ဝီကီပီးဒီးယား mywiki https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%97%E1%80%9F%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%AC MediaWiki 1.47.0-wmf.20 first-letter မီဒီယာ အထူး ဆွေးနွေးချက် အသုံးပြုသူ အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက် ဝီကီပီးဒီးယား ဝီကီပီးဒီးယား ဆွေးနွေးချက် ဖိုင် ဖိုင် ဆွေးနွေးချက် မီဒီယာဝီကီ မီဒီယာဝီကီ ဆွေးနွေးချက် တမ်းပလိတ် တမ်းပလိတ် ဆွေးနွေးချက် အကူအညီ အကူအညီ ဆွေးနွေးချက် ကဏ္ဍ ကဏ္ဍ ဆွေးနွေးချက် မုခ်ဝ မုခ်ဝ ဆွေးနွေးချက် စာမူကြမ်း စာမူကြမ်း ဆွေးနွေးချက် TimedText TimedText talk မော်ဂျူး မော်ဂျူး ဆွေးနွေးချက် Event Event talk 10 2722 1054146 1052676 2026-09-19T14:33:05Z Htanaungg 61594 + 1054146 wikitext text/x-wiki {{သတင်းများ/ပုံ | image = Rodri France v Spain 7.24.26-096 (cropped).jpg | width = | caption = ကမ္ဘာ့ဖလားချန်ပီယံ စပိန်အသင်းခေါင်းဆောင်နှင့် ရွှေဘောလုံးဆုရှင် ရိုဒရီ | title = ရိုဒရိ | alt = | link = | border = no <!-- only set if image has a light background --> | caption align = left }} * '''[[နန်စီ ဂရေးစ် ရိုမန် အာကာသ တယ်လီစကုပ်|နန်စီဂရေးစ်ရိုမန် အာကာသတယ်လီစကုပ်]]'''ကို [[နာဆာ]]က နေနှင့်ကမ္ဘာကြားရှိ ပတ်လမ်းသို့ လွှတ်တင်ခဲ့သည်။ * [[နီပေါနိုင်ငံ]]တွင် '''[[၂၀၂၆ နီပေါနိုင်ငံ ရေကြီးမှု|လျှပ်တပြက် ရေလျှံမှု]]'''ကြောင့် အနည်းဆုံး လူပေါင်း ၃၃၅ ဦး သေဆုံးခဲ့ပြီး ထောင်ပေါင်းများစွာတို့သည် ပျောက်ဆုံးလျက်ရှိသည်။ *<!--ဇူလိုင် ၁၉--> ဗိုလ်လုပွဲတွင် [[စပိန် အမျိုးသား ဘောလုံးအသင်း|စပိန်အသင်း]]က [[အာဂျင်တီးနား အမျိုးသား ဘောလုံးအသင်း|အာဂျင်တီးနားအသင်း]]ကို အနိုင်ရဗိုလ်စွဲခဲ့ပြီး [[၂၀၂၆ ဖီဖာ ကမ္ဘာ့ဖလား|၂၀၂၆ ဖီဖာ ကမ္ဘာ့ဖလား]]ပြိုင်ပွဲကျင်းပမှုများပြီးဆုံးသွားခဲ့သည်။ *<!-- ဇွန် ၂၄ --> [[ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ]]တွင် '''[[၂၀၂၆ ဗင်နီဇွဲလား ငလျင်|ငလျင်နှစ်ကြိမ် လှုပ်ခတ်ခဲ့ပြီး]]''' လူ ၂,၂၉၀ ကျော် သေဆုံးကာ သောင်းနှင့်ချီသော ပျောက်ဆုံးနေသူများရှိသည်။ *<!-- ဇွန် ၂၂ --> [[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ၏ ဝန်ကြီးချုပ်]]ရာထူးမှ နုတ်ထွက်ရန် ရည်ရွယ်ကြောင်း '''[[ကီယာစတားမာ|ကီယာစတားမား]]'''က ကြေညာလိုက်သည်။ '''[[၂၀၂၆|ဖြစ်ပွားနေဆဲ]]''': [[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ)]] ([[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် အချိန်မှတ်တမ်း (၂၀၂၁-လက်ရှိ)|အချိန်မှတ်တမ်းများ]])၊ [[၂၀၂၆ အစ္စရေး–အမေရိကန်တို့၏ အီရန်အပေါ် တိုက်ခိုက်မှု|၂၀၂၆ အီရန်စစ်ပွဲ]] ([[၂၀၂၆ လက်ဘနွန် စစ်ပွဲ |လက်ဘနွန် စစ်ပွဲ]])၊ [[ရုရှားနိုင်ငံမှ ယူကရိန်းနိုင်ငံအား ကျူးကျော်ခြင်း| ရုရှား-ယူကရိန်း စစ်ပွဲ]] '''[[၂၀၂၆|လတ်တလောကွယ်လွန်သူများ]]''': [[ချမ်းမြေ့ဆရာတော်]]၊ [[ကိုင်ဇာ]]၊ [[တင်မောင်မြင့် (စာရေးဆရာ)|တင်မောင်မြင့်]]၊ [[ဝဇိရကိတ္တိယာဘာ]]၊ [[မင်းထင်ကိုကိုကြီး]]၊ [[ဂျက်ဆန်ထွန်း]]၊ [[ရဲမြလွင်]] <noinclude> {{documentation}} </noinclude> rnbhv9g5z9ygpyyq8354ohe29ff50u9 0 3135 1054144 1027569 2026-09-19T14:27:10Z Htanaungg 61594 အကြီးစား မွမ်းမံ 1054144 wikitext text/x-wiki {{Infobox university | name = University of Yangon | native_name = ရန်ကုန် တက္ကသိုလ် | image = Yangon-university.png | image_size = 150px | caption = တံဆိပ်တော် | latin_name = Universitas Rangunensis | motto = နတ္ထိ သမံ ဝိဇ္ဇာ မိတ္တံ<br />(''natthi samaṃ vijjā mittaṃ'') | mottoeng = There's no friend like wisdom<br>(ပညာနှင့်တူသောမိတ်ဆွေသည်မရှိ) | established = {{start date and years ago|df=yes|1878}} | type = အများပိုင် | rector = တင်မောင်ထွန်း | undergrad = ၄၁၉၄ | postgrad = ၅၇၄၈ | city = [[ကမာရွတ်မြို့နယ်]] ၁၁၀၄၁၊ [[ရန်ကုန်မြို့]] | state = [[ရန်ကုန်တိုင်း]] | country = [[မြန်မာ]] | coordinates = {{coord|16|49|48|N|96|08|06|E|region:MM_type:edu|display=inline,title}} | campus = မြို့တွင်း | former_names = {{plainlist| * ရန်ကုန်ကောလိပ် (၁၈၇၈) * အစိုးရကောလိပ် (၁၉၀၆) * တက္ကသိုလ်ကောလိပ် (၁၉၂၀ အ‌စောပိုင်း) * ရန်ကုန်ဝိဇ္ဇာနှင့်သိပ္ပံတက္ကသိုလ် (၁၉၆၄)}} | website = {{url|uy.edu.mm}}| | faculty = ၁၃၁၃ | affiliations = [[အာဆီယံတက္ကသိုလ်များကွန်ရက်]] (AUN)၊ [[Association of Southeast Asian Institutions of Higher Learning|ASAIHL]] }} ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်သည် [[ရန်ကုန်မြို့]]၊ [[ကမာရွတ်မြို့နယ်]]တွင် တည်ရှိပြီး မြန်မာနိုင်ငံ၏ ပထမဆုံးသော [[တက္ကသိုလ်]] ဖြစ်သည်။ [[အရှေ့တောင်အာရှ]]၏ အစောဆုံး တက္ကသိုလ်များတွင်လည်း ပါဝင်သည်။ ==သမိုင်း== ===တည်ထောင်ခြင်းနှင့် အစောပိုင်းသမိုင်း=== [[File:Rangoon College.jpg|thumb|left|ယုဒသန်ကောလိပ်နှင့် မပေါင်းစည်းမီ ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ်များအစောပိုင်းက ရန်ကုန်ကောလိပ်]] ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်၏ စတင်အခြေတည်ရာသည် ရန်ကုန်ကောလိပ်နှင့် ယုဒသန်ကောလိပ်တို့ဖြစ်သည်။<ref name=Judson>{{cite news |last1=Kyaw Nyunt |title=ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်၏ ဂျပ်ဆင်ကောလိပ် {{!}} Ministry Of Information |url=https://www.moi.gov.mm/news/9475 |access-date=8 March 2026 |work=moi.gov.mm |date=12 December 2020 |language=en}}</ref> ၁၈၈၄ ခုနှစ်တွင် ဗြိတိသျှအစိုးရသည် ရန်ကုန်ကောလိပ်ကို [[ကာလကတ္တားတက္ကသိုလ်]]၏ လက်အောက်ခံကောလိပ်တစ်ခုအဖြစ် တည်ထောင်ရန် ပညာရေးအဖွဲ့ (Education Syndicate) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။{{sfn|Khin Maung Kyi|2000|p=150}}{{sfn|James|2005|p=96}} ၁၈၈၅–၁၈၈၆ ခုနှစ် ကုမ္ပဏီအက်ဥပဒေအရ ရန်ကုန်ကောလိပ်၏ စီမံခန့်ခွဲမှုကို ပညာရေးအဖွဲ့က တာဝန်ယူရသည်။{{sfn|James|2005|p=96}} ၁၉၀၄ ခုနှစ်တွင် အစိုးရကောလိပ် (ရန်ကုန်) ဟု အမည်ပြောင်းပြီး အစိုးရ၏ တိုက်ရိုက်အုပ်ချုပ်မှုအောက်သို့ ရောက်လာသည်။{{sfn|James|2005|p=96}} ယုဒသန်ကောလိပ်ကိုမူ အမေရိကန် ဘက်ပတစ်သာသနာပြုအဖွဲ့က ၁၈၇၈ ခုနှစ် မေလ ၂၈ ရက်တွင် ရန်ကုန်ကရင်ကောလိပ်အဖြစ် စတင်တည်ထောင်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဘက်ပတစ်ကောလိပ်ဟု အမည်ပြောင်းပြီး ထို့နောက် ယုဒသန်ကောလိပ် ဖြစ်လာသည်။<ref name=Judson/> ဝိုင်အမ်ဘီအေ (ခေါ်) [[ဗုဒ္ဓဘာသာကလျာဏယုဝအသင်း]]၏ ဦးဆောင်တောင်းဆိုမှုများကြောင့်<ref name=BT>{{cite journal |last1=Boe Thein |title=Student Strikes for Education Reform, 1920-2015 |journal=Independent Journal of Burmese Scholarship |date=2023 |volume=3 |url=https://ijbs.online/journal-issues/2023-vol-3-%e1%80%a1%e1%80%90%e1%80%bd%e1%80%b2-%e1%81%83/student-strikes-for-education-reform-1920-2015/ |access-date=8 March 2026}}</ref> ၁၉၂၀ ပြည့်နှစ် ဒီဇင်ဘာလ ၁ ရက်နေ့တွင်<ref name=IR2019>{{cite news |last1=Lei |first1=Lei |title=ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ရာပြည့်ပွဲ အကြို လှုပ်ရှားမှုများ တနှစ်ပတ်လုံး လုပ်မည် |url=https://burma.irrawaddy.com/news/2019/07/11/197699.html |access-date=8 March 2026 |work=The Irrawaddy |date=11 July 2019 |ref=Ir 2019}}</ref> အစိုးရကောလိပ်နှင့် ယုဒသန်ကောလိပ်ဟူသော လက်အောက်ခံကောလိပ်နှစ်ခုဖြင့် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်ဟု စတင်ပေါ်ပေါက်လာသည်။<ref name=AMO>{{cite news |last=Aung Myint Oo |title=ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ရာပြည့်အထိမ်းအမှတ် ဂုဏ်ပြုဆောင်းပါး |url=https://www.mdn.gov.mm/my/rnkunttkksiul-raapnnyathimamtt-gunnpucheaangp-1 |access-date=8 March 2026 |work=MDN - Myanmar Digital News |date=18 October 2020 |language=my}}</ref> မြန်မာနိုင်ငံတွင် ပထမဆုံးသော တက္ကသိုလ်ဖြစ်လေသည်။<ref>{{cite web |title=University of Yangon Team |url=https://site.unibo.it/toolkit/en/university-of-yangon-team |website=TOOLKIT - Designing and Managing International Relations, Educational Projects and Mobility Schemes in Asian Universities |access-date=7 July 2026 |language=en}}</ref> တက္ကသိုလ်၏ ပထမဆုံး အဓိပတိမှာ ဗြိတိသျှ ဘုရင်ခံ [[ဆာ ရက်ဂျီနယ် ကရက်ဒေါက်]] ဖြစ်ပြီး တက္ကသိုလ်ကို ကျောင်းသား ၈၂၉ ဦးဖြင့် စတင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။{{sfn|James|2005|p=97}} တက္ကသိုလ်ပရဝုဏ် တည်ဆောက်မှုကိုမူ [[Harcourt Butler|ဆာ ဟာကုတ်ဘတ္တလာ]]က ကြီးကြပ်ရသည်။ အဆောက်အအုံ ပုံစံဒီဇိုင်းများကို [[အောက်စဖို့ဒ်တက္ကသိုလ်]]နှင့် [[ကိန်းဘရစ်ချ်တက္ကသိုလ်]]တို့၏ ပုံစံကိုမှီငြမ်းပြီး တည်ဆောက်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။{{sfn|Khin Maung Kyi|2000|p=150}}<ref name=MY>{{cite news |last=Moe Yan |first=Maung|title=ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်ရာပြည့် သမိုင်းရင်ခုန်သံ |url=https://www.mdn.gov.mm/my/rnkunttkksiulraapnny-smiungrngkhunsn |access-date=8 March 2026 |work=MDN - Myanmar Digital News |date=24 December 2019 |language=my}}</ref> တက္ကသိုလ်တည်ဆောက်ရေးအတွက် လိုအပ်သည့် ရန်ပုံငွေကို နိုင်ငံတစ်ဝန်း တရားဝင်အသိအမှတ်ပြုထားသော ''အာဝါဒေး'' ဟုခေါ်သည့် လောင်းကစားပွဲများမှ ရရှိသည့်ငွေများဖြင့် ထောက်ပံ့ခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=အာဝါဒေး |url=https://burmese.dvb.no/post/515411 |access-date=8 July 2026 |work=DVB Burmese |language=en}}</ref><ref name=BBCYU>{{cite news |title=ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်ကြောင့် မြန်မာပြည် ဘာတွေပြောင်းခဲ့သလဲ |url=https://www.bbc.com/burmese/in-depth-42181316 |access-date=8 March 2026 |work=BBC News မြန်မာ |date=30 November 2017 |language=my}}</ref><ref name=SU>{{cite news |last1=Boe |first1=Maung |title=တက္ကသိုလ်သမဂ္ဂ အဆောက်အအုံရဲ့ ပထမနေ့ရက်များ |url=https://burma.irrawaddy.com/article/2025/07/07/403102.html|access-date=10 March 2026 |work=The Irrawaddy |date=7 July 2025}}</ref> ၁၉၂၀ ပြည့်နှစ် ဒီဇင်ဘာလ ၅ ရက်နေ့တွင်မူ အချက် ၁၆ ချက်ကို တောင်းဆိုသော ကျောင်းသား ၂၆ ဦးပါ ကော်မတီ၏ ဦးဆောင်မှုဖြင့် ပထမဆုံး ကျောင်းသားသပိတ် ပေါ်ပေါက်လာသည်။ လူလတ်တန်းစားနှင့် အောက်ခြေလူတန်းစား မိသားစုများမှ သားသမီးများအပေါ် နစ်နာစေသည့် တက္ကသိုလ်၏ ကန့်သတ်ချက်များကို ကန့်ကွက်ရာမှ စတင်သည်။<ref name="BT" /> အဆိုပါလှုပ်ရှားမှုကို မြန်မာ့လွတ်လပ်ရေးလှုပ်ရှားမှု၏ လမ်းစအဖြစ် သတ်မှတ်ကြပြီး ယခုအခါ [[အမျိုး​သား​ အောင်ပွဲ​နေ့​]]အဖြစ် သတ်မှတ်ကျင်းပကြသည်။<ref>{{cite news |title=သတိမမူမိတဲ့ အမျိုးသားနေ့ရာပြည့်နဲ့ နိုးထလာတဲ့ မြန်မာအမျိုးသားရေးဝါဒ |url=https://www.bbc.com/burmese/in-depth-55151802 |access-date=8 March 2026 |work=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> သပိတ်၏ အကျိုးဆက်အဖြစ် ၁၉၂၄ ခုနှစ်တွင် တက္ကသိုလ်အက်ဥပဒေကို ပြင်ဆင်ကာ မြန်မာပြည်အနှံ့တွင် လက်အောက်ခံကောလိပ်များ တည်ထောင်ခွင့်ပြုခဲ့သည်။{{sfn|James|2005|p=98}} ၁၉၂၅ ခုနှစ် ဇူလိုင်လ ၄ ရက်နေ့တွင် [[မန္တလေးတက္ကသိုလ်|မန္တလေးဥပစာကောလိပ်]]သည် ပထမဆုံး လက်အောက်ခံကောလိပ် ဖြစ်လာပြီး လွတ်လပ်ရေးရပြီးနောက် မန္တလေးတက္ကသိုလ်ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref>{{cite news |last1=Thet Htoo Aung |title=မန္တလေးတက္ကသိုလ် နှစ် ၁၀၀ ပြည့် အကြိုပွဲတော် ကျင်းပ |url=https://news-eleven.com/article/304142 |access-date=8 March 2026 |work=Eleven Media Group Co., Ltd |date=4 July 2025 |language=my}}</ref><ref name=BBCMU>{{cite news |title=မန္တလေး သီးခြားတက္ကသိုလ် နှစ် ၆ဝ |url=https://www.bbc.com/burmese/in-depth-44302899 |access-date=8 March 2026 |work=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> ၁၉၃၀ ပြည့်နှစ်သို့ ရောက်သောအခါ [[ရန်ကုန်ပညာရေးတက္ကသိုလ်|ဆရာအတတ်သင်ကောလိပ်]]နှင့် [[ဆေးတက္ကသိုလ် (၁) ရန်ကုန်|ဆေးကောလိပ်]]တို့ကိုလည်းကောင်း၊ ၁၉၃၈ ခုနှစ်တွင် {{sfn|James|2005|p=98}} [[ရေဆင်းစိုက်ပျိုးရေးတက္ကသိုလ်|စိုက်ပျိုးရေးကောလိပ်]]ကိုလည်းကောင်း ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်၏ တွဲဖက်ကောလိပ်များအဖြစ် ဖွဲ့စည်းပေးခဲ့သည်။<ref name="AMO" /><ref>{{cite news |title=နှစ် ၁၀၀ ပြည့်မည့် အမိစိုက်ပျိုးရေးတက္ကသိုလ် |url=https://www.moi.gov.mm/article/58614 |access-date=7 July 2026 |work=Ministry Of Information |language=en}}</ref> ၁၉၃၆ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလ ၂၁ ရက်နေ့တွင် ဒုတိယအကြိမ် ကျောင်းသားသပိတ် ‌ပေါ်ပေါက်လာသည်။<ref name="BT" /> ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ကျောင်းသားသမဂ္ဂ (RUSU) ဥက္ကဋ္ဌ [[ဦးနု]]က ကောလိပ်ကျောင်းအုပ်ကို လူသိရှင်ကြား ဝေဖန်ခဲ့သည့်အတွက် ကျောင်းမှ ထုတ်ပယ်ခံရပြီးနောက် ဖြစ်ပွားခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။{{sfn|James|2005|p=99}} ၁၉၃၈ ခုနှစ်တွင်လည်း တက္ကသိုလ်အက်ဥပဒေ ပြင်ဆင်ရေး ကြန့်ကြာမှုကို ကန့်ကွက်သည့် နောက်ထပ်သပိတ်တစ်ရပ် ဖြစ်ပွားခဲ့သေးသည်။<ref name="BT" /> ကျောင်းသားများနှင့် အလုပ်သမားများ ပါဝင်သည့် နိုင်ငံလုံးဆိုင်ရာ သပိတ်ကြီးဖြစ်သော [[၁၃၀၀ ပြည့် အရေးတော်ပုံ]]တွင်လည်း ပါဝင်ခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite news |title=၇၈ နှစ်မြောက် ၁၃၀၀ ပြည့် အရေးတော်ပုံ မေဒေး(သို့မဟုတ်)ကမ္ဘာ့အလုပ်သမားနေ့ |url=https://news-eleven.com/article/273739 |access-date=8 March 2026 |work=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> ၁၉၃၈ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလ ၂၀ ရက်နေ့က ဆန္ဒပြမှုတစ်ခုအတွင်း ကောလိပ်ကျောင်းသား [[ဗိုလ်အောင်ကျော်]] ကျဆုံးခဲ့ရသည်။<ref>{{cite news |title=ဗိုလ်အောင်ကျော်ရဲ့ တပ်ဘက် အရပ်ဘက်သူငယ်ချင်းများ |url=https://www.bbc.com/burmese/in-depth-46634582 |access-date=8 March 2026 |work=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> ၁၉၃၉ ခုနှစ်တွင် တက္ကသိုလ်အက်ဥပဒေကို ပြန်လည်ပြင်ဆင်ရာ [[ဦးဖေမောင်တင်]]သည် ပထမဆုံး မြန်မာလူမျိုး အဓိပတိ ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref>{{cite news |last1=Lei |first1=Lei |title=ဆရာကြီး ဦးဖေမောင်တင် ကြေးရုပ်တုထားရှိရန် ခွင့်ပြုချက်ရပြီ |url=https://burma.irrawaddy.com/news/2019/09/25/204867.html |access-date=8 March 2026 |work=The Irrawaddy |date=25 September 2019}}</ref> ===ဒုတိယကမ္ဘာစစ်နှင့် လွတ်လပ်ရေးရပြီးနောက်ကာလ=== [[File:RangoonUniversityAdministrationBuilding.jpg|thumb|ဒုတိယကမ္ဘာစစ်ဒဏ်ခံခဲ့ရသော ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်]] ဒုတိယကမ္ဘာစစ် စတင်သည့်အချိန် မြန်မာနိုင်ငံသည် ဂျပန်တို့လက်အောက် ကျရောက်လာသဖြင့် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်ကို ၁၉၄၂ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၁၅ ရက်နေ့တွင် ယာယီပိတ်ထားခဲ့ရသည်။ ၁၉၄၃ ခုနှစ် ဩဂုတ်လ ၁ ရက်နေ့တွင် ဒေါက်တာဘမော်အစိုးရက နိုင်ငံတော်တက္ကသိုလ်အဖြစ် ပြန်လည်ဖွင့်လှစ်ခဲ့ပြီး ဦးဖေမောင်တင်က တက္ကသိုလ်အဓိပတိအဖြစ် ဆက်လက်တာဝန်ယူရသည်။{{sfn|James|2005|p=99}} ဗြိတိသျှတို့က မြန်မာနိုင်ငံကို ပြန်လည်သိမ်းပိုက်ပြီးနောက် ၁၉၄၆ ခုနှစ်တွင် ကြားကာလတက္ကသိုလ် ဖြစ်လာသည်။ စစ်ပြီးကာလတွင်မူ တွဲဖက်ကောလိပ်များကို ဝိဇ္ဇာ၊ သိပ္ပံ၊ ဥပဒေ၊ ဆေးသိပ္ပံ၊ ပညာရေးနှင့် အင်ဂျင်နီယာ မဟာဌာနများအဖြစ် တစ်စုတစ်စည်းတည်း ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းကာ၊ နောက်ပိုင်းတွင် စိုက်ပျိုးရေး၊ လူမှုသိပ္ပံနှင့် သစ်တောပညာတို့ပါ ထပ်မံပါဝင်လာသည်။{{sfn|James|2005|p=99}} [[ထင်အောင်|ဒေါက်တာထင်အောင်]]သည် စစ်ပြီးခေတ် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်၏ ပထမဆုံး ပါမောက္ခချုပ်ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref name=BBCYU/> လွတ်လပ်ရေးရပြီးနောက် မန္တလေးဥပစာကောလိပ်သည် မန္တလေးယူနီဗာစီတီကောလိပ် ဖြစ်လာခဲ့ပြီး ၁၉၅၈ ခုနှစ်၌ သီးခြားတက္ကသိုလ်အဆင့်သို့ ရောက်ရှိသည်။<ref name=BBCMU/>{{sfn|James|2005|p=99}} ၁၉၅၃ ခုနှစ်တွင် [[မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်|မော်လမြိုင်ကောလိပ်]]၊ ၁၉၅၄ ခုနှစ်တွင် ကျောက်ဖြူကောလိပ်၊ ၁၉၅၅ ခုနှစ်တွင် ရန်ကင်းကောလိပ်၊ ထီးတန်းကောလိပ်နှင့် [[မကွေးတက္ကသိုလ်|မကွေးကောလိပ်]]၊ ၁၉၅၈ ခုနှစ်တွင် ပုသိမ်ကောလိပ်ဟူ၍ နိုင်ငံတစ်ဝန်းတွင် အခြားသော လက်အောက်ခံကောလိပ်များကိုလည်း ထပ်မံပေါ်ပေါက်လာသည်။ [[စစ်တက္ကသိုလ် (ပြင်ဦးလွင်)|စစ်တက္ကသိုလ်]]ကိုလည်း [[ဗထူးတပ်မြို့]]မှ [[ပြင်ဦးလွင်]]သို့ ၁၉၅၅ ခုနှစ်တွင် ပြောင်းရွှေ့ပြီး ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်၏ လက်အောက်သို့ ရောက်ရှိလာသည်။<ref name=MY /> ဤကာလအတွင်း ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်သည် စီးပွားရေးစီမံခန့်ခွဲမှုပညာတွင် အမေရိကန်တက္ကသိုလ်များနှင့်လည်းကောင်း၊ အင်ဂျင်နီယာပညာတွင် ဆိုဗီယက်တက္ကသိုလ်များနှင့်လည်းကောင်း ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ရင်း{{sfn|Khin Maung Kyi|2000|p=151}} အာရှတိုက်၏ ထိပ်တန်းတက္ကသိုလ်များအနက် တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ခံခဲ့ရသည်။<ref name=IR2019/> ===စစ်အုပ်ချုပ်ရေးခေတ်=== [[File:1962 Rangoon University Protests.jpg|thumb|၁၉၆၂ ခုနှစ် ဇူလိုင် ၇ ရက်က အဓိပတိလမ်းပေါ်ရှိ ဘွဲ့နှင်းသဘင်ခန်းမရှေ့မှ ငြိမ်းချမ်းစွာ စီတန်းလှည့်လည်ကြစဉ်]] [[ဦးနေဝင်း]]၏ တော်လှန်ရေးကောင်စီလက်ထက် ၁၉၆၄ ခုနှစ်တွင် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်မှ ရန်ကုန်ဝိဇ္ဇာနှင့်သိပ္ပံတက္ကသိုလ် (RASU) ဟု အမည်ပြောင်းလဲပြီး၊ တက္ကသိုလ်၏ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ကို ပယ်ဖျက်ကာ အဆင့်မြင့်ပညာဦးစီးဌာန၏ ဗဟိုထိန်းချုပ်မှုအောက်သို့ ထည့်သွင်းလိုက်သည်။ ထို့ပြင် မဟာဌာနများကိုလည်း မိခင်တက္ကသိုလ်မှ ခွဲထုတ်၍ [[ဆေးတက္ကသိုလ် (၁) ရန်ကုန်|ဆေးတက္ကသိုလ်]]၊ [[ရန်ကုန်ပညာရေးတက္ကသိုလ်|ပညာရေးတက္ကသိုလ်]]၊ [[ရန်ကုန်နည်းပညာတက္ကသိုလ်|စက်မှုတက္ကသိုလ်]] နှင့် [[ရန်ကုန် စီးပွားရေး တက္ကသိုလ်|စီးပွားရေးတက္ကသိုလ်]] ဟူ၍ သီးခြားတက္ကသိုလ်ငယ်များအဖြစ် ပြန်လည်ပြင်ဆင်ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။{{sfn|Khin Maung Kyi|2000|pp=151-2}} အဓိကရည်ရွယ်ချက်မှာ ကျောင်းသားများကို ဘာသာရပ်အလိုက် သီးခြားတက္ကသိုလ်များ၏ အနီးကပ်ကြီးကြပ်မှုအောက်တွင် ထားရှိခြင်းဖြင့် အစိုးရဆန့်ကျင်ရေး ကျောင်းသားလှုပ်ရှားမှုများ မပေါ်ပေါက်စေရန်ဖြစ်ပြီး၊ တက္ကသိုလ်နယ်မြေအလိုက် အမိန့်နှင့် စည်းကမ်းထိန်းသိမ်းရေး တာဝန်များကိုလည်း သက်ဆိုင်ရာ ဆရာ/ဆရာမများက တာဝန်ယူကြသည်။{{sfn|Khin Maung Kyi|2000|p=153}} ထိုအချိန်မှစ၍ အစိုးရအဖွဲ့၏ အကြီးတန်းအရာရှိတစ်ဦးက တက္ကသိုလ်အဓိပတိအဖြစ် တာဝန်ယူသည့် အစဉ်အလာ ရပ်ဆိုင်းခဲ့ရာ နောက်ဆုံးအဓိပတိမှာ ပညာရေးနှင့် ကျန်းမာရေးဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီးလှဟန် ဖြစ်သည်။ ၁၉၆၂ ခုနှစ် ဇူလိုင် ၇ ရက်တွင် ကျောင်းသားများ၏ နိုင်ငံရေးလှုပ်ရှားမှုကို ကန့်သတ်သည့် အဆောင်စည်းကမ်း ၂၂ ချက်ကို ကန့်ကွက်သည့်အနေဖြင့် ကျောင်းသားအရေးအခင်းတစ်ရပ် ဖြစ်ပွားခဲ့သည်။ ဆန္ဒပြပွဲအတွင်း ကျောင်းသား အများအပြား ပစ်ခတ်ခံခဲ့ရပြီး နောက်တစ်နေ့နံနက်တွင် တက္ကသိုလ်များကျောင်းသားသမဂ္ဂ (တကသ) အဆောက်အအုံမှာ မိုင်းခွဲဖျက်ဆီးခြင်း ခံခဲ့ရသည်။<ref>{{cite news |title=ဆဲဗင်းဇူလိုင် သိမှတ်ဖွယ်ရာများ |url=https://www.bbc.com/burmese/in-depth-40523727 |access-date=9 March 2026 |work=BBC News မြန်မာ |language=my}}{{cite news |title=ဆဲဗင်းဇူလိုင်သမိုင်းကို လူငယ်တွေ သိကြရဲ့လား |url=https://www.bbc.com/burmese/burma-44753876 |access-date=9 March 2026 |work=BBC News မြန်မာ |date=7 July 2018 |language=my}}</ref> နောင်တွင် ဤဖြစ်ရပ်ကို [[ဆဲဗင်းဂျူလိုင် ကျောင်းသား အရေးတော်ပုံ]]ဟု ရည်ညွှန်းခေါ်ဆိုကြသည်။ ၁၉၈၉ ခုနှစ်တွင် နိုင်ငံတော် ငြိမ်ဝပ်ပိပြားမှု တည်ဆောက်ရေးအဖွဲ့ (နဝတ) သည် စကားရပ်များ ပြောင်းလဲသတ်မှတ်သည့် ဥပဒေအရ တက္ကသိုလ်၏ အင်္ဂလိပ်အမည်ကို University of Yangon ဟု ပြောင်းလဲခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=Who, What, Why: Should it be Burma or Myanmar? |url=https://www.bbc.com/news/magazine-16000467 |access-date=9 March 2026 |work=BBC News |date=2 December 2011}}</ref> ၁၉၇၄ ခုနှစ် [[ဦးသန့် အရေးအခင်း]] နှင့် ၁၉၈၈ ခုနှစ် [[ရှစ်လေးလုံးအရေးအခင်း]]အပါအဝင် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်သည် အစိုးရဆန့်ကျင်ရေး လှုပ်ရှားမှုများ၏ ဗဟိုချက်ဟုပင် ဆိုနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် စစ်အစိုးရ၏ အာဏာကို ပြန်လည်ခြိမ်းခြောက်နိုင်သည့် အခြေအနေများ ထပ်မံမဖြစ်ပေါ်စေရန်အတွက် ၁၉၉၆ ခုနှစ်မှစ၍ ဘွဲ့ကြိုသင်တန်းများကို ဆိုင်းငံ့ခဲ့ပြီး ၁၆ နှစ်တိုင်တိုင် ဘွဲ့လွန်နှင့် ဒီပလိုမာသင်တန်းများကိုသာ ဖွင့်လှစ်ခွင့်ပြုခဲ့သည်။<ref>{{cite news |last1=Yan Paing |title=ရန်ကုန် တက္ကသိုလ် ပြန်လည် ဝေစည်တော့မလား |url=https://burma.irrawaddy.com/news/2013/06/21/42717.html |access-date=9 March 2026 |work=The Irrawaddy |date=21 June 2013}}{{cite news |last1=Aye Aye Win |title=ဘွဲ့ကြိုကျောင်းသားများ ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ပြန်လက်ခံ |url=https://burma.irrawaddy.com/news/2013/12/06/51835.html |access-date=9 March 2026 |work=The Irrawaddy |date=6 December 2013}}</ref> ===၂၀၁၁ နောက်ပိုင်း ပြုပြင်ပြောင်းလဲမှုများ=== [[File:Myanmar National Education Law Protests 1.jpg|thumb|၂၀၁၄ ခုနှစ်က ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်တွင် ကျောင်းသားများ ဆန္ဒပြကြစဉ်]] ထိုစဉ်က အတိုက်အခံခေါင်းဆောင် [[ဒေါ်အောင်ဆန်းစုကြည်]]က တက္ကသိုလ်ဥပဒေသစ်တစ်ရပ် ရေးဆွဲရန်နှင့် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် (ပင်မနယ်မြေ) ကို အဆင့်မြှင့်တင်ရန်အတွက် ၂၀၁၂ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာလ ၂၇ ရက်နေ့တွင် ပြည်သူ့လွှတ်တော်၌ စတင်အဆိုတင်သွင်းသည်။<ref>{{cite news |title=ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် နှစ် (၁၀၀) ပြည့် ရာပြည့်သဘင်အထိမ်းအမှတ်အခမ်းအနား ကျင်းပ {{!}} Ministry Of Information |url=https://www.moi.gov.mm/news/8483 |access-date=9 March 2026 |work=moi.gov.mm |language=en}}</ref> သီးခြားကော်မတီတစ်ရပ် ဖွဲ့စည်းခြင်းကို ပညာရေးဝန်ကြီးက ကန့်ကွက်သော်လည်း ထောက်ခံမဲ ၂၄၈ မဲဖြင့် အတည်ဖြစ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=ရန်ကုန် တက္ကသိုလ် မွမ်းမံရေး စတော့မယ် - BBC Burmese - မြန်မာ့ရေးရာ |url=https://www.bbc.com/burmese/burma/2012/12/121227_rangoon_university |access-date=9 March 2026 |work=bbc.com|language=my}}</ref> ထို့နောက် ဒေါ်အောင်ဆန်းစုကြည် ဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် ပါဝင်သော ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် (ပင်မနယ်မြေ) အဆင့်မြှင့်တင်ရေးနှင့် မွမ်းမံပြင်ဆင်ရေး ကော်မတီကို လွှတ်တော်က ဖွဲ့စည်းပေးခဲ့သည်။ ဘွဲ့ကြိုသင်တန်းများပို့ချရန်အတွက် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ပင်မနယ်မြေကို ၂၀၁၃ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလ၌လည်းကောင်း၊ လှိုင်နယ်မြေကို ၂၀၁၇ ခုနှစ်၌လည်းကောင်း ပြန်လည်ဖွင့်လှစ်ခွင့်ရသည်။<ref>{{cite news |title=တဖန်သက်ဝင်လာတဲ့ လှိုင်တက္ကသိုလ် |url=https://burmese.voanews.com/a/burma-forum-rebirth-of-yangon-university-hlaing-campus/4177367.html |access-date=9 March 2026 |work=VOA Burmese |date=25 December 2017 |language=my}}</ref> ထိုကာလတွင် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်သည် ထူးချွန်သင်ကြားရေးဗဟိုဌာန (CoE) အဖြစ် သတ်မှတ်ခံရပြီး{{sfn|Fiori|Proserpio|2021|p=62}} ၂၀၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် အခြားတက္ကသိုလ် ၁၅ ခုနှင့်အတူ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့် ပြန်လည်ရရှိခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=ကျွန်တော်နဲ့ တက္ကသိုလ်ပညာရေး {{!}} Ministry Of Information |url=https://www.moi.gov.mm/article/6016 |access-date=9 March 2026 |work=moi.gov.mm}}</ref> ၂၀၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်၏ ရာပြည့်သဘင်ကို ကျင်းပပြီး ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ရာပြည့်သဘင်ကျင်းပရေး ဦးစီးကော်မတီ ဥက္ကဋ္ဌ ဒေါ်အောင်ဆန်းစုကြည်ကိုယ်တိုင် အခမ်းအနား ဖွင့်လှစ်ပေးခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=Yangon University Centenary a heartbeat away |url=https://www.mdn.gov.mm/en/yangon-university-centenary-heartbeat-away |access-date=9 March 2026 |work=MDN - Myanmar Digital News |language=en}}</ref> ၂၀၁၉ ခုနှစ် ကော်မတီ၏ ပထမအကြိမ် အစည်းအဝေးတွင် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်အနေဖြင့် ရှေးယခင် အစဉ်အလာကောင်းများကို ပြန်လည်ရရှိရုံမျှမက ယခင်ကထက်ပင် ပိုမိုတိုးတက်လာလိမ့်မည်ဟု မျှော်လင့်ကြောင်း ပြောကြားခဲ့သေးသည်။<ref>{{cite news |last1=Lei |first1=Lei |title=Celebrations Scheduled for Yangon U Centennial Run-Up |url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/celebrations-scheduled-for-yangon-u-centennial-run-up.html |access-date=9 March 2026 |date=15 July 2019}}</ref> ==တက္ကသိုလ်နယ်မြေ== {{multiple image | align = left | image1 = Convocation Hall, Universität Rangun, Myanmar, (Auditorium).jpg | width1 = 150 | alt1 = | caption1 = | image2 = Convocation Hall.jpg | width2 = 170 | alt2 = | caption2 = | footer = ဘွဲ့နှင်းသဘင်ခန်းမ }} ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်သည် ရန်ကုန်မြို့ [[ကမာရွတ်မြို့နယ်]]၊ [[အင်းလျားကန်]]၏ အနောက်တောင်ဘက်ကမ်းတွင် တည်ရှိသည်။<ref>{{cite news |last1=Myin Maung Soe |title=ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်နှင့် အင်းလျားကန်သာ |url=https://www.moi.gov.mm/npe/rnkunttkksiulnng-anglaaknsaa |access-date=9 March 2026 |work=moi.gov.mm |date=11 May 2020}}</ref> အရှေ့ဘက်နှင့် မြောက်ဘက်တွင် အင်းလျားလမ်း၊ တောင်ဘက်တွင် တက္ကသိုလ်ရိပ်သာလမ်းနှင့် အနောက်ဘက်တွင် [[ပြည်လမ်း]] တို့ရှိသည်။<ref>{{cite web |title=Charter (Draft) {{!}} University of Yangon |url=https://www.uy.edu.mm/charter-draft/ |website=uy.edu.mm |access-date=10 March 2026}} ပင်မနယ်မြေ၏ မြောက်ဘက်အနည်းငယ်အကွာတွင် တည်ရှိသော လှိုင်နယ်မြေကို ပထမနှစ်သင်တန်းများအတွက် အသုံးပြုသည်။{{cite web |title=Hlaing Campus {{!}} University of Yangon |url=https://www.uy.edu.mm/hlaing-campus/ |website=uy.edu.mm |access-date=9 March 2026}}</ref> လှိုင်နယ်မြေနေရာသည် မူလက ရန်ကုန်ဒေသကောလိပ် အမှတ် (၂) အဖြစ် ၁၉၇၇ ခုနှစ်မှစတင် ဖွင့်လှစ်ပြီး ၁၉၈၁ ခုနှစ်တွင်မူ ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်၏ သဘာဝသိပ္ပံဘာသာရပ်များ သင်ကြားရာ နယ်မြေဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref>{{cite news |last1=Khin La Pyae Woon |title=ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်ထဲက အနုပညာရပ်ဝန်းပန်းချီခန်းမ {{!}} Ministry Of Information |url=https://www.moi.gov.mm/article/10390 |access-date=9 March 2026 |work=moi.gov.mm |date=1 October 2021}}</ref> ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်မှစ၍ လှိုင်နယ်မြေကို ဆရာအတတ်သင် အခြေခံပညာကျောင်း (TTC) အဖြစ်သာ သီးသန့်အသုံးပြုခဲ့ရာမှ ၂၀၁၇ ခုနှစ်တွင် တက္ကသိုလ်နယ်မြေအဖြစ် ပြန်လည်ဖွင့်လှစ်ခွင့်ရခဲ့သည်။ [[File:University Scho 58.JPG|thumb|right|ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ပင်မနယ်မြေအတွင်းရှိ သစ်ပုတ်ပင်ကြီး]] ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်၏ ပင်မနယ်မြေတွင် ပထမဆုံး ဆောက်လုပ်ခဲ့သည့် အဆောက်အအုံမှာ ဘွဲ့နှင်းသဘင်ခန်းမဖြစ်သည်။ ဘွဲ့နှင်းသဘင်ခန်းမ၏ ပန္နက်တင်အခမ်းအနားကို ၁၉၂၂ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလ ၂၂ ရက်နေ့တွင်မှ ပြုလုပ်နိုင်သဖြင့် ၁၉၂၁ ခုနှစ်အတွက် ပထမဆုံးအကြိမ် ဘွဲ့နှင်းသဘင်အခမ်းအနားကိုမူ [[ဂျူဗလီဟော]] ၌ ကျင်းပရသည်။<ref>{{cite news |title=Yangon University and Colonial Era Buildings |url=https://www.mdn.gov.mm/en/yangon-university-and-colonial-era-buildings |access-date=10 March 2026 |work=MDN - Myanmar DigitalNews |language=en}}</ref> ဘွဲ့နှင်းသဘင်ခန်းမကို ၁၉၃၁ ခုနှစ် ဇူလိုင်လ ၂၈ ရက်နေ့တွင် ကျင်းပသည့် (၁၁) ကြိမ်မြောက် ဘွဲ့နှင်းသဘင်အခမ်းအနား၌ တရားဝင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့ပြီး နောက်ပိုင်ဘွဲ့နှင်းသဘင်အခမ်းအနားများကို ထိုခန်းမ၌ပင် ဆက်လက်ကျင်းပကြသည်။<ref>{{cite news |title=ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ဘွဲ့နှင်းသဘင်ခန်းမ |url=https://www.mdn.gov.mm/my/rnkunttkksiul-bhainngsbhngkhnm |access-date=10 March 2026 |work=MDN - Myanmar DigitalNews |language=my}}</ref> ဘွဲ့နှင်းသဘင်ခန်းမအနီးတွင် ၁၉၂၀ ပြည့်နှစ် တက္ကသိုလ်စတင်တည်ထောင်စဉ်ကတည်းက တည်ရှိခဲ့သော ကြီးမားသည့် သစ်ပုတ်ပင်ကြီး တစ်ပင်ရှိသည်။<ref>{{cite news |title=ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်၏ အထင်ကရနေရာများ |url=https://www.mdn.gov.mm/my/rnkunttkksiule-athngkrneraamaa |access-date=10 March 2026 |work=MDN - Myanmar Digital News |language=my}}</ref> သစ်ပုတ်ပင်ကြီးသည် ရန်ကုန်မြို့ပြအမွေအနှစ်ထိန်းသိမ်းစောင့်ရှောက်ရေးအဖွဲ့၏ (၃၂) ခုမြောက် အပြာရောင်ကမ္ပည်းပြား တပ်ဆင်ခံရပြီး၊ အပြာရောင်ကမ္ပည်းပြားရရှိသည့် ပထမဆုံး သဘာဝအမွေအနှစ်နေရာလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{cite news |title=Over 100 year old Thitpok Tree in University of Yangon marked with YHT’s blue plaque |url=https://www.mdn.gov.mm/en/over-100-year-old-thitpok-tree-university-yangon-marked-yhts-blue-plaque |access-date=10 March 2026 |work=MDN - Myanmar Digital News |language=en}}</ref> [[File:University Scho 35.JPG|thumb|left|ဂျပ်ဆင်တာဝါ]] ပင်မနယ်မြေ၏ ပြည်လမ်းဘက်အခြမ်းတွင် မြန်မာနိုင်ငံသို့ ခရစ်ယာန်သာသနာပြုရန် ရောက်ရှိလာသူ အမေရိကန် သာသနာပြုဆရာကြီး [[ယုဒသန်]]ကို ဂုဏ်ပြုအမည်ပေးထားသည့် ယုဒသန်ဘုရားကျောင်း တည်ရှိသည်။<ref>{{cite news |last1=Yan |first1=Paing |title=ဆရာယုဒသန် မြန်မာပြည် ရောက်ရှိခြင်း နှစ် ၂၀၀ ပြည့်အခမ်းအနား ကျင်းပမည် |url=https://burma.irrawaddy.com/news/2013/11/15/50962.html |work=The Irrawaddy |access-date=10 March 2026 |date=15 November 2013}}</ref> ၁၉၃၁ ခုနှစ် ဇူလိုင်လ ၂၇ ရက်နေ့တွင် အဓိပတိ [[ဆာ ချားလ်စ် အလက်ဇန္ဒား အင်းနစ်]]က အုတ်မြစ်ချပေးခဲ့ပြီး၊ ခေါင်းလောင်းမျှော်စင်သို့ တက်ရန် လှေကားထစ် ၁၈၀ ရှိသည်။<ref>{{cite news |title=ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်၏ အထင်ကရနေရာများ |url=https://www.mdn.gov.mm/my/rnkunttkksiule-athngkrneraamaa |access-date=10 March 2026 |work=MDN - Myanmar Digital News |language=my}}</ref> ယုဒသန်ဘုရားကျောင်းအနီးတွင် အားကစားရုံ၊ စားသောက်ဆိုင်များနှင့် တက္ကသိုလ် ပန်းချီအသင်းခန်းမတို့ ပါဝင်သော Recreation Center နှစ်ထပ်အဆောက်အအုံ ရှိသည်။ မြန်မာ့ဗိသုကာနှင့် ခေတ်ပြိုင်ဗိသုကာဟန်များ ပေါင်းစပ်ထားသော အဆိုပါအဆောက်အအုံကို ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှောင်းပိုင်းတွင် [[အာရှဖောင်ဒေးရှင်း]] ၏ ရန်ပုံငွေထောက်ပံ့မှုဖြင့် အမေရိကန် ဗိသုကာပညာရှင်တစ်ဦးနှင့် မြန်မာ ဗိသုကာ [[ဦးတင် (ဗိသုကာပညာရှင်)|စည်သူဦးတင်]] တို့ ပူးပေါင်းရေးဆွဲခဲ့ကြခြင်းဖြစ်သည်။<ref>{{cite news |title=The Recreation Centre of Yangon University {{!}} Ministry Of Information |url=https://www.moi.gov.mm/moi%3Aeng/index.php/article/2224 |access-date=10 March 2026 |work=moi.gov.mm}}</ref> ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်၏ စိန်ရတုအထိမ်းအမှတ်အဖြစ် တပ်မတော်အစိုးရက ကျပ်ငွေ ၆၃ သန်း အကုန်အကျခံ၍ စိန်ရတုခန်းမကို ဆောက်လုပ်ခဲ့ရာ<ref>{{cite news |title=ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် နှစ်တစ်ရာပြည့်အထိမ်းအမှတ်နှင့် ဆေးတက္ကသိုလ်များ |url=https://www.mdn.gov.mm/my/rnkunttkksiul-ncttcraapnnyathimamttnng-chettkksiulmaa |access-date=10 March 2026 |work=MDN - Myanmar Digital News |language=my}}</ref> နောက်ပိုင်းတွင် မြန်မာနိုင်ငံသို့ လာရောက်လည်ပတ်သော အမေရိကန်သမ္မတ [[ဘားရက် အိုဘားမား]]၏ မိန့်ခွန်းပြောပွဲကိုလည်း အဆိုပါခန်းမ၌ပင် လက်ခံကျင်းပခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=သမ္မတ အိုဘားမားကို မြန်မာ လူငယ်တွေ အားကျ |url=https://burma.irrawaddy.com/news/2014/11/19/67326.html|access-date=10 March 2026 |work=The Irrawaddy |date=19 November 2014}}</ref> ၁၉၂၈ ခုနှစ်ကပင် အင်းဝ၊ စစ်ကိုင်း၊ ပင်းယ၊ ပဲခူး နှင့် သထုံ ဟူ၍ သမိုင်းဝင် ဒေသအမည်များ ပေးထားသည့် အဆောင် ၅ ဆောင်ကို ဆောက်လုပ်ပြီးစီးခဲ့သည်။ ပဲခူးဆောင်သည် ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း နေထိုင်ခဲ့သည့် တတိယထပ် အခန်းအမှတ် (၁၁၃) ကြောင့် အထူးထင်ရှားပြီး အဆိုပါအခန်းကို အောင်ဆန်းခန်းမအဖြစ် ယနေ့တိုင် သီးသန့်ထိန်းသိမ်းစောင့်ရှောက်ထားသည်။<ref>{{cite news |title=ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ပဲခူးဆောင်က အခန်းအမှတ် (၁၁၃) |url=https://www.mdn.gov.mm/my/rnkunttkksiul-paikhuucheaangk-akhnamtt-113 |access-date=10 March 2026 |work=MDN - Myanmar Digital News |language=my}}</ref> ပင်မနယ်မြေအတွင်း ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် စာကြည့်တိုက်နှင့် [[တက္ကသိုလ်များ ဗဟိုစာကြည့်တိုက်]] (UCL) ဟူ၍ စာကြည့်တိုက်နှစ်ခု တည်ရှိသည်။<ref>{{cite news |title=သမိုင်းဝင်ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် စာကြည့်တိုက်အကြောင်း တစေ့တစောင်း ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် စာကြည့်တိုက် စာကြည့်တိုက်မှူး ဒေါ်သင်းသင်းစိုးနှင့် တွေ့ဆုံမေးမြန်းခြင်း {{!}} Ministry Of Information |url=https://www.moi.gov.mm/news/7366 |work=moi.gov.mm |language=en}}</ref> ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် စာကြည့်တိုက်ကို ၁၉၂၇ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလ ၈ ရက်နေ့တွင် ဆာ ဟာကုတ်ဘတ္တလာ က အုတ်မြစ်ချပေးခဲ့ပြီး၊ ၁၉၃၁ ခုနှစ်တွင် အဓိပတိလမ်းနှင့် စစ်ကိုင်းလမ်းထောင့်၌ တရားဝင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၄ ခုနှစ်တွင် စာကြည့်တိုက်ကို အဆင့်မြင့်ပညာဦးစီးဌာနအောက်သို့ လွှဲပြောင်းပေးခဲ့ရပြီး တက္ကသိုလ်များ ဗဟိုစာကြည့်တိုက် ဖြစ်လာသည်။ ၁၉၇၃ ခုနှစ်တွင် မူလစာကြည့်တိုက်အဆောက်အအုံ ဘေး၌ ဗဟိုစာကြည့်တိုက်အတွက် အဆောက်အအုံသစ်တစ်ခု ဆောက်လုပ်ခဲ့သဖြင့် မူလအဆောက်အအုံသည် မူလအမည်အတိုင်း ပြန်လည်ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=တက္ကသိုလ်များ ဗဟိုစာကြည့်တိုက် |url=https://www.myanmar.gov.mm/my/news-media/news/latest-news/-/asset_publisher/idasset354/content/%25E1%2580%2590%25E1%2580%2580%25E1%2580%25B9%25E1%2580%2580%25E1%2580%259E%25E1%2580%25AD%25E1%2580%25AF%25E1%2580%259C%25E1%2580%25BA%25E1%2580%2599%25E1%2580%25BB%25E1%2580%25AC%25E1%2580%25B8-%25E1%2580%2597%25E1%2580%259F%25E1%2580%25AD%25E1%258?_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_idasset354_redirect=https%3A%2F%2Fwww.myanmar.gov.mm%2Fmy%2Fweb%2Fguest%2Fnews-media%2Fnews%2Flatest-news%3Fp_p_id%3Dcom_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_idasset354%26p_p_lifecycle%3D0%26p_p_state%3Dnormal%26p_p_mode%3Dview%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_idasset354_cur%3D2383%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_idasset354_delta%3D10%26p_r_p_resetCur%3Dfalse%26_com_liferay_asset_publisher_web_portlet_AssetPublisherPortlet_INSTANCE_idasset354_assetEntryId%3D77847973| work=Myanmar National Portal| access-date=10 March 2026}}</ref> တက္ကသိုလ်များ ဗဟိုစာကြည့်တိုက် သုံးထပ်အဆောက်အအုံသစ်ကို စည်သူဦးတင်၏ မြေးဖြစ်သူ ဦးခင်မောင်လွင်က ဒီဇိုင်းရေးဆွဲခဲ့ပြီး ၁၉၉၃ ခုနှစ်တွင် ဆောက်လုပ်ပြီးစီးခဲ့သည်။ == ဌာနများ == * [[သင်္ချာ]]ဌာန * [[ရူပဗေဒ]]ဌာန * [[ဓာတုဗေဒ]]ဌာန * [[ကုန်ထုတ်ဓာတု]]ဌာန * [[သတ္တဗေဒ]]ဌာန * [[ရုက္ခဗေဒ]]ဌာန * [[ဥပဒေ]]ဌာန * [[အင်္ဂလိပ်စာ]]ဌာန * [[မြန်မာစာ]]ဌာန * [[သမိုင်း]]ဌာန * [[နိုင်ငံတကာဆက်ဆံရေးနှင့်နိုင်ငံရေးသိပ္ပံ]]ဌာန * [[ဘူမိဗေဒ]]ဌာန * [[အရှေ့တိုင်းပညာ]]ဌာန * [[ကွန်ပျူတာ]]သိပ္ပံပညာဌာန * [[မနုဿဗေဒ]]ဌာန * [[ဒဿနိကဗေဒ]]ဌာန * [[စိတ်ပညာ]]ဌာန * [[ပထဝီဝင်]]ဌာန * [[စာကြည့်တိုက်နှင့် သုတပညာ]]ဌာန * [[ရှေးဟောင်းသုတေသနပညာ]]ဌာန * Fisheries and Aquaculture * ပတ်ဝန်းကျင်နှင့် ရေဘက်ဆိုင်ရာလေ့လာရေးဌာန * စီမံရေးရာဌာန * ဘဏ္ဍာဌာန * သင်တန်းရေးရာဌာန * နယ်‌မြေဖွံ့ဖြိုး‌ေးနှင့်ပြင်ဆင်ထိန်းသိမ်း‌ေးဌာနဖ ဖ ဖ <ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=http://yufund.org/index.php/departments |accessdate=9 March 2015 |archivedate=15 March 2015 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150315140856/http://www.yufund.org/index.php/departments }}</ref> == အဆောင်များ == * အင်းဝဆောင် * ပဲခူးဆောင် * ဒဂုံဆောင် * အင်းလျားဆောင် * ပင်းယဆောင် * သထုံဆောင် * သီရိဆောင် * ရတနာဆောင် * စစ်ကိုင်းဆောင် * ရွှေဘိုဆောင် * ရာမညဆောင် *ဝေသာလီဆောင် *အမရာ‌‌ဆောင် *မန္တလေးဆောင် *တောင်ငူဆောင် == ထင်ရှားသော ကျောင်းသားဟောင်းများ == * [[ဆာမောင်ခင်]] *[[ဘကလေး၊ ဦး(ရွှေတလေး)|ကာတွန်း ဘကလေး]] * [[ဒေါက်တာဘမော်]] * [[ဘဟန်၊ ဒေါက်တာ|ဒေါက်တာ ဘဟန်]] * [[လှဘေ၊ ဒေါက်တာ|ဒေါက်တာ လှဘေ]] * [[ဒေါက်တာသန်းထွန်း]] *[[သိပ္ပံမောင်ဝ]] * [[ဇော်ဂျီ (စာရေးဆရာ)|ဆရာဇော်ဂျီ]] * [[မင်းသုဝဏ်]] * [[မောင်လွန်းကြင်]] * [[ဦးရာဇတ်]] * [[ဦးနု]] * [[ဦးသန့်]] * [[ကောင်း၊ ဦး (စည်သူ)|ဦးကောင်း]] *[[ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း]] *[[နေဝင်း၊ ဦး|ဦးနေဝင်း]] * [[ဒေါက်တာမောင်မောင်]] *ဒေါက်တာ ဒေါ် [[မြင့်⁠မြင့်​ခင် (ဒေါက်​တာ)|မြင့်⁠မြင့်ခင်]] * [[ခင်မျိုးချစ်]] * ဝန်ကြီးချုပ်ဟောင်း [[ခင်ညွန့်၊ ဗိုလ်ချုပ်ကြီး|ခင်ညွန့်]] *[[လူထုဒေါ်အမာ]] *[[နေဝင်း၊ ကောလိပ်ဂျင်|ကောလိပ်ဂျင်နေဝင်း]] *[[ဝင်းဦး]] *[[ဝါဝါဝင်းရွှေ]] == ဓာတ်ပုံများ == <gallery> File:Rangoon_university_student%27s_union.jpg|ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ကျောင်းသားသမဂ္ဂ အဆောက်အဦ File:ygnuni3.jpg|ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ဘွဲ့နှင်းသဘင်ခန်းမ အဆောက်အဦကို တည်ဆောက်ပြီးစအချိန်၌ တွေ့ရစဉ် File:RangoonUniversityAdministrationBuilding.jpg|ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်ရုံးတိုက် YU Judson Church.JPG|ယုဒသန်ဘုရားကျောင်း File:University Scho 35.JPG|ဂျပ်ဆင်ဘုရားကျောင်း (၂၀၁၂) File:YU Dhamma Hall.JPG|တက္ကသိုလ်များဓမ္မာရုံ File:Yadana Hall.JPG|ရတနာဆောင် </gallery> == ကိုးကား == {{reflist}} == ပြင်ပလင့်ခ်များ == *{{Commons category-inline|Yangon University|ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်}} {{မြန်မာနိုင်ငံရှိတက္ကသိုလ်များ}} [[Category:ရန်ကုန်မြို့]] [[Category:ရန်ကုန်မြို့ရှိ တက္ကသိုလ်နှင့်ကောလိပ်များ]] [[Category:ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးအတွင်းရှိ တက္ကသိုလ်များ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ဝိဇ္ဇာသိပ္ပံတက္ကသိုလ်နှင့်ကောလိပ်များ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ တက္ကသိုလ်နှင့်ကောလိပ်များ]] mavahg80p87aprgxhcrl2v201wqwzur 0 4351 1054137 1053896 2026-09-19T14:05:23Z InternetArchiveBot 61272 Adding 1 book for [[ဝီကီပီးဒီးယား:စိစစ်အတည်ပြုခံနိုင်မှု]] (20260919)) #IABot (v2.0.9.6) ([[User:GreenC bot|GreenC bot]] 1054137 wikitext text/x-wiki {{Infobox ethnic group | group = တရုတ်လူမျိုး <br />(Chinese people) | image = [[File:Chinese people around the world.svg|thumb|တရုတ်လူမျိုး လူဦးရေများသော နိုင်ငံများ<br> {{Legend|#000000|တရုတ်ပြည်မကြီး၊ ဟောင်ကောင်၊ ထိုင်ဝမ်နှင့် မကာအို}} {{Legend|#770000|+ ၁,၀၀၀,၀၀၀}} {{Legend|#ff0000|+ ၁၀၀,၀၀၀}} {{Legend|#ff7070|+ ၁၀,၀၀၀}} {{Legend|#ffc2c2|+ ၁,၀၀၀}}|300x300px]] | poptime = ၁.၄ ဘီလီယံကျော် <br />(ကမ္ဘာ့လူဦးရေ၏ ၁၈% ခန့်) | regions = {{flagicon|CHN}} [[တရုတ်ပြည်မကြီး]]<br /> {{flagicon|TWN}} [[ထိုင်ဝမ်]]<br /> {{flagicon|HKG}} [[ဟောင်ကောင်]]<br /> {{flagicon|MAC}} [[မကာအို]]<br /> {{flagicon|SGP}} [[စင်ကာပူနိုင်ငံ]]<br /> {{flagicon|MMR}} [[မြန်မာနိုင်ငံ]] (အသေးစိတ်အတွက် [[မြန်မာနိုင်ငံဖွား တရုတ်နွယ်ဖွားများ]] ကို ကြည့်ပါ။)<br /> နှင့် အခြားကမ္ဘာ့နိုင်ငံအသီးသီး (ပင်လယ်ရပ်ခြားတရုတ်များ) | languages = [[တရုတ်ဘာသာစကား]] (Sinitic languages) | religions = [[ဗုဒ္ဓဘာသာ]]၊ [[တာအိုဘာသာ]]၊ တရုတ်ရိုးရာဘာသာ၊ [[ခရစ်ယာန်ဘာသာ]]၊ [[အစ္စလာမ်ဘာသာ]] နှင့် ဘာသာမဲ့ | related = [[ဟန်လူမျိုး]] နှင့် တရုတ်နိုင်ငံရှိ အသိအမှတ်ပြု လူမျိုးစု ၅၅ ခု }} '''တရုတ်လူမျိုး'''များသည် [[တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ]]နှင့် မျိုးရိုးအရ၊ လူမျိုးအရ၊ နိုင်ငံသားအရ၊ သို့မဟုတ် အခြားသော နှီးနွယ်မှုများ ရှိသော လူမျိုးစုများဖြစ်သည်။<ref>{{cite journal|last=Harding |first=Harry |year=1993 |title=The Concept of "greater China": Themes, Variations and Reservations |url=https://archive.org/details/sim_china-quarterly_1993-12_136/page/660 |journal=The China Quarterly |volume=136 |issue=136 |pages=660–86 |doi=10.1017/S030574100003229X |jstor=655587 }}</ref> [[ဟန်လူမျိုး|ဟန်တရုတ်လူမျိုး]]သည် တရုတ်နိုင်ငံတွင် လူဦးရေအများဆုံးသော လူမျိုးစုတစ်ခု ဖြစ်ပြီး [[တရုတ်ပြည်မကြီး]] စုစုပေါင်းလူဦးရေ၏ ၉၂% ခန့် ရှိသည်။<ref name="ciastat">[https://www.cia.gov/the-world-factbook/countries/china/ CIA Factbook] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211220073104/https://www.cia.gov/the-world-factbook/countries/china/ |date=20 December 2021 }}: "Han Chinese 91.6%" out of a reported population of 1,379 billion (July 2017 est.)</ref> တရုတ်လူမျိုးများသည် ကမ္ဘာ့လူဦးရေ၏ ၁၈% ခန့်ရှိပြီး ကမ္ဘာ့လူဦးရေအများဆုံး လူမျိုးစုလည်း ဖြစ်သည်။<ref name=zhang>{{cite journal |last1 = Zhang |first1 = Feng |last2=Su |first2=Bing |last3=Zhang |first3=Ya-ping |last4=Jin |first4=Li |title=Genetic Studies of Human Diversity in East Asia |pmc=2435565 |journal=Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences|volume=362 |issue=1482 |pages=987–996 |date=22 February 2007|pmid=17317646 |doi=10.1098/rstb.2007.2028 }}</ref><ref name=zhao>{{cite journal|last1=Zhao|first1=Yong-Bin|last2=Zhang|first2=Ye|last3=Zhang|first3=Quan-Chao|last4=Li|first4=Hong-Jie|last5=Cui|first5=Ying-Qiu|last6=Xu|first6=Zhi|last7=Jin|first7=Li|last8=Zhou|first8=Hui|last9=Zhu|first9=Hong|title=Ancient DNA Reveals That the Genetic Structure of the Northern Han Chinese Was Shaped Prior to three-thousand Years Ago |journal=[[PLOS One]]|year=2015|volume=10|issue=5|pages=e0125676|doi=10.1371/journal.pone.0125676|pmid=25938511|pmc=4418768 |bibcode=2015PLoSO..1025676Z }}</ref> == ဝေါဟာရအဓိပ္ပာယ် == တရုတ်ဘာသာစကားဖြင့် "တရုတ်လူမျိုး" ဟူသော ဝေါဟာရကို ဖော်ပြရာတွင် အခြေအနေပေါ်မူတည်၍ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက် အမျိုးမျိုးရှိသည်။ ကျုံးဟွာ မင်ဇူ (Zhonghua Minzu - 中華民族) တရုတ်နိုင်ငံတော်နယ်နိမိတ်အတွင်း မှီတင်းနေထိုင်ကြသော ဟန်လူမျိုးနှင့် အခြားတိုင်းရင်းသားလူမျိုးစု ၅၅ ခုစလုံးကို ပေါင်းစပ်ခေါ်ဆိုသော "တရုတ်နိုင်ငံသား" ဟူသည့် နိုင်ငံရေးနှင့် လူမျိုးရေးအယူအဆဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |last=Fei |first=Xiaotong |title=Plurality and Unity in the Configuration of the Chinese People |year=1989 |publisher=Central University for Nationalities Press |language=en}}</ref>ဟွာရန် (Huaren - 華人)သည် ရိုးရာယဉ်ကျေးမှု သို့မဟုတ် မျိုးရိုးဗီဇအရ တရုတ်နွယ်ဖွားဖြစ်သူများကို ရည်ညွှန်းပြီး ၎င်းတို့၏လက်ရှိနိုင်ငံသားဖြစ်မှု (ဥပမာ- စင်ကာပူနိုင်ငံသား သို့မဟုတ် မြန်မာနိုင်ငံသား) ကို ထည့်သွင်းမစဉ်းစားဘဲ အသုံးပြုသည့် ဝေါဟာရဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |last=Wang |first=Gungwu |title=The Chinese Overseas: From Earthbound China to the Quest for Autonomy |year=2000 |publisher=Harvard University Press |isbn=978-0674003712}}</ref>ကျုံးကော်ရန် (Zhongguoren - 中國人)မှာ တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ သို့မဟုတ် တရုတ်သမ္မတနိုင်ငံ (ထိုင်ဝမ်) ၏ တရားဝင်နိုင်ငံသားများကို ရည်ညွှန်းသော ဝေါဟာရဖြစ်သည်။<ref name="Harding1993"/> == လူမျိုးစုများ == တရုတ်နိုင်ငံတွင် ဟန်တရုတ်လူမျိုးသည် အဓိကလူမျိုးစုဖြစ်သော်လည်း နိုင်ငံတော်မှ တရားဝင်အသိအမှတ်ပြုထားသော လူမျိုးစုပေါင်း ၅၆ ခု ရှိသည်။ === ဟန်တရုတ်လူမျိုး === [[ဟန်လူမျိုး|ဟန်တရုတ်လူမျိုး]]သည် တရုတ်ပြည်မကြီး စုစုပေါင်းလူဦးရေ၏ ၉၂% ခန့်ရှိပြီး ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံး လူမျိုးစုဖြစ်သည်။<ref name="ciastat"/> ထို့အပြင် [[ထိုင်ဝမ်]]တွင် ၉၅%၊ [[ဟောင်ကောင်]]တွင် ၉၂%၊ [[မကာအို]]တွင် ၈၉% နှင့် [[စင်ကာပူ]]တွင် ၇၄% အသီးသီး ရှိကြသည်။<ref name="中華民國國情簡介2016">{{cite web |language=zh-TW |url=http://www.ey.gov.tw/state/News_Content3.aspx?n=7C222A52A60660EC&s=FFD5D521BBC119F8 |script-title=zh:中華民國國情簡介 |trans-title=ROC Vital Information |date=2016 |website=Executive Yuan |access-date=2016-08-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170218124716/http://www.ey.gov.tw/state/News_Content3.aspx?n=7C222A52A60660EC&s=FFD5D521BBC119F8 |archive-date=18 February 2017 |url-status=dead }}</ref><ref name=Yearbook2014>{{cite book |year=2014 |title=The Republic of China Yearbook 2014 |author=Executive Yuan, R.O.C. |url=http://www.ey.gov.tw/Upload/UserFiles/YB%202014%20all%20100dpi.pdf |access-date=2016-06-11 |isbn=978-986-04-2302-0 |page=36}}</ref><ref>{{Cite report |date=February 2016 |title=2016 Population By-census – Summary Results |url=http://www.bycensus2016.gov.hk/en/bc-mt.html |publisher=[[Census and Statistics Department (Hong Kong)|Census and Statistics Department]] |page=37 |access-date=14 March 2017 |archive-date=20 November 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171120115053/http://www.bycensus2016.gov.hk/en/bc-mt.html |url-status=dead }}</ref><ref name="Singapore Census 2015"/> တရုတ်နိုင်ငံပြင်ပတွင် "တရုတ်လူမျိုး" ဟူသော ဝေါဟာရကို ဟန်တရုတ်လူမျိုးများနှင့် ရောနှော၍ ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည်။ === နည်းစုလူမျိုးစုများ === တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ အစိုးရသည် ဟန်လူမျိုးမှလွဲ၍ ကျန်ရှိသော တိုင်းရင်းသား နည်းစုလူမျိုးစု ၅၅ ခုကို တရားဝင် အသိအမှတ်ပြုထားသည်။ အဆိုပါ နည်းစုလူမျိုးစုများတွင် [[ဇွမ်လူမျိုး]] (Zhuang)၊ [[ဝီဂါလူမျိုး]] (Uyghur)၊ [[ဟွေးလူမျိုး]] (Hui)၊ [[မန်ချူးလူမျိုး]] (Manchu)၊ [[တိဗက်လူမျိုး]] (Tibetan) နှင့် [[မွန်ဂိုလူမျိုး]] (Mongolian) တို့ ပါဝင်ကြသည်။<ref>{{cite book |last=Mackerras |first=Colin |title=China's Ethnic Minorities and Globalisation |url=https://archive.org/details/chinasethnicmino0000mack |year=2003 |publisher=Routledge |isbn=978-0415309004}}</ref> == ပင်လယ်ရပ်ခြား ပျံ့နှံ့နေထိုင်ခြင်း == တရုတ်နိုင်ငံ ပြင်ပတွင် အခြေချနေထိုင်ကြသော တရုတ်နွယ်ဖွားများကို "ပင်လယ်ရပ်ခြား တရုတ်များ" (Overseas Chinese) ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ === အရှေ့တောင်အာရှ === အရှေ့တောင်အာရှသည် တရုတ်ပြည်ပြင်ပတွင် တရုတ်နွယ်ဖွား အများဆုံး စုဝေးနေထိုင်ရာ ဒေသဖြစ်သည်။ စင်ကာပူနိုင်ငံတွင် တရုတ်နွယ်ဖွားများမှာ လူဦးရေ၏ အများစု (၇၄%) ဖြစ်ပြီး မလေးရှား၊ အင်ဒိုနီးရှား၊ ထိုင်း၊ ဖိလစ်ပိုင်နှင့် ဗီယက်နမ်တို့တွင်လည်း အင်အားကြီးမားသော တရုတ်နွယ်ဖွား လူသိုင်းအဝိုင်းများ ရှိကြသည်။<ref>{{cite book |last=Suryadinata |first=Leo |title=Ethnic Chinese in Southeast Asia: Overseas Chinese Studies |year=1997 |publisher=Institute of Southeast Asian Studies |isbn=978-9813016866}}</ref> === မြန်မာနိုင်ငံရှိ တရုတ်နွယ်ဖွားများ === [[မြန်မာနိုင်ငံ]]တွင် ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာကတည်းက စီးပွားရေးနှင့် ကုန်သွယ်ရေး အကြောင်းအမျိုးမျိုးကြောင့် ရွှေ့ပြောင်းအခြေချ ခဲ့ကြသော [[မြန်မာနိုင်ငံဖွား တရုတ်နွယ်ဖွားများ]] (ဗမာတရုတ်) ရှိကြသည်။ ၎င်းတို့အနက် အများစုမှာ ဟန်တရုတ်မျိုးနွယ်စုဝင်များ (အထူးသဖြင့် ဖူကျန့်၊ ကွမ်တုံး နှင့် ယူနန်နွယ်ဖွားများ) ဖြစ်ကြပြီး မြန်မာ့စီးပွားရေးနှင့် လူမှုရေး ကဏ္ဍများတွင် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်နေကြသည်။<ref>{{cite book |last=Myint-U |first=Thant |title=The River of Lost Footsteps: Histories of Burma |url=https://archive.org/details/riveroflostfoots0000than_d0r2 |year=2006 |publisher=Farrar, Straus and Giroux |isbn=978-0-374-16342-6}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:တရုတ် လူမျိုးများ|*]] {{stub}} 4tmn3f43u5xhrttvd7v27feyxgd6btu 0 8061 1054218 807612 2026-09-20T09:15:23Z Cepyita 93402 1054218 wikitext text/x-wiki {{Infobox royalty |name=ကူဗလိုင် |title= [[မွန်ဂိုအင်ပါယာ]]၏ ခန်ဘုရင်များ<br /> [[ယွမ်မင်းဆက်]]၏ ဧကရာဇ်များ<br />[[တရုတ်အင်ပါယာ]] |image=[[File:YuanEmperorAlbumKhubilaiPortrait.jpg|200px]] |caption=ယွမ်မင်းဆက်ခေတ်မှ ကူဗလိုင်ခန်၏ ပန်းချီပုံ |reign=၅ မေ ၁၂၆၀ – ၁၈ ဖေဖော်ဝါရီ ၁၂၉၄ |coronation=၁၂၆၀ |full name={{lang-mn|ᠬᠦᠪᠢᠯᠠᠢ ᠬᠠᠭᠠᠨ}}<br>{{lang-zh|忽必烈}}<br>Kublai Setsen Khan |temple name=Shizu (世祖) |posthumous name=Emperor Shengde Shengong Wenwu (聖德神功文武皇帝) |predecessor=[[Mongke Khan]] |successor=[[Temur Khan]] | heir =[[Jingim]] | queen =Chabi | consort =Tegulen | spouse 1 =Nambui | spouse 2 = | spouse 3 = | spouse 4 = | spouse 5 = | spouse 6 = |royal house=[[Borjigin]]<br />[[Mongolian language|Mongolian]]: Боржигин | royal anthem = There is only god in heaven and only one lord Chingis khaan on earth. |father=[[Tolui]] |mother=[[Sorghaghtani Beki]] |birth_date=၂၃ စက်တင်ဘာ ၁၂၁၅ |death_date=၁၈ ဖေဖော်ဝါရီ ၁၂၉၄ |death_place=Dadu ([[Khanbalic]]) |place of burial=[[Burkhan Khaldun]], [[Khentii province]] |}} မြန်မာ့ရာဇဝင်တွင် '''ခန်မင်းကြီး'''ဟု တွင်သော ဧကရာဇ် '''ကူဗလိုင်ခန်''' ( ၁၂၁၆- ၁၂၉၄ ) သည် ကမ္ဘာ့အရှေ့ဘက် တစ်လွှားတွင် တန်ခိုးကြီးမားခဲ့သော မွန်ဂိုဘုရင် [[ဂျင်ဂစ်ခန်]]၏ မြေးတော်ဖြစ်သည်။ ကူဗလိုင်ခန်မှာ တူလီ၏ ဒုတိယသားဖြစ်၍ ၁၂၁၆ ခုနှစ်တွင် မွေးဖွားသည်။ ငယ်စဉ်ကပင် နောင်တော်ဖြစ်သူ မန်ဂူ၏ လက်အောက်တွင် စစ်မှုထမ်းကာ [[တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ|တရုတ်နိုင်ငံ]] အနောက်ပိုင်းဒေသများကို တိုက်ခိုက်သိမ်းယူခဲ့သည်။ မန်ဂူဘုရင် ကွယ်လွန်သောအခါ ၁၂၆၀ ပြည့်နှစ်တွင် မွန်ဂိုမင်းဆွေမင်းမျိုးတို့၏ အစည်းအဝေးကြီးက သူ့အား ခန်မင်းကြီးအဖြစ် တင်မြှောက်လိုက်ကြသည်။ ခန်မင်းကြီးမှာ လက်ရုန်းရည်၊ နှလုံးရည်နှင့် ပြည့်စုံသူဖြစ်၍ ဖိုးတော် ဂျင်ဂစ်ခန်၏ ရည်ရွယ်ချက်အတိုင်း တရုတ်နိုင်ငံတစ်ခုလုံးကို သိမ်းသွင်းလိုသော ဆန္ဒပြင်းပြသည်။ ထို့ကြောင့် ဆွန်ဘုရင်တို့ ပိုင်နက်ဖြစ်သော တရုတ်နိုင်ငံ တောင်ပိုင်းကို တစ်စတစ်စ တိုက်ခိုက်သိမ်းသွင်းခဲ့ရာ နောက်ဆုံးတွင် ကူဗလိုင်ခန်မှာ တရုတ်နိုင်ငံ တစ်ခုလုံး၏ ဘုရင်ဖြစ်လာတော့သည်။ ခန်မင်းကြီးသည် မိမိ၏ မြို့တော်ကို ကယ်ရာကိုးရမ်းမှ တရုတ်နိုင်ငံတံတိုင်းကြီးအတွင်း ယခု [[ပီကင်းမြို့]] နေရာသို့ ပြောင်းရွှေ့ခဲ့သည်။ ထိုမြို့တော်သစ်မှာ လေးထောင့်မြေကွက်ပေါ်တွင် တည်ရှိ၍ အဝန်း ၁၈ မိုင်ရှိသည်။ မြို့တော်မှာ အလွန်ခမ်းနား ကြီးကျယ်လှသဖြင့် နိုင်ငံခြားသားများကပင် အထူးချီးကျူး ရေးသားကြသည်။ ထိုမြို့တော်ကို တိုင်တူးဟု သမုတ်၍ ‘ရုံးတော်ကြီး’ ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ အနောက်တိုင်းသားတို့ကမူ ခန်ဗာလိ (ဝါ) ခန်မင်းကြီး၏ မြို့တော်ဟု ခေါ်ကြသည်။ ဤမြို့တော်ကြီး ခမ်းနားကြီးကျယ်ပုံကို ၁၇ နှစ်တိုင်တိုင် ခန်မင်းကြီးထံတွင် အမှုထမ်းဖူးသူ ဗင်းနစ်မြို့သား [[မာကိုပိုလို]]က မှတ်တမ်းတင်ထားခဲ့သည်။ ၁၈ ရာစုနှစ်တွင် အင်္ဂလိပ်ကဗျာဆရာကြီး [[ကိုးလားရစ်]] က ၅၄ ကြောင်းသော ကဗျာဖြင့် ချီးကျူးရေးသား ပြန်သေးသည်။ ခန်မင်းကြီးသည် မဟာယန ဗုဒ္ဓဝါဒီ တစ်ယောက် ဖြစ်သော်လည်း တရုတ်ယဉ်ကျေးမှုနှင့် ထုံးတမ်းစဉ်လာများကိုလည်း လေးစားသည်။ အုပ်ချုပ်ရေးဌာနများတွင် တရုတ်လူမျိုးများကို အများအပြား ခန့်ထားသည်။ ၁၂၆၃ ခုနှစ်တွင် တရုတ်လူမျိုးများ အလေးအမြတ်ထားလေ့ရှိသော ဖိုးဖွားဗိမာန်ခေါ် ကျောင်းဆောင်ကြီးကို ယန်ချင်မြို့တွင် တည်ဆောက်လေသည်။ ၁၂၇၉ ခုနှစ်တွင် မြို့တော်၏ အရှေ့တောင်ဘက်တွင် နက္ခတ်တာရာများ ကြည့်ရှုလေ့လာနိုင်ရန် နက္ခတ်မျှော်စင်ကြီး တစ်ခုကို ဆောက်လုပ်ပေးခဲ့သည်။ ခန်မင်းကြီးသည် တရုတ်လူမျိုးတို့ အထွတ်အမြတ်ထားသည့် [[ကွန်ဖြူးရှပ်]] ကျောင်းတော်ကြီးကို မြို့တော်သစ်ကြီးအတွင်းတွင် ဆောက်လုပ်ပေးခဲ့သည့်အပြင် ကွန်ဖြူးရှပ် ဆွေတော်မျိုးတော်များအတွက် နယ် ၂ နယ်ကိုလည်း လက်ဆောင်အဖြစ် ပေးအပ်ခဲ့သည်။ ထိုမှတပါး ယန်ချင်မြို့နှင့် ပင်ယန်မြို့များရှိ တက္ကသိုလ်ကျောင်းကြီး ၂ ကျောင်းကိုလည်း ခိုင်မြဲတည်တံ့အောင် ပြုပြင်ကူညီခဲ့သည်။ နိုင်ငံတော်အတွင်း ကူးသန်းရောင်းဝယ်မှု လွယ်ကူစေရန် မြင်းပေါင်း ၂၀၀,၀၀၀ ပါဝင်သော စာပို့စနစ်ကိုလည်းကောင်း၊ တည်းခိုရန် စခန်းပေါင်း ၁၀,၀၀၀ ကိုလည်းကောင်း တီထွင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ မြို့တော်နှင့် ရေလမ်းဆက်သွယ်မှု လွယ်ကူစေရန် တူးမြောင်းမဟာကြီးကိုလည်း အသစ်ထပ်မံ ဖောက်လုပ်ခဲ့သည်။ ဖောက်ကားရောင်းဝယ်မှုတွင် အခက်အခဲ မရှိစေရန် ငွေစက္ကူများ ထုတ်ခဲ့သည်။ ကူးသန်းရောင်းဝယ်မှုများကို အထူးအားပေး ချီးမြှောက်ခဲ့သည်။ ပိုးထည်လုပ်ငန်းနှင့် ရွှေတောင့်လုပ်ငန်းများမှာ များစွာတိုးတက်ကောင်းမွန်လာသည်။ မင်းကြီးသည် စာပေပညာများကိုလည်း အားပေးခဲ့သည်။ တိဗက်လူမျိုး လားမားဘုန်းကြီး မတီဒဝတ်ရှားဆိုသူ ပုဂ္ဂိုလ်အား စာပေအက္ခရာ အသစ်တီထွင်စေခဲ့သည်။ ပါရှင်းလူမျိုး ဂျာမားအာလာဒင်ဆိုသူအား ခေတ်မှီပြက္ခဒိန် ပြုလုပ်ရန် တာဝန်ပေးအပ်ခဲ့သည်။ အခြားပညာရှင်များအားလည်း မွန်ဂိုတို့၏ သမိုင်းကို ရေးသားစေခဲ့သည်။ ၁၂၆၉ ခုနှစ်တွင် ဝီးဝူးဝါး စာလုံးများဖြင့် စာရေးနည်းကို ပယ်ဖျက်၍ စနစ်သစ်ကို ပေးအပ်ခဲ့သည်။ မဟာယန ဗုဒ္ဓဝါဒကိုလည်း နိုင်ငံတော် ဘာသာအဖြစ် အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ ကူဗလိုင်ခန် လက်ထက်တွင် အနောက်နိုင်ငံမှ သာသာနာပြုပုဂ္ဂိုလ် ၂ ဦး ရောက်ရှိလာသည်။ တစ်ဦးမှာ မွန်တီကော်ဗီအရပ်မှ ဂျွန်ဆိုသူဖြစ်၍ ကျန်တစ်ဦးမှာ ပေါ်ဒနိုနီအရပ်မှ အိုဒိုရစ်ဆိုသူ ဖြစ်သည်။ မင်းကြီးသည် ထိုပုဂ္ဂိုလ်နှစ်ဦးအား လေးလေးစားစားထား၍ ခရစ်ယာန် သာသနာပြုခွင့် ပေးသည့်အပြင် ဂျွန်အား ပီကင်းမြို့၏ ပထမဆုံး ဂိုဏ်းချုပ်အဖြစ် ချီးမြှင့်လေသည်။ တိဗက်နယ်တွင်မူ ဘုန်းကြီးဘုရင်စနစ်ကို တီထွင်ပေးခဲ့ရာ ယခုတိုင် [[ဒလိုင်လားမား]]ခေါ် တိဗက် သာသနာပိုင်များမှာ တန်ခိုးထွားလျက်ရှိကြသည်။ [[File:Mongol Empire in 1259.JPG|thumb|250px|၁၂၅၉ ခုနှစ်ရှိ မွန်ဂိုအင်ပါယာ]] ခန်မင်းကြီးမှာ ရှေးဘိုးလောင်းတော်၊ ဘေးလောင်းတော်များနည်းတူ စစ်တိုက်ခိုက်မှု၊ နိုင်ငံသိမ်းသွင်းမှုများကို လိုလားသည်။ ထိုကြောင့် [[တိဗက်နိုင်ငံ]]၊ [[တာကီစတန်နိုင်ငံ]]၊ [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ ကိုချင်ချိုင်းနားနိုင်ငံ၊ [[ဂျာဗားကျွန်း]]များသို့ စစ်ချီတက်တိုက်ခိုက်ခဲ့ရာ အောင်မြင်သည်သာ များခဲ့သည်။ ဂျပန်ကျွန်းကိုမူ ရေတပ်ဖြင့် အကြိမ်ကြိမ်တိုက်ခိုက်ခဲ့သော်လည်း မအောင်မြင်ခဲ့ချေ။ ကူဗလိုင်ခန်၏ နိုင်ငံတော်မှာ ဘုရင်တစ်ဦးတည်းပိုင် နိုင်ငံများအနက် အကျယ်အဝန်းဆုံး နိုင်ငံတော်ဖြစ်၍ အရှေ့ဘက်တွင် [[ပစိဖိတ်သမုဒ္ဒရာ]] မှ အနောက်ဘက်တွင် [[ပင်လယ်နက်]] ကျော်သည်အထိ ကျယ်ပြန့်သည့် အင်ပါယာကြီး တစ်ခုဖြစ်သည်။ မြန်မာနိုင်ငံတွင် တရုတ်ပြေးမင်းခေါ် [[နရသီဟပတေ့]]မင်းလက်ထက် ကူဗလိုင်ခန်၏ စစ်သည်တော်များ မြန်မာနိုင်ငံသို့ ဝင်ရောက်တိုက်ခိုက်သဖြင့် နရသီဟပတေ့မင်းမှာ ပုဂံမှ ပြည်မြို့သို့ ထွက်ပြေးတိမ်းရှောင်ရလေသည်။ နရသီဟပတေ့မင်းသည် သျှင်ဒီသာပါမောက္ခ ရဟန်းတော်အား သဝဏ်လွှာနှင့် ပီကင်းမြို့ ကူဗလိုင်ခန်ဘုရင်ထံ စေလွှတ်စေ့စပ်ခဲ့ရကြောင်း၊ မင်္ဂလာစေတီကျောက်စာတွင် တွေ့ရှိရသည်။ ထိုကျောက်စာတွင် ကူဗလိုင်ခန်၏ နေပြည်တော်ကို တယ်တူ (တိုင်တူး) ဟု ဖော်ပြထားသည်။ ကူဗလိုင်ခန်ဘုရင်မှာ အရှေ့ဘက် နိုင်ငံများတွင်သာမက အနောက်ဥရောပ နိုင်ငံများအထိ တန်ခိုးပျံ့နှံ့ခဲ့သော မွန်ဂိုဘုရင် ဖြစ်သည်။ တရုတ်နိုင်ငံတွင် ယွန်မင်းဆက်ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သော မင်းလည်း ဖြစ်သည်။ ၁၂၉၄- ခုနှစ်တွင် ကံကုန်တော်မူသည်။ {{lifetime|၁၂၁၅|၁၂၉၄}} [[Category:နိုင်ငံတကာ ဘုရင်များ]] rgidvulx00uqh35ziyafs3tai6k20bx 0 8238 1054131 1040140 2026-09-19T13:41:54Z InternetArchiveBot 61272 Adding 1 book for [[ဝီကီပီးဒီးယား:စိစစ်အတည်ပြုခံနိုင်မှု]] (20260919)) #IABot (v2.0.9.6) ([[User:GreenC bot|GreenC bot]] 1054131 wikitext text/x-wiki {{Infobox ethnic group | group = မြန်မာပြည်ဖွား တရုတ်လူမျိုးများ | native_name = {{lang|zh|緬甸華人}} | image = File:Sino-Burmese merchant & wife.jpg | caption = မြန်မာနိုင်ငံရှိ တရုတ်ကုန်သည်ကြီးနှင့် ၎င်း၏ဇနီး | population = ၃ သန်းကျော်ခန့် (၂၀၂၆ ခုနှစ် မြေပြင်အခြေအနေအရ ခန့်မှန်း) | popplace = [[ရန်ကုန်မြို့]]၊ [[မန္တလေးမြို့]]၊ [[လားရှိုးမြို့]]၊ [[တောင်ကြီးမြို့]]၊ [[မူဆယ်မြို့]]၊ [[ကိုးကန့်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ]]၊ [[ဝကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်း]]၊ မိုင်းလား (အထူးဒေသ ၄) | languages = [[မြန်မာဘာသာစကား]]၊ [[တရုတ်ဘာသာစကား]] (မန်ဒရင်၊ ဟောက်ကျန့်၊ ကွမ်းတုန်၊ ယူနန်နီ) | religions = [[ဗုဒ္ဓဘာသာ]] (မဟာယာနနှင့် ထေရဝါဒ)၊ [[နတ်ကိုးကွယ်မှု]] (တရုတ်ရိုးရာ)၊ [[ခရစ်ယာန်ဘာသာ]]၊ [[အစ္စလာမ်ဘာသာ]] (ပန်းသေး) | related = [[ဟန်တရုတ်လူမျိုး]]၊ [[ကိုးကန့်လူမျိုး]]၊ [[ပန်းသေးလူမျိုး]]၊ အခြား[[တရုတ်-တိဗက်နွယ် ဘာသာစကားများ|တရုတ်-တိဗက်နွယ်လူမျိုးများ]] }} '''မြန်မာပြည်ဖွား တရုတ်လူမျိုးများ''' ({{lang-en|Burmese Chinese}})သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]တွင် မွေးဖွားသည့် သို့မဟုတ် ကြီးပြင်းသည့် ပင်လယ်ရပ်ခြား တရုတ်လူမျိုးများ ဖြစ်ကြသည်။ တရုတ်အစိုးရမှ တရားဝင်ထုတ်ပြန်ထားသည့် စာရင်းအရ မြန်မာနိုင်ငံရှိ တရုတ်လူမျိုးများသည် လူဦးရေ စုစုပေါင်း၏ ၃% ခန့်ရှိသည်ဟု သိရသော်လည်း လက်တွေ့တွင်မူ ဤအရေအတွက်ထက် ပိုမိုများပြားနိုင်သည်ဟု ခန့်မှန်းကြသည်။ အရေအတွက်ကွဲလွဲရခြင်းမှာ မိမိကိုယ်ကို ရှမ်းတရုတ်၊ [[ရှမ်းလူမျိုး|ရှမ်း]]၊ [[ဗမာလူမျိုး|ဗမာ]] စသည်ဖြင့် ပြောဆိုနေထိုင်သူများ ရှိခြင်းကြောင့်လည်းကောင်း၊<ref>{{cite book |last=Hooker |first=Michael Barry |title=Law and the Chinese in Southeast Asia |year=2002 |publisher=Institute of Southeast Asian Studies |isbn=981-230-125-9 }}</ref> ကပြားများနှင့် ၁၉၉၀ ပြည့်လွန်နှစ်နောက်ပိုင်း အထက်မြန်မာပြည်အတွင်းသို့ အလုံးအရင်းအလိုက် ပြောင်းရွှေ့လာသူများသည် တရားဝင်သန်းခေါင်စာရင်းတွင် ပါဝင်ခြင်း မရှိခြင်းကြောင့်လည်းကောင်း ဖြစ်သည်ဟု ခန့်မှန်းရသည်။<ref>{{cite news|title=China's Ambitions in Myanmar|url=http://www.asiapacificms.com/articles/myanmar_influence/|date=July 2000}}</ref>မြန်မာနိုင်ငံသည် [[အရှေ့တောင်အာရှ]]တွင် မြောက်ပိုင်း/ကုန်းတွင်းပိုင်း [[ဟန်တရုတ်လူမျိုး|ဟန်တရုတ်]]အသိုက်အဝန်း အကြီးမားဆုံး တည်ရှိရာနိုင်ငံ ဖြစ်သည်။<ref name="Suryadinata1997">{{cite book |author=Leo Suryadinata |title=Ethnic Chinese as Southeast Asians |year=1997 |publisher=Institute of Southeast Asian Studies |pages=20-25 |isbn=981-3055-52-9}}</ref> မြန်မာနိုင်ငံ၏ ပင်မလူမျိုးစုကြီးများ နှင့် တရုတ်လူမျိုးများသည် [[မျိုးရိုးဗီဇ]]ဆိုင်ရာ နောက်ခံသမိုင်းကြောင်းအရလည်းကောင်း၊ [[တရုတ်-တိဗက်နွယ် ဘာသာစကားများ|တရုတ်-တိဗက် အုပ်စု]] အရလည်းကောင်း နက်ရှိုင်းစွာ နှီးနွှယ် ဆက်စပ်လျက်ရှိသည်။<ref>{{cite book |last=Lieberman |first=Victor |title=Strange Parallels: Southeast Asia in Global Context, c. 800–1830 |volume=1 |year=2003 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-80496-7}}</ref>အဆိုပါ တရုတ်-တိဗက်နွယ် အုပ်စုချင်း အချင်းချင်းအကြား ရုပ်သွင်ဗေဒ၊ [[ယဉ်ကျေးမှု]] နှင့် [[ဘာသာဗေဒ]]ဆိုင်ရာ ဆင်တူနီးစပ်မှုများ ရှိနေခြင်းသည် သမိုင်းအစဉ်အဆက်တစ်လျှောက် ယူနန်နယ်စပ်ဒေသမှတစ်ဆင့် တရုတ်လူမျိုးများ မြန်မာ့မြေပေါ်သို့ အလုံးအရင်းဖြင့်သော်လည်းကောင်း၊ တဖြည်းဖြည်းချင်းသော်လည်းကောင်း ရွှေ့ပြောင်းအခြေချ လာရာတွင် အဓိက အထောက်အပံ့ဖြစ်စေခဲ့သည်။ သို့ဖြစ်၍ မြန်မာနိုင်ငံအတွင်းသို့ ရွှေ့ပြောင်းဝင်ရောက်လာသော တရုတ်နွယ်ဖွားများသည် ဒေသခံတိုင်းရင်းသား လူထုအတွင်းသို့ လူမှုစီးပွားနှင့် ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာများတွင် လွယ်ကူချောမွေ့စွာ ပေါင်းစည်းဝင်ဆံ့ နိုင်ခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite book |last=Myint-U |first=Thant |title=The River of Lost Footsteps: Histories of Burma |url=https://archive.org/details/riveroflostfoots0000than_d0r2 |year=2006 |publisher=Farrar, Straus and Giroux |pages=[https://archive.org/details/riveroflostfoots0000than_d0r2/page/120 120]-125 |isbn=978-0-374-16342-6}}</ref> == သမိုင်းကြောင်း == မြန်မာနိုင်ငံအတွင်းသို့ တရုတ်လူမျိုးများ ရွှေ့ပြောင်းအခြေချမှု သမိုင်းကြောင်းသည် ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာ ကြာမြင့်ခဲ့ပြီး အေဒီ ၁၃ ရာစု [[ပုဂံခေတ်|ပုဂံ]]ခေတ်နှောင်းပိုင်း တရုတ်-မြန်မာ စစ်ပွဲများကတည်းက အစပြုခဲ့သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ [[File:Chinese New Year (Chinatown Yangon - Myanmar).jpg|thumb|right|300px|[[ရန်ကုန်မြို့]] လသာမြို့နယ်ရှိ တရုတ်တန်း (Chinatown) တွင် ကျင်းပသည့် ရိုးရာတရုတ်နှစ်သစ်ကူးပွဲတော် မြင်ကွင်း ဖြစ်သည်။ ပွဲတော်ရက်များအတွင်း လမ်းမတစ်လျှောက် အနီရောင်မီးအိမ်များ ဆွဲချိတ်ကာ ခြင်္သေ့အက၊ နဂါးအကများနှင့်အတူ အလွန်စည်ကားသိုက်မြိုက်စွာ ကျင်းပလေ့ရှိသည်။]] ထို့နောက် အေဒီ ၁၅ ရာစုအစောပိုင်းတွင် မင်မင်းဆက် ၏ တတိယမြောက် ဧကရာဇ်ဖြစ်သူ ယုံလဲ့မင်းကြီး သည် တရုတ်နိုင်ငံတောင်ပိုင်းနှင့် နယ်စပ်ဒေသများအား ၎င်း၏ အာဏာစက်အောက်သို့ သွတ်သွင်းရန် ယူနန်ဒေသသို့ စစ်ချီခဲ့ရာမှတစ်ဆင့် မြန်မာနိုင်ငံမြောက်ပိုင်းနှင့် ရှမ်းပြည်နယ်နယ်စပ်တခွင်သို့ တရုတ်လူမျိုးများ ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် တရားဝင် အခြေစိုက် စီးဝင်လာခဲ့ကြသည်<ref name="Liew2003">{{cite journal |last1=Liew |first1=Foon Ming |title=The Luchuan-Pingmian Campaigns (1436–1449) in the Light of Official Ming Historiography |journal=Oriens Extremus |volume=44 |pages=169–203 |year=2003}}</ref>။ အထူးသဖြင့် မင်မင်းဆက် ပျက်သုဉ်းခါနီး (အေဒီ ၁၇ ရာစု) တွင် မင်မင်းဆက်၏ နောက်ဆုံးဧကရာဇ် ယုံလီ (Yongli Emperor — ယုံလဲ့မင်းကြီး၏ နဝမမြောက် မြေးတော်) သည် မန်ချူး (ချင်းမင်းဆက်) တပ်များ၏ ဘေးရန်မှ တိမ်းရှောင်ရန် ၎င်း၏ နောက်လိုက်ဗိုလ်ပါ သောင်းချီနှင့်အတူ မြန်မာနိုင်ငံ (ကုန်းဘောင်ခေတ်အကြို အင်းဝခေတ်နှောင်းပိုင်း) ထဲသို့ ခိုလှုံဝင်ရောက်လာခဲ့သည်<ref name="Myint2006" />။ နောက်ပိုင်းတွင် မန်ချူးတို့၏ ဖိအားကြောင့် မြန်မာဘုရင်က ယုံလီမင်းကြီးအား ပြန်လည်အပ်နှံခဲ့ရသော်လည်း ၎င်း၏ နန်းတွင်းအမှုထမ်းများနှင့် စစ်သည်တော် အမြောက်အမြားမှာ မြန်မာနိုင်ငံမြောက်ပိုင်း တောင်တန်းဒေသများတွင် ဆက်လက်ကျန်ရစ်ကာ ခိုလှုံအခြေချခဲ့ကြပြီး၊ ၎င်းတို့သည် ယနေ့ခေတ် တရားဝင် တိုင်းရင်းသားအုပ်စုဖြစ်သောကိုးကန့်လူမျိုး များ၏ ကနဦး ဘိုးဘွားဘီဘင်များ ဖြစ်လာခဲ့ကြသည်<ref name="Yang2014">{{cite book |last=Yang |first=Li |title=The House of Yang: Guardians of an Unknown Frontier |year=2014 |publisher=BookBaby |isbn=9781483538440}}</ref>။ သို့သော် အစုအဝေးလိုက် အခြေချနေထိုင်မှုမှာ [[ကုန်းဘောင်ခေတ်|ကုန်းဘောင်ခေတ်တွင်]] ပိုမိုထင်ရှားလာခဲ့ပြီး [[ယူနန်ပြည်နယ်|ယူနန်ပြည်နယ်မှတစ်ဆင့်]] ကုန်းလမ်းဖြင့် ဝင်ရောက်လာသော "ယူနန်နွယ်ဖွား တရုတ်လူမျိုးများ" သည် အထက်မြန်မာပြည်ရှိ ဗန်းမော်၊ အမရပူရနှင့် မန္တလေးမြို့များတွင် ကုန်သွယ်ရေးဗဟိုဌာနများ ထူထောင်ကာ အခြေချခဲ့ကြသည်။<ref name="Hooker2002">Hooker, Michael Barry (2002). Law and the Chinese in Southeast Asia.</ref> [[File:Taungoo Chinese Temple.jpg|thumb|တောင်ငူမြို့ရှိတရုတ်ဘုံကျောင်း]] ၁၉ ရာစုတွင် ဗြိတိသျှတို့က မြန်မာနိုင်ငံကို သိမ်းပိုက်လိုက်သောအခါ ရွှေ့ပြောင်းမှု ပုံစံသစ်တစ်ရပ် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့ပြီး တရုတ်ပြည်တောင်ပိုင်းရှိ [[ဖူကျန့်ပြည်နယ်|ဖူကျန့်နှင့်]] [[ကွမ်တုန်းပြည်နယ်|ကွမ်းတုန်း]]ပြည်နယ်များမှ ပင်လယ်ရပ်ခြား တရုတ်လူမျိုးများသည် ရေကြောင်းခရီးဖြင့် ရန်ကုန်နှင့် မော်လမြိုင်ကဲ့သို့သော ဆိပ်ကမ်းမြို့များသို့ အလုံးအရင်းဖြင့် ဝင်ရောက်လာခဲ့ကြသည်။ ဤရေကြောင်းခရီးဖြင့် လာသူများကို "ပင်လယ်ရပ်ခြားတရုတ်" ဟု ခေါ်ဆိုကြပြီး ၎င်းတို့သည် ဆန်စပါး၊ သစ်နှင့် လက်လီကုန်သွယ်မှု လုပ်ငန်းများတွင် အဓိကကျသူများ ဖြစ်လာခဲ့ကြသည်။<ref name="Myint2006">Myint-U, Thant (2006). The River of Lost Footsteps.</ref> ဒုတိယကမ္ဘာစစ်အတွင်းနှင့် စစ်ပြီးခေတ်ကာလများတွင် တရုတ်ပြည်တွင်းစစ်ကြောင့် ကွန်မြူနစ်ရန်မှ တိမ်းရှောင်လာသော [[ကူမင်တန်မှမြန်မာနိုင်ငံအားကျူးကျော်မှု|တရုတ်ဖြူ]] (KMT) တပ်ဖွဲ့ဝင်များနှင့် ၎င်းတို့၏ မိသားစုများသည် မြန်မာနိုင်ငံ မြောက်ပိုင်းနှင့် ရှမ်းပြည်နယ်အတွင်းသို့ ထပ်မံဝင်ရောက်လာခဲ့ရာ ၎င်းသည် ယူနန်နွယ်ဖွား တရုတ်လူမျိုးဦးရေကို ပိုမိုတိုးပွားစေခဲ့သည်။ မြန်မာနိုင်ငံ လွတ်လပ်ရေးရပြီးနောက် ၁၁၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ဗိုလ်ချုပ်ကြီးနေဝင်း၏ [[မြန်မာ့ဆိုရှယ်လစ်လမ်းစဉ်ပါတီ|မြန်မာ့ဆိုရှယ်လစ်လမ်းစဉ်အရ]] စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများကို ပြည်သူပိုင်သိမ်းယူခြင်းနှင့် ၁၉၆၇ ခုနှစ်တွင် ဖြစ်ပွားခဲ့သော တရုတ်-မြန်မာ အဓိကရုဏ်းများကြောင့် မြန်မာပြည်ဖွား တရုတ်လူမျိုး အများအပြားသည် စီးပွားရေးနှင့် လုံခြုံရေးအရ အခက်အခဲများ ကြုံတွေ့ခဲ့ရကာ အမေရိကန်၊ ထိုင်ဝမ်နှင့် ဩစတြေးလျနိုင်ငံများသို့ အစုလိုက်အပြုံလိုက် ပြောင်းရွှေ့ထွက်ခွာခဲ့ကြသည်။<ref name="Fan2012">Fan, Hongwei (2012). The 1967 Anti-Chinese Riots in Burma.</ref> သို့သော် ၁၉၈၈ ခုနှစ်နောက်ပိုင်း မြန်မာနိုင်ငံတွင် ဈေးကွက်စီးပွားရေးစနစ် ကျင့်သုံးလာခြင်းနှင့်အတူ တရုတ်-မြန်မာ နယ်စပ်ကုန်သွယ်ရေး ပွင့်လင်းလာမှုကြောင့် ယူနန်ပြည်နယ်မှ [[တရုတ်လူမျိုး|တရုတ်လူမျိုးသစ်]] (New Migrants) များသည် အထက်မြန်မာပြည်သို့ တရားဝင်ရော တရားမဝင်ပါ ထပ်မံစီးဝင်လာခဲ့ကြပြန်သည်။ ဤလှိုင်းသစ်တွင် ပါဝင်သူများသည် မန္တလေးမြို့၏ စီးပွားရေးနှင့် အိမ်ခြံမြေကဏ္ဍတွင် ဩဇာလွှမ်းမိုးမှု ရရှိလာခဲ့ပြီး မြန်မာလူ့အဖွဲ့အစည်းအတွင်း ယဉ်ကျေးမှုနှင့် စီးပွားရေးအရ ပေါင်းစည်းနေထိုင်လာခဲ့ကြသည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် မြန်မာပြည်ဖွား တရုတ်လူမျိုးများသည် ၎င်းတို့၏ မူလဇစ်မြစ်အလိုက် ဟောက်ကျန့်၊ ကွမ်တုံး၊ ဟတ်ကာ နှင့် ယူနန်နွယ်ဖွားဟူ၍ ကွဲပြားလျက်ရှိသော်လည်း မြန်မာ့လူမှုဘဝတွင် ပညာရေး၊ စီးပွားရေးနှင့် နည်းပညာကဏ္ဍများ၌ အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်နေဆဲ ဖြစ်သည်။<ref name="Asiapacific2000">"China's Ambitions in Myanmar", Asia Pacific Media Services, 2000.</ref> == စီးပွားရေးနှင့် ပညာရေး == လက်ရှိအခြေအနေတွင် မြန်မာနိုင်ငံရှိ စီးပွားရေးလုပ်ငန်းအများစုကို မြန်မာပြည်ဖွား တရုတ်လူမျိုးများ ပိုင်ဆိုင်ကြသည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းတို့သည် စစ်ဘက်အာဏာပိုင်များနှင့် အစုအစပ်လုပ်ကိုင်ခြင်းများ ရှိသကဲ့သို့ ပုဂ္ဂလိကကဏ္ဍတွင်လည်း အဓိကနေရာမှ ပါဝင်နေသည်။ ထို့အပြင် မြန်မာနိုင်ငံရှိ တရုတ်လူမျိုးအများစုသည် ပညာရေးကို အလွန်အလေးထားသဖြင့် အဆင့်မြင့်ပညာရေး (တက္ကသိုလ်ပညာရေး) အထိ ဆည်းပူးသင်ယူကြသောကြောင့် မြန်မာနိုင်ငံ၏ ပညာတတ်လူတန်းစားတွင် တရုတ်လူမျိုး အချိုးအစား များပြားလျက်ရှိသည်။ == လူဦးရေ == ယေဘုယျအားဖြင့် အောက်မြန်မာပြည်တွင် တရုတ်လူမျိုး အုပ်စု (၃)စုနေထိုင်ကြသည်။ #[[ဖူကျန့်ပြည်နယ်]] မှ [[ဟော့ကင်းလူမျိုး|ဟော့ကင်း]] လူမျိုး (အင်္ကျီရှည်၊ လက်ရှည်) #[[ကွမ်တုန်းပြည်နယ်]] မှ [[ကွမ်တုံးလူမျိုး|ကွမ်တုံး]]လူမျိုး (အင်္ကျီတို၊ လက်တို) #ဖူကျန့်နှင့် ကွမ်တုန်းပြည်နယ်မှ [[ဟတ်ကာလူမျိုး|ဟတ်ကာ]]လူမျိုး မြန်မာနိုင်ငံရှိ တရုတ်လူမျိုးများအနက် ဟော့ကင်း နှင့် ကွမ်တုံး တို့မှာ ၄၅ % ခန့်ရှိသည်။ <ref name="ls">{{cite book | author=Mya Than | editor=Leo Suryadinata | year=1997 | title=Ethnic Chinese As Southeast Asians | url=https://archive.org/details/ethnicchineseass0000unse | isbn=0-312-17576-0}}</ref> ဟတ်ကာလူမျိုးများကိုမူ ၎င်းတို့၏ မူလဌာနေကို အစွဲပြု၍ ဖူကျန့် (福建省) မှလာသူကို အင်္ကျီရှည် ဟတ်ကာနှင့် ကွမ်တုံး (廣東省) မှလာသူကို အင်္ကျီတို ဟတ်ကာဟု ထပ်မံခွဲခြားထားသည်။ လူမှုစီးပွားရေး နောက်ခံအရ ကိုလိုနီခေတ်နှင့် လွတ်လပ်ရေးအစောပိုင်း ကာလများတွင် ဟော့ကင်း နွယ်ဖွားများသည် ကုန်သွယ်ရေးနှင့် ဆန်စပါးလုပ်ငန်းကြီးများတွင်လည်းကောင်း၊ ကွမ်းတုန်နွယ်ဖွားများသည် လက်မှုပညာနှင့် အသေးစားစက်မှုလုပ်ငန်းများတွင်လည်းကောင်း အဓိကပါဝင်လှုပ်ရှားခဲ့ကြသည်။<ref name="ls"/> အထက်မြန်မာပြည်နှင့် ရှမ်းကုန်းပြင်မြင့်ဒေသတွင် အခြေချသည့် တရုတ်လူမျိုးအများစုမှာ [[ယူနန်ပြည်နယ်]]ဘက်မှ လာသည့် ယူနန်လူမျိုး၊ [[ပန်းသေးလူမျိုး|ပန်းသေး]]များ ([[ဟွေလူမျိုး]]) နှင့် [[ကိုးကန့်လူမျိုး]]များ အဓိကဖြစ်သည်။ တောင်တန်းဒေသများတွင် တောင်ယာလုပ်ငန်းနှင့် အသက်မွေးသည့် ကိုးကန့်လူမျိုးများမှာ မြန်မာနိုင်ငံအစိုးရမှ တရားဝင် အသိအမှတ်ပြုထားသည့် ရှမ်းပြည်နယ် တိုင်းရင်းသားလူမျိုး တစ်မျိုးဖြစ်သည်။ ပုဂံခေတ်နှင့် ကုန်းဘောင်ခေတ်ကတည်းကပင် ကာလရှည်ကြာစွာ အခြေစိုက်နေထိုင်ခဲ့ကြသည့် အစ္စလာမ်ဘာသာဝင် ပန်းသေး (ဟွေလူမျိုး) များကိုလည်း ဒေသခံများအဖြစ် ယူဆထားကြသည်။ ကိုးကန့်နှင့် ပန်းသေးများမှာ မြန်မာရှိ တရုတ်လူဦးရေ၏ ၂၁ % ခန့်ရှိသည်။<ref name="ls"/> ကျန်တရုတ်လူမျိုးများမှာ တရုတ်-မြန်မာ 'ကပြား'များ ဖြစ်ကြသည်။ === တရုတ်ဘာသာစကားမျိုးကွဲများ === နိုင်ငံတကာတွင် ပြောဆိုသော တရုတ်စကားကို မန်ဒရင် တရုတ်ဘာသာစကားဟု ခေါ်ဆိုလေ့ ရှိကြသည်။ ဟော့ကင်းစကား (Hokkien)၊ ကန်တုံစကား (Cantonese)၊ တီယိုချူးစကား (Teochew)၊ ဟတ်ကာစကား (Hakka)အပြင် အခြား ဒေသသုံး တရုတ်စကား အများအပြား ရှိသည်။ ကိုလိုနီခေတ်ကာလမှစ၍ အလုပ်အကိုင်နှင့် မြန်မာပြည်၌ နေထိုင်ရာဒေသကို အခြေပြု၍ အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည် - # လက်တို (ကွမ်တုန်းပြည်နယ်) # ဟတ်ကာ - မေသျှမ်း (ကွမ်တုန်းပြည်နယ်) # လက်ရှည် (ဖူကျန့်ပြည်နယ်) # ဟုတ်ကျူး (ဖူကျိုးမြို့) # ဟတ်ကာ (ဖူကျန့်ပြည်နယ်) # ဟိုင်နန် (ဟိုင်နန်ကျွန်း) # တရုတ်ဖြူ (တရုတ်သမ္မတနိုင်ငံ/KMT နွယ်ဖွား) # ရှမ်းတရုတ် (ယူနန်ပြည်နယ်မှ တိုင်းရင်းသားစပ်) # ပန်းသေး (ဟွေလူမျိုး မွတ်စလင်) == ယဉ်ကျေးမှု == === ဘာသာစကား === မြန်မာရှိ တရုတ်များသည် များသောအားဖြင့် ဗမာစကားအား မိခင်ဘာသာစကားအဖြစ် ပြောဆို အသုံးပြုကြသည်။ တရုတ်ကျောင်းတက်သူများလည်း ရှိသောကြောင့် တရုတ်လို အလောတော် သို့မဟုတ် ကျွမ်းကျင်စွာ ပြောဆိုနိုင်သူလည်း မနည်းပါ။ ဖူထုန်းဟွ (Mandarin) ခေါ် ရုံးသုံး တရုတ်စကားအပြင် အခြား ဒေသန္တရ ဘာသာစကားများ ဖြစ်သည့် ဟုတ်ကင် (မင်နန်) စကားကို အောက်မြန်မာပြည်တွင်လည်းကောင်း၊ ကန်တုန်စကားနှင့် ယူနန်စကားကို အထက်မြန်မာပြည်တွင်လည်းကောင်း ပြောဆို အသုံးပြုကြသည်ကိုလည်း တွေ့ရှိနိုင်သည်။ မြန်မာနိုင်ငံသည် အရှေ့တောင်အာရှတွင် [[မန်ဒရင်းဘာသာစကား|မန်ဒရင် အနွယ်ဝင်စကား]]ကို မိခင်ဘာသာစကားအဖြစ် ပြောဆိုသည့် မြောက်ပိုင်း/ကုန်းတွင်းပိုင်း ဟန်တရုတ်အသိုက်အဝန်း အကြီးမားဆုံး တည်ရှိရာနိုင်ငံ ဖြစ်သည်<ref name="Suryadinata1997">{{cite book |author=Leo Suryadinata |title=Ethnic Chinese as Southeast Asians |year=1997 |publisher=Institute of Southeast Asian Studies |pages=20-25 |isbn=981-3055-52-9}}</ref><ref name="Chang2014">{{cite book |last=Chang |first=Wen-Chin |title=Beyond Borders: Stories of Yunnanese Chinese Migrants of Burma |url=https://archive.org/details/beyondborderssto00chan |year=2014 |publisher=Cornell University Press |doi=10.7591/cornell/9780801452413.001.0001}}</ref>။ အရှေ့တောင်အာရှရှိ အခြားနိုင်ငံများ (ဥပမာ - ထိုင်း၊ မလေးရှား၊ စင်ကာပူ၊ ဖိလစ်ပိုင်) တွင် ရှိသော တရုတ်နွယ်ဖွားအများစုသည် တရုတ်ပြည်အရှေ့တောင်ဘက် ကမ်းရိုးတန်းဒေသများမှ ပင်လယ်ရေကြောင်းဖြင့် ရွှေ့ပြောင်းလာကြသူများဖြစ်၍ [[ဟော့ကင်းလူမျိုး|ဟော့ကင်း]]၊ [[ကွမ်တုံးလူမျိုး|ကွမ်တုံး]]၊ [[တီယိုချူးလူမျိုး|တီယိုချူး]] စသည့် တောင်ပိုင်းဒေသိယစကားများကိုသာ အစဉ်အလာအရ ပြောဆိုကြသော်လည်း၊ မြန်မာနိုင်ငံသည် တရုတ်ပြည်မကြီး နှင့် ကုန်းချင်းတိုက်ရိုက်ထိစပ်နေသဖြင့် ကုန်းလမ်းမှတစ်ဆင့် စီးဝင်လာသော ယူနန်နွယ်ဖွားများနှင့် ကိုးကန့်လူမျိုးများကဲ့သို့ အနောက်တောင်ပိုင်း မန်ဒရင် ပြောဆိုသည့် အသိုက်အဝန်းက အထက်မြန်မာပြည်တွင် ပိုမိုအားကောင်းလာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်<ref name="Chang2014" /><ref name="Myint2006" /> [[ဗိုလ်ချုပ်ကြီးနေဝင်း]]လက်ထက် (၁၉၆၂-၁၉၈၈)အကြားတွင် တရုတ်ကျောင်းများအား ပိတ်ပင်ခဲ့သောကြောင့် တရုတ်စကား ပြောတတ်သူ လျော့နည်းခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း ယနေ့ခေတ် ကမ္ဘာအဝှမ်းတွင် တရုတ်စာ၊ တရုတ်စကား အရေးပါလာသောကြောင့် မြန်မာနိုင်ငံတွင်လည်း တရုတ်ကျောင်း အရေအတွက် တိုးပွားလျက်ရှိသည်။ ယင်း တရုတ်ကျောင်းများတွင် တရုတ်လူမျိုးများသာမက ဗမာနှင့် အခြားတိုင်းရင်းသား လူမျိုးများပင် တက်ရောက်သင်ယူကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။ === ကိုးကွယ်ယုံကြည်မှု === [[File:Kuan Yin Si, Bago, Myanmar.jpg|thumb|250px|ပဲခူးမြို့ရှိ ကွမ်ယင်မယ်တော် ဘုရားကျောင်း]] [[File:Yunnanese Temple in Mandalay.jpg|thumb|250px|မန္တလေးမြို့ရှိ ယူနန်ဘုံကျောင်း]] မြန်မာရှိ တရုတ်အများစုမှာ [[တာအိုဘာသာ]]၊ [[မဟာယာန]][[ဗုဒ္ဓဘာသာ]] ရောယှက်လျက် ရှိသည့် [[ထေရဝါဒ]]ဗုဒ္ဓဘာသာကို ယုံကြည်ကိုးကွယ်ကြသည်။ [[ကွမ်ယင်မယ်တော်]]အား ကိုးကွယ်ခြင်းမှာ သိသာထင်ရှားသည့် သာဓက တစ်ခုဖြစ်သည်။ တရုတ်နှစ်ကူး ကဲ့သို့သော တရုတ်ရိုးရာ ပွဲတော်များကိုလည်း ဘုံကျောင်းများတွင် ကျင်းပလေ့ရှိသည်။ ဘုံကျောင်းများသည်လည်း မြန်မာရှိ တရုတ်များ စုဝေးရာ၊ မိမိတို့၏ ရိုးရာဓလေ့ ထုံးတမ်းအစဉ်အလာများအား ထိန်းရှိမ်းရာ နေရာ ဖြစ်သည်။ ပန်းသေးများမှာမူ အစ္စလာမ်ဘာသာဝင်များ ဖြစ်ကြသည်။ === အမည် === မြန်မာရှိ တရုတ်အများစုသည် မြန်မာအမည်ရော တရုတ်အမည်ပါ ရှိတတ်ကြသည်။ အချို့မှာ တရုတ်အမည်နှင့် အသံထွက် ဆင်တူသည့် မြန်မာအမည် မည့်တတ်ကြသည်။ တရုတ်တို့၏ ဓလေ့အရ မျိုးဆက်သစ်များအား ကင်မွန်းတပ်ရာတွင် မျိုးရိုးအမည်ကို ပထမဆုံး စာလုံးအဖြစ် ပေးလေ့ရှိသည်။ ရန်ကုန်မြို့ရှိ ဘုံကျောင်းတာဝန်ခံတစ်ဦး၏ အဆိုအရ ရန်ကုန်တွင် အတွေ့များသည့် မျိုးရိုးအမည်များမှာ လီ (李)၊ ဖုန် (彭)၊ ရှီ (時)၊ တုန် (董)၊ မင် (閔)၊ နျို (牛)၊ ပျဲန်း (邊)၊ ရှင်း (辛)၊ ကွမ်း (關)၊ ရွှီ (徐) နှင့် ကွာ (柯) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ === အစားအစာ === မြန်မာပြည်တွင် တွေ့ရှိရသည့် တရုတ်ဟင်းလျာမှာ ဖူကျန့်၊ ကွမ်တုန်းနှင့် ယူနန်ပြည်နယ် ဟင်းလျာများမှ ဆင်းသက်လာသည်။ အောက်ဖော်ပြပါ အစားအစာများသည် မြန်မာ့နေ့စဉ် အစားအစာများဖြစ်လာသည့် တရုတ်အစားအစာများ ဖြစ်သည်။ * [[ပေါက်စီ]] (包子) * [[ပီကင်းဘဲကင်]] (北京烤鴨) * [[အီကြာကွေး]] (油條) * [[ထမင်းကြော်]] (炒飯) * [[လမုန့်]] (月餅) * [[မြူစွမ်]] (麵線) * [[ဆန်ပြုတ်]] (粥) * [[ပန်းသေးခေါက်ဆွဲ]] * [[ဆီချက်ခေါက်ဆွဲ]] (乾麵) == မြန်မာရှိ ထင်ရှားသူ တရုတ်နွယ်ဖွားများ == * [[ဦးအောင်ကြီး]]- တပ်မတော်အရာရှိကြီးဟောင်းနှင့် နိုင်ငံရေးသမား * [[Aw Boon Haw]] (Hakka) - 虎標萬金油 (ကြားရုပ်ရှင်ဆေးဆီ) တီထွင်သူ * [[Aw Boon Par]] (Hakka) - Aw Boon Haw ၏ ညီ * [[ဦးအိုက်ထွန်း]] (Kokang) - အိုလံပစ်ဆောက်လုပ်ရေးနှင့် အာရှဓနဘဏ် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌဟောင်း * [[ခွန်ဆာ]] (Kokang) - ရှမ်းပြည်နယ်အခြေစိုက် ခေါင်းဆောင်ဟောင်း * [[ခင်ညွန့်၊ ဗိုလ်ချုပ်ကြီး|ဦးခင်ညွန့်]] (Hakka)<ref name="Kuppuswamy">{{cite web |last=Kuppuswamy |first=C.S. |date=2004-09-11 |url=http://www.southasiaanalysis.org/papers12/paper1161.html |title=MYANMAR: The shake- up and the fall out |publisher=South Asia Analysis Group}}</ref> - မြန်မာနိုင်ငံ ဝန်ကြီးချုပ်ဟောင်းနှင့် ထောက်လှမ်းရေးအကြီးအကဲဟောင်း * [[လော်စစ်ဟန်]] (Kokang) - စီးပွားရေးလုပ်ငန်းရှင်ကြီး * [[ထွန်းမြင့်နိုင်|ဦးထွန်းမြင့်နိုင် (Steven Law)]] (Kokang) - [[အေးရှားဝေါလ်ကုမ္ပဏီ]]၏ စီမံခန့်ခွဲမှုဒါရိုက်တာ * [[ဗိုလ်ချုပ်ကြီးနေဝင်း|ဦးနေဝင်း]] (Hakka)<ref>{{cite book | first=S.T. | last=Leong | year=1997 | title=Migration and Ethnicity in Chinese History | publisher=Stanford University Press}}</ref> - နိုင်ငံတော်အကြီးအကဲဟောင်း (၁၉၆၂ - ၁၉၈၈) * ဒေါက်တာမောင်ဖြူး - ကိုလိုနီခေတ် ပညာဝန် * ဖုန်ကြားရှင် (Kokang) - ကိုးကန့်အထူးဒေသ ခေါင်းဆောင်ဟောင်း * [[စန်းယု|ဦးစန်းယု]] (Hakka) - သမ္မတဟောင်း (၁၉၈၁ - ၁၉၈၈) * [[Serge Pun|ဦးသိမ်းဝေ (Serge Pun)]] - ရိုးမဘဏ်နှင့် FMI ကုမ္ပဏီတို့၏ ဥက္ကဋ္ဌ * [[Taw Sein Ko|တော်စိန်ကို]] (Hokkien)<ref>{{cite book|first=Paul | last=Strachan | year=1989 | title=Pagan - Art and Architecture of Old Burma |url=https://archive.org/details/paganartarchitec0000stra | publisher=Kiscadale}}</ref> - ကျောက်စာဝန်ဟောင်းနှင့် ရှေးဟောင်းသုတေသနပညာရှင် * [[သခင်ဗသိန်းတင်]]- ဗမာပြည်ကွန်မြူနစ်ပါတီ ဥက္ကဋ္ဌဟောင်း * [[ဦးကြည်မောင်]] - တပ်မတော်အရာရှိကြီးဟောင်းနှင့် အမျိုးသားဒီမိုကရေစီအဖွဲ့ချုပ် ခေါင်းဆောင်ဟောင်း == ကိုးကား == {{reflist}} == ပြင်ပလင့်ခ်များ == * [http://www.gqb.gov.cn/ Overseas Chinese Affairs Office of the State Council of the People's Republic of China] * [http://www.irrawaddy.org/research_show.php?art_id=446 Chronology of Chinese-Burmese Relations] of ''The Irrawaddy'' {{မြန်မာပြည် လူမျိုးများ}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံလူမျိုးများ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ-တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံဆက်ဆံရေး]] 76l0xd8ri2e9daev27qb62euolmaww1 0 11345 1054253 1052631 2026-09-20T10:59:38Z Zawzawaungthwin 100038 ပါတီခေါင်းဆောင်များ 1054253 wikitext text/x-wiki {{Infobox political party |name = ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ |lang1 = အင်္ဂလိပ် |name_lang1 = Union Solidarity and Development Party |logo = USDA_logo.jpeg |leader = |chairman = |president = [[ခင်ရီ|ဦးခင်ရီ]]<ref name="Irrawaddy">{{cite web|url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/new-chair-of-myanmar-militarys-proxy-party-urges-usdp-cooperation-for-regimes-agenda.html|title=New Chair of Myanmar Military’s Proxy Party Urges USDP Cooperation for Regime’s Agenda|publisher=''The Irrawaddy''|accessdate=၅ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၂|archive-date=5 October 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20221005191359/https://www.irrawaddy.com/news/burma/new-chair-of-myanmar-militarys-proxy-party-urges-usdp-cooperation-for-regimes-agenda.html}}</ref><ref name="nikkei">{{cite web|url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/new-chair-of-myanmar-militarys-proxy-party-urges-usdp-cooperation-for-regimes-agenda.html|title=Myanmar's army-backed party to replace chief with general's ally|publisher=Nikkei Asia|accessdate=September 23, 2022|archive-date=5 October 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20221005191359/https://www.irrawaddy.com/news/burma/new-chair-of-myanmar-militarys-proxy-party-urges-usdp-cooperation-for-regimes-agenda.html}}</ref> |secretary_general = ဦးသောင်းအေး |spokesperson =ဦးသိန်းထွန်းဦး |ideology = [[ကွန်ဆာဗေးတစ် ဝါဒ]]<br/> ဗမာလူမျိုး [[အမျိုးသားရေးဝါဒ]] |position = အလယ်-လက်ယာ |leader1_title = |leader1_name = |leader2_title = |leader2_name = |leader3_title = |leader3_name = |foundation = {{start date and age|2010|6|2|df=y}} |dissolution = |predecessor = |headquarters = [[ဒက္ခိဏသီရိမြို့နယ်]]၊ [[နေပြည်တော်]] |newspaper = |youth_wing = |membership_year = |membership = |national = |colors = အစိမ်း |seats1_title = [[အမျိုးသားလွှတ်တော်]] အမတ်နေရာ |seats1 = {{Composition bar|၁၀၈|224|hex=#006B31}} |seats2_title = [[ပြည်သူ့လွှတ်တော်]] အမတ်နေရာ |seats2 = {{Composition bar|၂၃၁|440|hex=#006B31}} |seats3_title = [[ပြည်နယ်နှင့် တိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်များ]] |seats3 = {{Composition bar|၃၇၉|850|hex=#006B31}} |seats4_title = [[တိုင်းရင်းသားရေးရာဝန်ကြီး]]များ |seats4 = {{Composition bar|၂၁|29|hex=#006B31}} |country = မြန်မာနိုင်ငံ |colorcode = Green |website = {{url|www.usdp.org.mm}} |flag = [[File:Flag of the Union Solidarity and Development Party.svg|200px]] |blank1_info=၁|blank1_title=မှတ်ပုံတင်အမှတ်}}'''ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ''' ([[အင်္ဂလိပ်ဘာသာစကား|အင်္ဂလိပ်]]: Union Solidarity and Development Party, အတိုကောက် - '''USDP''', ပြည်ခိုင်ဖြိုးပါတီ) သည် ၂၀၁၀ ခုနှစ်က စတင်ပေါ်ပေါက်လာသည့် ပြည်ထောင်စုအဆင့် ဝင်ပြိုင်သော နိုင်ငံရေးပါတီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[ပြည်ထောင်စု ကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးအသင်း]]အား အမည်နာမ ပြောင်းလဲဖွဲ့စည်းထားသော ပါတီဖြစ်သည်။ ကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီသည် လက်ရှိအာဏာရ ပါတီ ဖြစ်သည်။ ပါတီ၏ [[နိုင်ငံရေးစပက်ထရမ်|နိုင်ငံရေး သဘောတရား]] (political ideology) မှာ [[ကွန်ဆာဗေးတစ် ဝါဒ]]နှင့် [[အမျိုးသားရေးဝါဒ|အမျိုးသား​ရေးဝါဒ]] ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=https://www.npr.org/sections/thetwo-way/2015/08/13/432056787/coup-in-ranks-of-myanmars-ruling-party-highlights-concern-over-suu-kyi |access-date=9 September 2020 |archive-date=8 April 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220408164124/https://www.npr.org/sections/thetwo-way/2015/08/13/432056787/coup-in-ranks-of-myanmars-ruling-party-highlights-concern-over-suu-kyi }}</ref><ref>Haynes, Jeffrey (2019). The Routledge Handbook to Religion and Political Parties. Routledge</ref> နိုင်ငံရေးရပ်တည်ချက်မှာ အလယ်-လက်ယာ ဖြစ်သည်။ လက်ရှိတွင် ရဲချုပ်ဟောင်း [[ခင်ရီ|ဦးခင်ရီ]]က ပါတီဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် တာဝန်ယူ ဦးဆောင်သည်။ တပ်မတော်အစိုးရလက်ထက် [[နိုင်ငံတော် အေးချမ်းသာယာရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးကောင်စီ]] မှ ဖွဲ့စည်းထားခဲ့သော လူမှုရေးအသင်းကြီး ဖြစ်ခဲ့ပြီး နိုင်ငံရေးပါတီအဖြစ် ၂၀၁၀ ခုနှစ် ဇွန် ၂ ရက်နေ့တွင် [[ပြည်ထောင်စု ရွေးကောက်ပွဲ ကော်မရှင်]] ထံတွင် ပါတီမှတ်ပုံတင်ကာ သီးခြားရပ်တည်နေသော အဖွဲ့အစည်းဖြစ်သည်။ == ပါတီမှတ်ပုံတင်ခြင်း == နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီက အသစ်ဖွဲ့စည်းခဲ့သော ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်က ၂၀၂၃ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ (၃၁)ရက်နေ့တွင် နိုင်ငံရေးပါတီများအနေဖြင့် အသစ်ပြဋ္ဌာန်းလိုက်သည့် ဥပဒေအရ ပြန်လည်မှတ်ပုံတင်ကြရန် ရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်က ကြေညာခဲ့ပြီးနောက် ၂၀၂၃ ခုနှစ် နိုင်ငံရေးပါတီများ မှတ်ပုံတင်ခြင်းနည်းဥပဒေအရ ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်သို့ မှတ်ပုံတင်ခဲ့ရာ ၂၀၂၃ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၂၀ ရက်နေ့တွင် မှတ်ပုံတင်အမှတ် (၁) ဖြင့် ခွင့်ပြုခဲ့သည်။ == ရွေးကောက်ပွဲ ယှဉ်ပြိုင်မှုများ == [[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၁၀|၂၀၁၀ ရွေးကောက်ပွဲ]]မှာ မြန်မာပြည်တဝှမ်း ၈၈၂ နေရာ အနိုင်ရခဲ့သည်။ USDP ပါတီမှ ဦးသိန်းစိန်ကို လွှတ်တော်က သမ္မတအဖြစ် ရွေးကောက်တင်မြှောက်ခဲ့ပြီးနောက် ၂၀၁၁ ကတည်းက ၎င်းတို့ အစိုးရသည် ပြုပြင်ပြောင်းလဲရေးများကို ကျယ်ပြန့်စွာ ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ပြည်တွင်းရော ပြည်ပပါ ထိုလုပ်ဆောင်ချက်များကို လိုလားခဲ့ကြသည်။ သို့သော် ၂၀၁၂ ကြားဖြတ်ရွေးကောက်ပွဲတွင် ၄၃ နေရာ၌ NLD နှင့် ရင်ဆိုင်ရသည့်အခါများတွင် ရှုံးနိမ့်ခဲ့ရသည်။<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=https://www.bbc.com/burmese/burma/2015/09/150928_2015_election_party_29 |access-date=18 July 2020 |archive-date=1 October 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20151001004049/http://www.bbc.com/burmese/burma/2015/09/150928_2015_election_party_29 }}</ref><ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=https://burma.irrawaddy.com/election/party/union-solidarity-and-development-party-usdp |access-date=18 July 2020 |archive-date=27 September 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210927200220/https://burma.irrawaddy.com/election/party/union-solidarity-and-development-party-usdp }}</ref> [[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၁၅|၂၀၁၅ အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ]]တွင် [[အမျိုးသား ဒီမိုကရေစီ အဖွဲ့ချုပ်|အမျိုးသားဒီမိုကရေစီအဖွဲ့ချုပ်]]က USDP ကို အနိုင်ရပြီး အာဏာရလာသည်။ ၂၀၁၈ ခုနှစ် ကြားဖြတ်ရွေးကောက်ပွဲတွင် လစ်လပ်မဲဆန္ဒနယ် သုံးနေရာ၌ အနိုင်ရရှိခဲ့သည်။<ref name=":0">{{Cite web|title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ|url=https://myanmar-now.org/mm/news/415|access-date=18 July 2020|archive-date=18 July 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200718085518/https://myanmar-now.org/mm/news/415}}</ref> [[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၂၅-၂၀၂၆|၂၀၂၅-၂၀၂၆]] [[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၂၅-၂၀၂၆|ခုနှစ် အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ]]တွင် မဲဆန္ဒနယ် ၆၈၇ နယ်၌ ကိုယ်စားလှယ်လောင်း စုစုပေါင်း ၁,၀၁၇ ဦးဖြင့် ပါဝင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ရာ ၇၃၉ ဦး အနိုင်ရရှိခဲ့ပါသည်။ ပါတီအနေဖြင့် စုစုပေါင်းခိုင်လုံမဲ ၅,၈၀၄,၀၂၅ မဲ ရရှိခဲ့ပြီး ယင်းသည် တစ်နိုင်ငံလုံးအတိုင်းအတာဖြင့် ခိုင်လုံမဲစုစုပေါင်း၏ ၄၄.၁၉ ရာခိုင်နှုန်း ဖြစ်ပါသည်။<ref>{{Cite web |title=၂၀၂၅ ခုနှစ် ပါတီစုံဒီမိုကရေစီအထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ နိုင်ငံရေးပါတီအလိုက် ခိုင်လုံမဲရရှိမှု အခြေအနေ ထုတ်ပြန်ကြေညာခြင်း |url=https://www.uec.gov.mm/news_preview_detail.php?action=news_detail1&news_id=EvDJMGl7rgvx1tqXvSjk%2FvS7gUkK1%2BdMH83N%2FLNp4yQ%3D |url-status=live |access-date=25 Feb 2026 |website=UEC }}{{Dead link|date=March 2026 }}</ref> ==ရွေးကောက်ပွဲရလဒ်များ== ===အမျိုးသားလွှတ်တော်=== {| class="wikitable" |- ! ရွေးကောက်ပွဲ ! စုစုပေါင်း အနိုင်ရနေရာ ! မဲစုစုပေါင်း ! မဲရာခိုင်နှုန်း ! ရွေးကောက်ပွဲရလဒ် ! မှတ်ချက် ! ရွေးကောက်ပွဲ ဦးဆောင်သူ |- ![[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၁၀|၂၀၁၀]] | {{Composition bar|129|224|hex={{ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ/meta/color}}}} | — | — | {{increase}} ၁၂၉ | '''အစိုးရဖွဲ့စည်းနိုင်''' | [[သိန်းစိန်၊ ဦး|ဦးသိန်းစိန်]] |- ![[မြန်မာနိုင်ငံ ၂၀၁၂ ကြားဖြတ်ရွေးကောက်ပွဲ|၂၀၁၂]] | {{Composition bar|124|224|hex={{ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ/meta/color}}}} | — | — | {{decrease}} ၅ | '''အစိုးရဖွဲ့စည်းနိုင်''' | [[သိန်းစိန်၊ ဦး|ဦးသိန်းစိန်]] |- ![[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ ၂၀၁၅|၂၀၁၅]] | {{Composition bar|12|224|hex={{ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ/meta/color}}}} | — | — | {{decrease}} ၁၁၂ |'''အတိုက်အခံပါတီ''' | [[သိန်းစိန်၊ ဦး|ဦးသိန်းစိန်]] |- ![[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၂၀|၂၀၂၀]] | {{Composition bar|7|224|hex={{ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ/meta/color}}}} | — | — | {{decrease}} ၅ |^{ရွေးကောက်ပွဲရလဒ် ပယ်ဖျက်ခဲ့သည်.