင် ဂေါက်စ်က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သူသည် ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian curvature) <math>K</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ကွေးနေသော ကိန်းရှင်ကြားခံ မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) သည် ဒုတိယထပ်ကိန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (quadratic differential form) <math>ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2</math> အပေါ် မူတည်ကြောင်းကို အတည်ပြုခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) ၏ ၁၈၅၄ ခုနှစ် ဟာဘီလီတေးရှင်း ဟောပြောချက်သည် ၎င်းကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိသော မန်နီဖိုးများအထိ (n-dimensional manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် သူ၏ အာလန်ဂါ ပရိုဂရမ် (Erlanger Programm) မှတစ်ဆင့် ဤကွဲပြားနေသော ဂျီဩမေတြီများကို ပေါင်းစပ်ခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီကို တိကျသော အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (transformation groups) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariant properties) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization) === ဆယ့်ကိုးရာစုနှင့် နှစ်ဆယ်ရာစုများအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းမှ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures)၊ တွက်ချက်မှုများ (operations) နှင့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) တို့ကို သရုပ်မဲ့ လေ့လာခြင်းဆီသို့ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်။ ယင်းက [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups)၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းနိုင်ရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1, 7, 13}}</ref> သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာ၏ (symbolic algebra) အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ဂျော့ချ် ပီးကော့ (George Peacock) နှင့် ဩဂတ်စတပ်စ် ဒီ မော်ဂန် (Augustus De Morgan) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ပီးကော့သည် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (arithmetical algebra) သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာမှ ခွဲခြားပြသခဲ့သည်။ ဒီ မော်ဂန်ကမူ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများသည် (operational symbols) အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်းများသာဖြစ်ကြောင်း (arbitrary abstractions) ငြင်းဆိုခဲ့သည်။ ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) သည် ယုတ္တိဗေဒနှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) ဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (algebra of logic) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် စကြဝဠာ အစု (universal set) ကို <math>1</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ဗလာစု (null set) ကို <math>0</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ပေါင်းစပ်စု (union) ကို <math>+</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ကို <math>\times</math> ဖြင့်လည်းကောင်း သတ်မှတ်ပြသခဲ့ပြီး ထပ်တူရပေး နိယာမ (idempotent law) <math>x^2 = x</math> ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များ (noncommutative systems) သည် ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် (William Rowan Hamilton) က မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ နိယာမ]] (commutative law of multiplication) ကို စွန့်လွှတ်ကာ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) ကို တီထွင်လိုက်ချိန်တွင် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ :<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math> :<math>ij = k = -ji, \quad jk = i = -kj, \quad ki = j = -ik</math> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း (Hermann Grassmann) သည် <math>n</math>-တိုင်းတာမှုရှိသော မျဉ်းဖြောင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (linear vector spaces) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ဟာမီလ်တန်-ကေးလီ သီအိုရမ်ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ဂျိမ်းစ် ဂျိုးဆက် ဆေးလ်ဗက်စတာ (James Joseph Sylvester) သည် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရီ (invariant theory) ကို မြှင့်တင်ပေးခဲ့သည်။ ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) နှင့် ချားလ်စ် ဆန်ဒါးစ် ပီးယားစ် (Charles Sanders Peirce) တို့သည် မျဉ်းဖြောင့် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] အက္ခရာသင်္ချာများ (linear associative algebras) ကို ဆက်လက် အမျိုးအစားခွဲခြားခဲ့ကြသည်။ ယင်း၏ အထွတ်အထိပ်ရလဒ်အနေဖြင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers)၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) နှင့် ကွာတာနီယွန်များသည်သာလျှင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ကိန်းစစ် ဖက်စပ်ရ အစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း သီအိုရမ်ကို (classification theorem) ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် (Ferdinand Georg Frobenius) က ၁၈၇၇ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ စီ အက်စ် ပီးယားစ်က ၁၈၈၁ ခုနှစ်တွင် သီးခြားစီလည်းကောင်း ပုံစံတကျ အတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အုပ်စုများ၊ ကွင်းများနှင့် ဖီးလ်ဒ်များကို သဘောတရားအဖြစ် ဖွဲ့စည်းခြင်းက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) ကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အချိုးညီမှုများနှင့် (symmetries) ချိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ကိန်းရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရရန်မှာ ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) အုပ်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း သူက သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=14}}</ref> ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) သည် ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓ]]ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique prime factorization) ကို ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]]ရင်းများ (algebraic integers) ၏ ကွင်းများတွင် အိုင်ဒီးလ်များကို (ideals) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=7}}</ref> ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် ဂျေ အိတ်ချ် အမ် ဝက်ဒါဘန်း (J. H. M. Wedderburn) သည် ဆီမီးရိုးရှင်းသော အက္ခရာသင်္ချာများအတွက် (semisimple algebras) တည်ဆောက်ပုံ သီအိုရမ်များကို (structure theorems) ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အန်းစ် ရှတိုင်းနစ်ဇ် (Ernst Steinitz) သည် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) ကို နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=13}}</ref> အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) သည် အစဉ်လိုက်တိုး ချိတ်တန်း အခြေအနေများ (ascending chain conditions) ကို အသုံးပြု၍ နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော ကွင်းသီအိုရီ (axiomatic ring theory) ကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=15}}</ref> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ဂေါ့လော့ ဖရေဂါ (Gottlob Frege) နှင့် ဂျူဆက်ပီ ပီယာနို (Giuseppe Peano) တို့က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဖရေဂါသည် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ယုတ္တိဗေဒမှ ဆင်းသက်ရယူရန် ကြိုးစားခဲ့ပြီး ပီယာနိုသည် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) အတွက် နဂိုမှန်အဆို အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ - တိကျသေချာမှု၊ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များ၊ နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Analysis: Rigor, Real and Complex Variables, and Measure Theory) === [[File:Bernhard_Riemann_3.jpg|right|thumb|220px|ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (1862)]] [[File:Augustin-Louis_Cauchy_1901.jpg|right|thumb|220px| ကော်ချီ၏ ကျောက်ပုံနှိပ်ပုံ (1840)]] ကဲကုလပ် (calculus) သည် ၁၉ ရာစုတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များမှ တိကျသေချာသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (rigorous mathematical analysis) သို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ ဤအပြောင်းအလဲသည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) နှင့် စုဆုံမှတ်များကို (limits) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများကို (logical circularity) ဖယ်ရှားရန် လိုအပ်ခြင်းကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် သင်္ချာပညာရှင် ငါးဦးသည် ကိန်းစစ်များအတွက် သီးသန့် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် မေရေး (Charles Méray)၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass)၊ ဟိုင်းနရစ် အက်ဒ်ဝပ် ဟိုင်းနား (Heinrich Eduard Heine) နှင့် ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) တို့သည် ကိန်းစစ်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏]] စုဆုံ ကိန်းစဉ်များ (convergent sequences of rational numbers) သို့မဟုတ် အခြေခံ ကိန်းစဉ်များကို (fundamental sequences) အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်းသည် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းကို (Dedekind Cut) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ သူသည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို]] (irrationalities) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းအားလုံးကို ဘုံမပါသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (disjoint subsets) နှစ်ခုအဖြစ် အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို (complex analysis) အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) က စနစ်တကျ တိုးတက်စေခဲ့သည်။ သူသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများကို (Cauchy-Riemann differential equations) ဆင်းသက်ရယူခဲ့သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများမှာ <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် သူသည် အကြွင်း ကဲကုလပ်နှင့်အတူ (residue calculus) ကော်ချီ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ်ကို (Integral Theorem) <math>\oint f(z)\,dz = 0</math> သက်သေပြခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် တန်ဖိုးများစွာရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (multivalued functions) တစ်ပြေးညီဖြစ်စေရန် (uniformize) ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များမှတစ်ဆင့် (Riemann surfaces) တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်နည်းတစ်ခုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် ဇီတာ ဖန်ရှင် (zeta function) <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}</math> ၏ သုညမှတ်များနှင့် ပတ်သက်သော ရီးမန်း ယူဆချက်ကိုလည်း (Hypothesis) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်သည် ဤဖီးလ်ဒ်ကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆက်လက်တည်ရှိခြင်းတို့မှတစ်ဆင့် (analytic continuation) တင်းကျပ်စွာ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီတို့သည် (measure theory) အီမီးလ် ဘိုရဲလ် (Émile Borel) မှတစ်ဆင့် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ သူသည် ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှုကို (countable additivity) အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) ပေါ်တွင် အတိုင်းအတာ သီအိုရီကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည်လည်း ဤနယ်ပယ်ကို တိုးတက်စေခဲ့ပြီး သူသည် ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်ကို (Lebesgue integral) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ လီဘက်ဂ်သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ထက် ပုံရိပ်အစုကို (range) ပိုမိုသေးငယ်စွာ ထပ်မံပိုင်းခြားခြင်းအားဖြင့် အလွန်အမင်း [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များကို]] (discontinuous functions) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) ရှိစေခဲ့သည်။ ယင်းက [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်|ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်ကို]] (Fundamental Theorem of Calculus) ချဲ့ထွင်ပေးခဲ့သည်။ === တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Topology and Functional Analysis) === [[File:Curie_and_Poincare_1911_Solvay.jpg|right|thumb|220px|ဆိုးလ်ဗေး ညီလာခံတွင် မာရီ ကျူရီ နှင့် ပွန်ကာရေးတို့ စကားပြောဆိုနေစဉ် (1911)]] [[File:Hilbert.jpg|right|thumb|220px|ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (1912)]] [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) သည် နှစ်ဆယ်ရာစု သင်္ချာတွင် အဓိကကျသော ပေါင်းစပ်ပေးသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) သည် ၁၈၉၅ ခုနှစ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (algebraic topology) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ဟိုမိုလော်ဂျီကို (simplicial homology) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဗက်တီ ကိန်းများကို (Betti numbers) အသုံးပြု၍ ဗဟုဂံပုံသေနည်းကို (polyhedral formula) ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာရှိ မန်နီဖိုးများအထိ (manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အခြေခံအုပ်စုကို (fundamental group) လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ပွန်ကာရေး ဟိုမိုလော်ဂျီ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Poincaré homology sphere) ကို ဖော်ထုတ်မှုသည် ပွန်ကာရေး ယူဆချက်ဆီသို့ (Poincaré conjecture) ဦးတည်စေခဲ့သည်။ အယ်လ် အီး ဂျေ ဘရောင်းဝါး (L. E. J. Brouwer) သည် အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (fixed-point theorem) အပါအဝင် အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရမ်များကို (topological invariance theorems) ဆက်လက် သက်သေပြခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (Point-set topology) မောရစ် ဖရေးရှေး (Maurice Fréchet) နှင့် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ဖရေးရှေးသည် ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို]] (metric spaces) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) နှင့် ခွဲခြားခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများကို (separation axioms) အသုံးပြု၍ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် (topological spaces) နဂိုမှန်အဆို စနစ်ကို (axiomatic system) ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာသည်လည်း (functional analysis) တစ်ပြိုင်နက်တည်း တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများကို (inner product spaces) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) သည် ပြည့်စုံသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို]] (complete normed vector spaces) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ လော်ရင့် ရွှာ့ဇ် (Laurent Schwartz) ၏ ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီသည် (theory of distributions) ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာကဲ့သို့ (Dirac delta) ယေဘုယျပြုထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (generalized functions) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === နှစ်ဆယ်ရာစု ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း - ဘော်ဘာကီ၊ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Twentieth-Century Synthesis: Bourbaki, Category Theory, and Algebraic Geometry) === [[File:Weil.jpg|right|thumb|220px|အန်ဒရေး ဗေးလ် (1956)]] [[File:NBourbaki 3.png|right|thumb|220px|ဘော်ဘာကီ ညီလာခံ (1951)]] ၂၀ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဘာသာရပ်သည် သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများ (abstract structures) နှင့် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ (categorical relationships) ကို အလေးပေးခြင်းဖြင့် အရင်ကမရှိဖူးသော ပေါင်းစပ်ညီညွတ်မှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၃၄ ခုနှစ်မှစတင်၍ ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင်များ အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့သည် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ဟူသော ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေထုတ်ဝေလျက် အတွဲများစွာပါဝင်သော Éléments de mathématique (သင်္ချာ၏ အခြေခံများ) ကို ရေးသားပြုစုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ နည်းစနစ်သည် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ နည်းလမ်း (axiomatic method) ကို တင်းကျပ်စွာ လိုက်နာမှုနှင့် ယေဘုယျ တည်ဆောက်ပုံများမှ (general structures) တိကျသော အသုံးချမှုများဆီသို့ (specific applications) ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တိုးတက်မှုကို (logical progression) အလေးပေးခဲ့သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (Category theory) ကို ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကွဲပြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန် ကတ်တဂိုရီများ (categories)၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]] (functors) နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] (natural transformations) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် အွန်ရီ ကာတန် (Henri Cartan) နှင့် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်တို့သည် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို ဖန်တီးရန် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တို့ကို ပေါင်းစပ်ခဲ့ကြသည်။ ဤကာလအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) သည် တော်လှန်ပြောင်းလဲခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ အော်စကာ ဇာရစ်စကီး (Oscar Zariski)၊ ဘီ အယ်လ် ဗန် ဒါ ဗေဒင် (B. L. van der Waerden) နှင့် အန်ဒရေး ဗေးလ် (André Weil) တို့သည် ဤဘာသာရပ်ခွဲကို တိကျသေချာသော [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (rigorous commutative algebra) ဖြင့် အခြေခံချပေးခဲ့ကြသည်။ ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှင့် ၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ယန် လီရေး (Jean Leray)၊ ယန်-ပီယာ ဆဲရ် (Jean-Pierre Serre) နှင့် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) တို့သည် [[အစည်း|အစည်းများ]] (sheaves)၊ စကင်းမ်များ (schemes)၊ တိုပို့စ်များ (topoi) နှင့် အေတဲလ် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (étale cohomology) ဟူသော ဘာသာစကားမှတစ်ဆင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို လုံးဝအသစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဤမူဘောင်သည် ပီယာ ဒေလင်း (Pierre Deligne) အား ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အနက်ရှိုင်းဆုံးသော ဗေးလ် ယူဆချက်များကို သက်သေပြရန် လုပ်ဆောင်နိုင်စေခဲ့သည်။ === ယုတ္တိဗေဒ၊ အခြေခံအုတ်မြစ်များနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Logic, Foundations, and Computational Mathematics) === [[File:1925 kurt gödel (cropped).png|right|thumb|220px|ကာ့တ် ဂိုဒယ် (1925)]] [[File:Alan_Turing_portré.jpg|right|thumb|220px|အလန် ကျူးရင်း (1930s)]] ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) ၏ အခြေခံဆိုင်ရာ ပြဿနာများ (foundational problems) နှစ်ဆယ့်သုံးခု တင်ပြချက်မှ ကြီးမားစွာ လွှမ်းမိုးမှုခံရသော ၂၀ ရာစုသည် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) နှင့် တွက်ချက်ခြင်း (computation) ဆိုင်ရာ အခြေခံ မေးခွန်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ယုတ္တိဗေဒ (logic) တွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများမှ (logical axioms) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ဆင်းသက်ရယူရန် ဘာထရန် ရပ်ဆဲလ် (Bertrand Russell) နှင့် အဲလ်ဖရက် နော့သ် ဝှိုက်ဟတ် (Alfred North Whitehead) တို့၏ ကြိုးပမ်းမှုများသည် ကာ့တ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ ၁၉၃၁ ခုနှစ် မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (Incompleteness Theorems) ကြောင့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်စေခဲ့သည်။ မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုစနစ်မဆို (consistent formal axiomatic system) အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာကို (basic arithmetic) လုပ်ဆောင်နိုင်သောအခါ ၎င်းသည် ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော အဆိုများကို (undecidable propositions) ပါဝင်စေပြီး ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (own consistency) သက်သေမပြနိုင်ကြောင်း ဂိုဒယ်က ပြသခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်၏ ပထမဆုံး ပြဿနာဖြစ်သော ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) ၏ တိုးတက်မှုသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ဂိုဒယ်က ၎င်း၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) သက်သေပြခဲ့ပြီး ပေါလ် ကိုဟင် (Paul Cohen) က ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် အတင်းအကျပ် ပြောင်းလဲခြင်းနည်းလမ်းကို (method of forcing) အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို (independence) သက်သေပြခဲ့သည်။ တွက်ချက်မှု သီအိုရီ (theory of computation) ကို အလန် ကျူးရင်း (Alan Turing) က ၁၉၃၆ ခုနှစ်တွင် ပုံစံတကျ တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ကျူးရင်းသည် တွက်ချက်ခြင်းအတွက် စကြဝဠာ သဘောတရားရေးရာ မော်ဒယ်ကို (universal theoretical model) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤမော်ဒယ်ကို ကျူးရင်း စက်ဟု (Turing machine) သိကြသည်။ ထို့ပြင် သူသည် ရပ်တန့်ခြင်း ပြဿနာ၏ (halting problem) ဖြေရှင်း၍မရနိုင်စွမ်းကို (insolvability) သက်သေပြခဲ့ပြီး ယင်းက ဟီလ်ဘတ်၏ ဆုံးဖြတ်ချက် ပြဿနာကို (decision problem) ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) သည် အီလက်ထရောနစ် ကွန်ပျူတာ တည်ဆောက်ပုံ (electronic computer architecture)၊ ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory) နှင့် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) ကို ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာကို ဆက်လက်တိုးတက်စေခဲ့သည်။ === မကြာသေးမီ ဆယ်စုနှစ်များအတွင်း နာမည်ကြီး ယူဆချက်များအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း (Resolution of Famous Conjectures in Recent Decades) === နှစ်ဆယ်ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် နှစ်ဆယ့်တစ်ရာစု အစောပိုင်းကာလများကို အဆင့်မြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မူဘောင်များနှင့် (advanced analytical frameworks) ကွန်ပျူတာ အကူအညီများမှတစ်ဆင့် (computer assistance) ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော သမိုင်းဝင် ပြဿနာများအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်းဖြင့် အမှတ်အသားပြုခဲ့သည်။ ၁၈၅၂ ခုနှစ်တွင် စတင်ယူဆခဲ့ပြီးဖြစ်သော အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ် (Four-Color Theorem) သည် ကဲနတ် အက်ပယ်လ် (Kenneth Appel) နှင့် ဝုဖ်ဂန်း ဟာကင် (Wolfgang Haken) တို့က ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရှောင်လွှဲ၍မရသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို (unavoidable configurations) အကဲဖြတ်ရန်အတွက် အားထုတ်ပစ်ခြင်း နည်းလမ်းကို (method of discharging) အသုံးပြုခြင်းသည် ပထမဆုံး အဓိကကျသော ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်အဖြစ် (computer-assisted mathematical proof) မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သည်။ ယင်းကို နောက်ပိုင်းတွင် ရောဘတ်ဆန်၊ ဆန်ဒါးစ်၊ ဆီးမိုး နှင့် သောမတ်စ် တို့က ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပိုမိုရိုးရှင်းလွယ်ကူအောင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် ကော့ခ် ဆော့ဖ်ဝဲလ်ကို အသုံးပြု၍ ဂွန်သီယာ နှင့် ဗာနာ တို့က ပုံစံတကျ စစ်ဆေးအတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (Classification of Finite Simple Groups) သည် ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာသော ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ကြိုးပမ်းမှုအပြီးတွင် ပြီးမြောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဖိုက်-သွန်မဆင် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]]အစဉ် သီအိုရမ်ဖြင့် (Odd-Order Theorem) စတင်ခဲ့ပြီး ဤသီအိုရမ်က မည်သည့် အဆုံးရှိ ရိုးရှင်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite simple group) မဆို ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group)၊ အလှည့်ကျ အုပ်စု (alternating group)၊ လီ-အမျိုးအစား (Lie-type) သို့မဟုတ် ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော အုပ်စုများ (sporadic groups) ၂၆ ခုထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးခဲ့သည်။ နောက်ဆုံး ဆူဒို-ပါးလွှာသော ကွာဟချက်ကို (quasi-thin gap) အက်ရှ်ဘာကာ နှင့် စမစ်သ် တို့က ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပိတ်နိုင်ခဲ့သည်။ ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat’s Last Theorem) ကို နှစ်ပေါင်း ၃၅၀ ကျော်ကြာပြီးနောက် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂါဟတ် ဖရေး (Gerhard Frey) ၏ မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (non-modular elliptic curves) ဖွဲ့စည်းမှုနှင့် ကန် ရီဘတ် (Ken Ribet) ၏ <math>\varepsilon</math>-ယူဆချက် (<math>\varepsilon</math>-conjecture) သက်သေပြချက်တို့ကို အခြေခံ၍ အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) က ပြသခဲ့ရာတွင် ဆီမီး-တည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် (semistable elliptic curves) တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ်ကို တိုက်ရိုက် သက်ရောက်မှုရှိကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ်သည် ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ သူ့ကို ရစ်ချတ် တေလာ (Richard Taylor) က ကူညီပေးခဲ့သည်။ ပွန်ကာရေး ယူဆချက် (Poincaré Conjecture) ကို ဝီလီယံ သာစတန် (William Thurston) ၏ ဂျီဩမေတြီအသွင်ပြောင်းခြင်း ယူဆချက် (Geometrization Conjecture) နှင့် ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (Richard Hamilton) ၏ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ညီမျှခြင်း (Ricci flow equation) <math>\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2 R_{ij}</math> မိတ်ဆက်မှုတို့မှတစ်ဆင့် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Yakovlevich Perelman) သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၃ ခုနှစ်အတွင်း ခွဲစိတ်မှု နည်းပညာများကို (surgery techniques) အသုံးပြု၍ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို (Ricci flow singularities) ကျော်လွှားခြင်းဖြင့် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ === မြန်မာ့ သင်္ချာသမိုင်း (History of Burmese Mathematics) === မြန်မာ့သိပ္ပံပညာနှင့် သင်္ချာသမိုင်းကြောင်းသည် ရှေးခေတ်ကာလများကတည်းက အခြေတကျ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်ထားသော သင်္ချာကျမ်းများအနက် တစ်ခုမှာ ၁၄ ရာစုနှစ်ဦးပိုင်းတွင် ဇင်းမယ်မြို့၌ ရှင်ဉာဏဝိလာသ ရေးသားပြုစုခဲ့သော "သင်္ချာပကာသက" ကျမ်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကျမ်းကို အခြေခံ၍ ခရစ်နှစ် ၁၅၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ပလိပ်ရွာအရှေ့ရှိ မြို့သစ်မြို့နေ ရှင်သီရိမင်္ဂလက "သင်္ချာပကာသကဋီကာ" ကို ထပ်မံပြုစုခဲ့ပြီး ညောင်ကန်ဆရာတော် ရှင်ကဝိန္ဒ၏ တပည့် ရှင်မုနိန္ဒသာရက "သင်္ချာပကာသက စာကိုယ်နိဿယ" ကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဘိုးတော်ဘုရား (ဗဒုံမင်း) လက်ထက် (၁၇၈၂–၁၈၁၉) တွင် အိန္ဒိယနှင့် သီဟိုဠ်တို့မှ ကျမ်းပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို ယူဆောင်လာခဲ့ပြီး မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုစေခဲ့ရာမှ သင်္ချာပညာရပ်သည် ပိုမိုထွန်းကားလာခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော သမိုင်းဝင်အထောက်အထားတစ်ခုမှာ ၁၇၇၄ ခုနှစ်တွင် ပြုစုခဲ့သော "ဂဏန်းသင်္ချာ ပညာဝဍ္ဎနကျမ်း" ဖြစ်သည်။ ဤကျမ်းကို အပိုင်းလေးပိုင်းခွဲခြားထားပြီး တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပုစ္ဆာပေါင်း ၁၇၅ ပုဒ်ကို တွက်နည်းအဖြေများနှင့်တကွ စနစ်တကျ ပြုစုထားသည်။ ပထမပိုင်းတွင် အလေးချိန်၊ အကွာအဝေး၊ ထုထည် (Volume) နှင့် အချိန်နာရီတို့ကို တိုင်းတာသည့် ယူနစ် (Unit) ဆိုင်ရာ ကိန်းသင်္ချာအကြောင်းကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် "ခု" မှစ၍ သုည ၁၄၀ လုံးပါဝင်သော "အသင်္ချေ" တိုင်အောင် ရေတွက်ခေါ်ဝေါ်သည့် နည်းစနစ်များ ပါဝင်သည်။ ဒုတိယပိုင်းတွင် လုပ်ငန်းခွင်သုံး တိုင်းထွာတွက်ချက်နည်းများကို "ဂဏန်းဆယ်ပါး" ခေါင်းစဉ်ဖြင့် ဖော်ပြထားပြီး စပါး၊ ဆန်၊ ရွှေ၊ ငွေ၊ ဆီမီး၊ ရထား၊ သစ်ပင်၊ လှေ၊ သားရေနှင့် မြေစသည့် ကဏ္ဍများ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရွှေကို အဆင့်ဆင့် သန့်စင်ရာတွင် ဇမ္ဗူရဇ်ရွှေကဲ့သို့ အသန့်စင်ဆုံးအဆင့်ရရှိရန် တွက်ချက်မှုများ၊ သစ်ပင်၏ အမြင့်ကို ဂျီဩမေတြီ (Geometry) အသုံးပြု၍ ရှာဖွေခြင်းများနှင့် မြေကွက်များ၏ ဧရိယာ (Area) တွက်ချက်ခြင်းများ ပါဝင်သည်။ တတိယပိုင်းတွင် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic progression)၊ ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric progression)၊ မရေမရာ ညီမျှခြင်း (Indeterminate equation)၊ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (Algebraic equation)၊ ဆခွဲကိန်း (Factor) နှင့် ဘုံသုဉ်းကိန်းရှာဖွေခြင်းစသည့် သင်္ချာနည်းစနစ် ၁၆ မျိုးကို ပုစ္ဆာပေါင်း ၇၆ ပုဒ်ဖြင့် ရှင်းလင်းထားသည်။ စတုတ္ထပိုင်းတွင် ရှေ့ပိုင်းနည်းစနစ်များကို အခြေခံထားသော လက်တွေ့အသုံးချ ပုစ္ဆာ ၃၀ ပုဒ် ပါဝင်သည်။ ဤကျမ်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို လေ့လာခြင်းအားဖြင့် ရှေးခေတ်မြန်မာတို့သည် စက်ဝိုင်း၊ စက်လုံး၊ ထုလုံးနှင့် ထုချွန်များ၏ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ရှာဖွေခြင်းမှစ၍ ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများအထိ အဆင့်မြင့်မားသော သင်္ချာပညာကို လက်တွေ့အသုံးချနိုင်ခဲ့ကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။<ref name="MyoThantTyn">ဒေါက်တာ မျိုးသန့်တင်။ ''ရှေးခေတ် မြန်မာသိပ္ပံကျမ်းများ''။</ref> == သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများ (Areas of Mathematics) == ဤပညာရပ် ကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်းသည် သဘာဝအလျောက် ကွဲပြားသော်လည်း အလွန်အမင်း အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဘာသာရပ်ခွဲများစွာအဖြစ် ပိုင်းခြားသွားခဲ့သည်။ * ဂဏန်းသင်္ချာ နှင့် ကိန်းသီအိုရီ (Arithmetic and Number Theory) - ရှေးခေတ်တွင် လော်ဂျစ်စတစ်နှင့် (logistic) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကြားတွင် တင်းကျပ်သော ခွဲခြားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ လော်ဂျစ်စတစ်သည် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်တွေ့အသုံးချ နည်းစနစ်ဖြစ်သည်။ (practical technique of computation) ဂဏန်းသင်္ချာသည် ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို (properties of numbers) ဒဿနိကဗေဒအရ သို့မဟုတ် သဘောတရားရေးရာအရ လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ကိန်းသီအိုရီ (Number theory) သည် အဆိုပါ ဂဏန်းသင်္ချာမှ ခေတ်သစ် ဆင်းသက်လာသော ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ အစောပိုင်း မှတ်တိုင်များတွင် ဂရိလူမျိုးများ၏ ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း ပါဝင်သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းတွင် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers)၊ ဆပေါင်းကိန်းများ (composite numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်းများ]] (even numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်းများ]] (odd numbers) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းများ (perfect numbers) တို့ ပါဝင်သည်။ အခြားမှတ်တိုင်တစ်ခုမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်း ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်ဖြစ်သည်။ ဤဘာသာရပ်သည် မသေချာသော ညီမျှခြင်းများ သို့မဟုတ် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို (indeterminate (Diophantine) equations) လေ့လာခြင်းမှတစ်ဆင့် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုများကို ဒိုင်အိုဖန်တပ်စ်၊ ဗြဟ္မဂုတ္တ နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၎င်း၏ Disquisitiones Arithmeticae စာအုပ်ဖြင့် ဤနယ်ပယ်ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူသည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ၏ ခေတ်သစ်သင်္ချာကို (modern mathematics of congruences) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ * ဂျီဩမေတြီ (Geometry) - "မြေတိုင်းတာခြင်း" (earth measurement) အဖြစ် စတင်ခဲ့သော ဂျီဩမေတြီသည် ဂရိလူမျိုးများလက်အောက်တွင် ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခု (deductive science) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၎င်း၏ အထွတ်အထိပ်မှာ ယူကလစ်ဒ်၏ Elements စာအုပ်ဖြစ်ပြီး နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ဤဘာသာရပ်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို (algebraic equations) ဂျီဩမေတြီ မျဉ်းကွေးများတွင် (geometric curves) အသုံးချခြင်းဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (Analytic geometry) ကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ ယင်းက ဂျီဩမေတြီကို ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများပေါ်တွင် (coordinate axes) ပုံဖော်နိုင်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တော်လှန်ပြောင်းလဲမှုတစ်ခုကို တွေ့ကြုံခဲ့ရသည်။ နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး နှင့် ယာနို့စ် ဘိုလိုင် ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို (Non-Euclidean geometry) တိုးတက်စေခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ယူကလစ်ဒ်၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုကို (parallel postulate) ဖယ်ရှားလိုက်လျှင်ပင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ဂျီဩမေတြီများ (consistent geometries) တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို ပြသခြင်းဖြင့် ဤသို့ တိုးတက်စေခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် ကွေးညွှတ်နေသော မက်ထရစ် ရပ်ဝန်းများကို (curved metric spaces) အလွန်ယေဘုယျကျစွာ လေ့လာမှုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုကို ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီဟု (Riemannian geometry) ခေါ်သည်။ ယင်းသည် နောက်ပိုင်းတွင် ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (General Relativity) ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒသီအိုရီများအတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) - အက္ခရာသင်္ချာသည် သမိုင်းဆိုင်ရာ ကျယ်ပြန့်သော အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ စကားပြောဟန် (rhetorical)၊ အတိုကောက်ဟန် (syncopated) နှင့် သင်္ကေတဟန် (symbolic) တို့ဖြစ်သည်။ စကားပြောဟန်သည် စကားလုံးများဖြင့်သာ အပြည့်အဝရေးသားခြင်း ဖြစ်သည်။ အတိုကောက်ဟန်သည် အတိုကောက်အချို့ကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတဟန်သည် အက္ခရာများနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများကို အသုံးပြုသော ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်း ဖြစ်သည်။ ဘေဘီလုံနှင့် အီဂျစ်လူမျိုးများသည် အခြေခံ မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများနှင့် (elementary linear equations) နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို (quadratic equations) ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ဉာဏ်သစ်သွေးသစ်ခေတ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို နှင့် လူဒိုဗီကို ဖာရာရီ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်း (cubic equation) နှင့် စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်း (quartic equation) တို့အတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေများကို (algebraic solutions) ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် စကစ်ပီယွန် ဒယ်လ် ဖဲရိုး နှင့် နီကိုလို ဖွန်တာနာ တာတာဂလီယာ တို့၏ တတိယထပ် အဖြေကို ကနဦး ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အက္ခရာသင်္ချာသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ကို လေ့လာခြင်းမှ သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများကို (abstract structures) လေ့လာခြင်းသို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ ၏ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်၊<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1}}</ref> ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် ၏ ဖလှယ်၍မရသော ကွာတာနီယွန်များ (non-commutative quaternions) ကို တီထွင်မှုနှင့် ဂျော့ချ် ဘူးလ် ၏ ယုတ္တိဗေဒ အက္ခရာသင်္ချာတို့နှင့်အတူ (algebra of logic) အက္ခရာသင်္ချာသည် ရိုးရာကိန်းများနှင့် အမှီအခိုကင်းသော လေ့လာမှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် တိကျသော နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်း နိယာမများဖြင့် (laws of combination) သတ်မှတ်ထားသော သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ နှင့် ကဲကုလပ် (Analysis and Calculus) - ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပမာဏများ (continuous magnitudes)၊ စုဆုံမှတ်များ (limits) နှင့် အနန္တ လုပ်ငန်းစဉ်များကို (infinite processes) ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းသော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲ ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အစောဆုံး မူလအစမှာ ဂရိလူမျိုးများ၏ "ကုန်စင်အောင်လုပ်ခြင်း နည်းလမ်း" (method of exhaustion) တွင် တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ကနိုင်းဒပ်စ်မှ ယူဒေါက်စပ်စ် က သဘောတရားရေးရာအရ တီထွင်ခဲ့ပြီး အာခီမီးဒီးစ် က ဧရိယာများနှင့် ထုထည်များကို ရှာဖွေရာတွင် စနစ်တကျ အသုံးချခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် တို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများဆိုင်ရာ (infinitesimals) သဘောတရားများကို စုစည်း၍ ကဲကုလပ် (Calculus) ကို သီးခြားစီ တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များကို]] (derivatives) ရှာဖွေရန် ယေဘုယျ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို (algorithms) ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ထို့ပြင် ဧရိယာများ သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ်များကို (integrals) ရှာဖွေရန်အတွက်လည်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို "ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်း" (arithmetized) ခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ၎င်းကို ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ်အပေါ် (geometric intuition) မှီခိုနေရခြင်းမှ ဖယ်ရှားပေးခဲ့သည်။ ထို့နောက် စုဆုံမှတ်များ၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) နှင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ၏]] (real numbers) တိကျသေချာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအပေါ် အခြေခံသည့် တိကျသေချာသော အခြေခံအုတ်မြစ်ပေါ်တွင် (rigorous foundation) တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) - ကနဦးတွင် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းအဖြစ် (analysis situs) ပေါ်ထွက်လာသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]သည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းပုံများ၏ (spatial configurations) မွေးရာပါ အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ အသွင်အပြင်များကို (qualitative aspects) လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ဤအသွင်အပြင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော တစ်-တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများအောက်တွင် (continuous one-to-one transformations) မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို လူအများက "ရာဘာချပ် ဂျီဩမေတြီ" ဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိကြသည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး သည် ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ သို့မဟုတ် ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (combinatorial topology) စတင်တည်ထောင်သူဟု ဆိုနိုင်သည်။ သူသည် ပုံသဏ္ဌာန်များကို [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများအဖြစ်]] (manifolds) ရှုမြင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်နေမှုကို လေ့လာခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) အတွက် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပတ်ဝန်းကျင်များကြားရှိ (neighborhoods of elements) ဆက်သွယ်ချက်များအပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝအခြေခံ၍ သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်းများကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ * ဖြစ်တန်စွမ်း နှင့် အသုံးချ သင်္ချာ (Probability and Applied Mathematics) - [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်း]] သီအိုရီ (probability theory) သည် ၁၇ ရာစုတွင် ဘလေ့စ် ပက်စ်ကယ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့ကြား ကံစမ်းကစားနည်းများနှင့် (games of chance) ပတ်သက်၍ စာပေးစာယူပြုလုပ်ရာမှ စတင်ခဲ့သည်။ ၎င်းကို ၁၉ ရာစု အစောပိုင်းတွင် ပီယား ဆိုင်မွန် လာပလေ့စ် က အဓိကကျသော သိပ္ပံနည်းကျ ကိရိယာတစ်ခုအဖြစ် စနစ်တကျ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစုတွင် အသုံးချ သင်္ချာ (Applied mathematics) သည် ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory)၊ ဆိုက်ဘာနက်တစ်နှင့် (cybernetics) ကွန်ပျူတာသိပ္ပံကဲ့သို့သော (computer science) နယ်ပယ်များသို့ အကြီးအကျယ် ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သည်။ ၎င်းကို ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း နှင့် အလန် ကျူးရင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့ကြသည်။ ကွန်ပျူတာများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနကို အခြေခံမှစ၍ ပြောင်းလဲပစ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းတွင် (numerical analysis) အထောက်အကူပြုခဲ့ပြီး နောက်ဆုံးတွင် အရောင်လေးမျိုး ယူဆချက်ကဲ့သို့သော (Four-Color Conjecture) ရှုပ်ထွေးသည့် သင်္ချာသီအိုရီများကို သက်သေပြရန်အတွက် လိုအပ်သော ကြီးမားလှသည့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စွမ်းအားကို (computational power) ထောက်ပံ့ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား (References) == <references /> [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ပင်မ အကြောင်းအရာ ဆောင်းပါးများ]] 20a7hfczkt8l20vpd4co51tqjwvqdf7 1049504 1049502 2026-08-20T02:31:14Z Mkant00 135890 /* မကြာသေးမီ ဆယ်စုနှစ်များအတွင်း နာမည်ကြီး ယူဆချက်များအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း (Resolution of Famous Conjectures in Recent Decades) */ 1049504 wikitext text/x-wiki [[File:Euclid.jpg|right|thumb|220px|ဘီစီအီး ၃ ရာစုမှ ဂရိ သင်္ချာပညာရှင် ယူကလစ် (ကွန်ပါထောက်တံ ကိုင်ထားသူ) ကို ပန်းချီဆရာ ရာဖယ် က ၎င်း၏ "အေသင်သားတို့ ကျောင်းတော်" အမည်ရ နံရံဆေးရေး ပန်းချီကားကြီးတွင် စိတ်ကူးပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်၏ ပုံမှာ မည်သည့်မီဒီယာတွင်မှ မကျန်ရစ်ဘဲ ဤသရုပ်ဖော်ချက်သည် ပုံဖော်သူ အနုပညာရှင်၏ စိတ်ကူးဉာဏ် ကွန့်မြူးချက်သာ ဖြစ်သည်။]] '''အသိပညာနှင့် စူးစမ်းလေ့လာခြင်း''' ဟု အနက်ဖွင့်ဆိုနိုင်သော ရှေးဂရိဝေါဟာရ μάθημα (máthēma) မှဆင်းသက်လာသည့် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို မြန်မာဘာသာစကားဖြင့် "ရေတွက်ခြင်း" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ရှေးပါဠိဝေါဟာရမှတစ်ဆင့် "သင်္ချာ" ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် သင်္ချာ၏ သဘောသဘာဝနှင့် ပတ်သက်၍ ပုဂ္ဂိုလ်ကျော်များက ရှုထောင့်အမျိုးမျိုးဖြင့် ဖွင့်ဆိုခဲ့ကြသည်။ စွယ်စုံရပညာရှင် ဂယ်လီလီယို (Galileo) က သဘာဝတရားကို ကျမ်းတစ်စောင်ဟု တင်စားခဲ့ပြီး ၎င်းကျမ်းကို သင်္ချာဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားထားကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="Machamer2014">{{Citation |last=Machamer |first=Peter |year=2014 |title=Galileo Galilei |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=CSLI, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/galileo/ |edition=Winter 2014}}</ref> သင်္ချာပညာရှင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) က သင်္ချာကို သိပ္ပံပညာရပ်များ၏ ဘုရင်မအဖြစ် တင်စားခဲ့သည်။<ref name="Beiler1964">{{citation |last=Beiler |first=Albert H. |title=Recreations in the Theory of Numbers (Dover Recreational Math) |publisher=Dover Publications |place=Mineola, NY |edition=2nd |year=1964 |isbn=978-0486210964 |page=1}}</ref> ထို့အပြင် ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) က သင်္ချာသည် မလွှဲမသွေဖြစ်ရမည့် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်များကို ကောက်ချက်ချသော သိပ္ပံပညာရပ်ဖြစ်ကြောင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။<ref name="Peirce1881">{{Citation |last=Peirce |first=Benjamin |title=Linear Associative Algebra |journal=American Journal of Mathematics |volume=4 |issue=1 |year=1881 |pages=97-229 |doi=10.2307/2369153 |url=http://www.jstor.org/stable/2369153 |publisher=The Johns Hopkins University Press}}</ref> ခေတ်ပြိုင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် သက်သေပြချက် (proof) ဖြင့် စစ်ဆေးအတည်ပြုနိုင်သော သရုပ်မဲ့ သဘောတရားများ (abstract concepts) နှင့် ပတ်သက်သည့် ဖော်ပြချက်များ (statements) ကို ဖော်ထုတ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို ကိန်းများ (numbers)၊ ပမာဏများ (magnitudes) နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်များ (forms) ဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခုအဖြစ်သာ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံအကျဆုံး မူလအစသည် သမိုင်းမတင်မီခေတ် လူသားတို့၏ ကိန်းနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တို့တွင်ရှိသော ဆင်တူညီမှုများကို တဖြည်းဖြည်း သတိပြုမိလာခြင်းမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုနှင့် အများအပြားကဲ့သို့သော ရိုးရှင်းသည့် ခြားနားချက်များကို သိမြင်မှတ်မိခြင်းမှသည် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ဆိုသည့် သရုပ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (abstract property) အထိ ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ အလားတူပင် ရက်ကန်းရက်ခြင်း၊ အိုးလုပ်ခြင်းနှင့် ခြင်းတောင်းရက်လုပ်ခြင်းတို့တွင် တွေ့ရသော ရှေးခေတ်လူသားတို့၏ ဒီဇိုင်းများသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ၊ ထပ်တူညီမှု (congruence) နှင့် အချိုးညီမှု (symmetry) တို့အတွက် အခြေခံအလေးထားမှုကို ပြသနေပြီး ယင်းက ဂျီဩမေတြီ (geometry) အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည်။ အစောပိုင်း သင်္ချာစနစ်များသည် အတွေ့အကြုံနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုအပေါ်တွင် များစွာ အခြေခံထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှေးခေတ် အီဂျစ်တွင် ဂျီဩမေတြီသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် စိုက်ပျိုးမြေတိုင်းတာခြင်းအတွက် ကိရိယာတစ်ခုအနေဖြင့် အဓိက တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် နိုင်းမြစ်၏ နှစ်စဉ်ရေကြီးမှုများကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ရှေးခေတ် ဘေဘီလုံ သင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းများအပေါ် များစွာအခြေခံပြီး အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများ (algorithms)၊ ဇယားများနှင့် ညီမျှခြင်းများ (equations) ကို ခန့်မှန်းခြေ ဖြေရှင်းခြင်းတို့အပေါ် အာရုံစိုက်ခဲ့သည်။ ချက်ချင်း အသုံးချရန်ထက် ဉာဏ်ရည်ပိုင်းဆိုင်ရာ သိချင်စိတ်ပြင်းပြမှုက တွန်းအားပေးသည့် ပုံစံတကျ (formalized) ပြီး ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ် (deductive science) တစ်ခုအနေဖြင့် သင်္ချာသည် ရှေးခေတ် ဂရိလူမျိုးများနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ သေးလ် (Thales) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် ဤဘာသာရပ်ကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ ဖွဲ့စည်းမှုဆီသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့သည်ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ သူတို့သည် အခြေခံမူများမှတစ်ဆင့် သီအိုရမ်များ (theorems) ကို သင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြသည့် အစောပိုင်း အစဉ်အလာများကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာ ကြာလာသောအခါ သင်္ချာသည် တည်ဆောက်ပုံ (structure) နှင့် သရုပ်မဲ့ ယုတ္တိဗေဒ (abstract logic) တို့၏ ကျယ်ပြန့်ပြီး အထူးပြုလွန်းသည့်အပြင် စည်းလုံးညီညွတ်သော ဘာသာစကားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြာထွက်လာခဲ့သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ခေတ်သစ် တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုများ (History and Modern Developments) == === ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures) === ဆယ့်ကိုးရာစုသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တွင် တော်လှန်ရေးတစ်ရပ်ကို မြင်တွေ့ခဲ့ရပြီး ၎င်းကို တင်းကျပ်သော ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီ (Euclidean geometry) မူဘောင်မှ အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဂျီဩမေတြီစနစ်များ၏ ကျယ်ပြန့်သော စုစည်းမှုအဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းပေးခဲ့သည်။ ဤစနစ်များ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းမှုသည် ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီကို တောင့်တင်းသော ရွေ့လျားမှု အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (rigid motion transformations) အောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariants) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းကို သုည ကွေးညွှတ်မှု (zero curvature) နှင့် <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော မက်ထရစ် (metric) တို့ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည်။ ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) တွင် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry) နှင့် အဲလစ်ပတစ် ဂျီဩမေတြီ (elliptic geometry) သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီ (spherical geometry) တို့ ပါဝင်သည်။ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အနုတ် ကွေးညွှတ်မှု (constant negative curvature) ရှိသည်။ အဲလစ်ပတစ် သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အပေါင်း ကွေးညွှတ်မှု (constant positive curvature) ရှိသည်။ အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (affine geometry) သည် ပြိုင်တူဖြစ်ခြင်း (parallelism) နှင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင်ရှိခြင်း (collinearity) တို့ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) အပေါ် အာရုံစိုက်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (projective geometry) သည် နှစ်ထပ်အချိုး (cross-ratio) နှင့် ဒွန်တွဲမှု (duality) ကဲ့သို့သော ပရိုဂျက်တစ်ဖြစ်ခြင်းများအောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ဗဟိုပြုသည့် လွှမ်းခြုံနိုင်သော မူဘောင်တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ (Riemannian geometry) သည် ပြောင်းလဲနိုင်သော ကွေးညွှတ်မှု (variable curvature) နှင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) <math>ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dx_i\,dx_j</math> တို့ဖြင့် အုပ်ချုပ်ထားသော ယေဘုယျပြုထားသည့် <math>n</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|တိုင်းတာမှု]]ရှိသော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကို (<math>n</math>-dimensional manifolds) လွှမ်းခြုံထားသည်။ ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီသည် အက်ခိုး ပေါ်လီတက်ကနစ် (École Polytechnique) ၌ ဂတ်စပတ် မွန်ချ် (Gaspard Monge) ကို ဗဟိုပြုသော အစောပိုင်း ၁၉ ရာစု ပြင်သစ်ကျောင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ မွန်ချ်၏ ကျောင်းသားများသည် ဤနယ်ပယ်ကို လမ်းကြောင်းမျိုးစုံသို့ ချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် ဒူပင်း (Charles Dupin) သည် မျက်နှာပြင်များဆိုင်ရာ သီအိုရီကို (theory of surfaces) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဆိုက်ကလိုက် (cyclide) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ သီအိုဒို အိုလီဗီယာ (Théodore Olivier) သည် သင်ကြားရေးအတွက် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဂျီဩမေတြီ ကြိုးမော်ဒယ်များကို (three-dimensional geometric string models) ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခဲ့သည်။ ချားလ်စ်-ဂျူးလ်စ် ဘရီယန်ချွန် (Charles-Jules Brianchon) သည် ပက်စ်ကယ် (Pascal) ၏ ဆန်းကြယ်သော ဆဋ္ဌဂံ သီအိုရမ်အတွက် (Pascal’s mystic hexagram theorem) ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲ (projective dual) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် "အမှတ်" (point) နှင့် "မျဉ်း" (line) ဟူသော သဘောတရားများကို အချင်းချင်းဖလှယ်လိုက်သောအခါတွင် ပြင်ညီ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီရှိ သီအိုရမ်များသည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ ယန်-ဗစ်တာ ပွန်စလတ် (Jean-Victor Poncelet) သည် ၎င်း၏ ၁၈၂၂ ခုနှစ်ထုတ် Traité des propriétés projectives des figures စာအုပ်တွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီကို သီးခြားလွတ်လပ်သော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) မူဝါဒနှင့် အနန္တအမှတ်များ (ideal points) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ စက်ဝိုင်းအားလုံးက မျှဝေပိုင်ဆိုင်ထားသော အနန္တရှိ ကွန်ဂျူဂိတ် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်]] စက်ဝိုင်းအမှတ်များ (conjugate imaginary circular points) နှစ်ခုကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယင်းအမှတ်များကို <math>I</math> နှင့် <math>J</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ မိုက်ကယ် ရှားလ်စ် (Michel Chasles) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်ရှိ အမှတ်လေးမှတ်၏ နှစ်ထပ်အချိုးကို (cross-ratio) အလေးပေးဖော်ပြခဲ့ပြီး ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ :<math>\frac{c - a}{c - b} : \frac{d - a}{d - b}</math> သူသည် ဤနှစ်ထပ်အချိုးသည် ပရိုဂျက်တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (projective transformations) အောက်တွင် ပကတိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိကြောင်းကို (invariant) သက်သေပြခဲ့သည်။ ပေါင်းစပ် မက်ထရစ် ဖန်ရှင် ဂျီဩမေတြီ (synthetic metric geometry) တွင် ဂျက်ကော့ဘ် ရှတိုင်းနား (Jakob Steiner) သည် ယူကလစ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံများအားလုံးကို မျဉ်းဖြောင့်တံတစ်ခုနှင့် (straightedge) ဗဟိုကို (center) ရှင်းလင်းစွာပေးထားသော အထိုင်စက်ဝိုင်းတစ်ခုတည်းကိုသာ (single fixed circle) အသုံးပြု၍ အပြီးသတ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် တတိယထပ်ကိန်း မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် နှစ်ဆယ့်ခုနစ်ကြောင်းကိုလည်း (twenty-seven straight lines on a cubic surface) လေ့လာခဲ့ပြီး ထောင့်ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းဖြစ်သည့် (angle-preserving transformation) ပြောင်းပြန်လှန် ဂျီဩမေတြီ (inversive geometry) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် အမှတ် <math>P</math> နှင့် <math>P'</math> တို့သည် အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိပြီး ဗဟို <math>O</math> ၌ရှိသော စက်ဝိုင်းတစ်ခုနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အချင်းချင်း ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြသည် (inverse)။ ၎င်းတို့သည် <math>(OP)(OP') = r^2</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို ဂျူးလီးယပ်စ် ပလွတ်ကာ (Julius Plücker) က ပြန်လည်အသက်ဝင်စေခဲ့ပြီး သူသည် ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အတိုကောက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို (abridged notation) တီထွင်ခဲ့သည်။ ပလွတ်ကာ၊ ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ် (August Ferdinand Möbius)၊ ကားလ် ဝီလ်ဟမ် ဖွိုင်ယာဘတ် (Karl Wilhelm Feuerbach) နှင့် အက်တီယန် ဘိုဘီလီယာ (Étienne Bobillier) တို့သည် တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ (homogeneous coordinates) ကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထိုကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် <math>t = 0</math> သည် အနန္တရှိ မျဉ်းကို (line at infinity) ကိုယ်စားပြုသည်။ ပလွတ်ကာသည် မျဉ်း ကိုဩဒိနိတ်များ (line coordinates) ကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် <math>(u, v, w)</math> ဖြစ်ကြပြီး မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များဟူသော သဘောတရားကို အမှတ်တစ်ခုကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းများဟူသော ဒွန်တွဲသဘောတရားအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးခဲ့သည်။ ၁၈၃၄ ခုနှစ်တွင် သူသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေး (algebraic curve) တစ်ခု၏ အဆင့် (order) <math>n</math>၊ အတန်းအစား (class) <math>m</math>၊ ဆုံမှတ်များ (nodes) <math>\delta</math>၊ အချွန်မှတ်များ (cusps) <math>\kappa</math>၊ ငြိမ်နေသော ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် အကွေ့မှတ်များ (stationary tangents/inflections) <math>\iota</math> နှင့် ထိမျဉ်းနှစ်ထပ်များ (bitangents) <math>\tau</math> တို့ကို ဆက်စပ်ပေးသော ညီမျှခြင်းများကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ :<math>m = n(n - 1) - 2\delta - 3\kappa \quad \text{and} \quad n = m(m - 1) - 2\tau - 3\iota</math> :<math>\iota = 3n(n - 2) - 6\delta - 8\kappa \quad \text{and} \quad \kappa = 3m(m - 2) - 6\tau - 8\iota</math> ယူကလစ်ဒ်၏ ပဉ္စမမြောက် ကြိုတင်အဆိုကို (Fifth Postulate) သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းမှုသည် ၎င်းမပါဘဲ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (consistent) ရှိသော ဂျီဩမေတြီများ တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို သင်္ချာပညာရှင်များက ပြသနိုင်ခဲ့ချိန်တွင် အဆုံးသတ်သွားခဲ့သည်။ ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ဤအချက်ကို စောစီးစွာကတည်းက သီးသန့် အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော် နီကိုလိုင်း အိုင်ဗန်နိုဗစ်ချ် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) သည် ၁၈၂၉ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) သည် ၁၈၃၂ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ၏ (non-Euclidean hyperbolic geometry) ပထမဆုံး ပုံစံတကျ စနစ်များကို ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်ပေါင်းလဒ်သည် (angle sum) ၁၈၀ ဒီဂရီထက် တိကျစွာ လျော့နည်းသည်။ ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ (Eugenio Beltrami) သည် ဤဂျီဩမေတြီ၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) ၁၈၆၈ ခုနှစ်တွင် ဆူဒိုစက်လုံးမျက်နှာပြင် (pseudosphere) ပေါ်တွင် လက်တွေ့ဖော်ဆောင်ခြင်းဖြင့် သက်သေပြခဲ့သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry) ကို ၁၈၂၇ ခုနှစ်တွင် ဂေါက်စ်က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သူသည် ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian curvature) <math>K</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ကွေးနေသော ကိန်းရှင်ကြားခံ မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) သည် ဒုတိယထပ်ကိန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (quadratic differential form) <math>ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2</math> အပေါ် မူတည်ကြောင်းကို အတည်ပြုခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) ၏ ၁၈၅၄ ခုနှစ် ဟာဘီလီတေးရှင်း ဟောပြောချက်သည် ၎င်းကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိသော မန်နီဖိုးများအထိ (n-dimensional manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် သူ၏ အာလန်ဂါ ပရိုဂရမ် (Erlanger Programm) မှတစ်ဆင့် ဤကွဲပြားနေသော ဂျီဩမေတြီများကို ပေါင်းစပ်ခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီကို တိကျသော အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (transformation groups) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariant properties) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization) === ဆယ့်ကိုးရာစုနှင့် နှစ်ဆယ်ရာစုများအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းမှ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures)၊ တွက်ချက်မှုများ (operations) နှင့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) တို့ကို သရုပ်မဲ့ လေ့လာခြင်းဆီသို့ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်။ ယင်းက [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups)၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းနိုင်ရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1, 7, 13}}</ref> သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာ၏ (symbolic algebra) အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ဂျော့ချ် ပီးကော့ (George Peacock) နှင့် ဩဂတ်စတပ်စ် ဒီ မော်ဂန် (Augustus De Morgan) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ပီးကော့သည် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (arithmetical algebra) သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာမှ ခွဲခြားပြသခဲ့သည်။ ဒီ မော်ဂန်ကမူ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများသည် (operational symbols) အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်းများသာဖြစ်ကြောင်း (arbitrary abstractions) ငြင်းဆိုခဲ့သည်။ ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) သည် ယုတ္တိဗေဒနှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) ဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (algebra of logic) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် စကြဝဠာ အစု (universal set) ကို <math>1</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ဗလာစု (null set) ကို <math>0</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ပေါင်းစပ်စု (union) ကို <math>+</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ကို <math>\times</math> ဖြင့်လည်းကောင်း သတ်မှတ်ပြသခဲ့ပြီး ထပ်တူရပေး နိယာမ (idempotent law) <math>x^2 = x</math> ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များ (noncommutative systems) သည် ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် (William Rowan Hamilton) က မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ နိယာမ]] (commutative law of multiplication) ကို စွန့်လွှတ်ကာ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) ကို တီထွင်လိုက်ချိန်တွင် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ :<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math> :<math>ij = k = -ji, \quad jk = i = -kj, \quad ki = j = -ik</math> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း (Hermann Grassmann) သည် <math>n</math>-တိုင်းတာမှုရှိသော မျဉ်းဖြောင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (linear vector spaces) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ဟာမီလ်တန်-ကေးလီ သီအိုရမ်ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ဂျိမ်းစ် ဂျိုးဆက် ဆေးလ်ဗက်စတာ (James Joseph Sylvester) သည် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရီ (invariant theory) ကို မြှင့်တင်ပေးခဲ့သည်။ ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) နှင့် ချားလ်စ် ဆန်ဒါးစ် ပီးယားစ် (Charles Sanders Peirce) တို့သည် မျဉ်းဖြောင့် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] အက္ခရာသင်္ချာများ (linear associative algebras) ကို ဆက်လက် အမျိုးအစားခွဲခြားခဲ့ကြသည်။ ယင်း၏ အထွတ်အထိပ်ရလဒ်အနေဖြင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers)၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) နှင့် ကွာတာနီယွန်များသည်သာလျှင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ကိန်းစစ် ဖက်စပ်ရ အစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း သီအိုရမ်ကို (classification theorem) ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် (Ferdinand Georg Frobenius) က ၁၈၇၇ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ စီ အက်စ် ပီးယားစ်က ၁၈၈၁ ခုနှစ်တွင် သီးခြားစီလည်းကောင်း ပုံစံတကျ အတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အုပ်စုများ၊ ကွင်းများနှင့် ဖီးလ်ဒ်များကို သဘောတရားအဖြစ် ဖွဲ့စည်းခြင်းက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) ကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အချိုးညီမှုများနှင့် (symmetries) ချိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ကိန်းရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရရန်မှာ ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) အုပ်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း သူက သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=14}}</ref> ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) သည် ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓ]]ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique prime factorization) ကို ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]]ရင်းများ (algebraic integers) ၏ ကွင်းများတွင် အိုင်ဒီးလ်များကို (ideals) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=7}}</ref> ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် ဂျေ အိတ်ချ် အမ် ဝက်ဒါဘန်း (J. H. M. Wedderburn) သည် ဆီမီးရိုးရှင်းသော အက္ခရာသင်္ချာများအတွက် (semisimple algebras) တည်ဆောက်ပုံ သီအိုရမ်များကို (structure theorems) ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အန်းစ် ရှတိုင်းနစ်ဇ် (Ernst Steinitz) သည် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) ကို နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=13}}</ref> အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) သည် အစဉ်လိုက်တိုး ချိတ်တန်း အခြေအနေများ (ascending chain conditions) ကို အသုံးပြု၍ နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော ကွင်းသီအိုရီ (axiomatic ring theory) ကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=15}}</ref> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ဂေါ့လော့ ဖရေဂါ (Gottlob Frege) နှင့် ဂျူဆက်ပီ ပီယာနို (Giuseppe Peano) တို့က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဖရေဂါသည် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ယုတ္တိဗေဒမှ ဆင်းသက်ရယူရန် ကြိုးစားခဲ့ပြီး ပီယာနိုသည် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) အတွက် နဂိုမှန်အဆို အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ - တိကျသေချာမှု၊ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များ၊ နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Analysis: Rigor, Real and Complex Variables, and Measure Theory) === [[File:Bernhard_Riemann_3.jpg|right|thumb|220px|ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (1862)]] [[File:Augustin-Louis_Cauchy_1901.jpg|right|thumb|220px| ကော်ချီ၏ ကျောက်ပုံနှိပ်ပုံ (1840)]] ကဲကုလပ် (calculus) သည် ၁၉ ရာစုတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များမှ တိကျသေချာသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (rigorous mathematical analysis) သို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ ဤအပြောင်းအလဲသည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) နှင့် စုဆုံမှတ်များကို (limits) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများကို (logical circularity) ဖယ်ရှားရန် လိုအပ်ခြင်းကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် သင်္ချာပညာရှင် ငါးဦးသည် ကိန်းစစ်များအတွက် သီးသန့် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် မေရေး (Charles Méray)၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass)၊ ဟိုင်းနရစ် အက်ဒ်ဝပ် ဟိုင်းနား (Heinrich Eduard Heine) နှင့် ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) တို့သည် ကိန်းစစ်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏]] စုဆုံ ကိန်းစဉ်များ (convergent sequences of rational numbers) သို့မဟုတ် အခြေခံ ကိန်းစဉ်များကို (fundamental sequences) အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်းသည် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းကို (Dedekind Cut) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ သူသည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို]] (irrationalities) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းအားလုံးကို ဘုံမပါသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (disjoint subsets) နှစ်ခုအဖြစ် အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို (complex analysis) အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) က စနစ်တကျ တိုးတက်စေခဲ့သည်။ သူသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများကို (Cauchy-Riemann differential equations) ဆင်းသက်ရယူခဲ့သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများမှာ <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် သူသည် အကြွင်း ကဲကုလပ်နှင့်အတူ (residue calculus) ကော်ချီ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ်ကို (Integral Theorem) <math>\oint f(z)\,dz = 0</math> သက်သေပြခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် တန်ဖိုးများစွာရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (multivalued functions) တစ်ပြေးညီဖြစ်စေရန် (uniformize) ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များမှတစ်ဆင့် (Riemann surfaces) တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်နည်းတစ်ခုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် ဇီတာ ဖန်ရှင် (zeta function) <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}</math> ၏ သုညမှတ်များနှင့် ပတ်သက်သော ရီးမန်း ယူဆချက်ကိုလည်း (Hypothesis) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်သည် ဤဖီးလ်ဒ်ကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆက်လက်တည်ရှိခြင်းတို့မှတစ်ဆင့် (analytic continuation) တင်းကျပ်စွာ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီတို့သည် (measure theory) အီမီးလ် ဘိုရဲလ် (Émile Borel) မှတစ်ဆင့် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ သူသည် ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှုကို (countable additivity) အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) ပေါ်တွင် အတိုင်းအတာ သီအိုရီကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည်လည်း ဤနယ်ပယ်ကို တိုးတက်စေခဲ့ပြီး သူသည် ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်ကို (Lebesgue integral) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ လီဘက်ဂ်သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ထက် ပုံရိပ်အစုကို (range) ပိုမိုသေးငယ်စွာ ထပ်မံပိုင်းခြားခြင်းအားဖြင့် အလွန်အမင်း [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များကို]] (discontinuous functions) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) ရှိစေခဲ့သည်။ ယင်းက [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်|ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်ကို]] (Fundamental Theorem of Calculus) ချဲ့ထွင်ပေးခဲ့သည်။ === တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Topology and Functional Analysis) === [[File:Curie_and_Poincare_1911_Solvay.jpg|right|thumb|220px|ဆိုးလ်ဗေး ညီလာခံတွင် မာရီ ကျူရီ နှင့် ပွန်ကာရေးတို့ စကားပြောဆိုနေစဉ် (1911)]] [[File:Hilbert.jpg|right|thumb|220px|ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (1912)]] [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) သည် နှစ်ဆယ်ရာစု သင်္ချာတွင် အဓိကကျသော ပေါင်းစပ်ပေးသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) သည် ၁၈၉၅ ခုနှစ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (algebraic topology) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ဟိုမိုလော်ဂျီကို (simplicial homology) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဗက်တီ ကိန်းများကို (Betti numbers) အသုံးပြု၍ ဗဟုဂံပုံသေနည်းကို (polyhedral formula) ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာရှိ မန်နီဖိုးများအထိ (manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အခြေခံအုပ်စုကို (fundamental group) လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ပွန်ကာရေး ဟိုမိုလော်ဂျီ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Poincaré homology sphere) ကို ဖော်ထုတ်မှုသည် ပွန်ကာရေး ယူဆချက်ဆီသို့ (Poincaré conjecture) ဦးတည်စေခဲ့သည်။ အယ်လ် အီး ဂျေ ဘရောင်းဝါး (L. E. J. Brouwer) သည် အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (fixed-point theorem) အပါအဝင် အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရမ်များကို (topological invariance theorems) ဆက်လက် သက်သေပြခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (Point-set topology) မောရစ် ဖရေးရှေး (Maurice Fréchet) နှင့် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ဖရေးရှေးသည် ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို]] (metric spaces) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) နှင့် ခွဲခြားခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများကို (separation axioms) အသုံးပြု၍ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် (topological spaces) နဂိုမှန်အဆို စနစ်ကို (axiomatic system) ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာသည်လည်း (functional analysis) တစ်ပြိုင်နက်တည်း တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများကို (inner product spaces) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) သည် ပြည့်စုံသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို]] (complete normed vector spaces) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ လော်ရင့် ရွှာ့ဇ် (Laurent Schwartz) ၏ ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီသည် (theory of distributions) ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာကဲ့သို့ (Dirac delta) ယေဘုယျပြုထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (generalized functions) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === နှစ်ဆယ်ရာစု ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း - ဘော်ဘာကီ၊ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Twentieth-Century Synthesis: Bourbaki, Category Theory, and Algebraic Geometry) === [[File:Weil.jpg|right|thumb|220px|အန်ဒရေး ဗေးလ် (1956)]] [[File:NBourbaki 3.png|right|thumb|220px|ဘော်ဘာကီ ညီလာခံ (1951)]] ၂၀ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဘာသာရပ်သည် သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများ (abstract structures) နှင့် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ (categorical relationships) ကို အလေးပေးခြင်းဖြင့် အရင်ကမရှိဖူးသော ပေါင်းစပ်ညီညွတ်မှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၃၄ ခုနှစ်မှစတင်၍ ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင်များ အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့သည် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ဟူသော ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေထုတ်ဝေလျက် အတွဲများစွာပါဝင်သော Éléments de mathématique (သင်္ချာ၏ အခြေခံများ) ကို ရေးသားပြုစုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ နည်းစနစ်သည် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ နည်းလမ်း (axiomatic method) ကို တင်းကျပ်စွာ လိုက်နာမှုနှင့် ယေဘုယျ တည်ဆောက်ပုံများမှ (general structures) တိကျသော အသုံးချမှုများဆီသို့ (specific applications) ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တိုးတက်မှုကို (logical progression) အလေးပေးခဲ့သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (Category theory) ကို ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကွဲပြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန် ကတ်တဂိုရီများ (categories)၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]] (functors) နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] (natural transformations) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် အွန်ရီ ကာတန် (Henri Cartan) နှင့် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်တို့သည် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို ဖန်တီးရန် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တို့ကို ပေါင်းစပ်ခဲ့ကြသည်။ ဤကာလအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) သည် တော်လှန်ပြောင်းလဲခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ အော်စကာ ဇာရစ်စကီး (Oscar Zariski)၊ ဘီ အယ်လ် ဗန် ဒါ ဗေဒင် (B. L. van der Waerden) နှင့် အန်ဒရေး ဗေးလ် (André Weil) တို့သည် ဤဘာသာရပ်ခွဲကို တိကျသေချာသော [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (rigorous commutative algebra) ဖြင့် အခြေခံချပေးခဲ့ကြသည်။ ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှင့် ၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ယန် လီရေး (Jean Leray)၊ ယန်-ပီယာ ဆဲရ် (Jean-Pierre Serre) နှင့် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) တို့သည် [[အစည်း|အစည်းများ]] (sheaves)၊ စကင်းမ်များ (schemes)၊ တိုပို့စ်များ (topoi) နှင့် အေတဲလ် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (étale cohomology) ဟူသော ဘာသာစကားမှတစ်ဆင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို လုံးဝအသစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဤမူဘောင်သည် ပီယာ ဒေလင်း (Pierre Deligne) အား ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အနက်ရှိုင်းဆုံးသော ဗေးလ် ယူဆချက်များကို သက်သေပြရန် လုပ်ဆောင်နိုင်စေခဲ့သည်။ === ယုတ္တိဗေဒ၊ အခြေခံအုတ်မြစ်များနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Logic, Foundations, and Computational Mathematics) === [[File:1925 kurt gödel (cropped).png|right|thumb|220px|ကာ့တ် ဂိုဒယ် (1925)]] [[File:Alan_Turing_portré.jpg|right|thumb|220px|အလန် ကျူးရင်း (1930s)]] ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) ၏ အခြေခံဆိုင်ရာ ပြဿနာများ (foundational problems) နှစ်ဆယ့်သုံးခု တင်ပြချက်မှ ကြီးမားစွာ လွှမ်းမိုးမှုခံရသော ၂၀ ရာစုသည် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) နှင့် တွက်ချက်ခြင်း (computation) ဆိုင်ရာ အခြေခံ မေးခွန်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ယုတ္တိဗေဒ (logic) တွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများမှ (logical axioms) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ဆင်းသက်ရယူရန် ဘာထရန် ရပ်ဆဲလ် (Bertrand Russell) နှင့် အဲလ်ဖရက် နော့သ် ဝှိုက်ဟတ် (Alfred North Whitehead) တို့၏ ကြိုးပမ်းမှုများသည် ကာ့တ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ ၁၉၃၁ ခုနှစ် မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (Incompleteness Theorems) ကြောင့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်စေခဲ့သည်။ မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုစနစ်မဆို (consistent formal axiomatic system) အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာကို (basic arithmetic) လုပ်ဆောင်နိုင်သောအခါ ၎င်းသည် ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော အဆိုများကို (undecidable propositions) ပါဝင်စေပြီး ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (own consistency) သက်သေမပြနိုင်ကြောင်း ဂိုဒယ်က ပြသခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်၏ ပထမဆုံး ပြဿနာဖြစ်သော ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) ၏ တိုးတက်မှုသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ဂိုဒယ်က ၎င်း၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) သက်သေပြခဲ့ပြီး ပေါလ် ကိုဟင် (Paul Cohen) က ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် အတင်းအကျပ် ပြောင်းလဲခြင်းနည်းလမ်းကို (method of forcing) အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို (independence) သက်သေပြခဲ့သည်။ တွက်ချက်မှု သီအိုရီ (theory of computation) ကို အလန် ကျူးရင်း (Alan Turing) က ၁၉၃၆ ခုနှစ်တွင် ပုံစံတကျ တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ကျူးရင်းသည် တွက်ချက်ခြင်းအတွက် စကြဝဠာ သဘောတရားရေးရာ မော်ဒယ်ကို (universal theoretical model) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤမော်ဒယ်ကို ကျူးရင်း စက်ဟု (Turing machine) သိကြသည်။ ထို့ပြင် သူသည် ရပ်တန့်ခြင်း ပြဿနာ၏ (halting problem) ဖြေရှင်း၍မရနိုင်စွမ်းကို (insolvability) သက်သေပြခဲ့ပြီး ယင်းက ဟီလ်ဘတ်၏ ဆုံးဖြတ်ချက် ပြဿနာကို (decision problem) ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) သည် အီလက်ထရောနစ် ကွန်ပျူတာ တည်ဆောက်ပုံ (electronic computer architecture)၊ ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory) နှင့် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) ကို ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာကို ဆက်လက်တိုးတက်စေခဲ့သည်။ === မကြာသေးမီ ဆယ်စုနှစ်များအတွင်း နာမည်ကြီး ယူဆချက်များအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း (Resolution of Famous Conjectures in Recent Decades) === [[File:Richard_Hamilton_1982_(reprint;_headshot).jpg|right|thumb|220px|ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (1982)]] [[File:Perelman, Grigori (1966) Upright.jpg|right|thumb|220px|ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (1993)]] [[File:Andrew Wiles, Boston 1995.JPG|right|thumb|220px|အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (1995)]] နှစ်ဆယ်ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် နှစ်ဆယ့်တစ်ရာစု အစောပိုင်းကာလများကို အဆင့်မြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မူဘောင်များနှင့် (advanced analytical frameworks) ကွန်ပျူတာ အကူအညီများမှတစ်ဆင့် (computer assistance) ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော သမိုင်းဝင် ပြဿနာများအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်းဖြင့် အမှတ်အသားပြုခဲ့သည်။ ၁၈၅၂ ခုနှစ်တွင် စတင်ယူဆခဲ့ပြီးဖြစ်သော အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ် (Four-Color Theorem) သည် ကဲနတ် အက်ပယ်လ် (Kenneth Appel) နှင့် ဝုဖ်ဂန်း ဟာကင် (Wolfgang Haken) တို့က ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရှောင်လွှဲ၍မရသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို (unavoidable configurations) အကဲဖြတ်ရန်အတွက် အားထုတ်ပစ်ခြင်း နည်းလမ်းကို (method of discharging) အသုံးပြုခြင်းသည် ပထမဆုံး အဓိကကျသော ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်အဖြစ် (computer-assisted mathematical proof) မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သည်။ ယင်းကို နောက်ပိုင်းတွင် ရောဘတ်ဆန်၊ ဆန်ဒါးစ်၊ ဆီးမိုး နှင့် သောမတ်စ် တို့က ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပိုမိုရိုးရှင်းလွယ်ကူအောင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် ကော့ခ် ဆော့ဖ်ဝဲလ်ကို အသုံးပြု၍ ဂွန်သီယာ နှင့် ဗာနာ တို့က ပုံစံတကျ စစ်ဆေးအတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (Classification of Finite Simple Groups) သည် ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာသော ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ကြိုးပမ်းမှုအပြီးတွင် ပြီးမြောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဖိုက်-သွန်မဆင် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]]အစဉ် သီအိုရမ်ဖြင့် (Odd-Order Theorem) စတင်ခဲ့ပြီး ဤသီအိုရမ်က မည်သည့် အဆုံးရှိ ရိုးရှင်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite simple group) မဆို ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group)၊ အလှည့်ကျ အုပ်စု (alternating group)၊ လီ-အမျိုးအစား (Lie-type) သို့မဟုတ် ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော အုပ်စုများ (sporadic groups) ၂၆ ခုထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးခဲ့သည်။ နောက်ဆုံး ဆူဒို-ပါးလွှာသော ကွာဟချက်ကို (quasi-thin gap) အက်ရှ်ဘာကာ နှင့် စမစ်သ် တို့က ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပိတ်နိုင်ခဲ့သည်။ ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat’s Last Theorem) ကို နှစ်ပေါင်း ၃၅၀ ကျော်ကြာပြီးနောက် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂါဟတ် ဖရေး (Gerhard Frey) ၏ မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (non-modular elliptic curves) ဖွဲ့စည်းမှုနှင့် ကန် ရီဘတ် (Ken Ribet) ၏ <math>\varepsilon</math>-ယူဆချက် (<math>\varepsilon</math>-conjecture) သက်သေပြချက်တို့ကို အခြေခံ၍ အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) က ပြသခဲ့ရာတွင် ဆီမီး-တည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် (semistable elliptic curves) တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ်ကို တိုက်ရိုက် သက်ရောက်မှုရှိကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ်သည် ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ သူ့ကို ရစ်ချတ် တေလာ (Richard Taylor) က ကူညီပေးခဲ့သည်။ ပွန်ကာရေး ယူဆချက် (Poincaré Conjecture) ကို ဝီလီယံ သာစတန် (William Thurston) ၏ ဂျီဩမေတြီအသွင်ပြောင်းခြင်း ယူဆချက် (Geometrization Conjecture) နှင့် ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (Richard Hamilton) ၏ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ညီမျှခြင်း (Ricci flow equation) <math>\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2 R_{ij}</math> မိတ်ဆက်မှုတို့မှတစ်ဆင့် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Yakovlevich Perelman) သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၃ ခုနှစ်အတွင်း ခွဲစိတ်မှု နည်းပညာများကို (surgery techniques) အသုံးပြု၍ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို (Ricci flow singularities) ကျော်လွှားခြင်းဖြင့် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ === မြန်မာ့ သင်္ချာသမိုင်း (History of Burmese Mathematics) === မြန်မာ့သိပ္ပံပညာနှင့် သင်္ချာသမိုင်းကြောင်းသည် ရှေးခေတ်ကာလများကတည်းက အခြေတကျ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်ထားသော သင်္ချာကျမ်းများအနက် တစ်ခုမှာ ၁၄ ရာစုနှစ်ဦးပိုင်းတွင် ဇင်းမယ်မြို့၌ ရှင်ဉာဏဝိလာသ ရေးသားပြုစုခဲ့သော "သင်္ချာပကာသက" ကျမ်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကျမ်းကို အခြေခံ၍ ခရစ်နှစ် ၁၅၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ပလိပ်ရွာအရှေ့ရှိ မြို့သစ်မြို့နေ ရှင်သီရိမင်္ဂလက "သင်္ချာပကာသကဋီကာ" ကို ထပ်မံပြုစုခဲ့ပြီး ညောင်ကန်ဆရာတော် ရှင်ကဝိန္ဒ၏ တပည့် ရှင်မုနိန္ဒသာရက "သင်္ချာပကာသက စာကိုယ်နိဿယ" ကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဘိုးတော်ဘုရား (ဗဒုံမင်း) လက်ထက် (၁၇၈၂–၁၈၁၉) တွင် အိန္ဒိယနှင့် သီဟိုဠ်တို့မှ ကျမ်းပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို ယူဆောင်လာခဲ့ပြီး မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုစေခဲ့ရာမှ သင်္ချာပညာရပ်သည် ပိုမိုထွန်းကားလာခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော သမိုင်းဝင်အထောက်အထားတစ်ခုမှာ ၁၇၇၄ ခုနှစ်တွင် ပြုစုခဲ့သော "ဂဏန်းသင်္ချာ ပညာဝဍ္ဎနကျမ်း" ဖြစ်သည်။ ဤကျမ်းကို အပိုင်းလေးပိုင်းခွဲခြားထားပြီး တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပုစ္ဆာပေါင်း ၁၇၅ ပုဒ်ကို တွက်နည်းအဖြေများနှင့်တကွ စနစ်တကျ ပြုစုထားသည်။ ပထမပိုင်းတွင် အလေးချိန်၊ အကွာအဝေး၊ ထုထည် (Volume) နှင့် အချိန်နာရီတို့ကို တိုင်းတာသည့် ယူနစ် (Unit) ဆိုင်ရာ ကိန်းသင်္ချာအကြောင်းကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် "ခု" မှစ၍ သုည ၁၄၀ လုံးပါဝင်သော "အသင်္ချေ" တိုင်အောင် ရေတွက်ခေါ်ဝေါ်သည့် နည်းစနစ်များ ပါဝင်သည်။ ဒုတိယပိုင်းတွင် လုပ်ငန်းခွင်သုံး တိုင်းထွာတွက်ချက်နည်းများကို "ဂဏန်းဆယ်ပါး" ခေါင်းစဉ်ဖြင့် ဖော်ပြထားပြီး စပါး၊ ဆန်၊ ရွှေ၊ ငွေ၊ ဆီမီး၊ ရထား၊ သစ်ပင်၊ လှေ၊ သားရေနှင့် မြေစသည့် ကဏ္ဍများ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရွှေကို အဆင့်ဆင့် သန့်စင်ရာတွင် ဇမ္ဗူရဇ်ရွှေကဲ့သို့ အသန့်စင်ဆုံးအဆင့်ရရှိရန် တွက်ချက်မှုများ၊ သစ်ပင်၏ အမြင့်ကို ဂျီဩမေတြီ (Geometry) အသုံးပြု၍ ရှာဖွေခြင်းများနှင့် မြေကွက်များ၏ ဧရိယာ (Area) တွက်ချက်ခြင်းများ ပါဝင်သည်။ တတိယပိုင်းတွင် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic progression)၊ ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric progression)၊ မရေမရာ ညီမျှခြင်း (Indeterminate equation)၊ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (Algebraic equation)၊ ဆခွဲကိန်း (Factor) နှင့် ဘုံသုဉ်းကိန်းရှာဖွေခြင်းစသည့် သင်္ချာနည်းစနစ် ၁၆ မျိုးကို ပုစ္ဆာပေါင်း ၇၆ ပုဒ်ဖြင့် ရှင်းလင်းထားသည်။ စတုတ္ထပိုင်းတွင် ရှေ့ပိုင်းနည်းစနစ်များကို အခြေခံထားသော လက်တွေ့အသုံးချ ပုစ္ဆာ ၃၀ ပုဒ် ပါဝင်သည်။ ဤကျမ်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို လေ့လာခြင်းအားဖြင့် ရှေးခေတ်မြန်မာတို့သည် စက်ဝိုင်း၊ စက်လုံး၊ ထုလုံးနှင့် ထုချွန်များ၏ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ရှာဖွေခြင်းမှစ၍ ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများအထိ အဆင့်မြင့်မားသော သင်္ချာပညာကို လက်တွေ့အသုံးချနိုင်ခဲ့ကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။<ref name="MyoThantTyn">ဒေါက်တာ မျိုးသန့်တင်။ ''ရှေးခေတ် မြန်မာသိပ္ပံကျမ်းများ''။</ref> == သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများ (Areas of Mathematics) == ဤပညာရပ် ကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်းသည် သဘာဝအလျောက် ကွဲပြားသော်လည်း အလွန်အမင်း အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဘာသာရပ်ခွဲများစွာအဖြစ် ပိုင်းခြားသွားခဲ့သည်။ * ဂဏန်းသင်္ချာ နှင့် ကိန်းသီအိုရီ (Arithmetic and Number Theory) - ရှေးခေတ်တွင် လော်ဂျစ်စတစ်နှင့် (logistic) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကြားတွင် တင်းကျပ်သော ခွဲခြားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ လော်ဂျစ်စတစ်သည် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်တွေ့အသုံးချ နည်းစနစ်ဖြစ်သည်။ (practical technique of computation) ဂဏန်းသင်္ချာသည် ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို (properties of numbers) ဒဿနိကဗေဒအရ သို့မဟုတ် သဘောတရားရေးရာအရ လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ကိန်းသီအိုရီ (Number theory) သည် အဆိုပါ ဂဏန်းသင်္ချာမှ ခေတ်သစ် ဆင်းသက်လာသော ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ အစောပိုင်း မှတ်တိုင်များတွင် ဂရိလူမျိုးများ၏ ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း ပါဝင်သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းတွင် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers)၊ ဆပေါင်းကိန်းများ (composite numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်းများ]] (even numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်းများ]] (odd numbers) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းများ (perfect numbers) တို့ ပါဝင်သည်။ အခြားမှတ်တိုင်တစ်ခုမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်း ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်ဖြစ်သည်။ ဤဘာသာရပ်သည် မသေချာသော ညီမျှခြင်းများ သို့မဟုတ် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို (indeterminate (Diophantine) equations) လေ့လာခြင်းမှတစ်ဆင့် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုများကို ဒိုင်အိုဖန်တပ်စ်၊ ဗြဟ္မဂုတ္တ နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၎င်း၏ Disquisitiones Arithmeticae စာအုပ်ဖြင့် ဤနယ်ပယ်ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူသည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ၏ ခေတ်သစ်သင်္ချာကို (modern mathematics of congruences) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ * ဂျီဩမေတြီ (Geometry) - "မြေတိုင်းတာခြင်း" (earth measurement) အဖြစ် စတင်ခဲ့သော ဂျီဩမေတြီသည် ဂရိလူမျိုးများလက်အောက်တွင် ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခု (deductive science) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၎င်း၏ အထွတ်အထိပ်မှာ ယူကလစ်ဒ်၏ Elements စာအုပ်ဖြစ်ပြီး နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ဤဘာသာရပ်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို (algebraic equations) ဂျီဩမေတြီ မျဉ်းကွေးများတွင် (geometric curves) အသုံးချခြင်းဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (Analytic geometry) ကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ ယင်းက ဂျီဩမေတြီကို ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများပေါ်တွင် (coordinate axes) ပုံဖော်နိုင်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တော်လှန်ပြောင်းလဲမှုတစ်ခုကို တွေ့ကြုံခဲ့ရသည်။ နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး နှင့် ယာနို့စ် ဘိုလိုင် ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို (Non-Euclidean geometry) တိုးတက်စေခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ယူကလစ်ဒ်၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုကို (parallel postulate) ဖယ်ရှားလိုက်လျှင်ပင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ဂျီဩမေတြီများ (consistent geometries) တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို ပြသခြင်းဖြင့် ဤသို့ တိုးတက်စေခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် ကွေးညွှတ်နေသော မက်ထရစ် ရပ်ဝန်းများကို (curved metric spaces) အလွန်ယေဘုယျကျစွာ လေ့လာမှုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုကို ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီဟု (Riemannian geometry) ခေါ်သည်။ ယင်းသည် နောက်ပိုင်းတွင် ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (General Relativity) ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒသီအိုရီများအတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) - အက္ခရာသင်္ချာသည် သမိုင်းဆိုင်ရာ ကျယ်ပြန့်သော အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ စကားပြောဟန် (rhetorical)၊ အတိုကောက်ဟန် (syncopated) နှင့် သင်္ကေတဟန် (symbolic) တို့ဖြစ်သည်။ စကားပြောဟန်သည် စကားလုံးများဖြင့်သာ အပြည့်အဝရေးသားခြင်း ဖြစ်သည်။ အတိုကောက်ဟန်သည် အတိုကောက်အချို့ကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတဟန်သည် အက္ခရာများနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများကို အသုံးပြုသော ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်း ဖြစ်သည်။ ဘေဘီလုံနှင့် အီဂျစ်လူမျိုးများသည် အခြေခံ မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများနှင့် (elementary linear equations) နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို (quadratic equations) ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ဉာဏ်သစ်သွေးသစ်ခေတ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို နှင့် လူဒိုဗီကို ဖာရာရီ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်း (cubic equation) နှင့် စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်း (quartic equation) တို့အတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေများကို (algebraic solutions) ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် စကစ်ပီယွန် ဒယ်လ် ဖဲရိုး နှင့် နီကိုလို ဖွန်တာနာ တာတာဂလီယာ တို့၏ တတိယထပ် အဖြေကို ကနဦး ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အက္ခရာသင်္ချာသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ကို လေ့လာခြင်းမှ သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများကို (abstract structures) လေ့လာခြင်းသို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ ၏ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်၊<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1}}</ref> ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် ၏ ဖလှယ်၍မရသော ကွာတာနီယွန်များ (non-commutative quaternions) ကို တီထွင်မှုနှင့် ဂျော့ချ် ဘူးလ် ၏ ယုတ္တိဗေဒ အက္ခရာသင်္ချာတို့နှင့်အတူ (algebra of logic) အက္ခရာသင်္ချာသည် ရိုးရာကိန်းများနှင့် အမှီအခိုကင်းသော လေ့လာမှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် တိကျသော နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်း နိယာမများဖြင့် (laws of combination) သတ်မှတ်ထားသော သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ နှင့် ကဲကုလပ် (Analysis and Calculus) - ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပမာဏများ (continuous magnitudes)၊ စုဆုံမှတ်များ (limits) နှင့် အနန္တ လုပ်ငန်းစဉ်များကို (infinite processes) ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းသော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲ ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အစောဆုံး မူလအစမှာ ဂရိလူမျိုးများ၏ "ကုန်စင်အောင်လုပ်ခြင်း နည်းလမ်း" (method of exhaustion) တွင် တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ကနိုင်းဒပ်စ်မှ ယူဒေါက်စပ်စ် က သဘောတရားရေးရာအရ တီထွင်ခဲ့ပြီး အာခီမီးဒီးစ် က ဧရိယာများနှင့် ထုထည်များကို ရှာဖွေရာတွင် စနစ်တကျ အသုံးချခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် တို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများဆိုင်ရာ (infinitesimals) သဘောတရားများကို စုစည်း၍ ကဲကုလပ် (Calculus) ကို သီးခြားစီ တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များကို]] (derivatives) ရှာဖွေရန် ယေဘုယျ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို (algorithms) ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ထို့ပြင် ဧရိယာများ သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ်များကို (integrals) ရှာဖွေရန်အတွက်လည်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို "ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်း" (arithmetized) ခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ၎င်းကို ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ်အပေါ် (geometric intuition) မှီခိုနေရခြင်းမှ ဖယ်ရှားပေးခဲ့သည်။ ထို့နောက် စုဆုံမှတ်များ၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) နှင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ၏]] (real numbers) တိကျသေချာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအပေါ် အခြေခံသည့် တိကျသေချာသော အခြေခံအုတ်မြစ်ပေါ်တွင် (rigorous foundation) တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) - ကနဦးတွင် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းအဖြစ် (analysis situs) ပေါ်ထွက်လာသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]သည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းပုံများ၏ (spatial configurations) မွေးရာပါ အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ အသွင်အပြင်များကို (qualitative aspects) လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ဤအသွင်အပြင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော တစ်-တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများအောက်တွင် (continuous one-to-one transformations) မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို လူအများက "ရာဘာချပ် ဂျီဩမေတြီ" ဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိကြသည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး သည် ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ သို့မဟုတ် ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (combinatorial topology) စတင်တည်ထောင်သူဟု ဆိုနိုင်သည်။ သူသည် ပုံသဏ္ဌာန်များကို [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများအဖြစ်]] (manifolds) ရှုမြင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်နေမှုကို လေ့လာခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) အတွက် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပတ်ဝန်းကျင်များကြားရှိ (neighborhoods of elements) ဆက်သွယ်ချက်များအပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝအခြေခံ၍ သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်းများကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ * ဖြစ်တန်စွမ်း နှင့် အသုံးချ သင်္ချာ (Probability and Applied Mathematics) - [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်း]] သီအိုရီ (probability theory) သည် ၁၇ ရာစုတွင် ဘလေ့စ် ပက်စ်ကယ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့ကြား ကံစမ်းကစားနည်းများနှင့် (games of chance) ပတ်သက်၍ စာပေးစာယူပြုလုပ်ရာမှ စတင်ခဲ့သည်။ ၎င်းကို ၁၉ ရာစု အစောပိုင်းတွင် ပီယား ဆိုင်မွန် လာပလေ့စ် က အဓိကကျသော သိပ္ပံနည်းကျ ကိရိယာတစ်ခုအဖြစ် စနစ်တကျ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစုတွင် အသုံးချ သင်္ချာ (Applied mathematics) သည် ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory)၊ ဆိုက်ဘာနက်တစ်နှင့် (cybernetics) ကွန်ပျူတာသိပ္ပံကဲ့သို့သော (computer science) နယ်ပယ်များသို့ အကြီးအကျယ် ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သည်။ ၎င်းကို ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း နှင့် အလန် ကျူးရင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့ကြသည်။ ကွန်ပျူတာများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနကို အခြေခံမှစ၍ ပြောင်းလဲပစ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းတွင် (numerical analysis) အထောက်အကူပြုခဲ့ပြီး နောက်ဆုံးတွင် အရောင်လေးမျိုး ယူဆချက်ကဲ့သို့သော (Four-Color Conjecture) ရှုပ်ထွေးသည့် သင်္ချာသီအိုရီများကို သက်သေပြရန်အတွက် လိုအပ်သော ကြီးမားလှသည့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စွမ်းအားကို (computational power) ထောက်ပံ့ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား (References) == <references /> [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ပင်မ အကြောင်းအရာ ဆောင်းပါးများ]] b4cl297jnafk3198kk99f96x1a4eri9 1049506 1049504 2026-08-20T02:39:57Z Mkant00 135890 /* ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization) */ 1049506 wikitext text/x-wiki [[File:Euclid.jpg|right|thumb|220px|ဘီစီအီး ၃ ရာစုမှ ဂရိ သင်္ချာပညာရှင် ယူကလစ် (ကွန်ပါထောက်တံ ကိုင်ထားသူ) ကို ပန်းချီဆရာ ရာဖယ် က ၎င်း၏ "အေသင်သားတို့ ကျောင်းတော်" အမည်ရ နံရံဆေးရေး ပန်းချီကားကြီးတွင် စိတ်ကူးပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်၏ ပုံမှာ မည်သည့်မီဒီယာတွင်မှ မကျန်ရစ်ဘဲ ဤသရုပ်ဖော်ချက်သည် ပုံဖော်သူ အနုပညာရှင်၏ စိတ်ကူးဉာဏ် ကွန့်မြူးချက်သာ ဖြစ်သည်။]] '''အသိပညာနှင့် စူးစမ်းလေ့လာခြင်း''' ဟု အနက်ဖွင့်ဆိုနိုင်သော ရှေးဂရိဝေါဟာရ μάθημα (máthēma) မှဆင်းသက်လာသည့် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို မြန်မာဘာသာစကားဖြင့် "ရေတွက်ခြင်း" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ရှေးပါဠိဝေါဟာရမှတစ်ဆင့် "သင်္ချာ" ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် သင်္ချာ၏ သဘောသဘာဝနှင့် ပတ်သက်၍ ပုဂ္ဂိုလ်ကျော်များက ရှုထောင့်အမျိုးမျိုးဖြင့် ဖွင့်ဆိုခဲ့ကြသည်။ စွယ်စုံရပညာရှင် ဂယ်လီလီယို (Galileo) က သဘာဝတရားကို ကျမ်းတစ်စောင်ဟု တင်စားခဲ့ပြီး ၎င်းကျမ်းကို သင်္ချာဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားထားကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="Machamer2014">{{Citation |last=Machamer |first=Peter |year=2014 |title=Galileo Galilei |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=CSLI, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/galileo/ |edition=Winter 2014}}</ref> သင်္ချာပညာရှင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) က သင်္ချာကို သိပ္ပံပညာရပ်များ၏ ဘုရင်မအဖြစ် တင်စားခဲ့သည်။<ref name="Beiler1964">{{citation |last=Beiler |first=Albert H. |title=Recreations in the Theory of Numbers (Dover Recreational Math) |publisher=Dover Publications |place=Mineola, NY |edition=2nd |year=1964 |isbn=978-0486210964 |page=1}}</ref> ထို့အပြင် ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) က သင်္ချာသည် မလွှဲမသွေဖြစ်ရမည့် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်များကို ကောက်ချက်ချသော သိပ္ပံပညာရပ်ဖြစ်ကြောင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။<ref name="Peirce1881">{{Citation |last=Peirce |first=Benjamin |title=Linear Associative Algebra |journal=American Journal of Mathematics |volume=4 |issue=1 |year=1881 |pages=97-229 |doi=10.2307/2369153 |url=http://www.jstor.org/stable/2369153 |publisher=The Johns Hopkins University Press}}</ref> ခေတ်ပြိုင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် သက်သေပြချက် (proof) ဖြင့် စစ်ဆေးအတည်ပြုနိုင်သော သရုပ်မဲ့ သဘောတရားများ (abstract concepts) နှင့် ပတ်သက်သည့် ဖော်ပြချက်များ (statements) ကို ဖော်ထုတ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို ကိန်းများ (numbers)၊ ပမာဏများ (magnitudes) နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်များ (forms) ဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခုအဖြစ်သာ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံအကျဆုံး မူလအစသည် သမိုင်းမတင်မီခေတ် လူသားတို့၏ ကိန်းနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တို့တွင်ရှိသော ဆင်တူညီမှုများကို တဖြည်းဖြည်း သတိပြုမိလာခြင်းမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုနှင့် အများအပြားကဲ့သို့သော ရိုးရှင်းသည့် ခြားနားချက်များကို သိမြင်မှတ်မိခြင်းမှသည် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ဆိုသည့် သရုပ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (abstract property) အထိ ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ အလားတူပင် ရက်ကန်းရက်ခြင်း၊ အိုးလုပ်ခြင်းနှင့် ခြင်းတောင်းရက်လုပ်ခြင်းတို့တွင် တွေ့ရသော ရှေးခေတ်လူသားတို့၏ ဒီဇိုင်းများသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ၊ ထပ်တူညီမှု (congruence) နှင့် အချိုးညီမှု (symmetry) တို့အတွက် အခြေခံအလေးထားမှုကို ပြသနေပြီး ယင်းက ဂျီဩမေတြီ (geometry) အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည်။ အစောပိုင်း သင်္ချာစနစ်များသည် အတွေ့အကြုံနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုအပေါ်တွင် များစွာ အခြေခံထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှေးခေတ် အီဂျစ်တွင် ဂျီဩမေတြီသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် စိုက်ပျိုးမြေတိုင်းတာခြင်းအတွက် ကိရိယာတစ်ခုအနေဖြင့် အဓိက တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် နိုင်းမြစ်၏ နှစ်စဉ်ရေကြီးမှုများကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ရှေးခေတ် ဘေဘီလုံ သင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းများအပေါ် များစွာအခြေခံပြီး အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများ (algorithms)၊ ဇယားများနှင့် ညီမျှခြင်းများ (equations) ကို ခန့်မှန်းခြေ ဖြေရှင်းခြင်းတို့အပေါ် အာရုံစိုက်ခဲ့သည်။ ချက်ချင်း အသုံးချရန်ထက် ဉာဏ်ရည်ပိုင်းဆိုင်ရာ သိချင်စိတ်ပြင်းပြမှုက တွန်းအားပေးသည့် ပုံစံတကျ (formalized) ပြီး ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ် (deductive science) တစ်ခုအနေဖြင့် သင်္ချာသည် ရှေးခေတ် ဂရိလူမျိုးများနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ သေးလ် (Thales) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် ဤဘာသာရပ်ကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ ဖွဲ့စည်းမှုဆီသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့သည်ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ သူတို့သည် အခြေခံမူများမှတစ်ဆင့် သီအိုရမ်များ (theorems) ကို သင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြသည့် အစောပိုင်း အစဉ်အလာများကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာ ကြာလာသောအခါ သင်္ချာသည် တည်ဆောက်ပုံ (structure) နှင့် သရုပ်မဲ့ ယုတ္တိဗေဒ (abstract logic) တို့၏ ကျယ်ပြန့်ပြီး အထူးပြုလွန်းသည့်အပြင် စည်းလုံးညီညွတ်သော ဘာသာစကားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြာထွက်လာခဲ့သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ခေတ်သစ် တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုများ (History and Modern Developments) == === ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures) === ဆယ့်ကိုးရာစုသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တွင် တော်လှန်ရေးတစ်ရပ်ကို မြင်တွေ့ခဲ့ရပြီး ၎င်းကို တင်းကျပ်သော ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီ (Euclidean geometry) မူဘောင်မှ အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဂျီဩမေတြီစနစ်များ၏ ကျယ်ပြန့်သော စုစည်းမှုအဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းပေးခဲ့သည်။ ဤစနစ်များ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းမှုသည် ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီကို တောင့်တင်းသော ရွေ့လျားမှု အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (rigid motion transformations) အောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariants) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းကို သုည ကွေးညွှတ်မှု (zero curvature) နှင့် <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော မက်ထရစ် (metric) တို့ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည်။ ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) တွင် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry) နှင့် အဲလစ်ပတစ် ဂျီဩမေတြီ (elliptic geometry) သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီ (spherical geometry) တို့ ပါဝင်သည်။ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အနုတ် ကွေးညွှတ်မှု (constant negative curvature) ရှိသည်။ အဲလစ်ပတစ် သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အပေါင်း ကွေးညွှတ်မှု (constant positive curvature) ရှိသည်။ အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (affine geometry) သည် ပြိုင်တူဖြစ်ခြင်း (parallelism) နှင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင်ရှိခြင်း (collinearity) တို့ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) အပေါ် အာရုံစိုက်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (projective geometry) သည် နှစ်ထပ်အချိုး (cross-ratio) နှင့် ဒွန်တွဲမှု (duality) ကဲ့သို့သော ပရိုဂျက်တစ်ဖြစ်ခြင်းများအောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ဗဟိုပြုသည့် လွှမ်းခြုံနိုင်သော မူဘောင်တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ (Riemannian geometry) သည် ပြောင်းလဲနိုင်သော ကွေးညွှတ်မှု (variable curvature) နှင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) <math>ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dx_i\,dx_j</math> တို့ဖြင့် အုပ်ချုပ်ထားသော ယေဘုယျပြုထားသည့် <math>n</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|တိုင်းတာမှု]]ရှိသော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကို (<math>n</math>-dimensional manifolds) လွှမ်းခြုံထားသည်။ ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီသည် အက်ခိုး ပေါ်လီတက်ကနစ် (École Polytechnique) ၌ ဂတ်စပတ် မွန်ချ် (Gaspard Monge) ကို ဗဟိုပြုသော အစောပိုင်း ၁၉ ရာစု ပြင်သစ်ကျောင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ မွန်ချ်၏ ကျောင်းသားများသည် ဤနယ်ပယ်ကို လမ်းကြောင်းမျိုးစုံသို့ ချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် ဒူပင်း (Charles Dupin) သည် မျက်နှာပြင်များဆိုင်ရာ သီအိုရီကို (theory of surfaces) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဆိုက်ကလိုက် (cyclide) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ သီအိုဒို အိုလီဗီယာ (Théodore Olivier) သည် သင်ကြားရေးအတွက် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဂျီဩမေတြီ ကြိုးမော်ဒယ်များကို (three-dimensional geometric string models) ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခဲ့သည်။ ချားလ်စ်-ဂျူးလ်စ် ဘရီယန်ချွန် (Charles-Jules Brianchon) သည် ပက်စ်ကယ် (Pascal) ၏ ဆန်းကြယ်သော ဆဋ္ဌဂံ သီအိုရမ်အတွက် (Pascal’s mystic hexagram theorem) ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲ (projective dual) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် "အမှတ်" (point) နှင့် "မျဉ်း" (line) ဟူသော သဘောတရားများကို အချင်းချင်းဖလှယ်လိုက်သောအခါတွင် ပြင်ညီ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီရှိ သီအိုရမ်များသည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ ယန်-ဗစ်တာ ပွန်စလတ် (Jean-Victor Poncelet) သည် ၎င်း၏ ၁၈၂၂ ခုနှစ်ထုတ် Traité des propriétés projectives des figures စာအုပ်တွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီကို သီးခြားလွတ်လပ်သော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) မူဝါဒနှင့် အနန္တအမှတ်များ (ideal points) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ စက်ဝိုင်းအားလုံးက မျှဝေပိုင်ဆိုင်ထားသော အနန္တရှိ ကွန်ဂျူဂိတ် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်]] စက်ဝိုင်းအမှတ်များ (conjugate imaginary circular points) နှစ်ခုကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယင်းအမှတ်များကို <math>I</math> နှင့် <math>J</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ မိုက်ကယ် ရှားလ်စ် (Michel Chasles) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်ရှိ အမှတ်လေးမှတ်၏ နှစ်ထပ်အချိုးကို (cross-ratio) အလေးပေးဖော်ပြခဲ့ပြီး ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ :<math>\frac{c - a}{c - b} : \frac{d - a}{d - b}</math> သူသည် ဤနှစ်ထပ်အချိုးသည် ပရိုဂျက်တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (projective transformations) အောက်တွင် ပကတိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိကြောင်းကို (invariant) သက်သေပြခဲ့သည်။ ပေါင်းစပ် မက်ထရစ် ဖန်ရှင် ဂျီဩမေတြီ (synthetic metric geometry) တွင် ဂျက်ကော့ဘ် ရှတိုင်းနား (Jakob Steiner) သည် ယူကလစ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံများအားလုံးကို မျဉ်းဖြောင့်တံတစ်ခုနှင့် (straightedge) ဗဟိုကို (center) ရှင်းလင်းစွာပေးထားသော အထိုင်စက်ဝိုင်းတစ်ခုတည်းကိုသာ (single fixed circle) အသုံးပြု၍ အပြီးသတ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် တတိယထပ်ကိန်း မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် နှစ်ဆယ့်ခုနစ်ကြောင်းကိုလည်း (twenty-seven straight lines on a cubic surface) လေ့လာခဲ့ပြီး ထောင့်ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းဖြစ်သည့် (angle-preserving transformation) ပြောင်းပြန်လှန် ဂျီဩမေတြီ (inversive geometry) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် အမှတ် <math>P</math> နှင့် <math>P'</math> တို့သည် အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိပြီး ဗဟို <math>O</math> ၌ရှိသော စက်ဝိုင်းတစ်ခုနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အချင်းချင်း ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြသည် (inverse)။ ၎င်းတို့သည် <math>(OP)(OP') = r^2</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို ဂျူးလီးယပ်စ် ပလွတ်ကာ (Julius Plücker) က ပြန်လည်အသက်ဝင်စေခဲ့ပြီး သူသည် ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အတိုကောက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို (abridged notation) တီထွင်ခဲ့သည်။ ပလွတ်ကာ၊ ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ် (August Ferdinand Möbius)၊ ကားလ် ဝီလ်ဟမ် ဖွိုင်ယာဘတ် (Karl Wilhelm Feuerbach) နှင့် အက်တီယန် ဘိုဘီလီယာ (Étienne Bobillier) တို့သည် တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ (homogeneous coordinates) ကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထိုကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် <math>t = 0</math> သည် အနန္တရှိ မျဉ်းကို (line at infinity) ကိုယ်စားပြုသည်။ ပလွတ်ကာသည် မျဉ်း ကိုဩဒိနိတ်များ (line coordinates) ကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် <math>(u, v, w)</math> ဖြစ်ကြပြီး မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များဟူသော သဘောတရားကို အမှတ်တစ်ခုကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းများဟူသော ဒွန်တွဲသဘောတရားအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးခဲ့သည်။ ၁၈၃၄ ခုနှစ်တွင် သူသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေး (algebraic curve) တစ်ခု၏ အဆင့် (order) <math>n</math>၊ အတန်းအစား (class) <math>m</math>၊ ဆုံမှတ်များ (nodes) <math>\delta</math>၊ အချွန်မှတ်များ (cusps) <math>\kappa</math>၊ ငြိမ်နေသော ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် အကွေ့မှတ်များ (stationary tangents/inflections) <math>\iota</math> နှင့် ထိမျဉ်းနှစ်ထပ်များ (bitangents) <math>\tau</math> တို့ကို ဆက်စပ်ပေးသော ညီမျှခြင်းများကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ :<math>m = n(n - 1) - 2\delta - 3\kappa \quad \text{and} \quad n = m(m - 1) - 2\tau - 3\iota</math> :<math>\iota = 3n(n - 2) - 6\delta - 8\kappa \quad \text{and} \quad \kappa = 3m(m - 2) - 6\tau - 8\iota</math> ယူကလစ်ဒ်၏ ပဉ္စမမြောက် ကြိုတင်အဆိုကို (Fifth Postulate) သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းမှုသည် ၎င်းမပါဘဲ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (consistent) ရှိသော ဂျီဩမေတြီများ တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို သင်္ချာပညာရှင်များက ပြသနိုင်ခဲ့ချိန်တွင် အဆုံးသတ်သွားခဲ့သည်။ ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ဤအချက်ကို စောစီးစွာကတည်းက သီးသန့် အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော် နီကိုလိုင်း အိုင်ဗန်နိုဗစ်ချ် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) သည် ၁၈၂၉ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) သည် ၁၈၃၂ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ၏ (non-Euclidean hyperbolic geometry) ပထမဆုံး ပုံစံတကျ စနစ်များကို ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်ပေါင်းလဒ်သည် (angle sum) ၁၈၀ ဒီဂရီထက် တိကျစွာ လျော့နည်းသည်။ ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ (Eugenio Beltrami) သည် ဤဂျီဩမေတြီ၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) ၁၈၆၈ ခုနှစ်တွင် ဆူဒိုစက်လုံးမျက်နှာပြင် (pseudosphere) ပေါ်တွင် လက်တွေ့ဖော်ဆောင်ခြင်းဖြင့် သက်သေပြခဲ့သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry) ကို ၁၈၂၇ ခုနှစ်တွင် ဂေါက်စ်က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သူသည် ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian curvature) <math>K</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ကွေးနေသော ကိန်းရှင်ကြားခံ မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) သည် ဒုတိယထပ်ကိန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (quadratic differential form) <math>ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2</math> အပေါ် မူတည်ကြောင်းကို အတည်ပြုခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) ၏ ၁၈၅၄ ခုနှစ် ဟာဘီလီတေးရှင်း ဟောပြောချက်သည် ၎င်းကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိသော မန်နီဖိုးများအထိ (n-dimensional manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် သူ၏ အာလန်ဂါ ပရိုဂရမ် (Erlanger Programm) မှတစ်ဆင့် ဤကွဲပြားနေသော ဂျီဩမေတြီများကို ပေါင်းစပ်ခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီကို တိကျသော အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (transformation groups) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariant properties) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization) === [[File:Arthur_Cayley.jpg|right|thumb|220px|အာသာ ကေးလီ]] [[File:Hermann_Grassmann_etching.jpg|right|thumb|220px|ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း]] [[File:GeorgFrobenius_(cropped).jpg|thumb|220px|ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ်]] [[File:Noether.jpg|right|thumb|220px|အမ်မီ နိုသာ (1900)]] ဆယ့်ကိုးရာစုနှင့် နှစ်ဆယ်ရာစုများအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းမှ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures)၊ တွက်ချက်မှုများ (operations) နှင့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) တို့ကို သရုပ်မဲ့ လေ့လာခြင်းဆီသို့ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်။ ယင်းက [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups)၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းနိုင်ရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1, 7, 13}}</ref> သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာ၏ (symbolic algebra) အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ဂျော့ချ် ပီးကော့ (George Peacock) နှင့် ဩဂတ်စတပ်စ် ဒီ မော်ဂန် (Augustus De Morgan) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ပီးကော့သည် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (arithmetical algebra) သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာမှ ခွဲခြားပြသခဲ့သည်။ ဒီ မော်ဂန်ကမူ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများသည် (operational symbols) အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်းများသာဖြစ်ကြောင်း (arbitrary abstractions) ငြင်းဆိုခဲ့သည်။ ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) သည် ယုတ္တိဗေဒနှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) ဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (algebra of logic) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် စကြဝဠာ အစု (universal set) ကို <math>1</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ဗလာစု (null set) ကို <math>0</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ပေါင်းစပ်စု (union) ကို <math>+</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ကို <math>\times</math> ဖြင့်လည်းကောင်း သတ်မှတ်ပြသခဲ့ပြီး ထပ်တူရပေး နိယာမ (idempotent law) <math>x^2 = x</math> ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များ (noncommutative systems) သည် ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် (William Rowan Hamilton) က မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ နိယာမ]] (commutative law of multiplication) ကို စွန့်လွှတ်ကာ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) ကို တီထွင်လိုက်ချိန်တွင် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ :<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math> :<math>ij = k = -ji, \quad jk = i = -kj, \quad ki = j = -ik</math> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း (Hermann Grassmann) သည် <math>n</math>-တိုင်းတာမှုရှိသော မျဉ်းဖြောင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (linear vector spaces) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ဟာမီလ်တန်-ကေးလီ သီအိုရမ်ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ဂျိမ်းစ် ဂျိုးဆက် ဆေးလ်ဗက်စတာ (James Joseph Sylvester) သည် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရီ (invariant theory) ကို မြှင့်တင်ပေးခဲ့သည်။ ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) နှင့် ချားလ်စ် ဆန်ဒါးစ် ပီးယားစ် (Charles Sanders Peirce) တို့သည် မျဉ်းဖြောင့် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] အက္ခရာသင်္ချာများ (linear associative algebras) ကို ဆက်လက် အမျိုးအစားခွဲခြားခဲ့ကြသည်။ ယင်း၏ အထွတ်အထိပ်ရလဒ်အနေဖြင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers)၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) နှင့် ကွာတာနီယွန်များသည်သာလျှင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ကိန်းစစ် ဖက်စပ်ရ အစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း သီအိုရမ်ကို (classification theorem) ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် (Ferdinand Georg Frobenius) က ၁၈၇၇ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ စီ အက်စ် ပီးယားစ်က ၁၈၈၁ ခုနှစ်တွင် သီးခြားစီလည်းကောင်း ပုံစံတကျ အတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အုပ်စုများ၊ ကွင်းများနှင့် ဖီးလ်ဒ်များကို သဘောတရားအဖြစ် ဖွဲ့စည်းခြင်းက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) ကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အချိုးညီမှုများနှင့် (symmetries) ချိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ကိန်းရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရရန်မှာ ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) အုပ်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း သူက သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=14}}</ref> ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) သည် ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓ]]ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique prime factorization) ကို ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]]ရင်းများ (algebraic integers) ၏ ကွင်းများတွင် အိုင်ဒီးလ်များကို (ideals) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=7}}</ref> ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် ဂျေ အိတ်ချ် အမ် ဝက်ဒါဘန်း (J. H. M. Wedderburn) သည် ဆီမီးရိုးရှင်းသော အက္ခရာသင်္ချာများအတွက် (semisimple algebras) တည်ဆောက်ပုံ သီအိုရမ်များကို (structure theorems) ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အန်းစ် ရှတိုင်းနစ်ဇ် (Ernst Steinitz) သည် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) ကို နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=13}}</ref> အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) သည် အစဉ်လိုက်တိုး ချိတ်တန်း အခြေအနေများ (ascending chain conditions) ကို အသုံးပြု၍ နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော ကွင်းသီအိုရီ (axiomatic ring theory) ကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=15}}</ref> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ဂေါ့လော့ ဖရေဂါ (Gottlob Frege) နှင့် ဂျူဆက်ပီ ပီယာနို (Giuseppe Peano) တို့က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဖရေဂါသည် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ယုတ္တိဗေဒမှ ဆင်းသက်ရယူရန် ကြိုးစားခဲ့ပြီး ပီယာနိုသည် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) အတွက် နဂိုမှန်အဆို အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ - တိကျသေချာမှု၊ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များ၊ နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Analysis: Rigor, Real and Complex Variables, and Measure Theory) === [[File:Bernhard_Riemann_3.jpg|right|thumb|220px|ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (1862)]] [[File:Augustin-Louis_Cauchy_1901.jpg|right|thumb|220px| ကော်ချီ၏ ကျောက်ပုံနှိပ်ပုံ (1840)]] ကဲကုလပ် (calculus) သည် ၁၉ ရာစုတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များမှ တိကျသေချာသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (rigorous mathematical analysis) သို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ ဤအပြောင်းအလဲသည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) နှင့် စုဆုံမှတ်များကို (limits) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများကို (logical circularity) ဖယ်ရှားရန် လိုအပ်ခြင်းကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် သင်္ချာပညာရှင် ငါးဦးသည် ကိန်းစစ်များအတွက် သီးသန့် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် မေရေး (Charles Méray)၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass)၊ ဟိုင်းနရစ် အက်ဒ်ဝပ် ဟိုင်းနား (Heinrich Eduard Heine) နှင့် ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) တို့သည် ကိန်းစစ်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏]] စုဆုံ ကိန်းစဉ်များ (convergent sequences of rational numbers) သို့မဟုတ် အခြေခံ ကိန်းစဉ်များကို (fundamental sequences) အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်းသည် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းကို (Dedekind Cut) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ သူသည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို]] (irrationalities) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းအားလုံးကို ဘုံမပါသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (disjoint subsets) နှစ်ခုအဖြစ် အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို (complex analysis) အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) က စနစ်တကျ တိုးတက်စေခဲ့သည်။ သူသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများကို (Cauchy-Riemann differential equations) ဆင်းသက်ရယူခဲ့သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများမှာ <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် သူသည် အကြွင်း ကဲကုလပ်နှင့်အတူ (residue calculus) ကော်ချီ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ်ကို (Integral Theorem) <math>\oint f(z)\,dz = 0</math> သက်သေပြခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် တန်ဖိုးများစွာရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (multivalued functions) တစ်ပြေးညီဖြစ်စေရန် (uniformize) ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များမှတစ်ဆင့် (Riemann surfaces) တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်နည်းတစ်ခုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် ဇီတာ ဖန်ရှင် (zeta function) <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}</math> ၏ သုညမှတ်များနှင့် ပတ်သက်သော ရီးမန်း ယူဆချက်ကိုလည်း (Hypothesis) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်သည် ဤဖီးလ်ဒ်ကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆက်လက်တည်ရှိခြင်းတို့မှတစ်ဆင့် (analytic continuation) တင်းကျပ်စွာ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီတို့သည် (measure theory) အီမီးလ် ဘိုရဲလ် (Émile Borel) မှတစ်ဆင့် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ သူသည် ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှုကို (countable additivity) အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) ပေါ်တွင် အတိုင်းအတာ သီအိုရီကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည်လည်း ဤနယ်ပယ်ကို တိုးတက်စေခဲ့ပြီး သူသည် ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်ကို (Lebesgue integral) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ လီဘက်ဂ်သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ထက် ပုံရိပ်အစုကို (range) ပိုမိုသေးငယ်စွာ ထပ်မံပိုင်းခြားခြင်းအားဖြင့် အလွန်အမင်း [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များကို]] (discontinuous functions) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) ရှိစေခဲ့သည်။ ယင်းက [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်|ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်ကို]] (Fundamental Theorem of Calculus) ချဲ့ထွင်ပေးခဲ့သည်။ === တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Topology and Functional Analysis) === [[File:Curie_and_Poincare_1911_Solvay.jpg|right|thumb|220px|ဆိုးလ်ဗေး ညီလာခံတွင် မာရီ ကျူရီ နှင့် ပွန်ကာရေးတို့ စကားပြောဆိုနေစဉ် (1911)]] [[File:Hilbert.jpg|right|thumb|220px|ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (1912)]] [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) သည် နှစ်ဆယ်ရာစု သင်္ချာတွင် အဓိကကျသော ပေါင်းစပ်ပေးသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) သည် ၁၈၉၅ ခုနှစ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (algebraic topology) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ဟိုမိုလော်ဂျီကို (simplicial homology) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဗက်တီ ကိန်းများကို (Betti numbers) အသုံးပြု၍ ဗဟုဂံပုံသေနည်းကို (polyhedral formula) ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာရှိ မန်နီဖိုးများအထိ (manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အခြေခံအုပ်စုကို (fundamental group) လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ပွန်ကာရေး ဟိုမိုလော်ဂျီ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Poincaré homology sphere) ကို ဖော်ထုတ်မှုသည် ပွန်ကာရေး ယူဆချက်ဆီသို့ (Poincaré conjecture) ဦးတည်စေခဲ့သည်။ အယ်လ် အီး ဂျေ ဘရောင်းဝါး (L. E. J. Brouwer) သည် အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (fixed-point theorem) အပါအဝင် အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရမ်များကို (topological invariance theorems) ဆက်လက် သက်သေပြခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (Point-set topology) မောရစ် ဖရေးရှေး (Maurice Fréchet) နှင့် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ဖရေးရှေးသည် ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို]] (metric spaces) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) နှင့် ခွဲခြားခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများကို (separation axioms) အသုံးပြု၍ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် (topological spaces) နဂိုမှန်အဆို စနစ်ကို (axiomatic system) ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာသည်လည်း (functional analysis) တစ်ပြိုင်နက်တည်း တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများကို (inner product spaces) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) သည် ပြည့်စုံသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို]] (complete normed vector spaces) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ လော်ရင့် ရွှာ့ဇ် (Laurent Schwartz) ၏ ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီသည် (theory of distributions) ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာကဲ့သို့ (Dirac delta) ယေဘုယျပြုထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (generalized functions) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === နှစ်ဆယ်ရာစု ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း - ဘော်ဘာကီ၊ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Twentieth-Century Synthesis: Bourbaki, Category Theory, and Algebraic Geometry) === [[File:Weil.jpg|right|thumb|220px|အန်ဒရေး ဗေးလ် (1956)]] [[File:NBourbaki 3.png|right|thumb|220px|ဘော်ဘာကီ ညီလာခံ (1951)]] ၂၀ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဘာသာရပ်သည် သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများ (abstract structures) နှင့် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ (categorical relationships) ကို အလေးပေးခြင်းဖြင့် အရင်ကမရှိဖူးသော ပေါင်းစပ်ညီညွတ်မှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၃၄ ခုနှစ်မှစတင်၍ ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင်များ အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့သည် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ဟူသော ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေထုတ်ဝေလျက် အတွဲများစွာပါဝင်သော Éléments de mathématique (သင်္ချာ၏ အခြေခံများ) ကို ရေးသားပြုစုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ နည်းစနစ်သည် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ နည်းလမ်း (axiomatic method) ကို တင်းကျပ်စွာ လိုက်နာမှုနှင့် ယေဘုယျ တည်ဆောက်ပုံများမှ (general structures) တိကျသော အသုံးချမှုများဆီသို့ (specific applications) ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တိုးတက်မှုကို (logical progression) အလေးပေးခဲ့သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (Category theory) ကို ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကွဲပြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန် ကတ်တဂိုရီများ (categories)၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]] (functors) နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] (natural transformations) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် အွန်ရီ ကာတန် (Henri Cartan) နှင့် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်တို့သည် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို ဖန်တီးရန် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တို့ကို ပေါင်းစပ်ခဲ့ကြသည်။ ဤကာလအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) သည် တော်လှန်ပြောင်းလဲခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ အော်စကာ ဇာရစ်စကီး (Oscar Zariski)၊ ဘီ အယ်လ် ဗန် ဒါ ဗေဒင် (B. L. van der Waerden) နှင့် အန်ဒရေး ဗေးလ် (André Weil) တို့သည် ဤဘာသာရပ်ခွဲကို တိကျသေချာသော [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (rigorous commutative algebra) ဖြင့် အခြေခံချပေးခဲ့ကြသည်။ ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှင့် ၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ယန် လီရေး (Jean Leray)၊ ယန်-ပီယာ ဆဲရ် (Jean-Pierre Serre) နှင့် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) တို့သည် [[အစည်း|အစည်းများ]] (sheaves)၊ စကင်းမ်များ (schemes)၊ တိုပို့စ်များ (topoi) နှင့် အေတဲလ် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (étale cohomology) ဟူသော ဘာသာစကားမှတစ်ဆင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို လုံးဝအသစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဤမူဘောင်သည် ပီယာ ဒေလင်း (Pierre Deligne) အား ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အနက်ရှိုင်းဆုံးသော ဗေးလ် ယူဆချက်များကို သက်သေပြရန် လုပ်ဆောင်နိုင်စေခဲ့သည်။ === ယုတ္တိဗေဒ၊ အခြေခံအုတ်မြစ်များနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Logic, Foundations, and Computational Mathematics) === [[File:1925 kurt gödel (cropped).png|right|thumb|220px|ကာ့တ် ဂိုဒယ် (1925)]] [[File:Alan_Turing_portré.jpg|right|thumb|220px|အလန် ကျူးရင်း (1930s)]] ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) ၏ အခြေခံဆိုင်ရာ ပြဿနာများ (foundational problems) နှစ်ဆယ့်သုံးခု တင်ပြချက်မှ ကြီးမားစွာ လွှမ်းမိုးမှုခံရသော ၂၀ ရာစုသည် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) နှင့် တွက်ချက်ခြင်း (computation) ဆိုင်ရာ အခြေခံ မေးခွန်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ယုတ္တိဗေဒ (logic) တွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများမှ (logical axioms) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ဆင်းသက်ရယူရန် ဘာထရန် ရပ်ဆဲလ် (Bertrand Russell) နှင့် အဲလ်ဖရက် နော့သ် ဝှိုက်ဟတ် (Alfred North Whitehead) တို့၏ ကြိုးပမ်းမှုများသည် ကာ့တ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ ၁၉၃၁ ခုနှစ် မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (Incompleteness Theorems) ကြောင့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်စေခဲ့သည်။ မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုစနစ်မဆို (consistent formal axiomatic system) အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာကို (basic arithmetic) လုပ်ဆောင်နိုင်သောအခါ ၎င်းသည် ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော အဆိုများကို (undecidable propositions) ပါဝင်စေပြီး ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (own consistency) သက်သေမပြနိုင်ကြောင်း ဂိုဒယ်က ပြသခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်၏ ပထမဆုံး ပြဿနာဖြစ်သော ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) ၏ တိုးတက်မှုသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ဂိုဒယ်က ၎င်း၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) သက်သေပြခဲ့ပြီး ပေါလ် ကိုဟင် (Paul Cohen) က ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် အတင်းအကျပ် ပြောင်းလဲခြင်းနည်းလမ်းကို (method of forcing) အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို (independence) သက်သေပြခဲ့သည်။ တွက်ချက်မှု သီအိုရီ (theory of computation) ကို အလန် ကျူးရင်း (Alan Turing) က ၁၉၃၆ ခုနှစ်တွင် ပုံစံတကျ တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ကျူးရင်းသည် တွက်ချက်ခြင်းအတွက် စကြဝဠာ သဘောတရားရေးရာ မော်ဒယ်ကို (universal theoretical model) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤမော်ဒယ်ကို ကျူးရင်း စက်ဟု (Turing machine) သိကြသည်။ ထို့ပြင် သူသည် ရပ်တန့်ခြင်း ပြဿနာ၏ (halting problem) ဖြေရှင်း၍မရနိုင်စွမ်းကို (insolvability) သက်သေပြခဲ့ပြီး ယင်းက ဟီလ်ဘတ်၏ ဆုံးဖြတ်ချက် ပြဿနာကို (decision problem) ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) သည် အီလက်ထရောနစ် ကွန်ပျူတာ တည်ဆောက်ပုံ (electronic computer architecture)၊ ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory) နှင့် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) ကို ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာကို ဆက်လက်တိုးတက်စေခဲ့သည်။ === မကြာသေးမီ ဆယ်စုနှစ်များအတွင်း နာမည်ကြီး ယူဆချက်များအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း (Resolution of Famous Conjectures in Recent Decades) === [[File:Richard_Hamilton_1982_(reprint;_headshot).jpg|right|thumb|220px|ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (1982)]] [[File:Perelman, Grigori (1966) Upright.jpg|right|thumb|220px|ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (1993)]] [[File:Andrew Wiles, Boston 1995.JPG|right|thumb|220px|အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (1995)]] နှစ်ဆယ်ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် နှစ်ဆယ့်တစ်ရာစု အစောပိုင်းကာလများကို အဆင့်မြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မူဘောင်များနှင့် (advanced analytical frameworks) ကွန်ပျူတာ အကူအညီများမှတစ်ဆင့် (computer assistance) ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော သမိုင်းဝင် ပြဿနာများအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်းဖြင့် အမှတ်အသားပြုခဲ့သည်။ ၁၈၅၂ ခုနှစ်တွင် စတင်ယူဆခဲ့ပြီးဖြစ်သော အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ် (Four-Color Theorem) သည် ကဲနတ် အက်ပယ်လ် (Kenneth Appel) နှင့် ဝုဖ်ဂန်း ဟာကင် (Wolfgang Haken) တို့က ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရှောင်လွှဲ၍မရသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို (unavoidable configurations) အကဲဖြတ်ရန်အတွက် အားထုတ်ပစ်ခြင်း နည်းလမ်းကို (method of discharging) အသုံးပြုခြင်းသည် ပထမဆုံး အဓိကကျသော ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်အဖြစ် (computer-assisted mathematical proof) မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သည်။ ယင်းကို နောက်ပိုင်းတွင် ရောဘတ်ဆန်၊ ဆန်ဒါးစ်၊ ဆီးမိုး နှင့် သောမတ်စ် တို့က ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပိုမိုရိုးရှင်းလွယ်ကူအောင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် ကော့ခ် ဆော့ဖ်ဝဲလ်ကို အသုံးပြု၍ ဂွန်သီယာ နှင့် ဗာနာ တို့က ပုံစံတကျ စစ်ဆေးအတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (Classification of Finite Simple Groups) သည် ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာသော ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ကြိုးပမ်းမှုအပြီးတွင် ပြီးမြောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဖိုက်-သွန်မဆင် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]]အစဉ် သီအိုရမ်ဖြင့် (Odd-Order Theorem) စတင်ခဲ့ပြီး ဤသီအိုရမ်က မည်သည့် အဆုံးရှိ ရိုးရှင်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite simple group) မဆို ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group)၊ အလှည့်ကျ အုပ်စု (alternating group)၊ လီ-အမျိုးအစား (Lie-type) သို့မဟုတ် ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော အုပ်စုများ (sporadic groups) ၂၆ ခုထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးခဲ့သည်။ နောက်ဆုံး ဆူဒို-ပါးလွှာသော ကွာဟချက်ကို (quasi-thin gap) အက်ရှ်ဘာကာ နှင့် စမစ်သ် တို့က ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပိတ်နိုင်ခဲ့သည်။ ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat’s Last Theorem) ကို နှစ်ပေါင်း ၃၅၀ ကျော်ကြာပြီးနောက် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂါဟတ် ဖရေး (Gerhard Frey) ၏ မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (non-modular elliptic curves) ဖွဲ့စည်းမှုနှင့် ကန် ရီဘတ် (Ken Ribet) ၏ <math>\varepsilon</math>-ယူဆချက် (<math>\varepsilon</math>-conjecture) သက်သေပြချက်တို့ကို အခြေခံ၍ အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) က ပြသခဲ့ရာတွင် ဆီမီး-တည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် (semistable elliptic curves) တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ်ကို တိုက်ရိုက် သက်ရောက်မှုရှိကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ်သည် ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ သူ့ကို ရစ်ချတ် တေလာ (Richard Taylor) က ကူညီပေးခဲ့သည်။ ပွန်ကာရေး ယူဆချက် (Poincaré Conjecture) ကို ဝီလီယံ သာစတန် (William Thurston) ၏ ဂျီဩမေတြီအသွင်ပြောင်းခြင်း ယူဆချက် (Geometrization Conjecture) နှင့် ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (Richard Hamilton) ၏ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ညီမျှခြင်း (Ricci flow equation) <math>\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2 R_{ij}</math> မိတ်ဆက်မှုတို့မှတစ်ဆင့် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Yakovlevich Perelman) သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၃ ခုနှစ်အတွင်း ခွဲစိတ်မှု နည်းပညာများကို (surgery techniques) အသုံးပြု၍ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို (Ricci flow singularities) ကျော်လွှားခြင်းဖြင့် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ === မြန်မာ့ သင်္ချာသမိုင်း (History of Burmese Mathematics) === မြန်မာ့သိပ္ပံပညာနှင့် သင်္ချာသမိုင်းကြောင်းသည် ရှေးခေတ်ကာလများကတည်းက အခြေတကျ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်ထားသော သင်္ချာကျမ်းများအနက် တစ်ခုမှာ ၁၄ ရာစုနှစ်ဦးပိုင်းတွင် ဇင်းမယ်မြို့၌ ရှင်ဉာဏဝိလာသ ရေးသားပြုစုခဲ့သော "သင်္ချာပကာသက" ကျမ်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကျမ်းကို အခြေခံ၍ ခရစ်နှစ် ၁၅၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ပလိပ်ရွာအရှေ့ရှိ မြို့သစ်မြို့နေ ရှင်သီရိမင်္ဂလက "သင်္ချာပကာသကဋီကာ" ကို ထပ်မံပြုစုခဲ့ပြီး ညောင်ကန်ဆရာတော် ရှင်ကဝိန္ဒ၏ တပည့် ရှင်မုနိန္ဒသာရက "သင်္ချာပကာသက စာကိုယ်နိဿယ" ကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဘိုးတော်ဘုရား (ဗဒုံမင်း) လက်ထက် (၁၇၈၂–၁၈၁၉) တွင် အိန္ဒိယနှင့် သီဟိုဠ်တို့မှ ကျမ်းပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို ယူဆောင်လာခဲ့ပြီး မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုစေခဲ့ရာမှ သင်္ချာပညာရပ်သည် ပိုမိုထွန်းကားလာခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော သမိုင်းဝင်အထောက်အထားတစ်ခုမှာ ၁၇၇၄ ခုနှစ်တွင် ပြုစုခဲ့သော "ဂဏန်းသင်္ချာ ပညာဝဍ္ဎနကျမ်း" ဖြစ်သည်။ ဤကျမ်းကို အပိုင်းလေးပိုင်းခွဲခြားထားပြီး တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပုစ္ဆာပေါင်း ၁၇၅ ပုဒ်ကို တွက်နည်းအဖြေများနှင့်တကွ စနစ်တကျ ပြုစုထားသည်။ ပထမပိုင်းတွင် အလေးချိန်၊ အကွာအဝေး၊ ထုထည် (Volume) နှင့် အချိန်နာရီတို့ကို တိုင်းတာသည့် ယူနစ် (Unit) ဆိုင်ရာ ကိန်းသင်္ချာအကြောင်းကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် "ခု" မှစ၍ သုည ၁၄၀ လုံးပါဝင်သော "အသင်္ချေ" တိုင်အောင် ရေတွက်ခေါ်ဝေါ်သည့် နည်းစနစ်များ ပါဝင်သည်။ ဒုတိယပိုင်းတွင် လုပ်ငန်းခွင်သုံး တိုင်းထွာတွက်ချက်နည်းများကို "ဂဏန်းဆယ်ပါး" ခေါင်းစဉ်ဖြင့် ဖော်ပြထားပြီး စပါး၊ ဆန်၊ ရွှေ၊ ငွေ၊ ဆီမီး၊ ရထား၊ သစ်ပင်၊ လှေ၊ သားရေနှင့် မြေစသည့် ကဏ္ဍများ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရွှေကို အဆင့်ဆင့် သန့်စင်ရာတွင် ဇမ္ဗူရဇ်ရွှေကဲ့သို့ အသန့်စင်ဆုံးအဆင့်ရရှိရန် တွက်ချက်မှုများ၊ သစ်ပင်၏ အမြင့်ကို ဂျီဩမေတြီ (Geometry) အသုံးပြု၍ ရှာဖွေခြင်းများနှင့် မြေကွက်များ၏ ဧရိယာ (Area) တွက်ချက်ခြင်းများ ပါဝင်သည်။ တတိယပိုင်းတွင် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic progression)၊ ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric progression)၊ မရေမရာ ညီမျှခြင်း (Indeterminate equation)၊ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (Algebraic equation)၊ ဆခွဲကိန်း (Factor) နှင့် ဘုံသုဉ်းကိန်းရှာဖွေခြင်းစသည့် သင်္ချာနည်းစနစ် ၁၆ မျိုးကို ပုစ္ဆာပေါင်း ၇၆ ပုဒ်ဖြင့် ရှင်းလင်းထားသည်။ စတုတ္ထပိုင်းတွင် ရှေ့ပိုင်းနည်းစနစ်များကို အခြေခံထားသော လက်တွေ့အသုံးချ ပုစ္ဆာ ၃၀ ပုဒ် ပါဝင်သည်။ ဤကျမ်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို လေ့လာခြင်းအားဖြင့် ရှေးခေတ်မြန်မာတို့သည် စက်ဝိုင်း၊ စက်လုံး၊ ထုလုံးနှင့် ထုချွန်များ၏ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ရှာဖွေခြင်းမှစ၍ ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများအထိ အဆင့်မြင့်မားသော သင်္ချာပညာကို လက်တွေ့အသုံးချနိုင်ခဲ့ကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။<ref name="MyoThantTyn">ဒေါက်တာ မျိုးသန့်တင်။ ''ရှေးခေတ် မြန်မာသိပ္ပံကျမ်းများ''။</ref> == သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများ (Areas of Mathematics) == ဤပညာရပ် ကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်းသည် သဘာဝအလျောက် ကွဲပြားသော်လည်း အလွန်အမင်း အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဘာသာရပ်ခွဲများစွာအဖြစ် ပိုင်းခြားသွားခဲ့သည်။ * ဂဏန်းသင်္ချာ နှင့် ကိန်းသီအိုရီ (Arithmetic and Number Theory) - ရှေးခေတ်တွင် လော်ဂျစ်စတစ်နှင့် (logistic) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကြားတွင် တင်းကျပ်သော ခွဲခြားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ လော်ဂျစ်စတစ်သည် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်တွေ့အသုံးချ နည်းစနစ်ဖြစ်သည်။ (practical technique of computation) ဂဏန်းသင်္ချာသည် ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို (properties of numbers) ဒဿနိကဗေဒအရ သို့မဟုတ် သဘောတရားရေးရာအရ လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ကိန်းသီအိုရီ (Number theory) သည် အဆိုပါ ဂဏန်းသင်္ချာမှ ခေတ်သစ် ဆင်းသက်လာသော ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ အစောပိုင်း မှတ်တိုင်များတွင် ဂရိလူမျိုးများ၏ ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း ပါဝင်သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းတွင် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers)၊ ဆပေါင်းကိန်းများ (composite numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်းများ]] (even numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်းများ]] (odd numbers) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းများ (perfect numbers) တို့ ပါဝင်သည်။ အခြားမှတ်တိုင်တစ်ခုမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်း ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်ဖြစ်သည်။ ဤဘာသာရပ်သည် မသေချာသော ညီမျှခြင်းများ သို့မဟုတ် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို (indeterminate (Diophantine) equations) လေ့လာခြင်းမှတစ်ဆင့် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုများကို ဒိုင်အိုဖန်တပ်စ်၊ ဗြဟ္မဂုတ္တ နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၎င်း၏ Disquisitiones Arithmeticae စာအုပ်ဖြင့် ဤနယ်ပယ်ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူသည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ၏ ခေတ်သစ်သင်္ချာကို (modern mathematics of congruences) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ * ဂျီဩမေတြီ (Geometry) - "မြေတိုင်းတာခြင်း" (earth measurement) အဖြစ် စတင်ခဲ့သော ဂျီဩမေတြီသည် ဂရိလူမျိုးများလက်အောက်တွင် ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခု (deductive science) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၎င်း၏ အထွတ်အထိပ်မှာ ယူကလစ်ဒ်၏ Elements စာအုပ်ဖြစ်ပြီး နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ဤဘာသာရပ်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို (algebraic equations) ဂျီဩမေတြီ မျဉ်းကွေးများတွင် (geometric curves) အသုံးချခြင်းဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (Analytic geometry) ကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ ယင်းက ဂျီဩမေတြီကို ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများပေါ်တွင် (coordinate axes) ပုံဖော်နိုင်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တော်လှန်ပြောင်းလဲမှုတစ်ခုကို တွေ့ကြုံခဲ့ရသည်။ နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး နှင့် ယာနို့စ် ဘိုလိုင် ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို (Non-Euclidean geometry) တိုးတက်စေခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ယူကလစ်ဒ်၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုကို (parallel postulate) ဖယ်ရှားလိုက်လျှင်ပင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ဂျီဩမေတြီများ (consistent geometries) တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို ပြသခြင်းဖြင့် ဤသို့ တိုးတက်စေခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် ကွေးညွှတ်နေသော မက်ထရစ် ရပ်ဝန်းများကို (curved metric spaces) အလွန်ယေဘုယျကျစွာ လေ့လာမှုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုကို ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီဟု (Riemannian geometry) ခေါ်သည်။ ယင်းသည် နောက်ပိုင်းတွင် ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (General Relativity) ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒသီအိုရီများအတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) - အက္ခရာသင်္ချာသည် သမိုင်းဆိုင်ရာ ကျယ်ပြန့်သော အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ စကားပြောဟန် (rhetorical)၊ အတိုကောက်ဟန် (syncopated) နှင့် သင်္ကေတဟန် (symbolic) တို့ဖြစ်သည်။ စကားပြောဟန်သည် စကားလုံးများဖြင့်သာ အပြည့်အဝရေးသားခြင်း ဖြစ်သည်။ အတိုကောက်ဟန်သည် အတိုကောက်အချို့ကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတဟန်သည် အက္ခရာများနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများကို အသုံးပြုသော ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်း ဖြစ်သည်။ ဘေဘီလုံနှင့် အီဂျစ်လူမျိုးများသည် အခြေခံ မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများနှင့် (elementary linear equations) နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို (quadratic equations) ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ဉာဏ်သစ်သွေးသစ်ခေတ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို နှင့် လူဒိုဗီကို ဖာရာရီ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်း (cubic equation) နှင့် စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်း (quartic equation) တို့အတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေများကို (algebraic solutions) ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် စကစ်ပီယွန် ဒယ်လ် ဖဲရိုး နှင့် နီကိုလို ဖွန်တာနာ တာတာဂလီယာ တို့၏ တတိယထပ် အဖြေကို ကနဦး ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အက္ခရာသင်္ချာသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ကို လေ့လာခြင်းမှ သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများကို (abstract structures) လေ့လာခြင်းသို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ ၏ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်၊<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1}}</ref> ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် ၏ ဖလှယ်၍မရသော ကွာတာနီယွန်များ (non-commutative quaternions) ကို တီထွင်မှုနှင့် ဂျော့ချ် ဘူးလ် ၏ ယုတ္တိဗေဒ အက္ခရာသင်္ချာတို့နှင့်အတူ (algebra of logic) အက္ခရာသင်္ချာသည် ရိုးရာကိန်းများနှင့် အမှီအခိုကင်းသော လေ့လာမှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် တိကျသော နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်း နိယာမများဖြင့် (laws of combination) သတ်မှတ်ထားသော သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ နှင့် ကဲကုလပ် (Analysis and Calculus) - ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပမာဏများ (continuous magnitudes)၊ စုဆုံမှတ်များ (limits) နှင့် အနန္တ လုပ်ငန်းစဉ်များကို (infinite processes) ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းသော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲ ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အစောဆုံး မူလအစမှာ ဂရိလူမျိုးများ၏ "ကုန်စင်အောင်လုပ်ခြင်း နည်းလမ်း" (method of exhaustion) တွင် တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ကနိုင်းဒပ်စ်မှ ယူဒေါက်စပ်စ် က သဘောတရားရေးရာအရ တီထွင်ခဲ့ပြီး အာခီမီးဒီးစ် က ဧရိယာများနှင့် ထုထည်များကို ရှာဖွေရာတွင် စနစ်တကျ အသုံးချခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် တို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများဆိုင်ရာ (infinitesimals) သဘောတရားများကို စုစည်း၍ ကဲကုလပ် (Calculus) ကို သီးခြားစီ တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များကို]] (derivatives) ရှာဖွေရန် ယေဘုယျ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို (algorithms) ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ထို့ပြင် ဧရိယာများ သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ်များကို (integrals) ရှာဖွေရန်အတွက်လည်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို "ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်း" (arithmetized) ခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ၎င်းကို ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ်အပေါ် (geometric intuition) မှီခိုနေရခြင်းမှ ဖယ်ရှားပေးခဲ့သည်။ ထို့နောက် စုဆုံမှတ်များ၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) နှင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ၏]] (real numbers) တိကျသေချာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအပေါ် အခြေခံသည့် တိကျသေချာသော အခြေခံအုတ်မြစ်ပေါ်တွင် (rigorous foundation) တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) - ကနဦးတွင် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းအဖြစ် (analysis situs) ပေါ်ထွက်လာသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]သည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းပုံများ၏ (spatial configurations) မွေးရာပါ အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ အသွင်အပြင်များကို (qualitative aspects) လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ဤအသွင်အပြင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော တစ်-တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများအောက်တွင် (continuous one-to-one transformations) မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို လူအများက "ရာဘာချပ် ဂျီဩမေတြီ" ဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိကြသည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး သည် ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ သို့မဟုတ် ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (combinatorial topology) စတင်တည်ထောင်သူဟု ဆိုနိုင်သည်။ သူသည် ပုံသဏ္ဌာန်များကို [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများအဖြစ်]] (manifolds) ရှုမြင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်နေမှုကို လေ့လာခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) အတွက် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပတ်ဝန်းကျင်များကြားရှိ (neighborhoods of elements) ဆက်သွယ်ချက်များအပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝအခြေခံ၍ သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်းများကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ * ဖြစ်တန်စွမ်း နှင့် အသုံးချ သင်္ချာ (Probability and Applied Mathematics) - [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်း]] သီအိုရီ (probability theory) သည် ၁၇ ရာစုတွင် ဘလေ့စ် ပက်စ်ကယ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့ကြား ကံစမ်းကစားနည်းများနှင့် (games of chance) ပတ်သက်၍ စာပေးစာယူပြုလုပ်ရာမှ စတင်ခဲ့သည်။ ၎င်းကို ၁၉ ရာစု အစောပိုင်းတွင် ပီယား ဆိုင်မွန် လာပလေ့စ် က အဓိကကျသော သိပ္ပံနည်းကျ ကိရိယာတစ်ခုအဖြစ် စနစ်တကျ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစုတွင် အသုံးချ သင်္ချာ (Applied mathematics) သည် ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory)၊ ဆိုက်ဘာနက်တစ်နှင့် (cybernetics) ကွန်ပျူတာသိပ္ပံကဲ့သို့သော (computer science) နယ်ပယ်များသို့ အကြီးအကျယ် ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သည်။ ၎င်းကို ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း နှင့် အလန် ကျူးရင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့ကြသည်။ ကွန်ပျူတာများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနကို အခြေခံမှစ၍ ပြောင်းလဲပစ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းတွင် (numerical analysis) အထောက်အကူပြုခဲ့ပြီး နောက်ဆုံးတွင် အရောင်လေးမျိုး ယူဆချက်ကဲ့သို့သော (Four-Color Conjecture) ရှုပ်ထွေးသည့် သင်္ချာသီအိုရီများကို သက်သေပြရန်အတွက် လိုအပ်သော ကြီးမားလှသည့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စွမ်းအားကို (computational power) ထောက်ပံ့ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား (References) == <references /> [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ပင်မ အကြောင်းအရာ ဆောင်းပါးများ]] hjaukmk0qexfaixbjegzpyojvnmmb0g 1049508 1049506 2026-08-20T02:50:26Z Mkant00 135890 /* ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures) */ 1049508 wikitext text/x-wiki [[File:Euclid.jpg|right|thumb|220px|ဘီစီအီး ၃ ရာစုမှ ဂရိ သင်္ချာပညာရှင် ယူကလစ် (ကွန်ပါထောက်တံ ကိုင်ထားသူ) ကို ပန်းချီဆရာ ရာဖယ် က ၎င်း၏ "အေသင်သားတို့ ကျောင်းတော်" အမည်ရ နံရံဆေးရေး ပန်းချီကားကြီးတွင် စိတ်ကူးပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်၏ ပုံမှာ မည်သည့်မီဒီယာတွင်မှ မကျန်ရစ်ဘဲ ဤသရုပ်ဖော်ချက်သည် ပုံဖော်သူ အနုပညာရှင်၏ စိတ်ကူးဉာဏ် ကွန့်မြူးချက်သာ ဖြစ်သည်။]] '''အသိပညာနှင့် စူးစမ်းလေ့လာခြင်း''' ဟု အနက်ဖွင့်ဆိုနိုင်သော ရှေးဂရိဝေါဟာရ μάθημα (máthēma) မှဆင်းသက်လာသည့် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို မြန်မာဘာသာစကားဖြင့် "ရေတွက်ခြင်း" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ရှေးပါဠိဝေါဟာရမှတစ်ဆင့် "သင်္ချာ" ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် သင်္ချာ၏ သဘောသဘာဝနှင့် ပတ်သက်၍ ပုဂ္ဂိုလ်ကျော်များက ရှုထောင့်အမျိုးမျိုးဖြင့် ဖွင့်ဆိုခဲ့ကြသည်။ စွယ်စုံရပညာရှင် ဂယ်လီလီယို (Galileo) က သဘာဝတရားကို ကျမ်းတစ်စောင်ဟု တင်စားခဲ့ပြီး ၎င်းကျမ်းကို သင်္ချာဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားထားကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="Machamer2014">{{Citation |last=Machamer |first=Peter |year=2014 |title=Galileo Galilei |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=CSLI, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/galileo/ |edition=Winter 2014}}</ref> သင်္ချာပညာရှင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) က သင်္ချာကို သိပ္ပံပညာရပ်များ၏ ဘုရင်မအဖြစ် တင်စားခဲ့သည်။<ref name="Beiler1964">{{citation |last=Beiler |first=Albert H. |title=Recreations in the Theory of Numbers (Dover Recreational Math) |publisher=Dover Publications |place=Mineola, NY |edition=2nd |year=1964 |isbn=978-0486210964 |page=1}}</ref> ထို့အပြင် ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) က သင်္ချာသည် မလွှဲမသွေဖြစ်ရမည့် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်များကို ကောက်ချက်ချသော သိပ္ပံပညာရပ်ဖြစ်ကြောင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။<ref name="Peirce1881">{{Citation |last=Peirce |first=Benjamin |title=Linear Associative Algebra |journal=American Journal of Mathematics |volume=4 |issue=1 |year=1881 |pages=97-229 |doi=10.2307/2369153 |url=http://www.jstor.org/stable/2369153 |publisher=The Johns Hopkins University Press}}</ref> ခေတ်ပြိုင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် သက်သေပြချက် (proof) ဖြင့် စစ်ဆေးအတည်ပြုနိုင်သော သရုပ်မဲ့ သဘောတရားများ (abstract concepts) နှင့် ပတ်သက်သည့် ဖော်ပြချက်များ (statements) ကို ဖော်ထုတ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို ကိန်းများ (numbers)၊ ပမာဏများ (magnitudes) နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်များ (forms) ဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခုအဖြစ်သာ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံအကျဆုံး မူလအစသည် သမိုင်းမတင်မီခေတ် လူသားတို့၏ ကိန်းနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တို့တွင်ရှိသော ဆင်တူညီမှုများကို တဖြည်းဖြည်း သတိပြုမိလာခြင်းမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုနှင့် အများအပြားကဲ့သို့သော ရိုးရှင်းသည့် ခြားနားချက်များကို သိမြင်မှတ်မိခြင်းမှသည် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ဆိုသည့် သရုပ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (abstract property) အထိ ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ အလားတူပင် ရက်ကန်းရက်ခြင်း၊ အိုးလုပ်ခြင်းနှင့် ခြင်းတောင်းရက်လုပ်ခြင်းတို့တွင် တွေ့ရသော ရှေးခေတ်လူသားတို့၏ ဒီဇိုင်းများသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ၊ ထပ်တူညီမှု (congruence) နှင့် အချိုးညီမှု (symmetry) တို့အတွက် အခြေခံအလေးထားမှုကို ပြသနေပြီး ယင်းက ဂျီဩမေတြီ (geometry) အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည်။ အစောပိုင်း သင်္ချာစနစ်များသည် အတွေ့အကြုံနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုအပေါ်တွင် များစွာ အခြေခံထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှေးခေတ် အီဂျစ်တွင် ဂျီဩမေတြီသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် စိုက်ပျိုးမြေတိုင်းတာခြင်းအတွက် ကိရိယာတစ်ခုအနေဖြင့် အဓိက တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် နိုင်းမြစ်၏ နှစ်စဉ်ရေကြီးမှုများကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ရှေးခေတ် ဘေဘီလုံ သင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းများအပေါ် များစွာအခြေခံပြီး အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများ (algorithms)၊ ဇယားများနှင့် ညီမျှခြင်းများ (equations) ကို ခန့်မှန်းခြေ ဖြေရှင်းခြင်းတို့အပေါ် အာရုံစိုက်ခဲ့သည်။ ချက်ချင်း အသုံးချရန်ထက် ဉာဏ်ရည်ပိုင်းဆိုင်ရာ သိချင်စိတ်ပြင်းပြမှုက တွန်းအားပေးသည့် ပုံစံတကျ (formalized) ပြီး ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ် (deductive science) တစ်ခုအနေဖြင့် သင်္ချာသည် ရှေးခေတ် ဂရိလူမျိုးများနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ သေးလ် (Thales) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် ဤဘာသာရပ်ကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ ဖွဲ့စည်းမှုဆီသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့သည်ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ သူတို့သည် အခြေခံမူများမှတစ်ဆင့် သီအိုရမ်များ (theorems) ကို သင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြသည့် အစောပိုင်း အစဉ်အလာများကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာ ကြာလာသောအခါ သင်္ချာသည် တည်ဆောက်ပုံ (structure) နှင့် သရုပ်မဲ့ ယုတ္တိဗေဒ (abstract logic) တို့၏ ကျယ်ပြန့်ပြီး အထူးပြုလွန်းသည့်အပြင် စည်းလုံးညီညွတ်သော ဘာသာစကားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြာထွက်လာခဲ့သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ခေတ်သစ် တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုများ (History and Modern Developments) == === ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures) === [[File:Carl Friedrich Gauss.jpg|right|thumb|220px|ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ်]] [[File:Nikolay Ivanovich Lobachevsky.jpeg|right|thumb|220px|နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး]] [[File:Bolyai János (Márkos Ferenc festménye).jpg|right|thumb|220px|ယာနို့စ် ဘိုလိုင်]] [[File:Beltrami.jpg|right|thumb|220px|ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ]] [[File:Felix Christian Klein.jpg|right|thumb|220px|ဖဲလစ် ကလိုင်း]] [[File:August Ferdinand Möbius.png|right|thumb|220px|ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ်]] ဆယ့်ကိုးရာစုသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တွင် တော်လှန်ရေးတစ်ရပ်ကို မြင်တွေ့ခဲ့ရပြီး ၎င်းကို တင်းကျပ်သော ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီ (Euclidean geometry) မူဘောင်မှ အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဂျီဩမေတြီစနစ်များ၏ ကျယ်ပြန့်သော စုစည်းမှုအဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းပေးခဲ့သည်။ ဤစနစ်များ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းမှုသည် ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီကို တောင့်တင်းသော ရွေ့လျားမှု အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (rigid motion transformations) အောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariants) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းကို သုည ကွေးညွှတ်မှု (zero curvature) နှင့် <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော မက်ထရစ် (metric) တို့ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည်။ ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) တွင် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry) နှင့် အဲလစ်ပတစ် ဂျီဩမေတြီ (elliptic geometry) သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီ (spherical geometry) တို့ ပါဝင်သည်။ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အနုတ် ကွေးညွှတ်မှု (constant negative curvature) ရှိသည်။ အဲလစ်ပတစ် သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အပေါင်း ကွေးညွှတ်မှု (constant positive curvature) ရှိသည်။ အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (affine geometry) သည် ပြိုင်တူဖြစ်ခြင်း (parallelism) နှင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင်ရှိခြင်း (collinearity) တို့ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) အပေါ် အာရုံစိုက်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (projective geometry) သည် နှစ်ထပ်အချိုး (cross-ratio) နှင့် ဒွန်တွဲမှု (duality) ကဲ့သို့သော ပရိုဂျက်တစ်ဖြစ်ခြင်းများအောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ဗဟိုပြုသည့် လွှမ်းခြုံနိုင်သော မူဘောင်တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ (Riemannian geometry) သည် ပြောင်းလဲနိုင်သော ကွေးညွှတ်မှု (variable curvature) နှင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) <math>ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dx_i\,dx_j</math> တို့ဖြင့် အုပ်ချုပ်ထားသော ယေဘုယျပြုထားသည့် <math>n</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|တိုင်းတာမှု]]ရှိသော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကို (<math>n</math>-dimensional manifolds) လွှမ်းခြုံထားသည်။ ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီသည် အက်ခိုး ပေါ်လီတက်ကနစ် (École Polytechnique) ၌ ဂတ်စပတ် မွန်ချ် (Gaspard Monge) ကို ဗဟိုပြုသော အစောပိုင်း ၁၉ ရာစု ပြင်သစ်ကျောင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ မွန်ချ်၏ ကျောင်းသားများသည် ဤနယ်ပယ်ကို လမ်းကြောင်းမျိုးစုံသို့ ချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် ဒူပင်း (Charles Dupin) သည် မျက်နှာပြင်များဆိုင်ရာ သီအိုရီကို (theory of surfaces) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဆိုက်ကလိုက် (cyclide) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ သီအိုဒို အိုလီဗီယာ (Théodore Olivier) သည် သင်ကြားရေးအတွက် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဂျီဩမေတြီ ကြိုးမော်ဒယ်များကို (three-dimensional geometric string models) ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခဲ့သည်။ ချားလ်စ်-ဂျူးလ်စ် ဘရီယန်ချွန် (Charles-Jules Brianchon) သည် ပက်စ်ကယ် (Pascal) ၏ ဆန်းကြယ်သော ဆဋ္ဌဂံ သီအိုရမ်အတွက် (Pascal’s mystic hexagram theorem) ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲ (projective dual) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် "အမှတ်" (point) နှင့် "မျဉ်း" (line) ဟူသော သဘောတရားများကို အချင်းချင်းဖလှယ်လိုက်သောအခါတွင် ပြင်ညီ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီရှိ သီအိုရမ်များသည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ ယန်-ဗစ်တာ ပွန်စလတ် (Jean-Victor Poncelet) သည် ၎င်း၏ ၁၈၂၂ ခုနှစ်ထုတ် Traité des propriétés projectives des figures စာအုပ်တွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီကို သီးခြားလွတ်လပ်သော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) မူဝါဒနှင့် အနန္တအမှတ်များ (ideal points) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ စက်ဝိုင်းအားလုံးက မျှဝေပိုင်ဆိုင်ထားသော အနန္တရှိ ကွန်ဂျူဂိတ် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်]] စက်ဝိုင်းအမှတ်များ (conjugate imaginary circular points) နှစ်ခုကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယင်းအမှတ်များကို <math>I</math> နှင့် <math>J</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ မိုက်ကယ် ရှားလ်စ် (Michel Chasles) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်ရှိ အမှတ်လေးမှတ်၏ နှစ်ထပ်အချိုးကို (cross-ratio) အလေးပေးဖော်ပြခဲ့ပြီး ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ :<math>\frac{c - a}{c - b} : \frac{d - a}{d - b}</math> သူသည် ဤနှစ်ထပ်အချိုးသည် ပရိုဂျက်တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (projective transformations) အောက်တွင် ပကတိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိကြောင်းကို (invariant) သက်သေပြခဲ့သည်။ ပေါင်းစပ် မက်ထရစ် ဖန်ရှင် ဂျီဩမေတြီ (synthetic metric geometry) တွင် ဂျက်ကော့ဘ် ရှတိုင်းနား (Jakob Steiner) သည် ယူကလစ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံများအားလုံးကို မျဉ်းဖြောင့်တံတစ်ခုနှင့် (straightedge) ဗဟိုကို (center) ရှင်းလင်းစွာပေးထားသော အထိုင်စက်ဝိုင်းတစ်ခုတည်းကိုသာ (single fixed circle) အသုံးပြု၍ အပြီးသတ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် တတိယထပ်ကိန်း မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် နှစ်ဆယ့်ခုနစ်ကြောင်းကိုလည်း (twenty-seven straight lines on a cubic surface) လေ့လာခဲ့ပြီး ထောင့်ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းဖြစ်သည့် (angle-preserving transformation) ပြောင်းပြန်လှန် ဂျီဩမေတြီ (inversive geometry) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် အမှတ် <math>P</math> နှင့် <math>P'</math> တို့သည် အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိပြီး ဗဟို <math>O</math> ၌ရှိသော စက်ဝိုင်းတစ်ခုနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အချင်းချင်း ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြသည် (inverse)။ ၎င်းတို့သည် <math>(OP)(OP') = r^2</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို ဂျူးလီးယပ်စ် ပလွတ်ကာ (Julius Plücker) က ပြန်လည်အသက်ဝင်စေခဲ့ပြီး သူသည် ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အတိုကောက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို (abridged notation) တီထွင်ခဲ့သည်။ ပလွတ်ကာ၊ ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ် (August Ferdinand Möbius)၊ ကားလ် ဝီလ်ဟမ် ဖွိုင်ယာဘတ် (Karl Wilhelm Feuerbach) နှင့် အက်တီယန် ဘိုဘီလီယာ (Étienne Bobillier) တို့သည် တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ (homogeneous coordinates) ကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထိုကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် <math>t = 0</math> သည် အနန္တရှိ မျဉ်းကို (line at infinity) ကိုယ်စားပြုသည်။ ပလွတ်ကာသည် မျဉ်း ကိုဩဒိနိတ်များ (line coordinates) ကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် <math>(u, v, w)</math> ဖြစ်ကြပြီး မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များဟူသော သဘောတရားကို အမှတ်တစ်ခုကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းများဟူသော ဒွန်တွဲသဘောတရားအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးခဲ့သည်။ ၁၈၃၄ ခုနှစ်တွင် သူသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေး (algebraic curve) တစ်ခု၏ အဆင့် (order) <math>n</math>၊ အတန်းအစား (class) <math>m</math>၊ ဆုံမှတ်များ (nodes) <math>\delta</math>၊ အချွန်မှတ်များ (cusps) <math>\kappa</math>၊ ငြိမ်နေသော ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် အကွေ့မှတ်များ (stationary tangents/inflections) <math>\iota</math> နှင့် ထိမျဉ်းနှစ်ထပ်များ (bitangents) <math>\tau</math> တို့ကို ဆက်စပ်ပေးသော ညီမျှခြင်းများကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ :<math>m = n(n - 1) - 2\delta - 3\kappa \quad \text{and} \quad n = m(m - 1) - 2\tau - 3\iota</math> :<math>\iota = 3n(n - 2) - 6\delta - 8\kappa \quad \text{and} \quad \kappa = 3m(m - 2) - 6\tau - 8\iota</math> ယူကလစ်ဒ်၏ ပဉ္စမမြောက် ကြိုတင်အဆိုကို (Fifth Postulate) သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းမှုသည် ၎င်းမပါဘဲ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (consistent) ရှိသော ဂျီဩမေတြီများ တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို သင်္ချာပညာရှင်များက ပြသနိုင်ခဲ့ချိန်တွင် အဆုံးသတ်သွားခဲ့သည်။ ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ဤအချက်ကို စောစီးစွာကတည်းက သီးသန့် အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော် နီကိုလိုင်း အိုင်ဗန်နိုဗစ်ချ် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) သည် ၁၈၂၉ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) သည် ၁၈၃၂ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ၏ (non-Euclidean hyperbolic geometry) ပထမဆုံး ပုံစံတကျ စနစ်များကို ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်ပေါင်းလဒ်သည် (angle sum) ၁၈၀ ဒီဂရီထက် တိကျစွာ လျော့နည်းသည်။ ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ (Eugenio Beltrami) သည် ဤဂျီဩမေတြီ၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) ၁၈၆၈ ခုနှစ်တွင် ဆူဒိုစက်လုံးမျက်နှာပြင် (pseudosphere) ပေါ်တွင် လက်တွေ့ဖော်ဆောင်ခြင်းဖြင့် သက်သေပြခဲ့သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry) ကို ၁၈၂၇ ခုနှစ်တွင် ဂေါက်စ်က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သူသည် ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian curvature) <math>K</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ကွေးနေသော ကိန်းရှင်ကြားခံ မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) သည် ဒုတိယထပ်ကိန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (quadratic differential form) <math>ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2</math> အပေါ် မူတည်ကြောင်းကို အတည်ပြုခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) ၏ ၁၈၅၄ ခုနှစ် ဟာဘီလီတေးရှင်း ဟောပြောချက်သည် ၎င်းကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိသော မန်နီဖိုးများအထိ (n-dimensional manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် သူ၏ အာလန်ဂါ ပရိုဂရမ် (Erlanger Programm) မှတစ်ဆင့် ဤကွဲပြားနေသော ဂျီဩမေတြီများကို ပေါင်းစပ်ခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီကို တိကျသော အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (transformation groups) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariant properties) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization) === [[File:Arthur_Cayley.jpg|right|thumb|220px|အာသာ ကေးလီ]] [[File:Hermann_Grassmann_etching.jpg|right|thumb|220px|ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း]] [[File:GeorgFrobenius_(cropped).jpg|thumb|220px|ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ်]] [[File:Noether.jpg|right|thumb|220px|အမ်မီ နိုသာ (1900)]] ဆယ့်ကိုးရာစုနှင့် နှစ်ဆယ်ရာစုများအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းမှ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures)၊ တွက်ချက်မှုများ (operations) နှင့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) တို့ကို သရုပ်မဲ့ လေ့လာခြင်းဆီသို့ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်။ ယင်းက [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups)၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းနိုင်ရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1, 7, 13}}</ref> သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာ၏ (symbolic algebra) အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ဂျော့ချ် ပီးကော့ (George Peacock) နှင့် ဩဂတ်စတပ်စ် ဒီ မော်ဂန် (Augustus De Morgan) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ပီးကော့သည် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (arithmetical algebra) သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာမှ ခွဲခြားပြသခဲ့သည်။ ဒီ မော်ဂန်ကမူ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများသည် (operational symbols) အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်းများသာဖြစ်ကြောင်း (arbitrary abstractions) ငြင်းဆိုခဲ့သည်။ ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) သည် ယုတ္တိဗေဒနှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) ဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (algebra of logic) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် စကြဝဠာ အစု (universal set) ကို <math>1</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ဗလာစု (null set) ကို <math>0</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ပေါင်းစပ်စု (union) ကို <math>+</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ကို <math>\times</math> ဖြင့်လည်းကောင်း သတ်မှတ်ပြသခဲ့ပြီး ထပ်တူရပေး နိယာမ (idempotent law) <math>x^2 = x</math> ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များ (noncommutative systems) သည် ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် (William Rowan Hamilton) က မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ နိယာမ]] (commutative law of multiplication) ကို စွန့်လွှတ်ကာ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) ကို တီထွင်လိုက်ချိန်တွင် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ :<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math> :<math>ij = k = -ji, \quad jk = i = -kj, \quad ki = j = -ik</math> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း (Hermann Grassmann) သည် <math>n</math>-တိုင်းတာမှုရှိသော မျဉ်းဖြောင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (linear vector spaces) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ဟာမီလ်တန်-ကေးလီ သီအိုရမ်ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ဂျိမ်းစ် ဂျိုးဆက် ဆေးလ်ဗက်စတာ (James Joseph Sylvester) သည် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရီ (invariant theory) ကို မြှင့်တင်ပေးခဲ့သည်။ ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) နှင့် ချားလ်စ် ဆန်ဒါးစ် ပီးယားစ် (Charles Sanders Peirce) တို့သည် မျဉ်းဖြောင့် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] အက္ခရာသင်္ချာများ (linear associative algebras) ကို ဆက်လက် အမျိုးအစားခွဲခြားခဲ့ကြသည်။ ယင်း၏ အထွတ်အထိပ်ရလဒ်အနေဖြင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers)၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) နှင့် ကွာတာနီယွန်များသည်သာလျှင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ကိန်းစစ် ဖက်စပ်ရ အစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း သီအိုရမ်ကို (classification theorem) ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် (Ferdinand Georg Frobenius) က ၁၈၇၇ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ စီ အက်စ် ပီးယားစ်က ၁၈၈၁ ခုနှစ်တွင် သီးခြားစီလည်းကောင်း ပုံစံတကျ အတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အုပ်စုများ၊ ကွင်းများနှင့် ဖီးလ်ဒ်များကို သဘောတရားအဖြစ် ဖွဲ့စည်းခြင်းက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) ကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အချိုးညီမှုများနှင့် (symmetries) ချိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ကိန်းရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရရန်မှာ ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) အုပ်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း သူက သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=14}}</ref> ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) သည် ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓ]]ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique prime factorization) ကို ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]]ရင်းများ (algebraic integers) ၏ ကွင်းများတွင် အိုင်ဒီးလ်များကို (ideals) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=7}}</ref> ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် ဂျေ အိတ်ချ် အမ် ဝက်ဒါဘန်း (J. H. M. Wedderburn) သည် ဆီမီးရိုးရှင်းသော အက္ခရာသင်္ချာများအတွက် (semisimple algebras) တည်ဆောက်ပုံ သီအိုရမ်များကို (structure theorems) ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အန်းစ် ရှတိုင်းနစ်ဇ် (Ernst Steinitz) သည် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) ကို နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=13}}</ref> အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) သည် အစဉ်လိုက်တိုး ချိတ်တန်း အခြေအနေများ (ascending chain conditions) ကို အသုံးပြု၍ နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော ကွင်းသီအိုရီ (axiomatic ring theory) ကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=15}}</ref> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ဂေါ့လော့ ဖရေဂါ (Gottlob Frege) နှင့် ဂျူဆက်ပီ ပီယာနို (Giuseppe Peano) တို့က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဖရေဂါသည် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ယုတ္တိဗေဒမှ ဆင်းသက်ရယူရန် ကြိုးစားခဲ့ပြီး ပီယာနိုသည် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) အတွက် နဂိုမှန်အဆို အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ - တိကျသေချာမှု၊ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များ၊ နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Analysis: Rigor, Real and Complex Variables, and Measure Theory) === [[File:Bernhard_Riemann_3.jpg|right|thumb|220px|ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (1862)]] [[File:Augustin-Louis_Cauchy_1901.jpg|right|thumb|220px| ကော်ချီ၏ ကျောက်ပုံနှိပ်ပုံ (1840)]] ကဲကုလပ် (calculus) သည် ၁၉ ရာစုတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များမှ တိကျသေချာသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (rigorous mathematical analysis) သို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ ဤအပြောင်းအလဲသည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) နှင့် စုဆုံမှတ်များကို (limits) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများကို (logical circularity) ဖယ်ရှားရန် လိုအပ်ခြင်းကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် သင်္ချာပညာရှင် ငါးဦးသည် ကိန်းစစ်များအတွက် သီးသန့် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် မေရေး (Charles Méray)၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass)၊ ဟိုင်းနရစ် အက်ဒ်ဝပ် ဟိုင်းနား (Heinrich Eduard Heine) နှင့် ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) တို့သည် ကိန်းစစ်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏]] စုဆုံ ကိန်းစဉ်များ (convergent sequences of rational numbers) သို့မဟုတ် အခြေခံ ကိန်းစဉ်များကို (fundamental sequences) အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်းသည် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းကို (Dedekind Cut) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ သူသည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို]] (irrationalities) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းအားလုံးကို ဘုံမပါသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (disjoint subsets) နှစ်ခုအဖြစ် အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို (complex analysis) အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) က စနစ်တကျ တိုးတက်စေခဲ့သည်။ သူသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများကို (Cauchy-Riemann differential equations) ဆင်းသက်ရယူခဲ့သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများမှာ <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် သူသည် အကြွင်း ကဲကုလပ်နှင့်အတူ (residue calculus) ကော်ချီ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ်ကို (Integral Theorem) <math>\oint f(z)\,dz = 0</math> သက်သေပြခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် တန်ဖိုးများစွာရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (multivalued functions) တစ်ပြေးညီဖြစ်စေရန် (uniformize) ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များမှတစ်ဆင့် (Riemann surfaces) တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်နည်းတစ်ခုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် ဇီတာ ဖန်ရှင် (zeta function) <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}</math> ၏ သုညမှတ်များနှင့် ပတ်သက်သော ရီးမန်း ယူဆချက်ကိုလည်း (Hypothesis) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်သည် ဤဖီးလ်ဒ်ကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆက်လက်တည်ရှိခြင်းတို့မှတစ်ဆင့် (analytic continuation) တင်းကျပ်စွာ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီတို့သည် (measure theory) အီမီးလ် ဘိုရဲလ် (Émile Borel) မှတစ်ဆင့် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ သူသည် ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှုကို (countable additivity) အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) ပေါ်တွင် အတိုင်းအတာ သီအိုရီကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည်လည်း ဤနယ်ပယ်ကို တိုးတက်စေခဲ့ပြီး သူသည် ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်ကို (Lebesgue integral) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ လီဘက်ဂ်သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ထက် ပုံရိပ်အစုကို (range) ပိုမိုသေးငယ်စွာ ထပ်မံပိုင်းခြားခြင်းအားဖြင့် အလွန်အမင်း [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များကို]] (discontinuous functions) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) ရှိစေခဲ့သည်။ ယင်းက [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်|ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်ကို]] (Fundamental Theorem of Calculus) ချဲ့ထွင်ပေးခဲ့သည်။ === တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Topology and Functional Analysis) === [[File:Curie_and_Poincare_1911_Solvay.jpg|right|thumb|220px|ဆိုးလ်ဗေး ညီလာခံတွင် မာရီ ကျူရီ နှင့် ပွန်ကာရေးတို့ စကားပြောဆိုနေစဉ် (1911)]] [[File:Hilbert.jpg|right|thumb|220px|ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (1912)]] [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) သည် နှစ်ဆယ်ရာစု သင်္ချာတွင် အဓိကကျသော ပေါင်းစပ်ပေးသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) သည် ၁၈၉၅ ခုနှစ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (algebraic topology) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ဟိုမိုလော်ဂျီကို (simplicial homology) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဗက်တီ ကိန်းများကို (Betti numbers) အသုံးပြု၍ ဗဟုဂံပုံသေနည်းကို (polyhedral formula) ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာရှိ မန်နီဖိုးများအထိ (manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အခြေခံအုပ်စုကို (fundamental group) လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ပွန်ကာရေး ဟိုမိုလော်ဂျီ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Poincaré homology sphere) ကို ဖော်ထုတ်မှုသည် ပွန်ကာရေး ယူဆချက်ဆီသို့ (Poincaré conjecture) ဦးတည်စေခဲ့သည်။ အယ်လ် အီး ဂျေ ဘရောင်းဝါး (L. E. J. Brouwer) သည် အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (fixed-point theorem) အပါအဝင် အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရမ်များကို (topological invariance theorems) ဆက်လက် သက်သေပြခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (Point-set topology) မောရစ် ဖရေးရှေး (Maurice Fréchet) နှင့် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ဖရေးရှေးသည် ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို]] (metric spaces) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) နှင့် ခွဲခြားခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများကို (separation axioms) အသုံးပြု၍ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် (topological spaces) နဂိုမှန်အဆို စနစ်ကို (axiomatic system) ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာသည်လည်း (functional analysis) တစ်ပြိုင်နက်တည်း တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများကို (inner product spaces) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) သည် ပြည့်စုံသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို]] (complete normed vector spaces) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ လော်ရင့် ရွှာ့ဇ် (Laurent Schwartz) ၏ ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီသည် (theory of distributions) ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာကဲ့သို့ (Dirac delta) ယေဘုယျပြုထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (generalized functions) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === နှစ်ဆယ်ရာစု ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း - ဘော်ဘာကီ၊ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Twentieth-Century Synthesis: Bourbaki, Category Theory, and Algebraic Geometry) === [[File:Weil.jpg|right|thumb|220px|အန်ဒရေး ဗေးလ် (1956)]] [[File:NBourbaki 3.png|right|thumb|220px|ဘော်ဘာကီ ညီလာခံ (1951)]] ၂၀ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဘာသာရပ်သည် သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများ (abstract structures) နှင့် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ (categorical relationships) ကို အလေးပေးခြင်းဖြင့် အရင်ကမရှိဖူးသော ပေါင်းစပ်ညီညွတ်မှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၃၄ ခုနှစ်မှစတင်၍ ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင်များ အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့သည် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ဟူသော ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေထုတ်ဝေလျက် အတွဲများစွာပါဝင်သော Éléments de mathématique (သင်္ချာ၏ အခြေခံများ) ကို ရေးသားပြုစုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ နည်းစနစ်သည် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ နည်းလမ်း (axiomatic method) ကို တင်းကျပ်စွာ လိုက်နာမှုနှင့် ယေဘုယျ တည်ဆောက်ပုံများမှ (general structures) တိကျသော အသုံးချမှုများဆီသို့ (specific applications) ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တိုးတက်မှုကို (logical progression) အလေးပေးခဲ့သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (Category theory) ကို ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကွဲပြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန် ကတ်တဂိုရီများ (categories)၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]] (functors) နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] (natural transformations) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် အွန်ရီ ကာတန် (Henri Cartan) နှင့် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်တို့သည် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို ဖန်တီးရန် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တို့ကို ပေါင်းစပ်ခဲ့ကြသည်။ ဤကာလအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) သည် တော်လှန်ပြောင်းလဲခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ အော်စကာ ဇာရစ်စကီး (Oscar Zariski)၊ ဘီ အယ်လ် ဗန် ဒါ ဗေဒင် (B. L. van der Waerden) နှင့် အန်ဒရေး ဗေးလ် (André Weil) တို့သည် ဤဘာသာရပ်ခွဲကို တိကျသေချာသော [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (rigorous commutative algebra) ဖြင့် အခြေခံချပေးခဲ့ကြသည်။ ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှင့် ၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ယန် လီရေး (Jean Leray)၊ ယန်-ပီယာ ဆဲရ် (Jean-Pierre Serre) နှင့် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) တို့သည် [[အစည်း|အစည်းများ]] (sheaves)၊ စကင်းမ်များ (schemes)၊ တိုပို့စ်များ (topoi) နှင့် အေတဲလ် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (étale cohomology) ဟူသော ဘာသာစကားမှတစ်ဆင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို လုံးဝအသစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဤမူဘောင်သည် ပီယာ ဒေလင်း (Pierre Deligne) အား ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အနက်ရှိုင်းဆုံးသော ဗေးလ် ယူဆချက်များကို သက်သေပြရန် လုပ်ဆောင်နိုင်စေခဲ့သည်။ === ယုတ္တိဗေဒ၊ အခြေခံအုတ်မြစ်များနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Logic, Foundations, and Computational Mathematics) === [[File:1925 kurt gödel (cropped).png|right|thumb|220px|ကာ့တ် ဂိုဒယ် (1925)]] [[File:Alan_Turing_portré.jpg|right|thumb|220px|အလန် ကျူးရင်း (1930s)]] ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) ၏ အခြေခံဆိုင်ရာ ပြဿနာများ (foundational problems) နှစ်ဆယ့်သုံးခု တင်ပြချက်မှ ကြီးမားစွာ လွှမ်းမိုးမှုခံရသော ၂၀ ရာစုသည် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) နှင့် တွက်ချက်ခြင်း (computation) ဆိုင်ရာ အခြေခံ မေးခွန်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ယုတ္တိဗေဒ (logic) တွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများမှ (logical axioms) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ဆင်းသက်ရယူရန် ဘာထရန် ရပ်ဆဲလ် (Bertrand Russell) နှင့် အဲလ်ဖရက် နော့သ် ဝှိုက်ဟတ် (Alfred North Whitehead) တို့၏ ကြိုးပမ်းမှုများသည် ကာ့တ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ ၁၉၃၁ ခုနှစ် မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (Incompleteness Theorems) ကြောင့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်စေခဲ့သည်။ မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုစနစ်မဆို (consistent formal axiomatic system) အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာကို (basic arithmetic) လုပ်ဆောင်နိုင်သောအခါ ၎င်းသည် ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော အဆိုများကို (undecidable propositions) ပါဝင်စေပြီး ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (own consistency) သက်သေမပြနိုင်ကြောင်း ဂိုဒယ်က ပြသခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်၏ ပထမဆုံး ပြဿနာဖြစ်သော ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) ၏ တိုးတက်မှုသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ဂိုဒယ်က ၎င်း၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) သက်သေပြခဲ့ပြီး ပေါလ် ကိုဟင် (Paul Cohen) က ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် အတင်းအကျပ် ပြောင်းလဲခြင်းနည်းလမ်းကို (method of forcing) အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို (independence) သက်သေပြခဲ့သည်။ တွက်ချက်မှု သီအိုရီ (theory of computation) ကို အလန် ကျူးရင်း (Alan Turing) က ၁၉၃၆ ခုနှစ်တွင် ပုံစံတကျ တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ကျူးရင်းသည် တွက်ချက်ခြင်းအတွက် စကြဝဠာ သဘောတရားရေးရာ မော်ဒယ်ကို (universal theoretical model) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤမော်ဒယ်ကို ကျူးရင်း စက်ဟု (Turing machine) သိကြသည်။ ထို့ပြင် သူသည် ရပ်တန့်ခြင်း ပြဿနာ၏ (halting problem) ဖြေရှင်း၍မရနိုင်စွမ်းကို (insolvability) သက်သေပြခဲ့ပြီး ယင်းက ဟီလ်ဘတ်၏ ဆုံးဖြတ်ချက် ပြဿနာကို (decision problem) ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) သည် အီလက်ထရောနစ် ကွန်ပျူတာ တည်ဆောက်ပုံ (electronic computer architecture)၊ ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory) နှင့် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) ကို ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာကို ဆက်လက်တိုးတက်စေခဲ့သည်။ === မကြာသေးမီ ဆယ်စုနှစ်များအတွင်း နာမည်ကြီး ယူဆချက်များအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း (Resolution of Famous Conjectures in Recent Decades) === [[File:Richard_Hamilton_1982_(reprint;_headshot).jpg|right|thumb|220px|ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (1982)]] [[File:Perelman, Grigori (1966) Upright.jpg|right|thumb|220px|ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (1993)]] [[File:Andrew Wiles, Boston 1995.JPG|right|thumb|220px|အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (1995)]] နှစ်ဆယ်ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် နှစ်ဆယ့်တစ်ရာစု အစောပိုင်းကာလများကို အဆင့်မြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မူဘောင်များနှင့် (advanced analytical frameworks) ကွန်ပျူတာ အကူအညီများမှတစ်ဆင့် (computer assistance) ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော သမိုင်းဝင် ပြဿနာများအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်းဖြင့် အမှတ်အသားပြုခဲ့သည်။ ၁၈၅၂ ခုနှစ်တွင် စတင်ယူဆခဲ့ပြီးဖြစ်သော အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ် (Four-Color Theorem) သည် ကဲနတ် အက်ပယ်လ် (Kenneth Appel) နှင့် ဝုဖ်ဂန်း ဟာကင် (Wolfgang Haken) တို့က ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရှောင်လွှဲ၍မရသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို (unavoidable configurations) အကဲဖြတ်ရန်အတွက် အားထုတ်ပစ်ခြင်း နည်းလမ်းကို (method of discharging) အသုံးပြုခြင်းသည် ပထမဆုံး အဓိကကျသော ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်အဖြစ် (computer-assisted mathematical proof) မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သည်။ ယင်းကို နောက်ပိုင်းတွင် ရောဘတ်ဆန်၊ ဆန်ဒါးစ်၊ ဆီးမိုး နှင့် သောမတ်စ် တို့က ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပိုမိုရိုးရှင်းလွယ်ကူအောင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် ကော့ခ် ဆော့ဖ်ဝဲလ်ကို အသုံးပြု၍ ဂွန်သီယာ နှင့် ဗာနာ တို့က ပုံစံတကျ စစ်ဆေးအတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (Classification of Finite Simple Groups) သည် ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာသော ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ကြိုးပမ်းမှုအပြီးတွင် ပြီးမြောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဖိုက်-သွန်မဆင် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]]အစဉ် သီအိုရမ်ဖြင့် (Odd-Order Theorem) စတင်ခဲ့ပြီး ဤသီအိုရမ်က မည်သည့် အဆုံးရှိ ရိုးရှင်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite simple group) မဆို ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group)၊ အလှည့်ကျ အုပ်စု (alternating group)၊ လီ-အမျိုးအစား (Lie-type) သို့မဟုတ် ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော အုပ်စုများ (sporadic groups) ၂၆ ခုထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးခဲ့သည်။ နောက်ဆုံး ဆူဒို-ပါးလွှာသော ကွာဟချက်ကို (quasi-thin gap) အက်ရှ်ဘာကာ နှင့် စမစ်သ် တို့က ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပိတ်နိုင်ခဲ့သည်။ ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat’s Last Theorem) ကို နှစ်ပေါင်း ၃၅၀ ကျော်ကြာပြီးနောက် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂါဟတ် ဖရေး (Gerhard Frey) ၏ မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (non-modular elliptic curves) ဖွဲ့စည်းမှုနှင့် ကန် ရီဘတ် (Ken Ribet) ၏ <math>\varepsilon</math>-ယူဆချက် (<math>\varepsilon</math>-conjecture) သက်သေပြချက်တို့ကို အခြေခံ၍ အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) က ပြသခဲ့ရာတွင် ဆီမီး-တည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် (semistable elliptic curves) တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ်ကို တိုက်ရိုက် သက်ရောက်မှုရှိကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ်သည် ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ သူ့ကို ရစ်ချတ် တေလာ (Richard Taylor) က ကူညီပေးခဲ့သည်။ ပွန်ကာရေး ယူဆချက် (Poincaré Conjecture) ကို ဝီလီယံ သာစတန် (William Thurston) ၏ ဂျီဩမေတြီအသွင်ပြောင်းခြင်း ယူဆချက် (Geometrization Conjecture) နှင့် ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (Richard Hamilton) ၏ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ညီမျှခြင်း (Ricci flow equation) <math>\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2 R_{ij}</math> မိတ်ဆက်မှုတို့မှတစ်ဆင့် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Yakovlevich Perelman) သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၃ ခုနှစ်အတွင်း ခွဲစိတ်မှု နည်းပညာများကို (surgery techniques) အသုံးပြု၍ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို (Ricci flow singularities) ကျော်လွှားခြင်းဖြင့် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ === မြန်မာ့ သင်္ချာသမိုင်း (History of Burmese Mathematics) === မြန်မာ့သိပ္ပံပညာနှင့် သင်္ချာသမိုင်းကြောင်းသည် ရှေးခေတ်ကာလများကတည်းက အခြေတကျ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်ထားသော သင်္ချာကျမ်းများအနက် တစ်ခုမှာ ၁၄ ရာစုနှစ်ဦးပိုင်းတွင် ဇင်းမယ်မြို့၌ ရှင်ဉာဏဝိလာသ ရေးသားပြုစုခဲ့သော "သင်္ချာပကာသက" ကျမ်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကျမ်းကို အခြေခံ၍ ခရစ်နှစ် ၁၅၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ပလိပ်ရွာအရှေ့ရှိ မြို့သစ်မြို့နေ ရှင်သီရိမင်္ဂလက "သင်္ချာပကာသကဋီကာ" ကို ထပ်မံပြုစုခဲ့ပြီး ညောင်ကန်ဆရာတော် ရှင်ကဝိန္ဒ၏ တပည့် ရှင်မုနိန္ဒသာရက "သင်္ချာပကာသက စာကိုယ်နိဿယ" ကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဘိုးတော်ဘုရား (ဗဒုံမင်း) လက်ထက် (၁၇၈၂–၁၈၁၉) တွင် အိန္ဒိယနှင့် သီဟိုဠ်တို့မှ ကျမ်းပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို ယူဆောင်လာခဲ့ပြီး မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုစေခဲ့ရာမှ သင်္ချာပညာရပ်သည် ပိုမိုထွန်းကားလာခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော သမိုင်းဝင်အထောက်အထားတစ်ခုမှာ ၁၇၇၄ ခုနှစ်တွင် ပြုစုခဲ့သော "ဂဏန်းသင်္ချာ ပညာဝဍ္ဎနကျမ်း" ဖြစ်သည်။ ဤကျမ်းကို အပိုင်းလေးပိုင်းခွဲခြားထားပြီး တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပုစ္ဆာပေါင်း ၁၇၅ ပုဒ်ကို တွက်နည်းအဖြေများနှင့်တကွ စနစ်တကျ ပြုစုထားသည်။ ပထမပိုင်းတွင် အလေးချိန်၊ အကွာအဝေး၊ ထုထည် (Volume) နှင့် အချိန်နာရီတို့ကို တိုင်းတာသည့် ယူနစ် (Unit) ဆိုင်ရာ ကိန်းသင်္ချာအကြောင်းကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် "ခု" မှစ၍ သုည ၁၄၀ လုံးပါဝင်သော "အသင်္ချေ" တိုင်အောင် ရေတွက်ခေါ်ဝေါ်သည့် နည်းစနစ်များ ပါဝင်သည်။ ဒုတိယပိုင်းတွင် လုပ်ငန်းခွင်သုံး တိုင်းထွာတွက်ချက်နည်းများကို "ဂဏန်းဆယ်ပါး" ခေါင်းစဉ်ဖြင့် ဖော်ပြထားပြီး စပါး၊ ဆန်၊ ရွှေ၊ ငွေ၊ ဆီမီး၊ ရထား၊ သစ်ပင်၊ လှေ၊ သားရေနှင့် မြေစသည့် ကဏ္ဍများ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရွှေကို အဆင့်ဆင့် သန့်စင်ရာတွင် ဇမ္ဗူရဇ်ရွှေကဲ့သို့ အသန့်စင်ဆုံးအဆင့်ရရှိရန် တွက်ချက်မှုများ၊ သစ်ပင်၏ အမြင့်ကို ဂျီဩမေတြီ (Geometry) အသုံးပြု၍ ရှာဖွေခြင်းများနှင့် မြေကွက်များ၏ ဧရိယာ (Area) တွက်ချက်ခြင်းများ ပါဝင်သည်။ တတိယပိုင်းတွင် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic progression)၊ ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric progression)၊ မရေမရာ ညီမျှခြင်း (Indeterminate equation)၊ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (Algebraic equation)၊ ဆခွဲကိန်း (Factor) နှင့် ဘုံသုဉ်းကိန်းရှာဖွေခြင်းစသည့် သင်္ချာနည်းစနစ် ၁၆ မျိုးကို ပုစ္ဆာပေါင်း ၇၆ ပုဒ်ဖြင့် ရှင်းလင်းထားသည်။ စတုတ္ထပိုင်းတွင် ရှေ့ပိုင်းနည်းစနစ်များကို အခြေခံထားသော လက်တွေ့အသုံးချ ပုစ္ဆာ ၃၀ ပုဒ် ပါဝင်သည်။ ဤကျမ်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို လေ့လာခြင်းအားဖြင့် ရှေးခေတ်မြန်မာတို့သည် စက်ဝိုင်း၊ စက်လုံး၊ ထုလုံးနှင့် ထုချွန်များ၏ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ရှာဖွေခြင်းမှစ၍ ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများအထိ အဆင့်မြင့်မားသော သင်္ချာပညာကို လက်တွေ့အသုံးချနိုင်ခဲ့ကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။<ref name="MyoThantTyn">ဒေါက်တာ မျိုးသန့်တင်။ ''ရှေးခေတ် မြန်မာသိပ္ပံကျမ်းများ''။</ref> == သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများ (Areas of Mathematics) == ဤပညာရပ် ကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်းသည် သဘာဝအလျောက် ကွဲပြားသော်လည်း အလွန်အမင်း အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဘာသာရပ်ခွဲများစွာအဖြစ် ပိုင်းခြားသွားခဲ့သည်။ * ဂဏန်းသင်္ချာ နှင့် ကိန်းသီအိုရီ (Arithmetic and Number Theory) - ရှေးခေတ်တွင် လော်ဂျစ်စတစ်နှင့် (logistic) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကြားတွင် တင်းကျပ်သော ခွဲခြားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ လော်ဂျစ်စတစ်သည် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်တွေ့အသုံးချ နည်းစနစ်ဖြစ်သည်။ (practical technique of computation) ဂဏန်းသင်္ချာသည် ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို (properties of numbers) ဒဿနိကဗေဒအရ သို့မဟုတ် သဘောတရားရေးရာအရ လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ကိန်းသီအိုရီ (Number theory) သည် အဆိုပါ ဂဏန်းသင်္ချာမှ ခေတ်သစ် ဆင်းသက်လာသော ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ အစောပိုင်း မှတ်တိုင်များတွင် ဂရိလူမျိုးများ၏ ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း ပါဝင်သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းတွင် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers)၊ ဆပေါင်းကိန်းများ (composite numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်းများ]] (even numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်းများ]] (odd numbers) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းများ (perfect numbers) တို့ ပါဝင်သည်။ အခြားမှတ်တိုင်တစ်ခုမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်း ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်ဖြစ်သည်။ ဤဘာသာရပ်သည် မသေချာသော ညီမျှခြင်းများ သို့မဟုတ် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို (indeterminate (Diophantine) equations) လေ့လာခြင်းမှတစ်ဆင့် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုများကို ဒိုင်အိုဖန်တပ်စ်၊ ဗြဟ္မဂုတ္တ နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၎င်း၏ Disquisitiones Arithmeticae စာအုပ်ဖြင့် ဤနယ်ပယ်ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူသည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ၏ ခေတ်သစ်သင်္ချာကို (modern mathematics of congruences) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ * ဂျီဩမေတြီ (Geometry) - "မြေတိုင်းတာခြင်း" (earth measurement) အဖြစ် စတင်ခဲ့သော ဂျီဩမေတြီသည် ဂရိလူမျိုးများလက်အောက်တွင် ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခု (deductive science) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၎င်း၏ အထွတ်အထိပ်မှာ ယူကလစ်ဒ်၏ Elements စာအုပ်ဖြစ်ပြီး နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ဤဘာသာရပ်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို (algebraic equations) ဂျီဩမေတြီ မျဉ်းကွေးများတွင် (geometric curves) အသုံးချခြင်းဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (Analytic geometry) ကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ ယင်းက ဂျီဩမေတြီကို ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများပေါ်တွင် (coordinate axes) ပုံဖော်နိုင်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တော်လှန်ပြောင်းလဲမှုတစ်ခုကို တွေ့ကြုံခဲ့ရသည်။ နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး နှင့် ယာနို့စ် ဘိုလိုင် ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို (Non-Euclidean geometry) တိုးတက်စေခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ယူကလစ်ဒ်၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုကို (parallel postulate) ဖယ်ရှားလိုက်လျှင်ပင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ဂျီဩမေတြီများ (consistent geometries) တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို ပြသခြင်းဖြင့် ဤသို့ တိုးတက်စေခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် ကွေးညွှတ်နေသော မက်ထရစ် ရပ်ဝန်းများကို (curved metric spaces) အလွန်ယေဘုယျကျစွာ လေ့လာမှုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုကို ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီဟု (Riemannian geometry) ခေါ်သည်။ ယင်းသည် နောက်ပိုင်းတွင် ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (General Relativity) ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒသီအိုရီများအတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) - အက္ခရာသင်္ချာသည် သမိုင်းဆိုင်ရာ ကျယ်ပြန့်သော အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ စကားပြောဟန် (rhetorical)၊ အတိုကောက်ဟန် (syncopated) နှင့် သင်္ကေတဟန် (symbolic) တို့ဖြစ်သည်။ စကားပြောဟန်သည် စကားလုံးများဖြင့်သာ အပြည့်အဝရေးသားခြင်း ဖြစ်သည်။ အတိုကောက်ဟန်သည် အတိုကောက်အချို့ကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတဟန်သည် အက္ခရာများနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများကို အသုံးပြုသော ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်း ဖြစ်သည်။ ဘေဘီလုံနှင့် အီဂျစ်လူမျိုးများသည် အခြေခံ မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများနှင့် (elementary linear equations) နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို (quadratic equations) ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ဉာဏ်သစ်သွေးသစ်ခေတ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို နှင့် လူဒိုဗီကို ဖာရာရီ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်း (cubic equation) နှင့် စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်း (quartic equation) တို့အတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေများကို (algebraic solutions) ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် စကစ်ပီယွန် ဒယ်လ် ဖဲရိုး နှင့် နီကိုလို ဖွန်တာနာ တာတာဂလီယာ တို့၏ တတိယထပ် အဖြေကို ကနဦး ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အက္ခရာသင်္ချာသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ကို လေ့လာခြင်းမှ သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများကို (abstract structures) လေ့လာခြင်းသို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ ၏ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်၊<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1}}</ref> ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် ၏ ဖလှယ်၍မရသော ကွာတာနီယွန်များ (non-commutative quaternions) ကို တီထွင်မှုနှင့် ဂျော့ချ် ဘူးလ် ၏ ယုတ္တိဗေဒ အက္ခရာသင်္ချာတို့နှင့်အတူ (algebra of logic) အက္ခရာသင်္ချာသည် ရိုးရာကိန်းများနှင့် အမှီအခိုကင်းသော လေ့လာမှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် တိကျသော နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်း နိယာမများဖြင့် (laws of combination) သတ်မှတ်ထားသော သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ နှင့် ကဲကုလပ် (Analysis and Calculus) - ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပမာဏများ (continuous magnitudes)၊ စုဆုံမှတ်များ (limits) နှင့် အနန္တ လုပ်ငန်းစဉ်များကို (infinite processes) ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းသော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲ ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အစောဆုံး မူလအစမှာ ဂရိလူမျိုးများ၏ "ကုန်စင်အောင်လုပ်ခြင်း နည်းလမ်း" (method of exhaustion) တွင် တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ကနိုင်းဒပ်စ်မှ ယူဒေါက်စပ်စ် က သဘောတရားရေးရာအရ တီထွင်ခဲ့ပြီး အာခီမီးဒီးစ် က ဧရိယာများနှင့် ထုထည်များကို ရှာဖွေရာတွင် စနစ်တကျ အသုံးချခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် တို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများဆိုင်ရာ (infinitesimals) သဘောတရားများကို စုစည်း၍ ကဲကုလပ် (Calculus) ကို သီးခြားစီ တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များကို]] (derivatives) ရှာဖွေရန် ယေဘုယျ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို (algorithms) ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ထို့ပြင် ဧရိယာများ သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ်များကို (integrals) ရှာဖွေရန်အတွက်လည်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို "ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်း" (arithmetized) ခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ၎င်းကို ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ်အပေါ် (geometric intuition) မှီခိုနေရခြင်းမှ ဖယ်ရှားပေးခဲ့သည်။ ထို့နောက် စုဆုံမှတ်များ၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) နှင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ၏]] (real numbers) တိကျသေချာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအပေါ် အခြေခံသည့် တိကျသေချာသော အခြေခံအုတ်မြစ်ပေါ်တွင် (rigorous foundation) တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) - ကနဦးတွင် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းအဖြစ် (analysis situs) ပေါ်ထွက်လာသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]သည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းပုံများ၏ (spatial configurations) မွေးရာပါ အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ အသွင်အပြင်များကို (qualitative aspects) လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ဤအသွင်အပြင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော တစ်-တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများအောက်တွင် (continuous one-to-one transformations) မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို လူအများက "ရာဘာချပ် ဂျီဩမေတြီ" ဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိကြသည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး သည် ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ သို့မဟုတ် ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (combinatorial topology) စတင်တည်ထောင်သူဟု ဆိုနိုင်သည်။ သူသည် ပုံသဏ္ဌာန်များကို [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများအဖြစ်]] (manifolds) ရှုမြင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်နေမှုကို လေ့လာခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) အတွက် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပတ်ဝန်းကျင်များကြားရှိ (neighborhoods of elements) ဆက်သွယ်ချက်များအပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝအခြေခံ၍ သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်းများကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ * ဖြစ်တန်စွမ်း နှင့် အသုံးချ သင်္ချာ (Probability and Applied Mathematics) - [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်း]] သီအိုရီ (probability theory) သည် ၁၇ ရာစုတွင် ဘလေ့စ် ပက်စ်ကယ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့ကြား ကံစမ်းကစားနည်းများနှင့် (games of chance) ပတ်သက်၍ စာပေးစာယူပြုလုပ်ရာမှ စတင်ခဲ့သည်။ ၎င်းကို ၁၉ ရာစု အစောပိုင်းတွင် ပီယား ဆိုင်မွန် လာပလေ့စ် က အဓိကကျသော သိပ္ပံနည်းကျ ကိရိယာတစ်ခုအဖြစ် စနစ်တကျ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစုတွင် အသုံးချ သင်္ချာ (Applied mathematics) သည် ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory)၊ ဆိုက်ဘာနက်တစ်နှင့် (cybernetics) ကွန်ပျူတာသိပ္ပံကဲ့သို့သော (computer science) နယ်ပယ်များသို့ အကြီးအကျယ် ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သည်။ ၎င်းကို ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း နှင့် အလန် ကျူးရင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့ကြသည်။ ကွန်ပျူတာများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနကို အခြေခံမှစ၍ ပြောင်းလဲပစ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းတွင် (numerical analysis) အထောက်အကူပြုခဲ့ပြီး နောက်ဆုံးတွင် အရောင်လေးမျိုး ယူဆချက်ကဲ့သို့သော (Four-Color Conjecture) ရှုပ်ထွေးသည့် သင်္ချာသီအိုရီများကို သက်သေပြရန်အတွက် လိုအပ်သော ကြီးမားလှသည့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စွမ်းအားကို (computational power) ထောက်ပံ့ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား (References) == <references /> [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ပင်မ အကြောင်းအရာ ဆောင်းပါးများ]] 7kagy7a04ohv0hpmc3xfj6in586am28 1049510 1049508 2026-08-20T03:01:11Z Mkant00 135890 /* သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများ (Areas of Mathematics) */ 1049510 wikitext text/x-wiki [[File:Euclid.jpg|right|thumb|220px|ဘီစီအီး ၃ ရာစုမှ ဂရိ သင်္ချာပညာရှင် ယူကလစ် (ကွန်ပါထောက်တံ ကိုင်ထားသူ) ကို ပန်းချီဆရာ ရာဖယ် က ၎င်း၏ "အေသင်သားတို့ ကျောင်းတော်" အမည်ရ နံရံဆေးရေး ပန်းချီကားကြီးတွင် စိတ်ကူးပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်၏ ပုံမှာ မည်သည့်မီဒီယာတွင်မှ မကျန်ရစ်ဘဲ ဤသရုပ်ဖော်ချက်သည် ပုံဖော်သူ အနုပညာရှင်၏ စိတ်ကူးဉာဏ် ကွန့်မြူးချက်သာ ဖြစ်သည်။]] '''အသိပညာနှင့် စူးစမ်းလေ့လာခြင်း''' ဟု အနက်ဖွင့်ဆိုနိုင်သော ရှေးဂရိဝေါဟာရ μάθημα (máthēma) မှဆင်းသက်လာသည့် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို မြန်မာဘာသာစကားဖြင့် "ရေတွက်ခြင်း" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ရှေးပါဠိဝေါဟာရမှတစ်ဆင့် "သင်္ချာ" ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် သင်္ချာ၏ သဘောသဘာဝနှင့် ပတ်သက်၍ ပုဂ္ဂိုလ်ကျော်များက ရှုထောင့်အမျိုးမျိုးဖြင့် ဖွင့်ဆိုခဲ့ကြသည်။ စွယ်စုံရပညာရှင် ဂယ်လီလီယို (Galileo) က သဘာဝတရားကို ကျမ်းတစ်စောင်ဟု တင်စားခဲ့ပြီး ၎င်းကျမ်းကို သင်္ချာဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားထားကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="Machamer2014">{{Citation |last=Machamer |first=Peter |year=2014 |title=Galileo Galilei |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=CSLI, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/galileo/ |edition=Winter 2014}}</ref> သင်္ချာပညာရှင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) က သင်္ချာကို သိပ္ပံပညာရပ်များ၏ ဘုရင်မအဖြစ် တင်စားခဲ့သည်။<ref name="Beiler1964">{{citation |last=Beiler |first=Albert H. |title=Recreations in the Theory of Numbers (Dover Recreational Math) |publisher=Dover Publications |place=Mineola, NY |edition=2nd |year=1964 |isbn=978-0486210964 |page=1}}</ref> ထို့အပြင် ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) က သင်္ချာသည် မလွှဲမသွေဖြစ်ရမည့် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်များကို ကောက်ချက်ချသော သိပ္ပံပညာရပ်ဖြစ်ကြောင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။<ref name="Peirce1881">{{Citation |last=Peirce |first=Benjamin |title=Linear Associative Algebra |journal=American Journal of Mathematics |volume=4 |issue=1 |year=1881 |pages=97-229 |doi=10.2307/2369153 |url=http://www.jstor.org/stable/2369153 |publisher=The Johns Hopkins University Press}}</ref> ခေတ်ပြိုင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် သက်သေပြချက် (proof) ဖြင့် စစ်ဆေးအတည်ပြုနိုင်သော သရုပ်မဲ့ သဘောတရားများ (abstract concepts) နှင့် ပတ်သက်သည့် ဖော်ပြချက်များ (statements) ကို ဖော်ထုတ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို ကိန်းများ (numbers)၊ ပမာဏများ (magnitudes) နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်များ (forms) ဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခုအဖြစ်သာ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံအကျဆုံး မူလအစသည် သမိုင်းမတင်မီခေတ် လူသားတို့၏ ကိန်းနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တို့တွင်ရှိသော ဆင်တူညီမှုများကို တဖြည်းဖြည်း သတိပြုမိလာခြင်းမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုနှင့် အများအပြားကဲ့သို့သော ရိုးရှင်းသည့် ခြားနားချက်များကို သိမြင်မှတ်မိခြင်းမှသည် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ဆိုသည့် သရုပ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (abstract property) အထိ ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ အလားတူပင် ရက်ကန်းရက်ခြင်း၊ အိုးလုပ်ခြင်းနှင့် ခြင်းတောင်းရက်လုပ်ခြင်းတို့တွင် တွေ့ရသော ရှေးခေတ်လူသားတို့၏ ဒီဇိုင်းများသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ၊ ထပ်တူညီမှု (congruence) နှင့် အချိုးညီမှု (symmetry) တို့အတွက် အခြေခံအလေးထားမှုကို ပြသနေပြီး ယင်းက ဂျီဩမေတြီ (geometry) အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည်။ အစောပိုင်း သင်္ချာစနစ်များသည် အတွေ့အကြုံနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုအပေါ်တွင် များစွာ အခြေခံထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှေးခေတ် အီဂျစ်တွင် ဂျီဩမေတြီသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် စိုက်ပျိုးမြေတိုင်းတာခြင်းအတွက် ကိရိယာတစ်ခုအနေဖြင့် အဓိက တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် နိုင်းမြစ်၏ နှစ်စဉ်ရေကြီးမှုများကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ရှေးခေတ် ဘေဘီလုံ သင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းများအပေါ် များစွာအခြေခံပြီး အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများ (algorithms)၊ ဇယားများနှင့် ညီမျှခြင်းများ (equations) ကို ခန့်မှန်းခြေ ဖြေရှင်းခြင်းတို့အပေါ် အာရုံစိုက်ခဲ့သည်။ ချက်ချင်း အသုံးချရန်ထက် ဉာဏ်ရည်ပိုင်းဆိုင်ရာ သိချင်စိတ်ပြင်းပြမှုက တွန်းအားပေးသည့် ပုံစံတကျ (formalized) ပြီး ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ် (deductive science) တစ်ခုအနေဖြင့် သင်္ချာသည် ရှေးခေတ် ဂရိလူမျိုးများနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ သေးလ် (Thales) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် ဤဘာသာရပ်ကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ ဖွဲ့စည်းမှုဆီသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့သည်ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ သူတို့သည် အခြေခံမူများမှတစ်ဆင့် သီအိုရမ်များ (theorems) ကို သင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြသည့် အစောပိုင်း အစဉ်အလာများကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာ ကြာလာသောအခါ သင်္ချာသည် တည်ဆောက်ပုံ (structure) နှင့် သရုပ်မဲ့ ယုတ္တိဗေဒ (abstract logic) တို့၏ ကျယ်ပြန့်ပြီး အထူးပြုလွန်းသည့်အပြင် စည်းလုံးညီညွတ်သော ဘာသာစကားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြာထွက်လာခဲ့သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ခေတ်သစ် တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုများ (History and Modern Developments) == === ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures) === [[File:Carl Friedrich Gauss.jpg|right|thumb|220px|ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ်]] [[File:Nikolay Ivanovich Lobachevsky.jpeg|right|thumb|220px|နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး]] [[File:Bolyai János (Márkos Ferenc festménye).jpg|right|thumb|220px|ယာနို့စ် ဘိုလိုင်]] [[File:Beltrami.jpg|right|thumb|220px|ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ]] [[File:Felix Christian Klein.jpg|right|thumb|220px|ဖဲလစ် ကလိုင်း]] [[File:August Ferdinand Möbius.png|right|thumb|220px|ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ်]] ဆယ့်ကိုးရာစုသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တွင် တော်လှန်ရေးတစ်ရပ်ကို မြင်တွေ့ခဲ့ရပြီး ၎င်းကို တင်းကျပ်သော ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီ (Euclidean geometry) မူဘောင်မှ အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဂျီဩမေတြီစနစ်များ၏ ကျယ်ပြန့်သော စုစည်းမှုအဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းပေးခဲ့သည်။ ဤစနစ်များ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းမှုသည် ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီကို တောင့်တင်းသော ရွေ့လျားမှု အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (rigid motion transformations) အောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariants) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းကို သုည ကွေးညွှတ်မှု (zero curvature) နှင့် <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော မက်ထရစ် (metric) တို့ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည်။ ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) တွင် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry) နှင့် အဲလစ်ပတစ် ဂျီဩမေတြီ (elliptic geometry) သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီ (spherical geometry) တို့ ပါဝင်သည်။ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အနုတ် ကွေးညွှတ်မှု (constant negative curvature) ရှိသည်။ အဲလစ်ပတစ် သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အပေါင်း ကွေးညွှတ်မှု (constant positive curvature) ရှိသည်။ အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (affine geometry) သည် ပြိုင်တူဖြစ်ခြင်း (parallelism) နှင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင်ရှိခြင်း (collinearity) တို့ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) အပေါ် အာရုံစိုက်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (projective geometry) သည် နှစ်ထပ်အချိုး (cross-ratio) နှင့် ဒွန်တွဲမှု (duality) ကဲ့သို့သော ပရိုဂျက်တစ်ဖြစ်ခြင်းများအောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ဗဟိုပြုသည့် လွှမ်းခြုံနိုင်သော မူဘောင်တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ (Riemannian geometry) သည် ပြောင်းလဲနိုင်သော ကွေးညွှတ်မှု (variable curvature) နှင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) <math>ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dx_i\,dx_j</math> တို့ဖြင့် အုပ်ချုပ်ထားသော ယေဘုယျပြုထားသည့် <math>n</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|တိုင်းတာမှု]]ရှိသော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကို (<math>n</math>-dimensional manifolds) လွှမ်းခြုံထားသည်။ ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီသည် အက်ခိုး ပေါ်လီတက်ကနစ် (École Polytechnique) ၌ ဂတ်စပတ် မွန်ချ် (Gaspard Monge) ကို ဗဟိုပြုသော အစောပိုင်း ၁၉ ရာစု ပြင်သစ်ကျောင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ မွန်ချ်၏ ကျောင်းသားများသည် ဤနယ်ပယ်ကို လမ်းကြောင်းမျိုးစုံသို့ ချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် ဒူပင်း (Charles Dupin) သည် မျက်နှာပြင်များဆိုင်ရာ သီအိုရီကို (theory of surfaces) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဆိုက်ကလိုက် (cyclide) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ သီအိုဒို အိုလီဗီယာ (Théodore Olivier) သည် သင်ကြားရေးအတွက် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဂျီဩမေတြီ ကြိုးမော်ဒယ်များကို (three-dimensional geometric string models) ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခဲ့သည်။ ချားလ်စ်-ဂျူးလ်စ် ဘရီယန်ချွန် (Charles-Jules Brianchon) သည် ပက်စ်ကယ် (Pascal) ၏ ဆန်းကြယ်သော ဆဋ္ဌဂံ သီအိုရမ်အတွက် (Pascal’s mystic hexagram theorem) ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲ (projective dual) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် "အမှတ်" (point) နှင့် "မျဉ်း" (line) ဟူသော သဘောတရားများကို အချင်းချင်းဖလှယ်လိုက်သောအခါတွင် ပြင်ညီ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီရှိ သီအိုရမ်များသည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ ယန်-ဗစ်တာ ပွန်စလတ် (Jean-Victor Poncelet) သည် ၎င်း၏ ၁၈၂၂ ခုနှစ်ထုတ် Traité des propriétés projectives des figures စာအုပ်တွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီကို သီးခြားလွတ်လပ်သော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) မူဝါဒနှင့် အနန္တအမှတ်များ (ideal points) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ စက်ဝိုင်းအားလုံးက မျှဝေပိုင်ဆိုင်ထားသော အနန္တရှိ ကွန်ဂျူဂိတ် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်]] စက်ဝိုင်းအမှတ်များ (conjugate imaginary circular points) နှစ်ခုကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယင်းအမှတ်များကို <math>I</math> နှင့် <math>J</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ မိုက်ကယ် ရှားလ်စ် (Michel Chasles) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်ရှိ အမှတ်လေးမှတ်၏ နှစ်ထပ်အချိုးကို (cross-ratio) အလေးပေးဖော်ပြခဲ့ပြီး ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ :<math>\frac{c - a}{c - b} : \frac{d - a}{d - b}</math> သူသည် ဤနှစ်ထပ်အချိုးသည် ပရိုဂျက်တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (projective transformations) အောက်တွင် ပကတိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိကြောင်းကို (invariant) သက်သေပြခဲ့သည်။ ပေါင်းစပ် မက်ထရစ် ဖန်ရှင် ဂျီဩမေတြီ (synthetic metric geometry) တွင် ဂျက်ကော့ဘ် ရှတိုင်းနား (Jakob Steiner) သည် ယူကလစ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံများအားလုံးကို မျဉ်းဖြောင့်တံတစ်ခုနှင့် (straightedge) ဗဟိုကို (center) ရှင်းလင်းစွာပေးထားသော အထိုင်စက်ဝိုင်းတစ်ခုတည်းကိုသာ (single fixed circle) အသုံးပြု၍ အပြီးသတ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် တတိယထပ်ကိန်း မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် နှစ်ဆယ့်ခုနစ်ကြောင်းကိုလည်း (twenty-seven straight lines on a cubic surface) လေ့လာခဲ့ပြီး ထောင့်ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းဖြစ်သည့် (angle-preserving transformation) ပြောင်းပြန်လှန် ဂျီဩမေတြီ (inversive geometry) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် အမှတ် <math>P</math> နှင့် <math>P'</math> တို့သည် အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိပြီး ဗဟို <math>O</math> ၌ရှိသော စက်ဝိုင်းတစ်ခုနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အချင်းချင်း ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြသည် (inverse)။ ၎င်းတို့သည် <math>(OP)(OP') = r^2</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို ဂျူးလီးယပ်စ် ပလွတ်ကာ (Julius Plücker) က ပြန်လည်အသက်ဝင်စေခဲ့ပြီး သူသည် ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အတိုကောက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို (abridged notation) တီထွင်ခဲ့သည်။ ပလွတ်ကာ၊ ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ် (August Ferdinand Möbius)၊ ကားလ် ဝီလ်ဟမ် ဖွိုင်ယာဘတ် (Karl Wilhelm Feuerbach) နှင့် အက်တီယန် ဘိုဘီလီယာ (Étienne Bobillier) တို့သည် တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ (homogeneous coordinates) ကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထိုကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် <math>t = 0</math> သည် အနန္တရှိ မျဉ်းကို (line at infinity) ကိုယ်စားပြုသည်။ ပလွတ်ကာသည် မျဉ်း ကိုဩဒိနိတ်များ (line coordinates) ကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် <math>(u, v, w)</math> ဖြစ်ကြပြီး မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များဟူသော သဘောတရားကို အမှတ်တစ်ခုကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းများဟူသော ဒွန်တွဲသဘောတရားအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးခဲ့သည်။ ၁၈၃၄ ခုနှစ်တွင် သူသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေး (algebraic curve) တစ်ခု၏ အဆင့် (order) <math>n</math>၊ အတန်းအစား (class) <math>m</math>၊ ဆုံမှတ်များ (nodes) <math>\delta</math>၊ အချွန်မှတ်များ (cusps) <math>\kappa</math>၊ ငြိမ်နေသော ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် အကွေ့မှတ်များ (stationary tangents/inflections) <math>\iota</math> နှင့် ထိမျဉ်းနှစ်ထပ်များ (bitangents) <math>\tau</math> တို့ကို ဆက်စပ်ပေးသော ညီမျှခြင်းများကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ :<math>m = n(n - 1) - 2\delta - 3\kappa \quad \text{and} \quad n = m(m - 1) - 2\tau - 3\iota</math> :<math>\iota = 3n(n - 2) - 6\delta - 8\kappa \quad \text{and} \quad \kappa = 3m(m - 2) - 6\tau - 8\iota</math> ယူကလစ်ဒ်၏ ပဉ္စမမြောက် ကြိုတင်အဆိုကို (Fifth Postulate) သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းမှုသည် ၎င်းမပါဘဲ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (consistent) ရှိသော ဂျီဩမေတြီများ တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို သင်္ချာပညာရှင်များက ပြသနိုင်ခဲ့ချိန်တွင် အဆုံးသတ်သွားခဲ့သည်။ ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ဤအချက်ကို စောစီးစွာကတည်းက သီးသန့် အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော် နီကိုလိုင်း အိုင်ဗန်နိုဗစ်ချ် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) သည် ၁၈၂၉ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) သည် ၁၈၃၂ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ၏ (non-Euclidean hyperbolic geometry) ပထမဆုံး ပုံစံတကျ စနစ်များကို ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်ပေါင်းလဒ်သည် (angle sum) ၁၈၀ ဒီဂရီထက် တိကျစွာ လျော့နည်းသည်။ ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ (Eugenio Beltrami) သည် ဤဂျီဩမေတြီ၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) ၁၈၆၈ ခုနှစ်တွင် ဆူဒိုစက်လုံးမျက်နှာပြင် (pseudosphere) ပေါ်တွင် လက်တွေ့ဖော်ဆောင်ခြင်းဖြင့် သက်သေပြခဲ့သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry) ကို ၁၈၂၇ ခုနှစ်တွင် ဂေါက်စ်က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သူသည် ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian curvature) <math>K</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ကွေးနေသော ကိန်းရှင်ကြားခံ မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) သည် ဒုတိယထပ်ကိန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (quadratic differential form) <math>ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2</math> အပေါ် မူတည်ကြောင်းကို အတည်ပြုခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) ၏ ၁၈၅၄ ခုနှစ် ဟာဘီလီတေးရှင်း ဟောပြောချက်သည် ၎င်းကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိသော မန်နီဖိုးများအထိ (n-dimensional manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် သူ၏ အာလန်ဂါ ပရိုဂရမ် (Erlanger Programm) မှတစ်ဆင့် ဤကွဲပြားနေသော ဂျီဩမေတြီများကို ပေါင်းစပ်ခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီကို တိကျသော အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (transformation groups) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariant properties) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization) === [[File:Arthur_Cayley.jpg|right|thumb|220px|အာသာ ကေးလီ]] [[File:Hermann_Grassmann_etching.jpg|right|thumb|220px|ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း]] [[File:GeorgFrobenius_(cropped).jpg|thumb|220px|ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ်]] [[File:Noether.jpg|right|thumb|220px|အမ်မီ နိုသာ (1900)]] ဆယ့်ကိုးရာစုနှင့် နှစ်ဆယ်ရာစုများအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းမှ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures)၊ တွက်ချက်မှုများ (operations) နှင့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) တို့ကို သရုပ်မဲ့ လေ့လာခြင်းဆီသို့ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်။ ယင်းက [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups)၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းနိုင်ရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1, 7, 13}}</ref> သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာ၏ (symbolic algebra) အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ဂျော့ချ် ပီးကော့ (George Peacock) နှင့် ဩဂတ်စတပ်စ် ဒီ မော်ဂန် (Augustus De Morgan) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ပီးကော့သည် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (arithmetical algebra) သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာမှ ခွဲခြားပြသခဲ့သည်။ ဒီ မော်ဂန်ကမူ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများသည် (operational symbols) အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်းများသာဖြစ်ကြောင်း (arbitrary abstractions) ငြင်းဆိုခဲ့သည်။ ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) သည် ယုတ္တိဗေဒနှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) ဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (algebra of logic) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် စကြဝဠာ အစု (universal set) ကို <math>1</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ဗလာစု (null set) ကို <math>0</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ပေါင်းစပ်စု (union) ကို <math>+</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ကို <math>\times</math> ဖြင့်လည်းကောင်း သတ်မှတ်ပြသခဲ့ပြီး ထပ်တူရပေး နိယာမ (idempotent law) <math>x^2 = x</math> ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များ (noncommutative systems) သည် ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် (William Rowan Hamilton) က မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ နိယာမ]] (commutative law of multiplication) ကို စွန့်လွှတ်ကာ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) ကို တီထွင်လိုက်ချိန်တွင် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ :<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math> :<math>ij = k = -ji, \quad jk = i = -kj, \quad ki = j = -ik</math> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း (Hermann Grassmann) သည် <math>n</math>-တိုင်းတာမှုရှိသော မျဉ်းဖြောင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (linear vector spaces) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ဟာမီလ်တန်-ကေးလီ သီအိုရမ်ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ဂျိမ်းစ် ဂျိုးဆက် ဆေးလ်ဗက်စတာ (James Joseph Sylvester) သည် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရီ (invariant theory) ကို မြှင့်တင်ပေးခဲ့သည်။ ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) နှင့် ချားလ်စ် ဆန်ဒါးစ် ပီးယားစ် (Charles Sanders Peirce) တို့သည် မျဉ်းဖြောင့် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] အက္ခရာသင်္ချာများ (linear associative algebras) ကို ဆက်လက် အမျိုးအစားခွဲခြားခဲ့ကြသည်။ ယင်း၏ အထွတ်အထိပ်ရလဒ်အနေဖြင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers)၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) နှင့် ကွာတာနီယွန်များသည်သာလျှင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ကိန်းစစ် ဖက်စပ်ရ အစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း သီအိုရမ်ကို (classification theorem) ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် (Ferdinand Georg Frobenius) က ၁၈၇၇ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ စီ အက်စ် ပီးယားစ်က ၁၈၈၁ ခုနှစ်တွင် သီးခြားစီလည်းကောင်း ပုံစံတကျ အတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အုပ်စုများ၊ ကွင်းများနှင့် ဖီးလ်ဒ်များကို သဘောတရားအဖြစ် ဖွဲ့စည်းခြင်းက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) ကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အချိုးညီမှုများနှင့် (symmetries) ချိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ကိန်းရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရရန်မှာ ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) အုပ်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း သူက သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=14}}</ref> ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) သည် ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓ]]ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique prime factorization) ကို ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]]ရင်းများ (algebraic integers) ၏ ကွင်းများတွင် အိုင်ဒီးလ်များကို (ideals) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=7}}</ref> ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် ဂျေ အိတ်ချ် အမ် ဝက်ဒါဘန်း (J. H. M. Wedderburn) သည် ဆီမီးရိုးရှင်းသော အက္ခရာသင်္ချာများအတွက် (semisimple algebras) တည်ဆောက်ပုံ သီအိုရမ်များကို (structure theorems) ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အန်းစ် ရှတိုင်းနစ်ဇ် (Ernst Steinitz) သည် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) ကို နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=13}}</ref> အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) သည် အစဉ်လိုက်တိုး ချိတ်တန်း အခြေအနေများ (ascending chain conditions) ကို အသုံးပြု၍ နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော ကွင်းသီအိုရီ (axiomatic ring theory) ကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=15}}</ref> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ဂေါ့လော့ ဖရေဂါ (Gottlob Frege) နှင့် ဂျူဆက်ပီ ပီယာနို (Giuseppe Peano) တို့က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဖရေဂါသည် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ယုတ္တိဗေဒမှ ဆင်းသက်ရယူရန် ကြိုးစားခဲ့ပြီး ပီယာနိုသည် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) အတွက် နဂိုမှန်အဆို အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ - တိကျသေချာမှု၊ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များ၊ နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Analysis: Rigor, Real and Complex Variables, and Measure Theory) === [[File:Bernhard_Riemann_3.jpg|right|thumb|220px|ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (1862)]] [[File:Augustin-Louis_Cauchy_1901.jpg|right|thumb|220px| ကော်ချီ၏ ကျောက်ပုံနှိပ်ပုံ (1840)]] ကဲကုလပ် (calculus) သည် ၁၉ ရာစုတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များမှ တိကျသေချာသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (rigorous mathematical analysis) သို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ ဤအပြောင်းအလဲသည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) နှင့် စုဆုံမှတ်များကို (limits) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများကို (logical circularity) ဖယ်ရှားရန် လိုအပ်ခြင်းကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် သင်္ချာပညာရှင် ငါးဦးသည် ကိန်းစစ်များအတွက် သီးသန့် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် မေရေး (Charles Méray)၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass)၊ ဟိုင်းနရစ် အက်ဒ်ဝပ် ဟိုင်းနား (Heinrich Eduard Heine) နှင့် ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) တို့သည် ကိန်းစစ်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏]] စုဆုံ ကိန်းစဉ်များ (convergent sequences of rational numbers) သို့မဟုတ် အခြေခံ ကိန်းစဉ်များကို (fundamental sequences) အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်းသည် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းကို (Dedekind Cut) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ သူသည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို]] (irrationalities) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းအားလုံးကို ဘုံမပါသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (disjoint subsets) နှစ်ခုအဖြစ် အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို (complex analysis) အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) က စနစ်တကျ တိုးတက်စေခဲ့သည်။ သူသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများကို (Cauchy-Riemann differential equations) ဆင်းသက်ရယူခဲ့သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများမှာ <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် သူသည် အကြွင်း ကဲကုလပ်နှင့်အတူ (residue calculus) ကော်ချီ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ်ကို (Integral Theorem) <math>\oint f(z)\,dz = 0</math> သက်သေပြခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် တန်ဖိုးများစွာရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (multivalued functions) တစ်ပြေးညီဖြစ်စေရန် (uniformize) ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များမှတစ်ဆင့် (Riemann surfaces) တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်နည်းတစ်ခုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် ဇီတာ ဖန်ရှင် (zeta function) <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}</math> ၏ သုညမှတ်များနှင့် ပတ်သက်သော ရီးမန်း ယူဆချက်ကိုလည်း (Hypothesis) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်သည် ဤဖီးလ်ဒ်ကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆက်လက်တည်ရှိခြင်းတို့မှတစ်ဆင့် (analytic continuation) တင်းကျပ်စွာ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီတို့သည် (measure theory) အီမီးလ် ဘိုရဲလ် (Émile Borel) မှတစ်ဆင့် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ သူသည် ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှုကို (countable additivity) အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) ပေါ်တွင် အတိုင်းအတာ သီအိုရီကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည်လည်း ဤနယ်ပယ်ကို တိုးတက်စေခဲ့ပြီး သူသည် ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်ကို (Lebesgue integral) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ လီဘက်ဂ်သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ထက် ပုံရိပ်အစုကို (range) ပိုမိုသေးငယ်စွာ ထပ်မံပိုင်းခြားခြင်းအားဖြင့် အလွန်အမင်း [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များကို]] (discontinuous functions) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) ရှိစေခဲ့သည်။ ယင်းက [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်|ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်ကို]] (Fundamental Theorem of Calculus) ချဲ့ထွင်ပေးခဲ့သည်။ === တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Topology and Functional Analysis) === [[File:Curie_and_Poincare_1911_Solvay.jpg|right|thumb|220px|ဆိုးလ်ဗေး ညီလာခံတွင် မာရီ ကျူရီ နှင့် ပွန်ကာရေးတို့ စကားပြောဆိုနေစဉ် (1911)]] [[File:Hilbert.jpg|right|thumb|220px|ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (1912)]] [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) သည် နှစ်ဆယ်ရာစု သင်္ချာတွင် အဓိကကျသော ပေါင်းစပ်ပေးသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) သည် ၁၈၉၅ ခုနှစ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (algebraic topology) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ဟိုမိုလော်ဂျီကို (simplicial homology) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဗက်တီ ကိန်းများကို (Betti numbers) အသုံးပြု၍ ဗဟုဂံပုံသေနည်းကို (polyhedral formula) ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာရှိ မန်နီဖိုးများအထိ (manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အခြေခံအုပ်စုကို (fundamental group) လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ပွန်ကာရေး ဟိုမိုလော်ဂျီ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Poincaré homology sphere) ကို ဖော်ထုတ်မှုသည် ပွန်ကာရေး ယူဆချက်ဆီသို့ (Poincaré conjecture) ဦးတည်စေခဲ့သည်။ အယ်လ် အီး ဂျေ ဘရောင်းဝါး (L. E. J. Brouwer) သည် အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (fixed-point theorem) အပါအဝင် အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရမ်များကို (topological invariance theorems) ဆက်လက် သက်သေပြခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (Point-set topology) မောရစ် ဖရေးရှေး (Maurice Fréchet) နှင့် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ဖရေးရှေးသည် ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို]] (metric spaces) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) နှင့် ခွဲခြားခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများကို (separation axioms) အသုံးပြု၍ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် (topological spaces) နဂိုမှန်အဆို စနစ်ကို (axiomatic system) ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာသည်လည်း (functional analysis) တစ်ပြိုင်နက်တည်း တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများကို (inner product spaces) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) သည် ပြည့်စုံသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို]] (complete normed vector spaces) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ လော်ရင့် ရွှာ့ဇ် (Laurent Schwartz) ၏ ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီသည် (theory of distributions) ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာကဲ့သို့ (Dirac delta) ယေဘုယျပြုထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (generalized functions) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ === နှစ်ဆယ်ရာစု ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း - ဘော်ဘာကီ၊ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Twentieth-Century Synthesis: Bourbaki, Category Theory, and Algebraic Geometry) === [[File:Weil.jpg|right|thumb|220px|အန်ဒရေး ဗေးလ် (1956)]] [[File:NBourbaki 3.png|right|thumb|220px|ဘော်ဘာကီ ညီလာခံ (1951)]] ၂၀ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဘာသာရပ်သည် သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများ (abstract structures) နှင့် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ (categorical relationships) ကို အလေးပေးခြင်းဖြင့် အရင်ကမရှိဖူးသော ပေါင်းစပ်ညီညွတ်မှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၃၄ ခုနှစ်မှစတင်၍ ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင်များ အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့သည် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ဟူသော ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေထုတ်ဝေလျက် အတွဲများစွာပါဝင်သော Éléments de mathématique (သင်္ချာ၏ အခြေခံများ) ကို ရေးသားပြုစုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ နည်းစနစ်သည် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ နည်းလမ်း (axiomatic method) ကို တင်းကျပ်စွာ လိုက်နာမှုနှင့် ယေဘုယျ တည်ဆောက်ပုံများမှ (general structures) တိကျသော အသုံးချမှုများဆီသို့ (specific applications) ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တိုးတက်မှုကို (logical progression) အလေးပေးခဲ့သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (Category theory) ကို ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကွဲပြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန် ကတ်တဂိုရီများ (categories)၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]] (functors) နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] (natural transformations) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် အွန်ရီ ကာတန် (Henri Cartan) နှင့် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်တို့သည် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို ဖန်တီးရန် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တို့ကို ပေါင်းစပ်ခဲ့ကြသည်။ ဤကာလအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) သည် တော်လှန်ပြောင်းလဲခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ အော်စကာ ဇာရစ်စကီး (Oscar Zariski)၊ ဘီ အယ်လ် ဗန် ဒါ ဗေဒင် (B. L. van der Waerden) နှင့် အန်ဒရေး ဗေးလ် (André Weil) တို့သည် ဤဘာသာရပ်ခွဲကို တိကျသေချာသော [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (rigorous commutative algebra) ဖြင့် အခြေခံချပေးခဲ့ကြသည်။ ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှင့် ၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ယန် လီရေး (Jean Leray)၊ ယန်-ပီယာ ဆဲရ် (Jean-Pierre Serre) နှင့် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) တို့သည် [[အစည်း|အစည်းများ]] (sheaves)၊ စကင်းမ်များ (schemes)၊ တိုပို့စ်များ (topoi) နှင့် အေတဲလ် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (étale cohomology) ဟူသော ဘာသာစကားမှတစ်ဆင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို လုံးဝအသစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဤမူဘောင်သည် ပီယာ ဒေလင်း (Pierre Deligne) အား ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အနက်ရှိုင်းဆုံးသော ဗေးလ် ယူဆချက်များကို သက်သေပြရန် လုပ်ဆောင်နိုင်စေခဲ့သည်။ === ယုတ္တိဗေဒ၊ အခြေခံအုတ်မြစ်များနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Logic, Foundations, and Computational Mathematics) === [[File:1925 kurt gödel (cropped).png|right|thumb|220px|ကာ့တ် ဂိုဒယ် (1925)]] [[File:Alan_Turing_portré.jpg|right|thumb|220px|အလန် ကျူးရင်း (1930s)]] ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) ၏ အခြေခံဆိုင်ရာ ပြဿနာများ (foundational problems) နှစ်ဆယ့်သုံးခု တင်ပြချက်မှ ကြီးမားစွာ လွှမ်းမိုးမှုခံရသော ၂၀ ရာစုသည် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) နှင့် တွက်ချက်ခြင်း (computation) ဆိုင်ရာ အခြေခံ မေးခွန်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ယုတ္တိဗေဒ (logic) တွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများမှ (logical axioms) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ဆင်းသက်ရယူရန် ဘာထရန် ရပ်ဆဲလ် (Bertrand Russell) နှင့် အဲလ်ဖရက် နော့သ် ဝှိုက်ဟတ် (Alfred North Whitehead) တို့၏ ကြိုးပမ်းမှုများသည် ကာ့တ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ ၁၉၃၁ ခုနှစ် မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (Incompleteness Theorems) ကြောင့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်စေခဲ့သည်။ မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုစနစ်မဆို (consistent formal axiomatic system) အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာကို (basic arithmetic) လုပ်ဆောင်နိုင်သောအခါ ၎င်းသည် ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော အဆိုများကို (undecidable propositions) ပါဝင်စေပြီး ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (own consistency) သက်သေမပြနိုင်ကြောင်း ဂိုဒယ်က ပြသခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်၏ ပထမဆုံး ပြဿနာဖြစ်သော ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) ၏ တိုးတက်မှုသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ဂိုဒယ်က ၎င်း၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) သက်သေပြခဲ့ပြီး ပေါလ် ကိုဟင် (Paul Cohen) က ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် အတင်းအကျပ် ပြောင်းလဲခြင်းနည်းလမ်းကို (method of forcing) အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို (independence) သက်သေပြခဲ့သည်။ တွက်ချက်မှု သီအိုရီ (theory of computation) ကို အလန် ကျူးရင်း (Alan Turing) က ၁၉၃၆ ခုနှစ်တွင် ပုံစံတကျ တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ကျူးရင်းသည် တွက်ချက်ခြင်းအတွက် စကြဝဠာ သဘောတရားရေးရာ မော်ဒယ်ကို (universal theoretical model) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤမော်ဒယ်ကို ကျူးရင်း စက်ဟု (Turing machine) သိကြသည်။ ထို့ပြင် သူသည် ရပ်တန့်ခြင်း ပြဿနာ၏ (halting problem) ဖြေရှင်း၍မရနိုင်စွမ်းကို (insolvability) သက်သေပြခဲ့ပြီး ယင်းက ဟီလ်ဘတ်၏ ဆုံးဖြတ်ချက် ပြဿနာကို (decision problem) ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) သည် အီလက်ထရောနစ် ကွန်ပျူတာ တည်ဆောက်ပုံ (electronic computer architecture)၊ ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory) နှင့် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) ကို ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာကို ဆက်လက်တိုးတက်စေခဲ့သည်။ === မကြာသေးမီ ဆယ်စုနှစ်များအတွင်း နာမည်ကြီး ယူဆချက်များအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း (Resolution of Famous Conjectures in Recent Decades) === [[File:Richard_Hamilton_1982_(reprint;_headshot).jpg|right|thumb|220px|ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (1982)]] [[File:Perelman, Grigori (1966) Upright.jpg|right|thumb|220px|ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (1993)]] [[File:Andrew Wiles, Boston 1995.JPG|right|thumb|220px|အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (1995)]] နှစ်ဆယ်ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် နှစ်ဆယ့်တစ်ရာစု အစောပိုင်းကာလများကို အဆင့်မြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မူဘောင်များနှင့် (advanced analytical frameworks) ကွန်ပျူတာ အကူအညီများမှတစ်ဆင့် (computer assistance) ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော သမိုင်းဝင် ပြဿနာများအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်းဖြင့် အမှတ်အသားပြုခဲ့သည်။ ၁၈၅၂ ခုနှစ်တွင် စတင်ယူဆခဲ့ပြီးဖြစ်သော အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ် (Four-Color Theorem) သည် ကဲနတ် အက်ပယ်လ် (Kenneth Appel) နှင့် ဝုဖ်ဂန်း ဟာကင် (Wolfgang Haken) တို့က ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရှောင်လွှဲ၍မရသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို (unavoidable configurations) အကဲဖြတ်ရန်အတွက် အားထုတ်ပစ်ခြင်း နည်းလမ်းကို (method of discharging) အသုံးပြုခြင်းသည် ပထမဆုံး အဓိကကျသော ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်အဖြစ် (computer-assisted mathematical proof) မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သည်။ ယင်းကို နောက်ပိုင်းတွင် ရောဘတ်ဆန်၊ ဆန်ဒါးစ်၊ ဆီးမိုး နှင့် သောမတ်စ် တို့က ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပိုမိုရိုးရှင်းလွယ်ကူအောင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် ကော့ခ် ဆော့ဖ်ဝဲလ်ကို အသုံးပြု၍ ဂွန်သီယာ နှင့် ဗာနာ တို့က ပုံစံတကျ စစ်ဆေးအတည်ပြုခဲ့ကြသည်။ အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (Classification of Finite Simple Groups) သည် ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာသော ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ကြိုးပမ်းမှုအပြီးတွင် ပြီးမြောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဖိုက်-သွန်မဆင် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]]အစဉ် သီအိုရမ်ဖြင့် (Odd-Order Theorem) စတင်ခဲ့ပြီး ဤသီအိုရမ်က မည်သည့် အဆုံးရှိ ရိုးရှင်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite simple group) မဆို ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group)၊ အလှည့်ကျ အုပ်စု (alternating group)၊ လီ-အမျိုးအစား (Lie-type) သို့မဟုတ် ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော အုပ်စုများ (sporadic groups) ၂၆ ခုထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးခဲ့သည်။ နောက်ဆုံး ဆူဒို-ပါးလွှာသော ကွာဟချက်ကို (quasi-thin gap) အက်ရှ်ဘာကာ နှင့် စမစ်သ် တို့က ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပိတ်နိုင်ခဲ့သည်။ ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat’s Last Theorem) ကို နှစ်ပေါင်း ၃၅၀ ကျော်ကြာပြီးနောက် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂါဟတ် ဖရေး (Gerhard Frey) ၏ မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (non-modular elliptic curves) ဖွဲ့စည်းမှုနှင့် ကန် ရီဘတ် (Ken Ribet) ၏ <math>\varepsilon</math>-ယူဆချက် (<math>\varepsilon</math>-conjecture) သက်သေပြချက်တို့ကို အခြေခံ၍ အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) က ပြသခဲ့ရာတွင် ဆီမီး-တည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် (semistable elliptic curves) တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ်ကို တိုက်ရိုက် သက်ရောက်မှုရှိကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ်သည် ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ သူ့ကို ရစ်ချတ် တေလာ (Richard Taylor) က ကူညီပေးခဲ့သည်။ ပွန်ကာရေး ယူဆချက် (Poincaré Conjecture) ကို ဝီလီယံ သာစတန် (William Thurston) ၏ ဂျီဩမေတြီအသွင်ပြောင်းခြင်း ယူဆချက် (Geometrization Conjecture) နှင့် ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (Richard Hamilton) ၏ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ညီမျှခြင်း (Ricci flow equation) <math>\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2 R_{ij}</math> မိတ်ဆက်မှုတို့မှတစ်ဆင့် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Yakovlevich Perelman) သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၃ ခုနှစ်အတွင်း ခွဲစိတ်မှု နည်းပညာများကို (surgery techniques) အသုံးပြု၍ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို (Ricci flow singularities) ကျော်လွှားခြင်းဖြင့် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ === မြန်မာ့ သင်္ချာသမိုင်း (History of Burmese Mathematics) === မြန်မာ့သိပ္ပံပညာနှင့် သင်္ချာသမိုင်းကြောင်းသည် ရှေးခေတ်ကာလများကတည်းက အခြေတကျ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်ထားသော သင်္ချာကျမ်းများအနက် တစ်ခုမှာ ၁၄ ရာစုနှစ်ဦးပိုင်းတွင် ဇင်းမယ်မြို့၌ ရှင်ဉာဏဝိလာသ ရေးသားပြုစုခဲ့သော "သင်္ချာပကာသက" ကျမ်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကျမ်းကို အခြေခံ၍ ခရစ်နှစ် ၁၅၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ပလိပ်ရွာအရှေ့ရှိ မြို့သစ်မြို့နေ ရှင်သီရိမင်္ဂလက "သင်္ချာပကာသကဋီကာ" ကို ထပ်မံပြုစုခဲ့ပြီး ညောင်ကန်ဆရာတော် ရှင်ကဝိန္ဒ၏ တပည့် ရှင်မုနိန္ဒသာရက "သင်္ချာပကာသက စာကိုယ်နိဿယ" ကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဘိုးတော်ဘုရား (ဗဒုံမင်း) လက်ထက် (၁၇၈၂–၁၈၁၉) တွင် အိန္ဒိယနှင့် သီဟိုဠ်တို့မှ ကျမ်းပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို ယူဆောင်လာခဲ့ပြီး မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုစေခဲ့ရာမှ သင်္ချာပညာရပ်သည် ပိုမိုထွန်းကားလာခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော သမိုင်းဝင်အထောက်အထားတစ်ခုမှာ ၁၇၇၄ ခုနှစ်တွင် ပြုစုခဲ့သော "ဂဏန်းသင်္ချာ ပညာဝဍ္ဎနကျမ်း" ဖြစ်သည်။ ဤကျမ်းကို အပိုင်းလေးပိုင်းခွဲခြားထားပြီး တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပုစ္ဆာပေါင်း ၁၇၅ ပုဒ်ကို တွက်နည်းအဖြေများနှင့်တကွ စနစ်တကျ ပြုစုထားသည်။ ပထမပိုင်းတွင် အလေးချိန်၊ အကွာအဝေး၊ ထုထည် (Volume) နှင့် အချိန်နာရီတို့ကို တိုင်းတာသည့် ယူနစ် (Unit) ဆိုင်ရာ ကိန်းသင်္ချာအကြောင်းကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် "ခု" မှစ၍ သုည ၁၄၀ လုံးပါဝင်သော "အသင်္ချေ" တိုင်အောင် ရေတွက်ခေါ်ဝေါ်သည့် နည်းစနစ်များ ပါဝင်သည်။ ဒုတိယပိုင်းတွင် လုပ်ငန်းခွင်သုံး တိုင်းထွာတွက်ချက်နည်းများကို "ဂဏန်းဆယ်ပါး" ခေါင်းစဉ်ဖြင့် ဖော်ပြထားပြီး စပါး၊ ဆန်၊ ရွှေ၊ ငွေ၊ ဆီမီး၊ ရထား၊ သစ်ပင်၊ လှေ၊ သားရေနှင့် မြေစသည့် ကဏ္ဍများ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရွှေကို အဆင့်ဆင့် သန့်စင်ရာတွင် ဇမ္ဗူရဇ်ရွှေကဲ့သို့ အသန့်စင်ဆုံးအဆင့်ရရှိရန် တွက်ချက်မှုများ၊ သစ်ပင်၏ အမြင့်ကို ဂျီဩမေတြီ (Geometry) အသုံးပြု၍ ရှာဖွေခြင်းများနှင့် မြေကွက်များ၏ ဧရိယာ (Area) တွက်ချက်ခြင်းများ ပါဝင်သည်။ တတိယပိုင်းတွင် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic progression)၊ ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric progression)၊ မရေမရာ ညီမျှခြင်း (Indeterminate equation)၊ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (Algebraic equation)၊ ဆခွဲကိန်း (Factor) နှင့် ဘုံသုဉ်းကိန်းရှာဖွေခြင်းစသည့် သင်္ချာနည်းစနစ် ၁၆ မျိုးကို ပုစ္ဆာပေါင်း ၇၆ ပုဒ်ဖြင့် ရှင်းလင်းထားသည်။ စတုတ္ထပိုင်းတွင် ရှေ့ပိုင်းနည်းစနစ်များကို အခြေခံထားသော လက်တွေ့အသုံးချ ပုစ္ဆာ ၃၀ ပုဒ် ပါဝင်သည်။ ဤကျမ်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို လေ့လာခြင်းအားဖြင့် ရှေးခေတ်မြန်မာတို့သည် စက်ဝိုင်း၊ စက်လုံး၊ ထုလုံးနှင့် ထုချွန်များ၏ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ရှာဖွေခြင်းမှစ၍ ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများအထိ အဆင့်မြင့်မားသော သင်္ချာပညာကို လက်တွေ့အသုံးချနိုင်ခဲ့ကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။<ref name="MyoThantTyn">ဒေါက်တာ မျိုးသန့်တင်။ ''ရှေးခေတ် မြန်မာသိပ္ပံကျမ်းများ''။</ref> == သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများ (Areas of Mathematics) == [[File:Alexander Grothendieck.jpg|right|thumb|220px|အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (1970)]] [[File:Evariste Galois.jpg|right|thumb|220px|အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ]] [[File:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|right|thumb|220px|ရီနေ ဒေကားတ်]] [[File:Pierre de Fermat.jpg|right|thumb|220px|ပီယား ဒေ ဖဲမ]] [[File:Karl Weierstrass.jpg|right|thumb|220px|ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်]] [[File:Dedekind.jpeg|right|thumb|220px|ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း]] ဤပညာရပ် ကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်းသည် သဘာဝအလျောက် ကွဲပြားသော်လည်း အလွန်အမင်း အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဘာသာရပ်ခွဲများစွာအဖြစ် ပိုင်းခြားသွားခဲ့သည်။ * ဂဏန်းသင်္ချာ နှင့် ကိန်းသီအိုရီ (Arithmetic and Number Theory) - ရှေးခေတ်တွင် လော်ဂျစ်စတစ်နှင့် (logistic) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကြားတွင် တင်းကျပ်သော ခွဲခြားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ လော်ဂျစ်စတစ်သည် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်တွေ့အသုံးချ နည်းစနစ်ဖြစ်သည်။ (practical technique of computation) ဂဏန်းသင်္ချာသည် ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို (properties of numbers) ဒဿနိကဗေဒအရ သို့မဟုတ် သဘောတရားရေးရာအရ လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ကိန်းသီအိုရီ (Number theory) သည် အဆိုပါ ဂဏန်းသင်္ချာမှ ခေတ်သစ် ဆင်းသက်လာသော ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ အစောပိုင်း မှတ်တိုင်များတွင် ဂရိလူမျိုးများ၏ ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း ပါဝင်သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းတွင် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers)၊ ဆပေါင်းကိန်းများ (composite numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်းများ]] (even numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်းများ]] (odd numbers) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းများ (perfect numbers) တို့ ပါဝင်သည်။ အခြားမှတ်တိုင်တစ်ခုမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်း ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်ဖြစ်သည်။ ဤဘာသာရပ်သည် မသေချာသော ညီမျှခြင်းများ သို့မဟုတ် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို (indeterminate (Diophantine) equations) လေ့လာခြင်းမှတစ်ဆင့် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုများကို ဒိုင်အိုဖန်တပ်စ်၊ ဗြဟ္မဂုတ္တ နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၎င်း၏ Disquisitiones Arithmeticae စာအုပ်ဖြင့် ဤနယ်ပယ်ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူသည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ၏ ခေတ်သစ်သင်္ချာကို (modern mathematics of congruences) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ * ဂျီဩမေတြီ (Geometry) - "မြေတိုင်းတာခြင်း" (earth measurement) အဖြစ် စတင်ခဲ့သော ဂျီဩမေတြီသည် ဂရိလူမျိုးများလက်အောက်တွင် ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခု (deductive science) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၎င်း၏ အထွတ်အထိပ်မှာ ယူကလစ်ဒ်၏ Elements စာအုပ်ဖြစ်ပြီး နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ဤဘာသာရပ်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို (algebraic equations) ဂျီဩမေတြီ မျဉ်းကွေးများတွင် (geometric curves) အသုံးချခြင်းဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (Analytic geometry) ကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ ယင်းက ဂျီဩမေတြီကို ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများပေါ်တွင် (coordinate axes) ပုံဖော်နိုင်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တော်လှန်ပြောင်းလဲမှုတစ်ခုကို တွေ့ကြုံခဲ့ရသည်။ နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး နှင့် ယာနို့စ် ဘိုလိုင် ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို (Non-Euclidean geometry) တိုးတက်စေခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ယူကလစ်ဒ်၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုကို (parallel postulate) ဖယ်ရှားလိုက်လျှင်ပင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ဂျီဩမေတြီများ (consistent geometries) တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို ပြသခြင်းဖြင့် ဤသို့ တိုးတက်စေခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် ကွေးညွှတ်နေသော မက်ထရစ် ရပ်ဝန်းများကို (curved metric spaces) အလွန်ယေဘုယျကျစွာ လေ့လာမှုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုကို ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီဟု (Riemannian geometry) ခေါ်သည်။ ယင်းသည် နောက်ပိုင်းတွင် ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (General Relativity) ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒသီအိုရီများအတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) - အက္ခရာသင်္ချာသည် သမိုင်းဆိုင်ရာ ကျယ်ပြန့်သော အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ စကားပြောဟန် (rhetorical)၊ အတိုကောက်ဟန် (syncopated) နှင့် သင်္ကေတဟန် (symbolic) တို့ဖြစ်သည်။ စကားပြောဟန်သည် စကားလုံးများဖြင့်သာ အပြည့်အဝရေးသားခြင်း ဖြစ်သည်။ အတိုကောက်ဟန်သည် အတိုကောက်အချို့ကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတဟန်သည် အက္ခရာများနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများကို အသုံးပြုသော ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်း ဖြစ်သည်။ ဘေဘီလုံနှင့် အီဂျစ်လူမျိုးများသည် အခြေခံ မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများနှင့် (elementary linear equations) နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို (quadratic equations) ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ဉာဏ်သစ်သွေးသစ်ခေတ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို နှင့် လူဒိုဗီကို ဖာရာရီ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်း (cubic equation) နှင့် စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်း (quartic equation) တို့အတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေများကို (algebraic solutions) ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် စကစ်ပီယွန် ဒယ်လ် ဖဲရိုး နှင့် နီကိုလို ဖွန်တာနာ တာတာဂလီယာ တို့၏ တတိယထပ် အဖြေကို ကနဦး ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အက္ခရာသင်္ချာသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ကို လေ့လာခြင်းမှ သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများကို (abstract structures) လေ့လာခြင်းသို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ ၏ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်၊<ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |chapter=1}}</ref> ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် ၏ ဖလှယ်၍မရသော ကွာတာနီယွန်များ (non-commutative quaternions) ကို တီထွင်မှုနှင့် ဂျော့ချ် ဘူးလ် ၏ ယုတ္တိဗေဒ အက္ခရာသင်္ချာတို့နှင့်အတူ (algebra of logic) အက္ခရာသင်္ချာသည် ရိုးရာကိန်းများနှင့် အမှီအခိုကင်းသော လေ့လာမှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် တိကျသော နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်း နိယာမများဖြင့် (laws of combination) သတ်မှတ်ထားသော သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ နှင့် ကဲကုလပ် (Analysis and Calculus) - ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပမာဏများ (continuous magnitudes)၊ စုဆုံမှတ်များ (limits) နှင့် အနန္တ လုပ်ငန်းစဉ်များကို (infinite processes) ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းသော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲ ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အစောဆုံး မူလအစမှာ ဂရိလူမျိုးများ၏ "ကုန်စင်အောင်လုပ်ခြင်း နည်းလမ်း" (method of exhaustion) တွင် တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ကနိုင်းဒပ်စ်မှ ယူဒေါက်စပ်စ် က သဘောတရားရေးရာအရ တီထွင်ခဲ့ပြီး အာခီမီးဒီးစ် က ဧရိယာများနှင့် ထုထည်များကို ရှာဖွေရာတွင် စနစ်တကျ အသုံးချခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် တို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများဆိုင်ရာ (infinitesimals) သဘောတရားများကို စုစည်း၍ ကဲကုလပ် (Calculus) ကို သီးခြားစီ တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များကို]] (derivatives) ရှာဖွေရန် ယေဘုယျ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို (algorithms) ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ထို့ပြင် ဧရိယာများ သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ်များကို (integrals) ရှာဖွေရန်အတွက်လည်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ၁၉ ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို "ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်း" (arithmetized) ခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ၎င်းကို ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ်အပေါ် (geometric intuition) မှီခိုနေရခြင်းမှ ဖယ်ရှားပေးခဲ့သည်။ ထို့နောက် စုဆုံမှတ်များ၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) နှင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ၏]] (real numbers) တိကျသေချာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအပေါ် အခြေခံသည့် တိကျသေချာသော အခြေခံအုတ်မြစ်ပေါ်တွင် (rigorous foundation) တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ * တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) - ကနဦးတွင် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းအဖြစ် (analysis situs) ပေါ်ထွက်လာသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]သည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းပုံများ၏ (spatial configurations) မွေးရာပါ အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ အသွင်အပြင်များကို (qualitative aspects) လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ဤအသွင်အပြင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော တစ်-တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများအောက်တွင် (continuous one-to-one transformations) မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို လူအများက "ရာဘာချပ် ဂျီဩမေတြီ" ဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိကြသည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး သည် ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ သို့မဟုတ် ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (combinatorial topology) စတင်တည်ထောင်သူဟု ဆိုနိုင်သည်။ သူသည် ပုံသဏ္ဌာန်များကို [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများအဖြစ်]] (manifolds) ရှုမြင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်နေမှုကို လေ့လာခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) အတွက် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပတ်ဝန်းကျင်များကြားရှိ (neighborhoods of elements) ဆက်သွယ်ချက်များအပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝအခြေခံ၍ သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်းများကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ * ဖြစ်တန်စွမ်း နှင့် အသုံးချ သင်္ချာ (Probability and Applied Mathematics) - [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်း]] သီအိုရီ (probability theory) သည် ၁၇ ရာစုတွင် ဘလေ့စ် ပက်စ်ကယ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့ကြား ကံစမ်းကစားနည်းများနှင့် (games of chance) ပတ်သက်၍ စာပေးစာယူပြုလုပ်ရာမှ စတင်ခဲ့သည်။ ၎င်းကို ၁၉ ရာစု အစောပိုင်းတွင် ပီယား ဆိုင်မွန် လာပလေ့စ် က အဓိကကျသော သိပ္ပံနည်းကျ ကိရိယာတစ်ခုအဖြစ် စနစ်တကျ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစုတွင် အသုံးချ သင်္ချာ (Applied mathematics) သည် ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory)၊ ဆိုက်ဘာနက်တစ်နှင့် (cybernetics) ကွန်ပျူတာသိပ္ပံကဲ့သို့သော (computer science) နယ်ပယ်များသို့ အကြီးအကျယ် ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သည်။ ၎င်းကို ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း နှင့် အလန် ကျူးရင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့ကြသည်။ ကွန်ပျူတာများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနကို အခြေခံမှစ၍ ပြောင်းလဲပစ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းတွင် (numerical analysis) အထောက်အကူပြုခဲ့ပြီး နောက်ဆုံးတွင် အရောင်လေးမျိုး ယူဆချက်ကဲ့သို့သော (Four-Color Conjecture) ရှုပ်ထွေးသည့် သင်္ချာသီအိုရီများကို သက်သေပြရန်အတွက် လိုအပ်သော ကြီးမားလှသည့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စွမ်းအားကို (computational power) ထောက်ပံ့ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား (References) == <references /> [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ပင်မ အကြောင်းအရာ ဆောင်းပါးများ]] d9t4xf7nuzinbvxbyrsi4j4pp9sgijg 1049515 1049510 2026-08-20T03:25:52Z Mkant00 135890 reference corrections 1049515 wikitext text/x-wiki [[File:Euclid.jpg|right|thumb|220px|ဘီစီအီး ၃ ရာစုမှ ဂရိ သင်္ချာပညာရှင် ယူကလစ် (ကွန်ပါထောက်တံ ကိုင်ထားသူ) ကို ပန်းချီဆရာ ရာဖယ် က ၎င်း၏ "အေသင်သားတို့ ကျောင်းတော်" အမည်ရ နံရံဆေးရေး ပန်းချီကားကြီးတွင် စိတ်ကူးပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်၏ ပုံမှာ မည်သည့်မီဒီယာတွင်မှ မကျန်ရစ်ဘဲ ဤသရုပ်ဖော်ချက်သည် ပုံဖော်သူ အနုပညာရှင်၏ စိတ်ကူးဉာဏ် ကွန့်မြူးချက်သာ ဖြစ်သည်။]] '''အသိပညာနှင့် စူးစမ်းလေ့လာခြင်း''' ဟု အနက်ဖွင့်ဆိုနိုင်သော ရှေးဂရိဝေါဟာရ μάθημα (máthēma) မှဆင်းသက်လာသည့် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို မြန်မာဘာသာစကားဖြင့် "ရေတွက်ခြင်း" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ရှေးပါဠိဝေါဟာရမှတစ်ဆင့် "သင်္ချာ" ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် သင်္ချာ၏ သဘောသဘာဝနှင့် ပတ်သက်၍ ပုဂ္ဂိုလ်ကျော်များက ရှုထောင့်အမျိုးမျိုးဖြင့် ဖွင့်ဆိုခဲ့ကြသည်။ စွယ်စုံရပညာရှင် ဂယ်လီလီယို (Galileo) က သဘာဝတရားကို ကျမ်းတစ်စောင်ဟု တင်စားခဲ့ပြီး ၎င်းကျမ်းကို သင်္ချာဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားထားကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="Machamer2014">{{Citation |last=Machamer |first=Peter |year=2014 |title=Galileo Galilei |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=CSLI, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/galileo/ |edition=Winter 2014}}</ref> သင်္ချာပညာရှင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) က သင်္ချာကို သိပ္ပံပညာရပ်များ၏ ဘုရင်မအဖြစ် တင်စားခဲ့သည်။<ref name="Beiler1964">{{citation |last=Beiler |first=Albert H. |title=Recreations in the Theory of Numbers (Dover Recreational Math) |publisher=Dover Publications |place=Mineola, NY |edition=2nd |year=1964 |isbn=978-0486210964 |page=1}}</ref> ထို့အပြင် ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) က သင်္ချာသည် မလွှဲမသွေဖြစ်ရမည့် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်များကို ကောက်ချက်ချသော သိပ္ပံပညာရပ်ဖြစ်ကြောင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။<ref name="Peirce1881">{{Citation |last=Peirce |first=Benjamin |title=Linear Associative Algebra |journal=American Journal of Mathematics |volume=4 |issue=1 |year=1881 |pages=97-229 |doi=10.2307/2369153 |url=http://www.jstor.org/stable/2369153 |publisher=The Johns Hopkins University Press}}</ref> ခေတ်ပြိုင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် သက်သေပြချက် (proof) ဖြင့် စစ်ဆေးအတည်ပြုနိုင်သော သရုပ်မဲ့ သဘောတရားများ (abstract concepts) နှင့် ပတ်သက်သည့် ဖော်ပြချက်များ (statements) ကို ဖော်ထုတ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို ကိန်းများ (numbers)၊ ပမာဏများ (magnitudes) နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်များ (forms) ဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခုအဖြစ်သာ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံအကျဆုံး မူလအစသည် သမိုင်းမတင်မီခေတ် လူသားတို့၏ ကိန်းနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တို့တွင်ရှိသော ဆင်တူညီမှုများကို တဖြည်းဖြည်း သတိပြုမိလာခြင်းမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုနှင့် အများအပြားကဲ့သို့သော ရိုးရှင်းသည့် ခြားနားချက်များကို သိမြင်မှတ်မိခြင်းမှသည် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ဆိုသည့် သရုပ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (abstract property) အထိ ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ အလားတူပင် ရက်ကန်းရက်ခြင်း၊ အိုးလုပ်ခြင်းနှင့် ခြင်းတောင်းရက်လုပ်ခြင်းတို့တွင် တွေ့ရသော ရှေးခေတ်လူသားတို့၏ ဒီဇိုင်းများသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ၊ ထပ်တူညီမှု (congruence) နှင့် အချိုးညီမှု (symmetry) တို့အတွက် အခြေခံအလေးထားမှုကို ပြသနေပြီး ယင်းက ဂျီဩမေတြီ (geometry) အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch1">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=1}}</ref> အစောပိုင်း သင်္ချာစနစ်များသည် အတွေ့အကြုံနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုအပေါ်တွင် များစွာ အခြေခံထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှေးခေတ် အီဂျစ်တွင် ဂျီဩမေတြီသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် စိုက်ပျိုးမြေတိုင်းတာခြင်းအတွက် ကိရိယာတစ်ခုအနေဖြင့် အဓိက တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် နိုင်းမြစ်၏ နှစ်စဉ်ရေကြီးမှုများကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="MB_Ch2">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=2}}</ref> တစ်ချိန်တည်းတွင် ရှေးခေတ် ဘေဘီလုံ သင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းများအပေါ် များစွာအခြေခံပြီး အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများ (algorithms)၊ ဇယားများနှင့် ညီမျှခြင်းများ (equations) ကို ခန့်မှန်းခြေ ဖြေရှင်းခြင်းတို့အပေါ် အာရုံစိုက်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch3">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=3}}</ref> ချက်ချင်း အသုံးချရန်ထက် ဉာဏ်ရည်ပိုင်းဆိုင်ရာ သိချင်စိတ်ပြင်းပြမှုက တွန်းအားပေးသည့် ပုံစံတကျ (formalized) ပြီး ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ် (deductive science) တစ်ခုအနေဖြင့် သင်္ချာသည် ရှေးခေတ် ဂရိလူမျိုးများနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ သေးလ် (Thales) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် ဤဘာသာရပ်ကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ ဖွဲ့စည်းမှုဆီသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့သည်ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ သူတို့သည် အခြေခံမူများမှတစ်ဆင့် သီအိုရမ်များ (theorems) ကို သင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြသည့် အစောပိုင်း အစဉ်အလာများကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch4">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=4}}</ref> နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာ ကြာလာသောအခါ သင်္ချာသည် တည်ဆောက်ပုံ (structure) နှင့် သရုပ်မဲ့ ယုတ္တိဗေဒ (abstract logic) တို့၏ ကျယ်ပြန့်ပြီး အထူးပြုလွန်းသည့်အပြင် စည်းလုံးညီညွတ်သော ဘာသာစကားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြာထွက်လာခဲ့သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ခေတ်သစ် တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုများ (History and Modern Developments) == === ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures) === [[File:Carl Friedrich Gauss.jpg|right|thumb|220px|ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ်]] [[File:Nikolay Ivanovich Lobachevsky.jpeg|right|thumb|220px|နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး]] [[File:Bolyai János (Márkos Ferenc festménye).jpg|right|thumb|220px|ယာနို့စ် ဘိုလိုင်]] [[File:Beltrami.jpg|right|thumb|220px|ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ]] [[File:Felix Christian Klein.jpg|right|thumb|220px|ဖဲလစ် ကလိုင်း]] [[File:August Ferdinand Möbius.png|right|thumb|220px|ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ်]] ဆယ့်ကိုးရာစုသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တွင် တော်လှန်ရေးတစ်ရပ်ကို မြင်တွေ့ခဲ့ရပြီး ၎င်းကို တင်းကျပ်သော ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီ (Euclidean geometry) မူဘောင်မှ အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဂျီဩမေတြီစနစ်များ၏ ကျယ်ပြန့်သော စုစည်းမှုအဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းပေးခဲ့သည်။ ဤစနစ်များ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းမှုသည် ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီကို တောင့်တင်းသော ရွေ့လျားမှု အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (rigid motion transformations) အောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariants) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းကို သုည ကွေးညွှတ်မှု (zero curvature) နှင့် <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော မက်ထရစ် (metric) တို့ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည်။ ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) တွင် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry) နှင့် အဲလစ်ပတစ် ဂျီဩမေတြီ (elliptic geometry) သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီ (spherical geometry) တို့ ပါဝင်သည်။ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အနုတ် ကွေးညွှတ်မှု (constant negative curvature) ရှိသည်။ အဲလစ်ပတစ် သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အပေါင်း ကွေးညွှတ်မှု (constant positive curvature) ရှိသည်။ အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (affine geometry) သည် ပြိုင်တူဖြစ်ခြင်း (parallelism) နှင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင်ရှိခြင်း (collinearity) တို့ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) အပေါ် အာရုံစိုက်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (projective geometry) သည် နှစ်ထပ်အချိုး (cross-ratio) နှင့် ဒွန်တွဲမှု (duality) ကဲ့သို့သော ပရိုဂျက်တစ်ဖြစ်ခြင်းများအောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ဗဟိုပြုသည့် လွှမ်းခြုံနိုင်သော မူဘောင်တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ (Riemannian geometry) သည် ပြောင်းလဲနိုင်သော ကွေးညွှတ်မှု (variable curvature) နှင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) <math>ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dx_i\,dx_j</math> တို့ဖြင့် အုပ်ချုပ်ထားသော ယေဘုယျပြုထားသည့် <math>n</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|တိုင်းတာမှု]]ရှိသော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကို (<math>n</math>-dimensional manifolds) လွှမ်းခြုံထားသည်။<ref name="MB_Ch24">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=24}}</ref> ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီသည် အက်ခိုး ပေါ်လီတက်ကနစ် (École Polytechnique) ၌ ဂတ်စပတ် မွန်ချ် (Gaspard Monge) ကို ဗဟိုပြုသော အစောပိုင်း ၁၉ ရာစု ပြင်သစ်ကျောင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ မွန်ချ်၏ ကျောင်းသားများသည် ဤနယ်ပယ်ကို လမ်းကြောင်းမျိုးစုံသို့ ချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် ဒူပင်း (Charles Dupin) သည် မျက်နှာပြင်များဆိုင်ရာ သီအိုရီကို (theory of surfaces) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဆိုက်ကလိုက် (cyclide) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ သီအိုဒို အိုလီဗီယာ (Théodore Olivier) သည် သင်ကြားရေးအတွက် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဂျီဩမေတြီ ကြိုးမော်ဒယ်များကို (three-dimensional geometric string models) ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခဲ့သည်။ ချားလ်စ်-ဂျူးလ်စ် ဘရီယန်ချွန် (Charles-Jules Brianchon) သည် ပက်စ်ကယ် (Pascal) ၏ ဆန်းကြယ်သော ဆဋ္ဌဂံ သီအိုရမ်အတွက် (Pascal’s mystic hexagram theorem) ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲ (projective dual) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် "အမှတ်" (point) နှင့် "မျဉ်း" (line) ဟူသော သဘောတရားများကို အချင်းချင်းဖလှယ်လိုက်သောအခါတွင် ပြင်ညီ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီရှိ သီအိုရမ်များသည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ ယန်-ဗစ်တာ ပွန်စလတ် (Jean-Victor Poncelet) သည် ၎င်း၏ ၁၈၂၂ ခုနှစ်ထုတ် Traité des propriétés projectives des figures စာအုပ်တွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီကို သီးခြားလွတ်လပ်သော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) မူဝါဒနှင့် အနန္တအမှတ်များ (ideal points) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ စက်ဝိုင်းအားလုံးက မျှဝေပိုင်ဆိုင်ထားသော အနန္တရှိ ကွန်ဂျူဂိတ် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်]] စက်ဝိုင်းအမှတ်များ (conjugate imaginary circular points) နှစ်ခုကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယင်းအမှတ်များကို <math>I</math> နှင့် <math>J</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ မိုက်ကယ် ရှားလ်စ် (Michel Chasles) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်ရှိ အမှတ်လေးမှတ်၏ နှစ်ထပ်အချိုးကို (cross-ratio) အလေးပေးဖော်ပြခဲ့ပြီး ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ :<math>\frac{c - a}{c - b} : \frac{d - a}{d - b}</math> သူသည် ဤနှစ်ထပ်အချိုးသည် ပရိုဂျက်တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (projective transformations) အောက်တွင် ပကတိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိကြောင်းကို (invariant) သက်သေပြခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ပေါင်းစပ် မက်ထရစ် ဖန်ရှင် ဂျီဩမေတြီ (synthetic metric geometry) တွင် ဂျက်ကော့ဘ် ရှတိုင်းနား (Jakob Steiner) သည် ယူကလစ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံများအားလုံးကို မျဉ်းဖြောင့်တံတစ်ခုနှင့် (straightedge) ဗဟိုကို (center) ရှင်းလင်းစွာပေးထားသော အထိုင်စက်ဝိုင်းတစ်ခုတည်းကိုသာ (single fixed circle) အသုံးပြု၍ အပြီးသတ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် တတိယထပ်ကိန်း မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် နှစ်ဆယ့်ခုနစ်ကြောင်းကိုလည်း (twenty-seven straight lines on a cubic surface) လေ့လာခဲ့ပြီး ထောင့်ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းဖြစ်သည့် (angle-preserving transformation) ပြောင်းပြန်လှန် ဂျီဩမေတြီ (inversive geometry) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် အမှတ် <math>P</math> နှင့် <math>P'</math> တို့သည် အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိပြီး ဗဟို <math>O</math> ၌ရှိသော စက်ဝိုင်းတစ်ခုနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အချင်းချင်း ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြသည် (inverse)။ ၎င်းတို့သည် <math>(OP)(OP') = r^2</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။<ref name="MB_Ch24" /> ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို ဂျူးလီးယပ်စ် ပလွတ်ကာ (Julius Plücker) က ပြန်လည်အသက်ဝင်စေခဲ့ပြီး သူသည် ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အတိုကောက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို (abridged notation) တီထွင်ခဲ့သည်။ ပလွတ်ကာ၊ ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ် (August Ferdinand Möbius)၊ ကားလ် ဝီလ်ဟမ် ဖွိုင်ယာဘတ် (Karl Wilhelm Feuerbach) နှင့် အက်တီယန် ဘိုဘီလီယာ (Étienne Bobillier) တို့သည် တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ (homogeneous coordinates) ကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထိုကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် <math>t = 0</math> သည် အနန္တရှိ မျဉ်းကို (line at infinity) ကိုယ်စားပြုသည်။ ပလွတ်ကာသည် မျဉ်း ကိုဩဒိနိတ်များ (line coordinates) ကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် <math>(u, v, w)</math> ဖြစ်ကြပြီး မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များဟူသော သဘောတရားကို အမှတ်တစ်ခုကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းများဟူသော ဒွန်တွဲသဘောတရားအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးခဲ့သည်။ ၁၈၃၄ ခုနှစ်တွင် သူသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေး (algebraic curve) တစ်ခု၏ အဆင့် (order) <math>n</math>၊ အတန်းအစား (class) <math>m</math>၊ ဆုံမှတ်များ (nodes) <math>\delta</math>၊ အချွန်မှတ်များ (cusps) <math>\kappa</math>၊ ငြိမ်နေသော ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် အကွေ့မှတ်များ (stationary tangents/inflections) <math>\iota</math> နှင့် ထိမျဉ်းနှစ်ထပ်များ (bitangents) <math>\tau</math> တို့ကို ဆက်စပ်ပေးသော ညီမျှခြင်းများကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ :<math>m = n(n - 1) - 2\delta - 3\kappa \quad \text{and} \quad n = m(m - 1) - 2\tau - 3\iota</math> :<math>\iota = 3n(n - 2) - 6\delta - 8\kappa \quad \text{and} \quad \kappa = 3m(m - 2) - 6\tau - 8\iota</math> ယူကလစ်ဒ်၏ ပဉ္စမမြောက် ကြိုတင်အဆိုကို (Fifth Postulate) သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းမှုသည် ၎င်းမပါဘဲ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (consistent) ရှိသော ဂျီဩမေတြီများ တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို သင်္ချာပညာရှင်များက ပြသနိုင်ခဲ့ချိန်တွင် အဆုံးသတ်သွားခဲ့သည်။ ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ဤအချက်ကို စောစီးစွာကတည်းက သီးသန့် အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော် နီကိုလိုင်း အိုင်ဗန်နိုဗစ်ချ် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) သည် ၁၈၂၉ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) သည် ၁၈၃၂ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ၏ (non-Euclidean hyperbolic geometry) ပထမဆုံး ပုံစံတကျ စနစ်များကို ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်ပေါင်းလဒ်သည် (angle sum) ၁၈၀ ဒီဂရီထက် တိကျစွာ လျော့နည်းသည်။ ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ (Eugenio Beltrami) သည် ဤဂျီဩမေတြီ၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) ၁၈၆၈ ခုနှစ်တွင် ဆူဒိုစက်လုံးမျက်နှာပြင် (pseudosphere) ပေါ်တွင် လက်တွေ့ဖော်ဆောင်ခြင်းဖြင့် သက်သေပြခဲ့သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry) ကို ၁၈၂၇ ခုနှစ်တွင် ဂေါက်စ်က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သူသည် ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian curvature) <math>K</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ကွေးနေသော ကိန်းရှင်ကြားခံ မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) သည် ဒုတိယထပ်ကိန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (quadratic differential form) <math>ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2</math> အပေါ် မူတည်ကြောင်းကို အတည်ပြုခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) ၏ ၁၈၅၄ ခုနှစ် ဟာဘီလီတေးရှင်း ဟောပြောချက်သည် ၎င်းကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိသော မန်နီဖိုးများအထိ (n-dimensional manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် သူ၏ အာလန်ဂါ ပရိုဂရမ် (Erlanger Programm) မှတစ်ဆင့် ဤကွဲပြားနေသော ဂျီဩမေတြီများကို ပေါင်းစပ်ခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီကို တိကျသော အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (transformation groups) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariant properties) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization) === [[File:Arthur_Cayley.jpg|right|thumb|220px|အာသာ ကေးလီ]] [[File:Hermann_Grassmann_etching.jpg|right|thumb|220px|ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း]] [[File:GeorgFrobenius_(cropped).jpg|thumb|220px|ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ်]] [[File:Noether.jpg|right|thumb|220px|အမ်မီ နိုသာ (1900)]] ဆယ့်ကိုးရာစုနှင့် နှစ်ဆယ်ရာစုများအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းမှ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures)၊ တွက်ချက်မှုများ (operations) နှင့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) တို့ကို သရုပ်မဲ့ လေ့လာခြင်းဆီသို့ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်။ ယင်းက [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups)၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းနိုင်ရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာ၏ (symbolic algebra) အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ဂျော့ချ် ပီးကော့ (George Peacock) နှင့် ဩဂတ်စတပ်စ် ဒီ မော်ဂန် (Augustus De Morgan) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ပီးကော့သည် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (arithmetical algebra) သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာမှ ခွဲခြားပြသခဲ့သည်။ ဒီ မော်ဂန်ကမူ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများသည် (operational symbols) အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်းများသာဖြစ်ကြောင်း (arbitrary abstractions) ငြင်းဆိုခဲ့သည်။ ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) သည် ယုတ္တိဗေဒနှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) ဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (algebra of logic) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် စကြဝဠာ အစု (universal set) ကို <math>1</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ဗလာစု (null set) ကို <math>0</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ပေါင်းစပ်စု (union) ကို <math>+</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ကို <math>\times</math> ဖြင့်လည်းကောင်း သတ်မှတ်ပြသခဲ့ပြီး ထပ်တူရပေး နိယာမ (idempotent law) <math>x^2 = x</math> ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များ (noncommutative systems) သည် ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် (William Rowan Hamilton) က မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ နိယာမ]] (commutative law of multiplication) ကို စွန့်လွှတ်ကာ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) ကို တီထွင်လိုက်ချိန်တွင် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ :<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math> :<math>ij = k = -ji, \quad jk = i = -kj, \quad ki = j = -ik</math> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း (Hermann Grassmann) သည် <math>n</math>-တိုင်းတာမှုရှိသော မျဉ်းဖြောင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (linear vector spaces) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ဟာမီလ်တန်-ကေးလီ သီအိုရမ်ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ဂျိမ်းစ် ဂျိုးဆက် ဆေးလ်ဗက်စတာ (James Joseph Sylvester) သည် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရီ (invariant theory) ကို မြှင့်တင်ပေးခဲ့သည်။ ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) နှင့် ချားလ်စ် ဆန်ဒါးစ် ပီးယားစ် (Charles Sanders Peirce) တို့သည် မျဉ်းဖြောင့် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] အက္ခရာသင်္ချာများ (linear associative algebras) ကို ဆက်လက် အမျိုးအစားခွဲခြားခဲ့ကြသည်။ ယင်း၏ အထွတ်အထိပ်ရလဒ်အနေဖြင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers)၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) နှင့် ကွာတာနီယွန်များသည်သာလျှင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ကိန်းစစ် ဖက်စပ်ရ အစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း သီအိုရမ်ကို (classification theorem) ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် (Ferdinand Georg Frobenius) က ၁၈၇၇ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ စီ အက်စ် ပီးယားစ်က ၁၈၈၁ ခုနှစ်တွင် သီးခြားစီလည်းကောင်း ပုံစံတကျ အတည်ပြုခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch24" /> အုပ်စုများ၊ ကွင်းများနှင့် ဖီးလ်ဒ်များကို သဘောတရားအဖြစ် ဖွဲ့စည်းခြင်းက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) ကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အချိုးညီမှုများနှင့် (symmetries) ချိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ကိန်းရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရရန်မှာ ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) အုပ်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း သူက သက်သေပြခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) သည် ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓ]]ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique prime factorization) ကို ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]]ရင်းများ (algebraic integers) ၏ ကွင်းများတွင် အိုင်ဒီးလ်များကို (ideals) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် ဂျေ အိတ်ချ် အမ် ဝက်ဒါဘန်း (J. H. M. Wedderburn) သည် ဆီမီးရိုးရှင်းသော အက္ခရာသင်္ချာများအတွက် (semisimple algebras) တည်ဆောက်ပုံ သီအိုရမ်များကို (structure theorems) ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အန်းစ် ရှတိုင်းနစ်ဇ် (Ernst Steinitz) သည် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) ကို နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) သည် အစဉ်လိုက်တိုး ချိတ်တန်း အခြေအနေများ (ascending chain conditions) ကို အသုံးပြု၍ နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော ကွင်းသီအိုရီ (axiomatic ring theory) ကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ဂေါ့လော့ ဖရေဂါ (Gottlob Frege) နှင့် ဂျူဆက်ပီ ပီယာနို (Giuseppe Peano) တို့က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဖရေဂါသည် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ယုတ္တိဗေဒမှ ဆင်းသက်ရယူရန် ကြိုးစားခဲ့ပြီး ပီယာနိုသည် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) အတွက် နဂိုမှန်အဆို အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ - တိကျသေချာမှု၊ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များ၊ နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Analysis: Rigor, Real and Complex Variables, and Measure Theory) === [[File:Bernhard_Riemann_3.jpg|right|thumb|220px|ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (1862)]] [[File:Augustin-Louis_Cauchy_1901.jpg|right|thumb|220px| ကော်ချီ၏ ကျောက်ပုံနှိပ်ပုံ (1840)]] ကဲကုလပ် (calculus) သည် ၁၉ ရာစုတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များမှ တိကျသေချာသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (rigorous mathematical analysis) သို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ ဤအပြောင်းအလဲသည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) နှင့် စုဆုံမှတ်များကို (limits) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများကို (logical circularity) ဖယ်ရှားရန် လိုအပ်ခြင်းကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="MB_Ch23">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=23}}</ref> ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် သင်္ချာပညာရှင် ငါးဦးသည် ကိန်းစစ်များအတွက် သီးသန့် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် မေရေး (Charles Méray)၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass)၊ ဟိုင်းနရစ် အက်ဒ်ဝပ် ဟိုင်းနား (Heinrich Eduard Heine) နှင့် ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) တို့သည် ကိန်းစစ်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏]] စုဆုံ ကိန်းစဉ်များ (convergent sequences of rational numbers) သို့မဟုတ် အခြေခံ ကိန်းစဉ်များကို (fundamental sequences) အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်းသည် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းကို (Dedekind Cut) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ သူသည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို]] (irrationalities) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းအားလုံးကို ဘုံမပါသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (disjoint subsets) နှစ်ခုအဖြစ် အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို (complex analysis) အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) က စနစ်တကျ တိုးတက်စေခဲ့သည်။ သူသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများကို (Cauchy-Riemann differential equations) ဆင်းသက်ရယူခဲ့သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများမှာ <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် သူသည် အကြွင်း ကဲကုလပ်နှင့်အတူ (residue calculus) ကော်ချီ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ်ကို (Integral Theorem) <math>\oint f(z)\,dz = 0</math> သက်သေပြခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် တန်ဖိုးများစွာရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (multivalued functions) တစ်ပြေးညီဖြစ်စေရန် (uniformize) ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များမှတစ်ဆင့် (Riemann surfaces) တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်နည်းတစ်ခုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် ဇီတာ ဖန်ရှင် (zeta function) <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}</math> ၏ သုညမှတ်များနှင့် ပတ်သက်သော ရီးမန်း ယူဆချက်ကိုလည်း (Hypothesis) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်သည် ဤဖီးလ်ဒ်ကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆက်လက်တည်ရှိခြင်းတို့မှတစ်ဆင့် (analytic continuation) တင်းကျပ်စွာ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ခေတ်သစ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီတို့သည် (measure theory) အီမီးလ် ဘိုရဲလ် (Émile Borel) မှတစ်ဆင့် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ သူသည် ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှုကို (countable additivity) အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) ပေါ်တွင် အတိုင်းအတာ သီအိုရီကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည်လည်း ဤနယ်ပယ်ကို တိုးတက်စေခဲ့ပြီး သူသည် ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်ကို (Lebesgue integral) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ လီဘက်ဂ်သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ထက် ပုံရိပ်အစုကို (range) ပိုမိုသေးငယ်စွာ ထပ်မံပိုင်းခြားခြင်းအားဖြင့် အလွန်အမင်း [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များကို]] (discontinuous functions) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) ရှိစေခဲ့သည်။ ယင်းက [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်|ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်ကို]] (Fundamental Theorem of Calculus) ချဲ့ထွင်ပေးခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Topology and Functional Analysis) === [[File:Curie_and_Poincare_1911_Solvay.jpg|right|thumb|220px|ဆိုးလ်ဗေး ညီလာခံတွင် မာရီ ကျူရီ နှင့် ပွန်ကာရေးတို့ စကားပြောဆိုနေစဉ် (1911)]] [[File:Hilbert.jpg|right|thumb|220px|ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (1912)]] [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) သည် နှစ်ဆယ်ရာစု သင်္ချာတွင် အဓိကကျသော ပေါင်းစပ်ပေးသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) သည် ၁၈၉၅ ခုနှစ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (algebraic topology) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ဟိုမိုလော်ဂျီကို (simplicial homology) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဗက်တီ ကိန်းများကို (Betti numbers) အသုံးပြု၍ ဗဟုဂံပုံသေနည်းကို (polyhedral formula) ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာရှိ မန်နီဖိုးများအထိ (manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အခြေခံအုပ်စုကို (fundamental group) လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ပွန်ကာရေး ဟိုမိုလော်ဂျီ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Poincaré homology sphere) ကို ဖော်ထုတ်မှုသည် ပွန်ကာရေး ယူဆချက်ဆီသို့ (Poincaré conjecture) ဦးတည်စေခဲ့သည်။ အယ်လ် အီး ဂျေ ဘရောင်းဝါး (L. E. J. Brouwer) သည် အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (fixed-point theorem) အပါအဝင် အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရမ်များကို (topological invariance theorems) ဆက်လက် သက်သေပြခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (Point-set topology) မောရစ် ဖရေးရှေး (Maurice Fréchet) နှင့် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ဖရေးရှေးသည် ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို]] (metric spaces) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) နှင့် ခွဲခြားခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများကို (separation axioms) အသုံးပြု၍ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် (topological spaces) နဂိုမှန်အဆို စနစ်ကို (axiomatic system) ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာသည်လည်း (functional analysis) တစ်ပြိုင်နက်တည်း တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများကို (inner product spaces) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) သည် ပြည့်စုံသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို]] (complete normed vector spaces) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ လော်ရင့် ရွှာ့ဇ် (Laurent Schwartz) ၏ ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီသည် (theory of distributions) ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာကဲ့သို့ (Dirac delta) ယေဘုယျပြုထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (generalized functions) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === နှစ်ဆယ်ရာစု ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း - ဘော်ဘာကီ၊ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Twentieth-Century Synthesis: Bourbaki, Category Theory, and Algebraic Geometry) === [[File:Weil.jpg|right|thumb|220px|အန်ဒရေး ဗေးလ် (1956)]] [[File:NBourbaki 3.png|right|thumb|220px|ဘော်ဘာကီ ညီလာခံ (1951)]] ၂၀ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဘာသာရပ်သည် သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများ (abstract structures) နှင့် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ (categorical relationships) ကို အလေးပေးခြင်းဖြင့် အရင်ကမရှိဖူးသော ပေါင်းစပ်ညီညွတ်မှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၃၄ ခုနှစ်မှစတင်၍ ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင်များ အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့သည် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ဟူသော ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေထုတ်ဝေလျက် အတွဲများစွာပါဝင်သော Éléments de mathématique (သင်္ချာ၏ အခြေခံများ) ကို ရေးသားပြုစုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ နည်းစနစ်သည် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ နည်းလမ်း (axiomatic method) ကို တင်းကျပ်စွာ လိုက်နာမှုနှင့် ယေဘုယျ တည်ဆောက်ပုံများမှ (general structures) တိကျသော အသုံးချမှုများဆီသို့ (specific applications) ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တိုးတက်မှုကို (logical progression) အလေးပေးခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (Category theory) ကို ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကွဲပြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန် ကတ်တဂိုရီများ (categories)၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]] (functors) နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] (natural transformations) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် အွန်ရီ ကာတန် (Henri Cartan) နှင့် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်တို့သည် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို ဖန်တီးရန် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တို့ကို ပေါင်းစပ်ခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch24" /> ဤကာလအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) သည် တော်လှန်ပြောင်းလဲခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ အော်စကာ ဇာရစ်စကီး (Oscar Zariski)၊ ဘီ အယ်လ် ဗန် ဒါ ဗေဒင် (B. L. van der Waerden) နှင့် အန်ဒရေး ဗေးလ် (André Weil) တို့သည် ဤဘာသာရပ်ခွဲကို တိကျသေချာသော [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (rigorous commutative algebra) ဖြင့် အခြေခံချပေးခဲ့ကြသည်။ ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှင့် ၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ယန် လီရေး (Jean Leray)၊ ယန်-ပီယာ ဆဲရ် (Jean-Pierre Serre) နှင့် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) တို့သည် [[အစည်း|အစည်းများ]] (sheaves)၊ စကင်းမ်များ (schemes)၊ တိုပို့စ်များ (topoi) နှင့် အေတဲလ် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (étale cohomology) ဟူသော ဘာသာစကားမှတစ်ဆင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို လုံးဝအသစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဤမူဘောင်သည် ပီယာ ဒေလင်း (Pierre Deligne) အား ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အနက်ရှိုင်းဆုံးသော ဗေးလ် ယူဆချက်များကို သက်သေပြရန် လုပ်ဆောင်နိုင်စေခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === ယုတ္တိဗေဒ၊ အခြေခံအုတ်မြစ်များနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Logic, Foundations, and Computational Mathematics) === [[File:1925 kurt gödel (cropped).png|right|thumb|220px|ကာ့တ် ဂိုဒယ် (1925)]] [[File:Alan_Turing_portré.jpg|right|thumb|220px|အလန် ကျူးရင်း (1930s)]] ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) ၏ အခြေခံဆိုင်ရာ ပြဿနာများ (foundational problems) နှစ်ဆယ့်သုံးခု တင်ပြချက်မှ ကြီးမားစွာ လွှမ်းမိုးမှုခံရသော ၂၀ ရာစုသည် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) နှင့် တွက်ချက်ခြင်း (computation) ဆိုင်ရာ အခြေခံ မေးခွန်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ယုတ္တိဗေဒ (logic) တွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများမှ (logical axioms) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ဆင်းသက်ရယူရန် ဘာထရန် ရပ်ဆဲလ် (Bertrand Russell) နှင့် အဲလ်ဖရက် နော့သ် ဝှိုက်ဟတ် (Alfred North Whitehead) တို့၏ ကြိုးပမ်းမှုများသည် ကာ့တ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ ၁၉၃၁ ခုနှစ် မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (Incompleteness Theorems) ကြောင့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်စေခဲ့သည်။ မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုစနစ်မဆို (consistent formal axiomatic system) အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာကို (basic arithmetic) လုပ်ဆောင်နိုင်သောအခါ ၎င်းသည် ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော အဆိုများကို (undecidable propositions) ပါဝင်စေပြီး ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (own consistency) သက်သေမပြနိုင်ကြောင်း ဂိုဒယ်က ပြသခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်၏ ပထမဆုံး ပြဿနာဖြစ်သော ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) ၏ တိုးတက်မှုသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ဂိုဒယ်က ၎င်း၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) သက်သေပြခဲ့ပြီး ပေါလ် ကိုဟင် (Paul Cohen) က ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် အတင်းအကျပ် ပြောင်းလဲခြင်းနည်းလမ်းကို (method of forcing) အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို (independence) သက်သေပြခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> တွက်ချက်မှု သီအိုရီ (theory of computation) ကို အလန် ကျူးရင်း (Alan Turing) က ၁၉၃၆ ခုနှစ်တွင် ပုံစံတကျ တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ကျူးရင်းသည် တွက်ချက်ခြင်းအတွက် စကြဝဠာ သဘောတရားရေးရာ မော်ဒယ်ကို (universal theoretical model) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤမော်ဒယ်ကို ကျူးရင်း စက်ဟု (Turing machine) သိကြသည်။ ထို့ပြင် သူသည် ရပ်တန့်ခြင်း ပြဿနာ၏ (halting problem) ဖြေရှင်း၍မရနိုင်စွမ်းကို (insolvability) သက်သေပြခဲ့ပြီး ယင်းက ဟီလ်ဘတ်၏ ဆုံးဖြတ်ချက် ပြဿနာကို (decision problem) ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) သည် အီလက်ထရောနစ် ကွန်ပျူတာ တည်ဆောက်ပုံ (electronic computer architecture)၊ ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory) နှင့် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) ကို ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာကို ဆက်လက်တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === မကြာသေးမီ ဆယ်စုနှစ်များအတွင်း နာမည်ကြီး ယူဆချက်များအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း (Resolution of Famous Conjectures in Recent Decades) === [[File:Richard_Hamilton_1982_(reprint;_headshot).jpg|right|thumb|220px|ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (1982)]] [[File:Perelman, Grigori (1966) Upright.jpg|right|thumb|220px|ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (1993)]] [[File:Andrew Wiles, Boston 1995.JPG|right|thumb|220px|အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (1995)]] နှစ်ဆယ်ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် နှစ်ဆယ့်တစ်ရာစု အစောပိုင်းကာလများကို အဆင့်မြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မူဘောင်များနှင့် (advanced analytical frameworks) ကွန်ပျူတာ အကူအညီများမှတစ်ဆင့် (computer assistance) ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော သမိုင်းဝင် ပြဿနာများအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်းဖြင့် အမှတ်အသားပြုခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ၁၈၅၂ ခုနှစ်တွင် စတင်ယူဆခဲ့ပြီးဖြစ်သော အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ် (Four-Color Theorem) သည် ကဲနတ် အက်ပယ်လ် (Kenneth Appel) နှင့် ဝုဖ်ဂန်း ဟာကင် (Wolfgang Haken) တို့က ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရှောင်လွှဲ၍မရသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို (unavoidable configurations) အကဲဖြတ်ရန်အတွက် အားထုတ်ပစ်ခြင်း နည်းလမ်းကို (method of discharging) အသုံးပြုခြင်းသည် ပထမဆုံး အဓိကကျသော ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်အဖြစ် (computer-assisted mathematical proof) မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သည်။ ယင်းကို နောက်ပိုင်းတွင် ရောဘတ်ဆန်၊ ဆန်ဒါးစ်၊ ဆီးမိုး နှင့် သောမတ်စ် တို့က ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပိုမိုရိုးရှင်းလွယ်ကူအောင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် ကော့ခ် ဆော့ဖ်ဝဲလ်ကို အသုံးပြု၍ ဂွန်သီယာ နှင့် ဗာနာ တို့က ပုံစံတကျ စစ်ဆေးအတည်ပြုခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch24" /> အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (Classification of Finite Simple Groups) သည် ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာသော ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ကြိုးပမ်းမှုအပြီးတွင် ပြီးမြောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဖိုက်-သွန်မဆင် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]]အစဉ် သီအိုရမ်ဖြင့် (Odd-Order Theorem) စတင်ခဲ့ပြီး ဤသီအိုရမ်က မည်သည့် အဆုံးရှိ ရိုးရှင်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite simple group) မဆို ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group)၊ အလှည့်ကျ အုပ်စု (alternating group)၊ လီ-အမျိုးအစား (Lie-type) သို့မဟုတ် ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော အုပ်စုများ (sporadic groups) ၂၆ ခုထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးခဲ့သည်။ နောက်ဆုံး ဆူဒို-ပါးလွှာသော ကွာဟချက်ကို (quasi-thin gap) အက်ရှ်ဘာကာ နှင့် စမစ်သ် တို့က ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပိတ်နိုင်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat’s Last Theorem) ကို နှစ်ပေါင်း ၃၅၀ ကျော်ကြာပြီးနောက် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂါဟတ် ဖရေး (Gerhard Frey) ၏ မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (non-modular elliptic curves) ဖွဲ့စည်းမှုနှင့် ကန် ရီဘတ် (Ken Ribet) ၏ <math>\varepsilon</math>-ယူဆချက် (<math>\varepsilon</math>-conjecture) သက်သေပြချက်တို့ကို အခြေခံ၍ အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) က ပြသခဲ့ရာတွင် ဆီမီး-တည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် (semistable elliptic curves) တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ်ကို တိုက်ရိုက် သက်ရောက်မှုရှိကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ်သည် ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ သူ့ကို ရစ်ချတ် တေလာ (Richard Taylor) က ကူညီပေးခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ပွန်ကာရေး ယူဆချက် (Poincaré Conjecture) ကို ဝီလီယံ သာစတန် (William Thurston) ၏ ဂျီဩမေတြီအသွင်ပြောင်းခြင်း ယူဆချက် (Geometrization Conjecture) နှင့် ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (Richard Hamilton) ၏ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ညီမျှခြင်း (Ricci flow equation) <math>\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2 R_{ij}</math> မိတ်ဆက်မှုတို့မှတစ်ဆင့် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Yakovlevich Perelman) သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၃ ခုနှစ်အတွင်း ခွဲစိတ်မှု နည်းပညာများကို (surgery techniques) အသုံးပြု၍ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို (Ricci flow singularities) ကျော်လွှားခြင်းဖြင့် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === မြန်မာ့ သင်္ချာသမိုင်း (History of Burmese Mathematics) === မြန်မာ့သိပ္ပံပညာနှင့် သင်္ချာသမိုင်းကြောင်းသည် ရှေးခေတ်ကာလများကတည်းက အခြေတကျ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်ထားသော သင်္ချာကျမ်းများအနက် တစ်ခုမှာ ၁၄ ရာစုနှစ်ဦးပိုင်းတွင် ဇင်းမယ်မြို့၌ ရှင်ဉာဏဝိလာသ ရေးသားပြုစုခဲ့သော "သင်္ချာပကာသက" ကျမ်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကျမ်းကို အခြေခံ၍ ခရစ်နှစ် ၁၅၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ပလိပ်ရွာအရှေ့ရှိ မြို့သစ်မြို့နေ ရှင်သီရိမင်္ဂလက "သင်္ချာပကာသကဋီကာ" ကို ထပ်မံပြုစုခဲ့ပြီး ညောင်ကန်ဆရာတော် ရှင်ကဝိန္ဒ၏ တပည့် ရှင်မုနိန္ဒသာရက "သင်္ချာပကာသက စာကိုယ်နိဿယ" ကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဘိုးတော်ဘုရား (ဗဒုံမင်း) လက်ထက် (၁၇၈၂–၁၈၁၉) တွင် အိန္ဒိယနှင့် သီဟိုဠ်တို့မှ ကျမ်းပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို ယူဆောင်လာခဲ့ပြီး မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုစေခဲ့ရာမှ သင်္ချာပညာရပ်သည် ပိုမိုထွန်းကားလာခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော သမိုင်းဝင်အထောက်အထားတစ်ခုမှာ ၁၇၇၄ ခုနှစ်တွင် ပြုစုခဲ့သော "ဂဏန်းသင်္ချာ ပညာဝဍ္ဎနကျမ်း" ဖြစ်သည်။ ဤကျမ်းကို အပိုင်းလေးပိုင်းခွဲခြားထားပြီး တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပုစ္ဆာပေါင်း ၁၇၅ ပုဒ်ကို တွက်နည်းအဖြေများနှင့်တကွ စနစ်တကျ ပြုစုထားသည်။ ပထမပိုင်းတွင် အလေးချိန်၊ အကွာအဝေး၊ ထုထည် (Volume) နှင့် အချိန်နာရီတို့ကို တိုင်းတာသည့် ယူနစ် (Unit) ဆိုင်ရာ ကိန်းသင်္ချာအကြောင်းကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် "ခု" မှစ၍ သုည ၁၄၀ လုံးပါဝင်သော "အသင်္ချေ" တိုင်အောင် ရေတွက်ခေါ်ဝေါ်သည့် နည်းစနစ်များ ပါဝင်သည်။ ဒုတိယပိုင်းတွင် လုပ်ငန်းခွင်သုံး တိုင်းထွာတွက်ချက်နည်းများကို "ဂဏန်းဆယ်ပါး" ခေါင်းစဉ်ဖြင့် ဖော်ပြထားပြီး စပါး၊ ဆန်၊ ရွှေ၊ ငွေ၊ ဆီမီး၊ ရထား၊ သစ်ပင်၊ လှေ၊ သားရေနှင့် မြေစသည့် ကဏ္ဍများ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရွှေကို အဆင့်ဆင့် သန့်စင်ရာတွင် ဇမ္ဗူရဇ်ရွှေကဲ့သို့ အသန့်စင်ဆုံးအဆင့်ရရှိရန် တွက်ချက်မှုများ၊ သစ်ပင်၏ အမြင့်ကို ဂျီဩမေတြီ (Geometry) အသုံးပြု၍ ရှာဖွေခြင်းများနှင့် မြေကွက်များ၏ ဧရိယာ (Area) တွက်ချက်ခြင်းများ ပါဝင်သည်။ တတိယပိုင်းတွင် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic progression)၊ ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric progression)၊ မရေမရာ ညီမျှခြင်း (Indeterminate equation)၊ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (Algebraic equation)၊ ဆခွဲကိန်း (Factor) နှင့် ဘုံသုဉ်းကိန်းရှာဖွေခြင်းစသည့် သင်္ချာနည်းစနစ် ၁၆ မျိုးကို ပုစ္ဆာပေါင်း ၇၆ ပုဒ်ဖြင့် ရှင်းလင်းထားသည်။ စတုတ္ထပိုင်းတွင် ရှေ့ပိုင်းနည်းစနစ်များကို အခြေခံထားသော လက်တွေ့အသုံးချ ပုစ္ဆာ ၃၀ ပုဒ် ပါဝင်သည်။ ဤကျမ်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို လေ့လာခြင်းအားဖြင့် ရှေးခေတ်မြန်မာတို့သည် စက်ဝိုင်း၊ စက်လုံး၊ ထုလုံးနှင့် ထုချွန်များ၏ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ရှာဖွေခြင်းမှစ၍ ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများအထိ အဆင့်မြင့်မားသော သင်္ချာပညာကို လက်တွေ့အသုံးချနိုင်ခဲ့ကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။<ref name="MyoThantTyn">ဒေါက်တာ မျိုးသန့်တင်။ ''ရှေးခေတ် မြန်မာသိပ္ပံကျမ်းများ''။</ref> == သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများ (Areas of Mathematics) == [[File:Alexander Grothendieck.jpg|right|thumb|220px|အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (1970)]] [[File:Evariste Galois.jpg|right|thumb|220px|အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ]] [[File:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|right|thumb|220px|ရီနေ ဒေကားတ်]] [[File:Pierre de Fermat.jpg|right|thumb|220px|ပီယား ဒေ ဖဲမ]] [[File:Karl Weierstrass.jpg|right|thumb|220px|ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်]] [[File:Dedekind.jpeg|right|thumb|220px|ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း]] ဤပညာရပ် ကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်းသည် သဘာဝအလျောက် ကွဲပြားသော်လည်း အလွန်အမင်း အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဘာသာရပ်ခွဲများစွာအဖြစ် ပိုင်းခြားသွားခဲ့သည်။ * ဂဏန်းသင်္ချာ နှင့် ကိန်းသီအိုရီ (Arithmetic and Number Theory) - ရှေးခေတ်တွင် လော်ဂျစ်စတစ်နှင့် (logistic) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကြားတွင် တင်းကျပ်သော ခွဲခြားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ လော်ဂျစ်စတစ်သည် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်တွေ့အသုံးချ နည်းစနစ်ဖြစ်သည်။ (practical technique of computation) ဂဏန်းသင်္ချာသည် ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို (properties of numbers) ဒဿနိကဗေဒအရ သို့မဟုတ် သဘောတရားရေးရာအရ လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ကိန်းသီအိုရီ (Number theory) သည် အဆိုပါ ဂဏန်းသင်္ချာမှ ခေတ်သစ် ဆင်းသက်လာသော ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ အစောပိုင်း မှတ်တိုင်များတွင် ဂရိလူမျိုးများ၏ ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း ပါဝင်သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းတွင် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers)၊ ဆပေါင်းကိန်းများ (composite numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်းများ]] (even numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်းများ]] (odd numbers) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းများ (perfect numbers) တို့ ပါဝင်သည်။ အခြားမှတ်တိုင်တစ်ခုမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်း ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်ဖြစ်သည်။<ref name="MB_Ch7">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=7}}</ref> ဤဘာသာရပ်သည် မသေချာသော ညီမျှခြင်းများ သို့မဟုတ် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို (indeterminate (Diophantine) equations) လေ့လာခြင်းမှတစ်ဆင့် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုများကို ဒိုင်အိုဖန်တပ်စ်၊ ဗြဟ္မဂုတ္တ နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch11">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=11}}</ref> ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၎င်း၏ Disquisitiones Arithmeticae စာအုပ်ဖြင့် ဤနယ်ပယ်ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူသည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ၏ ခေတ်သစ်သင်္ချာကို (modern mathematics of congruences) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch23" /> * ဂျီဩမေတြီ (Geometry) - "မြေတိုင်းတာခြင်း" (earth measurement) အဖြစ် စတင်ခဲ့သော ဂျီဩမေတြီသည် ဂရိလူမျိုးများလက်အောက်တွင် ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခု (deductive science) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၎င်း၏ အထွတ်အထိပ်မှာ ယူကလစ်ဒ်၏ Elements စာအုပ်ဖြစ်ပြီး နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ဤဘာသာရပ်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch7" /> ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို (algebraic equations) ဂျီဩမေတြီ မျဉ်းကွေးများတွင် (geometric curves) အသုံးချခြင်းဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (Analytic geometry) ကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ ယင်းက ဂျီဩမေတြီကို ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများပေါ်တွင် (coordinate axes) ပုံဖော်နိုင်စေခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch17">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=17}}</ref> ၁၉ ရာစုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တော်လှန်ပြောင်းလဲမှုတစ်ခုကို တွေ့ကြုံခဲ့ရသည်။ နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး နှင့် ယာနို့စ် ဘိုလိုင် ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို (Non-Euclidean geometry) တိုးတက်စေခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ယူကလစ်ဒ်၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုကို (parallel postulate) ဖယ်ရှားလိုက်လျှင်ပင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ဂျီဩမေတြီများ (consistent geometries) တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို ပြသခြင်းဖြင့် ဤသို့ တိုးတက်စေခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် ကွေးညွှတ်နေသော မက်ထရစ် ရပ်ဝန်းများကို (curved metric spaces) အလွန်ယေဘုယျကျစွာ လေ့လာမှုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုကို ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီဟု (Riemannian geometry) ခေါ်သည်။ ယင်းသည် နောက်ပိုင်းတွင် ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (General Relativity) ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒသီအိုရီများအတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> * အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) - အက္ခရာသင်္ချာသည် သမိုင်းဆိုင်ရာ ကျယ်ပြန့်သော အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ စကားပြောဟန် (rhetorical)၊ အတိုကောက်ဟန် (syncopated) နှင့် သင်္ကေတဟန် (symbolic) တို့ဖြစ်သည်။ စကားပြောဟန်သည် စကားလုံးများဖြင့်သာ အပြည့်အဝရေးသားခြင်း ဖြစ်သည်။ အတိုကောက်ဟန်သည် အတိုကောက်အချို့ကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတဟန်သည် အက္ခရာများနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများကို အသုံးပြုသော ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်း ဖြစ်သည်။ ဘေဘီလုံနှင့် အီဂျစ်လူမျိုးများသည် အခြေခံ မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများနှင့် (elementary linear equations) နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို (quadratic equations) ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ဉာဏ်သစ်သွေးသစ်ခေတ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို နှင့် လူဒိုဗီကို ဖာရာရီ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်း (cubic equation) နှင့် စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်း (quartic equation) တို့အတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေများကို (algebraic solutions) ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် စကစ်ပီယွန် ဒယ်လ် ဖဲရိုး နှင့် နီကိုလို ဖွန်တာနာ တာတာဂလီယာ တို့၏ တတိယထပ် အဖြေကို ကနဦး ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch15">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=15}}</ref> ၁၉ ရာစုတွင် အက္ခရာသင်္ချာသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ကို လေ့လာခြင်းမှ သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများကို (abstract structures) လေ့လာခြင်းသို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ ၏ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်၊<ref name="MB_Ch24" /> ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် ၏ ဖလှယ်၍မရသော ကွာတာနီယွန်များ (non-commutative quaternions) ကို တီထွင်မှုနှင့် ဂျော့ချ် ဘူးလ် ၏ ယုတ္တိဗေဒ အက္ခရာသင်္ချာတို့နှင့်အတူ (algebra of logic) အက္ခရာသင်္ချာသည် ရိုးရာကိန်းများနှင့် အမှီအခိုကင်းသော လေ့လာမှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် တိကျသော နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်း နိယာမများဖြင့် (laws of combination) သတ်မှတ်ထားသော သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ နှင့် ကဲကုလပ် (Analysis and Calculus) - ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပမာဏများ (continuous magnitudes)၊ စုဆုံမှတ်များ (limits) နှင့် အနန္တ လုပ်ငန်းစဉ်များကို (infinite processes) ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းသော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲ ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အစောဆုံး မူလအစမှာ ဂရိလူမျိုးများ၏ "ကုန်စင်အောင်လုပ်ခြင်း နည်းလမ်း" (method of exhaustion) တွင် တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ကနိုင်းဒပ်စ်မှ ယူဒေါက်စပ်စ် က သဘောတရားရေးရာအရ တီထွင်ခဲ့ပြီး အာခီမီးဒီးစ် က ဧရိယာများနှင့် ထုထည်များကို ရှာဖွေရာတွင် စနစ်တကျ အသုံးချခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch8">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=8}}</ref> ၁၇ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် တို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများဆိုင်ရာ (infinitesimals) သဘောတရားများကို စုစည်း၍ ကဲကုလပ် (Calculus) ကို သီးခြားစီ တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များကို]] (derivatives) ရှာဖွေရန် ယေဘုယျ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို (algorithms) ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ထို့ပြင် ဧရိယာများ သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ်များကို (integrals) ရှာဖွေရန်အတွက်လည်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။<ref name="MB_Ch19">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=19}}</ref> ၁၉ ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို "ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်း" (arithmetized) ခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ၎င်းကို ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ်အပေါ် (geometric intuition) မှီခိုနေရခြင်းမှ ဖယ်ရှားပေးခဲ့သည်။ ထို့နောက် စုဆုံမှတ်များ၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) နှင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ၏]] (real numbers) တိကျသေချာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအပေါ် အခြေခံသည့် တိကျသေချာသော အခြေခံအုတ်မြစ်ပေါ်တွင် (rigorous foundation) တည်ဆောက်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> * တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) - ကနဦးတွင် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းအဖြစ် (analysis situs) ပေါ်ထွက်လာသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]သည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းပုံများ၏ (spatial configurations) မွေးရာပါ အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ အသွင်အပြင်များကို (qualitative aspects) လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ဤအသွင်အပြင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော တစ်-တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများအောက်တွင် (continuous one-to-one transformations) မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို လူအများက "ရာဘာချပ် ဂျီဩမေတြီ" ဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိကြသည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး သည် ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ သို့မဟုတ် ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (combinatorial topology) စတင်တည်ထောင်သူဟု ဆိုနိုင်သည်။ သူသည် ပုံသဏ္ဌာန်များကို [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများအဖြစ်]] (manifolds) ရှုမြင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်နေမှုကို လေ့လာခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) အတွက် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပတ်ဝန်းကျင်များကြားရှိ (neighborhoods of elements) ဆက်သွယ်ချက်များအပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝအခြေခံ၍ သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်းများကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch24" /> * ဖြစ်တန်စွမ်း နှင့် အသုံးချ သင်္ချာ (Probability and Applied Mathematics) - [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်း]] သီအိုရီ (probability theory) သည် ၁၇ ရာစုတွင် ဘလေ့စ် ပက်စ်ကယ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့ကြား ကံစမ်းကစားနည်းများနှင့် (games of chance) ပတ်သက်၍ စာပေးစာယူပြုလုပ်ရာမှ စတင်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch17" /> ၎င်းကို ၁၉ ရာစု အစောပိုင်းတွင် ပီယား ဆိုင်မွန် လာပလေ့စ် က အဓိကကျသော သိပ္ပံနည်းကျ ကိရိယာတစ်ခုအဖြစ် စနစ်တကျ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch22">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=22}}</ref> ၂၀ ရာစုတွင် အသုံးချ သင်္ချာ (Applied mathematics) သည် ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory)၊ ဆိုက်ဘာနက်တစ်နှင့် (cybernetics) ကွန်ပျူတာသိပ္ပံကဲ့သို့သော (computer science) နယ်ပယ်များသို့ အကြီးအကျယ် ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သည်။ ၎င်းကို ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း နှင့် အလန် ကျူးရင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့ကြသည်။ ကွန်ပျူတာများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနကို အခြေခံမှစ၍ ပြောင်းလဲပစ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းတွင် (numerical analysis) အထောက်အကူပြုခဲ့ပြီး နောက်ဆုံးတွင် အရောင်လေးမျိုး ယူဆချက်ကဲ့သို့သော (Four-Color Conjecture) ရှုပ်ထွေးသည့် သင်္ချာသီအိုရီများကို သက်သေပြရန်အတွက် လိုအပ်သော ကြီးမားလှသည့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စွမ်းအားကို (computational power) ထောက်ပံ့ပေးနိုင်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> == ကိုးကား (References) == <references /> [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ပင်မ အကြောင်းအရာ ဆောင်းပါးများ]] idqo17s0ztnb386iwccps13k1riipsi 1049543 1049515 2026-08-20T09:46:07Z Mkant00 135890 Minor tweaks in translating 'rigid' and 'discharging' for precision 1049543 wikitext text/x-wiki [[File:Euclid.jpg|right|thumb|220px|ဘီစီအီး ၃ ရာစုမှ ဂရိ သင်္ချာပညာရှင် ယူကလစ် (ကွန်ပါထောက်တံ ကိုင်ထားသူ) ကို ပန်းချီဆရာ ရာဖယ် က ၎င်း၏ "အေသင်သားတို့ ကျောင်းတော်" အမည်ရ နံရံဆေးရေး ပန်းချီကားကြီးတွင် စိတ်ကူးပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်၏ ပုံမှာ မည်သည့်မီဒီယာတွင်မှ မကျန်ရစ်ဘဲ ဤသရုပ်ဖော်ချက်သည် ပုံဖော်သူ အနုပညာရှင်၏ စိတ်ကူးဉာဏ် ကွန့်မြူးချက်သာ ဖြစ်သည်။]] '''အသိပညာနှင့် စူးစမ်းလေ့လာခြင်း''' ဟု အနက်ဖွင့်ဆိုနိုင်သော ရှေးဂရိဝေါဟာရ μάθημα (máthēma) မှဆင်းသက်လာသည့် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို မြန်မာဘာသာစကားဖြင့် "ရေတွက်ခြင်း" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ရှေးပါဠိဝေါဟာရမှတစ်ဆင့် "သင်္ချာ" ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် သင်္ချာ၏ သဘောသဘာဝနှင့် ပတ်သက်၍ ပုဂ္ဂိုလ်ကျော်များက ရှုထောင့်အမျိုးမျိုးဖြင့် ဖွင့်ဆိုခဲ့ကြသည်။ စွယ်စုံရပညာရှင် ဂယ်လီလီယို (Galileo) က သဘာဝတရားကို ကျမ်းတစ်စောင်ဟု တင်စားခဲ့ပြီး ၎င်းကျမ်းကို သင်္ချာဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားထားကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="Machamer2014">{{Citation |last=Machamer |first=Peter |year=2014 |title=Galileo Galilei |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=CSLI, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/galileo/ |edition=Winter 2014}}</ref> သင်္ချာပညာရှင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) က သင်္ချာကို သိပ္ပံပညာရပ်များ၏ ဘုရင်မအဖြစ် တင်စားခဲ့သည်။<ref name="Beiler1964">{{citation |last=Beiler |first=Albert H. |title=Recreations in the Theory of Numbers (Dover Recreational Math) |publisher=Dover Publications |place=Mineola, NY |edition=2nd |year=1964 |isbn=978-0486210964 |page=1}}</ref> ထို့အပြင် ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) က သင်္ချာသည် မလွှဲမသွေဖြစ်ရမည့် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်များကို ကောက်ချက်ချသော သိပ္ပံပညာရပ်ဖြစ်ကြောင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။<ref name="Peirce1881">{{Citation |last=Peirce |first=Benjamin |title=Linear Associative Algebra |journal=American Journal of Mathematics |volume=4 |issue=1 |year=1881 |pages=97-229 |doi=10.2307/2369153 |url=http://www.jstor.org/stable/2369153 |publisher=The Johns Hopkins University Press}}</ref> ခေတ်ပြိုင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် သက်သေပြချက် (proof) ဖြင့် စစ်ဆေးအတည်ပြုနိုင်သော သရုပ်မဲ့ သဘောတရားများ (abstract concepts) နှင့် ပတ်သက်သည့် ဖော်ပြချက်များ (statements) ကို ဖော်ထုတ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို ကိန်းများ (numbers)၊ ပမာဏများ (magnitudes) နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်များ (forms) ဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခုအဖြစ်သာ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံအကျဆုံး မူလအစသည် သမိုင်းမတင်မီခေတ် လူသားတို့၏ ကိန်းနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တို့တွင်ရှိသော ဆင်တူညီမှုများကို တဖြည်းဖြည်း သတိပြုမိလာခြင်းမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုနှင့် အများအပြားကဲ့သို့သော ရိုးရှင်းသည့် ခြားနားချက်များကို သိမြင်မှတ်မိခြင်းမှသည် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ဆိုသည့် သရုပ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (abstract property) အထိ ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ အလားတူပင် ရက်ကန်းရက်ခြင်း၊ အိုးလုပ်ခြင်းနှင့် ခြင်းတောင်းရက်လုပ်ခြင်းတို့တွင် တွေ့ရသော ရှေးခေတ်လူသားတို့၏ ဒီဇိုင်းများသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ၊ ထပ်တူညီမှု (congruence) နှင့် အချိုးညီမှု (symmetry) တို့အတွက် အခြေခံအလေးထားမှုကို ပြသနေပြီး ယင်းက ဂျီဩမေတြီ (geometry) အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch1">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=1}}</ref> အစောပိုင်း သင်္ချာစနစ်များသည် အတွေ့အကြုံနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုအပေါ်တွင် များစွာ အခြေခံထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှေးခေတ် အီဂျစ်တွင် ဂျီဩမေတြီသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် စိုက်ပျိုးမြေတိုင်းတာခြင်းအတွက် ကိရိယာတစ်ခုအနေဖြင့် အဓိက တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် နိုင်းမြစ်၏ နှစ်စဉ်ရေကြီးမှုများကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="MB_Ch2">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=2}}</ref> တစ်ချိန်တည်းတွင် ရှေးခေတ် ဘေဘီလုံ သင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းများအပေါ် များစွာအခြေခံပြီး အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများ (algorithms)၊ ဇယားများနှင့် ညီမျှခြင်းများ (equations) ကို ခန့်မှန်းခြေ ဖြေရှင်းခြင်းတို့အပေါ် အာရုံစိုက်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch3">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=3}}</ref> ချက်ချင်း အသုံးချရန်ထက် ဉာဏ်ရည်ပိုင်းဆိုင်ရာ သိချင်စိတ်ပြင်းပြမှုက တွန်းအားပေးသည့် ပုံစံတကျ (formalized) ပြီး ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ် (deductive science) တစ်ခုအနေဖြင့် သင်္ချာသည် ရှေးခေတ် ဂရိလူမျိုးများနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ သေးလ် (Thales) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် ဤဘာသာရပ်ကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ ဖွဲ့စည်းမှုဆီသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့သည်ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ သူတို့သည် အခြေခံမူများမှတစ်ဆင့် သီအိုရမ်များ (theorems) ကို သင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြသည့် အစောပိုင်း အစဉ်အလာများကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch4">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=4}}</ref> နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာ ကြာလာသောအခါ သင်္ချာသည် တည်ဆောက်ပုံ (structure) နှင့် သရုပ်မဲ့ ယုတ္တိဗေဒ (abstract logic) တို့၏ ကျယ်ပြန့်ပြီး အထူးပြုလွန်းသည့်အပြင် စည်းလုံးညီညွတ်သော ဘာသာစကားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြာထွက်လာခဲ့သည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ခေတ်သစ် တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုများ (History and Modern Developments) == === ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures) === [[File:Carl Friedrich Gauss.jpg|right|thumb|220px|ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ်]] [[File:Nikolay Ivanovich Lobachevsky.jpeg|right|thumb|220px|နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး]] [[File:Bolyai János (Márkos Ferenc festménye).jpg|right|thumb|220px|ယာနို့စ် ဘိုလိုင်]] [[File:Beltrami.jpg|right|thumb|220px|ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ]] [[File:Felix Christian Klein.jpg|right|thumb|220px|ဖဲလစ် ကလိုင်း]] [[File:August Ferdinand Möbius.png|right|thumb|220px|ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ်]] ဆယ့်ကိုးရာစုသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တွင် တော်လှန်ရေးတစ်ရပ်ကို မြင်တွေ့ခဲ့ရပြီး ၎င်းကို တင်းကျပ်သော ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီ (Euclidean geometry) မူဘောင်မှ အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဂျီဩမေတြီစနစ်များ၏ ကျယ်ပြန့်သော စုစည်းမှုအဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းပေးခဲ့သည်။ ဤစနစ်များ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းမှုသည် ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီကို ပုံမပျက် ရွေ့လျားမှု အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (rigid motion transformations) အောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariants) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းကို သုည ကွေးညွှတ်မှု (zero curvature) နှင့် <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော မက်ထရစ် (metric) တို့ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည်။ ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) တွင် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry) နှင့် အဲလစ်ပတစ် ဂျီဩမေတြီ (elliptic geometry) သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီ (spherical geometry) တို့ ပါဝင်သည်။ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အနုတ် ကွေးညွှတ်မှု (constant negative curvature) ရှိသည်။ အဲလစ်ပတစ် သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အပေါင်း ကွေးညွှတ်မှု (constant positive curvature) ရှိသည်။ အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (affine geometry) သည် ပြိုင်တူဖြစ်ခြင်း (parallelism) နှင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင်ရှိခြင်း (collinearity) တို့ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) အပေါ် အာရုံစိုက်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (projective geometry) သည် နှစ်ထပ်အချိုး (cross-ratio) နှင့် ဒွန်တွဲမှု (duality) ကဲ့သို့သော ပရိုဂျက်တစ်ဖြစ်ခြင်းများအောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ဗဟိုပြုသည့် လွှမ်းခြုံနိုင်သော မူဘောင်တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ (Riemannian geometry) သည် ပြောင်းလဲနိုင်သော ကွေးညွှတ်မှု (variable curvature) နှင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) <math>ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dx_i\,dx_j</math> တို့ဖြင့် အုပ်ချုပ်ထားသော ယေဘုယျပြုထားသည့် <math>n</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|တိုင်းတာမှု]]ရှိသော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကို (<math>n</math>-dimensional manifolds) လွှမ်းခြုံထားသည်။<ref name="MB_Ch24">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=24}}</ref> ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီသည် အက်ခိုး ပေါ်လီတက်ကနစ် (École Polytechnique) ၌ ဂတ်စပတ် မွန်ချ် (Gaspard Monge) ကို ဗဟိုပြုသော အစောပိုင်း ၁၉ ရာစု ပြင်သစ်ကျောင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ မွန်ချ်၏ ကျောင်းသားများသည် ဤနယ်ပယ်ကို လမ်းကြောင်းမျိုးစုံသို့ ချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် ဒူပင်း (Charles Dupin) သည် မျက်နှာပြင်များဆိုင်ရာ သီအိုရီကို (theory of surfaces) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဆိုက်ကလိုက် (cyclide) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ သီအိုဒို အိုလီဗီယာ (Théodore Olivier) သည် သင်ကြားရေးအတွက် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဂျီဩမေတြီ ကြိုးမော်ဒယ်များကို (three-dimensional geometric string models) ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခဲ့သည်။ ချားလ်စ်-ဂျူးလ်စ် ဘရီယန်ချွန် (Charles-Jules Brianchon) သည် ပက်စ်ကယ် (Pascal) ၏ ဆန်းကြယ်သော ဆဋ္ဌဂံ သီအိုရမ်အတွက် (Pascal’s mystic hexagram theorem) ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲ (projective dual) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် "အမှတ်" (point) နှင့် "မျဉ်း" (line) ဟူသော သဘောတရားများကို အချင်းချင်းဖလှယ်လိုက်သောအခါတွင် ပြင်ညီ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီရှိ သီအိုရမ်များသည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ ယန်-ဗစ်တာ ပွန်စလတ် (Jean-Victor Poncelet) သည် ၎င်း၏ ၁၈၂၂ ခုနှစ်ထုတ် Traité des propriétés projectives des figures စာအုပ်တွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီကို သီးခြားလွတ်လပ်သော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) မူဝါဒနှင့် အနန္တအမှတ်များ (ideal points) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ စက်ဝိုင်းအားလုံးက မျှဝေပိုင်ဆိုင်ထားသော အနန္တရှိ ကွန်ဂျူဂိတ် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်]] စက်ဝိုင်းအမှတ်များ (conjugate imaginary circular points) နှစ်ခုကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယင်းအမှတ်များကို <math>I</math> နှင့် <math>J</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ မိုက်ကယ် ရှားလ်စ် (Michel Chasles) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်ရှိ အမှတ်လေးမှတ်၏ နှစ်ထပ်အချိုးကို (cross-ratio) အလေးပေးဖော်ပြခဲ့ပြီး ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ :<math>\frac{c - a}{c - b} : \frac{d - a}{d - b}</math> သူသည် ဤနှစ်ထပ်အချိုးသည် ပရိုဂျက်တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (projective transformations) အောက်တွင် ပကတိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိကြောင်းကို (invariant) သက်သေပြခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ပေါင်းစပ် မက်ထရစ် ဖန်ရှင် ဂျီဩမေတြီ (synthetic metric geometry) တွင် ဂျက်ကော့ဘ် ရှတိုင်းနား (Jakob Steiner) သည် ယူကလစ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံများအားလုံးကို မျဉ်းဖြောင့်တံတစ်ခုနှင့် (straightedge) ဗဟိုကို (center) ရှင်းလင်းစွာပေးထားသော အထိုင်စက်ဝိုင်းတစ်ခုတည်းကိုသာ (single fixed circle) အသုံးပြု၍ အပြီးသတ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် တတိယထပ်ကိန်း မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် နှစ်ဆယ့်ခုနစ်ကြောင်းကိုလည်း (twenty-seven straight lines on a cubic surface) လေ့လာခဲ့ပြီး ထောင့်ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းဖြစ်သည့် (angle-preserving transformation) ပြောင်းပြန်လှန် ဂျီဩမေတြီ (inversive geometry) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် အမှတ် <math>P</math> နှင့် <math>P'</math> တို့သည် အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိပြီး ဗဟို <math>O</math> ၌ရှိသော စက်ဝိုင်းတစ်ခုနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အချင်းချင်း ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြသည် (inverse)။ ၎င်းတို့သည် <math>(OP)(OP') = r^2</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။<ref name="MB_Ch24" /> ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို ဂျူးလီးယပ်စ် ပလွတ်ကာ (Julius Plücker) က ပြန်လည်အသက်ဝင်စေခဲ့ပြီး သူသည် ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အတိုကောက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို (abridged notation) တီထွင်ခဲ့သည်။ ပလွတ်ကာ၊ ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ် (August Ferdinand Möbius)၊ ကားလ် ဝီလ်ဟမ် ဖွိုင်ယာဘတ် (Karl Wilhelm Feuerbach) နှင့် အက်တီယန် ဘိုဘီလီယာ (Étienne Bobillier) တို့သည် တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ (homogeneous coordinates) ကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထိုကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် <math>t = 0</math> သည် အနန္တရှိ မျဉ်းကို (line at infinity) ကိုယ်စားပြုသည်။ ပလွတ်ကာသည် မျဉ်း ကိုဩဒိနိတ်များ (line coordinates) ကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် <math>(u, v, w)</math> ဖြစ်ကြပြီး မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များဟူသော သဘောတရားကို အမှတ်တစ်ခုကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းများဟူသော ဒွန်တွဲသဘောတရားအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးခဲ့သည်။ ၁၈၃၄ ခုနှစ်တွင် သူသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေး (algebraic curve) တစ်ခု၏ အဆင့် (order) <math>n</math>၊ အတန်းအစား (class) <math>m</math>၊ ဆုံမှတ်များ (nodes) <math>\delta</math>၊ အချွန်မှတ်များ (cusps) <math>\kappa</math>၊ ငြိမ်နေသော ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် အကွေ့မှတ်များ (stationary tangents/inflections) <math>\iota</math> နှင့် ထိမျဉ်းနှစ်ထပ်များ (bitangents) <math>\tau</math> တို့ကို ဆက်စပ်ပေးသော ညီမျှခြင်းများကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ :<math>m = n(n - 1) - 2\delta - 3\kappa \quad \text{and} \quad n = m(m - 1) - 2\tau - 3\iota</math> :<math>\iota = 3n(n - 2) - 6\delta - 8\kappa \quad \text{and} \quad \kappa = 3m(m - 2) - 6\tau - 8\iota</math> ယူကလစ်ဒ်၏ ပဉ္စမမြောက် ကြိုတင်အဆိုကို (Fifth Postulate) သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းမှုသည် ၎င်းမပါဘဲ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (consistent) ရှိသော ဂျီဩမေတြီများ တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို သင်္ချာပညာရှင်များက ပြသနိုင်ခဲ့ချိန်တွင် အဆုံးသတ်သွားခဲ့သည်။ ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ဤအချက်ကို စောစီးစွာကတည်းက သီးသန့် အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော် နီကိုလိုင်း အိုင်ဗန်နိုဗစ်ချ် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) သည် ၁၈၂၉ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) သည် ၁၈၃၂ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ၏ (non-Euclidean hyperbolic geometry) ပထမဆုံး ပုံစံတကျ စနစ်များကို ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်ပေါင်းလဒ်သည် (angle sum) ၁၈၀ ဒီဂရီထက် တိကျစွာ လျော့နည်းသည်။ ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ (Eugenio Beltrami) သည် ဤဂျီဩမေတြီ၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) ၁၈၆၈ ခုနှစ်တွင် ဆူဒိုစက်လုံးမျက်နှာပြင် (pseudosphere) ပေါ်တွင် လက်တွေ့ဖော်ဆောင်ခြင်းဖြင့် သက်သေပြခဲ့သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry) ကို ၁၈၂၇ ခုနှစ်တွင် ဂေါက်စ်က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သူသည် ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian curvature) <math>K</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ကွေးနေသော ကိန်းရှင်ကြားခံ မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) သည် ဒုတိယထပ်ကိန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (quadratic differential form) <math>ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2</math> အပေါ် မူတည်ကြောင်းကို အတည်ပြုခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) ၏ ၁၈၅၄ ခုနှစ် ဟာဘီလီတေးရှင်း ဟောပြောချက်သည် ၎င်းကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိသော မန်နီဖိုးများအထိ (n-dimensional manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် သူ၏ အာလန်ဂါ ပရိုဂရမ် (Erlanger Programm) မှတစ်ဆင့် ဤကွဲပြားနေသော ဂျီဩမေတြီများကို ပေါင်းစပ်ခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီကို တိကျသော အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (transformation groups) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariant properties) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization) === [[File:Arthur_Cayley.jpg|right|thumb|220px|အာသာ ကေးလီ]] [[File:Hermann_Grassmann_etching.jpg|right|thumb|220px|ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း]] [[File:GeorgFrobenius_(cropped).jpg|thumb|220px|ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ်]] [[File:Noether.jpg|right|thumb|220px|အမ်မီ နိုသာ (1900)]] ဆယ့်ကိုးရာစုနှင့် နှစ်ဆယ်ရာစုများအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းမှ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures)၊ တွက်ချက်မှုများ (operations) နှင့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) တို့ကို သရုပ်မဲ့ လေ့လာခြင်းဆီသို့ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်။ ယင်းက [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups)၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းနိုင်ရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာ၏ (symbolic algebra) အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ဂျော့ချ် ပီးကော့ (George Peacock) နှင့် ဩဂတ်စတပ်စ် ဒီ မော်ဂန် (Augustus De Morgan) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ပီးကော့သည် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (arithmetical algebra) သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာမှ ခွဲခြားပြသခဲ့သည်။ ဒီ မော်ဂန်ကမူ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများသည် (operational symbols) အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်းများသာဖြစ်ကြောင်း (arbitrary abstractions) ငြင်းဆိုခဲ့သည်။ ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) သည် ယုတ္တိဗေဒနှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) ဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (algebra of logic) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် စကြဝဠာ အစု (universal set) ကို <math>1</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ဗလာစု (null set) ကို <math>0</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ပေါင်းစပ်စု (union) ကို <math>+</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ကို <math>\times</math> ဖြင့်လည်းကောင်း သတ်မှတ်ပြသခဲ့ပြီး ထပ်တူရပေး နိယာမ (idempotent law) <math>x^2 = x</math> ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များ (noncommutative systems) သည် ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် (William Rowan Hamilton) က မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ နိယာမ]] (commutative law of multiplication) ကို စွန့်လွှတ်ကာ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) ကို တီထွင်လိုက်ချိန်တွင် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ :<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math> :<math>ij = k = -ji, \quad jk = i = -kj, \quad ki = j = -ik</math> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း (Hermann Grassmann) သည် <math>n</math>-တိုင်းတာမှုရှိသော မျဉ်းဖြောင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (linear vector spaces) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ဟာမီလ်တန်-ကေးလီ သီအိုရမ်ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ဂျိမ်းစ် ဂျိုးဆက် ဆေးလ်ဗက်စတာ (James Joseph Sylvester) သည် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရီ (invariant theory) ကို မြှင့်တင်ပေးခဲ့သည်။ ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) နှင့် ချားလ်စ် ဆန်ဒါးစ် ပီးယားစ် (Charles Sanders Peirce) တို့သည် မျဉ်းဖြောင့် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] အက္ခရာသင်္ချာများ (linear associative algebras) ကို ဆက်လက် အမျိုးအစားခွဲခြားခဲ့ကြသည်။ ယင်း၏ အထွတ်အထိပ်ရလဒ်အနေဖြင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers)၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) နှင့် ကွာတာနီယွန်များသည်သာလျှင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ကိန်းစစ် ဖက်စပ်ရ အစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း သီအိုရမ်ကို (classification theorem) ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် (Ferdinand Georg Frobenius) က ၁၈၇၇ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ စီ အက်စ် ပီးယားစ်က ၁၈၈၁ ခုနှစ်တွင် သီးခြားစီလည်းကောင်း ပုံစံတကျ အတည်ပြုခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch24" /> အုပ်စုများ၊ ကွင်းများနှင့် ဖီးလ်ဒ်များကို သဘောတရားအဖြစ် ဖွဲ့စည်းခြင်းက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) ကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အချိုးညီမှုများနှင့် (symmetries) ချိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ကိန်းရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရရန်မှာ ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) အုပ်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း သူက သက်သေပြခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) သည် ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓ]]ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique prime factorization) ကို ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]]ရင်းများ (algebraic integers) ၏ ကွင်းများတွင် အိုင်ဒီးလ်များကို (ideals) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် ဂျေ အိတ်ချ် အမ် ဝက်ဒါဘန်း (J. H. M. Wedderburn) သည် ဆီမီးရိုးရှင်းသော အက္ခရာသင်္ချာများအတွက် (semisimple algebras) တည်ဆောက်ပုံ သီအိုရမ်များကို (structure theorems) ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အန်းစ် ရှတိုင်းနစ်ဇ် (Ernst Steinitz) သည် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) ကို နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) သည် အစဉ်လိုက်တိုး ချိတ်တန်း အခြေအနေများ (ascending chain conditions) ကို အသုံးပြု၍ နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော ကွင်းသီအိုရီ (axiomatic ring theory) ကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ဂေါ့လော့ ဖရေဂါ (Gottlob Frege) နှင့် ဂျူဆက်ပီ ပီယာနို (Giuseppe Peano) တို့က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဖရေဂါသည် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ယုတ္တိဗေဒမှ ဆင်းသက်ရယူရန် ကြိုးစားခဲ့ပြီး ပီယာနိုသည် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) အတွက် နဂိုမှန်အဆို အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ - တိကျသေချာမှု၊ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များ၊ နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Analysis: Rigor, Real and Complex Variables, and Measure Theory) === [[File:Bernhard_Riemann_3.jpg|right|thumb|220px|ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (1862)]] [[File:Augustin-Louis_Cauchy_1901.jpg|right|thumb|220px| ကော်ချီ၏ ကျောက်ပုံနှိပ်ပုံ (1840)]] ကဲကုလပ် (calculus) သည် ၁၉ ရာစုတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များမှ တိကျသေချာသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (rigorous mathematical analysis) သို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ ဤအပြောင်းအလဲသည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) နှင့် စုဆုံမှတ်များကို (limits) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများကို (logical circularity) ဖယ်ရှားရန် လိုအပ်ခြင်းကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="MB_Ch23">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=23}}</ref> ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် သင်္ချာပညာရှင် ငါးဦးသည် ကိန်းစစ်များအတွက် သီးသန့် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် မေရေး (Charles Méray)၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass)၊ ဟိုင်းနရစ် အက်ဒ်ဝပ် ဟိုင်းနား (Heinrich Eduard Heine) နှင့် ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) တို့သည် ကိန်းစစ်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏]] စုဆုံ ကိန်းစဉ်များ (convergent sequences of rational numbers) သို့မဟုတ် အခြေခံ ကိန်းစဉ်များကို (fundamental sequences) အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်းသည် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းကို (Dedekind Cut) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ သူသည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို]] (irrationalities) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းအားလုံးကို ဘုံမပါသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (disjoint subsets) နှစ်ခုအဖြစ် အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို (complex analysis) အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) က စနစ်တကျ တိုးတက်စေခဲ့သည်။ သူသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများကို (Cauchy-Riemann differential equations) ဆင်းသက်ရယူခဲ့သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများမှာ <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် သူသည် အကြွင်း ကဲကုလပ်နှင့်အတူ (residue calculus) ကော်ချီ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ်ကို (Integral Theorem) <math>\oint f(z)\,dz = 0</math> သက်သေပြခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် တန်ဖိုးများစွာရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (multivalued functions) တစ်ပြေးညီဖြစ်စေရန် (uniformize) ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များမှတစ်ဆင့် (Riemann surfaces) တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်နည်းတစ်ခုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် ဇီတာ ဖန်ရှင် (zeta function) <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}</math> ၏ သုညမှတ်များနှင့် ပတ်သက်သော ရီးမန်း ယူဆချက်ကိုလည်း (Hypothesis) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်သည် ဤဖီးလ်ဒ်ကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆက်လက်တည်ရှိခြင်းတို့မှတစ်ဆင့် (analytic continuation) တင်းကျပ်စွာ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ခေတ်သစ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီတို့သည် (measure theory) အီမီးလ် ဘိုရဲလ် (Émile Borel) မှတစ်ဆင့် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ သူသည် ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှုကို (countable additivity) အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) ပေါ်တွင် အတိုင်းအတာ သီအိုရီကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည်လည်း ဤနယ်ပယ်ကို တိုးတက်စေခဲ့ပြီး သူသည် ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်ကို (Lebesgue integral) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ လီဘက်ဂ်သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ထက် ပုံရိပ်အစုကို (range) ပိုမိုသေးငယ်စွာ ထပ်မံပိုင်းခြားခြင်းအားဖြင့် အလွန်အမင်း [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များကို]] (discontinuous functions) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) ရှိစေခဲ့သည်။ ယင်းက [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်|ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်ကို]] (Fundamental Theorem of Calculus) ချဲ့ထွင်ပေးခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Topology and Functional Analysis) === [[File:Curie_and_Poincare_1911_Solvay.jpg|right|thumb|220px|ဆိုးလ်ဗေး ညီလာခံတွင် မာရီ ကျူရီ နှင့် ပွန်ကာရေးတို့ စကားပြောဆိုနေစဉ် (1911)]] [[File:Hilbert.jpg|right|thumb|220px|ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (1912)]] [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) သည် နှစ်ဆယ်ရာစု သင်္ချာတွင် အဓိကကျသော ပေါင်းစပ်ပေးသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) သည် ၁၈၉၅ ခုနှစ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (algebraic topology) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ဟိုမိုလော်ဂျီကို (simplicial homology) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဗက်တီ ကိန်းများကို (Betti numbers) အသုံးပြု၍ ဗဟုဂံပုံသေနည်းကို (polyhedral formula) ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာရှိ မန်နီဖိုးများအထိ (manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အခြေခံအုပ်စုကို (fundamental group) လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ပွန်ကာရေး ဟိုမိုလော်ဂျီ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Poincaré homology sphere) ကို ဖော်ထုတ်မှုသည် ပွန်ကာရေး ယူဆချက်ဆီသို့ (Poincaré conjecture) ဦးတည်စေခဲ့သည်။ အယ်လ် အီး ဂျေ ဘရောင်းဝါး (L. E. J. Brouwer) သည် အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (fixed-point theorem) အပါအဝင် အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရမ်များကို (topological invariance theorems) ဆက်လက် သက်သေပြခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (Point-set topology) မောရစ် ဖရေးရှေး (Maurice Fréchet) နှင့် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ဖရေးရှေးသည် ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို]] (metric spaces) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) နှင့် ခွဲခြားခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများကို (separation axioms) အသုံးပြု၍ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် (topological spaces) နဂိုမှန်အဆို စနစ်ကို (axiomatic system) ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာသည်လည်း (functional analysis) တစ်ပြိုင်နက်တည်း တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများကို (inner product spaces) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) သည် ပြည့်စုံသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို]] (complete normed vector spaces) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ လော်ရင့် ရွှာ့ဇ် (Laurent Schwartz) ၏ ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီသည် (theory of distributions) ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာကဲ့သို့ (Dirac delta) ယေဘုယျပြုထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (generalized functions) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === နှစ်ဆယ်ရာစု ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း - ဘော်ဘာကီ၊ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Twentieth-Century Synthesis: Bourbaki, Category Theory, and Algebraic Geometry) === [[File:Weil.jpg|right|thumb|220px|အန်ဒရေး ဗေးလ် (1956)]] [[File:NBourbaki 3.png|right|thumb|220px|ဘော်ဘာကီ ညီလာခံ (1951)]] ၂၀ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဘာသာရပ်သည် သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများ (abstract structures) နှင့် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ (categorical relationships) ကို အလေးပေးခြင်းဖြင့် အရင်ကမရှိဖူးသော ပေါင်းစပ်ညီညွတ်မှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၃၄ ခုနှစ်မှစတင်၍ ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင်များ အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့သည် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ဟူသော ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေထုတ်ဝေလျက် အတွဲများစွာပါဝင်သော Éléments de mathématique (သင်္ချာ၏ အခြေခံများ) ကို ရေးသားပြုစုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ နည်းစနစ်သည် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ နည်းလမ်း (axiomatic method) ကို တင်းကျပ်စွာ လိုက်နာမှုနှင့် ယေဘုယျ တည်ဆောက်ပုံများမှ (general structures) တိကျသော အသုံးချမှုများဆီသို့ (specific applications) ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တိုးတက်မှုကို (logical progression) အလေးပေးခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (Category theory) ကို ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကွဲပြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန် ကတ်တဂိုရီများ (categories)၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]] (functors) နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] (natural transformations) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် အွန်ရီ ကာတန် (Henri Cartan) နှင့် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်တို့သည် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို ဖန်တီးရန် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တို့ကို ပေါင်းစပ်ခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch24" /> ဤကာလအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) သည် တော်လှန်ပြောင်းလဲခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ အော်စကာ ဇာရစ်စကီး (Oscar Zariski)၊ ဘီ အယ်လ် ဗန် ဒါ ဗေဒင် (B. L. van der Waerden) နှင့် အန်ဒရေး ဗေးလ် (André Weil) တို့သည် ဤဘာသာရပ်ခွဲကို တိကျသေချာသော [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (rigorous commutative algebra) ဖြင့် အခြေခံချပေးခဲ့ကြသည်။ ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှင့် ၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ယန် လီရေး (Jean Leray)၊ ယန်-ပီယာ ဆဲရ် (Jean-Pierre Serre) နှင့် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) တို့သည် [[အစည်း|အစည်းများ]] (sheaves)၊ စကင်းမ်များ (schemes)၊ တိုပို့စ်များ (topoi) နှင့် အေတဲလ် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (étale cohomology) ဟူသော ဘာသာစကားမှတစ်ဆင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို လုံးဝအသစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဤမူဘောင်သည် ပီယာ ဒေလင်း (Pierre Deligne) အား ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အနက်ရှိုင်းဆုံးသော ဗေးလ် ယူဆချက်များကို သက်သေပြရန် လုပ်ဆောင်နိုင်စေခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === ယုတ္တိဗေဒ၊ အခြေခံအုတ်မြစ်များနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Logic, Foundations, and Computational Mathematics) === [[File:1925 kurt gödel (cropped).png|right|thumb|220px|ကာ့တ် ဂိုဒယ် (1925)]] [[File:Alan_Turing_portré.jpg|right|thumb|220px|အလန် ကျူးရင်း (1930s)]] ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) ၏ အခြေခံဆိုင်ရာ ပြဿနာများ (foundational problems) နှစ်ဆယ့်သုံးခု တင်ပြချက်မှ ကြီးမားစွာ လွှမ်းမိုးမှုခံရသော ၂၀ ရာစုသည် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) နှင့် တွက်ချက်ခြင်း (computation) ဆိုင်ရာ အခြေခံ မေးခွန်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ယုတ္တိဗေဒ (logic) တွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများမှ (logical axioms) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ဆင်းသက်ရယူရန် ဘာထရန် ရပ်ဆဲလ် (Bertrand Russell) နှင့် အဲလ်ဖရက် နော့သ် ဝှိုက်ဟတ် (Alfred North Whitehead) တို့၏ ကြိုးပမ်းမှုများသည် ကာ့တ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ ၁၉၃၁ ခုနှစ် မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (Incompleteness Theorems) ကြောင့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်စေခဲ့သည်။ မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုစနစ်မဆို (consistent formal axiomatic system) အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာကို (basic arithmetic) လုပ်ဆောင်နိုင်သောအခါ ၎င်းသည် ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော အဆိုများကို (undecidable propositions) ပါဝင်စေပြီး ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (own consistency) သက်သေမပြနိုင်ကြောင်း ဂိုဒယ်က ပြသခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်၏ ပထမဆုံး ပြဿနာဖြစ်သော ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) ၏ တိုးတက်မှုသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ဂိုဒယ်က ၎င်း၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) သက်သေပြခဲ့ပြီး ပေါလ် ကိုဟင် (Paul Cohen) က ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် အတင်းအကျပ် ပြောင်းလဲခြင်းနည်းလမ်းကို (method of forcing) အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို (independence) သက်သေပြခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> တွက်ချက်မှု သီအိုရီ (theory of computation) ကို အလန် ကျူးရင်း (Alan Turing) က ၁၉၃၆ ခုနှစ်တွင် ပုံစံတကျ တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ကျူးရင်းသည် တွက်ချက်ခြင်းအတွက် စကြဝဠာ သဘောတရားရေးရာ မော်ဒယ်ကို (universal theoretical model) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤမော်ဒယ်ကို ကျူးရင်း စက်ဟု (Turing machine) သိကြသည်။ ထို့ပြင် သူသည် ရပ်တန့်ခြင်း ပြဿနာ၏ (halting problem) ဖြေရှင်း၍မရနိုင်စွမ်းကို (insolvability) သက်သေပြခဲ့ပြီး ယင်းက ဟီလ်ဘတ်၏ ဆုံးဖြတ်ချက် ပြဿနာကို (decision problem) ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) သည် အီလက်ထရောနစ် ကွန်ပျူတာ တည်ဆောက်ပုံ (electronic computer architecture)၊ ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory) နှင့် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) ကို ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာကို ဆက်လက်တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === မကြာသေးမီ ဆယ်စုနှစ်များအတွင်း နာမည်ကြီး ယူဆချက်များအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း (Resolution of Famous Conjectures in Recent Decades) === [[File:Richard_Hamilton_1982_(reprint;_headshot).jpg|right|thumb|220px|ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (1982)]] [[File:Perelman, Grigori (1966) Upright.jpg|right|thumb|220px|ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (1993)]] [[File:Andrew Wiles, Boston 1995.JPG|right|thumb|220px|အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (1995)]] နှစ်ဆယ်ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် နှစ်ဆယ့်တစ်ရာစု အစောပိုင်းကာလများကို အဆင့်မြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မူဘောင်များနှင့် (advanced analytical frameworks) ကွန်ပျူတာ အကူအညီများမှတစ်ဆင့် (computer assistance) ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော သမိုင်းဝင် ပြဿနာများအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်းဖြင့် အမှတ်အသားပြုခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ၁၈၅၂ ခုနှစ်တွင် စတင်ယူဆခဲ့ပြီးဖြစ်သော အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ် (Four-Color Theorem) သည် ကဲနတ် အက်ပယ်လ် (Kenneth Appel) နှင့် ဝုဖ်ဂန်း ဟာကင် (Wolfgang Haken) တို့က ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရှောင်လွှဲ၍မရသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို (unavoidable configurations) အကဲဖြတ်ရန်အတွက် အားလွှဲပြောင်းခြင်း နည်းလမ်းကို (method of discharging) အသုံးပြုခြင်းသည် ပထမဆုံး အဓိကကျသော ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်အဖြစ် (computer-assisted mathematical proof) မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သည်။ ယင်းကို နောက်ပိုင်းတွင် ရောဘတ်ဆန်၊ ဆန်ဒါးစ်၊ ဆီးမိုး နှင့် သောမတ်စ် တို့က ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပိုမိုရိုးရှင်းလွယ်ကူအောင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် ကော့ခ် ဆော့ဖ်ဝဲလ်ကို အသုံးပြု၍ ဂွန်သီယာ နှင့် ဗာနာ တို့က ပုံစံတကျ စစ်ဆေးအတည်ပြုခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch24" /> အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (Classification of Finite Simple Groups) သည် ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာသော ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ကြိုးပမ်းမှုအပြီးတွင် ပြီးမြောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဖိုက်-သွန်မဆင် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]]အစဉ် သီအိုရမ်ဖြင့် (Odd-Order Theorem) စတင်ခဲ့ပြီး ဤသီအိုရမ်က မည်သည့် အဆုံးရှိ ရိုးရှင်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite simple group) မဆို ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group)၊ အလှည့်ကျ အုပ်စု (alternating group)၊ လီ-အမျိုးအစား (Lie-type) သို့မဟုတ် ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော အုပ်စုများ (sporadic groups) ၂၆ ခုထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးခဲ့သည်။ နောက်ဆုံး ဆူဒို-ပါးလွှာသော ကွာဟချက်ကို (quasi-thin gap) အက်ရှ်ဘာကာ နှင့် စမစ်သ် တို့က ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပိတ်နိုင်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat’s Last Theorem) ကို နှစ်ပေါင်း ၃၅၀ ကျော်ကြာပြီးနောက် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂါဟတ် ဖရေး (Gerhard Frey) ၏ မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (non-modular elliptic curves) ဖွဲ့စည်းမှုနှင့် ကန် ရီဘတ် (Ken Ribet) ၏ <math>\varepsilon</math>-ယူဆချက် (<math>\varepsilon</math>-conjecture) သက်သေပြချက်တို့ကို အခြေခံ၍ အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) က ပြသခဲ့ရာတွင် ဆီမီး-တည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် (semistable elliptic curves) တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ်ကို တိုက်ရိုက် သက်ရောက်မှုရှိကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ်သည် ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ သူ့ကို ရစ်ချတ် တေလာ (Richard Taylor) က ကူညီပေးခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ပွန်ကာရေး ယူဆချက် (Poincaré Conjecture) ကို ဝီလီယံ သာစတန် (William Thurston) ၏ ဂျီဩမေတြီအသွင်ပြောင်းခြင်း ယူဆချက် (Geometrization Conjecture) နှင့် ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (Richard Hamilton) ၏ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ညီမျှခြင်း (Ricci flow equation) <math>\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2 R_{ij}</math> မိတ်ဆက်မှုတို့မှတစ်ဆင့် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Yakovlevich Perelman) သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၃ ခုနှစ်အတွင်း ခွဲစိတ်မှု နည်းပညာများကို (surgery techniques) အသုံးပြု၍ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို (Ricci flow singularities) ကျော်လွှားခြင်းဖြင့် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === မြန်မာ့ သင်္ချာသမိုင်း (History of Burmese Mathematics) === မြန်မာ့သိပ္ပံပညာနှင့် သင်္ချာသမိုင်းကြောင်းသည် ရှေးခေတ်ကာလများကတည်းက အခြေတကျ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်ထားသော သင်္ချာကျမ်းများအနက် တစ်ခုမှာ ၁၄ ရာစုနှစ်ဦးပိုင်းတွင် ဇင်းမယ်မြို့၌ ရှင်ဉာဏဝိလာသ ရေးသားပြုစုခဲ့သော "သင်္ချာပကာသက" ကျမ်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကျမ်းကို အခြေခံ၍ ခရစ်နှစ် ၁၅၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ပလိပ်ရွာအရှေ့ရှိ မြို့သစ်မြို့နေ ရှင်သီရိမင်္ဂလက "သင်္ချာပကာသကဋီကာ" ကို ထပ်မံပြုစုခဲ့ပြီး ညောင်ကန်ဆရာတော် ရှင်ကဝိန္ဒ၏ တပည့် ရှင်မုနိန္ဒသာရက "သင်္ချာပကာသက စာကိုယ်နိဿယ" ကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဘိုးတော်ဘုရား (ဗဒုံမင်း) လက်ထက် (၁၇၈၂–၁၈၁၉) တွင် အိန္ဒိယနှင့် သီဟိုဠ်တို့မှ ကျမ်းပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို ယူဆောင်လာခဲ့ပြီး မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုစေခဲ့ရာမှ သင်္ချာပညာရပ်သည် ပိုမိုထွန်းကားလာခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော သမိုင်းဝင်အထောက်အထားတစ်ခုမှာ ၁၇၇၄ ခုနှစ်တွင် ပြုစုခဲ့သော "ဂဏန်းသင်္ချာ ပညာဝဍ္ဎနကျမ်း" ဖြစ်သည်။ ဤကျမ်းကို အပိုင်းလေးပိုင်းခွဲခြားထားပြီး တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပုစ္ဆာပေါင်း ၁၇၅ ပုဒ်ကို တွက်နည်းအဖြေများနှင့်တကွ စနစ်တကျ ပြုစုထားသည်။ ပထမပိုင်းတွင် အလေးချိန်၊ အကွာအဝေး၊ ထုထည် (Volume) နှင့် အချိန်နာရီတို့ကို တိုင်းတာသည့် ယူနစ် (Unit) ဆိုင်ရာ ကိန်းသင်္ချာအကြောင်းကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် "ခု" မှစ၍ သုည ၁၄၀ လုံးပါဝင်သော "အသင်္ချေ" တိုင်အောင် ရေတွက်ခေါ်ဝေါ်သည့် နည်းစနစ်များ ပါဝင်သည်။ ဒုတိယပိုင်းတွင် လုပ်ငန်းခွင်သုံး တိုင်းထွာတွက်ချက်နည်းများကို "ဂဏန်းဆယ်ပါး" ခေါင်းစဉ်ဖြင့် ဖော်ပြထားပြီး စပါး၊ ဆန်၊ ရွှေ၊ ငွေ၊ ဆီမီး၊ ရထား၊ သစ်ပင်၊ လှေ၊ သားရေနှင့် မြေစသည့် ကဏ္ဍများ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရွှေကို အဆင့်ဆင့် သန့်စင်ရာတွင် ဇမ္ဗူရဇ်ရွှေကဲ့သို့ အသန့်စင်ဆုံးအဆင့်ရရှိရန် တွက်ချက်မှုများ၊ သစ်ပင်၏ အမြင့်ကို ဂျီဩမေတြီ (Geometry) အသုံးပြု၍ ရှာဖွေခြင်းများနှင့် မြေကွက်များ၏ ဧရိယာ (Area) တွက်ချက်ခြင်းများ ပါဝင်သည်။ တတိယပိုင်းတွင် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic progression)၊ ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric progression)၊ မရေမရာ ညီမျှခြင်း (Indeterminate equation)၊ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (Algebraic equation)၊ ဆခွဲကိန်း (Factor) နှင့် ဘုံသုဉ်းကိန်းရှာဖွေခြင်းစသည့် သင်္ချာနည်းစနစ် ၁၆ မျိုးကို ပုစ္ဆာပေါင်း ၇၆ ပုဒ်ဖြင့် ရှင်းလင်းထားသည်။ စတုတ္ထပိုင်းတွင် ရှေ့ပိုင်းနည်းစနစ်များကို အခြေခံထားသော လက်တွေ့အသုံးချ ပုစ္ဆာ ၃၀ ပုဒ် ပါဝင်သည်။ ဤကျမ်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို လေ့လာခြင်းအားဖြင့် ရှေးခေတ်မြန်မာတို့သည် စက်ဝိုင်း၊ စက်လုံး၊ ထုလုံးနှင့် ထုချွန်များ၏ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ရှာဖွေခြင်းမှစ၍ ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများအထိ အဆင့်မြင့်မားသော သင်္ချာပညာကို လက်တွေ့အသုံးချနိုင်ခဲ့ကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။<ref name="MyoThantTyn">ဒေါက်တာ မျိုးသန့်တင်။ ''ရှေးခေတ် မြန်မာသိပ္ပံကျမ်းများ''။</ref> == သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများ (Areas of Mathematics) == [[File:Alexander Grothendieck.jpg|right|thumb|220px|အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (1970)]] [[File:Evariste Galois.jpg|right|thumb|220px|အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ]] [[File:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|right|thumb|220px|ရီနေ ဒေကားတ်]] [[File:Pierre de Fermat.jpg|right|thumb|220px|ပီယား ဒေ ဖဲမ]] [[File:Karl Weierstrass.jpg|right|thumb|220px|ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်]] [[File:Dedekind.jpeg|right|thumb|220px|ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း]] ဤပညာရပ် ကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်းသည် သဘာဝအလျောက် ကွဲပြားသော်လည်း အလွန်အမင်း အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဘာသာရပ်ခွဲများစွာအဖြစ် ပိုင်းခြားသွားခဲ့သည်။ * ဂဏန်းသင်္ချာ နှင့် ကိန်းသီအိုရီ (Arithmetic and Number Theory) - ရှေးခေတ်တွင် လော်ဂျစ်စတစ်နှင့် (logistic) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကြားတွင် တင်းကျပ်သော ခွဲခြားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ လော်ဂျစ်စတစ်သည် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်တွေ့အသုံးချ နည်းစနစ်ဖြစ်သည်။ (practical technique of computation) ဂဏန်းသင်္ချာသည် ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို (properties of numbers) ဒဿနိကဗေဒအရ သို့မဟုတ် သဘောတရားရေးရာအရ လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ကိန်းသီအိုရီ (Number theory) သည် အဆိုပါ ဂဏန်းသင်္ချာမှ ခေတ်သစ် ဆင်းသက်လာသော ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ အစောပိုင်း မှတ်တိုင်များတွင် ဂရိလူမျိုးများ၏ ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း ပါဝင်သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းတွင် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers)၊ ဆပေါင်းကိန်းများ (composite numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်းများ]] (even numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်းများ]] (odd numbers) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းများ (perfect numbers) တို့ ပါဝင်သည်။ အခြားမှတ်တိုင်တစ်ခုမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်း ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်ဖြစ်သည်။<ref name="MB_Ch7">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=7}}</ref> ဤဘာသာရပ်သည် မသေချာသော ညီမျှခြင်းများ သို့မဟုတ် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို (indeterminate (Diophantine) equations) လေ့လာခြင်းမှတစ်ဆင့် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုများကို ဒိုင်အိုဖန်တပ်စ်၊ ဗြဟ္မဂုတ္တ နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch11">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=11}}</ref> ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၎င်း၏ Disquisitiones Arithmeticae စာအုပ်ဖြင့် ဤနယ်ပယ်ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူသည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ၏ ခေတ်သစ်သင်္ချာကို (modern mathematics of congruences) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch23" /> * ဂျီဩမေတြီ (Geometry) - "မြေတိုင်းတာခြင်း" (earth measurement) အဖြစ် စတင်ခဲ့သော ဂျီဩမေတြီသည် ဂရိလူမျိုးများလက်အောက်တွင် ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခု (deductive science) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၎င်း၏ အထွတ်အထိပ်မှာ ယူကလစ်ဒ်၏ Elements စာအုပ်ဖြစ်ပြီး နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ဤဘာသာရပ်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch7" /> ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို (algebraic equations) ဂျီဩမေတြီ မျဉ်းကွေးများတွင် (geometric curves) အသုံးချခြင်းဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (Analytic geometry) ကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ ယင်းက ဂျီဩမေတြီကို ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများပေါ်တွင် (coordinate axes) ပုံဖော်နိုင်စေခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch17">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=17}}</ref> ၁၉ ရာစုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တော်လှန်ပြောင်းလဲမှုတစ်ခုကို တွေ့ကြုံခဲ့ရသည်။ နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး နှင့် ယာနို့စ် ဘိုလိုင် ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို (Non-Euclidean geometry) တိုးတက်စေခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ယူကလစ်ဒ်၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုကို (parallel postulate) ဖယ်ရှားလိုက်လျှင်ပင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ဂျီဩမေတြီများ (consistent geometries) တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို ပြသခြင်းဖြင့် ဤသို့ တိုးတက်စေခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် ကွေးညွှတ်နေသော မက်ထရစ် ရပ်ဝန်းများကို (curved metric spaces) အလွန်ယေဘုယျကျစွာ လေ့လာမှုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုကို ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီဟု (Riemannian geometry) ခေါ်သည်။ ယင်းသည် နောက်ပိုင်းတွင် ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (General Relativity) ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒသီအိုရီများအတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> * အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) - အက္ခရာသင်္ချာသည် သမိုင်းဆိုင်ရာ ကျယ်ပြန့်သော အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ စကားပြောဟန် (rhetorical)၊ အတိုကောက်ဟန် (syncopated) နှင့် သင်္ကေတဟန် (symbolic) တို့ဖြစ်သည်။ စကားပြောဟန်သည် စကားလုံးများဖြင့်သာ အပြည့်အဝရေးသားခြင်း ဖြစ်သည်။ အတိုကောက်ဟန်သည် အတိုကောက်အချို့ကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတဟန်သည် အက္ခရာများနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများကို အသုံးပြုသော ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်း ဖြစ်သည်။ ဘေဘီလုံနှင့် အီဂျစ်လူမျိုးများသည် အခြေခံ မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများနှင့် (elementary linear equations) နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို (quadratic equations) ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ဉာဏ်သစ်သွေးသစ်ခေတ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို နှင့် လူဒိုဗီကို ဖာရာရီ ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်း (cubic equation) နှင့် စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်း (quartic equation) တို့အတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေများကို (algebraic solutions) ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် စကစ်ပီယွန် ဒယ်လ် ဖဲရိုး နှင့် နီကိုလို ဖွန်တာနာ တာတာဂလီယာ တို့၏ တတိယထပ် အဖြေကို ကနဦး ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch15">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=15}}</ref> ၁၉ ရာစုတွင် အက္ခရာသင်္ချာသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ကို လေ့လာခြင်းမှ သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများကို (abstract structures) လေ့လာခြင်းသို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ ၏ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်၊<ref name="MB_Ch24" /> ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် ၏ ဖလှယ်၍မရသော ကွာတာနီယွန်များ (non-commutative quaternions) ကို တီထွင်မှုနှင့် ဂျော့ချ် ဘူးလ် ၏ ယုတ္တိဗေဒ အက္ခရာသင်္ချာတို့နှင့်အတူ (algebra of logic) အက္ခရာသင်္ချာသည် ရိုးရာကိန်းများနှင့် အမှီအခိုကင်းသော လေ့လာမှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် တိကျသော နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်း နိယာမများဖြင့် (laws of combination) သတ်မှတ်ထားသော သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ * ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ နှင့် ကဲကုလပ် (Analysis and Calculus) - ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပမာဏများ (continuous magnitudes)၊ စုဆုံမှတ်များ (limits) နှင့် အနန္တ လုပ်ငန်းစဉ်များကို (infinite processes) ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းသော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲ ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အစောဆုံး မူလအစမှာ ဂရိလူမျိုးများ၏ "ကုန်စင်အောင်လုပ်ခြင်း နည်းလမ်း" (method of exhaustion) တွင် တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ကနိုင်းဒပ်စ်မှ ယူဒေါက်စပ်စ် က သဘောတရားရေးရာအရ တီထွင်ခဲ့ပြီး အာခီမီးဒီးစ် က ဧရိယာများနှင့် ထုထည်များကို ရှာဖွေရာတွင် စနစ်တကျ အသုံးချခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch8">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=8}}</ref> ၁၇ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် တို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများဆိုင်ရာ (infinitesimals) သဘောတရားများကို စုစည်း၍ ကဲကုလပ် (Calculus) ကို သီးခြားစီ တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များကို]] (derivatives) ရှာဖွေရန် ယေဘုယျ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို (algorithms) ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ထို့ပြင် ဧရိယာများ သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ်များကို (integrals) ရှာဖွေရန်အတွက်လည်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။<ref name="MB_Ch19">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=19}}</ref> ၁၉ ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို "ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်း" (arithmetized) ခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ၎င်းကို ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ်အပေါ် (geometric intuition) မှီခိုနေရခြင်းမှ ဖယ်ရှားပေးခဲ့သည်။ ထို့နောက် စုဆုံမှတ်များ၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) နှင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ၏]] (real numbers) တိကျသေချာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအပေါ် အခြေခံသည့် တိကျသေချာသော အခြေခံအုတ်မြစ်ပေါ်တွင် (rigorous foundation) တည်ဆောက်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> * တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) - ကနဦးတွင် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းအဖြစ် (analysis situs) ပေါ်ထွက်လာသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]သည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းပုံများ၏ (spatial configurations) မွေးရာပါ အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ အသွင်အပြင်များကို (qualitative aspects) လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ဤအသွင်အပြင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော တစ်-တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများအောက်တွင် (continuous one-to-one transformations) မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို လူအများက "ရာဘာချပ် ဂျီဩမေတြီ" ဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိကြသည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး သည် ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ သို့မဟုတ် ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (combinatorial topology) စတင်တည်ထောင်သူဟု ဆိုနိုင်သည်။ သူသည် ပုံသဏ္ဌာန်များကို [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများအဖြစ်]] (manifolds) ရှုမြင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်နေမှုကို လေ့လာခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) အတွက် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] ပတ်ဝန်းကျင်များကြားရှိ (neighborhoods of elements) ဆက်သွယ်ချက်များအပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝအခြေခံ၍ သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်းများကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch24" /> * ဖြစ်တန်စွမ်း နှင့် အသုံးချ သင်္ချာ (Probability and Applied Mathematics) - [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်း]] သီအိုရီ (probability theory) သည် ၁၇ ရာစုတွင် ဘလေ့စ် ပက်စ်ကယ် နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ တို့ကြား ကံစမ်းကစားနည်းများနှင့် (games of chance) ပတ်သက်၍ စာပေးစာယူပြုလုပ်ရာမှ စတင်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch17" /> ၎င်းကို ၁၉ ရာစု အစောပိုင်းတွင် ပီယား ဆိုင်မွန် လာပလေ့စ် က အဓိကကျသော သိပ္ပံနည်းကျ ကိရိယာတစ်ခုအဖြစ် စနစ်တကျ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch22">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=22}}</ref> ၂၀ ရာစုတွင် အသုံးချ သင်္ချာ (Applied mathematics) သည် ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory)၊ ဆိုက်ဘာနက်တစ်နှင့် (cybernetics) ကွန်ပျူတာသိပ္ပံကဲ့သို့သော (computer science) နယ်ပယ်များသို့ အကြီးအကျယ် ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သည်။ ၎င်းကို ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း နှင့် အလန် ကျူးရင်း ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့ကြသည်။ ကွန်ပျူတာများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနကို အခြေခံမှစ၍ ပြောင်းလဲပစ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းတွင် (numerical analysis) အထောက်အကူပြုခဲ့ပြီး နောက်ဆုံးတွင် အရောင်လေးမျိုး ယူဆချက်ကဲ့သို့သော (Four-Color Conjecture) ရှုပ်ထွေးသည့် သင်္ချာသီအိုရီများကို သက်သေပြရန်အတွက် လိုအပ်သော ကြီးမားလှသည့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စွမ်းအားကို (computational power) ထောက်ပံ့ပေးနိုင်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> == ကိုးကား (References) == <references /> [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ပင်မ အကြောင်းအရာ ဆောင်းပါးများ]] p2ci41ihi08za7ygcnn0a6got2eixtn 0 13851 1049436 1049299 2026-08-19T15:28:39Z Mkant00 135890 added number systems template 1049436 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} {{redirect|ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း}} {{Short description|ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်း ပါဝင်သော ကိန်း}} [[File:A plus bi.svg|thumb|upright=1.15|right|ကိန်းထွေး (Complex number) <math>z</math> ကို အာဂန် ပုံကြမ်းဟု ခေါ်ဆိုသော ပုံကြမ်းပေါ်ရှိ အပြာရောင် တည်နေရာ [[ဗက်တာ|ဗက်တာ]] သို့မဟုတ် အနီရောင် အမှတ်တစ်မှတ်အဖြစ် ကိန်းစုံတွဲ <math>(a, b)</math> ဖြင့် မြင်သာအောင် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ အဆိုပါပုံကြမ်းသည် ကိန်းထွေးပြင်ညီ (Complex plane) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ <math>Re</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>Im</math> သည် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>i</math> သည် ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် <math>i^2 = -1</math> ဟူသော ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။]] သင်္ချာပညာတွင် '''ကိန်းထွေး''' (Complex number) ဆိုသည်မှာ ကိန်းစနစ် (Number systems) တစ်ခု၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခု]] ဖြစ်သည်။ ၎င်းစနစ်သည် [[ကိန်းစစ်]] (Real number) များကို <math>i</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော သီးခြားအစုဝင်တစ်ခုဖြင့် တိုးချဲ့ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ <math>i</math> ကို ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် <math>i^2= -1</math> ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။ အထက်ပါညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသော ကိန်းစစ် မရှိသည့်အတွက် ရီနေ ဒေကားတ် (René Descartes) က <math>i</math> ကို [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်]] (Imaginary number) ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေးကိုမဆို <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ <math>a</math> ကို ကိန်းစစ်ပိုင်း (Real part) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>b</math> ကို ကိန်းယောင်ပိုင်း (Imaginary part) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများ၏ [[အစု|အစု]]ကို <math>\mathbb{C}</math> သို့မဟုတ် '''C''' သင်္ကေတ တစ်ခုခုဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဝေါဟာရအရ ကိန်းယောင်ဟု ခေါ်ဆိုသော်လည်း ၎င်းတို့သည် စိတ်ကူးယဉ်သက်သက် မဟုတ်ဘဲ သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းစစ်များနည်းတူ တကယ့်တည်ရှိမှုများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် အလွန်သေးငယ်သော စကေးရှိ သဘာဝတရား၏ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ရူပဗေဒနည်းကျ ရှင်းလင်းရာတွင် ကိန်းထွေးများသည် ကိန်းစစ်များကဲ့သို့ပင် သဘာဝတရားနှင့် ထူးခြားစွာ တစ်သားတည်းကျနေပြီး ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ကမ္ဘာကြီးကို သိပ္ပံနည်းကျ ဖော်ပြရန် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သည်။ <ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics |url=https://archive.org/details/emperorsnewmind00penr |publisher=Oxford University Press |year=1989 |page=[https://archive.org/details/emperorsnewmind00penr/page/87 87] |isbn=978-0-19-851973-7}}</ref><ref>{{cite book |last=Stewart |first=Ian |author-link=Ian Stewart (mathematician) |title=Professor Stewart's Incredible Numbers |publisher=Basic Books |year=2015 |isbn=978-0-465-04271-5}}</ref> ကိန်းထွေးများသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (Polynomial equations) အားလုံးအတွက် အဖြေများကို ရရှိစေနိုင်သည်။ ကိန်းစစ်နယ်ပယ်တွင် အဖြေမရှိသော ညီမျှခြင်းများအတွက်ပင် အဖြေရှာပေးနိုင်သည်။ သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေသို့ ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်း <math>x^2-1=0</math> ကို ဖြေရှင်းပါက ၁ နှင့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်အဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း၊ <math>x^2+1=0</math> တွင်မူ ကိန်းစစ်အဖြေ တစ်ခုမျှမရှိပေ။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x</math> ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းကို တစ်ထပ်ပေါင်းပါက သုညနှင့် မည်သို့မျှ ညီမည်မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားရန် နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရရှိသည့် <math>i</math> ကို တီထွင်ခဲ့ရသည်။ <math>-i</math> သည်လည်း -၁ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းထွေးများ၏ လိုအပ်ချက်သည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများကို ကာဒါနို (Cardano) ၏ နည်းလမ်းဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ အဖြေရှာရာမှ အဓိကပေါ်ပေါက်လာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name="Earl2024">{{cite web |last=Earl |first=Richard |title=Introduction to Complex Numbers |url=https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/complex.pdf |publisher=Mathematical Institute, University of Oxford |year=2024 |access-date=2024-01-15}}</ref> ပိုမိုတိကျစွာ ဆိုရလျှင် အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Algebra) အရ ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး မြှောက်ဖော်ကိန်းများ ပါဝင်သော ကိန်းသေမဟုတ်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းတိုင်းတွင် ကိန်းထွေးအဖြေတစ်ခု အမြဲတမ်းရှိသည်ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ ကိန်းထွေးများကို ပေါင်းခြင်း၊ နုတ်ခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့ကို ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associative property)၊ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (Commutative property) နှင့် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ (Distributive laws) တို့အပြင် <math>i^2=-1</math> ဟူသော စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြု၍ သတ်မှတ်ထားသည်။ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေးတိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် တစ်ခုစီရှိပြီး ၎င်းသည် သုညမှလွဲ၍ အခြားကိန်းထွေးများဖြင့် စားခြင်းကို ဖြစ်ပေါ်စေနိုင်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ကိန်းထွေးများသည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခု ဖြစ်လာပြီး ကိန်းစစ်များသည် ၎င်း၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) ဖြစ်လာသည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် <math>a + bi = a + ib</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ မည်သည့်ပုံစံဖြင့် ရေးသားမည်ဆိုသည်မှာ သတ်မှတ်ထားသော အစဉ်အလာအပေါ် မူတည်သည်။ ကိန်းထွေးများသည် <math>\{1,i\}</math> ကို စံအခြေအစု (Standard basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]နှစ်ခုရှိသည့် ကိန်းစစ် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Real vector space) တစ်ခုကိုလည်း ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤစံအခြေအစုသည် ကိန်းထွေးများကို ကာတီးရှန်း ပြင်ညီတစ်ခုအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးပြီး ၎င်းကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းက ကိန်းထွေးများနှင့် ၎င်းတို့၏ တွက်ချက်မှုများကို ဂျီဩမေတြီနည်းကျ ဖွင့်ဆိုရှင်းလင်းခွင့် ပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းစစ်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (Real line) ကို ဖွဲ့စည်းပြီး ယင်းကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ၏ အလျားလိုက်ဝင်ရိုးအဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ အလားတူပင် <math>i</math> ၏ ကိန်းစစ် ဆတိုးကိန်းများသည် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ၎င်း၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ် (Polar coordinates) ဖြင့်လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းတွင် အချင်းဝက်ကို ကိန်းထွေး၏ ပကတိတန်ဖိုး (Absolute value) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးမှ တိုင်းတာသော ထောင့်ကို ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် (Argument) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများသည် ကြွယ်ဝသော တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းတို့သည် တစ်ချိန်တည်းမှာပင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် တစ်ခု၊ ကိန်းစစ်များအပေါ် အခြေခံထားသော ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (Commutative algebra) တစ်ခုနှင့် အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ယူကလစ်ဒ် ဗက်တာရပ်ဝန်း (Euclidean vector space) တစ်ခု ဖြစ်ကြသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် နှင့် အခြေခံ တွက်ချက်မှုများ (Definition and basic operations) == [[File:Complex_numbers_intheplane.svg|right|thumb|ကိန်းထွေးပြင်ညီတွင် ဖော်ပြထားသော အမျိုးမျိုးသော ကိန်းထွေးများ။]] [[File:Complex number illustration.svg|thumb|right|ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ပြသသည့် အာဂန်ပုံကြမ်းဖြင့် ပြနိုင်သည်။]] ကိန်းထွေး (Complex number) ကို ကိန်းစစ်များ (Real numbers) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ]] (Ordered pair) <math>(a, b)</math> တစ်ခုအဖြစ် ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ မတူညီလျှင် <math>(a, b)</math> နှင့် <math>(b, a)</math> တို့ကို မတူညီသော အရာများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ကိန်းထွေး <math>x = (a, b)</math> နှင့် <math>y = (c, d)</math> တို့၏ ညီမျှခြင်းတွင် <math>a = c</math> နှင့် <math>b = d</math> ဖြစ်မှသာလျှင် <math>x = y</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ကိန်းထွေးများ၏ အပေါင်း တွက်ချက်မှုကို <math>x + y = (a + c, b + d)</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး မြှောက်ခြင်း တွက်ချက်မှုကို <math>xy = (ac - bd, ad + bc)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။<ref name="Rudin1976">{{cite book |last=Rudin |first=Walter |author-link=Walter Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |year=1976 |isbn=978-0070856134 |pages=12-14}}</ref> ထိုအပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုတို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအရ ကိန်းထွေးများအားလုံးပါဝင်သော [[အစု|အစု]]သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခုဖြစ်လာသည်။ ဤဖီးလ်ဒ်တွင် <math>(0, 0)</math> သည် သုည၏ အခန်းကဏ္ဍတွင် ပါဝင်ပြီး <math>(1, 0)</math> သည် တစ်၏ အခန်းကဏ္ဍတွင် ပါဝင်သည်။ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့အတွက်မဆို <math>(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0)</math> နှင့် <math>(a, 0)(b, 0) = (ab, 0)</math> ဟူသော ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ မှန်ကန်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>(a, 0)</math> ပုံစံရှိသော ကိန်းထွေးများသည် ပုံမှန်ကိန်းစစ်များနှင့် ထပ်တူညီသော ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများကို ပိုင်ဆိုင်ကြရာ <math>(a, 0)</math> အား <math>a</math> နှင့် အတူတူဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်နိုင်ပြီး ကိန်းစစ်စနစ်သည် ကိန်းထွေးစနစ်၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) တစ်ခုသာဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။<ref name="Rudin1976"/> အနုတ်တစ်၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဟူသော နားလည်ရန်ခက်ခဲသည့် သဘောတရားကို အသုံးမပြုဘဲ ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> ကို <math>i = (0, 1)</math> ဟူသော အစီအစဉ်ကျအတွဲအဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အထက်ပါ မြှောက်ခြင်းစည်းမျဉ်းကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>i^2 = -1</math> ဖြစ်ကြောင်းကို <math>i^2 = (0, 1)(0, 1) = (0\cdot 0 - 1\cdot 1, 0\cdot 1 + 1\cdot 0) = (-1, 0) = -1</math> ဟု ပုံစံတကျ သက်သေပြနိုင်သည်။ ဂျီဩမေတြီအရ ဤအစီအစဉ်ကျအတွဲများကို စံကိုဩဒိနိတ်များပါရှိသော ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်တစ်မှတ်၏ ကိုဩဒိနိတ်များအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ထိုပြင်ညီကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>{{cite book |last=Pedoe |first=Dan |author-link=Daniel Pedoe |title=Geometry: A comprehensive course |url=https://archive.org/details/geometrycomprehe0000pedo |publisher=Dover |year=1988 |isbn=978-0-486-65812-4}}</ref> စံအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အပြင် ကိန်းထွေးများ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{C}</math> ကို အခြားသော အက္ခရာသင်္ချာ နည်းလမ်းပေါင်းများစွာဖြင့် ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်နိုင်သည်။<ref name="nLab">{{cite web |author=nLab authors |title=Complex Numbers |url=https://ncatlab.org/nlab/show/complex+number |website=nLab |access-date=2024-01-15}}</ref> ၎င်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် စားလဒ်[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Quotient ring) <math>\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်]] (Isomorphic)။ ဤတွင် ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> သည် ပိုလီနိုမီရယ် <math>x</math> ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (Equivalence class) ဖြစ်သည်။ ယင်းကို <math>\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}</math> ပုံစံရှိ <math>2 \times 2</math> ကိန်းစစ် ကိန်းအုံများ၏ အက္ခရာသင်္ချာပိုင်းအဖြစ်လည်း တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုတည်ဆောက်ပုံတွင် ကိန်းအုံပေါင်းခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့သည် ကိန်းထွေး ဂဏန်းသင်္ချာကို ထင်ဟပ်စေသည်။ === အပေါင်းနှင့် အနုတ် (Addition and subtraction) === ကိန်းထွေးနှစ်ခုဖြစ်သော <math>a =x+yi</math> နှင့် <math>b =u+vi</math> တို့ကို ပေါင်းရာတွင် ၎င်းတို့၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းများနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို သီးခြားစီ ပေါင်းရသည်။ ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ ပေါင်းခြင်းကို [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]] ပေါင်းခြင်းဖြင့် အလွယ်တကူ သရုပ်ဖော်နိုင်သည်။ ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display=block>a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math> အလားတူပင် နုတ်ခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math display=block>a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> ဤစနစ်တွင် အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>0=0+0i</math> ဖြစ်ပြီး၊ ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်မှာ <math>-z=(-x)+(-y)i</math> ဖြစ်သည်။ === မြှောက်ခြင်း (Multiplication) === ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်သည်။ <math display=block>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> ဥပမာအားဖြင့် <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် ဤအချက်တွင် <math>i^2 = i \cdot i = -1</math> ဟူသော အခြေခံပုံသေနည်းသည် သီးသန့်အခြေအနေတစ်ခုအဖြစ် ပါဝင်နေသည်။ ဤစနစ်အတွက် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>1=1+0i</math> ဖြစ်သည်။ === ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်၊ ပကတိတန်ဖိုး၊ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် နှင့် စားခြင်း (Complex conjugate, absolute value, argument and division) === [[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|upright=0.8|ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ <math>z</math> နှင့် ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ် <math>\bar{z}</math> တို့၏ ဂျီဩမေတြီ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု။]] ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ၏ ''ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်'' (Complex conjugate) ကို <math>\bar{z} = x-yi</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>{{cite book |last=Apostol |first=Tom M. |author-link=Tom M. Apostol |title=Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/mathematicalanal02edtomm |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |year=1981 |pages=[https://archive.org/details/mathematicalanal02edtomm/page/15 15]–16 |isbn=978-0-201-00288-1}}</ref> ဂျီဩမေတြီအရ <math>\bar{z}</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုးကို အခြေပြု၍ <math>z</math> ၏ အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (Reflection) ဖြစ်သည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် [[အင်ဗော်လူးရှင်း|အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို နှစ်ကြိမ်ပြုလုပ်ပါက မူလကိန်းထွေးကို ပြန်လည်ရရှိမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို <math>\overline{\overline{z}}=z</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းသည် အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာများအပေါ်သို့ ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributive property) သက်ရောက်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\overline{z \pm w} = \overline{z} \pm \overline{w}</math>၊ <math>\overline{zw} = \overline{z}\overline{w}</math> နှင့် <math>\overline{(z/w)} = \overline{z}/\overline{w}</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဆက်မပြတ် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်]] [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်|အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Automorphism) တစ်ခုတည်းသာ ဖြစ်ပြီး ယင်းသည် ကိန်းစစ်များကို မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (Invariant) အဖြစ် ကျန်ရှိစေသည်။<ref name="nLab" /> ကွန်ဂျူဂိတ်သည် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို ထုတ်ယူရန်အတွက် အက္ခရာသင်္ချာနည်းလမ်း တစ်ခုကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display="block">\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad \operatorname{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}</math> မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> အတွက်မဆို မြှောက်လဒ် <math display=block>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> သည် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအချက်က <math>z</math> ၏ ''ပကတိတန်ဖိုး''၊ တစ်နည်းအားဖြင့် မော်ဂျူးလပ်စ် သို့မဟုတ် ပမာဏကို <math>|z|</math> ဟု သင်္ကေတပြု၍ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square root) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် ခွင့်ပြုပေးသည်။ <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> ယင်းသည် <math>z\bar{z} = |z|^2</math> ဟူသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref name="nLab" /> ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) အရ <math>|z|</math> သည် မူလနေရာ (Origin) မှ ကိန်းထွေး <math>z</math> ကို ကိုယ်စားပြုသော အမှတ်အထိ အကွာအဝေး ဖြစ်သည်။ ပကတိတန်ဖိုးသည် အမြဲတစေ အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>|zw| = |z||w|</math> ဟူသော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိကို ပြည့်စုံစေသည်။ ထို့ပြင် အောက်ပါအတိုင်း တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality) ကိုလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>||z|-|w||\le|z+w|\le |z| + |w|</math> ယင်းအပြင် <math>\operatorname{Re}(z)\le |z|</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z) \le |z|</math> အချက်များလည်း မှန်ကန်သည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z</math> နှင့် <math>w</math> အကြား အကွာအဝေးကိုမဆို <math>|z - w|</math> ဖြင့် ဖော်ပြပေးသည်။ တြိဂံ မညီမျှခြင်းများအပြင် <math>z = 0</math> မဟုတ်လျှင် <math>|z| > 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>|zw| = |z||w|</math> ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း အမြဲမှန်ကန်သည်။ ထို့အပြင် <math>a_1, \dots, a_n</math> နှင့် <math>b_1, \dots, b_n</math> တို့သည် ကိန်းထွေးများဖြစ်ပါက ၎င်းတို့သည် ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း (Schwarz inequality) ကို ပြည့်စုံစေသည်။<ref name="Rudin1976"/> <math display=block>\left| \sum_{j=1}^n a_j \bar{b}_j \right|^2 \le \sum_{j=1}^n |a_j|^2 \sum_{j=1}^n |b_j|^2</math> ကွန်ဂျူဂိတ်ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် အလိုရှိရာ ကိန်းထွေး <math>w = u + vi</math> ကို သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ဖြင့် စားခြင်းအား တွက်ချက်နိုင်သည်။ ထိုသို့တွက်ချက်ရာတွင် ပိုင်းဝေနှင့် ပိုင်းခြေ နှစ်ခုစလုံးကို ပိုင်းခြေ၏ ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြင့် မြှောက်ပေးရမည် ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> အကယ်၍ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x+yi</math> အတွက် ပိုင်းခြေစစ်စစ် <math>1/z</math> ကို ရှာဖွေလိုပါက အထက်ပါနည်းအတိုင်း <math>\frac{1}{z} = \frac{x}{x^2+y^2} +\frac{-y}{x^2+y^2} i</math> အဖြစ် လွယ်ကူစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် သို့မဟုတ် အခြေပြထောင့် <math>\varphi</math> (Argument or phase) သည် အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးနှင့် အချင်းဝက် ဗက်တာကြားရှိ ထောင့်ဖြစ်ပြီး <math>\arg z</math> ဟု ရေးသားသည်။ ၎င်းကို <math>\cos \varphi = \frac{x}{|z|}</math> နှင့် <math>\sin \varphi = \frac{y}{|z|}</math> တို့ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> === ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ နှင့် အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Polar form and Euler's Formula) === ပကတိတန်ဖိုး <math>r = |z|</math> နှင့် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် <math>\varphi</math> ရှိသော မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z</math> အတွက်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်းသည် မှန်ကန်သည်။ <math display=block>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi)</math> ဤထပ်တူညီမှုကို <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံအဖြစ် ရည်ညွှန်းသည်။ <math>e^x</math>၊ <math>\cos x</math> နှင့် <math>\sin x</math> တို့၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) ကို ကိန်းထွေး နယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့ခြင်းဖြင့် '''အွိုင်လာ ပုံသေနည်း''' (Euler's formula) ဟု လူသိများသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi</math> ရလဒ်အနေဖြင့် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံကို ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (Complex exponential function) အသုံးပြု၍ အများဆုံးနှင့် အသေသပ်ဆုံး ရေးသားလေ့ရှိသည်။ <math display=block>z = r e^{i\varphi}</math> ကိန်းထွေးနှစ်ခုကို ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံဖြင့် ပေးထားပါက ၎င်းတို့၏ မြှောက်လဒ်နှင့် စားလဒ်ကို အလွန်ရိုးရှင်းစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ တွက်ချက်ရာတွင် ပကတိတန်ဖိုးများကို မြှောက်ရမည် သို့မဟုတ် စားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့်များကို ပေါင်းရမည် သို့မဟုတ် နုတ်ရမည် ဖြစ်သည်။ <math display=block>z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}</math> <math>e^{i\varphi}</math> အဖြစ် ဖော်ပြသော မော်ဂျူးလပ်စ် <math>1</math> ရှိသည့် ကိန်းထွေးများကို ယူနီမော်ဂျူလာ (unimodular) ဟုခေါ်သည်။ ၎င်းတို့သည် စက်ဝိုင်းအုပ်စု (circle group) <math>S^1</math> ကို ဖွဲ့စည်းပြီး ၎င်းကို <math>\mathbb{T}</math> အဖြစ်လည်း ရေးသားဖော်ပြသည်။ <math>\mathbb{C}^\times = \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> ဖြစ်သော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စုရှိ သုညမဟုတ်သော မြှောက်ခြင်းသည် ဂျီဩမေတြီသဘောတရားအရ အရွယ်ပြောင်းခြင်း နှင့် လှည့်ခြင်းကို ကိုယ်စားပြုသည်။မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စုသည် <math>\mathbb{C}^\times \cong S^1 \times \mathbb{R}_{>0}</math> ဟူသော တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ်အဖြစ် ခွဲခြမ်းနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>S^1</math> သည် လှည့်ခြင်းများကို ကိုယ်စားပြုပြီး ထိုလှည့်ခြင်းများကို ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် <math>\varphi</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ ထို့ပြင် အပေါင်း ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}_{>0}</math> သည် တစ်ပြေးညီ အရွယ်ပြောင်းခြင်းကို ကိုယ်စားပြုပြီး ၎င်းသည် ပမာဏများကို ဖော်ပြခြင်းဖြစ်သည်။ === ထပ်ကိန်းများ နှင့် ကိန်းရင်းများ (Powers and roots) === ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ထပ်ကိန်း (n-th power) ကို ဒေ မွာဗ်၏ ပုံသေနည်း (de Moivre's formula) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်နိုင်သည်။ ယင်းပုံသေနည်းကို မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>\varphi</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> အတွက်မဆို အွိုင်လာ ပုံသေနည်းမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်ရယူထားခြင်း ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> z^{n} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းများကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display=block>z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ဤတွင် <math>0 \le k \le n - 1</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z^n = 1</math> ညီမျှခြင်းတွင် ယူနစ်ရင်းများ (Roots of unity) ဟု လူသိများသော မတူညီသည့် အဖြေ <math>n</math> ခု ရှိသည်။ အာဂန် ပုံကြမ်းတွင် အဆိုပါ ကိန်းရင်းများသည် ယူနစ်စက်ဝိုင်းအတွင်း ဆွဲသားထားသော မှန်ကန်သည့် အနား <math>n</math> ခုပါ ဗဟုဂံ (Polygon) တစ်ခု၏ ထိပ်စွန်းမှတ်များ (Vertices) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။<ref name="Earl2024" /> <math>\mathbb{C}^\times</math> ၏ အဆုံးရှိ အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုရှိ အစုဝင်တိုင်းသည် ယူနစ်ရင်း (root of unity) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{C}^\times</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်ဖြစ်သောကြောင့်]] အဆုံးရှိ အုပ်စုပိုင်း (finite subgroup) တိုင်းသည် ဆိုက်ကလစ်ဖြစ်သည်။ ၎င်းအုပ်စုပိုင်းကို အကြီးဆုံး အစဉ် <math>n \in \mathbb{N}</math> ရှိသော အစုဝင်တစ်ခုမှ ထုတ်လုပ်ပေးပြီး <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ယူနစ်ရင်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းတို့ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ :<math>\left\{ e^{2\pi i \frac{k}{n}} \mid k \in \{0, 1, \dots, n-1\} \right\}</math> ဤအစုဝင်များအားလုံးသည် ယူနစ်စက်ဝိုင်း (unit circle) <math>S^1</math> ပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ အဆုံးရှိ အုပ်စုပိုင်းများအားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုသည် <math>\mathbb{C}^\times</math> ၏ အလိမ် အုပ်စုပိုင်း (torsion subgroup) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ၎င်းသည် စားလဒ်အုပ်စု <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်။ ထိုစားလဒ်အုပ်စုသည် ယူနစ်ရင်းများအားလုံး ပါဝင်သော အုပ်စု <math>\mu_\infty</math> ဖြစ်သည်။ ဤ အလိမ် အုပ်စုပိုင်းသည် ၎င်း၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ပြည့်စုံစေခြင်းဖြစ်သော စက်ဝိုင်းအုပ်စု <math>S^1</math> တွင် သိပ်သည်းသည် (dense)။ <math>S^1</math> သည် 1-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{R}/\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်။ === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental theorem of algebra) === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် အရ မည်သည့် ကိန်းထွေးများ <math>a_0, \dots, a_n</math> အတွက်မဆို <math>a_n \neq 0</math> နှင့် ပိုလီနိုမီရယ်၏ ဒီဂရီ သည် <math>n \ge 1</math> ဖြစ်ပါက <math display=block>a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် <math>\mathbb{C}</math> အတွင်း တိကျစွာ ကိန်းရင်း <math>n</math> ခု ရှိသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ ဤနေရာတွင် ထပ်တူညီသော ကိန်းရင်းများကိုပါ ထည့်သွင်းရေတွက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကြောင့် <math>\mathbb{C}</math> ကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်]] (Algebraically closed field) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ပြင် ကွန်ဂျူဂိတ် ကိန်းရင်း သီအိုရမ်အရ ပိုလီနိုမီရယ်တွင် တိကျစွာ ကိန်းစစ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများသာ ပါဝင်ပါက မည်သည့် ကိန်းထွေး ကိန်းရင်းများမဆို ကွန်ဂျူဂိတ် စုံတွဲများအဖြစ်သာ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z_0</math> သည် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\overline{z_0}</math> သည်လည်း ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်ရမည်။<ref name="Earl2024" /> === အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း နှင့် ပြည့်စုံမှု (Metric space and completeness) === ကိန်းထွေးများအားလုံး ပါဝင်သော ကိန်းထွေးပြင်ညီသည် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (Metric space) တစ်ခုကို ဖန်တီးပေးသည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>x</math> နှင့် <math>y</math> တို့အကြားရှိ သင်္ချာဆိုင်ရာ အကွာအဝေး (Distance) ကို ၎င်းတို့၏ ပကတိတန်ဖိုးကို အသုံးပြု၍ <math>d(x, y) = |x - y|</math> ဟု တိုက်ရိုက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref name="Rudin1976"/> ကိန်းထွေးပြင်ညီသည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (Complete metric space) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ကိန်းထွေးများပါဝင်သော မည်သည့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်|ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) မဆို ကိန်းထွေးတစ်ခုဖြစ်သည့် စုဆုံမှတ် (Limit) တစ်ခုဆီသို့ အောင်မြင်စွာ စုဆုံသည် (Converge) ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်း၌ မည်သည့်ဟာကွက်မျှ မရှိကြောင်းကို ဤအချက်က ဖော်ပြနေသည်။<ref name="Rudin1976"/> === တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ နှင့် ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Extended complex plane and complex analysis) === [[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|upright=0.9|ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် အပေါ်သို့ ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း ဖြင့် ထင်ဟပ်ဖော်ပြခြင်း။]] သင်္ချာပညာရှင်များသည် <math>\mathbb{C}</math> သို့ အနန္တရှိ အမှတ်တစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\infty</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် <math>\mathbb{C}_\infty</math> ဟုခေါ်သော '''တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ''' (Extended complex plane) ကို ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် ၎င်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ကို အလက်ဇန်ဒရော့ဗ် အမှတ်တစ်မှတ် ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း (Alexandroff one-point compactification) ဖြစ်သည်။<ref name="nLab" /> ၎င်းကို ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း (Stereographic projection) မှတစ်ဆင့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုရှိသော ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် တစ်ခုပေါ်သို့ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု]] (Bijective mapping) ဖြင့် ဆက်စပ်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ယင်းကို '''ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင်''' (Riemann sphere) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤရပ်ဝန်းတွင် မျဉ်းများနှင့် စက်ဝိုင်းများကြား ကွဲပြားမှု ပျောက်ကွယ်သွားသည်။ မျဉ်းများကို အနန္တကို ဖြတ်သန်းသွားသော စက်ဝိုင်းများအဖြစ် ရိုးရှင်းစွာ သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> ကိန်းထွေးအလိုက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] ကို တိကျစွာ လေ့လာခြင်းသည် သင်္ချာပညာရပ်၏ အကိုင်းအခက်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အဆိုပါ ဖန်ရှင်များကို ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ (Holomorphic functions) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ထိုပညာရပ်ကို '''ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ''' (Complex analysis) ဟု လူသိများသည်။ ကိန်းထွေးအလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုသည် ကိန်းစစ်အလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုထက် များစွာပို၍ တင်းကျပ်သော အခြေအနေတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များတွင် ထူးခြားသော ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိနေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ၎င်းတို့ကို အနန္တအကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်ခြင်းနှင့် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ဖြင့် သဘာဝကျစွာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်ခြင်းတို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> == ကိုးကားချက်များ (References) == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] kx6o7x39nfibqo1856wpii1h5dxlqyq 0 50044 1049496 1049395 2026-08-20T02:08:28Z Min Agga Maung 147115 /* */ 1049496 wikitext text/x-wiki {{Infobox တက္ကသိုလ် |တက္ကသိုလ်အမည်(မြန်မာအက္ခရာ) = ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ် |တက္ကသိုလ်အမည်(အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ)= Pyay Technological University |တက္ကသိုလ်အမည်(အခြားအက္ခရာ)= |ဒေသအခေါ်အမည် = PTU |တံဆိပ် = Pyay Technological University.jpg |တံဆိပ်စာသား = ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်၏ အမှတ်တံဆိပ် |ဆောင်ပုဒ်(မြန်မာအက္ခရာ) = စက်မှုစွမ်းအား ပြည်ထွန်းကား |ဆောင်ပုဒ်(အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ) = Industrial power flourishes |ဆောင်ပုဒ်(အခြားအက္ခရာ) = |ဘွဲ့နှင်းသဘင်ခန်းမ = |အမျိုးအစား = အများသူငါနှင့်ဆိုင်သော |တည်ထောင်ခုနှစ် = ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်။ |ပါမောက္ခချုပ် = |ဒုတိယပါမောက္ခချုပ် = ဒေါက်တာ မြနန္ဒာလွင် |ဝန်ထမ်းဦးရေ = |သင်ပြသူ ဦးရေ = |ဆရာ ဦးရေ = |ဆရာမ ဦးရေ = |သင်ကြားသူ ဦးရေပေါင်း = |ဘွဲ့ကြို ဦးရေ = |ဘွဲ့လွန် ဦးရေ = |တည်နေရာ = လက်ခုပ်ပင်ရွာ၊ [[ပြည်မြို့]]၊ [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[မြန်မာနိုင်ငံ]] |အကျယ်အဝန်း = ၁၂၃.၃၀ ဧက |ပိုင်ဆိုင်မှု = |ရန်ပုံငွေ = |အဖွဲ့အစည်း = သိပ္ပံနှင့်နည်းပညာဝန်ကြီးဌာန။ ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်အစိုးရ။ |သတင်းစာ = |အထိမ်းအမှတ်အရောင် = |အထိမ်းအမှတ်သတ္တဝါ = |အားကစားအမည် = |ဝဘ်ဆိုတ် = http://www.ptu.edu.mm/ }} '''ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်''' ({{lang-en|Pyay Technological University}}) သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၏ ရှေးကျသော နည်းပညာတက္ကသိုလ်သုံးခုအနက် ([[ရန်ကုန်နည်းပညာတက္ကသိုလ်]]၊ [[မန္တလေးနည်းပညာတက္ကသိုလ်]]၊ [[ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်]]) တွင် တစ်ခုအပါအဝင်ဖြစ်ပြီး [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး (အနောက်ပိုင်း)]]၊ [[ပြည်မြို့]] မှ (၇) မိုင်အကွာ ပြည် - ပေါက်ခေါင်း ကားလမ်းပေါ်ရှိ လက်ခုပ်ပင်ရွာတွင် တည်ရှိသည်။ သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန၊ အဆင့်မြင့်သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဦးစီးဌာန လက်အောက်ရှိ တက္ကသိုလ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[Category:Logos of universities in Myanmar]] [[Category:Logos of universities in Myanmar]] ===သမိုင်းကြောင်း=== ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ(၂)ရက်နေ့တွင် သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန၏ အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ် (၂၇/၉၈)ဖြင့် ပြည်စက်မှုတက္ကသိုလ် အဖြစ် စတင်ဖွဲ့စည်း တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်ကို ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ(၁)ရက်နေ့တွင် စီမံခန့်ခွဲရေးလုပ်ငန်းများကို စတင်ဆောင်ရွက်ခဲ့ပြီး သင်တန်းအသီးသီးကို ၁၉၉၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလ(၂၇)ရက်နေ့တွင် စတင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးရုံး၏ (၂၉.၆.၁၉၉၈)ရက်စွဲပါ အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ်(၇၃/၉၈)အရ ပြည်စက်မှုတက္ကသိုလ်ကို ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်ဟူ၍ ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လ(၁)ရက် နေ့မှစ၍ ပြောင်းလဲတည်ထောင်ခဲ့သည်။ <ref>{{cite web| url=http://most.gov.mm/most2mm/PyayTU.do| title=ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်| accessdate=၂၀၁၄-၁၀-၁၉| Publisher=သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန}}{{Dead link|date=January 2021 }}</ref> ===အင်ဂျင်နီယာ ဘာသာရပ်များ=== အင်ဂျင်နီယာနည်းပညာဘွဲ့ Bachelor of Technology (B-tech)နှင့် အင်ဂျင်နီယာဘွဲ့Bachelor of Engineering (BE) အတွက် သင်ကြားနေသောဘာသာရပ်များမှာ # မြို့ပြအင်ဂျင်နီယာ Civil Engineering # အီလက်ထရောနစ်အင်ဂျင်နီယာ Electronic Engineering # လျှပ်စစ်စွမ်းအားအင်ဂျင်နီယာ Electrical Power Engineering # စက်မှုအင်ဂျင်နီယာ Mechanical Engineering # ကွန်ပျူတာအင်ဂျင်နီယာနှင့်သတင်းအချက်အလက်နည်းပညာ Computer Engineering and Information Technology ===ကျောင်းသားများ=== ၁၉၉၇ မှ ၂၀၀၇ အထိ A.G.T.I ဒီပလိုမာရရှိသော ကျောင်းသား၊သူများအရေအတွက်မှာ (Diploma of A.G.T.I (1997 to 2007)) {| class="wikitable" |- !width="50"|'''Year''' !width="50"|'''Civil''' !width="50"|'''EC''' !width="50"|'''EP''' !width="50"|'''MP ''' !width="50"|'''MT/CNC''' !width="50"|'''IT''' !width="50"|'''MC''' !width="50"|'''PE''' !width="50"|'''Total''' |- |1997,April |3 |6 | | | | | | |9 |- |1997,Dec |139 |102 |102 | | | | | |343 |- |1998 |101 |82 |94 | | | | | |277 |- |1999 |103 |88 |86 | | | | | |277 |- |2000,March |165 |68 |95 | | | | | |328 |- |2000,Nov |173 |86 |123 | | | | | |382 |- | 2002,Jan |123 |162 |145 | | | | | |430 |- |2002,Dec |26 |18 |17 | | | | | |61 |- | 2003,Aug |34 |42 |39 |39 |10 |45 |25 | |234 |- | 2003,Dec |50 |42 |32 |18 |4 |24 | 13 | |183 |- | 2004,No |19 |52 |57 |58 |26 |25 | 22 | |259 |- | 2005,Oct |55 |94 |116 |71 |50 |54 |29 | |469 |- |2006,Sep |63 |70 |70 |73 |48 |42 | 34 | 15 |415 |- | 2007,Nov |67 |47 |53 |30 |20 |29 | 24 | 7 |277 |- |} ၂၀၀၂ မှ ၂၀၀၇ အထိ B.Tech / B.E ဘွဲ့ရရှိသော ကျောင်းသား၊သူများအရေအတွက်မှာ (Graduate of B.Tech/B.E (2002-2007)) {| class="wikitable" |- !width="50"|'''Year''' !width="50"|'''Civil''' !width="50"|'''EC''' !width="50"|'''EP''' !width="50"|'''MECH ''' !width="50"|'''IT''' !width="50"|'''MC''' !width="50"|'''Total''' |- | 2002,Dec(B.Tech) |245 |57 |76 |61 | | |349 |- |2004,Feb(B.Tech) |61 |81 |59 |3 | | | 31 |- |2004,Dec(B.Tech) |8 |10 |13 | | | | 31 |- | 2004,(B.E) |66 |22 |38 |23 | | | 149 |- | 2005,(B.Tech) |32 |15 |31 |25 |34 |16 | 153 |- | 2005,Jan(B.E) |69 |51 |49 |6 | | | 175 |- | 2005,Nov(B.E) |9 |26 |18 | | | | 53 |- | 2006,(B.Tech) |35 |48 |39 |31 |15 |12 | 180 |- | 2006,(B.E) |34 |15 |33 |23 |34 |15 |154 |- |2007,(B.Tech) |59 |43 |38 |58 |34 |17 |249 |- | 2007,(B.E) |31 |44 |27 |27 |11 |9 |149 |- |Total |649 |412 |421 |257 |128 |69 |1936 |- |} ===ကျမ်းကိုး=== {{reflist}} #http://www.most.gov.mm/ptu/index.php{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131001221517/http://www.most.gov.mm/ptu/index.php |date=1 October 2013 }} {{မြန်မာနိုင်ငံရှိတက္ကသိုလ်များ}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ တက္ကသိုလ်နှင့်ကောလိပ်များ]] [[Category:ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးအတွင်းရှိ တက္ကသိုလ်များ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ နည်းပညာတက္ကသိုလ်များ]] o71ma3tapetepajwxe5mf1zocwt7qzn 1049544 1049496 2026-08-20T10:27:58Z Min Agga Maung 147115 1049544 wikitext text/x-wiki {{Infobox တက္ကသိုလ် |တက္ကသိုလ်အမည်(မြန်မာအက္ခရာ) = ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ် |တက္ကသိုလ်အမည်(အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ)= Pyay Technological University |တက္ကသိုလ်အမည်(အခြားအက္ခရာ)= |ဒေသအခေါ်အမည် = PTU |တံဆိပ် = Pyay Technological University.jpg |တံဆိပ်စာသား = ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်၏ အမှတ်တံဆိပ် |ဆောင်ပုဒ်(မြန်မာအက္ခရာ) = စက်မှုစွမ်းအား ပြည်ထွန်းကား |ဆောင်ပုဒ်(အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ) = Industrial power flourishes |ဆောင်ပုဒ်(အခြားအက္ခရာ) = |ဘွဲ့နှင်းသဘင်ခန်းမ = |အမျိုးအစား = အများသူငါနှင့်ဆိုင်သော |တည်ထောင်ခုနှစ် = ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်။ |ပါမောက္ခချုပ် = |ဒုတိယပါမောက္ခချုပ် = ဒေါက်တာ မြနန္ဒာလွင် |ဝန်ထမ်းဦးရေ = |သင်ပြသူ ဦးရေ = |ဆရာ ဦးရေ = |ဆရာမ ဦးရေ = |သင်ကြားသူ ဦးရေပေါင်း = |ဘွဲ့ကြို ဦးရေ = |ဘွဲ့လွန် ဦးရေ = |တည်နေရာ = လက်ခုပ်ပင်ရွာ၊ [[ပြည်မြို့]]၊ [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[မြန်မာနိုင်ငံ]] |အကျယ်အဝန်း = ၁၂၃.၃၀ ဧက |ပိုင်ဆိုင်မှု = |ရန်ပုံငွေ = |အဖွဲ့အစည်း = သိပ္ပံနှင့်နည်းပညာဝန်ကြီးဌာန။ ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်အစိုးရ။ |သတင်းစာ = |အထိမ်းအမှတ်အရောင် = |အထိမ်းအမှတ်သတ္တဝါ = |အားကစားအမည် = |ဝဘ်ဆိုတ် = http://www.ptu.edu.mm/ }} '''ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်''' ({{lang-en|Pyay Technological University}}) သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၏ ရှေးကျသော နည်းပညာတက္ကသိုလ်သုံးခုအနက် ([[ရန်ကုန်နည်းပညာတက္ကသိုလ်]]၊ [[မန္တလေးနည်းပညာတက္ကသိုလ်]]၊ [[ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်]]) တွင် တစ်ခုအပါအဝင်ဖြစ်ပြီး [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး (အနောက်ပိုင်း)]]၊ [[ပြည်မြို့]] မှ (၇) မိုင်အကွာ ပြည် - ပေါက်ခေါင်း ကားလမ်းပေါ်ရှိ လက်ခုပ်ပင်ရွာတွင် တည်ရှိသည်။ သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန၊ အဆင့်မြင့်သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဦးစီးဌာန လက်အောက်ရှိ တက္ကသိုလ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[Category:Logos of universities in Myanmar]] [[Category:Logos of universities in Myanmar]] ===သမိုင်းကြောင်း=== ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ(၂)ရက်နေ့တွင် သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန၏ အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ် (၂၇/၉၈)ဖြင့် ပြည်စက်မှုတက္ကသိုလ် အဖြစ် စတင်ဖွဲ့စည်း တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်ကို ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ(၁)ရက်နေ့တွင် စီမံခန့်ခွဲရေးလုပ်ငန်းများကို စတင်ဆောင်ရွက်ခဲ့ပြီး သင်တန်းအသီးသီးကို ၁၉၉၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလ(၂၇)ရက်နေ့တွင် စတင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးရုံး၏ (၂၉.၆.၁၉၉၈)ရက်စွဲပါ အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ်(၇၃/၉၈)အရ ပြည်စက်မှုတက္ကသိုလ်ကို ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်ဟူ၍ ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လ(၁)ရက် နေ့မှစ၍ ပြောင်းလဲတည်ထောင်ခဲ့သည်။ <ref>{{cite web| url=http://most.gov.mm/most2mm/PyayTU.do| title=ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်| accessdate=၂၀၁၄-၁၀-၁၉| Publisher=သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန}}{{Dead link|date=January 2021 }}</ref> == ဓာတ်ပုံများ == ===အင်ဂျင်နီယာ ဘာသာရပ်များ=== အင်ဂျင်နီယာနည်းပညာဘွဲ့ Bachelor of Technology (B-tech)နှင့် အင်ဂျင်နီယာဘွဲ့Bachelor of Engineering (BE) အတွက် သင်ကြားနေသောဘာသာရပ်များမှာ # မြို့ပြအင်ဂျင်နီယာ Civil Engineering # အီလက်ထရောနစ်အင်ဂျင်နီယာ Electronic Engineering # လျှပ်စစ်စွမ်းအားအင်ဂျင်နီယာ Electrical Power Engineering # စက်မှုအင်ဂျင်နီယာ Mechanical Engineering # ကွန်ပျူတာအင်ဂျင်နီယာနှင့်သတင်းအချက်အလက်နည်းပညာ Computer Engineering and Information Technology ===ကျောင်းသားများ=== ၁၉၉၇ မှ ၂၀၀၇ အထိ A.G.T.I ဒီပလိုမာရရှိသော ကျောင်းသား၊သူများအရေအတွက်မှာ (Diploma of A.G.T.I (1997 to 2007)) {| class="wikitable" |- !width="50"|'''Year''' !width="50"|'''Civil''' !width="50"|'''EC''' !width="50"|'''EP''' !width="50"|'''MP ''' !width="50"|'''MT/CNC''' !width="50"|'''IT''' !width="50"|'''MC''' !width="50"|'''PE''' !width="50"|'''Total''' |- |1997,April |3 |6 | | | | | | |9 |- |1997,Dec |139 |102 |102 | | | | | |343 |- |1998 |101 |82 |94 | | | | | |277 |- |1999 |103 |88 |86 | | | | | |277 |- |2000,March |165 |68 |95 | | | | | |328 |- |2000,Nov |173 |86 |123 | | | | | |382 |- | 2002,Jan |123 |162 |145 | | | | | |430 |- |2002,Dec |26 |18 |17 | | | | | |61 |- | 2003,Aug |34 |42 |39 |39 |10 |45 |25 | |234 |- | 2003,Dec |50 |42 |32 |18 |4 |24 | 13 | |183 |- | 2004,No |19 |52 |57 |58 |26 |25 | 22 | |259 |- | 2005,Oct |55 |94 |116 |71 |50 |54 |29 | |469 |- |2006,Sep |63 |70 |70 |73 |48 |42 | 34 | 15 |415 |- | 2007,Nov |67 |47 |53 |30 |20 |29 | 24 | 7 |277 |- |} ၂၀၀၂ မှ ၂၀၀၇ အထိ B.Tech / B.E ဘွဲ့ရရှိသော ကျောင်းသား၊သူများအရေအတွက်မှာ (Graduate of B.Tech/B.E (2002-2007)) {| class="wikitable" |- !width="50"|'''Year''' !width="50"|'''Civil''' !width="50"|'''EC''' !width="50"|'''EP''' !width="50"|'''MECH ''' !width="50"|'''IT''' !width="50"|'''MC''' !width="50"|'''Total''' |- | 2002,Dec(B.Tech) |245 |57 |76 |61 | | |349 |- |2004,Feb(B.Tech) |61 |81 |59 |3 | | | 31 |- |2004,Dec(B.Tech) |8 |10 |13 | | | | 31 |- | 2004,(B.E) |66 |22 |38 |23 | | | 149 |- | 2005,(B.Tech) |32 |15 |31 |25 |34 |16 | 153 |- | 2005,Jan(B.E) |69 |51 |49 |6 | | | 175 |- | 2005,Nov(B.E) |9 |26 |18 | | | | 53 |- | 2006,(B.Tech) |35 |48 |39 |31 |15 |12 | 180 |- | 2006,(B.E) |34 |15 |33 |23 |34 |15 |154 |- |2007,(B.Tech) |59 |43 |38 |58 |34 |17 |249 |- | 2007,(B.E) |31 |44 |27 |27 |11 |9 |149 |- |Total |649 |412 |421 |257 |128 |69 |1936 |- |} ===ကျမ်းကိုး=== {{reflist}} #http://www.most.gov.mm/ptu/index.php{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131001221517/http://www.most.gov.mm/ptu/index.php |date=1 October 2013 }} {{မြန်မာနိုင်ငံရှိတက္ကသိုလ်များ}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ တက္ကသိုလ်နှင့်ကောလိပ်များ]] [[Category:ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးအတွင်းရှိ တက္ကသိုလ်များ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ နည်းပညာတက္ကသိုလ်များ]] 2yixtqxpea01cmy0qcyz7wayniq41rh 1049545 1049544 2026-08-20T10:28:45Z Min Agga Maung 147115 1049545 wikitext text/x-wiki {{Infobox တက္ကသိုလ် |တက္ကသိုလ်အမည်(မြန်မာအက္ခရာ) = ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ် |တက္ကသိုလ်အမည်(အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ)= Pyay Technological University |တက္ကသိုလ်အမည်(အခြားအက္ခရာ)= |ဒေသအခေါ်အမည် = PTU |တံဆိပ် = Pyay Technological University.jpg |တံဆိပ်စာသား = ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်၏ အမှတ်တံဆိပ် |ဆောင်ပုဒ်(မြန်မာအက္ခရာ) = စက်မှုစွမ်းအား ပြည်ထွန်းကား |ဆောင်ပုဒ်(အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ) = Industrial power flourishes |ဆောင်ပုဒ်(အခြားအက္ခရာ) = |ဘွဲ့နှင်းသဘင်ခန်းမ = |အမျိုးအစား = အများသူငါနှင့်ဆိုင်သော |တည်ထောင်ခုနှစ် = ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်။ |ပါမောက္ခချုပ် = |ဒုတိယပါမောက္ခချုပ် = ဒေါက်တာ မြနန္ဒာလွင် |ဝန်ထမ်းဦးရေ = |သင်ပြသူ ဦးရေ = |ဆရာ ဦးရေ = |ဆရာမ ဦးရေ = |သင်ကြားသူ ဦးရေပေါင်း = |ဘွဲ့ကြို ဦးရေ = |ဘွဲ့လွန် ဦးရေ = |တည်နေရာ = လက်ခုပ်ပင်ရွာ၊ [[ပြည်မြို့]]၊ [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[မြန်မာနိုင်ငံ]] |အကျယ်အဝန်း = ၁၂၃.၃၀ ဧက |ပိုင်ဆိုင်မှု = |ရန်ပုံငွေ = |အဖွဲ့အစည်း = သိပ္ပံနှင့်နည်းပညာဝန်ကြီးဌာန။ ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်အစိုးရ။ |သတင်းစာ = |အထိမ်းအမှတ်အရောင် = |အထိမ်းအမှတ်သတ္တဝါ = |အားကစားအမည် = |ဝဘ်ဆိုတ် = http://www.ptu.edu.mm/ }} '''ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်''' ({{lang-en|Pyay Technological University}}) သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၏ ရှေးကျသော နည်းပညာတက္ကသိုလ်သုံးခုအနက် ([[ရန်ကုန်နည်းပညာတက္ကသိုလ်]]၊ [[မန္တလေးနည်းပညာတက္ကသိုလ်]]၊ [[ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်]]) တွင် တစ်ခုအပါအဝင်ဖြစ်ပြီး [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး (အနောက်ပိုင်း)]]၊ [[ပြည်မြို့]] မှ (၇) မိုင်အကွာ ပြည် - ပေါက်ခေါင်း ကားလမ်းပေါ်ရှိ လက်ခုပ်ပင်ရွာတွင် တည်ရှိသည်။ သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန၊ အဆင့်မြင့်သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဦးစီးဌာန လက်အောက်ရှိ တက္ကသိုလ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[Category:Logos of universities in Myanmar]] [[Category:Logos of universities in Myanmar]] ===သမိုင်းကြောင်း=== ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ(၂)ရက်နေ့တွင် သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန၏ အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ် (၂၇/၉၈)ဖြင့် ပြည်စက်မှုတက္ကသိုလ် အဖြစ် စတင်ဖွဲ့စည်း တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်ကို ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ(၁)ရက်နေ့တွင် စီမံခန့်ခွဲရေးလုပ်ငန်းများကို စတင်ဆောင်ရွက်ခဲ့ပြီး သင်တန်းအသီးသီးကို ၁၉၉၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလ(၂၇)ရက်နေ့တွင် စတင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးရုံး၏ (၂၉.၆.၁၉၉၈)ရက်စွဲပါ အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ်(၇၃/၉၈)အရ ပြည်စက်မှုတက္ကသိုလ်ကို ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်ဟူ၍ ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လ(၁)ရက် နေ့မှစ၍ ပြောင်းလဲတည်ထောင်ခဲ့သည်။ <ref>{{cite web| url=http://most.gov.mm/most2mm/PyayTU.do| title=ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်| accessdate=၂၀၁၄-၁၀-၁၉| Publisher=သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန}}{{Dead link|date=January 2021 }}</ref> ===အင်ဂျင်နီယာ ဘာသာရပ်များ=== အင်ဂျင်နီယာနည်းပညာဘွဲ့ Bachelor of Technology (B-tech)နှင့် အင်ဂျင်နီယာဘွဲ့Bachelor of Engineering (BE) အတွက် သင်ကြားနေသောဘာသာရပ်များမှာ # မြို့ပြအင်ဂျင်နီယာ Civil Engineering # အီလက်ထရောနစ်အင်ဂျင်နီယာ Electronic Engineering # လျှပ်စစ်စွမ်းအားအင်ဂျင်နီယာ Electrical Power Engineering # စက်မှုအင်ဂျင်နီယာ Mechanical Engineering # ကွန်ပျူတာအင်ဂျင်နီယာနှင့်သတင်းအချက်အလက်နည်းပညာ Computer Engineering and Information Technology ===ကျောင်းသားများ=== ၁၉၉၇ မှ ၂၀၀၇ အထိ A.G.T.I ဒီပလိုမာရရှိသော ကျောင်းသား၊သူများအရေအတွက်မှာ (Diploma of A.G.T.I (1997 to 2007)) {| class="wikitable" |- !width="50"|'''Year''' !width="50"|'''Civil''' !width="50"|'''EC''' !width="50"|'''EP''' !width="50"|'''MP ''' !width="50"|'''MT/CNC''' !width="50"|'''IT''' !width="50"|'''MC''' !width="50"|'''PE''' !width="50"|'''Total''' |- |1997,April |3 |6 | | | | | | |9 |- |1997,Dec |139 |102 |102 | | | | | |343 |- |1998 |101 |82 |94 | | | | | |277 |- |1999 |103 |88 |86 | | | | | |277 |- |2000,March |165 |68 |95 | | | | | |328 |- |2000,Nov |173 |86 |123 | | | | | |382 |- | 2002,Jan |123 |162 |145 | | | | | |430 |- |2002,Dec |26 |18 |17 | | | | | |61 |- | 2003,Aug |34 |42 |39 |39 |10 |45 |25 | |234 |- | 2003,Dec |50 |42 |32 |18 |4 |24 | 13 | |183 |- | 2004,No |19 |52 |57 |58 |26 |25 | 22 | |259 |- | 2005,Oct |55 |94 |116 |71 |50 |54 |29 | |469 |- |2006,Sep |63 |70 |70 |73 |48 |42 | 34 | 15 |415 |- | 2007,Nov |67 |47 |53 |30 |20 |29 | 24 | 7 |277 |- |} ၂၀၀၂ မှ ၂၀၀၇ အထိ B.Tech / B.E ဘွဲ့ရရှိသော ကျောင်းသား၊သူများအရေအတွက်မှာ (Graduate of B.Tech/B.E (2002-2007)) {| class="wikitable" |- !width="50"|'''Year''' !width="50"|'''Civil''' !width="50"|'''EC''' !width="50"|'''EP''' !width="50"|'''MECH ''' !width="50"|'''IT''' !width="50"|'''MC''' !width="50"|'''Total''' |- | 2002,Dec(B.Tech) |245 |57 |76 |61 | | |349 |- |2004,Feb(B.Tech) |61 |81 |59 |3 | | | 31 |- |2004,Dec(B.Tech) |8 |10 |13 | | | | 31 |- | 2004,(B.E) |66 |22 |38 |23 | | | 149 |- | 2005,(B.Tech) |32 |15 |31 |25 |34 |16 | 153 |- | 2005,Jan(B.E) |69 |51 |49 |6 | | | 175 |- | 2005,Nov(B.E) |9 |26 |18 | | | | 53 |- | 2006,(B.Tech) |35 |48 |39 |31 |15 |12 | 180 |- | 2006,(B.E) |34 |15 |33 |23 |34 |15 |154 |- |2007,(B.Tech) |59 |43 |38 |58 |34 |17 |249 |- | 2007,(B.E) |31 |44 |27 |27 |11 |9 |149 |- |Total |649 |412 |421 |257 |128 |69 |1936 |- |} ===ကျမ်းကိုး=== {{reflist}} #http://www.most.gov.mm/ptu/index.php{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131001221517/http://www.most.gov.mm/ptu/index.php |date=1 October 2013 }} {{မြန်မာနိုင်ငံရှိတက္ကသိုလ်များ}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ တက္ကသိုလ်နှင့်ကောလိပ်များ]] [[Category:ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးအတွင်းရှိ တက္ကသိုလ်များ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ နည်းပညာတက္ကသိုလ်များ]] t05kyazo1gc6zmw1pbktgmio17m2le6 1049546 1049545 2026-08-20T10:31:52Z Min Agga Maung 147115 /* ဓာတ်ပုံများ */ 1049546 wikitext text/x-wiki {{Infobox တက္ကသိုလ် |တက္ကသိုလ်အမည်(မြန်မာအက္ခရာ) = ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ် |တက္ကသိုလ်အမည်(အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ)= Pyay Technological University |တက္ကသိုလ်အမည်(အခြားအက္ခရာ)= |ဒေသအခေါ်အမည် = PTU |တံဆိပ် = Pyay Technological University.jpg |တံဆိပ်စာသား = ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်၏ အမှတ်တံဆိပ် |ဆောင်ပုဒ်(မြန်မာအက္ခရာ) = စက်မှုစွမ်းအား ပြည်ထွန်းကား |ဆောင်ပုဒ်(အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ) = Industrial power flourishes |ဆောင်ပုဒ်(အခြားအက္ခရာ) = |ဘွဲ့နှင်းသဘင်ခန်းမ = |အမျိုးအစား = အများသူငါနှင့်ဆိုင်သော |တည်ထောင်ခုနှစ် = ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်။ |ပါမောက္ခချုပ် = |ဒုတိယပါမောက္ခချုပ် = ဒေါက်တာ မြနန္ဒာလွင် |ဝန်ထမ်းဦးရေ = |သင်ပြသူ ဦးရေ = |ဆရာ ဦးရေ = |ဆရာမ ဦးရေ = |သင်ကြားသူ ဦးရေပေါင်း = |ဘွဲ့ကြို ဦးရေ = |ဘွဲ့လွန် ဦးရေ = |တည်နေရာ = လက်ခုပ်ပင်ရွာ၊ [[ပြည်မြို့]]၊ [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[မြန်မာနိုင်ငံ]] |အကျယ်အဝန်း = ၁၂၃.၃၀ ဧက |ပိုင်ဆိုင်မှု = |ရန်ပုံငွေ = |အဖွဲ့အစည်း = သိပ္ပံနှင့်နည်းပညာဝန်ကြီးဌာန။ ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်အစိုးရ။ |သတင်းစာ = |အထိမ်းအမှတ်အရောင် = |အထိမ်းအမှတ်သတ္တဝါ = |အားကစားအမည် = |ဝဘ်ဆိုတ် = http://www.ptu.edu.mm/ }} '''ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်''' ({{lang-en|Pyay Technological University}}) သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၏ ရှေးကျသော နည်းပညာတက္ကသိုလ်သုံးခုအနက် ([[ရန်ကုန်နည်းပညာတက္ကသိုလ်]]၊ [[မန္တလေးနည်းပညာတက္ကသိုလ်]]၊ [[ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်]]) တွင် တစ်ခုအပါအဝင်ဖြစ်ပြီး [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး (အနောက်ပိုင်း)]]၊ [[ပြည်မြို့]] မှ (၇) မိုင်အကွာ ပြည် - ပေါက်ခေါင်း ကားလမ်းပေါ်ရှိ လက်ခုပ်ပင်ရွာတွင် တည်ရှိသည်။ သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန၊ အဆင့်မြင့်သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဦးစီးဌာန လက်အောက်ရှိ တက္ကသိုလ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[Category:Logos of universities in Myanmar]] [[Category:Logos of universities in Myanmar]] ===သမိုင်းကြောင်း=== ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ(၂)ရက်နေ့တွင် သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန၏ အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ် (၂၇/၉၈)ဖြင့် ပြည်စက်မှုတက္ကသိုလ် အဖြစ် စတင်ဖွဲ့စည်း တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်ကို ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ(၁)ရက်နေ့တွင် စီမံခန့်ခွဲရေးလုပ်ငန်းများကို စတင်ဆောင်ရွက်ခဲ့ပြီး သင်တန်းအသီးသီးကို ၁၉၉၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလ(၂၇)ရက်နေ့တွင် စတင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးရုံး၏ (၂၉.၆.