} | ဦး[[သန်းဌေး]] |- !'''[[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၂၅-၂၀၂၆|၂၀၂၅]]''' |{{Composition bar|၁၀၈|224|hex={{ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ/meta/color}}}} |— |— |{{increase}} ၁၀၁ |'''အစိုးရဖွဲ့စည်းနိုင်''' |ဦး[[ခင်ရီ]] |} ===ပြည်သူ့လွှတ်တော်=== {| class="wikitable" |- ! ရွေးကောက်ပွဲ ! စုစုပေါင်း အနိုင်ရနေရာ ! မဲစုစုပေါင်း ! မဲရာခိုင်နှုန်း ! ရွေးကောက်ပွဲရလဒ် ! မှတ်ချက် ! ရွေးကောက်ပွဲ ဦးဆောင်သူ |- ![[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၁၀|၂၀၁၀]] | {{Composition bar|259|440|hex={{ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ/meta/color}}}} | ၁၁,၈၅၈,၁၂၅ | ၅၆.၇၆% | {{increase}} ၂၅၉ | '''အစိုးရဖွဲ့စည်းနိုင်''' | [[သိန်းစိန်၊ ဦး|ဦးသိန်းစိန်]] |- ![[မြန်မာနိုင်ငံ ၂၀၁၂ ကြားဖြတ်ရွေးကောက်ပွဲ|၂၀၁၂]] | {{Composition bar|222|440|hex={{ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ/meta/color}}}} | — | — | {{decrease}} ၃၇ | '''အစိုးရဖွဲ့စည်းနိုင်''' | [[သိန်းစိန်၊ ဦး|ဦးသိန်းစိန်]] |- ![[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ ၂၀၁၅|၂၀၁၅]] | {{Composition bar|30|440|hex={{ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ/meta/color}}}} | ၆,၃၄၁,၉၂၀ | ၂၈.၃% | {{decrease}} ၁၈၃ | '''အတိုက်အခံပါတီ''' | [[သိန်းစိန်၊ ဦး|ဦးသိန်းစိန်]] |- ![[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၂၀|၂၀၂၀]] | {{Composition bar|26|440|hex={{ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ/meta/color}}}} | | | {{decrease}} ၄ | ^{ရွေးကောက်ပွဲရလဒ် ပယ်ဖျက်ခဲ့သည်.} | ဦး[[သန်းဌေး]] |- !'''[[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၂၅-၂၀၂၆|၂၀၂၅]]''' |{{Composition bar|231|440|hex={{ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ/meta/color}}}} | | |{{increase}} ၂၀၅ |'''အစိုးရဖွဲ့စည်းနိုင်''' |ဦး[[ခင်ရီ]] |} === တိုင်းဒေသကြီး/ပြည်နယ်လွှတ်တော်များ === {| class="wikitable" |- ! ရွေးကောက်ပွဲ ! စုစုပေါင်း အနိုင်ရနေရာ ! မဲစုစုပေါင်း ! မဲရာခိုင်နှုန်း ! ရွေးကောက်ပွဲရလဒ် ! မှတ်ချက် ! ရွေးကောက်ပွဲ ဦးဆောင်သူ |- !'''[[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၂၅-၂၀၂၆|၂၀၂၅]]''' | {{Composition bar|379|630|hex={{ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ/meta/color}}}} | | | {{increase}} | '''အစိုးရဖွဲ့စည်းနိုင်''' | ဦး[[ခင်ရီ]] |} === တိုင်းရင်းသားလူမျိုးဝန်ကြီးများ === {| class="wikitable" |- ! ရွေးကောက်ပွဲ ! စုစုပေါင်း အနိုင်ရနေရာ ! မဲစုစုပေါင်း ! မဲရာခိုင်နှုန်း ! ရွေးကောက်ပွဲရလဒ် ! မှတ်ချက် ! ရွေးကောက်ပွဲ ဦးဆောင်သူ |- !'''[[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၂၅-၂၀၂၆|၂၀၂၅]]''' | {{Composition bar|၂၁|၂၉|hex={{ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ/meta/color}}}} | | 72.41% | {{increase}} |'''အစိုးရဖွဲ့စည်းနိုင်''' | ဦး[[ခင်ရီ]] |} == သမိုင်း == ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ ပါတီလာလျှောက်စဉ်က ပါတီခေါင်းဆောင်မှာ ဦးသိန်းစိန်ဟု ဖော်ပြထားပြီး ဒုတိယ ခေါင်းဆောင်မှာ ဦးဋ္ဌေးဦးဟု ပြည်ထောင်စု ရွေးကောက်ပွဲ ကော်မရှင်၏ အင်တာနက် စာမျက်နှာတွင် ဖော်ပြထားသည်ကို တွေ့ရှိရသည်။ ၂၀၁၅ ဩဂုတ်လ ၁၂ ရက်ညတွင် နေပြည်တော်ရှိ ပြည်ထောင်စု ကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ ဌာနချုပ်တွင် ရှုပ်ထွေးမှုများ ပေါ်ပေါက်ခဲ့ပြီး ယာယီပါတီဥက္ကဋ္ဌ တာဝန်ယူထားသူ [[ရွှေမန်း၊ ဦး|သူရ ဦးရွှေမန်း]]နှင့် အထွေထွေ အတွင်းရေးမှူး ဦးမောင်မောင်သိန်း တို့မှာ ပါတီတွင် တာဝန်ယူထားသည့် ရာထူး အသီးသီးမှ ဖယ်ရှားခံခဲ့ရပြီးဖြစ်သည်။ ယင်းနောက် ပါတီဥက္ကဋ္ဌမှာ ဦးဋ္ဌေးဦး ဖြစ်လာခဲ့ပြီး အထွေထွေ အတွင်းရေးမှူးမှာလည်း ဦးတင်နိုင်သိန်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ယင်းအခြေအနေများကို ပြည်ထောင်စု ကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေး ပါတီက ဩဂုတ်လ ၂၂ ရက်တွင် သတင်းစာ ရှင်းလင်းပွဲ ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ဦးရွှေမန်းသည် ပါတီဗဟိုအလုပ်အမှုဆောင် ကော်မတီဝင်အဖြစ် ဆက်လက်ရှိနေမည်ဟု အဆိုပါနေ့ သတင်းစာ ရှင်းလင်းပွဲတွင် ပြောဆိုခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=http://www.mizzimaburmese.com/article/5033 |access-date=18 July 2020 |archive-date=23 February 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210223035714/http://mizzimaburmese.com/article/5033 }}</ref> ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီအနေနဲ့ သူတို့ရဲ့ ဒုတိယအကြိမ်ပါတီညီလာခံမှာ ဥက္ကဋ္ဌနေရာကို အပြောင်းအလဲ ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ယခင်ဥက္ကဋ္ဌ ဦးသိန်းစိန်နေရာမှာ ဦးသန်းဌေးကို ပါတီဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် တာဝန်ပေးခဲ့သည်။ ဦးသန်းဌေးဟာ ယခင် တပ်မတော်မှာ ဗိုလ်မှူးချုပ်အဆင့်အထိ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး စွမ်းအင်ဝန်ကြီးဌာနမှာ ဒုဝန်ကြီး နှင့် ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး၊ ရထားပို့ဆောင်ရေးဝန်ကြီးဌာနတို့မှာ ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ဖူးသူလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=http://www.mizzimaburmese.com/article/17254 |access-date=18 July 2020 |archive-date=29 October 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161029032826/http://www.mizzimaburmese.com/article/17254 }}</ref> == ပါတီခေါင်းဆောင်များ == {| class="wikitable sortable" |+ ပါတီ ဥက္ကဋ္ဌများ ! စဉ် ! ခေါင်းဆောင်အမည် ! တာဝန်ထမ်းဆောင်သည့် ကာလ ! မှတ်ချက် |- | ၁ || ဦး[[သိန်းစိန်]] || ၈ ဇွန် ၂၀၁၀ – ၂ မေ ၂၀၁၁ || |- | style="background-color: #f2f2f2;" | – || style="background-color: #f2f2f2;" | သူရ ဦး[[ရွှေမန်း၊ ဦး|ရွှေမန်း]]|| style="background-color: #f2f2f2;" | ၂ မေ ၂၀၁၁ – ၁၆ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၂ || style="background-color: #f2f2f2;" | ယာယီပါတီဥက္ကဋ္ဌ |- | (၁) || ဦးသိန်းစိန် || ၁၆ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၂ – ၁ မေလ ၂၀၁၃ || |- | style="background-color: #f2f2f2;" | – || style="background-color: #f2f2f2;" | သူရ ဦးရွှေမန်း || style="background-color: #f2f2f2;" | ၁ မေလ ၂၀၁၃ – ၁၃ ဩဂုတ် ၂၀၁၅ || style="background-color: #f2f2f2;" | ယာယီပါတီဥက္ကဋ္ဌ |- | style="background-color: #f2f2f2;" | – || style="background-color: #f2f2f2;" | ဦး[[ဌေးဦး]]|| style="background-color: #f2f2f2;" | ၁၃ ဩဂုတ် ၂၀၁၅ – ၂၃ ဩဂုတ်လ ၂၀၁၆ || style="background-color: #f2f2f2;" | ယာယီပါတီဥက္ကဋ္ဌ |- | ၂ || ဦး[[သန်းဌေး]] || ၂၃ ဩဂုတ်လ ၂၀၁၆ – ၄ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၂ || |- | ၃ || ဦး[[ခင်ရီ]] || ၅ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၂<ref>{{Cite web|url=https://myanmar-now.org/mm/news/12803/|title=မင်းအောင်လှိုင်ကို ဩဇာခံသည့် လူရင်းများ ကြံ့ခိုင်ရေးထိပ်သီး တရားဝင်ဖြစ်လာ|accessdate=2025-7-29|publisher=Myanmar Now}}</ref> – ၁၉ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၆ || တတိယအကြိမ်ပါတီညီလာခံ |- | (၃) || ဦး[[ခင်ရီ]] || ၂၀ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၆ – လက်ရှိ || စတုတ္ထအကြိမ်ပါတီညီလာခံ |} {| class="wikitable sortable" |+ ၂၀၂၂ ခုနှစ်၊ ပါတီညီလာခံ ဗဟိုအလုပ်အမှုဆောင်ကော်မတီ ! ရာထူး ! အမည် ! မှတ်ချက် |- | '''ဥက္ကဋ္ဌ''' || ဦး[[ခင်ရီ]] || |- | '''ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ (၁)''' || ဦး[[မြတ်ဟိန်း]] || |- | '''ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ (၂)''' || ဦး[[လှထွန်း]] || |- | '''ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ (၃)''' || ဦး[[မျိုးဇော်သိမ်း]]|| |- | '''အထွေထွေအတွင်းရေးမှူး''' || ဦး[[သောင်းအေး]]<ref>{{Cite web|url=https://news-eleven.com/article/239663|title=ပြည်ခိုင်ဖြိုးပါတီ ဗဟိုကော်မတီဝင် ဦးသောင်းအေး ပါတီအထွေထွေအတွင်းရေးမှူးဖြစ်လာ|publisher=Eleven Media|accessdate=2025-7-29}}</ref> || |- | '''တွဲဘက်အထွေထွေအတွင်းရေးမှူး''' || ဦးတင်အောင်ချစ် || |- | '''ပါတီပြောရေးဆိုခွင့်ရှိသူ''' || ဦးသိန်းထွန်းဦး || |- | style="background-color: #f8f9fa; text-align: center; font-style: italic;" colspan="3" | ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေး ပါတီ၏ ဗဟိုအလုပ်အမှုဆောင်ကော်မတီကို ကော်မတီဝင် ၄၆ ဦးဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ |} {| class="wikitable sortable" |+ ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ စတုတ္ထအကြိမ်မြောက် ပါတီညီလာခံ ဗဟိုအလုပ်အမှုဆောင်ကော်မတီ ! ရာထူး ! အမည် ! မှတ်ချက် |- | '''ဥက္ကဋ္ဌ''' || ဦး[[ခင်ရီ]] || <ref>{{Cite web|url=|title=ဦးခင်ရီ ကြံ့ဖွံ့ဥက္ကဋ္ဌ ပြန်အရွေးခံရ|publisher=ဧရာဝတီ|accessdate=2026-09-20}}</ref> |- | '''ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ''' || ဦး[[မြတ်ဟိန်း]] || |- | '''ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ''' || ဦး[[သောင်းအေး]] || |- | '''အထွေထွေအတွင်းရေးမှူး''' || ဦး[[တင်အောင်ချစ်]]|| |- | '''တွဲဖက်အတွင်းရေးမှူး''' || ဦး[[အောင်စိုး (ဒု ဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|အောင်စိုး]]|| |- | style="background-color: #f8f9fa; text-align: center; font-style: italic;" colspan="3" | စတုတ္ထအကြိမ်မြောက် ညီလာခံတွင် ပါတီဗဟိုအမှုဆောင် ၄၆ ဦး၊ ဗဟိုကော်မတီဝင် ၃၃၆ ဦးနှင့် အရံဗဟိုကော်မတီဝင် ၆၈ ဦးတို့ကို ရွေးချယ်ခဲ့သည်။ |} == အဓိက ဖြစ်ရပ်များ == === ၂၀၂၂ === ၂၀၂၂ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာ ၄ ရက်နေ့မှ ၅ ရက်နေ့အထိ နှစ်ရက်တာ ပြုလုပ်ခဲ့သည့် ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့်ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ၏ တတိယအကြိမ် ညီလာခံအပြီးတွင် သတင်းများ ထွက်ပေါ်ခဲ့သည့်အတိုင်း ရဲချုပ်ဟောင်း ဦးခင်ရီကို ပါတီဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် တရားဝင်အတည်ပြု ခန့်အပ်လိုက်ပြီဖြစ်သည်။ ပါတီ၏ နှစ်ရက်တာ ညီလာခံအပြီးတွင် ဦးခင်ရီကို ဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် အတည်ပြုခန့်အပ်ခဲ့ပြီး ဦးမြဟိန်း (လေချုပ်/ဗိုလ်ချုပ်ကြီးဟောင်း) နှင့် ဦးလှထွန်း (သမ္မတရုံးဝန်ကြီးဟောင်း) တို့ကိုလည်း ယခင်အတိုင်း ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌများအဖြစ် ပြန်လည်ခန့်အပ်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် တွဲဖက်အထွေထွေအတွင်းရေးမှူးအဖြစ် ဦးတင်အောင်ချစ် ကို ခန့်အပ်သည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.dvb.no/post/557652|title=ကြံ့ခိုင်ရေးပါတီထိပ်ပိုင်းနေရာများသို့ စစ်တပ်အရာရှိများ ရောက်လာမည်ဟု သတင်းထွက်|publisher=DVB Burmese|accessdate=2025-7-29}}</ref> == ဆက်လေ့လာရန် == *[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ နိုင်ငံရေးပါတီများ စာရင်း]] == ပြင်ပလင့်ခ်များ == * {{Facebook|https://www.facebook.com/pyikhinephyomyanmar|name=ပြည်ခိုင်ဖြိုးပါတီ}} == ကိုးကား == {{Reflist}} {{မြန်မာ နိုင်ငံရေးပါတီ}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံရှိ တည်ဆဲ နိုင်ငံရေးပါတီများ]] 2hclhcy5n0df5ccprv2pz9of6yyb50i 0 12812 1054167 879691 2026-09-19T16:46:30Z ~2026-50799-08 148372 /* သရုပ်ဆောင်များ */ 1054167 wikitext text/x-wiki {{Infobox school | name = အ.ထ.က(၁)ဒဂုံ | image= | caption = | logo =Dagon-one.png | logo_size = 100px | motto = | motto_translation = Do we learn not for school but for life | established = ၁၈၈၂ | type = အများဆိုင် | founder = | principal = | faculty = ၁၅၀ | students = ၇,၀၀၀ ခန့်<ref>{{cite news | first = ကျောင်းအုပ်ဆရာကြီး | last = ဦးအောင်ကိုကို | title = ၂၀၁၄-၂၀၁၅ ပညာသင်နှစ်တွင် သင်ကြားမှုပုံစံများ ပြောင်းလဲသွားမည့်အပေါ် ကျောင်းအုပ်ဆရာကြီး ဦးအောင်ကိုကို(အထက-၁၊ဒဂုံ)နှင့် တွေ့ဆုံမေးမြန်းခြင်း | url = http://www.popularmyanmar.com/mpaper/2014/05/%E1%81%82%E1%80%9D%E1%81%81%E1%81%84-%E1%81%82%E1%80%9D%E1%81%81%E1%81%85-%E1%80%95%E1%80%8A%E1%80%AC%E1%80%9E%E1%80%84%E1%80%B9%E1%82%8F%E1%80%BD%E1%80%85%E1%80%B9%E1%80%90%E1%80%BC%E1%80%84%E1%80%B9/ | work = Popular Myanmar | accessdate = 9 September 2014 | archivedate = 19 August 2014 | archiveurl = https://archive.today/20140819010419/http://www.popularmyanmar.com/mpaper/2014/05/%E1%81%82%E1%80%9D%E1%81%81%E1%81%84-%E1%81%82%E1%80%9D%E1%81%81%E1%81%85-%E1%80%95%E1%80%8A%E1%80%AC%E1%80%9E%E1%80%84%E1%80%B9%E1%82%8F%E1%80%BD%E1%80%85%E1%80%B9%E1%80%90%E1%80%BC%E1%80%84%E1%80%B9/ }}</ref> | mascot = | colors = | city = [[ရန်ကုန်မြို့]] | state = [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]] | country = [[မြန်မာနိုင်ငံ]] | website = | grades = KG to 12 | address = ၅၇၊ အလံပြဘုရားလမ်း၊ [[ဒဂုံမြို့နယ်]] | newspaper = | yearbook = | nickname = | schoolnumber = 1 | schoolboard = }} {{Designation list|right|designation1=Yangon}} '''အမှတ် (၁) အခြေခံပညာ အထက်တန်းကျောင်း၊ ဒဂုံ''' သည် မြန်မာနိုင်ငံ၊ ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး၊ ဒဂုံမြို့နယ်တွင် တည်ရှိသည်။ ၁၈၈၄ ခုနှစ်တွင် စတင်တည်ထောင်ခဲ့ရာမှ ၁၉၆၅ ခုနှစ် ပြည်သူပိုင်သိမ်းဆည်းသည်အထိ အင်္ဂလိပ်မက်သဒစ် အထက်တန်းကျောင်း အမည်တွင်ခဲ့သည်။ ပြည်သူပိုင်သိမ်းပြီးနောက် အမှတ်(၁)အခြေခံပညာအထက်တန်းကျောင်း၊ ဒဂုံမြို့နယ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။ == ကျောင်းသားကျောင်းသူဟောင်းများ == '''<big>နိုင်ငံရေးသမားများ</big>''' * [[အောင်ဆန်းစုကြည်]] * [[ထင်ကျော် (နိုင်ငံတော်သမ္မတ)|ထင်ကျော်]] === သရုပ်ဆောင်များ === * [[ကျော်သူ]] * ခန့်စည်သူ * [[စိုးသူ]] * [[ဒွေး]] * [[ဖြိုးငွေစိုး]] * [[မင်းမော်ကွန်း]] * ရဲအောင် * [[ရာဇာနေဝင်း]] * [[:en:Thinzar_Wint_Kyaw|သင်ဇာဝင့်ကျော်]] *[[ဝါဝါဝင်းရွှေ]] * ဝင်းစည်သူ * နှင်းအိဖြူ * [[နန်းဆုရတီစိုး]] <ref>{{cite news | first = နန်းဆု | last = ရတီစိုး | title = ကျောင်းဖွင့်ချိန် ရင်ခုန် လှုပ်ရှားမှုနှင့် ကျောင်းသားဘဝ ဖြတ်သန်းခဲ့သူ တို့ စကားသံ | url = http://www.popularmyanmar.com/mpaper/2014/05/%E1%80%B1%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%B9%E1%80%B8%E1%80%96%E1%80%BC%E1%80%84%E1%80%B7%E1%80%B9%E1%80%81%E1%80%BA%E1%80%AD%E1%80%94%E1%80%B9-%E1%80%9B%E1%80%84%E1%80%B9%E1%80%81%E1%80%AF/ | work = Popular Myanmar | date = May 25-30 | accessdate = 30 August 2014 | archivedate = 15 June 2014 | archiveurl = https://archive.today/20140615110038/http://www.popularmyanmar.com/mpaper/2014/05/%E1%80%B1%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%B9%E1%80%B8%E1%80%96%E1%80%BC%E1%80%84%E1%80%B7%E1%80%B9%E1%80%81%E1%80%BA%E1%80%AD%E1%80%94%E1%80%B9-%E1%80%9B%E1%80%84%E1%80%B9%E1%80%81%E1%80%AF/ }}</ref> * ပန်းဖြူ * မေသဉ္ဇာဦး * Yee Ywe Hnyun * [[ဝိုင်းစုခိုင်သိန်း]] * သဇင် * [[အိန္ဒြာကျော်ဇင်]] * [[ဆုထက်]] * saw win === ဒါရိုက်တာများ === * စင်ရော်မောင်မောင် * [[သူရ]] (ခ) ဇာဂနာ *ဏကြီး === အဆိုတော်များ === * [[:en:Raymond_(singer)|ရေမွန် IDIOTS]] * Victor ခင်ညို * သာစိုး * [[အနဂ္ဂ]] * [[အောင်ရင်]] * နှင်းအိဖြူ * [[မေဆွိ]] * bobby soxer * [[ဝိုင်းစုခိုင်သိန်း]] * [[ဟေမာနေဝင်း]] * ရတနာမိုင် *[[:en:May Thet Htar Swe|မေသက်ထားဆွေ]] == ကိုးကား == <references/> [[Category:ရန်ကုန်မြို့ရှိ အထက်တန်းကျောင်းများ|ဒဂုံ]] [[Category:ရန်ကုန်မြို့ရှိ ရှေးဟောင်းအမွေအနှစ် အဆောက်အအုံများ]] r7z3y2qh0x0aro0p01wjkpq04822kcx 0 13851 1054129 1049436 2026-09-19T12:59:21Z InternetArchiveBot 61272 Adding 1 book for [[ဝီကီပီးဒီးယား:စိစစ်အတည်ပြုခံနိုင်မှု]] (20260919)) #IABot (v2.0.9.6) ([[User:GreenC bot|GreenC bot]] 1054129 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} {{redirect|ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း}} {{Short description|ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်း ပါဝင်သော ကိန်း}} [[File:A plus bi.svg|thumb|upright=1.15|right|ကိန်းထွေး (Complex number) <math>z</math> ကို အာဂန် ပုံကြမ်းဟု ခေါ်ဆိုသော ပုံကြမ်းပေါ်ရှိ အပြာရောင် တည်နေရာ [[ဗက်တာ|ဗက်တာ]] သို့မဟုတ် အနီရောင် အမှတ်တစ်မှတ်အဖြစ် ကိန်းစုံတွဲ <math>(a, b)</math> ဖြင့် မြင်သာအောင် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ အဆိုပါပုံကြမ်းသည် ကိန်းထွေးပြင်ညီ (Complex plane) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ <math>Re</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>Im</math> သည် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>i</math> သည် ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် <math>i^2 = -1</math> ဟူသော ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။]] သင်္ချာပညာတွင် '''ကိန်းထွေး''' (Complex number) ဆိုသည်မှာ ကိန်းစနစ် (Number systems) တစ်ခု၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခု]] ဖြစ်သည်။ ၎င်းစနစ်သည် [[ကိန်းစစ်]] (Real number) များကို <math>i</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော သီးခြားအစုဝင်တစ်ခုဖြင့် တိုးချဲ့ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ <math>i</math> ကို ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် <math>i^2= -1</math> ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။ အထက်ပါညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသော ကိန်းစစ် မရှိသည့်အတွက် ရီနေ ဒေကားတ် (René Descartes) က <math>i</math> ကို [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်]] (Imaginary number) ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေးကိုမဆို <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ <math>a</math> ကို ကိန်းစစ်ပိုင်း (Real part) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>b</math> ကို ကိန်းယောင်ပိုင်း (Imaginary part) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများ၏ [[အစု|အစု]]ကို <math>\mathbb{C}</math> သို့မဟုတ် '''C''' သင်္ကေတ တစ်ခုခုဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဝေါဟာရအရ ကိန်းယောင်ဟု ခေါ်ဆိုသော်လည်း ၎င်းတို့သည် စိတ်ကူးယဉ်သက်သက် မဟုတ်ဘဲ သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းစစ်များနည်းတူ တကယ့်တည်ရှိမှုများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် အလွန်သေးငယ်သော စကေးရှိ သဘာဝတရား၏ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ရူပဗေဒနည်းကျ ရှင်းလင်းရာတွင် ကိန်းထွေးများသည် ကိန်းစစ်များကဲ့သို့ပင် သဘာဝတရားနှင့် ထူးခြားစွာ တစ်သားတည်းကျနေပြီး ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ကမ္ဘာကြီးကို သိပ္ပံနည်းကျ ဖော်ပြရန် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သည်။ <ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics |url=https://archive.org/details/emperorsnewmind00penr |publisher=Oxford University Press |year=1989 |page=[https://archive.org/details/emperorsnewmind00penr/page/87 87] |isbn=978-0-19-851973-7}}</ref><ref>{{cite book |last=Stewart |first=Ian |author-link=Ian Stewart (mathematician) |title=Professor Stewart's Incredible Numbers |publisher=Basic Books |year=2015 |isbn=978-0-465-04271-5}}</ref> ကိန်းထွေးများသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (Polynomial equations) အားလုံးအတွက် အဖြေများကို ရရှိစေနိုင်သည်။ ကိန်းစစ်နယ်ပယ်တွင် အဖြေမရှိသော ညီမျှခြင်းများအတွက်ပင် အဖြေရှာပေးနိုင်သည်။ သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေသို့ ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်း <math>x^2-1=0</math> ကို ဖြေရှင်းပါက ၁ နှင့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်အဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း၊ <math>x^2+1=0</math> တွင်မူ ကိန်းစစ်အဖြေ တစ်ခုမျှမရှိပေ။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x</math> ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းကို တစ်ထပ်ပေါင်းပါက သုညနှင့် မည်သို့မျှ ညီမည်မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားရန် နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရရှိသည့် <math>i</math> ကို တီထွင်ခဲ့ရသည်။ <math>-i</math> သည်လည်း -၁ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းထွေးများ၏ လိုအပ်ချက်သည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများကို ကာဒါနို (Cardano) ၏ နည်းလမ်းဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ အဖြေရှာရာမှ အဓိကပေါ်ပေါက်လာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name="Earl2024">{{cite web |last=Earl |first=Richard |title=Introduction to Complex Numbers |url=https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/complex.pdf |publisher=Mathematical Institute, University of Oxford |year=2024 |access-date=2024-01-15}}</ref> ပိုမိုတိကျစွာ ဆိုရလျှင် အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Algebra) အရ ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး မြှောက်ဖော်ကိန်းများ ပါဝင်သော ကိန်းသေမဟုတ်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းတိုင်းတွင် ကိန်းထွေးအဖြေတစ်ခု အမြဲတမ်းရှိသည်ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ ကိန်းထွေးများကို ပေါင်းခြင်း၊ နုတ်ခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့ကို ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associative property)၊ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (Commutative property) နှင့် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ (Distributive laws) တို့အပြင် <math>i^2=-1</math> ဟူသော စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြု၍ သတ်မှတ်ထားသည်။ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေးတိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် တစ်ခုစီရှိပြီး ၎င်းသည် သုညမှလွဲ၍ အခြားကိန်းထွေးများဖြင့် စားခြင်းကို ဖြစ်ပေါ်စေနိုင်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ကိန်းထွေးများသည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခု ဖြစ်လာပြီး ကိန်းစစ်များသည် ၎င်း၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) ဖြစ်လာသည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် <math>a + bi = a + ib</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ မည်သည့်ပုံစံဖြင့် ရေးသားမည်ဆိုသည်မှာ သတ်မှတ်ထားသော အစဉ်အလာအပေါ် မူတည်သည်။ ကိန်းထွေးများသည် <math>\{1,i\}</math> ကို စံအခြေအစု (Standard basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]နှစ်ခုရှိသည့် ကိန်းစစ် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Real vector space) တစ်ခုကိုလည်း ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤစံအခြေအစုသည် ကိန်းထွေးများကို ကာတီးရှန်း ပြင်ညီတစ်ခုအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးပြီး ၎င်းကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းက ကိန်းထွေးများနှင့် ၎င်းတို့၏ တွက်ချက်မှုများကို ဂျီဩမေတြီနည်းကျ ဖွင့်ဆိုရှင်းလင်းခွင့် ပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းစစ်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (Real line) ကို ဖွဲ့စည်းပြီး ယင်းကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ၏ အလျားလိုက်ဝင်ရိုးအဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ အလားတူပင် <math>i</math> ၏ ကိန်းစစ် ဆတိုးကိန်းများသည် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ၎င်း၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ် (Polar coordinates) ဖြင့်လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းတွင် အချင်းဝက်ကို ကိန်းထွေး၏ ပကတိတန်ဖိုး (Absolute value) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးမှ တိုင်းတာသော ထောင့်ကို ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် (Argument) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများသည် ကြွယ်ဝသော တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းတို့သည် တစ်ချိန်တည်းမှာပင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် တစ်ခု၊ ကိန်းစစ်များအပေါ် အခြေခံထားသော ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (Commutative algebra) တစ်ခုနှင့် အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ယူကလစ်ဒ် ဗက်တာရပ်ဝန်း (Euclidean vector space) တစ်ခု ဖြစ်ကြသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် နှင့် အခြေခံ တွက်ချက်မှုများ (Definition and basic operations) == [[File:Complex_numbers_intheplane.svg|right|thumb|ကိန်းထွေးပြင်ညီတွင် ဖော်ပြထားသော အမျိုးမျိုးသော ကိန်းထွေးများ။]] [[File:Complex number illustration.svg|thumb|right|ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ပြသသည့် အာဂန်ပုံကြမ်းဖြင့် ပြနိုင်သည်။]] ကိန်းထွေး (Complex number) ကို ကိန်းစစ်များ (Real numbers) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ]] (Ordered pair) <math>(a, b)</math> တစ်ခုအဖြစ် ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ မတူညီလျှင် <math>(a, b)</math> နှင့် <math>(b, a)</math> တို့ကို မတူညီသော အရာများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ကိန်းထွေး <math>x = (a, b)</math> နှင့် <math>y = (c, d)</math> တို့၏ ညီမျှခြင်းတွင် <math>a = c</math> နှင့် <math>b = d</math> ဖြစ်မှသာလျှင် <math>x = y</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ကိန်းထွေးများ၏ အပေါင်း တွက်ချက်မှုကို <math>x + y = (a + c, b + d)</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး မြှောက်ခြင်း တွက်ချက်မှုကို <math>xy = (ac - bd, ad + bc)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။<ref name="Rudin1976">{{cite book |last=Rudin |first=Walter |author-link=Walter Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |year=1976 |isbn=978-0070856134 |pages=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/12 12]-14}}</ref> ထိုအပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုတို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအရ ကိန်းထွေးများအားလုံးပါဝင်သော [[အစု|အစု]]သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခုဖြစ်လာသည်။ ဤဖီးလ်ဒ်တွင် <math>(0, 0)</math> သည် သုည၏ အခန်းကဏ္ဍတွင် ပါဝင်ပြီး <math>(1, 0)</math> သည် တစ်၏ အခန်းကဏ္ဍတွင် ပါဝင်သည်။ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့အတွက်မဆို <math>(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0)</math> နှင့် <math>(a, 0)(b, 0) = (ab, 0)</math> ဟူသော ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ မှန်ကန်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>(a, 0)</math> ပုံစံရှိသော ကိန်းထွေးများသည် ပုံမှန်ကိန်းစစ်များနှင့် ထပ်တူညီသော ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများကို ပိုင်ဆိုင်ကြရာ <math>(a, 0)</math> အား <math>a</math> နှင့် အတူတူဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်နိုင်ပြီး ကိန်းစစ်စနစ်သည် ကိန်းထွေးစနစ်၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) တစ်ခုသာဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။<ref name="Rudin1976"/> အနုတ်တစ်၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဟူသော နားလည်ရန်ခက်ခဲသည့် သဘောတရားကို အသုံးမပြုဘဲ ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> ကို <math>i = (0, 1)</math> ဟူသော အစီအစဉ်ကျအတွဲအဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အထက်ပါ မြှောက်ခြင်းစည်းမျဉ်းကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>i^2 = -1</math> ဖြစ်ကြောင်းကို <math>i^2 = (0, 1)(0, 1) = (0\cdot 0 - 1\cdot 1, 0\cdot 1 + 1\cdot 0) = (-1, 0) = -1</math> ဟု ပုံစံတကျ သက်သေပြနိုင်သည်။ ဂျီဩမေတြီအရ ဤအစီအစဉ်ကျအတွဲများကို စံကိုဩဒိနိတ်များပါရှိသော ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်တစ်မှတ်၏ ကိုဩဒိနိတ်များအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ထိုပြင်ညီကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>{{cite book |last=Pedoe |first=Dan |author-link=Daniel Pedoe |title=Geometry: A comprehensive course |url=https://archive.org/details/geometrycomprehe0000pedo |publisher=Dover |year=1988 |isbn=978-0-486-65812-4}}</ref> စံအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အပြင် ကိန်းထွေးများ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{C}</math> ကို အခြားသော အက္ခရာသင်္ချာ နည်းလမ်းပေါင်းများစွာဖြင့် ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်နိုင်သည်။<ref name="nLab">{{cite web |author=nLab authors |title=Complex Numbers |url=https://ncatlab.org/nlab/show/complex+number |website=nLab |access-date=2024-01-15}}</ref> ၎င်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် စားလဒ်[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Quotient ring) <math>\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်]] (Isomorphic)။ ဤတွင် ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> သည် ပိုလီနိုမီရယ် <math>x</math> ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (Equivalence class) ဖြစ်သည်။ ယင်းကို <math>\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}</math> ပုံစံရှိ <math>2 \times 2</math> ကိန်းစစ် ကိန်းအုံများ၏ အက္ခရာသင်္ချာပိုင်းအဖြစ်လည်း တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုတည်ဆောက်ပုံတွင် ကိန်းအုံပေါင်းခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့သည် ကိန်းထွေး ဂဏန်းသင်္ချာကို ထင်ဟပ်စေသည်။ === အပေါင်းနှင့် အနုတ် (Addition and subtraction) === ကိန်းထွေးနှစ်ခုဖြစ်သော <math>a =x+yi</math> နှင့် <math>b =u+vi</math> တို့ကို ပေါင်းရာတွင် ၎င်းတို့၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းများနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို သီးခြားစီ ပေါင်းရသည်။ ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ ပေါင်းခြင်းကို [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]] ပေါင်းခြင်းဖြင့် အလွယ်တကူ သရုပ်ဖော်နိုင်သည်။ ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display=block>a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math> အလားတူပင် နုတ်ခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math display=block>a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> ဤစနစ်တွင် အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>0=0+0i</math> ဖြစ်ပြီး၊ ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်မှာ <math>-z=(-x)+(-y)i</math> ဖြစ်သည်။ === မြှောက်ခြင်း (Multiplication) === ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်သည်။ <math display=block>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> ဥပမာအားဖြင့် <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် ဤအချက်တွင် <math>i^2 = i \cdot i = -1</math> ဟူသော အခြေခံပုံသေနည်းသည် သီးသန့်အခြေအနေတစ်ခုအဖြစ် ပါဝင်နေသည်။ ဤစနစ်အတွက် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>1=1+0i</math> ဖြစ်သည်။ === ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်၊ ပကတိတန်ဖိုး၊ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် နှင့် စားခြင်း (Complex conjugate, absolute value, argument and division) === [[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|upright=0.8|ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ <math>z</math> နှင့် ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ် <math>\bar{z}</math> တို့၏ ဂျီဩမေတြီ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု။]] ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ၏ ''ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်'' (Complex conjugate) ကို <math>\bar{z} = x-yi</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>{{cite book |last=Apostol |first=Tom M. |author-link=Tom M. Apostol |title=Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/mathematicalanal02edtomm |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |year=1981 |pages=[https://archive.org/details/mathematicalanal02edtomm/page/15 15]–16 |isbn=978-0-201-00288-1}}</ref> ဂျီဩမေတြီအရ <math>\bar{z}</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုးကို အခြေပြု၍ <math>z</math> ၏ အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (Reflection) ဖြစ်သည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် [[အင်ဗော်လူးရှင်း|အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို နှစ်ကြိမ်ပြုလုပ်ပါက မူလကိန်းထွေးကို ပြန်လည်ရရှိမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို <math>\overline{\overline{z}}=z</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းသည် အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာများအပေါ်သို့ ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributive property) သက်ရောက်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\overline{z \pm w} = \overline{z} \pm \overline{w}</math>၊ <math>\overline{zw} = \overline{z}\overline{w}</math> နှင့် <math>\overline{(z/w)} = \overline{z}/\overline{w}</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဆက်မပြတ် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်]] [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်|အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Automorphism) တစ်ခုတည်းသာ ဖြစ်ပြီး ယင်းသည် ကိန်းစစ်များကို မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (Invariant) အဖြစ် ကျန်ရှိစေသည်။<ref name="nLab" /> ကွန်ဂျူဂိတ်သည် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို ထုတ်ယူရန်အတွက် အက္ခရာသင်္ချာနည်းလမ်း တစ်ခုကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display="block">\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad \operatorname{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}</math> မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> အတွက်မဆို မြှောက်လဒ် <math display=block>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> သည် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအချက်က <math>z</math> ၏ ''ပကတိတန်ဖိုး''၊ တစ်နည်းအားဖြင့် မော်ဂျူးလပ်စ် သို့မဟုတ် ပမာဏကို <math>|z|</math> ဟု သင်္ကေတပြု၍ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square root) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် ခွင့်ပြုပေးသည်။ <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> ယင်းသည် <math>z\bar{z} = |z|^2</math> ဟူသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref name="nLab" /> ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) အရ <math>|z|</math> သည် မူလနေရာ (Origin) မှ ကိန်းထွေး <math>z</math> ကို ကိုယ်စားပြုသော အမှတ်အထိ အကွာအဝေး ဖြစ်သည်။ ပကတိတန်ဖိုးသည် အမြဲတစေ အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>|zw| = |z||w|</math> ဟူသော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိကို ပြည့်စုံစေသည်။ ထို့ပြင် အောက်ပါအတိုင်း တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality) ကိုလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>||z|-|w||\le|z+w|\le |z| + |w|</math> ယင်းအပြင် <math>\operatorname{Re}(z)\le |z|</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z) \le |z|</math> အချက်များလည်း မှန်ကန်သည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z</math> နှင့် <math>w</math> အကြား အကွာအဝေးကိုမဆို <math>|z - w|</math> ဖြင့် ဖော်ပြပေးသည်။ တြိဂံ မညီမျှခြင်းများအပြင် <math>z = 0</math> မဟုတ်လျှင် <math>|z| > 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>|zw| = |z||w|</math> ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း အမြဲမှန်ကန်သည်။ ထို့အပြင် <math>a_1, \dots, a_n</math> နှင့် <math>b_1, \dots, b_n</math> တို့သည် ကိန်းထွေးများဖြစ်ပါက ၎င်းတို့သည် ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း (Schwarz inequality) ကို ပြည့်စုံစေသည်။<ref name="Rudin1976"/> <math display=block>\left| \sum_{j=1}^n a_j \bar{b}_j \right|^2 \le \sum_{j=1}^n |a_j|^2 \sum_{j=1}^n |b_j|^2</math> ကွန်ဂျူဂိတ်ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် အလိုရှိရာ ကိန်းထွေး <math>w = u + vi</math> ကို သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ဖြင့် စားခြင်းအား တွက်ချက်နိုင်သည်။ ထိုသို့တွက်ချက်ရာတွင် ပိုင်းဝေနှင့် ပိုင်းခြေ နှစ်ခုစလုံးကို ပိုင်းခြေ၏ ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြင့် မြှောက်ပေးရမည် ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> အကယ်၍ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x+yi</math> အတွက် ပိုင်းခြေစစ်စစ် <math>1/z</math> ကို ရှာဖွေလိုပါက အထက်ပါနည်းအတိုင်း <math>\frac{1}{z} = \frac{x}{x^2+y^2} +\frac{-y}{x^2+y^2} i</math> အဖြစ် လွယ်ကူစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် သို့မဟုတ် အခြေပြထောင့် <math>\varphi</math> (Argument or phase) သည် အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးနှင့် အချင်းဝက် ဗက်တာကြားရှိ ထောင့်ဖြစ်ပြီး <math>\arg z</math> ဟု ရေးသားသည်။ ၎င်းကို <math>\cos \varphi = \frac{x}{|z|}</math> နှင့် <math>\sin \varphi = \frac{y}{|z|}</math> တို့ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> === ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ နှင့် အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Polar form and Euler's Formula) === ပကတိတန်ဖိုး <math>r = |z|</math> နှင့် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် <math>\varphi</math> ရှိသော မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z</math> အတွက်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်းသည် မှန်ကန်သည်။ <math display=block>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi)</math> ဤထပ်တူညီမှုကို <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံအဖြစ် ရည်ညွှန်းသည်။ <math>e^x</math>၊ <math>\cos x</math> နှင့် <math>\sin x</math> တို့၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) ကို ကိန်းထွေး နယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့ခြင်းဖြင့် '''အွိုင်လာ ပုံသေနည်း''' (Euler's formula) ဟု လူသိများသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi</math> ရလဒ်အနေဖြင့် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံကို ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (Complex exponential function) အသုံးပြု၍ အများဆုံးနှင့် အသေသပ်ဆုံး ရေးသားလေ့ရှိသည်။ <math display=block>z = r e^{i\varphi}</math> ကိန်းထွေးနှစ်ခုကို ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံဖြင့် ပေးထားပါက ၎င်းတို့၏ မြှောက်လဒ်နှင့် စားလဒ်ကို အလွန်ရိုးရှင်းစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ တွက်ချက်ရာတွင် ပကတိတန်ဖိုးများကို မြှောက်ရမည် သို့မဟုတ် စားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့်များကို ပေါင်းရမည် သို့မဟုတ် နုတ်ရမည် ဖြစ်သည်။ <math display=block>z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}</math> <math>e^{i\varphi}</math> အဖြစ် ဖော်ပြသော မော်ဂျူးလပ်စ် <math>1</math> ရှိသည့် ကိန်းထွေးများကို ယူနီမော်ဂျူလာ (unimodular) ဟုခေါ်သည်။ ၎င်းတို့သည် စက်ဝိုင်းအုပ်စု (circle group) <math>S^1</math> ကို ဖွဲ့စည်းပြီး ၎င်းကို <math>\mathbb{T}</math> အဖြစ်လည်း ရေးသားဖော်ပြသည်။ <math>\mathbb{C}^\times = \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> ဖြစ်သော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စုရှိ သုညမဟုတ်သော မြှောက်ခြင်းသည် ဂျီဩမေတြီသဘောတရားအရ အရွယ်ပြောင်းခြင်း နှင့် လှည့်ခြင်းကို ကိုယ်စားပြုသည်။မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စုသည် <math>\mathbb{C}^\times \cong S^1 \times \mathbb{R}_{>0}</math> ဟူသော တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ်အဖြစ် ခွဲခြမ်းနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>S^1</math> သည် လှည့်ခြင်းများကို ကိုယ်စားပြုပြီး ထိုလှည့်ခြင်းများကို ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် <math>\varphi</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ ထို့ပြင် အပေါင်း ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}_{>0}</math> သည် တစ်ပြေးညီ အရွယ်ပြောင်းခြင်းကို ကိုယ်စားပြုပြီး ၎င်းသည် ပမာဏများကို ဖော်ပြခြင်းဖြစ်သည်။ === ထပ်ကိန်းများ နှင့် ကိန်းရင်းများ (Powers and roots) === ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ထပ်ကိန်း (n-th power) ကို ဒေ မွာဗ်၏ ပုံသေနည်း (de Moivre's formula) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်နိုင်သည်။ ယင်းပုံသေနည်းကို မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>\varphi</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> အတွက်မဆို အွိုင်လာ ပုံသေနည်းမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်ရယူထားခြင်း ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> z^{n} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းများကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display=block>z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ဤတွင် <math>0 \le k \le n - 1</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z^n = 1</math> ညီမျှခြင်းတွင် ယူနစ်ရင်းများ (Roots of unity) ဟု လူသိများသော မတူညီသည့် အဖြေ <math>n</math> ခု ရှိသည်။ အာဂန် ပုံကြမ်းတွင် အဆိုပါ ကိန်းရင်းများသည် ယူနစ်စက်ဝိုင်းအတွင်း ဆွဲသားထားသော မှန်ကန်သည့် အနား <math>n</math> ခုပါ ဗဟုဂံ (Polygon) တစ်ခု၏ ထိပ်စွန်းမှတ်များ (Vertices) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။<ref name="Earl2024" /> <math>\mathbb{C}^\times</math> ၏ အဆုံးရှိ အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုရှိ အစုဝင်တိုင်းသည် ယူနစ်ရင်း (root of unity) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{C}^\times</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်ဖြစ်သောကြောင့်]] အဆုံးရှိ အုပ်စုပိုင်း (finite subgroup) တိုင်းသည် ဆိုက်ကလစ်ဖြစ်သည်။ ၎င်းအုပ်စုပိုင်းကို အကြီးဆုံး အစဉ် <math>n \in \mathbb{N}</math> ရှိသော အစုဝင်တစ်ခုမှ ထုတ်လုပ်ပေးပြီး <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ယူနစ်ရင်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းတို့ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ :<math>\left\{ e^{2\pi i \frac{k}{n}} \mid k \in \{0, 1, \dots, n-1\} \right\}</math> ဤအစုဝင်များအားလုံးသည် ယူနစ်စက်ဝိုင်း (unit circle) <math>S^1</math> ပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ အဆုံးရှိ အုပ်စုပိုင်းများအားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုသည် <math>\mathbb{C}^\times</math> ၏ အလိမ် အုပ်စုပိုင်း (torsion subgroup) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ၎င်းသည် စားလဒ်အုပ်စု <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်။ ထိုစားလဒ်အုပ်စုသည် ယူနစ်ရင်းများအားလုံး ပါဝင်သော အုပ်စု <math>\mu_\infty</math> ဖြစ်သည်။ ဤ အလိမ် အုပ်စုပိုင်းသည် ၎င်း၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ပြည့်စုံစေခြင်းဖြစ်သော စက်ဝိုင်းအုပ်စု <math>S^1</math> တွင် သိပ်သည်းသည် (dense)။ <math>S^1</math> သည် 1-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{R}/\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်။ === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental theorem of algebra) === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် အရ မည်သည့် ကိန်းထွေးများ <math>a_0, \dots, a_n</math> အတွက်မဆို <math>a_n \neq 0</math> နှင့် ပိုလီနိုမီရယ်၏ ဒီဂရီ သည် <math>n \ge 1</math> ဖြစ်ပါက <math display=block>a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် <math>\mathbb{C}</math> အတွင်း တိကျစွာ ကိန်းရင်း <math>n</math> ခု ရှိသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ ဤနေရာတွင် ထပ်တူညီသော ကိန်းရင်းများကိုပါ ထည့်သွင်းရေတွက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကြောင့် <math>\mathbb{C}</math> ကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်]] (Algebraically closed field) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ပြင် ကွန်ဂျူဂိတ် ကိန်းရင်း သီအိုရမ်အရ ပိုလီနိုမီရယ်တွင် တိကျစွာ ကိန်းစစ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများသာ ပါဝင်ပါက မည်သည့် ကိန်းထွေး ကိန်းရင်းများမဆို ကွန်ဂျူဂိတ် စုံတွဲများအဖြစ်သာ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z_0</math> သည် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\overline{z_0}</math> သည်လည်း ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်ရမည်။<ref name="Earl2024" /> === အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း နှင့် ပြည့်စုံမှု (Metric space and completeness) === ကိန်းထွေးများအားလုံး ပါဝင်သော ကိန်းထွေးပြင်ညီသည် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (Metric space) တစ်ခုကို ဖန်တီးပေးသည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>x</math> နှင့် <math>y</math> တို့အကြားရှိ သင်္ချာဆိုင်ရာ အကွာအဝေး (Distance) ကို ၎င်းတို့၏ ပကတိတန်ဖိုးကို အသုံးပြု၍ <math>d(x, y) = |x - y|</math> ဟု တိုက်ရိုက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref name="Rudin1976"/> ကိန်းထွေးပြင်ညီသည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (Complete metric space) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ကိန်းထွေးများပါဝင်သော မည်သည့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်|ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) မဆို ကိန်းထွေးတစ်ခုဖြစ်သည့် စုဆုံမှတ် (Limit) တစ်ခုဆီသို့ အောင်မြင်စွာ စုဆုံသည် (Converge) ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်း၌ မည်သည့်ဟာကွက်မျှ မရှိကြောင်းကို ဤအချက်က ဖော်ပြနေသည်။<ref name="Rudin1976"/> === တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ နှင့် ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Extended complex plane and complex analysis) === [[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|upright=0.9|ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် အပေါ်သို့ ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း ဖြင့် ထင်ဟပ်ဖော်ပြခြင်း။]] သင်္ချာပညာရှင်များသည် <math>\mathbb{C}</math> သို့ အနန္တရှိ အမှတ်တစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\infty</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် <math>\mathbb{C}_\infty</math> ဟုခေါ်သော '''တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ''' (Extended complex plane) ကို ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် ၎င်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ကို အလက်ဇန်ဒရော့ဗ် အမှတ်တစ်မှတ် ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း (Alexandroff one-point compactification) ဖြစ်သည်။<ref name="nLab" /> ၎င်းကို ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း (Stereographic projection) မှတစ်ဆင့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုရှိသော ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် တစ်ခုပေါ်သို့ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု]] (Bijective mapping) ဖြင့် ဆက်စပ်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ယင်းကို '''ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင်''' (Riemann sphere) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤရပ်ဝန်းတွင် မျဉ်းများနှင့် စက်ဝိုင်းများကြား ကွဲပြားမှု ပျောက်ကွယ်သွားသည်။ မျဉ်းများကို အနန္တကို ဖြတ်သန်းသွားသော စက်ဝိုင်းများအဖြစ် ရိုးရှင်းစွာ သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> ကိန်းထွေးအလိုက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] ကို တိကျစွာ လေ့လာခြင်းသည် သင်္ချာပညာရပ်၏ အကိုင်းအခက်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အဆိုပါ ဖန်ရှင်များကို ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ (Holomorphic functions) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ထိုပညာရပ်ကို '''ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ''' (Complex analysis) ဟု လူသိများသည်။ ကိန်းထွေးအလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုသည် ကိန်းစစ်အလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုထက် များစွာပို၍ တင်းကျပ်သော အခြေအနေတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များတွင် ထူးခြားသော ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိနေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ၎င်းတို့ကို အနန္တအကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်ခြင်းနှင့် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ဖြင့် သဘာဝကျစွာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်ခြင်းတို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> == ကိုးကားချက်များ (References) == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] fko4ga1otjxw8l82630al6mo5jxbv6b 0 16711 1054136 1052339 2026-09-19T13:54:51Z InternetArchiveBot 61272 Adding 1 book for [[ဝီကီပီးဒီးယား:စိစစ်အတည်ပြုခံနိုင်မှု]] (20260919)) #IABot (v2.0.9.6) ([[User:GreenC bot|GreenC bot]] 1054136 wikitext text/x-wiki {{Paraphyletic group |name = Salmon |image = Salmo salar.jpg |image_caption = Atlantic salmon, ''Salmo salar'' |auto = yes |parent = Salmoninae |includes = *{{extinct}}''[[:en:Eosalmo driftwoodensis]]'' <small>[[:en:Mark V. H. Wilson|Wilson]], 1977</small> *''[[:en:Oncorhynchus gorbuscha]]'' <small>([[:en:Johann Julius Walbaum|Walbaum]], 1792)</small> *''[[:en:Oncorhynchus keta]]'' <small>([[:en:Johann Julius Walbaum|Walbaum]], 1792)</small> *''[[:en:Oncorhynchus kisutch]]'' <small>([[:en:Johann Julius Walbaum|Walbaum]], 1792)</small> *''[[:en:Oncorhynchus masou]]'' <small>([[:en:J. Carson Brevoort|Brevoort]], 1856)</small> *''[[:en:Oncorhynchus nerka]]'' <small>([[:en:Johann Julius Walbaum|Walbaum]], 1792)</small> *''[[:en:Oncorhynchus tshawytscha]]'' <small>([[:en:Johann Julius Walbaum|Walbaum]], 1792)</small> *''[[:en:Salmo salar]]'' <small>[[ကားလ် လင်းနီးယပ်|Linnaeus]], 1758</small> |excludes = all other ''[[:en:Oncorhynchus]]'' and ''[[:en:Salmo]]'' species }} ငါးသေတ္တာစားဘူးသူတိုင်း ဆလ်မွန်ငါးကိုသိကြပေမည်။ ဆယ်မွန်ငါးသည် စည်သွတ်ရသော ငါးတစ်မျိုးဖြစ်သည်။ ဆလ်မွန်ငါးကို ဥရောပတိုက်အနောက်ဘက်၊ ကနေဒါနိုင်ငံအရှေ့ ဘက်၊ အမေရိကန် နိုင်ငံအရှေ့ဘက်တို့၌ရှိသော မြစ်များ၊ ပင်လယ်များတွင် အများအပြားတွေ့ရသည်။ ဆယ်မွန်ငါးသည် ရေချို အရပ်တွင် တစ်နှစ်ပတ်လုံးနေလေ့မရှိပေ။ စင်စစ်အားဖြင့် ရေချိုအရပ်တွင် မွေးသော်လည်း အသက် ၂ နှစ်ခန့် ရှိသော အခါတွင် ဆန်းကြယ်သော ပင်ကိုအသိ၏ လှုံ့ဆော်ချက်ကြောင့် ပင်လယ်ထဲသို့ လှည့်လည်ကျက်စားတတ်သည်။ နွေအချိန်တွင် မြစ်ငယ်ချောင်းငယ်များအတွင်းသို့ ဝင်ရောက်လာ၍ ဆောင်းဥတု တွင် ပင်လယ်၌ပင်နေလေ့ရှိသည်။ နွေဦးပေါက်လျှင် ဆယ်မွန်ငါးသည် အလုံးအရင်းနှင့် သမုဒ္ဒရာထဲမှ မြစ်ဝချောင်းဝများဆီသို့ သွားရောက် စုရုံးတတ် ကြသည်။ ထို့နောက် မြစ်ရေကို ခရီးရှည်လျားစွာ ဆန်တက်ကြ သည်။ လမ်း၌တွေ့ရသောအဆီးအတားများကို ဂရုမပြုတတ်ပေ။ ရေခဲတုံးကြီးများ၊ ရေတံခွန်များကို တွေ့ရသည့်တိုင်အောင် ကွေ့ ရှောင်တိမ်းဖယ်၍ မသွားဘဲ၊ လေထဲသို့ ၆ ပေ၊ ၇ ပေခန့်မျှ ခုန်တက်၍ ထိုအဆီးအတားကို ဖြတ်ကျော်လေသည်။ ရေငြိမ် သောနေရာသို့ရောက်လျှင်၊ ရက်ပေါင်းများစွာ ဆက်လက်၍ ခရီးသွားပြန်ရာ၊ မူလနေရာမှ မိုင်ပေါင်း များစွာဝေးသောအရပ် သို့ ရောက်ခါမှ ရပ်တန့်တော့သည်။ ဆယ်မွန်ငါးများသည် သွားလိုရာအရပ်သို့ အားလုံးချောမောစွာ မရောက်ကြချေ။ ထောင်ပေါင်းများစွာတို့မှာ ပိုက်ကွန်ထဲတွင် မိကုန်ကြသည်။ ဆောင်းဦးပေါက်သောအခါ ဆယ်မွန်ငါးတို့သည် အသွေး အရောင်နှင့် သဏ္ဌာန်ပြောင်းလဲကြပြန်၏။ တပြောင်ပြောင် တောက်ပလျက်ရှိသော ငွေရောင်သည် မွဲခြောက်ခြောက်ဖြစ် သွားသည်။ ထိုမျှသာမက၊ သေးသွယ်ကြော့ရှင်းသော ကိုယ်လုံး ကိုယ်ထည်မှာလည်း အကျည်းတန် အရုပ်ဆိုး၍လာလေသည်။ နံလေးသားမှာ ချောင်ကျသွား၍ နောက်ကျောမှာလည်း ပို့ကြီး သဖွယ် ကြွတက်လာပြီးလျှင်၊ နှာသီးသည် အပြင်ဘက်သို့ ရှည်ထွက်ကာ၊ အောက်မေးရိုးသည် အထက်သို့တက်လာလေ သည်။ ဤအချိန်မျိုးတွင် ဆယ်မွန်ငါးသည် အလျင်းစား၍ မကောင်းတော့ပေ။ ဆောင်းဦးပေါက်လာသည်နှင့် ငါးမသည် မြစ်၏အောက် မြေပြင်ပေါ်တွင် တိမ်သောမြောင်းကလေးများကို လုပ်စပြုသည်။ မြောင်းကလေးများ ဖောက်လုပ်ပုံမှာ၊ ရေအောက်ရှိ ကျောက် စရစ်ခဲများအပေါ်တွင် လူးလိုက် လှိမ့်လိုက်ဖြင့် သဲခင်းကို ကိုယ်နှင့်တိုက်၍ ဖောက်လုပ်သည်။ ထိုမြောင်းကလေးများ ထဲတွင် ဥများအုပြီးသော် သဲဖြင့်သေချာစွာ ပြန်ဖုံးထားလေ့ ရှိ၏။ ဆယ်မွန်ငါးအုနေသော အချိန်တွင် ဆယ်မွန်ငါးထီးတို့ သည် တစ်ကောင်ကိုတစ်ကောင် ကိုက်ဖြတ်တတ်ကြသည်။ ပစိဖိတ်ကမ်းခြေတလျောက်ရှိ ဆယ်မွန်ငါးထီးများကား ငါးမ များအသိုက်လုပ်နေစဉ် စောင့်ရှောက်ပေးတတ်၏။ ဥများကို သဲထဲတွင် လုံခြုံစွာ မြှုပ်နှံကွယ်ဝှက်ထားပြီး သည့်အခါ၌ ဆယ်မွန်ငါးထီးနှင့် ငါးမတို့သည် အားအင်ချည့်နဲ့ လာသည်။ ထိုအခါ၌ ငြိမ်သက်တိတ်ဆိတ်သော ရေအိုင် တစ်အိုင်တွင် ခေတ္တခဏမျှ နားနေပြီးနောက် အနည်းငယ်မျှ သော ဆယ်မွန်ငါးတို့သာလျှင် အားအင်တစ်ဖန်ပြန်လည်ပြည့်ဝ လာကြသည်။ သို့သော်လည်း များစွာသော ငါးတို့သည် ပင်လယ်သို့မရောက်မီပင် သေကြေကုန်ကြသည်။ ဆယ်မွန်ငါးဥများသည် အစပထမ၌ အနီရင့်ရောင် ပုတီး စေ့ကလေးများကဲ့သို့ဖြစ်၍၊ ပဲစေ့ကလေးတစေ့လောက်သာရှိ သည်။ ချမ်းအေးသောဆောင်းရာသီ တစ်ရာသီလုံးတွင် ငါးဥ ကလေးများသည် ရေအောက်၌ သဲများဖုံးလွှမ်းလျက်ရှိကြသည်။ နွေဦးအခါတွင် ငါးဥထဲမှ ပေါက်လာသော ဆယ်မွန်ငါးကလေး များသည် ရွနေသောသဲခင်းကို ထိုးဖောက်၍ ထွက်လာကြသည်။ ပစိဖိတ်သမုဒ္ဒရာ ကမ်းခြေတစ်လျှောက်ရှိ ဆယ်မွန်ငါး ဥများမှာ အုပြီးနောက် ရက် ၆ဝ ခန့်ကြာသောအခါ သားပေါက်လာ သည်။ နွေဦးပေါက်ချိန်တွင် ထိုငါးများသည် ပင်လယ်တွင်းသို့ ပြန်ရောက်လာကြသည်။ ဆယ်မွန်ငါးကလေးများသည် အလွန်ထူးဆန်းအံ့ဩဖွယ် ကောင်းသည်။ ကိုယ်ပေါ်တွင် အစာအိတ်တအိတ် သီးသန့်ပါရှိ သဖြင့် ငါးကလေးနှင့် မတူဘဲ၊ ဖားလောင်းကလေးနှင့်တူသည်။ ဤထူးဆန်းသော အိတ်ကလေးများမှာ ဥ၏ အနှစ်ပါရှိသော 'အနှစ်အိတ်'များ ဖြစ်သည်။ ဥအထဲတွင်ရှိသော အနှစ်ကို မှီဝဲ ခြင်းဖြင့် မွေးခါစငါးကလေးသည် ရက်သတ္တပတ် အနည်းငယ် ကြာအောင် မည်သည့်အစာကိုမျှ မစားဘဲ အသက်ရှင်နေနိုင် သည်။ ထိုအစာကုန်ခန်းသောအခါမှပင် အပြင်သို့ လှည့်လည် သွားလာလေတော့သည်။ ထိုအခါ ဆယ်မွန်ငါးပေါက်စသည် ဖားလောင်း၏ ပုံသဏ္ဌာန် ဖြစ်လာသည်။ သို့သော်လည်း အရွယ်မှာ တစ်လက်မခန့်သာရှိသေးသည်။ ဆယ်မွန်ငါးပေါက်စသည် အဆင့်ဆင့် ကြီးရင့်လာရာ၌ အတော်ပင် လျင်မြန်ရကား၊ မကြာမြင့်မီ အလျား ၄ လက်မမှ ၅ လက်မအထိရှိသော ငါးကြီးဖြစ်လာလေသည်။ ဆယ်မွန်ငါးကလေးများသည် အရွယ်ရောက်ပြီးသော ဆယ်မွန်ငါးများကဲ့သို့ ဖြူပြာရောင်သန်းမနေပေ။ ညိုဖျော့သော အရောင်ရှိ၍၊ အရေခွံပေါ်တွင် အနီစက်များ ပါရှိသည်။ ထို ငါးကလေးများသည် ကျောက်တုံးများ၏ အကြိုအကြားဝယ် ဝင်ထွက်ကာ၊ ပိုးမွှားကို ဟပ်ယူစားမျိုတတ်သည်။ အမြဲပင် ဆာလောင်မွတ်သိပ်၍ နေတတ်သည်။ ဆယ်မွန်ငါးကလေးများသည် ၇ လက်မ၊ ၈ လက်မ အရွယ်ရှိသော ငါးပေါက်စများ ဖြစ်လာသည့် အခါတွင် မြစ်ရေစီးကြောင်းတိုင်းလိုက်၍ ပင်လယ်သို့ ဆင်းကြသည်။ ငါးကလေး၏ ကိုယ်ရောင်မှာ ငယ်စဉ်ကကဲ့သို့ မွဲခြောက် ညစ်ပေခြင်းမရှိတော့ဘဲ၊ ငွေသွေးငွေရောင် တပြောင်ပြောင် တောက်ပလျက်ရှိသည်။ အရွယ်ကြီးမား၍ ဆာလောင်မွတ်သိပ်နေသော ငါးကြီး များသည် ထိုဆယ်မွန်ငါးကလေးများနောက်မှ တကောက် ကောက်လိုက်၍ ဖမ်းယူစားသောက်တတ်သည်။ စွန်ရဲများနှင့် ပင်လယ်ဇင်ယော်များကလည်း ရေကူးမကျင်လျင်သေးသော ငါးကလေးများကို အလစ်တွင်ဝင်၍ သုတ်တတ်ကြသေးသည်။ ထို့ကြောင့် ပင်လယ်သို့ အနည်းငယ်မျှသော ငါးများသာလျှင် ဘေးမသီရန်မခဘဲ၊ ချောမောစွာ ရောက်လာနိုင်သည်။ ဆယ်မွန်ငါး ပေါက်စများသည် အရွယ်ရောက်သောငါးကြီး ဖြစ်ဖို့ရန် လေးနှစ်ခန့်ကြာသည်။ ဆယ်မွန်ငါး အမျိုးပေါင်း မြောက်မြားစွာရှိ၍၊ ယင်းတို့ကို အမည်အသီးသီးဖြင့် ခွဲခြား၍ ခေါ်ကြသည်။ ဆယ်မွန်မျိုးတွင် အတ္တလန္တိတ်ဆယ်မန်ငါး၊ ပစိဖိတ်ဆယ်မန်ငါး၊ ချင်းနွတ်ဆယ်မွန်ငါး စသည်ဖြင့် အမျိုး မျိုးရှိ၏။ ဆယ်မွန်ငါးတို့သည် ကမ္ဘာ၏ မြောက်ဘက်ပိုင်းရှိ အေးမြသော ပင်လယ်တို့တွင် ကျက်စားလေ့ရှိကြသည်။ ရေချိုဆယ်မွန်ငါးလည်း ရှိသေးသည်။ ထိုငါးမျိုးကို 'ကုန်းဆယ်မွန်ငါး'ဟူ၍လည်း ခေါ်၏။ အဘယ့်ကြောင့်ဆိုသော် ထိုငါးတို့သည် အများအားဖြင့် မြောက်အမေရိကတိုက်နှင့် ဥရောပတိုက်ရှိ အိုင်ကြီးများတွင်သာ နေလေ့ရှိသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ထိုငါးတို့သည် အိုင်ထဲသို့စီးဝင်သော ချောင်း၊ မြောင်း၊ မြစ်စသည် တို့တွင်သာ ဝင်ရောက်ကျက်စားလေ့ရှိ သည်။ ထိုနေရာများသို့ လာရောက်ကြခြင်းမှာလည်း ငါးကလေး များမွေးရန်အတွက် သက်သက်ဖြစ်သည်။ ဤဆယ်မွန်ငါးများ သည် ပင်လယ်ဆယ်မွန်ငါးများကဲ့သို့ ကိုယ်လုံး ကိုယ်ထည် ကြီးမားခြင်းမရှိပေ။ ဆယ်မွန်ငါး ဥအုသောအချိန်မှာ အများအားဖြင့် နိုဝင်ဘာ လနှင့် ဒီဇင်ဘာလထဲတွင် ဖြစ်သည်။ ဆယ်မွန်ငါးစည်သွတ် လုပ်ငန်းသည် ကမ္ဘာအနှံ့ရှိ ငါးလုပ်ငန်းကြီးတစ်ခုလုံးတွင် အရေးပါအရာ ရောက်ပေသည်။<ref>{{cite book |editor1-last=Lackey |editor1-first=Robert |editor2-last=Lach |editor2-first=Denise |editor3-last=Duncan |editor3-first=Sally |title=Salmon 2100: The Future of Wild Pacific Salmon |url=https://archive.org/details/salmon2100future0000unse |date=2006 |publisher=American Fisheries Society |location=Bethesda, MD |isbn=1-888569-78-6 |page=629}}</ref> အထူးသဖြင့် ကနေဒါနိုင်ငံနှင့် အမေရိကန် ပြည်ထောင်စုတွင် ဆယ်မွန်ငါးစည်သွတ်လုပ်ငန်းမှာ အရေးကြီး သော လုပ်ငန်း ဖြစ်သည်။ ဤစည်သွတ်လုပ်ငန်းအတွက် အသင့်တော်ဆုံး ဆယ်မွန်ငါးမျိုးမှာ 'ကွင်းနက်'ငါးမျိုးဖြစ်၏။ ထိုငါးမျိုးမှာ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုနှင့် ကနေဒါနိုင်ငံတွင်သာ ရှိသည်မဟုတ်ပေ။ ယခုအခါ နယူးဇီလန်ကျွန်းတွင် စမ်းသပ် မွေးမြူရာ၌ အောင်မြင်သည်ကို တွေ့ရလေသည်။<ref>မြန်မာ့စွယ်စုံကျမ်း၊ အတွဲ(၄)</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} [[Category:စီးပွားဖြစ်ငါး]] art9e3iexueqsb5ikblpeql6a67f1as 0 50158 1054168 1053409 2026-09-19T16:49:29Z ~2026-50799-08 148372 1054168 wikitext text/x-wiki {{Infobox School | name = ပညာရေးတက္ကသိုလ် လေ့ကျင့်ရေးကျောင်း | native_name =လေ့ကျင့်ရေး အထက | image = | imagesize = | logo = TTC logo.PNG | motto ="All for All" | type = | established = ၁၉၃၁ | rector =ဒေါက်တာ အေးအေးမြင့် | principal =ဒေါက်တာသွယ်သွယ်ဦး | students =၇၂၀၀ခန့် (၂၀၁၈) ၃၅၀၀ခန့်(၂၀၂၅) | staff = | location =[[ကမာရွတ်မြို့နယ်]]၊ [[ရန်ကုန်မြို့]] }} '''ပညာရေးတက္ကသိုလ် လေ့ကျင့်ရေးကျောင်း''' ({{lang-en|Practising High School, Yangon University of Education}}; အတိုကောက် '''တီတီစီ''') သည် [[ရန်ကုန်မြို့]]ရှိ အထက်တန်းကျောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၁၉၃၁ ခုနှစ်၌ တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ခက်ခဲသော အထက်တန်းဆင့်ကျောင်းစစ်စာမေးပွဲများကျင်းပသော ကျောင်းတစ်ကျောင်းဖြစ်သည်။တက္ကသိုလ်ဝင်တန်းစာမေးပွဲ(ဒွါဒသမတန်း)ကို ဘာသာစုံဂုဏ်ထူးဖြင့်အောင်မြင်သော ကျောင်းသားကျောင်းသူများကို ပညာ့ဗိမာန်ခန်းမကြီးတွင် ဂုဏ်ပြုဓာတ်ပုံချိတ်ဆွဲပေးလေ့ရှိသည်။ တီတီစီ ကျောင်းများသည် [[ကမာရွတ်မြို့နယ်]]တွင်လည်းကောင်း၊ [[ရန်ကင်းမြို့နယ်]]တွင်လည်းကောင်း၊ [[လှိုင်မြို့နယ်]]တွင်လည်းကောင်း တည်ရှိကြသည်။ == ကျောင်းသားကျောင်းသူဟောင်းများ == * [[သန်း၊ ကို၊ (ကြည့်မြင်တိုင်)|ကိုသန်း (ကြည့်မြင်တိုင်)]] * [[ဝင်းဦး]] * [[ဇေယျသူ]] * [[ဖြူဖြူကျော်သိန်း]] * [[ရတနာခင်]] * [[မျိုးကျော့မြိုင်]] * [[ဆောင်းဦးလှိုင်]] * ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်း * သခင်နု * Aye Naywin<br /> == ပြင်ပလင့်ခ်များ == * [https://www.facebook.com/ttcyangon တီတီစီ] [[Category:ရန်ကုန်မြို့ရှိ အထက်တန်းကျောင်းများ]] chfk1ej67vie5md96m8yvicur2x13gq 8 60344 1054228 683592 2026-09-20T09:53:03Z NguoiDungKhongDinhDanh 97258 Remove deprecated option. See [[:phab:T298199|T298199]] for more information. ([[:m:GS|global sysop]] action) 1054228 wikitext text/x-wiki ==EditTools== *HotCat|HotCat.js *Cat-a-lot[dependencies=mediawiki.util]|Cat-a-lot.js == appearance == * switcher[default|targets=desktop,mobile]|switcher.js == editing == * refToolbar[dependencies=user.options,mediawiki.util]|refToolbar.js * refToolbarBase[hidden]|refToolbarBase.js * charinsert[default|peers=charinsert-styles]|charinsert.js * charinsert-core[hidden|dependencies=jquery.textSelection,user,mediawiki.storage]|charinsert-core.js * charinsert-styles[hidden|type=styles]|charinsert-styles.css eli67zs9unsrclcl3e6iiqddphw8eq3 0 75693 1054132 804769 2026-09-19T13:48:10Z Ninjastrikers 22896 1054132 wikitext text/x-wiki '''ထောင်စုနှစ်''' ({{langx|en|millennium}}; {{plural abbr|'''millennia''' သို့ '''millenniums'''}}) သည် [[ခုနှစ်|နှစ်]]ပေါင်းတစ်ထောင် ကာလတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>{{cite Lexico|millennium}} {{Webarchive |url=https://web.archive.org/web/20130126065029/http://oxforddictionaries.com/us/definition/american_english/millennium}}.</ref><ref>{{cite Merriam-Webster|millennium}}</ref> ပုံမှန်အားဖြင့် ဤဝေါဟာရကို သက်ဆိုင်ရာ[[ပြက္ခဒိန်]]၏ စတင်ရာအမှတ် (မူလရည်ညွှန်းအမှတ်) မှ စတင်သော အနှစ်တစ်ထောင်ကာလများနှင့် ထိုစတင်ရာအမှတ်နောက်ပိုင်း အနှစ်တစ်ထောင်၏ ကိန်းပြည့်ဆတိုးဖြစ်သော နှစ်များအတွက် သီးသန့်ရည်ညွှန်း အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ ထို့အပြင် မည်သည့်ရက်စွဲမှမဆို စတင်ရေတွက်သည့် အချိန်ကာလအပိုင်းအခြားတစ်ခုကိုလည်း ဤဝေါဟာရဖြင့် ရည်ညွှန်းနိုင်သည်။ ထောင်စုနှစ်များသည် ရံဖန်ရံခါတွင် ဘာသာရေး သို့မဟုတ် ဓမ္မသဘောတရားဆိုင်ရာ သက်ရောက်မှုများလည်း ရှိတတ်သည်။ {{wikt-lang|la|millennium}} ဟူသော စကားလုံးသည် 'တစ်ထောင်' ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော [[လက်တင်ဘာသာစကား|လက်တင်]]စကားလုံး {{wikt-lang|la|mille}} နှင့် 'နှစ်' ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော {{wikt-lang|la|annus}} တို့မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{cite EB1911 |wstitle=Millennium |volume=18 |page=461 |first=Carl Gustav Adolf |last=von Harnack}}</ref> ==ထောင်စုနှစ် ကျင်းပခြင်းဆိုင်ရာ အငြင်းပွားမှု== [[File:"All aboard for the millennium!" - Opper and Keppler. LCCN2012648532 (cropped).jpg|thumb|အော့ပါနှင့် ကပ်ပလာတို့၏ ၁၈၉၆ ခုနှစ်လက်ရာ "ထောင်စုနှစ်ဆီသို့ အားလုံးတက်ကြစို့!"]] ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်သို့ ရောက်ရှိခါနီးအချိန်တွင် အဆိုပါနှစ်စတင်ခြင်းကို ထောင်စုနှစ် "အသစ်" စတင်ခြင်းအဖြစ် နားလည်သဘောပေါက်သင့်သလား ဟူသည့်အပေါ် အများပြည်သူအကြား ငြင်းခုံဆွေးနွေးမှုများ ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ယခင်[[ဆယ်စုနှစ်]]များ၊ [[ရာစုနှစ်]]များနှင့် ထောင်စုနှစ်များ အကူးအပြောင်းကာလများတွင်လည်း ဤကဲ့သို့ အငြင်းပွားမှုများ ရှိခဲ့ဖူးသည်။ ဤပြဿနာသည် "တတိယထောင်စုနှစ်" ဟု အသုံးပြုသကဲ့သို့ နှစ်များနှင့် ထောင်စုနှစ်များကို အစဉ်လိုက်ပြ ကိန်းဂဏန်းများဖြင့် ရေတွက်သည့် ဓလေ့နှင့် "နှစ်ထောင်ပြည့်ကာလများ" ဟု အသုံးပြုသကဲ့သို့ အရပ်သုံးဖော်ပြချက်ကို အသုံးပြုသည့် ဓလေ့တို့အကြား ကွဲပြားခြားနားမှုမှ ဖြစ်ပေါ်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ အမြင်သဘောထား ကွဲလွဲရခြင်း၏ အဓိကအချက်မှာ "-၀၀၀" ဖြင့် ဆုံးသောနှစ်၏ အဆုံးသတ်ကာလ သို့မဟုတ် အစပြုကာလ မည်သည့်အချိန်တွင် ကျင်းပမည်နည်းဟူသည့်အပေါ် မူတည်နေသည်။ ပထမနည်းလမ်းသည် အင်္ဂလိပ်စကားပြော နိုင်ငံများတွင် အသုံးများပြီး ဒုတိယနည်းလမ်းကိုမူ ဆွီဒင်ကဲ့သို့သော နိုင်ငံတွင် နှစ်သက်ကြသည် (''tvåtusentalet'' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး တိုက်ရိုက်ဘာသာပြန်ဆိုပါက ''နှစ်ထောင်ပြည့်ကာလအပိုင်းအခြား''ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်)။ ထောင်စုနှစ်သစ် ရောက်ရှိခြင်းကို ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်မှ ၂၀၀၁ ခုနှစ်သို့ ကူးပြောင်းချိန် (ဆိုလိုသည်မှာ ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ် ဒီဇင်ဘာလ ၃၁ ရက်မှ ၂၀၀၁ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၁ ရက်) တွင် ကျင်းပသင့်သည်ဟု ယူဆသူများက နှစ်များကို [[ခရစ်နှစ်]] ''Anno Domini'' စနစ်ဖြင့် ရေတွက်ရာတွင် [[၀ ဆယ်စုနှစ်|၁ ခုနှစ်]]မှ စတင်ခဲ့ပြီး ([[၀ ခုနှစ်]]ဟူ၍ မရှိခဲ့ပါ) ထို့ကြောင့် [[၁ ထောင်စုနှစ်|ပထမထောင်စုနှစ်]]သည် ၁ ခုနှစ်မှ ၁၀၀၀ ပြည့်နှစ်ကုန်အထိ ဖြစ်ကာ၊ [[၂ ထောင်စုနှစ်|ဒုတိယထောင်စုနှစ်]]သည် ၁၀၀၁ ခုနှစ်မှ ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်ကုန်အထိ ဖြစ်ပြီး၊ [[၃ ထောင်စုနှစ်|တတိယထောင်စုနှစ်]]သည် ၂၀၀၁ ခုနှစ်တွင် စတင်ကာ ၃၀၀၀ ပြည့်နှစ်ကုန်တွင် ပြီးဆုံးမည်ဟု အကြောင်းပြခဲ့ကြသည်။ အလားတူပင် [[ဘီစီ ၁ ထောင်စုနှစ်|ဘီစီ ပထမထောင်စုနှစ်]]သည်လည်း ဘီစီ ၁၀၀၀ မှစ၍ ဘီစီ ၁ ခုနှစ်ကုန်အထိ ဖြစ်ခဲ့သည်။ လူကြိုက်များသော ယဉ်ကျေးမှုဓလေ့အရမူ ထောင်စုနှစ်သစ် ရောက်ရှိခြင်းကို ၁၉၉၉ ခုနှစ်မှ ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်သို့ ကူးပြောင်းချိန် (ဆိုလိုသည်မှာ ၁၉၉၉ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလ ၃၁ ရက်မှ ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ် ဇန်နဝါရီလ ၁ ရက်) တွင် ကျင်းပခြင်းကို အားပေးခဲ့ကြသည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် သုညများ ပြောင်းလဲသွားပြီး နှစ်အရေအတွက်၏ ရာဂဏန်းနေရာ ပြောင်းလဲသွားခြင်းသည် ဆယ်စုနှစ်များကို ဆယ်ဂဏန်းဖြင့် ပိုင်းခြားခေါ်ဝေါ်လေ့ရှိသော အရပ်သုံးဓလေ့ (ဥပမာ - ၁၉၈၀ မှ ၁၉၈၉ ကာလအပိုင်းအခြားကို "[[၁၉၈၀ ဆယ်စုနှစ်|၁၉၈၀ ပြည့်လွန်နှစ်များ]]" ဟု ခေါ်ဆိုခြင်း) နှင့် ကိုက်ညီနေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေကို "မိုင်တိုင်မီတာပြောင်းလဲမှု သက်ရောက်မှု"ဟုလည်း ခေါ်ဆိုဖော်ပြခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite web |title=For the Chronologically Correct, Now It's Time for the Millennium |url=https://www.latimes.com/archives/la-xpm-2000-dec-26-mn-4810-story.html |website=Los Angeles Times |date=December 26, 2000 |access-date=12 April 2021}}</ref> ထို့အပြင် "နှစ် ၂၀၀၀" ဟူသော စကားရပ်သည် ပြီးပြည့်စုံသော အနာဂတ်ကာလ သို့မဟုတ် ထိုကဲ့သို့သော အနာဂတ်ကို နောက်ခံထားသည့် ဇာတ်လမ်းများကို ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည့် လူကြိုက်များသော အသုံးအနှုန်းတစ်ခု ဖြစ်ခဲ့သည်။ မီဒီယာများနှင့် အများပြည်သူတို့အကြားတွင်လည်း Y2K ကွန်ပျူတာပြဿနာနှင့် ပတ်သက်၍ အထူးစိတ်ဝင်စားမှုများ ရှိခဲ့သည်။ [[:en:Stephen Jay Gould|စတီဖင် ဂျေး ဂိုးလ်ဒ်]] က သူ၏ "Dousing Diminutive Dennis' Debate (or DDDD = 2000)" အမည်ရှိ အက်ဆေးတွင် အဆိုပါ အကူးအပြောင်းအပေါ် "အဆင့်မြင့်ယဉ်ကျေးမှု" ရှုထောင့်နှင့် "လူကြိုက်များသော ယဉ်ကျေးမှု" ရှုထောင့်တို့၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်များကို ဆွေးနွေးတင်ပြခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစု အစပိုင်းတွင် အဆင့်မြင့်ယဉ်ကျေးမှုအရ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ရေတွက်သည့် အမြင်က လွှမ်းမိုးခဲ့သော်လည်း၊ ရာစုနှစ်အကုန်တွင်မူ လူကြိုက်များသော ယဉ်ကျေးမှုအမြင်ကသာ လွှမ်းမိုးသွားခဲ့ကြောင်း ဂိုးလ်ဒ်က ထောက်ပြခဲ့သည်။<ref>{{cite book | last = Gould | first = Stephen | date = 1995 | publisher = Harmony Books | title = [[Dinosaur in a Haystack]] |isbn=0-517-70393-9}}</ref> ၂၁ ရာစုနှင့် တတိယထောင်စုနှစ် စတင်ခြင်းကို ကမ္ဘာတစ်ဝန်း၌ ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ် အစပိုင်းတွင် ကျင်းပခဲ့ကြသည်။ တစ်နှစ်အကြာ ၂၀၀၁ ခုနှစ် အစပိုင်းသို့ ရောက်သောအခါ၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု၏ တရားဝင် အချိန်ထိန်းသိမ်းရေးဌာနဖြစ်သော အမေရိကန် ရေတပ်လေ့လာရေးစခန်း အပါအဝင်<ref>{{cite web |title=For the Chronologically Correct, Now It's Time for the Millennium |url=https://www.latimes.com/archives/la-xpm-2000-dec-26-mn-4810-story.html |website=Los Angeles Times |date=December 26, 2000 |access-date=13 November 2020}}</ref> [[ကျူးဘားနိုင်ငံ|ကျူးဘား]]နှင့်<ref>{{cite web |title=Castro hosts party for the 'true Millennium' |url=https://www.telegraph.co.uk/news/worldnews/1379981/Castro-hosts-party-for-the-true-Millennium.html |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20220112/https://www.telegraph.co.uk/news/worldnews/1379981/Castro-hosts-party-for-the-true-Millennium.html |archive-date=January 12, 2022 |url-access=subscription |url-status=live |website=The Telegraph |date=December 31, 2000 |access-date=13 November 2020}}{{cbignore}}</ref> [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]<ref>{{cite web |title=Japanese purists prepare to welcome new millennium |url=https://www.deseret.com/2000/12/15/19544191/japanese-purists-prepare-to-welcome-new-millennium |website=DeseretNews |date=December 15, 2000 |access-date=13 November 2020}}</ref>တို့ကဲ့သို့ အချို့သော အဖွဲ့အစည်းများနှင့် နိုင်ငံများက "စစ်မှန်သော ထောင်စုနှစ်" ကို ကြိုဆိုခဲ့ကြသော်လည်း၊ အခမ်းအနားများသည် နှစ်သစ်တစ်ခုကို သာမန်အတိုင်း ကြိုဆိုသည့် ပုံစံသို့သာ အများအားဖြင့် ပြန်လည်ရောက်ရှိသွားခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=Millennium Gets Little Notice |date=30 December 2000 |author= Wax, Emily |url=https://www.washingtonpost.com/archive/local/2000/12/31/millennium-gets-little-notice/0230972d-8c7c-4eb9-80de-9c47912b962f |newspaper=The Washington Post |access-date=24 February 2021}}</ref> လူကြိုက်များသော<ref name=AP>{{cite news |agency=[[Associated Press|AP]] |url=https://www.latimes.com/archives/la-xpm-2001-jan-01-mn-7177-story.html |title=Y2K It Wasn't, but It Was a Party |newspaper=[[Los Angeles Times]] |date=January 1, 2001}}</ref> ချဉ်းကပ်မှုမှာမူ ၁၉၉၉ ခုနှစ်ကုန်ဆုံးမှုကို "ထောင်စုနှစ်တစ်ခု" ၏ အဆုံးသတ်အဖြစ် သတ်မှတ်ကာ၊ ၁၉၉၉ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလ ၃၁ ရက်နှင့် ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ် ဇန်နဝါရီလ ၁ ရက်အကြား သန်းခေါင်ယံအချိန်တွင် ထောင်စုနှစ်အခမ်းအနားများကို ကျင်းပခဲ့ကြခြင်း ဖြစ်သည်။ အထက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သော ဖြစ်ရပ်များ၏ ယဉ်ကျေးမှုနှင့် စိတ်ပညာဆိုင်ရာ အရေးပါမှုများ ပေါင်းစပ်သွားခြင်းကြောင့် အဆိုပါအခမ်းအနားများကို တရားဝင် သတ်မှတ်ရက်စွဲထက် တစ်နှစ်စော၍ ကျင်းပပြုလုပ်ခဲ့ကြခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name=AP/> ==ကိုးကား== {{Reflist|30em}} ==ပြင်ပလင့်ခ်များ== *{{Wiktionary inline|millennia}} *{{Wiktionary inline|millennium}} *{{commons category inline}} {{ထောင်စုနှစ်များ}} [[ကဏ္ဍ:အချိန်၏ ယူနစ်များ]] [[ကဏ္ဍ:ထောင်စုနှစ်များ]] [[ကဏ္ဍ:သက္ကရာဇ်စဉ်]] [[ကဏ္ဍ:၁၀၀၀ (နံပါတ်)]] a9752iysd1bbhr6z4iwm1h8egp1xncc 1054135 1054132 2026-09-19T13:50:53Z Ninjastrikers 22896 1054135 wikitext text/x-wiki '''ထောင်စုနှစ်''' ({{langx|en|millennium}}; ဗဟုဝုစ် '''millennia''' သို့ '''millenniums''') သည် [[ခုနှစ်|နှစ်]]ပေါင်းတစ်ထောင် ကာလတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>{{cite Lexico|millennium}} {{Webarchive |url=https://web.archive.org/web/20130126065029/http://oxforddictionaries.com/us/definition/american_english/millennium}}.</ref><ref>{{cite Merriam-Webster|millennium}}</ref> ပုံမှန်အားဖြင့် ဤဝေါဟာရကို သက်ဆိုင်ရာ[[ပြက္ခဒိန်]]၏ စတင်ရာအမှတ် (မူလရည်ညွှန်းအမှတ်) မှ စတင်သော အနှစ်တစ်ထောင်ကာလများနှင့် ထိုစတင်ရာအမှတ်နောက်ပိုင်း အနှစ်တစ်ထောင်၏ ကိန်းပြည့်ဆတိုးဖြစ်သော နှစ်များအတွက် သီးသန့်ရည်ညွှန်း အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ ထို့အပြင် မည်သည့်ရက်စွဲမှမဆို စတင်ရေတွက်သည့် အချိန်ကာလအပိုင်းအခြားတစ်ခုကိုလည်း ဤဝေါဟာရဖြင့် ရည်ညွှန်းနိုင်သည်။ ထောင်စုနှစ်များသည် ရံဖန်ရံခါတွင် ဘာသာရေး သို့မဟုတ် ဓမ္မသဘောတရားဆိုင်ရာ သက်ရောက်မှုများလည်း ရှိတတ်သည်။ {{wikt-lang|la|millennium}} ဟူသော စကားလုံးသည် 'တစ်ထောင်' ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော [[လက်တင်ဘာသာစကား|လက်တင်]]စကားလုံး {{wikt-lang|la|mille}} နှင့် 'နှစ်' ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော {{wikt-lang|la|annus}} တို့မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{cite EB1911 |wstitle=Millennium |volume=18 |page=461 |first=Carl Gustav Adolf |last=von Harnack}}</ref> ==ထောင်စုနှစ် ကျင်းပခြင်းဆိုင်ရာ အငြင်းပွားမှု== [[File:"All aboard for the millennium!" - Opper and Keppler. LCCN2012648532 (cropped).jpg|thumb|အော့ပါနှင့် ကပ်ပလာတို့၏ ၁၈၉၆ ခုနှစ်လက်ရာ "ထောင်စုနှစ်ဆီသို့ အားလုံးတက်ကြစို့!"]] ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်သို့ ရောက်ရှိခါနီးအချိန်တွင် အဆိုပါနှစ်စတင်ခြင်းကို ထောင်စုနှစ် "အသစ်" စတင်ခြင်းအဖြစ် နားလည်သဘောပေါက်သင့်သလား ဟူသည့်အပေါ် အများပြည်သူအကြား ငြင်းခုံဆွေးနွေးမှုများ ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ယခင်[[ဆယ်စုနှစ်]]များ၊ [[ရာစုနှစ်]]များနှင့် ထောင်စုနှစ်များ အကူးအပြောင်းကာလများတွင်လည်း ဤကဲ့သို့ အငြင်းပွားမှုများ ရှိခဲ့ဖူးသည်။ ဤပြဿနာသည် "တတိယထောင်စုနှစ်" ဟု အသုံးပြုသကဲ့သို့ နှစ်များနှင့် ထောင်စုနှစ်များကို အစဉ်လိုက်ပြ ကိန်းဂဏန်းများဖြင့် ရေတွက်သည့် ဓလေ့နှင့် "နှစ်ထောင်ပြည့်ကာလများ" ဟု အသုံးပြုသကဲ့သို့ အရပ်သုံးဖော်ပြချက်ကို အသုံးပြုသည့် ဓလေ့တို့အကြား ကွဲပြားခြားနားမှုမှ ဖြစ်ပေါ်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ အမြင်သဘောထား ကွဲလွဲရခြင်း၏ အဓိကအချက်မှာ "-၀၀၀" ဖြင့် ဆုံးသောနှစ်၏ အဆုံးသတ်ကာလ သို့မဟုတ် အစပြုကာလ မည်သည့်အချိန်တွင် ကျင်းပမည်နည်းဟူသည့်အပေါ် မူတည်နေသည်။ ပထမနည်းလမ်းသည် အင်္ဂလိပ်စကားပြော နိုင်ငံများတွင် အသုံးများပြီး ဒုတိယနည်းလမ်းကိုမူ ဆွီဒင်ကဲ့သို့သော နိုင်ငံတွင် နှစ်သက်ကြသည် (''tvåtusentalet'' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး တိုက်ရိုက်ဘာသာပြန်ဆိုပါက ''နှစ်ထောင်ပြည့်ကာလအပိုင်းအခြား''ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်)။ ထောင်စုနှစ်သစ် ရောက်ရှိခြင်းကို ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်မှ ၂၀၀၁ ခုနှစ်သို့ ကူးပြောင်းချိန် (ဆိုလိုသည်မှာ ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ် ဒီဇင်ဘာလ ၃၁ ရက်မှ ၂၀၀၁ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၁ ရက်) တွင် ကျင်းပသင့်သည်ဟု ယူဆသူများက နှစ်များကို [[ခရစ်နှစ်]] ''Anno Domini'' စနစ်ဖြင့် ရေတွက်ရာတွင် [[၀ ဆယ်စုနှစ်|၁ ခုနှစ်]]မှ စတင်ခဲ့ပြီး ([[၀ ခုနှစ်]]ဟူ၍ မရှိခဲ့ပါ) ထို့ကြောင့် [[၁ ထောင်စုနှစ်|ပထမထောင်စုနှစ်]]သည် ၁ ခုနှစ်မှ ၁၀၀၀ ပြည့်နှစ်ကုန်အထိ ဖြစ်ကာ၊ [[၂ ထောင်စုနှစ်|ဒုတိယထောင်စုနှစ်]]သည် ၁၀၀၁ ခုနှစ်မှ ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်ကုန်အထိ ဖြစ်ပြီး၊ [[၃ ထောင်စုနှစ်|တတိယထောင်စုနှစ်]]သည် ၂၀၀၁ ခုနှစ်တွင် စတင်ကာ ၃၀၀၀ ပြည့်နှစ်ကုန်တွင် ပြီးဆုံးမည်ဟု အကြောင်းပြခဲ့ကြသည်။ အလားတူပင် [[ဘီစီ ၁ ထောင်စုနှစ်|ဘီစီ ပထမထောင်စုနှစ်]]သည်လည်း ဘီစီ ၁၀၀၀ မှစ၍ ဘီစီ ၁ ခုနှစ်ကုန်အထိ ဖြစ်ခဲ့သည်။ လူကြိုက်များသော ယဉ်ကျေးမှုဓလေ့အရမူ ထောင်စုနှစ်သစ် ရောက်ရှိခြင်းကို ၁၉၉၉ ခုနှစ်မှ ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်သို့ ကူးပြောင်းချိန် (ဆိုလိုသည်မှာ ၁၉၉၉ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလ ၃၁ ရက်မှ ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ် ဇန်နဝါရီလ ၁ ရက်) တွင် ကျင်းပခြင်းကို အားပေးခဲ့ကြသည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် သုညများ ပြောင်းလဲသွားပြီး နှစ်အရေအတွက်၏ ရာဂဏန်းနေရာ ပြောင်းလဲသွားခြင်းသည် ဆယ်စုနှစ်များကို ဆယ်ဂဏန်းဖြင့် ပိုင်းခြားခေါ်ဝေါ်လေ့ရှိသော အရပ်သုံးဓလေ့ (ဥပမာ - ၁၉၈၀ မှ ၁၉၈၉ ကာလအပိုင်းအခြားကို "[[၁၉၈၀ ဆယ်စုနှစ်|၁၉၈၀ ပြည့်လွန်နှစ်များ]]" ဟု ခေါ်ဆိုခြင်း) နှင့် ကိုက်ညီနေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေကို "မိုင်တိုင်မီတာပြောင်းလဲမှု သက်ရောက်မှု"ဟုလည်း ခေါ်ဆိုဖော်ပြခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite web |title=For the Chronologically Correct, Now It's Time for the Millennium |url=https://www.latimes.com/archives/la-xpm-2000-dec-26-mn-4810-story.html |website=Los Angeles Times |date=December 26, 2000 |access-date=12 April 2021}}</ref> ထို့အပြင် "နှစ် ၂၀၀၀" ဟူသော စကားရပ်သည် ပြီးပြည့်စုံသော အနာဂတ်ကာလ သို့မဟုတ် ထိုကဲ့သို့သော အနာဂတ်ကို နောက်ခံထားသည့် ဇာတ်လမ်းများကို ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည့် လူကြိုက်များသော အသုံးအနှုန်းတစ်ခု ဖြစ်ခဲ့သည်။ မီဒီယာများနှင့် အများပြည်သူတို့အကြားတွင်လည်း Y2K ကွန်ပျူတာပြဿနာနှင့် ပတ်သက်၍ အထူးစိတ်ဝင်စားမှုများ ရှိခဲ့သည်။ [[:en:Stephen Jay Gould|စတီဖင် ဂျေး ဂိုးလ်ဒ်]] က သူ၏ "Dousing Diminutive Dennis' Debate (or DDDD = 2000)" အမည်ရှိ အက်ဆေးတွင် အဆိုပါ အကူးအပြောင်းအပေါ် "အဆင့်မြင့်ယဉ်ကျေးမှု" ရှုထောင့်နှင့် "လူကြိုက်များသော ယဉ်ကျေးမှု" ရှုထောင့်တို့၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်များကို ဆွေးနွေးတင်ပြခဲ့သည်။ ၂၀ ရာစု အစပိုင်းတွင် အဆင့်မြင့်ယဉ်ကျေးမှုအရ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ရေတွက်သည့် အမြင်က လွှမ်းမိုးခဲ့သော်လည်း၊ ရာစုနှစ်အကုန်တွင်မူ လူကြိုက်များသော ယဉ်ကျေးမှုအမြင်ကသာ လွှမ်းမိုးသွားခဲ့ကြောင်း ဂိုးလ်ဒ်က ထောက်ပြခဲ့သည်။<ref>{{cite book | last = Gould | first = Stephen | date = 1995 | publisher = Harmony Books | title = [[Dinosaur in a Haystack]] |isbn=0-517-70393-9}}</ref> ၂၁ ရာစုနှင့် တတိယထောင်စုနှစ် စတင်ခြင်းကို ကမ္ဘာတစ်ဝန်း၌ ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ် အစပိုင်းတွင် ကျင်းပခဲ့ကြသည်။ တစ်နှစ်အကြာ ၂၀၀၁ ခုနှစ် အစပိုင်းသို့ ရောက်သောအခါ၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု၏ တရားဝင် အချိန်ထိန်းသိမ်းရေးဌာနဖြစ်သော အမေရိကန် ရေတပ်လေ့လာရေးစခန်း အပါအဝင်<ref>{{cite web |title=For the Chronologically Correct, Now It's Time for the Millennium |url=https://www.latimes.com/archives/la-xpm-2000-dec-26-mn-4810-story.html |website=Los Angeles Times |date=December 26, 2000 |access-date=13 November 2020}}</ref> [[ကျူးဘားနိုင်ငံ|ကျူးဘား]]နှင့်<ref>{{cite web |title=Castro hosts party for the 'true Millennium' |url=https://www.telegraph.co.uk/news/worldnews/1379981/Castro-hosts-party-for-the-true-Millennium.html |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20220112/https://www.telegraph.co.uk/news/worldnews/1379981/Castro-hosts-party-for-the-true-Millennium.html |archive-date=January 12, 2022 |url-access=subscription |url-status=live |website=The Telegraph |date=December 31, 2000 |access-date=13 November 2020}}{{cbignore}}</ref> [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]<ref>{{cite web |title=Japanese purists prepare to welcome new millennium |url=https://www.deseret.com/2000/12/15/19544191/japanese-purists-prepare-to-welcome-new-millennium |website=DeseretNews |date=December 15, 2000 |access-date=13 November 2020}}</ref>တို့ကဲ့သို့ အချို့သော အဖွဲ့အစည်းများနှင့် နိုင်ငံများက "စစ်မှန်သော ထောင်စုနှစ်" ကို ကြိုဆိုခဲ့ကြသော်လည်း၊ အခမ်းအနားများသည် နှစ်သစ်တစ်ခုကို သာမန်အတိုင်း ကြိုဆိုသည့် ပုံစံသို့သာ အများအားဖြင့် ပြန်လည်ရောက်ရှိသွားခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=Millennium Gets Little Notice |date=30 December 2000 |author= Wax, Emily |url=https://www.washingtonpost.com/archive/local/2000/12/31/millennium-gets-little-notice/0230972d-8c7c-4eb9-80de-9c47912b962f |newspaper=The Washington Post |access-date=24 February 2021}}</ref> လူကြိုက်များသော<ref name=AP>{{cite news |agency=[[Associated Press|AP]] |url=https://www.latimes.com/archives/la-xpm-2001-jan-01-mn-7177-story.html |title=Y2K It Wasn't, but It Was a Party |newspaper=[[Los Angeles Times]] |date=January 1, 2001}}</ref> ချဉ်းကပ်မှုမှာမူ ၁၉၉၉ ခုနှစ်ကုန်ဆုံးမှုကို "ထောင်စုနှစ်တစ်ခု" ၏ အဆုံးသတ်အဖြစ် သတ်မှတ်ကာ၊ ၁၉၉၉ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလ ၃၁ ရက်နှင့် ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ် ဇန်နဝါရီလ ၁ ရက်အကြား သန်းခေါင်ယံအချိန်တွင် ထောင်စုနှစ်အခမ်းအနားများကို ကျင်းပခဲ့ကြခြင်း ဖြစ်သည်။ အထက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သော ဖြစ်ရပ်များ၏ ယဉ်ကျေးမှုနှင့် စိတ်ပညာဆိုင်ရာ အရေးပါမှုများ ပေါင်းစပ်သွားခြင်းကြောင့် အဆိုပါအခမ်းအနားများကို တရားဝင် သတ်မှတ်ရက်စွဲထက် တစ်နှစ်စော၍ ကျင်းပပြုလုပ်ခဲ့ကြခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name=AP/> ==ကိုးကား== {{Reflist|30em}} ==ပြင်ပလင့်ခ်များ== *{{Wiktionary inline|millennia}} *{{Wiktionary inline|millennium}} *{{commons category inline}} {{ထောင်စုနှစ်များ}} [[ကဏ္ဍ:အချိန်၏ ယူနစ်များ]] [[ကဏ္ဍ:ထောင်စုနှစ်များ]] [[ကဏ္ဍ:သက္ကရာဇ်စဉ်]] [[ကဏ္ဍ:၁၀၀၀ (နံပါတ်)]] a7z6xcb2o6722wngux84foa9edewz5e 0 77852 1054164 1043259 2026-09-19T15:56:44Z Ninjastrikers 22896 /* အဆင့်မြှင့်တင်တိုးချဲ့ခြင်း */ 1054164 wikitext text/x-wiki {{Infobox airport | name = အနီးစခန်းလေဆိပ် | image = Anisakhan Airport, Pyin Oo Lwin, Myanmar.jpg | caption = လေဆိပ်ဝင်ပေါက် | IATA = NAS | ICAO = VYAS | WMO = | type = | owner-oper = | owner = | operator = | city-served = | location = [[အနီးစခန်း]]၊ [[ပြင်ဦးလွင်မြို့]]၊ [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]] | opened = <!-- {{start date|YYYY|MM|DD}} --> | closed = <!-- {{end date|YYYY|MM|DD}} --> | passenger_services_ceased = <!-- {{end date|YYYY|MM|DD}} --> | built = <!-- military airports --> | used = <!-- military airports --> | commander = <!-- military airports --> | occupants = <!-- military airports --> | timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] | utc =+6:30 | elevation-f = ၃၀၀၀ | elevation-m = ၉၁၄ | metric-elev = | coordinates = {{coord|21|57|19|N|096|24|21|E|region:MM_type:airport|display=inline,title}} | website = <!-- {{URL|example.com}} --> | image_map = | image_mapsize = | image_map_alt = | image_map_caption = | pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ | pushpin_mapsize = | pushpin_map_alt = | pushpin_map_caption = | pushpin_relief = | pushpin_image = | pushpin_label = | pushpin_label_position = | pushpin_mark = | pushpin_marksize = | r1-number = 03/21 | r1-length-f = ၁၀၀၂၀ | r1-length-m = ၃၀၅၄ | r1-surface = ကွန်ကရစ် | stat1-header = | stat1-data = <!