၁၉၉၈)ရက်စွဲပါ အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ်(၇၃/၉၈)အရ ပြည်စက်မှုတက္ကသိုလ်ကို ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်ဟူ၍ ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လ(၁)ရက် နေ့မှစ၍ ပြောင်းလဲတည်ထောင်ခဲ့သည်။ <ref>{{cite web| url=http://most.gov.mm/most2mm/PyayTU.do| title=ပြည်နည်းပညာတက္ကသိုလ်| accessdate=၂၀၁၄-၁၀-၁၉| Publisher=သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန}}{{Dead link|date=January 2021 }}</ref> ===အင်ဂျင်နီယာ ဘာသာရပ်များ=== အင်ဂျင်နီယာနည်းပညာဘွဲ့ Bachelor of Technology (B-tech)နှင့် အင်ဂျင်နီယာဘွဲ့Bachelor of Engineering (BE) အတွက် သင်ကြားနေသောဘာသာရပ်များမှာ # မြို့ပြအင်ဂျင်နီယာ Civil Engineering # အီလက်ထရောနစ်အင်ဂျင်နီယာ Electronic Engineering # လျှပ်စစ်စွမ်းအားအင်ဂျင်နီယာ Electrical Power Engineering # စက်မှုအင်ဂျင်နီယာ Mechanical Engineering # ကွန်ပျူတာအင်ဂျင်နီယာနှင့်သတင်းအချက်အလက်နည်းပညာ Computer Engineering and Information Technology ===ကျောင်းသားများ=== ၁၉၉၇ မှ ၂၀၀၇ အထိ A.G.T.I ဒီပလိုမာရရှိသော ကျောင်းသား၊သူများအရေအတွက်မှာ (Diploma of A.G.T.I (1997 to 2007)) {| class="wikitable" |- !width="50"|'''Year''' !width="50"|'''Civil''' !width="50"|'''EC''' !width="50"|'''EP''' !width="50"|'''MP ''' !width="50"|'''MT/CNC''' !width="50"|'''IT''' !width="50"|'''MC''' !width="50"|'''PE''' !width="50"|'''Total''' |- |1997,April |3 |6 | | | | | | |9 |- |1997,Dec |139 |102 |102 | | | | | |343 |- |1998 |101 |82 |94 | | | | | |277 |- |1999 |103 |88 |86 | | | | | |277 |- |2000,March |165 |68 |95 | | | | | |328 |- |2000,Nov |173 |86 |123 | | | | | |382 |- | 2002,Jan |123 |162 |145 | | | | | |430 |- |2002,Dec |26 |18 |17 | | | | | |61 |- | 2003,Aug |34 |42 |39 |39 |10 |45 |25 | |234 |- | 2003,Dec |50 |42 |32 |18 |4 |24 | 13 | |183 |- | 2004,No |19 |52 |57 |58 |26 |25 | 22 | |259 |- | 2005,Oct |55 |94 |116 |71 |50 |54 |29 | |469 |- |2006,Sep |63 |70 |70 |73 |48 |42 | 34 | 15 |415 |- | 2007,Nov |67 |47 |53 |30 |20 |29 | 24 | 7 |277 |- |} ၂၀၀၂ မှ ၂၀၀၇ အထိ B.Tech / B.E ဘွဲ့ရရှိသော ကျောင်းသား၊သူများအရေအတွက်မှာ (Graduate of B.Tech/B.E (2002-2007)) {| class="wikitable" |- !width="50"|'''Year''' !width="50"|'''Civil''' !width="50"|'''EC''' !width="50"|'''EP''' !width="50"|'''MECH ''' !width="50"|'''IT''' !width="50"|'''MC''' !width="50"|'''Total''' |- | 2002,Dec(B.Tech) |245 |57 |76 |61 | | |349 |- |2004,Feb(B.Tech) |61 |81 |59 |3 | | | 31 |- |2004,Dec(B.Tech) |8 |10 |13 | | | | 31 |- | 2004,(B.E) |66 |22 |38 |23 | | | 149 |- | 2005,(B.Tech) |32 |15 |31 |25 |34 |16 | 153 |- | 2005,Jan(B.E) |69 |51 |49 |6 | | | 175 |- | 2005,Nov(B.E) |9 |26 |18 | | | | 53 |- | 2006,(B.Tech) |35 |48 |39 |31 |15 |12 | 180 |- | 2006,(B.E) |34 |15 |33 |23 |34 |15 |154 |- |2007,(B.Tech) |59 |43 |38 |58 |34 |17 |249 |- | 2007,(B.E) |31 |44 |27 |27 |11 |9 |149 |- |Total |649 |412 |421 |257 |128 |69 |1936 |- |} == ဓာတ်ပုံများ == <gallery> File:Your_Image_Name_1.jpg|အကြောင်းအရာ စာတန်း File:Your_Image_Name_2.jpg|အကြောင်းအရာ စာတန်း </gallery> ===ကျမ်းကိုး=== {{reflist}} #http://www.most.gov.mm/ptu/index.php{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131001221517/http://www.most.gov.mm/ptu/index.php |date=1 October 2013 }} {{မြန်မာနိုင်ငံရှိတက္ကသိုလ်များ}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ တက္ကသိုလ်နှင့်ကောလိပ်များ]] [[Category:ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးအတွင်းရှိ တက္ကသိုလ်များ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ နည်းပညာတက္ကသိုလ်များ]] iwfvcuh1xklaajk2glnu29l88smjcbb 0 50194 1049529 713877 2026-08-20T08:24:15Z Zawzawaungthwin 100038 စာမျက်နှာ ၂ခု ပေါင်းစည်းခဲ့ခြင်း 1049529 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[တောင်လေးလုံးဆရာတော်]] i5twjjhr24dpnz0xlexaw19k5n6dpms 0 51563 1049428 1048016 2026-08-19T15:03:54Z Mkant00 135890 major expansion 1049428 wikitext text/x-wiki {{redirect|ရာရှင်နယ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း|မူလတန်းသုံး အပိုင်းကိန်း|အပိုင်းကိန်း}} '''ရာရှင်နယ်ကိန်း (ခေါ်) အတိပြကိန်း (Rational number)''' ဆိုသည်မှာ [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) နှစ်ခု၏ အချိုး (Quotient) သို့မဟုတ် အပိုင်းကိန်း (Fraction) <math>\frac{a}{b}</math> အနေဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> သည် ကိန်းပြည့်ပိုင်းဝေ (Integer Numerator) ဖြစ်ပြီး <math>b</math> သည် သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်ပိုင်းခြေ (Nonzero Integer Denominator) ဖြစ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\frac{1}{3}</math>၊ <math>\frac{7}{8}</math> နှင့် <math>-\frac{1}{2}</math> စသည်တို့သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ပိုင်းခြေ သုညမဖြစ်ရခြင်းသည် အရေးပါသော ကန့်သတ်ချက် ဖြစ်သည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ [[အစု]] (Set of Rational Numbers) ကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{Q}</math> ဖြင့် ရေးသားဖော်ပြသည်။ ၎င်းသည် ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့် အချိုးဟု အနက်ရသော စကားလုံး Quotient မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤသင်္ကေတကို သင်္ချာပညာရှင် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ၏ ကျမ်းများတွင် စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]] (Set Theory) အရ ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> ကို ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> မှတစ်ဆင့် [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ|အစီအစဉ်ကျအတွဲများ၏]] ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (Equivalence Classes of Ordered Pairs) အဖြစ် ပုံစံတကျ တည်ဆောက်နိုင်သည်။ <math>b \neq 0</math> ဖြစ်သော ကိန်းပြည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(a, b)</math> များအပေါ်တွင် <math>(a, b) \sim (c, d)</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>ad = bc</math> ဖြစ်ခြင်းဟူသော ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (Equivalence Relation) ကို သတ်မှတ်သည်။ ထိုအခါ အပိုင်းကိန်း <math>\frac{a}{b}</math> သည် အဆိုပါ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်အရ <math>(a, b)</math> ပါဝင်သော ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား ဖြစ်လာသည်။ အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Positive Rational Numbers) အစုကို <math>\mathbb{Q}^+</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ရာရှင်နယ်များ (p-adic Rationals) အစုကို <math>\mathbb{Q}_p</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == အုပ်စု သီအိုရီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Group Theory Properties) == === အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>(\mathbb{Q}, +)</math> === ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှု (Addition operation) အောက်တွင် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian Group) သို့မဟုတ် ဖလှယ်ရအုပ်စု (Commutative Group) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် စား၍ရသော [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (Divisible Group) ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အလိုရှိရာ [[အစုဝင်]] <math>a \in \mathbb{Q}</math> နှင့် သုညမဟုတ်သော [[ကိန်းပြည့်]] <math>k</math> တိုင်းအတွက် <math>kx = a</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x \in \mathbb{Q}</math> တည်ရှိသည်။ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}</math> သည် အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ကိန်းပါ အုပ်စု (Finitely Generated Group) မဟုတ်ပေ။ သို့ရာတွင် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ကိန်းပါ [[အုပ်စုပိုင်း]] (Finitely Generated Subgroup) တိုင်းသည် ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (Cyclic Group) ဖြစ်သည်။ ၎င်းအုပ်စုပိုင်းကို <math>\frac{1}{k}</math> သဏ္ဌာန်ရှိသော အစုဝင်တစ်ခုတည်းက ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်ပြီး <math>k</math> သည် ထုတ်လုပ်ကိန်းများ (Generators) ၏ ပိုင်းခြေများအားလုံး မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> တွင် အဆုံးရှိ အညွှန်းကိန်းရှိသော အုပ်စုပိုင်းအစစ်များ (Proper Subgroups of Finite Index) မရှိပေ။ ထို့ပြင် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အုပ်စုပိုင်းအစစ်တိုင်းသည် ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု မဖြစ်နိုင်ပေ။ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}</math> သည် ကိန်းပြည့်များ၏ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math>၊ ကိန်းစစ်များ၏ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{R}</math> နှင့် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ၏]] အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{C}</math> တို့နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] (Isomorphic) မဖြစ်ပေ။ ထို့အတူ <math>\mathbb{Q} \times \mathbb{Z}_2</math> သည်လည်း <math>\mathbb{Q}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် မဖြစ်ပေ။ သို့သော် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (Vector Spaces) အဖြစ် ရှုမြင်ပါက <math>\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{R}^n</math> နှင့် <math>\mathbb{R}</math> တို့သည် အပေါင်းအခြေခံ အဘီလီယန်အုပ်စုများအဖြစ် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ === မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>(\mathbb{Q}^\times, \times)</math> === သုညကို ဖယ်ထုတ်ထားသော ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q} \setminus \{0\}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{Q}^\times</math> နှင့် အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}^+</math> တို့သည် မြှောက်ခြင်း လုပ်ငန်းစဉ်အောက်တွင် ထပ်တူရအစုဝင် (Identity Element) <math>1</math> ပါရှိသော [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] ဖြစ်ကြသည်။ အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}^+</math> ကို [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime Number) <math>p</math> များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>\{1/p \mid p \text{ is a prime}\}</math> ဟူသည့် အစုက ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}^\times</math> သည် <math>\mathbb{R}^\times</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}^\times</math> တို့နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] မဖြစ်ပေ။ === စားလဒ်အုပ်စု <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> === အပေါင်းအခြေခံ စားလဒ်အုပ်စု (Quotient Group) <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကိုဆက်များ (Cosets) ဖြစ်ကြသည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်းရှိ <math>\mathbb{Z}</math> ၏ ကိုဆက်တိုင်းတွင် <math>0 \leq q < 1</math> အပိုင်းအခြားအတွင်း ကျရောက်သော ကိုယ်စားပြု ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>q</math> တစ်ခုတည်းသာ အတိအကျ ပါဝင်သည်။ <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်တိုင်းသည် အဆုံးရှိ အစဉ် (Finite Order) ရှိသော်လည်း ဤအုပ်စုအတွင်း၌ အလိုရှိသလောက် ကြီးမားသော အစဉ်ရှိသည့် အစုဝင်များ ပါဝင်သည်။ <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathbb{C}^\times</math> အတွင်းရှိ ယူနစ်ရင်းများ (Roots of Unity) အားလုံးပါဝင်သော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စုနှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> ကဲ့သို့ပင် <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည်လည်း စား၍ရသော အုပ်စု ဖြစ်ပြီး အဆုံးရှိ အညွှန်းကိန်းရှိသော အုပ်စုပိုင်းအစစ်များ မရှိပေ။ == ကွင်း နှင့် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Ring and Field Theory Properties) == === ဖီးလ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံနှင့် ဝိသေသတန်ဖိုး=== ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် <math>1 \neq 0</math> ဖြစ်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (Commutative Ring with Identity) ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (Multiplicative Inverse) တည်ရှိသောကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (Integral Domain) ဖြစ်သော ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> ၏ ပုံစံတကျ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (Field of Fractions) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\mathbb{Z}</math> ကို ငုံထားသော တစ်ခုတည်းသီးသန့် အသေးငယ်ဆုံး ဖီးလ်ဒ် ဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုး (Characteristic) သည် သုည ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> တစ်ခုတွင် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော ကွင်းပိုင်း (Subring) ပါဝင်ပါက ထိုကွင်းပိုင်းမှ ထုတ်လုပ်ပေးသော <math>F</math> ၏ သုဒ္ဓ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Prime Subfield) သည် <math>\mathbb{Q}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းစစ်ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{R}</math> ၏ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) မဆို <math>\mathbb{Q}</math> ကို ငုံထားရမည် ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် ဝိသေသတန်ဖိုး သုညရှိသောကြောင့် ပြည့်စုံသော ဖီးလ်ဒ် (Perfect Field) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် (Irreducible Polynomial) တိုင်းသည် ခွဲထုတ်၍ရသော ပိုလီနိုမီရယ် (Separable Polynomial) ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက် (Finite Extension) တိုင်းသည် ခွဲထုတ်၍ရသော တိုးချဲ့ချက်များ (Separable Extensions) ဖြစ်ကြသည်။ === ဒုတိယထပ်ကိန်းရင်း ဖီးလ်ဒ်များ (Quadratic Fields) === <math>D</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်း၌ နှစ်ထပ်ကိန်း (Perfect Square) မဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Q}(\sqrt{D}) = \{a + b\sqrt{D} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}</math> သည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>D > 0</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် <math>\mathbb{R}</math> ၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော အစုဝင် <math>a + b\sqrt{D}</math> တိုင်း၏ ပြောင်းပြန်ကို <math>\frac{a - b\sqrt{D}}{a^2 - Db^2}</math> ဖြင့် ပေးသည်။ == ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်းများ နှင့် ဆမခွဲနိုင်မှု (Polynomial Rings and Irreducibility) == <math>\mathbb{Q}</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Polynomial Ring) <math>\mathbb{Q}[x]</math> သည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်း (Euclidean Domain)၊ ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း (Principal Ideal Domain) နှင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲရ ဒိုမိန်း (Unique Factorization Domain) ဖြစ်သည်။ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း <math>\mathbb{Q}[x]</math> ၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ်သည် ရာရှင်နယ် ဖန်ရှင်များ (Rational Functions) ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}(x)</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်မြှောက်ဖော်ကိန်းပါ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (Polynomial Ring with Integer Coefficients) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ်သည်လည်း <math>\mathbb{Q}(x)</math> ပင် ဖြစ်သည်။ === ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်း သီအိုရမ် (Rational Root Theorem) === <math>p(x) = a_n x^n + \dots + a_0</math> သည် [[ကိန်းပြည့်]] မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါရှိသော ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အကယ်၍ အရှင်းဆုံးပုံစံ (Lowest Terms) ရှိသော ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\frac{r}{s}</math> သည် <math>p(x)</math> ၏ ကိန်းရင်း (Root) ဖြစ်ပါက <math>r</math> သည် ကိန်းသေကိန်း (Constant Term) <math>a_0</math> ၏ ဆခွဲကိန်း ဖြစ်ပြီး <math>s</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း (Leading Coefficient) <math>a_n</math> ၏ ဆခွဲကိန်း ဖြစ်သည်။ အကျိုးဆက်သီအိုရမ် (Corollary) အနေဖြင့် <math>p(x)</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း <math>1</math> ဖြစ်သော မိုးနစ် ပိုလီနိုမီရယ် (Monic Polynomial) ဖြစ်ပါက ၎င်း၏ ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်းတိုင်းသည် ကိန်းပြည့်များသာ ဖြစ်ရမည်။ === ဂေါက်စ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် နှင့် အိုင်ဆင်စတိုင်း စံသတ်မှတ်ချက် === ဂေါက်စ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Gauss' Lemma) အရ ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါသော ပိုလီနိုမီရယ် <math>p(x)</math> သည် <math>\mathbb{Z}[x]</math> အတွင်း၌ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်းသည် <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်း၌ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အိုင်ဆင်စတိုင်း စံသတ်မှတ်ချက် (Eisenstein's Criterion) အရ ပိုလီနိုမီရယ် <math>f(x) \in \mathbb{Z}[x]</math> အတွက် [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> တစ်ခုရှိ၍ <math>p</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်းမှလွဲ၍ ကျန်မြှောက်ဖော်ကိန်းအားလုံးကို စားပြတ်ပြီး <math>p^2</math> သည် ကိန်းသေကိန်းကို စား၍မပြတ်ပါက <math>f(x)</math> သည် ရာရှင်နယ် ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်း၌ ဆမခွဲနိုင်ပေ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>n \geq 2</math> အတွက် <math>x^n - p</math> တွင် ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်းများ မရှိနိုင်ပေ။ == မော်ဂျူး နှင့် ဗက်တာရပ်ဝန်း သီအိုရီ (Module and Vector Space Theory) == === <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] အဖြစ် <math>\mathbb{Q}</math> === [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုတိုင်းသည်]] <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး (<math>\mathbb{Z}</math>-module) ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> သည် ပုံမှန် ကိန်းပြည့်မြှောက်ခြင်း သက်ရောက်ချက်အောက်တွင် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် အင်ဂျက်တစ် မော်ဂျူး (Injective Module) ဖြစ်ပြီး ဤဂုဏ်သတ္တိသည် ၎င်းအား စား၍ရသော အဘီလီယန်အုပ်စု ဖြစ်ခြင်းနှင့် တိုက်ရိုက် တူညီသည်။ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အင်ဂျက်တစ် အဖုံးအုပ် (Injective Hull သို့မဟုတ် Injective Envelope) သည် <math>\mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် တိကျမှုထိန်းသိမ်းပေး မော်ဂျူး (Flat Module) ဖြစ်သော်လည်း ပရိုဂျက်တစ် မော်ဂျူး (Projective Module) မဟုတ်ပေ။ စားလဒ် မော်ဂျူး <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည် အင်ဂျက်တစ် မော်ဂျူး ဖြစ်သော်လည်း တိကျမှုထိန်းသိမ်းပေး မော်ဂျူး မဟုတ်ပေ။ === တန်ဆာ မြှောက်လဒ်များ (Tensor Products) === အကယ်၍ <math>A</math> သည် အဆုံးရှိ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Finite Abelian Group) သို့မဟုတ် အလိမ် အဘီလီယန်အုပ်စု (Torsion Abelian Group) တစ်ခု ဖြစ်ပါက တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (Tensor Product) <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} A = 0</math> ဖြစ်သည်။ အဆုံးရှိ အဘီလီယန်အုပ်စုတစ်ခု၏ [[စကေလာ|စကေလာများ]] (Scalars) ကို ရာရှင်နယ်ကိန်းများသို့ တိုးချဲ့လိုက်ပါက [[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးတစ်ခုလုံး]] သုညသို့ ပြိုကျသွားသည်။ ထို့ပြင် <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}/\mathbb{Z} = 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}^n \cong \mathbb{Q}^n</math> လည်း ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}</math> နှင့် <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}</math> တို့သည် ဘယ် <math>\mathbb{Q}</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]] (Left <math>\mathbb{Q}</math>-modules) အဖြစ် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြပြီး <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာ ၁ ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (1-dimensional Vector Spaces) ဖြစ်ကြသည်။ === ဗက်တာရပ်ဝန်း တည်ဆောက်ပုံ === <math>\mathbb{Q}</math> ကို ၎င်း၏အပေါ်၌ ပြန်လည်အခြေခံသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] ၁ ရှိသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector Space) အဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ <math>n \in \mathbb{Z}^+</math> အတွက် <math>\mathbb{Q}^n</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများအပေါ် အခြေခံသည့် စံ အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း (Standard n-dimensional Vector Space) သို့မဟုတ် အဖိုင်း ရပ်ဝန်း (Affine Space) ဖြစ်သည်။ == ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီ နှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ (Galois Theory and Algebraic Number Theory) == === ကိန်းရင်းများနှင့် ကိန်းလွန်များ === <math>\mathbb{C}</math> အတွင်းရှိ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဖြစ်သော (Algebraic over <math>\mathbb{Q}</math>) [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] အားလုံး၏ [[အစု]]သည် ကိန်းရင်းများ (Algebraic Numbers) ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (Countable Set) ဖြစ်သောကြောင့် ဒီဂရီ (Degree) တစ်ခုချင်းစီအလိုက် <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်းရှိ ပိုလီနိုမီရယ်များ၏ အရေအတွက်သည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ကိန်းရင်းများအားလုံး၏ အစု <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> သည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်များအစု <math>\mathbb{R}</math> သည် ရေတွက်၍မရသောအစု (Uncountable Set) ဖြစ်ပြီး <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း၌ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ မဟုတ်သော ကိန်းလွန်များ (Transcendental Numbers) ဖြစ်သည့် <math>\pi</math> နှင့် <math>e</math> စသည်တို့ အနန္တအပြား ရေတွက်၍မရအောင် တည်ရှိနေကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ === ကိန်း ဖီးလ်ဒ်များနှင့် ကိန်းပြည့်ရင်းများ === <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ [[ဖီးလ်ဒ်]] တိုးချဲ့ချက်ကို ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (Number Field) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> ၏ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ချက်အတွင်း၌မဆို ပါဝင်သော အစုဝင် <math>\alpha</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ် (Minimal Polynomial) သည် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများသာ ပါရှိပါက ထိုအစုဝင်ကို ကိန်းပြည့်ရင်း (Algebraic Integer) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်း၌သာ သီးသန့်တည်ရှိသော ကိန်းပြည့်ရင်းများသည် ပုံမှန် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ပင် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဒုတိယထပ်ကိန်း တိုးချဲ့ချက် (Quadratic Extension) ဖြစ်ပါက နှစ်ထပ်ကိန်းကင်းစင်သော ကိန်းပြည့် (Squarefree Integer) <math>D</math> အတွက် <math>K = \mathbb{Q}(\sqrt{D})</math> အဖြစ် ရေးသားနိုင်သည်။ ဤတိုးချဲ့ချက်အတွင်းရှိ ကိန်းပြည့်ရင်းများ၏ ကွင်းသည် <math>D \equiv 2, 3 \pmod 4</math> ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Z}[\sqrt{D}]</math> ဖြစ်ပြီး <math>D \equiv 1 \pmod 4</math> ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{D}}{2}]</math> ဖြစ်သည်။ === ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီနှင့် ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ဖီးလ်ဒ်များ === ပရစ်မစ်တစ် အစုဝင် သီအိုရမ် (Primitive Element Theorem) အရ ဝိသေသတန်ဖိုး သုညရှိသော ဖီးလ်ဒ်၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက်တိုင်းသည် ရိုးရှင်းသော တိုးချဲ့ချက် (Simple Extension) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက်တိုင်းကို [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခုတည်း]] ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် ထုတ်လုပ်နိုင်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})</math> ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် <math>x^n - 1</math> ၏ ကိန်းရင်းအားလုံးပါ ဖီးလ်ဒ် (Splitting Field) ကို <math>\mathbb{Q}(\zeta_n)</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ယူနစ်ရင်းများ၏ ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ဖီးလ်ဒ် (Cyclotomic Field) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ၎င်း၏ ဒီဂရီသည် အွိုင်လာ၏ တိုးရှန့် [[ဖန်ရှင်]] (Euler's Totient Function) <math>\phi(n)</math> နှင့် တိကျစွာ ညီမျှပြီး ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois Group) သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] ဖြစ်သည်။ ကရိုနက်ကာ-ဝီဘာ သီအိုရမ် (Kronecker-Weber Theorem) အရ <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ အဘီလီယန် ဂယ်လ်ဝါ တိုးချဲ့ချက် (Abelian Galois Extension) တိုင်းသည် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် တိုးချဲ့ချက်တစ်ခုခုအတွင်း၌ အမြဲတမ်း ပါဝင်နေသည်။ ထို့ပြင် ကိန်းပြည့် <math>n</math> တိုင်းအတွက် ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စု (Symmetric Group) <math>S_n</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခု၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုအဖြစ် အမြဲတမ်း ဖြစ်တည်နိုင်သည်။ အမှန်စင်စစ်အားဖြင့် <math>\mathbb{Z}[x]</math> အတွင်း၌ <math>S_n</math> ကို ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုအဖြစ် ပိုင်ဆိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ်များ အနန္တတိုင်အောင် တည်ရှိသည်။ == ပုံမှန်ပုံစံ နှင့် တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းများ (Canonical Forms, and Valuations) == === ရာရှင်နယ် ပုံမှန်ပုံစံ === မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (Linear Transformation) သို့မဟုတ် ကိန်းအုံ (Matrix) တစ်ခု၏ ရာရှင်နယ် ပုံမှန်ပုံစံ (Rational Canonical Form) သည် အဆိုပါ ကိန်းအုံ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သော မူလ[[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အတွင်း၌သာ အပြည့်အဝ တွက်ချက်ဖော်ထုတ်နိုင်သော ပုံစံ ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}</math> ဖြစ်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ (Eigenvalues) ပါဝင်ရန်အတွက် ဖီးလ်ဒ်ကို ထပ်မံတိုးချဲ့ရန် လိုအပ်သော ဂျော်ဒန် ပုံမှန်ပုံစံ (Jordan Canonical Form) နှင့် မတူဘဲ မူလဖီးလ်ဒ်အတွင်း၌သာ တည်ရှိနိုင်သည်။ === <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းနှင့် ပြည့်စုံစေခြင်း === ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> တွင် [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> တိုင်းအတွက် သီးခြားဖြစ်သော [[P-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း|<math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic Valuation) <math>v_p</math> တည်ရှိသည်။ သုညမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\frac{a}{b}</math> တိုင်းကို <math>a_1</math> နှင့် <math>b_1</math> တို့သည် <math>p</math> နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓ (Relatively Prime သို့မဟုတ် Coprime) ဖြစ်သည့် <math>p^n(\frac{a_1}{b_1})</math> သဏ္ဌာန်ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ရေးသားနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် [[ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> သည် <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ချက် ဖြစ်သည်။ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{Q}</math> ကို <math>p</math>-အခြေခံကိန်း အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Metric) ဖြင့် ပြည့်စုံစေခြင်း (Completion) ပြုလုပ်ပါက <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများ (p-adic Numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}_p</math> ကို ရရှိသည်။ === ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သုံးခုတွဲများ (Pythagorean Triples) === ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ညီမျှခြင်း <math>a^2 + b^2 = 1</math> အတွက် ရာရှင်နယ် အဖြေများ <math>a, b \in \mathbb{Q}</math> ကို အလိုရှိရာ ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>s, t \in \mathbb{Q}</math> တို့အတွက် <math>a = \frac{s^2 - t^2}{s^2 + t^2}</math> နှင့် <math>b = \frac{2st}{s^2 + t^2}</math> ဟူ၍ ကိန်းရှင်ကြားခံညီမျှခြင်းများ (Parameterization) ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004}} * {{Citation |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Rational Number |work=MathWorld |url=http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html}} [[ကဏ္ဍ:အခြေခံ_သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ]] m22yp3xergef8ocvmq7aflgf07iofd1 1049429 1049428 2026-08-19T15:05:20Z Mkant00 135890 1049429 wikitext text/x-wiki {{redirect|ရာရှင်နယ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း|မူလတန်းသုံး အပိုင်းကိန်း|အပိုင်းကိန်း}} '''ရာရှင်နယ်ကိန်း (ခေါ်) အတိပြကိန်း (Rational number)''' ဆိုသည်မှာ [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) နှစ်ခု၏ အချိုး (Quotient) သို့မဟုတ် အပိုင်းကိန်း (Fraction) <math>\frac{a}{b}</math> အနေဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> သည် ကိန်းပြည့်ပိုင်းဝေ (Integer Numerator) ဖြစ်ပြီး <math>b</math> သည် သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်ပိုင်းခြေ (Nonzero Integer Denominator) ဖြစ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\frac{1}{3}</math>၊ <math>\frac{7}{8}</math> နှင့် <math>-\frac{1}{2}</math> စသည်တို့သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ပိုင်းခြေ သုညမဖြစ်ရခြင်းသည် အရေးပါသော ကန့်သတ်ချက် ဖြစ်သည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ [[အစု]] (Set of Rational Numbers) ကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{Q}</math> ဖြင့် ရေးသားဖော်ပြသည်။ ၎င်းသည် ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့် အချိုးဟု အနက်ရသော စကားလုံး Quotient မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤသင်္ကေတကို သင်္ချာပညာရှင် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ၏ ကျမ်းများတွင် စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]] (Set Theory) အရ ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> ကို ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> မှတစ်ဆင့် [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ|အစီအစဉ်ကျအတွဲများ၏]] ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (Equivalence Classes of Ordered Pairs) အဖြစ် ပုံစံတကျ တည်ဆောက်နိုင်သည်။ <math>b \neq 0</math> ဖြစ်သော ကိန်းပြည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(a, b)</math> များအပေါ်တွင် <math>(a, b) \sim (c, d)</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>ad = bc</math> ဖြစ်ခြင်းဟူသော ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (Equivalence Relation) ကို သတ်မှတ်သည်။ ထိုအခါ အပိုင်းကိန်း <math>\frac{a}{b}</math> သည် အဆိုပါ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်အရ <math>(a, b)</math> ပါဝင်သော ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား ဖြစ်လာသည်။ အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Positive Rational Numbers) အစုကို <math>\mathbb{Q}^+</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ရာရှင်နယ်များ (p-adic Rationals) အစုကို <math>\mathbb{Q}_p</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == အုပ်စု သီအိုရီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Group Theory Properties) == === အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>(\mathbb{Q}, +)</math> === ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှု (Addition operation) အောက်တွင် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian Group) သို့မဟုတ် ဖလှယ်ရအုပ်စု (Commutative Group) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် စား၍ရသော [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (Divisible Group) ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အလိုရှိရာ [[အစုဝင်]] <math>a \in \mathbb{Q}</math> နှင့် သုညမဟုတ်သော [[ကိန်းပြည့်]] <math>k</math> တိုင်းအတွက် <math>kx = a</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x \in \mathbb{Q}</math> တည်ရှိသည်။ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}</math> သည် အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ကိန်းပါ အုပ်စု (Finitely Generated Group) မဟုတ်ပေ။ သို့ရာတွင် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ကိန်းပါ [[အုပ်စုပိုင်း]] (Finitely Generated Subgroup) တိုင်းသည် ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (Cyclic Group) ဖြစ်သည်။ ၎င်းအုပ်စုပိုင်းကို <math>\frac{1}{k}</math> သဏ္ဌာန်ရှိသော အစုဝင်တစ်ခုတည်းက ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်ပြီး <math>k</math> သည် ထုတ်လုပ်ကိန်းများ (Generators) ၏ ပိုင်းခြေများအားလုံး မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> တွင် အဆုံးရှိ အညွှန်းကိန်းရှိသော အုပ်စုပိုင်းအစစ်များ (Proper Subgroups of Finite Index) မရှိပေ။ ထို့ပြင် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အုပ်စုပိုင်းအစစ်တိုင်းသည် ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု မဖြစ်နိုင်ပေ။ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}</math> သည် ကိန်းပြည့်များ၏ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math>၊ ကိန်းစစ်များ၏ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{R}</math> နှင့် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ၏]] အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{C}</math> တို့နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] (Isomorphic) မဖြစ်ပေ။ ထို့အတူ <math>\mathbb{Q} \times \mathbb{Z}_2</math> သည်လည်း <math>\mathbb{Q}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် မဖြစ်ပေ။ သို့သော် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (Vector Spaces) အဖြစ် ရှုမြင်ပါက <math>\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{R}^n</math> နှင့် <math>\mathbb{R}</math> တို့သည် အပေါင်းအခြေခံ အဘီလီယန်အုပ်စုများအဖြစ် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ === မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>(\mathbb{Q}^\times, \times)</math> === သုညကို ဖယ်ထုတ်ထားသော ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q} \setminus \{0\}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{Q}^\times</math> နှင့် အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}^+</math> တို့သည် မြှောက်ခြင်း လုပ်ငန်းစဉ်အောက်တွင် ထပ်တူရအစုဝင် (Identity Element) <math>1</math> ပါရှိသော [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] ဖြစ်ကြသည်။ အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}^+</math> ကို [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime Number) <math>p</math> များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>\{1/p \mid p \text{ is a prime}\}</math> ဟူသည့် အစုက ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}^\times</math> သည် <math>\mathbb{R}^\times</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}^\times</math> တို့နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] မဖြစ်ပေ။ === စားလဒ်အုပ်စု <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> === အပေါင်းအခြေခံ စားလဒ်အုပ်စု (Quotient Group) <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကိုဆက်များ (Cosets) ဖြစ်ကြသည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်းရှိ <math>\mathbb{Z}</math> ၏ ကိုဆက်တိုင်းတွင် <math>0 \leq q < 1</math> အပိုင်းအခြားအတွင်း ကျရောက်သော ကိုယ်စားပြု ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>q</math> တစ်ခုတည်းသာ အတိအကျ ပါဝင်သည်။ <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်တိုင်းသည် အဆုံးရှိ အစဉ် (Finite Order) ရှိသော်လည်း ဤအုပ်စုအတွင်း၌ အလိုရှိသလောက် ကြီးမားသော အစဉ်ရှိသည့် အစုဝင်များ ပါဝင်သည်။ <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathbb{C}^\times</math> အတွင်းရှိ ယူနစ်ရင်းများ (Roots of Unity) အားလုံးပါဝင်သော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စုနှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> ကဲ့သို့ပင် <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည်လည်း စား၍ရသော အုပ်စု ဖြစ်ပြီး အဆုံးရှိ အညွှန်းကိန်းရှိသော အုပ်စုပိုင်းအစစ်များ မရှိပေ။ == ကွင်း နှင့် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Ring and Field Theory Properties) == === ဖီးလ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံနှင့် ဝိသေသတန်ဖိုး=== ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် <math>1 \neq 0</math> ဖြစ်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (Commutative Ring with Identity) ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (Multiplicative Inverse) တည်ရှိသောကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (Integral Domain) ဖြစ်သော ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> ၏ ပုံစံတကျ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (Field of Fractions) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\mathbb{Z}</math> ကို ငုံထားသော တစ်ခုတည်းသီးသန့် အသေးငယ်ဆုံး ဖီးလ်ဒ် ဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုး (Characteristic) သည် သုည ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> တစ်ခုတွင် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော ကွင်းပိုင်း (Subring) ပါဝင်ပါက ထိုကွင်းပိုင်းမှ ထုတ်လုပ်ပေးသော <math>F</math> ၏ သုဒ္ဓ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Prime Subfield) သည် <math>\mathbb{Q}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းစစ်ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{R}</math> ၏ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) မဆို <math>\mathbb{Q}</math> ကို ငုံထားရမည် ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် ဝိသေသတန်ဖိုး သုညရှိသောကြောင့် ပြည့်စုံသော ဖီးလ်ဒ် (Perfect Field) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် (Irreducible Polynomial) တိုင်းသည် ခွဲထုတ်၍ရသော ပိုလီနိုမီရယ် (Separable Polynomial) ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက် (Finite Extension) တိုင်းသည် ခွဲထုတ်၍ရသော တိုးချဲ့ချက်များ (Separable Extensions) ဖြစ်ကြသည်။ === ဒုတိယထပ်ကိန်းရင်း ဖီးလ်ဒ်များ (Quadratic Fields) === <math>D</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်း၌ နှစ်ထပ်ကိန်း (Perfect Square) မဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Q}(\sqrt{D}) = \{a + b\sqrt{D} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}</math> သည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>D > 0</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် <math>\mathbb{R}</math> ၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော အစုဝင် <math>a + b\sqrt{D}</math> တိုင်း၏ ပြောင်းပြန်ကို <math>\frac{a - b\sqrt{D}}{a^2 - Db^2}</math> ဖြင့် ပေးသည်။ == ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်းများ နှင့် ဆမခွဲနိုင်မှု (Polynomial Rings and Irreducibility) == <math>\mathbb{Q}</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Polynomial Ring) <math>\mathbb{Q}[x]</math> သည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်း (Euclidean Domain)၊ ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း (Principal Ideal Domain) နှင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲရ ဒိုမိန်း (Unique Factorization Domain) ဖြစ်သည်။ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း <math>\mathbb{Q}[x]</math> ၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ်သည် ရာရှင်နယ် ဖန်ရှင်များ (Rational Functions) ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}(x)</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်မြှောက်ဖော်ကိန်းပါ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (Polynomial Ring with Integer Coefficients) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ်သည်လည်း <math>\mathbb{Q}(x)</math> ပင် ဖြစ်သည်။ === ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်း သီအိုရမ် (Rational Root Theorem) === <math>p(x) = a_n x^n + \dots + a_0</math> သည် [[ကိန်းပြည့်]] မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါရှိသော ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အကယ်၍ အရှင်းဆုံးပုံစံ (Lowest Terms) ရှိသော ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\frac{r}{s}</math> သည် <math>p(x)</math> ၏ ကိန်းရင်း (Root) ဖြစ်ပါက <math>r</math> သည် ကိန်းသေကိန်း (Constant Term) <math>a_0</math> ၏ ဆခွဲကိန်း ဖြစ်ပြီး <math>s</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း (Leading Coefficient) <math>a_n</math> ၏ ဆခွဲကိန်း ဖြစ်သည်။ အကျိုးဆက်သီအိုရမ် (Corollary) အနေဖြင့် <math>p(x)</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း <math>1</math> ဖြစ်သော မိုးနစ် ပိုလီနိုမီရယ် (Monic Polynomial) ဖြစ်ပါက ၎င်း၏ ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်းတိုင်းသည် ကိန်းပြည့်များသာ ဖြစ်ရမည်။ === ဂေါက်စ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် နှင့် အိုင်ဆင်စတိုင်း စံသတ်မှတ်ချက် === ဂေါက်စ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Gauss' Lemma) အရ ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါသော ပိုလီနိုမီရယ် <math>p(x)</math> သည် <math>\mathbb{Z}[x]</math> အတွင်း၌ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်းသည် <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်း၌ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အိုင်ဆင်စတိုင်း စံသတ်မှတ်ချက် (Eisenstein's Criterion) အရ ပိုလီနိုမီရယ် <math>f(x) \in \mathbb{Z}[x]</math> အတွက် [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> တစ်ခုရှိ၍ <math>p</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်းမှလွဲ၍ ကျန်မြှောက်ဖော်ကိန်းအားလုံးကို စားပြတ်ပြီး <math>p^2</math> သည် ကိန်းသေကိန်းကို စား၍မပြတ်ပါက <math>f(x)</math> သည် ရာရှင်နယ် ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်း၌ ဆမခွဲနိုင်ပေ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>n \geq 2</math> အတွက် <math>x^n - p</math> တွင် ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်းများ မရှိနိုင်ပေ။ == မော်ဂျူး နှင့် ဗက်တာရပ်ဝန်း သီအိုရီ (Module and Vector Space Theory) == === <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] အဖြစ် <math>\mathbb{Q}</math> === [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုတိုင်းသည်]] <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး (<math>\mathbb{Z}</math>-module) ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> သည် ပုံမှန် ကိန်းပြည့်မြှောက်ခြင်း သက်ရောက်ချက်အောက်တွင် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် အင်ဂျက်တစ် မော်ဂျူး (Injective Module) ဖြစ်ပြီး ဤဂုဏ်သတ္တိသည် ၎င်းအား စား၍ရသော အဘီလီယန်အုပ်စု ဖြစ်ခြင်းနှင့် တိုက်ရိုက် တူညီသည်။ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အင်ဂျက်တစ် အဖုံးအုပ် (Injective Hull သို့မဟုတ် Injective Envelope) သည် <math>\mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် တိကျမှုထိန်းသိမ်းပေး မော်ဂျူး (Flat Module) ဖြစ်သော်လည်း ပရိုဂျက်တစ် မော်ဂျူး (Projective Module) မဟုတ်ပေ။ စားလဒ် မော်ဂျူး <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည် အင်ဂျက်တစ် မော်ဂျူး ဖြစ်သော်လည်း တိကျမှုထိန်းသိမ်းပေး မော်ဂျူး မဟုတ်ပေ။ === တန်ဆာ မြှောက်လဒ်များ (Tensor Products) === အကယ်၍ <math>A</math> သည် အဆုံးရှိ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Finite Abelian Group) သို့မဟုတ် အလိမ် အဘီလီယန်အုပ်စု (Torsion Abelian Group) တစ်ခု ဖြစ်ပါက တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (Tensor Product) <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} A = 0</math> ဖြစ်သည်။ အဆုံးရှိ အဘီလီယန်အုပ်စုတစ်ခု၏ [[စကေလာ|စကေလာများ]] (Scalars) ကို ရာရှင်နယ်ကိန်းများသို့ တိုးချဲ့လိုက်ပါက [[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးတစ်ခုလုံး]] သုညသို့ ပြိုကျသွားသည်။ ထို့ပြင် <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}/\mathbb{Z} = 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}^n \cong \mathbb{Q}^n</math> လည်း ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}</math> နှင့် <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}</math> တို့သည် ဘယ် <math>\mathbb{Q}</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]] (Left <math>\mathbb{Q}</math>-modules) အဖြစ် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြပြီး <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာ ၁ ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (1-dimensional Vector Spaces) ဖြစ်ကြသည်။ === ဗက်တာရပ်ဝန်း တည်ဆောက်ပုံ === <math>\mathbb{Q}</math> ကို ၎င်း၏အပေါ်၌ ပြန်လည်အခြေခံသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] ၁ ရှိသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector Space) အဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ <math>n \in \mathbb{Z}^+</math> အတွက် <math>\mathbb{Q}^n</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများအပေါ် အခြေခံသည့် စံ အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း (Standard n-dimensional Vector Space) သို့မဟုတ် အဖိုင်း ရပ်ဝန်း (Affine Space) ဖြစ်သည်။ == ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီ နှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ (Galois Theory and Algebraic Number Theory) == === ကိန်းရင်းများနှင့် ကိန်းလွန်များ === <math>\mathbb{C}</math> အတွင်းရှိ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဖြစ်သော (Algebraic over <math>\mathbb{Q}</math>) [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] အားလုံး၏ [[အစု]]သည် ကိန်းရင်းများ (Algebraic Numbers) ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (Countable Set) ဖြစ်သောကြောင့် ဒီဂရီ (Degree) တစ်ခုချင်းစီအလိုက် <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်းရှိ ပိုလီနိုမီရယ်များ၏ အရေအတွက်သည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ကိန်းရင်းများအားလုံး၏ အစု <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> သည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်များအစု <math>\mathbb{R}</math> သည် ရေတွက်၍မရသောအစု (Uncountable Set) ဖြစ်ပြီး <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း၌ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ မဟုတ်သော ကိန်းလွန်များ (Transcendental Numbers) ဖြစ်သည့် <math>\pi</math> နှင့် <math>e</math> စသည်တို့ အနန္တအပြား ရေတွက်၍မရအောင် တည်ရှိနေကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ === ကိန်း ဖီးလ်ဒ်များနှင့် ကိန်းပြည့်ရင်းများ === <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ [[ဖီးလ်ဒ်]] တိုးချဲ့ချက်ကို ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (Number Field) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> ၏ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ချက်အတွင်း၌မဆို ပါဝင်သော အစုဝင် <math>\alpha</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ် (Minimal Polynomial) သည် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများသာ ပါရှိပါက ထိုအစုဝင်ကို ကိန်းပြည့်ရင်း (Algebraic Integer) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်း၌သာ သီးသန့်တည်ရှိသော ကိန်းပြည့်ရင်းများသည် ပုံမှန် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ပင် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဒုတိယထပ်ကိန်း တိုးချဲ့ချက် (Quadratic Extension) ဖြစ်ပါက နှစ်ထပ်ကိန်းကင်းစင်သော ကိန်းပြည့် (Squarefree Integer) <math>D</math> အတွက် <math>K = \mathbb{Q}(\sqrt{D})</math> အဖြစ် ရေးသားနိုင်သည်။ ဤတိုးချဲ့ချက်အတွင်းရှိ ကိန်းပြည့်ရင်းများ၏ ကွင်းသည် <math>D \equiv 2, 3 \pmod 4</math> ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Z}[\sqrt{D}]</math> ဖြစ်ပြီး <math>D \equiv 1 \pmod 4</math> ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{D}}{2}]</math> ဖြစ်သည်။ === ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီနှင့် ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ဖီးလ်ဒ်များ === ပရစ်မစ်တစ် အစုဝင် သီအိုရမ် (Primitive Element Theorem) အရ ဝိသေသတန်ဖိုး သုညရှိသော ဖီးလ်ဒ်၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက်တိုင်းသည် ရိုးရှင်းသော တိုးချဲ့ချက် (Simple Extension) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက်တိုင်းကို [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခုတည်း]] ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် ထုတ်လုပ်နိုင်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})</math> ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် <math>x^n - 1</math> ၏ ကိန်းရင်းအားလုံးပါ ဖီးလ်ဒ် (Splitting Field) ကို <math>\mathbb{Q}(\zeta_n)</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ယူနစ်ရင်းများ၏ ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ဖီးလ်ဒ် (Cyclotomic Field) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ၎င်း၏ ဒီဂရီသည် အွိုင်လာ၏ တိုးရှန့် [[ဖန်ရှင်]] (Euler's Totient Function) <math>\phi(n)</math> နှင့် တိကျစွာ ညီမျှပြီး ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois Group) သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] ဖြစ်သည်။ ကရိုနက်ကာ-ဝီဘာ သီအိုရမ် (Kronecker-Weber Theorem) အရ <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ အဘီလီယန် ဂယ်လ်ဝါ တိုးချဲ့ချက် (Abelian Galois Extension) တိုင်းသည် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် တိုးချဲ့ချက်တစ်ခုခုအတွင်း၌ အမြဲတမ်း ပါဝင်နေသည်။ ထို့ပြင် ကိန်းပြည့် <math>n</math> တိုင်းအတွက် ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စု (Symmetric Group) <math>S_n</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခု၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုအဖြစ် အမြဲတမ်း ဖြစ်တည်နိုင်သည်။ အမှန်စင်စစ်အားဖြင့် <math>\mathbb{Z}[x]</math> အတွင်း၌ <math>S_n</math> ကို ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုအဖြစ် ပိုင်ဆိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ်များ အနန္တတိုင်အောင် တည်ရှိသည်။ == ပုံမှန်ပုံစံ နှင့် တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းများ (Canonical Forms, and Valuations) == === ရာရှင်နယ် ပုံမှန်ပုံစံ === မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (Linear Transformation) သို့မဟုတ် ကိန်းအုံ (Matrix) တစ်ခု၏ ရာရှင်နယ် ပုံမှန်ပုံစံ (Rational Canonical Form) သည် အဆိုပါ ကိန်းအုံ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သော မူလ[[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အတွင်း၌သာ အပြည့်အဝ တွက်ချက်ဖော်ထုတ်နိုင်သော ပုံစံ ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}</math> ဖြစ်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ (Eigenvalues) ပါဝင်ရန်အတွက် ဖီးလ်ဒ်ကို ထပ်မံတိုးချဲ့ရန် လိုအပ်သော ဂျော်ဒန် ပုံမှန်ပုံစံ (Jordan Canonical Form) နှင့် မတူဘဲ မူလဖီးလ်ဒ်အတွင်း၌သာ တည်ရှိနိုင်သည်။ === <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းနှင့် ပြည့်စုံစေခြင်း === ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> တွင် [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> တိုင်းအတွက် သီးခြားဖြစ်သော [[P-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း|<math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic Valuation) <math>v_p</math> တည်ရှိသည်။ သုညမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\frac{a}{b}</math> တိုင်းကို <math>a_1</math> နှင့် <math>b_1</math> တို့သည် <math>p</math> နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓ (Relatively Prime သို့မဟုတ် Coprime) ဖြစ်သည့် <math>p^n(\frac{a_1}{b_1})</math> သဏ္ဌာန်ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ရေးသားနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် [[ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> သည် <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ချက် ဖြစ်သည်။ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{Q}</math> ကို <math>p</math>-အခြေခံကိန်း အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Metric) ဖြင့် ပြည့်စုံစေခြင်း (Completion) ပြုလုပ်ပါက <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများ (p-adic Numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}_p</math> ကို ရရှိသည်။ === ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သုံးခုတွဲများ (Pythagorean Triples) === ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ညီမျှခြင်း <math>a^2 + b^2 = 1</math> အတွက် ရာရှင်နယ် အဖြေများ <math>a, b \in \mathbb{Q}</math> ကို အလိုရှိရာ ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>s, t \in \mathbb{Q}</math> တို့အတွက် <math>a = \frac{s^2 - t^2}{s^2 + t^2}</math> နှင့် <math>b = \frac{2st}{s^2 + t^2}</math> ဟူ၍ ကိန်းရှင်ကြားခံညီမျှခြင်းများ (Parameterization) ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004}} * {{Citation |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Rational Number |work=MathWorld |url=http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html}} [[ကဏ္ဍ:အခြေခံ_သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ]] m3c17b6ijf839417s7aqu64qyf7dojr 1049433 1049429 2026-08-19T15:22:48Z Mkant00 135890 added number systems template 1049433 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} {{redirect|ရာရှင်နယ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း|မူလတန်းသုံး အပိုင်းကိန်း|အပိုင်းကိန်း}} '''ရာရှင်နယ်ကိန်း (ခေါ်) အတိပြကိန်း (Rational number)''' ဆိုသည်မှာ [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) နှစ်ခု၏ အချိုး (Quotient) သို့မဟုတ် အပိုင်းကိန်း (Fraction) <math>\frac{a}{b}</math> အနေဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> သည် ကိန်းပြည့်ပိုင်းဝေ (Integer Numerator) ဖြစ်ပြီး <math>b</math> သည် သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်ပိုင်းခြေ (Nonzero Integer Denominator) ဖြစ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\frac{1}{3}</math>၊ <math>\frac{7}{8}</math> နှင့် <math>-\frac{1}{2}</math> စသည်တို့သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ပိုင်းခြေ သုညမဖြစ်ရခြင်းသည် အရေးပါသော ကန့်သတ်ချက် ဖြစ်သည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ [[အစု]] (Set of Rational Numbers) ကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{Q}</math> ဖြင့် ရေးသားဖော်ပြသည်။ ၎င်းသည် ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့် အချိုးဟု အနက်ရသော စကားလုံး Quotient မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤသင်္ကေတကို သင်္ချာပညာရှင် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ၏ ကျမ်းများတွင် စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]] (Set Theory) အရ ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> ကို ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> မှတစ်ဆင့် [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ|အစီအစဉ်ကျအတွဲများ၏]] ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (Equivalence Classes of Ordered Pairs) အဖြစ် ပုံစံတကျ တည်ဆောက်နိုင်သည်။ <math>b \neq 0</math> ဖြစ်သော ကိန်းပြည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(a, b)</math> များအပေါ်တွင် <math>(a, b) \sim (c, d)</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>ad = bc</math> ဖြစ်ခြင်းဟူသော ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (Equivalence Relation) ကို သတ်မှတ်သည်။ ထိုအခါ အပိုင်းကိန်း <math>\frac{a}{b}</math> သည် အဆိုပါ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်အရ <math>(a, b)</math> ပါဝင်သော ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား ဖြစ်လာသည်။ အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Positive Rational Numbers) အစုကို <math>\mathbb{Q}^+</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ရာရှင်နယ်များ (p-adic Rationals) အစုကို <math>\mathbb{Q}_p</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == အုပ်စု သီအိုရီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Group Theory Properties) == === အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>(\mathbb{Q}, +)</math> === ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှု (Addition operation) အောက်တွင် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian Group) သို့မဟုတ် ဖလှယ်ရအုပ်စု (Commutative Group) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် စား၍ရသော [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (Divisible Group) ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အလိုရှိရာ [[အစုဝင်]] <math>a \in \mathbb{Q}</math> နှင့် သုညမဟုတ်သော [[ကိန်းပြည့်]] <math>k</math> တိုင်းအတွက် <math>kx = a</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x \in \mathbb{Q}</math> တည်ရှိသည်။ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}</math> သည် အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ကိန်းပါ အုပ်စု (Finitely Generated Group) မဟုတ်ပေ။ သို့ရာတွင် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ကိန်းပါ [[အုပ်စုပိုင်း]] (Finitely Generated Subgroup) တိုင်းသည် ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (Cyclic Group) ဖြစ်သည်။ ၎င်းအုပ်စုပိုင်းကို <math>\frac{1}{k}</math> သဏ္ဌာန်ရှိသော အစုဝင်တစ်ခုတည်းက ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်ပြီး <math>k</math> သည် ထုတ်လုပ်ကိန်းများ (Generators) ၏ ပိုင်းခြေများအားလုံး မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> တွင် အဆုံးရှိ အညွှန်းကိန်းရှိသော အုပ်စုပိုင်းအစစ်များ (Proper Subgroups of Finite Index) မရှိပေ။ ထို့ပြင် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အုပ်စုပိုင်းအစစ်တိုင်းသည် ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု မဖြစ်နိုင်ပေ။ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}</math> သည် ကိန်းပြည့်များ၏ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math>၊ ကိန်းစစ်များ၏ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{R}</math> နှင့် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ၏]] အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{C}</math> တို့နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] (Isomorphic) မဖြစ်ပေ။ ထို့အတူ <math>\mathbb{Q} \times \mathbb{Z}_2</math> သည်လည်း <math>\mathbb{Q}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် မဖြစ်ပေ။ သို့သော် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (Vector Spaces) အဖြစ် ရှုမြင်ပါက <math>\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{R}^n</math> နှင့် <math>\mathbb{R}</math> တို့သည် အပေါင်းအခြေခံ အဘီလီယန်အုပ်စုများအဖြစ် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ === မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>(\mathbb{Q}^\times, \times)</math> === သုညကို ဖယ်ထုတ်ထားသော ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q} \setminus \{0\}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{Q}^\times</math> နှင့် အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}^+</math> တို့သည် မြှောက်ခြင်း လုပ်ငန်းစဉ်အောက်တွင် ထပ်တူရအစုဝင် (Identity Element) <math>1</math> ပါရှိသော [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] ဖြစ်ကြသည်။ အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}^+</math> ကို [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime Number) <math>p</math> များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>\{1/p \mid p \text{ is a prime}\}</math> ဟူသည့် အစုက ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}^\times</math> သည် <math>\mathbb{R}^\times</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}^\times</math> တို့နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] မဖြစ်ပေ။ === စားလဒ်အုပ်စု <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> === အပေါင်းအခြေခံ စားလဒ်အုပ်စု (Quotient Group) <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကိုဆက်များ (Cosets) ဖြစ်ကြသည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်းရှိ <math>\mathbb{Z}</math> ၏ ကိုဆက်တိုင်းတွင် <math>0 \leq q < 1</math> အပိုင်းအခြားအတွင်း ကျရောက်သော ကိုယ်စားပြု ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>q</math> တစ်ခုတည်းသာ အတိအကျ ပါဝင်သည်။ <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်တိုင်းသည် အဆုံးရှိ အစဉ် (Finite Order) ရှိသော်လည်း ဤအုပ်စုအတွင်း၌ အလိုရှိသလောက် ကြီးမားသော အစဉ်ရှိသည့် အစုဝင်များ ပါဝင်သည်။ <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathbb{C}^\times</math> အတွင်းရှိ ယူနစ်ရင်းများ (Roots of Unity) အားလုံးပါဝင်သော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စုနှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> ကဲ့သို့ပင် <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည်လည်း စား၍ရသော အုပ်စု ဖြစ်ပြီး အဆုံးရှိ အညွှန်းကိန်းရှိသော အုပ်စုပိုင်းအစစ်များ မရှိပေ။ == ကွင်း နှင့် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Ring and Field Theory Properties) == === ဖီးလ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံနှင့် ဝိသေသတန်ဖိုး=== ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် <math>1 \neq 0</math> ဖြစ်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (Commutative Ring with Identity) ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (Multiplicative Inverse) တည်ရှိသောကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (Integral Domain) ဖြစ်သော ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> ၏ ပုံစံတကျ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (Field of Fractions) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\mathbb{Z}</math> ကို ငုံထားသော တစ်ခုတည်းသီးသန့် အသေးငယ်ဆုံး ဖီးလ်ဒ် ဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုး (Characteristic) သည် သုည ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> တစ်ခုတွင် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော ကွင်းပိုင်း (Subring) ပါဝင်ပါက ထိုကွင်းပိုင်းမှ ထုတ်လုပ်ပေးသော <math>F</math> ၏ သုဒ္ဓ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Prime Subfield) သည် <math>\mathbb{Q}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းစစ်ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{R}</math> ၏ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) မဆို <math>\mathbb{Q}</math> ကို ငုံထားရမည် ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် ဝိသေသတန်ဖိုး သုညရှိသောကြောင့် ပြည့်စုံသော ဖီးလ်ဒ် (Perfect Field) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် (Irreducible Polynomial) တိုင်းသည် ခွဲထုတ်၍ရသော ပိုလီနိုမီရယ် (Separable Polynomial) ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက် (Finite Extension) တိုင်းသည် ခွဲထုတ်၍ရသော တိုးချဲ့ချက်များ (Separable Extensions) ဖြစ်ကြသည်။ === ဒုတိယထပ်ကိန်းရင်း ဖီးလ်ဒ်များ (Quadratic Fields) === <math>D</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်း၌ နှစ်ထပ်ကိန်း (Perfect Square) မဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Q}(\sqrt{D}) = \{a + b\sqrt{D} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}</math> သည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>D > 0</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် <math>\mathbb{R}</math> ၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော အစုဝင် <math>a + b\sqrt{D}</math> တိုင်း၏ ပြောင်းပြန်ကို <math>\frac{a - b\sqrt{D}}{a^2 - Db^2}</math> ဖြင့် ပေးသည်။ == ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်းများ နှင့် ဆမခွဲနိုင်မှု (Polynomial Rings and Irreducibility) == <math>\mathbb{Q}</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Polynomial Ring) <math>\mathbb{Q}[x]</math> သည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်း (Euclidean Domain)၊ ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း (Principal Ideal Domain) နှင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲရ ဒိုမိန်း (Unique Factorization Domain) ဖြစ်သည်။ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း <math>\mathbb{Q}[x]</math> ၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ်သည် ရာရှင်နယ် ဖန်ရှင်များ (Rational Functions) ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}(x)</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်မြှောက်ဖော်ကိန်းပါ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (Polynomial Ring with Integer Coefficients) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ်သည်လည်း <math>\mathbb{Q}(x)</math> ပင် ဖြစ်သည်။ === ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်း သီအိုရမ် (Rational Root Theorem) === <math>p(x) = a_n x^n + \dots + a_0</math> သည် [[ကိန်းပြည့်]] မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါရှိသော ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အကယ်၍ အရှင်းဆုံးပုံစံ (Lowest Terms) ရှိသော ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\frac{r}{s}</math> သည် <math>p(x)</math> ၏ ကိန်းရင်း (Root) ဖြစ်ပါက <math>r</math> သည် ကိန်းသေကိန်း (Constant Term) <math>a_0</math> ၏ ဆခွဲကိန်း ဖြစ်ပြီး <math>s</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း (Leading Coefficient) <math>a_n</math> ၏ ဆခွဲကိန်း ဖြစ်သည်။ အကျိုးဆက်သီအိုရမ် (Corollary) အနေဖြင့် <math>p(x)</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း <math>1</math> ဖြစ်သော မိုးနစ် ပိုလီနိုမီရယ် (Monic Polynomial) ဖြစ်ပါက ၎င်း၏ ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်းတိုင်းသည် ကိန်းပြည့်များသာ ဖြစ်ရမည်။ === ဂေါက်စ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် နှင့် အိုင်ဆင်စတိုင်း စံသတ်မှတ်ချက် === ဂေါက်စ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Gauss' Lemma) အရ ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါသော ပိုလီနိုမီရယ် <math>p(x)</math> သည် <math>\mathbb{Z}[x]</math> အတွင်း၌ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်းသည် <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်း၌ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အိုင်ဆင်စတိုင်း စံသတ်မှတ်ချက် (Eisenstein's Criterion) အရ ပိုလီနိုမီရယ် <math>f(x) \in \mathbb{Z}[x]</math> အတွက် [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> တစ်ခုရှိ၍ <math>p</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်းမှလွဲ၍ ကျန်မြှောက်ဖော်ကိန်းအားလုံးကို စားပြတ်ပြီး <math>p^2</math> သည် ကိန်းသေကိန်းကို စား၍မပြတ်ပါက <math>f(x)</math> သည် ရာရှင်နယ် ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်း၌ ဆမခွဲနိုင်ပေ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>n \geq 2</math> အတွက် <math>x^n - p</math> တွင် ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်းများ မရှိနိုင်ပေ။ == မော်ဂျူး နှင့် ဗက်တာရပ်ဝန်း သီအိုရီ (Module and Vector Space Theory) == === <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] အဖြစ် <math>\mathbb{Q}</math> === [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုတိုင်းသည်]] <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး (<math>\mathbb{Z}</math>-module) ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> သည် ပုံမှန် ကိန်းပြည့်မြှောက်ခြင်း သက်ရောက်ချက်အောက်တွင် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် အင်ဂျက်တစ် မော်ဂျူး (Injective Module) ဖြစ်ပြီး ဤဂုဏ်သတ္တိသည် ၎င်းအား စား၍ရသော အဘီလီယန်အုပ်စု ဖြစ်ခြင်းနှင့် တိုက်ရိုက် တူညီသည်။ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အင်ဂျက်တစ် အဖုံးအုပ် (Injective Hull သို့မဟုတ် Injective Envelope) သည် <math>\mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် တိကျမှုထိန်းသိမ်းပေး မော်ဂျူး (Flat Module) ဖြစ်သော်လည်း ပရိုဂျက်တစ် မော်ဂျူး (Projective Module) မဟုတ်ပေ။ စားလဒ် မော်ဂျူး <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည် အင်ဂျက်တစ် မော်ဂျူး ဖြစ်သော်လည်း တိကျမှုထိန်းသိမ်းပေး မော်ဂျူး မဟုတ်ပေ။ === တန်ဆာ မြှောက်လဒ်များ (Tensor Products) === အကယ်၍ <math>A</math> သည် အဆုံးရှိ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Finite Abelian Group) သို့မဟုတ် အလိမ် အဘီလီယန်အုပ်စု (Torsion Abelian Group) တစ်ခု ဖြစ်ပါက တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (Tensor Product) <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} A = 0</math> ဖြစ်သည်။ အဆုံးရှိ အဘီလီယန်အုပ်စုတစ်ခု၏ [[စကေလာ|စကေလာများ]] (Scalars) ကို ရာရှင်နယ်ကိန်းများသို့ တိုးချဲ့လိုက်ပါက [[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးတစ်ခုလုံး]] သုညသို့ ပြိုကျသွားသည်။ ထို့ပြင် <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}/\mathbb{Z} = 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}^n \cong \mathbb{Q}^n</math> လည်း ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}</math> နှင့် <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}</math> တို့သည် ဘယ် <math>\mathbb{Q}</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]] (Left <math>\mathbb{Q}</math>-modules) အဖြစ် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြပြီး <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာ ၁ ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (1-dimensional Vector Spaces) ဖြစ်ကြသည်။ === ဗက်တာရပ်ဝန်း တည်ဆောက်ပုံ === <math>\mathbb{Q}</math> ကို ၎င်း၏အပေါ်၌ ပြန်လည်အခြေခံသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] ၁ ရှိသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector Space) အဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ <math>n \in \mathbb{Z}^+</math> အတွက် <math>\mathbb{Q}^n</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများအပေါ် အခြေခံသည့် စံ အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း (Standard n-dimensional Vector Space) သို့မဟုတ် အဖိုင်း ရပ်ဝန်း (Affine Space) ဖြစ်သည်။ == ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီ နှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ (Galois Theory and Algebraic Number Theory) == === ကိန်းရင်းများနှင့် ကိန်းလွန်များ === <math>\mathbb{C}</math> အတွင်းရှိ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဖြစ်သော (Algebraic over <math>\mathbb{Q}</math>) [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] အားလုံး၏ [[အစု]]သည် ကိန်းရင်းများ (Algebraic Numbers) ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (Countable Set) ဖြစ်သောကြောင့် ဒီဂရီ (Degree) တစ်ခုချင်းစီအလိုက် <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်းရှိ ပိုလီနိုမီရယ်များ၏ အရေအတွက်သည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ကိန်းရင်းများအားလုံး၏ အစု <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> သည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်များအစု <math>\mathbb{R}</math> သည် ရေတွက်၍မရသောအစု (Uncountable Set) ဖြစ်ပြီး <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း၌ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ မဟုတ်သော ကိန်းလွန်များ (Transcendental Numbers) ဖြစ်သည့် <math>\pi</math> နှင့် <math>e</math> စသည်တို့ အနန္တအပြား ရေတွက်၍မရအောင် တည်ရှိနေကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ === ကိန်း ဖီးလ်ဒ်များနှင့် ကိန်းပြည့်ရင်းများ === <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ [[ဖီးလ်ဒ်]] တိုးချဲ့ချက်ကို ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (Number Field) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> ၏ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ချက်အတွင်း၌မဆို ပါဝင်သော အစုဝင် <math>\alpha</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ် (Minimal Polynomial) သည် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများသာ ပါရှိပါက ထိုအစုဝင်ကို ကိန်းပြည့်ရင်း (Algebraic Integer) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်း၌သာ သီးသန့်တည်ရှိသော ကိန်းပြည့်ရင်းများသည် ပုံမှန် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ပင် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဒုတိယထပ်ကိန်း တိုးချဲ့ချက် (Quadratic Extension) ဖြစ်ပါက နှစ်ထပ်ကိန်းကင်းစင်သော ကိန်းပြည့် (Squarefree Integer) <math>D</math> အတွက် <math>K = \mathbb{Q}(\sqrt{D})</math> အဖြစ် ရေးသားနိုင်သည်။ ဤတိုးချဲ့ချက်အတွင်းရှိ ကိန်းပြည့်ရင်းများ၏ ကွင်းသည် <math>D \equiv 2, 3 \pmod 4</math> ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Z}[\sqrt{D}]</math> ဖြစ်ပြီး <math>D \equiv 1 \pmod 4</math> ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{D}}{2}]</math> ဖြစ်သည်။ === ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီနှင့် ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ဖီးလ်ဒ်များ === ပရစ်မစ်တစ် အစုဝင် သီအိုရမ် (Primitive Element Theorem) အရ ဝိသေသတန်ဖိုး သုညရှိသော ဖီးလ်ဒ်၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက်တိုင်းသည် ရိုးရှင်းသော တိုးချဲ့ချက် (Simple Extension) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက်တိုင်းကို [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခုတည်း]] ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် ထုတ်လုပ်နိုင်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})</math> ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် <math>x^n - 1</math> ၏ ကိန်းရင်းအားလုံးပါ ဖီးလ်ဒ် (Splitting Field) ကို <math>\mathbb{Q}(\zeta_n)</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ယူနစ်ရင်းများ၏ ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ဖီးလ်ဒ် (Cyclotomic Field) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ၎င်း၏ ဒီဂရီသည် အွိုင်လာ၏ တိုးရှန့် [[ဖန်ရှင်]] (Euler's Totient Function) <math>\phi(n)</math> နှင့် တိကျစွာ ညီမျှပြီး ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois Group) သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] ဖြစ်သည်။ ကရိုနက်ကာ-ဝီဘာ သီအိုရမ် (Kronecker-Weber Theorem) အရ <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ အဘီလီယန် ဂယ်လ်ဝါ တိုးချဲ့ချက် (Abelian Galois Extension) တိုင်းသည် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် တိုးချဲ့ချက်တစ်ခုခုအတွင်း၌ အမြဲတမ်း ပါဝင်နေသည်။ ထို့ပြင် ကိန်းပြည့် <math>n</math> တိုင်းအတွက် ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စု (Symmetric Group) <math>S_n</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခု၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုအဖြစ် အမြဲတမ်း ဖြစ်တည်နိုင်သည်။ အမှန်စင်စစ်အားဖြင့် <math>\mathbb{Z}[x]</math> အတွင်း၌ <math>S_n</math> ကို ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုအဖြစ် ပိုင်ဆိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ်များ အနန္တတိုင်အောင် တည်ရှိသည်။ == ပုံမှန်ပုံစံ နှင့် တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းများ (Canonical Forms, and Valuations) == === ရာရှင်နယ် ပုံမှန်ပုံစံ === မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (Linear Transformation) သို့မဟုတ် ကိန်းအုံ (Matrix) တစ်ခု၏ ရာရှင်နယ် ပုံမှန်ပုံစံ (Rational Canonical Form) သည် အဆိုပါ ကိန်းအုံ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သော မူလ[[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အတွင်း၌သာ အပြည့်အဝ တွက်ချက်ဖော်ထုတ်နိုင်သော ပုံစံ ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}</math> ဖြစ်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ (Eigenvalues) ပါဝင်ရန်အတွက် ဖီးလ်ဒ်ကို ထပ်မံတိုးချဲ့ရန် လိုအပ်သော ဂျော်ဒန် ပုံမှန်ပုံစံ (Jordan Canonical Form) နှင့် မတူဘဲ မူလဖီးလ်ဒ်အတွင်း၌သာ တည်ရှိနိုင်သည်။ === <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းနှင့် ပြည့်စုံစေခြင်း === ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> တွင် [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> တိုင်းအတွက် သီးခြားဖြစ်သော [[P-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း|<math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic Valuation) <math>v_p</math> တည်ရှိသည်။ သုညမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\frac{a}{b}</math> တိုင်းကို <math>a_1</math> နှင့် <math>b_1</math> တို့သည် <math>p</math> နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓ (Relatively Prime သို့မဟုတ် Coprime) ဖြစ်သည့် <math>p^n(\frac{a_1}{b_1})</math> သဏ္ဌာန်ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ရေးသားနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် [[ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> သည် <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ချက် ဖြစ်သည်။ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{Q}</math> ကို <math>p</math>-အခြေခံကိန်း အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Metric) ဖြင့် ပြည့်စုံစေခြင်း (Completion) ပြုလုပ်ပါက <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများ (p-adic Numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}_p</math> ကို ရရှိသည်။ === ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သုံးခုတွဲများ (Pythagorean Triples) === ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ညီမျှခြင်း <math>a^2 + b^2 = 1</math> အတွက် ရာရှင်နယ် အဖြေများ <math>a, b \in \mathbb{Q}</math> ကို အလိုရှိရာ ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>s, t \in \mathbb{Q}</math> တို့အတွက် <math>a = \frac{s^2 - t^2}{s^2 + t^2}</math> နှင့် <math>b = \frac{2st}{s^2 + t^2}</math> ဟူ၍ ကိန်းရှင်ကြားခံညီမျှခြင်းများ (Parameterization) ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004}} * {{Citation |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Rational Number |work=MathWorld |url=http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html}} [[ကဏ္ဍ:အခြေခံ_သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ]] 1mgdai8xgugxfx7f6z57ca6tg7ofhh9 1049440 1049433 2026-08-19T16:22:47Z Mkant00 135890 to distinguish between permutation group and symmetric group 1049440 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} {{redirect|ရာရှင်နယ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း|မူလတန်းသုံး အပိုင်းကိန်း|အပိုင်းကိန်း}} '''ရာရှင်နယ်ကိန်း (ခေါ်) အတိပြကိန်း (Rational number)''' ဆိုသည်မှာ [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) နှစ်ခု၏ အချိုး (Quotient) သို့မဟုတ် အပိုင်းကိန်း (Fraction) <math>\frac{a}{b}</math> အနေဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> သည် ကိန်းပြည့်ပိုင်းဝေ (Integer Numerator) ဖြစ်ပြီး <math>b</math> သည် သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်ပိုင်းခြေ (Nonzero Integer Denominator) ဖြစ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\frac{1}{3}</math>၊ <math>\frac{7}{8}</math> နှင့် <math>-\frac{1}{2}</math> စသည်တို့သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ပိုင်းခြေ သုညမဖြစ်ရခြင်းသည် အရေးပါသော ကန့်သတ်ချက် ဖြစ်သည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ [[အစု]] (Set of Rational Numbers) ကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{Q}</math> ဖြင့် ရေးသားဖော်ပြသည်။ ၎င်းသည် ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့် အချိုးဟု အနက်ရသော စကားလုံး Quotient မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤသင်္ကေတကို သင်္ချာပညာရှင် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ၏ ကျမ်းများတွင် စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]] (Set Theory) အရ ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> ကို ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> မှတစ်ဆင့် [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ|အစီအစဉ်ကျအတွဲများ၏]] ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (Equivalence Classes of Ordered Pairs) အဖြစ် ပုံစံတကျ တည်ဆောက်နိုင်သည်။ <math>b \neq 0</math> ဖြစ်သော ကိန်းပြည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(a, b)</math> များအပေါ်တွင် <math>(a, b) \sim (c, d)</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>ad = bc</math> ဖြစ်ခြင်းဟူသော ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (Equivalence Relation) ကို သတ်မှတ်သည်။ ထိုအခါ အပိုင်းကိန်း <math>\frac{a}{b}</math> သည် အဆိုပါ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်အရ <math>(a, b)</math> ပါဝင်သော ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား ဖြစ်လာသည်။ အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Positive Rational Numbers) အစုကို <math>\mathbb{Q}^+</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ရာရှင်နယ်များ (p-adic Rationals) အစုကို <math>\mathbb{Q}_p</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == အုပ်စု သီအိုရီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Group Theory Properties) == === အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>(\mathbb{Q}, +)</math> === ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှု (Addition operation) အောက်တွင် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian Group) သို့မဟုတ် ဖလှယ်ရအုပ်စု (Commutative Group) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် စား၍ရသော [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (Divisible Group) ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အလိုရှိရာ [[အစုဝင်]] <math>a \in \mathbb{Q}</math> နှင့် သုညမဟုတ်သော [[ကိန်းပြည့်]] <math>k</math> တိုင်းအတွက် <math>kx = a</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x \in \mathbb{Q}</math> တည်ရှိသည်။ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}</math> သည် အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ကိန်းပါ အုပ်စု (Finitely Generated Group) မဟုတ်ပေ။ သို့ရာတွင် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ကိန်းပါ [[အုပ်စုပိုင်း]] (Finitely Generated Subgroup) တိုင်းသည် ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (Cyclic Group) ဖြစ်သည်။ ၎င်းအုပ်စုပိုင်းကို <math>\frac{1}{k}</math> သဏ္ဌာန်ရှိသော အစုဝင်တစ်ခုတည်းက ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်ပြီး <math>k</math> သည် ထုတ်လုပ်ကိန်းများ (Generators) ၏ ပိုင်းခြေများအားလုံး မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> တွင် အဆုံးရှိ အညွှန်းကိန်းရှိသော အုပ်စုပိုင်းအစစ်များ (Proper Subgroups of Finite Index) မရှိပေ။ ထို့ပြင် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အုပ်စုပိုင်းအစစ်တိုင်းသည် ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု မဖြစ်နိုင်ပေ။ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}</math> သည် ကိန်းပြည့်များ၏ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math>၊ ကိန်းစစ်များ၏ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{R}</math> နှင့် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ၏]] အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{C}</math> တို့နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] (Isomorphic) မဖြစ်ပေ။ ထို့အတူ <math>\mathbb{Q} \times \mathbb{Z}_2</math> သည်လည်း <math>\mathbb{Q}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် မဖြစ်ပေ။ သို့သော် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (Vector Spaces) အဖြစ် ရှုမြင်ပါက <math>\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{R}^n</math> နှင့် <math>\mathbb{R}</math> တို့သည် အပေါင်းအခြေခံ အဘီလီယန်အုပ်စုများအဖြစ် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ === မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>(\mathbb{Q}^\times, \times)</math> === သုညကို ဖယ်ထုတ်ထားသော ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q} \setminus \{0\}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{Q}^\times</math> နှင့် အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}^+</math> တို့သည် မြှောက်ခြင်း လုပ်ငန်းစဉ်အောက်တွင် ထပ်တူရအစုဝင် (Identity Element) <math>1</math> ပါရှိသော [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] ဖြစ်ကြသည်။ အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}^+</math> ကို [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime Number) <math>p</math> များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>\{1/p \mid p \text{ is a prime}\}</math> ဟူသည့် အစုက ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}^\times</math> သည် <math>\mathbb{R}^\times</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}^\times</math> တို့နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] မဖြစ်ပေ။ === စားလဒ်အုပ်စု <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> === အပေါင်းအခြေခံ စားလဒ်အုပ်စု (Quotient Group) <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကိုဆက်များ (Cosets) ဖြစ်ကြသည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်းရှိ <math>\mathbb{Z}</math> ၏ ကိုဆက်တိုင်းတွင် <math>0 \leq q < 1</math> အပိုင်းအခြားအတွင်း ကျရောက်သော ကိုယ်စားပြု ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>q</math> တစ်ခုတည်းသာ အတိအကျ ပါဝင်သည်။ <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်တိုင်းသည် အဆုံးရှိ အစဉ် (Finite Order) ရှိသော်လည်း ဤအုပ်စုအတွင်း၌ အလိုရှိသလောက် ကြီးမားသော အစဉ်ရှိသည့် အစုဝင်များ ပါဝင်သည်။ <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathbb{C}^\times</math> အတွင်းရှိ ယူနစ်ရင်းများ (Roots of Unity) အားလုံးပါဝင်သော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စုနှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> ကဲ့သို့ပင် <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည်လည်း စား၍ရသော အုပ်စု ဖြစ်ပြီး အဆုံးရှိ အညွှန်းကိန်းရှိသော အုပ်စုပိုင်းအစစ်များ မရှိပေ။ == ကွင်း နှင့် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Ring and Field Theory Properties) == === ဖီးလ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံနှင့် ဝိသေသတန်ဖိုး=== ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် <math>1 \neq 0</math> ဖြစ်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (Commutative Ring with Identity) ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (Multiplicative Inverse) တည်ရှိသောကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (Integral Domain) ဖြစ်သော ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> ၏ ပုံစံတကျ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (Field of Fractions) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\mathbb{Z}</math> ကို ငုံထားသော တစ်ခုတည်းသီးသန့် အသေးငယ်ဆုံး ဖီးလ်ဒ် ဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုး (Characteristic) သည် သုည ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> တစ်ခုတွင် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော ကွင်းပိုင်း (Subring) ပါဝင်ပါက ထိုကွင်းပိုင်းမှ ထုတ်လုပ်ပေးသော <math>F</math> ၏ သုဒ္ဓ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Prime Subfield) သည် <math>\mathbb{Q}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းစစ်ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{R}</math> ၏ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) မဆို <math>\mathbb{Q}</math> ကို ငုံထားရမည် ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် ဝိသေသတန်ဖိုး သုညရှိသောကြောင့် ပြည့်စုံသော ဖီးလ်ဒ် (Perfect Field) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် (Irreducible Polynomial) တိုင်းသည် ခွဲထုတ်၍ရသော ပိုလီနိုမီရယ် (Separable Polynomial) ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက် (Finite Extension) တိုင်းသည် ခွဲထုတ်၍ရသော တိုးချဲ့ချက်များ (Separable Extensions) ဖြစ်ကြသည်။ === ဒုတိယထပ်ကိန်းရင်း ဖီးလ်ဒ်များ (Quadratic Fields) === <math>D</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်း၌ နှစ်ထပ်ကိန်း (Perfect Square) မဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Q}(\sqrt{D}) = \{a + b\sqrt{D} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}</math> သည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>D > 0</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် <math>\mathbb{R}</math> ၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော အစုဝင် <math>a + b\sqrt{D}</math> တိုင်း၏ ပြောင်းပြန်ကို <math>\frac{a - b\sqrt{D}}{a^2 - Db^2}</math> ဖြင့် ပေးသည်။ == ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်းများ နှင့် ဆမခွဲနိုင်မှု (Polynomial Rings and Irreducibility) == <math>\mathbb{Q}</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Polynomial Ring) <math>\mathbb{Q}[x]</math> သည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်း (Euclidean Domain)၊ ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း (Principal Ideal Domain) နှင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲရ ဒိုမိန်း (Unique Factorization Domain) ဖြစ်သည်။ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း <math>\mathbb{Q}[x]</math> ၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ်သည် ရာရှင်နယ် ဖန်ရှင်များ (Rational Functions) ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}(x)</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်မြှောက်ဖော်ကိန်းပါ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (Polynomial Ring with Integer Coefficients) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ်သည်လည်း <math>\mathbb{Q}(x)</math> ပင် ဖြစ်သည်။ === ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်း သီအိုရမ် (Rational Root Theorem) === <math>p(x) = a_n x^n + \dots + a_0</math> သည် [[ကိန်းပြည့်]] မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါရှိသော ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အကယ်၍ အရှင်းဆုံးပုံစံ (Lowest Terms) ရှိသော ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\frac{r}{s}</math> သည် <math>p(x)</math> ၏ ကိန်းရင်း (Root) ဖြစ်ပါက <math>r</math> သည် ကိန်းသေကိန်း (Constant Term) <math>a_0</math> ၏ ဆခွဲကိန်း ဖြစ်ပြီး <math>s</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း (Leading Coefficient) <math>a_n</math> ၏ ဆခွဲကိန်း ဖြစ်သည်။ အကျိုးဆက်သီအိုရမ် (Corollary) အနေဖြင့် <math>p(x)</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း <math>1</math> ဖြစ်သော မိုးနစ် ပိုလီနိုမီရယ် (Monic Polynomial) ဖြစ်ပါက ၎င်း၏ ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်းတိုင်းသည် ကိန်းပြည့်များသာ ဖြစ်ရမည်။ === ဂေါက်စ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် နှင့် အိုင်ဆင်စတိုင်း စံသတ်မှတ်ချက် === ဂေါက်စ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Gauss' Lemma) အရ ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါသော ပိုလီနိုမီရယ် <math>p(x)</math> သည် <math>\mathbb{Z}[x]</math> အတွင်း၌ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်းသည် <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်း၌ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အိုင်ဆင်စတိုင်း စံသတ်မှတ်ချက် (Eisenstein's Criterion) အရ ပိုလီနိုမီရယ် <math>f(x) \in \mathbb{Z}[x]</math> အတွက် [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> တစ်ခုရှိ၍ <math>p</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်းမှလွဲ၍ ကျန်မြှောက်ဖော်ကိန်းအားလုံးကို စားပြတ်ပြီး <math>p^2</math> သည် ကိန်းသေကိန်းကို စား၍မပြတ်ပါက <math>f(x)</math> သည် ရာရှင်နယ် ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်း၌ ဆမခွဲနိုင်ပေ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>n \geq 2</math> အတွက် <math>x^n - p</math> တွင် ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်းများ မရှိနိုင်ပေ။ == မော်ဂျူး နှင့် ဗက်တာရပ်ဝန်း သီအိုရီ (Module and Vector Space Theory) == === <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] အဖြစ် <math>\mathbb{Q}</math> === [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုတိုင်းသည်]] <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး (<math>\mathbb{Z}</math>-module) ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> သည် ပုံမှန် ကိန်းပြည့်မြှောက်ခြင်း သက်ရောက်ချက်အောက်တွင် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် အင်ဂျက်တစ် မော်ဂျူး (Injective Module) ဖြစ်ပြီး ဤဂုဏ်သတ္တိသည် ၎င်းအား စား၍ရသော အဘီလီယန်အုပ်စု ဖြစ်ခြင်းနှင့် တိုက်ရိုက် တူညီသည်။ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အင်ဂျက်တစ် အဖုံးအုပ် (Injective Hull သို့မဟုတ် Injective Envelope) သည် <math>\mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် တိကျမှုထိန်းသိမ်းပေး မော်ဂျူး (Flat Module) ဖြစ်သော်လည်း ပရိုဂျက်တစ် မော်ဂျူး (Projective Module) မဟုတ်ပေ။ စားလဒ် မော်ဂျူး <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည် အင်ဂျက်တစ် မော်ဂျူး ဖြစ်သော်လည်း တိကျမှုထိန်းသိမ်းပေး မော်ဂျူး မဟုတ်ပေ။ === တန်ဆာ မြှောက်လဒ်များ (Tensor Products) === အကယ်၍ <math>A</math> သည် အဆုံးရှိ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Finite Abelian Group) သို့မဟုတ် အလိမ် အဘီလီယန်အုပ်စု (Torsion Abelian Group) တစ်ခု ဖြစ်ပါက တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (Tensor Product) <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} A = 0</math> ဖြစ်သည်။ အဆုံးရှိ အဘီလီယန်အုပ်စုတစ်ခု၏ [[စကေလာ|စကေလာများ]] (Scalars) ကို ရာရှင်နယ်ကိန်းများသို့ တိုးချဲ့လိုက်ပါက [[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးတစ်ခုလုံး]] သုညသို့ ပြိုကျသွားသည်။ ထို့ပြင် <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}/\mathbb{Z} = 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}^n \cong \mathbb{Q}^n</math> လည်း ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}</math> နှင့် <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}</math> တို့သည် ဘယ် <math>\mathbb{Q}</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]] (Left <math>\mathbb{Q}</math>-modules) အဖြစ် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြပြီး <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာ ၁ ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (1-dimensional Vector Spaces) ဖြစ်ကြသည်။ === ဗက်တာရပ်ဝန်း တည်ဆောက်ပုံ === <math>\mathbb{Q}</math> ကို ၎င်း၏အပေါ်၌ ပြန်လည်အခြေခံသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] ၁ ရှိသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector Space) အဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ <math>n \in \mathbb{Z}^+</math> အတွက် <math>\mathbb{Q}^n</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများအပေါ် အခြေခံသည့် စံ အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း (Standard n-dimensional Vector Space) သို့မဟုတ် အဖိုင်း ရပ်ဝန်း (Affine Space) ဖြစ်သည်။ == ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီ နှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ (Galois Theory and Algebraic Number Theory) == === ကိန်းရင်းများနှင့် ကိန်းလွန်များ === <math>\mathbb{C}</math> အတွင်းရှိ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဖြစ်သော (Algebraic over <math>\mathbb{Q}</math>) [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] အားလုံး၏ [[အစု]]သည် ကိန်းရင်းများ (Algebraic Numbers) ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (Countable Set) ဖြစ်သောကြောင့် ဒီဂရီ (Degree) တစ်ခုချင်းစီအလိုက် <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်းရှိ ပိုလီနိုမီရယ်များ၏ အရေအတွက်သည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ကိန်းရင်းများအားလုံး၏ အစု <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> သည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်များအစု <math>\mathbb{R}</math> သည် ရေတွက်၍မရသောအစု (Uncountable Set) ဖြစ်ပြီး <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း၌ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ မဟုတ်သော ကိန်းလွန်များ (Transcendental Numbers) ဖြစ်သည့် <math>\pi</math> နှင့် <math>e</math> စသည်တို့ အနန္တအပြား ရေတွက်၍မရအောင် တည်ရှိနေကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ === ကိန်း ဖီးလ်ဒ်များနှင့် ကိန်းပြည့်ရင်းများ === <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ [[ဖီးလ်ဒ်]] တိုးချဲ့ချက်ကို ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (Number Field) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> ၏ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ချက်အတွင်း၌မဆို ပါဝင်သော အစုဝင် <math>\alpha</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ် (Minimal Polynomial) သည် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများသာ ပါရှိပါက ထိုအစုဝင်ကို ကိန်းပြည့်ရင်း (Algebraic Integer) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်း၌သာ သီးသန့်တည်ရှိသော ကိန်းပြည့်ရင်းများသည် ပုံမှန် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ပင် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဒုတိယထပ်ကိန်း တိုးချဲ့ချက် (Quadratic Extension) ဖြစ်ပါက နှစ်ထပ်ကိန်းကင်းစင်သော ကိန်းပြည့် (Squarefree Integer) <math>D</math> အတွက် <math>K = \mathbb{Q}(\sqrt{D})</math> အဖြစ် ရေးသားနိုင်သည်။ ဤတိုးချဲ့ချက်အတွင်းရှိ ကိန်းပြည့်ရင်းများ၏ ကွင်းသည် <math>D \equiv 2, 3 \pmod 4</math> ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Z}[\sqrt{D}]</math> ဖြစ်ပြီး <math>D \equiv 1 \pmod 4</math> ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{D}}{2}]</math> ဖြစ်သည်။ === ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီနှင့် ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ဖီးလ်ဒ်များ === ပရစ်မစ်တစ် အစုဝင် သီအိုရမ် (Primitive Element Theorem) အရ ဝိသေသတန်ဖိုး သုညရှိသော ဖီးလ်ဒ်၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက်တိုင်းသည် ရိုးရှင်းသော တိုးချဲ့ချက် (Simple Extension) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက်တိုင်းကို [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခုတည်း]] ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် ထုတ်လုပ်နိုင်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})</math> ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် <math>x^n - 1</math> ၏ ကိန်းရင်းအားလုံးပါ ဖီးလ်ဒ် (Splitting Field) ကို <math>\mathbb{Q}(\zeta_n)</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ယူနစ်ရင်းများ၏ ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ဖီးလ်ဒ် (Cyclotomic Field) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ၎င်း၏ ဒီဂရီသည် အွိုင်လာ၏ တိုးရှန့် [[ဖန်ရှင်]] (Euler's Totient Function) <math>\phi(n)</math> နှင့် တိကျစွာ ညီမျှပြီး ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois Group) သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] ဖြစ်သည်။ ကရိုနက်ကာ-ဝီဘာ သီအိုရမ် (Kronecker-Weber Theorem) အရ <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ အဘီလီယန် ဂယ်လ်ဝါ တိုးချဲ့ချက် (Abelian Galois Extension) တိုင်းသည် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် တိုးချဲ့ချက်တစ်ခုခုအတွင်း၌ အမြဲတမ်း ပါဝင်နေသည်။ ထို့ပြင် ကိန်းပြည့် <math>n</math> တိုင်းအတွက် ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် အုပ်စု (Symmetric Group) <math>S_n</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခု၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုအဖြစ် အမြဲတမ်း ဖြစ်တည်နိုင်သည်။ အမှန်စင်စစ်အားဖြင့် <math>\mathbb{Z}[x]</math> အတွင်း၌ <math>S_n</math> ကို ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုအဖြစ် ပိုင်ဆိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ်များ အနန္တတိုင်အောင် တည်ရှိသည်။ == ပုံမှန်ပုံစံ နှင့် တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းများ (Canonical Forms, and Valuations) == === ရာရှင်နယ် ပုံမှန်ပုံစံ === မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (Linear Transformation) သို့မဟုတ် ကိန်းအုံ (Matrix) တစ်ခု၏ ရာရှင်နယ် ပုံမှန်ပုံစံ (Rational Canonical Form) သည် အဆိုပါ ကိန်းအုံ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သော မူလ[[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အတွင်း၌သာ အပြည့်အဝ တွက်ချက်ဖော်ထုတ်နိုင်သော ပုံစံ ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}</math> ဖြစ်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ (Eigenvalues) ပါဝင်ရန်အတွက် ဖီးလ်ဒ်ကို ထပ်မံတိုးချဲ့ရန် လိုအပ်သော ဂျော်ဒန် ပုံမှန်ပုံစံ (Jordan Canonical Form) နှင့် မတူဘဲ မူလဖီးလ်ဒ်အတွင်း၌သာ တည်ရှိနိုင်သည်။ === <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းနှင့် ပြည့်စုံစေခြင်း === ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> တွင် [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> တိုင်းအတွက် သီးခြားဖြစ်သော [[P-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း|<math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic Valuation) <math>v_p</math> တည်ရှိသည်။ သုညမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\frac{a}{b}</math> တိုင်းကို <math>a_1</math> နှင့် <math>b_1</math> တို့သည် <math>p</math> နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓ (Relatively Prime သို့မဟုတ် Coprime) ဖြစ်သည့် <math>p^n(\frac{a_1}{b_1})</math> သဏ္ဌာန်ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ရေးသားနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် [[ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> သည် <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ချက် ဖြစ်သည်။ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{Q}</math> ကို <math>p</math>-အခြေခံကိန်း အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Metric) ဖြင့် ပြည့်စုံစေခြင်း (Completion) ပြုလုပ်ပါက <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများ (p-adic Numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}_p</math> ကို ရရှိသည်။ === ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သုံးခုတွဲများ (Pythagorean Triples) === ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ညီမျှခြင်း <math>a^2 + b^2 = 1</math> အတွက် ရာရှင်နယ် အဖြေများ <math>a, b \in \mathbb{Q}</math> ကို အလိုရှိရာ ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>s, t \in \mathbb{Q}</math> တို့အတွက် <math>a = \frac{s^2 - t^2}{s^2 + t^2}</math> နှင့် <math>b = \frac{2st}{s^2 + t^2}</math> ဟူ၍ ကိန်းရှင်ကြားခံညီမျှခြင်းများ (Parameterization) ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004}} * {{Citation |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Rational Number |work=MathWorld |url=http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html}} [[ကဏ္ဍ:အခြေခံ_သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ]] ipejen6wpggluhqcgxat4v7e8lhm2sk 0 64959 1049528 771773 2026-08-20T08:19:12Z Zawzawaungthwin 100038 infobox ထည့်သွင်းခြင်း 1049528 wikitext text/x-wiki {{Infobox religious biography | background = #FFD068 | color = black | honorific_prefix = တောင်လေးလုံးဆရာတော် | name = ဘဒ္ဒန္တပညာကေတ | honorific_suffix = (သီရိပဝရဓမ္မာစရိယ) | image = | caption = | religion = [[ဗုဒ္ဓဘာသာ]] | sect = [[ထေရဝါဒ]] | monastic_name = အရှင်ပညာကေတ | occupation = [[စာရေးဆရာ]] | pen_name = ကိုပညာ (အမရပူရ) | title = တောင်လေးလုံးကျောင်းတိုက် ပဓာနနာယက | birth_name = | birth_date = {{birth date|1933|1|5}} | birth_place = အရှေ့ဆင်တိုင်ရပ်၊ တောင်ကြီးရပ်ကွက်၊ အမရပူရမြို့ | death_date = {{death date and age|2016|5|21|1933|1|5}} | death_place = တောင်လေးလုံးကျောင်းတိုက်၊ အမရပူရမြို့ | temple = တောင်လေးလုံးကျောင်းတိုက် | teacher = [[အရှင်ဇနကာဘိဝံသ]] (မဟာဂန္ဓာရုံဆရာတော်) | parents = သိန်းဖေ + အေးရွှေ | awards = [[အမျိုးသားစာပေဆု]] }} '''တောင်လေးလုံးဆရာတော် ဘဒ္ဒန္တပညာကေတ''' (သီရိပဝရဓမ္မာစရိယ) (၅ ဇန်နဝါရီ ၁၉၃၃ – ၂၁ မေ ၂၀၁၆) သည် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[အမရပူရမြို့]]၊ [[တောင်သမန်အင်း]]စောင်းရှိ [[တောင်လေးလုံးကျောင်းတိုက်]]၏ ပဓာနနာယကဆရာတော် ဖြစ်သည်။ ဆရာတော်သည် သာသနာရေးနယ်ပယ်တွင် ထင်ရှားသည့်အပြင် '''“ကိုပညာ (အမရပူရ)”''' ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေများ ရေးသားသော အမျိုးသားစာပေဆုရ စာရေးဆရာတစ်ဦးလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=link |first=Get |last2=Facebook |date=2016-05-21 |title=ဆရာေတာ္ ကိုပညာ (အမရပူရ) ဘဝနတ္ထံပ်ံလြန္ေတာ္မူ |url=https://blog.moemaka.com/2016/05/blog-post_692.html |access-date=2026-08-20 |language=en}}</ref> == ရဟန်းဘဝ == ဆရာတော်ကို အဘ ဦးသိန်းဖေ၊ အမိ ဒေါ်အေးရွေတို့က အမရပူရမြို့ တောင်ကြီးရပ်ကွက် အရှေ့ဆင်တိုင်ရပ်တွင် မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၉၄ ခုနှစ်၊ ပြာသိုလဆန်း (၁၀)ရက် (ခရစ်နှစ် ၁၉၃၃ ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလ ၅ ရက်) တွင် ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ ခြောက်နှစ်သားအရွယ်တွင် တောင်သမန်အင်းစောင်း တောင်လေးလုံးကျောင်းသို့ ရောက်ရှိ၍ စာပေပညာသင်ယူခဲ့သည်။ ကိုးနှစ်သားအရွယ်တွင် ရှင်သာမဏေ ပြုခဲ့သည်။ (၁၆) နှစ်သားအရွယ်တွင် အမရပူရမြို့၊ မဟာဂန္ဓာရုံ ဆရာတော်ကြီး [[ဇနကာဘိဝံသ၊ အရှင် (မဟာဂန္ဓာရုံဆရာတော်)|အရှင်ဇနကာဘိဝံသ]] (အဂ္ဂမဟာပဏ္ဍိတ) ထံတွင် စာပေပရိယတ်များ သင်ကြား၍ ဓမ္မာစရိယ အောင်မြင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2016-05-21 |title=တောင်လေးလုံးဆရာတော် ပျံလွန်တော်မူပြီ |url=https://www.rfa.org/burmese/news/mg-pyinnya-amaya-pura-passed-away-05212016091828.html |access-date=2026-08-20 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> == စာပေဘဝဖြတ်သန်းမှု == ၁၉၅၅ ခုနှစ်ခန့်တွင်<ref>{{cite news| title = ပျံလွန်တော်မူသည့် တောင်လေးလုံး ဆရာတော်အား လင်းဇင်းကုန်းသုဿ န်တွင် မီးသင်္ဂြိုဟ်| url = http://thithtoolwin.mmbloggers.com/Home/Detail/?path=/2016/05/blog-post_214.html| newspaper = The Ladies News| accessdate = မေ ၂၅ ၂၀၁၆}}{{Dead link|date=May 2021 }}</ref> စုံထောက်ဝတ္ထုမဂ္ဂဇင်း၌ ဆောင်းပါးတစ်ပုဒ်၊ ဝတ္ထုတစ်ပုဒ် ရေးသား၍ စာပေလောကသို့ စတင်ဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ထို့နောက် မြဝတီမဂ္ဂဇင်း အမှတ် (၉၉) တွင် ''တောင်သမန်၏နံနက်ခင်း'' ကဗျာပါရှိခဲ့သည်။ ၁၉၅၉ ခုနှစ်တွင် သွေးသောက်မဂ္ဂဇင်း၌ ဆောင်းပါးများ ဆက်လက်ရေးသားခဲ့သည်။ ၁၉၆၇ ခုနှစ်တွင် ကိုပညာ (အမရပူရ) ကလောင်အမည် ခံယူ၍ ငွေတာရီမဂ္ဂဇင်းတွင် ရေးသားခဲ့သည်။ ၁၉၆၉ ခုနှစ်တွင် ဦးဝင်းတင်၏ [[မန္တလေးမြို့]] ဟံသာဝတီသတင်းစာနှင့် အခြားမဂ္ဂဇင်းများတွင်ဆောင်းပါးများ ရေးသားခဲ့သည်။ ၁၉၅၈-၆၇ ခုနှစ်များတွင် ဗိုလ်မှူးဘသောင်း (မောင်သုတ) ၊ မန္တလေးမြို့ အနောက် ခင်မကန်ကျောက်ဆောက်ကျောင်းဆရာတော် အရှင်ဝါယမ၊ မန္တလေးတက္ကသိုလ်က ဆရာ ဦးမောင်မောင်တင် (မဟာဝိဇ္ဇာ)၊ သမိုင်းပညာရှင် ဒေါက်တာသန်းထွန်း စသည်တို့နှင့်အတူ တိမ်မြုပ်ရှားပါးနေသော မြန်မာစာပေနှင့် သမိုင်းစာပေများကို ဖော်ထုတ် လေ့လာခဲ့သည်။ စာတမ်းများ၊ ဆွေးနွေးပွဲများ ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ == ထင်ရှားဖြစ်စဥ်များ == မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၊ အမရပူရမြို့နယ်၊ တောင်သမန်အင်းစောင်းရှိ ဆရာတော် သီတင်းသုံးနေထိုင်ရာကျောင်းဖြစ်သည့် တောင်လေးလုံးကျောင်းတိုက်ကို အစွဲပြုကာ တောင်လေးလုံးဆရာတော် အဖြစ် လူသိများခဲ့သည်။ ၁၉၈၅ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာ ၂၉ ရက်နေ့ အသက် (၇ဝ) ပြည့် မွေးနေ့မှစ၍ အမရပူရ တောင်လေးလုံး ကျောင်း၌ ဆရာတော်သည် မွေးနေ့ပွဲ နှစ်စဉ် ကျင်းပခဲ့သည်။တောင်လေးလုံး မွေးနေ့ပွဲများသည် ဆရာမကြီး [[လူထု ဒေါ်အမာ|လူထုဒေါ်အမာ]] ၏ ခိုင်မာသော စာပေဩဝါဒများကို အစဉ်အဆက် ခံယူခဲ့သည့် မွေးနေ့အခမ်းအနားများအဖြစ် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သည်။နဝတ/နအဖ စစ်အစိုးရခေတ်တလျှောက် တင်းကြပ်ထားသည့်ကြားမှ လူထုဒေါ်အမာမွေးနေ့များ၊ စာပေအခမ်းအနားများ လက်ခံကျင်းပခွင့်ပေးသဖြင့် စာရေးဆရာများ ဒီမိုကရေစီမြတ်နိုးသူများ စုစုစည်းစည်း ဆုံတွေ့နိုင်ခဲ့ကြသည့်နေရာလည်း ဖြစ်ခဲ့သည်။ ဆရာတော်၏ ကျောင်းကို ထောက်လှမ်းရေးအဖွဲ့များက စောင့်ကြည့်ခဲ့သော်လည်း ဆရာတော်သည် ခိုင်မာသည့် ရပ်တည်ချက်ဖြင့် ကြံ့ကြံ့ခံခဲ့သဖြင့် စာပေလောကသားများ၏ လေးစားကြည်ညိုမှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ဦးဝင်းတင်သည် ၂၀၁၀ ပြည့်နှစ်တွင် မန္တလေးမြို့သို့ ခရီးထွက်စဉ် ဆရာတော်ထံသို့ ဝင်ရောက်ဖူးမြော်ခဲ့သည်။ ဆရာတော်သည် ကျောင်းဝင်းအတွင်း အမှတ်တရသစ်ပင်များ စိုက်ပျိုးခြင်းနှင့် အမှတ်တရကျောက်တုံး၊ ကျောက်တိုင်များ စိုက်ထူခြင်းတို့ကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ဆရာဦးဝင်းတင်၊ ဆရာတင်မိုး၊ ဆရာမြသန်းတင့်၊ ဆရာမကြီး ခင်နှင်းယု၊ ဆရာငွေဥဒေါင်း၊ ဆရာကြီး မဟာဆွေ၊ ဆရာဒဂုံတာရာ စသည့် စာရေးဆရာနှင့် ကဗျာဆရာများအတွက် အမှတ်တရကျောက်တုံး၊ ကျောက်တိုင်များ စိုက်ထူခဲ့ပြီး အများအကျိုးကို ဦးစားပေးဆောင်ရွက်သူများနှင့် ပြည်သူလူထုဘက်မှ ရပ်တည်ခဲ့သည့် စာပေပညာရှင်များကို အလေးအမြတ်ပြု မှတ်တမ်းတင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=ရဟန္းစာဆို ကိုပညာ(အမရပူရ) စ်ာပနအခမ္းအနား (ဓာတ္ပံု) |url=https://burmese.dvb.no/post/151341 |access-date=2026-08-20 |website=DVB Burmese |language=my}}</ref> ==ပျံလွန်တော်မူခြင်း== မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၃၇၈ ကဆုန်လပြည့်နေ့ စနေနေ့မနက်ပိုင်း ကောဇာသက္ကရာဇ် ၂၀၁၆ မေလ ၂၁ ရက်မနက် ၁၀နာရီခန့်တွင် တောင်လေးလုံးကျောင်းတိုက်၌ပင် ပျံလွန်တော်မူသည်။ဈာပနအခမ်းအနား ကို ကျောင်းဝင်းအတွင်းရှိ သူဌေးဘုရား ရင်ပြင်တွင် မေ ၂၄ မနက် ၉ နာရီကကျင်းပခဲ့သည်။ ကျွင်းကျန်ရစ်သော ရုပ်ကလာပ်ကို နေ့လယ် ၁၂ နာရီတွင် ကျောင်းနှင့် ကပ်လျက်ရှိ လင်းဇင်းကုန်းသုဿန်၌ မီးပူဇော်သင်္ဂြိုဟ်သည်။<ref>{{Cite web |last=မခွာညို |last2=ဆုမွန် |date=2016-05-21 |title=တောင်လေးလုံးဆရာတော် ပျံလွန်တော်မူ |url=https://burmese.voanews.com/a/renown-monk-author-ko-pinnya-ahmarapura-obit/3340123.html |access-date=2026-08-20 |website=ဗွီအိုအေ |language=my}}</ref> ဈာပနတွင် သံဃာ ၈၅ ပါးက သရဏဂုံတင်ကြပြီး အခမ်းအနားကို မန္တလေးတိုင်းဝန်ကြီးချုပ် ဒေါက်တာဇော်မြင့်မောင်နှင့် လွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ်များအပြင် စာပေအနုပညာနယ်ပယ်မှ ထင်ရှားသော ပုဂ္ဂိုလ်များတက်ရောက်ခဲ့ကြသည်။ ပျံလွန်ချိန်တွင် သက်တော် (၈၄)၊ ဝါတော် (၆၄) ရှိပြီဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |date=2016-05-24 |title=တောင်လေးလုံးဆရာတော် ဈာပန ကျင်းပ |url=https://www.rfa.org/burmese/news/mg-pyinnya-amaya-pura-05242016143421.html |access-date=2026-08-20 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist|2}} {{lifetime|၁၉၃၃|၂၀၁၆}} [[Category:ဗုဒ္ဓဘာသာရဟန်းများ]] [[Category:မြန်မာ ရဟန်း စာဆိုတော်များ]] 9k01911b51zevlojbr5yjeisnnecm12 1049530 1049528 2026-08-20T08:29:17Z Zawzawaungthwin 100038 အချက်အလက်များ ထည့်သွင်းခြင်း 1049530 wikitext text/x-wiki {{Infobox religious biography | background = #FFD068 | color = black | honorific_prefix = တောင်လေးလုံးဆရာတော် | name = ဘဒ္ဒန္တပညာကေတ | honorific_suffix = (သီရိပဝရဓမ္မာစရိယ) | image = | caption = | religion = [[ဗုဒ္ဓဘာသာ]] | sect = [[ထေရဝါဒ]] | monastic_name = အရှင်ပညာကေတ | occupation = [[စာရေးဆရာ]] | pen_name = ကိုပညာ (အမရပူရ) | title = တောင်လေးလုံးကျောင်းတိုက် ပဓာနနာယက | birth_name = | birth_date = {{birth date|1933|1|5}} | birth_place = အရှေ့ဆင်တိုင်ရပ်၊ တောင်ကြီးရပ်ကွက်၊ အမရပူရမြို့ | death_date = {{death date and age|2016|5|21|1933|1|5}} | death_place = တောင်လေးလုံးကျောင်းတိုက်၊ အမရပူရမြို့ | temple = တောင်လေးလုံးကျောင်းတိုက် | teacher = [[အရှင်ဇနကာဘိဝံသ]] (မဟာဂန္ဓာရုံဆရာတော်) | parents = သိန်းဖေ + အေးရွှေ | awards = [[အမျိုးသားစာပေဆု]] }} '''တောင်လေးလုံးဆရာတော် ဘဒ္ဒန္တပညာကေတ''' (သီရိပဝရဓမ္မာစရိယ) (၅ ဇန်နဝါရီ ၁၉၃၃ – ၂၁ မေ ၂၀၁၆) သည် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[အမရပူရမြို့]]၊ [[တောင်သမန်အင်း]]စောင်းရှိ [[တောင်လေးလုံးကျောင်းတိုက်]]၏ ပဓာနနာယကဆရာတော် ဖြစ်သည်။ ဆရာတော်သည် သာသနာရေးနယ်ပယ်တွင် ထင်ရှားသည့်အပြင် '''“ကိုပညာ (အမရပူရ)”''' ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေများ ရေးသားသော အမျိုးသားစာပေဆုရ စာရေးဆရာတစ်ဦးလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=link |first=Get |last2=Facebook |date=2016-05-21 |title=ဆရာေတာ္ ကိုပညာ (အမရပူရ) ဘဝနတ္ထံပ်ံလြန္ေတာ္မူ |url=https://blog.moemaka.com/2016/05/blog-post_692.html |access-date=2026-08-20 |language=en}}</ref> == ရဟန်းဘဝ == ဆရာတော်ကို အဘ ဦးသိန်းဖေ၊ အမိ ဒေါ်အေးရွေတို့က အမရပူရမြို့ တောင်ကြီးရပ်ကွက် အရှေ့ဆင်တိုင်ရပ်တွင် မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၉၄ ခုနှစ်၊ ပြာသိုလဆန်း (၁၀)ရက် (ခရစ်နှစ် ၁၉၃၃ ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလ ၅ ရက်) တွင် ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ငယ်မည် မောင်မြသောင်း ဖြစ်သည်။ ခြောက်နှစ်သားအရွယ်တွင် တောင်သမန်အင်းစောင်း တောင်လေးလုံးကျောင်းသို့ ရောက်ရှိ၍ စာပေပညာသင်ယူခဲ့သည်။ ကိုးနှစ်သားအရွယ်တွင် ရှင်သာမဏေ ပြုခဲ့သည်။ (၁၆) နှစ်သားအရွယ်တွင် အမရပူရမြို့၊ မဟာဂန္ဓာရုံ ဆရာတော်ကြီး [[ဇနကာဘိဝံသ၊ အရှင် (မဟာဂန္ဓာရုံဆရာတော်)|အရှင်ဇနကာဘိဝံသ]] (အဂ္ဂမဟာပဏ္ဍိတ) ထံတွင် စာပေပရိယတ်များ သင်ကြား၍ ဓမ္မာစရိယ အောင်မြင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2016-05-21 |title=တောင်လေးလုံးဆရာတော် ပျံလွန်တော်မူပြီ |url=https://www.rfa.org/burmese/news/mg-pyinnya-amaya-pura-passed-away-05212016091828.html |access-date=2026-08-20 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> == စာပေဘဝဖြတ်သန်းမှု == ၁၉၅၅ ခုနှစ်ခန့်တွင်<ref>{{cite news| title = ပျံလွန်တော်မူသည့် တောင်လေးလုံး ဆရာတော်အား လင်းဇင်းကုန်းသုဿ န်တွင် မီးသင်္ဂြိုဟ်| url = http://thithtoolwin.mmbloggers.com/Home/Detail/?path=/2016/05/blog-post_214.html| newspaper = The Ladies News| accessdate = မေ ၂၅ ၂၀၁၆}}{{Dead link|date=May 2021 }}</ref> စုံထောက်ဝတ္ထုမဂ္ဂဇင်း၌ ဆောင်းပါးတစ်ပုဒ်၊ ဝတ္ထုတစ်ပုဒ် ရေးသား၍ စာပေလောကသို့ စတင်ဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ထို့နောက် မြဝတီမဂ္ဂဇင်း အမှတ် (၉၉) တွင် ''တောင်သမန်၏နံနက်ခင်း'' ကဗျာပါရှိခဲ့သည်။ ၁၉၅၉ ခုနှစ်တွင် သွေးသောက်မဂ္ဂဇင်း၌ ဆောင်းပါးများ ဆက်လက်ရေးသားခဲ့သည်။ ၁၉၆၇ ခုနှစ်တွင် ကိုပညာ (အမရပူရ) ကလောင်အမည် ခံယူ၍ ငွေတာရီမဂ္ဂဇင်းတွင် ရေးသားခဲ့သည်။ ၁၉၆၉ ခုနှစ်တွင် ဦးဝင်းတင်၏ [[မန္တလေးမြို့]] ဟံသာဝတီသတင်းစာနှင့် အခြားမဂ္ဂဇင်းများတွင်ဆောင်းပါးများ ရေးသားခဲ့သည်။ ၁၉၅၈-၆၇ ခုနှစ်များတွင် [[သုတ၊ မောင် (ဗိုလ်မှူးဘသောင်း)|ဗိုလ်မှူးဘသောင်း (မောင်သုတ)]] ၊ မန္တလေးမြို့ အနောက် ခင်မကန်ကျောက်ဆောက်ကျောင်းဆရာတော် အရှင်ဝါယမ၊ မန္တလေးတက္ကသိုလ်က ဆရာ ဦးမောင်မောင်တင် (မဟာဝိဇ္ဇာ)၊ သမိုင်းပညာရှင် ဒေါက်တာသန်းထွန်း စသည်တို့နှင့်အတူ တိမ်မြုပ်ရှားပါးနေသော မြန်မာစာပေနှင့် သမိုင်းစာပေများကို ဖော်ထုတ် လေ့လာခဲ့သည်။ စာတမ်းများ၊ ဆွေးနွေးပွဲများ ပြုလုပ်ခဲ့သည်။၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် တောင်သမန်ဝန်းကျင် သမိုင်းဝင်နေရာများ စာအုပ်ဖြင့် အမျိုးသားစာပေဆု (သုတပဒေသာ ဝိဇ္ဇာဘာသာရပ်) ကို ရရှိခဲ့သည်။ == ထင်ရှားဖြစ်စဥ်များ == မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၊ အမရပူရမြို့နယ်၊ တောင်သမန်အင်းစောင်းရှိ ဆရာတော် သီတင်းသုံးနေထိုင်ရာကျောင်းဖြစ်သည့် တောင်လေးလုံးကျောင်းတိုက်ကို အစွဲပြုကာ တောင်လေးလုံးဆရာတော် အဖြစ် လူသိများခဲ့သည်။ ၁၉၈၅ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာ ၂၉ ရက်နေ့ အသက် (၇ဝ) ပြည့် မွေးနေ့မှစ၍ အမရပူရ တောင်လေးလုံး ကျောင်း၌ ဆရာတော်သည် မွေးနေ့ပွဲ နှစ်စဉ် ကျင်းပခဲ့သည်။တောင်လေးလုံး မွေးနေ့ပွဲများသည် ဆရာမကြီး [[လူထု ဒေါ်အမာ|လူထုဒေါ်အမာ]] ၏ ခိုင်မာသော စာပေဩဝါဒများကို အစဉ်အဆက် ခံယူခဲ့သည့် မွေးနေ့အခမ်းအနားများအဖြစ် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သည်။နဝတ/နအဖ စစ်အစိုးရခေတ်တလျှောက် တင်းကြပ်ထားသည့်ကြားမှ လူထုဒေါ်အမာမွေးနေ့များ၊ စာပေအခမ်းအနားများ လက်ခံကျင်းပခွင့်ပေးသဖြင့် စာရေးဆရာများ ဒီမိုကရေစီမြတ်နိုးသူများ စုစုစည်းစည်း ဆုံတွေ့နိုင်ခဲ့ကြသည့်နေရာလည်း ဖြစ်ခဲ့သည်။ ဆရာတော်၏ ကျောင်းကို ထောက်လှမ်းရေးအဖွဲ့များက စောင့်ကြည့်ခဲ့သော်လည်း ဆရာတော်သည် ခိုင်မာသည့် ရပ်တည်ချက်ဖြင့် ကြံ့ကြံ့ခံခဲ့သဖြင့် စာပေလောကသားများ၏ လေးစားကြည်ညိုမှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ဦးဝင်းတင်သည် ၂၀၁၀ ပြည့်နှစ်တွင် မန္တလေးမြို့သို့ ခရီးထွက်စဉ် ဆရာတော်ထံသို့ ဝင်ရောက်ဖူးမြော်ခဲ့သည်။ ဆရာတော်သည် ကျောင်းဝင်းအတွင်း အမှတ်တရသစ်ပင်များ စိုက်ပျိုးခြင်းနှင့် အမှတ်တရကျောက်တုံး၊ ကျောက်တိုင်များ စိုက်ထူခြင်းတို့ကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ဆရာဦးဝင်းတင်၊ ဆရာတင်မိုး၊ ဆရာမြသန်းတင့်၊ ဆရာမကြီး ခင်နှင်းယု၊ ဆရာငွေဥဒေါင်း၊ ဆရာကြီး မဟာဆွေ၊ ဆရာဒဂုံတာရာ စသည့် စာရေးဆရာနှင့် ကဗျာဆရာများအတွက် အမှတ်တရကျောက်တုံး၊ ကျောက်တိုင်များ စိုက်ထူခဲ့ပြီး အများအကျိုးကို ဦးစားပေးဆောင်ရွက်သူများနှင့် ပြည်သူလူထုဘက်မှ ရပ်တည်ခဲ့သည့် စာပေပညာရှင်များကို အလေးအမြတ်ပြု မှတ်တမ်းတင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=ရဟန္းစာဆို ကိုပညာ(အမရပူရ) စ်ာပနအခမ္းအနား (ဓာတ္ပံု) |url=https://burmese.dvb.no/post/151341 |access-date=2026-08-20 |website=DVB Burmese |language=my}}</ref> ==ပျံလွန်တော်မူခြင်း== မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၃၇၈ ကဆုန်လပြည့်နေ့ စနေနေ့မနက်ပိုင်း ကောဇာသက္ကရာဇ် ၂၀၁၆ မေလ ၂၁ ရက်မနက် ၁၀နာရီခန့်တွင် တောင်လေးလုံးကျောင်းတိုက်၌ပင် ပျံလွန်တော်မူသည်။ဈာပနအခမ်းအနား ကို ကျောင်းဝင်းအတွင်းရှိ သူဌေးဘုရား ရင်ပြင်တွင် မေ ၂၄ မနက် ၉ နာရီကကျင်းပခဲ့သည်။ ကျွင်းကျန်ရစ်သော ရုပ်ကလာပ်ကို နေ့လယ် ၁၂ နာရီတွင် ကျောင်းနှင့် ကပ်လျက်ရှိ လင်းဇင်းကုန်းသုဿန်၌ မီးပူဇော်သင်္ဂြိုဟ်သည်။<ref>{{Cite web |last=မခွာညို |last2=ဆုမွန် |date=2016-05-21 |title=တောင်လေးလုံးဆရာတော် ပျံလွန်တော်မူ |url=https://burmese.voanews.com/a/renown-monk-author-ko-pinnya-ahmarapura-obit/3340123.html |access-date=2026-08-20 |website=ဗွီအိုအေ |language=my}}</ref> ဈာပနတွင် သံဃာ ၈၅ ပါးက သရဏဂုံတင်ကြပြီး အခမ်းအနားကို မန္တလေးတိုင်းဝန်ကြီးချုပ် ဒေါက်တာဇော်မြင့်မောင်နှင့် လွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ်များအပြင် စာပေအနုပညာနယ်ပယ်မှ ထင်ရှားသော ပုဂ္ဂိုလ်များတက်ရောက်ခဲ့ကြသည်။ ပျံလွန်ချိန်တွင် သက်တော် (၈၄)၊ ဝါတော် (၆၄) ရှိပြီဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |date=2016-05-24 |title=တောင်လေးလုံးဆရာတော် ဈာပန ကျင်းပ |url=https://www.rfa.org/burmese/news/mg-pyinnya-amaya-pura-05242016143421.html |access-date=2026-08-20 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist|2}} {{lifetime|၁၉၃၃|၂၀၁၆}} [[Category:ဗုဒ္ဓဘာသာရဟန်းများ]] [[Category:မြန်မာ ရဟန်း စာဆိုတော်များ]] [[Category:အမျိုးသားစာပေဆုရှင်များ]] 5pt5e8cavca7jqwia90k3f7oc762h8o 0 117963 1049435 1046751 2026-08-19T15:28:03Z Dr Lotus Black 31011 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:စက်ကွင်း သီအိုရီ]]ကို ဖယ်ရှားခဲ့သည်၊ [[Category:ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1049435 wikitext text/x-wiki [[:en:Complex_number|ကိန်းထွေ]] (complex numbers) များ [[:en:Coefficient|မြှောက်ဖော်ကိန်း]] (coefficients) ဖြစ်နေသော [[:en:Polynomial|ပိုလီနိုမီရယ်ကိန်စဉ်တန်း]] တစ်ခုတွင် အနည်းဆုံး ကိန်းထွေတစ်ခု သည် [[:en:Root_of_a_function|အဖြေ]] (root) အဖြစ်ရှိသည်ဟု '''အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ်''' (Fundamental theorem of algebra) က ဖော်ပြသည်။ ဥပမာ <math>ix^2 +2x - i </math> တွင် အဖြေ သို့မဟုတ် သုညဖြစ်စေသော <math>x</math> တန်ဖိုးတစ်ခုသည် <math>i</math> ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ]] {{သင်္ချာ-stub}} 3iq2pedw83kkgpeqa31c1nj8rucehrl 0 207687 1049474 1040956 2026-08-19T22:01:26Z Mkant00 135890 expanded 1049474 wikitext text/x-wiki [[သင်္ချာ]] (Mathematics) နှင့် [[ရူပဗေဒ]] (Physics) တို့တွင် ဗက်တာ (Vector) သည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector space) တစ်ခု၏ [[အစုဝင်]] (Element) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပေးထားသော [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) သို့မဟုတ် [[အစားကွင်း]] (Division ring) <math>k</math> တစ်ခုအတွက် <math>k</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[မော်ဂျူးများ_ကတ်တဂိုရီ#ဗက်တာရပ်ဝန်းများ_ကတ်တဂိုရီ_(Category_of_Vector_Spaces)|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of vector spaces over k) တွင် ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Ring) <math>k</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[မော်ဂျူး]] (Module) တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) ဖွင့်ဆိုထားသည်။ ၎င်းကို <math>\text{Vect}_k</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံအတွင်း ဗက်တာများသည် <math>k</math> ၏ အစုဝင်များနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်း (Scalar multiplication) ပြုလုပ်ကြသည်။ ထို <math>k</math> ၏ အစုဝင်များကို [[စကေလာ|စကေလာများ]] (Scalars) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အပေါင်း (Addition) တွက်ချက်မှုအရ ဗက်တာများသည် အခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian group) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ ၎င်းအုပ်စု၏ ထပ်တူရအစုဝင် (Identity element) သည် သုညဗက်တာ (Zero vector) ဖြစ်သည်။ ၎င်းဗက်တာကို <math>0 \in V</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ တူညီသော သင်္ကေတကို အသုံးပြုသော်လည်း ဤဗက်တာသည် အောက်ခြေ ဖီးလ်ဒ် (Ground field) ၏ သုည အစုဝင် (Zero element) <math>0 \in k</math> နှင့် တိကျစွာ ကွဲပြားခြားနားသည်။ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ လားရာပြ မျဉ်းပိုင်းများအပြင် သရုပ်မဲ့ (Abstract) ဗက်တာများသည် ကွဲပြားခြားနားသော ဖြစ်စဉ်များကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထင်ရှားသော နမူနာပုံစံများတွင် ထိမျဉ်းဗက်တာများ (Tangent vectors) ပါဝင်သည်။ လုံလောက်စွာ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (Differentiable) ရပ်ဝန်း (Space) <math>X</math> ၏ [[မန်နီဖိုး#ထိမျဉ်းအစည်း_(Tangent_Bundle)|ထိမျဉ်းအစည်း]] (Tangent bundle) <math>TX \to X</math> တစ်ခုကို ပေးထားလျှင် ထိမျဉ်းဗက်တာတစ်ခုသည် အမှတ် <math>x \in X</math> အထက်ရှိ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ဖိုက်ဘာ_(Fiber)|ဖိုက်ဘာ]] (Fiber) ၏ အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>X</math> အတွင်းရှိ <math>x</math> မှ ထွက်ပေါ်လာသော အလွန်သေးငယ်လွန်းသော မျဉ်းကွေးများ၏ စုစည်းမှုကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (Representation) ပြုလုပ်သည်။ အလားတူပင် ရူပဗေဒတွင် လှိုင်းဗက်တာ (Wave vector) သည် ပြင်ညီလှိုင်း (Plane wave) တစ်ခု၏ လှိုင်းအလျား (Wavelength) နှင့် ဖြန့်ကြက်သွားရာ လားရာတို့ကို သတ်မှတ်ပေးသော ဗက်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ == ကိုဩဒိနိတ် ဗက်တာများနှင့် အခြေအစုများ (Coordinate Vectors and Bases) == [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] <math>n</math> ရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> တစ်ခုအတွက် အခြေအစု (Basis) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ထားပါက <math>V</math> ရှိ [[အစုဝင်]] <math>v</math> ကို ကိုဩဒိနိတ် (Coordinate) များပါဝင်သော <math>n \times 1</math> ဒေါင်လိုက်ဗက်တာ (Column vector) တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ <math>p(x)</math> သည် ဒီဂရီ (Degree) <math>n</math> ရှိသော ပိုလီနိုမီရယ် (Polynomial) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>F[x]/(p(x))</math> ဖြင့် တည်ဆောက်ထားသော စားလဒ်ဖီးလ်ဒ် (Quotient field) တစ်ခုတွင် <math>1, x, x^2, \dots, x^{n-1}</math> တို့၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (Images) သည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော (Linearly independent) ဗက်တာများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းဗက်တာများသည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအနေဖြင့် အဆိုပါ စားလဒ် (Quotient) အတွက် အခြေအစုတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုတွင် မည်သည့် ဗက်တာ <math>n + 1</math> ခုပါဝင်သော အစုမဆို မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုရှိသော (Linearly dependent) ဗက်တာများ ဖြစ်ကြသည်မှာ သေချာသည်။ == ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ဗက်တာများ (Eigenvectors) == ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး (Eigenvalue) <math>\lambda</math> ပါရှိသော <math>n \times n</math> ကိန်းအုံ (Matrix) <math>A</math> ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ဗက်တာ (Eigenvector) <math>v</math> သည် သုညမဟုတ်သော <math>n \times 1</math> ဒေါင်လိုက်ဗက်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Linear transformation) <math>T</math> ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ဗက်တာတစ်ခုအဖြစ်လည်း ဆိုနိုင်သည်။ ယင်းဗက်တာသည် <math>Av = \lambda v</math> ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေသည်။ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> အတွင်း၌ ၎င်းသည် သုညမဟုတ်သော ဗက်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>T(v) = \lambda v</math> ကို ပြည့်စုံစေသော ဗက်တာများအားလုံး၏ [[အစု]] သည် ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်း (Vector subspace) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဤအစုတွင် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး <math>\lambda</math> အတွက် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ဗက်တာများအားလုံးအပြင် သုညဗက်တာပါ ပါဝင်သည်။ ထိုရပ်ဝန်းပိုင်းကို ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးရပ်ဝန်း (Eigenspace) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း တစ်ခုတွင် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ဗက်တာများ လုံးဝ မရှိခြင်းမျိုးလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (Infinite-dimensional) [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်]] ဗက်တာရပ်ဝန်း (Real vector space) <math>\mathbb{R}^\infty</math> အပေါ်ရှိ တိကျသော နေရာရွှေ့ ပုံဖော်မှု (Shift map) တစ်ခုတွင် <math>T(v) = \lambda v</math> ကို ပြည့်စုံစေသော သုညမဟုတ်သည့် ဗက်တာ မရှိပါ။ == အုပ်စု ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများရှိ ဗက်တာများ (Vectors in Group Representations) == <math>e_1, e_2, \dots, e_n</math> ကို အခြေအစုအဖြစ် ပါရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခုအပေါ် သက်ရောက်သည့် ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (Symmetric group) <math>S_n</math> ၏ ပါမြူတေးရှင်း ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (Permutation representation) တစ်ခုကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားနိုင်သည်။ ထိုအခါ သတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာ <math>v = e_1 + e_2 + \dots + e_n</math> သည် ပါမြူတေးရှင်း (Permutation) တိုင်း၏ သက်ရောက်မှုအောက်တွင် မပြောင်းလဲဘဲ အထိုင်ဖြစ်နေသည်။ ဤဗက်တာတွင် ကိုဩဒိနိတ်များအားလုံး ညီမျှကြသည်။ ၎င်းဗက်တာသည် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] ၁ ရှိသော <math>S_n</math>-တည်ငြိမ်သည့် ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခုကို မျဉ်းဖြောင့် စပန် (Linear span) ဖွဲ့စည်းပေးသည်။ ၎င်း ပါမြူတေးရှင်း ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု ရပ်ဝန်းတူညီမှုတွင် ကိုဩဒိနိတ်များ၏ ပေါင်းလဒ် သုညဖြစ်သော ဗက်တာများအားလုံး၏ [[အစု]]သည် အတိုင်းအတာ <math>n-1</math> ရှိသော မပြောင်းလဲသော ရပ်ဝန်းပိုင်း (Invariant subspace) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ထိုဗက်တာများကို <math>\sum a_i = 0</math> ဖြစ်သည့် <math>a_1e_1 + \dots + a_ne_n</math> ပုံစံဖြင့် ရေးသားနိုင်သည်။ ယင်းရပ်ဝန်းပိုင်းကို ဖြည့်စွက် မော်ဂျူးပိုင်း (Augmentation submodule) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ == ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများရှိ ဗက်တာများ (Vectors in Differential Equations) == ပထမအဆင့် မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (Differential equations) စနစ်တစ်ခုကို <math>y' = Ay</math> အဖြစ် ရေးသားနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>y</math> သည် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (Functions) <math>y_1(t), \dots, y_n(t)</math> ပါဝင်သော ဒေါင်လိုက်ဗက်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ညီမျှခြင်းစနစ် <math>y' = Ay</math> အတွက် အဖြေများဖြစ်ကြသော ဗက်တာ <math>y</math> များ၏ [[အစု]]သည် အောက်ခြေ [[ဖီးလ်ဒ်]]အပေါ်အခြေခံသည့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] <math>n</math> ရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ အခြေခံ ကိန်းအုံ (Fundamental matrix) တစ်ခု၏ ဒေါင်လိုက်တန်းများသည် ဤအဖြေများပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းအတွက် အခြေအစုတစ်ခုအနေဖြင့် ဆောင်ရွက်ကြသည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |author=nLab authors |title=vector space |date=June 2026 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/vector+space |access-date=2026-06-26}} * {{Citation |author=nLab authors |title=vector |date=June 2026 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/vector |access-date=2026-06-26}} * {{Citation |author=nLab authors |title=tangent vector |date=June 2026 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/tangent+vector |access-date=2026-06-26}} * {{Citation |author=nLab authors |title=wave vector |date=June 2026 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/wave+vector |access-date=2026-06-26}} * {{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004}} [[ကဏ္ဍ:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] 3nqjnbnl4x5nz3y0f1o2n2uez0v3mje 0 247905 1049434 1049298 2026-08-19T15:23:09Z Mkant00 135890 added number systems template 1049434 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} ကိန်းစစ် (Real number) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ပမာဏတစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုသော တန်ဖိုးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{R}</math> ဖြင့် ဖော်ပြသော ကိန်းစစ်အားလုံး၏ [[အစု]] (set) သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း သို့မဟုတ် အဆက်မပြတ်ကိန်းစဉ်ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ သင်္ချာနည်းအရ <math>\mathbb{R}</math> သည် ပြည့်စုံသော (complete) အစဉ်ကျသည့် [[ဖီးလ်ဒ်]] (ordered field) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ၎င်းတွင် ကွက်လပ်များ သို့မဟုတ် ပျောက်ဆုံးနေသော စုဆောင်းမှတ်များ (limit points) မပါဝင်ပေ။ ၎င်းသည် စံ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) [[အကွာအဝေး_ရပ်ဝန်း#အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်|အကွာအဝေး ဖန်ရှင်]] (metric) ကို အခြေခံ၍ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}</math> ကို ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) ဖြစ်သည်။ [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] (injective) [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms) မှတစ်ဆင့် စံ ကိန်းစနစ်များကို အချင်းချင်းငုံထားသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (nested subsets) အဖြစ် ပုံစံတကျ <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ သဘာဝ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (natural topology) နှင့် တွဲဖက်ထားသောအခါ <math>\mathbb{R}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ညီညာစွာ ပြည့်စုံသည့် (uniformly complete) [[အာခီမီးဒီးစ်_ဂုဏ်သတ္တိ#အာခီမီးဒီးစ်_ဖီးလ်ဒ်များ_နှင့်_ရာရှင်နယ်_ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ_(Archimedean_Fields_&_Rational_Homomorphisms)|အာခီမီးဒီးစ် ဖီးလ်ဒ်]] (Archimedean field) ဖြစ်ပြီး အခြားသော အာခီမီးဒီးစ် ဖီးလ်ဒ်အားလုံးကို ငုံထားသည့် မူလဖီးလ်ဒ်အဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ ၎င်း၏ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်|ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်များ]] (Cartesian products) ဖြစ်သည့် <math>n \in \mathbb{N}</math> အတွက် ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်းများ (Euclidean spaces) <math>\mathbb{R}^n</math> သည် အဆက်မပြတ် ရပ်ဝန်း (continuous space) သဘောတရားအတွက် စံ သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ယင်းရပ်ဝန်းများသည် [[မန်နီဖိုး#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော_မန်နီဖိုးများ_(Differentiable_Manifolds)|ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများ]] (smooth manifolds) အတွက် ဒေသအလိုက် မော်ဒယ်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ ယင်းမန်နီဖိုးများသည် ကလပ်စစ်ကယ် ရူပဗေဒ (classical physics)၊ အာကာသအချိန် (spacetime) နှင့် ခေတ်သစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (modern analysis) တို့အတွက် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ မူဘောင်ကို အဆင့်ဆင့် ဖွဲ့စည်းပေးသည်။ == သမိုင်းကြောင်း တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှု (Historical Development) == ရှေးခေတ် သင်္ချာပညာရပ်တွင် ကိန်းစစ် သဘောတရားသည် အဆက်မပြတ် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပမာဏများ၏ အချိုးများနှင့် အပိုင်းကိန်း (fraction) ချဉ်းကပ်တွက်ချက်မှုများအဖြစ် ရှေးခေတ်ကတည်းက စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဘီစီ ၁၀၀၀ ခန့်တွင် အီဂျစ် သင်္ချာပညာရှင်များသည် အပိုင်းကိန်းများကို ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ဘီစီ ၆၀၀ ခန့်တွင် အိန္ဒိယရှိ ဗေဒကျမ်းပြု ပညာရှင်များက <math>\sqrt{2}</math> နှင့် <math>\sqrt{3}</math> ကဲ့သို့သော နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ (square roots) တွင် တိကျသော အပိုင်းကိန်းတန်ဖိုးများ မရှိကြောင်း သိရှိခဲ့ကြသည်။ ဘီစီ ၅၀၀ ခန့် ဂရိနိုင်ငံတွင် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ဦးဆောင်သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် <math>\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}</math> ဖြစ်ကြောင်း ပထမဆုံး သက်သေပြချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် နိုက်ဒပ်စ်မှ ယူဒေါ့စပ်စ် သည် ဘီစီ ၃၉၀ မှ ၃၄၀ ခန့်တွင် အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) အချိုးညီမျှမှုကို ခေတ်သစ် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းများ (Dedekind cuts) နှင့် အလွန်ဆင်တူသော နည်းလမ်းဖြင့် ဂျီဩမေတြီအရ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။ အလယ်ခေတ် အာရပ် သင်္ချာပညာရပ်တွင် အေဒီ ၈၅၀ မှ ၉၃၀ ခန့်အတွင်း အဘူ ကာမေးလ် အပါအဝင် အစ္စလာမ္မစ် သင်္ချာပညာရှင်များသည် အီရာရှင်နယ် ပမာဏများကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများအဖြစ် တိုက်ရိုက်သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ကိန်းသဘောတရားကို ပိုမိုကျယ်ပြန့်စေခဲ့သည်။ ၎င်းတို့ကို <math>ax^2+bx+c=0</math> ကဲ့သို့သော နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများ (quadratic equations) အတွက် မှန်ကန်၍ တွက်ချက်နိုင်သော အဖြေများအဖြစ် လက်ခံခဲ့ကြသည်။ ခေတ်သစ်အစပိုင်း ဖော်ထုတ်မှုအနေဖြင့် ၁၆ ရာစုတွင် ဆိုင်မွန် စတီဗင် သည် စကြဝဠာသုံး ဒသမကိန်း သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ပြီး အဆက်မပြတ် ပမာဏများကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြခြင်းအတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချမှတ်ခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် သည် ယင်းပမာဏများကို ပိုလီနိုမီရယ်များ (polynomials) ၏ [[ကိန်းယောင်]] (imaginary numbers) ကိန်းရင်းများမှ ရှင်းလင်းစွာ ခွဲခြားရန်အတွက် ကိန်းစစ် ဟူသော နာမဝိသေသနကို တီထွင်ခဲ့သည်။ ၁၈ ရာစုအတွင်း ၁၇၆၁ ခုနှစ်တွင် ဂျေ အိတ်ချ် လမ်းဘတ် နှင့် ၁၇၉၄ ခုနှစ်တွင် အေ အမ် လီဂျန်ဒါ တို့က <math>\pi \notin \mathbb{Q}</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်းခြင်းတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ် မပါဝင်ဘဲ ကိန်းစစ်များ၏ တိကျသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ပြီးမြောက်အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ဂျိုးဇက် လီအူဗီးလ် သည် ၁၈၄၄ ခုနှစ်တွင် ကိန်းလွန်များ (transcendental numbers) တည်ရှိမှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။ ချားလ်စ် အဲရ်မစ် သည် ၁၈၇၃ ခုနှစ်တွင် <math>e</math> သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့ပြီး ဖာဒီနန် ဖွန် လင်ဒီမန်း က ၁၈၈၂ ခုနှစ်တွင် <math>\pi</math> သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ ၁၈၆၉ ခုနှစ်တွင် ချားလ်စ် မရေး နှင့် ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဂျော့ ကန်တာ တို့သည် <math>\mathbb{R}</math> ကို ရာရှင်နယ် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်|ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ]] (Cauchy sequences) ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (equivalence classes) အဖြစ် အမှီအခိုကင်းစွာ တည်ဆောက်ခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း သည် ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ကိန်းစစ်များကို ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ အစုခွဲစနစ်များအဖြစ် ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ပြီး ယင်းကို ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းများဟု သတ်မှတ်သည်။ ၁၈၇၄ ခုနှစ်တွင် ကန်တာသည် <math>\vert{}\mathbb{R}\vert{} > \vert{}\mathbb{N}\vert{}</math> ဖြစ်ကြောင်း ပြသသည့် ၎င်း၏ ပထမဆုံး ရေတွက်၍မရနိုင်မှု သက်သေပြချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ယင်းနှင့်အတူ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းရင်းများသည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တအဖြစ်သာ တည်ရှိကြောင်းကိုပါ ပြသခဲ့သဖြင့် ကိန်းစစ်အများစုကြီးမှာ ကိန်းလွန်များဖြစ်ကြောင်းကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် နဂိုမှန်အဆို (Axiomatic) ဖွဲ့စည်းခြင်းများတွင် နောက်ပိုင်း၌ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် နှင့် အဲလ်ဖရက် တာစကီး တို့၏ ဖွဲ့စည်းမှုများသည် <math>\mathbb{R}</math> ကို တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ပြည့်စုံသည့် [[အာခီမီးဒီးစ်_ဂုဏ်သတ္တိ#အာခီမီးဒီးစ်_ဖီးလ်ဒ်များ_နှင့်_ရာရှင်နယ်_ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ_(Archimedean_Fields_&_Rational_Homomorphisms)|အာခီမီးဒီးစ် အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်]]အဖြစ် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာရှုထောင့်မှ (categorically) လက္ခဏာသတ်မှတ်ပေးခဲ့သည်။ ၎င်းသည် ဂျီဩမေတြီနှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာတို့ကို ပေါင်းစည်းထားသော နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်များမှတစ်ဆင့် ဖော်ထုတ်နိုင်ကြောင်းကို သက်သေပြခဲ့သည်။ == အခြေခံ တည်ဆောက်ပုံများ နှင့် လက္ခဏာသတ်မှတ်ချက်များ (Foundational Constructions and Characterizations) == တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသည့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) အထိ <math>\mathbb{R}</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> ကို သိပ်သည်းသော ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (dense subfield) အဖြစ် ငုံထားသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ပြည့်စုံသည့် အစဉ်ကျသော [[ဖီးလ်ဒ်]] (ordered field) ဖြစ်သည်။ ဤဖီးလ်ဒ်ကို တည်ဆောက်ရန် သို့မဟုတ် လက္ခဏာသတ်မှတ်ရန် စံချဉ်းကပ်နည်းများစွာ ရှိသည်။ === ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းများမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ခြင်း (Construction via Dedekind Cuts) === [[File:Dedekind_cut-_square_root_of_two.png| thumb| right| 350px| ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်း]] ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းတစ်ခုသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေသော [[အစုပိုင်း]] (subset) <math>\alpha \subset \mathbb{Q}</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ * <math>\alpha \neq \emptyset</math> နှင့် <math>\alpha \neq \mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည်။ * <math>p \in \alpha</math>, <math>q \in \mathbb{Q}</math> ဖြစ်၍ <math>q < p</math> ဖြစ်လျှင် <math>q \in \alpha</math> ဖြစ်သည်။ ယင်းကို အောက်သို့ အပိတ် (downward closure) ဟု ခေါ်သည်။ * <math>p \in \alpha</math> ဖြစ်လျှင် <math>p < r</math> ဖြစ်စေမည့် <math>r \in \alpha</math> တည်ရှိသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အကြီးဆုံးတန်ဖိုး [[အစုဝင်]] (maximum element) မရှိပေ။ ဤမော်ဒယ်အရ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ * အစီအစဉ်မှာ <math>\alpha < \beta \iff \alpha \subsetneq \beta</math> ဖြစ်သည်။ * အပေါင်းမှာ <math>\alpha + \beta = \{p + q \mid p \in \alpha,\, q \in \beta\}</math> ဖြစ်သည်။ * အငယ်ဆုံး အထက်ဘောင် (Least-Upper-Bound) ဂုဏ်သတ္တိမှာ အထက်ဘောင်ရှိသော ဗလာမဟုတ်သည့် ဖြတ်ပိုင်းအစု <math>A \subset \mathbb{R}</math> မည်သည့်အစုအတွက်မဆို <math>\sup A = \bigcup_{\alpha \in A} \alpha</math> ဖြစ်ပြီး ယင်းသည် ၎င်းကိုယ်တိုင်ပင်လျှင် မှန်ကန်သော ဖြတ်ပိုင်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ခြင်း (Construction via Cauchy Sequences) === ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ကိန်းစဉ် (sequence) <math>(q_n)_{n=1}^\infty</math> တစ်ခုတွင် မည်သည့် <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}^+</math> အတွက်မဆို <math>n, m \ge N</math> အားလုံးအတွက် <math>\vert{}q_n - q_m\vert{} < \varepsilon</math> ဖြစ်စေမည့် <math>N \in \mathbb{N}</math> တည်ရှိလျှင် ၎င်းကို [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]]တစ်ခုဟု ခေါ်သည်။ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{Q}</math> သည် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]အရ ပြည့်စုံမှုမရှိပေ။ <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်းရှိ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များသည် ရာရှင်နယ် စုဆုံမှတ်တစ်ခုသို့ မဖြစ်မနေ စုဆုံမည်မဟုတ်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\lim(x_n) = \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည်။ ယင်းကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် မည်သည့် ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>n \ge N</math> အားလုံးအတွက် <math>\vert{}q_n - r_n\vert{} < \varepsilon</math> ဖြစ်စေမည့် <math>N \in \mathbb{N}</math> တည်ရှိလျှင် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(q_n)</math> နှင့် <math>(r_n)</math> တို့ကို ထပ်တူညီသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ ယင်းကို <math>(q_n) \sim (r_n)</math> အဖြစ် ရေးသားသည်။ ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> ကို ဤထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်အား အခြေခံ၍ ရာရှင်နယ် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များအားလုံး၏ စားလဒ်ရပ်ဝန်း (quotient space) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math display="block">\mathbb{R} \cong \left\{ (q_n) \in \mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \mid (q_n) \text{ is Cauchy} \right\} \Big/ \sim</math> ဤတည်ဆောက်ပုံသည် ဒသမကိန်း ဖြန့်ထုတ်ချက်များသို့ သဘာဝကျစွာ တိုးချဲ့သက်ရောက်သည်။ မည်သည့် <math>x \in \mathbb{R}</math> မဆို လက္ခဏာ [[ဖန်ရှင်]] (sign function) ပါဝင်သည့် အနန္တ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုဆီသို့ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်စွာ]] (bijectively) ပုံဖော်ထားပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း တိကျစွာ ပုံသေနည်းထုတ်ထားသည်။ <math display="block">x = \text{sgn}(x) \left( \sum_{i=0}^k b_i 10^i + \sum_{j=1}^\infty a_j 10^{-j} \right)</math> ယင်းတွင် <math>x=0</math> ကိုမူ အသေးအဖွဲ အခြေအနေအဖြစ် ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းထားသည်။ အနန္တများပြားသော ၉ များဖြင့် အဆုံးသတ်သည့် ဖြန့်ထုတ်ချက်များဖြစ်သည့် ၀.၉၉၉... = ၁ ကို ဖယ်ထုတ်လိုက်သောအခါ ဤဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှုသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဖြစ်သွားသည်။ === နဂိုမှန်အဆိုအရ လက္ခဏာသတ်မှတ်ချက်များ (Axiomatic Characterizations) === ဒက်ဒီကင်း ပြည့်စုံမှုအရ အထက်ဘောင်ရှိသော မည်သည့် ဗလာမဟုတ်သည့် [[အစုပိုင်း]] <math>S \subset \mathbb{R}</math> မဆို <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း၌ အငယ်ဆုံး အထက်ဘောင် သို့မဟုတ် စူပရီမမ် (supremum) တစ်ခု ရှိသည်။ တာစကီး၏ နဂိုမှန်အဆိုများတွင် <math>\mathbb{R}</math> ကို [[အာခီမီးဒီးစ်_ဂုဏ်သတ္တိ|အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိ]] (Archimedean property) ပြည့်စုံစေသည့် ထူးခြားသော ယူနစ် <math>1 > 0</math> ပါဝင်သော ပြည့်စုံသည့်၊ သိပ်သည်းစွာ မျဉ်းဖြောင့် အစီအစဉ်ကျသည့် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian group) တစ်ခုအဖြစ် လက္ခဏာသတ်မှတ်ထားသည်။ ပထမအဆင့် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များအရ ပထမအဆင့် ယုတ္တိဗေဒ (First-Order Logic) သည် <math>\mathbb{R}</math> ကို [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] အထိ တစ်ခုတည်းသီးသန့် လက္ခဏာမသတ်မှတ်နိုင်ပေ။ လိုးဗန်ဟိုင်း-စကိုလမ် သီအိုရမ် အရ <math>\mathbb{R}</math> နှင့် ထပ်တူညီသော ပထမအဆင့် ဝါကျများကို ပြည့်စုံစေသည့် ကိန်းစစ်ဆိုင်ရာ ကိန်းရင်း [[ဖီးလ်ဒ်]] ကဲ့သို့သော ရေတွက်နိုင်သည့် အခြေခံ တည်ဆောက်ပုံ အစိတ်အပိုင်းများ တည်ရှိနေသည်။ == အစီအစဉ် နှင့် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Order and Arithmetic Properties) == အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>x > 0</math> ဖြစ်သော မည်သည့် <math>x, y \in \mathbb{R}</math> အတွက်မဆို <math>nx > y</math> ဖြစ်စေမည့် [[ကိန်းပြည့်]] (integer) <math>n \in \mathbb{N}</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ <math>\mathbb{Q}</math> နှင့် <math>\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math> တို့၏ သိပ်သည်းမှုအရ မတူညီသော ကိန်းစစ်နှစ်ခု <math>x < y</math> ကြားတွင် အနည်းဆုံး ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>p \in \mathbb{Q}</math> တစ်ခုနှင့် အနည်းဆုံး အီရာရှင်နယ်ကိန်း <math>r \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math> တစ်ခု အမြဲတည်ရှိသည်။ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ကိန်းရင်းများ တည်ရှိမှုတွင် <math>\mathbb{R}</math> သည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော ကိန်းစစ် [[ဖီးလ်ဒ်]] (real closed field) တစ်ခုဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x > 0</math> နှင့် ကိန်းပြည့် <math>n > 0</math> အတွက်မဆို <math>y^n = x</math> ဖြစ်စေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အပေါင်းကိန်းစစ် <math>y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}</math> တည်ရှိသည်။ အစုအရွယ်အစား နှင့် ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုအရ <math>\mathbb{R}</math> သည် ရေတွက်၍မရနိုင်သော အနန္တဖြစ်ပြီး မည်သည့် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] (bijective function) <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}</math> မျှ တည်ရှိနိုင်မည်မဟုတ်ပေ။ ၎င်း၏ အစုအရွယ်အစားမှာ သဘာဝကိန်းများ၏ ပါဝါ[[အစု]] (power set) နှင့် ညီမျှသော အဆက်မပြတ်ကိန်းစဉ် <math>\mathfrak{c}</math> ဖြစ်သည်ဖြစ်ရာ <math>\vert{}\mathbb{R}\vert{} = \mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} > \aleph_0</math> ဖြစ်သည်။ ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) က <math>\aleph_0 < \kappa < \mathfrak{c}</math> ဖြစ်စေမည့် မည်သည့် ကာဒီနယ်ကိန်း (cardinal number) <math>\kappa</math> မျှ မတည်ရှိကြောင်း အဆိုပြုထားသည်။ ဤယူဆချက်သည် ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို (Axiom of Choice) ပါဝင်သည့် စံ ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် [[အစုသီအိုရီ]] (ZFC) အတွင်း၌ ပုံစံတကျ ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သောအရာတစ်ခုဖြစ်သည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို နှင့် ကောင်းစွာအစဉ်ကျခြင်းတွင် ZFC ၏ ကောင်းစွာအစဉ်ကျခြင်း သီအိုရမ် (well-ordering theorem) က ဗလာမဟုတ်သော <math>S \subseteq \mathbb{R}</math> တိုင်းတွင် အငယ်ဆုံး[[အစုဝင်]]တစ်ခုစီရှိမည့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျခြင်း (total order) တစ်ခု တည်ရှိကြောင်းကို အာမခံထားသည်။ သို့ရာတွင် စံ အစီအစဉ် <math>\le</math> သည် ကောင်းစွာအစဉ်ကျခြင်း လုံးဝမဟုတ်ပေ။ <math>\mathbb{R}</math> ၏ မည်သည့် ကောင်းစွာအစဉ်ကျမှုကိုမျှ အခြားသော နဂိုမှန်အဆိုများ ထပ်တိုးမယူဆဘဲ တိကျပြတ်သားစွာ တည်ဆောက်၍မရနိုင်ပေ။ တွက်ချက်နိုင်စွမ်းအရ အယ်လ်ဂိုရီသမ်တစ်ခုက ၎င်း၏ဂဏန်းများကို အစဉ်လိုက် ထုတ်ပေးနိုင်ပါက ကိန်းစစ် <math>x \in \mathbb{R}</math> တစ်ခုကို တွက်ချက်နိုင်သောကိန်း (computable number) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဖြစ်နိုင်သမျှ အယ်လ်ဂိုရီသမ်များအားလုံး၏ အစုမှာ ရေတွက်နိုင်သော အနန္တဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{R}</math> မှာ ရေတွက်၍မရနိုင်သော အနန္တဖြစ်သောကြောင့် ကိန်းစစ်အားလုံးနီးပါးသည် တွက်ချက်၍မရနိုင်သောကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == အကွာအဝေး ဖန်ရှင် နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Metric and Topological Properties) == === စံ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တည်ဆောက်ပုံ (Standard Metric Structure) === <math>\mathbb{R}</math> အတွင်းရှိ အကွာအဝေးကို ပကတိတန်ဖိုး [[ဖန်ရှင်]] (absolute value function) မှတစ်ဆင့် တိကျစွာ ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းထားပြီး ၎င်းကို <math>\vert{}x\vert{} = \max(x, -x)</math> အဖြစ် တိကျပြတ်သားစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ မည်သည့် [[ကိန်းပြည့်]] <math>k \ge 1</math> အတွက်မဆို ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{R}^k</math> သည် ကိန်းစစ်များ၏ [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ|အစီအစဉ်ကျ <math>k</math>-ခုတွဲများ]] အားလုံးဖြစ်သည့် <math>\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_k)</math> ဖြင့် ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး <math>d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \vert{}\mathbf{x} - \mathbf{y}\vert{}</math> အခြေအနေရှိသော [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ယင်း[[အကွာအဝေး_ရပ်ဝန်း#အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်|အကွာအဝေး ဖန်ရှင်]] သည် ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း (Cauchy-Schwarz inequality) နှင့် တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality) တို့ကို ပြည့်စုံစေသည်။ === ကိန်းစစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ၏ အခြေခံ သီအိုရမ်များ (Fundamental Theorems of Real Analysis) === အကွာအဝေး ဖန်ရှင် ပြည့်စုံမှုအရ <math>\mathbb{R}^k</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) မဆို <math>\mathbb{R}^k</math> အတွင်းရှိ စုဆုံမှတ်တစ်ခုသို့ စုဆုံသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများအရ <math>\mathbb{R}</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (Hausdorff dimension) <math>1</math> ရှိသော ပြည့်စုံသည့်၊ ခွဲထုတ်၍ရသော [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဒေသအလိုက် ကျစ်လျစ်သော်လည်း ကျစ်လျစ်သော ရပ်ဝန်း (compact space) တစ်ခုအဖြစ်မူ မရှိပေ။ ဘိုဇာနို-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ်အရ <math>\mathbb{R}^k</math> အတွင်းရှိ အကန့်အသတ်ရှိသော ကိန်းစဉ်တိုင်းတွင် စုဆုံသည့် ကိန်းစဉ်ပိုင်းတစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>\mathbb{R}^k</math> ၏ အနန္တဖြစ်သော အကန့်အသတ်ရှိသည့် [[အစုပိုင်း]] (subset) တိုင်းတွင် စုဆောင်းမှတ်တစ်ခုစီ ရှိသည်။ ဟိုင်းန-ဘိုရဲလ် သီအိုရမ်အရ <math>\mathbb{R}^k</math> ၏ အစုပိုင်း <math>E \subset \mathbb{R}^k</math> တစ်ခုသည် အပိတ်စုဖြစ်ပြီး အကန့်အသတ်ရှိမှသာလျှင် ကျစ်လျစ်သောအစု (compact set) ဖြစ်သည်။ ဆက်စပ်နေမှုအရ <math>\mathbb{R}</math> သည် ဆက်စပ်နေသော (connected) [[အစု]]ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{R}</math> ၏ အစုပိုင်း <math>E \subset \mathbb{R}</math> တစ်ခုသည် အပိုင်းအခြားတစ်ခုဖြစ်မှသာလျှင် ဆက်စပ်နေသော အစုပိုင်းဖြစ်သည်။ === <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်ရှိ အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများ (Alternative Topologies on <math>\mathbb{R}</math>) === အပြည့်အဝ အစဉ်ကျခြင်း <math><</math> က လှုံ့ဆော်ပေးသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (topology) သည် ပကတိတန်ဖိုး အကွာအဝေး ဖန်ရှင်မှ လှုံ့ဆော်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် အတိအကျ ထပ်တူညီသည်။ သို့သော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် အခြား စံမဟုတ်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီများကိုလည်း လက်ခံပေးနိုင်သည်။ ယင်းတို့တွင် <math>[a, b)</math> ဖြင့် ထုတ်လုပ်ထားသော ဆော်ဂျင်ဖရေး မျဉ်း ဖြစ်သည့် စုဆုံမှတ်အောက်ခြေ တိုပေါ်လော်ဂျီ (lower limit topology) သို့မဟုတ် <math>K</math>-တိုပေါ်လော်ဂျီတို့ ပါဝင်သည်။ === အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Measure Theory) === <math>\mathbb{R}</math> ကို ပုံမှန် လီဘက်ဂ် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (Lebesgue measure) ဖြင့် တပ်ဆင်ထားသည်။ ယင်းမှာ စံ အပိုင်းအခြား <math>[0, 1]</math> ၏ အတိုင်းအတာ တိကျစွာ <math>1</math> နှင့် ညီမျှသည့် ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်းတွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (translation-invariant) ရှိသည့် အတိုင်းအတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုကို မှန်ကန်သည်ဟု ယူဆပါက မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်သော သင်္ချာဆိုင်ရာ ထုထည် သို့မဟုတ် အလျားကိုမျှ သတ်မှတ်ပေး၍မရနိုင်သည့် <math>\mathbb{R}</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] သေချာပေါက် တည်ရှိနေသည်။ ယင်းတိုင်းတာ၍မရနိုင်သော အစုများကို ဗစ်တာလီ အစုများ (Vitali sets) ဟု ခေါ်သည်။ == အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (Algebraic Structures) == အုပ်စု တည်ဆောက်ပုံများတွင် <math>(\mathbb{R}, +)</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian group) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော ကိန်းစစ်များသည် မြှောက်ခြင်းလုပ်ငန်းစဉ်အောက်တွင် <math>(\mathbb{R}^*, \cdot)</math> အဘီလီယန်အုပ်စုတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ <math>x \mapsto e^x</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးထားသော ထပ်ကိန်းတင် ပုံဖော်မှု <math>\exp: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}^{>0}, \cdot)</math> သည် [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (group isomorphism) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်း တည်ဆောက်ပုံတွင် <math>\mathbb{R}</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[အတိုင်းအတာ_(သင်္ချာ)#ဗက်တာရပ်ဝန်း၏_အတိုင်းအတာ_(Dimension_of_a_vector_space)|အနန္တအတိုင်းအတာ]] ရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခုအဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။ ထိုကဲ့သို့သော အခြေအစုတစ်ခုသည် ရေတွက်၍မရနိုင်သော အနန္တဖြစ်ပြီး တိကျပြတ်သားစွာ မတည်ဆောက်နိုင်သော်လည်း ဤရပ်ဝန်းအတွက် သဘောတရားရေးရာ အခြေအစု ဖြစ်သည့် ဟားမဲလ် အခြေအစု (Hamel basis) တစ်ခု တည်ရှိကြောင်းကို ZFC က အာမခံပေးထားသည်။ <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ကိန်းအုံ လီအုပ်စုများတွင် ကိန်းစစ် [[ဖီးလ်ဒ်]]သည် ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု <math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})</math> ၊ အထူး မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု <math>\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})</math> နှင့် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ လှည့်ခြင်းများကို ကိုယ်စားပြုသော ထောင့်မှန်ကျအုပ်စုများဖြစ်သည့် <math>\mathrm{O}(n)</math> နှင့် <math>\mathrm{SO}(n)</math> အပါအဝင် စံ ကိန်းအုံအုပ်စုများအတွက် ပါဝင်ကိန်းများကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ == ပိုလီနိုမီရယ်များ၊ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများ နှင့် တည်ဆောက်နိုင်မှု (Polynomials, Field Extensions, and Constructibility) == ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ်များအား အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းအရ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် <math>\mathbb{R}[x]</math> အတွင်းရှိ ကိန်းသေမဟုတ်သော ဆမခွဲနိုင်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်များ (irreducible polynomials) သည် မျဉ်းဖြောင့် ပိုလီနိုမီရယ်များနှင့် အနုတ်ခွဲခြားကိန်းပါသော နှစ်ထပ်ကိန်း ပိုလီနိုမီရယ်များအဖြစ်သာ တိကျစွာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ထို့ကြောင့် ဒီဂရီ <math>d \ge 3</math> ရှိသော <math>\mathbb{R}[x]</math> အတွင်းရှိ ပိုလီနိုမီရယ်များအားလုံးကို ဆခွဲနိုင်သည်။ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]]ဒီဂရီ (odd degree) ရှိသော မည်သည့် ပိုလီနိုမီရယ် <math>f \in \mathbb{R}[x]</math> တွင်မဆို အနည်းဆုံး ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေတစ်ခု ပါရှိသည်။ <math>\mathbb{C}</math> ၏ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံတွင် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{C}</math> ကို <math>\mathbb{R}</math> မှတစ်ဆင့် စားလဒ်[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (quotient ring) <math>\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{C}</math> အဖြစ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တည်ဆောက်ထားသည်။ ဤတိုးချဲ့ချက်သည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော [[ဖီးလ်ဒ်]] (algebraically closed field) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းပေးပြီး ပိုလီနိုမီရယ်အားလုံးအတွက် ကိန်းရင်းများရှိကြောင်းကို အာမခံပေးသည်။ သို့သော်လည်း ယင်းသို့ပြုလုပ်ခြင်းက အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ် ဂုဏ်သတ္တိကို စွန့်လွှတ်လိုက်ရစေသည်။ မည်သည့် အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်တွင်မဆို နှစ်ထပ်ကိန်းများသည် အနုတ်မဟုတ်သောကိန်းများ ဖြစ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ယင်းအချက်က <math>i^2 \ge 0 \implies -1 \ge 0</math> ဖြစ်ရန် တောင်းဆိုသဖြင့် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသောကြောင့် <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ မည်သည့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျခြင်းမဆိုသည် ဖီးလ်ဒ်တွက်ချက်မှုများနှင့် ကိုက်ညီမှု မရှိနိုင်ပေ။ တည်ဆောက်နိုင်သော ကိန်းများအနေဖြင့် အမှတ် <math>(0,0)</math> နှင့် <math>(1,0)</math> တို့မှစတင်၍ စက်ဝိုင်းချွန် နှင့် ပေတံကိုသာ အသုံးပြုကာ အမှတ် <math>(r, 0)</math> ကို ဖန်တီးနိုင်ပါက ကိန်းစစ် <math>r</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သော ကိန်း (constructible number) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တည်ဆောက်နိုင်သော ကိန်းစစ်အားလုံး၏ [[အစု]]သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အဆုံးရှိသော နှစ်ထပ်ကိန်း တိုးချဲ့ချက်များ၏ အထပ်ထပ်တည်ဆောက်မှုများမှတစ်ဆင့် ထုတ်လုပ်ပေးသော ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း <math>\mathcal{C}_{\mathbb{R}} \subset \mathbb{R}</math> တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ နှင့် ဆက်စပ်နေသော ကိန်းစနစ်များ (Generalizations and Related Number Systems) == === တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်စနစ် နှင့် ပရိုဂျက်တစ် မျဉ်း (The Extended Real Number System and Projective Line) === [[File:Extended_Real_Numbers.svg|thumb|right| တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်များ (အပေါ်) နှင့် ကိန်းစစ် ပရိုဂျက်တစ် မျဉ်း (အောက်)]] တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်များ (<math>\overline{\mathbb{R}}</math>) အား <math>\mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}</math> ကို ဖန်တီးရန် <math>\pm\infty</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာက ကျစ်လျစ်သော ရပ်ဝန်းတစ်ခုနှင့် [[အစုပိုင်း]]တိုင်းတွင် အင်ဖီမမ် (infimum) နှင့် စူပရီမမ် တစ်ခုစီပါဝင်သော ပြည့်စုံသည့် လတ္တစ်တစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးသည်။ သို့သော်လည်း <math>\overline{\mathbb{R}}</math> သည် သင်္ချာဆိုင်ရာ [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုအဖြစ်မှ ရပ်စဲသွားသည်။ ကိန်းစစ် ပရိုဂျက်တစ် မျဉ်း (Real Projective Line) တွင် လက္ခဏာမပါသော အနန္တတစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\mathbb{R} \cup \{\infty\}</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းက စက်ဝိုင်းပုံ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] အစီအစဉ်တစ်ခုကို ခွင့်ပြုပေးသည်။ ထို့ပြင် ယင်းတွက်ချက်မှုကို <math>x \neq 0</math> အတွက်သာ တိကျစွာသတ်မှတ်ထားသော <math>x/0 = \infty</math> ကဲ့သို့သော သီးခြား တွက်ချက်မှုများကိုလည်း ခွင့်ပြုပေးသည်။ တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်များနည်းတူ ၎င်းသည် ဖီးလ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံကို ဆုံးရှုံးသွားပြီး <math>0/0</math> ကဲ့သို့သော ဖော်ပြချက်များသည် သင်္ချာနည်းအရ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် မရှိဘဲ ကျန်ရစ်သည်။ === အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်ခြင်း နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ တိုးချဲ့ချက်များ (Non-Archimedean and Topological Extensions) === ဟိုက်ပါရီးရယ် နှင့် ဆာရီးရယ် ကိန်းများ ဟူသော ဤစနစ်များသည် <math>\mathbb{R}</math> ကို [[အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိ|အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်ခြင်း]] (non-Archimedean) ဆိုင်ရာ အစဉ်ကျသည့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]အဖြစ် တိုးချဲ့သည်။ ထို့ပြင် စံမဟုတ်သည့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန်အတွက် အနန္တကြီးမားသောကိန်းများနှင့် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများကို တင်းကျပ်စွာ ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ထားသည်။ ရှည်လျားသော ကိန်းစစ်မျဉ်း ကို ရေတွက်၍မရနိုင်သော <math>\mathbb{R}</math> ၏ မိတ္တူ <math>\aleph_1</math> ခုကို အတူတကွ ကပ်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းသည် ပြည့်စုံသော ဒေသအလိုက် [[အာခီမီးဒီးစ်_ဂုဏ်သတ္တိ|အာခီမီးဒီးစ်]]ဖြစ်သည့် အစဉ်ကျသော[[အစု]] တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော်လည်း ၎င်းမှာ ကျယ်ပြန့်လွန်းသဖြင့် စံ အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] ဂုဏ်သတ္တိများကို ထိန်းသိမ်းမထားနိုင်ပေ။ === အော်ပရေတာ အက္ခရာသင်္ချာများ (Operator Algebras) === ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (Hilbert space) တစ်ခုပေါ်ရှိ ကိုယ်တိုင်-တွဲဖက် (self-adjoint) အော်ပရေတာများသည် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နှင့် ကွမ်တမ် မက္ကင်းနစ်တို့တွင် <math>\mathbb{R}</math> ၏ နက်ရှိုင်းသော ယေဘုယျပြုထားခြင်းများအဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။ ၎င်းတို့တွင် ကိန်းစစ် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ (eigenvalues) တိကျစွာ ပါရှိပြီး အချိုးညီပြုထားသော မြှောက်လဒ် <math>\frac{1}{2}(AB + BA)</math> အောက်တွင် ဖက်စပ်၍မရသော ကိန်းစစ် ဂျော်ဒန် အက္ခရာသင်္ချာတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ === အခြားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်များ (Alternative Metrics) === အော့စထရော့စကီး သီအိုရမ်အရ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အသေးအဖွဲမဟုတ်သော ပကတိတန်ဖိုးတိုင်းသည် <math>\mathbb{R}</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသော စံ ယူကလစ်ဒ် [[အကွာအဝေး_ရပ်ဝန်း#အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်|အကွာအဝေး ဖန်ရှင်]] (Euclidean metric) သို့မဟုတ် သီးခြားဖြစ်သော p-အခြေခံကိန်းများ (p-adic numbers) ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{Q}_p</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည့် တစ်ခုသော [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> အတွက် p-အခြေခံကိန်း အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တို့နှင့် ထပ်တူညီသည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last=Aluffi |first=Paolo |title=Algebra: Chapter 0 |series=Graduate Studies in Mathematics |volume=104 |date=2009 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-4781-7}} * {{Citation |last1=Arndt |first1=Jörg |last2=Haenel |first2=Christoph |title=Pi Unleashed |date=2001 |publisher=Springer |isbn=978-3-540-66572-4}} * {{Citation |last=Beckmann |first=Petr |title=A History of π (PI) |date=1971 |publisher=St. Martin's Press |isbn=978-0-312-38185-1 |url=https://archive.org/details/historyofpipi0000beck_g8t1/}} * {{Citation |last=Bengtsson |first=Ingemar |title=The Number Behind the Simplest SIC-POVM |journal=Foundations of Physics |volume=47 |issue=8 |pages=1031–1041 |date=2017 |doi=10.1007/s10701-017-0078-3 |arxiv=1611.09087}} * {{Citation |last1=Bishop |first1=Errett |last2=Bridges |first2=Douglas |title=Constructive Analysis |series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften |volume=279 |date=1985 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-15066-4}} * {{Citation |last=Bourbaki |first=Nicolas |title=General Topology: Chapters 1–4 |series=Elements of Mathematics |date=1989 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-64241-1 |doi=10.1007/978-3-642-61701-0}} * {{Citation |last=Cantor |first=Georg |title=Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen |journal=Mathematische Annalen |volume=5 |issue=1 |pages=123–132 |date=1872 |doi=10.1007/BF01446327}} * {{Citation |last=Cantor |first=Georg |title=Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal) |volume=77 |pages=258–262 |date=1874}} * {{Citation |last=Cohen |first=Joel S. |title=Computer Algebra and Symbolic Computation: Elementary Algorithms |volume=1 |date=2002 |publisher=A K Peters |isbn=978-1-56881-158-1}} * {{Citation |last=Corry |first=Leo |title=A Brief History of Numbers |date=2015 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-870259-7}} * {{Citation |last=Dedekind |first=Richard |title=Stetigkeit und irrationale Zahlen |date=1872 |publisher=Friedrich Vieweg und Sohn |place=Braunschweig |url=http://www.gutenberg.org/ebooks/18318}} * {{Citation |last=Dieudonné |first=Jean |title=Foundations of Modern Analysis |date=1960 |publisher=Academic Press |url=https://archive.org/details/foundationsofmod0000dieu/}} * {{Citation |last=Drobot |first=Stefan |title=Real Numbers |date=1964 |publisher=Prentice-Hall |place=Englewood Cliffs, N.J.}} * {{Citation |last=Dunham |first=William |title=The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue |date=2015 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-1-4008-6679-3}} * {{Citation |title=Real number |publisher=Encyclopedia Britannica |url=https://www.britannica.com/science/real-number}} * {{Citation |last=Feferman |first=Solomon |title=The Number Systems: Foundations of Algebra and Analysis |date=1964 |publisher=Addison-Wesley |url=https://archive.org/details/numbersystemsfou0000fefe}} * {{Citation |last=Gordan |first=Paul |title=Transcendenz von e und π |journal=Mathematische Annalen |volume=43 |issue=2–3 |pages=222–224 |date=1893 |doi=10.1007/bf01443647}} * {{Citation |last=Hein |first=James L. |title=Discrete Structures, Logic, and Computability |edition=3rd |date=2010 |publisher=Jones and Bartlett Publishers |place=Sudbury, MA |isbn=978-0-7637-7206-2}} * {{Citation |last=Howie |first=John M. |title=Real Analysis |series=Springer Undergraduate Mathematics Series |date=2001 |publisher=Springer |isbn=978-1-85233-314-0 |doi=10.1007/978-1-4471-0341-7}} * {{Citation |last=Hurwitz |first=Adolf |title=Beweis der Transendenz der Zahl e |journal=Mathematische Annalen |volume=43 |pages=134–135 |date=1893}} * {{Citation |last=Koellner |first=Peter |chapter=The Continuum Hypothesis |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |title=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |date=2013 |publisher=Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2019/entries/continuum-hypothesis/}} * {{Citation |last=Landau |first=Edmund |title=Foundations of Analysis |edition=3rd |date=1966 |publisher=Chelsea |isbn=978-0-8284-0079-4 |url=https://archive.org/details/foundationsofana0000land_o4f9}} * {{Citation |title=Arabic mathematics: forgotten brilliance? |publisher=MacTutor History of Mathematics archive |date=1999 |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Arabic_mathematics/}} * {{Citation |last=Matvievskaya |first=Galina |title=The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics |journal=Annals of the New York Academy of Sciences |volume=500 |issue=1 |pages=253–277 |date=1987 |doi=10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x}} * {{Citation |last=Méray |first=Charles |title=Remarques sur la nature des quantités définies par la condition de servir de limites à des variables données |journal=Revue des sociétés savantes des départements |volume=4 |pages=280–289 |date=1869}} * {{Citation |last=Moschovakis |first=Yiannis N. |chapter=5. The Constructible Universe |title=Descriptive Set Theory |pages=274–285 |date=1980 |publisher=North-Holland |isbn=978-0-444-85305-9 |url=https://archive.org/details/descriptivesetth0000mosc/page/274/}} * {{Citation |last=nLab contributors |title=Real number |date=2026 |publisher=nLab |url=https://ncatlab.org/nlab/show/real+number}} * {{Citation |last=Puttaswamy |first=T. K. |chapter=The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians |pages=410–411 |editor1-last=Selin |editor1-first=Helaine |editor2-last=D'Ambrosio |editor2-first=Ubiratan |title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics |date=2000 |publisher=Springer |isbn=978-1-4020-0260-1}} * {{Citation |last=Richman |first=Fred |title=Real numbers and other completions |journal=Mathematical Logic Quarterly |volume=54 |issue=1 |pages=98–108 |date=2008 |doi=10.1002/malq.200710024}} * {{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |date=1976 |publisher=McGraw-Hill |isbn=978-0-07-054235-8}} * {{Citation |last=Sesiano |first=Jacques |chapter=Islamic mathematics |page=148 |editor1-last=Selin |editor1-first=Helaine |editor2-last=D'Ambrosio |editor2-first=Ubiratan |title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics |date=2000 |publisher=Springer |isbn=978-1-4020-0260-1}} * {{Citation |last=Stillwell |first=John |title=The Real Numbers: An Introduction to Set Theory and Analysis |series=Undergraduate Texts in Mathematics |date=2013 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-01576-7 |doi=10.1007/978-3-319-01577-4}} * {{Citation |last=Tarski |first=Alfred |title=Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences |edition=4th |date=1994 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-504472-0}} * {{Citation |last=Trefethen |first=Lloyd N. |title=Computing numerically with functions instead of numbers |journal=Mathematics in Computer Science |volume=1 |issue=1 |pages=9–19 |date=2007 |doi=10.1007/s11786-007-0001-y |url=https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/trefethen_functions.pdf}} * {{Citation |last=Wheeler |first=John Archibald |title=Hermann Weyl and the Unity of Knowledge: In the linkage of four mysteries—the "how come" of existence, time, the mathematical continuum, and the discontinuous yes-or-no of quantum physics—may lie the key to deep new insight |journal=American Scientist |volume=74 |issue=4 |pages=366–375 |date=1986 |jstor=27854250}} [[ကဏ္ဍ: ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ: ကိန်းစစ်များ]] 0wvc3uxwdvx9m05w2w5lqmuuigvo465 0 260871 1049524 859364 2026-08-20T06:23:35Z Kopyae0011 124620 "ဤဆောင်းပါးကို Google Translate သုံး၍ အင်္ဂလိပ် Wikipedia Demon Slayer:Kimetsu noYaiba မှ တိုက်ရိုက် ဘာသာပြန်ထားခြင်းဖြစ်ပါသည်။ " 1049524 wikitext text/x-wiki <blockquote> "ဤဆောင်းပါးကို Google Translate သုံး၍ အင်္ဂလိပ် Wikipedia [[:en:Demon_Slayer:_Kimetsu_no_Yaiba|Demon Slayer:Kimetsu noYaiba]] မှ တိုက်ရိုက် ဘာသာပြန်ထားခြင်းဖြစ်ပါသည်။ " </blockquote> [[ဖိုင်:Demon Slayer.jpg|alt=Demon Slayer Anime Poster|thumb|[https://wallpapercave.com/w/wp5982062 Demon Slayer Anime Poster]]] နတ်ဆိုးသတ်သူ - Demon Slayer: Kimetsu no Yaiba (鬼滅の刃၊ Kimetsu no Yaiba၊ "Blade of Demon Destruction") သည် Koyoharu Gotouge မှရေးသားပြီး သရုပ်ဖော်ထားသော ဂျပန်မန်ဂါစီးရီးဖြစ်သည်။ ၎င်းကို Shueisha ၏ shōnen manga မဂ္ဂဇင်း Weekly Shōnen Jump တွင် 2016 ဖေဖော်ဝါရီမှ 2020 မေလအထိ အတွဲလိုက် အတွဲလိုက် အတွဲလိုက် 23 tankōbon volumes ဖြင့် ၎င်း၏ အခန်းများကို စုစည်းထားသည်။ ၎င်းကို Viz Media မှ အင်္ဂလိပ်ဘာသာဖြင့် ထုတ်ဝေခဲ့ပြီး Shueisha မှ Manga Plus ပလပ်ဖောင်းတွင် တစ်ပြိုင်နက်တည်း ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ သူ့မိသားစုကိုသတ်ပြီးနောက် Demon Slayer ဖြစ်ဖို့ ကြိုးစားနေတဲ့ ဆယ်ကျော်သက် Tanjiro Kamado နဲ့ သူ့ညီမ Nezuko တို့ဟာ နတ်ဆိုးတစ်ကောင်လို ဖြစ်သွားခဲ့ပါတယ်။ Ufotable မှ ဧပြီလမှ စက်တင်ဘာလအထိ 2019 ခုနှစ် ဧပြီလမှ စက်တင်ဘာလအထိ ထုတ်လွှင့်ပြသခဲ့သော Ufotable မှ ထုတ်လုပ်သည့် အပိုင်း ၂၆ ပိုင်းပါ anime ရုပ်မြင်သံကြားစီးရီးတစ်ခု၊ နောက်ဆက်တွဲဇာတ်ကား Demon Slayer: Kimetsu no Yaiba – The Movie: Mugen Train သည် 2020 ခုနှစ် အောက်တိုဘာလတွင် ထွက်ရှိခဲ့ပြီး ဝင်ငွေအများဆုံး anime ဇာတ်ကားအဖြစ် ဂျပန်နှင့် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ အချိန်တိုင်းရုပ်ရှင်။ ပေါင်းစပ်ရုပ်ရှင် Demon Slayer: Kimetsu no Yaiba – To the Swordsmith Village ကို 2023 ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ထုတ်ဝေခဲ့ပြီး 2021 ခုနှစ် အောက်တိုဘာလမှ 2022 ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည့် anime စီးရီး၏ ဒုတိယရာသီ 18 ခုကို စုစည်းဖော်ပြခဲ့ပါသည်။ တတိယရာသီကို ဧပြီလမှ စတင်ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည်။ 2023 ခုနှစ် ဇွန်လတွင် နောက်ထပ်စုစည်းထားသောဇာတ်ကားဖြစ်သည့် Demon Slayer: Kimetsu no Yaiba – To the Hashira Training ကို 2024 ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဖြန့်ချိခဲ့သည်။ စတုတ္ထရာသီကို မေလမှ 2024 ခုနှစ် ဇွန်လအထိ ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည်။ စတုတ္ထရာသီနောက်ဆုံးအပြီးတွင် ရုပ်ရှင် trilogy နောက်ဆက်တွဲကို ကြေညာခဲ့သည်။ 2021 ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် မန်ဂါသည် ဒစ်ဂျစ်တယ်ဗားရှင်းများအပါအဝင် စောင်ရေ သန်း 150 ကျော် ဖြန့်ချိခဲ့ပြီး ၎င်းသည် အချိန်တိုင်းအရောင်းရဆုံး မန်ဂါစီးရီးများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်လာခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ၎င်းသည် 2019 နှင့် 2020 ခုနှစ်များတွင် အရောင်းရဆုံး manga ဖြစ်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ manga သည် ၎င်း၏အနုပညာ၊ ဇာတ်လမ်းဇာတ်ညွှန်း၊ အက်ရှင်ဇာတ်ဝင်ခန်းများနှင့် ဇာတ်ကောင်များအတွက် ဝေဖန်အားပေးမှုရရှိထားသည်။ The Demon Slayer- Kimetsu no Yaiba franchise သည် တစ်ချိန်လုံး ဝင်ငွေအများဆုံး မီဒီယာ franchise များထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ == အကျဉ်းချုပ် == === ကာလပတ်ဝန်းကျင် === Taishō ခေတ် ဂျပန်တွင် "Demon Slayer Corps" ဟုလူသိများသော လျှို့ဝှက်အဖွဲ့အစည်းတစ်ခုသည် ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာ နတ်ဆိုးများနှင့် စစ်ဆင်နွှဲခဲ့သည်။ နတ်ဆိုးများသည် ခွန်အားတိုးမြင့်လာခြင်း၊ လျင်မြန်စွာ ပြန်လည်မွေးဖွားခြင်းနှင့် "သွေးနတ်ဆိုးအနုပညာ" ဟုရည်ညွှန်းထားသော ထူးခြားသောစွမ်းအားများကဲ့သို့သော သဘာဝလွန်စွမ်းရည်များ ပိုင်ဆိုင်ထားသော လူသားဟောင်းများဖြစ်သည်။ နတ်ဆိုးများသည် နေရောင်ခြည်နှင့် တိုက်ရိုက်ထိတွေ့ခြင်း၊ ခေါင်းဖြတ်ထားသော Nichirin ဟုခေါ်သော သတ္တုစပ်မှ ပြုလုပ်သော လက်နက်များ သို့မဟုတ် wisteria ပန်းပွင့်များမှ အဆိပ်ဖြင့် ထိုးသွင်းခြင်းမှသာလျှင် သေဆုံးနိုင်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့်၊ Demon Slayers များသည် လုံးဝလူသားများဖြစ်သော်လည်း "Breathing Styles" ဟုသိကြသည့် အထူးပြုအသက်ရှူနည်းစနစ်များကို အသုံးပြုကြသည်။ ဤနည်းပညာများသည် ၎င်းတို့အား လူထက်သာလွန်သော ခွန်အား၊ မြင့်မားသော စွမ်းရည်များနှင့် နတ်ဆိုးများကို ထိရောက်စွာ တိုက်ထုတ်နိုင်စေသည့် ခံနိုင်ရည်အား တိုးမြှင့်ပေးသည်။ ကြောက်မက်ဖွယ်အကောင်းဆုံး Demon Slayers များကို "Hashira" ဟုလူသိများပြီး Corps ၏အဆင့်များတွင် တိုးတက်မှုများစွာဖြင့် အမြင့်ဆုံးအဆင့်မှ နတ်ဆိုးငါးဆယ်ကို သတ်ခြင်း သို့မဟုတ် Twelve Kizuki အဖွဲ့ဝင်တစ်ဦးကို အဆုံးအဖြတ်ပေးခြင်းဖြင့် ဤရာထူးကိုရရှိမည်ဖြစ်သည်။ === '''ဇာတ်ကြောင်း''' === [[:en:List_of_Demon_Slayer:_Kimetsu_no_Yaiba_characters|ပင်မဆောင်းပါး- Demon Slayer စာရင်း- Kimetsu no Yaiba ဇာတ်ကောင်များ]] Tanjiro Kamado သည် ကြင်နာတတ်ပြီး ဉာဏ်ရည်ထက်မြက်သော ကလေးလေးဖြစ်ပြီး တောင်ပေါ်တွင် မိသားစုနှင့်အတူ နေထိုင်သည်။ ဖခင်သေဆုံးပြီးနောက်တွင် သူသည် မိသားစု၏ စားဝတ်နေရေးဖြစ်လာပြီး အနီးနားရွာသို့ မီးသွေးရောင်းရန် သွားရောက်ခဲ့သည်။ တစ်နေ့မှာတော့ တန်ဂျီရိုဟာ သူ့မိသားစုကို နတ်ဆိုးတစ်ကောင်ရဲ့ သတ်ဖြတ်ခြင်းကို ခံခဲ့ရကြောင်း တွေ့ရှိခဲ့ပါတယ်။ ၎င်း၏ညီမ Nezuko သည် အဖြစ်အပျက်၏ တစ်ဦးတည်းသော အသက်ရှင်ကျန်ရစ်သူဖြစ်သည်။ သူမသည် နတ်ဆိုးအဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲသွားသော်လည်း Nezuko သည် လူသားများ၏ စိတ်ခံစားမှုနှင့် အတွေးအမြင်များကို ပြသနေဆဲဖြစ်သည်။ Giyu Tomioka၊ Demon Slayer Corps ၏ Water Hashira နှင့်တွေ့ဆုံပြီးနောက် Tanjiro သည် Giyu ၏နည်းပြဖြစ်သူ Sakonji Urokodaki နှင့် Demon Slayer ဖြစ်လာစေရန်နှင့် Nezuko ကို လူသားတစ်ဖန်ပြန်လည်ကူညီရန် စတင်ရှာဖွေခဲ့သည်။ နှစ်နှစ်အကြာတွင် Tanjiro သည် "Water Breathing" ပုံစံကို သင်ယူပြီး ကြောက်မက်ဖွယ်ကောင်းသော စာမေးပွဲတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ သူသည် အောင်နိုင်သူ အနည်းစုထဲမှ တစ်ဦးဖြစ်ပြီး သူ့ကို Corps အဖွဲ့ဝင်အဖြစ် တရားဝင် သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ Sakonji သည် Nezuko သည် လူသားများကို မထိခိုက်စေရန် ညှို့နှိုင်းထားပြီး သူမသည် နတ်ဆိုးများကို လိုက်လံသတ်ဖြတ်ခြင်းစသည့် ဆိုးရွားသောအခြေအနေများတွင် တန်ဂျီရိုကို ကူညီပေးသည်။ ၎င်းတို့၏တာဝန်များထဲမှတစ်ခုမှာ ၎င်းတို့ကို Asakusa သို့ ခေါ်ဆောင်လာပြီး နတ်ဆိုးအားလုံး၏ မျိုးရိုးလိုက်သူ Muzan Kibutsuji နှင့် ၎င်းတို့၏မိသားစုကို သတ်ဖြတ်မှုတွင် တာဝန်ရှိသော သူနှင့်တွေ့ဆုံသည်။ Tanjiro နှင့် Nezuko တို့သည် Muzan ၏ထိန်းချုပ်မှုမှလွတ်မြောက်သောနတ်ဆိုးနှစ်ယောက် Tamayo နှင့် Yushiro တို့လည်းတွေ့ဆုံခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် Nezuko အတွက် ကုသနည်းတစ်ခု ဖော်ဆောင်ရန် Tanjiro အား Muzan ကွပ်ကဲမှုအောက်တွင် တန်ခိုးအကြီးဆုံး နတ်ဆိုးဆယ့်နှစ်ပါးဖြစ်သည့် Twelve Kizuki မှ Tamayo မှ သွေးနမူနာများ ပေးဆောင်ရန် လိုအပ်သော်လည်း အောက်ခြေအဆင့် ခြောက်ခုနှင့် အထက်တန်းခြောက်ခုသို့ ခွဲထုတ်သွားမည်ဖြစ်သည်။ သူတို့၏ခရီးတစ်လျှောက်တွင် Tanjiro နှင့် Nezuko သည် Demon Slayers Zenitsu Agatsuma နှင့် Inosuke Hashibira တို့နှင့်တွေ့ဆုံသည်။ သူတို့သည် တန်ဂျီရို၏ မစ်ရှင်အပြီးတွင် Lower Six ဖြစ်သော Kyogai ကို သတ်ရန် အဖွဲ့ဖွဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ၎င်းတို့သည် Lower Five Rui ၏ မိသားစုကို ရင်ဆိုင်ရာတွင် အခြား Demon Slayers များနှင့် ပူးပေါင်းခဲ့သည်။ တိုက်ပွဲကြားတွင် Tanjiro သည် "Hinokami Kagura" ဟုသိကြသော လျှို့ဝှက်ဆန်းကြယ်သော အသက်ရှူပုံစံကို ဖွင့်ပေးသော်လည်း Rui သည် နောက်ဆုံးတွင် သူ့အား ယှဉ်နိုင်ကာ Inosuke နှင့် Zenitsu တို့မှာ ဒဏ်ရာရကာ စူးစမ်းလေ့လာရေးခရီးကို သတ်ပစ်လိုက်ကြသည်။ Giyu နှင့် အင်းဆက် Hashira Shinobu Kocho တို့က အသက်ရှင်ကျန်ရစ်သူများကို ကယ်တင်ခဲ့ပြီး တပ်ဖွဲ့ဌာနချုပ်သို့ ပြန်လည်ပို့ဆောင်ပေးခဲ့သည်။ Tanjiro ကို Hashira – Giyu, Shinobu, Flame Hashira Kyojuro Rengoku, Sound Hashira Tengen Uzui, Love Hashira Mitsuri Kanroji, Stone Hashira Gyomei Himejima, Mist Hashira Muichiro Tokito, Serpent Hashira Obanai Iguro San နှင့် Winner Hashira Obanai Iguro-Sanjiro Giyu နဲ့ Mitsuri ကလွဲရင် သူနဲ့ Nezuko ကို အသက်ရှင်ခွင့်ပေးသင့်တယ်လို့ မယုံပါနဲ့။ မည်သို့ပင်ဆိုစေကာမူ၊ တပ်မကြီး၏ခေါင်းဆောင် Kagaya Ubuyashiki သည် Nezuko ကိုလက်ခံပြီး Tanjiro ၏အရေးပါမှုကိုမြင်လာစေရန်ဆွဲဆောင်နိုင်ကာ Muzan ကိုအနိုင်ယူနိုင်သည်ဟုသူတို့၏အကူအညီဖြင့်ယုံကြည်သည်။ Rui သေဆုံးမှုကြောင့် ဒေါသထွက်ကာ Muzan သည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ကျရှုံးမှုများကြောင့် အောက်တန်းစားများကို သတ်ပစ်ခဲ့သည်။ သူသည် Lower One Enmu ကို နှမြောပြီး Tanjiro ကိုသတ်ရန် တာဝန်ပေးသည်။ ခရီးသည်ရထားတစ်စီးတွင် Enmu ကိုတိုက်ခိုက်ပြီးနောက် Tanjiro သည် Kyojuro ၏အကူအညီဖြင့် သူ့ကိုသတ်ပစ်လိုက်သည်။ သို့သော် အထက်သုံးဆင့် Akaza ပေါ်လာပြီး နတ်ဆိုးက လွတ်မြောက်သွားချိန်တွင် သူ့ဒဏ်ရာများဖြင့် သေဆုံးသွားသော Kyojuro ကို တိုက်ခိုက်သည်။ လများအကြာတွင် ၎င်းတို့သည် Tengen နှင့်အတူ Yoshiwara သို့ စေလွှတ်လိုက်ရာ ၎င်းတို့သည် အထက်မွေးချင်း ခြောက်ဦးဖြစ်သော Gyutaro နှင့် Daki တို့ကို သတ်ပစ်ခဲ့သည်။ Tengen သည် ဒဏ်ရာပြင်းထန်စွာ ခံစားခဲ့ရပြီးနောက် တပ်ဖွဲ့မှအနားယူခဲ့သည်။ Corps ၏လက်နက်များအတုပြုလုပ်သည့် Swordsmith Village တွင်နောက်ထပ်တိုက်ပွဲတစ်ခုတွင် Tanjiro သည် ၎င်းတို့၏အသားကိုစားပြီးနောက် နတ်ဆိုးစွမ်းအားများကို ယာယီရယူနိုင်သောလျှို့ဝှက်ဆန်းကြယ်သော Sanemi ၏ညီဖြစ်သူ Genya နှင့်တွေ့ဆုံခဲ့သည်။ Muichiro နှင့် Mitsuri တို့၏အကူအညီဖြင့်၊ အဖွဲ့သည် Upper Five Gyokko နှင့် Upper Four Hantengu ကိုသတ်သည်။ နောက်ပိုင်းမှာတော့ Nezuko ဟာ နေရောင်ခြည်ဒဏ်ကို ခံနိုင်ရည်ရှိတယ်ဆိုတာ သိလိုက်ရတယ်။ သူမသည် နေကိုကျော်လွှားပြီး မသေနိုင်သောဖြစ်လာရန် နည်းလမ်းကို ကာလရှည်ကြာရှာဖွေနေသောကြောင့် Muzan ၏ အဓိကပစ်မှတ်ဖြစ်လာသည်။ Tanjiro သည် ၎င်း၏ Hinokami Kagura သည် "Sun Breathing" မှ ဆင်းသက်လာကာ သမိုင်းတစ်လျှောက် အစွမ်းထက်ဆုံး Demon Slayer Yoriichi Tsugikuni မှ ဖန်တီးထားသော ပထမဆုံး အသက်ရှူပုံစံကို လေ့လာပြီး Muzan ကို တိုက်ခိုက်ရန် တီထွင်ခဲ့သည်။ Muzan သည် Nezuko ကိုရှာဖွေရန်ကြိုးစားမည်ကိုသိသဖြင့် Corps သည်လာမည့်ပဋိပက္ခအတွက်၎င်း၏အဖွဲ့ဝင်များကိုပြင်ဆင်ရန်တင်းကျပ်သောလေ့ကျင့်မှုကိုပြုလုပ်သည်။ Tamayo သည် ရရှိလာသော သွေးနမူနာများနှင့်အတူ နီဇူကို ပြန်လည်သက်သာလာချိန်တွင် သီးခြားခွဲထားကာ ကုသရန် သွေးရည်ကြည်ကို တီထွင်ခဲ့သည်။ Muzan ပေါ်လာပြီး Kagaya သည် သူ့ကို ယိမ်းထိုးစေရန် အသေခံတိုက်ခိုက်မှုကို စတင်ခဲ့သည်။ Hashira မှ Muzan သည် ၎င်းတို့အားလုံးကို Infinity Castle၊ အဆုံးမဲ့ဝင်္ကပါနေရာဖြစ်သည့် Akaza၊ Upper Two Doma၊ Upper One Kokushibo နှင့် အသစ်တက်လာသော အဖွဲ့ဝင် Kaigaku နှင့် Nakime- Zenitsu ၏လုပ်ဖော်ကိုင်ဖက်ဟောင်းနှင့် Muzan ၏ကိုယ်ရေးကိုယ်တာလက်ထောက်များ အသီးသီးရှိကြသည်။ Zenitsu သည် Kaigaku ကို သတ်လိုက်သောအခါ Tamayo သည် Muzan နှင့် Shinobu တို့၏ အစွမ်းအစများကို အားနည်းသွားစေရန်အတွက် သူမနှင့် Shinobu လုပ်ထားသော အဆိပ်ကို ထိုးသွင်းသည်။ Akaza သည် သူ၏ လူ့အသက်ကို သတိရသောအခါ Muzan ကို သစ္စာဖောက်ပြီး သူ့ကိုယ်သူ သတ်သေသွားကာ Shinobu သည် Doma ကို အဆိပ်သင့်စေရန် သူ့ကိုယ်သူ စတေးကာ သူ့ protégé Kanao Tsuyuri နှင့် Inosuke တို့ကို သတ်ရန် ခွင့်ပြုလိုက်သည်။ ပြင်းထန်သောတိုက်ပွဲတစ်ခုပြီးနောက်၊ Kokushibo သည် Muichiro နှင့် Genya နှစ်ဦးစလုံးကိုမသတ်မီသတ်ပစ်ခဲ့သည်။ Muzan သည် Tamayo ကိုသတ်ခဲ့ပြီး နောက်ပိုင်းတွင် Yushiro မှ သူမအား စွမ်းအားများအသုံးပြုရန် ညှို့နှိုင်းခြင်းခံရသောအခါတွင် Nakime အား သတ်ပစ်သော်လည်း တပ်များက မြေပြင်ထက်တွင် အတင်းအကြပ်ခိုင်းစေခဲ့သည်။ Tamayo ၏ အဆိပ်ကြောင့် တပ်ဖွဲ့များသည် မနက်ခင်းနေရောင်ခြည်ကို သတ်နိုင်သည့်အထိ ကျန်အဖွဲ့ဝင်များသည် Muzan အား တင်းတင်းကျပ်ကျပ် တွန်းလှန်တိုက်ခိုက်ကြသဖြင့် တပ်ဖွဲ့များသည် အပူတပြင်း စစ်ပွဲကို ဆင်နွှဲခဲ့ကြသည်။ Muzan သည် နေရောင်ခြည်ကို ခိုကိုးရာမဲ့ ကျန်ရစ်ခဲ့သော်လည်း Gyomei၊ Obanai နှင့် Mitsuri တို့သည် ၎င်းတို့၏ ဒဏ်ရာကြောင့် အရှုံးပေးခဲ့သည်။ Tanjiro သည် နောက်ဆုံးထိုးနှက်ချက်အား ပေးစွမ်းသောအခါ Muzan သည် သူ့ကို ဒဏ်ရာပြင်းထန်စွာ ရရှိပြီး ကျန်သွေးများကို အတင်းအကြပ် ပေးသည်။ တန်ဂျီရိုသည် ၎င်း၏မျိုးစိတ်များရှင်သန်ရန် Muzan ၏နောက်ဆုံးထွက်ပေါက်ကြိုးပမ်းမှုအနေဖြင့် နတ်ဆိုးအဖြစ်သို့ပြောင်းလဲသွားသည်။ သူသည် အသက်ရှင်ကျန်ရစ်သူများကို တိုက်ခိုက်ရန် စတင်ခဲ့သော်လည်း ၎င်းတို့၏ ကြိုးပမ်းအားထုတ်မှုနှင့် သူမ၏ လူသားအဖြစ်သို့ အပြည့်အဝ ပြန်လည်ရောက်ရှိသွားသော Nezuko ၏ အကူအညီကြောင့် အသွင်ကူးပြောင်းမှုသည် ပြောင်းပြန်ဖြစ်သည်။ တိုက်ပွဲအပြီးတွင်၊ တပ်များသည် ဖျက်သိမ်းပြီး နောက်ဆုံးကျန်ရစ်သူ Hashira အဖြစ် Giyu နှင့် Sanemi တို့ကို ထားခဲ့သည်။ Yushiro သည် ပန်းချီဆရာအဖြစ် နေထိုင်စဉ်တွင် Muzan ၏သေဆုံးမှုသည် သူ၏ထိန်းချုပ်မှုအောက်တွင် နတ်ဆိုးအားလုံးကို ထိရောက်စွာအနိုင်ယူနိုင်ခဲ့သည်။ Tanjiro နှင့် Nezuko တို့သည် Zenitsu နှင့် Inosuke တို့နှင့်အတူ ၎င်းတို့၏အိမ်သို့ ပြန်ခဲ့ကြသည်။ Tanjiro နှင့် Inosuke သည် Kanao နှင့် Demon Slayer Aoi Kanzaki အသီးသီး လက်ထပ်ကြပြီး Zenitsu သည် Nezuko ကို လက်ထပ်သည်။ မျက်မှောက်ခေတ် ဇာတ်လမ်းတစ်ပုဒ်တွင်၊ တပ်သားများ၏ သားမြေးများနှင့် လူဝင်စားများသည် နတ်ဆိုးများ ကင်းစင်သော ငြိမ်းချမ်းသောဘဝကို ခံစားကြသည်။ == ထုတ်လုပ်မှု == Gotouge ၏ manga ဖြစ်သော Haeniwa no Zigzag သည် 2015 ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေသော Weekly Shōnen Jump တွင် အတွဲလိုက် လက်ရာတစ်ခု ဖြစ်လာရန် ပျက်ကွက်ခဲ့ပြီး Gotouge ၏ ပထမဆုံး တည်းဖြတ်သူ Tatsuhiko Katayama က Gotouge ကို "နားလည်ရလွယ်ကူသော ဆောင်ပုဒ်" ဖြင့် စီးရီးတစ်ခု စတင်ရန် အကြံပြုခဲ့သည်။ Gotouge ၏ ပွဲဦးထွက်လက်ရာ Kagarigari သည် ဂျပန်ပရိသတ်များအကျွမ်းတဝင်ရှိမည့် Kisatsu no Nagare (鬼殺の流れ) အမည်ရှိ မူလမူကြမ်းအတွက် အခြေခံဖြစ်လာမည်ဖြစ်သည်။ သို့သော် ၎င်း၏ လေးနက်သောလေသံ၊ ရုပ်ပြသွင်ပြင်ကင်းမဲ့မှုနှင့် အမိုက်စားဇာတ်လမ်းကြောင့် ဤမူကြမ်းကို အမှတ်စဉ်ပြုလုပ်ရန် လက်မခံသောကြောင့် Katayama က Gotouge အား တူညီသောအစီအစဥ်တွင် ပိုမိုတောက်ပပြီး ပုံမှန်ဇာတ်ကောင်ကို ကြိုးစားရေးသားရန် တောင်းဆိုခဲ့သည်။ မူရင်းခေါင်းစဉ်မှာ Kisatsu no Yaiba (鬼殺の刃) ဖြစ်သော်လည်း ခေါင်းစဉ်ရှိ ဇာတ်ကောင် "satsu" (殺, lit. "kill") သည် အလွန်လွန်သည်ဟု ခံစားရပါသည်။ ပေါင်းစပ်ထားသော စကားလုံးဖြစ်သော်လည်း "kimetsu" (鬼滅) သည် နားလည်ရန် လွယ်ကူပုံပေါ်သောကြောင့် Gotouge သည် စီးရီး၏ ခေါင်းစဉ်ကို ထိုနည်းဖြင့် အတိုချုံးဖော်ပြရန် စိတ်ဝင်စားဖွယ်ကောင်းမည်ဟု Gotouge က ယူဆခဲ့သည်။ "yaiba" (刃, lit. "blade") ဟူသော စကားလုံးသည် ဂျပန်ဓားကို ဆိုလိုသည်။ Gotouge ၏ အဆိုအရ စီးရီး၏ အကြီးမားဆုံး လွှမ်းမိုးမှု သုံးခုမှာ JoJo's Bizarre Adventure၊ Naruto နှင့် Bleach တို့ဖြစ်သည်။[6][7] Demon Slayer: Kimetsu no Yaiba manga ၏ တည်းဖြတ်သူ Tatsuhiko Katayama က ဆံပင်နီနီနှင့် အမာရွတ်ရှိသော Tanjiro ကို 1990s manga ဖြစ်သော Rurouni Kenshin မှ စိတ်ဓာတ်မြင့်တက်စေခဲ့ကြောင်း အင်တာဗျူးများတွင် ပြောကြားထားသည်။ == ကိုးကားချက်များ == https://en.wikipedia.org/wiki/Demon_Slayer:_Kimetsu_no_Yaiba fqwvczssyi26leggt8vh1cv3qb94ylx 3 266604 1049441 860684 2026-08-19T17:17:54Z AccountVanishRequests 123777 [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:REiKa03]] မှ [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Renamed user 24a589b695bd0a52f11d85ab2272d7d9]] သို့ စာမျက်နှာကို ပြန်ညွှန်းချန်မထားဘဲ AccountVanishRequests က ရွှေ့ခဲ့သည်: အသုံးပြုသူ "[[Special:CentralAuth/REiKa03|REiKa03]]" ကို "[[Special:CentralAuth/Renamed user 24a589b695bd0a52f11d85ab2272d7d9|Renamed user 24a589b695bd0a52f11d85ab2272d7d9]]" သို့ အမည်ပြောင်းလဲစဉ် စာမျက်နှာအား အလိုအလျောက် ရွှေ့ပြောင်းခြင်း 860684 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် REiKa03 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၁၃၊ ၁၇ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၅ (UTC) jp9p4l6q178j21hsfs0t8ck6w30hi7t 2 282473 1049437 1048721 2026-08-19T15:38:59Z Mkant00 135890 1049437 wikitext text/x-wiki '''A mathematician is a device for turning coffee into theorems'''<ref>{{cite book | title=A History of Mathematics | first=Jeff | last=Suzuki | year=2002 | pages=731 | publisher=Prentice Hall | quote=The first main result was by the Hungarian mathematician Alfred Renyi (March 20, 1921-February 1, 1970), who is best known for a saying of his: a mathematician is a machine for turning coffee into theorems. | isbn=9780130190741}}</ref><ref>{{cite book | title=Preface to ''Ars Mathematica'', Collected writings of Alfréd Rényi | publisher=TypoTeX | location=Budapest | author=Gyula O. H. Katona | author-link=Gyula O. H. Katona | page=8 | year=2005}}</ref> <div style="background-color: #F1C644; padding: 20px; color: #141B2D ; margin-bottom: 1em; border-radius: 8px;"> == <span style="color: #141B2D ;"> အဓိက ပံ့ပိုးထားသော ဆောင်းပါးများ (သင်္ချာ) </span> == <div style="column-width: 25em; column-gap: 3em; font-size: 95%;"> '''ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (Category Theory)''' # [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (Category theory) # [[2-ကတ်တဂိုရီ]] (2-category) # [[အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of groups) # [[အဘီလီယန်အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of abelian groups) # [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of rings) # [[မော်ဂျူးများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of modules) # [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of sets) # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of topological spaces) # [[မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ]] (Monoidal category) # [[ဂရိုသန်ဒိခ် စကြဝဠာ]] (Grothendieck universe) # [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Limits and colimits) # [[စစ်ထုတ်ထားသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Filtered colimit) # [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (Initial and terminal objects) # [[ဖန်တာ]] (Functor) # [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (Derived functor) # [[တိကျသော ဖန်တာ]] (Exact functor) # [[ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ]] (Fully faithful functor) # [[အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ]] (Essentially surjective functor) # [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Natural transformation) # [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] (Adjunction) # [[တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact sequence) # [[မိုနက်]] (Monad) # [[အစည်း]] (Sheaf) # [[ကွင်းပါသော ရပ်ဝန်း]] (Ringed space) # [[ဂရိုသန်ဒိခ် တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Grothendieck topology) '''သရုပ်မဲ့/ခေတ်သစ် အက္ခရာသင်္ချာ (Abstract/Modern Algebra)''' # [[အုပ်စု (သင်္ချာ)]] (Group) # [[အုပ်စုပိုင်း]] (Subgroup) # [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian group) # [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စု]] (Automorphism group) # [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်]] (Group action) # [[အုပ်စုသီအိုရီ၏ သမိုင်းကြောင်း]] (History of group theory) # [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)]] (Ring) # [[ပြောင်းပြန်ကွင်း]] (Opposite ring) # [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (Commutative ring) # [[အစားကွင်း]] (Division ring) # [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Ring homomorphism) # [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) # [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်]] (Finite field) # [[မော်ဂျူး]] (Module) # [[ရိုးရှင်းသော မော်ဂျူး]] (Simple module) # [[ဆီမီးရိုးရှင်းသော မော်ဂျူး]] (Semisimple module) # [[မိုနွိုက်]] (Monoid) # [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်]] (Prime ideal) # [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Homomorphism) # [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism) # [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Automorphism) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Isomorphism) # [[မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Monomorphism) # [[အပီမော်ဖစ်ဇင်]] (Epimorphism) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ]] (Isomorphism theorems) # [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) # [[ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ]] (*-algebra) # [[အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိ]] (Archimedean property) # [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (Commutative property) # [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (Associative property) '''အစုသီအိုရီနှင့် အခြေခံများ (Set Theory and Fundamentals)''' # [[အစု]] (Set) # [[အစုဝင်]] (Element of a set) # [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) # [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ]] (Ordered pair) # [[ဖန်ရှင်]] (Function) # [[ပုံရိပ် နှင့် မူလပုံရိပ်]] (Image and preimage) # [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] (Injective function) # [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] (Surjective function) # [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] (Bijective function) # [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း]] (List of mathematical symbols) '''တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဂျီဩမေတြီ (Topology & Geometry)''' # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) # [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (Metric space) # [[ဖိုက်ဘာအစည်း]] (Fiber bundle) # [[ဟိုမိုတိုပီ]] (Homotopy) # [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (Continuous function) # [[မန်နီဖိုး]] (Manifold) '''မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (Linear Algebra)''' # [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector space) # [[ဗက်တာ]] (Vector) # [[ယူနစ်ဗက်တာ]] (Unit vector) # [[စကေလာ]] (Scalar) # [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (Linear operator) '''ကိန်းသီအိုရီ နှင့် ကိန်းစနစ်များ (Number Theory & Number Systems)''' # [[ကိန်းစစ်]] (Real number) # [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) # [[ကိန်းယောင်]] (Imaginary number) # [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း]] (Irrational number) # [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) # [[အတိပြကိန်း]] (Rational number) # [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)]] (Parity) # [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) # [[P-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic valuation) # [[အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ်]] (Euler's theorem) '''ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း၊ ကဲကုလပ် နှင့် အခြား (Analysis, Calculus & Others)''' # [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (Fundamental theorem of calculus) # [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) # [[ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း]] (Sequence space) # [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)]] (Norm) # [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)]] (Derivative) # [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)]] (Dimension) # [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] (Probability) # [[ဖီး ဆုတံဆိပ်]] (Fields Medal) </div> </div> <div style="background-color: #e0e0e0; padding: 20px; color: #141B2D; margin-bottom: 1em; border-radius: 8px;"> == တမ်းပလိတ်များ (Templates) == # [[တမ်းပလိတ်:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] # [[တမ်းပလိတ်:အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ]] # [[တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ]] </div> <div style="background-color: #a7f356; padding: 20px; color: #141B2D; margin-bottom: 1em; border-radius: 8px;"> == စီးပွားရေး၊ ဘဏ္ဍာရေး နှင့် အခြား (Economics, Finance & Others) == <div style="column-width: 25em; column-gap: 3em; font-size: 95%;"> '''စီးပွားရေးနှင့် ဘဏ္ဍာရေး (Economics & Finance)''' # [[ဘဏ္ဍာရေး ဆင်းသက်စာချုပ်]] (Financial derivative) # [[အစုရှယ်ယာ]] (Stock) # [[၂၀၀၇-၂၀၀၈ ကမ္ဘာ့ဘဏ္ဍာရေး အကျပ်အတည်း]] (Global Financial Crisis 2007–2008) # [[ရီကာဒီယန် စီးပွားရေးပညာ]] (Ricardian economics) # [[ပကတိ အသာစီးရမှု]] (Absolute advantage) # [[လီယွန်တီယက်ဖ် ဝိရောဓိ]] (Leontief paradox) # [[ဟက်ခ်ရှာ-အိုလင် သီအိုရမ်]] (Heckscher–Ohlin Theorem) # [[ရစ်ဗ်ချင်စကီး သီအိုရမ်]] (Rybczynski theorem) # [[အရင်းအမြစ် ဈေးကွက်]] (Factor market) '''စာပေ (Literature)''' # [[မာဆယ် ပရူးစ်တ်]] (Marcel Proust) </div> </div> <div style="background-color: #f8f9fa; padding: 20px; color: #141B2D; border-radius: 8px;"> == ရေးရန် (သင်္ချာ) == <div style="column-count: 2; column-gap: 2em;"> '''ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (Category Theory)''' # [[ဖီးလ်ဒ်များ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of fields) # Kan extension '''သရုပ်မဲ့/ခေတ်သစ် အက္ခရာသင်္ချာ (Abstract/Modern Algebra)''' # [[အိုင်ဒီးလ်]] (Ideal) # [[စားလဒ်အုပ်စု]] (Quotient group) # [[စားလဒ်ကွင်း]] (Quotient ring) # [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်]] (Tensor product) # [[ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု]] (Galois group) # [[လီအက္ခရာသင်္ချာ]] (Lie algebra) # [[ဟော့ဖ် အက္ခရာသင်္ချာ]] (Hopf algebra) # [[ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း]] (Principal ideal domain) # [[လွတ်လပ်သည့် အုပ်စု]] (Free group) # [[အချိုးညီအုပ်စု]] (Symmetric group) # [[ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု]] (Cyclic group) # [[ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု]] (Permutation group) # [[အလှည့်ကျ အုပ်စု]] (Alternating group) # [[မူမှန်အုပ်စု]] (Normal group) # [[ကိုဆက်]] (Coset) # [[လာဂေါင့်၏ သီအိုရမ်]] (Lagrange's theorem) # [[ကေးလီ၏ သီအိုရမ်]] (Cayley's theorem) # [[အုပ်စု၏ ဗဟို]] (Center of a group) # [[ကွင်း၏ ဗဟို]] (Center of a ring) # [[အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း]] (Integral domain) # [[သုညစားကိန်း]] (Zero-divisor) # [[အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ်]] (Maximal ideal) # [[ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း]] (Polynomial ring) # [[ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း]] (Field extension) # [[အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်]] (Algebraic closure) # [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Group homomorphism) # [[ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Field homomorphism) '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology)''' # [[ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Homeomorphism) # [[ကျစ်လျစ်မှု]] (Compactness) # [[ဆက်စပ်နေမှု]] (Connectedness) # [[အခြေခံအုပ်စု]] (Fundamental group) # [[ဖုံးအုပ်ရပ်ဝန်း]] (Covering space) # [[ဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Homology) # [[ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Cohomology) # [[အစည်း ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Sheaf cohomology) '''မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (Linear Algebra)''' # [[မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Linear transformation) # [[အခြေအစု]] (Basis) # [[ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး]] (Eigenvalue) # [[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (Determinant) '''ကိန်းသီအိုရီ (Number Theory)''' # [[ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ်]] (Fermat's little theorem) '''ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းနှင့် ကဲကုလပ် (Analysis & Calculus)''' # [[ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (Complex analysis) # [[ဟိုလိုမောဖစ် ဖန်ရှင်]] (Holomorphic function) # [[စုဆုံခြင်း]] (Convergence) # [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (Hilbert space) # Cauchy–Schwarz inequality # Hilbert C*-module # Inner product # [[စုဆုံ ကိန်းစဉ်]] (Convergent sequence) # [[ကိန်းစဉ်]] (Sequence) # [[အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ်]] (Mean Value Theorem) # [[အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ်]] (Extreme Value Theorem) # [[တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း]] (Taylor series) # [[ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (Complex plane) </div> </div> <div style="background-color: #660099; padding: 20px; color: #ffffff;"> == <span style="color: #ffffff;">Curated List of Core Terms up to the Undergraduate Level (အမြဲတမ်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါသည်) == <div style="column-width: 20em; column-gap: 2em; font-size: 85%;"> *Abelian group = အဘီလီယန်အုပ်စု *Absolute value = ပကတိတန်ဖိုး *Absolutely continuous function = ပကတိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် *Abstract algebra = ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ *Addition = အပေါင်း *Alternating group = အလှည့်ကျ အုပ်စု *Antiderivative = ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် *Archimedean = အာခီမီးဒီးစ် *Associative property = ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ *Asymptote = ချဉ်းကပ်မျဉ်း *Automorphism = အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် *Axiom = နဂိုမှန်အဆို *Axiom of choice = ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို *Balls = စက်လုံးများ *Base space = အခြေခံရပ်ဝန်း *Basepoint = အခြေခံအမှတ် *Basis = အခြေအစု *Bijection = ဘိုင်ဂျက်ရှင်း *Binary operation = နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု *Boundaries = နယ်နိမိတ်များ *Bounded = အကန့်အသတ်ရှိခြင်း *Cancellation = ချေဖျက်ခွင့် *Cardinal number = ကာဒီနယ်ကိန်း *Cartesian coordinate = ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ် *Cartesian product = ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် *Category = ကတ်တဂိုရီ *Cauchy sequence = ကော်ချီ ကိန်းစဉ် *Cauchy-Schwarz inequality = ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း *Cayley's theorem = ကေးလီ၏ သီအိုရမ် *Center of a group or ring = အုပ်စု သို့မဟုတ် ကွင်းများ၏ ဗဟို *Chain rule = ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း *Characteristic = ဝိသေသလက္ခဏာ/ ဝိသေသတန်ဖိုး *Characteristic function = ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင် *Circle line = စက်ဝိုင်းမျဉ်း *Closed ball = အပိတ်စက်လုံး *Closed curve = မျဉ်းကွေးပိတ် *Closed interval = အပိတ် အပိုင်းအခြား *Closed set = အပိတ်စု *Closure property = အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ *Codomain = ပစ်မှတ် (category theory) / ပစ်မှတ်စု *Coefficient = မြှောက်ဖော်ကိန်း *Commutative algebra = ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ *Commutative ring = ဖလှယ်ရ ကွင်း *Compactness = ကျစ်လျစ်မှု *Complement = ဖြည့်စွက်စု *Complete metric space = ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း *Completeness = ပြည့်စုံမှု *Complex number = ကိန်းထွေး *Complex plane = ကိန်းထွေးပြင်ညီ *Composite function = ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင် *Composite number = ဆပေါင်းကိန်း *Composition = ပေါင်းစပ်ခြင်း *Congruent = ထပ်တူညီ *Connected = ဆက်စပ်နေသော *Connectedness = ဆက်စပ်နေမှု *Constant functions = ကိန်းသေ ဖန်ရှင်များ *Continuity = အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း *Continuous functions = အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ *Contradiction = ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု *Contrapositive = ဆန့်ကျင်ဘက်အဆို *Converge = စုဆုံသည် *Convergence = စုဆုံခြင်း *Convergent sequence = စုဆုံ ကိန်းစဉ် *Converse = ပြောင်းပြန်အဆို *Convex set = ခုံးသောအစု *Coordinate = ကိုဩဒိနိတ် *Coprime = နှိုင်းရသုဒ္ဓ *Corollary = အကျိုးဆက်သီအိုရမ် *Coset = ကိုဆက် *Countable = ရေတွက်နိုင်သော *Critical point = အပြောင်းအလဲ အမှတ် *Curve = မျဉ်းကွေး *Cyclic group = ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု *Decomposition = ခွဲခြမ်းမှု *Definite integral = သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် *Definition = အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် *Derivative = ဆင်းသက်ချက် *Determinant = အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး *Diagonal = ထောင့်ဖြတ် *Diffeomorphism = ဒစ်ဖီယိုမော်ဖစ်ဇင် *Difference (set theory) = ခြားနားခြင်း *Differentiable = ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော *Differential equation = ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း *Differential geometry = ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ *Dimension = အတိုင်းအတာ *Direct product = တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် *Direct sum = တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် *Directed graph = လားရာပြဂရပ် *Discontinuity = အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း *Discontinuous = အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော *Discrete metric space = တစ်ပိုင်းတစ်စ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း *Discrete topology = တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ *Disjoint = ဘုံမပါသော *Disjoint open sets = ဘုံမပါသော အဖွင့်စုများ *Disk = အပိတ်ပြား *Distance = အကွာအဝေး *Distance function = အကွာအဝေး ဖန်ရှင် *Distributive laws = ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ *Distributivity = ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ *Divisibility properties = စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ *Division ring = အစားကွင်း *Domain = အရင်းအမြစ် (category theory) / အရင်းအမြစ်စု *Eigenvalues = ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ *Elements = အစုဝင်များ *Empty set = ဗလာအစု *Equivalence class = ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား *Equivalence relation = ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် *Equivalent = ထပ်တူညီသည် *Euclidean distance function = ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် *Euclidean norm = ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း *Euclidean space = ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း *Euler's formula = အွိုင်လာ ပုံသေနည်း *Euler's theorem = အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ် *Even integers = စုံကိန်းပြည့်များ *Existence = တည်ရှိမှု *Exponent = ထပ်ကိန်း *Exponential function = ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် *Exponentiation = ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း *Extreme Value Theorem = အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် *Factor / Divisor = ဆခွဲကိန်း *Factorial = ဖက်တိုရီရယ် *Family = မိသားစု *Fermat's little theorem = ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ် *Fibonacci sequence = ဖီဘိုနာချီကိန်းစဉ် *Field = ဖီးလ်ဒ် *Field extension = ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း *Field of fractions = အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် *Finite group = အဆုံးရှိအုပ်စု *Finite set = အဆုံးရှိအစု *First isomorphism theorem = ပထမ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ် *Fixed = အထိုင် *Floor function = အောက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး ဖန်ရှင် *Formal = ပုံစံတကျ *Fraction = အပိုင်းကိန်း *Free group = လွတ်လပ်သော အုပ်စု *Function = ဖန်ရှင် *Function space = ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်း *Functor = ဖန်တာ *Fundamental Group = အခြေခံအုပ်စု *Fundamental Theorem of Arithmetic = ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် *Fundamental Theorem of Calculus = ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် *General linear group = ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု *Generalized Triangle Inequality = ယေဘုယျ တြိဂံ မညီမျှခြင်း *Geometry = ဂျီဩမေတြီ *Graph = ဂရပ် *Greatest common divisor = အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း *Group = အုပ်စု *Group homomorphisms = အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ *Group theory = အုပ်စုသီအိုရီ *Hausdorff spaces = ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ *Hilbert space = ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း *Holomorphic functions = ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ *Homeomorphism = ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် *Homomorphism = ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် *Homotopic = ဟိုမိုတိုပစ် *Homotopy groups = ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ *Hypothesis = အဆိုပြုယူဆချက် *Ideal = အိုင်ဒီးလ် *Identity = ထပ်တူရ *Identity element = ထပ်တူရအစုဝင် *Identity function = ထပ်တူရ ဖန်ရှင် *Identity matrices = ထပ်တူရကိန်းအုံများ *If and only if = ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ *Image = ပုံရိပ် *Imaginary part = ကိန်းယောင်ပိုင်း *Imaginary unit = ကိန်းယောင်ယူနစ် *Inclusion mapping = ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း *Indefinite integral = ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် *Independent = အမှီအခိုကင်းသော *Independent real variable = အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် *Index = အညွှန်း *Index set = အညွှန်းအစု *Infinite set = အနန္တအစု *Infinitude of Primes = သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တဖြစ်တည်မှု *Infinity = အနန္တ *Inflection point = အကွေ့အမှတ် *Initial object = အစ အရာဝတ္ထု *Injection = အင်ဂျက်ရှင်း *Inner product = အတွင်းမြှောက်လဒ် *Input = အဝင်ကိန်း *Integer = ကိန်းပြည့် *Integrability = အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း *Integrable function = အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင် *Integral = အင်တီဂရယ် *Integral domain = အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း *Integration = အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း *Interior point = အတွင်းပိုင်းအမှတ် *Intermediate Value Theorem = ကြားခံတန်ဖိုး သီအိုရမ် *Intersection = ထပ်တူပိုင်းအစု *Interval = အပိုင်းအခြား *Intuition = ပင်ကိုသိစိတ် *Inverse = ပြောင်းပြန် *Inverse function = ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် *Inverse image = ပြောင်းပြန်ပုံရိပ် *Invertible = ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော *Isomorphism = အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် *Jacobian matrix = ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံ *Jump discontinuity = ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း *Kernel = ကာနယ် *Lagrange's theorem = လာဂေါင့်၏ သီအိုရမ် *Lattice = လတ္တစ် *Least common multiple = အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း *Least upper bound = အငယ်ဆုံး အထက်ဘောင် *Lebesgue integral = လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် *Left inverse = ဘယ်ပြောင်းပြန် *Length = အလျား *Lemma = အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် *Limit = စုဆုံမှတ် *Limit point = စုဆောင်းမှတ် *Line = မျဉ်း *Line segment = မျဉ်းပိုင်း *Linear algebra = မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ *Linear function = မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် *Linear independence = မျဉ်းဖြောင့် အမှီအခိုကင်းမှု *Linear map = မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု *Linear operators = မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ *Linear transformation = မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း *Local section = ဒေသအလိုက် အပိုင်း *Logarithm = လော်ဂရစ်သမ် *Logical implication = ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သက်ရောက်မှု *Manifolds = မန်နီဖိုးများ *Map = ပုံဖော်မှု *Mathematical analysis = သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း *Mathematical induction = သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း *Matrix = ကိန်းအုံ *Matrix multiplication = ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း *Maximal = အမြင့်ဆုံး *Maximum = အကြီးဆုံးတန်ဖိုး *Mean Value Theorem = ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် *Measurable functions = တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်များ *Metric = အကွာအဝေး ဖန်ရှင် *Metric space = အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း *Metric topology = အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ *Module = မော်ဂျူး *Modulus = မော်ဂျူးလပ်စ် *Monomorphism = မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် *Morphism = မော်ဖစ်ဇင် *Multiples = ဆတိုးကိန်းများ *Multiplication = မြှောက်ခြင်း *Multivariable calculus = ကိန်းရှင်တစ်ခုထက်ပိုသော ကဲကုလပ် *Natural logarithm = သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် *Natural number = သဘာဝကိန်း *Negative coefficient = အနုတ်မြှောက်ဖော်ကိန်း *Negative exponent = အနုတ်ထပ်ကိန်း *Negative numbers = အနုတ်ကိန်းများ *Neighbourhood = ပတ်ဝန်းကျင် *Non-negative real numbers = အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များ *Norm = စံနှုန်း *Normal distribution = ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း *Normal subgroup = မူမှန်အုပ်စုပိုင်း *Normalization = ယူနစ်ဗက်တာသတ်မှတ်ခြင်း *Normed vector space = စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း *Number line = ကိန်းမျဉ်း *Number systems = ကိန်းစနစ်များ *Number theory = ကိန်းသီအိုရီ *Numerical analysis = ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း *Object = အရာဝတ္ထု *Odd integers = မကိန်းပြည့်များ *Open ball = အဖွင့်စက်လုံး *Open cover = အဖွင့် ဖုံးအုပ်စု *Open interval = အဖွင့် အပိုင်းအခြား *Open sets = အဖွင့်စု *Operator = အော်ပရေတာ *Ordered pairs = အစီအစဉ်ကျအတွဲ *Origin = မူလနေရာ *Orthogonal projection = ထောင့်မှန်ကျ ပရိုဂျက်ရှင်း *Output = အထွက်ကိန်း *Parallelogram law = အနားပြိုင်စတုဂံ ညီမျှခြင်း *Partially ordered sets = တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများ *Partition = အစုခွဲစနစ် *Perfect number = ဆခွဲပေါင်းကိန်း *Permutation = ပါမြူတေးရှင်း *Piecewise function = အပိုင်းလိုက် ဖန်ရှင် *Point-set topology = အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ *Points = အမှတ်များ *Polynomial equations = ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ *Polynomial function = ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် *Polynomial ring = ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း *Positive integers = အပေါင်းကိန်းပြည့်များ *Positive number = အပေါင်းကိန်း *Positive real numbers = အပေါင်း ကိန်းစစ်များ *Positivity = အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု *Power = ထပ်ကိန်း *Power set = ပါဝါအစု *Preimage = မူလပုံရိပ် *Prime factorization = သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း *Prime ideal = သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ် *Prime number = သုဒ္ဓကိန်း *Principal ideal = ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် *Product Rule = မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း *Product Topology = မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ *Projection = ပရိုဂျက်ရှင်း *Proof = သက်သေပြချက် *Proper subset = အစုပိုင်းအစစ် *Property = ဂုဏ်သတ္တိ *Pythagorean theorem = ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် *Quadratic functions = နှစ်ထပ်ကိန်း ဖန်ရှင်များ *Quaternions = ကွာတာနီယွန်များ *Quotient group = စားလဒ်အုပ်စု *Quotient ring = စားလဒ်ကွင်း *Quotient Rule = စားလဒ်စည်းမျဉ်း *Quotient space = စားလဒ်ရပ်ဝန်း *Radius = အချင်းဝက် *Radius of convergence = စုဆုံခြင်း အချင်းဝက် *Range = ပုံရိပ်အစု *Rational number = ရာရှင်နယ်ကိန်း *Real line = ကိန်းစစ်မျဉ်း *Real number = ကိန်းစစ် *Real part = ကိန်းစစ်ပိုင်း *Real plane = ကိန်းစစ်ပြင်ညီ *Real root = ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ *Real subset = ကိန်းစစ်အစုပိုင်း *Real vector spaces = ကိန်းစစ် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ *Real-valued function = ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် *Reducible = ဆခွဲနိုင်သော *Reflection = အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း *Reflexivity = ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိ *Removable discontinuity = ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း *Restriction = ကန့်သတ်ခြင်း *Right inverse = ညာပြောင်းပြန် *Ring = ကွင်း *Ring homomorphisms = ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ *Ring isomorphism = ကွင်း အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် *Ring theory = ကွင်းသီအိုရီ *Roots of unity = ယူနစ်ရင်းများ *Roster notation = စာရင်းချ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း *Scalar = စကေလာ *Scalar multiplication = စကေလာမြှောက်ခြင်း *Scaling = အရွယ်ပြောင်းခြင်း *Sequence = ကိန်းစဉ် *Series = ကိန်းစဉ်တန်း *Set = အစု *Set operations = အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ *Set theory = အစုသီအိုရီ *Simple graphs = ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များ *Sine function = ဆိုင်း ဖန်ရှင် *Singleton set = အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု *Smooth manifolds = ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများ *Smooth mappings = ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ *Source = အရင်းအမြစ် *Space = ရပ်ဝန်း *Sphere = စက်လုံးမျက်နှာပြင် *Square root = နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း *Statement = ဖော်ပြချက် *Strict = တိကျသော *Subgroup = အုပ်စုပိုင်း *Subring = ကွင်းပိုင်း *Subset = အစုပိုင်း *Subspace = ရပ်ဝန်းပိုင်း *Subspace topology = ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ *Substitution = အစားထိုးခြင်း *Successor function = နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် *Supremum = စူပရီမမ် *Surface = မျက်နှာပြင် *Surjection = ဆာဂျက်ရှင်း *Surjective function = ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် *Symmetric group = ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စု *Symmetry = အချိုးညီမှု *Target = ပစ်မှတ် *Tensor product = တန်ဆာ မြှောက်လဒ် *Terminal object = အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု *Theorem = သီအိုရမ် *Topological space = တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း *Topology = တိုပေါ်လော်ဂျီ *Translation = ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်း *Transpose = ထရန်စပို့စ် *Triangle inequality = တြိဂံ မညီမျှခြင်း *Trivial = အသေးအဖွဲ *Trivial subgroup = အသေးအဖွဲ အုပ်စုပိုင်း *Trivial topology = အသေးအဖွဲ တိုပေါ်လော်ဂျီ *Uncountable = ရေတွက်၍မရသော *Uniformly continuous mapping = ညီညာစွာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု *Union = ပေါင်းစပ်စု *Unique = တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော *Uniqueness = တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု *Unit = ယူနစ် *Unit ball = ယူနစ်စက်လုံး *Unit vector = ယူနစ်ဗက်တာ *Unity = ယူနစ် *Universal property = စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ *Valuation = တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း *Variable = ကိန်းရှင် *Vector = ဗက်တာ *Vector field = ဗက်တာစက်ကွင်း *Vector space = ဗက်တာရပ်ဝန်း *Well-defined = မှန်ကန်စွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားခြင်း *Weierstrass function = ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် ဖန်ရှင် *Zermelo–Fraenkel set theory = ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် အစုသီအိုရီ *Zero element = သုည အစုဝင် *Zero map = သုည ပုံဖော်မှု *Zero vector = သုညဗက်တာ *Zero-divisor = သုညစားကိန်း </div> </div> gx370mpy1p58i105xmlojnatn52trv9 1049439 1049437 2026-08-19T16:05:09Z Mkant00 135890 /* Curated List of Core Terms up to the Undergraduate Level (အမြဲတမ်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါသည်) */ 1049439 wikitext text/x-wiki '''A mathematician is a device for turning coffee into theorems'''<ref>{{cite book | title=A History of Mathematics | first=Jeff | last=Suzuki | year=2002 | pages=731 | publisher=Prentice Hall | quote=The first main result was by the Hungarian mathematician Alfred Renyi (March 20, 1921-February 1, 1970), who is best known for a saying of his: a mathematician is a machine for turning coffee into theorems. | isbn=9780130190741}}</ref><ref>{{cite book | title=Preface to ''Ars Mathematica'', Collected writings of Alfréd Rényi | publisher=TypoTeX | location=Budapest | author=Gyula O. H. Katona | author-link=Gyula O. H. Katona | page=8 | year=2005}}</ref> <div style="background-color: #F1C644; padding: 20px; color: #141B2D ; margin-bottom: 1em; border-radius: 8px;"> == <span style="color: #141B2D ;"> အဓိက ပံ့ပိုးထားသော ဆောင်းပါးများ (သင်္ချာ) </span> == <div style="column-width: 25em; column-gap: 3em; font-size: 95%;"> '''ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (Category Theory)''' # [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (Category theory) # [[2-ကတ်တဂိုရီ]] (2-category) # [[အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of groups) # [[အဘီလီယန်အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of abelian groups) # [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of rings) # [[မော်ဂျူးများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of modules) # [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of sets) # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of topological spaces) # [[မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ]] (Monoidal category) # [[ဂရိုသန်ဒိခ် စကြဝဠာ]] (Grothendieck universe) # [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Limits and colimits) # [[စစ်ထုတ်ထားသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Filtered colimit) # [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (Initial and terminal objects) # [[ဖန်တာ]] (Functor) # [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (Derived functor) # [[တိကျသော ဖန်တာ]] (Exact functor) # [[ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ]] (Fully faithful functor) # [[အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ]] (Essentially surjective functor) # [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Natural transformation) # [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] (Adjunction) # [[တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact sequence) # [[မိုနက်]] (Monad) # [[အစည်း]] (Sheaf) # [[ကွင်းပါသော ရပ်ဝန်း]] (Ringed space) # [[ဂရိုသန်ဒိခ် တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Grothendieck topology) '''သရုပ်မဲ့/ခေတ်သစ် အက္ခရာသင်္ချာ (Abstract/Modern Algebra)''' # [[အုပ်စု (သင်္ချာ)]] (Group) # [[အုပ်စုပိုင်း]] (Subgroup) # [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian group) # [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စု]] (Automorphism group) # [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်]] (Group action) # [[အုပ်စုသီအိုရီ၏ သမိုင်းကြောင်း]] (History of group theory) # [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)]] (Ring) # [[ပြောင်းပြန်ကွင်း]] (Opposite ring) # [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (Commutative ring) # [[အစားကွင်း]] (Division ring) # [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Ring homomorphism) # [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) # [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်]] (Finite field) # [[မော်ဂျူး]] (Module) # [[ရိုးရှင်းသော မော်ဂျူး]] (Simple module) # [[ဆီမီးရိုးရှင်းသော မော်ဂျူး]] (Semisimple module) # [[မိုနွိုက်]] (Monoid) # [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်]] (Prime ideal) # [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Homomorphism) # [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism) # [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Automorphism) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Isomorphism) # [[မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Monomorphism) # [[အပီမော်ဖစ်ဇင်]] (Epimorphism) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ]] (Isomorphism theorems) # [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) # [[ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ]] (*-algebra) # [[အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိ]] (Archimedean property) # [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (Commutative property) # [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (Associative property) '''အစုသီအိုရီနှင့် အခြေခံများ (Set Theory and Fundamentals)''' # [[အစု]] (Set) # [[အစုဝင်]] (Element of a set) # [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) # [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ]] (Ordered pair) # [[ဖန်ရှင်]] (Function) # [[ပုံရိပ် နှင့် မူလပုံရိပ်]] (Image and preimage) # [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] (Injective function) # [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] (Surjective function) # [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] (Bijective function) # [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း]] (List of mathematical symbols) '''တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဂျီဩမေတြီ (Topology & Geometry)''' # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) # [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (Metric space) # [[ဖိုက်ဘာအစည်း]] (Fiber bundle) # [[ဟိုမိုတိုပီ]] (Homotopy) # [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (Continuous function) # [[မန်နီဖိုး]] (Manifold) '''မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (Linear Algebra)''' # [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector space) # [[ဗက်တာ]] (Vector) # [[ယူနစ်ဗက်တာ]] (Unit vector) # [[စကေလာ]] (Scalar) # [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (Linear operator) '''ကိန်းသီအိုရီ နှင့် ကိန်းစနစ်များ (Number Theory & Number Systems)''' # [[ကိန်းစစ်]] (Real number) # [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) # [[ကိန်းယောင်]] (Imaginary number) # [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း]] (Irrational number) # [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) # [[အတိပြကိန်း]] (Rational number) # [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)]] (Parity) # [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) # [[P-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic valuation) # [[အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ်]] (Euler's theorem) '''ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း၊ ကဲကုလပ် နှင့် အခြား (Analysis, Calculus & Others)''' # [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (Fundamental theorem of calculus) # [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) # [[ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း]] (Sequence space) # [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)]] (Norm) # [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)]] (Derivative) # [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)]] (Dimension) # [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] (Probability) # [[ဖီး ဆုတံဆိပ်]] (Fields Medal) </div> </div> <div style="background-color: #e0e0e0; padding: 20px; color: #141B2D; margin-bottom: 1em; border-radius: 8px;"> == တမ်းပလိတ်များ (Templates) == # [[တမ်းပလိတ်:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] # [[တမ်းပလိတ်:အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ]] # [[တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ]] </div> <div style="background-color: #a7f356; padding: 20px; color: #141B2D; margin-bottom: 1em; border-radius: 8px;"> == စီးပွားရေး၊ ဘဏ္ဍာရေး နှင့် အခြား (Economics, Finance & Others) == <div style="column-width: 25em; column-gap: 3em; font-size: 95%;"> '''စီးပွားရေးနှင့် ဘဏ္ဍာရေး (Economics & Finance)''' # [[ဘဏ္ဍာရေး ဆင်းသက်စာချုပ်]] (Financial derivative) # [[အစုရှယ်ယာ]] (Stock) # [[၂၀၀၇-၂၀၀၈ ကမ္ဘာ့ဘဏ္ဍာရေး အကျပ်အတည်း]] (Global Financial Crisis 2007–2008) # [[ရီကာဒီယန် စီးပွားရေးပညာ]] (Ricardian economics) # [[ပကတိ အသာစီးရမှု]] (Absolute advantage) # [[လီယွန်တီယက်ဖ် ဝိရောဓိ]] (Leontief paradox) # [[ဟက်ခ်ရှာ-အိုလင် သီအိုရမ်]] (Heckscher–Ohlin Theorem) # [[ရစ်ဗ်ချင်စကီး သီအိုရမ်]] (Rybczynski theorem) # [[အရင်းအမြစ် ဈေးကွက်]] (Factor market) '''စာပေ (Literature)''' # [[မာဆယ် ပရူးစ်တ်]] (Marcel Proust) </div> </div> <div style="background-color: #f8f9fa; padding: 20px; color: #141B2D; border-radius: 8px;"> == ရေးရန် (သင်္ချာ) == <div style="column-count: 2; column-gap: 2em;"> '''ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (Category Theory)''' # [[ဖီးလ်ဒ်များ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of fields) # Kan extension '''သရုပ်မဲ့/ခေတ်သစ် အက္ခရာသင်္ချာ (Abstract/Modern Algebra)''' # [[အိုင်ဒီးလ်]] (Ideal) # [[စားလဒ်အုပ်စု]] (Quotient group) # [[စားလဒ်ကွင်း]] (Quotient ring) # [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်]] (Tensor product) # [[ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု]] (Galois group) # [[လီအက္ခရာသင်္ချာ]] (Lie algebra) # [[ဟော့ဖ် အက္ခရာသင်္ချာ]] (Hopf algebra) # [[ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း]] (Principal ideal domain) # [[လွတ်လပ်သည့် အုပ်စု]] (Free group) # [[အချိုးညီအုပ်စု]] (Symmetric group) # [[ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု]] (Cyclic group) # [[ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု]] (Permutation group) # [[အလှည့်ကျ အုပ်စု]] (Alternating group) # [[မူမှန်အုပ်စု]] (Normal group) # [[ကိုဆက်]] (Coset) # [[လာဂေါင့်၏ သီအိုရမ်]] (Lagrange's theorem) # [[ကေးလီ၏ သီအိုရမ်]] (Cayley's theorem) # [[အုပ်စု၏ ဗဟို]] (Center of a group) # [[ကွင်း၏ ဗဟို]] (Center of a ring) # [[အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း]] (Integral domain) # [[သုညစားကိန်း]] (Zero-divisor) # [[အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ်]] (Maximal ideal) # [[ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း]] (Polynomial ring) # [[ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း]] (Field extension) # [[အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်]] (Algebraic closure) # [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Group homomorphism) # [[ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Field homomorphism) '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology)''' # [[ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Homeomorphism) # [[ကျစ်လျစ်မှု]] (Compactness) # [[ဆက်စပ်နေမှု]] (Connectedness) # [[အခြေခံအုပ်စု]] (Fundamental group) # [[ဖုံးအုပ်ရပ်ဝန်း]] (Covering space) # [[ဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Homology) # [[ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Cohomology) # [[အစည်း ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Sheaf cohomology) '''မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (Linear Algebra)''' # [[မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Linear transformation) # [[အခြေအစု]] (Basis) # [[ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး]] (Eigenvalue) # [[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (Determinant) '''ကိန်းသီအိုရီ (Number Theory)''' # [[ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ်]] (Fermat's little theorem) '''ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းနှင့် ကဲကုလပ် (Analysis & Calculus)''' # [[ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (Complex analysis) # [[ဟိုလိုမောဖစ် ဖန်ရှင်]] (Holomorphic function) # [[စုဆုံခြင်း]] (Convergence) # [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (Hilbert space) # Cauchy–Schwarz inequality # Hilbert C*-module # Inner product # [[စုဆုံ ကိန်းစဉ်]] (Convergent sequence) # [[ကိန်းစဉ်]] (Sequence) # [[အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ်]] (Mean Value Theorem) # [[အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ်]] (Extreme Value Theorem) # [[တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း]] (Taylor series) # [[ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (Complex plane) </div> </div> <div style="background-color: #660099; padding: 20px; color: #ffffff;"> == <span style="color: #ffffff;">Curated List of Core Terms up to the Undergraduate Level (အမြဲတမ်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါသည်) == <div style="column-width: 20em; column-gap: 2em; font-size: 85%;"> *Abelian group = အဘီလီယန်အုပ်စု *Absolute value = ပကတိတန်ဖိုး *Absolutely continuous function = ပကတိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် *Abstract algebra = ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ *Addition = အပေါင်း *Alternating group = အလှည့်ကျ အုပ်စု *Antiderivative = ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် *Archimedean = အာခီမီးဒီးစ် *Associative property = ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ *Asymptote = ချဉ်းကပ်မျဉ်း *Automorphism = အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် *Axiom = နဂိုမှန်အဆို *Axiom of choice = ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို *Balls = စက်လုံးများ *Base space = အခြေခံရပ်ဝန်း *Basepoint = အခြေခံအမှတ် *Basis = အခြေအစု *Bijection = ဘိုင်ဂျက်ရှင်း *Binary operation = နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု *Boundaries = နယ်နိမိတ်များ *Bounded = အကန့်အသတ်ရှိခြင်း *Cancellation = ချေဖျက်ခွင့် *Cardinal number = ကာဒီနယ်ကိန်း *Cartesian coordinate = ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ် *Cartesian product = ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် *Category = ကတ်တဂိုရီ *Cauchy sequence = ကော်ချီ ကိန်းစဉ် *Cauchy-Schwarz inequality = ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း *Cayley's theorem = ကေးလီ၏ သီအိုရမ် *Center of a group or ring = အုပ်စု သို့မဟုတ် ကွင်းများ၏ ဗဟို *Chain rule = ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း *Characteristic = ဝိသေသလက္ခဏာ/ ဝိသေသတန်ဖိုး *Characteristic function = ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင် *Circle line = စက်ဝိုင်းမျဉ်း *Closed ball = အပိတ်စက်လုံး *Closed curve = မျဉ်းကွေးပိတ် *Closed interval = အပိတ် အပိုင်းအခြား *Closed set = အပိတ်စု *Closure property = အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ *Codomain = ပစ်မှတ် (category theory) / ပစ်မှတ်စု *Coefficient = မြှောက်ဖော်ကိန်း *Commutative algebra = ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ *Commutative ring = ဖလှယ်ရ ကွင်း *Compactness = ကျစ်လျစ်မှု *Complement = ဖြည့်စွက်စု *Complete metric space = ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း *Completeness = ပြည့်စုံမှု *Complex number = ကိန်းထွေး *Complex plane = ကိန်းထွေးပြင်ညီ *Composite function = ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင် *Composite number = ဆပေါင်းကိန်း *Composition = ပေါင်းစပ်ခြင်း *Congruent = ထပ်တူညီ *Connected = ဆက်စပ်နေသော *Connectedness = ဆက်စပ်နေမှု *Constant functions = ကိန်းသေ ဖန်ရှင်များ *Continuity = အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း *Continuous functions = အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ *Contradiction = ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု *Contrapositive = ဆန့်ကျင်ဘက်အဆို *Converge = စုဆုံသည် *Convergence = စုဆုံခြင်း *Convergent sequence = စုဆုံ ကိန်းစဉ် *Converse = ပြောင်းပြန်အဆို *Convex set = ခုံးသောအစု *Coordinate = ကိုဩဒိနိတ် *Coprime = နှိုင်းရသုဒ္ဓ *Corollary = အကျိုးဆက်သီအိုရမ် *Coset = ကိုဆက် *Countable = ရေတွက်နိုင်သော *Critical point = အပြောင်းအလဲ အမှတ် *Curve = မျဉ်းကွေး *Cyclic group = ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု *Decomposition = ခွဲခြမ်းမှု *Definite integral = သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် *Definition = အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် *Derivative = ဆင်းသက်ချက် *Determinant = အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး *Diagonal = ထောင့်ဖြတ် *Diffeomorphism = ဒစ်ဖီယိုမော်ဖစ်ဇင် *Difference (set theory) = ခြားနားခြင်း *Differentiable = ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော *Differential equation = ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း *Differential geometry = ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ *Dimension = အတိုင်းအတာ *Direct product = တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် *Direct sum = တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် *Directed graph = လားရာပြဂရပ် *Discontinuity = အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း *Discontinuous = အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော *Discrete metric space = တစ်ပိုင်းတစ်စ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း *Discrete topology = တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ *Disjoint = ဘုံမပါသော *Disjoint open sets = ဘုံမပါသော အဖွင့်စုများ *Disk = အပိတ်ပြား *Distance = အကွာအဝေး *Distance function = အကွာအဝေး ဖန်ရှင် *Distributive laws = ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ *Distributivity = ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ *Divisibility properties = စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ *Division ring = အစားကွင်း *Domain = အရင်းအမြစ် (category theory) / အရင်းအမြစ်စု *Eigenvalues = ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ *Elements = အစုဝင်များ *Empty set = ဗလာအစု *Equivalence class = ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား *Equivalence relation = ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် *Equivalent = ထပ်တူညီသည် *Euclidean distance function = ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် *Euclidean norm = ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း *Euclidean space = ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း *Euler's formula = အွိုင်လာ ပုံသေနည်း *Euler's theorem = အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ် *Even integers = စုံကိန်းပြည့်များ *Existence = တည်ရှိမှု *Exponent = ထပ်ကိန်း *Exponential function = ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် *Exponentiation = ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း *Extreme Value Theorem = အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် *Factor / Divisor = ဆခွဲကိန်း *Factorial = ဖက်တိုရီရယ် *Family = မိသားစု *Fermat's little theorem = ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ် *Fibonacci sequence = ဖီဘိုနာချီကိန်းစဉ် *Field = ဖီးလ်ဒ် *Field extension = ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း *Field of fractions = အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် *Finite group = အဆုံးရှိအုပ်စု *Finite set = အဆုံးရှိအစု *First isomorphism theorem = ပထမ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ် *Fixed = အထိုင် *Floor function = အောက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး ဖန်ရှင် *Formal = ပုံစံတကျ *Fraction = အပိုင်းကိန်း *Free group = လွတ်လပ်သော အုပ်စု *Function = ဖန်ရှင် *Function space = ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်း *Functor = ဖန်တာ *Fundamental Group = အခြေခံအုပ်စု *Fundamental Theorem of Arithmetic = ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် *Fundamental Theorem of Calculus = ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် *General linear group = ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု *Generalized Triangle Inequality = ယေဘုယျ တြိဂံ မညီမျှခြင်း *Geometry = ဂျီဩမေတြီ *Graph = ဂရပ် *Greatest common divisor = အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း *Group = အုပ်စု *Group homomorphisms = အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ *Group theory = အုပ်စုသီအိုရီ *Hausdorff spaces = ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ *Hilbert space = ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း *Holomorphic functions = ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ *Homeomorphism = ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် *Homomorphism = ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် *Homotopic = ဟိုမိုတိုပစ် *Homotopy groups = ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ *Hypothesis = အဆိုပြုယူဆချက် *Ideal = အိုင်ဒီးလ် *Identity = ထပ်တူရ *Identity element = ထပ်တူရအစုဝင် *Identity function = ထပ်တူရ ဖန်ရှင် *Identity matrices = ထပ်တူရကိန်းအုံများ *If and only if = ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ *Image = ပုံရိပ် *Imaginary part = ကိန်းယောင်ပိုင်း *Imaginary unit = ကိန်းယောင်ယူနစ် *Inclusion mapping = ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း *Indefinite integral = ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် *Independent = အမှီအခိုကင်းသော *Independent real variable = အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် *Index = အညွှန်း *Index set = အညွှန်းအစု *Infinite set = အနန္တအစု *Infinitude of Primes = သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တဖြစ်တည်မှု *Infinity = အနန္တ *Inflection point = အကွေ့အမှတ် *Initial object = အစ အရာဝတ္ထု *Injection = အင်ဂျက်ရှင်း *Inner product = အတွင်းမြှောက်လဒ် *Input = အဝင်ကိန်း *Integer = ကိန်းပြည့် *Integrability = အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း *Integrable function = အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင် *Integral = အင်တီဂရယ် *Integral domain = အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း *Integration = အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း *Interior point = အတွင်းပိုင်းအမှတ် *Intermediate Value Theorem = ကြားခံတန်ဖိုး သီအိုရမ် *Intersection = ထပ်တူပိုင်းအစု *Interval = အပိုင်းအခြား *Intuition = ပင်ကိုသိစိတ် *Inverse = ပြောင်းပြန် *Inverse function = ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် *Inverse image = ပြောင်းပြန်ပုံရိပ် *Invertible = ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော *Isomorphism = အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် *Jacobian matrix = ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံ *Jump discontinuity = ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း *Kernel = ကာနယ် *Lagrange's theorem = လာဂေါင့်၏ သီအိုရမ် *Lattice = လတ္တစ် *Least common multiple = အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း *Least upper bound = အငယ်ဆုံး အထက်ဘောင် *Lebesgue integral = လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် *Left inverse = ဘယ်ပြောင်းပြန် *Length = အလျား *Lemma = အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် *Limit = စုဆုံမှတ် *Limit point = စုဆောင်းမှတ် *Line = မျဉ်း *Line segment = မျဉ်းပိုင်း *Linear algebra = မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ *Linear function = မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် *Linear independence = မျဉ်းဖြောင့် အမှီအခိုကင်းမှု *Linear map = မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု *Linear operators = မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ *Linear transformation = မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း *Local section = ဒေသအလိုက် အပိုင်း *Logarithm = လော်ဂရစ်သမ် *Logical implication = ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သက်ရောက်မှု *Manifolds = မန်နီဖိုးများ *Map = ပုံဖော်မှု *Mathematical analysis = သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း *Mathematical induction = သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း *Matrix = ကိန်းအုံ *Matrix multiplication = ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း *Maximal = အမြင့်ဆုံး *Maximum = အကြီးဆုံးတန်ဖိုး *Mean Value Theorem = ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် *Measurable functions = တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်များ *Metric = အကွာအဝေး ဖန်ရှင် *Metric space = အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း *Metric topology = အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ *Module = မော်ဂျူး *Modulus = မော်ဂျူးလပ်စ် *Monomorphism = မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် *Morphism = မော်ဖစ်ဇင် *Multiples = ဆတိုးကိန်းများ *Multiplication = မြှောက်ခြင်း *Multivariable calculus = ကိန်းရှင်တစ်ခုထက်ပိုသော ကဲကုလပ် *Natural logarithm = သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် *Natural number = သဘာဝကိန်း *Negative coefficient = အနုတ်မြှောက်ဖော်ကိန်း *Negative exponent = အနုတ်ထပ်ကိန်း *Negative numbers = အနုတ်ကိန်းများ *Neighbourhood = ပတ်ဝန်းကျင် *Non-negative real numbers = အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များ *Norm = စံနှုန်း *Normal distribution = ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း *Normal subgroup = မူမှန်အုပ်စုပိုင်း *Normalization = ယူနစ်ဗက်တာသတ်မှတ်ခြင်း *Normed vector space = စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း *Number line = ကိန်းမျဉ်း *Number systems = ကိန်းစနစ်များ *Number theory = ကိန်းသီအိုရီ *Numerical analysis = ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း *Object = အရာဝတ္ထု *Odd integers = မကိန်းပြည့်များ *Open ball = အဖွင့်စက်လုံး *Open cover = အဖွင့် ဖုံးအုပ်စု *Open interval = အဖွင့် အပိုင်းအခြား *Open sets = အဖွင့်စု *Operator = အော်ပရေတာ *Ordered pairs = အစီအစဉ်ကျအတွဲ *Origin = မူလနေရာ *Orthogonal projection = ထောင့်မှန်ကျ ပရိုဂျက်ရှင်း *Output = အထွက်ကိန်း *Parallelogram law = အနားပြိုင်စတုဂံ ညီမျှခြင်း *Partially ordered sets = တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများ *Partition = အစုခွဲစနစ် *Perfect number = ဆခွဲပေါင်းကိန်း *Permutation = ပါမြူတေးရှင်း *Piecewise function = အပိုင်းလိုက် ဖန်ရှင် *Point-set topology = အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ *Points = အမှတ်များ *Polynomial equations = ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ *Polynomial function = ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် *Polynomial ring = ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း *Positive integers = အပေါင်းကိန်းပြည့်များ *Positive number = အပေါင်းကိန်း *Positive real numbers = အပေါင်း ကိန်းစစ်များ *Positivity = အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု *Power = ထပ်ကိန်း *Power set = ပါဝါအစု *Preimage = မူလပုံရိပ် *Prime factorization = သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း *Prime ideal = သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ် *Prime number = သုဒ္ဓကိန်း *Principal ideal = ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် *Product Rule = မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း *Product Topology = မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ *Projection = ပရိုဂျက်ရှင်း *Proof = သက်သေပြချက် *Proper subset = အစုပိုင်းအစစ် *Property = ဂုဏ်သတ္တိ *Pythagorean theorem = ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် *Quadratic functions = နှစ်ထပ်ကိန်း ဖန်ရှင်များ *Quaternions = ကွာတာနီယွန်များ *Quotient group = စားလဒ်အုပ်စု *Quotient ring = စားလဒ်ကွင်း *Quotient Rule = စားလဒ်စည်းမျဉ်း *Quotient space = စားလဒ်ရပ်ဝန်း *Radius = အချင်းဝက် *Radius of convergence = စုဆုံခြင်း အချင်းဝက် *Range = ပုံရိပ်အစု *Rational number = ရာရှင်နယ်ကိန်း *Real line = ကိန်းစစ်မျဉ်း *Real number = ကိန်းစစ် *Real part = ကိန်းစစ်ပိုင်း *Real plane = ကိန်းစစ်ပြင်ညီ *Real root = ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ *Real subset = ကိန်းစစ်အစုပိုင်း *Real vector spaces = ကိန်းစစ် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ *Real-valued function = ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် *Reducible = ဆခွဲနိုင်သော *Reflection = အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း *Reflexivity = ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိ *Removable discontinuity = ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း *Restriction = ကန့်သတ်ခြင်း *Right inverse = ညာပြောင်းပြန် *Ring = ကွင်း *Ring homomorphisms = ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ *Ring isomorphism = ကွင်း အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် *Ring theory = ကွင်းသီအိုရီ *Roots of unity = ယူနစ်ရင်းများ *Roster notation = စာရင်းချ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း *Scalar = စကေလာ *Scalar multiplication = စကေလာမြှောက်ခြင်း *Scaling = အရွယ်ပြောင်းခြင်း *Sequence = ကိန်းစဉ် *Series = ကိန်းစဉ်တန်း *Set = အစု *Set operations = အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ *Set theory = အစုသီအိုရီ *Simple graphs = ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များ *Sine function = ဆိုင်း ဖန်ရှင် *Singleton set = အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု *Smooth manifolds = ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများ *Smooth mappings = ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ *Source = အရင်းအမြစ် *Space = ရပ်ဝန်း *Sphere = စက်လုံးမျက်နှာပြင် *Square root = နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း *Statement = ဖော်ပြချက် *Strict = တိကျသော *Subgroup = အုပ်စုပိုင်း *Subring = ကွင်းပိုင်း *Subset = အစုပိုင်း *Subspace = ရပ်ဝန်းပိုင်း *Subspace topology = ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ *Substitution = အစားထိုးခြင်း *Successor function = နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် *Supremum = စူပရီမမ် *Surface = မျက်နှာပြင် *Surjection = ဆာဂျက်ရှင်း *Surjective function = ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် *Symmetric group = ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် အုပ်စု *Symmetry = အချိုးညီမှု *Target = ပစ်မှတ် *Tensor product = တန်ဆာ မြှောက်လဒ် *Terminal object = အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု *Theorem = သီအိုရမ် *Topological space = တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း *Topology = တိုပေါ်လော်ဂျီ *Translation = ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်း *Transpose = ထရန်စပို့စ် *Triangle inequality = တြိဂံ မညီမျှခြင်း *Trivial = အသေးအဖွဲ *Trivial subgroup = အသေးအဖွဲ အုပ်စုပိုင်း *Trivial topology = အသေးအဖွဲ တိုပေါ်လော်ဂျီ *Uncountable = ရေတွက်၍မရသော *Uniformly continuous mapping = ညီညာစွာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု *Union = ပေါင်းစပ်စု *Unique = တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော *Uniqueness = တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု *Unit = ယူနစ် *Unit ball = ယူနစ်စက်လုံး *Unit vector = ယူနစ်ဗက်တာ *Unity = ယူနစ် *Universal property = စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ *Valuation = တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း *Variable = ကိန်းရှင် *Vector = ဗက်တာ *Vector field = ဗက်တာစက်ကွင်း *Vector space = ဗက်တာရပ်ဝန်း *Well-defined = မှန်ကန်စွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားခြင်း *Weierstrass function = ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် ဖန်ရှင် *Zermelo–Fraenkel set theory = ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် အစုသီအိုရီ *Zero element = သုည အစုဝင် *Zero map = သုည ပုံဖော်မှု *Zero vector = သုညဗက်တာ *Zero-divisor = သုညစားကိန်း </div> </div> 6au68xt7n3mj6rqrvfrpvdgy5851bd3 1049454 1049439 2026-08-19T19:12:41Z Mkant00 135890 /* အဓိက ပံ့ပိုးထားသော ဆောင်းပါးများ (သင်္ချာ) */ 1049454 wikitext text/x-wiki '''A mathematician is a device for turning coffee into theorems'''<ref>{{cite book | title=A History of Mathematics | first=Jeff | last=Suzuki | year=2002 | pages=731 | publisher=Prentice Hall | quote=The first main result was by the Hungarian mathematician Alfred Renyi (March 20, 1921-February 1, 1970), who is best known for a saying of his: a mathematician is a machine for turning coffee into theorems. | isbn=9780130190741}}</ref><ref>{{cite book | title=Preface to ''Ars Mathematica'', Collected writings of Alfréd Rényi | publisher=TypoTeX | location=Budapest | author=Gyula O. H. Katona | author-link=Gyula O. H. Katona | page=8 | year=2005}}</ref> <div style="background-color: #F1C644; padding: 20px; color: #141B2D ; margin-bottom: 1em; border-radius: 8px;"> == <span style="color: #141B2D ;"> အဓိက ပံ့ပိုးထားသော ဆောင်းပါးများ (သင်္ချာ) </span> == <div style="column-width: 25em; column-gap: 3em; font-size: 95%;"> '''ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (Category Theory)''' # [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (Category theory) # [[2-ကတ်တဂိုရီ]] (2-category) # [[အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of groups) # [[အဘီလီယန်အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of abelian groups) # [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of rings) # [[မော်ဂျူးများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of modules) # [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of sets) # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of topological spaces) # [[မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ]] (Monoidal category) # [[ဂရိုသန်ဒိခ် စကြဝဠာ]] (Grothendieck universe) # [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Limits and colimits) # [[စစ်ထုတ်ထားသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Filtered colimit) # [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (Initial and terminal objects) # [[ဖန်တာ]] (Functor) # [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (Derived functor) # [[တိကျသော ဖန်တာ]] (Exact functor) # [[ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ]] (Fully faithful functor) # [[အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ]] (Essentially surjective functor) # [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Natural transformation) # [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] (Adjunction) # [[တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact sequence) # [[မိုနက်]] (Monad) # [[အစည်း]] (Sheaf) # [[ကွင်းပါသော ရပ်ဝန်း]] (Ringed space) # [[ဂရိုသန်ဒိခ် တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Grothendieck topology) '''သရုပ်မဲ့/ခေတ်သစ် အက္ခရာသင်္ချာ (Abstract/Modern Algebra)''' # [[အုပ်စု (သင်္ချာ)]] (Group) # [[အုပ်စုပိုင်း]] (Subgroup) # [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian group) # [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စု]] (Automorphism group) # [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်]] (Group action) # [[အုပ်စုသီအိုရီ၏ သမိုင်းကြောင်း]] (History of group theory) # [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)]] (Ring) # [[ပြောင်းပြန်ကွင်း]] (Opposite ring) # [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (Commutative ring) # [[အစားကွင်း]] (Division ring) # [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Ring homomorphism) # [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) # [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်]] (Finite field) # [[မော်ဂျူး]] (Module) # [[ရိုးရှင်းသော မော်ဂျူး]] (Simple module) # [[ဆီမီးရိုးရှင်းသော မော်ဂျူး]] (Semisimple module) # [[မိုနွိုက်]] (Monoid) # [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်]] (Prime ideal) # [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Homomorphism) # [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism) # [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Automorphism) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Isomorphism) # [[မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Monomorphism) # [[အပီမော်ဖစ်ဇင်]] (Epimorphism) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ]] (Isomorphism theorems) # [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) # [[ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ]] (*-algebra) # [[အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိ]] (Archimedean property) # [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (Commutative property) # [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (Associative property) '''အစုသီအိုရီနှင့် အခြေခံများ (Set Theory and Fundamentals)''' # [[အစု]] (Set) # [[အစုဝင်]] (Element of a set) # [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) # [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ]] (Ordered pair) # [[ဖန်ရှင်]] (Function) # [[ပုံရိပ် နှင့် မူလပုံရိပ်]] (Image and preimage) # [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] (Injective function) # [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] (Surjective function) # [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] (Bijective function) # [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း]] (List of mathematical symbols) # [[စားခြင်း%20(သင်္ချာ)]] (Division) '''တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဂျီဩမေတြီ (Topology & Geometry)''' # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) # [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (Metric space) # [[ဖိုက်ဘာအစည်း]] (Fiber bundle) # [[ဟိုမိုတိုပီ]] (Homotopy) # [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (Continuous function) # [[မန်နီဖိုး]] (Manifold) '''မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (Linear Algebra)''' # [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector space) # [[ဗက်တာ]] (Vector) # [[ယူနစ်ဗက်တာ]] (Unit vector) # [[စကေလာ]] (Scalar) # [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (Linear operator) '''ကိန်းသီအိုရီ နှင့် ကိန်းစနစ်များ (Number Theory & Number Systems)''' # [[ကိန်းစစ်]] (Real number) # [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) # [[ကိန်းယောင်]] (Imaginary number) # [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း]] (Irrational number) # [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) # [[အတိပြကိန်း]] (Rational number) # [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)]] (Parity) # [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) # [[P-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic valuation) # [[အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ်]] (Euler's theorem) '''ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း၊ ကဲကုလပ် နှင့် အခြား (Analysis, Calculus & Others)''' # [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (Fundamental theorem of calculus) # [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) # [[ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း]] (Sequence space) # [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)]] (Norm) # [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)]] (Derivative) # [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)]] (Dimension) # [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] (Probability) # [[ဖီး ဆုတံဆိပ်]] (Fields Medal) </div> </div> <div style="background-color: #e0e0e0; padding: 20px; color: #141B2D; margin-bottom: 1em; border-radius: 8px;"> == တမ်းပလိတ်များ (Templates) == # [[တမ်းပလိတ်:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] # [[တမ်းပလိတ်:အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ]] # [[တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ]] </div> <div style="background-color: #a7f356; padding: 20px; color: #141B2D; margin-bottom: 1em; border-radius: 8px;"> == စီးပွားရေး၊ ဘဏ္ဍာရေး နှင့် အခြား (Economics, Finance & Others) == <div style="column-width: 25em; column-gap: 3em; font-size: 95%;"> '''စီးပွားရေးနှင့် ဘဏ္ဍာရေး (Economics & Finance)''' # [[ဘဏ္ဍာရေး ဆင်းသက်စာချုပ်]] (Financial derivative) # [[အစုရှယ်ယာ]] (Stock) # [[၂၀၀၇-၂၀၀၈ ကမ္ဘာ့ဘဏ္ဍာရေး အကျပ်အတည်း]] (Global Financial Crisis 2007–2008) # [[ရီကာဒီယန် စီးပွားရေးပညာ]] (Ricardian economics) # [[ပကတိ အသာစီးရမှု]] (Absolute advantage) # [[လီယွန်တီယက်ဖ် ဝိရောဓိ]] (Leontief paradox) # [[ဟက်ခ်ရှာ-အိုလင် သီအိုရမ်]] (Heckscher–Ohlin Theorem) # [[ရစ်ဗ်ချင်စကီး သီအိုရမ်]] (Rybczynski theorem) # [[အရင်းအမြစ် ဈေးကွက်]] (Factor market) '''စာပေ (Literature)''' # [[မာဆယ် ပရူးစ်တ်]] (Marcel Proust) </div> </div> <div style="background-color: #f8f9fa; padding: 20px; color: #141B2D; border-radius: 8px;"> == ရေးရန် (သင်္ချာ) == <div style="column-count: 2; column-gap: 2em;"> '''ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (Category Theory)''' # [[ဖီးလ်ဒ်များ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of fields) # Kan extension '''သရုပ်မဲ့/ခေတ်သစ် အက္ခရာသင်္ချာ (Abstract/Modern Algebra)''' # [[အိုင်ဒီးလ်]] (Ideal) # [[စားလဒ်အုပ်စု]] (Quotient group) # [[စားလဒ်ကွင်း]] (Quotient ring) # [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်]] (Tensor product) # [[ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု]] (Galois group) # [[လီအက္ခရာသင်္ချာ]] (Lie algebra) # [[ဟော့ဖ် အက္ခရာသင်္ချာ]] (Hopf algebra) # [[ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း]] (Principal ideal domain) # [[လွတ်လပ်သည့် အုပ်စု]] (Free group) # [[အချိုးညီအုပ်စု]] (Symmetric group) # [[ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု]] (Cyclic group) # [[ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု]] (Permutation group) # [[အလှည့်ကျ အုပ်စု]] (Alternating group) # [[မူမှန်အုပ်စု]] (Normal group) # [[ကိုဆက်]] (Coset) # [[လာဂေါင့်၏ သီအိုရမ်]] (Lagrange's theorem) # [[ကေးလီ၏ သီအိုရမ်]] (Cayley's theorem) # [[အုပ်စု၏ ဗဟို]] (Center of a group) # [[ကွင်း၏ ဗဟို]] (Center of a ring) # [[အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း]] (Integral domain) # [[သုညစားကိန်း]] (Zero-divisor) # [[အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ်]] (Maximal ideal) # [[ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း]] (Polynomial ring) # [[ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း]] (Field extension) # [[အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်]] (Algebraic closure) # [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Group homomorphism) # [[ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Field homomorphism) '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology)''' # [[ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Homeomorphism) # [[ကျစ်လျစ်မှု]] (Compactness) # [[ဆက်စပ်နေမှု]] (Connectedness) # [[အခြေခံအုပ်စု]] (Fundamental group) # [[ဖုံးအုပ်ရပ်ဝန်း]] (Covering space) # [[ဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Homology) # [[ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Cohomology) # [[အစည်း ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Sheaf cohomology) '''မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (Linear Algebra)''' # [[မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Linear transformation) # [[အခြေအစု]] (Basis) # [[ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး]] (Eigenvalue) # [[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (Determinant) '''ကိန်းသီအိုရီ (Number Theory)''' # [[ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ်]] (Fermat's little theorem) '''ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းနှင့် ကဲကုလပ် (Analysis & Calculus)''' # [[ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (Complex analysis) # [[ဟိုလိုမောဖစ် ဖန်ရှင်]] (Holomorphic function) # [[စုဆုံခြင်း]] (Convergence) # [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (Hilbert space) # Cauchy–Schwarz inequality # Hilbert C*-module # Inner product # [[စုဆုံ ကိန်းစဉ်]] (Convergent sequence) # [[ကိန်းစဉ်]] (Sequence) # [[အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ်]] (Mean Value Theorem) # [[အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ်]] (Extreme Value Theorem) # [[တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း]] (Taylor series) # [[ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (Complex plane) </div> </div> <div style="background-color: #660099; padding: 20px; color: #ffffff;"> == <span style="color: #ffffff;">Curated List of Core Terms up to the Undergraduate Level (အမြဲတမ်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါသည်) == <div style="column-width: 20em; column-gap: 2em; font-size: 85%;"> *Abelian group = အဘီလီယန်အုပ်စု *Absolute value = ပကတိတန်ဖိုး *Absolutely continuous function = ပကတိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် *Abstract algebra = ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ *Addition = အပေါင်း *Alternating group = အလှည့်ကျ အုပ်စု *Antiderivative = ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် *Archimedean = အာခီမီးဒီးစ် *Associative property = ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ *Asymptote = ချဉ်းကပ်မျဉ်း *Automorphism = အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် *Axiom = နဂိုမှန်အဆို *Axiom of choice = ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို *Balls = စက်လုံးများ *Base space = အခြေခံရပ်ဝန်း *Basepoint = အခြေခံအမှတ် *Basis = အခြေအစု *Bijection = ဘိုင်ဂျက်ရှင်း *Binary operation = နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု *Boundaries = နယ်နိမိတ်များ *Bounded = အကန့်အသတ်ရှိခြင်း *Cancellation = ချေဖျက်ခွင့် *Cardinal number = ကာဒီနယ်ကိန်း *Cartesian coordinate = ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ် *Cartesian product = ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် *Category = ကတ်တဂိုရီ *Cauchy sequence = ကော်ချီ ကိန်းစဉ် *Cauchy-Schwarz inequality = ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း *Cayley's theorem = ကေးလီ၏ သီအိုရမ် *Center of a group or ring = အုပ်စု သို့မဟုတ် ကွင်းများ၏ ဗဟို *Chain rule = ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း *Characteristic = ဝိသေသလက္ခဏာ/ ဝိသေသတန်ဖိုး *Characteristic function = ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင် *Circle line = စက်ဝိုင်းမျဉ်း *Closed ball = အပိတ်စက်လုံး *Closed curve = မျဉ်းကွေးပိတ် *Closed interval = အပိတ် အပိုင်းအခြား *Closed set = အပိတ်စု *Closure property = အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ *Codomain = ပစ်မှတ် (category theory) / ပစ်မှတ်စု *Coefficient = မြှောက်ဖော်ကိန်း *Commutative algebra = ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ *Commutative ring = ဖလှယ်ရ ကွင်း *Compactness = ကျစ်လျစ်မှု *Complement = ဖြည့်စွက်စု *Complete metric space = ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း *Completeness = ပြည့်စုံမှု *Complex number = ကိန်းထွေး *Complex plane = ကိန်းထွေးပြင်ညီ *Composite function = ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင် *Composite number = ဆပေါင်းကိန်း *Composition = ပေါင်းစပ်ခြင်း *Congruent = ထပ်တူညီ *Connected = ဆက်စပ်နေသော *Connectedness = ဆက်စပ်နေမှု *Constant functions = ကိန်းသေ ဖန်ရှင်များ *Continuity = အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း *Continuous functions = အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ *Contradiction = ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု *Contrapositive = ဆန့်ကျင်ဘက်အဆို *Converge = စုဆုံသည် *Convergence = စုဆုံခြင်း *Convergent sequence = စုဆုံ ကိန်းစဉ် *Converse = ပြောင်းပြန်အဆို *Convex set = ခုံးသောအစု *Coordinate = ကိုဩဒိနိတ် *Coprime = နှိုင်းရသုဒ္ဓ *Corollary = အကျိုးဆက်သီအိုရမ် *Coset = ကိုဆက် *Countable = ရေတွက်နိုင်သော *Critical point = အပြောင်းအလဲ အမှတ် *Curve = မျဉ်းကွေး *Cyclic group = ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု *Decomposition = ခွဲခြမ်းမှု *Definite integral = သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် *Definition = အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် *Derivative = ဆင်းသက်ချက် *Determinant = အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး *Diagonal = ထောင့်ဖြတ် *Diffeomorphism = ဒစ်ဖီယိုမော်ဖစ်ဇင် *Difference (set theory) = ခြားနားခြင်း *Differentiable = ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော *Differential equation = ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း *Differential geometry = ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ *Dimension = အတိုင်းအတာ *Direct product = တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် *Direct sum = တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် *Directed graph = လားရာပြဂရပ် *Discontinuity = အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း *Discontinuous = အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော *Discrete metric space = တစ်ပိုင်းတစ်စ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း *Discrete topology = တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ *Disjoint = ဘုံမပါသော *Disjoint open sets = ဘုံမပါသော အဖွင့်စုများ *Disk = အပိတ်ပြား *Distance = အကွာအဝေး *Distance function = အကွာအဝေး ဖန်ရှင် *Distributive laws = ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ *Distributivity = ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ *Divisibility properties = စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ *Division ring = အစားကွင်း *Domain = အရင်းအမြစ် (category theory) / အရင်းအမြစ်စု *Eigenvalues = ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ *Elements = အစုဝင်များ *Empty set = ဗလာအစု *Equivalence class = ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား *Equivalence relation = ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် *Equivalent = ထပ်တူညီသည် *Euclidean distance function = ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် *Euclidean norm = ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း *Euclidean space = ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း *Euler's formula = အွိုင်လာ ပုံသေနည်း *Euler's theorem = အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ် *Even integers = စုံကိန်းပြည့်များ *Existence = တည်ရှိမှု *Exponent = ထပ်ကိန်း *Exponential function = ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် *Exponentiation = ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း *Extreme Value Theorem = အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် *Factor / Divisor = ဆခွဲကိန်း *Factorial = ဖက်တိုရီရယ် *Family = မိသားစု *Fermat's little theorem = ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ် *Fibonacci sequence = ဖီဘိုနာချီကိန်းစဉ် *Field = ဖီးလ်ဒ် *Field extension = ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း *Field of fractions = အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် *Finite group = အဆုံးရှိအုပ်စု *Finite set = အဆုံးရှိအစု *First isomorphism theorem = ပထမ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ် *Fixed = အထိုင် *Floor function = အောက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး ဖန်ရှင် *Formal = ပုံစံတကျ *Fraction = အပိုင်းကိန်း *Free group = လွတ်လပ်သော အုပ်စု *Function = ဖန်ရှင် *Function space = ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်း *Functor = ဖန်တာ *Fundamental Group = အခြေခံအုပ်စု *Fundamental Theorem of Arithmetic = ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် *Fundamental Theorem of Calculus = ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် *General linear group = ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု *Generalized Triangle Inequality = ယေဘုယျ တြိဂံ မညီမျှခြင်း *Geometry = ဂျီဩမေတြီ *Graph = ဂရပ် *Greatest common divisor = အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း *Group = အုပ်စု *Group homomorphisms = အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ *Group theory = အုပ်စုသီအိုရီ *Hausdorff spaces = ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ *Hilbert space = ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း *Holomorphic functions = ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ *Homeomorphism = ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် *Homomorphism = ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် *Homotopic = ဟိုမိုတိုပစ် *Homotopy groups = ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ *Hypothesis = အဆိုပြုယူဆချက် *Ideal = အိုင်ဒီးလ် *Identity = ထပ်တူရ *Identity element = ထပ်တူရအစုဝင် *Identity function = ထပ်တူရ ဖန်ရှင် *Identity matrices = ထပ်တူရကိန်းအုံများ *If and only if = ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ *Image = ပုံရိပ် *Imaginary part = ကိန်းယောင်ပိုင်း *Imaginary unit = ကိန်းယောင်ယူနစ် *Inclusion mapping = ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း *Indefinite integral = ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် *Independent = အမှီအခိုကင်းသော *Independent real variable = အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် *Index = အညွှန်း *Index set = အညွှန်းအစု *Infinite set = အနန္တအစု *Infinitude of Primes = သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တဖြစ်တည်မှု *Infinity = အနန္တ *Inflection point = အကွေ့အမှတ် *Initial object = အစ အရာဝတ္ထု *Injection = အင်ဂျက်ရှင်း *Inner product = အတွင်းမြှောက်လဒ် *Input = အဝင်ကိန်း *Integer = ကိန်းပြည့် *Integrability = အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း *Integrable function = အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင် *Integral = အင်တီဂရယ် *Integral domain = အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း *Integration = အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း *Interior point = အတွင်းပိုင်းအမှတ် *Intermediate Value Theorem = ကြားခံတန်ဖိုး သီအိုရမ် *Intersection = ထပ်တူပိုင်းအစု *Interval = အပိုင်းအခြား *Intuition = ပင်ကိုသိစိတ် *Inverse = ပြောင်းပြန် *Inverse function = ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် *Inverse image = ပြောင်းပြန်ပုံရိပ် *Invertible = ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော *Isomorphism = အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် *Jacobian matrix = ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံ *Jump discontinuity = ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း *Kernel = ကာနယ် *Lagrange's theorem = လာဂေါင့်၏ သီအိုရမ် *Lattice = လတ္တစ် *Least common multiple = အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း *Least upper bound = အငယ်ဆုံး အထက်ဘောင် *Lebesgue integral = လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် *Left inverse = ဘယ်ပြောင်းပြန် *Length = အလျား *Lemma = အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် *Limit = စုဆုံမှတ် *Limit point = စုဆောင်းမှတ် *Line = မျဉ်း *Line segment = မျဉ်းပိုင်း *Linear algebra = မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ *Linear function = မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် *Linear independence = မျဉ်းဖြောင့် အမှီအခိုကင်းမှု *Linear map = မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု *Linear operators = မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ *Linear transformation = မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း *Local section = ဒေသအလိုက် အပိုင်း *Logarithm = လော်ဂရစ်သမ် *Logical implication = ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သက်ရောက်မှု *Manifolds = မန်နီဖိုးများ *Map = ပုံဖော်မှု *Mathematical analysis = သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း *Mathematical induction = သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း *Matrix = ကိန်းအုံ *Matrix multiplication = ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း *Maximal = အမြင့်ဆုံး *Maximum = အကြီးဆုံးတန်ဖိုး *Mean Value Theorem = ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် *Measurable functions = တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်များ *Metric = အကွာအဝေး ဖန်ရှင် *Metric space = အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း *Metric topology = အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ *Module = မော်ဂျူး *Modulus = မော်ဂျူးလပ်စ် *Monomorphism = မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် *Morphism = မော်ဖစ်ဇင် *Multiples = ဆတိုးကိန်းများ *Multiplication = မြှောက်ခြင်း *Multivariable calculus = ကိန်းရှင်တစ်ခုထက်ပိုသော ကဲကုလပ် *Natural logarithm = သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် *Natural number = သဘာဝကိန်း *Negative coefficient = အနုတ်မြှောက်ဖော်ကိန်း *Negative exponent = အနုတ်ထပ်ကိန်း *Negative numbers = အနုတ်ကိန်းများ *Neighbourhood = ပတ်ဝန်းကျင် *Non-negative real numbers = အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များ *Norm = စံနှုန်း *Normal distribution = ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း *Normal subgroup = မူမှန်အုပ်စုပိုင်း *Normalization = ယူနစ်ဗက်တာသတ်မှတ်ခြင်း *Normed vector space = စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း *Number line = ကိန်းမျဉ်း *Number systems = ကိန်းစနစ်များ *Number theory = ကိန်းသီအိုရီ *Numerical analysis = ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း *Object = အရာဝတ္ထု *Odd integers = မကိန်းပြည့်များ *Open ball = အဖွင့်စက်လုံး *Open cover = အဖွင့် ဖုံးအုပ်စု *Open interval = အဖွင့် အပိုင်းအခြား *Open sets = အဖွင့်စု *Operator = အော်ပရေတာ *Ordered pairs = အစီအစဉ်ကျအတွဲ *Origin = မူလနေရာ *Orthogonal projection = ထောင့်မှန်ကျ ပရိုဂျက်ရှင်း *Output = အထွက်ကိန်း *Parallelogram law = အနားပြိုင်စတုဂံ ညီမျှခြင်း *Partially ordered sets = တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများ *Partition = အစုခွဲစနစ် *Perfect number = ဆခွဲပေါင်းကိန်း *Permutation = ပါမြူတေးရှင်း *Piecewise function = အပိုင်းလိုက် ဖန်ရှင် *Point-set topology = အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ *Points = အမှတ်များ *Polynomial equations = ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ *Polynomial function = ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် *Polynomial ring = ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း *Positive integers = အပေါင်းကိန်းပြည့်များ *Positive number = အပေါင်းကိန်း *Positive real numbers = အပေါင်း ကိန်းစစ်များ *Positivity = အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု *Power = ထပ်ကိန်း *Power set = ပါဝါအစု *Preimage = မူလပုံရိပ် *Prime factorization = သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း *Prime ideal = သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ် *Prime number = သုဒ္ဓကိန်း *Principal ideal = ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် *Product Rule = မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း *Product Topology = မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ *Projection = ပရိုဂျက်ရှင်း *Proof = သက်သေပြချက် *Proper subset = အစုပိုင်းအစစ် *Property = ဂုဏ်သတ္တိ *Pythagorean theorem = ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် *Quadratic functions = နှစ်ထပ်ကိန်း ဖန်ရှင်များ *Quaternions = ကွာတာနီယွန်များ *Quotient group = စားလဒ်အုပ်စု *Quotient ring = စားလဒ်ကွင်း *Quotient Rule = စားလဒ်စည်းမျဉ်း *Quotient space = စားလဒ်ရပ်ဝန်း *Radius = အချင်းဝက် *Radius of convergence = စုဆုံခြင်း အချင်းဝက် *Range = ပုံရိပ်အစု *Rational number = ရာရှင်နယ်ကိန်း *Real line = ကိန်းစစ်မျဉ်း *Real number = ကိန်းစစ် *Real part = ကိန်းစစ်ပိုင်း *Real plane = ကိန်းစစ်ပြင်ညီ *Real root = ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ *Real subset = ကိန်းစစ်အစုပိုင်း *Real vector spaces = ကိန်းစစ် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ *Real-valued function = ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် *Reducible = ဆခွဲနိုင်သော *Reflection = အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း *Reflexivity = ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိ *Removable discontinuity = ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း *Restriction = ကန့်သတ်ခြင်း *Right inverse = ညာပြောင်းပြန် *Ring = ကွင်း *Ring homomorphisms = ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ *Ring isomorphism = ကွင်း အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် *Ring theory = ကွင်းသီအိုရီ *Roots of unity = ယူနစ်ရင်းများ *Roster notation = စာရင်းချ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း *Scalar = စကေလာ *Scalar multiplication = စကေလာမြှောက်ခြင်း *Scaling = အရွယ်ပြောင်းခြင်း *Sequence = ကိန်းစဉ် *Series = ကိန်းစဉ်တန်း *Set = အစု *Set operations = အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ *Set theory = အစုသီအိုရီ *Simple graphs = ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များ *Sine function = ဆိုင်း ဖန်ရှင် *Singleton set = အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု *Smooth manifolds = ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများ *Smooth mappings = ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ *Source = အရင်းအမြစ် *Space = ရပ်ဝန်း *Sphere = စက်လုံးမျက်နှာပြင် *Square root = နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း *Statement = ဖော်ပြချက် *Strict = တိကျသော *Subgroup = အုပ်စုပိုင်း *Subring = ကွင်းပိုင်း *Subset = အစုပိုင်း *Subspace = ရပ်ဝန်းပိုင်း *Subspace topology = ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ *Substitution = အစားထိုးခြင်း *Successor function = နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် *Supremum = စူပရီမမ် *Surface = မျက်နှာပြင် *Surjection = ဆာဂျက်ရှင်း *Surjective function = ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် *Symmetric group = ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် အုပ်စု *Symmetry = အချိုးညီမှု *Target = ပစ်မှတ် *Tensor product = တန်ဆာ မြှောက်လဒ် *Terminal object = အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု *Theorem = သီအိုရမ် *Topological space = တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း *Topology = တိုပေါ်လော်ဂျီ *Translation = ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်း *Transpose = ထရန်စပို့စ် *Triangle inequality = တြိဂံ မညီမျှခြင်း *Trivial = အသေးအဖွဲ *Trivial subgroup = အသေးအဖွဲ အုပ်စုပိုင်း *Trivial topology = အသေးအဖွဲ တိုပေါ်လော်ဂျီ *Uncountable = ရေတွက်၍မရသော *Uniformly continuous mapping = ညီညာစွာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု *Union = ပေါင်းစပ်စု *Unique = တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော *Uniqueness = တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု *Unit = ယူနစ် *Unit ball = ယူနစ်စက်လုံး *Unit vector = ယူနစ်ဗက်တာ *Unity = ယူနစ် *Universal property = စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ *Valuation = တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း *Variable = ကိန်းရှင် *Vector = ဗက်တာ *Vector field = ဗက်တာစက်ကွင်း *Vector space = ဗက်တာရပ်ဝန်း *Well-defined = မှန်ကန်စွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားခြင်း *Weierstrass function = ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် ဖန်ရှင် *Zermelo–Fraenkel set theory = ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် အစုသီအိုရီ *Zero element = သုည အစုဝင် *Zero map = သုည ပုံဖော်မှု *Zero vector = သုညဗက်တာ *Zero-divisor = သုညစားကိန်း </div> </div> 33qmz3jfoafvhu3u03he5ow1gpbe945 0 283564 1049526 1044240 2026-08-20T06:32:02Z ~2026-45378-83 147178 /* */ 1049526 wikitext text/x-wiki {{Infobox officeholder | honorific_prefix = | name = ရတီအုန်း | native_name = | native_name_lang = | image = | caption = | office = စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီးဌာန ဝန်ကြီး | unit = [[စစ်ကိုင်းဖက်ဒရယ်ယူနစ် ကြားကာလအစိုးရ]] | term_start = ၂၀၂၅ ဒီဇင်ဘာ | president = [[ဒူဝါလရှီးလ]] (ယာယီ) | prime_minister = [[မန်းဝင်းခိုင်သန်း]] | alma_mater = | occupation = နိုင်ငံရေးသမား၊ စက်မှုအင်ဂျင်နီယာ | known_for = [[အာဏာဖီဆန်ရေး ပြည်သူ့လှုပ်ရှားမှု|အာဏာဖီဆန်ရေး လှုပ်ရှားမှု]]၊ [[စစ်ကိုင်းဖက်ဒရယ်ယူနစ် ကြားကာလအစိုးရ]] }} '''ဒေါ်ရတီအုန်း''' (အမည်ကွဲ: '''Radi Ohm''') သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[စစ်ကိုင်းဖက်ဒရယ်ယူနစ် ကြားကာလအစိုးရ]]၏ စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီးဌာန ဝန်ကြီးအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်နေသူ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |author=Mizzima |url=https://eng.mizzima.com/2025/12/25/29507 |title=Sagaing Federal Unit Interim Government Appointments |website=Mizzima News |date=၂၅ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၅}}</ref> သူမသည် အဆိုပါ အစိုးရအဖွဲ့အတွင်းရှိ တစ်ဦးတည်းသော အမျိုးသမီးဝန်ကြီးလည်း ဖြစ်သည်။ လက်ရှိတွင် ယူနစ် အမျိုးသမီး၊ လူငယ်နှင့် က​လေးသူငယ်ရေးရာဦးစီးဌာနကိုပါ ပူးတွဲ တာဝန်ယူထားရပါသည်။ [[၂၀၂၁ မြန်မာနိုင်ငံစစ်အာဏာသိမ်းခံရခြင်း|၂၀၂၁ ခုနှစ် စစ်အာဏာသိမ်းမှု]] နောက်ပိုင်းတွင် အာဏာဖီဆန်ရေးလှုပ်ရှားမှု (CDM) ၌ ပါဝင်ခဲ့ပြီး တော်လှန်ရေးနယ်မြေအတွင်း ကျန်းမာရေး၊ ပညာရေးနှင့် လူမှုကယ်ဆယ်ရေးလုပ်ငန်းများတွင် ပါဝင်ဆောင်ရွက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။<ref name="aa"/> == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာရေး == ဒေါ်ရတီအုန်းသည် စက်မှုအင်ဂျင်နီယာ (Mechanical Engineer) ဘွဲ့ ရရှိထားသူဖြစ်သည်။ သူမ၏ မိခင်မှာ ဘက်စုံသားဖွားနှင့် သူနာပြုတစ်ဦး ဖြစ်သောကြောင့် ငယ်စဉ်ကတည်းက သားဖွားမီးယပ်ဆိုင်ရာ အခြေခံဗဟုသုတများကို ရရှိခဲ့သည်။ ၂၀၂၁ ခုနှစ် အာဏာမသိမ်းမီကာလက စစ်ကိုင်းတိုင်း၊ ကလေးမြို့ရှိ အစိုးရနည်းပညာအထက်တန်းကျောင်း (GTHS - Kalay) တွင် မော်တော်ယာဉ်နည်းပညာဌာန၏ ကထိကနှင့် ဌာနမှူးအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web |author=Myanmar Now |url=https://myanmar-now.org/mm/news/62080/ |title=CDM ဆရာမနှင့် တော်လှန်ရေးခရီးကြမ်း |website=Myanmar Now |date=၂၀၂၄ }}{{Dead link|date=May 2026 }}</ref> ၂၀၂၀ ပြည့်နှစ် ရွေးကောက်ပွဲကာလတွင် ထိုမာကျေးရွာအုပ်စု မဲစိစစ်ရေးကော်မတီ ဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် လုပ်အားပေးဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ == တော်လှန်ရေးကာလ လှုပ်ရှားမှုများ == ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလ ၂ ရက်နေ့မှစတင်ကာ အာဏာဖီဆန်ရေးလှုပ်ရှားမှု (CDM) တွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။<ref name="aa"/> === ကျန်းမာရေးနှင့် ကယ်ဆယ်ရေး === ၂၀၂၁ ခုနှစ် မတ်လတွင် CDM ဆရာဝန်များနှင့် ပူးပေါင်း၍ ရွေ့လျားဆေးအဖွဲ့ (Mobile Medical Team – MMT) ကို ဖွဲ့စည်းခဲ့ပြီး ကလေးမြို့ရှိ စစ်ဘေးရှောင်များနှင့် ဒဏ်ရာရရှိသူများကို ဆေးဝါးကုသပေးခဲ့သည်။ သူမသည် ဆေးပညာရှင်တစ်ဦး မဟုတ်သော်လည်း အရေးပေါ်အခြေအနေများတွင် ဆရာဝန်များထံမှ ဖုန်းဖြင့်လမ်းညွှန်ချက်ရယူကာ စစ်ဘေးရှောင် ကိုယ်ဝန်ဆောင်မိခင် ၂၅ ဦးထက်မနည်းကို အောင်မြင်စွာ မီးဖွားပေးနိုင်ခဲ့သည့် ဖြစ်ရပ်ကို မီဒီယာအချို့တွင် ဖော်ပြခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite web |author=ဘီဘီစီ မြန်မာပိုင်း |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c3e518gzww4o |title=တောတွင်း၌ ဖုန်းဖြင့်လမ်းညွှန်ချက်ရယူကာ ကလေးမီးဖွားပေးခဲ့သူ |website=[[ဘီဘီစီ]] |date=၂၀၂၄}}</ref><ref name=a>{{cite web |author=ဧရာဝတီ |url=https://burma.irrawaddy.com/article/2024/08/24/389374.html |title=စစ်ဘေးရှောင်ရင်း ဗိုက်ဖွားပေးခဲ့ရသည့် ဒေါ်ရတီအုန်း၏ အတွေ့အကြုံ |website=[[ဧရာဝတီသတင်းဌာန]] |date=၂၄ ဩဂုတ် ၂၀၂၄}}</ref> လက်ရှိတွင် မင်းကင်း၊ ကလေးဝနှင့် တမူးမြို့နယ်များအထိ ကျန်းမာရေးစောင့်ရှောက်မှုလုပ်ငန်းများကို တိုးချဲ့လုပ်ဆောင်လျက်ရှိသည်။ === ပညာရေးနှင့် သက်မွေးဝမ်းကျောင်း === [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေးအစိုးရ]] (NUG)၊ ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန၏ သက်မွေးပညာကော်မတီတွင် တာဝန်ယူကာ စစ်ဘေးရှောင်ပြည်သူ ထောင်ချီအတွက် ဂဟေဆက်သင်တန်း၊ အင်ဂျင်ပြုပြင်ခြင်းသင်တန်းနှင့် အခြေခံအိမ်သုံးဆေးဝါးသင်တန်း အပါအဝင် သက်မွေးဝမ်းကျောင်းသင်တန်း ၁၀ မျိုးခန့်ကို ပို့ချပေးခဲ့သည်။<ref>{{cite web |url=https://mohr.nugmyanmar.org/wp-content/uploads/2023/04/Newsletter-32.pdf |title=NUG ပညာရေးနှင့် သက်မွေးပညာကော်မတီ လှုပ်ရှားမှုများ |website=NUG MOHR |date=၂၀၂၃}}</ref> === ဘေးအန္တရာယ် ကာကွယ်ရေး === စစ်ကိုင်းတိုင်းအတွင်းရှိ ကျေးရွာများတွင် လေကြောင်းတိုက်ခိုက်မှုအန္တရာယ်မှ ကာကွယ်နိုင်ရန် ဗုံးခိုကျင်းတူးခြင်းနှင့် လေကြောင်းအန္တရာယ် ကာကွယ်ရေးဆိုင်ရာ အသိပညာပေးလုပ်ငန်းများကို ဦးဆောင်လုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။<ref name="aa">{{cite web |author=ဧရာဝတီ |url=https://burma.irrawaddy.com/opinion/interview/2025/05/14/400943.html |title=လေကြောင်းအန္တရာယ်နှင့် ပြည်သူ့ကာကွယ်ရေး အင်တာဗျူး |website=ဧရာဝတီ |date=၁၄ မေ ၂၀၂၅}}</ref> == နိုင်ငံရေး တာဝန် == ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလတွင် စစ်ကိုင်းဖက်ဒရယ်ယူနစ် ကြားကာလအစိုးရ၏ စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီးဌာန ဝန်ကြီးအဖြစ် ခန့်အပ်ခြင်းခံရသည်။ သူမသည် အစိုးရအဖွဲ့၏ မူဝါဒရေးရာများနှင့် မြေပြင်ရှိ ပြည်သူ့ဝန်ဆောင်မှုလုပ်ငန်းများကို ကြီးကြပ်ကွပ်ကဲလျက်ရှိသည်။ == ကိုးကားချက်များ == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:မွေးဖွားခုနှစ် မသိရှိရသူများ (သက်ရှိထင်ရှားပုဂ္ဂိုလ်များ)]] [[ကဏ္ဍ:သက်ရှိထင်ရှားပုဂ္ဂိုလ်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ အမျိုးသမီး အင်ဂျင်နီယာများ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ့နိုင်ငံရေးသမားများ]] 9dbkta9gilucia80l4o0uj8qpqv79f5 0 284392 1049438 1041028 2026-08-19T16:04:33Z Mkant00 135890 typo 1049438 wikitext text/x-wiki အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) သည် သင်္ချာဆိုင်ရာ နယ်ပယ်တစ်ခုဖြစ်ပြီး အုပ်စုများ (groups) ၏ ပုံစံအမျိုးမျိုးကို လေ့လာသည်။ အုပ်စုသီအိုရီ (history of group theory) သည် လမ်းကြောင်းအမျိုးမျိုးဖြင့် ပြိုင်တူတိုးတက်လာခဲ့ပြီး ၎င်း၏ အဓိက သမိုင်းကြောင်းဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ် သုံးခုမှာ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများ သီအိုရီ (theory of algebraic equations)၊ ကိန်းသီအိုရီ (number theory) နှင့် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တို့ဖြစ်ကြသည်။<ref>{{harvnb|Wussing|2007}}</ref><ref>{{harvnb|Kleiner|1986}}</ref><ref name=Smith>{{harvnb|Smith|1906}}</ref> ဂျိုးဆက် လူဝီ လာဂေါင့် (Joseph Louis Lagrange)၊ ပေါ်လို ရူဖီနီ (Paolo Ruffini)၊ နီးလ်စ် ဟင်နရစ် အာဘဲလ် (Niels Henrik Abel) နှင့် အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) တို့သည် အုပ်စုသီအိုရီ နယ်ပယ်အစောပိုင်းရှိ သုတေသီများ ဖြစ်ခဲ့ကြသည်။ == ၁၉ ရာစု အစောပိုင်း == အုပ်စုများ (groups) နှင့် ပတ်သက်သော အစောဆုံး သုတေသနသည် ၁၈ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် လာဂေါင့်၏ လေ့လာမှုများမှ စတင်ခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။ သို့ရာတွင် ဤလေ့လာမှုများသည် အနည်းငယ် သီးခြားဖြစ်နေခဲ့ပြီး ၁၈၄၆ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) နှင့် ဂယ်လ်ဝါ တို့၏ စာတမ်းများကိုသာ အုပ်စုသီအိုရီ၏ အစအဖြစ် ပိုမိုရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ ဤသီအိုရီသည် ရုတ်တရက် အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်းမဟုတ်ဘဲ နောက်ခံသမိုင်းကြောင်းများ ရှိခဲ့သောကြောင့် သီအိုရီမတိုင်မီကာလ၏ အရေးကြီးသော လမ်းကြောင်းများကို ဤနေရာတွင် ရှင်းလင်းဖော်ပြထားသည်။ === ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုများ တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှု (Development of permutation groups) === အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ၏ အခြေခံကျသော အရင်းအမြစ်တစ်ခုမှာ ဒီဂရီ (degree) <math>4</math> ထက်ပိုမိုမြင့်မားသော ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ၏ အဖြေများကို ရှာဖွေခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ ဒီဂရီ <math>n > m</math> ရှိသော ပေးထားသည့် ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ ကိန်းရင်းများ (roots) အနက်မှ <math>m</math> ခုပါဝင်မည့် ဒီဂရီ <math>m</math> ရှိ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ခြင်း ပြဿနာတွင် အစောပိုင်း အရင်းအမြစ်တစ်ခုကို တွေ့ရှိရသည်။ ရိုးရှင်းသော အခြေအနေများ (simple cases) အတွက် ဤပြဿနာသည် ယိုဟန်း ဗန် ဝါဗရန် ဟတ်ဒ် (Johann van Waveren Hudde) (1659) အထိ အရင်းခံသည်။<ref>Hudde, Johannes (1659) "Epistola prima, de reductione æquationum" (First letter: on the reduction of equations). In: Descartes, René; Beaune, Florimond de; Schooten, Frans van; Hudde, Johannes; Heuraet, Hendrik van. [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=ucm.5320271924;view=1up;seq=428 ''Renati Des-Cartes Geometria'']. 2nd ed. vol. 1. (in Latin) Amsterdam, Netherlands: Louis and Daniel Elzevir. pp. 406–506.</ref> နီကိုးလတ်စ် ဆောင်းဒါဆန် (Nicholas Saunderson) (1740) က စတုတ္ထထပ်ကိန်းဖော်ပြချက် (biquadratic expression) တစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်း အစိတ်အပိုင်းများ (quadratic factors) ကို ဆုံးဖြတ်ခြင်းသည် ဆဌမထပ် ညီမျှခြင်း (sextic equation) တစ်ခုဆီသို့ မလွဲမသွေရောက်ကြောင်း မှတ်ချက်ပြုခဲ့ပြီး<ref>{{cite book |last1=Saunderson |first1=Nicholas |title=The Elements of Algebra, in Ten Books |date=1740 |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, England |volume=2 |pages=735–736, "Of the resolution of all sorts of biquadratic equations by the mediation of cubics." |url=https://books.google.com/books?id=1NI_AQAAMAAJ&pg=PA735}}</ref> သောမတ်စ် လီ ဆူးရ် (Thomas Le Seur) (1703–1770) (1748)<ref>{{cite book |last1=Le Seur |first1=Thomas |title=Memoire sur le Calcul Integral |date=1748 |publisher=Freres Pagliarini |location=Rome, (Italy) |url=https://archive.org/details/bub_gb_xAQfNL3OiHMC |language=French}} ; pp. 13 ff, see especially pp. 22–23.</ref><ref>Articles about Thomas Le Seur are available in fr:Thomas Leseur and de:Thomas Le Seur.</ref> နှင့် အက်ဒဝပ် ဝါရင်း (Edward Waring) (1762 မှ 1782 အထိ) တို့က ဤအယူအဆကို ဆက်လက်ချဲ့ထွင်ခဲ့သည်။ ဝါရင်းသည် အချိုးညီ ပိုလီနိုမီရယ်များ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (fundamental theorem of symmetric polynomials) ကို သက်သေပြခဲ့ပြီး စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်း (quartic equation) တစ်ခု၏ ကိန်းရင်းများနှင့် ၎င်းကိုဖြေရှင်းပေးသော တတိယထပ်ကိန်း (resolvent cubic) တို့ကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်ကို အထူးတလည် စဉ်းစားလေ့လာခဲ့သည်။ <ref>See: * {{cite book |last1=Waring |first1=Edward |title=Miscellanea Analytica, de aequationibus algebraicis, et curvarum proprietatibus |date=1762 |publisher=J. Bentham |location=Cambridge, England |url=https://archive.org/details/miscellaneaanal00warigoog/page/n6 |language=Latin}} * {{cite book |last1=Waring |first1=Edward |title=Meditationes Algebraicæ |date=1770 |publisher=J. Archdeacon |location=Cambridge, England |language=Latin }} * {{cite book |last1=Waring |first1=Edward |title=Meditationes Algebraicæ |date=1782 |publisher=J. Archdeacon |location=Cambridge, England |edition=3rd |url=https://archive.org/details/bub_gb_1MNbAAAAQAAJ |language=Latin }}</ref><ref name=Smith/><ref>{{cite journal |last1=Burkhardt |first1=Heinrich |title=Die Anfänge der Gruppentheorie und Paolo Ruffini |journal=Zeitschrift für Mathematik und Physik |date=1892 |volume=37 (Supplement) |pages=119–159 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.32044102937661;view=1up;seq=561 |trans-title=The beginnings of group theory and Paolo Ruffini |language=German}}</ref> လာဂေါင့် (Lagrange) ၏ ရည်မှန်းချက်ပန်းတိုင် (1770 - 1771) မှာ တတိယနှင့် စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်းများသည် အဖြေများအတွက် ပုံသေနည်းများကို အဘယ်ကြောင့် လက်ခံရရှိနိုင်ကြောင်းကို နားလည်ရန်ဖြစ်ပြီး အဓိကကျသော အရာဝတ္ထုမှာ ကိန်းရင်းများ၏ ပါမြူတေးရှင်းများ (permutations of roots) စုစည်းထားသော အုပ်စုပင်ဖြစ်သည်။ အစားထိုးခြင်း သီအိုရီ (theory of substitutions) ကို ဤအပေါ်တွင် တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ <ref>See: * {{cite journal |last1=Lagrange |title=Reflexions sur la résolution algébrique des équations |journal=Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin) |date=1770 |volume=1 |pages=134–215 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433009864541;view=1up;seq=224 |trans-title=Reflections on the algebraic solution of equations |language=French}} * {{cite journal |last1=Lagrange |title=Suite des reflexions sur la résolution algébrique des équations |journal=Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin) |date=1771 |volume=2 |pages=138–253 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433009864558;view=1up;seq=206 |trans-title=Continuation of reflections on the algebraic solution of equations |language=French}}</ref> လာဂေါင့် ဖြေရှင်းကိန်းများ (Lagrange resolvents) အားလုံး၏ ကိန်းရင်းများသည် သက်ဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများ၏ ကိန်းရင်းများကို အသုံးပြုထားသော ရာရှင်နယ် ဖန်ရှင်များ (rational functions) ဖြစ်ကြောင်း လာဂေါင့် ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ ဤဖန်ရှင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာရန်အတွက် သူသည် ပေါင်းစပ်ခြင်း တွက်ချက်မှုပညာ (Calcul des Combinaisons) ကို တီထွင်ခဲ့သည်။ <ref>{{harvnb|Lagrange|1771|p=235}}</ref> အလက်ဇန္ဒား-သီအိုဖိုင်း ဗန်ဒါမွန်း (Alexandre-Théophile Vandermonde) (1770) ၏ ခေတ်ပြိုင်လုပ်ဆောင်ချက်သည် အချိုးညီ ဖန်ရှင်များ သီအိုရီ (theory of symmetric functions) နှင့် ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ပိုလီနိုမီရယ်များ (cyclotomic polynomials) ကို ဖြေရှင်းခြင်းတို့ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ <ref name=Smith/><ref>{{cite journal |last1=Vandermonde |title=Mémoire sur la resolution des équations |journal=Histoire de l'Académie Royale des Sciences. Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique |date=1771 |pages=365–416 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015013757649;view=1up;seq=551 |trans-title=Memoir on the solution of equations |language=French}}</ref> အက္ခရာသင်္ချာ၏ ခေတ်သစ်ခေတ်ဆန်း တစ်ခုသည် ဗန်ဒါမွန်း၏ ပထမဆုံးစာတမ်းနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်ဟု လီယိုပို ကရိုနက်ကာ (Leopold Kronecker) က ပြောကြားခဲ့ကြောင်း ကိုးကားကြသည်။ <ref>{{cite book |last1=Vandermonde |first1=N. |title=Abhandlungen aus der reinen Mathematik |date=1888 |publisher=Julius Springer |url=https://books.google.com/books?id=iKg_AQAAIAAJ&pg=PP11 |language=de|editor-first=Carl|editor-last=Itzigsohn|quote=Mit Vandermonde's im Jahre 1770 der Pariser Akademie vorgelegten Abhand- lung über die Auflösung der Gleichungen beginnt – so hat sich jüngst Herr Kronecker in einer Vorlesung geäussert – der neue Aufschwung der Algebra|trans-quote=With Vandermonde's treatise on the solution of equations presented to the Paris Academy in 1770 – as Kronecker recently said in a lecture – the new boom in algebra begins}}</ref> အချို့က ကော်ချီ (Cauchy) ကလည်း အချိုးညီ ဖန်ရှင်များနှင့် ကိန်းရှင်များ (variables) ၏ ပါမြူတေးရှင်းများကို လေ့လာခဲ့ခြင်းအတွက် လာဂေါင့် နှင့် ဗန်ဒါမွန်း နှစ်ဦးစလုံးကို အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည် ဟုဆိုကြသည်။ <ref>{{cite web |last1=Cauchy |first1=A. L. |translator-last=Bertrand |translator-first=Mike |translator-last2=Gaschignard |translator-first2=Stephen |title=Memoire Sur le Nombre des Valeurs|trans-title=Paper on the number of values |url=http://nonagon.org/ExLibris/cauchys-memoire-sur-le-nombre-des-valeurs |website=Ex Libris |date=3 December 2014|orig-date=January 1815}} </ref> အချို့သော အရင်းအမြစ်များကလည်း အဆုံးတွင် အုပ်စုသီအိုရီကို လေ့လာရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သော ဤထူးခြားသည့် အယူအဆနှင့် ပတ်သက်၍ ဗန်ဒါမွန်းသည် လာဂေါင့်ထက် ဦးစွာ ဖော်ထုတ်နိုင်ခဲ့သည်ဟု ကော်ချီက မှတ်ချက်ပြုခဲ့ကြောင်း ဆိုကြသည်။ <ref name="VBio">{{MacTutor|id=Vandermonde|title=Alexandre-Théophile Vandermonde|quote=Cauchy states quite clearly that Vandermonde had priority over Lagrange for this remarkable idea which eventually led to the study of group theory.}}</ref> ပေါ်လို ရူဖီနီ (Paolo Ruffini) (1799) သည် ပဉ္စမထပ် (quintic) နှင့် ထို့ထက်ပိုမိုမြင့်မားသော ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းရန် မဖြစ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းခဲ့သည်။<ref>{{cite book |last1=Ruffini |first1=Paolo |title=Teoria Generale delle Equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto |trans-title=General Theory of Equations, in which the algebraic solution of general equations of degree higher than four is proven impossible |date=1799 |publisher=St. Tommaso d'Aquino |location=Bologna, (Italy) |volume=1 & 2 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015065507694;view=1up;seq=7 |language=Italian}}</ref> ရူဖီနီသည် ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုများ သီအိုရီ (theory of permutation groups) အတွင်းရှိ အုပ်စုတစ်ခု၏ အစုဝင်တစ်ခု၏ အစဉ် (order of an element of a group)၊ ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြစ်မှု (conjugacy) နှင့် ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုများ၏ အစုဝင်များကို စက်ဝိုင်းပုံ ခွဲခြမ်းမှု (cycle decomposition) ကဲ့သို့သော အယူအဆများကို ပထမဆုံး စူးစမ်းလေ့လာခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ရူဖီနီသည် ကူးပြောင်းနိုင်ခြင်းမရှိသော (intransitive) နှင့် ကူးပြောင်းနိုင်သော (transitive) အုပ်စုများ၊ ပရစ်မစ်တစ်မဟုတ်သော (imprimitive) နှင့် ပရစ်မစ်တစ် (primitive) အုပ်စုများ ဟု ယနေ့တွင်ခေါ်ဆိုကြသည့် အရာများကို ခွဲခြားပြသခဲ့ပြီး 1801 တွင် ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ အုပ်စုကို ပါမြူတေးရှင်းများ စုစည်းမှု (l'assieme delle permutazioni) ဟူသော အမည်ဖြင့် အသုံးပြုခဲ့သည်။ ပီယက်ထရို အဘားတီး (Pietro Abbati) မှ သူ့ထံသို့ပေးပို့သော စာတစ်စောင်ကိုလည်း ထုတ်ဝေခဲ့ပြီး ထိုစာထဲတွင် အုပ်စုအယူအဆမှာ ထင်ရှားသည်။<ref>{{cite journal |last1=Abbati |first1=Pietro |title=Lettera di Pietro Abbati Modenese al socio Paolo Ruffini |journal=Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze |date=1803 |volume=10 (part 2) |pages=385–409 |url=https://www.biodiversitylibrary.org/item/34169#page/7/mode/1up |trans-title=Letter from Pietro Abbati of Modena to his colleague Paolo Ruffini |language=Italian}}</ref><ref name=Smith/> သို့သော်လည်း သူသည် အုပ်စုတစ်ခု သို့မဟုတ် ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုတစ်ခု၏ သဘောတရားကိုပင် ပုံစံတကျ (formalise) မပြုလုပ်နိုင်ခဲ့ပေ။ ယခုအခါ ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီ (Galois theory) ဟုခေါ်ဆိုသော သီအိုရီနှင့်အတူ အုပ်စုသီအိုရီ နှင့် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) တို့ကို ဆက်စပ်ပေးခဲ့သည့် ပထမဆုံး သင်္ချာပညာရှင်အဖြစ် အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) အား မှတ်တမ်းတင်အသိအမှတ်ပြုကြသည်။<ref name=Smith/> ဂယ်လ်ဝါသည် မော်ဂျူလာ ညီမျှခြင်းများ (modular equations) သီအိုရီနှင့် အဲလစ်ပတစ် ဖန်ရှင်များ (elliptic functions) သီအိုရီတို့တွင်လည်း ကူညီပံ့ပိုးခဲ့သည်။<ref>{{harvnb|Galois|1908}}</ref><ref>{{harvnb|Kleiner|1986|p=202}}</ref> အုပ်စုသီအိုရီနှင့် ပတ်သက်သော သူ၏ ပထမဆုံး ထုတ်ဝေမှုကို အသက်တစ်ဆယ့်ရှစ်နှစ်အရွယ် (1829) တွင် ပြုလုပ်ခဲ့သော်လည်းသူကွယ်လွန်ပြီးနောက် 1846 ခုနှစ်တွင် သူ၏ စုဆောင်းထားသော စာတမ်းများကို မထုတ်ဝေမီအချိန်အထိ သူ၏ ပံ့ပိုးမှုများသည် အာရုံစိုက်မှုကို သိပ်မရရှိခဲ့ပေ။ ပါမြူတေးရှင်းများ၏ အုပ်စုတစ်ခုတွင် ယခုအခါ အပိတ် ဂုဏ်သတ္တိ (closure property) ဟုခေါ်ဆိုသည့်အရာကို သူက ပထမဆုံး စဉ်းစားခဲ့ပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ {{quote|အကယ်၍ ထိုသို့သော အုပ်စုတစ်ခုတွင် အစားထိုးခြင်းများဖြစ်သည့် <math>S</math> နှင့် <math>T</math> တို့ ရှိပါက အစားထိုးခြင်း <math>ST</math> သည်လည်း ရှိနေရမည်ဖြစ်သည်။}} အကယ်၍ <math>r_1, r_2, \ldots, r_n</math> တို့သည် ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ ကိန်းရင်း <math>n</math> ခု ဖြစ်ပါက <math>r</math> များ၏ ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုတစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိပြီး ၎င်းမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်ကြောင်း ဂယ်လ်ဝါ တွေ့ရှိခဲ့သည်။ #အုပ်စု၏ အစားထိုးခြင်းများဖြင့် ပြောင်းလဲခြင်းမရှိသော ကိန်းရင်းများ၏ ဖန်ရှင်တိုင်းကို ရာရှင်နယ်ဖန်ရှင်အဖြစ် (as a rational function) သိရှိနိုင်ပြီး #ပြောင်းပြန်အားဖြင့် (conversely) ရာရှင်နယ်ဖန်ရှင်အဖြစ် ဆုံးဖြတ်နိုင်သော ကိန်းရင်းများ၏ ဖန်ရှင်တိုင်းသည် အုပ်စု၏ အစားထိုးခြင်းများအောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) ရှိသည်။ မျက်မှောက်ခေတ် အသုံးအနှုန်းများအရ ညီမျှခြင်းတွင် တွဲထားသော ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု၏ ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) သည် ညီမျှခြင်းအား အရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်းကို ဆုံးဖြတ်ပေးသည်။ မျက်မှောက်ခေတ် အဓိပ္ပာယ်များဖြင့် အုပ်စု (group) နှင့် ပရစ်မစ်တစ် (primitive) ဟူသော စကားလုံးများကို ပထမဆုံး အသုံးပြုခဲ့သူမှာ ဂယ်လ်ဝါ ပင်ဖြစ်သည်။ သူသည် ပရစ်မစ်တစ်အုပ်စု (primitive group) ဟူ၍ အသုံးမပြုခဲ့သော်လည်း ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုသည် ပရစ်မစ်တစ်ဖြစ်နေသော ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ပရစ်မစ်တစ်ညီမျှခြင်း (equation primitive) ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။ မူမှန်အုပ်စုပိုင်းများ (normal subgroups) ဟူသော အယူအဆကို သူရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ပြီး ဖြေရှင်း၍ရသော ပရစ်မစ်တစ်အုပ်စုတစ်ခုသည် သုဒ္ဓကိန်း အစဉ် (prime order) ရှိ အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် (finite field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ အဖိုင်း ရပ်ဝန်း (affine space) တစ်ခု၏ အဖိုင်း အုပ်စု (affine group) အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်ကြောင်း တွေ့ရှိခဲ့သည်။<ref>{{cite web |title=Galois' last letter |url=http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/lettres/lettre-testament}}</ref> ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုများနှင့် ဆင်တူသော အုပ်စုများကို ယနေ့ခေတ်တွင် ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုများ (permutation groups) ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုများ သီအိုရီသည် အော်ဂက်စတင် ကော်ချီ (Augustin Cauchy) နှင့် ကာမိုင်း ဂျော်ဒန် (Camille Jordan) တို့၏ ခေတ်တွင် ပိုမိုကျယ်ပြန့်တိုးတက်မှုများ ရှိခဲ့သည်။ ၎င်းတို့ နှစ်ဦးစလုံးသည် အယူအဆသစ်များကို မိတ်ဆက်ခြင်းဖြင့် လည်းကောင်း ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုများ၏ အထူးအတန်းအစားများနှင့် ပတ်သက်သော များပြားလှသည့် ရလဒ်များအပြင် ယေဘုယျ သီအိုရမ် အချို့ကိုပါ အဓိကအားဖြင့် ဖော်ထုတ်ခြင်းဖြင့် လည်းကောင်း လေ့လာခဲ့ကြသည်။ ဂျော်ဒန်သည် ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုများ၏ အခြေအနေတွင်သာ ကန့်သတ်ထားသော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ၏ အယူအဆတစ်ခုကို လေ့လာသတ်မှတ်ခဲ့သည်။ အုပ်စု (group) ဟူသော ဝေါဟာရကို ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးပြုလာစေခဲ့သူမှာလည်း ဂျော်ဒန် ပင်ဖြစ်သည်။ အဆုံးရှိသော အုပ်စုတစ်ခု၏ သရုပ်မဲ့ (abstract) အယူအဆသည် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) ၏ 1854 ခုနှစ် စာတမ်းဖြစ်သော သင်္ကေတညီမျှခြင်း <math>\theta^n = 1</math> အပေါ် မူတည်သည့် အုပ်စုများ သီအိုရီအကြောင်း (On the theory of groups, as depending on the symbolic equation <math>\theta^n = 1</math>) တွင် ပထမဆုံးအကြိမ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။<ref>{{cite journal |last1=Cayley |first1=A. |title=On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1 |journal=Philosophical Magazine |date=1854 |volume=7 |issue=42 |pages=40–47 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=pst.000068485757;view=1up;seq=54 |series=4th series |doi=10.1080/14786445408647421|url-access=subscription }}</ref><ref>{{MacTutor|class=HistTopics|id=Abstract_groups|title=The abstract group concept}}</ref> အဆုံးရှိအုပ်စု (finite group) တိုင်းသည် ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုတစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်ဟု ကေးလီက အဆိုပြုခဲ့ပြီး ထိုရလဒ်ကို ယနေ့ခေတ်တွင် ကေးလီ၏ သီအိုရမ် (Cayley's theorem) ဟု သိရှိကြသည်။ နောက်ဆက်တွဲ နှစ်များတွင် ကေးလီသည် အနန္တအုပ်စုများ (infinite groups) နှင့် မြှောက်ခြင်း၏ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity of multiplication)၊ ပြောင်းပြန်များ (inverses) ရှိနေခြင်းနှင့် ဝိသေသ ပိုလီနိုမီရယ်များ (characteristic polynomials) ကဲ့သို့သော ကိန်းအုံများ (matrices) ၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများကို စနစ်တကျ စုံစမ်းလေ့လာခဲ့သည်။ [[ကဏ္ဍ:အုပ်စုသီအိုရီ]] == ကိုးကား == ehl8dnw27hry254nz1fvo2bzji6q1z2 0 287577 1049517 1040007 2026-08-20T03:47:37Z Chenzeyan29 141880 /* */ 1049517 wikitext text/x-wiki {{Infobox | bodyclass = vcard | title = အချိတ် (လွန်းတစ်ရာ) | titleclass = fn summary | image = [[File:Burmese Acheik.jpg|thumb|center|220px]] | caption = ၁၉ ရာစုကတည်းက တော်ဝင်အမျိုးသမီးများ ဝတ်ဆင်ခဲ့သည့် လှပဆန်းပြားသော မြန်မာ့ရိုးရာ လွန်းတစ်ရာအချိတ် ထမိန်များ | label1 = အမျိုးအစား | data1 = လွန်းရက်ကန်း ပိုးထည်အနုပညာ (Tapistry weaving) | label2 = အဓိကတွေ့ရသော နေရာ | data2 = မြန်မာနိုင်ငံ (အထူးသဖြင့် [[အမရပူရမြို့]]) | label3 = မူလအစ | data3 = [[ကုန်းဘောင်ခေတ်]] နန်းတွင်းရိုးရာ | label4 = ကုန်ကြမ်း | data4 = သဘာဝပိုးချည်၊ ရွှေခြည်ငွေခြည် }} '''အချိတ်'''၊'''ချိတ်''' သို့မဟုတ် '''လွန်းတစ်ရာအချိတ်''' သည် မြန်မာ့ရိုးရာ ရက်ကန်းအတတ်ပညာတွင် အဆန်းအပြား၊ အနုစိတ်ဆုံးဖြစ်ပြီး သဘာဝ[[ပိုးချည်|ပိုးချည်မျှင်များ]]ကို 'လွန်း' ရာကျော် အသုံးပြု၍ လှိုင်းကနုတ်ပုံသဏ္ဌာန် ရွက်တွန့်ဒီဇိုင်းများ ရက်လုပ်ထားသည့် အဆင့်မြင့် ပိုးထည်အမျိုးအစား ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |last=Ferrars |first=Max |title=Burma |year=1900 |publisher=Sampson Low, Marston & Co. |pages=62 |language=en}}</ref> ကနုတ်ကွက်များ ဖော်ရာတွင် လွန်းအခုရေ တစ်ရာကျော် (တစ်ခါတစ်ရံ နှစ်ရာအထိ) အသုံးပြု၍ ရက်လုပ်ရခြင်းကို အစွဲပြုကာ လွန်းတစ်ရာအချိတ် ဟု အများသိကြသည်။ ဤအနုပညာသည် [[ကုန်းဘောင်ခေတ်]] နန်းတွင်းယဉ်ကျေးမှုတွင် စတင်ထွန်းကားခဲ့ပြီး ဘုရင်၊ မိဖုရားနှင့် မင်းစိုးရာဇာ တော်ဝင်အသိုင်းအဝိုင်းများသာ ဝတ်ဆင်ခွင့်ရှိသည့် အထူးအခွင့်အရေးပိုင် အဝတ်အထည် ဖြစ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite book |last=နုနုရီ |first=အမရပူရ |title=မြန်မာ့လွန်းတစ်ရာအချိတ် |year=၂၀၀၂ |publisher=ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာန |pages=၂၅-၃၀ |language=my}}</ref> အချိတ်၏ ကနုတ်ဒီဇိုင်းများသည် ဧရာဝတီမြစ်၏ လှိုင်းကယက်ပုံစံများ၊ သဘာဝမိုးတိမ်တောင်များနှင့် နန်းတွင်းပန်းချီကနုတ်များကို အခြေခံထားပြီး "မဟာလတ်"၊ "ကုမုဒြာ"၊ "စင်္ကြာကွက်" စသည့် အမည်နာမမျိုးစုံဖြင့် တော်ဝင်ဆန်စွာ ပုံဖော်လေ့ရှိသည်။<ref>{{cite journal |last=Sylvia |first=Fraser-Lu |title=Ancient Acheik Textiles of Burma |date=Winter 1988 |journal=Arts of Asia |volume=18 |issue=1 |pages=72-81 |language=en}}</ref> မြန်မာနိုင်ငံတွင် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၊ [[အမရပူရမြို့]]သည် လွန်းတစ်ရာအချိတ်ရက်ကန်းလုပ်ငန်း၏ အဓိကအချက်အချာ အမွေအနှစ်ဒေသအဖြစ် ယနေ့တိုင် တည်ရှိနေဆဲ ဖြစ်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် လွန်းတစ်ရာအချိတ်စစ်စစ်များကို မြန်မာ့ရိုးရာ မင်္ဂလာပွဲများ၊ ကပြဖျော်ဖြေပွဲများနှင့် ကဆုန်လပြည့် ဗုဒ္ဓနေ့ကဲ့သို့သော ထင်ရှားသည့် ဘာသာရေးပွဲလမ်းသဘင်များတွင် အမျိုးသမီးများက ရိုးရာရင်ဖုံးအင်္ကျီ၊ ဇာအင်္ကျီများဖြင့် တွဲဖက်၍ အမြတ်တနိုး ဆင်ယင်ဝတ်ဆင်ကြသည်။ ခေတ်ပြိုင်ကာလတွင် ရက်ကန်းလုပ်ငန်းရိုးရာကို ထိန်းသိမ်းရန်အတွက် လက်ရက်လွန်းတစ်ရာအပြင် စက်ရက်ဒီဇိုင်းများနှင့် ပရင့်ထုတ်အချိတ်များကိုပါ လူထုအကြား ကျယ်ပြန့်စွာ ဝတ်ဆင်လာကြသည်။ == သမိုင်းကြောင်း == မြန်မာ့အထည်အလိပ် သမိုင်းတွင် ဖယောင်းပိတ်ဆေးဆိုးခြင်း (ပါတိတ်) နည်းစနစ်ထက် ပိုးချည်မျှင်များကို လွန်း အမြောက်အမြား အသုံးပြု၍ ရက်ကန်းစင်ပေါ်တွင် ကနုတ်ပုံဖော်သည့် "လွန်းတစ်ရာအချိတ်" အတတ်ပညာသည် ပိုမိုနက်ရှိုင်းသော မြန်မာ့ဒီဇိုင်းစစ်စစ်အဖြစ် ထွန်းကားခဲ့သည်။ အချိတ်ရက်ကန်းအတတ်ပညာ၏ အစောပိုင်းကာလကို အတိအကျ သတ်မှတ်ရန် ခဲယဉ်းသော်လည်း ရတနာပူရ [[အင်းဝမြို့|အင်းဝမြို့တော်]]နှင့် [[အမရပူရမြို့]]တို့တွင် ခရစ်နှစ် ၁၈ ရာစုကတည်းက စတင်အခြေတည်ခဲ့ကြောင်း အထောက်အထားများ ရှိသည်။<ref>{{cite book |last=သန်းထွန်း |title=မြန်မာ့သမိုင်းနိဒါန်း |year=၂၀၀၄ |publisher=ကံ့ကော်ဝတ်ရည်စာပေ |pages=၁၄၂-၁၄၅ |language=my}}</ref> [[File:Dancing girls.png|thumb|upright=1.2|၁၉ ရာစု ကုန်းဘောင်ခေတ်နှောင်း နန်းတွင်းပုရပိုက်ပန်းချီ။ အကပျိုဖြန်းများ ဝတ်ဆင်ထားသည့် ဆန်းပြားသော လွန်းတစ်ရာအချိတ်ထမိန်များကို တွေ့ရစဉ်]] အချိတ်အနုပညာသည် ၁၉ ရာစု [[မင်းတုန်းမင်း]]နှင့် [[သီပေါမင်း]]တို့ စိုးစံခဲ့သည့် ကုန်းဘောင်ခေတ်နှောင်းပိုင်း (ရတနာပုံခေတ်) တွင် အမြင့်မားဆုံး ထွန်းကားခဲ့သည်။ ထိုခေတ်တွင် အချိတ်အထည်များကို ဘုရင်နှင့် မိဖုရားတို့၏ တော်ဝင်အခွင့်အာဏာအဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ရာထူးဌာနန္တရအလိုက် ဝတ်ဆင်ရသည့် "ဒီဇိုင်းနှင့် ကနုတ်အရောင်" များကို စနစ်တကျ ပြဋ္ဌာန်းထားသည့် အမိန့်တော်များ ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။<ref>{{cite book |last=တင် |first=မှော်ဘီဆရာ |title=မြန်မာ့ဓလေ့ထုံးစံများနှင့် နန်းတွင်းရေးရာများ |year=၁၉၆၅ |publisher=သုဓမ္မဝတီစာပေ |pages=၁၁၂ |language=my}}</ref> နန်းတွင်းပုရပိုက်ပန်းချီများတွင် ဖော်ပြထားသည့်အတိုင်း နန်းတွင်းအမျိုးသမီးများနှင့် အကပျိုဖြန်းများသည် ရေလှိုင်းဒီဇိုင်းများ၊ မိုးတိမ်တောင်ကနုတ်များနှင့် ဒူးကွင်းပုံစံများ ပါဝင်သည့် လွန်းတစ်ရာအချိတ်ထမိန်များကို ဆင်ယင်ထုံးဖွဲ့ခဲ့ကြသည်။ ထိုခေတ်က အချိတ်စစ်စစ်များကို သဘာဝရွှေချည်၊ ငွေချည်များနှင့် ဟင်္သာပြဒါး၊ မဲနယ်တို့မှရသော သဘာဝဆိုးဆေးပိုးချည်များဖြင့်သာ သီးသန့်ရက်လုပ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{cite journal |last=Singer |first=Noel F. |title=Royal Dress: The Costume of the Court of Ava |date=1993 |journal=Arts of Asia |volume=23 |issue=5 |pages=74-83 |language=en}}</ref> [[File:Gentleman and servant.gif|thumb|160px|ဗြိတိသျှကိုလိုနီခေတ်ဦး ရေဆေးပန်းချီ။ လှိုင်းကြီးကနုတ်ပါ အချိတ်ပုဆိုးကို ဝတ်ဆင်ထားသည့် မြန်မာလူကုံထံအမျိုးသားတဦး]] ၁၈၈၅ ခုနှစ်တွင် မြန်မာ့ပဒေသရာဇ်စနစ် ချုပ်ငြိမ်းပြီး ဗြိတိသျှကိုလိုနီအုပ်ချုပ်မှုအောက် ရောက်ရှိသွားသောအခါ နန်းတွင်းအမိန့်တော် ကန့်သတ်ချက်များ ပျယ်ပြယ်သွားသဖြင့် အချိတ်အထည်များကို နန်းတွင်းအသိုင်းအဝိုင်းပြင်ပရှိ လူကုံထံများနှင့် စီးပွားရေးတတ်နိုင်သူများပါ ကျယ်ပြန့်စွာ ဝတ်ဆင်လာကြသည်။ ကိုလိုနီခေတ်ဦး ပန်းချီမှတ်တမ်းများအရ အမျိုးသားလူကုံထံများသည်လည်း ခန့်ညားထင်ရှားသော 'လှိုင်းကြီးကနုတ်' သို့မဟုတ် 'စင်္ကြာကွက်' အချိတ်ပုဆိုးများကို အဆင့်အတန်းပြသင်္ကေတအဖြစ် ဝတ်ဆင်ခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite book |last=Wright |first=Arnold |title=Twentieth Century Impressions of Burma |year=1910 |publisher=Lloyd's Greater Britain Publishing Co. |pages=230-234 |language=en}}</ref> သို့သော်လည်း ဥရောပမှ စက်ရက်အထည်များနှင့် အင်္ဂလိပ်ချိတ် (Manchester acheik) ဟုခေါ်သော အချိတ်တုများ ဈေးကွက်အတွင်း ဝင်ရောက်လာခြင်းကြောင့် ရိုးရာလက်ရက် လွန်းတစ်ရာလုပ်ငန်းများ ရေရှည်ရပ်တည်ရန် စိန်ခေါ်မှုများနှင့် ရင်ဆိုင်ခဲ့ရသည်။ [[File:Barack Obama and Aung San Suu Kyi September 2012.jpg|thumb|upright=1.1|left|၂၀၁၂ ခုနှစ် ဝါရှင်တန်ဒီစီတွင် တွေ့ရသော ဒေါ်အောင်ဆန်းစုကြည်။ အစိမ်းရင့်ရောင် အောက်ခံပေါ်တွင် ရိုးရာလှိုင်းကနုတ်များကို ခေတ်မီအရောင်ဖြင့် ဆန်းသစ်ထားသည့် ခေတ်ပြိုင်အချိတ်ကို ဝတ်ဆင်ထားပုံ]] ဒုတိယကမ္ဘာစစ်နှင့် လွတ်လပ်ရေးရပြီး ခေတ်ကာလများတွင် အမရပူရမြို့ရှိ ရက်ကန်းပညာရှင်များသည် လွန်းတစ်ရာအချိတ်ရိုးရာ မပျောက်ပျက်စေရန် နည်းစနစ်ဟောင်းများကို ခေတ်ပြိုင်ဒီဇိုင်း များဖြင့် ဆန်းသစ်ထုတ်လုပ်ခဲ့ကြသည်။ ခေတ်ပြိုင်မြန်မာ့နိုင်ငံရေးနှင့် သံတမန်ရေးရာ ကဏ္ဍများတွင်လည်း အချိတ်သည် မြန်မာ့ရိုးရာယဉ်ကျေးမှုကို ကမ္ဘာသို့ ထုတ်ဖော်ပြသရာ၌ အဓိကအခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော သမိုင်းဝင်ပုံရိပ်ဖြစ်သည့် ဒေါ်အောင်ဆန်းစုကြည်၏ ၂၀၁၂ ခုနှစ် အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု ခရီးစဉ်အတွင်း ဝတ်ဆင်ခဲ့သော အချိတ်ဝတ်စုံသည် ရိုးရာလှိုင်းကနုတ်များကို ခေတ်မီစိုပြေသော အရောင်အသွေးများဖြင့် ဆန်းသစ်တီထွင်ထားသည့် ခေတ်ပြိုင်အချိတ် ဖြစ်ပြီး မြန်မာ့ရိုးရာအထည်အလိပ် ဆန်းသစ်မှုကို ကမ္ဘာ့စင်မြင့်ထက်တွင် ထင်ဟပ်စေခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=ဒေါ်အောင်ဆန်းစုကြည်၏ အမေရိကန်ခရီးစဉ်နှင့် မြန်မာ့ဖက်ရှင်သံတမန်ရေး |work=မြန်မာတိုင်းမ်ဂျာနယ် |date=၂၁ စက်တင်ဘာ ၂၀၁၂ |location=ရန်ကုန် |language=my}}</ref> ယနေ့ခေတ်တွင် လွန်းတစ်ရာအချိတ်စစ်စစ်များသည် တန်ဖိုးကြီးမားလှသဖြင့် ၎င်းဒီဇိုင်းများကို အခြေခံထားသည့် စက်ရက်အချိတ်များနှင့် ပရင့်အချိတ်များကိုပါ မြန်မာ့လူထုအကြား နေ့စဉ်နှင့် ပွဲလမ်းသဘင်များတွင် ကျယ်ပြန့်စွာ ဆက်လက်ဝတ်ဆင်လျက် ရှိသည်။ == ကနုတ်များနှင့် ဒီဇိုင်းပုံစံများ == အချိတ်အထည်များ၏ ဒီဇိုင်းပုံစံများသည် မြန်မာ့ရိုးရာ ဒြပ်မဲ့ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်၊ နန်းတွင်းအနုပညာနှင့် သဘာဝပတ်ဝန်းကျင် ရှုခင်းများကို အခြေခံ၍ ပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ အချိတ်ကနုတ်တစ်ခုချင်းစီတွင် သတ်မှတ်ထားသော အမည်နာမများ၊ နက်ရှိုင်းသော သင်္ကေတများနှင့် လူမှုအဆင့်အတန်းပြ အနက်အဓိပ္ပာယ်များ ကိန်းအောင်းလျက်ရှိပြီး ကုန်းဘောင်ခေတ်ကတည်းက တော်ဝင်မင်းစိုးရာဇာများနှင့် အထက်တန်းလွှာများအကြား သီးသန့်ဝတ်ဆင်ရန် ကန့်သတ်သတ်မှတ်ထားခဲ့သည်။<ref>{{cite book |last=နုနုရီ |first=အမရပူရ |title=မြန်မာ့လွန်းတစ်ရာအချိတ် |year=၂၀၀၂ |publisher=ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာန |pages=၄၅-၅၂ |language=my}}</ref> အချိတ်ဒီဇိုင်းများ၏ အခြေခံအရိုးခံမှာ ဧရာဝတီမြစ်၏ လှိုင်းကယက်ပုံသဏ္ဌာန် "လှိုင်းကနုတ်" ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို အခြေခံ၍ ခေတ်အဆက်ဆက်တွင် ကနုတ်ပုံစံ အမျိုးကွဲပေါင်း ၆၀ ကျော်အထိ တိုးတက်ထွန်းကားလာခဲ့သည်။<ref>{{cite journal |last=Sylvia |first=Fraser-Lu |title=Ancient Acheik Textiles of Burma |date=Winter 1988 |journal=Arts of Asia |volume=18 |issue=1 |pages=၇၅-၇၈ |language=en}}</ref> === အဓိကထင်ရှားသော အချိတ်ကနုတ်ပုံစံများ === မဟာလတ်အချိတ်သည် ကုန်းဘောင်ခေတ်နှောင်းပိုင်းတွင် အဆင့်မြင့်ဆုံးနှင့် အနုစိတ်ဆုံးအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော တော်ဝင်နန်းတွင်းအချိတ် ကနုတ်ပုံစံ ဖြစ်သည်။ လှိုင်းတွန့်လိုင်းများအကြားတွင် သေးငယ်သော ပန်းပွင့်၊ ပန်းခက်များနှင့် နန်းတွင်းပန်းချီဒီဇိုင်းများကို စိတ်ရှည်စွာ ညှပ်၍ ရက်လုပ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |last=Fraser-Lu |first=Sylvia |title=Handwoven Textiles of South-East Asia |url=https://archive.org/details/handwoventextile0000fras |year=1988 |publisher=Oxford University Press |pages=၉၂ |language=en}}</ref> ကုမုဒြာအချိတ်သည် ညအခါတွင် လပြည့်ဝန်းနှင့်အတူ ပွင့်လေ့ရှိသည့် ကုမုဒြာကြာပန်း ပုံသဏ္ဌာန်ကို လှိုင်းကနုတ်များအကြား ပေါင်းစပ်ပုံဖော်ထားသည့် ရိုးရာဒီဇိုင်းဆန်း ဖြစ်သည်။ အေးချမ်းခြင်းနှင့် စင်ကြယ်ခြင်းကို ကိုယ်စားပြုသည်။ စင်္ကြာကွက်အချိတ်သည် ဗုဒ္ဓဘာသာအယူအဆလာ ဘီးစင်္ကြာပုံသဏ္ဌာန်နှင့် ရိုးရာလမင်းပုံစံ ကွက်လပ်များကို လှိုင်းကနုတ်အကြီးများအကြား စနစ်တကျ ကွက်စိပ်ချ၍ ရက်လုပ်ထားသော ကနုတ် ဖြစ်သည်။ ခန့်ညားထင်ရှားလှသဖြင့် ကိုလိုနီခေတ်ဦးပိုင်းက အမျိုးသားလူကုံထံများ အထူးနှစ်ခြိုက်စွာ ဆင်ယင်ခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite book |last=အုန်း |first=သန်း |title=မြန်မာ့ရိုးရာအထည်အလိပ်နှင့် ဝတ်စားဆင်ယင်မှုသမိုင်း |year=၂၀၁၂ |publisher=စာပေဗိမာန် |pages=၁၀၅-၁၀၈ |language=my}}</ref> ဒူးကွင်းအချိတ်သည် တော်ဝင်မင်းသမီးများနှင့် မှူးမတ်ကတော်များ ဝတ်ဆင်သည့် ထမိန်များတွင် အဓိကအသုံးပြုလေ့ရှိပြီး၊ ဝတ်ဆင်လိုက်သည့်အခါ ဒူးဆစ်နေရာတွင် ကနုတ်ကွက်ကြီးများ ကွင်းပုံသဏ္ဌာန် ထင်ရှားစွာ ပေါ်လွင်နေအောင် ဒီဇိုင်းထုတ်ထားသည့် ရိုးရာအဆင် ဖြစ်သည်။ ပန်းထိုင်အချိတ်သည် အောက်ခံလှိုင်းကနုတ်များအပေါ်တွင် ပန်းအိုး သို့မဟုတ် ပန်းပွင့်ချပ်ကြီးများ သီးသန့်ထိုင်နေသည့် ပုံစံမျိုး ထည့်သွင်းရက်လုပ်ထားသော ခေတ်လယ်အချိတ်ဒီဇိုင်း ဖြစ်သည်။ === အရောင်အသွေးဆိုင်ရာ သင်္ကေတများ === ရိုးရာအချိတ်ဒီဇိုင်းများတွင် ကနုတ်ပုံစံသာမက အရောင်အသွေး ရွေးချယ်မှုသည်လည်း ဝတ်ဆင်သူ၏ အဆင့်အတန်းနှင့် အခမ်းအနားအလိုက် အလွန်အရေးပါလှသည်။ နန်းတွင်းခေတ်က အဝါရောင် (ရွှေရောင်) ကို ဘုရင်နှင့် မိဖုရားကြီးများသာ သီးသန့်ဝတ်ဆင်ခွင့်ရှိပြီး၊ သွေးရောင်နှင့် ဟင်္သာပြဒါးရောင် (အနီရင့်) ကို အောင်ပွဲနှင့် မင်္ဂလာအခမ်းအနားများတွင်လည်းကောင်း၊ မဲနယ်ရောင် (အပြာရင့်) နှင့် ခရမ်းရောင်ကို ခန့်ညားသော ပွဲတက်အခမ်းအနားများတွင်လည်းကောင်း ခွဲခြားအသုံးပြုခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite journal |last=Singer |first=Noel F. |title=Royal Dress: The Costume of the Court of Ava |date=1993 |journal=Arts of Asia |volume=23 |issue=5 |pages=၇၈ |language=en}}</ref> ယနေ့ခေတ် ခေတ်ပြိုင်ဖက်ရှင်လောကတွင်မူ ရိုးရာအချိတ်ကနုတ်များကို မူလလက်ရာမပျက်စေဘဲ ပိုမိုနုပျိုစိုပြေသော ပက်စတယ်ရောင် များ၊ အစိမ်းနုရောင်များနှင့် ပေါင်းစပ်ကာ ခေတ်မီဆန်းသစ်သော အချိတ်ဒီဇိုင်းများအဖြစ် တိုးတက်ပြောင်းလဲ တီထွင်လျက် ရှိသည်။ == ယဉ်ကျေးမှုနှင့် ဒေသများ == အချိတ်အထည်များသည် မြန်မာ့ပထဝီဝင်နှင့် ယဉ်ကျေးမှုနယ်ပယ်အသီးသီးတွင် ဒေသအလိုက် ကွဲပြားသော အခန်းကဏ္ဍများဖြင့် ထွန်းကားခဲ့သည်။ အစောပိုင်းတွင် မန္တလေးဒေသရှိ နန်းတွင်းဗဟိုပြု ယဉ်ကျေးမှုအဖြစ် တည်ရှိခဲ့သော်လည်း နောက်ပိုင်းတွင် ကုန်သွယ်ရေးနှင့် လူမျိုးစုဓလေ့များအရ အခြားဒေသများသို့ပါ ပျံ့နှံ့ကူးစက်သွားခဲ့သည်။ === အမရပူရနှင့် ဆောင်းဒါးရက်ကန်းသိပ္ပံ (အထက်မြန်မာပြည် ယဉ်ကျေးမှု) === မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၊ [[အမရပူရမြို့]]သည် ကုန်းဘောင်ခေတ်ကတည်းက ယနေ့တိုင် မြန်မာ့လွန်းတစ်ရာအချိတ်ရိုးရာ၏ အဓိကအချက်အချာ အမွေအနှစ်ဒေသ ဖြစ်သည်။ အမရပူရရှိ ရက်ကန်းရွာများသည် တော်ဝင်နန်းတွင်းသုံး အချိတ်ဒီဇိုင်းများကို အဓိကထုတ်လုပ်ပေးခဲ့ရာ အရပ်ဖြစ်သည်။ ခရစ်နှစ် ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် အင်္ဂလိပ်အစိုးရက အမရပူရမြို့၌ "ဆောင်းဒါးရက်ကန်းကျောင်း" (ယခု ဆောင်းဒါးရက်ကန်းနှင့် အထည်အလိပ်သိပ္ပံ) ကို တည်ထောင်ခဲ့ပြီးနောက် မြန်မာ့ရိုးရာ လွန်းတစ်ရာအချိတ်ရက်လုပ်နည်း အတတ်ပညာကို စနစ်တကျ မှတ်တမ်းတင် ထိန်းသိမ်းသင်ကြားပေးနိုင်ခဲ့သဖြင့် အမရပူရသည် ပါရမီရှင်ရက်ကန်းပညာရှင်များ မွေးထုတ်ရာ ဗဟိုချက် ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref>{{cite book |last=ဘုန်းမြင့် |first=ထွန်း |title=အမရပူရရိုးရာရက်ကန်းနှင့် ဆောင်းဒါးသမိုင်း |year=၂၀၁၅ |publisher=မြန်မာ့ရတနာစာပေ |pages=၄၅-၅၂ |language=my}}</ref> === တနင်္သာရီနှင့် အောက်မြန်မာပြည် ကုန်သွယ်ရေးယဉ်ကျေးမှု === မြန်မာနိုင်ငံအောက်ပိုင်း တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးရှိ [[မြိတ်မြို့]]နှင့် [[ထားဝယ်မြို့]]တို့သည် အနောက်ဘက် အိန္ဒိယသမုဒ္ဒရာနှင့် တောင်ဘက် မလေးကျွန်းစုတို့နှင့် ရေကြောင်းကုန်သွယ်မှု အချက်အချာကျသော ဒေသများ ဖြစ်ကြသည်။ ဤဒေသများတွင် ပိုးချည်မျှင်များကို အင်ဒိုနီးရှားနှင့် မလေးရှားတို့မှ တင်သွင်းပြီး အမရပူရစတိုင် အချိတ်ကနုတ်များကို ဒေသတွင်း ပထဝီဝင်နှင့် လိုက်လျောညီထွေဖြစ်သော အဝတ်အထည်များအဖြစ် ပြန်လည်ဆန်းသစ် ရက်လုပ်ခဲ့ကြသည်။ ထို့ပြင် မြိတ်နှင့် ထားဝယ်ရိုးရာ အထည်ဒီဇိုင်းအချို့တွင် အချိတ်ကနုတ်များနှင့် ပါတိတ် အနုပညာ ပေါင်းစပ်မှုများကိုပါ တွေ့ရှိရသဖြင့် အောက်မြန်မာပြည်၏ အချိတ်ယဉ်ကျေးမှုသည် ပင်လယ်ရေကြောင်း ကုန်သွယ်ရေးနှင့် ပိုမိုဆက်စပ်နေသည်။<ref>{{cite journal |last=Howard |first=Michael C. |title=Textiles of the Dawei and Myeik Regions of Myanmar |date=2002 |journal=Journal of the Siam Society |volume=90 |issue=1 |pages=115-128 |language=en}}</ref> === လူမျိုးစုယဉ်ကျေးမှုများနှင့် အချိတ်အသွင်ကူးပြောင်းမှု === အချိတ်ဒီဇိုင်းများသည် ဗမာလူမျိုးများသာမက အခြားသော မြန်မာ့တိုင်းရင်းသား လူမျိုးစုများ၏ ဝတ်စားဆင်ယင်မှု ယဉ်ကျေးမှုအပေါ်တွင်လည်း များစွာလွှမ်းမိုးခဲ့သည်။ မွန်လူမျိုးတို့၏ ပွဲနေပွဲထိုင် ဝတ်စုံများတွင် မွန်ရိုးရာကျိုင်းကနုတ်များနှင့်အတူ အမရပူရထုတ် လွန်းတစ်ရာအချိတ်များကို တွဲဖက်ဝတ်ဆင်ခြင်းဖြင့် တင့်တယ်ကျော့ရှင်းမှုကို ဖော်ဆောင်လေ့ရှိသည်။<ref>{{cite book |last=မင်းနိုင် |title=မြန်မာ့တိုင်းရင်းသားရိုးရာ ဆင်ယင်ထုံးဖွဲ့မှုများ |year=၁၉၈၀ |publisher=စာပေဗိမာန် |pages=၆၇ |language=my}}</ref> ရခိုင်ပြည်နယ်တွင် တော်ဝင်ဓညဝတီနှင့် မြောက်ဦးခေတ်ကတည်းက ကိုယ်ပိုင်ရက်ကန်းယဉ်ကျေးမှု ရှိခဲ့သော်လည်း၊ ကုန်းဘောင်ခေတ်နောက်ပိုင်းတွင် ဗမာ့နန်းတွင်းအချိတ်ဒီဇိုင်းများကို အခြေခံကာ ရခိုင်ရိုးရာ "လိပ်ပြာကွက်"၊ "စိန်ကွက်" စသည့် ကနုတ်များဖြင့် ပေါင်းစပ်ပြီး "ရခိုင်အချိတ်" ဟုခေါ်သော ကိုယ်ပိုင်ထူးခြားသည့် ရက်ကန်းအနုပညာကို [[စစ်တွေမြို့]]နှင့် [[ဝါးခယ်မမြို့]] (ဧရာဝတီတိုင်းရှိ ရခိုင်ရက်ကန်းစုရပ်) တို့တွင် ထွန်းကားစေခဲ့သည်။<ref>{{cite book |last=ဦးကျော်မင်း |title=ရခိုင်ရိုးရာအထည်အလိပ်များနှင့် ရက်ကန်းအတတ် |year=၂၀၁၈ |publisher=ရခိုင်ယဉ်ကျေးမှုအဖွဲ့ |pages=၈၈-၉၃ |language=my}}</ref>ဇင်းမယ်(ချင်းမိုင်) တော်ဝင်နန်းတွင်းအမျိုးသမီးများသည်လည်း မြန်မာ့နန်းတွင်းမှ တင်သွင်းသော တန်ဖိုးကြီး လွန်းတစ်ရာအချိတ်ထမိန်များကို ဂုဏ်သရေရှိ အဆင့်မြင့်ဝတ်စုံအဖြစ် ဆင်ယင်ခဲ့ကြသဖြင့် ဇင်းမယ်သည် အချိတ်ယဉ်ကျေးမှု ပျံ့နှံ့ရာ ထင်ရှားသော နယ်စပ်ဒေသတစ်ခု ဖြစ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite book |last=မြတ်စု |title=မြန်မာ-ဇင်းမယ် ယဉ်ကျေးမှုနှီးနွှယ်မှုသမိုင်း |year=၂၀၁၉ |publisher=သီရိဆွေစာပေ |pages=၈၂-၈၅ |language=my}}</ref> ရှမ်းစော်ဘွားများသည်လည်း မန္တလေးနှင့် အမရပူရ နန်းတွင်းအသိုင်းအဝိုင်းနှင့် သံတမန်ရေးရာ ကူးလူးဆက်ဆံမှုများမှတစ်ဆင့် "လွန်းတစ်ရာအချိတ်" အထည်များသည် ရှမ်းပဒေသရာဇ် အသိုင်းအဝိုင်းအတွင်းသို့ စတင်ဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။<ref>{{cite book |last=Conway |first=Susan |title=The Shan: Culture, Art and Crafts |url=https://archive.org/details/shancultureartcr0000conw |year=2006 |publisher=River Books |isbn=978-9749863060 |pages=၁၂၀-၁၂၅ |language=en}}</ref>ရှမ်းစော်ဘွားများ၊ မဟာဒေဝီများနှင့် နန်းတွင်းအမျိုးသမီးများသည် အမရပူရမြို့မှ ထွက်ရှိသော အဆင့်မြင့် လွန်းတစ်ရာအချိတ်များကို ဘုရင့်နန်းတော်တက် အခမ်းအနားများနှင့် ရိုးရာပွဲလမ်းသဘင်များတွင် ဂုဏ်သရေပြသင်္ကေတအဖြစ် အမြတ်တနိုး ဆင်ယင်ဝတ်ဆင်ခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite book |last=မိုးဟိန်း |first=သီပေါ |title=ရှမ်းစော်ဘွားများသမိုင်းနှင့် နန်းတွင်းဝတ်စုံဆင်ယင်ထုံးဖွဲ့မှု |year=၂၀၁၉ |publisher=သီရိစာပေ |pages=၈၄-၈၉ |language=my}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} gq6zhabo7lwrleeqcm442r2hkzif9xo 0 287821 1049472 1040534 2026-08-19T21:33:12Z Mkant00 135890 expansion 1049472 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} <math>F</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) သို့မဟုတ် [[အစားကွင်း]] (division ring) တစ်ခုဖြစ်လျှင် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) ဆိုသည်မှာ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[မော်ဂျူး]] (module) တစ်ခုနှင့် အတိအကျ ထပ်တူညီသည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ပုံသေမှတ်ယူထားသောအခါ ၎င်း၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] (elements) ကို ဗက်တာများ (vectors) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ <math>F</math> ဖီးလ်ဒ်ကို ဗက်တာရပ်ဝန်း၏ အခြေခံ ဖီးလ်ဒ် (base field) သို့မဟုတ် အောက်ခြေ ဖီးလ်ဒ် (ground field) ဟူ၍ ရည်ညွှန်းပြီး ၎င်း၏ အစုဝင်များကို [[စကေလာ|စကေလာများ]] (scalars) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တစ်ခါတစ်ရံတွင် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းကို <math>F</math>-မျဉ်းဖြောင့် ရပ်ဝန်း (linear space) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ ဤအသုံးအနှုန်းကို <math>F</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (linear map) ဟူသော ဝေါဟာရနှင့် နှိုင်းယှဉ်လေ့လာနိုင်သည်။ အကယ်၍ <math>F</math> သည် အစားကွင်း တစ်ခုသာ ဖြစ်ခဲ့လျှင် [[မော်ဂျူးများ_ကတ်တဂိုရီ#ဘယ်_(သို့မဟုတ်_ညာ)_မော်ဂျူးများ_ကတ်တဂိုရီ_(Category_of_Left_or_Right_Modules)|ဘယ်မော်ဂျူး]] (left module) အခြေခံဖြစ်သော ဘယ် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (left vector spaces) နှင့် [[မော်ဂျူးများ_ကတ်တဂိုရီ#ဘယ်_(သို့မဟုတ်_ညာ)_မော်ဂျူးများ_ကတ်တဂိုရီ_(Category_of_Left_or_Right_Modules)|ညာမော်ဂျူး]] (right module) အခြေခံဖြစ်သော ညာ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (right vector spaces) ကို ဂရုတစိုက် ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၏ ကတ်တဂိုရီ (category) ကို ယေဘုယျအားဖြင့် <math>Vect</math> ဟု သင်္ကေတပြုလေ့ရှိသည်။ အကယ်၍ အောက်ခြေ ဖီးလ်ဒ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> ကို ထင်ရှားစွာ ဖော်ပြလိုပါက <math>Vect_F</math> ဟု ရေးသား၍ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။ <math>Vect_F := FMod</math> [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ဤကတ်တဂိုရီတွင်]] <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် ထားရှိပြီး ၎င်းတို့ကြားရှိ <math>F</math>-မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းကို စုံတွဲ <math>(V, \lambda)</math> အဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်ပြီး အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ * <math>V</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှု (addition operation) အောက်တွင် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) ဖြစ်သည်။ * <math>\lambda: F \to \text{End}(V)</math> သည် [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (ring homomorphism) ဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ်များ (two-sided ideals) မှာ <math>(0)</math> နှင့် <math>F</math> တို့သာ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုမှ ထွက်ပေါ်လာသော မည်သည့် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် သုည ပုံဖော်မှု (zero map) သို့မဟုတ် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု]] (injective mapping) တစ်ခုခုသာ ဖြစ်ရမည်။ <math>V</math> သည် အသေးအဖွဲ (trivial) မဟုတ်သော ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>V \neq \{0\}</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆမည်။ ထို့အပြင် ၎င်းဗက်တာရပ်ဝန်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital) ပြည့်စုံပြီး <math>\lambda(1_F) = \text{id}_V</math> ဖြစ်သည်ဟု မှတ်ယူမည်။ ထိုအခြေအနေများအောက်တွင် ပုံဖော်မှု <math>\lambda</math> သည် တိကျစွာ အင်ဂျက်တစ် (strictly injective) ဖြစ်သည်။ ဤသို့ အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်မှုက ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> ၏ မိတ္တူတစ်ခုကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>V</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] ကွင်း (endomorphism ring) ထဲသို့ တိုက်ရိုက် ထည့်သွင်းပေးလိုက်သည်။ == မော်ဂျူးများနှင့် ထပ်တူညီမှု (Equivalence to Modules) == [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>R=F</math> ဖြစ်သောအခါ <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]] <math>M</math> ၏ အဆင့် (rank) သည် <math>M</math> အား <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသော ဗက်တာရပ်ဝန်းအဖြစ် ရှုမြင်ရာတွင်ရှိသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) နှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည် (equivalent)။ ထို့အပြင် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> တစ်ခုတည်းအပေါ်တွင် အခြေခံထားသော မည်သည့် အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းမဆိုသည် အခြားသော အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းများနှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်]] (isomorphic)။ == ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများ (Field Extensions as Vector Spaces) == အကယ်၍ <math>K</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> ၏ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) တစ်ခုဖြစ်ခဲ့လျှင် ၎င်းကို <math>K/F</math> ဟု သင်္ကေတပြုလေ့ရှိသည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>K</math> အတွင်း သတ်မှတ်ထားသော ဖီးလ်ဒ်မြှောက်ခြင်းက <math>K</math> အား <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် အလိုအလျောက် ဖြစ်စေသည်။ ဤအချက်၏ တိုက်ရိုက်အကျိုးဆက်အနေဖြင့် မည်သည့် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> ကိုမဆို ၎င်း၏ သုဒ္ဓ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (prime subfield) အပေါ်အခြေခံသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဝိသေသတန်ဖိုး (characteristic) သုညဖြစ်သော မည်သည့်ဖီးလ်ဒ်မဆိုသည် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] (rational numbers) အစု <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်အခြေခံသော ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>K</math> ၏ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]ကို ဖီးလ်ဒ်တိုးချဲ့ခြင်း၏ ဒီဂရီ (degree) သို့မဟုတ် နှိုင်းရဒီဂရီဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>[K : F]</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုသည်။ ၎င်းဗက်တာရပ်ဝန်း၏ အတိုင်းအတာသည် အဆုံးရှိ (finite) ဖြစ်နေပါက အဆိုပါ ဖီးလ်ဒ်တိုးချဲ့ခြင်းကို အဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက် (finite extension) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ == အသွင်ပြောင်းခြင်းများ၊ ကိန်းအုံများနှင့် ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်းများ (Transformations, Matrices, and Polynomial Rings) == [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အပေါ်အခြေခံထားသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] <math>n</math> ရှိသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်ဆီသို့ သက်ရောက်သော မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (linear transformations) အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် သီးခြား ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ထိုဗက်တာရပ်ဝန်း၏ အတိုင်းအတာသည် <math>n^2</math> ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ကို ၎င်းအပေါ်သက်ရောက်သော ပုံသေ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း <math>T</math> တစ်ခုနှင့် တွဲဖက်လိုက်သောအခါ ၎င်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) <math>F[x]</math> အပေါ်အခြေခံသော [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုနှင့် ထပ်တူညီသည်။ ဤနေရာတွင် အစုဝင် <math>x</math> သည် ဗက်တာရပ်ဝန်းအပေါ်သို့ <math>T</math> အား သက်ရောက်စေခြင်းဖြင့် အလုပ်လုပ်သည်။ အကယ်၍ <math>M</math> သည် အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (field of fractions) <math>F</math> ပါရှိသော အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (integral domain) <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပါက တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (tensor product) ပြုလုပ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>F \otimes_R M</math> ၏ <math>F</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာသည် မော်ဂျူး <math>M</math> ၏ အဆင့်နှင့် ညီမျှသည်။ == ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု သီအိုရီနှင့် အုပ်စု ကွင်းများ (Representation Theory and Group Rings) == [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသော အဆုံးရှိ[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite group) <math>G</math> တစ်ခု၏ အုပ်စု [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (group ring) <math>FG</math> သည် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတွင် အုပ်စု <math>G</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အခြေအစု (basis) အဖြစ် ဆောင်ရွက်ကြသည်။ ၎င်းဗက်တာရပ်ဝန်း၏ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သည် အုပ်စု၏ အစီအစဉ် <math>|G|</math> နှင့် တူညီသည်။ အဆုံးရှိအုပ်စု <math>G</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (linear representation) ဆိုသည်မှာ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (homomorphism) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အုပ်စု <math>G</math> မှ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ ပါဝင်သည့် ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု (general linear group) <math>GL(V)</math> အတွင်းသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ပေါ်တွင် အုပ်စု <math>G</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတစ်ခု သတ်မှတ်ပေးခြင်းသည် <math>V</math> အား <math>FG</math>-မော်ဂျူး (<math>FG</math>-module) တစ်ခုအဖြစ် ပြုလုပ်ခြင်းနှင့် အတိအကျ ထပ်တူညီသည်။ <math>V</math> ၏ <math>FG</math>-မော်ဂျူးပိုင်း (<math>FG</math>-submodule) များသည် <math>V</math> ၏ <math>G</math>-မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (<math>G</math>-invariant) ပြည့်စုံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်း (vector subspace) များပင် ဖြစ်ကြသည်။ == အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Algebraic Geometry and Topology) == အဖိုင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (affine algebraic geometry) တွင် အမှတ် <math>v</math> ၌ရှိသော အဖိုင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေစု (affine variety) <math>V</math> ၏ ထိမျဉ်းရပ်ဝန်း (tangent space) <math>T_{v,V}</math> ကို ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၏ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် <math>k^n</math> ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အမှတ် <math>v</math> ၌ရှိသော ထိမျဉ်းရပ်ဝန်းကို စားလဒ် (quotient) <math>\mathfrak{m}_{v,V} / \mathfrak{m}_{v,V}^2</math> ၏ ဒွန်တွဲ ဗက်တာရပ်ဝန်း (dual vector space) အဖြစ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ ထိုညီမျှခြင်းတွင် <math>\mathfrak{m}_{v,V}</math> သည် အမှတ် <math>v</math> ၌ရှိသော ဒေသအလိုက် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (local ring) ၏ အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ် (maximal ideal) ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |author=nLab authors |title=vector space |date=June 2026 |edition=Revision 42 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/vector+space |access-date=2026-06-12}} * {{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004}} [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] d1vuqsixca3d56vo1x6y0dkhikfrttb 1049473 1049472 2026-08-19T21:39:16Z Mkant00 135890 1049473 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} <math>F</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) သို့မဟုတ် [[အစားကွင်း]] (division ring) တစ်ခုဖြစ်လျှင် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) ဆိုသည်မှာ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[မော်ဂျူး]] (module) တစ်ခုနှင့် အတိအကျ ထပ်တူညီသည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ပုံသေမှတ်ယူထားသောအခါ ၎င်း၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] (elements) ကို [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]] (vectors) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ <math>F</math> ဖီးလ်ဒ်ကို ဗက်တာရပ်ဝန်း၏ အခြေခံ ဖီးလ်ဒ် (base field) သို့မဟုတ် အောက်ခြေ ဖီးလ်ဒ် (ground field) ဟူ၍ ရည်ညွှန်းပြီး ၎င်း၏ အစုဝင်များကို [[စကေလာ|စကေလာများ]] (scalars) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တစ်ခါတစ်ရံတွင် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းကို <math>F</math>-မျဉ်းဖြောင့် ရပ်ဝန်း (linear space) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ ဤအသုံးအနှုန်းကို <math>F</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (linear map) ဟူသော ဝေါဟာရနှင့် နှိုင်းယှဉ်လေ့လာနိုင်သည်။ အကယ်၍ <math>F</math> သည် အစားကွင်း တစ်ခုသာ ဖြစ်ခဲ့လျှင် [[မော်ဂျူးများ_ကတ်တဂိုရီ#ဘယ်_(သို့မဟုတ်_ညာ)_မော်ဂျူးများ_ကတ်တဂိုရီ_(Category_of_Left_or_Right_Modules)|ဘယ်မော်ဂျူး]] (left module) အခြေခံဖြစ်သော ဘယ် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (left vector spaces) နှင့် [[မော်ဂျူးများ_ကတ်တဂိုရီ#ဘယ်_(သို့မဟုတ်_ညာ)_မော်ဂျူးများ_ကတ်တဂိုရီ_(Category_of_Left_or_Right_Modules)|ညာမော်ဂျူး]] (right module) အခြေခံဖြစ်သော ညာ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (right vector spaces) ကို ဂရုတစိုက် ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၏ ကတ်တဂိုရီ (category) ကို ယေဘုယျအားဖြင့် <math>Vect</math> ဟု သင်္ကေတပြုလေ့ရှိသည်။ အကယ်၍ အောက်ခြေ ဖီးလ်ဒ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> ကို ထင်ရှားစွာ ဖော်ပြလိုပါက <math>Vect_F</math> ဟု ရေးသား၍ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။ <math>Vect_F := FMod</math> [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ဤကတ်တဂိုရီတွင်]] <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် ထားရှိပြီး ၎င်းတို့ကြားရှိ <math>F</math>-မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းကို စုံတွဲ <math>(V, \lambda)</math> အဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်ပြီး အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ * <math>V</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှု (addition operation) အောက်တွင် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) ဖြစ်သည်။ * <math>\lambda: F \to \text{End}(V)</math> သည် [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (ring homomorphism) ဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ်များ (two-sided ideals) မှာ <math>(0)</math> နှင့် <math>F</math> တို့သာ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုမှ ထွက်ပေါ်လာသော မည်သည့် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် သုည ပုံဖော်မှု (zero map) သို့မဟုတ် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု]] (injective mapping) တစ်ခုခုသာ ဖြစ်ရမည်။ <math>V</math> သည် အသေးအဖွဲ (trivial) မဟုတ်သော ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>V \neq \{0\}</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆမည်။ ထို့အပြင် ၎င်းဗက်တာရပ်ဝန်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital) ပြည့်စုံပြီး <math>\lambda(1_F) = \text{id}_V</math> ဖြစ်သည်ဟု မှတ်ယူမည်။ ထိုအခြေအနေများအောက်တွင် ပုံဖော်မှု <math>\lambda</math> သည် တိကျစွာ အင်ဂျက်တစ် (strictly injective) ဖြစ်သည်။ ဤသို့ အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်မှုက ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> ၏ မိတ္တူတစ်ခုကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>V</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] ကွင်း (endomorphism ring) ထဲသို့ တိုက်ရိုက် ထည့်သွင်းပေးလိုက်သည်။ == မော်ဂျူးများနှင့် ထပ်တူညီမှု (Equivalence to Modules) == [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>R=F</math> ဖြစ်သောအခါ <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]] <math>M</math> ၏ အဆင့် (rank) သည် <math>M</math> အား <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသော ဗက်တာရပ်ဝန်းအဖြစ် ရှုမြင်ရာတွင်ရှိသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) နှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည် (equivalent)။ ထို့အပြင် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> တစ်ခုတည်းအပေါ်တွင် အခြေခံထားသော မည်သည့် အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းမဆိုသည် အခြားသော အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းများနှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်]] (isomorphic)။ == ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများ (Field Extensions as Vector Spaces) == အကယ်၍ <math>K</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> ၏ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) တစ်ခုဖြစ်ခဲ့လျှင် ၎င်းကို <math>K/F</math> ဟု သင်္ကေတပြုလေ့ရှိသည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>K</math> အတွင်း သတ်မှတ်ထားသော ဖီးလ်ဒ်မြှောက်ခြင်းက <math>K</math> အား <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် အလိုအလျောက် ဖြစ်စေသည်။ ဤအချက်၏ တိုက်ရိုက်အကျိုးဆက်အနေဖြင့် မည်သည့် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> ကိုမဆို ၎င်း၏ သုဒ္ဓ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (prime subfield) အပေါ်အခြေခံသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဝိသေသတန်ဖိုး (characteristic) သုညဖြစ်သော မည်သည့်ဖီးလ်ဒ်မဆိုသည် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] (rational numbers) အစု <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်အခြေခံသော ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>K</math> ၏ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]ကို ဖီးလ်ဒ်တိုးချဲ့ခြင်း၏ ဒီဂရီ (degree) သို့မဟုတ် နှိုင်းရဒီဂရီဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>[K : F]</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုသည်။ ၎င်းဗက်တာရပ်ဝန်း၏ အတိုင်းအတာသည် အဆုံးရှိ (finite) ဖြစ်နေပါက အဆိုပါ ဖီးလ်ဒ်တိုးချဲ့ခြင်းကို အဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက် (finite extension) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ == အသွင်ပြောင်းခြင်းများ၊ ကိန်းအုံများနှင့် ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်းများ (Transformations, Matrices, and Polynomial Rings) == [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အပေါ်အခြေခံထားသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] <math>n</math> ရှိသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်ဆီသို့ သက်ရောက်သော မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (linear transformations) အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် သီးခြား ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ထိုဗက်တာရပ်ဝန်း၏ အတိုင်းအတာသည် <math>n^2</math> ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ကို ၎င်းအပေါ်သက်ရောက်သော ပုံသေ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း <math>T</math> တစ်ခုနှင့် တွဲဖက်လိုက်သောအခါ ၎င်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) <math>F[x]</math> အပေါ်အခြေခံသော [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုနှင့် ထပ်တူညီသည်။ ဤနေရာတွင် အစုဝင် <math>x</math> သည် ဗက်တာရပ်ဝန်းအပေါ်သို့ <math>T</math> အား သက်ရောက်စေခြင်းဖြင့် အလုပ်လုပ်သည်။ အကယ်၍ <math>M</math> သည် အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (field of fractions) <math>F</math> ပါရှိသော အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (integral domain) <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပါက တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (tensor product) ပြုလုပ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>F \otimes_R M</math> ၏ <math>F</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာသည် မော်ဂျူး <math>M</math> ၏ အဆင့်နှင့် ညီမျှသည်။ == ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု သီအိုရီနှင့် အုပ်စု ကွင်းများ (Representation Theory and Group Rings) == [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသော အဆုံးရှိ[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite group) <math>G</math> တစ်ခု၏ အုပ်စု [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (group ring) <math>FG</math> သည် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတွင် အုပ်စု <math>G</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အခြေအစု (basis) အဖြစ် ဆောင်ရွက်ကြသည်။ ၎င်းဗက်တာရပ်ဝန်း၏ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သည် အုပ်စု၏ အစီအစဉ် <math>|G|</math> နှင့် တူညီသည်။ အဆုံးရှိအုပ်စု <math>G</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (linear representation) ဆိုသည်မှာ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (homomorphism) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အုပ်စု <math>G</math> မှ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ ပါဝင်သည့် ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု (general linear group) <math>GL(V)</math> အတွင်းသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ပေါ်တွင် အုပ်စု <math>G</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတစ်ခု သတ်မှတ်ပေးခြင်းသည် <math>V</math> အား <math>FG</math>-မော်ဂျူး (<math>FG</math>-module) တစ်ခုအဖြစ် ပြုလုပ်ခြင်းနှင့် အတိအကျ ထပ်တူညီသည်။ <math>V</math> ၏ <math>FG</math>-မော်ဂျူးပိုင်း (<math>FG</math>-submodule) များသည် <math>V</math> ၏ <math>G</math>-မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (<math>G</math>-invariant) ပြည့်စုံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်း (vector subspace) များပင် ဖြစ်ကြသည်။ == အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Algebraic Geometry and Topology) == အဖိုင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (affine algebraic geometry) တွင် အမှတ် <math>v</math> ၌ရှိသော အဖိုင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေစု (affine variety) <math>V</math> ၏ ထိမျဉ်းရပ်ဝန်း (tangent space) <math>T_{v,V}</math> ကို ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၏ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် <math>k^n</math> ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အမှတ် <math>v</math> ၌ရှိသော ထိမျဉ်းရပ်ဝန်းကို စားလဒ် (quotient) <math>\mathfrak{m}_{v,V} / \mathfrak{m}_{v,V}^2</math> ၏ ဒွန်တွဲ ဗက်တာရပ်ဝန်း (dual vector space) အဖြစ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ ထိုညီမျှခြင်းတွင် <math>\mathfrak{m}_{v,V}</math> သည် အမှတ် <math>v</math> ၌ရှိသော ဒေသအလိုက် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (local ring) ၏ အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ် (maximal ideal) ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |author=nLab authors |title=vector space |date=June 2026 |edition=Revision 42 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/vector+space |access-date=2026-06-12}} * {{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004}} [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] cop5k10bi9b2r42xca4outa4bkkbp20 0 287823 1049430 1040025 2026-08-19T15:05:52Z Mkant00 135890 category adjustment 1049430 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် ဖီးလ်ဒ် (field) သည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ရှိ အခြေခံ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures) အနက်မှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ်သည် အပေါင်း၊ အနုတ်၊ အမြှောက်နှင့် စားခြင်း (သုညဖြင့်စားခြင်းမှလွဲ၍) စသည့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ (binary operations) ကို လုပ်ဆောင်နိုင်သော [[အစု]]တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပိုမိုတိကျစွာဆိုရသော် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုဆိုသည်မှာ သုညမဟုတ်သော အစုဝင်များက မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုအောက်တွင် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) အဖြစ် တည်ရှိနေသော [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) တစ်ခုဖြစ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်း (History) == ဖီးလ်ဒ်သီအိုရီသည် ၁၉ ရာစုတစ်လျှောက်လုံးတွင် [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုသီအိုရီ]]၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းသီအိုရီ]] (ring theory) နှင့် မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (linear algebra) တို့နှင့်အပြိုင် ဆက်စပ်ဖွံ့ဖြိုးလာခဲ့သည်။ ထိုခေတ်မတိုင်မီအထိ အက္ခရာသင်္ချာဟူသည်မှာ ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) နှင့် ၎င်းတို့၏ အဖြေရှာခြင်း သီအိုရီအဖြစ်သာ အများစုက သတ်မှတ်ထားကြသည်။ ထိုအခြေအနေတွင် နီးလ် အာဘဲလ် (Niels Abel) နှင့် အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) တို့၏ လုပ်ဆောင်ချက်များမှတစ်ဆင့် ဖီးလ်ဒ်သီအိုရီ၏ ပထမဆုံး သဘောတရားများ ထွက်ပေါ်လာခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က ဖီးလ်ဒ်၏ တည်ဆောက်ပုံကို တိကျစွာ ခွဲခြားသတ်မှတ်ထားခြင်း မရှိသေးပေ။ ဂယ်လ်ဝါသည် အက္ခရာသင်္ချာ အစုဝင်များကို ပေါင်းထည့်ခြင်းအကြောင်းကို ပထမဆုံး ဆွေးနွေးခဲ့ပြီး ပရစ်မစ်တစ် အစုဝင် သီအိုရမ် (primitive element theorem) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ ဂဏန်းသင်္ချာ ပြဿနာများကြောင့် ကိန်းရင်းများ (algebraic numbers) ကို လေ့လာမှုများ အားကောင်းလာသောအခါ ကိန်းပြည့်ရင်းများ (algebraic integers) နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (unital rings) အယူအဆများနှင့်အတူ ဖီးလ်ဒ်၏ တည်ဆောက်ပုံကို တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုရန် လိုအပ်လာသည်။ ဤအခြေအနေတွင် လီယိုပို ကရိုနက်ကာ (Leopold Kronecker) နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) တို့က ဖီးလ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ဖီးလ်ဒ်နှင့် ပတ်သက်သော မူလသဘောတရားကို ၁၈၇၁ ခုနှစ်တွင် ဂူစတပ်ဖ် လီဂျွန်း ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး (Gustav Lejeune Dirichlet) နှင့် ဒက်ဒီကင်း တို့က ပူးတွဲဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့က ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့် ကားပါး (Körper) ဟုခေါ်သော ဘော်ဒီ (body) ဟူသည့် အမည်ကို အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ယေဘုယျ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုကို သင်္ကေတ <math>K</math> ဖြင့် မကြာခဏ ကိုယ်စားပြုခြင်းမှာ ၎င်းကို အစွဲပြုထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုစဉ်က ဒက်ဒီကင်းသည် ဖီးလ်ဒ်ကို အပေါင်း၊ အနုတ်၊ အမြှောက်နှင့် စားခြင်း တွက်ချက်မှုများအောက်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closure property) ပြည့်စုံသော ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေးများ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် ဤသဘောတရားသည် ကိန်းထွေးများ၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်းများ (subfields) အတွက်သာ ရည်ညွှန်းခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော သူ၏ ကျမ်းတွင် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]အပေါ် မော်ဂျူလို ထပ်တူညီမှု (congruences) ကို လေ့လာခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် [[သုဒ္ဓကိန်း]] (prime number) ဖြစ်သည့် အခြေအနေကို အသေးစိတ် ဆွေးနွေးခဲ့ပြီး ယင်းမှာ သွယ်ဝိုက်သောအားဖြင့် သုဒ္ဓအဆုံးရှိဖီးလ်ဒ်များ (prime finite fields) ကို လေ့လာခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ ၁၈၃၀ ခုနှစ်တွင် ဂယ်လ်ဝါသည် ဂေါက်စ်၏ လေ့လာမှုကို အခြေခံ၍ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော အဆုံးရှိဖီးလ်ဒ်များအထိ တိုးချဲ့လေ့လာခဲ့သည်။ ၎င်းက အဆုံးရှိဖီးလ်ဒ်၏ အစုဝင်များကို ကိန်းများကဲ့သို့ သဘောထားနိုင်သော အဆုံးရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ဖော်ပြချက်များအဖြစ် ရှုမြင်ခဲ့သည်။ ထိုသို့တွက်ချက်ရာတွင် ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် (irreducible polynomial) တစ်ခုကို အသုံးပြု၍ မော်ဂျူလို တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သည်။ ၁၈၉၃ ခုနှစ်တွင် အီး ဟေးစတင်း မိုး (E. Hastings Moore) သည် အဆုံးရှိဖီးလ်ဒ်တစ်ခုကို ဂယ်လ်ဝါ၏ ချဉ်းကပ်မှုအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ မိုးက အဆုံးရှိဖီးလ်ဒ်ကို အတိုင်းအတာအရွယ်အစား <math>s</math> ရှိသော သင်္ကေတများအစုအဖြစ် ရှုမြင်ခဲ့ပြီး ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ၏ သာမန်ထပ်တူရညီမျှခြင်းများနှင့် ကိုက်ညီသော တွက်ချက်မှု လေးခုပါဝင်သည်ဟု ဆိုခဲ့သည်။ ဤအက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံကို ရည်ညွှန်းရန်အတွက် အင်္ဂလိပ်ဘာသာစကားဖြင့် field ဟူသော ဝေါဟာရကို သူကပင် စတင်တီထွင် သုံးစွဲခဲ့သည်။ ထိုနှစ်မှာပင် ဟိုင်းနရစ် ဗေဘာ (Heinrich Weber) က ဖီးလ်ဒ်၏ အယူအဆကို ယနေ့ခေတ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်အဖြစ် ယေဘုယျပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ထိုဖွင့်ဆိုချက်အရ ဖီးလ်ဒ်ကို အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော ဖလှယ်ရ [[အစားကွင်း]] (commutative division ring) အဖြစ် သတ်မှတ်လာကြသည်။ ဗေဘာသည် ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီအတွက် ယေဘုယျ အခြေခံကို တင်ပြရန် ရည်ရွယ်၍ ဖီးလ်ဒ်များကို ပထမဆုံး နဂိုမှန်အဆို (axiomatization) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းပေးခဲ့သည်။ သို့သော် သင်္ချာသီအိုရီများအား နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်းမှာ အစပျိုးဆဲကာလဖြစ်သဖြင့် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) ကို ထည့်သွင်းဖော်ပြရန် ကျန်ရစ်ခဲ့သည်။ သို့တိုင်အောင် ၎င်း၏လုပ်ဆောင်ချက်များတွင် ထိုဂုဏ်သတ္တိကို အခြေခံအားဖြင့် အသုံးပြုထားသည်။ နောက်ပိုင်း ၁၉၁၀ ခုနှစ်တွင် အန်းစ် ရှတိုင်းနစ် (Ernst Steinitz) သည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံကျမ်းတစ်စောင်တွင် ဖီးလ်ဒ်များ၏ နဂိုမှန်အဆို သီအိုရီကို ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုဆိုသည်မှာ ယေဘုယျအားဖြင့် <math>+</math> နှင့် <math>\times</math> ဟု သင်္ကေတပြုလေ့ရှိသော နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ (binary operations) နှစ်ခု ပါဝင်သည့် [[အစု]] <math>K</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ အခြေအနေများကို ပြည့်စုံစေရမည်။ <math>(K, +)</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) သို့မဟုတ် ဖလှယ်ရ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (commutative group) တစ်ခု ဖြစ်ရမည်။ ၎င်း၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) ကို <math>0</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ <math>(K \setminus \{0\}, \times)</math> သည် အဘီလီယန်အုပ်စုတစ်ခု ဖြစ်ရမည်။ ၎င်း၏ ထပ်တူရအစုဝင်ကို <math>1</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ မြှောက်ခြင်းသည် အပေါင်းအပေါ်တွင် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributive property) ပြည့်စုံရမည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိသည် ဘယ်နှင့် ညာ နှစ်ဖက်စလုံးမှ ပြည့်စုံရမည်ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\forall (a,b,c) \in K^3 \quad a\times (b + c) = a \times b + a \times c \quad \text{and} \quad (b+ c)\times a = b\times a + c\times a</math> ဤတည်ဆောက်ပုံကို <math>(K, +, \times)</math> ဖီးလ်ဒ်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> တစ်ခု၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (subfield) ဆိုသည်မှာ <math>K</math> ၏ အစုပိုင်း (subset) <math>L</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်း <math>L</math> သည် <math>+</math> နှင့် <math>\times</math> တွက်ချက်မှုများအောက်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ရှိရမည့်အပြင် ၎င်းအပေါ် သက်ရောက်လာသော တွက်ချက်မှုများ (induced operations) နှင့် ယှဉ်တွဲ (equipped) လိုက်ပါက ၎င်းကိုယ်တိုင် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိနေရမည်ဖြစ်သည်။ == ဥပမာများ (Examples) == ဖီးလ်ဒ်များ၏ ဥပမာအချို့မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (rational numbers) အစု <math>(\mathbb{Q}, +, \times)</math> *ကိန်းစစ်များ (real numbers) အစု <math>(\mathbb{R}, +, \times)</math> *ကိန်းထွေးများ (complex numbers) အစု <math>(\mathbb{C}, +, \times)</math> *[[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> တစ်ခုအတွက် မော်ဂျူးလပ်စ် <math>p</math> ရှိသော [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]အစု <math>\left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, +, \times \right)</math>။ ဤနေရာတွင် <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> သည် သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ကိန်းပြည့်များ၏ စားလဒ်[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (quotient ring) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ အခြားသင်္ကေတအနေဖြင့် <math>\mathbb{F}_p</math> ဟုလည်း ရေးသားလေ့ရှိသည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last=Kleiner |first=Israel |title=Field Theory: From Equations to Axiomatization — Part I |journal=The American Mathematical Monthly |volume=106 |issue=7 |date=1999 |pages=677–678}} * {{Citation |last=Kleiner |first=Israel |title=Field Theory: From Equations to Axiomatization — Part I |journal=The American Mathematical Monthly |volume=106 |issue=7 |date=1999 |pages=679–681}} * {{Citation |last=Dedekind |first=R. |title=Gesammelte mathematische Werke |language=de}} According to Bourbaki, p. 106, ref. 79. * {{Citation |last=Galois |first=Évariste |title=Sur la théorie des nombres |journal=Bulletin des sciences mathématiques de M. Férussac |volume=13 |date=1830 |pages=428–435}} Reprinted in ''Journal de mathématiques pures et appliquées'' 11, pp. 398–407 (1846). * {{Citation |last=Kleiner |first=Israel |title=Field Theory: From Equations to Axiomatization — Part I |journal=The American Mathematical Monthly |volume=106 |issue=7 |date=1999 |page=683}} * {{Citation |last=Moore |first=E. H. |title=A doubly-infinite system of simple groups |journal=Bull. New York Math. Soc. |volume=3 |date=1893 |pages=73–78}} Demonstrated in an article under the same title in ''Mathematical Papers Read at the International Mathematical Congress [...] Chicago 1893'', Macmillan, New York, 1896, pp. 208–242. * {{Citation |last=Kleiner |first=Israel |title=Field Theory: From Equations to Axiomatization — Part I |journal=The American Mathematical Monthly |volume=106 |issue=7 |date=1999 |page=683}} * {{Citation |last=Weber |first=H. |title=Die allgemeinen Grundlagen der Galois’schen Gleichungstheorie |journal=Mathematische Annalen |volume=43 |date=1893 |pages=521–549 |language=de}} Cited by Kleiner 1999, Part II, pp. 859–860. * {{Citation |last=Kleiner |first=Israel |title=Field Theory: From Equations to Axiomatization — Part II |journal=The American Mathematical Monthly |volume=106 |issue=9 |date=1999 |page=860}} * {{Citation |last=Steinitz |first=Ernst |title=Algebraische Theorie der Körper |journal=J. reine angew. Math. |volume=137 |date=1910 |pages=167–309 |language=de}} « travail fondamental qui peut être considéré comme ayant donné naissance à la conception actuelle de l'Algèbre » pour Bourbaki, p. 109 de l'édition Springer. * {{Citation |author=nLab authors |title=field |date=June 2026 |edition=Revision 76 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/field |access-date=2026-06-12}} * {{Citation |last=Dirichlet |first=Gustav Lejeune |editor-last=Dedekind |editor-first=Richard |title=Vorlesungen über Zahlentheorie |date=1871 |language=de |volume=1 |edition=2nd |publication-place=Braunschweig, Germany |publisher=Friedrich Vieweg und Sohn}} * {{Citation |last=Weber |first=Heinrich |title=Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie |journal=Mathematische Annalen |date=1893 |language=de |volume=43 |issue=4 |pages=521–549 |doi=10.1007/BF01446451 |issn=0025-5831 |s2cid=120528969}} * {{Citation |last=Moore |first=E. Hastings |title=A doubly-infinite system of simple groups |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |date=1893 |volume=3 |issue=3 |pages=73–78 |doi=10.1090/S0002-9904-1893-00178-X |mr=1557275}} [[ကဏ္ဍ:ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ]] 51nztlgvhan4ailug20z2zvq7w14f0r 0 288069 1049432 1046942 2026-08-19T15:22:30Z Mkant00 135890 added number systems template 1049432 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} [[File:NumberSetinC.svg|thumb|<math> \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}</math> ]] သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် '''ကိန်းပြည့် (Integer)''' သည် [[သဘာဝကိန်း]] (natural number)၊ သဘာဝကိန်း၏ အနုတ်ကိန်း၊ သို့မဟုတ် သုညတို့ ပါဝင်သော ကိန်းအမျိုးအစား ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော ကိန်းပြည့်များအားလုံး၏ [[အစု|အစု (set)]] သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ (countably infinite) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ဟူသော သင်္ကေတသည် ကိန်းများဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ဂျာမန်စကားလုံး ဆာလန် (Zahlen) မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ [[အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ]] (algebraic number theory) တွင် ကိန်းပြည့်သဘောတရားကို [[ကိန်းပြည့်ရင်း|ကိန်းပြည့်ရင်းများ]] (algebraic integers) အဖြစ် ယေဘုယျပြုထားသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> တွင် အောက်ပါ အခြေခံအစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်သည်။ * '''သဘာဝကိန်းများ (Natural numbers)''' <math>1, 2, 3, \dots</math> တို့ ပါဝင်သည်။ * '''သုည (Zero)''' <math>0</math> ပါဝင်သည်။ * '''သဘာဝကိန်း၏ အနုတ်ကိန်းများ (Negative natural numbers)''' <math>-1, -2, -3, \dots</math> တို့ ပါဝင်သည်။ == ကိန်းပြည့်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties of Integers) == === အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Algebraic Properties) === * <math>\mathbb{Z}</math> သည် အပေါင်းနှင့် မြှောက်ခြင်း တွက်ချက်မှုများအောက်တွင် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) တစ်ခု ဖွဲ့စည်းသည်။ * ကိန်းပြည့်များသည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်း (Euclidean domain) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ * အပေါင်းတွက်ချက်မှုတစ်ခုတည်းအောက်တွင် ကိန်းပြည့်များသည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) တစ်ခု ဖွဲ့စည်းသည်။ * ၎င်းအုပ်စုကို ထုတ်လုပ်ကိန်းတစ်ခုတည်းပါဝင်သော လွတ်လပ်သော [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (free group on one generator) အဖြစ် ဝိသေသပြုနိုင်သည်။ * ကိန်းပြည့်များသည် မြှောက်ခြင်း တွက်ချက်မှုအောက်တွင် အုပ်စု (group) တစ်ခု မဖွဲ့စည်းနိုင်ပါ။ * <math>\mathbb{Z}</math> သည် သဘာဝကိန်းများအစု <math>\mathbb{N}</math> ၏ အပေါင်းအခြေခံ [[မိုနွိုက်]] (additive monoid) မှ ဆင်းသက်လာသော [[ဂရိုသန်ဒိခ် အုပ်စု]] (Grothendieck group) ဖြစ်သည်။ * <math>\mathbb{Z}</math> သည် [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ|ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of rings) တွင် [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်သည်။ * မည်သည့် အဘီလီယန်အုပ်စုမဆိုတွင် ဖလှယ်ရ ကွင်း <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[မော်ဂျူး]] (module) တစ်ခု၏ ပုံမှန် တည်ဆောက်ပုံ (canonical structure) ရှိသည်။ ဤအချက်အရ <math>\text{Ab} = \mathbb{Z}\text{Mod}</math> ဖြစ်သည်။{{main| အဘီလီယန်အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ}} === တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံ (Topological Construction) === [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အရ ကိန်းပြည့်များအစုကို [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) မှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ * <math>\mathbf{Top}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ]] (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီ ဖြစ်သည်။ * <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်။ * <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် [[အစုဝင်|အစုဝင်]]တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion mapping) ဖြစ်သည်။ * ဤအခြေအနေတွင် အောက်ပါ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) ပုံကြမ်းကို ရရှိသည်။ : <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> * <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဤပုံကြမ်းအတွက် ပူးလ်ဘက် (pullback) ရပ်ဝန်း <math>P</math> ၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] (isomorphic) ဖြစ်သည်။ == <math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တအဖြစ် သက်သေပြချက် (Proof of Countably Infinite <math>\mathbb{Z}</math>) == * <math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}</math> သည် သဘာဝကိန်းများအစု ဖြစ်သည်။ * <math>i(n) = n</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း <math>i: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> သည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]] (injective) ဖြစ်သည်။ * အနန္တအစု <math>\mathbb{N}</math> မှ <math>\mathbb{Z}</math> အတွင်းသို့ အင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိနေသောကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> အစုသည်လည်း အနန္တအစု ဖြစ်သည်။ * <math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်ကြောင်း ပြသရန် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] (bijective) ပုံဖော်မှု <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> တစ်ခုကို တည်ဆောက်ရမည်။ * <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်များကို အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းများနှင့် အနုတ်ကိန်းများကြား စနစ်တကျ အလှည့်ကျဖြစ်နေသော ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုအဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း စီစဉ်နိုင်သည်။ : <math>\{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots\}</math> * ဤအစီအစဉ်သည် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ထားသော [[ဖန်ရှင်]] <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> နှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ : <math>n</math> သည် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်း]] ဖြစ်လျှင် <math> f(n) = \frac{n}{2} </math> ဖြစ်သည်။ : <math>n</math> သည် မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math> f(n) = -\frac{n-1}{2} </math> ဖြစ်သည်။ * ၎င်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုရန် အောက်ပါအတိုင်း စစ်ဆေးနိုင်သည်။ ** <math>n = 1</math> ဖြစ်လျှင် <math>f(1) = 0</math> ဖြစ်သည်။ ** <math>n = 2</math> ဖြစ်လျှင် <math>f(2) = 1</math> ဖြစ်သည်။ ** <math>n = 3</math> ဖြစ်လျှင် <math>f(3) = -1</math> ဖြစ်သည်။ ** <math>n = 4</math> ဖြစ်လျှင် <math>f(4) = 2</math> ဖြစ်သည်။ * ဤဖန်ရှင်ကို စစ်ဆေးခြင်းအားဖြင့် အပေါင်းကိန်းပြည့်တိုင်းကို စုံသဘာဝကိန်းတစ်ခုက တစ်ခုတည်းသီးသန့် (uniquely) ထုတ်လုပ်ပေးကြောင်း တွေ့ရသည်။ * ထို့အတူ သုညအပါအဝင် အပေါင်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်တိုင်းကိုလည်း မသဘာဝကိန်းတစ်ခုက တစ်ခုတည်းသီးသန့် ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ * <math>\mathbb{Z}</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်တိုင်းသည် တိကျစွာ တစ်ကြိမ်သာ ပုံဖော်ခံရသောကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည့်အပြင် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်]] (surjective) လည်း ဖြစ်သည်။ * <math>f</math> သည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ ဖြစ်သည်။ == <math>\mathbb{Z}</math> သည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်းတစ်ခုအဖြစ် သက်သေပြချက် (Proof of Euclidean Domain <math>\mathbb{Z}</math>) == * ယေဘုယျအားဖြင့် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] <math>R</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>N</math> ကို ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း (Euclidean norm) အဖြစ် သတ်မှတ်ရန် တိကျသော အခြေအနေတစ်ရပ် ရှိသည်။ * ၎င်းမှာ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် သုညမဟုတ်သော မည်သည့် <math>b \in R</math> အတွက်မဆို <math>a = qb + r</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>q, r \in R</math> [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>r = 0</math> သို့မဟုတ် <math>N(r) < N(b)</math> ဖြစ်ရမည်။ * ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> မှ သဘာဝကိန်းများအစုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှု <math>a \mapsto |a|</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါမည်။ * ဤပုံဖော်မှုသည် <math>\mathbb{Z}</math> ပေါ်ရှိ ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်းကို အကြွင်းကျန် စားခြင်း (division with remainder) နိယာမမှတစ်ဆင့် အတည်ပြုနိုင်သည်။ * မည်သည့်ကိန်းပြည့် <math>a</math> ကိုမဆို သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့် <math>b</math> ဖြင့် စားသောအခါ စားလဒ် (quotient) <math>q</math> နှင့် အကြွင်း (remainder) <math>r</math> တို့ကို <math>a = qb + r</math> ပုံစံဖြင့် အမြဲတမ်း ရရှိနိုင်သည်။ * ထိုအခါ အကြွင်း <math>r</math> သည် သုညဖြစ်နိုင်သကဲ့သို့ ၎င်း၏ ပကတိတန်ဖိုး <math>|r|</math> သည် <math>|b|</math> ထက် အမြဲငယ်ရမည် ဖြစ်သည်။ * ဤနေရာတွင် <math>N(x) = |x|</math> ဟု သတ်မှတ်ပါက ပကတိတန်ဖိုး ပုံဖော်မှုသည် ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း၏ လိုအပ်ချက်များနှင့် ကိုက်ညီသွားသည်။ * <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းတစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကြောင့် ကိန်းပြည့်များသည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီး ဖြစ်သည်။ == <math>\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထုအဖြစ် သက်သေပြချက် (Proof of Initial Object in <math>\mathsf{Ring}</math>) == * မည်သည့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (unital ring) <math>R</math> အတွက်မဆို [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (ring homomorphism) <math>\phi: \mathbb{Z} \to R</math> သည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခုနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ ** <math>\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အပေါင်း တွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ** <math>\phi(1) = 1_R</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရ (multiplicative identity) ကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း ဖြစ်သည်။ * <math>\mathbb{Z}</math> ကို အပေါင်းနည်းဖြင့် <math>1</math> မှတစ်ဆင့် ထုတ်လုပ်ထားသောကြောင့် ဤစည်းမျဉ်းနှစ်ခုသည် ပုံဖော်မှုကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ပေးသည်။ * မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>n</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ ညီမျှခြင်း မှန်ကန်သည်။ : <math>\phi(n) = \phi(1 + 1 + \dots + 1) = 1_R + 1_R + \dots + 1_R = n \cdot 1_R</math> * ထို့ပြင် <math>\phi(-n) = -\phi(n) = -n \cdot 1_R</math> နှင့် <math>\phi(0) = 0_R</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ * ဤတည်ဆောက်ပုံသည် ပုံဖော်မှုတစ်ခုကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် သတ်မှတ်ပေးပြီး ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုကိုလည်း ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း ပြသနိုင်သည်။ * ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> မှ <math>R</math> သို့သွားသော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ [[ကဏ္ဍ:ကွင်းသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အခြေခံ သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းပြည့်များ]] [[ကဏ္ဍ:အုပ်စုသီအိုရီ]] rjkzx6tp59ufixh8jg2mp5i35hoqf8z 0 288397 1049531 1048796 2026-08-20T08:44:41Z Zawzawaungthwin 100038 ကိုးကားချက် ထည့်သွင်း 1049531 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | name = ပန်တျာတင်တင်မြင့် | image = | caption = ဂန္ထဝင် အငြိမ့်မိခင်ကြီး ပန်တျာတင်တင်မြင့် | birth_name = တင်တင်မြင့် | birth_date = ၇ စက်တင်ဘာ ၁၉၄၆ | birth_place = ခလောက်ချိုင်ရွာ၊ကြည့်မြင်တိုင်တစ်ဖက်ကမ်း | death_date = {{Death date and age|၂၀၂၁|၈|၆|၁၉၄၆|၉|၇}} | death_place = | occupation = သဘင်အနုပညာရှင်<br/> သီချင်းအဆိုတော် | years_active = | spouse = ပန်တျာ ကြည်လင် <br/>(၁၉၆၂–၁၉၇၄) | children = ၅ ဦး | relatives = | awards = }} '''ပန်တျာ တင်တင်မြင့်''' (၇ စက်တင်ဘာ ၁၉၄၆ – ၆ ဩဂုတ် ၂၀၂၁) သည် မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် အငြိမ့်မင်းသမီးကြီးအဖြစ်လည်းကောင်း၊ ဇာတ်မင်းသမီးအဖြစ်လည်းကောင်း ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော သဘင်အနုပညာရှင်နှင့် အဆိုတော်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ မိန်းမသားဦးဆောင်သည့် "ပြည်သူ့မုန်တိုင်း" ပြဇာတ်အဖွဲ့ကို တည်ထောင်ကာ တစ်နိုင်ငံလုံးအတိုင်းအတာဖြင့် ရုံပြည့်ရုံလျှံ အောင်မြင်မှုရရှိခဲ့ပြီး သဘင်လောကတွင် "ဂန္ထဝင် အငြိမ့်လောက၏ မိခင်ကြီး" ဟု တင်စားခေါ်ဝေါ်ခြင်း ခံခဲ့ရသူလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=ဧရာဝတီ |date=2021-08-11 |title=ဂန္ထဝင် အငြိမ့်မင်းသမီးကြီး ပန်တျာတင်တင်မြင့်ရဲ့ ဘဝဇာတ်ကြောင်း |url=https://burma.irrawaddy.com/article/2021/08/11/245065.html |access-date=2026-07-09 |website=ဧရာဝတီ |language=en-US}}</ref> == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာရေး == ပန်တျာတင်တင်မြင့် ကို ၁၉၄၆ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလ ၇ ရက်နေ့တွင် ကြည့်မြင်တိုင်တစ်ဖက်ကမ်းရှိ ခလောက်ချိုင်ရွာ တွင် အဖ ဦးသိုက်၊ အမိ ဒေါ်ကြည်ညွန့်တို့မှ မွေးဖွားခဲ့သည်။ မွေးချင်း ၆ ဦးအနက် စတုတ္ထမြောက် သမီးဖြစ်သည်။ မိသားစုတွင် အနုပညာမျိုးရိုး မရှိခဲ့ဘဲ ငယ်စဉ် အသက် ၁၀ နှစ်အရွယ်ကတည်းက အနုပညာကို အလွန်ဝါသနာကြီးခဲ့သည်။ထို့ကြောင့် မိဘများမသိအောင် ခိုးဝှက်၍ အနုပညာပညာရပ်များကို သင်ယူခဲ့သည်။ ငယ်စဉ်က ကျောင်းမှန်မှန်မတက်ဘဲ ကျောင်းလွယ်အိတ်ကို မုန့်ဆိုင်တွင်အပ်ကာ ပလုတ်တုတ်တီးဝိုင်းနှင့် အလှူခံရာနောက်သို့ လိုက်လံကပြခဲ့ဖူးသည် ပြင်ပကျောင်းပညာရေးကို ဒုတိယတန်းအထိသာ သင်ကြားခဲ့ဖူးသည်။အသက် ၁၃ နှစ်အရွယ်တွင် လက်ဦးဆရာဖြစ်သူ စာရေးဆရာ ဦးသိန်းဆွေလေး၏ ကူညီမှုဖြင့် ထိုခေတ်က အနည်းဆုံး လေးတန်းအောင်မှ တက်ရောက်ခွင့်ရှိသည့် ပန်တျာ ကျောင်းသို့ တက်ရောက်ခွင့် ရရှိခဲ့သည်။ ပန်တျာကျောင်းတွင် ၃ နှစ်ကြာ ပညာသင်ကြားခဲ့ပြီး နိုင်ငံတော်အဆင့် ပြိုင်ပွဲများတွင် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ကာ ဆုတံဆိပ်များ ဆွတ်ခူးခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=၂၀၂၁ ခုနှစ်အတွင်း စာပေ၊ ရုပ်ရှင်၊ သဘင်၊ ဂီတ စသည့် နယ်ပယ်အသီးသီးမှ ကြွေလွင့်ခဲ့ကြသည့် အနုပညာကြယ်ပွင့်များ |url=https://news-eleven.com/article/223138 |access-date=2026-07-09 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> == ဇာတ်မင်းသမီးဘဝ == ပန်တျာကျောင်းဆင်းပြီးနောက် ပန်တျာဇာတ်အဖွဲ့သို့ ဝင်ရောက်ကာ အနုပညာခရီးကို စတင်ခဲ့သည်။ ဇာတ်လောက၏ ပထမခြေလှမ်းအဖြစ် ယိမ်းသမခေါင်းဆောင်အဖြစ် ကပြခဲ့ရပြီး ခေတ်ပြိုင်မင်းသမီးကြီးများဖြစ်ကြသည့် အောင်သန်းတင်၊ ခင်ခင်ညွန့်၊ ခင်အုန်းမြင့်လေး၊ မနယ်လီမြိုင် စသည့် ဝါရင့်အနုပညာရှင်များနှင့် တွဲဖက်ကပြခွင့်ရခဲ့သည်။ ကိုယ်ခန္ဓာသေးငယ်ပြီး အသက်ငယ်ဆုံးဖြစ်သဖြင့် နှစ်ပါးသွားအခန်းများတွင် နောက်ဆုံးမှသာ ကပြခွင့်ရလေ့ရှိသည်။နောက်ပိုင်းတွင် မင်းသားကြီး [[ပန်တျာကြည်လင်]] နှင့် တွဲဖက်ညီစွာ နှစ်ပါးခွင်ဇာတ်များ၊ ပြဇာတ်များကို ကပြဖျော်ဖြေခဲ့သည်။ ၎င်းတို့ တွဲဖက်ကပြခဲ့သည့် ရသာစုံလင် “နှစ်ပါးခွင်” နှင့် “မြစိမ်းရှင် သိုက်သမိုင်း” ဇာတ်ထုပ်တို့မှာ လူကြိုက်များ ထင်ရှားခဲ့သည်။ ဓာတ်ပြားခေတ်တွင် သီဆိုခဲ့သည့် “တောသူအချစ်” သီချင်းသည်လည်း အထူးအောင်မြင်ခဲ့သည်။ == အငြိမ့်လောကသို့ ကူးပြောင်းခြင်းနှင့် အောင်မြင်မှု == ၁၉၇၅ ခုနှစ်တွင် ဇာတ်သဘင်လောကမှ အငြိမ့်လောကသို့ ကူးပြောင်းခဲ့သည်။ ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် ဦးကျော်စိုး တည်ထောင်သည့် “ပြည်သူ့မုန်တိုင်း” ပဒေသာအငြိမ့်အဖွဲ့တွင် စတင်ကပြခဲ့သည်။ ပြဇာတ်မင်းသား လူငယ်ကြည်ခိုင်၊ မင်းသားသန့်ဇင်တို့နှင့် တွဲဖက်ကာ “မိန်းမသားဦးဆောင်သည့် ပြဇာတ်အဖွဲ့” အဖြစ် အမြို့မြို့အနယ်နယ်တွင် လှည့်လည်ကပြခဲ့ရာ တစ်နှစ်လျှင် ပွဲချီ ၃၄၀ အထိ ရုံပြည့်ရုံလျှံ အားပေးခြင်း ခံခဲ့ရသည်။မြန်မာနိုင်ငံတွင် မင်းသမီးဦးဆောင်သည့် အငြိမ့်အဖွဲ့အစည်းအနေဖြင့် ပန်တျာတင်တင်မြင့် တစ်ဦးတည်းသာ ထူးခြားစွာ အောင်မြင်မှု ရရှိခဲ့သည်။ ၎င်းသည် ပရိသတ်ကို ငိုအောင်၊ ရယ်အောင်၊ ပျော်အောင် သရုပ်ဆောင်နိုင်စွမ်းရှိသည့် သဘာဝမင်းသမီးကြီးအဖြစ် လူရွှင်တော်ကြီး ထင်ပေါ်အပါအဝင် သဘင်မျိုးဆက်များ၏ လေးစားမှုကို ခံခဲ့ရသည်။ == ထင်ရှားသော တေးသီချင်းများ == ပန်တျာတင်တင်မြင့်သည် ဓာတ်ပြားခေတ်မှ ကက်ဆက်ခေတ်အထိ အငြိမ့်သီချင်း၊ အော်ပရာနှင့် တေးသီချင်းပေါင်းများစွာကို သီဆိုအောင်မြင်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့အနက် ထင်ရှားသော သီချင်းအချို့မှာ တောသူအချစ်၊ အာရောဂျံ ပရမံလာဘံ၊ ပါးမှာနံ့သာ ခါးမှာပဝါ၊ မဟူရာည၊ ယသော်ဓရာအလွမ်း၊ စိန်စီသောတေး၊ ဘဝတဆစ်ချိုး၊ အချစ်နာကျသော ရောဂါ၊ သဘင်သည် အနုပညာ နှင့် ကျမ မိန်းမသား တို့ ဖြစ်ကြသည်။ == ပုဂ္ဂိုလ်ရေးဘဝ== ၁၉၆၂ ခုနှစ်၊ အသက် ၁၈ နှစ်အရွယ်တွင် မင်းသားကြီး ပန်တျာကြည်လင် နှင့် အိမ်ထောင်ကျခဲ့ပြီး သားသမီး ၅ ဦး ထွန်းကားခဲ့သည်။ အသက် ၂၈ နှစ် (၁၉၇၄ ခုနှစ်ခန့်) တွင် အိမ်ထောင်ကွဲခဲ့သည်။သူသည် မျိုးရိုးမရှိဘဲ ခက်ခဲစွာ သင်ယူခဲ့ရသည့် အနုပညာအမွေကို နောက်မျိုးဆက်များထံ လက်ဆင့်ကမ်းနိုင်ခဲ့သည်။ သားဖြစ်သူ မင်းသား မျိုးကို၊ သမီးဖြစ်သူ မင်းသမီး စောမြတ်မိုး၊ မြေးဖြစ်သူ မင်းသား သွေးသစ် နှင့် [[အမျိုးသားယဉ်ကျေးမှုနှင့်အနုပညာတက္ကသိုလ်(ရန်ကုန်)|အမျိုးသားယဉ်ကျေးမှုနှင့် အနုပညာတက္ကသိုလ်]] ကျောင်းဆင်း မြေးမလေး ဆုလတ်ဝေတို့အထိ အနုပညာမျိုးဆက် သုံးဆက်တိုင်တိုင် လက်ဆင့်ကမ်းနိုင်ခဲ့သည်။ == ဘဝနိဂုံး == အသက် ၃၈ နှစ်အရွယ်တွင် ကျန်းမာရေးအခြေအနေ (အသည်းတွင် ပြည်တည်သည့်ရောဂါ) ကြောင့် အနုပညာလောကမှ ခေတ္တအနားယူခဲ့ရပြီး မကွေးဆေးရုံတွင် ၃ လကြာ ဆေးကုသမှု ခံယူခဲ့ရသည်။ဆေးရုံဆင်းပြီးနောက် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၊ မိတ္ထီလာခရိုင်၊ မလှိုင်မြို့နယ်ရှိ ရွှေပေါ်ကျွန်း သာသနာမြေ တွင် သာသနာပြုလုပ်ငန်းများကို တစိုက်မတ်မတ် လုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ သာသနာပြုစဉ်ကာလအတွင်း ဘုရားစေတီပေါင်း ၁,၂၀၀ ကျော်ကို ထီးတော်တင်လှူပူဇော်နိုင်ခဲ့ပြီး ဘုရားပွဲများတွင်လည်း အနုပညာဖြင့် ကုသိုလ်ဖြစ် သီဆိုဖျော်ဖြေခဲ့သည်။ သူ၏ နောက်ဆုံးဆန္ဒမှာ စေတီပေါင်း ၁,၅၀၀ ပြည့်အောင် ထီးတင်ရန်နှင့် "အရိမေတ္တယျအကြိုစေတီတော်" ကို အပြီးသတ်တည်ထားကိုးကွယ်ရန် ဖြစ်သော်လည်း ကွယ်လွန်ချိန်အထိ ပြည့်မြောက်ခြင်း မရှိခဲ့ပေ။ ကွယ်လွန်ခါနီး ၂ နှစ်ခန့်အလိုတွင် အဆုတ်ကင်ဆာရောဂါ ဝေဒနာကို ပြင်းထန်စွာ ခံစားခဲ့ရပြီး ဆေးရုံတက်ရောက်ကုသမှု ခံယူရင်း ၂၀၂၁ ခုနှစ်၊ ဩဂုတ်လ ၆ ရက်နေ့၊ မနက် ၁ နာရီ ၁၂ မိနစ်အချိန်ခန့် တွင် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ ကွယ်လွန်ချိန်တွင် အသက် ၇၅ နှစ်ရှိပြီဖြစ်ပြီး သားသမီး ၄ ဦး၊ မြေး ၁၁ ဦးနှင့် မြစ် ၂ ဦး ကျန်ရစ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2021-08-09 |title=ကဗျာဆရာအောင်ချိမ့်အပါအဝင် ထင်ရှားတဲ့ အနုပညာရှင်တချို့ ကွယ်လွန် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/poet-aung-chiant-passed-away-08092021183901.html |access-date=2026-08-20 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} {{Lifetime|၁၉၄၆|၂၀၂၁}} [[ကဏ္ဍ:၁၉၄၆ မွေးဖွားသူများ]] [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၁ ကွယ်လွန်သူများ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ သဘင်ပညာရှင်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ အငြိမ့်မင်းသမီးများ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ အမျိုးသမီး အဆိုတော်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ ဇာတ်မင်းသမီးများ]] 4ff2dz1p61gnf0xe3jq5o3u9p0j0o07 1049532 1049531 2026-08-20T08:44:59Z Zawzawaungthwin 100038 [[ပန်တျာတင်တင်မြင့်]] စာမျက်နှာကို [[တင်တင်မြင့်]] သို့ Zawzawaungthwinက ရွှေ့ခဲ့သည်: မလိုအပ်သော စကားဘညှပ်၊ သံတူကြောင်းကွဲများ ဖယ်ရှားခြင်း 1049531 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | name = ပန်တျာတင်တင်မြင့် | image = | caption = ဂန္ထဝင် အငြိမ့်မိခင်ကြီး ပန်တျာတင်တင်မြင့် | birth_name = တင်တင်မြင့် | birth_date = ၇ စက်တင်ဘာ ၁၉၄၆ | birth_place = ခလောက်ချိုင်ရွာ၊ကြည့်မြင်တိုင်တစ်ဖက်ကမ်း | death_date = {{Death date and age|၂၀၂၁|၈|၆|၁၉၄၆|၉|၇}} | death_place = | occupation = သဘင်အနုပညာရှင်<br/> သီချင်းအဆိုတော် | years_active = | spouse = ပန်တျာ ကြည်လင် <br/>(၁၉၆၂–၁၉၇၄) | children = ၅ ဦး | relatives = | awards = }} '''ပန်တျာ တင်တင်မြင့်''' (၇ စက်တင်ဘာ ၁၉၄၆ – ၆ ဩဂုတ် ၂၀၂၁) သည် မြန်မာ့သဘင်လောကတွင် အငြိမ့်မင်းသမီးကြီးအဖြစ်လည်းကောင်း၊ ဇာတ်မင်းသမီးအဖြစ်လည်းကောင်း ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော သဘင်အနုပညာရှင်နှင့် အဆိုတော်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ မိန်းမသားဦးဆောင်သည့် "ပြည်သူ့မုန်တိုင်း" ပြဇာတ်အဖွဲ့ကို တည်ထောင်ကာ တစ်နိုင်ငံလုံးအတိုင်းအတာဖြင့် ရုံပြည့်ရုံလျှံ အောင်မြင်မှုရရှိခဲ့ပြီး သဘင်လောကတွင် "ဂန္ထဝင် အငြိမ့်လောက၏ မိခင်ကြီး" ဟု တင်စားခေါ်ဝေါ်ခြင်း ခံခဲ့ရသူလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=ဧရာဝတီ |date=2021-08-11 |title=ဂန္ထဝင် အငြိမ့်မင်းသမီးကြီး ပန်တျာတင်တင်မြင့်ရဲ့ ဘဝဇာတ်ကြောင်း |url=https://burma.irrawaddy.com/article/2021/08/11/245065.html |access-date=2026-07-09 |website=ဧရာဝတီ |language=en-US}}</ref> == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာရေး == ပန်တျာတင်တင်မြင့် ကို ၁၉၄၆ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလ ၇ ရက်နေ့တွင် ကြည့်မြင်တိုင်တစ်ဖက်ကမ်းရှိ ခလောက်ချိုင်ရွာ တွင် အဖ ဦးသိုက်၊ အမိ ဒေါ်ကြည်ညွန့်တို့မှ မွေးဖွားခဲ့သည်။ မွေးချင်း ၆ ဦးအနက် စတုတ္ထမြောက် သမီးဖြစ်သည်။ မိသားစုတွင် အနုပညာမျိုးရိုး မရှိခဲ့ဘဲ ငယ်စဉ် အသက် ၁၀ နှစ်အရွယ်ကတည်းက အနုပညာကို အလွန်ဝါသနာကြီးခဲ့သည်။ထို့ကြောင့် မိဘများမသိအောင် ခိုးဝှက်၍ အနုပညာပညာရပ်များကို သင်ယူခဲ့သည်။ ငယ်စဉ်က ကျောင်းမှန်မှန်မတက်ဘဲ ကျောင်းလွယ်အိတ်ကို မုန့်ဆိုင်တွင်အပ်ကာ ပလုတ်တုတ်တီးဝိုင်းနှင့် အလှူခံရာနောက်သို့ လိုက်လံကပြခဲ့ဖူးသည် ပြင်ပကျောင်းပညာရေးကို ဒုတိယတန်းအထိသာ သင်ကြားခဲ့ဖူးသည်။အသက် ၁၃ နှစ်အရွယ်တွင် လက်ဦးဆရာဖြစ်သူ စာရေးဆရာ ဦးသိန်းဆွေလေး၏ ကူညီမှုဖြင့် ထိုခေတ်က အနည်းဆုံး လေးတန်းအောင်မှ တက်ရောက်ခွင့်ရှိသည့် ပန်တျာ ကျောင်းသို့ တက်ရောက်ခွင့် ရရှိခဲ့သည်။ ပန်တျာကျောင်းတွင် ၃ နှစ်ကြာ ပညာသင်ကြားခဲ့ပြီး နိုင်ငံတော်အဆင့် ပြိုင်ပွဲများတွင် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ကာ ဆုတံဆိပ်များ ဆွတ်ခူးခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=၂၀၂၁ ခုနှစ်အတွင်း စာပေ၊ ရုပ်ရှင်၊ သဘင်၊ ဂီတ စသည့် နယ်ပယ်အသီးသီးမှ ကြွေလွင့်ခဲ့ကြသည့် အနုပညာကြယ်ပွင့်များ |url=https://news-eleven.com/article/223138 |access-date=2026-07-09 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> == ဇာတ်မင်းသမီးဘဝ == ပန်တျာကျောင်းဆင်းပြီးနောက် ပန်တျာဇာတ်အဖွဲ့သို့ ဝင်ရောက်ကာ အနုပညာခရီးကို စတင်ခဲ့သည်။ ဇာတ်လောက၏ ပထမခြေလှမ်းအဖြစ် ယိမ်းသမခေါင်းဆောင်အဖြစ် ကပြခဲ့ရပြီး ခေတ်ပြိုင်မင်းသမီးကြီးများဖြစ်ကြသည့် အောင်သန်းတင်၊ ခင်ခင်ညွန့်၊ ခင်အုန်းမြင့်လေး၊ မနယ်လီမြိုင် စသည့် ဝါရင့်အနုပညာရှင်များနှင့် တွဲဖက်ကပြခွင့်ရခဲ့သည်။ ကိုယ်ခန္ဓာသေးငယ်ပြီး အသက်ငယ်ဆုံးဖြစ်သဖြင့် နှစ်ပါးသွားအခန်းများတွင် နောက်ဆုံးမှသာ ကပြခွင့်ရလေ့ရှိသည်။နောက်ပိုင်းတွင် မင်းသားကြီး [[ပန်တျာကြည်လင်]] နှင့် တွဲဖက်ညီစွာ နှစ်ပါးခွင်ဇာတ်များ၊ ပြဇာတ်များကို ကပြဖျော်ဖြေခဲ့သည်။ ၎င်းတို့ တွဲဖက်ကပြခဲ့သည့် ရသာစုံလင် “နှစ်ပါးခွင်” နှင့် “မြစိမ်းရှင် သိုက်သမိုင်း” ဇာတ်ထုပ်တို့မှာ လူကြိုက်များ ထင်ရှားခဲ့သည်။ ဓာတ်ပြားခေတ်တွင် သီဆိုခဲ့သည့် “တောသူအချစ်” သီချင်းသည်လည်း အထူးအောင်မြင်ခဲ့သည်။ == အငြိမ့်လောကသို့ ကူးပြောင်းခြင်းနှင့် အောင်မြင်မှု == ၁၉၇၅ ခုနှစ်တွင် ဇာတ်သဘင်လောကမှ အငြိမ့်လောကသို့ ကူးပြောင်းခဲ့သည်။ ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် ဦးကျော်စိုး တည်ထောင်သည့် “ပြည်သူ့မုန်တိုင်း” ပဒေသာအငြိမ့်အဖွဲ့တွင် စတင်ကပြခဲ့သည်။ ပြဇာတ်မင်းသား လူငယ်ကြည်ခိုင်၊ မင်းသားသန့်ဇင်တို့နှင့် တွဲဖက်ကာ “မိန်းမသားဦးဆောင်သည့် ပြဇာတ်အဖွဲ့” အဖြစ် အမြို့မြို့အနယ်နယ်တွင် လှည့်လည်ကပြခဲ့ရာ တစ်နှစ်လျှင် ပွဲချီ ၃၄၀ အထိ ရုံပြည့်ရုံလျှံ အားပေးခြင်း ခံခဲ့ရသည်။မြန်မာနိုင်ငံတွင် မင်းသမီးဦးဆောင်သည့် အငြိမ့်အဖွဲ့အစည်းအနေဖြင့် ပန်တျာတင်တင်မြင့် တစ်ဦးတည်းသာ ထူးခြားစွာ အောင်မြင်မှု ရရှိခဲ့သည်။ ၎င်းသည် ပရိသတ်ကို ငိုအောင်၊ ရယ်အောင်၊ ပျော်အောင် သရုပ်ဆောင်နိုင်စွမ်းရှိသည့် သဘာဝမင်းသမီးကြီးအဖြစ် လူရွှင်တော်ကြီး ထင်ပေါ်အပါအဝင် သဘင်မျိုးဆက်များ၏ လေးစားမှုကို ခံခဲ့ရသည်။ == ထင်ရှားသော တေးသီချင်းများ == ပန်တျာတင်တင်မြင့်သည် ဓာတ်ပြားခေတ်မှ ကက်ဆက်ခေတ်အထိ အငြိမ့်သီချင်း၊ အော်ပရာနှင့် တေးသီချင်းပေါင်းများစွာကို သီဆိုအောင်မြင်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့အနက် ထင်ရှားသော သီချင်းအချို့မှာ တောသူအချစ်၊ အာရောဂျံ ပရမံလာဘံ၊ ပါးမှာနံ့သာ ခါးမှာပဝါ၊ မဟူရာည၊ ယသော်ဓရာအလွမ်း၊ စိန်စီသောတေး၊ ဘဝတဆစ်ချိုး၊ အချစ်နာကျသော ရောဂါ၊ သဘင်သည် အနုပညာ နှင့် ကျမ မိန်းမသား တို့ ဖြစ်ကြသည်။ == ပုဂ္ဂိုလ်ရေးဘဝ== ၁၉၆၂ ခုနှစ်၊ အသက် ၁၈ နှစ်အရွယ်တွင် မင်းသားကြီး ပန်တျာကြည်လင် နှင့် အိမ်ထောင်ကျခဲ့ပြီး သားသမီး ၅ ဦး ထွန်းကားခဲ့သည်။ အသက် ၂၈ နှစ် (၁၉၇၄ ခုနှစ်ခန့်) တွင် အိမ်ထောင်ကွဲခဲ့သည်။သူသည် မျိုးရိုးမရှိဘဲ ခက်ခဲစွာ သင်ယူခဲ့ရသည့် အနုပညာအမွေကို နောက်မျိုးဆက်များထံ လက်ဆင့်ကမ်းနိုင်ခဲ့သည်။ သားဖြစ်သူ မင်းသား မျိုးကို၊ သမီးဖြစ်သူ မင်းသမီး စောမြတ်မိုး၊ မြေးဖြစ်သူ မင်းသား သွေးသစ် နှင့် [[အမျိုးသားယဉ်ကျေးမှုနှင့်အနုပညာတက္ကသိုလ်(ရန်ကုန်)|အမျိုးသားယဉ်ကျေးမှုနှင့် အနုပညာတက္ကသိုလ်]] ကျောင်းဆင်း မြေးမလေး ဆုလတ်ဝေတို့အထိ အနုပညာမျိုးဆက် သုံးဆက်တိုင်တိုင် လက်ဆင့်ကမ်းနိုင်ခဲ့သည်။ == ဘဝနိဂုံး == အသက် ၃၈ နှစ်အရွယ်တွင် ကျန်းမာရေးအခြေအနေ (အသည်းတွင် ပြည်တည်သည့်ရောဂါ) ကြောင့် အနုပညာလောကမှ ခေတ္တအနားယူခဲ့ရပြီး မကွေးဆေးရုံတွင် ၃ လကြာ ဆေးကုသမှု ခံယူခဲ့ရသည်။ဆေးရုံဆင်းပြီးနောက် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၊ မိတ္ထီလာခရိုင်၊ မလှိုင်မြို့နယ်ရှိ ရွှေပေါ်ကျွန်း သာသနာမြေ တွင် သာသနာပြုလုပ်ငန်းများကို တစိုက်မတ်မတ် လုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ သာသနာပြုစဉ်ကာလအတွင်း ဘုရားစေတီပေါင်း ၁,၂၀၀ ကျော်ကို ထီးတော်တင်လှူပူဇော်နိုင်ခဲ့ပြီး ဘုရားပွဲများတွင်လည်း အနုပညာဖြင့် ကုသိုလ်ဖြစ် သီဆိုဖျော်ဖြေခဲ့သည်။ သူ၏ နောက်ဆုံးဆန္ဒမှာ စေတီပေါင်း ၁,၅၀၀ ပြည့်အောင် ထီးတင်ရန်နှင့် "အရိမေတ္တယျအကြိုစေတီတော်" ကို အပြီးသတ်တည်ထားကိုးကွယ်ရန် ဖြစ်သော်လည်း ကွယ်လွန်ချိန်အထိ ပြည့်မြောက်ခြင်း မရှိခဲ့ပေ။ ကွယ်လွန်ခါနီး ၂ နှစ်ခန့်အလိုတွင် အဆုတ်ကင်ဆာရောဂါ ဝေဒနာကို ပြင်းထန်စွာ ခံစားခဲ့ရပြီး ဆေးရုံတက်ရောက်ကုသမှု ခံယူရင်း ၂၀၂၁ ခုနှစ်၊ ဩဂုတ်လ ၆ ရက်နေ့၊ မနက် ၁ နာရီ ၁၂ မိနစ်အချိန်ခန့် တွင် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ ကွယ်လွန်ချိန်တွင် အသက် ၇၅ နှစ်ရှိပြီဖြစ်ပြီး သားသမီး ၄ ဦး၊ မြေး ၁၁ ဦးနှင့် မြစ် ၂ ဦး ကျန်ရစ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2021-08-09 |title=ကဗျာဆရာအောင်ချိမ့်အပါအဝင် ထင်ရှားတဲ့ အနုပညာရှင်တချို့ ကွယ်လွန် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/poet-aung-chiant-passed-away-08092021183901.html |access-date=2026-08-20 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} {{Lifetime|၁၉၄၆|၂၀၂၁}} [[ကဏ္ဍ:၁၉၄၆ မွေးဖွားသူများ]] [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၁ ကွယ်လွန်သူများ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ သဘင်ပညာရှင်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ အငြိမ့်မင်းသမီးများ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ အမျိုးသမီး အဆိုတော်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ ဇာတ်မင်းသမီးများ]] 4ff2dz1p61gnf0xe3jq5o3u9p0j0o07 3 288515 1049535 1048792 2026-08-20T08:52:24Z Zawzawaungthwin 100038 ဆွေးနွေးချက် 1049535 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Naingli ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၉:၀၃၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) == ၃၀ ဇူလိုင် ၂၀၂၆== [[File:Information.svg|25px|alt=Information icon]] မင်္ဂလာပါ၊ ကျွန်ုပ်ကတော့ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ဖြစ်ပါတယ်။ မကြာသေးမီက သင်ဟာ [[:ထွေးလေး]]&nbsp;မှ&nbsp; အကြောင်းအရာများကို တည်းဖြတ်မှုပြုလုပ်တဲ့အပေါ်မှာ အရေးပါတဲ့ ကိုးကားချက်တွေကို ဖယ်ရှားပစ်ပြီး တည်းဖြတ်လိုက်တာကို သတိပြုမိလိုက်ပါတယ်။ နောင်အခါ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ သင်ပြုလုပ်တဲ့ ပြင်ဆင်မှုများမှာ လုံလောက်တဲ့ [[H:ES|တည်းဖြတ်ခြင်း အတိုချုပ်]]နဲ့ ကိုးကားချက်များထည့်သွင်း ဖော်ပြပေးနိုင်ရင် အခြားသူတွေအတွက် အကူအညီဖြစ်မှာပါ။ ဒါဟာ မှားယွင်းပြုလုပ်မှုတစ်ခု ဖြစ်တယ်ဆိုရင် မစိုးရိမ်ပါနဲ့။ ဖယ်ရှားလိုက်တဲ့ အကြောင်းအရာများကို ပြန်လည်ထိန်းသိမ်းပြီးပါပြီ။ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်မှုတွေ လုပ်လိုတဲ့အခါ လမ်းညွန်ချက်များဖြစ်တဲ့ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ဝီကီပီးဒီးယားက ဘာမဟုတ်ဘူးလဲ]]၊[[ဝီကီပီးဒီးယား:သက်ရှိပုဂ္ဂိုလ်များ၏ အတ္ထုပ္ပတ္တိများ]]၊ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ခိုင်လုံသော ရင်းမြစ်များ]]တွေကို အထူးလိုက်နာဆောင်ရွက်ကြရပါတယ် ။ ကျွန်ုပ် အမှားပြုလုပ်မိတယ်လို့ သင်ယူဆခဲ့ရင်၊ ဒါမှမဟုတ် မေးမြန်းစရာရှိတယ်ဆိုရင် ဆွေးနွေးချက်ပြုလုပ်နိုင်ပါတယ် ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၀၄:၀၈၊ ၃၀ ဇူလိုင် ၂၀၂၆ (UTC) == ၂၀ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ == မင်္ဂလာပါ Naingli ခင်ဗျာ။ ယခင်က [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Naingli|ဆွေးနွေးချက်]]မှာလည်း ကိုးကားချက်များနှင့် ဝီကီပီးဒီးယား၏ ခိုင်လုံသောရင်းမြစ်ဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်ချက်များကို လိုက်နာရန် ဆွေးနွေးခဲ့ဖူးပါတယ်။ လက်ရှိမှာလည်း သင်ဖန်တီးထားတဲ့ နတ်ကတော်တွေနဲ့ ပတ်သက်တဲ့ ဆောင်းပါးအချို့ကို ကြည့်ရှုရာမှာ လွတ်လပ်ပြီး ယုံကြည်ရတဲ့ အရင်းအမြစ်ကိုးကားချက်တွေ နည်းပါးနေသေးတာကို တွေ့ရပါတယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပုဂ္ဂိုလ်တစ်ဦးအကြောင်း ဆောင်းပါးတစ်ခုအဖြစ် ထားရှိနိုင်ဖို့အတွက် အဲဒီပုဂ္ဂိုလ်အပေါ် လွတ်လပ်ပြီး ယုံကြည်ရတဲ့ ရင်းမြစ်တွေမှာ ထင်ရှားစွာ ဖော်ပြထားမှု ရှိ/မရှိကို အတည်ပြုနိုင်ဖို့ လိုအပ်ပါတယ်။ လက်ရှိဆောင်းပါးတွေမှာ အဲဒီလို ရင်းမြစ်တွေ မလုံလောက်သေးရင် ထင်ရှားမှုကို အတည်ပြုဖို့ ခက်ခဲနိုင်ပါတယ်။ ဒါကြောင့် သက်ဆိုင်ရာ ဆောင်းပါးတွေမှာ သတင်းစာ၊ စာအုပ်၊ မဂ္ဂဇင်း၊ သုတေသနစာတမ်း စတဲ့ လွတ်လပ်ပြီး ယုံကြည်ရတဲ့ အရင်းအမြစ်တွေကို ထပ်မံဖြည့်စွက်ပေးဖို့ မေတ္တာရပ်ခံချင်ပါတယ်။ အဲဒီလို အရင်းအမြစ်တွေနဲ့ ထင်ရှားမှုကို အတည်ပြုနိုင်ခြင်း မရှိပါက ဝီကီပီးဒီးယားရဲ့ ဆောင်းပါးထည့်သွင်းနိုင်မှု စံနှုန်းတွေအရ ဆောင်းပါးတွေကို ပယ်ဖျက်ရန် ဆွေးနွေးမှု ဖြစ်လာနိုင်ပါတယ်။ ယခင်ကလည်း အလားတူကိစ္စကို ဆွေးနွေးထားပြီးဖြစ်တဲ့အတွက် ဒီတစ်ကြိမ်မှာတော့ ဆောင်းပါးတွေကို ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းနိုင်အောင် ကိုးကားချက်တွေ ဖြည့်စွက်ပေးစေလိုပါတယ်။ ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၂၀၊ ၂၀ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) 4g7yex2v5g7dmd5x3k9v51bfdq9arce 1049536 1049535 2026-08-20T08:52:57Z Ninjastrikers 22896 /* ဒလဒေါ်ခွေးမ (သိုးဆောင်းမိဖုရားကြီး) အား မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန် အဆိုပြုထားခြင်း */ အပိုင်းသစ် 1049536 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Naingli ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၉:၀၃၊ ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) == ၃၀ ဇူလိုင် ၂၀၂၆== [[File:Information.svg|25px|alt=Information icon]] မင်္ဂလာပါ၊ ကျွန်ုပ်ကတော့ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ဖြစ်ပါတယ်။ မကြာသေးမီက သင်ဟာ [[:ထွေးလေး]]&nbsp;မှ&nbsp; အကြောင်းအရာများကို တည်းဖြတ်မှုပြုလုပ်တဲ့အပေါ်မှာ အရေးပါတဲ့ ကိုးကားချက်တွေကို ဖယ်ရှားပစ်ပြီး တည်းဖြတ်လိုက်တာကို သတိပြုမိလိုက်ပါတယ်။ နောင်အခါ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ သင်ပြုလုပ်တဲ့ ပြင်ဆင်မှုများမှာ လုံလောက်တဲ့ [[H:ES|တည်းဖြတ်ခြင်း အတိုချုပ်]]နဲ့ ကိုးကားချက်များထည့်သွင်း ဖော်ပြပေးနိုင်ရင် အခြားသူတွေအတွက် အကူအညီဖြစ်မှာပါ။ ဒါဟာ မှားယွင်းပြုလုပ်မှုတစ်ခု ဖြစ်တယ်ဆိုရင် မစိုးရိမ်ပါနဲ့။ ဖယ်ရှားလိုက်တဲ့ အကြောင်းအရာများကို ပြန်လည်ထိန်းသိမ်းပြီးပါပြီ။ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်မှုတွေ လုပ်လိုတဲ့အခါ လမ်းညွန်ချက်များဖြစ်တဲ့ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ဝီကီပီးဒီးယားက ဘာမဟုတ်ဘူးလဲ]]၊[[ဝီကီပီးဒီးယား:သက်ရှိပုဂ္ဂိုလ်များ၏ အတ္ထုပ္ပတ္တိများ]]၊ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ခိုင်လုံသော ရင်းမြစ်များ]]တွေကို အထူးလိုက်နာဆောင်ရွက်ကြရပါတယ် ။ ကျွန်ုပ် အမှားပြုလုပ်မိတယ်လို့ သင်ယူဆခဲ့ရင်၊ ဒါမှမဟုတ် မေးမြန်းစရာရှိတယ်ဆိုရင် ဆွေးနွေးချက်ပြုလုပ်နိုင်ပါတယ် ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၀၄:၀၈၊ ၃၀ ဇူလိုင် ၂၀၂၆ (UTC) == ၂၀ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ == မင်္ဂလာပါ Naingli ခင်ဗျာ။ ယခင်က [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Naingli|ဆွေးနွေးချက်]]မှာလည်း ကိုးကားချက်များနှင့် ဝီကီပီးဒီးယား၏ ခိုင်လုံသောရင်းမြစ်ဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်ချက်များကို လိုက်နာရန် ဆွေးနွေးခဲ့ဖူးပါတယ်။ လက်ရှိမှာလည်း သင်ဖန်တီးထားတဲ့ နတ်ကတော်တွေနဲ့ ပတ်သက်တဲ့ ဆောင်းပါးအချို့ကို ကြည့်ရှုရာမှာ လွတ်လပ်ပြီး ယုံကြည်ရတဲ့ အရင်းအမြစ်ကိုးကားချက်တွေ နည်းပါးနေသေးတာကို တွေ့ရပါတယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပုဂ္ဂိုလ်တစ်ဦးအကြောင်း ဆောင်းပါးတစ်ခုအဖြစ် ထားရှိနိုင်ဖို့အတွက် အဲဒီပုဂ္ဂိုလ်အပေါ် လွတ်လပ်ပြီး ယုံကြည်ရတဲ့ ရင်းမြစ်တွေမှာ ထင်ရှားစွာ ဖော်ပြထားမှု ရှိ/မရှိကို အတည်ပြုနိုင်ဖို့ လိုအပ်ပါတယ်။ လက်ရှိဆောင်းပါးတွေမှာ အဲဒီလို ရင်းမြစ်တွေ မလုံလောက်သေးရင် ထင်ရှားမှုကို အတည်ပြုဖို့ ခက်ခဲနိုင်ပါတယ်။ ဒါကြောင့် သက်ဆိုင်ရာ ဆောင်းပါးတွေမှာ သတင်းစာ၊ စာအုပ်၊ မဂ္ဂဇင်း၊ သုတေသနစာတမ်း စတဲ့ လွတ်လပ်ပြီး ယုံကြည်ရတဲ့ အရင်းအမြစ်တွေကို ထပ်မံဖြည့်စွက်ပေးဖို့ မေတ္တာရပ်ခံချင်ပါတယ်။ အဲဒီလို အရင်းအမြစ်တွေနဲ့ ထင်ရှားမှုကို အတည်ပြုနိုင်ခြင်း မရှိပါက ဝီကီပီးဒီးယားရဲ့ ဆောင်းပါးထည့်သွင်းနိုင်မှု စံနှုန်းတွေအရ ဆောင်းပါးတွေကို ပယ်ဖျက်ရန် ဆွေးနွေးမှု ဖြစ်လာနိုင်ပါတယ်။ ယခင်ကလည်း အလားတူကိစ္စကို ဆွေးနွေးထားပြီးဖြစ်တဲ့အတွက် ဒီတစ်ကြိမ်မှာတော့ ဆောင်းပါးတွေကို ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းနိုင်အောင် ကိုးကားချက်တွေ ဖြည့်စွက်ပေးစေလိုပါတယ်။ ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၂၀၊ ၂၀ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) ==[[:ဒလဒေါ်ခွေးမ (သိုးဆောင်းမိဖုရားကြီး)]] အား [[Wikipedia:Criteria for speedy deletion|မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်]] အဆိုပြုထားခြင်း== [[File:Ambox warning pn.svg|48px|left|alt=|link=]] {{Quote box|quote=<p>ဤသည်မှာ သင် ပထမဆုံး ဖန်တီးသော ဆောင်းပါးဖြစ်ပါက [[WP:Your first article|သင်၏ ပထမဆုံး ဆောင်းပါးအား ရေးသားနည်း လမ်းညွှန်]]ကို ဖတ်ရှုပေးပါ။</p><!---<p>You may want to consider using the [[Wikipedia:Article wizard|Article Wizard]] to help you create articles.</p> --->|width=20%|align=right}} [[:ဒလဒေါ်ခွေးမ (သိုးဆောင်းမိဖုရားကြီး)]] စာမျက်နှာအား ဝီကီပီးဒီးယားမှ မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်အတွက် အဆိုပြုထားပါသည်။ ဤသည်မှာ [[Wikipedia:မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်အတွက် သတ်မှတ်ချက်များ#A7|မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်အတွက် သတ်မှတ်ချက် အပိုင်း A7]] အရ ပြုလုပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အဘယ့်ကြောင့်ဆိုသော် ဆောင်းပါးသည် ပုဂ္ဂိုလ်တစ်ဦး၊ တိရစ္ဆာန် တစ်ကောင်ချင်း၊ အဖွဲ့အစည်း (တီးဝိုင်းအဖွဲ့၊ ကလပ်၊ ကုမ္ပဏီ စသည်)၊ ဝက်ဘ်အကြောင်းအရာ၊ သို့မဟုတ် ဖြစ်ရပ်တစ်ခုအကြောင်းဖြစ်ပြီး၊ အကြောင်းအရာသည် ထင်ရှားကျော်ကြားခြင်း သို့မဟုတ် အရေးပါခြင်းကို လက်ခံနိုင်လောက်အောင် ပြသနိုင်ခြင်း မရှိသည့်အတွက် ဖြစ်သည်။ [[Wikipedia:မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်အတွက် သတ်မှတ်ချက်များ#ဆောင်းပါးများ|မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန်အတွက် သတ်မှတ်ချက်များ]]ဖြင့် ဤသို့သော ဆောင်းပါးများသည် အချိန်မရွေး ဖျက်ပစ်ခြင်း ခံရနိုင်သည်။ ကျေးဇူးပြု၍ [[WP:N|မည်သည့်အချက်များအား ထင်ရှားအရေးပါမှုအဖြစ် လက်ခံသည်]]ဆိုခြင်းအား ဖတ်ရှုပါ။ အကယ်၍ သင့်အနေဖြင့် ဤစာမျက်နှာသည် ဤအကြောင်းပြချက်ဖြင့် ဖျက်ရန် မသင့်ဟု ယူဆပါက၊ [[:ဒလဒေါ်ခွေးမ (သိုးဆောင်းမိဖုရားကြီး)|စာမျက်နှာသို့ သွားရောက်ကာ]] "ဤမဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ခြင်းကို ကန့်ကွက်ရန်"ကို နှိပ်ပြီး '''အဆိုပြုခြင်းကို ကန့်ကွက်နိုင်သည်'''။ ဤသို့ဖြင့် သင်သည် ရှင်းပြနိုင်မည့် အခွင့်အရေး ရရှိမည် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း စာမျက်နှာတစ်ခုသည် မဆိုင်းမတွ ဖျက်ပစ်ရန် သတ်မှတ်ခံရပြီးပါက စာမျက်နှာကို ချက်ခြင်း ဖယ်ရှားပစ်နိုင်သည်ကို သတိပြုပါ။ မဆိုင်းမတွ ဖျက်ရန် သတိပေးချက်ကို သင်ကိုယ်တိုင် မဖယ်ရှားပါနှင့်။ အကယ်၍ စာမျက်နှာသည် ဖျက်ပစ်ပြီးဖြစ်ပြီး ဖျက်ပစ်ခံလိုက်ရသော အချက်အလက်များအား နောင်တွင် ကိုးကားရန် ပြန်လည်အလိုရှိပါက ကျေးဇူးပြု၍ ဖျက်ပစ်လိုက်သော စီမံခန့်ခွဲသူ (အက်ဒမင်)အား ဆက်သွယ်ပါ။ <!-- Template:Db-notability-notice --> [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:Montserrat;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၀၈:၅၂၊ ၂၀ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) 9hs47c8mus1gkdkbvyftzywjcrkz1eg 14 290071 1049426 1046752 2026-08-19T15:02:26Z Mkant00 135890 [[ကဏ္ဍ:စက်ကွင်း သီအိုရီ]] စာမျက်နှာကို [[ကဏ္ဍ:ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ]] သို့ Mkant00က ရွှေ့ခဲ့သည်: to maintain consistency with the articles 1046752 wikitext text/x-wiki {{Commonscat|Field theory (mathematics)}} [[ကဏ္ဍ:ကွင်းသီအိုရီ]] hhprmztk8c8f93xj9vwvoo26vyudbwh 0 290440 1049513 1048642 2026-08-20T03:22:35Z 延岡 137044 /* */ 1049513 wikitext text/x-wiki '''ယိုနိုမြို့''' (ဂျပန်: 与野市) သည် ယခင်က [[ဂျပန်နိုင်ငံ]] [[ဆိုက်တမခရိုင်]]တွင် တည်ရှိခဲ့သော မြို့တစ်မြို့ ဖြစ်သည်။ ၂၀၀၁ ခုနှစ် မေလ ၁ ရက်နေ့တွင် [[အူရဝါမြို့]]နှင့် [[အိုမိယမြို့]]တို့နှင့် ပေါင်းစည်းခဲ့ပြီး [[ဆိုက်တမမြို့]]ကို ဖွဲ့စည်းခဲ့သဖြင့် ယိုနိုမြို့သည် သီးခြားမြို့အဖြစ် တည်ရှိတော့ခြင်း မရှိတော့ပေ။ ယနေ့ ယိုနိုမြို့၏ ယခင်နယ်မြေသည် အဓိကအားဖြင့် [[ဆိုက်တမမြို့]]၏ [[ချူအိုရပ်ကွက်၊ ဆိုင်တမမြို့|ချူအိုရပ်ကွက်]]အဖြစ် ပါဝင်သည်။ ယိုနိုဒေသသည် အူရဝါနှင့် အိုမိယတို့ကြားတွင် တည်ရှိပြီး၊ ဆိုက်တမမြို့ကို ဖွဲ့စည်းရာတွင် ပါဝင်ခဲ့သော မြို့သုံးမြို့အနက် တစ်မြို့ ဖြစ်သည်။ {{Japan-geo-stub}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ မြို့များ]] cb52qyxe6j97zwbbawjp09w6ak0em07 0 290640 1049463 1049397 2026-08-19T20:54:36Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* လက်ရှိကာလမြို့ပြဒေသများ */ 1049463 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement <!-- See Template:Infobox settlement for additional fields and descriptions -->| name = အိုးအိတခရိုင် | native_name = {{nobold|{{lang|ja|大分県}}}} | settlement_type = [[Prefectures of Japan|Prefecture]] | translit_lang1 = Japanese | translit_lang1_type = [[Japanese language|Japanese]] | translit_lang1_info = {{lang|ja|大分県}} | translit_lang1_type1 = [[Romanization of Japanese|Rōmaji]] | translit_lang1_info1 = {{lang|ja-Latn|Ōita-ken}} | image_skyline = {{Multiple image | perrow = 1/2/2 | border = infobox | total_width = 280 | caption_align = center | image1 = Beppu Umi-jigoku04n4272.jpg | caption1 = [[Beppu Onsen]] | image2 = Handakogen.jpg | caption2 = Handa highlands | image3 = Usa Shrine Nanchu Romon.JPG | caption3 = [[Usa Jingū]] | image4 = Yuhudake.jpg | caption4 = [[Mount Yufu]] | image5 = Takasakiyama_saru.jpg | caption5 = [[Takasakiyama Natural Zoological Garden]] }} | image_flag = Flag of Oita Prefecture.svg | flag_size = 100px | image_blank_emblem = Symbol of Oita Prefecture.svg | blank_emblem_size = 80px | blank_emblem_type = Symbol | image_map = Map of Japan with highlight on 44 Oita prefecture.svg | pushpin_map = Japan | pushpin_relief = y | coordinates = {{Coord|33|14|17.47|N|131|36|45.38|E|type:adm1st_region:JP-44|display=inline,title}} | subdivision_type = Country | subdivision_name = {{flag|Japan}} | subdivision_type1 = [[List of regions of Japan|Region]] | subdivision_name1 = [[Kyushu]] | subdivision_type2 = [[List of islands of Japan|Island]] | subdivision_name2 = [[Kyushu]] | seat_type = [[List of capitals in Japan|Capital]] | seat = [[Ōita, Ōita|Ōita]] | parts_type = Subdivisions | parts_style = para | p1 = [[Districts of Japan|Districts]]: 3 | p2 = [[Municipalities of Japan|Municipalities]]: 18 | leader_title = [[List of prefectural governors in Japan|Governor]] | leader_name = [[Kiichiro Satō]] | area_total_km2 = 6340.73 | area_water_percent = 0.7 | area_rank = [[List of Japanese prefectures by area|22nd]] | population_footnotes = | population_total = 1136245 | population_as_of = June 1, 2019 | population_rank = [[List of Japanese prefectures by population|33rd]] | population_density_km2 = auto | demographics_type2 = GDP | demographics2_footnotes = <ref>{{Cite web |title=2020年度国民経済計算（2015年基準・2008SNA） : 経済社会総合研究所 - 内閣府 |url=https://www.esri.cao.go.jp/jp/sna/data/data_list/kakuhou/files/2020/2020_kaku_top.html |access-date=2023-05-18 |website=内閣府ホームページ |language=ja}}</ref> | demographics2_title1 = Total | demographics2_info1 = [[JP¥]]4,901 billion<br />[[US$]]36.2 billion (2022) | iso_code = JP-44 | website = {{URL|www.pref.oita.jp}} | module = {{Infobox place symbols| embedded=yes | country = Japan | bird = Japanese white-eye (''[[Zosterops]]&nbsp;japonica'') | fish = | flower = [[Ume|Bungo-ume]] [[blossom]] (''Prunus&nbsp;mume'' var.&nbsp;''bungo'') | tree = Bungo-ume tree (''Prunus&nbsp;mume'' var.&nbsp;''bungo'') }} }} '''အိုးအိတခရိုင်''' (大分県, Ōita-ken<ref>{{cite book|script-title=ja:NHK日本語発音アクセント新辞典|publisher=NHK Publishing|editor=NHK Broadcasting Culture Research Institute|date=24 May 2016|lang=ja}}</ref>) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]ရှိ ခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် ၂၀၂၅ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ ၁ ရက်နေ့တွင် လူဦးရေ ၁,၀၈၁,၆၄၆ ဦး ရှိသည်။ ဧရိယာ ၆,၃၄၀ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၂,၄၅၀ စတုရန်းမိုင်) ကျယ်ဝန်းသည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် အနောက်မြောက်ဘက်တွင် [[ဖုခုအိုခခရိုင်]]၊ အနောက်တောင်ဘက်တွင် [[ခုမမိုတိုခရိုင်]]၊ တောင်ဘက်တွင် [[မိယဇခိခရိုင်]]တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။<ref>Nussbaum, Louis-Frédéric. (2005). "Ōita-ken" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|''Japan Encyclopedia'', p. 742|page=742}}.</ref> အိုးအိတမြို့သည် ခရိုင်၏ မြို့တော်နှင့် အကြီးဆုံးမြို့ ဖြစ်သည်။ အခြားအဓိကမြို့များမှာ ဘက်ပုမြို့၊ နခဆွတ်မြို့နှင့် ဆိုင်းခိမြို့တို့ ဖြစ်သည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် ခယူးရှူးကျွန်း၏ အရှေ့မြောက်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ ခရိုင်သည် ရေပူစမ်းများ ရှိသည့်အတွက် ထင်ရှားသည်။ အွန်းဆန်းများ (ရေပူစမ်းများ) နှင့် ရောခန် (ဂျပန်စတိုင် တည်းခိုခန်း) များဖြင့် ခရီးသွားများအကြား ထင်ရှားသည်။ အထူးသဖြင့် ဘက်ပုမြို့ပတ်ဝန်းကျင်သည် ခရီးသွားများအကြား လူကြိုက်များသည်။ ခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ အခြားသော မည်သည့်ခရိုင်ထက်မဆို အွန်းဆန်းများ ပိုမိုများပြားစွာ တည်ရှိသည်။<ref>{{Cite web |title=日本一のおんせん県おおいた |url=https://www.pref.oita.jp/site/kids/onsen.html |access-date=2024-07-24 |website=大分県ホームページ |language=ja}}</ref> ==ပထဝီသွင်ပြင်== အိုးအိတခရိုင်သည် ခယူးရှူးကျွန်း၏ မြောက်ဘက်နှင့် အရှေ့ဘက်ပိုင်းတွင် တည်ရှိသည်။ အရှေ့မှ အနောက်သို့ ၁၁၉ ကီလိုမီတာ (၇၄ မိုင်)၊ မြောက်ဘက်မှ တောင်ဘက်သို့ ၁၀၆ ကီလိုမီတာ (၆၆ မိုင်) ရှည်လျားသည်။ စုစုပေါင်းဧရိယာ ၆,၃၄၀.၇၁ စတုရန်းကီလိုမီတာ ကျယ်ဝန်းသည်။ ခရိုသည် မြောက်ဘက်တွင် ဆုအိုရေကြောင်းနှင့် ဟွန်းရှူးကျွန်း၊ အရှေ့ဘက်တွင် အိယောရေကြောင်းနှင့် ရှိခိုခုကျွန်း၊ တောင်ဘက်တွင် မိယဇခခရိုင်၊ အနောက်ဘက်တွင် ဖုခုအိုခခရိုင်နှင့် ခုမမိုတိုခရိုင်တို့ ဝန်းရံတည်ရှိသည်။ ခရိုင်၏ မြောက်ဘက်နှင့် တောင်ဘက်ခြမ်းကို အိုးအိတခရိုင်၊ အဆုခိမြို့မှ ခုမမိုတိုခရိုင်၊ ယဆွတ်ရှိရိုမြို့အထိ ရှည်လျားစွာတည်ရှိနေသည့် ပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းဖြင့် ပိုင်းခြားထားသည်။ ၎င်းပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းသည် အိုးအိတမြို့၏ အနောက်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ ခရိုင်ကို အရှေ့မှ အနောက်သို့ ဖြတ်သန်းတည်ရှိနေသည့် အခြားပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းများ များစွာ ရှိသည်။ ခရိုင်၏ မြောက်ဘက်ပိုင်းသည် granite နှင့် metamorphic ကျောက်ဆောင်များဖြစ်ပြီး၊ တောင်ဘက်ပိုင်းဧရိယာသည် ထုံးကျောက်အမျိုးအစား ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ခရိုင်တောင်ဘက်ခြမ်းတွင် ဆွတ်ခုမိဘိလပ်မြေစက်ရုံနှင့် များစွာသော ထုံးကျောက်ဂူများ တည်ရှိသည်။ ခိရိရှိမတောင်တန်းသည် မီးတောင်ကြောတစ်ခုဖြစ်ပြီး ခရိုင်ကို ထောင်လိုက်အနေအထားဖြင့် ဖြတ်သန်းတည်ရှိသည်။ ဤတောင်ကြောတွင် များစွာသော ရေပူစမ်းရင်းမြစ်များနှင့် ဂူများ တည်ရှိသည်။ ရေပူစမ်းများစွာတည်ရှိသဖြင့် ခရီးသွားများအကြား ထင်ရှားသည့်နေရာဖြစ်သည်။ ရေပူစမ်းအရေအတွက်သည် ဂျပန်တစ်နိုင်ငံလုံးတွင် အများဆုံး ဖြစ်သည်။<ref>Ōita Prefectural Government. (2009). ''Reassurance, Vitality & Growth of Ōita Prefecture,'' p. 5.</ref> ခရိုင်အတွင်းတွင် ယုဖုတောင်၊ ဆွတ်ရုမိတောင်၊ ဆိုဘိုတောင်နှင့် ခုဂျူးတောင်တို့ တည်ရှိသည်။ တောင်တန်းများတည်ရှိသဖြင့် ခရိုင်၏ ၇၀ ရာခိုင်နှုန်းသည် တောများဖြင့် လွှမ်းနေသည်။ ထိုတောင်တန်းများမှ စီးဆင်းဖြစ်တည်လာသည့် မြစ်များနှင့် ချောင်းများမှတဆင့် ခရိုင်တွင် သုံးစွဲရန်ရေများကို ပေါကြွယ်ဝစွာ ရရှိသည်။ ခရိုင်၏ အဓိကရေအရင်းအမြစ်များမှာ ယမခုနိမြစ် (ဟဲဆဲအိုဇဲခိဆည်နှင့် ယဘခဲဆည်)၊ ယက်ခန်းမြစ်၊ အိုးအိတမြစ်၊ အိုးနိုမြစ် (ဟခုဆုအိဆည်)နှင့် ဘန်းဂျောမြစ်တို့ ဖြစ်သည်။ ပင်လယ်ကမ်းခြေဘက်ခြမ်းတွင် ဘက်ပုပင်လယ်အော်နှင့် ဘွန်းဂိုရေကြောင်းလမ်းများ တည်ရှိသည်။ [[File:Kuju_Mountains_and_Kuju_Plateau.jpg|thumb|[[Mount Kujū|ခုဂျူးတောင်တန်း]]]] [[ခုဂျူးတောင်]]သည် ခုဂျူးကုန်းမြင့်ဒေသနှင့် ဟန်းဒကုန်းမြင့်ဒေသတို့က ဝန်းရံထားသည့် မီးတောင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ခုဂျူးတောင်၏ မြောက်ဘက်နှင့် တောင်ဘက်ရှိ မြက်ခင်းပြင်များတွင် နို့စားနွားမွေးမြူရေးလုပ်ငန်းများကို လုပ်ကိုင်ကြသည်။ ခရိုင်တစ်ခုလုံးတွင် လွင်ပြင်ဒေသများစွာ ရှိပြီး မြောက်ဘက်တွင် နခဆွတ်လွင်ပြင်၊ အလယ်တွင် အိုးအိတလွင်ပြင်နှင့် တောင်ဘက်တွင် ဆိုင်းခိလွင်ပြင်တို့ တည်ရှိသည်။ ခရိုင်၏ ကုန်းတွင်းပိုင်းဧရိယာတွင် ဟိတ၊ ခုဆု၊ ယုဖုအင်းနှင့် တခဲတမြို့များ တည်ရှိသည်။ ၂၀၁၄ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့အချက်အလက်များအရ ခရိုင်ကုန်းမြေဧရိယာ၏ ၂၈ ရာခိုင်နှုန်းသည် အမျိုးသားဥယျာဉ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့တွင် အဆိုခုဂျူးနှင့် ဆဲတိုနိုင်းခိုင်းအမျိုးသားဥယျာဉ်၊ နစ်ပိုးခိုင်းဂန်း၊ ဆိုဘို - ခတမုခိနှင့် ယဘ - ဟိတ - ဟိခိုဆန်အမျိုးသားဥယျာဉ်၊ ဘွန်းဂိုဆုအိဒိုး၊ ဂျင်းခုခုဂျိဆဲရိခဝ၊ ခနိဆခိဟန်းတိုး၊ ဆိုဘိခတမုခိနှင့် ဆွတ်အဲဆန်းခဲစီရင်စုအမျိုးသားဥယျာဉ်များတို့ ပါဝင်သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |title=General overview of area figures for Natural Parks by prefecture |publisher=[[Ministry of the Environment (Japan)|Ministry of the Environment]] |date=April 1, 2014 |access-date=February 8, 2015}}</ref> ===လက်ရှိကာလမြို့ပြဒေသများ=== {{See also|အိုးအိတခရိုင်ရှိ လူဦးရေအလိုက် မြို့များ}} [[Image:Oita takasago.jpg|thumb|right|အိုးအိတမြို့]] [[Image:Kizan park Distant view.jpg|thumb|right|ဟိတမြို့]] [[File:View of Beppu 20170218.jpg|thumb|right|ဘက်ပုမြို့]] [[Image:Panorama view of Yufuin.jpg|thumb|right|ယုဖုမြို့]] [[Image:Lookout from Saiki castle ruins.jpg|thumb|right|ဆိုင်းခိမြို့]] လက်ရှိအချိန်တွင် အိုးအိတခရိုင်တွင် မြို့ ၁၄ ခု၊ မြို့ငယ် ၃ ခုနှင့် ရွာတစ်ရွာ ရှိသည်။ {{Location map+ | Japan Oita Prefecture | AlternativeMap = Map of Oita Prefecture Ja.svg | width = 650 | float = none | caption = Municipalities in Ōita Prefecture {{legend0|#EAB|City}} {{legend0|#ED9|Town}} | places = {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Beppu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">別府市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Beppu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.28 | lon_deg = 131.45 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Bungo-Ōno]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">豊後大野市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Bungoono, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 32.98 | lon_deg = 131.47 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Bungotakada, Ōita|Bungotakada]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">豊後高田市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Bungotakada, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.57 | lon_deg = 131.42 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Hita, Ōita|Hita]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">日田市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Hita, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.25 | lon_deg = 130.91 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kitsuki, Ōita|Kitsuki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">杵築市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kitsuki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.47 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kunisaki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">国東市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kunisaki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.54 | lon_deg = 131.62 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Nakatsu, Ōita|Nakatsu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">中津市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Nakatsu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.07 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Ōita (city)|Ōita]] (capital)</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">大分市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Oita, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.6 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Saiki, Ōita|Saiki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">佐伯市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Saiki, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 32.9 | lon_deg = 131.75 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Taketa, Ōita|Taketa]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">竹田市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Taketa, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33 | lon_deg = 131.3 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Tsukumi, Ōita|Tsukumi]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">津久見市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Tsukumi, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.07 | lon_deg = 131.83 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Usa, Ōita|Usa]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">宇佐市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Usa, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.3 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Usuki, Ōita|Usuki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">臼杵市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Usuki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.03 | lon_deg = 131.7 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Yufu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">由布市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Yufu, Oita (no text).svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.36 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Hiji]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">日出町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Hiji, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.38 | lon_deg = 131.53 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Himeshima, Ōita|Himeshima]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">姫島村</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Himeshima, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.73 | lon_deg = 131.66 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kokonoe, Ōita|Kokonoe]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">九重町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kokonoe, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.15 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kusu, Ōita|Kusu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">玖珠町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kusu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.32 | lon_deg = 131.12 }} }} ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ]] sx3y75ck8bnjknbkm6u60f0pjupto7p 1049465 1049463 2026-08-19T20:59:27Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* လက်ရှိကာလမြို့ပြဒေသများ */ 1049465 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement <!-- See Template:Infobox settlement for additional fields and descriptions -->| name = အိုးအိတခရိုင် | native_name = {{nobold|{{lang|ja|大分県}}}} | settlement_type = [[Prefectures of Japan|Prefecture]] | translit_lang1 = Japanese | translit_lang1_type = [[Japanese language|Japanese]] | translit_lang1_info = {{lang|ja|大分県}} | translit_lang1_type1 = [[Romanization of Japanese|Rōmaji]] | translit_lang1_info1 = {{lang|ja-Latn|Ōita-ken}} | image_skyline = {{Multiple image | perrow = 1/2/2 | border = infobox | total_width = 280 | caption_align = center | image1 = Beppu Umi-jigoku04n4272.jpg | caption1 = [[Beppu Onsen]] | image2 = Handakogen.jpg | caption2 = Handa highlands | image3 = Usa Shrine Nanchu Romon.JPG | caption3 = [[Usa Jingū]] | image4 = Yuhudake.jpg | caption4 = [[Mount Yufu]] | image5 = Takasakiyama_saru.jpg | caption5 = [[Takasakiyama Natural Zoological Garden]] }} | image_flag = Flag of Oita Prefecture.svg | flag_size = 100px | image_blank_emblem = Symbol of Oita Prefecture.svg | blank_emblem_size = 80px | blank_emblem_type = Symbol | image_map = Map of Japan with highlight on 44 Oita prefecture.svg | pushpin_map = Japan | pushpin_relief = y | coordinates = {{Coord|33|14|17.47|N|131|36|45.38|E|type:adm1st_region:JP-44|display=inline,title}} | subdivision_type = Country | subdivision_name = {{flag|Japan}} | subdivision_type1 = [[List of regions of Japan|Region]] | subdivision_name1 = [[Kyushu]] | subdivision_type2 = [[List of islands of Japan|Island]] | subdivision_name2 = [[Kyushu]] | seat_type = [[List of capitals in Japan|Capital]] | seat = [[Ōita, Ōita|Ōita]] | parts_type = Subdivisions | parts_style = para | p1 = [[Districts of Japan|Districts]]: 3 | p2 = [[Municipalities of Japan|Municipalities]]: 18 | leader_title = [[List of prefectural governors in Japan|Governor]] | leader_name = [[Kiichiro Satō]] | area_total_km2 = 6340.73 | area_water_percent = 0.7 | area_rank = [[List of Japanese prefectures by area|22nd]] | population_footnotes = | population_total = 1136245 | population_as_of = June 1, 2019 | population_rank = [[List of Japanese prefectures by population|33rd]] | population_density_km2 = auto | demographics_type2 = GDP | demographics2_footnotes = <ref>{{Cite web |title=2020年度国民経済計算（2015年基準・2008SNA） : 経済社会総合研究所 - 内閣府 |url=https://www.esri.cao.go.jp/jp/sna/data/data_list/kakuhou/files/2020/2020_kaku_top.html |access-date=2023-05-18 |website=内閣府ホームページ |language=ja}}</ref> | demographics2_title1 = Total | demographics2_info1 = [[JP¥]]4,901 billion<br />[[US$]]36.2 billion (2022) | iso_code = JP-44 | website = {{URL|www.pref.oita.jp}} | module = {{Infobox place symbols| embedded=yes | country = Japan | bird = Japanese white-eye (''[[Zosterops]]&nbsp;japonica'') | fish = | flower = [[Ume|Bungo-ume]] [[blossom]] (''Prunus&nbsp;mume'' var.&nbsp;''bungo'') | tree = Bungo-ume tree (''Prunus&nbsp;mume'' var.&nbsp;''bungo'') }} }} '''အိုးအိတခရိုင်''' (大分県, Ōita-ken<ref>{{cite book|script-title=ja:NHK日本語発音アクセント新辞典|publisher=NHK Publishing|editor=NHK Broadcasting Culture Research Institute|date=24 May 2016|lang=ja}}</ref>) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]ရှိ ခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် ၂၀၂၅ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ ၁ ရက်နေ့တွင် လူဦးရေ ၁,၀၈၁,၆၄၆ ဦး ရှိသည်။ ဧရိယာ ၆,၃၄၀ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၂,၄၅၀ စတုရန်းမိုင်) ကျယ်ဝန်းသည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် အနောက်မြောက်ဘက်တွင် [[ဖုခုအိုခခရိုင်]]၊ အနောက်တောင်ဘက်တွင် [[ခုမမိုတိုခရိုင်]]၊ တောင်ဘက်တွင် [[မိယဇခိခရိုင်]]တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။<ref>Nussbaum, Louis-Frédéric. (2005). "Ōita-ken" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|''Japan Encyclopedia'', p. 742|page=742}}.</ref> အိုးအိတမြို့သည် ခရိုင်၏ မြို့တော်နှင့် အကြီးဆုံးမြို့ ဖြစ်သည်။ အခြားအဓိကမြို့များမှာ ဘက်ပုမြို့၊ နခဆွတ်မြို့နှင့် ဆိုင်းခိမြို့တို့ ဖြစ်သည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် ခယူးရှူးကျွန်း၏ အရှေ့မြောက်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ ခရိုင်သည် ရေပူစမ်းများ ရှိသည့်အတွက် ထင်ရှားသည်။ အွန်းဆန်းများ (ရေပူစမ်းများ) နှင့် ရောခန် (ဂျပန်စတိုင် တည်းခိုခန်း) များဖြင့် ခရီးသွားများအကြား ထင်ရှားသည်။ အထူးသဖြင့် ဘက်ပုမြို့ပတ်ဝန်းကျင်သည် ခရီးသွားများအကြား လူကြိုက်များသည်။ ခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ အခြားသော မည်သည့်ခရိုင်ထက်မဆို အွန်းဆန်းများ ပိုမိုများပြားစွာ တည်ရှိသည်။<ref>{{Cite web |title=日本一のおんせん県おおいた |url=https://www.pref.oita.jp/site/kids/onsen.html |access-date=2024-07-24 |website=大分県ホームページ |language=ja}}</ref> ==ပထဝီသွင်ပြင်== အိုးအိတခရိုင်သည် ခယူးရှူးကျွန်း၏ မြောက်ဘက်နှင့် အရှေ့ဘက်ပိုင်းတွင် တည်ရှိသည်။ အရှေ့မှ အနောက်သို့ ၁၁၉ ကီလိုမီတာ (၇၄ မိုင်)၊ မြောက်ဘက်မှ တောင်ဘက်သို့ ၁၀၆ ကီလိုမီတာ (၆၆ မိုင်) ရှည်လျားသည်။ စုစုပေါင်းဧရိယာ ၆,၃၄၀.၇၁ စတုရန်းကီလိုမီတာ ကျယ်ဝန်းသည်။ ခရိုသည် မြောက်ဘက်တွင် ဆုအိုရေကြောင်းနှင့် ဟွန်းရှူးကျွန်း၊ အရှေ့ဘက်တွင် အိယောရေကြောင်းနှင့် ရှိခိုခုကျွန်း၊ တောင်ဘက်တွင် မိယဇခခရိုင်၊ အနောက်ဘက်တွင် ဖုခုအိုခခရိုင်နှင့် ခုမမိုတိုခရိုင်တို့ ဝန်းရံတည်ရှိသည်။ ခရိုင်၏ မြောက်ဘက်နှင့် တောင်ဘက်ခြမ်းကို အိုးအိတခရိုင်၊ အဆုခိမြို့မှ ခုမမိုတိုခရိုင်၊ ယဆွတ်ရှိရိုမြို့အထိ ရှည်လျားစွာတည်ရှိနေသည့် ပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းဖြင့် ပိုင်းခြားထားသည်။ ၎င်းပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းသည် အိုးအိတမြို့၏ အနောက်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ ခရိုင်ကို အရှေ့မှ အနောက်သို့ ဖြတ်သန်းတည်ရှိနေသည့် အခြားပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းများ များစွာ ရှိသည်။ ခရိုင်၏ မြောက်ဘက်ပိုင်းသည် granite နှင့် metamorphic ကျောက်ဆောင်များဖြစ်ပြီး၊ တောင်ဘက်ပိုင်းဧရိယာသည် ထုံးကျောက်အမျိုးအစား ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ခရိုင်တောင်ဘက်ခြမ်းတွင် ဆွတ်ခုမိဘိလပ်မြေစက်ရုံနှင့် များစွာသော ထုံးကျောက်ဂူများ တည်ရှိသည်။ ခိရိရှိမတောင်တန်းသည် မီးတောင်ကြောတစ်ခုဖြစ်ပြီး ခရိုင်ကို ထောင်လိုက်အနေအထားဖြင့် ဖြတ်သန်းတည်ရှိသည်။ ဤတောင်ကြောတွင် များစွာသော ရေပူစမ်းရင်းမြစ်များနှင့် ဂူများ တည်ရှိသည်။ ရေပူစမ်းများစွာတည်ရှိသဖြင့် ခရီးသွားများအကြား ထင်ရှားသည့်နေရာဖြစ်သည်။ ရေပူစမ်းအရေအတွက်သည် ဂျပန်တစ်နိုင်ငံလုံးတွင် အများဆုံး ဖြစ်သည်။<ref>Ōita Prefectural Government. (2009). ''Reassurance, Vitality & Growth of Ōita Prefecture,'' p. 5.</ref> ခရိုင်အတွင်းတွင် ယုဖုတောင်၊ ဆွတ်ရုမိတောင်၊ ဆိုဘိုတောင်နှင့် ခုဂျူးတောင်တို့ တည်ရှိသည်။ တောင်တန်းများတည်ရှိသဖြင့် ခရိုင်၏ ၇၀ ရာခိုင်နှုန်းသည် တောများဖြင့် လွှမ်းနေသည်။ ထိုတောင်တန်းများမှ စီးဆင်းဖြစ်တည်လာသည့် မြစ်များနှင့် ချောင်းများမှတဆင့် ခရိုင်တွင် သုံးစွဲရန်ရေများကို ပေါကြွယ်ဝစွာ ရရှိသည်။ ခရိုင်၏ အဓိကရေအရင်းအမြစ်များမှာ ယမခုနိမြစ် (ဟဲဆဲအိုဇဲခိဆည်နှင့် ယဘခဲဆည်)၊ ယက်ခန်းမြစ်၊ အိုးအိတမြစ်၊ အိုးနိုမြစ် (ဟခုဆုအိဆည်)နှင့် ဘန်းဂျောမြစ်တို့ ဖြစ်သည်။ ပင်လယ်ကမ်းခြေဘက်ခြမ်းတွင် ဘက်ပုပင်လယ်အော်နှင့် ဘွန်းဂိုရေကြောင်းလမ်းများ တည်ရှိသည်။ [[File:Kuju_Mountains_and_Kuju_Plateau.jpg|thumb|[[Mount Kujū|ခုဂျူးတောင်တန်း]]]] [[ခုဂျူးတောင်]]သည် ခုဂျူးကုန်းမြင့်ဒေသနှင့် ဟန်းဒကုန်းမြင့်ဒေသတို့က ဝန်းရံထားသည့် မီးတောင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ခုဂျူးတောင်၏ မြောက်ဘက်နှင့် တောင်ဘက်ရှိ မြက်ခင်းပြင်များတွင် နို့စားနွားမွေးမြူရေးလုပ်ငန်းများကို လုပ်ကိုင်ကြသည်။ ခရိုင်တစ်ခုလုံးတွင် လွင်ပြင်ဒေသများစွာ ရှိပြီး မြောက်ဘက်တွင် နခဆွတ်လွင်ပြင်၊ အလယ်တွင် အိုးအိတလွင်ပြင်နှင့် တောင်ဘက်တွင် ဆိုင်းခိလွင်ပြင်တို့ တည်ရှိသည်။ ခရိုင်၏ ကုန်းတွင်းပိုင်းဧရိယာတွင် ဟိတ၊ ခုဆု၊ ယုဖုအင်းနှင့် တခဲတမြို့များ တည်ရှိသည်။ ၂၀၁၄ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့အချက်အလက်များအရ ခရိုင်ကုန်းမြေဧရိယာ၏ ၂၈ ရာခိုင်နှုန်းသည် အမျိုးသားဥယျာဉ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့တွင် အဆိုခုဂျူးနှင့် ဆဲတိုနိုင်းခိုင်းအမျိုးသားဥယျာဉ်၊ နစ်ပိုးခိုင်းဂန်း၊ ဆိုဘို - ခတမုခိနှင့် ယဘ - ဟိတ - ဟိခိုဆန်အမျိုးသားဥယျာဉ်၊ ဘွန်းဂိုဆုအိဒိုး၊ ဂျင်းခုခုဂျိဆဲရိခဝ၊ ခနိဆခိဟန်းတိုး၊ ဆိုဘိခတမုခိနှင့် ဆွတ်အဲဆန်းခဲစီရင်စုအမျိုးသားဥယျာဉ်များတို့ ပါဝင်သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |title=General overview of area figures for Natural Parks by prefecture |publisher=[[Ministry of the Environment (Japan)|Ministry of the Environment]] |date=April 1, 2014 |access-date=February 8, 2015}}</ref> ===လက်ရှိကာလမြို့ပြနှင့် ဒေသများ=== {{See also|အိုးအိတခရိုင်ရှိ လူဦးရေအလိုက် မြို့များ}} [[Image:Oita takasago.jpg|thumb|right|အိုးအိတမြို့]] [[Image:Kizan park Distant view.jpg|thumb|right|ဟိတမြို့]] [[File:View of Beppu 20170218.jpg|thumb|right|ဘက်ပုမြို့]] [[Image:Panorama view of Yufuin.jpg|thumb|right|ယုဖုမြို့]] [[Image:Lookout from Saiki castle ruins.jpg|thumb|right|ဆိုင်းခိမြို့]] လက်ရှိအချိန်တွင် အိုးအိတခရိုင်တွင် မြို့ ၁၄ ခု၊ မြို့ငယ် ၃ ခုနှင့် ရွာတစ်ရွာ ရှိသည်။ {{Location map+ | Japan Oita Prefecture | AlternativeMap = Map of Oita Prefecture Ja.svg | width = 650 | float = none | caption = Municipalities in Ōita Prefecture {{legend0|#EAB|City}} {{legend0|#ED9|Town}} | places = {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Beppu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">別府市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Beppu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.28 | lon_deg = 131.45 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Bungo-Ōno]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">豊後大野市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Bungoono, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 32.98 | lon_deg = 131.47 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Bungotakada, Ōita|Bungotakada]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">豊後高田市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Bungotakada, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.57 | lon_deg = 131.42 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Hita, Ōita|Hita]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">日田市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Hita, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.25 | lon_deg = 130.91 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kitsuki, Ōita|Kitsuki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">杵築市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kitsuki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.47 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kunisaki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">国東市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kunisaki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.54 | lon_deg = 131.62 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Nakatsu, Ōita|Nakatsu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">中津市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Nakatsu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.07 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Ōita (city)|Ōita]] (capital)</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">大分市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Oita, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.6 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Saiki, Ōita|Saiki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">佐伯市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Saiki, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 32.9 | lon_deg = 131.75 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Taketa, Ōita|Taketa]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">竹田市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Taketa, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33 | lon_deg = 131.3 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Tsukumi, Ōita|Tsukumi]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">津久見市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Tsukumi, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.07 | lon_deg = 131.83 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Usa, Ōita|Usa]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">宇佐市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Usa, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.3 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Usuki, Ōita|Usuki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">臼杵市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Usuki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.03 | lon_deg = 131.7 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Yufu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">由布市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Yufu, Oita (no text).svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.36 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Hiji]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">日出町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Hiji, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.38 | lon_deg = 131.53 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Himeshima, Ōita|Himeshima]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">姫島村</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Himeshima, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.73 | lon_deg = 131.66 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kokonoe, Ōita|Kokonoe]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">九重町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kokonoe, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.15 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kusu, Ōita|Kusu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">玖珠町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kusu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.32 | lon_deg = 131.12 }} }} ==မြို့ပြများ== ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ]] 7616es5aucktneh5syolklkhhppeyyp 1049466 1049465 2026-08-19T21:00:50Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* မြို့ပြများ */ 1049466 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement <!-- See Template:Infobox settlement for additional fields and descriptions -->| name = အိုးအိတခရိုင် | native_name = {{nobold|{{lang|ja|大分県}}}} | settlement_type = [[Prefectures of Japan|Prefecture]] | translit_lang1 = Japanese | translit_lang1_type = [[Japanese language|Japanese]] | translit_lang1_info = {{lang|ja|大分県}} | translit_lang1_type1 = [[Romanization of Japanese|Rōmaji]] | translit_lang1_info1 = {{lang|ja-Latn|Ōita-ken}} | image_skyline = {{Multiple image | perrow = 1/2/2 | border = infobox | total_width = 280 | caption_align = center | image1 = Beppu Umi-jigoku04n4272.jpg | caption1 = [[Beppu Onsen]] | image2 = Handakogen.jpg | caption2 = Handa highlands | image3 = Usa Shrine Nanchu Romon.JPG | caption3 = [[Usa Jingū]] | image4 = Yuhudake.jpg | caption4 = [[Mount Yufu]] | image5 = Takasakiyama_saru.jpg | caption5 = [[Takasakiyama Natural Zoological Garden]] }} | image_flag = Flag of Oita Prefecture.svg | flag_size = 100px | image_blank_emblem = Symbol of Oita Prefecture.svg | blank_emblem_size = 80px | blank_emblem_type = Symbol | image_map = Map of Japan with highlight on 44 Oita prefecture.svg | pushpin_map = Japan | pushpin_relief = y | coordinates = {{Coord|33|14|17.47|N|131|36|45.38|E|type:adm1st_region:JP-44|display=inline,title}} | subdivision_type = Country | subdivision_name = {{flag|Japan}} | subdivision_type1 = [[List of regions of Japan|Region]] | subdivision_name1 = [[Kyushu]] | subdivision_type2 = [[List of islands of Japan|Island]] | subdivision_name2 = [[Kyushu]] | seat_type = [[List of capitals in Japan|Capital]] | seat = [[Ōita, Ōita|Ōita]] | parts_type = Subdivisions | parts_style = para | p1 = [[Districts of Japan|Districts]]: 3 | p2 = [[Municipalities of Japan|Municipalities]]: 18 | leader_title = [[List of prefectural governors in Japan|Governor]] | leader_name = [[Kiichiro Satō]] | area_total_km2 = 6340.73 | area_water_percent = 0.7 | area_rank = [[List of Japanese prefectures by area|22nd]] | population_footnotes = | population_total = 1136245 | population_as_of = June 1, 2019 | population_rank = [[List of Japanese prefectures by population|33rd]] | population_density_km2 = auto | demographics_type2 = GDP | demographics2_footnotes = <ref>{{Cite web |title=2020年度国民経済計算（2015年基準・2008SNA） : 経済社会総合研究所 - 内閣府 |url=https://www.esri.cao.go.jp/jp/sna/data/data_list/kakuhou/files/2020/2020_kaku_top.html |access-date=2023-05-18 |website=内閣府ホームページ |language=ja}}</ref> | demographics2_title1 = Total | demographics2_info1 = [[JP¥]]4,901 billion<br />[[US$]]36.2 billion (2022) | iso_code = JP-44 | website = {{URL|www.pref.oita.jp}} | module = {{Infobox place symbols| embedded=yes | country = Japan | bird = Japanese white-eye (''[[Zosterops]]&nbsp;japonica'') | fish = | flower = [[Ume|Bungo-ume]] [[blossom]] (''Prunus&nbsp;mume'' var.&nbsp;''bungo'') | tree = Bungo-ume tree (''Prunus&nbsp;mume'' var.&nbsp;''bungo'') }} }} '''အိုးအိတခရိုင်''' (大分県, Ōita-ken<ref>{{cite book|script-title=ja:NHK日本語発音アクセント新辞典|publisher=NHK Publishing|editor=NHK Broadcasting Culture Research Institute|date=24 May 2016|lang=ja}}</ref>) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]ရှိ ခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် ၂၀၂၅ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ ၁ ရက်နေ့တွင် လူဦးရေ ၁,၀၈၁,၆၄၆ ဦး ရှိသည်။ ဧရိယာ ၆,၃၄၀ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၂,၄၅၀ စတုရန်းမိုင်) ကျယ်ဝန်းသည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် အနောက်မြောက်ဘက်တွင် [[ဖုခုအိုခခရိုင်]]၊ အနောက်တောင်ဘက်တွင် [[ခုမမိုတိုခရိုင်]]၊ တောင်ဘက်တွင် [[မိယဇခိခရိုင်]]တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။<ref>Nussbaum, Louis-Frédéric. (2005). "Ōita-ken" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|''Japan Encyclopedia'', p. 742|page=742}}.</ref> အိုးအိတမြို့သည် ခရိုင်၏ မြို့တော်နှင့် အကြီးဆုံးမြို့ ဖြစ်သည်။ အခြားအဓိကမြို့များမှာ ဘက်ပုမြို့၊ နခဆွတ်မြို့နှင့် ဆိုင်းခိမြို့တို့ ဖြစ်သည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် ခယူးရှူးကျွန်း၏ အရှေ့မြောက်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ ခရိုင်သည် ရေပူစမ်းများ ရှိသည့်အတွက် ထင်ရှားသည်။ အွန်းဆန်းများ (ရေပူစမ်းများ) နှင့် ရောခန် (ဂျပန်စတိုင် တည်းခိုခန်း) များဖြင့် ခရီးသွားများအကြား ထင်ရှားသည်။ အထူးသဖြင့် ဘက်ပုမြို့ပတ်ဝန်းကျင်သည် ခရီးသွားများအကြား လူကြိုက်များသည်။ ခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ အခြားသော မည်သည့်ခရိုင်ထက်မဆို အွန်းဆန်းများ ပိုမိုများပြားစွာ တည်ရှိသည်။<ref>{{Cite web |title=日本一のおんせん県おおいた |url=https://www.pref.oita.jp/site/kids/onsen.html |access-date=2024-07-24 |website=大分県ホームページ |language=ja}}</ref> ==ပထဝီသွင်ပြင်== အိုးအိတခရိုင်သည် ခယူးရှူးကျွန်း၏ မြောက်ဘက်နှင့် အရှေ့ဘက်ပိုင်းတွင် တည်ရှိသည်။ အရှေ့မှ အနောက်သို့ ၁၁၉ ကီလိုမီတာ (၇၄ မိုင်)၊ မြောက်ဘက်မှ တောင်ဘက်သို့ ၁၀၆ ကီလိုမီတာ (၆၆ မိုင်) ရှည်လျားသည်။ စုစုပေါင်းဧရိယာ ၆,၃၄၀.၇၁ စတုရန်းကီလိုမီတာ ကျယ်ဝန်းသည်။ ခရိုသည် မြောက်ဘက်တွင် ဆုအိုရေကြောင်းနှင့် ဟွန်းရှူးကျွန်း၊ အရှေ့ဘက်တွင် အိယောရေကြောင်းနှင့် ရှိခိုခုကျွန်း၊ တောင်ဘက်တွင် မိယဇခခရိုင်၊ အနောက်ဘက်တွင် ဖုခုအိုခခရိုင်နှင့် ခုမမိုတိုခရိုင်တို့ ဝန်းရံတည်ရှိသည်။ ခရိုင်၏ မြောက်ဘက်နှင့် တောင်ဘက်ခြမ်းကို အိုးအိတခရိုင်၊ အဆုခိမြို့မှ ခုမမိုတိုခရိုင်၊ ယဆွတ်ရှိရိုမြို့အထိ ရှည်လျားစွာတည်ရှိနေသည့် ပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းဖြင့် ပိုင်းခြားထားသည်။ ၎င်းပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းသည် အိုးအိတမြို့၏ အနောက်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ ခရိုင်ကို အရှေ့မှ အနောက်သို့ ဖြတ်သန်းတည်ရှိနေသည့် အခြားပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းများ များစွာ ရှိသည်။ ခရိုင်၏ မြောက်ဘက်ပိုင်းသည် granite နှင့် metamorphic ကျောက်ဆောင်များဖြစ်ပြီး၊ တောင်ဘက်ပိုင်းဧရိယာသည် ထုံးကျောက်အမျိုးအစား ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ခရိုင်တောင်ဘက်ခြမ်းတွင် ဆွတ်ခုမိဘိလပ်မြေစက်ရုံနှင့် များစွာသော ထုံးကျောက်ဂူများ တည်ရှိသည်။ ခိရိရှိမတောင်တန်းသည် မီးတောင်ကြောတစ်ခုဖြစ်ပြီး ခရိုင်ကို ထောင်လိုက်အနေအထားဖြင့် ဖြတ်သန်းတည်ရှိသည်။ ဤတောင်ကြောတွင် များစွာသော ရေပူစမ်းရင်းမြစ်များနှင့် ဂူများ တည်ရှိသည်။ ရေပူစမ်းများစွာတည်ရှိသဖြင့် ခရီးသွားများအကြား ထင်ရှားသည့်နေရာဖြစ်သည်။ ရေပူစမ်းအရေအတွက်သည် ဂျပန်တစ်နိုင်ငံလုံးတွင် အများဆုံး ဖြစ်သည်။<ref>Ōita Prefectural Government. (2009). ''Reassurance, Vitality & Growth of Ōita Prefecture,'' p. 5.</ref> ခရိုင်အတွင်းတွင် ယုဖုတောင်၊ ဆွတ်ရုမိတောင်၊ ဆိုဘိုတောင်နှင့် ခုဂျူးတောင်တို့ တည်ရှိသည်။ တောင်တန်းများတည်ရှိသဖြင့် ခရိုင်၏ ၇၀ ရာခိုင်နှုန်းသည် တောများဖြင့် လွှမ်းနေသည်။ ထိုတောင်တန်းများမှ စီးဆင်းဖြစ်တည်လာသည့် မြစ်များနှင့် ချောင်းများမှတဆင့် ခရိုင်တွင် သုံးစွဲရန်ရေများကို ပေါကြွယ်ဝစွာ ရရှိသည်။ ခရိုင်၏ အဓိကရေအရင်းအမြစ်များမှာ ယမခုနိမြစ် (ဟဲဆဲအိုဇဲခိဆည်နှင့် ယဘခဲဆည်)၊ ယက်ခန်းမြစ်၊ အိုးအိတမြစ်၊ အိုးနိုမြစ် (ဟခုဆုအိဆည်)နှင့် ဘန်းဂျောမြစ်တို့ ဖြစ်သည်။ ပင်လယ်ကမ်းခြေဘက်ခြမ်းတွင် ဘက်ပုပင်လယ်အော်နှင့် ဘွန်းဂိုရေကြောင်းလမ်းများ တည်ရှိသည်။ [[File:Kuju_Mountains_and_Kuju_Plateau.jpg|thumb|[[Mount Kujū|ခုဂျူးတောင်တန်း]]]] [[ခုဂျူးတောင်]]သည် ခုဂျူးကုန်းမြင့်ဒေသနှင့် ဟန်းဒကုန်းမြင့်ဒေသတို့က ဝန်းရံထားသည့် မီးတောင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ခုဂျူးတောင်၏ မြောက်ဘက်နှင့် တောင်ဘက်ရှိ မြက်ခင်းပြင်များတွင် နို့စားနွားမွေးမြူရေးလုပ်ငန်းများကို လုပ်ကိုင်ကြသည်။ ခရိုင်တစ်ခုလုံးတွင် လွင်ပြင်ဒေသများစွာ ရှိပြီး မြောက်ဘက်တွင် နခဆွတ်လွင်ပြင်၊ အလယ်တွင် အိုးအိတလွင်ပြင်နှင့် တောင်ဘက်တွင် ဆိုင်းခိလွင်ပြင်တို့ တည်ရှိသည်။ ခရိုင်၏ ကုန်းတွင်းပိုင်းဧရိယာတွင် ဟိတ၊ ခုဆု၊ ယုဖုအင်းနှင့် တခဲတမြို့များ တည်ရှိသည်။ ၂၀၁၄ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့အချက်အလက်များအရ ခရိုင်ကုန်းမြေဧရိယာ၏ ၂၈ ရာခိုင်နှုန်းသည် အမျိုးသားဥယျာဉ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့တွင် အဆိုခုဂျူးနှင့် ဆဲတိုနိုင်းခိုင်းအမျိုးသားဥယျာဉ်၊ နစ်ပိုးခိုင်းဂန်း၊ ဆိုဘို - ခတမုခိနှင့် ယဘ - ဟိတ - ဟိခိုဆန်အမျိုးသားဥယျာဉ်၊ ဘွန်းဂိုဆုအိဒိုး၊ ဂျင်းခုခုဂျိဆဲရိခဝ၊ ခနိဆခိဟန်းတိုး၊ ဆိုဘိခတမုခိနှင့် ဆွတ်အဲဆန်းခဲစီရင်စုအမျိုးသားဥယျာဉ်များတို့ ပါဝင်သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |title=General overview of area figures for Natural Parks by prefecture |publisher=[[Ministry of the Environment (Japan)|Ministry of the Environment]] |date=April 1, 2014 |access-date=February 8, 2015}}</ref> ===လက်ရှိကာလမြို့ပြနှင့် ဒေသများ=== {{See also|အိုးအိတခရိုင်ရှိ လူဦးရေအလိုက် မြို့များ}} [[Image:Oita takasago.jpg|thumb|right|အိုးအိတမြို့]] [[Image:Kizan park Distant view.jpg|thumb|right|ဟိတမြို့]] [[File:View of Beppu 20170218.jpg|thumb|right|ဘက်ပုမြို့]] [[Image:Panorama view of Yufuin.jpg|thumb|right|ယုဖုမြို့]] [[Image:Lookout from Saiki castle ruins.jpg|thumb|right|ဆိုင်းခိမြို့]] လက်ရှိအချိန်တွင် အိုးအိတခရိုင်တွင် မြို့ ၁၄ ခု၊ မြို့ငယ် ၃ ခုနှင့် ရွာတစ်ရွာ ရှိသည်။ {{Location map+ | Japan Oita Prefecture | AlternativeMap = Map of Oita Prefecture Ja.svg | width = 650 | float = none | caption = Municipalities in Ōita Prefecture {{legend0|#EAB|City}} {{legend0|#ED9|Town}} | places = {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Beppu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">別府市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Beppu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.28 | lon_deg = 131.45 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Bungo-Ōno]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">豊後大野市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Bungoono, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 32.98 | lon_deg = 131.47 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Bungotakada, Ōita|Bungotakada]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">豊後高田市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Bungotakada, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.57 | lon_deg = 131.42 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Hita, Ōita|Hita]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">日田市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Hita, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.25 | lon_deg = 130.91 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kitsuki, Ōita|Kitsuki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">杵築市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kitsuki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.47 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kunisaki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">国東市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kunisaki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.54 | lon_deg = 131.62 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Nakatsu, Ōita|Nakatsu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">中津市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Nakatsu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.07 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Ōita (city)|Ōita]] (capital)</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">大分市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Oita, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.6 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Saiki, Ōita|Saiki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">佐伯市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Saiki, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 32.9 | lon_deg = 131.75 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Taketa, Ōita|Taketa]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">竹田市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Taketa, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33 | lon_deg = 131.3 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Tsukumi, Ōita|Tsukumi]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">津久見市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Tsukumi, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.07 | lon_deg = 131.83 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Usa, Ōita|Usa]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">宇佐市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Usa, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.3 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Usuki, Ōita|Usuki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">臼杵市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Usuki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.03 | lon_deg = 131.7 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Yufu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">由布市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Yufu, Oita (no text).svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.36 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Hiji]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">日出町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Hiji, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.38 | lon_deg = 131.53 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Himeshima, Ōita|Himeshima]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">姫島村</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Himeshima, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.73 | lon_deg = 131.66 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kokonoe, Ōita|Kokonoe]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">九重町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kokonoe, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.15 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kusu, Ōita|Kusu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">玖珠町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kusu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.32 | lon_deg = 131.12 }} }} ==မြို့ပြများ== အိုးအိတခရိုင်တွင် မြို့ ၁၄ ခု ရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ - {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |အမည် ! rowspan="2" |ဧရိယာ (km²) ! rowspan="2" |လူဦးရေ ! rowspan="2" |မြေပုံ |- ![[ရိုမဂျိ]] ![[ခန်းဂျိ]] |- |[[File:Flag of Beppu, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Beppu]] |別府市 |125.34 |113,045 |[[File:Beppu in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Bungoono, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Bungo-Ōno]] |豊後大野市 |603.14 |32,846 |[[File:Bungoono in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Bungotakada, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Bungotakada, Ōita|Bungotakada]] |豊後高田市 |206.24 |21,980 |[[File:Bungotakada in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Hita, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Hita, Ōita|Hita]] |日田市 |666.03 |61,148 |[[File:Hita in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Kitsuki, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Kitsuki, Ōita|Kitsuki]] |杵築市 |280.08 |26,761 |[[File:Kitsuki in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Kunisaki, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Kunisaki]] |国東市 |318.10 |25,721 |[[File:Kunisaki in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Nakatsu, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Nakatsu, Ōita|Nakatsu]] |中津市 |491.53 |82,301 |[[File:Nakatsu in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Oita, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Ōita (city)|Ōita]] (capital) |大分市 |502.38 |474,804 |[[File:Oita in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Saiki, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Saiki, Ōita|Saiki]] |佐伯市 |903.11 |65,870 |[[File:Saiki in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Taketa, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Taketa, Ōita|Taketa]] |竹田市 |477.53 |19,456 |[[File:Taketa in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Tsukumi, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Tsukumi, Ōita|Tsukumi]] |津久見市 |79.48 |15,492 |[[File:Tsukumi in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Usa, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Usa, Ōita|Usa]] |宇佐市 |439.05 |52,808 |[[File:Usa in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Usuki, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Usuki, Ōita|Usuki]] |臼杵市 |291.20 |34,155 |[[File:Usuki in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Yufu, Oita (no text).svg|frameless|25x25px]] [[Yufu]] |由布市 |319.32 |33,556 |[[File:Yufu in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |} ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ]] mqqakdkemzaiwa9v4w18d00hb82hvqb 1049468 1049466 2026-08-19T21:03:22Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* မြို့ပြများ */ 1049468 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement <!-- See Template:Infobox settlement for additional fields and descriptions -->| name = အိုးအိတခရိုင် | native_name = {{nobold|{{lang|ja|大分県}}}} | settlement_type = [[Prefectures of Japan|Prefecture]] | translit_lang1 = Japanese | translit_lang1_type = [[Japanese language|Japanese]] | translit_lang1_info = {{lang|ja|大分県}} | translit_lang1_type1 = [[Romanization of Japanese|Rōmaji]] | translit_lang1_info1 = {{lang|ja-Latn|Ōita-ken}} | image_skyline = {{Multiple image | perrow = 1/2/2 | border = infobox | total_width = 280 | caption_align = center | image1 = Beppu Umi-jigoku04n4272.jpg | caption1 = [[Beppu Onsen]] | image2 = Handakogen.jpg | caption2 = Handa highlands | image3 = Usa Shrine Nanchu Romon.JPG | caption3 = [[Usa Jingū]] | image4 = Yuhudake.jpg | caption4 = [[Mount Yufu]] | image5 = Takasakiyama_saru.jpg | caption5 = [[Takasakiyama Natural Zoological Garden]] }} | image_flag = Flag of Oita Prefecture.svg | flag_size = 100px | image_blank_emblem = Symbol of Oita Prefecture.svg | blank_emblem_size = 80px | blank_emblem_type = Symbol | image_map = Map of Japan with highlight on 44 Oita prefecture.svg | pushpin_map = Japan | pushpin_relief = y | coordinates = {{Coord|33|14|17.47|N|131|36|45.38|E|type:adm1st_region:JP-44|display=inline,title}} | subdivision_type = Country | subdivision_name = {{flag|Japan}} | subdivision_type1 = [[List of regions of Japan|Region]] | subdivision_name1 = [[Kyushu]] | subdivision_type2 = [[List of islands of Japan|Island]] | subdivision_name2 = [[Kyushu]] | seat_type = [[List of capitals in Japan|Capital]] | seat = [[Ōita, Ōita|Ōita]] | parts_type = Subdivisions | parts_style = para | p1 = [[Districts of Japan|Districts]]: 3 | p2 = [[Municipalities of Japan|Municipalities]]: 18 | leader_title = [[List of prefectural governors in Japan|Governor]] | leader_name = [[Kiichiro Satō]] | area_total_km2 = 6340.73 | area_water_percent = 0.7 | area_rank = [[List of Japanese prefectures by area|22nd]] | population_footnotes = | population_total = 1136245 | population_as_of = June 1, 2019 | population_rank = [[List of Japanese prefectures by population|33rd]] | population_density_km2 = auto | demographics_type2 = GDP | demographics2_footnotes = <ref>{{Cite web |title=2020年度国民経済計算（2015年基準・2008SNA） : 経済社会総合研究所 - 内閣府 |url=https://www.esri.cao.go.jp/jp/sna/data/data_list/kakuhou/files/2020/2020_kaku_top.html |access-date=2023-05-18 |website=内閣府ホームページ |language=ja}}</ref> | demographics2_title1 = Total | demographics2_info1 = [[JP¥]]4,901 billion<br />[[US$]]36.2 billion (2022) | iso_code = JP-44 | website = {{URL|www.pref.oita.jp}} | module = {{Infobox place symbols| embedded=yes | country = Japan | bird = Japanese white-eye (''[[Zosterops]]&nbsp;japonica'') | fish = | flower = [[Ume|Bungo-ume]] [[blossom]] (''Prunus&nbsp;mume'' var.&nbsp;''bungo'') | tree = Bungo-ume tree (''Prunus&nbsp;mume'' var.&nbsp;''bungo'') }} }} '''အိုးအိတခရိုင်''' (大分県, Ōita-ken<ref>{{cite book|script-title=ja:NHK日本語発音アクセント新辞典|publisher=NHK Publishing|editor=NHK Broadcasting Culture Research Institute|date=24 May 2016|lang=ja}}</ref>) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]ရှိ ခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် ၂၀၂၅ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ ၁ ရက်နေ့တွင် လူဦးရေ ၁,၀၈၁,၆၄၆ ဦး ရှိသည်။ ဧရိယာ ၆,၃၄၀ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၂,၄၅၀ စတုရန်းမိုင်) ကျယ်ဝန်းသည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် အနောက်မြောက်ဘက်တွင် [[ဖုခုအိုခခရိုင်]]၊ အနောက်တောင်ဘက်တွင် [[ခုမမိုတိုခရိုင်]]၊ တောင်ဘက်တွင် [[မိယဇခိခရိုင်]]တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။<ref>Nussbaum, Louis-Frédéric. (2005). "Ōita-ken" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|''Japan Encyclopedia'', p. 742|page=742}}.</ref> အိုးအိတမြို့သည် ခရိုင်၏ မြို့တော်နှင့် အကြီးဆုံးမြို့ ဖြစ်သည်။ အခြားအဓိကမြို့များမှာ ဘက်ပုမြို့၊ နခဆွတ်မြို့နှင့် ဆိုင်းခိမြို့တို့ ဖြစ်သည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် ခယူးရှူးကျွန်း၏ အရှေ့မြောက်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ ခရိုင်သည် ရေပူစမ်းများ ရှိသည့်အတွက် ထင်ရှားသည်။ အွန်းဆန်းများ (ရေပူစမ်းများ) နှင့် ရောခန် (ဂျပန်စတိုင် တည်းခိုခန်း) များဖြင့် ခရီးသွားများအကြား ထင်ရှားသည်။ အထူးသဖြင့် ဘက်ပုမြို့ပတ်ဝန်းကျင်သည် ခရီးသွားများအကြား လူကြိုက်များသည်။ ခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ အခြားသော မည်သည့်ခရိုင်ထက်မဆို အွန်းဆန်းများ ပိုမိုများပြားစွာ တည်ရှိသည်။<ref>{{Cite web |title=日本一のおんせん県おおいた |url=https://www.pref.oita.jp/site/kids/onsen.html |access-date=2024-07-24 |website=大分県ホームページ |language=ja}}</ref> ==ပထဝီသွင်ပြင်== အိုးအိတခရိုင်သည် ခယူးရှူးကျွန်း၏ မြောက်ဘက်နှင့် အရှေ့ဘက်ပိုင်းတွင် တည်ရှိသည်။ အရှေ့မှ အနောက်သို့ ၁၁၉ ကီလိုမီတာ (၇၄ မိုင်)၊ မြောက်ဘက်မှ တောင်ဘက်သို့ ၁၀၆ ကီလိုမီတာ (၆၆ မိုင်) ရှည်လျားသည်။ စုစုပေါင်းဧရိယာ ၆,၃၄၀.၇၁ စတုရန်းကီလိုမီတာ ကျယ်ဝန်းသည်။ ခရိုသည် မြောက်ဘက်တွင် ဆုအိုရေကြောင်းနှင့် ဟွန်းရှူးကျွန်း၊ အရှေ့ဘက်တွင် အိယောရေကြောင်းနှင့် ရှိခိုခုကျွန်း၊ တောင်ဘက်တွင် မိယဇခခရိုင်၊ အနောက်ဘက်တွင် ဖုခုအိုခခရိုင်နှင့် ခုမမိုတိုခရိုင်တို့ ဝန်းရံတည်ရှိသည်။ ခရိုင်၏ မြောက်ဘက်နှင့် တောင်ဘက်ခြမ်းကို အိုးအိတခရိုင်၊ အဆုခိမြို့မှ ခုမမိုတိုခရိုင်၊ ယဆွတ်ရှိရိုမြို့အထိ ရှည်လျားစွာတည်ရှိနေသည့် ပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းဖြင့် ပိုင်းခြားထားသည်။ ၎င်းပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းသည် အိုးအိတမြို့၏ အနောက်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ ခရိုင်ကို အရှေ့မှ အနောက်သို့ ဖြတ်သန်းတည်ရှိနေသည့် အခြားပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းများ များစွာ ရှိသည်။ ခရိုင်၏ မြောက်ဘက်ပိုင်းသည် granite နှင့် metamorphic ကျောက်ဆောင်များဖြစ်ပြီး၊ တောင်ဘက်ပိုင်းဧရိယာသည် ထုံးကျောက်အမျိုးအစား ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ခရိုင်တောင်ဘက်ခြမ်းတွင် ဆွတ်ခုမိဘိလပ်မြေစက်ရုံနှင့် များစွာသော ထုံးကျောက်ဂူများ တည်ရှိသည်။ ခိရိရှိမတောင်တန်းသည် မီးတောင်ကြောတစ်ခုဖြစ်ပြီး ခရိုင်ကို ထောင်လိုက်အနေအထားဖြင့် ဖြတ်သန်းတည်ရှိသည်။ ဤတောင်ကြောတွင် များစွာသော ရေပူစမ်းရင်းမြစ်များနှင့် ဂူများ တည်ရှိသည်။ ရေပူစမ်းများစွာတည်ရှိသဖြင့် ခရီးသွားများအကြား ထင်ရှားသည့်နေရာဖြစ်သည်။ ရေပူစမ်းအရေအတွက်သည် ဂျပန်တစ်နိုင်ငံလုံးတွင် အများဆုံး ဖြစ်သည်။<ref>Ōita Prefectural Government. (2009). ''Reassurance, Vitality & Growth of Ōita Prefecture,'' p. 5.</ref> ခရိုင်အတွင်းတွင် ယုဖုတောင်၊ ဆွတ်ရုမိတောင်၊ ဆိုဘိုတောင်နှင့် ခုဂျူးတောင်တို့ တည်ရှိသည်။ တောင်တန်းများတည်ရှိသဖြင့် ခရိုင်၏ ၇၀ ရာခိုင်နှုန်းသည် တောများဖြင့် လွှမ်းနေသည်။ ထိုတောင်တန်းများမှ စီးဆင်းဖြစ်တည်လာသည့် မြစ်များနှင့် ချောင်းများမှတဆင့် ခရိုင်တွင် သုံးစွဲရန်ရေများကို ပေါကြွယ်ဝစွာ ရရှိသည်။ ခရိုင်၏ အဓိကရေအရင်းအမြစ်များမှာ ယမခုနိမြစ် (ဟဲဆဲအိုဇဲခိဆည်နှင့် ယဘခဲဆည်)၊ ယက်ခန်းမြစ်၊ အိုးအိတမြစ်၊ အိုးနိုမြစ် (ဟခုဆုအိဆည်)နှင့် ဘန်းဂျောမြစ်တို့ ဖြစ်သည်။ ပင်လယ်ကမ်းခြေဘက်ခြမ်းတွင် ဘက်ပုပင်လယ်အော်နှင့် ဘွန်းဂိုရေကြောင်းလမ်းများ တည်ရှိသည်။ [[File:Kuju_Mountains_and_Kuju_Plateau.jpg|thumb|[[Mount Kujū|ခုဂျူးတောင်တန်း]]]] [[ခုဂျူးတောင်]]သည် ခုဂျူးကုန်းမြင့်ဒေသနှင့် ဟန်းဒကုန်းမြင့်ဒေသတို့က ဝန်းရံထားသည့် မီးတောင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ခုဂျူးတောင်၏ မြောက်ဘက်နှင့် တောင်ဘက်ရှိ မြက်ခင်းပြင်များတွင် နို့စားနွားမွေးမြူရေးလုပ်ငန်းများကို လုပ်ကိုင်ကြသည်။ ခရိုင်တစ်ခုလုံးတွင် လွင်ပြင်ဒေသများစွာ ရှိပြီး မြောက်ဘက်တွင် နခဆွတ်လွင်ပြင်၊ အလယ်တွင် အိုးအိတလွင်ပြင်နှင့် တောင်ဘက်တွင် ဆိုင်းခိလွင်ပြင်တို့ တည်ရှိသည်။ ခရိုင်၏ ကုန်းတွင်းပိုင်းဧရိယာတွင် ဟိတ၊ ခုဆု၊ ယုဖုအင်းနှင့် တခဲတမြို့များ တည်ရှိသည်။ ၂၀၁၄ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့အချက်အလက်များအရ ခရိုင်ကုန်းမြေဧရိယာ၏ ၂၈ ရာခိုင်နှုန်းသည် အမျိုးသားဥယျာဉ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့တွင် အဆိုခုဂျူးနှင့် ဆဲတိုနိုင်းခိုင်းအမျိုးသားဥယျာဉ်၊ နစ်ပိုးခိုင်းဂန်း၊ ဆိုဘို - ခတမုခိနှင့် ယဘ - ဟိတ - ဟိခိုဆန်အမျိုးသားဥယျာဉ်၊ ဘွန်းဂိုဆုအိဒိုး၊ ဂျင်းခုခုဂျိဆဲရိခဝ၊ ခနိဆခိဟန်းတိုး၊ ဆိုဘိခတမုခိနှင့် ဆွတ်အဲဆန်းခဲစီရင်စုအမျိုးသားဥယျာဉ်များတို့ ပါဝင်သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |title=General overview of area figures for Natural Parks by prefecture |publisher=[[Ministry of the Environment (Japan)|Ministry of the Environment]] |date=April 1, 2014 |access-date=February 8, 2015}}</ref> ===လက်ရှိကာလမြို့ပြနှင့် ဒေသများ=== {{See also|အိုးအိတခရိုင်ရှိ လူဦးရေအလိုက် မြို့များ}} [[Image:Oita takasago.jpg|thumb|right|အိုးအိတမြို့]] [[Image:Kizan park Distant view.jpg|thumb|right|ဟိတမြို့]] [[File:View of Beppu 20170218.jpg|thumb|right|ဘက်ပုမြို့]] [[Image:Panorama view of Yufuin.jpg|thumb|right|ယုဖုမြို့]] [[Image:Lookout from Saiki castle ruins.jpg|thumb|right|ဆိုင်းခိမြို့]] လက်ရှိအချိန်တွင် အိုးအိတခရိုင်တွင် မြို့ ၁၄ ခု၊ မြို့ငယ် ၃ ခုနှင့် ရွာတစ်ရွာ ရှိသည်။ {{Location map+ | Japan Oita Prefecture | AlternativeMap = Map of Oita Prefecture Ja.svg | width = 650 | float = none | caption = Municipalities in Ōita Prefecture {{legend0|#EAB|City}} {{legend0|#ED9|Town}} | places = {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Beppu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">別府市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Beppu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.28 | lon_deg = 131.45 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Bungo-Ōno]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">豊後大野市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Bungoono, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 32.98 | lon_deg = 131.47 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Bungotakada, Ōita|Bungotakada]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">豊後高田市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Bungotakada, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.57 | lon_deg = 131.42 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Hita, Ōita|Hita]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">日田市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Hita, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.25 | lon_deg = 130.91 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kitsuki, Ōita|Kitsuki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">杵築市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kitsuki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.47 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kunisaki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">国東市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kunisaki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.54 | lon_deg = 131.62 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Nakatsu, Ōita|Nakatsu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">中津市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Nakatsu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.07 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Ōita (city)|Ōita]] (capital)</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">大分市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Oita, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.6 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Saiki, Ōita|Saiki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">佐伯市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Saiki, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 32.9 | lon_deg = 131.75 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Taketa, Ōita|Taketa]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">竹田市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Taketa, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33 | lon_deg = 131.3 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Tsukumi, Ōita|Tsukumi]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">津久見市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Tsukumi, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.07 | lon_deg = 131.83 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Usa, Ōita|Usa]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">宇佐市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Usa, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.3 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Usuki, Ōita|Usuki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">臼杵市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Usuki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.03 | lon_deg = 131.7 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Yufu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">由布市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Yufu, Oita (no text).svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.36 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Hiji]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">日出町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Hiji, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.38 | lon_deg = 131.53 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Himeshima, Ōita|Himeshima]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">姫島村</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Himeshima, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.73 | lon_deg = 131.66 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kokonoe, Ōita|Kokonoe]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">九重町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kokonoe, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.15 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kusu, Ōita|Kusu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">玖珠町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kusu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.32 | lon_deg = 131.12 }} }} ===မြို့ပြများ=== အိုးအိတခရိုင်တွင် မြို့ ၁၄ ခု ရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ - {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |အမည် ! rowspan="2" |ဧရိယာ (km²) ! rowspan="2" |လူဦးရေ ! rowspan="2" |မြေပုံ |- ![[ရိုမဂျိ]] ![[ခန်းဂျိ]] |- |[[File:Flag of Beppu, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Beppu]] |別府市 |125.34 |113,045 |[[File:Beppu in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Bungoono, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Bungo-Ōno]] |豊後大野市 |603.14 |32,846 |[[File:Bungoono in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Bungotakada, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Bungotakada, Ōita|Bungotakada]] |豊後高田市 |206.24 |21,980 |[[File:Bungotakada in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Hita, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Hita, Ōita|Hita]] |日田市 |666.03 |61,148 |[[File:Hita in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Kitsuki, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Kitsuki, Ōita|Kitsuki]] |杵築市 |280.08 |26,761 |[[File:Kitsuki in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Kunisaki, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Kunisaki]] |国東市 |318.10 |25,721 |[[File:Kunisaki in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Nakatsu, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Nakatsu, Ōita|Nakatsu]] |中津市 |491.53 |82,301 |[[File:Nakatsu in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Oita, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Ōita (city)|Ōita]] (capital) |大分市 |502.38 |474,804 |[[File:Oita in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Saiki, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Saiki, Ōita|Saiki]] |佐伯市 |903.11 |65,870 |[[File:Saiki in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Taketa, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Taketa, Ōita|Taketa]] |竹田市 |477.53 |19,456 |[[File:Taketa in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Tsukumi, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Tsukumi, Ōita|Tsukumi]] |津久見市 |79.48 |15,492 |[[File:Tsukumi in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Usa, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Usa, Ōita|Usa]] |宇佐市 |439.05 |52,808 |[[File:Usa in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Usuki, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Usuki, Ōita|Usuki]] |臼杵市 |291.20 |34,155 |[[File:Usuki in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Yufu, Oita (no text).svg|frameless|25x25px]] [[Yufu]] |由布市 |319.32 |33,556 |[[File:Yufu in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |} === မြို့ငယ်နှင့် ရွာများ === ခရိုင်အတွင်းရှိ ဒေသများတွင် အောက်ပါမြို့ငယ်နှင့် ရွာများလည်း တည်ရှိသည်။ {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |အမည် ! rowspan="2" |ဧရိယာ (km²) ! rowspan="2" |လူဦးရေ ! rowspan="2" |ဒေသ ! rowspan="2" |မြေပုံ |- ![[ရိုမဂျိ]] ![[ခန်းဂျိ]] |- |[[File:Flag of Hiji, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Hiji]] |日出町 |73.32 |28,025 |[[Hayami District, Ōita|Hayami District]] |[[File:Hiji in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Himeshima, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Himeshima, Ōita|Himeshima]] |姫島村 |6.98 |1,930 |[[Higashikunisaki District, Ōita|Higashikunisaki District]] |[[File:Himeshima in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Kokonoe, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Kokonoe, Ōita|Kokonoe]] |九重町 |271.37 |8,536 |[[Kusu District, Ōita|Kusu District]] |[[File:Kokonoe in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Kusu, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Kusu, Ōita|Kusu]] |玖珠町 |286.51 |14,085 |[[Kusu District, Ōita|Kusu District]] |[[File:Kusu in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |} ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ]] dpvbjq6lgcea2c1wrya4o3jnadb35id 1049469 1049468 2026-08-19T21:04:21Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* မြို့ငယ်နှင့် ရွာများ */ 1049469 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement <!-- See Template:Infobox settlement for additional fields and descriptions -->| name = အိုးအိတခရိုင် | native_name = {{nobold|{{lang|ja|大分県}}}} | settlement_type = [[Prefectures of Japan|Prefecture]] | translit_lang1 = Japanese | translit_lang1_type = [[Japanese language|Japanese]] | translit_lang1_info = {{lang|ja|大分県}} | translit_lang1_type1 = [[Romanization of Japanese|Rōmaji]] | translit_lang1_info1 = {{lang|ja-Latn|Ōita-ken}} | image_skyline = {{Multiple image | perrow = 1/2/2 | border = infobox | total_width = 280 | caption_align = center | image1 = Beppu Umi-jigoku04n4272.jpg | caption1 = [[Beppu Onsen]] | image2 = Handakogen.jpg | caption2 = Handa highlands | image3 = Usa Shrine Nanchu Romon.JPG | caption3 = [[Usa Jingū]] | image4 = Yuhudake.jpg | caption4 = [[Mount Yufu]] | image5 = Takasakiyama_saru.jpg | caption5 = [[Takasakiyama Natural Zoological Garden]] }} | image_flag = Flag of Oita Prefecture.svg | flag_size = 100px | image_blank_emblem = Symbol of Oita Prefecture.svg | blank_emblem_size = 80px | blank_emblem_type = Symbol | image_map = Map of Japan with highlight on 44 Oita prefecture.svg | pushpin_map = Japan | pushpin_relief = y | coordinates = {{Coord|33|14|17.47|N|131|36|45.38|E|type:adm1st_region:JP-44|display=inline,title}} | subdivision_type = Country | subdivision_name = {{flag|Japan}} | subdivision_type1 = [[List of regions of Japan|Region]] | subdivision_name1 = [[Kyushu]] | subdivision_type2 = [[List of islands of Japan|Island]] | subdivision_name2 = [[Kyushu]] | seat_type = [[List of capitals in Japan|Capital]] | seat = [[Ōita, Ōita|Ōita]] | parts_type = Subdivisions | parts_style = para | p1 = [[Districts of Japan|Districts]]: 3 | p2 = [[Municipalities of Japan|Municipalities]]: 18 | leader_title = [[List of prefectural governors in Japan|Governor]] | leader_name = [[Kiichiro Satō]] | area_total_km2 = 6340.73 | area_water_percent = 0.7 | area_rank = [[List of Japanese prefectures by area|22nd]] | population_footnotes = | population_total = 1136245 | population_as_of = June 1, 2019 | population_rank = [[List of Japanese prefectures by population|33rd]] | population_density_km2 = auto | demographics_type2 = GDP | demographics2_footnotes = <ref>{{Cite web |title=2020年度国民経済計算（2015年基準・2008SNA） : 経済社会総合研究所 - 内閣府 |url=https://www.esri.cao.go.jp/jp/sna/data/data_list/kakuhou/files/2020/2020_kaku_top.html |access-date=2023-05-18 |website=内閣府ホームページ |language=ja}}</ref> | demographics2_title1 = Total | demographics2_info1 = [[JP¥]]4,901 billion<br />[[US$]]36.2 billion (2022) | iso_code = JP-44 | website = {{URL|www.pref.oita.jp}} | module = {{Infobox place symbols| embedded=yes | country = Japan | bird = Japanese white-eye (''[[Zosterops]]&nbsp;japonica'') | fish = | flower = [[Ume|Bungo-ume]] [[blossom]] (''Prunus&nbsp;mume'' var.