-- up to stat4 --> | stat-year = | footnotes = ရင်းမြစ်:<ref name="WAD">[http://worldaerodata.com/wad.cgi?id=BM96775&sch=VYAS Airport information for VYAS] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210517033247/http://worldaerodata.com/wad.cgi?id=BM96775&sch=VYAS |date=17 May 2021 }} from DAFIF</ref><ref name="GCM">{{GCM|VYAS|source=DAFIF}}</ref> }} '''အနီးစခန်းလေဆိပ်''' သည် မြန်မာနိုင်ငံ၊ [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပြင်ဦးလွင်မြို့]]၊ [[အနီးစခန်း]]တွင် တည်ရှိသည်။ == သမိုင်းကြောင်း == === အဆင့်မြှင့်တင်တိုးချဲ့ခြင်း === အနီးစခန်းလေဆိပ်ကို လေဆိပ်တစ်ခု၏အင်္ဂါရပ်နှင့် ညီညွတ်ပြည့်စုံမှုရှိစေရန် အဆင့်မြှင့်တင်ရေးစီမံကိန်းကို ၂၀၂၃ ခုနှစ်ကတည်းက စတင်ဆောင်ရွက်ခဲ့ပြီး တစ်နှစ်လျှင် ခရီးသည် ၁၀၀,၀၀၀ ဦး ဝင်ထွက်အသုံးပြုနိုင်သည့် အလျား ၁၂၀ ပေ၊ အနံ ၈၀ ပေရှိ သံမဏိအဆောက်အအုံဖြင့် နှစ်ထပ်လေဆိပ် အဆောက်အဦသစ်ကို တည်ဆောက်ခဲ့ပြီး၊ Boeing 737-800 စသည့် လေယာဉ်အမျိုးအစား သုံးစီးကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း ရပ်နားအသုံးပြုနိုင်စေရန် အလျား ၆၀၀ ပေ၊ အနံ ၅၅၀ ပေအထိ တိုးချဲ့ထားသည့် လေယာဉ်ရပ်နားနေရာနှင့် အလျား ၃၀ ပေ၊ အနံ ၂၀ ပေ၊ အမြင့် ၅၆ ပေရှိ လေကြောင်းထိန်းမျှော်စင်သစ်တို့ကိုလည်း ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇူလိုင်လ ၁၁ ရက်နေ့တွင် အသစ်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=NP News |url=https://www.npnewsmm.com/news/6a530a0929c2dd0b7c0937a5 |access-date=2026-07-12 |website=www.npnewsmm.com}}</ref><ref>{{Cite web |title=■ အဆင့်မြှင့်တင် တည်ဆောက်ပြီးစီးခဲ့သည့် ပြင်ဦးလွင်မြို့ အနီးစခန်းလေဆိပ် နိုင်ငံတော်သမ္မတ တက်ရောက်ဖွင့်လှစ် |url=https://news-eleven.com/article/313309 |access-date=2026-07-12 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> လေဆိပ်သစ်ကို အခြေပြု၍ ပြည်တွင်းလေကြောင်းလိုင်းများဖြစ်ကြသော မြန်မာအမျိုးသားလေကြောင်းလိုင်း၊ မင်္ဂလာလေကြောင်းလိုင်း၊ အဲသံလွင်လေကြောင်းလိုင်းနှင့် မန်းရတနာပုံလေကြောင်းလိုင်းတို့သည် ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇူလိုင်လ ၁၁ ရက်နေ့မှစတင်၍ ရန်ကုန်၊ မန္တလေး၊ နေပြည်တော်၊ ဟဲဟိုးနှင့် တာချီလိတ်မြို့များနှင့် လေကြောင်းခရီးစဉ်များ ပြေးဆွဲလျက်ရှိသည်။ အထူးသဖြင့် ရန်ကုန်–ဟဲဟိုး–အနီးစခန်း၊ ရန်ကုန်–တာချီလိတ်–အနီးစခန်း–ရန်ကုန်၊ အနီးစခန်း–နေပြည်တော်–ရန်ကုန် စသည့်လမ်းကြောင်းများတွင် ပုံမှန်ပျံသန်းမှုများ ဆောင်ရွက်သွားရန် စီစဉ်ထားသည်။ ခရီးစဉ်များကို အပတ်စဉ် တနင်္လာနေ့၊ ဗုဒ္ဓဟူးနေ့၊ သောကြာနေ့နှင့် စနေနေ့တို့တွင် ပျံသန်းပြေးဆွဲလျက်ရှိသည်။<ref>{{Cite web |title=အနီးစခန်းလေဆိပ်သစ်ဖွင့်လှစ်၍ လေကြောင်းလိုင်းများ စတင်ပျံသန်းပြေးဆွဲ |url=http://www.moi.gov.mm/news/85110 |access-date=2026-07-12 |website=Ministry Of Information |language=en}}</ref> == လေကြောင်းလိုင်းများနှင့် ခရီးစဉ်များ == {{airport-dest-list | [[သံလွင် လေကြောင်းလိုင်း]] | [[ရန်ကုန်အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာလေဆိပ်|ရန်ကုန်]]၊ [[တာချီလိတ်လေဆိပ်|တာချီလိတ်]] | [[မန်းရတနာပုံ လေကြောင်းလိုင်း]] | [[ရန်ကုန်အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာလေဆိပ်|ရန်ကုန်]]၊ [[ဟဲဟိုးလေဆိပ်|ဟဲဟိုး]] | [[မင်္ဂလာ လေကြောင်းပို့ဆောင်ရေးလုပ်ငန်း]] | [[ရန်ကုန်အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာလေဆိပ်|ရန်ကုန်]]၊ [[မြစ်ကြီးနားလေဆိပ်|မြစ်ကြီးနား]] | [[မြန်မာအမျိုးသား လေကြောင်းလိုင်း]] | [[ရန်ကုန်အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာလေဆိပ်|ရန်ကုန်]]၊ [[ကလေးလေဆိပ်|ကလေး]] }} ==ကိုးကား== {{Reflist}} {{မြန်မာနိုင်ငံရှိ လေဆိပ်များ}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ လေဆိပ်များ]] [[Category:ပြင်ဦးလွင်မြို့]] {{Myanmar-airport-stub}} 7zca0cdspkyy5hb9c3m08eoekbbkw46 0 83067 1054166 1051498 2026-09-19T16:14:37Z InternetArchiveBot 61272 Adding 4 books for [[ဝီကီပီးဒီးယား:စိစစ်အတည်ပြုခံနိုင်မှု]] (20260919)) #IABot (v2.0.9.6) ([[User:GreenC bot|GreenC bot]] 1054166 wikitext text/x-wiki [[File:Gawdawpalin Temple Bagan Myanmar.jpg|thumb|350x350px|[[ပုဂံ]]ဒေသရှိ [[ကန်တော့ပလ္လင်ဘုရား]]၊ ၁၂ ရာစုတွင် တည်ခဲ့သည်။]] '''မြန်မာ့ဗိသုကာ''' သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၏ သမိုင်း၊ ယဉ်ကျေးမှု၊ လူမှုဘဝနှင့် [[ထေရဝါဒ ဗုဒ္ဓဘာသာ]] ကိုးကွယ်ယုံကြည်မှုတို့ပေါ်တွင် အခြေခံ၍ တိုးတက်ထွန်းကားလာခဲ့သော အနုပညာနှင့် အဆောက်အအုံ ဆောက်လုပ်ရေး နည်းပညာရပ် ဖြစ်သည်။ မြန်မာ့ဗိသုကာတွင် ဗုဒ္ဓဘာသာဆိုင်ရာ စေတီပုထိုးများ၊ ကျောင်းကန်များ၊ သိမ်တော်များနှင့် နန်းတွင်း ဗိသုကာ လက်ရာများ အဓိက ပါဝင်ပြီး ဒေသတွင်းယဉ်ကျေးမှုများ၊ ဒေသန္တရ လက်ရာများနှင့် ပေါင်းစပ်ကာ သီးသန့် ဟန်ပန်းတစ်ခုအဖြစ် ဖွံ့ဖြိုးလာခဲ့သည်။<ref name="Strachan">Strachan, Paul. (1989). ''Imperial Pagan: Art and Architecture of Burma''. University of Hawaii Press.</ref> == သမိုင်းနှင့် လွှမ်းမိုးမှုများ == === အစောပိုင်း အိန္ဒိယ၏ လွှမ်းမိုးမှုများ === [[File:20160810 Bawbawgyi Pogoda Sri Ksetra Pyay Myanmar 9260.jpg|thumb|225px|ဘောဘောကြီး စေတီတော်သည် ပျူပုံစံ ရေအိုးမှောက် ပုံသဏ္ဌာန်ဖြင့် တည်ထားပြီး [[သရေခေတ္တရာ|သရေခေတ္တရာ မြို့ဟောင်း]]တွင် တည်ရှိသည်။]] [[ပျူခေတ်]] ကာလ (အေဒီ ၁ ရာစု – ၉ ရာစု) တွင် စေတီတော်များ တည်ဆောက်မှုကို အလေးပေးခဲ့သည်။ စေတီတော်များသည် ဆလင်ဒါ သို့မဟုတ် ရေအိုးမှောက် ပုံစံများ ဖြစ်ကြပြီး တစ်ခါတရံ ထီးတော်များ ပါရှိကြသည်။<ref>{{Cite book |title=Stupas and Stupa-Shrines |last=Myer |first=Prudence R. |year=1961 |journal=Artibus Asiae |volume=24 |issue=1 |pages=25–42}}</ref> မြန်မာ့ဗိသုကာသည် ရှေးခေတ် အိန္ဒိယ ယဉ်ကျေးမှုများ လွှမ်းမိုးလျက် ရှိသည်ကို ပထမဆုံးသော နေထိုင်သူများ၏ ဗုဒ္ဓဘာသာဆိုင်ရာ အနုပညာ အဆောက်အအုံများကို ကြည့်ခြင်းဖြင့် သိနိုင်သည်။<ref name=worldbook>{{Cite book |title=Myanmar |publisher=World Book Inc. |year=2016 |location=Chicago |chapter=Art}}</ref> သရေခေတ္တရာရှိ [[ဘောဘောကြီးစေတီ]]၊ [[ဘုရားကြီးစေတီ]] နှင့် [[ပုထိုးကြီးစေတီ]] တို့သည် အိန္ဒိယ အရှေ့ပိုင်းနှင့် တောင်ပိုင်းရှိ ဗုဒ္ဓဘာသာ စေတီပုံစံများ၏ လွှမ်းမိုးမှုကို တွေ့ရပြီး မြန်မာ့စေတီ ဗိသုကာ၏ မူလ ပုံသဏ္ဌာန်များ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Moore2007">{{Cite book |last=Moore |first=Elizabeth H. |title=Early Landscapes of Myanmar |publisher=River Books |year=2007 |isbn=974-9863-31-3}}</ref> === ပုဂံခေတ်ကာလ (၁၁ ရာစု – ၁၃ ရာစု) === {{multiple image | align = right | direction = vertical | header_align = centre | header = | image1 = Plan of Ananda Temple Myanmar2.jpg | width1 = 220 | alt1 = အာနန္ဒာဘုရား၏ ပလန် | caption1 = [[အာနန္ဒာဘုရား]]၏ ကြမ်းခင်းပုံစံ (Ground Plan) | image2 = Plan of Ananda Temple Myanmar.jpg | width2 = 220 | alt2 = အာနန္ဒာဘုရား၏ ဘေးတိုက်ပုံစံ | caption2 = အာနန္ဒာဘုရား၏ ဘေးတိုက်ပုံစံ (Elevation Plan) }} ၉ ရာစုတွင် ဗမာလူမျိုးတို့သည် [[ပုဂံ]]ကို ဗဟိုပြုလျက် မင်းဆက်တစ်ဆက်ကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ပုဂံမင်းဆက်၏ ၁၁ ဆက်မြောက်မင်း ဖြစ်သည့် [[အနော်ရထာ]]သည် ဧရာဝတီမြစ်ဝှမ်းနှင့် အစွန်အဖျား ဒေသများကို ပေါင်းစည်းကာ ပုဂံအင်ပါယာကို ထူထောင်ခဲ့သည်။ ၁၁ ရာစုမှ ၁၃ ရာစုအလယ်အထိ ပုဂံ၌ စေတီပုထိုး၊ ဂူကျောင်းပေါင်း ၁၀,၀၀၀ ကျော်ကို တည်ဆောက်ခဲ့ပြီး ယနေ့ထက်ထိ ၃,၀၀၀ ကျော် ကျန်ရှိနေသေးသည်။<ref name="auto">{{Cite book |title=Myanmar |publisher=World Book, Inc. |year=2016 |location=Chicago |chapter=The Pagan Kingdom}}</ref> ပုဂံခေတ် ဗိသုကာသည် အုတ်ကွေးပေါင်းကူးစနစ် ကို ဆန်းသစ်စွာ အသုံးပြုခဲ့ပြီး အိန္ဒိယ ရေစက်လက်ရာများနှင့် ဒေသန္တရ လက်ရာများကို ပေါင်းစပ်ထားသည်။ အဓိကအားဖြင့် စေတီနှင့် အာရုံခံမုခ် လှိုဏ်များပါဝင်သော ဂူကျောင်း ဟူ၍ ပုံစံနှစ်မျိုး ခွဲခြားနိုင်သည်။ [[ကျန်စစ်သား]] မင်းလက်ထက်တွင် တည်ဆောက်ခဲ့သော [[အာနန္ဒာဘုရား]] သည် ဂူကျောင်း ဗိသုကာ၏ အထွဋ်အထိပ် ရောက်ရှိခဲ့သော လက်ရာဖြစ်ပြီး အလင်းရောင် အဝင်အထွက် ရရှိအောင် ဖန်တီးထားသည့် လေဝင်လေထွက် စနစ်များမှာ ပြိုင်ဘက်ကင်းလှသည်။<ref name="Strachan1989">{{Cite book |last=Strachan |first=Paul |title=Imperial Pagan: Art and Architecture of Burma |url=https://archive.org/details/imperialpaganart0000stra |publisher=University of Hawaii Press |year=1989 |isbn=0-8248-1325-1}}</ref> {{Gallery |lines=4 |File:Bagan 131.jpg|ပုဂံရှိ [[သဗ္ဗညုဘုရား]]၊ ၁၂ ရာစုအလယ်တွင် အလောင်းစည်သူမင်း တည်သည်။ |File:Dhamma Yan Gyi, Pagan 0181.jpg|ပုဂံရှိ ဘုရားများတွင် အုတ်စီလက်ရာ အကောင်းဆုံးဖြစ်သည့် [[ဓမ္မရံကြီးဘုရား]] |File:Htilominlo-Bagan-Myanmar-12-gje.jpg|[[ထီးလိုမင်းလိုဘုရား]]ရှိ အသေးစိတ် လက်ရာမြောက် သရွတ်နု |File:Le dernier repas avant l'Éveil.JPG|[[မြင်းကပါ ဂူပြောက်ကြီးဘုရား]]ရှိအက္ခရာများနှင့် နံရံဆေးရေးပန်းချီများ }} === အင်းဝ၊ တောင်ငူနှင့် ကုန်းဘောင်ခေတ် (၁၄ ရာစု – ၁၉ ရာစု) === ပုဂံခေတ် ပျက်သုဉ်းပြီးနောက်ပိုင်း ခေတ်အဆက်ဆက်တွင် အုတ်ဗိသုကာ ထက် သစ်သား ဗိသုကာ အနုပညာ အလွန် ထွန်းကားလာခဲ့သည်။ [[ကုန်းဘောင်ခေတ်]] တွင် မြန်မာ့ရိုးရာ သစ်သား ဗိသုကာ၏ အမြင့်ဆုံး အဆင့်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။<ref name="Fraser2001">{{Cite book |last=Fraser-Lu |first=Sylvia |title=Splendour in Wood: The Buddhist Monasteries of Burma |url=https://archive.org/details/splendourinwoodb0000sylv |publisher=Weatherhill |year=2001 |isbn=0-8348-0493-6}}</ref> နန်းတွင်းနှင့် ဘုန်းတော်ကြီးကျောင်း ဗိသုကာတွင် ကျွန်းသစ်များကို အဓိက အသုံးပြု၍ ပြာသာဒ် အဆင့်ဆင့်၊ စုလစ်မွမ်းချွန်များ၊ ဘာသာရေးနှင့် ရိုးရာဒဏ္ဍာရီပုံစံ ပန်းပုရုပ်များကို ထုဆစ်ခဲ့ကြသည်။ [[မန္တလေး နန်းတော်]]၊ မန္တလေးရှိ [[ရွှေနန်းတော်ကျောင်း]] နှင့် အင်းဝရှိ [[မဟာအောင်မြေဘုံသာကျောင်း]] (အုတ်ကျောင်း) တို့သည် ဤခေတ်ကာလ၏ ပြိုင်ဘက်ကင်း အနုပညာများကို ပြသနေသည်။ပုဂံခေတ်၏ ခေါင်းလောင်းပုံ ရိုးရိုးမှ ကုန်းဘောင်ခေတ်တွင် ဖောင်းရစ်၊ ကြာမှောက် ကြာလှန်၊ ငှက်ပျောဖူး အချိုးအစားများ ပိုမို သွယ်လျ လှပလာပြီး ရွှေတိဂုံစေတီတော်၏ လက်ရှိ ပုံသဏ္ဌာန်မှာ ကုန်းဘောင်ခေတ် [[ဆင်ဖြူရှင်မင်း]] လက်ထက် ပြင်ဆင် မွမ်းမံခဲ့သော အချိုးအစား ဖြစ်သည်။<ref name="ThanTun2002">{{Cite book |last=သန်းထွန်း |first=ဒေါက်တာ |title=မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု သမိုင်း |publisher=သံလွင်စာပေ |year=2002}}</ref> === ကိုလိုနီခေတ် (၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်း – ၂၀ ရာစုအလယ်) === {{double image |right |Secretariat Building, Yangon.jpg |200 |Rangoon Government House.jpg |220 |ရန်ကုန်မြို့ရှိ အတွင်းဝန်များရုံး (ဝန်ကြီးများရုံး) နှင့် သမ္မတအိမ်တော် (ဟောင်း) တို့သည် ကိုလိုနီခေတ် ဗိသုကာလက်ရာများ ဖြစ်ကြသည်။}} ၁၈၈၀ ခုနှစ်များ ဆုံးခါနီးတွင် မြန်မာသည် ဗြိတိသျှအင်ပါယာ၏ နိုင်ငံတစ်နိုင်ငံ ဖြစ်ခဲ့သည်။ နယ်ချဲ့များ ရောက်ရှိလာခြင်းနှင့်အတူ အနောက်တိုင်း ဗိသုကာဟန်များ ပါဝင်လာခဲ့ပြီး ရန်ကုန်သည် ကိုလိုနီတို့၏ မြို့တော် ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref name=":0">{{Cite book |last=Seekins |first=Donald M. |title=A Sacred and Public Space: Politics, Religion and the Use of Ekraj in Post-Colonial Burma |publisher=Meio University |year=2009 |pages=1}}</ref> ကိုလိုနီတို့သည် ကြီးမားသည့် အဆောက်အဦတို့ကို မြို့တော်တွင် တည်ဆောက်ကြသည်။<ref>{{Cite book |title=Myanmar |publisher=World Book, Inc. |year=2016 |chapter=The Konbaung Dynasty and the Anglo-Saxon Burmese Wars}}</ref> ရန်ကုန်မြို့၏ စီးပွားရေးအတွက် အချက်အချာဖြစ်သည့် ရန်ကုန်မြစ်တစ်လျှောက်နှင့် မြို့လယ်ခေါင်တို့တွင် ကိုလိုနီ အဆောက်အဦများစွာ တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့တွင် ဝိတိုရိယန် (Victorian)၊ နီယို-ဂန္ထဝင် (Neo-Classical) နှင့် ကွန်းကရစ် ပေါင်းစပ်လက်ရာများ ပါဝင်သည်။ ဗြိတိသျှ အုပ်ချုပ်ရေးအတွက် [[အတွင်းဝန်များရုံး]] ကို ၁၈၈၉ ခုနှစ်မှ စတင်ကာ အဆင့်ဆင့် တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ အခြား မြို့လယ်တွင် တည်ရှိသည့် မြို့တော်ခန်းမ (မြန်မာ့ရိုးရာ ပြာသာဒ် မွမ်းချွန်များနှင့် အနောက်တိုင်း ဒီဇိုင်း ပေါင်းစပ်ထားသော လက်ရာ)၊ [[ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းဈေး|ဗိုလ်ချုပ်ဈေး]] (ယခင်က စကော့ဈေး)၊ Aviet နှင့် Tigran Sarkie တို့ တည်ဆောက်ခဲ့သည့် [[Strand Hotel| Strand ဟိုတယ်]] နှင့် [[တရားလွှတ်တော်ချုပ်ရုံး (ရန်ကုန်)|တရားလွှတ်တော်ချုပ်ရုံး]] အစရှိသည်တို့သည် ကိုလိုနီခေတ်၏ ထင်ရှားသော အဆောက်အဦများပင် ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite journal |last=Seekins |first=Donald M. |title=The State and the City: 1988 and the Transformation of Rangoon |journal=Pacific Affairs |volume=78 |issue=2 |year=2005 |pages=257–275}}</ref> ==အထင်ကရ ဗိသုကာလက်ရာများ== ===ရွှေတိဂုံစေတီတော်=== [[File:Shwedagon Pagoda 2017.jpg|thumb|ရန်ကုန်မြို့ရှိ ရွှေတိဂုံစေတီတော်]] ရန်ကုန်မြို့ရှိ ရွှေတိဂုံစေတီတော်သည် ဗုဒ္ဓဘာသာဝင်တို့၏ အဓိကနေရာလည်း ဖြစ်၏။ စေတီတော်သည် ၉၉.၄ မီတာ အမြင့် ရှိ၏။ <ref name=":0" />စေတီတော်သည် ရွှေဆိုင်းရွှေပြားတို့ဖြင့် ခြယ်သကာရံထား၏။<ref name="Seekins 5">{{Cite journal|last=Seekins|first=|date=|title=A Sacred and Public Place|url=|journal=Meio University|volume=|pages=5}}</ref> အရံစေတီတော်ကလေးများသည် စေတီတော်ကြီးအား ဝန်းရံထားပြီး စိန်ဖူးတော်များလည်း ပါရှိ၏။<ref name="Seekins 5"/> လေးနှစ်မှ ငါးနှစ်ကြာတိုင်း ရွှေများကို ပြင်ဆင်မွမ်းမံမှုများ ပြုလုပ်၏။ စေတီတော်ကို ထေရဝါဒဗုဒ္ဓအဖွဲ့မှတည်ဆောက်ထားပြီး ဂေါတမဘုရားရှင်၏ ဆံတော်လည်း ဌာပနာထားသည်။<ref>{{Cite journal|last=Edwards|title=Grounds for protest|journal=The Institute of Postcolonial Studies|pages=197}}</ref><ref name="Seekins 2">{{Cite journal|last=Seekins|first=|date=|title=A Sacred and Public Place|url=|journal=Meio University|volume=|pages=2}}</ref> ===မန္တလေးနန်းတော်=== [[File:Great Audience Hall, Mandalay.jpg|thumb|၁၉၀၃ ခုနှစ်၊ မန္တလေးနန်းတော် အစည်းအဝေးခန်းမ]] မန္တလေးနန်းတော်သည် သစ်သားဖြင့် ပြုလုပ်သည့် မြန်မာ့ဗိသုကာလက်ရာများတွင် အခြေခံကျသည့် တစ်ခုဖြစ်၏။ နန်းတော်သည် အတွင်းပိုင်းနေရာများထက် အပြင်ပိုင်းနေရာများက ပိုမို၍ ကြည့်လို့ကောင်းသည်။<ref>{{Cite journal|last=Moore|title=The Reconstruction of Mandalay Palace|url=|journal=Bulletin of the School of Oriental and African Studies, University of London|pages=349}}</ref> ၁၈၅၀ ခုနှစ်များ နောက်ပိုင်းတိုင်အောင် မဆောက်သေးသော်လည်း နန်းတော်၏ အလယ်ပိုင်းနှင့် နန်းတော်၏ ဂိတ်များသည် ပျူခေတ်အစောပိုင်းကာလများ၏ လက္ခဏာများ ရှိနေသည်။<ref>{{Cite journal|last=Moore|title=The Reconstruction of Mandalay Palace|url=|journal=Bulletin of the School of Oriental and African Studies, University of London|pages=339}}</ref> ၁၁ ရာစုကာလ ပုဂံခေတ် သစ်သားဖြင့် တည်ဆောက်သည့် ဗိသုကာလက်ရာများကို မန္တလေးနန်းတော်တွင် တွေ့နိုင်သည်။ == ဗိသုကာ အသွင်အပြင်များ == === သရွတ်နုနှင့် သစ်သားပန်းပု === [[File:Shwenandaw Kyaung, Mandalay 06.jpg|thumb|[[မန္တလေး]]ရှိ [[ရွှေနန်းတော်ကျောင်း]]၏ ပြိုင်ဘက်ကင်း ကျွန်းသစ်ပန်းပု လက်ရာများ]] သရွတ်နု ပြုလုပ်သည့် အနုပညာသည် [[ပုဂံခေတ်]] တည်ဆောက်ရေး လက်ရာများတွင် စတင်၍ ခိုင်မာစွာ တွေ့ရှိရသည်။ စေတီပုထိုးများနှင့် ဂူကျောင်းများ၏ အပြင်ဘက် မုခ်ခေါင်းများ၊ စိန်းမုခ်များနှင့် နံရံဂဝံမုခ်များတွင် ဘီလူးမုခ်၊ ကင်းနဒီ/ကင်းနရာ နှင့် ကနုတ်ပန်းအနုလက်ရာများကို သရွတ်နုဖြင့် သေချာစွာ မွမ်းမံခဲ့ကြသည်။ မန္တလေးခေတ်နှင့် ကုန်းဘောင်ခေတ် ဗိသုကာများတွင်လည်း အုတ်ကျောင်းများနှင့် ဘုန်းတော်ကြီးကျောင်းများ၌ သရွတ်နု အနုပညာကို အဆင့်မြင့်စွာ ဆက်လက် အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။<ref name="Moore1993">{{Cite journal |last=Moore |first=Elizabeth |title=The Reconstruction of Mandalay Palace: An Interim Report on Aspects of Design and Material Culture |journal=Bulletin of the School of Oriental and African Studies, University of London |volume=56 |issue=2 |year=1993 |pages=335–350 |doi=10.1017/S0041977X0000553X}}</ref> သစ်သားဖြင့် ဗိသုကာလက်ရာများ လုပ်ဆောင်ခြင်း (သစ်သားပန်းပု / ရိုးရာပန်းပု) သည် မြန်မာတို့၏ အလွန် ထင်ရှားသော ရိုးရာ အနုပညာတစ်ခုဖြစ်ပြီး နှစ်ပေါင်း ရာနှင့်ချီ၍ ရှင်သန် ထွန်းကားခဲ့သည်။ မြန်မာတို့သည် နန်းတော်များ၊ ပြာသာဒ်များနှင့် ဘုန်းတော်ကြီးကျောင်းများကို ကျွန်းသစ်များဖြင့် ဆောက်လုပ်ကာ စုလစ်မွမ်းချွန်များ၊ တံကဲများ၊ စိန်းမုခ်များနှင့် ဗုဒ္ဓဝင်ဆိုင်ရာ ပန်းပုရုပ်တုများကို အသေးစိတ် ထုဆစ်ခဲ့ကြသည်။ သို့သော် မြန်မာနိုင်ငံ၏ စိုစွတ်သော အပူပိုင်းဒေသ ရာသီဥတု၊ မီးဘေးအန္တရာယ်နှင့် စစ်ဘေးစစ်ဒဏ်များကြောင့် ရှေးဟောင်း သစ်သား ဗိသုကာ အများအပြားမှာ ပျက်စီးခဲ့ရပြီး ပြန်လည် တည်ဆောက်မှုများကို အစဉ်အဆက် ပြုလုပ်ခဲ့ကြရသည်။<ref name="Moore1993" /><ref name="Fraser2001">{{Cite book |last=Fraser-Lu |first=Sylvia |title=Splendour in Wood: The Buddhist Monasteries of Burma |url=https://archive.org/details/splendourinwoodb0000sylv |publisher=Weatherhill |year=2001 |isbn=0-8348-0493-6}}</ref> === ရွှေအသုံးပြုခြင်း === စေတီပုထိုးများနှင့် ဘုရားကျောင်းကန်များတွင် ရွှေဆိုင်းများ ကပ်လှူခြင်း၊ ရွှေဆေးများ သုတ်လိမ်းခြင်းသည် မြန်မာ့ ဗုဒ္ဓဘာသာ ဗိသုကာ၏ ထူးခြားသည့် အဓိက အသွင်အပြင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဘုရားစေတီတော်များတွင် ရွှေကပ်လှူခြင်းသည် မြတ်စွာဘုရားအား ပူဇော်သော ကုသိုလ်ဖြစ်သည်ဟု ယုံကြည်ကြသည့်အပြင် ရာသီဥတုဒဏ်မှ အုတ်နှင့် သရွတ်နုများကို ကာကွယ်ပေးသည့် ထိန်းသိမ်းမှု အခန်းကဏ္ဍမှလည်း ပါဝင်သည်။<ref name="Stadtner2011">{{Cite book |last=Stadtner |first=Donald M. |title=Sacred Sites of Burma: Myth and Folklore in an Evolving Spiritual Realm |url=https://archive.org/details/sacredsitesofbur0000stad |publisher=River Books |year=2011 |isbn=978-9749863602}}</ref> ရွှေဆိုင်းများ ကပ်လှူ၍ ရွှေရောင်ဝင်းမှေ့လျက်ရှိသော ထင်ရှားသည့် ဘုရားစေတီတော်များတွင် [[ဗူးဘုရား]]၊ [[ရွှေတိဂုံစေတီတော်]]၊ [[ရွှေစည်းခုံစေတီတော်]]၊ [[လောကနန္ဒာဘုရား]] တို့သည် အဓိက သာဓကများ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Seekins2006">{{Cite book |last=Seekins |first=Donald M. |title=Historical Dictionary of Burma (Myanmar) |publisher=Scarecrow Press |year=2006 |isbn=978-0810854765 |pages=377}}</ref> ==ဗိသုကာလက်ရာများကို ထိခိုက်မှုများ== ဒုတိယကမ္ဘာစစ်အတွင်းတွင် မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဗိသုကာအမွေအနှစ်များစွာသည် စစ်ဘေးစစ်ဒဏ်ကြောင့် ပျက်စီးဆုံးရှုံး ခဲ့ရသည်။ စစ်ပွဲ၏ အဆုံးပိုင်းကာလတွင် မန္တလေးနန်းတော်သည် မီးလောင်မှုကြောင့် ပျက်စီးခဲ့သည်။ ၁၉၆၂ ခုနှစ်တွင် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်ကျောင်းသားများသမဂ္ဂအဆောက်အဦကို ဖျက်ဆီးခဲ့သည်။ ၁၉၈၀ နောက်ပိုင်းကတည်းက များစွာသော ကိုလိုနီခေတ်အဆောက်အဦတို့သည် အသစ်ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန်အတွက် ဖြိုဖျက်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite journal|last=Seekins|title=The State and the City|url=|journal=Pacific Affairs|pages=258}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[Category:မြန်မာ့ ယဉ်ကျေးမှု]] [[Category:နိုင်ငံအလိုက် ဗိသုကာ]] ht4857hu349v9zx9kva4x5rxz9ekbbs 14 88656 1054156 400056 2026-09-19T15:29:47Z Dr Lotus Black 31011 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:ပြောင်းလဲမှု]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1054156 wikitext text/x-wiki {{Cat main|ရာသီဥတုပြောင်းလဲခြင်း}} {{Commonscat|Climate change}} [[Category:ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ပတ်ဝန်းကျင်ကိစ္စများ]] [[ကဏ္ဍ:ပြောင်းလဲမှု]] bz5b0lr8wvp2rf98z3nh6nhh9218ror 0 90192 1054169 1029348 2026-09-19T16:50:53Z InternetArchiveBot 61272 Adding 1 book for [[ဝီကီပီးဒီးယား:စိစစ်အတည်ပြုခံနိုင်မှု]] (20260919)) #IABot (v2.0.9.6) ([[User:GreenC bot|GreenC bot]] 1054169 wikitext text/x-wiki အောက်ပါတို့မှာ '''[[မြန်မာနိုင်ငံ]] နှင့် သက်ဆိုင်သော အလံများ''' ဖြစ်သည်။ ==နိုင်ငံတော်အလံ== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- | [[File:Flag of Myanmar.svg|border|150px]] || rowspan="2" | ၂၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၀ || ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော် [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အလံတော်|နိုင်ငံတော်အလံ]] || အဝါ၊ အစိမ်း၊ အနီ ရေပြင်ညီလိုင်း ၃ လိုင်းနှင့် အလယ်တွင် ထောင့် ၅ ထောင့်ရှိသောကြယ်ဖြူကြီးတစ်လုံး |- | [[FIle:Flag of Myanmar (vertical).svg|border|100px]]||နိုင်ငံတော်အလံဒေါင်လိုက်ချိတ်ဆွဲပုံ||အဝါရောင်လိုင်းကိုဘယ်ဘက်တွင်ရှိ‌စေရန်နှင့် ကြယ်ဖြူ၏ထိပ်ကိုလက်ဝဲဘက်သို့မျက်နှာမူစေရန် <ref>{{cite web |title=President Obama Promises Support for the People of Burma |date=19 November 2012 |url=https://obamawhitehouse.archives.gov/blog/2012/11/19/president-obama-promises-support-people-burma |website=obamawhitehouse.archives.gov}}</ref> |} ==အုပ်ချုပ်ရေးဒေသအလံများ== ===ပြည်နယ်များ=== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- |[[File:Flag of Kachin State.svg|border|150px]]|| ၂၀၁၀ ||[[ကချင်ပြည်နယ်|ကချင်ပြည်နယ်အလံ]]|| အစိမ်းနုရောင်နောက်ခံ၊ အလယ်၌တောင်နှင့်[[မနောပွဲ|မနောတိုင်]]ပုံ |- | [[File:Flag of Kayah State.svg|border|150px]]|| ||[[ကယားပြည်နယ်|ကယားပြည်နယ်အလံ]]|| အနီ၊ အပြာ၊ အစိမ်း ရေပြင်ညီမျဉ်းသုံးကြောင်း၊ အလယ်၌ [[ကိန္နရီ]]/ကိန္နရာ ရုပ်ပုံ |- |[[File:Flag of Kayin State.svg|border|150px]]|| ၂၀၁၀ ||[[ကရင်ပြည်နယ်|ကရင်ပြည်နယ်အလံ]]|| အပြာ၊ အဖြူ၊ အနီ ရေပြင်ညီမျဉ်းသုံးကြောင်း၊ လက်ဝဲဖက်ထောင့်၌ ကြယ်အဖြူတစ်လုံး |- | [[File:Flag of Chin State.svg|border|150px]]|| ၁၉၈၆<ref>{{cite news |last1= |first1= |title=ချင်းပြည်နယ်အလံဒီဇိုင်းရေးဆွဲသူ ဒေါက်တာတမ်အောင်လိန်းကွယ်လွန် |url=https://www.zalen.info/%E1%80%81%E1%80%BB%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%95%E1%80%BC%E1%80%8A%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%9A%E1%80%BA%E1%80%A1%E1%80%9C%E1%80%B6-%E1%80%92%E1%80%AE%E1%80%87%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA/ |accessdate= |work=Zalen Media |date=20 November 2020 |language= မြန်မာဘာသာ}}</ref> ||[[ချင်းပြည်နယ်‌|ချင်းပြည်နယ်အလံ]]|| အပြာ၊ အနီ၊ အစိမ်း ရေပြင်ညီမျဉ်းသုံးကြောင်း၊ အလယ်၌စက်ဝိုင်းနှင့် [[အောက်ချင်းငှက်]]၊ ထိုစက်ဝိုင်းကိုဝန်းရံထားသော ကြယ် ၉ လုံး |- |[[File:Flag of Mon State (2018).svg|border|150px]]|| ၈ ဇွန် ၂၀၁၈<ref>{{cite news |last1=Khant |first1=Naung |title=Mon State Hluttaw approves picture of golden hamsa on red background as Mon State flag |url=https://www.bnionline.net/en/news/mon-state-hluttaw-approves-picture-golden-hamsa-red-background-mon-state-flag |accessdate=21 August 2018 |work=Burma News International |date=8 June 2018 |language=en}}</ref> ||[[မွန်ပြည်နယ်၏ အလံတော်|မွန်ပြည်နယ်အလံ]]||အနီရောင်နောက်ခံနှင့် ရွှေ[[ဟင်္သာ]]ပုံ |- |[[File:Flag of Rakhine.svg|border|150px]]|| ||[[ရခိုင်ပြည်နယ်အလံ]]|| အဖြူနှင့်အနီ ရေပြင်ညီမျဉ်းနှစ်ကြောင်း၊ အလယ်၌[[သီရိဝစ္ဆ]]တံဆိပ် |- |[[File:Flag of the Shan State.svg|border|150px]]|| ၁၂ ဖေဖော်ဝါရီ ၁၉၄၇ ||[[ရှမ်းပြည်နယ်၏အလံ|ရှမ်းပြည်နယ်အလံ]]|| အဝါ၊ အစိမ်း၊ အနီ ရေပြင်ညီမျဉ်းသုံးကြောင်းနှင့် အလယ်၌စက်ဝိုင်း |} ===တိုင်းဒေသကြီးများ=== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- |[[File:Flag of Sagaing Region (2019).svg|border|150px]]|| ၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၉<ref>{{Cite news|url=https://burma.irrawaddy.com/news/2019/10/08/205827.html|title=စစ်ကိုင်းတိုင်းအလံနှင့်လိုဂိုအသစ် ယခုနှစ်အတွင်းပြောင်းလဲအသုံးပြုမည်|work=ဧရာဝတီ|language=မြန်မာ|date=၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၉}}</ref>||[[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး၏ အလံတော်|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးအလံ]]|| အဝါ၊ အပြာ၊ အနီ ရေပြင်ညီမျဉ်း ၃ ကြောင်းနှင့် တိုင်းဒေသကြီးတံဆိပ် |- | [[ဖိုင်:Flag of Tanintharyi Region.svg|border|150x150px]]|| ၂၀၁၀ ||[[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး]]အလံ||အနီ၊ အပြာ၊ အစိမ်း ရေပြင်ညီမျဉ်းသုံးကြောင်း၊ အလယ်၌ နဂါး ရုပ်ပုံ နှင့် ၎င်းအထက်တွင် ကြယ်ဖြူငယ် |- | [[File:Flag of Bago Region.png|border|150px]]|| ||[[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး၏အလံ|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးအလံ]]||အပြာရောင်နောက်ခံ၊ အလယ်တွင် အစိမ်းရောင်ဘောင်ရှိအဖြူရောင်စက်ဝိုင်းပေါ်၌ ရွှေဟင်္သာနှစ်ကောင်ဆင့်လျက်နေပုံ နှင့် ၎င်းအထက်တွင် "ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး" ဟူသော စာသား |- |[[File:Flag of Magway Region.svg|border|150px]]|| ၂၀၂၁ခန့် ||[[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး]]အလံ|| ရွှေဝါရောင်နောက်ခံနှင့် တိုင်းဒေသကြီးတံဆိပ် |- |[[File:Flag of Mandalay Region.svg|border|150px]]|| ၂၀၂၂ ||[[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]အလံ|| ကောင်းကင်ပြာနောက်ခံနှင့် တိုင်းဒေသကြီးတံဆိပ် |- |[[File:Flag of Yangon Region.svg|border|150px]] || ၂၀၂၂ ||[[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]]အလံ|| အဝါ၊ အစိမ်း၊ အနီ ရေပြင်ညီမျဉ်းသုံးကြောင်းနှင့် တိုင်းဒေသကြီးတံဆိပ်ပုံစံ |- |[[File:Flag of Ayeyarwady Region.svg|border|150px]]|| ၂၀၂၂ ||[[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး]]အလံ||ကောင်းကင်ပြာနောက်ခံနှင့် တိုင်းဒေသကြီးတံဆိပ် |} === ပြည်ထောင်စုနယ်မြေ === {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- |[[File:Flag of Naypyidaw Union Territory.svg|border|150px]]|| ||[[နေပြည်တော် ပြည်ထောင်စုနယ်မြေ|နေပြည်တော် ပြည်ထောင်စုနယ်မြေ၏အလံ]]||ကောင်းကင်ပြာနောက်ခံနှင့် နေပြည်တော်ကောင်စီ၏တံဆိပ် |- |} ===ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသများ=== [[ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသများ]]ကို သက်ဆိုင်ရာတိုင်းရင်းသားအလံများဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည်။ {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- |[[File:Flag of Kokang Self-Administered Zone.svg|border|150px]]|| ||[[ကိုးကန့်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ကိုးကန့်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသအလံ]]|| |- |[[File:Flag of the Danu people.svg|border|150px]]||၂၀၁၇<ref>{{Cite news|title=ဓနုအမျိုးသားနေ့နဲ့ ရိုးရာဝတ်စုံသတ်မှတ်|date=၂၉ နိုဝင်ဘာ ၂၀၁၇|url=https://www.bbc.com/burmese/burma-42162919|work=[[ဘီဘီစီ]]}}</ref>||[[ဓနုကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ဓနုကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသအလံ]]||အပြာ၊ အဝါ ရေပြင်ညီမျဉ်းနှစ်ကြောင်း၊ အလယ်တွင် စက်ဝိုင်းအဖြူနှင့်ရှစ်မြှောင့်ကြယ် |- |[[File:Flag of Naga Self-Administered Zone.png|border|150px]]|| ||[[နာဂ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|နာဂကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသအလံ]]|| |- |[[File:Flag of the Palaung people.svg|border|150px]]|| ||[[ပလောင်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ပလောင်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသအလံ]]||အပြာ အဝါ၊ အစိမ်း ရေပြင်ညီမျဉ်းသုံးကြောင်းနှင့် အလယ်တွင် စက်ဝိုင်းနီ |- |[[File:Flag of the Pa-O National Organisation.svg|border|150px]]||၁၉၅၅ ||[[ပအိုဝ်းကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ပအိုဝ်းကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသအလံ]]|| |- |[[File:Flag of Wa State.svg|border|150px]]|| ||[[ဝကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်း|ဝကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်းအလံ]]|| |} ==ဝန်ကြီးဌာနအလံများ== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- | [[File: Education Flag of Myanmar.svg|border|150px]]|| || [[ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန]]အလံ|| အစိမ်းရောင်နောက်ခံနှင့် အလယ်၌ပညာရေးဝန်ကြီးဌာနတံဆိပ် |- | [[File:Myanmar MOHA Flag.svg|border|150px]]|| || [[ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန|ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန]]အလံ||အပြာ၊ အဝါနှင့် အစိမ်းရောင် မျဉ်းသုံးကြောင်း၊ အလယ်၌ "ပြည်ထဲရေး" စာတန်း |- | [[File:Flag of the Ministry of Defense (Myanmar).svg|border|150px]]|| || [[ကာကွယ်ရေး ဝန်ကြီးဌာန|ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန]]အလံ<ref name="mnp">{{cite web |url= https://myanmar.gov.mm/my/ministries |title= ဝန်ကြီးဌာနများ |website= Myanmar National Portal |access-date= 14 April 2022 |archive-date= 4 April 2022 |archive-url= https://web.archive.org/web/20220404121435/https://myanmar.gov.mm/my/ministries }}</ref>||အနီရောင်နောက်ခံနှင့် အလယ်တွင် တပ်မတော်လိုဂို |} ==စစ်ဖက်သုံးအလံများ== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- |[[File:Flag of the Armed Forces (Tatmadaw) of Myanmar.svg|border|150px]]|| ||[[တပ်မတော်|တပ်မတော်အလံ]]|| အနီ၊ အဖြူ၊ အပြာနု ရေပြင်ညီမျဉ်း ၃ ကြောင်း၊ အလယ်၌ ရွှေရောင်ကြယ် |- |[[File:Flag of the Commander-in-Chief of Defence Services (Myanmar).svg|border|150px]]|| rowspan="5" |၂၀၁၅||[[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]]|| အနီ၊ အပြာရင့်၊ အပြာနု ရေပြင်ညီမျဉ်း ၃ ကြောင်း၊ အလယ်၌ တပ်မတော်တံဆိပ်နှင့် ကြယ်ငါးလုံး |- |[[File:Flag of the Deputy Commander-in-Chief of Defence Services (Myanmar).svg|border|150px]]||[[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]]|| အနီ၊ အပြာရင့်၊ အပြာနု ရေပြင်ညီမျဉ်း ၃ ကြောင်း၊ အလယ်၌ တပ်မတော်တံဆိပ်နှင့် ကြယ်လေးလုံး |- |[[File:Commander in Chief (Army) flag of Myanmar.svg|border|150px]]||[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ကြည်း)]]|| အနီရောင်နောက်ခံ၊ အလယ်၌ တပ်မတော်တံဆိပ်နှင့် ကြယ်လေးလုံး |- |[[File:Commander in Chief (Navy) flag of Myanmar.svg|border|150px]]||[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ)]]|| အပြာရင့်နောက်ခံ၊ အလယ်၌ တပ်မတော်တံဆိပ်နှင့် ကြယ်လေးလုံး |- |[[File:Commander in Chief (Air Force) flag of Myanmar.svg|border|150px]]||[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]]|| အပြာနုနောက်ခံ၊ အလယ်၌ တပ်မတော်တံဆိပ်နှင့် ကြယ်လေးလုံး |- |[[File:Army Flag of Myanmar.svg|border|150px]] || rowspan="2" | ၁၉၉၄ခန့် ||[[တပ်မတော် (ကြည်း)|တပ်မတော် (ကြည်း) အလံ]]|| အနီရောင်နောက်ခံ၊ အလယ်၌ အပြာရင့်ရောင်မျဉ်းနှင့် ကြယ်ဖြူတစ်လုံး |- |[[File:Myanmar Army Guidon.svg|border|150px]]|| ၁၉၉၄ခန့် || တပ်မတော်(ကြည်း)၏ [[တပ်မတော်နေ့]] စစ်ရေးပြအခမ်းအနားသုံး မြင်းစီးစစ်သည်ကိုင်အလံ<ref>{{Cite news|url=https://www.bangkokpost.com/world/1435894/myanmar-army-chief-tells-rebels-to-stop-demanding-impossible|date=၂၇ မတ် ၂၀၁၈|title=Myanmar army chief tells rebels to stop demanding 'impossible'|author=|publisher=Bangkok Post}}</ref>||တပ်မတော် (ကြည်း) အလံ ပုံစံကွဲ |- | [[File:Air Force Ensign of Myanmar.svg|border|150px]] || ၂၀၁၀ခန့် || [[တပ်မတော် (လေ)]] ၏ လေတပ်အလံ || မိုးပြာရောင်အောက်ခံတွင် ဘယ်ဘက်အထက်တွင် ကြယ်ဖြူနှင့်ညာဘက်ထောင့်တွင် လေတပ်အမှတ်တံဆိပ် |- | [[File:Naval ensign of Myanmar.svg|border|150px]] || ၁၉၉၄ ||[[တပ်မတော် (ရေ)]] ၏ ရေတပ်အလံ || နောက်ခံအဖြူရောင်၏ ဘယ်ဘက်ထိပ်တွင်အနီရောင်နောက်ခံအကွက်၌ အဖြူရောင်ကြယ်နှင့်ညာဘက်အောက်ထောင့်တွင် အပြာရောင်ကျောက်ဆူး<ref>[http://www.flags.net/MYAN.htm Burmese Flags (Myanmar) from The World Flag Database]. Flags.net (21 October 2010). Retrieved on 2011-05-27.</ref> |- | [[File:Myanmar Navy commissioning pennant.svg|border|150px]]|| ||တပ်မတော် (ရေ) တပ်တော်ဝင်အလံ|| |} === တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်များ === {{gallery|mode=nolines|whitebg=y|height=100 |File:Mm-northern-rmc.svg|[[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |File:Mm-north-western-rmc.svg|[[အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |File:Mm-north-eastern-rmc.svg|[[အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |File:Mm-eastern-rmc.svg|[[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |File:Myanmar Eastern Central RMC Flag.svg|[[အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |File:Mm-triangle-rmc.svg|[[တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |File:MM Western RMC Flag.svg|[[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |File:Myanmar Naypyitaw RMC Flag.svg|[[နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |File:Mm-central-rmc.svg|[[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |File:Mm-southern-rmc.svg|[[တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |File:Mm-south-western-rmc.svg|[[အနောက်တောင်တိုင်း စစ်ဌာနချုပ်|အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |File:Mm-yangon-rmc.svg|[[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |File:Mm-south-eastern-rmc.svg|[[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |File:Mm-coastal-rmc.svg|[[ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်း စစ်ဌာနချုပ်|ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] }} === ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ်များ === {{gallery|mode=nolines|whitebg=y|height=100 |File:Mm-lid-11.svg|[[အမှတ်(၁၁)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] |File:Mm-lid-22.svg|[[အမှတ်(၂၂)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] |File:Mm-lid-33.svg|[[အမှတ်(၃၃)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] |File:Mm-lid-44.svg|[[အမှတ်(၄၄)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] |File:Mm-lid-55.svg|[[အမှတ်(၅၅)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] |File:Mm-lid-66.svg|[[အမှတ်(၆၆)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] |File:Mm-lid-77.svg|[[အမှတ်(၇၇)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] |File:Mm-lid-88.svg|[[အမှတ်(၈၈)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] |File:Mm-lid-99.svg|[[အမှတ်(၉၉)ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ်|အမှတ်(၉၉)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] |File:Mm-lid-101.svg|[[အမှတ်(၁၀၁)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] }} === အခြားတပ်မတော်ဆိုင်ရာအလံများ === {{gallery|mode=nolines|whitebg=y|height=100|row=4 |File:Mm-army-4.svg|[[ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့် စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး|ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့် စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေးတပ်ဖွဲ့]] |File:Myanmar Directorate of Defence Industries Flag.svg|[[ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေး အရာရှိချုပ်ရုံး|ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးတပ်ဖွဲ့]] |File:Flag of Infantry Divisions of Myanmar Army.svg|ခြေမြန်တပ်/ခြေလျင်တပ်ဖွဲ့ |File:Flag of Myanmar Artillery.svg|[[အမြောက်တပ်ဖွဲ့]] |File:Myanmar Military Engineers Flag.svg|[[စစ်အင်ဂျင်နီယာတပ်ဖွဲ့]] |File:Flag of the Myanmar Army Signal Corps.svg|[[ဆက်သွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့]] |File:Flag of the Myanmar Army Armoured Corps.svg|[[သံချပ်ကာယန္တရားတပ်ဖွဲ့]] |File:Flag of the Myanmar Army Medical Corps.svg|[[တပ်မတော် ဆေးတပ်ဖွဲ့|ဆေးဝန်ထမ်းတပ်ဖွဲ့]] |File:Flag of the Myanmar Army Corps of Supply and Transport.svg|[[ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေးတပ်ဖွဲ့]] |File:Myanmar Ordnance Services Flag.svg|[[စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|စစ်လက်နက်ပစ္စည်းတပ်ဖွဲ့]] |File:Flag of the Myanmar Army Corps of Electrical and Mechanical Engineering.svg|[[လျှပ်စစ်နှင့်စက်မှု အင်ဂျင်နီယာ ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|လျှပ်စစ်နှင့်စက်မှုအင်ဂျင်နီယာတပ်ဖွဲ့]] |File:Mm-army-2.svg|[[လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သော ပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး|လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သော ပုံနှိပ်လုပ်ငန်းများတပ်ဖွဲ့]] |File:Myanmar Resettlement Unit Flag.svg|[[ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ပြန်လည်နေရာချထားရေးတပ်ဖွဲ့]] |File:Flag of Myanmar Border Guard Forces.png|[[နယ်ခြားစောင့်တပ်ဖွဲ့]] }} === ခြေလျင်တပ်ရင်းများ === {{gallery|mode=nolines|whitebg=y|height=100 |File:Flag of Kha La Ya 14.png|အမှတ်(၁၄)ခြေလျင်တပ်ရင်း }} ==ဥပဒေထိန်းသိမ်းရေးအဖွဲ့အလံများ== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- | [[File:Flag of the Myanmar Police Force.svg|border|150px]] || || [[မြန်မာနိုင်ငံ ရဲတပ်ဖွဲ့|မြန်မာနိုင်ငံ ရဲတပ်ဖွဲ့အလံ]] || အဝါ၊ အပြာ၊ အနီရောင် ဒေါင်လိုက်မျဉ်းများပေါ်တွင် ကြယ်တစ်လုံး |- | [[File:Myannmar Police Force1.svg|border|150px]]|| || [[မြန်မာနိုင်ငံ ရဲတပ်ဖွဲ့|မြန်မာနိုင်ငံ ရဲတပ်ဖွဲ့အလံမူကွဲ]]|| အနည်းငယ်ကျဉ်း‌သော အပြာရောင်အစင်း၊ လက်ဝဲအထက်ထောင့်၌ သက်ဆိုင်ရာဌာန၏တံဆိပ်<ref>{{Cite news|title=မန္တလေးတွင် မြို့နယ်ရဲတပ်ဖွဲ့မှူး သင်တန်းဆင်းပွဲကျင်းပ|author=အောင်ကိုဦး|date=၂၂ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၇|url=https://mizzimaburmese.com/article/35542|language=မြန်မာဘာသာ|work=[[မဇ္ဈိမ နေ့စဉ်သတင်းစာ|မဇ္ဈိမ]]}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.crwflags.com/fotw/flags/mm-pol.html#var|title=Myanmar (Burma): Police flags|work=CRW Flags}}</ref> |- |[[ဖိုင်:Ensign of the Myanmar Coast Guard.svg|border|150x150px]]||၆ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၁|| [[ကမ်းခြေစောင့်တပ်ဖွဲ့|ကမ်းခြေစောင့်တပ်ဖွဲ့အလံ]]||နောက်ခံအဖြူရောင်၏ ဘယ်ဘက်ထိပ်တွင်အပြာရောင်နောက်ခံအကွက်၌ အဖြူရောင်ကြယ်နှင့်ညာဘက်အောက်ထောင့်တွင် အပြာရောင်ကျောက်ဆူးနှစ်ခု |} == ဘာသာရေးအလံများ == {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- | [[File:Burmese buddhist flag.svg|border|150px]]|| ၁၉၅၆ || rowspan="2" |[[သာသနာ့ အလံ|သာသနာ့အလံတော်]]|| အပြာရင့်ရောင်၊ အဝါရင့်ရောင်၊ အနီရောင်၊ အဖြူရောင်၊ ပန်းနုရောင် ဒေါင်လိုက်မျဉ်းများနှင့် ထိုအရောင်ငါးမျိုးပေါင်းထားသောမျဉ်းတစ်ကြောင်း<ref>{{cite book |title=သာသနာ့အလံတော် |author=အရှင်စန္ဒောဘာသ (ရွှေဘို) |date=၁၃၅၇ |publisher=ရွှေပုရပိုက်စာပေ |language= |url=https://spsuygn.edu.mm/book/bdhhgen-81/detail |access-date=29 March 2022 |archive-date=6 June 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240606021051/https://spsuygn.edu.mm/book/bdhhgen-81/detail |url-status=dead }}</ref> |- |[[File:Sasana Flag – Buddhist flag in Myanmar.png|border|100px]]|| ||ပန်းနုရောင်အစား ပန်းရောင်ကို အသုံးပြုသော မူကွဲ |- |[[File:Flag of the Burma YMBA.svg|border|150px]]||||[[ဗုဒ္ဓဘာသာ ကလျာဏယုဝအသင်း]]အလံ||ဝါ၊ စိမ်း၊ နီ သုံးရောင်ခြယ်နှင့် အဖွဲ့၏တံဆိပ်ပုံစံ<ref name="PM">{{cite web |url=https://www.peoplemediamyanmar.com/ymba-%E1%80%A1%E1%80%9E%E1%80%84%E1%80%B9%E1%80%B8%E1%80%9E%E1%80%B0-%E1%80%9E%E1%80%AC%E1%80%B8%E1%80%99%E1%80%BA%E1%80%AC%E1%80%B8%E1%80%A1%E1%80%B1%E1%80%94%E1%80%BB%E1%80%96%E1%80%84%E1%80%B9/ |title=YMBA အသင်းသူ/သားများအနေဖြင့် YMBA ဗဟိုအမှုဆောင်များအား ကြိုတင်အသိပေးတင်ပြခြင်းမရှိဘဲ မိမိသဘောဆန္ဒအလျောက် မီဒီယာများကိုဖြေကြားခွင့်မပြု |language= |author=<!--Not stated--> |work=People Media |date=၁၁ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၁ |access-date=14 April 2022 |archive-date=19 May 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220519181140/https://www.peoplemediamyanmar.com/ymba-%E1%80%A1%E1%80%9E%E1%80%84%E1%80%B9%E1%80%B8%E1%80%9E%E1%80%B0-%E1%80%9E%E1%80%AC%E1%80%B8%E1%80%99%E1%80%BA%E1%80%AC%E1%80%B8%E1%80%A1%E1%80%B1%E1%80%94%E1%80%BB%E1%80%96%E1%80%84%E1%80%B9/ }}</ref> |- | [[File:Flag of Myanmar Islamic Religious Affairs Council.png|border|150px]] || ၁၉၅၄ || ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော် အစ္စလာမ်သာသနာရေးရာကောင်စီ အလံ ||အနီရောင်နောက်ခံ၊ လက်ဝဲဘက်အထက်ထောင့်၌ အစိမ်းရင့်အခန်း၊ ထိုအစိမ်းရင့်အခန်း၌ အစ္စလာမ်ဘာသာ‌ရေးစာသား<ref>[https://m.facebook.com/irac.myanmar/photos/a.209936725712517/209936729045850/?type=3&source=54&ref=page_internal Islamic Religious Affairs Council Myanmar]</ref> |} == နိုင်ငံရေးအလံများ == {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- | [[File:Flag of the Ta'ang National Party.svg|border|150px]]|| ||[[တအောင်း(ပလောင်)အမျိုးသားပါတီ|တအောင်းအမျိုးသားပါတီ၏အလံ]]||ကောင်းကင်ပြာနှင့် အနီရောင်နေလုံး |- | [[File:Flag of the Union Solidarity and Development Party.svg|border|150px]]|| ||[[ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ|ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့်ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ၏အလံ]]|| |- | [[File:ABFSU Flag.svg|border|150px]]|| ၂၇ စက်တင်ဘာ ၁၉၈၈ || [[ဗကသ|ဗမာနိုင်ငံလုံးဆိုင်ရာကျောင်းသားသမဂ္ဂများအဖွဲ့ချုပ်၏အလံ]]||[[ခွပ်ဒေါင်းအလံ]] |- | [[File:Flag of the Mon Unity Party.svg|border|150px]]|| ||[[မွန်ညီညွတ်ရေးပါတီ|မွန်ညီညွတ်ရေးပါတီ၏အလံ]]|| |- | [[File:Flag of Shan Nationalities League for Democracy.svg|border|150px]]|| ||[[ရှမ်းတိုင်းရင်းသားများ ဒီမိုကရေစီအဖွဲ့ချုပ်|ရှမ်းတိုင်းရင်းသားများ ဒီမိုကရေစီအဖွဲ့ချုပ်၏အလံ]]|| |- | [[File:Flag of National League for Democracy.svg|border|150px]]|| ၂၇ စက်တင်ဘာ ၁၉၈၈ ||[[အမျိုးသားဒီမိုကရေစီအဖွဲ့ချုပ်|အမျိုးသားဒီမိုကရေစီအဖွဲ့ချုပ်၏အလံ]]|| အနီရောင်နောက်ခံ၊ ကြယ်ဖြူနှင့် [[ခွပ်ဒေါင်းအလံ|ခွပ်ဒေါင်းရုပ်]] |} ==သမိုင်းဝင်အလံများ== ===ပဒေသရာဇ်ခေတ်အလံများ=== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- |[[File:Golden Hintar flag of Burma.svg|border|150px]]|| ၁၃၀၀ခန့် – ၁၅၀၀ခန့် ||ဟံသာဝတီခေတ်အလံတော် || |- |[[File:Flag of Konbaung Dynasty (Nonrectangular).svg|border|150px]]|| ၁၈၂၆ခန့် – ၁၈၈၅ ||[[ကုန်းဘောင်ခေတ် အလံများ|ကုန်းဘောင်ခေတ် မြန်မာနိုင်ငံအလံတော်]]<ref>{{cite book |url=http://www.myanmarbookshop.com/MyanmarBooks/BookDetails/20045 |title=မြန်မာ့သမိုင်းဝင်အလံများနှင့် မြန်မာခေါင်းဆောင်မျာ |author=ဝရဇိန် (ဆရာစံမြေ) |date=စက်တင်ဘာ ၂၀၁၁ |access-date=14 April 2022 |archive-date=6 November 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221106040621/http://www.myanmarbookshop.com/MyanmarBooks/BookDetails/20045 |url-status=dead }}</ref><ref>[https://m.facebook.com/photo.php?fbid=475026862992950&id=100014569205043&set=a.136703043492002&source=48 စာမျက်နှာ ၆]၊ ဒုတိယပိုင်း၊ မြန်မာနိုင်ငံတွင်ခေတ်အဆက်ဆက်သတ်မှတ်အသုံးပြုခဲ့သော နိုင်ငံတော်အထိမ်းအမှတ် တံဆိပ်များနှင့် နိုင်ငံတော် အလံများ <br>(၅-၂-၂၀၁၄) <br>တင်ပြသူ = ဒေါ်ရီရီညွန့်၊ ညွှန်ကြားရေးမှူး၊ ပြည်ထောင်စုတိုင်းရင်းသားလူငယ်များစွမ်းရည်ဖွံ့ဖြိုးရေးဒီဂရီကောလိပ် စစ်ကိုင်း၊ ပညာရေးနှင့်လေ့ကျင့်ရေးဦးစီးဌာန၊ နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန၊ ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်အစိုးရ</ref>||အဖြူရောင်နောက်ခံ၊ အလယ်၌အနီရောင်စက်ဝိုင်းနှင့် ပန်းခက်ကိုက်ထားသောအစိမ်းရောင်ဒေါင်းရုပ်<ref>{{cite book |url=http://www.myanmarbookshop.com/%28X%281%29%29/MyanmarBooks/BookDetails/16017 |title=ဒေါင်းဋီကာ |author=[[သခင်ကိုယ်တော်မှိုင်း|မစ္စတာမောင်မှိုင်း]] |date=၁၉၁၄ |access-date=14 April 2022 |archive-date=6 November 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221106040612/http://www.myanmarbookshop.com/(X(1))/MyanmarBooks/BookDetails/16017 |url-status=dead }}</ref><ref>{{cite book |url=https://heavenmall.net/products/product_category_name-book-15537 |title=မြန်မာနိုင်ငံတော်သမိုင်း |author=[[ဗန်းမော်တင်အောင်]] |access-date=14 April 2022 |archive-date=10 December 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221210051452/https://heavenmall.net/products/product_category_name-book-15537 |url-status=dead }}</ref> |- |} ====မင်းခမ်းသုံးအလံများ==== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- | [[File:Royal Standard of Konbaung Dynasty (1753-1885).svg|border|150px]]||၁၈၈၅ ထိ||[[ကုန်းဘောင်ခေတ်]] မင်းခမ်းမင်းနားသုံးအလံ<ref>{{cite web |url=https://myawady.net.mm/content/%E1%80%94%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%84%E1%80%B6%E1%80%90%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%BA%E1%80%A1%E1%80%9C%E1%80%B6%E1%80%A1%E1%80%AC%E1%80%B8-%E1%80%81%E1%80%BB%E1%80%85%E1%80%BA%E1%80%81%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%BC%E1%80%90%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%B8%E1%80%90%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%96%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%B8%E1%80%91%E1%80%AC%E1%80%B8%E1%80%95%E1%80%AB |title=နိုင်ငံတော်အလံအား ချစ်ခင်မြတ်နိုးတန်ဖိုးထားပါ |website=myawady.net.mm}}</ref>||အဖြူရောင်ပိုးသား နှင့် အလယ်တွင် အနီရောင်ဒေါင်းရုပ် |- |} ===ကိုလိုနီခေတ်အလံများ=== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- | rowspan="2" |[[File:Flag of the United Kingdom.svg|border|150px]]||၂၉ နိုဝင်ဘာ ၁၈၈၅ - ၁၉၄၂၊ || rowspan="2" |[[ကိုလိုနီခေတ်]] နိုင်ငံတော်အလံ|| rowspan="2" |[[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ၏ အလံတော်|ဗြိတိသျှပြည်ထောင်စုဘုရင့်နိုင်ငံ၏ နိုင်ငံတော်အလံ ယူနီယံဂျက်]]။ ။ အင်္ဂလန်ပြည်၏ အလံ (နောက်ခံ အဖြူပေါ်တွင် စိန်ဂျော့၏ ကြက်ခြေနီ)၊ စကော့တလန်ပြည် အလံ (အပြာရောင် နောက်ခံပေါ်တွင် စိန်အန်ဒြူး၏ ဒေါင်လိုက် ကြက်ခြေဖြူ) နှင့် အိုင်ယာလန်ပြည် အလံ (အဖြူ ရောင် အောက်ခံပေါ်တွင် စိန်ပက်ထရစ်၏ ဒေါင်လိုက် ကြက်ခြေနီ) တို့ကို ပေါင်းစပ်ထားခြင်း |- | ၁၉၄၅ - ၄ ဇန်နဝါရီ ၁၉၄၈<ref name="BP">{{cite AV media | date =1948 | title =Burma Celebrates Independence 1948 | type = | language =en | url = https://www.britishpathe.com/video/burma-celebrates-independence | publisher =British Pathé | id =VLVA9I02D6F29HT6UH95ALQGCYMK | isbn = | oclc = | quote = | ref = }}</ref>|| |- |[[File:British Raj Red Ensign.svg|border|150px]]|| ၁၈၈၆–၁၉၃၇ ||ဗြိတိသျှအိန္ဒိယအင်ပါယာ၊ မြန်မာပြည်နယ်၏ အရပ်သားအလံ||[[ဗြိတိသျှအိန္ဒိယအင်ပါယာ]]၏ အမျိုးသားအလံနှင့် အရပ်သားအလံ ။ ။ အနီရောင်နောက်ခံ၊ လက်ဝဲဘက်‌အထက်ထောင့်၌ယူနီယံဂျက်၊ လက်ယာဘက်၌ သရဖူဆောင်းထားသော အိန္ဒိယကြယ်တံဆိပ် |- | rowspan="2" |[[File:British Burma 1937 flag.svg|border|150px]]|| ၆ ဖေ‌ဖော်ဝါရီ ၁၉၃၉<ref name="HHN2">{{cite web |title=Myanmar Burma Part 2 |url=http://www.hubert-herald.nl/Myanmar1.htm |website=hubert-herald.nl |author=Hubert de Vries |date=27 March 2012}}</ref> - ၁၉၄၁၊ || rowspan="2" |[[ကိုလိုနီခေတ်|ဗြိတိသျှမြန်မာနိုင်ငံ]]၏ အမျိုးသားအလံ|| rowspan="2" |အပြာရင့်နောက်ခံ၊ လက်ဝဲဘက်အထက်ထောင့်၌ယူနီယံဂျက်၊ လက်ယာဘက်‌၌ဒေါင်းရုပ် |- | ၁၉၄၅ – ၃ ဇန်နဝါရီ ၁၉၄၈ |- |[[File:Flag of Burma (1941–1942).svg|border|150px]]|| ၁၉၄၁–၁၉၄၂ <ref name="HHN2"/>||ဗြိတိသျှမြန်မာနိုင်ငံ၏ အမျိုးသားအလံ||အပြာရင့်နောက်ခံနှင့် အလယ်တွင်ဒေါင်းရုပ် |- |[[File:Flag of Japan.svg|border|150px]]||၁၉၄၂–၁၉၄၃ ||[[ဂျပန်ကိုလိုနီခေတ်|ဂျပန်စစ်အုပ်ချုပ်ရေးခေတ်မြန်မာ]]နိုင်ငံအလံ|| [[ဂျပန်နိုင်ငံ]] ၏ နိုင်ငံတော်အလံ ။ ။ အဖြူရောင်နောက်ခံနှင့် အလယ်တွင်အနီရောင်စက်ဝိုင်း |- |[[File:Flag of Burma 1943.svg|border|150px]]||၁ ဩဂုတ် ၁၉၄၃<ref name="HHN2"/> – ၁၉၄၅|| [[ဂျပန်ခေတ်မြန်မာပြည်|ဗမာနိုင်ငံတော်]]အလံ|| ဝါ၊ စိမ်း၊ နီ သုံးရောင်ခြယ်နှင့် ဒေါင်းရုပ် |- |[[File:Flag of the State of Burma (Stylized version).svg|border|150px]]|| ၁၉၄၃ – ၁၉၄၅ || [[ဂျပန်ခေတ်မြန်မာပြည်|ဗမာနိုင်ငံတော်]]အလံ ရိုးရှင်းပုံစံ|| ဝါ၊ စိမ်း၊ နီ သုံးရောင်ခြယ်နှင့် ဒေါင်းရုပ် |- |} ===လွတ်လပ်ပြီးခေတ်အလံများ=== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- |[[File:Flag of Burma (1948–1974).svg|border|150px]]|| rowspan="2" | ၄ ဇန်နဝါရီ ၁၉၄၈<ref name="BP"/> – ၃ ဇန်နဝါရီ ၁၉၇၄<ref name=dd>{{cite book |title=ဒီဟာအစ ဒီလိုဗျ |author=မောင်အုန်းဖေ |date=မေ ၂၀၀၄ |url=http://www.myanmarbookshop.com/%28X%281%29%29/MyanmarBooks/BookDetails/135 |access-date=14 April 2022 |archive-date=21 December 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221221085453/http://www.myanmarbookshop.com/(X(1))/MyanmarBooks/BookDetails/135 |url-status=dead }}</ref>||[[လွတ်လပ်ပြီးခေတ်မြန်မာနိုင်ငံ|ပြည်ထောင်စုမြန်မာနိုင်ငံ]] နိုင်ငံတော်အလံ<ref name="BAM"/><ref name="Pedersen"/>|| အနီရောင်နောက်ခံ၊ လက်ဝဲဘက်အထက်ထောင့်၌ အပြာရင့်အခန်း၊ ထိုအပြာရင့်အခန်း၌ ကြယ်ဖြူကြီးနှင့် ၎င်း၏ရောင်ခြည်လက်များထဲ၌ ကြယ်ငယ် ၅ လုံး |- |[[File:Vertical flag of Burma (1948–1974).svg|border|150px]]||နိုင်ငံတော်အလံကို ထောင်လိုက်ချိတ်ဆွဲပုံ <ref name="BAM">{{cite book |url=https://m.facebook.com/shwethwayjournal/posts/692795517793258?locale2=ms_MY |title=နိုင်ငံတော်အလံနှင့်နေ့ထူးများ THE NATIONAL FLAG AND THE SIGNIFICANT DAYS OF THE UNION OF BURMA |author=ဗိုလ်အေးမောင် |language= |publisher=ဘာသာပြန်စာပေအသင်း |location=ရန်ကုန်မြို့ |date=၁၉၅၅}}</ref>||အပြာရင့်ရောင်အခန်းကို လက်ဝဲဘက်အထက်ထောင့်တွင်ရှိစေရန်နှင့် ၎င်းအခန်းအတွင်းရှိကြယ်များ၏ထိပ်ဖျားသည် လက်ဝဲဘက်သို့ညွှန်ပြနေ‌စေရန် | |- |[[File:Civil Ensign of Burma (1952-1974).svg|border|150px]]||၁၉၅၂–၁၉၇၄ ||ပြည်​ထောင်စုမြန်မာနိုင်ငံ​တော်ဆိုင်ရာ အရပ်သားသ​​​င်္ဘောသုံးအလံ<ref name="Pedersen"/>||နိုင်ငံတော်အလံပါ အပြာရင့်ခန်းကို အလျားအပြည့်ထိချဲ့ထား |- | rowspan="2" |[[File:Flag of Myanmar (1974–2010).svg|border|150px]]|| ၄ ဇန်နဝါရီ ၁၉၇၄<ref name=dd/>–၁၈ စက်တင်ဘာ ၁၉၈၈၊ ||ပြည်ထောင်စု ဆိုရှယ်လစ်သမ္မတ မြန်မာနိုင်ငံတော် နိုင်ငံတော်အလံ|| rowspan="2" |အနီရောင်နောက်ခံ၊ လက်ဝဲဘက်အထက်ထောင့်၌ အပြာရင့်အခန်း၊ ထိုအပြာရင့်အခန်း၌ စပါးနှံနှင့်စက်သွားတို့ကို ဝန်းရံနေသောကြယ်ငယ် ၁၄ လုံး |- |၁၈ စက်တင်ဘာ ၁၉၈၈ – ၂၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၀||ပြည်ထောင်စုမြန်မာနိုင်ငံတော် နိုင်ငံတော်အလံ |- | rowspan="2" |[[File:Civil Ensign of Myanmar (1974-2010).svg|border|150px]]|| ၁၉၇၄–၁၉၈၈ ||ပြည်​ထောင်စုဆိုရှယ်လစ်သမ္မတ မြန်မာနိုင်ငံ​တော် အရပ်သားသင်္ဘောသုံးအလံ|| rowspan="2" |နိုင်ငံတော်အလံပါ အပြာရင့်ခန်းကို အလျားအပြည့်ထိချဲ့ထား |- |၁၉၈၈–၂၀၁၀||ပြည်ထောင်စုမြန်မာနိုင်ငံ‌တော်ဆိုင်ရာ အရပ်သားသင်္ဘောသုံးအလံ |} === အစိုးရဆိုင်ရာ === {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- |[[File:Flag of the Governor-General of India (1885–1947).svg|border|150px]]||၁၈၈၅–၁၉၃၇||အိန္ဒိယဘုရင်ခံချုပ်၏အလံ<ref name="HHN1">{{cite web |title=Myanmar Burma Part 1 |url=http://www.hubert-herald.nl/Myanmar.htm |website=hubert-herald.nl |author=Hubert de Vries |date=11 June 2010}}</ref>||[[ယူနီယံဂျက်အလံ|ယူနီယံဂျက်]]အလယ်၌ [[ဗြိတိသျှအိန္ဒိယ]]တံဆိပ် |- |[[File:Flag of the Governor of Burma (1939–1948).svg|border|150px]]||၁၉၃၇–၁၉၄၈||[[မြန်မာပြည်၏ ဗြိတိသျှဘုရင်ခံ|ဗြိတိသျှမြန်မာပြည်ဘုရင်ခံ]]၏အလံ<ref name="HHN1"/>||[[ယူနီယံဂျက်အလံ|ယူနီယံဂျက်]]အလယ်၌ ဒေါင်းရုပ်ပုံစံ |- |[[File:Flag of the Synyethe-Wunthann Party of Burma.svg|border|150px]]||၁၉၄၂–၁၉၄၃||[[ဒေါက်တာဘမော်]]၏ [[ဆင်းရဲသား ဝံသာနု အဖွဲ့|ဆင်းရဲသားဝံသာနုအဖွဲ့]]အစိုးရ|| |- |[[File:Presidential Flag of Burma (1948-1962).svg|border|150px]]||၁၉၄၈–၁၉၆၂||[[လွတ်လပ်ပြီးခေတ်မြန်မာနိုင်ငံ|ပြည်ထောင်စုမြန်မာနိုင်ငံ]]၏ [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမ္မတ|နိုင်ငံတော်သမ္မတ]]သုံးအလံ<ref name = "Pedersen">{{cite book |last= Pedersen |first= Christian Fogd |author-link= |editor-last1= Bedells |editor-first1= John |date= 1971 |title= The International Flag Book in Colour |url=https://archive.org/details/internationalfla00pede |location= London |language = English |publisher= |page= [https://archive.org/details/internationalfla00pede/page/72 72] |isbn= 07137 0536 1 }}</ref><ref name="HHN1"/>||လိမ္မော်ရောင်နောက်ခံနှင့် အလယ်၌ဒေါင်းရုပ် |- |[[File: Government Ensign of Burma (1948–1974).svg|border|150px]]||၁၉၄၈–၁၉၇၄||ပြည်ထောင်စုမြန်မာနိုင်ငံဆိုင်ရာ အစိုးရသင်္ဘောသုံးအလံ<ref name = "Pedersen" />||အပြာရင့်ရောင်နောက်ခံနှင့် လက်ဝဲဖက်ထောင့်၌ နိုင်ငံတော်အလံ |- |[[File:Flag of the National Coalition Government of the Union of Burma.svg|border|150px]]||၁၉၉၂–၂၀၁၂||[[ပြည်ထောင်စု မြန်မာနိုင်ငံ အမျိုးသားညွန့်ပေါင်းအစိုးရ]]၏ အလံပုံစံ<ref>{{Cite web|url=https://www.bbc.com/burmese/burma/2010/10/101025_flag_ncgub.amp|title=နိုင်ငံတော်အလံသစ် ညွန့်ပေါင်းအစိုးရအလံသာဖြစ်|date=၂၅ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၀|author=|publisher=[[ဘီဘီစီ]]|access-date=20 December 2021|archive-date=20 December 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20211220073246/https://www.bbc.com/burmese/burma/2010/10/101025_flag_ncgub.amp}}</ref>||[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အလံတော်]] |} === သံရုံး === {| class="wikitable" |- bgcolor="#efefef"" ! ! width="110"|Flag!!width="100"|Date!!width="250"|Use!!width="250"| Description |- | [[File:Flag of Burmese Embassy, Nanjing (1949).png|border|150px]] || ၁၉၄၉ || နန်ကျင်းမြို့ကို တရုတ်ကွန်မြူနစ်တပ်နီများဝိုင်းထားချိန်တွင် နန်ကျင်းမြို့ရှိ တရုတ်သမ္မတနိုင်ငံဆိုင်ရာ ပြည်ထောင်စုမြန်မာနိုင်ငံသံရုံးတွင် လွှင့်ထူသော အလံ <ref>{{cite web |title=ဒီမိုကရက်တစ် တရားမျှတမှုကို ကိုယ်တိုင် ကျင့်ဆောင်ခဲ့တဲ့ တရားဝန်ကြီးချုပ် |website=BBC |url=https://www.bbc.com/burmese/53765310 |date=13 August 2010}}</ref> || ပြည်ထောင်စုမြန်မာနိုင်ငံတော်အလံ၏ လက်ယာဘက်၌ နန်းမြို့ရိုးပြာသာဒ်ပုံ ဖြည့်ဆွဲထားခြင်း |} === စစ်ဖက်သုံးအလံများ === ====ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်==== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- |[[File:Commander in Chief flag of Myanmar (2010).svg|border|150px]]|| ၂၀၁၀ အထိ ||တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်အလံဟောင်း<ref name="HHN3">{{cite web |title=Myanmar Burma Part 3 |url=http://www.hubert-herald.nl/MyanmarAF.htm |website=hubert-herald.nl |author=Hubert de Vries |date=5 April 2012}}</ref>|| အပြာနု၊ အနီ၊ အပြာရင့် ရေပြင်ညီမျဉ်း ၃ ကြောင်း၊ အလယ်၌ ရွှေရောင်ကြယ်<ref>{{Cite news|url=https://www.asianews.it/news-en/Senior-General-Than-Shwe-in-India-to-discuss-trade-and-security-18985.html|title=Senior General Than Shwe in India to discuss trade and security|date=၂၀ ဇူလိုင် ၂၀၁၀|author=|publisher=PIME AsiaNews}}</ref><ref>{{Cite news|url=https://southeastasiaglobe.com/whatever-happened-to-than-shwe|title=Whatever happened to the tyrant Than Shwe?|date=၁၈ ဇူလိုင် ၂၀၁၇|author=Sean Gleeson|publisher=Southeast Asia Globe|archive-date=20 January 2022|access-date=20 January 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220120115828/https://southeastasiaglobe.com/whatever-happened-to-than-shwe/|url-status=dead}}</ref> |- ||[[File:Commander in Chief flag of Myanmar (Old)2.svg|border|150px]]||၂၀၁၁–၂၀၁၄ ||တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်အလံဟောင်း<ref name="HHN1"/>|| ၂၀၁၀ အလံကို ၂၀၁၀ နိုင်ငံတော်အလံ၏ အချိုးအစားပုံစံကဲ့သို့ပြောင်းထား |- |[[File:Flag of Commander-in-Chief of the Burma Army.png|border|150px]]|| ၁၉၄၈ – ၁၉၉၄ခန့် ||[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ကြည်း)]] အလံဟောင်း<ref name = "Pedersen"/>||တပ်မတော် (ကြည်း) အလံဟောင်း ပုံစံကွဲ |- |[[File:Former flag of Chief of Air Staff (Myanmar).png|border|150px]]|| ၁၉၄၈–၁၉၇၄ ||[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] အလံဟောင်း <ref name="HHN3"/>||နက်ပြာရောင်နောက်ခံနှင့် အလယ်တွင် လေတပ်အမှတ်အသား |- |} ====ကြည်းတပ်==== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ !အမည် ! style="width:100px;" |ခုနှစ်!! style="width:250px;" |အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- |[[File:War Flag of Konbaung Dynasty.svg|border|150px]] | သတ္တရုမြဇမ္ဗူ|| rowspan="11" |၁၇၈၄ခန့် – ၁၈၈၅|| rowspan="11" |[[ကုန်းဘောင်ခေတ်]] [[မြန်မာဘုရင့်တပ်မတော်]]၏ ကြည်းကြောင်းချီအလံများ<ref>{{cite book |author=နတ်မောက် ဘုန်းကျော် |date=March 2014 |title=ရှေးခေတ်မြန်မာ့တပ်မတော်မှတ်စုများ |url=|language=my |location= |publisher= |page= |isbn=}}</ref>||ရွှေ‌ရောင်နောက်ခံနှင့် အလယ်တွင်အနီရောင်စက်ဝိုင်းပေါ်ရှိ ရွှေရောင်ဒေါင်းရုပ် |- | | သတ္တရုဇေယ||ရွှေရောင်နောက်ခံနှင့် အလယ်တွင်အစိမ်းရောင်စက်ဝိုင်းပေါ်ရှိ နို့နှစ်ရောင်ယုန်ရုပ် |- | | မဟာသတ္တရု||နို့နှစ်ရောင်နောက်ခံပေါ်တွင် လက်နှစ်ဖက်တွင်လက်နက်ကိုင်လျက်မြှောက်နေသောဘီလူးရုပ် |- |[[File:War Flag of Konbaung Dynasty (Chinthe).png|border|150px]] | သတ္တရုဇမ္ဗူ||အနီ၊ နို့နှစ်ရောင်၊ အနီ ရေပြင်ညီမျဉ်းသုံးကြောင်းနှင့် နို့နှစ်ရောင်မျဉ်းထဲတွင် အနီရောင်အနားသတ်ခြင်္သေ့ရုပ် |- |[[File:War Flag of Konbaung Dynasty (Red-Blue-Red).png|border|150px]] | ရွှေပြည်လက်ဝဲ||အနီ၊ အပြာရင့်၊ အနီ ရေပြင်ညီမျဉ်းသုံးကြောင်း |- |[[File:War Flag of Konbaung Dynasty (Blue-Red-Blue).png|border|150px]] | ရွှေပြည်ဝရဇိန်||အပြာရင့်၊ အနီ၊ အပြာရင့် ရေပြင်ညီမျဉ်းသုံးကြောင်း |- |[[File:War Flag of Konbaung Dynasty (Red-Mallard-Red).png|border|150px]] | ရွှေပြည်တမွတ်စံ||အနီ၊ အစိမ်းရင့်၊ အနီ ရေပြင်ညီမျဉ်းသုံးကြောင်း |- |[[File:War Flag of Konbaung Dynasty (Red-William-Red).png|border|150px]] | ရွှေပြည်မှန်ကင်း|| |- |[[File:War Flag of Konbaung Dynasty (Red-Falu Red-Red).png|border|150px]] | ရွှေပြည်နတ်|| |- |[[File:War Flag of Konbaung Dynasty (Yellow-White-Yellow).png|border|150px]] | ရွှေပြည်စက်ထိ||အဝါ၊ အဖြူ၊ အဝါ ရေပြင်ညီမျဉ်းသုံးကြောင်း |- |[[File:War Flag of Konbaung Dynasty (Green-Yellow-Green).png|border|150px]] | ရွှေပြည်တံဆိပ်||အစိမ်း၊ အဝါ၊ အစိမ်း ရေပြင်ညီမျဉ်းသုံးကြောင်း |- |[[File:Flag of Burmese Empire (1853-1876).svg|border|150px]] | ||၁၈၅၃–၁၈၇၆ ||ကုန်းဘောင်ခေတ်အမြောက်တပ်ရင်း၌ အနောက်တိုင်းသားများအသုံးပြုသည့်အလံ||အနီရောင်နောက်ခံနှင့် ခရစ်ယာန်ဘာသာကိုယ်စားပြု ကြက်ခြေခတ် |- |[[File:First flag of the Burma Independence Army.svg|border|150px]] | ||၁၉၄၁||[[ဗမာ့လွတ်လပ်ရေးတပ်မတော်]] (ဘီအိုင်အေ) ပထမအလံ|| အဖြူရောင်နောက်ခံနှင့် အနီရောင်ဒေါင်းရုပ်<ref>{{cite book |last= Jowett |first= Phillip |author-link= |editor-last1= Windrow |editor-first1= Martin |date=25 June 2020 |title= Japan’s Asian Allies 1941–45 |url= |location= |publisher= Osprey publishing |page= 17 |isbn= }}</ref> |- |[[File:Flag of Burma Independence Army (1942).png|border|150px]] | ||၁၉၄၂||ဗမာ့လွတ်လပ်ရေးတပ်မတော် (ဘီအိုင်အေ) ဒုတိယအလံ|| အစိမ်းရောင်နောက်ခံ၊ အလယ်၌ဒေါင်းရုပ်နှင့် ထောင့်များ၌မိုးကြိုးများ<ref>{{cite book |last= Jowett |first= Phillip |author-link= |editor-last1= Windrow |editor-first1= Martin |date=25 June 2020 |title= Japan’s Asian Allies 1941–45 |url= |location= |publisher= Osprey publishing |page= 27 |isbn= }}</ref> |- | [[File:Flag of Burma 1943.svg|border|150px]] |သုံးရောင်ခြယ်||၁၉၄၂||ဗမာ့လွတ်လပ်ရေးတပ်မတော် (ဘီအိုင်အေ) တတိယအလံ|| ဝါ၊ စိမ်း၊ နီ၊ သုံးရောင်ခြယ်နှင့်ဒေါင်းရုပ် |- | [[File:Burma Defence Army Flag.svg|border|150px]] | ||၁၉၄၂||[[ဗမာ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော်]] (ဘီဒီအေ) အလံ|| ဝါ၊ စိမ်း၊ နီ၊ သုံးရောင်ခြယ်နှင့်ဒေါင်းရုပ် |- | [[File:Flag of the AFPFL.svg|border|150px]] |တော်လှန်ရေးအလံ||၁၉၄၅||ဖက်ဆစ်တော်လှန်ရေးပြောက်ကျားများ၊ [[ဗမာ့အမျိုးသားတပ်မတော်]]နှင့် မျိုးချစ်ဗမာ့တပ်မတော်အလံ||အနီရောင်နောက်ခံ၊ လက်ဝဲဖက်ထောင့်၌ကြယ်ဖြူ <ref name="BAM" /> |- | [[File:Former army flag of Myanmar.png|border|150px]] | ||၁၉၄၈-၁၉၉၄ခန့်||တပ်မတော် (ကြည်း) အလံဟောင်း||အနီရောင်နောက်ခံ၊ အလယ်၌ အပြာရင့်ရောင်မျဉ်းနှင့် ၎င်းမျဉ်းထဲ၌ ကြယ်ဖြူငယ်တစ်လုံး |- |} ====ရေတပ်==== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- |[[File:Naval Ensign of Burma (1948-1974).svg|border|150px]]||၁၉၄၈–၁၉၇၄||ပြည်​ထောင်စုမြန်မာနိုင်ငံ​ ရေတပ်အလံဟောင်း<ref name="Pedersen"/>|| စိန့်ဂျော့၏ကြက်ခြေခတ်ပုံစံ၊ လက်ဝဲဖက်ထောင့်၌ နိုင်ငံတော်အလံ၏ အပြာရင့်ခန်းနှင့်ကြယ်လုံးများ<ref>{{cite book |last= Barraclough |first= E.M.C |author-link= |editor-last1= |editor-first1= |date= 1966 |title= Flags of the World |edition= |url= https://archive.org/details/flagsofworld00barr |location= Great Britain |publisher= Frederick Warne |page= |isbn= }}</ref> |- |[[File:Naval Ensign of Burma (1974–1994).svg|border|150px]]||၁၉၇၄–၁၉၉၄||ပြည်​ထောင်စု ဆိုရှယ်လစ်သမ္မတ မြန်မာနိုင်ငံ​တော် ရေတပ်အလံဟောင်း|| အပြာနုနှင့်အပြာရင့် ရေပြင်ညီမျဉ်းနှစ်ကြောင်း၊ အလယ်၌ကြယ်ဖြူ<ref>{{cite book |last= Jane |first= Fred T |author-link= |editor-last1= Saunders |editor-first1= Stephen |date= 2004 |title= Jane's Fighting Ships (2004-2005) |edition= 107th |url= |location= |publisher= |page= 488 |isbn= 0 7106 2623 1 }}</ref> |} ====လေတပ်==== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- |[[File:Air_Force_Ensign_of_Burma_(1948-1974).svg|border|150px]]||၁၉၄၈–၁၉၇၄ ||တပ်မတော်(လေ) အလံဟောင်း <ref name="Pedersen"/><ref name="HHN3"/> ||ကောင်းကင်ပြာနောက်ခံ၊ လက်ဝဲဖက်အထက်ထောင့်၌ နိုင်ငံတော်အလံ၊ အလံညာဖက်၌ လေတပ်အမှတ်အသား |- |[[File:Former_Ensign_of_Myanmar_Air_Force.png|border|150px]]||၁၉၇၄–၂၀၁၀ခန့် ||တပ်မတော်(လေ) အလံဟောင်း <ref name="HHN3"/> ||အပြာရင့်‌ရောင်နောက်ခံ၊ လက်ဝဲဖက်အထက်ထောင့်၌ ကြယ်ဖြူ၊ အလံညာဖက်၌ လေတပ်အမှတ်အသား |- |} === တိုင်းနှင့်ပြည်နယ်အလံများ === ==== ပြည်နယ်များ ==== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- |[[File:Rakhinestateflag.png|border|150px]]|| ၂၀၀၂ခန့် အထိ ||ရခိုင်ပြည်နယ်၏ အလံဟောငး|| |- |[[File:Flag of Kayah State (1974–2010).svg|border|150px]] ||၁၉၇၄–၂၀၁၀||ကယားပြည်နယ်၏ အလံဟောင်း|| |- |[[File:Former flag of Kachin State (1974-2010).jpg|border|150px]] ||၂၀၁၀ထိ||ကချင်ပြည်နယ်၏ အလံဟောင်း|| |- |[[File:Flag of Mon State (old).svg|border|150px]]||၁၉၇၄ – ၈ ဇွန် ၂၀၁၈ ထိ|| [[မွန်ပြည်နယ်၏ အလံတော်|မွန်ပြည်နယ်၏ အလံဟောင်း]]|| အပြာရောင်နောက်ခံ၊ အလယ်တွင် ဟင်္သာအဝါနှင့် [[မွန်ပြည်နယ်]]စာတမ်း |} ==== တိုင်းဒေသကြီးများ ==== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- |[[File:Flag of Sagaing Region (1974–2010).svg|border|150px]]|| ၂၀၁၀ အထိ|| စစ်ကိုင်းတိုင်း၏ အလံဟောင်း|| အစိမ်းရောင်နောက်ခံ၊ အလယ်တွင် ခြင်္သေ့ရုပ်နှင့် အထက်၌ စစ်ကိုင်းတိုင်းစာတမ်း |- |[[File:Flag of Sagaing Region (2010–2019).svg|border|150px]]|| ၂၀၁၀ – ၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၉ အထိ|| စစ်ကိုင်းတိုင်း၏ အလံဟောင်း|| အနီရောင်နောက်ခံ၊ အလယ်တွင် ခြင်္သေ့ရုပ်နှင့် အထက်၌ စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးစာတမ်း |- |[[File:Flag of Tanintharyi Division.svg|border|150px]]||၂၀၁၀ အထိ||တနင်္သာရီတိုင်း၏ အလံဟောင်း|| |- |[[File:Flag of Bago Division.svg|border|150px]]||၁၉၇၄–၂၀၁၀||ပဲခူးတိုင်း၏ အလံဟောင်း|| |- |[[File:Former flag of Bago Region.png|border|150px]]||၂၀၁၀ – ၂၀၁၉ ခန့် အထိ||ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး၏ အလံဟောင်း|| |- |[[File:Flag of Magway Division.svg|border|150px]]||၂၀၁၀ အထိ|| မကွေးတိုင်း၏ အလံဟောင်း|| |- | || ၂၀၁၀-၂၀၂၁ခန့် ||[[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး]]အလံ|| ရွှေဝါရောင်နောက်ခံနှင့် တိုင်းဒေသကြီးတံဆိပ်ဟောင်း(၂၀၁၀-၂၀၂၁ခန့်) |- |[[File:Flag of Mandalay Division.svg|border|150px]]||၂၀၁၀ အထိ ||မန္တလေးတိုင်း၏ အလံဟောင်း|| |- |[[File:Flag of Mandalay Region (2010-2021).svg|border|150px]]||၂၀၁၀–၂၀၂၁ ||မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၏ အလံဟောင်း||အနီရောင်နောက်ခံနှင့် တိုင်းဒေသကြီးတံဆိပ် |- |[[File:Flag of Yangon Division.svg|border|150px]]||၂၀၁၀ အထိ||ရန်ကုန်တိုင်း၏ အလံဟောင်း||အပြာရင့်ရောင်နောက်ခံနှင့် ရန်ကုန်တိုင်းတံဆိပ် |- |[[File:Flag of Yangon Region (2011–2022).svg|border|150px]]||၂၀၁၁–၂၀၂၂||ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး၏ အလံဟောင်း||ကောင်းကင်ပြာနောက်ခံနှင့် တိုင်းဒေသကြီးတံဆိပ် |- |[[File:Flag of Ayeyarwaddy Division.svg|border|150px]]||၂၀၁၀ အထိ||ဧရာဝတီတိုင်း၏ အလံဟောင်း|| |- |[[File:Flag of Ayeyarwady Region (2010–2021).svg|border|150px]]||၂၀၁၀–၂၀၂၂||ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး၏ အလံဟောင်း||အဖြူရောင်နောက်ခံနှင့် တိုင်းဒေသကြီးတံဆိပ် |} === နိုင်ငံရေးအလံများ === {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- |[[File:Burmese Nationalist Flag.svg|border|150px]]||၁၉၃၀–၁၉၃၅||[[တို့ဗမာအစည်းအရုံး]]၏ သုံးရောင်ခြယ်အလံ<ref name="BAM"/>||ဝါ၊ စိမ်း၊ နီ သုံးရောင်ခြယ် |- |[[File:Flag of the AFPFL.svg|border|150px]]||၁၉၄၅–၁၉၅၈ ||[[ဖက်ဆစ်ဆန့်ကျင်ရေး ပြည်သူ့လွတ်လပ်ရေး အဖွဲ့ချုပ်|ဖက်ဆစ်ဆန့်ကျင်ရေးပြည်သူ့လွတ်လပ်ရေးအဖွဲ့ချုပ်]]အလံ||အနီရောင်နောက်ခံ၊ လက်ဝဲဖက်ထောင့်၌ကြယ်ဖြူ |- |[[File:Communist Party of Burma flag (1939-1946) and (1946-1970).svg|border|150px]]||၁၉၃၉–၁၉၄၆၊ ၁၉၄၆–၁၉၇၀||[[ဗမာပြည် ကွန်မြူနစ်ပါတီ|ဗမာပြည်ကွန်မြူနစ်ပါတီ]]၏အလံ၊ [[အလံနီ ကွန်မြူနစ်ပါတီ|ကွန်မြူနစ်ပါတီ (ဗမာပြည်)]]၏အလံ|| |- |[[File:Communist Party of Burma flag (1946-1969).svg|border|150px]]||၁၉၄၆–၁၉၆၉||[[ဗမာပြည် ကွန်မြူနစ်ပါတီ|ဗမာပြည်ကွန်မြူနစ်ပါတီ]]၏အလံ|| |- |[[File:Communist Party of Burma flag (1970).svg|border|150px]]||၁၉၇၀–၁၉၈၉||[[ဗမာပြည် ကွန်မြူနစ်ပါတီ|ဗမာပြည်ကွန်မြူနစ်ပါတီ]]၏အလံ|| |- |[[File:Flag of the Burma Socialist Programme Party (1962–1988).svg|border|150px]]||၁၉၆၂–၁၉၈၈||[[မြန်မာ့ဆိုရှယ်လစ်လမ်းစဉ်ပါတီ]]၏အလံ||အနီရောင်နောက်ခံ၊ လက်ဝဲဖက်ထောင့်၌ကြယ်ဖြူနှစ်လုံး |- |} ==အလံသစ်အဆိုပြုမှုများ== {| class="wikitable" width="100%" |- ! style="width:100px;"|အလံ!!style="width:100px;"|ခုနှစ်!!style="width:250px;"|အသုံးပြုခြင်း!!style="min-width:250px"|ဖော်ပြချက် |- |[[File:Flag of Myanmar (2006 proposal).svg|border|150px]]||၂၀၀၆||၂၀၀၆ ခုနှစ် အမျိုးသားညီလာခံ မျက်နှာစုံညီအစည်းအဝေးတွင် အဆိုပြုအလံ|| |- |[[File:Flag of Myanmar (2019 proposal).svg|border|150px]]||၂၀၁၉||[[အမျိုးသားဒီမိုကရေစီအဖွဲ့ချုပ်]]မှ တင်သွင်းသော အဆိုပြုအလံ||အနီရောင်နောက်ခံနှင့် လက်ဝဲဖက်ထောင့်၌ အပြာရင့်အခန်း၊ ထိုအခန်းတွင် ကြယ်ဖြူကြီးတစ်လုံးနှင့် ဝန်းရံနေသော ကြယ်ဖြူငယ် ၁၄ လုံး |- |[[File:Flag of Myanmar - Shan Nationalities League for Democracy (SNLD)'s proposal 2019.svg|border|150px]]||၂၀၁၉||[[ရှမ်းတိုင်းရင်းသားများ ဒီမိုကရေစီအဖွဲ့ချုပ်]]မှ တင်သွင်းသော အဆိုပြုအလံ|| |- |[[File:Flag of Myanmar - The National United Democratic Party (NUDP)'s proposal 2019.svg|border|150px]]||၂၀၁၉||အမျိုးသားညီညွတ်သောဒီမိုကရက်တစ်ပါတီမှ တင်သွင်းသော အဆိုပြုအလံ||ကာကီရောင်နောက်ခံနှင့် မြန်မာနိုင်ငံ၏မြေပုံ |- |[[File:Flag of Myanmar - Zomi Congress for Democracy (ZCD)'s proposal 2019.svg|border|150px]]||၂၀၁၉||[[ဇိုမီးဒီမိုကရေစီအဖွဲ့ချုပ်]]မှ တင်သွင်းသော အဆိုပြုအလံ||အပြာရောင်နောက်ခံနှင့် မြန်မာနိုင်ငံ၏မြေပုံ |} ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏ အလံများ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏ စာရင်းဆိုင်ရာ ဆောင်းပါးများ]] [[ကဏ္ဍ:အလံဆိုင်ရာ စာရင်းများနှင့် ပြခန်းများ]] mrx6qdnkep9o69xqa1znu8p7859v6ia 0 94164 1054217 1052441 2026-09-20T08:46:29Z ~2026-50757-32 148391 /* ပညာရေး */ စာထပ်ပေါင်းထည့်ခဲ့သည်။ 1054217 wikitext text/x-wiki [[File:B.E.H.S - Kawa.jpg|right|thumb|အ.ထ.က - ကဝ]] '''အခြေခံပညာ အထက်တန်းကျောင်း၊ ကဝမြို့''' ('''အ.ထ.က - ကဝ''') သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ကဝမြို့]] ရှိ အခြေခံပညာအထက်တန်းကျောင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/kawa-township/</ref> ==ပညာရေး== ဤကျောင်းတွင် ကဝမြို့ပေါ်မှ ကျောင်းသားများအပြင် [[ကဝမြို့နယ်]]အရပ်ရပ်ရှိ ရွာများမှ ကျောင်းသားများလည်း ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။ နှစ်စဉ် ထူးချွန်ကျောင်းသား/သူများအား မွေးထုတ်ပေးလျက်ရှိသည်။ ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|17.088312175717338|96.46033690940989|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ အထက်တန်းကျောင်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ကဝမြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} e4dupib3wruru37rsvv8984fcxh9ngr 0 107056 1054151 1053841 2026-09-19T15:18:11Z ~2026-48306-52 147797 /* ပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ် */ 1054151 wikitext text/x-wiki '''ပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ်'''ဆိုသည်မှာ ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်တွင် နိုင်ငံတော်အခမ်းအနားများနှင့် နိုင်ငံတော်သမ္မတဦးဆောင်သော အစည်းအဝေးများ ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း၊ ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးဌာနအချင်းချင်း ဆက်သွယ်ဆောင်ရွက်ရာတွင်လည်းကောင်း စနစ်တကျရှိစေရေးနှင့် မှန်ကန်မြန်ဆန်စွာ ဆောင်ရွက်ရေးအတွက် သတ်မှတ်ထားသော အင်္ဂါစဉ်ဖြစ်သည်။<ref>{{cite news|url=http://www.moi.gov.mm/ppd/?q=book/bid-4079|title=အတွဲ (၆၉)၊ အမှတ် (၃၀)၊ ၁၅-၇-၂၀၁၆ ရက်ထုတ်စာစောင်|last=|first=|author2=|date= |publisher=ပုံနှိပ်ရေးနှင့်ထုတ်ဝေရေးဦးစီးဌာန၊ ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန|accessdate=}}</ref> ==ပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ်== လက်ရှိပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ်ကို ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ သြဂုတ်လ ၁၃ ရက်နေ့ ရက်စွဲပါ လျှို့ဝှက်စာအရ သတ်မှတ်ထားပါသည်။<ref>{{cite news|url=https://www.facebook.com/share/p/1CCcimydVD/|title=https://www.facebook.com/share/p/1CCcimydVD/|last=|first=|author2=|date= |publisher=|accessdate=}}</ref> {| class="wikitable" |'''စဉ်''' |'''ရာထူး''' |'''တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ်''' |- |၁ |[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမ္မတ|နိုင်ငံတော်သမ္မတ]] |[[မင်းအောင်လှိုင်|ဦးမင်းအောင်လှိုင်]] |- |၂ |[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဒုတိယ သမ္မတ|ဒုတိယသမ္မတများ]] | *[[ညိုစော|ဦးညိုစော]] *[[နန်းနီနီအေး|ဒေါ်နန်းနီနီအေး]] |- |၃ |[[ပြည်သူ့လွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[ခင်ရီ|ဦးခင်ရီ]] |- |၄ |[[အမျိုးသားလွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[အောင်လင်းဒွေး|ဦးအောင်လင်းဒွေး]] |- |၅ |[[ပြည်ထောင်စု တရားသူကြီးချုပ်]] |[[သာဌေး|ဦးသာဌေး]] |- |၆ |[[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |[[ရဲဝင်းဦး|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ရဲဝင်းဦး]] |- |၇ |[[နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံး ဥက္ကဋ္ဌများ|နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံးဥက္ကဋ္ဌ]] |[[အောင်ဇော်သိန်း|ဦးအောင်ဇော်သိန်း]] |- |၈ |[[ပြည်ထောင်စု ရွေးကောက်ပွဲ ကော်မရှင်|ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[သန်းစိုး (ရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်)|ဦးသန်းစိုး]] |- |၉ |[[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |[[ကျော်စွာလင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်စွာလင်း]] |- |၁၀ |[[ပြည်သူ့လွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ|ပြည်သူ့လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ]] |[[မောင်မောင်အုန်း|ဦးမောင်မောင်အုန်း]] |- |၁၁ |[[အမျိုးသားလွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ|အမျိုးသားလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ]] |[[Jeng Phang နော်တောင်|ဦးဂျဲန်ဖန်နော်တောင်(ခ)ဦးနော်တောင်]] |- |၁၂ |[[ဝန်ကြီးဌာန နှင့် အကြီးအကဲများ စာရင်း|ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး (၃၀) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> *[[နိုင်ငံတော် သမ္မတရုံး|နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ခင်မောင်ရီ|ဦးခင်မောင်ရီ]] * [[သမ္မတရုံး ဝန်ကြီးဌာန|နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[တင်အောင်စန်း|ဦးတင်အောင်စန်း]] * [[ပို့ဆောင်ရေးဝန်ကြီးဌာန]] နှင့် [[ဒီဂျစ်တယ်ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးနှင့် ဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး [[မြထွန်းဦး|ဦးမြထွန်းဦး]] * [[ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန|ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ထွန်းအောင်|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထွန်းအောင်]] * [[ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန|ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ကိုကိုဦး (ဗိုလ်ချုပ်)|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကိုကိုဦး]] * [[နိုင်ငံခြားရေး ဝန်ကြီးဌာန|နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[တင်မောင်ဆွေ|ဦးတင်မောင်ဆွေ]] * [[အမျိုးသားစီမံကိန်း၊ရင်းနှီးမြှပ်နှံမှုနှင့် နိုင်ငံခြားစီးပွားဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန|အမျိုးသားစီမံကိန်း၊ရင်းနှီးမြှုပ်နှံမှုနှင့်နိုင်ငံခြားစီးပွားဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[အောင်ကျော်ဟိုး|ဦးအောင်ကျော်ဟိုး]] * [[ဘဏ္ဍာရေးနှင့် အခွန် ဝန်ကြီးဌာန|ဘဏ္ဍာရေးနှင့်အခွန်ဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ကံဇော် (ဒေါက်တာ)|ဒေါက်တာ ကံဇော်]] * [[နယ်စပ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန|နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ဖုန်းမြတ်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဖုန်းမြတ်]] * [[တိုင်းရင်းသားလူမျိုးများရေးရာဝန်ကြီးဌာန|တိုင်းရင်းသားလူမျိုးများရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[သန်းမောင်|ဦးသန်းမောင်]] * [[ဥပဒေရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန|ဥပဒေရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[သီတာဦး|ဒေါက်တာ သီတာဦး]] * [[ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန|ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ချောချောစိန်|ဒေါက်တာ ချောချောစိန်]] * [[သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန|သိပ္ပံနှင့်နည်းပညာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မျိုးသိန်းကျော်|ဒေါက်တာ မျိုးသိန်းကျော်]] * [[ကျန်းမာရေး ဝန်ကြီးဌာန|ကျန်းမာရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[သက်ခိုင်ဝင်း|ဒေါက်တာ သက်ခိုင်ဝင်း]] * [[အမျိုးသမီးရေးရာဝန်ကြီးဌာန|အမျိုးသမီးရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[သက်သက်ဇင်|ဒေါက်တာ သက်သက်ဇင်]] * [[ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန|ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ထိန်လင်း (ဗိုလ်မှူးကြီး)|ဦးထိန်လင်း]] * [[သာသနာရေး ဝန်ကြီးဌာန|သာသနာရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[တင်ဦးလွင်|ဦးတင်ဦးလွင်]] * [[ယဉ်ကျေးမှု၊ ဟိုတယ်နှင့် ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန|ယဉ်ကျေးမှု၊ဟိုတယ်နှင့်ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မောင်မြင့်|ဦးမောင်မြင့်]] * [[စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့် ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန|စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်််ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မင်းနောင် (ဝန်ကြီး)|ဦးမင်းနောင်]] * [[သမဝါယမနှင့် ကျေးလက်ဖွံ့ဖြိုးရေး ဝန်ကြီးဌာန|သမဝါယမနှင့်ကျေးလက်ဖွံဖြိုးရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မျိုးဇော်သိမ်း|ဦးမျိုးဇော်သိမ်း]] * [[သယံဇာတနှင့် သဘာဝပတ်ဝန်းကျင် ထိန်းသိမ်းရေး ဝန်ကြီးဌာန|သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ဆန်းဦး|ဦးဆန်းဦး]] * [[လျှပ်စစ်နှင့် စွမ်းအင် ဝန်ကြီးဌာန|လျှပ်စစ်နှင့်စွမ်းအင်ဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ကိုကိုလွင်|ဦးကိုကိုလွင်]] * [[စက်မှု ဝန်ကြီးဌာန|စက်မှုနှင့်အသေးစား၊အငယ်စား၊အလတ်စားနှင့်စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ချာလီသန်း|ဒေါက်တာ ချာလီသန်း]] * [[လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့် ပြည်သူ့အင်အား ဝန်ကြီးဌာန|လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့်ပြည်သူ့အင်အားဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မြင့်ကြိုင်|ဦးမြင့်ကြိုင်]] * [[အလုပ်သမားဝန်ကြီးဌာန|အလုပ်သမားဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ခင်မောင်စိုး (ဝန်ကြီး)|ဦးခင်မောင်စိုး]] * [[စီးပွားရေးနှင့် ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေး ဝန်ကြီးဌာန|စီးပွားရေးနှင့်ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ထွန်းအုံ|ဦးထွန်းအုံ]] * [[အားကစားရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန|အားကစားရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ရဲမြင့်ထွန်း|ဦးရဲမြင့်ထွန်း]] * [[လူငယ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန|လူငယ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မောင်သင်း|ဒေါက်တာ မောင်သင်း]] * [[ဆောက်လုပ်ရေး ဝန်ကြီးဌာန|ဆောက်လုပ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မျိုးသန့်|ဦးမျိုးသန့်]] * [[လူမှုဝန်ထမ်း ကယ်ဆယ်ရေးနှင့် ပြန်လည်နေရာချထားရေး ဝန်ကြီးဌာန|လူမှုဝန်ထမ်း၊ကယ်ဆယ်ရေးနှင့်ပြန်လည်နေရာချထားရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[စိုးဝင်း (ဒေါက်တာ)|ဒေါက်တာ စိုးဝင်း]] |- |၁၃ |[[ပြည်ထောင်စုရှေ့နေချုပ်]] |[[သီတာဦး|ဒေါက်တာ သီတာဦး]] |- |၁၄ |[[ပြည်ထောင်စုစာရင်းစစ်ချုပ်ရုံး|ပြည်ထောင်စုစာရင်းစစ်ချုပ်]] |[[နိုင်သက်ဦး|ဒေါ်နိုင်သက်ဦး]] |- |၁၅ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် (ကြည်း)]] |[[ကျော်စွာလင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်စွာလင်း]] |- |၁၆ |[[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)]] |– |- |၁၇ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ)]] |[[ထိန်ဝင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း]] |- |၁၈ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |[[ထွန်းဝင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထွန်းဝင်း]] |- |၁၉ |[[ပြည်ထောင်စု ရာထူးဝန်အဖွဲ့|ပြည်ထောင်စုရာထူးဝန်အဖွဲ့ ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[တင်မောင်ဝင်း (ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|ဦးတင်မောင်ဝင်း]] |- |၂၀ |[[ပြည်နယ်နှင့် တိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်များ|တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> *[[ကချင်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|ကချင်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးရားဝမ်ဂျုံး *[[ကယားပြည်နယ် လွှတ်တော်|ကယားပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးမော်ရယ် *[[ကရင်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|ကရင်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးစန်းကို *[[ချင်းပြည်နယ် လွှတ်တော်|ချင်းပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးကောလ်လျန်ထန်း *[[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးတင့်လှိုင်မြင့် *[[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] [[မြတ်ကို|ဦးမြတ်ကို]] *[[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးအောင်ချိုဦး *[[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|မကွေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဒေါက်တာ မောင်မောင်ဌေး *[[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] [[အောင်ကျော်မိုး|ဦးအောင်ကျော်မိုး]] *[[မွန်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|မွန်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးသက်ထွေး *[[ရခိုင်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|ရခိုင်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဒေါက်တာ စန်းရွှေ *[[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးဌေးအောင် *[[ရှမ်းပြည်နယ် လွှတ်တော်|ရှမ်းပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] [[စိုင်းလုံကျော်|ဦးစိုင်းလုံကျော်]] *[[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးသိန်းထွန်း |- |၂၁ |[[နေပြည်တော်ကောင်စီ|နေပြည်တော်ကောင်စီဥက္ကဋ္ဌ]] |[[ကံမြင့်သန်း|ဦးကံမြင့်သန်း]] |- |၂၂ |[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ပြည်နယ်နှင့်တိုင်းဒေသကြီး ဝန်ကြီးချုပ်|တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်အစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးချုပ်များ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးချုပ် (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> *[[ကချင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကချင်ပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] [[ခက်ထိန်နန်|ဦးခက်ထိန်နန်]] *[[ကယားပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကယားပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] ဦးအံ့မော် *[[ကရင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကရင်ပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] [[စောမြင့်ဦး|ဦးစောမြင့်ဦး]] *[[ချင်းပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ချင်းပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] [[ဝုန်ဆွန်းထန်|ဒေါက်တာ ဝုန်ဆွန်းထန်]] *[[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[ကိုလေး (ဗိုလ်ချုပ်)|ဦးကိုလေး]] *[[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[ဇော်နိုင်ဦး|ဦးဇော်နိုင်ဦး]] *[[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[မျိုးဆွေဝင်း|ဦးမျိုးဆွေဝင်း]] *[[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|မကွေးတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[တင်ကိုကို|ဦးတင်ကိုကို]] *[[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး ဝန်ကြီးချုပ်|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[မျိုးအောင်|ဦးမျိုးအောင်]] *[[မွန်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|မွန်ပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] [[အောင်ဝင်းသန်း|ဦးအောင်ဝင်းသန်း]] *[[ရခိုင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ရခိုင်ပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] ဦးနိုင်ဦး *[[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[အောင်နိုင်သူ|ဦးအောင်နိုင်သူ]] *[[ရှမ်းပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ရှမ်းပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] ဦးစိုင်းထိန်စိုး *[[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] ဦးအေးကျော် |- |၂၃ |[[မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ်|မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ်ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[ခင်နိုင်ဦး|ဒေါက်တာ ခင်နိုင်ဦး]] |- |၂၄ |[[အဂတိလိုက်စားမှု တိုက်ဖျက်ရေး ကော်မရှင်|အဂတိလိုက်စားမှုတိုက်ဖျက်ရေးကော်မရှင်ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[စိုးသိန်း (ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|ဦးစိုးသိန်း]] |- |၂၅ |[[မြန်မာနိုင်ငံ အမျိုးသား လူ့အခွင့်အရေးကော်မရှင်|မြန်မာနိုင်ငံအမျိုးသားလူ့အခွင့်အရေးကော်မရှင်ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[သစ်လင်းအုန်း|ဦးသစ်လင်းအုန်း]] |- |၂၆ |[[တပ်မတော် စစ်ဘက်ဆိုင်ရာအကြီးအကဲများ|တပ်မတော်မှ ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး (၁၉) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * [[အမှတ် (၁) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၁)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] [[နီလင်းအောင်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး နီလင်းအောင်]] * [[အမှတ် (၂) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၂)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မင်းလတ် * [[အမှတ် (၃) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၃)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] နှင့် စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ကြည်း) [[သန်းထိုက်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သန်းထိုက်]] * [[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်လင်းမောင် * [[စစ်ရေးချုပ်]] [[ဇော်ဟိန်း|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်ဟိန်း]] * [[စစ်ထောက်ချုပ်]] [[ဇော်မျိုးတင်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မျိုးတင်]] * တပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း * [[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေး အရာရှိချုပ်|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးမင်းထွန်း * [[စစ်ရာထူးခန့်ချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း * [[စစ်ဥပဒေချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးသန့်နိုင် * [[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့် စာရင်းစစ်ချုပ် (ကြည်း/ရေ/လေ)|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ)]] [[ညွန့်ဝင်းဆွေ|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ညွန့်ဝင်းဆွေ]] * [[စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်|တပ်မ​တော်စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်ကိုထိုက် * [[လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးမင်း * [[ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေး အရာရှိချုပ်ရုံး|ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ်]] [[မိုးမြင့်ဆွေ|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မိုးမြင့်ဆွေ]] * စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ရေ) ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သိန်းထူး * အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီဥက္ကဋ္ဌ [[ရာပြည့်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ရာပြည့်]] * အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီအတွင်းရေးမှူး ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မင်းနိုင် * အရန်အင်အားမှ [[နိုင်နိုင်ဦး|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး နိုင်နိုင်ဦး]] * ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန [[မြန်မာနိုင်ငံ ရဲတပ်ဖွဲ့|မြန်မာနိုင်ငံရဲတပ်ဖွဲ့ ရဲချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးလှိုင် |- |၂၇ |[[ပြည်ထောင်စု တရားလွှတ်တော်ချုပ်|ပြည်ထောင်စုတရားလွှတ်တော်ချုပ် တရားသူကြီးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> တရားသူကြီး (၈) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * [[သောင်းနိုင်|ဦးသောင်းနိုင်]] * ဦးသိန်းကိုကို * [[သင်းသင်းနွဲ့|ဒေါ်သင်းသင်းနွဲ့]] * ဒေါ်ပြုံးပြုံးအေး * ဒေါက်တာ ကိုကိုနိုင် * ဦးဝင်းမြင့် * ဒေါ်စိုးခက်ခက် * ဒေါ်သင်းသင်းချို |- |၂၈ |[[နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံး|နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံး အဖွဲ့ဝင်များ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အဖွဲ့ဝင် (၈) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးဉာဏ်ထွန်း * ဦးမျိုးတင့် * ဦးကျော်ဆန်း * ဦးတူးမော် * ဒေါ်စုစုဝင်း * ဒေါ်ဥမ္မာအေး * ဦးတင့်ဝေ * ဒေါက်တာ မာလာမော် |- |၂၉ |ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင် အဖွဲ့ဝင်များ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အဖွဲ့ဝင် (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးအောင်မိုးမြင့် * ဦးအောင်လွင်ဦး * ဦးမြင့်ဦး * ဦးခင်မောင်ဦး * ဦးမြင့်သိန်း * ဦးကိုကိုလွင် * ဦးသန်းအောင်ကျော် * ဦးခင်ဇော် * ဦးသန်းထွတ်သိန်း * ဦးအောင်မြင့်လွင် * ဦးခင်မောင်ကြီး * ဦးမျိုးမောင် * ဦးကြည်သိန်း * [[ခင်သင်းဝေ|ဒေါ်ခင်သင်းဝေ]] |- |၃၀ |ဥပဒေကြမ်းကော်မတီ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed"> [[ဥပဒေကြမ်း ကော်မတီ၊ ပြည်သူ့လွှတ်တော်|ပြည်သူ့လွှတ်တော်]] <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ​ [[နန္ဒကျော်စွာ|ဒေါက်တာ နန္ဒကျော်စွာ]] * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်သန်းသန်းအေး * အဖွဲ့ဝင် ဦးစိုးတင့်အောင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးတင့်လွင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးကျော်မင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးတင်ရွှေ * အဖွဲ့ဝင် ဦးသန့်ဇော် * အဖွဲ့ဝင် စိုင်းဝန်းဆမ် * အဖွဲ့ဝင် ဦးဇော်မင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးနိုင်မင်းဦး * အဖွဲ့ဝင် နန်းကျင်း(ခ)နန်းစိန် * အဖွဲ့ဝင် ဦးနိုင်နိုင်ကျော် * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းမြိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး မျိုးထက်ဝင်း * အတွင်းရေးမှူး [[သိန်းထွန်းဦး|ဦးသိန်းထွန်းဦး]] </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed">[[ဥပဒေကြမ်း ကော်မတီ၊ အမျိုးသားလွှတ်တော်|အမျိုးသားလွှတ်တော်]]<div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ​ ဒေါ်နွယ်နွယ်ဦး * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ကျော်မင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးပြုံးချို * အဖွဲ့ဝင် ဦးသန်းထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ဇင်ပပဦး * အဖွဲ့ဝင် ဦးခိုင်ဝင်းအောင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးဟိန်းမင်းဦး * အဖွဲ့ဝင် ဦးမိုးမြင့် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအေးပိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ပီကျိန်ငိုက်မန် * အဖွဲ့ဝင် ဦးစိုးကြည် * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် မြင့်သောင်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးကြီး လှိုင်ဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်ကြီး ဒေါ်ဖြိုးဖြိုးဝေ * အတွင်းရေးမှူး [[ဇင်မင်းထက်|ဦးဇင်မင်းထက်]] </div> |- |၃၁ |ပြည်သူ့ငွေစာရင်းကော်မတီ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပြည်သူ့လွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[တေဇကျော်|ဦးတေဇကျော်]] * အဖွဲ့ဝင် ဦးထွန်းထွန်းအောင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးသိန်းရီ * အဖွဲ့ဝင် ဦးတင့်ဆွေ * အဖွဲ့ဝင် ဦးကိုကိုသင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးမောင်မောင်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဦးအေးချမ်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်ဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဝင်းကျော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးမြင့်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဦးသန်းရွှေ * အဖွဲ့ဝင် ခွန်လှသိန်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးညွန့် * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်ကြီး ဒေါ်ယမင်းအောင် * အတွင်းရေးမှူး ဦးတင်အောင်ချစ် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အမျိုးသားလွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[ချစ်ဆွေ (သံအမတ်ကြီး)|ဦးချစ်ဆွေ]] * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်သိင်္ဂီဝင်းရွှေ * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်မီမီကျော်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးချစ်ဝေ * အဖွဲ့ဝင် ဦးဗိုလ်သိန်းနိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်အေးချမ်းမုံ * အဖွဲ့ဝင် ဦးကျော်ကျော်လင်း(ခ)ဦးထိန်လင်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ထားထားနု * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ကျော်မင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဇော်ဇော်မြင့် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်စိုးစိုးမြင့် * အဖွဲ့ဝင် ခွန်ဝင်းဦး * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းကိုကို * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးကြီး ဖြိုးမင်းဝင်း * အတွင်းရေးမှူး ဦးသန်းအောင် </div> |- |၃၂ |လွှတ်တော်အခွင့်အရေးကော်မတီ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပြည်သူ့လွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[မောင်မောင်အုန်း|ဦးမောင်မောင်အုန်း]] * အဖွဲ့ဝင် ဒေါက်တာ ကျော်ဦး * အဖွဲ့ဝင် စိုင်းဆမ် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ဇော်မိုး(ခ)အောင်ဇော်မိုးထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်မျိုးသန်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်သိင်္ဂီမြင့်ရည် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်စိုးစိုးရီ * အဖွဲ့ဝင် ဦးစိုးနိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးစောဝင်းထိန် * အဖွဲ့ဝင် ဦးသန်းနိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးစိုးဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဂုဏ်ဝမ်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်ချုပ် ရဲကျော်သူ * အဖွဲ့ဝင် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး တင်သောင်းလင်း * အတွင်းရေးမှူး ဒေါက်တာ ကျော်ကျော်ဌေး </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အမျိုးသားလွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[Jeng Phang နော်တောင်|ဦးဂျဲန်ဖန်နော်တောင်(ခ)ဦးနော်တောင်]] * အဖွဲ့ဝင် ဒေါက်တာ ကျော်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါက်တာ ဗညားအောင်မိုး * အဖွဲ့ဝင် ဦးတင့်ဇော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်ဇော်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်နီနီမာ * အဖွဲ့ဝင် ဦးကျော်တင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးသိန်းဇော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးယုနိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်ဌေး * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်မြမြသက် * အဖွဲ့ဝင် စိုင်းဝင်းခိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်ချုပ် ကျော်သူရအေး * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးရွှေ * အတွင်းရေးမှူး ဦးအောင်တင်မြင့် </div> |- |၃၃ |အစိုးရ၏ အာမခံချက်များ၊ ကတိများနှင့် တာဝန်ခံချက်များစိစစ်ရေးကော်မတီ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပြည်သူ့လွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[သန်းထွန်းဦး|ဦးသန်းထွန်းဦး]] * အဖွဲ့ဝင် ဦးမင်းခန့်ကျော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်လင်းလှိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ကျော်နှင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးလူဇော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ကိုလတ် * အဖွဲ့ဝင် ဦးထွန်းထွန်းမိုး * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ဆွေဆွေသင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဉာဏ်ဝင်းထိုက် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်စမ်းစမ်းဌေး * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်မြသန်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး လှနိုင် * အတွင်းရေးမှူး ဦးသန်းထွန်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အမျိုးသားလွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ ဦးလှသိန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဝင်းဖေမောင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ကျော့ယဉ်ဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးကျော်စိန်လှ * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ယဉ်မင်းထိုက် * အဖွဲ့ဝင် ဦးဖြိုးဝေဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်တင့် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်သီဟ * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်သန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဇော်မင်းထူး * အဖွဲ့ဝင် စောမြတ်ထွဋ်ဝင်း(ခ)ကိုဆွိ * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်အောင် * အဖွဲ့ဝင် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး ဝင်းမြင့်ထွန်း * အတွင်းရေးမှူး ဦးရန်နိုင်ဦး </div> |- |၃၄ |[[တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|တိုင်းမှူးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> တိုင်းမှူး (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * [[နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် ကြည်သိုက် * [[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် အောင်ဇော်ထွေး * [[အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် အေးမင်းဦး * [[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်နိုင်ဦး * [[အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ''လစ်လပ်'' * [[တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် စိုးမြတ်ထွဋ် * [[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အရှေ့​တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် သူရ ဇော်လွင်စိုး * [[ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဟန် * [[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် တင်မင်းလတ် * [[အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ခိုင် * [[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်ဇော * [[အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် ကျော်သူရ * [[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ဌေး * [[တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် စိုးကျော်ထက် |- |၃၅ |ဒုတိယဝန်ကြီးများ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ဒုတိယဝန်ကြီး (၄၈) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးခင်လတ် * နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး ဒုတိယဝန်ကြီး [[ခိုင်ခိုင်စိုး|ဒေါက်တာ ခိုင်ခိုင်စိုး]] * နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ထင်ကျော်သူ|ဦးထင်ကျော်သူ]] * ပို့ဆောင်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးအောင်မြိုင် * ပို့ဆောင်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးထွန်းလူ * ဒီဂျစ်တယ်ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးနှင့်ဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးမင်းဇေယျာလှိုင် * ဒီဂျစ်တယ်ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးနှင့်ဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးသက်ဝင်းအောင် * ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဗိုလ်ချုပ် အောင်မျိုးသန့် * ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ * နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[နိုင်မင်းကျော်|ဦးနိုင်မင်းကျော်]] * နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ကိုကိုကျော်|ဦးကိုကိုကျော်]] * အမျိုးသားစီမံကိန်း၊ရင်းနှီးမြှုပ်နှံမှုနှင့်နိုင်ငံခြားစီးပွားဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ကျော်ထင် (ဒုတိယဝန်ကြီး)|ဦးကျော်ထင်]] * အမျိုးသားစီမံကိန်း၊ရင်းနှီးမြှုပ်နှံမှုနှင့်နိုင်ငံခြားစီးပွားဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးသန့်စင်လွင် * ဘဏ္ဍာရေးနှင့်အခွန်ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါ်သန်းသန်းလင်း * ဘဏ္ဍာရေးနှင့်အခွန်ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဟန်ဝင်းအောင် * နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဗိုလ်ချုပ် ကျော်စွာဦး * တိုင်းရင်းသားလူမျိုးများရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးစိုင်းထွန်းညို * ဥပဒေရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ထိန်လင်းဦး|ဒေါက်တာ ထိန်လင်းဦး]] * ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ဇော်မြင့် * ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးနေမျိုးလှိုင် * သိပ္ပံနှင့်နည်းပညာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ နေခြည်လဲ့လဲ့သိန်း * ကျန်းမာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ အေးထွန်း * အမျိုးသမီးရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[စန်းစန်းနွယ်|ဒေါ်စန်းစန်းနွယ်]] * ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးရဲတင့် * သာသနာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[လင်းအောင်|ဦးလင်းအောင်]] * ယဉ်ကျေးမှု၊ဟိုတယ်နှင့်ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးအေးထွန်း * ယဉ်ကျေးမှု၊ဟိုတယ်နှင့်ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဖြိုးဇော်စိုး * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဗိုလ်ဗိုလ်ကျော် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ရဲထွန်းဝင်း * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ရဲတင့်ထွန်း * သမဝါယမနှင့်ကျေးလက်ဖွံ့ဖြိုးရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးသိုက်စိုး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးခင်လတ်ကြီး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သောင်းနိုင်ဦး * လျှပ်စစ်နှင့်စွမ်းအင်ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးအေးကျော် * လျှပ်စစ်နှင့်စွမ်းအင်ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးကျော်နိုင်ဝင်း * စက်မှုနှင့်အသေးစား၊အငယ်စား၊အလတ်စားနှင့်စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးသွင်အောင် * စက်မှုနှင့်အသေးစား၊အငယ်စား၊အလတ်စားနှင့်စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ အောင်ဇေယျ * လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့်ပြည်သူ့အင်အားဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[လင်းဇော်ထွန်း|ဦးလင်းဇော်ထွန်း]] * လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့်ပြည်သူ့အင်အားဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးရဲထွန်းဦး * အလုပ်သမားဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးမောင်မောင်သန်း * စီးပွားရေးနှင့်ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[မင်းမင်း|ဦးမင်းမင်း]] * စီးပွားရေးနှင့်ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဝင်းမြင့်ခိုင် * အားကစားရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးညီညီ * လူငယ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးစစ်နိုင် * ဆောက်လုပ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[မျိုးမြင့်|ဦးမျိုးမြင့်]] * ဆောက်လုပ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သောင်းနိုင် * လူမှုဝန်ထမ်း၊ကယ်ဆယ်ရေးနှင့်ပြန်လည်နေရာချထားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သန်းစိုး * လူမှုဝန်ထမ်း၊ကယ်ဆယ်ရေးနှင့်ပြန်လည်နေရာချထားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သန့်ဇော်လွင် |- |၃၆ |ဒုတိယရှေ့နေချုပ် |[[ထိန်လင်းဦး|ဒေါက်တာ ထိန်လင်းဦး]] |- |၃၇ |ဒုတိယစာရင်းစစ်ချုပ် |ဒေါ်ခိုင်ခိုင်အောင် |- |၃၈ |ပြည်ထောင်စုရာထူးဝန်အဖွဲ့ အဖွဲ့ဝင်များ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အဖွဲ့ဝင် (၆) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဒေါ်ခင်မျိုးမြင့် * ဦးစိုးတင့် * ဒေါက်တာ စုစုဒွေး * ဦးထွန်းထွန်းဝင်း * ဒေါ်ခင်ရွှေမြင့် * ဒေါက်တာ ခင်ချစ်ချစ် |- |၃၉ |နေပြည်တော်ကောင်စီဝင်များ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ကောင်စီဝင် (၆) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဗိုလ်မှူးကြီး ရဲမိုး * ဦးမင်းဦး * ဦးခင်မောင်လတ် * ဦးဝင်းမိုးခိုင် * ဦးထွန်းထွန်း * ဦးအောင်ဇေယျ |- |၄၀ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ် | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ် (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * [[ကချင်ပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ကချင်ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[အေးအေးမော်|ဒေါ်အေးအေးမော်]] * [[ကယားပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ကယားပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[ထွန်းထွန်းဦး (တရားသူကြီး)|ဦးထွန်းထွန်းဦး]] * [[ကရင်ပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ကရင်ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[ညွန့်လင်း|ဦးညွန့်လင်း]] * [[ချင်းပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ချင်းပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] ဦးမြတ်စံ * [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[ဇော်ထူး|ဦးဇော်ထူး]] * [[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[အေးအေးသန်း|ဒေါ်အေးအေးသန်း]] * [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[လွင်လွင်အေးကျော်|ဒေါ်လွင်လွင်အေးကျော်]] * [[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|မကွေးတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[မိမိမော်|ဒေါ်မိမိမော်]] * [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[လှမြင့် (တရားသူကြီး)|ဒေါ်လှမြင့်]] * [[မွန်ပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|မွန်ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[ဌေးမြင့်အေး|ဒေါ်ဌေးမြင့်အေး]] * [[ရခိုင်ပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ရခိုင်ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[မြအေး (တရားသူကြီး)|ဒေါ်မြအေး]] * [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော်|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[စန္ဒာသွယ်|ဒေါ်စန္ဒာသွယ်]] * [[ရှမ်းပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ရှမ်းပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[သန်းဦးလွင်|ဦးသန်းဦးလွင်]] * [[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[မိုးမိုးအေး|ဒေါ်မိုးမိုးအေး]] |- |၄၁ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ကချင်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးသန်းထွန်းအေး * ကယားပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးစိုးရယ် * ကရင်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးအေးမင်းထွေး * ချင်းပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးသန့်စင်ဦး * စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးမျိုးသန့် * တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးခင်မောင်မြင့် * ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးကျော်ဌေး * မကွေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးခင်မောင်ညို * မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးကျော်မြင့် * မွန်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးမင်းအောင်မြင့် * ရခိုင်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဒေါက်တာ ထင်လင်းဦး * ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ [[ကျော်ကျော်စိုး|ဦးကျော်ကျော်စိုး]] * ရှမ်းပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးစိုင်းထွန်းစိန် * ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးစောသက်နိုင်ဦး |- |၄၂ |[[ပြည်နယ်နှင့်တိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့များ|တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်အစိုးရအဖွဲ့ဝင် ဝန်ကြီးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ကချင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကချင်ပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးရန်နောင် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးချန်တန်ခင် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးကျော်မင်းခိုင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်နိုင် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးရဲရင့်ဆွေ * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်သိမ်းရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ အောင်ဝင်း * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သန်းဌေးအောင် * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးစိုးသိန်း * ရှမ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးတင်အောင် * လီဆူးတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာ၀န်ကြီး ဦးလီပေါ်ရဲ့ * ရဝမ်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးမယစ်ယောရှု </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ကယားပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကယားပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး သန်းစိုးအောင် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးတင်လှ * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးအောင်မျိုးသိန်း * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးရဲဝင်း * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးဂျိုးဇက်ကျော် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဒေါ်နှင်းနှင်းရီ * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးစောဟူးဟူး * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်ခင်သန္တာထွန်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ကရင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကရင်ပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးမိုးဝင်း * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးညီညီဇော် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးစောထွန်းအောင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးစောမျိုးမြင့် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးအောင်လွင် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးစယဉ်ဌေး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး စောခေါင်ပန်ထော့ * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးတင်မောင်လှိုင် * မွန်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးမျိုးမြင့်နိုင် * ပအိုဝ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ခွန်မြတ်ထူး </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ချင်းပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ချင်းပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ခင်မောင်ထွေး * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ လျန်ဇခုပ် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးစိန်ထွန်းလှ * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးနေလင်းအောင် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးပေါင်ဇလန်း * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးဝင်းဇော်ဦး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်ကျော်ဌေး </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ဝင်းတင်စိုး * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်ဇော်ဦး * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးညွန့်ဝင်းအောင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးခင်မောင်အေး * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးဆန်းဝင်း * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးတင်သန်းဝင်း * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သောင်းနိုင် * [[နာဂ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|နာဂကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးလှထွန်း * ရှမ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးစိန်ဖေ * ချင်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးငွန်ဘွလ်ထန် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ရန်ကြီးအောင် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦး​မောင်ကြီး * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးသက်နိုင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ဝင်းအောင် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးအောင်ကျော်ကျော်ဦး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးသိန်းလွင် * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးမင်းမင်းလတ် * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး စောမာတင်လူသာ </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ညီလန်းချို * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးဇော်ဝင်း * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ထူးခြားအောင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်ထွဋ် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးကိုကိုဦး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်ကျော်လင်း * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးနိုင်လင်းဆွေ(ခ)ဦးထွန်းထွန်းဦး * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး စောလင်းအောင် </div> |- |၄၃ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် ဥပဒေချုပ် | |- |၄၄ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် စာရင်းစစ်ချုပ် | |- |၄၅ |မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌများ | |- |၄၆ |အဂတိလိုက်စားမှုတိုက်ဖျက်ရေးကော်မရှင် အဖွဲ့ဝင်များ | |- |၄၇ |မြန်မာနိုင်ငံအမျိုးသားလူ့အခွင့်အရေးကော်မရှင် အဖွဲ့ဝင်များ | |- |၄၈ |[[အခွန်အယူခံခုံအဖွဲ့|အခွန်အယူခံခုံအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] | |- |၄၉ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးများ | |- |၅၀ |ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာနမှ ညွှန်ကြားရေးမှူးများ | |} {{small| *^*ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်နာယကရာထူးသည် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်အစည်းအဝေးကျင်းပသည့် ကာလအတွက်သာဖြစ်၍ ပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ်တွင် အကျုံးမဝင်ပေ။}} ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏ နိုင်ငံရေး]] q3tk9083wsz8l9yf9z5cc7367qgtxsi 1054165 1054151 2026-09-19T16:01:31Z ~2026-48306-52 147797 /* ပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ် */ 1054165 wikitext text/x-wiki '''ပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ်'''ဆိုသည်မှာ ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်တွင် နိုင်ငံတော်အခမ်းအနားများနှင့် နိုင်ငံတော်သမ္မတဦးဆောင်သော အစည်းအဝေးများ ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း၊ ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးဌာနအချင်းချင်း ဆက်သွယ်ဆောင်ရွက်ရာတွင်လည်းကောင်း စနစ်တကျရှိစေရေးနှင့် မှန်ကန်မြန်ဆန်စွာ ဆောင်ရွက်ရေးအတွက် သတ်မှတ်ထားသော အင်္ဂါစဉ်ဖြစ်သည်။<ref>{{cite news|url=http://www.moi.gov.mm/ppd/?q=book/bid-4079|title=အတွဲ (၆၉)၊ အမှတ် (၃၀)၊ ၁၅-၇-၂၀၁၆ ရက်ထုတ်စာစောင်|last=|first=|author2=|date= |publisher=ပုံနှိပ်ရေးနှင့်ထုတ်ဝေရေးဦးစီးဌာန၊ ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန|accessdate=}}</ref> ==ပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ်== လက်ရှိပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ်ကို ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ သြဂုတ်လ ၁၃ ရက်နေ့ ရက်စွဲပါ လျှို့ဝှက်စာအရ သတ်မှတ်ထားပါသည်။<ref>{{cite news|url=https://www.facebook.com/share/p/1CCcimydVD/|title=https://www.facebook.com/share/p/1CCcimydVD/|last=|first=|author2=|date= |publisher=|accessdate=}}</ref> {| class="wikitable" |'''စဉ်''' |'''ရာထူး''' |'''တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ်''' |- |၁ |[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမ္မတ|နိုင်ငံတော်သမ္မတ]] |[[မင်းအောင်လှိုင်|ဦးမင်းအောင်လှိုင်]] |- |၂ |[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဒုတိယ သမ္မတ|ဒုတိယသမ္မတများ]] | *[[ညိုစော|ဦးညိုစော]] *[[နန်းနီနီအေး|ဒေါ်နန်းနီနီအေး]] |- |၃ |[[ပြည်သူ့လွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[ခင်ရီ|ဦးခင်ရီ]] |- |၄ |[[အမျိုးသားလွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[အောင်လင်းဒွေး|ဦးအောင်လင်းဒွေး]] |- |၅ |[[ပြည်ထောင်စု တရားသူကြီးချုပ်]] |[[သာဌေး|ဦးသာဌေး]] |- |၆ |[[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |[[ရဲဝင်းဦး|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ရဲဝင်းဦး]] |- |၇ |[[နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံး ဥက္ကဋ္ဌများ|နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံးဥက္ကဋ္ဌ]] |[[အောင်ဇော်သိန်း|ဦးအောင်ဇော်သိန်း]] |- |၈ |[[ပြည်ထောင်စု ရွေးကောက်ပွဲ ကော်မရှင်|ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[သန်းစိုး (ရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်)|ဦးသန်းစိုး]] |- |၉ |[[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |[[ကျော်စွာလင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်စွာလင်း]] |- |၁၀ |[[ပြည်သူ့လွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ|ပြည်သူ့လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ]] |[[မောင်မောင်အုန်း|ဦးမောင်မောင်အုန်း]] |- |၁၁ |[[အမျိုးသားလွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ|အမျိုးသားလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ]] |[[Jeng Phang နော်တောင်|ဦးဂျဲန်ဖန်နော်တောင်(ခ)ဦးနော်တောင်]] |- |၁၂ |[[ဝန်ကြီးဌာန နှင့် အကြီးအကဲများ စာရင်း|ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး (၃၀) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> *[[နိုင်ငံတော် သမ္မတရုံး|နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ခင်မောင်ရီ|ဦးခင်မောင်ရီ]] * [[သမ္မတရုံး ဝန်ကြီးဌာန|နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[တင်အောင်စန်း|ဦးတင်အောင်စန်း]] * [[ပို့ဆောင်ရေးဝန်ကြီးဌာန]] နှင့် [[ဒီဂျစ်တယ်ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးနှင့် ဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး [[မြထွန်းဦး|ဦးမြထွန်းဦး]] * [[ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန|ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ထွန်းအောင်|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထွန်းအောင်]] * [[ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန|ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ကိုကိုဦး (ဗိုလ်ချုပ်)|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကိုကိုဦး]] * [[နိုင်ငံခြားရေး ဝန်ကြီးဌာန|နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[တင်မောင်ဆွေ|ဦးတင်မောင်ဆွေ]] * [[အမျိုးသားစီမံကိန်း၊ရင်းနှီးမြှပ်နှံမှုနှင့် နိုင်ငံခြားစီးပွားဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန|အမျိုးသားစီမံကိန်း၊ရင်းနှီးမြှုပ်နှံမှုနှင့်နိုင်ငံခြားစီးပွားဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[အောင်ကျော်ဟိုး|ဦးအောင်ကျော်ဟိုး]] * [[ဘဏ္ဍာရေးနှင့် အခွန် ဝန်ကြီးဌာန|ဘဏ္ဍာရေးနှင့်အခွန်ဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ကံဇော် (ဒေါက်တာ)|ဒေါက်တာ ကံဇော်]] * [[နယ်စပ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန|နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ဖုန်းမြတ်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဖုန်းမြတ်]] * [[တိုင်းရင်းသားလူမျိုးများရေးရာဝန်ကြီးဌာန|တိုင်းရင်းသားလူမျိုးများရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[သန်းမောင်|ဦးသန်းမောင်]] * [[ဥပဒေရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန|ဥပဒေရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[သီတာဦး|ဒေါက်တာ သီတာဦး]] * [[ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန|ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ချောချောစိန်|ဒေါက်တာ ချောချောစိန်]] * [[သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန|သိပ္ပံနှင့်နည်းပညာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မျိုးသိန်းကျော်|ဒေါက်တာ မျိုးသိန်းကျော်]] * [[ကျန်းမာရေး ဝန်ကြီးဌာန|ကျန်းမာရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[သက်ခိုင်ဝင်း|ဒေါက်တာ သက်ခိုင်ဝင်း]] * [[အမျိုးသမီးရေးရာဝန်ကြီးဌာန|အမျိုးသမီးရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[သက်သက်ဇင်|ဒေါက်တာ သက်သက်ဇင်]] * [[ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန|ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ထိန်လင်း (ဗိုလ်မှူးကြီး)|ဦးထိန်လင်း]] * [[သာသနာရေး ဝန်ကြီးဌာန|သာသနာရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[တင်ဦးလွင်|ဦးတင်ဦးလွင်]] * [[ယဉ်ကျေးမှု၊ ဟိုတယ်နှင့် ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန|ယဉ်ကျေးမှု၊ဟိုတယ်နှင့်ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မောင်မြင့်|ဦးမောင်မြင့်]] * [[စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့် ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန|စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်််ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မင်းနောင် (ဝန်ကြီး)|ဦးမင်းနောင်]] * [[သမဝါယမနှင့် ကျေးလက်ဖွံ့ဖြိုးရေး ဝန်ကြီးဌာန|သမဝါယမနှင့်ကျေးလက်ဖွံဖြိုးရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မျိုးဇော်သိမ်း|ဦးမျိုးဇော်သိမ်း]] * [[သယံဇာတနှင့် သဘာဝပတ်ဝန်းကျင် ထိန်းသိမ်းရေး ဝန်ကြီးဌာန|သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ဆန်းဦး|ဦးဆန်းဦး]] * [[လျှပ်စစ်နှင့် စွမ်းအင် ဝန်ကြီးဌာန|လျှပ်စစ်နှင့်စွမ်းအင်ဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ကိုကိုလွင်|ဦးကိုကိုလွင်]] * [[စက်မှု ဝန်ကြီးဌာန|စက်မှုနှင့်အသေးစား၊အငယ်စား၊အလတ်စားနှင့်စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ချာလီသန်း|ဒေါက်တာ ချာလီသန်း]] * [[လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့် ပြည်သူ့အင်အား ဝန်ကြီးဌာန|လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့်ပြည်သူ့အင်အားဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မြင့်ကြိုင်|ဦးမြင့်ကြိုင်]] * [[အလုပ်သမားဝန်ကြီးဌာန|အလုပ်သမားဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ခင်မောင်စိုး (ဝန်ကြီး)|ဦးခင်မောင်စိုး]] * [[စီးပွားရေးနှင့် ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေး ဝန်ကြီးဌာန|စီးပွားရေးနှင့်ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ထွန်းအုံ|ဦးထွန်းအုံ]] * [[အားကစားရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန|အားကစားရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ရဲမြင့်ထွန်း|ဦးရဲမြင့်ထွန်း]] * [[လူငယ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန|လူငယ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မောင်သင်း|ဒေါက်တာ မောင်သင်း]] * [[ဆောက်လုပ်ရေး ဝန်ကြီးဌာန|ဆောက်လုပ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မျိုးသန့်|ဦးမျိုးသန့်]] * [[လူမှုဝန်ထမ်း ကယ်ဆယ်ရေးနှင့် ပြန်လည်နေရာချထားရေး ဝန်ကြီးဌာန|လူမှုဝန်ထမ်း၊ကယ်ဆယ်ရေးနှင့်ပြန်လည်နေရာချထားရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[စိုးဝင်း (ဒေါက်တာ)|ဒေါက်တာ စိုးဝင်း]] |- |၁၃ |[[ပြည်ထောင်စုရှေ့နေချုပ်]] |[[သီတာဦး|ဒေါက်တာ သီတာဦး]] |- |၁၄ |[[ပြည်ထောင်စုစာရင်းစစ်ချုပ်ရုံး|ပြည်ထောင်စုစာရင်းစစ်ချုပ်]] |[[နိုင်သက်ဦး|ဒေါ်နိုင်သက်ဦး]] |- |၁၅ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် (ကြည်း)]] |[[ကျော်စွာလင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်စွာလင်း]] |- |၁၆ |[[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)]] |– |- |၁၇ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ)]] |[[ထိန်ဝင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း]] |- |၁၈ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |[[ထွန်းဝင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထွန်းဝင်း]] |- |၁၉ |[[ပြည်ထောင်စု ရာထူးဝန်အဖွဲ့|ပြည်ထောင်စုရာထူးဝန်အဖွဲ့ ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[တင်မောင်ဝင်း (ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|ဦးတင်မောင်ဝင်း]] |- |၂၀ |[[ပြည်နယ်နှင့် တိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်များ|တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> *[[ကချင်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|ကချင်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးရားဝမ်ဂျုံး *[[ကယားပြည်နယ် လွှတ်တော်|ကယားပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးမော်ရယ် *[[ကရင်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|ကရင်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးစန်းကို *[[ချင်းပြည်နယ် လွှတ်တော်|ချင်းပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးကောလ်လျန်ထန်း *[[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးတင့်လှိုင်မြင့် *[[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] [[မြတ်ကို|ဦးမြတ်ကို]] *[[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးအောင်ချိုဦး *[[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|မကွေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဒေါက်တာ မောင်မောင်ဌေး *[[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] [[အောင်ကျော်မိုး|ဦးအောင်ကျော်မိုး]] *[[မွန်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|မွန်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးသက်ထွေး *[[ရခိုင်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|ရခိုင်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဒေါက်တာ စန်းရွှေ *[[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးဌေးအောင် *[[ရှမ်းပြည်နယ် လွှတ်တော်|ရှမ်းပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] [[စိုင်းလုံကျော်|ဦးစိုင်းလုံကျော်]] *[[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးသိန်းထွန်း |- |၂၁ |[[နေပြည်တော်ကောင်စီ|နေပြည်တော်ကောင်စီဥက္ကဋ္ဌ]] |[[ကံမြင့်သန်း|ဦးကံမြင့်သန်း]] |- |၂၂ |[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ပြည်နယ်နှင့်တိုင်းဒေသကြီး ဝန်ကြီးချုပ်|တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်အစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးချုပ်များ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးချုပ် (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> *[[ကချင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကချင်ပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] [[ခက်ထိန်နန်|ဦးခက်ထိန်နန်]] *[[ကယားပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကယားပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] ဦးအံ့မော် *[[ကရင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကရင်ပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] [[စောမြင့်ဦး|ဦးစောမြင့်ဦး]] *[[ချင်းပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ချင်းပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] [[ဝုန်ဆွန်းထန်|ဒေါက်တာ ဝုန်ဆွန်းထန်]] *[[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[ကိုလေး (ဗိုလ်ချုပ်)|ဦးကိုလေး]] *[[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[ဇော်နိုင်ဦး|ဦးဇော်နိုင်ဦး]] *[[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[မျိုးဆွေဝင်း|ဦးမျိုးဆွေဝင်း]] *[[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|မကွေးတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[တင်ကိုကို|ဦးတင်ကိုကို]] *[[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး ဝန်ကြီးချုပ်|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[မျိုးအောင်|ဦးမျိုးအောင်]] *[[မွန်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|မွန်ပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] [[အောင်ဝင်းသန်း|ဦးအောင်ဝင်းသန်း]] *[[ရခိုင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ရခိုင်ပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] ဦးနိုင်ဦး *[[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[အောင်နိုင်သူ|ဦးအောင်နိုင်သူ]] *[[ရှမ်းပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ရှမ်းပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] ဦးစိုင်းထိန်စိုး *[[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] ဦးအေးကျော် |- |၂၃ |[[မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ်|မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ်ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[ခင်နိုင်ဦး|ဒေါက်တာ ခင်နိုင်ဦး]] |- |၂၄ |[[အဂတိလိုက်စားမှု တိုက်ဖျက်ရေး ကော်မရှင်|အဂတိလိုက်စားမှုတိုက်ဖျက်ရေးကော်မရှင်ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[စိုးသိန်း (ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|ဦးစိုးသိန်း]] |- |၂၅ |[[မြန်မာနိုင်ငံ အမျိုးသား လူ့အခွင့်အရေးကော်မရှင်|မြန်မာနိုင်ငံအမျိုးသားလူ့အခွင့်အရေးကော်မရှင်ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[သစ်လင်းအုန်း|ဦးသစ်လင်းအုန်း]] |- |၂၆ |[[တပ်မတော် စစ်ဘက်ဆိုင်ရာအကြီးအကဲများ|တပ်မတော်မှ ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး (၁၉) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * [[အမှတ် (၁) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၁)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] [[နီလင်းအောင်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး နီလင်းအောင်]] * [[အမှတ် (၂) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၂)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မင်းလတ် * [[အမှတ် (၃) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၃)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] နှင့် စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ကြည်း) [[သန်းထိုက်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သန်းထိုက်]] * [[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်လင်းမောင် * [[စစ်ရေးချုပ်]] [[ဇော်ဟိန်း|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်ဟိန်း]] * [[စစ်ထောက်ချုပ်]] [[ဇော်မျိုးတင်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မျိုးတင်]] * တပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း * [[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေး အရာရှိချုပ်|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးမင်းထွန်း * [[စစ်ရာထူးခန့်ချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း * [[စစ်ဥပဒေချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးသန့်နိုင် * [[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့် စာရင်းစစ်ချုပ် (ကြည်း/ရေ/လေ)|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ)]] [[ညွန့်ဝင်းဆွေ|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ညွန့်ဝင်းဆွေ]] * [[စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်|တပ်မ​တော်စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်ကိုထိုက် * [[လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးမင်း * [[ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေး အရာရှိချုပ်ရုံး|ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ်]] [[မိုးမြင့်ဆွေ|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မိုးမြင့်ဆွေ]] * စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ရေ) ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သိန်းထူး * အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီဥက္ကဋ္ဌ [[ရာပြည့်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ရာပြည့်]] * အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီအတွင်းရေးမှူး ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မင်းနိုင် * အရန်အင်အားမှ [[နိုင်နိုင်ဦး|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး နိုင်နိုင်ဦး]] * ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန [[မြန်မာနိုင်ငံ ရဲတပ်ဖွဲ့|မြန်မာနိုင်ငံရဲတပ်ဖွဲ့ ရဲချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးလှိုင် |- |၂၇ |[[ပြည်ထောင်စု တရားလွှတ်တော်ချုပ်|ပြည်ထောင်စုတရားလွှတ်တော်ချုပ် တရားသူကြီးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> တရားသူကြီး (၈) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * [[သောင်းနိုင်|ဦးသောင်းနိုင်]] * ဦးသိန်းကိုကို * [[သင်းသင်းနွဲ့|ဒေါ်သင်းသင်းနွဲ့]] * ဒေါ်ပြုံးပြုံးအေး * ဒေါက်တာ ကိုကိုနိုင် * ဦးဝင်းမြင့် * ဒေါ်စိုးခက်ခက် * ဒေါ်သင်းသင်းချို |- |၂၈ |[[နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံး|နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံး အဖွဲ့ဝင်များ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အဖွဲ့ဝင် (၈) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးဉာဏ်ထွန်း * ဦးမျိုးတင့် * ဦးကျော်ဆန်း * ဦးတူးမော် * ဒေါ်စုစုဝင်း * ဒေါ်ဥမ္မာအေး * ဦးတင့်ဝေ * ဒေါက်တာ မာလာမော် |- |၂၉ |ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင် အဖွဲ့ဝင်များ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အဖွဲ့ဝင် (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးအောင်မိုးမြင့် * ဦးအောင်လွင်ဦး * ဦးမြင့်ဦး * ဦးခင်မောင်ဦး * ဦးမြင့်သိန်း * ဦးကိုကိုလွင် * ဦးသန်းအောင်ကျော် * ဦးခင်ဇော် * ဦးသန်းထွတ်သိန်း * ဦးအောင်မြင့်လွင် * ဦးခင်မောင်ကြီး * ဦးမျိုးမောင် * ဦးကြည်သိန်း * [[ခင်သင်းဝေ|ဒေါ်ခင်သင်းဝေ]] |- |၃၀ |ဥပဒေကြမ်းကော်မတီ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed"> [[ဥပဒေကြမ်း ကော်မတီ၊ ပြည်သူ့လွှတ်တော်|ပြည်သူ့လွှတ်တော်]] <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ​ [[နန္ဒကျော်စွာ|ဒေါက်တာ နန္ဒကျော်စွာ]] * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်သန်းသန်းအေး * အဖွဲ့ဝင် ဦးစိုးတင့်အောင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးတင့်လွင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးကျော်မင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးတင်ရွှေ * အဖွဲ့ဝင် ဦးသန့်ဇော် * အဖွဲ့ဝင် စိုင်းဝန်းဆမ် * အဖွဲ့ဝင် ဦးဇော်မင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးနိုင်မင်းဦး * အဖွဲ့ဝင် နန်းကျင်း(ခ)နန်းစိန် * အဖွဲ့ဝင် ဦးနိုင်နိုင်ကျော် * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းမြိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး မျိုးထက်ဝင်း * အတွင်းရေးမှူး [[သိန်းထွန်းဦး|ဦးသိန်းထွန်းဦး]] </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed">[[ဥပဒေကြမ်း ကော်မတီ၊ အမျိုးသားလွှတ်တော်|အမျိုးသားလွှတ်တော်]]<div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ​ ဒေါ်နွယ်နွယ်ဦး * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ကျော်မင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးပြုံးချို * အဖွဲ့ဝင် ဦးသန်းထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ဇင်ပပဦး * အဖွဲ့ဝင် ဦးခိုင်ဝင်းအောင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးဟိန်းမင်းဦး * အဖွဲ့ဝင် ဦးမိုးမြင့် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအေးပိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ပီကျိန်ငိုက်မန် * အဖွဲ့ဝင် ဦးစိုးကြည် * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် မြင့်သောင်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးကြီး လှိုင်ဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်ကြီး ဒေါ်ဖြိုးဖြိုးဝေ * အတွင်းရေးမှူး [[ဇင်မင်းထက်|ဦးဇင်မင်းထက်]] </div> |- |၃၁ |ပြည်သူ့ငွေစာရင်းကော်မတီ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပြည်သူ့လွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[တေဇကျော်|ဦးတေဇကျော်]] * အဖွဲ့ဝင် ဦးထွန်းထွန်းအောင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးသိန်းရီ * အဖွဲ့ဝင် ဦးတင့်ဆွေ * အဖွဲ့ဝင် ဦးကိုကိုသင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးမောင်မောင်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဦးအေးချမ်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်ဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဝင်းကျော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးမြင့်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဦးသန်းရွှေ * အဖွဲ့ဝင် ခွန်လှသိန်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးညွန့် * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်ကြီး ဒေါ်ယမင်းအောင် * အတွင်းရေးမှူး ဦးတင်အောင်ချစ် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အမျိုးသားလွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[ချစ်ဆွေ (သံအမတ်ကြီး)|ဦးချစ်ဆွေ]] * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်သိင်္ဂီဝင်းရွှေ * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်မီမီကျော်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးချစ်ဝေ * အဖွဲ့ဝင် ဦးဗိုလ်သိန်းနိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်အေးချမ်းမုံ * အဖွဲ့ဝင် ဦးကျော်ကျော်လင်း(ခ)ဦးထိန်လင်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ထားထားနု * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ကျော်မင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဇော်ဇော်မြင့် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်စိုးစိုးမြင့် * အဖွဲ့ဝင် ခွန်ဝင်းဦး * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းကိုကို * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးကြီး ဖြိုးမင်းဝင်း * အတွင်းရေးမှူး ဦးသန်းအောင် </div> |- |၃၂ |လွှတ်တော်အခွင့်အရေးကော်မတီ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပြည်သူ့လွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[မောင်မောင်အုန်း|ဦးမောင်မောင်အုန်း]] * အဖွဲ့ဝင် ဒေါက်တာ ကျော်ဦး * အဖွဲ့ဝင် စိုင်းဆမ် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ဇော်မိုး(ခ)အောင်ဇော်မိုးထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်မျိုးသန်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်သိင်္ဂီမြင့်ရည် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်စိုးစိုးရီ * အဖွဲ့ဝင် ဦးစိုးနိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးစောဝင်းထိန် * အဖွဲ့ဝင် ဦးသန်းနိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးစိုးဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဂုဏ်ဝမ်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်ချုပ် ရဲကျော်သူ * အဖွဲ့ဝင် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး တင်သောင်းလင်း * အတွင်းရေးမှူး ဒေါက်တာ ကျော်ကျော်ဌေး </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အမျိုးသားလွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[Jeng Phang နော်တောင်|ဦးဂျဲန်ဖန်နော်တောင်(ခ)ဦးနော်တောင်]] * အဖွဲ့ဝင် ဒေါက်တာ ကျော်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါက်တာ ဗညားအောင်မိုး * အဖွဲ့ဝင် ဦးတင့်ဇော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်ဇော်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်နီနီမာ * အဖွဲ့ဝင် ဦးကျော်တင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးသိန်းဇော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးယုနိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်ဌေး * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်မြမြသက် * အဖွဲ့ဝင် စိုင်းဝင်းခိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်ချုပ် ကျော်သူရအေး * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးရွှေ * အတွင်းရေးမှူး ဦးအောင်တင်မြင့် </div> |- |၃၃ |အစိုးရ၏ အာမခံချက်များ၊ ကတိများနှင့် တာဝန်ခံချက်များစိစစ်ရေးကော်မတီ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပြည်သူ့လွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[သန်းထွန်းဦး|ဦးသန်းထွန်းဦး]] * အဖွဲ့ဝင် ဦးမင်းခန့်ကျော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်လင်းလှိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ကျော်နှင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးလူဇော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ကိုလတ် * အဖွဲ့ဝင် ဦးထွန်းထွန်းမိုး * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ဆွေဆွေသင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဉာဏ်ဝင်းထိုက် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်စမ်းစမ်းဌေး * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်မြသန်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး လှနိုင် * အတွင်းရေးမှူး ဦးသန်းထွန်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အမျိုးသားလွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ ဦးလှသိန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဝင်းဖေမောင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ကျော့ယဉ်ဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးကျော်စိန်လှ * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ယဉ်မင်းထိုက် * အဖွဲ့ဝင် ဦးဖြိုးဝေဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်တင့် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်သီဟ * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်သန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဇော်မင်းထူး * အဖွဲ့ဝင် စောမြတ်ထွဋ်ဝင်း(ခ)ကိုဆွိ * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်အောင် * အဖွဲ့ဝင် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး ဝင်းမြင့်ထွန်း * အတွင်းရေးမှူး ဦးရန်နိုင်ဦး </div> |- |၃၄ |[[တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|တိုင်းမှူးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> တိုင်းမှူး (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * [[နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် ကြည်သိုက် * [[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် အောင်ဇော်ထွေး * [[အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် အေးမင်းဦး * [[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်နိုင်ဦး * [[အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ''လစ်လပ်'' * [[တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် စိုးမြတ်ထွဋ် * [[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အရှေ့​တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် သူရ ဇော်လွင်စိုး * [[ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဟန် * [[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် တင်မင်းလတ် * [[အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ခိုင် * [[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်ဇော * [[အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် ကျော်သူရ * [[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ဌေး * [[တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် စိုးကျော်ထက် |- |၃၅ |ဒုတိယဝန်ကြီးများ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ဒုတိယဝန်ကြီး (၄၈) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးခင်လတ် * နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး ဒုတိယဝန်ကြီး [[ခိုင်ခိုင်စိုး|ဒေါက်တာ ခိုင်ခိုင်စိုး]] * နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ထင်ကျော်သူ|ဦးထင်ကျော်သူ]] * ပို့ဆောင်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးအောင်မြိုင် * ပို့ဆောင်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးထွန်းလူ * ဒီဂျစ်တယ်ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးနှင့်ဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးမင်းဇေယျာလှိုင် * ဒီဂျစ်တယ်ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးနှင့်ဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးသက်ဝင်းအောင် * ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဗိုလ်ချုပ် အောင်မျိုးသန့် * ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ * နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[နိုင်မင်းကျော်|ဦးနိုင်မင်းကျော်]] * နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ကိုကိုကျော်|ဦးကိုကိုကျော်]] * အမျိုးသားစီမံကိန်း၊ရင်းနှီးမြှုပ်နှံမှုနှင့်နိုင်ငံခြားစီးပွားဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ကျော်ထင် (ဒုတိယဝန်ကြီး)|ဦးကျော်ထင်]] * အမျိုးသားစီမံကိန်း၊ရင်းနှီးမြှုပ်နှံမှုနှင့်နိုင်ငံခြားစီးပွားဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးသန့်စင်လွင် * ဘဏ္ဍာရေးနှင့်အခွန်ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါ်သန်းသန်းလင်း * ဘဏ္ဍာရေးနှင့်အခွန်ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဟန်ဝင်းအောင် * နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဗိုလ်ချုပ် ကျော်စွာဦး * တိုင်းရင်းသားလူမျိုးများရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးစိုင်းထွန်းညို * ဥပဒေရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ထိန်လင်းဦး|ဒေါက်တာ ထိန်လင်းဦး]] * ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ဇော်မြင့် * ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးနေမျိုးလှိုင် * သိပ္ပံနှင့်နည်းပညာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ နေခြည်လဲ့လဲ့သိန်း * ကျန်းမာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ အေးထွန်း * အမျိုးသမီးရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[စန်းစန်းနွယ်|ဒေါ်စန်းစန်းနွယ်]] * ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးရဲတင့် * သာသနာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[လင်းအောင်|ဦးလင်းအောင်]] * ယဉ်ကျေးမှု၊ဟိုတယ်နှင့်ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးအေးထွန်း * ယဉ်ကျေးမှု၊ဟိုတယ်နှင့်ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဖြိုးဇော်စိုး * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဗိုလ်ဗိုလ်ကျော် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ရဲထွန်းဝင်း * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ရဲတင့်ထွန်း * သမဝါယမနှင့်ကျေးလက်ဖွံ့ဖြိုးရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးသိုက်စိုး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးခင်လတ်ကြီး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သောင်းနိုင်ဦး * လျှပ်စစ်နှင့်စွမ်းအင်ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးအေးကျော် * လျှပ်စစ်နှင့်စွမ်းအင်ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးကျော်နိုင်ဝင်း * စက်မှုနှင့်အသေးစား၊အငယ်စား၊အလတ်စားနှင့်စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးသွင်အောင် * စက်မှုနှင့်အသေးစား၊အငယ်စား၊အလတ်စားနှင့်စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ အောင်ဇေယျ * လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့်ပြည်သူ့အင်အားဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[လင်းဇော်ထွန်း|ဦးလင်းဇော်ထွန်း]] * လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့်ပြည်သူ့အင်အားဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးရဲထွန်းဦး * အလုပ်သမားဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးမောင်မောင်သန်း * စီးပွားရေးနှင့်ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[မင်းမင်း|ဦးမင်းမင်း]] * စီးပွားရေးနှင့်ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဝင်းမြင့်ခိုင် * အားကစားရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးညီညီ * လူငယ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးစစ်နိုင် * ဆောက်လုပ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[မျိုးမြင့်|ဦးမျိုးမြင့်]] * ဆောက်လုပ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သောင်းနိုင် * လူမှုဝန်ထမ်း၊ကယ်ဆယ်ရေးနှင့်ပြန်လည်နေရာချထားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သန်းစိုး * လူမှုဝန်ထမ်း၊ကယ်ဆယ်ရေးနှင့်ပြန်လည်နေရာချထားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သန့်ဇော်လွင် |- |၃၆ |ဒုတိယရှေ့နေချုပ် |[[ထိန်လင်းဦး|ဒေါက်တာ ထိန်လင်းဦး]] |- |၃၇ |ဒုတိယစာရင်းစစ်ချုပ် |ဒေါ်ခိုင်ခိုင်အောင် |- |၃၈ |ပြည်ထောင်စုရာထူးဝန်အဖွဲ့ အဖွဲ့ဝင်များ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အဖွဲ့ဝင် (၆) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဒေါ်ခင်မျိုးမြင့် * ဦးစိုးတင့် * ဒေါက်တာ စုစုဒွေး * ဦးထွန်းထွန်းဝင်း * ဒေါ်ခင်ရွှေမြင့် * ဒေါက်တာ ခင်ချစ်ချစ် |- |၃၉ |နေပြည်တော်ကောင်စီဝင်များ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ကောင်စီဝင် (၆) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဗိုလ်မှူးကြီး ရဲမိုး * ဦးမင်းဦး * ဦးခင်မောင်လတ် * ဦးဝင်းမိုးခိုင် * ဦးထွန်းထွန်း * ဦးအောင်ဇေယျ |- |၄၀ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ် | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ် (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * [[ကချင်ပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ကချင်ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[အေးအေးမော်|ဒေါ်အေးအေးမော်]] * [[ကယားပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ကယားပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[ထွန်းထွန်းဦး (တရားသူကြီး)|ဦးထွန်းထွန်းဦး]] * [[ကရင်ပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ကရင်ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[ညွန့်လင်း|ဦးညွန့်လင်း]] * [[ချင်းပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ချင်းပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] ဦးမြတ်စံ * [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[ဇော်ထူး|ဦးဇော်ထူး]] * [[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[အေးအေးသန်း|ဒေါ်အေးအေးသန်း]] * [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[လွင်လွင်အေးကျော်|ဒေါ်လွင်လွင်အေးကျော်]] * [[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|မကွေးတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[မိမိမော်|ဒေါ်မိမိမော်]] * [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[လှမြင့် (တရားသူကြီး)|ဒေါ်လှမြင့်]] * [[မွန်ပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|မွန်ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[ဌေးမြင့်အေး|ဒေါ်ဌေးမြင့်အေး]] * [[ရခိုင်ပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ရခိုင်ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[မြအေး (တရားသူကြီး)|ဒေါ်မြအေး]] * [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော်|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[စန္ဒာသွယ်|ဒေါ်စန္ဒာသွယ်]] * [[ရှမ်းပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ရှမ်းပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[သန်းဦးလွင်|ဦးသန်းဦးလွင်]] * [[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[မိုးမိုးအေး|ဒေါ်မိုးမိုးအေး]] |- |၄၁ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ကချင်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးသန်းထွန်းအေး * ကယားပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးစိုးရယ် * ကရင်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးအေးမင်းထွေး * ချင်းပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးသန့်စင်ဦး * စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးမျိုးသန့် * တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးခင်မောင်မြင့် * ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးကျော်ဌေး * မကွေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးခင်မောင်ညို * မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးကျော်မြင့် * မွန်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးမင်းအောင်မြင့် * ရခိုင်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဒေါက်တာ ထင်လင်းဦး * ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ [[ကျော်ကျော်စိုး|ဦးကျော်ကျော်စိုး]] * ရှမ်းပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးစိုင်းထွန်းစိန် * ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးစောသက်နိုင်ဦး |- |၄၂ |[[ပြည်နယ်နှင့်တိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့များ|တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်အစိုးရအဖွဲ့ဝင် ဝန်ကြီးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ကချင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကချင်ပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးရန်နောင် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးချန်တန်ခင် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးကျော်မင်းခိုင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်နိုင် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးရဲရင့်ဆွေ * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်သိမ်းရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ အောင်ဝင်း * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သန်းဌေးအောင် * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးစိုးသိန်း * ရှမ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးတင်အောင် * လီဆူးတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာ၀န်ကြီး ဦးလီပေါ်ရဲ့ * ရဝမ်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးမယစ်ယောရှု </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ကယားပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကယားပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး သန်းစိုးအောင် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးတင်လှ * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးအောင်မျိုးသိန်း * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးရဲဝင်း * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးဂျိုးဇက်ကျော် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဒေါ်နှင်းနှင်းရီ * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးစောဟူးဟူး * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်ခင်သန္တာထွန်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ကရင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကရင်ပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးမိုးဝင်း * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးညီညီဇော် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးစောထွန်းအောင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးစောမျိုးမြင့် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးအောင်လွင် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးစယဉ်ဌေး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး စောခေါင်ပန်ထော့ * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးတင်မောင်လှိုင် * မွန်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးမျိုးမြင့်နိုင် * ပအိုဝ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ခွန်မြတ်ထူး </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ချင်းပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ချင်းပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ခင်မောင်ထွေး * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ လျန်ဇခုပ် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးစိန်ထွန်းလှ * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးနေလင်းအောင် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးပေါင်ဇလန်း * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးဝင်းဇော်ဦး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်ကျော်ဌေး </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ဝင်းတင်စိုး * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်ဇော်ဦး * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးညွန့်ဝင်းအောင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးခင်မောင်အေး * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးဆန်းဝင်း * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးတင်သန်းဝင်း * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သောင်းနိုင် * [[နာဂ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|နာဂကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးလှထွန်း * ရှမ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးစိန်ဖေ * ချင်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးငွန်ဘွလ်ထန် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ရန်ကြီးအောင် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦး​မောင်ကြီး * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးသက်နိုင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ဝင်းအောင် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးအောင်ကျော်ကျော်ဦး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးသိန်းလွင် * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးမင်းမင်းလတ် * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး စောမာတင်လူသာ </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ညီလန်းချို * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးဇော်ဝင်း * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ထူးခြားအောင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်ထွဋ် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးကိုကိုဦး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်ကျော်လင်း * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးနိုင်လင်းဆွေ(ခ)ဦးထွန်းထွန်းဦး * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး စောလင်းအောင် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|မကွေးတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး မိုးမင်းသိန်း * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးစန်းလွင် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်နွယ်နီနိုင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးဆန်းညွန့်အောင် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးအောင်နိုင် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးစိုင်းမြင့်အေး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးကြည်ထွန်း * ချင်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးထွန်းခင် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးအစိုးရအဖွဲ့|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး နေလင်းစိုး * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးသိန်းဌေး * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးလှကြွယ် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်မိုးသက် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးလှမျိုး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဒေါ်သိင်္ဂီအောင် * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးခင်မောင်အေး * ရှမ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး စိုင်းအောင်ကြည် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[မွန်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|မွန်ပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ကျော်စွာမြင့် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး နိုင်လယိတမ(ခ)နိုင်ခင်မောင်ဇင် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးတင်ဇော်ထွန်း * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးဇေယျာဦး * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးမင်းမြင့်မောင်လေး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး မိလဝီဟန် * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ အောင်မြတ်ကျော်စိန် * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးမျိုးမင်းလှိုင် * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးအောင်ကျော်သိန်း * ပအိုဝ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးချစ်သိန်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ရခိုင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ရခိုင်ပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ကျော်သူရ * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်ကျော်မိုး * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးကျော်စိုး * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်ဆွေလင်း * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးသက်ထွန်း * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးမြင့်စိုး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးမြင့်စိုးဝင်း * ချင်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးတင်လှ </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ဝင်းတင့် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ မေသန်းနွယ် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးဗိုလ်ဌေး * ပြန်ကြားရေး၊ကယ်ဆယ်ရေးနှင့်သာသနာရေးဝန်ကြီး ဦးနေလင်းထွန်း * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ မျိုးသော် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ထူးမောင် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးစိုးဦး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးမျိုးမြင့်အောင် * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး စောဂျက်ကော့ထူး * ရခိုင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးနေမင်းထွန်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ရှမ်းပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ရှမ်းပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး စိန်ဝင်း * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ လဆိုင်း * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်နန်းခမ်းလူ * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးခွန်သန်းထူး * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးလင်းအောင်ဆွေ * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး စိုင်းဝမ်းလှိုင်းတစ်ပ် * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးခွန်ထွန်းဖြူ * [[ဓနုကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ဓနုကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးအာကာလင်း * [[ပအိုဝ်းကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ပအိုဝ်းကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးခွန်ဖိုးစိန် * [[ပလောင်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ပလောင်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ''လစ်လပ်'' * [[ကိုးကန့်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ကိုးကန့်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ''လစ်လပ်'' * [[ဝကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်း|“ဝ”ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်းဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ''လစ်လပ်'' * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်ခင်ထွေးအောင် * ကချင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးကိန်မိုင် * လီဆူးတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်ငွေလှိုင် * လားဟူတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးဝီလ်ဆင်မိုး * အင်းသားတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်တင်တင်ရီ * အာခါတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးထွန်းအောင် * ကယန်း(ခ)ပဒေါင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်အေးချိုစိန် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးမင်းဦး * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်စန်းချစ် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးခင်မောင်ကြည် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်ထွန်းဇော် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးကျော်မျိုးတင် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဒေါ်မေသန်းဦး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးမောင်​မောင်ဦး * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး မန်းသိန်းကျော် * ရခိုင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးစိုးညွန့် </div> |- |၄၃ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် ဥပဒေချုပ် | |- |၄၄ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် စာရင်းစစ်ချုပ် | |- |၄၅ |မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌများ | |- |၄၆ |အဂတိလိုက်စားမှုတိုက်ဖျက်ရေးကော်မရှင် အဖွဲ့ဝင်များ | |- |၄၇ |မြန်မာနိုင်ငံအမျိုးသားလူ့အခွင့်အရေးကော်မရှင် အဖွဲ့ဝင်များ | |- |၄၈ |[[အခွန်အယူခံခုံအဖွဲ့|အခွန်အယူခံခုံအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] | |- |၄၉ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးများ | |- |၅၀ |ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာနမှ ညွှန်ကြားရေးမှူးများ | |} {{small|<sup>ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်နာယကရာထူးသည် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်အစည်းအဝေးကျင်းပသည့် ကာလအတွက်သာဖြစ်၍ ပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ်တွင် အကျုံးမဝင်ပေ။}} ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏ နိုင်ငံရေး]] 67qdznxnw2qgnmn9j8uoepykawy2n9a 1054190 1054165 2026-09-20T00:56:15Z ~2026-48306-52 147797 1054190 wikitext text/x-wiki '''ပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ်'''ဆိုသည်မှာ ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်တွင် နိုင်ငံတော်အခမ်းအနားများနှင့် နိုင်ငံတော်သမ္မတဦးဆောင်သော အစည်းအဝေးများ ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း၊ ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးဌာနအချင်းချင်း ဆက်သွယ်ဆောင်ရွက်ရာတွင်လည်းကောင်း စနစ်တကျရှိစေရေးနှင့် မှန်ကန်မြန်ဆန်စွာ ဆောင်ရွက်ရေးအတွက် သတ်မှတ်ထားသော အင်္ဂါစဉ်ဖြစ်သည်။<ref>{{cite news|url=http://www.moi.gov.mm/ppd/?q=book/bid-4079|title=အတွဲ (၆၉)၊ အမှတ် (၃၀)၊ ၁၅-၇-၂၀၁၆ ရက်ထုတ်စာစောင်|last=|first=|author2=|date= |publisher=ပုံနှိပ်ရေးနှင့်ထုတ်ဝေရေးဦးစီးဌာန၊ ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန|accessdate=}}</ref> ==ပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ်== လက်ရှိပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ်ကို ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ သြဂုတ်လ ၁၃ ရက်နေ့ ရက်စွဲပါ လျှို့ဝှက်စာအရ သတ်မှတ်ထားပါသည်။<ref>{{cite news|url=https://www.facebook.com/share/p/1CCcimydVD/|title=https://www.facebook.com/share/p/1CCcimydVD/|last=|first=|author2=|date= |publisher=|accessdate=}}</ref> {| class="wikitable" |'''စဉ်''' |'''ရာထူး''' |'''တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ်''' |- |၁ |[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမ္မတ|နိုင်ငံတော်သမ္မတ]] |[[မင်းအောင်လှိုင်|ဦးမင်းအောင်လှိုင်]] |- |၂ |[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဒုတိယ သမ္မတ|ဒုတိယသမ္မတများ]] | *[[ညိုစော|ဦးညိုစော]] *[[နန်းနီနီအေး|ဒေါ်နန်းနီနီအေး]] |- |၃ |[[ပြည်သူ့လွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[ခင်ရီ|ဦးခင်ရီ]] |- |၄ |[[အမျိုးသားလွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[အောင်လင်းဒွေး|ဦးအောင်လင်းဒွေး]] |- |၅ |[[ပြည်ထောင်စု တရားသူကြီးချုပ်]] |[[သာဌေး|ဦးသာဌေး]] |- |၆ |[[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |[[ရဲဝင်းဦး|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ရဲဝင်းဦး]] |- |၇ |[[နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံး ဥက္ကဋ္ဌများ|နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံးဥက္ကဋ္ဌ]] |[[အောင်ဇော်သိန်း|ဦးအောင်ဇော်သိန်း]] |- |၈ |[[ပြည်ထောင်စု ရွေးကောက်ပွဲ ကော်မရှင်|ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[သန်းစိုး (ရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်)|ဦးသန်းစိုး]] |- |၉ |[[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |[[ကျော်စွာလင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်စွာလင်း]] |- |၁၀ |[[ပြည်သူ့လွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ|ပြည်သူ့လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ]] |[[မောင်မောင်အုန်း|ဦးမောင်မောင်အုန်း]] |- |၁၁ |[[အမျိုးသားလွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ|အမျိုးသားလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ]] |[[Jeng Phang နော်တောင်|ဦးဂျဲန်ဖန်နော်တောင်(ခ)ဦးနော်တောင်]] |- |၁၂ |[[ဝန်ကြီးဌာန နှင့် အကြီးအကဲများ စာရင်း|ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး (၃၀) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> *[[နိုင်ငံတော် သမ္မတရုံး|နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ခင်မောင်ရီ|ဦးခင်မောင်ရီ]] * [[သမ္မတရုံး ဝန်ကြီးဌာန|နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[တင်အောင်စန်း|ဦးတင်အောင်စန်း]] * [[ပို့ဆောင်ရေးဝန်ကြီးဌာန]] နှင့် [[ဒီဂျစ်တယ်ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးနှင့် ဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး [[မြထွန်းဦး|ဦးမြထွန်းဦး]] * [[ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန|ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ထွန်းအောင်|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထွန်းအောင်]] * [[ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန|ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ကိုကိုဦး (ဗိုလ်ချုပ်)|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကိုကိုဦး]] * [[နိုင်ငံခြားရေး ဝန်ကြီးဌာန|နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[တင်မောင်ဆွေ|ဦးတင်မောင်ဆွေ]] * [[အမျိုးသားစီမံကိန်း၊ရင်းနှီးမြှပ်နှံမှုနှင့် နိုင်ငံခြားစီးပွားဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန|အမျိုးသားစီမံကိန်း၊ရင်းနှီးမြှုပ်နှံမှုနှင့်နိုင်ငံခြားစီးပွားဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[အောင်ကျော်ဟိုး|ဦးအောင်ကျော်ဟိုး]] * [[ဘဏ္ဍာရေးနှင့် အခွန် ဝန်ကြီးဌာန|ဘဏ္ဍာရေးနှင့်အခွန်ဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ကံဇော် (ဒေါက်တာ)|ဒေါက်တာ ကံဇော်]] * [[နယ်စပ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန|နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ဖုန်းမြတ်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဖုန်းမြတ်]] * [[တိုင်းရင်းသားလူမျိုးများရေးရာဝန်ကြီးဌာန|တိုင်းရင်းသားလူမျိုးများရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[သန်းမောင်|ဦးသန်းမောင်]] * [[ဥပဒေရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန|ဥပဒေရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[သီတာဦး|ဒေါက်တာ သီတာဦး]] * [[ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန|ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ချောချောစိန်|ဒေါက်တာ ချောချောစိန်]] * [[သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန|သိပ္ပံနှင့်နည်းပညာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မျိုးသိန်းကျော်|ဒေါက်တာ မျိုးသိန်းကျော်]] * [[ကျန်းမာရေး ဝန်ကြီးဌာန|ကျန်းမာရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[သက်ခိုင်ဝင်း|ဒေါက်တာ သက်ခိုင်ဝင်း]] * [[အမျိုးသမီးရေးရာဝန်ကြီးဌာန|အမျိုးသမီးရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[သက်သက်ဇင်|ဒေါက်တာ သက်သက်ဇင်]] * [[ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန|ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ထိန်လင်း (ဗိုလ်မှူးကြီး)|ဦးထိန်လင်း]] * [[သာသနာရေး ဝန်ကြီးဌာန|သာသနာရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[တင်ဦးလွင်|ဦးတင်ဦးလွင်]] * [[ယဉ်ကျေးမှု၊ ဟိုတယ်နှင့် ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန|ယဉ်ကျေးမှု၊ဟိုတယ်နှင့်ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မောင်မြင့်|ဦးမောင်မြင့်]] * [[စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့် ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန|စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်််ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မင်းနောင် (ဝန်ကြီး)|ဦးမင်းနောင်]] * [[သမဝါယမနှင့် ကျေးလက်ဖွံ့ဖြိုးရေး ဝန်ကြီးဌာန|သမဝါယမနှင့်ကျေးလက်ဖွံဖြိုးရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မျိုးဇော်သိမ်း|ဦးမျိုးဇော်သိမ်း]] * [[သယံဇာတနှင့် သဘာဝပတ်ဝန်းကျင် ထိန်းသိမ်းရေး ဝန်ကြီးဌာန|သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ဆန်းဦး|ဦးဆန်းဦး]] * [[လျှပ်စစ်နှင့် စွမ်းအင် ဝန်ကြီးဌာန|လျှပ်စစ်နှင့်စွမ်းအင်ဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ကိုကိုလွင်|ဦးကိုကိုလွင်]] * [[စက်မှု ဝန်ကြီးဌာန|စက်မှုနှင့်အသေးစား၊အငယ်စား၊အလတ်စားနှင့်စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ချာလီသန်း|ဒေါက်တာ ချာလီသန်း]] * [[လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့် ပြည်သူ့အင်အား ဝန်ကြီးဌာန|လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့်ပြည်သူ့အင်အားဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မြင့်ကြိုင်|ဦးမြင့်ကြိုင်]] * [[အလုပ်သမားဝန်ကြီးဌာန|အလုပ်သမားဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ခင်မောင်စိုး (ဝန်ကြီး)|ဦးခင်မောင်စိုး]] * [[စီးပွားရေးနှင့် ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေး ဝန်ကြီးဌာန|စီးပွားရေးနှင့်ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ထွန်းအုံ|ဦးထွန်းအုံ]] * [[အားကစားရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန|အားကစားရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[ရဲမြင့်ထွန်း|ဦးရဲမြင့်ထွန်း]] * [[လူငယ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန|လူငယ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မောင်သင်း|ဒေါက်တာ မောင်သင်း]] * [[ဆောက်လုပ်ရေး ဝန်ကြီးဌာန|ဆောက်လုပ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[မျိုးသန့်|ဦးမျိုးသန့်]] * [[လူမှုဝန်ထမ်း ကယ်ဆယ်ရေးနှင့် ပြန်လည်နေရာချထားရေး ဝန်ကြီးဌာန|လူမှုဝန်ထမ်း၊ကယ်ဆယ်ရေးနှင့်ပြန်လည်နေရာချထားရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး]] [[စိုးဝင်း (ဒေါက်တာ)|ဒေါက်တာ စိုးဝင်း]] |- |၁၃ |[[ပြည်ထောင်စုရှေ့နေချုပ်]] |[[သီတာဦး|ဒေါက်တာ သီတာဦး]] |- |၁၄ |[[ပြည်ထောင်စုစာရင်းစစ်ချုပ်ရုံး|ပြည်ထောင်စုစာရင်းစစ်ချုပ်]] |[[နိုင်သက်ဦး|ဒေါ်နိုင်သက်ဦး]] |- |၁၅ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် (ကြည်း)]] |[[ကျော်စွာလင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်စွာလင်း]] |- |၁၆ |[[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)]] |– |- |၁၇ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ)]] |[[ထိန်ဝင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း]] |- |၁၈ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |[[ထွန်းဝင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထွန်းဝင်း]] |- |၁၉ |[[ပြည်ထောင်စု ရာထူးဝန်အဖွဲ့|ပြည်ထောင်စုရာထူးဝန်အဖွဲ့ ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[တင်မောင်ဝင်း (ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|ဦးတင်မောင်ဝင်း]] |- |၂၀ |[[ပြည်နယ်နှင့် တိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်များ|တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> *[[ကချင်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|ကချင်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးရားဝမ်ဂျုံး *[[ကယားပြည်နယ် လွှတ်တော်|ကယားပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးမော်ရယ် *[[ကရင်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|ကရင်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးစန်းကို *[[ချင်းပြည်နယ် လွှတ်တော်|ချင်းပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးကောလ်လျန်ထန်း *[[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးတင့်လှိုင်မြင့် *[[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] [[မြတ်ကို|ဦးမြတ်ကို]] *[[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးအောင်ချိုဦး *[[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|မကွေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဒေါက်တာ မောင်မောင်ဌေး *[[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] [[အောင်ကျော်မိုး|ဦးအောင်ကျော်မိုး]] *[[မွန်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|မွန်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးသက်ထွေး *[[ရခိုင်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|ရခိုင်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဒေါက်တာ စန်းရွှေ *[[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးဌေးအောင် *[[ရှမ်းပြည်နယ် လွှတ်တော်|ရှမ်းပြည်နယ်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] [[စိုင်းလုံကျော်|ဦးစိုင်းလုံကျော်]] *[[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်|ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးသိန်းထွန်း |- |၂၁ |[[နေပြည်တော်ကောင်စီ|နေပြည်တော်ကောင်စီဥက္ကဋ္ဌ]] |[[ကံမြင့်သန်း|ဦးကံမြင့်သန်း]] |- |၂၂ |[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ပြည်နယ်နှင့်တိုင်းဒေသကြီး ဝန်ကြီးချုပ်|တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်အစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးချုပ်များ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးချုပ် (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> *[[ကချင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကချင်ပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] [[ခက်ထိန်နန်|ဦးခက်ထိန်နန်]] *[[ကယားပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကယားပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] ဦးအံ့မော် *[[ကရင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကရင်ပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] [[စောမြင့်ဦး|ဦးစောမြင့်ဦး]] *[[ချင်းပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ချင်းပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] [[ဝုန်ဆွန်းထန်|ဒေါက်တာ ဝုန်ဆွန်းထန်]] *[[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[ကိုလေး (ဗိုလ်ချုပ်)|ဦးကိုလေး]] *[[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[ဇော်နိုင်ဦး|ဦးဇော်နိုင်ဦး]] *[[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[မျိုးဆွေဝင်း|ဦးမျိုးဆွေဝင်း]] *[[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|မကွေးတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[တင်ကိုကို|ဦးတင်ကိုကို]] *[[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး ဝန်ကြီးချုပ်|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[မျိုးအောင်|ဦးမျိုးအောင်]] *[[မွန်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|မွန်ပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] [[အောင်ဝင်းသန်း|ဦးအောင်ဝင်းသန်း]] *[[ရခိုင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ရခိုင်ပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] ဦးနိုင်ဦး *[[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] [[အောင်နိုင်သူ|ဦးအောင်နိုင်သူ]] *[[ရှမ်းပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ရှမ်းပြည်နယ်ဝန်ကြီးချုပ်]] ဦးစိုင်းထိန်စိုး *[[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးဝန်ကြီးချုပ်]] ဦးအေးကျော် |- |၂၃ |[[မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ်|မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ်ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[ခင်နိုင်ဦး|ဒေါက်တာ ခင်နိုင်ဦး]] |- |၂၄ |[[အဂတိလိုက်စားမှု တိုက်ဖျက်ရေး ကော်မရှင်|အဂတိလိုက်စားမှုတိုက်ဖျက်ရေးကော်မရှင်ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[စိုးသိန်း (ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|ဦးစိုးသိန်း]] |- |၂၅ |[[မြန်မာနိုင်ငံ အမျိုးသား လူ့အခွင့်အရေးကော်မရှင်|မြန်မာနိုင်ငံအမျိုးသားလူ့အခွင့်အရေးကော်မရှင်ဥက္ကဋ္ဌ]] |[[သစ်လင်းအုန်း|ဦးသစ်လင်းအုန်း]] |- |၂၆ |[[တပ်မတော် စစ်ဘက်ဆိုင်ရာအကြီးအကဲများ|တပ်မတော်မှ ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး (၁၉) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * [[အမှတ် (၁) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၁)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] [[နီလင်းအောင်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး နီလင်းအောင်]] * [[အမှတ် (၂) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၂)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မင်းလတ် * [[အမှတ် (၃) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၃)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] နှင့် စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ကြည်း) [[သန်းထိုက်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သန်းထိုက်]] * [[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်လင်းမောင် * [[စစ်ရေးချုပ်]] [[ဇော်ဟိန်း|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်ဟိန်း]] * [[စစ်ထောက်ချုပ်]] [[ဇော်မျိုးတင်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မျိုးတင်]] * တပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း * [[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေး အရာရှိချုပ်|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးမင်းထွန်း * [[စစ်ရာထူးခန့်ချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း * [[စစ်ဥပဒေချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးသန့်နိုင် * [[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့် စာရင်းစစ်ချုပ် (ကြည်း/ရေ/လေ)|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ)]] [[ညွန့်ဝင်းဆွေ|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ညွန့်ဝင်းဆွေ]] * [[စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်|တပ်မ​တော်စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်ကိုထိုက် * [[လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးမင်း * [[ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေး အရာရှိချုပ်ရုံး|ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ်]] [[မိုးမြင့်ဆွေ|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မိုးမြင့်ဆွေ]] * စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ရေ) ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သိန်းထူး * အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီဥက္ကဋ္ဌ [[ရာပြည့်|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ရာပြည့်]] * အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီအတွင်းရေးမှူး ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မင်းနိုင် * အရန်အင်အားမှ [[နိုင်နိုင်ဦး|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး နိုင်နိုင်ဦး]] * ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန [[မြန်မာနိုင်ငံ ရဲတပ်ဖွဲ့|မြန်မာနိုင်ငံရဲတပ်ဖွဲ့ ရဲချုပ်]] ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးလှိုင် |- |၂၇ |[[ပြည်ထောင်စု တရားလွှတ်တော်ချုပ်|ပြည်ထောင်စုတရားလွှတ်တော်ချုပ် တရားသူကြီးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> တရားသူကြီး (၈) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * [[သောင်းနိုင်|ဦးသောင်းနိုင်]] * ဦးသိန်းကိုကို * [[သင်းသင်းနွဲ့|ဒေါ်သင်းသင်းနွဲ့]] * ဒေါ်ပြုံးပြုံးအေး * ဒေါက်တာ ကိုကိုနိုင် * ဦးဝင်းမြင့် * ဒေါ်စိုးခက်ခက် * ဒေါ်သင်းသင်းချို |- |၂၈ |[[နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံး|နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံး အဖွဲ့ဝင်များ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အဖွဲ့ဝင် (၈) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးဉာဏ်ထွန်း * ဦးမျိုးတင့် * ဦးကျော်ဆန်း * ဦးတူးမော် * ဒေါ်စုစုဝင်း * ဒေါ်ဥမ္မာအေး * ဦးတင့်ဝေ * ဒေါက်တာ မာလာမော် |- |၂၉ |ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင် အဖွဲ့ဝင်များ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အဖွဲ့ဝင် (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဦးအောင်မိုးမြင့် * ဦးအောင်လွင်ဦး * ဦးမြင့်ဦး * ဦးခင်မောင်ဦး * ဦးမြင့်သိန်း * ဦးကိုကိုလွင် * ဦးသန်းအောင်ကျော် * ဦးခင်ဇော် * ဦးသန်းထွတ်သိန်း * ဦးအောင်မြင့်လွင် * ဦးခင်မောင်ကြီး * ဦးမျိုးမောင် * ဦးကြည်သိန်း * [[ခင်သင်းဝေ|ဒေါ်ခင်သင်းဝေ]] |- |၃၀ |ဥပဒေကြမ်းကော်မတီ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed"> [[ဥပဒေကြမ်း ကော်မတီ၊ ပြည်သူ့လွှတ်တော်|ပြည်သူ့လွှတ်တော်]] <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ​ [[နန္ဒကျော်စွာ|ဒေါက်တာ နန္ဒကျော်စွာ]] * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်သန်းသန်းအေး * အဖွဲ့ဝင် ဦးစိုးတင့်အောင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးတင့်လွင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးကျော်မင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးတင်ရွှေ * အဖွဲ့ဝင် ဦးသန့်ဇော် * အဖွဲ့ဝင် စိုင်းဝန်းဆမ် * အဖွဲ့ဝင် ဦးဇော်မင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးနိုင်မင်းဦး * အဖွဲ့ဝင် နန်းကျင်း(ခ)နန်းစိန် * အဖွဲ့ဝင် ဦးနိုင်နိုင်ကျော် * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းမြိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး မျိုးထက်ဝင်း * အတွင်းရေးမှူး [[သိန်းထွန်းဦး|ဦးသိန်းထွန်းဦး]] </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed">[[ဥပဒေကြမ်း ကော်မတီ၊ အမျိုးသားလွှတ်တော်|အမျိုးသားလွှတ်တော်]]<div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ​ ဒေါ်နွယ်နွယ်ဦး * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ကျော်မင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးပြုံးချို * အဖွဲ့ဝင် ဦးသန်းထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ဇင်ပပဦး * အဖွဲ့ဝင် ဦးခိုင်ဝင်းအောင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးဟိန်းမင်းဦး * အဖွဲ့ဝင် ဦးမိုးမြင့် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအေးပိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ပီကျိန်ငိုက်မန် * အဖွဲ့ဝင် ဦးစိုးကြည် * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် မြင့်သောင်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးကြီး လှိုင်ဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်ကြီး ဒေါ်ဖြိုးဖြိုးဝေ * အတွင်းရေးမှူး [[ဇင်မင်းထက်|ဦးဇင်မင်းထက်]] </div> |- |၃၁ |ပြည်သူ့ငွေစာရင်းကော်မတီ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပြည်သူ့လွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[တေဇကျော်|ဦးတေဇကျော်]] * အဖွဲ့ဝင် ဦးထွန်းထွန်းအောင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးသိန်းရီ * အဖွဲ့ဝင် ဦးတင့်ဆွေ * အဖွဲ့ဝင် ဦးကိုကိုသင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးမောင်မောင်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဦးအေးချမ်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်ဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဝင်းကျော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးမြင့်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဦးသန်းရွှေ * အဖွဲ့ဝင် ခွန်လှသိန်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးညွန့် * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်ကြီး ဒေါ်ယမင်းအောင် * အတွင်းရေးမှူး ဦးတင်အောင်ချစ် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အမျိုးသားလွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[ချစ်ဆွေ (သံအမတ်ကြီး)|ဦးချစ်ဆွေ]] * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်သိင်္ဂီဝင်းရွှေ * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်မီမီကျော်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးချစ်ဝေ * အဖွဲ့ဝင် ဦးဗိုလ်သိန်းနိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်အေးချမ်းမုံ * အဖွဲ့ဝင် ဦးကျော်ကျော်လင်း(ခ)ဦးထိန်လင်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ထားထားနု * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ကျော်မင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဇော်ဇော်မြင့် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်စိုးစိုးမြင့် * အဖွဲ့ဝင် ခွန်ဝင်းဦး * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းကိုကို * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးကြီး ဖြိုးမင်းဝင်း * အတွင်းရေးမှူး ဦးသန်းအောင် </div> |- |၃၂ |လွှတ်တော်အခွင့်အရေးကော်မတီ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပြည်သူ့လွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[မောင်မောင်အုန်း|ဦးမောင်မောင်အုန်း]] * အဖွဲ့ဝင် ဒေါက်တာ ကျော်ဦး * အဖွဲ့ဝင် စိုင်းဆမ် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ဇော်မိုး(ခ)အောင်ဇော်မိုးထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်မျိုးသန်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်သိင်္ဂီမြင့်ရည် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်စိုးစိုးရီ * အဖွဲ့ဝင် ဦးစိုးနိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးစောဝင်းထိန် * အဖွဲ့ဝင် ဦးသန်းနိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးစိုးဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဂုဏ်ဝမ်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်ချုပ် ရဲကျော်သူ * အဖွဲ့ဝင် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး တင်သောင်းလင်း * အတွင်းရေးမှူး ဒေါက်တာ ကျော်ကျော်ဌေး </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အမျိုးသားလွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[Jeng Phang နော်တောင်|ဦးဂျဲန်ဖန်နော်တောင်(ခ)ဦးနော်တောင်]] * အဖွဲ့ဝင် ဒေါက်တာ ကျော်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါက်တာ ဗညားအောင်မိုး * အဖွဲ့ဝင် ဦးတင့်ဇော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်ဇော်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်နီနီမာ * အဖွဲ့ဝင် ဦးကျော်တင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးသိန်းဇော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးယုနိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်ဌေး * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်မြမြသက် * အဖွဲ့ဝင် စိုင်းဝင်းခိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်ချုပ် ကျော်သူရအေး * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးရွှေ * အတွင်းရေးမှူး ဦးအောင်တင်မြင့် </div> |- |၃၃ |အစိုးရ၏ အာမခံချက်များ၊ ကတိများနှင့် တာဝန်ခံချက်များစိစစ်ရေးကော်မတီ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ပြည်သူ့လွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ [[သန်းထွန်းဦး|ဦးသန်းထွန်းဦး]] * အဖွဲ့ဝင် ဦးမင်းခန့်ကျော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်ထွန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်လင်းလှိုင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ကျော်နှင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးလူဇော် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်ကိုလတ် * အဖွဲ့ဝင် ဦးထွန်းထွန်းမိုး * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ဆွေဆွေသင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဉာဏ်ဝင်းထိုက် * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်စမ်းစမ်းဌေး * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်မြသန်း * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး လှနိုင် * အတွင်းရေးမှူး ဦးသန်းထွန်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အမျိုးသားလွှတ်တော် <div class="mw-collapsible-content"> * ဥက္ကဋ္ဌ ဦးလှသိန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဝင်းဖေမောင် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်စိုး * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ကျော့ယဉ်ဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးကျော်စိန်လှ * အဖွဲ့ဝင် ဒေါ်ယဉ်မင်းထိုက် * အဖွဲ့ဝင် ဦးဖြိုးဝေဝင်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်တင့် * အဖွဲ့ဝင် ဦးအောင်သီဟ * အဖွဲ့ဝင် ဦးခင်မောင်သန်း * အဖွဲ့ဝင် ဦးဇော်မင်းထူး * အဖွဲ့ဝင် စောမြတ်ထွဋ်ဝင်း(ခ)ကိုဆွိ * အဖွဲ့ဝင် ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်အောင် * အဖွဲ့ဝင် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး ဝင်းမြင့်ထွန်း * အတွင်းရေးမှူး ဦးရန်နိုင်ဦး </div> |- |၃၄ |[[တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|တိုင်းမှူးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> တိုင်းမှူး (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * [[နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် ကြည်သိုက် * [[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် အောင်ဇော်ထွေး * [[အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် အေးမင်းဦး * [[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်နိုင်ဦး * [[အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ''လစ်လပ်'' * [[တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် စိုးမြတ်ထွဋ် * [[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အရှေ့​တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် သူရ ဇော်လွင်စိုး * [[ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဟန် * [[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် တင်မင်းလတ် * [[အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ခိုင် * [[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်ဇော * [[အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် ကျော်သူရ * [[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ဌေး * [[တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး]] ဗိုလ်ချုပ် စိုးကျော်ထက် |- |၃၅ |ဒုတိယဝန်ကြီးများ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ဒုတိယဝန်ကြီး (၄၈) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးခင်လတ် * နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး ဒုတိယဝန်ကြီး [[ခိုင်ခိုင်စိုး|ဒေါက်တာ ခိုင်ခိုင်စိုး]] * နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ထင်ကျော်သူ|ဦးထင်ကျော်သူ]] * ပို့ဆောင်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးအောင်မြိုင် * ပို့ဆောင်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးထွန်းလူ * ဒီဂျစ်တယ်ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးနှင့်ဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးမင်းဇေယျာလှိုင် * ဒီဂျစ်တယ်ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးနှင့်ဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးသက်ဝင်းအောင် * ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဗိုလ်ချုပ် အောင်မျိုးသန့် * ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ * နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[နိုင်မင်းကျော်|ဦးနိုင်မင်းကျော်]] * နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ကိုကိုကျော်|ဦးကိုကိုကျော်]] * အမျိုးသားစီမံကိန်း၊ရင်းနှီးမြှုပ်နှံမှုနှင့်နိုင်ငံခြားစီးပွားဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ကျော်ထင် (ဒုတိယဝန်ကြီး)|ဦးကျော်ထင်]] * အမျိုးသားစီမံကိန်း၊ရင်းနှီးမြှုပ်နှံမှုနှင့်နိုင်ငံခြားစီးပွားဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးသန့်စင်လွင် * ဘဏ္ဍာရေးနှင့်အခွန်ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါ်သန်းသန်းလင်း * ဘဏ္ဍာရေးနှင့်အခွန်ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဟန်ဝင်းအောင် * နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဗိုလ်ချုပ် ကျော်စွာဦး * တိုင်းရင်းသားလူမျိုးများရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးစိုင်းထွန်းညို * ဥပဒေရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[ထိန်လင်းဦး|ဒေါက်တာ ထိန်လင်းဦး]] * ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ဇော်မြင့် * ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးနေမျိုးလှိုင် * သိပ္ပံနှင့်နည်းပညာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ နေခြည်လဲ့လဲ့သိန်း * ကျန်းမာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ အေးထွန်း * အမျိုးသမီးရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[စန်းစန်းနွယ်|ဒေါ်စန်းစန်းနွယ်]] * ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးရဲတင့် * သာသနာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[လင်းအောင်|ဦးလင်းအောင်]] * ယဉ်ကျေးမှု၊ဟိုတယ်နှင့်ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးအေးထွန်း * ယဉ်ကျေးမှု၊ဟိုတယ်နှင့်ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဖြိုးဇော်စိုး * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဗိုလ်ဗိုလ်ကျော် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ရဲထွန်းဝင်း * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ရဲတင့်ထွန်း * သမဝါယမနှင့်ကျေးလက်ဖွံ့ဖြိုးရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးသိုက်စိုး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးခင်လတ်ကြီး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သောင်းနိုင်ဦး * လျှပ်စစ်နှင့်စွမ်းအင်ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးအေးကျော် * လျှပ်စစ်နှင့်စွမ်းအင်ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးကျော်နိုင်ဝင်း * စက်မှုနှင့်အသေးစား၊အငယ်စား၊အလတ်စားနှင့်စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးသွင်အောင် * စက်မှုနှင့်အသေးစား၊အငယ်စား၊အလတ်စားနှင့်စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ အောင်ဇေယျ * လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့်ပြည်သူ့အင်အားဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[လင်းဇော်ထွန်း|ဦးလင်းဇော်ထွန်း]] * လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့်ပြည်သူ့အင်အားဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးရဲထွန်းဦး * အလုပ်သမားဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးမောင်မောင်သန်း * စီးပွားရေးနှင့်ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[မင်းမင်း|ဦးမင်းမင်း]] * စီးပွားရေးနှင့်ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးဝင်းမြင့်ခိုင် * အားကစားရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးညီညီ * လူငယ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဦးစစ်နိုင် * ဆောက်လုပ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး [[မျိုးမြင့်|ဦးမျိုးမြင့်]] * ဆောက်လုပ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သောင်းနိုင် * လူမှုဝန်ထမ်း၊ကယ်ဆယ်ရေးနှင့်ပြန်လည်နေရာချထားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သန်းစိုး * လူမှုဝန်ထမ်း၊ကယ်ဆယ်ရေးနှင့်ပြန်လည်နေရာချထားရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သန့်ဇော်လွင် |- |၃၆ |ဒုတိယရှေ့နေချုပ် |[[ထိန်လင်းဦး|ဒေါက်တာ ထိန်လင်းဦး]] |- |၃၇ |ဒုတိယစာရင်းစစ်ချုပ် |ဒေါ်ခိုင်ခိုင်အောင် |- |၃၈ |ပြည်ထောင်စုရာထူးဝန်အဖွဲ့ အဖွဲ့ဝင်များ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> အဖွဲ့ဝင် (၆) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဒေါ်ခင်မျိုးမြင့် * ဦးစိုးတင့် * ဒေါက်တာ စုစုဒွေး * ဦးထွန်းထွန်းဝင်း * ဒေါ်ခင်ရွှေမြင့် * ဒေါက်တာ ခင်ချစ်ချစ် |- |၃၉ |နေပြည်တော်ကောင်စီဝင်များ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ကောင်စီဝင် (၆) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ဗိုလ်မှူးကြီး ရဲမိုး * ဦးမင်းဦး * ဦးခင်မောင်လတ် * ဦးဝင်းမိုးခိုင် * ဦးထွန်းထွန်း * ဦးအောင်ဇေယျ |- |၄၀ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ် | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ် (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * [[ကချင်ပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ကချင်ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[အေးအေးမော်|ဒေါ်အေးအေးမော်]] * [[ကယားပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ကယားပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[ထွန်းထွန်းဦး (တရားသူကြီး)|ဦးထွန်းထွန်းဦး]] * [[ကရင်ပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ကရင်ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[ညွန့်လင်း|ဦးညွန့်လင်း]] * [[ချင်းပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ချင်းပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] ဦးမြတ်စံ * [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[ဇော်ထူး|ဦးဇော်ထူး]] * [[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[အေးအေးသန်း|ဒေါ်အေးအေးသန်း]] * [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[လွင်လွင်အေးကျော်|ဒေါ်လွင်လွင်အေးကျော်]] * [[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|မကွေးတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[မိမိမော်|ဒေါ်မိမိမော်]] * [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[လှမြင့် (တရားသူကြီး)|ဒေါ်လှမြင့်]] * [[မွန်ပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|မွန်ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[ဌေးမြင့်အေး|ဒေါ်ဌေးမြင့်အေး]] * [[ရခိုင်ပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ရခိုင်ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[မြအေး (တရားသူကြီး)|ဒေါ်မြအေး]] * [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော်|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[စန္ဒာသွယ်|ဒေါ်စန္ဒာသွယ်]] * [[ရှမ်းပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ရှမ်းပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[သန်းဦးလွင်|ဦးသန်းဦးလွင်]] * [[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး တရားလွှတ်တော်|ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးတရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ်]] [[မိုးမိုးအေး|ဒေါ်မိုးမိုးအေး]] |- |၄၁ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ကချင်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးသန်းထွန်းအေး * ကယားပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးစိုးရယ် * ကရင်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးအေးမင်းထွေး * ချင်းပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးသန့်စင်ဦး * စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးမျိုးသန့် * တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးခင်မောင်မြင့် * ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးကျော်ဌေး * မကွေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးခင်မောင်ညို * မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးကျော်မြင့် * မွန်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးမင်းအောင်မြင့် * ရခိုင်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဒေါက်တာ ထင်လင်းဦး * ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ [[ကျော်ကျော်စိုး|ဦးကျော်ကျော်စိုး]] * ရှမ်းပြည်နယ်လွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးစိုင်းထွန်းစိန် * ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဦးစောသက်နိုင်ဦး |- |၄၂ |[[ပြည်နယ်နှင့်တိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့များ|တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်အစိုးရအဖွဲ့ဝင် ဝန်ကြီးများ]] | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ကချင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကချင်ပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးရန်နောင် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးချန်တန်ခင် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးကျော်မင်းခိုင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်နိုင် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးရဲရင့်ဆွေ * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်သိမ်းရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ အောင်ဝင်း * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သန်းဌေးအောင် * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးစိုးသိန်း * ရှမ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးတင်အောင် * လီဆူးတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာ၀န်ကြီး ဦးလီပေါ်ရဲ့ * ရဝမ်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးမယစ်ယောရှု </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ကယားပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကယားပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး သန်းစိုးအောင် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးတင်လှ * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးအောင်မျိုးသိန်း * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးရဲဝင်း * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးဂျိုးဇက်ကျော် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဒေါ်နှင်းနှင်းရီ * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးစောဟူးဟူး * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်ခင်သန္တာထွန်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ကရင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကရင်ပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးမိုးဝင်း * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးညီညီဇော် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးစောထွန်းအောင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးစောမျိုးမြင့် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးအောင်လွင် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးစယဉ်ဌေး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး စောခေါင်ပန်ထော့ * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးတင်မောင်လှိုင် * မွန်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးမျိုးမြင့်နိုင် * ပအိုဝ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ခွန်မြတ်ထူး </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ချင်းပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ချင်းပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ခင်မောင်ထွေး * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ လျန်ဇခုပ် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးစိန်ထွန်းလှ * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးနေလင်းအောင် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးပေါင်ဇလန်း * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးဝင်းဇော်ဦး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်ကျော်ဌေး </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ဝင်းတင်စိုး * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်ဇော်ဦး * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးညွန့်ဝင်းအောင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးခင်မောင်အေး * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးဆန်းဝင်း * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးတင်သန်းဝင်း * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ သောင်းနိုင် * [[နာဂ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|နာဂကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးလှထွန်း * ရှမ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးစိန်ဖေ * ချင်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးငွန်ဘွလ်ထန် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ရန်ကြီးအောင် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦး​မောင်ကြီး * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးသက်နိုင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ဝင်းအောင် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးအောင်ကျော်ကျော်ဦး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးသိန်းလွင် * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးမင်းမင်းလတ် * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး စောမာတင်လူသာ </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ညီလန်းချို * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးဇော်ဝင်း * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ထူးခြားအောင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်ထွဋ် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးကိုကိုဦး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်ကျော်လင်း * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးနိုင်လင်းဆွေ(ခ)ဦးထွန်းထွန်းဦး * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး စောလင်းအောင် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|မကွေးတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး မိုးမင်းသိန်း * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးစန်းလွင် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်နွယ်နီနိုင် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးဆန်းညွန့်အောင် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးအောင်နိုင် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးစိုင်းမြင့်အေး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးကြည်ထွန်း * ချင်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးထွန်းခင် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးအစိုးရအဖွဲ့|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး နေလင်းစိုး * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးသိန်းဌေး * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးလှကြွယ် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်မိုးသက် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးလှမျိုး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဒေါ်သိင်္ဂီအောင် * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးခင်မောင်အေး * ရှမ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး စိုင်းအောင်ကြည် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[မွန်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|မွန်ပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ကျော်စွာမြင့် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး နိုင်လယိတမ(ခ)နိုင်ခင်မောင်ဇင် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးတင်ဇော်ထွန်း * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးဇေယျာဦး * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးမင်းမြင့်မောင်လေး * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး မိလဝီဟန် * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ အောင်မြတ်ကျော်စိန် * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးမျိုးမင်းလှိုင် * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးအောင်ကျော်သိန်း * ပအိုဝ်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးချစ်သိန်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ရခိုင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ရခိုင်ပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ကျော်သူရ * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်ကျော်မိုး * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးကျော်စိုး * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်ဆွေလင်း * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးသက်ထွန်း * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးမြင့်စိုး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးမြင့်စိုးဝင်း * ချင်းတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးတင်လှ </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး ဝင်းတင့် * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ မေသန်းနွယ် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးဗိုလ်ဌေး * ပြန်ကြားရေး၊ကယ်ဆယ်ရေးနှင့်သာသနာရေးဝန်ကြီး ဦးနေလင်းထွန်း * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ မျိုးသော် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ထူးမောင် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဦးစိုးဦး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး [[မျိုးမြင့်အောင်|ဦးမျိုးမြင့်အောင်]] * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး စောဂျက်ကော့ထူး * ရခိုင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးနေမင်းထွန်း </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ရှမ်းပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ရှမ်းပြည်နယ်]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး စိန်ဝင်း * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ လဆိုင်း * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်နန်းခမ်းလူ * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးခွန်သန်းထူး * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးလင်းအောင်ဆွေ * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး စိုင်းဝမ်းလှိုင်းတစ်ပ် * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးခွန်ထွန်းဖြူ * [[ဓနုကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ဓနုကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးအာကာလင်း * [[ပအိုဝ်းကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ပအိုဝ်းကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ဦးခွန်ဖိုးစိန် * [[ပလောင်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ပလောင်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ''လစ်လပ်'' * [[ကိုးကန့်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ|ကိုးကန့်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ''လစ်လပ်'' * [[ဝကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်း|“ဝ”ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်းဦးစီးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] ''လစ်လပ်'' * ဗမာတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်ခင်ထွေးအောင် * ကချင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးကိန်မိုင် * လီဆူးတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်ငွေလှိုင် * လားဟူတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးဝီလ်ဆင်မိုး * အင်းသားတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်တင်တင်ရီ * အာခါတိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးထွန်းအောင် * ကယန်း(ခ)ပဒေါင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဒေါ်အေးချိုစိန် </div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> [[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး]] <div class="mw-collapsible-content"> * လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီး ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးမင်းဦး * စီမံကိန်း၊စီးပွားရေးနှင့်ဘဏ္ဍာရေးဝန်ကြီး ဦးအောင်စန်းချစ် * လူမှုရေးရာဝန်ကြီး ဦးခင်မောင်ကြည် * လျှပ်စစ်၊စွမ်းအင်၊စက်မှုနှင့်လမ်းပန်းဆက်သွယ်ရေးဝန်ကြီး ဦးကျော်ထွန်းဇော် * စိုက်ပျိုးရေး၊မွေးမြူရေးနှင့်ဆည်မြောင်းဝန်ကြီး ဦးကျော်မျိုးတင် * သယံဇာတနှင့်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ဒေါ်မေသန်းဦး * စည်ပင်သာယာရေးဝန်ကြီး ဦးမောင်​မောင်ဦး * ကရင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး မန်းသိန်းကျော် * ရခိုင်တိုင်းရင်းသားလူမျိုးရေးရာဝန်ကြီး ဦးစိုးညွန့် </div> |- |၄၃ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် ဥပဒေချုပ် | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> ဥပဒေချုပ် (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ကချင်ပြည်နယ်ဥပဒေချုပ် ဒေါ်နန်းလှလှအေး * ကယားပြည်နယ်ဥပဒေချုပ် ဦးဝင်းနိုင် * ကရင်ပြည်နယ်ဥပဒေချုပ် ဒေါ်နော်သန်းသန်းငြိမ်း * ချင်းပြည်နယ်ဥပဒေချုပ် ဦးကပ်တလွန်း * စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးဥပဒေချုပ် ဒေါ်လှလှဝင်း * တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးဥပဒေချုပ် ဦးထိန်လင်းကျော် * ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးဥပဒေချုပ် ဦးခင်မောင်တင့် * မကွေးတိုင်းဒေသကြီးဥပဒေချုပ် ဦးအေးလွင် * မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးဥပဒေချုပ် ဦးလှသိန်း * မွန်ပြည်နယ်ဥပဒေချုပ် ဒေါ်မိသန္တာမြင့် * ရခိုင်ပြည်နယ်ဥပဒေချုပ် ဦးဝင်းမောင် * ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးဥပဒေချုပ် ဒေါ်ဖြူမာဝေ * ရှမ်းပြည်နယ်ဥပဒေချုပ် ဦးစိုင်းကျော်ဇံ * ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးဥပဒေချုပ် ဦးခင်မောင်လွင် |- |၄၄ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် စာရင်းစစ်ချုပ် | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%;"> စာရင်းစစ်ချုပ် (၁၄) ဦး <div class="mw-collapsible-content"> * ကချင်ပြည်နယ်စာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်ခင်လေးနွယ် * ကယားပြည်နယ်စာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်မော်မော် * ကရင်ပြည်နယ်စာရင်းစစ်ချုပ် ဦးအောင်စိုး * ချင်းပြည်နယ်စာရင်းစစ်ချုပ် ဦးမောင်မောင်ခင် * စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးစာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်မြင့်မြင့်သိန်း * တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးစာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်ဌေးဌေးမြင့် * ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးစာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်တင်တင်ငြိမ်း * မကွေးတိုင်းဒေသကြီးစာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်အေးအေး * မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးစာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်ခင်ခင်သီ * မွန်ပြည်နယ်စာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်သိန်းသိန်းဦး * ရခိုင်ပြည်နယ်စာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်ခင်သန်းကြည် * ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးစာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်ခင်မာချို * ရှမ်းပြည်နယ်စာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်ခင်ထွေးရီ * ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးစာရင်းစစ်ချုပ် ဒေါ်ငြိမ်းငြိမ်းဝင်း |- |၄၅ |မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌများ | |- |၄၆ |အဂတိလိုက်စားမှုတိုက်ဖျက်ရေးကော်မရှင် အဖွဲ့ဝင်များ | |- |၄၇ |မြန်မာနိုင်ငံအမျိုးသားလူ့အခွင့်အရေးကော်မရှင် အဖွဲ့ဝင်များ | |- |၄၈ |[[အခွန်အယူခံခုံအဖွဲ့|အခွန်အယူခံခုံအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ]] | |- |၄၉ |တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးများ | |- |၅၀ |ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာနမှ ညွှန်ကြားရေးမှူးများ | |} {{small|<sup> မှတ်ချက်။ ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်နာယကရာထူးသည် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော် အစည်းအဝေးကျင်းပသည့် အစည်းအဝေးကာလအတွက်သာဖြစ်သဖြင့် ပြည်ထောင်စုအင်္ဂါစဉ်အရ အကျုံးမဝင်ပါ။}} ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏ နိုင်ငံရေး]] l3fpec8woovs0efdi6j50kea1zl8kc1 3 112032 1054142 1053842 2026-09-19T14:24:34Z Htanaungg 61594 /* LTNS */ အကြောင်းပြန်ခြင်း 1054142 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Zin Win Hlaing ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် ကျူတိုရီရယ်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[WP:TUTOR|ကျူတိုရီရယ်]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [http://unicode.today/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [http://unicode.today/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, like 'Interwikis' and updating images from Commons, etc. So don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[User:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[User talk:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၈:၁၁၊ ၁၃ ဩဂုတ် ၂၀၁၉ (UTC) :@[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] @ [[အထူး:ဆောင်ရွက်ချက်များ/&#126;2025-35545-43|&#126;2025-35545-43]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:&#126;2025-35545-43|talk]]) ၀၆:၀၆၊ ၂၂ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၅ (UTC) ==GA nomination== [[ကမ္ဘာဂြိုဟ်]]ကို ဆောင်းပါးကောင်း စာရင်းသွင်းထားပါတယ်။ အချိန်ရရင် review လုပ်ပေးပါအုံး။ [[အသုံးပြုသူ:Dr Lotus Black|Dr Lotus Black]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Dr Lotus Black|ဆွေးနွေး]]) ၀၃:၄၃၊ ၂၄ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၁ (UTC) == Your opinion == Would you mind giving some of your opinions in [[ဆွေးနွေးချက်:ပြည်ထောင်စု လွှတ်တော်]]? [[အသုံးပြုသူ:Editor in Myanmar|Editor in Myanmar]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Editor in Myanmar|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၅၀၊ ၄ မတ် ၂၀၂၂ (UTC) == Film titles == Do you know how to translate or transliterate certain film titles that were retained from English? I need help on this, so I'm asking multiple users. Thank you. [[အထူး:ဆောင်ရွက်ချက်များ/2600:1700:53F0:AD70:7943:AFDB:85F3:8F2F|2600:1700:53F0:AD70:7943:AFDB:85F3:8F2F]] ၀၃:၃၈၊ ၁၄ မတ် ၂၀၂၂ (UTC) == ကိုရီးယားအမည် == ကျွန်တော် ကိုရီးယားသမ္မတတွေအကြောင်းကို ဘာသာပြန်မလို့ အဆင်ပြေမယ်ဆိုရင် [[တောင်ကိုရီးယားနိုင်ငံ၏ သမ္မတ]] က သမ္မတများစာရင်းမှာ သမ္မတနာမည်တွေကို မြန်မာဘာသာလေး ပြန်ပေးပါဦးဗျ။ ကျွန်တော်ကကျတော့ ကိုရီးယားနာမည်တွေကို သိပ်ဘာသာမပြန်တတ်လို့ဗျ။ ဘာသာပြန်ပြီးတော့မှ နာမည်တွေက လွဲနေမှာစိုးလို့ပါ။ ကျေးဇူးပါ။ [[အသုံးပြုသူ:Kantabon|Kantabon]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Kantabon|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၁၀၊ ၁၄ မတ် ၂၀၂၂ (UTC) {{ping|Kantabon}} ဆရာအဆင်ပြေသလိုသုံးလို့ရအောင် ဒီမှာပဲ အင်္ဂလိပ်နဲ့ မြန်မာတွဲပြလိုက်ပါမယ်ဗျ။ နာမည်တချို့က အခုခေတ်သုံး romanization နဲ့ မကိုက်လို့ ကိုရီးယားလိုရေးထားတာကိုပဲကြည့်ပြီး အသံထွက်ကို အနီးစပ်ဆုံး မြန်မာလိုရေးထားပါတယ်ဗျ။ (Yoon Seok Yeol ကိုပါ လိုရမယ်ရ တစ်ခါတည်းထည့်ထားပါတယ်ဗျ။) ~ [[အသုံးပြုသူ:Htanaungg|ထနောင်း]] ([[User talk:Htanaungg|🔔]] • [[Special:Contributions/Htanaungg|📝]]) ၁၂:၃၈၊ ၁၄ မတ် ၂၀၂၂ (UTC) # Rhee Syung Man > ရီဆွန်းမန်း # Ho Chong (=Heo Jeong) > ဟောဂျောင် # Kwak Sang Hoon > ဂွါ့ဆန်ဟွန်း # Paik Nak Chun (=Baek Nak Joon) > ဘဲ့နာ့ဂျွန်း # Yun Po Sun > ယွန်းဘိုဆွန်း # Park Jung Hee > ဘတ်ဂျောင်ဟီး # Choi Kyu Hah > ချွဲဂယူဟာ # Park Choong Hoon > ဘတ်ချွန်းဟွန်း # Chun Doo Hwan > ဂျောန်းဒူဟွမ်း # Roh Tae Woo > နိုထယ်ဝူ # Kim Young Sam > ဂင်ယောင်ဆမ် # Kim Dae Jung > ဂင်ဒယ်ဂျွန် # Roh Moo Hyun > နိုမူဟျွန်း # Lee Myung Bak > လီမြောင်ဘာ့ # Park Geun Hye > ဘတ်ဂွန်းဟဲ # Hwang Kyo Ahn > ဟွမ်ဂယိုအန်း # Moon Jae In > မွန်းဂျယ်အင်း # Yoon Suk Yeol > ယွန်းဆော့ယော : ​ကျေးဇူးပါ။[[အသုံးပြုသူ:Kantabon|Kantabon]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Kantabon|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၂၅၊ ၁၄ မတ် ၂၀၂၂ (UTC) == IP Block == IP Blockခံထိထား ဘယ်လိုပြန်လုပ်ရမလည်းဗျာ့ [[အသုံးပြုသူ:U Naing Oo|U Naing Oo]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:U Naing Oo|ဆွေးနွေး]]) ၁၆:၄၇၊ ၄ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၅ (UTC) ==LTNS== Welcome back [[အသုံးပြုသူ:Dr Lotus Black|Dr Lotus Black]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Dr Lotus Black|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၁၈၊ ၁၈ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :Thanks, Saya @[[အသုံးပြုသူ:Dr Lotus Black|Dr Lotus Black]]. enwiki ဘက်မှာ ကျွန်တော် ပုံမှန်ရှိတတ်ပါတယ်ဗျ။ ;) ~ [[အသုံးပြုသူ:Htanaungg|ထနောင်း]] ([[User talk:Htanaungg|🔔]] • [[Special:Contributions/Htanaungg|📝]]) ၁၄:၂၄၊ ၁၉ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၆ (UTC) 1mozfpepdihcqkjwliingeflkr1n0rf 0 118341 1054153 1053592 2026-09-19T15:22:07Z ~2026-48306-52 147797 /* ထိပ်တန်းအရာရှိကြီးများ */ 1054153 wikitext text/x-wiki '''[[တပ်မတော်|မြန်မာ့တပ်မတော်]]'''တွင် လက်ရှိတာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော အရာရှိကြီးများ စာရင်းဆောင်းပါးဖြစ်သည်။ ==ထိပ်တန်းအရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ရဲဝင်းဦး]] |OTS(၇၇) |- |၂ |[[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]]၊ [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ကြည်း)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ကျော်စွာလင်း]] |DSA(၃၅) |- |၃ |[[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)]] |– |– |- |၄ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ထိန်ဝင်း]] <ref>{{cite web|url=https://www.bbc.com/burmese/live/cw9yrgg7y17t|title=ဗိုလ်ချုပ်ထိန်ဝင်း ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ) ဖြစ်လာ|work=BBC Burmese|access-date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄|date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ }}</ref> |DSA(၂၉) |- |၅ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ထွန်းဝင်း]] |DSA(၃၄) |} == စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမှတ် (၁) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၁)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နီလင်းအောင်]] |DSA(၃၇) |- |၂ |[[အမှတ် (၂) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၂)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မင်းလတ် |DSA(၃၇) |- |၃ |[[အမှတ် (၃) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၃)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[သန်းထိုက်]] |DSA(၃၈) |- |၄ |[[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်လင်းမောင် |DSA(၃၇) |} == အရာရှိချုပ်များ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[စစ်ရေးချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်ဟိန်း]] |DSA(၃၈) |- |၂ |[[စစ်ထောက်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်မျိုးတင်]] |DSA(၃၂) |- |၃ |တပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း |DSA(၄၀) |- |၄ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေး အရာရှိချုပ်|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးမင်းထွန်း |OTC(၂၃) |- |၅ |[[စစ်ရာထူးခန့်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း |DSA(၃၈) |- |၆ |[[စစ်ဥပဒေချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးသန့်နိုင် |DSA(၃၂) |- |၇ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့် စာရင်းစစ်ချုပ် (ကြည်း/ရေ/လေ)|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ)]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နိုင်နိုင်ဦး]] |DSA(၃၅) |- |၈ |[[စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်|တပ်မ​တော်စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်ကိုထိုက် |DSA(၃၈) |- |၉ |[[လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးမင်း |DSA(၃၉) |- |၁၀ |[[ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေး အရာရှိချုပ်ရုံး|ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[မိုးမြင့်ဆွေ]] |အလုပ်သင်ဗိုလ်၊အပတ်စဉ်(၂၃) |- |၁၁ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ကြည်း) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[သန်းထိုက်]] |DSA(၃၈) |- |၁၂ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ရေ) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သိန်းထူး |DSA(34) |- |၁၃ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(လေ) |ဗိုလ်ချုပ် |DSA(-) |} == အစိုးရအဖွဲ့ဝင်များ == ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ တပ်မတော်သား ကိုယ်စားလှယ်အနေဖြင့် ပြည်ထောင်စုအစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးဌာနများ၏ ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး – ဒုတိယဝန်ကြီးများအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော တပ်မတော်အရာရှိကြီးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ထွန်းအောင်]] |DSA(၂၉) ယခင် [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |- |၂ |[[ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကိုကိုဦး (ဗိုလ်ချုပ်)|ကိုကိုဦး]] |ယခင် [[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)|ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ]] |- |၃ |[[နယ်စပ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဖုန်းမြတ်]] |OTS(၇၃) ယခင် ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |- |၄ |အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီဥက္ကဋ္ဌ |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ရာပြည့်]] |DSA(၂၂) ယခင် နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်​ထောင်စုဝန်ကြီး |- |၅ |အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီအတွင်းရေးမှူး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မင်းနိုင် |OTS(၆၆) ယခင် တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ) |- |၆ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန [[မြန်မာနိုင်ငံရဲတပ်ဖွဲ့]] ရဲချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးလှိုင် |ယခင် [[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |- |၇ |ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် အောင်မျိုးသန့် |DSA(၃၀) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |- |၈ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |- |၉ |နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်စွာဦး |တေဇ(၂၂) ယခင် အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး |} == တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ​ကြည်သိုက် |DSA(၃၉) |- |၂ |[[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ်‌ အောင်ဇော်ထွေး |တေဇ(၂၄) |- |၃ |[[အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် အေးမင်းဦး |OTS(၉၄) |- |၄ |[[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်နိုင်ဦး |DSA(၄၁) |- |၅ |[[အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်ထွန်းအောင် |ခေတ္တတိုင်းမှူး |- |၆ |[[တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် စိုးမြတ်ထွဋ် |DSA(၄၀) |- |၇ |[[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် သူရ ဇော်လွင်စိုး |DSA(၄၂) |- |၈ |[[ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဟန် |DSA(၄၁) |- |၉ |[[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် တင်မင်းလတ် |DSA(၄၁) |- |၁၀ |[[အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ခိုင် |– |- |၁၁ |[[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ‌ကျော်ဇော |DSA(၄၃) |- |၁၂ |[[အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်သူရ |DSA(၃၉) |- |၁၃ |[[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ‌အောင်ဌေး |OTS(၈၁) |- |၁၄ |[[တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်ချုပ် စိုးကျော်ထက် |DSA(၄၁) |} == အခြားတပ်မတော်အရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၁) |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်ဝင်း |DSA(၃၆) |- |၂ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် ထွန်းမြတ်ရွှေ |OTC(၂၁) |- |၃ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၁) |ဗိုလ်ချုပ် ဇော်လွင်ဦး |OTS(၇၅) |- |၄ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် အောင်စိုးမိုး |DSA(၃၇) |- |၅ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (စစ်မဟာဗျူဟာ) |ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးညွန့် |DSA(၃၆) |- |၆ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (လေ့ကျင့်ရေး) |ဗိုလ်ချုပ်ဝင်းဗိုလ် |OTS(၉၄) |- |၇ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (ပူးပေါင်း) |ဗိုလ်ချုပ် စန်းယုနိုင် |DSA(၃၄) |- |၈ |ဒုတိယစစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) |- |၉ |ဒုတိယလေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် နေမျိုးဦး |DSA(၃၄) |- |၁၀ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မျိုးအောင် |OTS(၇၃) |- |၁၁ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် | |} == စစ်လက်ရုံး/ဝန်ထမ်းတပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမြောက်တပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ် ထင်ကျော်စိုး |DSA(၃၃) |- |၂ |စစ်အင်ဂျင်နီယာညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းမင်း |DSA(-) |- |၃ |ဆက်သွယ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ်ရဲမြင့်နိုင် |OTS(၇၉) |- |၄ |သံချပ်ကာယန္တယားညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ထူးမြတ်တိုး |DSA(၃၄) |- |၅ |ဒုံးတပ်ဖွဲ့ညွှန်ကြား​ရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် နိုင်ဝင်းဆွေ |OTS(၉၄) |- |၆ | [[ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့် စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး|ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့်စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်အောင်<ref>{{cite web|url=https://www.moi.gov.mm/news/81173|title=(၈၁) နှစ်မြောက်တပ်မတော်နေ့ ဂုဏ်ပြုဇာတ်လမ်းတွင် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည့် အနုပညာရှင်များနှင့် ဂုဏ်ပြုစစ်ချီသီချင်း၊ စစ်သည်တေးသီချင်း၊ ကဗျာနှင့် ဝတ္ထုစာမူဆုရရှိသူ စာပေပညာရှင်များအား ဂုဏ်ပြုဆုနှင့် ဂုဏ်ပြုမှတ်တမ်းလွှာများပေးအပ်ချီးမြှင့်|work=MOI Myanmar|access-date=၂၇ မတ် ၂၀၂၆|date=၂၆ မတ် ၂၀၂၆}}</ref> |DSA(-) |- |၇ |ပြည်သူ့စစ်နှင့်နယ်ခြားစောင့်တပ်များညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ် မင်းမင်းစိုး | |- |၈ |စခန်းမှူး (ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်ရုံး(ကြည်း)၊ စခန်းရုံး) |ဗိုလ်ချုပ် သိန်းဇော် | |- |၉ |[[တပ်ထိန်းချုပ်ရုံး|တပ်ထိန်းချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် သက်ထွန်းဦး |DSA(၃၃) |- |၁၀ |[[လျှပ်စစ်နှင့်စက်မှု အင်ဂျင်နီယာ ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|လျှပ်စစ်နှင့် စက်မှုအင်ဂျင်နီယာ]] ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ် နေမျိုးဦး |DSA(၃၄) |- |၁၁ |[[ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဇော်မျိုးဟန် | |- |၁၂ | [[တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် | |- |၁၃ |ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ် (ငွေစာရင်းရုံး၊ ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန) |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ် သက်ထွန်းအောင် |DSA(၂၈) |- |၁၄ | [[တပ်အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|တပ်မတော်အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဦး |OTC(၂၁) |- |၁၅ |တပ်မတော်စစ်သမိုင်းပြတိုက်နှင့်မော်ကွန်းတိုက်ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ဇော်ဝင်း | |- |၁၆ |[[လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သော ပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး|လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သောပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ဝင်းဇော် | |- |၁၇ |[[ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူး ဟန်ဇော်ဦး |DSA(၃၆) |- |၁၈ |ပစ္စည်းဝယ်ယူရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ခင်မောင်သန်း |OTS(၇၁) |- |၁၉ | [[ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေးတပ်ဖွဲ့|ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ် တင်စိုး | |- |၂၀ |အထူးဆောက်လုပ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ခင်မောင်အေး | |- |၂၁ |[[စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ဝင်းမြတ် <ref>{{cite web|url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cljj4lz1nrdo|title=နေပြည်တော်တိုင်းမှူးအပါအဝင် ဗိုလ်ချုပ် ၅ ဦး ဖယ်ရှားခံရ|work=BBC Burmese|access-date=၃၀ မေ ၂၀၂၄|date=၂၈ မေ ၂၀၂၄ }}</ref> |DSA(၃၁) |} == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:တပ်မတော်၏ စစ်ဘက်ရာထူးတာဝန်ခန့်အပ်မှုများ|*]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ စစ်ဖက်ဆိုင်ရာ လူပုဂ္ဂိုလ်များ]] {{တပ်မတော်}} fovu9vxqga32ar8l6jexj0kb2chy8ws 1054154 1054153 2026-09-19T15:24:24Z ~2026-48306-52 147797 /* အရာရှိချုပ်များ */ 1054154 wikitext text/x-wiki '''[[တပ်မတော်|မြန်မာ့တပ်မတော်]]'''တွင် လက်ရှိတာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော အရာရှိကြီးများ စာရင်းဆောင်းပါးဖြစ်သည်။ ==ထိပ်တန်းအရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ရဲဝင်းဦး]] |OTS(၇၇) |- |၂ |[[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]]၊ [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ကြည်း)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ကျော်စွာလင်း]] |DSA(၃၅) |- |၃ |[[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)]] |– |– |- |၄ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ထိန်ဝင်း]] <ref>{{cite web|url=https://www.bbc.com/burmese/live/cw9yrgg7y17t|title=ဗိုလ်ချုပ်ထိန်ဝင်း ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ) ဖြစ်လာ|work=BBC Burmese|access-date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄|date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ }}</ref> |DSA(၂၉) |- |၅ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ထွန်းဝင်း]] |DSA(၃၄) |} == စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမှတ် (၁) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၁)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နီလင်းအောင်]] |DSA(၃၇) |- |၂ |[[အမှတ် (၂) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၂)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မင်းလတ် |DSA(၃၇) |- |၃ |[[အမှတ် (၃) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၃)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[သန်းထိုက်]] |DSA(၃၈) |- |၄ |[[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်လင်းမောင် |DSA(၃၇) |} == အရာရှိချုပ်များ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[စစ်ရေးချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်ဟိန်း]] |DSA(၃၈) |- |၂ |[[စစ်ထောက်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်မျိုးတင်]] |DSA(၃၂) |- |၃ |တပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း |DSA(၄၀) |- |၄ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေး အရာရှိချုပ်|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးမင်းထွန်း |OTC(၂၃) |- |၅ |[[စစ်ရာထူးခန့်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း |DSA(၃၈) |- |၆ |[[စစ်ဥပဒေချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးသန့်နိုင် |DSA(၃၂) |- |၇ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့် စာရင်းစစ်ချုပ် (ကြည်း/ရေ/လေ)|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ)]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ညွန့်ဝင်းဆွေ]] |DSA(၃၆) |- |၈ |[[စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်|တပ်မ​တော်စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်ကိုထိုက် |DSA(၃၈) |- |၉ |[[လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးမင်း |DSA(၃၉) |- |၁၀ |[[ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေး အရာရှိချုပ်ရုံး|ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[မိုးမြင့်ဆွေ]] |အလုပ်သင်ဗိုလ်၊အပတ်စဉ်(၂၃) |- |၁၁ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ကြည်း) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[သန်းထိုက်]] |DSA(၃၈) |- |၁၂ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ရေ) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သိန်းထူး |DSA(၃၄) |- |၁၃ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(လေ) |– |– |- |၁၄ |အရန်အင်အား |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နိုင်နိုင်ဦး]] |DSA(၃၅) |} == အစိုးရအဖွဲ့ဝင်များ == ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ တပ်မတော်သား ကိုယ်စားလှယ်အနေဖြင့် ပြည်ထောင်စုအစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးဌာနများ၏ ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး – ဒုတိယဝန်ကြီးများအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော တပ်မတော်အရာရှိကြီးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ထွန်းအောင်]] |DSA(၂၉) ယခင် [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |- |၂ |[[ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကိုကိုဦး (ဗိုလ်ချုပ်)|ကိုကိုဦး]] |ယခင် [[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)|ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ]] |- |၃ |[[နယ်စပ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဖုန်းမြတ်]] |OTS(၇၃) ယခင် ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |- |၄ |အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီဥက္ကဋ္ဌ |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ရာပြည့်]] |DSA(၂၂) ယခင် နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်​ထောင်စုဝန်ကြီး |- |၅ |အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီအတွင်းရေးမှူး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မင်းနိုင် |OTS(၆၆) ယခင် တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ) |- |၆ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန [[မြန်မာနိုင်ငံရဲတပ်ဖွဲ့]] ရဲချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးလှိုင် |ယခင် [[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |- |၇ |ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် အောင်မျိုးသန့် |DSA(၃၀) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |- |၈ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |- |၉ |နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်စွာဦး |တေဇ(၂၂) ယခင် အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး |} == တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ​ကြည်သိုက် |DSA(၃၉) |- |၂ |[[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ်‌ အောင်ဇော်ထွေး |တေဇ(၂၄) |- |၃ |[[အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် အေးမင်းဦး |OTS(၉၄) |- |၄ |[[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်နိုင်ဦး |DSA(၄၁) |- |၅ |[[အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်ထွန်းအောင် |ခေတ္တတိုင်းမှူး |- |၆ |[[တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် စိုးမြတ်ထွဋ် |DSA(၄၀) |- |၇ |[[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် သူရ ဇော်လွင်စိုး |DSA(၄၂) |- |၈ |[[ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဟန် |DSA(၄၁) |- |၉ |[[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် တင်မင်းလတ် |DSA(၄၁) |- |၁၀ |[[အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ခိုင် |– |- |၁၁ |[[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ‌ကျော်ဇော |DSA(၄၃) |- |၁၂ |[[အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်သူရ |DSA(၃၉) |- |၁၃ |[[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ‌အောင်ဌေး |OTS(၈၁) |- |၁၄ |[[တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်ချုပ် စိုးကျော်ထက် |DSA(၄၁) |} == အခြားတပ်မတော်အရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၁) |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်ဝင်း |DSA(၃၆) |- |၂ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် ထွန်းမြတ်ရွှေ |OTC(၂၁) |- |၃ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၁) |ဗိုလ်ချုပ် ဇော်လွင်ဦး |OTS(၇၅) |- |၄ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် အောင်စိုးမိုး |DSA(၃၇) |- |၅ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (စစ်မဟာဗျူဟာ) |ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးညွန့် |DSA(၃၆) |- |၆ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (လေ့ကျင့်ရေး) |ဗိုလ်ချုပ်ဝင်းဗိုလ် |OTS(၉၄) |- |၇ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (ပူးပေါင်း) |ဗိုလ်ချုပ် စန်းယုနိုင် |DSA(၃၄) |- |၈ |ဒုတိယစစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) |- |၉ |ဒုတိယလေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် နေမျိုးဦး |DSA(၃၄) |- |၁၀ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မျိုးအောင် |OTS(၇၃) |- |၁၁ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် | |} == စစ်လက်ရုံး/ဝန်ထမ်းတပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမြောက်တပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ် ထင်ကျော်စိုး |DSA(၃၃) |- |၂ |စစ်အင်ဂျင်နီယာညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းမင်း |DSA(-) |- |၃ |ဆက်သွယ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ်ရဲမြင့်နိုင် |OTS(၇၉) |- |၄ |သံချပ်ကာယန္တယားညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ထူးမြတ်တိုး |DSA(၃၄) |- |၅ |ဒုံးတပ်ဖွဲ့ညွှန်ကြား​ရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် နိုင်ဝင်းဆွေ |OTS(၉၄) |- |၆ | [[ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့် စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး|ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့်စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်အောင်<ref>{{cite web|url=https://www.moi.gov.mm/news/81173|title=(၈၁) နှစ်မြောက်တပ်မတော်နေ့ ဂုဏ်ပြုဇာတ်လမ်းတွင် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည့် အနုပညာရှင်များနှင့် ဂုဏ်ပြုစစ်ချီသီချင်း၊ စစ်သည်တေးသီချင်း၊ ကဗျာနှင့် ဝတ္ထုစာမူဆုရရှိသူ စာပေပညာရှင်များအား ဂုဏ်ပြုဆုနှင့် ဂုဏ်ပြုမှတ်တမ်းလွှာများပေးအပ်ချီးမြှင့်|work=MOI Myanmar|access-date=၂၇ မတ် ၂၀၂၆|date=၂၆ မတ် ၂၀၂၆}}</ref> |DSA(-) |- |၇ |ပြည်သူ့စစ်နှင့်နယ်ခြားစောင့်တပ်များညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ် မင်းမင်းစိုး | |- |၈ |စခန်းမှူး (ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်ရုံး(ကြည်း)၊ စခန်းရုံး) |ဗိုလ်ချုပ် သိန်းဇော် | |- |၉ |[[တပ်ထိန်းချုပ်ရုံး|တပ်ထိန်းချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် သက်ထွန်းဦး |DSA(၃၃) |- |၁၀ |[[လျှပ်စစ်နှင့်စက်မှု အင်ဂျင်နီယာ ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|လျှပ်စစ်နှင့် စက်မှုအင်ဂျင်နီယာ]] ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ် နေမျိုးဦး |DSA(၃၄) |- |၁၁ |[[ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဇော်မျိုးဟန် | |- |၁၂ | [[တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် | |- |၁၃ |ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ် (ငွေစာရင်းရုံး၊ ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန) |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ် သက်ထွန်းအောင် |DSA(၂၈) |- |၁၄ | [[တပ်အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|တပ်မတော်အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဦး |OTC(၂၁) |- |၁၅ |တပ်မတော်စစ်သမိုင်းပြတိုက်နှင့်မော်ကွန်းတိုက်ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ဇော်ဝင်း | |- |၁၆ |[[လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သော ပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး|လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သောပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ဝင်းဇော် | |- |၁၇ |[[ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူး ဟန်ဇော်ဦး |DSA(၃၆) |- |၁၈ |ပစ္စည်းဝယ်ယူရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ခင်မောင်သန်း |OTS(၇၁) |- |၁၉ | [[ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေးတပ်ဖွဲ့|ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ် တင်စိုး | |- |၂၀ |အထူးဆောက်လုပ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ခင်မောင်အေး | |- |၂၁ |[[စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ဝင်းမြတ် <ref>{{cite web|url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cljj4lz1nrdo|title=နေပြည်တော်တိုင်းမှူးအပါအဝင် ဗိုလ်ချုပ် ၅ ဦး ဖယ်ရှားခံရ|work=BBC Burmese|access-date=၃၀ မေ ၂၀၂၄|date=၂၈ မေ ၂၀၂၄ }}</ref> |DSA(၃၁) |} == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:တပ်မတော်၏ စစ်ဘက်ရာထူးတာဝန်ခန့်အပ်မှုများ|*]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ စစ်ဖက်ဆိုင်ရာ လူပုဂ္ဂိုလ်များ]] {{တပ်မတော်}} lqisohg91h316lcme40qc93drrfpmxe 1054158 1054154 2026-09-19T15:32:38Z ~2026-48306-52 147797 /* အစိုးရအဖွဲ့ဝင်များ */ 1054158 wikitext text/x-wiki '''[[တပ်မတော်|မြန်မာ့တပ်မတော်]]'''တွင် လက်ရှိတာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော အရာရှိကြီးများ စာရင်းဆောင်းပါးဖြစ်သည်။ ==ထိပ်တန်းအရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ရဲဝင်းဦး]] |OTS(၇၇) |- |၂ |[[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]]၊ [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ကြည်း)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ကျော်စွာလင်း]] |DSA(၃၅) |- |၃ |[[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)]] |– |– |- |၄ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ထိန်ဝင်း]] <ref>{{cite web|url=https://www.bbc.com/burmese/live/cw9yrgg7y17t|title=ဗိုလ်ချုပ်ထိန်ဝင်း ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ) ဖြစ်လာ|work=BBC Burmese|access-date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄|date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ }}</ref> |DSA(၂၉) |- |၅ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ထွန်းဝင်း]] |DSA(၃၄) |} == စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမှတ် (၁) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၁)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နီလင်းအောင်]] |DSA(၃၇) |- |၂ |[[အမှတ် (၂) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၂)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မင်းလတ် |DSA(၃၇) |- |၃ |[[အမှတ် (၃) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၃)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[သန်းထိုက်]] |DSA(၃၈) |- |၄ |[[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်လင်းမောင် |DSA(၃၇) |} == အရာရှိချုပ်များ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[စစ်ရေးချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်ဟိန်း]] |DSA(၃၈) |- |၂ |[[စစ်ထောက်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်မျိုးတင်]] |DSA(၃၂) |- |၃ |တပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း |DSA(၄၀) |- |၄ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေး အရာရှိချုပ်|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးမင်းထွန်း |OTC(၂၃) |- |၅ |[[စစ်ရာထူးခန့်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း |DSA(၃၈) |- |၆ |[[စစ်ဥပဒေချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးသန့်နိုင် |DSA(၃၂) |- |၇ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့် စာရင်းစစ်ချုပ် (ကြည်း/ရေ/လေ)|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ)]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ညွန့်ဝင်းဆွေ]] |DSA(၃၆) |- |၈ |[[စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်|တပ်မ​တော်စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်ကိုထိုက် |DSA(၃၈) |- |၉ |[[လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးမင်း |DSA(၃၉) |- |၁၀ |[[ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေး အရာရှိချုပ်ရုံး|ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[မိုးမြင့်ဆွေ]] |အလုပ်သင်ဗိုလ်၊အပတ်စဉ်(၂၃) |- |၁၁ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ကြည်း) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[သန်းထိုက်]] |DSA(၃၈) |- |၁၂ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ရေ) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သိန်းထူး |DSA(၃၄) |- |၁၃ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(လေ) |– |– |- |၁၄ |အရန်အင်အား |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နိုင်နိုင်ဦး]] |DSA(၃၅) |} == အစိုးရအဖွဲ့ဝင်များ == ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ တပ်မတော်သား ကိုယ်စားလှယ်အနေဖြင့် ပြည်ထောင်စုအစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးဌာနများ၏ ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးနှင့် ဒုတိယဝန်ကြီးများ၊ တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့များ၏ ဝန်ကြီးချုပ်နှင့် အခြားအစိုးရဆိုင်ရာ တာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော တပ်မတော်အရာရှိကြီးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ထွန်းအောင်]] |DSA(၂၉) ယခင် [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |- |၂ |[[ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကိုကိုဦး (ဗိုလ်ချုပ်)|ကိုကိုဦး]] |DSA(၃၈) ယခင် [[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)|ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ]] |- |၃ |[[နယ်စပ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဖုန်းမြတ်]] |OTS(၇၃) ယခင် ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |- |၄ |[[မွန်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့]] ဝန်ကြီးချုပ် |ဗိုလ်မှူးချုပ် [[အောင်ဝင်းသန်း]] |DSA(၃၀) ယခင် [[ဓညဝတီ ရေတပ်စခန်းဌာနချုပ်|ဓညဝတီရေတပ်စခန်းဌာနချုပ်မှူး]] |- |၅ |အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီဥက္ကဋ္ဌ |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ရာပြည့်]] |DSA(၂၂) ယခင် နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်​ထောင်စုဝန်ကြီး |- |၆ |အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီအတွင်းရေးမှူး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မင်းနိုင် |OTS(၆၆) ယခင် တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ) |- |၇ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန [[မြန်မာနိုင်ငံရဲတပ်ဖွဲ့]] ရဲချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးလှိုင် |ယခင် [[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |- |၈ |ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် အောင်မျိုးသန့် |DSA(၃၀) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |- |၉ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |- |၁၀ |နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်စွာဦး |တေဇ(၂၂) ယခင် အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး |} == တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ​ကြည်သိုက် |DSA(၃၉) |- |၂ |[[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ်‌ အောင်ဇော်ထွေး |တေဇ(၂၄) |- |၃ |[[အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် အေးမင်းဦး |OTS(၉၄) |- |၄ |[[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်နိုင်ဦး |DSA(၄၁) |- |၅ |[[အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်ထွန်းအောင် |ခေတ္တတိုင်းမှူး |- |၆ |[[တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် စိုးမြတ်ထွဋ် |DSA(၄၀) |- |၇ |[[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် သူရ ဇော်လွင်စိုး |DSA(၄၂) |- |၈ |[[ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဟန် |DSA(၄၁) |- |၉ |[[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် တင်မင်းလတ် |DSA(၄၁) |- |၁၀ |[[အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ခိုင် |– |- |၁၁ |[[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ‌ကျော်ဇော |DSA(၄၃) |- |၁၂ |[[အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်သူရ |DSA(၃၉) |- |၁၃ |[[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ‌အောင်ဌေး |OTS(၈၁) |- |၁၄ |[[တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်ချုပ် စိုးကျော်ထက် |DSA(၄၁) |} == အခြားတပ်မတော်အရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၁) |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်ဝင်း |DSA(၃၆) |- |၂ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် ထွန်းမြတ်ရွှေ |OTC(၂၁) |- |၃ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၁) |ဗိုလ်ချုပ် ဇော်လွင်ဦး |OTS(၇၅) |- |၄ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် အောင်စိုးမိုး |DSA(၃၇) |- |၅ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (စစ်မဟာဗျူဟာ) |ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးညွန့် |DSA(၃၆) |- |၆ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (လေ့ကျင့်ရေး) |ဗိုလ်ချုပ်ဝင်းဗိုလ် |OTS(၉၄) |- |၇ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (ပူးပေါင်း) |ဗိုလ်ချုပ် စန်းယုနိုင် |DSA(၃၄) |- |၈ |ဒုတိယစစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) |- |၉ |ဒုတိယလေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် နေမျိုးဦး |DSA(၃၄) |- |၁၀ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မျိုးအောင် |OTS(၇၃) |- |၁၁ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် | |} == စစ်လက်ရုံး/ဝန်ထမ်းတပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမြောက်တပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ် ထင်ကျော်စိုး |DSA(၃၃) |- |၂ |စစ်အင်ဂျင်နီယာညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းမင်း |DSA(-) |- |၃ |ဆက်သွယ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ်ရဲမြင့်နိုင် |OTS(၇၉) |- |၄ |သံချပ်ကာယန္တယားညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ထူးမြတ်တိုး |DSA(၃၄) |- |၅ |ဒုံးတပ်ဖွဲ့ညွှန်ကြား​ရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် နိုင်ဝင်းဆွေ |OTS(၉၄) |- |၆ | [[ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့် စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး|ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့်စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်အောင်<ref>{{cite web|url=https://www.moi.gov.mm/news/81173|title=(၈၁) နှစ်မြောက်တပ်မတော်နေ့ ဂုဏ်ပြုဇာတ်လမ်းတွင် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည့် အနုပညာရှင်များနှင့် ဂုဏ်ပြုစစ်ချီသီချင်း၊ စစ်သည်တေးသီချင်း၊ ကဗျာနှင့် ဝတ္ထုစာမူဆုရရှိသူ စာပေပညာရှင်များအား ဂုဏ်ပြုဆုနှင့် ဂုဏ်ပြုမှတ်တမ်းလွှာများပေးအပ်ချီးမြှင့်|work=MOI Myanmar|access-date=၂၇ မတ် ၂၀၂၆|date=၂၆ မတ် ၂၀၂၆}}</ref> |DSA(-) |- |၇ |ပြည်သူ့စစ်နှင့်နယ်ခြားစောင့်တပ်များညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ် မင်းမင်းစိုး | |- |၈ |စခန်းမှူး (ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်ရုံး(ကြည်း)၊ စခန်းရုံး) |ဗိုလ်ချုပ် သိန်းဇော် | |- |၉ |[[တပ်ထိန်းချုပ်ရုံး|တပ်ထိန်းချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် သက်ထွန်းဦး |DSA(၃၃) |- |၁၀ |[[လျှပ်စစ်နှင့်စက်မှု အင်ဂျင်နီယာ ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|လျှပ်စစ်နှင့် စက်မှုအင်ဂျင်နီယာ]] ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ် နေမျိုးဦး |DSA(၃၄) |- |၁၁ |[[ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဇော်မျိုးဟန် | |- |၁၂ | [[တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် | |- |၁၃ |ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ် (ငွေစာရင်းရုံး၊ ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန) |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ် သက်ထွန်းအောင် |DSA(၂၈) |- |၁၄ | [[တပ်အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|တပ်မတော်အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဦး |OTC(၂၁) |- |၁၅ |တပ်မတော်စစ်သမိုင်းပြတိုက်နှင့်မော်ကွန်းတိုက်ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ဇော်ဝင်း | |- |၁၆ |[[လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သော ပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး|လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သောပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ဝင်းဇော် | |- |၁၇ |[[ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူး ဟန်ဇော်ဦး |DSA(၃၆) |- |၁၈ |ပစ္စည်းဝယ်ယူရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ခင်မောင်သန်း |OTS(၇၁) |- |၁၉ | [[ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေးတပ်ဖွဲ့|ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ်/ဗိုလ်ချုပ် တင်စိုး | |- |၂၀ |အထူးဆောက်လုပ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ခင်မောင်အေး | |- |၂၁ |[[စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ဝင်းမြတ် <ref>{{cite web|url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cljj4lz1nrdo|title=နေပြည်တော်တိုင်းမှူးအပါအဝင် ဗိုလ်ချုပ် ၅ ဦး ဖယ်ရှားခံရ|work=BBC Burmese|access-date=၃၀ မေ ၂၀၂၄|date=၂၈ မေ ၂၀၂၄ }}</ref> |DSA(၃၁) |} == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:တပ်မတော်၏ စစ်ဘက်ရာထူးတာဝန်ခန့်အပ်မှုများ|*]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ စစ်ဖက်ဆိုင်ရာ လူပုဂ္ဂိုလ်များ]] {{တပ်မတော်}} h94uk8vss3qhi8ghjg85wstvniagm4v 1054160 1054158 2026-09-19T15:38:29Z ~2026-48306-52 147797 /* စစ်လက်ရုံး/ဝန်ထမ်းတပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူးများ */ 1054160 wikitext text/x-wiki '''[[တပ်မတော်|မြန်မာ့တပ်မတော်]]'''တွင် လက်ရှိတာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော အရာရှိကြီးများ စာရင်းဆောင်းပါးဖြစ်သည်။ ==ထိပ်တန်းအရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ရဲဝင်းဦး]] |OTS(၇၇) |- |၂ |[[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]]၊ [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ကြည်း)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ကျော်စွာလင်း]] |DSA(၃၅) |- |၃ |[[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)]] |– |– |- |၄ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ထိန်ဝင်း]] <ref>{{cite web|url=https://www.bbc.com/burmese/live/cw9yrgg7y17t|title=ဗိုလ်ချုပ်ထိန်ဝင်း ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ) ဖြစ်လာ|work=BBC Burmese|access-date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄|date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ }}</ref> |DSA(၂၉) |- |၅ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ထွန်းဝင်း]] |DSA(၃၄) |} == စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမှတ် (၁) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၁)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နီလင်းအောင်]] |DSA(၃၇) |- |၂ |[[အမှတ် (၂) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၂)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မင်းလတ် |DSA(၃၇) |- |၃ |[[အမှတ် (၃) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၃)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[သန်းထိုက်]] |DSA(၃၈) |- |၄ |[[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်လင်းမောင် |DSA(၃၇) |} == အရာရှိချုပ်များ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[စစ်ရေးချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်ဟိန်း]] |DSA(၃၈) |- |၂ |[[စစ်ထောက်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်မျိုးတင်]] |DSA(၃၂) |- |၃ |တပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း |DSA(၄၀) |- |၄ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေး အရာရှိချုပ်|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးမင်းထွန်း |OTC(၂၃) |- |၅ |[[စစ်ရာထူးခန့်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း |DSA(၃၈) |- |၆ |[[စစ်ဥပဒေချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးသန့်နိုင် |DSA(၃၂) |- |၇ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့် စာရင်းစစ်ချုပ် (ကြည်း/ရေ/လေ)|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ)]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ညွန့်ဝင်းဆွေ]] |DSA(၃၆) |- |၈ |[[စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်|တပ်မ​တော်စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်ကိုထိုက် |DSA(၃၈) |- |၉ |[[လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးမင်း |DSA(၃၉) |- |၁၀ |[[ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေး အရာရှိချုပ်ရုံး|ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[မိုးမြင့်ဆွေ]] |အလုပ်သင်ဗိုလ်၊အပတ်စဉ်(၂၃) |- |၁၁ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ကြည်း) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[သန်းထိုက်]] |DSA(၃၈) |- |၁၂ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ရေ) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သိန်းထူး |DSA(၃၄) |- |၁၃ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(လေ) |– |– |- |၁၄ |အရန်အင်အား |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နိုင်နိုင်ဦး]] |DSA(၃၅) |} == အစိုးရအဖွဲ့ဝင်များ == ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ တပ်မတော်သား ကိုယ်စားလှယ်အနေဖြင့် ပြည်ထောင်စုအစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးဌာနများ၏ ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးနှင့် ဒုတိယဝန်ကြီးများ၊ တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့များ၏ ဝန်ကြီးချုပ်နှင့် အခြားအစိုးရဆိုင်ရာ တာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော တပ်မတော်အရာရှိကြီးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ထွန်းအောင်]] |DSA(၂၉) ယခင် [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |- |၂ |[[ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကိုကိုဦး (ဗိုလ်ချုပ်)|ကိုကိုဦး]] |DSA(၃၈) ယခင် [[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)|ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ]] |- |၃ |[[နယ်စပ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဖုန်းမြတ်]] |OTS(၇၃) ယခင် ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |- |၄ |[[မွန်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့]] ဝန်ကြီးချုပ် |ဗိုလ်မှူးချုပ် [[အောင်ဝင်းသန်း]] |DSA(၃၀) ယခင် [[ဓညဝတီ ရေတပ်စခန်းဌာနချုပ်|ဓညဝတီရေတပ်စခန်းဌာနချုပ်မှူး]] |- |၅ |အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီဥက္ကဋ္ဌ |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ရာပြည့်]] |DSA(၂၂) ယခင် နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်​ထောင်စုဝန်ကြီး |- |၆ |အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီအတွင်းရေးမှူး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မင်းနိုင် |OTS(၆၆) ယခင် တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ) |- |၇ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန [[မြန်မာနိုင်ငံရဲတပ်ဖွဲ့]] ရဲချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးလှိုင် |ယခင် [[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |- |၈ |ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် အောင်မျိုးသန့် |DSA(၃၀) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |- |၉ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |- |၁၀ |နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်စွာဦး |တေဇ(၂၂) ယခင် အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး |} == တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ​ကြည်သိုက် |DSA(၃၉) |- |၂ |[[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ်‌ အောင်ဇော်ထွေး |တေဇ(၂၄) |- |၃ |[[အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် အေးမင်းဦး |OTS(၉၄) |- |၄ |[[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်နိုင်ဦး |DSA(၄၁) |- |၅ |[[အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်ထွန်းအောင် |ခေတ္တတိုင်းမှူး |- |၆ |[[တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် စိုးမြတ်ထွဋ် |DSA(၄၀) |- |၇ |[[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် သူရ ဇော်လွင်စိုး |DSA(၄၂) |- |၈ |[[ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဟန် |DSA(၄၁) |- |၉ |[[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် တင်မင်းလတ် |DSA(၄၁) |- |၁၀ |[[အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ခိုင် |– |- |၁၁ |[[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ‌ကျော်ဇော |DSA(၄၃) |- |၁၂ |[[အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်သူရ |DSA(၃၉) |- |၁၃ |[[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ‌အောင်ဌေး |OTS(၈၁) |- |၁၄ |[[တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်ချုပ် စိုးကျော်ထက် |DSA(၄၁) |} == အခြားတပ်မတော်အရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၁) |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်ဝင်း |DSA(၃၆) |- |၂ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် ထွန်းမြတ်ရွှေ |OTC(၂၁) |- |၃ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၁) |ဗိုလ်ချုပ် ဇော်လွင်ဦး |OTS(၇၅) |- |၄ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် အောင်စိုးမိုး |DSA(၃၇) |- |၅ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (စစ်မဟာဗျူဟာ) |ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးညွန့် |DSA(၃၆) |- |၆ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (လေ့ကျင့်ရေး) |ဗိုလ်ချုပ်ဝင်းဗိုလ် |OTS(၉၄) |- |၇ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (ပူးပေါင်း) |ဗိုလ်ချုပ် စန်းယုနိုင် |DSA(၃၄) |- |၈ |ဒုတိယစစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) |- |၉ |ဒုတိယလေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် နေမျိုးဦး |DSA(၃၄) |- |၁၀ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မျိုးအောင် |OTS(၇၃) |- |၁၁ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် | |} == စစ်လက်ရုံး/ဝန်ထမ်းတပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမြောက်တပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ထင်ကျော်စိုး |DSA(၃၃) |- |၂ |စစ်အင်ဂျင်နီယာညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းမင်း |– |- |၃ |ဆက်သွယ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ဆွေသူရ |OTS(၇၉) |- |၄ |သံချပ်ကာယန္တယားညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ထူးမြတ်တိုး |DSA(၃၄) |- |၅ |ဒုံးတပ်ဖွဲ့ညွှန်ကြား​ရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် နိုင်ဝင်းဆွေ |OTS(၉၄) |- |၆ | [[ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့် စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး|ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့်စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်အောင်<ref>{{cite web|url=https://www.moi.gov.mm/news/81173|title=(၈၁) နှစ်မြောက်တပ်မတော်နေ့ ဂုဏ်ပြုဇာတ်လမ်းတွင် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည့် အနုပညာရှင်များနှင့် ဂုဏ်ပြုစစ်ချီသီချင်း၊ စစ်သည်တေးသီချင်း၊ ကဗျာနှင့် ဝတ္ထုစာမူဆုရရှိသူ စာပေပညာရှင်များအား ဂုဏ်ပြုဆုနှင့် ဂုဏ်ပြုမှတ်တမ်းလွှာများပေးအပ်ချီးမြှင့်|work=MOI Myanmar|access-date=၂၇ မတ် ၂၀၂၆|date=၂၆ မတ် ၂၀၂၆}}</ref> |DSA(-) |- |၇ |ပြည်သူ့စစ်နှင့်နယ်ခြားစောင့်တပ်များညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် မျိုးမင်း |– |- |၈ |[[လျှပ်စစ်နှင့်စက်မှု အင်ဂျင်နီယာ ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|လျှပ်စစ်နှင့် စက်မှုအင်ဂျင်နီယာ]] ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် နေမျိုးဦး |DSA(၃၄) |- |၉ |[[ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဇော်မျိုးဟန် |– |- |၁၀ | [[တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |– |– |- |၁၁ | [[တပ်အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဦး |OTC(၂၁) |- |၁၂ |တပ်မတော်စစ်သမိုင်းပြတိုက်နှင့်မော်ကွန်းတိုက်ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ဇော်ဝင်း |– |- |၁၃ |[[လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သော ပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး|လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သောပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ဝင်းဇော် |– |- |၁၄ |[[ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူး ဟန်ဇော်ဦး |DSA(၃၆) |- |၁၅ |ပစ္စည်းဝယ်ယူရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ခင်မောင်သန်း |OTS(၇၁) |- |၁၆ | [[ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေးတပ်ဖွဲ့|ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် တင်စိုး |– |- |၁၇ |အထူးဆောက်လုပ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ခင်မောင်အေး |– |- |၁၈ |[[စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းသူ |– |} == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:တပ်မတော်၏ စစ်ဘက်ရာထူးတာဝန်ခန့်အပ်မှုများ|*]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ စစ်ဖက်ဆိုင်ရာ လူပုဂ္ဂိုလ်များ]] {{တပ်မတော်}} fblnajn2eu0x4ob5fu9n6hpevdfsfk3 1054161 1054160 2026-09-19T15:41:24Z ~2026-48306-52 147797 /* အခြားတပ်မတော်အရာရှိကြီးများ */ 1054161 wikitext text/x-wiki '''[[တပ်မတော်|မြန်မာ့တပ်မတော်]]'''တွင် လက်ရှိတာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော အရာရှိကြီးများ စာရင်းဆောင်းပါးဖြစ်သည်။ ==ထိပ်တန်းအရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ရဲဝင်းဦး]] |OTS(၇၇) |- |၂ |[[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]]၊ [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ကြည်း)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ကျော်စွာလင်း]] |DSA(၃၅) |- |၃ |[[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)]] |– |– |- |၄ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ထိန်ဝင်း]] <ref>{{cite web|url=https://www.bbc.com/burmese/live/cw9yrgg7y17t|title=ဗိုလ်ချုပ်ထိန်ဝင်း ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ) ဖြစ်လာ|work=BBC Burmese|access-date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄|date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ }}</ref> |DSA(၂၉) |- |၅ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ထွန်းဝင်း]] |DSA(၃၄) |} == စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမှတ် (၁) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၁)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နီလင်းအောင်]] |DSA(၃၇) |- |၂ |[[အမှတ် (၂) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၂)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မင်းလတ် |DSA(၃၇) |- |၃ |[[အမှတ် (၃) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၃)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[သန်းထိုက်]] |DSA(၃၈) |- |၄ |[[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်လင်းမောင် |DSA(၃၇) |} == အရာရှိချုပ်များ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[စစ်ရေးချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်ဟိန်း]] |DSA(၃၈) |- |၂ |[[စစ်ထောက်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်မျိုးတင်]] |DSA(၃၂) |- |၃ |တပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း |DSA(၄၀) |- |၄ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေး အရာရှိချုပ်|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးမင်းထွန်း |OTC(၂၃) |- |၅ |[[စစ်ရာထူးခန့်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း |DSA(၃၈) |- |၆ |[[စစ်ဥပဒေချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးသန့်နိုင် |DSA(၃၂) |- |၇ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့် စာရင်းစစ်ချုပ် (ကြည်း/ရေ/လေ)|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ)]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ညွန့်ဝင်းဆွေ]] |DSA(၃၆) |- |၈ |[[စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်|တပ်မ​တော်စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်ကိုထိုက် |DSA(၃၈) |- |၉ |[[လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးမင်း |DSA(၃၉) |- |၁၀ |[[ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေး အရာရှိချုပ်ရုံး|ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[မိုးမြင့်ဆွေ]] |အလုပ်သင်ဗိုလ်၊အပတ်စဉ်(၂၃) |- |၁၁ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ကြည်း) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[သန်းထိုက်]] |DSA(၃၈) |- |၁၂ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ရေ) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သိန်းထူး |DSA(၃၄) |- |၁၃ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(လေ) |– |– |- |၁၄ |အရန်အင်အား |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နိုင်နိုင်ဦး]] |DSA(၃၅) |} == အစိုးရအဖွဲ့ဝင်များ == ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ တပ်မတော်သား ကိုယ်စားလှယ်အနေဖြင့် ပြည်ထောင်စုအစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးဌာနများ၏ ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးနှင့် ဒုတိယဝန်ကြီးများ၊ တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့များ၏ ဝန်ကြီးချုပ်နှင့် အခြားအစိုးရဆိုင်ရာ တာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော တပ်မတော်အရာရှိကြီးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ထွန်းအောင်]] |DSA(၂၉) ယခင် [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |- |၂ |[[ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကိုကိုဦး (ဗိုလ်ချုပ်)|ကိုကိုဦး]] |DSA(၃၈) ယခင် [[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)|ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ]] |- |၃ |[[နယ်စပ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဖုန်းမြတ်]] |OTS(၇၃) ယခင် ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |- |၄ |[[မွန်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့]] ဝန်ကြီးချုပ် |ဗိုလ်မှူးချုပ် [[အောင်ဝင်းသန်း]] |DSA(၃၀) ယခင် [[ဓညဝတီ ရေတပ်စခန်းဌာနချုပ်|ဓညဝတီရေတပ်စခန်းဌာနချုပ်မှူး]] |- |၅ |အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီဥက္ကဋ္ဌ |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ရာပြည့်]] |DSA(၂၂) ယခင် နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်​ထောင်စုဝန်ကြီး |- |၆ |အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီအတွင်းရေးမှူး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မင်းနိုင် |OTS(၆၆) ယခင် တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ) |- |၇ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန [[မြန်မာနိုင်ငံရဲတပ်ဖွဲ့]] ရဲချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးလှိုင် |ယခင် [[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |- |၈ |ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် အောင်မျိုးသန့် |DSA(၃၀) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |- |၉ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |- |၁၀ |နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်စွာဦး |တေဇ(၂၂) ယခင် အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး |} == တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ​ကြည်သိုက် |DSA(၃၉) |- |၂ |[[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ်‌ အောင်ဇော်ထွေး |တေဇ(၂၄) |- |၃ |[[အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် အေးမင်းဦး |OTS(၉၄) |- |၄ |[[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်နိုင်ဦး |DSA(၄၁) |- |၅ |[[အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်ထွန်းအောင် |ခေတ္တတိုင်းမှူး |- |၆ |[[တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် စိုးမြတ်ထွဋ် |DSA(၄၀) |- |၇ |[[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် သူရ ဇော်လွင်စိုး |DSA(၄၂) |- |၈ |[[ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဟန် |DSA(၄၁) |- |၉ |[[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် တင်မင်းလတ် |DSA(၄၁) |- |၁၀ |[[အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ခိုင် |– |- |၁၁ |[[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ‌ကျော်ဇော |DSA(၄၃) |- |၁၂ |[[အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်သူရ |DSA(၃၉) |- |၁၃ |[[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ‌အောင်ဌေး |OTS(၈၁) |- |၁၄ |[[တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်ချုပ် စိုးကျော်ထက် |DSA(၄၁) |} == အခြားတပ်မတော်အရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၁) |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်ဝင်း |DSA(၃၆) |- |၂ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် ထွန်းမြတ်ရွှေ |OTC(၂၁) |- |၃ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၁) |ဗိုလ်ချုပ် ဇော်လွင်ဦး |OTS(၇၅) |- |၄ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် အောင်စိုးမိုး |DSA(၃၇) |- |၅ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (စစ်မဟာဗျူဟာ) |ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးညွန့် |DSA(၃၆) |- |၆ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (လေ့ကျင့်ရေး) |ဗိုလ်ချုပ်ဝင်းဗိုလ် |OTS(၉၄) |- |၇ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (ပူးပေါင်း) |ဗိုလ်ချုပ် စန်းယုနိုင် |DSA(၃၄) |- |၈ |ဒုတိယစစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) |- |၉ |ဒုတိယလေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် နေမျိုးဦး |DSA(၃၄) |- |၁၀ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မျိုးအောင် |OTS(၇၃) |- |၁၁ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |– |– |- |၁၂ |စခန်းမှူး (ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်ရုံး(ကြည်း)၊ စခန်းရုံး) |ဗိုလ်ချုပ် သိန်းဇော် |– |- |၁၃ |[[တပ်ထိန်းချုပ်ရုံး|တပ်ထိန်းချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် သက်ထွန်းဦး |DSA(၃၃) |- |၁၄ |ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ် (ငွေစာရင်းရုံး၊ ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန) |– |– |} == စစ်လက်ရုံး/ဝန်ထမ်းတပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမြောက်တပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ထင်ကျော်စိုး |DSA(၃၃) |- |၂ |စစ်အင်ဂျင်နီယာညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းမင်း |– |- |၃ |ဆက်သွယ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ဆွေသူရ |OTS(၇၉) |- |၄ |သံချပ်ကာယန္တယားညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ထူးမြတ်တိုး |DSA(၃၄) |- |၅ |ဒုံးတပ်ဖွဲ့ညွှန်ကြား​ရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် နိုင်ဝင်းဆွေ |OTS(၉၄) |- |၆ | [[ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့် စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး|ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့်စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်အောင်<ref>{{cite web|url=https://www.moi.gov.mm/news/81173|title=(၈၁) နှစ်မြောက်တပ်မတော်နေ့ ဂုဏ်ပြုဇာတ်လမ်းတွင် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည့် အနုပညာရှင်များနှင့် ဂုဏ်ပြုစစ်ချီသီချင်း၊ စစ်သည်တေးသီချင်း၊ ကဗျာနှင့် ဝတ္ထုစာမူဆုရရှိသူ စာပေပညာရှင်များအား ဂုဏ်ပြုဆုနှင့် ဂုဏ်ပြုမှတ်တမ်းလွှာများပေးအပ်ချီးမြှင့်|work=MOI Myanmar|access-date=၂၇ မတ် ၂၀၂၆|date=၂၆ မတ် ၂၀၂၆}}</ref> |DSA(-) |- |၇ |ပြည်သူ့စစ်နှင့်နယ်ခြားစောင့်တပ်များညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် မျိုးမင်း |– |- |၈ |[[လျှပ်စစ်နှင့်စက်မှု အင်ဂျင်နီယာ ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|လျှပ်စစ်နှင့် စက်မှုအင်ဂျင်နီယာ]] ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် နေမျိုးဦး |DSA(၃၄) |- |၉ |[[ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဇော်မျိုးဟန် |– |- |၁၀ | [[တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |– |– |- |၁၁ | [[တပ်အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဦး |OTC(၂၁) |- |၁၂ |တပ်မတော်စစ်သမိုင်းပြတိုက်နှင့်မော်ကွန်းတိုက်ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ဇော်ဝင်း |– |- |၁၃ |[[လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သော ပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး|လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သောပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ဝင်းဇော် |– |- |၁၄ |[[ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူး ဟန်ဇော်ဦး |DSA(၃၆) |- |၁၅ |ပစ္စည်းဝယ်ယူရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ခင်မောင်သန်း |OTS(၇၁) |- |၁၆ | [[ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေးတပ်ဖွဲ့|ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် တင်စိုး |– |- |၁၇ |အထူးဆောက်လုပ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ခင်မောင်အေး |– |- |၁၈ |[[စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းသူ |– |} == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:တပ်မတော်၏ စစ်ဘက်ရာထူးတာဝန်ခန့်အပ်မှုများ|*]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ စစ်ဖက်ဆိုင်ရာ လူပုဂ္ဂိုလ်များ]] {{တပ်မတော်}} ae7sp1hx1tyoy6vv8aoj6z0enk8h08x 1054163 1054161 2026-09-19T15:42:54Z ~2026-48306-52 147797 1054163 wikitext text/x-wiki '''[[တပ်မတော်|မြန်မာ့တပ်မတော်]]'''တွင် လက်ရှိတာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော အရာရှိကြီးများ စာရင်းဆောင်းပါးဖြစ်သည်။ ==ထိပ်တန်းအရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ရဲဝင်းဦး]] |OTS(၇၇) |- |၂ |[[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]]၊ [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ကြည်း)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ကျော်စွာလင်း]] |DSA(၃၅) |- |၃ |[[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)]] |– |– |- |၄ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ထိန်ဝင်း]] <ref>{{cite web|url=https://www.bbc.com/burmese/live/cw9yrgg7y17t|title=ဗိုလ်ချုပ်ထိန်ဝင်း ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ရေ) ဖြစ်လာ|work=BBC Burmese|access-date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄|date=၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ }}</ref> |DSA(၂၉) |- |၅ |[[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ထွန်းဝင်း]] |DSA(၃၄) |} == စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမှတ် (၁) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၁)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နီလင်းအောင်]] |DSA(၃၇) |- |၂ |[[အမှတ် (၂) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၂)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဇော်မင်းလတ် |DSA(၃၇) |- |၃ |[[အမှတ် (၃) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၃)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[သန်းထိုက်]] |DSA(၃၈) |- |၄ |[[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်လင်းမောင် |DSA(၃၇) |} == အရာရှိချုပ်များ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[စစ်ရေးချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်ဟိန်း]] |DSA(၃၈) |- |၂ |[[စစ်ထောက်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဇော်မျိုးတင်]] |DSA(၃၂) |- |၃ |တပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ပြည့်စုံလင်း |DSA(၄၀) |- |၄ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေး အရာရှိချုပ်|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးမင်းထွန်း |OTC(၂၃) |- |၅ |[[စစ်ရာထူးခန့်ချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထိန်ဝင်း |DSA(၃၈) |- |၆ |[[စစ်ဥပဒေချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မျိုးသန့်နိုင် |DSA(၃၂) |- |၇ |[[တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့် စာရင်းစစ်ချုပ် (ကြည်း/ရေ/လေ)|တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ)]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ညွန့်ဝင်းဆွေ]] |DSA(၃၆) |- |၈ |[[စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်|တပ်မ​တော်စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ကျော်ကိုထိုက် |DSA(၃၈) |- |၉ |[[လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးမင်း |DSA(၃၉) |- |၁၀ |[[ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေး အရာရှိချုပ်ရုံး|ကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ်]] |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[မိုးမြင့်ဆွေ]] |အလုပ်သင်ဗိုလ်၊အပတ်စဉ်(၂၃) |- |၁၁ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ကြည်း) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[သန်းထိုက်]] |DSA(၃၈) |- |၁၂ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(ရေ) |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး သိန်းထူး |DSA(၃၄) |- |၁၃ |စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(လေ) |– |– |- |၁၄ |အရန်အင်အား |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[နိုင်နိုင်ဦး]] |DSA(၃၅) |} == အစိုးရအဖွဲ့ဝင်များ == ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ တပ်မတော်သား ကိုယ်စားလှယ်အနေဖြင့် ပြည်ထောင်စုအစိုးရအဖွဲ့ ဝန်ကြီးဌာနများ၏ ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးနှင့် ဒုတိယဝန်ကြီးများ၊ တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့များ၏ ဝန်ကြီးချုပ်နှင့် အခြားအစိုးရဆိုင်ရာ တာဝန်ထမ်းဆောင်နေကြသော တပ်မတော်အရာရှိကြီးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ထွန်းအောင်]] |DSA(၂၉) ယခင် [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] |- |၂ |[[ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကိုကိုဦး (ဗိုလ်ချုပ်)|ကိုကိုဦး]] |DSA(၃၈) ယခင် [[ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ)|ညှိနှိုင်းကွပ်ကဲရေးမှူး(ကြည်း၊ ရေ၊ လေ]] |- |၃ |[[နယ်စပ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန]] ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဖုန်းမြတ်]] |OTS(၇၃) ယခင် ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး |- |၄ |[[မွန်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့]] ဝန်ကြီးချုပ် |ဗိုလ်မှူးချုပ် [[အောင်ဝင်းသန်း]] |DSA(၃၀) ယခင် [[ဓညဝတီ ရေတပ်စခန်းဌာနချုပ်|ဓညဝတီရေတပ်စခန်းဌာနချုပ်မှူး]] |- |၅ |အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီဥက္ကဋ္ဌ |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ရာပြည့်]] |DSA(၂၂) ယခင် နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်​ထောင်စုဝန်ကြီး |- |၆ |အမျိုးသားစည်းလုံးညီညွတ်ရေးနှင့်ငြိမ်းချမ်းရေးဖော်ဆောင်မှုညှိနှိုင်းရေးကော်မတီအတွင်းရေးမှူး |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး မင်းနိုင် |OTS(၆၆) ယခင် တပ်မတော်စစ်ဆေးရေးနှင့်စာရင်းစစ်ချုပ်(ကြည်း၊ရေ၊လေ) |- |၇ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန [[မြန်မာနိုင်ငံရဲတပ်ဖွဲ့]] ရဲချုပ် |ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးလှိုင် |ယခင် [[အမှတ် (၄) စစ်ဆင်ရေး အထူးအဖွဲ့|အမှတ်(၄)စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့မှူး]] |- |၈ |ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် အောင်မျိုးသန့် |DSA(၃၀) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် |- |၉ |ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) ယခင် ဒုတိယတပ်မတော်စစ်ဖက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |- |၁၀ |နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်စွာဦး |တေဇ(၂၂) ယခင် အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူး |} == တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !တိုင်းစစ်ဌာနချုပ် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[နေပြည်တော်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ​ကြည်သိုက် |DSA(၃၉) |- |၂ |[[မြောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ်‌ အောင်ဇော်ထွေး |တေဇ(၂၄) |- |၃ |[[အရှေ့မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် အေးမင်းဦး |OTS(၉၄) |- |၄ |[[အရှေ့ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်နိုင်ဦး |DSA(၄၁) |- |၅ |[[အရှေ့အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ကျော်ထွန်းအောင် |ခေတ္တတိုင်းမှူး |- |၆ |[[တြိဂံဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် စိုးမြတ်ထွဋ် |DSA(၄၀) |- |၇ |[[အရှေ့တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် သူရ ဇော်လွင်စိုး |DSA(၄၂) |- |၈ |[[ကမ်းရိုးတန်းဒေသတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဟန် |DSA(၄၁) |- |၉ |[[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် တင်မင်းလတ် |DSA(၄၁) |- |၁၀ |[[အနောက်တောင်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်မှူးချုပ် အောင်ကျော်ခိုင် |– |- |၁၁ |[[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ‌ကျော်ဇော |DSA(၄၃) |- |၁၂ |[[အနောက်မြောက်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်သူရ |DSA(၃၉) |- |၁၃ |[[အလယ်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ‌အောင်ဌေး |OTS(၈၁) |- |၁၄ |[[တောင်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] |‌‌ဗိုလ်ချုပ် စိုးကျော်ထက် |DSA(၄၁) |} == စစ်လက်ရုံး/ဝန်ထမ်းတပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |[[အမြောက်တပ်ဖွဲ့ ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ထင်ကျော်စိုး |DSA(၃၃) |- |၂ |စစ်အင်ဂျင်နီယာညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းမင်း |– |- |၃ |ဆက်သွယ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ဆွေသူရ |OTS(၇၉) |- |၄ |သံချပ်ကာယန္တယားညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ထူးမြတ်တိုး |DSA(၃၄) |- |၅ |ဒုံးတပ်ဖွဲ့ညွှန်ကြား​ရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် နိုင်ဝင်းဆွေ |OTS(၉၄) |- |၆ | [[ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့် စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး|ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေးနှင့်စိတ်ဓာတ်စစ်ဆင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်အောင်<ref>{{cite web|url=https://www.moi.gov.mm/news/81173|title=(၈၁) နှစ်မြောက်တပ်မတော်နေ့ ဂုဏ်ပြုဇာတ်လမ်းတွင် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည့် အနုပညာရှင်များနှင့် ဂုဏ်ပြုစစ်ချီသီချင်း၊ စစ်သည်တေးသီချင်း၊ ကဗျာနှင့် ဝတ္ထုစာမူဆုရရှိသူ စာပေပညာရှင်များအား ဂုဏ်ပြုဆုနှင့် ဂုဏ်ပြုမှတ်တမ်းလွှာများပေးအပ်ချီးမြှင့်|work=MOI Myanmar|access-date=၂၇ မတ် ၂၀၂၆|date=၂၆ မတ် ၂၀၂၆}}</ref> |DSA(-) |- |၇ |ပြည်သူ့စစ်နှင့်နယ်ခြားစောင့်တပ်များညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်မှူးချုပ် မျိုးမင်း |– |- |၈ |[[လျှပ်စစ်နှင့်စက်မှု အင်ဂျင်နီယာ ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|လျှပ်စစ်နှင့် စက်မှုအင်ဂျင်နီယာ]] ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် နေမျိုးဦး |DSA(၃၄) |- |၉ |[[ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ဆေးဝန်ထမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဇော်မျိုးဟန် |– |- |၁၀ | [[တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|တပ်မတော်မှတ်တမ်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |– |– |- |၁၁ | [[တပ်အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|အင်အားဖြည့်တင်းရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ကျော်ကျော်ဦး |OTC(၂၁) |- |၁၂ |တပ်မတော်စစ်သမိုင်းပြတိုက်နှင့်မော်ကွန်းတိုက်ညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ဇော်ဝင်း |– |- |၁၃ |[[လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သော ပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး|လုံခြုံရေးနှင့်ဆိုင်သောပုံနှိပ်လုပ်ငန်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် ဝင်းဇော် |– |- |၁၄ |[[ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|ပြန်လည်နေရာချထားရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူး ဟန်ဇော်ဦး |DSA(၃၆) |- |၁၅ |ပစ္စည်းဝယ်ယူရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ခင်မောင်သန်း |OTS(၇၁) |- |၁၆ | [[ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေးတပ်ဖွဲ့|ထောက်ပံ့နှင့် ပို့ဆောင်ရေး ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်ချုပ် တင်စိုး |– |- |၁၇ |အထူးဆောက်လုပ်ရေးညွှန်ကြားရေးမှူး |ဗိုလ်ချုပ် ခင်မောင်အေး |– |- |၁၈ |[[စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူးရုံး|စစ်လက်နက်ပစ္စည်း ညွှန်ကြားရေးမှူး]] |ဗိုလ်မှူးချုပ် ဝင်းသူ |– |} == အခြားတပ်မတော်အရာရှိကြီးများ == {| class="wikitable" !စဉ် !ရာထူး/တာဝန် !တာဝန်ထမ်းဆောင်ဆဲ ပုဂ္ဂိုလ် !မှတ်ချက် |- |၁ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၁) |ဗိုလ်ချုပ် ရဲရင့်ဝင်း |DSA(၃၆) |- |၂ |တွဲဖက်စစ်ရေးချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် ထွန်းမြတ်ရွှေ |OTC(၂၁) |- |၃ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၁) |ဗိုလ်ချုပ် ဇော်လွင်ဦး |OTS(၇၅) |- |၄ |တွဲဖက်စစ်ထောက်ချုပ်(၂) |ဗိုလ်ချုပ် အောင်စိုးမိုး |DSA(၃၇) |- |၅ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (စစ်မဟာဗျူဟာ) |ဗိုလ်မှူးချုပ် စိုးညွန့် |DSA(၃၆) |- |၆ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (လေ့ကျင့်ရေး) |ဗိုလ်ချုပ်ဝင်းဗိုလ် |OTS(၉၄) |- |၇ |ဒုတိယတပ်မတော်လေ့ကျင့်ရေးအရာရှိချုပ် (ပူးပေါင်း) |ဗိုလ်ချုပ် စန်းယုနိုင် |DSA(၃၄) |- |၈ |ဒုတိယစစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မင်းသူ |DSA(၃၇) |- |၉ |ဒုတိယလေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် နေမျိုးဦး |DSA(၃၄) |- |၁၀ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |ဗိုလ်ချုပ် မျိုးအောင် |OTS(၇၃) |- |၁၁ |ဒုတိယကာကွယ်ရေးပစ္စည်းထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ် |– |– |- |၁၂ |စခန်းမှူး (ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်ရုံး(ကြည်း)၊ စခန်းရုံး) |ဗိုလ်ချုပ် သိန်းဇော် |– |- |၁၃ |[[တပ်ထိန်းချုပ်ရုံး|တပ်ထိန်းချုပ်]] |ဗိုလ်ချုပ် သက်ထွန်းဦး |DSA(၃၃) |- |၁၄ |ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ် (ငွေစာရင်းရုံး၊ ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန) |– |– |} == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:တပ်မတော်၏ စစ်ဘက်ရာထူးတာဝန်ခန့်အပ်မှုများ|*]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ စစ်ဖက်ဆိုင်ရာ လူပုဂ္ဂိုလ်များ]] {{တပ်မတော်}} opxfvrkuci0iyvvy3gffaf8ije91ex8 0 128208 1054128 1049643 2026-09-19T12:52:00Z InternetArchiveBot 61272 Adding 1 book for [[ဝီကီပီးဒီးယား:စိစစ်အတည်ပြုခံနိုင်မှု]] (20260919)) #IABot (v2.0.9.6) ([[User:GreenC bot|GreenC bot]] 1054128 wikitext text/x-wiki {{About|ဝတ္ထု|ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားတွဲ|ဟော့ဘစ် - မျှော်လင့် မထားသော ခရီးစဉ် (ရုပ်ရှင်)}} {{Infobox book |name = The Hobbit, or<br>There and Back Again |image = The Hobbit - title page of first American print.jpg |caption = အမေရိက၌ ပထမဆုံးထုတ်ဝေမူ |author = [[ဂျေ အာ အာ တော်ကီးန်]] |illustrator = [[ဂျေ အာ အာ တော်ကီးန်]] |cover_artist = [[ဂျေ အာ အာ တော်ကီးန်]] |country = [[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း]] |language = အင်္ဂလိပ် |genre = {{Plainlist| *High fantasy *Juvenile fantasy}} |set_in (အခြေတည်) = အလယ်ပိုင်းကမ္ဘာမြေ(Middle-earth) |publisher = George Allen & Unwin (ယူကေ) |release_date = ၂၁ စက်တင်ဘာ ၁၉၃၇ |pages = 310 (''ပထမအကြိမ်'') |isbn = <!-- was first published before ISBN system started --> |oclc = 1827184 |congress = PR6039.O32 H63 |followed_by = [[လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်]] }} '''''ဟော့ဘစ် (သို့) အသွားအပြန်ခရီးစဉ် '''''({{lang-en|The Hobbit, or There and Back Again]}}) သည်အင်္ဂလိပ်စာရေးဆရာ[[ဂျေ အာ အာ တော်ကီးန်]]၏ ကလေးလူငယ်များအတွက် စိတ်ကူးယဉ်ဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ၁၉၃၇ ခုနှစ် စက်တင်ဘာ ၂၁ ရက်၌ ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့ရာတွင် ကာနီဂီစာပေဆု(Carnegie Medal)အတွက် ဆန်ကာတင်ရွေးချယ်ခံရခြင်းနှင့် အကောင်းဆုံးလူငယ်စိတ်ကူးယဉ်စာပေအတွက် New York Herald Tribune မှ ဆုချီးမြှင့်ခံရခြင်းစသော ဂုဏ်ပြုမှုများကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့်ရရှိခဲ့သည်။ ဤဝတ္ထုသည် ယခုထိလူကြိုက်များ၍ ကလေးစာပေကဏ္ဍအတွက် ဂန္ထဝင်စာပေတစ်ခုအဖြစ်အသိအမှတ်ပြုသည်။ "''ဟော့ဘစ်''"ကို တော်ကီးန်၏ စိတ်ကူးဖြင့်ဖန်တီးထားသောစကြဝဠာတစ်ခု၌ အခြေတည်စေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အိမ်ခင်တွယ်သူ "''ဘီလ်ဘို ဘက်ဂင်''"(Bilbo Baggins)၏ စွန့်စားခန်းခရီးစဉ်ပင်ဖြစ်၏။ ထိုဟော့ဘစ်လေးသည် နဂါးကြီး စမောက်ဂ် (Smaug)စောင့်ကြပ်ထားသော ရတနာများထဲမှ ဝေစုကိုရယူနိုင်ခဲ့သည်။ ဘီလ်ဘို၏ ခရီးစဉ်တွင် ပျော်ပျော်ရွှင်ရွှင် တောရွာကျေးလက်နယ်မြေလေးမှသည် အလွန်အန္တရာယ်များသောနယ်မြေများကို သွားလာစွန့်စားရခြင်းများပါဝင်လေသည်။ ဇာတ်လမ်းကို အပိုင်းဆက်ပုံစံဖြင့် ပြောပြသည်။ အခန်းအများစု(chapter)မှာ တော်ကီးန် (စိတ်ကူးယဉ်)နယ်မြေထဲ၌ ရှိသောသတ္တဝါတစ်ကောင် (သို့) သတ္တဝါတစ်မျိုးမျိုးကို မိတ်ဆက်ပေးသည်။ ဘီလ်ဘိုသည် သူ့နဂိုသဘာဝ (ရှိုင်းယားနယ်တွင်) သမားရိုးကျသူလိုကိုယ်လိုဂုဏ်သိမ်ဂုဏ်ဒြပ်ပြောစရာမရှိ၊ ၎င်းဘဝ၏ သာယာကြည်နူးဖွယ်ကောင်းခြင်းများ၊ စွန့်စားလိုမှုအခံရှိခြင်း၊ ထူးထူးဆန်းဆန်းနေတတ်သောအမူအကျင့်များစသည်တို့ကို လက်ခံပြီး သာမန်အသိရော တင်္ခဏုပ္ပတ္တိဉာဏ်များကိုရော အသုံးချနိုင်ခြင်းဖြင့် ယခင်နှင့်မတူသော ရင့်ကျက်မှု၊ ယှဉ်ပြိုင်နိုင်မှု၊ အသိဉာဏ်တို့ရရှိလာခဲ့သည်။ ဇာတ်လမ်း၏အထွတ်အထိပ်မှာ ''တပ်ကြီးငါးတပ်၏ တိုက်ပွဲ'' (the Battle of Five Armies)ဖြစ်ကာ စာအုပ်အစောပိုင်းကမိတ်ဆက်ထားသော ဇာတ်ကောင်များ၊ သတ္တဝါများ ဤတိုက်ပွဲအတွက်ပြန်လည် ပါလာခဲ့သည်။ စစ်ရေးစစ်ရာများကို ဇာတ်လမ်းအတွက် တန်ဆာဆင်ရင်း သူရဲကောင်းတို့၏ တကိုယ်ရေအစွမ်းသတ္တိတိုးတက်လာမှု၊ ပုံစံများသည် ဤဇာတ်လမ်းဝတ္ထု၏ အဓိကအကြောင်းအရာများဖြစ်သည်။ ထိုအဓိကအချက်များက ဝေဖန်အကဲဖြတ်သူများအား တော်ကီးန်ရဲ့ ပထမကမ္ဘာစစ်အတွေ့အကြုံများကို ဇာတ်လမ်းတည်ဆောက်ရာ၌ အရေးပါသည်ဟု အမြင်ရှိစေသည်။ စာရေးသူ၏ ပညာရှင်ဆန်သော ဂျာမန်ဝေါဟာရဗေဒအသိပညာများ(Germanic philology)နှင့် ဒဏ္ဍာရီများ၊ ရိုးရာနတ်သား/သမီးပုံပြင်များကို စိတ်ပါဝင်စားမှုများက တော်ကီးန်းအပေါ်လွှမ်းမိုးနိုင်စွမ်းရှိကြသည်ဟု မှတ်သားကြသည်။ ဤစာအုပ်၏ အရေးပါပြီး ငွေရေးကြေးရေးအောင်မြင်မှု တို့က ထုတ်ဝေသူများကို အားဖြစ်စေသဖြင့် နောက်ထပ်အပိုင်းသစ် ဆက်ရေးရန်တောင်းဆိုကြသည်။ ဟော့ဘစ်အဆက် [[လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်]]ဖြစ်လာမည့် စာအုပ်ကို ပြုစုပျိုးထောင်နေစဉ် ဟော့ဘစ်ဝတ္ထုကို ပြန်ပြောင်းခြေရာကောက်ကာ ထိုဝတ္ထုသစ်နှင့် ရှေ့နောက် ဇာတ်လမ်းဇာတ်ကွက်များ ကိုက်ညီစေရန်ပြုခဲ့ရလေသည်။ အနည်းငယ်ဖြစ်သော်လည်း အရေးကြီးသော အပြောင်းအလဲပြုပြင်ခြင်းများကို ဒုတိယထုတ်ဝေခြင်းတွင် ပေါင်းစပ်ထည့်သွင်းခဲ့လေသည်။ နောက်ပိုင်းထုတ်ဝေခြင်းများတွင် ဘီလ်ဘို၏ အမှတ်မထင်ကြုံတွေ့ခဲ့ရသော လောကနှင့်ပတ်သက်သည့် အယူအဆများကို အပြောင်းအလဲပြုလုပ်မှုအပါအဝင် စာသား၊စာလုံးပေါင်းအသေးအဖွဲပြင်ခြင်းများပါဝင်လာခဲ့သည်။ ဤစာအုပ် ဝယ်၍မရနိုင်သော အခြေအနေမျိုး တစ်ခေါက်မှမဖြစ်ခဲ့ပါ။ ဤဝတ္ထုဇာတ်လမ်း၏ ဆက်လက်ရှိနေသောအမွေအနှစ်များထဲ၌ မှီငြမ်းပုံဖော်ထားသော ပြဇာတ်၊ ရုပ်ရှင်၊ရေဒီယို၊ board gameများ ( ကျားကွက်ကဲ့သို့သော အပြားတစ်ခုပေါ်တင် အရာဝတ္ထုများရွှေ့၍ ကစားရသောပုံစံ)၊ဗီဒီယိုဂိမ်းများစသဖြင့် များစွာပါဝင်လေသည်။ ဤပုံဖော်တင်ဆက်မှု တချို့မှာ အရေးကြီးသောအသိအမှတ်ပြုမှုများကို ကိုယ့်ပုံစံဖြင့်ကိုရရှိထားကြပေသည်။ ==ဇာတ်ကောင်များ== ဟော့ဘစ်၏ အဓိကဇာတ်ကောင်ဟုဆိုနိုင်သော ဘီလ်ဘို ဘက်ဂင်သည် အရိုသေတန်သော တည်ကြည်အေးဆေးစွာနေတတ်သော ဟော့ဘစ်တစ်ဦးဖြစ်သည်။<ref>{{cite book|title=Red Riding Hood and the Wolf in Bed: Modernism's Fairy Tales |first=Ann |last=Martin |publisher=University of Toronto Press |year=2006 |isbn=978-0-8020-9086-7 |quote=... —prefigure the bourgeois preoccupations of J. R. R. Tolkien's Bilbo Baggins in ''The Hobbit''. |url=https://archive.org/details/redridinghoodwol0000mart|page=[https://archive.org/details/redridinghoodwol0000mart/page/38 38]}}</ref><ref>{{cite book |title=Beacham's Encyclopedia of Popular Fiction Analysis |volume=8 volume set |year=1996 |publisher=Beacham Publishers |isbn=978-0-933833-42-5 |editor-first=Kirk H. |editor-last=Beetz |page=[https://archive.org/details/beachamsencyclop00beet/page/1924 1924] |quote=At the beginning of ''The Hobbit'' ... Bilbo Baggins seems little more than a conservative but good-natured innocent. |url=https://archive.org/details/beachamsencyclop00beet/page/1924 }}</ref> စွန့်စားခရီးစဉ်အတွင်း ဘီလ်ဘိုမှာ ၎င်းအိမ်နောက်ဖေးမီးဖိုချောင်လေးထဲရှိ ပစ္စည်းများကို မကြာခဏဆိုသလို ပြောဆိုတတ်ပြီး သူ့မှာ စားကောင်းသောက်ဖွယ်တွေ အခုများရှိရင် ကောင်းမှာပဲဟုခဏခဏ ဆန္ဒပြုဖော်ပြတတ်သည်။ ''တစ်ကွင်းတည်းသော လက်စွပ်''(One Ring - ထိုစဉ်က magic ring ဟုသုံးနှုံး)ကို မတွေ့ခင် ဘီလ်ဘိုမှာ အကူညီပေးသည်ထက် ဝန်ထုပ်ဝန်ပိုးဖြစ်နေလေရှာသည်။ အတည်တကျမရှိဘဲ ဟိုမှသည် သည်မှဟို လှည့်လည်သွားလာနေသော မှော်ဆရာ ဂန်ဒက်ဖ်(Gandalf)<ref>{{cite book|title=The Wizard and the Warrior: Leading with Passion and Power |first=Lee G. |last=Bolman |first2=Terrence E. |last2=Deal |publisher=John Wiley & Sons |isbn=978-0-7879-7413-8 |year=2006 |page=[https://archive.org/details/wizardwarriorlea00bolm/page/88 88] |quote=But their chief role was to offer sage advice: Merlin as a tutor and counselor to King Arthur; Gandalf through stories and wisdom in his itinerant travels throughout the countryside. |url=https://archive.org/details/wizardwarriorlea00bolm/page/88 }}</ref> က ဘီလ်ဘိုအား ဒွာ့ဗ်လူပု (၁၃)ဦးကို မိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ခရီးစဉ်အတွင်း မှော်ဆရာက အရေးတကြီးတခြားကိစ္စရှိသဖြင့် ပျောက်သွားလိုက်၊ အရေးကြီးသော အချိန်များတွင်ပေါ်လာလိုက်ဖြင့်(ထိုအကြောင်းကို ဤစာအုပ်၌ မရှင်းပြသလောက်) ထိုသို့အနေထားရှိရာ ဟိတ်ဟန်ကြီးပြီး မာနကြီးသော သော်ရင် အုတ်ကန်ရှီးလ်ဒ်(Thorin Oakenshield)<ref>{{cite book|title=Tolkien and the Silmarils |first=Randel |last=Helms |location=Boston|publisher=[[Houghton Mifflin]] | edition=1st |isbn=978-0-395-29469-7 |year=1981 |page=[https://archive.org/details/tolkiensilmarils0000helm/page/86 86] |url=https://archive.org/details/tolkiensilmarils0000helm| quote=As apt a description of Thorin Oakenshield as of the dwarf-lord of Nogrod; but yet when we see Thorin in person, ... there is a notable addition, a comic pomposity altogether suitable to what Tolkien intends in ''The Hobbit''... }}</ref><ref name=Pienciak>{{cite book|title=J. R. R. Tolkien's Hobbit and Lord of the Rings |first=Anne |last=Pienciak |publisher=Barron's Educational Series |year=1986 |isbn=978-0-8120-3523-0 |chapter=The Characters |pages=[https://archive.org/details/jrrtolkienshobbi0000pien/page/14 14–30] |url=https://archive.org/details/jrrtolkienshobbi0000pien/page/14 }}</ref> သည် ဒွာ့ဗ်လူပုများ၏ ခေါင်းဆောင်ဖြစ်ပြီး ဖျက်ဆီးခံလိုက်ရသော ၎င်းတို့၏ တိုင်းပြည်မှာ အထီးကျန်တောင်ကြီး(Lonely Mountain)၏ အောက်၌ တည်ရှိပေသည်။ သော်ရင်သည် ထိုတိုင်းပြည်၏ ဆက်ခံသူဘုရင်လည်းဖြစ်၏။ သူသည် ၎င်းခေါင်းဆောင်နေရာ၌ အမှားများစွာကျူးလွန်ကာ ဒုက္ခတောထဲမှကယ်ဆယ်ပေးရန် ဂန်ဒက်ဖ်နှသ့် ဘီလ်ဘိုကို အားကိုးရသည်။ သို့သော်လည်း တကယ့် စွမ်းအားရှိသော သူရဲကောင်းအဖြစ်သက်သေထူခဲ့သည်။ အလယ်ပိုင်းကမ္ဘာမြေ၏ နဂါးတစ်ကောင်ဖြစ်သော ''စမောက်ဂ်''(Smaug) သည် ဟိုးယခင်''သော်ရင်''တို့အဘိုးလက်ထက်၌ ဒွာ့ဗ်တိုင်းပြည်ကို လုယူဖျက်ဆီးခဲ့ပြီး မြောက်မြားစွာသောရတနာပုံကြီး၌ အိပ်စက်ခဲ့လေသည်။ ဇာတ်လမ်းဇာတ်ကွက်၌ အရေးပါပုံအမျိုးမျိုးရှိသော ဇာတ်ကောင်များစွာပါလေရာ ၎င်းတို့မှာ - သော်ရင်နှင့် (Dwarves)တစ်ခြားဒွာ့ဗ်(၁၂)ဦး၊ Elf - အက်လ်ဖ်မျိုးနွယ် (၂)မျိုး၊ နှစ်မျိုးလုံးမှာ ရန်အနည်းငယ်ဆောင်တတ်၍ စစ်ရေးစစ်ရာ(တိုက်ရည်ခိုက်ရည်)ကျွမ်းကျင်သောသူများဖြစ်ကြပြီး<ref>{{Cite book |last=Tolkien |first=J. R. R. |editor-last= Anderson |editor-first= Douglas A. |title= The Annotated Hobbit |year= 2003 |origyear=1937 |publisher=HarperCollins|page=120|location= London|isbn= 978-0-00-713727-5 |ref=harv}}</ref>လူသားများ၊ လူသားစား ရုပ်ဆိုးပန်းဆိုးသတ္တဝါထွားကြီးများ(Troll)၊ ဧရာမကျောက်တုံးကောင်ကြီးများ(boulder-throwing giants)၊ ဂူအောင်း ဂေါ်ဘလင်ကောင်များ(goblins (သို့) orcs)၊ သစ်တောထဲနေ ပင့်ကူကြီးများ၊ ကြီးမား၍ သူရဲကောင်းဆန်ဆန်ပုံစံဖြင့် သိမ်းငှက်ကြီးများ၊ မိစ္ဆာ ဝံပုလွေကဲ့သို့သောအကောင်များ (evil wolves သို့ Wargs)၊ ပညာကြီးသူအဖြစ် ပုံဖော်ထားသော အက်လ်ဖ်အရှင် အယ်လ်ရွန် (Elrond)၊ မြေအောက်ရေကန်တစ်ခုတွင်နေသော ဂိုလမ်(Gollum)၊ ဝက်ဝံအသွင်ပြောင်းနိုင်သော ဘီယော်န် (Beorn)၊ ရေကန်မြို့(Lake-town)နေ လေးသမား ဘာ့ဒ်(Bard the Bowman)တို့ဖြစ်ကြသည်။<ref name=Pienciak/><ref>{{cite book | first =David |last=Stevens |first2=Carol |last2=Stevens |chapter=The Hobbit | year =2008 | title =J. R. R. Tolkien | url =https://archive.org/details/jrrtolkienblooms00bloo |editor-first=Harold |editor-last=Bloom |editor-link=Harold Bloom | publisher=Chelsea House | pages = [https://archive.org/details/jrrtolkienblooms00bloo/page/17 17]–26 | isbn = 978-1-60413-146-8 }}</ref> ==ဇာတ်လမ်းအကျဉ်း== [[File:Baggins residence &#039;Bag End&#039; with party sign.jpg|thumb|ဘီလ်ဘို ဘက်ဂင်၏ နေအိမ် ဘက်ဂ်အန့်ဒ်(Bag End)]] သော်ရင် အုတ်ကန်ရှီးလ်ဒ်(Thorin Oakenshield)နှင့် ဒွာ့ဗ်လူပု (၁၂)ဦး{{Efn|Dwalin Balin Gloin Kili Fili Dori Nori Ori Óin Bifur Bombur Bofur<ref>{{Cite web |url=https://entertainment.time.com/2012/12/13/times-guide-to-the-hobbits-13-dwarves/slide/all/ |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |access-date=28 January 2020 |archive-date=28 January 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200128114326/https://entertainment.time.com/2012/12/13/times-guide-to-the-hobbits-13-dwarves/slide/all/ |url-status=dead }}</ref>}}အား မမျှော်လင့်ပဲမိတ်ဆက်ဧည့်ခံရန် ပါတီပွဲတစ်ခုကျင်းပခြင်းနှင့်ပတ်သတ်ပြီး ဂန်ဒက်ဖ်(Gandalf)က ဘီလ်ဘို ဘက်ဂင်(Bilbo Baggins)အား လှည့်စားခဲ့သည်။ အဆိုပါဒွာ့ဗ်များမှာ ၎င်းတို့၏ ရှေးယခင်ပိုက်နက်နယ်မြေဖြစ်သော အထီးကျန်တောင်ကြီး(Lonely Mountain)အောက်က အဲရက်ဘော်ရ်ခံတပ်မြို့(Erebor)နှင့် ထိုအထဲရှိများပြားလှသည့်ရတနာများကို နဂါးကြီးစမောက်ဂ်(Smaug)ထံမှ ပြန်လည်သိမ်းယူရန်အတွက် ဖြစ်သည်။ ပါတီပွဲ၌ ထိုအကြောင်းများကို သီဆိုရွတ်ဆိုကြကာ သီချင်းများအပြီး ဂန်ဒက်ဖ်က ထိုတောင်ကြီးသို့ဝင်ရန် လျှို့ဝှက်တံခါးပေါက်ရှိရာ ''သရော်'' (Thror)၏မြေပုံကို ဖော်ထုတ်ပြသခဲ့၏။ ဂန်ဒက်ဖ်က ထိုအချိန်၌ မှင်သက်အံ့ဩနေသော ဘီလ်ဘိုကို ခရီးစဉ်တွင် ဖောက်ထွင်းသူခိုးအဖြစ်ခေါ်ဆောင်ရန် အဆိုပြုသည်။ ဒွာ့ဗ်များကထိုစိတ်ကူးကိုလှောင်ပြောင်သရော်ကြသည်။ သို့ရာတွင်တော့ အဆုံး၌ ဘီလ်ဘိုမှာ မလိုက်ချင်သော်လည်းပဲ ထိုအဖွဲ့တွင်ပါဝင်သွားခဲ့သည်။ အဖွဲ့သည် တောတောင်အနှံ့ခြေဆန့်ခဲ့ကြရာ၌ တစ်ခုသောအဖြစ်အပျက်တွင် ဂန်ဒက်ဖ်က ထရိုးလ်ကောင်ကြီးများအန္တရာယ်မှ ကယ်ဆယ်ခဲ့၏။ ထို့နောက် အက်ဘ်ဖ်တို့နယ်မြေ ''ရစ်ဗန်ဒဲလ်''သို့ ဦးဆောင်ခေါ်သွားရာ ''အယ်လ်ရွန်''က မြေပုံမှ လျှို့ဝှက်ချက်ကို ပြောပြခဲ့လေသည်။ ၎င်းတို့ နှင်းမြူခိုးတောင်တန်းရိုးမကြီး(Misty Mountains)ကိုဖြတ်သောအခါ ဂေါ်ဘလင်များကဖမ်ဆီးခဲ့ကြပြီး အောက်ဘက်နက်နက်ထိခေါ်ဆောင်ခဲ့ကြ၏။ ဂန်ဒက်ဖ်က ကယ်ဆယ်သော်လည်း ထိုအချိန်တွင် ဘီလ်ဘိုမှာ လူစုကွဲတစ်ဦးတည်းဖြစ်နေပြီး ဂေါ်ဘလင်လှိုင်ခေါင်းတွေထဲလမ်းပျောက်နေသည်။ အမှတ်မထင်ဘဲ လျှို့ဝှက်ဆန်းကျယ်သောလက်စွပ်တစ်ကွင်းကိုတွေ့ရှိခဲ့သည်။ များမကြာမီ ဂိုလမ်(Gollum)နှင့် တွေ့ဆုံခဲ့၍ [[စကားထာ]]ဖွက်တမ်းကစားမိကြသည်။ စကားထာအားလုံးကို ဖြေရှင်းနိုင်ပါက ဆုလဒ်အဖြစ် ဂိုလမ်က ဘီလ်ဘိုအား ဥမင်လှိုင်ခေါင်းထဲမှ ထွက်ပေါက်လမ်းကိုပြသမည်ဖြစ်ပြီး မဖြေရှင်းနိုင်ပါက အသက်ဆုံးရှုံးရမည်။ ကိုယ်ပျောက်ရန်စွမ်းဆောင်နိုင်သော လက်စွပ်၏ အကူအညီဖြင့် ဘီလ်ဘိုလွတ်သွားကာ ၎င်း၏ဒွာ့ဗ်မိတ်ဆွေများနှင့် ပြန်ပေါင်းစီးနိုင်ခဲ့လေသည်။ ယခင်က အလေးစားမခံခဲ့ရသောအခြေနေမှ ယခုလို တစ်ဦးတည်းလွတ်မြောက်လာသည့်အတွက် ဒွာ့ဗ်လူပုများက လေးစားခဲ့ကြသည်။ ဂေါ်ဘလင်များနှင့် Wargဟုခေါ်သော ဝံပုလွေဆိုးများကနောက်ကလိုက်ကြသော်လည်း ဤအဖွဲ့ကို သိမ်းငှက်ကြီးများက ကယ်ဆယ်ခဲ့၏။ ထို့နောက် ဘီယော်န် (Beorn)အိမ်သို့ရောက်ရှိခဲ့ကြလေသည်။ ထိုမှဆက်လက်ထွက်ခဲ့ကြပြီး ''အမှောင်လွှမ်းတောနက်'' (Mirkwood)ထဲသို့ ဂန်ဒက်ဖ်မပါဘဲ ဖြတ်သန်းခဲ့ရသည်။ ထို''အမှောင်လွှမ်းတောနက်''ထဲတွင် ဘီလ်ဘိုသည် ဧရာမပင့်ကူများအန္တရာယ်မှ ဒွာ့ဗ်လူပုများကို ကယ်ဆယ်ခဲ့သည့်အပြင် ''သစ်တောအက်လ်ဖ်''မျိုးနွယ်(Silvan Elves (သို့) Wood-elves)များ၏ ဖမ်းဆီးထားခြင်းမှလည်း ကယ်ဆယ်ခဲ့ရသည်။ ''အထီးကျန်တောင်ကြီး''အနီးနားရောက်လာသောအခါ အဖွဲ့ကို ရေကန်မြို့(Esgaroth (သို့)Lake-town)မှမြို့ခံများက ကြိုဆိုခဲ့ကြသည်။ ထိုမြို့ခံများ၏ မျှော်လင့်ချက်မှာ နဂါးကြီး စမောက်ဂ်သေဆုံးခြင်းနိမိတ်ကို ဖြစ်မြောက်စေချင်ကြပြီး ဒွာ့ဗ်များကိုကူညီဖြည့်ဆည်းကြသည်။ အထီးကျန်တောင်ကြီးဆီသို့ လူပုအဖွဲ့ရောက်၍ လျှို့ဝှက်တံခါးပေါက်ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ကြ၏။ ဘီလ်ဘိုကား နဂါးကြီးရှိရာ သားရဲတွင်းထဲသို့ စုံစမ်းထောက်လှမ်းရာ ရွှေခွက်တစ်ခွက်ကို ခိုးယူလာနိုင်ပြီး စမောက်ဂ်၏ ချပ်ဝတ်တန်ဆာလိုဖြစ်နေသော အကြေးခွံကြား၌ အလွတ်တစ်နေရာရှိသည်ကို သတိပြုမိခဲ့သည်။ ဒေါသကုမ္မာရနဂါးကြီးက ရေကန်မြို့ကလူတွေ ယခုကျူးကျော်လာသော လူပုများကို ကူညီကြသည်ဟု ကောက်ချက်ချရင်း ထိုမြို့ကိုဖျက်ဆီးရန်ထွက်သွားခဲ့သည်။ မြေလူးငှက်က ဘီလ်ဘို၏ နဂါးနှင့်ပတ်သက်သောပျော့ကွက်အကြောင်းပြောသံကို ကြားခဲ့၍ ရေကန်မြို့မှ ကာကွယ်သူ လေးသမားဘာ့ဒ်(Bard)ကို အကြောင်းကြားပြီးဖြစ်ရာ ဘာ့ဒ်၏မြားတစ်စင်းက ထိုကြေးခွံကြားကအပေါက်နေရာကိုထိမှန်ပြီး နဂါးကြီးသေဆုံးခဲ့သည်။ လူပုများ တောင်ကြီး၏ ကြွယ်ဝမှုများက သိမ်းယူနိုင်ခဲ့သောအခါ ဘီလ်ဘိုမှာ အာကန်စတုံး ကျောက်တုံးရတနာ(the Arkenstone)ကိုတွေ့ရှိ၍ ဝှက်ထားခဲ့၏။ ထိုကျောက်တုံးမှာ သော်ရင်တို့မိသားစု၏ အမွေပစ္စည်းပင်ဖြစ်သည်။ ''သစ်တောအက်လ်ဖ်''များနှင့် ရေကန်မြို့မှသူများက အကူညီပေးခဲ့ခြင်း၊မြို့ဖျက်ဆီးခံရခြင်း လျော်ကြေးဝေစုအနေဖြင့် ရတနာတချို့တောင်းဆိုခဲ့ကြပြီး တောင်အောက်ကမြို့ကိုဝန်းရံထားကြသည်။ သော်ရင်မှငြင်းဆိုပြီး သံတောင်ကုန်း(Iron Hills)မှ ဆွေမျိုးများကိုဆင့်ခေါ်အားဖြည့်သည်။ ဘီလ်ဘိုသည် စစ်ဖြစ်မည့်အရေးကို တားဆီးရန် အပေါင်သဘောမျိုးအဖြစ် အာကန်စတုံးကို ထိုရေကန်မြို့နှင့် သစ်တောအက်လ်ဖ်များထံသို့ ပေးခဲ့၏။ သို့ရာတွင် သော်ရင်က ဘီလ်ဘို၏ သစ္စာဖောက်မှုကို ဒေါသထွက်ပြီး နှင်ချခဲ့လေသည်။ ယင်းနောက် မရှောင်လွှဲနိုင်သော တိုက်ပွဲကြီးဖြစ်ပေတော့မည်။ ဂန်ဒက်ဖ်ရောက်လာ၍ ဂေါ်ဘလင်တပ်နှင့် မိစ္ဆာဝံပုလွေတပ်ကြီး ချီတက်လာနေကြောင်း သတိပေးသဖြင့် ဒွာ့ဗ်လုပုတပ်၊ လူသားတပ်၊ အက်လ်ဖ်တပ်တို့ အတူတကွပေါင်းစည်းခဲ့သည်။ သိမ်းငှက်များနှင့် ဘီယောန်တို့လည်းအချိန်မီရောက်လာနိုင်ခဲ့ကြ၏။ ထိုအထွတ်အထိပ် တပ်ငါးတပ်တိုက်ပွဲကြီး(Battle of Five Armies)တွင် အနိုင်ရခဲ့ကြလေသည်။ သော်ရင်ကား တိုက်ပွဲတွင် အကြီးအကျယ်ဒဏ်ရာရပြီး မသေဆုံးခင် ဘီလ်ဘိုနှင့် ပြန်ပြေလည်ခဲ့ပေသည်။ ဘီလ်ဘိုမှာ ၎င်းရတနာဝေစု၏ အနည်းအကျဉ်းကိုသာယူ၍ ၎င်းအိမ် (Bag End)သို့ ချမ်းသာကြွယ်ဝသော ဟော့ဘစ်တစ်ဦးအဖြစ် ပြန်ရောက်ခဲ့သည်။ ခရီးထွက်ခဲ့သည်မှ ပြန်ရောက်ချိန်ထိ အကြမ်းအားဖြင့် တစ်နှစ်နှင့်တစ်လ ကြာမြင့်ခဲ့ပေသည်။ ==အယူအဆ နှင့်ဖန်တီးခြင်း== ===နောက်ခံအကြောင်းအရာ=== [[အောက်စဖို့ဒ်တက္ကသိုလ်]]၊ ပမ်းဘရုတ်ကောလိပ်(Pembroke College, Oxford)ပညာရေးရာအဖွဲ့ဝင်ရာထူးနှင့်အတူ ၁၉၃၀အစောပိုင်းကာလ၌ ရော်လင်ဆန်နှင့် ဘော့စ်ဝပ်သ် ပါမောက္ခ (အန်ဂလို-ဆက်ခ်ဆွန်ဘာသာစကား - Rawlinson and Bosworth Professor of Anglo-Saxon) ရာထူးရရန်ကြိုးစားနေခဲ့သည်။ ''Hey Diddle Diddle'' ကလေးတေးကဗျာများကို ပြင်ဆင်တည်းဖြတ်ခြင်းမူ၊ ''The Cat and the Fiddle: A Nursery Rhyme Undone and its Scandalous Secret Unlocked''<ref>''Yorkshire Poetry'', Leeds, vol. 2, no. 19, October–November 1923</ref> နှင့် ''Goblin Feet''<ref>''Oxford Poetry'' (1915) Blackwells</ref> အပါအဝင် တော်ကီးန်၏ကဗျာတချို့ကို မဂ္ဂဇင်းများ၊ အသေးစားစုစည်းထုတ်ဝေမှုများတွင် ဖော်ပြခဲ့ဖူးသည်။ ၁၉၁၇မှစ၍ ဖန်တီးနေခဲသည့် ''ပျောက်ဆုံးသွားသောပုံပြင်ဇာတ်လမ်းများစာအုပ်'' (Book of Lost Tales) အပါအဝင် ဆက်စပ် ဒဏ္ဍာရီ (mythology) တစ်ခု နှင့် အက်လ်ဖ်ဘာသာစကားများ(elven languages) စသဖြင့်တီထွင်ဖန်တီးခဲ့မှုများရှိခဲ့သည်။ ထိုအရာများနှင့်အတူ ၎င်းသားသမီးများဆီသို့ပုံမှန်ပို့ပေးနေကြ ''letters from Father Christmas''အပါအဝင် "တိုက်ကြခိုက်ကြသော မှင်စာလေးများ(gnome) ၊ ဂေါ်ဘလင်များ(goblin) ၊ ကူညီတတ်သော ပိုလာဝက်ဝံများ အကြောင်းရေးထားသော သရုပ်ဖော်ပုံများပါဝင်သည့်စာကြမ်းများမှာ ထိုစဉ်က၎င်း၏တီထွင်ဖန်တီးအားထုတ်မှုများပင်ဖြစ်ကြသည်။ အထက်ပါလက်ရာများကို တော်ကီးန်သေဆုံးပြီးနောက်ပိုင်းတွင် ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။{{sfn|Rateliff|John D|2007|p=xxx–xxxi}} W. H. Auden ဆီသို့ရေးသော ၁၉၅၅-စာတစ်စောင်တွင် တော်ကီးန်သည် ၁၉၃၀ခပ်စောစောကာလများ၌ ဟော့ဘစ်ဇာတ်လမ်းကို ပထမရက်မှစရေးထားသော စာရွက်စာတမ်းများကို ပြန်လည်စုဆောင်းခဲ့သည်ဟု ဖော်ပြခဲ့သည်။ ထို ၁၉၃၀ နှစ်များသည် ကျောင်း၏ထောက်ခံစာများကို အမှတ်ပေးပြုလုပ်နေရသော ကာလလည်းဖြစ်သည်။ ထိုစဉ် စာရွက်အလွတ်တစ်ခုတွေ့သွားသည်။ ရုတ်တရက် ဤသို့စရေးတော့သည်။ " '''မြေကြီးထဲက အပေါက်လေးတစ်ခုထဲတွင် ဟော့ဘစ်တစ်ဦးနေလေသည်။''' " ၁၉၃၂နှောင်းပိုင်းလောက်တွင် ထိုဇာတ်လမ်းကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့ပြီး C. S. Lewis အပါအဝင် မိတ်ဆွေတချို့ကို ထိုစာကြမ်းငှားခဲ့သည်။{{sfn|Carpenter|1977|page=181}} ထို့နောက် ၎င်းကျောင်းသူတစ်ဦး Elaine Griffiths ကိုလည်းငှားခဲ့သေးသည်။{{sfn|Carpenter|1981|page=294}} ၁၉၃၆ခု George Allen & Unwin စာပေတိုက်မှ ဝန်ထမ်းတစ်ဦးဖြစ်သူSusan Dagnall က အောက်စဖို့ဒ်ရှိ Griffiths ထံသို့ အလည်သွားရာ ပြောသံကြားရသည်မှာ Griffiths က Dagnall အားထိုစာကြမ်းငှားခဲ့သည်{{sfn|Carpenter|1981|page=294}} (သို့) တော်ကီးန်ထံမှ ငှားရန်ဖြစ်သည်။{{sfn|Carpenter|1977|page=184}} ယင်း၌ Dagnall က အံ့အားသင့်သွားပြီး ထိုစာအုပ်ကို Stanley Unwin အားပြကြည့်ခဲ့မိပြီး Unwin ၏ (၁၀)နှစ်သာရှိသေးသော သားလေး Raynerက ဝေဖန်ခဲ့ရာ ထိုကလေးအမြင်၏ ကောင်းသောဝေဖန်မှုများကပင် ထိုစာပေတိုက်၏ စာအုပ်ထုတ်ရန်ဆုံးဖြတ်ချက်ကိုဖြစ်စေခဲ့သည်။{{sfn|Carpenter|1977|page=192}} ===ဇာတ်လမ်းအပြင်အဆင်=== စာအုပ်အပေါ်ဖုံးတွင်ဖော်ပြထားသည့်အတိုင်းဆိုလျှင် ဟော့ဘစ်ဇာတ်လမ်းတည်ဆောက်ပုံမှာ နာမည်ပေးထားခြင်းမရှိသေးသောစိတ်ကူးယဉ်ကမ္ဘာတစ်ခု၏ "ဟိုးရှေးရှေးတုံးက" (တိုက်ရိုက်ဆိုရလျှင် ကမ္ဘာမြေပေါ် လူသားမရှိသေးဘဲ နတ်တို့သာကြီးစိုးနေသောခေတ်) ဆိုသောခေတ်နှင့် လူသားတို့ကြီးစိုးလာသောခေတ် ကြားကာလတွင် ဇာတ်အိမ်တည်သည်။{{sfn|Tolkien|1937|loc=Inside dustjacket, first flap}} စာအုပ်ဖုံးနှင့်ကပ်လျှက် စာရွက်နေရာ၌ မြေပုံဆွဲထား၏ ယင်းမြေပုံတွင် အနောက်ဘက်ကို ''အနောက်ဘက်ကုန်းမြေ''(Western Lands)၊ အရှေ့ဘက်ကို အရိုင်းမြေ(Wilderland)ဟုခေါ်ဝေါ်သည်။ မူလအစ ကမ္ဘာမြေကြီးသည် အရာရာပြည့်စုံနေသည်။ သို့သော် ''[[လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်]]''ကိုစတင်ဖန်တီးသောအခါ ၎င်းသည် တသီးတသန့်အားဖြင့် ဆယ်စုနှစ်များစွာချီ၍လုပ်ဆောင်နေသော ''တော်ကီးန်းဂန္ဓဝင်စာပေ''(Tolkien's legendarium) အမျိုးအစားထဲသို့ ယခုဇာတ်လမ်းများကို သွတ်သွင်းရန်ဆုံးဖြတ်ခဲ့သည်။ ''ဟော့ဘစ်'' နှင့် ''လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်''သည် (Arda (Tolkien)) ဟုခေါ်တွင်သည့် ကမ္ဘာကြီးထဲကအစိတ်အပိုင်းဖြစ်သော ''အလယ်ပိုင်းကမ္ဘာမြေ'' (Middle Earth) တတိယခေတ်၏ အဆုံးသတ်အပိုင်းများဖြစ်လာသည်။ နောက်ဆုံးတွင် ''လင်းလက်နေသော ရတနာသုံးသွယ်''(The Silmarillion)နှင့် ၎င်းကွယ်လွန်ပြီးမှထွက်ရှိလာသောလက်ရာများကို အစောပိုင်းခေတ်များ (ပထမခေတ်၊ဒုတိယခေတ်စသည်)၏ ဇာတ်လမ်းများအနေဖြင့်ထုတ်ဝေခဲ့လေသည်။ ===တော်ကီးန်းအပေါ်လွှမ်းမိုးမှုများ=== တော်ကီးန်အပေါ် အကြီးမားဆုံးလွှမ်းမိုးမှုတစ်ခုကား ၁၉ရာစု အနုပညာလက်ရာပစ္စည်းများနှင့်ပတ်သက်၍ အလွန်နှံ့စပ်သူ ဝီလီယံ မောရစ်(William Morris) ပင်ဖြစ်သည်။ မောရစ်၏ ယေဘုယျစာပေဟန်၊ လက်ရာများကိုချဉ်းကပ်၍ ၎င်း၏မေတ္တာဖွဲ့စကားပြေ၊ ကဗျာများကို အတုခိုးချင်သောဆန္ဒရှိ၏။{{sfn|Carpenter|1981|p=7}} ရှုမျှော်ခင်းတစ်ခုအားပျက်ဆီးစေခြင်းအဖြစ် ဖော်ကျူးရာ၌ ''နဂါးကြီး စမောက်ဂ်၏ အကျည်းတန်နယ်မြေ'' (The Desolation of Smaug) ဆိုသော စကားစုသည် မောရစ်ထံမှ ချေးငှားယူထားသော သီးသန့်တန်ဆာဆင်စကားစုတစ်ခုဟု မှတ်သားပြုခဲ့ကြသည်။{{sfn|Rateliff|2007|page= vol.2 p.485}} တော်ကီးန်က ၎င်းငယ်စဉ်အချိန်ကောင်လေးတစ်ယောက်အဖြစ် Samuel Rutherford Crockett ၏ သမိုင်းဝင်ဝတ္ထု 'The Black Douglas' က သူ့ကို စိတ်ပါဝင်စားစေခဲ့ကြောင်းနှင့် ထိုဝတ္ထုထဲပါ ဗီလိန်ဇာတ်ကောင် Gilles de Retz ကိုအခြေခံ၍ အောက်လမ်းမှော်ဆရာ ဆော်ရွန်ကို ဖန်တီးသည်။ ({{sfn|Lobdell|2004|p=6}}ကိုမှီ၍ {{sfn|Carpenter|1981|p=391}} ကိုးကား) ဟော့ဘစ်နှင့် [[လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်]] နှစ်ခုစလုံးမှ အဖြစ်အပျက်သည် ဝတ္ထု၏ နောက်ခံစကားပြောပုံစံ၊ ရေးဟန်တို့ တူညီကြလေသည်။{{sfn|Tolkien|1988|p= 150}} ထိုခြုံငုံမိသောရေးဟန်များနှင့် နိမိတ်ပုံများသည် တော်ကီးန်အပေါ်လွှမ်းမိုးမှုတစ်ခုပါဟု ညွှန်းဆိုယူဆကြသည်။{{sfn|Lobdell |2004|pp=6–7}} ဟော့ဘစ်ထဲ၌ သရုပ်ဖော်ထားသော ဂေါ်ဘလင်များသည် အထူးသဖြင့် 'George MacDonald' ၏ 'The Princess and the Goblin' စာအုပ်မှ လွှမ်းမိုးမှုပင်ဖြစ်ပေသည်။<ref>{{harvnb|Tolkien|2003|pages=108}}</ref> သို့သော်လည်း MacDonald သည် ဇာတ်ကောင်တစ်ကောင်ခြင်း၊ ဇာတ်လမ်းအခန်းများကို ပုံဖော်သည်ထက်ပို၍လေးနက်စွာ တော်ကီးန်အပေါ်လွှမ်းမိုးနိုင်ခဲ့သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ MacDonald ၏ စာအုပ်များသည် တော်ကီးန်၏ ခရစ်ယာန်ယုံကြည်မှုအဝန်းအဝိုင်းထဲရှိ စိတ်ကူးယဉ်ကဏ္ဍအပေါ် တွေးတောခြင်းကို ပုံဖော်စေရန်အကူအညီပေးနိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{harvnb|Drout|2007|pages=399–400}}</ref> [[File:Jules verne cryptogramme.png|thumb|ပြင်သစ်စာရေးဆရာVerne ၏ ''Journey to the Center of the Earth'' စာအုပ်မှ ကုတ်ပုံစံဖြင့်ရေးထားသော ရှေးဟောင်းစာသား]] တော်ကီးန်စာပေနှင့်ပတ်သက်သော ပညာရှင် Mark T. Hooker က ''ဟော့ဘစ်'' နှင့် စာရေးဆရာ Jules Verne ၏ ''ကမ္ဘာမြေအလယ်ဆီသို့'' (Journey to the Center of the Earth) များကြား ရှည်လျှားသော နှိုင်းယှဉ်ချက်အတွဲများကို စာရင်းဇယားပြုစုခဲ့ဖူးသည်။ တစ်ခြားသောအကြောင်းအရာများကြား၌ ထိုစာရင်းထဲတွင်ပါဝင်သည်မှာ ဖွက်ထားသောရှေးဟောင်းစာသားများနှင့် စွန့်စားခန်းထွက်သူများကို လမ်းညွှန်ပေးသော ကောင်းကင်၊ နေ၊ လ၊ နက္ခတ်ကိုက်ညီမှုများဖြစ်ကြသည်။ (မှတ်ချက် -ဟော့ဘစ်တွင် လျှို့ဝှက်တံခါးပေါက်ကို ရှေးဟောင်းစာတစ်မျိုးဖြင့်ရေး၍ လပေါ်မူတည်သည့် အချိန်ကာလတစ်ခု၌သာဖတ်နိုင်ခြင်း)<ref>{{Cite book| last = Hooker | first = Mark | title = The Tolkienaeum: Essays on J.R.R. Tolkien and his Legendarium | publisher = Llyfrawr | pages = 1–12 | isbn = 978-1499759105 | year = 2014 }}</ref> တော်ကီးန်သည် သူ့၏ပညာပိုင်းဆိုင်ရာ ဂျာမန်နစ် ဝေါဟာရဗေဒ ကိုစိတ်ပါဝင်စားမှု၊ ဘဝတစ်လျှောက်လုံး နော့စ်ပုံပြင်များနှစ်သက်မှုကို ထင်ဟပ်စေရင်း [[နော့စ်ဒဏ္ဍာရီ]] (Norse mythology) သည် ၎င်းလက်ရာများအပေါ်များစွာလွှမ်းမိုးထားလေသည်။<ref name="LAZO">{{cite book|last=Lazo |first=Andrew |year=2008 |chapter=Gathered Round Northern Fires | pages= 191–226 |editor-last=Chance |editor-first=Jane |title=Tolkien and the Invention of Myth: A Reader |publisher=University Press of Kentucky |isbn=978-0-8131-2301-1}}</ref> ''ဟော့ဘစ်''ဝတ္ထုသည်လည်း ဥရောပမြောက်ပိုင်းမှ စာပေ၊ ဒဏ္ဍာရီလာများ၊ ဘာသာစကားများ၏ လွှမ်းမိုးမှုများရှိသည်မှာ အမှန်ပင်ဖြစ်သည်။{{sfn|Sullivan|1996|p=309-310}} အထူးသဖြင့် ရှေးဟောင်းနော့စ်ဘာသာမှ ကဗျာစာပေများဖြစ်သော [[အက်ဒါ ကဗျာလင်္ကာ]]၊ [[အက်ဒါ စကားပြေ]] တို့ဖြစ်ကြသည်။ သာဓကပြရလျှင် ဇာတ်ကောင်နာမည်များ <ref name="GMC-HOBBIC">{{Harvnb|Drout|2007|pp=469–479}}</ref>ဖြစ်သည့် ဖီလီ(Fili)၊ ကီလီ(Kili)၊ အွိုင်(Oin)၊ ဂလွိုင်(Gloin)၊ ဘီဖာ(Bifur)၊ ဘိုဖာ(Bofur)၊ ဘွန်ဘာ(Bombur)၊ ဒိုရီ(Dori)၊ နိုရီ(Nori)၊ ဒွါလင်(Dwalin)၊ ဘာလင်(Balin)၊ ဒိန်း(Dain)၊ နိန်း(Nain)၊ သော်ရင် အုတ်ကန်ရှီးလ်ဒ်(Thorin Oakenshield)၊ ဂန်ဒက်ဖ်(Gandalf) (ဤအမည်များသည် ရှေးဟောင်းနော့စ်မှအမည်များဖြစ်သည့် ''Fíli'', ''Kíli'', ''Oin'', ''Glói'', ''Bivör'', ''Bávörr'', ''Bömburr'', ''Dori'', ''Nóri'', ''Dvalinn'', ''Bláin'', ''Dain'', ''Nain'', ''Þorin Eikinskialdi'' နှင့် ''Gandálfr'' တို့မှဖြစ်ပေါ်လာခဲ့သည်။)<ref>{{harvnb|Rateliff|2007|page= vol.2 p.866–871}}</ref> နာမည်များသည် ရှေးဟောင်းနော့စ်မှဖြစ်သည်ဟုဆိုနိုင်စဉ် တစ်ဖက်တွင်လည်း ဒွာ့ဗ်လူပုဇာတ်ကောင်များမှာ Brothers Grimm စုစည်းထားသော ''စနိုးဝိုက်''၊ ''စနိုးဝိုက်နှင့်နှင်းဆီနီ''(Snow-White and Rose-Red)စသော မိရိုးဖလာနတ်သား/သမီးပုံပြင်များနှင့်တိုက်ရိုက်ပို၍ပတ်သက်နေသည်။<ref>{{harvnb|Tolkien|2003|pages=78}}</ref> တော်ကီးန်သရုပ်ဖော်ထားသော 'Misty Mountains'' နှင့် ''Bag End'' စသောနာမည်များသည် ရှေးဟောင်းနော့စ်ဇာတ်လမ်းကြီးများမှ အမည်များကို ပဲ့တင်ထပ်စေခဲ့သည်။<ref name="Solopova 21-22">{{Harvnb|Solopova|2009|pages=21–22}}</ref> ဒွာ့ဗ်များနှင့် ခင်မင်ရင်းနှီးသော ကျီးကန်းများ Roäc နာမည်သည်လည်း ရှေးဟောင်း နော့စ်မှဆင်းသက်လာသည်။<ref name="Fisher">{{cite journal | last =Fisher | first =Jason |date=March 2008 | title =The History of the Hobbit (review) | journal=Mythlore | issue =101/102 | url =http://www.mythsoc.org}}</ref> သို့သော် ၎င်းတို့၏ ငြိမ်းချမ်းသောဇာတ်ရုပ်ကား ရှေဟောင်းနော့စ်၊ ရှေးဟောင်းအင်္ဂလိပ်စာမှ အသေကောင်စားသောငှက်များနှင့်ကားမတူ။<ref>{{harvnb|St. Clair|2000|loc=p. 39. "Unlike the raven servants of the god of war, Roac is against war with the men of Dale and the Elves. Further, the birds carry the good news of Smaug's fall over the countryside. In The Hobbit, they do not function as scavengers after battle as ravens usually do in medieval Norse and English works."}}</ref> တော်ကီးန်သည် ရသ သဘောအတွက် သမိုင်းဆိုင်ရာရင်းမြစ်များကို အပေါ်ယံလောက်ယူခြင်းမျိုးမဟုတ်ပါ။ ရှေးသုံးဟန်၊ ခေတ်သုံးဟန်များ ယှဉ်တွဲခိုင်းနှိုင်းများကို ''ဟော့ဘစ်''စာအုပ်၌ ဖော်ထုတ်ထားသော အဓိကအကြောင်းအရာများဖြစ်သည်ဟု စာရေးဆရာ 'Shippey'က ထိုသို့မြင်သည်။{{sfn|Shippey|2001|p=41}}မြေပုံများကို ရှေးဟောင်းစာပေဇာတ်လမ်းတွဲကြီးများ (saga literature ) ၌ရော ''ဟော့ဘစ်'' ၌ရော ထည့်သွင်းထားသည်။<ref name="Solopova 21-22"/> စာရေးဆရာ၏ ရေးသားချက်တချို့တွင် အန်ဂလိုဆက်ခ်ဆန်ရှေးဟောင်းစာများ (Anglo-Saxon runes) ပေါင်းစပ်ထားကာ အဆိုပါစာများမှာ ဂျာမန်ရှေးဟောင်းစာ အက္ခရာများကို အင်္ဂလိပ်ဘာသာဖြင့်မှီငြမ်းပုံဖော်ထားခြင်းလည်းဖြစ်ပေသည်။ ရှေးဟောင်းအင်္ဂလိပ်စာပေ အထူးသဖြင့် ''ဘိုးဝု(ဖ်)''(Beowulf) မှ အကြောင်းအရာများသည် ဘီလ်ဘို ခြေချမိခဲ့သော ရှေးဟောင်းကမ္ဘာကိုပုံဖော်ပေးသည်။ ''ဘိုးဝု(ဖ်)''စာပေပညာရှင် တော်ကီးန်သည် ဟော့ဘစ်အတွက် ၎င်းတန်ဖိုးအထားဆုံးရင်းမြစ်များကြား၌ ဤဘိုးဝုဖ်ကဗျာရှည်ကြီးကိုလည်း ထည့်သွင်းခဲ့ပေသည်။<ref name="Carpenter 1981 page=31">{{harvnb|Carpenter|1981|page=31}}</ref> အသိဉာဏ်ရှိပြီး အလွန်တရာဆိုးရွားသည့် နဂါးကြီး အပါအဝင် ဘိုးဝု(ဖ်)မှ အခြေခံအကြောင်းတချို့ကို ယူငင်သုံးဆွဲသည်။<ref name="Steele">{{cite journal | last =Steele | first =Felicia Jean | year =2006 | title =Dreaming of dragons: Tolkien's impact on Heaney's Beowulf | journal =Mythlore | issue =95/96 | url =http://dc.swosu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1294&context=mythlore|accessdate=3 December 2017}}</ref> ဥပမာ နဂါးကြီးက ကျူးကျော်သူများကို အနံ့ခံရန် လည်ပင်းဆန့်သည့်အချိန်ကဲ့သို့သော ဟော့ဘစ်မှ ဖော်ပြချက်တချို့သည် စကားအသုံးအနှုံးအနည်းအပါးပြောင်းလဲထားကာ ဘိုးဝု(ဖ်)မှ တိုက်ရိုက်ယူငင်ထားသည့်ပုံပင်ဖြစ်၏။<ref>{{cite book | last=Faraci | first=Mary | editor-first=Jane | editor-last=Chance | title=Tolkien the Medievalist | url=https://archive.org/details/isbn_9780415289443 | publisher=Routledge |year=2002 | pages=[https://archive.org/details/isbn_9780415289443/page/58 58]–59 | chapter='I wish to speak' (Tolkien's voice in his Beowulf essay) | isbn=978-0-415-28944-3 }}</ref> ထိုနည်းတူစွာ တော်ကီးန်၏ သားရဲတွင်း (နဂါးကြီးနေသည့်နေရာ သားရဲတွင်း) ရေးသားချက်သည် ဘိုးဝု(ဖ်)ထဲရှိ "ဖန်သားလျှို့ဝှက်ဥမှင်လှိုင်ခေါင်းမှတဆင့်ဝင်ရောက်" စသောအသုံးအနှုံးမျိုး၊ ဟော့ဘစ်ရှိ တခြားဇာတ်ကွက်ပါ အကြောင်းအရာများဖြစ်သည့် "ဘီလ်ဘိုကို ဂိုလမ်ကရော၊ နဂါးကြီး စမောက်ဂ်ကရော သူခိုး ဟုသုံးစွဲပုံ၊ စမောက်ဂ်၏ ရေကန်မြို့ကိုဖျက်ဆီးချင်သည့် စရိုက်များစသဖြင့် ဤအရာများသည် ဘိုးဝု(ဖ်)မှ ပြောင်းလဲယူငင်ထားခြင်းများဖြစ်သည်။<ref>{{Harvnb|Solopova|2009|page=37}}</ref> တော်ကီးန်သည် ၎င်းစိတ်မကျေနပ်ဟုထင်ရသော"ခွက်သူခိုး (cup-thief) နှင့် နဂါး၏ ဉာဏ်ရည်၊ စရိုက်စသော အသေးစိတ်အပိုင်းများ၌ ဘိုးဝု(ဖ်)၏ အစိတ်အပိုင်းများကို မွန်းမံသည်။<ref>{{cite book |last=Purtill | first=Richard L. |authorlink=Richard Purtill | title=Lord of the Elves and Eldils | publisher=Ignatius Press |year=2006 |pages=53–55 | isbn=978-1-58617-084-4 |url=}}</ref> နောက်ထပ် အင်္ဂလိပ်ရှေးဟောင်းရင်းမြစ်မှ လွှမ်းမိုးချက်တစ်ခုကား ရှေးဟောင်းစာများဖြင့် တန်ဆာဆင်ထားသော ဓားများ၏ ပုံသဏ္ဌာန်များဖြစ်ကာ အက်လ်ဖ်များသွန်းလုပ်သည့် ဓားကိုသုံးရာတွင် ဘီလ်ဘိုသည် ၎င်း၏ပထမဆုံးအမှီခိုကင်း၍ သူရဲကောင်းပုံစံအသွင်းမျိုးရလေသည်။ အဆိုပါ ဓား ကို ''ဆူး'' (Sting) ဟုခေါ်ဝေါ်ခြင်းဖြင့် ဘီလ်ဘိုသည် ၎င်းကိုယ်တိုင်ရှာဖွေတွေ့ရှိသည့်ကမ္ဘာထဲသို့ ဝင်ရောက်ခြင်းကို အလေးပေးပြသနိုင်၍ ဘိုးဝု(ဖ်)၌တွေ့ရသည့် ယဉ်ကျေးမှု၊ ဘာသာစကားထုံးစံ စသည်များကိုလက်ခံခဲ့သည်ကို ရှုမြင်နိုင်သည်။<ref>{{cite journal | last = McDonald | first = R. Andrew | first2 = K. S. | last2 = Whetter | year = 2006 | title = 'In the hilt is fame': resonances of medieval swords and sword-lore in J. R. R. Tolkien's The Hobbit and The Lord of the Rings | journal = Mythlore | issue = 95/96 | url = http://dc.swosu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1286&context=mythlore|accessdate=3 December 2017 }}</ref> ဤသို့ဖြင့် ဇာတ်ကွက်ပြောင်းလဲတိုးတက်လာမှုတွင် ဘီလ်ဘိုက နဂါးကြီးရတနာသိုက်မှ ခွက်တစ်ခွက်ခိုးယူကာ နဂါးကြီးကို အမျက်ချောင်းချောင်းထွက်စေသည့် ဇာတ်လမ်းအထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ကာသွားစေသည်။ ဤအကွက်မှာ ရိုးရာစကားပြောပုံစံမှ သတ်မှတ်ပေးထားသော လုပ်ဆောင်မှုမျိုးနှင့် ဘိုးဝု(ဖ်)ကို ပုံဖော်ထင်ဟပ်စေသည်။ တော်ကီးန်ရေးခဲ့သလို "အဲဒီခိုးတဲ့အခန်းက ဖြစ်လာတဲ့အခြေအနေများမှ သူ့အလိုလို (​ရှောင်လွှဲလို့လဲမရလောက်ဘဲ) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ဤနေရာမှာ ဇာတ်ကိုအခြားနည်းဖြင့်ရေးရန်ခက်ခဲပါသည်။ ဘိုးဝု(ဖ်)ရေးတဲ့စာရေးဆရာလည်း ဒီလိုနေရာမှာ ဒီလိုပဲပြောဆိုမည်ဟုထင်ပါသည်။<ref name="Carpenter 1981 page=31"/> ရာဒါဂါ့စ် (Radagast) ဆိုသည့် မှော်ဆရာအမည်ကို ဆလပ်ဗ်နတ်ဘုရား 'Rodegast' မှယူသည်ဟု ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့်လက်ခံအသိမှတ်ပြုကြသည်။<ref name="Orr, Robert 1994 p. 23">{{cite journal|last=Orr |first=Robert |title=Some Slavic Echos in J. R. R. Tolkien's Middle-earth |journal=Germano-Slavica |volume=8 |year=1994 |pages=23–34}}</ref> ဟော့ဘစ်ထဲရှိ ဒွာ့လူပုများအား သရုပ်ဖော်ကိုယ်စားပြုမှုကို တော်ကီးန်၏ သီးသန့်ဖတ်ထားသော [[ဂျူးဘာသာ#ဂျူးလူမျိုးနှင့် ဂျူဒါအစ်ဇင်အကြား ထူးခြားချက် |ဂျူးလူမျိုး]]များ၊ ၎င်းတို့သမိုင်းများနှင့်ပတ်သက်သည့် အလယ်ခေတ်စာများမှ လွှမ်းမိုးမှုရှိခဲ့သည်။<ref name="Rateliff page=79-80">{{harvnb|Rateliff|2007|pp=79–80}}</ref> အထီးကျန်တောင်ကြီးတွင် ၎င်းတို့၏ရှေးကတည်းကနေလာသော အမိမြေမှ နှင်ထုတ်ခံရခြင်း၊ ကိုယ်ပိုင်ယဉ်ကျေးမှုများကိုထိန်းသိမ်းရင်း တစ်ခြားသောမျိုးနွယ်များကြား၌နေထိုင်ရခြင်းများနှင့်ပတ်သက်သော ဒွာ့ဗ်လူပုတို့၏ အကျင့်စရိုက်များ အားလုံးသည် အလယ်ခေတ်ဂျူးလူမျိုးပုံရိပ်များမှ ဆင်းသက်လာခဲ့ကြသည်။<ref name="Rateliff page=79-80"/><ref name = "edwards">{{cite book|first=Owen Dudley |last=Edwards |authorlink=Owen Dudley Edwards |title=British Children's Fiction in the Second World War |url=https://archive.org/details/britishchildrens0000edwa |year=2008 |publisher=[[Edinburgh University Press]] |isbn= 978-0-7486-1651-0 |page=[https://archive.org/details/britishchildrens0000edwa/page/458 458]}}</ref> ထိုလူပုများ၏ စစ်လိုလားဟန်သဘာဝသည်လည်း ဟီဘရူးသမ္မာကျမ်းစာ (Hebrew Bible) ကို အခြေခံသည်။<ref name="Rateliff page=79-80"/> ဟော့ဘစ်ဝတ္ထုပါ ဒွာ့ဗ်လူပုများအတွက် တီထွင်ထားသော ပြက္ခဒိန်သည် ဆောင်းဦးနှောင်း၏ အစပိုင်း ဂျူးပြက္ခဒိန် (Jewish calendar in beginning in late autumn) ကိုရောင်ပြန်ဟပ်ညွှန်းနိုင်သည်။<ref name="Rateliff page=79-80"/> တော်ကီးန်က ထိုနှိုင်းယှဉ်ခြင်းကိုငြင်းဆိုသော်လည်း ဒွာ့ဗ်များသည် ဘီလ်ဘိုကို သာယာနေသောဘဝလေးထဲမှ ခေါ်ထုတ်သွားခြင်းကား ''ဂျူးများမရှိသော အနောက်လူမှုအဖွဲ့အစည်း၏ အရည်အသွေးကျဆင်းသွားခြင်း''ကို လှလှပပတင်စားချက် အဖြစ်မြင်နိုင်သည်။<ref name = "edwards" /> ===ထုတ်ဝေခြင်း=== လန်ဒန်မြို့ 'George Allen & Unwin Ltd.' က ဟော့ဘစ်ပထမအကြိမ်ထုတ်ဝေခြင်းကို ၂၁ စက်တင်ဘာ ၁၉၃၇တွင် စောင်ရေ၁၅၀၀ဖြင့် လုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ စိတ်အားထက်သန်လှသော သုံးသပ်ချက်များကြောင့် ဒီဇင်ဘာတွင်ရောင်းကုန်သည်။<ref>{{harvnb|Hammond|Anderson|1993|page=8}}</ref> ဤပထမအကြိမ်သည် တော်ကီးန်၏အဖြူအမဲသရုပ်ဖော်ပုံများ၊ ကိုယ်တိုင်ဆွဲမျက်နှာဖုံးဖြင့်ဖြစ်သည်။ ဘော်စတန်(Boston) ၊ နယူးယောက်ရှိ Houghton Mifflin စာပေက အမေရိကန်ထုတ်ဝေမူအဖြစ် ရိုက်နှိပ်ခြင်းကို စဆုံးလုပ်ဆောင်ကာ ၁၉၃၈ အစောပိုင်း၌ ဖြန့်ချိသည်။ သရုပ်ဖော်ပုံများမှ လေးပုံမှာ အရောင်ဖြင့်ဖြစ်သည်။ Allen & Unwin က ၁၉၃၇ နှစ်ကုန် ဒုတိယထုတ်ဝေခြင်းတွင် အရောင်သရုပ်ဖော်ပုံများ ပေါင်းစပ်ထည့်သည်။<ref>{{harvnb|Hammond|Anderson|1993|pages=18–23}}</ref> စာအုပ်မှာ လူကြိုက်များသော်လည်း ဒုကမ္ဘာစစ်အတွင်းနှင့် အပြီးကာလ ၁၉၄၉ထိ စက္ကူကို ခွဲတမ်းနှင့်သာရသဖြင့် Allen & Unwinက ထုတ်ဝေမူကို ရံဖန်ရံခါထိုကာလများ၌မရနိုင်ခဲ့ပေ။<ref name="Anderson 2003 page=22">{{harvnb|Tolkien|2003|page=22}}</ref> အင်္ဂလိပ်ဘာသာဖြင့် နောက်ပိုင်းထုတ်ဝေမှုများအဖြစ် ၁၉၅၁၊ ၁၉၆၆၊ ၁၉၇၈၊ ၁၉၉၅ တွင် အသီးသီးထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ထိုအင်္ဂလိပ်ဘာသာဖြင့်ထုတ်ဝေမူများကို ထုတ်ဝေရေးတိုက်တချို့ဖြင့်ထုတ်ဝေခဲ့ကြ၏။ <ref name="Anderson 2003 page=384-386">{{harvnb|Tolkien|2003|page=384-386}}</ref> ထို့အပြင် ဟော့ဘစ်ကို ဘာသာစကားပေါင်း (၄၀) ကျော်ဘာသာပြန်ဆိုခဲ့ကြပြီး တချို့သောဘာသာစကားများတွင် တစ်ကြိမ်ထက်မနည်း ထုတ်ဝေမှုများလည်းပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။<ref name="Anderson 2003 page=23">{{harvnb|Tolkien|2003|page=23}}</ref> ====ပြင်ဆင်စိစစ်တည်းဖြတ်ခြင်း==== ၁၉၃၇ ဒီဇင်ဘာတွင် ဟော့ဘစ်ထုတ်ဝေသူ Stanley Unwin က တော်ကီးန်ကို ဟော့ဘစ်နောက်ဆက်တွဲဇာတ်လမ်းတစ်ပုဒ် ရေးရန်တောင်းဆိုသည့်အခါ တော်ကီးန်က The Silmarillion စာမူကိုပေးခဲ့၏။ လူအများက လိုလားသည်မှာ ဟော့ဘစ်တို့အကြောင်း ယခုထက်ပိုသိချင်ကြဟု ယုံကြည်လျှက် အယ်ဒီတာများက ပယ်ချခဲ့သည်။<ref name="Carpenter 1977 page=195">{{harvnb|Carpenter|1977|page=195}}</ref> ''လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်'' ဖြစ်လာမည့် ''ဟော့ဘစ်အသစ်''ဇာတ်လမ်းကို<ref name="Carpenter 1977 page=195"/> စတင်လုပ်ဆောင်ခဲ့ရာ ထိုအားထုတ်မှုလမ်းကြောင်းသည် မူရင်းစာသားအဆက်အစပ်များသာမက ဇာတ်ကောင် ''ဂိုလမ်'' ကိုပါ အများအပြားပြောင်းလဲခဲ့ရလေသည်။ ပထမအကြိမ်ထုတ်ဝေမူတွင် ဂိုလမ်သည် စကားထာဖွက်တမ်းနိုင်ကြေးအဖြင့် လက်စွပ်ကို လိုလိုလားလားလောင်းကြေးထပ်ကာ ဘီလ်ဘိုနှင့် အခင်မင်မပျက်ခွဲခွာခဲ့သည်။{{sfn|Tolkien|2003|p=120}} ဒုတိယမူတွင် ''တစ်ကွင်းတည်းသောလက်စွပ်''(One Ring) ၏အယူအဆသစ်၊ လက်စွပ်၏ညှို့ယူဖျက်ဆီးတတ်သော ဂုဏ်သတ္တိအပေါ် ရောင်ပြန်ဟပ်နိုင်စေရန် တော်ကီးန်က ဂိုလမ်သည် ဘီလ်ဘိုအပေါ်သို့ ပို၍ရက်စက်ကာ လက်စွပ်ပျောက်သည်ကိုသိလျှင် စိတ်ဂဏာမငြိမ် ကယောက်ကယက်ဖြစ်သွားသည်ဟု ပြုပြင်ယူသည်။ ထို့ပြင်ထားသောအဖြစ်သည် ဂိုလမ်၏ဆဲရေးကြိမ်စာတိုက်ခြင်းနှင့် ဤသို့အဆုံးသတ်လေသည်။ " သူခိုးကောင်၊ သူခိုး၊ သူခိုး.. ဘက်ဂင်ကောင်။ တို့တွေမုန်းတယ်၊ တို့တွေ ဒင်းကို မုန်းတယ်၊ တစ်သက်လုံး ဒင်းကို ငါတို့တွေမုန်းတယ်ဟေ့။" ဤအချက်ကား လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်တွင် ဂိုလမ် ပါဝင်လာမှု၏ ရှေ့ပြေးနမိတ်ဆိုး ပြယုတ်ပင်ဖြစ်သည်။ ''လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်''နှင့် ကိုက်ညီမည့်စာအုပ်ကို ထုတ်ဝေနိုင်စေရန်အလို့ငှာ ယခုလိုပြုပြင်ထားသော ''မှောင်ရိပ်ထဲက စကားထာ'' (Riddles in the Dark) အခန်းကို ထုတ်ဝေသူ Unwin ဆီသို့ပို့ခဲ့သည်။ သို့သော် နှစ်အတော်ကြာသည်အထိ ဘာမျှသတင်းစကားမကြားခဲ့ပေ။ အသစ်ထုတ်ဝေမည့် မူအသစ်အတွက် အကြမ်းလှိမ့်ထားသော စာမျက်နှာအရှည်ကို တော်ကီးန်ထံသို့ပို့ပေးခဲ့ရာ ၎င်းပို့ထားခဲ့သော စာသားများထည့်ထားခဲ့သည်ကို အံ့ဩဖွယ်တွေ့ခဲ့ရ၏။<ref>{{harvnb|Carpenter|1977|page=215}}</ref> ''လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်''၌ ''စကားထာဖွက်တမ်း''အား ပထမမူ၌ လက်စွပ်၏ဩဇာကိုမခံနိုင်ပဲ ဘီလ်ဘိုကိုယ်တိုင် လုပ်ကြံဖန်တီးထားသော လိမ်စဉ်တစ်ခုဟု ရှင်းပြထားသော်လည်း ပြုပြင်ပြောင်းလဲထားသောထုတ်ဝေခြင်းများတွင် အစစ်အမှန်အဖြစ်အပျက်သဘောများ ပါဝင်လေသည်။<ref name = "prologue">{{cite book|last=Tolkien |first=J. R. R. |authorlink=J. R. R. Tolkien |origyear=1954 |title=The Fellowship of the Ring |series=[[The Lord of the Rings]] |location= Boston: [[Houghton Mifflin]] | year=1987|isbn=978-0-395-08254-6 |chapter=Prologue|title-link=The Fellowship of the Ring }}</ref> ထိုပြုပြင်မူသည် ဒုတိယအကြိမ်ထုတ်ဝေခြင်းဖြစ်ပြီး ၁၉၅၁၌ ယူကေ၊ ယူအက်စ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။<ref>{{harvnb|Tolkien|2003|pages=18–23}}</ref> နောက်ဆက်တွဲဇာတ်လမ်းအတွက် ဟော့ဘစ်၏ ယျေဘုယျသဘောကို ညှိရန်ကြိုးစားလျှက် ၁၉၆၀တွင် မူအသစ်ကို စတင်လုပ်ကိုင်သည်။ ဟော့ဘစ်စာရေးဟန်၏ ပေါ့ပေါ့ပါးပါး သွက်သွက်လက်လက်များ ပျောက်ဆုံးပြီဟု သွယ်ဝိုက်ပြောဆိုသော ဝေဖန်သံညံလာသောအခါ အခန်း(၃)၏ မူအသစ်ပြုပြင်ခြင်းလက်လျှော့ခဲ့ပေသည်။<ref>{{harvnb|Rateliff|2007|pages=781, 811–12}}</ref> Ace Books မှ ''လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်''ကို မူပိုင်ခွင့်မရှိဘဲ အဖုံးပျော့ထုတ်ဝေခြင်းများရှိလာပြီးနောက် Houghton Mifflin နှင့် Ballantine Books တို့က တော်ကီးန်ကို ဟော့ဘစ်ပါ စာသားအသစ်ပြုလုပ်၍ အမေရိကန်မူပိုင်ခွင့်အသစ် ပြုလုပ်ရန်တောင်းဆိုခဲ့ရာ<ref>{{harvnb|Rateliff|2007|page=765}}</ref> ဤစာသားများသည် ၁၉၆၆ ထုတ် တတိယအကြိမ်ထုတ်ဝေခြင်းဖြစ်ခဲ့၏။ ဤအခွင့်အရေးကို လက်လွှတ်မခံဘဲ ''လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်''နှင့် ထိုစဉ်ကထုတ်ဝေခြင်းမရှိသေးသည့် Quenta Silmarillion မှ စကြဝဠာသဘောများကို ပို၍နီးကပ်စေမည့် ဇာတ်လမ်းပုံစံကို ညှိယူခဲ့သည်။<ref>{{harvnb|Tolkien|2003|page=218}}</ref> ဤအသေးစားပြုပြင်မှုများ၌ ဥပမာအားဖြင့် ပအကြိမ်၊ ဒုအကြိမ်မူများတွင် အက်လ်ဖ်များကို Gnomes ဟု စာမျင်နှာ (၆၃)တွင်ခေါဝေါ်သုံးစွဲခြင်း{{sfn|Tolkien|1937|p=63}}{{sfn|Tolkien|1951|p=63}}ကို တတိယအကြိမ်၌ "High Elves of the West, my kin" ဟုခေါ်ဝေါ်ခဲ့သည်။{{sfn|Tolkien|1966|p=62}} ယခင်က တော်ကီးန်သည် မျိုးရိုးမြင့်အက်လ်ဖ်များ (High Elves) ၏ ဒုတိယအနွယ် the Noldor or "Deep Elves" များနေရာ၌ ဂရိဘာသာ (''gnosis'' (knowledge)) မှဆင်းသက်သော gnome ကို ပညာရှိဆုံးအက်လ်ဖ်များအတွက် ကောင်းသည့်အမည်ဟု တွေးရင်းသုံးဆွဲခဲ့သည်။ သို့ရာတွင် ၁၆ရာစု ဆွစ်ပညာရှင် Paracelsus ဆီမှ ဆင်းသက်လာသော ဥယျာဉ်စောင့် လူပု (garden gnom) ဆိုသည့် ဝေါဟာရအသုံးများမှုကြောင့် ထိုစကားလုံးကို ပစ်ပယ်ခဲ့လေသည်။<ref>{{cite book |title= The History of Middle-earth: Vol 1 "The Book of Lost Tales 1"|last= Tolkien|first= Christopher |year=1983 |publisher=George Allen & Unwin |isbn=978-0-04-823238-0 |pages= 43–44}}</ref> "tomatoes"စကားလုံးကို "pickles" ဟုပြောင်းလဲခေါ်ဝေါ်သော်လည်း ၎င်းစာအုပ်ပါခေတ်နှင့်မကိုက်သည့် တချို့သောစကားလုံးများ clocks ၊ tobacco တို့ကို ဤအတိုင်းပင်သုံးဆွဲလေသည်။ ''လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်'' ဝတ္ထု၌ "''မယ်ရီ'' က နျူမန်နောရီးယန်(Númenóreans)များသည် ဆေးရွက်ကြီး(tobacco)ကို အနောက်အရပ်မှ ယူဆောင်လာကြသည်" ဟုရေးသားခဲ့သည်။ ====စာရေးသူကွယ်လွန်ပြီးမှ ထုတ်ဝေခြင်းမူများ==== စာရေးဆရာကွယ်လွန်ခဲ့ပြီးနောက်ပိုင်း ''ဟော့ဘစ်''ကို စာသားများ၏ဖြစ်ပေါ်လာမှု၊ ပြင်ဆင်မှု၊ မှတ်ချက်ပြုမှုများနှင့် ထုတ်ဝေမှုနှစ်ကြိမ်လုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ ''မှတ်ချက်သွင်းရေးသားထုတ်ဝေသော ဟော့ဘစ်'' စာအုပ် (The Annotated Hobbit) ၌ Douglas Anderson က ဝတ္ထုပါစာသားများဘေးတစ်လျှောက် သရုပ်ဖော်ပုံများ၊ မှတ်ချက်သွင်းရေးသားချက်များနှင့်အတူ ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ၂၀၀၇တွင် အပိုင်းနှစ်ပိုင်းဖြင့်ထုတ်ဝေသော ''ဟော့ဘစ်တို့သမိုင်းကြောင်း'' (The History of The Hobbit)ဘတွင် John D. Ratelif၏ အစောပိုင်း၊အလယ်ပိုင်း စာမူကြမ်းများကို အထောင်အပံ့ပေးထားပြီး ဘေးက တော်ကီးန်လက်ရာများကို မှတ်ချက်ပြုရေးသားမှုများပါဝင်သည်။ ====သရုပ်ဖော်ပုံနှင့် မျက်နှာဖုံးပုံစံ==== တော်ကီး၏ ပေးစာများ၊ ထုတ်ဝေသူမှတ်တမ်းများက စာအုပ်တစ်အုပ်လုံးတွင် သရုပ်ဖော်ပုံဆွဲရာ၌ ၎င်းမှာပါဝင်ခဲ့သည်။ [[File:Hobbit runes.png|alt=See caption.