&nbsp;''bungo'') | tree = Bungo-ume tree (''Prunus&nbsp;mume'' var.&nbsp;''bungo'') }} }} '''အိုးအိတခရိုင်''' (大分県, Ōita-ken<ref>{{cite book|script-title=ja:NHK日本語発音アクセント新辞典|publisher=NHK Publishing|editor=NHK Broadcasting Culture Research Institute|date=24 May 2016|lang=ja}}</ref>) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]ရှိ ခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် ၂၀၂၅ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ ၁ ရက်နေ့တွင် လူဦးရေ ၁,၀၈၁,၆၄၆ ဦး ရှိသည်။ ဧရိယာ ၆,၃၄၀ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၂,၄၅၀ စတုရန်းမိုင်) ကျယ်ဝန်းသည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် အနောက်မြောက်ဘက်တွင် [[ဖုခုအိုခခရိုင်]]၊ အနောက်တောင်ဘက်တွင် [[ခုမမိုတိုခရိုင်]]၊ တောင်ဘက်တွင် [[မိယဇခိခရိုင်]]တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။<ref>Nussbaum, Louis-Frédéric. (2005). "Ōita-ken" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|''Japan Encyclopedia'', p. 742|page=742}}.</ref> အိုးအိတမြို့သည် ခရိုင်၏ မြို့တော်နှင့် အကြီးဆုံးမြို့ ဖြစ်သည်။ အခြားအဓိကမြို့များမှာ ဘက်ပုမြို့၊ နခဆွတ်မြို့နှင့် ဆိုင်းခိမြို့တို့ ဖြစ်သည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် ခယူးရှူးကျွန်း၏ အရှေ့မြောက်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ ခရိုင်သည် ရေပူစမ်းများ ရှိသည့်အတွက် ထင်ရှားသည်။ အွန်းဆန်းများ (ရေပူစမ်းများ) နှင့် ရောခန် (ဂျပန်စတိုင် တည်းခိုခန်း) များဖြင့် ခရီးသွားများအကြား ထင်ရှားသည်။ အထူးသဖြင့် ဘက်ပုမြို့ပတ်ဝန်းကျင်သည် ခရီးသွားများအကြား လူကြိုက်များသည်။ ခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ အခြားသော မည်သည့်ခရိုင်ထက်မဆို အွန်းဆန်းများ ပိုမိုများပြားစွာ တည်ရှိသည်။<ref>{{Cite web |title=日本一のおんせん県おおいた |url=https://www.pref.oita.jp/site/kids/onsen.html |access-date=2024-07-24 |website=大分県ホームページ |language=ja}}</ref> ==ပထဝီသွင်ပြင်== အိုးအိတခရိုင်သည် ခယူးရှူးကျွန်း၏ မြောက်ဘက်နှင့် အရှေ့ဘက်ပိုင်းတွင် တည်ရှိသည်။ အရှေ့မှ အနောက်သို့ ၁၁၉ ကီလိုမီတာ (၇၄ မိုင်)၊ မြောက်ဘက်မှ တောင်ဘက်သို့ ၁၀၆ ကီလိုမီတာ (၆၆ မိုင်) ရှည်လျားသည်။ စုစုပေါင်းဧရိယာ ၆,၃၄၀.၇၁ စတုရန်းကီလိုမီတာ ကျယ်ဝန်းသည်။ ခရိုသည် မြောက်ဘက်တွင် ဆုအိုရေကြောင်းနှင့် ဟွန်းရှူးကျွန်း၊ အရှေ့ဘက်တွင် အိယောရေကြောင်းနှင့် ရှိခိုခုကျွန်း၊ တောင်ဘက်တွင် မိယဇခခရိုင်၊ အနောက်ဘက်တွင် ဖုခုအိုခခရိုင်နှင့် ခုမမိုတိုခရိုင်တို့ ဝန်းရံတည်ရှိသည်။ ခရိုင်၏ မြောက်ဘက်နှင့် တောင်ဘက်ခြမ်းကို အိုးအိတခရိုင်၊ အဆုခိမြို့မှ ခုမမိုတိုခရိုင်၊ ယဆွတ်ရှိရိုမြို့အထိ ရှည်လျားစွာတည်ရှိနေသည့် ပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းဖြင့် ပိုင်းခြားထားသည်။ ၎င်းပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းသည် အိုးအိတမြို့၏ အနောက်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ ခရိုင်ကို အရှေ့မှ အနောက်သို့ ဖြတ်သန်းတည်ရှိနေသည့် အခြားပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းများ များစွာ ရှိသည်။ ခရိုင်၏ မြောက်ဘက်ပိုင်းသည် granite နှင့် metamorphic ကျောက်ဆောင်များဖြစ်ပြီး၊ တောင်ဘက်ပိုင်းဧရိယာသည် ထုံးကျောက်အမျိုးအစား ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ခရိုင်တောင်ဘက်ခြမ်းတွင် ဆွတ်ခုမိဘိလပ်မြေစက်ရုံနှင့် များစွာသော ထုံးကျောက်ဂူများ တည်ရှိသည်။ ခိရိရှိမတောင်တန်းသည် မီးတောင်ကြောတစ်ခုဖြစ်ပြီး ခရိုင်ကို ထောင်လိုက်အနေအထားဖြင့် ဖြတ်သန်းတည်ရှိသည်။ ဤတောင်ကြောတွင် များစွာသော ရေပူစမ်းရင်းမြစ်များနှင့် ဂူများ တည်ရှိသည်။ ရေပူစမ်းများစွာတည်ရှိသဖြင့် ခရီးသွားများအကြား ထင်ရှားသည့်နေရာဖြစ်သည်။ ရေပူစမ်းအရေအတွက်သည် ဂျပန်တစ်နိုင်ငံလုံးတွင် အများဆုံး ဖြစ်သည်။<ref>Ōita Prefectural Government. (2009). ''Reassurance, Vitality & Growth of Ōita Prefecture,'' p. 5.</ref> ခရိုင်အတွင်းတွင် ယုဖုတောင်၊ ဆွတ်ရုမိတောင်၊ ဆိုဘိုတောင်နှင့် ခုဂျူးတောင်တို့ တည်ရှိသည်။ တောင်တန်းများတည်ရှိသဖြင့် ခရိုင်၏ ၇၀ ရာခိုင်နှုန်းသည် တောများဖြင့် လွှမ်းနေသည်။ ထိုတောင်တန်းများမှ စီးဆင်းဖြစ်တည်လာသည့် မြစ်များနှင့် ချောင်းများမှတဆင့် ခရိုင်တွင် သုံးစွဲရန်ရေများကို ပေါကြွယ်ဝစွာ ရရှိသည်။ ခရိုင်၏ အဓိကရေအရင်းအမြစ်များမှာ ယမခုနိမြစ် (ဟဲဆဲအိုဇဲခိဆည်နှင့် ယဘခဲဆည်)၊ ယက်ခန်းမြစ်၊ အိုးအိတမြစ်၊ အိုးနိုမြစ် (ဟခုဆုအိဆည်)နှင့် ဘန်းဂျောမြစ်တို့ ဖြစ်သည်။ ပင်လယ်ကမ်းခြေဘက်ခြမ်းတွင် ဘက်ပုပင်လယ်အော်နှင့် ဘွန်းဂိုရေကြောင်းလမ်းများ တည်ရှိသည်။ [[File:Kuju_Mountains_and_Kuju_Plateau.jpg|thumb|[[Mount Kujū|ခုဂျူးတောင်တန်း]]]] [[ခုဂျူးတောင်]]သည် ခုဂျူးကုန်းမြင့်ဒေသနှင့် ဟန်းဒကုန်းမြင့်ဒေသတို့က ဝန်းရံထားသည့် မီးတောင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ခုဂျူးတောင်၏ မြောက်ဘက်နှင့် တောင်ဘက်ရှိ မြက်ခင်းပြင်များတွင် နို့စားနွားမွေးမြူရေးလုပ်ငန်းများကို လုပ်ကိုင်ကြသည်။ ခရိုင်တစ်ခုလုံးတွင် လွင်ပြင်ဒေသများစွာ ရှိပြီး မြောက်ဘက်တွင် နခဆွတ်လွင်ပြင်၊ အလယ်တွင် အိုးအိတလွင်ပြင်နှင့် တောင်ဘက်တွင် ဆိုင်းခိလွင်ပြင်တို့ တည်ရှိသည်။ ခရိုင်၏ ကုန်းတွင်းပိုင်းဧရိယာတွင် ဟိတ၊ ခုဆု၊ ယုဖုအင်းနှင့် တခဲတမြို့များ တည်ရှိသည်။ ၂၀၁၄ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့အချက်အလက်များအရ ခရိုင်ကုန်းမြေဧရိယာ၏ ၂၈ ရာခိုင်နှုန်းသည် အမျိုးသားဥယျာဉ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့တွင် အဆိုခုဂျူးနှင့် ဆဲတိုနိုင်းခိုင်းအမျိုးသားဥယျာဉ်၊ နစ်ပိုးခိုင်းဂန်း၊ ဆိုဘို - ခတမုခိနှင့် ယဘ - ဟိတ - ဟိခိုဆန်အမျိုးသားဥယျာဉ်၊ ဘွန်းဂိုဆုအိဒိုး၊ ဂျင်းခုခုဂျိဆဲရိခဝ၊ ခနိဆခိဟန်းတိုး၊ ဆိုဘိခတမုခိနှင့် ဆွတ်အဲဆန်းခဲစီရင်စုအမျိုးသားဥယျာဉ်များတို့ ပါဝင်သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |title=General overview of area figures for Natural Parks by prefecture |publisher=[[Ministry of the Environment (Japan)|Ministry of the Environment]] |date=April 1, 2014 |access-date=February 8, 2015}}</ref> ===လက်ရှိကာလမြို့ပြနှင့် ဒေသများ=== {{See also|အိုးအိတခရိုင်ရှိ လူဦးရေအလိုက် မြို့များ}} [[Image:Oita takasago.jpg|thumb|right|အိုးအိတမြို့]] [[Image:Kizan park Distant view.jpg|thumb|right|ဟိတမြို့]] [[File:View of Beppu 20170218.jpg|thumb|right|ဘက်ပုမြို့]] [[Image:Panorama view of Yufuin.jpg|thumb|right|ယုဖုမြို့]] [[Image:Lookout from Saiki castle ruins.jpg|thumb|right|ဆိုင်းခိမြို့]] လက်ရှိအချိန်တွင် အိုးအိတခရိုင်တွင် မြို့ ၁၄ ခု၊ မြို့ငယ် ၃ ခုနှင့် ရွာတစ်ရွာ ရှိသည်။ {{Location map+ | Japan Oita Prefecture | AlternativeMap = Map of Oita Prefecture Ja.svg | width = 650 | float = none | caption = Municipalities in Ōita Prefecture {{legend0|#EAB|City}} {{legend0|#ED9|Town}} | places = {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Beppu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">別府市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Beppu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.28 | lon_deg = 131.45 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Bungo-Ōno]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">豊後大野市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Bungoono, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 32.98 | lon_deg = 131.47 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Bungotakada, Ōita|Bungotakada]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">豊後高田市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Bungotakada, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.57 | lon_deg = 131.42 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Hita, Ōita|Hita]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">日田市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Hita, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.25 | lon_deg = 130.91 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kitsuki, Ōita|Kitsuki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">杵築市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kitsuki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.47 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kunisaki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">国東市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kunisaki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.54 | lon_deg = 131.62 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Nakatsu, Ōita|Nakatsu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">中津市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Nakatsu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.07 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Ōita (city)|Ōita]] (capital)</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">大分市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Oita, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.6 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Saiki, Ōita|Saiki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">佐伯市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Saiki, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 32.9 | lon_deg = 131.75 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Taketa, Ōita|Taketa]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">竹田市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Taketa, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33 | lon_deg = 131.3 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Tsukumi, Ōita|Tsukumi]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">津久見市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Tsukumi, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.07 | lon_deg = 131.83 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Usa, Ōita|Usa]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">宇佐市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Usa, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.3 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Usuki, Ōita|Usuki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">臼杵市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Usuki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.03 | lon_deg = 131.7 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Yufu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">由布市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Yufu, Oita (no text).svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.36 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Hiji]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">日出町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Hiji, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.38 | lon_deg = 131.53 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Himeshima, Ōita|Himeshima]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">姫島村</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Himeshima, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.73 | lon_deg = 131.66 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kokonoe, Ōita|Kokonoe]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">九重町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kokonoe, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.15 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kusu, Ōita|Kusu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">玖珠町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kusu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.32 | lon_deg = 131.12 }} }} ===မြို့ပြများ=== အိုးအိတခရိုင်တွင် မြို့ ၁၄ ခု ရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ - {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |အမည် ! rowspan="2" |ဧရိယာ (km²) ! rowspan="2" |လူဦးရေ ! rowspan="2" |မြေပုံ |- ![[ရိုမဂျိ]] ![[ခန်းဂျိ]] |- |[[File:Flag of Beppu, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Beppu]] |別府市 |125.34 |113,045 |[[File:Beppu in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Bungoono, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Bungo-Ōno]] |豊後大野市 |603.14 |32,846 |[[File:Bungoono in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Bungotakada, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Bungotakada, Ōita|Bungotakada]] |豊後高田市 |206.24 |21,980 |[[File:Bungotakada in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Hita, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Hita, Ōita|Hita]] |日田市 |666.03 |61,148 |[[File:Hita in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Kitsuki, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Kitsuki, Ōita|Kitsuki]] |杵築市 |280.08 |26,761 |[[File:Kitsuki in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Kunisaki, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Kunisaki]] |国東市 |318.10 |25,721 |[[File:Kunisaki in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Nakatsu, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Nakatsu, Ōita|Nakatsu]] |中津市 |491.53 |82,301 |[[File:Nakatsu in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Oita, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Ōita (city)|Ōita]] (capital) |大分市 |502.38 |474,804 |[[File:Oita in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Saiki, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Saiki, Ōita|Saiki]] |佐伯市 |903.11 |65,870 |[[File:Saiki in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Taketa, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Taketa, Ōita|Taketa]] |竹田市 |477.53 |19,456 |[[File:Taketa in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Tsukumi, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Tsukumi, Ōita|Tsukumi]] |津久見市 |79.48 |15,492 |[[File:Tsukumi in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Usa, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Usa, Ōita|Usa]] |宇佐市 |439.05 |52,808 |[[File:Usa in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Usuki, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Usuki, Ōita|Usuki]] |臼杵市 |291.20 |34,155 |[[File:Usuki in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Yufu, Oita (no text).svg|frameless|25x25px]] [[Yufu]] |由布市 |319.32 |33,556 |[[File:Yufu in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |} === မြို့ငယ်နှင့် ရွာများ === ခရိုင်အတွင်းရှိ ဒေသများတွင် အောက်ပါမြို့ငယ်နှင့် ရွာများလည်း တည်ရှိသည်။ {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |အမည် ! rowspan="2" |ဧရိယာ (km²) ! rowspan="2" |လူဦးရေ ! rowspan="2" |ဒေသ ! rowspan="2" |မြေပုံ |- ![[ရိုမဂျိ]] ![[ခန်းဂျိ]] |- |[[File:Flag of Hiji, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Hiji]] |日出町 |73.32 |28,025 |[[Hayami District, Ōita|Hayami District]] |[[File:Hiji in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Himeshima, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Himeshima, Ōita|Himeshima]] |姫島村 |6.98 |1,930 |[[Higashikunisaki District, Ōita|Higashikunisaki District]] |[[File:Himeshima in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Kokonoe, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Kokonoe, Ōita|Kokonoe]] |九重町 |271.37 |8,536 |[[Kusu District, Ōita|Kusu District]] |[[File:Kokonoe in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Kusu, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Kusu, Ōita|Kusu]] |玖珠町 |286.51 |14,085 |[[Kusu District, Ōita|Kusu District]] |[[File:Kusu in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |} ===ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ=== {{main|အိုးအိတခရိုင်ရှိ ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ}} ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ]] kxuqx9qkcj9cue1eatkcxpix9mvujqk 1049470 1049469 2026-08-19T21:04:50Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ */ 1049470 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement <!-- See Template:Infobox settlement for additional fields and descriptions -->| name = အိုးအိတခရိုင် | native_name = {{nobold|{{lang|ja|大分県}}}} | settlement_type = [[Prefectures of Japan|Prefecture]] | translit_lang1 = Japanese | translit_lang1_type = [[Japanese language|Japanese]] | translit_lang1_info = {{lang|ja|大分県}} | translit_lang1_type1 = [[Romanization of Japanese|Rōmaji]] | translit_lang1_info1 = {{lang|ja-Latn|Ōita-ken}} | image_skyline = {{Multiple image | perrow = 1/2/2 | border = infobox | total_width = 280 | caption_align = center | image1 = Beppu Umi-jigoku04n4272.jpg | caption1 = [[Beppu Onsen]] | image2 = Handakogen.jpg | caption2 = Handa highlands | image3 = Usa Shrine Nanchu Romon.JPG | caption3 = [[Usa Jingū]] | image4 = Yuhudake.jpg | caption4 = [[Mount Yufu]] | image5 = Takasakiyama_saru.jpg | caption5 = [[Takasakiyama Natural Zoological Garden]] }} | image_flag = Flag of Oita Prefecture.svg | flag_size = 100px | image_blank_emblem = Symbol of Oita Prefecture.svg | blank_emblem_size = 80px | blank_emblem_type = Symbol | image_map = Map of Japan with highlight on 44 Oita prefecture.svg | pushpin_map = Japan | pushpin_relief = y | coordinates = {{Coord|33|14|17.47|N|131|36|45.38|E|type:adm1st_region:JP-44|display=inline,title}} | subdivision_type = Country | subdivision_name = {{flag|Japan}} | subdivision_type1 = [[List of regions of Japan|Region]] | subdivision_name1 = [[Kyushu]] | subdivision_type2 = [[List of islands of Japan|Island]] | subdivision_name2 = [[Kyushu]] | seat_type = [[List of capitals in Japan|Capital]] | seat = [[Ōita, Ōita|Ōita]] | parts_type = Subdivisions | parts_style = para | p1 = [[Districts of Japan|Districts]]: 3 | p2 = [[Municipalities of Japan|Municipalities]]: 18 | leader_title = [[List of prefectural governors in Japan|Governor]] | leader_name = [[Kiichiro Satō]] | area_total_km2 = 6340.73 | area_water_percent = 0.7 | area_rank = [[List of Japanese prefectures by area|22nd]] | population_footnotes = | population_total = 1136245 | population_as_of = June 1, 2019 | population_rank = [[List of Japanese prefectures by population|33rd]] | population_density_km2 = auto | demographics_type2 = GDP | demographics2_footnotes = <ref>{{Cite web |title=2020年度国民経済計算（2015年基準・2008SNA） : 経済社会総合研究所 - 内閣府 |url=https://www.esri.cao.go.jp/jp/sna/data/data_list/kakuhou/files/2020/2020_kaku_top.html |access-date=2023-05-18 |website=内閣府ホームページ |language=ja}}</ref> | demographics2_title1 = Total | demographics2_info1 = [[JP¥]]4,901 billion<br />[[US$]]36.2 billion (2022) | iso_code = JP-44 | website = {{URL|www.pref.oita.jp}} | module = {{Infobox place symbols| embedded=yes | country = Japan | bird = Japanese white-eye (''[[Zosterops]]&nbsp;japonica'') | fish = | flower = [[Ume|Bungo-ume]] [[blossom]] (''Prunus&nbsp;mume'' var.&nbsp;''bungo'') | tree = Bungo-ume tree (''Prunus&nbsp;mume'' var.&nbsp;''bungo'') }} }} '''အိုးအိတခရိုင်''' (大分県, Ōita-ken<ref>{{cite book|script-title=ja:NHK日本語発音アクセント新辞典|publisher=NHK Publishing|editor=NHK Broadcasting Culture Research Institute|date=24 May 2016|lang=ja}}</ref>) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခယူးရှူးကျွန်း]]ရှိ ခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် ၂၀၂၅ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ ၁ ရက်နေ့တွင် လူဦးရေ ၁,၀၈၁,၆၄၆ ဦး ရှိသည်။ ဧရိယာ ၆,၃၄၀ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၂,၄၅၀ စတုရန်းမိုင်) ကျယ်ဝန်းသည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် အနောက်မြောက်ဘက်တွင် [[ဖုခုအိုခခရိုင်]]၊ အနောက်တောင်ဘက်တွင် [[ခုမမိုတိုခရိုင်]]၊ တောင်ဘက်တွင် [[မိယဇခိခရိုင်]]တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။<ref>Nussbaum, Louis-Frédéric. (2005). "Ōita-ken" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|''Japan Encyclopedia'', p. 742|page=742}}.</ref> အိုးအိတမြို့သည် ခရိုင်၏ မြို့တော်နှင့် အကြီးဆုံးမြို့ ဖြစ်သည်။ အခြားအဓိကမြို့များမှာ ဘက်ပုမြို့၊ နခဆွတ်မြို့နှင့် ဆိုင်းခိမြို့တို့ ဖြစ်သည်။ အိုးအိတခရိုင်သည် ခယူးရှူးကျွန်း၏ အရှေ့မြောက်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ ခရိုင်သည် ရေပူစမ်းများ ရှိသည့်အတွက် ထင်ရှားသည်။ အွန်းဆန်းများ (ရေပူစမ်းများ) နှင့် ရောခန် (ဂျပန်စတိုင် တည်းခိုခန်း) များဖြင့် ခရီးသွားများအကြား ထင်ရှားသည်။ အထူးသဖြင့် ဘက်ပုမြို့ပတ်ဝန်းကျင်သည် ခရီးသွားများအကြား လူကြိုက်များသည်။ ခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ အခြားသော မည်သည့်ခရိုင်ထက်မဆို အွန်းဆန်းများ ပိုမိုများပြားစွာ တည်ရှိသည်။<ref>{{Cite web |title=日本一のおんせん県おおいた |url=https://www.pref.oita.jp/site/kids/onsen.html |access-date=2024-07-24 |website=大分県ホームページ |language=ja}}</ref> ==ပထဝီသွင်ပြင်== အိုးအိတခရိုင်သည် ခယူးရှူးကျွန်း၏ မြောက်ဘက်နှင့် အရှေ့ဘက်ပိုင်းတွင် တည်ရှိသည်။ အရှေ့မှ အနောက်သို့ ၁၁၉ ကီလိုမီတာ (၇၄ မိုင်)၊ မြောက်ဘက်မှ တောင်ဘက်သို့ ၁၀၆ ကီလိုမီတာ (၆၆ မိုင်) ရှည်လျားသည်။ စုစုပေါင်းဧရိယာ ၆,၃၄၀.၇၁ စတုရန်းကီလိုမီတာ ကျယ်ဝန်းသည်။ ခရိုသည် မြောက်ဘက်တွင် ဆုအိုရေကြောင်းနှင့် ဟွန်းရှူးကျွန်း၊ အရှေ့ဘက်တွင် အိယောရေကြောင်းနှင့် ရှိခိုခုကျွန်း၊ တောင်ဘက်တွင် မိယဇခခရိုင်၊ အနောက်ဘက်တွင် ဖုခုအိုခခရိုင်နှင့် ခုမမိုတိုခရိုင်တို့ ဝန်းရံတည်ရှိသည်။ ခရိုင်၏ မြောက်ဘက်နှင့် တောင်ဘက်ခြမ်းကို အိုးအိတခရိုင်၊ အဆုခိမြို့မှ ခုမမိုတိုခရိုင်၊ ယဆွတ်ရှိရိုမြို့အထိ ရှည်လျားစွာတည်ရှိနေသည့် ပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းဖြင့် ပိုင်းခြားထားသည်။ ၎င်းပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းသည် အိုးအိတမြို့၏ အနောက်ဘက်တွင် တည်ရှိသည်။ ခရိုင်ကို အရှေ့မှ အနောက်သို့ ဖြတ်သန်းတည်ရှိနေသည့် အခြားပြတ်ရွေ့ကြောလိုင်းများ များစွာ ရှိသည်။ ခရိုင်၏ မြောက်ဘက်ပိုင်းသည် granite နှင့် metamorphic ကျောက်ဆောင်များဖြစ်ပြီး၊ တောင်ဘက်ပိုင်းဧရိယာသည် ထုံးကျောက်အမျိုးအစား ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ခရိုင်တောင်ဘက်ခြမ်းတွင် ဆွတ်ခုမိဘိလပ်မြေစက်ရုံနှင့် များစွာသော ထုံးကျောက်ဂူများ တည်ရှိသည်။ ခိရိရှိမတောင်တန်းသည် မီးတောင်ကြောတစ်ခုဖြစ်ပြီး ခရိုင်ကို ထောင်လိုက်အနေအထားဖြင့် ဖြတ်သန်းတည်ရှိသည်။ ဤတောင်ကြောတွင် များစွာသော ရေပူစမ်းရင်းမြစ်များနှင့် ဂူများ တည်ရှိသည်။ ရေပူစမ်းများစွာတည်ရှိသဖြင့် ခရီးသွားများအကြား ထင်ရှားသည့်နေရာဖြစ်သည်။ ရေပူစမ်းအရေအတွက်သည် ဂျပန်တစ်နိုင်ငံလုံးတွင် အများဆုံး ဖြစ်သည်။<ref>Ōita Prefectural Government. (2009). ''Reassurance, Vitality & Growth of Ōita Prefecture,'' p. 5.</ref> ခရိုင်အတွင်းတွင် ယုဖုတောင်၊ ဆွတ်ရုမိတောင်၊ ဆိုဘိုတောင်နှင့် ခုဂျူးတောင်တို့ တည်ရှိသည်။ တောင်တန်းများတည်ရှိသဖြင့် ခရိုင်၏ ၇၀ ရာခိုင်နှုန်းသည် တောများဖြင့် လွှမ်းနေသည်။ ထိုတောင်တန်းများမှ စီးဆင်းဖြစ်တည်လာသည့် မြစ်များနှင့် ချောင်းများမှတဆင့် ခရိုင်တွင် သုံးစွဲရန်ရေများကို ပေါကြွယ်ဝစွာ ရရှိသည်။ ခရိုင်၏ အဓိကရေအရင်းအမြစ်များမှာ ယမခုနိမြစ် (ဟဲဆဲအိုဇဲခိဆည်နှင့် ယဘခဲဆည်)၊ ယက်ခန်းမြစ်၊ အိုးအိတမြစ်၊ အိုးနိုမြစ် (ဟခုဆုအိဆည်)နှင့် ဘန်းဂျောမြစ်တို့ ဖြစ်သည်။ ပင်လယ်ကမ်းခြေဘက်ခြမ်းတွင် ဘက်ပုပင်လယ်အော်နှင့် ဘွန်းဂိုရေကြောင်းလမ်းများ တည်ရှိသည်။ [[File:Kuju_Mountains_and_Kuju_Plateau.jpg|thumb|[[Mount Kujū|ခုဂျူးတောင်တန်း]]]] [[ခုဂျူးတောင်]]သည် ခုဂျူးကုန်းမြင့်ဒေသနှင့် ဟန်းဒကုန်းမြင့်ဒေသတို့က ဝန်းရံထားသည့် မီးတောင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ခုဂျူးတောင်၏ မြောက်ဘက်နှင့် တောင်ဘက်ရှိ မြက်ခင်းပြင်များတွင် နို့စားနွားမွေးမြူရေးလုပ်ငန်းများကို လုပ်ကိုင်ကြသည်။ ခရိုင်တစ်ခုလုံးတွင် လွင်ပြင်ဒေသများစွာ ရှိပြီး မြောက်ဘက်တွင် နခဆွတ်လွင်ပြင်၊ အလယ်တွင် အိုးအိတလွင်ပြင်နှင့် တောင်ဘက်တွင် ဆိုင်းခိလွင်ပြင်တို့ တည်ရှိသည်။ ခရိုင်၏ ကုန်းတွင်းပိုင်းဧရိယာတွင် ဟိတ၊ ခုဆု၊ ယုဖုအင်းနှင့် တခဲတမြို့များ တည်ရှိသည်။ ၂၀၁၄ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့အချက်အလက်များအရ ခရိုင်ကုန်းမြေဧရိယာ၏ ၂၈ ရာခိုင်နှုန်းသည် အမျိုးသားဥယျာဉ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့တွင် အဆိုခုဂျူးနှင့် ဆဲတိုနိုင်းခိုင်းအမျိုးသားဥယျာဉ်၊ နစ်ပိုးခိုင်းဂန်း၊ ဆိုဘို - ခတမုခိနှင့် ယဘ - ဟိတ - ဟိခိုဆန်အမျိုးသားဥယျာဉ်၊ ဘွန်းဂိုဆုအိဒိုး၊ ဂျင်းခုခုဂျိဆဲရိခဝ၊ ခနိဆခိဟန်းတိုး၊ ဆိုဘိခတမုခိနှင့် ဆွတ်အဲဆန်းခဲစီရင်စုအမျိုးသားဥယျာဉ်များတို့ ပါဝင်သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |title=General overview of area figures for Natural Parks by prefecture |publisher=[[Ministry of the Environment (Japan)|Ministry of the Environment]] |date=April 1, 2014 |access-date=February 8, 2015}}</ref> ===လက်ရှိကာလမြို့ပြနှင့် ဒေသများ=== {{See also|အိုးအိတခရိုင်ရှိ လူဦးရေအလိုက် မြို့များ}} [[Image:Oita takasago.jpg|thumb|right|အိုးအိတမြို့]] [[Image:Kizan park Distant view.jpg|thumb|right|ဟိတမြို့]] [[File:View of Beppu 20170218.jpg|thumb|right|ဘက်ပုမြို့]] [[Image:Panorama view of Yufuin.jpg|thumb|right|ယုဖုမြို့]] [[Image:Lookout from Saiki castle ruins.jpg|thumb|right|ဆိုင်းခိမြို့]] လက်ရှိအချိန်တွင် အိုးအိတခရိုင်တွင် မြို့ ၁၄ ခု၊ မြို့ငယ် ၃ ခုနှင့် ရွာတစ်ရွာ ရှိသည်။ {{Location map+ | Japan Oita Prefecture | AlternativeMap = Map of Oita Prefecture Ja.svg | width = 650 | float = none | caption = Municipalities in Ōita Prefecture {{legend0|#EAB|City}} {{legend0|#ED9|Town}} | places = {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Beppu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">別府市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Beppu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.28 | lon_deg = 131.45 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Bungo-Ōno]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">豊後大野市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Bungoono, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 32.98 | lon_deg = 131.47 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Bungotakada, Ōita|Bungotakada]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">豊後高田市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Bungotakada, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.57 | lon_deg = 131.42 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Hita, Ōita|Hita]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">日田市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Hita, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.25 | lon_deg = 130.91 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kitsuki, Ōita|Kitsuki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">杵築市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kitsuki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.47 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kunisaki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">国東市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kunisaki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.54 | lon_deg = 131.62 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Nakatsu, Ōita|Nakatsu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">中津市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Nakatsu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.07 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Ōita (city)|Ōita]] (capital)</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">大分市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Oita, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.6 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Saiki, Ōita|Saiki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">佐伯市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Saiki, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 32.9 | lon_deg = 131.75 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Taketa, Ōita|Taketa]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">竹田市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Taketa, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33 | lon_deg = 131.3 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Tsukumi, Ōita|Tsukumi]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">津久見市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Tsukumi, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.07 | lon_deg = 131.83 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Usa, Ōita|Usa]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">宇佐市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Usa, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.45 | lon_deg = 131.3 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Usuki, Ōita|Usuki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">臼杵市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Usuki, Ōita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.03 | lon_deg = 131.7 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Yufu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">由布市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Yufu, Oita (no text).svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.36 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Hiji]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">日出町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Hiji, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.38 | lon_deg = 131.53 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Himeshima, Ōita|Himeshima]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">姫島村</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Himeshima, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.73 | lon_deg = 131.66 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kokonoe, Ōita|Kokonoe]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">九重町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kokonoe, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.2 | lon_deg = 131.15 }} {{Location map~ | Japan Oita Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kusu, Ōita|Kusu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">玖珠町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kusu, Oita.svg | marksize = 25 | lat_deg = 33.32 | lon_deg = 131.12 }} }} ===မြို့ပြများ=== အိုးအိတခရိုင်တွင် မြို့ ၁၄ ခု ရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ - {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |အမည် ! rowspan="2" |ဧရိယာ (km²) ! rowspan="2" |လူဦးရေ ! rowspan="2" |မြေပုံ |- ![[ရိုမဂျိ]] ![[ခန်းဂျိ]] |- |[[File:Flag of Beppu, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Beppu]] |別府市 |125.34 |113,045 |[[File:Beppu in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Bungoono, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Bungo-Ōno]] |豊後大野市 |603.14 |32,846 |[[File:Bungoono in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Bungotakada, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Bungotakada, Ōita|Bungotakada]] |豊後高田市 |206.24 |21,980 |[[File:Bungotakada in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Hita, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Hita, Ōita|Hita]] |日田市 |666.03 |61,148 |[[File:Hita in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Kitsuki, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Kitsuki, Ōita|Kitsuki]] |杵築市 |280.08 |26,761 |[[File:Kitsuki in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Kunisaki, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Kunisaki]] |国東市 |318.10 |25,721 |[[File:Kunisaki in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Nakatsu, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Nakatsu, Ōita|Nakatsu]] |中津市 |491.53 |82,301 |[[File:Nakatsu in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Oita, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Ōita (city)|Ōita]] (capital) |大分市 |502.38 |474,804 |[[File:Oita in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Saiki, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Saiki, Ōita|Saiki]] |佐伯市 |903.11 |65,870 |[[File:Saiki in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Taketa, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Taketa, Ōita|Taketa]] |竹田市 |477.53 |19,456 |[[File:Taketa in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Tsukumi, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Tsukumi, Ōita|Tsukumi]] |津久見市 |79.48 |15,492 |[[File:Tsukumi in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Usa, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Usa, Ōita|Usa]] |宇佐市 |439.05 |52,808 |[[File:Usa in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Usuki, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Usuki, Ōita|Usuki]] |臼杵市 |291.20 |34,155 |[[File:Usuki in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Yufu, Oita (no text).svg|frameless|25x25px]] [[Yufu]] |由布市 |319.32 |33,556 |[[File:Yufu in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |} === မြို့ငယ်နှင့် ရွာများ === ခရိုင်အတွင်းရှိ ဒေသများတွင် အောက်ပါမြို့ငယ်နှင့် ရွာများလည်း တည်ရှိသည်။ {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |အမည် ! rowspan="2" |ဧရိယာ (km²) ! rowspan="2" |လူဦးရေ ! rowspan="2" |ဒေသ ! rowspan="2" |မြေပုံ |- ![[ရိုမဂျိ]] ![[ခန်းဂျိ]] |- |[[File:Flag of Hiji, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Hiji]] |日出町 |73.32 |28,025 |[[Hayami District, Ōita|Hayami District]] |[[File:Hiji in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Himeshima, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Himeshima, Ōita|Himeshima]] |姫島村 |6.98 |1,930 |[[Higashikunisaki District, Ōita|Higashikunisaki District]] |[[File:Himeshima in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Kokonoe, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Kokonoe, Ōita|Kokonoe]] |九重町 |271.37 |8,536 |[[Kusu District, Ōita|Kusu District]] |[[File:Kokonoe in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |- |[[File:Flag of Kusu, Oita.svg|frameless|25x25px]] [[Kusu, Ōita|Kusu]] |玖珠町 |286.51 |14,085 |[[Kusu District, Ōita|Kusu District]] |[[File:Kusu in Oita Prefecture Ja.svg|frameless|55x55px]] |} ===ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ=== {{main|အိုးအိတခရိုင်ရှိ ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ}} ==စီးပွားရေး== ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ]] fewxreri5gfs16u5jvuh9vkcaa4vcrs 0 290662 1049401 1049288 2026-08-19T11:59:11Z Dr Lotus Black 31011 /* ကိုးကား (References) */ 1049401 wikitext text/x-wiki [[File:Lots of math symbols and numbers.svg|thumb|class=skin-invert-image|အချို့သော သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများ]] ဤ သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း (List of mathematical symbols) သည် ပုံသေနည်းများအတွင်း ခေတ်သစ် သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများ (Mathematical notation) တွင် အသုံးအများဆုံးဖြစ်သော သင်္ကေတအချို့ကို ရွေးချယ်ပြသထားခြင်းဖြစ်သည်။ သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အသုံးပြုခဲ့သမျှသော သင်္ကေတအားလုံးကို စာရင်းပြုစုရန် လက်တွေ့အားဖြင့် မဖြစ်နိုင်ပါ။ ထို့ကြောင့် ဤစာရင်းသည် သင်္ချာပညာရေး သို့မဟုတ် တက္ကသိုလ်အဆင့် သင်္ချာလေ့လာမှုများတွင် မကြာခဏတွေ့ရလေ့ရှိသော သင်္ကေတများကိုသာ ဖော်ပြထားသည်။ အောက်ပါစာရင်းသည် အများအားဖြင့် အက္ခရာနှင့် ဂဏန်းမဟုတ်သော သင်္ကေတများအတွက်သာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ၎င်းကို သင်္ချာပညာရပ် နယ်ပယ်များအလိုက် ခွဲခြားထားသည်။ ထို့အပြင် ယင်းနယ်ပယ်များအတွင်း ပါဝင်သော အကြောင်းအရာများအလိုက် ထပ်မံ၍ အုပ်စုဖွဲ့ထားသည်။ အချို့သော သင်္ကေတများသည် အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ အဓိပ္ပာယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် စာရင်းထဲတွင် အကြိမ်ကြိမ် ပါဝင်နေမည်ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတများနှင့် ၎င်းတို့၏ အဓိပ္ပာယ်များအကြောင်း နောက်ထပ်အချက်အလက်များကို သက်ဆိုင်ရာ ဆက်စပ်ဆောင်းပါးများတွင် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ == ရှင်းလင်းချက် (Explanation) == သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတတစ်ခုစီအတွက် အောက်ပါအချက်အလက်များကို ဖော်ပြပေးထားသည်။ *သင်္ကေတ (Symbol)- LaTeX မှ ပုံဖော်ပေးထားသည့် သင်္ကေတဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ပုံနှိပ်စာလုံး ပုံစံအမျိုးမျိုးရှိပါက ပုံစံတစ်မျိုးကိုသာ ပြသထားသည်။ *အသုံးပြုမှု (Usage)- ပုံသေနည်းတစ်ခုအတွင်း သင်္ကေတကို စံနမူနာပြ အသုံးပြုထားခြင်းဖြစ်သည်။ ဤနေရာရှိ အက္ခရာများသည် ကိန်းများ၊ ကိန်းရှင်များ သို့မဟုတ် ပိုမိုရှုပ်ထွေးသော ဖော်ပြချက်များအတွက် ကိုယ်စားပြု အစားထိုးစာလုံးများအဖြစ် တည်ရှိသည်။ ကွဲပြားသော အသုံးပြုနိုင်သည့် အခြေအနေများကို သီးခြားစီ ဖော်ပြထားသည်။ *အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း (Interpretation)- ယခင်ကော်လံရှိ ပုံသေနည်း၏ အဓိပ္ပာယ်ကို စာသားဖြင့် အတိုချုံး ရှင်းလင်းဖော်ပြချက်ဖြစ်သည်။ *ဆောင်းပါး (Article)- သင်္ကေတ၏ အဓိပ္ပာယ် (ဆိုလိုရင်း) ကို ဖော်ပြထားသော ဝီကီပီးဒီးယား ဆောင်းပါးဖြစ်သည်။ *LaTeX- သင်္ကေတကို ဖန်တီးရန် အသုံးပြုသော LaTeX ကွန်မန်းဖြစ်သည်။ ASCII အက္ခရာစုမှ အက္ခရာများကို ချွင်းချက်အချို့ (ဟက်ရှ်အမှတ်အသား၊ ဘက်ခ်စလက်ရှ်၊ တွန့်ကွင်းများ၊ ရာခိုင်နှုန်းအမှတ်အသား) မှလွဲ၍ တိုက်ရိုက်အသုံးပြုနိုင်သည်။ အပေါ်တင်အညွှန်းကိန်းများနှင့် အောက်ချိတ်အညွှန်းကိန်းများကို <code>^</code> နှင့် <code>_</code> အက္ခရာများ အသုံးပြု၍ ဖန်တီးထားသည်။ ၎င်းတို့ကို သီးခြား ဖော်ပြမထားပါ။ အချို့သော အက္ခရာများသည် ''amsmath'' နှင့်/သို့မဟုတ် ''amssymb'' ပက်ကေ့ချ်များကို အသုံးပြုရန် လိုအပ်သည်။ == ယုတ္တိဗေဒ (Logic) == === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် သင်္ကေတများ (Definition symbols) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- |rowspan=2 align="center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>A := B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> နှင့် ညီမျှသည်ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ | rowspan="2" | အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) | rowspan="2" | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>A :\Leftrightarrow B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> နှင့် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာအရ ထပ်တူညီသည်ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ |} === ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ချိတ်ဆက်ကိန်းများ (Logical connectives) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" |<math>\land</math> | style="text-align:center" |<math>A \land B</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> နှင့် ဖော်ပြချက် <math>B</math> ဖြစ်သည်။ | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ပူးပေါင်းခြင်း (Logical conjunction) | <code>\land, \wedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lor</math> | style="text-align:center" | <math>A \lor B</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သို့မဟုတ် ဖော်ပြချက် <math>B</math> (သို့မဟုတ် နှစ်ခုစလုံး) ဖြစ်သည်။ | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ရွေးချယ်ခြင်း (Logical disjunction) | <code>\lor, \vee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Rightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \Rightarrow B</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>B</math> သည် ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှ ဆင်းသက်လာသည်။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သက်ရောက်မှု (Logical implication) | <code>\Rightarrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\rightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \rightarrow B</math> | <code>\rightarrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Leftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \Leftrightarrow B</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သည် ဖော်ပြချက် <math>B</math> မှ ဆင်းသက်လာပြီး ၎င်း၏ပြောင်းပြန်လည်း မှန်ကန်သည်။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ထပ်တူညီမှု (Logical equivalence) | <code><small>\Leftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" | <math>\leftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \leftrightarrow B</math> | <code><small>\leftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" | <math>\dot\lor</math> | style="text-align:center" | <math>A \,\dot\lor\, B</math> | rowspan="6" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သို့မဟုတ် ဖော်ပြချက် <math>B</math> တစ်ခုခုသာဖြစ်သည်။ | rowspan="6" | သီးသန့် ရွေးချယ်ခြင်း (Exclusive disjunction) | <code>\,\dot\lor\,</code> |- | style="text-align:center" | <math>\veebar</math> | style="text-align:center" | <math>A \, \veebar \, B</math> | <code>\veebar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nLeftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \nLeftrightarrow B</math> | <code><small>\nLeftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" | <math>\nleftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \nleftrightarrow B</math> | <code><small>\nleftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" |<math>\nsim</math> | style="text-align:center" |<math>A \nsim B</math> | <code>\nsim</code> |- | style="text-align:center" |<math>\oplus</math> | style="text-align:center" |<math>A \oplus B</math> |<code>\oplus</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lnot</math> | style="text-align:center" | <math>\lnot A</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> မဟုတ်ပါ။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ငြင်းပယ်ခြင်း (Logical negation) | <code>\lnot</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{A}</math> | <code>\bar</code> |} === အရေအတွက်ပြကိန်းများ (Quantifiers) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\forall</math> | style="text-align:center" | <math>\forall\,x</math> | rowspan="2" | [[အစုဝင်]] <math>x</math> အားလုံးအတွက်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | စကြဝဠာ အရေအတွက်ပြကိန်း (Universal quantifier) | <code>\forall</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bigwedge</math> | style="text-align:center" | <math>\bigwedge_x</math> | <code>\bigwedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>\exists</math> | style="text-align:center" | <math>\exists\,x</math> | rowspan="2" | အစုဝင် <math>x</math> အနည်းဆုံးတစ်ခု တည်ရှိသည်။ | rowspan="2" | တည်ရှိမှု အရေအတွက်ပြကိန်း (Existential quantifier) | <code>\exists</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bigvee</math> | style="text-align:center" | <math>\bigvee_x</math> | <code>\bigvee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\exists !</math> | style="text-align:center" | <math>\exists !\,x</math> | rowspan="2" | အစုဝင် <math>x</math> တိကျစွာ တစ်ခုတည်းသာ တည်ရှိသည်။ | rowspan="2" | တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု အရေအတွက်ပြကိန်း (Uniqueness quantifier) | <code>\exists!</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bigvee^\centerdot</math> | style="text-align:center" | <math>\bigvee^\centerdot_x</math> | <code>\dot\bigvee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nexists</math> | style="text-align:center" | <math>\nexists\,x</math> | အစုဝင် <math>x</math> မတည်ရှိပါ။ | တည်ရှိမှု အရေအတွက်ပြကိန်း (Existential quantifier) | <code>\nexists</code> |} === ကောက်ချက်ချခြင်း သင်္ကေတများ (Deduction symbols) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\vdash</math> | style="text-align:center" | <math>A \vdash B</math> | ဖော်ပြချက် <math>B</math> ကို ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှ ဝါကျဖွဲ့ထုံးအရ ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ | သက်သေပြနိုင်စွမ်း (Provability) | <code>\vdash</code> |- | rowspan=2 align="center" | <math>\models</math> | style="text-align:center" | <math>A \models B</math> | ဖော်ပြချက် <math>B</math> သည် ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှ ဆိုလိုရင်းအရ ဆင်းသက်လာသည်။ | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အကျိုးဆက် (Logical consequence) | rowspan="2" | <code>\models</code>, <code>\vDash</code> |- | style="text-align:center" | <math>\models A</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သည် စကြဝဠာတစ်ခုလုံးတွင် မှန်ကန်သည်။ | rowspan="2" | အမြဲမှန်ဖော်ပြချက် (Tautology) |- | style="text-align:center" | <math>\top</math> | style="text-align:center" | <math>A \top</math> | <code>\top</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bot</math> | style="text-align:center" | <math>A \bot</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြစ်သည်။ | ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (Contradiction) | <code>\bot</code> |- | style="text-align:center" | <math>\therefore</math> | style="text-align:center" | <math>A \therefore B</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှန်ကန်သည်။ ထို့ကြောင့် ဖော်ပြချက် <math>B</math> လည်း မှန်ကန်သည်။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ခြင်း (Logical derivation) | <code>\therefore</code> |- | style="text-align:center" | <math>\because</math> | style="text-align:center" | <math>A \because B</math> | ဖော်ပြချက် <math>B</math> မှန်ကန်သောကြောင့် ဖော်ပြချက် <math>A</math> လည်း မှန်ကန်သည်။ | <code>\because</code> |- | style="text-align:center" | ↯ | style="text-align:center" | | ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြစ်သည်။ | ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြင့် သက်သေပြခြင်း (Proof by contradiction) | <code>\lightning</code> |- | style="text-align:center" | <math>\blacksquare</math> |rowspan=2 align="center" | | rowspan="2" | သက်သေပြချက် အဆုံးသတ် (Q.E.D.) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | Q.E.D. | <code>\blacksquare</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Box</math> | <code>\Box</code> |} == [[အစုသီအိုရီ]] (Set theory) == === အစု တည်ဆောက်ပုံ (Set construction) === {| class="wikitable" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>\emptyset</math> | style="text-align:center"| <math>\emptyset</math> | rowspan="3"| ဗလာအစု (Empty set) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| [[ဗလာစု]] (Empty set) | <code>\emptyset</code> |- | style="text-align:center"| <math>\varnothing</math> | style="text-align:center"| <math>\varnothing</math> | <code>\varnothing</code> |- | rowspan="2" style="text-align:center"| <math>\{~\}</math> | style="text-align:center"| <math>\{~\}</math> | rowspan="2"| <code>\{ \}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\{ a,b,\ldots \}</math> | <math>a</math>၊ <math>b</math> နှင့် အခြား[[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သော အစုဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| [[အစု]] (Set)၊ အတန်းအစား (Class) |- | style="text-align:center"| <math>\mid</math> | style="text-align:center"| <math>\{ a \mid A(a) \}</math> | rowspan="2"| ဖော်ပြချက် <math>A(a)</math> မှန်ကန်သော အစုဝင် <math>a</math> များ၏ အစု သို့မဟုတ် အတန်းအစားဖြစ်သည်။ | <code>\mid</code> |- | style="text-align:center"| <math>\colon</math> | style="text-align:center"| <math>\{ a\colon A(a) \}</math> | <code>\colon</code> |} === အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ (Set operations) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>\cap</math> | style="text-align:center"| <math>A \cap B</math> | [[အစု]] <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ထပ်တူပိုင်းအစုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ထပ်တူပိုင်းအစု (Intersection) | <code>\cap</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigcap</math> | style="text-align:center"| <math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>, <math>\bigcap_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ထပ်တူပိုင်းအစုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ထပ်တူပိုင်းအစုဖြစ်သည်။ | <code>\bigcap</code> |- | style="text-align:center"| <math>\cup</math> | style="text-align:center"| <math>A \cup B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ပေါင်းစပ်စု (Union) | <code>\cup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigcup</math> | style="text-align:center"| <math>\bigcup_{i=1}^n A_i</math>, <math>\bigcup_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\bigcup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\setminus</math> | style="text-align:center"| <math>A \setminus B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ခြားနားခြင်းဖြစ်သည်။ | အစု ခြားနားခြင်း (Set difference) | <code>\setminus</code> |- | style="text-align:center"| <math>{}^\mathsf{C}</math> | style="text-align:center"| <math>A^\mathsf{C}</math> | rowspan="2"| အစု <math>A</math> ၏ ဖြည့်စွက်စုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ဖြည့်စွက်စု (Complement) | <code>^\mathsf{C}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center"| <math>\overline{A}</math> | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigtriangleup</math> | style="text-align:center"| <math>A \bigtriangleup B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ အချိုးညီ ခြားနားခြင်းဖြစ်သည်။ | အချိုးညီ ခြားနားခြင်း (Symmetric difference) | <code>\bigtriangleup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\dot\cup</math> | style="text-align:center"| <math>A \,\dot\cup\, B</math> | ဘုံမပါသော အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | rowspan="4"| ဘုံမပါသော ပေါင်းစပ်စု (Disjoint union) | <code>\,\dot\cup\,</code> |- | style="text-align:center"| <math>\dot\bigcup</math> | style="text-align:center"| <math>\dot{\bigcup_{i=1}}^n A_i</math>, <math>\dot{\bigcup_{i \in I}}\, A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\dot{\bigcup...}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\sqcup</math> | style="text-align:center"| <math>A \sqcup B</math> | ဘုံမပါသော အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\sqcup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigsqcup</math> | style="text-align:center"| <math>\bigsqcup_{i=1}^n A_i</math>, <math>\bigsqcup_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\bigsqcup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\times</math> | style="text-align:center"| <math>A \times B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]]ဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center"| <math>\prod</math> | style="text-align:center"| <math>\prod_{i=1}^n A_i</math>, <math>\prod_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ | <code>\prod</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathcal{P}</math> | style="text-align:center"| <math>\mathcal{P}(A)</math> | rowspan="2"| အစု <math>A</math> ၏ ပါဝါအစုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ပါဝါအစု (Power set) | <code>\mathcal{P}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathfrak{P}</math> | style="text-align:center"| <math>\mathfrak{P}(A)</math> | <code>\mathfrak{P}</code> |} === အစုဆိုင်ရာ ဆက်သွယ်ချက်များ (Set relations) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>=</math> | style="text-align:center" | <math>A = B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> နှင့် ညီမျှသည်။ | [[အစု]] (Set) | <code>=</code> |- | style="text-align:center"| <math>\subset</math> | style="text-align:center"| <math>A \subset B</math> | rowspan="2"| <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ [[အစုပိုင်း]]အစစ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| အစုပိုင်း (Subset) | <code>\subset</code> |- | style="text-align:center"| <math>\subsetneq</math> | style="text-align:center"| <math>A \subsetneq B</math> | <code>\subsetneq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\subseteq</math> | style="text-align:center"| <math>A \subseteq B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ အစုပိုင်းဖြစ်သည်။ | <code>\subseteq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\supset</math> | style="text-align:center"| <math>A \supset B</math> | rowspan="2"| <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ မူလအစုအစစ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| မူလအစု (Superset) | <code>\supset</code> |- | style="text-align:center"| <math>\supsetneq</math> | style="text-align:center"| <math>A \supsetneq B</math> | <code>\supsetneq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\supseteq</math> | style="text-align:center"| <math>A \supseteq B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ မူလအစုဖြစ်သည်။ | <code>\supseteq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\in</math> | style="text-align:center"| <math>a \in A</math> | rowspan="2"| [[အစုဝင်]] <math>a</math> သည် [[အစု]] <math>A</math> တွင် ပါဝင်သည်။ | rowspan="4"| [[အစုဝင်]] (Element) | <code>\in</code> |- | style="text-align:center"| <math>\ni</math> | style="text-align:center"| <math>A \ni a</math> | <code>\ni</code>, <code>\owns</code> |- | style="text-align:center"| <math>\notin</math> | style="text-align:center"| <math>a \notin A</math> | rowspan="2"| အစုဝင် <math>a</math> သည် အစု <math>A</math> တွင် မပါဝင်ပါ။ | <code>\notin</code> |- | style="text-align:center"| <math>\not\ni</math> | style="text-align:center"| <math>A \not\ni a</math> | <code>\not\ni</code> |} ''မှတ်ချက်''- သင်္ကေတများဖြစ်သော <math>\subset</math> နှင့် <math>\supset</math> တို့ကို တသမတ်တည်း အသုံးမပြုကြပေ။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် အစုနှစ်ခု ညီမျှခြင်းကို မကြာခဏဆိုသလို ဖယ်ထုတ်လေ့မရှိပါ။ === အစုအရွယ်အစားများ (Cardinalities) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>|~~|</math> | style="text-align:center"| <math>|A|</math> | rowspan="2"| [[အစု]] <math>A</math> ၏ အစုအရွယ်အစားဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| အစုအရွယ်အစား (Cardinality) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center"| <math>\#</math> | style="text-align:center"| <math>\# A</math> | <code>\#</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathfrak{c}</math> | style="text-align:center"| | ကွန်တီနူရမ်၏ အစုအရွယ်အစားဖြစ်သည်။ | ကွန်တီနူရမ်၏ အစုအရွယ်အစား (Cardinality of the continuum) | <code>\mathfrak{c}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\aleph</math> | style="text-align:center"| <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, ... | ကာဒီနယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ | ကာဒီနယ်ကိန်း (Cardinal number) | <code>\aleph</code> |- | style="text-align:center"| <math>\beth</math> | style="text-align:center"| <math>\beth_0</math>, <math>\beth_1</math>, ... | ဘတ်သ် ကိန်းများဖြစ်သည်။ | ဘတ်သ် ကိန်း (Beth number) | <code>\beth</code> |} === ကိန်းအစုများ (Number sets) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb P</math> | သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်သည်။ |[[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) | <code>\mathbb{P}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\N</math> | သဘာဝကိန်းများဖြစ်သည်။ | [[သဘာဝကိန်း]] (Natural number) | <code>\mathbb{N}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\Z</math> | ကိန်းပြည့်များဖြစ်သည်။ | [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) | <code>\mathbb{Z}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb{F}</math> | [[သုဒ္ဓကိန်း]] ဝိသေသလက္ခဏာပါသော အဆုံးရှိ [[ဖီးလ်ဒ်]]ဖြစ်သည်။ | အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် (Finite field) | <code>\mathbb{F}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\Q</math> | ရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ | [[ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (Rational number) | <code>\mathbb{Q}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb I</math> | အီရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ | အီရာရှင်နယ်ကိန်း (Irrational number) | <code>\mathbb{I}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb A</math> | ကိန်းရင်းများဖြစ်သည်။ | ကိန်းရင်း (Algebraic number) | <code>\mathbb{A}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb T</math> | ကိန်းလွန်များဖြစ်သည်။ | ကိန်းလွန် (Transcendental number) | <code>\mathbb{T}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb R</math> | ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ | ကိန်းစစ် (Real number) | <code>\mathbb{R}</code> |- | style="text-align:center"| <math>{}^*\mathbb{R}</math> | ဟိုက်ပါကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ | ဟိုက်ပါကိန်းစစ် (Hyperreal number) | <code>{}^*\mathbb{R}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb C</math> | ကိန်းထွေးများဖြစ်သည်။ | [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) | <code>\mathbb{C}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\hat{\mathbb{C}}</math> | ကိန်းထွေးပြင်ညီ၏ ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း သို့မဟုတ် ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဖြစ်သည်။ | ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Riemann sphere) | <code>\hat{\mathbb{C}}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb H</math> | ကွာတာနီယွန်များဖြစ်သည်။ | ကွာတာနီယွန် (Quaternion) | <code>\mathbb{H}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb O</math> | အော့တိုနီယွန်များဖြစ်သည်။ | အော့တိုနီယွန် (Octonion) | <code>\mathbb{O}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb S</math> | ဆီဒီးနီယွန်များဖြစ်သည်။ | ဆီဒီးနီယွန် (Sedenion) | <code>\mathbb{S}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb{K}</math> | <math>\mathbb{K} \in \{\R,\Complex\}</math> ဖြစ်သည်။ | ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ / အက္ခရာသင်္ချာများ (Banach algebra / Algebras) | <code>\mathbb{K}</code> |} == ဂဏန်းသင်္ချာ (Arithmetic) == === ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများ (Arithmetic operators) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>+</math> | style="text-align:center" | <math>a + b</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ကို ပေါင်းသည်။ | အပေါင်း (Addition) | <code>+</code> |- | style="text-align:center" | <math>-</math> | style="text-align:center" | <math>a - b</math> | <math>a</math> ထဲမှ <math>b</math> ကို နုတ်သည်။ | အနုတ် (Subtraction) | <code>-</code> |- | style="text-align:center" |<math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>a \cdot b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ကို မြှောက်သည်။ | rowspan="2" | မြှောက်ခြင်း (Multiplication) | <code>\cdot</code> |- | style="text-align:center" |<math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>a \times b</math> | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>a : b</math> | rowspan="4" | <math>a</math> ကို <math>b</math> ဖြင့် စားသည်။ | rowspan="4" | စားခြင်း (Division) | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>a/b</math> | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>\div</math> | style="text-align:center" | <math>a \div b</math> | <code>\div</code> |- | style="text-align:center" | <math>\frac{~~}{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\tfrac{a}{b}</math> | <code>\frac</code> |- | style="text-align:center" | <math>-</math> | style="text-align:center" | <math>-a</math> | အနုတ်ကိန်း <math>a</math> သို့မဟုတ် <math>a</math> ၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်ဖြစ်သည်။ | တစ်လုံးသွင်း အနုတ် (Unary minus) | <code>-</code> |- | style="text-align:center" | <math>\pm</math> | style="text-align:center" | <math>\pm a</math> | အပေါင်း သို့မဟုတ် အနုတ် <math>a</math> ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အပေါင်း-အနုတ် သင်္ကေတ (Plus-minus sign) | <code>\pm</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mp</math> | style="text-align:center" | <math>\mp a</math> | အနုတ် သို့မဟုတ် အပေါင်း <math>a</math> ဖြစ်သည်။ | <code>\mp</code> |- | style="text-align:center" | <math>(~)</math> | style="text-align:center" | <math>(a)</math> | rowspan="2" | ကိန်းတန်း <math>a</math> ကို ဦးစွာ တွက်ချက်သည်။ | rowspan="2" | ကွင်း (Bracket) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>[~]</math> | style="text-align:center" | <math>[a]</math> | <code>[ ]</code> |} === အခြေခံ ဖန်ရှင်များ (Elementary functions) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\%</math> | style="text-align:center" | <math>p \, \%</math> | <math>p</math> ရာခိုင်နှုန်းဖြစ်သည်။ | ရာခိုင်နှုန်း (Percent) | <code>\%</code> |- | style="text-align:center" | <math>| ~~ |</math> | style="text-align:center" | <math>| x |</math> | <math>x</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုးဖြစ်သည်။ | ပကတိတန်ဖိုး (Absolute value) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\left[ ~~ \right]</math> | style="text-align:center" | <math>\left[ x \right]</math> |rowspan="1"| <math>x</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော အကြီးဆုံး [[ကိန်းပြည့်]]ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ယခုအခါ အသုံးမပြုတော့သော သင်္ကေတဖြစ်သည်။<ref>အော့တို ဖော်စတာ။ ''Analysis 1 Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen'' (၁၂ ကြိမ်မြောက် ပြင်ဆင်ထုတ်ဝေမှု)။ Wiesbaden၊ ၂၀၁၆။ စာမျက်နှာ - ၃၃၈။</ref> |rowspan="3"| အောက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး ဖန်ရှင်နှင့် အထက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး ဖန်ရှင်များ (Floor and ceiling functions) | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lfloor ~~ \rfloor</math> | style="text-align:center" | <math>\lfloor x \rfloor</math> | <math>x</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော အကြီးဆုံး ကိန်းပြည့်ဖြစ်သည်။ | <code>\lfloor \rfloor</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lceil ~~ \rceil</math> | style="text-align:center" | <math>\lceil x \rceil</math> | <math>x</math> ထက်ကြီးသော သို့မဟုတ် ညီသော အငယ်ဆုံး ကိန်းပြည့်ဖြစ်သည်။ | <code>\lceil \rceil</code> |- |rowspan="2" align="center" | <math>\sqrt{\,}</math> | style="text-align:center" | <math>\sqrt{x}</math> | <math>x</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square root) | rowspan="2" | <code>\sqrt</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sqrt[n]{x}</math> | <math>x</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။ |} ''မှတ်ချက်''- ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်ကို သီးခြား သင်္ကေတဖြင့် မပြသထားပါ။ သို့သော် ထပ်ကိန်းကို အပေါ်တင်အညွှန်းကိန်းဖြင့် ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ === ကိန်းထွေးများ (Complex numbers) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\mathrm{i}</math> | style="text-align:center" | <math>a + b\mathrm{i}</math> | [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်ယူနစ်]]ဖြစ်သည်။ | ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) | <code>\mathrm{i}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Re</math> | style="text-align:center" | <math>\Re(z)</math> | ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) | <code>\Re</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Im</math> | style="text-align:center" | <math>\Im(z)</math> | ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းယောင်ပိုင်းဖြစ်သည်။ | <code>\Im</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bar{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\bar{z}</math> | rowspan="2" | ကိန်း <math>z</math> ၏ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (Complex conjugation) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>z^\ast</math> | <code>^\ast</code> |} ''မှတ်ချက်-'' အတိုကောက်များဖြစ်သော <math>\operatorname{Re}</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}</math> များကို ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းကို သတ်မှတ်ရန် အထူးသဖြင့် အသုံးပြုကြသည်။ === ညီမျှခြင်း သင်္ကေတများ (Equality signs) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>=</math> | style="text-align:center" | <math>a = b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ညီမျှသည်။ | ညီမျှခြင်း (Equation) | <code>=</code> |- | style="text-align:center" | <math>\neq</math> | style="text-align:center" | <math>a \neq b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် မညီမျှပါ။ | မညီမျှခြင်း (Inequality) | <code>\neq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\equiv</math> | style="text-align:center" | <math>a \equiv b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ထပ်တူညီသည်။ | ထပ်တူရဖြစ်မှု (Identity) | <code>\equiv</code> |- | style="text-align:center" | <math>\approx</math> | style="text-align:center" | <math>a \approx b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် ညီမျှသည်။ | အနီးစပ်ဆုံး ယူခြင်း (Rounding) | <code>\approx</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>a \sim b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် အချိုးကျသည်။ | rowspan="2" | အချိုးကျခြင်း (Proportionality) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\propto</math> | style="text-align:center" | <math>a \propto b</math> | <code>\propto</code> |- | style="text-align:center" | <math>\widehat{=}</math> | style="text-align:center" | <math>a \, \widehat{=} \, b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ကိုက်ညီသည်။ | ခန့်မှန်းချက်များ (Estimates) | <code>\widehat{=}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>a\sim b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် တူညီသည်ဟု ခန့်မှန်းရသည်။ | ဦးစားပေး ဆက်သွယ်ချက် (Preference relation) | <code>\sim </code> |- | style="text-align:center" | <math>\simeq</math> | style="text-align:center" | <math>a\simeq b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ချဉ်းကပ်မှုအရ ညီမျှသည်။ | ချဉ်းကပ်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Asymptotic analysis) | <code>\simeq </code> |} === နှိုင်းယှဉ်ခြင်း သင်္ကေတများ (Comparison signs) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math><</math> | style="text-align:center" | <math>a < b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ငယ်သည်။ | rowspan="14" | မညီမျှခြင်း (Inequality) | <code><</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lneq</math> | style="text-align:center" | <math>a \lneq b</math> | <code>\lneq</code> |- | style="text-align:center" | <math>></math> | style="text-align:center" | <math>a > b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ကြီးသည်။ | <code>></code> |- | style="text-align:center" | <math>\gneq</math> | style="text-align:center" |<math>a \gneq b</math> | <code>\gneq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leq</math> | style="text-align:center" | <math>a \leq b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ငယ်သည် သို့မဟုတ် ညီသည်။ | <code>\le</code>, <code>\leq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leqq</math> | style="text-align:center" | <math>a \leqq b</math> | <code>\leqq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\geq</math> | style="text-align:center" | <math>a \geq b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ကြီးသည် သို့မဟုတ် ညီသည်။ | <code>\ge</code>, <code>\geq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\geqq</math> | style="text-align:center" | <math>a \geqq b</math> | <code>\geqq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ll</math> | style="text-align:center" | <math>a \ll b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်များစွာ ငယ်သည်။ | <code>\ll</code> |- | style="text-align:center" | <math>\gg</math> | style="text-align:center" | <math>a \gg b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်များစွာ ကြီးသည်။ | <code>\gg</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lll</math> | style="text-align:center" | <math>a \lll b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်တရာ ငယ်သည်။ | <code>\lll</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ggg</math> | style="text-align:center" | <math>a \ggg b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်တရာ ကြီးသည်။ | <code>\ggg</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lessgtr</math> | style="text-align:center" | <math>a \lessgtr b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ငယ်သည် သို့မဟုတ် ကြီးသည်။ | <code>\lessgtr</code> |- | style="text-align:center" | <math>\gtrless</math> | style="text-align:center" | <math>a \gtrless b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ကြီးသည် သို့မဟုတ် ငယ်သည်။ | <code>\gtrless</code> |- | style="text-align:center" | <math>\prec</math> | style="text-align:center" | <math>a\prec b</math> | <math>b</math> ကို <math>a</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုဦးစားပေးသည်။ | rowspan="4" | ဦးစားပေး ဆက်သွယ်ချက် (Preference relation) | <code>\prec</code> |- | style="text-align:center" | <math>\succ</math> | style="text-align:center" | <math>a\succ b</math> | <math>a</math> ကို <math>b</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုဦးစားပေးသည်။ | <code>\succ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\preccurlyeq</math> | style="text-align:center" | <math>a \preccurlyeq b</math> | <math>b</math> ကို <math>a</math> ထက် အားနည်းစွာ ဦးစားပေးသည်။ သို့မဟုတ် <math>b</math> သည် အနည်းဆုံး <math>a</math> ကဲ့သို့ ကောင်းမွန်သည်။ | <code>\preccurlyeq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\succcurlyeq</math> | style="text-align:center" | <math>a\succcurlyeq b</math> | <math>a</math> ကို <math>b</math> ထက် အားနည်းစွာ ဦးစားပေးသည်။ သို့မဟုတ် <math>a</math> သည် အနည်းဆုံး <math>b</math> ကဲ့သို့ ကောင်းမွန်သည်။ | <code>\succcurlyeq</code> |} === စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ (Divisibility) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\mid</math> | style="text-align:center" | <math>a \mid b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို စားပြတ်သည်။ |rowspan="3"| စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ (Divisibility properties) | <code>\mid</code> |- | style="text-align:center" | <math>\parallel</math> | style="text-align:center" | <math>a \parallel b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို တိကျစွာ စားပြတ်သည်။ | <code>\parallel</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nmid</math> | style="text-align:center" | <math>a \nmid b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို မစားပြတ်ပါ။ | <code>\nmid</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp</math> | style="text-align:center" | <math>a \perp b</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် နှိုင်းရသုဒ္ဓများဖြစ်ကြသည်။ | နှိုင်းရသုဒ္ဓ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (Coprime integers) | <code>\perp</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sqcap</math> | style="text-align:center" | <math>a \sqcap b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့၏ အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း (Greatest common divisor) | <code>\sqcap</code> |- | style="text-align:center" | <math>\wedge</math> | style="text-align:center" | <math>a \wedge b</math> | <code>\wedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sqcup</math> | style="text-align:center" | <math>a \sqcup b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (Least common multiple) | <code>\sqcup</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vee</math> | style="text-align:center" | <math>a \vee b</math> | <code>\vee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\equiv</math> | style="text-align:center" | <math> a \equiv b \bmod m</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် မော်ဂျူလို <math>m</math> တွင် ထပ်တူညီကြသည်။ | မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာ (Modular arithmetic) | <code>\equiv</code> |} === သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသေများ (Mathematical constants) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ !width="27%"| အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း !width="23%"| ဆောင်းပါး !width="20%"| LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\Phi</math> | ရွှေအချိုးဖြစ်သည်။ | ရွှေအချိုး (Golden ratio) | <code>\Phi</code> |- | style="text-align:center" | <math>\pi</math> | ပိုင်ဖြစ်သည်။ | [[ပိုင်]] (Pi) | <code>\pi</code> |- | style="text-align:center" |<math>\mathrm{e}</math> | အွိုင်လာ၏ ကိန်းဖြစ်သည်။ | အွိုင်လာ၏ ကိန်း (Euler's number) | <code>\mathrm{e}</code> |} == အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) == === ဆက်သွယ်ချက်များ (Relations) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | rowspan=2 align="center" | <math>\circ</math> | style="text-align:center" | <math>R \circ S</math> | ဆက်သွယ်ချက် (relation) <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သည်။ | ဆက်သွယ်ချက်များ ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition of relations) | rowspan="2" | <code>\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>a \circ b</math> |rowspan="3"| [[အစုဝင်]] <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့အပေါ် လုပ်ဆောင်သော ယေဘုယျ တွက်ချက်မှု (general operation) ဖြစ်သည်။ |rowspan="3"| နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (Binary operation) |- | style="text-align:center" | <math>\bullet</math> | style="text-align:center" | <math>a \bullet b</math> | <code>\bullet</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ast</math> | style="text-align:center" | <math>a \ast b</math> | <code>\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leq</math> | style="text-align:center" | <math>a \leq b</math> | အစုဝင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ အစဉ်လိုက် ဆက်သွယ်ချက် (order relation) ဖြစ်သည်။ | အစဉ်လိုက် ဆက်သွယ်ချက် (Order relation) | <code>\leq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\prec</math> | style="text-align:center" | <math>a \prec b</math> | အစုဝင် <math>a</math> သည် အစုဝင် <math>b</math> ၏ ရှေ့ပြေး (predecessor) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (Successor function) | <code>\prec</code> |- | style="text-align:center" | <math>\succ</math> | style="text-align:center" | <math>a \succ b</math> | အစုဝင် <math>a</math> သည် အစုဝင် <math>b</math> ၏ နောက်ဆက်တွဲ (successor) ဖြစ်သည်။ | <code>\succ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>a \sim b</math> | အစုဝင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) ဖြစ်သည်။ | ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (Equivalence relation) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>[ a ]</math> | အစုဝင် <math>a</math> ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (equivalence class) ဖြစ်သည်။ | ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (Equivalence class) | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>M / \sim </math> | ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် <math>\sim</math> အပေါ်အခြေခံသော [[အစု]] <math>M</math> ၏ စားလဒ်အစု (quotient set) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်အစု (Quotient set) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{-1}</math> | style="text-align:center" | <math>R^{-1}</math> | ဆက်သွယ်ချက် <math>R</math> ၏ ပြောင်းပြန် ဆက်သွယ်ချက် (converse relation) ဖြစ်သည်။ | ပြောင်းပြန် ဆက်သွယ်ချက် (Converse relation) | <code>^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{+}</math> | style="text-align:center" | <math>R^{+}</math> | ဆက်သွယ်ချက် <math>R</math> ၏ ကူးပြောင်းနိုင်သော အပိတ် (transitive closure) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကူးပြောင်းနိုင်သော အပိတ် (Transitive closure) | <code>+</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>R^\ast</math> | ဆက်သွယ်ချက် <math>R</math> ၏ ကိုယ်ပြန်ဟပ် ကူးပြောင်းနိုင်သော အပိတ် (reflexive transitive closure) ဖြစ်သည်။ | <code>\ast</code> |} === အုပ်စုသီအိုရီ (Group theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\simeq</math> | style="text-align:center" | <math>G \simeq H</math> | rowspan="2" | [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့သည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ် (isomorphic)]] ဖြစ်ကြသည်။ | rowspan="2" | အုပ်စု အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Group isomorphism) | <code>\simeq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cong</math> | style="text-align:center" | <math>G \cong H</math> | <code>\cong</code> |- | style="text-align:center" | <math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>G \times H</math> | အုပ်စု <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့၏ တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (direct product) ဖြစ်သည်။ | တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (Direct product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>\rtimes</math> | style="text-align:center" | <math>G \rtimes H</math> | အုပ်စု <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့၏ တစ်ပိုင်းတိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (semidirect product) ဖြစ်သည်။ | တစ်ပိုင်းတိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (Semidirect product) | <code>\rtimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>\wr</math> | style="text-align:center" | <math>G \, \wr \, H</math> | အုပ်စု <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့၏ ရစ်ပတ် မြှောက်လဒ် (wreath product) ဖြစ်သည်။ | ရစ်ပတ် မြှောက်လဒ် (Wreath product) | <code>\wr</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leq</math> | style="text-align:center" | <math>U \leq G</math> | <math>U</math> သည် အုပ်စု <math>G</math> ၏ [[အုပ်စုပိုင်း]] (subgroup) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အုပ်စုပိုင်း (Subgroup) | <code>\leq</code> |- | style="text-align:center" | <math><</math> | style="text-align:center" | <math>U < G</math> | <math>U</math> သည် အုပ်စု <math>G</math> ၏ အုပ်စုပိုင်းအစစ် (proper subgroup) ဖြစ်သည်။ | <code>\lt</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vartriangleleft</math> | style="text-align:center" | <math>N \vartriangleleft G</math> | rowspan="2" | <math>N</math> သည် အုပ်စု <math>G</math> ၏ မူမှန်အုပ်စုပိုင်း (normal subgroup) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | မူမှန်အုပ်စုပိုင်း (Normal subgroup) | <code>\vartriangleleft</code> |- | style="text-align:center" | <math>\trianglelefteq</math> | style="text-align:center" | <math>N \trianglelefteq G</math> | <code>\trianglelefteq</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>G / N</math> | မူမှန်အုပ်စုပိုင်း <math>N</math> ကိုအခြေခံသော အုပ်စု <math>G</math> ၏ စားလဒ်အုပ်စု (quotient group) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်အုပ်စု (Quotient group) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>( G : U )</math> | အုပ်စု <math>G</math> အတွင်းရှိ အုပ်စုပိုင်း <math>U</math> ၏ အညွှန်း (index) ဖြစ်သည်။ | အုပ်စုပိုင်းတစ်ခု၏ အညွှန်း (Index of a subgroup) | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle E \rangle</math> | [[အစု]] <math>E</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော အုပ်စုပိုင်း (generated subgroup) ဖြစ်သည်။ | အုပ်စုတစ်ခု၏ ထုတ်လုပ်ကိန်းအစု (Generating set of a group) | <code>\langle \rangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>( g, h )</math> | အုပ်စု [[အစုဝင်]] <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့၏ ကွန်ဂျူဂိတ် (conjugate) ဖြစ်သည်။ | ကွန်ဂျူဂိတ် အတန်းအစား (Conjugacy class) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>[ g, h ]</math> | အုပ်စု အစုဝင် <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့၏ ကွန်မြူတေတာ (commutator) ဖြစ်သည်။ | ကွန်မြူတေတာ (Commutator) | <code>[ ]</code> |} === ကွင်းသီအိုရီ (Ring theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>R^\ast</math> | rowspan="2" | [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ ယူနစ်များ၏ အုပ်စု (group of units) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ယူနစ်များ၏ အုပ်စု (Group of units) | <code>^\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\times</math> | style="text-align:center" | <math>R^\times</math> | <code>^\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vartriangleleft</math> | style="text-align:center" | <math>I \vartriangleleft R</math> | <math>I</math> သည် ကွင်း <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ် (ideal) ဖြစ်သည်။ | အိုင်ဒီးလ် (Ideal) | <code>\vartriangleleft</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>R / I</math> | အိုင်ဒီးလ် <math>I</math> ကိုအခြေခံသော ကွင်း <math>R</math> ၏ စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်ကွင်း (Quotient ring) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>R[ X ]</math> | ကိန်းရှင် (variable) <math>X</math> ပါဝင်ပြီး ကွင်း <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည်။ | ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (Polynomial ring) | <code>[ ]</code> |} === ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (Field theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>L / K</math> | rowspan="3" | [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ် ဖီးလ်ဒ် <math>L</math> ၏ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3" | ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (Field extension) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mid</math> | style="text-align:center" | <math>L \mid K</math> | <code>\mid</code> |- | rowspan=2 align="center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>L : K</math> | rowspan="2" | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ L : K ]</math> | <math>K</math> အပေါ် <math>L</math> ၏ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း ဒီဂရီ (degree) ဖြစ်သည်။ | ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း၏ ဒီဂရီ (Degree of a field extension) |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{K}</math> | ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (algebraic closure) ဖြစ်သည်။ | အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (Algebraic closure) | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathbb{K}</math> | style="text-align:center" | | ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]၏ ဖီးလ်ဒ်ဖြစ်သည်။ | [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) | <code>\mathbb{K}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathbb{F}</math> | style="text-align:center" | | အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် (finite field) ဖြစ်သည်။ | အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် (Finite field) | <code>\mathbb{F}</code> |} == မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ နှင့် ဂျီဩမေတြီ (Linear algebra and geometry) == === အခြေခံ ဂျီဩမေတြီ (Elementary geometry) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{AB}</math> | rowspan="2" | အမှတ် <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပိုင်း (line segment) ဖြစ်သည်။ | rowspan="5" | မျဉ်းပိုင်း (Line segment) | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>[~~]</math> | style="text-align:center" | <math>[AB]</math> | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>|\overline{~~}|</math> | style="text-align:center" | <math>|\overline{AB}|</math> | rowspan="3" | အမှတ် <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပိုင်း၏ အလျား (length) ဖြစ်သည်။ | <code> \vert \overline \vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{AB}</math> | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>|~~|</math> | style="text-align:center" | <math>|AB|</math> | <code>\vert \vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overrightarrow{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overrightarrow{AB}</math> | အမှတ် <math>A</math> မှ အမှတ် <math>B</math> သို့ တည်နေရာရွှေ့ [[ဗက်တာ]] (vector) ဖြစ်သည်။ | [[ဗက်တာ]] (Vector) | <code>\vec</code> |- | style="text-align:center" | | style="text-align:center" | <math>AB</math> | rowspan="2" | အမှတ် <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ကို ဆက်သွယ်ထားသော မျဉ်း (line) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | မျဉ်း (Line) | |- | style="text-align:center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>(AB)</math> | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\angle</math> | style="text-align:center" | <math>\angle ABC</math> | အနား <math>BA</math> နှင့် <math>BC</math> တို့ပါဝင်သော ထောင့် (angle) ဖြစ်သည်။ | ထောင့် (Angle) | <code>\angle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\triangle</math> | style="text-align:center" | <math>\triangle ABC</math> | ထိပ်စွန်းမှတ်များ <math>A</math>၊ <math>B</math> နှင့် <math>C</math> ပါဝင်သော တြိဂံ (triangle) ဖြစ်သည်။ | တြိဂံ (Triangle) | <code>\triangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\square</math> | style="text-align:center" | <math>\square \mathit{ABCD}</math> | ထိပ်စွန်းမှတ်များ <math>A</math>၊ <math>B</math>၊ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ပါဝင်သော စတုဂံ (quadrilateral) ဖြစ်သည်။ | စတုဂံ (Quadrilateral) | <code>\square</code> |- | style="text-align:center" | <math>\parallel</math> | style="text-align:center" | <math>g \parallel h</math> | မျဉ်း <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့သည် အချင်းချင်း ပြိုင်နေကြသည် (parallel)။ | rowspan="2" | မျဉ်းပြိုင် (Parallel) | <code>\parallel</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nparallel</math> | style="text-align:center" | <math>g \nparallel h</math> | မျဉ်း <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့သည် အချင်းချင်း မပြိုင်ကြပါ။ | <code>\nparallel</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp</math> | style="text-align:center" | <math>g \perp h</math> | မျဉ်း <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့သည် အချင်းချင်း ထောင့်မှန်ကျနေကြသည် (orthogonal/perpendicular)။ | ထောင့်မှန်ကျဖြစ်မှု (Orthogonality) | <code>\perp</code> |} === ဗက်တာများနှင့် ကိန်းအုံများ (Vectors and matrices) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1, \ldots , v_n \end{pmatrix}</math> | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1, \ldots , v_n \end{pmatrix}</math> | [[အစုဝင်]] <math>v_1</math> မှ <math>v_n</math> ပါဝင်သော အတန်း ဗက်တာ (row vector) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | [[ဗက်တာ]] (Vector) | rowspan="3" | <code>\begin{pmatrix}</code><br /><code>...</code><br /><code>\end{pmatrix}</code><br /><br />သို့မဟုတ်<br /><br /><code>\left(</code><br /><code>\begin{array}{...}</code><br /><code>...</code><br /><code>\end{array}</code><br /><code>\right)</code> |- | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix}</math> | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix}</math> | အစုဝင် <math>v_1</math> မှ <math>v_m</math> ပါဝင်သော တိုင် ဗက်တာ (column vector) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} a_{11} & \!\ldots\! & a_{1n} \\ \vdots & \!\ddots\! & \vdots \\ a_{m1} & \!\ldots\! & a_{mn} \end{pmatrix}</math> | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} a_{11} & \!\ldots\! & a_{1n} \\ \vdots & \!\ddots\! & \vdots \\ a_{m1} & \!\ldots\! & a_{mn} \end{pmatrix}</math> | အစုဝင် <math>a_{11}</math> မှ <math>a_{mn}</math> ပါဝင်သော ကိန်းအုံ (matrix) ဖြစ်သည်။ | ကိန်းအုံ (Matrix) |} === ဗက်တာ အက္ခရာသင်္ချာ (Vector algebra) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>v \cdot w</math> | rowspan="3"| [[ဗက်တာ]] <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ အစက် မြှောက်လဒ် (dot product) သို့မဟုတ် [[စကေလာ]]မြှောက်လဒ် (scalar product) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| အစက် မြှောက်လဒ် (Dot product) | <code>\cdot</code> |- | style="text-align:center" | <math>(~~)</math> | style="text-align:center" | <math>(v,w)</math> | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle v,w \rangle</math><br /><math>\langle v\,|\,w \rangle</math> | <code>\langle \rangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>v \times w</math> | rowspan="2" | ဗက်တာ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ ကြက်ခြေခတ် မြှောက်လဒ် (cross product) သို့မဟုတ် ဗက်တာမြှောက်လဒ် (vector product) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကြက်ခြေခတ် မြှောက်လဒ် (Cross product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>[~~]</math> | style="text-align:center" | <math>[v,w]</math> | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>(~~)</math> | style="text-align:center" | <math>(u,v,w)</math> | ဗက်တာ <math>u</math>၊ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ စကေလာ သုံးခုမြှောက်လဒ် (scalar triple product) ဖြစ်သည်။ | သုံးခုမြှောက်လဒ် (Triple product) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\otimes</math> | style="text-align:center" | <math>v \otimes w</math> | ဗက်တာ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ ဒိုင်ယာဒစ် မြှောက်လဒ် (dyadic product) ဖြစ်သည်။ | ဒိုင်ယာဒစ် မြှောက်လဒ် (Dyadic product) | <code>\otimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>\wedge</math> | style="text-align:center" | <math>v \wedge w</math> | ဗက်တာ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ ပြင်ပမြှောက်လဒ် (exterior product) သို့မဟုတ် သပ်ပုံမြှောက်လဒ် (wedge product) ဖြစ်သည်။ | ပြင်ပ အက္ခရာသင်္ချာ (Exterior algebra) | <code>\wedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>|~~|</math> | style="text-align:center" | <math>| v |</math> | ဗက်တာ <math>v</math> ၏ ပမာဏ (magnitude) ဖြစ်သည်။ | [[ဗက်တာ]] (Vector) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\|~~\|</math> | style="text-align:center" | <math>\| v \|</math> | ဗက်တာ <math>v</math> ၏ စံနှုန်း (norm) ဖြစ်သည်။ | [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (Norm) | <code>\Vert</code>, <code><nowiki>\|</nowiki></code> |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{v}</math> | ဗက်တာ <math>v</math> လားရာအတိုင်း ယူနစ်ဗက်တာ (unit vector) ဖြစ်သည်။ | ယူနစ်ဗက်တာ (Unit vector) | <code>\hat</code> |} === ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (Matrix algebra) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>A \cdot B</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ | ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း (Matrix multiplication) | <code>\cdot</code> |- | style="text-align:center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>A : B</math> | ရူပဗေဒတွင် ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် အတွင်းမြှောက်လဒ် (Frobenius inner product) ဖြစ်သည်။ | ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် အတွင်းမြှောက်လဒ် (Frobenius inner product) | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>\circ</math> | style="text-align:center" | <math>A \circ B</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ဟာဒါမတ် မြှောက်လဒ် (Hadamard product) ဖြစ်သည်။ | ဟာဒါမတ် မြှောက်လဒ် (Hadamard product) | <code>\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\otimes</math> | style="text-align:center" | <math>A \otimes B</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ခရိုနက်ကာ မြှောက်လဒ် (Kronecker product) ဖြစ်သည်။ | ခရိုနက်ကာ မြှောက်လဒ် (Kronecker product) | <code>\otimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\mathsf{T}</math> | style="text-align:center" | <math>A^\mathsf{T}</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ထရန်စပို့စ် (transpose) ဖြစ်သည်။ | ထရန်စပို့စ် (Transpose) | <code>...^\mathsf{T}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\mathsf{H}</math> | style="text-align:center" | <math>A^\mathsf{H}</math> |rowspan="3"| ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ကွန်ဂျူဂိတ် ထရန်စပို့စ် (conjugate transpose) ဖြစ်သည်။ |rowspan="3"| ကွန်ဂျူဂိတ် ထရန်စပို့စ် (Conjugate transpose) | <code>...^\mathsf{H}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>A^\ast</math> | <code>...^\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\dagger</math> | style="text-align:center" | <math>A^\dagger</math> | <code>...^\dagger</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{-1}</math> | style="text-align:center" | <math>A^{-1}</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ပြောင်းပြန် (inverse) ဖြစ်သည်။ | ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ကိန်းအုံ (Invertible matrix) | <code>...^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{+}</math> | style="text-align:center" | <math>A^{+}</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ မိုး-ပန်ရို့စ် ပြောင်းပြန် (Moore-Penrose inverse) ဖြစ်သည်။ | မိုး-ပန်ရို့စ် ပြောင်းပြန် (Moore-Penrose inverse) | <code>...^+</code> |- | style="text-align:center" | <math>| ~~ |</math> | style="text-align:center" | <math>| A |</math> |rowspan="2"| ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (determinant) ဖြစ်သည်။ |rowspan="2"| အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (Determinant) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\det</math> | style="text-align:center" | <math>\det(A)</math> | <code>\det</code> |- | style="text-align:center" | <math>\| ~~ \|</math> | style="text-align:center" | <math>\| A \|</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]ဖြစ်သည်။ | ကိန်းအုံ စံနှုန်း (Matrix norm) | <code>\Vert</code>, <code><nowiki>\|</nowiki></code> |} === ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>+</math> | style="text-align:center" | <math>V + W</math> | [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ ပေါင်းလဒ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (Direct sum) | <code>+</code> |- | style="text-align:center" | <math>\oplus</math> | style="text-align:center" | <math>V \oplus W</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (direct sum) ဖြစ်သည်။ | <code>\oplus</code> |- | style="text-align:center" | <math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>V \times W</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (direct product) ဖြစ်သည်။ | တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (Direct product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>\otimes</math> | style="text-align:center" | <math>V \otimes W</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (tensor product) ဖြစ်သည်။ | တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (Tensor product) | <code>\otimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>V \, / \, U</math> | ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>U</math> ကိုအခြေခံသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ စားလဒ်ရပ်ဝန်း (quotient space) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်ရပ်ဝန်း (Quotient space) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\perp</math> | style="text-align:center" | <math>U^\perp</math> | ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>U</math> ၏ ထောင့်မှန်ကျ ဖြည့်စွက်စု (orthogonal complement) ဖြစ်သည်။ | ထောင့်မှန်ကျ ဖြည့်စွက်စု (Orthogonal complement) | <code>\perp</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>V^{\ast}</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (dual space) ဖြစ်သည်။ | ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (Dual space) | <code>\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^0</math> | style="text-align:center" | <math>X^0</math> | [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]][[အစု]] <math>X</math> ၏ ချေဖျက်ကိန်း (annihilator) ဖြစ်သည်။ | ချေဖျက်ကိန်း (Annihilator) | <code>0</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle X \rangle</math> | ဗက်တာများအစု <math>X</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့် စပန် (linear span) ဖြစ်သည်။ | မျဉ်းဖြောင့် စပန် (Linear span) | <code>\langle \rangle</code> |} == ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) == === တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\partial</math> | style="text-align:center" | <math>\partial U</math> | အစု (set) <math>U</math> ၏ နယ်နိမိတ် (boundary) ဖြစ်သည်။ | နယ်နိမိတ် (Boundary) | <code>\partial</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\circ</math> | style="text-align:center" | <math>U^\circ</math> | အစု <math>U</math> ၏ အတွင်းပိုင်း (interior) ဖြစ်သည်။ | အတွင်းပိုင်း (Interior) | <code>^\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{U}</math> | အစု <math>U</math> ၏ အပိတ်စု (closed set) ဖြစ်သည်။ | အပိတ်စု (Closure) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\dot{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\dot{U}(x)</math> | rowspan="2"| အမှတ် <math>x</math> ၏ ဗဟိုဖယ်ထုတ်ထားသော ပတ်ဝန်းကျင် (punctured neighborhood) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ဗဟိုဖယ်ထုတ်ထားသော ပတ်ဝန်းကျင် (Punctured neighborhood) | <code>\dot</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\bullet</math> | style="text-align:center" | <math>U^\bullet(x)</math> | <code>^\bullet</code> |} === အပိုင်းအခြားများ (Intervals) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>[~~]</math> | style="text-align:center" | <math>[a,b]</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ အပိတ် အပိုင်းအခြား (closed interval) ဖြစ်သည်။ | rowspan="7" | အပိုင်းအခြား (Interval) | rowspan="7" | <code>( )</code><br /><code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>]~~[</math> | style="text-align:center" | <math>]a,b[</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ အဖွင့် အပိုင်းအခြား (open interval) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>(~~)</math> | style="text-align:center" | <math>(a,b)</math> |- | style="text-align:center" | <math>[~~[</math> | style="text-align:center" | <math>[a,b[</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ ညာဘက်တစ်ဝက်ဖွင့် အပိုင်းအခြားဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>[~~)</math> | style="text-align:center" | <math>[a,b)</math> |- | style="text-align:center" | <math>]~~]</math> | style="text-align:center" | <math>]a,b]</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ ဘယ်ဘက်တစ်ဝက်ဖွင့် အပိုင်းအခြားဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>(~~]</math> | style="text-align:center" | <math>(a,b]</math> |} === ကိန်းစဉ်များနှင့် ကိန်းစဉ်တန်းများ (Sequences and series) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>( a_n )_n </math> | အစုဝင် (element) <math>a_1, a_2, \ldots </math> ပါဝင်သော ကိန်းစဉ် (sequence) ဖြစ်သည်။ | ကိန်းစဉ် (Sequence) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\to</math> | style="text-align:center" | <math>a_n \to a</math> | ကိန်းစဉ် <math>(a_n)</math> သည် စုဆုံမှတ် (limit) <math>a</math> သို့ စုဆုံသည်။ | ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် (Limit of a sequence) | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>\infty</math> | style="text-align:center" | <math>n \to \infty</math> | <math>n</math> သည် အနန္တ (infinity) သို့ ဖြာထွက်သည် (diverges)။ | အနန္တ (Infinity) | <code>\infty</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sum</math> | style="text-align:center" | <math>\sum_{i=1}^n, \sum_{i \in I}</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ ပေါင်းလဒ် သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> အားလုံးအပေါ် ပေါင်းလဒ် (summation) ဖြစ်သည်။ | ပေါင်းလဒ်ရှာခြင်း (Summation) | <code>\sum</code> |- | style="text-align:center" | <math>\prod</math> | style="text-align:center" | <math>\prod_{i=1}^n, \prod_{i \in I}</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ မြှောက်လဒ် သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> အားလုံးအပေါ် မြှောက်လဒ် (product) ဖြစ်သည်။ | မြှောက်လဒ် (Product) | <code>\prod</code> |- | style="text-align:center" | <math>\coprod</math> | style="text-align:center" | <math>\coprod_{i=1}^n, \coprod_{i \in I}</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> အားလုံးအပေါ် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct) ဖြစ်သည်။ | ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (Coproduct) | <code>\coprod</code> |} === ဖန်ရှင်များ (Functions) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | rowspan=2 style="text-align:center" | <math>\to</math> | style="text-align:center" | <math>f \colon A \to B</math> | rowspan="2" | ဖန်ရှင် (function) <math>f</math> သည် အစု <math>A</math> မှ အစု <math>B</math> သို့ ပုံဖော်ပေးသည် (maps to)။ | rowspan="4" | ဖန်ရှင် (Function) | rowspan="2" | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>A \, \stackrel f\to \, B</math> |- |rowspan=2 align="center" | <math>\mapsto</math> | style="text-align:center" | <math>f \colon x \mapsto y</math> | rowspan="2" | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အစုဝင် <math>x</math> ကို အစုဝင် <math>y</math> သို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ | rowspan="2" | <code>\mapsto</code> |- | style="text-align:center" | <math>x \, \stackrel f\mapsto \, y</math> |- |rowspan=2 align="center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>f(x)</math> | အစုဝင် <math>x</math> အတွက် <math>f</math> ၏ ဖန်ရှင်တန်ဖိုးဖြစ်သည်။ |rowspan="3"| [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (Image) | rowspan="2" | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>f(X)</math> | rowspan="2" | ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ အစု <math>X</math> ၏ ပုံရိပ် (image) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>f[X]</math> | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vert</math> | style="text-align:center" | <math>f \vert_X</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အစု <math>X</math> အပေါ် ကန့်သတ်ခြင်း (restriction) ဖြစ်သည်။ | ကန့်သတ်ခြင်း (Restriction) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>f(\cdot)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အဝင်ကိန်းအဖြစ် ကိန်းရှင် (variable) တစ်ခုအတွက် ကိုယ်စားပြု အစားထိုးစာလုံးဖြစ်သည်။ | ကိန်းရှင် (Variable) | <code>\cdot</code> |- |style="text-align:center" rowspan="2"| <math>{}^{-1}</math> | style="text-align:center" | <math>f^{-1}</math> | <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) ဖြစ်သည်။ | ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (Inverse function) | <code>^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>f^{-1}(Y)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ အစု <math>Y</math> ၏ မူလပုံရိပ် (preimage) ဖြစ်သည်။ | [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] (Preimage) | <code>^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\circ</math> | style="text-align:center" | <math>f \circ g</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သည်။ | ဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်း (Function composition) | <code>\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ast</math> | style="text-align:center" | <math>f \ast g</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့၏ ကွန်ဗော်လူးရှင်း (convolution) ဖြစ်သည်။ | ကွန်ဗော်လူးရှင်း (Convolution) | <code>\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{f}</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (Fourier transform) ဖြစ်သည်။ | ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (Fourier transform) | <code>\hat</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Vert~\Vert</math> | style="text-align:center" | <math>\Vert f\Vert_\infty</math>,<math>\Vert f\Vert_D</math> | <math>f</math> ၏ စူပရီမမ် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (supremum norm) သို့မဟုတ် ဒိုမိန်း <math>D</math> အပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ စူပရီမမ် စံနှုန်းဖြစ်သည်။ | စူပရီမမ် စံနှုန်း (Supremum norm) | <code>\Vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\exp</math> | style="text-align:center" | <math>\exp(x)</math> | ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ဖြစ်သည်။ | ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (Exponential function) | <code>\exp</code> |- | style="text-align:center" | <math>\log</math> | style="text-align:center" | <math>\log(x)</math>,<math>\log_a(x)</math> | လော်ဂရစ်သမ် (logarithm)၊ အခြေ <math>a</math> ရှိသော လော်ဂရစ်သမ်ဖြစ်သည်။ | လော်ဂရစ်သမ် (Logarithm) | <code>\log</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ln</math> | style="text-align:center" | <math>\ln(x)</math> | သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် (natural logarithm) ဖြစ်သည်။ | သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် (Natural logarithm) | <code>\ln</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sin</math> | style="text-align:center" | <math>\sin(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဆိုင်း (sine) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်း (Sine and cosine) | <code>\sin</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cos</math> | style="text-align:center" | <math>\cos(x)</math> | <math>x</math> ၏ ကိုဆိုင်း (cosine) ဖြစ်သည်။ | <code>\cos</code> |- | style="text-align:center" | <math>\tan</math> | style="text-align:center" | <math>\tan(x)</math> | <math>x</math> ၏ တန်းဂျင့် (tangent) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | တန်းဂျင့်နှင့် ကိုတန်းဂျင့် (Tangent and cotangent) | <code>\tan</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cot</math> | style="text-align:center" | <math>\cot(x)</math> | <math>x</math> ၏ ကိုတန်းဂျင့် (cotangent) ဖြစ်သည်။ | <code>\cot</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sinh</math> | style="text-align:center" | <math>\sinh(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဆိုင်း (hyperbolic sine) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဟိုက်ပါဘောလစ် ဆိုင်းနှင့် ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုဆိုင်း (Hyperbolic sine and hyperbolic cosine) | <code>\sinh</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cosh</math> | style="text-align:center" | <math>\cosh(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုဆိုင်း (hyperbolic cosine) ဖြစ်သည်။ | <code>\cosh</code> |- | style="text-align:center" | <math>\tanh</math> | style="text-align:center" | <math>\tanh(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် တန်းဂျင့် (hyperbolic tangent) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဟိုက်ပါဘောလစ် ဖန်ရှင်များ (Hyperbolic functions) | <code>\tanh</code> |- | style="text-align:center" | <math>\coth</math> | style="text-align:center" | <math>\coth(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုတန်းဂျင့် (hyperbolic cotangent) ဖြစ်သည်။ | <code>\coth</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Gamma</math> | style="text-align:center" | <math>\Gamma(x)</math> | ဂါမာ ဖန်ရှင် (gamma function) ဖြစ်သည်။ | ဂါမာ ဖန်ရှင် (Gamma function) | <code>\Gamma</code> |} ''ထပ်မံကြည့်ရှုရန်-'' ဖန်ရှင်များအတွက် နောက်ထပ် သင်္ကေတ အသုံးအနှုန်းများအတွက် သင်္ကေတပြ ဖန်ရှင်များ (Symbolic notations for functions) ကို ကြည့်ပါ။ === စုဆုံမှတ်များ (Limits) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\uparrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \uparrow a} f(x)</math> | rowspan="3" | <math>x</math> သည် <math>a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဘယ်ဖက်မှ စုဆုံမှတ် (left-sided limit) ဖြစ်သည်။ |rowspan="7"| ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် (Limit of a function) | <code>\uparrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nearrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \nearrow a} f(x)</math> | <code>\nearrow</code> |- | rowspan="3" style="text-align:center" | <math>\to</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \to a-} f(x)</math> | rowspan="3" | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \to a} f(x)</math> | <math>x</math> သည် <math>a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ နှစ်ဖက်စလုံးမှ စုဆုံမှတ်ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \to a+} f(x)</math> | rowspan="3" | <math>x</math> သည် <math>a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ညာဖက်မှ စုဆုံမှတ် (right-sided limit) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>\searrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \searrow a} f(x)</math> | <code>\searrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\downarrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \downarrow a} f(x)</math> | <code>\downarrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>X_n\xrightarrow{p} X</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname{plim}(X_n) = X</math> | <math>X_n</math> သည် <math>X</math> ဆီသို့ ဖြစ်တန်စွမ်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in probability) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3" | ကျပန်းကိန်းရှင်များ၏ စုဆုံခြင်း (Convergence of random variables) | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>X_n\xrightarrow{d} X</math> | style="text-align:center" | <math>x_n\xrightarrow{d} x</math> | <math>x_n</math> သည် <math>x</math> ဆီသို့ ဖြန့်ဖြူးခြင်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in distribution) ဖြစ်သည်။ | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>X_n\xrightarrow{m} X</math> | style="text-align:center" | <math>x_n\xrightarrow{m} x</math> | <math>x_n</math> သည် <math>x</math> ဆီသို့ ပျမ်းမျှ နှစ်ထပ်ကိန်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in mean square) ဖြစ်သည်။ | <code>\to</code> |} === ချဉ်းကပ်မှု သဘာဝ (Asymptotic behavior) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>f \sim g</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် ဖန်ရှင် <math>g</math> နှင့် ချဉ်းကပ်မှုအရ (asymptotically) ညီမျှသည်။ | ချဉ်းကပ်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Asymptotic analysis) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>o</math> | style="text-align:center" | <math>f \in o(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုနှေးကွေးစွာ ကြီးထွားသည်။ |rowspan="5"| O အကြီး သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (Big O notation) | <code>o</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathcal{O}</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \mathcal{O}(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် ပိုနှေးကွေးစွာ သို့မဟုတ် ၎င်းနှုံးအတိုင်း ကြီးထွားသည်။ | <code>\mathcal{O}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Theta</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \Theta(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> နှင့် တူညီသော နှုံးအတိုင်း ကြီးထွားသည်။ | <code>\Theta</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Omega</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \Omega(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် ပိုမြန်ဆန်စွာ သို့မဟုတ် ၎င်းနှုံးအတိုင်း ကြီးထွားသည်။ | <code>\Omega</code> |- | style="text-align:center" | <math>\omega</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \omega(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုမြန်ဆန်စွာ ကြီးထွားသည်။ | <code>\omega</code> |} === ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ် (Differential calculus) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>{}'</math> | style="text-align:center" | <math>f', f''</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပထမ သို့မဟုတ် ဒုတိယ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ဖြစ်သည်။ | rowspan="4" | ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ် (Differential calculus) | <code>\prime</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>\dot f, \ddot f</math> | ရူပဗေဒတွင် အချိန်နှင့်အမျှ <math>f</math> ၏ ပထမ သို့မဟုတ် ဒုတိယ ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သည်။ | <code>\dot</code>, <code>\ddot</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{(~)}</math> | style="text-align:center" | <math>f^{(n)}</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သည်။ | <code>( )</code> |- |rowspan=2 align="center" | <math>\mathrm{d}</math> | style="text-align:center" | <math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}</math> | <math>x</math> ကိုအခြေခံသော ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | <code>\mathrm{d}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathrm{d}f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ စုစုပေါင်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် (total differential) ဖြစ်သည်။ | စုစုပေါင်း ဆင်းသက်ချက် (Total derivative) |- | style="text-align:center" | <math>\partial</math> | style="text-align:center" | <math>\frac{\partial\!f}{\partial x}</math> | <math>x</math> ကိုအခြေခံသော ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက် (partial derivative) ဖြစ်သည်။ | ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက် (Partial derivative) | <code>\partial</code> |} === အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Measure theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\ll</math> | style="text-align:center" | <math>\nu \ll \mu</math> | အတိုင်းအတာ (measure) <math>\nu</math> သည် <math>\mu</math> နှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် ပကတိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (absolutely continuous) အတိုင်းအတာဖြစ်သည်။ | ပကတိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (Absolute continuity) | <code>\ll</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp</math> | style="text-align:center" | <math>\nu \perp \mu</math> | အတိုင်းအတာ <math>\nu</math> သည် <math>\mu</math> နှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် ဆင်ဂူလာ (singular) ဖြစ်သည်။ | ဆင်ဂူလာ အတိုင်းအတာ (Singular measure) | <code>\perp</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sigma</math> | style="text-align:center" | <math>\sigma(\mathcal{M})</math> | <math>\mathcal{M}</math> ပါဝင်သော အငယ်ဆုံး ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာ (sigma-algebra) ဖြစ်သည်။ | ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာ (Sigma-algebra) | <code>\sigma</code> |- | style="text-align:center" | <math>\delta</math> | style="text-align:center" | <math>\delta(\mathcal{E})</math> | <math>\mathcal{E}</math> ပါဝင်သော အငယ်ဆုံး ဒင်ကင် စနစ် (Dynkin system) ဖြစ်သည်။ | ဒင်ကင် စနစ် (Dynkin system) | <code>\delta</code> |} === အင်တီဂရယ် ကဲကုလပ် (Integral calculus) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\int</math> | style="text-align:center" | <math>\int_a^b</math>, <math>\displaystyle \int_G</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ သို့မဟုတ် ဒေသ <math>G</math> အပေါ်ရှိ သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) ဖြစ်သည်။ | အင်တီဂရယ် ကဲကုလပ် (Integral calculus) | <code>\int</code> |- | style="text-align:center" | <math>\oint</math> | style="text-align:center" | <math>\oint_\gamma</math> | မျဉ်းကွေး <math>\gamma</math> အပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ဖြစ်သည်။ | လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက် အင်တီဂရယ် (Line integral) | <code>\oint</code> |- | style="text-align:center" | <math>\iint</math> | style="text-align:center" | <math>\iint_{\mathcal F}</math> | မျက်နှာပြင် <math>\mathcal F</math> အပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ဖြစ်သည်။ | မျက်နှာပြင် အင်တီဂရယ် (Surface integral) | <code>\iint</code> |- | style="text-align:center" | <math>\iiint</math> | style="text-align:center" | <math>\iiint_V</math> | ထုထည် (volume) <math>V</math> အပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ဖြစ်သည်။ | ထုထည် အင်တီဂရယ် (Volume integral) | <code>\iiint</code> |- | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{a}^{\bar b}</math> | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{a}^{\bar b} f(x) \ \mathrm{d}x</math> | <math>[a,b]</math> အပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ အထက် အင်တီဂရယ် (upper integral) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဒါဘူး အင်တီဂရယ် (Darboux integral) | <code>\int\limits</code> |- | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{\underline a}^{b}</math> | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{\underline a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x</math> | <math>[a,b]</math> အပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ အောက် အင်တီဂရယ် (lower integral) ဖြစ်သည်။ | <code>\int\limits</code> |} ''ထပ်မံကြည့်ရှုရန်-'' အင်တီဂရယ် သင်္ကေတ၏ ပုံစံကွဲများ (Variants of the integral symbol) ကို ကြည့်ပါ။ === ဗက်တာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Vector analysis) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- |rowspan=3 align="center" | <math>\nabla</math> | style="text-align:center" | <math>\nabla f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဂရေးဒီးယင့် (gradient) ဖြစ်သည်။ | ဂရေးဒီးယင့် (Gradient) | rowspan="3" | <code>\nabla</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nabla \cdot F</math> | ဗက်တာစက်ကွင်း (vector field) <math>F</math> ၏ ဖြာထွက်မှု (divergence) ဖြစ်သည်။ | ဖြာထွက်မှု (Divergence) |- | style="text-align:center" | <math>\nabla \times F</math> | ဗက်တာစက်ကွင်း <math>F</math> ၏ လည်ပတ်မှု (curl) ဖြစ်သည်။ | လည်ပတ်မှု (Curl) |- | style="text-align:center" | <math>\Delta</math> | style="text-align:center" | <math>\Delta f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ (Laplace operator) ဖြစ်သည်။ | လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ (Laplace operator) | <code>\Delta</code> |- | style="text-align:center" | <math>\square</math> | style="text-align:center" | <math>\square f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဒီအာလမ်ဘတ် အော်ပရေတာ (D'Alembert operator) ဖြစ်သည်။ | ဒီအာလမ်ဘတ် အော်ပရေတာ (D'Alembert operator) | <code>\square</code> |} === ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Functional analysis) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>{}'</math> | style="text-align:center" | <math>V'</math> | တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ (topological) ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) <math>V</math> ၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (dual space) ဖြစ်သည်။ | ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (Dual space) | rowspan="2" | <code>\prime</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}''</math> | style="text-align:center" | <math>V''</math> | စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော (normed) ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ဘိုင်ဒွန်တွဲ (bidual) ရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ | ဘိုင်ဒွန်တွဲ (Bidual) |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{X}</math> | အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) <math>X</math> ၏ ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) ဖြစ်သည်။ | [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (Complete metric space) | <code>\hat</code> |- | style="text-align:center" | <math>\hookrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>X \hookrightarrow Y</math> | ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အတွင်းသို့ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ ထည့်သွင်းခြင်း (embedding) ဖြစ်သည်။ | ထည့်သွင်းခြင်း (Embedding) | <small><code>\hookrightarrow</code></small> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>T^{\ast}</math> | [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) <math>T</math> ၏ တွဲဖက် အော်ပရေတာ (adjoint operator) ဖြစ်သည်။ | ဟာမီရှန် တွဲဖက် (Hermitian adjoint) | <code>\ast</code> |} == စတော့ကတ်စတစ် (Stochastics) == === ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Combinatorics) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | rowspan=3 align="center" | <math>!</math> | style="text-align:center" | <math>n!</math> | [[အစုဝင်]] <math>n</math> ခုအတွက် ပါမြူတေးရှင်းများ (permutations) ၏ အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | ဖက်တိုရီရယ် (Factorial) | rowspan="3" | <code>!</code> |- | style="text-align:center" | <math>!n</math> | အစုဝင် <math>n</math> ခုအတွက် နေရာပြောင်းလဲမှုများ (derangements) အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | ဖက်တိုရီရယ်ပိုင်း (Subfactorial) |- | style="text-align:center" | <math>n!!</math> | မကိန်း (odd number) <math>n</math> ခုအတွက် တိကျစွာ [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (involution) ဖြစ်သော ပါမြူတေးရှင်းများ၏ အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | ဖက်တိုရီရယ် နှစ်ထပ် (Double factorial) |- |rowspan=2 align="center" | <math>\tbinom{~}{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\tbinom{n}{k}</math> | အစုဝင် <math>n</math> ခုမှ <math>k</math> ခုကို ထပ်ခါတလဲလဲမပါဘဲ ရွေးချယ်နိုင်သော အရေအတွက် (combination) ဖြစ်သည်။ | ဘိုင်နိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (Binomial coefficient) | rowspan="2" | <code>\binom</code> |- | style="text-align:center" | <math>\tbinom{n}{k_1, \ldots , k_r}</math> | ကွဲပြားသောအစုဝင် <math>k_1, \ldots , k_r</math> တို့၏ စီစဉ်မှုများ (arrangements) အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | မာလ်တီနိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (Multinomial coefficient) |- | style="text-align:center" | <math>\left(\!\tbinom{~}{~}\!\right)</math> | style="text-align:center" | <math>\left(\!\tbinom{n}{k}\!\right)</math> | အစုဝင် <math>n</math> ခုမှ <math>k</math> ခုကို ထပ်ခါတလဲလဲ ရွေးချယ်နိုင်သော အရေအတွက် (multicombinations) ဖြစ်သည်။ | မာလ်တီအစု (Multiset) |- | rowspan=2 align="center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>n^{\overline{m}}</math> | <math>n</math> မှစတင်၍ ဆခွဲကိန်း <math>m</math> ခုပါဝင်သော တက်နေသည့် ဖက်တိုရီရယ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကျဆင်းခြင်းနှင့် တက်နေခြင်း ဖက်တိုရီရယ်များ (Falling and rising factorials) | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>n^{\underline{m}}</math> | <math>n</math> မှစတင်၍ ဆခွဲကိန်း <math>m</math> ခုပါဝင်သော ကျဆင်းသည့် ဖက်တိုရီရယ်ဖြစ်သည်။ | <code>\underline</code> |- | style="text-align:center" | <math>\#</math> | style="text-align:center" | <math>n \#</math> | <math>n</math> ထက် ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers) ၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ | ပရိုင်မိုရီရယ် (Primorial) | <code>\#</code> |} === ဖြစ်တန်စွမ်း သီအိုရီ (Probability theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>P</math> | style="text-align:center" | <math>P(A)</math> | အဖြစ်အပျက် (event) <math>A</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း (probability) ဖြစ်သည်။ | ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာ (Probability measure) | <code>P</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mid</math> | style="text-align:center" | <math>P(A \mid B)</math> | <math>B</math> ပေးထားချက်အောက်တွင် <math>A</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်းဖြစ်သည်။ | ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် ဖြစ်တန်စွမ်း (Conditional probability) | <code>\mid</code> |- | style="text-align:center" | <math> \operatorname E</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname E[X\mid Y]</math> | <math>Y</math> ပေးထားချက်အောက်တွင် ကျပန်းကိန်းရှင် (random variable) <math>X</math> ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုး (expected value) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | မျှော်မှန်းတန်ဖိုး (Expected value) | <code>\operatorname{E}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname E</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname E[X]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးဖြစ်သည်။ | <code>\operatorname{E}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname{Var}</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname{Var}[X]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ ကွဲလွဲချက် (variance) ဖြစ်သည်။ | ကွဲလွဲချက် (Variance) | <code>\operatorname{Var}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname{sd}</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname{sd}[X]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ စံသွေဖည်ကိန်း (standard deviation) ဖြစ်သည်။ | စံသွေဖည်ကိန်း (Standard deviation) | <code>\operatorname{sd}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname{Cov}</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname {Cov}[X,Y]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့၏ အတူကွဲလွဲချက် (covariance) ဖြစ်သည်။ | အတူကွဲလွဲချက် (Covariance) | <code>\operatorname{Cov}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\rho</math> | style="text-align:center" | <math>\rho(X,Y)</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့၏ ဆက်စပ်မှု (correlation) ဖြစ်သည်။ | ဆက်စပ်မှု မြှောက်ဖော်ကိန်း (Correlation coefficient) | <code>\rho</code> |- | style="text-align:center" | <math>R^2</math> | style="text-align:center" | <math>\rho(X,Y)^2</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့၏ ဆက်စပ်မှု နှစ်ထပ်ကိန်းဖြစ်သည်။ | အဆုံးအဖြတ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (Coefficient of determination) | <code>\mathit{R}^2</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>X \sim F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (distribution) <math>F</math> အတိုင်းဖြစ်သည်။ |rowspan="5"| ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Probability distribution) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nsim</math> | style="text-align:center" | <math>X\nsim F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်း မဟုတ်ပါ။ | <code>\nsim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\stackrel{a.s.}{\sim}</math> | style="text-align:center" | <math>X \;\stackrel{a.s.}{\sim}\; F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်း သေချာသလောက် (almost surely) ဖြစ်သည်။ | <code>\approx</code> |- | style="text-align:center" | <math>\stackrel{a}{\sim}</math> | style="text-align:center" | <math>X\; \stackrel{a}{\sim}\; F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်း ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် (asymptotically) ဖြစ်သည်။ | <code>\approx</code> |- | style="text-align:center" | <math>\stackrel{H_0}{\sim}</math> | style="text-align:center" | <math>X \;\stackrel{H_0}{\sim} \; F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် နားလ် ဟိုက်ပိုသီစစ် (null hypothesis) အောက်တွင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်းဖြစ်သည်။ | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp\!\!\!\perp</math> | style="text-align:center" | <math>X\perp\!\!\!\perp Y</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် စတော့ကတ်စတစ်နည်းအရ အမှီအခိုကင်းကြသည် (stochastically independent)။ |rowspan="1"| အမှီအခိုကင်းခြင်း (Independence) | <code>\perp\!\!\!\perp</code> |} ''မှတ်ချက်-'' အော်ပရေတာများအတွက် အခြားသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း ပုံစံများရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် လခြမ်းကွင်းများအစား လေးထောင့်ကွင်းများကို မကြာခဏ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ === စာရင်းအင်းပညာ (Statistics) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\tilde{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\tilde{x}</math> | တန်ဖိုးများ <math>x_1, \ldots , x_n</math> ၏ မီဒီယန်ဖြစ်သည်။ | မီဒီယန် (Median) | <code>\tilde</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bar{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\bar{X}</math> | ကျပန်းကိန်းရှင်များ <math>X_1, \ldots , X_n</math> ၏ နမူနာ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး ဖြစ်သည်။ | ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (Mean) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bar{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\bar{x}</math> | တန်ဖိုးများ <math>x_1, \ldots , x_n</math> ၏ ပျမ်းမျှကိန်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (Mean) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle f \rangle</math> | ရူပဗေဒတွင် [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> ၏ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သို့မဟုတ် မျှော်မှန်းတန်ဖိုး ဖြစ်သည်။ | <code>\langle \rangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{p}</math> | ပါရာမီတာ <math>p</math> အတွက် ခန့်မှန်းကိန်း (သို့မဟုတ် ခန့်မှန်းတန်ဖိုး) ဖြစ်သည်။ | ခန့်မှန်းကိန်း (Estimator) | <code>\hat</code> |} == ကိုးကား == {{Reflist}} * Tilo Arens၊ Frank Hettlich၊ Christian Karpfinger၊ Ulrich Kockelkorn၊ Klaus Lichtenegger၊ Hellmuth Stachel။ ''Mathematik'' (ဒုတိယအကြိမ်ထုတ်ဝေမှု)။ Spektrum Akademischer Verlag၊ ၂၀၁၁။ ISBN 3-8274-2347-3။ စာမျက်နှာ - ၁၄၈၃ စသည်ဖြင့်။ * Wolfgang Hackbusch။ ''Taschenbuch der Mathematik, Band 1'' (တတိယအကြိမ်ထုတ်ဝေမှု)။ Springer၊ ၂၀၁၀။ ISBN 3-8351-0123-4။ စာမျက်နှာ - ၁၂၇၅ စသည်ဖြင့်။ * Deutsches Institut für Normung: ''DIN 1302: Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe''၊ Beuth-Verlag၊ ၁၉၉၉။ * Deutsches Institut für Normung: ''DIN 1303: Vektoren, Matrizen, Tensoren; Zeichen und Begriffe''၊ Beuth-Verlag၊ ၁၉၈၇။ * Internationale Organisation für Normung: ''DIN EN ISO 80000-2: Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematische Zeichen für Naturwissenschaft und Technik''၊ ၂၀၁၃။ [[Category:သင်္ချာ သင်္ကေတများ]] [[Category:သင်္ချာဆိုင်ရာ အမှတ်လက္ခဏာ]] p08o5xtv9f9joijyfmij96tfaa1kwhd 1049405 1049401 2026-08-19T12:10:24Z Mkant00 135890 /* ကိန်းအစုများ (Number sets) */ 1049405 wikitext text/x-wiki [[File:Lots of math symbols and numbers.svg|thumb|class=skin-invert-image|အချို့သော သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများ]] ဤ သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း (List of mathematical symbols) သည် ပုံသေနည်းများအတွင်း ခေတ်သစ် သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများ (Mathematical notation) တွင် အသုံးအများဆုံးဖြစ်သော သင်္ကေတအချို့ကို ရွေးချယ်ပြသထားခြင်းဖြစ်သည်။ သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အသုံးပြုခဲ့သမျှသော သင်္ကေတအားလုံးကို စာရင်းပြုစုရန် လက်တွေ့အားဖြင့် မဖြစ်နိုင်ပါ။ ထို့ကြောင့် ဤစာရင်းသည် သင်္ချာပညာရေး သို့မဟုတ် တက္ကသိုလ်အဆင့် သင်္ချာလေ့လာမှုများတွင် မကြာခဏတွေ့ရလေ့ရှိသော သင်္ကေတများကိုသာ ဖော်ပြထားသည်။ အောက်ပါစာရင်းသည် အများအားဖြင့် အက္ခရာနှင့် ဂဏန်းမဟုတ်သော သင်္ကေတများအတွက်သာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ၎င်းကို သင်္ချာပညာရပ် နယ်ပယ်များအလိုက် ခွဲခြားထားသည်။ ထို့အပြင် ယင်းနယ်ပယ်များအတွင်း ပါဝင်သော အကြောင်းအရာများအလိုက် ထပ်မံ၍ အုပ်စုဖွဲ့ထားသည်။ အချို့သော သင်္ကေတများသည် အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ အဓိပ္ပာယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် စာရင်းထဲတွင် အကြိမ်ကြိမ် ပါဝင်နေမည်ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတများနှင့် ၎င်းတို့၏ အဓိပ္ပာယ်များအကြောင်း နောက်ထပ်အချက်အလက်များကို သက်ဆိုင်ရာ ဆက်စပ်ဆောင်းပါးများတွင် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ == ရှင်းလင်းချက် (Explanation) == သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတတစ်ခုစီအတွက် အောက်ပါအချက်အလက်များကို ဖော်ပြပေးထားသည်။ *သင်္ကေတ (Symbol)- LaTeX မှ ပုံဖော်ပေးထားသည့် သင်္ကေတဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ပုံနှိပ်စာလုံး ပုံစံအမျိုးမျိုးရှိပါက ပုံစံတစ်မျိုးကိုသာ ပြသထားသည်။ *အသုံးပြုမှု (Usage)- ပုံသေနည်းတစ်ခုအတွင်း သင်္ကေတကို စံနမူနာပြ အသုံးပြုထားခြင်းဖြစ်သည်။ ဤနေရာရှိ အက္ခရာများသည် ကိန်းများ၊ ကိန်းရှင်များ သို့မဟုတ် ပိုမိုရှုပ်ထွေးသော ဖော်ပြချက်များအတွက် ကိုယ်စားပြု အစားထိုးစာလုံးများအဖြစ် တည်ရှိသည်။ ကွဲပြားသော အသုံးပြုနိုင်သည့် အခြေအနေများကို သီးခြားစီ ဖော်ပြထားသည်။ *အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း (Interpretation)- ယခင်ကော်လံရှိ ပုံသေနည်း၏ အဓိပ္ပာယ်ကို စာသားဖြင့် အတိုချုံး ရှင်းလင်းဖော်ပြချက်ဖြစ်သည်။ *ဆောင်းပါး (Article)- သင်္ကေတ၏ အဓိပ္ပာယ် (ဆိုလိုရင်း) ကို ဖော်ပြထားသော ဝီကီပီးဒီးယား ဆောင်းပါးဖြစ်သည်။ *LaTeX- သင်္ကေတကို ဖန်တီးရန် အသုံးပြုသော LaTeX ကွန်မန်းဖြစ်သည်။ ASCII အက္ခရာစုမှ အက္ခရာများကို ချွင်းချက်အချို့ (ဟက်ရှ်အမှတ်အသား၊ ဘက်ခ်စလက်ရှ်၊ တွန့်ကွင်းများ၊ ရာခိုင်နှုန်းအမှတ်အသား) မှလွဲ၍ တိုက်ရိုက်အသုံးပြုနိုင်သည်။ အပေါ်တင်အညွှန်းကိန်းများနှင့် အောက်ချိတ်အညွှန်းကိန်းများကို <code>^</code> နှင့် <code>_</code> အက္ခရာများ အသုံးပြု၍ ဖန်တီးထားသည်။ ၎င်းတို့ကို သီးခြား ဖော်ပြမထားပါ။ အချို့သော အက္ခရာများသည် ''amsmath'' နှင့်/သို့မဟုတ် ''amssymb'' ပက်ကေ့ချ်များကို အသုံးပြုရန် လိုအပ်သည်။ == ယုတ္တိဗေဒ (Logic) == === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် သင်္ကေတများ (Definition symbols) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- |rowspan=2 align="center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>A := B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> နှင့် ညီမျှသည်ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ | rowspan="2" | အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) | rowspan="2" | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>A :\Leftrightarrow B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> နှင့် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာအရ ထပ်တူညီသည်ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ |} === ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ချိတ်ဆက်ကိန်းများ (Logical connectives) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" |<math>\land</math> | style="text-align:center" |<math>A \land B</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> နှင့် ဖော်ပြချက် <math>B</math> ဖြစ်သည်။ | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ပူးပေါင်းခြင်း (Logical conjunction) | <code>\land, \wedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lor</math> | style="text-align:center" | <math>A \lor B</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သို့မဟုတ် ဖော်ပြချက် <math>B</math> (သို့မဟုတ် နှစ်ခုစလုံး) ဖြစ်သည်။ | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ရွေးချယ်ခြင်း (Logical disjunction) | <code>\lor, \vee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Rightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \Rightarrow B</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>B</math> သည် ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှ ဆင်းသက်လာသည်။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သက်ရောက်မှု (Logical implication) | <code>\Rightarrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\rightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \rightarrow B</math> | <code>\rightarrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Leftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \Leftrightarrow B</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သည် ဖော်ပြချက် <math>B</math> မှ ဆင်းသက်လာပြီး ၎င်း၏ပြောင်းပြန်လည်း မှန်ကန်သည်။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ထပ်တူညီမှု (Logical equivalence) | <code><small>\Leftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" | <math>\leftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \leftrightarrow B</math> | <code><small>\leftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" | <math>\dot\lor</math> | style="text-align:center" | <math>A \,\dot\lor\, B</math> | rowspan="6" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သို့မဟုတ် ဖော်ပြချက် <math>B</math> တစ်ခုခုသာဖြစ်သည်။ | rowspan="6" | သီးသန့် ရွေးချယ်ခြင်း (Exclusive disjunction) | <code>\,\dot\lor\,</code> |- | style="text-align:center" | <math>\veebar</math> | style="text-align:center" | <math>A \, \veebar \, B</math> | <code>\veebar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nLeftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \nLeftrightarrow B</math> | <code><small>\nLeftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" | <math>\nleftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \nleftrightarrow B</math> | <code><small>\nleftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" |<math>\nsim</math> | style="text-align:center" |<math>A \nsim B</math> | <code>\nsim</code> |- | style="text-align:center" |<math>\oplus</math> | style="text-align:center" |<math>A \oplus B</math> |<code>\oplus</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lnot</math> | style="text-align:center" | <math>\lnot A</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> မဟုတ်ပါ။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ငြင်းပယ်ခြင်း (Logical negation) | <code>\lnot</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{A}</math> | <code>\bar</code> |} === အရေအတွက်ပြကိန်းများ (Quantifiers) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\forall</math> | style="text-align:center" | <math>\forall\,x</math> | rowspan="2" | [[အစုဝင်]] <math>x</math> အားလုံးအတွက်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | စကြဝဠာ အရေအတွက်ပြကိန်း (Universal quantifier) | <code>\forall</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bigwedge</math> | style="text-align:center" | <math>\bigwedge_x</math> | <code>\bigwedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>\exists</math> | style="text-align:center" | <math>\exists\,x</math> | rowspan="2" | အစုဝင် <math>x</math> အနည်းဆုံးတစ်ခု တည်ရှိသည်။ | rowspan="2" | တည်ရှိမှု အရေအတွက်ပြကိန်း (Existential quantifier) | <code>\exists</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bigvee</math> | style="text-align:center" | <math>\bigvee_x</math> | <code>\bigvee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\exists !</math> | style="text-align:center" | <math>\exists !\,x</math> | rowspan="2" | အစုဝင် <math>x</math> တိကျစွာ တစ်ခုတည်းသာ တည်ရှိသည်။ | rowspan="2" | တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု အရေအတွက်ပြကိန်း (Uniqueness quantifier) | <code>\exists!</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bigvee^\centerdot</math> | style="text-align:center" | <math>\bigvee^\centerdot_x</math> | <code>\dot\bigvee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nexists</math> | style="text-align:center" | <math>\nexists\,x</math> | အစုဝင် <math>x</math> မတည်ရှိပါ။ | တည်ရှိမှု အရေအတွက်ပြကိန်း (Existential quantifier) | <code>\nexists</code> |} === ကောက်ချက်ချခြင်း သင်္ကေတများ (Deduction symbols) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\vdash</math> | style="text-align:center" | <math>A \vdash B</math> | ဖော်ပြချက် <math>B</math> ကို ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှ ဝါကျဖွဲ့ထုံးအရ ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ | သက်သေပြနိုင်စွမ်း (Provability) | <code>\vdash</code> |- | rowspan=2 align="center" | <math>\models</math> | style="text-align:center" | <math>A \models B</math> | ဖော်ပြချက် <math>B</math> သည် ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှ ဆိုလိုရင်းအရ ဆင်းသက်လာသည်။ | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အကျိုးဆက် (Logical consequence) | rowspan="2" | <code>\models</code>, <code>\vDash</code> |- | style="text-align:center" | <math>\models A</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သည် စကြဝဠာတစ်ခုလုံးတွင် မှန်ကန်သည်။ | rowspan="2" | အမြဲမှန်ဖော်ပြချက် (Tautology) |- | style="text-align:center" | <math>\top</math> | style="text-align:center" | <math>A \top</math> | <code>\top</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bot</math> | style="text-align:center" | <math>A \bot</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြစ်သည်။ | ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (Contradiction) | <code>\bot</code> |- | style="text-align:center" | <math>\therefore</math> | style="text-align:center" | <math>A \therefore B</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှန်ကန်သည်။ ထို့ကြောင့် ဖော်ပြချက် <math>B</math> လည်း မှန်ကန်သည်။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ခြင်း (Logical derivation) | <code>\therefore</code> |- | style="text-align:center" | <math>\because</math> | style="text-align:center" | <math>A \because B</math> | ဖော်ပြချက် <math>B</math> မှန်ကန်သောကြောင့် ဖော်ပြချက် <math>A</math> လည်း မှန်ကန်သည်။ | <code>\because</code> |- | style="text-align:center" | ↯ | style="text-align:center" | | ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြစ်သည်။ | ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြင့် သက်သေပြခြင်း (Proof by contradiction) | <code>\lightning</code> |- | style="text-align:center" | <math>\blacksquare</math> |rowspan=2 align="center" | | rowspan="2" | သက်သေပြချက် အဆုံးသတ် (Q.E.D.) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | Q.E.D. | <code>\blacksquare</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Box</math> | <code>\Box</code> |} == [[အစုသီအိုရီ]] (Set theory) == === အစု တည်ဆောက်ပုံ (Set construction) === {| class="wikitable" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>\emptyset</math> | style="text-align:center"| <math>\emptyset</math> | rowspan="3"| ဗလာအစု (Empty set) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| [[ဗလာစု]] (Empty set) | <code>\emptyset</code> |- | style="text-align:center"| <math>\varnothing</math> | style="text-align:center"| <math>\varnothing</math> | <code>\varnothing</code> |- | rowspan="2" style="text-align:center"| <math>\{~\}</math> | style="text-align:center"| <math>\{~\}</math> | rowspan="2"| <code>\{ \}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\{ a,b,\ldots \}</math> | <math>a</math>၊ <math>b</math> နှင့် အခြား[[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သော အစုဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| [[အစု]] (Set)၊ အတန်းအစား (Class) |- | style="text-align:center"| <math>\mid</math> | style="text-align:center"| <math>\{ a \mid A(a) \}</math> | rowspan="2"| ဖော်ပြချက် <math>A(a)</math> မှန်ကန်သော အစုဝင် <math>a</math> များ၏ အစု သို့မဟုတ် အတန်းအစားဖြစ်သည်။ | <code>\mid</code> |- | style="text-align:center"| <math>\colon</math> | style="text-align:center"| <math>\{ a\colon A(a) \}</math> | <code>\colon</code> |} === အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ (Set operations) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>\cap</math> | style="text-align:center"| <math>A \cap B</math> | [[အစု]] <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ထပ်တူပိုင်းအစုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ထပ်တူပိုင်းအစု (Intersection) | <code>\cap</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigcap</math> | style="text-align:center"| <math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>, <math>\bigcap_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ထပ်တူပိုင်းအစုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ထပ်တူပိုင်းအစုဖြစ်သည်။ | <code>\bigcap</code> |- | style="text-align:center"| <math>\cup</math> | style="text-align:center"| <math>A \cup B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ပေါင်းစပ်စု (Union) | <code>\cup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigcup</math> | style="text-align:center"| <math>\bigcup_{i=1}^n A_i</math>, <math>\bigcup_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\bigcup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\setminus</math> | style="text-align:center"| <math>A \setminus B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ခြားနားခြင်းဖြစ်သည်။ | အစု ခြားနားခြင်း (Set difference) | <code>\setminus</code> |- | style="text-align:center"| <math>{}^\mathsf{C}</math> | style="text-align:center"| <math>A^\mathsf{C}</math> | rowspan="2"| အစု <math>A</math> ၏ ဖြည့်စွက်စုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ဖြည့်စွက်စု (Complement) | <code>^\mathsf{C}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center"| <math>\overline{A}</math> | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigtriangleup</math> | style="text-align:center"| <math>A \bigtriangleup B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ အချိုးညီ ခြားနားခြင်းဖြစ်သည်။ | အချိုးညီ ခြားနားခြင်း (Symmetric difference) | <code>\bigtriangleup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\dot\cup</math> | style="text-align:center"| <math>A \,\dot\cup\, B</math> | ဘုံမပါသော အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | rowspan="4"| ဘုံမပါသော ပေါင်းစပ်စု (Disjoint union) | <code>\,\dot\cup\,</code> |- | style="text-align:center"| <math>\dot\bigcup</math> | style="text-align:center"| <math>\dot{\bigcup_{i=1}}^n A_i</math>, <math>\dot{\bigcup_{i \in I}}\, A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\dot{\bigcup...}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\sqcup</math> | style="text-align:center"| <math>A \sqcup B</math> | ဘုံမပါသော အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\sqcup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigsqcup</math> | style="text-align:center"| <math>\bigsqcup_{i=1}^n A_i</math>, <math>\bigsqcup_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\bigsqcup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\times</math> | style="text-align:center"| <math>A \times B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]]ဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center"| <math>\prod</math> | style="text-align:center"| <math>\prod_{i=1}^n A_i</math>, <math>\prod_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ | <code>\prod</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathcal{P}</math> | style="text-align:center"| <math>\mathcal{P}(A)</math> | rowspan="2"| အစု <math>A</math> ၏ ပါဝါအစုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ပါဝါအစု (Power set) | <code>\mathcal{P}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathfrak{P}</math> | style="text-align:center"| <math>\mathfrak{P}(A)</math> | <code>\mathfrak{P}</code> |} === အစုဆိုင်ရာ ဆက်သွယ်ချက်များ (Set relations) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>=</math> | style="text-align:center" | <math>A = B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> နှင့် ညီမျှသည်။ | [[အစု]] (Set) | <code>=</code> |- | style="text-align:center"| <math>\subset</math> | style="text-align:center"| <math>A \subset B</math> | rowspan="2"| <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ [[အစုပိုင်း]]အစစ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| အစုပိုင်း (Subset) | <code>\subset</code> |- | style="text-align:center"| <math>\subsetneq</math> | style="text-align:center"| <math>A \subsetneq B</math> | <code>\subsetneq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\subseteq</math> | style="text-align:center"| <math>A \subseteq B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ အစုပိုင်းဖြစ်သည်။ | <code>\subseteq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\supset</math> | style="text-align:center"| <math>A \supset B</math> | rowspan="2"| <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ မူလအစုအစစ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| မူလအစု (Superset) | <code>\supset</code> |- | style="text-align:center"| <math>\supsetneq</math> | style="text-align:center"| <math>A \supsetneq B</math> | <code>\supsetneq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\supseteq</math> | style="text-align:center"| <math>A \supseteq B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ မူလအစုဖြစ်သည်။ | <code>\supseteq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\in</math> | style="text-align:center"| <math>a \in A</math> | rowspan="2"| [[အစုဝင်]] <math>a</math> သည် [[အစု]] <math>A</math> တွင် ပါဝင်သည်။ | rowspan="4"| [[အစုဝင်]] (Element) | <code>\in</code> |- | style="text-align:center"| <math>\ni</math> | style="text-align:center"| <math>A \ni a</math> | <code>\ni</code>, <code>\owns</code> |- | style="text-align:center"| <math>\notin</math> | style="text-align:center"| <math>a \notin A</math> | rowspan="2"| အစုဝင် <math>a</math> သည် အစု <math>A</math> တွင် မပါဝင်ပါ။ | <code>\notin</code> |- | style="text-align:center"| <math>\not\ni</math> | style="text-align:center"| <math>A \not\ni a</math> | <code>\not\ni</code> |} ''မှတ်ချက်''- သင်္ကေတများဖြစ်သော <math>\subset</math> နှင့် <math>\supset</math> တို့ကို တသမတ်တည်း အသုံးမပြုကြပေ။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် အစုနှစ်ခု ညီမျှခြင်းကို မကြာခဏဆိုသလို ဖယ်ထုတ်လေ့မရှိပါ။ === အစုအရွယ်အစားများ (Cardinalities) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>|~~|</math> | style="text-align:center"| <math>|A|</math> | rowspan="2"| [[အစု]] <math>A</math> ၏ အစုအရွယ်အစားဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| အစုအရွယ်အစား (Cardinality) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center"| <math>\#</math> | style="text-align:center"| <math>\# A</math> | <code>\#</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathfrak{c}</math> | style="text-align:center"| | ကွန်တီနူရမ်၏ အစုအရွယ်အစားဖြစ်သည်။ | ကွန်တီနူရမ်၏ အစုအရွယ်အစား (Cardinality of the continuum) | <code>\mathfrak{c}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\aleph</math> | style="text-align:center"| <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, ... | ကာဒီနယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ | ကာဒီနယ်ကိန်း (Cardinal number) | <code>\aleph</code> |- | style="text-align:center"| <math>\beth</math> | style="text-align:center"| <math>\beth_0</math>, <math>\beth_1</math>, ... | ဘတ်သ် ကိန်းများဖြစ်သည်။ | ဘတ်သ် ကိန်း (Beth number) | <code>\beth</code> |} === ကိန်းအစုများ (Number sets) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb P</math> | သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်သည်။ |[[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) | <code>\mathbb{P}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\N</math> | သဘာဝကိန်းများဖြစ်သည်။ | [[သဘာဝကိန်း]] (Natural number) | <code>\mathbb{N}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\Z</math> | ကိန်းပြည့်များဖြစ်သည်။ | [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) | <code>\mathbb{Z}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb{F}</math> | [[သုဒ္ဓကိန်း]] ဝိသေသလက္ခဏာပါသော အဆုံးရှိ [[ဖီးလ်ဒ်]]ဖြစ်သည်။ | အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် (Finite field) | <code>\mathbb{F}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\Q</math> | ရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ | [[ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (Rational number) | <code>\mathbb{Q}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb I</math> | အီရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ | အီရာရှင်နယ်ကိန်း (Irrational number) | <code>\mathbb{I}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb A</math> | ကိန်းရင်းများဖြစ်သည်။ | ကိန်းရင်း (Algebraic number) | <code>\mathbb{A}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb T</math> | ကိန်းလွန်များဖြစ်သည်။ | ကိန်းလွန် (Transcendental number) | <code>\mathbb{T}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb R</math> | ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ | [[ကိန်းစစ်]] (Real number) | <code>\mathbb{R}</code> |- | style="text-align:center"| <math>{}^*\mathbb{R}</math> | ဟိုက်ပါကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ | ဟိုက်ပါကိန်းစစ် (Hyperreal number) | <code>{}^*\mathbb{R}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb C</math> | ကိန်းထွေးများဖြစ်သည်။ | [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) | <code>\mathbb{C}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\hat{\mathbb{C}}</math> | ကိန်းထွေးပြင်ညီ၏ ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း သို့မဟုတ် ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဖြစ်သည်။ | ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Riemann sphere) | <code>\hat{\mathbb{C}}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb H</math> | ကွာတာနီယွန်များဖြစ်သည်။ | ကွာတာနီယွန် (Quaternion) | <code>\mathbb{H}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb O</math> | အော့တိုနီယွန်များဖြစ်သည်။ | အော့တိုနီယွန် (Octonion) | <code>\mathbb{O}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb S</math> | ဆီဒီးနီယွန်များဖြစ်သည်။ | ဆီဒီးနီယွန် (Sedenion) | <code>\mathbb{S}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb{K}</math> | <math>\mathbb{K} \in \{\R,\Complex\}</math> ဖြစ်သည်။ | ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ / အက္ခရာသင်္ချာများ (Banach algebra / Algebras) | <code>\mathbb{K}</code> |} == ဂဏန်းသင်္ချာ (Arithmetic) == === ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများ (Arithmetic operators) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>+</math> | style="text-align:center" | <math>a + b</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ကို ပေါင်းသည်။ | အပေါင်း (Addition) | <code>+</code> |- | style="text-align:center" | <math>-</math> | style="text-align:center" | <math>a - b</math> | <math>a</math> ထဲမှ <math>b</math> ကို နုတ်သည်။ | အနုတ် (Subtraction) | <code>-</code> |- | style="text-align:center" |<math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>a \cdot b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ကို မြှောက်သည်။ | rowspan="2" | မြှောက်ခြင်း (Multiplication) | <code>\cdot</code> |- | style="text-align:center" |<math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>a \times b</math> | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>a : b</math> | rowspan="4" | <math>a</math> ကို <math>b</math> ဖြင့် စားသည်။ | rowspan="4" | စားခြင်း (Division) | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>a/b</math> | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>\div</math> | style="text-align:center" | <math>a \div b</math> | <code>\div</code> |- | style="text-align:center" | <math>\frac{~~}{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\tfrac{a}{b}</math> | <code>\frac</code> |- | style="text-align:center" | <math>-</math> | style="text-align:center" | <math>-a</math> | အနုတ်ကိန်း <math>a</math> သို့မဟုတ် <math>a</math> ၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်ဖြစ်သည်။ | တစ်လုံးသွင်း အနုတ် (Unary minus) | <code>-</code> |- | style="text-align:center" | <math>\pm</math> | style="text-align:center" | <math>\pm a</math> | အပေါင်း သို့မဟုတ် အနုတ် <math>a</math> ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အပေါင်း-အနုတ် သင်္ကေတ (Plus-minus sign) | <code>\pm</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mp</math> | style="text-align:center" | <math>\mp a</math> | အနုတ် သို့မဟုတ် အပေါင်း <math>a</math> ဖြစ်သည်။ | <code>\mp</code> |- | style="text-align:center" | <math>(~)</math> | style="text-align:center" | <math>(a)</math> | rowspan="2" | ကိန်းတန်း <math>a</math> ကို ဦးစွာ တွက်ချက်သည်။ | rowspan="2" | ကွင်း (Bracket) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>[~]</math> | style="text-align:center" | <math>[a]</math> | <code>[ ]</code> |} === အခြေခံ ဖန်ရှင်များ (Elementary functions) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\%</math> | style="text-align:center" | <math>p \, \%</math> | <math>p</math> ရာခိုင်နှုန်းဖြစ်သည်။ | ရာခိုင်နှုန်း (Percent) | <code>\%</code> |- | style="text-align:center" | <math>| ~~ |</math> | style="text-align:center" | <math>| x |</math> | <math>x</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုးဖြစ်သည်။ | ပကတိတန်ဖိုး (Absolute value) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\left[ ~~ \right]</math> | style="text-align:center" | <math>\left[ x \right]</math> |rowspan="1"| <math>x</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော အကြီးဆုံး [[ကိန်းပြည့်]]ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ယခုအခါ အသုံးမပြုတော့သော သင်္ကေတဖြစ်သည်။<ref>အော့တို ဖော်စတာ။ ''Analysis 1 Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen'' (၁၂ ကြိမ်မြောက် ပြင်ဆင်ထုတ်ဝေမှု)။ Wiesbaden၊ ၂၀၁၆။ စာမျက်နှာ - ၃၃၈။</ref> |rowspan="3"| အောက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး ဖန်ရှင်နှင့် အထက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး ဖန်ရှင်များ (Floor and ceiling functions) | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lfloor ~~ \rfloor</math> | style="text-align:center" | <math>\lfloor x \rfloor</math> | <math>x</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော အကြီးဆုံး ကိန်းပြည့်ဖြစ်သည်။ | <code>\lfloor \rfloor</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lceil ~~ \rceil</math> | style="text-align:center" | <math>\lceil x \rceil</math> | <math>x</math> ထက်ကြီးသော သို့မဟုတ် ညီသော အငယ်ဆုံး ကိန်းပြည့်ဖြစ်သည်။ | <code>\lceil \rceil</code> |- |rowspan="2" align="center" | <math>\sqrt{\,}</math> | style="text-align:center" | <math>\sqrt{x}</math> | <math>x</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square root) | rowspan="2" | <code>\sqrt</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sqrt[n]{x}</math> | <math>x</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။ |} ''မှတ်ချက်''- ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်ကို သီးခြား သင်္ကေတဖြင့် မပြသထားပါ။ သို့သော် ထပ်ကိန်းကို အပေါ်တင်အညွှန်းကိန်းဖြင့် ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ === ကိန်းထွေးများ (Complex numbers) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\mathrm{i}</math> | style="text-align:center" | <math>a + b\mathrm{i}</math> | [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်ယူနစ်]]ဖြစ်သည်။ | ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) | <code>\mathrm{i}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Re</math> | style="text-align:center" | <math>\Re(z)</math> | ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) | <code>\Re</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Im</math> | style="text-align:center" | <math>\Im(z)</math> | ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းယောင်ပိုင်းဖြစ်သည်။ | <code>\Im</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bar{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\bar{z}</math> | rowspan="2" | ကိန်း <math>z</math> ၏ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (Complex conjugation) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>z^\ast</math> | <code>^\ast</code> |} ''မှတ်ချက်-'' အတိုကောက်များဖြစ်သော <math>\operatorname{Re}</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}</math> များကို ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းကို သတ်မှတ်ရန် အထူးသဖြင့် အသုံးပြုကြသည်။ === ညီမျှခြင်း သင်္ကေတများ (Equality signs) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>=</math> | style="text-align:center" | <math>a = b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ညီမျှသည်။ | ညီမျှခြင်း (Equation) | <code>=</code> |- | style="text-align:center" | <math>\neq</math> | style="text-align:center" | <math>a \neq b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် မညီမျှပါ။ | မညီမျှခြင်း (Inequality) | <code>\neq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\equiv</math> | style="text-align:center" | <math>a \equiv b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ထပ်တူညီသည်။ | ထပ်တူရဖြစ်မှု (Identity) | <code>\equiv</code> |- | style="text-align:center" | <math>\approx</math> | style="text-align:center" | <math>a \approx b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် ညီမျှသည်။ | အနီးစပ်ဆုံး ယူခြင်း (Rounding) | <code>\approx</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>a \sim b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် အချိုးကျသည်။ | rowspan="2" | အချိုးကျခြင်း (Proportionality) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\propto</math> | style="text-align:center" | <math>a \propto b</math> | <code>\propto</code> |- | style="text-align:center" | <math>\widehat{=}</math> | style="text-align:center" | <math>a \, \widehat{=} \, b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ကိုက်ညီသည်။ | ခန့်မှန်းချက်များ (Estimates) | <code>\widehat{=}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>a\sim b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် တူညီသည်ဟု ခန့်မှန်းရသည်။ | ဦးစားပေး ဆက်သွယ်ချက် (Preference relation) | <code>\sim </code> |- | style="text-align:center" | <math>\simeq</math> | style="text-align:center" | <math>a\simeq b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ချဉ်းကပ်မှုအရ ညီမျှသည်။ | ချဉ်းကပ်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Asymptotic analysis) | <code>\simeq </code> |} === နှိုင်းယှဉ်ခြင်း သင်္ကေတများ (Comparison signs) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math><</math> | style="text-align:center" | <math>a < b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ငယ်သည်။ | rowspan="14" | မညီမျှခြင်း (Inequality) | <code><</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lneq</math> | style="text-align:center" | <math>a \lneq b</math> | <code>\lneq</code> |- | style="text-align:center" | <math>></math> | style="text-align:center" | <math>a > b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ကြီးသည်။ | <code>></code> |- | style="text-align:center" | <math>\gneq</math> | style="text-align:center" |<math>a \gneq b</math> | <code>\gneq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leq</math> | style="text-align:center" | <math>a \leq b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ငယ်သည် သို့မဟုတ် ညီသည်။ | <code>\le</code>, <code>\leq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leqq</math> | style="text-align:center" | <math>a \leqq b</math> | <code>\leqq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\geq</math> | style="text-align:center" | <math>a \geq b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ကြီးသည် သို့မဟုတ် ညီသည်။ | <code>\ge</code>, <code>\geq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\geqq</math> | style="text-align:center" | <math>a \geqq b</math> | <code>\geqq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ll</math> | style="text-align:center" | <math>a \ll b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်များစွာ ငယ်သည်။ | <code>\ll</code> |- | style="text-align:center" | <math>\gg</math> | style="text-align:center" | <math>a \gg b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်များစွာ ကြီးသည်။ | <code>\gg</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lll</math> | style="text-align:center" | <math>a \lll b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်တရာ ငယ်သည်။ | <code>\lll</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ggg</math> | style="text-align:center" | <math>a \ggg b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်တရာ ကြီးသည်။ | <code>\ggg</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lessgtr</math> | style="text-align:center" | <math>a \lessgtr b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ငယ်သည် သို့မဟုတ် ကြီးသည်။ | <code>\lessgtr</code> |- | style="text-align:center" | <math>\gtrless</math> | style="text-align:center" | <math>a \gtrless b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ကြီးသည် သို့မဟုတ် ငယ်သည်။ | <code>\gtrless</code> |- | style="text-align:center" | <math>\prec</math> | style="text-align:center" | <math>a\prec b</math> | <math>b</math> ကို <math>a</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုဦးစားပေးသည်။ | rowspan="4" | ဦးစားပေး ဆက်သွယ်ချက် (Preference relation) | <code>\prec</code> |- | style="text-align:center" | <math>\succ</math> | style="text-align:center" | <math>a\succ b</math> | <math>a</math> ကို <math>b</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုဦးစားပေးသည်။ | <code>\succ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\preccurlyeq</math> | style="text-align:center" | <math>a \preccurlyeq b</math> | <math>b</math> ကို <math>a</math> ထက် အားနည်းစွာ ဦးစားပေးသည်။ သို့မဟုတ် <math>b</math> သည် အနည်းဆုံး <math>a</math> ကဲ့သို့ ကောင်းမွန်သည်။ | <code>\preccurlyeq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\succcurlyeq</math> | style="text-align:center" | <math>a\succcurlyeq b</math> | <math>a</math> ကို <math>b</math> ထက် အားနည်းစွာ ဦးစားပေးသည်။ သို့မဟုတ် <math>a</math> သည် အနည်းဆုံး <math>b</math> ကဲ့သို့ ကောင်းမွန်သည်။ | <code>\succcurlyeq</code> |} === စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ (Divisibility) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\mid</math> | style="text-align:center" | <math>a \mid b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို စားပြတ်သည်။ |rowspan="3"| စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ (Divisibility properties) | <code>\mid</code> |- | style="text-align:center" | <math>\parallel</math> | style="text-align:center" | <math>a \parallel b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို တိကျစွာ စားပြတ်သည်။ | <code>\parallel</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nmid</math> | style="text-align:center" | <math>a \nmid b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို မစားပြတ်ပါ။ | <code>\nmid</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp</math> | style="text-align:center" | <math>a \perp b</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် နှိုင်းရသုဒ္ဓများဖြစ်ကြသည်။ | နှိုင်းရသုဒ္ဓ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (Coprime integers) | <code>\perp</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sqcap</math> | style="text-align:center" | <math>a \sqcap b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့၏ အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း (Greatest common divisor) | <code>\sqcap</code> |- | style="text-align:center" | <math>\wedge</math> | style="text-align:center" | <math>a \wedge b</math> | <code>\wedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sqcup</math> | style="text-align:center" | <math>a \sqcup b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (Least common multiple) | <code>\sqcup</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vee</math> | style="text-align:center" | <math>a \vee b</math> | <code>\vee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\equiv</math> | style="text-align:center" | <math> a \equiv b \bmod m</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် မော်ဂျူလို <math>m</math> တွင် ထပ်တူညီကြသည်။ | မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာ (Modular arithmetic) | <code>\equiv</code> |} === သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသေများ (Mathematical constants) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ !width="27%"| အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း !width="23%"| ဆောင်းပါး !width="20%"| LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\Phi</math> | ရွှေအချိုးဖြစ်သည်။ | ရွှေအချိုး (Golden ratio) | <code>\Phi</code> |- | style="text-align:center" | <math>\pi</math> | ပိုင်ဖြစ်သည်။ | [[ပိုင်]] (Pi) | <code>\pi</code> |- | style="text-align:center" |<math>\mathrm{e}</math> | အွိုင်လာ၏ ကိန်းဖြစ်သည်။ | အွိုင်လာ၏ ကိန်း (Euler's number) | <code>\mathrm{e}</code> |} == အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) == === ဆက်သွယ်ချက်များ (Relations) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | rowspan=2 align="center" | <math>\circ</math> | style="text-align:center" | <math>R \circ S</math> | ဆက်သွယ်ချက် (relation) <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သည်။ | ဆက်သွယ်ချက်များ ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition of relations) | rowspan="2" | <code>\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>a \circ b</math> |rowspan="3"| [[အစုဝင်]] <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့အပေါ် လုပ်ဆောင်သော ယေဘုယျ တွက်ချက်မှု (general operation) ဖြစ်သည်။ |rowspan="3"| နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (Binary operation) |- | style="text-align:center" | <math>\bullet</math> | style="text-align:center" | <math>a \bullet b</math> | <code>\bullet</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ast</math> | style="text-align:center" | <math>a \ast b</math> | <code>\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leq</math> | style="text-align:center" | <math>a \leq b</math> | အစုဝင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ အစဉ်လိုက် ဆက်သွယ်ချက် (order relation) ဖြစ်သည်။ | အစဉ်လိုက် ဆက်သွယ်ချက် (Order relation) | <code>\leq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\prec</math> | style="text-align:center" | <math>a \prec b</math> | အစုဝင် <math>a</math> သည် အစုဝင် <math>b</math> ၏ ရှေ့ပြေး (predecessor) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (Successor function) | <code>\prec</code> |- | style="text-align:center" | <math>\succ</math> | style="text-align:center" | <math>a \succ b</math> | အစုဝင် <math>a</math> သည် အစုဝင် <math>b</math> ၏ နောက်ဆက်တွဲ (successor) ဖြစ်သည်။ | <code>\succ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>a \sim b</math> | အစုဝင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) ဖြစ်သည်။ | ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (Equivalence relation) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>[ a ]</math> | အစုဝင် <math>a</math> ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (equivalence class) ဖြစ်သည်။ | ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (Equivalence class) | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>M / \sim </math> | ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် <math>\sim</math> အပေါ်အခြေခံသော [[အစု]] <math>M</math> ၏ စားလဒ်အစု (quotient set) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်အစု (Quotient set) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{-1}</math> | style="text-align:center" | <math>R^{-1}</math> | ဆက်သွယ်ချက် <math>R</math> ၏ ပြောင်းပြန် ဆက်သွယ်ချက် (converse relation) ဖြစ်သည်။ | ပြောင်းပြန် ဆက်သွယ်ချက် (Converse relation) | <code>^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{+}</math> | style="text-align:center" | <math>R^{+}</math> | ဆက်သွယ်ချက် <math>R</math> ၏ ကူးပြောင်းနိုင်သော အပိတ် (transitive closure) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကူးပြောင်းနိုင်သော အပိတ် (Transitive closure) | <code>+</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>R^\ast</math> | ဆက်သွယ်ချက် <math>R</math> ၏ ကိုယ်ပြန်ဟပ် ကူးပြောင်းနိုင်သော အပိတ် (reflexive transitive closure) ဖြစ်သည်။ | <code>\ast</code> |} === အုပ်စုသီအိုရီ (Group theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\simeq</math> | style="text-align:center" | <math>G \simeq H</math> | rowspan="2" | [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့သည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ် (isomorphic)]] ဖြစ်ကြသည်။ | rowspan="2" | အုပ်စု အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Group isomorphism) | <code>\simeq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cong</math> | style="text-align:center" | <math>G \cong H</math> | <code>\cong</code> |- | style="text-align:center" | <math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>G \times H</math> | အုပ်စု <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့၏ တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (direct product) ဖြစ်သည်။ | တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (Direct product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>\rtimes</math> | style="text-align:center" | <math>G \rtimes H</math> | အုပ်စု <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့၏ တစ်ပိုင်းတိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (semidirect product) ဖြစ်သည်။ | တစ်ပိုင်းတိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (Semidirect product) | <code>\rtimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>\wr</math> | style="text-align:center" | <math>G \, \wr \, H</math> | အုပ်စု <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့၏ ရစ်ပတ် မြှောက်လဒ် (wreath product) ဖြစ်သည်။ | ရစ်ပတ် မြှောက်လဒ် (Wreath product) | <code>\wr</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leq</math> | style="text-align:center" | <math>U \leq G</math> | <math>U</math> သည် အုပ်စု <math>G</math> ၏ [[အုပ်စုပိုင်း]] (subgroup) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အုပ်စုပိုင်း (Subgroup) | <code>\leq</code> |- | style="text-align:center" | <math><</math> | style="text-align:center" | <math>U < G</math> | <math>U</math> သည် အုပ်စု <math>G</math> ၏ အုပ်စုပိုင်းအစစ် (proper subgroup) ဖြစ်သည်။ | <code>\lt</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vartriangleleft</math> | style="text-align:center" | <math>N \vartriangleleft G</math> | rowspan="2" | <math>N</math> သည် အုပ်စု <math>G</math> ၏ မူမှန်အုပ်စုပိုင်း (normal subgroup) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | မူမှန်အုပ်စုပိုင်း (Normal subgroup) | <code>\vartriangleleft</code> |- | style="text-align:center" | <math>\trianglelefteq</math> | style="text-align:center" | <math>N \trianglelefteq G</math> | <code>\trianglelefteq</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>G / N</math> | မူမှန်အုပ်စုပိုင်း <math>N</math> ကိုအခြေခံသော အုပ်စု <math>G</math> ၏ စားလဒ်အုပ်စု (quotient group) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်အုပ်စု (Quotient group) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>( G : U )</math> | အုပ်စု <math>G</math> အတွင်းရှိ အုပ်စုပိုင်း <math>U</math> ၏ အညွှန်း (index) ဖြစ်သည်။ | အုပ်စုပိုင်းတစ်ခု၏ အညွှန်း (Index of a subgroup) | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle E \rangle</math> | [[အစု]] <math>E</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော အုပ်စုပိုင်း (generated subgroup) ဖြစ်သည်။ | အုပ်စုတစ်ခု၏ ထုတ်လုပ်ကိန်းအစု (Generating set of a group) | <code>\langle \rangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>( g, h )</math> | အုပ်စု [[အစုဝင်]] <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့၏ ကွန်ဂျူဂိတ် (conjugate) ဖြစ်သည်။ | ကွန်ဂျူဂိတ် အတန်းအစား (Conjugacy class) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>[ g, h ]</math> | အုပ်စု အစုဝင် <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့၏ ကွန်မြူတေတာ (commutator) ဖြစ်သည်။ | ကွန်မြူတေတာ (Commutator) | <code>[ ]</code> |} === ကွင်းသီအိုရီ (Ring theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>R^\ast</math> | rowspan="2" | [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ ယူနစ်များ၏ အုပ်စု (group of units) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ယူနစ်များ၏ အုပ်စု (Group of units) | <code>^\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\times</math> | style="text-align:center" | <math>R^\times</math> | <code>^\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vartriangleleft</math> | style="text-align:center" | <math>I \vartriangleleft R</math> | <math>I</math> သည် ကွင်း <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ် (ideal) ဖြစ်သည်။ | အိုင်ဒီးလ် (Ideal) | <code>\vartriangleleft</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>R / I</math> | အိုင်ဒီးလ် <math>I</math> ကိုအခြေခံသော ကွင်း <math>R</math> ၏ စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်ကွင်း (Quotient ring) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>R[ X ]</math> | ကိန်းရှင် (variable) <math>X</math> ပါဝင်ပြီး ကွင်း <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည်။ | ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (Polynomial ring) | <code>[ ]</code> |} === ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (Field theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>L / K</math> | rowspan="3" | [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ် ဖီးလ်ဒ် <math>L</math> ၏ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3" | ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (Field extension) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mid</math> | style="text-align:center" | <math>L \mid K</math> | <code>\mid</code> |- | rowspan=2 align="center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>L : K</math> | rowspan="2" | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ L : K ]</math> | <math>K</math> အပေါ် <math>L</math> ၏ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း ဒီဂရီ (degree) ဖြစ်သည်။ | ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း၏ ဒီဂရီ (Degree of a field extension) |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{K}</math> | ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (algebraic closure) ဖြစ်သည်။ | အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (Algebraic closure) | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathbb{K}</math> | style="text-align:center" | | ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]၏ ဖီးလ်ဒ်ဖြစ်သည်။ | [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) | <code>\mathbb{K}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathbb{F}</math> | style="text-align:center" | | အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် (finite field) ဖြစ်သည်။ | အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် (Finite field) | <code>\mathbb{F}</code> |} == မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ နှင့် ဂျီဩမေတြီ (Linear algebra and geometry) == === အခြေခံ ဂျီဩမေတြီ (Elementary geometry) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{AB}</math> | rowspan="2" | အမှတ် <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပိုင်း (line segment) ဖြစ်သည်။ | rowspan="5" | မျဉ်းပိုင်း (Line segment) | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>[~~]</math> | style="text-align:center" | <math>[AB]</math> | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>|\overline{~~}|</math> | style="text-align:center" | <math>|\overline{AB}|</math> | rowspan="3" | အမှတ် <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပိုင်း၏ အလျား (length) ဖြစ်သည်။ | <code> \vert \overline \vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{AB}</math> | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>|~~|</math> | style="text-align:center" | <math>|AB|</math> | <code>\vert \vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overrightarrow{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overrightarrow{AB}</math> | အမှတ် <math>A</math> မှ အမှတ် <math>B</math> သို့ တည်နေရာရွှေ့ [[ဗက်တာ]] (vector) ဖြစ်သည်။ | [[ဗက်တာ]] (Vector) | <code>\vec</code> |- | style="text-align:center" | | style="text-align:center" | <math>AB</math> | rowspan="2" | အမှတ် <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ကို ဆက်သွယ်ထားသော မျဉ်း (line) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | မျဉ်း (Line) | |- | style="text-align:center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>(AB)</math> | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\angle</math> | style="text-align:center" | <math>\angle ABC</math> | အနား <math>BA</math> နှင့် <math>BC</math> တို့ပါဝင်သော ထောင့် (angle) ဖြစ်သည်။ | ထောင့် (Angle) | <code>\angle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\triangle</math> | style="text-align:center" | <math>\triangle ABC</math> | ထိပ်စွန်းမှတ်များ <math>A</math>၊ <math>B</math> နှင့် <math>C</math> ပါဝင်သော တြိဂံ (triangle) ဖြစ်သည်။ | တြိဂံ (Triangle) | <code>\triangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\square</math> | style="text-align:center" | <math>\square \mathit{ABCD}</math> | ထိပ်စွန်းမှတ်များ <math>A</math>၊ <math>B</math>၊ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ပါဝင်သော စတုဂံ (quadrilateral) ဖြစ်သည်။ | စတုဂံ (Quadrilateral) | <code>\square</code> |- | style="text-align:center" | <math>\parallel</math> | style="text-align:center" | <math>g \parallel h</math> | မျဉ်း <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့သည် အချင်းချင်း ပြိုင်နေကြသည် (parallel)။ | rowspan="2" | မျဉ်းပြိုင် (Parallel) | <code>\parallel</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nparallel</math> | style="text-align:center" | <math>g \nparallel h</math> | မျဉ်း <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့သည် အချင်းချင်း မပြိုင်ကြပါ။ | <code>\nparallel</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp</math> | style="text-align:center" | <math>g \perp h</math> | မျဉ်း <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့သည် အချင်းချင်း ထောင့်မှန်ကျနေကြသည် (orthogonal/perpendicular)။ | ထောင့်မှန်ကျဖြစ်မှု (Orthogonality) | <code>\perp</code> |} === ဗက်တာများနှင့် ကိန်းအုံများ (Vectors and matrices) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1, \ldots , v_n \end{pmatrix}</math> | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1, \ldots , v_n \end{pmatrix}</math> | [[အစုဝင်]] <math>v_1</math> မှ <math>v_n</math> ပါဝင်သော အတန်း ဗက်တာ (row vector) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | [[ဗက်တာ]] (Vector) | rowspan="3" | <code>\begin{pmatrix}</code><br /><code>...</code><br /><code>\end{pmatrix}</code><br /><br />သို့မဟုတ်<br /><br /><code>\left(</code><br /><code>\begin{array}{...}</code><br /><code>...</code><br /><code>\end{array}</code><br /><code>\right)</code> |- | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix}</math> | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix}</math> | အစုဝင် <math>v_1</math> မှ <math>v_m</math> ပါဝင်သော တိုင် ဗက်တာ (column vector) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} a_{11} & \!\ldots\! & a_{1n} \\ \vdots & \!\ddots\! & \vdots \\ a_{m1} & \!\ldots\! & a_{mn} \end{pmatrix}</math> | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} a_{11} & \!\ldots\! & a_{1n} \\ \vdots & \!\ddots\! & \vdots \\ a_{m1} & \!\ldots\! & a_{mn} \end{pmatrix}</math> | အစုဝင် <math>a_{11}</math> မှ <math>a_{mn}</math> ပါဝင်သော ကိန်းအုံ (matrix) ဖြစ်သည်။ | ကိန်းအုံ (Matrix) |} === ဗက်တာ အက္ခရာသင်္ချာ (Vector algebra) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>v \cdot w</math> | rowspan="3"| [[ဗက်တာ]] <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ အစက် မြှောက်လဒ် (dot product) သို့မဟုတ် [[စကေလာ]]မြှောက်လဒ် (scalar product) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| အစက် မြှောက်လဒ် (Dot product) | <code>\cdot</code> |- | style="text-align:center" | <math>(~~)</math> | style="text-align:center" | <math>(v,w)</math> | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle v,w \rangle</math><br /><math>\langle v\,|\,w \rangle</math> | <code>\langle \rangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>v \times w</math> | rowspan="2" | ဗက်တာ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ ကြက်ခြေခတ် မြှောက်လဒ် (cross product) သို့မဟုတ် ဗက်တာမြှောက်လဒ် (vector product) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကြက်ခြေခတ် မြှောက်လဒ် (Cross product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>[~~]</math> | style="text-align:center" | <math>[v,w]</math> | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>(~~)</math> | style="text-align:center" | <math>(u,v,w)</math> | ဗက်တာ <math>u</math>၊ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ စကေလာ သုံးခုမြှောက်လဒ် (scalar triple product) ဖြစ်သည်။ | သုံးခုမြှောက်လဒ် (Triple product) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\otimes</math> | style="text-align:center" | <math>v \otimes w</math> | ဗက်တာ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ ဒိုင်ယာဒစ် မြှောက်လဒ် (dyadic product) ဖြစ်သည်။ | ဒိုင်ယာဒစ် မြှောက်လဒ် (Dyadic product) | <code>\otimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>\wedge</math> | style="text-align:center" | <math>v \wedge w</math> | ဗက်တာ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ ပြင်ပမြှောက်လဒ် (exterior product) သို့မဟုတ် သပ်ပုံမြှောက်လဒ် (wedge product) ဖြစ်သည်။ | ပြင်ပ အက္ခရာသင်္ချာ (Exterior algebra) | <code>\wedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>|~~|</math> | style="text-align:center" | <math>| v |</math> | ဗက်တာ <math>v</math> ၏ ပမာဏ (magnitude) ဖြစ်သည်။ | [[ဗက်တာ]] (Vector) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\|~~\|</math> | style="text-align:center" | <math>\| v \|</math> | ဗက်တာ <math>v</math> ၏ စံနှုန်း (norm) ဖြစ်သည်။ | [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (Norm) | <code>\Vert</code>, <code><nowiki>\|</nowiki></code> |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{v}</math> | ဗက်တာ <math>v</math> လားရာအတိုင်း ယူနစ်ဗက်တာ (unit vector) ဖြစ်သည်။ | ယူနစ်ဗက်တာ (Unit vector) | <code>\hat</code> |} === ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (Matrix algebra) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>A \cdot B</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ | ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း (Matrix multiplication) | <code>\cdot</code> |- | style="text-align:center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>A : B</math> | ရူပဗေဒတွင် ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် အတွင်းမြှောက်လဒ် (Frobenius inner product) ဖြစ်သည်။ | ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် အတွင်းမြှောက်လဒ် (Frobenius inner product) | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>\circ</math> | style="text-align:center" | <math>A \circ B</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ဟာဒါမတ် မြှောက်လဒ် (Hadamard product) ဖြစ်သည်။ | ဟာဒါမတ် မြှောက်လဒ် (Hadamard product) | <code>\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\otimes</math> | style="text-align:center" | <math>A \otimes B</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ခရိုနက်ကာ မြှောက်လဒ် (Kronecker product) ဖြစ်သည်။ | ခရိုနက်ကာ မြှောက်လဒ် (Kronecker product) | <code>\otimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\mathsf{T}</math> | style="text-align:center" | <math>A^\mathsf{T}</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ထရန်စပို့စ် (transpose) ဖြစ်သည်။ | ထရန်စပို့စ် (Transpose) | <code>...^\mathsf{T}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\mathsf{H}</math> | style="text-align:center" | <math>A^\mathsf{H}</math> |rowspan="3"| ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ကွန်ဂျူဂိတ် ထရန်စပို့စ် (conjugate transpose) ဖြစ်သည်။ |rowspan="3"| ကွန်ဂျူဂိတ် ထရန်စပို့စ် (Conjugate transpose) | <code>...^\mathsf{H}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>A^\ast</math> | <code>...^\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\dagger</math> | style="text-align:center" | <math>A^\dagger</math> | <code>...^\dagger</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{-1}</math> | style="text-align:center" | <math>A^{-1}</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ပြောင်းပြန် (inverse) ဖြစ်သည်။ | ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ကိန်းအုံ (Invertible matrix) | <code>...^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{+}</math> | style="text-align:center" | <math>A^{+}</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ မိုး-ပန်ရို့စ် ပြောင်းပြန် (Moore-Penrose inverse) ဖြစ်သည်။ | မိုး-ပန်ရို့စ် ပြောင်းပြန် (Moore-Penrose inverse) | <code>...^+</code> |- | style="text-align:center" | <math>| ~~ |</math> | style="text-align:center" | <math>| A |</math> |rowspan="2"| ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (determinant) ဖြစ်သည်။ |rowspan="2"| အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (Determinant) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\det</math> | style="text-align:center" | <math>\det(A)</math> | <code>\det</code> |- | style="text-align:center" | <math>\| ~~ \|</math> | style="text-align:center" | <math>\| A \|</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]ဖြစ်သည်။ | ကိန်းအုံ စံနှုန်း (Matrix norm) | <code>\Vert</code>, <code><nowiki>\|</nowiki></code> |} === ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>+</math> | style="text-align:center" | <math>V + W</math> | [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ ပေါင်းလဒ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (Direct sum) | <code>+</code> |- | style="text-align:center" | <math>\oplus</math> | style="text-align:center" | <math>V \oplus W</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (direct sum) ဖြစ်သည်။ | <code>\oplus</code> |- | style="text-align:center" | <math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>V \times W</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (direct product) ဖြစ်သည်။ | တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (Direct product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>\otimes</math> | style="text-align:center" | <math>V \otimes W</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (tensor product) ဖြစ်သည်။ | တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (Tensor product) | <code>\otimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>V \, / \, U</math> | ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>U</math> ကိုအခြေခံသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ စားလဒ်ရပ်ဝန်း (quotient space) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်ရပ်ဝန်း (Quotient space) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\perp</math> | style="text-align:center" | <math>U^\perp</math> | ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>U</math> ၏ ထောင့်မှန်ကျ ဖြည့်စွက်စု (orthogonal complement) ဖြစ်သည်။ | ထောင့်မှန်ကျ ဖြည့်စွက်စု (Orthogonal complement) | <code>\perp</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>V^{\ast}</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (dual space) ဖြစ်သည်။ | ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (Dual space) | <code>\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^0</math> | style="text-align:center" | <math>X^0</math> | [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]][[အစု]] <math>X</math> ၏ ချေဖျက်ကိန်း (annihilator) ဖြစ်သည်။ | ချေဖျက်ကိန်း (Annihilator) | <code>0</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle X \rangle</math> | ဗက်တာများအစု <math>X</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့် စပန် (linear span) ဖြစ်သည်။ | မျဉ်းဖြောင့် စပန် (Linear span) | <code>\langle \rangle</code> |} == ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) == === တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\partial</math> | style="text-align:center" | <math>\partial U</math> | အစု (set) <math>U</math> ၏ နယ်နိမိတ် (boundary) ဖြစ်သည်။ | နယ်နိမိတ် (Boundary) | <code>\partial</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\circ</math> | style="text-align:center" | <math>U^\circ</math> | အစု <math>U</math> ၏ အတွင်းပိုင်း (interior) ဖြစ်သည်။ | အတွင်းပိုင်း (Interior) | <code>^\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{U}</math> | အစု <math>U</math> ၏ အပိတ်စု (closed set) ဖြစ်သည်။ | အပိတ်စု (Closure) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\dot{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\dot{U}(x)</math> | rowspan="2"| အမှတ် <math>x</math> ၏ ဗဟိုဖယ်ထုတ်ထားသော ပတ်ဝန်းကျင် (punctured neighborhood) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ဗဟိုဖယ်ထုတ်ထားသော ပတ်ဝန်းကျင် (Punctured neighborhood) | <code>\dot</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\bullet</math> | style="text-align:center" | <math>U^\bullet(x)</math> | <code>^\bullet</code> |} === အပိုင်းအခြားများ (Intervals) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>[~~]</math> | style="text-align:center" | <math>[a,b]</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ အပိတ် အပိုင်းအခြား (closed interval) ဖြစ်သည်။ | rowspan="7" | အပိုင်းအခြား (Interval) | rowspan="7" | <code>( )</code><br /><code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>]~~[</math> | style="text-align:center" | <math>]a,b[</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ အဖွင့် အပိုင်းအခြား (open interval) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>(~~)</math> | style="text-align:center" | <math>(a,b)</math> |- | style="text-align:center" | <math>[~~[</math> | style="text-align:center" | <math>[a,b[</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ ညာဘက်တစ်ဝက်ဖွင့် အပိုင်းအခြားဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>[~~)</math> | style="text-align:center" | <math>[a,b)</math> |- | style="text-align:center" | <math>]~~]</math> | style="text-align:center" | <math>]a,b]</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ ဘယ်ဘက်တစ်ဝက်ဖွင့် အပိုင်းအခြားဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>(~~]</math> | style="text-align:center" | <math>(a,b]</math> |} === ကိန်းစဉ်များနှင့် ကိန်းစဉ်တန်းများ (Sequences and series) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>( a_n )_n </math> | အစုဝင် (element) <math>a_1, a_2, \ldots </math> ပါဝင်သော ကိန်းစဉ် (sequence) ဖြစ်သည်။ | ကိန်းစဉ် (Sequence) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\to</math> | style="text-align:center" | <math>a_n \to a</math> | ကိန်းစဉ် <math>(a_n)</math> သည် စုဆုံမှတ် (limit) <math>a</math> သို့ စုဆုံသည်။ | ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် (Limit of a sequence) | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>\infty</math> | style="text-align:center" | <math>n \to \infty</math> | <math>n</math> သည် အနန္တ (infinity) သို့ ဖြာထွက်သည် (diverges)။ | အနန္တ (Infinity) | <code>\infty</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sum</math> | style="text-align:center" | <math>\sum_{i=1}^n, \sum_{i \in I}</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ ပေါင်းလဒ် သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> အားလုံးအပေါ် ပေါင်းလဒ် (summation) ဖြစ်သည်။ | ပေါင်းလဒ်ရှာခြင်း (Summation) | <code>\sum</code> |- | style="text-align:center" | <math>\prod</math> | style="text-align:center" | <math>\prod_{i=1}^n, \prod_{i \in I}</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ မြှောက်လဒ် သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> အားလုံးအပေါ် မြှောက်လဒ် (product) ဖြစ်သည်။ | မြှောက်လဒ် (Product) | <code>\prod</code> |- | style="text-align:center" | <math>\coprod</math> | style="text-align:center" | <math>\coprod_{i=1}^n, \coprod_{i \in I}</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> အားလုံးအပေါ် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct) ဖြစ်သည်။ | ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (Coproduct) | <code>\coprod</code> |} === ဖန်ရှင်များ (Functions) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | rowspan=2 style="text-align:center" | <math>\to</math> | style="text-align:center" | <math>f \colon A \to B</math> | rowspan="2" | ဖန်ရှင် (function) <math>f</math> သည် အစု <math>A</math> မှ အစု <math>B</math> သို့ ပုံဖော်ပေးသည် (maps to)။ | rowspan="4" | ဖန်ရှင် (Function) | rowspan="2" | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>A \, \stackrel f\to \, B</math> |- |rowspan=2 align="center" | <math>\mapsto</math> | style="text-align:center" | <math>f \colon x \mapsto y</math> | rowspan="2" | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အစုဝင် <math>x</math> ကို အစုဝင် <math>y</math> သို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ | rowspan="2" | <code>\mapsto</code> |- | style="text-align:center" | <math>x \, \stackrel f\mapsto \, y</math> |- |rowspan=2 align="center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>f(x)</math> | အစုဝင် <math>x</math> အတွက် <math>f</math> ၏ ဖန်ရှင်တန်ဖိုးဖြစ်သည်။ |rowspan="3"| [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (Image) | rowspan="2" | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>f(X)</math> | rowspan="2" | ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ အစု <math>X</math> ၏ ပုံရိပ် (image) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>f[X]</math> | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vert</math> | style="text-align:center" | <math>f \vert_X</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အစု <math>X</math> အပေါ် ကန့်သတ်ခြင်း (restriction) ဖြစ်သည်။ | ကန့်သတ်ခြင်း (Restriction) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>f(\cdot)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အဝင်ကိန်းအဖြစ် ကိန်းရှင် (variable) တစ်ခုအတွက် ကိုယ်စားပြု အစားထိုးစာလုံးဖြစ်သည်။ | ကိန်းရှင် (Variable) | <code>\cdot</code> |- |style="text-align:center" rowspan="2"| <math>{}^{-1}</math> | style="text-align:center" | <math>f^{-1}</math> | <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) ဖြစ်သည်။ | ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (Inverse function) | <code>^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>f^{-1}(Y)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ အစု <math>Y</math> ၏ မူလပုံရိပ် (preimage) ဖြစ်သည်။ | [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] (Preimage) | <code>^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\circ</math> | style="text-align:center" | <math>f \circ g</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သည်။ | ဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်း (Function composition) | <code>\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ast</math> | style="text-align:center" | <math>f \ast g</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့၏ ကွန်ဗော်လူးရှင်း (convolution) ဖြစ်သည်။ | ကွန်ဗော်လူးရှင်း (Convolution) | <code>\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{f}</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (Fourier transform) ဖြစ်သည်။ | ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (Fourier transform) | <code>\hat</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Vert~\Vert</math> | style="text-align:center" | <math>\Vert f\Vert_\infty</math>,<math>\Vert f\Vert_D</math> | <math>f</math> ၏ စူပရီမမ် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (supremum norm) သို့မဟုတ် ဒိုမိန်း <math>D</math> အပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ စူပရီမမ် စံနှုန်းဖြစ်သည်။ | စူပရီမမ် စံနှုန်း (Supremum norm) | <code>\Vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\exp</math> | style="text-align:center" | <math>\exp(x)</math> | ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ဖြစ်သည်။ | ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (Exponential function) | <code>\exp</code> |- | style="text-align:center" | <math>\log</math> | style="text-align:center" | <math>\log(x)</math>,<math>\log_a(x)</math> | လော်ဂရစ်သမ် (logarithm)၊ အခြေ <math>a</math> ရှိသော လော်ဂရစ်သမ်ဖြစ်သည်။ | လော်ဂရစ်သမ် (Logarithm) | <code>\log</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ln</math> | style="text-align:center" | <math>\ln(x)</math> | သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် (natural logarithm) ဖြစ်သည်။ | သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် (Natural logarithm) | <code>\ln</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sin</math> | style="text-align:center" | <math>\sin(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဆိုင်း (sine) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်း (Sine and cosine) | <code>\sin</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cos</math> | style="text-align:center" | <math>\cos(x)</math> | <math>x</math> ၏ ကိုဆိုင်း (cosine) ဖြစ်သည်။ | <code>\cos</code> |- | style="text-align:center" | <math>\tan</math> | style="text-align:center" | <math>\tan(x)</math> | <math>x</math> ၏ တန်းဂျင့် (tangent) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | တန်းဂျင့်နှင့် ကိုတန်းဂျင့် (Tangent and cotangent) | <code>\tan</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cot</math> | style="text-align:center" | <math>\cot(x)</math> | <math>x</math> ၏ ကိုတန်းဂျင့် (cotangent) ဖြစ်သည်။ | <code>\cot</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sinh</math> | style="text-align:center" | <math>\sinh(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဆိုင်း (hyperbolic sine) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဟိုက်ပါဘောလစ် ဆိုင်းနှင့် ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုဆိုင်း (Hyperbolic sine and hyperbolic cosine) | <code>\sinh</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cosh</math> | style="text-align:center" | <math>\cosh(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုဆိုင်း (hyperbolic cosine) ဖြစ်သည်။ | <code>\cosh</code> |- | style="text-align:center" | <math>\tanh</math> | style="text-align:center" | <math>\tanh(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် တန်းဂျင့် (hyperbolic tangent) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဟိုက်ပါဘောလစ် ဖန်ရှင်များ (Hyperbolic functions) | <code>\tanh</code> |- | style="text-align:center" | <math>\coth</math> | style="text-align:center" | <math>\coth(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုတန်းဂျင့် (hyperbolic cotangent) ဖြစ်သည်။ | <code>\coth</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Gamma</math> | style="text-align:center" | <math>\Gamma(x)</math> | ဂါမာ ဖန်ရှင် (gamma function) ဖြစ်သည်။ | ဂါမာ ဖန်ရှင် (Gamma function) | <code>\Gamma</code> |} ''ထပ်မံကြည့်ရှုရန်-'' ဖန်ရှင်များအတွက် နောက်ထပ် သင်္ကေတ အသုံးအနှုန်းများအတွက် သင်္ကေတပြ ဖန်ရှင်များ (Symbolic notations for functions) ကို ကြည့်ပါ။ === စုဆုံမှတ်များ (Limits) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\uparrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \uparrow a} f(x)</math> | rowspan="3" | <math>x</math> သည် <math>a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဘယ်ဖက်မှ စုဆုံမှတ် (left-sided limit) ဖြစ်သည်။ |rowspan="7"| ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် (Limit of a function) | <code>\uparrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nearrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \nearrow a} f(x)</math> | <code>\nearrow</code> |- | rowspan="3" style="text-align:center" | <math>\to</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \to a-} f(x)</math> | rowspan="3" | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \to a} f(x)</math> | <math>x</math> သည် <math>a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ နှစ်ဖက်စလုံးမှ စုဆုံမှတ်ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \to a+} f(x)</math> | rowspan="3" | <math>x</math> သည် <math>a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ညာဖက်မှ စုဆုံမှတ် (right-sided limit) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>\searrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \searrow a} f(x)</math> | <code>\searrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\downarrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \downarrow a} f(x)</math> | <code>\downarrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>X_n\xrightarrow{p} X</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname{plim}(X_n) = X</math> | <math>X_n</math> သည် <math>X</math> ဆီသို့ ဖြစ်တန်စွမ်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in probability) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3" | ကျပန်းကိန်းရှင်များ၏ စုဆုံခြင်း (Convergence of random variables) | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>X_n\xrightarrow{d} X</math> | style="text-align:center" | <math>x_n\xrightarrow{d} x</math> | <math>x_n</math> သည် <math>x</math> ဆီသို့ ဖြန့်ဖြူးခြင်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in distribution) ဖြစ်သည်။ | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>X_n\xrightarrow{m} X</math> | style="text-align:center" | <math>x_n\xrightarrow{m} x</math> | <math>x_n</math> သည် <math>x</math> ဆီသို့ ပျမ်းမျှ နှစ်ထပ်ကိန်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in mean square) ဖြစ်သည်။ | <code>\to</code> |} === ချဉ်းကပ်မှု သဘာဝ (Asymptotic behavior) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>f \sim g</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် ဖန်ရှင် <math>g</math> နှင့် ချဉ်းကပ်မှုအရ (asymptotically) ညီမျှသည်။ | ချဉ်းကပ်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Asymptotic analysis) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>o</math> | style="text-align:center" | <math>f \in o(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုနှေးကွေးစွာ ကြီးထွားသည်။ |rowspan="5"| O အကြီး သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (Big O notation) | <code>o</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathcal{O}</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \mathcal{O}(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် ပိုနှေးကွေးစွာ သို့မဟုတ် ၎င်းနှုံးအတိုင်း ကြီးထွားသည်။ | <code>\mathcal{O}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Theta</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \Theta(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> နှင့် တူညီသော နှုံးအတိုင်း ကြီးထွားသည်။ | <code>\Theta</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Omega</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \Omega(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် ပိုမြန်ဆန်စွာ သို့မဟုတ် ၎င်းနှုံးအတိုင်း ကြီးထွားသည်။ | <code>\Omega</code> |- | style="text-align:center" | <math>\omega</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \omega(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုမြန်ဆန်စွာ ကြီးထွားသည်။ | <code>\omega</code> |} === ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ် (Differential calculus) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>{}'</math> | style="text-align:center" | <math>f', f''</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပထမ သို့မဟုတ် ဒုတိယ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ဖြစ်သည်။ | rowspan="4" | ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ် (Differential calculus) | <code>\prime</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>\dot f, \ddot f</math> | ရူပဗေဒတွင် အချိန်နှင့်အမျှ <math>f</math> ၏ ပထမ သို့မဟုတ် ဒုတိယ ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သည်။ | <code>\dot</code>, <code>\ddot</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{(~)}</math> | style="text-align:center" | <math>f^{(n)}</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သည်။ | <code>( )</code> |- |rowspan=2 align="center" | <math>\mathrm{d}</math> | style="text-align:center" | <math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}</math> | <math>x</math> ကိုအခြေခံသော ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | <code>\mathrm{d}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathrm{d}f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ စုစုပေါင်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် (total differential) ဖြစ်သည်။ | စုစုပေါင်း ဆင်းသက်ချက် (Total derivative) |- | style="text-align:center" | <math>\partial</math> | style="text-align:center" | <math>\frac{\partial\!f}{\partial x}</math> | <math>x</math> ကိုအခြေခံသော ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက် (partial derivative) ဖြစ်သည်။ | ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက် (Partial derivative) | <code>\partial</code> |} === အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Measure theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\ll</math> | style="text-align:center" | <math>\nu \ll \mu</math> | အတိုင်းအတာ (measure) <math>\nu</math> သည် <math>\mu</math> နှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် ပကတိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (absolutely continuous) အတိုင်းအတာဖြစ်သည်။ | ပကတိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (Absolute continuity) | <code>\ll</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp</math> | style="text-align:center" | <math>\nu \perp \mu</math> | အတိုင်းအတာ <math>\nu</math> သည် <math>\mu</math> နှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် ဆင်ဂူလာ (singular) ဖြစ်သည်။ | ဆင်ဂူလာ အတိုင်းအတာ (Singular measure) | <code>\perp</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sigma</math> | style="text-align:center" | <math>\sigma(\mathcal{M})</math> | <math>\mathcal{M}</math> ပါဝင်သော အငယ်ဆုံး ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာ (sigma-algebra) ဖြစ်သည်။ | ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာ (Sigma-algebra) | <code>\sigma</code> |- | style="text-align:center" | <math>\delta</math> | style="text-align:center" | <math>\delta(\mathcal{E})</math> | <math>\mathcal{E}</math> ပါဝင်သော အငယ်ဆုံး ဒင်ကင် စနစ် (Dynkin system) ဖြစ်သည်။ | ဒင်ကင် စနစ် (Dynkin system) | <code>\delta</code> |} === အင်တီဂရယ် ကဲကုလပ် (Integral calculus) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\int</math> | style="text-align:center" | <math>\int_a^b</math>, <math>\displaystyle \int_G</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ သို့မဟုတ် ဒေသ <math>G</math> အပေါ်ရှိ သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) ဖြစ်သည်။ | အင်တီဂရယ် ကဲကုလပ် (Integral calculus) | <code>\int</code> |- | style="text-align:center" | <math>\oint</math> | style="text-align:center" | <math>\oint_\gamma</math> | မျဉ်းကွေး <math>\gamma</math> အပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ဖြစ်သည်။ | လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက် အင်တီဂရယ် (Line integral) | <code>\oint</code> |- | style="text-align:center" | <math>\iint</math> | style="text-align:center" | <math>\iint_{\mathcal F}</math> | မျက်နှာပြင် <math>\mathcal F</math> အပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ဖြစ်သည်။ | မျက်နှာပြင် အင်တီဂရယ် (Surface integral) | <code>\iint</code> |- | style="text-align:center" | <math>\iiint</math> | style="text-align:center" | <math>\iiint_V</math> | ထုထည် (volume) <math>V</math> အပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ဖြစ်သည်။ | ထုထည် အင်တီဂရယ် (Volume integral) | <code>\iiint</code> |- | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{a}^{\bar b}</math> | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{a}^{\bar b} f(x) \ \mathrm{d}x</math> | <math>[a,b]</math> အပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ အထက် အင်တီဂရယ် (upper integral) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဒါဘူး အင်တီဂရယ် (Darboux integral) | <code>\int\limits</code> |- | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{\underline a}^{b}</math> | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{\underline a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x</math> | <math>[a,b]</math> အပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ အောက် အင်တီဂရယ် (lower integral) ဖြစ်သည်။ | <code>\int\limits</code> |} ''ထပ်မံကြည့်ရှုရန်-'' အင်တီဂရယ် သင်္ကေတ၏ ပုံစံကွဲများ (Variants of the integral symbol) ကို ကြည့်ပါ။ === ဗက်တာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Vector analysis) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- |rowspan=3 align="center" | <math>\nabla</math> | style="text-align:center" | <math>\nabla f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဂရေးဒီးယင့် (gradient) ဖြစ်သည်။ | ဂရေးဒီးယင့် (Gradient) | rowspan="3" | <code>\nabla</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nabla \cdot F</math> | ဗက်တာစက်ကွင်း (vector field) <math>F</math> ၏ ဖြာထွက်မှု (divergence) ဖြစ်သည်။ | ဖြာထွက်မှု (Divergence) |- | style="text-align:center" | <math>\nabla \times F</math> | ဗက်တာစက်ကွင်း <math>F</math> ၏ လည်ပတ်မှု (curl) ဖြစ်သည်။ | လည်ပတ်မှု (Curl) |- | style="text-align:center" | <math>\Delta</math> | style="text-align:center" | <math>\Delta f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ (Laplace operator) ဖြစ်သည်။ | လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ (Laplace operator) | <code>\Delta</code> |- | style="text-align:center" | <math>\square</math> | style="text-align:center" | <math>\square f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဒီအာလမ်ဘတ် အော်ပရေတာ (D'Alembert operator) ဖြစ်သည်။ | ဒီအာလမ်ဘတ် အော်ပရေတာ (D'Alembert operator) | <code>\square</code> |} === ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Functional analysis) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>{}'</math> | style="text-align:center" | <math>V'</math> | တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ (topological) ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) <math>V</math> ၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (dual space) ဖြစ်သည်။ | ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (Dual space) | rowspan="2" | <code>\prime</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}''</math> | style="text-align:center" | <math>V''</math> | စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော (normed) ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ဘိုင်ဒွန်တွဲ (bidual) ရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ | ဘိုင်ဒွန်တွဲ (Bidual) |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{X}</math> | အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) <math>X</math> ၏ ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) ဖြစ်သည်။ | [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (Complete metric space) | <code>\hat</code> |- | style="text-align:center" | <math>\hookrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>X \hookrightarrow Y</math> | ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အတွင်းသို့ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ ထည့်သွင်းခြင်း (embedding) ဖြစ်သည်။ | ထည့်သွင်းခြင်း (Embedding) | <small><code>\hookrightarrow</code></small> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>T^{\ast}</math> | [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) <math>T</math> ၏ တွဲဖက် အော်ပရေတာ (adjoint operator) ဖြစ်သည်။ | ဟာမီရှန် တွဲဖက် (Hermitian adjoint) | <code>\ast</code> |} == စတော့ကတ်စတစ် (Stochastics) == === ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Combinatorics) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | rowspan=3 align="center" | <math>!</math> | style="text-align:center" | <math>n!</math> | [[အစုဝင်]] <math>n</math> ခုအတွက် ပါမြူတေးရှင်းများ (permutations) ၏ အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | ဖက်တိုရီရယ် (Factorial) | rowspan="3" | <code>!</code> |- | style="text-align:center" | <math>!n</math> | အစုဝင် <math>n</math> ခုအတွက် နေရာပြောင်းလဲမှုများ (derangements) အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | ဖက်တိုရီရယ်ပိုင်း (Subfactorial) |- | style="text-align:center" | <math>n!!</math> | မကိန်း (odd number) <math>n</math> ခုအတွက် တိကျစွာ [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (involution) ဖြစ်သော ပါမြူတေးရှင်းများ၏ အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | ဖက်တိုရီရယ် နှစ်ထပ် (Double factorial) |- |rowspan=2 align="center" | <math>\tbinom{~}{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\tbinom{n}{k}</math> | အစုဝင် <math>n</math> ခုမှ <math>k</math> ခုကို ထပ်ခါတလဲလဲမပါဘဲ ရွေးချယ်နိုင်သော အရေအတွက် (combination) ဖြစ်သည်။ | ဘိုင်နိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (Binomial coefficient) | rowspan="2" | <code>\binom</code> |- | style="text-align:center" | <math>\tbinom{n}{k_1, \ldots , k_r}</math> | ကွဲပြားသောအစုဝင် <math>k_1, \ldots , k_r</math> တို့၏ စီစဉ်မှုများ (arrangements) အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | မာလ်တီနိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (Multinomial coefficient) |- | style="text-align:center" | <math>\left(\!\tbinom{~}{~}\!\right)</math> | style="text-align:center" | <math>\left(\!\tbinom{n}{k}\!\right)</math> | အစုဝင် <math>n</math> ခုမှ <math>k</math> ခုကို ထပ်ခါတလဲလဲ ရွေးချယ်နိုင်သော အရေအတွက် (multicombinations) ဖြစ်သည်။ | မာလ်တီအစု (Multiset) |- | rowspan=2 align="center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>n^{\overline{m}}</math> | <math>n</math> မှစတင်၍ ဆခွဲကိန်း <math>m</math> ခုပါဝင်သော တက်နေသည့် ဖက်တိုရီရယ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကျဆင်းခြင်းနှင့် တက်နေခြင်း ဖက်တိုရီရယ်များ (Falling and rising factorials) | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>n^{\underline{m}}</math> | <math>n</math> မှစတင်၍ ဆခွဲကိန်း <math>m</math> ခုပါဝင်သော ကျဆင်းသည့် ဖက်တိုရီရယ်ဖြစ်သည်။ | <code>\underline</code> |- | style="text-align:center" | <math>\#</math> | style="text-align:center" | <math>n \#</math> | <math>n</math> ထက် ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers) ၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ | ပရိုင်မိုရီရယ် (Primorial) | <code>\#</code> |} === ဖြစ်တန်စွမ်း သီအိုရီ (Probability theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>P</math> | style="text-align:center" | <math>P(A)</math> | အဖြစ်အပျက် (event) <math>A</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း (probability) ဖြစ်သည်။ | ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာ (Probability measure) | <code>P</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mid</math> | style="text-align:center" | <math>P(A \mid B)</math> | <math>B</math> ပေးထားချက်အောက်တွင် <math>A</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်းဖြစ်သည်။ | ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် ဖြစ်တန်စွမ်း (Conditional probability) | <code>\mid</code> |- | style="text-align:center" | <math> \operatorname E</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname E[X\mid Y]</math> | <math>Y</math> ပေးထားချက်အောက်တွင် ကျပန်းကိန်းရှင် (random variable) <math>X</math> ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုး (expected value) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | မျှော်မှန်းတန်ဖိုး (Expected value) | <code>\operatorname{E}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname E</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname E[X]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးဖြစ်သည်။ | <code>\operatorname{E}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname{Var}</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname{Var}[X]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ ကွဲလွဲချက် (variance) ဖြစ်သည်။ | ကွဲလွဲချက် (Variance) | <code>\operatorname{Var}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname{sd}</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname{sd}[X]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ စံသွေဖည်ကိန်း (standard deviation) ဖြစ်သည်။ | စံသွေဖည်ကိန်း (Standard deviation) | <code>\operatorname{sd}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname{Cov}</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname {Cov}[X,Y]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့၏ အတူကွဲလွဲချက် (covariance) ဖြစ်သည်။ | အတူကွဲလွဲချက် (Covariance) | <code>\operatorname{Cov}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\rho</math> | style="text-align:center" | <math>\rho(X,Y)</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့၏ ဆက်စပ်မှု (correlation) ဖြစ်သည်။ | ဆက်စပ်မှု မြှောက်ဖော်ကိန်း (Correlation coefficient) | <code>\rho</code> |- | style="text-align:center" | <math>R^2</math> | style="text-align:center" | <math>\rho(X,Y)^2</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့၏ ဆက်စပ်မှု နှစ်ထပ်ကိန်းဖြစ်သည်။ | အဆုံးအဖြတ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (Coefficient of determination) | <code>\mathit{R}^2</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>X \sim F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (distribution) <math>F</math> အတိုင်းဖြစ်သည်။ |rowspan="5"| ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Probability distribution) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nsim</math> | style="text-align:center" | <math>X\nsim F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်း မဟုတ်ပါ။ | <code>\nsim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\stackrel{a.s.}{\sim}</math> | style="text-align:center" | <math>X \;\stackrel{a.s.}{\sim}\; F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်း သေချာသလောက် (almost surely) ဖြစ်သည်။ | <code>\approx</code> |- | style="text-align:center" | <math>\stackrel{a}{\sim}</math> | style="text-align:center" | <math>X\; \stackrel{a}{\sim}\; F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်း ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် (asymptotically) ဖြစ်သည်။ | <code>\approx</code> |- | style="text-align:center" | <math>\stackrel{H_0}{\sim}</math> | style="text-align:center" | <math>X \;\stackrel{H_0}{\sim} \; F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် နားလ် ဟိုက်ပိုသီစစ် (null hypothesis) အောက်တွင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်းဖြစ်သည်။ | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp\!\!\!\perp</math> | style="text-align:center" | <math>X\perp\!\!\!\perp Y</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် စတော့ကတ်စတစ်နည်းအရ အမှီအခိုကင်းကြသည် (stochastically independent)။ |rowspan="1"| အမှီအခိုကင်းခြင်း (Independence) | <code>\perp\!\!\!\perp</code> |} ''မှတ်ချက်-'' အော်ပရေတာများအတွက် အခြားသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း ပုံစံများရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် လခြမ်းကွင်းများအစား လေးထောင့်ကွင်းများကို မကြာခဏ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ === စာရင်းအင်းပညာ (Statistics) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\tilde{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\tilde{x}</math> | တန်ဖိုးများ <math>x_1, \ldots , x_n</math> ၏ မီဒီယန်ဖြစ်သည်။ | မီဒီယန် (Median) | <code>\tilde</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bar{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\bar{X}</math> | ကျပန်းကိန်းရှင်များ <math>X_1, \ldots , X_n</math> ၏ နမူနာ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး ဖြစ်သည်။ | ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (Mean) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bar{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\bar{x}</math> | တန်ဖိုးများ <math>x_1, \ldots , x_n</math> ၏ ပျမ်းမျှကိန်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (Mean) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle f \rangle</math> | ရူပဗေဒတွင် [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> ၏ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သို့မဟုတ် မျှော်မှန်းတန်ဖိုး ဖြစ်သည်။ | <code>\langle \rangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{p}</math> | ပါရာမီတာ <math>p</math> အတွက် ခန့်မှန်းကိန်း (သို့မဟုတ် ခန့်မှန်းတန်ဖိုး) ဖြစ်သည်။ | ခန့်မှန်းကိန်း (Estimator) | <code>\hat</code> |} == ကိုးကား == {{Reflist}} * Tilo Arens၊ Frank Hettlich၊ Christian Karpfinger၊ Ulrich Kockelkorn၊ Klaus Lichtenegger၊ Hellmuth Stachel။ ''Mathematik'' (ဒုတိယအကြိမ်ထုတ်ဝေမှု)။ Spektrum Akademischer Verlag၊ ၂၀၁၁။ ISBN 3-8274-2347-3။ စာမျက်နှာ - ၁၄၈၃ စသည်ဖြင့်။ * Wolfgang Hackbusch။ ''Taschenbuch der Mathematik, Band 1'' (တတိယအကြိမ်ထုတ်ဝေမှု)။ Springer၊ ၂၀၁၀။ ISBN 3-8351-0123-4။ စာမျက်နှာ - ၁၂၇၅ စသည်ဖြင့်။ * Deutsches Institut für Normung: ''DIN 1302: Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe''၊ Beuth-Verlag၊ ၁၉၉၉။ * Deutsches Institut für Normung: ''DIN 1303: Vektoren, Matrizen, Tensoren; Zeichen und Begriffe''၊ Beuth-Verlag၊ ၁၉၈၇။ * Internationale Organisation für Normung: ''DIN EN ISO 80000-2: Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematische Zeichen für Naturwissenschaft und Technik''၊ ၂၀၁၃။ [[Category:သင်္ချာ သင်္ကေတများ]] [[Category:သင်္ချာဆိုင်ရာ အမှတ်လက္ခဏာ]] l64o026j7kv8fqxim59xujyojbr4y4p 1049410 1049405 2026-08-19T12:33:34Z Mkant00 135890 1049410 wikitext text/x-wiki [[File:Lots of math symbols and numbers.svg|thumb|class=skin-invert-image|အချို့သော သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများ]] ဤ သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း (List of mathematical symbols) သည် ပုံသေနည်းများအတွင်း ခေတ်သစ် သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများ (Mathematical notation) တွင် အသုံးအများဆုံးဖြစ်သော သင်္ကေတအချို့ကို ရွေးချယ်ပြသထားခြင်းဖြစ်သည်။ သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အသုံးပြုခဲ့သမျှသော သင်္ကေတအားလုံးကို စာရင်းပြုစုရန် လက်တွေ့အားဖြင့် မဖြစ်နိုင်ပါ။ ထို့ကြောင့် ဤစာရင်းသည် သင်္ချာပညာရေး သို့မဟုတ် တက္ကသိုလ်အဆင့် သင်္ချာလေ့လာမှုများတွင် မကြာခဏတွေ့ရလေ့ရှိသော သင်္ကေတများကိုသာ ဖော်ပြထားသည်။ အောက်ပါစာရင်းသည် အများအားဖြင့် အက္ခရာနှင့် ဂဏန်းမဟုတ်သော သင်္ကေတများအတွက်သာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ၎င်းကို သင်္ချာပညာရပ် နယ်ပယ်များအလိုက် ခွဲခြားထားသည်။ ထို့အပြင် ယင်းနယ်ပယ်များအတွင်း ပါဝင်သော အကြောင်းအရာများအလိုက် ထပ်မံ၍ အုပ်စုဖွဲ့ထားသည်။ အချို့သော သင်္ကေတများသည် အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ အဓိပ္ပာယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် စာရင်းထဲတွင် အကြိမ်ကြိမ် ပါဝင်နေမည်ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတများနှင့် ၎င်းတို့၏ အဓိပ္ပာယ်များအကြောင်း နောက်ထပ်အချက်အလက်များကို သက်ဆိုင်ရာ ဆက်စပ်ဆောင်းပါးများတွင် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ == ရှင်းလင်းချက် (Explanation) == သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတတစ်ခုစီအတွက် အောက်ပါအချက်အလက်များကို ဖော်ပြပေးထားသည်။ *သင်္ကေတ (Symbol)- LaTeX မှ ပုံဖော်ပေးထားသည့် သင်္ကေတဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ပုံနှိပ်စာလုံး ပုံစံအမျိုးမျိုးရှိပါက ပုံစံတစ်မျိုးကိုသာ ပြသထားသည်။ *အသုံးပြုမှု (Usage)- ပုံသေနည်းတစ်ခုအတွင်း သင်္ကေတကို စံနမူနာပြ အသုံးပြုထားခြင်းဖြစ်သည်။ ဤနေရာရှိ အက္ခရာများသည် ကိန်းများ၊ ကိန်းရှင်များ သို့မဟုတ် ပိုမိုရှုပ်ထွေးသော ဖော်ပြချက်များအတွက် ကိုယ်စားပြု အစားထိုးစာလုံးများအဖြစ် တည်ရှိသည်။ ကွဲပြားသော အသုံးပြုနိုင်သည့် အခြေအနေများကို သီးခြားစီ ဖော်ပြထားသည်။ *အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း (Interpretation)- ယခင်ကော်လံရှိ ပုံသေနည်း၏ အဓိပ္ပာယ်ကို စာသားဖြင့် အတိုချုံး ရှင်းလင်းဖော်ပြချက်ဖြစ်သည်။ *ဆောင်းပါး (Article)- သင်္ကေတ၏ အဓိပ္ပာယ် (ဆိုလိုရင်း) ကို ဖော်ပြထားသော ဝီကီပီးဒီးယား ဆောင်းပါးဖြစ်သည်။ *LaTeX- သင်္ကေတကို ဖန်တီးရန် အသုံးပြုသော LaTeX ကွန်မန်းဖြစ်သည်။ ASCII အက္ခရာစုမှ အက္ခရာများကို ချွင်းချက်အချို့ (ဟက်ရှ်အမှတ်အသား၊ ဘက်ခ်စလက်ရှ်၊ တွန့်ကွင်းများ၊ ရာခိုင်နှုန်းအမှတ်အသား) မှလွဲ၍ တိုက်ရိုက်အသုံးပြုနိုင်သည်။ အပေါ်တင်အညွှန်းကိန်းများနှင့် အောက်ချိတ်အညွှန်းကိန်းများကို <code>^</code> နှင့် <code>_</code> အက္ခရာများ အသုံးပြု၍ ဖန်တီးထားသည်။ ၎င်းတို့ကို သီးခြား ဖော်ပြမထားပါ။ အချို့သော အက္ခရာများသည် ''amsmath'' နှင့်/သို့မဟုတ် ''amssymb'' ပက်ကေ့ချ်များကို အသုံးပြုရန် လိုအပ်သည်။ == ယုတ္တိဗေဒ (Logic) == === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် သင်္ကေတများ (Definition symbols) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- |rowspan=2 align="center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>A := B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> နှင့် ညီမျှသည်ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ | rowspan="2" | အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) | rowspan="2" | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>A :\Leftrightarrow B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> နှင့် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာအရ ထပ်တူညီသည်ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ |} === ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ချိတ်ဆက်ကိန်းများ (Logical connectives) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" |<math>\land</math> | style="text-align:center" |<math>A \land B</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> နှင့် ဖော်ပြချက် <math>B</math> ဖြစ်သည်။ | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ပူးပေါင်းခြင်း (Logical conjunction) | <code>\land, \wedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lor</math> | style="text-align:center" | <math>A \lor B</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သို့မဟုတ် ဖော်ပြချက် <math>B</math> (သို့မဟုတ် နှစ်ခုစလုံး) ဖြစ်သည်။ | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ရွေးချယ်ခြင်း (Logical disjunction) | <code>\lor, \vee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Rightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \Rightarrow B</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>B</math> သည် ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှ ဆင်းသက်လာသည်။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သက်ရောက်မှု (Logical implication) | <code>\Rightarrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\rightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \rightarrow B</math> | <code>\rightarrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Leftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \Leftrightarrow B</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သည် ဖော်ပြချက် <math>B</math> မှ ဆင်းသက်လာပြီး ၎င်း၏ပြောင်းပြန်လည်း မှန်ကန်သည်။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ထပ်တူညီမှု (Logical equivalence) | <code><small>\Leftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" | <math>\leftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \leftrightarrow B</math> | <code><small>\leftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" | <math>\dot\lor</math> | style="text-align:center" | <math>A \,\dot\lor\, B</math> | rowspan="6" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သို့မဟုတ် ဖော်ပြချက် <math>B</math> တစ်ခုခုသာဖြစ်သည်။ | rowspan="6" | သီးသန့် ရွေးချယ်ခြင်း (Exclusive disjunction) | <code>\,\dot\lor\,</code> |- | style="text-align:center" | <math>\veebar</math> | style="text-align:center" | <math>A \, \veebar \, B</math> | <code>\veebar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nLeftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \nLeftrightarrow B</math> | <code><small>\nLeftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" | <math>\nleftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \nleftrightarrow B</math> | <code><small>\nleftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" |<math>\nsim</math> | style="text-align:center" |<math>A \nsim B</math> | <code>\nsim</code> |- | style="text-align:center" |<math>\oplus</math> | style="text-align:center" |<math>A \oplus B</math> |<code>\oplus</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lnot</math> | style="text-align:center" | <math>\lnot A</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> မဟုတ်ပါ။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ငြင်းပယ်ခြင်း (Logical negation) | <code>\lnot</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{A}</math> | <code>\bar</code> |} === အရေအတွက်ပြကိန်းများ (Quantifiers) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\forall</math> | style="text-align:center" | <math>\forall\,x</math> | rowspan="2" | [[အစုဝင်]] <math>x</math> အားလုံးအတွက်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | စကြဝဠာ အရေအတွက်ပြကိန်း (Universal quantifier) | <code>\forall</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bigwedge</math> | style="text-align:center" | <math>\bigwedge_x</math> | <code>\bigwedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>\exists</math> | style="text-align:center" | <math>\exists\,x</math> | rowspan="2" | အစုဝင် <math>x</math> အနည်းဆုံးတစ်ခု တည်ရှိသည်။ | rowspan="2" | တည်ရှိမှု အရေအတွက်ပြကိန်း (Existential quantifier) | <code>\exists</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bigvee</math> | style="text-align:center" | <math>\bigvee_x</math> | <code>\bigvee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\exists !</math> | style="text-align:center" | <math>\exists !\,x</math> | rowspan="2" | အစုဝင် <math>x</math> တိကျစွာ တစ်ခုတည်းသာ တည်ရှိသည်။ | rowspan="2" | တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု အရေအတွက်ပြကိန်း (Uniqueness quantifier) | <code>\exists!</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bigvee^\centerdot</math> | style="text-align:center" | <math>\bigvee^\centerdot_x</math> | <code>\dot\bigvee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nexists</math> | style="text-align:center" | <math>\nexists\,x</math> | အစုဝင် <math>x</math> မတည်ရှိပါ။ | တည်ရှိမှု အရေအတွက်ပြကိန်း (Existential quantifier) | <code>\nexists</code> |} === ကောက်ချက်ချခြင်း သင်္ကေတများ (Deduction symbols) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\vdash</math> | style="text-align:center" | <math>A \vdash B</math> | ဖော်ပြချက် <math>B</math> ကို ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှ ဝါကျဖွဲ့ထုံးအရ ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ | သက်သေပြနိုင်စွမ်း (Provability) | <code>\vdash</code> |- | rowspan=2 align="center" | <math>\models</math> | style="text-align:center" | <math>A \models B</math> | ဖော်ပြချက် <math>B</math> သည် ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှ ဆိုလိုရင်းအရ ဆင်းသက်လာသည်။ | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အကျိုးဆက် (Logical consequence) | rowspan="2" | <code>\models</code>, <code>\vDash</code> |- | style="text-align:center" | <math>\models A</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သည် စကြဝဠာတစ်ခုလုံးတွင် မှန်ကန်သည်။ | rowspan="2" | အမြဲမှန်ဖော်ပြချက် (Tautology) |- | style="text-align:center" | <math>\top</math> | style="text-align:center" | <math>A \top</math> | <code>\top</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bot</math> | style="text-align:center" | <math>A \bot</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြစ်သည်။ | ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (Contradiction) | <code>\bot</code> |- | style="text-align:center" | <math>\therefore</math> | style="text-align:center" | <math>A \therefore B</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှန်ကန်သည်။ ထို့ကြောင့် ဖော်ပြချက် <math>B</math> လည်း မှန်ကန်သည်။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ခြင်း (Logical derivation) | <code>\therefore</code> |- | style="text-align:center" | <math>\because</math> | style="text-align:center" | <math>A \because B</math> | ဖော်ပြချက် <math>B</math> မှန်ကန်သောကြောင့် ဖော်ပြချက် <math>A</math> လည်း မှန်ကန်သည်။ | <code>\because</code> |- | style="text-align:center" | ↯ | style="text-align:center" | | ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြစ်သည်။ | ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြင့် သက်သေပြခြင်း (Proof by contradiction) | <code>\lightning</code> |- | style="text-align:center" | <math>\blacksquare</math> |rowspan=2 align="center" | | rowspan="2" | သက်သေပြချက် အဆုံးသတ် (Q.E.D.) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | Q.E.D. | <code>\blacksquare</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Box</math> | <code>\Box</code> |} == [[အစုသီအိုရီ]] (Set theory) == === အစု တည်ဆောက်ပုံ (Set construction) === {| class="wikitable" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>\emptyset</math> | style="text-align:center"| <math>\emptyset</math> | rowspan="3"| ဗလာအစု (Empty set) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| [[ဗလာစု]] (Empty set) | <code>\emptyset</code> |- | style="text-align:center"| <math>\varnothing</math> | style="text-align:center"| <math>\varnothing</math> | <code>\varnothing</code> |- | rowspan="2" style="text-align:center"| <math>\{~\}</math> | style="text-align:center"| <math>\{~\}</math> | rowspan="2"| <code>\{ \}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\{ a,b,\ldots \}</math> | <math>a</math>၊ <math>b</math> နှင့် အခြား[[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သော အစုဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| [[အစု]] (Set)၊ အတန်းအစား (Class) |- | style="text-align:center"| <math>\mid</math> | style="text-align:center"| <math>\{ a \mid A(a) \}</math> | rowspan="2"| ဖော်ပြချက် <math>A(a)</math> မှန်ကန်သော အစုဝင် <math>a</math> များ၏ အစု သို့မဟုတ် အတန်းအစားဖြစ်သည်။ | <code>\mid</code> |- | style="text-align:center"| <math>\colon</math> | style="text-align:center"| <math>\{ a\colon A(a) \}</math> | <code>\colon</code> |} === အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ (Set operations) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>\cap</math> | style="text-align:center"| <math>A \cap B</math> | [[အစု]] <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ထပ်တူပိုင်းအစုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ထပ်တူပိုင်းအစု (Intersection) | <code>\cap</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigcap</math> | style="text-align:center"| <math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>, <math>\bigcap_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ထပ်တူပိုင်းအစုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ထပ်တူပိုင်းအစုဖြစ်သည်။ | <code>\bigcap</code> |- | style="text-align:center"| <math>\cup</math> | style="text-align:center"| <math>A \cup B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ပေါင်းစပ်စု (Union) | <code>\cup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigcup</math> | style="text-align:center"| <math>\bigcup_{i=1}^n A_i</math>, <math>\bigcup_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\bigcup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\setminus</math> | style="text-align:center"| <math>A \setminus B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ခြားနားခြင်းဖြစ်သည်။ | အစု ခြားနားခြင်း (Set difference) | <code>\setminus</code> |- | style="text-align:center"| <math>{}^\mathsf{C}</math> | style="text-align:center"| <math>A^\mathsf{C}</math> | rowspan="2"| အစု <math>A</math> ၏ ဖြည့်စွက်စုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ဖြည့်စွက်စု (Complement) | <code>^\mathsf{C}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center"| <math>\overline{A}</math> | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigtriangleup</math> | style="text-align:center"| <math>A \bigtriangleup B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ အချိုးညီ ခြားနားခြင်းဖြစ်သည်။ | အချိုးညီ ခြားနားခြင်း (Symmetric difference) | <code>\bigtriangleup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\dot\cup</math> | style="text-align:center"| <math>A \,\dot\cup\, B</math> | ဘုံမပါသော အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | rowspan="4"| ဘုံမပါသော ပေါင်းစပ်စု (Disjoint union) | <code>\,\dot\cup\,</code> |- | style="text-align:center"| <math>\dot\bigcup</math> | style="text-align:center"| <math>\dot{\bigcup_{i=1}}^n A_i</math>, <math>\dot{\bigcup_{i \in I}}\, A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\dot{\bigcup...}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\sqcup</math> | style="text-align:center"| <math>A \sqcup B</math> | ဘုံမပါသော အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\sqcup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigsqcup</math> | style="text-align:center"| <math>\bigsqcup_{i=1}^n A_i</math>, <math>\bigsqcup_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\bigsqcup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\times</math> | style="text-align:center"| <math>A \times B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]]ဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center"| <math>\prod</math> | style="text-align:center"| <math>\prod_{i=1}^n A_i</math>, <math>\prod_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ | <code>\prod</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathcal{P}</math> | style="text-align:center"| <math>\mathcal{P}(A)</math> | rowspan="2"| အစု <math>A</math> ၏ ပါဝါအစုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ပါဝါအစု (Power set) | <code>\mathcal{P}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathfrak{P}</math> | style="text-align:center"| <math>\mathfrak{P}(A)</math> | <code>\mathfrak{P}</code> |} === အစုဆိုင်ရာ ဆက်သွယ်ချက်များ (Set relations) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>=</math> | style="text-align:center" | <math>A = B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> နှင့် ညီမျှသည်။ | [[အစု]] (Set) | <code>=</code> |- | style="text-align:center"| <math>\subset</math> | style="text-align:center"| <math>A \subset B</math> | rowspan="2"| <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ [[အစုပိုင်း]]အစစ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| အစုပိုင်း (Subset) | <code>\subset</code> |- | style="text-align:center"| <math>\subsetneq</math> | style="text-align:center"| <math>A \subsetneq B</math> | <code>\subsetneq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\subseteq</math> | style="text-align:center"| <math>A \subseteq B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ အစုပိုင်းဖြစ်သည်။ | <code>\subseteq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\supset</math> | style="text-align:center"| <math>A \supset B</math> | rowspan="2"| <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ မူလအစုအစစ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| မူလအစု (Superset) | <code>\supset</code> |- | style="text-align:center"| <math>\supsetneq</math> | style="text-align:center"| <math>A \supsetneq B</math> | <code>\supsetneq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\supseteq</math> | style="text-align:center"| <math>A \supseteq B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ မူလအစုဖြစ်သည်။ | <code>\supseteq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\in</math> | style="text-align:center"| <math>a \in A</math> | rowspan="2"| [[အစုဝင်]] <math>a</math> သည် [[အစု]] <math>A</math> တွင် ပါဝင်သည်။ | rowspan="4"| [[အစုဝင်]] (Element) | <code>\in</code> |- | style="text-align:center"| <math>\ni</math> | style="text-align:center"| <math>A \ni a</math> | <code>\ni</code>, <code>\owns</code> |- | style="text-align:center"| <math>\notin</math> | style="text-align:center"| <math>a \notin A</math> | rowspan="2"| အစုဝင် <math>a</math> သည် အစု <math>A</math> တွင် မပါဝင်ပါ။ | <code>\notin</code> |- | style="text-align:center"| <math>\not\ni</math> | style="text-align:center"| <math>A \not\ni a</math> | <code>\not\ni</code> |} ''မှတ်ချက်''- သင်္ကေတများဖြစ်သော <math>\subset</math> နှင့် <math>\supset</math> တို့ကို တသမတ်တည်း အသုံးမပြုကြပေ။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် အစုနှစ်ခု ညီမျှခြင်းကို မကြာခဏဆိုသလို ဖယ်ထုတ်လေ့မရှိပါ။ === အစုအရွယ်အစားများ (Cardinalities) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>|~~|</math> | style="text-align:center"| <math>|A|</math> | rowspan="2"| [[အစု]] <math>A</math> ၏ အစုအရွယ်အစားဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| အစုအရွယ်အစား (Cardinality) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center"| <math>\#</math> | style="text-align:center"| <math>\# A</math> | <code>\#</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathfrak{c}</math> | style="text-align:center"| | ကွန်တီနူရမ်၏ အစုအရွယ်အစားဖြစ်သည်။ | ကွန်တီနူရမ်၏ အစုအရွယ်အစား (Cardinality of the continuum) | <code>\mathfrak{c}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\aleph</math> | style="text-align:center"| <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, ... | ကာဒီနယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ | ကာဒီနယ်ကိန်း (Cardinal number) | <code>\aleph</code> |- | style="text-align:center"| <math>\beth</math> | style="text-align:center"| <math>\beth_0</math>, <math>\beth_1</math>, ... | ဘတ်သ် ကိန်းများဖြစ်သည်။ | ဘတ်သ် ကိန်း (Beth number) | <code>\beth</code> |} === ကိန်းအစုများ (Number sets) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb P</math> | သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်သည်။ |[[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) | <code>\mathbb{P}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\N</math> | သဘာဝကိန်းများဖြစ်သည်။ | [[သဘာဝကိန်း]] (Natural number) | <code>\mathbb{N}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\Z</math> | ကိန်းပြည့်များဖြစ်သည်။ | [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) | <code>\mathbb{Z}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb{F}</math> | [[သုဒ္ဓကိန်း]] ဝိသေသလက္ခဏာပါသော အဆုံးရှိ [[ဖီးလ်ဒ်]]ဖြစ်သည်။ | [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်]] (Finite field) | <code>\mathbb{F}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\Q</math> | ရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ | [[ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (Rational number) | <code>\mathbb{Q}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb I</math> | အီရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ | အီရာရှင်နယ်ကိန်း (Irrational number) | <code>\mathbb{I}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb A</math> | ကိန်းရင်းများဖြစ်သည်။ | ကိန်းရင်း (Algebraic number) | <code>\mathbb{A}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb T</math> | ကိန်းလွန်များဖြစ်သည်။ | ကိန်းလွန် (Transcendental number) | <code>\mathbb{T}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb R</math> | ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ | [[ကိန်းစစ်]] (Real number) | <code>\mathbb{R}</code> |- | style="text-align:center"| <math>{}^*\mathbb{R}</math> | ဟိုက်ပါကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ | ဟိုက်ပါကိန်းစစ် (Hyperreal number) | <code>{}^*\mathbb{R}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb C</math> | ကိန်းထွေးများဖြစ်သည်။ | [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) | <code>\mathbb{C}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\hat{\mathbb{C}}</math> | ကိန်းထွေးပြင်ညီ၏ ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း သို့မဟုတ် ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဖြစ်သည်။ | ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Riemann sphere) | <code>\hat{\mathbb{C}}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb H</math> | ကွာတာနီယွန်များဖြစ်သည်။ | ကွာတာနီယွန် (Quaternion) | <code>\mathbb{H}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb O</math> | အော့တိုနီယွန်များဖြစ်သည်။ | အော့တိုနီယွန် (Octonion) | <code>\mathbb{O}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb S</math> | ဆီဒီးနီယွန်များဖြစ်သည်။ | ဆီဒီးနီယွန် (Sedenion) | <code>\mathbb{S}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb{K}</math> | <math>\mathbb{K} \in \{\R,\Complex\}</math> ဖြစ်သည်။ | ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ / အက္ခရာသင်္ချာများ (Banach algebra / Algebras) | <code>\mathbb{K}</code> |} == ဂဏန်းသင်္ချာ (Arithmetic) == === ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများ (Arithmetic operators) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>+</math> | style="text-align:center" | <math>a + b</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ကို ပေါင်းသည်။ | အပေါင်း (Addition) | <code>+</code> |- | style="text-align:center" | <math>-</math> | style="text-align:center" | <math>a - b</math> | <math>a</math> ထဲမှ <math>b</math> ကို နုတ်သည်။ | အနုတ် (Subtraction) | <code>-</code> |- | style="text-align:center" |<math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>a \cdot b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ကို မြှောက်သည်။ | rowspan="2" | မြှောက်ခြင်း (Multiplication) | <code>\cdot</code> |- | style="text-align:center" |<math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>a \times b</math> | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>a : b</math> | rowspan="4" | <math>a</math> ကို <math>b</math> ဖြင့် စားသည်။ | rowspan="4" | စားခြင်း (Division) | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>a/b</math> | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>\div</math> | style="text-align:center" | <math>a \div b</math> | <code>\div</code> |- | style="text-align:center" | <math>\frac{~~}{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\tfrac{a}{b}</math> | <code>\frac</code> |- | style="text-align:center" | <math>-</math> | style="text-align:center" | <math>-a</math> | အနုတ်ကိန်း <math>a</math> သို့မဟုတ် <math>a</math> ၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်ဖြစ်သည်။ | တစ်လုံးသွင်း အနုတ် (Unary minus) | <code>-</code> |- | style="text-align:center" | <math>\pm</math> | style="text-align:center" | <math>\pm a</math> | အပေါင်း သို့မဟုတ် အနုတ် <math>a</math> ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အပေါင်း-အနုတ် သင်္ကေတ (Plus-minus sign) | <code>\pm</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mp</math> | style="text-align:center" | <math>\mp a</math> | အနုတ် သို့မဟုတ် အပေါင်း <math>a</math> ဖြစ်သည်။ | <code>\mp</code> |- | style="text-align:center" | <math>(~)</math> | style="text-align:center" | <math>(a)</math> | rowspan="2" | ကိန်းတန်း <math>a</math> ကို ဦးစွာ တွက်ချက်သည်။ | rowspan="2" | ကွင်း (Bracket) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>[~]</math> | style="text-align:center" | <math>[a]</math> | <code>[ ]</code> |} === အခြေခံ ဖန်ရှင်များ (Elementary functions) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\%</math> | style="text-align:center" | <math>p \, \%</math> | <math>p</math> ရာခိုင်နှုန်းဖြစ်သည်။ | ရာခိုင်နှုန်း (Percent) | <code>\%</code> |- | style="text-align:center" | <math>| ~~ |</math> | style="text-align:center" | <math>| x |</math> | <math>x</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုးဖြစ်သည်။ | ပကတိတန်ဖိုး (Absolute value) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\left[ ~~ \right]</math> | style="text-align:center" | <math>\left[ x \right]</math> |rowspan="1"| <math>x</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော အကြီးဆုံး [[ကိန်းပြည့်]]ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ယခုအခါ အသုံးမပြုတော့သော သင်္ကေတဖြစ်သည်။<ref>အော့တို ဖော်စတာ။ ''Analysis 1 Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen'' (၁၂ ကြိမ်မြောက် ပြင်ဆင်ထုတ်ဝေမှု)။ Wiesbaden၊ ၂၀၁၆။ စာမျက်နှာ - ၃၃၈။</ref> |rowspan="3"| အောက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး ဖန်ရှင်နှင့် အထက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး ဖန်ရှင်များ (Floor and ceiling functions) | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lfloor ~~ \rfloor</math> | style="text-align:center" | <math>\lfloor x \rfloor</math> | <math>x</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော အကြီးဆုံး ကိန်းပြည့်ဖြစ်သည်။ | <code>\lfloor \rfloor</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lceil ~~ \rceil</math> | style="text-align:center" | <math>\lceil x \rceil</math> | <math>x</math> ထက်ကြီးသော သို့မဟုတ် ညီသော အငယ်ဆုံး ကိန်းပြည့်ဖြစ်သည်။ | <code>\lceil \rceil</code> |- |rowspan="2" align="center" | <math>\sqrt{\,}</math> | style="text-align:center" | <math>\sqrt{x}</math> | <math>x</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square root) | rowspan="2" | <code>\sqrt</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sqrt[n]{x}</math> | <math>x</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။ |} ''မှတ်ချက်''- ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်ကို သီးခြား သင်္ကေတဖြင့် မပြသထားပါ။ သို့သော် ထပ်ကိန်းကို အပေါ်တင်အညွှန်းကိန်းဖြင့် ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ === ကိန်းထွေးများ (Complex numbers) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\mathrm{i}</math> | style="text-align:center" | <math>a + b\mathrm{i}</math> | [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်ယူနစ်]]ဖြစ်သည်။ | ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) | <code>\mathrm{i}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Re</math> | style="text-align:center" | <math>\Re(z)</math> | ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) | <code>\Re</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Im</math> | style="text-align:center" | <math>\Im(z)</math> | ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းယောင်ပိုင်းဖြစ်သည်။ | <code>\Im</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bar{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\bar{z}</math> | rowspan="2" | ကိန်း <math>z</math> ၏ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (Complex conjugation) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>z^\ast</math> | <code>^\ast</code> |} ''မှတ်ချက်-'' အတိုကောက်များဖြစ်သော <math>\operatorname{Re}</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}</math> များကို ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းကို သတ်မှတ်ရန် အထူးသဖြင့် အသုံးပြုကြသည်။ === ညီမျှခြင်း သင်္ကေတများ (Equality signs) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>=</math> | style="text-align:center" | <math>a = b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ညီမျှသည်။ | ညီမျှခြင်း (Equation) | <code>=</code> |- | style="text-align:center" | <math>\neq</math> | style="text-align:center" | <math>a \neq b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် မညီမျှပါ။ | မညီမျှခြင်း (Inequality) | <code>\neq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\equiv</math> | style="text-align:center" | <math>a \equiv b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ထပ်တူညီသည်။ | ထပ်တူရဖြစ်မှု (Identity) | <code>\equiv</code> |- | style="text-align:center" | <math>\approx</math> | style="text-align:center" | <math>a \approx b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် ညီမျှသည်။ | အနီးစပ်ဆုံး ယူခြင်း (Rounding) | <code>\approx</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>a \sim b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် အချိုးကျသည်။ | rowspan="2" | အချိုးကျခြင်း (Proportionality) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\propto</math> | style="text-align:center" | <math>a \propto b</math> | <code>\propto</code> |- | style="text-align:center" | <math>\widehat{=}</math> | style="text-align:center" | <math>a \, \widehat{=} \, b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ကိုက်ညီသည်။ | ခန့်မှန်းချက်များ (Estimates) | <code>\widehat{=}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>a\sim b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် တူညီသည်ဟု ခန့်မှန်းရသည်။ | ဦးစားပေး ဆက်သွယ်ချက် (Preference relation) | <code>\sim </code> |- | style="text-align:center" | <math>\simeq</math> | style="text-align:center" | <math>a\simeq b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ချဉ်းကပ်မှုအရ ညီမျှသည်။ | ချဉ်းကပ်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Asymptotic analysis) | <code>\simeq </code> |} === နှိုင်းယှဉ်ခြင်း သင်္ကေတများ (Comparison signs) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math><</math> | style="text-align:center" | <math>a < b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ငယ်သည်။ | rowspan="14" | မညီမျှခြင်း (Inequality) | <code><</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lneq</math> | style="text-align:center" | <math>a \lneq b</math> | <code>\lneq</code> |- | style="text-align:center" | <math>></math> | style="text-align:center" | <math>a > b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ကြီးသည်။ | <code>></code> |- | style="text-align:center" | <math>\gneq</math> | style="text-align:center" |<math>a \gneq b</math> | <code>\gneq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leq</math> | style="text-align:center" | <math>a \leq b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ငယ်သည် သို့မဟုတ် ညီသည်။ | <code>\le</code>, <code>\leq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leqq</math> | style="text-align:center" | <math>a \leqq b</math> | <code>\leqq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\geq</math> | style="text-align:center" | <math>a \geq b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ကြီးသည် သို့မဟုတ် ညီသည်။ | <code>\ge</code>, <code>\geq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\geqq</math> | style="text-align:center" | <math>a \geqq b</math> | <code>\geqq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ll</math> | style="text-align:center" | <math>a \ll b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်များစွာ ငယ်သည်။ | <code>\ll</code> |- | style="text-align:center" | <math>\gg</math> | style="text-align:center" | <math>a \gg b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်များစွာ ကြီးသည်။ | <code>\gg</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lll</math> | style="text-align:center" | <math>a \lll b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်တရာ ငယ်သည်။ | <code>\lll</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ggg</math> | style="text-align:center" | <math>a \ggg b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်တရာ ကြီးသည်။ | <code>\ggg</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lessgtr</math> | style="text-align:center" | <math>a \lessgtr b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ငယ်သည် သို့မဟုတ် ကြီးသည်။ | <code>\lessgtr</code> |- | style="text-align:center" | <math>\gtrless</math> | style="text-align:center" | <math>a \gtrless b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ကြီးသည် သို့မဟုတ် ငယ်သည်။ | <code>\gtrless</code> |- | style="text-align:center" | <math>\prec</math> | style="text-align:center" | <math>a\prec b</math> | <math>b</math> ကို <math>a</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုဦးစားပေးသည်။ | rowspan="4" | ဦးစားပေး ဆက်သွယ်ချက် (Preference relation) | <code>\prec</code> |- | style="text-align:center" | <math>\succ</math> | style="text-align:center" | <math>a\succ b</math> | <math>a</math> ကို <math>b</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုဦးစားပေးသည်။ | <code>\succ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\preccurlyeq</math> | style="text-align:center" | <math>a \preccurlyeq b</math> | <math>b</math> ကို <math>a</math> ထက် အားနည်းစွာ ဦးစားပေးသည်။ သို့မဟုတ် <math>b</math> သည် အနည်းဆုံး <math>a</math> ကဲ့သို့ ကောင်းမွန်သည်။ | <code>\preccurlyeq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\succcurlyeq</math> | style="text-align:center" | <math>a\succcurlyeq b</math> | <math>a</math> ကို <math>b</math> ထက် အားနည်းစွာ ဦးစားပေးသည်။ သို့မဟုတ် <math>a</math> သည် အနည်းဆုံး <math>b</math> ကဲ့သို့ ကောင်းမွန်သည်။ | <code>\succcurlyeq</code> |} === စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ (Divisibility) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\mid</math> | style="text-align:center" | <math>a \mid b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို စားပြတ်သည်။ |rowspan="3"| စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ (Divisibility properties) | <code>\mid</code> |- | style="text-align:center" | <math>\parallel</math> | style="text-align:center" | <math>a \parallel b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို တိကျစွာ စားပြတ်သည်။ | <code>\parallel</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nmid</math> | style="text-align:center" | <math>a \nmid b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို မစားပြတ်ပါ။ | <code>\nmid</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp</math> | style="text-align:center" | <math>a \perp b</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် နှိုင်းရသုဒ္ဓများဖြစ်ကြသည်။ | နှိုင်းရသုဒ္ဓ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (Coprime integers) | <code>\perp</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sqcap</math> | style="text-align:center" | <math>a \sqcap b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့၏ အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း (Greatest common divisor) | <code>\sqcap</code> |- | style="text-align:center" | <math>\wedge</math> | style="text-align:center" | <math>a \wedge b</math> | <code>\wedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sqcup</math> | style="text-align:center" | <math>a \sqcup b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (Least common multiple) | <code>\sqcup</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vee</math> | style="text-align:center" | <math>a \vee b</math> | <code>\vee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\equiv</math> | style="text-align:center" | <math> a \equiv b \bmod m</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် မော်ဂျူလို <math>m</math> တွင် ထပ်တူညီကြသည်။ | မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာ (Modular arithmetic) | <code>\equiv</code> |} === သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသေများ (Mathematical constants) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ !width="27%"| အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း !width="23%"| ဆောင်းပါး !width="20%"| LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\Phi</math> | ရွှေအချိုးဖြစ်သည်။ | ရွှေအချိုး (Golden ratio) | <code>\Phi</code> |- | style="text-align:center" | <math>\pi</math> | ပိုင်ဖြစ်သည်။ | [[ပိုင်]] (Pi) | <code>\pi</code> |- | style="text-align:center" |<math>\mathrm{e}</math> | အွိုင်လာ၏ ကိန်းဖြစ်သည်။ | အွိုင်လာ၏ ကိန်း (Euler's number) | <code>\mathrm{e}</code> |} == အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) == === ဆက်သွယ်ချက်များ (Relations) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | rowspan=2 align="center" | <math>\circ</math> | style="text-align:center" | <math>R \circ S</math> | ဆက်သွယ်ချက် (relation) <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သည်။ | ဆက်သွယ်ချက်များ ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition of relations) | rowspan="2" | <code>\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>a \circ b</math> |rowspan="3"| [[အစုဝင်]] <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့အပေါ် လုပ်ဆောင်သော ယေဘုယျ တွက်ချက်မှု (general operation) ဖြစ်သည်။ |rowspan="3"| နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (Binary operation) |- | style="text-align:center" | <math>\bullet</math> | style="text-align:center" | <math>a \bullet b</math> | <code>\bullet</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ast</math> | style="text-align:center" | <math>a \ast b</math> | <code>\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leq</math> | style="text-align:center" | <math>a \leq b</math> | အစုဝင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ အစဉ်လိုက် ဆက်သွယ်ချက် (order relation) ဖြစ်သည်။ | အစဉ်လိုက် ဆက်သွယ်ချက် (Order relation) | <code>\leq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\prec</math> | style="text-align:center" | <math>a \prec b</math> | အစုဝင် <math>a</math> သည် အစုဝင် <math>b</math> ၏ ရှေ့ပြေး (predecessor) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (Successor function) | <code>\prec</code> |- | style="text-align:center" | <math>\succ</math> | style="text-align:center" | <math>a \succ b</math> | အစုဝင် <math>a</math> သည် အစုဝင် <math>b</math> ၏ နောက်ဆက်တွဲ (successor) ဖြစ်သည်။ | <code>\succ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>a \sim b</math> | အစုဝင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) ဖြစ်သည်။ | ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (Equivalence relation) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>[ a ]</math> | အစုဝင် <math>a</math> ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (equivalence class) ဖြစ်သည်။ | ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (Equivalence class) | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>M / \sim </math> | ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် <math>\sim</math> အပေါ်အခြေခံသော [[အစု]] <math>M</math> ၏ စားလဒ်အစု (quotient set) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်အစု (Quotient set) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{-1}</math> | style="text-align:center" | <math>R^{-1}</math> | ဆက်သွယ်ချက် <math>R</math> ၏ ပြောင်းပြန် ဆက်သွယ်ချက် (converse relation) ဖြစ်သည်။ | ပြောင်းပြန် ဆက်သွယ်ချက် (Converse relation) | <code>^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{+}</math> | style="text-align:center" | <math>R^{+}</math> | ဆက်သွယ်ချက် <math>R</math> ၏ ကူးပြောင်းနိုင်သော အပိတ် (transitive closure) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကူးပြောင်းနိုင်သော အပိတ် (Transitive closure) | <code>+</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>R^\ast</math> | ဆက်သွယ်ချက် <math>R</math> ၏ ကိုယ်ပြန်ဟပ် ကူးပြောင်းနိုင်သော အပိတ် (reflexive transitive closure) ဖြစ်သည်။ | <code>\ast</code> |} === အုပ်စုသီအိုရီ (Group theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\simeq</math> | style="text-align:center" | <math>G \simeq H</math> | rowspan="2" | [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့သည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ် (isomorphic)]] ဖြစ်ကြသည်။ | rowspan="2" | အုပ်စု အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Group isomorphism) | <code>\simeq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cong</math> | style="text-align:center" | <math>G \cong H</math> | <code>\cong</code> |- | style="text-align:center" | <math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>G \times H</math> | အုပ်စု <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့၏ တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (direct product) ဖြစ်သည်။ | တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (Direct product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>\rtimes</math> | style="text-align:center" | <math>G \rtimes H</math> | အုပ်စု <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့၏ တစ်ပိုင်းတိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (semidirect product) ဖြစ်သည်။ | တစ်ပိုင်းတိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (Semidirect product) | <code>\rtimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>\wr</math> | style="text-align:center" | <math>G \, \wr \, H</math> | အုပ်စု <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့၏ ရစ်ပတ် မြှောက်လဒ် (wreath product) ဖြစ်သည်။ | ရစ်ပတ် မြှောက်လဒ် (Wreath product) | <code>\wr</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leq</math> | style="text-align:center" | <math>U \leq G</math> | <math>U</math> သည် အုပ်စု <math>G</math> ၏ [[အုပ်စုပိုင်း]] (subgroup) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အုပ်စုပိုင်း (Subgroup) | <code>\leq</code> |- | style="text-align:center" | <math><</math> | style="text-align:center" | <math>U < G</math> | <math>U</math> သည် အုပ်စု <math>G</math> ၏ အုပ်စုပိုင်းအစစ် (proper subgroup) ဖြစ်သည်။ | <code>\lt</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vartriangleleft</math> | style="text-align:center" | <math>N \vartriangleleft G</math> | rowspan="2" | <math>N</math> သည် အုပ်စု <math>G</math> ၏ မူမှန်အုပ်စုပိုင်း (normal subgroup) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | မူမှန်အုပ်စုပိုင်း (Normal subgroup) | <code>\vartriangleleft</code> |- | style="text-align:center" | <math>\trianglelefteq</math> | style="text-align:center" | <math>N \trianglelefteq G</math> | <code>\trianglelefteq</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>G / N</math> | မူမှန်အုပ်စုပိုင်း <math>N</math> ကိုအခြေခံသော အုပ်စု <math>G</math> ၏ စားလဒ်အုပ်စု (quotient group) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်အုပ်စု (Quotient group) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>( G : U )</math> | အုပ်စု <math>G</math> အတွင်းရှိ အုပ်စုပိုင်း <math>U</math> ၏ အညွှန်း (index) ဖြစ်သည်။ | အုပ်စုပိုင်းတစ်ခု၏ အညွှန်း (Index of a subgroup) | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle E \rangle</math> | [[အစု]] <math>E</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော အုပ်စုပိုင်း (generated subgroup) ဖြစ်သည်။ | အုပ်စုတစ်ခု၏ ထုတ်လုပ်ကိန်းအစု (Generating set of a group) | <code>\langle \rangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>( g, h )</math> | အုပ်စု [[အစုဝင်]] <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့၏ ကွန်ဂျူဂိတ် (conjugate) ဖြစ်သည်။ | ကွန်ဂျူဂိတ် အတန်းအစား (Conjugacy class) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>[ g, h ]</math> | အုပ်စု အစုဝင် <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့၏ ကွန်မြူတေတာ (commutator) ဖြစ်သည်။ | ကွန်မြူတေတာ (Commutator) | <code>[ ]</code> |} === ကွင်းသီအိုရီ (Ring theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>R^\ast</math> | rowspan="2" | [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ ယူနစ်များ၏ အုပ်စု (group of units) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ယူနစ်များ၏ အုပ်စု (Group of units) | <code>^\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\times</math> | style="text-align:center" | <math>R^\times</math> | <code>^\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vartriangleleft</math> | style="text-align:center" | <math>I \vartriangleleft R</math> | <math>I</math> သည် ကွင်း <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ် (ideal) ဖြစ်သည်။ | အိုင်ဒီးလ် (Ideal) | <code>\vartriangleleft</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>R / I</math> | အိုင်ဒီးလ် <math>I</math> ကိုအခြေခံသော ကွင်း <math>R</math> ၏ စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်ကွင်း (Quotient ring) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>R[ X ]</math> | ကိန်းရှင် (variable) <math>X</math> ပါဝင်ပြီး ကွင်း <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည်။ | ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (Polynomial ring) | <code>[ ]</code> |} === ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (Field theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>L / K</math> | rowspan="3" | [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ် ဖီးလ်ဒ် <math>L</math> ၏ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3" | ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (Field extension) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mid</math> | style="text-align:center" | <math>L \mid K</math> | <code>\mid</code> |- | rowspan=2 align="center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>L : K</math> | rowspan="2" | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ L : K ]</math> | <math>K</math> အပေါ် <math>L</math> ၏ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း ဒီဂရီ (degree) ဖြစ်သည်။ | ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း၏ ဒီဂရီ (Degree of a field extension) |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{K}</math> | ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (algebraic closure) ဖြစ်သည်။ | အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (Algebraic closure) | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathbb{K}</math> | style="text-align:center" | | ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]၏ ဖီးလ်ဒ်ဖြစ်သည်။ | [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) | <code>\mathbb{K}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathbb{F}</math> | style="text-align:center" | | အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် (finite field) ဖြစ်သည်။ | [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်]] (Finite field) | <code>\mathbb{F}</code> |} == မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ နှင့် ဂျီဩမေတြီ (Linear algebra and geometry) == === အခြေခံ ဂျီဩမေတြီ (Elementary geometry) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{AB}</math> | rowspan="2" | အမှတ် <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပိုင်း (line segment) ဖြစ်သည်။ | rowspan="5" | မျဉ်းပိုင်း (Line segment) | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>[~~]</math> | style="text-align:center" | <math>[AB]</math> | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>|\overline{~~}|</math> | style="text-align:center" | <math>|\overline{AB}|</math> | rowspan="3" | အမှတ် <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပိုင်း၏ အလျား (length) ဖြစ်သည်။ | <code> \vert \overline \vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{AB}</math> | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>|~~|</math> | style="text-align:center" | <math>|AB|</math> | <code>\vert \vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overrightarrow{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overrightarrow{AB}</math> | အမှတ် <math>A</math> မှ အမှတ် <math>B</math> သို့ တည်နေရာရွှေ့ [[ဗက်တာ]] (vector) ဖြစ်သည်။ | [[ဗက်တာ]] (Vector) | <code>\vec</code> |- | style="text-align:center" | | style="text-align:center" | <math>AB</math> | rowspan="2" | အမှတ် <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ကို ဆက်သွယ်ထားသော မျဉ်း (line) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | မျဉ်း (Line) | |- | style="text-align:center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>(AB)</math> | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\angle</math> | style="text-align:center" | <math>\angle ABC</math> | အနား <math>BA</math> နှင့် <math>BC</math> တို့ပါဝင်သော ထောင့် (angle) ဖြစ်သည်။ | ထောင့် (Angle) | <code>\angle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\triangle</math> | style="text-align:center" | <math>\triangle ABC</math> | ထိပ်စွန်းမှတ်များ <math>A</math>၊ <math>B</math> နှင့် <math>C</math> ပါဝင်သော တြိဂံ (triangle) ဖြစ်သည်။ | တြိဂံ (Triangle) | <code>\triangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\square</math> | style="text-align:center" | <math>\square \mathit{ABCD}</math> | ထိပ်စွန်းမှတ်များ <math>A</math>၊ <math>B</math>၊ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ပါဝင်သော စတုဂံ (quadrilateral) ဖြစ်သည်။ | စတုဂံ (Quadrilateral) | <code>\square</code> |- | style="text-align:center" | <math>\parallel</math> | style="text-align:center" | <math>g \parallel h</math> | မျဉ်း <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့သည် အချင်းချင်း ပြိုင်နေကြသည် (parallel)။ | rowspan="2" | မျဉ်းပြိုင် (Parallel) | <code>\parallel</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nparallel</math> | style="text-align:center" | <math>g \nparallel h</math> | မျဉ်း <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့သည် အချင်းချင်း မပြိုင်ကြပါ။ | <code>\nparallel</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp</math> | style="text-align:center" | <math>g \perp h</math> | မျဉ်း <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့သည် အချင်းချင်း ထောင့်မှန်ကျနေကြသည် (orthogonal/perpendicular)။ | ထောင့်မှန်ကျဖြစ်မှု (Orthogonality) | <code>\perp</code> |} === ဗက်တာများနှင့် ကိန်းအုံများ (Vectors and matrices) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1, \ldots , v_n \end{pmatrix}</math> | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1, \ldots , v_n \end{pmatrix}</math> | [[အစုဝင်]] <math>v_1</math> မှ <math>v_n</math> ပါဝင်သော အတန်း ဗက်တာ (row vector) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | [[ဗက်တာ]] (Vector) | rowspan="3" | <code>\begin{pmatrix}</code><br /><code>...</code><br /><code>\end{pmatrix}</code><br /><br />သို့မဟုတ်<br /><br /><code>\left(</code><br /><code>\begin{array}{...}</code><br /><code>...</code><br /><code>\end{array}</code><br /><code>\right)</code> |- | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix}</math> | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix}</math> | အစုဝင် <math>v_1</math> မှ <math>v_m</math> ပါဝင်သော တိုင် ဗက်တာ (column vector) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} a_{11} & \!\ldots\! & a_{1n} \\ \vdots & \!\ddots\! & \vdots \\ a_{m1} & \!\ldots\! & a_{mn} \end{pmatrix}</math> | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} a_{11} & \!\ldots\! & a_{1n} \\ \vdots & \!\ddots\! & \vdots \\ a_{m1} & \!\ldots\! & a_{mn} \end{pmatrix}</math> | အစုဝင် <math>a_{11}</math> မှ <math>a_{mn}</math> ပါဝင်သော ကိန်းအုံ (matrix) ဖြစ်သည်။ | ကိန်းအုံ (Matrix) |} === ဗက်တာ အက္ခရာသင်္ချာ (Vector algebra) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>v \cdot w</math> | rowspan="3"| [[ဗက်တာ]] <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ အစက် မြှောက်လဒ် (dot product) သို့မဟုတ် [[စကေလာ]]မြှောက်လဒ် (scalar product) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| အစက် မြှောက်လဒ် (Dot product) | <code>\cdot</code> |- | style="text-align:center" | <math>(~~)</math> | style="text-align:center" | <math>(v,w)</math> | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle v,w \rangle</math><br /><math>\langle v\,|\,w \rangle</math> | <code>\langle \rangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>v \times w</math> | rowspan="2" | ဗက်တာ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ ကြက်ခြေခတ် မြှောက်လဒ် (cross product) သို့မဟုတ် ဗက်တာမြှောက်လဒ် (vector product) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကြက်ခြေခတ် မြှောက်လဒ် (Cross product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>[~~]</math> | style="text-align:center" | <math>[v,w]</math> | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>(~~)</math> | style="text-align:center" | <math>(u,v,w)</math> | ဗက်တာ <math>u</math>၊ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ စကေလာ သုံးခုမြှောက်လဒ် (scalar triple product) ဖြစ်သည်။ | သုံးခုမြှောက်လဒ် (Triple product) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\otimes</math> | style="text-align:center" | <math>v \otimes w</math> | ဗက်တာ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ ဒိုင်ယာဒစ် မြှောက်လဒ် (dyadic product) ဖြစ်သည်။ | ဒိုင်ယာဒစ် မြှောက်လဒ် (Dyadic product) | <code>\otimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>\wedge</math> | style="text-align:center" | <math>v \wedge w</math> | ဗက်တာ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ ပြင်ပမြှောက်လဒ် (exterior product) သို့မဟုတ် သပ်ပုံမြှောက်လဒ် (wedge product) ဖြစ်သည်။ | ပြင်ပ အက္ခရာသင်္ချာ (Exterior algebra) | <code>\wedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>|~~|</math> | style="text-align:center" | <math>| v |</math> | ဗက်တာ <math>v</math> ၏ ပမာဏ (magnitude) ဖြစ်သည်။ | [[ဗက်တာ]] (Vector) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\|~~\|</math> | style="text-align:center" | <math>\| v \|</math> | ဗက်တာ <math>v</math> ၏ စံနှုန်း (norm) ဖြစ်သည်။ | [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (Norm) | <code>\Vert</code>, <code><nowiki>\|</nowiki></code> |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{v}</math> | ဗက်တာ <math>v</math> လားရာအတိုင်း ယူနစ်ဗက်တာ (unit vector) ဖြစ်သည်။ | ယူနစ်ဗက်တာ (Unit vector) | <code>\hat</code> |} === ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (Matrix algebra) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>A \cdot B</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ | ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း (Matrix multiplication) | <code>\cdot</code> |- | style="text-align:center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>A : B</math> | ရူပဗေဒတွင် ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် အတွင်းမြှောက်လဒ် (Frobenius inner product) ဖြစ်သည်။ | ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် အတွင်းမြှောက်လဒ် (Frobenius inner product) | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>\circ</math> | style="text-align:center" | <math>A \circ B</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ဟာဒါမတ် မြှောက်လဒ် (Hadamard product) ဖြစ်သည်။ | ဟာဒါမတ် မြှောက်လဒ် (Hadamard product) | <code>\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\otimes</math> | style="text-align:center" | <math>A \otimes B</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ခရိုနက်ကာ မြှောက်လဒ် (Kronecker product) ဖြစ်သည်။ | ခရိုနက်ကာ မြှောက်လဒ် (Kronecker product) | <code>\otimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\mathsf{T}</math> | style="text-align:center" | <math>A^\mathsf{T}</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ထရန်စပို့စ် (transpose) ဖြစ်သည်။ | ထရန်စပို့စ် (Transpose) | <code>...^\mathsf{T}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\mathsf{H}</math> | style="text-align:center" | <math>A^\mathsf{H}</math> |rowspan="3"| ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ကွန်ဂျူဂိတ် ထရန်စပို့စ် (conjugate transpose) ဖြစ်သည်။ |rowspan="3"| ကွန်ဂျူဂိတ် ထရန်စပို့စ် (Conjugate transpose) | <code>...^\mathsf{H}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>A^\ast</math> | <code>...^\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\dagger</math> | style="text-align:center" | <math>A^\dagger</math> | <code>...^\dagger</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{-1}</math> | style="text-align:center" | <math>A^{-1}</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ပြောင်းပြန် (inverse) ဖြစ်သည်။ | ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ကိန်းအုံ (Invertible matrix) | <code>...^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{+}</math> | style="text-align:center" | <math>A^{+}</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ မိုး-ပန်ရို့စ် ပြောင်းပြန် (Moore-Penrose inverse) ဖြစ်သည်။ | မိုး-ပန်ရို့စ် ပြောင်းပြန် (Moore-Penrose inverse) | <code>...^+</code> |- | style="text-align:center" | <math>| ~~ |</math> | style="text-align:center" | <math>| A |</math> |rowspan="2"| ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (determinant) ဖြစ်သည်။ |rowspan="2"| အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (Determinant) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\det</math> | style="text-align:center" | <math>\det(A)</math> | <code>\det</code> |- | style="text-align:center" | <math>\| ~~ \|</math> | style="text-align:center" | <math>\| A \|</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]ဖြစ်သည်။ | ကိန်းအုံ စံနှုန်း (Matrix norm) | <code>\Vert</code>, <code><nowiki>\|</nowiki></code> |} === ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>+</math> | style="text-align:center" | <math>V + W</math> | [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ ပေါင်းလဒ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (Direct sum) | <code>+</code> |- | style="text-align:center" | <math>\oplus</math> | style="text-align:center" | <math>V \oplus W</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (direct sum) ဖြစ်သည်။ | <code>\oplus</code> |- | style="text-align:center" | <math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>V \times W</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (direct product) ဖြစ်သည်။ | တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (Direct product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>\otimes</math> | style="text-align:center" | <math>V \otimes W</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (tensor product) ဖြစ်သည်။ | တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (Tensor product) | <code>\otimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>V \, / \, U</math> | ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>U</math> ကိုအခြေခံသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ စားလဒ်ရပ်ဝန်း (quotient space) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်ရပ်ဝန်း (Quotient space) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\perp</math> | style="text-align:center" | <math>U^\perp</math> | ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>U</math> ၏ ထောင့်မှန်ကျ ဖြည့်စွက်စု (orthogonal complement) ဖြစ်သည်။ | ထောင့်မှန်ကျ ဖြည့်စွက်စု (Orthogonal complement) | <code>\perp</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>V^{\ast}</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (dual space) ဖြစ်သည်။ | ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (Dual space) | <code>\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^0</math> | style="text-align:center" | <math>X^0</math> | [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]][[အစု]] <math>X</math> ၏ ချေဖျက်ကိန်း (annihilator) ဖြစ်သည်။ | ချေဖျက်ကိန်း (Annihilator) | <code>0</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle X \rangle</math> | ဗက်တာများအစု <math>X</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့် စပန် (linear span) ဖြစ်သည်။ | မျဉ်းဖြောင့် စပန် (Linear span) | <code>\langle \rangle</code> |} == ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) == === တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\partial</math> | style="text-align:center" | <math>\partial U</math> | အစု (set) <math>U</math> ၏ နယ်နိမိတ် (boundary) ဖြစ်သည်။ | နယ်နိမိတ် (Boundary) | <code>\partial</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\circ</math> | style="text-align:center" | <math>U^\circ</math> | အစု <math>U</math> ၏ အတွင်းပိုင်း (interior) ဖြစ်သည်။ | အတွင်းပိုင်း (Interior) | <code>^\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{U}</math> | အစု <math>U</math> ၏ အပိတ်စု (closed set) ဖြစ်သည်။ | အပိတ်စု (Closure) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\dot{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\dot{U}(x)</math> | rowspan="2"| အမှတ် <math>x</math> ၏ ဗဟိုဖယ်ထုတ်ထားသော ပတ်ဝန်းကျင် (punctured neighborhood) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ဗဟိုဖယ်ထုတ်ထားသော ပတ်ဝန်းကျင် (Punctured neighborhood) | <code>\dot</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\bullet</math> | style="text-align:center" | <math>U^\bullet(x)</math> | <code>^\bullet</code> |} === အပိုင်းအခြားများ (Intervals) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>[~~]</math> | style="text-align:center" | <math>[a,b]</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ အပိတ် အပိုင်းအခြား (closed interval) ဖြစ်သည်။ | rowspan="7" | အပိုင်းအခြား (Interval) | rowspan="7" | <code>( )</code><br /><code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>]~~[</math> | style="text-align:center" | <math>]a,b[</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ အဖွင့် အပိုင်းအခြား (open interval) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>(~~)</math> | style="text-align:center" | <math>(a,b)</math> |- | style="text-align:center" | <math>[~~[</math> | style="text-align:center" | <math>[a,b[</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ ညာဘက်တစ်ဝက်ဖွင့် အပိုင်းအခြားဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>[~~)</math> | style="text-align:center" | <math>[a,b)</math> |- | style="text-align:center" | <math>]~~]</math> | style="text-align:center" | <math>]a,b]</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ ဘယ်ဘက်တစ်ဝက်ဖွင့် အပိုင်းအခြားဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>(~~]</math> | style="text-align:center" | <math>(a,b]</math> |} === ကိန်းစဉ်များနှင့် ကိန်းစဉ်တန်းများ (Sequences and series) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>( a_n )_n </math> | အစုဝင် (element) <math>a_1, a_2, \ldots </math> ပါဝင်သော ကိန်းစဉ် (sequence) ဖြစ်သည်။ | ကိန်းစဉ် (Sequence) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\to</math> | style="text-align:center" | <math>a_n \to a</math> | ကိန်းစဉ် <math>(a_n)</math> သည် စုဆုံမှတ် (limit) <math>a</math> သို့ စုဆုံသည်။ | ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် (Limit of a sequence) | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>\infty</math> | style="text-align:center" | <math>n \to \infty</math> | <math>n</math> သည် အနန္တ (infinity) သို့ ဖြာထွက်သည် (diverges)။ | အနန္တ (Infinity) | <code>\infty</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sum</math> | style="text-align:center" | <math>\sum_{i=1}^n, \sum_{i \in I}</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ ပေါင်းလဒ် သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> အားလုံးအပေါ် ပေါင်းလဒ် (summation) ဖြစ်သည်။ | ပေါင်းလဒ်ရှာခြင်း (Summation) | <code>\sum</code> |- | style="text-align:center" | <math>\prod</math> | style="text-align:center" | <math>\prod_{i=1}^n, \prod_{i \in I}</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ မြှောက်လဒ် သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> အားလုံးအပေါ် မြှောက်လဒ် (product) ဖြစ်သည်။ | မြှောက်လဒ် (Product) | <code>\prod</code> |- | style="text-align:center" | <math>\coprod</math> | style="text-align:center" | <math>\coprod_{i=1}^n, \coprod_{i \in I}</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> အားလုံးအပေါ် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct) ဖြစ်သည်။ | ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (Coproduct) | <code>\coprod</code> |} === ဖန်ရှင်များ (Functions) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | rowspan=2 style="text-align:center" | <math>\to</math> | style="text-align:center" | <math>f \colon A \to B</math> | rowspan="2" | ဖန်ရှင် (function) <math>f</math> သည် အစု <math>A</math> မှ အစု <math>B</math> သို့ ပုံဖော်ပေးသည် (maps to)။ | rowspan="4" | ဖန်ရှင် (Function) | rowspan="2" | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>A \, \stackrel f\to \, B</math> |- |rowspan=2 align="center" | <math>\mapsto</math> | style="text-align:center" | <math>f \colon x \mapsto y</math> | rowspan="2" | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အစုဝင် <math>x</math> ကို အစုဝင် <math>y</math> သို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ | rowspan="2" | <code>\mapsto</code> |- | style="text-align:center" | <math>x \, \stackrel f\mapsto \, y</math> |- |rowspan=2 align="center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>f(x)</math> | အစုဝင် <math>x</math> အတွက် <math>f</math> ၏ ဖန်ရှင်တန်ဖိုးဖြစ်သည်။ |rowspan="3"| [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (Image) | rowspan="2" | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>f(X)</math> | rowspan="2" | ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ အစု <math>X</math> ၏ ပုံရိပ် (image) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>f[X]</math> | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vert</math> | style="text-align:center" | <math>f \vert_X</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အစု <math>X</math> အပေါ် ကန့်သတ်ခြင်း (restriction) ဖြစ်သည်။ | ကန့်သတ်ခြင်း (Restriction) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>f(\cdot)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အဝင်ကိန်းအဖြစ် ကိန်းရှင် (variable) တစ်ခုအတွက် ကိုယ်စားပြု အစားထိုးစာလုံးဖြစ်သည်။ | ကိန်းရှင် (Variable) | <code>\cdot</code> |- |style="text-align:center" rowspan="2"| <math>{}^{-1}</math> | style="text-align:center" | <math>f^{-1}</math> | <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) ဖြစ်သည်။ | ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (Inverse function) | <code>^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>f^{-1}(Y)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ အစု <math>Y</math> ၏ မူလပုံရိပ် (preimage) ဖြစ်သည်။ | [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] (Preimage) | <code>^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\circ</math> | style="text-align:center" | <math>f \circ g</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သည်။ | ဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်း (Function composition) | <code>\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ast</math> | style="text-align:center" | <math>f \ast g</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့၏ ကွန်ဗော်လူးရှင်း (convolution) ဖြစ်သည်။ | ကွန်ဗော်လူးရှင်း (Convolution) | <code>\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{f}</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (Fourier transform) ဖြစ်သည်။ | ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (Fourier transform) | <code>\hat</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Vert~\Vert</math> | style="text-align:center" | <math>\Vert f\Vert_\infty</math>,<math>\Vert f\Vert_D</math> | <math>f</math> ၏ စူပရီမမ် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (supremum norm) သို့မဟုတ် ဒိုမိန်း <math>D</math> အပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ စူပရီမမ် စံနှုန်းဖြစ်သည်။ | စူပရီမမ် စံနှုန်း (Supremum norm) | <code>\Vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\exp</math> | style="text-align:center" | <math>\exp(x)</math> | ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ဖြစ်သည်။ | ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (Exponential function) | <code>\exp</code> |- | style="text-align:center" | <math>\log</math> | style="text-align:center" | <math>\log(x)</math>,<math>\log_a(x)</math> | လော်ဂရစ်သမ် (logarithm)၊ အခြေ <math>a</math> ရှိသော လော်ဂရစ်သမ်ဖြစ်သည်။ | လော်ဂရစ်သမ် (Logarithm) | <code>\log</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ln</math> | style="text-align:center" | <math>\ln(x)</math> | သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် (natural logarithm) ဖြစ်သည်။ | သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် (Natural logarithm) | <code>\ln</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sin</math> | style="text-align:center" | <math>\sin(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဆိုင်း (sine) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်း (Sine and cosine) | <code>\sin</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cos</math> | style="text-align:center" | <math>\cos(x)</math> | <math>x</math> ၏ ကိုဆိုင်း (cosine) ဖြစ်သည်။ | <code>\cos</code> |- | style="text-align:center" | <math>\tan</math> | style="text-align:center" | <math>\tan(x)</math> | <math>x</math> ၏ တန်းဂျင့် (tangent) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | တန်းဂျင့်နှင့် ကိုတန်းဂျင့် (Tangent and cotangent) | <code>\tan</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cot</math> | style="text-align:center" | <math>\cot(x)</math> | <math>x</math> ၏ ကိုတန်းဂျင့် (cotangent) ဖြစ်သည်။ | <code>\cot</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sinh</math> | style="text-align:center" | <math>\sinh(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဆိုင်း (hyperbolic sine) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဟိုက်ပါဘောလစ် ဆိုင်းနှင့် ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုဆိုင်း (Hyperbolic sine and hyperbolic cosine) | <code>\sinh</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cosh</math> | style="text-align:center" | <math>\cosh(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုဆိုင်း (hyperbolic cosine) ဖြစ်သည်။ | <code>\cosh</code> |- | style="text-align:center" | <math>\tanh</math> | style="text-align:center" | <math>\tanh(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် တန်းဂျင့် (hyperbolic tangent) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဟိုက်ပါဘောလစ် ဖန်ရှင်များ (Hyperbolic functions) | <code>\tanh</code> |- | style="text-align:center" | <math>\coth</math> | style="text-align:center" | <math>\coth(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုတန်းဂျင့် (hyperbolic cotangent) ဖြစ်သည်။ | <code>\coth</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Gamma</math> | style="text-align:center" | <math>\Gamma(x)</math> | ဂါမာ ဖန်ရှင် (gamma function) ဖြစ်သည်။ | ဂါမာ ဖန်ရှင် (Gamma function) | <code>\Gamma</code> |} ''ထပ်မံကြည့်ရှုရန်-'' ဖန်ရှင်များအတွက် နောက်ထပ် သင်္ကေတ အသုံးအနှုန်းများအတွက် သင်္ကေတပြ ဖန်ရှင်များ (Symbolic notations for functions) ကို ကြည့်ပါ။ === စုဆုံမှတ်များ (Limits) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\uparrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \uparrow a} f(x)</math> | rowspan="3" | <math>x</math> သည် <math>a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဘယ်ဖက်မှ စုဆုံမှတ် (left-sided limit) ဖြစ်သည်။ |rowspan="7"| ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် (Limit of a function) | <code>\uparrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nearrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \nearrow a} f(x)</math> | <code>\nearrow</code> |- | rowspan="3" style="text-align:center" | <math>\to</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \to a-} f(x)</math> | rowspan="3" | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \to a} f(x)</math> | <math>x</math> သည် <math>a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ နှစ်ဖက်စလုံးမှ စုဆုံမှတ်ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \to a+} f(x)</math> | rowspan="3" | <math>x</math> သည် <math>a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ညာဖက်မှ စုဆုံမှတ် (right-sided limit) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>\searrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \searrow a} f(x)</math> | <code>\searrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\downarrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \downarrow a} f(x)</math> | <code>\downarrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>X_n\xrightarrow{p} X</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname{plim}(X_n) = X</math> | <math>X_n</math> သည် <math>X</math> ဆီသို့ ဖြစ်တန်စွမ်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in probability) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3" | ကျပန်းကိန်းရှင်များ၏ စုဆုံခြင်း (Convergence of random variables) | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>X_n\xrightarrow{d} X</math> | style="text-align:center" | <math>x_n\xrightarrow{d} x</math> | <math>x_n</math> သည် <math>x</math> ဆီသို့ ဖြန့်ဖြူးခြင်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in distribution) ဖြစ်သည်။ | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>X_n\xrightarrow{m} X</math> | style="text-align:center" | <math>x_n\xrightarrow{m} x</math> | <math>x_n</math> သည် <math>x</math> ဆီသို့ ပျမ်းမျှ နှစ်ထပ်ကိန်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in mean square) ဖြစ်သည်။ | <code>\to</code> |} === ချဉ်းကပ်မှု သဘာဝ (Asymptotic behavior) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>f \sim g</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် ဖန်ရှင် <math>g</math> နှင့် ချဉ်းကပ်မှုအရ (asymptotically) ညီမျှသည်။ | ချဉ်းကပ်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Asymptotic analysis) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>o</math> | style="text-align:center" | <math>f \in o(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုနှေးကွေးစွာ ကြီးထွားသည်။ |rowspan="5"| O အကြီး သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (Big O notation) | <code>o</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathcal{O}</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \mathcal{O}(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် ပိုနှေးကွေးစွာ သို့မဟုတ် ၎င်းနှုံးအတိုင်း ကြီးထွားသည်။ | <code>\mathcal{O}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Theta</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \Theta(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> နှင့် တူညီသော နှုံးအတိုင်း ကြီးထွားသည်။ | <code>\Theta</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Omega</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \Omega(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် ပိုမြန်ဆန်စွာ သို့မဟုတ် ၎င်းနှုံးအတိုင်း ကြီးထွားသည်။ | <code>\Omega</code> |- | style="text-align:center" | <math>\omega</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \omega(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုမြန်ဆန်စွာ ကြီးထွားသည်။ | <code>\omega</code> |} === ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ် (Differential calculus) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>{}'</math> | style="text-align:center" | <math>f', f''</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပထမ သို့မဟုတ် ဒုတိယ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ဖြစ်သည်။ | rowspan="4" | ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ် (Differential calculus) | <code>\prime</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>\dot f, \ddot f</math> | ရူပဗေဒတွင် အချိန်နှင့်အမျှ <math>f</math> ၏ ပထမ သို့မဟုတ် ဒုတိယ ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သည်။ | <code>\dot</code>, <code>\ddot</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{(~)}</math> | style="text-align:center" | <math>f^{(n)}</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သည်။ | <code>( )</code> |- |rowspan=2 align="center" | <math>\mathrm{d}</math> | style="text-align:center" | <math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}</math> | <math>x</math> ကိုအခြေခံသော ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | <code>\mathrm{d}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathrm{d}f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ စုစုပေါင်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် (total differential) ဖြစ်သည်။ | စုစုပေါင်း ဆင်းသက်ချက် (Total derivative) |- | style="text-align:center" | <math>\partial</math> | style="text-align:center" | <math>\frac{\partial\!f}{\partial x}</math> | <math>x</math> ကိုအခြေခံသော ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက် (partial derivative) ဖြစ်သည်။ | ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက် (Partial derivative) | <code>\partial</code> |} === အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Measure theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\ll</math> | style="text-align:center" | <math>\nu \ll \mu</math> | အတိုင်းအတာ (measure) <math>\nu</math> သည် <math>\mu</math> နှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် ပကတိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (absolutely continuous) အတိုင်းအတာဖြစ်သည်။ | ပကတိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (Absolute continuity) | <code>\ll</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp</math> | style="text-align:center" | <math>\nu \perp \mu</math> | အတိုင်းအတာ <math>\nu</math> သည် <math>\mu</math> နှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် ဆင်ဂူလာ (singular) ဖြစ်သည်။ | ဆင်ဂူလာ အတိုင်းအတာ (Singular measure) | <code>\perp</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sigma</math> | style="text-align:center" | <math>\sigma(\mathcal{M})</math> | <math>\mathcal{M}</math> ပါဝင်သော အငယ်ဆုံး ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာ (sigma-algebra) ဖြစ်သည်။ | ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာ (Sigma-algebra) | <code>\sigma</code> |- | style="text-align:center" | <math>\delta</math> | style="text-align:center" | <math>\delta(\mathcal{E})</math> | <math>\mathcal{E}</math> ပါဝင်သော အငယ်ဆုံး ဒင်ကင် စနစ် (Dynkin system) ဖြစ်သည်။ | ဒင်ကင် စနစ် (Dynkin system) | <code>\delta</code> |} === အင်တီဂရယ် ကဲကုလပ် (Integral calculus) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\int</math> | style="text-align:center" | <math>\int_a^b</math>, <math>\displaystyle \int_G</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ သို့မဟုတ် ဒေသ <math>G</math> အပေါ်ရှိ သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) ဖြစ်သည်။ | အင်တီဂရယ် ကဲကုလပ် (Integral calculus) | <code>\int</code> |- | style="text-align:center" | <math>\oint</math> | style="text-align:center" | <math>\oint_\gamma</math> | မျဉ်းကွေး <math>\gamma</math> အပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ဖြစ်သည်။ | လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက် အင်တီဂရယ် (Line integral) | <code>\oint</code> |- | style="text-align:center" | <math>\iint</math> | style="text-align:center" | <math>\iint_{\mathcal F}</math> | မျက်နှာပြင် <math>\mathcal F</math> အပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ဖြစ်သည်။ | မျက်နှာပြင် အင်တီဂရယ် (Surface integral) | <code>\iint</code> |- | style="text-align:center" | <math>\iiint</math> | style="text-align:center" | <math>\iiint_V</math> | ထုထည် (volume) <math>V</math> အပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ဖြစ်သည်။ | ထုထည် အင်တီဂရယ် (Volume integral) | <code>\iiint</code> |- | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{a}^{\bar b}</math> | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{a}^{\bar b} f(x) \ \mathrm{d}x</math> | <math>[a,b]</math> အပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ အထက် အင်တီဂရယ် (upper integral) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဒါဘူး အင်တီဂရယ် (Darboux integral) | <code>\int\limits</code> |- | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{\underline a}^{b}</math> | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{\underline a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x</math> | <math>[a,b]</math> အပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ အောက် အင်တီဂရယ် (lower integral) ဖြစ်သည်။ | <code>\int\limits</code> |} ''ထပ်မံကြည့်ရှုရန်-'' အင်တီဂရယ် သင်္ကေတ၏ ပုံစံကွဲများ (Variants of the integral symbol) ကို ကြည့်ပါ။ === ဗက်တာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Vector analysis) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- |rowspan=3 align="center" | <math>\nabla</math> | style="text-align:center" | <math>\nabla f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဂရေးဒီးယင့် (gradient) ဖြစ်သည်။ | ဂရေးဒီးယင့် (Gradient) | rowspan="3" | <code>\nabla</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nabla \cdot F</math> | ဗက်တာစက်ကွင်း (vector field) <math>F</math> ၏ ဖြာထွက်မှု (divergence) ဖြစ်သည်။ | ဖြာထွက်မှု (Divergence) |- | style="text-align:center" | <math>\nabla \times F</math> | ဗက်တာစက်ကွင်း <math>F</math> ၏ လည်ပတ်မှု (curl) ဖြစ်သည်။ | လည်ပတ်မှု (Curl) |- | style="text-align:center" | <math>\Delta</math> | style="text-align:center" | <math>\Delta f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ (Laplace operator) ဖြစ်သည်။ | လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ (Laplace operator) | <code>\Delta</code> |- | style="text-align:center" | <math>\square</math> | style="text-align:center" | <math>\square f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဒီအာလမ်ဘတ် အော်ပရေတာ (D'Alembert operator) ဖြစ်သည်။ | ဒီအာလမ်ဘတ် အော်ပရေတာ (D'Alembert operator) | <code>\square</code> |} === ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Functional analysis) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>{}'</math> | style="text-align:center" | <math>V'</math> | တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ (topological) ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) <math>V</math> ၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (dual space) ဖြစ်သည်။ | ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (Dual space) | rowspan="2" | <code>\prime</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}''</math> | style="text-align:center" | <math>V''</math> | စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော (normed) ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ဘိုင်ဒွန်တွဲ (bidual) ရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ | ဘိုင်ဒွန်တွဲ (Bidual) |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{X}</math> | အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) <math>X</math> ၏ ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) ဖြစ်သည်။ | [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (Complete metric space) | <code>\hat</code> |- | style="text-align:center" | <math>\hookrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>X \hookrightarrow Y</math> | ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အတွင်းသို့ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ ထည့်သွင်းခြင်း (embedding) ဖြစ်သည်။ | ထည့်သွင်းခြင်း (Embedding) | <small><code>\hookrightarrow</code></small> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>T^{\ast}</math> | [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) <math>T</math> ၏ တွဲဖက် အော်ပရေတာ (adjoint operator) ဖြစ်သည်။ | ဟာမီရှန် တွဲဖက် (Hermitian adjoint) | <code>\ast</code> |} == စတော့ကတ်စတစ် (Stochastics) == === ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Combinatorics) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | rowspan=3 align="center" | <math>!</math> | style="text-align:center" | <math>n!</math> | [[အစုဝင်]] <math>n</math> ခုအတွက် ပါမြူတေးရှင်းများ (permutations) ၏ အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | ဖက်တိုရီရယ် (Factorial) | rowspan="3" | <code>!</code> |- | style="text-align:center" | <math>!n</math> | အစုဝင် <math>n</math> ခုအတွက် နေရာပြောင်းလဲမှုများ (derangements) အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | ဖက်တိုရီရယ်ပိုင်း (Subfactorial) |- | style="text-align:center" | <math>n!!</math> | မကိန်း (odd number) <math>n</math> ခုအတွက် တိကျစွာ [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (involution) ဖြစ်သော ပါမြူတေးရှင်းများ၏ အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | ဖက်တိုရီရယ် နှစ်ထပ် (Double factorial) |- |rowspan=2 align="center" | <math>\tbinom{~}{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\tbinom{n}{k}</math> | အစုဝင် <math>n</math> ခုမှ <math>k</math> ခုကို ထပ်ခါတလဲလဲမပါဘဲ ရွေးချယ်နိုင်သော အရေအတွက် (combination) ဖြစ်သည်။ | ဘိုင်နိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (Binomial coefficient) | rowspan="2" | <code>\binom</code> |- | style="text-align:center" | <math>\tbinom{n}{k_1, \ldots , k_r}</math> | ကွဲပြားသောအစုဝင် <math>k_1, \ldots , k_r</math> တို့၏ စီစဉ်မှုများ (arrangements) အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | မာလ်တီနိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (Multinomial coefficient) |- | style="text-align:center" | <math>\left(\!\tbinom{~}{~}\!\right)</math> | style="text-align:center" | <math>\left(\!\tbinom{n}{k}\!\right)</math> | အစုဝင် <math>n</math> ခုမှ <math>k</math> ခုကို ထပ်ခါတလဲလဲ ရွေးချယ်နိုင်သော အရေအတွက် (multicombinations) ဖြစ်သည်။ | မာလ်တီအစု (Multiset) |- | rowspan=2 align="center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>n^{\overline{m}}</math> | <math>n</math> မှစတင်၍ ဆခွဲကိန်း <math>m</math> ခုပါဝင်သော တက်နေသည့် ဖက်တိုရီရယ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကျဆင်းခြင်းနှင့် တက်နေခြင်း ဖက်တိုရီရယ်များ (Falling and rising factorials) | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>n^{\underline{m}}</math> | <math>n</math> မှစတင်၍ ဆခွဲကိန်း <math>m</math> ခုပါဝင်သော ကျဆင်းသည့် ဖက်တိုရီရယ်ဖြစ်သည်။ | <code>\underline</code> |- | style="text-align:center" | <math>\#</math> | style="text-align:center" | <math>n \#</math> | <math>n</math> ထက် ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers) ၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ | ပရိုင်မိုရီရယ် (Primorial) | <code>\#</code> |} === ဖြစ်တန်စွမ်း သီအိုရီ (Probability theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>P</math> | style="text-align:center" | <math>P(A)</math> | အဖြစ်အပျက် (event) <math>A</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း (probability) ဖြစ်သည်။ | ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာ (Probability measure) | <code>P</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mid</math> | style="text-align:center" | <math>P(A \mid B)</math> | <math>B</math> ပေးထားချက်အောက်တွင် <math>A</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်းဖြစ်သည်။ | ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် ဖြစ်တန်စွမ်း (Conditional probability) | <code>\mid</code> |- | style="text-align:center" | <math> \operatorname E</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname E[X\mid Y]</math> | <math>Y</math> ပေးထားချက်အောက်တွင် ကျပန်းကိန်းရှင် (random variable) <math>X</math> ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုး (expected value) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | မျှော်မှန်းတန်ဖိုး (Expected value) | <code>\operatorname{E}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname E</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname E[X]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးဖြစ်သည်။ | <code>\operatorname{E}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname{Var}</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname{Var}[X]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ ကွဲလွဲချက် (variance) ဖြစ်သည်။ | ကွဲလွဲချက် (Variance) | <code>\operatorname{Var}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname{sd}</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname{sd}[X]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ စံသွေဖည်ကိန်း (standard deviation) ဖြစ်သည်။ | စံသွေဖည်ကိန်း (Standard deviation) | <code>\operatorname{sd}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname{Cov}</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname {Cov}[X,Y]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့၏ အတူကွဲလွဲချက် (covariance) ဖြစ်သည်။ | အတူကွဲလွဲချက် (Covariance) | <code>\operatorname{Cov}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\rho</math> | style="text-align:center" | <math>\rho(X,Y)</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့၏ ဆက်စပ်မှု (correlation) ဖြစ်သည်။ | ဆက်စပ်မှု မြှောက်ဖော်ကိန်း (Correlation coefficient) | <code>\rho</code> |- | style="text-align:center" | <math>R^2</math> | style="text-align:center" | <math>\rho(X,Y)^2</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့၏ ဆက်စပ်မှု နှစ်ထပ်ကိန်းဖြစ်သည်။ | အဆုံးအဖြတ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (Coefficient of determination) | <code>\mathit{R}^2</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>X \sim F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (distribution) <math>F</math> အတိုင်းဖြစ်သည်။ |rowspan="5"| ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Probability distribution) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nsim</math> | style="text-align:center" | <math>X\nsim F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်း မဟုတ်ပါ။ | <code>\nsim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\stackrel{a.s.}{\sim}</math> | style="text-align:center" | <math>X \;\stackrel{a.s.}{\sim}\; F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်း သေချာသလောက် (almost surely) ဖြစ်သည်။ | <code>\approx</code> |- | style="text-align:center" | <math>\stackrel{a}{\sim}</math> | style="text-align:center" | <math>X\; \stackrel{a}{\sim}\; F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်း ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် (asymptotically) ဖြစ်သည်။ | <code>\approx</code> |- | style="text-align:center" | <math>\stackrel{H_0}{\sim}</math> | style="text-align:center" | <math>X \;\stackrel{H_0}{\sim} \; F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် နားလ် ဟိုက်ပိုသီစစ် (null hypothesis) အောက်တွင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်းဖြစ်သည်။ | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp\!\!\!\perp</math> | style="text-align:center" | <math>X\perp\!\!\!\perp Y</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် စတော့ကတ်စတစ်နည်းအရ အမှီအခိုကင်းကြသည် (stochastically independent)။ |rowspan="1"| အမှီအခိုကင်းခြင်း (Independence) | <code>\perp\!\!\!\perp</code> |} ''မှတ်ချက်-'' အော်ပရေတာများအတွက် အခြားသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း ပုံစံများရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် လခြမ်းကွင်းများအစား လေးထောင့်ကွင်းများကို မကြာခဏ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ === စာရင်းအင်းပညာ (Statistics) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\tilde{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\tilde{x}</math> | တန်ဖိုးများ <math>x_1, \ldots , x_n</math> ၏ မီဒီယန်ဖြစ်သည်။ | မီဒီယန် (Median) | <code>\tilde</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bar{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\bar{X}</math> | ကျပန်းကိန်းရှင်များ <math>X_1, \ldots , X_n</math> ၏ နမူနာ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး ဖြစ်သည်။ | ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (Mean) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bar{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\bar{x}</math> | တန်ဖိုးများ <math>x_1, \ldots , x_n</math> ၏ ပျမ်းမျှကိန်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (Mean) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle f \rangle</math> | ရူပဗေဒတွင် [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> ၏ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သို့မဟုတ် မျှော်မှန်းတန်ဖိုး ဖြစ်သည်။ | <code>\langle \rangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{p}</math> | ပါရာမီတာ <math>p</math> အတွက် ခန့်မှန်းကိန်း (သို့မဟုတ် ခန့်မှန်းတန်ဖိုး) ဖြစ်သည်။ | ခန့်မှန်းကိန်း (Estimator) | <code>\hat</code> |} == ကိုးကား == {{Reflist}} * Tilo Arens၊ Frank Hettlich၊ Christian Karpfinger၊ Ulrich Kockelkorn၊ Klaus Lichtenegger၊ Hellmuth Stachel။ ''Mathematik'' (ဒုတိယအကြိမ်ထုတ်ဝေမှု)။ Spektrum Akademischer Verlag၊ ၂၀၁၁။ ISBN 3-8274-2347-3။ စာမျက်နှာ - ၁၄၈၃ စသည်ဖြင့်။ * Wolfgang Hackbusch။ ''Taschenbuch der Mathematik, Band 1'' (တတိယအကြိမ်ထုတ်ဝေမှု)။ Springer၊ ၂၀၁၀။ ISBN 3-8351-0123-4။ စာမျက်နှာ - ၁၂၇၅ စသည်ဖြင့်။ * Deutsches Institut für Normung: ''DIN 1302: Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe''၊ Beuth-Verlag၊ ၁၉၉၉။ * Deutsches Institut für Normung: ''DIN 1303: Vektoren, Matrizen, Tensoren; Zeichen und Begriffe''၊ Beuth-Verlag၊ ၁၉၈၇။ * Internationale Organisation für Normung: ''DIN EN ISO 80000-2: Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematische Zeichen für Naturwissenschaft und Technik''၊ ၂၀၁၃။ [[Category:သင်္ချာ သင်္ကေတများ]] [[Category:သင်္ချာဆိုင်ရာ အမှတ်လက္ခဏာ]] 1ft59jqwwadgmfm4hu1jc2pqynexx70 1049414 1049410 2026-08-19T13:31:44Z Mkant00 135890 /* ကိန်းအစုများ (Number sets) */ 1049414 wikitext text/x-wiki [[File:Lots of math symbols and numbers.svg|thumb|class=skin-invert-image|အချို့သော သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများ]] ဤ သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း (List of mathematical symbols) သည် ပုံသေနည်းများအတွင်း ခေတ်သစ် သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများ (Mathematical notation) တွင် အသုံးအများဆုံးဖြစ်သော သင်္ကေတအချို့ကို ရွေးချယ်ပြသထားခြင်းဖြစ်သည်။ သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အသုံးပြုခဲ့သမျှသော သင်္ကေတအားလုံးကို စာရင်းပြုစုရန် လက်တွေ့အားဖြင့် မဖြစ်နိုင်ပါ။ ထို့ကြောင့် ဤစာရင်းသည် သင်္ချာပညာရေး သို့မဟုတ် တက္ကသိုလ်အဆင့် သင်္ချာလေ့လာမှုများတွင် မကြာခဏတွေ့ရလေ့ရှိသော သင်္ကေတများကိုသာ ဖော်ပြထားသည်။ အောက်ပါစာရင်းသည် အများအားဖြင့် အက္ခရာနှင့် ဂဏန်းမဟုတ်သော သင်္ကေတများအတွက်သာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ၎င်းကို သင်္ချာပညာရပ် နယ်ပယ်များအလိုက် ခွဲခြားထားသည်။ ထို့အပြင် ယင်းနယ်ပယ်များအတွင်း ပါဝင်သော အကြောင်းအရာများအလိုက် ထပ်မံ၍ အုပ်စုဖွဲ့ထားသည်။ အချို့သော သင်္ကေတများသည် အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ အဓိပ္ပာယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် စာရင်းထဲတွင် အကြိမ်ကြိမ် ပါဝင်နေမည်ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတများနှင့် ၎င်းတို့၏ အဓိပ္ပာယ်များအကြောင်း နောက်ထပ်အချက်အလက်များကို သက်ဆိုင်ရာ ဆက်စပ်ဆောင်းပါးများတွင် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ == ရှင်းလင်းချက် (Explanation) == သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတတစ်ခုစီအတွက် အောက်ပါအချက်အလက်များကို ဖော်ပြပေးထားသည်။ *သင်္ကေတ (Symbol)- LaTeX မှ ပုံဖော်ပေးထားသည့် သင်္ကေတဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ပုံနှိပ်စာလုံး ပုံစံအမျိုးမျိုးရှိပါက ပုံစံတစ်မျိုးကိုသာ ပြသထားသည်။ *အသုံးပြုမှု (Usage)- ပုံသေနည်းတစ်ခုအတွင်း သင်္ကေတကို စံနမူနာပြ အသုံးပြုထားခြင်းဖြစ်သည်။ ဤနေရာရှိ အက္ခရာများသည် ကိန်းများ၊ ကိန်းရှင်များ သို့မဟုတ် ပိုမိုရှုပ်ထွေးသော ဖော်ပြချက်များအတွက် ကိုယ်စားပြု အစားထိုးစာလုံးများအဖြစ် တည်ရှိသည်။ ကွဲပြားသော အသုံးပြုနိုင်သည့် အခြေအနေများကို သီးခြားစီ ဖော်ပြထားသည်။ *အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း (Interpretation)- ယခင်ကော်လံရှိ ပုံသေနည်း၏ အဓိပ္ပာယ်ကို စာသားဖြင့် အတိုချုံး ရှင်းလင်းဖော်ပြချက်ဖြစ်သည်။ *ဆောင်းပါး (Article)- သင်္ကေတ၏ အဓိပ္ပာယ် (ဆိုလိုရင်း) ကို ဖော်ပြထားသော ဝီကီပီးဒီးယား ဆောင်းပါးဖြစ်သည်။ *LaTeX- သင်္ကေတကို ဖန်တီးရန် အသုံးပြုသော LaTeX ကွန်မန်းဖြစ်သည်။ ASCII အက္ခရာစုမှ အက္ခရာများကို ချွင်းချက်အချို့ (ဟက်ရှ်အမှတ်အသား၊ ဘက်ခ်စလက်ရှ်၊ တွန့်ကွင်းများ၊ ရာခိုင်နှုန်းအမှတ်အသား) မှလွဲ၍ တိုက်ရိုက်အသုံးပြုနိုင်သည်။ အပေါ်တင်အညွှန်းကိန်းများနှင့် အောက်ချိတ်အညွှန်းကိန်းများကို <code>^</code> နှင့် <code>_</code> အက္ခရာများ အသုံးပြု၍ ဖန်တီးထားသည်။ ၎င်းတို့ကို သီးခြား ဖော်ပြမထားပါ။ အချို့သော အက္ခရာများသည် ''amsmath'' နှင့်/သို့မဟုတ် ''amssymb'' ပက်ကေ့ချ်များကို အသုံးပြုရန် လိုအပ်သည်။ == ယုတ္တိဗေဒ (Logic) == === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် သင်္ကေတများ (Definition symbols) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- |rowspan=2 align="center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>A := B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> နှင့် ညီမျှသည်ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ | rowspan="2" | အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) | rowspan="2" | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>A :\Leftrightarrow B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> နှင့် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာအရ ထပ်တူညီသည်ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ |} === ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ချိတ်ဆက်ကိန်းများ (Logical connectives) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" |<math>\land</math> | style="text-align:center" |<math>A \land B</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> နှင့် ဖော်ပြချက် <math>B</math> ဖြစ်သည်။ | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ပူးပေါင်းခြင်း (Logical conjunction) | <code>\land, \wedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lor</math> | style="text-align:center" | <math>A \lor B</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သို့မဟုတ် ဖော်ပြချက် <math>B</math> (သို့မဟုတ် နှစ်ခုစလုံး) ဖြစ်သည်။ | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ရွေးချယ်ခြင်း (Logical disjunction) | <code>\lor, \vee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Rightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \Rightarrow B</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>B</math> သည် ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှ ဆင်းသက်လာသည်။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သက်ရောက်မှု (Logical implication) | <code>\Rightarrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\rightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \rightarrow B</math> | <code>\rightarrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Leftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \Leftrightarrow B</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သည် ဖော်ပြချက် <math>B</math> မှ ဆင်းသက်လာပြီး ၎င်း၏ပြောင်းပြန်လည်း မှန်ကန်သည်။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ထပ်တူညီမှု (Logical equivalence) | <code><small>\Leftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" | <math>\leftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \leftrightarrow B</math> | <code><small>\leftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" | <math>\dot\lor</math> | style="text-align:center" | <math>A \,\dot\lor\, B</math> | rowspan="6" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သို့မဟုတ် ဖော်ပြချက် <math>B</math> တစ်ခုခုသာဖြစ်သည်။ | rowspan="6" | သီးသန့် ရွေးချယ်ခြင်း (Exclusive disjunction) | <code>\,\dot\lor\,</code> |- | style="text-align:center" | <math>\veebar</math> | style="text-align:center" | <math>A \, \veebar \, B</math> | <code>\veebar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nLeftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \nLeftrightarrow B</math> | <code><small>\nLeftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" | <math>\nleftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \nleftrightarrow B</math> | <code><small>\nleftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" |<math>\nsim</math> | style="text-align:center" |<math>A \nsim B</math> | <code>\nsim</code> |- | style="text-align:center" |<math>\oplus</math> | style="text-align:center" |<math>A \oplus B</math> |<code>\oplus</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lnot</math> | style="text-align:center" | <math>\lnot A</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> မဟုတ်ပါ။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ငြင်းပယ်ခြင်း (Logical negation) | <code>\lnot</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{A}</math> | <code>\bar</code> |} === အရေအတွက်ပြကိန်းများ (Quantifiers) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\forall</math> | style="text-align:center" | <math>\forall\,x</math> | rowspan="2" | [[အစုဝင်]] <math>x</math> အားလုံးအတွက်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | စကြဝဠာ အရေအတွက်ပြကိန်း (Universal quantifier) | <code>\forall</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bigwedge</math> | style="text-align:center" | <math>\bigwedge_x</math> | <code>\bigwedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>\exists</math> | style="text-align:center" | <math>\exists\,x</math> | rowspan="2" | အစုဝင် <math>x</math> အနည်းဆုံးတစ်ခု တည်ရှိသည်။ | rowspan="2" | တည်ရှိမှု အရေအတွက်ပြကိန်း (Existential quantifier) | <code>\exists</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bigvee</math> | style="text-align:center" | <math>\bigvee_x</math> | <code>\bigvee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\exists !</math> | style="text-align:center" | <math>\exists !\,x</math> | rowspan="2" | အစုဝင် <math>x</math> တိကျစွာ တစ်ခုတည်းသာ တည်ရှိသည်။ | rowspan="2" | တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု အရေအတွက်ပြကိန်း (Uniqueness quantifier) | <code>\exists!</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bigvee^\centerdot</math> | style="text-align:center" | <math>\bigvee^\centerdot_x</math> | <code>\dot\bigvee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nexists</math> | style="text-align:center" | <math>\nexists\,x</math> | အစုဝင် <math>x</math> မတည်ရှိပါ။ | တည်ရှိမှု အရေအတွက်ပြကိန်း (Existential quantifier) | <code>\nexists</code> |} === ကောက်ချက်ချခြင်း သင်္ကေတများ (Deduction symbols) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\vdash</math> | style="text-align:center" | <math>A \vdash B</math> | ဖော်ပြချက် <math>B</math> ကို ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှ ဝါကျဖွဲ့ထုံးအရ ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ | သက်သေပြနိုင်စွမ်း (Provability) | <code>\vdash</code> |- | rowspan=2 align="center" | <math>\models</math> | style="text-align:center" | <math>A \models B</math> | ဖော်ပြချက် <math>B</math> သည် ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှ ဆိုလိုရင်းအရ ဆင်းသက်လာသည်။ | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အကျိုးဆက် (Logical consequence) | rowspan="2" | <code>\models</code>, <code>\vDash</code> |- | style="text-align:center" | <math>\models A</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သည် စကြဝဠာတစ်ခုလုံးတွင် မှန်ကန်သည်။ | rowspan="2" | အမြဲမှန်ဖော်ပြချက် (Tautology) |- | style="text-align:center" | <math>\top</math> | style="text-align:center" | <math>A \top</math> | <code>\top</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bot</math> | style="text-align:center" | <math>A \bot</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြစ်သည်။ | ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (Contradiction) | <code>\bot</code> |- | style="text-align:center" | <math>\therefore</math> | style="text-align:center" | <math>A \therefore B</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှန်ကန်သည်။ ထို့ကြောင့် ဖော်ပြချက် <math>B</math> လည်း မှန်ကန်သည်။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ခြင်း (Logical derivation) | <code>\therefore</code> |- | style="text-align:center" | <math>\because</math> | style="text-align:center" | <math>A \because B</math> | ဖော်ပြချက် <math>B</math> မှန်ကန်သောကြောင့် ဖော်ပြချက် <math>A</math> လည်း မှန်ကန်သည်။ | <code>\because</code> |- | style="text-align:center" | ↯ | style="text-align:center" | | ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြစ်သည်။ | ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြင့် သက်သေပြခြင်း (Proof by contradiction) | <code>\lightning</code> |- | style="text-align:center" | <math>\blacksquare</math> |rowspan=2 align="center" | | rowspan="2" | သက်သေပြချက် အဆုံးသတ် (Q.E.D.) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | Q.E.D. | <code>\blacksquare</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Box</math> | <code>\Box</code> |} == [[အစုသီအိုရီ]] (Set theory) == === အစု တည်ဆောက်ပုံ (Set construction) === {| class="wikitable" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>\emptyset</math> | style="text-align:center"| <math>\emptyset</math> | rowspan="3"| ဗလာအစု (Empty set) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| [[ဗလာစု]] (Empty set) | <code>\emptyset</code> |- | style="text-align:center"| <math>\varnothing</math> | style="text-align:center"| <math>\varnothing</math> | <code>\varnothing</code> |- | rowspan="2" style="text-align:center"| <math>\{~\}</math> | style="text-align:center"| <math>\{~\}</math> | rowspan="2"| <code>\{ \}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\{ a,b,\ldots \}</math> | <math>a</math>၊ <math>b</math> နှင့် အခြား[[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သော အစုဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| [[အစု]] (Set)၊ အတန်းအစား (Class) |- | style="text-align:center"| <math>\mid</math> | style="text-align:center"| <math>\{ a \mid A(a) \}</math> | rowspan="2"| ဖော်ပြချက် <math>A(a)</math> မှန်ကန်သော အစုဝင် <math>a</math> များ၏ အစု သို့မဟုတ် အတန်းအစားဖြစ်သည်။ | <code>\mid</code> |- | style="text-align:center"| <math>\colon</math> | style="text-align:center"| <math>\{ a\colon A(a) \}</math> | <code>\colon</code> |} === အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ (Set operations) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>\cap</math> | style="text-align:center"| <math>A \cap B</math> | [[အစု]] <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ထပ်တူပိုင်းအစုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ထပ်တူပိုင်းအစု (Intersection) | <code>\cap</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigcap</math> | style="text-align:center"| <math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>, <math>\bigcap_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ထပ်တူပိုင်းအစုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ထပ်တူပိုင်းအစုဖြစ်သည်။ | <code>\bigcap</code> |- | style="text-align:center"| <math>\cup</math> | style="text-align:center"| <math>A \cup B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ပေါင်းစပ်စု (Union) | <code>\cup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigcup</math> | style="text-align:center"| <math>\bigcup_{i=1}^n A_i</math>, <math>\bigcup_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\bigcup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\setminus</math> | style="text-align:center"| <math>A \setminus B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ခြားနားခြင်းဖြစ်သည်။ | အစု ခြားနားခြင်း (Set difference) | <code>\setminus</code> |- | style="text-align:center"| <math>{}^\mathsf{C}</math> | style="text-align:center"| <math>A^\mathsf{C}</math> | rowspan="2"| အစု <math>A</math> ၏ ဖြည့်စွက်စုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ဖြည့်စွက်စု (Complement) | <code>^\mathsf{C}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center"| <math>\overline{A}</math> | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigtriangleup</math> | style="text-align:center"| <math>A \bigtriangleup B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ အချိုးညီ ခြားနားခြင်းဖြစ်သည်။ | အချိုးညီ ခြားနားခြင်း (Symmetric difference) | <code>\bigtriangleup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\dot\cup</math> | style="text-align:center"| <math>A \,\dot\cup\, B</math> | ဘုံမပါသော အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | rowspan="4"| ဘုံမပါသော ပေါင်းစပ်စု (Disjoint union) | <code>\,\dot\cup\,</code> |- | style="text-align:center"| <math>\dot\bigcup</math> | style="text-align:center"| <math>\dot{\bigcup_{i=1}}^n A_i</math>, <math>\dot{\bigcup_{i \in I}}\, A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\dot{\bigcup...}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\sqcup</math> | style="text-align:center"| <math>A \sqcup B</math> | ဘုံမပါသော အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\sqcup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigsqcup</math> | style="text-align:center"| <math>\bigsqcup_{i=1}^n A_i</math>, <math>\bigsqcup_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\bigsqcup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\times</math> | style="text-align:center"| <math>A \times B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]]ဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center"| <math>\prod</math> | style="text-align:center"| <math>\prod_{i=1}^n A_i</math>, <math>\prod_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ | <code>\prod</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathcal{P}</math> | style="text-align:center"| <math>\mathcal{P}(A)</math> | rowspan="2"| အစု <math>A</math> ၏ ပါဝါအစုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ပါဝါအစု (Power set) | <code>\mathcal{P}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathfrak{P}</math> | style="text-align:center"| <math>\mathfrak{P}(A)</math> | <code>\mathfrak{P}</code> |} === အစုဆိုင်ရာ ဆက်သွယ်ချက်များ (Set relations) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>=</math> | style="text-align:center" | <math>A = B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> နှင့် ညီမျှသည်။ | [[အစု]] (Set) | <code>=</code> |- | style="text-align:center"| <math>\subset</math> | style="text-align:center"| <math>A \subset B</math> | rowspan="2"| <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ [[အစုပိုင်း]]အစစ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| အစုပိုင်း (Subset) | <code>\subset</code> |- | style="text-align:center"| <math>\subsetneq</math> | style="text-align:center"| <math>A \subsetneq B</math> | <code>\subsetneq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\subseteq</math> | style="text-align:center"| <math>A \subseteq B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ အစုပိုင်းဖြစ်သည်။ | <code>\subseteq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\supset</math> | style="text-align:center"| <math>A \supset B</math> | rowspan="2"| <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ မူလအစုအစစ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| မူလအစု (Superset) | <code>\supset</code> |- | style="text-align:center"| <math>\supsetneq</math> | style="text-align:center"| <math>A \supsetneq B</math> | <code>\supsetneq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\supseteq</math> | style="text-align:center"| <math>A \supseteq B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ မူလအစုဖြစ်သည်။ | <code>\supseteq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\in</math> | style="text-align:center"| <math>a \in A</math> | rowspan="2"| [[အစုဝင်]] <math>a</math> သည် [[အစု]] <math>A</math> တွင် ပါဝင်သည်။ | rowspan="4"| [[အစုဝင်]] (Element) | <code>\in</code> |- | style="text-align:center"| <math>\ni</math> | style="text-align:center"| <math>A \ni a</math> | <code>\ni</code>, <code>\owns</code> |- | style="text-align:center"| <math>\notin</math> | style="text-align:center"| <math>a \notin A</math> | rowspan="2"| အစုဝင် <math>a</math> သည် အစု <math>A</math> တွင် မပါဝင်ပါ။ | <code>\notin</code> |- | style="text-align:center"| <math>\not\ni</math> | style="text-align:center"| <math>A \not\ni a</math> | <code>\not\ni</code> |} ''မှတ်ချက်''- သင်္ကေတများဖြစ်သော <math>\subset</math> နှင့် <math>\supset</math> တို့ကို တသမတ်တည်း အသုံးမပြုကြပေ။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် အစုနှစ်ခု ညီမျှခြင်းကို မကြာခဏဆိုသလို ဖယ်ထုတ်လေ့မရှိပါ။ === အစုအရွယ်အစားများ (Cardinalities) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>|~~|</math> | style="text-align:center"| <math>|A|</math> | rowspan="2"| [[အစု]] <math>A</math> ၏ အစုအရွယ်အစားဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| အစုအရွယ်အစား (Cardinality) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center"| <math>\#</math> | style="text-align:center"| <math>\# A</math> | <code>\#</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathfrak{c}</math> | style="text-align:center"| | ကွန်တီနူရမ်၏ အစုအရွယ်အစားဖြစ်သည်။ | ကွန်တီနူရမ်၏ အစုအရွယ်အစား (Cardinality of the continuum) | <code>\mathfrak{c}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\aleph</math> | style="text-align:center"| <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, ... | ကာဒီနယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ | ကာဒီနယ်ကိန်း (Cardinal number) | <code>\aleph</code> |- | style="text-align:center"| <math>\beth</math> | style="text-align:center"| <math>\beth_0</math>, <math>\beth_1</math>, ... | ဘတ်သ် ကိန်းများဖြစ်သည်။ | ဘတ်သ် ကိန်း (Beth number) | <code>\beth</code> |} === ကိန်းအစုများ (Number sets) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb P</math> | သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်သည်။ |[[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) | <code>\mathbb{P}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\N</math> | သဘာဝကိန်းများဖြစ်သည်။ | [[သဘာဝကိန်း]] (Natural number) | <code>\mathbb{N}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\Z</math> | ကိန်းပြည့်များဖြစ်သည်။ | [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) | <code>\mathbb{Z}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb{F}</math> | [[သုဒ္ဓကိန်း]] ဝိသေသလက္ခဏာပါသော အဆုံးရှိ [[ဖီးလ်ဒ်]]ဖြစ်သည်။ | [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်]] (Finite field) | <code>\mathbb{F}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\Q</math> | ရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ | [[ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (Rational number) | <code>\mathbb{Q}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb I</math> | အီရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ | [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း]] (Irrational number) | <code>\mathbb{I}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb A</math> | ကိန်းရင်းများဖြစ်သည်။ | ကိန်းရင်း (Algebraic number) | <code>\mathbb{A}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb T</math> | ကိန်းလွန်များဖြစ်သည်။ | ကိန်းလွန် (Transcendental number) | <code>\mathbb{T}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb R</math> | ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ | [[ကိန်းစစ်]] (Real number) | <code>\mathbb{R}</code> |- | style="text-align:center"| <math>{}^*\mathbb{R}</math> | ဟိုက်ပါကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ | ဟိုက်ပါကိန်းစစ် (Hyperreal number) | <code>{}^*\mathbb{R}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb C</math> | ကိန်းထွေးများဖြစ်သည်။ | [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) | <code>\mathbb{C}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\hat{\mathbb{C}}</math> | ကိန်းထွေးပြင်ညီ၏ ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း သို့မဟုတ် ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဖြစ်သည်။ | ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Riemann sphere) | <code>\hat{\mathbb{C}}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb H</math> | ကွာတာနီယွန်များဖြစ်သည်။ | ကွာတာနီယွန် (Quaternion) | <code>\mathbb{H}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb O</math> | အော့တိုနီယွန်များဖြစ်သည်။ | အော့တိုနီယွန် (Octonion) | <code>\mathbb{O}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb S</math> | ဆီဒီးနီယွန်များဖြစ်သည်။ | ဆီဒီးနီယွန် (Sedenion) | <code>\mathbb{S}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb{K}</math> | <math>\mathbb{K} \in \{\R,\Complex\}</math> ဖြစ်သည်။ | ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ / အက္ခရာသင်္ချာများ (Banach algebra / Algebras) | <code>\mathbb{K}</code> |} == ဂဏန်းသင်္ချာ (Arithmetic) == === ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများ (Arithmetic operators) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>+</math> | style="text-align:center" | <math>a + b</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ကို ပေါင်းသည်။ | အပေါင်း (Addition) | <code>+</code> |- | style="text-align:center" | <math>-</math> | style="text-align:center" | <math>a - b</math> | <math>a</math> ထဲမှ <math>b</math> ကို နုတ်သည်။ | အနုတ် (Subtraction) | <code>-</code> |- | style="text-align:center" |<math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>a \cdot b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ကို မြှောက်သည်။ | rowspan="2" | မြှောက်ခြင်း (Multiplication) | <code>\cdot</code> |- | style="text-align:center" |<math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>a \times b</math> | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>a : b</math> | rowspan="4" | <math>a</math> ကို <math>b</math> ဖြင့် စားသည်။ | rowspan="4" | စားခြင်း (Division) | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>a/b</math> | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>\div</math> | style="text-align:center" | <math>a \div b</math> | <code>\div</code> |- | style="text-align:center" | <math>\frac{~~}{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\tfrac{a}{b}</math> | <code>\frac</code> |- | style="text-align:center" | <math>-</math> | style="text-align:center" | <math>-a</math> | အနုတ်ကိန်း <math>a</math> သို့မဟုတ် <math>a</math> ၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်ဖြစ်သည်။ | တစ်လုံးသွင်း အနုတ် (Unary minus) | <code>-</code> |- | style="text-align:center" | <math>\pm</math> | style="text-align:center" | <math>\pm a</math> | အပေါင်း သို့မဟုတ် အနုတ် <math>a</math> ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အပေါင်း-အနုတ် သင်္ကေတ (Plus-minus sign) | <code>\pm</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mp</math> | style="text-align:center" | <math>\mp a</math> | အနုတ် သို့မဟုတ် အပေါင်း <math>a</math> ဖြစ်သည်။ | <code>\mp</code> |- | style="text-align:center" | <math>(~)</math> | style="text-align:center" | <math>(a)</math> | rowspan="2" | ကိန်းတန်း <math>a</math> ကို ဦးစွာ တွက်ချက်သည်။ | rowspan="2" | ကွင်း (Bracket) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>[~]</math> | style="text-align:center" | <math>[a]</math> | <code>[ ]</code> |} === အခြေခံ ဖန်ရှင်များ (Elementary functions) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\%</math> | style="text-align:center" | <math>p \, \%</math> | <math>p</math> ရာခိုင်နှုန်းဖြစ်သည်။ | ရာခိုင်နှုန်း (Percent) | <code>\%</code> |- | style="text-align:center" | <math>| ~~ |</math> | style="text-align:center" | <math>| x |</math> | <math>x</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုးဖြစ်သည်။ | ပကတိတန်ဖိုး (Absolute value) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\left[ ~~ \right]</math> | style="text-align:center" | <math>\left[ x \right]</math> |rowspan="1"| <math>x</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော အကြီးဆုံး [[ကိန်းပြည့်]]ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ယခုအခါ အသုံးမပြုတော့သော သင်္ကေတဖြစ်သည်။<ref>အော့တို ဖော်စတာ။ ''Analysis 1 Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen'' (၁၂ ကြိမ်မြောက် ပြင်ဆင်ထုတ်ဝေမှု)။ Wiesbaden၊ ၂၀၁၆။ စာမျက်နှာ - ၃၃၈။</ref> |rowspan="3"| အောက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး ဖန်ရှင်နှင့် အထက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး ဖန်ရှင်များ (Floor and ceiling functions) | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lfloor ~~ \rfloor</math> | style="text-align:center" | <math>\lfloor x \rfloor</math> | <math>x</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော အကြီးဆုံး ကိန်းပြည့်ဖြစ်သည်။ | <code>\lfloor \rfloor</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lceil ~~ \rceil</math> | style="text-align:center" | <math>\lceil x \rceil</math> | <math>x</math> ထက်ကြီးသော သို့မဟုတ် ညီသော အငယ်ဆုံး ကိန်းပြည့်ဖြစ်သည်။ | <code>\lceil \rceil</code> |- |rowspan="2" align="center" | <math>\sqrt{\,}</math> | style="text-align:center" | <math>\sqrt{x}</math> | <math>x</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square root) | rowspan="2" | <code>\sqrt</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sqrt[n]{x}</math> | <math>x</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။ |} ''မှတ်ချက်''- ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်ကို သီးခြား သင်္ကေတဖြင့် မပြသထားပါ။ သို့သော် ထပ်ကိန်းကို အပေါ်တင်အညွှန်းကိန်းဖြင့် ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ === ကိန်းထွေးများ (Complex numbers) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\mathrm{i}</math> | style="text-align:center" | <math>a + b\mathrm{i}</math> | [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်ယူနစ်]]ဖြစ်သည်။ | ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) | <code>\mathrm{i}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Re</math> | style="text-align:center" | <math>\Re(z)</math> | ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) | <code>\Re</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Im</math> | style="text-align:center" | <math>\Im(z)</math> | ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းယောင်ပိုင်းဖြစ်သည်။ | <code>\Im</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bar{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\bar{z}</math> | rowspan="2" | ကိန်း <math>z</math> ၏ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (Complex conjugation) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>z^\ast</math> | <code>^\ast</code> |} ''မှတ်ချက်-'' အတိုကောက်များဖြစ်သော <math>\operatorname{Re}</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}</math> များကို ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းကို သတ်မှတ်ရန် အထူးသဖြင့် အသုံးပြုကြသည်။ === ညီမျှခြင်း သင်္ကေတများ (Equality signs) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>=</math> | style="text-align:center" | <math>a = b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ညီမျှသည်။ | ညီမျှခြင်း (Equation) | <code>=</code> |- | style="text-align:center" | <math>\neq</math> | style="text-align:center" | <math>a \neq b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် မညီမျှပါ။ | မညီမျှခြင်း (Inequality) | <code>\neq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\equiv</math> | style="text-align:center" | <math>a \equiv b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ထပ်တူညီသည်။ | ထပ်တူရဖြစ်မှု (Identity) | <code>\equiv</code> |- | style="text-align:center" | <math>\approx</math> | style="text-align:center" | <math>a \approx b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် ညီမျှသည်။ | အနီးစပ်ဆုံး ယူခြင်း (Rounding) | <code>\approx</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>a \sim b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် အချိုးကျသည်။ | rowspan="2" | အချိုးကျခြင်း (Proportionality) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\propto</math> | style="text-align:center" | <math>a \propto b</math> | <code>\propto</code> |- | style="text-align:center" | <math>\widehat{=}</math> | style="text-align:center" | <math>a \, \widehat{=} \, b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ကိုက်ညီသည်။ | ခန့်မှန်းချက်များ (Estimates) | <code>\widehat{=}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>a\sim b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် တူညီသည်ဟု ခန့်မှန်းရသည်။ | ဦးစားပေး ဆက်သွယ်ချက် (Preference relation) | <code>\sim </code> |- | style="text-align:center" | <math>\simeq</math> | style="text-align:center" | <math>a\simeq b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ချဉ်းကပ်မှုအရ ညီမျှသည်။ | ချဉ်းကပ်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Asymptotic analysis) | <code>\simeq </code> |} === နှိုင်းယှဉ်ခြင်း သင်္ကေတများ (Comparison signs) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math><</math> | style="text-align:center" | <math>a < b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ငယ်သည်။ | rowspan="14" | မညီမျှခြင်း (Inequality) | <code><</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lneq</math> | style="text-align:center" | <math>a \lneq b</math> | <code>\lneq</code> |- | style="text-align:center" | <math>></math> | style="text-align:center" | <math>a > b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ကြီးသည်။ | <code>></code> |- | style="text-align:center" | <math>\gneq</math> | style="text-align:center" |<math>a \gneq b</math> | <code>\gneq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leq</math> | style="text-align:center" | <math>a \leq b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ငယ်သည် သို့မဟုတ် ညီသည်။ | <code>\le</code>, <code>\leq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leqq</math> | style="text-align:center" | <math>a \leqq b</math> | <code>\leqq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\geq</math> | style="text-align:center" | <math>a \geq b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ကြီးသည် သို့မဟုတ် ညီသည်။ | <code>\ge</code>, <code>\geq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\geqq</math> | style="text-align:center" | <math>a \geqq b</math> | <code>\geqq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ll</math> | style="text-align:center" | <math>a \ll b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်များစွာ ငယ်သည်။ | <code>\ll</code> |- | style="text-align:center" | <math>\gg</math> | style="text-align:center" | <math>a \gg b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်များစွာ ကြီးသည်။ | <code>\gg</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lll</math> | style="text-align:center" | <math>a \lll b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်တရာ ငယ်သည်။ | <code>\lll</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ggg</math> | style="text-align:center" | <math>a \ggg b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်တရာ ကြီးသည်။ | <code>\ggg</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lessgtr</math> | style="text-align:center" | <math>a \lessgtr b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ငယ်သည် သို့မဟုတ် ကြီးသည်။ | <code>\lessgtr</code> |- | style="text-align:center" | <math>\gtrless</math> | style="text-align:center" | <math>a \gtrless b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ကြီးသည် သို့မဟုတ် ငယ်သည်။ | <code>\gtrless</code> |- | style="text-align:center" | <math>\prec</math> | style="text-align:center" | <math>a\prec b</math> | <math>b</math> ကို <math>a</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုဦးစားပေးသည်။ | rowspan="4" | ဦးစားပေး ဆက်သွယ်ချက် (Preference relation) | <code>\prec</code> |- | style="text-align:center" | <math>\succ</math> | style="text-align:center" | <math>a\succ b</math> | <math>a</math> ကို <math>b</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုဦးစားပေးသည်။ | <code>\succ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\preccurlyeq</math> | style="text-align:center" | <math>a \preccurlyeq b</math> | <math>b</math> ကို <math>a</math> ထက် အားနည်းစွာ ဦးစားပေးသည်။ သို့မဟုတ် <math>b</math> သည် အနည်းဆုံး <math>a</math> ကဲ့သို့ ကောင်းမွန်သည်။ | <code>\preccurlyeq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\succcurlyeq</math> | style="text-align:center" | <math>a\succcurlyeq b</math> | <math>a</math> ကို <math>b</math> ထက် အားနည်းစွာ ဦးစားပေးသည်။ သို့မဟုတ် <math>a</math> သည် အနည်းဆုံး <math>b</math> ကဲ့သို့ ကောင်းမွန်သည်။ | <code>\succcurlyeq</code> |} === စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ (Divisibility) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\mid</math> | style="text-align:center" | <math>a \mid b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို စားပြတ်သည်။ |rowspan="3"| စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ (Divisibility properties) | <code>\mid</code> |- | style="text-align:center" | <math>\parallel</math> | style="text-align:center" | <math>a \parallel b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို တိကျစွာ စားပြတ်သည်။ | <code>\parallel</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nmid</math> | style="text-align:center" | <math>a \nmid b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို မစားပြတ်ပါ။ | <code>\nmid</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp</math> | style="text-align:center" | <math>a \perp b</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် နှိုင်းရသုဒ္ဓများဖြစ်ကြသည်။ | နှိုင်းရသုဒ္ဓ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (Coprime integers) | <code>\perp</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sqcap</math> | style="text-align:center" | <math>a \sqcap b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့၏ အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း (Greatest common divisor) | <code>\sqcap</code> |- | style="text-align:center" | <math>\wedge</math> | style="text-align:center" | <math>a \wedge b</math> | <code>\wedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sqcup</math> | style="text-align:center" | <math>a \sqcup b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (Least common multiple) | <code>\sqcup</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vee</math> | style="text-align:center" | <math>a \vee b</math> | <code>\vee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\equiv</math> | style="text-align:center" | <math> a \equiv b \bmod m</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် မော်ဂျူလို <math>m</math> တွင် ထပ်တူညီကြသည်။ | မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာ (Modular arithmetic) | <code>\equiv</code> |} === သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသေများ (Mathematical constants) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ !width="27%"| အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း !width="23%"| ဆောင်းပါး !width="20%"| LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\Phi</math> | ရွှေအချိုးဖြစ်သည်။ | ရွှေအချိုး (Golden ratio) | <code>\Phi</code> |- | style="text-align:center" | <math>\pi</math> | ပိုင်ဖြစ်သည်။ | [[ပိုင်]] (Pi) | <code>\pi</code> |- | style="text-align:center" |<math>\mathrm{e}</math> | အွိုင်လာ၏ ကိန်းဖြစ်သည်။ | အွိုင်လာ၏ ကိန်း (Euler's number) | <code>\mathrm{e}</code> |} == အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) == === ဆက်သွယ်ချက်များ (Relations) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | rowspan=2 align="center" | <math>\circ</math> | style="text-align:center" | <math>R \circ S</math> | ဆက်သွယ်ချက် (relation) <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သည်။ | ဆက်သွယ်ချက်များ ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition of relations) | rowspan="2" | <code>\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>a \circ b</math> |rowspan="3"| [[အစုဝင်]] <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့အပေါ် လုပ်ဆောင်သော ယေဘုယျ တွက်ချက်မှု (general operation) ဖြစ်သည်။ |rowspan="3"| နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (Binary operation) |- | style="text-align:center" | <math>\bullet</math> | style="text-align:center" | <math>a \bullet b</math> | <code>\bullet</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ast</math> | style="text-align:center" | <math>a \ast b</math> | <code>\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leq</math> | style="text-align:center" | <math>a \leq b</math> | အစုဝင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ အစဉ်လိုက် ဆက်သွယ်ချက် (order relation) ဖြစ်သည်။ | အစဉ်လိုက် ဆက်သွယ်ချက် (Order relation) | <code>\leq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\prec</math> | style="text-align:center" | <math>a \prec b</math> | အစုဝင် <math>a</math> သည် အစုဝင် <math>b</math> ၏ ရှေ့ပြေး (predecessor) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (Successor function) | <code>\prec</code> |- | style="text-align:center" | <math>\succ</math> | style="text-align:center" | <math>a \succ b</math> | အစုဝင် <math>a</math> သည် အစုဝင် <math>b</math> ၏ နောက်ဆက်တွဲ (successor) ဖြစ်သည်။ | <code>\succ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>a \sim b</math> | အစုဝင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) ဖြစ်သည်။ | ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (Equivalence relation) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>[ a ]</math> | အစုဝင် <math>a</math> ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (equivalence class) ဖြစ်သည်။ | ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (Equivalence class) | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>M / \sim </math> | ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် <math>\sim</math> အပေါ်အခြေခံသော [[အစု]] <math>M</math> ၏ စားလဒ်အစု (quotient set) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်အစု (Quotient set) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{-1}</math> | style="text-align:center" | <math>R^{-1}</math> | ဆက်သွယ်ချက် <math>R</math> ၏ ပြောင်းပြန် ဆက်သွယ်ချက် (converse relation) ဖြစ်သည်။ | ပြောင်းပြန် ဆက်သွယ်ချက် (Converse relation) | <code>^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{+}</math> | style="text-align:center" | <math>R^{+}</math> | ဆက်သွယ်ချက် <math>R</math> ၏ ကူးပြောင်းနိုင်သော အပိတ် (transitive closure) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကူးပြောင်းနိုင်သော အပိတ် (Transitive closure) | <code>+</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>R^\ast</math> | ဆက်သွယ်ချက် <math>R</math> ၏ ကိုယ်ပြန်ဟပ် ကူးပြောင်းနိုင်သော အပိတ် (reflexive transitive closure) ဖြစ်သည်။ | <code>\ast</code> |} === အုပ်စုသီအိုရီ (Group theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\simeq</math> | style="text-align:center" | <math>G \simeq H</math> | rowspan="2" | [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့သည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ် (isomorphic)]] ဖြစ်ကြသည်။ | rowspan="2" | အုပ်စု အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Group isomorphism) | <code>\simeq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cong</math> | style="text-align:center" | <math>G \cong H</math> | <code>\cong</code> |- | style="text-align:center" | <math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>G \times H</math> | အုပ်စု <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့၏ တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (direct product) ဖြစ်သည်။ | တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (Direct product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>\rtimes</math> | style="text-align:center" | <math>G \rtimes H</math> | အုပ်စု <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့၏ တစ်ပိုင်းတိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (semidirect product) ဖြစ်သည်။ | တစ်ပိုင်းတိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (Semidirect product) | <code>\rtimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>\wr</math> | style="text-align:center" | <math>G \, \wr \, H</math> | အုပ်စု <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့၏ ရစ်ပတ် မြှောက်လဒ် (wreath product) ဖြစ်သည်။ | ရစ်ပတ် မြှောက်လဒ် (Wreath product) | <code>\wr</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leq</math> | style="text-align:center" | <math>U \leq G</math> | <math>U</math> သည် အုပ်စု <math>G</math> ၏ [[အုပ်စုပိုင်း]] (subgroup) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အုပ်စုပိုင်း (Subgroup) | <code>\leq</code> |- | style="text-align:center" | <math><</math> | style="text-align:center" | <math>U < G</math> | <math>U</math> သည် အုပ်စု <math>G</math> ၏ အုပ်စုပိုင်းအစစ် (proper subgroup) ဖြစ်သည်။ | <code>\lt</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vartriangleleft</math> | style="text-align:center" | <math>N \vartriangleleft G</math> | rowspan="2" | <math>N</math> သည် အုပ်စု <math>G</math> ၏ မူမှန်အုပ်စုပိုင်း (normal subgroup) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | မူမှန်အုပ်စုပိုင်း (Normal subgroup) | <code>\vartriangleleft</code> |- | style="text-align:center" | <math>\trianglelefteq</math> | style="text-align:center" | <math>N \trianglelefteq G</math> | <code>\trianglelefteq</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>G / N</math> | မူမှန်အုပ်စုပိုင်း <math>N</math> ကိုအခြေခံသော အုပ်စု <math>G</math> ၏ စားလဒ်အုပ်စု (quotient group) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်အုပ်စု (Quotient group) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>( G : U )</math> | အုပ်စု <math>G</math> အတွင်းရှိ အုပ်စုပိုင်း <math>U</math> ၏ အညွှန်း (index) ဖြစ်သည်။ | အုပ်စုပိုင်းတစ်ခု၏ အညွှန်း (Index of a subgroup) | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle E \rangle</math> | [[အစု]] <math>E</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော အုပ်စုပိုင်း (generated subgroup) ဖြစ်သည်။ | အုပ်စုတစ်ခု၏ ထုတ်လုပ်ကိန်းအစု (Generating set of a group) | <code>\langle \rangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>( g, h )</math> | အုပ်စု [[အစုဝင်]] <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့၏ ကွန်ဂျူဂိတ် (conjugate) ဖြစ်သည်။ | ကွန်ဂျူဂိတ် အတန်းအစား (Conjugacy class) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>[ g, h ]</math> | အုပ်စု အစုဝင် <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့၏ ကွန်မြူတေတာ (commutator) ဖြစ်သည်။ | ကွန်မြူတေတာ (Commutator) | <code>[ ]</code> |} === ကွင်းသီအိုရီ (Ring theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>R^\ast</math> | rowspan="2" | [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ ယူနစ်များ၏ အုပ်စု (group of units) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ယူနစ်များ၏ အုပ်စု (Group of units) | <code>^\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\times</math> | style="text-align:center" | <math>R^\times</math> | <code>^\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vartriangleleft</math> | style="text-align:center" | <math>I \vartriangleleft R</math> | <math>I</math> သည် ကွင်း <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ် (ideal) ဖြစ်သည်။ | အိုင်ဒီးလ် (Ideal) | <code>\vartriangleleft</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>R / I</math> | အိုင်ဒီးလ် <math>I</math> ကိုအခြေခံသော ကွင်း <math>R</math> ၏ စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်ကွင်း (Quotient ring) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>R[ X ]</math> | ကိန်းရှင် (variable) <math>X</math> ပါဝင်ပြီး ကွင်း <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည်။ | ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (Polynomial ring) | <code>[ ]</code> |} === ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (Field theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>L / K</math> | rowspan="3" | [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ် ဖီးလ်ဒ် <math>L</math> ၏ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3" | ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (Field extension) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mid</math> | style="text-align:center" | <math>L \mid K</math> | <code>\mid</code> |- | rowspan=2 align="center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>L : K</math> | rowspan="2" | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ L : K ]</math> | <math>K</math> အပေါ် <math>L</math> ၏ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း ဒီဂရီ (degree) ဖြစ်သည်။ | ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း၏ ဒီဂရီ (Degree of a field extension) |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{K}</math> | ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (algebraic closure) ဖြစ်သည်။ | အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (Algebraic closure) | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathbb{K}</math> | style="text-align:center" | | ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]၏ ဖီးလ်ဒ်ဖြစ်သည်။ | [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) | <code>\mathbb{K}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathbb{F}</math> | style="text-align:center" | | အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် (finite field) ဖြစ်သည်။ | [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်]] (Finite field) | <code>\mathbb{F}</code> |} == မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ နှင့် ဂျီဩမေတြီ (Linear algebra and geometry) == === အခြေခံ ဂျီဩမေတြီ (Elementary geometry) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{AB}</math> | rowspan="2" | အမှတ် <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပိုင်း (line segment) ဖြစ်သည်။ | rowspan="5" | မျဉ်းပိုင်း (Line segment) | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>[~~]</math> | style="text-align:center" | <math>[AB]</math> | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>|\overline{~~}|</math> | style="text-align:center" | <math>|\overline{AB}|</math> | rowspan="3" | အမှတ် <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပိုင်း၏ အလျား (length) ဖြစ်သည်။ | <code> \vert \overline \vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{AB}</math> | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>|~~|</math> | style="text-align:center" | <math>|AB|</math> | <code>\vert \vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overrightarrow{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overrightarrow{AB}</math> | အမှတ် <math>A</math> မှ အမှတ် <math>B</math> သို့ တည်နေရာရွှေ့ [[ဗက်တာ]] (vector) ဖြစ်သည်။ | [[ဗက်တာ]] (Vector) | <code>\vec</code> |- | style="text-align:center" | | style="text-align:center" | <math>AB</math> | rowspan="2" | အမှတ် <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ကို ဆက်သွယ်ထားသော မျဉ်း (line) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | မျဉ်း (Line) | |- | style="text-align:center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>(AB)</math> | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\angle</math> | style="text-align:center" | <math>\angle ABC</math> | အနား <math>BA</math> နှင့် <math>BC</math> တို့ပါဝင်သော ထောင့် (angle) ဖြစ်သည်။ | ထောင့် (Angle) | <code>\angle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\triangle</math> | style="text-align:center" | <math>\triangle ABC</math> | ထိပ်စွန်းမှတ်များ <math>A</math>၊ <math>B</math> နှင့် <math>C</math> ပါဝင်သော တြိဂံ (triangle) ဖြစ်သည်။ | တြိဂံ (Triangle) | <code>\triangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\square</math> | style="text-align:center" | <math>\square \mathit{ABCD}</math> | ထိပ်စွန်းမှတ်များ <math>A</math>၊ <math>B</math>၊ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ပါဝင်သော စတုဂံ (quadrilateral) ဖြစ်သည်။ | စတုဂံ (Quadrilateral) | <code>\square</code> |- | style="text-align:center" | <math>\parallel</math> | style="text-align:center" | <math>g \parallel h</math> | မျဉ်း <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့သည် အချင်းချင်း ပြိုင်နေကြသည် (parallel)။ | rowspan="2" | မျဉ်းပြိုင် (Parallel) | <code>\parallel</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nparallel</math> | style="text-align:center" | <math>g \nparallel h</math> | မျဉ်း <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့သည် အချင်းချင်း မပြိုင်ကြပါ။ | <code>\nparallel</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp</math> | style="text-align:center" | <math>g \perp h</math> | မျဉ်း <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့သည် အချင်းချင်း ထောင့်မှန်ကျနေကြသည် (orthogonal/perpendicular)။ | ထောင့်မှန်ကျဖြစ်မှု (Orthogonality) | <code>\perp</code> |} === ဗက်တာများနှင့် ကိန်းအုံများ (Vectors and matrices) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1, \ldots , v_n \end{pmatrix}</math> | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1, \ldots , v_n \end{pmatrix}</math> | [[အစုဝင်]] <math>v_1</math> မှ <math>v_n</math> ပါဝင်သော အတန်း ဗက်တာ (row vector) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | [[ဗက်တာ]] (Vector) | rowspan="3" | <code>\begin{pmatrix}</code><br /><code>...</code><br /><code>\end{pmatrix}</code><br /><br />သို့မဟုတ်<br /><br /><code>\left(</code><br /><code>\begin{array}{...}</code><br /><code>...</code><br /><code>\end{array}</code><br /><code>\right)</code> |- | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix}</math> | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix}</math> | အစုဝင် <math>v_1</math> မှ <math>v_m</math> ပါဝင်သော တိုင် ဗက်တာ (column vector) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} a_{11} & \!\ldots\! & a_{1n} \\ \vdots & \!\ddots\! & \vdots \\ a_{m1} & \!\ldots\! & a_{mn} \end{pmatrix}</math> | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} a_{11} & \!\ldots\! & a_{1n} \\ \vdots & \!\ddots\! & \vdots \\ a_{m1} & \!\ldots\! & a_{mn} \end{pmatrix}</math> | အစုဝင် <math>a_{11}</math> မှ <math>a_{mn}</math> ပါဝင်သော ကိန်းအုံ (matrix) ဖြစ်သည်။ | ကိန်းအုံ (Matrix) |} === ဗက်တာ အက္ခရာသင်္ချာ (Vector algebra) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>v \cdot w</math> | rowspan="3"| [[ဗက်တာ]] <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ အစက် မြှောက်လဒ် (dot product) သို့မဟုတ် [[စကေလာ]]မြှောက်လဒ် (scalar product) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| အစက် မြှောက်လဒ် (Dot product) | <code>\cdot</code> |- | style="text-align:center" | <math>(~~)</math> | style="text-align:center" | <math>(v,w)</math> | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle v,w \rangle</math><br /><math>\langle v\,|\,w \rangle</math> | <code>\langle \rangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>v \times w</math> | rowspan="2" | ဗက်တာ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ ကြက်ခြေခတ် မြှောက်လဒ် (cross product) သို့မဟုတ် ဗက်တာမြှောက်လဒ် (vector product) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကြက်ခြေခတ် မြှောက်လဒ် (Cross product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>[~~]</math> | style="text-align:center" | <math>[v,w]</math> | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>(~~)</math> | style="text-align:center" | <math>(u,v,w)</math> | ဗက်တာ <math>u</math>၊ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ စကေလာ သုံးခုမြှောက်လဒ် (scalar triple product) ဖြစ်သည်။ | သုံးခုမြှောက်လဒ် (Triple product) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\otimes</math> | style="text-align:center" | <math>v \otimes w</math> | ဗက်တာ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ ဒိုင်ယာဒစ် မြှောက်လဒ် (dyadic product) ဖြစ်သည်။ | ဒိုင်ယာဒစ် မြှောက်လဒ် (Dyadic product) | <code>\otimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>\wedge</math> | style="text-align:center" | <math>v \wedge w</math> | ဗက်တာ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ ပြင်ပမြှောက်လဒ် (exterior product) သို့မဟုတ် သပ်ပုံမြှောက်လဒ် (wedge product) ဖြစ်သည်။ | ပြင်ပ အက္ခရာသင်္ချာ (Exterior algebra) | <code>\wedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>|~~|</math> | style="text-align:center" | <math>| v |</math> | ဗက်တာ <math>v</math> ၏ ပမာဏ (magnitude) ဖြစ်သည်။ | [[ဗက်တာ]] (Vector) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\|~~\|</math> | style="text-align:center" | <math>\| v \|</math> | ဗက်တာ <math>v</math> ၏ စံနှုန်း (norm) ဖြစ်သည်။ | [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (Norm) | <code>\Vert</code>, <code><nowiki>\|</nowiki></code> |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{v}</math> | ဗက်တာ <math>v</math> လားရာအတိုင်း ယူနစ်ဗက်တာ (unit vector) ဖြစ်သည်။ | ယူနစ်ဗက်တာ (Unit vector) | <code>\hat</code> |} === ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (Matrix algebra) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>A \cdot B</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ | ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း (Matrix multiplication) | <code>\cdot</code> |- | style="text-align:center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>A : B</math> | ရူပဗေဒတွင် ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် အတွင်းမြှောက်လဒ် (Frobenius inner product) ဖြစ်သည်။ | ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် အတွင်းမြှောက်လဒ် (Frobenius inner product) | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>\circ</math> | style="text-align:center" | <math>A \circ B</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ဟာဒါမတ် မြှောက်လဒ် (Hadamard product) ဖြစ်သည်။ | ဟာဒါမတ် မြှောက်လဒ် (Hadamard product) | <code>\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\otimes</math> | style="text-align:center" | <math>A \otimes B</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ခရိုနက်ကာ မြှောက်လဒ် (Kronecker product) ဖြစ်သည်။ | ခရိုနက်ကာ မြှောက်လဒ် (Kronecker product) | <code>\otimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\mathsf{T}</math> | style="text-align:center" | <math>A^\mathsf{T}</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ထရန်စပို့စ် (transpose) ဖြစ်သည်။ | ထရန်စပို့စ် (Transpose) | <code>...^\mathsf{T}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\mathsf{H}</math> | style="text-align:center" | <math>A^\mathsf{H}</math> |rowspan="3"| ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ကွန်ဂျူဂိတ် ထရန်စပို့စ် (conjugate transpose) ဖြစ်သည်။ |rowspan="3"| ကွန်ဂျူဂိတ် ထရန်စပို့စ် (Conjugate transpose) | <code>...^\mathsf{H}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>A^\ast</math> | <code>...^\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\dagger</math> | style="text-align:center" | <math>A^\dagger</math> | <code>...^\dagger</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{-1}</math> | style="text-align:center" | <math>A^{-1}</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ပြောင်းပြန် (inverse) ဖြစ်သည်။ | ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ကိန်းအုံ (Invertible matrix) | <code>...^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{+}</math> | style="text-align:center" | <math>A^{+}</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ မိုး-ပန်ရို့စ် ပြောင်းပြန် (Moore-Penrose inverse) ဖြစ်သည်။ | မိုး-ပန်ရို့စ် ပြောင်းပြန် (Moore-Penrose inverse) | <code>...^+</code> |- | style="text-align:center" | <math>| ~~ |</math> | style="text-align:center" | <math>| A |</math> |rowspan="2"| ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (determinant) ဖြစ်သည်။ |rowspan="2"| အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (Determinant) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\det</math> | style="text-align:center" | <math>\det(A)</math> | <code>\det</code> |- | style="text-align:center" | <math>\| ~~ \|</math> | style="text-align:center" | <math>\| A \|</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]ဖြစ်သည်။ | ကိန်းအုံ စံနှုန်း (Matrix norm) | <code>\Vert</code>, <code><nowiki>\|</nowiki></code> |} === ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>+</math> | style="text-align:center" | <math>V + W</math> | [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ ပေါင်းလဒ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (Direct sum) | <code>+</code> |- | style="text-align:center" | <math>\oplus</math> | style="text-align:center" | <math>V \oplus W</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (direct sum) ဖြစ်သည်။ | <code>\oplus</code> |- | style="text-align:center" | <math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>V \times W</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (direct product) ဖြစ်သည်။ | တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (Direct product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>\otimes</math> | style="text-align:center" | <math>V \otimes W</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (tensor product) ဖြစ်သည်။ | တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (Tensor product) | <code>\otimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>V \, / \, U</math> | ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>U</math> ကိုအခြေခံသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ စားလဒ်ရပ်ဝန်း (quotient space) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်ရပ်ဝန်း (Quotient space) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\perp</math> | style="text-align:center" | <math>U^\perp</math> | ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>U</math> ၏ ထောင့်မှန်ကျ ဖြည့်စွက်စု (orthogonal complement) ဖြစ်သည်။ | ထောင့်မှန်ကျ ဖြည့်စွက်စု (Orthogonal complement) | <code>\perp</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>V^{\ast}</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (dual space) ဖြစ်သည်။ | ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (Dual space) | <code>\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^0</math> | style="text-align:center" | <math>X^0</math> | [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]][[အစု]] <math>X</math> ၏ ချေဖျက်ကိန်း (annihilator) ဖြစ်သည်။ | ချေဖျက်ကိန်း (Annihilator) | <code>0</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle X \rangle</math> | ဗက်တာများအစု <math>X</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့် စပန် (linear span) ဖြစ်သည်။ | မျဉ်းဖြောင့် စပန် (Linear span) | <code>\langle \rangle</code> |} == ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) == === တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\partial</math> | style="text-align:center" | <math>\partial U</math> | အစု (set) <math>U</math> ၏ နယ်နိမိတ် (boundary) ဖြစ်သည်။ | နယ်နိမိတ် (Boundary) | <code>\partial</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\circ</math> | style="text-align:center" | <math>U^\circ</math> | အစု <math>U</math> ၏ အတွင်းပိုင်း (interior) ဖြစ်သည်။ | အတွင်းပိုင်း (Interior) | <code>^\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{U}</math> | အစု <math>U</math> ၏ အပိတ်စု (closed set) ဖြစ်သည်။ | အပိတ်စု (Closure) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\dot{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\dot{U}(x)</math> | rowspan="2"| အမှတ် <math>x</math> ၏ ဗဟိုဖယ်ထုတ်ထားသော ပတ်ဝန်းကျင် (punctured neighborhood) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ဗဟိုဖယ်ထုတ်ထားသော ပတ်ဝန်းကျင် (Punctured neighborhood) | <code>\dot</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\bullet</math> | style="text-align:center" | <math>U^\bullet(x)</math> | <code>^\bullet</code> |} === အပိုင်းအခြားများ (Intervals) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>[~~]</math> | style="text-align:center" | <math>[a,b]</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ အပိတ် အပိုင်းအခြား (closed interval) ဖြစ်သည်။ | rowspan="7" | အပိုင်းအခြား (Interval) | rowspan="7" | <code>( )</code><br /><code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>]~~[</math> | style="text-align:center" | <math>]a,b[</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ အဖွင့် အပိုင်းအခြား (open interval) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>(~~)</math> | style="text-align:center" | <math>(a,b)</math> |- | style="text-align:center" | <math>[~~[</math> | style="text-align:center" | <math>[a,b[</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ ညာဘက်တစ်ဝက်ဖွင့် အပိုင်းအခြားဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>[~~)</math> | style="text-align:center" | <math>[a,b)</math> |- | style="text-align:center" | <math>]~~]</math> | style="text-align:center" | <math>]a,b]</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ ဘယ်ဘက်တစ်ဝက်ဖွင့် အပိုင်းအခြားဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>(~~]</math> | style="text-align:center" | <math>(a,b]</math> |} === ကိန်းစဉ်များနှင့် ကိန်းစဉ်တန်းများ (Sequences and series) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>( a_n )_n </math> | အစုဝင် (element) <math>a_1, a_2, \ldots </math> ပါဝင်သော ကိန်းစဉ် (sequence) ဖြစ်သည်။ | ကိန်းစဉ် (Sequence) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\to</math> | style="text-align:center" | <math>a_n \to a</math> | ကိန်းစဉ် <math>(a_n)</math> သည် စုဆုံမှတ် (limit) <math>a</math> သို့ စုဆုံသည်။ | ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် (Limit of a sequence) | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>\infty</math> | style="text-align:center" | <math>n \to \infty</math> | <math>n</math> သည် အနန္တ (infinity) သို့ ဖြာထွက်သည် (diverges)။ | အနန္တ (Infinity) | <code>\infty</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sum</math> | style="text-align:center" | <math>\sum_{i=1}^n, \sum_{i \in I}</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ ပေါင်းလဒ် သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> အားလုံးအပေါ် ပေါင်းလဒ် (summation) ဖြစ်သည်။ | ပေါင်းလဒ်ရှာခြင်း (Summation) | <code>\sum</code> |- | style="text-align:center" | <math>\prod</math> | style="text-align:center" | <math>\prod_{i=1}^n, \prod_{i \in I}</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ မြှောက်လဒ် သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> အားလုံးအပေါ် မြှောက်လဒ် (product) ဖြစ်သည်။ | မြှောက်လဒ် (Product) | <code>\prod</code> |- | style="text-align:center" | <math>\coprod</math> | style="text-align:center" | <math>\coprod_{i=1}^n, \coprod_{i \in I}</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> အားလုံးအပေါ် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct) ဖြစ်သည်။ | ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (Coproduct) | <code>\coprod</code> |} === ဖန်ရှင်များ (Functions) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | rowspan=2 style="text-align:center" | <math>\to</math> | style="text-align:center" | <math>f \colon A \to B</math> | rowspan="2" | ဖန်ရှင် (function) <math>f</math> သည် အစု <math>A</math> မှ အစု <math>B</math> သို့ ပုံဖော်ပေးသည် (maps to)။ | rowspan="4" | ဖန်ရှင် (Function) | rowspan="2" | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>A \, \stackrel f\to \, B</math> |- |rowspan=2 align="center" | <math>\mapsto</math> | style="text-align:center" | <math>f \colon x \mapsto y</math> | rowspan="2" | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အစုဝင် <math>x</math> ကို အစုဝင် <math>y</math> သို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ | rowspan="2" | <code>\mapsto</code> |- | style="text-align:center" | <math>x \, \stackrel f\mapsto \, y</math> |- |rowspan=2 align="center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>f(x)</math> | အစုဝင် <math>x</math> အတွက် <math>f</math> ၏ ဖန်ရှင်တန်ဖိုးဖြစ်သည်။ |rowspan="3"| [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (Image) | rowspan="2" | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>f(X)</math> | rowspan="2" | ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ အစု <math>X</math> ၏ ပုံရိပ် (image) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>f[X]</math> | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vert</math> | style="text-align:center" | <math>f \vert_X</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အစု <math>X</math> အပေါ် ကန့်သတ်ခြင်း (restriction) ဖြစ်သည်။ | ကန့်သတ်ခြင်း (Restriction) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>f(\cdot)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အဝင်ကိန်းအဖြစ် ကိန်းရှင် (variable) တစ်ခုအတွက် ကိုယ်စားပြု အစားထိုးစာလုံးဖြစ်သည်။ | ကိန်းရှင် (Variable) | <code>\cdot</code> |- |style="text-align:center" rowspan="2"| <math>{}^{-1}</math> | style="text-align:center" | <math>f^{-1}</math> | <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) ဖြစ်သည်။ | ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (Inverse function) | <code>^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>f^{-1}(Y)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ အစု <math>Y</math> ၏ မူလပုံရိပ် (preimage) ဖြစ်သည်။ | [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] (Preimage) | <code>^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\circ</math> | style="text-align:center" | <math>f \circ g</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သည်။ | ဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်း (Function composition) | <code>\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ast</math> | style="text-align:center" | <math>f \ast g</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့၏ ကွန်ဗော်လူးရှင်း (convolution) ဖြစ်သည်။ | ကွန်ဗော်လူးရှင်း (Convolution) | <code>\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{f}</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (Fourier transform) ဖြစ်သည်။ | ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (Fourier transform) | <code>\hat</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Vert~\Vert</math> | style="text-align:center" | <math>\Vert f\Vert_\infty</math>,<math>\Vert f\Vert_D</math> | <math>f</math> ၏ စူပရီမမ် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (supremum norm) သို့မဟုတ် ဒိုမိန်း <math>D</math> အပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ စူပရီမမ် စံနှုန်းဖြစ်သည်။ | စူပရီမမ် စံနှုန်း (Supremum norm) | <code>\Vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\exp</math> | style="text-align:center" | <math>\exp(x)</math> | ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ဖြစ်သည်။ | ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (Exponential function) | <code>\exp</code> |- | style="text-align:center" | <math>\log</math> | style="text-align:center" | <math>\log(x)</math>,<math>\log_a(x)</math> | လော်ဂရစ်သမ် (logarithm)၊ အခြေ <math>a</math> ရှိသော လော်ဂရစ်သမ်ဖြစ်သည်။ | လော်ဂရစ်သမ် (Logarithm) | <code>\log</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ln</math> | style="text-align:center" | <math>\ln(x)</math> | သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် (natural logarithm) ဖြစ်သည်။ | သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် (Natural logarithm) | <code>\ln</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sin</math> | style="text-align:center" | <math>\sin(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဆိုင်း (sine) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်း (Sine and cosine) | <code>\sin</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cos</math> | style="text-align:center" | <math>\cos(x)</math> | <math>x</math> ၏ ကိုဆိုင်း (cosine) ဖြစ်သည်။ | <code>\cos</code> |- | style="text-align:center" | <math>\tan</math> | style="text-align:center" | <math>\tan(x)</math> | <math>x</math> ၏ တန်းဂျင့် (tangent) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | တန်းဂျင့်နှင့် ကိုတန်းဂျင့် (Tangent and cotangent) | <code>\tan</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cot</math> | style="text-align:center" | <math>\cot(x)</math> | <math>x</math> ၏ ကိုတန်းဂျင့် (cotangent) ဖြစ်သည်။ | <code>\cot</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sinh</math> | style="text-align:center" | <math>\sinh(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဆိုင်း (hyperbolic sine) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဟိုက်ပါဘောလစ် ဆိုင်းနှင့် ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုဆိုင်း (Hyperbolic sine and hyperbolic cosine) | <code>\sinh</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cosh</math> | style="text-align:center" | <math>\cosh(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုဆိုင်း (hyperbolic cosine) ဖြစ်သည်။ | <code>\cosh</code> |- | style="text-align:center" | <math>\tanh</math> | style="text-align:center" | <math>\tanh(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် တန်းဂျင့် (hyperbolic tangent) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဟိုက်ပါဘောလစ် ဖန်ရှင်များ (Hyperbolic functions) | <code>\tanh</code> |- | style="text-align:center" | <math>\coth</math> | style="text-align:center" | <math>\coth(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုတန်းဂျင့် (hyperbolic cotangent) ဖြစ်သည်။ | <code>\coth</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Gamma</math> | style="text-align:center" | <math>\Gamma(x)</math> | ဂါမာ ဖန်ရှင် (gamma function) ဖြစ်သည်။ | ဂါမာ ဖန်ရှင် (Gamma function) | <code>\Gamma</code> |} ''ထပ်မံကြည့်ရှုရန်-'' ဖန်ရှင်များအတွက် နောက်ထပ် သင်္ကေတ အသုံးအနှုန်းများအတွက် သင်္ကေတပြ ဖန်ရှင်များ (Symbolic notations for functions) ကို ကြည့်ပါ။ === စုဆုံမှတ်များ (Limits) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\uparrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \uparrow a} f(x)</math> | rowspan="3" | <math>x</math> သည် <math>a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဘယ်ဖက်မှ စုဆုံမှတ် (left-sided limit) ဖြစ်သည်။ |rowspan="7"| ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် (Limit of a function) | <code>\uparrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nearrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \nearrow a} f(x)</math> | <code>\nearrow</code> |- | rowspan="3" style="text-align:center" | <math>\to</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \to a-} f(x)</math> | rowspan="3" | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \to a} f(x)</math> | <math>x</math> သည် <math>a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ နှစ်ဖက်စလုံးမှ စုဆုံမှတ်ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \to a+} f(x)</math> | rowspan="3" | <math>x</math> သည် <math>a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ညာဖက်မှ စုဆုံမှတ် (right-sided limit) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>\searrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \searrow a} f(x)</math> | <code>\searrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\downarrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \downarrow a} f(x)</math> | <code>\downarrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>X_n\xrightarrow{p} X</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname{plim}(X_n) = X</math> | <math>X_n</math> သည် <math>X</math> ဆီသို့ ဖြစ်တန်စွမ်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in probability) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3" | ကျပန်းကိန်းရှင်များ၏ စုဆုံခြင်း (Convergence of random variables) | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>X_n\xrightarrow{d} X</math> | style="text-align:center" | <math>x_n\xrightarrow{d} x</math> | <math>x_n</math> သည် <math>x</math> ဆီသို့ ဖြန့်ဖြူးခြင်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in distribution) ဖြစ်သည်။ | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>X_n\xrightarrow{m} X</math> | style="text-align:center" | <math>x_n\xrightarrow{m} x</math> | <math>x_n</math> သည် <math>x</math> ဆီသို့ ပျမ်းမျှ နှစ်ထပ်ကိန်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in mean square) ဖြစ်သည်။ | <code>\to</code> |} === ချဉ်းကပ်မှု သဘာဝ (Asymptotic behavior) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>f \sim g</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် ဖန်ရှင် <math>g</math> နှင့် ချဉ်းကပ်မှုအရ (asymptotically) ညီမျှသည်။ | ချဉ်းကပ်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Asymptotic analysis) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>o</math> | style="text-align:center" | <math>f \in o(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုနှေးကွေးစွာ ကြီးထွားသည်။ |rowspan="5"| O အကြီး သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (Big O notation) | <code>o</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathcal{O}</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \mathcal{O}(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် ပိုနှေးကွေးစွာ သို့မဟုတ် ၎င်းနှုံးအတိုင်း ကြီးထွားသည်။ | <code>\mathcal{O}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Theta</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \Theta(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> နှင့် တူညီသော နှုံးအတိုင်း ကြီးထွားသည်။ | <code>\Theta</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Omega</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \Omega(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် ပိုမြန်ဆန်စွာ သို့မဟုတ် ၎င်းနှုံးအတိုင်း ကြီးထွားသည်။ | <code>\Omega</code> |- | style="text-align:center" | <math>\omega</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \omega(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုမြန်ဆန်စွာ ကြီးထွားသည်။ | <code>\omega</code> |} === ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ် (Differential calculus) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>{}'</math> | style="text-align:center" | <math>f', f''</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပထမ သို့မဟုတ် ဒုတိယ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ဖြစ်သည်။ | rowspan="4" | ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ် (Differential calculus) | <code>\prime</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>\dot f, \ddot f</math> | ရူပဗေဒတွင် အချိန်နှင့်အမျှ <math>f</math> ၏ ပထမ သို့မဟုတ် ဒုတိယ ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သည်။ | <code>\dot</code>, <code>\ddot</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{(~)}</math> | style="text-align:center" | <math>f^{(n)}</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သည်။ | <code>( )</code> |- |rowspan=2 align="center" | <math>\mathrm{d}</math> | style="text-align:center" | <math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}</math> | <math>x</math> ကိုအခြေခံသော ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | <code>\mathrm{d}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathrm{d}f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ စုစုပေါင်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် (total differential) ဖြစ်သည်။ | စုစုပေါင်း ဆင်းသက်ချက် (Total derivative) |- | style="text-align:center" | <math>\partial</math> | style="text-align:center" | <math>\frac{\partial\!f}{\partial x}</math> | <math>x</math> ကိုအခြေခံသော ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက် (partial derivative) ဖြစ်သည်။ | ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက် (Partial derivative) | <code>\partial</code> |} === အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Measure theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\ll</math> | style="text-align:center" | <math>\nu \ll \mu</math> | အတိုင်းအတာ (measure) <math>\nu</math> သည် <math>\mu</math> နှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် ပကတိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (absolutely continuous) အတိုင်းအတာဖြစ်သည်။ | ပကတိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (Absolute continuity) | <code>\ll</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp</math> | style="text-align:center" | <math>\nu \perp \mu</math> | အတိုင်းအတာ <math>\nu</math> သည် <math>\mu</math> နှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် ဆင်ဂူလာ (singular) ဖြစ်သည်။ | ဆင်ဂူလာ အတိုင်းအတာ (Singular measure) | <code>\perp</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sigma</math> | style="text-align:center" | <math>\sigma(\mathcal{M})</math> | <math>\mathcal{M}</math> ပါဝင်သော အငယ်ဆုံး ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာ (sigma-algebra) ဖြစ်သည်။ | ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာ (Sigma-algebra) | <code>\sigma</code> |- | style="text-align:center" | <math>\delta</math> | style="text-align:center" | <math>\delta(\mathcal{E})</math> | <math>\mathcal{E}</math> ပါဝင်သော အငယ်ဆုံး ဒင်ကင် စနစ် (Dynkin system) ဖြစ်သည်။ | ဒင်ကင် စနစ် (Dynkin system) | <code>\delta</code> |} === အင်တီဂရယ် ကဲကုလပ် (Integral calculus) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\int</math> | style="text-align:center" | <math>\int_a^b</math>, <math>\displaystyle \int_G</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ သို့မဟုတ် ဒေသ <math>G</math> အပေါ်ရှိ သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) ဖြစ်သည်။ | အင်တီဂရယ် ကဲကုလပ် (Integral calculus) | <code>\int</code> |- | style="text-align:center" | <math>\oint</math> | style="text-align:center" | <math>\oint_\gamma</math> | မျဉ်းကွေး <math>\gamma</math> အပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ဖြစ်သည်။ | လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက် အင်တီဂရယ် (Line integral) | <code>\oint</code> |- | style="text-align:center" | <math>\iint</math> | style="text-align:center" | <math>\iint_{\mathcal F}</math> | မျက်နှာပြင် <math>\mathcal F</math> အပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ဖြစ်သည်။ | မျက်နှာပြင် အင်တီဂရယ် (Surface integral) | <code>\iint</code> |- | style="text-align:center" | <math>\iiint</math> | style="text-align:center" | <math>\iiint_V</math> | ထုထည် (volume) <math>V</math> အပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ဖြစ်သည်။ | ထုထည် အင်တီဂရယ် (Volume integral) | <code>\iiint</code> |- | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{a}^{\bar b}</math> | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{a}^{\bar b} f(x) \ \mathrm{d}x</math> | <math>[a,b]</math> အပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ အထက် အင်တီဂရယ် (upper integral) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဒါဘူး အင်တီဂရယ် (Darboux integral) | <code>\int\limits</code> |- | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{\underline a}^{b}</math> | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{\underline a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x</math> | <math>[a,b]</math> အပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ အောက် အင်တီဂရယ် (lower integral) ဖြစ်သည်။ | <code>\int\limits</code> |} ''ထပ်မံကြည့်ရှုရန်-'' အင်တီဂရယ် သင်္ကေတ၏ ပုံစံကွဲများ (Variants of the integral symbol) ကို ကြည့်ပါ။ === ဗက်တာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Vector analysis) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- |rowspan=3 align="center" | <math>\nabla</math> | style="text-align:center" | <math>\nabla f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဂရေးဒီးယင့် (gradient) ဖြစ်သည်။ | ဂရေးဒီးယင့် (Gradient) | rowspan="3" | <code>\nabla</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nabla \cdot F</math> | ဗက်တာစက်ကွင်း (vector field) <math>F</math> ၏ ဖြာထွက်မှု (divergence) ဖြစ်သည်။ | ဖြာထွက်မှု (Divergence) |- | style="text-align:center" | <math>\nabla \times F</math> | ဗက်တာစက်ကွင်း <math>F</math> ၏ လည်ပတ်မှု (curl) ဖြစ်သည်။ | လည်ပတ်မှု (Curl) |- | style="text-align:center" | <math>\Delta</math> | style="text-align:center" | <math>\Delta f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ (Laplace operator) ဖြစ်သည်။ | လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ (Laplace operator) | <code>\Delta</code> |- | style="text-align:center" | <math>\square</math> | style="text-align:center" | <math>\square f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဒီအာလမ်ဘတ် အော်ပရေတာ (D'Alembert operator) ဖြစ်သည်။ | ဒီအာလမ်ဘတ် အော်ပရေတာ (D'Alembert operator) | <code>\square</code> |} === ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Functional analysis) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>{}'</math> | style="text-align:center" | <math>V'</math> | တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ (topological) ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) <math>V</math> ၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (dual space) ဖြစ်သည်။ | ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (Dual space) | rowspan="2" | <code>\prime</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}''</math> | style="text-align:center" | <math>V''</math> | စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော (normed) ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ဘိုင်ဒွန်တွဲ (bidual) ရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ | ဘိုင်ဒွန်တွဲ (Bidual) |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{X}</math> | အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) <math>X</math> ၏ ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) ဖြစ်သည်။ | [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (Complete metric space) | <code>\hat</code> |- | style="text-align:center" | <math>\hookrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>X \hookrightarrow Y</math> | ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အတွင်းသို့ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ ထည့်သွင်းခြင်း (embedding) ဖြစ်သည်။ | ထည့်သွင်းခြင်း (Embedding) | <small><code>\hookrightarrow</code></small> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>T^{\ast}</math> | [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) <math>T</math> ၏ တွဲဖက် အော်ပရေတာ (adjoint operator) ဖြစ်သည်။ | ဟာမီရှန် တွဲဖက် (Hermitian adjoint) | <code>\ast</code> |} == စတော့ကတ်စတစ် (Stochastics) == === ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Combinatorics) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | rowspan=3 align="center" | <math>!</math> | style="text-align:center" | <math>n!</math> | [[အစုဝင်]] <math>n</math> ခုအတွက် ပါမြူတေးရှင်းများ (permutations) ၏ အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | ဖက်တိုရီရယ် (Factorial) | rowspan="3" | <code>!</code> |- | style="text-align:center" | <math>!n</math> | အစုဝင် <math>n</math> ခုအတွက် နေရာပြောင်းလဲမှုများ (derangements) အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | ဖက်တိုရီရယ်ပိုင်း (Subfactorial) |- | style="text-align:center" | <math>n!!</math> | မကိန်း (odd number) <math>n</math> ခုအတွက် တိကျစွာ [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (involution) ဖြစ်သော ပါမြူတေးရှင်းများ၏ အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | ဖက်တိုရီရယ် နှစ်ထပ် (Double factorial) |- |rowspan=2 align="center" | <math>\tbinom{~}{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\tbinom{n}{k}</math> | အစုဝင် <math>n</math> ခုမှ <math>k</math> ခုကို ထပ်ခါတလဲလဲမပါဘဲ ရွေးချယ်နိုင်သော အရေအတွက် (combination) ဖြစ်သည်။ | ဘိုင်နိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (Binomial coefficient) | rowspan="2" | <code>\binom</code> |- | style="text-align:center" | <math>\tbinom{n}{k_1, \ldots , k_r}</math> | ကွဲပြားသောအစုဝင် <math>k_1, \ldots , k_r</math> တို့၏ စီစဉ်မှုများ (arrangements) အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | မာလ်တီနိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (Multinomial coefficient) |- | style="text-align:center" | <math>\left(\!\tbinom{~}{~}\!\right)</math> | style="text-align:center" | <math>\left(\!\tbinom{n}{k}\!\right)</math> | အစုဝင် <math>n</math> ခုမှ <math>k</math> ခုကို ထပ်ခါတလဲလဲ ရွေးချယ်နိုင်သော အရေအတွက် (multicombinations) ဖြစ်သည်။ | မာလ်တီအစု (Multiset) |- | rowspan=2 align="center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>n^{\overline{m}}</math> | <math>n</math> မှစတင်၍ ဆခွဲကိန်း <math>m</math> ခုပါဝင်သော တက်နေသည့် ဖက်တိုရီရယ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကျဆင်းခြင်းနှင့် တက်နေခြင်း ဖက်တိုရီရယ်များ (Falling and rising factorials) | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>n^{\underline{m}}</math> | <math>n</math> မှစတင်၍ ဆခွဲကိန်း <math>m</math> ခုပါဝင်သော ကျဆင်းသည့် ဖက်တိုရီရယ်ဖြစ်သည်။ | <code>\underline</code> |- | style="text-align:center" | <math>\#</math> | style="text-align:center" | <math>n \#</math> | <math>n</math> ထက် ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers) ၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ | ပရိုင်မိုရီရယ် (Primorial) | <code>\#</code> |} === ဖြစ်တန်စွမ်း သီအိုရီ (Probability theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>P</math> | style="text-align:center" | <math>P(A)</math> | အဖြစ်အပျက် (event) <math>A</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း (probability) ဖြစ်သည်။ | ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာ (Probability measure) | <code>P</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mid</math> | style="text-align:center" | <math>P(A \mid B)</math> | <math>B</math> ပေးထားချက်အောက်တွင် <math>A</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်းဖြစ်သည်။ | ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် ဖြစ်တန်စွမ်း (Conditional probability) | <code>\mid</code> |- | style="text-align:center" | <math> \operatorname E</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname E[X\mid Y]</math> | <math>Y</math> ပေးထားချက်အောက်တွင် ကျပန်းကိန်းရှင် (random variable) <math>X</math> ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုး (expected value) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | မျှော်မှန်းတန်ဖိုး (Expected value) | <code>\operatorname{E}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname E</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname E[X]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးဖြစ်သည်။ | <code>\operatorname{E}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname{Var}</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname{Var}[X]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ ကွဲလွဲချက် (variance) ဖြစ်သည်။ | ကွဲလွဲချက် (Variance) | <code>\operatorname{Var}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname{sd}</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname{sd}[X]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ စံသွေဖည်ကိန်း (standard deviation) ဖြစ်သည်။ | စံသွေဖည်ကိန်း (Standard deviation) | <code>\operatorname{sd}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname{Cov}</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname {Cov}[X,Y]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့၏ အတူကွဲလွဲချက် (covariance) ဖြစ်သည်။ | အတူကွဲလွဲချက် (Covariance) | <code>\operatorname{Cov}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\rho</math> | style="text-align:center" | <math>\rho(X,Y)</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့၏ ဆက်စပ်မှု (correlation) ဖြစ်သည်။ | ဆက်စပ်မှု မြှောက်ဖော်ကိန်း (Correlation coefficient) | <code>\rho</code> |- | style="text-align:center" | <math>R^2</math> | style="text-align:center" | <math>\rho(X,Y)^2</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့၏ ဆက်စပ်မှု နှစ်ထပ်ကိန်းဖြစ်သည်။ | အဆုံးအဖြတ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (Coefficient of determination) | <code>\mathit{R}^2</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>X \sim F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (distribution) <math>F</math> အတိုင်းဖြစ်သည်။ |rowspan="5"| ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Probability distribution) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nsim</math> | style="text-align:center" | <math>X\nsim F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်း မဟုတ်ပါ။ | <code>\nsim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\stackrel{a.s.}{\sim}</math> | style="text-align:center" | <math>X \;\stackrel{a.s.}{\sim}\; F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်း သေချာသလောက် (almost surely) ဖြစ်သည်။ | <code>\approx</code> |- | style="text-align:center" | <math>\stackrel{a}{\sim}</math> | style="text-align:center" | <math>X\; \stackrel{a}{\sim}\; F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်း ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် (asymptotically) ဖြစ်သည်။ | <code>\approx</code> |- | style="text-align:center" | <math>\stackrel{H_0}{\sim}</math> | style="text-align:center" | <math>X \;\stackrel{H_0}{\sim} \; F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် နားလ် ဟိုက်ပိုသီစစ် (null hypothesis) အောက်တွင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်းဖြစ်သည်။ | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp\!\!\!\perp</math> | style="text-align:center" | <math>X\perp\!\!\!\perp Y</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် စတော့ကတ်စတစ်နည်းအရ အမှီအခိုကင်းကြသည် (stochastically independent)။ |rowspan="1"| အမှီအခိုကင်းခြင်း (Independence) | <code>\perp\!\!\!\perp</code> |} ''မှတ်ချက်-'' အော်ပရေတာများအတွက် အခြားသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း ပုံစံများရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် လခြမ်းကွင်းများအစား လေးထောင့်ကွင်းများကို မကြာခဏ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ === စာရင်းအင်းပညာ (Statistics) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\tilde{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\tilde{x}</math> | တန်ဖိုးများ <math>x_1, \ldots , x_n</math> ၏ မီဒီယန်ဖြစ်သည်။ | မီဒီယန် (Median) | <code>\tilde</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bar{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\bar{X}</math> | ကျပန်းကိန်းရှင်များ <math>X_1, \ldots , X_n</math> ၏ နမူနာ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး ဖြစ်သည်။ | ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (Mean) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bar{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\bar{x}</math> | တန်ဖိုးများ <math>x_1, \ldots , x_n</math> ၏ ပျမ်းမျှကိန်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (Mean) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle f \rangle</math> | ရူပဗေဒတွင် [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> ၏ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သို့မဟုတ် မျှော်မှန်းတန်ဖိုး ဖြစ်သည်။ | <code>\langle \rangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{p}</math> | ပါရာမီတာ <math>p</math> အတွက် ခန့်မှန်းကိန်း (သို့မဟုတ် ခန့်မှန်းတန်ဖိုး) ဖြစ်သည်။ | ခန့်မှန်းကိန်း (Estimator) | <code>\hat</code> |} == ကိုးကား == {{Reflist}} * Tilo Arens၊ Frank Hettlich၊ Christian Karpfinger၊ Ulrich Kockelkorn၊ Klaus Lichtenegger၊ Hellmuth Stachel။ ''Mathematik'' (ဒုတိယအကြိမ်ထုတ်ဝေမှု)။ Spektrum Akademischer Verlag၊ ၂၀၁၁။ ISBN 3-8274-2347-3။ စာမျက်နှာ - ၁၄၈၃ စသည်ဖြင့်။ * Wolfgang Hackbusch။ ''Taschenbuch der Mathematik, Band 1'' (တတိယအကြိမ်ထုတ်ဝေမှု)။ Springer၊ ၂၀၁၀။ ISBN 3-8351-0123-4။ စာမျက်နှာ - ၁၂၇၅ စသည်ဖြင့်။ * Deutsches Institut für Normung: ''DIN 1302: Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe''၊ Beuth-Verlag၊ ၁၉၉၉။ * Deutsches Institut für Normung: ''DIN 1303: Vektoren, Matrizen, Tensoren; Zeichen und Begriffe''၊ Beuth-Verlag၊ ၁၉၈၇။ * Internationale Organisation für Normung: ''DIN EN ISO 80000-2: Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematische Zeichen für Naturwissenschaft und Technik''၊ ၂၀၁၃။ [[Category:သင်္ချာ သင်္ကေတများ]] [[Category:သင်္ချာဆိုင်ရာ အမှတ်လက္ခဏာ]] b2f5zfckxg2lh4mljsey0g0dzftcefg 1049453 1049414 2026-08-19T19:11:01Z Mkant00 135890 hyperlinks added 1049453 wikitext text/x-wiki [[File:Lots of math symbols and numbers.svg|thumb|class=skin-invert-image|အချို့သော သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများ]] ဤ သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း (List of mathematical symbols) သည် ပုံသေနည်းများအတွင်း ခေတ်သစ် သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများ (Mathematical notation) တွင် အသုံးအများဆုံးဖြစ်သော သင်္ကေတအချို့ကို ရွေးချယ်ပြသထားခြင်းဖြစ်သည်။ သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အသုံးပြုခဲ့သမျှသော သင်္ကေတအားလုံးကို စာရင်းပြုစုရန် လက်တွေ့အားဖြင့် မဖြစ်နိုင်ပါ။ ထို့ကြောင့် ဤစာရင်းသည် သင်္ချာပညာရေး သို့မဟုတ် တက္ကသိုလ်အဆင့် သင်္ချာလေ့လာမှုများတွင် မကြာခဏတွေ့ရလေ့ရှိသော သင်္ကေတများကိုသာ ဖော်ပြထားသည်။ အောက်ပါစာရင်းသည် အများအားဖြင့် အက္ခရာနှင့် ဂဏန်းမဟုတ်သော သင်္ကေတများအတွက်သာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ၎င်းကို သင်္ချာပညာရပ် နယ်ပယ်များအလိုက် ခွဲခြားထားသည်။ ထို့အပြင် ယင်းနယ်ပယ်များအတွင်း ပါဝင်သော အကြောင်းအရာများအလိုက် ထပ်မံ၍ အုပ်စုဖွဲ့ထားသည်။ အချို့သော သင်္ကေတများသည် အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ အဓိပ္ပာယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် စာရင်းထဲတွင် အကြိမ်ကြိမ် ပါဝင်နေမည်ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတများနှင့် ၎င်းတို့၏ အဓိပ္ပာယ်များအကြောင်း နောက်ထပ်အချက်အလက်များကို သက်ဆိုင်ရာ ဆက်စပ်ဆောင်းပါးများတွင် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ == ရှင်းလင်းချက် (Explanation) == သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတတစ်ခုစီအတွက် အောက်ပါအချက်အလက်များကို ဖော်ပြပေးထားသည်။ *သင်္ကေတ (Symbol)- LaTeX မှ ပုံဖော်ပေးထားသည့် သင်္ကေတဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ပုံနှိပ်စာလုံး ပုံစံအမျိုးမျိုးရှိပါက ပုံစံတစ်မျိုးကိုသာ ပြသထားသည်။ *အသုံးပြုမှု (Usage)- ပုံသေနည်းတစ်ခုအတွင်း သင်္ကေတကို စံနမူနာပြ အသုံးပြုထားခြင်းဖြစ်သည်။ ဤနေရာရှိ အက္ခရာများသည် ကိန်းများ၊ ကိန်းရှင်များ သို့မဟုတ် ပိုမိုရှုပ်ထွေးသော ဖော်ပြချက်များအတွက် ကိုယ်စားပြု အစားထိုးစာလုံးများအဖြစ် တည်ရှိသည်။ ကွဲပြားသော အသုံးပြုနိုင်သည့် အခြေအနေများကို သီးခြားစီ ဖော်ပြထားသည်။ *အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း (Interpretation)- ယခင်ကော်လံရှိ ပုံသေနည်း၏ အဓိပ္ပာယ်ကို စာသားဖြင့် အတိုချုံး ရှင်းလင်းဖော်ပြချက်ဖြစ်သည်။ *ဆောင်းပါး (Article)- သင်္ကေတ၏ အဓိပ္ပာယ် (ဆိုလိုရင်း) ကို ဖော်ပြထားသော ဝီကီပီးဒီးယား ဆောင်းပါးဖြစ်သည်။ *LaTeX- သင်္ကေတကို ဖန်တီးရန် အသုံးပြုသော LaTeX ကွန်မန်းဖြစ်သည်။ ASCII အက္ခရာစုမှ အက္ခရာများကို ချွင်းချက်အချို့ (ဟက်ရှ်အမှတ်အသား၊ ဘက်ခ်စလက်ရှ်၊ တွန့်ကွင်းများ၊ ရာခိုင်နှုန်းအမှတ်အသား) မှလွဲ၍ တိုက်ရိုက်အသုံးပြုနိုင်သည်။ အပေါ်တင်အညွှန်းကိန်းများနှင့် အောက်ချိတ်အညွှန်းကိန်းများကို <code>^</code> နှင့် <code>_</code> အက္ခရာများ အသုံးပြု၍ ဖန်တီးထားသည်။ ၎င်းတို့ကို သီးခြား ဖော်ပြမထားပါ။ အချို့သော အက္ခရာများသည် ''amsmath'' နှင့်/သို့မဟုတ် ''amssymb'' ပက်ကေ့ချ်များကို အသုံးပြုရန် လိုအပ်သည်။ == ယုတ္တိဗေဒ (Logic) == === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် သင်္ကေတများ (Definition symbols) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- |rowspan=2 align="center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>A := B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> နှင့် ညီမျှသည်ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ | rowspan="2" | အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) | rowspan="2" | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>A :\Leftrightarrow B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> နှင့် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာအရ ထပ်တူညီသည်ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ |} === ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ချိတ်ဆက်ကိန်းများ (Logical connectives) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" |<math>\land</math> | style="text-align:center" |<math>A \land B</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> နှင့် ဖော်ပြချက် <math>B</math> ဖြစ်သည်။ | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ပူးပေါင်းခြင်း (Logical conjunction) | <code>\land, \wedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lor</math> | style="text-align:center" | <math>A \lor B</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သို့မဟုတ် ဖော်ပြချက် <math>B</math> (သို့မဟုတ် နှစ်ခုစလုံး) ဖြစ်သည်။ | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ရွေးချယ်ခြင်း (Logical disjunction) | <code>\lor, \vee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Rightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \Rightarrow B</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>B</math> သည် ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှ ဆင်းသက်လာသည်။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သက်ရောက်မှု (Logical implication) | <code>\Rightarrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\rightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \rightarrow B</math> | <code>\rightarrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Leftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \Leftrightarrow B</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သည် ဖော်ပြချက် <math>B</math> မှ ဆင်းသက်လာပြီး ၎င်း၏ပြောင်းပြန်လည်း မှန်ကန်သည်။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ထပ်တူညီမှု (Logical equivalence) | <code><small>\Leftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" | <math>\leftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \leftrightarrow B</math> | <code><small>\leftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" | <math>\dot\lor</math> | style="text-align:center" | <math>A \,\dot\lor\, B</math> | rowspan="6" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သို့မဟုတ် ဖော်ပြချက် <math>B</math> တစ်ခုခုသာဖြစ်သည်။ | rowspan="6" | သီးသန့် ရွေးချယ်ခြင်း (Exclusive disjunction) | <code>\,\dot\lor\,</code> |- | style="text-align:center" | <math>\veebar</math> | style="text-align:center" | <math>A \, \veebar \, B</math> | <code>\veebar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nLeftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \nLeftrightarrow B</math> | <code><small>\nLeftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" | <math>\nleftrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>A \nleftrightarrow B</math> | <code><small>\nleftrightarrow</small></code> |- | style="text-align:center" |<math>\nsim</math> | style="text-align:center" |<math>A \nsim B</math> | <code>\nsim</code> |- | style="text-align:center" |<math>\oplus</math> | style="text-align:center" |<math>A \oplus B</math> |<code>\oplus</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lnot</math> | style="text-align:center" | <math>\lnot A</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> မဟုတ်ပါ။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ငြင်းပယ်ခြင်း (Logical negation) | <code>\lnot</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{A}</math> | <code>\bar</code> |} === အရေအတွက်ပြကိန်းများ (Quantifiers) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\forall</math> | style="text-align:center" | <math>\forall\,x</math> | rowspan="2" | [[အစုဝင်]] <math>x</math> အားလုံးအတွက်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | စကြဝဠာ အရေအတွက်ပြကိန်း (Universal quantifier) | <code>\forall</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bigwedge</math> | style="text-align:center" | <math>\bigwedge_x</math> | <code>\bigwedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>\exists</math> | style="text-align:center" | <math>\exists\,x</math> | rowspan="2" | အစုဝင် <math>x</math> အနည်းဆုံးတစ်ခု တည်ရှိသည်။ | rowspan="2" | တည်ရှိမှု အရေအတွက်ပြကိန်း (Existential quantifier) | <code>\exists</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bigvee</math> | style="text-align:center" | <math>\bigvee_x</math> | <code>\bigvee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\exists !</math> | style="text-align:center" | <math>\exists !\,x</math> | rowspan="2" | အစုဝင် <math>x</math> တိကျစွာ တစ်ခုတည်းသာ တည်ရှိသည်။ | rowspan="2" | တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု အရေအတွက်ပြကိန်း (Uniqueness quantifier) | <code>\exists!</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bigvee^\centerdot</math> | style="text-align:center" | <math>\bigvee^\centerdot_x</math> | <code>\dot\bigvee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nexists</math> | style="text-align:center" | <math>\nexists\,x</math> | အစုဝင် <math>x</math> မတည်ရှိပါ။ | တည်ရှိမှု အရေအတွက်ပြကိန်း (Existential quantifier) | <code>\nexists</code> |} === ကောက်ချက်ချခြင်း သင်္ကေတများ (Deduction symbols) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\vdash</math> | style="text-align:center" | <math>A \vdash B</math> | ဖော်ပြချက် <math>B</math> ကို ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှ ဝါကျဖွဲ့ထုံးအရ ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ | သက်သေပြနိုင်စွမ်း (Provability) | <code>\vdash</code> |- | rowspan=2 align="center" | <math>\models</math> | style="text-align:center" | <math>A \models B</math> | ဖော်ပြချက် <math>B</math> သည် ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှ ဆိုလိုရင်းအရ ဆင်းသက်လာသည်။ | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အကျိုးဆက် (Logical consequence) | rowspan="2" | <code>\models</code>, <code>\vDash</code> |- | style="text-align:center" | <math>\models A</math> | rowspan="2" | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သည် စကြဝဠာတစ်ခုလုံးတွင် မှန်ကန်သည်။ | rowspan="2" | အမြဲမှန်ဖော်ပြချက် (Tautology) |- | style="text-align:center" | <math>\top</math> | style="text-align:center" | <math>A \top</math> | <code>\top</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bot</math> | style="text-align:center" | <math>A \bot</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> သည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြစ်သည်။ | ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (Contradiction) | <code>\bot</code> |- | style="text-align:center" | <math>\therefore</math> | style="text-align:center" | <math>A \therefore B</math> | ဖော်ပြချက် <math>A</math> မှန်ကန်သည်။ ထို့ကြောင့် ဖော်ပြချက် <math>B</math> လည်း မှန်ကန်သည်။ | rowspan="2" | ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ခြင်း (Logical derivation) | <code>\therefore</code> |- | style="text-align:center" | <math>\because</math> | style="text-align:center" | <math>A \because B</math> | ဖော်ပြချက် <math>B</math> မှန်ကန်သောကြောင့် ဖော်ပြချက် <math>A</math> လည်း မှန်ကန်သည်။ | <code>\because</code> |- | style="text-align:center" | ↯ | style="text-align:center" | | ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြစ်သည်။ | ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြင့် သက်သေပြခြင်း (Proof by contradiction) | <code>\lightning</code> |- | style="text-align:center" | <math>\blacksquare</math> |rowspan=2 align="center" | | rowspan="2" | သက်သေပြချက် အဆုံးသတ် (Q.E.D.) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | Q.E.D. | <code>\blacksquare</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Box</math> | <code>\Box</code> |} == [[အစုသီအိုရီ]] (Set theory) == === အစု တည်ဆောက်ပုံ (Set construction) === {| class="wikitable" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>\emptyset</math> | style="text-align:center"| <math>\emptyset</math> | rowspan="3"| ဗလာအစု (Empty set) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| [[ဗလာစု]] (Empty set) | <code>\emptyset</code> |- | style="text-align:center"| <math>\varnothing</math> | style="text-align:center"| <math>\varnothing</math> | <code>\varnothing</code> |- | rowspan="2" style="text-align:center"| <math>\{~\}</math> | style="text-align:center"| <math>\{~\}</math> | rowspan="2"| <code>\{ \}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\{ a,b,\ldots \}</math> | <math>a</math>၊ <math>b</math> နှင့် အခြား[[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သော အစုဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| [[အစု]] (Set)၊ အတန်းအစား (Class) |- | style="text-align:center"| <math>\mid</math> | style="text-align:center"| <math>\{ a \mid A(a) \}</math> | rowspan="2"| ဖော်ပြချက် <math>A(a)</math> မှန်ကန်သော အစုဝင် <math>a</math> များ၏ အစု သို့မဟုတ် အတန်းအစားဖြစ်သည်။ | <code>\mid</code> |- | style="text-align:center"| <math>\colon</math> | style="text-align:center"| <math>\{ a\colon A(a) \}</math> | <code>\colon</code> |} === အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ (Set operations) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>\cap</math> | style="text-align:center"| <math>A \cap B</math> | [[အစု]] <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ထပ်တူပိုင်းအစုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ထပ်တူပိုင်းအစု (Intersection) | <code>\cap</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigcap</math> | style="text-align:center"| <math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>, <math>\bigcap_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ထပ်တူပိုင်းအစုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ထပ်တူပိုင်းအစုဖြစ်သည်။ | <code>\bigcap</code> |- | style="text-align:center"| <math>\cup</math> | style="text-align:center"| <math>A \cup B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ပေါင်းစပ်စု (Union) | <code>\cup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigcup</math> | style="text-align:center"| <math>\bigcup_{i=1}^n A_i</math>, <math>\bigcup_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\bigcup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\setminus</math> | style="text-align:center"| <math>A \setminus B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ခြားနားခြင်းဖြစ်သည်။ | အစု ခြားနားခြင်း (Set difference) | <code>\setminus</code> |- | style="text-align:center"| <math>{}^\mathsf{C}</math> | style="text-align:center"| <math>A^\mathsf{C}</math> | rowspan="2"| အစု <math>A</math> ၏ ဖြည့်စွက်စုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ဖြည့်စွက်စု (Complement) | <code>^\mathsf{C}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center"| <math>\overline{A}</math> | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigtriangleup</math> | style="text-align:center"| <math>A \bigtriangleup B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ အချိုးညီ ခြားနားခြင်းဖြစ်သည်။ | အချိုးညီ ခြားနားခြင်း (Symmetric difference) | <code>\bigtriangleup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\dot\cup</math> | style="text-align:center"| <math>A \,\dot\cup\, B</math> | ဘုံမပါသော အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | rowspan="4"| ဘုံမပါသော ပေါင်းစပ်စု (Disjoint union) | <code>\,\dot\cup\,</code> |- | style="text-align:center"| <math>\dot\bigcup</math> | style="text-align:center"| <math>\dot{\bigcup_{i=1}}^n A_i</math>, <math>\dot{\bigcup_{i \in I}}\, A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\dot{\bigcup...}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\sqcup</math> | style="text-align:center"| <math>A \sqcup B</math> | ဘုံမပါသော အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\sqcup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\bigsqcup</math> | style="text-align:center"| <math>\bigsqcup_{i=1}^n A_i</math>, <math>\bigsqcup_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အချင်းချင်း ဘုံမပါသော အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုဖြစ်သည်။ | <code>\bigsqcup</code> |- | style="text-align:center"| <math>\times</math> | style="text-align:center"| <math>A \times B</math> | အစု <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]]ဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center"| <math>\prod</math> | style="text-align:center"| <math>\prod_{i=1}^n A_i</math>, <math>\prod_{i \in I} A_i</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> ပါဝင်သည့် အစု <math>A_i</math> အားလုံး၏ ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ | <code>\prod</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathcal{P}</math> | style="text-align:center"| <math>\mathcal{P}(A)</math> | rowspan="2"| အစု <math>A</math> ၏ ပါဝါအစုဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ပါဝါအစု (Power set) | <code>\mathcal{P}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathfrak{P}</math> | style="text-align:center"| <math>\mathfrak{P}(A)</math> | <code>\mathfrak{P}</code> |} === အစုဆိုင်ရာ ဆက်သွယ်ချက်များ (Set relations) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>=</math> | style="text-align:center" | <math>A = B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> နှင့် ညီမျှသည်။ | [[အစု]] (Set) | <code>=</code> |- | style="text-align:center"| <math>\subset</math> | style="text-align:center"| <math>A \subset B</math> | rowspan="2"| <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ [[အစုပိုင်း]]အစစ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| အစုပိုင်း (Subset) | <code>\subset</code> |- | style="text-align:center"| <math>\subsetneq</math> | style="text-align:center"| <math>A \subsetneq B</math> | <code>\subsetneq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\subseteq</math> | style="text-align:center"| <math>A \subseteq B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ အစုပိုင်းဖြစ်သည်။ | <code>\subseteq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\supset</math> | style="text-align:center"| <math>A \supset B</math> | rowspan="2"| <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ မူလအစုအစစ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| မူလအစု (Superset) | <code>\supset</code> |- | style="text-align:center"| <math>\supsetneq</math> | style="text-align:center"| <math>A \supsetneq B</math> | <code>\supsetneq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\supseteq</math> | style="text-align:center"| <math>A \supseteq B</math> | <math>A</math> သည် <math>B</math> ၏ မူလအစုဖြစ်သည်။ | <code>\supseteq</code> |- | style="text-align:center"| <math>\in</math> | style="text-align:center"| <math>a \in A</math> | rowspan="2"| [[အစုဝင်]] <math>a</math> သည် [[အစု]] <math>A</math> တွင် ပါဝင်သည်။ | rowspan="4"| [[အစုဝင်]] (Element) | <code>\in</code> |- | style="text-align:center"| <math>\ni</math> | style="text-align:center"| <math>A \ni a</math> | <code>\ni</code>, <code>\owns</code> |- | style="text-align:center"| <math>\notin</math> | style="text-align:center"| <math>a \notin A</math> | rowspan="2"| အစုဝင် <math>a</math> သည် အစု <math>A</math> တွင် မပါဝင်ပါ။ | <code>\notin</code> |- | style="text-align:center"| <math>\not\ni</math> | style="text-align:center"| <math>A \not\ni a</math> | <code>\not\ni</code> |} ''မှတ်ချက်''- သင်္ကေတများဖြစ်သော <math>\subset</math> နှင့် <math>\supset</math> တို့ကို တသမတ်တည်း အသုံးမပြုကြပေ။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် အစုနှစ်ခု ညီမျှခြင်းကို မကြာခဏဆိုသလို ဖယ်ထုတ်လေ့မရှိပါ။ === အစုအရွယ်အစားများ (Cardinalities) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>|~~|</math> | style="text-align:center"| <math>|A|</math> | rowspan="2"| [[အစု]] <math>A</math> ၏ အစုအရွယ်အစားဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| အစုအရွယ်အစား (Cardinality) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center"| <math>\#</math> | style="text-align:center"| <math>\# A</math> | <code>\#</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathfrak{c}</math> | style="text-align:center"| | ကွန်တီနူရမ်၏ အစုအရွယ်အစားဖြစ်သည်။ | ကွန်တီနူရမ်၏ အစုအရွယ်အစား (Cardinality of the continuum) | <code>\mathfrak{c}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\aleph</math> | style="text-align:center"| <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, ... | ကာဒီနယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ | ကာဒီနယ်ကိန်း (Cardinal number) | <code>\aleph</code> |- | style="text-align:center"| <math>\beth</math> | style="text-align:center"| <math>\beth_0</math>, <math>\beth_1</math>, ... | ဘတ်သ် ကိန်းများဖြစ်သည်။ | ဘတ်သ် ကိန်း (Beth number) | <code>\beth</code> |} === ကိန်းအစုများ (Number sets) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb P</math> | သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်သည်။ |[[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) | <code>\mathbb{P}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\N</math> | သဘာဝကိန်းများဖြစ်သည်။ | [[သဘာဝကိန်း]] (Natural number) | <code>\mathbb{N}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\Z</math> | ကိန်းပြည့်များဖြစ်သည်။ | [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) | <code>\mathbb{Z}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb{F}</math> | [[သုဒ္ဓကိန်း]] ဝိသေသလက္ခဏာပါသော အဆုံးရှိ [[ဖီးလ်ဒ်]]ဖြစ်သည်။ | [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်]] (Finite field) | <code>\mathbb{F}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\Q</math> | ရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ | [[ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (Rational number) | <code>\mathbb{Q}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb I</math> | အီရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။ | [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း]] (Irrational number) | <code>\mathbb{I}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb A</math> | ကိန်းရင်းများဖြစ်သည်။ | ကိန်းရင်း (Algebraic number) | <code>\mathbb{A}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb T</math> | ကိန်းလွန်များဖြစ်သည်။ | ကိန်းလွန် (Transcendental number) | <code>\mathbb{T}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb R</math> | ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ | [[ကိန်းစစ်]] (Real number) | <code>\mathbb{R}</code> |- | style="text-align:center"| <math>{}^*\mathbb{R}</math> | ဟိုက်ပါကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ | ဟိုက်ပါကိန်းစစ် (Hyperreal number) | <code>{}^*\mathbb{R}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb C</math> | ကိန်းထွေးများဖြစ်သည်။ | [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) | <code>\mathbb{C}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\hat{\mathbb{C}}</math> | ကိန်းထွေးပြင်ညီ၏ ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း သို့မဟုတ် ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဖြစ်သည်။ | ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Riemann sphere) | <code>\hat{\mathbb{C}}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb H</math> | ကွာတာနီယွန်များဖြစ်သည်။ | ကွာတာနီယွန် (Quaternion) | <code>\mathbb{H}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb O</math> | အော့တိုနီယွန်များဖြစ်သည်။ | အော့တိုနီယွန် (Octonion) | <code>\mathbb{O}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb S</math> | ဆီဒီးနီယွန်များဖြစ်သည်။ | ဆီဒီးနီယွန် (Sedenion) | <code>\mathbb{S}</code> |- | style="text-align:center"| <math>\mathbb{K}</math> | <math>\mathbb{K} \in \{\R,\Complex\}</math> ဖြစ်သည်။ | ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ / အက္ခရာသင်္ချာများ (Banach algebra / Algebras) | <code>\mathbb{K}</code> |} == ဂဏန်းသင်္ချာ (Arithmetic) == === ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများ (Arithmetic operators) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>+</math> | style="text-align:center" | <math>a + b</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ကို ပေါင်းသည်။ | [[ပေါင်းခြင်း%20(သင်္ချာ)|ပေါင်းခြင်း]] (Addition) | <code>+</code> |- | style="text-align:center" | <math>-</math> | style="text-align:center" | <math>a - b</math> | <math>a</math> ထဲမှ <math>b</math> ကို နုတ်သည်။ | [[နုတ်ခြင်း%20(သင်္ချာ)|နုတ်ခြင်း]] (Subtraction) | <code>-</code> |- | style="text-align:center" |<math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>a \cdot b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ကို မြှောက်သည်။ | rowspan="2" |[[မြှောက်ခြင်း%20(သင်္ချာ)|မြှောက်ခြင်း]] (Multiplication) | <code>\cdot</code> |- | style="text-align:center" |<math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>a \times b</math> | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>a : b</math> | rowspan="4" | <math>a</math> ကို <math>b</math> ဖြင့် စားသည်။ | rowspan="4" | [[စားခြင်း%20(သင်္ချာ)|စားခြင်း]] (Division) | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>a/b</math> | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>\div</math> | style="text-align:center" | <math>a \div b</math> | <code>\div</code> |- | style="text-align:center" | <math>\frac{~~}{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\tfrac{a}{b}</math> | <code>\frac</code> |- | style="text-align:center" | <math>-</math> | style="text-align:center" | <math>-a</math> | အနုတ်ကိန်း <math>a</math> သို့မဟုတ် <math>a</math> ၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်ဖြစ်သည်။ | တစ်လုံးသွင်း အနုတ် (Unary minus) | <code>-</code> |- | style="text-align:center" | <math>\pm</math> | style="text-align:center" | <math>\pm a</math> | အပေါင်း သို့မဟုတ် အနုတ် <math>a</math> ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အပေါင်း-အနုတ် သင်္ကေတ (Plus-minus sign) | <code>\pm</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mp</math> | style="text-align:center" | <math>\mp a</math> | အနုတ် သို့မဟုတ် အပေါင်း <math>a</math> ဖြစ်သည်။ | <code>\mp</code> |- | style="text-align:center" | <math>(~)</math> | style="text-align:center" | <math>(a)</math> | rowspan="2" | ကိန်းတန်း <math>a</math> ကို ဦးစွာ တွက်ချက်သည်။ | rowspan="2" | ကွင်း (Bracket) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>[~]</math> | style="text-align:center" | <math>[a]</math> | <code>[ ]</code> |} === အခြေခံ ဖန်ရှင်များ (Elementary functions) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\%</math> | style="text-align:center" | <math>p \, \%</math> | <math>p</math> ရာခိုင်နှုန်းဖြစ်သည်။ | ရာခိုင်နှုန်း (Percent) | <code>\%</code> |- | style="text-align:center" | <math>| ~~ |</math> | style="text-align:center" | <math>| x |</math> | <math>x</math> ၏ ပကတိတန်ဖိုးဖြစ်သည်။ | ပကတိတန်ဖိုး (Absolute value) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\left[ ~~ \right]</math> | style="text-align:center" | <math>\left[ x \right]</math> |rowspan="1"| <math>x</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော အကြီးဆုံး [[ကိန်းပြည့်]]ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ယခုအခါ အသုံးမပြုတော့သော သင်္ကေတဖြစ်သည်။<ref>အော့တို ဖော်စတာ။ ''Analysis 1 Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen'' (၁၂ ကြိမ်မြောက် ပြင်ဆင်ထုတ်ဝေမှု)။ Wiesbaden၊ ၂၀၁၆။ စာမျက်နှာ - ၃၃၈။</ref> |rowspan="3"| အောက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး ဖန်ရှင်နှင့် အထက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး ဖန်ရှင်များ (Floor and ceiling functions) | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lfloor ~~ \rfloor</math> | style="text-align:center" | <math>\lfloor x \rfloor</math> | <math>x</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော အကြီးဆုံး ကိန်းပြည့်ဖြစ်သည်။ | <code>\lfloor \rfloor</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lceil ~~ \rceil</math> | style="text-align:center" | <math>\lceil x \rceil</math> | <math>x</math> ထက်ကြီးသော သို့မဟုတ် ညီသော အငယ်ဆုံး ကိန်းပြည့်ဖြစ်သည်။ | <code>\lceil \rceil</code> |- |rowspan="2" align="center" | <math>\sqrt{\,}</math> | style="text-align:center" | <math>\sqrt{x}</math> | <math>x</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square root) | rowspan="2" | <code>\sqrt</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sqrt[n]{x}</math> | <math>x</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။ |} ''မှတ်ချက်''- ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်ကို သီးခြား သင်္ကေတဖြင့် မပြသထားပါ။ သို့သော် ထပ်ကိန်းကို အပေါ်တင်အညွှန်းကိန်းဖြင့် ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ === ကိန်းထွေးများ (Complex numbers) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\mathrm{i}</math> | style="text-align:center" | <math>a + b\mathrm{i}</math> | [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်ယူနစ်]]ဖြစ်သည်။ | ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) | <code>\mathrm{i}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Re</math> | style="text-align:center" | <math>\Re(z)</math> | ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) | <code>\Re</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Im</math> | style="text-align:center" | <math>\Im(z)</math> | ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းယောင်ပိုင်းဖြစ်သည်။ | <code>\Im</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bar{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\bar{z}</math> | rowspan="2" | ကိန်း <math>z</math> ၏ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (Complex conjugation) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>z^\ast</math> | <code>^\ast</code> |} ''မှတ်ချက်-'' အတိုကောက်များဖြစ်သော <math>\operatorname{Re}</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}</math> များကို ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းကို သတ်မှတ်ရန် အထူးသဖြင့် အသုံးပြုကြသည်။ === ညီမျှခြင်း သင်္ကေတများ (Equality signs) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>=</math> | style="text-align:center" | <math>a = b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ညီမျှသည်။ | ညီမျှခြင်း (Equation) | <code>=</code> |- | style="text-align:center" | <math>\neq</math> | style="text-align:center" | <math>a \neq b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် မညီမျှပါ။ | မညီမျှခြင်း (Inequality) | <code>\neq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\equiv</math> | style="text-align:center" | <math>a \equiv b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ထပ်တူညီသည်။ | ထပ်တူရဖြစ်မှု (Identity) | <code>\equiv</code> |- | style="text-align:center" | <math>\approx</math> | style="text-align:center" | <math>a \approx b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် ညီမျှသည်။ | အနီးစပ်ဆုံး ယူခြင်း (Rounding) | <code>\approx</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>a \sim b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် အချိုးကျသည်။ | rowspan="2" | အချိုးကျခြင်း (Proportionality) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\propto</math> | style="text-align:center" | <math>a \propto b</math> | <code>\propto</code> |- | style="text-align:center" | <math>\widehat{=}</math> | style="text-align:center" | <math>a \, \widehat{=} \, b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ကိုက်ညီသည်။ | ခန့်မှန်းချက်များ (Estimates) | <code>\widehat{=}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>a\sim b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် တူညီသည်ဟု ခန့်မှန်းရသည်။ | ဦးစားပေး ဆက်သွယ်ချက် (Preference relation) | <code>\sim </code> |- | style="text-align:center" | <math>\simeq</math> | style="text-align:center" | <math>a\simeq b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> နှင့် ချဉ်းကပ်မှုအရ ညီမျှသည်။ | ချဉ်းကပ်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Asymptotic analysis) | <code>\simeq </code> |} === နှိုင်းယှဉ်ခြင်း သင်္ကေတများ (Comparison signs) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math><</math> | style="text-align:center" | <math>a < b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ငယ်သည်။ | rowspan="14" | မညီမျှခြင်း (Inequality) | <code><</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lneq</math> | style="text-align:center" | <math>a \lneq b</math> | <code>\lneq</code> |- | style="text-align:center" | <math>></math> | style="text-align:center" | <math>a > b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ကြီးသည်။ | <code>></code> |- | style="text-align:center" | <math>\gneq</math> | style="text-align:center" |<math>a \gneq b</math> | <code>\gneq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leq</math> | style="text-align:center" | <math>a \leq b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ငယ်သည် သို့မဟုတ် ညီသည်။ | <code>\le</code>, <code>\leq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leqq</math> | style="text-align:center" | <math>a \leqq b</math> | <code>\leqq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\geq</math> | style="text-align:center" | <math>a \geq b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ကြီးသည် သို့မဟုတ် ညီသည်။ | <code>\ge</code>, <code>\geq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\geqq</math> | style="text-align:center" | <math>a \geqq b</math> | <code>\geqq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ll</math> | style="text-align:center" | <math>a \ll b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်များစွာ ငယ်သည်။ | <code>\ll</code> |- | style="text-align:center" | <math>\gg</math> | style="text-align:center" | <math>a \gg b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်များစွာ ကြီးသည်။ | <code>\gg</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lll</math> | style="text-align:center" | <math>a \lll b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်တရာ ငယ်သည်။ | <code>\lll</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ggg</math> | style="text-align:center" | <math>a \ggg b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် အလွန်တရာ ကြီးသည်။ | <code>\ggg</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lessgtr</math> | style="text-align:center" | <math>a \lessgtr b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ငယ်သည် သို့မဟုတ် ကြီးသည်။ | <code>\lessgtr</code> |- | style="text-align:center" | <math>\gtrless</math> | style="text-align:center" | <math>a \gtrless b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ထက် ကြီးသည် သို့မဟုတ် ငယ်သည်။ | <code>\gtrless</code> |- | style="text-align:center" | <math>\prec</math> | style="text-align:center" | <math>a\prec b</math> | <math>b</math> ကို <math>a</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုဦးစားပေးသည်။ | rowspan="4" | ဦးစားပေး ဆက်သွယ်ချက် (Preference relation) | <code>\prec</code> |- | style="text-align:center" | <math>\succ</math> | style="text-align:center" | <math>a\succ b</math> | <math>a</math> ကို <math>b</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုဦးစားပေးသည်။ | <code>\succ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\preccurlyeq</math> | style="text-align:center" | <math>a \preccurlyeq b</math> | <math>b</math> ကို <math>a</math> ထက် အားနည်းစွာ ဦးစားပေးသည်။ သို့မဟုတ် <math>b</math> သည် အနည်းဆုံး <math>a</math> ကဲ့သို့ ကောင်းမွန်သည်။ | <code>\preccurlyeq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\succcurlyeq</math> | style="text-align:center" | <math>a\succcurlyeq b</math> | <math>a</math> ကို <math>b</math> ထက် အားနည်းစွာ ဦးစားပေးသည်။ သို့မဟုတ် <math>a</math> သည် အနည်းဆုံး <math>b</math> ကဲ့သို့ ကောင်းမွန်သည်။ | <code>\succcurlyeq</code> |} === စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ (Divisibility) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\mid</math> | style="text-align:center" | <math>a \mid b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို စားပြတ်သည်။ |rowspan="3"| စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ (Divisibility properties) | <code>\mid</code> |- | style="text-align:center" | <math>\parallel</math> | style="text-align:center" | <math>a \parallel b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို တိကျစွာ စားပြတ်သည်။ | <code>\parallel</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nmid</math> | style="text-align:center" | <math>a \nmid b</math> | <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို မစားပြတ်ပါ။ | <code>\nmid</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp</math> | style="text-align:center" | <math>a \perp b</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် နှိုင်းရသုဒ္ဓများဖြစ်ကြသည်။ | နှိုင်းရသုဒ္ဓ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (Coprime integers) | <code>\perp</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sqcap</math> | style="text-align:center" | <math>a \sqcap b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့၏ အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း (Greatest common divisor) | <code>\sqcap</code> |- | style="text-align:center" | <math>\wedge</math> | style="text-align:center" | <math>a \wedge b</math> | <code>\wedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sqcup</math> | style="text-align:center" | <math>a \sqcup b</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (Least common multiple) | <code>\sqcup</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vee</math> | style="text-align:center" | <math>a \vee b</math> | <code>\vee</code> |- | style="text-align:center" | <math>\equiv</math> | style="text-align:center" | <math> a \equiv b \bmod m</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် မော်ဂျူလို <math>m</math> တွင် ထပ်တူညီကြသည်။ | မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာ (Modular arithmetic) | <code>\equiv</code> |} === သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသေများ (Mathematical constants) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ !width="27%"| အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း !width="23%"| ဆောင်းပါး !width="20%"| LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\Phi</math> | ရွှေအချိုးဖြစ်သည်။ | ရွှေအချိုး (Golden ratio) | <code>\Phi</code> |- | style="text-align:center" | <math>\pi</math> | ပိုင်ဖြစ်သည်။ | [[ပိုင်]] (Pi) | <code>\pi</code> |- | style="text-align:center" |<math>\mathrm{e}</math> | အွိုင်လာ၏ ကိန်းဖြစ်သည်။ | အွိုင်လာ၏ ကိန်း (Euler's number) | <code>\mathrm{e}</code> |} == အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) == === ဆက်သွယ်ချက်များ (Relations) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | rowspan=2 align="center" | <math>\circ</math> | style="text-align:center" | <math>R \circ S</math> | ဆက်သွယ်ချက် (relation) <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သည်။ | ဆက်သွယ်ချက်များ ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition of relations) | rowspan="2" | <code>\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>a \circ b</math> |rowspan="3"| [[အစုဝင်]] <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့အပေါ် လုပ်ဆောင်သော ယေဘုယျ တွက်ချက်မှု (general operation) ဖြစ်သည်။ |rowspan="3"| နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (Binary operation) |- | style="text-align:center" | <math>\bullet</math> | style="text-align:center" | <math>a \bullet b</math> | <code>\bullet</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ast</math> | style="text-align:center" | <math>a \ast b</math> | <code>\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leq</math> | style="text-align:center" | <math>a \leq b</math> | အစုဝင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ အစဉ်လိုက် ဆက်သွယ်ချက် (order relation) ဖြစ်သည်။ | အစဉ်လိုက် ဆက်သွယ်ချက် (Order relation) | <code>\leq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\prec</math> | style="text-align:center" | <math>a \prec b</math> | အစုဝင် <math>a</math> သည် အစုဝင် <math>b</math> ၏ ရှေ့ပြေး (predecessor) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (Successor function) | <code>\prec</code> |- | style="text-align:center" | <math>\succ</math> | style="text-align:center" | <math>a \succ b</math> | အစုဝင် <math>a</math> သည် အစုဝင် <math>b</math> ၏ နောက်ဆက်တွဲ (successor) ဖြစ်သည်။ | <code>\succ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>a \sim b</math> | အစုဝင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) ဖြစ်သည်။ | ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (Equivalence relation) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>[ a ]</math> | အစုဝင် <math>a</math> ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (equivalence class) ဖြစ်သည်။ | ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (Equivalence class) | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>M / \sim </math> | ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် <math>\sim</math> အပေါ်အခြေခံသော [[အစု]] <math>M</math> ၏ စားလဒ်အစု (quotient set) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်အစု (Quotient set) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{-1}</math> | style="text-align:center" | <math>R^{-1}</math> | ဆက်သွယ်ချက် <math>R</math> ၏ ပြောင်းပြန် ဆက်သွယ်ချက် (converse relation) ဖြစ်သည်။ | ပြောင်းပြန် ဆက်သွယ်ချက် (Converse relation) | <code>^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{+}</math> | style="text-align:center" | <math>R^{+}</math> | ဆက်သွယ်ချက် <math>R</math> ၏ ကူးပြောင်းနိုင်သော အပိတ် (transitive closure) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကူးပြောင်းနိုင်သော အပိတ် (Transitive closure) | <code>+</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>R^\ast</math> | ဆက်သွယ်ချက် <math>R</math> ၏ ကိုယ်ပြန်ဟပ် ကူးပြောင်းနိုင်သော အပိတ် (reflexive transitive closure) ဖြစ်သည်။ | <code>\ast</code> |} === အုပ်စုသီအိုရီ (Group theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\simeq</math> | style="text-align:center" | <math>G \simeq H</math> | rowspan="2" | [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့သည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ် (isomorphic)]] ဖြစ်ကြသည်။ | rowspan="2" | အုပ်စု အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Group isomorphism) | <code>\simeq</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cong</math> | style="text-align:center" | <math>G \cong H</math> | <code>\cong</code> |- | style="text-align:center" | <math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>G \times H</math> | အုပ်စု <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့၏ တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (direct product) ဖြစ်သည်။ | တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (Direct product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>\rtimes</math> | style="text-align:center" | <math>G \rtimes H</math> | အုပ်စု <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့၏ တစ်ပိုင်းတိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (semidirect product) ဖြစ်သည်။ | တစ်ပိုင်းတိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (Semidirect product) | <code>\rtimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>\wr</math> | style="text-align:center" | <math>G \, \wr \, H</math> | အုပ်စု <math>G</math> နှင့် <math>H</math> တို့၏ ရစ်ပတ် မြှောက်လဒ် (wreath product) ဖြစ်သည်။ | ရစ်ပတ် မြှောက်လဒ် (Wreath product) | <code>\wr</code> |- | style="text-align:center" | <math>\leq</math> | style="text-align:center" | <math>U \leq G</math> | <math>U</math> သည် အုပ်စု <math>G</math> ၏ [[အုပ်စုပိုင်း]] (subgroup) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | အုပ်စုပိုင်း (Subgroup) | <code>\leq</code> |- | style="text-align:center" | <math><</math> | style="text-align:center" | <math>U < G</math> | <math>U</math> သည် အုပ်စု <math>G</math> ၏ အုပ်စုပိုင်းအစစ် (proper subgroup) ဖြစ်သည်။ | <code>\lt</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vartriangleleft</math> | style="text-align:center" | <math>N \vartriangleleft G</math> | rowspan="2" | <math>N</math> သည် အုပ်စု <math>G</math> ၏ မူမှန်အုပ်စုပိုင်း (normal subgroup) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | မူမှန်အုပ်စုပိုင်း (Normal subgroup) | <code>\vartriangleleft</code> |- | style="text-align:center" | <math>\trianglelefteq</math> | style="text-align:center" | <math>N \trianglelefteq G</math> | <code>\trianglelefteq</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>G / N</math> | မူမှန်အုပ်စုပိုင်း <math>N</math> ကိုအခြေခံသော အုပ်စု <math>G</math> ၏ စားလဒ်အုပ်စု (quotient group) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်အုပ်စု (Quotient group) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>( G : U )</math> | အုပ်စု <math>G</math> အတွင်းရှိ အုပ်စုပိုင်း <math>U</math> ၏ အညွှန်း (index) ဖြစ်သည်။ | အုပ်စုပိုင်းတစ်ခု၏ အညွှန်း (Index of a subgroup) | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle E \rangle</math> | [[အစု]] <math>E</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော အုပ်စုပိုင်း (generated subgroup) ဖြစ်သည်။ | အုပ်စုတစ်ခု၏ ထုတ်လုပ်ကိန်းအစု (Generating set of a group) | <code>\langle \rangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>( g, h )</math> | အုပ်စု [[အစုဝင်]] <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့၏ ကွန်ဂျူဂိတ် (conjugate) ဖြစ်သည်။ | ကွန်ဂျူဂိတ် အတန်းအစား (Conjugacy class) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>[ g, h ]</math> | အုပ်စု အစုဝင် <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့၏ ကွန်မြူတေတာ (commutator) ဖြစ်သည်။ | ကွန်မြူတေတာ (Commutator) | <code>[ ]</code> |} === ကွင်းသီအိုရီ (Ring theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>R^\ast</math> | rowspan="2" | [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> ၏ ယူနစ်များ၏ အုပ်စု (group of units) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ယူနစ်များ၏ အုပ်စု (Group of units) | <code>^\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\times</math> | style="text-align:center" | <math>R^\times</math> | <code>^\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vartriangleleft</math> | style="text-align:center" | <math>I \vartriangleleft R</math> | <math>I</math> သည် ကွင်း <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ် (ideal) ဖြစ်သည်။ | အိုင်ဒီးလ် (Ideal) | <code>\vartriangleleft</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>R / I</math> | အိုင်ဒီးလ် <math>I</math> ကိုအခြေခံသော ကွင်း <math>R</math> ၏ စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်ကွင်း (Quotient ring) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>R[ X ]</math> | ကိန်းရှင် (variable) <math>X</math> ပါဝင်ပြီး ကွင်း <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည်။ | ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (Polynomial ring) | <code>[ ]</code> |} === ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (Field theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>L / K</math> | rowspan="3" | [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ် ဖီးလ်ဒ် <math>L</math> ၏ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3" | ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (Field extension) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mid</math> | style="text-align:center" | <math>L \mid K</math> | <code>\mid</code> |- | rowspan=2 align="center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>L : K</math> | rowspan="2" | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>[ L : K ]</math> | <math>K</math> အပေါ် <math>L</math> ၏ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း ဒီဂရီ (degree) ဖြစ်သည်။ | ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း၏ ဒီဂရီ (Degree of a field extension) |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{K}</math> | ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (algebraic closure) ဖြစ်သည်။ | အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (Algebraic closure) | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathbb{K}</math> | style="text-align:center" | | ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]၏ ဖီးလ်ဒ်ဖြစ်သည်။ | [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) | <code>\mathbb{K}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathbb{F}</math> | style="text-align:center" | | အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် (finite field) ဖြစ်သည်။ | [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်]] (Finite field) | <code>\mathbb{F}</code> |} == မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ နှင့် ဂျီဩမေတြီ (Linear algebra and geometry) == === အခြေခံ ဂျီဩမေတြီ (Elementary geometry) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{AB}</math> | rowspan="2" | အမှတ် <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပိုင်း (line segment) ဖြစ်သည်။ | rowspan="5" | မျဉ်းပိုင်း (Line segment) | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>[~~]</math> | style="text-align:center" | <math>[AB]</math> | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>|\overline{~~}|</math> | style="text-align:center" | <math>|\overline{AB}|</math> | rowspan="3" | အမှတ် <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပိုင်း၏ အလျား (length) ဖြစ်သည်။ | <code> \vert \overline \vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{AB}</math> | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>|~~|</math> | style="text-align:center" | <math>|AB|</math> | <code>\vert \vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overrightarrow{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overrightarrow{AB}</math> | အမှတ် <math>A</math> မှ အမှတ် <math>B</math> သို့ တည်နေရာရွှေ့ [[ဗက်တာ]] (vector) ဖြစ်သည်။ | [[ဗက်တာ]] (Vector) | <code>\vec</code> |- | style="text-align:center" | | style="text-align:center" | <math>AB</math> | rowspan="2" | အမှတ် <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ကို ဆက်သွယ်ထားသော မျဉ်း (line) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | မျဉ်း (Line) | |- | style="text-align:center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>(AB)</math> | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\angle</math> | style="text-align:center" | <math>\angle ABC</math> | အနား <math>BA</math> နှင့် <math>BC</math> တို့ပါဝင်သော ထောင့် (angle) ဖြစ်သည်။ | ထောင့် (Angle) | <code>\angle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\triangle</math> | style="text-align:center" | <math>\triangle ABC</math> | ထိပ်စွန်းမှတ်များ <math>A</math>၊ <math>B</math> နှင့် <math>C</math> ပါဝင်သော တြိဂံ (triangle) ဖြစ်သည်။ | တြိဂံ (Triangle) | <code>\triangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\square</math> | style="text-align:center" | <math>\square \mathit{ABCD}</math> | ထိပ်စွန်းမှတ်များ <math>A</math>၊ <math>B</math>၊ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ပါဝင်သော စတုဂံ (quadrilateral) ဖြစ်သည်။ | စတုဂံ (Quadrilateral) | <code>\square</code> |- | style="text-align:center" | <math>\parallel</math> | style="text-align:center" | <math>g \parallel h</math> | မျဉ်း <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့သည် အချင်းချင်း ပြိုင်နေကြသည် (parallel)။ | rowspan="2" | မျဉ်းပြိုင် (Parallel) | <code>\parallel</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nparallel</math> | style="text-align:center" | <math>g \nparallel h</math> | မျဉ်း <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့သည် အချင်းချင်း မပြိုင်ကြပါ။ | <code>\nparallel</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp</math> | style="text-align:center" | <math>g \perp h</math> | မျဉ်း <math>g</math> နှင့် <math>h</math> တို့သည် အချင်းချင်း ထောင့်မှန်ကျနေကြသည် (orthogonal/perpendicular)။ | ထောင့်မှန်ကျဖြစ်မှု (Orthogonality) | <code>\perp</code> |} === ဗက်တာများနှင့် ကိန်းအုံများ (Vectors and matrices) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1, \ldots , v_n \end{pmatrix}</math> | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1, \ldots , v_n \end{pmatrix}</math> | [[အစုဝင်]] <math>v_1</math> မှ <math>v_n</math> ပါဝင်သော အတန်း ဗက်တာ (row vector) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | [[ဗက်တာ]] (Vector) | rowspan="3" | <code>\begin{pmatrix}</code><br /><code>...</code><br /><code>\end{pmatrix}</code><br /><br />သို့မဟုတ်<br /><br /><code>\left(</code><br /><code>\begin{array}{...}</code><br /><code>...</code><br /><code>\end{array}</code><br /><code>\right)</code> |- | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix}</math> | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix}</math> | အစုဝင် <math>v_1</math> မှ <math>v_m</math> ပါဝင်သော တိုင် ဗက်တာ (column vector) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} a_{11} & \!\ldots\! & a_{1n} \\ \vdots & \!\ddots\! & \vdots \\ a_{m1} & \!\ldots\! & a_{mn} \end{pmatrix}</math> | style="text-align:center" | <math>\begin{pmatrix} a_{11} & \!\ldots\! & a_{1n} \\ \vdots & \!\ddots\! & \vdots \\ a_{m1} & \!\ldots\! & a_{mn} \end{pmatrix}</math> | အစုဝင် <math>a_{11}</math> မှ <math>a_{mn}</math> ပါဝင်သော ကိန်းအုံ (matrix) ဖြစ်သည်။ | ကိန်းအုံ (Matrix) |} === ဗက်တာ အက္ခရာသင်္ချာ (Vector algebra) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>v \cdot w</math> | rowspan="3"| [[ဗက်တာ]] <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ အစက် မြှောက်လဒ် (dot product) သို့မဟုတ် [[စကေလာ]]မြှောက်လဒ် (scalar product) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3"| အစက် မြှောက်လဒ် (Dot product) | <code>\cdot</code> |- | style="text-align:center" | <math>(~~)</math> | style="text-align:center" | <math>(v,w)</math> | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle v,w \rangle</math><br /><math>\langle v\,|\,w \rangle</math> | <code>\langle \rangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>v \times w</math> | rowspan="2" | ဗက်တာ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ ကြက်ခြေခတ် မြှောက်လဒ် (cross product) သို့မဟုတ် ဗက်တာမြှောက်လဒ် (vector product) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကြက်ခြေခတ် မြှောက်လဒ် (Cross product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>[~~]</math> | style="text-align:center" | <math>[v,w]</math> | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>(~~)</math> | style="text-align:center" | <math>(u,v,w)</math> | ဗက်တာ <math>u</math>၊ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ စကေလာ သုံးခုမြှောက်လဒ် (scalar triple product) ဖြစ်သည်။ | သုံးခုမြှောက်လဒ် (Triple product) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\otimes</math> | style="text-align:center" | <math>v \otimes w</math> | ဗက်တာ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ ဒိုင်ယာဒစ် မြှောက်လဒ် (dyadic product) ဖြစ်သည်။ | ဒိုင်ယာဒစ် မြှောက်လဒ် (Dyadic product) | <code>\otimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>\wedge</math> | style="text-align:center" | <math>v \wedge w</math> | ဗက်တာ <math>v</math> နှင့် <math>w</math> တို့၏ ပြင်ပမြှောက်လဒ် (exterior product) သို့မဟုတ် သပ်ပုံမြှောက်လဒ် (wedge product) ဖြစ်သည်။ | ပြင်ပ အက္ခရာသင်္ချာ (Exterior algebra) | <code>\wedge</code> |- | style="text-align:center" | <math>|~~|</math> | style="text-align:center" | <math>| v |</math> | ဗက်တာ <math>v</math> ၏ ပမာဏ (magnitude) ဖြစ်သည်။ | [[ဗက်တာ]] (Vector) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\|~~\|</math> | style="text-align:center" | <math>\| v \|</math> | ဗက်တာ <math>v</math> ၏ စံနှုန်း (norm) ဖြစ်သည်။ | [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (Norm) | <code>\Vert</code>, <code><nowiki>\|</nowiki></code> |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{v}</math> | ဗက်တာ <math>v</math> လားရာအတိုင်း ယူနစ်ဗက်တာ (unit vector) ဖြစ်သည်။ | ယူနစ်ဗက်တာ (Unit vector) | <code>\hat</code> |} === ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (Matrix algebra) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>A \cdot B</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ | ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း (Matrix multiplication) | <code>\cdot</code> |- | style="text-align:center" | <math>:</math> | style="text-align:center" | <math>A : B</math> | ရူပဗေဒတွင် ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် အတွင်းမြှောက်လဒ် (Frobenius inner product) ဖြစ်သည်။ | ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် အတွင်းမြှောက်လဒ် (Frobenius inner product) | <code>:</code> |- | style="text-align:center" | <math>\circ</math> | style="text-align:center" | <math>A \circ B</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ဟာဒါမတ် မြှောက်လဒ် (Hadamard product) ဖြစ်သည်။ | ဟာဒါမတ် မြှောက်လဒ် (Hadamard product) | <code>\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\otimes</math> | style="text-align:center" | <math>A \otimes B</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့၏ ခရိုနက်ကာ မြှောက်လဒ် (Kronecker product) ဖြစ်သည်။ | ခရိုနက်ကာ မြှောက်လဒ် (Kronecker product) | <code>\otimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\mathsf{T}</math> | style="text-align:center" | <math>A^\mathsf{T}</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ထရန်စပို့စ် (transpose) ဖြစ်သည်။ | ထရန်စပို့စ် (Transpose) | <code>...^\mathsf{T}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\mathsf{H}</math> | style="text-align:center" | <math>A^\mathsf{H}</math> |rowspan="3"| ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ကွန်ဂျူဂိတ် ထရန်စပို့စ် (conjugate transpose) ဖြစ်သည်။ |rowspan="3"| ကွန်ဂျူဂိတ် ထရန်စပို့စ် (Conjugate transpose) | <code>...^\mathsf{H}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>A^\ast</math> | <code>...^\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\dagger</math> | style="text-align:center" | <math>A^\dagger</math> | <code>...^\dagger</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{-1}</math> | style="text-align:center" | <math>A^{-1}</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ပြောင်းပြန် (inverse) ဖြစ်သည်။ | ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ကိန်းအုံ (Invertible matrix) | <code>...^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{+}</math> | style="text-align:center" | <math>A^{+}</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ မိုး-ပန်ရို့စ် ပြောင်းပြန် (Moore-Penrose inverse) ဖြစ်သည်။ | မိုး-ပန်ရို့စ် ပြောင်းပြန် (Moore-Penrose inverse) | <code>...^+</code> |- | style="text-align:center" | <math>| ~~ |</math> | style="text-align:center" | <math>| A |</math> |rowspan="2"| ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (determinant) ဖြစ်သည်။ |rowspan="2"| အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (Determinant) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\det</math> | style="text-align:center" | <math>\det(A)</math> | <code>\det</code> |- | style="text-align:center" | <math>\| ~~ \|</math> | style="text-align:center" | <math>\| A \|</math> | ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]ဖြစ်သည်။ | ကိန်းအုံ စံနှုန်း (Matrix norm) | <code>\Vert</code>, <code><nowiki>\|</nowiki></code> |} === ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>+</math> | style="text-align:center" | <math>V + W</math> | [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ ပေါင်းလဒ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (Direct sum) | <code>+</code> |- | style="text-align:center" | <math>\oplus</math> | style="text-align:center" | <math>V \oplus W</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (direct sum) ဖြစ်သည်။ | <code>\oplus</code> |- | style="text-align:center" | <math>\times</math> | style="text-align:center" | <math>V \times W</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (direct product) ဖြစ်သည်။ | တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (Direct product) | <code>\times</code> |- | style="text-align:center" | <math>\otimes</math> | style="text-align:center" | <math>V \otimes W</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (tensor product) ဖြစ်သည်။ | တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (Tensor product) | <code>\otimes</code> |- | style="text-align:center" | <math>/</math> | style="text-align:center" | <math>V \, / \, U</math> | ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>U</math> ကိုအခြေခံသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ စားလဒ်ရပ်ဝန်း (quotient space) ဖြစ်သည်။ | စားလဒ်ရပ်ဝန်း (Quotient space) | <code>/</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\perp</math> | style="text-align:center" | <math>U^\perp</math> | ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>U</math> ၏ ထောင့်မှန်ကျ ဖြည့်စွက်စု (orthogonal complement) ဖြစ်သည်။ | ထောင့်မှန်ကျ ဖြည့်စွက်စု (Orthogonal complement) | <code>\perp</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>V^{\ast}</math> | ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (dual space) ဖြစ်သည်။ | ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (Dual space) | <code>\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^0</math> | style="text-align:center" | <math>X^0</math> | [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]][[အစု]] <math>X</math> ၏ ချေဖျက်ကိန်း (annihilator) ဖြစ်သည်။ | ချေဖျက်ကိန်း (Annihilator) | <code>0</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle X \rangle</math> | ဗက်တာများအစု <math>X</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့် စပန် (linear span) ဖြစ်သည်။ | မျဉ်းဖြောင့် စပန် (Linear span) | <code>\langle \rangle</code> |} == ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Analysis) == === တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\partial</math> | style="text-align:center" | <math>\partial U</math> | အစု (set) <math>U</math> ၏ နယ်နိမိတ် (boundary) ဖြစ်သည်။ | နယ်နိမိတ် (Boundary) | <code>\partial</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\circ</math> | style="text-align:center" | <math>U^\circ</math> | အစု <math>U</math> ၏ အတွင်းပိုင်း (interior) ဖြစ်သည်။ | အတွင်းပိုင်း (Interior) | <code>^\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>\overline{U}</math> | အစု <math>U</math> ၏ အပိတ်စု (closed set) ဖြစ်သည်။ | အပိတ်စု (Closure) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\dot{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\dot{U}(x)</math> | rowspan="2"| အမှတ် <math>x</math> ၏ ဗဟိုဖယ်ထုတ်ထားသော ပတ်ဝန်းကျင် (punctured neighborhood) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2"| ဗဟိုဖယ်ထုတ်ထားသော ပတ်ဝန်းကျင် (Punctured neighborhood) | <code>\dot</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\bullet</math> | style="text-align:center" | <math>U^\bullet(x)</math> | <code>^\bullet</code> |} === အပိုင်းအခြားများ (Intervals) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>[~~]</math> | style="text-align:center" | <math>[a,b]</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ အပိတ် အပိုင်းအခြား (closed interval) ဖြစ်သည်။ | rowspan="7" | အပိုင်းအခြား (Interval) | rowspan="7" | <code>( )</code><br /><code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>]~~[</math> | style="text-align:center" | <math>]a,b[</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ အဖွင့် အပိုင်းအခြား (open interval) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>(~~)</math> | style="text-align:center" | <math>(a,b)</math> |- | style="text-align:center" | <math>[~~[</math> | style="text-align:center" | <math>[a,b[</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ ညာဘက်တစ်ဝက်ဖွင့် အပိုင်းအခြားဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>[~~)</math> | style="text-align:center" | <math>[a,b)</math> |- | style="text-align:center" | <math>]~~]</math> | style="text-align:center" | <math>]a,b]</math> | rowspan="2" | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ ဘယ်ဘက်တစ်ဝက်ဖွင့် အပိုင်းအခြားဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>(~~]</math> | style="text-align:center" | <math>(a,b]</math> |} === ကိန်းစဉ်များနှင့် ကိန်းစဉ်တန်းများ (Sequences and series) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>( a_n )_n </math> | အစုဝင် (element) <math>a_1, a_2, \ldots </math> ပါဝင်သော ကိန်းစဉ် (sequence) ဖြစ်သည်။ | ကိန်းစဉ် (Sequence) | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>\to</math> | style="text-align:center" | <math>a_n \to a</math> | ကိန်းစဉ် <math>(a_n)</math> သည် စုဆုံမှတ် (limit) <math>a</math> သို့ စုဆုံသည်။ | ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် (Limit of a sequence) | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>\infty</math> | style="text-align:center" | <math>n \to \infty</math> | <math>n</math> သည် အနန္တ (infinity) သို့ ဖြာထွက်သည် (diverges)။ | အနန္တ (Infinity) | <code>\infty</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sum</math> | style="text-align:center" | <math>\sum_{i=1}^n, \sum_{i \in I}</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ ပေါင်းလဒ် သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> အားလုံးအပေါ် ပေါင်းလဒ် (summation) ဖြစ်သည်။ | ပေါင်းလဒ်ရှာခြင်း (Summation) | <code>\sum</code> |- | style="text-align:center" | <math>\prod</math> | style="text-align:center" | <math>\prod_{i=1}^n, \prod_{i \in I}</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ မြှောက်လဒ် သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> အားလုံးအပေါ် မြှောက်လဒ် (product) ဖြစ်သည်။ | မြှောက်လဒ် (Product) | <code>\prod</code> |- | style="text-align:center" | <math>\coprod</math> | style="text-align:center" | <math>\coprod_{i=1}^n, \coprod_{i \in I}</math> | <math>i=1</math> မှ <math>n</math> အထိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် သို့မဟုတ် အစု <math>I</math> တွင်ရှိသော <math>i</math> အားလုံးအပေါ် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct) ဖြစ်သည်။ | ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (Coproduct) | <code>\coprod</code> |} === ဖန်ရှင်များ (Functions) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | rowspan=2 style="text-align:center" | <math>\to</math> | style="text-align:center" | <math>f \colon A \to B</math> | rowspan="2" | ဖန်ရှင် (function) <math>f</math> သည် အစု <math>A</math> မှ အစု <math>B</math> သို့ ပုံဖော်ပေးသည် (maps to)။ | rowspan="4" | ဖန်ရှင် (Function) | rowspan="2" | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>A \, \stackrel f\to \, B</math> |- |rowspan=2 align="center" | <math>\mapsto</math> | style="text-align:center" | <math>f \colon x \mapsto y</math> | rowspan="2" | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အစုဝင် <math>x</math> ကို အစုဝင် <math>y</math> သို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ | rowspan="2" | <code>\mapsto</code> |- | style="text-align:center" | <math>x \, \stackrel f\mapsto \, y</math> |- |rowspan=2 align="center" | <math>( ~~ )</math> | style="text-align:center" | <math>f(x)</math> | အစုဝင် <math>x</math> အတွက် <math>f</math> ၏ ဖန်ရှင်တန်ဖိုးဖြစ်သည်။ |rowspan="3"| [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (Image) | rowspan="2" | <code>( )</code> |- | style="text-align:center" | <math>f(X)</math> | rowspan="2" | ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ အစု <math>X</math> ၏ ပုံရိပ် (image) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>[ ~~ ]</math> | style="text-align:center" | <math>f[X]</math> | <code>[ ]</code> |- | style="text-align:center" | <math>\vert</math> | style="text-align:center" | <math>f \vert_X</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အစု <math>X</math> အပေါ် ကန့်သတ်ခြင်း (restriction) ဖြစ်သည်။ | ကန့်သတ်ခြင်း (Restriction) | <code>\vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>f(\cdot)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အဝင်ကိန်းအဖြစ် ကိန်းရှင် (variable) တစ်ခုအတွက် ကိုယ်စားပြု အစားထိုးစာလုံးဖြစ်သည်။ | ကိန်းရှင် (Variable) | <code>\cdot</code> |- |style="text-align:center" rowspan="2"| <math>{}^{-1}</math> | style="text-align:center" | <math>f^{-1}</math> | <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) ဖြစ်သည်။ | ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (Inverse function) | <code>^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>f^{-1}(Y)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ အစု <math>Y</math> ၏ မူလပုံရိပ် (preimage) ဖြစ်သည်။ | [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] (Preimage) | <code>^{-1}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\circ</math> | style="text-align:center" | <math>f \circ g</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သည်။ | ဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်း (Function composition) | <code>\circ</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ast</math> | style="text-align:center" | <math>f \ast g</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့၏ ကွန်ဗော်လူးရှင်း (convolution) ဖြစ်သည်။ | ကွန်ဗော်လူးရှင်း (Convolution) | <code>\ast</code> |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{f}</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (Fourier transform) ဖြစ်သည်။ | ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (Fourier transform) | <code>\hat</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Vert~\Vert</math> | style="text-align:center" | <math>\Vert f\Vert_\infty</math>,<math>\Vert f\Vert_D</math> | <math>f</math> ၏ စူပရီမမ် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (supremum norm) သို့မဟုတ် ဒိုမိန်း <math>D</math> အပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ စူပရီမမ် စံနှုန်းဖြစ်သည်။ | စူပရီမမ် စံနှုန်း (Supremum norm) | <code>\Vert</code> |- | style="text-align:center" | <math>\exp</math> | style="text-align:center" | <math>\exp(x)</math> | ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ဖြစ်သည်။ | ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (Exponential function) | <code>\exp</code> |- | style="text-align:center" | <math>\log</math> | style="text-align:center" | <math>\log(x)</math>,<math>\log_a(x)</math> | လော်ဂရစ်သမ် (logarithm)၊ အခြေ <math>a</math> ရှိသော လော်ဂရစ်သမ်ဖြစ်သည်။ | လော်ဂရစ်သမ် (Logarithm) | <code>\log</code> |- | style="text-align:center" | <math>\ln</math> | style="text-align:center" | <math>\ln(x)</math> | သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် (natural logarithm) ဖြစ်သည်။ | သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် (Natural logarithm) | <code>\ln</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sin</math> | style="text-align:center" | <math>\sin(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဆိုင်း (sine) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်း (Sine and cosine) | <code>\sin</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cos</math> | style="text-align:center" | <math>\cos(x)</math> | <math>x</math> ၏ ကိုဆိုင်း (cosine) ဖြစ်သည်။ | <code>\cos</code> |- | style="text-align:center" | <math>\tan</math> | style="text-align:center" | <math>\tan(x)</math> | <math>x</math> ၏ တန်းဂျင့် (tangent) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | တန်းဂျင့်နှင့် ကိုတန်းဂျင့် (Tangent and cotangent) | <code>\tan</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cot</math> | style="text-align:center" | <math>\cot(x)</math> | <math>x</math> ၏ ကိုတန်းဂျင့် (cotangent) ဖြစ်သည်။ | <code>\cot</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sinh</math> | style="text-align:center" | <math>\sinh(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဆိုင်း (hyperbolic sine) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဟိုက်ပါဘောလစ် ဆိုင်းနှင့် ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုဆိုင်း (Hyperbolic sine and hyperbolic cosine) | <code>\sinh</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cosh</math> | style="text-align:center" | <math>\cosh(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုဆိုင်း (hyperbolic cosine) ဖြစ်သည်။ | <code>\cosh</code> |- | style="text-align:center" | <math>\tanh</math> | style="text-align:center" | <math>\tanh(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် တန်းဂျင့် (hyperbolic tangent) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဟိုက်ပါဘောလစ် ဖန်ရှင်များ (Hyperbolic functions) | <code>\tanh</code> |- | style="text-align:center" | <math>\coth</math> | style="text-align:center" | <math>\coth(x)</math> | <math>x</math> ၏ ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုတန်းဂျင့် (hyperbolic cotangent) ဖြစ်သည်။ | <code>\coth</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Gamma</math> | style="text-align:center" | <math>\Gamma(x)</math> | ဂါမာ ဖန်ရှင် (gamma function) ဖြစ်သည်။ | ဂါမာ ဖန်ရှင် (Gamma function) | <code>\Gamma</code> |} ''ထပ်မံကြည့်ရှုရန်-'' ဖန်ရှင်များအတွက် နောက်ထပ် သင်္ကေတ အသုံးအနှုန်းများအတွက် သင်္ကေတပြ ဖန်ရှင်များ (Symbolic notations for functions) ကို ကြည့်ပါ။ === စုဆုံမှတ်များ (Limits) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\uparrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \uparrow a} f(x)</math> | rowspan="3" | <math>x</math> သည် <math>a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဘယ်ဖက်မှ စုဆုံမှတ် (left-sided limit) ဖြစ်သည်။ |rowspan="7"| ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် (Limit of a function) | <code>\uparrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nearrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \nearrow a} f(x)</math> | <code>\nearrow</code> |- | rowspan="3" style="text-align:center" | <math>\to</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \to a-} f(x)</math> | rowspan="3" | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \to a} f(x)</math> | <math>x</math> သည် <math>a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ နှစ်ဖက်စလုံးမှ စုဆုံမှတ်ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \to a+} f(x)</math> | rowspan="3" | <math>x</math> သည် <math>a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ညာဖက်မှ စုဆုံမှတ် (right-sided limit) ဖြစ်သည်။ |- | style="text-align:center" | <math>\searrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \searrow a} f(x)</math> | <code>\searrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>\downarrow</math> | style="text-align:center" | <math>\lim_{x \downarrow a} f(x)</math> | <code>\downarrow</code> |- | style="text-align:center" | <math>X_n\xrightarrow{p} X</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname{plim}(X_n) = X</math> | <math>X_n</math> သည် <math>X</math> ဆီသို့ ဖြစ်တန်စွမ်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in probability) ဖြစ်သည်။ | rowspan="3" | ကျပန်းကိန်းရှင်များ၏ စုဆုံခြင်း (Convergence of random variables) | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>X_n\xrightarrow{d} X</math> | style="text-align:center" | <math>x_n\xrightarrow{d} x</math> | <math>x_n</math> သည် <math>x</math> ဆီသို့ ဖြန့်ဖြူးခြင်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in distribution) ဖြစ်သည်။ | <code>\to</code> |- | style="text-align:center" | <math>X_n\xrightarrow{m} X</math> | style="text-align:center" | <math>x_n\xrightarrow{m} x</math> | <math>x_n</math> သည် <math>x</math> ဆီသို့ ပျမ်းမျှ နှစ်ထပ်ကိန်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in mean square) ဖြစ်သည်။ | <code>\to</code> |} === ချဉ်းကပ်မှု သဘာဝ (Asymptotic behavior) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>f \sim g</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် ဖန်ရှင် <math>g</math> နှင့် ချဉ်းကပ်မှုအရ (asymptotically) ညီမျှသည်။ | ချဉ်းကပ်မှု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Asymptotic analysis) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>o</math> | style="text-align:center" | <math>f \in o(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုနှေးကွေးစွာ ကြီးထွားသည်။ |rowspan="5"| O အကြီး သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (Big O notation) | <code>o</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathcal{O}</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \mathcal{O}(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် ပိုနှေးကွေးစွာ သို့မဟုတ် ၎င်းနှုံးအတိုင်း ကြီးထွားသည်။ | <code>\mathcal{O}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Theta</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \Theta(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> နှင့် တူညီသော နှုံးအတိုင်း ကြီးထွားသည်။ | <code>\Theta</code> |- | style="text-align:center" | <math>\Omega</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \Omega(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် ပိုမြန်ဆန်စွာ သို့မဟုတ် ၎င်းနှုံးအတိုင်း ကြီးထွားသည်။ | <code>\Omega</code> |- | style="text-align:center" | <math>\omega</math> | style="text-align:center" | <math>f \in \omega(g)</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>g</math> ထက် တိကျစွာ ပိုမိုမြန်ဆန်စွာ ကြီးထွားသည်။ | <code>\omega</code> |} === ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ် (Differential calculus) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>{}'</math> | style="text-align:center" | <math>f', f''</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပထမ သို့မဟုတ် ဒုတိယ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ဖြစ်သည်။ | rowspan="4" | ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ် (Differential calculus) | <code>\prime</code> |- | style="text-align:center" | <math>\cdot</math> | style="text-align:center" | <math>\dot f, \ddot f</math> | ရူပဗေဒတွင် အချိန်နှင့်အမျှ <math>f</math> ၏ ပထမ သို့မဟုတ် ဒုတိယ ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သည်။ | <code>\dot</code>, <code>\ddot</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}^{(~)}</math> | style="text-align:center" | <math>f^{(n)}</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သည်။ | <code>( )</code> |- |rowspan=2 align="center" | <math>\mathrm{d}</math> | style="text-align:center" | <math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}</math> | <math>x</math> ကိုအခြေခံသော ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | <code>\mathrm{d}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mathrm{d}f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ စုစုပေါင်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် (total differential) ဖြစ်သည်။ | စုစုပေါင်း ဆင်းသက်ချက် (Total derivative) |- | style="text-align:center" | <math>\partial</math> | style="text-align:center" | <math>\frac{\partial\!f}{\partial x}</math> | <math>x</math> ကိုအခြေခံသော ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက် (partial derivative) ဖြစ်သည်။ | ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက် (Partial derivative) | <code>\partial</code> |} === အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Measure theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\ll</math> | style="text-align:center" | <math>\nu \ll \mu</math> | အတိုင်းအတာ (measure) <math>\nu</math> သည် <math>\mu</math> နှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် ပကတိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (absolutely continuous) အတိုင်းအတာဖြစ်သည်။ | ပကတိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (Absolute continuity) | <code>\ll</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp</math> | style="text-align:center" | <math>\nu \perp \mu</math> | အတိုင်းအတာ <math>\nu</math> သည် <math>\mu</math> နှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် ဆင်ဂူလာ (singular) ဖြစ်သည်။ | ဆင်ဂူလာ အတိုင်းအတာ (Singular measure) | <code>\perp</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sigma</math> | style="text-align:center" | <math>\sigma(\mathcal{M})</math> | <math>\mathcal{M}</math> ပါဝင်သော အငယ်ဆုံး ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာ (sigma-algebra) ဖြစ်သည်။ | ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာ (Sigma-algebra) | <code>\sigma</code> |- | style="text-align:center" | <math>\delta</math> | style="text-align:center" | <math>\delta(\mathcal{E})</math> | <math>\mathcal{E}</math> ပါဝင်သော အငယ်ဆုံး ဒင်ကင် စနစ် (Dynkin system) ဖြစ်သည်။ | ဒင်ကင် စနစ် (Dynkin system) | <code>\delta</code> |} === အင်တီဂရယ် ကဲကုလပ် (Integral calculus) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\int</math> | style="text-align:center" | <math>\int_a^b</math>, <math>\displaystyle \int_G</math> | <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အကြားရှိ သို့မဟုတ် ဒေသ <math>G</math> အပေါ်ရှိ သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) ဖြစ်သည်။ | အင်တီဂရယ် ကဲကုလပ် (Integral calculus) | <code>\int</code> |- | style="text-align:center" | <math>\oint</math> | style="text-align:center" | <math>\oint_\gamma</math> | မျဉ်းကွေး <math>\gamma</math> အပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ဖြစ်သည်။ | လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက် အင်တီဂရယ် (Line integral) | <code>\oint</code> |- | style="text-align:center" | <math>\iint</math> | style="text-align:center" | <math>\iint_{\mathcal F}</math> | မျက်နှာပြင် <math>\mathcal F</math> အပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ဖြစ်သည်။ | မျက်နှာပြင် အင်တီဂရယ် (Surface integral) | <code>\iint</code> |- | style="text-align:center" | <math>\iiint</math> | style="text-align:center" | <math>\iiint_V</math> | ထုထည် (volume) <math>V</math> အပေါ်ရှိ အင်တီဂရယ်ဖြစ်သည်။ | ထုထည် အင်တီဂရယ် (Volume integral) | <code>\iiint</code> |- | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{a}^{\bar b}</math> | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{a}^{\bar b} f(x) \ \mathrm{d}x</math> | <math>[a,b]</math> အပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ အထက် အင်တီဂရယ် (upper integral) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ဒါဘူး အင်တီဂရယ် (Darboux integral) | <code>\int\limits</code> |- | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{\underline a}^{b}</math> | style="text-align:center" | <math>\int\limits_{\underline a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x</math> | <math>[a,b]</math> အပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ အောက် အင်တီဂရယ် (lower integral) ဖြစ်သည်။ | <code>\int\limits</code> |} ''ထပ်မံကြည့်ရှုရန်-'' အင်တီဂရယ် သင်္ကေတ၏ ပုံစံကွဲများ (Variants of the integral symbol) ကို ကြည့်ပါ။ === ဗက်တာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Vector analysis) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- |rowspan=3 align="center" | <math>\nabla</math> | style="text-align:center" | <math>\nabla f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဂရေးဒီးယင့် (gradient) ဖြစ်သည်။ | ဂရေးဒီးယင့် (Gradient) | rowspan="3" | <code>\nabla</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nabla \cdot F</math> | ဗက်တာစက်ကွင်း (vector field) <math>F</math> ၏ ဖြာထွက်မှု (divergence) ဖြစ်သည်။ | ဖြာထွက်မှု (Divergence) |- | style="text-align:center" | <math>\nabla \times F</math> | ဗက်တာစက်ကွင်း <math>F</math> ၏ လည်ပတ်မှု (curl) ဖြစ်သည်။ | လည်ပတ်မှု (Curl) |- | style="text-align:center" | <math>\Delta</math> | style="text-align:center" | <math>\Delta f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ (Laplace operator) ဖြစ်သည်။ | လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ (Laplace operator) | <code>\Delta</code> |- | style="text-align:center" | <math>\square</math> | style="text-align:center" | <math>\square f</math> | ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ဒီအာလမ်ဘတ် အော်ပရေတာ (D'Alembert operator) ဖြစ်သည်။ | ဒီအာလမ်ဘတ် အော်ပရေတာ (D'Alembert operator) | <code>\square</code> |} === ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Functional analysis) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>{}'</math> | style="text-align:center" | <math>V'</math> | တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ (topological) ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) <math>V</math> ၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (dual space) ဖြစ်သည်။ | ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (Dual space) | rowspan="2" | <code>\prime</code> |- | style="text-align:center" | <math>{}''</math> | style="text-align:center" | <math>V''</math> | စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော (normed) ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ဘိုင်ဒွန်တွဲ (bidual) ရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ | ဘိုင်ဒွန်တွဲ (Bidual) |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{X}</math> | အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) <math>X</math> ၏ ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) ဖြစ်သည်။ | [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (Complete metric space) | <code>\hat</code> |- | style="text-align:center" | <math>\hookrightarrow</math> | style="text-align:center" | <math>X \hookrightarrow Y</math> | ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အတွင်းသို့ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ ထည့်သွင်းခြင်း (embedding) ဖြစ်သည်။ | ထည့်သွင်းခြင်း (Embedding) | <small><code>\hookrightarrow</code></small> |- | style="text-align:center" | <math>{}^\ast</math> | style="text-align:center" | <math>T^{\ast}</math> | [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) <math>T</math> ၏ တွဲဖက် အော်ပရေတာ (adjoint operator) ဖြစ်သည်။ | ဟာမီရှန် တွဲဖက် (Hermitian adjoint) | <code>\ast</code> |} == စတော့ကတ်စတစ် (Stochastics) == === ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Combinatorics) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | rowspan=3 align="center" | <math>!</math> | style="text-align:center" | <math>n!</math> | [[အစုဝင်]] <math>n</math> ခုအတွက် ပါမြူတေးရှင်းများ (permutations) ၏ အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | ဖက်တိုရီရယ် (Factorial) | rowspan="3" | <code>!</code> |- | style="text-align:center" | <math>!n</math> | အစုဝင် <math>n</math> ခုအတွက် နေရာပြောင်းလဲမှုများ (derangements) အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | ဖက်တိုရီရယ်ပိုင်း (Subfactorial) |- | style="text-align:center" | <math>n!!</math> | မကိန်း (odd number) <math>n</math> ခုအတွက် တိကျစွာ [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (involution) ဖြစ်သော ပါမြူတေးရှင်းများ၏ အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | ဖက်တိုရီရယ် နှစ်ထပ် (Double factorial) |- |rowspan=2 align="center" | <math>\tbinom{~}{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\tbinom{n}{k}</math> | အစုဝင် <math>n</math> ခုမှ <math>k</math> ခုကို ထပ်ခါတလဲလဲမပါဘဲ ရွေးချယ်နိုင်သော အရေအတွက် (combination) ဖြစ်သည်။ | ဘိုင်နိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (Binomial coefficient) | rowspan="2" | <code>\binom</code> |- | style="text-align:center" | <math>\tbinom{n}{k_1, \ldots , k_r}</math> | ကွဲပြားသောအစုဝင် <math>k_1, \ldots , k_r</math> တို့၏ စီစဉ်မှုများ (arrangements) အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ | မာလ်တီနိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (Multinomial coefficient) |- | style="text-align:center" | <math>\left(\!\tbinom{~}{~}\!\right)</math> | style="text-align:center" | <math>\left(\!\tbinom{n}{k}\!\right)</math> | အစုဝင် <math>n</math> ခုမှ <math>k</math> ခုကို ထပ်ခါတလဲလဲ ရွေးချယ်နိုင်သော အရေအတွက် (multicombinations) ဖြစ်သည်။ | မာလ်တီအစု (Multiset) |- | rowspan=2 align="center" | <math>\overline{~~}</math> | style="text-align:center" | <math>n^{\overline{m}}</math> | <math>n</math> မှစတင်၍ ဆခွဲကိန်း <math>m</math> ခုပါဝင်သော တက်နေသည့် ဖက်တိုရီရယ်ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ကျဆင်းခြင်းနှင့် တက်နေခြင်း ဖက်တိုရီရယ်များ (Falling and rising factorials) | <code>\overline</code> |- | style="text-align:center" | <math>n^{\underline{m}}</math> | <math>n</math> မှစတင်၍ ဆခွဲကိန်း <math>m</math> ခုပါဝင်သော ကျဆင်းသည့် ဖက်တိုရီရယ်ဖြစ်သည်။ | <code>\underline</code> |- | style="text-align:center" | <math>\#</math> | style="text-align:center" | <math>n \#</math> | <math>n</math> ထက် ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers) ၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ | ပရိုင်မိုရီရယ် (Primorial) | <code>\#</code> |} === ဖြစ်တန်စွမ်း သီအိုရီ (Probability theory) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>P</math> | style="text-align:center" | <math>P(A)</math> | အဖြစ်အပျက် (event) <math>A</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း (probability) ဖြစ်သည်။ | ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာ (Probability measure) | <code>P</code> |- | style="text-align:center" | <math>\mid</math> | style="text-align:center" | <math>P(A \mid B)</math> | <math>B</math> ပေးထားချက်အောက်တွင် <math>A</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်းဖြစ်သည်။ | ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် ဖြစ်တန်စွမ်း (Conditional probability) | <code>\mid</code> |- | style="text-align:center" | <math> \operatorname E</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname E[X\mid Y]</math> | <math>Y</math> ပေးထားချက်အောက်တွင် ကျပန်းကိန်းရှင် (random variable) <math>X</math> ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုး (expected value) ဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | မျှော်မှန်းတန်ဖိုး (Expected value) | <code>\operatorname{E}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname E</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname E[X]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးဖြစ်သည်။ | <code>\operatorname{E}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname{Var}</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname{Var}[X]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ ကွဲလွဲချက် (variance) ဖြစ်သည်။ | ကွဲလွဲချက် (Variance) | <code>\operatorname{Var}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname{sd}</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname{sd}[X]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ စံသွေဖည်ကိန်း (standard deviation) ဖြစ်သည်။ | စံသွေဖည်ကိန်း (Standard deviation) | <code>\operatorname{sd}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\operatorname{Cov}</math> | style="text-align:center" | <math>\operatorname {Cov}[X,Y]</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့၏ အတူကွဲလွဲချက် (covariance) ဖြစ်သည်။ | အတူကွဲလွဲချက် (Covariance) | <code>\operatorname{Cov}</code> |- | style="text-align:center" | <math>\rho</math> | style="text-align:center" | <math>\rho(X,Y)</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့၏ ဆက်စပ်မှု (correlation) ဖြစ်သည်။ | ဆက်စပ်မှု မြှောက်ဖော်ကိန်း (Correlation coefficient) | <code>\rho</code> |- | style="text-align:center" | <math>R^2</math> | style="text-align:center" | <math>\rho(X,Y)^2</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့၏ ဆက်စပ်မှု နှစ်ထပ်ကိန်းဖြစ်သည်။ | အဆုံးအဖြတ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (Coefficient of determination) | <code>\mathit{R}^2</code> |- | style="text-align:center" | <math>\sim</math> | style="text-align:center" | <math>X \sim F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (distribution) <math>F</math> အတိုင်းဖြစ်သည်။ |rowspan="5"| ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Probability distribution) | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\nsim</math> | style="text-align:center" | <math>X\nsim F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်း မဟုတ်ပါ။ | <code>\nsim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\stackrel{a.s.}{\sim}</math> | style="text-align:center" | <math>X \;\stackrel{a.s.}{\sim}\; F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်း သေချာသလောက် (almost surely) ဖြစ်သည်။ | <code>\approx</code> |- | style="text-align:center" | <math>\stackrel{a}{\sim}</math> | style="text-align:center" | <math>X\; \stackrel{a}{\sim}\; F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်း ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် (asymptotically) ဖြစ်သည်။ | <code>\approx</code> |- | style="text-align:center" | <math>\stackrel{H_0}{\sim}</math> | style="text-align:center" | <math>X \;\stackrel{H_0}{\sim} \; F</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> သည် နားလ် ဟိုက်ပိုသီစစ် (null hypothesis) အောက်တွင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း <math>F</math> အတိုင်းဖြစ်သည်။ | <code>\sim</code> |- | style="text-align:center" | <math>\perp\!\!\!\perp</math> | style="text-align:center" | <math>X\perp\!\!\!\perp Y</math> | ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် စတော့ကတ်စတစ်နည်းအရ အမှီအခိုကင်းကြသည် (stochastically independent)။ |rowspan="1"| အမှီအခိုကင်းခြင်း (Independence) | <code>\perp\!\!\!\perp</code> |} ''မှတ်ချက်-'' အော်ပရေတာများအတွက် အခြားသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း ပုံစံများရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် လခြမ်းကွင်းများအစား လေးထောင့်ကွင်းများကို မကြာခဏ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ === စာရင်းအင်းပညာ (Statistics) === {| class="wikitable" style="width:100%" ! သင်္ကေတ ! အသုံးပြုမှု ! အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်း ! ဆောင်းပါး ! LaTeX |- | style="text-align:center" | <math>\tilde{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\tilde{x}</math> | တန်ဖိုးများ <math>x_1, \ldots , x_n</math> ၏ မီဒီယန်ဖြစ်သည်။ | မီဒီယန် (Median) | <code>\tilde</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bar{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\bar{X}</math> | ကျပန်းကိန်းရှင်များ <math>X_1, \ldots , X_n</math> ၏ နမူနာ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး ဖြစ်သည်။ | ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (Mean) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\bar{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\bar{x}</math> | တန်ဖိုးများ <math>x_1, \ldots , x_n</math> ၏ ပျမ်းမျှကိန်းဖြစ်သည်။ | rowspan="2" | ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (Mean) | <code>\bar</code> |- | style="text-align:center" | <math>\langle ~~ \rangle</math> | style="text-align:center" | <math>\langle f \rangle</math> | ရူပဗေဒတွင် [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> ၏ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သို့မဟုတ် မျှော်မှန်းတန်ဖိုး ဖြစ်သည်။ | <code>\langle \rangle</code> |- | style="text-align:center" | <math>\hat{~}</math> | style="text-align:center" | <math>\hat{p}</math> | ပါရာမီတာ <math>p</math> အတွက် ခန့်မှန်းကိန်း (သို့မဟုတ် ခန့်မှန်းတန်ဖိုး) ဖြစ်သည်။ | ခန့်မှန်းကိန်း (Estimator) | <code>\hat</code> |} == ကိုးကား == {{Reflist}} * Tilo Arens၊ Frank Hettlich၊ Christian Karpfinger၊ Ulrich Kockelkorn၊ Klaus Lichtenegger၊ Hellmuth Stachel။ ''Mathematik'' (ဒုတိယအကြိမ်ထုတ်ဝေမှု)။ Spektrum Akademischer Verlag၊ ၂၀၁၁။ ISBN 3-8274-2347-3။ စာမျက်နှာ - ၁၄၈၃ စသည်ဖြင့်။ * Wolfgang Hackbusch။ ''Taschenbuch der Mathematik, Band 1'' (တတိယအကြိမ်ထုတ်ဝေမှု)။ Springer၊ ၂၀၁၀။ ISBN 3-8351-0123-4။ စာမျက်နှာ - ၁၂၇၅ စသည်ဖြင့်။ * Deutsches Institut für Normung: ''DIN 1302: Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe''၊ Beuth-Verlag၊ ၁၉၉၉။ * Deutsches Institut für Normung: ''DIN 1303: Vektoren, Matrizen, Tensoren; Zeichen und Begriffe''၊ Beuth-Verlag၊ ၁၉၈၇။ * Internationale Organisation für Normung: ''DIN EN ISO 80000-2: Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematische Zeichen für Naturwissenschaft und Technik''၊ ၂၀၁၃။ [[Category:သင်္ချာ သင်္ကေတများ]] [[Category:သင်္ချာဆိုင်ရာ အမှတ်လက္ခဏာ]] foenml4tq3079yy07mz2pi2h5m7jrcz 0 290678 1049402 1049359 2026-08-19T12:00:38Z Dr Lotus Black 31011 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ဘူတာရုံများ]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1049402 wikitext text/x-wiki ဟာကာတာဘူတာ (博多駅၊ Hakata Station) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ ဖူကုအိုကာခရိုင်၊ ဖူကုအိုကာမြို့၊ ဟာကာတာရပ်ကွက်တွင် တည်ရှိသော အဓိကမီးရထားဘူတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းဘူတာကို ကျူရှူးမီးရထားကုမ္ပဏီ (JR Kyushu) နှင့် အနောက်ဂျပန်ခရီးသည်မီးရထားကုမ္ပဏီ (JR West) တို့က အသီးသီးအသုံးပြုကြသည်။ ဟာကာတာဘူတာသည် ကျူရှူးဒေသ၏ အရေးကြီးဆုံး မီးရထားလမ်းဆုံများအနက် တစ်ခုဖြစ်ပြီး၊ တိုကျိုနှင့် ဖူကုအိုကာတို့ကို ဆက်သွယ်ပေးသော တိုကာအိဒို–ဆန်ယို ရှင်ကန်ဆန် နှင့် ကျူရှူး ရှင်ကန်ဆန် တို့၏ အဓိကဘူတာတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ ရှင်ကန်ဆန်အပြင် JR Kyushu ၏ ဒေသတွင်းနှင့် အမြန်ရထားဝန်ဆောင်မှုများလည်း ရပ်နားသည်။ ဘူတာသည် ဖူကုအိုကာမြို့၏ အဓိကမြို့ပြဗဟိုဧရိယာတစ်ခုဖြစ်ပြီး၊ ဘူတာအဆောက်အအုံအတွင်းနှင့် အနီးဝန်းကျင်တွင် စျေးဝယ်စင်တာများ၊ စားသောက်ဆိုင်များ၊ ဟိုတယ်များနှင့် ရုံးအဆောက်အအုံများ တည်ရှိသည်။ ဟာကာတာဘူတာမှ ဖူကုအိုကာမြို့၏ အခြားဒေသများသို့လည်း အများပြည်သူသုံး သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးဖြင့် လွယ်ကူစွာ သွားလာနိုင်သည်။ == ရထားလမ်းများ == ဟာကာတာဘူတာတွင် အောက်ပါ ရှင်ကန်ဆန်လိုင်းများနှင့် မီးရထားဝန်ဆောင်မှုများကို အသုံးပြုနိုင်သည်။ *တိုကာအိဒို–ဆန်ယို ရှင်ကန်ဆန် *ကျူရှူး ရှင်ကန်ဆန် *ကာဂိုရှီမ လိုင်း *ဟာကာတာမိနာမိ လိုင်း *နိချိနန် လိုင်းသို့ ဆက်သွယ်သည့် အမြန်ရထားဝန်ဆောင်မှုများ ဟာကာတာဘူတာသည် ကျူရှူးကျွန်း၏ မြောက်ပိုင်းမှ တောင်ပိုင်းသို့ သွားလာရာတွင်လည်း အရေးပါသော ပြောင်းလဲစီးနင်းရာနေရာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ == သမိုင်း == ဟာကာတာဘူတာကို ၁၈၈၉ ခုနှစ်တွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်မှစ၍ ဘူတာသည် ဖူကုအိုကာမြို့နှင့် ကျူရှူးဒေသ၏ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုနှင့်အတူ အရေးပါသော သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးဗဟိုချက်တစ်ခုအဖြစ် ဖွံ့ဖြိုးလာခဲ့သည်။ ၁၉၇၅ ခုနှစ်တွင် ဆန်ယို ရှင်ကန်ဆန်၏ ဟာကာတာအထိ တိုးချဲ့ဖွင့်လှစ်ပြီးနောက် ဟာကာတာဘူတာ၏ အရေးပါမှုသည် ပိုမိုမြင့်တက်လာခဲ့သည်။ ၂၀၁၁ ခုနှစ်တွင် ကျူရှူး ရှင်ကန်ဆန် အပြည့်အဝဖွင့်လှစ်ပြီးနောက် ဟာကာတာဘူတာသည် ကျူရှူးနှင့် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အခြားဒေသများကို ဆက်သွယ်ပေးသည့် အဓိကဘူတာတစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့သည်။ [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ဘူတာရုံများ]] ile35aw41z3np9pwe1i8uer88rjqv5c 0 290679 1049404 1049371 2026-08-19T12:01:29Z Dr Lotus Black 31011 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရထားပို့ဆောင်ရေး]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1049404 wikitext text/x-wiki အနောက်ဂျပန်မီးရထားကုမ္ပဏီ (西日本旅客鉄道株式会社၊ West Japan Railway Company) သည် ဂျပန်နိုင်ငံတွင် အဓိကမီးရထားဝန်ဆောင်မှုများကို လုပ်ကိုင်နေသော မီးရထားကုမ္ပဏီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အင်္ဂလိပ်ဘာသာဖြင့် JR West ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ ကုမ္ပဏီ၏ ရုံးချုပ်သည် အိုဆာကာမြို့တွင် တည်ရှိသည်။ JR West သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အနောက်ပိုင်းဒေသများဖြစ်သည့် ကန်ဆိုင်း၊ ချူးဂိုခုနှင့် ဟိုကုရိခုဒေသများတွင် မီးရထားလမ်းများကို အဓိက လုပ်ကိုင်သည်။ ထို့အပြင် ရှင်ကန်ဆန် ဝန်ဆောင်မှုများနှင့် မြို့ပြအမြန်ရထားဝန်ဆောင်မှုများကိုလည်း လုပ်ကိုင်သည်။ == သမိုင်း == အနောက်ဂျပန်မီးရထားကုမ္ပဏီ ကို ၁၉၈၇ ခုနှစ်တွင် ဂျပန်အမျိုးသားမီးရထား (JNR) ကို ပုဂ္ဂလိကပိုင် မီးရထားကုမ္ပဏီများအဖြစ် ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့သည့်အချိန်တွင် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်တွင် JR Group ကုမ္ပဏီများအနက် တစ်ခုအဖြစ် စတင်ခဲ့သည်။ JR West သည် ယခင် JNR ၏ အနောက်ဂျပန်ဒေသရှိ မီးရထားလမ်းများနှင့် ဝန်ဆောင်မှုများကို ဆက်ခံခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် မီးရထားလမ်းကွန်ရက်ကို ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်စေပြီး မြို့ပြနှင့် အဝေးပြေးရထားဝန်ဆောင်မှုများကို တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ == အဓိကမီးရထားလမ်းများ == JR West သည် အောက်ပါ အဓိကမီးရထားလမ်းများကို လုပ်ကိုင်သည်။ *တိုကာအိဒို ရှင်ကန်ဆန် — ရှင်အိုဆာကာမှ တိုကျိုဘက်သို့ JR Central နှင့် ပူးပေါင်းအသုံးပြုသော ရှင်ကန်ဆန်လမ်းကြောင်း *ဆန်ယို ရှင်ကန်ဆန် — ရှင်အိုဆာကာမှ ဟာကာတာအထိ *ဟာကာတာ–မိနာမိ လိုင်း *အိုဆာကာ လိုပ် *အိုဆာကာ–ကန်ဆိုင်းဒေသရှိ မြို့ပြမီးရထားလမ်းများ *ဆန်ယို မိန်းလိုင်း *ကာဂိုရှီမ မိန်းလိုင်း၏ ဟာကာတာဘက်ပိုင်း JR West သည် ကန်ဆိုင်းဒေသရှိ မြို့ပြရထားကွန်ရက်ကို Urban Network ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့ပြီး ယခုအခါ အဆိုပါဒေသ၏ အရေးပါသော အများပြည်သူသုံး သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးစနစ်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ == ရှင်ကန်ဆန် == JR West သည် ဆန်ယို ရှင်ကန်ဆန် ၏ ရှင်အိုဆာကာ–ဟာကာတာ အပိုင်းကို လုပ်ကိုင်သည်။ ဤလမ်းကြောင်းသည် အိုဆာကာ၊ ကိုဘေး၊ ဟိမေဂျိ၊ အိုကာယာမာ၊ ဟီရိုရှီးမာ၊ ရှင်ယာမာဂုချိနှင့် ဟာကာတာတို့အပါအဝင် အနောက်ဂျပန်ရှိ အဓိကမြို့များကို ဆက်သွယ်ပေးသည်။ ထို့အပြင် JR West သည် ကျူရှူး ရှင်ကန်ဆန် နှင့် ဆက်သွယ်ထားသော ဟာကာတာဘူတာမှတစ်ဆင့် ကျူရှူးဒေသသို့လည်း ခရီးသွားနိုင်စေသည်။ == ကုမ္ပဏီအမှတ်တံဆိပ် == JR West သည် JR လိုဂိုကို အသုံးပြုသော JR Group ကုမ္ပဏီများအနက် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကုမ္ပဏီ၏ အင်္ဂလိပ်အမည်မှာ West Japan Railway Company ဖြစ်ပြီး အတိုကောက်အားဖြင့် JR West ဟု အသုံးများသည်။ [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရထားပို့ဆောင်ရေး]] i6tz6zsibzqvox82omycvgzst44ioh5 0 290680 1049403 1049398 2026-08-19T12:00:58Z Dr Lotus Black 31011 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ဘူတာရုံများ]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1049403 wikitext text/x-wiki အိုကာယာမဘူတာ (岡山駅၊ Okayama Station) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ အိုကာယာမခရိုင်၊ အိုကာယာမမြို့တွင် တည်ရှိသော မီးရထားဘူတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤဘူတာကို အနောက်ဂျပန်မီးရထားကုမ္ပဏီ (JR West) နှင့် အခြားမီးရထားကုမ္ပဏီများက အသုံးပြုကြသည်။ အိုကာယာမဘူတာသည် အနောက်ဂျပန်ဒေသ၏ အရေးပါသော သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးဗဟိုချက်တစ်ခုဖြစ်ပြီး ရှင်ကန်ဆန်နှင့် ဒေသတွင်းမီးရထားများအကြား ပြောင်းလဲစီးနင်းနိုင်သော အဓိကဘူတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ =ရထားလမ်းများ= အိုကာယာမဘူတာတွင် ဆန်ယို ရှင်ကန်ဆန် ဖြတ်သန်းသွားပြီး တိုကျို၊ အိုဆာကာ၊ ဟီရိုရှီးမာနှင့် ဟာကာတာတို့ကဲ့သို့သော မြို့များသို့ သွားလာနိုင်သည်။ ထို့အပြင် အောက်ပါ JR West မီးရထားလမ်းများနှင့် အမြန်ရထားဝန်ဆောင်မှုများကို အသုံးပြုနိုင်သည်။ *ဆန်ယို မိန်းလိုင်း *ဟာကုဘိ လိုင်း *မိုမိုတာရို လိုင်း *အူနိုမိနာတို လိုင်း *ဆက်တိုအိုဟရှိ လိုင်း *အမြန်နှင့် ဒေသတွင်းရထားဝန်ဆောင်မှုများ အိုကာယာမဘူတာသည် ရှိကိုခုကျွန်းသို့ သွားလာရာတွင်လည်း အရေးပါသော ဘူတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အိုကာယာမဘူတာမှ အူနိုဘက်သို့ သွားပြီးနောက် ရှိကိုခုကျွန်းသို့ ဆက်သွယ်နိုင်သည်။ =ဘူတာ၏ အရေးပါမှု= အိုကာယာမဘူတာသည် အိုကာယာမမြို့၏ အဓိကမီးရထားဘူတာဖြစ်ပြီး ကန်ဆိုင်းဒေသ၊ ချူးဂိုခုဒေသနှင့် ရှိကိုခုဒေသတို့အကြား ခရီးသွားလာရာတွင် အရေးပါသည်။ ဘူတာအနီးတွင် စျေးဝယ်စင်တာများ၊ ဟိုတယ်များ၊ စားသောက်ဆိုင်များနှင့် အခြားမြို့ပြအဆောက်အအုံများ တည်ရှိသည်။ ရှင်ကန်ဆန်နှင့် ဒေသတွင်းရထားဝန်ဆောင်မှုများကို တစ်နေရာတည်းတွင် ပြောင်းလဲစီးနင်းနိုင်ခြင်းကြောင့် အိုကာယာမဘူတာသည် အနောက်ဂျပန်၏ အဓိကရထားပို့ဆောင်ရေးဗဟိုချက်များထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ဘူတာရုံများ]] dpk1u60006bwf5kgau6pb1qnpnrg730 0 290682 1049406 2026-08-19T12:12:43Z 延岡 137044 "ဆပ်ပိုရိုမြို့ (札幌市၊ Sapporo) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ ဟော့ကိုင်းဒိုးကျွန်းတွင် တည်ရှိသော မြို့တစ်မြို့ဖြစ်ပြီး ဟော့ကိုင်းဒိုး၏ အကြီး..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049406 wikitext text/x-wiki ဆပ်ပိုရိုမြို့ (札幌市၊ Sapporo) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ ဟော့ကိုင်းဒိုးကျွန်းတွင် တည်ရှိသော မြို့တစ်မြို့ဖြစ်ပြီး ဟော့ကိုင်းဒိုး၏ အကြီးဆုံးမြို့နှင့် အုပ်ချုပ်ရေးဗဟိုချက် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဟော့ကိုင်းဒိုး၏ ခရိုင်ရုံးစိုက်ရာမြို့လည်း ဖြစ်သည်။ ဆပ်ပိုရိုမြို့သည် ဟော့ကိုင်းဒိုးကျွန်း၏ အနောက်တောင်ပိုင်းတွင် တည်ရှိပြီး လူဦးရေအရ ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အကြီးဆုံးမြို့များထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ မြို့သည် ဆောင်းရာသီတွင် နှင်းကျဆင်းမှုများပြားခြင်းကြောင့်လည်း လူသိများသည်။ =ပထဝီဝင်= ဆပ်ပိုရိုမြို့သည် ဟော့ကိုင်းဒိုးကျွန်း၏ အနောက်တောင်ပိုင်းရှိ အိရှိကာရီလွင်ပြင်တွင် တည်ရှိသည်။ မြို့၏ အနောက်ဘက်နှင့် တောင်ဘက်တွင် တောင်တန်းများရှိပြီး မြောက်ဘက်တွင် မြေပြန့်ဒေသများ ပိုမိုကျယ်ပြန့်သည်။ မြို့ဧရိယာသည် ကျယ်ဝန်းပြီး အလယ်ပိုင်းတွင် မြို့ပြဧရိယာများ ထူထပ်စွာ တည်ရှိသည်။ ဆပ်ပိုရိုဘူတာသည် မြို့၏ အဓိကမီးရထားဘူတာဖြစ်ပြီး မြို့ပြသယ်ယူပို့ဆောင်ရေး၏ အရေးပါသော ဗဟိုချက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ =ရာသီဥတု= ဆပ်ပိုရိုမြို့တွင် စိုစွတ်သော တိုက်ကြီးရာသီဥတုရှိပြီး ဆောင်းရာသီသည် အေးမြပြီး နှင်းများစွာကျသည်။ နွေရာသီတွင် အပူချိန်များ တက်လာသော်လည်း ဂျပန်နိုင်ငံ၏ တောင်ပိုင်းနှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် ပိုမိုအေးမြသည်။ ဆောင်းရာသီတွင် နှင်းကျဆင်းမှုများပြားသောကြောင့် မြို့တွင်းတွင် နှင်းရှင်းလင်းရေးနှင့် ဆောင်းရာသီသယ်ယူပို့ဆောင်ရေးစနစ်များ အရေးပါသည်။ =သမိုင်း= ဆပ်ပိုရိုမြို့၏ ခေတ်သစ်ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုသည် ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ဟော့ကိုင်းဒိုးဖွံ့ဖြိုးရေးနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ မြို့ကို စီမံကိန်းတကျ တည်ဆောက်ခဲ့ပြီး လမ်းများနှင့် မြို့ပြဧရိယာများကို ကွက်တိပုံစံဖြင့် ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ၁၉၇၂ ခုနှစ်တွင် ဆပ်ပိုရိုမြို့၌ ဆောင်းရာသီအိုလံပစ်ပြိုင်ပွဲ ကျင်းပခဲ့သည်။ ၎င်းသည် အာရှတိုက်တွင် ကျင်းပခဲ့သော ပထမဆုံး ဆောင်းရာသီအိုလံပစ်ပြိုင်ပွဲ ဖြစ်သည်။ =စီးပွားရေး= ဆပ်ပိုရိုမြို့သည် ဟော့ကိုင်းဒိုး၏ စီးပွားရေး၊ အုပ်ချုပ်ရေးနှင့် ယဉ်ကျေးမှုဗဟိုချက် ဖြစ်သည်။ ဝန်ဆောင်မှုလုပ်ငန်း၊ လက်လီရောင်းချမှု၊ ခရီးသွားလုပ်ငန်းနှင့် သတင်းအချက်အလက်နည်းပညာလုပ်ငန်းများ အရေးပါသည်။ =သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး= ဆပ်ပိုရိုမြို့တွင် JR Hokkaido ၏ မီးရထားဝန်ဆောင်မှုများအပြင် ဆပ်ပိုရိုမြေအောက်ရထား၊ လမ်းပေါ်ရထားနှင့် ဘတ်စ်ကားများကို အသုံးပြုနိုင်သည်။ ဆပ်ပိုရိုဘူတာသည် ဟော့ကိုင်းဒိုးရှိ အရေးကြီးဆုံး မီးရထားဘူတာများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မြို့၏ လေကြောင်းခရီးစဉ်များအတွက် နယူးချိတိုဆေးလေဆိပ်သည် အဓိကလေဆိပ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ =ခရီးသွားလုပ်ငန်း= ဆပ်ပိုရိုမြို့တွင် ခရီးသွားများအတွက် လူသိများသော နေရာများစွာ ရှိသည်။ ထိုအထဲတွင် အိုဒိုရီပန်းခြံ၊ ဆပ်ပိုရိုနာရီစင်၊ ဆပ်ပိုရိုတီဗီတာဝါ နှင့် ဆပ်ပိုရိုဘီယာပြတိုက်တို့ ပါဝင်သည်။ ဆောင်းရာသီတွင် ကျင်းပသော ဆပ်ပိုရိုနှင်းပွဲတော်သည် မြို့၏ အထင်ရှားဆုံးပွဲတော်များအနက် တစ်ခုဖြစ်ပြီး နှင်းနှင့် ရေခဲပန်းပုများကြောင့် ကျော်ကြားသည်။ =အုပ်ချုပ်ရေး= ဆပ်ပိုရိုမြို့သည် အောက်ပါ ရပ်ကွက် ၁၀ ခုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *ချူအိုရပ်ကွက် *ကိတာရပ်ကွက် *ဟိဂါရှိရပ်ကွက် *တိုယိုဟိရရပ်ကွက် *နာဂါတာရပ်ကွက် *မိနာမိရပ်ကွက် *နိရှိရပ်ကွက် *အိရှိကာရိရပ်ကွက် *အတ်ဆုဘက်ဆုရပ်ကွက် *ကိယိုတာရပ်ကွက် ဆပ်ပိုရိုမြို့သည် ၁၉၇၂ ခုနှစ်တွင် သတ်မှတ်မြို့ အဖြစ် သတ်မှတ်ခံခဲ့ရသည်။ fg3clh915vy6hm5sobzlddgzdofpwwj 1049421 1049406 2026-08-19T14:22:16Z Dr Lotus Black 31011 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ မြို့များ]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1049421 wikitext text/x-wiki ဆပ်ပိုရိုမြို့ (札幌市၊ Sapporo) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ ဟော့ကိုင်းဒိုးကျွန်းတွင် တည်ရှိသော မြို့တစ်မြို့ဖြစ်ပြီး ဟော့ကိုင်းဒိုး၏ အကြီးဆုံးမြို့နှင့် အုပ်ချုပ်ရေးဗဟိုချက် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဟော့ကိုင်းဒိုး၏ ခရိုင်ရုံးစိုက်ရာမြို့လည်း ဖြစ်သည်။ ဆပ်ပိုရိုမြို့သည် ဟော့ကိုင်းဒိုးကျွန်း၏ အနောက်တောင်ပိုင်းတွင် တည်ရှိပြီး လူဦးရေအရ ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အကြီးဆုံးမြို့များထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ မြို့သည် ဆောင်းရာသီတွင် နှင်းကျဆင်းမှုများပြားခြင်းကြောင့်လည်း လူသိများသည်။ =ပထဝီဝင်= ဆပ်ပိုရိုမြို့သည် ဟော့ကိုင်းဒိုးကျွန်း၏ အနောက်တောင်ပိုင်းရှိ အိရှိကာရီလွင်ပြင်တွင် တည်ရှိသည်။ မြို့၏ အနောက်ဘက်နှင့် တောင်ဘက်တွင် တောင်တန်းများရှိပြီး မြောက်ဘက်တွင် မြေပြန့်ဒေသများ ပိုမိုကျယ်ပြန့်သည်။ မြို့ဧရိယာသည် ကျယ်ဝန်းပြီး အလယ်ပိုင်းတွင် မြို့ပြဧရိယာများ ထူထပ်စွာ တည်ရှိသည်။ ဆပ်ပိုရိုဘူတာသည် မြို့၏ အဓိကမီးရထားဘူတာဖြစ်ပြီး မြို့ပြသယ်ယူပို့ဆောင်ရေး၏ အရေးပါသော ဗဟိုချက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ =ရာသီဥတု= ဆပ်ပိုရိုမြို့တွင် စိုစွတ်သော တိုက်ကြီးရာသီဥတုရှိပြီး ဆောင်းရာသီသည် အေးမြပြီး နှင်းများစွာကျသည်။ နွေရာသီတွင် အပူချိန်များ တက်လာသော်လည်း ဂျပန်နိုင်ငံ၏ တောင်ပိုင်းနှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် ပိုမိုအေးမြသည်။ ဆောင်းရာသီတွင် နှင်းကျဆင်းမှုများပြားသောကြောင့် မြို့တွင်းတွင် နှင်းရှင်းလင်းရေးနှင့် ဆောင်းရာသီသယ်ယူပို့ဆောင်ရေးစနစ်များ အရေးပါသည်။ =သမိုင်း= ဆပ်ပိုရိုမြို့၏ ခေတ်သစ်ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုသည် ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ဟော့ကိုင်းဒိုးဖွံ့ဖြိုးရေးနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ မြို့ကို စီမံကိန်းတကျ တည်ဆောက်ခဲ့ပြီး လမ်းများနှင့် မြို့ပြဧရိယာများကို ကွက်တိပုံစံဖြင့် ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ၁၉၇၂ ခုနှစ်တွင် ဆပ်ပိုရိုမြို့၌ ဆောင်းရာသီအိုလံပစ်ပြိုင်ပွဲ ကျင်းပခဲ့သည်။ ၎င်းသည် အာရှတိုက်တွင် ကျင်းပခဲ့သော ပထမဆုံး ဆောင်းရာသီအိုလံပစ်ပြိုင်ပွဲ ဖြစ်သည်။ =စီးပွားရေး= ဆပ်ပိုရိုမြို့သည် ဟော့ကိုင်းဒိုး၏ စီးပွားရေး၊ အုပ်ချုပ်ရေးနှင့် ယဉ်ကျေးမှုဗဟိုချက် ဖြစ်သည်။ ဝန်ဆောင်မှုလုပ်ငန်း၊ လက်လီရောင်းချမှု၊ ခရီးသွားလုပ်ငန်းနှင့် သတင်းအချက်အလက်နည်းပညာလုပ်ငန်းများ အရေးပါသည်။ =သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး= ဆပ်ပိုရိုမြို့တွင် JR Hokkaido ၏ မီးရထားဝန်ဆောင်မှုများအပြင် ဆပ်ပိုရိုမြေအောက်ရထား၊ လမ်းပေါ်ရထားနှင့် ဘတ်စ်ကားများကို အသုံးပြုနိုင်သည်။ ဆပ်ပိုရိုဘူတာသည် ဟော့ကိုင်းဒိုးရှိ အရေးကြီးဆုံး မီးရထားဘူတာများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မြို့၏ လေကြောင်းခရီးစဉ်များအတွက် နယူးချိတိုဆေးလေဆိပ်သည် အဓိကလေဆိပ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ =ခရီးသွားလုပ်ငန်း= ဆပ်ပိုရိုမြို့တွင် ခရီးသွားများအတွက် လူသိများသော နေရာများစွာ ရှိသည်။ ထိုအထဲတွင် အိုဒိုရီပန်းခြံ၊ ဆပ်ပိုရိုနာရီစင်၊ ဆပ်ပိုရိုတီဗီတာဝါ နှင့် ဆပ်ပိုရိုဘီယာပြတိုက်တို့ ပါဝင်သည်။ ဆောင်းရာသီတွင် ကျင်းပသော ဆပ်ပိုရိုနှင်းပွဲတော်သည် မြို့၏ အထင်ရှားဆုံးပွဲတော်များအနက် တစ်ခုဖြစ်ပြီး နှင်းနှင့် ရေခဲပန်းပုများကြောင့် ကျော်ကြားသည်။ =အုပ်ချုပ်ရေး= ဆပ်ပိုရိုမြို့သည် အောက်ပါ ရပ်ကွက် ၁၀ ခုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *ချူအိုရပ်ကွက် *ကိတာရပ်ကွက် *ဟိဂါရှိရပ်ကွက် *တိုယိုဟိရရပ်ကွက် *နာဂါတာရပ်ကွက် *မိနာမိရပ်ကွက် *နိရှိရပ်ကွက် *အိရှိကာရိရပ်ကွက် *အတ်ဆုဘက်ဆုရပ်ကွက် *ကိယိုတာရပ်ကွက် ဆပ်ပိုရိုမြို့သည် ၁၉၇၂ ခုနှစ်တွင် သတ်မှတ်မြို့ အဖြစ် သတ်မှတ်ခံခဲ့ရသည်။ [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ မြို့များ]] sbmdg3ozzwzob707ez8mv7qf70pyxkr 0 290683 1049407 2026-08-19T12:23:31Z 延岡 137044 "Osaka Metro မိဒိုဆုဂျိလိုင်း (大阪メトロ御堂筋線၊ Midosuji Line) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ အိုဆာကာမြို့တွင် ပြေးဆွဲသော မြေအောက်ရထားလိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049407 wikitext text/x-wiki Osaka Metro မိဒိုဆုဂျိလိုင်း (大阪メトロ御堂筋線၊ Midosuji Line) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ အိုဆာကာမြို့တွင် ပြေးဆွဲသော မြေအောက်ရထားလိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းလိုင်းကို Osaka Metro က လုပ်ကိုင်သည်။ မိဒိုဆုဂျိလိုင်းသည် အိုဆာကာမြို့၏ အဓိကမြို့ပြသယ်ယူပို့ဆောင်ရေးလိုင်းများအနက် တစ်ခုဖြစ်ပြီး အိုဆာကာမြို့၏ မြောက်မှ တောင်သို့ ဖြတ်သန်းပြေးဆွဲသည်။ အိုဆာကာမြို့၏ အဓိကစီးပွားရေး၊ စျေးဝယ်နှင့် ခရီးသွားဧရိယာများကို ဆက်သွယ်ပေးသောကြောင့် ခရီးသည်အသုံးပြုမှု များပြားသည်။ =လမ်းကြောင်း= မိဒိုဆုဂျိလိုင်း၏ မြောက်ဘက်ဆုံးဘူတာမှာ အဲဆာကာဘူတာ ဖြစ်ပြီး တောင်ဘက်တွင် နာကမိုဇုဘူတာ အထိ ပြေးဆွဲသည်။ အဓိကဘူတာများတွင် အဲဆာကာ၊ အုမဲဒါ၊ ယိုဒိုယာဘရှိ၊ ဟုန်းမချိ၊ ရှင်းဆိုင်ဘရှိ၊ နန်ဘာ၊ ဒိုဘွန်းဘိုရိနှင့် တင်နိုဂျိတို့ ပါဝင်သည်။ =အခြားလိုင်းများနှင့် ဆက်သွယ်မှု= မိဒိုဆုဂျိလိုင်းသည် အိုဆာကာမြို့၏ အခြားမြေအောက်ရထားလိုင်းများနှင့် ရထားလမ်းများကို ချိတ်ဆက်ပေးသည်။ အုမဲဒါဘူတာ၊ ဟုန်းမချိဘူတာ၊ နန်ဘာဘူတာနှင့် တင်နိုဂျိဘူတာတို့သည် အရေးပါသော ပြောင်းလဲစီးနင်းရာဘူတာများ ဖြစ်သည်။ =သမိုင်း= မိဒိုဆုဂျိလိုင်း၏ ပထမဆုံးအပိုင်းကို ၁၉၃၃ ခုနှစ်တွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် လမ်းကြောင်းကို တဖြည်းဖြည်း တိုးချဲ့ခဲ့ပြီး ယနေ့အခါ အိုဆာကာမြို့၏ အဓိကမြေအောက်ရထားလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၂၀၁၈ ခုနှစ်တွင် အိုဆာကာမြို့၏ မြေအောက်ရထားလုပ်ငန်းကို ပုဂ္ဂလိကပိုင်အဖြစ် ပြောင်းလဲပြီးနောက် မိဒိုဆုဂျိလိုင်းကို Osaka Metro က ဆက်လက်လုပ်ကိုင်နေသည်။ =အမှတ်အသား= မိဒိုဆုဂျိလိုင်း၏ လိုင်းအမှတ်အသားမှာ M ဖြစ်သည်။ ဘူတာအမှတ်စဉ်များတွင် M01 မှ M30 အထိ အသုံးပြုသည်။ 5060n80sji98rnkmgu21jujo168qcua 1049420 1049407 2026-08-19T14:19:15Z Dr Lotus Black 31011 [[Osaka Metro မိဒိုဆုဂျိလိုင်း]] မှ [[မိဒိုဆုဂျိလိုင်း]] သို့ ပြန်ညွှန်းပေါ်ထပ်အုပ်ကာ ပြန်ညွှန်းချန်မထားဘဲ Dr Lotus Black က ရွှေ့ခဲ့သည် 1049407 wikitext text/x-wiki Osaka Metro မိဒိုဆုဂျိလိုင်း (大阪メトロ御堂筋線၊ Midosuji Line) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ အိုဆာကာမြို့တွင် ပြေးဆွဲသော မြေအောက်ရထားလိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းလိုင်းကို Osaka Metro က လုပ်ကိုင်သည်။ မိဒိုဆုဂျိလိုင်းသည် အိုဆာကာမြို့၏ အဓိကမြို့ပြသယ်ယူပို့ဆောင်ရေးလိုင်းများအနက် တစ်ခုဖြစ်ပြီး အိုဆာကာမြို့၏ မြောက်မှ တောင်သို့ ဖြတ်သန်းပြေးဆွဲသည်။ အိုဆာကာမြို့၏ အဓိကစီးပွားရေး၊ စျေးဝယ်နှင့် ခရီးသွားဧရိယာများကို ဆက်သွယ်ပေးသောကြောင့် ခရီးသည်အသုံးပြုမှု များပြားသည်။ =လမ်းကြောင်း= မိဒိုဆုဂျိလိုင်း၏ မြောက်ဘက်ဆုံးဘူတာမှာ အဲဆာကာဘူတာ ဖြစ်ပြီး တောင်ဘက်တွင် နာကမိုဇုဘူတာ အထိ ပြေးဆွဲသည်။ အဓိကဘူတာများတွင် အဲဆာကာ၊ အုမဲဒါ၊ ယိုဒိုယာဘရှိ၊ ဟုန်းမချိ၊ ရှင်းဆိုင်ဘရှိ၊ နန်ဘာ၊ ဒိုဘွန်းဘိုရိနှင့် တင်နိုဂျိတို့ ပါဝင်သည်။ =အခြားလိုင်းများနှင့် ဆက်သွယ်မှု= မိဒိုဆုဂျိလိုင်းသည် အိုဆာကာမြို့၏ အခြားမြေအောက်ရထားလိုင်းများနှင့် ရထားလမ်းများကို ချိတ်ဆက်ပေးသည်။ အုမဲဒါဘူတာ၊ ဟုန်းမချိဘူတာ၊ နန်ဘာဘူတာနှင့် တင်နိုဂျိဘူတာတို့သည် အရေးပါသော ပြောင်းလဲစီးနင်းရာဘူတာများ ဖြစ်သည်။ =သမိုင်း= မိဒိုဆုဂျိလိုင်း၏ ပထမဆုံးအပိုင်းကို ၁၉၃၃ ခုနှစ်တွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် လမ်းကြောင်းကို တဖြည်းဖြည်း တိုးချဲ့ခဲ့ပြီး ယနေ့အခါ အိုဆာကာမြို့၏ အဓိကမြေအောက်ရထားလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၂၀၁၈ ခုနှစ်တွင် အိုဆာကာမြို့၏ မြေအောက်ရထားလုပ်ငန်းကို ပုဂ္ဂလိကပိုင်အဖြစ် ပြောင်းလဲပြီးနောက် မိဒိုဆုဂျိလိုင်းကို Osaka Metro က ဆက်လက်လုပ်ကိုင်နေသည်။ =အမှတ်အသား= မိဒိုဆုဂျိလိုင်း၏ လိုင်းအမှတ်အသားမှာ M ဖြစ်သည်။ ဘူတာအမှတ်စဉ်များတွင် M01 မှ M30 အထိ အသုံးပြုသည်။ 5060n80sji98rnkmgu21jujo168qcua 1049422 1049420 2026-08-19T14:55:10Z Dr Lotus Black 31011 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရထားပို့ဆောင်ရေး]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1049422 wikitext text/x-wiki Osaka Metro မိဒိုဆုဂျိလိုင်း (大阪メトロ御堂筋線၊ Midosuji Line) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ အိုဆာကာမြို့တွင် ပြေးဆွဲသော မြေအောက်ရထားလိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းလိုင်းကို Osaka Metro က လုပ်ကိုင်သည်။ မိဒိုဆုဂျိလိုင်းသည် အိုဆာကာမြို့၏ အဓိကမြို့ပြသယ်ယူပို့ဆောင်ရေးလိုင်းများအနက် တစ်ခုဖြစ်ပြီး အိုဆာကာမြို့၏ မြောက်မှ တောင်သို့ ဖြတ်သန်းပြေးဆွဲသည်။ အိုဆာကာမြို့၏ အဓိကစီးပွားရေး၊ စျေးဝယ်နှင့် ခရီးသွားဧရိယာများကို ဆက်သွယ်ပေးသောကြောင့် ခရီးသည်အသုံးပြုမှု များပြားသည်။ =လမ်းကြောင်း= မိဒိုဆုဂျိလိုင်း၏ မြောက်ဘက်ဆုံးဘူတာမှာ အဲဆာကာဘူတာ ဖြစ်ပြီး တောင်ဘက်တွင် နာကမိုဇုဘူတာ အထိ ပြေးဆွဲသည်။ အဓိကဘူတာများတွင် အဲဆာကာ၊ အုမဲဒါ၊ ယိုဒိုယာဘရှိ၊ ဟုန်းမချိ၊ ရှင်းဆိုင်ဘရှိ၊ နန်ဘာ၊ ဒိုဘွန်းဘိုရိနှင့် တင်နိုဂျိတို့ ပါဝင်သည်။ =အခြားလိုင်းများနှင့် ဆက်သွယ်မှု= မိဒိုဆုဂျိလိုင်းသည် အိုဆာကာမြို့၏ အခြားမြေအောက်ရထားလိုင်းများနှင့် ရထားလမ်းများကို ချိတ်ဆက်ပေးသည်။ အုမဲဒါဘူတာ၊ ဟုန်းမချိဘူတာ၊ နန်ဘာဘူတာနှင့် တင်နိုဂျိဘူတာတို့သည် အရေးပါသော ပြောင်းလဲစီးနင်းရာဘူတာများ ဖြစ်သည်။ =သမိုင်း= မိဒိုဆုဂျိလိုင်း၏ ပထမဆုံးအပိုင်းကို ၁၉၃၃ ခုနှစ်တွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် လမ်းကြောင်းကို တဖြည်းဖြည်း တိုးချဲ့ခဲ့ပြီး ယနေ့အခါ အိုဆာကာမြို့၏ အဓိကမြေအောက်ရထားလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၂၀၁၈ ခုနှစ်တွင် အိုဆာကာမြို့၏ မြေအောက်ရထားလုပ်ငန်းကို ပုဂ္ဂလိကပိုင်အဖြစ် ပြောင်းလဲပြီးနောက် မိဒိုဆုဂျိလိုင်းကို Osaka Metro က ဆက်လက်လုပ်ကိုင်နေသည်။ =အမှတ်အသား= မိဒိုဆုဂျိလိုင်း၏ လိုင်းအမှတ်အသားမှာ M ဖြစ်သည်။ ဘူတာအမှတ်စဉ်များတွင် M01 မှ M30 အထိ အသုံးပြုသည်။ [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရထားပို့ဆောင်ရေး]] cjtwndac1pg0uzuwnqkauytqwbi9j7w 0 290684 1049408 2026-08-19T12:26:15Z 延岡 137044 စာမျက်နှာကို [[Osaka Metro မိဒိုဆုဂျိလိုင်း]] သို့ ပြန်ညွှန်းလိုက်သည် 1049408 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[Osaka Metro မိဒိုဆုဂျိလိုင်း]] lrb9biydxk4vz15q6w60um7isyercuv 1049411 1049408 2026-08-19T12:37:39Z 延岡 137044 /* */ 1049411 wikitext text/x-wiki အိုဆာကာမြို့မြေအောက်ရထား (大阪市営地下鉄၊ Osaka Municipal Subway) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ အိုဆာကာမြို့တွင် ယခင်က လုပ်ကိုင်ခဲ့သော မြေအောက်ရထားစနစ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အိုဆာကာမြို့အစိုးရက စီမံခန့်ခွဲခဲ့ပြီး ၁၉၃၃ ခုနှစ်တွင် ပထမဆုံးလိုင်းကို ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ အိုဆာကာမြို့မြေအောက်ရထားသည် အိုဆာကာမြို့၏ မြို့ပြသယ်ယူပို့ဆောင်ရေးအတွက် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်ခဲ့ပြီး မြို့၏ အဓိကစီးပွားရေး၊ စျေးဝယ်နှင့် လူနေဧရိယာများကို ဆက်သွယ်ပေးခဲ့သည်။ =သမိုင်း= အိုဆာကာမြို့မြေအောက်ရထား၏ ပထမဆုံးအပိုင်းကို ၁၉၃၃ ခုနှစ်တွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်မှစ၍ လမ်းကြောင်းများကို တဖြည်းဖြည်း တိုးချဲ့ခဲ့ပြီး အိုဆာကာမြို့၏ မြေအောက်ရထားကွန်ရက်သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အကြီးမားဆုံး မြို့ပြရထားကွန်ရက်များထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ဒုတိယကမ္ဘာစစ်အတွင်းနှင့် စစ်ပြီးခေတ်တွင်လည်း မြေအောက်ရထားစနစ်ကို ဆက်လက်တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ အိုဆာကာမြို့၏ လူဦးရေနှင့် မြို့ပြဧရိယာများ တိုးပွားလာသည်နှင့်အမျှ ရထားလိုင်းများနှင့် ဘူတာများလည်း တိုးချဲ့လာခဲ့သည်။ =လမ်းကြောင်းများ= အိုဆာကာမြို့မြေအောက်ရထားစနစ်တွင် အောက်ပါလိုင်းများ ပါဝင်ခဲ့သည်။ *မိဒိုဆုဂျိလိုင်း *တာနိမချိလိုင်း *ယိုဆုဘရှိလိုင်း *ချူအိုလိုင်း *ဆဲန်နိချိမဲလိုင်း *ဆာကိုအိစုဂျိလိုင်း *နာဂါဟိုရိဆုရုမိရိုကျုချိလိုင်း *အိမာဇာတိုဆုဂျိလိုင်း *နန်ကိုပို့တာဝင်းလိုင်း မိဒိုဆုဂျိလိုင်းသည် အိုဆာကာမြို့၏ မြောက်မှတောင်သို့ ဖြတ်သန်းသွားသော အဓိကလိုင်းဖြစ်ပြီး အုမဲဒါ၊ ရှင်းဆိုင်ဘရှိ၊ နန်ဘာနှင့် တင်နိုဂျိတို့ကဲ့သို့သော အဓိကမြို့ပြဧရိယာများကို ဆက်သွယ်ပေးခဲ့သည်။ =ပုဂ္ဂလိကပိုင်ပြောင်းလဲခြင်း= ၂၀၁၈ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့တွင် အိုဆာကာမြို့မြေအောက်ရထား၏ လုပ်ငန်းများကို အိုဆာကာမြို့အစိုးရထံမှ Osaka Metro သို့ လွှဲပြောင်းခဲ့သည်။ ထိုအချိန်မှစ၍ အိုဆာကာမြို့မြေအောက်ရထားသည် အများပိုင်မြေအောက်ရထားလုပ်ငန်းအဖြစ် မရှိတော့ဘဲ Osaka Metro က လက်ရှိ မြေအောက်ရထားလိုင်းများကို ဆက်လက်လုပ်ကိုင်နေသည်။ =အမွေအနှစ်= အိုဆာကာမြို့မြေအောက်ရထားသည် အိုဆာကာမြို့၏ ခေတ်သစ်မြို့ပြဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုနှင့် သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးစနစ်၏ အရေးပါသော အစိတ်အပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်ခဲ့သည်။ ယနေ့ Osaka Metro ၏ မြေအောက်ရထားကွန်ရက်သည် ယခင်အိုဆာကာမြို့မြေအောက်ရထားမှ ဆက်ခံဖွံ့ဖြိုးလာခြင်း ဖြစ်သည်။ shd8uehl7y818mrhwvz6f0hqsp73qv8 1049423 1049411 2026-08-19T14:55:31Z Dr Lotus Black 31011 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရထားပို့ဆောင်ရေး]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1049423 wikitext text/x-wiki အိုဆာကာမြို့မြေအောက်ရထား (大阪市営地下鉄၊ Osaka Municipal Subway) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ အိုဆာကာမြို့တွင် ယခင်က လုပ်ကိုင်ခဲ့သော မြေအောက်ရထားစနစ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အိုဆာကာမြို့အစိုးရက စီမံခန့်ခွဲခဲ့ပြီး ၁၉၃၃ ခုနှစ်တွင် ပထမဆုံးလိုင်းကို ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ အိုဆာကာမြို့မြေအောက်ရထားသည် အိုဆာကာမြို့၏ မြို့ပြသယ်ယူပို့ဆောင်ရေးအတွက် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်ခဲ့ပြီး မြို့၏ အဓိကစီးပွားရေး၊ စျေးဝယ်နှင့် လူနေဧရိယာများကို ဆက်သွယ်ပေးခဲ့သည်။ =သမိုင်း= အိုဆာကာမြို့မြေအောက်ရထား၏ ပထမဆုံးအပိုင်းကို ၁၉၃၃ ခုနှစ်တွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်မှစ၍ လမ်းကြောင်းများကို တဖြည်းဖြည်း တိုးချဲ့ခဲ့ပြီး အိုဆာကာမြို့၏ မြေအောက်ရထားကွန်ရက်သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အကြီးမားဆုံး မြို့ပြရထားကွန်ရက်များထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ဒုတိယကမ္ဘာစစ်အတွင်းနှင့် စစ်ပြီးခေတ်တွင်လည်း မြေအောက်ရထားစနစ်ကို ဆက်လက်တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ အိုဆာကာမြို့၏ လူဦးရေနှင့် မြို့ပြဧရိယာများ တိုးပွားလာသည်နှင့်အမျှ ရထားလိုင်းများနှင့် ဘူတာများလည်း တိုးချဲ့လာခဲ့သည်။ =လမ်းကြောင်းများ= အိုဆာကာမြို့မြေအောက်ရထားစနစ်တွင် အောက်ပါလိုင်းများ ပါဝင်ခဲ့သည်။ *မိဒိုဆုဂျိလိုင်း *တာနိမချိလိုင်း *ယိုဆုဘရှိလိုင်း *ချူအိုလိုင်း *ဆဲန်နိချိမဲလိုင်း *ဆာကိုအိစုဂျိလိုင်း *နာဂါဟိုရိဆုရုမိရိုကျုချိလိုင်း *အိမာဇာတိုဆုဂျိလိုင်း *နန်ကိုပို့တာဝင်းလိုင်း မိဒိုဆုဂျိလိုင်းသည် အိုဆာကာမြို့၏ မြောက်မှတောင်သို့ ဖြတ်သန်းသွားသော အဓိကလိုင်းဖြစ်ပြီး အုမဲဒါ၊ ရှင်းဆိုင်ဘရှိ၊ နန်ဘာနှင့် တင်နိုဂျိတို့ကဲ့သို့သော အဓိကမြို့ပြဧရိယာများကို ဆက်သွယ်ပေးခဲ့သည်။ =ပုဂ္ဂလိကပိုင်ပြောင်းလဲခြင်း= ၂၀၁၈ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့တွင် အိုဆာကာမြို့မြေအောက်ရထား၏ လုပ်ငန်းများကို အိုဆာကာမြို့အစိုးရထံမှ Osaka Metro သို့ လွှဲပြောင်းခဲ့သည်။ ထိုအချိန်မှစ၍ အိုဆာကာမြို့မြေအောက်ရထားသည် အများပိုင်မြေအောက်ရထားလုပ်ငန်းအဖြစ် မရှိတော့ဘဲ Osaka Metro က လက်ရှိ မြေအောက်ရထားလိုင်းများကို ဆက်လက်လုပ်ကိုင်နေသည်။ =အမွေအနှစ်= အိုဆာကာမြို့မြေအောက်ရထားသည် အိုဆာကာမြို့၏ ခေတ်သစ်မြို့ပြဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုနှင့် သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးစနစ်၏ အရေးပါသော အစိတ်အပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်ခဲ့သည်။ ယနေ့ Osaka Metro ၏ မြေအောက်ရထားကွန်ရက်သည် ယခင်အိုဆာကာမြို့မြေအောက်ရထားမှ ဆက်ခံဖွံ့ဖြိုးလာခြင်း ဖြစ်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရထားပို့ဆောင်ရေး]] rwqi8f4snwg09qjkxjlk1rdv4e2n77v 0 290685 1049409 2026-08-19T12:27:26Z Mkant00 135890 "အဆုံးရှိ [[ဖီးလ်ဒ်]] (finite field) ဆိုသည်မှာ အဆုံးရှိသော [[အစုဝင်]]အရေအတွက် ပါဝင်သည့် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049409 wikitext text/x-wiki အဆုံးရှိ [[ဖီးလ်ဒ်]] (finite field) ဆိုသည်မှာ အဆုံးရှိသော [[အစုဝင်]]အရေအတွက် ပါဝင်သည့် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Core Algebraic Properties) == * အဆုံးရှိ [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုရှိ]] [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] အရေအတွက်ကို အစီအစဉ် (order) ဟု ခေါ်သည်။ ယင်းအစီအစဉ်သည် အမြဲတမ်း သုဒ္ဓကိန်းထပ်ကိန်း (prime power) <math>q = p^n</math> ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>p</math> သည် [[သုဒ္ဓကိန်း]] (prime number) ဖြစ်ပြီး <math>n \geq 1</math> သည် [[ကိန်းပြည့်]] (integer) ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> သည် ဖီးလ်ဒ်၏ ဝိသေသတန်ဖိုး (characteristic) ဖြစ်သည်။ * အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်တိုင်းတွင် မော်ဂျူလို <math>p</math> ကိန်းပြည့်များ (integers modulo <math>p</math>) နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော]] (isomorphic) သုဒ္ဓဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (prime subfield) တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ယင်းဖီးလ်ဒ်ပိုင်းကို <math>\mathbb{F}_p</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{Z}/(p)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ထို့ကြောင့် အစီအစဉ် <math>p^n</math> ရှိသော မည်သည့် အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်မဆိုသည် <math>\mathbb{F}_p</math> အပေါ်အခြေခံသည့် <math>n</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာရှိသော]] [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (<math>n</math>-dimensional vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ * သုဒ္ဓကိန်းထပ်ကိန်း <math>q = p^n</math> တိုင်းအတွက် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုအထိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique up to isomorphism) အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုသာ အတိအကျ တည်ရှိသည်။ ယင်းကို ပုံမှန်အားဖြင့် <math>\mathbb{F}_q</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ၎င်းသည် <math>\mathbb{F}_p</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) <math>x^q - x</math> ၏ ကိန်းရင်းအားလုံးပါ ဖီးလ်ဒ် (splitting field) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုအထိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော်လည်း ထိုကဲ့သို့သော ကိန်းရင်းအားလုံးပါ ဖီးလ်ဒ်အတွက် ပုံမှန် ရွေးချယ်မှုဟူ၍ (canonical choice) တစ်ခုတည်းသီးသန့် မရှိပါ။ * အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု၏ သုညမဟုတ်သော အစုဝင်များ (non-zero elements) သည် မြှောက်ခြင်းအောက်တွင် အစီအစဉ် <math>q - 1</math> ရှိသော ဆိုက်ကလစ်[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (cyclic group) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ * ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) <math>\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p)</math> သည် အစီအစဉ် <math>n</math> ရှိသော ဆိုက်ကလစ်အုပ်စုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>x \mapsto x^p</math> ပုံဖော်မှု (mapping) ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Frobenius automorphism) <math>\sigma: \mathbb{F}_{p^n} \to \mathbb{F}_{p^n}</math> က ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |author=nLab authors |title=finite field |date=June 2026 |edition=Revision 9|url=https://ncatlab.org/nlab/show/finite+field |access-date=2026-08-19}} [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] 2d8odllg0xo8zvf2b5fvmhzsjx86ubc 0 290687 1049413 2026-08-19T13:30:57Z Mkant00 135890 "[[File:01 Kreiszahl.svg|thumb|320px|<math>\pi</math> (ပိုင်) သည် အထင်ရှားဆုံး သင်္ချာကိန်းသေများ (mathematical constants) ထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။]] File:Square root of 2 triangle.svg|right|thumb|<math>\sqrt{2}</math> ကိန်းသ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049413 wikitext text/x-wiki [[File:01 Kreiszahl.svg|thumb|320px|<math>\pi</math> (ပိုင်) သည် အထင်ရှားဆုံး သင်္ချာကိန်းသေများ (mathematical constants) ထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။]] [[File:Square root of 2 triangle.svg|right|thumb|<math>\sqrt{2}</math> ကိန်းသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) ဖြစ်သည်။]] သင်္ချာပညာတွင် ကိန်းစစ် (real number) သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]] (complex number) တစ်ခုသည် [[ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (rational number) မဟုတ်ပါက ၎င်းကို '''အီရာရှင်နယ်ကိန်း''' (irrational number) ဟု ခေါ်သည်။ ထို့ကြောင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခု၏ ဝိသေသလက္ခဏာမှာ ၎င်းကို [[ကိန်းပြည့်]] (integer) နှစ်ခု၏ စားလဒ် (quotient) အဖြစ် ဖော်ပြ၍မရနိုင်ခြင်း ဖြစ်သည်။ ဒသမကိန်း သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (decimal notation) တွင် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို ပြန်မထပ်သော အနန္တဒသမကိန်းလုံးများ ကိန်းစဉ် (non-periodic infinite sequence of decimal digits) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် 0.10110111011110… ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် အဆုံးမသတ်သည့် ပြန်မထပ်ဒသမကိန်းများ (infinite non-periodic decimal fractions) ဖြစ်ကြသည်။ လူသိများသော အီရာရှင်နယ်ကိန်းများမှာ အွိုင်လာ၏ ကိန်း (Euler's number) <math>\rm e</math> နှင့် <math>\pi</math> (ပိုင်) တို့ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် ကိန်းလွန်များ (transcendental numbers) လည်း ဖြစ်ကြသည်။ နှစ်၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) <math>\sqrt{2}</math> နှင့် ရွှေအချိုး (golden ratio) တို့သည်လည်း အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == ကိန်းစစ်တစ်ခုကို [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်နှစ်ခု၏]] အပိုင်းကိန်း (fraction) အဖြစ် ဖော်ပြ၍မရနိုင်ပါက ၎င်းကို အီရာရှင်နယ်ကိန်းဟု ခေါ်သည်။ ၎င်းကို <math>p, q\in\mathbb{Z}, \; q\neq 0</math> ဖြစ်သော <math>\tfrac{p}{q}</math> အဖြစ် ရေးသား၍ မရနိုင်ပါ။ အဆုံးရှိသော (finite) သို့မဟုတ် ပြန်ထပ်ဒသမကိန်းများ (periodic decimals) အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည့် [[ရာရှင်နယ်ကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများနှင့်]] မတူဘဲ အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ဒသမကိန်းဖော်ပြချက်များသည် အဆုံးလည်းမသတ်သလို ပြန်လည်းမထပ်ကြပေ။ အီရာရှင်နယ်ကိန်း နှစ်မျိုးရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * <math>1+\sqrt[3]{5}</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းရင်းများ (algebraic numbers) သို့မဟုတ် <math>\sqrt{2}</math> ကဲ့သို့သော ပြည့်စုံနှစ်ထပ်ကိန်း မဟုတ်သည့် (non-perfect squares) နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ** နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများ (quadratic equations) ကို ဖြေရှင်းပေးသော အီရာရှင်နယ် ကိန်းရင်းများကို ''နှစ်ထပ်ကိန်း အီရာရှင်နယ်များ (quadratic irrationals)'' ဟု ခေါ်သည်။ * <math>\pi = 3.14159\ldots</math> ကဲ့သို့သော ကိန်း သို့မဟုတ် အွိုင်လာ၏ ကိန်း <math>\rm e = 2.71828\ldots</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းလွန်များ ဖြစ်ကြသည်။ ** ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းသည် ဒီဂရီ (degree) ၁ ရှိသော ကိန်းရင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းစစ်ဖြစ်သော ကိန်းလွန်တိုင်းသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ အီရာရှင်နယ်ကိန်းများအစုကို <math>\R \setminus \Q</math> ဟူသော [[အစု]] ခြားနားခြင်း (set difference) ဖြင့် ရေးသားနိုင်သည်။ ထိုနေရာတွင် <math>\R</math> သည် ကိန်းစစ်များအစုကို ကိုယ်စားပြုပြီး <math>\Q</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစုကို ကိုယ်စားပြုသည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ၏]] [[ဖီးလ်ဒ်]] (field of complex numbers) <math>\C</math> အတွင်း စူးစမ်းလေ့လာမှုများစွာ ပြုလုပ်သော ကိန်းသီအိုရီ (number theory) တွင် အီရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခုကို အစု ခြားနားခြင်း <math>\C \setminus \Q</math> မှ ကိန်းတစ်ခုအဖြစ် မကြာခဏ နားလည်သတ်မှတ်ကြသည်။ အထူးသဖြင့် ဤသဘောတရားအရ [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်သီးသန့်တိုင်း]] (purely imaginary number) နှင့် တိကျစွာဆိုရသော် ကိန်းယောင်ယူနစ် (imaginary unit) <math>\mathrm i </math> သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပုံမှန်သင်္ချာသတ်မှတ်ချက်များတွင် အီရာရှင်နယ်ကိန်းသည် ကိန်းစစ်ဖြစ်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>\mathrm i</math> ကို အီရာရှင်နယ်ကိန်းအဖြစ် မသတ်မှတ်ပါ။ == အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုအား တွေ့ရှိခြင်း (Discovery of Irrationality) == အီရာရှင်နယ် အချိုးများကို ပထမဆုံး သက်သေပြချက်သည် ဘီစီ ၅ ရာစု ရှေးဟောင်းဂရိခေတ်ရှိ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းသားများ (Pythagoreans) ထံမှ ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ်၏ တိကျသေချာမှု စံနှုန်းများနှင့် ကိုက်ညီသော အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ယူကလစ်ဒ် (Euclid) ၏ အဲလီမင့် (Elements) ကျမ်းတွင် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ ခေတ်သစ်သင်္ချာဘာသာစကားသို့ ဘာသာပြန်ဆိုမှုများကို ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass) နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) တို့က ပထမဆုံး ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။<ref>Lucio Russo: ''Die vergessene Revolution oder die Wiedergeburt des antiken Wissens.'' Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 978-3-540-20938-6, pp. 53–56.</ref> အနားအလျား <math>1</math> ရှိသော စတုရန်းတစ်ခု (square) ရှိပြီး ၎င်း၏ ထောင့်ဖြတ်မျဉ်း (diagonal) <math>d</math> ကို တွက်ချက်ပါက ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) အရ <math>d^2 = 1^2 + 1^2</math> ဖြစ်လာပြီး ထို့ကြောင့် <math>d^2 = 2</math> ဖြစ်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ဤညီမျှခြင်း၏ အပေါင်းကိန်းအဖြေကို <math>\sqrt{2}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ဂရိသင်္ချာပညာရှင်များအတွက် ဤထောင့်ဖြတ်မျဉ်း၏ အလျားကို သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) ဖြစ်သော <math>p</math> နှင့် <math>q</math> တို့၏ အချိုး သို့မဟုတ် အပိုင်းကိန်း <math>p/q</math> အဖြစ် အတိအကျ ဖော်ပြနိုင်မည်လားဟူသော မေးခွန်း ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ ဤသို့ဖော်ပြရန် မဖြစ်နိုင်ကြောင်းကို ယူကလစ်ဒ်က ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (contradiction) နည်းလမ်းဖြင့် သက်သေပြချက် (proof by contradiction) ဖြင့် သက်သေပြခဲ့ပြီးဖြစ်သည်။ သူ၏ သက်သေပြချက်ကို ယနေ့တိုင် ကျောင်းများတွင် သင်ကြားနေဆဲ ဖြစ်သည်။ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို တွေ့ရှိခြင်းသည် စတုရန်းတစ်ခုအပေါ် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ်ကို အသုံးချရာမှ ပေါ်ပေါက်လာခြင်းလား သို့မဟုတ် ကာ့တ် ဖွန် ဖရစ်ဇ် (Kurt von Fritz) အကြံပြုထားသကဲ့သို့ ပန်တာဂရမ် (pentagram) အပေါ် အဆက်မပြတ် အချိုးချခွဲဝေခြင်းမှ ပေါ်ပေါက်လာခြင်းလား ဆိုသည်ကိုမူ မသိရပေ။<ref>Walter Burkert: ''Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon.'' Carl, Nuremberg 1962, pp. 430–440.</ref> ရှေးကျသော သမိုင်းသုတေသနပြုမှုများက အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို တွေ့ရှိခြင်းသည် ရှေးဟောင်းဂရိသင်္ချာ သို့မဟုတ် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကိန်းသီအိုရီတွင် အခြေခံဆိုင်ရာ အကျပ်အတည်း (foundational crisis) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်ဟု ယူဆခဲ့ကြသည်။ ယခင်က အရာခပ်သိမ်းကို [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်အချိုးများဖြင့်]] ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အခြေခံယူဆချက်တစ်ခုကို လက်ခံထားခဲ့ကြပြီး ဤအမြင်ကို ချေပလိုက်ခြင်းသည် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းသားများ၏ ကမ္ဘာ့အမြင်ကို တုန်လှုပ်သွားစေခဲ့သည်ဟု ထင်မြင်ခဲ့ကြသည်။ ဤအချက်သည် ရှေးဟောင်း ဒဏ္ဍာရီတစ်ခုနှင့် ဆက်စပ်နေသည်။ အဆိုပါ ဒဏ္ဍာရီအရ မက်တာပွန်တမ်မြို့မှ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းသား ဟစ်ပါဆပ်စ် (Hippasus of Metapontum) သည် ဘီစီ ၅ ရာစုတွင် ဤတွေ့ရှိချက်ကို စာဖြင့်ရေးသားထုတ်ပြန်ခြင်းဖြင့် လျှို့ဝှက်ချက်ကို ဖောက်ခဲ့သည်။ ၎င်းနောက် ပင်လယ်ထဲတွင် ရေနစ်သေဆုံးခဲ့ပြီး ၎င်းကို နတ်ဘုရားများ၏ အပြစ်ပေးမှုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခဲ့ကြသည်။ ယနေ့ခေတ် သိပ္ပံသမိုင်းပညာရှင်များက ထိုကဲ့သို့သော အကျပ်အတည်းမျိုး မရှိခဲ့ကြောင်းနှင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို လျှို့ဝှက်ချက်တစ်ခုအဖြစ် မသတ်မှတ်ခဲ့ကြကြောင်း ယူဆကြသည်။<ref>Walter Burkert: ''Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon.'' Carl, Nuremberg 1962, pp. 436 f.</ref> သို့သော် ဟစ်ပါဆပ်စ် ပြီးနောက် ကာလတွင် ဂရိသင်္ချာပညာသည် အခြေခံကျကျ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်မှာ အမှန်တရားပင် ဖြစ်သည်။ == အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးသော ကိန်းများ (Numbers whose irrationality is proven) == * တာရန်တမ်မြို့မှ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းသား အာခီးတပ်စ် (Archytas of Tarentum) သည် သဘာဝကိန်းများ <math>m</math> အတွက် <math>\sqrt{\tfrac{m+1}{m}}</math> ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။ <math>m = 1</math> ဖြစ်သော <math>\sqrt{2}</math> အခြေအနေအတွက် သက်သေပြချက်ကို ယူကလစ်ဒ်၏ အဲလီမင့် ကျမ်းတွင် ထိန်းသိမ်းထားသည်။ ၎င်းကို ယူကလစ်ဒ်၏ ၂ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှု သက်သေပြချက်အဖြစ် လူသိများသည်။ ယူကလစ်ဒ် ကိုယ်တိုင်က အာခီးတပ်စ် ၏ သီအိုရမ်ကို သူ၏ ဂီတသီအိုရီ (music theory) တွင် ယေဘုယျပြုခဲ့ပြီး အလိုရှိရာ ကိန်းရင်းများ <math>\sqrt[n]{\tfrac{m+1}{m}}</math> ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။ * အခြားအရေးကြီးသော နှစ်ထပ်ကိန်း အီရာရှင်နယ်တစ်ခုမှာ ရွှေအချိုး <math>\textstyle\Phi = \frac{1+\sqrt5}2</math> ဖြစ်သည်။ * အွိုင်လာ၏ ကိန်း <math>\mathrm e </math> သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကို လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ (Leonhard Euler) က ၁၇၃၇ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။ ၎င်း၏ ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုကို ချားလ်စ် အာမစ် (Charles Hermite) က ၁၈၇၃ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။ * ၁၇၆၁ ခုနှစ်တွင် ယိုဟန်း ဟိုင်းနရစ် လမ်းဘတ် (Johann Heinrich Lambert) က <math>\pi</math> ကိန်း၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။ ၎င်း၏ ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုကိုမူ ဖာဒီနန် ဖွန် လင်ဒီမန်း (Ferdinand von Lindemann) က ၁၈၈၂ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။ * [[ကိန်းပြည့်]] မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (integer coefficients) ပါဝင်သော မိုနစ် ပိုလီနိုမီရယ် (monic polynomial) <math>x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+a_0</math> တစ်ခု၏ ကိန်းပြည့်မဟုတ်သော ကိန်းရင်းများသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ အထူးသဖြင့် ပြည့်စုံနှစ်ထပ်ကိန်း မဟုတ်သည့် နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများဖြစ်သော <math>\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5,\sqrt6,\dotsc</math> တို့သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ * ၁၉၇၉ ခုနှစ်တွင် ရော်ဂျာ အာပယ်ရီ (Roger Apéry) သည် အာပယ်ရီ ကိန်းသေ (Apéry's constant) <math>\textstyle \zeta(3)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}</math> ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last=Apéry |first=Roger |title=Irrationalité de ζ (2) et ζ (3) |journal=Astérisque |issue=61 |date=1979 |pages=11–13 |language=fr}}</ref> * သုညမဟုတ်သော ကိန်းရင်း <math>{\alpha} \neq 0</math> တိုင်းအတွက် <math>\rm e^{\alpha}</math> သည် ကိန်းလွန် ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို လင်ဒီမန်း-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ် (Lindemann–Weierstrass theorem) တွင် လေ့လာနိုင်သည်။ * ဂဲ့လ်ဖွန် ကိန်းသေ (Gelfond's constant) <math>\rm e^{\pi}</math> နှင့် ဂဲ့လ်ဖွန်-ရွှနိုက်ဒါ ကိန်းသေ (Gelfond–Schneider constant) <math>2^{ \sqrt{2} }</math> တို့အပြင် ၎င်းတို့၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သော <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}} = \sqrt{ 2^{ \sqrt{2} } }</math> တို့၏ ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုနှင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုတို့သည် ဂဲ့လ်ဖွန်-ရွှနိုက်ဒါ သီအိုရမ် (Gelfond–Schneider theorem) မှ ဆင်းသက်လာသည်။<math>2^{\sqrt2}</math> သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ကြောင်းကို ကားလ် လူဒဗစ် ဇီးဂဲလ် (Carl Ludwig Siegel) ကလည်း သက်သေပြခဲ့သည်။ * လမ်းနစ်စကိတ် ကိန်းသေ (lemniscate constant) <math>\varpi = 2.622057\ldots</math> သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ကြောင်းကို သီအိုဒေါ ရွှနိုက်ဒါ (Theodor Schneider) က ၁၉၃၇ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။ * ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဆိုလိုမွန် ဒဗလျူ ဂိုလုမ် (Solomon W. Golomb) သည် ဖဲမကိန်းများ (Fermat numbers) အားလုံး၏ ပြောင်းပြန်ကိန်းများ (reciprocals) ပေါင်းလဒ်၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။<ref> {{Citation |last=Golomb |first=Solomon W. |title=On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities |journal=Canad. J. Math. |volume=15 |date=1963 |pages=475–478 |url=https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v15/cjm1963v15.0475-0478.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20160321234733/http://cms.math.ca/openaccess/cjm/v15/cjm1963v15.0475-0478.pdf |archive-date=2016-03-21 |access-date=2016-08-09}}</ref> ဤနေရာတွင် <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{F_n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{2^n}+1} \approx 0.59606317211782167942379392586279</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို OEIS A051158 အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ * လီယူးဗီးလ် ကိန်းများ (Liouville numbers) အားလုံးသည် ကိန်းလွန်များဖြစ်ကြပြီး ထို့ကြောင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ * သုညမဟုတ်သော [[ရာရှင်နယ်ကိန်း]] <math> a \neq 0</math> တိုင်းအတွက် <math>\tan a \,</math> သည် အမြဲတမ်း အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်က <math>\tan \left( \tfrac{\pi}{4} \right) = 1</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ခြင်းကြောင့် <math>\pi</math> ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို ဖော်ပြနေသည်။<ref>{{Citation |last=Siegel |first=Carl Ludwig |title=Transzendente Zahlen |series=BI-Hochschultaschenbücher |volume=137* |publication-place=Mannheim |publisher=Bibliographisches Institut |date=1967 |page=18 |language=de}}</ref> ** ထို့အပြင် လင်ဒီမန်း-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ်အရ သုညမဟုတ်သော ကိန်းရင်းတိုင်းအတွက် <math>\tan a \,</math> သည် ကိန်းလွန် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် သုညမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းအတွက်လည်း ကိန်းလွန်ပင် ဖြစ်သည်။ * ထို့အပြင် <math>\tfrac{ \left( \Gamma \left( \tfrac{1}{4} \right) \right)^2 }{ \sqrt[4\,] {\pi} }</math> သည် ကိန်းလွန်တစ်ခုအနေဖြင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ သို့သော် <math>\Gamma \left( \tfrac{1}{4} \right)</math> ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုသည် အဖြေမပေါ်သေးသော မေးခွန်းတစ်ခုအဖြစ် ကျန်ရှိနေသေးသည်။<ref>{{Citation |last=Siegel |first=Carl Ludwig |title=Transzendente Zahlen |series=BI-Hochschultaschenbücher |volume=137* |publication-place=Mannheim |publisher=Bibliographisches Institut |date=1967 |page=81 |language=de}}</ref> == အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ကြောင်း မှန်းဆထားသော ကိန်းများ (Numbers whose irrationality is conjectured) == * <math>\pi + \mathrm{e}, \pi - \mathrm{e}, \pi \cdot \mathrm{e}, \pi/\mathrm{e}</math> ကိန်းများ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို မှန်းဆထားသော်လည်း ယခုအချိန်အထိ သက်သေမပြရသေးပါ။ သို့သော် အလိုရှိရာ စုံတွဲများထဲမှ အနည်းဆုံးတစ်ခုသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်ရမည်ကို လွယ်ကူစွာ သိမြင်နိုင်သည်။ ဤအချက်သည် မည်သည့်ကိန်းလွန် နှစ်ခုဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အကျုံးဝင်သည်။ * သုညမဟုတ်သော [[ကိန်းပြည့်]] စုံတွဲ <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တစ်တွဲတလေအတွက်မျှ <math>m\cdot \pi+n\cdot \mathrm e</math> သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်မဖြစ်ကို မသိရှိရသေးပါ။ သို့သော် [[ရာရှင်နယ်ကိန်း|ရာရှင်နယ်ဖြစ်သော]] မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (linear combinations) တည်ရှိလာပါက အချိုး <math>m/n</math> သည် ကိန်းသေ (constant) တန်ဖိုးတစ်ခုကို ရရှိမည်ဖြစ်ကြောင်းကိုမူ သိရှိထားသည်။ * ထို့အပြင် <math>2^\mathrm{e}</math>၊ <math>\pi^\mathrm{e}</math>၊ <math>\pi^\sqrt{2}</math>၊ <math>\pi^\pi</math>၊ <math>\mathrm{e}^\mathrm{e}</math>၊ ကာတာလန် ကိန်းသေ (Catalan's constant) <math>G = 0.91596\ldots</math> သို့မဟုတ် အွိုင်လာ-မက်စကရိုနီ ကိန်းသေ (Euler–Mascheroni constant) <math>\gamma = 0.57721\ldots</math> တို့သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်မဖြစ်ကိုလည်း မသိရှိရသေးပေ။ == အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ရေတွက်၍မရသော သဘောတရား (The uncountability of irrational numbers) == ကန်တာ၏ ပထမ ထောင့်ဖြတ်နည်းဖြင့် သက်သေပြချက် (Cantor's first diagonal argument) က ပြသထားသည့်အတိုင်း [[ရာရှင်နယ်ကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]]အစုသည် ရေတွက်နိုင်သော[[အစု]] (countable set) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်း ပါဝင်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ကန်တာ၏ ဒုတိယ ထောင့်ဖြတ်နည်းဖြင့် သက်သေပြချက် (Cantor's second diagonal argument) က ရေတွက်၍မရလောက်အောင် (uncountable) များပြားသော ကိန်းစစ်များ တည်ရှိကြောင်းကို သက်သေပြထားသည်။ ဤသည်မှာ ရေတွက်၍မရလောက်အောင် များပြားသော အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ရှိရမည်ဖြစ်ကြောင်းကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း ဆိုလိုသည်။ အထူးသဖြင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများအားလုံးကို "ကိုယ်စားပြုဖော်ပြခြင်း" သို့မဟုတ် "တွက်ချက်ခြင်း" မပြုလုပ်နိုင်ကြောင်းကို ဆိုလိုသည်။ သို့မဟုတ်ပါက ရေတွက်နိုင်သောအစု နှစ်ခု၏ ပေါင်းစပ်စု (union) ဖြစ်သော ကိန်းစစ်များသည် ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင် ရေတွက်နိုင်သော ကိန်းများ ဖြစ်သွားပေလိမ့်မည်။ ကန်တာက ထပ်ကိန်းရင်း ဖော်ပြချက်များ (radical expressions) အားလုံး ပါဝင်သည့် ကိန်းရင်းများအစုသည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်ကြောင်းကို ဆက်လက်ပြသခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ကိန်းစစ်များ သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ၏]] မည်သည့် ရေတွက်နိုင်သော [[အစုပိုင်း]] (countable subset) ၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (algebraic closure) သည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သည်။ ယင်းကဲ့သို့သော အစုများတွင် အထူးသဖြင့် ကိန်းလွန်များ ပါဝင်နိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတွင် ကိန်းစစ်များအားလုံး အသေအချာ မပါဝင်နိုင်ပေ။ == အီရာရှင်နယ် ထပ်ကိန်းများ (Irrational exponents) == မည်သည့်အခြေအနေတွင်မဆို <math>a^b \in \Q</math> (ဆိုလိုသည်မှာ [[ရာရှင်နယ်ကိန်း]]) ဖြစ်စေမည့် <math>a, b \in \R \setminus \Q</math> ဟူသော အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ တည်ရှိသည်ဟူသည့် သီအိုရမ်တစ်ခု ရှိသည်။ ဤအတွက် အလွန်ကောင်းမွန်သော သက်သေပြချက်တစ်ခုကို ၁၉၅၃ ခုနှစ်တွင် ဒို့ဗ် ဂျာဒင် (Dov Jarden) က တင်ပြခဲ့သည်။ ပထမဦးစွာ <math>a = b = \sqrt{2}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါမည်။ ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အလယ်မရှိ နိယာမ (law of excluded middle) အရ <math>a^b = \sqrt{2}^\sqrt{2}</math> ကိန်းသည် ရာရှင်နယ်ကိန်း သို့မဟုတ် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ ဂဲ့လ်ဖွန်-ရွှနိုက်ဒါ သီအိုရမ်အရ <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ပြီး အထူးသဖြင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်သည်ဟူသော အချက်သည် ဤသက်သေပြချက်၏ သဘောတရားအတွက် သက်ဆိုင်မှု မရှိပါ။ အကယ်၍ ၎င်းသည် ရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်ပါက အဆိုပါအချက်ကို သက်သေပြပြီး ဖြစ်သွားမည်ဖြစ်သည်။ သို့သော် ၎င်းသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်နေပါက <math>a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> ဟု အသစ်ထပ်မံသတ်မှတ်ပြီး <math>b = \sqrt{2}</math> အတိုင်း ထားရှိရမည်ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် တွက်ချက်လိုက်သောအခါ <math> a^b = {(\sqrt{2} ^ \sqrt{2})}^\sqrt{2} = {\sqrt{2}}^{(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})} = {(\sqrt{2})}^2 = 2</math> ကိန်းကို ရရှိသည်။ ဤကိန်းသည် သဘာဝကိန်းတစ်ခုအနေဖြင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းလည်း ဖြစ်သောကြောင့် ဖော်ပြချက်ကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့ပြီ ဖြစ်သည်။<ref>{{Citation |title=The square root of two proof |work=QA9 |date=2015-01-27 |url=https://queuea9.wordpress.com/2015/01/27/the-square-root-of-two-proof/ |access-date=2024-07-16 |language=en}}</ref> အတိုချုပ်ဆိုရသော် <math>a = \sqrt{2}^\sqrt{2}</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်း မဟုတ်ပါက <math>a^\sqrt{2}</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ == စာပေများ == * {{Citation |last=Bundschuh |first=Peter |title=Einführung in die Zahlentheorie |series=Springer-Lehrbuch |edition=6th, revised and updated |publication-place=Berlin / Heidelberg |publisher=Springer Verlag |date=2008 |isbn=978-3-540-76490-8 |language=de}} * {{Citation |last1=Conway |first1=John H. |last2=Guy |first2=Richard K. |title=Zahlenzauber: Von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen |others=Translated from American English by Manfred Stern |publication-place=Basel |publisher=Springer Basel AG |date=1967 |isbn=978-3-0348-6085-7 |doi=10.1007/978-3-0348-6084-0 |language=de}} * {{Citation |last=Finch |first=Steven R. |title=Mathematical Constants |series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications |volume=94 |publication-place=Cambridge [u. a.] |publisher=Cambridge University Press |date=2003 |isbn=0-521-81805-2}} * {{Citation |last=Müller |first=Tom |title=Irrationalitätsbeweise |series=Berliner Studienreihe zur Mathematik |volume=25 |publication-place=Lemgo |publisher=Heldermann Verlag |date=2014 |isbn=978-3-88538-125-9 |language=de}} * {{Citation |last=Perron |first=Oskar |title=Irrationalzahlen |series=Göschens Lehrbücherei, I. Gruppe |volume=1 |edition=4th, revised and expanded |publication-place=Berlin |publisher=Walter de Gruyter & Co. |date=1960 |language=de}} * {{Citation |last=Scheid |first=Harald |title=Zahlentheorie |edition=3rd |publication-place=Heidelberg / Berlin |publisher=Spektrum Akademischer Verlag |date=2003 |isbn=3-8274-1365-6 |language=de}} * {{Citation |last=Siegel |first=Carl Ludwig |title=Transzendente Zahlen |others=Translated from English by B. Fuchssteiner and Detlef Laugwitz |series=BI-Hochschultaschenbücher |volume=137* |publication-place=Mannheim |publisher=Bibliographisches Institut |date=1967 |url=https://zbmath.org/0167.32202 |language=de}} == References == <references /> [[Category:ကိန်းများ]] [[Category:ကိန်းသီအိုရီ]] negyi6rx3vbo8e2k48njlobnr5qd69a 1049424 1049413 2026-08-19T14:56:33Z Dr Lotus Black 31011 /* References */ 1049424 wikitext text/x-wiki [[File:01 Kreiszahl.svg|thumb|320px|<math>\pi</math> (ပိုင်) သည် အထင်ရှားဆုံး သင်္ချာကိန်းသေများ (mathematical constants) ထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။]] [[File:Square root of 2 triangle.svg|right|thumb|<math>\sqrt{2}</math> ကိန်းသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) ဖြစ်သည်။]] သင်္ချာပညာတွင် ကိန်းစစ် (real number) သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]] (complex number) တစ်ခုသည် [[ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (rational number) မဟုတ်ပါက ၎င်းကို '''အီရာရှင်နယ်ကိန်း''' (irrational number) ဟု ခေါ်သည်။ ထို့ကြောင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခု၏ ဝိသေသလက္ခဏာမှာ ၎င်းကို [[ကိန်းပြည့်]] (integer) နှစ်ခု၏ စားလဒ် (quotient) အဖြစ် ဖော်ပြ၍မရနိုင်ခြင်း ဖြစ်သည်။ ဒသမကိန်း သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (decimal notation) တွင် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို ပြန်မထပ်သော အနန္တဒသမကိန်းလုံးများ ကိန်းစဉ် (non-periodic infinite sequence of decimal digits) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် 0.10110111011110… ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် အဆုံးမသတ်သည့် ပြန်မထပ်ဒသမကိန်းများ (infinite non-periodic decimal fractions) ဖြစ်ကြသည်။ လူသိများသော အီရာရှင်နယ်ကိန်းများမှာ အွိုင်လာ၏ ကိန်း (Euler's number) <math>\rm e</math> နှင့် <math>\pi</math> (ပိုင်) တို့ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် ကိန်းလွန်များ (transcendental numbers) လည်း ဖြစ်ကြသည်။ နှစ်၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) <math>\sqrt{2}</math> နှင့် ရွှေအချိုး (golden ratio) တို့သည်လည်း အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == ကိန်းစစ်တစ်ခုကို [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်နှစ်ခု၏]] အပိုင်းကိန်း (fraction) အဖြစ် ဖော်ပြ၍မရနိုင်ပါက ၎င်းကို အီရာရှင်နယ်ကိန်းဟု ခေါ်သည်။ ၎င်းကို <math>p, q\in\mathbb{Z}, \; q\neq 0</math> ဖြစ်သော <math>\tfrac{p}{q}</math> အဖြစ် ရေးသား၍ မရနိုင်ပါ။ အဆုံးရှိသော (finite) သို့မဟုတ် ပြန်ထပ်ဒသမကိန်းများ (periodic decimals) အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည့် [[ရာရှင်နယ်ကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများနှင့်]] မတူဘဲ အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ဒသမကိန်းဖော်ပြချက်များသည် အဆုံးလည်းမသတ်သလို ပြန်လည်းမထပ်ကြပေ။ အီရာရှင်နယ်ကိန်း နှစ်မျိုးရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * <math>1+\sqrt[3]{5}</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းရင်းများ (algebraic numbers) သို့မဟုတ် <math>\sqrt{2}</math> ကဲ့သို့သော ပြည့်စုံနှစ်ထပ်ကိန်း မဟုတ်သည့် (non-perfect squares) နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ** နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများ (quadratic equations) ကို ဖြေရှင်းပေးသော အီရာရှင်နယ် ကိန်းရင်းများကို ''နှစ်ထပ်ကိန်း အီရာရှင်နယ်များ (quadratic irrationals)'' ဟု ခေါ်သည်။ * <math>\pi = 3.14159\ldots</math> ကဲ့သို့သော ကိန်း သို့မဟုတ် အွိုင်လာ၏ ကိန်း <math>\rm e = 2.71828\ldots</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းလွန်များ ဖြစ်ကြသည်။ ** ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းသည် ဒီဂရီ (degree) ၁ ရှိသော ကိန်းရင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းစစ်ဖြစ်သော ကိန်းလွန်တိုင်းသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ အီရာရှင်နယ်ကိန်းများအစုကို <math>\R \setminus \Q</math> ဟူသော [[အစု]] ခြားနားခြင်း (set difference) ဖြင့် ရေးသားနိုင်သည်။ ထိုနေရာတွင် <math>\R</math> သည် ကိန်းစစ်များအစုကို ကိုယ်စားပြုပြီး <math>\Q</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစုကို ကိုယ်စားပြုသည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ၏]] [[ဖီးလ်ဒ်]] (field of complex numbers) <math>\C</math> အတွင်း စူးစမ်းလေ့လာမှုများစွာ ပြုလုပ်သော ကိန်းသီအိုရီ (number theory) တွင် အီရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခုကို အစု ခြားနားခြင်း <math>\C \setminus \Q</math> မှ ကိန်းတစ်ခုအဖြစ် မကြာခဏ နားလည်သတ်မှတ်ကြသည်။ အထူးသဖြင့် ဤသဘောတရားအရ [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်သီးသန့်တိုင်း]] (purely imaginary number) နှင့် တိကျစွာဆိုရသော် ကိန်းယောင်ယူနစ် (imaginary unit) <math>\mathrm i </math> သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပုံမှန်သင်္ချာသတ်မှတ်ချက်များတွင် အီရာရှင်နယ်ကိန်းသည် ကိန်းစစ်ဖြစ်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>\mathrm i</math> ကို အီရာရှင်နယ်ကိန်းအဖြစ် မသတ်မှတ်ပါ။ == အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုအား တွေ့ရှိခြင်း (Discovery of Irrationality) == အီရာရှင်နယ် အချိုးများကို ပထမဆုံး သက်သေပြချက်သည် ဘီစီ ၅ ရာစု ရှေးဟောင်းဂရိခေတ်ရှိ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းသားများ (Pythagoreans) ထံမှ ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ်၏ တိကျသေချာမှု စံနှုန်းများနှင့် ကိုက်ညီသော အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ယူကလစ်ဒ် (Euclid) ၏ အဲလီမင့် (Elements) ကျမ်းတွင် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ ခေတ်သစ်သင်္ချာဘာသာစကားသို့ ဘာသာပြန်ဆိုမှုများကို ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass) နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) တို့က ပထမဆုံး ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။<ref>Lucio Russo: ''Die vergessene Revolution oder die Wiedergeburt des antiken Wissens.'' Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 978-3-540-20938-6, pp. 53–56.</ref> အနားအလျား <math>1</math> ရှိသော စတုရန်းတစ်ခု (square) ရှိပြီး ၎င်း၏ ထောင့်ဖြတ်မျဉ်း (diagonal) <math>d</math> ကို တွက်ချက်ပါက ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) အရ <math>d^2 = 1^2 + 1^2</math> ဖြစ်လာပြီး ထို့ကြောင့် <math>d^2 = 2</math> ဖြစ်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ဤညီမျှခြင်း၏ အပေါင်းကိန်းအဖြေကို <math>\sqrt{2}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ဂရိသင်္ချာပညာရှင်များအတွက် ဤထောင့်ဖြတ်မျဉ်း၏ အလျားကို သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) ဖြစ်သော <math>p</math> နှင့် <math>q</math> တို့၏ အချိုး သို့မဟုတ် အပိုင်းကိန်း <math>p/q</math> အဖြစ် အတိအကျ ဖော်ပြနိုင်မည်လားဟူသော မေးခွန်း ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ ဤသို့ဖော်ပြရန် မဖြစ်နိုင်ကြောင်းကို ယူကလစ်ဒ်က ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (contradiction) နည်းလမ်းဖြင့် သက်သေပြချက် (proof by contradiction) ဖြင့် သက်သေပြခဲ့ပြီးဖြစ်သည်။ သူ၏ သက်သေပြချက်ကို ယနေ့တိုင် ကျောင်းများတွင် သင်ကြားနေဆဲ ဖြစ်သည်။ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို တွေ့ရှိခြင်းသည် စတုရန်းတစ်ခုအပေါ် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ်ကို အသုံးချရာမှ ပေါ်ပေါက်လာခြင်းလား သို့မဟုတ် ကာ့တ် ဖွန် ဖရစ်ဇ် (Kurt von Fritz) အကြံပြုထားသကဲ့သို့ ပန်တာဂရမ် (pentagram) အပေါ် အဆက်မပြတ် အချိုးချခွဲဝေခြင်းမှ ပေါ်ပေါက်လာခြင်းလား ဆိုသည်ကိုမူ မသိရပေ။<ref>Walter Burkert: ''Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon.'' Carl, Nuremberg 1962, pp. 430–440.</ref> ရှေးကျသော သမိုင်းသုတေသနပြုမှုများက အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို တွေ့ရှိခြင်းသည် ရှေးဟောင်းဂရိသင်္ချာ သို့မဟုတ် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကိန်းသီအိုရီတွင် အခြေခံဆိုင်ရာ အကျပ်အတည်း (foundational crisis) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်ဟု ယူဆခဲ့ကြသည်။ ယခင်က အရာခပ်သိမ်းကို [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်အချိုးများဖြင့်]] ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အခြေခံယူဆချက်တစ်ခုကို လက်ခံထားခဲ့ကြပြီး ဤအမြင်ကို ချေပလိုက်ခြင်းသည် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းသားများ၏ ကမ္ဘာ့အမြင်ကို တုန်လှုပ်သွားစေခဲ့သည်ဟု ထင်မြင်ခဲ့ကြသည်။ ဤအချက်သည် ရှေးဟောင်း ဒဏ္ဍာရီတစ်ခုနှင့် ဆက်စပ်နေသည်။ အဆိုပါ ဒဏ္ဍာရီအရ မက်တာပွန်တမ်မြို့မှ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းသား ဟစ်ပါဆပ်စ် (Hippasus of Metapontum) သည် ဘီစီ ၅ ရာစုတွင် ဤတွေ့ရှိချက်ကို စာဖြင့်ရေးသားထုတ်ပြန်ခြင်းဖြင့် လျှို့ဝှက်ချက်ကို ဖောက်ခဲ့သည်။ ၎င်းနောက် ပင်လယ်ထဲတွင် ရေနစ်သေဆုံးခဲ့ပြီး ၎င်းကို နတ်ဘုရားများ၏ အပြစ်ပေးမှုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခဲ့ကြသည်။ ယနေ့ခေတ် သိပ္ပံသမိုင်းပညာရှင်များက ထိုကဲ့သို့သော အကျပ်အတည်းမျိုး မရှိခဲ့ကြောင်းနှင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို လျှို့ဝှက်ချက်တစ်ခုအဖြစ် မသတ်မှတ်ခဲ့ကြကြောင်း ယူဆကြသည်။<ref>Walter Burkert: ''Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon.'' Carl, Nuremberg 1962, pp. 436 f.</ref> သို့သော် ဟစ်ပါဆပ်စ် ပြီးနောက် ကာလတွင် ဂရိသင်္ချာပညာသည် အခြေခံကျကျ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်မှာ အမှန်တရားပင် ဖြစ်သည်။ == အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးသော ကိန်းများ (Numbers whose irrationality is proven) == * တာရန်တမ်မြို့မှ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းသား အာခီးတပ်စ် (Archytas of Tarentum) သည် သဘာဝကိန်းများ <math>m</math> အတွက် <math>\sqrt{\tfrac{m+1}{m}}</math> ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။ <math>m = 1</math> ဖြစ်သော <math>\sqrt{2}</math> အခြေအနေအတွက် သက်သေပြချက်ကို ယူကလစ်ဒ်၏ အဲလီမင့် ကျမ်းတွင် ထိန်းသိမ်းထားသည်။ ၎င်းကို ယူကလစ်ဒ်၏ ၂ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှု သက်သေပြချက်အဖြစ် လူသိများသည်။ ယူကလစ်ဒ် ကိုယ်တိုင်က အာခီးတပ်စ် ၏ သီအိုရမ်ကို သူ၏ ဂီတသီအိုရီ (music theory) တွင် ယေဘုယျပြုခဲ့ပြီး အလိုရှိရာ ကိန်းရင်းများ <math>\sqrt[n]{\tfrac{m+1}{m}}</math> ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။ * အခြားအရေးကြီးသော နှစ်ထပ်ကိန်း အီရာရှင်နယ်တစ်ခုမှာ ရွှေအချိုး <math>\textstyle\Phi = \frac{1+\sqrt5}2</math> ဖြစ်သည်။ * အွိုင်လာ၏ ကိန်း <math>\mathrm e </math> သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကို လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ (Leonhard Euler) က ၁၇၃၇ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။ ၎င်း၏ ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုကို ချားလ်စ် အာမစ် (Charles Hermite) က ၁၈၇၃ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။ * ၁၇၆၁ ခုနှစ်တွင် ယိုဟန်း ဟိုင်းနရစ် လမ်းဘတ် (Johann Heinrich Lambert) က <math>\pi</math> ကိန်း၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။ ၎င်း၏ ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုကိုမူ ဖာဒီနန် ဖွန် လင်ဒီမန်း (Ferdinand von Lindemann) က ၁၈၈၂ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။ * [[ကိန်းပြည့်]] မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (integer coefficients) ပါဝင်သော မိုနစ် ပိုလီနိုမီရယ် (monic polynomial) <math>x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+a_0</math> တစ်ခု၏ ကိန်းပြည့်မဟုတ်သော ကိန်းရင်းများသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ အထူးသဖြင့် ပြည့်စုံနှစ်ထပ်ကိန်း မဟုတ်သည့် နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများဖြစ်သော <math>\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5,\sqrt6,\dotsc</math> တို့သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ * ၁၉၇၉ ခုနှစ်တွင် ရော်ဂျာ အာပယ်ရီ (Roger Apéry) သည် အာပယ်ရီ ကိန်းသေ (Apéry's constant) <math>\textstyle \zeta(3)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}</math> ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last=Apéry |first=Roger |title=Irrationalité de ζ (2) et ζ (3) |journal=Astérisque |issue=61 |date=1979 |pages=11–13 |language=fr}}</ref> * သုညမဟုတ်သော ကိန်းရင်း <math>{\alpha} \neq 0</math> တိုင်းအတွက် <math>\rm e^{\alpha}</math> သည် ကိန်းလွန် ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို လင်ဒီမန်း-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ် (Lindemann–Weierstrass theorem) တွင် လေ့လာနိုင်သည်။ * ဂဲ့လ်ဖွန် ကိန်းသေ (Gelfond's constant) <math>\rm e^{\pi}</math> နှင့် ဂဲ့လ်ဖွန်-ရွှနိုက်ဒါ ကိန်းသေ (Gelfond–Schneider constant) <math>2^{ \sqrt{2} }</math> တို့အပြင် ၎င်းတို့၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သော <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}} = \sqrt{ 2^{ \sqrt{2} } }</math> တို့၏ ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုနှင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုတို့သည် ဂဲ့လ်ဖွန်-ရွှနိုက်ဒါ သီအိုရမ် (Gelfond–Schneider theorem) မှ ဆင်းသက်လာသည်။<math>2^{\sqrt2}</math> သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ကြောင်းကို ကားလ် လူဒဗစ် ဇီးဂဲလ် (Carl Ludwig Siegel) ကလည်း သက်သေပြခဲ့သည်။ * လမ်းနစ်စကိတ် ကိန်းသေ (lemniscate constant) <math>\varpi = 2.622057\ldots</math> သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ကြောင်းကို သီအိုဒေါ ရွှနိုက်ဒါ (Theodor Schneider) က ၁၉၃၇ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။ * ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဆိုလိုမွန် ဒဗလျူ ဂိုလုမ် (Solomon W. Golomb) သည် ဖဲမကိန်းများ (Fermat numbers) အားလုံး၏ ပြောင်းပြန်ကိန်းများ (reciprocals) ပေါင်းလဒ်၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။<ref> {{Citation |last=Golomb |first=Solomon W. |title=On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities |journal=Canad. J. Math. |volume=15 |date=1963 |pages=475–478 |url=https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v15/cjm1963v15.0475-0478.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20160321234733/http://cms.math.ca/openaccess/cjm/v15/cjm1963v15.0475-0478.pdf |archive-date=2016-03-21 |access-date=2016-08-09}}</ref> ဤနေရာတွင် <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{F_n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{2^n}+1} \approx 0.59606317211782167942379392586279</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို OEIS A051158 အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ * လီယူးဗီးလ် ကိန်းများ (Liouville numbers) အားလုံးသည် ကိန်းလွန်များဖြစ်ကြပြီး ထို့ကြောင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ * သုညမဟုတ်သော [[ရာရှင်နယ်ကိန်း]] <math> a \neq 0</math> တိုင်းအတွက် <math>\tan a \,</math> သည် အမြဲတမ်း အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်က <math>\tan \left( \tfrac{\pi}{4} \right) = 1</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ခြင်းကြောင့် <math>\pi</math> ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို ဖော်ပြနေသည်။<ref>{{Citation |last=Siegel |first=Carl Ludwig |title=Transzendente Zahlen |series=BI-Hochschultaschenbücher |volume=137* |publication-place=Mannheim |publisher=Bibliographisches Institut |date=1967 |page=18 |language=de}}</ref> ** ထို့အပြင် လင်ဒီမန်း-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ်အရ သုညမဟုတ်သော ကိန်းရင်းတိုင်းအတွက် <math>\tan a \,</math> သည် ကိန်းလွန် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် သုညမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းအတွက်လည်း ကိန်းလွန်ပင် ဖြစ်သည်။ * ထို့အပြင် <math>\tfrac{ \left( \Gamma \left( \tfrac{1}{4} \right) \right)^2 }{ \sqrt[4\,] {\pi} }</math> သည် ကိန်းလွန်တစ်ခုအနေဖြင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ သို့သော် <math>\Gamma \left( \tfrac{1}{4} \right)</math> ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုသည် အဖြေမပေါ်သေးသော မေးခွန်းတစ်ခုအဖြစ် ကျန်ရှိနေသေးသည်။<ref>{{Citation |last=Siegel |first=Carl Ludwig |title=Transzendente Zahlen |series=BI-Hochschultaschenbücher |volume=137* |publication-place=Mannheim |publisher=Bibliographisches Institut |date=1967 |page=81 |language=de}}</ref> == အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ကြောင်း မှန်းဆထားသော ကိန်းများ (Numbers whose irrationality is conjectured) == * <math>\pi + \mathrm{e}, \pi - \mathrm{e}, \pi \cdot \mathrm{e}, \pi/\mathrm{e}</math> ကိန်းများ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို မှန်းဆထားသော်လည်း ယခုအချိန်အထိ သက်သေမပြရသေးပါ။ သို့သော် အလိုရှိရာ စုံတွဲများထဲမှ အနည်းဆုံးတစ်ခုသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်ရမည်ကို လွယ်ကူစွာ သိမြင်နိုင်သည်။ ဤအချက်သည် မည်သည့်ကိန်းလွန် နှစ်ခုဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အကျုံးဝင်သည်။ * သုညမဟုတ်သော [[ကိန်းပြည့်]] စုံတွဲ <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တစ်တွဲတလေအတွက်မျှ <math>m\cdot \pi+n\cdot \mathrm e</math> သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်မဖြစ်ကို မသိရှိရသေးပါ။ သို့သော် [[ရာရှင်နယ်ကိန်း|ရာရှင်နယ်ဖြစ်သော]] မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (linear combinations) တည်ရှိလာပါက အချိုး <math>m/n</math> သည် ကိန်းသေ (constant) တန်ဖိုးတစ်ခုကို ရရှိမည်ဖြစ်ကြောင်းကိုမူ သိရှိထားသည်။ * ထို့အပြင် <math>2^\mathrm{e}</math>၊ <math>\pi^\mathrm{e}</math>၊ <math>\pi^\sqrt{2}</math>၊ <math>\pi^\pi</math>၊ <math>\mathrm{e}^\mathrm{e}</math>၊ ကာတာလန် ကိန်းသေ (Catalan's constant) <math>G = 0.91596\ldots</math> သို့မဟုတ် အွိုင်လာ-မက်စကရိုနီ ကိန်းသေ (Euler–Mascheroni constant) <math>\gamma = 0.57721\ldots</math> တို့သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်မဖြစ်ကိုလည်း မသိရှိရသေးပေ။ == အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ရေတွက်၍မရသော သဘောတရား (The uncountability of irrational numbers) == ကန်တာ၏ ပထမ ထောင့်ဖြတ်နည်းဖြင့် သက်သေပြချက် (Cantor's first diagonal argument) က ပြသထားသည့်အတိုင်း [[ရာရှင်နယ်ကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]]အစုသည် ရေတွက်နိုင်သော[[အစု]] (countable set) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်း ပါဝင်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ကန်တာ၏ ဒုတိယ ထောင့်ဖြတ်နည်းဖြင့် သက်သေပြချက် (Cantor's second diagonal argument) က ရေတွက်၍မရလောက်အောင် (uncountable) များပြားသော ကိန်းစစ်များ တည်ရှိကြောင်းကို သက်သေပြထားသည်။ ဤသည်မှာ ရေတွက်၍မရလောက်အောင် များပြားသော အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ရှိရမည်ဖြစ်ကြောင်းကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း ဆိုလိုသည်။ အထူးသဖြင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများအားလုံးကို "ကိုယ်စားပြုဖော်ပြခြင်း" သို့မဟုတ် "တွက်ချက်ခြင်း" မပြုလုပ်နိုင်ကြောင်းကို ဆိုလိုသည်။ သို့မဟုတ်ပါက ရေတွက်နိုင်သောအစု နှစ်ခု၏ ပေါင်းစပ်စု (union) ဖြစ်သော ကိန်းစစ်များသည် ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင် ရေတွက်နိုင်သော ကိန်းများ ဖြစ်သွားပေလိမ့်မည်။ ကန်တာက ထပ်ကိန်းရင်း ဖော်ပြချက်များ (radical expressions) အားလုံး ပါဝင်သည့် ကိန်းရင်းများအစုသည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်ကြောင်းကို ဆက်လက်ပြသခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ကိန်းစစ်များ သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ၏]] မည်သည့် ရေတွက်နိုင်သော [[အစုပိုင်း]] (countable subset) ၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (algebraic closure) သည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သည်။ ယင်းကဲ့သို့သော အစုများတွင် အထူးသဖြင့် ကိန်းလွန်များ ပါဝင်နိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတွင် ကိန်းစစ်များအားလုံး အသေအချာ မပါဝင်နိုင်ပေ။ == အီရာရှင်နယ် ထပ်ကိန်းများ (Irrational exponents) == မည်သည့်အခြေအနေတွင်မဆို <math>a^b \in \Q</math> (ဆိုလိုသည်မှာ [[ရာရှင်နယ်ကိန်း]]) ဖြစ်စေမည့် <math>a, b \in \R \setminus \Q</math> ဟူသော အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ တည်ရှိသည်ဟူသည့် သီအိုရမ်တစ်ခု ရှိသည်။ ဤအတွက် အလွန်ကောင်းမွန်သော သက်သေပြချက်တစ်ခုကို ၁၉၅၃ ခုနှစ်တွင် ဒို့ဗ် ဂျာဒင် (Dov Jarden) က တင်ပြခဲ့သည်။ ပထမဦးစွာ <math>a = b = \sqrt{2}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါမည်။ ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အလယ်မရှိ နိယာမ (law of excluded middle) အရ <math>a^b = \sqrt{2}^\sqrt{2}</math> ကိန်းသည် ရာရှင်နယ်ကိန်း သို့မဟုတ် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ ဂဲ့လ်ဖွန်-ရွှနိုက်ဒါ သီအိုရမ်အရ <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ပြီး အထူးသဖြင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်သည်ဟူသော အချက်သည် ဤသက်သေပြချက်၏ သဘောတရားအတွက် သက်ဆိုင်မှု မရှိပါ။ အကယ်၍ ၎င်းသည် ရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်ပါက အဆိုပါအချက်ကို သက်သေပြပြီး ဖြစ်သွားမည်ဖြစ်သည်။ သို့သော် ၎င်းသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်နေပါက <math>a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> ဟု အသစ်ထပ်မံသတ်မှတ်ပြီး <math>b = \sqrt{2}</math> အတိုင်း ထားရှိရမည်ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် တွက်ချက်လိုက်သောအခါ <math> a^b = {(\sqrt{2} ^ \sqrt{2})}^\sqrt{2} = {\sqrt{2}}^{(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})} = {(\sqrt{2})}^2 = 2</math> ကိန်းကို ရရှိသည်။ ဤကိန်းသည် သဘာဝကိန်းတစ်ခုအနေဖြင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းလည်း ဖြစ်သောကြောင့် ဖော်ပြချက်ကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့ပြီ ဖြစ်သည်။<ref>{{Citation |title=The square root of two proof |work=QA9 |date=2015-01-27 |url=https://queuea9.wordpress.com/2015/01/27/the-square-root-of-two-proof/ |access-date=2024-07-16 |language=en}}</ref> အတိုချုပ်ဆိုရသော် <math>a = \sqrt{2}^\sqrt{2}</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်း မဟုတ်ပါက <math>a^\sqrt{2}</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ == စာပေများ == * {{Citation |last=Bundschuh |first=Peter |title=Einführung in die Zahlentheorie |series=Springer-Lehrbuch |edition=6th, revised and updated |publication-place=Berlin / Heidelberg |publisher=Springer Verlag |date=2008 |isbn=978-3-540-76490-8 |language=de}} * {{Citation |last1=Conway |first1=John H. |last2=Guy |first2=Richard K. |title=Zahlenzauber: Von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen |others=Translated from American English by Manfred Stern |publication-place=Basel |publisher=Springer Basel AG |date=1967 |isbn=978-3-0348-6085-7 |doi=10.1007/978-3-0348-6084-0 |language=de}} * {{Citation |last=Finch |first=Steven R. |title=Mathematical Constants |series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications |volume=94 |publication-place=Cambridge [u. a.] |publisher=Cambridge University Press |date=2003 |isbn=0-521-81805-2}} * {{Citation |last=Müller |first=Tom |title=Irrationalitätsbeweise |series=Berliner Studienreihe zur Mathematik |volume=25 |publication-place=Lemgo |publisher=Heldermann Verlag |date=2014 |isbn=978-3-88538-125-9 |language=de}} * {{Citation |last=Perron |first=Oskar |title=Irrationalzahlen |series=Göschens Lehrbücherei, I. Gruppe |volume=1 |edition=4th, revised and expanded |publication-place=Berlin |publisher=Walter de Gruyter & Co. |date=1960 |language=de}} * {{Citation |last=Scheid |first=Harald |title=Zahlentheorie |edition=3rd |publication-place=Heidelberg / Berlin |publisher=Spektrum Akademischer Verlag |date=2003 |isbn=3-8274-1365-6 |language=de}} * {{Citation |last=Siegel |first=Carl Ludwig |title=Transzendente Zahlen |others=Translated from English by B. Fuchssteiner and Detlef Laugwitz |series=BI-Hochschultaschenbücher |volume=137* |publication-place=Mannheim |publisher=Bibliographisches Institut |date=1967 |url=https://zbmath.org/0167.32202 |language=de}} == ကိုးကား == {{Reflist}} [[Category:ကိန်းများ]] [[Category:ကိန်းသီအိုရီ]] lf12onfn919xglmj4bvkxl7l2canv7z 10 290688 1049416 2026-08-19T13:53:42Z Dr Lotus Black 31011 "{{Don't edit this line {{{machine code|}}} |rank=genus |link=Taipan|Oxyuranus |parent=Hydrophiinae |extinct=<!--leave blank or delete this line for "not extinct"; put "yes" for "extinct" --> |refs=<!--Shown on this page only; don't include <ref> tags --> }}" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049416 wikitext text/x-wiki {{Don't edit this line {{{machine code|}}} |rank=genus |link=Taipan|Oxyuranus |parent=Hydrophiinae |extinct=<!--leave blank or delete this line for "not extinct"; put "yes" for "extinct" --> |refs=<!--Shown on this page only; don't include <ref> tags --> }} ckclq5qr4d7idjmbri3gni7rnqh9a7v 0 290689 1049417 2026-08-19T13:55:53Z Dr Lotus Black 31011 "{{Speciesbox | status = LC | status_system = IUCN3.1 | status_ref = <ref name="iucn status 19 November 2021">{{cite iucn |author=Wilson, S. |author2=Dickman, C. |author3=Hobson, R. |author4=Sanderson, C. |date=2018 |title=''Oxyuranus scutellatus'' |volume=2018 |article-number=e.T42493150A42493160 |doi=10.2305/IUCN.UK.2018-1.RLTS.T4249315..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049417 wikitext text/x-wiki {{Speciesbox | status = LC | status_system = IUCN3.1 | status_ref = <ref name="iucn status 19 November 2021">{{cite iucn |author=Wilson, S. |author2=Dickman, C. |author3=Hobson, R. |author4=Sanderson, C. |date=2018 |title=''Oxyuranus scutellatus'' |volume=2018 |article-number=e.T42493150A42493160 |doi=10.2305/IUCN.UK.2018-1.RLTS.T42493150A42493160.en |access-date=19 November 2021}}</ref> | image = Fierce Snake-Oxyuranus microlepidotus.jpg | image_caption = ''Oxyuranus microlepidotus'' at Australia Zoo | genus = Oxyuranus | species = microlepidotus | authority = ([[:en:Frederick McCoy|F. McCoy]], 1879) | range_map = Fierce Snake Range.jpg | range_map_caption = General range of inland taipan (in red). The current, documented range of the species is more limited.<ref name="Animals of Queensland">Animals of Queensland. [http://www.qm.qld.gov.au/Find+out+about/Animals+of+Queensland/Reptiles/Snakes/Common+and+dangerous+species/Western+TaipanOpens a new window Western Taipan ''Oxyuranus microlepidotus'']. Queensland Museum. Retrieved 8 November 2013.</ref><ref name="Australian Reptile Online Database">Australian Reptile Online Database (28 March 2007). [http://www.arod.com.au/arod/reptilia/Squamata/Elapidae/Oxyuranus/microlepidotus?tab=distributionOpens a new window Inland taipan distribution]. arod.com.au. Retrieved 8 November 2013.</ref><ref name="Atlas of Living Australia 1">[http://bie.ala.org.au/species/Inland+TaipanOpens a new window ''Oxyuranus microlepidotus'' (McCoy, 1879) Western Taipan]. Atlas of Living Australia. Retrieved 8 November 2013.</ref> | synonyms = *''Diemenia microlepidota'' <small>[[:en:Frederick McCoy|F. McCoy]], 1879</small> *''Diemenia ferox'' <small>[[:en:William John Macleay|Macleay]], 1882</small> *''Pseudechis microlepidotus'' / ''Pseudechis ferox'' <small>[[:en:George Albert Boulenger|Boulenger]], 1896</small> *''Parademansia microlepidota'' <small>[[:fr:James Roy Kinghorn|Kinghorn]], 1955</small> *''Oxyuranus scutellatus microlepidotus'' <small>[[:en:Eric Worrell|Worrell]], 1963</small> *''Oxyuranus microlepidotus'' <small>[[:en:Jeanette Covacevich|Covacevich]] ''et al.'', 1981</small><ref name="Fohlman, J">{{cite journal |doi=10.1016/0041-0101(79)90296-4 |title=Comparison of two highly toxic Australian snake venoms: The taipan (''Oxyuranus s. scutellatus'') and the fierce snake (''Parademansia microlepidotus'') |year=1979 |last1=Fohlman |first1=J. |journal=Toxicon |volume=17 |issue=2 |pages=170–2 |pmid=442105 |bibcode=1979Txcn...17..170F }}</ref> }} '''ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေ''' ('''Inland taipan''') ('''''Oxyuranus microlepidotus''''') အများအားဖြင့် '''အနောက်ပိုင်း တိုင်ပန်'''၊ '''အကြေးခွံသေး မြွေ''' ဟုလည်းလူသိများသည့် အင်မတန် အဆိပ်ပြင်းသော မြွေဖြစ်သည်။ [[ဩစတြေးလျနိုင်ငံ]]၏ အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသမျိုးရင်းဖြစ်သည်။ ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေမျိုးစိပ်အကြောင်းကို ၁၈၇၉ ခုနှစ်တွင် Frederick McCoy ဆိုသူမှလည်းကောင်း၊ ၁၈၈၂ ခုနှစ်တွင် William John Macleay ဆိုသူမှလည်းကောင်း ပထမဆုံးအကြိမ် ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ သို့သော် နှစ်ပေါင်း ၉၀ တိုင် ယင်းမျိုးစိပ်အကြောင်း သိပ္ပံနယ်ပယ်တွင် အနည်းငယ်သာ သိခဲ့ရသည်။ ၁၉၇၂ ခုနှစ် ရောက်မှသာ မျိုးစိပ်အကြောင်းကို ပြန်လည်ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ရသည်။ ဓာတ်ခွဲခန်းထဲရှိ ကြွက်များနှင့် စမ်းသပ်ချက်အရ ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေ၏ အဆိပ်သည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အပြင်းထန်ဆုံးဖြစ်ပြီး အဆိပ်ရှိ ပင်လယ်မြွေများထက် ပိုမိုပြင်းထန်သည်။ လူသား နှလုံး ဆဲလ်ဖွဲ့စည်းပုံ (Cell culture) ပေါ်တွင် စမ်းသပ်ချက်အရ တွားသွားသတ္တဝါလောကတွင် အပြင်းဆန်ဆုံးအဆိပ်ကို ပိုင်ဆိုင်ထားသော မျိုးစိပ်တခုဖြစ်သည်။ ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေသည် နို့တိုက်သတ္တဝါများကို အမဲလိုက်ရာတွင် ကျွမ်းကျင်သော သားရဲဖြစ်ပြီး အထူးသဖြင့် သွေးနွေးသတ္တဝါများမှာ ယင်း၏ သားကောင်ဖြစ်သည်။ ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေ တချက်ကိုက်စာသည် အရွယ်ရောက်ပြီးလူသား အယောက် ၁၀၀ ထက် သေစေနိုင်သော အဆိပ်ကို ပိုင်ဆိုင်ထားသည်။ ကမ္ဘာပေါ်တွင် အဆိပ်အပြင်းဆုံးဂုဏ်ကို ပိုင်ဆိုင်ထားသော်လည်း ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေများသည် ရှက်တတ်ပြီး လူများနှင့် ထိပ်တိုက်တွေ့ခြင်းကို ရှောင်ရှားလေ့ရှိသည်။ ယင်းတို့သည် လူသူမနီးသောအရပ်တွင်သာ နေထိုင်လေ့ရှိသည်။ ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:ဩစတြေးလျနိုင်ငံ၏ တွားသွားသတ္တဝါများ]] 6nnes7q0ajc36isnf1yyip3mw14wg6v 1049418 1049417 2026-08-19T14:12:47Z Dr Lotus Black 31011 1049418 wikitext text/x-wiki {{Speciesbox | status = LC | status_system = IUCN3.1 | status_ref = <ref name="iucn status 19 November 2021">{{cite iucn |author=Wilson, S. |author2=Dickman, C. |author3=Hobson, R. |author4=Sanderson, C. |date=2018 |title=''Oxyuranus scutellatus'' |volume=2018 |article-number=e.T42493150A42493160 |doi=10.2305/IUCN.UK.2018-1.RLTS.T42493150A42493160.en |access-date=19 November 2021}}</ref> | image = Fierce Snake-Oxyuranus microlepidotus.jpg | image_caption = ''Oxyuranus microlepidotus'' at Australia Zoo | genus = Oxyuranus | species = microlepidotus | authority = ([[:en:Frederick McCoy|F. McCoy]], 1879) | range_map = Fierce Snake Range.jpg | range_map_caption = General range of inland taipan (in red). The current, documented range of the species is more limited.<ref name="Animals of Queensland">Animals of Queensland. [http://www.qm.qld.gov.au/Find+out+about/Animals+of+Queensland/Reptiles/Snakes/Common+and+dangerous+species/Western+TaipanOpens a new window Western Taipan ''Oxyuranus microlepidotus'']. Queensland Museum. Retrieved 8 November 2013.</ref><ref name="Australian Reptile Online Database">Australian Reptile Online Database (28 March 2007). [http://www.arod.com.au/arod/reptilia/Squamata/Elapidae/Oxyuranus/microlepidotus?tab=distributionOpens a new window Inland taipan distribution]. arod.com.au. Retrieved 8 November 2013.</ref><ref name="Atlas of Living Australia 1">[http://bie.ala.org.au/species/Inland+TaipanOpens a new window ''Oxyuranus microlepidotus'' (McCoy, 1879) Western Taipan]. Atlas of Living Australia. Retrieved 8 November 2013.</ref> | synonyms = *''Diemenia microlepidota'' <small>[[:en:Frederick McCoy|F. McCoy]], 1879</small> *''Diemenia ferox'' <small>[[:en:William John Macleay|Macleay]], 1882</small> *''Pseudechis microlepidotus'' / ''Pseudechis ferox'' <small>[[:en:George Albert Boulenger|Boulenger]], 1896</small> *''Parademansia microlepidota'' <small>[[:fr:James Roy Kinghorn|Kinghorn]], 1955</small> *''Oxyuranus scutellatus microlepidotus'' <small>[[:en:Eric Worrell|Worrell]], 1963</small> *''Oxyuranus microlepidotus'' <small>[[:en:Jeanette Covacevich|Covacevich]] ''et al.'', 1981</small><ref name="Fohlman, J">{{cite journal |doi=10.1016/0041-0101(79)90296-4 |title=Comparison of two highly toxic Australian snake venoms: The taipan (''Oxyuranus s. scutellatus'') and the fierce snake (''Parademansia microlepidotus'') |year=1979 |last1=Fohlman |first1=J. |journal=Toxicon |volume=17 |issue=2 |pages=170–2 |pmid=442105 |bibcode=1979Txcn...17..170F }}</ref> }} '''ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေ''' ('''Inland taipan''') ('''''Oxyuranus microlepidotus''''') အများအားဖြင့် '''အနောက်ပိုင်း တိုင်ပန်'''၊ '''အကြေးခွံသေး မြွေ'''<ref name="INCHEM">White, Julian (November 1991). [http://www.inchem.org/documents/pims/animal/taipan.htmOpens a new window ''Oxyuranus microlepidotus'']. "Neurotoxic paralysis usually takes 2–4 hours to become clinically detectable. Coagulopathy however may become well established within 30 minutes of a bite." International Programme on Chemical Safety. Retrieved 8 November 2013.</ref> ဟုလည်းလူသိများသည့် အင်မတန် အဆိပ်ပြင်းသော မြွေဖြစ်သည်။<ref name="History & Discovery">Queensland Snakes. [https://web.archive.org/web/20090613091835/http://www.qm.qld.gov.au/features/snakes/taipan/discovery.aspOpens a new window History & Discovery]. (archived) Queensland Museum. Retrieved 15 November 2013.</ref><ref name="Pearn">{{cite journal |last1=Pearn |first1=John |last2=Winkel |first2=Kenneth D. |title=Toxinology in Australia's colonial era: A chronology and perspective of human envenomation in 19th century Australia |journal=Toxicon |date=December 2006 |volume=48 |issue=7 |pages=726–737 |doi=10.1016/j.toxicon.2006.07.027 |pmid=16996551 |bibcode=2006Txcn...48..726P |author1-link=John Hemsley Pearn }}</ref> [[ဩစတြေးလျနိုင်ငံ]]၏ အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသမျိုးရင်းဖြစ်သည်။<ref name="Animal Species: Inland Taipan">Cecilie Beatson (29 November 2011). [https://australian.museum/learn/animals/reptiles/inland-taipan/Opens a new window Animal Species: Inland Taipan]. [[Australian Museum]]. Retrieved 14 October 2013.</ref> ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေမျိုးစိပ်အကြောင်းကို ၁၈၇၉ ခုနှစ်တွင် Frederick McCoy ဆိုသူမှလည်းကောင်း၊ ၁၈၈၂ ခုနှစ်တွင် William John Macleay ဆိုသူမှလည်းကောင်း ပထမဆုံးအကြိမ် ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ သို့သော် နှစ်ပေါင်း ၉၀ တိုင် ယင်းမျိုးစိပ်အကြောင်း သိပ္ပံနယ်ပယ်တွင် အနည်းငယ်သာ သိခဲ့ရသည်။ ၁၉၇၂ ခုနှစ် ရောက်မှသာ မျိုးစိပ်အကြောင်းကို ပြန်လည်ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ရသည်။<ref name="History & Discovery" /><ref name="Rediscovery">Rediscovery. [https://web.archive.org/web/20090613092123/http://www.qm.qld.gov.au/features/snakes/taipan/rediscovery.aspOpens a new window the rediscovery of the western taipan]. (archived) [[Queensland Museum]]. Retrieved 15 November 2013.</ref> ဓာတ်ခွဲခန်းထဲရှိ ကြွက်များနှင့် စမ်းသပ်ချက်အရ ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေ၏ အဆိပ်သည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အပြင်းထန်ဆုံးဖြစ်ပြီး အဆိပ်ရှိ ပင်လယ်မြွေများထက် ပိုမိုပြင်းထန်သည်။<ref name="drop for drop"> * The Australian venom research unit (25 August 2007) [http://www.avru.org/compendium/biogs/A000084b.htm "Which snakes are the most venomous?"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140626092020/http://www.avru.org/compendium/biogs/A000084b.htm |date=2014-06-26 |df=dmy-all}}. University of Melbourne. Retrieved 14 October 2013. * Venom Immunochemistry, Pharmacology and Emergency Response (VIPER) Institute [http://viper.arizona.edu/faq/what-most-venomous-snake Frequently Asked Questions -What is the most venomous snake?] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180715123400/http://viper.arizona.edu/faq/what-most-venomous-snake |date=2018-07-15 |df=dmy-all}}. "Many experts answer that it is the Inland Taipan of Australia, because its drop-by-drop concentration of venom has great potency when measured by its ability to kill rodents". University of Arizona. Retrieved 14 October 2013. * Department of Wildlife Ecology and Conservation [http://ufwildlife.ifas.ufl.edu/venomous_snake_faqs.shtml Frequently Asked Questions About Venomous Snakes]. "A comparative study found that the snake venom that is most toxic to mice (of the species tested) is that of the Inland Taipan (''Oxyuranus microlepidotus''), found in Australia". University of Florida. Retrieved 5 November 2013. * {{cite journal|vauthors=Hodgson WC, Dal Belo CA, Rowan EG |pmid=17313963 |title=The neuromuscular activity of paradoxin: a presynaptic neurotoxin from the venom of the inland taipan (''Oxyuranus microlepidotus'')|quote=The inland taipan is the world's most venomous snake |year=2007 |volume=52 |issue=5 |pages=1229–36 |doi=10.1016/j.neuropharm.2007.01.002 |journal=Neuropharmacology|s2cid=19532337 }} * {{cite journal |doi=10.1016/S0041-0101(97)00060-3 |title=Some pharmacological studies of venom from the inland taipan (''Oxyuranus microlepidotus'') |quote=The Inland Taipan is believed to have the most toxic venom in the world (Sutherland, 1994) |year=1998 |last1=Bell |first1=Karen L |author2-link=Struan Sutherland |last2=Sutherland |first2=Struan K |last3=Hodgson |first3=Wayne C |journal=Toxicon |volume=36 |pages=63–74 |pmid=9604283 |issue=1|bibcode=1998Txcn...36...63B }} * {{cite journal |journal=Journal of Herpetology |volume=17 |issue=1 |pages=60-69 |date=1983 |url=http://sydney.edu.au/science/biology/shine/publications/reprints_legal/33taipanecology.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20190327014449/https://sydney.edu.au/science/biology/shine/publications/reprints_legal/33taipanecology.pdf |archive-date=2019-03-27 |doi=10.2307/1563782 |last1=Shine |first1=Richard |author-link1=Richard Shine |last2=Covacevich |first2=Jeanette |author-link2=Jeanette Covacevich |title=Ecology of Highly Venomous Snakes: the Australian Genus ''Oxyuranus'' (Elapidae) |quote=...the number of mouse LD₅₀ doses per bite is much higher for ''Oxyuranus microlepidotus'' (218,000)... than for any other snakes, including sea snakes, investigated to date (Broad, Sutherland and Coulter, 1979). |quote-page=60 |publisher=Society for the Study of Amphibians and Reptiles |access-date=2025-09-28}}</ref> လူသား နှလုံး ဆဲလ်ဖွဲ့စည်းပုံ (Cell culture) ပေါ်တွင် စမ်းသပ်ချက်အရ တွားသွားသတ္တဝါလောကတွင် အပြင်းဆန်ဆုံးအဆိပ်ကို ပိုင်ဆိုင်ထားသော မျိုးစိပ်တခုဖြစ်သည်။<ref>[http://www.sciencearchive.org.au/scientists/interviews/f/fry.htmlOpens a new window Fry, Bryan] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140419012946/http://www.sciencearchive.org.au/scientists/interviews/f/fry.htmlOpens a new window |date=2014-04-19 |df=dmy-all}} (8 February 2005) [http://www.venomdoc.com/forums/viewtopic.php?t=1212&postdays=0&postorder=asc&highlight=inland+taipan&start=0Opens a new window Most Venomous] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141017041923/http://www.venomdoc.com/forums/viewtopic.php?t=1212&postdays=0&postorder=asc&highlight=inland+taipan&start=0Opens a new window |date=2014-10-17 |df=dmy-all}}. "Q: I was wondering what snake's venom is the most potent to humans. A: Drop for drop it is the inland taipan (''Oxyuranus microlepidotus''), which has a venom more toxic than any other land snake or even the sea snakes." venomdoc.com forums. Retrieved 17 April 2014.</ref><ref>[[:en:Jamie Seymour|Seymour, Jamie]], [https://geographyscout.com/animals/the-deadly-taipan/Opens a new window World's Worst Venom], (min 44:33) "Among the reptiles tested, the most toxic venom belongs to inland taipan, killing over 60% of heart cells in the first 10 minutes." National Geographic Channel. Retrieved 17 April 2014.</ref><ref>[[:en:Jamie Seymour|Seymour, Jamie]], [https://web.archive.org/web/20110210070452/http://natgeotv.com/uk/australias-most-deadly/videos/venom-deathmatchOpens a new window Venom Death Match]. "They have the most toxic venom towards humans than any other snake in the world" (min 1:49). National Geographic Channel. Retrieved 17 April 2014.</ref> ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေသည် နို့တိုက်သတ္တဝါများကို အမဲလိုက်ရာတွင် ကျွမ်းကျင်သော သားရဲဖြစ်ပြီး အထူးသဖြင့် သွေးနွေးသတ္တဝါများမှာ ယင်း၏ သားကောင်ဖြစ်သည်။ <ref name="warm-blooded">{{Cite web |title=Inland Taipan Oxyuranus microlepidotus |url=http://www.venomsupplies.com/inland-taipan/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20231209073513/http://www.venomsupplies.com/inland-taipan/ |archive-date=9 December 2023 |access-date=2025-08-07 |website=www.venomsupplies.com |language=en }}</ref>ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေ တချက်ကိုက်စာသည် အရွယ်ရောက်ပြီးလူသား အယောက် ၁၀၀ ထက် သေစေနိုင်သော အဆိပ်ကို ပိုင်ဆိုင်ထားသည်။<ref name="100 fully grown men">* Journal of Herpetology Vol.17 no.1 (1983) [https://scholar.google.com/scholar_url?url=https://www.academia.edu/download/81613306/1b02ad67f4b37b42354b9a71297e271a0b20.pdf&hl=en&sa=X&ei=BcXGZI6JHJLYygSro70Y&scisig=ABFrs3xdK6d9ReyEg6Pr-Dbmfgmz&oi=scholarr) Ecology of Highly Venoumous Snakes: the Australian Genus ''Oxyuranus'']. "..the number of mouse LD50 doses per bite is much higher for ''Oxyuranus microlepidotus'' (218,000 mice)...than for any other snakes, including sea snakes, investigated to date (Broad, Sutherland and Coulter, 1979)." (page 1) University of Sydney. Retrieved 8 November 2013. * [http://www.australiazoo.com.au/our-animals/amazing-animals/reptiles/?animal=fierce_snake&reptile=venomous_snakes "Reptiles – Fierce Snake"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140227122800/http://www.australiazoo.com.au/our-animals/amazing-animals/reptiles/?reptile=venomous_snakes&animal=fierce_snake|date=2014-02-27|df=dmy-all}}. Australia Zoo. Retrieved 14 October 2013. * Martin, Stella (January 2004). [http://www.wettropics.gov.au/site/user-assets/docs/80VeryVenomousBut.pdf Newsletter No. 80]. " It has been calculated that there is enough venom in just one bite of an Inland taipan to kill more than 100 men of average size." Environmental Protection Agency (Queensland). Retrieved 18 October 2013. * News (28 September 2012) [http://taronga.org.au/news/2014-06-04/meet-worlds-deadliest-snake-safety Meet the world's deadliest snake in safety] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180715123207/http://taronga.org.au/news/2014-06-04/meet-worlds-deadliest-snake-safety|date=2018-07-15|df=dmy-all}}, Taronga Conservation Society. Retrieved 23 September 2014</ref> ကမ္ဘာပေါ်တွင် အဆိပ်အပြင်းဆုံးဂုဏ်ကို ပိုင်ဆိုင်ထားသော်လည်း ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေများသည် ရှက်တတ်ပြီး လူများနှင့် ထိပ်တိုက်တွေ့ခြင်းကို ရှောင်ရှားလေ့ရှိသည်။ ယင်းတို့သည် လူသူမနီးသောအရပ်တွင်သာ နေထိုင်လေ့ရှိသည်။<ref name="placid disposition">* Cecilie Beatson (29 November 2011). [https://australian.museum/learn/animals/reptiles/inland-taipan/ Animal Species: Inland Taipan] "The venom of the Inland Taipan is extremely potent and is rated as the most toxic of all snake venoms in LD50 tests on mice". Australian Museum. Retrieved 14 October 2013. * South Australia Arid Lands Natural Resources Management Board [http://www.saalnrm.sa.gov.au/Portals/8/Publications_Resources/Factsheets_Brochures/SAAL-Woma_Python_Inland_Taipan-FS-STD-122009.pdf Biodiversity studies, Student fact sheet] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120322103731/http://saalnrm.sa.gov.au/Portals/8/Publications_Resources/Factsheets_Brochures/SAAL-Woma_Python_Inland_Taipan-FS-STD-122009.pdf |date=2012-03-22 |df=dmy-all}}. Government of South Australia. Retrieved 15 October 2013. * Clinical Toxinology Resources [http://www.toxinology.com/fusebox.cfm?fuseaction=main.snakes.display&id=SN0520 "''Oxyuranus microlepidotus'' -General Details, Taxonomy and Biology, Venom, Clinical Effects, Treatment, First Aid, Antivenoms"]. University of Adelaide. Retrieved 14 October 2013. * ABC News 24 (28 September 2012). [http://www.abc.net.au/news/2012-09-28/taipan-mystery/4285224 'Placid' taipan in safe hands]. (Quoting licensed reptile handler, [http://www.environment.nsw.gov.au/resources/wildlifelicences/reptilehandlerlist.pdf Judith {Judy} Martin]). Australian Broadcasting Corporation. Retrieved 13 November 2013.</ref> ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:ဩစတြေးလျနိုင်ငံ၏ တွားသွားသတ္တဝါများ]] g72e5gysnimcstf1ajn9a4kgfokfbc6 1049425 1049418 2026-08-19T15:00:38Z Dr Lotus Black 31011 1049425 wikitext text/x-wiki {{Speciesbox | status = LC | status_system = IUCN3.1 | status_ref = <ref name="iucn status 19 November 2021">{{cite iucn |author=Wilson, S. |author2=Dickman, C. |author3=Hobson, R. |author4=Sanderson, C. |date=2018 |title=''Oxyuranus scutellatus'' |volume=2018 |article-number=e.T42493150A42493160 |doi=10.2305/IUCN.UK.2018-1.RLTS.T42493150A42493160.en |access-date=19 November 2021}}</ref> | image = Fierce Snake-Oxyuranus microlepidotus.jpg | image_caption = ''Oxyuranus microlepidotus'' at Australia Zoo | genus = Oxyuranus | species = microlepidotus | authority = ([[:en:Frederick McCoy|F. McCoy]], 1879) | range_map = Fierce Snake Range.jpg | range_map_caption = General range of inland taipan (in red). The current, documented range of the species is more limited.<ref name="Animals of Queensland">Animals of Queensland. [http://www.qm.qld.gov.au/Find+out+about/Animals+of+Queensland/Reptiles/Snakes/Common+and+dangerous+species/Western+TaipanOpens a new window Western Taipan ''Oxyuranus microlepidotus'']. Queensland Museum. Retrieved 8 November 2013.</ref><ref name="Australian Reptile Online Database">Australian Reptile Online Database (28 March 2007). [http://www.arod.com.au/arod/reptilia/Squamata/Elapidae/Oxyuranus/microlepidotus?tab=distributionOpens a new window Inland taipan distribution]. arod.com.au. Retrieved 8 November 2013.</ref><ref name="Atlas of Living Australia 1">[http://bie.ala.org.au/species/Inland+TaipanOpens a new window ''Oxyuranus microlepidotus'' (McCoy, 1879) Western Taipan]. Atlas of Living Australia. Retrieved 8 November 2013.</ref> | synonyms = *''Diemenia microlepidota'' <small>[[:en:Frederick McCoy|F. McCoy]], 1879</small> *''Diemenia ferox'' <small>[[:en:William John Macleay|Macleay]], 1882</small> *''Pseudechis microlepidotus'' / ''Pseudechis ferox'' <small>[[:en:George Albert Boulenger|Boulenger]], 1896</small> *''Parademansia microlepidota'' <small>[[:fr:James Roy Kinghorn|Kinghorn]], 1955</small> *''Oxyuranus scutellatus microlepidotus'' <small>[[:en:Eric Worrell|Worrell]], 1963</small> *''Oxyuranus microlepidotus'' <small>[[:en:Jeanette Covacevich|Covacevich]] ''et al.'', 1981</small><ref name="Fohlman, J">{{cite journal |doi=10.1016/0041-0101(79)90296-4 |title=Comparison of two highly toxic Australian snake venoms: The taipan (''Oxyuranus s. scutellatus'') and the fierce snake (''Parademansia microlepidotus'') |year=1979 |last1=Fohlman |first1=J. |journal=Toxicon |volume=17 |issue=2 |pages=170–2 |pmid=442105 |bibcode=1979Txcn...17..170F }}</ref> }} '''ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေ''' ('''Inland taipan''') ('''''Oxyuranus microlepidotus''''') အများအားဖြင့် '''အနောက်ပိုင်း တိုင်ပန်'''၊ '''အကြေးခွံသေး မြွေ'''<ref name="INCHEM">White, Julian (November 1991). [http://www.inchem.org/documents/pims/animal/taipan.htmOpens a new window ''Oxyuranus microlepidotus'']. "Neurotoxic paralysis usually takes 2–4 hours to become clinically detectable. Coagulopathy however may become well established within 30 minutes of a bite." International Programme on Chemical Safety. Retrieved 8 November 2013.</ref> ဟုလည်းလူသိများသည့် အင်မတန် အဆိပ်ပြင်းသော မြွေဖြစ်သည်။<ref name="History & Discovery">Queensland Snakes. [https://web.archive.org/web/20090613091835/http://www.qm.qld.gov.au/features/snakes/taipan/discovery.aspOpens a new window History & Discovery]. (archived) Queensland Museum. Retrieved 15 November 2013.</ref><ref name="Pearn">{{cite journal |last1=Pearn |first1=John |last2=Winkel |first2=Kenneth D. |title=Toxinology in Australia's colonial era: A chronology and perspective of human envenomation in 19th century Australia |journal=Toxicon |date=December 2006 |volume=48 |issue=7 |pages=726–737 |doi=10.1016/j.toxicon.2006.07.027 |pmid=16996551 |bibcode=2006Txcn...48..726P |author1-link=John Hemsley Pearn }}</ref> [[ဩစတြေးလျနိုင်ငံ]]၏ အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသမျိုးရင်းဖြစ်သည်။<ref name="Animal Species: Inland Taipan">Cecilie Beatson (29 November 2011). [https://australian.museum/learn/animals/reptiles/inland-taipan/Opens a new window Animal Species: Inland Taipan]. Australian Museum. Retrieved 14 October 2013.</ref> ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေမျိုးစိပ်အကြောင်းကို ၁၈၇၉ ခုနှစ်တွင် Frederick McCoy ဆိုသူမှလည်းကောင်း၊ ၁၈၈၂ ခုနှစ်တွင် William John Macleay ဆိုသူမှလည်းကောင်း ပထမဆုံးအကြိမ် ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ သို့သော် နှစ်ပေါင်း ၉၀ တိုင် ယင်းမျိုးစိပ်အကြောင်း သိပ္ပံနယ်ပယ်တွင် အနည်းငယ်သာ သိခဲ့ရသည်။ ၁၉၇၂ ခုနှစ် ရောက်မှသာ မျိုးစိပ်အကြောင်းကို ပြန်လည်ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ရသည်။<ref name="History & Discovery" /><ref name="Rediscovery">Rediscovery. [https://web.archive.org/web/20090613092123/http://www.qm.qld.gov.au/features/snakes/taipan/rediscovery.aspOpens a new window the rediscovery of the western taipan]. (archived) Queensland Museum. Retrieved 15 November 2013.</ref> ဓာတ်ခွဲခန်းထဲရှိ ကြွက်များနှင့် စမ်းသပ်ချက်အရ ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေ၏ အဆိပ်သည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အပြင်းထန်ဆုံးဖြစ်ပြီး အဆိပ်ရှိ ပင်လယ်မြွေများထက် ပိုမိုပြင်းထန်သည်။<ref name="drop for drop"> * The Australian venom research unit (25 August 2007) [http://www.avru.org/compendium/biogs/A000084b.htm "Which snakes are the most venomous?"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140626092020/http://www.avru.org/compendium/biogs/A000084b.htm |date=2014-06-26 |df=dmy-all}}. University of Melbourne. Retrieved 14 October 2013. * Venom Immunochemistry, Pharmacology and Emergency Response (VIPER) Institute [http://viper.arizona.edu/faq/what-most-venomous-snake Frequently Asked Questions -What is the most venomous snake?] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180715123400/http://viper.arizona.edu/faq/what-most-venomous-snake |date=2018-07-15 |df=dmy-all}}. "Many experts answer that it is the Inland Taipan of Australia, because its drop-by-drop concentration of venom has great potency when measured by its ability to kill rodents". University of Arizona. Retrieved 14 October 2013. * Department of Wildlife Ecology and Conservation [http://ufwildlife.ifas.ufl.edu/venomous_snake_faqs.shtml Frequently Asked Questions About Venomous Snakes]. "A comparative study found that the snake venom that is most toxic to mice (of the species tested) is that of the Inland Taipan (''Oxyuranus microlepidotus''), found in Australia". University of Florida. Retrieved 5 November 2013. * {{cite journal|vauthors=Hodgson WC, Dal Belo CA, Rowan EG |pmid=17313963 |title=The neuromuscular activity of paradoxin: a presynaptic neurotoxin from the venom of the inland taipan (''Oxyuranus microlepidotus'')|quote=The inland taipan is the world's most venomous snake |year=2007 |volume=52 |issue=5 |pages=1229–36 |doi=10.1016/j.neuropharm.2007.01.002 |journal=Neuropharmacology|s2cid=19532337 }} * {{cite journal |doi=10.1016/S0041-0101(97)00060-3 |title=Some pharmacological studies of venom from the inland taipan (''Oxyuranus microlepidotus'') |quote=The Inland Taipan is believed to have the most toxic venom in the world (Sutherland, 1994) |year=1998 |last1=Bell |first1=Karen L |author2-link=Struan Sutherland |last2=Sutherland |first2=Struan K |last3=Hodgson |first3=Wayne C |journal=Toxicon |volume=36 |pages=63–74 |pmid=9604283 |issue=1|bibcode=1998Txcn...36...63B }} * {{cite journal |journal=Journal of Herpetology |volume=17 |issue=1 |pages=60-69 |date=1983 |url=http://sydney.edu.au/science/biology/shine/publications/reprints_legal/33taipanecology.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20190327014449/https://sydney.edu.au/science/biology/shine/publications/reprints_legal/33taipanecology.pdf |archive-date=2019-03-27 |doi=10.2307/1563782 |last1=Shine |first1=Richard |author-link1=Richard Shine |last2=Covacevich |first2=Jeanette |author-link2=Jeanette Covacevich |title=Ecology of Highly Venomous Snakes: the Australian Genus ''Oxyuranus'' (Elapidae) |quote=...the number of mouse LD₅₀ doses per bite is much higher for ''Oxyuranus microlepidotus'' (218,000)... than for any other snakes, including sea snakes, investigated to date (Broad, Sutherland and Coulter, 1979). |quote-page=60 |publisher=Society for the Study of Amphibians and Reptiles |access-date=2025-09-28}}</ref> လူသား နှလုံး ဆဲလ်ဖွဲ့စည်းပုံ (Cell culture) ပေါ်တွင် စမ်းသပ်ချက်အရ တွားသွားသတ္တဝါလောကတွင် အပြင်းဆန်ဆုံးအဆိပ်ကို ပိုင်ဆိုင်ထားသော မျိုးစိပ်တခုဖြစ်သည်။<ref>[http://www.sciencearchive.org.au/scientists/interviews/f/fry.htmlOpens a new window Fry, Bryan] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140419012946/http://www.sciencearchive.org.au/scientists/interviews/f/fry.htmlOpens a new window |date=2014-04-19 |df=dmy-all}} (8 February 2005) [http://www.venomdoc.com/forums/viewtopic.php?t=1212&postdays=0&postorder=asc&highlight=inland+taipan&start=0Opens a new window Most Venomous] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141017041923/http://www.venomdoc.com/forums/viewtopic.php?t=1212&postdays=0&postorder=asc&highlight=inland+taipan&start=0Opens a new window |date=2014-10-17 |df=dmy-all}}. "Q: I was wondering what snake's venom is the most potent to humans. A: Drop for drop it is the inland taipan (''Oxyuranus microlepidotus''), which has a venom more toxic than any other land snake or even the sea snakes." venomdoc.com forums. Retrieved 17 April 2014.</ref><ref>[[:en:Jamie Seymour|Seymour, Jamie]], [https://geographyscout.com/animals/the-deadly-taipan/Opens a new window World's Worst Venom], (min 44:33) "Among the reptiles tested, the most toxic venom belongs to inland taipan, killing over 60% of heart cells in the first 10 minutes." National Geographic Channel. Retrieved 17 April 2014.</ref><ref>[[:en:Jamie Seymour|Seymour, Jamie]], [https://web.archive.org/web/20110210070452/http://natgeotv.com/uk/australias-most-deadly/videos/venom-deathmatchOpens a new window Venom Death Match]. "They have the most toxic venom towards humans than any other snake in the world" (min 1:49). National Geographic Channel. Retrieved 17 April 2014.</ref> ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေသည် နို့တိုက်သတ္တဝါများကို အမဲလိုက်ရာတွင် ကျွမ်းကျင်သော သားရဲဖြစ်ပြီး အထူးသဖြင့် သွေးနွေးသတ္တဝါများမှာ ယင်း၏ သားကောင်ဖြစ်သည်။ <ref name="warm-blooded">{{Cite web |title=Inland Taipan Oxyuranus microlepidotus |url=http://www.venomsupplies.com/inland-taipan/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20231209073513/http://www.venomsupplies.com/inland-taipan/ |archive-date=9 December 2023 |access-date=2025-08-07 |website=www.venomsupplies.com |language=en }}</ref>ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေ တချက်ကိုက်စာသည် အရွယ်ရောက်ပြီးလူသား အယောက် ၁၀၀ ထက် သေစေနိုင်သော အဆိပ်ကို ပိုင်ဆိုင်ထားသည်။<ref name="100 fully grown men">* Journal of Herpetology Vol.17 no.1 (1983) [https://scholar.google.com/scholar_url?url=https://www.academia.edu/download/81613306/1b02ad67f4b37b42354b9a71297e271a0b20.pdf&hl=en&sa=X&ei=BcXGZI6JHJLYygSro70Y&scisig=ABFrs3xdK6d9ReyEg6Pr-Dbmfgmz&oi=scholarr) Ecology of Highly Venoumous Snakes: the Australian Genus ''Oxyuranus'']. "..the number of mouse LD50 doses per bite is much higher for ''Oxyuranus microlepidotus'' (218,000 mice)...than for any other snakes, including sea snakes, investigated to date (Broad, Sutherland and Coulter, 1979)." (page 1) University of Sydney. Retrieved 8 November 2013. * [http://www.australiazoo.com.au/our-animals/amazing-animals/reptiles/?animal=fierce_snake&reptile=venomous_snakes "Reptiles – Fierce Snake"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140227122800/http://www.australiazoo.com.au/our-animals/amazing-animals/reptiles/?reptile=venomous_snakes&animal=fierce_snake|date=2014-02-27|df=dmy-all}}. Australia Zoo. Retrieved 14 October 2013. * Martin, Stella (January 2004). [http://www.wettropics.gov.au/site/user-assets/docs/80VeryVenomousBut.pdf Newsletter No. 80]. " It has been calculated that there is enough venom in just one bite of an Inland taipan to kill more than 100 men of average size." Environmental Protection Agency (Queensland). Retrieved 18 October 2013. * News (28 September 2012) [http://taronga.org.au/news/2014-06-04/meet-worlds-deadliest-snake-safety Meet the world's deadliest snake in safety] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180715123207/http://taronga.org.au/news/2014-06-04/meet-worlds-deadliest-snake-safety|date=2018-07-15|df=dmy-all}}, Taronga Conservation Society. Retrieved 23 September 2014</ref> ကမ္ဘာပေါ်တွင် အဆိပ်အပြင်းဆုံးဂုဏ်ကို ပိုင်ဆိုင်ထားသော်လည်း ကုန်းတွင်းပိုင်း တိုင်ပန်မြွေများသည် ရှက်တတ်ပြီး လူများနှင့် ထိပ်တိုက်တွေ့ခြင်းကို ရှောင်ရှားလေ့ရှိသည်။ ယင်းတို့သည် လူသူမနီးသောအရပ်တွင်သာ နေထိုင်လေ့ရှိသည်။<ref name="placid disposition">* Cecilie Beatson (29 November 2011). [https://australian.museum/learn/animals/reptiles/inland-taipan/ Animal Species: Inland Taipan] "The venom of the Inland Taipan is extremely potent and is rated as the most toxic of all snake venoms in LD50 tests on mice". Australian Museum. Retrieved 14 October 2013. * South Australia Arid Lands Natural Resources Management Board [http://www.saalnrm.sa.gov.au/Portals/8/Publications_Resources/Factsheets_Brochures/SAAL-Woma_Python_Inland_Taipan-FS-STD-122009.pdf Biodiversity studies, Student fact sheet] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120322103731/http://saalnrm.sa.gov.au/Portals/8/Publications_Resources/Factsheets_Brochures/SAAL-Woma_Python_Inland_Taipan-FS-STD-122009.pdf |date=2012-03-22 |df=dmy-all}}. Government of South Australia. Retrieved 15 October 2013. * Clinical Toxinology Resources [http://www.toxinology.com/fusebox.cfm?fuseaction=main.snakes.display&id=SN0520 "''Oxyuranus microlepidotus'' -General Details, Taxonomy and Biology, Venom, Clinical Effects, Treatment, First Aid, Antivenoms"]. University of Adelaide. Retrieved 14 October 2013. * ABC News 24 (28 September 2012). [http://www.abc.net.au/news/2012-09-28/taipan-mystery/4285224 'Placid' taipan in safe hands]. (Quoting licensed reptile handler, [http://www.environment.nsw.gov.au/resources/wildlifelicences/reptilehandlerlist.pdf Judith {Judy} Martin]). Australian Broadcasting Corporation. Retrieved 13 November 2013.</ref> ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:ဩစတြေးလျနိုင်ငံ၏ တွားသွားသတ္တဝါများ]] 49nus3jxpv7u9kqixlpn3jau55tamnr 14 290690 1049419 2026-08-19T14:14:44Z Dr Lotus Black 31011 "{{Commons cat|Reptiles of Australia}} [[ကဏ္ဍ:နိုင်ငံအလိုက် တွားသွားသတ္တဝါများ]]" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049419 wikitext text/x-wiki {{Commons cat|Reptiles of Australia}} [[ကဏ္ဍ:နိုင်ငံအလိုက် တွားသွားသတ္တဝါများ]] bv2mrust2en060bsdxw3azwxl5yepu7 10 290692 1049431 2026-08-19T15:21:23Z Mkant00 135890 "{{Sidebar with collapsible lists | name = ကိန်းစနစ်များ | title = [[ကိန်း|ကိန်းစနစ်များ]] | style = width: 18em; | image = | listclass = hlist | expanded = all | list1name = standard | list1title = စံ ကိန်းစနစ်များ | list1 = * သဘာဝကိ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049431 wikitext text/x-wiki {{Sidebar with collapsible lists | name = ကိန်းစနစ်များ | title = [[ကိန်း|ကိန်းစနစ်များ]] | style = width: 18em; | image = | listclass = hlist | expanded = all | list1name = standard | list1title = စံ ကိန်းစနစ်များ | list1 = * [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] <math>\mathbb{N}</math> * [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] <math>\mathbb{Z}</math> * [[ရာရှင်နယ်ကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] <math>\mathbb{Q}</math> * [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] <math>\mathbb{R}</math> * [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] <math>\mathbb{C}</math> | list2name = extended | list2title = တိုးချဲ့ ကိန်းစနစ်များ | list2 = * [[ဟိုက်ပါကွန်ပလက်စ်ကိန်းများ]] * [[ကွာတာနီယွန်များ]] <math>\mathbb{H}</math> * [[အော့တိုနီယွန်များ]] <math>\mathbb{O}</math> * [[p-အခြေခံကိန်းများ]] <math>\mathbb{Q}_p</math> | list3name = subsets | list3title = အက္ခရာသင်္ချာ ကိန်းအမျိုးအစားများ | list3 = * [[ကိန်းရင်း|ကိန်းရင်းများ]] <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> * [[ကိန်းပြည့်ရင်း|ကိန်းပြည့်ရင်းများ]] * [[ကိန်းလွန်များ]] * [[တည်ဆောက်နိုင်သော ကိန်းများ]] * [[တွက်ချက်နိုင်သောကိန်းများ]] | list4name = infinite | list4title = အနန္တ ကိန်းများ | list4 = * [[အော်ဒီနယ်|အော်ဒီနယ်များ]] * [[ကာဒီနယ်ကိန်း|ကာဒီနယ်ကိန်းများ]] * [[အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများ]] | below = }}<noinclude> [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] </noinclude> lediqexdpupi7p5lczbd91komocbxph 0 290693 1049442 2026-08-19T17:38:10Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) နဂါးမောက်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တောင်ငူမြို့နယ်]]၊ [[နဂါးမောက်ရွာ၊ တောင်ငူမြို့နယ်|နဂါးမောက်ရွာ]]ရှိ အခြေခံပ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049442 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) နဂါးမောက်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တောင်ငူမြို့နယ်]]၊ [[နဂါးမောက်ရွာ၊ တောင်ငူမြို့နယ်|နဂါးမောက်ရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၃၉၈ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/taungoo-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|yyyyyyy|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:တောင်ငူမြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} e3v1as04rzkifraba3kpy17j41cd234 1049443 1049442 2026-08-19T17:39:44Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1049443 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) နဂါးမောက်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တောင်ငူမြို့နယ်]]၊ [[နဂါးမောက်ရွာ၊ တောင်ငူမြို့နယ်|နဂါးမောက်ရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၃၉၈ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/taungoo-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|18.913590254174935| 96.54970227478431|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:တောင်ငူမြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} j0q7hcdq00cq9r5keipiriozn9ax4rb 0 290694 1049444 2026-08-19T17:40:50Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) ချောင်းဖြူ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တောင်ငူမြို့နယ်]]၊ [[ချောင်းဖြူရွာ၊ တောင်ငူမြို့နယ်|ချောင်းဖြူရွာ]]ရှိ အခြေ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049444 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ချောင်းဖြူ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တောင်ငူမြို့နယ်]]၊ [[ချောင်းဖြူရွာ၊ တောင်ငူမြို့နယ်|ချောင်းဖြူရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၂၃၅ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/taungoo-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[Category:တောင်ငူမြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} a9bjgwo5h44h6f8a3znc63hdjgdcoo1 0 290695 1049445 2026-08-19T17:41:43Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) အိုင်စောက်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တောင်ငူမြို့နယ်]]၊ [[အိုင်ဇောက်ရွာ၊ တောင်ငူမြို့နယ်|အိုင်စောက်ရွာ]]ရှိ အခြေ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049445 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) အိုင်စောက်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တောင်ငူမြို့နယ်]]၊ [[အိုင်ဇောက်ရွာ၊ တောင်ငူမြို့နယ်|အိုင်စောက်ရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၂၀၆ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/taungoo-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|yyyyyyy|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:တောင်ငူမြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} b7xponsyst82nqrb5qy6sjyyb91j71f 1049446 1049445 2026-08-19T17:42:39Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1049446 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) အိုင်စောက်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တောင်ငူမြို့နယ်]]၊ [[အိုင်ဇောက်ရွာ၊ တောင်ငူမြို့နယ်|အိုင်စောက်ရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၂၀၆ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/taungoo-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|19.011440545865934| 96.41995925547104|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:တောင်ငူမြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} fwf141h5wnn8heesn6vaxdynj1cd0ny 0 290696 1049447 2026-08-19T17:44:25Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) မြောင်အင်းဒိုင်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တောင်ငူမြို့နယ်]]၊ [[အင်ဒိုင်းရွာ၊ တောင်ငူမြို့နယ်|အင်ဒိုင်းရွာ]]ရှိ အ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049447 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) မြောင်အင်းဒိုင်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တောင်ငူမြို့နယ်]]၊ [[အင်ဒိုင်းရွာ၊ တောင်ငူမြို့နယ်|အင်ဒိုင်းရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၃၀၅ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/taungoo-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|yyyyyyy|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:တောင်ငူမြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} s6vpidp9bfwtcumhem64cqj2u1peilw 1049448 1049447 2026-08-19T17:45:55Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 1049448 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) မြောင်အင်းဒိုင်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တောင်ငူမြို့နယ်]]၊ [[မြောက်အင်းဒိုင်ရွာ၊ တောင်ငူမြို့နယ်|မြောက်အင်းဒိုင်]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၃၀၅ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/taungoo-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[Category:တောင်ငူမြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} 7lqec6o2bwcebkq2ovb60k4v1ntiwhg 0 290697 1049449 2026-08-19T17:46:49Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) ရွှေမင်းဝံ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တောင်ငူမြို့နယ်]]၊ [[ရွှေမင်းဝံရွာ၊ တောင်ငူမြို့နယ်|ရွှေမင်းဝံရွာ]]ရှိ အခြေ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049449 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ရွှေမင်းဝံ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တောင်ငူမြို့နယ်]]၊ [[ရွှေမင်းဝံရွာ၊ တောင်ငူမြို့နယ်|ရွှေမင်းဝံရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၃၁၉ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/taungoo-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|yyyyyyy|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:တောင်ငူမြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} jfl70alypaxmoab68fj6dgc99rmq4qt 1049450 1049449 2026-08-19T17:49:00Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1049450 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ရွှေမင်းဝံ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တောင်ငူမြို့နယ်]]၊ [[ရွှေမင်းဝံရွာ၊ တောင်ငူမြို့နယ်|ရွှေမင်းဝံရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၃၁၉ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/taungoo-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[Category:တောင်ငူမြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} sb4vv6rwp9uu86oupw1m9vn3r1lzaw6 0 290698 1049451 2026-08-19T19:06:21Z Mkant00 135890 "'''စားခြင်း (Division)''' သည် မြှောက်ခြင်း၏ (multiplication) အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် ဖြစ်သော ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049451 wikitext text/x-wiki '''စားခြင်း (Division)''' သည် မြှောက်ခြင်း၏ (multiplication) အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် ဖြစ်သော ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သင်္ချာသဘောတရားများအရ တည်ကိန်း (dividend) <math>a</math> ကို သုညမဟုတ်သော စားကိန်း (divisor) <math>b</math> ဖြင့်စားခြင်းမှရရှိသော စားလဒ်အား (quotient) <math>a/b</math>၊ <math>a:b</math> သို့မဟုတ် <math>\frac{a}{b}</math> ဟု သင်္ကေတပြုဖော်ပြသည်။ အဆိုပါ စားလဒ်အား <math>b\times y = a</math> ညီမျှခြင်း၏ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အဖြေ <math>y</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ == အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Algebraic Definition) == အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (integral domain) <math>R</math> တစ်ခု ပေးထားရာတွင် [[အစုဝင်]]အတွဲများအားလုံးအတွက် စားခြင်းကို အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားခြင်း မရှိပေ။ စားခြင်းကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရန်အတွက် <math>R</math> ကို ၎င်း၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field of fractions) <math>K</math> သို့ တိုးချဲ့သည်။ ယင်းဖီးလ်ဒ်ကို [[အစု]] <math>R \times (R\setminus\{0\})</math> အပေါ်တွင် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) <math>\sim</math> တစ်ခု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် တည်ဆောက်သည်။ :<math> (a,b)\sim(a',b') \iff ab' = a'b </math> စားလဒ်ဖီးလ်ဒ် (quotient field) အတွင်းရှိ <math>(a,b)</math> အတွဲ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားကို (equivalence class) အပိုင်းကိန်း <math>a/b</math> အဖြစ် သင်္ကေတပြုဖော်ပြသည်။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ သုည အစုဝင်ဖြင့် စားခြင်းကို (division by zero) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားခြင်း မရှိပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် <math>a \neq 0</math> ဖြစ်သောအခါ <math>0 \times y = a</math> ညီမျှခြင်းအတွက် အဖြေမရှိနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>a = 0</math> ဖြစ်သောအခါ ယင်းညီမျှခြင်းအတွက် အဆုံးမဲ့ များပြားသော အဖြေများ ရှိနေပြီး အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်၍မရသော ပုံစံကို (undefined form) ဖြစ်ပေါ်စေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်ရှိ တွက်ချက်မှုတစ်ခုအနေဖြင့် စားခြင်းသည် [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (commutative property) (<math>a/b \neq b/a</math>) မပြည့်စုံသည့်အပြင် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (associative property) (<math>a/(b/c) \neq (a/b)/c</math>) လည်း မပြည့်စုံပေ။ == တိုးချဲ့ချက်များ (Extensions) == === ကိန်းထွေး စားခြင်း (Complex Division) === <math>z_2 \neq 0</math> ဖြစ်သော <math>z_1, z_2 \in \mathbb{C}</math> များ ရှိသည်ဟု ဆိုပါစို့။ စားခြင်း <math>x = z_1/z_2</math> ကို <math>x \times z_2 = z_1</math> ဟူသော ဆက်သွယ်ချက်ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ * '''ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ (Polar form)''' - <math>z_1 = r_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_1}</math> နှင့် <math>z_2 = r_2 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_2}</math> ဟု ပေးထားပါက စားလဒ်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * <math> \frac{r_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_1}}{r_2 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta_1 - \theta_2)} </math> * '''ကာတီးရှန်း ပုံစံ (Cartesian form)''' - <math>z_1 = a + b\mathrm{i}</math> နှင့် <math>z_2 = c + d\mathrm{i}</math> ဟု ပေးထားသည် ဆိုပါစို့။ ပိုင်းခြေ၏ [[ကိန်းထွေး]] ကွန်ဂျူဂိတ်မှာ (complex conjugate) <math>\bar{z}_2 = c - d\mathrm{i}</math> ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြင့် ပိုင်းဝေ (numerator) နှင့် ပိုင်းခြေ (denominator) နှစ်ခုလုံးကို မြှောက်ပါက အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ * <math> \frac{a + b\mathrm{i}}{c + d\mathrm{i}} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\mathrm{i} </math> === ကိန်းအုံ စားခြင်း (Matrix Division) === ယေဘုယျအားဖြင့် ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်းသည် (matrix multiplication) [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] မပြည့်စုံပေ။ ထို့ကြောင့် သင့်လျော်သော ကိန်းအုံ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာများ]] ရှိသည်ဟု ယူဆပါက ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (general linear group) <math>GL(n, F)</math> အပေါ်ရှိ စားခြင်းသည် သီးခြားကွဲပြားသော တွက်ချက်မှု နှစ်ခုအဖြစ် ကွဲထွက်သွားသည်။ * '''ညာစားခြင်း (Right division)''' - ဆက်သွယ်ချက်မှာ <math>X = A/B \iff XB = A</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>B</math> သည် ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော စတုရန်းကိန်းအုံတစ်ခု (non-singular invertible square matrix) ဖြစ်ပါက အဖြေမှာ <math>X = AB^{-1}</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဘယ်စားခြင်း (Left division)''' - ဆက်သွယ်ချက်မှာ <math>X = A\backslash B \iff AX = B</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>A</math> သည် ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော ကိန်းအုံတစ်ခု (non-singular matrix) ဖြစ်ပါက အဖြေမှာ <math>X = A^{-1}B</math> ဖြစ်သည်။ === ပိုလီနိုမီရယ် စားခြင်း (Polynomial Division) === [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> တစ်ခုအပေါ် အခြေခံထားသော ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) <math>F[x]</math> ရှိ စားခြင်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် စားခြင်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းကို (polynomial division algorithm) လိုက်နာသည်။ ဤအဆင့်ဆင့်တွက်နည်းသည် ယူကလစ်ဒ် စားခြင်းကို (Euclidean division) တိုးချဲ့ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ပိုလီနိုမီရယ် <math>a</math> နှင့် သုညမဟုတ်သော <math>b</math> မဆိုအတွက် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော စားလဒ် (quotient) ပိုလီနိုမီရယ် <math>q</math> နှင့် အကြွင်း (remainder) ပိုလီနိုမီရယ် <math>r</math> တို့ တည်ရှိပြီး အောက်ပါဆက်သွယ်ချက်ကို ပြည့်စုံစေသည်။ *<math> a = b \times q + r </math> ၎င်းတို့သည် <math>\deg(r) < \deg(b)</math> သို့မဟုတ် <math>r = 0</math> ဟူသော ဒီဂရီဆိုင်ရာ အခြေအနေတစ်ခုအောက်တွင် တည်ရှိနေခြင်း ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>r=0</math> ဖြစ်ပါက <math>b</math> သည် <math>a</math> ကို ပြတ်သားစွာ စားနိုင်သည်ဟု ဆိုသည်။ fl62qz9cna7pb4wxo4y35ojootkfrlw 1049452 1049451 2026-08-19T19:07:32Z Mkant00 135890 category adjustment 1049452 wikitext text/x-wiki '''စားခြင်း (Division)''' သည် မြှောက်ခြင်း၏ (multiplication) အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် ဖြစ်သော ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သင်္ချာသဘောတရားများအရ တည်ကိန်း (dividend) <math>a</math> ကို သုညမဟုတ်သော စားကိန်း (divisor) <math>b</math> ဖြင့်စားခြင်းမှရရှိသော စားလဒ်အား (quotient) <math>a/b</math>၊ <math>a:b</math> သို့မဟုတ် <math>\frac{a}{b}</math> ဟု သင်္ကေတပြုဖော်ပြသည်။ အဆိုပါ စားလဒ်အား <math>b\times y = a</math> ညီမျှခြင်း၏ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အဖြေ <math>y</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ == အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Algebraic Definition) == အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (integral domain) <math>R</math> တစ်ခု ပေးထားရာတွင် [[အစုဝင်]]အတွဲများအားလုံးအတွက် စားခြင်းကို အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားခြင်း မရှိပေ။ စားခြင်းကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရန်အတွက် <math>R</math> ကို ၎င်း၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field of fractions) <math>K</math> သို့ တိုးချဲ့သည်။ ယင်းဖီးလ်ဒ်ကို [[အစု]] <math>R \times (R\setminus\{0\})</math> အပေါ်တွင် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) <math>\sim</math> တစ်ခု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် တည်ဆောက်သည်။ :<math> (a,b)\sim(a',b') \iff ab' = a'b </math> စားလဒ်ဖီးလ်ဒ် (quotient field) အတွင်းရှိ <math>(a,b)</math> အတွဲ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားကို (equivalence class) အပိုင်းကိန်း <math>a/b</math> အဖြစ် သင်္ကေတပြုဖော်ပြသည်။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ သုည အစုဝင်ဖြင့် စားခြင်းကို (division by zero) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားခြင်း မရှိပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် <math>a \neq 0</math> ဖြစ်သောအခါ <math>0 \times y = a</math> ညီမျှခြင်းအတွက် အဖြေမရှိနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>a = 0</math> ဖြစ်သောအခါ ယင်းညီမျှခြင်းအတွက် အဆုံးမဲ့ များပြားသော အဖြေများ ရှိနေပြီး အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်၍မရသော ပုံစံကို (undefined form) ဖြစ်ပေါ်စေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်ရှိ တွက်ချက်မှုတစ်ခုအနေဖြင့် စားခြင်းသည် [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (commutative property) (<math>a/b \neq b/a</math>) မပြည့်စုံသည့်အပြင် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (associative property) (<math>a/(b/c) \neq (a/b)/c</math>) လည်း မပြည့်စုံပေ။ == တိုးချဲ့ချက်များ (Extensions) == === ကိန်းထွေး စားခြင်း (Complex Division) === <math>z_2 \neq 0</math> ဖြစ်သော <math>z_1, z_2 \in \mathbb{C}</math> များ ရှိသည်ဟု ဆိုပါစို့။ စားခြင်း <math>x = z_1/z_2</math> ကို <math>x \times z_2 = z_1</math> ဟူသော ဆက်သွယ်ချက်ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ * '''ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ (Polar form)''' - <math>z_1 = r_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_1}</math> နှင့် <math>z_2 = r_2 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_2}</math> ဟု ပေးထားပါက စားလဒ်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * <math> \frac{r_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_1}}{r_2 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta_1 - \theta_2)} </math> * '''ကာတီးရှန်း ပုံစံ (Cartesian form)''' - <math>z_1 = a + b\mathrm{i}</math> နှင့် <math>z_2 = c + d\mathrm{i}</math> ဟု ပေးထားသည် ဆိုပါစို့။ ပိုင်းခြေ၏ [[ကိန်းထွေး]] ကွန်ဂျူဂိတ်မှာ (complex conjugate) <math>\bar{z}_2 = c - d\mathrm{i}</math> ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြင့် ပိုင်းဝေ (numerator) နှင့် ပိုင်းခြေ (denominator) နှစ်ခုလုံးကို မြှောက်ပါက အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ * <math> \frac{a + b\mathrm{i}}{c + d\mathrm{i}} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\mathrm{i} </math> === ကိန်းအုံ စားခြင်း (Matrix Division) === ယေဘုယျအားဖြင့် ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်းသည် (matrix multiplication) [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] မပြည့်စုံပေ။ ထို့ကြောင့် သင့်လျော်သော ကိန်းအုံ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာများ]] ရှိသည်ဟု ယူဆပါက ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (general linear group) <math>GL(n, F)</math> အပေါ်ရှိ စားခြင်းသည် သီးခြားကွဲပြားသော တွက်ချက်မှု နှစ်ခုအဖြစ် ကွဲထွက်သွားသည်။ * '''ညာစားခြင်း (Right division)''' - ဆက်သွယ်ချက်မှာ <math>X = A/B \iff XB = A</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>B</math> သည် ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော စတုရန်းကိန်းအုံတစ်ခု (non-singular invertible square matrix) ဖြစ်ပါက အဖြေမှာ <math>X = AB^{-1}</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဘယ်စားခြင်း (Left division)''' - ဆက်သွယ်ချက်မှာ <math>X = A\backslash B \iff AX = B</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>A</math> သည် ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော ကိန်းအုံတစ်ခု (non-singular matrix) ဖြစ်ပါက အဖြေမှာ <math>X = A^{-1}B</math> ဖြစ်သည်။ === ပိုလီနိုမီရယ် စားခြင်း (Polynomial Division) === [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> တစ်ခုအပေါ် အခြေခံထားသော ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) <math>F[x]</math> ရှိ စားခြင်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် စားခြင်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းကို (polynomial division algorithm) လိုက်နာသည်။ ဤအဆင့်ဆင့်တွက်နည်းသည် ယူကလစ်ဒ် စားခြင်းကို (Euclidean division) တိုးချဲ့ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ပိုလီနိုမီရယ် <math>a</math> နှင့် သုညမဟုတ်သော <math>b</math> မဆိုအတွက် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော စားလဒ် (quotient) ပိုလီနိုမီရယ် <math>q</math> နှင့် အကြွင်း (remainder) ပိုလီနိုမီရယ် <math>r</math> တို့ တည်ရှိပြီး အောက်ပါဆက်သွယ်ချက်ကို ပြည့်စုံစေသည်။ *<math> a = b \times q + r </math> ၎င်းတို့သည် <math>\deg(r) < \deg(b)</math> သို့မဟုတ် <math>r = 0</math> ဟူသော ဒီဂရီဆိုင်ရာ အခြေအနေတစ်ခုအောက်တွင် တည်ရှိနေခြင်း ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>r=0</math> ဖြစ်ပါက <math>b</math> သည် <math>a</math> ကို ပြတ်သားစွာ စားနိုင်သည်ဟု ဆိုသည်။ [[ကဏ္ဍ:အခြေခံဂဏန်းသင်္ချာ]] 608hgjzriej1osfcrc7m90xjurgpy2j 1049457 1049452 2026-08-19T20:06:38Z Mkant00 135890 1049457 wikitext text/x-wiki '''စားခြင်း (Division)''' သည် မြှောက်ခြင်း၏ (multiplication) အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် ဖြစ်သော ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သင်္ချာသဘောတရားများအရ တည်ကိန်း (dividend) <math>a</math> ကို သုညမဟုတ်သော စားကိန်း (divisor) <math>b</math> ဖြင့်စားခြင်းမှရရှိသော စားလဒ်အား (quotient) <math>a/b</math>၊ <math>a:b</math> သို့မဟုတ် <math>\frac{a}{b}</math> ဟု သင်္ကေတပြုဖော်ပြသည်။ အဆိုပါ စားလဒ်အား <math>b\times y = a</math> ညီမျှခြင်း၏ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အဖြေ <math>y</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ == အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Algebraic Definition) == [[အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း]] (integral domain) <math>R</math> တစ်ခု ပေးထားရာတွင် [[အစုဝင်]]အတွဲများအားလုံးအတွက် စားခြင်းကို အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားခြင်း မရှိပေ။ စားခြင်းကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရန်အတွက် <math>R</math> ကို ၎င်း၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field of fractions) <math>K</math> သို့ တိုးချဲ့သည်။ ယင်းဖီးလ်ဒ်ကို [[အစု]] <math>R \times (R\setminus\{0\})</math> အပေါ်တွင် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) <math>\sim</math> တစ်ခု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် တည်ဆောက်သည်။ :<math> (a,b)\sim(a',b') \iff ab' = a'b </math> စားလဒ်ဖီးလ်ဒ် (quotient field) အတွင်းရှိ <math>(a,b)</math> အတွဲ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားကို (equivalence class) အပိုင်းကိန်း <math>a/b</math> အဖြစ် သင်္ကေတပြုဖော်ပြသည်။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ သုည အစုဝင်ဖြင့် စားခြင်းကို (division by zero) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားခြင်း မရှိပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် <math>a \neq 0</math> ဖြစ်သောအခါ <math>0 \times y = a</math> ညီမျှခြင်းအတွက် အဖြေမရှိနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>a = 0</math> ဖြစ်သောအခါ ယင်းညီမျှခြင်းအတွက် အဆုံးမဲ့ များပြားသော အဖြေများ ရှိနေပြီး အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်၍မရသော ပုံစံကို (undefined form) ဖြစ်ပေါ်စေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်ရှိ တွက်ချက်မှုတစ်ခုအနေဖြင့် စားခြင်းသည် [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (commutative property) (<math>a/b \neq b/a</math>) မပြည့်စုံသည့်အပြင် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (associative property) (<math>a/(b/c) \neq (a/b)/c</math>) လည်း မပြည့်စုံပေ။ == တိုးချဲ့ချက်များ (Extensions) == === ကိန်းထွေး စားခြင်း (Complex Division) === <math>z_2 \neq 0</math> ဖြစ်သော <math>z_1, z_2 \in \mathbb{C}</math> များ ရှိသည်ဟု ဆိုပါစို့။ စားခြင်း <math>x = z_1/z_2</math> ကို <math>x \times z_2 = z_1</math> ဟူသော ဆက်သွယ်ချက်ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ * '''ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ (Polar form)''' - <math>z_1 = r_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_1}</math> နှင့် <math>z_2 = r_2 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_2}</math> ဟု ပေးထားပါက စားလဒ်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * <math> \frac{r_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_1}}{r_2 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta_1 - \theta_2)} </math> * '''ကာတီးရှန်း ပုံစံ (Cartesian form)''' - <math>z_1 = a + b\mathrm{i}</math> နှင့် <math>z_2 = c + d\mathrm{i}</math> ဟု ပေးထားသည် ဆိုပါစို့။ ပိုင်းခြေ၏ [[ကိန်းထွေး]] ကွန်ဂျူဂိတ်မှာ (complex conjugate) <math>\bar{z}_2 = c - d\mathrm{i}</math> ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြင့် ပိုင်းဝေ (numerator) နှင့် ပိုင်းခြေ (denominator) နှစ်ခုလုံးကို မြှောက်ပါက အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ * <math> \frac{a + b\mathrm{i}}{c + d\mathrm{i}} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\mathrm{i} </math> === ကိန်းအုံ စားခြင်း (Matrix Division) === ယေဘုယျအားဖြင့် ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်းသည် (matrix multiplication) [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] မပြည့်စုံပေ။ ထို့ကြောင့် သင့်လျော်သော ကိန်းအုံ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာများ]] ရှိသည်ဟု ယူဆပါက ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (general linear group) <math>GL(n, F)</math> အပေါ်ရှိ စားခြင်းသည် သီးခြားကွဲပြားသော တွက်ချက်မှု နှစ်ခုအဖြစ် ကွဲထွက်သွားသည်။ * '''ညာစားခြင်း (Right division)''' - ဆက်သွယ်ချက်မှာ <math>X = A/B \iff XB = A</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>B</math> သည် ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော စတုရန်းကိန်းအုံတစ်ခု (non-singular invertible square matrix) ဖြစ်ပါက အဖြေမှာ <math>X = AB^{-1}</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဘယ်စားခြင်း (Left division)''' - ဆက်သွယ်ချက်မှာ <math>X = A\backslash B \iff AX = B</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>A</math> သည် ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော ကိန်းအုံတစ်ခု (non-singular matrix) ဖြစ်ပါက အဖြေမှာ <math>X = A^{-1}B</math> ဖြစ်သည်။ === ပိုလီနိုမီရယ် စားခြင်း (Polynomial Division) === [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> တစ်ခုအပေါ် အခြေခံထားသော ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) <math>F[x]</math> ရှိ စားခြင်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် စားခြင်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းကို (polynomial division algorithm) လိုက်နာသည်။ ဤအဆင့်ဆင့်တွက်နည်းသည် ယူကလစ်ဒ် စားခြင်းကို (Euclidean division) တိုးချဲ့ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ပိုလီနိုမီရယ် <math>a</math> နှင့် သုညမဟုတ်သော <math>b</math> မဆိုအတွက် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော စားလဒ် (quotient) ပိုလီနိုမီရယ် <math>q</math> နှင့် အကြွင်း (remainder) ပိုလီနိုမီရယ် <math>r</math> တို့ တည်ရှိပြီး အောက်ပါဆက်သွယ်ချက်ကို ပြည့်စုံစေသည်။ *<math> a = b \times q + r </math> ၎င်းတို့သည် <math>\deg(r) < \deg(b)</math> သို့မဟုတ် <math>r = 0</math> ဟူသော ဒီဂရီဆိုင်ရာ အခြေအနေတစ်ခုအောက်တွင် တည်ရှိနေခြင်း ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>r=0</math> ဖြစ်ပါက <math>b</math> သည် <math>a</math> ကို ပြတ်သားစွာ စားနိုင်သည်ဟု ဆိုသည်။ [[ကဏ္ဍ:အခြေခံဂဏန်းသင်္ချာ]] 9u2190txu3jp17pyutn42ux1isf1ipx 0 290699 1049455 2026-08-19T20:04:05Z Naingli 144794 "'''သုဓမ္မမဏိဇောတဓရ ရန်ကုန် ဦးဝင်းလှိုင်''' သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၏ ပြိုင်တုမရသော ထိပ်တန်း [[နတ်ဆရာ]]ကြီး တစ်ဦးဖြစ်သည်။ မိရိုးဖလာ နတ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049455 wikitext text/x-wiki '''သုဓမ္မမဏိဇောတဓရ ရန်ကုန် ဦးဝင်းလှိုင်''' သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၏ ပြိုင်တုမရသော ထိပ်တန်း [[နတ်ဆရာ]]ကြီး တစ်ဦးဖြစ်သည်။ မိရိုးဖလာ နတ်ကိုးကွယ်မှု အစဉ်အလာရှိသည့် မြန်မာ့ရိုးရာ နတ်နယ်ပယ်တွင် နတ်ကတော်၊ နတ်ဝင်သည်၊ နတ်ဆရာတို့သည် ရိုးရာနတ်များကို ပင့်ဖိတ်၊ ပူဇော်၊ ပသပေးကြသူများ ဖြစ်ကြသည်။ ရန်ကုန် ဦးဝင်းလှိုင်သည် အသက် (၈) နှစ်သား အရွယ်မှစ၍ နတ်လောကအတွင်းသို့ ရောက်ရှိခဲ့ပြီး နိုင်ငံရပ်ခြားအထိ သွားရောက်၍ နတ်အကပညာကို တင်ဆက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ == ဂုဏ်သိက္ခာ၊ ကိုယ်ကျင့်သီလနှင့် ကျင့်ဝတ်များ == မြန်မာ့ရိုးရာ နတ်ယုံကြည်မှု နယ်ပယ်တွင် မိရိုးဖလာ ထုံးတမ်းစဉ်လာများကို လိုက်နာဆောင်ရွက်ကြသည့် နတ်ဆရာများစွာ ရှိသော်လည်း ရန်ကုန် ဦးဝင်းလှိုင်၏ ကျင့်ကြံပြုမူပုံမှာ အခြားသူများနှင့် မတူဘဲ သီးခြားထူးခြားလှသည်။ ၎င်း၏ ဘဝနှင့် ပညာရပ်ဆိုင်ရာ ကျင့်ဝတ်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် - * '''အရက်သေစာနှင့် လောင်းကစား ကင်းရှင်းခြင်း''' - နတ်ပွဲများနှင့် ရိုးရာအခမ်းအနားများတွင် အရက်သေစာ သုံးစွဲလေ့ရှိသည့် အလေ့အထများနှင့် လုံးဝဆန့်ကျင်ဘက်ဖြစ်ပြီး အရက်သေစာနှင့် လောင်းကစား မှတ်သမျှကို လုံးဝကင်းရှင်းစွာ ကျင့်ကြံနေထိုင်သူ ဖြစ်သည်။ မိမိ၏ ကိုယ်ကျင့်သီလကို စိစစ်စောင့်ထိန်းခြင်းဖြင့် နတ်ဆရာတစ်ဦး၏ သိက္ခာကို အမြင့်ဆုံး တင်မြှောက်ထားသည်။ * '''သက်သက်လွတ် ပူဇော်ပသခြင်း''' - ရိုးရာနတ်ပူဇော်ပသပွဲ အများစုတွင် သားငါး ပူဇော်မှုများ ပါဝင်လေ့ရှိသော်လည်း ဆရာကြီး၏ နတ်ပွဲအများစုတွင် [[ပါဏာတိပါတ]] ကံ ကင်းလွတ်စေရန်နှင့် သန့်ရှင်းစင်ကြယ်သော မေတ္တာဓာတ်ဖြင့် ဆောင်ရွက်လိုသော စေတနာဖြင့် [[မေတ္တာ]]တရားကို အခြေခံသည့် သက်သက်လွတ် ပူဇော်ပသမှုစနစ်ကိုသာ အဓိကထား အသုံးပြုသည်။ * '''ဗုဒ္ဓဘာသာဆိုင်ရာ ကိုင်းရှိုင်းမှု''' - နတ်ပညာရပ်ကို ဆောင်ရွက်နေသူဖြစ်သော်လည်း [[ဗုဒ္ဓဘာသာ]]၏ အဆုံးအမများ၊ တရားဓမ္မများနှင့် သီလစောင့်ထိန်းခြင်း ပဒေသာများကို အမြဲမပြတ် ကိုင်းရှိုင်းစွာ လိုက်နာကျင့်သုံးသည်။ ဘာသာရေး အသိတရားကို အခြေခံထားသဖြင့် ပြုမူဆောင်ရွက်ချက်တိုင်းသည် မှန်ကန်သော အသိတရား၊ သစ္စာတရားတို့ဖြင့် ပြည့်စုံနေသည်။ * '''တာဝန်ယူမှုနှင့် ရိုးရာမူရင်း ထိန်းသိမ်းခြင်း''' - နိုင်ငံတော်မှ ချီးမြှင့်အပ်နှင်းထားသော ဂုဏ်ထူးဆောင် ဘွဲ့တံဆိပ်များ၊ ဂုဏ်ပြုလွှာများနှင့်အညီ မိမိ၏ သိက္ခာကို အမြဲတစေ ထိန်းသိမ်းသည်။ အများပြည်သူအပေါ် ဆက်ဆံရာတွင်လည်းကောင်း၊ ပညာရပ်ကို သုံးစွဲရာတွင်လည်းကောင်း တာဝန်ယူမှု၊ တာဝန်ခံမှုရှိရှိဖြင့် သမားဂုဏ်မပျက် စံနမူနာပြ နေထိုင်ကျင့်ကြံသည်။ နတ်ကသည့် အခါများတွင်လည်း ပေါ်ပင်ပြုလုပ်ရပ်များ၊ ကြွားဝါမှုများနှင့် စီးပွားရေးဆန်ဆန် ဖန်တီးမှုများကို ရှောင်ကြဉ်ပြီး ရှေးထုံးစဉ်လာ မူရင်းအတိုင်း တိကျမှန်ကန်စွာ ဆောင်ရွက်သည်။ * '''ဆရာသမားကျင့်ဝတ်''' - ဆရာသမားကောင်း တစ်ဦး၏ ကျင့်ဝတ်နှင့်အညီ လာရောက်အားကိုးသူများ၏ အခက်အခဲကို စေတနာစက်စက်ဖြင့် ကူညီဆောင်ရွက်ပေးလေ့ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် ရန်ကုန် ဦးဝင်းလှိုင်သည် နတ်ဆရာတစ်ဦးအဖြစ် ၎င်း၏ ပညာရပ်ကို ရိုးရာမပျက် ထိန်းသိမ်းရုံမျှမက ကိုယ်ကျင့်သီလ၊ ဘာသာရေး စိတ်ဓာတ်နှင့် သမားကျင့်ဝတ်တို့ကို ပေါင်းစပ်ကျင့်သုံးသဖြင့် အများတကာ တလေးတစား အသိအမှတ်ပြုရသည့် ထူးချွန်သော ရိုးရာပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အယူအဆနှင့် ပတ်သက်၍ - > "နတ်ကတာဟာ ဝါသနာအရလည်း ဖြစ်သလို ယုံကြည်အားထားမှုကြောင့်လည်း ပါပါတယ်၊ ဘုရား တရား သံဃာ [[ရတနာသုံးပါး]] ကတော့ ကိုးကွယ်ရာပေါ့" ဟု [[သုဓမ္မမဏိဇောတဓရ]] ရန်ကုန် ဦးဝင်းလှိုင်က ပြောပြခဲ့သည်။ == ဒါးဦးသွေး ရိုးရာနှင့် သမိုင်းကြောင်း == [[တပေါင်းလ]] ပြည့်ကျော် (၄) ရက်နေ့တွင် အမေကြီးမောင်းတုံနန်း ၌ အမေရေရင်ချိုး ရေတော်သုံးပြီးချိန်တွင် "ဒါးဦးသွေး ရိုးရာ" ကို ပြုလုပ်ကြသည်။ ဟိုးတုန်းက အမေကြီး ချိုးရေတော်သုံးချိန်တွင် ရှေ့မှ ကလကာ (၇) ထပ် ကာထားလေ့ရှိကြသည်။ === ဒါးဦးသွေး ရိုးရာ ဆက်ခံသူများ သမိုင်း === # '''မူလ ပထမ နတ်နေကြီးများ''' - မူလပထမ ဒါးဦးသွေး ရိုးရာကို လုပ်ဆောင်သူများမှာ [[မုံရွာမြို့|မုံရွာ]] မြောက်လက် နတ်နေကြီးများ ဖြစ်ကြသည့် ဒေါ်သိန်း (ဖွားလေးသိန်း)၊ ဒေါ်စောညွှန့် နှင့် ဒေါ်စိန်ကြည် (ကျွဲရဲ) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနတ်နေကြီး (၃) ဦးမှာ မူလ ရိုးရာသမားများဖြစ်ပြီး မယ်တော်ကြီး၏ အုတ်ပလ္လင်ပေါ်တွင် စတင်၍ ဒါးသွေးခဲ့ကြသည်။ # '''၁၉၇၀ ဝန်းကျင်ခေတ်''' - ၁၉၇၀ ဝန်းကျင်အချိန်တွင် မြို့နယ်ကောင်စီက ကိုင်တွယ်သည့်အခါ သူကြီးပွဲ ဖြစ်သွားခဲ့ပြီး တောင်ပြုံးဗောင်း ဦးဝင်းကြီး က ဒါးဦးသွေး ရိုးရာကို ယူခဲ့သည်။ # '''ဦးဝင်းကြီး နောက်ပိုင်း ဆက်ခံသူများ''' - ဦးဝင်းကြီး နောက်ပိုင်းတွင် ဦးတင်မောင် ([[ပြင်ဦးလွင်မြို့|မေမြို့]])၊ ဒေါ်ခင်မမ၊ ဦးဝင်းလေး (တောင်ပြုံးဗောင်း) နှင့် ဒေါ်ဘေဘီ တို့က ဆက်လက် ဆောင်ရွက်ခဲ့ကြသည်။ # '''ယနေ့ခေတ် ဆက်ခံသူများ''' - ယနေ့ခေတ်တွင် ရန်ကုန် ဦးဝင်းလှိုင်၊ ရတနာဝင်း နှင့် ကိုဇော်လေး တို့ ဖြစ်ကြသည်။ === နန်းထိန်းများနှင့် ဖြစ်စဉ် === ဒေါ်ဘေဘီသည် ရန်ကုန် ဦးဝင်းလှိုင်ထံသို့ ဒါးဦးသွေး ရိုးရာတာဝန်ကို ကိုယ်တိုင် လွှဲပြောင်းပေးခဲ့ခြင်း ဖြစ်ပြီး အမေကြီး ရင်ခွင်ထဲတွင် ဦးဝင်းလှိုင် လက်မှတ်ထိုးထားသည့် စာရွက် ရှိသည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်တွင် ရွှေနှင်းဆီနန်းထိန်းများကို အဆင်ပြေအောင် ပေါင်းပြီး နေရာလုဖို့ လုပ်ဆောင်သည့်အခါ ဦးဝင်းလှိုင်က သက်သေနှင့်တကွ အမေကြီး ရင်ခွင်ထဲမှ စာပေလွှာကို ယူခိုင်းပြီး ဖတ်ခိုင်းခဲ့သဖြင့် နောက်ဆုံးတွင် နန်းထိန်းများ အလျော့ပေးခဲ့ရသည်။ == ဘွဲ့တံဆိပ် == နိုင်ငံတော် အစိုးရမှ ပေးအပ်သော '''[[သုဓမ္မမဏိဇောတဓရ]]''' ဘွဲ့ကို ရရှိခဲ့သည်။ == ကိုးကား == <references /> VOA Burmese မှတင်ဆက်သော ရန်ကုန်ဝင်းဦးဝင်းလှိုင် အကြောင်း မှ ထုတ်နုတ် ဖော်ပြသည်။ ttp://burmese.voanews.com/a/pro... 1pe9ukoug2pcmvro17xv9o7m923shi2 1049540 1049455 2026-08-20T08:55:23Z Ninjastrikers 22896 1049540 wikitext text/x-wiki {{Notability|person}} '''သုဓမ္မမဏိဇောတဓရ ရန်ကုန် ဦးဝင်းလှိုင်''' သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၏ ပြိုင်တုမရသော ထိပ်တန်း [[နတ်ဆရာ]]ကြီး တစ်ဦးဖြစ်သည်။ မိရိုးဖလာ နတ်ကိုးကွယ်မှု အစဉ်အလာရှိသည့် မြန်မာ့ရိုးရာ နတ်နယ်ပယ်တွင် နတ်ကတော်၊ နတ်ဝင်သည်၊ နတ်ဆရာတို့သည် ရိုးရာနတ်များကို ပင့်ဖိတ်၊ ပူဇော်၊ ပသပေးကြသူများ ဖြစ်ကြသည်။ ရန်ကုန် ဦးဝင်းလှိုင်သည် အသက် (၈) နှစ်သား အရွယ်မှစ၍ နတ်လောကအတွင်းသို့ ရောက်ရှိခဲ့ပြီး နိုင်ငံရပ်ခြားအထိ သွားရောက်၍ နတ်အကပညာကို တင်ဆက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ == ဂုဏ်သိက္ခာ၊ ကိုယ်ကျင့်သီလနှင့် ကျင့်ဝတ်များ == မြန်မာ့ရိုးရာ နတ်ယုံကြည်မှု နယ်ပယ်တွင် မိရိုးဖလာ ထုံးတမ်းစဉ်လာများကို လိုက်နာဆောင်ရွက်ကြသည့် နတ်ဆရာများစွာ ရှိသော်လည်း ရန်ကုန် ဦးဝင်းလှိုင်၏ ကျင့်ကြံပြုမူပုံမှာ အခြားသူများနှင့် မတူဘဲ သီးခြားထူးခြားလှသည်။ ၎င်း၏ ဘဝနှင့် ပညာရပ်ဆိုင်ရာ ကျင့်ဝတ်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် - * '''အရက်သေစာနှင့် လောင်းကစား ကင်းရှင်းခြင်း''' - နတ်ပွဲများနှင့် ရိုးရာအခမ်းအနားများတွင် အရက်သေစာ သုံးစွဲလေ့ရှိသည့် အလေ့အထများနှင့် လုံးဝဆန့်ကျင်ဘက်ဖြစ်ပြီး အရက်သေစာနှင့် လောင်းကစား မှတ်သမျှကို လုံးဝကင်းရှင်းစွာ ကျင့်ကြံနေထိုင်သူ ဖြစ်သည်။ မိမိ၏ ကိုယ်ကျင့်သီလကို စိစစ်စောင့်ထိန်းခြင်းဖြင့် နတ်ဆရာတစ်ဦး၏ သိက္ခာကို အမြင့်ဆုံး တင်မြှောက်ထားသည်။ * '''သက်သက်လွတ် ပူဇော်ပသခြင်း''' - ရိုးရာနတ်ပူဇော်ပသပွဲ အများစုတွင် သားငါး ပူဇော်မှုများ ပါဝင်လေ့ရှိသော်လည်း ဆရာကြီး၏ နတ်ပွဲအများစုတွင် [[ပါဏာတိပါတ]] ကံ ကင်းလွတ်စေရန်နှင့် သန့်ရှင်းစင်ကြယ်သော မေတ္တာဓာတ်ဖြင့် ဆောင်ရွက်လိုသော စေတနာဖြင့် [[မေတ္တာ]]တရားကို အခြေခံသည့် သက်သက်လွတ် ပူဇော်ပသမှုစနစ်ကိုသာ အဓိကထား အသုံးပြုသည်။ * '''ဗုဒ္ဓဘာသာဆိုင်ရာ ကိုင်းရှိုင်းမှု''' - နတ်ပညာရပ်ကို ဆောင်ရွက်နေသူဖြစ်သော်လည်း [[ဗုဒ္ဓဘာသာ]]၏ အဆုံးအမများ၊ တရားဓမ္မများနှင့် သီလစောင့်ထိန်းခြင်း ပဒေသာများကို အမြဲမပြတ် ကိုင်းရှိုင်းစွာ လိုက်နာကျင့်သုံးသည်။ ဘာသာရေး အသိတရားကို အခြေခံထားသဖြင့် ပြုမူဆောင်ရွက်ချက်တိုင်းသည် မှန်ကန်သော အသိတရား၊ သစ္စာတရားတို့ဖြင့် ပြည့်စုံနေသည်။ * '''တာဝန်ယူမှုနှင့် ရိုးရာမူရင်း ထိန်းသိမ်းခြင်း''' - နိုင်ငံတော်မှ ချီးမြှင့်အပ်နှင်းထားသော ဂုဏ်ထူးဆောင် ဘွဲ့တံဆိပ်များ၊ ဂုဏ်ပြုလွှာများနှင့်အညီ မိမိ၏ သိက္ခာကို အမြဲတစေ ထိန်းသိမ်းသည်။ အများပြည်သူအပေါ် ဆက်ဆံရာတွင်လည်းကောင်း၊ ပညာရပ်ကို သုံးစွဲရာတွင်လည်းကောင်း တာဝန်ယူမှု၊ တာဝန်ခံမှုရှိရှိဖြင့် သမားဂုဏ်မပျက် စံနမူနာပြ နေထိုင်ကျင့်ကြံသည်။ နတ်ကသည့် အခါများတွင်လည်း ပေါ်ပင်ပြုလုပ်ရပ်များ၊ ကြွားဝါမှုများနှင့် စီးပွားရေးဆန်ဆန် ဖန်တီးမှုများကို ရှောင်ကြဉ်ပြီး ရှေးထုံးစဉ်လာ မူရင်းအတိုင်း တိကျမှန်ကန်စွာ ဆောင်ရွက်သည်။ * '''ဆရာသမားကျင့်ဝတ်''' - ဆရာသမားကောင်း တစ်ဦး၏ ကျင့်ဝတ်နှင့်အညီ လာရောက်အားကိုးသူများ၏ အခက်အခဲကို စေတနာစက်စက်ဖြင့် ကူညီဆောင်ရွက်ပေးလေ့ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် ရန်ကုန် ဦးဝင်းလှိုင်သည် နတ်ဆရာတစ်ဦးအဖြစ် ၎င်း၏ ပညာရပ်ကို ရိုးရာမပျက် ထိန်းသိမ်းရုံမျှမက ကိုယ်ကျင့်သီလ၊ ဘာသာရေး စိတ်ဓာတ်နှင့် သမားကျင့်ဝတ်တို့ကို ပေါင်းစပ်ကျင့်သုံးသဖြင့် အများတကာ တလေးတစား အသိအမှတ်ပြုရသည့် ထူးချွန်သော ရိုးရာပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အယူအဆနှင့် ပတ်သက်၍ - > "နတ်ကတာဟာ ဝါသနာအရလည်း ဖြစ်သလို ယုံကြည်အားထားမှုကြောင့်လည်း ပါပါတယ်၊ ဘုရား တရား သံဃာ [[ရတနာသုံးပါး]] ကတော့ ကိုးကွယ်ရာပေါ့" ဟု [[သုဓမ္မမဏိဇောတဓရ]] ရန်ကုန် ဦးဝင်းလှိုင်က ပြောပြခဲ့သည်။ == ဒါးဦးသွေး ရိုးရာနှင့် သမိုင်းကြောင်း == [[တပေါင်းလ]] ပြည့်ကျော် (၄) ရက်နေ့တွင် အမေကြီးမောင်းတုံနန်း ၌ အမေရေရင်ချိုး ရေတော်သုံးပြီးချိန်တွင် "ဒါးဦးသွေး ရိုးရာ" ကို ပြုလုပ်ကြသည်။ ဟိုးတုန်းက အမေကြီး ချိုးရေတော်သုံးချိန်တွင် ရှေ့မှ ကလကာ (၇) ထပ် ကာထားလေ့ရှိကြသည်။ === ဒါးဦးသွေး ရိုးရာ ဆက်ခံသူများ သမိုင်း === # '''မူလ ပထမ နတ်နေကြီးများ''' - မူလပထမ ဒါးဦးသွေး ရိုးရာကို လုပ်ဆောင်သူများမှာ [[မုံရွာမြို့|မုံရွာ]] မြောက်လက် နတ်နေကြီးများ ဖြစ်ကြသည့် ဒေါ်သိန်း (ဖွားလေးသိန်း)၊ ဒေါ်စောညွှန့် နှင့် ဒေါ်စိန်ကြည် (ကျွဲရဲ) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနတ်နေကြီး (၃) ဦးမှာ မူလ ရိုးရာသမားများဖြစ်ပြီး မယ်တော်ကြီး၏ အုတ်ပလ္လင်ပေါ်တွင် စတင်၍ ဒါးသွေးခဲ့ကြသည်။ # '''၁၉၇၀ ဝန်းကျင်ခေတ်''' - ၁၉၇၀ ဝန်းကျင်အချိန်တွင် မြို့နယ်ကောင်စီက ကိုင်တွယ်သည့်အခါ သူကြီးပွဲ ဖြစ်သွားခဲ့ပြီး တောင်ပြုံးဗောင်း ဦးဝင်းကြီး က ဒါးဦးသွေး ရိုးရာကို ယူခဲ့သည်။ # '''ဦးဝင်းကြီး နောက်ပိုင်း ဆက်ခံသူများ''' - ဦးဝင်းကြီး နောက်ပိုင်းတွင် ဦးတင်မောင် ([[ပြင်ဦးလွင်မြို့|မေမြို့]])၊ ဒေါ်ခင်မမ၊ ဦးဝင်းလေး (တောင်ပြုံးဗောင်း) နှင့် ဒေါ်ဘေဘီ တို့က ဆက်လက် ဆောင်ရွက်ခဲ့ကြသည်။ # '''ယနေ့ခေတ် ဆက်ခံသူများ''' - ယနေ့ခေတ်တွင် ရန်ကုန် ဦးဝင်းလှိုင်၊ ရတနာဝင်း နှင့် ကိုဇော်လေး တို့ ဖြစ်ကြသည်။ === နန်းထိန်းများနှင့် ဖြစ်စဉ် === ဒေါ်ဘေဘီသည် ရန်ကုန် ဦးဝင်းလှိုင်ထံသို့ ဒါးဦးသွေး ရိုးရာတာဝန်ကို ကိုယ်တိုင် လွှဲပြောင်းပေးခဲ့ခြင်း ဖြစ်ပြီး အမေကြီး ရင်ခွင်ထဲတွင် ဦးဝင်းလှိုင် လက်မှတ်ထိုးထားသည့် စာရွက် ရှိသည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်တွင် ရွှေနှင်းဆီနန်းထိန်းများကို အဆင်ပြေအောင် ပေါင်းပြီး နေရာလုဖို့ လုပ်ဆောင်သည့်အခါ ဦးဝင်းလှိုင်က သက်သေနှင့်တကွ အမေကြီး ရင်ခွင်ထဲမှ စာပေလွှာကို ယူခိုင်းပြီး ဖတ်ခိုင်းခဲ့သဖြင့် နောက်ဆုံးတွင် နန်းထိန်းများ အလျော့ပေးခဲ့ရသည်။ == ဘွဲ့တံဆိပ် == နိုင်ငံတော် အစိုးရမှ ပေးအပ်သော '''[[သုဓမ္မမဏိဇောတဓရ]]''' ဘွဲ့ကို ရရှိခဲ့သည်။ == ကိုးကား == <references /> VOA Burmese မှတင်ဆက်သော ရန်ကုန်ဝင်းဦးဝင်းလှိုင် အကြောင်း မှ ထုတ်နုတ် ဖော်ပြသည်။ ttp://burmese.voanews.com/a/pro... 6xzmtuby1275hqrrhk9bl7w3wbjx4wo 0 290700 1049456 2026-08-19T20:05:33Z Mkant00 135890 "အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (integral domain) ဆိုသည်မှာ သုည [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (zero ring) နှင့် မညီဘဲ သုညစားကိန်း (zero divisor) မပါဝင်သည့် ယူနစ်ရှိဂု..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049456 wikitext text/x-wiki အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (integral domain) ဆိုသည်မှာ သုည [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (zero ring) နှင့် မညီဘဲ သုညစားကိန်း (zero divisor) မပါဝင်သည့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring with identity) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] <math>(A,+,\times)</math> တစ်ခုကို အောက်ပါအခြေအနေများနှင့် ကိုက်ညီပါက '''အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * ၎င်းသည် သုည [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]နှင့် မညီခြင်း ဖြစ်သည်။ အခြားတစ်နည်းဖြင့်ဆိုသော် ၁ နှင့် သုည မညီမျှခြင်း ဖြစ်သည်။ * သုညစားကိန်းများ မပါဝင်ခြင်း ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <center><math>\forall (a, b) \in A^2\quad a\times b = 0 \Rightarrow (a=0 \quad \mathrm{or}\quad b=0).</math></center> == ဥပမာများ (Examples) == * [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring of integers) <math>\mathbb{Z}</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်းတစ်ခုသည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် ယင်း၏ပြောင်းပြန်အဆို (converse) သည် မှားယွင်းသည်။ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်းသည် ယင်းအတွက် ဆန့်ကျင်ဘက်ဥပမာ (counterexample) တစ်ခုဖြစ်သည်။ သို့သော် အဆုံးရှိ ကွင်းများ (finite rings) အတွက်မူ မှန်ကန်သည်။ * <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းပြည့်များဖြစ်သည့် <math>a+b\sqrt{2}</math> ပုံစံဖြင့် ရေးသားထားသော [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) အစုသည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းတစ်ခု ဖြစ်သော်လည်း ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု မဟုတ်ပေ။ ဤအစုသည် အမှန်တကယ်အားဖြင့် ကိန်းစစ်များ ဖီးလ်ဒ်၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ * အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းတစ်ခု၏ ကွင်းပိုင်းတိုင်းသည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု၏ ကွင်းပိုင်းသည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းဖြစ်သည်။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းတိုင်းကို ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု၏ ကွင်းပိုင်းအဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ၎င်း၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (field of fractions) ၏ ကွင်းပိုင်းအဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။ * အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း <math>A</math> အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) <math>A[X_1, \dots, X_n]</math> သည်လည်း ၎င်းကိုယ်တိုင် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * <math>\mathbb{C}</math> ၏ ဗလာမဟုတ်သော (non-empty) ဆက်စပ်နေသော အဖွင့်စု (connected open set) တစ်ခုအပေါ်ရှိ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ (holomorphic functions) ၏ ကွင်းသည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ကွင်း <math>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းတစ်ခု မဟုတ်ပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် မြှောက်လဒ် <math>2\times3</math> တွင် ၎င်း၏ အစိတ်အပိုင်း တစ်ခုမျှ သုည မဟုတ်ဘဲ သုညရလဒ်ကို ပေးစွမ်းသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ပိုမို ယေဘုယျအားဖြင့် <math>n</math> သည် ဆပေါင်းကိန်း (composite number) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း မဟုတ်ပေ။ * <math>[0, 1]</math> မှ <math>\mathbb{R}</math> သို့ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ]] (continuous functions) ၏ ကွင်းသည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း မဟုတ်ပေ။ ၎င်းတွင် သုညစားကိန်းများ အနန္တ (infinity) ပါဝင်နေသည်။ == အဆုံးရှိ အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းများ (Finite integral domains) == အဆုံးရှိ အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (finite integral domain) တိုင်းသည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သက်သေပြချက် (proof)။ ကိန်းသေ သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်]] <math>a</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်း <math>A\rightarrow A</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း <math>A</math> တွင် အမြဲတမ်း [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] (injective) ပုံဖော်မှု (mapping) ဖြစ်သည်။ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]သည် အဆုံးရှိ (finite) ဖြစ်သောအခါ ၎င်းမြှောက်ခြင်းသည် မဖြစ်မနေ [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] (surjective) ပုံဖော်မှုလည်း ဖြစ်လာသည်။ ဤသည်က <math>a</math> အတွက် ပြောင်းပြန် (inverse) တည်ရှိမှုကို ပြသနေသည်။ == အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းတစ်ခု၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (Field of fractions of an integral domain) == <math>A</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုကြပါစို့။ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) တစ်ခုအောက်တွင် စားလဒ် (quotient) သို့ ကူးပြောင်းခြင်း လုပ်ငန်းစဉ်သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K(A)</math> တစ်ခုနှင့် <math>A</math> မှ <math>K(A)</math> သို့ အင်ဂျက်ရှင်း (injection) တစ်ခုကို တည်ဆောက်နိုင်စေသည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံ (construction) သည် အောက်ပါ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) သဘောတရားအရ <math>A</math> ကို ထည့်သွင်း (embed) နိုင်သည့် အငယ်ဆုံး ဖီးလ်ဒ်ကို ပေးစွမ်းသည်။ ဖီးလ်ဒ် <math>L</math> တစ်ခုခုနှင့် <math>A</math> မှ <math>L</math> သို့ မည်သည့် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (injective ring homomorphism) <math>f \,</math> အတွက်မဆို <math>K(A)</math> မှ <math>L</math> သို့ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) ဖီးလ်ဒ် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (field homomorphism) <math>\tilde f</math> တည်ရှိသည်။ ၎င်းသည် <math>f = \tilde f \circ i</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ [[File:DiagrammeCommutatifCorpsFrac.svg| commutative diagram center]] ဤတည်ဆောက်ပုံသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>\mathbb{Z}</math> မှ [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] (rational numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}</math> ကို တည်ဆောက်ခြင်းအား သရုပ်မဲ့ (abstract) သော အသုံးအနှုန်းများဖြင့် ပြန်လည်ရေးသားထားခြင်းသာ ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ပုံစံတကျ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (formal polynomial ring) တစ်ခုတွင် အသုံးချသောအခါ ရာရှင်နယ် အပိုင်းကိန်းများ (rational fractions) ၏ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုကို ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ == စား၍ပြတ်ခြင်း (Divisibility) == အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းများသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ၏]] စား၍ပြတ်ခြင်း (divisibility) ပြဿနာများကို ယေဘုယျပြုရန် (generalize) အတွက် ကောင်းမွန်သော မူဘောင်တစ်ခုကို ဖန်တီးပေးသည်။ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] <math>A</math> ၏ [[အစုဝင်]] နှစ်ခုဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့အတွက် <math>aq = b</math> ဖြစ်စေမည့် <math>q</math> သည် <math>A</math> တွင် တည်ရှိပါက <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို <math>A</math> ၌ စားပြတ်သည် (divide) ဟု ဆိုသည်။ ၎င်းနှင့် ထပ်တူညီသော (equivalent) ဖော်ပြချက်များ ရှိသည်။ <math>a</math> သည် <math>b</math> ၏ ဆခွဲကိန်း (divisor) ဖြစ်သည်။ <math>b</math> သည် <math>a</math> ဖြင့် စား၍ပြတ်သည်။ <math>b</math> သည် <math>a</math> ၏ ဆတိုးကိန်း (multiple) ဖြစ်သည်။ ဤကဲ့သို့သော ဖော်ပြချက်များဖြစ်သည်။ အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းများအတွက် အထူးခြားဆုံးအချက်မှာ ဤအခြေအနေတွင် သုညမဟုတ်သော အစုဝင် <math>a</math> သည် <math>b</math> ကို စားပြတ်ပါက အစုဝင် <math>q</math> သို့မဟုတ် စားလဒ်သည် အမြဲတမ်း တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းကို <math>q = b/a</math> အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကယ်၍ <math>aq = b = ap</math> ဟု ယူဆပါက <math>a(q - p) = 0</math> ဖြစ်လာသည်။ <math>a</math> သည် သုညနှင့် မညီမျှသောကြောင့် <math>q = p</math> ဖြစ်သည်။ အခြားစကားဖြင့်ဆိုသော် <math>A</math> ၏ သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းသည် ပုံမှန် (regular) ဖြစ်သည်။ အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းတစ်ခုအတွင်း စား၍ပြတ်ခြင်းမှ ပေးအပ်သော တည်ဆောက်ပုံသည် <math>\mathbb{Z}</math> တွင်ထက် များစွာ ပိုမိုရှုပ်ထွေးနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (properties) နှင့် ဆက်သွယ်ချက် (relations) အရေအတွက်များစွာကို ခွဲခြားသိမြင်ရန် လိုအပ်လာသည်။ * '''ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော အစုဝင်များ (invertible elements)''' - အစုဝင် <math>a \in A</math> သည် <math>A</math> အတွင်း ၁ ကို စားပြတ်ပါက ၎င်းသည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော အစုဝင်ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> တွင် ၁ နှင့် −၁ တို့သာလျှင် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော အစုဝင်များ ဖြစ်ကြသည်။ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုတွင် သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းသည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော အစုဝင်ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် စား၍ပြတ်ခြင်း ဆက်သွယ်ချက်သည် စိတ်ဝင်စားဖွယ်ရာ အနည်းငယ်သာ ရှိသည်။ * '''ဆက်စပ်အစုဝင်များ (associated elements)''' - <math>a = u \cdot b</math> ဖြစ်စေမည့် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော အစုဝင် <math>u</math> တည်ရှိပါက အစုဝင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ဆက်စပ်နေသည်ဟု ဆိုသည်။ <math>a</math> က <math>b</math> ကို စားပြတ်ပြီး <math>b</math> ကလည်း <math>a</math> ကို စားပြတ်သည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်။ ဆက်စပ်အစုဝင် နှစ်ခုသည် စား၍ပြတ်ခြင်း ဆက်သွယ်ချက်များအတွက် ထပ်တူညီကြသည်။ ၎င်းတို့အနက် တစ်ခုသည် တတိယအစုဝင်တစ်ခုကို စားပြတ်ခြင်း သို့မဟုတ် စား၍ပြတ်ခြင်း ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ကျန်တစ်ခုအတွက်လည်း ထိုသို့ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> တွင် ကိန်းနှစ်ခုသည် ၎င်းတို့၏ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) တူညီမှသာ ဆက်စပ်ကြသည်။ * '''ဆမခွဲနိုင်သော အစုဝင် (irreducible element)''' - ပြောင်းပြန်လှန်၍မရသော အစုဝင် <math>a \in A</math> အား အခြား ပြောင်းပြန်လှန်၍မရသော အစုဝင်နှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်အဖြစ် မရေးသားနိုင်ပါက ၎င်းကို ဆမခွဲနိုင်သော အစုဝင်ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> တွင် ဆမခွဲနိုင်သော အစုဝင်များမှာ [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers) နှင့် ၎င်းတို့၏ ဆန့်ကျင်ဘက်များ ဖြစ်ကြသည်။ * '''သုဒ္ဓကိန်း အစုဝင် (prime element)''' - အစုဝင် <math>p \in A</math> သည် <math>A</math> ၏ အစုဝင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့၏ မြှောက်လဒ် <math>a \cdot b</math> ကို စားပြတ်တိုင်း <math>a</math> သို့မဟုတ် <math>b</math> ကိုပါ စားပြတ်ပါက ၎င်းကို သုဒ္ဓဖြစ်သည်ဟု ဆိုသည်။ သုဒ္ဓကိန်း အစုဝင်တစ်ခုသည် ဆမခွဲနိုင်သော အစုဝင် ဖြစ်သည်။ သို့သော် ယင်း၏ပြောင်းပြန်အဆိုမှာ အမြဲတမ်း မှန်ကန်လေ့မရှိပေ။ သို့သော်လည်း <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် ပိုမိုယေဘုယျအားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲရ ဒိုမိန်း (unique factorization domain) တစ်ခုတွင် ဆမခွဲနိုင်သော အစုဝင်များအားလုံးသည် သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ဤသည်မှာ ယူကလစ်ဒ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Euclid's lemma) ၏ ဖော်ပြချက် ဖြစ်သည်။ * '''နှိုင်းရသုဒ္ဓ အစုဝင်များ (coprime elements)''' - အစုဝင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့အတွက် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော အစုဝင်များသည်သာလျှင် ၎င်းတို့၏ တစ်ခုတည်းသော ဘုံဆခွဲကိန်းများ (common divisors) ဖြစ်ကြပါက ၎င်းတို့ကို နှိုင်းရသုဒ္ဓ (coprime) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုသည်။ တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲရ ဒိုမိန်းတစ်ခုတွင် ၎င်းသည် ၎င်းတို့၌ တူညီသော ဆမခွဲနိုင်သော ဆခွဲကိန်းများ မရှိခြင်းဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ [[ကဏ္ဍ:ကွင်းသီအိုရီ]] oc2gvabxutahyoj5yvx4jab57liodrz 0 290701 1049458 2026-08-19T20:22:51Z Naingli 144794 "{{Infobox person | name = ဒေါ်အေးတင် | other_names = မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီး အမေအေးတင် | birth_place = [[မန္တလေးမြို့]]၊ [[ဈေးချိုပန်းတန်း]] |..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049458 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | name = ဒေါ်အေးတင် | other_names = မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီး အမေအေးတင် | birth_place = [[မန္တလေးမြို့]]၊ [[ဈေးချိုပန်းတန်း]] | death_place = တောင်ကွယ် | occupation = [[နတ်ကတော်]]၊ သိုးမိဖုရားကြီး | known_for = [[တောင်ပြုံးပွဲတော်|တောင်ပြုံးနန်းတော်ကြီး]]၏ မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီး }} '''ဒေါ်အေးတင်''' (မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီး) သည် [[တောင်ပြုံးပွဲတော်|တောင်ပြုံးနန်းတော်ကြီး]]တွင် [[တောင်ပြုံးမင်းညီနောင်|တောင်ပြုံးအရှင်နှစ်ပါး]] (ရာမ ဆိုင်) ၏ မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီးအဖြစ် ထမ်းဆောင်ခဲ့သူ၊ တောင်ပြုံးမူ ရိုးရာနှင့် စည်းကမ်းများကို တိကျစွာ လိုက်နာစေခဲ့သော ထင်ရှားသည့် နတ်နန်းအကြီးအကဲ ([[နတ်ကတော်]]) တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ == ဘဝဇာတ်ကြောင်းနှင့် နန်းတော်ကြီးသို့ ရောက်ရှိခြင်း == ဒေါ်အေးတင်သည် [[မန္တလေးမြို့]]၊ [[ဈေးချိုပန်းတန်း]]တွင် [[မေမြို့]] (ပြင်ဦးလွင်) ပန်းများကို ရောင်းချခဲ့သည့် ပန်းသည်ကြီးတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ [[တောင်ပြုံးပွဲတော်|တောင်ပြုံးနန်းတော်ကြီး]] တောင်ဘက်လှေကား အရှေ့ဘက်တွင် ပန်းတစ်စည်းလျှင် ၅ ပြား၊ ၁၀ ပြားဖြင့် ရောင်းချခဲ့စဉ်ကတည်းက စတင်၍ မန္တလေး တောင်ခြေဇရပ် ၅ ခန်း ဆောက်လုပ်ခဲ့ဖူးသည်။ နန်းထိန်းကြီး ကျောင်းဆရာ [[ဦးလှဖေ]] လက်ထက်တွင် လူချစ်လူခင် ပေါများခဲ့ပြီး လူအများ၏ ကြည်ညိုလေးစားမှုကို ရရှိခဲ့သည်။ အသက် (၅၀) အရွယ်သို့ ရောက်သောအခါ နတ်မြှောက်စားမှုဖြင့် နန်းတော်ကြီးတွင် သိုး စတင်ဆောင်းခဲ့သည်။ သိုးဆောင်းပြီးနောက်ပိုင်းတွင် အိမ်ထောင်ရှင် ယောက်ျားဖြစ်သူနှင့် လိင်မှုကိစ္စများ စွန့်လွှတ်ကာ နတ်အပေါ်၌သာ တည်တည်တံ့တံ့ဖြင့် သစ္စာရှိစွာ သီးသန့်နေထိုင်ခဲ့သည်။ သိုးသက် (၃၉) နှစ်တိုင်အောင် နတ်မှုထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး အသက် (၈၉) နှစ်အရွယ်တွင် တောင်ကွယ် (ကွယ်လွန်) ခဲ့သည်။ == သိုး/ဗောင်း နတ်မျိုးရိုး အစဉ်အဆက် == ဒေါ်အေးတင်၏ ရိုးရာသည် သိုးမျိုးရိုးအဖြစ် သိုးဆောင်းရရုံသာမက သိုးရော ဗောင်းပါ ၂ မျိုးလုံး ထူးထူးခြားခြား ဆောင်းခွင့်ရသည့် နတ်မျိုးရိုးဖြစ်သည် (ပုံမှန်အားဖြင့် သိုးမျိုးရိုးသည် မိန်းမတပည့်များ သိုးဆောင်းရပြီး၊ ဗောင်းမျိုးရိုးသည် ယောက်ျားတပည့်များ ဗောင်းဆောင်းရသည်)။ '''သိုးအစဉ်အဆက် ဆရာ/တပည့် ဆက်နွှယ်မှု -''' # '''သိုးဒေါ်ဂျမ်း''' (နံပါတ် ၃ သိုး) # '''သိုးဒေါ်ကြွယ်''' (နံပါတ် ၄ သိုး - သိုးဒေါ်ဂျမ်း၏ တူမနှင့် နတ်တပည့်) # '''သိုးဒေါ်အေးတင်''' (နံပါတ် ၅ သိုး - သိုးဒေါ်ကြွယ်၏ နတ်တပည့်) သိုးဒေါ်ကြွယ်ထံမှ သိုးရာထူးနှင့် ကလပ်တင်ကြေး လွှဲပြောင်းယူစဉ်က ကန်တော့ကြေးမှာ ၁၃၇ ကျပ်နှင့် ၂၅ ပြား (တမတ်) ဖြစ်သည်။ (နှိုင်းယှဉ်ချက်အနေဖြင့် ခေတ်ပြိုင် သိုးဆောင်းတစ်ဦးဖြစ်သည့် [[ဒေါ်မြသန်း]] သည်လည်း အသက် ၅၀ လောက်တွင် သိုးစဆောင်းခဲ့ပြီး ၆၈ နှစ်တွင် တောင်ကွယ်ခဲ့သည်)။ == နတ်တပည့်များနှင့် နတ်အုပ်စု == ဒေါ်အေးတင်တွင် နတ်တပည့် ပေါင်းများစွာ ရှိခဲ့ပြီး နန်းတော်ကြီးတွင် အမှုထမ်းသူ၏ တစ်ဝက်ခန့်အထိ ရှိခဲ့သဖြင့် ''"ဒေါ်အေးတင်အုပ်စုက နန်းတော်ကြီးကို မျိုထားတာပါတော်"'' ဟုပင် တင်စားပြောဆိုကြသည်။ * '''ဒေါ်ထွေး''' - သိုးထိန်း/ဗောင်းထိန်း နှင့် နတ်တပည့် အကြီးဆုံး။ (သိုးမိဖုရားနှင့် ဗောင်းအမတ် ဘေးမှ ကူညီထိန်းပေးရသူကို သိုးထိန်း/ဗောင်းထိန်း ဟုခေါ်ပြီး၊ တွေ့ရာတပည့်ကို ခိုင်းပါက နတ်ငယ်၍ နတ်ပြစ်သင့်သဖြင့် တပည့်အကြီးဆုံးကသာ လိုက်ရသော ရိုးရာဖြစ်သည်)။ * '''အမတ်ချုပ်ကြီး ဦးညွှန့်''' - ယောက်ျားလေး နတ်တပည့်များအနက် အကြီးဆုံး။ * '''ဒေါ်တင်ရီ''' - နောက်ဆုံး စံခန်းဝင် တပည့်။ == ဒေါ်တင်ရီ၏ စံခန်းဝင်မှုနှင့် နတ်အဓိကရုဏ်း == ဒေါ်တင်တင်ရီသည် ၃ ပွဲရေစင်ကို ဆရာ [[ဒေါ်မြင့်သိန်း]] ထံ၌လည်းကောင်း၊ ၇ ပွဲရေစင်ကို ပေါက်ပေါက်တန်း [[ဒေါ်သန်းကြည်]] ထံ၌လည်းကောင်း သောက်ခဲ့ဖူးသည်။ ဒေါ်မြင့်သိန်းသည် ဆရာဒေါ်သန်းကြည်က မိမိ၏ နတ်တပည့်ကို လုယူသည်ဟုဆိုကာ နတ်ကြိုးဖြတ်ပြီး [[ဒေါ်သိန်းမြ]] (သိုးဒေါ်ကြွယ်၏ တပည့်) ထံသို့ ခေါင်းပြောင်းခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဒေါ်တင်ရီသည် သိုးဆောင်းချင်သဖြင့် စံခန်းဝင်ရန် ဒေါ်အေးတင်ထံ ချဉ်းကပ်ခဲ့သည်။ ၈၈ အရေးခင်းအပြီး ၇၅ ကျပ်တန် ငွေမည်းကြေငြာခံရချိန်၊ ဒေါ်အေးတင်၏ လက်ထဲတွင် ငွေပျက်နေပြီး မန်းလေးတောင်ခြေဇရပ် ဆောက်လက်စ မပြီးသေးသည့်အပြင် အသက်ကြီး၍ လာဘ်လာဘ ရှားပါးနေချိန်တွင် ရွှေဖလားကိုင် [[ဦးဉာဏ်]] (ဈေးချို ပဒေသာရုံတွင် တရော်ကင်ပွန်းသီးရောင်းသူ) က ကြားထဲမှ ပြောဆိုပေးခဲ့သည်။ ဒေါ်တင်ရီက ဆန်၊ ဆီ၊ ငါးခြောက်များဖြင့် လာရောက်ကန်တော့သဖြင့် ဒေါ်အေးတင်၏ တပည့်ကြီးများ ကန့်ကွက်သည့်ကြားမှ စံခန်းဆရာအဖြစ် လက်ခံခဲ့သည်။ ဤဖြစ်စဉ်ကြောင့် ပေါက်ပေါက်တန်း [[ဒေါ်သန်းကြည်]] နှင့် ဒေါ်အေးတင်တို့သည် သေသည်အထိ မခေါ်နိုင်မပြောနိုင် ဖြစ်ခဲ့ကြသည်။ ဒေါ်တင်ရီ စံခန်းဝင်သည့်နေ့တွင် ဒေါ်အေးတင်၏ နတ်တပည့်အများစု မလာရောက်ကြဘဲ ဒေါ်အေးတင်ကိုယ်တိုင်လည်း မှားမှန်းသိသဖြင့် ဘာမှမလုပ်ပေးဘဲ ထိုင်ကြည့်နေခဲ့ကာ [[ဦးမောင်မောင်တင်]] ကသာ အစအဆုံး လုပ်ပေးခဲ့သည်။ ကြက်ပေါင်/ကြက်ရိုး မချိုးပေးချင်သဖြင့် ဒူးထောက်လျက်သာ ချိုးပေးခဲ့ပြီး၊ ကြက်ဒါးဖလားကို လက်ထဲထည့်ပေးကာ ပွဲမပြီးမီ ဆိုက်ကားဖြင့် တန်းပြန်သွားခဲ့သည်။ ဒေါ်တင်ရီသည် စံခန်းဝင်ပြီး ၂ နှစ်အကြာတွင် သိုးဆောင်းရန် အိမ်နှင့်မြေကို ဗောင်းဦးမြင့်အောင်ထံ ၁ သိန်းဖြင့် ပေါင်ခဲ့သည် (ကလပ်တင်ကြေး ၅ သောင်း၊ ကနားကြေး ၁ သောင်း၊ သိုး ၆ သောင်း)။ ဒေါ်တင်ရီ စံခန်းဝင်ပြီး ၁ နှစ်အကြာတွင် ဒေါ်အေးတင် လေဖြတ်ကာ တောင်ကွယ်သွားခဲ့သည်။ == ဆုံးမသြဝါဒနှင့် နတ်ကျင့်ဝတ် စည်းကမ်းများ == ဒေါ်အေးတင်သည် နတ်ကနားပြီးသည့် ရက်များတွင် တပည့်များကို အိမ်၌ စုစည်းစေပြီး အောက်ပါ သြဝါဒများနှင့် စည်းကမ်းများကို တင်းကျပ်စွာ ဆုံးမလေ့ရှိသည် - * '''အမတ်ချုပ်ကြီး ဦးညွှန့်အား ဆုံးမချက် -''' : ''"မောင်ညွှန့် မင်း ဗောင်းဆောင်းပြီး ဖျင်မခံရဘူးနော်၊ အသက်လည်းရနေပြီ ဗောင်းဝတ်နည်း ဗောင်းကျင့်ဝတ်စည်းကမ်းနဲ့ ညီအောင်နေ။"'' * '''သိုးဆောင်းမည့်သူများအား ဆုံးမချက် -''' : ''"သိုးဆောင်းမယ့်သူတွေလည်း ပြောထားမယ်၊ သိုးဖြစ်ပြီး တွေ့ရာ lee ကို ဟတ်ထနီ မထနဲ့။ သိုးဆောင်းတာ a low ခံဖို့ ဆောင်းတာမဟုတ်ဘူး၊ နတ်ရဲ့ တာဝန်တာထမ်းကို ထိန်းဖို့ လုပ်ဆောင်ဖို့။"'' * '''ဝတ်စားဆင်ယင်မှု -''' : ဒေါ်တင်ကြည် လက်ဇက (ရင်ဖုံးလက်ရှည် မဟုတ်ဘဲ) ဝတ်လာစဉ် ''"ဟဲ့ တင်ကြည်မ ညည်းက နတ်ကတော်လား pharသည်လား၊ သွား အခုပြန်လဲ"'' ဟု မျက်ထောက်နီနီဖြင့် ဆူပူခဲ့သည်။ * '''ဆိုင်းနှင့် နတ်ကတော် -''' : ''"ဆိုင်းနား ထိုင်ရအောင်/ ဆိုင်းဘက်လှည့်ကရအောင် ဆိုင်းသမားက ညည်းလင်လား။ နတ်က ရင် နတ်ပုံတော်ဘက်လှည့်ကကြ၊ ညည်းတို့ကို နတ်က ကျွေးနေတာ နတ်ကအရှင်မို့လား။ နတ်ကို ကျောပေးပြီး ဆိုင်းဘက်လှည့်ကရအောင် ဆိုင်းသမားတွေက ညည်းတို့လင်တွေမို့လို့လား။"'' * '''အခြား ထင်ရှားသော ဆုံးမစကားများ -''' : ''"ငါ့နာမည် အေးတင်၊ တနင်္ဂနွေသမီး၊ မှန်တာပြောတယ်၊ ဟုတ်တာပဲလုပ်တယ်၊ ငါပြောတာမကျေနပ်ရင် လမ်းတွေ့တောင် မခေါ်ကြနဲ့။"'' : ''"ရိုးရိုးကျင့် မြင့်မြင့်ကြံ၊ သူများဆန်းတိုင်း လိုက်မဆန်းကြနဲ့။"'' : ''"အရိုးပေါ် အရွက်မဖုံးနဲ့၊ နတ်ကို နတ်နဲ့တူအောင် ခစားကြ။"'' : ''"နတ်သမားဆိုတာ ပုတီးကိုင်ရတယ်၊ နေ့စဉ်ပုတီးစိပ်နေရတယ်။"'' : ''"ဘယ်သူတွေ ဘယ်လောက်ပဲ ခန္ဓာကိုယ်က ရွှေထွက်ပလေ့စေ၊ စိန်တွေ ညွှတ်နေအောင် ဝတ်ပလေ့စေ၊ အေးတင်စကားကို နားမထောင်တဲ့ နတ်မိတ်ဆွေကနားရှင်ပဲဖြစ်ဖြစ် တပည့်တွေပဲဖြစ်ဖြစ် အေးတင်တို့က sစိနဲ့တောင် မထိုးဘူး။"'' : ''"အေးတင်တို့က နတ်ချစ်လို့မြှောက်စားလို့ မပူမပင်ရပဲ နန်းတော်ကြီးသိုးကို ဆောင်းရတာ၊ သူများတွေလို နတ်ချစ်ဆေးထိုးပြီး နတ် l-eပေါ်ချော်လဲပြီး နတ်ကတော်လုပ်တာမဟုတ်ဘူး။ ကိုကြီးကျော်က ငါ့ s phokeပေါ် l-eနဲ့လာထောက်လို့ နတ်ဖြစ်တာ။"'' : ''"နတ်ဆိုတာ ကြီးလေ ကျွေးလေပဲ။"'' == ပုံပန်းသွင်ပြင် == ဒေါ်အေးတင် ဒေါသထွက်လျှင် မျက်လုံးများ ပြူးဝိုင်းစက်သွားလေ့ရှိပြီး၊ ထိုပုံစံသည် သင်္ကြန်မိုး ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားထဲတွင် ခင်ခင်ထားနှင့် ခင်သန်းနုတို့၏ အမေအဖြစ် သရုပ်ဆောင်သော မင်းသမီးကြီး [[ဒေါ်ခင်အုန်းမြင့်]] နှင့် များစွာ တူညီကြောင်း နတ်နေကြီး [[ဦးဆောင်ဆောင်]] (ဦးမင်းဆောင်) က မှတ်ချက်ပြုခဲ့သည်။ == ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန် == * [[တောင်ပြုံးပွဲတော်]] * [[တောင်ပြုံးမင်းညီနောင်]] * [[နတ်ကတော်]] * [[နတ် (မြန်မာ့ရိုးရာ)]] == ကိုးကား == * နတ်နေကြီး ဦးမင်းဆောင် (သိုးဆောင်းအမေဒေါ်အေးတင် နတ်မျိုး) ၏ ပြောကြားချက်များ။ * တောင်ပြုံးနန်းတော်ကြီး ရိုးရာမှတ်တမ်းများနှင့် အဘွား ဘွားဘွားသောင်း (အသက် ၈၉ နှစ်) ၏ ပြောပြချက်များ။ tmyghv3yitzj1heg3mj9hezcv7tm18g 1049459 1049458 2026-08-19T20:26:53Z Naingli 144794 1049459 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | name = ဒေါ်အေးတင် | other_names = မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီး ဒေါ်‌အေးတင် | birth_place = [[မန္တလေးမြို့]]၊ | death_place = ၈၉နှစ် | occupation = [[နတ်ကတော်]]၊ သိုးမိဖုရားကြီး | known_for = [[တောင်ပြုံးပွဲတော်|တောင်ပြုံးနန်းတော်ကြီး]]၏ မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီး }} '''ဒေါ်အေးတင်''' (မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီး) သည် [[တောင်ပြုံးပွဲတော်|တောင်ပြုံးနန်းတော်ကြီး]]တွင် [[တောင်ပြုံးမင်းညီနောင်|တောင်ပြုံးအရှင်နှစ်ပါး]] (ရာမ ဆိုင်) ၏ မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီးအဖြစ် ထမ်းဆောင်ခဲ့သူ၊ တောင်ပြုံးမူ ရိုးရာနှင့် စည်းကမ်းများကို တိကျစွာ လိုက်နာစေခဲ့သော ထင်ရှားသည့် နတ်နန်းအကြီးအကဲ ([[နတ်ကတော်]]) တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ == ဘဝဇာတ်ကြောင်းနှင့် နန်းတော်ကြီးသို့ ရောက်ရှိခြင်း == ဒေါ်အေးတင်သည် [[မန္တလေးမြို့]]၊ [[ဈေးချိုပန်းတန်း]]တွင် [[မေမြို့]] (ပြင်ဦးလွင်) ပန်းများကို ရောင်းချခဲ့သည့် ပန်းသည်ကြီးတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ [[တောင်ပြုံးပွဲတော်|တောင်ပြုံးနန်းတော်ကြီး]] တောင်ဘက်လှေကား အရှေ့ဘက်တွင် ပန်းတစ်စည်းလျှင် ၅ ပြား၊ ၁၀ ပြားဖြင့် ရောင်းချခဲ့စဉ်ကတည်းက စတင်၍ မန္တလေး တောင်ခြေဇရပ် ၅ ခန်း ဆောက်လုပ်ခဲ့ဖူးသည်။ နန်းထိန်းကြီး ကျောင်းဆရာ [[ဦးလှဖေ]] လက်ထက်တွင် လူချစ်လူခင် ပေါများခဲ့ပြီး လူအများ၏ ကြည်ညိုလေးစားမှုကို ရရှိခဲ့သည်။ အသက် (၅၀) အရွယ်သို့ ရောက်သောအခါ နတ်မြှောက်စားမှုဖြင့် နန်းတော်ကြီးတွင် သိုး စတင်ဆောင်းခဲ့သည်။ သိုးဆောင်းပြီးနောက်ပိုင်းတွင် အိမ်ထောင်ရှင် ယောက်ျားဖြစ်သူနှင့် လိင်မှုကိစ္စများ စွန့်လွှတ်ကာ နတ်အပေါ်၌သာ တည်တည်တံ့တံ့ဖြင့် သစ္စာရှိစွာ သီးသန့်နေထိုင်ခဲ့သည်။ သိုးသက် (၃၉) နှစ်တိုင်အောင် နတ်မှုထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး အသက် (၈၉) နှစ်အရွယ်တွင် တောင်ကွယ် (ကွယ်လွန်) ခဲ့သည်။ == သိုး/ဗောင်း နတ်မျိုးရိုး အစဉ်အဆက် == ဒေါ်အေးတင်၏ ရိုးရာသည် သိုးမျိုးရိုးအဖြစ် သိုးဆောင်းရရုံသာမက သိုးရော ဗောင်းပါ ၂ မျိုးလုံး ထူးထူးခြားခြား ဆောင်းခွင့်ရသည့် နတ်မျိုးရိုးဖြစ်သည် (ပုံမှန်အားဖြင့် သိုးမျိုးရိုးသည် မိန်းမတပည့်များ သိုးဆောင်းရပြီး၊ ဗောင်းမျိုးရိုးသည် ယောက်ျားတပည့်များ ဗောင်းဆောင်းရသည်)။ '''သိုးအစဉ်အဆက် ဆရာ/တပည့် ဆက်နွှယ်မှု -''' # '''သိုးဒေါ်ဂျမ်း''' (နံပါတ် ၃ သိုး) # '''သိုးဒေါ်ကြွယ်''' (နံပါတ် ၄ သိုး - သိုးဒေါ်ဂျမ်း၏ တူမနှင့် နတ်တပည့်) # '''သိုးဒေါ်အေးတင်''' (နံပါတ် ၅ သိုး - သိုးဒေါ်ကြွယ်၏ နတ်တပည့်) သိုးဒေါ်ကြွယ်ထံမှ သိုးရာထူးနှင့် ကလပ်တင်ကြေး လွှဲပြောင်းယူစဉ်က ကန်တော့ကြေးမှာ ၁၃၇ ကျပ်နှင့် ၂၅ ပြား (တမတ်) ဖြစ်သည်။ (နှိုင်းယှဉ်ချက်အနေဖြင့် ခေတ်ပြိုင် သိုးဆောင်းတစ်ဦးဖြစ်သည့် [[ဒေါ်မြသန်း]] သည်လည်း အသက် ၅၀ လောက်တွင် သိုးစဆောင်းခဲ့ပြီး ၆၈ နှစ်တွင် တောင်ကွယ်ခဲ့သည်)။ == နတ်တပည့်များနှင့် နတ်အုပ်စု == ဒေါ်အေးတင်တွင် နတ်တပည့် ပေါင်းများစွာ ရှိခဲ့ပြီး နန်းတော်ကြီးတွင် အမှုထမ်းသူ၏ တစ်ဝက်ခန့်အထိ ရှိခဲ့သဖြင့် ''"ဒေါ်အေးတင်အုပ်စုက နန်းတော်ကြီးကို မျိုထားတာပါတော်"'' ဟုပင် တင်စားပြောဆိုကြသည်။ * '''ဒေါ်ထွေး''' - သိုးထိန်း/ဗောင်းထိန်း နှင့် နတ်တပည့် အကြီးဆုံး။ (သိုးမိဖုရားနှင့် ဗောင်းအမတ် ဘေးမှ ကူညီထိန်းပေးရသူကို သိုးထိန်း/ဗောင်းထိန်း ဟုခေါ်ပြီး၊ တွေ့ရာတပည့်ကို ခိုင်းပါက နတ်ငယ်၍ နတ်ပြစ်သင့်သဖြင့် တပည့်အကြီးဆုံးကသာ လိုက်ရသော ရိုးရာဖြစ်သည်)။ * '''အမတ်ချုပ်ကြီး ဦးညွှန့်''' - ယောက်ျားလေး နတ်တပည့်များအနက် အကြီးဆုံး။ * '''ဒေါ်တင်ရီ''' - နောက်ဆုံး စံခန်းဝင် တပည့်။ == ဒေါ်တင်ရီ၏ စံခန်းဝင်မှုနှင့် နတ်အဓိကရုဏ်း == ဒေါ်တင်တင်ရီသည် ၃ ပွဲရေစင်ကို ဆရာ [[ဒေါ်မြင့်သိန်း]] ထံ၌လည်းကောင်း၊ ၇ ပွဲရေစင်ကို ပေါက်ပေါက်တန်း [[ဒေါ်သန်းကြည်]] ထံ၌လည်းကောင်း သောက်ခဲ့ဖူးသည်။ ဒေါ်မြင့်သိန်းသည် ဆရာဒေါ်သန်းကြည်က မိမိ၏ နတ်တပည့်ကို လုယူသည်ဟုဆိုကာ နတ်ကြိုးဖြတ်ပြီး [[ဒေါ်သိန်းမြ]] (သိုးဒေါ်ကြွယ်၏ တပည့်) ထံသို့ ခေါင်းပြောင်းခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဒေါ်တင်ရီသည် သိုးဆောင်းချင်သဖြင့် စံခန်းဝင်ရန် ဒေါ်အေးတင်ထံ ချဉ်းကပ်ခဲ့သည်။ ၈၈ အရေးခင်းအပြီး ၇၅ ကျပ်တန် ငွေမည်းကြေငြာခံရချိန်၊ ဒေါ်အေးတင်၏ လက်ထဲတွင် ငွေပျက်နေပြီး မန်းလေးတောင်ခြေဇရပ် ဆောက်လက်စ မပြီးသေးသည့်အပြင် အသက်ကြီး၍ လာဘ်လာဘ ရှားပါးနေချိန်တွင် ရွှေဖလားကိုင် [[ဦးဉာဏ်]] (ဈေးချို ပဒေသာရုံတွင် တရော်ကင်ပွန်းသီးရောင်းသူ) က ကြားထဲမှ ပြောဆိုပေးခဲ့သည်။ ဒေါ်တင်ရီက ဆန်၊ ဆီ၊ ငါးခြောက်များဖြင့် လာရောက်ကန်တော့သဖြင့် ဒေါ်အေးတင်၏ တပည့်ကြီးများ ကန့်ကွက်သည့်ကြားမှ စံခန်းဆရာအဖြစ် လက်ခံခဲ့သည်။ ဤဖြစ်စဉ်ကြောင့် ပေါက်ပေါက်တန်း [[ဒေါ်သန်းကြည်]] နှင့် ဒေါ်အေးတင်တို့သည် သေသည်အထိ မခေါ်နိုင်မပြောနိုင် ဖြစ်ခဲ့ကြသည်။ ဒေါ်တင်ရီ စံခန်းဝင်သည့်နေ့တွင် ဒေါ်အေးတင်၏ နတ်တပည့်အများစု မလာရောက်ကြဘဲ ဒေါ်အေးတင်ကိုယ်တိုင်လည်း မှားမှန်းသိသဖြင့် ဘာမှမလုပ်ပေးဘဲ ထိုင်ကြည့်နေခဲ့ကာ [[ဦးမောင်မောင်တင်]] ကသာ အစအဆုံး လုပ်ပေးခဲ့သည်။ ကြက်ပေါင်/ကြက်ရိုး မချိုးပေးချင်သဖြင့် ဒူးထောက်လျက်သာ ချိုးပေးခဲ့ပြီး၊ ကြက်ဒါးဖလားကို လက်ထဲထည့်ပေးကာ ပွဲမပြီးမီ ဆိုက်ကားဖြင့် တန်းပြန်သွားခဲ့သည်။ ဒေါ်တင်ရီသည် စံခန်းဝင်ပြီး ၂ နှစ်အကြာတွင် သိုးဆောင်းရန် အိမ်နှင့်မြေကို ဗောင်းဦးမြင့်အောင်ထံ ၁ သိန်းဖြင့် ပေါင်ခဲ့သည် (ကလပ်တင်ကြေး ၅ သောင်း၊ ကနားကြေး ၁ သောင်း၊ သိုး ၆ သောင်း)။ ဒေါ်တင်ရီ စံခန်းဝင်ပြီး ၁ နှစ်အကြာတွင် ဒေါ်အေးတင် လေဖြတ်ကာ တောင်ကွယ်သွားခဲ့သည်။ == ဆုံးမသြဝါဒနှင့် နတ်ကျင့်ဝတ် စည်းကမ်းများ == ဒေါ်အေးတင်သည် နတ်ကနားပြီးသည့် ရက်များတွင် တပည့်များကို အိမ်၌ စုစည်းစေပြီး အောက်ပါ သြဝါဒများနှင့် စည်းကမ်းများကို တင်းကျပ်စွာ ဆုံးမလေ့ရှိသည် - * '''အမတ်ချုပ်ကြီး ဦးညွှန့်အား ဆုံးမချက် -''' : ''"မောင်ညွှန့် မင်း ဗောင်းဆောင်းပြီး ဖျင်မခံရဘူးနော်၊ အသက်လည်းရနေပြီ ဗောင်းဝတ်နည်း ဗောင်းကျင့်ဝတ်စည်းကမ်းနဲ့ ညီအောင်နေ။"'' * '''သိုးဆောင်းမည့်သူများအား ဆုံးမချက် -''' : ''"သိုးဆောင်းမယ့်သူတွေလည်း ပြောထားမယ်၊ သိုးဖြစ်ပြီး တွေ့ရာ lee ကို ဟတ်ထနီ မထနဲ့။ သိုးဆောင်းတာ a low ခံဖို့ ဆောင်းတာမဟုတ်ဘူး၊ နတ်ရဲ့ တာဝန်တာထမ်းကို ထိန်းဖို့ လုပ်ဆောင်ဖို့။"'' * '''ဝတ်စားဆင်ယင်မှု -''' : ဒေါ်တင်ကြည် လက်ဇက (ရင်ဖုံးလက်ရှည် မဟုတ်ဘဲ) ဝတ်လာစဉ် ''"ဟဲ့ တင်ကြည်မ ညည်းက နတ်ကတော်လား pharသည်လား၊ သွား အခုပြန်လဲ"'' ဟု မျက်ထောက်နီနီဖြင့် ဆူပူခဲ့သည်။ * '''ဆိုင်းနှင့် နတ်ကတော် -''' : ''"ဆိုင်းနား ထိုင်ရအောင်/ ဆိုင်းဘက်လှည့်ကရအောင် ဆိုင်းသမားက ညည်းလင်လား။ နတ်က ရင် နတ်ပုံတော်ဘက်လှည့်ကကြ၊ ညည်းတို့ကို နတ်က ကျွေးနေတာ နတ်ကအရှင်မို့လား။ နတ်ကို ကျောပေးပြီး ဆိုင်းဘက်လှည့်ကရအောင် ဆိုင်းသမားတွေက ညည်းတို့လင်တွေမို့လို့လား။"'' * '''အခြား ထင်ရှားသော ဆုံးမစကားများ -''' : ''"ငါ့နာမည် အေးတင်၊ တနင်္ဂနွေသမီး၊ မှန်တာပြောတယ်၊ ဟုတ်တာပဲလုပ်တယ်၊ ငါပြောတာမကျေနပ်ရင် လမ်းတွေ့တောင် မခေါ်ကြနဲ့။"'' : ''"ရိုးရိုးကျင့် မြင့်မြင့်ကြံ၊ သူများဆန်းတိုင်း လိုက်မဆန်းကြနဲ့။"'' : ''"အရိုးပေါ် အရွက်မဖုံးနဲ့၊ နတ်ကို နတ်နဲ့တူအောင် ခစားကြ။"'' : ''"နတ်သမားဆိုတာ ပုတီးကိုင်ရတယ်၊ နေ့စဉ်ပုတီးစိပ်နေရတယ်။"'' : ''"ဘယ်သူတွေ ဘယ်လောက်ပဲ ခန္ဓာကိုယ်က ရွှေထွက်ပလေ့စေ၊ စိန်တွေ ညွှတ်နေအောင် ဝတ်ပလေ့စေ၊ အေးတင်စကားကို နားမထောင်တဲ့ နတ်မိတ်ဆွေကနားရှင်ပဲဖြစ်ဖြစ် တပည့်တွေပဲဖြစ်ဖြစ် အေးတင်တို့က sစိနဲ့တောင် မထိုးဘူး။"'' : ''"အေးတင်တို့က နတ်ချစ်လို့မြှောက်စားလို့ မပူမပင်ရပဲ နန်းတော်ကြီးသိုးကို ဆောင်းရတာ၊ သူများတွေလို နတ်ချစ်ဆေးထိုးပြီး နတ် l-eပေါ်ချော်လဲပြီး နတ်ကတော်လုပ်တာမဟုတ်ဘူး။ ကိုကြီးကျော်က ငါ့ s phokeပေါ် l-eနဲ့လာထောက်လို့ နတ်ဖြစ်တာ။"'' : ''"နတ်ဆိုတာ ကြီးလေ ကျွေးလေပဲ။"'' == ပုံပန်းသွင်ပြင် == ဒေါ်အေးတင် ဒေါသထွက်လျှင် မျက်လုံးများ ပြူးဝိုင်းစက်သွားလေ့ရှိပြီး၊ ထိုပုံစံသည် သင်္ကြန်မိုး ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားထဲတွင် ခင်ခင်ထားနှင့် ခင်သန်းနုတို့၏ အမေအဖြစ် သရုပ်ဆောင်သော မင်းသမီးကြီး [[ဒေါ်ခင်အုန်းမြင့်]] နှင့် များစွာ တူညီကြောင်း နတ်နေကြီး [[ဦးဆောင်ဆောင်]] (ဦးမင်းဆောင်) က မှတ်ချက်ပြုခဲ့သည်။ == ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန် == * [[တောင်ပြုံးပွဲတော်]] * [[တောင်ပြုံးမင်းညီနောင်]] * [[နတ်ကတော်]] * [[နတ် (မြန်မာ့ရိုးရာ)]] == ကိုးကား == * နတ်နေကြီး ဦးမင်းဆောင် (သိုးဆောင်းအမေဒေါ်အေးတင် နတ်မျိုး) ၏ ပြောကြားချက်များ။ * တောင်ပြုံးနန်းတော်ကြီး ရိုးရာမှတ်တမ်းများနှင့် အဘွား ဘွားဘွားသောင်း (အသက် ၈၉ နှစ်) ၏ ပြောပြချက်များ။ jl1jdpifac6qxd1h66lvajsyhmg4okh 1049460 1049459 2026-08-19T20:30:52Z Naingli 144794 [[ဒေါ်အေးတင် (သိုးဆောင်းမိဖုးရားကြီး)]] စာမျက်နှာကို [[ဒေါ်အေးတင် (သိုးဆောင်းမိဖုရားကြီး)]] သို့ Naingliက ရွှေ့ခဲ့သည်: စာလုံးပေါင်းအမှား: စာလုံးပေါင်း မှားယွင်းနေခြင်း 1049459 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | name = ဒေါ်အေးတင် | other_names = မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီး ဒေါ်‌အေးတင် | birth_place = [[မန္တလေးမြို့]]၊ | death_place = ၈၉နှစ် | occupation = [[နတ်ကတော်]]၊ သိုးမိဖုရားကြီး | known_for = [[တောင်ပြုံးပွဲတော်|တောင်ပြုံးနန်းတော်ကြီး]]၏ မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီး }} '''ဒေါ်အေးတင်''' (မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီး) သည် [[တောင်ပြုံးပွဲတော်|တောင်ပြုံးနန်းတော်ကြီး]]တွင် [[တောင်ပြုံးမင်းညီနောင်|တောင်ပြုံးအရှင်နှစ်ပါး]] (ရာမ ဆိုင်) ၏ မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီးအဖြစ် ထမ်းဆောင်ခဲ့သူ၊ တောင်ပြုံးမူ ရိုးရာနှင့် စည်းကမ်းများကို တိကျစွာ လိုက်နာစေခဲ့သော ထင်ရှားသည့် နတ်နန်းအကြီးအကဲ ([[နတ်ကတော်]]) တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ == ဘဝဇာတ်ကြောင်းနှင့် နန်းတော်ကြီးသို့ ရောက်ရှိခြင်း == ဒေါ်အေးတင်သည် [[မန္တလေးမြို့]]၊ [[ဈေးချိုပန်းတန်း]]တွင် [[မေမြို့]] (ပြင်ဦးလွင်) ပန်းများကို ရောင်းချခဲ့သည့် ပန်းသည်ကြီးတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ [[တောင်ပြုံးပွဲတော်|တောင်ပြုံးနန်းတော်ကြီး]] တောင်ဘက်လှေကား အရှေ့ဘက်တွင် ပန်းတစ်စည်းလျှင် ၅ ပြား၊ ၁၀ ပြားဖြင့် ရောင်းချခဲ့စဉ်ကတည်းက စတင်၍ မန္တလေး တောင်ခြေဇရပ် ၅ ခန်း ဆောက်လုပ်ခဲ့ဖူးသည်။ နန်းထိန်းကြီး ကျောင်းဆရာ [[ဦးလှဖေ]] လက်ထက်တွင် လူချစ်လူခင် ပေါများခဲ့ပြီး လူအများ၏ ကြည်ညိုလေးစားမှုကို ရရှိခဲ့သည်။ အသက် (၅၀) အရွယ်သို့ ရောက်သောအခါ နတ်မြှောက်စားမှုဖြင့် နန်းတော်ကြီးတွင် သိုး စတင်ဆောင်းခဲ့သည်။ သိုးဆောင်းပြီးနောက်ပိုင်းတွင် အိမ်ထောင်ရှင် ယောက်ျားဖြစ်သူနှင့် လိင်မှုကိစ္စများ စွန့်လွှတ်ကာ နတ်အပေါ်၌သာ တည်တည်တံ့တံ့ဖြင့် သစ္စာရှိစွာ သီးသန့်နေထိုင်ခဲ့သည်။ သိုးသက် (၃၉) နှစ်တိုင်အောင် နတ်မှုထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး အသက် (၈၉) နှစ်အရွယ်တွင် တောင်ကွယ် (ကွယ်လွန်) ခဲ့သည်။ == သိုး/ဗောင်း နတ်မျိုးရိုး အစဉ်အဆက် == ဒေါ်အေးတင်၏ ရိုးရာသည် သိုးမျိုးရိုးအဖြစ် သိုးဆောင်းရရုံသာမက သိုးရော ဗောင်းပါ ၂ မျိုးလုံး ထူးထူးခြားခြား ဆောင်းခွင့်ရသည့် နတ်မျိုးရိုးဖြစ်သည် (ပုံမှန်အားဖြင့် သိုးမျိုးရိုးသည် မိန်းမတပည့်များ သိုးဆောင်းရပြီး၊ ဗောင်းမျိုးရိုးသည် ယောက်ျားတပည့်များ ဗောင်းဆောင်းရသည်)။ '''သိုးအစဉ်အဆက် ဆရာ/တပည့် ဆက်နွှယ်မှု -''' # '''သိုးဒေါ်ဂျမ်း''' (နံပါတ် ၃ သိုး) # '''သိုးဒေါ်ကြွယ်''' (နံပါတ် ၄ သိုး - သိုးဒေါ်ဂျမ်း၏ တူမနှင့် နတ်တပည့်) # '''သိုးဒေါ်အေးတင်''' (နံပါတ် ၅ သိုး - သိုးဒေါ်ကြွယ်၏ နတ်တပည့်) သိုးဒေါ်ကြွယ်ထံမှ သိုးရာထူးနှင့် ကလပ်တင်ကြေး လွှဲပြောင်းယူစဉ်က ကန်တော့ကြေးမှာ ၁၃၇ ကျပ်နှင့် ၂၅ ပြား (တမတ်) ဖြစ်သည်။ (နှိုင်းယှဉ်ချက်အနေဖြင့် ခေတ်ပြိုင် သိုးဆောင်းတစ်ဦးဖြစ်သည့် [[ဒေါ်မြသန်း]] သည်လည်း အသက် ၅၀ လောက်တွင် သိုးစဆောင်းခဲ့ပြီး ၆၈ နှစ်တွင် တောင်ကွယ်ခဲ့သည်)။ == နတ်တပည့်များနှင့် နတ်အုပ်စု == ဒေါ်အေးတင်တွင် နတ်တပည့် ပေါင်းများစွာ ရှိခဲ့ပြီး နန်းတော်ကြီးတွင် အမှုထမ်းသူ၏ တစ်ဝက်ခန့်အထိ ရှိခဲ့သဖြင့် ''"ဒေါ်အေးတင်အုပ်စုက နန်းတော်ကြီးကို မျိုထားတာပါတော်"'' ဟုပင် တင်စားပြောဆိုကြသည်။ * '''ဒေါ်ထွေး''' - သိုးထိန်း/ဗောင်းထိန်း နှင့် နတ်တပည့် အကြီးဆုံး။ (သိုးမိဖုရားနှင့် ဗောင်းအမတ် ဘေးမှ ကူညီထိန်းပေးရသူကို သိုးထိန်း/ဗောင်းထိန်း ဟုခေါ်ပြီး၊ တွေ့ရာတပည့်ကို ခိုင်းပါက နတ်ငယ်၍ နတ်ပြစ်သင့်သဖြင့် တပည့်အကြီးဆုံးကသာ လိုက်ရသော ရိုးရာဖြစ်သည်)။ * '''အမတ်ချုပ်ကြီး ဦးညွှန့်''' - ယောက်ျားလေး နတ်တပည့်များအနက် အကြီးဆုံး။ * '''ဒေါ်တင်ရီ''' - နောက်ဆုံး စံခန်းဝင် တပည့်။ == ဒေါ်တင်ရီ၏ စံခန်းဝင်မှုနှင့် နတ်အဓိကရုဏ်း == ဒေါ်တင်တင်ရီသည် ၃ ပွဲရေစင်ကို ဆရာ [[ဒေါ်မြင့်သိန်း]] ထံ၌လည်းကောင်း၊ ၇ ပွဲရေစင်ကို ပေါက်ပေါက်တန်း [[ဒေါ်သန်းကြည်]] ထံ၌လည်းကောင်း သောက်ခဲ့ဖူးသည်။ ဒေါ်မြင့်သိန်းသည် ဆရာဒေါ်သန်းကြည်က မိမိ၏ နတ်တပည့်ကို လုယူသည်ဟုဆိုကာ နတ်ကြိုးဖြတ်ပြီး [[ဒေါ်သိန်းမြ]] (သိုးဒေါ်ကြွယ်၏ တပည့်) ထံသို့ ခေါင်းပြောင်းခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဒေါ်တင်ရီသည် သိုးဆောင်းချင်သဖြင့် စံခန်းဝင်ရန် ဒေါ်အေးတင်ထံ ချဉ်းကပ်ခဲ့သည်။ ၈၈ အရေးခင်းအပြီး ၇၅ ကျပ်တန် ငွေမည်းကြေငြာခံရချိန်၊ ဒေါ်အေးတင်၏ လက်ထဲတွင် ငွေပျက်နေပြီး မန်းလေးတောင်ခြေဇရပ် ဆောက်လက်စ မပြီးသေးသည့်အပြင် အသက်ကြီး၍ လာဘ်လာဘ ရှားပါးနေချိန်တွင် ရွှေဖလားကိုင် [[ဦးဉာဏ်]] (ဈေးချို ပဒေသာရုံတွင် တရော်ကင်ပွန်းသီးရောင်းသူ) က ကြားထဲမှ ပြောဆိုပေးခဲ့သည်။ ဒေါ်တင်ရီက ဆန်၊ ဆီ၊ ငါးခြောက်များဖြင့် လာရောက်ကန်တော့သဖြင့် ဒေါ်အေးတင်၏ တပည့်ကြီးများ ကန့်ကွက်သည့်ကြားမှ စံခန်းဆရာအဖြစ် လက်ခံခဲ့သည်။ ဤဖြစ်စဉ်ကြောင့် ပေါက်ပေါက်တန်း [[ဒေါ်သန်းကြည်]] နှင့် ဒေါ်အေးတင်တို့သည် သေသည်အထိ မခေါ်နိုင်မပြောနိုင် ဖြစ်ခဲ့ကြသည်။ ဒေါ်တင်ရီ စံခန်းဝင်သည့်နေ့တွင် ဒေါ်အေးတင်၏ နတ်တပည့်အများစု မလာရောက်ကြဘဲ ဒေါ်အေးတင်ကိုယ်တိုင်လည်း မှားမှန်းသိသဖြင့် ဘာမှမလုပ်ပေးဘဲ ထိုင်ကြည့်နေခဲ့ကာ [[ဦးမောင်မောင်တင်]] ကသာ အစအဆုံး လုပ်ပေးခဲ့သည်။ ကြက်ပေါင်/ကြက်ရိုး မချိုးပေးချင်သဖြင့် ဒူးထောက်လျက်သာ ချိုးပေးခဲ့ပြီး၊ ကြက်ဒါးဖလားကို လက်ထဲထည့်ပေးကာ ပွဲမပြီးမီ ဆိုက်ကားဖြင့် တန်းပြန်သွားခဲ့သည်။ ဒေါ်တင်ရီသည် စံခန်းဝင်ပြီး ၂ နှစ်အကြာတွင် သိုးဆောင်းရန် အိမ်နှင့်မြေကို ဗောင်းဦးမြင့်အောင်ထံ ၁ သိန်းဖြင့် ပေါင်ခဲ့သည် (ကလပ်တင်ကြေး ၅ သောင်း၊ ကနားကြေး ၁ သောင်း၊ သိုး ၆ သောင်း)။ ဒေါ်တင်ရီ စံခန်းဝင်ပြီး ၁ နှစ်အကြာတွင် ဒေါ်အေးတင် လေဖြတ်ကာ တောင်ကွယ်သွားခဲ့သည်။ == ဆုံးမသြဝါဒနှင့် နတ်ကျင့်ဝတ် စည်းကမ်းများ == ဒေါ်အေးတင်သည် နတ်ကနားပြီးသည့် ရက်များတွင် တပည့်များကို အိမ်၌ စုစည်းစေပြီး အောက်ပါ သြဝါဒများနှင့် စည်းကမ်းများကို တင်းကျပ်စွာ ဆုံးမလေ့ရှိသည် - * '''အမတ်ချုပ်ကြီး ဦးညွှန့်အား ဆုံးမချက် -''' : ''"မောင်ညွှန့် မင်း ဗောင်းဆောင်းပြီး ဖျင်မခံရဘူးနော်၊ အသက်လည်းရနေပြီ ဗောင်းဝတ်နည်း ဗောင်းကျင့်ဝတ်စည်းကမ်းနဲ့ ညီအောင်နေ။"'' * '''သိုးဆောင်းမည့်သူများအား ဆုံးမချက် -''' : ''"သိုးဆောင်းမယ့်သူတွေလည်း ပြောထားမယ်၊ သိုးဖြစ်ပြီး တွေ့ရာ lee ကို ဟတ်ထနီ မထနဲ့။ သိုးဆောင်းတာ a low ခံဖို့ ဆောင်းတာမဟုတ်ဘူး၊ နတ်ရဲ့ တာဝန်တာထမ်းကို ထိန်းဖို့ လုပ်ဆောင်ဖို့။"'' * '''ဝတ်စားဆင်ယင်မှု -''' : ဒေါ်တင်ကြည် လက်ဇက (ရင်ဖုံးလက်ရှည် မဟုတ်ဘဲ) ဝတ်လာစဉ် ''"ဟဲ့ တင်ကြည်မ ညည်းက နတ်ကတော်လား pharသည်လား၊ သွား အခုပြန်လဲ"'' ဟု မျက်ထောက်နီနီဖြင့် ဆူပူခဲ့သည်။ * '''ဆိုင်းနှင့် နတ်ကတော် -''' : ''"ဆိုင်းနား ထိုင်ရအောင်/ ဆိုင်းဘက်လှည့်ကရအောင် ဆိုင်းသမားက ညည်းလင်လား။ နတ်က ရင် နတ်ပုံတော်ဘက်လှည့်ကကြ၊ ညည်းတို့ကို နတ်က ကျွေးနေတာ နတ်ကအရှင်မို့လား။ နတ်ကို ကျောပေးပြီး ဆိုင်းဘက်လှည့်ကရအောင် ဆိုင်းသမားတွေက ညည်းတို့လင်တွေမို့လို့လား။"'' * '''အခြား ထင်ရှားသော ဆုံးမစကားများ -''' : ''"ငါ့နာမည် အေးတင်၊ တနင်္ဂနွေသမီး၊ မှန်တာပြောတယ်၊ ဟုတ်တာပဲလုပ်တယ်၊ ငါပြောတာမကျေနပ်ရင် လမ်းတွေ့တောင် မခေါ်ကြနဲ့။"'' : ''"ရိုးရိုးကျင့် မြင့်မြင့်ကြံ၊ သူများဆန်းတိုင်း လိုက်မဆန်းကြနဲ့။"'' : ''"အရိုးပေါ် အရွက်မဖုံးနဲ့၊ နတ်ကို နတ်နဲ့တူအောင် ခစားကြ။"'' : ''"နတ်သမားဆိုတာ ပုတီးကိုင်ရတယ်၊ နေ့စဉ်ပုတီးစိပ်နေရတယ်။"'' : ''"ဘယ်သူတွေ ဘယ်လောက်ပဲ ခန္ဓာကိုယ်က ရွှေထွက်ပလေ့စေ၊ စိန်တွေ ညွှတ်နေအောင် ဝတ်ပလေ့စေ၊ အေးတင်စကားကို နားမထောင်တဲ့ နတ်မိတ်ဆွေကနားရှင်ပဲဖြစ်ဖြစ် တပည့်တွေပဲဖြစ်ဖြစ် အေးတင်တို့က sစိနဲ့တောင် မထိုးဘူး။"'' : ''"အေးတင်တို့က နတ်ချစ်လို့မြှောက်စားလို့ မပူမပင်ရပဲ နန်းတော်ကြီးသိုးကို ဆောင်းရတာ၊ သူများတွေလို နတ်ချစ်ဆေးထိုးပြီး နတ် l-eပေါ်ချော်လဲပြီး နတ်ကတော်လုပ်တာမဟုတ်ဘူး။ ကိုကြီးကျော်က ငါ့ s phokeပေါ် l-eနဲ့လာထောက်လို့ နတ်ဖြစ်တာ။"'' : ''"နတ်ဆိုတာ ကြီးလေ ကျွေးလေပဲ။"'' == ပုံပန်းသွင်ပြင် == ဒေါ်အေးတင် ဒေါသထွက်လျှင် မျက်လုံးများ ပြူးဝိုင်းစက်သွားလေ့ရှိပြီး၊ ထိုပုံစံသည် သင်္ကြန်မိုး ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားထဲတွင် ခင်ခင်ထားနှင့် ခင်သန်းနုတို့၏ အမေအဖြစ် သရုပ်ဆောင်သော မင်းသမီးကြီး [[ဒေါ်ခင်အုန်းမြင့်]] နှင့် များစွာ တူညီကြောင်း နတ်နေကြီး [[ဦးဆောင်ဆောင်]] (ဦးမင်းဆောင်) က မှတ်ချက်ပြုခဲ့သည်။ == ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန် == * [[တောင်ပြုံးပွဲတော်]] * [[တောင်ပြုံးမင်းညီနောင်]] * [[နတ်ကတော်]] * [[နတ် (မြန်မာ့ရိုးရာ)]] == ကိုးကား == * နတ်နေကြီး ဦးမင်းဆောင် (သိုးဆောင်းအမေဒေါ်အေးတင် နတ်မျိုး) ၏ ပြောကြားချက်များ။ * တောင်ပြုံးနန်းတော်ကြီး ရိုးရာမှတ်တမ်းများနှင့် အဘွား ဘွားဘွားသောင်း (အသက် ၈၉ နှစ်) ၏ ပြောပြချက်များ။ jl1jdpifac6qxd1h66lvajsyhmg4okh 1049539 1049460 2026-08-20T08:54:27Z Ninjastrikers 22896 1049539 wikitext text/x-wiki {{db-person}} {{Infobox person | name = ဒေါ်အေးတင် | other_names = မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီး ဒေါ်‌အေးတင် | birth_place = [[မန္တလေးမြို့]]၊ | death_place = ၈၉နှစ် | occupation = [[နတ်ကတော်]]၊ သိုးမိဖုရားကြီး | known_for = [[တောင်ပြုံးပွဲတော်|တောင်ပြုံးနန်းတော်ကြီး]]၏ မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီး }} '''ဒေါ်အေးတင်''' (မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီး) သည် [[တောင်ပြုံးပွဲတော်|တောင်ပြုံးနန်းတော်ကြီး]]တွင် [[တောင်ပြုံးမင်းညီနောင်|တောင်ပြုံးအရှင်နှစ်ပါး]] (ရာမ ဆိုင်) ၏ မြောက်လက်ငွေသိုးတော်ဆောင်း မိဖုရားကြီးအဖြစ် ထမ်းဆောင်ခဲ့သူ၊ တောင်ပြုံးမူ ရိုးရာနှင့် စည်းကမ်းများကို တိကျစွာ လိုက်နာစေခဲ့သော ထင်ရှားသည့် နတ်နန်းအကြီးအကဲ ([[နတ်ကတော်]]) တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ == ဘဝဇာတ်ကြောင်းနှင့် နန်းတော်ကြီးသို့ ရောက်ရှိခြင်း == ဒေါ်အေးတင်သည် [[မန္တလေးမြို့]]၊ [[ဈေးချိုပန်းတန်း]]တွင် [[မေမြို့]] (ပြင်ဦးလွင်) ပန်းများကို ရောင်းချခဲ့သည့် ပန်းသည်ကြီးတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ [[တောင်ပြုံးပွဲတော်|တောင်ပြုံးနန်းတော်ကြီး]] တောင်ဘက်လှေကား အရှေ့ဘက်တွင် ပန်းတစ်စည်းလျှင် ၅ ပြား၊ ၁၀ ပြားဖြင့် ရောင်းချခဲ့စဉ်ကတည်းက စတင်၍ မန္တလေး တောင်ခြေဇရပ် ၅ ခန်း ဆောက်လုပ်ခဲ့ဖူးသည်။ နန်းထိန်းကြီး ကျောင်းဆရာ [[ဦးလှဖေ]] လက်ထက်တွင် လူချစ်လူခင် ပေါများခဲ့ပြီး လူအများ၏ ကြည်ညိုလေးစားမှုကို ရရှိခဲ့သည်။ အသက် (၅၀) အရွယ်သို့ ရောက်သောအခါ နတ်မြှောက်စားမှုဖြင့် နန်းတော်ကြီးတွင် သိုး စတင်ဆောင်းခဲ့သည်။ သိုးဆောင်းပြီးနောက်ပိုင်းတွင် အိမ်ထောင်ရှင် ယောက်ျားဖြစ်သူနှင့် လိင်မှုကိစ္စများ စွန့်လွှတ်ကာ နတ်အပေါ်၌သာ တည်တည်တံ့တံ့ဖြင့် သစ္စာရှိစွာ သီးသန့်နေထိုင်ခဲ့သည်။ သိုးသက် (၃၉) နှစ်တိုင်အောင် နတ်မှုထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး အသက် (၈၉) နှစ်အရွယ်တွင် တောင်ကွယ် (ကွယ်လွန်) ခဲ့သည်။ == သိုး/ဗောင်း နတ်မျိုးရိုး အစဉ်အဆက် == ဒေါ်အေးတင်၏ ရိုးရာသည် သိုးမျိုးရိုးအဖြစ် သိုးဆောင်းရရုံသာမက သိုးရော ဗောင်းပါ ၂ မျိုးလုံး ထူးထူးခြားခြား ဆောင်းခွင့်ရသည့် နတ်မျိုးရိုးဖြစ်သည် (ပုံမှန်အားဖြင့် သိုးမျိုးရိုးသည် မိန်းမတပည့်များ သိုးဆောင်းရပြီး၊ ဗောင်းမျိုးရိုးသည် ယောက်ျားတပည့်များ ဗောင်းဆောင်းရသည်)။ '''သိုးအစဉ်အဆက် ဆရာ/တပည့် ဆက်နွှယ်မှု -''' # '''သိုးဒေါ်ဂျမ်း''' (နံပါတ် ၃ သိုး) # '''သိုးဒေါ်ကြွယ်''' (နံပါတ် ၄ သိုး - သိုးဒေါ်ဂျမ်း၏ တူမနှင့် နတ်တပည့်) # '''သိုးဒေါ်အေးတင်''' (နံပါတ် ၅ သိုး - သိုးဒေါ်ကြွယ်၏ နတ်တပည့်) သိုးဒေါ်ကြွယ်ထံမှ သိုးရာထူးနှင့် ကလပ်တင်ကြေး လွှဲပြောင်းယူစဉ်က ကန်တော့ကြေးမှာ ၁၃၇ ကျပ်နှင့် ၂၅ ပြား (တမတ်) ဖြစ်သည်။ (နှိုင်းယှဉ်ချက်အနေဖြင့် ခေတ်ပြိုင် သိုးဆောင်းတစ်ဦးဖြစ်သည့် [[ဒေါ်မြသန်း]] သည်လည်း အသက် ၅၀ လောက်တွင် သိုးစဆောင်းခဲ့ပြီး ၆၈ နှစ်တွင် တောင်ကွယ်ခဲ့သည်)။ == နတ်တပည့်များနှင့် နတ်အုပ်စု == ဒေါ်အေးတင်တွင် နတ်တပည့် ပေါင်းများစွာ ရှိခဲ့ပြီး နန်းတော်ကြီးတွင် အမှုထမ်းသူ၏ တစ်ဝက်ခန့်အထိ ရှိခဲ့သဖြင့် ''"ဒေါ်အေးတင်အုပ်စုက နန်းတော်ကြီးကို မျိုထားတာပါတော်"'' ဟုပင် တင်စားပြောဆိုကြသည်။ * '''ဒေါ်ထွေး''' - သိုးထိန်း/ဗောင်းထိန်း နှင့် နတ်တပည့် အကြီးဆုံး။ (သိုးမိဖုရားနှင့် ဗောင်းအမတ် ဘေးမှ ကူညီထိန်းပေးရသူကို သိုးထိန်း/ဗောင်းထိန်း ဟုခေါ်ပြီး၊ တွေ့ရာတပည့်ကို ခိုင်းပါက နတ်ငယ်၍ နတ်ပြစ်သင့်သဖြင့် တပည့်အကြီးဆုံးကသာ လိုက်ရသော ရိုးရာဖြစ်သည်)။ * '''အမတ်ချုပ်ကြီး ဦးညွှန့်''' - ယောက်ျားလေး နတ်တပည့်များအနက် အကြီးဆုံး။ * '''ဒေါ်တင်ရီ''' - နောက်ဆုံး စံခန်းဝင် တပည့်။ == ဒေါ်တင်ရီ၏ စံခန်းဝင်မှုနှင့် နတ်အဓိကရုဏ်း == ဒေါ်တင်တင်ရီသည် ၃ ပွဲရေစင်ကို ဆရာ [[ဒေါ်မြင့်သိန်း]] ထံ၌လည်းကောင်း၊ ၇ ပွဲရေစင်ကို ပေါက်ပေါက်တန်း [[ဒေါ်သန်းကြည်]] ထံ၌လည်းကောင်း သောက်ခဲ့ဖူးသည်။ ဒေါ်မြင့်သိန်းသည် ဆရာဒေါ်သန်းကြည်က မိမိ၏ နတ်တပည့်ကို လုယူသည်ဟုဆိုကာ နတ်ကြိုးဖြတ်ပြီး [[ဒေါ်သိန်းမြ]] (သိုးဒေါ်ကြွယ်၏ တပည့်) ထံသို့ ခေါင်းပြောင်းခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဒေါ်တင်ရီသည် သိုးဆောင်းချင်သဖြင့် စံခန်းဝင်ရန် ဒေါ်အေးတင်ထံ ချဉ်းကပ်ခဲ့သည်။ ၈၈ အရေးခင်းအပြီး ၇၅ ကျပ်တန် ငွေမည်းကြေငြာခံရချိန်၊ ဒေါ်အေးတင်၏ လက်ထဲတွင် ငွေပျက်နေပြီး မန်းလေးတောင်ခြေဇရပ် ဆောက်လက်စ မပြီးသေးသည့်အပြင် အသက်ကြီး၍ လာဘ်လာဘ ရှားပါးနေချိန်တွင် ရွှေဖလားကိုင် [[ဦးဉာဏ်]] (ဈေးချို ပဒေသာရုံတွင် တရော်ကင်ပွန်းသီးရောင်းသူ) က ကြားထဲမှ ပြောဆိုပေးခဲ့သည်။ ဒေါ်တင်ရီက ဆန်၊ ဆီ၊ ငါးခြောက်များဖြင့် လာရောက်ကန်တော့သဖြင့် ဒေါ်အေးတင်၏ တပည့်ကြီးများ ကန့်ကွက်သည့်ကြားမှ စံခန်းဆရာအဖြစ် လက်ခံခဲ့သည်။ ဤဖြစ်စဉ်ကြောင့် ပေါက်ပေါက်တန်း [[ဒေါ်သန်းကြည်]] နှင့် ဒေါ်အေးတင်တို့သည် သေသည်အထိ မခေါ်နိုင်မပြောနိုင် ဖြစ်ခဲ့ကြသည်။ ဒေါ်တင်ရီ စံခန်းဝင်သည့်နေ့တွင် ဒေါ်အေးတင်၏ နတ်တပည့်အများစု မလာရောက်ကြဘဲ ဒေါ်အေးတင်ကိုယ်တိုင်လည်း မှားမှန်းသိသဖြင့် ဘာမှမလုပ်ပေးဘဲ ထိုင်ကြည့်နေခဲ့ကာ [[ဦးမောင်မောင်တင်]] ကသာ အစအဆုံး လုပ်ပေးခဲ့သည်။ ကြက်ပေါင်/ကြက်ရိုး မချိုးပေးချင်သဖြင့် ဒူးထောက်လျက်သာ ချိုးပေးခဲ့ပြီး၊ ကြက်ဒါးဖလားကို လက်ထဲထည့်ပေးကာ ပွဲမပြီးမီ ဆိုက်ကားဖြင့် တန်းပြန်သွားခဲ့သည်။ ဒေါ်တင်ရီသည် စံခန်းဝင်ပြီး ၂ နှစ်အကြာတွင် သိုးဆောင်းရန် အိမ်နှင့်မြေကို ဗောင်းဦးမြင့်အောင်ထံ ၁ သိန်းဖြင့် ပေါင်ခဲ့သည် (ကလပ်တင်ကြေး ၅ သောင်း၊ ကနားကြေး ၁ သောင်း၊ သိုး ၆ သောင်း)။ ဒေါ်တင်ရီ စံခန်းဝင်ပြီး ၁ နှစ်အကြာတွင် ဒေါ်အေးတင် လေဖြတ်ကာ တောင်ကွယ်သွားခဲ့သည်။ == ဆုံးမသြဝါဒနှင့် နတ်ကျင့်ဝတ် စည်းကမ်းများ == ဒေါ်အေးတင်သည် နတ်ကနားပြီးသည့် ရက်များတွင် တပည့်များကို အိမ်၌ စုစည်းစေပြီး အောက်ပါ သြဝါဒများနှင့် စည်းကမ်းများကို တင်းကျပ်စွာ ဆုံးမလေ့ရှိသည် - * '''အမတ်ချုပ်ကြီး ဦးညွှန့်အား ဆုံးမချက် -''' : ''"မောင်ညွှန့် မင်း ဗောင်းဆောင်းပြီး ဖျင်မခံရဘူးနော်၊ အသက်လည်းရနေပြီ ဗောင်းဝတ်နည်း ဗောင်းကျင့်ဝတ်စည်းကမ်းနဲ့ ညီအောင်နေ။"'' * '''သိုးဆောင်းမည့်သူများအား ဆုံးမချက် -''' : ''"သိုးဆောင်းမယ့်သူတွေလည်း ပြောထားမယ်၊ သိုးဖြစ်ပြီး တွေ့ရာ lee ကို ဟတ်ထနီ မထနဲ့။ သိုးဆောင်းတာ a low ခံဖို့ ဆောင်းတာမဟုတ်ဘူး၊ နတ်ရဲ့ တာဝန်တာထမ်းကို ထိန်းဖို့ လုပ်ဆောင်ဖို့။"'' * '''ဝတ်စားဆင်ယင်မှု -''' : ဒေါ်တင်ကြည် လက်ဇက (ရင်ဖုံးလက်ရှည် မဟုတ်ဘဲ) ဝတ်လာစဉ် ''"ဟဲ့ တင်ကြည်မ ညည်းက နတ်ကတော်လား pharသည်လား၊ သွား အခုပြန်လဲ"'' ဟု မျက်ထောက်နီနီဖြင့် ဆူပူခဲ့သည်။ * '''ဆိုင်းနှင့် နတ်ကတော် -''' : ''"ဆိုင်းနား ထိုင်ရအောင်/ ဆိုင်းဘက်လှည့်ကရအောင် ဆိုင်းသမားက ညည်းလင်လား။ နတ်က ရင် နတ်ပုံတော်ဘက်လှည့်ကကြ၊ ညည်းတို့ကို နတ်က ကျွေးနေတာ နတ်ကအရှင်မို့လား။ နတ်ကို ကျောပေးပြီး ဆိုင်းဘက်လှည့်ကရအောင် ဆိုင်းသမားတွေက ညည်းတို့လင်တွေမို့လို့လား။"'' * '''အခြား ထင်ရှားသော ဆုံးမစကားများ -''' : ''"ငါ့နာမည် အေးတင်၊ တနင်္ဂနွေသမီး၊ မှန်တာပြောတယ်၊ ဟုတ်တာပဲလုပ်တယ်၊ ငါပြောတာမကျေနပ်ရင် လမ်းတွေ့တောင် မခေါ်ကြနဲ့။"'' : ''"ရိုးရိုးကျင့် မြင့်မြင့်ကြံ၊ သူများဆန်းတိုင်း လိုက်မဆန်းကြနဲ့။"'' : ''"အရိုးပေါ် အရွက်မဖုံးနဲ့၊ နတ်ကို နတ်နဲ့တူအောင် ခစားကြ။"'' : ''"နတ်သမားဆိုတာ ပုတီးကိုင်ရတယ်၊ နေ့စဉ်ပုတီးစိပ်နေရတယ်။"'' : ''"ဘယ်သူတွေ ဘယ်လောက်ပဲ ခန္ဓာကိုယ်က ရွှေထွက်ပလေ့စေ၊ စိန်တွေ ညွှတ်နေအောင် ဝတ်ပလေ့စေ၊ အေးတင်စကားကို နားမထောင်တဲ့ နတ်မိတ်ဆွေကနားရှင်ပဲဖြစ်ဖြစ် တပည့်တွေပဲဖြစ်ဖြစ် အေးတင်တို့က sစိနဲ့တောင် မထိုးဘူး။"'' : ''"အေးတင်တို့က နတ်ချစ်လို့မြှောက်စားလို့ မပူမပင်ရပဲ နန်းတော်ကြီးသိုးကို ဆောင်းရတာ၊ သူများတွေလို နတ်ချစ်ဆေးထိုးပြီး နတ် l-eပေါ်ချော်လဲပြီး နတ်ကတော်လုပ်တာမဟုတ်ဘူး။ ကိုကြီးကျော်က ငါ့ s phokeပေါ် l-eနဲ့လာထောက်လို့ နတ်ဖြစ်တာ။"'' : ''"နတ်ဆိုတာ ကြီးလေ ကျွေးလေပဲ။"'' == ပုံပန်းသွင်ပြင် == ဒေါ်အေးတင် ဒေါသထွက်လျှင် မျက်လုံးများ ပြူးဝိုင်းစက်သွားလေ့ရှိပြီး၊ ထိုပုံစံသည် သင်္ကြန်မိုး ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားထဲတွင် ခင်ခင်ထားနှင့် ခင်သန်းနုတို့၏ အမေအဖြစ် သရုပ်ဆောင်သော မင်းသမီးကြီး [[ဒေါ်ခင်အုန်းမြင့်]] နှင့် များစွာ တူညီကြောင်း နတ်နေကြီး [[ဦးဆောင်ဆောင်]] (ဦးမင်းဆောင်) က မှတ်ချက်ပြုခဲ့သည်။ == ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန် == * [[တောင်ပြုံးပွဲတော်]] * [[တောင်ပြုံးမင်းညီနောင်]] * [[နတ်ကတော်]] * [[နတ် (မြန်မာ့ရိုးရာ)]] == ကိုးကား == * နတ်နေကြီး ဦးမင်းဆောင် (သိုးဆောင်းအမေဒေါ်အေးတင် နတ်မျိုး) ၏ ပြောကြားချက်များ။ * တောင်ပြုံးနန်းတော်ကြီး ရိုးရာမှတ်တမ်းများနှင့် အဘွား ဘွားဘွားသောင်း (အသက် ၈၉ နှစ်) ၏ ပြောပြချက်များ။ 6ga99p7ykwm70pgz2olpl3p0k0xbac4 0 290703 1049462 2026-08-19T20:46:12Z Naingli 144794 "{{Infobox person | name = ပေါက်ပေါက်တန်း အမေလှ | image = | caption = | birth_date = {{Birth date|1883|00|00}} (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၄၅ ဝန်းကျင်) | birth_place = ကျောက်ဆည်မြ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049462 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | name = ပေါက်ပေါက်တန်း အမေလှ | image = | caption = | birth_date = {{Birth date|1883|00|00}} (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၄၅ ဝန်းကျင်) | birth_place = [[ကျောက်ဆည်မြို့နယ်|လေးရွာ]] (ကျောက်ဆည်၊ ကုန်း၊ အောင်သာ၊ ရွာသစ်) | death_date = | death_place = | nationality = [[မြန်မာ]] | occupation = [[နတ်ကတော်]]၊ နတ်ဆရာ | spouse = ဗန္ဒုလ ဦးဆိုင်၊ ဦးသူတော် | relatives = မိကျရိုးကျောင်းဆရာတော် ဦးဝါယမ (ဘဝဟောင်းမောင်နှမ) }} '''ပေါက်ပေါက်တန်း အမေလှ''' (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၄၅ ခုနှစ်ဝန်းကျင်ဖွား) သည် [[မန္တလေးမြို့]]၊ ပေါက်ပေါက်တန်းနယ်မြေတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော [[မြန်မာ့ရိုးရာနတ်ကိုးကွယ်မှု|နတ်ကတော်ကြီး]]တစ်ပါး ဖြစ်သည်။ [[ကိုလိုနီခေတ်]] အရေးပိုင်မင်း၊ နယ်ပိုင်မင်းများနှင့် မြို့တော်ထက်တန်းစားများ၏ ကိုးကွယ်ယုံကြည်မှုကို ရရှိခဲ့သူဖြစ်သည်။ == ငယ်စဉ်ဘဝနှင့် မိသားစုနောက်ခံ == အမေလှကို မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၄၅ ခုနှစ် (ခရစ်နှစ် ၁၈၈၃ ဝန်းကျင်) ၌ လယ်ကြီးနတ်နန်းနှင့် လယ်ကြီးရွာအနီး [[ကျောက်ဆည်မြို့နယ်|လေးရွာ]] ဇာတိတွင် ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ လေးရွာဆိုသည်မှာ ကျောက်ဆည်ရွာ၊ ကုန်းရွာ၊ အောင်သာရွာ နှင့် ရွာသစ်ရွာ (ကျောက်ဆည် ကုန်း ရွာ အောင်သာ ရွာသစ်) ဆိုသည့် ရွာလေးရွာကို တစ်ဆက်တည်း စုပေါင်းခေါ်ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။ အမေလှ၏ မိခင်ကြီးမှာ မျက်လုံးဝို့တို့ဝါးတား ဖြစ်ရာမှ အိမ်နီးချင်းပြောသည့် ဆေးမှီးတိုဖြင့် မျက်စင်းခပ်လိုက်သဖြင့် မျက်စိ နှစ်လုံးစလုံး ကွယ်သွားခဲ့ရသည်။ မိခင်ကြီးသည် ဘုရားကန်တော့ပြီးတိုင်း အနောက်အမေကြီး (အမေရေရင်) အား ညတိုင်း ဆုတောင်းကန်တော့ရာမှ အာရုံထဲတွင် အမေကြီး ပေါ်လာပြီး လက်နှစ်ဖက်ကို ထိကိုင်ပေးကာ "ငါ့သမီး ညည်း ဒီလက်နဲ့ လုပ်စားတော့ ရပြီ မပူနဲ့တော့" ဟု မစခဲ့သဖြင့် ဝမ်းဆွဲ သားဖွားအတတ်၊ ဗိုက်ပြင်အတတ်နှင့် သွေးခွဲအတတ်များကို အလိုလို တတ်မြောက်လာခဲ့သည်။ အမေလှတွင် မွေးချင်း မောင်နှမ ၅ ယောက် ရှိသည် - # '''ဒေါ်လုံမလေး''' (သမီး ၁ ယောက် - [[ဒေါ်သိန်း]]၊ ဝမ်းဆွဲပညာ တတ်ကျွမ်းသူ) # '''ဒေါ်လှ''' (ပေါက်ပေါက်တန်း အမေလှ) # '''မောင်ဖြစ်သူ''' (အမည်မသိ) # '''ဒေါ်လှရင်''' (သမီး ၁ ယောက် - [[ဒေါ်သန်းကြည်]]) # '''ဒေါ်လှခင်''' (သားသမီး ၆ ယောက် - [[ဒေါ်ညွှန့်ရီ]]၊ [[ဒေါ်သန်းညွှန့်]]၊ [[ဒေါ်ဂွမ်း]]၊ သား ၂ ယောက်၊ [[ဒေါ်သိန်းကြည်]] - ဝမ်းဆွဲပညာ တတ်ကျွမ်းသူ) မိခင်၏ အလိုလိုတတ်မြောက်သော ဝမ်းဆွဲပညာကို သမီးအကြီးဆုံး ဒေါ်လုံမလေး နှင့် အငယ်ဆုံး ဒေါ်လှခင် တို့က အမွေဆက်ခံ လက်ဆင့်ကမ်းခဲ့ကြသည်။ == မန္တလေးသို့ ပြောင်းရွှေ့ခြင်းနှင့် မြေကွက်ဝယ်ယူခြင်း == အမေလှတို့ မောင်နှမတစ်သိုက် [[မန္တလေးမြို့]]၊ [[ပြည်ကျော်ဈေး]] အနောက်ဘက် ပေါက်ပေါက်တန်းနေရာတွင် လပေးငှားရမ်း၍ စုပေါင်းနေထိုင်ခဲ့ကြသည်။ ထိုမြေပိုင်ရှင်မှာ ဗန္ဒုလ ဦးဆိုင် ဖြစ်သည်။ ဦးဆိုင်က မြေကြည့်ရင်း စာရင်းကိုင် ငွေကောက်ခံရာမှ "ဒီနေရာ ဒေါ်လှ ဝယ်မလား" ဟု မေးရာမှ အမေလှက မြေကွက်ကို ဝယ်ယူခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် အမေလှမှလွဲ၍ ကျန်မောင်နှမများမှာ အသီးသီး အခြားနေရာများသို့ ပြောင်းရွှေ့ဝယ်ယူနေထိုင်ခဲ့ကြပြီး ကိုးလုံးတကာဘုရား တောင်ဘက် လက်ရွေးနှင့် အနောက်ဘက် လှည်းဝိုင်းတို့တွင် နေထိုင်ခဲ့ကြသည်။ == နတ်ပညာနှင့် နတ်နန်းဆောက်လုပ်ခြင်း == အမေလှသည် အင်္ဂါသမီးဖြစ်ပြီး ခေါင်းစွဲနတ်မှာ [[အမေကြီး]]နှင့် [[ပခန်းမင်း]] တို့ ဖြစ်ကြသည်။ အမေလှတို့ နေထိုင်သည့် ပတ်ဝန်းကျင်အရပ်တွင် ကသည်းလူမျိုးများလည်း နေထိုင်ကြသည်။ အမေလှ နတ်ကတော်ဖြစ်မည်ကို သိသော ကသည်း ဒေါ်သူဇာက တပည့်အဖြစ် လက်ခံခဲ့ပြီး၊ အမေလှအတွက် နတ်ရွေးသောအခါ ခေါင်းစွဲနတ်အဖြစ် [[အမေရေရင်]] ကြွရောက်လာခဲ့သည်။ အမျှော်အမြင်ရှိသော ဒေါ်သူဇာက မိသားစုအလိုက် ပြုလုပ်ရသည့် [[မြစ်တူးရွာ]]၏ မြေလူးရိုးရာနတ်အတတ်ကို အမေလှထံ ဆက်ခံရန် လွှဲပြောင်းပေးခဲ့သည်။ အမေလှသည် မိမိဝယ်ထားသော မြေကွက်၏ အရှေ့ဘက်ဆုံးထိပ်တွင် ခန့်မှန်း အကျယ် ၂၅ ပေ၊ အရှည် ပေ ၄၀ ခန့်ရှိ [[အမိုးသုံးဆင့်]]ပါ မြေစိုက် လယ်ပေါ် [[နတ်နန်း]]ကြီး ဆောက်လုပ်ခဲ့သည်။ * နတ်နန်းထဲတွင် လူအသုံးဆောင်ပစ္စည်းများ ထားရှိသည်ကို လုံးဝမကြိုက်ဘဲ တွေ့ပါက အကုန်လွှင့်ပစ်လေ့ရှိသည်။ * နတ်နန်းအတွင်း ရှင်းလင်းထားပြီး ကွပ်ပစ်ကြီး ချထားသည်။ * နေ့စဉ် လာသမျှ ဧည့်သည်များအတွက် ရေနွေးကြမ်း၊ လက်ဖက်နှပ် ချထားပေးပြီး ကွမ်းကြိုက်သူများအတွက် ကွမ်းအစ်ဖြင့် တည်ခင်းဧည့်ခံသည်။ * အယုတ်၊ အလှ၊ အမြတ် မရွေး နတ်မေးလာသူများကို နတ်ပညာဖြင့် တတ်နိုင်သမျှ ကူညီပေးခဲ့သည်။ [[ကိုလိုနီခေတ်]]ဖြစ်သဖြင့် အရေးပိုင်မင်း၊ နယ်ပိုင်မင်းတို့မှအစ အမေလှအား နတ်ဆရာအဖြစ် ကိုးကွယ်ကြသည်။ [[အိမ်တော်ရာဘုရား (မန္တလေး)|အိမ်တော်ရာဘုရား]] ဝန်းကျင်ရှိ သူဌေးအိမ်များကလည်း အမေလှအား အိမ်သို့ ပင့်ဖိတ်၍ နတ်တင်မြှောက်လေ့ရှိသည်။ နိုင်ငံရေးသမားကြီး သခင်တင်အောင် (အမည်မှားနိုင်) သည်လည်း နတ်ကောက်သဖြင့် နတ်လုပ်ခဲ့ရဖူးပြီး၊ ဦးဘခြုံ ပုံနှိပ်တိုက် မိသားစုကလည်း အမေလှကို လေးလေးစားစား ဆက်ဆံကာ နတ်ရေးနတ်ရာများကို အမေလှက စီမံပေးရသည်။ အမေလှသည် သိုးနှင့် ပတ်သက်၍ မိန့်ဆိုခဲ့ဖူးသည်မှာ - <blockquote>"စိန်စိန်ရယ် ညည်း သိုးဆောင်းချင်တာများ ကိုယ့်မင်းကိုယ့်ချင်း လုပ်လို့ရတဲ့နေရာကိုဆောင်း။ ကိုယ့်မပေးချင်တဲ့ နန်းကို စိတ်ကူးယဉ်မနေနဲ့။ ဘယ်နေရာဆောင်းဆောင်း ခမောက်ပျော့ကိုလှန်ပြီး ရွှေရောင် ငွေရောင်ပိတ်စအုပ်ထားတဲ့ဟာပါအေဟဲ့ အတူတူပါပဲ"</blockquote> == ပုဂ္ဂိုလ်ရေးဘဝနှင့် စရိုက်လက္ခဏာ == အမေလှသည် ဗန္ဒုလ ဦးဆိုင် နှင့် လက်ထပ်ခဲ့ပြီး နောက်ပိုင်းတွင် ဦးသူတော် နှင့် လက်ထပ်ခဲ့သော်လည်း ကိုယ်ဝန်မွေးဖွားသည့် သားသမီး မရရှိခဲ့ပေ။ ထို့ကြောင့် ညီမဖြစ်သူ ဒေါ်လှရင်၏ သမီး [[ဒေါ်သန်းကြည်]] ကို ငယ်စဉ်ကတည်းက မွေးစားခဲ့သည်။ အမေလှ၏ စရိုက်လက္ခဏာများနှင့် အလေ့အထများမှာ - * ရှေးလူကြီးဖြစ်သဖြင့် မျက်စိထဲ ရှုပ်ရှုပ်ရှက်ရှက်ဖြစ်သည်ကို မကြိုက်ပေ။ * အသန့်ရှင်း အလွန်ကြိုက်သည်။ နံနက်တိုင်း ရေချိုး၊ ဆီလိမ်း၊ သနပ်ခါးလူး၍ ရင်ဖုံးလက်ရှည် ဝတ်ဆင်လေ့ရှိသည်။ * အဲ့ဒီခေတ်က ဆံပင်ဆိုးဆေးများ မပေါ်သေးသဖြင့် အသက် ၅၀ ကျော်၊ ၆၀ တွင် တစ်ခေါင်းလုံး ဖြူနေသော ဆံပင်ဖြူဖြူပေါ်၌ ဝါးဘီးလေး စိုက်ထားလေ့ရှိသည်။ * စိတ်ဓာတ်မာကြောပြီး စိတ်ကြီးသည်။ စိတ်အလွန်ကြီးလာပါက ဘယ်သူမျှ ထိန်းမရပေ။ * အေးအေးဆေးဆေး နေထိုင်တတ်ပြီး သီလမြဲသည်၊ ပုတီးအမြဲစိပ်သည်၊ အလှူအတန်း ပြုလုပ်သည်။ * ဇာတိဖြစ်သော လေးရွာတွင် ဘုရားတစ်ဆူ တည်ထားခဲ့သည်။ == ထင်ရှားသော ဆက်နွှယ်မှုများ == === မိကျရိုးကျောင်းဆရာတော် ဦးဝါယမ === [[ပြင်ဦးလွင်မြို့|မေမြို့]] အထွက် မိကျရိုးကျောင်း မူလပထမဆရာတော်ကြီး [[ဦးဝါယမ]] သည် အမေလှနှင့် ဘဝဟောင်းက မောင်နှမအဖြစ် ပဌာန်းဆက် ရှိခဲ့သူဖြစ်သည်။ ဆရာတော်ကြီးသည် အသက်အားဖြင့် အမေလှထက် တော်တော်ငယ်ပြီး ပရောဂကု၊ ဓာတ်စာ၊ ဆေးကုသမှုနှင့် လောကီအင်းပညာ၊ ဆေးပညာ တတ်မြောက်သူဖြစ်ကာ တပ်ဘက် ဗိုလ်ကြီးအဆင့်များ ကိုးကွယ်ကြသည်။ အမေလှက ဆရာတော်ကို စတင်မြင်ချိန်တွင် "ငါ့မောင်လေး ဘယ်ကလာတာလဲ" ဟု နှုတ်ဆက်ခေါ်ဆိုခဲ့ပြီး ဆရာတော်ကလည်း "အစ်မကြီး ဒေါ်လှ" ဟု ပြန်လည်ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။ ဆရာတော်သည် နတ်ပွဲများသို့ ကိစ္စရှိပါက ခဏတဖြုတ် ကြွရောက်လာတတ်သည်။ ပခန်းနတ်ပွဲတစ်ခုတွင် ဆရာတော်က အမေလှအား "ဘုရားဒကာမကြီး ဒေါ်လှ၊ နာနတ်ယိုနဲ့ မတည့်ဘူးနော်၊ မစားမိစေနဲ့၊ နည်းနည်းလေး စစားမိရင်ကို အသက်အန္တရာယ် ကြုံရလိမ့်မယ်" ဟု သတိပေး စကားမှာကြားခဲ့သည်။ === ဆွေမျိုးနှင့် တပည့်များ === * '''ဒေါ်သန်းကြည်:''' အမေလှ၏ တူမ၊ မွေးစားသမီး၊ နတ်တပည့်နှင့် အမွေစားအမွေခံ ဖြစ်သည်။ အသက် ၁၆ နှစ် (အသွေးအမွေးစုံချိန်) တွင် အမေလှက ဘဘကျော်နတ်နှင့် စံခန်းသွင်း နတ်လုပ်ပေးခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် အမေလှနှင့် ဦးသူတော်တို့ သဘောကျသည့် [[ဦးအေးကို]] နှင့် အိမ်ထောင်ချပေးခဲ့သည်။ * '''ဒေါ်ညွှန့်ရီ:''' ညီမဖြစ်သူ ဒေါ်လှခင်၏ သမီးကြီး ဖြစ်သည်။ အစပိုင်းတွင် နတ်မလုပ်သေးဘဲ ကြာမှ နတ်ကတော် ဖြစ်လာခဲ့သူဖြစ်သည်။ (ပုံများအရ အမေလှ အသက် ၅၀ ကျော် ၆၀ အတွင်းမှ ဒေါ်ညွှန့်ရီ နတ်နှင့် စံခန်းဝင်ခဲ့ပုံရသည်)။ ယောဘက်သို့ သွားရောက်ပါက ဦးထွန်းရှင်က အကာအကွယ် အဆောင်များ စီမံပေးခဲ့ရသည်။ * '''ဦးထွန်းရှင် (ဦးဝင်းရှင်):''' အမေလှ၏ မောင်အရင်း၏ သား (တူဖြစ်သူ) ဖြစ်သည်။ နတ်နေကြီး ဒေါ်မြိုင်၏ အမျိုးသား ဖြစ်သည်။ ** [[ဈေးချိုတော်|ဈေးချို]] နာရီစင်အနီးတွင် ကားဝပ်ရှော့ ဖွင့်လှစ်ထားသော ဆရာကြီးဖြစ်ပြီး အထက်ဂိုဏ်းဝင် ဆေးနှင့် အင်းပညာများ တတ်မြောက်သည်။ ** အမေလှက ဘယ်သွားသွား တူဖြစ်သူထံ လာရောက်၍ "မောင်ရှင်ရေ" ဟု ခေါ်ကာ ပို့ခိုင်းလေ့ရှိပြီး ဦးထွန်းရှင်ကလည်း အမေလှအား "ကြီးတော်ကြီး" ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ** ဒေါ်ညွှန့်ရီထက် အသက်ကြီးပြီး "ငါ့နှမ ညွှန့်ရီ နင်က နတ်ကတော်ပဲဖြစ်မှာပါဟာ၊ နင် နတ်မလုပ်သေးဘူးလား၊ နင် နတ်ကတော်ဖြစ်ရင် နာမည်ကြီးမှာ" ဟု နတ်လုပ်ရန် ဇွတ်တိုက်တွန်းခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ** ပလိုင်းဒေါ်လမင်း၏ သမီး၊ ပိုက်ကျုံးဒေါ်စု၏ အမျိုးသားမှာ ကားမောင်းသူဖြစ်၍ ကားပျက်ပါက ဦးထွန်းရှင်ထံ လာရောက်အပ်နှံရသဖြင့် ဒေါ်ပွဲနတ်မျိုး၊ ပေါက်ပေါက်တန်းနတ်မျိုး ပညာစွမ်းပကား အုပ်စုများ ချိတ်ဆက်မိကြသည်။ ** ဦးထွန်းရှင်နှင့် ဒေါ်မြိုင်တို့မှ မွေးဖွားသော သားသမီးများမှာ [[ဒေါ်လှကြည်]]၊ [[ဒေါ်ခင်ပန်]] နှင့် [[ဒေါ်ရီရီ]] တို့ ဖြစ်ကြသည်။ == အချက်အလက် ရရှိသည့် အရင်းအမြစ်များ == ဤအကြောင်းအရာများကို ပေါက်ပေါက်တန်း ဒေါ်သန်းကြည်၏ သမီးများ (အမေလှ၏ မြေးများ) ဖြစ်ကြသော **ဒေါ်အမာဘီ** (ယခု သက်ရှိ အသက် ၇၀ ကျော်) နှင့် **ဒေါ်အမာကြည်** တို့ထံမှ တွေ့ဆုံမေးမြန်း ရယူထားခြင်း ဖြစ်သည်။ [[Category:မြန်မာ နတ်ကတော်များ]] [[Category:မန္တလေးမြို့သားများ]] [[Category:၁၈၈၃ ခုနှစ်ဖွားများ]] [[Category:ကျောက်ဆည်မြို့နယ်သူများ]] bujntepz4if9403xtoib1obbeyo3vg9 1049538 1049462 2026-08-20T08:54:18Z Ninjastrikers 22896 1049538 wikitext text/x-wiki {{db-person}} {{Infobox person | name = ပေါက်ပေါက်တန်း အမေလှ | image = | caption = | birth_date = {{Birth date|1883|00|00}} (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၄၅ ဝန်းကျင်) | birth_place = [[ကျောက်ဆည်မြို့နယ်|လေးရွာ]] (ကျောက်ဆည်၊ ကုန်း၊ အောင်သာ၊ ရွာသစ်) | death_date = | death_place = | nationality = [[မြန်မာ]] | occupation = [[နတ်ကတော်]]၊ နတ်ဆရာ | spouse = ဗန္ဒုလ ဦးဆိုင်၊ ဦးသူတော် | relatives = မိကျရိုးကျောင်းဆရာတော် ဦးဝါယမ (ဘဝဟောင်းမောင်နှမ) }} '''ပေါက်ပေါက်တန်း အမေလှ''' (မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၄၅ ခုနှစ်ဝန်းကျင်ဖွား) သည် [[မန္တလေးမြို့]]၊ ပေါက်ပေါက်တန်းနယ်မြေတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားခဲ့သော [[မြန်မာ့ရိုးရာနတ်ကိုးကွယ်မှု|နတ်ကတော်ကြီး]]တစ်ပါး ဖြစ်သည်။ [[ကိုလိုနီခေတ်]] အရေးပိုင်မင်း၊ နယ်ပိုင်မင်းများနှင့် မြို့တော်ထက်တန်းစားများ၏ ကိုးကွယ်ယုံကြည်မှုကို ရရှိခဲ့သူဖြစ်သည်။ == ငယ်စဉ်ဘဝနှင့် မိသားစုနောက်ခံ == အမေလှကို မြန်မာသက္ကရာဇ် ၁၂၄၅ ခုနှစ် (ခရစ်နှစ် ၁၈၈၃ ဝန်းကျင်) ၌ လယ်ကြီးနတ်နန်းနှင့် လယ်ကြီးရွာအနီး [[ကျောက်ဆည်မြို့နယ်|လေးရွာ]] ဇာတိတွင် ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ လေးရွာဆိုသည်မှာ ကျောက်ဆည်ရွာ၊ ကုန်းရွာ၊ အောင်သာရွာ နှင့် ရွာသစ်ရွာ (ကျောက်ဆည် ကုန်း ရွာ အောင်သာ ရွာသစ်) ဆိုသည့် ရွာလေးရွာကို တစ်ဆက်တည်း စုပေါင်းခေါ်ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။ အမေလှ၏ မိခင်ကြီးမှာ မျက်လုံးဝို့တို့ဝါးတား ဖြစ်ရာမှ အိမ်နီးချင်းပြောသည့် ဆေးမှီးတိုဖြင့် မျက်စင်းခပ်လိုက်သဖြင့် မျက်စိ နှစ်လုံးစလုံး ကွယ်သွားခဲ့ရသည်။ မိခင်ကြီးသည် ဘုရားကန်တော့ပြီးတိုင်း အနောက်အမေကြီး (အမေရေရင်) အား ညတိုင်း ဆုတောင်းကန်တော့ရာမှ အာရုံထဲတွင် အမေကြီး ပေါ်လာပြီး လက်နှစ်ဖက်ကို ထိကိုင်ပေးကာ "ငါ့သမီး ညည်း ဒီလက်နဲ့ လုပ်စားတော့ ရပြီ မပူနဲ့တော့" ဟု မစခဲ့သဖြင့် ဝမ်းဆွဲ သားဖွားအတတ်၊ ဗိုက်ပြင်အတတ်နှင့် သွေးခွဲအတတ်များကို အလိုလို တတ်မြောက်လာခဲ့သည်။ အမေလှတွင် မွေးချင်း မောင်နှမ ၅ ယောက် ရှိသည် - # '''ဒေါ်လုံမလေး''' (သမီး ၁ ယောက် - [[ဒေါ်သိန်း]]၊ ဝမ်းဆွဲပညာ တတ်ကျွမ်းသူ) # '''ဒေါ်လှ''' (ပေါက်ပေါက်တန်း အမေလှ) # '''မောင်ဖြစ်သူ''' (အမည်မသိ) # '''ဒေါ်လှရင်''' (သမီး ၁ ယောက် - [[ဒေါ်သန်းကြည်]]) # '''ဒေါ်လှခင်''' (သားသမီး ၆ ယောက် - [[ဒေါ်ညွှန့်ရီ]]၊ [[ဒေါ်သန်းညွှန့်]]၊ [[ဒေါ်ဂွမ်း]]၊ သား ၂ ယောက်၊ [[ဒေါ်သိန်းကြည်]] - ဝမ်းဆွဲပညာ တတ်ကျွမ်းသူ) မိခင်၏ အလိုလိုတတ်မြောက်သော ဝမ်းဆွဲပညာကို သမီးအကြီးဆုံး ဒေါ်လုံမလေး နှင့် အငယ်ဆုံး ဒေါ်လှခင် တို့က အမွေဆက်ခံ လက်ဆင့်ကမ်းခဲ့ကြသည်။ == မန္တလေးသို့ ပြောင်းရွှေ့ခြင်းနှင့် မြေကွက်ဝယ်ယူခြင်း == အမေလှတို့ မောင်နှမတစ်သိုက် [[မန္တလေးမြို့]]၊ [[ပြည်ကျော်ဈေး]] အနောက်ဘက် ပေါက်ပေါက်တန်းနေရာတွင် လပေးငှားရမ်း၍ စုပေါင်းနေထိုင်ခဲ့ကြသည်။ ထိုမြေပိုင်ရှင်မှာ ဗန္ဒုလ ဦးဆိုင် ဖြစ်သည်။ ဦးဆိုင်က မြေကြည့်ရင်း စာရင်းကိုင် ငွေကောက်ခံရာမှ "ဒီနေရာ ဒေါ်လှ ဝယ်မလား" ဟု မေးရာမှ အမေလှက မြေကွက်ကို ဝယ်ယူခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် အမေလှမှလွဲ၍ ကျန်မောင်နှမများမှာ အသီးသီး အခြားနေရာများသို့ ပြောင်းရွှေ့ဝယ်ယူနေထိုင်ခဲ့ကြပြီး ကိုးလုံးတကာဘုရား တောင်ဘက် လက်ရွေးနှင့် အနောက်ဘက် လှည်းဝိုင်းတို့တွင် နေထိုင်ခဲ့ကြသည်။ == နတ်ပညာနှင့် နတ်နန်းဆောက်လုပ်ခြင်း == အမေလှသည် အင်္ဂါသမီးဖြစ်ပြီး ခေါင်းစွဲနတ်မှာ [[အမေကြီး]]နှင့် [[ပခန်းမင်း]] တို့ ဖြစ်ကြသည်။ အမေလှတို့ နေထိုင်သည့် ပတ်ဝန်းကျင်အရပ်တွင် ကသည်းလူမျိုးများလည်း နေထိုင်ကြသည်။ အမေလှ နတ်ကတော်ဖြစ်မည်ကို သိသော ကသည်း ဒေါ်သူဇာက တပည့်အဖြစ် လက်ခံခဲ့ပြီး၊ အမေလှအတွက် နတ်ရွေးသောအခါ ခေါင်းစွဲနတ်အဖြစ် [[အမေရေရင်]] ကြွရောက်လာခဲ့သည်။ အမျှော်အမြင်ရှိသော ဒေါ်သူဇာက မိသားစုအလိုက် ပြုလုပ်ရသည့် [[မြစ်တူးရွာ]]၏ မြေလူးရိုးရာနတ်အတတ်ကို အမေလှထံ ဆက်ခံရန် လွှဲပြောင်းပေးခဲ့သည်။ အမေလှသည် မိမိဝယ်ထားသော မြေကွက်၏ အရှေ့ဘက်ဆုံးထိပ်တွင် ခန့်မှန်း အကျယ် ၂၅ ပေ၊ အရှည် ပေ ၄၀ ခန့်ရှိ [[အမိုးသုံးဆင့်]]ပါ မြေစိုက် လယ်ပေါ် [[နတ်နန်း]]ကြီး ဆောက်လုပ်ခဲ့သည်။ * နတ်နန်းထဲတွင် လူအသုံးဆောင်ပစ္စည်းများ ထားရှိသည်ကို လုံးဝမကြိုက်ဘဲ တွေ့ပါက အကုန်လွှင့်ပစ်လေ့ရှိသည်။ * နတ်နန်းအတွင်း ရှင်းလင်းထားပြီး ကွပ်ပစ်ကြီး ချထားသည်။ * နေ့စဉ် လာသမျှ ဧည့်သည်များအတွက် ရေနွေးကြမ်း၊ လက်ဖက်နှပ် ချထားပေးပြီး ကွမ်းကြိုက်သူများအတွက် ကွမ်းအစ်ဖြင့် တည်ခင်းဧည့်ခံသည်။ * အယုတ်၊ အလှ၊ အမြတ် မရွေး နတ်မေးလာသူများကို နတ်ပညာဖြင့် တတ်နိုင်သမျှ ကူညီပေးခဲ့သည်။ [[ကိုလိုနီခေတ်]]ဖြစ်သဖြင့် အရေးပိုင်မင်း၊ နယ်ပိုင်မင်းတို့မှအစ အမေလှအား နတ်ဆရာအဖြစ် ကိုးကွယ်ကြသည်။ [[အိမ်တော်ရာဘုရား (မန္တလေး)|အိမ်တော်ရာဘုရား]] ဝန်းကျင်ရှိ သူဌေးအိမ်များကလည်း အမေလှအား အိမ်သို့ ပင့်ဖိတ်၍ နတ်တင်မြှောက်လေ့ရှိသည်။ နိုင်ငံရေးသမားကြီး သခင်တင်အောင် (အမည်မှားနိုင်) သည်လည်း နတ်ကောက်သဖြင့် နတ်လုပ်ခဲ့ရဖူးပြီး၊ ဦးဘခြုံ ပုံနှိပ်တိုက် မိသားစုကလည်း အမေလှကို လေးလေးစားစား ဆက်ဆံကာ နတ်ရေးနတ်ရာများကို အမေလှက စီမံပေးရသည်။ အမေလှသည် သိုးနှင့် ပတ်သက်၍ မိန့်ဆိုခဲ့ဖူးသည်မှာ - <blockquote>"စိန်စိန်ရယ် ညည်း သိုးဆောင်းချင်တာများ ကိုယ့်မင်းကိုယ့်ချင်း လုပ်လို့ရတဲ့နေရာကိုဆောင်း။ ကိုယ့်မပေးချင်တဲ့ နန်းကို စိတ်ကူးယဉ်မနေနဲ့။ ဘယ်နေရာဆောင်းဆောင်း ခမောက်ပျော့ကိုလှန်ပြီး ရွှေရောင် ငွေရောင်ပိတ်စအုပ်ထားတဲ့ဟာပါအေဟဲ့ အတူတူပါပဲ"</blockquote> == ပုဂ္ဂိုလ်ရေးဘဝနှင့် စရိုက်လက္ခဏာ == အမေလှသည် ဗန္ဒုလ ဦးဆိုင် နှင့် လက်ထပ်ခဲ့ပြီး နောက်ပိုင်းတွင် ဦးသူတော် နှင့် လက်ထပ်ခဲ့သော်လည်း ကိုယ်ဝန်မွေးဖွားသည့် သားသမီး မရရှိခဲ့ပေ။ ထို့ကြောင့် ညီမဖြစ်သူ ဒေါ်လှရင်၏ သမီး [[ဒေါ်သန်းကြည်]] ကို ငယ်စဉ်ကတည်းက မွေးစားခဲ့သည်။ အမေလှ၏ စရိုက်လက္ခဏာများနှင့် အလေ့အထများမှာ - * ရှေးလူကြီးဖြစ်သဖြင့် မျက်စိထဲ ရှုပ်ရှုပ်ရှက်ရှက်ဖြစ်သည်ကို မကြိုက်ပေ။ * အသန့်ရှင်း အလွန်ကြိုက်သည်။ နံနက်တိုင်း ရေချိုး၊ ဆီလိမ်း၊ သနပ်ခါးလူး၍ ရင်ဖုံးလက်ရှည် ဝတ်ဆင်လေ့ရှိသည်။ * အဲ့ဒီခေတ်က ဆံပင်ဆိုးဆေးများ မပေါ်သေးသဖြင့် အသက် ၅၀ ကျော်၊ ၆၀ တွင် တစ်ခေါင်းလုံး ဖြူနေသော ဆံပင်ဖြူဖြူပေါ်၌ ဝါးဘီးလေး စိုက်ထားလေ့ရှိသည်။ * စိတ်ဓာတ်မာကြောပြီး စိတ်ကြီးသည်။ စိတ်အလွန်ကြီးလာပါက ဘယ်သူမျှ ထိန်းမရပေ။ * အေးအေးဆေးဆေး နေထိုင်တတ်ပြီး သီလမြဲသည်၊ ပုတီးအမြဲစိပ်သည်၊ အလှူအတန်း ပြုလုပ်သည်။ * ဇာတိဖြစ်သော လေးရွာတွင် ဘုရားတစ်ဆူ တည်ထားခဲ့သည်။ == ထင်ရှားသော ဆက်နွှယ်မှုများ == === မိကျရိုးကျောင်းဆရာတော် ဦးဝါယမ === [[ပြင်ဦးလွင်မြို့|မေမြို့]] အထွက် မိကျရိုးကျောင်း မူလပထမဆရာတော်ကြီး [[ဦးဝါယမ]] သည် အမေလှနှင့် ဘဝဟောင်းက မောင်နှမအဖြစ် ပဌာန်းဆက် ရှိခဲ့သူဖြစ်သည်။ ဆရာတော်ကြီးသည် အသက်အားဖြင့် အမေလှထက် တော်တော်ငယ်ပြီး ပရောဂကု၊ ဓာတ်စာ၊ ဆေးကုသမှုနှင့် လောကီအင်းပညာ၊ ဆေးပညာ တတ်မြောက်သူဖြစ်ကာ တပ်ဘက် ဗိုလ်ကြီးအဆင့်များ ကိုးကွယ်ကြသည်။ အမေလှက ဆရာတော်ကို စတင်မြင်ချိန်တွင် "ငါ့မောင်လေး ဘယ်ကလာတာလဲ" ဟု နှုတ်ဆက်ခေါ်ဆိုခဲ့ပြီး ဆရာတော်ကလည်း "အစ်မကြီး ဒေါ်လှ" ဟု ပြန်လည်ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။ ဆရာတော်သည် နတ်ပွဲများသို့ ကိစ္စရှိပါက ခဏတဖြုတ် ကြွရောက်လာတတ်သည်။ ပခန်းနတ်ပွဲတစ်ခုတွင် ဆရာတော်က အမေလှအား "ဘုရားဒကာမကြီး ဒေါ်လှ၊ နာနတ်ယိုနဲ့ မတည့်ဘူးနော်၊ မစားမိစေနဲ့၊ နည်းနည်းလေး စစားမိရင်ကို အသက်အန္တရာယ် ကြုံရလိမ့်မယ်" ဟု သတိပေး စကားမှာကြားခဲ့သည်။ === ဆွေမျိုးနှင့် တပည့်များ === * '''ဒေါ်သန်းကြည်:''' အမေလှ၏ တူမ၊ မွေးစားသမီး၊ နတ်တပည့်နှင့် အမွေစားအမွေခံ ဖြစ်သည်။ အသက် ၁၆ နှစ် (အသွေးအမွေးစုံချိန်) တွင် အမေလှက ဘဘကျော်နတ်နှင့် စံခန်းသွင်း နတ်လုပ်ပေးခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် အမေလှနှင့် ဦးသူတော်တို့ သဘောကျသည့် [[ဦးအေးကို]] နှင့် အိမ်ထောင်ချပေးခဲ့သည်။ * '''ဒေါ်ညွှန့်ရီ:''' ညီမဖြစ်သူ ဒေါ်လှခင်၏ သမီးကြီး ဖြစ်သည်။ အစပိုင်းတွင် နတ်မလုပ်သေးဘဲ ကြာမှ နတ်ကတော် ဖြစ်လာခဲ့သူဖြစ်သည်။ (ပုံများအရ အမေလှ အသက် ၅၀ ကျော် ၆၀ အတွင်းမှ ဒေါ်ညွှန့်ရီ နတ်နှင့် စံခန်းဝင်ခဲ့ပုံရသည်)။ ယောဘက်သို့ သွားရောက်ပါက ဦးထွန်းရှင်က အကာအကွယ် အဆောင်များ စီမံပေးခဲ့ရသည်။ * '''ဦးထွန်းရှင် (ဦးဝင်းရှင်):''' အမေလှ၏ မောင်အရင်း၏ သား (တူဖြစ်သူ) ဖြစ်သည်။ နတ်နေကြီး ဒေါ်မြိုင်၏ အမျိုးသား ဖြစ်သည်။ ** [[ဈေးချိုတော်|ဈေးချို]] နာရီစင်အနီးတွင် ကားဝပ်ရှော့ ဖွင့်လှစ်ထားသော ဆရာကြီးဖြစ်ပြီး အထက်ဂိုဏ်းဝင် ဆေးနှင့် အင်းပညာများ တတ်မြောက်သည်။ ** အမေလှက ဘယ်သွားသွား တူဖြစ်သူထံ လာရောက်၍ "မောင်ရှင်ရေ" ဟု ခေါ်ကာ ပို့ခိုင်းလေ့ရှိပြီး ဦးထွန်းရှင်ကလည်း အမေလှအား "ကြီးတော်ကြီး" ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ** ဒေါ်ညွှန့်ရီထက် အသက်ကြီးပြီး "ငါ့နှမ ညွှန့်ရီ နင်က နတ်ကတော်ပဲဖြစ်မှာပါဟာ၊ နင် နတ်မလုပ်သေးဘူးလား၊ နင် နတ်ကတော်ဖြစ်ရင် နာမည်ကြီးမှာ" ဟု နတ်လုပ်ရန် ဇွတ်တိုက်တွန်းခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ** ပလိုင်းဒေါ်လမင်း၏ သမီး၊ ပိုက်ကျုံးဒေါ်စု၏ အမျိုးသားမှာ ကားမောင်းသူဖြစ်၍ ကားပျက်ပါက ဦးထွန်းရှင်ထံ လာရောက်အပ်နှံရသဖြင့် ဒေါ်ပွဲနတ်မျိုး၊ ပေါက်ပေါက်တန်းနတ်မျိုး ပညာစွမ်းပကား အုပ်စုများ ချိတ်ဆက်မိကြသည်။ ** ဦးထွန်းရှင်နှင့် ဒေါ်မြိုင်တို့မှ မွေးဖွားသော သားသမီးများမှာ [[ဒေါ်လှကြည်]]၊ [[ဒေါ်ခင်ပန်]] နှင့် [[ဒေါ်ရီရီ]] တို့ ဖြစ်ကြသည်။ == အချက်အလက် ရရှိသည့် အရင်းအမြစ်များ == ဤအကြောင်းအရာများကို ပေါက်ပေါက်တန်း ဒေါ်သန်းကြည်၏ သမီးများ (အမေလှ၏ မြေးများ) ဖြစ်ကြသော **ဒေါ်အမာဘီ** (ယခု သက်ရှိ အသက် ၇၀ ကျော်) နှင့် **ဒေါ်အမာကြည်** တို့ထံမှ တွေ့ဆုံမေးမြန်း ရယူထားခြင်း ဖြစ်သည်။ [[Category:မြန်မာ နတ်ကတော်များ]] [[Category:မန္တလေးမြို့သားများ]] [[Category:၁၈၈၃ ခုနှစ်ဖွားများ]] [[Category:ကျောက်ဆည်မြို့နယ်သူများ]] 50rsg7dky432d59z8nfgeo6k75kd4au 828 290704 1049464 2026-08-19T20:57:01Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "return { name = 'Oita Prefecture', top = 33.794, bottom = 32.6798, left = 130.769, right = 132.145, image = 'Oita géolocalisation.svg', image1 = 'Oita géolocalisation relief.svg' }" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049464 Scribunto text/plain return { name = 'Oita Prefecture', top = 33.794, bottom = 32.6798, left = 130.769, right = 132.145, image = 'Oita géolocalisation.svg', image1 = 'Oita géolocalisation relief.svg' } hx5pjy3dmdsfrv2xbnkd98v00abhsv7 0 290705 1049467 2026-08-19T21:02:02Z Naingli 144794 "{{Infobox person | name = ဒေါ်သင်လေး | other_names = နတ်နေကြီး ဒေါ်သင်လေး၊ ရွှေဓားကိုင် ဒေါ်သင်လေး၊ ယောင်ထိပ်ထုံး ဒေါ်သင်လေး | residence = မန္တလေးမြိ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049467 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | name = ဒေါ်သင်လေး | other_names = နတ်နေကြီး ဒေါ်သင်လေး၊ ရွှေဓားကိုင် ဒေါ်သင်လေး၊ ယောင်ထိပ်ထုံး ဒေါ်သင်လေး | residence = [[မန္တလေးမြို့]]၊ ၄၁ လမ်း | occupation = [[နတ်ကတော်]]၊ နတ်နေကြီး | spouse = ဦးကျားဟိန်း }} '''နတ်နေကြီး ဒေါ်သင်လေး''' (ခေါ်) '''ရွှေဓားကိုင် ဒေါ်သင်လေး''' (သို့မဟုတ်) '''ယောင်ထိပ်ထုံး ဒေါ်သင်လေး''' သည် [[မန္တလေးမြို့]] သမိုင်းတွင် ထင်ရှားသည့် ရှေးခေတ် ဝါရင့် [[နတ်ကတော်]]ကြီးတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ == မန္တလေး နယ်မြေခေါ်ဝေါ်ပုံ ==⁹ မန္တလေးမြို့တွင် အလွယ်သတ်မှတ်ကြပုံမှာ - * ၃၁ လမ်းကို မြို့လယ်၊ * ၃၅ လမ်း (A လမ်း) တောင်ဘက်ကို တောင်ပြင်၊ * ၂၆ လမ်း (B လမ်း) မြောက်ဘက်ကို မြောက်ပြင်၊ * ဘူတာကြီး အရှေ့ခြမ်းကို အရှေ့ပြင် (အရင်ခေတ်က ဘူတာကြီးသည် နန်းတွင်းကို ဖြတ်ပြီး ဖောက်ထားခြင်းဖြစ်သည်) ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ အမေဒေါ်သင်လေးသည် ၄၁ လမ်းတွင် နေထိုင်သဖြင့် တောင်ပိုင်းကျပြီး ''"တောင်လယ်မှာ ခေါင်တည်တဲ့ ဒေါ်သင်လေး"'' ဟု အများက တင်စားခေါ်ဝေါ်ကြသည်။ == ငယ်စဉ်ဘဝနှင့် နတ်နေ (ဝါစစဉ်) == ဒေါ်သင်လေးသည် အသက် ၁၆ နှစ်အရွယ်တွင် စံခန်းဝင်ခဲ့ပြီး [[ပခန်းမင်း]]နတ်နှင့် ၁၄ နှစ်သမီးကတည်းက လက်ထပ်ထားခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်ဟု ဆိုသည်။ ငယ်စဉ်ကတည်းက နတ်သိမ်းခံခဲ့ရသူဖြစ်၍ [[မန္တလေးတောင်]]ခြေရှိ မန္တလေးဘိုးတော်ကြီး ရုပ်ထုထက်ပင် နတ်နေ အများကြီး ပိုမိုကြီးရင့်သည်။ ဒေါ်သင်လေးတွင် ဗိုက်မွေးသားသမီး မရှိပါ။ ပေါက်ပေါက်တန်း အမေလှ၊ စိန်ပန်း အမေအုပ် တို့ထက် လူအသက် ငယ်သော်လည်း နတ်နေ ပိုကြီးသည်။ တောင်ပြုန်း နတ်အုပ်မင်း ဦးကျောက်လုံး၏ မိန်းမ ဖြစ်သူ ရတနာ့ဂူ အထက်နန်းထိန်း နတ်နေကြီး ဒေါ်ရင် (၃၇ လမ်း နတ်ဝင်းထဲတွင် နေထိုင်သူ) သည် ဒေါ်သင်လေးထက် နတ်နေ ၁ လ ပိုကြီးသည်။ အမေလှ၊ အမေစီ၊ အမေအုပ်တို့က အမေသင်လေးကို "နတ်နေကြီး" ဟုလည်းကောင်း၊ "ဆရာသင်" ဟုလည်းကောင်း ခေါ်ကြသလို၊ အမေသင်လေးကလည်း အမေလှ၊ အမေအုပ်၊ အမေစီဟု ရိုရိုသေသေ ပြန်ခေါ်လေ့ရှိရာ အပြန်အလှန် လေးစားကြသဖြင့် အတုယူစရာ ဖြစ်ခဲ့သည်။ ငယ်စဉ်က အင်းဘဲ အမေသိန်းခင် (နတ်နေ အများကြီးငယ်သူ) နှင့် အချစ်တော်ထားခဲ့သည်။ အိမ်ထောင်ဖက်မှာ တရုတ်ပြည်ကြီးပေါက်သူဌေး လူပျိုကြီး ဦးကျားဟိန်း ဖြစ်ပြီး ၄၁ လမ်းတွင် တိုက်ကြီးနှင့် ရွှေအပြည့် ငွေအပြည့် ချမ်းသာစွာ နေထိုင်ခဲ့သည်။ == နတ်ရိုးရာနှင့် အနုပညာဆိုင်ရာ ဆောင်ရွက်ချက်များ == * '''နတ်အိုးနှင့် ပစ္စည်းများ လိပ်ပြာသိပ်ခြင်း:''' [[ရွှေနဘေနတ်]] ကန်တော်လိပ်ပြာသိပ်ခြင်း၊ အိမ်တွင်းအိုးတော် လိပ်ပြာသိပ်ခြင်း၊ ဓား၊ ဖလား၊ ကြက်၊ ကျား၊ ကြွေကလပ် အပါအဝင် နတ်ပစ္စည်းမှန်သမျှကို လိပ်ပြာသိပ်သည့် အလေ့အထကို အမေသင်လေးက စတင်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ အပ်ချည်တစ်လုံးနှင့် စည်းဘောင်ထဲကနေ လုပ်ကိုင်အသက်မွေးတတ်သည့် နတ်နေကြီးဖြစ်သည်။ ရှေးခေတ်က မန္တလေးနတ်ကတော်များသည် ကြွေကလပ်ရသည်နှင့် မိမိဟောပြောရာ ထမင်းအိုးဖြစ်၍ မှန်စီရွှေချ (သို့) ရွှေစစ်ပိန်းချကာ ဖွားဖွားကြီး ဒေါ်သင်လေးထံ သွားရောက် လိပ်ပြာသိပ်ကြရသည်။ (ယခုခေတ်တွင် ကြွေကလပ် လိပ်ပြာသိပ်တာ မလုပ်ကြတော့ပေ။) * '''ရွှေနဘေနတ် မြေလူးခြင်း:''' ပေါက်ပေါက်တန်း အမေလှ တောင်ကွယ်ပြီးနောက် မြစ်တူးရိုးရာ ရွှေနဘေနတ် လူးရန် မည်သူမျှ မယူဝံ့ကြပေ။ အမေလှ၏ တပည့်ကြီး စိန်ပန်း ဒေါ်တင်နုကလည်း ယောက်ျားယူတာများ၍ ရိုးရာမယူရဲ၊ အမေညွန့်ရီကလည်း အရက်ကြိုက်၍ ရိုးရာမယူခဲ့ပေ။ ပေါက်ပေါက်တန်း အမေသန်းကြည် မယူမီ "သူလူးသင့်၊ ငါလူးသင့်" တိုင်ပင်ကြရာ မန္တလေးတွင် နတ်နေအကြီးဆုံး ဖြစ်သည့် ဒေါ်ရင်နှင့် ဒေါ်သင်လေးတို့ထံ သွားရောက်ပြောဆိုရာ အမေသင်လေးက ရိုးရာလက်ဆင့်ကမ်း ယူပေးခဲ့သည်။ ရိုးရာမဟုတ်သော်လည်း နတ်နေကြီး၍ အမေသင်လေး မြေလူးသည်ကို နတ်ကလည်း ကျေနပ်ခဲ့သည်။ * '''နတ်သံပစ်ခြင်း:''' ဖွားဖွားသင်သည် စာလုံးဝ မတတ်သော်လည်း ရွှေနဘေနတ် လူးတော့မည်ဆိုပါက ''"ကျော့ရှင်းငယ်မှ မူယာ"'' အစချီသည့် ရွှေနဘေနတ်သံကို ပုဏ္ဏားသံပါအောင် ကိုယ်တိုင် ပစ်ဆိုခဲ့သည်။ * '''တောင်ပြုန်းနန်းတော် ညီလာခံ:''' [[တောင်ပြုန်းနတ်ပွဲ]] နန်းတော်ပေါ်ကြားကနားဆိုလျှင် အမေရင်နှင့် အမေသင်တို့က ညီလာခံပေးရသည်။ ထိုစဉ်က ကြားကနားများ သိုးဗောင်းခေါ်ကသည့် အလေ့မရှိသေးပေ။ အမေရင်နှင့် အမေသင် တောင်ပြုန်းမင်းချော့သည်မှာ ပလ္လင်ပေါ်မှ တောင်ပြုံးမင်း ဆင်းကနေသလား မှတ်ရလောက်အောင် ကျက်သရေရှိလှသည်။ နန်းတော်ပေါ် နတ်လမ်းလုပ်ရသော်လည်း နန်းထိန်းများကို လုံးဝ ပြုံးမပြ၊ ရယ်မပြ၊ စကားမပြောဘဲ ခပ်တန်းတန်းနေကြသည်။ နန်းတော်ပေါ် တက်လာ၍ နေရာဖယ်မပေးပါက ယောင်တာလို၊ ရမ်းတာလိုနှင့် လက်ထဲမှ ဆေးလိပ်ပြာခံသည့် ကြေးဖလား၊ ကွမ်းအစ်တို့ကို လွှတ်ချပစ်လေ့ရှိသည်။ * '''သိုးဗောင်းခေါ်ကသည့် အစပြုပုံ:''' အမေသင်သည် တောင်ပြုန်းဘူတာတွင် ရထားစောင့်ရင်း ဒေါ်ရင်ကို ''"မမရင်ရယ်၊ ရှင်နဲ့ကျမ မရှိရင် သူတို့ဘာမှလုပ်လို့ မရပါဘူးတော်"'' ဟု ပြောခဲ့ရာ ထိုစကားကို ကြားသူက နန်းထိန်းထံ ပြန်ပြောသဖြင့် ထိုအချိန်မှစ၍ နန်းထိန်းက သိုးဗောင်းခေါ်ကရန် လူပိုင်မွေးတော့ခြင်း ဖြစ်သည်။ == ထူးခြားသည့် ဖြစ်ရပ်များ == === ကြက်ဖလားနှင့် ခေါက်သည့် ဖြစ်ရပ် === ဖွားဖွားကြီး ဒေါ်သင်လေးနှင့် အမြဲ နတ်တင်နတ်သရှိသည့် အိမ်တစ်အိမ်တွင် နတ်ကတော်ပေါက်စမတစ်ဦးက နတ်ဟောပြီး ကန္နားတောင်းခဲ့သည်။ (ဖွားဖွားကြီး နတ်တင်လျှင် ဘာမှမတောင်းဘဲ ဆုတောင်းပေး၍ ရေစင်ဖိုး ကန်တော့ကြေးယူပြီး ပြန်လေ့ရှိသည်။) ကန္နားပေးသောအခါ ဖွားဖွားကြီးအား ကန္နားစင်ထိပ်တွင် ကန်တော့ခံရန် ဖိတ်ရသည်။ ဒေါ်သင်လေးက နတ်အုပ်မင်း ဦးကျောက်လုံးကို ထပ်ဆင့်ဖိတ်ခေါ်၍ လိုက်လာခဲ့သည်။ ဖွားဖွားကြီး ကန္နားထိပ်တွင် ဆေးလိပ်သောက်နေစဉ် ကိုကြီးကျော်ချော့နေသည့် နတ်ကတော်မက ဒေါ်သင်လေးထံ ကြက်ဖလား လှမ်းပစ်လိုက်ပြီး ကြက်လောင်းကြေးထည့်ခိုင်းခဲ့သည်။ ဒေါ်သင်လေးက ဒေါသထွက်ကာ - :''"ဟဲ့ ကိုကြီးကျော် လာဦး၊ ရှင် ကျမကို ငယ်စဉ်ကတည်းက ကောက်ထားတာ မေ့နေရော့သလား။ ဒါမှမဟုတ် ဟဲ့နတ်ကတော်မ၊ နင်က မသင်လေးဆိုတာကို မကြားဖူးဘူးလား။ ငါလို မိန်းမက ပခန်းမင်းနဲ့ ၁၄ နှစ်သမီးကတည်းက လက်ထပ်ထားတာဟဲ့။ နင်တို့ တမြို့လုံးကိုးကွယ်နေတဲ့ မန်းတလေးတောင်ခြေက မန်းတလေးဘိုးတော်ကြီး ရုပ်ထုတောင် ငါ့ထက် နတ်နေအများကြီးငယ်တယ်ဟဲ့။ နင်မသိရင် ငါ့အကြောင်းစုံစမ်းထား"'' ဟု ဆိုကာ အဆိုပါ နတ်ကတော်မ၏ နဖူးကို ငွေစစ်ကြက်ဖလား ပိန်သွားသည်အထိ ထုခေါက်ချခဲ့သည်။ ထို့နောက် နတ်အုပ်မင်း ဦးကျောက်လုံး (ဒေါ်သင်လေးထက် ငယ်သူ) အား တိုင်ကြားရာ ဦးကျောက်လုံးက နတ်ကတော်မအား မှာကြား၍ ကန်တော့ပွဲဖြင့် တောင်းပန်ခိုင်းခဲ့သည်။ ဒေါ်သင်လေးကလည်း ပိန်သွားသည့် ဖလားကို ပြန်ပြင်ပေးလိုက်ပြီး ကျေအေးကာ ကန်တော့ပွဲကို ဦးကျောက်လုံးအား ယူဆောင်စေလျက် အိမ်သို့ ပြန်ခိုင်းခဲ့သည်။ === အဆိုတော် ဒေါ်ခင်ရီနှင့် ဖြစ်ရပ် === အဆိုတော် [[ဒေါ်ခင်ရီ]] သည် ဖွားဖွားသင်၏ သွားလေရာ ခြင်းဆွဲ၊ နောက်လိုက်၊ တောက်တိုမယ်ရ ဝေယျာဝစ္စများ ဆောင်ရွက်ပေးခဲ့သဖြင့် သဒ္ဓါလွန်း၍ ရှေးဥသဖယားအစစ် နားကပ်တစ်ရံ ပိုင်ဆိုင်ခွင့် ပေးခဲ့သည်။ သို့သော် ဒေါ်ခင်ရီက မေမြို့ ဦးတင်မောင် ရှေ့တွင် ''"တောင်လယ်က ခေါင်တည်ပြီး အပြောင်သယ်တဲ့ ဒေါ်သင်လေး"'' ဟု စကားပြောမိခဲ့သည်။ ဦးတင်မောင်က ဒေါ်သင်လေးထံ ဆိုက်ကားစီး၍ အဆိုပါစကားကို သွားရောက်ပြောပြရာ ဒေါ်သင်လေးက ဦးတင်မောင်၏ ဆိုက်ကားကို ငှား၍ ဒေါ်ခင်ရီ၏ အိမ် (ဘော်ကာတန်း) သို့ ချက်ချင်း လိုက်သွားခဲ့သည်။ ဒေါ်ခင်ရီ အိမ်ရှေ့ရောက်သောအခါ ခုနစ်ချီသံဖြင့် - :''"ဟဲ့ ခင်ရီမ... လင်အတည်မရတဲ့ ခင်ရီမ၊ နင်လိုဟာမက မောင်ထူးလိုလို၊ ဘကူလိုလို၊ ဘရှင်လိုလိုနဲ့ ဘယ်ဟာနဲ့မှ မလွတ်တဲ့ အဆိုတော်မ။ ဖွားအေဖြစ်သူကတော့ ချစ်လိုက်ရတာ ငါ့သမီးလေး ဝတ်ပါစေတော့ဆိုပြီး နားကပ်လေး ဆင်ပေးထားတာ၊ ခုချက်ချင်း အဲ့နားကပ်ချွတ် ငါ့ပြန်ပေး။ ညည်းက သဘင်သည်ပီပီ စကားကိုတတ် ပါးစပ်စည်းမစောင့်တဲ့ကောင်မ၊ ပြတ်ပြီဟေ့ နင်လိုဟာမ သေတောင်မခေါ်ဘူး"'' ဟု အော်ဟစ်ဆဲဆိုကာ နားကပ်ကို ပြန်တောင်းခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် စိတ်ဆိုးပြေသွား၍ ဒေါ်ခင်ရီကို ပြန်လည်ခေါ်ဝေါ်ခဲ့ရာ ဒေါ်ခင်ရီသည် အဆိုပါ နားကပ်ကို သေသည်အထိ ဝတ်ဆင်သွားခဲ့သည်။ == အနွယ်တော်များ၊ တပည့်များနှင့် ရတနာဂူအထက်နန်း အငြင်းပွားမှု == * '''ဒေါ်ခင်သိန်း:''' ဒေါ်သင်လေး၏ တူမ (နတ်အလိုတပည့်) ဖြစ်ပြီး လူအမွေ၊ နတ်အမွေ အကုန်ရရှိခဲ့သည်။ ၄၁ လမ်း တိုက်အပြင် ဒေါ်သင်လေး ထသွားထလာ ဝတ်ရန်ထားသည့် ရွှေထည် အစိတ်သားခန့်ကို ရရှိခဲ့သည်။ * '''ဦးဘရှင်:''' ဒေါ်သင်လေး၏ တပည့် နတ်နေကြီး ဦးဘရှင်သည် ဖဲ အလွန်ရိုက်သူဖြစ်သည်။ ဦးဘရှင်နှင့် ဒေါ်ရင်ကို ဒေါ်သင်လေးက စံခန်းသွင်းပေးခဲ့သည်။ ဦးဘရှင်သည် ဆိုင်း ဦးဘဒင် နှင့် ညီအစ်ကိုအရင်း ဖြစ်ပြီး နန်းတော်ကြီး သိုးမိဖုရား ဒေါ်အေးတင်နှင့် အိမ်ထောင်ကျခဲ့သည်။ * '''လှူဒါန်းခဲ့သည့် ပစ္စည်းများ:''' ကျန်ရှိသော ရွှေများကို ဦးရာမနန်းမှ ပုံတော်ဒကာ၊ ဝေါဒကာ၊ ဇမ္ဗူအေးဘုရားဒကာ ကျောက်သွေးတန်းက ဦးကြိုင်၊ ဒေါ်ရွှေတို့ထံ သံသေတ္တာတစ်လုံးဖြင့် သွားရောက် အပ်နှံခဲ့သည်။ * '''အမေဒလ (ဒေါ်ငြိမ်းလှ):''' အမေဒလ (အမည်ရင်း ဒေါ်ငြိမ်းလှ၊ တနင်္လာသမီး) သည် ငယ်စဉ်က "ခွေးမလေး အကြော်စုံ" ဟု အကြော်ဗန်း ခေါင်းရွက်ရောင်းခဲ့ရသူ အောက်ပြည်သူဖြစ်သည်။ အောက်ပြည်တွင် ဆရာနှင့် နတ်ပြီးခဲ့ပြီးမှ သိုးဆောင်းရန်အတွက် အမေသင်လေးနှင့် အမေရင်တို့ထံ ဆရာပြန်တော်ခဲ့သည်။ ဒေါ်သင်လေးနှင့် ဒေါ်ရင်တို့ကပင် အမေဒလကို စံခန်းသွင်းပေးခဲ့ရာ သိုးဆောင်းသောအခါ "ဒလ ဒေါ်ခွေးမ" ဟု အမည်တွင်ခဲ့သည်။ * '''အထက်နန်း တရားတဘောင်:''' ရတနာဂူ အထက်နန်းကို ဒေါ်ရင်က ပိုင်ဆိုင်ခဲ့သော်လည်း ဒေါ်ရင် တောင်ကွယ်ပြီးနောက် နန်းလုကြရာ ဒေါ်ရင်၏ တူမများနှင့် ဒေါ်သင်လေး၏ နတ်သားသမီးများ ရုံးရောက်ဂါတ်ရောက် တရားတဘောင် ဖြစ်ခဲ့ကြသည်။ တရားသူကြီးက "နတ်ကိစ္စသည် နတ်သားသမီးနှင့်သာ ဆိုင်သည်" ဟု အမိန့်ချကာ ဦးဘရှင် ၁ နှစ်၊ အမေဒလ ၁ နှစ် ပိုင်ဆိုင်စေရန် အမိန့်ချခဲ့သည်။ ဦးဘရှင် တောင်ကွယ်သောအခါ ဗိုက်မွေးသားသမီးမရှိ၊ အမေအေးတင်ကလည်း ဝင်မပြော၊ အထက်နန်းသို့ သွားမက၊ သွားမခ၊ အဝင်အထွက် မလုပ်တော့သဖြင့် အမေဒလတစ်ဦးတည်း အကုန်ပိုင်သွားခဲ့သည်။ * '''အောက်ပြည်နတ်များ သယ်ဆောင်လာခြင်း:''' အမေဒလသည် ရတနာဂူ အထက်နန်းထိန်း ဖြစ်လာသောအခါ ပဲခူးမယ်တော်ပုံတော်နှင့် ဇာတိကျွဲပုံတော်ကို သူ့ရိုးရာဟုဆိုကာ ပင့်ဆောင်လာပြီး မင်းနှစ်ပါး ချိုးရေတော်သုံးလျှင် ကျွဲပုံတော်ပါ ဝေါပေါ် ထည့်ပေးခဲ့သည်။ ထိုအကြောင်းကို အမေအေးတင် သိရှိသောအခါ ''"ငါ့ယောင်းမ မဒလက ဇာတ်လမ်းတွေရှုပ်ပြန်ပြီ၊ အောက်ပြည်မှာ သူဟာသူနေတဲ့နတ်ကို အညာကို ခေါ်လာပြန်ပြီ၊ စားတော်တွေရှုပ်၊ နတ်လမ်းတွေ ရှုပ်ကုန်တော့မှာပဲ"'' ဟု ပြောဆိုခဲ့သည်။ == ကိုးကားမှတ်တမ်း == ဤ နတ်ကတော် သမိုင်းကြောင်းများကို ဒေါ်သင်လေး၏ တူမ နတ်တပည့်ဖြစ်သူ ဒေါ်ခင်သိန်း၊ ထိုမှတစ်ဆင့် တပည့်ဖြစ်သူ ဒေါ်သိန်းကြည် (ဒေါ်သင်လေး၏ နတ်မြေး၊ ယခု အသက် ၈၀ ကျော်) က အောက်နန်း ဘောင်းဆောင်း ကိုမင်းမင်း သို့ ပြန်လည် ပြောပြချက်များမှတစ်ဆင့် မှတ်တမ်းတင်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ [[Category:မြန်မာ နတ်ကတော်များ]] [[Category:မန္တလေးမြို့သားများ]] [[Category:မြန်မာ့ရိုးရာ နတ်ယုံကြည်မှု]] bi6ht1vdldf4uhoxmwylby4cp3xlf35 1049537 1049467 2026-08-20T08:54:12Z Ninjastrikers 22896 1049537 wikitext text/x-wiki {{db-person}} {{Infobox person | name = ဒေါ်သင်လေး | other_names = နတ်နေကြီး ဒေါ်သင်လေး၊ ရွှေဓားကိုင် ဒေါ်သင်လေး၊ ယောင်ထိပ်ထုံး ဒေါ်သင်လေး | residence = [[မန္တလေးမြို့]]၊ ၄၁ လမ်း | occupation = [[နတ်ကတော်]]၊ နတ်နေကြီး | spouse = ဦးကျားဟိန်း }} '''နတ်နေကြီး ဒေါ်သင်လေး''' (ခေါ်) '''ရွှေဓားကိုင် ဒေါ်သင်လေး''' (သို့မဟုတ်) '''ယောင်ထိပ်ထုံး ဒေါ်သင်လေး''' သည် [[မန္တလေးမြို့]] သမိုင်းတွင် ထင်ရှားသည့် ရှေးခေတ် ဝါရင့် [[နတ်ကတော်]]ကြီးတစ်ဦး ဖြစ်သည်။ == မန္တလေး နယ်မြေခေါ်ဝေါ်ပုံ ==⁹ မန္တလေးမြို့တွင် အလွယ်သတ်မှတ်ကြပုံမှာ - * ၃၁ လမ်းကို မြို့လယ်၊ * ၃၅ လမ်း (A လမ်း) တောင်ဘက်ကို တောင်ပြင်၊ * ၂၆ လမ်း (B လမ်း) မြောက်ဘက်ကို မြောက်ပြင်၊ * ဘူတာကြီး အရှေ့ခြမ်းကို အရှေ့ပြင် (အရင်ခေတ်က ဘူတာကြီးသည် နန်းတွင်းကို ဖြတ်ပြီး ဖောက်ထားခြင်းဖြစ်သည်) ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ အမေဒေါ်သင်လေးသည် ၄၁ လမ်းတွင် နေထိုင်သဖြင့် တောင်ပိုင်းကျပြီး ''"တောင်လယ်မှာ ခေါင်တည်တဲ့ ဒေါ်သင်လေး"'' ဟု အများက တင်စားခေါ်ဝေါ်ကြသည်။ == ငယ်စဉ်ဘဝနှင့် နတ်နေ (ဝါစစဉ်) == ဒေါ်သင်လေးသည် အသက် ၁၆ နှစ်အရွယ်တွင် စံခန်းဝင်ခဲ့ပြီး [[ပခန်းမင်း]]နတ်နှင့် ၁၄ နှစ်သမီးကတည်းက လက်ထပ်ထားခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်ဟု ဆိုသည်။ ငယ်စဉ်ကတည်းက နတ်သိမ်းခံခဲ့ရသူဖြစ်၍ [[မန္တလေးတောင်]]ခြေရှိ မန္တလေးဘိုးတော်ကြီး ရုပ်ထုထက်ပင် နတ်နေ အများကြီး ပိုမိုကြီးရင့်သည်။ ဒေါ်သင်လေးတွင် ဗိုက်မွေးသားသမီး မရှိပါ။ ပေါက်ပေါက်တန်း အမေလှ၊ စိန်ပန်း အမေအုပ် တို့ထက် လူအသက် ငယ်သော်လည်း နတ်နေ ပိုကြီးသည်။ တောင်ပြုန်း နတ်အုပ်မင်း ဦးကျောက်လုံး၏ မိန်းမ ဖြစ်သူ ရတနာ့ဂူ အထက်နန်းထိန်း နတ်နေကြီး ဒေါ်ရင် (၃၇ လမ်း နတ်ဝင်းထဲတွင် နေထိုင်သူ) သည် ဒေါ်သင်လေးထက် နတ်နေ ၁ လ ပိုကြီးသည်။ အမေလှ၊ အမေစီ၊ အမေအုပ်တို့က အမေသင်လေးကို "နတ်နေကြီး" ဟုလည်းကောင်း၊ "ဆရာသင်" ဟုလည်းကောင်း ခေါ်ကြသလို၊ အမေသင်လေးကလည်း အမေလှ၊ အမေအုပ်၊ အမေစီဟု ရိုရိုသေသေ ပြန်ခေါ်လေ့ရှိရာ အပြန်အလှန် လေးစားကြသဖြင့် အတုယူစရာ ဖြစ်ခဲ့သည်။ ငယ်စဉ်က အင်းဘဲ အမေသိန်းခင် (နတ်နေ အများကြီးငယ်သူ) နှင့် အချစ်တော်ထားခဲ့သည်။ အိမ်ထောင်ဖက်မှာ တရုတ်ပြည်ကြီးပေါက်သူဌေး လူပျိုကြီး ဦးကျားဟိန်း ဖြစ်ပြီး ၄၁ လမ်းတွင် တိုက်ကြီးနှင့် ရွှေအပြည့် ငွေအပြည့် ချမ်းသာစွာ နေထိုင်ခဲ့သည်။ == နတ်ရိုးရာနှင့် အနုပညာဆိုင်ရာ ဆောင်ရွက်ချက်များ == * '''နတ်အိုးနှင့် ပစ္စည်းများ လိပ်ပြာသိပ်ခြင်း:''' [[ရွှေနဘေနတ်]] ကန်တော်လိပ်ပြာသိပ်ခြင်း၊ အိမ်တွင်းအိုးတော် လိပ်ပြာသိပ်ခြင်း၊ ဓား၊ ဖလား၊ ကြက်၊ ကျား၊ ကြွေကလပ် အပါအဝင် နတ်ပစ္စည်းမှန်သမျှကို လိပ်ပြာသိပ်သည့် အလေ့အထကို အမေသင်လေးက စတင်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ အပ်ချည်တစ်လုံးနှင့် စည်းဘောင်ထဲကနေ လုပ်ကိုင်အသက်မွေးတတ်သည့် နတ်နေကြီးဖြစ်သည်။ ရှေးခေတ်က မန္တလေးနတ်ကတော်များသည် ကြွေကလပ်ရသည်နှင့် မိမိဟောပြောရာ ထမင်းအိုးဖြစ်၍ မှန်စီရွှေချ (သို့) ရွှေစစ်ပိန်းချကာ ဖွားဖွားကြီး ဒေါ်သင်လေးထံ သွားရောက် လိပ်ပြာသိပ်ကြရသည်။ (ယခုခေတ်တွင် ကြွေကလပ် လိပ်ပြာသိပ်တာ မလုပ်ကြတော့ပေ။) * '''ရွှေနဘေနတ် မြေလူးခြင်း:''' ပေါက်ပေါက်တန်း အမေလှ တောင်ကွယ်ပြီးနောက် မြစ်တူးရိုးရာ ရွှေနဘေနတ် လူးရန် မည်သူမျှ မယူဝံ့ကြပေ။ အမေလှ၏ တပည့်ကြီး စိန်ပန်း ဒေါ်တင်နုကလည်း ယောက်ျားယူတာများ၍ ရိုးရာမယူရဲ၊ အမေညွန့်ရီကလည်း အရက်ကြိုက်၍ ရိုးရာမယူခဲ့ပေ။ ပေါက်ပေါက်တန်း အမေသန်းကြည် မယူမီ "သူလူးသင့်၊ ငါလူးသင့်" တိုင်ပင်ကြရာ မန္တလေးတွင် နတ်နေအကြီးဆုံး ဖြစ်သည့် ဒေါ်ရင်နှင့် ဒေါ်သင်လေးတို့ထံ သွားရောက်ပြောဆိုရာ အမေသင်လေးက ရိုးရာလက်ဆင့်ကမ်း ယူပေးခဲ့သည်။ ရိုးရာမဟုတ်သော်လည်း နတ်နေကြီး၍ အမေသင်လေး မြေလူးသည်ကို နတ်ကလည်း ကျေနပ်ခဲ့သည်။ * '''နတ်သံပစ်ခြင်း:''' ဖွားဖွားသင်သည် စာလုံးဝ မတတ်သော်လည်း ရွှေနဘေနတ် လူးတော့မည်ဆိုပါက ''"ကျော့ရှင်းငယ်မှ မူယာ"'' အစချီသည့် ရွှေနဘေနတ်သံကို ပုဏ္ဏားသံပါအောင် ကိုယ်တိုင် ပစ်ဆိုခဲ့သည်။ * '''တောင်ပြုန်းနန်းတော် ညီလာခံ:''' [[တောင်ပြုန်းနတ်ပွဲ]] နန်းတော်ပေါ်ကြားကနားဆိုလျှင် အမေရင်နှင့် အမေသင်တို့က ညီလာခံပေးရသည်။ ထိုစဉ်က ကြားကနားများ သိုးဗောင်းခေါ်ကသည့် အလေ့မရှိသေးပေ။ အမေရင်နှင့် အမေသင် တောင်ပြုန်းမင်းချော့သည်မှာ ပလ္လင်ပေါ်မှ တောင်ပြုံးမင်း ဆင်းကနေသလား မှတ်ရလောက်အောင် ကျက်သရေရှိလှသည်။ နန်းတော်ပေါ် နတ်လမ်းလုပ်ရသော်လည်း နန်းထိန်းများကို လုံးဝ ပြုံးမပြ၊ ရယ်မပြ၊ စကားမပြောဘဲ ခပ်တန်းတန်းနေကြသည်။ နန်းတော်ပေါ် တက်လာ၍ နေရာဖယ်မပေးပါက ယောင်တာလို၊ ရမ်းတာလိုနှင့် လက်ထဲမှ ဆေးလိပ်ပြာခံသည့် ကြေးဖလား၊ ကွမ်းအစ်တို့ကို လွှတ်ချပစ်လေ့ရှိသည်။ * '''သိုးဗောင်းခေါ်ကသည့် အစပြုပုံ:''' အမေသင်သည် တောင်ပြုန်းဘူတာတွင် ရထားစောင့်ရင်း ဒေါ်ရင်ကို ''"မမရင်ရယ်၊ ရှင်နဲ့ကျမ မရှိရင် သူတို့ဘာမှလုပ်လို့ မရပါဘူးတော်"'' ဟု ပြောခဲ့ရာ ထိုစကားကို ကြားသူက နန်းထိန်းထံ ပြန်ပြောသဖြင့် ထိုအချိန်မှစ၍ နန်းထိန်းက သိုးဗောင်းခေါ်ကရန် လူပိုင်မွေးတော့ခြင်း ဖြစ်သည်။ == ထူးခြားသည့် ဖြစ်ရပ်များ == === ကြက်ဖလားနှင့် ခေါက်သည့် ဖြစ်ရပ် === ဖွားဖွားကြီး ဒေါ်သင်လေးနှင့် အမြဲ နတ်တင်နတ်သရှိသည့် အိမ်တစ်အိမ်တွင် နတ်ကတော်ပေါက်စမတစ်ဦးက နတ်ဟောပြီး ကန္နားတောင်းခဲ့သည်။ (ဖွားဖွားကြီး နတ်တင်လျှင် ဘာမှမတောင်းဘဲ ဆုတောင်းပေး၍ ရေစင်ဖိုး ကန်တော့ကြေးယူပြီး ပြန်လေ့ရှိသည်။) ကန္နားပေးသောအခါ ဖွားဖွားကြီးအား ကန္နားစင်ထိပ်တွင် ကန်တော့ခံရန် ဖိတ်ရသည်။ ဒေါ်သင်လေးက နတ်အုပ်မင်း ဦးကျောက်လုံးကို ထပ်ဆင့်ဖိတ်ခေါ်၍ လိုက်လာခဲ့သည်။ ဖွားဖွားကြီး ကန္နားထိပ်တွင် ဆေးလိပ်သောက်နေစဉ် ကိုကြီးကျော်ချော့နေသည့် နတ်ကတော်မက ဒေါ်သင်လေးထံ ကြက်ဖလား လှမ်းပစ်လိုက်ပြီး ကြက်လောင်းကြေးထည့်ခိုင်းခဲ့သည်။ ဒေါ်သင်လေးက ဒေါသထွက်ကာ - :''"ဟဲ့ ကိုကြီးကျော် လာဦး၊ ရှင် ကျမကို ငယ်စဉ်ကတည်းက ကောက်ထားတာ မေ့နေရော့သလား။ ဒါမှမဟုတ် ဟဲ့နတ်ကတော်မ၊ နင်က မသင်လေးဆိုတာကို မကြားဖူးဘူးလား။ ငါလို မိန်းမက ပခန်းမင်းနဲ့ ၁၄ နှစ်သမီးကတည်းက လက်ထပ်ထားတာဟဲ့။ နင်တို့ တမြို့လုံးကိုးကွယ်နေတဲ့ မန်းတလေးတောင်ခြေက မန်းတလေးဘိုးတော်ကြီး ရုပ်ထုတောင် ငါ့ထက် နတ်နေအများကြီးငယ်တယ်ဟဲ့။ နင်မသိရင် ငါ့အကြောင်းစုံစမ်းထား"'' ဟု ဆိုကာ အဆိုပါ နတ်ကတော်မ၏ နဖူးကို ငွေစစ်ကြက်ဖလား ပိန်သွားသည်အထိ ထုခေါက်ချခဲ့သည်။ ထို့နောက် နတ်အုပ်မင်း ဦးကျောက်လုံး (ဒေါ်သင်လေးထက် ငယ်သူ) အား တိုင်ကြားရာ ဦးကျောက်လုံးက နတ်ကတော်မအား မှာကြား၍ ကန်တော့ပွဲဖြင့် တောင်းပန်ခိုင်းခဲ့သည်။ ဒေါ်သင်လေးကလည်း ပိန်သွားသည့် ဖလားကို ပြန်ပြင်ပေးလိုက်ပြီး ကျေအေးကာ ကန်တော့ပွဲကို ဦးကျောက်လုံးအား ယူဆောင်စေလျက် အိမ်သို့ ပြန်ခိုင်းခဲ့သည်။ === အဆိုတော် ဒေါ်ခင်ရီနှင့် ဖြစ်ရပ် === အဆိုတော် [[ဒေါ်ခင်ရီ]] သည် ဖွားဖွားသင်၏ သွားလေရာ ခြင်းဆွဲ၊ နောက်လိုက်၊ တောက်တိုမယ်ရ ဝေယျာဝစ္စများ ဆောင်ရွက်ပေးခဲ့သဖြင့် သဒ္ဓါလွန်း၍ ရှေးဥသဖယားအစစ် နားကပ်တစ်ရံ ပိုင်ဆိုင်ခွင့် ပေးခဲ့သည်။ သို့သော် ဒေါ်ခင်ရီက မေမြို့ ဦးတင်မောင် ရှေ့တွင် ''"တောင်လယ်က ခေါင်တည်ပြီး အပြောင်သယ်တဲ့ ဒေါ်သင်လေး"'' ဟု စကားပြောမိခဲ့သည်။ ဦးတင်မောင်က ဒေါ်သင်လေးထံ ဆိုက်ကားစီး၍ အဆိုပါစကားကို သွားရောက်ပြောပြရာ ဒေါ်သင်လေးက ဦးတင်မောင်၏ ဆိုက်ကားကို ငှား၍ ဒေါ်ခင်ရီ၏ အိမ် (ဘော်ကာတန်း) သို့ ချက်ချင်း လိုက်သွားခဲ့သည်။ ဒေါ်ခင်ရီ အိမ်ရှေ့ရောက်သောအခါ ခုနစ်ချီသံဖြင့် - :''"ဟဲ့ ခင်ရီမ... လင်အတည်မရတဲ့ ခင်ရီမ၊ နင်လိုဟာမက မောင်ထူးလိုလို၊ ဘကူလိုလို၊ ဘရှင်လိုလိုနဲ့ ဘယ်ဟာနဲ့မှ မလွတ်တဲ့ အဆိုတော်မ။ ဖွားအေဖြစ်သူကတော့ ချစ်လိုက်ရတာ ငါ့သမီးလေး ဝတ်ပါစေတော့ဆိုပြီး နားကပ်လေး ဆင်ပေးထားတာ၊ ခုချက်ချင်း အဲ့နားကပ်ချွတ် ငါ့ပြန်ပေး။ ညည်းက သဘင်သည်ပီပီ စကားကိုတတ် ပါးစပ်စည်းမစောင့်တဲ့ကောင်မ၊ ပြတ်ပြီဟေ့ နင်လိုဟာမ သေတောင်မခေါ်ဘူး"'' ဟု အော်ဟစ်ဆဲဆိုကာ နားကပ်ကို ပြန်တောင်းခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် စိတ်ဆိုးပြေသွား၍ ဒေါ်ခင်ရီကို ပြန်လည်ခေါ်ဝေါ်ခဲ့ရာ ဒေါ်ခင်ရီသည် အဆိုပါ နားကပ်ကို သေသည်အထိ ဝတ်ဆင်သွားခဲ့သည်။ == အနွယ်တော်များ၊ တပည့်များနှင့် ရတနာဂူအထက်နန်း အငြင်းပွားမှု == * '''ဒေါ်ခင်သိန်း:''' ဒေါ်သင်လေး၏ တူမ (နတ်အလိုတပည့်) ဖြစ်ပြီး လူအမွေ၊ နတ်အမွေ အကုန်ရရှိခဲ့သည်။ ၄၁ လမ်း တိုက်အပြင် ဒေါ်သင်လေး ထသွားထလာ ဝတ်ရန်ထားသည့် ရွှေထည် အစိတ်သားခန့်ကို ရရှိခဲ့သည်။ * '''ဦးဘရှင်:''' ဒေါ်သင်လေး၏ တပည့် နတ်နေကြီး ဦးဘရှင်သည် ဖဲ အလွန်ရိုက်သူဖြစ်သည်။ ဦးဘရှင်နှင့် ဒေါ်ရင်ကို ဒေါ်သင်လေးက စံခန်းသွင်းပေးခဲ့သည်။ ဦးဘရှင်သည် ဆိုင်း ဦးဘဒင် နှင့် ညီအစ်ကိုအရင်း ဖြစ်ပြီး နန်းတော်ကြီး သိုးမိဖုရား ဒေါ်အေးတင်နှင့် အိမ်ထောင်ကျခဲ့သည်။ * '''လှူဒါန်းခဲ့သည့် ပစ္စည်းများ:''' ကျန်ရှိသော ရွှေများကို ဦးရာမနန်းမှ ပုံတော်ဒကာ၊ ဝေါဒကာ၊ ဇမ္ဗူအေးဘုရားဒကာ ကျောက်သွေးတန်းက ဦးကြိုင်၊ ဒေါ်ရွှေတို့ထံ သံသေတ္တာတစ်လုံးဖြင့် သွားရောက် အပ်နှံခဲ့သည်။ * '''အမေဒလ (ဒေါ်ငြိမ်းလှ):''' အမေဒလ (အမည်ရင်း ဒေါ်ငြိမ်းလှ၊ တနင်္လာသမီး) သည် ငယ်စဉ်က "ခွေးမလေး အကြော်စုံ" ဟု အကြော်ဗန်း ခေါင်းရွက်ရောင်းခဲ့ရသူ အောက်ပြည်သူဖြစ်သည်။ အောက်ပြည်တွင် ဆရာနှင့် နတ်ပြီးခဲ့ပြီးမှ သိုးဆောင်းရန်အတွက် အမေသင်လေးနှင့် အမေရင်တို့ထံ ဆရာပြန်တော်ခဲ့သည်။ ဒေါ်သင်လေးနှင့် ဒေါ်ရင်တို့ကပင် အမေဒလကို စံခန်းသွင်းပေးခဲ့ရာ သိုးဆောင်းသောအခါ "ဒလ ဒေါ်ခွေးမ" ဟု အမည်တွင်ခဲ့သည်။ * '''အထက်နန်း တရားတဘောင်:''' ရတနာဂူ အထက်နန်းကို ဒေါ်ရင်က ပိုင်ဆိုင်ခဲ့သော်လည်း ဒေါ်ရင် တောင်ကွယ်ပြီးနောက် နန်းလုကြရာ ဒေါ်ရင်၏ တူမများနှင့် ဒေါ်သင်လေး၏ နတ်သားသမီးများ ရုံးရောက်ဂါတ်ရောက် တရားတဘောင် ဖြစ်ခဲ့ကြသည်။ တရားသူကြီးက "နတ်ကိစ္စသည် နတ်သားသမီးနှင့်သာ ဆိုင်သည်" ဟု အမိန့်ချကာ ဦးဘရှင် ၁ နှစ်၊ အမေဒလ ၁ နှစ် ပိုင်ဆိုင်စေရန် အမိန့်ချခဲ့သည်။ ဦးဘရှင် တောင်ကွယ်သောအခါ ဗိုက်မွေးသားသမီးမရှိ၊ အမေအေးတင်ကလည်း ဝင်မပြော၊ အထက်နန်းသို့ သွားမက၊ သွားမခ၊ အဝင်အထွက် မလုပ်တော့သဖြင့် အမေဒလတစ်ဦးတည်း အကုန်ပိုင်သွားခဲ့သည်။ * '''အောက်ပြည်နတ်များ သယ်ဆောင်လာခြင်း:''' အမေဒလသည် ရတနာဂူ အထက်နန်းထိန်း ဖြစ်လာသောအခါ ပဲခူးမယ်တော်ပုံတော်နှင့် ဇာတိကျွဲပုံတော်ကို သူ့ရိုးရာဟုဆိုကာ ပင့်ဆောင်လာပြီး မင်းနှစ်ပါး ချိုးရေတော်သုံးလျှင် ကျွဲပုံတော်ပါ ဝေါပေါ် ထည့်ပေးခဲ့သည်။ ထိုအကြောင်းကို အမေအေးတင် သိရှိသောအခါ ''"ငါ့ယောင်းမ မဒလက ဇာတ်လမ်းတွေရှုပ်ပြန်ပြီ၊ အောက်ပြည်မှာ သူဟာသူနေတဲ့နတ်ကို အညာကို ခေါ်လာပြန်ပြီ၊ စားတော်တွေရှုပ်၊ နတ်လမ်းတွေ ရှုပ်ကုန်တော့မှာပဲ"'' ဟု ပြောဆိုခဲ့သည်။ == ကိုးကားမှတ်တမ်း == ဤ နတ်ကတော် သမိုင်းကြောင်းများကို ဒေါ်သင်လေး၏ တူမ နတ်တပည့်ဖြစ်သူ ဒေါ်ခင်သိန်း၊ ထိုမှတစ်ဆင့် တပည့်ဖြစ်သူ ဒေါ်သိန်းကြည် (ဒေါ်သင်လေး၏ နတ်မြေး၊ ယခု အသက် ၈၀ ကျော်) က အောက်နန်း ဘောင်းဆောင်း ကိုမင်းမင်း သို့ ပြန်လည် ပြောပြချက်များမှတစ်ဆင့် မှတ်တမ်းတင်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ [[Category:မြန်မာ နတ်ကတော်များ]] [[Category:မန္တလေးမြို့သားများ]] [[Category:မြန်မာ့ရိုးရာ နတ်ယုံကြည်မှု]] f91g6i4hqs8b3uyj0ahfo0qolyhpv2u 0 290706 1049475 2026-08-20T00:40:37Z 延岡 137044 စာမျက်နှာကို [[တိုဟိုကုရှင်ကန်ဆန်]] သို့ ပြန်ညွှန်းလိုက်သည် 1049475 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[တိုဟိုကုရှင်ကန်ဆန်]] izpd9znk4jmhadwtg7hb40o3wj5ei1j 0 290707 1049476 2026-08-20T00:47:08Z 延岡 137044 "'''ဟိုခုရိခုရှင်ကန်ဆန်''' (北陸新幹線၊ Hokuriku Shinkansen) သည် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ မြန်နှုန်းမြင့် မီးရထားလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤလမ်းကြောင်းသ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049476 wikitext text/x-wiki '''ဟိုခုရိခုရှင်ကန်ဆန်''' (北陸新幹線၊ Hokuriku Shinkansen) သည် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ မြန်နှုန်းမြင့် မီးရထားလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤလမ်းကြောင်းသည် တိုကျိုမြို့နှင့် ဟိုခုရိခုဒေသရှိ နာဂနို၊ တိုယာမာ၊ အီရှိကာဝါနှင့် ဖုကုအိ စသည့် ဒေသများကို ဆက်သွယ်ပေးသည်။ == သမိုင်း == ဟိုခုရိခုရှင်ကန်ဆန်၏ ပထမပိုင်းဖြစ်သော တိုကျိုမှ နာဂနိုအထိ လမ်းပိုင်းကို ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်တွင် ၎င်းကို ‘’‘နာဂနိုရှင်ကန်ဆန်’’’ ဟု ခေါ်ဝေါ်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၅ ခုနှစ်တွင် နာဂနိုမှ ကာနာဇာဝါအထိ လမ်းပိုင်းကို ဖွင့်လှစ်ခဲ့ပြီး ဟိုခုရိခုရှင်ကန်ဆန်ဟူသော အမည်ကို အသုံးပြုလာခဲ့သည်။ ၂၀၂၄ ခုနှစ်တွင် ကာနာဇာဝါမှ စုရုဂါအထိ လမ်းပိုင်းကို ထပ်မံဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ == လမ်းကြောင်း == ဟိုခုရိခုရှင်ကန်ဆန်သည် တိုကျိုဘူတာမှ စတင်၍ အူအဲနို၊ အိုမိယ၊ တာကာဆာကိ၊ အန်နို၊ နာဂနို၊ အိဒါနာဝါ၊ တိုယာမာ၊ ကာနာဇာဝါနှင့် ဖုကုအိ စသည့် ဘူတာများကို ဖြတ်သန်းသွားသည်။ == ရထားဝန်ဆောင်မှု == ဟိုခုရိခုရှင်ကန်ဆန်တွင် '''ကာဂါယာကိ''' နှင့် '''ဟာကုတာကာ''' စသည့် ရထားဝန်ဆောင်မှုများ ပြေးဆွဲသည်။ ကာဂါယာကိသည် အဓိကအားဖြင့် တိုကျိုနှင့် ဟိုခုရိခုဒေသကြားတွင် အမြန်ပြေးဆွဲသော ဝန်ဆောင်မှုဖြစ်ပြီး ဟာကုတာကာသည် ဘူတာအများအပြားတွင် ရပ်နားသော ဝန်ဆောင်မှုဖြစ်သည်။ ဟိုခုရိခုရှင်ကန်ဆန်သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အရှေ့ပိုင်းနှင့် ဟိုခုရိခုဒေသကြား ခရီးသွားလာရေးနှင့် ကုန်သွယ်ရေးအတွက် အရေးပါသော သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ o1u4nygf7xtxvuyx0r0525ifg62lyjr 1049477 1049476 2026-08-20T00:54:04Z 延岡 137044 /* သမိုင်း */ 1049477 wikitext text/x-wiki '''ဟိုခုရိခုရှင်ကန်ဆန်''' (北陸新幹線၊ Hokuriku Shinkansen) သည် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ မြန်နှုန်းမြင့် မီးရထားလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤလမ်းကြောင်းသည် တိုကျိုမြို့နှင့် ဟိုခုရိခုဒေသရှိ နာဂနို၊ တိုယာမာ၊ အီရှိကာဝါနှင့် ဖုကုအိ စသည့် ဒေသများကို ဆက်သွယ်ပေးသည်။ == သမိုင်း == ဟိုခုရိခုရှင်ကန်ဆန်၏ ပထမပိုင်းဖြစ်သော တိုကျိုမှ နာဂနိုအထိ လမ်းပိုင်းကို ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်တွင် ၎င်းကို '''နာဂနိုရှင်ကန်ဆန်''' ဟု ခေါ်ဝေါ်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၅ ခုနှစ်တွင် နာဂနိုမှ ကာနာဇာဝါအထိ လမ်းပိုင်းကို ဖွင့်လှစ်ခဲ့ပြီး ဟိုခုရိခုရှင်ကန်ဆန်ဟူသော အမည်ကို အသုံးပြုလာခဲ့သည်။ ၂၀၂၄ ခုနှစ်တွင် ကာနာဇာဝါမှ စုရုဂါအထိ လမ်းပိုင်းကို ထပ်မံဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ == လမ်းကြောင်း == ဟိုခုရိခုရှင်ကန်ဆန်သည် တိုကျိုဘူတာမှ စတင်၍ အူအဲနို၊ အိုမိယ၊ တာကာဆာကိ၊ အန်နို၊ နာဂနို၊ အိဒါနာဝါ၊ တိုယာမာ၊ ကာနာဇာဝါနှင့် ဖုကုအိ စသည့် ဘူတာများကို ဖြတ်သန်းသွားသည်။ == ရထားဝန်ဆောင်မှု == ဟိုခုရိခုရှင်ကန်ဆန်တွင် '''ကာဂါယာကိ''' နှင့် '''ဟာကုတာကာ''' စသည့် ရထားဝန်ဆောင်မှုများ ပြေးဆွဲသည်။ ကာဂါယာကိသည် အဓိကအားဖြင့် တိုကျိုနှင့် ဟိုခုရိခုဒေသကြားတွင် အမြန်ပြေးဆွဲသော ဝန်ဆောင်မှုဖြစ်ပြီး ဟာကုတာကာသည် ဘူတာအများအပြားတွင် ရပ်နားသော ဝန်ဆောင်မှုဖြစ်သည်။ ဟိုခုရိခုရှင်ကန်ဆန်သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အရှေ့ပိုင်းနှင့် ဟိုခုရိခုဒေသကြား ခရီးသွားလာရေးနှင့် ကုန်သွယ်ရေးအတွက် အရေးပါသော သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ rlud0nt8ea2xct7jrequuafk8nzcnck 0 290708 1049478 2026-08-20T00:57:07Z 延岡 137044 စာမျက်နှာကို [[အိဘရခိခရိုင်]] သို့ ပြန်ညွှန်းလိုက်သည် 1049478 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[အိဘရခိခရိုင်]] 4f6zamh31xk5zcbl6kde32v1bfhwi75 0 290709 1049479 2026-08-20T01:05:23Z 延岡 137044 "'''တိုကျိုမက်ထရို''' (Tokyo Metro) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ တိုကျိုမြို့နှင့် ၎င်း၏ အနီးပတ်ဝန်းကျင်ဒေသများတွင် မြေအောက်ရထား ဝန်ဆောင်မှုပေးနေ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049479 wikitext text/x-wiki '''တိုကျိုမက်ထရို''' (Tokyo Metro) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ တိုကျိုမြို့နှင့် ၎င်း၏ အနီးပတ်ဝန်းကျင်ဒေသများတွင် မြေအောက်ရထား ဝန်ဆောင်မှုပေးနေသော မီးရထားလုပ်ငန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ တိုကျိုမက်ထရို၏ လိုင်းများသည် တိုကျိုမြို့၏ အဓိက စီးပွားရေးနှင့် လူနေထူထပ်သော ဒေသများကို ဆက်သွယ်ပေးပြီး တိုကျိုမြို့၏ အများပြည်သူ သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးစနစ်တွင် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ == လိုင်းများ == တိုကျိုမက်ထရိုသည် လက်ရှိတွင် လိုင်း ၉ လိုင်းကို ပြေးဆွဲလျက်ရှိသည်။ ထိုလိုင်းများမှာ ဂင်ဇာလိုင်း၊ မာရုနိုအူချိလိုင်း၊ ဟိဘိယလိုင်း၊ တိုးဇိုင်လိုင်း၊ ချီယိုဒါလိုင်း၊ ယူရာကုချိုလိုင်း၊ ဟန်ဇိုမွန်လိုင်း၊ နန်ဘိုခုလိုင်းနှင့် ဖုကုတိုရှင်လိုင်းတို့ ဖြစ်သည်။ တိုကျိုမက်ထရို၏ လိုင်းများသည် တိုကျိုမြို့အတွင်းရှိ အခြားမီးရထားလိုင်းများနှင့် ချိတ်ဆက်ထားပြီး ခရီးသည်များအနေဖြင့် မတူညီသော မီးရထားဝန်ဆောင်မှုများကို လွယ်ကူစွာ ပြောင်းလဲစီးနင်းနိုင်သည်။ == သမိုင်း == တိုကျိုဒေသတွင် မြေအောက်ရထားစနစ်၏ သမိုင်းသည် ၁၉၂၇ ခုနှစ်တွင် စတင်ခဲ့သည်။ ထိုနှစ်တွင် အာဆာကုဆာနှင့် အူအဲနိုကြားရှိ မြေအောက်ရထားလမ်းပိုင်းကို ဖွင့်လှစ်ခဲ့ပြီး နောက်ပိုင်းတွင် တိုကျိုမြို့၏ မြေအောက်ရထားကွန်ရက်သည် တဖြည်းဖြည်း တိုးချဲ့လာခဲ့သည်။ ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် တိုကျိုမက်ထရိုကုမ္ပဏီကို တည်ထောင်ခဲ့ပြီး ယခင် တဲအိတိုင်းမြို့ မြေအောက်ရထားလုပ်ငန်း၏ လိုင်းများကို လွှဲပြောင်းရယူကာ တိုကျိုမက်ထရိုအမည်ဖြင့် လုပ်ငန်းစတင်ခဲ့သည်။ == ယနေ့ == တိုကျိုမက်ထရိုသည် တိုကျိုမြို့နှင့် အနီးဝန်းကျင်ဒေသများရှိ နေ့စဉ်ခရီးသွားလာမှုအတွက် အရေးပါသော သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးစနစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အလုပ်သွားအလုပ်ပြန် ခရီးသည်များ၊ ကျောင်းသားများနှင့် ခရီးသွားဧည့်သည်များသည် တိုကျိုမက်ထရိုကို ကျယ်ပြန့်စွာ အသုံးပြုကြသည်။ tcd536xezsxrw9d66zc046x6js0kjxa 0 290710 1049480 2026-08-20T01:09:53Z 延岡 137044 "'''ရှိုးနန်ရှင်ဂျုခုလိုင်း''' (湘南新宿ライン၊ Shōnan–Shinjuku Line) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ ကန်တိုဒေသတွင် ပြေးဆွဲနေသော အမြန်ခရီးသည် မီးရထားဝန်ဆောင်မှု..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049480 wikitext text/x-wiki '''ရှိုးနန်ရှင်ဂျုခုလိုင်း''' (湘南新宿ライン၊ Shōnan–Shinjuku Line) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ ကန်တိုဒေသတွင် ပြေးဆွဲနေသော အမြန်ခရီးသည် မီးရထားဝန်ဆောင်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤဝန်ဆောင်မှုသည် တိုကျိုမြို့၏ ရှင်ဂျုခုဘူတာကို ဖြတ်သန်း၍ ရှိုးနန်ဒေသနှင့် တိုကျိုမြို့၏ အနောက်မြောက်ဘက်ရှိ ဒေသများကို ဆက်သွယ်ပေးသည်။ == လမ်းကြောင်း == ရှိုးနန်ရှင်ဂျုခုလိုင်းသည် အဓိကအားဖြင့် တိုကျိုမြို့၏ ရှင်ဂျုခု၊ ရှိဘူယာနှင့် အိကဲဘုခုရို စသည့် ဘူတာများကို ဖြတ်သန်းပြီး တောင်ဘက်တွင် ရှိုးနန်ဒေသနှင့် မြောက်ဘက်တွင် ဆိုင်တမနှင့် ဂွန်မဒေသများသို့ ဆက်သွယ်ပေးသည်။ တောင်ဘက်တွင် တိုကျိုမြို့အနီးရှိ ယိုကိုဟားမား၊ အိုဖုနာနှင့် ဟိရတ်စုကာ စသည့် ဘူတာများကို ဆက်သွယ်ပေးပြီး၊ မြောက်ဘက်တွင် အူရာဝါ၊ အိုမိယာနှင့် တကာဆာကိ စသည့် ဘူတာများသို့ ပြေးဆွဲသည်။ == ပြေးဆွဲမှု == ရှိုးနန်ရှင်ဂျုခုလိုင်း၏ ရထားများသည် လမ်းကြောင်းတစ်ခုတည်းပေါ်တွင် လုံးဝတူညီသော ဝန်ဆောင်မှုဖြင့် ပြေးဆွဲခြင်းမဟုတ်ဘဲ မြောက်ဘက်နှင့် တောင်ဘက်ရှိ မတူညီသော မီးရထားလိုင်းများနှင့် ဆက်စပ်၍ ပြေးဆွဲသည်။ ထို့ကြောင့် ခရီးသည်များသည် တိုကျိုမြို့အလယ်ပိုင်းတွင် ရထားပြောင်းစီးရန်မလိုဘဲ ကန်တိုဒေသ၏ မြောက်ပိုင်းနှင့် တောင်ပိုင်းကြား တိုက်ရိုက် ခရီးသွားနိုင်သည်။ ဤဝန်ဆောင်မှုကို ဂျပန်မီးရထားကုမ္ပဏီ၏ အရှေ့ဂျပန်ဒေသဆိုင်ရာ လုပ်ငန်းဖြစ်သော East Japan Railway Company (JR East) က ပြေးဆွဲသည်။ == အရေးပါမှု == ရှိုးနန်ရှင်ဂျုခုလိုင်းသည် တိုကျိုမြို့အတွင်းရှိ အဓိက ဘူတာများနှင့် ရှိုးနန်၊ ဆိုင်တမ၊ ဂွန်မ စသည့် ဒေသများကို တိုက်ရိုက် ဆက်သွယ်ပေးသောကြောင့် ကန်တိုဒေသ၏ အရေးပါသော အများပြည်သူ သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးဝန်ဆောင်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် ရှင်ဂျုခု၊ ရှိဘူယာနှင့် အိကဲဘုခုရိုကဲ့သို့သော တိုကျိုမြို့၏ အဓိက ခရီးသည်လွှဲပြောင်းရေးဘူတာများကို ဖြတ်သန်းသွားသောကြောင့် ခရီးသည်များအတွက် အဆင်ပြေစေသည်။ 43m1rnthrm8j2abzuu49dpjxtrq89r2 0 290711 1049481 2026-08-20T01:13:08Z 延岡 137044 "'''နစ်ကိုးလိုင်း''' (日光線၊ Nikkō Line) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ တိုချိဂိခရိုင်အတွင်းရှိ မီးရထားလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤလိုင်းကို အရှေ့ဂျပ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049481 wikitext text/x-wiki '''နစ်ကိုးလိုင်း''' (日光線၊ Nikkō Line) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ တိုချိဂိခရိုင်အတွင်းရှိ မီးရထားလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤလိုင်းကို အရှေ့ဂျပန်မီးရထားကုမ္ပဏီ (JR East) က ပြေးဆွဲပြီး ဥဆုနိုမိယာဘူတာနှင့် နစ်ကိုးဘူတာတို့ကို ဆက်သွယ်ပေးသည်။ == လမ်းကြောင်း == နစ်ကိုးလိုင်းသည် ဥဆုနိုမိယာမြို့မှ အနောက်မြောက်ဘက်သို့ ပြေးဆွဲပြီး နစ်ကိုးမြို့သို့ ရောက်ရှိသည်။ လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက်တွင် ကာနူမာ၊ မိုဇီဂျိနှင့် အီမာအိချိ စသည့် ဘူတာများ ရှိသည်။ နစ်ကိုးဘူတာသည် နစ်ကိုးမြို့ရှိ ဘုရားကျောင်းများ၊ နတ်ကွန်းများနှင့် သဘာဝအလှအပများသို့ သွားရောက်လည်ပတ်သော ခရီးသွားများအတွက် အရေးပါသော ဘူတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ == သမိုင်း == နစ်ကိုးလိုင်းကို ၁၈၉၀ ခုနှစ်တွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ မီးရထားစနစ် ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းမှုများနှင့်အတူ ဤလိုင်းသည် JR East ၏ လုပ်ငန်းစနစ်အတွင်းသို့ ဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ == ရထားများ == နစ်ကိုးလိုင်းတွင် ဒေသတွင်းခရီးသည်ရထားများ ပြေးဆွဲသည်။ ထို့အပြင် တိုကျိုမြို့နှင့် နစ်ကိုးဒေသကြား ခရီးသွားလာရန်အတွက် အခြားမီးရထားလိုင်းများနှင့် ချိတ်ဆက်အသုံးပြုနိုင်သည်။ == အရေးပါမှု == နစ်ကိုးလိုင်းသည် ဥဆုနိုမိယာနှင့် နစ်ကိုးဒေသတို့ကို ဆက်သွယ်ပေးသည့်အပြင် နစ်ကိုးမြို့ရှိ အထင်ကရ ယဉ်ကျေးမှုနှင့် ခရီးသွားနေရာများသို့ သွားရောက်ရန် အရေးပါသော သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ 49hh3h93ton8ztmlvvhnv6wltmwkj3g 0 290712 1049482 2026-08-20T01:18:40Z 延岡 137044 "'''ရိုးမလိုင်း''' (両毛線၊ Ryōmō Line) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ ကန်တိုဒေသရှိ မီးရထားလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤလိုင်းကို အရှေ့ဂျပန်မီးရထားကုမ္..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049482 wikitext text/x-wiki '''ရိုးမလိုင်း''' (両毛線၊ Ryōmō Line) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ ကန်တိုဒေသရှိ မီးရထားလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤလိုင်းကို အရှေ့ဂျပန်မီးရထားကုမ္ပဏီ (JR East) က ပြေးဆွဲပြီး ဂွန်မခရိုင်ရှိ မဲဘာရှိဘူတာနှင့် တိုချိဂိခရိုင်ရှိ အိုယာမဘူတာတို့ကို ဆက်သွယ်ပေးသည်။ == လမ်းကြောင်း == ရိုးမလိုင်းသည် မဲဘာရှိဘူတာမှ စတင်ပြီး ကီရီယူ၊ အရှီကာဂါ၊ ဆာနိုနှင့် အိုယာမ စသည့် မြို့များကို ဖြတ်သန်းသွားသည်။ လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက်တွင် အဓိကအားဖြင့် မဲဘာရှိ၊ ရှင်မဲဘာရှိ၊ ကီရီယူ၊ အိုမာတာ၊ အရှီကာဂါ၊ ဆာနိုနှင့် အိုယာမ စသည့် ဘူတာများ ရှိသည်။ == သမိုင်း == ရိုးမလိုင်းသည် ဂွန်မခရိုင်နှင့် တိုချိဂိခရိုင်တို့အကြား ရထားပို့ဆောင်ရေးကို တိုးတက်စေရန် တည်ဆောက်ခဲ့သော လမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ မီးရထားစနစ် ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းမှုများနှင့်အတူ JR East ၏ လုပ်ငန်းစနစ်အတွင်းသို့ ဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ == ရထားဝန်ဆောင်မှု == ရိုးမလိုင်းတွင် ဒေသတွင်းခရီးသည်ရထားများ အဓိက ပြေးဆွဲသည်။ အချို့သော ရထားများသည် အခြား JR East လမ်းကြောင်းများနှင့် ချိတ်ဆက်၍ ပြေးဆွဲသဖြင့် ဂွန်မနှင့် တိုချိဂိဒေသများအကြား ခရီးသွားလာရာတွင် အသုံးဝင်သည်။ == အရေးပါမှု == ရိုးမလိုင်းသည် ဂွန်မနှင့် တိုချိဂိခရိုင်များအကြား ဒေသဆိုင်ရာ သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးအတွက် အရေးပါသော မီးရထားလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက်ရှိ မြို့များ၊ စီးပွားရေးဒေသများနှင့် ခရီးသွားနေရာများကို ဆက်သွယ်ပေးသောကြောင့် ဒေသခံများ၏ နေ့စဉ်ခရီးသွားလာမှုတွင်လည်း အရေးပါသည်။ p3jd6oxw94hwibk6euwk399gqa1vw3y 0 290713 1049483 2026-08-20T01:21:28Z 延岡 137044 စာမျက်နှာကို [[တိုဟိုကုရှင်ကန်ဆန်]] သို့ ပြန်ညွှန်းလိုက်သည် 1049483 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[တိုဟိုကုရှင်ကန်ဆန်]] izpd9znk4jmhadwtg7hb40o3wj5ei1j 0 290714 1049484 2026-08-20T01:25:32Z 延岡 137044 "'''တိုဟိုခုလိုင်း''' (東北本線၊ Tōhoku Main Line) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ ကန်တိုနှင့် တိုဟိုခုဒေသများကို ဆက်သွယ်ပေးသော မီးရထားလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049484 wikitext text/x-wiki '''တိုဟိုခုလိုင်း''' (東北本線၊ Tōhoku Main Line) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ ကန်တိုနှင့် တိုဟိုခုဒေသများကို ဆက်သွယ်ပေးသော မီးရထားလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အရှေ့ဂျပန်မီးရထားကုမ္ပဏီ (JR East) က အဓိကအားဖြင့် ပြေးဆွဲပြီး တိုကျိုမြို့နှင့် ဆိုင်တမ၊ တိုချိဂိ၊ ဖုကုရှိမ၊ မိယာဂိ စသည့် ခရိုင်များကို ဆက်သွယ်ပေးသည်။ == လမ်းကြောင်း == တိုဟိုခုလိုင်း၏ အဓိကလမ်းကြောင်းသည် တိုကျိုမြို့မှ အိုမိယာ၊ အူဆုနိုမိယာ၊ ဖုကုရှိမနှင့် ဆဲန်ဒိုင်တို့ကို ဖြတ်သန်းကာ အာအိုမိုရိအထိ ဆက်လက်သွားသည်။ သို့သော် လက်ရှိတွင် လမ်းကြောင်းတစ်ခုလုံးကို JR East ၏ ခရီးသည်ရထားဝန်ဆောင်မှုတစ်ခုတည်းအဖြစ် မပြေးဆွဲတော့ဘဲ အပိုင်းများအလိုက် အမည်နှင့် ဝန်ဆောင်မှုပုံစံများ ကွဲပြားသည်။ တိုကျိုနှင့် အိုမိယာကြားတွင် လမ်းကြောင်း၏ အချို့အပိုင်းများကို အခြားခရီးသည်ရထားဝန်ဆောင်မှုများက အသုံးပြုကြပြီး၊ အိုမိယာမှ အာအိုမိုရိအထိရှိသော လမ်းကြောင်းတွင်လည်း ဒေသအလိုက် မီးရထားဝန်ဆောင်မှုများ ပြေးဆွဲသည်။ == သမိုင်း == တိုဟိုခုဒေသသို့ ရထားလမ်းဖောက်လုပ်ရေးကို ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် စတင်ခဲ့ပြီး နောက်ပိုင်းတွင် တိုကျိုနှင့် တိုဟိုခုဒေသများကို ဆက်သွယ်ပေးသော အရေးပါသည့် မီးရထားလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ဂျပန်အမျိုးသားမီးရထားကို ပုဂ္ဂလိကကုမ္ပဏီများအဖြစ် ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းသည့် ၁၉၈၇ ခုနှစ်နောက်ပိုင်းတွင် လမ်းကြောင်း၏ တောင်ပိုင်းအပိုင်းအများစုကို JR East က လွှဲပြောင်းယူခဲ့သည်။ == ဆက်စပ်လမ်းကြောင်းများ == တိုဟိုခုလိုင်း၏ လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက်တွင် တိုဟိုခုရှင်ကန်ဆန်၊ ဥဆုနိုမိယာလိုင်း၊ တကာဆာကိလိုင်းနှင့် အခြား JR လိုင်းများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများ ရှိသည်။ တိုဟိုခုရှင်ကန်ဆန်သည် တိုဟိုခုလိုင်း၏ အချို့အပိုင်းများနှင့် အနီးကပ်ပြေးဆွဲသော်လည်း သီးခြားမြန်နှုန်းမြင့် မီးရထားလမ်းကြောင်း ဖြစ်သည်။ == အရေးပါမှု == တိုဟိုခုလိုင်းသည် တိုကျိုမြို့နှင့် တိုဟိုခုဒေသအကြား လူနှင့် ကုန်စည် သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးအတွက် သမိုင်းကြောင်းအရ အရေးပါသော လမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ လက်ရှိတွင်လည်း ၎င်း၏ အပိုင်းအသီးသီးကို ဒေသခံခရီးသည်များနှင့် အခြားမီးရထားဝန်ဆောင်မှုများက အသုံးပြုလျက်ရှိသည်။ l75f5p2oldwrlbv9ewgu9gg0k9redzm 0 290715 1049485 2026-08-20T01:34:51Z 延岡 137044 စာမျက်နှာကို [[ဖက်ထုပ်]] သို့ ပြန်ညွှန်းလိုက်သည် 1049485 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[ဖက်ထုပ်]] 9bxpvsx01clo2056asujhp0gdsztxpy 0 290716 1049486 2026-08-20T01:46:40Z 延岡 137044 "'''ဖူကူရှီးမခရိုင်''' (福島県၊ Fukushima Prefecture) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ တိုဟိုခုဒေသ၏ တောင်ပိုင်းတွင် တည်ရှိသော ခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ခရိုင်ရုံးစိ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049486 wikitext text/x-wiki '''ဖူကူရှီးမခရိုင်''' (福島県၊ Fukushima Prefecture) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ တိုဟိုခုဒေသ၏ တောင်ပိုင်းတွင် တည်ရှိသော ခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ခရိုင်ရုံးစိုက်ရာမြို့မှာ ဖူကူရှီးမမြို့ ဖြစ်သည်။ ဖူကူရှီးမခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ တိုဟိုခုဒေသတွင် ဧရိယာအကျယ်အဝန်းကြီးမားသော ခရိုင်များအနက် တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == ပထဝီဝင် == ဖူကူရှီးမခရိုင်သည် အနောက်ဘက်တွင် နိအိဂါတခရိုင်၊ တောင်ဘက်တွင် အိဘာရခိခရိုင်နှင့် တိုချိဂိခရိုင်၊ မြောက်ဘက်တွင် ယာမာဂတခရိုင်နှင့် မိယာဂိခရိုင်တို့နှင့် ထိစပ်နေသည်။ အရှေ့ဘက်တွင် ပစိဖိတ်သမုဒ္ဒရာနှင့် ထိစပ်နေသည်။ ခရိုင်အတွင်းတွင် အဘုခုမတောင်တန်းနှင့် အီဒဇုတောင်တန်းတို့က မြေမျက်နှာသွင်ပြင်ကို ပိုင်းခြားထားပြီး၊ အဓိကအားဖြင့် ဟာမာဒိုးရိ၊ နာကာဒိုးရိနှင့် အိုင်ဇုဟူ၍ ဒေသသုံးခုအဖြစ် ခွဲခြားလေ့ရှိသည်။ == မြို့များ == ဖူကူရှီးမခရိုင်တွင် ဖူကူရှီးမမြို့၊ ကိုရိယာမမြို့၊ အိဝါကိမြို့၊ အိုင်ဇုဝါကာမတ်ဆုမြို့၊ ဆူခါဂါဝါမြို့နှင့် ကီတာကာတာမြို့တို့အပါအဝင် မြို့အများအပြား ရှိသည်။ == သမိုင်း == ဖူကူရှီးမဒေသသည် ရှေးခေတ်ကတည်းက တိုဟိုခုဒေသ၏ အရေးပါသော ဒေသတစ်ခု ဖြစ်ခဲ့သည်။ အဲဒိုခေတ်တွင် ဒေသအတွင်းရှိ နယ်မြေများကို ဒိုင်မျိုးနွယ်စုများက အုပ်ချုပ်ခဲ့ကြသည်။ ၁၈၇၁ ခုနှစ်တွင် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ခရိုင်စနစ် ပြုပြင်ပြောင်းလဲမှုများအပြီးတွင် ယနေ့ခေတ် ဖူကူရှီးမခရိုင်၏ အခြေခံအုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေများ ပေါ်ပေါက်လာခဲ့ပြီး ၁၈၇၆ ခုနှစ်တွင် လက်ရှိခရိုင်၏ နယ်နိမိတ်ပုံစံကို အဓိကအားဖြင့် ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ == စီးပွားရေး == ဖူကူရှီးမခရိုင်တွင် စိုက်ပျိုးရေး၊ စက်မှုလုပ်ငန်းနှင့် ဝန်ဆောင်မှုလုပ်ငန်းများ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လျက်ရှိသည်။ အထူးသဖြင့် ဆန်၊ သစ်သီးဝလံနှင့် အခြားစိုက်ပျိုးရေးထွက်ကုန်များ ထုတ်လုပ်မှုမှာ အရေးပါသည်။ အိဝါကိနှင့် ဟာမာဒိုးရိဒေသများတွင် စက်မှုလုပ်ငန်းများလည်း ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လျက်ရှိသည်။ == ခရီးသွားလုပ်ငန်း == ဖူကူရှီးမခရိုင်တွင် အိုင်ဇုဝါကာမတ်ဆုမြို့ရှိ ဆုရုဂါဂျိုရဲတိုက်၊ အိုင်ဇုဒေသ၏ သမိုင်းဝင်နေရာများ၊ ဘန်ဒိုင်တောင်နှင့် အိုင်နာဝါရှိရိုရေကန်တို့ကဲ့သို့သော ခရီးသွားနေရာများ ရှိသည်။ ထို့အပြင် အပူစမ်းများနှင့် သဘာဝရှုခင်းများကြောင့်လည်း လူသိများသည်။ == ၂၀၁၁ ခုနှစ် ငလျင်နှင့် နျူကလီးယားမတော်တဆမှု == ၂၀၁၁ ခုနှစ် မတ်လ ၁၁ ရက်နေ့တွင် ဖြစ်ပွားခဲ့သော တိုဟိုခုငလျင်နှင့် ဆူနာမီကြောင့် ဖူကူရှီးမခရိုင်သည် အကြီးအကျယ် ထိခိုက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဖူကူရှီးမဒိုင်အိချိ နျူကလီးယားဓာတ်အားပေးစက်ရုံတွင် နျူကလီးယားမတော်တဆမှု ဖြစ်ပွားခဲ့ပြီး အနီးဝန်းကျင်ဒေသများတွင် ရွှေ့ပြောင်းနေထိုင်ရမှုများ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည်။ မတော်တဆမှုအပြီးတွင် ထိခိုက်ခဲ့သော ဒေသများ၏ ပြန်လည်တည်ဆောက်ရေးနှင့် ပြန်လည်နေရာချထားရေးလုပ်ငန်းများကို ဆက်လက်ဆောင်ရွက်လျက်ရှိသည်။ g07ge98c6rmhq0vo2i2xm1dewni1d1k 0 290717 1049487 2026-08-20T01:49:28Z 延岡 137044 စာမျက်နှာကို [[အိဘရခိခရိုင်]] သို့ ပြန်ညွှန်းလိုက်သည် 1049487 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[အိဘရခိခရိုင်]] 4f6zamh31xk5zcbl6kde32v1bfhwi75 0 290718 1049488 2026-08-20T01:51:42Z 延岡 137044 "'''ခန်းတိုးဒေသ''' (関東地方၊ Kantō Region) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အဓိက ပထဝီဝင်ဒေသများအနက် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဟွန်ရှူးကျွန်း၏ အရှေ့ပိုင်းတွင် တည်ရှိ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049488 wikitext text/x-wiki '''ခန်းတိုးဒေသ''' (関東地方၊ Kantō Region) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အဓိက ပထဝီဝင်ဒေသများအနက် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဟွန်ရှူးကျွန်း၏ အရှေ့ပိုင်းတွင် တည်ရှိသည်။ ဂျပန်နိုင်ငံ၏ မြို့တော်ဖြစ်သော တိုကျိုနှင့် အနီးဝန်းကျင်ရှိ ခရိုင်များသည် ဤဒေသတွင် ပါဝင်သည်။ == ပထဝီဝင် == ခန်းတိုးဒေသသည် အရှေ့ဘက်တွင် ပစိဖိတ်သမုဒ္ဒရာ၊ အနောက်ဘက်တွင် ချူဘုဒေသနှင့် တောင်ဘက်တွင် တိုကျိုပင်လယ်အော်တို့နှင့် ထိစပ်နေသည်။ ဒေသ၏ အလယ်ပိုင်းတွင် ခန်းတိုးလွင်ပြင်ကြီး တည်ရှိပြီး ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အကြီးဆုံးလွင်ပြင်များအနက် တစ်ခုဖြစ်သည်။ == အုပ်ချုပ်ရေး == ခန်းတိုးဒေသတွင် ပုံမှန်အားဖြင့် အောက်ပါ တိုကျိုမြို့တော်နှင့် ခရိုင် ၆ ခု ပါဝင်သည်။ * တိုကျိုမြို့တော် * အိဘာရခိခရိုင် * တိုချိဂိခရိုင် * ဂွန်မခရိုင် * ဆိုင်တမခရိုင် * ချိဘခရိုင် * ကနာဂါဝခရိုင် == လူဦးရေနှင့် စီးပွားရေး == ခန်းတိုးဒေသသည် ဂျပန်နိုင်ငံတွင် လူဦးရေအထူထပ်ဆုံးနှင့် စီးပွားရေးအရ အရေးပါဆုံးဒေသများအနက် တစ်ခုဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် တိုကျိုနှင့် ယိုကိုဟားမား၊ ဆိုင်တမနှင့် ချိဘတို့၏ မြို့ပြဧရိယာများတွင် လူဦးရေ အလွန်ထူထပ်သည်။ တိုကျိုသည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ နိုင်ငံရေး၊ စီးပွားရေးနှင့် ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ အဓိကဗဟိုချက်ဖြစ်ပြီး ခန်းတိုးဒေသတစ်ခုလုံး၏ စီးပွားရေးတွင် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ စက်မှုလုပ်ငန်း၊ ဘဏ္ဍာရေး၊ ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေး၊ သတင်းအချက်အလက်နည်းပညာနှင့် ဝန်ဆောင်မှုလုပ်ငန်းများကို ကျယ်ပြန့်စွာ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လျက်ရှိသည်။ == သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး == ခန်းတိုးဒေသတွင် မီးရထားလမ်း၊ မြေအောက်ရထား၊ အမြန်လမ်းနှင့် လေဆိပ်များ အပါအဝင် သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးကွန်ရက် အလွန်ဖွံ့ဖြိုးသည်။ တိုကျိုဘူတာ၊ ရှင်ဂျုခုဘူတာ၊ အိကဲဘုခုရိုဘူတာနှင့် ရှိဘူယာဘူတာတို့သည် ခရီးသည်များပြားသော အဓိက မီးရထားဘူတာများ ဖြစ်ကြသည်။ ရှင်ကန်ဆန်လမ်းကြောင်းများသည်လည်း ခန်းတိုးဒေသကို ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အခြားဒေသများနှင့် ဆက်သွယ်ပေးသည်။ ထို့အပြင် တိုကျိုဟန်နေးဒါလေဆိပ်နှင့် နာရီတလေဆိပ်တို့သည် ပြည်တွင်းနှင့် နိုင်ငံတကာ လေကြောင်းခရီးစဉ်များအတွက် အရေးပါသည်။ == ယဉ်ကျေးမှုနှင့် ခရီးသွားလုပ်ငန်း == ခန်းတိုးဒေသတွင် သမိုင်းဝင်ဘုရားကျောင်းများ၊ နတ်ကွန်းများ၊ ရဲတိုက်များ၊ သဘာဝရှုခင်းများနှင့် ခေတ်မီမြို့ပြဧရိယာများကို တွေ့ရှိနိုင်သည်။ နစ်ကိုး၊ ကာမာကုရနှင့် ဟာကိုနေတို့သည် လူသိများသော ခရီးသွားနေရာများ ဖြစ်သည်။ တိုကျိုမြို့တွင်လည်း ရှေးဟောင်းယဉ်ကျေးမှုနှင့် ခေတ်မီမြို့ပြယဉ်ကျေးမှုတို့ ပေါင်းစပ်တည်ရှိပြီး ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အရေးပါသော ယဉ်ကျေးမှုဗဟိုချက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == အရေးပါမှု == ခန်းတိုးဒေသသည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ နိုင်ငံရေး၊ စီးပွားရေး၊ လူမှုရေး၊ ပညာရေးနှင့် ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ လုပ်ငန်းများတွင် အလွန်အရေးပါသော ဒေသတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဂျပန်နိုင်ငံ၏ လူဦးရေနှင့် စီးပွားရေးလုပ်ဆောင်မှုများ၏ အများအပြားသည် ဤဒေသတွင် စုစည်းလျက်ရှိသည်။ 6ezmygzk5ekelza18p4h0g49l0kydzb 0 290719 1049489 2026-08-20T01:56:09Z 延岡 137044 စာမျက်နှာကို [[ဖူကူရှီးမခရိုင်]] သို့ ပြန်ညွှန်းလိုက်သည် 1049489 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[ဖူကူရှီးမခရိုင်]] 2fl9r0jjwu2uljep83lhnmzp4qcfa3u 0 290720 1049490 2026-08-20T01:58:55Z 延岡 137044 "'''နိကိုးမြို့''' (日光市၊ Nikkō) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ တိုချိဂိခရိုင်၏ အနောက်မြောက်ပိုင်းတွင် တည်ရှိသော မြို့တစ်မြို့ ဖြစ်သည်။ မြို့ဧရိယ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049490 wikitext text/x-wiki '''နိကိုးမြို့''' (日光市၊ Nikkō) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ တိုချိဂိခရိုင်၏ အနောက်မြောက်ပိုင်းတွင် တည်ရှိသော မြို့တစ်မြို့ ဖြစ်သည်။ မြို့ဧရိယာသည် ကျယ်ပြန့်ပြီး တောင်တန်းများ၊ သစ်တောများ၊ ရေကန်များနှင့် မြစ်များအပါအဝင် သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်များ ပေါများသည်။ နိကိုးမြို့သည် သဘာဝအလှအပနှင့် သမိုင်းဝင် ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်များကြောင့် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ထင်ရှားသော ခရီးသွားဒေသတစ်ခု ဖြစ်သည်။ == ပထဝီဝင် == နိကိုးမြို့သည် တိုချိဂိခရိုင်၏ အနောက်မြောက်ဘက်တွင် တည်ရှိပြီး မြို့ဧရိယာ၏ အများစုမှာ တောင်တန်းများနှင့် သစ်တောများဖြင့် ဖုံးလွှမ်းထားသည်။ မြို့အတွင်းတွင် နိကိုးတောင်တန်း၊ ဘန်ဒိုင်အိုင်းဝါးတောင်တန်းဒေသနှင့် ချူဇင်ဂျိရေကန်တို့ကဲ့သို့သော သဘာဝနေရာများ ရှိသည်။ == သမိုင်းနှင့် ယဉ်ကျေးမှု == နိကိုးဒေသသည် ရှေးခေတ်ကတည်းက ဘာသာရေးနှင့် ယဉ်ကျေးမှုအရ အရေးပါသော နေရာတစ်ခု ဖြစ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် နိကိုးတိုရှိုးဂူးသည် တိုကုဂါဝအီအဲယာဆုနှင့် ဆက်စပ်သည့် အရေးပါသော နတ်ကွန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ နိကိုး၏ ဘုရားကျောင်းများနှင့် နတ်ကွန်းများသည် ယူနက်စကို၏ ကမ္ဘာ့အမွေအနှစ်စာရင်းတွင် ပါဝင်သော အရေးပါသည့် ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်များ ဖြစ်သည်။ == ခရီးသွားလုပ်ငန်း == နိကိုးမြို့သည် တစ်နှစ်ပတ်လုံး ခရီးသွားဧည့်သည်များ လာရောက်လည်ပတ်သော ဒေသတစ်ခု ဖြစ်သည်။ နိကိုးတိုရှိုးဂူး၊ နိကိုးဇန်ရင်နိုဂျိ၊ ချူဇင်ဂျိရေကန်နှင့် ကေဂွန်ရေတံခွန်တို့သည် ထင်ရှားသော ခရီးသွားနေရာများ ဖြစ်ကြသည်။ ဆောင်းရာသီတွင် တောင်တန်းဒေသများ၌ နှင်းကျဆင်းမှုများ ဖြစ်ပေါ်နိုင်ပြီး နွေရာသီတွင်လည်း မြို့ပြဒေသများထက် အေးမြသော ရာသီဥတုကြောင့် ခရီးသွားများ လာရောက်ကြသည်။ == သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး == နိကိုးမြို့တွင် အရှေ့ဂျပန်မီးရထားကုမ္ပဏီ (JR East) ၏ နစ်ကိုးလိုင်းသည် အရေးပါသော မီးရထားလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ နစ်ကိုးဘူတာသည် နိကိုးမြို့၏ အဓိက မီးရထားဘူတာတစ်ခု ဖြစ်ပြီး တိုကျိုနှင့် ကန်တိုဒေသ၏ အခြားမြို့များမှ ခရီးသွားများအတွက် အရေးပါသော ဝင်ပေါက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် တိုဘုမီးရထား၏ နစ်ကိုးလိုင်းသည်လည်း နိကိုးဒေသသို့ ခရီးသွားရာတွင် အရေးပါသော မီးရထားဝန်ဆောင်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ == စီးပွားရေး == နိကိုးမြို့၏ စီးပွားရေးတွင် ခရီးသွားလုပ်ငန်းသည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ဟိုတယ်များ၊ အပူစမ်းအပန်းဖြေစခန်းများ၊ စားသောက်ဆိုင်များနှင့် ခရီးသွားဝန်ဆောင်မှုလုပ်ငန်းများ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လျက်ရှိသည်။ ထို့အပြင် သစ်တောနှင့် စိုက်ပျိုးရေးဆိုင်ရာ လုပ်ငန်းများလည်း ရှိသည်။ == ထင်ရှားသောနေရာများ == * နိကိုးတိုရှိုးဂူး * ရင်နိုဂျိ * ချူဇင်ဂျိရေကန် * ကေဂွန်ရေတံခွန် * အိရိုဟာဇာကာ * နိကိုးအမျိုးသားဥယျာဉ် နိကိုးမြို့သည် သမိုင်းဝင် ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်များနှင့် တောင်တန်းသဘာဝပတ်ဝန်းကျင်တို့ ပေါင်းစပ်တည်ရှိသည့်အတွက် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အရေးပါသော ခရီးသွားမြို့များအနက် တစ်ခု ဖြစ်သည်။ sjw8b0d5htjpjt9hplueml69n0lh06k 0 290721 1049493 2026-08-20T02:03:14Z 延岡 137044 "'''နိကိုးဘုရားကျောင်းနှင့် ဘုန်းကြီးကျောင်းများ''' (日光の社寺) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ တိုချိဂိခရိုင်၊ နိကိုးမြို့ရှိ သမိုင်းဝင် ဘုရားက..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049493 wikitext text/x-wiki '''နိကိုးဘုရားကျောင်းနှင့် ဘုန်းကြီးကျောင်းများ''' (日光の社寺) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ တိုချိဂိခရိုင်၊ နိကိုးမြို့ရှိ သမိုင်းဝင် ဘုရားကျောင်းများနှင့် နတ်ကွန်းများ၏ အစုအဝေးကို ရည်ညွှန်းသော အမည်ဖြစ်သည်။ ဤနေရာသည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အရေးပါသော ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၁၉၉၉ ခုနှစ်တွင် ယူနက်စကို၏ ကမ္ဘာ့အမွေအနှစ်စာရင်းတွင် ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ == အကြောင်းအရာ == နိကိုး၏ သမိုင်းဝင် ဘုရားကျောင်းများနှင့် နတ်ကွန်းများတွင် အဓိကအားဖြင့် နိကိုးတိုရှိုးဂူး၊ ဖုတာရာဆန်နတ်ကွန်းနှင့် ရင်နိုဂျိဘုန်းကြီးကျောင်းတို့ ပါဝင်သည်။ ထိုအဆောက်အအုံများနှင့် ဆက်စပ်သည့် သမိုင်းဝင်နေရာများသည် နိကိုးတောင်တန်းဒေသရှိ သစ်တောများနှင့် ပေါင်းစပ်တည်ရှိသည်။ == နိကိုးတိုရှိုးဂူး == နိကိုးတိုရှိုးဂူးသည် တိုကုဂါဝအီအဲယာဆုကို ရည်စူးတည်ထားသော ရှင်တိုနတ်ကွန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အဲဒိုခေတ်အတွင်းတွင် အဆောက်အအုံများကို တိုးချဲ့ပြုပြင်ခဲ့ပြီး အလှဆင်ပန်းပုများနှင့် ရောင်စုံအလှဆင်မှုများကြောင့် လူသိများသည်။ == ဖုတာရာဆန်နတ်ကွန်း == ဖုတာရာဆန်နတ်ကွန်းသည် နိကိုးတောင်တန်းများကို ရိုသေလေးစားသည့် ရှင်တိုဘာသာရေးဆိုင်ရာ နေရာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ နိကိုးဒေသတွင် ရှေးခေတ်ကတည်းက တောင်တန်းယုံကြည်မှုနှင့် ဆက်နွယ်သော ဘာသာရေးအရေးပါမှု ရှိခဲ့ပြီး ဖုတာရာဆန်နတ်ကွန်းသည် ထိုအစဉ်အလာနှင့် ဆက်စပ်နေသည်။ == ရင်နိုဂျိ == ရင်နိုဂျိသည် နိကိုးဒေသရှိ အရေးပါသော ဗုဒ္ဓဘာသာ ဘုန်းကြီးကျောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် နိကိုး၏ ဘာသာရေးသမိုင်းနှင့် ယဉ်ကျေးမှုဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုတွင် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်ခဲ့သည်။ == ကမ္ဘာ့အမွေအနှစ် == နိကိုး၏ ဘုရားကျောင်းများနှင့် နတ်ကွန်းများသည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ သမိုင်းဝင် အဆောက်အအုံများနှင့် ဘာသာရေးဆိုင်ရာ အမွေအနှစ်များ၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်သည်။ ၁၉၉၉ ခုနှစ်တွင် ယူနက်စကိုက '''''Shrines and Temples of Nikkō''''' အမည်ဖြင့် ကမ္ဘာ့အမွေအနှစ်အဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ကမ္ဘာ့အမွေအနှစ်အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော နေရာများတွင် သမိုင်းဝင် အဆောက်အအုံ ၁၀၃ ခု ပါဝင်ပြီး ၎င်းတို့နှင့် ဆက်စပ်သော သစ်တောဧရိယာများလည်း အမွေအနှစ်ဧရိယာ၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ == ခရီးသွားလုပ်ငန်း == နိကိုး၏ ဘုရားကျောင်းများနှင့် နတ်ကွန်းများသည် ဂျပန်နိုင်ငံအတွင်းနှင့် နိုင်ငံခြားမှ ခရီးသွားဧည့်သည်များ လာရောက်လည်ပတ်သည့် အဓိက ခရီးသွားနေရာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ နိကိုးတောင်တန်း၏ သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်နှင့် သမိုင်းဝင် ဘာသာရေးအဆောက်အအုံများ ပေါင်းစပ်တည်ရှိမှုသည် ဤဒေသ၏ ထူးခြားချက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ c7s646tmi1kfs303a4eban725kh0o5e 0 290722 1049495 2026-08-20T02:08:21Z 延岡 137044 "'''တိုဘုစကိုင်းထရီလိုင်း''' (東武スカイツリーライン၊ Tōbu Skytree Line) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ တိုကျိုမြို့နှင့် ဆိုင်တမခရိုင်တို့ကို ဆက်သွယ်ပေးသော တိုဘ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049495 wikitext text/x-wiki '''တိုဘုစကိုင်းထရီလိုင်း''' (東武スカイツリーライン၊ Tōbu Skytree Line) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ တိုကျိုမြို့နှင့် ဆိုင်တမခရိုင်တို့ကို ဆက်သွယ်ပေးသော တိုဘုမီးရထား၏ မီးရထားဝန်ဆောင်မှုလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအမည်ကို တိုဘုအိဆက်ဆုလိုင်း၏ အချို့သော လမ်းပိုင်းများအတွက် အသုံးပြုသည်။ == လမ်းကြောင်း == တိုဘုစကိုင်းထရီလိုင်းသည် အာဆာကုဆာဘူတာမှ စတင်ပြီး တိုကျိုစကိုင်းထရီဘူတာ၊ ကီတာဆင်ဂျူ၊ ဆိုကာ၊ ကိတချိယာ၊ ကာဆုကာဘဲနှင့် တိုဘုဒိုးဘုဆုကိုအဲန် စသည့် ဘူတာများကို ဖြတ်သန်းသွားသည်။ တိုဘုဒိုးဘုဆုကိုအဲန်ဘူတာမှ မြောက်ဘက်သို့ ဆက်သွားသော လမ်းပိုင်းများသည် တိုဘုအိဆက်ဆုလိုင်းနှင့် တိုဘုနစ်ကိုလိုင်းတို့နှင့် ချိတ်ဆက်ထားသည်။ ထို့အပြင် အချို့ရထားများသည် တိုကျိုမြို့တွင်းရှိ မြေအောက်ရထားလိုင်းများနှင့် တိုက်ရိုက်ချိတ်ဆက်ပြေးဆွဲသည်။ == အမည် == ယခင်က တိုဘုအိဆက်ဆုလိုင်း၏ အစိတ်အပိုင်းအဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့သော လမ်းပိုင်းများကို ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် တိုကျိုစကိုင်းထရီ ဖွင့်လှစ်ပြီးနောက် ‘’‘တိုဘုစကိုင်းထရီလိုင်း’’’ ဟု အမည်ပြောင်းလဲ သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဤအမည်သည် တိုကျိုစကိုင်းထရီနှင့် ဆက်စပ်မှုကို ဖော်ပြရန် ရည်ရွယ်ထားသည်။ == ရထားဝန်ဆောင်မှု == တိုဘုစကိုင်းထရီလိုင်းတွင် ဒေသတွင်းရထားများအပြင် အမြန်နှုန်းမြင့်ဝန်ဆောင်မှုများလည်း ပြေးဆွဲသည်။ ရထားအချို့သည် တိုကျိုမက်ထရို ဟန်ဇိုမွန်လိုင်းနှင့် ဟိဘိယလိုင်းတို့နှင့် ချိတ်ဆက်၍ တိုက်ရိုက်ပြေးဆွဲသဖြင့် တိုကျိုမြို့အတွင်းရှိ ဒေသများနှင့် ဆိုင်တမခရိုင်တို့အကြား ခရီးသွားလာရန် အဆင်ပြေစေသည်။ == အရေးပါမှု == တိုဘုစကိုင်းထရီလိုင်းသည် တိုကျိုမြို့နှင့် ဆိုင်တမခရိုင်အကြား အရေးပါသော အများပြည်သူ သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် တိုကျိုစကိုင်းထရီ၊ အာဆာကုဆာနှင့် တိုကျိုမြို့၏ အခြားခရီးသွားနေရာများသို့ သွားရောက်ရန်အတွက်လည်း အသုံးပြုကြသည်။ s9lvv8ph07cytd45s2ung34ae8f3laq 0 290723 1049497 2026-08-20T02:12:06Z 延岡 137044 "'''တိုဘုတိုဂျိုလိုင်း''' (東武東上線၊ Tōbu Tōjō Line) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ ကန်တိုဒေသတွင် တိုဘုမီးရထားကုမ္ပဏီက ပြေးဆွဲသော မီးရထားလမ်းကြောင်းအုပ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049497 wikitext text/x-wiki '''တိုဘုတိုဂျိုလိုင်း''' (東武東上線၊ Tōbu Tōjō Line) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ ကန်တိုဒေသတွင် တိုဘုမီးရထားကုမ္ပဏီက ပြေးဆွဲသော မီးရထားလမ်းကြောင်းအုပ်စုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အဓိကအားဖြင့် တိုကျိုမြို့ရှိ အိကဲဘုခုရိုဘူတာမှ ဆိုင်တမခရိုင်ရှိ ယိုရီအိဘူတာအထိ ဆက်သွယ်ပေးသည်။ == လမ်းကြောင်း == တိုဘုတိုဂျိုလိုင်း၏ အဓိကလမ်းကြောင်းကို တိုကျိုမြို့ရှိ အိကဲဘုခုရိုဘူတာမှ စတင်ပြီး နာရိမာဆု၊ အာဆာကာ၊ ဝါကိုးရှိနှင့် အိုမိယာဝါကာ စသည့် ဘူတာများကို ဖြတ်သန်းကာ ဆိုင်တမခရိုင်ရှိ ကာဝါဂိုး၊ ဆာကာဒို၊ အိုဂါဝါမချိနှင့် ယိုရီအိတို့အထိ ရောက်ရှိသည်။ တိုဘုတိုဂျိုလိုင်း၏ အချို့ရထားများသည် တိုကျိုမက်ထရို ယူရာကုချိုလိုင်းနှင့် ဖုကုတိုရှင်လိုင်းတို့အပြင် တိုကျိုမြို့ပတ်ဝန်းကျင်ရှိ အခြားမီးရထားလိုင်းများနှင့်လည်း တိုက်ရိုက်ချိတ်ဆက်ပြေးဆွဲသည်။ == သမိုင်း == တိုဘုတိုဂျိုလိုင်း၏ အစိတ်အပိုင်းများကို ၂၀ ရာစုအစပိုင်းတွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့ပြီး တိုကျိုနှင့် ဆိုင်တမခရိုင်အတွင်းရှိ ဒေသများကို ဆက်သွယ်ပေးသည့် မီးရထားလမ်းကြောင်းအဖြစ် တဖြည်းဖြည်း ဖွံ့ဖြိုးလာခဲ့သည်။ == ရထားဝန်ဆောင်မှု == တိုဘုတိုဂျိုလိုင်းတွင် ဒေသတွင်းရထားများနှင့် အမြန်ဝန်ဆောင်မှုများ အပါအဝင် ရထားဝန်ဆောင်မှု အမျိုးအစားများစွာ ပြေးဆွဲသည်။ ရထားအမျိုးအစားအလိုက် ရပ်နားသည့် ဘူတာအရေအတွက် ကွဲပြားသည်။ == ဆက်စပ်လိုင်းများ == တိုဘုတိုဂျိုလိုင်းသည် ဝါကိုးရှိဘူတာတွင် တိုကျိုမက်ထရို ဖုကုတိုရှင်လိုင်းနှင့် ယူရာကုချိုလိုင်းတို့နှင့် ချိတ်ဆက်နိုင်သည်။ ထို့အပြင် တိုကျိုမြို့အတွင်းရှိ အခြားမီးရထားဝန်ဆောင်မှုများနှင့် ချိတ်ဆက်၍ ခရီးသည်များအတွက် တိုက်ရိုက်ခရီးသွားနိုင်သော လမ်းကြောင်းများကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ == အရေးပါမှု == တိုဘုတိုဂျိုလိုင်းသည် တိုကျိုမြို့မြောက်ပိုင်းနှင့် ဆိုင်တမခရိုင်ရှိ မြို့များအကြား နေ့စဉ်ခရီးသွားလာမှုအတွက် အရေးပါသော သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးလမ်းကြောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် အိကဲဘုခုရိုနှင့် ကာဝါဂိုးကဲ့သို့သော လူဦးရေထူထပ်သည့် မြို့ပြဒေသများကို ဆက်သွယ်ပေးသည့်အတွက် အရေးပါသည်။ intremqhmz60byq2uio57zrretgqdvw 0 290724 1049501 2026-08-20T02:23:48Z 延岡 137044 "'''အာဆူဆာ''' (浅草၊ Asakusa) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ တိုကျိုမြို့ တိုင်တိုခရိုင်တွင် တည်ရှိသော သမိုင်းဝင်မြို့ပြဒေသတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အာဆူဆာသည်..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049501 wikitext text/x-wiki '''အာဆူဆာ''' (浅草၊ Asakusa) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ တိုကျိုမြို့ တိုင်တိုခရိုင်တွင် တည်ရှိသော သမိုင်းဝင်မြို့ပြဒေသတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အာဆူဆာသည် ရှေးဟောင်းယဉ်ကျေးမှု၊ ဘာသာရေးအဆောက်အအုံများနှင့် ခရီးသွားလုပ်ငန်းကြောင့် တိုကျိုမြို့၏ ထင်ရှားသော ခရီးသွားနေရာများအနက် တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == သမိုင်း == အာဆူဆာဒေသသည် အဲဒိုခေတ်ကတည်းက အဲဒိုမြို့၏ အရေးပါသော စီးပွားရေးနှင့် ဖျော်ဖြေရေးဒေသတစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် အာဆူဆာဘုရားကျောင်းကို ဗဟိုပြု၍ စျေးများ၊ စားသောက်ဆိုင်များနှင့် ဖျော်ဖြေရေးနေရာများ ဖွံ့ဖြိုးလာခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းနှင့် ၂၀ ရာစုအစပိုင်းတွင် အာဆူဆာသည် တိုကျိုမြို့၏ အဓိက ဖျော်ဖြေရေးနှင့် စီးပွားရေးဒေသများထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်ခဲ့သည်။ == အထင်ကရနေရာများ == အာဆူဆာတွင် သမိုင်းဝင်နှင့် ခရီးသွားအထင်ကရနေရာများစွာ ရှိသည်။ * '''ဆဲန်ဆိုဂျိ''' — အာဆူဆာ၏ အထင်ရှားဆုံး ဗုဒ္ဓဘာသာဘုရားကျောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * '''ကမိနာရီမွန်''' — ဆဲန်ဆိုဂျိ၏ ထင်ရှားသော ဝင်ပေါက်တံခါး ဖြစ်ပြီး အလယ်တွင် ကြီးမားသော မီးအိမ်တစ်ခု ရှိသည်။ * '''နာကာမိဆဲလမ်း''' — ဆဲန်ဆိုဂျိသို့ သွားရာလမ်းတစ်လျှောက်တွင် ရိုးရာအမှတ်တရပစ္စည်းများ၊ အစားအစာများနှင့် လက်မှုပစ္စည်းများ ရောင်းချသည့် ဆိုင်များရှိသော လမ်းဖြစ်သည်။ * '''အာဆူဆာရှင်မာ''' — အဲဒိုခေတ်မှစ၍ ဖျော်ဖြေရေးနှင့် ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ လုပ်ငန်းများနှင့် ဆက်စပ်ခဲ့သော ဒေသတစ်ခု ဖြစ်သည်။ == ယဉ်ကျေးမှု == အာဆူဆာသည် အဲဒိုခေတ်နှင့် တိုကျိုမြို့၏ ရိုးရာယဉ်ကျေးမှုကို ခံစားနိုင်သည့် နေရာတစ်ခုအဖြစ် လူသိများသည်။ ရိုးရာပွဲတော်များ၊ ဘာသာရေးအခမ်းအနားများနှင့် ရိုးရာအစားအစာများသည် ဒေသ၏ ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ အရေးပါသော အစိတ်အပိုင်းများ ဖြစ်သည်။ အာဆူဆာဆမ်ဘာပွဲတော်နှင့် ဆဲန်ဆိုဂျိ၏ ဆန်ဂျာပွဲတော်ကဲ့သို့သော ပွဲတော်များသည် ဒေသ၏ လူသိများသော ယဉ်ကျေးမှုအခမ်းအနားများ ဖြစ်ကြသည်။ == သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး == အာဆူဆာဘူတာသည် တိုကျိုမြို့၏ အရေးပါသော မီးရထားနှင့် မြေအောက်ရထားဘူတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ တိုကျိုမက်ထရို ဂင်ဇာလိုင်း၊ တိုဘုစကိုင်းထရီလိုင်းနှင့် တိုအဲမြေအောက်ရထား အာဆူဆာလိုင်းတို့ကို အသုံးပြု၍ အာဆူဆာသို့ သွားရောက်နိုင်သည်။ == ခရီးသွားလုပ်ငန်း == အာဆူဆာသည် ဂျပန်နိုင်ငံအတွင်းနှင့် နိုင်ငံခြားမှ ခရီးသွားဧည့်သည်များ လာရောက်လည်ပတ်သော တိုကျိုမြို့၏ အဓိက ခရီးသွားနေရာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ရိုးရာဗိသုကာလက်ရာများ၊ ဘာသာရေးအဆောက်အအုံများ၊ ရိုးရာစားသောက်ဆိုင်များနှင့် စျေးဆိုင်များကြောင့် အဲဒိုခေတ်၏ မြို့ပြယဉ်ကျေးမှုကို ခံစားနိုင်သော နေရာတစ်ခုအဖြစ် ထင်ရှားသည်။ kwdjz7b6pxdkbmaxtgoxsfzwb4km9vx 0 290725 1049503 2026-08-20T02:28:48Z 延岡 137044 စာမျက်နှာကို [[တိုးဘုမီးရထားကုမ္ပဏီ]] သို့ ပြန်ညွှန်းလိုက်သည် 1049503 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[တိုးဘုမီးရထားကုမ္ပဏီ]] nvepyrogk8cvn7bmzv8wi4emcn09lyw 0 290726 1049505 2026-08-20T02:39:44Z 延岡 137044 စာမျက်နှာကို [[ဖုနဘရှိဘူတာ]] သို့ ပြန်ညွှန်းလိုက်သည် 1049505 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[ဖုနဘရှိဘူတာ]] dprdw058rl86dsk5c6nc3f05gbwo71o 0 290727 1049507 2026-08-20T02:43:54Z 延岡 137044 "'''ဖုနဘရှိမြို့''' (船橋市၊ Funabashi) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ ချိဘခရိုင်၏ အနောက်မြောက်ပိုင်းတွင် တည်ရှိသော မြို့တစ်မြို့ ဖြစ်သည်။ တိုကျိုမြို..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049507 wikitext text/x-wiki '''ဖုနဘရှိမြို့''' (船橋市၊ Funabashi) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ ချိဘခရိုင်၏ အနောက်မြောက်ပိုင်းတွင် တည်ရှိသော မြို့တစ်မြို့ ဖြစ်သည်။ တိုကျိုမြို့နှင့် နီးကပ်ပြီး ခန်းတိုးဒေသ၏ အရေးပါသော မြို့ပြဧရိယာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ မြို့သည် လူဦးရေများပြားပြီး စီးပွားရေး၊ ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးနှင့် သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးတို့တွင် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ == ပထဝီဝင် == ဖုနဘရှိမြို့သည် ချိဘခရိုင်၏ အနောက်မြောက်ပိုင်းတွင် တည်ရှိပြီး အနောက်ဘက်တွင် တိုကျိုပင်လယ်အော်နှင့် ဆက်စပ်နေသည်။ မြို့၏ မြောက်ဘက်တွင် ချိဘမြို့နှင့် ဆက်စပ်သော ဒေသများရှိပြီး အနောက်ဘက်တွင် အိချိကာဝါမြို့နှင့် ထိစပ်သည်။ == သမိုင်း == ဖုနဘရှိဒေသသည် အဲဒိုခေတ်ကတည်းက တိုကျိုပင်လယ်အော်တစ်ဝိုက်ရှိ သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးနှင့် ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးတွင် အရေးပါခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ မြို့ပြဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုနှင့်အတူ ဖုနဘရှိသည် တိုကျိုမြို့၏ အရှေ့ဘက်ရှိ အဓိက မြို့ပြဧရိယာတစ်ခုအဖြစ် တဖြည်းဖြည်း ဖွံ့ဖြိုးလာခဲ့သည်။ ၁၉၅၀ ခုနှစ် ဩဂုတ်လ ၁ ရက်နေ့တွင် ဖုနဘရှိမြို့ကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ == လူဦးရေ == ဖုနဘရှိမြို့သည် ချိဘခရိုင်တွင် လူဦးရေများပြားသော မြို့များအနက် တစ်ခုဖြစ်ပြီး တိုကျိုမြို့နှင့် ချိဘမြို့ကြားရှိ အိမ်ရာနှင့် စီးပွားရေးဧရိယာများ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုကြောင့် လူဦးရေ သိသိသာသာ တိုးပွားလာခဲ့သည်။ == စီးပွားရေး == ဖုနဘရှိမြို့တွင် ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေး၊ ဝန်ဆောင်မှုလုပ်ငန်း၊ စက်မှုလုပ်ငန်းနှင့် လက်လီရောင်းချရေးလုပ်ငန်းများ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လျက်ရှိသည်။ တိုကျိုနှင့် နီးကပ်သောကြောင့် မြို့သည် တိုကျိုမြို့ပြဧရိယာ၏ အလုပ်သွားအလုပ်ပြန်ဒေသတစ်ခုအဖြစ်လည်း အရေးပါသည်။ == သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး == ဖုနဘရှိမြို့သည် မီးရထားလမ်းကြောင်းများစွာ ဖြတ်သန်းသွားသောကြောင့် သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးအရ အရေးပါသည်။ ဖုနဘရှိဘူတာတွင် JR အရှေ့ဂျပန်မီးရထား၏ ချူးအို-ဆိုဘုလိုင်းနှင့် ဆိုဘုလိုင်းတို့ကို အသုံးပြုနိုင်သည်။ ထို့အပြင် တိုဘုမီးရထား၊ ကေစေးလျှပ်စစ်မီးရထားနှင့် အခြားမီးရထားဝန်ဆောင်မှုများလည်း မြို့အတွင်း ပြေးဆွဲသည်။ ဖုနဘရှိဘူတာ၊ နာရရှီနိုဘူတာနှင့် အခြားဘူတာများသည် မြို့ခံများ၏ နေ့စဉ်အလုပ်သွားအလုပ်ပြန်နှင့် ခရီးသွားလာမှုအတွက် အရေးပါသည်။ == ပညာရေး == ဖုနဘရှိမြို့တွင် မူလတန်းနှင့် အလယ်တန်းကျောင်းများအပြင် အထက်တန်းကျောင်းများနှင့် အဆင့်မြင့်ပညာရေးအဖွဲ့အစည်းများလည်း ရှိသည်။ မြို့သည် ချိဘခရိုင်အတွင်းရှိ အရေးပါသော ပညာရေးနှင့် လူနေအိမ်ရာဒေသတစ်ခု ဖြစ်သည်။ == ယဉ်ကျေးမှုနှင့် ခရီးသွားလုပ်ငန်း == ဖုနဘရှိမြို့တွင် ဖုနဘရှိဆန်ဝါးဘုရားကျောင်း၊ အာနာဒဇုတောင်ပန်းခြံနှင့် ဖုနဘရှိမြို့ပန်းခြံကဲ့သို့သော နေရာများ ရှိသည်။ ထို့အပြင် ဖုနဘရှိမြို့သည် တိုကျိုမြို့နှင့် နီးကပ်ပြီး မီးရထားဆက်သွယ်မှုကောင်းမွန်သောကြောင့် ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးနှင့် အပန်းဖြေစရာနေရာများလည်း ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လျက်ရှိသည်။ == အရေးပါမှု == ဖုနဘရှိမြို့သည် တိုကျိုမြို့ပြဧရိယာနှင့် ချိဘခရိုင်အကြား ဆက်သွယ်ပေးသည့် အရေးပါသော မြို့တစ်မြို့ ဖြစ်သည်။ လူဦးရေများပြားမှု၊ စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများနှင့် မီးရထားကွန်ရက်ကောင်းမွန်မှုတို့ကြောင့် ခန်းတိုးဒေသ၏ အဓိက မြို့ပြဒေသများအနက် တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ 099pt2n6khvhftzt3hoog9ifs4yis6j 0 290728 1049509 2026-08-20T02:56:44Z 延岡 137044 "'''အိုမိယဘူတာ''' (大宮駅၊ Ōmiya Station) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ ဆိုင်တမခရိုင်၊ ဆိုင်တမမြို့ အိုမိယခရိုင်တွင် တည်ရှိသော အဓိက မီးရထားဘူတာတစ်ခု ဖြစ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049509 wikitext text/x-wiki '''အိုမိယဘူတာ''' (大宮駅၊ Ōmiya Station) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ ဆိုင်တမခရိုင်၊ ဆိုင်တမမြို့ အိုမိယခရိုင်တွင် တည်ရှိသော အဓိက မီးရထားဘူတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဘူတာကို အရှေ့ဂျပန်မီးရထားကုမ္ပဏီ (JR East) နှင့် တိုဘုမီးရထားတို့က အသုံးပြုလည်ပတ်ကြသည်။ အိုမိယဘူတာသည် ဆိုင်တမမြို့၏ အဓိက သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးဗဟိုချက်တစ်ခု ဖြစ်ပြီး တိုဟိုခုရှင်ကန်ဆန်၊ ဂျိုးအဲဆုရှင်ကန်ဆန်နှင့် ဟိုခုရိခုရှင်ကန်ဆန်တို့ အပါအဝင် ရှင်ကန်ဆန်လမ်းကြောင်းများစွာကို ချိတ်ဆက်ပေးသည်။ == သမိုင်း == အိုမိယဘူတာကို ၁၈၈၅ ခုနှစ်တွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ဘူတာဖွင့်လှစ်ပြီးနောက် အိုမိယဒေသသည် မီးရထားလမ်းကြောင်းများ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုနှင့်အတူ စီးပွားရေးနှင့် မြို့ပြဖွံ့ဖြိုးမှုများ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ == မီးရထားလမ်းကြောင်းများ == အိုမိယဘူတာတွင် JR East ၏ လမ်းကြောင်းများစွာ ရပ်နားသည်။ အဓိကအားဖြင့် အောက်ပါ လမ်းကြောင်းများကို အသုံးပြုနိုင်သည်။ * တိုဟိုခုရှင်ကန်ဆန် * ဂျိုးအဲဆုရှင်ကန်ဆန် * ဟိုခုရိခုရှင်ကန်ဆန် * ကျိုဟိုခုလိုင်း * ဥဆုနိုမိယာလိုင်း * တကာဆာကိလိုင်း * ရှိုးနန်ရှင်ဂျုခုလိုင်း * ကေခိနတိုဟိုခုလိုင်း ထို့အပြင် တိုဘုမီးရထား၏ အိုမိယလိုင်းသည်လည်း အိုမိယဘူတာတွင် ရပ်နားသည်။ == ဘူတာ၏ အရေးပါမှု == အိုမိယဘူတာသည် တိုကျိုမြို့နှင့် ဆိုင်တမခရိုင်အကြား ခရီးသွားလာမှုအတွက် အရေးပါသည့်အပြင် တိုဟိုခုဒေသ၊ နာဂနိုနှင့် ဟိုခုရိခုဒေသများသို့ သွားရောက်ရာတွင်လည်း အရေးပါသော ဘူတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ရှင်ကန်ဆန်လိုင်းများစွာ ဆုံစည်းသောကြောင့် အိုမိယဘူတာသည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အရေးပါသော ရှင်ကန်ဆန်လွှဲပြောင်းစီးနင်းရာ ဘူတာများအနက် တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == အနီးဝန်းကျင် == အိုမိယဘူတာ၏ အနီးဝန်းကျင်တွင် စီးပွားရေးနှင့် ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးဆိုင်ရာ အဆောက်အအုံများ၊ စျေးဝယ်စင်တာများ၊ စားသောက်ဆိုင်များနှင့် ဟိုတယ်များ အများအပြား ရှိသည်။ ထို့အပြင် ဆိုင်တမမြို့၏ အဓိက စီးပွားရေးဒေသတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ အိုမိယဘူတာသည် မီးရထားသယ်ယူပို့ဆောင်ရေးအပြင် အိုမိယဒေသ၏ မြို့ပြဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုနှင့် စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများအတွက်လည်း အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ rwi87wtk7aflhkfl4whg172jlvv9ars 0 290729 1049511 2026-08-20T03:08:58Z 延岡 137044 စာမျက်နှာကို [[ခဆုခဘဲဘူတာ]] သို့ ပြန်ညွှန်းလိုက်သည် 1049511 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[ခဆုခဘဲဘူတာ]] ti6twu55pl8s48y3af79w4x2z5m6evg 0 290730 1049512 2026-08-20T03:19:35Z 延岡 137044 "'''ဂျပန်အရုပ်''' (日本人形၊ Japanese doll) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရိုးရာယဉ်ကျေးမှုနှင့် လက်မှုပညာများနှင့် ဆက်စပ်သော အရုပ်အမျိုးအစားများကို ရည်..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049512 wikitext text/x-wiki '''ဂျပန်အရုပ်''' (日本人形၊ Japanese doll) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရိုးရာယဉ်ကျေးမှုနှင့် လက်မှုပညာများနှင့် ဆက်စပ်သော အရုပ်အမျိုးအစားများကို ရည်ညွှန်းသော စကားလုံးဖြစ်သည်။ ဂျပန်အရုပ်များသည် ရိုးရာအဝတ်အစားများ၊ ဆံပင်ပုံစံများနှင့် အလှဆင်ပုံများကို ဖော်ပြလေ့ရှိပြီး ဂျပန်နိုင်ငံ၏ သမိုင်းနှင့် ယဉ်ကျေးမှုကို ထင်ဟပ်စေသည်။ == သမိုင်း == ဂျပန်နိုင်ငံတွင် အရုပ်များကို ရှေးခေတ်ကတည်းက ပြုလုပ်အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ အချို့အရုပ်များကို ဘာသာရေးနှင့် ရိုးရာဓလေ့များတွင် အသုံးပြုခဲ့ကြပြီး အချို့ကို ကလေးများအတွက် ကစားစရာအဖြစ် အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ အဲဒိုခေတ်တွင် အရုပ်ထုတ်လုပ်မှုနှင့် အလှဆင်ပညာများ ပိုမိုဖွံ့ဖြိုးလာခဲ့ပြီး ဒေသအလိုက် ထူးခြားသော အရုပ်အမျိုးအစားများ ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ == အမျိုးအစားများ == ဂျပန်အရုပ်များတွင် အမျိုးအစားများစွာ ရှိသည်။ ထင်ရှားသော အမျိုးအစားများမှာ ဟိနာအရုပ်၊ ဂိုဂတ်ဆုအရုပ်၊ အီချိမတ်ဆုအရုပ်နှင့် ကိုကဲရှီအရုပ်တို့ ဖြစ်သည်။ '''ဟိနာအရုပ်များ'''ကို ဟိနာမတ်ဆုရီပွဲတော်တွင် အလှဆင်ပြသလေ့ရှိသည်။ ၎င်းတို့သည် ဧကရာဇ်နှင့် ဧကရာဇ်မိဖုရားအပါအဝင် နန်းတွင်းပုံစံကို ဖော်ပြသော အရုပ်များ ဖြစ်သည်။ '''ဂိုဂတ်ဆုအရုပ်များ'''ကို ကလေးယောက်ျားလေးများအတွက် ကျန်းမာသန်စွမ်းကြီးပြင်းစေရန် ဆုတောင်းသည့် တန်ဂိုနိုဆက်ခု ပွဲတော်နှင့် ဆက်စပ်၍ ပြသလေ့ရှိသည်။ '''အီချိမတ်ဆုအရုပ်များ'''သည် လူသားပုံသဏ္ဌာန်ကို လက်တွေ့ဆန်စွာ ဖော်ပြသော အရုပ်များ ဖြစ်ပြီး အမျိုးမျိုးသော ရိုးရာအဝတ်အစားများကို ဝတ်ဆင်ထားသည်။ '''ကိုကဲရှီအရုပ်များ'''သည် အဓိကအားဖြင့် သစ်သားဖြင့် ပြုလုပ်သော ရိုးရာအရုပ်များဖြစ်ပြီး တိုဟိုခုဒေသ၏ အချို့နေရာများတွင် အထူးလူသိများသည်။ == ထုတ်လုပ်မှုနှင့် ပစ္စည်းများ == ဂျပန်အရုပ်များကို သစ်သား၊ မြေစေး၊ စက္ကူနှင့် အခြားပစ္စည်းများဖြင့် ပြုလုပ်နိုင်သည်။ အရုပ်တစ်ရုပ်၏ မျက်နှာ၊ ဆံပင်၊ အဝတ်အစားနှင့် အလှဆင်ပစ္စည်းများကို လက်မှုပညာရှင်များက အသေးစိတ် ပြုလုပ်ကြသည်။ အရုပ်ထုတ်လုပ်ရာတွင် ပန်းချီ၊ သစ်သားထွင်းခြင်း၊ အဝတ်အစားချုပ်လုပ်ခြင်းနှင့် အလှဆင်ခြင်းစသည့် ရိုးရာလက်မှုပညာများ ပါဝင်နိုင်သည်။ == ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ အရေးပါမှု == ဂျပန်အရုပ်များသည် ကစားစရာများအဖြစ်သာမက ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရိုးရာယဉ်ကျေးမှု၊ အနုပညာနှင့် လက်မှုပညာများကို ဖော်ပြသည့် အရာများအဖြစ်လည်း အရေးပါသည်။ အချို့အရုပ်များကို ပွဲတော်များတွင် အသုံးပြုကြပြီး အချို့ကို အလှဆင်ပစ္စည်းများ သို့မဟုတ် စုဆောင်းပစ္စည်းများအဖြစ် ထားရှိကြသည်။ auepyjy2gwx895ewppzx6qw72q1bmc0 0 290731 1049514 2026-08-20T03:24:24Z 延岡 137044 "'''ချူအိုရပ်ကွက်''' (中央区၊ Chūō-ku) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ ဆိုင်တမခရိုင်၊ ဆိုင်တမမြို့၏ အုပ်ချုပ်ရေးရပ်ကွက် ၁၀ ခုအနက် တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဆိုင်..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049514 wikitext text/x-wiki '''ချူအိုရပ်ကွက်''' (中央区၊ Chūō-ku) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ ဆိုင်တမခရိုင်၊ ဆိုင်တမမြို့၏ အုပ်ချုပ်ရေးရပ်ကွက် ၁၀ ခုအနက် တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဆိုင်တမမြို့၏ အလယ်ပိုင်းတွင် တည်ရှိပြီး မြို့၏ အုပ်ချုပ်ရေး၊ စီးပွားရေးနှင့် လူနေအိမ်ရာဒေသများအနက် အရေးပါသော ဒေသတစ်ခု ဖြစ်သည်။ == ပထဝီဝင် == ချူအိုရပ်ကွက်သည် ဆိုင်တမမြို့၏ အလယ်ပိုင်းတွင် တည်ရှိသည်။ မြောက်ဘက်တွင် အိုမိယရပ်ကွက်၊ အရှေ့ဘက်တွင် အူရဝါရပ်ကွက်၊ တောင်ဘက်တွင် ဆိုင်တမမြို့၏ အခြားရပ်ကွက်များနှင့် ထိစပ်နေသည်။ ရပ်ကွက်အတွင်းတွင် လူနေအိမ်ရာများ၊ စီးပွားရေးအဆောက်အအုံများ၊ စျေးဝယ်ဧရိယာများနှင့် ပန်းခြံများ ရှိသည်။ == သမိုင်း == လက်ရှိ ချူအိုရပ်ကွက်၏ ဧရိယာသည် ယခင်က ဆိုင်တမမြို့ကို ဖွဲ့စည်းခဲ့သော မြို့များနှင့် ကျေးရွာများ၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ဖြစ်ခဲ့သည်။ ၂၀၀၁ ခုနှစ်တွင် အိုမိယမြို့၊ အူရဝါမြို့နှင့် ယိုနိုမြို့တို့ ပေါင်းစည်း၍ ဆိုင်တမမြို့ကို ဖွဲ့စည်းခဲ့ပြီး၊ ၂၀၀၃ ခုနှစ်တွင် ဆိုင်တမမြို့သည် အစိုးရသတ်မှတ်မြို့ ဖြစ်လာသောအခါ ချူအိုရပ်ကွက်ကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ == အုပ်ချုပ်ရေးနှင့် စီးပွားရေး == ချူအိုရပ်ကွက်တွင် ဆိုင်တမမြို့၏ အုပ်ချုပ်ရေးနှင့် စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများနှင့် ဆက်စပ်သော အဆောက်အအုံများ ရှိသည်။ ရပ်ကွက်သည် ဆိုင်တမမြို့၏ အလယ်ပိုင်းတွင် တည်ရှိသောကြောင့် လူနေအိမ်ရာနှင့် ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေး လုပ်ငန်းများလည်း ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လျက်ရှိသည်။ == သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး == ချူအိုရပ်ကွက်တွင် JR East ၏ ဆိုင်ကျိုလိုင်းနှင့် အခြားမီးရထားဝန်ဆောင်မှုများကို အသုံးပြုနိုင်သည်။ ရပ်ကွက်အတွင်းရှိ ယိုနိုဘူတာနှင့် ကိတာယိုနိုဘူတာတို့သည် ဒေသခံများအတွက် အရေးပါသော မီးရထားဘူတာများ ဖြစ်သည်။ အနီးအနားရှိ အိုမိယဘူတာနှင့် ဆိုင်တမရှင်တိုရှင်းဘူတာတို့မှတစ်ဆင့် ရှင်ကန်ဆန်အပါအဝင် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အခြားဒေသများသို့လည်း ဆက်လက်ခရီးသွားနိုင်သည်။ == အထင်ကရနေရာများ == ချူအိုရပ်ကွက်တွင် ဆိုင်တမမြို့၏ ယဉ်ကျေးမှုနှင့် သမိုင်းနှင့် ဆက်စပ်သော နေရာများ၊ ပန်းခြံများနှင့် အများပြည်သူဆိုင်ရာ အဆောက်အအုံများ ရှိသည်။ အထူးသဖြင့် ယိုနိုဒေသသည် ရှေးကတည်းက ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးနှင့် လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးအရ အရေးပါခဲ့သည်။ == အရေးပါမှု == ချူအိုရပ်ကွက်သည် ဆိုင်တမမြို့၏ အလယ်ပိုင်းတွင် တည်ရှိပြီး အိုမိယနှင့် အူရဝါတို့အပါအဝင် မြို့၏ အခြားအဓိကဒေသများနှင့် နီးကပ်သည်။ ထို့ကြောင့် လူနေအိမ်ရာ၊ စီးပွားရေးနှင့် သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးအတွက် အရေးပါသော ရပ်ကွက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ rt87bux37r60ebo5rys3dje8ufm9v2n 0 290732 1049516 2026-08-20T03:30:02Z 延岡 137044 စာမျက်နှာကို [[ခနဂဝခရိုင်]] သို့ ပြန်ညွှန်းလိုက်သည် 1049516 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[ခနဂဝခရိုင်]] dnu7sfk387guqbhwdkum5g8qdteundj 100 290734 1049521 2026-08-20T05:16:01Z Salai Rungtoi 22844 "{{Current events|year=2026|month=08|day=20|content= <!-- All news items below this line --> <!-- All news items above this line -->}}" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049521 wikitext text/x-wiki {{Current events|year=2026|month=08|day=20|content= <!-- All news items below this line --> <!-- All news items above this line -->}} troqm667uwcb5j5yxvw9updpum6jb09 3 290735 1049522 2026-08-20T05:40:03Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1049522 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် NNGMM ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၅:၄၀၊ ၂၀ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) t28v0fdoftnivun1e11uw4j0krc2a8r 3 290736 1049523 2026-08-20T05:40:13Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1049523 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-45549-44 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၅:၄၀၊ ၂၀ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) 3cb3qjaea2ydpfqylm4xzpjm2mmkdkx 0 290737 1049525 2026-08-20T06:23:51Z Naingli 144794 "{{Infobox person | name = ဒေါ်ငြိမ်းလှ | other_names = ဒလ ဒေါ်ခွေးမ | occupation = [[နတ်ကတော်]]၊ သိုးမိဖုရား | birthplace = [[ဒလမြို့နယ်|ဒလ]]၊ [[ရန်ကုန်မြို့]] | known_f..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1049525 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | name = ဒေါ်ငြိမ်းလှ | other_names = ဒလ ဒေါ်ခွေးမ | occupation = [[နတ်ကတော်]]၊ သိုးမိဖုရား | birthplace = [[ဒလမြို့နယ်|ဒလ]]၊ [[ရန်ကုန်မြို့]] | known_for = မြောက်လက် ရွှေသိုးမိဖုရား | religion = [[မြန်မာ့ရိုးရာနတ်|နတ်ယုံကြည်မှု]] }} '''ဒေါ်ငြိမ်းလှ''' (အမည်ရင်း) သို့မဟုတ် '''ဒလ ဒေါ်ခွေးမ''' သည် [[တနင်္လာနေ့|တနင်္လာသမီး]] ဖြစ်ပြီး [[မြန်မာ့ရိုးရာနတ်]]ယုံကြည်မှုနယ်ပယ်တွင် ထင်ရှားခဲ့သော မြောက်လက် ရွှေ[[သိုးမိဖုရား]]တစ်ပါး ဖြစ်သည်။ နတ်နန်းဆိုင်ရာ တာဝန်များကို သက်တော်ရှည်စွာ ထမ်းဆောင်ခဲ့သော နတ်စွမ်းသည့် သိုးမိဖုရားကြီးအဖြစ် ထင်ရှားသည်။ == ဘဝဇာတ်ကြောင်းနှင့် နတ်စွမ်းပုံ == ဒေါ်ငြိမ်းလှ၏ နတ်ဆရာမှာ [[အမေရွှေနဘေ]] မြစ်တူးနန်းမှ မြေလူးနတ်ဆရာ ဒေါ်သင်သင်လေး ဖြစ်သည်။ ဒေါ်သင်သင်လေး၏ တပည့် နတ်သားသမီး အကုန်နီးပါးသည် နတ်စွမ်းကြသည်ဟု ဆိုကြသည်။ အရင်ခေတ် သိုးမိဖုရားများဖြစ်ကြသည့် ဒေါ်ကြွယ်၊ ဒေါ်အေးတင် တို့၏ ခေတ်ပြီးနောက် ဒေါ်မြသန်းနှင့် ဒေါ်ခွေးမတို့ ခေတ်ထိ နတ်စွမ်းကြသည်။ ဒေါ်ခွေးမ၏ ခေါင်းပေါ်မှ နတ်သည်လည်း တော်တော်စွမ်းသည်ဟု အဆိုရှိပြီး အမေအေးတင်တို့ကဲ့သို့ပင် မီးစာကုန်ဆီခမ်းမှ ကံကုန်ရှာသည့် နတ်ဘုန်းနတ်ကံ၊ နတ်သက်ရှည်၊ လူသက်တော်ရှည်သော သိုးဆောင်းမိဖုရားကြီး ဖြစ်သည်။ ဒေါ်ခွေးမသည် စိတ္တဇနှင့် မာန်ပါသူ ဖြစ်သည်။ ယုန်လှည့်တို့ စစ်ထွက်ချိန်တို့တွင် တချို့က ချစ်၍ ထင်မှတ်ကာ တို့ထိစမြူ ပြုကြသည့်အခါ၌ — <blockquote>"ဟဲ့ နာမည်က ခွေးမ၊ ရန်ကုန် ဒလ က ခွေးမတို့ အရက်သောက်ချင်သောက်မယ်၊ မူးရင်မူးမယ်၊ အောက်မဆော့ဘူး၊ ထိပါးရိပါးမျိုးတော့ အသက်ချင်းလဲပစ်လိုက်မယ်"</blockquote> ဟု ထန်ထန်မာန်မာန် တုံ့ပြန်လေ့ရှိသည်။ == နတ်မှုထမ်းဆောင်ခြင်းနှင့် ဖြစ်ရပ်များ == အမေ ဒလ ဒေါ်ခွေးမသည် ပါးစပ်မှ "ဟေ့ ဟေ့ ကိုတော်ရေ ကိုတော်ရေ" ဟု ဆိုကာ သနပ်ခါးဖွေးနေအောင် လိမ်း၍ လက်ညှိုးလေးထောင်ကာ ခုန်ခုန်ပြီး ကပြလေ့ရှိသည်။ ၎င်းနှင့် ပတ်သက်၍ ထင်ရှားသော ဖြစ်ရပ်များနှင့် နတ်ရာထူးဆိုင်ရာ အချက်အလက်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * '''ကိုတော်နှစ်ပါး ချိုးရေတော်သုံးပွဲ ဖြစ်ရပ်''' - ကိုတော်နှစ်ပါး ချိုးရေတော် မသုံးမီ ညီလာခံ ကြက်လောင်းနတ်လမ်းစဉ်တွင် မိမိ၏ အလှည့်ကို ကျော်လွန်သွားသဖြင့် "ရှင်တို့ နှစ်ပါး ဒီက မကြွနဲ့" ဟု စိတ်ဆိုးစွာ ပုံတော်များကို ပြောဆို၍ နန်းပေါ်မှ ဆင်းသွားခဲ့သည်။ ထို့နောက် ချိုးရေတော်သုံးချိန်တွင် ပုံတော်များသည် မ ရမရဘဲ မကြွဘဲ ဖြစ်နေခဲ့ရာ အလှည့်ကျော်ခဲ့သူက ပွဲလမ်းဖြင့် တောင်းပန်မှသာ ချိုးရေတော်သုံး ကြွရောက်တော်မူခဲ့သည်။ * '''နန်းတော်၏ နတ်ရာထူးများ''' - ထိုခေတ်အခါက နန်းတော်၏ နတ်ရာထူးများကို နတ်က ခန့်အပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ နတ်က နန်းထိန်းများကို စိတ်ညို့၍ အစဉ်အဆက် ရှာဖွေတာဝန်ပေးအပ်အောင် ပြုလုပ်သည်။ ရာထူးများမှာ အစဉ်အဆက် ဖြစ်သော်လည်း ငွေဖြင့် ဝယ်ယူ၍ မရပါ။ နန်းထိန်းများရော နတ်ကတော်ကြီးများပါ ကတိသစ္စာ တည်ကြပြီး နတ်ကလည်း ထိုသူများကို ကြည့်ရှုကြောင်း ပြသကာ နတ်ကိုလည်း ထိုသူတို့က လေးစားကြသည်။ နတ်ရာထူးများသည် နန်းက ခန့်အပ်ခြင်းဖြစ်သဖြင့် ငွေမကုန်ဘဲ နတ်သက်လည်း ရှည်ကြသည်။ == ဘဝနိဂုံး == ဒေါ်ခွေးမသည် လက်ညှိုးတစ်ချောင်း ထောင်နိုင်သည့်အချိန်အထိ သက်တော် (၈၀) ကျော်သည်အထိ နတ်မှုတာဝန်များကို ကျေပွန်စွာ ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ လူတွဲ၍ နန်းပေါ်တက်ရသည့် အချိန်ကျမှသာ သိုးပြန်အပ်၍ တာဝန်မှ အနားယူခဲ့ပြီး အနားယူပြီး နောက်တစ်နှစ်တွင် တောင်ကွယ် (ကွယ်လွန်) ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == စာရေးဆရာ ရန်နိုင်အောင် ရေးသားသော မြန်မာ့နတ်ပွဲ စာအုပ်မှ ကောက်နုတ်သည်။ == ကြည့်ရှုရန်များ == * [[တောင်ပြုံးနတ်ပွဲ]] * [[မြန်မာ့ရိုးရာနတ်]] * [[နတ်ကတော်]] [[Category:မြန်မာ နတ်ကတော်များ]] [[Category:ဒလမြို့နယ်မှ လူပုဂ္ဂိုလ်များ]] [[Category:ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးမှ လူပုဂ္ဂိုလ်များ]] 08h8o02z4z2aflx7mvnr7j820qar9uv 1049534 1049525 2026-08-20T08:52:23Z Ninjastrikers 22896 A7? 1049534 wikitext text/x-wiki {{db-person}} {{Infobox person | name = ဒေါ်ငြိမ်းလှ | other_names = ဒလ ဒေါ်ခွေးမ | occupation = [[နတ်ကတော်]]၊ သိုးမိဖုရား | birthplace = [[ဒလမြို့နယ်|ဒလ]]၊ [[ရန်ကုန်မြို့]] | known_for = မြောက်လက် ရွှေသိုးမိဖုရား | religion = [[မြန်မာ့ရိုးရာနတ်|နတ်ယုံကြည်မှု]] }} '''ဒေါ်ငြိမ်းလှ''' (အမည်ရင်း) သို့မဟုတ် '''ဒလ ဒေါ်ခွေးမ''' သည် [[တနင်္လာနေ့|တနင်္လာသမီး]] ဖြစ်ပြီး [[မြန်မာ့ရိုးရာနတ်]]ယုံကြည်မှုနယ်ပယ်တွင် ထင်ရှားခဲ့သော မြောက်လက် ရွှေ[[သိုးမိဖုရား]]တစ်ပါး ဖြစ်သည်။ နတ်နန်းဆိုင်ရာ တာဝန်များကို သက်တော်ရှည်စွာ ထမ်းဆောင်ခဲ့သော နတ်စွမ်းသည့် သိုးမိဖုရားကြီးအဖြစ် ထင်ရှားသည်။ == ဘဝဇာတ်ကြောင်းနှင့် နတ်စွမ်းပုံ == ဒေါ်ငြိမ်းလှ၏ နတ်ဆရာမှာ [[အမေရွှေနဘေ]] မြစ်တူးနန်းမှ မြေလူးနတ်ဆရာ ဒေါ်သင်သင်လေး ဖြစ်သည်။ ဒေါ်သင်သင်လေး၏ တပည့် နတ်သားသမီး အကုန်နီးပါးသည် နတ်စွမ်းကြသည်ဟု ဆိုကြသည်။ အရင်ခေတ် သိုးမိဖုရားများဖြစ်ကြသည့် ဒေါ်ကြွယ်၊ ဒေါ်အေးတင် တို့၏ ခေတ်ပြီးနောက် ဒေါ်မြသန်းနှင့် ဒေါ်ခွေးမတို့ ခေတ်ထိ နတ်စွမ်းကြသည်။ ဒေါ်ခွေးမ၏ ခေါင်းပေါ်မှ နတ်သည်လည်း တော်တော်စွမ်းသည်ဟု အဆိုရှိပြီး အမေအေးတင်တို့ကဲ့သို့ပင် မီးစာကုန်ဆီခမ်းမှ ကံကုန်ရှာသည့် နတ်ဘုန်းနတ်ကံ၊ နတ်သက်ရှည်၊ လူသက်တော်ရှည်သော သိုးဆောင်းမိဖုရားကြီး ဖြစ်သည်။ ဒေါ်ခွေးမသည် စိတ္တဇနှင့် မာန်ပါသူ ဖြစ်သည်။ ယုန်လှည့်တို့ စစ်ထွက်ချိန်တို့တွင် တချို့က ချစ်၍ ထင်မှတ်ကာ တို့ထိစမြူ ပြုကြသည့်အခါ၌ — <blockquote>"ဟဲ့ နာမည်က ခွေးမ၊ ရန်ကုန် ဒလ က ခွေးမတို့ အရက်သောက်ချင်သောက်မယ်၊ မူးရင်မူးမယ်၊ အောက်မဆော့ဘူး၊ ထိပါးရိပါးမျိုးတော့ အသက်ချင်းလဲပစ်လိုက်မယ်"</blockquote> ဟု ထန်ထန်မာန်မာန် တုံ့ပြန်လေ့ရှိသည်။ == နတ်မှုထမ်းဆောင်ခြင်းနှင့် ဖြစ်ရပ်များ == အမေ ဒလ ဒေါ်ခွေးမသည် ပါးစပ်မှ "ဟေ့ ဟေ့ ကိုတော်ရေ ကိုတော်ရေ" ဟု ဆိုကာ သနပ်ခါးဖွေးနေအောင် လိမ်း၍ လက်ညှိုးလေးထောင်ကာ ခုန်ခုန်ပြီး ကပြလေ့ရှိသည်။ ၎င်းနှင့် ပတ်သက်၍ ထင်ရှားသော ဖြစ်ရပ်များနှင့် နတ်ရာထူးဆိုင်ရာ အချက်အလက်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * '''ကိုတော်နှစ်ပါး ချိုးရေတော်သုံးပွဲ ဖြစ်ရပ်''' - ကိုတော်နှစ်ပါး ချိုးရေတော် မသုံးမီ ညီလာခံ ကြက်လောင်းနတ်လမ်းစဉ်တွင် မိမိ၏ အလှည့်ကို ကျော်လွန်သွားသဖြင့် "ရှင်တို့ နှစ်ပါး ဒီက မကြွနဲ့" ဟု စိတ်ဆိုးစွာ ပုံတော်များကို ပြောဆို၍ နန်းပေါ်မှ ဆင်းသွားခဲ့သည်။ ထို့နောက် ချိုးရေတော်သုံးချိန်တွင် ပုံတော်များသည် မ ရမရဘဲ မကြွဘဲ ဖြစ်နေခဲ့ရာ အလှည့်ကျော်ခဲ့သူက ပွဲလမ်းဖြင့် တောင်းပန်မှသာ ချိုးရေတော်သုံး ကြွရောက်တော်မူခဲ့သည်။ * '''နန်းတော်၏ နတ်ရာထူးများ''' - ထိုခေတ်အခါက နန်းတော်၏ နတ်ရာထူးများကို နတ်က ခန့်အပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ နတ်က နန်းထိန်းများကို စိတ်ညို့၍ အစဉ်အဆက် ရှာဖွေတာဝန်ပေးအပ်အောင် ပြုလုပ်သည်။ ရာထူးများမှာ အစဉ်အဆက် ဖြစ်သော်လည်း ငွေဖြင့် ဝယ်ယူ၍ မရပါ။ နန်းထိန်းများရော နတ်ကတော်ကြီးများပါ ကတိသစ္စာ တည်ကြပြီး နတ်ကလည်း ထိုသူများကို ကြည့်ရှုကြောင်း ပြသကာ နတ်ကိုလည်း ထိုသူတို့က လေးစားကြသည်။ နတ်ရာထူးများသည် နန်းက ခန့်အပ်ခြင်းဖြစ်သဖြင့် ငွေမကုန်ဘဲ နတ်သက်လည်း ရှည်ကြသည်။ == ဘဝနိဂုံး == ဒေါ်ခွေးမသည် လက်ညှိုးတစ်ချောင်း ထောင်နိုင်သည့်အချိန်အထိ သက်တော် (၈၀) ကျော်သည်အထိ နတ်မှုတာဝန်များကို ကျေပွန်စွာ ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ လူတွဲ၍ နန်းပေါ်တက်ရသည့် အချိန်ကျမှသာ သိုးပြန်အပ်၍ တာဝန်မှ အနားယူခဲ့ပြီး အနားယူပြီး နောက်တစ်နှစ်တွင် တောင်ကွယ် (ကွယ်လွန်) ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == စာရေးဆရာ ရန်နိုင်အောင် ရေးသားသော မြန်မာ့နတ်ပွဲ စာအုပ်မှ ကောက်နုတ်သည်။ == ကြည့်ရှုရန်များ == * [[တောင်ပြုံးနတ်ပွဲ]] * [[မြန်မာ့ရိုးရာနတ်]] * [[နတ်ကတော်]] [[Category:မြန်မာ နတ်ကတော်များ]] [[Category:ဒလမြို့နယ်မှ လူပုဂ္ဂိုလ်များ]] [[Category:ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးမှ လူပုဂ္ဂိုလ်များ]] 805ojvg8154sllvvayie5258qz9tj1s 3 290738 1049527 2026-08-20T06:40:19Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1049527 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-45378-83 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၆:၄၀၊ ၂၀ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) qibexpi4dyeve1oxntca0zz5i3561le 0 290739 1049533 2026-08-20T08:44:59Z Zawzawaungthwin 100038 [[ပန်တျာတင်တင်မြင့်]] စာမျက်နှာကို [[တင်တင်မြင့်]] သို့ Zawzawaungthwinက ရွှေ့ခဲ့သည်: မလိုအပ်သော စကားဘညှပ်၊ သံတူကြောင်းကွဲများ ဖယ်ရှားခြင်း 1049533 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[တင်တင်မြင့်]] 5j1ek67g86m1h09zupt1xyxtnumolsv 0 290740 1049541 2026-08-20T09:16:10Z Kalixlouiis 145250 "[[:en:Special:Redirect/revision/1370276813|Foundation model]]" စာမျက်နှာကို ဘာသာပြန်ရင်း ဖန်တီးခဲ့သည် 1049541 wikitext text/x-wiki '''ကွန်ပျူတာ ဉာဏ်ရည်တု (AI) နည်းပညာ'''တွင် '''အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်''' (Foundation Model - FM) သို့မဟုတ် '''အကြီးစား x မော်ဒယ်''' (Large x Model - LxM) ဆိုသည်မှာ အချက်အလက် (Data) အမြောက်အမြားကို အသုံးပြု၍ ကြိုတင်လေ့ကျင့်သင်ကြားပေးထားသော [[ဒေတာအခြေပြုသင်ယူမှုစနစ်]] (Machine Learning) သို့မဟုတ် [[အလွှာစုံသင်ယူမှုစနစ်]] (Deep Learning) စနစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် "x" ဆိုသည်မှာ စာသား၊ ရုပ်ပုံ၊ အသံ စသည့် မည်သည့်အချက်အလက်အမျိုးအစားကိုမဆို ကိုယ်စားပြုသည်။ ဤမော်ဒယ်များကို ကွဲပြားခြားနားသော လုပ်ငန်းဆောင်တာ အမျိုးမျိုးတွင် ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် ပြန်လည်အသုံးပြုနိုင်သည်။<ref name=":1">{{cite web |author=Competition and Markets Authority |date=September 18, 2023 |title=AI Foundation Models: Initial Report |url=https://assets.publishing.service.gov.uk/media/65081d3aa41cc300145612c0/Full_report_.pdf |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20231211051438/https://assets.publishing.service.gov.uk/media/65081d3aa41cc300145612c0/Full_report_.pdf |archive-date=11 December 2023 |access-date=11 December 2023 |website=gov.uk}}</ref> လက်ရှိခေတ်စားနေသော အကြီးစား ဘာသာစကား မော်ဒယ် (LLM) ကဲ့သို့ ဖန်တီးမှုပြုနိုင်သော AI (Generative AI) လုပ်ငန်းစဉ်များသည် အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။<ref name=":1" /> အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်တစ်ခုကို အစမှစတင် တည်ဆောက်ခြင်းသည် ငွေကြေးနှင့် နည်းပညာအရင်းအမြစ် အလွန်အမင်း ကုန်ကျများလှသည်။ အဆင့်မြင့်ဆုံး မော်ဒယ်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် ဒေတာအမြောက်အမြားကို ရှာဖွေစုဆောင်းခြင်း၊ စိစစ်ခြင်း၊ ပြုပြင်ခြင်းနှင့် မော်ဒယ်ကို လေ့ကျင့်သင်ကြားပေးရန် လိုအပ်သော ကွန်ပျူတာ တွက်ချက်မှုစွမ်းအား (Compute Power) တို့အတွက် အမေရိကန်ဒေါ်လာ သန်းနှင့်ချီ၍ ကုန်ကျနိုင်သည်။<ref>Nestor Maslej, Loredana Fattorini, Erik Brynjolfsson, John Etchemendy, Katrina Ligett, Terah Lyons, James Manyika, Helen Ngo, Juan Carlos Niebles, Vanessa Parli, Yoav Shoham, Russell Wald, Jack Clark, and Raymond Perrault, "The AI Index 2023 Annual Report," AI Index Steering Committee, Institute for Human-Centered AI, Stanford University, Stanford, California, April 2023.</ref> အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ဆန်းပြားသော အခြေခံအဆောက်အအုံများ၊ ကြာရှည်လှသော လေ့ကျင့်ရေးအချိန်များနှင့် GPUs ကဲ့သို့သော အဆင့်မြင့် ဟာ့ဒ်ဝဲ (Hardware) များ လိုအပ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း ရှိနှင့်ပြီးသား အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်တစ်ခုကို မိမိအသုံးပြုလိုသည့် သီးသန့်လုပ်ငန်းတစ်ခုအတွက် ပြန်လည်ပြင်ဆင်ခြင်း (သို့မဟုတ်) တိုက်ရိုက်ယူသုံးခြင်းသည် ကုန်ကျစရိတ် အလွန်သက်သာသည်။ ၎င်းသည် မော်ဒယ်တွင် ကြိုတင်လေ့ကျင့်ထားပြီးသား စွမ်းဆောင်ရည်များကို အသုံးချခြင်းဖြစ်ပြီး မိမိလုပ်ငန်းနှင့် သက်ဆိုင်သည့် ဒေတာအနည်းငယ်ဖြင့်သာ မော်ဒယ်ကို အနုစိတ်ပြုပြင်မွမ်းမံရန် (Fine-tuning) လိုအပ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များ၏ အစောပိုင်း အောင်မြင်သော နမူနာများမှာ OpenAI ကုမ္ပဏီ၏ GPT စီးရီးနှင့် Google ၏ BERT ကဲ့သို့သော ဘာသာစကား မော်ဒယ်များ ဖြစ်ကြသည်။<ref>{{cite arXiv|eprint=2002.12327|class=cs.CL|first1=Anna|last1=Rogers|first2=Olga|last2=Kovaleva|title=A Primer in BERTology: What we know about how BERT works|first3=Anna|last3=Rumshisky|year=2020}}</ref><ref>{{Cite web |last=Haddad |first=Mohammed |title=How does GPT-4 work and how can you start using it in ChatGPT? |url=https://www.aljazeera.com/news/2023/3/15/how-do-ai-models-like-gpt-4-work-and-how-can-you-start-using-it |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20230705224641/https://www.aljazeera.com/news/2023/3/15/how-do-ai-models-like-gpt-4-work-and-how-can-you-start-using-it |archive-date=5 July 2023 |access-date=2024-10-20 |website=Al Jazeera |language=en}}</ref> လက်ရှိတွင် စာသားများအပြင် အခြားသော နယ်ပယ်စုံအတွက်လည်း အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များကို တီထွင်ဖန်တီးထားပြီး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့မှာ ရုပ်ပုံဖန်တီးမှုအတွက် DALL-E၊ Stable Diffusion နှင့် Flamingo၊ ဂီတဖန်တီးမှုအတွက် MusicGen နှင့် LLark၊ စက်ရုပ်ထိန်းချုပ်မောင်းနှင်မှုအတွက် RT-2 တို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="deepmind_20220428">{{citation|title=Tackling multiple tasks with a single visual language model|access-date=13 June 2022|date=28 April 2022|url=https://www.deepmind.com/blog/tackling-multiple-tasks-with-a-single-visual-language-model|archive-date=28 April 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220428132511/https://www.deepmind.com/blog/tackling-multiple-tasks-with-a-single-visual-language-model|url-status=live}}</ref><ref>{{cite arXiv|last1=Copet|first1=Jade|title=Simple and Controllable Music Generation|date=2023-11-07|eprint=2306.05284|last2=Kreuk|first2=Felix|last3=Gat|first3=Itai|last4=Remez|first4=Tal|last5=Kant|first5=David|last6=Synnaeve|first6=Gabriel|last7=Adi|first7=Yossi|last8=Défossez|first8=Alexandre|class=cs.SD}}</ref><ref>{{Cite web |date=2023-10-13 |title=LLark: A Multimodal Foundation Model for Music |url=https://research.atspotify.com/2023/10/llark-a-multimodal-foundation-model-for-music/ |access-date=2023-12-11 |website=Spotify Research |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |date=2023-07-28 |title=Speaking robot: Our new AI model translates vision and language into robotic actions |url=https://blog.google/technology/ai/google-deepmind-rt2-robotics-vla-model/ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20231211051438/https://blog.google/technology/ai/google-deepmind-rt2-robotics-vla-model/ |archive-date=11 December 2023 |access-date=2023-12-11 |website=Google |language=en-us}}</ref> ထို့အပြင် နက္ခတ္တဗေဒ၊ ဓာတ်မှန်ပညာ၊ မျက်စိရောဂါဗေဒ၊ မျိုးရိုးဗီဇဗေဒ၊ ကမ္ဘာမြေသိပ္ပံ၊ ကွန်ပျူတာကုဒ်ရေးသားခြင်း၊ အချိန်စီးရီးအလိုက် ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း၊ သင်္ချာနှင့် ဓာတုဗေဒ စသည့် အဆင့်မြင့် သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာနယ်ပယ်အသီးသီးအတွက်လည်း အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များကို ဆက်လက်ထုတ်လုပ်လျက် ရှိသည်။<ref>{{cite arXiv|last1=Nguyen|first1=Tuan Dung|title=AstroLLaMA: Towards Specialized Foundation Models in Astronomy|date=2023-09-12|eprint=2309.06126|last2=Ting|first2=Yuan-Sen|last3=Ciucă|first3=Ioana|last4=O'Neill|first4=Charlie|last5=Sun|first5=Ze-Chang|last6=Jabłońska|first6=Maja|last7=Kruk|first7=Sandor|last8=Perkowski|first8=Ernest|last9=Miller|first9=Jack|class=astro-ph.IM}}</ref><ref>{{cite arXiv|last1=Tu|first1=Tao|title=Towards Generalist Biomedical AI|date=2023-07-26|eprint=2307.14334|last2=Azizi|first2=Shekoofeh|last3=Driess|first3=Danny|last4=Schaekermann|first4=Mike|last5=Amin|first5=Mohamed|last6=Chang|first6=Pi-Chuan|last7=Carroll|first7=Andrew|last8=Lau|first8=Chuck|last9=Tanno|first9=Ryutaro|class=cs.CL}}</ref><ref>{{cite arXiv|last1=Tu|first1=Tao|title=Towards Generalist Biomedical AI|date=2023-07-26|eprint=2307.14334|last2=Azizi|first2=Shekoofeh|last3=Driess|first3=Danny|last4=Schaekermann|first4=Mike|last5=Amin|first5=Mohamed|last6=Chang|first6=Pi-Chuan|last7=Carroll|first7=Andrew|last8=Lau|first8=Chuck|last9=Tanno|first9=Ryutaro|class=cs.CL}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Zvyagin |first1=Maxim |date=2023 |title=GenSLMs: Genome-scale language models reveal SARS-CoV-2 evolutionary dynamics |journal=The International Journal of High Performance Computing Applications |language=en |volume=37 |issue=6 |pages=683–705 |biorxiv=10.1101/2022.10.10.511571 |doi=10.1177/10943420231201154 |last2=Brace |first2=Alexander |last3=Hippe |first3=Kyle |last4=Deng |first4=Yuntian |last5=Zhang |first5=Bin |last6=Bohorquez |first6=Cindy Orozco |last7=Clyde |first7=Austin |last8=Kale |first8=Bharat |last9=Perez-Rivera |first9=Danilo}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Zhu |first=Xiao Xiang |date=2026-01-08 |title=On the foundations of Earth foundation models |url=https://www.nature.com/articles/s43247-025-03127-x |url-status=live |journal=Communications Earth & Environment |language=en |volume=7 |issue=1 |pages=103 |doi=10.1038/s43247-025-03127-x |issn=2662-4435 |archive-url=https://web.archive.org/web/20260108163638/https://www.nature.com/articles/s43247-025-03127-x |archive-date=8 January 2026 |access-date=12 July 2026 |doi-access=free |last2=Xiong |first2=Zhitong |last3=Wang |first3=Yi |last4=Stewart |first4=Adam J. |last5=Heidler |first5=Konrad |last6=Wang |first6=Yuanyuan |last7=Yuan |first7=Zhenghang |last8=Dujardin |first8=Thomas |last9=Xu |first9=Qingsong |last10=Shi |first10=Yilei}}</ref><ref>{{cite arXiv|last1=Li|first1=Raymond|title=StarCoder: may the source be with you!|date=2023-05-09|eprint=2305.06161|last2=Allal|first2=Loubna Ben|last3=Zi|first3=Yangtian|last4=Muennighoff|first4=Niklas|last5=Kocetkov|first5=Denis|last6=Mou|first6=Chenghao|last7=Marone|first7=Marc|last8=Akiki|first8=Christopher|last9=Li|first9=Jia|class=cs.CL}}</ref><ref>{{Cite web |last1=Se |first1=Ksenia |last2=Spektor |first2=Ian |date=April 5, 2024 |title=Revolutionizing Time Series Forecasting: Interview with TimeGPT's creators |url=https://www.turingpost.com/p/timegpt |access-date=2024-04-11 |website=Turing Post |language=en}}</ref><ref>{{cite arXiv|last1=Azerbayev|first1=Zhangir|title=Llemma: An Open Language Model For Mathematics|date=2023-11-30|eprint=2310.10631|last2=Schoelkopf|first2=Hailey|last3=Paster|first3=Keiran|last4=Santos|first4=Marco Dos|last5=McAleer|first5=Stephen|last6=Jiang|first6=Albert Q.|last7=Deng|first7=Jia|last8=Biderman|first8=Stella|last9=Welleck|first9=Sean|class=cs.CL}}</ref><ref>{{cite web |title=Orbital |url=https://www.orbitalmaterials.com/post/technical-blog-introducing-the-orb-ai-based-interatomic-potential |archive-url=https://web.archive.org/web/20240903150019/https://www.orbitalmaterials.com/post/technical-blog-introducing-the-orb-ai-based-interatomic-potential |archive-date=3 September 2024 |access-date=5 September 2024}}</ref> == ဝေါဟာရ ဖွင့်ဆိုချက်များ == စတန်းဖို့ဒ် လူသားဗဟိုပြု အသိဉာဏ်တုသိပ္ပံ (Stanford Institute for Human-Centered Artificial Intelligence - HAI) ၏ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များ သုတေသနဗဟိုဌာန (Center for Research on Foundation Models - CRFM) သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဩဂုတ်လတွင် "အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ် (Foundation Model)" ဆိုသည့် ဝေါဟာရကို စတင်သုံးနှုန်းခဲ့သည်။<ref name="CRFM">{{Cite web |date=18 August 2021 |title=Introducing the Center for Research on Foundation Models (CRFM) |url=https://hai.stanford.edu/news/introducing-center-research-foundation-models-crfm |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20230604175717/https://hai.stanford.edu/news/introducing-center-research-foundation-models-crfm |archive-date=4 June 2023 |access-date=11 June 2022 |work=Stanford HAI}}</ref> ၎င်းတို့က ဤမော်ဒယ်ကို "ကျယ်ပြန့်သော ဒေတာများအပေါ်တွင် (ယေဘုယျအားဖြင့် အကြီးစား ကိုယ်တိုင်ကြီးကြပ်သင်ယူမှုစနစ် - Self-supervision ကိုသုံး၍) လေ့ကျင့်ပေးထားပြီး၊ နောက်ဆက်တွဲ လုပ်ငန်းဆောင်တာ အမျိုးမျိုးအတွက် ကိုက်ညီအောင် (ဥပမာ - အနုစိတ်ပြုပြင်မွမ်းမံခြင်း - Fine-tuning ပြုလုပ်၍) ပြောင်းလဲအသုံးချနိုင်သော မည်သည့်မော်ဒယ်မဆို" ဟု အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုသည်။<ref name="Bommasani_20210818">{{Cite report|title=On the Opportunities and Risks of Foundation Models|last1=Bommasani|first1=Rishi|last2=Hudson|first2=Drew A.|date=18 August 2021|arxiv=2108.07258|last3=Adeli|first3=Ehsan|last4=Altman|first4=Russ|last5=Arora|first5=Simran|last6=von Arx|first6=Sydney|last7=Bernstein|first7=Michael S.|last8=Bohg|first8=Jeannette|last9=Bosselut|first9=Antoine|display-authors=1|last10=Brunskill|first10=Emma|last11=Brynjolfsson|first11=Erik|last12=Buch|first12=Shyamal|last13=Card|first13=Dallas|last14=Castellon|first14=Rodrigo|last15=Chatterji|first15=Niladri|last16=Chen|first16=Annie|last17=Creel|first17=Kathleen|last18=Davis|first18=Jared Quincy|last19=Demszky|first19=Dora|last20=Donahue|first20=Chris|last21=Doumbouya|first21=Moussa|last22=Durmus|first22=Esin|last23=Ermon|first23=Stefano|last24=Etchemendy|first24=John|last25=Ethayarajh|first25=Kawin|last26=Fei-Fei|first26=Li|last27=Finn|first27=Chelsea|last28=Gale|first28=Trevor|last29=Gillespie|first29=Lauren|last30=Goel|first30=Karan|last31=Goodman|first31=Noah|last32=Grossman|first32=Shelby|last33=Guha|first33=Neel|last34=Hashimoto|first34=Tatsunori|last35=Henderson|first35=Peter|last36=Hewitt|first36=John|last37=Ho|first37=Daniel E.|last38=Hong|first38=Jenny|last39=Hsu|first39=Kyle|last40=Huang|first40=Jing|last41=Icard|first41=Thomas|last42=Jain|first42=Saahil|last43=Jurafsky|first43=Dan|last44=Kalluri|first44=Pratyusha|last45=Karamcheti|first45=Siddharth|last46=Keeling|first46=Geoff|last47=Khani|first47=Fereshte|last48=Khattab|first48=Omar|last49=Koh|first49=Pang Wei|last50=Krass|first50=Mark|last51=Krishna|first51=Ranjay|last52=Kuditipudi|first52=Rohith|last53=Kumar|first53=Ananya|last54=Ladhak|first54=Faisal|last55=Lee|first55=Mina|last56=Lee|first56=Tony|last57=Leskovec|first57=Jure|last58=Levent|first58=Isabelle|last59=Li|first59=Xiang Lisa|last60=Li|first60=Xuechen|last61=Ma|first61=Tengyu|last62=Malik|first62=Ali|last63=Manning|first63=Christopher D.|last64=Mirchandani|first64=Suvir|last65=Mitchell|first65=Eric|last66=Munyikwa|first66=Zanele|last67=Nair|first67=Suraj|last68=Narayan|first68=Avanika|last69=Narayanan|first69=Deepak|last70=Newman|first70=Ben|last71=Nie|first71=Allen|last72=Niebles|first72=Juan Carlos|last73=Nilforoshan|first73=Hamed|last74=Nyarko|first74=Julian|last75=Ogut|first75=Giray|last76=Orr|first76=Laurel|last77=Papadimitriou|first77=Isabel|last78=Park|first78=Joon Sung|last79=Piech|first79=Chris|last80=Portelance|first80=Eva|last81=Potts|first81=Christopher|last82=Raghunathan|first82=Aditi|last83=Reich|first83=Rob|last84=Ren|first84=Hongyu|last85=Rong|first85=Frieda|last86=Roohani|first86=Yusuf|last87=Ruiz|first87=Camilo|last88=Ryan|first88=Jack|last89=Ré|first89=Christopher|last90=Sadigh|first90=Dorsa|last91=Sagawa|first91=Shiori|last92=Santhanam|first92=Keshav|last93=Shih|first93=Andy|last94=Srinivasan|first94=Krishnan|last95=Tamkin|first95=Alex|last96=Taori|first96=Rohan|last97=Thomas|first97=Armin W.|last98=Tramèr|first98=Florian|last99=Wang|first99=Rose E.|last100=Wang|first100=William|last101=Wu|first101=Bohan|last102=Wu|first102=Jiajun|last103=Wu|first103=Yuhuai|last104=Xie|first104=Sang Michael|last105=Yasunaga|first105=Michihiro|last106=You|first106=Jiaxuan|last107=Zaharia|first107=Matei|last108=Zhang|first108=Michael|last109=Zhang|first109=Tianyi|last110=Zhang|first110=Xikun|last111=Zhang|first111=Yuhui|last112=Zheng|first112=Lucia|last113=Zhou|first113=Kaitlyn|last114=Liang|first114=Percy}}</ref> ယခင်က ရှိနှင့်ပြီးသား အသုံးအနှုန်းများသည် သဘောတရားချင်း ထပ်တူကျနေသော်လည်း လုံလောက်ပြည့်စုံမှု မရှိခြင်းကြောင့် ဤဝေါဟာရသစ်ကို ရွေးချယ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ သုံးသပ်ချက်အရ "[[ဘာသာစကားမော်ဒယ်ကြီး]] (Large Language Model)" ဆိုသည်မှာ ဘာသာစကားတစ်ခုတည်းကိုသာ ဦးတည်လွန်းသဖြင့် ကျဉ်းမြောင်းလွန်းပြီး၊ "ကိုယ်တိုင်ကြီးကြပ်သင်ယူမှု မော်ဒယ် (Self-supervised Model)" ဆိုသည်မှာလည်း လေ့ကျင့်ရေးရည်ရွယ်ချက်အပေါ်၌သာ အတိအကျ ဖြစ်လွန်းနေသည်။ ထို့ပြင် "ကြိုတင်လေ့ကျင့်ပေးထားသော မော်ဒယ် (Pretrained Model)" ဆိုသည့် စကားလုံးမှာလည်း မှတ်မှတ်ရရ လုပ်ဆောင်ချက်အားလုံးသည် ကြိုတင်လေ့ကျင့်မှု ပြီးနောက်မှသာ ဖြစ်ပေါ်လာသည့် သဘောကို ဆောင်နေသည်။<ref>{{cite web |date=18 October 2021 |title=Reflections on Foundation Models |url=https://hai.stanford.edu/news/reflections-foundation-models |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20240815084336/https://hai.stanford.edu/news/reflections-foundation-models |archive-date=15 August 2024 |access-date=22 May 2023 |website=Stanford HAI}}</ref> ၎င်းတို့သည် "Foundational Model" ဟူသော စကားလုံးအစား "Foundation Model" ကို ရွေးချယ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်ပြီး၊ အကြောင်းမှာ "Foundational" ဟူသော စကားလုံးသည် အခြေခံမူဝါဒများကို ချမှတ်ပေးသည့် သဘောသက်ရောက်နေပြီး "Foundation" မှာမူ ထိုသို့သော သဘောမျိုး မသက်ရောက်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last1=Bommasani |first1=Rishi |last2=Liang |first2=Percy |author2-link=Percy Liang |date=2021-10-18 |title=Reflections on Foundation Models |url=https://crfm.stanford.edu/2021/10/18/reflections.html |access-date=2023-12-11 |website=Stanford CRFM}}</ref><ref>{{Cite web |last=Marcus |first=Gary |date=2021-09-11 |title=Has AI found a new Foundation? |url=https://thegradient.pub/has-ai-found-a-new-foundation/ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20231211051438/https://thegradient.pub/has-ai-found-a-new-foundation/ |archive-date=11 December 2023 |access-date=2023-12-11 |website=The Gradient |language=en}}</ref> ရုပ်ပုံ-ဘာသာစကား မော်ဒယ် (Vision-Language Model - VLM) ဆိုသည့် အသုံးအနှုန်းကိုလည်း ဤဝေါဟာရနှင့် အဓိပ္ပာယ်နီးစပ်တူအဖြစ် အသုံးပြုကြသည်။ အစိုးရများက အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များကို စတင်ထိန်းချုပ်ကွပ်ကဲလာသည်နှင့်အမျှ ဥပဒေကြောင်းအရ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်အသစ်များ ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ '''အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု၏ ဥပဒေပြုရေးဆိုင်ရာ ဖွင့်ဆိုချက်များ''' * အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုတွင် လက်ရှိ၌ ပယ်ဖျက်လိုက်ပြီဖြစ်သော "ဘေးကင်းလုံခြုံပြီး ယုံကြည်စိတ်ချရသော အသိဉာဏ်တု ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးနှင့် အသုံးချရေးဆိုင်ရာ သမ္မတအမှုဆောင်အမိန့်" အရ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်ဆိုသည်မှာ "ကျယ်ပြန့်သော ဒေတာများအပေါ်တွင် လေ့ကျင့်ပေးထားပြီး၊ ယေဘုယျအားဖြင့် ကိုယ်တိုင်ကြီးကြပ်သင်ယူမှုစနစ်ကို အသုံးပြုကာ၊ အနည်းဆုံး ပါရာမီတာ (Parameter) ဘီလီယံ ဆယ်ဂဏန်းကျော် ပါဝင်ပြီး၊ နယ်ပယ်အမျိုးမျိုးတွင် ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးချနိုင်သော AI မော်ဒယ်" ဟု သတ်မှတ်သည်။<ref>{{Cite web |date=2023-10-30 |title=Executive Order on the Safe, Secure, and Trustworthy Development and Use of Artificial Intelligence |url=https://bidenwhitehouse.archives.gov/briefing-room/presidential-actions/2023/10/30/executive-order-on-the-safe-secure-and-trustworthy-development-and-use-of-artificial-intelligence/ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20250201114742/https://bidenwhitehouse.archives.gov/briefing-room/presidential-actions/2023/10/30/executive-order-on-the-safe-secure-and-trustworthy-development-and-use-of-artificial-intelligence/ |archive-date=1 February 2025 |access-date=2024-02-12 |website=The White House |language=en-US}}</ref> * ထို့ပြင် အောက်လွှတ်တော်အမတ်များဖြစ်ကြသည့် Don Beyer နှင့် Anna Eshoo တို့ တင်သွင်းခဲ့သော ၂၀၂၃ ခုနှစ် "AI အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ် ပွင့်လင်းမြင်သာမှု အက်ဥပဒေမူကြမ်း" တွင် အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသည်။<ref>{{Cite web |title=AI Foundation Model Transparency Act |url=https://beyer.house.gov/uploadedfiles/one-pager_ai_foundation_model_transparency_act_.pdf |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20240213003330/https://beyer.house.gov/uploadedfiles/one-pager_ai_foundation_model_transparency_act_.pdf |archive-date=13 February 2024 |access-date=13 February 2024}}</ref> ၎င်းမှာ "ကျယ်ပြန့်သော ဒေတာများအပေါ်တွင် လေ့ကျင့်ပေးထားပြီး၊ ယေဘုယျအားဖြင့် ကိုယ်တိုင်ကြီးကြပ်သင်ယူမှုစနစ်ကို အသုံးပြုကာ၊ ပုံမှန်အားဖြင့် ပါရာမီတာ အနည်းဆုံး ၁ ဘီလီယံ (၁,၀၀၀,၀၀၀,၀၀၀) ပါဝင်ပြီး၊ နယ်ပယ်အမျိုးမျိုးတွင် ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးချနိုင်သည်။ ထို့ပြင် နိုင်ငံတော်လုံခြုံရေး၊ နိုင်ငံ၏ စီးပွားရေးလုံခြုံရေး၊ ပြည်သူ့ကျန်းမာရေးနှင့် ဘေးကင်းလုံခြုံရေး (သို့မဟုတ်) ထိုအချက်များအားလုံးကို ပြင်းထန်စွာ ထိခိုက်အန္တရာယ်ပြုနိုင်သည့် လုပ်ငန်းဆောင်တာများတွင် မြင့်မားသော စွမ်းဆောင်ရည်ကို ပြသနိုင်ခြင်း (သို့မဟုတ်) ပြသနိုင်ရန် အလွယ်တကူ ပြုပြင်ပြောင်းလဲနိုင်ခြင်း" တို့ပင် ဖြစ်သည်။ '''ဥရောပသမဂ္ဂနှင့် ယူကေ၏ ဖွင့်ဆိုချက်များ''' * ဥရောပသမဂ္ဂ (EU) တွင် ဥရောပပါလီမန်က ညှိနှိုင်းဆွေးနွေးထားသော "အီးယူ AI အက်ဥပဒေ (E.U. AI Act)" ၏ သဘောထားရပ်တည်ချက်အရ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်ဆိုသည်မှာ "ဒေတာအမြောက်အမြားအပေါ် အကြီးအကျယ် လေ့ကျင့်ပေးထားပြီး၊ ရလဒ်များကို နယ်ပယ်စုံတွင် အထွေထွေအသုံးပြုနိုင်ရန် (Generality of output) ဒီဇိုင်းထုတ်ထားကာ၊ သီးခြားကွဲပြားသော လုပ်ငန်းဆောင်တာ အမျိုးမျိုးအတွက် ကိုက်ညီအောင် ပြောင်းလဲအသုံးချနိုင်သော AI မော်ဒယ်" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ * ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း (UK) တွင် ပြိုင်ဆိုင်မှုနှင့် စျေးကွက်များဆိုင်ရာ အာဏာပိုင်အဖွဲ့ (Competition and Markets Authority) ၏ "AI အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များ - ကနဦးအစီရင်ခံစာ" အရ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များကို "ဒေတာအမြောက်အမြားအပေါ်တွင် လေ့ကျင့်ပေးထားပြီး လုပ်ငန်းဆောင်တာများနှင့် လုပ်ငန်းလည်ပတ်မှု အမျိုးမျိုးတွင် ကိုက်ညီအောင် ပြောင်းလဲအသုံးချနိုင်သော AI နည်းပညာတစ်ရပ်" ဟု အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုသည်။<ref name=":1" /> အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်များသည်သာ မော်ဒယ်၏ ပမာဏအရွယ်အစား (Size) ကို ထည့်သွင်းဖော်ပြထားပြီး ၎င်းတို့အချင်းချင်းကြားတွင်လည်း အရွယ်အစားသတ်မှတ်ချက် ကွာခြားမှုရှိသည်။ လွှတ်တော်အမတ် Beyer နှင့် Eshoo တို့၏ ဖွင့်ဆိုချက်တွင် အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များသည် အန္တရာယ်ဖြစ်လာနိုင်လောက်သည့် စွမ်းဆောင်ရည်အဆင့်အတန်းတစ်ခု ရှိရမည်ဟု အတိအကျ ဖော်ပြထားသည်။ ဆန့်ကျင်ဘက်အနေဖြင့် ဥရောပသမဂ္ဂ၏ ဖွင့်ဆိုချက်တွင်မူ မော်ဒယ်သည် ရလဒ်များကို နယ်ပယ်စုံတွင် အထွေထွေအသုံးပြုနိုင်ရန် ဒီဇိုင်းထုတ်ထားရမည်ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ သို့သော် အားလုံးသောအဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်များ တူညီကြသည့်အချက်မှာ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များသည် ကျယ်ပြန့်သော ဒေတာအမျိုးအစားများအပေါ်တွင် လေ့ကျင့်ပေးထားရမည်ဖြစ်ပြီး၊ နယ်ပယ်ကဏ္ဍ အများအပြားတွင် အသုံးပြုနိုင်သည့် အလားအလာရှိရမည်ဟူသော အချက်ပင် ဖြစ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်း == နည်းပညာပိုင်းအရ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များကို နက်ရှိုင်းသော အာရုံကြောကွန်ရက်များ (Deep Neural Networks)၊ သင်ယူမှုလွှဲပြောင်းခြင်း (Transfer Learning) နှင့် ကိုယ်တိုင်ကြီးကြပ်သင်ယူမှု (Self-supervised Learning) ကဲ့သို့သော တည်ငြိမ်ပြီးသား [[ဒေတာအခြေပြုသင်ယူမှုစနစ်]]နည်းပညာများကို အသုံးပြု၍ တည်ဆောက်ထားသည်။ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များသည် သီးခြားလုပ်ငန်းတစ်ခုတည်းအတွက်သာ ရည်ရွယ်ပြုလုပ်ထားသော စိတ်ကြိုက်ပုံစံသုံး မော်ဒယ်များ မဟုတ်ကြဘဲ၊ ထပ်ခါတလဲလဲ ပြန်လည်အသုံးပြုနိုင်သည့် အခြေခံအဆောက်အအုံတစ်ခုကဲ့သို့ လုပ်ဆောင်ပေးနိုင်သော ဘက်စုံသုံးမော်ဒယ်များ ဖြစ်ခြင်းကြောင့် ယခင်နည်းပညာများနှင့် ကွဲပြားခြားနားသည်။ ကွန်ပျူတာ၏ ပြိုင်တူတွက်ချက်နိုင်မှုစွမ်းရည် တိုးတက်လာခြင်း (ဥပမာ - CUDA GPUs များ)၊ အာရုံကြောကွန်ရက် တည်ဆောက်ပုံစနစ်သစ်များ ပေါ်ထွက်လာခြင်း (ဥပမာ - Transformers များ) နှင့် လူသားတို့၏ ကြီးကြပ်မှု အနည်းဆုံးသာ လိုအပ်သည့် လေ့ကျင့်ရေးဒေတာများကို ပိုမိုအသုံးပြုလာနိုင်ခြင်းတို့က အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များ ထွန်းကားလာစေရန် အားပေးကူညီခဲ့သည်။ ၂၀၁၀ ပြည့်နှစ်များ၏ နောက်နှောင်းပိုင်းကာလတွင် အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များသည် [[အလွှာစုံသင်ယူမှုစနစ်]]သုံး (Deep Learning) မော်ဒယ်များ၏ နောက်ဆုံးလှိုင်းအဖြစ် စတင်ပုံပေါ်လာခဲ့သည်။<ref name=":2">{{Citation|last1=Liang|first1=Percy|title=Holistic Evaluation of Language Models|date=2023-10-01|journal=Annals of the New York Academy of Sciences|volume=1525|issue=1|pages=140–146|arxiv=2211.09110|bibcode=2023NYASA1525..140B|doi=10.1111/nyas.15007|pmid=37230490|last2=Bommasani|first2=Rishi|last3=Lee|first3=Tony|last4=Tsipras|first4=Dimitris|last5=Soylu|first5=Dilara|last6=Yasunaga|first6=Michihiro|last7=Zhang|first7=Yian|last8=Narayanan|first8=Deepak|last9=Wu|first9=Yuhuai}}</ref> ယခင်နက်ရှိုင်းစွာသင်ယူမှုဆိုင်ရာ သုတေသနအများစုနှင့် နှိုင်းယှဉ်ပါက ဤဘာသာစကား မော်ဒယ်များသည် ကိုယ်တိုင်ကြီးကြပ်သင်ယူမှု ရည်မှန်းချက်များ (ဥပမာ - စာသားအမြောက်အမြားထဲမှ နောက်ထပ်ပေါ်လာမည့် စကားလုံးကို ခန့်မှန်းခြင်း) ကို အသုံးပြု၍ အင်တာနက်မှရရှိသော ပိုမိုကြီးမားသည့် ဒေတာစုများအပေါ်၌ လေ့ကျင့်သင်ကြားနိုင်စွမ်းရှိကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ အဆိုပါ ချဉ်းကပ်မှုများသည် word2vec နှင့် GloVe ကဲ့သို့သော အစောပိုင်း သုတေသနလုပ်ငန်းများကို အခြေခံထားခြင်း ဖြစ်ပြီး၊ လူသားများ ကိုယ်တိုင်လိုက်လံ မှတ်သားပေးရန် လိုအပ်သော ဒေတာများကို သုံးရသည့် ယခင်ကြီးကြပ်သင်ယူမှု (Supervised) ချဉ်းကပ်မှုများမှ ခွဲထွက်လာခဲ့ကြသည်။ ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သော Stable Diffusion နှင့် ChatGPT (အစောပိုင်းတွင် GPT-3.5 မော်ဒယ်ဖြင့် မောင်းနှင်ခဲ့သည်) တို့ကြောင့် အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များနှင့် ဖန်တီးမှုပြုနိုင်သော AI (Generative AI) နည်းပညာများသည် အများပြည်သူကြားတွင် ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် စတင်ရေပန်းစားလာခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ၂၀၂၃ ခုနှစ်တွင် LLaMA၊ Llama 2 နှင့် Mistral တို့ ထွက်ရှိလာခြင်းက အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များကို မည်သို့မည်ပုံ ဖြန့်ချိသင့်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ် ပိုမိုအာရုံစိုက်လာစေခဲ့ပြီး၊ ကုဒ်နှင့် အချက်အလက်များ ဖွင့်ချပြထားသော ပွင့်လင်းအခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ် (Open Foundation Models) များသည် ထောက်ခံအားပေးမှုနှင့် အသေးစိတ်စိစစ်မှုများစွာကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း ရရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2023-10-31 |title=Joint Statement on AI Safety and Openness |url=https://open.mozilla.org/letter/ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20231104203808/https://open.mozilla.org/letter/ |archive-date=4 November 2023 |access-date=2024-02-12 |website=Mozilla |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |date=2023-06-06 |title=Hawley and Blumenthal Demand Answers from Meta, Warn of Misuse After 'Leak' of Meta's AI Model |url=https://www.hawley.senate.gov/hawley-and-blumenthal-demand-answers-meta-warn-misuse-after-leak-metas-ai-model |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20240213003330/https://www.hawley.senate.gov/hawley-and-blumenthal-demand-answers-meta-warn-misuse-after-leak-metas-ai-model |archive-date=13 February 2024 |access-date=2024-02-12 |website=Senator Josh Hawley |language=en}}</ref> == ဆက်စပ်သဘောတရားများ == === ရှေ့ပြေးမော်ဒယ်များ (Frontier models) === အလွန်အဆင့်မြင့်သော အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်အချို့ကို "ရှေ့ပြေးမော်ဒယ် (Frontier Model)" ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းမော်ဒယ်များသည် "ပြည်သူ့ဘေးကင်းလုံခြုံရေးကို ပြင်းထန်စွာ ထိခိုက်စေနိုင်သည့် အန္တရာယ်ရှိသော စွမ်းဆောင်ရည်များကို ပိုင်ဆိုင်ထားနိုင်သည့် အလားအလာ" ရှိကြသည်။<ref name=":0">{{Citation|last1=Anderljung|first1=Markus|title=Frontier AI Regulation: Managing Emerging Risks to Public Safety|date=2023-11-07|arxiv=2307.03718|last2=Barnhart|first2=Joslyn|last3=Korinek|first3=Anton|last4=Leung|first4=Jade|last5=O'Keefe|first5=Cullen|last6=Whittlestone|first6=Jess|last7=Avin|first7=Shahar|last8=Brundage|first8=Miles|last9=Bullock|first9=Justin|author-link4=Jade Leung (engineer)}}</ref> ထို "အန္တရာယ်ရှိသော စွမ်းဆောင်ရည်များ" သည် မော်ဒယ်များကို တမင်တကာဖြစ်စေ၊ မတော်တဆဖြစ်စေ အလွဲသုံးစားလုပ်ခြင်းမှ မြစ်ဖျားခံလာပြီး၊ ၎င်းတို့၏ အားကောင်းလှသော စွမ်းရည်များနှင့် ပေါင်းစပ်ကာ ကြီးမားသော ဘေးအန္တရာယ်များကို ဖြစ်ပေါ်စေနိုင်သည်။ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များ စဉ်ဆက်မပြတ် တိုးတက်လာသည်နှင့်အမျှ နောင်ပေါ်ထွက်လာမည့် မျိုးဆက်သစ် အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်အားလုံးနီးပါးကို ရှေ့ပြေးမော်ဒယ်များအဖြစ် သတ်မှတ်လာရလိမ့်မည်ဟု AI သုတေသီအချို့က သုံးသပ်ကြသည်။ "အန္တရာယ်ရှိသော စွမ်းဆောင်ရည်" ဟူသည့် သဘောတရားသည် ပုဂ္ဂိုလ်စွဲအပေါ်တွင်သာ မူတည်နေသောကြောင့် မည်သည့်အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်က ရှေ့ပြေးမော်ဒယ်အဆင့် ဝင်သည်ဆိုခြင်းအတွက် တိကျသေချာသော ကန့်သတ်ချက် မရှိသေးပေ။ သို့သော်လည်း လုံလောက်သော ဘေးအန္တရာယ်ဖြစ်စေနိုင်သည့် စွမ်းဆောင်ရည်များအဖြစ် အများက ယေဘုယျ လက်ခံထားကြသော အချက်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * ဇီဝ သို့မဟုတ် ဓာတုဗေဒဆိုင်ရာ ဘေးအန္တရာယ်ဖြစ်စေနိုင်သော အရာဝတ္ထုများကို ဖန်တီးရာတွင် အထောက်အကူပြုနိုင်ခြင်း။<ref>{{Cite journal |last1=Singhal |first1=Karan |date=August 2023 |title=Large language models encode clinical knowledge |journal=Nature |language=en |volume=620 |issue=7972 |pages=172–180 |arxiv=2212.13138 |bibcode=2023Natur.620..172S |doi=10.1038/s41586-023-06291-2 |issn=1476-4687 |pmc=10396962 |pmid=37438534 |last2=Azizi |first2=Shekoofeh |last3=Tu |first3=Tao |last4=Mahdavi |first4=S. Sara |last5=Wei |first5=Jason |last6=Chung |first6=Hyung Won |last7=Scales |first7=Nathan |last8=Tanwani |first8=Ajay |last9=Cole-Lewis |first9=Heather |last10=Pfohl |first10=Stephen |last11=Payne |first11=Perry |last12=Seneviratne |first12=Martin |last13=Gamble |first13=Paul |last14=Kelly |first14=Chris |last15=Babiker |first15=Abubakr}}</ref> * အသုံးပြုသူ၏ ညွှန်ကြားချက် အနည်းငယ်မျှဖြင့်ပင် လူအများ ယုံကြည်လောက်အောင် စနစ်တကျ ဖန်တီးထားသော သတင်းမှားများကို ထုတ်လုပ်ခြင်းနှင့် ပျံ့နှံ့စေခြင်း။<ref>{{Citation|last1=Nori|first1=Harsha|title=Capabilities of GPT-4 on Medical Challenge Problems|date=2023-04-12|arxiv=2303.13375|last2=King|first2=Nicholas|last3=McKinney|first3=Scott Mayer|last4=Carignan|first4=Dean|last5=Horvitz|first5=Eric}}</ref> * အဆင့်မြင့် ဆိုက်ဘာတိုက်ခိုက်မှု စွမ်းရည်များကို အသုံးချနိုင်ခြင်း။<ref>{{Cite web |date=February 7, 2024 |title=Generative AI and the New Frontier in Cybersecurity |url=https://aibusiness.com/verticals/generative-ai-enables-a-new-frontier-in-cybersecurity |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20250120112129/https://aibusiness.com/verticals/generative-ai-enables-a-new-frontier-in-cybersecurity |archive-date=20 January 2025 |access-date=15 January 2025 |website=AI Business |language=en}}</ref> * လှည့်ဖြားတတ်သော နည်းလမ်းများဖြင့် လူသားတို့၏ ထိန်းချုပ်မှုကို ရှောင်လွှဲခြင်း။<ref>{{Cite magazine|last=Pillay|first=Tharin|date=2024-12-15|title=New Tests Reveal AI's Capacity for Deception|url=https://time.com/7202312/new-tests-reveal-ai-capacity-for-deception/|access-date=2025-01-15|magazine=TIME|language=en|archive-date=22 April 2025|archive-url=https://web.archive.org/web/20250422232303/https://time.com/7202312/new-tests-reveal-ai-capacity-for-deception/|url-status=dead}}</ref> အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု၏ သတ်မှတ်ချက် (NIST အောက်ရှိ AI ဘေးကင်းလုံခြုံရေးသိပ္ပံမှတစ်ဆင့်) တွင်မူ ဥပဒေကြောင်းအရ တိကျသော လိုအပ်ချက်များ ဖြစ်ပေါ်လာစေရန် "ရှေ့ပြေး" အဆင့်အတန်းကို ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ နည်းပညာစံနှုန်း (Compute technical threshold) နှင့်ပါ တွဲဖက်သတ်မှတ်ထားသည်။<ref>{{Cite web |date=2023-11-01 |title=Safe, Secure, and Trustworthy Development and Use of Artificial Intelligence |url=https://www.federalregister.gov/documents/2023/11/01/2023-24283/safe-secure-and-trustworthy-development-and-use-of-artificial-intelligence |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20260429020914/https://www.federalregister.gov/documents/2023/11/01/2023-24283/safe-secure-and-trustworthy-development-and-use-of-artificial-intelligence |archive-date=29 April 2026 |access-date=2026-04-20 |website=Federal Register |language=en}}</ref> ရှေ့ပြေးမော်ဒယ်များတွင် ထူးခြားသော စွမ်းဆောင်ရည်များ ရှိနေခြင်းကြောင့် ၎င်းတို့၏ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုနှင့် အသုံးချမှုများကို ထိရောက်စွာ ထိန်းချုပ်ကွပ်ကဲရန် ခက်ခဲလှသည်။ ၎င်းတို့၏ အလိုအလျောက် ပေါ်ထွက်လာတတ်သော သဘာဝ (Emergent nature) ကြောင့် မော်ဒယ်ကို တည်ဆောက်နေစဉ် ကာလတွင်လည်းကောင်း၊ အသုံးပြုရန် ဖြန့်ချိပြီးနောက် ကာလတွင်လည်းကောင်း အန္တရာယ်ရှိသော စွမ်းဆောင်ရည်အသစ်များ အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာနိုင်သည်။<ref name=":0" /> ထို့အပြင် ရှေ့ပြေးမော်ဒယ်များသည် ဖြန့်ချိပြီးနောက်တွင်လည်း ဆက်လက်ပြောင်းလဲ လိုက်လျောညီထွေဖြစ်အောင် လုပ်ဆောင်နိုင်စွမ်းရှိသောကြောင့် အသုံးပြုနေဆဲ မော်ဒယ်များမှ ထွက်ပေါ်လာသည့် အန္တရာယ်အားလုံးကို လျှော့ချရန် ခက်ခဲနေဆဲ ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ရှေ့ပြေးမော်ဒယ်တစ်ခုသည် ကုဒ်နှင့်အချက်အလက်များကို ပွင့်လင်းစွာ ချပြထားခြင်း (Open-source) ဖြစ်နေပါက သို့မဟုတ် အင်တာနက်ပေါ်သို့ ပြန့်နှံ့သွားပါက ၎င်းမော်ဒယ်သည် အရှိန်အဟုန်ဖြင့် ကူးစက်ပျံ့နှံ့သွားနိုင်ပြီး၊ တာဝန်ယူမှု တာဝန်ခံမှု ကင်းမဲ့ခြင်းများကို ဖြစ်ပေါ်စေကာ ထိန်းချုပ်ကွပ်ကဲမည့်သူများကို ပိုမိုအခက်တွေ့စေသည်။ ထို့ကြောင့် ဤကဲ့သို့သော အဆင့်မြင့် အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များအတွက် ဘေးကင်းလုံခြုံရေး စံနှုန်းများ ချမှတ်ရန် OpenAI၊ Anthropic၊ Google နှင့် Microsoft တို့ ပူးပေါင်း၍ ရှေ့ပြေးမော်ဒယ်ဖိုရမ် (Frontier Model Forum) ကဲ့သို့သော အဖွဲ့အစည်းများကို ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite web |title=About |url=https://www.frontiermodelforum.org/about-us/ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20260414014928/https://www.frontiermodelforum.org/about-us/ |archive-date=14 April 2026 |access-date=2026-04-20 |website=Frontier Model Forum |language=en-US}}</ref> ကမ္ဘာ့အဆင့် တရားဝင် ဘေးကင်းလုံခြုံရေး စံနှုန်းများကို ပြဋ္ဌာန်းနိုင်ရန်အတွက်လည်း နိုင်ငံတကာ AI ဘေးကင်းလုံခြုံရေးသိပ္ပံ ကွန်ရက် (Global Network of AISIs) နှင့် ဂျီဆဲဗင်း (G7) ၏ "ဟီရိုရှီးမား AI ဖြစ်စဉ် (Hiroshima AI Process - HAIP)" အပါအဝင် အစိုးရနှင့် အစိုးရအချင်းချင်း ချိတ်ဆက်ထားသော အဖွဲ့အစည်းများ၏ ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ကွန်ရက်တစ်ခု ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။<ref>{{Cite journal |last=Allen and Adamson |date=October 30, 2024 |title=The AI Safety Institute International Network: Next Steps and Recommendations |url=https://www.csis.org/analysis/ai-safety-institute-international-network-next-steps-and-recommendations#:~:text=Since%202023%2C%20governments%20around%20the,the%20frontier%20of%20AI%20development. |journal=CSIS- Center for Strategic and International Studies}}</ref><ref>{{Cite web |title=Documents of Achievement{{!}}Hiroshima AI Process |url=https://www.soumu.go.jp/hiroshimaaiprocess/en/documents.html#:~:text=2023%EF%BC%88Japan%EF%BC%89,AI%20Systems%EF%BC%88PDF%EF%BC%9A274KB%EF%BC%89 |access-date=2026-04-20 |website=www.soumu.go.jp}}</ref> === ဘက်စုံသုံး အသိဉာဏ်တု (General-purpose AI) === အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များသည် လုပ်ငန်းဆောင်တာ အမျိုးမျိုးတွင် လိုက်လျောညီထွေ ပြောင်းလဲအသုံးပြုနိုင်စွမ်း ရှိသောကြောင့် ၎င်းတို့ကို ဘက်စုံသုံး အသိဉာဏ်တု (General-purpose AI) ၏ ဥပမာများအဖြစ် တစ်ခါတစ်ရံ သတ်မှတ်ကြသည်။ ဥရောပပါလီမန်သည် "အီးယူ AI အက်ဥပဒေ (EU AI Act)" ကို ရေးဆွဲရာတွင် ဆန်းသစ်လာသော ဘက်စုံသုံး AI နည်းပညာလှိုင်းသစ်များသည် AI ဂေဟစနစ် (AI Ecosystem) တစ်ခုလုံးကို ပုံဖော်ပေးနေကြောင်း ထည့်သွင်းဖော်ပြခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=General-purpose artificial intelligence {{!}} Think Tank {{!}} European Parliament |url=https://www.europarl.europa.eu/thinktank/en/document/EPRS_ATA(2023)745708 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20240213003330/https://www.europarl.europa.eu/thinktank/en/document/EPRS_ATA(2023)745708 |archive-date=13 February 2024 |access-date=2024-02-12 |website=www.europarl.europa.eu |language=en}}</ref> သီးခြားဖြစ်သော ဘက်စုံသုံး AI စနစ်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများအပြင်၊ အဆိုပါဂေဟစနစ်၏ ပိုမိုပြည့်စုံသော တည်ဆောက်ပုံစနစ်သည်လည်း AI ဆိုင်ရာ မူဝါဒများနှင့် သုတေသနလုပ်ငန်းများကို ပုံဖော်ရာတွင် လွှမ်းမိုးမှုရှိသည်။<ref>{{Citation|last1=Bommasani|first1=Rishi|title=Ecosystem Graphs: The Social Footprint of Foundation Models|date=2023-03-28|arxiv=2303.15772|last2=Soylu|first2=Dilara|last3=Liao|first3=Thomas I.|last4=Creel|first4=Kathleen A.|last5=Liang|first5=Percy}}</ref> ထို့ပြင် ဘက်စုံသုံး AI စနစ်များကို ChatGPT သို့မဟုတ် DALL-E ကဲ့သို့သော အသုံးချဆော့ဖ်ဝဲများနှင့် ကိရိယာများမှတစ်ဆင့် လူသားတို့၏ နေ့စဉ်လူနေမှုဘဝများတွင် အများဆုံး တွေ့မြင်နေရပြီ ဖြစ်သည်။ ဥရောပပါလီမန်ကဲ့သို့သော အစိုးရအဖွဲ့အစည်းများသည် အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များကဲ့သို့သော ဘက်စုံသုံး AI စနစ်များကို ထိန်းချုပ်ကွပ်ကဲရန် အရေးကြီးဆုံး ဦးစားပေးလုပ်ငန်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ထားကြသည်။ ဘက်စုံသုံး AI စနစ်များသည် ယေဘုယျအားဖြင့် အရွယ်အစား အလွန်ကြီးမားခြင်း၊ အတွင်းပိုင်းလုပ်ဆောင်ပုံကို ရှင်းလင်းစွာမသိနိုင်ခြင်း (Opacity) နှင့် မမျှော်မှန်းထားသော စွမ်းဆောင်ရည်များ အလိုအလျောက် ပေါ်ထွက်လာနိုင်ခြင်း (Potential for emergence) စသည့် ဝိသေသလက္ခဏာများ ရှိကြပြီး၊ ထိုအချက်များအားလုံးက မရည်ရွယ်ဘဲ ဖြစ်ပေါ်လာမည့် ဘေးအန္တရာယ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ ဤကဲ့သို့သော စနစ်များသည် ၎င်းတို့ကို အခြေခံ၍ ဆက်လက်ထုတ်လုပ်မည့် နောက်ဆက်တွဲ အသုံးချဆော့ဖ်ဝဲများ (Downstream applications) အပေါ်တွင်လည်း ပြင်းထန်စွာ လွှမ်းမိုးမှုရှိနေသောကြောင့် ထိန်းချုပ်ကွပ်ကဲရန် လိုအပ်ချက်ကို ပိုမိုမြင့်မားစေသည်။ ထင်ရှားသော ဥပဒေပြုရေးနှင့် ပတ်သက်၍ သက်ဆိုင်ရာအဖွဲ့အစည်းအသီးသီး (Stakeholders) က "အီးယူ AI အက်ဥပဒေ" တွင် ဘက်စုံသုံး AI စနစ်များအပေါ် ကန့်သတ်ချက်များ ထည့်သွင်းပြဋ္ဌာန်းရန် တွန်းအားပေးခဲ့ကြပြီး၊ ထိုပြဋ္ဌာန်းချက်များ အားလုံးသည် အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များနှင့်လည်း သက်ဆိုင်မည် ဖြစ်သည်။ === ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များ (World models) === ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ် (World Model) များကိုလည်း အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များအဖြစ် တစ်ခါတစ်ရံ တင်စားခေါ်ဆိုကြသည်။<ref>{{Cite web |last=Bellan |first=Rebecca |date=2025-08-05 |title=DeepMind thinks its new Genie 3 world model presents a stepping stone toward AGI |url=https://techcrunch.com/2025/08/05/deepmind-thinks-genie-3-world-model-presents-stepping-stone-towards-agi/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250805155442/https://techcrunch.com/2025/08/05/deepmind-thinks-genie-3-world-model-presents-stepping-stone-towards-agi/ |archive-date=2025-08-05 |access-date=2025-11-08 |website=[[TechCrunch]] |language=en-US}}</ref><ref name=":9">{{Cite web |last=Takahashi |first=Dean |date=2025-01-07 |title=Nvidia launches Cosmos world foundation model platform to accelerate physical AI |url=https://venturebeat.com/ai/nvidia-launches-cosmos-world-foundation-model-platform-to-accelerate-physical-ai/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250108001736/https://venturebeat.com/ai/nvidia-launches-cosmos-world-foundation-model-platform-to-accelerate-physical-ai/ |archive-date=2025-01-08 |access-date=2025-06-15 |website=[[VentureBeat]] |language=en-US}}</ref> ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်ဆိုသည်မှာ မိမိတို့ ရွေးချယ်လုပ်ဆောင်လိုက်သည့် လုပ်ငန်းစဉ်များအပေါ် မူတည်၍ ပတ်ဝန်းကျင်တစ်ခု၏ ဖြစ်ပေါ်လာမည့် အခြေအနေကို ကြိုတင်ခန့်မှန်းပေးနိုင်သော စနစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name=":92">{{Cite web |last=Takahashi |first=Dean |date=2025-01-07 |title=Nvidia launches Cosmos world foundation model platform to accelerate physical AI |url=https://venturebeat.com/ai/nvidia-launches-cosmos-world-foundation-model-platform-to-accelerate-physical-ai/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250108001736/https://venturebeat.com/ai/nvidia-launches-cosmos-world-foundation-model-platform-to-accelerate-physical-ai/ |archive-date=2025-01-08 |access-date=2025-06-15 |website=[[VentureBeat]] |language=en-US}}</ref><ref name=":10">{{Cite web |last=Fried |first=Ina |date=2025-11-17 |title=AI's next big leap is models that understand the world. |url=https://www.axios.com/2025/11/17/ai-world-models-digital-twins |archive-url= |archive-date=2025-11-17 |access-date=2025-11-28 |website=[[Axios (website)|Axios]] |language=en}}</ref> ၎င်းသည် ကမ္ဘာမြေဆွဲအားကဲ့သို့သော ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာ သဘောတရားများကိုလည်း အတွင်းကျကျ ပုံဖော်ပေးနိုင်သည်။<ref name=":10" /> အဆိုပါ မော်ဒယ်များထဲသို့ စာသား၊ ရုပ်ပုံများအပြင် ဗီဒီယိုများနှင့် သုံးဖက်မြင် (3D) မြင်ကွင်းများကိုပါ လှုံ့ဆော်ချက် (Prompt) အဖြစ် ထည့်သွင်းနိုင်ပြီး၊ ထွက်ပေါ်လာသည့် 3D ပတ်ဝန်းကျင်များကိုလည်း စိတ်ကြိုက် ပြန်လည်ထုတ်ယူ (Export) နိုင်သည်။<ref>{{Cite web |last=Husain |first=Mishal |date=2025-11-21 |title=The Godmother of AI Didn't Expect It to Be This Massive |url=https://www.bloomberg.com/features/2025-fei-fei-li-weekend-interview/ |archive-url= |archive-date=2025-11-24 |access-date=2025-11-28 |website=[[Bloomberg News]]}}</ref><ref>{{Cite web |last=Whitwam |first=Ryan |date=2025-08-05 |title=DeepMind reveals Genie 3 "world model" that creates real-time interactive simulations |url=https://arstechnica.com/ai/2025/08/deepmind-reveals-genie-3-world-model-that-creates-real-time-interactive-simulations/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250912131019/https://arstechnica.com/ai/2025/08/deepmind-reveals-genie-3-world-model-that-creates-real-time-interactive-simulations/ |archive-date=2025-09-12 |access-date=2025-11-28 |website=[[Ars Technica]] |language=en}}</ref><ref name=":16">{{Cite magazine|last=Pillay|first=Tharin|date=2025-12-09|title=Inside Fei-Fei Li's Plan to Build AI-Powered Virtual Worlds|url=https://time.com/7339513/ai-fei-fei-li-virtual-worlds/|archive-url=https://web.archive.org/web/20251210135941/https://time.com/7339513/ai-fei-fei-li-virtual-worlds/|archive-date=2025-12-10|access-date=2025-12-11|magazine=[[Time (magazine)|TIME]]|language=en}}</ref> ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များကို ဒစ်ဂျစ်တယ်ရုပ်ခန္ဓာရှိသော AI (Embodied AI) စနစ်များ၊ အေးဂျင့်အများအပြားသုံး မော်ဒယ် (Multi-agent models) များနှင့် ဦးနှောက်ဆိုင်ရာ အာရုံကြောသိပ္ပံ မော်ဒယ်များ (Neuroscience models) နှင့်အတူ ပူးတွဲ၍ အထွေထွေ အသိဉာဏ်တု (AGI) ရရှိရန်အတွက် အကြီးစား ဘာသာစကား မော်ဒယ်များအစား အသုံးပြုနိုင်မည့် အခြားရွေးချယ်စရာ နည်းလမ်းတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်ကြသည်။<ref name=":12">{{Cite web |last1=Gelling |first1=Peter |last2=Varanasi |first2=Lakshmi |title=The AI doomers are having their moment |url=https://www.businessinsider.com/limits-large-language-models-chatgpt-agi-artificial-general-intelligence-openai-2025-8 |archive-url=https://web.archive.org/web/20250825143847/https://www.businessinsider.com/limits-large-language-models-chatgpt-agi-artificial-general-intelligence-openai-2025-8 |archive-date=2025-08-25 |access-date=2025-10-14 |website=Business Insider |language=en-US}}</ref> ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များတွင် အားလုံးသဘောတူညီထားသည့် တိကျသော အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက် မရှိသေးသော်လည်း ၎င်းတို့ကို အပိုင်းနှစ်ပိုင်း ခွဲခြားထားသည်။ ပထမအပိုင်းမှာ လက်ရှိပတ်ဝန်းကျင်ကို ကိုယ်စားပြု ပုံဖော်နားလည်ခြင်းဖြစ်ပြီး၊ ဒုတိယအပိုင်းမှာမူ ထိုပတ်ဝန်းကျင်၏ နောင်ဖြစ်လာမည့် အခြေအနေကို ကြိုတင်ခန့်မှန်းခြင်း ဖြစ်သည်။ ပထမအမြင်အရ ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များကို မော်ဒယ်အခြေပြု အားဖြည့်သင်ယူမှုစနစ် (Model-based reinforcement learning) နှင့် မာကို့ဗ် ဆုံးဖြတ်ချက်လုပ်ငန်းစဉ် (Markov decision process) တို့ကို သုံး၍ တည်ဆောက်ကြသည်။ ၎င်းနောက် မော်ဒယ်အခြေပြု ခန့်မှန်းထိန်းချုပ်မှုစနစ် (Model predictive control) သို့မဟုတ် မွန်တီကာလို သစ်ပင်ရှာဖွေမှုစနစ် (Monte Carlo tree search) တို့ကို သုံးကာ လုပ်ငန်းစဉ်ဆိုင်ရာ မူဝါဒများကို ချမှတ်ကြသည်။ ဒုတိယအမြင်တွင်မူ (နယ်ပယ်စုံသုံး) အကြီးစား ဘာသာစကား မော်ဒယ်များ သို့မဟုတ် ဗီဒီယိုဖန်တီးမှု မော်ဒယ်များကို အသုံးပြုနိုင်သည်။ ထို့အပြင် ဤပတ်ဝန်းကျင်များသည် ပြင်ပကမ္ဘာတွင် တကယ်တမ်း လှုပ်ရှားရမည့် AI အေးဂျင့်များကို လေ့ကျင့်သင်ကြားပေးရန်အတွက် လက်တွေ့ဘဝနှင့် တစ်ထပ်တည်းကျသော စမ်းသပ်မှု ပတ်ဝန်းကျင်များ (Immersive simulations) လည်း ဖြစ်နိုင်သည်။<ref name=":13">{{Cite journal |last1=Ding |first1=Jingtao |date=2025-09-09 |title=Understanding World or Predicting Future? A Comprehensive Survey of World Models |journal=ACM Comput. Surv. |volume=58 |issue=3 |pages=57:1–57:38 |doi=10.1145/3746449 |issn=0360-0300 |doi-access=free |last2=Zhang |first2=Yunke |last3=Shang |first3=Yu |last4=Zhang |first4=Yuheng |last5=Zong |first5=Zefang |last6=Feng |first6=Jie |last7=Yuan |first7=Yuan |last8=Su |first8=Hongyuan |last9=Li |first9=Nian |last10=Sukiennik |first10=Nicholas |last11=Xu |first11=Fengli |last12=Li |first12=Yong}}</ref> ==== သမိုင်းကြောင်း ==== ကွမ်တာမဂ္ဂဇင်း (Quanta Magazine) ၏ အဆိုအရ ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များ၏ သမိုင်းကြောင်းသည် ၁၉၄၃ ခုနှစ်တွင် ကန်းနက်ခရစ်ခ် (Kenneth Craik) ရေးသားခဲ့သော စိတ်ကူးပုံစံငယ် (Mental models) ဆိုင်ရာ စာတမ်းနှင့် ၁၉၆၀ ပြည့်နှစ်များတွင် ပေါ်ထွက်ခဲ့သော SHRDLU ၏ တုံးစီကမ္ဘာ (Blocks world) သုတေသနတို့အထိ နောက်ကြောင်းပြန် လိုက်နိုင်သည်။ ဘီဇင်နက်စ် အင်ဆိုက်ဒါ (Business Insider) ကမူ ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များသည် ၁၉၇၁ ခုနှစ်တွင် ဂျေးဝရိုက် ဖော်ရက်စတာ (Jay Wright Forrester) ရေးသားခဲ့သော စာတမ်းမှ စတင်မြစ်ဖျားခံခဲ့သည်ဟု ဖော်ပြသည်။ ထို့အပြင် ကမ္ဘာ့ဗဟုသုတများကို စနစ်တကျ စုစည်းမှုနှင့် သက်ဆိုင်သည့် "ဘောင်ဖြင့် ကိုယ်စားပြုပုံဖော်ခြင်း (Frame representation)" သဘောတရားကိုလည်း မာဗင်မင်စကီး (Marvin Minsky) က ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အဆိုပြုခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Pavlus |first=John |date=2025-09-02 |title='World Models,' an Old Idea in AI, Mount a Comeback |url=https://www.quantamagazine.org/world-models-an-old-idea-in-ai-mount-a-comeback-20250902/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250923183948/https://www.quantamagazine.org/world-models-an-old-idea-in-ai-mount-a-comeback-20250902/ |archive-date=2025-09-23 |access-date=2025-10-14 |website=[[Quanta Magazine]] |language=en}}</ref><ref name=":12" /><ref name=":13" /> ၂၀၁၈ ခုနှစ်တွင် သုတေသီများဖြစ်ကြသော ဒေးဗစ်ဟာ (David Ha) နှင့် ယူဂန် ရှမစ်ဟူးဗား (Jürgen Schmidhuber) တို့သည် အားဖြည့်သင်ယူမှုစနစ် (Reinforcement learning) နှင့် ဆက်စပ်၍ ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ ဖွင့်ဆိုချက်အရ AI အေးဂျင့်တစ်ခုတွင် အမြင်အာရုံလေ့လာမှုများကို ကိုယ်စားပြုရန် Variational Autoencoder (V) မော်ဒယ်၊ မှတ်ဉာဏ်ကို ကိုယ်စားပြုရန် Recurrent Neural Network (M) မော်ဒယ်နှင့် ဆုံးဖြတ်ချက်များ ချမှတ်ရန် Linear (C) မော်ဒယ်တို့ ပါဝင်သည်။ လက်တွေ့ကမ္ဘာကို အသွင်တူဖန်တီးထားသော ပတ်ဝန်းကျင်များရှိ ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များပေါ်တွင် လေ့ကျင့်ထားသည့် အေးဂျင့်များကို ပြင်ပလက်တွေ့ လူနေမှုဘဝတွင် အသုံးချနိုင်လိမ့်မည်ဟု ၎င်းတို့က သုံးသပ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite journal |last1=Ha |first1=David |date=2018-12-03 |title=Recurrent world models facilitate policy evolution |url=https://dl.acm.org/doi/10.5555/3327144.3327171 |journal=Proceedings of the 32nd International Conference on Neural Information Processing Systems |series=NIPS'18 |location=Red Hook, NY, USA |publisher=Curran Associates Inc. |pages=2455–2467 |last2=Schmidhuber |first2=Jürgen |author-link2=Jürgen Schmidhuber}}</ref> ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ယန်လီကန် (Yann LeCun) က ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်ကို ပိုမိုကြီးမားသော သိမှုဆိုင်ရာ ဗိသုကာစနစ် (Cognitive architecture) ၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်ခဲ့သည်။ (လီကန်သည် ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်ကို မိမိနှင့်သက်ဆိုင်သည့် ကမ္ဘာ့အခြေအနေအမျိုးမျိုးအတွက် စိတ်ကူးပုံစံငယ်တစ်ခုကဲ့သို့ လုပ်ဆောင်ပေးသော အာရုံကြောကွန်ရက်တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုသည်)။ ဤစနစ်တွင် ဦးနှောက်၏ မတူညီသော အစိတ်အပိုင်းများနှင့် ဆင်တူသည့် အခြားသော အာရုံကြောကွန်ရက်များလည်း ပါဝင်သည်။ ၎င်း၏ အမြင်အရ ဤအဆောက်အအုံစနစ်သည် AI ကို လူသားတို့ကဲ့သို့ အခြေခံအသိတရားဖြင့် ဆင်ခြင်တွေးခေါ်နိုင်စွမ်း (Commonsense reasoning) ဆီသို့ ဦးတည်သွားစေနိုင်သည်။ ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များသည် ၂၀၂၀ ပြည့်နှစ်များ၏ နောက်ပိုင်းမှ ၂၀၃၀ ပြည့်နှစ်များ၏ အလယ်ပိုင်းကာလများတွင် လုပ်ဆောင်ချက် အပြည့်အဝဖြင့် စတင်အသုံးဝင်လာလိမ့်မည်ဟု လီကန်က ခန့်မှန်းတွက်ချက်ထားသည်။<ref>{{Cite web |last1=Heikkilä |first1=Melissa |last2=Douglas Heaven |first2=Will |date=2022-06-24 |title=Yann LeCun has a bold new vision for the future of AI |url=https://www.technologyreview.com/2022/06/24/1054817/yann-lecun-bold-new-vision-future-ai-deep-learning-meta/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20220624115625/https://www.technologyreview.com/2022/06/24/1054817/yann-lecun-bold-new-vision-future-ai-deep-learning-meta/ |archive-date=2022-06-24 |access-date=2025-06-15 |website=[[MIT Technology Review]] |language=en}}</ref><ref name=":3">{{Cite web |last=Zeff |first=Maxwell |date=2024-10-17 |title=Meta's AI chief says world models are key to 'human-level AI' – but it might be 10 years out |url=https://techcrunch.com/2024/10/16/metas-ai-chief-says-world-models-are-key-to-human-level-ai-but-it-might-be-10-years-out/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250304045330/https://techcrunch.com/2024/10/16/metas-ai-chief-says-world-models-are-key-to-human-level-ai-but-it-might-be-10-years-out/ |archive-date=2025-03-04 |access-date=2025-06-15 |website=[[TechCrunch]] |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |last=Sawers |first=Paul |date=2025-01-23 |title=Meta's Yann LeCun predicts 'new paradigm of AI architectures' within 5 years and 'decade of robotics' |url=https://techcrunch.com/2025/01/23/metas-yann-lecun-predicts-a-new-ai-architectures-paradigm-within-5-years-and-decade-of-robotics/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250928133526/https://techcrunch.com/2025/01/23/metas-yann-lecun-predicts-a-new-ai-architectures-paradigm-within-5-years-and-decade-of-robotics/ |archive-date=2025-09-28 |access-date=2025-12-17 |website=[[TechCrunch]] |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |last=Zeff |first=Maxwell |date=2024-10-17 |title=Meta's AI chief says world models are key to 'human-level AI' — but it might be 10 years out |url=https://techcrunch.com/2024/10/16/metas-ai-chief-says-world-models-are-key-to-human-level-ai-but-it-might-be-10-years-out/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250920135811/https://techcrunch.com/2024/10/16/metas-ai-chief-says-world-models-are-key-to-human-level-ai-but-it-might-be-10-years-out/ |archive-date=2025-09-20 |access-date=2025-12-17 |website=[[TechCrunch]] |language=en-US}}</ref> ==== မော်ဒယ်များကို လေ့ကျင့်သင်ကြားခြင်း (Training) ==== ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များကို စာသား၊ ရုပ်ပုံ၊ အသံနှင့် ဗီဒီယို အပါအဝင် ကွဲပြားခြားနားသော ဒေတာအမျိုးအစားစုံ (Data modalities) များဖြင့် လေ့ကျင့်ပေးထားပြီး၊ ၎င်းတို့ကို ဗီဒီယိုဖန်တီးမှု လုပ်ငန်းစဉ်များတွင် အသုံးချလျက် ရှိသည်။<ref name=":4">{{Cite web |last=Wiggers |first=Kyle |date=2024-12-14 |title=What are AI 'world models,' and why do they matter? |url=https://techcrunch.com/2024/12/14/what-are-ai-world-models-and-why-do-they-matter/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250318225244/https://techcrunch.com/2024/12/14/what-are-ai-world-models-and-why-do-they-matter/ |archive-date=2025-03-18 |access-date=2025-06-15 |website=[[TechCrunch]] |language=en-US}}</ref> ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များအတွက် အသုံးပြုသည့် ကုဒ်နှင့်အချက်အလက် ဖွင့်ချပြထားသော အချက်အလက်စု (Open source dataset) တစ်ခုတွင် နယ်ပယ်စုံဒေတာ အမျိုးအစားများ (စာသား၊ ရုပ်ပုံ၊ အသံ၊ ဗီဒီယိုနှင့် ပွိုင့်ကလောက်ဒ် - Point clouds) စုစုပေါင်း ဘီလီယံနှင့်ချီ၍ ပါဝင်ပြီး၊ ၎င်းထဲတွင် လူသားတို့ကိုယ်တိုင် သေသေချာချာ စိစစ်မှတ်သားပေးထားသော အချက်အလက် (Manual annotations) ၁ သန်းလည်း ပါဝင်သည်။<ref name=":10" /> ==== ထင်ရှားသော နမူနာများ ==== တက်ခ်ခရန့်ချ် (TechCrunch) မဂ္ဂဇင်းက OpenAI ၏ Sora ကို ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်တစ်ခု၏ ဥပမာအဖြစ် ရှုမြင်ခဲ့ပြီး၊ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဇန်နဝါရ်လတွင် နဗီးဒီးယား (Nvidia) ကုမ္ပဏီကလည်း ၎င်းတို့ကိုယ်ပိုင် ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်အစုအဝေးကို ဖြန့်ချိခဲ့သည်။<ref name=":4" /><ref>{{Cite web |last=Wiggers |first=Kyle |date=2025-01-07 |title=Nvidia releases its own brand of world models |url=https://techcrunch.com/2025/01/06/nvidia-releases-its-own-brand-of-world-models/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250305040928/https://techcrunch.com/2025/01/06/nvidia-releases-its-own-brand-of-world-models/ |archive-date=2025-03-05 |access-date=2025-06-15 |website=[[TechCrunch]] |language=en-US}}</ref><ref name=":9" /> ဆောက်သ်ချိုင်းနား မောနင်းပို့စ် (South China Morning Post) သတင်းစာ၏ ဖော်ပြချက်အရ မေးနီကောရ် တက်ခ် (Manycore Tech) ကုမ္ပဏီသည် ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်တစ်ခု တည်ဆောက်ရန် ရည်မှန်းထားသည့် အခြားကုမ္ပဏီတစ်ခု ဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းတို့၏ လုပ်ငန်းကို ဟင်းလင်းပြင်ဆိုင်ရာ အသိဉာဏ်စွမ်းရည် (Spatial intelligence) ၏ နမူနာတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်ကြသည်။<ref>{{Cite web |last=Chen |first=Wency |date=2025-05-05 |title=China's answer to Autodesk is betting on AI to build a 'world model' |url=https://www.scmp.com/tech/tech-trends/article/3309107/chinas-answer-autodesk-manycore-bets-ai-future-spatial-intelligence |archive-url= |archive-date=2025-05-05 |access-date=2025-06-15 |website=[[South China Morning Post]] |language=en}}</ref> ၂၀၂၅ ခုနှစ် မေလတွင် မိုဟာမက် ဘင် ဇာယက် အသိဉာဏ်တု တက္ကသိုလ် (Mohamed bin Zayed University of Artificial Intelligence) က AI အေးဂျင့်များကို စမ်းသပ်ရန်အတွက် လက်တွေ့နှင့်တစ်ထပ်တည်းကျသော ပတ်ဝန်းကျင်များ (Simulations) ကို တည်ဆောက်ပေးနိုင်မည့် ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်တစ်ခုကို ဖြန့်ချိခဲ့သည်။<ref>{{Cite magazine|last=Knight|first=Will|title=A United Arab Emirates Lab Announces Frontier AI Projects—and a New Outpost in Silicon Valley|url=https://www.wired.com/story/the-united-arab-emirates-announces-frontier-ai-projects-and-a-new-lab-in-silicon-valley/|archive-url=https://web.archive.org/web/20250522202354/https://www.wired.com/story/the-united-arab-emirates-announces-frontier-ai-projects-and-a-new-lab-in-silicon-valley/|archive-date=2025-05-22|access-date=2025-06-15|magazine=[[Wired (magazine)|Wired]]|language=en-US|issn=1059-1028}}</ref> Google DeepMind သည်လည်း ဗီဒီယိုဒေတာများပေါ်တွင် လေ့ကျင့်ပေးထားသော နှစ်ဖက်မြင် (2D) ဟင်းလင်းပြင်သုံး ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်နှင့် သုံးဖက်မြင် (3D) ဟင်းလင်းပြင်သုံး ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ် နှစ်ခုကို ထုတ်လုပ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Orland |first=Kyle |date=2024-03-05 |title=Google's Genie game maker is what happens when AI watches 30K hrs of video games |url=https://arstechnica.com/gadgets/2024/03/googles-genie-model-creates-interactive-2d-worlds-from-a-single-image/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20241208154437/https://arstechnica.com/gadgets/2024/03/googles-genie-model-creates-interactive-2d-worlds-from-a-single-image/ |archive-date=2024-12-08 |access-date=2025-06-15 |website=[[Ars Technica]] |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |last=Orland |first=Kyle |date=2024-12-06 |title=Google's Genie 2 "world model" reveal leaves more questions than answers |url=https://arstechnica.com/ai/2024/12/googles-genie-2-world-model-reveal-leaves-more-questions-than-answers/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20241207000413/https://arstechnica.com/ai/2024/12/googles-genie-2-world-model-reveal-leaves-more-questions-than-answers/ |archive-date=2024-12-07 |access-date=2025-06-15 |website=[[Ars Technica]] |language=en}}</ref> ၎င်းတို့အနက် ဒုတိယမော်ဒယ် (3D မော်ဒယ်) သည် AI အေးဂျင့်များကို လေ့ကျင့်သင်ကြားပေးရန်အတွက် စမ်းသပ်မှုပတ်ဝန်းကျင်တစ်ခုအဖြစ် အသုံးပြုနိုင်ကြောင်း ဂူဂဲလ်က ဆိုသည်။<ref>{{Cite web |last=Browne |first=Ryan |date=2025-06-11 |title=Meta launches AI 'world model' to advance robotics, self-driving cars |url=https://www.cnbc.com/2025/06/11/meta-launches-ai-world-model-to-advance-robotics-self-driving-cars.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20250927104723/https://www.cnbc.com/2025/06/11/meta-launches-ai-world-model-to-advance-robotics-self-driving-cars.html |archive-date=2025-09-27 |access-date=2025-10-14 |website=[[CNBC]] |language=en}}</ref> ထို့ပြင် မေတာ (Meta) ကုမ္ပဏီက ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဇွန်လတွင်လည်းကောင်း၊ တန်ဆင့် (Tencent) ကုမ္ပဏီက ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဇူလိုင်လတွင်လည်းကောင်း ပွင့်လင်းကုဒ်သုံး ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များကို အသီးသီး ဖြန့်ချိခဲ့ကြသည်။<ref name=":8">{{Cite web |last1=Osawa |first1=Juro |last2=Liu |first2=Qianer |title=ByteDance's Upcoming 'World Model'; Altman's Thoughts on the GPT-5 Fiasco, Profitability, and Going Public |url=https://www.theinformation.com/articles/bytedances-upcoming-world-model-altmans-thoughts-gpt-5-fiasco-profitability-going-public |archive-url= |archive-date=2025-09-04 |access-date=2025-10-14 |website=[[The Information (website)|The Information]] |language=en |last3=Yang |first3=Jing}}</ref> နိုင်ယန်တစ် (Niantic, Inc.) ကုမ္ပဏီမှ ခွဲထွက်လာသော နိုင်ယန်တစ် စပတ်ရှယ် (Niantic Spatial) သည် Pokémon GO ဂိမ်းကစားသူများထံမှ ရရှိသော အမည်ဝှက် စကန်ဖတ်ရုပ်ပုံများ (Anonymized player scans) ကို အသုံးပြု၍ ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်တစ်ခုကို တီထွင်လျက် ရှိသည်။<ref>{{Cite web |last1=Criddle |first1=Cristina |last2=Murphy |first2=Hannah |date=2025-09-29 |title=Big AI firms pump money into world models as LLM advances slow |url=https://arstechnica.com/ai/2025/09/big-ai-firms-pump-money-into-world-models-as-llm-advances-slow/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20251004175024/https://arstechnica.com/ai/2025/09/big-ai-firms-pump-money-into-world-models-as-llm-advances-slow/ |archive-date=2025-10-04 |access-date=2025-10-14 |website=[[Ars Technica]] |language=en |last3=Bradshaw |first3=Tim}}</ref><ref>{{Cite web |last=Levine |first=Adam |title=Pokémon Go Is Driving a $4 Billion Spinoff. Those Game Maps Could Be AI Gold. |url=https://www.barrons.com/articles/pokemon-go-niantic-ai-spatial-maps-8df446d9 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20250318144802/https://www.barrons.com/articles/pokemon-go-niantic-ai-spatial-maps-8df446d9 |archive-date=18 March 2025 |access-date=20 November 2025 |website=barrons |language=en-us}}</ref> ၂၀၂၅ ခုနှစ်အထိ ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များ တည်ဆောက်ရန် စီစဉ်နေကြသည့် အခြားသော နည်းပညာကုမ္ပဏီကြီးများထဲတွင် ဗိုက်ဒန့်စ် (ByteDance) နှင့် အိပ်စ်အေအိုင် (xAI) တို့လည်း ပါဝင်ကြသည်။<ref name=":7">{{Cite web |last=Criddle |first=Cristina |date=2025-10-12 |title=Elon Musk's xAI joins race to build 'world models' to power video games |url=https://www.ft.com/content/ac566346-53dd-4490-8d4c-5269906c64ee |archive-url= |archive-date=2025-10-12 |access-date=2025-10-14 |website=[[Financial Times]]}}</ref> ==== လက်တွေ့အသုံးချမှုများ ==== ဖေးဖေးလီ (Fei-Fei Li) က ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များကို စက်ရုပ်နည်းပညာ (Robotics) နှင့် တီထွင်ဖန်တီးမှုဆိုင်ရာ လုပ်ငန်းများတွင် အသုံးချနိုင်သည်ဟု ရှုမြင်သည်။ ဤမော်ဒယ်များ၏ ရှုပ်ထွေးလှသော သဘာဝကြောင့် ဒေတာများကို ရှာဖွေစုဆောင်းခြင်း၊ ဒေတာအင်ဂျင်နီယာပညာရပ်၊ ဒေတာပြုပြင်စီမံခြင်းနှင့် ဒေတာအသစ်များ တုပဖန်တီးခြင်း (Synthesizing data) တို့တွင် ပိုမိုဆန်းပြားသော မဟာဗျူဟာများကို အသုံးပြုရန် သူမက တိုက်တွန်းထားသည်။<ref name=":5">{{Cite web |last=Varanasi |first=Lakshmi |title=Top AI researchers say language is limiting. Here's the new kind of model they are building instead. |url=https://www.businessinsider.com/world-model-ai-explained-2025-6 |archive-url=https://web.archive.org/web/20250615203100/https://www.businessinsider.com/world-model-ai-explained-2025-6 |archive-date=2025-06-15 |access-date=2025-06-21 |website=[[Business Insider]] |language=en-US}}</ref> သူမသည် ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များ တည်ဆောက်မည့် စတင်ပျိုးထောင်စ ကုမ္ပဏီ (Startup) တစ်ခုကို အတူတကွ တည်ထောင်ခဲ့ပြီး၊ ၎င်းကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၄ ခုနှစ်အထိ လုပ်ငန်းစဉ် (၃) ဆင့်ဖြင့် အကောင်အထည်ဖော်ရန် စီစဉ်ခဲ့သည်။ ထိုအဆင့်များမှာ သုံးဖက်မြင် (3D) ဟင်းလင်းပြင်နှင့် အချိန်ကာလ သဘောတရားကို နားလည်နိုင်စွမ်း ထည့်သွင်းခြင်း၊ အသွင်ပြောင်းလက်တွေ့ဘဝ (Augmented reality - AR) နည်းပညာကို ပံ့ပိုးပေးခြင်းနှင့် စက်ရုပ်နည်းပညာကို ပံ့ပိုးပေးခြင်းတို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name=":6">{{Cite magazine|last=Levy|first=Steven|date=2024-09-13|title=The Godmother of AI Wants Everyone to Be a World Builder|url=https://www.wired.com/story/plaintext-the-godmother-of-ai-wants-everyone-to-be-a-world-builder/|archive-url=https://web.archive.org/web/20250207143847/https://www.wired.com/story/plaintext-the-godmother-of-ai-wants-everyone-to-be-a-world-builder/|archive-date=2025-02-07|access-date=2025-06-21|magazine=[[Wired (magazine)|Wired]]|language=en-US|issn=1059-1028}}</ref> သူမ၏ World Labs ကုမ္ပဏီသည် မာဘယ် (Marble) ဟု အမည်ရသော စီးပွားဖြစ် ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်ကို ၂၀၂၅ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာလတွင် ဖြန့်ချိခဲ့သည်။<ref name=":11">{{Cite web |last=Bellan |first=Rebecca |date=2025-11-12 |title=Fei-Fei Li's World Labs speeds up the world model race with Marble, its first commercial product |url=https://techcrunch.com/2025/11/12/fei-fei-lis-world-labs-speeds-up-the-world-model-race-with-marble-its-first-commercial-product/ |archive-url= |archive-date=2025-11-19 |access-date=2025-11-28 |website=[[TechCrunch]] |language=en-US}}</ref> ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များကို စက္ကန့်မလပ် တုံ့ပြန်မှုပေးနိုင်သော အပြန်အလှန်အကျိုးပြု မီဒီယာများ (ဥပမာ - ဗီဒီယိုဂိမ်းများနှင့် ရုပ်ရှင်များ) နှင့် ပတ်ဝန်းကျင် အသွင်တူဖန်တီးခြင်း (Environment simulation) လုပ်ငန်းများတွင် အသုံးပြုရန် ရည်ရွယ်သည်။<ref name=":14">{{Cite web |last=Wiggers |first=Kyle |date=2025-01-06 |title=Google is forming a new team to build AI that can simulate the physical world |url=https://techcrunch.com/2025/01/06/google-is-forming-a-new-team-to-build-ai-that-can-simulate-the-physical-world/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20251012023518/https://techcrunch.com/2025/01/06/google-is-forming-a-new-team-to-build-ai-that-can-simulate-the-physical-world/ |archive-date=2025-10-12 |access-date=2025-12-03 |website=[[TechCrunch]] |language=en-US}}</ref><ref name=":15">{{Cite web |last=Wiggers |first=Kyle |date=2025-05-28 |title=Odyssey's new AI model streams 3D interactive worlds |url=https://techcrunch.com/2025/05/28/odysseys-new-ai-model-streams-3d-interactive-worlds/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250530031249/https://techcrunch.com/2025/05/28/odysseys-new-ai-model-streams-3d-interactive-worlds/ |archive-date=2025-05-30 |access-date=2025-06-15 |website=[[TechCrunch]] |language=en-US}}</ref> ၎င်းမော်ဒယ်များအတွက် အဆိုပြုထားသော လက်တွေ့အသုံးချမှုများတွင် လုပ်ငန်းစဉ်များ ကြိုတင်စီမံခြင်း (Action planning) နှင့် ရလဒ်များကို ကြိုတင်ခန့်မှန်းခြင်း (Outcome prediction) တို့ ပါဝင်သည်။ အခြားသော လက်တွေ့အသုံးချမှုတစ်ခုမှာ လူမှုရေးစနစ်များကို ပုံတူကူးယူ စမ်းသပ်သည့် လူမှုပတ်ဝန်းကျင် အသွင်တူဖန်တီးခြင်း (Social simulacra) ဖြစ်သည်။ ဝိုင်ယာဒ် (Wired) မဂ္ဂဇင်းက ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များကို မက်တာဗာ့စ် (Metaverse) နှင့် နှိုင်းယှဉ်ခဲ့ပြီး၊ ဘီဇင်နက်စ် အင်ဆိုက်ဒါ (Business Insider) ကမူ စစ်ရေးဆိုင်ရာများတွင် အသုံးချလာနိုင်သည့် အလားအလာများကို ထောက်ပြခဲ့သည်။<ref name=":11" /><ref name=":13" /> ၂၀၂၅ ခုနှစ်တွင် ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များကို ဒရုန်းစစ်ဆင်ရေးများ၊ စက်ရုပ်နည်းပညာနှင့် အလိုအလျောက် မောင်းနှင်သည့် ယာဉ်များတွင် လက်တွေ့အသုံးချလျက် ရှိသည်။ ဝေါလ်စထရိ ဂျာနယ် (The Wall Street Journal) ၏ သုံးသပ်ချက်အရ ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များသည် အသိဉာဏ်တု မော်ဒယ်များ၏ ဟင်းလင်းပြင်ဆိုင်ရာ ဆင်ခြင်တွေးခေါ်မှု စွမ်းရည် (Spatial reasoning) ကို မြှင့်တင်ပေးနိုင်ပြီး၊ ကာယလုပ်သားများနှင့် ရုံးလုပ်သားများ၏ အလုပ်အကိုင် နှစ်မျိုးစလုံးကို အောင်မြင်စွာ အလိုအလျောက် အစားထိုး လုပ်ဆောင်ပေးနိုင်သည်ဟု ဆိုသည်။<ref>{{Cite web |last=Mims |first=Christopher |date=2025-09-26 |title=What Are 'World Models'? The Key to the Next Big AI Leap |url=https://www.wsj.com/tech/ai/world-models-ai-evolution-11275913 |archive-url= |archive-date=2025-10-03 |access-date=2025-10-14 |website=[[The Wall Street Journal]] |language=en-US}}</ref> သို့သော်လည်း ၂၀၂၅ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလအထိ သုတေသနပြုချက်များအရ စာသားမှ ဗီဒီယိုပြောင်းလဲပေးသည့် မော်ဒယ်များ (အထူးသဖြင့် Veo 3 မော်ဒယ်) ၏ ဟင်းလင်းပြင်ဆိုင်ရာ ဆင်ခြင်တွေးခေါ်မှု စွမ်းဆောင်ရည်တွင် ကောင်းမွန်သည့် ရလဒ်နှင့် အားနည်းချက်ရှိသည့် ရလဒ်များကို ရောထွေးစွာ တွေ့ရှိရသည်။<ref>{{Cite web |last=Orland |first=Kyle |date=2025-10-01 |title=Can today's AI video models accurately model how the real world works? |url=https://arstechnica.com/ai/2025/10/can-todays-ai-video-models-accurately-model-how-the-real-world-works/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20251003001520/https://arstechnica.com/ai/2025/10/can-todays-ai-video-models-accurately-model-how-the-real-world-works/ |archive-date=2025-10-03 |access-date=2025-10-14 |website=[[Ars Technica]] |language=en}}</ref> မျက်စိရောဂါဗေဒ နယ်ပယ်တွင်မူ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များကို ကွန်ပျူတာသုံး ထုထည်ပြတ်သားမှုတိုင်းတာခြင်း (Volumetric optical coherence tomography) အပါအဝင် မြင်လွှာပုံရိပ်ဖမ်းခြင်း လုပ်ငန်းစဉ်များတွင် အသုံးပြုလျက် ရှိသည်။<ref>{{Cite journal |last=Judkiewicz |first=Raphael |date=5 May 2026 |title=Shifting the retinal foundation models paradigm from slices to volumes for optical coherence tomography |url=https://www.nature.com/articles/s41746-026-02496-7 |journal=npj Digital Medicine |language= |doi=10.1038/s41746-026-02496-7 |pmid=41786902 |archive-url= |archive-date= |access-date= |doi-access=free}}</ref> ==== စိုးရိမ်ပူပန်မှုများ ==== တက်ခ်ခရန့်ချ် (TechCrunch) ၏ ထောက်ပြချက်အရ ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များသည် အကြီးစားဘာသာစကား မော်ဒယ်များထက် ဒေတာပိုမိုအသုံးပြုပြီး မော်ဒယ်လေ့ကျင့်မှုအတွက် GPUs ထောင်ပေါင်းများစွာ လိုအပ်သောကြောင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းအား ပိုမိုလိုအပ်မည်ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ၎င်းမော်ဒယ်များတွင် အချက်အလက်အမှားအယွင်းများ (Hallucinations)၊ ဒေတာလွှမ်းခြုံမှုမမျှတခြင်း (Coverage bias) နှင့် အယ်လ်ဂိုရီသမ်ဘက်လိုက်မှု (Algorithmic bias) စသည့် ဘေးအန္တရာယ်များ ရှိနေကြောင်းလည်း ၎င်းက ဖော်ပြသည်။ ထို့အတူပင် ဖိုင်နင်ရှယ်တိုင်းမ် (The Financial Times) သတင်းစာက ကမ္ဘာကြီးကို အသွင်တူဖန်တီးရန် ဒေတာစုဆောင်းခြင်းနှင့် မော်ဒယ်များကို လေ့ကျင့်သင်ကြားပေးခြင်းသည် အလွန်ခက်ခဲပြီး အကုန်အကျများလှကြောင်း သုံးသပ်ထားသည်။ ဖန်တီးမှုပိုင်းဆိုင်ရာ ကျွမ်းကျင်ပညာရှင်များသည် ကမ္ဘာ့အသွင်တူ မော်ဒယ်များကြောင့် ၎င်းတို့၏ လုပ်ငန်းကဏ္ဍများရှိ အလုပ်အကိုင်များ ထိခိုက်ပျက်ပြားစေနိုင်သည်ကို စိုးရိမ်ပူပန်မှုများ ထုတ်ဖော်ပြောကြားခဲ့ကြသည်။ အခြားစိုးရိမ်ပူပန်မှုများတွင် ဒေတာကိုယ်ရေးအချက်အလက် လုံခြုံမှု၊ ဘေးအန္တရာယ်ဖြစ်စေနိုင်သော အခြေအနေများအသွင်တူဖန်တီးခြင်း၊ သတင်းအမှားနှင့် သတင်းတုများထုတ်လုပ်ခြင်း၊ မော်ဒယ်တွင် မမျှော်မှန်းထားသော အပြုအမူများပေါ်ထွက်လာခြင်း (Emergent behaviors) နှင့် မူပိုင်ခွင့်ဆိုင်ရာ ပြဿနာများ ပါဝင်ကြသည်။ == ထောက်ပံ့မှုကွင်းဆက် (Supply chain) == အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များ၏ ဘက်စုံသုံးနိုင်သော စွမ်းဆောင်ရည်များသည် ၎င်းတို့ကို AI ဂေဟစနစ်တွင် ထူးခြားသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်ခွင့်ပြုထားပြီး၊ ဤစနစ်ကို အထက်အဆင့်နှင့် အောက်အဆင့် နည်းပညာများစွာက ပံ့ပိုးမောင်းနှင်ပေးထားသည်။<ref>{{Cite web |title=Ecosystem Graphs for Foundation Models |url=https://crfm.stanford.edu/ecosystem-graphs/ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20240213003330/https://crfm.stanford.edu/ecosystem-graphs/ |archive-date=13 February 2024 |access-date=2024-02-13 |website=crfm.stanford.edu}}</ref> အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်တစ်ခုကို လေ့ကျင့်သင်ကြားရန်အတွက် ဒေတာ၊ ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းအား၊ လုပ်အား၊ ဟာ့ဒ်ဝဲနှင့် ကွန်ပျူတာကုဒ် အစရှိသည့် အရင်းအမြစ်အမျိုးမျိုး လိုအပ်ပြီး၊ ပုံမှန်အားဖြင့် ဒေတာနှင့် တွက်ချက်မှုစွမ်းအား အမြောက်အမြားကို အသုံးပြုရသည်။ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များကို စတင်တည်ဆောက်ရာတွင် ကုန်ကျစရိတ် အလွန်ကြီးမားသော်လည်း ၎င်းတို့ကို လုပ်ငန်းအလိုက် ပြန်လည်ပြင်ဆင်အသုံးချရန် ကုန်ကျစရိတ် အလွန်သက်သာလှသည်။ ထို့ကြောင့် လက်ရှိ AI နယ်ပယ်၏ အခင်းအကျင်းသည် နည်းပညာကုမ္ပဏီ အနည်းငယ်စုကသာ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များကို တည်ဆောက်ပြီး၊ ကျန်ကုမ္ပဏီများက ၎င်းမော်ဒယ်များကို ယူ၍ မိမိတို့လုပ်ငန်းအတွက် ပြန်လည်ပြင်ဆင်အသုံးပြုသည့် ပုံစံသို့ ပြောင်းလဲလာခဲ့သည်။<ref>{{Citation|last1=Vipra|first1=Jai|title=Market Concentration Implications of Foundation Models|date=2023-11-02|arxiv=2311.01550|last2=Korinek|first2=Anton}}</ref> သို့ဖြစ်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်ထုတ်လုပ်သည့် ကုမ္ပဏီအများစုသည် ဒေတာစုဆောင်းခြင်းလုပ်ငန်းကို အထူးပြုဒေတာပံ့ပိုးသူများ (ဥပမာ - Scale AI၊ Surge) ထံသို့လည်းကောင်း၊ တွက်ချက်မှုစွမ်းအားကို Cloud ဝန်ဆောင်မှုပေးသူများ (ဥပမာ - Amazon Bedrock၊ Google Cloud၊ Microsoft Azure) ထံသို့လည်းကောင်း လွှဲပြောင်းအပ်နှံ (Outsource) ကြသည်။<ref>{{Cite web |title=Accelerate the Development of AI Applications {{!}} Scale AI |url=https://scale.com/ |access-date=2024-04-21 |website=scale.com |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=Surge AI {{!}} World's Most Powerful Data Labeling Platform |url=https://www.surgehq.ai// |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20240421154241/https://www.surgehq.ai// |archive-date=21 April 2024 |access-date=2024-04-21 |website=www.surgehq.ai |language=en}}</ref> [[ဖိုင်:Estimated_training_cost_of_some_AI_models_-_2024_AI_index.jpg|thumb|ပိုမိုကြီးမားသော AI မော်ဒယ်များကို လေ့ကျင့်သင်ကြားရန်အတွက် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းရည်များတွင် ရင်းနှီးမြှုပ်နှံမှုပြုလုပ်ခြင်းသည် လျင်မြန်စွာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။.<ref>{{Cite web |date=April 15, 2024 |title=2024 AI Index – chapter 1 |url=https://aiindex.stanford.edu/wp-content/uploads/2024/04/HAI_AI-Index-Report-2024_Chapter1.pdf |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20240602043917/https://aiindex.stanford.edu/wp-content/uploads/2024/04/HAI_AI-Index-Report-2024_Chapter1.pdf |archive-date=2 June 2024 |access-date=15 June 2024 |pages=37–39}}</ref>]] ထို့နောက် အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်တီထွင်သူသည် ရရှိလာသော ဒေတာများနှင့် ပံ့ပိုးပေးထားသော တွက်ချက်မှုစွမ်းအားကို အသုံးပြု၍ မော်ဒယ်ကို လက်တွေ့လေ့ကျင့်သင်ကြားပေးသည်။ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်ကို လုံးဝတည်ဆောက်ပြီးစီးသွားချိန်တွင် ဒေတာနှင့် လုပ်အား လိုအပ်ချက် အများအပြား လျော့နည်းသွားသည်။ ဤဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှု လုပ်ငန်းစဉ်တွင် ဟာ့ဒ်ဝဲနှင့် တွက်ချက်မှုစွမ်းအားတို့သည် အလိုအပ်ဆုံးနှင့် ရရှိရန် အခက်ခဲဆုံးသော အရင်းအမြစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ပိုမိုကြီးမားပြီး ရှုပ်ထွေးသော AI စနစ်ကို လေ့ကျင့်ရန်အတွက် လုံလောက်သော တွက်ချက်မှုစွမ်းအားရှိရန်မှာ အဓိကသော့ချက် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း တွက်ချက်မှုစွမ်းအားများကို အဖွဲ့အစည်းအနည်းငယ်စုကသာ လက်ဝါးကြီးအုပ် ထိန်းချုပ်ထားသဖြင့် အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်တီထွင်သူ အများစုသည် ၎င်းတို့အပေါ်၌သာ မှီခိုနေရသည်။ သို့ဖြစ်၍ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်ထုတ်လုပ်မှု ကွင်းဆက်တစ်ခုလုံးသည် အဆိုပါ အဖွဲ့အစည်းများအပေါ်တွင်သာ သိသိသာသာ စုပြုံနေသည်။ တွက်ချက်မှုစွမ်းအားသည် စရိတ်စကလည်း အလွန်ကြီးမားရာ၊ ၂၀၂၃ ခုနှစ်တွင် AI ကုမ္ပဏီများသည် ၎င်းတို့၏ စုစုပေါင်းအရင်းအနှီး၏ ၈၀ ရာခိုင်နှုန်းကျော်ကို တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်များအတွက် သုံးစွဲခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite web |date=2023-09-27 |title=Computational Power and AI |url=https://ainowinstitute.org/publication/policy/compute-and-ai |access-date=2024-02-13 |website=AI Now Institute |language=en-US}}</ref> အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များသည် ၎င်းတို့၏ စွမ်းဆောင်ရည်များကို မောင်းနှင်ရန်အတွက် ယေဘုယျဒေတာ အမြောက်အမြား လိုအပ်သည်။ အစောပိုင်း အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များသည် ဤဒေတာအချက်အလက်များကို ရယူရန် အင်တာနက်စာမျက်နှာ အစိတ်အပိုင်းအသီးသီးမှ ဒေတာများကို သိမ်းကျုံးကူးယူ (Scrape) ခဲ့ကြသည်။ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များ၏ အရွယ်အစားနှင့် အတိုင်းအတာ ကြီးထွားလာသည်နှင့်အမျှ အင်တာနက်မှ ဒေတာများကို ပိုမိုအလုံးအရင်းဖြင့် ကူးယူရန် လိုအပ်လာပြီး၊ ၎င်းက ဘက်လိုက်မှုရှိသော သို့မဟုတ် အဆိပ်အတောက်ဖြစ်စေသော ဒေတာများ ပါဝင်လာမည့် အလားအလာကို ပိုမိုမြင့်မားစေသည်။ ဤအဆိပ်အတောက်ဖြစ်စေသော သို့မဟုတ် ဘက်လိုက်မှုရှိသော ဒေတာများသည် လူနည်းစုအစုအဖွဲ့များကို ပိုမိုထိခိုက်နစ်နာစေပြီး ရှိနှင့်ပြီးသား ခွဲခြားဆက်ဆံမှုများကို ပိုမိုဆိုးရွားလာစေနိုင်သည်။<ref>{{Cite news |last1=Tiku |first1=Nitasha |title=These fake images reveal how AI amplifies our worst stereotypes |url=https://www.washingtonpost.com/technology/interactive/2023/ai-generated-images-bias-racism-sexism-stereotypes/ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20240425152810/https://www.washingtonpost.com/technology/interactive/2023/ai-generated-images-bias-racism-sexism-stereotypes/ |archive-date=25 April 2024 |access-date=2024-02-13 |newspaper=Washington Post |language=en |last2=Schaul |first2=Kevin |last3=Chen |first3=Szu Yu}}</ref> ကြီးကြပ်မှုမဲ့ လေ့ကျင့်သင်ကြားခြင်း (Unsupervised training) ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည့် ဤအရည်အသွေးနိမ့် ဒေတာပြဿနာကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အချို့သော အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်တီထွင်သူများသည် လူသားများကိုယ်တိုင် လိုက်လံစိစစ်သည့် နည်းလမ်းကို အသုံးပြုလာကြသည်။ ဒေတာလုပ်အား (Data labor) ဟု သိကြသော ဤလုပ်ငန်းစဉ်သည်လည်း ၎င်းနှင့်ပတ်သက်သည့် ပြဿနာများစွာ ရှိနေသည်။ ဤကဲ့သို့ လူသားများက ဒေတာထဲမှ အဆိပ်အတောက်များကို ဖယ်ရှားပေးရသည့် လုပ်ငန်းကို လုပ်အားခစရိတ် လျှော့ချရန်အတွက် ပြင်ပသို့ လွှဲပြောင်းအပ်နှံလေ့ရှိပြီး၊ အချို့သော အလုပ်သမားများသည် တစ်နာရီလျှင် အမေရိကန်ဒေါ်လာ ၂ ဒေါ်လာအောက်သာ လုပ်အားခ ရရှိကြသည်။ ထို့နောက် အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်ကို တီထွင်သူကိုယ်တိုင်ဖြစ်စေ၊ ပြင်ပအဖွဲ့အစည်းတစ်ခုမှတစ်ဆင့်ဖြစ်စေ အင်တာနက်ပေါ်တွင် လွှင့်တင်ပေးထားမည် ဖြစ်သည်။ မော်ဒယ်ကို ဖြန့်ချိပြီးသည်နှင့် အခြားအဖွဲ့အစည်းများသည် အဆိုပါ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်ကို အခြေခံ၍ အနုစိတ်ပြုပြင်မွမ်းမံခြင်း သို့မဟုတ် လုံးဝသစ်လွင်သော ရည်ရွယ်ချက်များဖြင့် အသုံးချဆော့ဖ်ဝဲများကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ လူသားများသည် မိမိတို့၏ လိုအပ်ချက်အမျိုးမျိုးကို ဖြည့်ဆည်းရန် ဤအသုံးချဆော့ဖ်ဝဲများကို ဝင်ရောက်အသုံးပြုနိုင်သဖြင့် အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်တစ်ခုတည်းကပင် လူသားအမြောက်အမြားထံသို့ စွမ်းဆောင်ရည်များ ပံ့ပိုးပေးနိုင်ပြီး ပျံ့နှံ့ရောက်ရှိသွားနိုင်သည်။ == ဖြန့်ချိမှု မဟာဗျူဟာများ (Release strategies) == အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်တစ်ခုကို တည်ဆောက်ပြီးစီးပါက နည်းလမ်းအမျိုးမျိုးဖြင့် ဖြန့်ချိနိုင်သည်။ မော်ဒယ်ကို ဖြန့်ချိရာတွင် ထည့်သွင်းစဉ်းစားရမည့် အချက်များစွာ ရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ မော်ဒယ်၏ အရင်းအမြစ် ပိုင်ဆိုင်မှုများ၊ မည်သူက ဝင်ရောက်အသုံးပြုခွင့် ရရှိမည်ဟူသော အချက်၊ အချိန်ကာလကြာလာသည်နှင့်အမျှ အသုံးပြုခွင့် မည်သို့ပြောင်းလဲသွားမည်ဟူသော အချက်နှင့် အသုံးပြုမှုဆိုင်ရာ စည်းကမ်းချက်များ ဖြစ်ကြသည်။<ref>{{Cite web |last1=Liang |first1=Percy |last2=Bommasani |first2=Rishi |date=May 17, 2022 |title=The Time is Now to Develop Community Norms for the Release of Foundation Models |url=https://crfm.stanford.edu/2022/05/17/community-norms.html |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20240213003330/https://crfm.stanford.edu/2022/05/17/community-norms.html |archive-date=13 February 2024 |access-date=13 February 2024 |website=Stanford CRFM |last3=Creel |first3=Kathleen}}</ref> ဤအချက်အားလုံးသည် အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်က နောက်ဆက်တွဲ အသုံးချဆော့ဖ်ဝဲများအပေါ် မည်သို့ လွှမ်းမိုးမှုရှိမည်ဆိုသည့် အချက်ကို ပုံဖော်ပေးသည်။ အထူးသဖြင့် အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်ကို ဖြန့်ချိရာတွင် အသုံးအများဆုံး ပုံစံနှစ်ခုမှာ APIs များမှတစ်ဆင့် ဖြန့်ချိခြင်းနှင့် မော်ဒယ်ကို တိုက်ရိုက်ဒေါင်းလုဒ် (Download) ရယူခွင့်ပေးခြင်းတို့ ဖြစ်သည်။<ref>{{Citation|last=Solaiman|first=Irene|title=The Gradient of Generative AI Release: Methods and Considerations|date=2023-02-05|arxiv=2302.04844|author-link=Irene Solaiman}}</ref> မော်ဒယ်တစ်ခုကို API မှတစ်ဆင့် ဖြန့်ချိသည့်အခါ အသုံးပြုသူများသည် မော်ဒယ်ထံသို့ မေးခွန်းများပေးပို့၍ တုံ့ပြန်မှုများကို ရရှိနိုင်သော်လည်း၊ မော်ဒယ်၏ အတွင်းပိုင်းစနစ်ကို တိုက်ရိုက် ဝင်ရောက်ကြည့်ရှုခွင့် မရနိုင်ပေ။ ထိုအချက်နှင့် နှိုင်းယှဉ်ပါက အသုံးပြုသူများ တိုက်ရိုက်ဒေါင်းလုဒ်ရယူပြီး စိတ်ကြိုက်ပြင်ဆင်နိုင်ရန် မော်ဒယ်ကို ချပြထားခြင်းလည်း ရှိနိုင်သည်။ ဤဖြန့်ချိမှု မဟာဗျူဟာ နှစ်မျိုးစလုံးကို ပွင့်လင်းစွာ ဖြန့်ချိခြင်း (Open release) အဖြစ် ယေဘုယျ သတ်မှတ်ကြသည်။ ပွင့်လင်းစွာ ဖြန့်ချိခြင်း၏ တိကျသော အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်အပေါ် အငြင်းပွားမှုများ ရှိသော်လည်း၊ အများက လက်ခံထားသော သတ်မှတ်ချက်များကို ပွင့်လင်းကုဒ်စနစ် တီထွင်မှုအဖွဲ့ (Open Source Initiative) က ထုတ်ပြန်ပေးထားသည်။ ပွင့်လင်းအခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်အချို့၏ ဥပမာများမှာ PaLM 2၊ Llama 2၊ Granite နှင့် Mistral တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ပွင့်လင်းအခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များသည် သုတေသနနှင့် နည်းပညာဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုလုပ်ငန်းများကို ပိုမိုလွယ်ကူစေသော်လည်း၊ ၎င်းတို့သည် အလွဲသုံးစားပြုလုပ်ခံရမည့် ဘေးအန္တရာယ်လည်း ပိုမိုများပြားသည်။ ပွင့်လင်းအခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်များကို မည်သူမဆို ဒေါင်းလုဒ်ရယူနိုင်သဖြင့် အလွန်အစွမ်းထက်သော မော်ဒယ်များကို တမင်သက်သက်ဖြစ်စေ၊ မတော်တဆဖြစ်စေ ဘေးအန္တရာယ် ဖြစ်ပေါ်စေရန်အတွက် အနုစိတ်ပြုပြင်မွမ်းမံမှုများ (Fine-tuned) ပြုလုပ်သွားနိုင်သည်။ အများပြည်သူသို့ ပိတ်ပင်၍ ဖြန့်ချိခြင်း (Closed release) တွင်မူ အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်ကို ပြည်သူများ ဝင်ရောက်အသုံးပြုခွင့် မပေးဘဲ အဖွဲ့အစည်းတစ်ခုအတွင်း၌သာ သီးသန့် အသုံးပြုသည်။ ဤကဲ့သို့ ဖြန့်ချိမှုများသည် ဘေးကင်းလုံခြုံမှု ပိုမိုရှိသော်လည်း၊ သုတေသနအသိုက်အဝန်း သို့မဟုတ် အများပြည်သူတစ်ရပ်လုံးအတွက်မူ နောက်ထပ် အကျိုးကျေးဇူးတစ်စုံတစ်ရာ ထပ်မံ မရရှိနိုင်ပေ။ Google DeepMind ၏ Flamingo ကဲ့သို့သော အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်အချို့သည် လုံးဝပိတ်ပင်ထားသော (Fully closed) စနစ်များ ဖြစ်ကြပြီး၊ ၎င်းမှာ မော်ဒယ်တီထွင်သူကိုယ်တိုင်သာ အသုံးပြုခွင့်ရှိသည်ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။<ref>{{Citation|last1=Alayrac|first1=Jean-Baptiste|title=Flamingo: a Visual Language Model for Few-Shot Learning|date=2022-11-15|arxiv=2204.14198|last2=Donahue|first2=Jeff|last3=Luc|first3=Pauline|last4=Miech|first4=Antoine|last5=Barr|first5=Iain|last6=Hasson|first6=Yana|last7=Lenc|first7=Karel|last8=Mensch|first8=Arthur|last9=Millican|first9=Katie}}.</ref> OpenAI ၏ GPT-4 ကဲ့သို့သော အခြားမော်ဒယ်များမှာမူ ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် အသုံးပြုခွင့်ပေးထားသော (Limited access) စနစ်များ ဖြစ်ကြပြီး၊ ၎င်းတို့ကို အများပြည်သူ အသုံးပြုနိုင်သော်လည်း အတွင်းပိုင်းလုပ်ဆောင်ပုံကို မသိနိုင်သော စနစ်အမည်းကွက် (Black box) အဖြစ်သာ အသုံးပြုနိုင်သည်။ ထို့အပြင် Meta ၏ Llama 2 ကဲ့သို့သော အခြားမော်ဒယ်များမှာမူ ပွင့်လင်းသော (Open) စနစ်များ ဖြစ်ကြပြီး၊ မော်ဒယ်၏ အဓိကကန့်သတ်ချက်တန်ဖိုးများ (Model weights) ကိုပါ ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် ထုတ်ပြန်ပေးထားသဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပြုပြင်မွမ်းမံမှုများနှင့် အသေးစိတ်စိစစ်မှုများကို လုပ်ဆောင်နိုင်သည်။ == ကိုးကားချက်များ == [[ကဏ္ဍ:ဘာသာစကားမော်ဒယ်များ]] [[ကဏ္ဍ:ဒေတာအခြေပြုသင်ယူမှုစနစ်]] 7681x4gk23hsg8p6yaqjmsad880vn9y 0 290741 1049542 2026-08-20T09:18:30Z Kalixlouiis 145250 စာမျက်နှာကို [[အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်]] သို့ ပြန်ညွှန်းလိုက်သည် 1049542 wikitext text/x-wiki #redirect[[အခြေခံအုတ်မြစ် မော်ဒယ်]] iv2jtszs88ax2hjanyhzg1afv9sja4h