|thumb|"''ကာ့သ်''"ရှေးဟောင်းစာနှင့် တော်ကီးန်ကိုယ်တိုင်ခွဲဝေသတ်မှတ်ထားသော အင်္ဂလိပ်အက္ခရာတန်ဖိုးများ<ref>{{harvnb|Tolkien|2003|pages=378–379}}</ref> ထိုအရာများကို ဟော့ဘစ်စာအုပ်၏ မူရင်းသရုပ်ဖော်ပုံများနှင့် စာအုပ်ဒီဇိုင်းများအတွက် သုံးစွဲခဲ့သည်။]] တော်ကီးန်ဆိုပြုထားသော မြေပုံငါးပုံနှင့်ပတ်သက်၍ ဆွေးနွေးငြင်းခုံခဲ့ကြသည်။ ၎င်းက ''ဿရော်၏မြေပုံ'' (Thror's Map) ကို ရှေ့ဖုံးနှင့်တွဲလျှက်၊ လကြည့်စာ (moon letter- လအလင်းနှင့်မှ မြင်ရသောစာ) ကို နောက်ဖုံးနှင့်တွဲ၍ ထင်ထင်သာသာရှိစေရန် စာအုပ်ကို ထိုသို့ချုပ်စေချင်သည်။<ref name="Anderson 2003 page=22"/> နောက်ဆုံး၌ ကုန်ကျစရိတ်၊ မြေပုံ၏ အရိပ်ထင်မှုစသဖြင့် ထိုအခက်ခဲများကြောင့် ''ဿရော်မြေပုံ''၊''အရိုင်းနယ်မြေပုံ'' (Map of Wilderland) များကို စာအုပ်နောက်ပိုင်း၌သာ ချုပ်ခဲ့သည်။ အနက်ရောင်၊ အနီရောင်ဖြင့် မြေပုံနှစ်ခုလုံးကို ရိုက်နှိပ်ခဲ့၏။<ref>{{harvnb|Hammond|Anderson|1993|page=18}}</ref> နောက်ပိုင်း၌ အခက်ခဲတချို့ရှိသော်ငြားလည်း ထည့်ခဲ့သော ပုံများမှာ ''ဟော့ဘစ်တောင်ကုန်း: ဟော့ဘစ်တန် မှ ရေအိုင်ဖြတ်လမ်း''(The Hill: Hobbiton-across-the-Water) ၊ ''ထရိုးကောင်ကြီးများ'' (The Trolls) ၊ ''တောင်ကြားဖြတ်လမ်း'' (The Mountain Path) ၊ ''နှင်းမြူခိုးတောင်တန်းရိုးမကြီး အနောက်ဘက်မျက်နှာမူပုံ'' (The Misty Mountains looking West ) ၊ ''ဘီယောန်၏ အိမ်ခန်းမကျယ်'' (Beorn's Hall) ၊ ''အမှောင်လွှမ်းတောနက်'' (Mirkwood) ၊ ''အက်လ်ဖ်ဘုရင်၏ ဂိတ်တံခါးဝ'' (The Elvenking's Gate) ၊ ''ရေကန်မြို့'' (Lake Town) ၊ ''အထီးကျန်တောင် အရှေ့ဘက်တံခါးဝ'' (The Front Gate) ၊ ''ဘက်အန့်ဒ်က အခန်း'' (The Hall at Bag End) တို့ဖြစ်ကြသည်။ သရုပ်ဖော်ပုံတစ်ခုမှလွဲ၍ အားလုံးသည် စာမျက်နှာအပြည့်ဖြစ်ပြီး ''အမှောင်လွှမ်းတောနက်'' (Mirkwood) မှာ သီးသန့်ခွဲ၍ သရုပ်ဖော်မှုလိုအပ်ခဲ့သည်။<ref>{{harvnb|Hammond|Anderson|1993|pages=10–11}}</ref> စာအုပ်ဖုံးသရုပ်ဖော်ပုံအားဆွဲပေးရန်တောင်းဆိုရာ တော်ကီးန်က အကြိမ်အတော်လေးဆွဲပြီးနောက် အရောင်လေးရောင်သုံးသည်။ ထုတ်ဝေသူက ကုန်ကျစရိတ်ကိုငဲ့သောအားဖြင့် နေမှ အနီရောင်ကိုဖြုတ်၍ အနက်၊အပြာ၊ အစိမ်းသုံးရောင်ကို အဖြူခံတွင်သုံးခဲ့သည်။<ref name=Hammond12-13>{{harvnb|Hammond|Anderson|1993|pages=12–13}}</ref> ကွဲပြားသောထုတ်ဝေခြင်းများကို မတူညီသောနည်းလမ်းများဖြင့် သရုပ်ဖော်ခဲ့၏။ တချို့မှာ မူရင်းပုံစံကို အနည်းနဲ့အများလိုက်နာကြပြီး အထူးသဖြင့် ဘာသာပြန်မူတချို့တွင် တစ်ခြားသော ပန်းချီဆရာများက မှုန်းချယ်ထားလေသည်။ ၁၉၄၂ ကလေးများစာအုပ်အသင်း (The Children's Book Club) ၏ မူတွင် နည်းလမ်းမကျစွာဖြင့် မြေပုံမပါဘဲ တစ်ခြားသောပုံများကို အဖြူအမဲဖြင့် ရိုက်နှိပ်ခဲ့သည်။<ref name="cbc">{{cite book | last=Tolkien | first=J. R. R. | title=The Hobbit | publisher=The Children's Book Club | location=London | year=1942}}</ref> ==စာပေအမျိုးအစား== အစားအသောက်တိုတိုထွာထွာမက်မော၍ လူ့ကျင့်ဝတ်အရ မပြတ်မသားဖြစ်နေရှာသော ဘီလ်ဘို၊ ထိုကဲ့သို့သောဇာတ်ကောင်များကို ကလေးများက စာနာ နားလည်ပေးနိုင်သည်။ ထိုသို့ဇာတ်ကောင်မျိုးကို ဟော့ဘစ်က ယူငင်သုံးစွဲထား၏။ နောက်ထပ်အနေဖြင့် ဇာတ်လမ်းကိုသိသောကြားလူ (omniscient narrator) တစ်ဦးက ပြန်လည်ပြောပြသည့် "ဇာတ်ကြောင်းပြန် နမူနာပုံစံ" (narrative models) မျိုး ကလေးစာပေတွင်ရှိ၏။ ထိုပုံစံမှ ဇာတ်လမ်းအချိတ်ဆက်သဘောကို ဟော့ဘစ်ဝတ္ထုက ယူငင်သုံးစွဲထားသည်။ ဝတ္ထုပါစာသားများမှာ ''ဇာတ်လမ်းပါအချိန်'' နှင့် ''ဇာတ်လမ်း၏တိုးတက်လာမှု'' ကြားရှိ ဆက်နွယ်မှုကို အလေးပေးရေးသားသည်။ ထိုစာသားများကပင် ဝတ္ထုထဲကနယ်မြေဒေသ၏ "လုံခြုံနွေးထွေးခြင်း"အား "အန္တရာယ်ရယ်ရှိခြင်း"နှင့် သိသိသာသာကွဲပြားသွားစေသည်။ ''ဘစ်လ်ဒ်ဒွန်းရိုမားန်''(Bildungsroman) ဟုခေါ်သော ကလေးပညာပေးစာပေအမျိုးအစားပုံစံ "အိမ်-စွန့်စား-အိမ်" (home-away-home) ဟူသည့် ဇာတ်ကွက်အတိုင်း<ref>{{cite book |title=Exploring Children's Literature: Teaching the Language and Reading of Fiction|last=Gamble |first=Nikki |author2=Yates, Sally |year=2002 |publisher=Sage |url= |isbn= 978-0-7619-4046-3 |page=43 }}</ref> လုံခြုံခြင်း၊ အန္တရာယ်ရှိခြင်း နှစ်ခုစလုံးမှာ ကလေးများအတွက်ရည်ရွယ်ထားသော အဓိကအချက်များပင်ဖြစ်သည်။<ref name="Poveda">{{cite journal |last= Poveda |first=Jaume Albero |year=2003–2004 |title=Narrative Models in Tolkien's Stories of Middle-earth |journal=Journal of English Studies |volume=4 |pages=7–22 |url=http://dialnet.unirioja.es/servlet/fichero_articulo?codigo=1975822&orden=74928 |format=PDF |accessdate=9 July 2008 }}</ref> စာဖတ်သူကိုတိုက်ရိုက်ရည်ညွှန်းသည့် ဇာတ်ကြောင်းပြန်ပြောသည့် သွင်ပြင်ကို တော်ကီးန်က မနှစ်သက်ပါဟု နောက်ပိုင်းတွင်အခိုင်အမာဆိုခဲ့သော်လည်း <ref>{{harvnb|Carpenter|1977|page=193}}</ref> ထိုနောက်ခံဇာတ်ကြောင်းပြန်ဆိုသည့် အသံ(ပုံစံ)ကပင် ဝတ္ထု၏ကြီးကြယ်သည့်အောင်မြင်မှုဖြစ်သွားစေသည်။<ref>{{harvnb|Rateliff |2007|p=64}}</ref> အက်မာ အို ဆူလစ်ဗန် (Emer O'Sullivan) က သူမ၏ ကလေးစာပေနှိုင်းယှဉ်မှုတွင် ဤသို့မှတ်ချက်ပြုထားသည်။ " ဂျော့စတိန်းဂါးဒါ (Jostein Gaarder) ၏ ဆိုဖီကမ္ဘာ (Sophie's World - ၁၉၉၁) ၊ ဂျေကေရိုးလင်း၏ [[ဟယ်ရီပေါ်တာ]]ဇာတ်လမ်းတွဲများနှင့်တကွ ခေတ်ရေစီးကြောင်းစာပေထဲသို့ လက်ခံထားသော အနည်းငယ်သာရှိသည့်ကလေးစာပေများထဲက တစ်ခုကား "ဟော့ဘစ်''ဖြစ်သည်။ "<ref>{{cite book |title=Comparative Children's Literature |url=https://archive.org/details/comparativechild00osul |last=O'Sullivan |first=Emer |year=2005 |publisher=Routledge |isbn=978-0-415-30551-8 |page=[https://archive.org/details/comparativechild00osul/page/n29 20] }}</ref> တော်ကီးန်က ဟော့ဘစ်ကို မိရိုးဖလာပုံပြင်အဖြစ်ရည်မှန်းပြီး ကလေးများကိုရည်ညွှန်းသည့် ရေးဟန်ဖြင့် ရေးဖွဲ့ခဲ့သည်။<ref>{{harvnb|Carpenter|1981|page=159}}</ref> သို့သော် နောက်တွင် ၎င်းက ဤစာအုပ်မှာ ကလေးများအတွက်သီးသန့်ရေးခဲ့ခြင်းမဟုတ်ဘဲ [[ဒဏ္ဍာရီ]]၊ ရာဇဝင်ကိုစိတ်ဝင်စားမှုမှ ဖန်တီးခဲ့ခြင်းဖြစ်ကြောင်းပြောဆိုခဲ့သည်။<ref>{{cite book|url=https://archive.org/details/waroffantasyworl0000samm|title=War of the Fantasy Worlds: C.S. Lewis and J. R. R. Tolkien on Art and Imagination |first=Martha C. |last=Sammons |publisher=Greenwood Publishing Group |year=2010 |isbn=978-0-313-36282-8 |page=[https://archive.org/details/waroffantasyworl0000samm/page/6 6]}}</ref> စာအုပ်ကို မူလဝေဖန်သုံးသပ်မှုများကလည်း မိရိုးဖလာပုံပြင်အဖြစ်သတ်မှတ်ရည်ညွှန်းကြသည်။ သို့ရာတွင် 'The Oxford Companion to Fairy Tales' ထဲ၌ ရေးသားသော Jack Zipes က ဘီလ်ဘိုသည် မိရိုးဖလာပုံပြင်ဇာတ်ကောင်မျိုးနှင့် အံမဝင်ပါဟုပြောဆိုခဲ့သည်။<ref name="zipes">{{cite book|title=The Oxford Companion to Fairy Tales |last=Zipes |first=Jack |authorlink=Jack Zipes |year=2000 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-860115-9 |page=[https://archive.org/details/oxfordcompaniont0000zipe/page/525 525] |url=https://archive.org/details/oxfordcompaniont0000zipe/page/525 }}</ref> ဤစာအုပ်(ဝတ္ထု)ကို စိတ်ကူးယဉ်ဝတ္ထု (fantasy novel) ဟုသာ မကြာခဏဆိုသလိုခေါ်ဆို၍ ဈေးကွက်တွင်ရောင်းချကြသည်။ တော်ကီးန်းအား လွှမ်းမိုးနိုင်၍ စိတ်ကူးယဉ်အခြေခံ အကြောင်းခြင်းရာများပါဝင်သော စာအုပ်နှစ်အုပ်မှာ ဂျေ အမ် ဘဲရီး (J. M. Barrie) ၏ ''ပီတာပန်နှင့် ဝမ်ဒီ'' (Peter Pan and Wendy) ၊ ဂျော့ မက်ခ်ဒေါ်နယ် (George MacDonald) ၏ ''မင်းသမီးလေးနှင့် ဂေါ်ဘလင်'' (The Princess and the Goblin) တို့ဖြစ်၍ ဟော့ဘစ်ကိုလည်း ကလေးစာပေအဖြစ်ပင် မူလကတည်းကခွဲခြားသတ်မှတ်ထား၏။<ref>{{cite book|url=https://archive.org/details/childrensliterat0000hunt|page=[https://archive.org/details/childrensliterat0000hunt/page/173 173] et seq |title=Children's Literature |first=Peter |last=Hunt |first2=Tristram |last2=Hunt |publisher=John Wiley & Sons |year=2000 |isbn=978-0-631-21141-9}}</ref><ref>{{cite book|title=Klassiker der Kinder- und Jugendliteratur [The Classics of Children's and Juvenile Literature]|first=Bettina |last=Kümmerling-Meibauer |language=German |publisher=Metzler |year=1999 |isbn=978-3-476-01235-7 |pages=1078–1079 |volume=2 volumes set}}</ref> ထိုစာပေအမျိုးအစားနှစ်ခုမှာ တစ်ခုနှင့်တစ်ခု ချိတ်ဆက်နေပါသည်။ သို့အတွက်ကြောင့် high fantasy ဟုခေါ်တွင်သော ပိုမိုကျယ်ပြန့်သည့် စိတ်ကူးယဉ်စာပေ၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်များတွင် စာရေးဆရာ L. Frank Baum နှင့် Lloyd Alexander ကဲ့သို့သော ကလေးစာပေစာအုပ်များပါဝင်သလို အရွယ်ရောက်သူများအတွက် စာပေဟု ယူဆကြသော Jonathan Swift ၊ Gene Wolfe တို့၏ လက်ရာများလည်းပါဝင်သည်။ ဟော့ဘစ်ကို နှစ်ဆယ်ရာစု၏ ကလေးများအတွက်ရေးသားသော စိတ်ကူးယဉ်စာပေ၏ ရေပန်းအစားဆုံးဝတ္ထုဟုခေါ်ဝေါ်ကြသည်။<ref>{{cite book|url=https://archive.org/details/essentialguideto00silv|url-access=registration|title=The Essential Guide to Children's Books and Their Creators |first=Anita |last=Silvey |publisher=Houghton Mifflin |year=2002 |isbn=978-0-618-19082-9 |page=[https://archive.org/details/essentialguideto00silv/page/448 448]}}</ref> ဆူလစ်ဗန်က ဟော့ဘစ်သည် high fantasy စာပေ တိုးတက်မှု၏ အရေးပါသောအဆင့်ဟု ချီးကျူးခဲ့လေသည်။ {{sfn|Sullivan|1996|p=309-310}} ==ရေးဟန်== တော်ကီးန်၏ စကားပြေအရေးအသားမှာ ရိုးစင်း၍ လွယ်ကူသည်။ ၎င်းစိတ်ကူးယဉ်ကမ္ဘာ၏ဖြစ်တည်မှုနှင့် အသေစိတ်များကို လက်တွေ့ကျသည့်နည်းလမ်းဖြင့် ဖော်ပြသည်။ တစ်ဖက်တွင်လည်း အကြောင်းရာအသစ်၊ ထူးထူးခြားခြားဇာတ်ကွက်များကို အမှတ်မထင်ပုံစံဖြင့် မိတ်ဆက်ပေးသည်။ ဤသို့လက်တွေ့ကျကျစာရေးဟန်သည် စာဖတ်သူများအား စိတ်ကူးယဉ်ကမ္ဘာ၏ အရှိတရားကိုယုံကြည်စေရန် မြှောက်ပင့်တိုက်တွန်းသည်ထက် စာဖတ်သူများကို ထိုစိတ်ကူးယဉ်ကမ္ဘာထဲသို့ သွတ်သွင်းပေးလိုက်သည်။ ဤစာရေးဟန်များကို Richard Adams ၏ Watership Down နှင့် Peter Beagle ၏ The Last Unicorn စာအုပ်များတွင်လည်းတွေ့နိုင်သည်။<ref>{{cite book |title=Other Worlds |url=https://archive.org/details/otherworldsfanta0000timm |last=Timmerman |first=John |year=1983 |publisher=Popular Press |isbn=978-0-87972-241-8 |page=[https://archive.org/details/otherworldsfanta0000timm/page/52 52] }}</ref> ဟော့ဘစ်ကို ရှင်းလင်းလွယ်ကူသော ဘာသာစကားတည်ဆောက်ပုံမျိုးဖြင့်ရေးသော်လည်း ဇာတ်ကောင်တစ်ကောင်ခြင်းစီ၏ လေသံမှာ သူ့နည်းသူ့ဟန်ဖြင့်ဖြစ်လေသည်။ ဇာတ်လမ်းကို စကားချပ်လေးများဖြင့် ဝင်ဝင်လာတတ်ပြီး ရံခါ၌ ဇာတ်အသွားအလာကို နှောက်ယှက်တတ်သော နောက်ခံပြောပြနေသူတွင် သူ့ကိုယ်ပိုင်ဟန်စကားအသုံးမျိုးပိုင်ဆိုင်ထားသည်။ ထိုစကားများသည် ဇာတ်ကောင်များ၏ ဝထ္ထုထဲတွင်သုံးနေသောစကားများနှင့် မတူဘဲကွဲပြားနေသည်။<ref>{{cite book|title=Book Notes: "The Hobbit" |last=Pienciak |first=Anne |year=1986 |publisher=Barron's Educational Series |isbn=978-0-8120-3523-0 |pages=[https://archive.org/details/jrrtolkienshobbi0000pien/page/36 36–39] |url=https://archive.org/details/jrrtolkienshobbi0000pien/page/36 }}</ref> ဇာတ်လမ်း၏ အခြေခံပုံစံမှာ စွန့်စားရှာဖွေခရီးစဉ်(quest)မျိုးပင် ဖြစ်၏။<ref>{{cite book|last=Auden |first=W. H. |authorlink=W. H. Auden |editor=Rose A. Zimbardo and Neil D. Isaacs |title=Understanding the Lord of the Rings: The Best of Tolkien Criticism |year=2004 |publisher=Houghton Mifflin |isbn=978-0-618-42251-7 |pages=[https://archive.org/details/isbn_9780618422517/page/31 31–51] |chapter=The Quest Hero |url=https://archive.org/details/isbn_9780618422517/page/31 }}</ref> ထိုအကြောင်းကို အပိုင်းလိုက် တင်ဆက်ထားသည်။ အရှေ့တခွင် အရိုင်းနယ်မြေ (Wilderland) တစ်လျှောက်၌ တွေ့ခဲ့ရသော သီးသန့်ဇာတ်ကောင်တစ်မျိုးဆီကို အခန်းတစ်ခန်း စီ၌ မိတ်ဆက်သည်။ စာအုပ်၏ အများစုသောအခန်းများမှာ ဤသို့ပင်ဖြစ်သည်။ တွေ့ရသော ထိုဇာတ်ကောင်များမှာ ဇာတ်လိုက်ဖြစ်သူကို ခင်မင်ကူညီသည်လည်းရှိသလို ခြိမ်းချောက်အန္တရာယ်ပေးသည်လည်းရှိ၏။ မည်သို့ပင်ဖြစ်စေ ယေဘုယျစာရေးဟန်ကား ပေါ့ပေါ့ပါးပါး သွက်သွက်လက်လက်ဖြစ်ပြီး သီချင်းများနှင့် ရယ်စရာဟာသများကို စာအုပ်အနှံထည့်ထားလေသည်။ ဥပမာ ထိုပေါ့ပါးသောရေးဟန်ကိုထိန်းထားသည့်အချိန်မှာ သော်ရင်နှင့် အဖွဲ့ကို ဂေါ်ဘလင်များက အောက်ဘက်နယ်မြေထဲသို့ ဖမ်းဆီးခေါ်ဆောင်သွားစဉ် ဂေါ်ဘလင်များဆိုသောသီချင်းတစ်ပုဒ်ကား : {{quote box|width=30em|align=right|quote=Clap! snap! the black crack!</br> Grip, grab! Pinch, nab!</br> And down down to Goblin-town</br> You go, my lad!}} {{quote box|width=30em|align=right|quote=ဖြန်း! ဖျတ်! မဲမှောင်အနက် ခလွပ်!</br> ဗြစ် ခွပ်! ညစ် ညှပ်!</br> အောက် အောက် ဂေါ်ဘလင်မြို့တော် ဟိုးဘက်အောက်</br> မင်းတို့ သွားကွဲ့ ဟိုဘက်အောက်! </br> (သင့်သလိုဘာသာပြန်ထားခြင်း)}} ဤမြည်သံဆွဲသီဆိုခြင်းများသည် အန္တရာယ်မြင်းကွင်းကို ဟာသဖြင့် ရောယှက်စေ၍ သက်သာစေသည်။ တော်ကီးန်သည် ပူပန်ဖွယ်အခြင်းရာနှင်ဟာသကို မျှမျှတတသုံးစွဲနိုင်သည်။ သာဓကများကို ထရိုးကောင်ထွားကြီးများ၏ ပေါချာချာနိုင်ခြင်း၊ စကားကို ကာရံလိုလိုပုံစံဖြင့် ထူခြားသောလေယူလေသိမ်းဖြင့်ပြောဆိုခြင်းမျိုး (ကော့ခ်နီများအတိုင်း -Cockney{{efn|လန်ဒန်အရှေ့စွန်ပိုင်းနေသောသူများ၊ ကြားနေကြအင်္ဂလိပ်လေသံမျိုးဟုတ်ဘဲ တမူထူးခြားသောလေယူလေသိမ်းနှင့် စကားပြောတတ်သော လန်ဒန်အရှေ့ခြမ်းသားများ<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Cockney#Cockney_speech</ref>}}) နှင့် သော်ရင်တို့ကို ဖမ်းဆီးသူအက်လ်ဖ်များ အရက်သောက်မူးနေသည့်အခန်းများတွင် ဖော်ပြထားသည်။ <ref>{{cite book|last = Helms | first = Randel|title = Myth, Magic and Meaning in Tolkien's World. | publisher = Granada | year = 1976 | location = |p=45-55 |isbn = 978-0-415-92150-3|ref=harv}}</ref> ထူးဆန်းသည့် နယ်မြေများသို့ထွက်သည့်ခရီးစဉ်ကို ပြောပြသည့် ယေဘုယျပုံစံမှာ သွက်လက်ကာ ဤပုံစံသည် တော်ကီးန်အပေါ် စာပေအရ ဩဇာညောင်းခဲ့သော ဝီလီယန် မောရစ် (William Morris) ၏ ''အိုင်စလန်သားများ နေ့စဉ်ဖြစ်ပျက်မှတ်တမ်း''ကို ယူငင်ထားခြင်းဖြစ်ကောင်းဖြစ်နိုင်ပေ၏။<ref>{{cite journal | last =Amison | first =Anne | date =July 2006 | title =An unexpected Guest. influence of William Morris on J. R. R. Tolkien's works | journal =Mythlore | issue =95/96 | url =http://dc.swosu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1293&context=mythlore|accessdate=3 December 2017 }}</ref> ==ဆန်းစစ်ဝေဖန် လေ့လာခြင်း== ===အဓိကအကြောင်းအရာများ=== ဤဇာတ်လမ်းအဖို့ အဓိကဇာတ်ဆောင် ဘီလ်ဘို ဘက်ဂင်၏ ပြောင်းလဲတိုးတက်လာမှု၊ ရင့်ကျက်လာမှုတို့က အဓိကပင်ဖြစ်သည်။ ပြင်ပကမ္ဘာ၌ ရှင်းလင်းသည့်အမြင်၊ ခိုင်မာသောယုံကြည်မှုရရှိလာသောဘီလ်ဘို၏ ဤခရီးစဉ်စွန့်စားမှုသည် ရိုးရာစွန့်စားဇာတ်လမ်းအဖွဲ့ (traditional quest) မျိုးထက် ဘစ်လ်ဒ်ဂွန်းရိုမားန် (စာပေပုံစံတစ်မျိုး) နှင့် ပိုနီးကပ်သည်။<ref>{{Harvnb|Grenby|2008|p=98}}</ref>စာရေးဆရာ၏ ဒွာ့ဗ်လူပုများအဖမ်းခံရခြင်းဖြစ်စဉ်အပေါ် ဘီလ်ဘို၏ တိုးတက်လာမှုကို ကွဲကွဲပြားပြားဖော်ပြထားခြင်းနှင့်တကွ တဖြည်းဖြည်း ရင့်ကျက်စွမ်းဆောင်လာနိုင်ခြင်းများသည် ဆွစ်စိတ်ပညာရှင် ယွန်းငီးယန် (Jungian) ၏ ''သီးခြားတစ်ဦးခြင်းထင်ပေါ်မှု'' အယူအဆ (individuation) ကို ရောင်ပြန်ထင်ဟပ်စေသည်။<ref name="Matthews">{{cite book| author=Matthews, Dorothy | chapter=The Psychological Journey of Bilbo Baggins | title=A Tolkien Compass | pages=[https://archive.org/details/tolkiencompass00lobd/page/27 27–40] | publisher=Open Court Publishing | isbn=978-0-87548-303-0 | year=1975 | url=https://archive.org/details/tolkiencompass00lobd/page/27 }}</ref> ထို့ကြောင့်ပင် အစောပိုင်း၌ ဘီလ်ဘိုအပေါ် ဂန်ဒက်ဖ်၏ ထိန်းကျောင်းသူအဖြစ် ဩဇာသက်ရောက်ရှိပေလင့်ကစား တဖြည်းဖြည်းခြင်း အဖွဲ့အပေါ်ဦးဆောင်မှု ပခုံးပြောင်းယူသွားသည်မှာ ဘီလ်ဘိုပင်ဖြစ်၍ ထိုအချက်ကို ဒွာ့ဗ်လူပုများကလည်း အသာတကြည်လက်ခံကြသည်။<ref>{{cite book|url=https://archive.org/details/jrrtolkienmythmo0000purt|pages=[https://archive.org/details/jrrtolkienmythmo0000purt/page/67 67]–68 |title=J. R. R. Tolkien: Myth, Morality, and Religion |first=Richard L. |last=Purtill |authorlink=Richard Purtill |publisher=Ignatius Press |year=2003 |isbn=978-0-89870-948-3}}</ref> မြေအောက်ကမ္ဘာနှင့် ထိုအထဲမှ သူရဲကောင်းကား အံ့ဖွယ်ပစ္စည်းတစ်ခု (ဤနေရာ၌ လက်စွပ်နှင့် အက်လ်ဖ်များ၏ ဓား) အကူအညီဖြင့် ပြန်လည်လွတ်မြောက်လာကာ ၎င်း၏ပတ်ဝန်းကျင်ကိုလည်း အကျိုးရှိစေ၏။ ဤအခြင်းအရာများသည် ဂျိုးဇက် ကမ့်ဘဲလ် (Joseph Campbell) ဖော်ပြထားသလို "(ဇာတ်လမ်းပါဖော်ပြထားသော) ဘဝအစနှင့် အရွယ်ရောက်လာသောကောင်လေးတစ်ဦး" နှင့်စပ်လျဉ်းသော ဒဏ္ဍာရီလာရေးစဉ်ပုံစံ (mythic archetype) နှင့်အံဝင်သည်ဟု သုံးသပ်နိုင်သည်။<ref name="randel">{{cite book|last=Helms|first=Randel|title=Myth, Magic and Meaning in Tolkien's World|year=1976|publisher=Granada|pages=[https://archive.org/details/whendreamscametr00jack/page/45 45–55]|isbn=978-0-415-92150-3|url=https://archive.org/details/whendreamscametr00jack/page/45}}</ref> Ancrene Wisse (၁၃ရာစု အမျိုးသမီးဘာသာရေးသူတော်စဉ်များအတွက်ရေးသော လမ်းညွှန်) ဆီမှ ဆင်းသက်လာသော တရားမျှတသောခေါင်းဆောင် (just kingship) နှင့် အကျင့်မမှန်ဖောက်လွဲသောခေါင်းဆောင် (sinful kingship) ကြားရှိ အယူအဆများအား ဘီလ်ဘို၏ အခြားသူများအပေါ်အသာစီးရ တိုးတက်ပြောင်းလဲလာမှုနှင့် နှိုင်းယှဉ်ကြသည်။ ထိုသို့ ဘီလ်ဘို၏ ပြောင်းလဲတိုးတက်မှုကို ဘိုးဝု(ဖ်)နှင့်ပတ်သက်သော ခရစ်ယာန်ယုံကြည်နားလည်ခြင်းနှင့်လည်း နှိုင်းယှဉ်ကြည့်ကြလေသည်။<ref>{{harvnb|Chance|2001|pages=53–56}}</ref> လောဘတရား၊ တစ်ကိုယ်ကောင်းဆန်မှုတို့အပေါ် အနိုင်ယူခြင်းသည် ဤဇာတ်လမ်း၏ ကိုယ်ကျင့်တရားသင်ခန်းစာများ ဖြစ်ပေသည်။<ref>{{Harvnb|Grenby|2008|p=162}}</ref> လောဘ၊ များစွာသော အခန်းများတွင် ဇာတ်ကောင်တစ်ကောင် (သို့) ဇာတ်ကောင်များသည် ရိုးရှင်းစွာဖြစ်လာသော အစားအသောက်မက်မောစိတ်များ (ဤနေရာ၌ ထရိုးကောင်ကြီးများက ဒွာ့ဗ်လူပုများကိုစားမိသည်ဖြစ်စေ သို့မဟုတ် ဒွာ့ဗ်လူပုများက သစ်တောနေအက်လ်ဖ်တို့၏ စားဖွယ်ရာကို စားမိခဲ့ကြသည်ဖြစ်စေ)၊ လှပအဖိုးတန် ရွှေငွေ ကျောက်သံများအပေါ်မက်မောစိတ်များကဲ့သို့ လောဘတရားသည် ဝတ္ထုတွင် ထပ်ခါထပ်ခါပြသော အဓိကအကြောင်းအရာဖြစ်သော်လည်းပဲ<ref>{{cite book|title=Confronting Tyranny: Ancient Lessons for Global Politics |editor-first=Toivo |editor-last=Koivukoski |editor2-first=David |editor2-last=Tabachnick |pages=[https://archive.org/details/confrontingtyran0000unse/page/217 217–218] |publisher=Rowman & Littlefield |year=2005 |isbn=978-0-7425-4400-0 |chapter=The Folly of the Wise |first=Thomas |last=Smith |url=https://archive.org/details/confrontingtyran0000unse/page/217 }}</ref> သော်ရင်အား ထိုလောဘဖြစ်စေရန် လွှမ်းမိုးညှို့ဆောင်နိုင်သည်မှာ အာကန်စတုံး (Arkenstone) ၊ ထိုကျောက်တုံးကဖြစ်စေသော မကောင်းစိတ်များ "ငမ်းငမ်းတက်လိုချင်လောဘ" နှင့် "အကုသိုလ်စိတ်" တို့သည်ဝတ္ထု၏ရှေ့တန်းသို့ရောက်လာကာ ဇာတ်လမ်း၏ အခရာဖြစ်လာသည်။ ဒွာ့ဗ်တို့၏ မျိုးမွေခံ ထိုရှေးဟောင်းကျောက်တုံးကို ဘီလ်ဘိုကခိုးယူ၍ သော်ရင်ကို စစ်မတိုက်စေရန် လျှော်ကြေးသဘောမျိုးဖြင့် ပြန်ရွေးစေရန်ကြိုးပမ်းခဲ့သည်။ သို့ရာတွင် သော်ရင်သည် ယခင်တုန်းက ၎င်းပေးခဲ့ဖူးသော ကတိကဝတ်များ၊ "ကူညီရန်အသင့်ပါဗျာ" ဟုဆိုခဲ့သည်များကို လျစ်လျူရှုခဲ့ပြီး အမှတ်မထင် ဘီလ်ဘိုကို သစ္စာဖောက်အဖြစ်သတ်မှတ်ရန်ရှာလေတော့သည်။<ref>{{cite book |last=Clark |first=George |author2=Timmons, Daniel |title=J. R. R. Tolkien and His Literary Resonances: Views of Middle-earth |publisher=Greenwood Publishing Group |pages=[https://archive.org/details/jrrtolkienhislit0000unse/page/85 85]–86 |isbn=978-0-313-30845-1 | url=https://archive.org/details/jrrtolkienhislit0000unse|year=2000}}</ref> အဆုံးတွင် ဘီလ်ဘိုက တစ်ကယ့်ချို့တဲ့လိုအပ်သူများကိုကူညီရန် ထိုကျောက်တုံးနှင့် ၎င်းဝေစုအများစုကို စွန့်လွှတ်ခဲ့သည်။ Silmarillion ဇာတ်လမ်းတွင်လည်း လိုချင်သူကို ဖျက်ဆီးတတ်သောလောဘတရားကို ဖြစ်စေသည့် ရတနာ၏ဆိုလိုရင်းသဘောကို စူးစမ်းတင်ပြထားသေးသည်။ တော်ကီးန်ဖန်တီးထားသော ဝေါဟာရရင်းမြစ်များတွင် အာကန်စတုံး (Arkenstone) နှင့် လင်းလက်ရတနာ (Silmaril) တို့ကြားဆက်နွယ်မှုရှိသည်။<ref>{{harvnb|Rateliff|2007|pages=603–609}}</ref> သဘာဝလွန်စွမ်းအားတစ်ရပ်က လောကသုံးပါးကို လွှမ်းမိုးချုပ်ကိုင်ခြင်းဝါဒ (animism) ၏ အခြင်းအရာများကို ဟော့ဘစ်တွင်ထည့်သွင်းယူထားလေသည်။ မနုဿဗေဒ(anthropology) နှင့် ကလေးတစ်ယောက် (ဇီဝ၊ ကာယ၊ စိတ္တ၊ ဝေဒနာ) ဖွံ့ဖြိုးလာခြင်း၏ အယူအဆတွင် အထက်ဖော်ပြပါ စွမ်းအား၏ လွှမ်းမိုးခြယ်လှယ်နေခြင်းဆိုသည်ကား အပင်၊ တိရစ္ဆာန်၊ သက်မဲ့ဝတ္ထုများ၊ မုန်တိုင်းကဲ့သို့သော သဘာဝဖြစ်စဉ်များတွင် လူကဲ့သို့ ဉာဏ်ရည်မျိုးရှိသည်ဟူသော စိတ်ကူးအယူအဆဖြစ်၏။ John D. Rateliffက ''ဟော့ဘစ်သမိုင်းကြောင်း'' (The History of the Hobbit) တွင် ဤအချက်ကို ဒေါက်တာ ဒူးလစ်တဲလ် (Doctor Dolittle{{efn|စာရေးဆရာHugh Lofting ဖန်တီးထားသော ကလေးများစာအုပ်အတွဲထဲက ဇာတ်ကောင်<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Doctor_Dolittle</ref>}}) ၏အာဘော်ဟု ခေါ်ဝေါ်ခဲ့ကာ တိရစ္ဆာန်များနှင့် အမြောက်အမြားစကားပြောဆိုခြင်းကို ရည်ညွှန်းပါသည်။ ထိုစကားပြောသော သတ္တဝါများတွင် လူကဲ့သို့အဆင်းရှိသော အက်လ်ဖ်များနှင့် ဂေါ်ဘလင်များ၊ ကျီးကန်းများ (ravens) ၊ မြေလူးငှက် (thrush) ၊ ပင့်ကူကြီးများနှင့် နဂါးကြီးစမောက်ဂ်တို့ပါဝင်လေသည်။ Patrick Curry ၏ မှတ်ချက်တွင် ''သဘာဝလွန်စွမ်းအားချုပ်ကိုင်ခြင်းဝါဒ'' ကို တော်ကီးန်၏ အခြားသောလက်ရာများတွင် တွေ့ရှိနိုင်ပြီး ဟော့ဘစ်ဝတ္ထုထဲ၌ သက်မဲ့ မှ သက်ရှိသို့ ဘာသာစကားဆိုင်ရာ အရွေ့တစ်ခုအဖြစ် "''တောင်တန်း၏အမြစ်ကြောကြီးများ''"(roots of mountains) နှင့် "''သစ်ပင်ခြေထောက်များ''"(feet of trees) စသည့် အသုံးအနှုန်းများကို ဖော်ပြပြောဆိုခဲ့သည်။<ref name="curry">{{cite book | last = Curry | first = Patrick | year = 2004 |title =Defending Middle-earth: Tolkien: Myth and Modernity | publisher=Mariner Books | isbn=978-0-618-47885-9| page =[https://archive.org/details/defendingmiddlee0000curr_v1g5/page/98 98] |url=https://archive.org/details/defendingmiddlee0000curr_v1g5}}</ref> ထို''သဘာဝလွန်စွမ်းအားချုပ်ကိုင်ခြင်းရှိသည့် ကမ္ဘာဦးခေတ်ကိုးကွယ်မှုစိတ်ကူးစိတ်သန်းသည် လူသားများ၏ဘာသာစကားများ၊ ယုံတမ်းဒဏ္ဍာရီများပေါ်ထွန်းလာမှုနှင့် နီးကပ်ဆက်စပ်နေသည်ဟု မြင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ "သစ်ပင်နှင့် ကြယ်များအကြောင်းပြောသော ကမ္ဘာဦးလူများသည် အရာရာကို မတူကွဲပြားစွာဖြင့်မြင်ခဲ့ကြမည်။ ၎င်းတို့အဖို့ ဖန်ဆင်းခြင်းဆို​သည်ကား ဒဏ္ဍာရီများဖြင့်ရက်လုပ်၍ နတ်များဖြင့်တန်ဆာဆင်ထားပေမည်။" <ref>{{cite book| title = The Inklings: C. S. Lewis, J. R. R. Tolkien, Charles Williams and Their Friends | last = Carpenter | first = Humphrey | year = 1979 | isbn = 978-0-395-27628-0 | page = [https://archive.org/details/inklingscslewisj00carp/page/43 43] | publisher = Houghton Mifflin | location = Boston | url = https://archive.org/details/inklingscslewisj00carp/page/43 }}</ref> ===ဇာတ်လမ်းကို အနက်ဖော်ထုတ်ခြင်း=== ဇာတ်ကြောင်း၊ အချိန်၊နေရာ၊ဖြစ်ပျက်များ စီစဉ်ခြင်းမှာကဲ့သို့ ဇာတ်ကောင်များနှင့် ပြန်လှန်ချိတ်ဆက်မှုများ ဖွဲ့စည်းရာတွင်ပါရှိစေရန် စာပေရေးရာသီအိုရီအယူအဆများကို တော်ကီးန်က ယူဆောင်အသုံးချသည်။ ၎င်းက ရှေးဟောင်းကမ္ဘာကို စူးစမ်းသော ခေတ်သစ် ခေတ်နောက်ပြန်သမား (modern anachronism) အဖြစ် ဘီလ်ဘိုကို မှုန်းချယ်သည်။ ဘီလ်ဘိုသည် ဤခေတ်ဟောင်းကမ္ဘာအတွင်း၌ ညှိနှိုင်းတတ်သော၊ ချိတ်ဆက်တုံ့ပြန်နိုင်သောသဘောရှိ၏။ အကြောင်းသည်ကား ကမ္ဘာနှစ်ခုကြား ဆက်ယှက်မှုကိုဖြစ်စေသည်မှာ ဘာသာစကားနှင့် ရိုးရာစဉ်ဆက်သဘောများဖြစ်၏။ ဥပမာ - ဂိုလမ်ပြောသော [[စကားထာ]]များကို ရှေးဟောင်းသမိုင်းဝင်ရင်းမြစ်မှယူငင်၍ ဘီလ်ဘို၏ စကားထာကား ခေတ်ပေါ် ကလေးကဗျာစာအုပ်များမှ ဖြစ်သည်။ နှစ်ဦးစလုံးအဖို့ ရင်းနှီးကျွမ်းဝင်သော စကားထာကစားခြင်းသည် စကားထာပါအ​ကြောင်းရာများထက် ထိုနှစ်ဦးအားပို၍ ချိတ်ဆက်တုံ့ပြန်ဆက်ဆံစေနိုင်သည်။ (ပို၍ ဇာတ်ကိုကြွစေသည်) ဇာတ်ကောင်တစ်ကောင်ချင်းစီ၏ ဘာသာစကားဟန်၊ လေသံ၊ စိတ်တိမ်းညွတ်မှုနယ်ပယ်များ၏ အပေါ်ယံသဘောကွာခြားသော စိတ်ကူးသည် ခေတ်သစ်၊ ခေတ်ဟောင်းကမ္ဘာနှစ်ခုကြား က နက်နဲသည့်ကျစ်လျစ်စုစည်းမှုကို နားလည်သဘောပေါက်စေသည်။ ဤသည်လည်း ဝတ္ထု၌ ထပ်တလဲလဲဖော်ပြသော အကြောင်းအရာတစ်ရပ်ပင်ဖြစ်သည်။<ref name="Shippey_Author">{{cite book|last=Shippey |first=Tom|authorlink=Tom Shippey|title=J. R. R. Tolkien: Author of the Century |publisher= HarperCollins |year= 2001 |isbn=978-0-261-10401-3 | page=41 |title-link=J. R. R. Tolkien: Author of the Century}}</ref> နဂါးကြီးစမောက်ဂ်သည် ဇာတ်၏အဓိကလူဆိုးဖြစ်ပြီး စမောက်ပါဝင်သောဇာတ်ကွက်များသည် ဘိုးဝု(ဖ်)ထဲ၌ပါသော နဂါးကြီးအား ထင်ဟပ်စေပြန်သည်။ တော်ကီးန်က ၎င်းကိုယ်တိုင် ရှေးဟောင်းအင်္ဂလိပ်ကဗျာနှင့်ပတ်သက်၍ ပျိုးထောင်ထားသော နည်းသစ်စာပေသီအိုရီတချို့အားသုံး၍ ဤဇာတ်ကွက်တွင် နဂါးကြီးအား ရက်စက်တတ်သော အသိဉာဏ်ရှိသူအဖြစ်ဖော်ကျူးပြသထားသည်။<ref name="Steele"/> စိန့်ဂျော့ဒဏ္ဍာရီလာပုံပြင် (Saint George and the Dragon) ကဲ့သို့သော အလယ်ခေတ်နှောင်းပိုင်း၌ နဂါးအား ပုံပြယုတ် (သို့) ရူပကသဘောတင်စားရေးဖွဲ့တတ်သောဓလေ့ထက်စာလျှင် တော်ကီးန်က ဤသို့တန်ဆာအမွန်းအမံနှင့် ဖွဲ့ဆိုခြင်းကို ပို၍နှစ်သက်သည်။<ref>{{harvnb|Rateliff|2007|page=534}}</ref> ဂျွန်မစ်လ်တန်(John Milton) ၏ နိဗ္ဗာန်ဘုံပျောက်ဆုံးခြင်း(Paradise Lost) ကဗျာရှည်ကြီး၌ "မီးကိုအန်ထုတ် မီးခီုးငွေ့များလိမ့်တက်လာ" (Belched fire and rolling smoke) စသည့် သုံးနှုံးခြင်းများနှင့်တကွ ပန်ဒန်းမောန်နီယံ (Pandæmonium) အဖွဲ့အနွဲ့မျိုးတွင် ကောက်နှုတ်သည့်အတိုင်း ဟော့ဘစ်၌ အဖိုးတန်ပြောင်လက်လက်ရွှေရတနာသိုက်ကြီးနှင့်အတူ နဂါးကြီးစမောက်ဂ်ကို မကောင်းမှုနှင့် သတ္တုဗေဒကြားက အစဉ်အလာပတ်သက်ဆက်နွယ်မှု၏ နမူနာအဖြစ်တွေ့နိုင်သည်။<ref name="compass">{{cite book| last = Lobdell | first = Jared | year = 1975 | title = A Tolkien Compass | publisher = Open Court Publishing | page = [https://archive.org/details/tolkiencompass00lobd/page/106 106] | isbn = 978-0-87548-303-0 | url = https://archive.org/details/tolkiencompass00lobd/page/106 }}</ref> ဇာတ်ကောင်အားလုံးအနက် စမောက်ဂ်ပြောသောစကား "စိတ်ခံစားချက်အတွေးတွေက မင်းကိုမပိတ်ဖုံးလိုက်စေနဲ့" (Don't let your imagination run away with you!) ဟူသော အထူးအသုံးနှုံး (idiom) မျိုးသည် ခေတ်အမှီဆုံးဖြစ်နေပေသည်။ တော်ကီး၏ တွေ့ကြုံဆုံရဖြစ်ပျက်မှုများရော စာပေဆိုင်ရာသီအိုရီအယူအဆများပါ ဇာတ်လမ်းအပေါ်လွှမ်းမိုးနိုင်သည်ဟု ရှုမြင်သုံးသပ်ကြသည်။ သူရဲကောင်းသည် ၎င်းနေသော ကျေးလက်အိမ်လေးမှ ဆွဲထုတ်ခံလိုက်ရပြီး အလွန်ကွာဝေးသော စစ်ပွဲဆီသို့ ပို့ဆောင်ခြင်းခံရသောဖြစ်ရပ်၊ ထိုဖြစ်ရပ်၌ စဉ်ဆက်သဘော သူရဲကောင်းဝါဒအကြောင်းရေးဟန်များမှာ သိပ်အကျိုးမရှိသည်ကိုတွေ့ရနိုင်သည်။ ဤသို့ဖြင့်လည်း တော်ကီးန်၏ ပထမကမ္ဘာစစ်ကို ပုံဆောင်ရေးသောဝတ္ထုအဖြစ်ဖတ်လိုက ဖတ်နိုင်သည်။<ref name="great_war_rev">{{cite news |url=https://www.thetimes.co.uk/article/review-cover-book-tolkien-and-the-great-war-by-by-john-garth-80bcv8w75vs|title= Review: Cover book: Tolkien and the Great War by John Garth |last= Carpenter |first= Humphrey |date= 23 November 2003 |newspaper=[[The Sunday Times]] |publisher=Times Newspapers Limited }}</ref> ဤဇာတ်သည် သူရဲကောင်းဝါဒကိုအခြင်းရာကို ဖော်ထုတ်တင်ပြထား၏။ Janet Croft မှတ်ချက်ကိုတင်ပြရမည်ဆိုလျှင် တော်ကီးန်၏ ထိုအချိန်ကဖြစ်ပွားနေသောစစ်ကြီးအပေါ် စာပေရေးရာတုံ့ပြန်မှုသည် စစ်ပြီးခေတ်အခြားသောစာရေးဆရာများနှင့်ကွာခြား၏။ ဝေးကွာသည့်ဖြစ်ပျက်မှုများကို ရေးသည့်နည်းလမ်းအဖြစ် စာပေနည်းတစ်ခု (ဂရိ ''အလွမ်းအသော'' ဇာတ်လမ်းများရေးရာ၌ သုံးသောစာပေနည်းတစ်မျိုး) ကိုရှောင်ရှား၍ ထိုအစား ၎င်းတွေ့ကြုံမှုများကိုကြားခံဆက်သွယ်ပေးရန် ဒဏ္ဍာရီကိုသုံးစွဲသည်။<ref name="Croft_II">{{cite journal | last =Croft | first =Janet Brennan |authorlink=Janet Brennan Croft | year =2004 | title ='The young perish and the old linger, withering': J. R. R. Tolkien on World War II | journal=Mythlore | volume = 24 | number = 2, article 6 | url= https://dc.swosu.edu/mythlore/vol24/iss2/6 }}</ref> စစ်ကြီးကိုမျက်မြင်ကြုံတွေ့ခဲ့ဖူးသော စာရေးဆရာများ၏ လက်ရာဆင်တူမှုများကို ဟော့ဘစ်၌တွေ့နိုင်သည်။ နဂါးကြီးစမောက်ဂ်၏ အကျဉ်းတန်းနယ်မြေ (The Desolation of Smaug) တွင် ကျေးလက်သာယာမှု၏ ပျက်စီးခြင်းအဖြစ် စစ်ပွဲရေးရာများကို ဖော်ထုတ်ပြသသည်။ စမောက်ဂ်လွှမ်းမိုးထားသောနယ်မြေနှင့် တပ်ကြီးငါးတပ်တိုက်ပွဲ (Battle of Five Armies) ဖြစ်ရာနယ်မြေနှစ်ခုစလုံးကို ကျေးလက်ရှုမျှော်ခင်းများအလှအပသဘာဝကို ဖျက်ဆီးတတ်သောသဘောမှာ စစ်ပွဲဟု ဆိုထားသည်။<ref name="Croft">{{cite journal | last =Croft | first =Janet Brennan | authorlink =Janet Brennan Croft | year =2002 | title =The Great War and Tolkien's Memory, an examination of World War I themes in The Hobbit and The Lord of the Rings | journal =Mythlore | volume = 23 | number = 4, article 2 | url =https://dc.swosu.edu/mythlore/vol23/iss4/2/ | df =dmy-all }}</ref> ပထမကမ္ဘာစစ်၏ ရင်နင့်စရာများ သတိပေးခြင်းမျိုးကို ဟော့ဘစ်က ဖန်တီးထား၏။<ref>{{cite book|last=Zipes |first=Jack David |authorlink=Jack Zipes |title=When Dreams Came True: Classical Fairy Tales and Their Tradition |date=August 1999 |publisher=Routledge |page=[https://archive.org/details/whendreamscametr00jack/page/24 24] |isbn=978-0-415-92150-3 |url=https://archive.org/details/whendreamscametr00jack/page/24 }}</ref> ထို့နောက် တော်ကီး၏ စစ်ပြန်တစ်ယောက်အဖြစ် သဘောထားကို ဘီလ်ဘို၏ မှတ်ချက်သုံး၍ အကျဉ်းပြဆိုနိုင်၏။ "ဘယ်လိုပဲဖြစ်ဖြစ် စစ်ကတော့နိုင်သွားပါပြီလို့ပဲ ယူဆပါ့မယ်။ အင်း... တကယ်က... တော်တော်ကိုပဲ စိတ်ပျက်စရာအမှောင်ဖုံးခဲ့တဲ့ ကိစ္စကြီးပါ။"<ref name="Croft_II"/> ==တုံ့ပြန်မှုမှုများ== ၁၉၃၇ အောက်တိုဘာ၌ ပထမအကြိမ်ထုတ်ဝေမူအား နာနီးယားဇာတ်လမ်းတွဲများ(The Chronicles of Narnia)ရေးသားသူ စီ အက်စ် လူးဝစ်(C. S. Lewis)၊ New York Post၊ Catholic World၊ The Timesသတင်းစာများအပါအဝင် ယူကေ၊ ယူအက်စ် ထုတ်ဝေခြင်းများမှ အကောင်းမြင်ဝေဖန်မှုများကို တညီတညွတ်တည်းရခဲ့လေသည်။ <blockquote> အမှန်ကတော့ ဤစာအုပ်တွင် ယခင်တုန်းက တစ်ခါမှစုစုစည်းစည်းမရှိဖူးသေးသော ကောင်းခြင်းများစွာအားလုံးပါဝင်လာလေသည်။ ဟာသပေါင်းများစွာ၊ ကလေးများအပေါ်နားလည်ခြင်း၊ ပညာရှင်တစ်ယောက်၏ ဒဏ္ဍာရီအပေါ်နားလည်မှုကို ကဗျာဆရာတစ်ဦး၏ ဒဏ္ဍာရီအပေါ်နားလည်မှုနှင့် ပျော်ရွှင်စွာပေါင်းစပ်ထားခြင်းများတို့ဖြစ်ကြသည်။... ဤပါမောက္ခသည် ဘယ်အရာကိုမှတီထွင်မှုမရှိသည့်ဟန်ပန်ရှိ၏။ သူသည် ထရိုးကောင်ကြီးများ၊ နဂါးများအကြောင်း ကိုယ်တိုင်ကိုယ်ကျလေ့လာထားပြီး ကြွယ်ဝသည့်"ကိုယ်ပိုင်ဟန်"များနှင့်ထိုက်တန်သော ထိုတိကျမှုများဖြင့် ထိုသတ္တဝါများကိုဖော်ပြထားသည်။ </blockquote> လူးဝစ်က ''ဟော့ဘစ်'' ကို ''[[အဲလစ်ကလေး၏ ထူးဆန်းသော အိပ်မက်| အဲလစ်နှင့် ထူးဆန်းဖွယ်တိုင်းပြည်]]''(Alice in Wonderland)နှင့် နှိုင်းယှဉ်ပြ၍ အဲလစ်ဝတ္ထု၌ ကလေး၊လူကြီးသည် စာအုပ်ပါအကြောင်းအရာများကို ခံစားရန် များစွာသောအကြောင်းများ၊ နေရာများကိုတွေ့နိုင်သည်။ Flatland၊ Phantastes၊ The Wind in the Willowsစသည့် စိတ်ကူးယဉ်ဝတ္ထုများနှင့်လည်း နှိုင်းယှဉ်ခဲ့သည်။<ref>{{harvnb|Tolkien|2003|page=18}}</ref> W. H. Audenက နောက်ဆက်တွဲဇာတ်လမ်းဖြစ်သည့် [[လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်#လက်စွပ် အဖွဲ့ဝင်များ| လက်စွပ် အဖွဲ့ဝင်များ]]တွင် ဟော့ဘစ်ကို ဤရာစု၏ အကောင်းဆုံးကလေးစာအုပ်များထဲက တစ်အုပ်ဟု ဖော်ပြသုံးသပ်သည်။ <ref>{{cite news |url=https://www.nytimes.com/books/01/02/11/specials/tolkien-fellowship.html |title= The Hero is a Hobbit |accessdate=28 July 2008 |last=Auden |first=W. H. |authorlink=W. H. Auden |newspaper=New York Times |date=31 October 1954 }}</ref> ဟော့ဘစ်ကို ကာနီဂီစာပေဆု(Carnegie Medal)အတွက် ဆန်ကာတင်ရွေးချယ်ခံရပြီး ၁၉၃၈အတွက်အကောင်းဆုံးလူငယ်စိတ်ကူးယဉ်စာပေဆုကို New York Herald Tribune မှ ဆုချီးမြှင့်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite book|title=The letters of J.R.R. Tolkien|url=https://archive.org/details/lettersofjrrtolk00tolk_1|last=Tolkien|first=J. R. R.|date=1981|publisher=Houghton Mifflin|editor1= Humphrey Carpenter|editor2=Christopher Tolkien|isbn=978-0395315552|location=Boston|oclc=7671235}}</ref> မကြာသေးမီကလည်း သိမ်းထားရန်စာအုပ်ကဏ္ဍအတွက် ရာစုနှစ်၏ ကလေးများစာအုပ်ခေါင်းစဉ်မဲကောက်ယူခြင်းတွင် (သက်ကြီးစာဖတ်သူများအတွက်) ၂၀ရာစု၏အရေးကြီးဆုံးအဖြစ် မကြာသေးမီကလည် ဤဝတ္ထုကို အသိအမှတ်ပြုခဲ့ကြလေသည်။<ref name="awards_faq">{{cite web |url=http://www.tolkiensociety.org/faq01.html#awards |title= FAQ: Did Tolkien win any awards for his books? |accessdate=28 June 2008 |publisher=Tolkien Society |year=2002 }}</ref> နောက်ဆက်တွဲဇာတ်လမ်းဝတ္ထုဖြစ်သော လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင် ထုတ်ဝေခြင်းက ဟော့ဘစ်နှင့်ပတ်သက်သော ဝေဖန်မှုများကိုပြောင်းလဲသွားစေခဲ့သည်။ ဟော့ဘစ်ကို သူ့နည်းသူ့ဟန် ကလေးစာအုပ်အဖြစ်ချဉ်းကပ်မည့်အစား Randell Helmsကဲ့သို့သော ဝေဖန်ရေးသမားတချို့က ဟော့ဘစ်သည် နောက်ဆက်တွဲဇာတ်လမ်းအတွက် အစမ်းလေ့ကျင့်သည့် ရှေ့ပြေးဟုဆိုကာ အဆင့်နိမ့်ချသတ်မှတ်သည့်စိတ်ကူးမျိုးရှိကြသည်။ ထိုသို့ အတိတ်ဖြစ်ပျက်များကို ပစ္စက္ခစံညွှန်းများနှင့် ဘာသာပြန်တတ်သူ(presentist)များကို ပြန်လည်ရင်ဆိုင်တုံ့ပြန်သူများက ၎င်းတို့၏ချဉ်းကပ်မှုများတွင် ကလေးစာအုပ်အဖြစ်၊ သူ့ပုံစံဖြင့်သူ့ဘာသာရှိသော ကျယ်ပြန့်သောစိတ်ကူးယဉ်လက်ရာအဖြစ် မူလတန်ဖိုးများကို လစ်လျှူရှုကြပြီး ထိုစာပေအမျိုးအစားအပေါ် ဟော့ဘစ်၏ဩဇာသက်ရောက်မှုအား ဥပက္ခာပြုကြသည်ဟု ပြောဆိုတုံ့ပြန်ကြသည်။<ref name="Sullivan">{{cite book|title=International Companion Encyclopedia of Children's Literature |editor=Hunt, Peter |last=Sullivan |first=C. W. |author2=C. W. Sullivan |year=1996 |publisher=Taylor & Francis |isbn=978-0-415-08856-5 |pages=[https://archive.org/details/internationalcom00hunt_0/page/309 309–310] |chapter=High Fantasy |url=https://archive.org/details/internationalcom00hunt_0/page/309 }}</ref> မျက်မှောက်ရေးရာသုံးသပ်အစီရင်ခံသူများဖြစ်သည့် Paul Kocher<ref>{{cite book |title= Master of Middle-earth, the Achievement of J. R. R. Tolkien|last= Kocher |first= Paul |year= 1974 |publisher=Penguin |pages= 22–23}}</ref> John D. Rateliff<ref>{{harvnb|Rateliff|2007|page=xi}}</ref> နှင့် C. W. Sullivan<ref name="Sullivan"/> တို့က စာဖတ်သူများအား ထိုလက်ရာများအပေါ် တသီးတခြားကိုင်တွယ်ကြရန် အားပေးတိုက်တွန်းသည်။ အကြောင်းမူကား ဟော့ဘစ်ကို နောက်ပိုင်းထွက်လက်ရာအပေါ်အမှီခိုကင်းစွာ တီထွင်ဖန်တီး၊ ထုတ်ဝေခဲ့ပြီး ဝတ္ထု၏ သဘောလက္ခဏာ၊ ရေးဟန်တို့အပေါ် အားစိုက်စာဖတ်သူများ၏မျှော်လင့်ချက်ထားမှုကိုရှောင်ရန်ရန်ဖြစ်သည်။ ==အမွေအနှစ်== ===''လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်''=== {{main|လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်}} ''ဟော့ဘစ်''ကို တစ်ဖက်က နည်းလမ်းများစွာဖြင့် လိုက်ဖက်မှုရှိစေရန်ပြုလုပ်၊ ထပ်တိုးပေါင်းထည့်ခြင်းများအပြီးတွင် ၎င်း၏နောက်ဆက်တွဲ လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်သည် အကြီးကျယ်ဆုံးအမွေအနှစ်ဟုဆိုနိုင်သည်။ ဇာတ်လမ်းကြောရိုးသည် တူညီသောဇာတ်ကွက်၌ တူညီသည့်အခြေခံတည်ဆောက်မှုဖြစ်ပေါ်လာခြင်းတို့ကို ဝတ္ထုနှစ်ခုစလုံးတွင်မျှဝေသုံးစွဲ၏။ ဇာတ်လမ်းနှစ်ခုစလုံးသည် ဘီလ်ဘို၏နေအိမ် ဘက်ဂ်အန့်ဒ်(Bag End)မှစတင်ခြင်း၊ အဓိကဇာတ်ကိုရှေ့ဆက်မျောစေရန် ဘီလ်ဘိုအိမ်၌ ပါတီပွဲကျင်းပခြင်း၊ ဂန်ဒက်ဖ်က အဓိကဇာတ်ဆောင်ကို အရှေ့ဘက်စွန့်စားမှုခရီးစဉ်တွင် ခေါ်ယူပါဝင်စေခြင်း၊ အယ်လ်ရွန်က ခိုလှုံရာနေရာနှင့် အကြံပေးခြင်း၊ စွန့်စားခန်းထွက်သူများသည် မြေအောက်နယ်မြေ "ဂေါ်ဘလင်မြို့တော်/မော်ရီယာ" (goblin town/Moria)မှလွတ်မြောက်ခြင်း၊ ထိုသူတို့သည် နောက်ထပ် အက်လ်ဖ်မျိုးနွယ်ဖြစ်သော "အမှောင်လွှမ်းတောနက်/လော့သ်လိုရီးယန်" (Mirkwood/Lothlórien)နှင့် ပတ်သက်ခြင်း၊ အကျဉ်းတန်နယ်မြေ "စမောက်ဂ်၏ အကျဉ်းတန်နယ်မြေ/ ရွှံ့နွံ့အိုင်သေ" (Desolation of Smaug/Dead Marshes)ကိုဖြတ်ကျော်ရခြင်း၊ လူသားတို့အခြေချရာ "ရေကန်မြို့/အစ်သီးလီယန်(မြို့ပျက်ကြီး)" (Esgaroth/Ithilien)မှ ကြိုဆိုအားဖြည့်ပေးခြင်း၊ ကြီးကျယ်သောတိုက်ပွဲဖြစ်သည့် "တပ်ကြီးငါးတပ်တိုက်ပွဲ/ပယ်လန်းနော်စစ်တလင်းတိုက်ပွဲ" (The Battle of Five Armies/Battle of Pelennor Fields)များတွင် တိုက်ခိုက်ခြင်း၊ ခရီးစဉ်၏အထွတ်အထိပ်သည် နာမည်ဆိုးဖြင့်ကျော်ကြားသော "အထီးကျန်တောင်ထိပ်/ကြမ္မာဆိုးတောင်ထိပ်" (Lonely Mountain/Mount Doom)ဖြစ်နေခြင်း၊ ယခင်ဘုရင့်အနွယ်မှသက်ဆင်းလာသော "လေးသမား ဘာ့ဒ်/အာရဂွန်" (Bard/Aragorn)ကို ထီးနန်းပြန်ပေးခြင်း၊ စွန့်စားသူအဖွဲ့၏ အိမ်အပြန်တွင် ယိုယွင်းသောအနေအထားတွေ့ကြုံရခြင်း "ပစ္စည်းများလေလံတင်ရောင်းချ/ရှိုင်းယားမီးလောင်ခြင်း"စသည်တို့ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Kocher"> {{cite book |title= Master of Middle-earth, the Achievement of J. R. R. Tolkien|last= Kocher |first= Paul |year= 1974 |publisher=Penguin |pages= 31–32}}</ref> ''လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်'' တွင် ဇာတ်ကောင်များမြောင်၏ လမ်းကြောင်းခရီးစဉ်များကြောင့် ပို၍ထောက်ပံ့ပေးသောအခန်းများ၊ ပို၍ရှုပ်ထွေးသောဇာတ်ကွက် စသည်တို့ပါဝင်သည်။ ဤနောက်လက်ရာကိုတော်ကီးက ဟာသဟန်နည်းပါးစွာဖြင့် ကိုယ်ကျင့်တရား၊ ဒသနပိုင်းအခြင်းအရာများထည့်သွင်းထားသည်။ ဇာတ်နှစ်ခုကြား မတူညီကွဲပြားမှုများသည် စာဖတ်သူများက နှစ်ခုလုံးအားတူမည်ဟုထင်ပြီး မတူသည်ကိုတွေ့လျှင် အခက်အခဲများဖြစ်စေပေလိမ့်မည်။<ref name="Kocher"/> တော်ကီးန်က ဟော့ဘစ်သည် ကလေးများအဖို့၊ လက်စွပ်များ၏ အရှင်သခင်ကား ထိုဟော့ဘစ်ဖတ်ပြီး ကြီးပြင်းလာသော ထိုသူများအတွက်ဟု ရေးသားခဲ့သောကြောင့် အကြောင်းရာပိုင်း၊ ရေးဟန်ပိုင်းများ၏ ကွဲပြားခြားနားမှုများစွာ ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ နောက်ထပ်အနေဖြင့် တော်ကီးန်၏ အလယ်ပိုင်းကမ္ဘာ (Middle-earth)၏ အယူအဆများကို ၎င်းဘဝနှင့် စာရေးသက်တမ်းတလျှောက် တဖြည်းဖြည်းခြင်း ပြောင်းလဲတိုးတက်စေခဲ့သည်။ <ref>{{cite book |title= The History of Middle-earth: Vol 1 "The Book of Lost Tales 1"|last= Tolkien|first= Christopher |year=1983 |publisher=George Allen & Unwin |isbn=978-0-04-823238-0 |page= 7}}</ref> ===ပညာရေးကဏ္ဍ=== စာအုပ်၏ ရေးဟန်၊အကြောင်းအရာများသည် လူငယ်များအား [[ချားလ် ဒစ်ကင်း]](Charles Dickens)နှင့် [[ရှိတ်စပီးယား]](William Shakespeare)တို့၏ လက်ရာများကို ချဉ်ကပ်နိုင်စေရန်ပြင်ဆင်ပေးနိုင်ခြင်းဖြင့် လူငယ်စာဖတ်ပရိသတ်၏ စာတတ်မြောက်နှုန်းကိုချဲ့ထွင်ကူညီနိုင်ခဲ့ပြီးဖြစ်သည်။ ကွဲပြားမှုအနေဖြင့် ဇာတ်လမ်းပါအကြောင်းအရာများသည် ဆယ်ကျော်သက်များအတွက်ပိုမိုသင့်တော်သည်။ သို့သော် အဆင့်မြင့်လာသောလူငယ်စာဖတ်သူများအား ဆယ်ကျော်သက်ကို အဓိကထားရေးသော ဇာတ်လမ်းများ ဖတ်ရန်ကမ်းလှမ်းခြင်းမှာ ၎င်းတို့စာဖတ်ကျွမ်းကျွမ်းကျင်မှုကို လေ့ကျင့်ပေးရာမရောက်ပေ။<ref>{{cite news |url=http://www.timesonline.co.uk/tol/life_and_style/article846713.ece |title=What exactly is a children's book? |accessdate=15 June 2008 |last=Jones |first=Nicolette |date=30 April 2004 |newspaper=Times Online |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110429053455/http://www.timesonline.co.uk/tol/life_and_style/article846713.ece |archivedate=29 April 2011 |df=dmy-all }}</ref> အသက် ၁၁-၁၄ ကောင်လေးများကို စာတတ်/ဖတ်နှုန်းမြင့်မားရန် တွန်းအားပေးဖို့ အကြံပြုထားသော စာအုပ်တချို့တစ်လေအနက် တစ်အုပ်ဖြစ်သော ''ဟော့ဘစ်'' ကို ရေးဖူးသမျှ ပင်ကိုဟန်ဖြင့် အကောင်းဆုံးစိတ်ကူးယဉ်ဇာတ်လမ်းအဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်ကြသည်။<ref>{{cite web |url=http://www.sla.org.uk/boys-into-books.php |title=The Hobbit |accessdate=4 January 2013 |work=Boys into Books (11–14) |publisher=Schools Library Association |archivedate=8 September 2008 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080908105312/http://www.sla.org.uk/boys-into-books.php }}</ref> ဤစာအုပ်မှ ဆရာများ၊ကျောင်းသားများအတွက် အမြင့်ဆုံးအကျိုးပြုနိုင်စေရန် သင်ကြားလမ်းညွှန်နှင့် စာကြည့်မှတ်စုလမ်းညွှန်တချို့ကို ထုတ်ဝေထားပြီးလည်းဖြစ်သည်။ ဤဝတ္ထုသည် စာရေးဆရာ၏ ဘဝနှင့် ဖြတ်သန်းခဲ့ရသောကာလများကို ရောင်ပြန်ဟပ်နိုင်သော တင်စားခိုင်းနှိုင်းချက်လက္ခဏာများပါဝင်သောကြောင့် အထူးသဖြင့် ရူပကတင်စားချက်များကဲ့သို့ စာပေအယူအဆများကို လူငယ်စာဖတ်ပရိသတ်များအတွက်မိတ်ဆက်ပေးနိုင်သည်။<ref name="Croft"/> တစ်ဖက်တွင် စာရေးဆရာက၎င်းလက်ရာ၏ ထိုခိုင်းနှိုင်းတင်စားချက်များအား ငြင်းပယ်ပါသည်။<ref>{{harvnb|Carpenter|1981|page=131}}</ref> ထိုနှစ်ခု၏အားပြိုင်မှုသည်စာဖတ်သူများအား "အရိုင်းမှအယဉ်သို့ပြောင်းလဲခြင်း"(sublimation)ကဲ့သို့သော(Freudian analysis- မသိစိတ်နှင့်ပတ်သက်၍ စိစစ်လေ့လာခြင်း)မှ အကဲဖြတ်ကိရိယာများနှင့် "တစ်ခြားပြင်ပဆိုင်ရာအချက်အလက်ထက် စာသားများကိုအလေးပြုသော"(New Criticism)ယုံကြည်မှုများကို မိတ်ဆက်ပေးခြင်း၌ အကူအညီဖြစ်စေသည်။ ထို့ပြင် စာဖတ်သူ၊စာရေးသူဆိုင်ရာ အနက်ထုတ်ဖော်ဘာသာပြန်ချက်များကိုလည်း ဟော့ဘစ်က မိတ်ဆက်ပေးနိုင်သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.yale.edu/ynhti/curriculum/units/1987/2/87.02.11.x.html |title=Glory Road: Epic Romance As An Allegory of 20th Century History; The World Through The Eyes Of J. R. R. Tolkien |accessdate=15 June 2008 |first=Elizabeth T. |last=Lawrence |year=1987 |work=Epic, Romance and the American Dream; 1987 Volume II|publisher=Yale-New Haven Teachers Institute}}</ref> လိင်ခွဲခြားသူ(sexist)အဖြစ် ဤဝတ္ထု၌အမျိုးသမီးဇာတ်ကောင်များ၏အရေးပါပုံကို အဆိုပြုတင်ပြရန် စာသင်ခန်းထဲတွင် နောက်ထပ်ဆန်းစစ်ဝေဖန်ချဉ်းကပ်မှုတစ်ခုလည်းပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ ဘီလ်ဘိုကို စာပေပြယုတ်အနေဖြင့် အမျိုးသား/သမီးနှစ်ခုလုံးကို တင်စားနိုင်သော ဇာတ်ကောင်တစ်ဦးအဖြစ်မြင်နိုင်သည်။<ref>{{cite book |title= Breaking the Magic Spell: Radical Theories of Folk and Fairy Tales|url= https://archive.org/details/breakingmagicspe0000zipe_g6w1_reved|last= Zipes|first= Jack David |authorlink=Jack Zipes |year= 1979|publisher=University Press of Kentucky|isbn= 978-0-8131-9030-3|page= [https://archive.org/details/breakingmagicspe0000zipe_g6w1_reved/page/173 173]}}</ref> သို့ရာတွင် ကျား/မသိမြင်ခွဲခြားတတ်သောချဉ်းကပ်မှုနည်းစနစ်(gender-conscious approach)သည် ကျောင်းသူ/သားများကို လူမှုရေးရာအမှတ်သညာဆန်သောစာသားတစ်ရပ်(socially symbolic text)အပေါ်နားလည်သဘောပေါက်ခြင်းကို ထုတ်ဖော်တတ်စေရန် အကူအညီဖြစ်စေမည်။ လူမှုရေးရာအမှတ်သညာဆန်သောစာသားတစ်ရပ်ဆိုရာ၌ ပေးထားသောစာများကို အငြင်းပွားဖွယ်တစ်ဦးနှင့်တစ်ဦးမတူဘဲ ဘက်လိုက်ဖတ်ခြင်းမှပေါ်ပေါက်လာသော အဓိပ္ပာယ်များပါဝင်သော စာသားများကိုဆိုလိုသည်။<ref name="Millard">{{cite book |title=Differently Literate: boys, Girls and the Schooling of Literacy |last=Millard |first=Elaine |year=1997 |publisher=Routledge |isbn=978-0-7507-0661-2 |page=[https://archive.org/details/differentlyliter0000mill/page/164 164] |url=https://archive.org/details/differentlyliter0000mill/page/164 }}</ref> ဤသို့ အနက်သဘောထုတ်ဖော်ချက်အရ ဖြစ်ချင်တော့လည်းပထမဆုံးခွင့်ပြုချက်ရသော မှီငြမ်းသည့် ပြဇာတ်မှာ မိန်းကလေးကျောင်းမှဖြစ်နေသည်။<ref name="StMargaret"/>(မှတ်ချက်-ဟော့ဘစ်တွင် အမျိုးသမီးဇာတ်ကောင်လုံးဝမပါ။) ===မှီငြမ်းပုံဖော်တင်ဆက်မှုများ=== ဟော့ဘစ်အား ပထမဆုံးခွင့်ပြုချက်ရ မှီငြမ်းပုံဖော်တင်ဆက်မှုသည် ၁၉၅၃ မတ်လ၌အက်ဒင်ဘာရာမြို့(Edinburgh) စိန့်မာဂရက်ကျောင်း၏ ပြဇာတ်အဖြစ်ပေါ်ထွက်လာသည်။<ref name="StMargaret">{{harvnb|Tolkien|2003|pages=384–386}}</ref> ''ဟော့ဘစ်'' ကိုထိုအချိန်မှစတင်၍ အကြိမ်များစွာ ပုံစံမျိုးစုံဖြင့် မှီငြမ်းတင်ဆက်မှုများပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ ဟော့ဘစ်၏ ပထမဆုံးရုပ်ရှင်အဖြစ် ၁၂မိနစ်ကာတွန်းရုပ်သေ ရုပ်ရှင်ကို ထုတ်လုပ်သူWilliam L. Snyderက ဒါရိုက်တာGene Deitchအားတာဝန်ယူရိုက်ကူးစေသည်။<ref name=Deitch>{{cite web |url=http://genedeitchcredits.com/roll-the-credits-01/40-william-l-snyder/ |title=William L. Snyder |work=genedeitchcredits |publisher=[[Gene Deitch]] |accessdate=17 January 2012 |date=2012-01-06 |archivedate=15 January 2012 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120115074436/http://genedeitchcredits.com/roll-the-credits-01/40-william-l-snyder/ }}</ref><ref>{{cite news|url=http://www.huffingtonpost.com/2012/01/11/gene-deitch-the-hobbit_n_1198864.html |title=Gene Deitch's 'The Hobbit' Short Film Surfaces Online Nearly 50 Years On |date=11 January 2012 |work=Huff Post Culture |publisher=The Huffington Post |accessdate=3 February 2012}}</ref> ထိုရုပ်ရှင်ကို [[နယူးယောက်မြို့]]တော်၌ ရုံတင်ပြသခဲ့သည်။<ref name=Deitch/><ref>{{cite web |url=http://www.escapistmagazine.com/news/view/115126-A-Long-Lost-Adaptation-of-The-Hobbit-Makes-Its-Way-Online |title=A Long Lost Adaptation of The Hobbit Makes Its Way Online |first=Mike |last=Kayatta |date=9 January 2012 |work=[[The Escapist (magazine)|The Escapist]] |accessdate=17 January 2012 |archive-date=20 June 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170620112255/http://www.escapistmagazine.com/news/view/115126-A-Long-Lost-Adaptation-of-The-Hobbit-Makes-Its-Way-Online }}</ref> ပထမထုတ်ဝေခြင်းအပြီးနှစ်(၃၀)အကြာ ၁၉၆၉တွင် တော်ကီးန်က ဟော့ဘစ်ရောင်းကုန်မူပိုင်ခွင့်(merchandising rights)အား United Artistsသို့ရောင်းချကာ ပေါင်တစ်သောင်းပေးရန်သတ်မှတ်တောင်းဆိုသည်။<ref>{{cite news |first=Victoria |last=Lindrea |title=How Tolkien triumphed over the critics |url=http://news.bbc.co.uk/1/hi/entertainment/3935561.stm |work=BBC News |date=29 July 2004 |accessdate=24 July 2008 }}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.schoollibraryjournal.com/article/CA6673069.html |title=Tolkien's Heirs Want Production of 'The Hobbit' Film Stopped |first=Rocco |last=Staino |work=[[School Library Journal]] |date=28 July 2009 |accessdate=13 February 2012}}</ref> ပါရှိသေးသည့်အချက်အလက်မှာ ကုန်ကျစရိတ်အားလုံးအပြီး မူပိုင်ခ ၇.၅% အား Allen & Unwin စာပေတိုက်နှင့် စာရေးဆရာအားပေးရန်သဘောတူထားကြသည်။<ref>{{cite news |title= Hobbit movies meet dire foe in son of Tolkien |url=https://www.thetimes.co.uk/article/hobbit-movies-meet-dire-foe-in-son-of-tolkien-lxnpmnsd2rp |work=The Times Online |date= 25 May 2008| first = John| last = Harlow |accessdate=24 July 2008 }}</ref> စာရေးဆရာဆုံးပါးပြီး သုံးနှစ်အကြာ ၁၉၇၆၌ United Artistsက ယင်းပိုင်ဆိုင်ခွင့်ကို Saul Zaentzကုမ္ပဏီသို့ ရောင်းချ၍ ဤကုမ္ပဏီက ယခုတွင် Tolkien Enterprisesအမည်ဖြင့် ရောင်းဝယ်ဖောက်ကားသည်။ ထိုအချိန်မှစ၍တရားဝင်ခွင့်ပြုမှုရရှိသော ပုံဖော်တင်ဆက်မှုများကို Tolkien Enterprisesက လက်မှတ်ရေးထိုးခွင့်ပြုသည်။ ၁၉၉၇၌ ရုပ်ရှင်မူပိုင်ခွင့်ကို Tolkien Enterprisesက Miramaxကို လိုင်စင်ခွင့်ပြုပေးထား၍ Miramaxကတဆင့် New Line Cinemaကို ၁၉၉၈ တွင် လွှဲပြောင်းပေးထားခဲ့သည်။<ref>{{cite news |first=Michael |last=Cieply |title='The Rings' Prompts a Long Legal Mire |url=https://www.nytimes.com/2008/02/16/movies/16ring.html |work=New York Times |date=16 February 2008 |accessdate=24 July 2008 }} </ref> တော်ကီးန်၏ သားChristopher Tolkienအပါအဝင် တော်ကီးအမွေဆက်ခံသူများက ၂၀၀၈ဖေဖော်ဝါရီ၌ New Line Cinemaကို တရားဆွဲဆို၍ အမြတ်ဝေစုခွဲပေးရန်၊ New Line၏ ဟော့ဘစ်နှင့်ပတ်သက်သော ရုပ်ရှင်ထုတ်လုပ်၊ဖြန့်ချိစသဖြင့် အနာဂတ်တွင်ရှိမည့်မူပိုင်ခွင့်များကို ဖျက်သိမ်းရန်ဖြစ်သည်။<ref>{{cite news |url=https://www.thetimes.co.uk/article/tolkiens-family-threatens-to-block-new-hobbit-film-8pv8kcq5s0s |title=Tolkien's family threatens to block new Hobbit film |accessdate=23 November 2018 |date=13 February 2008 |author=Andrews, Amanda |newspaper=The Times |location=UK }}</ref><ref>{{cite web|url=http://news.findlaw.com/nytimes/docs/ent/tlknnewline21108cmp.html|title=Tolkien Trust v. New Line Cinema Corp.|date=11 February 2008|publisher=FindLaw.com|access-date=7 June 2008|archive-url=https://web.archive.org/web/20080323234626/http://news.findlaw.com/nytimes/docs/ent/tlknnewline21108cmp.html#|archive-date=23 March 2008|url-status=dead|df=dmy-all}}</ref> ၂၀၀၉ စက်တင်ဘာတွင် ခရစ်စတိုဖာနှင့် New Lineတို့၏ လူသိရှင်ကြားဖော်ပြခြင်းမရှိသည့် သဘောတူညီမှုရရှိကာ ဟော့ဘစ်ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားတွဲထုတ်လုပ်မှုအား တရားဆွဲဆိုမှုကို ရုပ်သိမ်းခဲ့သည်။<ref>{{citation| url = http://news.bbc.co.uk/2/hi/entertainment/8245300.stm | title = Legal path clear for Hobbit movie| work = BBC News| date = 8 September 2009}}</ref> ဟော့ဘစ်(၁၉၆၈) ရေဒီယိုဇာတ်လမ်းတွဲကို BBC Radio 4၌ Michael Kilgarriff၏ မှီငြမ်းပုံဖော်မှုနှင့်အတူ ၁၉၆၈ စက်တင်ဘာမှ နိုဝင်ဘာအထိ အပိုင်း(၈)ပိုင်း (စုစုပေါင်း၄နာရီ)ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည်။ နောက်ခံပြောသူအဖြစ် Anthony Jackson၊ ဘီလ်ဘိုအဖြစ် Paul Daneman၊ ဂန်ဒက်ဖ်အဖြစ် Heron Carvicတို့၏ အသံသရုပ်ဆောင်မှုဖြစ်သည်။ ထိုဇာတ်လမ်းတွဲကို ကက်ဆက်အခွေဖြင့် ၁၉၈၈၊ စီဒီအခွေဖြင့် ၁၉၇၇၌ အသီးသီးထုတ်ဝေခဲ့သည်။<ref name="Bramlett">{{cite book|title=I Am in Fact a Hobbit: An Introduction to the Life and Works of J. R. R. Tolkien |last=Bramlett |first=Perry C. |author2=Joe R. Christopher |year=2003 |publisher=Mercer University Press |isbn=978-0-86554-894-7 |page=[https://archive.org/details/iaminfacthobbiti00bram/page/239 239] |url=https://archive.org/details/iaminfacthobbiti00bram/page/239 }}</ref> ကာတွန်းပုံ အန်နီမေးရှင်းပုံစံကို Rankin/Bassက အမေရိက၌ တီဗီဇာတ်ကားအဖြစ် ၁၉၇၇တွင် ပွဲဦးထွက်ထုတ်လုပ်ခဲ့သည်။ ၁၉၇၈ Romeo Mullerသည် ရုပ်မြင်သံကြားပြဇာတ်အတွက် Peabodyဆုရရှိခဲ့သည်။ အကောင်းဆုံးဇာတ်လမ်းတင်ဆက်မှု ဟျူးဂိုဆု(Hugo Award )အတွက် ဆန်ကာတင်ခံရသော်လည်း ကြယ်တာရာစစ်ပွဲကြီးများ(Star Wars)ဇာတ်ကားကို ရှုံးနိမ်းခဲ့ရသည်။ ဤမှီငြမ်းတင်ဆက်မှုကို အတော်ပင်ဆိုးရွား၍<ref name="Anderson 2003 page=23"/> ဇာတ်လမ်းသဘောကိုမသိသူများအတွက် ရှုပ်ထွေးဖွယ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခဲ့ကြသည်။<ref> {{cite journal |last=Kask |first=T. J. |date=December 1977 |title=NBC's The Hobbit |journal=[[Dragon (magazine)|Dragon]] |volume=III |issue=6/7 |page=23 }}</ref> ကလေးအော်ပရာပြဇာတ်ကို ၂၀၀၄တွင်ရေးသား၍ ပထမဆုံးဖျော်ဖြေနိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=http://media.harbourfrontcentre.com/mediaDisplay.php?id=25|title=Media Release|publisher=Harbourfront Centre|accessdate=10 February 2020|archivedate=7 November 2017|archiveurl=https://web.archive.org/web/20171107012918/http://media.harbourfrontcentre.com/mediaDisplay.php?id=25}}</ref> ယင်းအော်ပရာပြဇာတ်ကို အမေရိကမြို့များ Tulsa၊ Sarasota နှင့် Torontoတို့တွင် အကြိမ်အနည်းငယ် ထုတ်လုပ်ဖျော်ဖြေခဲ့ကြသေးသည်။ ၂၀၁၂ ဒီဇင်ဘာကာလများ၊<ref name="imdb2012">{{cite web|url=https://www.imdb.com/title/tt0903624/?ref_=fn_al_tt_1 | accessdate=21 December 2014 | title=IMDb The Hobbit: An Unexpected Journey}}</ref> ၂၀၁၃၊<ref name="imdb2013">{{cite web|url=https://www.imdb.com/title/tt1170358/?ref_=fn_al_tt_1 | accessdate=21 December 2014 | title=IMDb The Hobbit: The Desolation of Smaug}}</ref> နှင့် ၂၀၁၄<ref name="imdb2014">{{cite web|url=https://www.imdb.com/title/tt2310332/?ref_=fn_al_tt_2 | accessdate=21 December 2014 | title=IMDb The Hobbit: The Battle of Five Armies}}</ref> တို့တွင် Metro-Goldwyn-Mayerနှင့် New Line Cinemaတို့ပေါင်းကာ ဟော့ဘစ်ရုပ်ရှင်ကားကြီးအဖြစ် တစ်ပိုင်းဆီကို ဒါရိုက်တာ [[ပီတာ ဂျက်ဆန်]]ကရိုက်ကူး ထုတ်လုပ်ခဲ့သည်။ ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားအမည်များမှာ "ဟော့ဘစ် : မျှော်လင့်မထားသောခရီးစဉ်" (The Hobbit: An Unexpected Journey)၊ "ဟော့ဘစ် : နဂါးကြီးစမောက်ဂ်၏ အကျဉ်းတန်နယ်မြေ" (The Hobbit: The Desolation of Smaug)၊ "ဟော့ဘစ် : တပ်ကြီးငါးတပ်တိုက်ပွဲ" (The Hobbit: The Battle of the Five Armies) တို့ဖြစ်ကြ၏။ သုံးပိုင်းပါ ရုပ်ပြစာအုပ်ပုံဖော်တင်ဆက်မှုကို Chuck Dixonနှင့် Sean Deming တို့ကရေးသား၍ David Wenzel၏ သရုပ်ဖော်ပုံများနှင့်ဖြစ်ကာ Eclipse Comicsက ၁၉၈၉တွင်ထုတ်ဝေသည်။ ၁၉၉၀တွင် တစ်အုပ်တည်းအဖြစ် Unwin Paperbacksက ဖြန့်ချိသည်။ အဖုံးမှာ မူလသရုပ်ဖော်သူ David Wenzel၏ အနုပညာလက်ရာဖြစ်သည်။ တစ်အုပ်တည်းအဖြစ် စုစည်းထုတ်ဝေသောပြန်လည်ရိုက်ခြင်းမူကို Del Rey Booksမှ ၂၀၀၁တွင် ထုတ်ဝေသည်။ ထိုအဖုံး ကို Donato Giancolaမှ သရုပ်ဖော်ပေးထားပြီး ၂၀၀၂ အကောင်းဆုံးစာအုပ်အဖုံးအတွက် သိပ္ပံခေတ်လွန်အနုပညာရှင်များအစည်းအရုံးဆုချီးမြင့်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.locusmag.com/2002/News/News08Log.html |title=LocusMag Archive Page |publisher=Locus Online |accessdate=3 December 2017 }}</ref> ကွန်ပျူတာဂိမ်း၊ ဗီဒီယိုဂိမ်းတချို့ (လိုင်စင်ရှိ/မရှိ)သည် ဤဇာတ်အပေါ်အခြေခံသည်။ အအောင်မြင်ဆုံးဗီဒီယိုဂိမ်းမှာ ၁၉၈၂-ဟော့ဘစ်ဖြစ်ပြီး Beam Softwareကထုတ်ဝေက ကွန်ပျူတာဆုရဂိမ်းတစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ Melbourne Houseကလည်း အဆိုပါဂိမ်းကို ကွန်ပျူတာအများစုအတွက် ကိုက်ညီအောင်ပြု၍ ထိုကာလပိုင်း၌ပင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။<ref>{{cite book|title= Using Computers in English: A Practical Guide|last= Moore|first= Phil|year= 1986|publisher= Routledge|isbn= 978-0-416-36180-3|page= [https://archive.org/details/usingcomputersin0000moor/page/44 44]|url= https://archive.org/details/usingcomputersin0000moor/page/44}}</ref> ==မှတ်စု== {{notelist}} ==ကိုးကား== {{Reflist}} ==ရင်းမြစ်များ== *{{cite book|last=Tolkien |first=J. R. R. |authorlink=J. R. R. Tolkien|title = The Hobbit| publisher = George Allen & Unwin Ltd.| location = London| year = 1937 | ref= {{harvid|Tolkien|1937}} }} , 1st edition **{{cite book | last=Tolkien | first=J. R. R. | title=The Hobbit | publisher=George Allen & Unwin | location=London | year=1951 | edition = 2nd | ref= {{harvid|Tolkien|1951}} }} **{{cite book | last=Tolkien | first= J. R. R. | title=The Hobbit | publisher=Houghton Mifflin Company | location=Boston | year=1966 | edition=3rd | isbn=978-0-395-07122-9 | ref={{harvid|Tolkien|1966}} }} *{{cite book|last=Tolkien |first=J. R. R. |authorlink=J. R. R. Tolkien |editor-last= Anderson |editor-first= Douglas A.|editor-link= Douglas A. Anderson |title=The Annotated Hobbit |year= 1988 |origyear=1937 |publisher=[[:en:Houghton Mifflin Harcourt|Houghton Mifflin Company]] |isbn=978-0-3954-7690-1 |ref=harv|title-link=The Annotated Hobbit }} *{{Cite book |last=Tolkien |first=J. R. R. |editor-last= Anderson |editor-first= Douglas A. |title= The Annotated Hobbit |year= 2003 |origyear=1937 |publisher=HarperCollins |location= London|isbn= 978-0-00-713727-5 |ref=harv}} *{{cite book|last = Carpenter | first = Humphrey|title = Carpenter, Humphrey: Tolkien: A Biography, New York |url = https://archive.org/details/jrrtolkienbiogra0000carp_k1o4 | publisher = Ballantine Books | year = 1977 | location = New York|isbn = 0-04-928037-6|ref=harv}} *{{cite book|last = Carpenter | first = Humphrey|title = Carpenter, Humphrey: The Letters of J. R. R. Tolkien| publisher = Houghton Mifflin | year = 1981 | location = Boston|isbn = 0-395-31555-7|ref=harv}} *{{cite book | last = Chance | first = Jane | year = 2001 |title =Tolkien's Art | publisher=Kentucky University Press | isbn=978-0-618-47885-9| pages = |url=https://archive.org/details/tolkiensartmytho0000chan_d6k5|ref=harv}} *{{cite book|editor-last=Drout |editor-first=Michael D. C. |editor-link=Michael D. C. Drout |year=2007 |title=J. R. R. Tolkien Encyclopedia: Scholarship and Critical Assessment |publisher=Routledge |isbn=978-0-4159-6942-0 |ref=harv}} *{{cite book | last = Grenby | first = Matthew | year = 2008 |title =Children's Literature | url = https://archive.org/details/childrensliterat0000gren | publisher=Edinburgh University Press | isbn=978-0-618-47885-9|ref=harv}} *{{cite book |last1=Wayne G |first1=Hammond |last2=Douglas A. |first2= Anderson|date=1993 |title=J. R. R. Tolkien: A Descriptive Bibliography|url=https://archive.org/details/jrrtolkiendescri0000hamm |location=New Castle |publisher=DE: Oak Knoll Books |isbn= 0-938768-42-5 |ref=harv}} *{{Cite book | ref = harv | last = Lobdell | first = Jared C. | year = 2004 | title = The World of the Rings: Language, Religion, and Adventure in Tolkien | url = https://archive.org/details/worldofringslang0000lobd | publisher = [[Open Court Publishing Company|Open Court]] | isbn = 978-0-8126-9569-4}} *{{Cite book |title= The History of the Hobbit|last= Rateliff|first= John D.|year= 2007 |publisher=HarperCollins|location= London|isbn= 978-0-00-723555-1|ref=harv}} *{{cite book|last = Elizabeth | first = Solopova|title = Languages, Myths and History: An Introduction to the Linguistic and Literary Background of J.R.R. Tolkien's Fiction|url = https://archive.org/details/languagesmythshi0000solo | publisher = North Landing Books | year = 2009 | location = New York City:|isbn = 0-9816607-1-1|ref=harv}} *{{cite web |url=http://shelf1.library.cmu.edu/books/gloriana/ |title=Tolkien's Cauldron: Northern Literature and The Lord of the Rings |last=St. Clair |first=Gloriana |publisher=Carnegie Mellon University |ref=harv |year=2000 |access-date=28 January 2020 |archive-date=6 March 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120306040557/http://shelf1.library.cmu.edu/books/gloriana/ |url-status=dead }} *{{cite book| author=Matthews, Dorothy | chapter=The Psychological Journey of Bilbo Baggins | title=A Tolkien Compass | pages=[https://archive.org/details/tolkiencompass00lobd/page/27 27–40] | publisher=Open Court Publishing | isbn=978-0-87548-303-0 | year=1975 | url=https://archive.org/details/tolkiencompass00lobd/page/27 }} *{{cite book|last = Tom | first = Shippey|title = J. R. R. Tolkien: Author of the Century | publisher = HarperCollins | year = 2001| location = |isbn =ISBN 978-0-261-10401-3|ref=harv}} * {{cite book|last = Sullivan | first = C. W|title = "High Fantasy". In Hunt, Peter (ed.). International Companion Encyclopedia of Children's Literature |url = https://archive.org/details/internationalcom00hunt_0 | publisher = Taylor & Francis | year = 1996| location = |isbn = 978-0-415-08856-5|ref=harv}} {{Refend}} ==ပြင်ပလင့်ခ်များ== {{commons category|The Hobbit|ဟော့ဘစ်}} {{Wikiquote}} *[http://www.tolkien.co.uk/ The official Harper-Collins Tolkien website] *[http://www.hobbit.ca/Library.html Collection of edition covers, 1937–2007] *[http://www.tolkienlibrary.com/translations/hobbits/index.htm ''The Hobbit'' covers around the globe&nbsp;– gallery] *[http://www.tolkienbooks.net/php/hobbit.php Every UK edition of ''The Hobbit''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200202175348/http://www.tolkienbooks.net/php/hobbit.php |date=2 February 2020 }} *[http://tolkien.skwishmi.com/ Guide to U.S. editions of Tolkien books including ''The Hobbit''] *[https://www.youtube.com/watch?v=UBnVL1Y2src&feature=player_ [[Category:၂၀ ရာစု ဗြိတိသျှ ကလေးစာပေ]] [[Category : နိုင်ငံတကာ စာအုပ်များ]] [[Category : ဗြိတိသျှ စာပေ]] ckeagx12wmgao6bzxalaw4ccrhc5gk6 0 142817 1054155 1026918 2026-09-19T15:29:07Z InternetArchiveBot 61272 Adding 1 book for [[ဝီကီပီးဒီးယား:စိစစ်အတည်ပြုခံနိုင်မှု]] (20260919)) #IABot (v2.0.9.6) ([[User:GreenC bot|GreenC bot]] 1054155 wikitext text/x-wiki {{Speciesbox | name = Nile crocodile | fossil_range = Late Miocene–[[:en:Holocene|Present]], {{fossil_range|11.6|0|ref=<ref name="Rio2021">{{cite journal |last1=Rio |first1=Jonathan P. |last2=Mannion |first2=Philip D. |date=6 September 2021 |title=Phylogenetic analysis of a new morphological dataset elucidates the evolutionary history of Crocodylia and resolves the long-standing gharial problem |journal=PeerJ |volume=9 |pages=e12094 |doi=10.7717/peerj.12094 |doi-access=free}}</ref>}} | image = NileCrocodile.jpg | image_upright = 1.15 | image_caption = At Le Bonheur Crocodile Farm near Stellenbosch, South Africa | status = LC | status_system = IUCN3.1 | status_ref =<ref name="iucn">{{Cite iucn |title=''Crocodylus niloticus'' |author1=Isberg, S. |author2=Combrink, X. |author3=Lippai, C. |name-list-style=amp |author4=Balaguera-Reina, S. A. |year=2019 |page=e.T45433088A3010181 |access-date=12 October 2019}}</ref> | genus = Crocodylus | species = niloticus | authority = [[:en:Joseph Nicolai Laurenti|Laurenti]], 1768 | synonyms = * '''''Crocodylus vulgaris''''' <small>[[:en:George Cuvier|Cuvier]], 1802</small> | range_map = Crocodylus niloticus Distribution.png | range_map_caption = }} [[File:Crocodylus niloticus MHNT REP 392.jpg|thumb| ''Crocodylus niloticus'']] '''နိုင်းမိကျောင်း''' (ခရိုကိုဒီလပ် နီလိုတီကပ်)သည် [[အာဖရိက]]တွင် တွေ့ရသော မျိုးစိတ် ၄ မျိုးအနက် အကြီးဆုံး ဖြစ်သည်။ ရှည်လျားသော အမြီးနှင့် အားကောင်းသော မေးရိုးများ ရှိသည်။ နောက်ခြေများသည် ရေကူးရန် ရေယက်များ ပါရှိသည်။ အလျားအားဖြင့် {{convert|20|ft|m|1|lk=on|abbr=on}} ထိရှည်ကာ၊ {{convert|1500|lb|kg|lk=on|abbr=on}} ထိလေးသည်။<ref name=":0">{{Cite web|url = http://animals.nationalgeographic.com/animals/reptiles/nile-crocodile/|title = Nile Crocodile|first = |last = |date = January 14, 2016|website = Nile Crocodile - National Geographic|publisher = National Geographic|accessdate = January 14, 2016}}</ref> များသောအားဖြင့် အထီးသည် အမထက် ပို၍ကြီးမားလေ့ရှိသည်။ နိုင်းမိကျောင်းများကို [[မဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ|မဒဂါစကာ]]၊ ဆာဟာရတပိုင်း အာဖရိကနှင့် နိုင်းမြစ်ဝကျွန်းပေါ်တို့၌ တွေ့ရှိရသည်။<ref name=":0" /> ယခင်က [[ဂျော်ဒန်နိုင်ငံ|ဂျော်ဒန်]]နှင့် [[အစ္စရေး]]တွင်လည်း တွေ့ရသည်။<ref name="arkive" />မြစ်ချောင်းများ၊ မြစ်ဝများ၊ ရေချိုစိမ့်တောများနှင့် [[လမုတော]]ရှိ ဗွက်တောများစသော အရပ်ဒေသအမျိုးမျိုး၌ နေထိုင်ကျက်စားသည်။<ref name=":0" />. နိုင်းမိကျောင်းသည် သားစားသတ္တဝါမျိုး ဖြစ်ကာ၊ အသားစားတတ်သည်။ အရွယ်ရောက်လာသော နိုင်းမိကျောင်းသည် မိမိထက်ကြီးသော သတ္တဝါများကို စားသည်။ မိကျောင်းငယ်များသည် အင်းဆက်ပိုးမွှားများနှင့် ငါးသေးများကို စားပြီး၊ မိကျောင်းကြီးများသည် မြင်းကျား ၊ ဒရယ်ငယ်၊ ဆတ်ကျွဲ (wildebeest) နှင့် ကျွဲများကို ဖမ်းယူစားသောက်သည်။<ref name= "arkive">{{cite web |url=http://www.arkive.org/nile-crocodile/crocodylus-niloticus/ |title=Nile crocodile - Crocodylus niloticus |first= |last= |work=arkive.org |year=2012 |accessdate=19 November 2012 |archivedate=23 January 2009 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090123041108/http://www.arkive.org/nile-crocodile/crocodylus-niloticus/ }}</ref> နိုင်းမိကျောင်းသည် ရန်လိုတတ်ပြီး၊ အခြား[[မိကျောင်း]]များကိုပင် တိုက်ခိုက်သည်။ မိကျောင်းများသည် ရေထဲတွင် မိတ်လိုက်ပြီး၊ ၎င်းနောက် မိကျောင်းမသည် ကုန်းပေါ်၌ ကျင်းတူးကာ ဥများ ဥချသည်။ ဥအလုံး ၆၀ ထိ ဥနိုင်ကာ၊ ဥပေါက်ရန် ရက်ပေါင်း ၉၀ ခန့် ကြာမြင့်သည်။<ref name="arkive" /> နိုင်းမိကျောင်းနှင့် ပတ်သက်၍ ထူးခြားမှု တခုမှာ ဥများ ပေါက်လာသည်အထိ အမက စောင့်ရှောက်ကာကွယ် နေခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name=":0" /> အသက် ၁၂ နှစ်သား ရှိလာလျှင်၊ မိကျောင်းငယ်များသည် မျိုးပွားရန် စွမ်းနိုင်သည်။<ref name="arkive" /> ==ကျက်စားပုံ== နိုင်းမိကျောင်းသည် အာဖရိကတွင် ရေချိုဒေသနေ ကြီးမားသော မိကျောင်းမျိုး ဖြစ်ကာ၊ နိုင်ငံပေါင်း ၂၆ နိုင်ငံတွင် ကျက်စားသည်။ နေထိုင်ရာ ကျယ်ပြန့်ခြင်း၊ ပုံမှန် သားပေါက်ခြင်းတို့ကြောင့်၊ ၁၉၉၆ ခုနှစ်ကတည်းက မျိုးတုံးရန် စိုးရိမ်ရမှု အနည်းဆုံးအဖြစ် IUCN စာရင်းနီတွင် သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="iucn"/> ဆာဟာရတပိုင်း အာဖရိကအနှံ့အပြား တည်ရှိကာ၊ တိုက်ကြီး၏ ဗဟို၊ အရှေ့နှင့် တောင်ပိုင်းဒေသများ၌ တွေ့ရသည်။ ကန်၊ မြစ်၊ ရွှံနွံတောနှင့် စိမ့်စမ်း စသော ရေပတ်ဝန်းကျင်အမျိုးမျိုး၌ နေထိုင်သည်။<ref name=Status>{{cite book |author=Pooley, A. C. |year=1982 |title=Crocodiles. Proceedings of the 5th Working Meeting of the IUCN/SSC Crocodile Specialist Group, Gainesville, Florida |location=Gland, Switzerland |publisher=IUCN Crocodile Specialist Group |pages=174–228 |chapter=The status of African crocodiles in 1980 |chapterurl=}}</ref> ဆားပေါက်ဒေသတွင် နေထိုင်နိုင်စွမ်းသော်လည်း၊ ဤမျိုးစိတ်များသည် ရေငန်တွင် တွေ့ရခဲပြီး၊ မြစ်ဝကျွန်းပေါ်နှင့် ဆားငန်ကန်များတွင် ရံခါ ကျက်စားသည်။ ဤမျိုးစိတ်၏ ခွင်သည် တခါက နိုင်းမြစ်ဝှမ်းမှ မြောက်ဘက်၊ နိုင်းမြစ်တလျှောက် မြောက်ဘက်ဆီသို့ ဖြန့်ကျက်ခဲ့သည်။ ပျမ်းမျှ အရွယ်ရောက် နိုင်းမိကျောင်းထီးသည် {{convert|3.5|and|5|m|ft|1|abbr=on}} ကြား ရှိကာ၊ {{convert|225|to|750|kg|lb|-1|abbr=on}} လေးနိုင်သည်။ <ref name=Cott>{{cite journal |author=Cott, H.B. |title=Scientific results of an inquiry into the ecology and economic status of the Nile crocodile (''Crocodilus niloticus'') in Uganda and Northern Rhodesia |journal=The Transactions of the Zoological Society of London |volume=29|issue=4|pages=211–356 |doi=10.1111/j.1096-3642.1961.tb00220.x |year=2010}}</ref><ref name="Alexander, G. 2007">{{cite book |author=Alexander, G. |last-author-amp=yes |author2=Marais, J. |year=2007 |title=A guide to the reptiles of southern Africa |location=Cape Town |publisher=Struik Publishers |pages= |url=https://archive.org/details/guidetoreptileso0000alex|chapter= |chapterurl= |isbn=}}</ref><ref name= deBoer>{{cite journal|author=de Boer, W. F.|author2=Vis, M. J.|author3=de Knegt, H. J.|author4=Rowles, C.|author5=Kohi, E. M. |author6=van Langevelde, F.|author7=Peel, M.|author8=Pretorius, Y.|author9=Skidmore, A.K. |author10=Slotow, R. |author11=van Wieren, S.E.|author12=Prins, H. H.|last-author-amp=yes |title=Spatial distribution of lion kills determined by the water dependency of prey species|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-mammalogy_2010-10_91_5/page/1280|journal=Journal of Mammalogy |volume=91|issue=5|pages=1280 |doi=10.1644/09-MAMM-A-392.1|year=2010|doi-access=free}}</ref> သို့သော်လည်း၊ အရှည် {{convert|6.1|m|ft|abbr=on}}နှင့် {{convert|1089|kg|lb|-1|abbr=on}} ကျော်သော မျိုးစိတ်များကို မှတ်တမ်းတင်ရဖူးသည်။ ၎င်းသည် အာဖရိကတွင် အကြီးဆုံး ရေချိုအမဲလိုက်မုဆိုး ဖြစ်ကာ၊ ခရိုကိုဒီလပ် ပိုရိုဆပ် ခေါ် ရေငန်မိကျောင်းပြီးလျှင်၊ ကမ္ဘာပေါ်တွင် ဒုတိယအကြီးဆုံး တွားသွားသတ္တဝါ အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။<ref name="Wood 1983">Wood, G. (1983). ''The Guinness Book of Animal Facts and Feats.'' Sterling Pub Co Inc. {{ISBN|978-0-85112-235-9}}</ref><ref name= Guggisberg>{{cite book | author = Guggisberg, C.A.W. |url =https://archive.org/details/crocodilestheirn00cawg| title = Crocodiles: Their Natural History, Folklore, and Conservation |year=1972 |isbn=978-0-7153-5272-4 |page=[https://archive.org/details/crocodilestheirn00cawg/page/n210 195]}}</ref> ရုပ်လိင်ခွဲ (Sexual dimorphism; ရုပ်သွင်လက္ခဏာ ကြည့်ရုံနှင့် အထီးအမလိင် ခွဲခြားနိုင်ခြင်း) ထင်ရှားကာ၊ အမသည် အထီးထက် ၃၀ ရာခိုင်နှုန်း ပိုငယ်သည်။ ထူထဲပြီး၊ အကြေးခွံများဖြင့် ပြည့်နေသော အရေပြား ရှိသည်။ နိုင်းမိကျောင်းများသည် အခွင့်ကောင်းရှာ အမဲလိုက်ကောင် ဖြစ်ပြီး၊ အရပ်ဒေသများသို့ ကျူးကျော် ဝင်ရောက်တတ်သည်။ အခြားသတ္တဝါများ၏ နယ်ပယ်ကိုလည်း ဝင်ယူတတ်သည်။ အစုံစား၊ အစားကျူးပြီး၊ သားကောင်မျိုးစုံကို အမဲလိုက်သည်။<ref name= Cott/><ref name= Guggisberg/> နေ့စဉ် စားသောက်သော သားကောင်မျိုးစိတ်များတွင် ငါး၊ တွားသွားများ၊ ငှက်များနှင့် နို့တိုက်များ အဓိက ပါဝင်သည်။ ချုံခိုတိုက်ခိုက်သော အမဲလိုက်ကောင် ဖြစ်ပြီး၊ နာရီ၊ ရက်နှင့်ချီ၍၊ တခါတရံ တိုက်ခိုက်ရန် သင့်တော်သည့် အချိန်ထိ ရက်သတ္တပတ်ထိ စောင့်စားနိုင်သည်။ ရန်လိုသော အမဲလိုက်ကောင် ဖြစ်ရာ၊ သားကောင်က မိမိခွင်ထဲ ရောက်သည်ထိ အခွင့်အရေးကို စောင့်နေတတ်သည်။ မည်မျှလွယ်ကူသော သားကောင်ဖြစ်စေ၊ တိုက်ခိုက်ရန် အလျင်မလိုချေ။ အခြားမိကျောင်းကဲ့သို့၊ နိုင်းမိကျောင်းများသည် ကိုက်မိလျှင် မလွတ်တမ်း ကိုက်နိုင်ကာ၊ ထက်မြပြီး ထုချွန်သဏ္ဌာန် သွားများက အသားထဲ နစ်သွားလျှင်၊ ရုန်းထွက်ရန် မဖြစ်နိုင်ချေ။ လိုအပ်သည်ထိ အကြာကြီး ကိုက်ထားနိုင်ပြီး၊ သားကောင်ကို ရေမွန်းသွားအောင် ရေအောက်ထဲ ဆွဲချတတ်သည်။<ref name="Guggisberg"/> နိုင်းမိကျောင်းများသည် အတော် အလိုက်သိသော မိကျောင်းမျိုး ဖြစ်သည်။<ref name= Huchzermeyer>Huchzermeyer, F. (2003). ''Crocodiles: Biology, Husbandry, Diseases''. CABI International Publishing. UK and Massachusetts.</ref> နေဆာလှုံကွက်နှင့် အစားရင်းမြစ်ကြီးများကို အတူမျှဝေသည်။ အစားရင်းမြစ်ကြီးမှာ ငါးအုပ်ကြီးနှင့် သားကောင်ကြီးများကို ဆိုလိုသည်။ တင်းကြပ်သော ရာထူးဝါစဉ် ရှိကာ၊ အရွယ်အစားနှင့် ဆုံးဖြတ်သည်။ ကြီးမားသော အထီးကြီးများသည် ဝါစဉ် ထိပ်ဆုံးမှာ နေကာ၊ အစာများစွာနှင့် နေဆာလှုံကွက်ကောင်းကို ရယူပိုင်ဆိုင်ခွင့် ရှိသည်။ ဤစည်းမျဉ်းကို မိကျောင်းများက လိုက်နာရပြီး၊ ထိပါးချိုးဖောက်ပါက၊ မကြာခဏ အကြမ်းဖက်ခံရပြီး သေသည်ထိ ဖြစ်သွားနိုင်သည်။<ref name= Garrick>{{cite journal |author=Garrick, L. D.|author2=Lang, J. W.|last-author-amp=yes |title=Social signals and behaviors of adult alligators and crocodiles|journal= American Zoologist |volume=17|pages= 225–239 |doi=10.1093/icb/17.1.225 |year=1977|doi-access=free}}</ref> အခြားတွားသွားကောင်အများစုကဲ့သို့၊ နိုင်းမိကျောင်းများသည် အမက ဥဥပြီး၊ ကာကွယ်စောင့်ရှောက်သည်။ ဥမှပေါက်သော မိကျောင်းပေါက်များကို အချိန်တခုထိ စောင့်ရှောက်ပေးသော်လည်း၊ အမဲကို ကိုယ်တိုင်လိုက်ရကာ၊ မိဘက ရှာဖွေမကျွေးပေ။<ref name= Cott/><ref name= Kofron>{{cite journal|author=Kofron, C. P.|title=The reproductive cycle of the Nile crocodile (''Crocodylus niloticus'')|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-zoology_1990-07_221_3/page/477|journal= Journal of Zoology|volume= 221|issue= 3|pages= 477–488|doi=10.1111/j.1469-7998.1990.tb04014.x|year= 1990}}</ref> နိုင်းမိကျောင်းသည် အန္တရာယ် အရှိဆုံး မိကျောင်းမျိုးနွယ်ထဲ ပါဝင်ပြီး၊ ယင်းတို့ကြောင့် နှစ်စဉ် လူရာပေါင်းများစွာ သေဆုံးနေရသည်။<ref name= Sideleau>{{cite book |author=Sideleau, B. |author2=Britton, A. R. C. |last-author-amp=yes |year=2012 |chapter=A preliminary analysis of worldwide crocodilian attacks |title=Crocodiles. Proceedings of the 21st Working Meeting of the IUCN-SSC Crocodile Specialist Group |location=Gland |publisher=IUCN Crocodile Specialist Group |pages=111–114}}</ref> အချို့ဒေသများဝယ် ကောင်ရေ လျော့နည်းသွားခြင်း၊ မျိုးတုံးသွားခြင်း ရှိသော်လည်း၊ မျိုးတုံးအန္တရာယ်ရှိသည့် အဆင့်မရောက်သေးချေ။ ==မျိုးခွဲပညာ== အခုလက်ရှိတွင် မျိုးစိတ်ခွဲများကို တရားဝင် အသိအမှတ် မပြုထားသော်လည်း၊ အာဖရိကတလျှောက် ပြန့်နှံ့ ကျက်စားနေသော အုပ်စုများ၏ ပုံပန်းသွင်ပြင်နှင့် အရွယ်အစားအလိုက် ခုနစ်မျိုး ခွဲခြားနိုင်မည်ဟု ယူဆကြသည်။ ယင်းတို့မှာ ''စီ အင် အာဖရိကနပ်'' ''C. n. africanus'' (အရှေ့အာဖရိကနိုင်းမိကျောင်းဟု တရားမဝင်အမည်ပေးထား)၊ ''စီအင် ချံစစ်'' ''C. n. chamses'' (သို့မဟုတ် အနောက်အာဖရိက နိုင်းမိကျောင်း)၊ ''စီအင် ကိုဝေး C. n. cowiei'' (တောင်အာဖရိက နိုင်းမိကျောင်း)၊ ''စီအင် မဒါဂါစကာရီယင်းစစ် C. n. madagascariensis'' (မလဂါစီ သို့မဟုတ် မဒဂါစကာ နိုင်းမိကျောင်း၊ ဒေသခံများက ခရိုကို မာဒါဟု ခေါ်၊ ဘာသာပြန်သော် မလဂါစီမိကျောင်း ဟူလို)၊ ''စီအင် နီလိုတီကပ် C. n. niloticus'' (ထင်ရှားသော မျိုးစိတ်ခွဲ ဖြစ်မည်၊ သို့မဟုတ် အီသီယိုးပီးယား နိုင်းမိကျောင်း)၊ ''စီအင် ပေါ်ဆီစကူတေးတပ် C. n. pauciscutatus'' (ကင်ညာ နိုင်းမိကျောင်း)၊ ''စီအင် စုချပ် C. (n.) suchus'' (အနောက်အာဖရိကမိကျောင်းဟု သိကြပြီး၊ ယခုအခါ မိကျောင်းဇီဝပညာရှင်များက သီးခြားမျိုးစိတ်အဖြစ် လက်ခံလိုက်ကြပြီ)တို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name= Crocodilian.com>{{cite web |url=http://crocodilian.com/cnhc/csp_cnil.htm |title=IUCN-SSC Crocodile Specialist Group |publisher=Crocodilian.com |date= |accessdate=2013-04-25 |archive-date=25 October 2011 |archive-url=https://web.archive.org/web/20111025183255/http://crocodilian.com/cnhc/csp_cnil.htm }}</ref><ref name= Schmitz>{{cite journal|author1=Schmitz, A. |author2=Mansfeld, P. |author3=Hekkala, E. |author4=Shine, T. |author5=Nickel, H. |author6=Amato, G. |author7=Böhme, W. |title=Molecular evidence for species level divergence in African Nile crocodiles ''Crocodylus niloticus'' (Laurenti, 1786)|journal=Comptes Rendus Palevol|volume=2|issue=8|pages=703|doi=10.1016/j.crpv.2003.07.002|year=2003}}</ref>စီအင် စုချပ် ပါဝင်သော မိကျောင်းအုပ်စုကို ရုပ်သွင်ပညာအရ လေ့လာရာ၊ နိုင်းမိကျောင်း၏ ပုံပန်းသဏ္ဌာန်သည် အခုလက်ရှိ သတ်မှတ်လက်ခံထားသော အခြားမိကျောင်းမျိုးစိတ်များထက် အပြောင်းအလဲများကြောင်း တွေ့ရသည်။ ဤသည်မှာလည်း အချို့ပုံပန်းသဏ္ဌာန် ပြောင်းလွဲခြင်းသည် သက်ဆိုင်ရာ ဒေသပတ်ဝန်းကျင်နှင့် လိုက်လျောညီထွေ နေထိုင်ရခြင်းနှင့် ဆက်စပ်နေသည်။<ref name=Nestler2012>{{citation| author=Nestler, J.H. | year=2012 | title=A geometric morphometric analysis of Crocodylus niloticus: evidence for a cryptic species complex | publisher=University of Iowa}}</ref> ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:မိကျောင်းများ (မျိုးရင်း)]] [[ကဏ္ဍ:ထိပ်တန်းသားရဲတိရစ္ဆာန်များ]] b0562kqhssbyokp2nucdjw11r9a3uiw 0 178095 1054197 984315 2026-09-20T03:27:47Z ပရဟိတ 147401 1054197 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = နားခေါ် |official_name = နားခေါ်ရွာ |other_name = |postal_code = |postal_code_type = Postal codes |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ရွာ]] |subdivision_type = [[အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင် နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံ]] |subdivision_name = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ရှမ်းပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ကျောက်မဲခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]] |subdivision_type4 = [[ကျေးရွာအုပ်စု]] |subdivision_name4 = နားခေါ် |unit_pref = imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |population_density_km2 = auto |coordinates_display = |coordinates_region = MM |coordinates = {{Coord|22.5365104675293|97.080810546875|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''နားခေါ်ရွာ''' ({{Lang-en|Narhkaw}})သည် [[ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်)]]၊ [[ကျောက်မဲခရိုင်]]၊ [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]]၊ [[နားခေါ်ကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည်။ ရွာနေရာကုတ်မှာ ၂၀၉၁၇၆ ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ သန်းခေါင်စာရင်း#၂၀၁၄ ခုနှစ် သန်းခေါင်စာရင်း|၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း]]အရ နားခေါ်ကျေးရွာအုပ်စုတွင် ကျား ၇၃၇ ဦး၊ မ ၈၁၉ ဦး၊ [[လူဦးရေ]] စုစုပေါင်း ၁၅၅၆ ဦးနေထိုင်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://themimu.info/place-codes|title=Place codes (Pcodes)|work=Myanmar Information Management Unit|date=June 2020|access-date=22 December 2020|archive-date=21 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121081823/https://themimu.info/place-codes|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{ပထဝီဝင်တည်နေရာ |Centre = နားခေါ် |North = - |Northeast = - |East = ပူးခါး |Southeast = - |South = - |Southwest = - |West = - |Northwest = - }} {{ကျောက်မဲမြို့နယ်}} [[ကဏ္ဍ:ကျောက်မဲမြို့နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Shan-geo-stub}} hqb1tm36uneqkemq3tmj42rshxfjdq7 0 178101 1054216 971442 2026-09-20T06:36:28Z ပရဟိတ 147401 1054216 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = ချောင်းချောက် |official_name = ချောင်းချောက်ရွာ |other_name = |postal_code = |postal_code_type = Postal codes |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ရွာ]] |subdivision_type = [[အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင် နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံ]] |subdivision_name = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ရှမ်းပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ကျောက်မဲခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]] |subdivision_type4 = [[ကျေးရွာအုပ်စု]] |subdivision_name4 = ချောင်းချောက် |unit_pref = imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |population_density_km2 = auto |coordinates_display = |coordinates_region = MM |coordinates = {{Coord|22.5488300323486|97.1464614868164|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''ချောင်းချောက်ရွာ''' ({{Lang-en|Chaungchauk}})သည် [[ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်)]]၊ [[ကျောက်မဲခရိုင်]]၊ [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]]၊ [[ချောင်းချောက်ကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည်။ ရွာနေရာကုတ်မှာ ၂၀၉၃၂၃ ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ သန်းခေါင်စာရင်း#၂၀၁၄ ခုနှစ် သန်းခေါင်စာရင်း|၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း]]အရ ချောင်းချောက်ကျေးရွာအုပ်စုတွင် ကျား ၁၁၆၄ ဦး၊ မ ၁၁၈၁ ဦး၊ [[လူဦးရေ]] စုစုပေါင်း ၂၃၄၅ ဦးနေထိုင်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://themimu.info/place-codes|title=Place codes (Pcodes)|work=Myanmar Information Management Unit|date=June 2020|access-date=21 December 2020|archive-date=21 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121081823/https://themimu.info/place-codes|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{ပထဝီဝင်တည်နေရာ |Centre = ချောင်းချောက် |North = - |Northeast = - |East = နောင်အန်း |Southeast = - |South = - |Southwest = - |West = လွယ်ခေါ် |Northwest = - }} {{ကျောက်မဲမြို့နယ်}} [[ကဏ္ဍ:ကျောက်မဲမြို့နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Shan-geo-stub}} 6n1namjlhgux2wjk421vlwh1nf6s3uv 0 178156 1054215 973411 2026-09-20T05:58:53Z ပရဟိတ 147401 1054215 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = စန့်ဟိန်း |official_name = စန့်ဟိန်းရွာ |other_name = |postal_code = |postal_code_type = Postal codes |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ရွာ]] |subdivision_type = [[အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင် နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံ]] |subdivision_name = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ရှမ်းပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ကျောက်မဲခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]] |subdivision_type4 = [[ကျေးရွာအုပ်စု]] |subdivision_name4 = စန့်ဟိန်း |unit_pref = imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |population_density_km2 = auto |coordinates_display = |coordinates_region = MMĒ |coordinates = {{Coord|22.7473907470703|96.769416809082|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''စန့်ဟိန်းရွာ''' ({{Lang-en|Hsanthing}})သည် [[ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်)]]၊ [[ကျောက်မဲခရိုင်]]၊ [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]]၊ [[စန့်ဟိန်းကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည်။ ရွာနေရာကုတ်မှာ ၂၀၉၃၉၅ ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ သန်းခေါင်စာရင်း#၂၀၁၄ ခုနှစ် သန်းခေါင်စာရင်း|၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း]]အရ စန့်ဟိန်းကျေးရွာအုပ်စုတွင် ကျား ၃၉၉ ဦး၊ မ ၄၉၇ ဦး၊ [[လူဦးရေ]] စုစုပေါင်း ၈၉၆ ဦးနေထိုင်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://themimu.info/place-codes|title=Place codes (Pcodes)|work=Myanmar Information Management Unit|date=June 2020|access-date=21 December 2020|archive-date=21 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121081823/https://themimu.info/place-codes|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{ပထဝီဝင်တည်နေရာ |Centre = စန့်ဟိန်း |North = - |Northeast = - |East = - |Southeast = - |South = မန်စန်း |Southwest = - |West = - |Northwest = - }} {{ကျောက်မဲမြို့နယ်}} [[ကဏ္ဍ:ကျောက်မဲမြို့နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Shan-geo-stub}} 3qke8eoe0uiyz8o98n75iqb4bblsb39 0 178311 1054204 983873 2026-09-20T03:54:37Z ပရဟိတ 147401 1054204 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = နမ့်ဟူးတောင်းအထက် |official_name = နမ့်ဟူးတောင်းအထက်ရွာ |other_name = |postal_code = |postal_code_type = Postal codes |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ရွာ]] |subdivision_type = [[အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင် နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံ]] |subdivision_name = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ရှမ်းပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ကျောက်မဲခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]] |subdivision_type4 = [[ကျေးရွာအုပ်စု]] |subdivision_name4 = နမ့်ဟူးတောင်း |unit_pref = imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |population_density_km2 = auto |coordinates_display = |coordinates_region = MM |coordinates = {{Coord|22.5460090637207|97.0503387451172|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''နမ့်ဟူးတောင်းအထက်ရွာ''' ({{Lang-en|Namhutawngahhtet}})သည် [[ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်)]]၊ [[ကျောက်မဲခရိုင်]]၊ [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]]၊ [[နမ့်ဟူးတောင်းကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည်။ ရွာနေရာကုတ်မှာ ၂၀၉၁၄၀ ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ သန်းခေါင်စာရင်း#၂၀၁၄ ခုနှစ် သန်းခေါင်စာရင်း|၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း]]အရ နမ့်ဟူးတောင်းကျေးရွာအုပ်စုတွင် ကျား ၁၈၉၃ ဦး၊ မ ၁၉၁၈ ဦး၊ [[လူဦးရေ]] စုစုပေါင်း ၃၈၁၁ ဦးနေထိုင်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://themimu.info/place-codes|title=Place codes (Pcodes)|work=Myanmar Information Management Unit|date=June 2020|access-date=22 December 2020|archive-date=21 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121081823/https://themimu.info/place-codes|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{ပထဝီဝင်တည်နေရာ |Centre = နမ့်ဟူးတောင်းအထက် |North = နမ့်ဟူးတောင်းအောက် |Northeast = - |East = - |Southeast = - |South = - |Southwest = ကျောက်တောင်ကွက်သစ် |West = - |Northwest = - }} {{ကျောက်မဲမြို့နယ်}} [[ကဏ္ဍ:ကျောက်မဲမြို့နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Shan-geo-stub}} 3nqlso0h16p8f029cqbtnjyqr5daa16 0 178312 1054202 983874 2026-09-20T03:52:30Z ပရဟိတ 147401 1054202 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = နမ့်ဟူးတောင်းအောက် |official_name = နမ့်ဟူးတောင်းအောက်ရွာ |other_name = |postal_code = |postal_code_type = Postal codes |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ရွာ]] |subdivision_type = [[အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင် နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံ]] |subdivision_name = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ရှမ်းပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ကျောက်မဲခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]] |subdivision_type4 = [[ကျေးရွာအုပ်စု]] |subdivision_name4 = နမ့်ဟူးတောင်း |unit_pref = imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |population_density_km2 = auto |coordinates_display = |coordinates_region = MM |coordinates = {{Coord|22.541690826416|97.0529098510742|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''နမ့်ဟူးတောင်းအောက်ရွာ''' ({{Lang-en|Namhutawngauk}})သည် [[ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်)]]၊ [[ကျောက်မဲခရိုင်]]၊ [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]]၊ [[နမ့်ဟူးတောင်းကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည်။ ရွာနေရာကုတ်မှာ ၂၀၉၁၄၁ ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ သန်းခေါင်စာရင်း#၂၀၁၄ ခုနှစ် သန်းခေါင်စာရင်း|၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း]]အရ နမ့်ဟူးတောင်းကျေးရွာအုပ်စုတွင် ကျား ၁၈၉၃ ဦး၊ မ ၁၉၁၈ ဦး၊ [[လူဦးရေ]] စုစုပေါင်း ၃၈၁၁ ဦးနေထိုင်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://themimu.info/place-codes|title=Place codes (Pcodes)|work=Myanmar Information Management Unit|date=June 2020|access-date=22 December 2020|archive-date=21 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121081823/https://themimu.info/place-codes|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{ပထဝီဝင်တည်နေရာ |Centre = နမ့်ဟူးတောင်းအောက် |North = - |Northeast = - |East = - |Southeast = - |South = - |Southwest = - |West = မန်နား |Northwest = - }} {{ကျောက်မဲမြို့နယ်}} [[ကဏ္ဍ:ကျောက်မဲမြို့နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Shan-geo-stub}} 02a50j8zza90sojbtu9mlut9kvooiic 0 178329 1054201 991739 2026-09-20T03:44:01Z ပရဟိတ 147401 1054201 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = ဗူးခါး |official_name = ဗူးခါးရွာ |other_name = |postal_code = |postal_code_type = Postal codes |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ရွာ]] |subdivision_type = [[အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင် နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံ]] |subdivision_name = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ရှမ်းပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ကျောက်မဲခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]] |subdivision_type4 = [[ကျေးရွာအုပ်စု]] |subdivision_name4 = နားခေါ် |unit_pref = imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |population_density_km2 = auto |coordinates_display = |coordinates_region = MM |coordinates = {{Coord|22.5405597686768|97.0917129516602|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''ဗူးခါးရွာ''' ({{Lang-en|Buhkar}})သည် [[ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်)]]၊ [[ကျောက်မဲခရိုင်]]၊ [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]]၊ [[နားခေါ်ကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည်။ ရွာနေရာကုတ်မှာ ၂၀၉၁၇၈ ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ သန်းခေါင်စာရင်း#၂၀၁၄ ခုနှစ် သန်းခေါင်စာရင်း|၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း]]အရ နားခေါ်ကျေးရွာအုပ်စုတွင် ကျား ၇၃၇ ဦး၊ မ ၈၁၉ ဦး၊ [[လူဦးရေ]] စုစုပေါင်း ၁၅၅၆ ဦးနေထိုင်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://themimu.info/place-codes|title=Place codes (Pcodes)|work=Myanmar Information Management Unit|date=June 2020|access-date=20 December 2020|archive-date=21 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121081823/https://themimu.info/place-codes|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{ပထဝီဝင်တည်နေရာ |Centre = ဗူးခါး |North = ခဲမွန် |Northeast = - |East = လွယ်ခေါ် |Southeast = - |South = - |Southwest = - |West = နားခေါ် |Northwest = - }} {{ကျောက်မဲမြို့နယ်}} [[ကဏ္ဍ:ကျောက်မဲမြို့နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Shan-geo-stub}} d4990aaa43d7za08syfq2z6er3llcxc 0 178330 1054198 1004598 2026-09-20T03:33:43Z ပရဟိတ 147401 1054198 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = လွယ်ခေါ် |official_name = လွယ်ခေါ်ရွာ |other_name = |postal_code = |postal_code_type = Postal codes |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ရွာ]] |subdivision_type = [[အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင် နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံ]] |subdivision_name = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ရှမ်းပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ကျောက်မဲခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]] |subdivision_type4 = [[ကျေးရွာအုပ်စု]] |subdivision_name4 = နားခေါ် |unit_pref = imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |population_density_km2 = auto |coordinates_display = |coordinates_region = MM |coordinates = {{Coord|22.5465106964111|97.1012878417969|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''လွယ်ခေါ်ရွာ''' ({{Lang-en|Loihkaw}})သည် [[ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်)]]၊ [[ကျောက်မဲခရိုင်]]၊ [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]]၊ [[နားခေါ်ကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည်။ ရွာနေရာကုတ်မှာ ၂၀၉၁၇၇ ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ သန်းခေါင်စာရင်း#၂၀၁၄ ခုနှစ် သန်းခေါင်စာရင်း|၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း]]အရ နားခေါ်ကျေးရွာအုပ်စုတွင် ကျား ၇၃၇ ဦး၊ မ ၈၁၉ ဦး၊ [[လူဦးရေ]] စုစုပေါင်း ၁၅၅၆ ဦးနေထိုင်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://themimu.info/place-codes|title=Place codes (Pcodes)|work=Myanmar Information Management Unit|date=June 2020|access-date=20 December 2020|archive-date=21 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121081823/https://themimu.info/place-codes|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{ပထဝီဝင်တည်နေရာ |Centre = လွယ်ခေါ် |North = - |Northeast = - |East = ချောင်းချောက် |Southeast = - |South = - |Southwest = - |West = - |Northwest = - }} {{ကျောက်မဲမြို့နယ်}} [[ကဏ္ဍ:ကျောက်မဲမြို့နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Shan-geo-stub}} osqfc5cfyqx3fla2jvjggi9zpr9uhie 0 178332 1054199 987667 2026-09-20T03:37:15Z ပရဟိတ 147401 1054199 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = ပန်ယုတ် |official_name = ပန်ယုတ်ရွာ |other_name = |postal_code = |postal_code_type = Postal codes |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ရွာ]] |subdivision_type = [[အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင် နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံ]] |subdivision_name = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ရှမ်းပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ကျောက်မဲခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]] |subdivision_type4 = [[ကျေးရွာအုပ်စု]] |subdivision_name4 = နားခေါ် |unit_pref = imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |population_density_km2 = auto |coordinates_display = |coordinates_region = MM |coordinates = {{Coord|22.5394802093506|97.0737686157227|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''ပန်ယုတ်ရွာ''' ({{Lang-en|Panghoke}})သည် [[ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်)]]၊ [[ကျောက်မဲခရိုင်]]၊ [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]]၊ [[နားခေါ်ကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည်။ ရွာနေရာကုတ်မှာ ၂၁၉၈၆၄ ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ သန်းခေါင်စာရင်း#၂၀၁၄ ခုနှစ် သန်းခေါင်စာရင်း|၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း]]အရ နားခေါ်ကျေးရွာအုပ်စုတွင် ကျား ၇၃၇ ဦး၊ မ ၈၁၉ ဦး၊ [[လူဦးရေ]] စုစုပေါင်း ၁၅၅၆ ဦးနေထိုင်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://themimu.info/place-codes|title=Place codes (Pcodes)|work=Myanmar Information Management Unit|date=June 2020|access-date=22 December 2020|archive-date=21 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121081823/https://themimu.info/place-codes|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{ပထဝီဝင်တည်နေရာ |Centre = ပန်ယုတ် |North = - |Northeast = - |East = နားခေါ် |Southeast = - |South = - |Southwest = - |West = ပန်ပေါကြီး |Northwest = - }} {{ကျောက်မဲမြို့နယ်}} [[ကဏ္ဍ:ကျောက်မဲမြို့နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Shan-geo-stub}} 4o0wzgvz3xmjuw2ifpsl1cfhwe0g0wm 0 178438 1054193 971069 2026-09-20T03:01:12Z ပရဟိတ 147401 1054193 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = ခဲမွန် |official_name = ခဲမွန်ရွာ |other_name = |postal_code = |postal_code_type = Postal codes |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ရွာ]] |subdivision_type = [[အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင် နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံ]] |subdivision_name = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ရှမ်းပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ကျောက်မဲခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]] |subdivision_type4 = [[ကျေးရွာအုပ်စု]] |subdivision_name4 = တံခွန်တိုင် |unit_pref = imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |population_density_km2 = auto |coordinates_display = |coordinates_region = MM |coordinates = {{Coord|22.5509395599365|97.0868606567383|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''ခဲမွန်ရွာ''' ({{Lang-en|Hkemun}})သည် [[ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်)]]၊ [[ကျောက်မဲခရိုင်]]၊ [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]]၊ [[တံခွန်တိုင်ကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည်။ ရွာနေရာကုတ်မှာ ၂၀၉၂၀၃ ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ သန်းခေါင်စာရင်း#၂၀၁၄ ခုနှစ် သန်းခေါင်စာရင်း|၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း]]အရ တံခွန်တိုင်ကျေးရွာအုပ်စုတွင် ကျား ၁၆၄၀ ဦး၊ မ ၁၇၅၈ ဦး၊ [[လူဦးရေ]] စုစုပေါင်း ၃၃၉၈ ဦးနေထိုင်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://themimu.info/place-codes|title=Place codes (Pcodes)|work=Myanmar Information Management Unit|date=June 2020|access-date=21 December 2020|archive-date=21 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121081823/https://themimu.info/place-codes|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{ပထဝီဝင်တည်နေရာ |Centre = ခဲမွန် |North = - |Northeast = - |East = ႁွင်ႈႁႅင်ႈ |Southeast = - |South = ပူးၶႃး |Southwest = - |West = ၶူဝ်တႅၼ်ႈ |Northwest = - }} {{ကျောက်မဲမြို့နယ်}} [[ကဏ္ဍ:ကျောက်မဲမြို့နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Shan-geo-stub}} 45nltgx7ntgyl0eb2t71kygzwwlgk65 0 178439 1054191 970672 2026-09-20T02:14:37Z ပရဟိတ 147401 1054191 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = ခိုတင့် |official_name = ခိုတင့်ရွာ |other_name = |postal_code = |postal_code_type = Postal codes |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ရွာ]] |subdivision_type = [[အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင် နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံ]] |subdivision_name = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ရှမ်းပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ကျောက်မဲခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]] |subdivision_type4 = [[ကျေးရွာအုပ်စု]] |subdivision_name4 = တံခွန်တိုင် |unit_pref = imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |population_density_km2 = auto |coordinates_display = |coordinates_region = MM |coordinates = {{Coord|22.556489944458|97.0716323852539|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''ခိုတင့်ရွာ''' ({{Lang-en|Hkotint}})သည် [[ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်)]]၊ [[ကျောက်မဲခရိုင်]]၊ [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]]၊ [[တံခွန်တိုင်ကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည်။ ရွာနေရာကုတ်မှာ ၂၀၉၂၀၂ ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ သန်းခေါင်စာရင်း#၂၀၁၄ ခုနှစ် သန်းခေါင်စာရင်း|၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း]]အရ တံခွန်တိုင်ကျေးရွာအုပ်စုတွင် ကျား ၁၆၄၀ ဦး၊ မ ၁၇၅၈ ဦး၊ [[လူဦးရေ]] စုစုပေါင်း ၃၃၉၈ ဦးနေထိုင်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://themimu.info/place-codes|title=Place codes (Pcodes)|work=Myanmar Information Management Unit|date=June 2020|access-date=21 December 2020|archive-date=21 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121081823/https://themimu.info/place-codes|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{ပထဝီဝင်တည်နေရာ |Centre = ခိုတင့် |North = - |Northeast = - |East = ခဲမွန် |Southeast = - |South = နားခေါ် |Southwest = - |West = - |Northwest = - }} {{ကျောက်မဲမြို့နယ်}} [[ကဏ္ဍ:ကျောက်မဲမြို့နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Shan-geo-stub}} byovr3onykm3jo2wfybewg1vtxirlim 0 178440 1054195 983703 2026-09-20T03:12:00Z ပရဟိတ 147401 1054195 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = နမ့်လင်း |official_name = နမ့်လင်းရွာ |other_name = |postal_code = |postal_code_type = Postal codes |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ရွာ]] |subdivision_type = [[အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင် နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံ]] |subdivision_name = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ရှမ်းပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ကျောက်မဲခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]] |subdivision_type4 = [[ကျေးရွာအုပ်စု]] |subdivision_name4 = တံခွန်တိုင် |unit_pref = imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |population_density_km2 = auto |coordinates_display = |coordinates_region = MM |coordinates = {{Coord|22.5757007598877|97.0869979858398|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''နမ့်လင်းရွာ''' ({{Lang-en|Namlin}})သည် [[ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်)]]၊ [[ကျောက်မဲခရိုင်]]၊ [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]]၊ [[တံခွန်တိုင်ကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည်။ ရွာနေရာကုတ်မှာ ၂၀၉၂၀၄ ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ သန်းခေါင်စာရင်း#၂၀၁၄ ခုနှစ် သန်းခေါင်စာရင်း|၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း]]အရ တံခွန်တိုင်ကျေးရွာအုပ်စုတွင် ကျား ၁၆၄၀ ဦး၊ မ ၁၇၅၈ ဦး၊ [[လူဦးရေ]] စုစုပေါင်း ၃၃၉၈ ဦးနေထိုင်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://themimu.info/place-codes|title=Place codes (Pcodes)|work=Myanmar Information Management Unit|date=June 2020|access-date=22 December 2020|archive-date=21 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121081823/https://themimu.info/place-codes|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{ပထဝီဝင်တည်နေရာ |Centre = နမ့်လင်း |North = - |Northeast = - |East = - |Southeast = - |South = ခဲမွန် |Southwest = - |West = - |Northwest = - }} {{ကျောက်မဲမြို့နယ်}} [[ကဏ္ဍ:ကျောက်မဲမြို့နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Shan-geo-stub}} ht6z78mj42ni87hka3qcdir2hilbxny 0 178441 1054196 987934 2026-09-20T03:15:30Z ပရဟိတ 147401 1054196 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = ပန်ဟတ် |official_name = ပန်ဟတ်ရွာ |other_name = |postal_code = |postal_code_type = Postal codes |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ရွာ]] |subdivision_type = [[အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင် နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံ]] |subdivision_name = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ရှမ်းပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ကျောက်မဲခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]] |subdivision_type4 = [[ကျေးရွာအုပ်စု]] |subdivision_name4 = တံခွန်တိုင် |unit_pref = imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |population_density_km2 = auto |coordinates_display = |coordinates_region = MM |coordinates = {{Coord|22.5551490783691|97.0452117919922|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''ပန်ဟတ်ရွာ''' ({{Lang-en|Panghat}})သည် [[ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်)]]၊ [[ကျောက်မဲခရိုင်]]၊ [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]]၊ [[တံခွန်တိုင်ကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည်။ ရွာနေရာကုတ်မှာ ၂၀၉၂၀၁ ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ သန်းခေါင်စာရင်း#၂၀၁၄ ခုနှစ် သန်းခေါင်စာရင်း|၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း]]အရ တံခွန်တိုင်ကျေးရွာအုပ်စုတွင် ကျား ၁၆၄၀ ဦး၊ မ ၁၇၅၈ ဦး၊ [[လူဦးရေ]] စုစုပေါင်း ၃၃၉၈ ဦးနေထိုင်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://themimu.info/place-codes|title=Place codes (Pcodes)|work=Myanmar Information Management Unit|date=June 2020|access-date=22 December 2020|archive-date=21 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121081823/https://themimu.info/place-codes|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{ပထဝီဝင်တည်နေရာ |Centre = ပန်ဟတ် |North = - |Northeast = - |East = - |Southeast = - |South = - |Southwest = ကျောက်မဲကြီး |West = - |Northwest = - }} {{ကျောက်မဲမြို့နယ်}} [[ကဏ္ဍ:ကျောက်မဲမြို့နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Shan-geo-stub}} 0kw2qfll0iprwm8q9rhkmshd8senmxp 0 178442 1054194 987725 2026-09-20T03:07:31Z ပရဟိတ 147401 1054194 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = ပန်လန်း |official_name = ပန်လန်းရွာ |other_name = |postal_code = |postal_code_type = Postal codes |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ရွာ]] |subdivision_type = [[အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင် နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံ]] |subdivision_name = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|ပြည်နယ်]] |subdivision_name1 = {{flag|ရှမ်းပြည်နယ်}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ကျောက်မဲခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]] |subdivision_type4 = [[ကျေးရွာအုပ်စု]] |subdivision_name4 = တံခွန်တိုင် |unit_pref = imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |population_density_km2 = auto |coordinates_display = |coordinates_region = MM |coordinates = {{Coord|22.5764904022217|97.0694427490234|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''ပန်လန်းရွာ''' ({{Lang-en|Panglan}})သည် [[ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်)]]၊ [[ကျောက်မဲခရိုင်]]၊ [[ကျောက်မဲမြို့နယ်]]၊ [[တံခွန်တိုင်ကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည်။ ရွာနေရာကုတ်မှာ ၂၀၉၂၀၅ ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ သန်းခေါင်စာရင်း#၂၀၁၄ ခုနှစ် သန်းခေါင်စာရင်း|၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း]]အရ တံခွန်တိုင်ကျေးရွာအုပ်စုတွင် ကျား ၁၆၄၀ ဦး၊ မ ၁၇၅၈ ဦး၊ [[လူဦးရေ]] စုစုပေါင်း ၃၃၉၈ ဦးနေထိုင်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://themimu.info/place-codes|title=Place codes (Pcodes)|work=Myanmar Information Management Unit|date=June 2020|access-date=22 December 2020|archive-date=21 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121081823/https://themimu.info/place-codes|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{ပထဝီဝင်တည်နေရာ |Centre = ပန်လန်း |North = - |Northeast = - |East = - |Southeast = - |South = - |Southwest = - |West = ခိုတင့် |Northwest = - }} {{ကျောက်မဲမြို့နယ်}} [[ကဏ္ဍ:ကျောက်မဲမြို့နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Shan-geo-stub}} trvfda8ebbvmt4cvgzw86n2fapz3cig 0 209641 1054152 1054126 2026-09-19T15:18:49Z Dr Lotus Black 31011 "[[ကြူကြူလှ]]" ကို ကာကွယ်ခဲ့သည်: for potential vandalism ([ပြင်ဆင်ရန်=အလိုအလျောက် အတည်ပြုထားသော အသုံးပြုသူများကိုသာ ခွင့်ပြုသည်] ( ၁၅:၁၈၊ ၁၉ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၇ (UTC) တွင် သက်တမ်းကုန်မည်) [ရွှေ့ရန်=အလိုအလျောက် အတည်ပြုထားသော အသုံးပြုသူများကိုသာ ခွင့်ပြုသည်] ( ၁၅:၁၈၊ ၁၉ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၇ (UTC) တွင် သက်တမ်းကုန်မည်)) 1054126 wikitext text/x-wiki {{Infobox officeholder |honorific_prefix = ဒေါ် | name = ကြူကြူလှ | birth_name = | native_name = | native_name_lang = my | image = Kyu Kyu Hla (2025-05-08) (cropped).jpg | caption = ကြူကြူလှ (၂၀၂၅) | office = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ပထမလေဒီ|နိုင်ငံတော်သမ္မတကတော်]] | term_start = ၁၀ ဧပြီ ၂၀၂၆ | term_end = | predecessor = [[ချိုချို (သမ္မတကတော်)|ချိုချို]] | successor = | office3 = နိုင်ငံတော်ဝန်ကြီးချုပ်၏ ဇနီး | term_start3 = ၁ ဩဂုတ် ၂၀၂၁ | term_end3 =၃၁ ဇူလိုင် ၂၀၂၅ | primeminister3 = [[မင်းအောင်လှိုင်]] | predecessor3 = [[ခင်ခင်ဝင်း၊ ဒေါ်|ခင်ခင်ဝင်း]] | successor3 = စမ်းစမ်းအေး | birth_date ={{birth date and age|1954|4|13|df=y}} | birth_place = [[ရန်ကုန်မြို့]] | nationality = [[ရခိုင်လူမျိုး]] | parents = မောင်မောင်လှ <br> အုန်းလှ | occupation = ကထိက | alma_mater =[[ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်]] | spouse = [[မင်းအောင်လှိုင်]] | children = [[ခင်သီရိသက်မွန်]]<br>[[အောင်ပြည့်စုံ]] | relations = }} '''ဒေါ်ကြူကြူလှ''' သည် အငြိမ်းစား တက္ကသိုလ်ဆရာမ တစ်ဦးဖြစ်ကာ ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး [[မင်းအောင်လှိုင်]]၏ ဇနီးဖြစ်ပြီး မြန်မာနိုင်ငံ၏ ၁၅ ဦးမြောက် [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ပထမလေဒီ|နိုင်ငံတော်သမ္မတကတော်]] ဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite web |title=နိုင်ငံတော်သမ္မတအဖြစ် ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး မင်းအောင်လှိုင် ဒုတိယသမ္မတများအဖြစ် ဦးညိုစောနှင့် ဒေါ်နန်းနီနီအေးတို့အား ရွေးချယ်တင်မြှောက် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/81369 |access-date=2026-04-03 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> မိဘများသည် ရခိုင်ပြည်နယ် သံတွဲမြို့နယ်ဇာတိဖြစ်ပြီး ရခိုင်လူမျိုးတစ်ဦးလည်းဖြစ်သည်။ [[ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်]] မြန်မာစာဌာနတွင် ကထိက ရာထူးဖြင့် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ ခင်ပွန်းဖြစ်သူ၏ ရာထူးများအရ သူသည် [[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]]၏ ဇနီး၊ [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဝန်ကြီးချုပ်|နိုင်ငံတော်ဝန်ကြီးချုပ်]]၏ ဇနီးဖြစ်ခဲ့သည်။ == ငယ်ဘဝ == အဖ ဦးမောင်မောင်လှ ၊ အမိ ဒေါ်အုန်းလှ တို့က ၁၉၅၄ ခုနှစ် တွင် ရန်ကုန်မြို့၌ မွေးဖွားခဲ့သည်။   ၁၉၇၀ ပြည့်နှစ် မတ်လ တွင် တက္ကသိုလ်ဝင်တန်း ဖြေဆိုအောင်မြင်ပြီး ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် သို့ တက်ရောက်သည်။ ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် မြန်မာစာမေဂျာဖြင့် ဝိဇ္ဇာဘွဲ့ ရရှိသည်။  ၁၉၈၁ ခုနှစ်တွင် မဟာဝိဇ္ဇာဘွဲ့ ရသည်။ <ref>{{cite web|url=https://www.myanmardigitalnewspaper.com/my/ncpengttcraa-ttkksiulnng-rngthaikmnmaacaa|title=နှစ်ပေါင်းတစ်ရာ တက္ကသိုလ်နှင့် ရင်ထဲကမြန်မာစာ|work=Myanmar Digital News|access-date=၆ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃|date=၁ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၀|archive-date=7 December 2023|archive-url=https://web.archive.org/web/20231207181909/https://www.myanmardigitalnewspaper.com/my/ncpengttcraa-ttkksiulnng-rngthaikmnmaacaa}}</ref> == ဝန်ထမ်းဘဝ == ၁၉၈ဝ ပြည့်နှစ် တွင် စာစဉ်နည်းပြအဖြစ် [[ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန]] တွင် အလုပ်ဝင်ခဲ့သည်။  ၁၉၈၁ ခုနှစ်တွင် [[ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်]] (ကြည့်မြင်တိုင်နယ်မြေ) နှင့်  ၁၉၈၆ ခုနှစ်တွင် တောင်ကြီးဒီဂရီကောလိပ် တို့တွင်  နည်းပြအဖြစ် တာဝန် ထမ်းဆောင်သည်။ ၁၉၈၉ ခုနှစ်တွင် ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် (ကြည့်မြင်တိုင်နယ်မြေ) သို့ လက်ထောက်ကထိကအဖြစ် ပြန်လည်ဝင်ရောက်ခဲ့ပြီး ၁၉၉၄ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလတွင် အမှုထမ်းခြင်းမှ နုတ်ထွက်သည်။ == စာရေးသားခြင်း == ဒေါ်ကြူကြူလှသည် သီရိပြည့်စုံမေ (မြန်မာစာ) ဟူသော ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေ ရေးသားလေ့ရှိသည်။<ref>{{Cite web |title=နှစ်ပေါင်းတစ်ရာ တက္ကသိုလ်နှင့် ရင်ထဲကမြန်မာစာ |url=http://www.mdn.gov.mm/my/ncpengttcraa-ttkksiulnng-rngthaikmnmaacaa |access-date=2026-04-17 |website=MDN - Myanmar DigitalNews |language=my}}</ref> သူမသည် နိုင်ငံပိုင် သတင်းစာများတွင် ဖော်ပြခံခဲ့ရသည့် မြန်မာ့လေတပ်၏ ၇၅ နှစ်မြောက် နှစ်ပတ်လည်အထိမ်းအမှတ် ကဗျာတစ်ပုဒ် "စိန်ရတုတပ်မတော် (လေ) သို့" ကို ရေးသားခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |title=စိန်ရတုတပ်မတော် (လေ) သို့ {{!}} News and Periodical Enterprise |url=https://www.moi.gov.mm/npe/cinrttuttpmtteaa-le-siu |access-date=2026-04-17 |website=www.moi.gov.mm}}</ref> စစ်ဘက်ဆိုင်ရာ မဂ္ဂဇင်းများ၏ နှစ်ပတ်လည်အထူးထုတ်များတွင် စစ်ဘက်ဆိုင်ရာ လိုလားသော ဆောင်းပါးများနှင့် ကဗျာများကို ရေးသားလေ့ရှိပြီး အဆိုပါကဗျာသည် [[ဖားကန့် အစုအပြုံလိုက် သတ်ဖြတ်မှု|ဖားကန့်မြို့တွင်]] [[ဖားကန့် အစုအပြုံလိုက် သတ်ဖြတ်မှု|အရပ်သား သေကြေပျက်စီးစေသော လေကြောင်းဗုံးကြဲတိုက်ခိုက်မှု]]များစွာကို ဆောင်ရွက်ခဲ့သည့် မြန်မာ့လေတပ်အား ချီးကျူးဂုဏ်ပြုထားသည်။ <ref>{{Cite web |last=Irrawaddy |first=The |date=2022-12-17 |title=Junta Watch: Regime Boss Ties ‘Patriotism’ to Fuel Bills as Wife Pens Ode to Air Force |url=https://www.irrawaddy.com/specials/junta-watch/junta-watch-regime-boss-ties-patriotism-to-fuel-bills-as-wife-pens-ode-to-air-force.html |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20230109145153/https://www.irrawaddy.com/specials/junta-watch/junta-watch-regime-boss-ties-patriotism-to-fuel-bills-as-wife-pens-ode-to-air-force.html |archive-date=2023-01-09 |access-date=2023-01-09 |website=The Irrawaddy |language=en-US}}</ref> == အရေးယူပိတ်ဆို့ခံရမှု == ၂၀၂၁ခုနှစ် ဇူလိုင်လတွင် [[နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ]]ဝင် အချို့၏ ဇနီးများကိုပါ [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု|အမေရိကန်]]က ဒဏ်ခတ်အရေးယူရာ သူလည်း ပါဝင်ခဲ့သည်။ ၎င်း၏ သားသမီးများဖြစ်ကြသည့် [[ခင်သီရိသက်မွန်]]နှင့် [[အောင်ပြည့်စုံ]]မှာလည်း အရေးယူခြင်း ခံထားရသူများဖြစ်သည်။<ref>{{cite news |title=Wife of military chief wishes ‘best of luck’ to jailed USDP supporter|url=https://coconuts.co/yangon/news/wife-military-chief-wishes-best-luck-jailed-usdp-supporter/ |work=Coconuts |date=28 May 2017}}</ref><ref>{{cite news |title=Myanmar Coup Maker’s Birthday Greeted With Curses, Nationwide Condemnation |url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/myanmar-coup-makers-birthday-greeted-with-curses-nationwide-condemnation.html |work=The Irrawaddy |date=3 July 2021}}</ref><ref>{{cite news |title=US Sanctions More Myanmar Junta Members, Their Relatives and Chinese Firms |url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/us-sanctions-more-myanmar-junta-members-their-relatives-and-chinese-firms.html/ |work=The Irrawaddy |date=3 July 2021}}</ref><ref>{{cite news |title=စစ်ကောင်စီအဖွဲ့ဝင် ခုနှစ်ဦးနဲ့ စစ်ခေါင်းဆောင်မိသားစုဝင် ၁၅ ဦးကို အမေရိကန် ပိတ်ဆို့အရေးယူမည် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/us-santions-on-military-members-07022021173114.html |work=Radio Free Asia |date=2 July 2021 |language=}}</ref><ref>{{cite news |title=အကြမ်းဖက်စစ်ခေါင်းဆောင်၏ဇနီး အပါအဝင် ၂၂ ဦး ကို အမေရိကန်က ဒဏ်ခတ်အရေးယူ |url=https://burmese.dvb.no/archives/473104 |work=DVB |date=3 July 2021 |language=}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{Lifetime|၁၉၅၄| }} [[Category:သက်ရှိထင်ရှားပုဂ္ဂိုလ်များ]] [[ကဏ္ဍ:၁၉၅၄ မွေးဖွားသူများ]] [[ကဏ္ဍ:ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ကျောင်းသားဟောင်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ရခိုင်လူမျိုး]] qon66lmf068vgy5061qxyuihbukkfbj 3 226090 1054138 739984 2026-09-19T14:05:46Z Cabayi 9662 [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Vibrate69]] စာမျက်နှာကို [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Huh trademark]] သို့ Cabayiက ရွှေ့ခဲ့သည်: အသုံးပြုသူ "[[Special:CentralAuth/Vibrate69|Vibrate69]]" ကို "[[Special:CentralAuth/Huh trademark|Huh trademark]]" သို့ အမည်ပြောင်းလဲစဉ် စာမျက်နှာအား အလိုအလျောက် ရွှေ့ပြောင်းခြင်း 739984 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Vibrate69 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၂:၄၅၊ ၄ ဧပြီ ၂၀၂၂ (UTC) 8k6ic2w6ljoq1c9hm2tt3uji33lm1ur 10 250153 1054179 1052952 2026-09-19T17:59:00Z Mkant00 135890 1054179 wikitext text/x-wiki {{Sidebar with collapsible lists | name = ကဲကုလပ် | title = [[ကဲကုလပ်]] | style = width: 26em; | image = [[File:Simple Calculus example.svg|150px]] | listclass = hlist | listtitlestyle = text-align: center; | expanded = all | list1name = core | list1title = အခြေခံ သဘောတရားများ | list1 = * [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (Fundamental theorem of calculus) * [[စုဆုံမှတ်]] (Limit) * [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (Continuous function) * [[ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်]] (Mean value theorem) * [[ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်]] (Rolle's theorem) * [[အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ်]] (Extreme Value Theorem) | list2name = differential | list2title = ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ် | list2 = * [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (Derivative) * [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်]] (Differential) * [[ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း၏ စည်းမျဉ်းများ|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း စည်းမျဉ်း]] (Rules of derivative) * [[လိုပီတယ် စည်းမျဉ်း]] (L'Hôpital's rule) * [[သွယ်ဝိုက် ဖန်ရှင်]] (Implicit function) * [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း]] (Differential equation) | list3name = integral | list3title = အင်တီဂရယ် ကဲကုလပ် | list3 = * [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] (Integral) * [[ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်]] (Antiderivative) * [[ရီးမန်း အင်တီဂရယ်]] (Riemann integral) * [[အနန္တဘောင် အင်တီဂရယ်]] (Improper integral) * [[အပိုင်းလိုက် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း]] (Integration by parts) * [[အစားထိုးခြင်းဖြင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း]] (Integration by substitution) | list4name = series | list4title = ကိန်းစဉ်တန်းများ | list4 = * [[ကိန်းစဉ်]] (Sequence) * [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) * [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (Series) * [[ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း]] (Power series) * [[တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း]] (Taylor series) * [[စုဆုံခြင်း စစ်ဆေးခြင်း]] (Convergence test) | list5name = multivariable | list5title = ဗက်တာနှင့် ကိန်းရှင်တစ်ခုထက်ပိုသော ကဲကုလပ် | list5 = * [[ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်]] (Partial derivative) * [[အထပ်ထပ် အင်တီဂရယ်]] (Multiple integral) * [[လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက် အင်တီဂရယ်]] (Line integral) * [[မျက်နှာပြင် အင်တီဂရယ်]] (Surface integral) * [[ဂရေးဒီးယင့်]] (Gradient) * [[ဖြာထွက်မှု]] (Divergence) * [[ဂရင်း၏ သီအိုရမ်]] (Green's theorem) * [[စတုတ်၏ သီအိုရမ်]] (Stokes' theorem) * [[ဖြာထွက်မှု သီအိုရမ်]] (Divergence theorem) | list6name = related | list6title = ဆက်စပ်ဘာသာရပ်များ | list6 = * [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (Mathematical analysis) * [[ကိန်းစစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (Real analysis) * [[ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (Complex analysis) * [[ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (Functional analysis) * [[အပိုင်းကိန်း ကဲကုလပ်]] (Fractional calculus) * [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ]] (Differential geometry) | below = }}<noinclude> [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] </noinclude> epijvusu3ji193pryqgb3oeaqc9ushf 3 262282 1054213 847727 2026-09-20T05:19:05Z QueerEcofeminist 48651 [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Selvakumar mallar]] စာမျက်နှာကို [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Selvakumar Pandian]] သို့ QueerEcofeministက ရွှေ့ခဲ့သည်: အသုံးပြုသူ "[[Special:CentralAuth/Selvakumar mallar|Selvakumar mallar]]" ကို "[[Special:CentralAuth/Selvakumar Pandian|Selvakumar Pandian]]" သို့ အမည်ပြောင်းလဲစဉ် စာမျက်နှာအား အလိုအလျောက် ရွှေ့ပြောင်းခြင်း 847727 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Selvakumar mallar ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၁၆၊ ၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၄ (UTC) 2kd42pt379wwixlyvipgcc004txdh1o 0 270275 1054254 878024 2026-09-20T11:50:26Z Kaday Han Thaw 122086 1054254 wikitext text/x-wiki '''အိဝတဲခရိုင်''' ({{lang-ja|岩手県}})သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]] [[ဟွန်ရှူးကျွန်း]] [[တိုးဟိုခုဒေသ]]၏ ပစိဖိတ် သမုဒ္ဒရာ ကမ်းရိုးတန်းရှိ ခရိုင်ဖြစ်သည်။ ခရိုင်ရုံး တည်နေရာမှာ မိုရိအိုကာရှိမြို့({{Lang|ja|盛岡市}})ဖြစ်သည်။ {{Infobox Prefecture Japan | ခရိုင် အမည် = အိဝတဲခရိုင် | ခန်းဂျီး = 岩手県 | ခန = いわてけん | image = {{Photomontage |photo1a = 230728 Chusonji Hiraizumi Iwate pref Japan01s3.jpg |photo1b = Jyoudogahama.jpg |photo2a = Esashi-fujiharanosato.jpg |photo2b = Hachimann numa 2008.jpg |photo3a = Ōsawa Onsen 大沢温泉.jpg |photo3b = Mt. Iwate and Morioka.jpg |spacing = 2 |color_border = white |color = white |size = 280 |position = center |space = 2 }} | image_caption = | flag = [[ဖိုင်:Flag of Iwate Prefecture.svg|100px|middle]] | emblem = [[ဖိုင်:Emblem of Iwate Prefecture.svg|70px|middle]] | ဒေသ = [[တိုးဟိုခု ဒေသ]] | ကုဒ် = 03000-7 | ISO 3166-2 = | area_total_km2 = 15,275.01 | population = 1,132,853 | ရက်စွဲ = | ခန့်မှန်း ရက်စွဲ = 2025-4-1 | population_density_km2 = 74.2 | ထိစပ်နေသော ခရိုင်များ = [[အအိုမိုရိခရိုင်]]၊ [[မိယဂိခရိုင်]]၊ [[အခိတခရိုင်]] | သစ်ပင် = ''Pinus Densiflora'' (ဂျပန် ထင်းရှူး) | ပန်း = ''Paulownia tomentosa'' | ငှက် = [[ရစ်လည်စိမ်း|''Phasianus colchicus'']] | ခရိုင်မှူး = တာ့ဆို တာခုယ (達増 拓也) | စာတိုက် သင်္ကေတ = 020-8570 | ရုံး တည်နေရာ = အိဝတဲခရိုင် မိုရိအိုကာမြို့ အုချိမာရု ၁၀-၁ | ကိုဩဒိနိတ် = {{Coord|39|42|12.6|N|141|9|9.8|E|region:JP}}<br />[[ဖိုင်:Iwate Prefectural Government Office 20220525b.jpg|250px|middle]] | ပြင်ပ လင့်ခ် = {{Official website|https://www.pref.iwate.jp/}} | တည်နေရာ = [[ဖိုင်:Map of Japan with highlight on 03 Iwate prefecture.svg|250px|middle]] }} == သမိုင်း == အိဝတဲခရိုင်သည် သမိုင်းကြောင်းအရ မုဆွတ်ပြည်နယ်၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ခဲ့ပြီး အေဒီ ၈၀၀ ခန့်တွင် မုဆွတ်ပြည်နယ်အတွင်းသို့ ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းခံခဲ့ရသည်။ ဂျောမွန်းခေတ်က ဤဒေသသည် ငါးဖမ်းလုပ်ငန်းနှင့် အမဲလိုက်လုပ်ငန်းများ ထွန်းကားခဲ့သော ဒေသတစ်ခုဖြစ်သည်။ ၈ ရာစုကုန်ပိုင်းအထိ ကိတာကာမိမြစ်ဝှမ်းဒေသတွင် အဲမိရှိလူမျိုးတို့၏ အခြေစိုက်ကျေးရွာများ ရှိခဲ့သည်။ အေဒီ ၈၀၃ တွင် လက်ရှိ မိုရိအိုကမြို့၏ မြောက်ဘက်၌ ရှင်းဝရိုးတပ်စခန်းကို တည်ဆောက်ခဲ့ပြီး နာရာအစိုးရ၏ ဩဇာအာဏာသည် အိဝတဲဒေသအတွင်းပိုင်းအထိ နက်နက်ရှိုင်းရှိုင်း ထိုးဖောက်ဝင်ရောက်လာခဲ့ရာ အဲမိရှိလူမျိုးများသည် မြောက်ဘက်သို့ တဖြည်းဖြည်း မောင်းထုတ်ခြင်းခံခဲ့ကြရသည်။ ၂၀၀၈ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၄ ရက်နေ့တွင် ရစ်ခ်တာစကေး ၇.၀ ရှိသော အိဝတဲ-မိယာဂိ အတွင်းပိုင်း ငလျင် လှုပ်ခတ်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၁ ခုနှစ် မတ်လ ၁၁ ရက်နေ့တွင် ရစ်ခ်တာစကေး ၉.၀ ရှိသော တိုဟိုကုဒေသ ပစိဖိတ်သမုဒ္ဒရာ ကမ်းလွန်ငလျင် လှုပ်ခတ်ခဲ့သဖြင့် ရိခူဇန်းတာကာတာမြို့နှင့် ကာမအိရှိမြို့ စသည့် ကမ်းရိုးတန်းဒေသများတွင် အပျက်အစီးများပြားခဲ့သည်။ ၂၀၁၂ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၂၈ ရက်နေ့ နံနက် ၇ နာရီ ၄၃ မိနစ်တွင် ယာမာနာရှိခရိုင်၌ ရစ်ခ်တာစကေး ၅.၆ ရှိသော ငလျင်တစ်ခု လှုပ်ခတ်ခဲ့ပြီး ၄ မိနစ်အကြာတွင် ရစ်ခ်တာစကေး ၅.၅ ရှိသော ငလျင်တစ်ခု ထပ်မံလှုပ်ခတ်ခဲ့သည်။ အိဝတဲခရိုင်တွင်လည်း နံနက် ၉ နာရီ ၂၂ မိနစ်တွင် ဆူနာမီလှိုင်းငယ်များ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သော်လည်း သီးခြားကြီးမားသော ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှု မရှိခဲ့ဟု သိရသည်။ ငလျင်၏ ဗဟိုချက်အနက်မှာ ၄၀ ကီလိုမီတာရှိကြောင်း ဖော်ထုတ်သိရှိခဲ့ရသည်။ == ပထဝီဝင် == အိဝတဲခရိုင်သည် အရှေ့ဘက်တွင် [[ပစိဖိတ်သမုဒ္ဒရာ]]၊ မြောက်ဘက်တွင် [[အအိုမိုရိခရိုင်]]၊ အနောက်ဘက်တွင် [[အခိတခရိုင်]]၊ တောင်ဘက်တွင် [[မိယငိခရိုင်]]တို့နှင့် ထိစပ်နေသည်။ ခရိုင်၏ အနောက်ဘက်၊ မြောက်ဘက်၊ အရှေ့ဘက်တို့တွင် တောင်ထူထပ်ပြီး ခရိုင် မြို့တော်တည်ရှိရာ ခရိုင် အလယ်ပိုင်းတစ်လျှောက် ကိတခမိမြစ် ချိုင့်ဝှမ်းသည် တောင်မြောက် သွယ်တန်းနေသည်။ တောင်တန်းဒေသများနှင့် ပင်လယ်အကြားတွင် ကျဉ်းမြောင်းသော ကမ်းရိုးတန်း ရှိသည်။ == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:အိဝတဲခရိုင်|*]] [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ခရိုင်များ]] {{Japan-geo-stub}} 8l2lc79yzmdn1p1lgxh2dn287qnwhnn 2 282473 1054177 1053969 2026-09-19T17:50:31Z Mkant00 135890 1054177 wikitext text/x-wiki '''A mathematician is a device for turning coffee into theorems'''<ref>{{cite book | title=A History of Mathematics | first=Jeff | last=Suzuki | year=2002 | pages=731 | publisher=Prentice Hall | quote=The first main result was by the Hungarian mathematician Alfred Renyi (March 20, 1921-February 1, 1970), who is best known for a saying of his: a mathematician is a machine for turning coffee into theorems. | isbn=9780130190741}}</ref><ref>{{cite book | title=Preface to ''Ars Mathematica'', Collected writings of Alfréd Rényi | publisher=TypoTeX | location=Budapest | author=Gyula O. H. Katona | author-link=Gyula O. H. Katona | page=8 | year=2005}}</ref> <div style="background-color: #F1C644; padding: 20px; color: #141B2D ; margin-bottom: 1em; border-radius: 8px;"> == <span style="color: #141B2D ;"> အဓိက ပံ့ပိုးထားသော ဆောင်းပါးများ (သင်္ချာ) </span> == <div style="column-width: 25em; column-gap: 3em; font-size: 95%;"> '''ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (Category Theory)''' # [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (Category theory) # [[2-ကတ်တဂိုရီ]] (2-category) # [[အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of groups) # [[အဘီလီယန်အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of abelian groups) # [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of rings) # [[မော်ဂျူးများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of modules) # [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of sets) # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of topological spaces) # [[မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ]] (Monoidal category) # [[ဂရိုသန်ဒိခ် စကြဝဠာ]] (Grothendieck universe) # [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Limits and colimits) # [[စစ်ထုတ်ထားသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Filtered colimit) # [[မြှောက်လဒ် (ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ)]] (Categorical product) # [[ဒွန်တွဲမြှောက်လဒ်]] (Coproduct) # [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (Initial and terminal objects) # [[ပရိုဂျက်တစ် အရာဝတ္ထု]] (Projective object) # [[အပိုင်း (ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ)]] (Section) # [[ဖန်တာ]] (Functor) # [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (Derived functor) # [[တိကျသော ဖန်တာ]] (Exact functor) # [[ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ]] (Fully faithful functor) # [[အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ]] (Essentially surjective functor) # [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Natural transformation) # [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] (Adjunction) # [[တိကျသော ကိန်းစဉ်]] (Exact sequence) # [[မိုနက်]] (Monad) # [[အစည်း]] (Sheaf) # [[ကွင်းပါသော ရပ်ဝန်း]] (Ringed space) # [[ဂရိုသန်ဒိခ် တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Grothendieck topology) '''သရုပ်မဲ့/ခေတ်သစ် အက္ခရာသင်္ချာ (Abstract/Modern Algebra)''' # [[ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ]] (Abstract algebra) # [[အုပ်စုသီအိုရီ]] (Group theory) # [[အုပ်စု (သင်္ချာ)]] (Group) # [[အုပ်စုပိုင်း]] (Subgroup) # [[စားလဒ်အုပ်စု]] (Quotient group) # [[ကိုဆက်]] (Coset) # [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian group) # [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စု]] (Automorphism group) # [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်]] (Group action) # [[အုပ်စုသီအိုရီ၏ သမိုင်းကြောင်း]] (History of group theory) # [[လာဂေါင့်၏ သီအိုရမ်]] (Lagrange's theorem) # [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)]] (Ring) # [[ပြောင်းပြန်ကွင်း]] (Opposite ring) # [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (Commutative ring) # [[အဆင့်သတ်မှတ် ကွင်း]] (Graded ring) # [[အစားကွင်း]] (Division ring) # [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Ring homomorphism) # [[အိုင်ဒီးလ်]] (Ideal) # [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်]] (Prime ideal) # [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) # [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်]] (Finite field) # [[အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်]] (Ordered field) # [[မော်ဂျူး]] (Module) # [[ရိုးရှင်းသော မော်ဂျူး]] (Simple module) # [[ဆီမီးရိုးရှင်းသော မော်ဂျူး]] (Semisimple module) # [[လွတ်လပ်သော မော်ဂျူး]] (Free module) # [[အလိမ် (အက္ခရာသင်္ချာ)]] (Torsion) # [[မိုနွိုက်]] (Monoid) # [[မက်ဂ်မာ]] (Magma) # [[ဆီမီးအုပ်စု]] (Semigroup) # [[တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ်]] (Direct product) # [[တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်]] (Direct sum) # [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်]] (Tensor product) # [[ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (Associative algebra) # [[ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်ရှိ အက္ခရာသင်္ချာ]] (Algebra over a field) # [[အပေါင်းအခြေခံ ပုံဖော်မှု]] (Additive map) # [[ပိုလီနိုမီရယ်]] (Polynomial) # [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Homomorphism) # [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Group homomorphism) # [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism) # [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Automorphism) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Isomorphism) # [[မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Monomorphism) # [[အပီမော်ဖစ်ဇင်]] (Epimorphism) # [[ကာနယ်]] (Kernel) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ်များ]] (Isomorphism theorems) # [[မိုရီတာ ထပ်တူညီမှု]] (Morita equivalence) # [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) # [[ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ]] (*-algebra) # [[အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိ]] (Archimedean property) # [[နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု]] (Binary operation) # [[အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ]] (Closure property) # [[ထပ်တူရအစုဝင်]] (Identity element) # [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်]] (Inverse element) # [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (Commutative property) # [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (Associative property) # [[ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ]] (Distributive property) # [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (Commutative algebra) # [[အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း]] (Integral domain) # [[မူမှန်အုပ်စုပိုင်း]] (Normal subgroup) # [[ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု]] (Cyclic group) # [[အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ်]] (Maximal ideal) # [[ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ်]] (Principal ideal) # [[ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ်]] (Irreducible polynomial) # [[ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ အစုဝင်]] (Integral element) # [[ဂယ်လ်ဝါသီအိုရီ၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (Fundamental theorem of Galois theory) # [[ဟီလ်ဘတ်၏ အခြေအစု သီအိုရမ်]] (Hilbert's basis theorem) # [[ဘန်းဆိုက်၏ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်]] (Burnside's lemma) '''အစုသီအိုရီနှင့် အခြေခံများ (Set Theory and Fundamentals)''' # [[သင်္ချာ]] (Mathematics) # [[အစု]] (Set) # [[အစုဝင်]] (Element of a set) # [[အစုအရွယ်အစား]] (Cardinality) # [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) # [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ]] (Ordered pair) # [[ဖန်ရှင်]] (Function) # [[အရင်းအမြစ်စု]] (Domain) # [[ပစ်မှတ်စု]] (Codomain) # [[ပုံရိပ် နှင့် မူလပုံရိပ်]] (Image and preimage) # [[ပေါင်းစပ်ခြင်း အော်ပရေတာ]] (Composition operator) # [[ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်]] (Inverse function) # [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] (Injective function) # [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] (Surjective function) # [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] (Bijective function) # [[နဂိုမှန်အဆို]] (Axiom) # [[ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို]] (Axiom of choice) # [[ဇွန်း၏ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်]] (Zorn's lemma) # [[ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ]] (Russell's paradox) # [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်း]] (Mathematical proof) # [[ညီမျှခြင်း]] (Equation) # [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း]] (List of mathematical symbols) # [[စားခြင်း (သင်္ချာ)]] (Division) # [[မြှောက်ခြင်း]] (Multiplication) # [[နုတ်ခြင်း]] (Subtraction) # [[မြှောက်လဒ်]] (Product) '''တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဂျီဩမေတြီ (Topology & Geometry)''' # [[ဂျီဩမေတြီ]] (Geometry) # [[ယူကလစ် ဂျီဩမေတြီ]] (Euclidean geometry) # [[စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဂျီဩမေတြီ]] (Spherical geometry) # [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဂျီဩမေတြီ]] (Differential geometry) # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) # [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီ]] (Algebraic geometry) # [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Algebraic topology) # [[ဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Homology) # [[ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Cohomology) # [[ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်]] (Chain complex) # [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (Metric space) # [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်]] (Coordinate system) # [[စုဆောင်းမှတ်]] (Limit point) # [[ဖိုက်ဘာအစည်း]] (Fiber bundle) # [[ဟိုမိုတိုပီ]] (Homotopy) # [[ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Homeomorphism) # [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (Continuous function) # [[မန်နီဖိုး]] (Manifold) # [[ဒစ်ဖီယိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Diffeomorphism) '''မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (Linear Algebra)''' # [[မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] (Linear algebra) # [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector space) # [[ဗက်တာ]] (Vector) # [[ယူနစ်ဗက်တာ]] (Unit vector) # [[စကေလာ]] (Scalar) # [[အခြေအစု]] (Basis) # [[မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်း]] (Linear independence) # [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (Linear operator) # [[မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်]] (Linear functional) # [[ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (Conjugate-linear map) # [[မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံ]] (Bilinear form) # [[ကိန်းအုံ]] (Matrix) # [[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (Determinant) # [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး]] (Eigenvalues and eigenvectors) # [[မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ စနစ်]] (System of linear equations) # [[ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း]] (Cauchy–Schwarz inequality) # [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (Dual vector space) # [[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)]] (Dot product) # [[တြိဂံ မညီမျှခြင်း]] (Triangle inequality) # [[အဆင့်-ကာနယ်အတိုင်းအတာ သီအိုရမ်]] (Rank-nullity theorem) # [[ကေးလီ-ဟာမီလ်တန် သီအိုရမ်]] (Cayley-Hamilton theorem) '''ကိန်းသီအိုရီ နှင့် ကိန်းစနစ်များ (Number Theory & Number Systems)''' # [[ကိန်း]] (Number) # [[သဘာဝကိန်း]] (Natural number) # [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) # [[အနုတ်ကိန်း]] (Negative number) # [[အတိပြကိန်း]] (Rational number) # [[အပိုင်းကိန်း]] (Fraction) # [[၀.၉၉၉...]] (0.999...) # [[ကိန်းစစ်]] (Real number) # [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း]] (Irrational number) # [[ကိန်းလွန်]] (Transcendental number) # [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) # [[ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (Complex plane) # [[ကိန်းယောင်]] (Imaginary number) # [[ဒွန်တွဲကိန်း]] (Dual number) # [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)]] (Parity) # [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) # [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ]] (Coprime) # [[P-အခြေခံကိန်း]] (p-adic number) # [[P-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic valuation) # [[အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ်]] (Euler's theorem) # [[ယူကလစ်၏ သီအိုရမ်]] (Euclid's theorem) # [[ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ်]] (Fermat's little theorem) # [[ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်း]] (Diophantine equation) # [[ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်]] (Fermat's Last Theorem) # [[တရုတ် အကြွင်း သီအိုရမ်]] (Chinese remainder theorem) # [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းသီအိုရီ]] (Algebraic number theory) # [[ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း]] (Ring of integers) # [[ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်]] (Gaussian integer) # [[အိုင်ဆင်စတိုင်း ကိန်းပြည့်]] (Eisenstein integer) # [[မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာ]] (Modular arithmetic) # [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်]] (Complex conjugation) '''ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း၊ ကဲကုလပ် နှင့် အခြား (Analysis, Calculus & Others)''' # [[ကဲကုလပ်]] (Calculus) # [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (Fundamental theorem of calculus) # [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)]] (Derivative) # [[ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း၏ စည်းမျဉ်းများ]] (Differentiation rules) # [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်]] (Differential) # [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း]] (Differential equation) # [[အင်တီဂရေးရှင်း]] (Integration) # [[ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်]] (Rolle's theorem) # [[ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်]] (Mean value theorem) # [[အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ်]] (Extreme Value Theorem) # [[လိုပီတယ် စည်းမျဉ်း]] (L'Hôpital's rule) # [[တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း]] (Taylor series) # [[စုဆုံမှတ်]] (Limit) # [[ကိန်းစဉ်]] (Sequence) # [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (Series) # [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) # [[ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း]] (Sequence space) # [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)]] (Norm) # [[ပကတိတန်ဖိုး]] (Absolute value) # [[ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်]] (Holomorphic function) # [[ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်း ဖန်ရှင်များ]] (Sine and cosine functions) # [[ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်]] (Exponential function) # [[လော့ဂရစ်သမ်]] (Logarithm) # [[စုံကိန်းဖန်ရှင်နှင့် မကိန်းဖန်ရှင်]] (Even and odd functions) # [[ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ်]] (Pythagorean theorem) # [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)]] (Dimension) # [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] (Probability) # [[ဂိမ်းသီအိုရီ]] (Game theory) # [[ဖီး ဆုတံဆိပ်]] (Fields Medal) # [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (Hilbert space) # [[အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်း (ဟီလ်ဘတ်အကြို ရပ်ဝန်း)]] (Inner product space) # [[ဟန်း-ဘာနက် သီအိုရမ်]] (Hahn-Banach theorem) # [[ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ]] (Banach algebra) </div> == တမ်းပလိတ်များ (Templates) == # [[တမ်းပလိတ်:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] # [[တမ်းပလိတ်:အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ]] # [[တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ]] # [[တမ်းပလိတ်:ဖန်ရှင်များ]] # [[တမ်းပလိတ်:Calculus]] </div> <div style="background-color: #a7f356; padding: 20px; color: #141B2D; margin-bottom: 1em; border-radius: 8px;"> == စီးပွားရေး၊ ဘဏ္ဍာရေး နှင့် အခြား (Economics, Finance & Others) == <div style="column-width: 25em; column-gap: 3em; font-size: 95%;"> '''စီးပွားရေးနှင့် ဘဏ္ဍာရေး (Economics & Finance)''' # [[ဘဏ္ဍာရေး ဆင်းသက်စာချုပ်]] (Financial derivative) # [[အစုရှယ်ယာ]] (Stock) # [[၂၀၀၇-၂၀၀၈ ကမ္ဘာ့ဘဏ္ဍာရေး အကျပ်အတည်း]] (Global Financial Crisis 2007–2008) # [[ရီကာဒီယန် စီးပွားရေးပညာ]] (Ricardian economics) # [[ပကတိ အသာစီးရမှု]] (Absolute advantage) # [[လီယွန်တီယက်ဖ် ဝိရောဓိ]] (Leontief paradox) # [[ဟက်ခ်ရှာ-အိုလင် သီအိုရမ်]] (Heckscher–Ohlin Theorem) # [[ရစ်ဗ်ချင်စကီး သီအိုရမ်]] (Rybczynski theorem) # [[အရင်းအမြစ် ဈေးကွက်]] (Factor market) '''စာပေ (Literature)''' # [[မာဆယ် ပရူးစ်တ်]] (Marcel Proust) # [[The Remains of the Day]] </div> </div> <div style="background-color: #f8f9fa; padding: 20px; color: #141B2D; border-radius: 8px;"> == ရေးရန် (သင်္ချာ) == <div style="column-count: 2; column-gap: 2em;"> '''ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (Category Theory)''' # [[ဖီးလ်ဒ်များ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of fields) # [[Kan extension]] '''သရုပ်မဲ့/ခေတ်သစ် အက္ခရာသင်္ချာ (Abstract/Modern Algebra)''' # [[စားလဒ်ကွင်း]] (Quotient ring) # [[ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု]] (Galois group) # [[လီအက္ခရာသင်္ချာ]] (Lie algebra) # [[ဟော့ဖ် အက္ခရာသင်္ချာ]] (Hopf algebra) # [[ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း]] (Principal ideal domain) # [[လွတ်လပ်သည့် အုပ်စု]] (Free group) # [[အချိုးညီအုပ်စု]] (Symmetric group) # [[ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု]] (Permutation group) # [[အလှည့်ကျ အုပ်စု]] (Alternating group) # [[ကေးလီ၏ သီအိုရမ်]] (Cayley's theorem) # [[အုပ်စု၏ ဗဟို]] (Center of a group) # [[ကွင်း၏ ဗဟို]] (Center of a ring) # [[သုညစားကိန်း]] (Zero-divisor) # [[ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း]] (Polynomial ring) # [[ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း]] (Field extension) # [[အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်]] (Algebraic closure) # [[ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Field homomorphism) # [[Splitting field]] # [[Unique factorization domain]] # [[Noetherian ring]] # [[Sylow theorems]] '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology)''' # [[ကျစ်လျစ်မှု]] (Compactness) # [[ဆက်စပ်နေမှု]] (Connectedness) # [[အခြေခံအုပ်စု]] (Fundamental group) # [[ဖုံးအုပ်ရပ်ဝန်း]] (Covering space) # [[အစည်း ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Sheaf cohomology) # [[Heine–Borel theorem]] '''မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (Linear Algebra)''' # [[Eigenspace]] # [[Orthogonality]] # [[Gram–Schmidt process]] # [[Diagonalizable matrix]] # [[Singular value decomposition]] '''ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းနှင့် ကဲကုလပ် (Analysis & Calculus)''' # [[ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (Complex analysis) # [[စုဆုံခြင်း]] (Convergence) # Hilbert C*-module # [[စုဆုံ ကိန်းစဉ်]] (Convergent sequence) # [[Cauchy–Riemann equations]] # [[Cauchy's integral theorem]] # [[Cauchy's integral formula]] # [[Singularity (mathematics)]] # [[Laurent series]] # [[Residue theorem]] # [[Partial derivative]] # [[Multiple integral]] # [[Stokes' theorem]] # [[Divergence theorem]] # [[Green's theorem]] # [[Completeness (topology)]] # [[Measure space]] # [[Lebesgue measure]] # [[Lebesgue integration]] '''ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (Differential Equations)''' # [[Ordinary differential equation]] # [[Partial differential equation]] # [[Fourier series]] '''Probability, Statistics & Discrete Math''' # [[Random variable]] # [[Expected value]] # [[Variance]] # [[Normal distribution]] </div> hgrrfi5giz48ptmdw0nfuyfqy2vlx3i 0 282734 1054224 1040987 2026-09-20T09:27:59Z Mkant00 135890 category adjustment 1054224 wikitext text/x-wiki [[ဖိုင်:Cauchy_sequence_illustration.svg|thumb|'''ကော်ချီ ကိန်းစဉ် (Cauchy sequence) ဥပမာ -''' ကိန်းစဉ် ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်း၏ အစုဝင်များကြားရှိ အကွာအဝေးသည် အလိုရှိသလောက် သေးငယ်သွားသည်။]] [[ဖိုင်:Cauchy_sequence_illustration2.svg|thumb|'''ကော်ချီ ကိန်းစဉ် မဟုတ်သော ကိန်းစဉ် ဥပမာ -''' ကိန်းစဉ် ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်း၏ အစုဝင်များကြားရှိ အကွာအဝေးသည် အလိုရှိသလောက် သေးငယ်မသွားပေ။]] သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် '''ကော်ချီ ကိန်းစဉ်''' (Cauchy sequence) ဆိုသည်မှာ ကိန်းစဉ် ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်း၏ အစုဝင်များ (elements) ကြားရှိ အကွာအဝေး (distance) သည် အလိုရှိသလောက် (arbitrarily) သေးငယ်သွားသော ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များကို ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင် အောဂတ်စတင်-လူးဝီကော်ချီ (Augustin-Louis Cauchy) အား အစွဲပြု၍ မှည့်ခေါ်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis) တည်ဆောက်မှုအတွက် အခြေခံကျ အရေးပါသည်။ ကိန်းစစ် (real numbers) များပါဝင်သော ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တစ်ခုသည် အမြဲတမ်း စုဆုံ (converge) ပြီး ၎င်း၏ စုဆုံမှတ် (limit) အဖြစ် ကိန်းစစ်တစ်ခုရှိသည်။ သို့သော် ရာရှင်နယ်ကိန်း (rational numbers) များပါဝင်သော ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) လည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းစစ်များသည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း (complete space) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်များသည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားပြီး အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုအတွင်းရှိ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များအားလုံး စုဆုံမှသာလျှင် ထိုရပ်ဝန်းကို ပြည့်စုံသည်ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ == ကိန်းများ၏ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ == === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === ကိန်းစစ်များ ပါဝင်သော ကိန်းစဉ် <math>(a_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> တစ်ခုသည် မည်သည့် <math>\varepsilon>0</math> အတွက်မဆို အညွှန်းကိန်း(index) <math>N</math> တစ်ခု ရှိနေပြီး ထိုအညွှန်းကိန်းမှစ၍ ကိန်းစဉ်၏ အစုဝင်များအားလုံး တစ်ခုနှင့်တစ်ခု အကွာအဝေး <math>\varepsilon</math> ထက် နည်းပါက ၎င်းကို ''ကော်ချီ ကိန်းစဉ် (Cauchy sequence)'' ဟု ခေါ်သည်။ ပုံစံတကျ (formal) အားဖြင့် ဤအခြေအနေကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားနိုင်သည်- :<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\mathbb{N} \quad \forall m,n \ge N \colon \quad \left|a_m-a_n \right|<\varepsilon</math> ဤတွင် <math>| \cdot |</math> သည် ကိန်းတစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ ==== မှတ်ချက်များ ==== *အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင် <math>\ge N</math> အစား <math>>N</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ <math>< \varepsilon</math> အစား <math>\le \varepsilon</math> ဖြင့်လည်းကောင်း အစားထိုး အသုံးပြုနိုင်သည်။ *ဤအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် တူညီစွာ မည်မျှပင် သေးငယ်သော အပေါင်းကိန်း <math>\varepsilon</math> အတွက်မဆို ကိန်းစဉ်၏ အစုဝင်အားလုံးနီးပါး(almost all) ပါဝင်နေမည့် အလျား <math>2\varepsilon</math> ရှိသော အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခု ရှိသည်ဟုလည်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။ === ဥပမာများ === * ကိန်းစဉ် <math>a_i = \tfrac{1}{i}</math> သည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ မည်မျှပင် သတ်မှတ်ပေးထားသော <math>\varepsilon>0</math> အတွက်မဆို <math>N>\tfrac{1}{\varepsilon}</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>N</math> တစ်ခုကို ရွေးချယ်နိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ မည်သည့် <math>n\geq m>N</math> ကိုမဆို ရွေးချယ်လိုက်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်မည်။ ::<math>| a_m - a_n | = \left|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right| = \left|\frac{n-m}{mn}\right| < \frac{n}{mn} = \frac{1}{m} < \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. * ကိန်းစဉ် <math>a_i = i</math> သည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် မဟုတ်ပေ။ ၎င်းအတွက် <math>\varepsilon=\tfrac12</math> ဟု ရွေးချယ်ပြီး <math>N</math> ကို မည်သည့် သဘာဝကိန်း (natural number) အဖြစ်မဆို ထားရှိပါစို့။ ထိုအခါ <math>n=N+1</math> နှင့် <math>m=n+1</math> ကို ရွေးချယ်နိုင်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်မည်။<ref>အဆိုကို ချေပရန် (counterproof) အတွက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ပြောင်းပြန်လှန်ရမည်- <math>\exists \varepsilon>0 ~ \forall N\in\mathbb{N} ~ \exists m,n \ge N \colon \left|a_m-a_n \right|\geq\varepsilon</math>။</ref> ::<math>| a_m - a_n | = | m - n | = 1 \geq \varepsilon</math>. === ပြည့်စုံမှု (Completeness) === ရာရှင်နယ်ကိန်းများ အစုအတွင်း၌ အထက်တွင် ဖော်ပြထားသည့်အတိုင်း အစုဝင်များ စုစည်းလာနိုင်သော်လည်း စုဆုံမှတ် မရှိသော ရာရှင်နယ်ကိန်းများပါဝင်သည့် ကိန်းစဉ်များ ရှိသည်။ ၎င်းအတွက် ဥပမာတစ်ခုမှာ အောက်ပါ ဖွဲ့စည်းမှုပါရှိသော ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ကိန်းစဉ် ဖြစ်သည်- :<math>a_1:=1,\quad a_{i+1}:=\frac{a_i}{2} + \frac{1}{a_i}</math>. ဤကိန်းစဉ်သည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သော်လည်း ၎င်း၏ စုဆုံမှတ်မှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\sqrt{2}</math> ဖြစ်သောကြောင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ အစုအတွင်း၌ စုဆုံခြင်း မရှိပေ။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ အစု <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်း၌ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များစွာ၏ စုဆုံမှတ်များ မရှိခြင်းဟူသော ပြဿနာကြောင့် သမိုင်းကြောင်းအရ ရာရှင်နယ်ကိန်းများမှတဆင့် ကိန်းစစ်များ အစု <math>\mathbb{R}</math> ကို ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) နည်းလမ်းဖြင့် တည်ဆောက်ရန် ဦးတည်စေခဲ့သည်။ == အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများရှိ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ (Cauchy sequences in metric spaces) == === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) === ပိုမိုယေဘုယျကျစွာအားဖြင့် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် သဘောတရားကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) <math>d</math> ပါရှိသော မည်သည့် အလိုရှိ [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space) <math>(X,d)</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>X </math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များ (elements) ၏ ကိန်းစဉ် (sequence) <math>(x_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> တစ်ခုကို အောက်ပါအခြေအနေ မှန်ကန်ပါက ကော်ချီ ကိန်းစဉ် ဟု ခေါ်သည်။ <math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\N \quad \forall m,n \geq N \colon \quad d(x_m, x_n) < \varepsilon</math> ဆိုလိုသည်မှာ မည်မျှပင် သေးငယ်သော ကိန်းစစ် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို သက်ဆိုင်ရာ အညွှန်းကိန်း <math>N</math> တစ်ခုရှိနေပြီး ထို <math>N</math> ထက် ကြီးသော သို့မဟုတ် ညီသော မည်သည့် သဘာဝကိန်းများ <math>m, n</math> အတွက်မဆို ၎င်းအစုဝင်နှစ်ခုကြား အကွာအဝေးသည် <math>d(x_m, x_n) < \varepsilon</math> ဖြစ်ရမည်။ ၎င်းနှင့် ညီမျှသော ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်တစ်ခုမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ မည်သည့် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို အမှတ် (point) <math>a</math> တစ်ခုနှင့် အညွှန်းကိန်း <math>N</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ထို့အတွက်ကြောင့် <math>x_N</math> မှစ၍ ကိန်းစဉ်အစုဝင်များအားလုံးသည် အမှတ် <math>a</math> ကို ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် (radius) <math>\varepsilon</math> ရှိသော အဖွင့်စက်လုံး (open ball) <math>B_{\varepsilon}(a)</math> အတွင်း၌ တည်ရှိနေကြသည်။ ဤပုံစံသည် စုဆုံခြင်း (convergence) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် အနည်းငယ်သာ ကွဲပြားသည်။ ဤနေရာတွင် ဗဟို (center) <math>a</math> သည် အချင်းဝက် <math>\varepsilon</math> အပေါ် မူတည်နိုင်ခွင့်ရှိသည်။ သို့ရာတွင် စုဆုံခြင်း၌မူ စုဆုံမှတ် <math>a</math> သည် <math>\varepsilon</math> အပေါ် အမှီအခိုကင်းရန် (independent) လိုအပ်သည်။ (မှတ်ချက် - ဤဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်အရ တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality) ကို အသုံးပြုပါက အစုဝင်များကြား အကွာအဝေးသည် <math>2\varepsilon</math> ထက် ငယ်မည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် မူလအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် တိကျစွာ ညီမျှစေရန် <math>\varepsilon</math> အစား <math>\frac{\varepsilon}{2}</math> ဟု အချိုးချပြောင်းလဲ (rescaling) တွက်ချက်ရမည်ဖြစ်သည်။ <math>\varepsilon</math> သည် အပေါင်းကိန်းအားလုံးကို ဖြတ်သန်းသောကြောင့် အဓိပ္ပာယ်ကို မပြောင်းလဲပါ။) === ပြည့်စုံမှု (Completeness) === အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) တစ်ခုအတွင်းရှိ စုဆုံ ကိန်းစဉ် (convergent sequence) တိုင်းသည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် (Cauchy sequence) လည်း ဖြစ်သည်။ ကိန်းစဉ် <math>(x_i)_{i \in \N}</math> တစ်ခုသည် စုဆုံမှတ် (limit) <math>x \in X</math> သို့ စုဆုံသည်ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ မည်သည့် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို အညွှန်းကိန်း(index) <math>N \in \N</math> တစ်ခု ရှိပြီး မည်သည့် <math>n \geq N</math> အတွက်မဆို <math>d(x,x_n) < \tfrac{\varepsilon}2</math> ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ထို့နောက် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများအတွက် တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality) ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် မည်သည့် <math>m,n \geq N</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>d(x_m,x_n) \leq d(x_m,x) + d(x,x_n) < \tfrac{\varepsilon}2 + \tfrac{\varepsilon}2 = \varepsilon</math> ထို့ကြောင့် ၎င်းကိန်းစဉ်သည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ယင်း၏ ပြောင်းပြန်အဆိုသည် အမြဲတမ်း မှန်ကန်ရန် မလိုအပ်ပေ။ ဤအချက်က နောက်ဆုံးတွင် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်းများ (complete spaces) ကို မိတ်ဆက်ရန် ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်။ ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်းတစ်ခုတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ မည်သည့် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တွင်မဆို စုဆုံမှတ်တစ်ခု ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် စုဆုံ ကိန်းစဉ် သဘောတရားသည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် သဘောတရားနှင့် ထပ်တူကျသွားသည်။ မည်သည့် ပြည့်စုံမှုမရှိသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းကိုမဆို ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (equivalence classes) ကို ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်ခြင်းဖြင့် ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) ပြုလုပ်နိုင်သည်။ ဤတွင် <math>X</math> ရှိ အစုဝင်များ၏ ကော်ချီ ကိန်းစဉ် နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(x_i)_{i\in \N}</math> နှင့် <math>(y_i)_{i\in \N}</math> တို့ကို အောက်ပါအခြေအနေတွင် ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟု ယူဆသည်။ :<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\N \quad \forall m,n \geq N \colon \quad d(x_m, y_n) < \varepsilon</math> သို့မဟုတ် အခြား အဓိပ္ပာယ်တူညီသော ဖော်ပြချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\lim_{m, n \to \infty} d(x_m, y_n) = 0</math> ကိန်းစဉ် နှစ်ခုအနက် တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်သည် <math>X</math> တွင် ရှိနေပါက အခြားကိန်းစဉ်၏ စုဆုံမှတ်သည်လည်း ထိုရပ်ဝန်းတွင်း၌ပင် ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့၏ စုဆုံမှတ် နှစ်ခုစလုံးသည် တူညီကြသည်။ [[ကဏ္ဍ:ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းစဉ်နှင့် ကိန်းစဉ်တန်း]] ef1omuktvskyd4vgyvh9vk9ain7il8s 3 283749 1054172 1024455 2026-09-19T17:23:40Z Mfield 138184 [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:IShowSammy]] စာမျက်နှာကို [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:IShowSami]] သို့ Mfieldက ရွှေ့ခဲ့သည်: အသုံးပြုသူ "[[Special:CentralAuth/IShowSammy|IShowSammy]]" ကို "[[Special:CentralAuth/IShowSami|IShowSami]]" သို့ အမည်ပြောင်းလဲစဉ် စာမျက်နှာအား အလိုအလျောက် ရွှေ့ပြောင်းခြင်း 1023254 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Wikisam240 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၄:၃၇၊ ၂ ဧပြီ ၂၀၂၆ (UTC) msjbsglxlnko9ao8ek83pt1bv2j0hpt 0 288216 1054250 1040991 2026-09-20T10:49:38Z Mkant00 135890 1054250 wikitext text/x-wiki [[ကိန်းသီအိုရီ]] တွင် အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ် (Euler's theorem) ကို ဖဲမ-အွိုင်လာ သီအိုရမ် (Fermat-Euler theorem) သို့မဟုတ် အွိုင်လာ၏ တိုးရှန့် သီအိုရမ် (Euler's totient theorem) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ ၎င်းအမည်မှာ [[လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ]] (Leonhard Euler) နှင့် [[ပီယား ဒေ ဖဲမ]] (Pierre de Fermat) တို့ကို အစွဲပြု၍ ပေးထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်သည် [[ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ်]] (Fermat's little theorem) ကို အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော [[မော်ဂျူးလပ်စ်|မော်ဂျူးလပ်စ်များ]] (moduli) <math>n \in \mathbb{N}</math> အတွက် ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalization) ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ <math>n</math> များသည် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers) ဖြစ်ရန် မလိုအပ်ပါ။ == ဖော်ပြချက် (Statement) == အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ်အရ <math>\gcd(a, n) = 1</math> ဖြစ်သော <math>a, n \in \mathbb{N}</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါဆက်သွယ်ချက် မှန်ကန်သည်။ *<math>a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}</math> ဤနေရာတွင် <math>\gcd</math> သည် သဘာဝကိန်းများဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>n</math> တို့၏ အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း (greatest common divisor) ဖြစ်သည်။ <math>\varphi(n)</math> သည် [[အွိုင်လာ၏ တိုးရှန့် ဖန်ရှင်]] (Euler's totient function) ဖြစ်သည်။ ယင်းဖန်ရှင်သည် မော်ဂျူလို <math>n</math> တွင် <math>n</math> နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓ (coprime) ဖြစ်သော အကြွင်းအရေအတွက်ကို ဖော်ပြသည်။ မော်ဂျူးလပ်စ်သည် [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> ဖြစ်သောအခါ <math>\varphi(p) = p - 1</math> ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဤအခြေအနေတွင် အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ်သည် ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ် အဖြစ်သို့ လျော့ကျသွားသည်။ == အသုံးချမှုများ (Applications) == ကြီးမားသော ထပ်ကိန်းများ (exponents) ကို မော်ဂျူလို <math>n</math> ဖြင့် တွက်ချက်ရာတွင် လျှော့ချရန်အတွက် အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ်ကို အသုံးပြုသည်။ ၎င်းမှတစ်ဆင့် [[ကိန်းပြည့်]] (integer) <math>k</math> များအတွက် <math>a^x \equiv a^{x+k\cdot\varphi(n)} \pmod{n}</math> ဟူသော အချက်ကို ဆင်းသက်ရရှိနိုင်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိကြောင့် ၎င်းကို ကွန်ပျူတာအခြေခံ [[ကုဒ်ဝှက်ရေးသားခြင်း]] (cryptography) တွင် လက်တွေ့အသုံးချကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် RSA [[လျှို့ဝှက်သင်္ကေတပြောင်း]] (encryption) [[အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း]] (algorithm) တွင် အသုံးပြုခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ == ဥပမာ (Example) == ဒသမကိန်းစနစ် (decimal system) တွင် <math>7^{222}</math> ၏ နောက်ဆုံး ဂဏန်းနေရာသည် မည်သည့်ဂဏန်း ဖြစ်မည်ကို ရှာဖွေခြင်းသည် တစ်နည်းအားဖြင့် <math>7^{222}</math> သည် မော်ဂျူလို ၁၀ တွင် မည်သည့် ဒသမဂဏန်းနှင့် ထပ်တူညီ (congruent) မည်နည်းဟု မေးခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ ပထမဦးစွာ <math>\gcd(7, 10) = 1</math> နှင့် <math>\varphi(10) = 4</math> ဖြစ်ကြောင်းကို သတိပြုပါ။ ထို့ကြောင့် အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ်အရ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>7^4 \equiv 1 \pmod{10}</math> ထို့နောက် အောက်ပါတွက်ချက်မှုကို ဆက်လက်ရရှိသည်။ *<math>7^{222} = 7^{4 \cdot 55 + 2} = (7^4)^{55} \cdot 7^2 \equiv 1^{55} \cdot 7^2 \pmod{10} \equiv 49 \pmod{10} \equiv 9 \pmod{10}</math> ယေဘုယျအားဖြင့် အောက်ပါဆက်သွယ်ချက် မှန်ကန်သည်။ *<math>a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(n)} \pmod{n} \qquad a, b, n \in \mathbb{N} \land \gcd(a, n) = 1</math> == အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ်အတွက် သက်သေပြချက် (Proof of Euler's Theorem) == မော်ဂျူလို <math>n</math> တွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော (multiplicatively invertible) အစုဝင်များပါဝင်သည့် အစုကို <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times = \{r_1, \dots, r_{\varphi(n)}\}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါမည်။ <math>\gcd(a, n) = 1</math> ဖြစ်သော <math>a</math> တိုင်းအတွက် <math>x \mapsto ax</math> ဟူသော ပုံဖော်မှု (map) သည် <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> ၏ [[ပါမြူတေးရှင်း]] (permutation) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် <math>ax \equiv ay \pmod{n}</math> ဖြစ်လျှင် <math>x \equiv y \pmod{n}</math> ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ မြှောက်ခြင်းသည် ဖလှယ်ရဖြစ်သော (commutative) ကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဆက်လက်ရရှိသည်။ *<math>r_1\cdots r_{\varphi(n)} \equiv (ar_1)\cdots (ar_{\varphi(n)}) \equiv r_1\cdots r_{\varphi(n)}a^{\varphi(n)} \pmod{n}</math> ထို့အပြင် <math>r_i</math> များသည် <math>i</math> အားလုံးအတွက် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သောကြောင့် အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ *<math>1 \equiv a^{\varphi(n)} \pmod{n}</math> == အခြားသော သက်သေပြချက် (Alternative Proof) == အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ်သည် [[အုပ်စု_(သင်္ချာ)|အုပ်စုသီအိုရီ]] (group theory) မှ [[လာဂေါင့်၏ သီအိုရမ်]] (Lagrange's theorem) ၏ တိုက်ရိုက်ရလဒ် တစ်ခုဖြစ်သည်။ အဆုံးရှိ အစီအစဉ် (finite order) <math>m</math> ရှိသော မည်သည့်အုပ်စု <math>G</math> တွင်မဆို အစုဝင်တိုင်း၏ <math>m</math> ကြိမ်မြောက် ထပ်ကိန်းသည် ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>G = \{1 \le a \le n \mid \gcd(a, n) = 1\} = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>|G| = \varphi(n)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းအုပ်စု <math>G</math> ၏ တွက်ချက်မှုမှာ မော်ဂျူလို <math>n</math> မြှောက်ခြင်း ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Scheid |first=Harald |title=Zahlentheorie |publisher=Spektrum Akademischer Verlag |date=2003 |isbn=3-8274-1365-6}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းသီအိုရီ သီအိုရမ်များ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းသီအိုရီ]] csxfxd9hjfycsvz1qwljgk5t1xrrtoo 0 288223 1054237 1040985 2026-09-20T10:40:47Z Mkant00 135890 1054237 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Calculus) သည် ကဲကုလပ် (calculus) ၏ အဓိက သဘောတရား နှစ်ခုဖြစ်သော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း]] (differentiation) တို့ကို ဆက်သွယ်ပေးထားသော သီအိုရမ် (theorem) ဖြစ်သည်။ ယင်းသီအိုရမ်က ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း တို့သည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|ပြောင်းပြန် တွက်ချက်မှုများ]] (inverse operations) ဖြစ်ကြသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ သီအိုရမ်တွင် အပိုင်းနှစ်ပိုင်း ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ပထမ နှင့် ဒုတိယ ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် ဟူ၍ တစ်ခါတစ်ရံ ခေါ်ဆိုကြသည်။ <ref> {{Citation |author=T. Arens et al. |title=Mathematik |edition=4. |publication-place=Berlin |publisher=Springer |date=2018 |isbn=978-3-8274-2347-4 |pages=386, 389 |language=de}}</ref> သီအိုရမ်၏ တိကျသော ဖော်ပြချက် နှင့် သက်သေပြချက် (proof) တို့သည် အသုံးပြုသော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း သီအိုရီ (integration theory) အပေါ် မူတည်၍ ကွဲပြားနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (Riemann integral) ကို ဦးစွာ လေ့လာသွားမည် ဖြစ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်း နှင့် လက်ခံရရှိမှု (History and Reception) == အိုင်ဆက် နယူတန် (Isaac Newton) ၏ ပညာရေးဆိုင်ရာ လမ်းပြဆရာဖြစ်သူ အိုင်ဆက် ဘာရိုး (Isaac Barrow) သည် ဧရိယာများ တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း နှင့် ထိမျဉ်းများ(tangents) တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သော [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း]] တို့သည် ပြောင်းပြန် လုပ်ငန်းစဉ်များ ဖြစ်ကြောင်းကို ကြိုတင်သိရှိခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း သူသည် အခြေခံသီအိုရမ်ကို ကိုယ်တိုင် ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ခြင်း မရှိပေ။ ဤသီအိုရမ်ကို ပထမဆုံး ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သူမှာ ဂျိမ်းစ် ဂရီဂိုရီ (James Gregory) ဖြစ်သည်။ သူသည် ၁၆၆၇ ခုနှစ်တွင် ၎င်း၏စာအုပ် ဂျီဩမေတြီယယ် ပါ့စ် ယူနီဗာဆလစ် (Geometriae pars universalis) ၌ ထည့်သွင်းဖော်ပြခဲ့သည်။ <ref>{{Citation |last1=O'Connor |first1=John J. |last2=Robertson |first2=Edmund F. |title=James Gregory |work=MacTutor History of Mathematics Archive |publisher=University of St Andrews |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gregory/}}</ref> သို့ရာတွင် အဆိုပါ ဆက်သွယ်ချက် နှင့် ၎င်း၏ နက်ရှိုင်းသော အရေးပါမှု နှစ်ခုစလုံးကို သီးခြားစီ သိမြင်ခဲ့ကြသည့် ပထမဆုံး သင်္ချာပညာရှင်များမှာ အိုင်ဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရီး ဗီလ်ဟမ်း လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Gottfried Wilhelm Leibniz) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများ (infinitesimals) ကို အသုံးပြုသည့် ကဲကုလပ်ကို တီထွင်ရာမှတစ်ဆင့် ယင်းကို သိမြင်ခဲ့ကြခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၆၆၆ ခုနှစ်တွင် ရေးသားခဲ့သော အခြေခံသီအိုရမ်နှင့် ပတ်သက်သည့် နယူတန်၏ အစောပိုင်း မှတ်စုများတွင် သူသည် မူလနေရာ (origin) ကို ဖြတ်သန်းသွားသော မည်သည့် မျဉ်းကွေးများ (curves) အတွက်မဆို သီအိုရမ်ကို ရှင်းပြခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် သူသည် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းဆိုင်ရာ ကိန်းသေကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခဲ့ခြင်း မရှိပေ။ နယူတန်သည် ဤအချက်ကို ၁၆၈၆ ခုနှစ်တွင်မှ ၎င်း၏စာအုပ် ဖီလော်ဆိုဖီယယ် နာတူရာလစ် ပရင်စီပီယာ မာသမာတီကာ (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) ၌ ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ လိုက်ဘ်နစ်ဇ်သည် သီအိုရမ်ကို ၁၆၇၇ ခုနှစ်တွင် တွေ့ရှိခဲ့သည်။ သူသည် ယနေ့တိုင် အသုံးပြုနေဆဲဖြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) ကို အခြေခံအားဖြင့် အသုံးပြု၍ ရေးမှတ်ခဲ့သည်။ သီအိုရမ်၏ ခေတ်သစ် တိကျသောပုံစံကို အိုဂူးစတင်-လူဝီ ကော်ချီ (Augustin-Louis Cauchy) ထံမှ ရရှိခဲ့သည်။ သူသည် အင်တီဂရယ်၏ ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (formal definition) ကို ပထမဆုံး ဖော်ထုတ်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အင်တီဂရယ်များအတွက် ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် (Mean Value Theorem for Integrals) ကို အသုံးပြု၍ သက်သေပြချက် တစ်ခုကိုလည်း ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤအချက်များကို ၁၈၂၃ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော ၎င်း၏ ကူးရ် ဒါနာလစ်ဇ် (Cours d'Analyse) စာအုပ် အဆက်တွင် ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ကော်ချီသည် သီအိုရမ်ကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ (complex plane) တွင်လည်း လေ့လာစူးစမ်းခဲ့သည်။ ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (complex analysis) ရှိ အဓိကကျသော ရလဒ်များစွာကို သက်သေပြရန်အတွက် ယင်းသီအိုရမ်ကို သူအသုံးပြုခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစု အတွင်းတွင် ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာ (dimension) များအတွက် ယေဘုယျပြုချက်များကို တွေ့ရှိခဲ့ကြသည်။ ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည် ၎င်း၏ လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue integral) ကို အသုံးပြု၍ [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များ]]အတွက်ပါ အခြေခံသီအိုရမ်ကို တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ == ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (The Theorem) == === ပထမပိုင်း သီအိုရမ် (First Fundamental Theorem of Calculus) === သီအိုရမ်၏ ပထမပိုင်းသည် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များ (antiderivatives) ၏ တည်ရှိမှု (existence) ကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း]] နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း တို့အကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်ကိုလည်း တည်ဆောက်ပေးသည်။ <math>f: I \to \mathbb{R}</math> သည် ကိန်းစစ် အပိုင်းအခြား (real interval) <math>I</math> ပေါ်ရှိ ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) တစ်ခု ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ <math>c \in I</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော စုဆောင်း ဖန်ရှင် (accumulation function) သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]]<math>F: I \to \mathbb{R}</math> သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ :<math>F(x) = \int_{c}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t</math> ထို့အပြင် ယင်း <math> F</math> သည် <math> f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math> x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math> F'(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ ကျစ်လျစ်သော အပိုင်းအခြား (compact interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ မည်သည့် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်အတွက်မဆို ရီးမန်း အင်တီဂရယ် တည်ရှိသည်ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိ (property) မှတစ်ဆင့် ဖန်ရှင် <math> F</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> I</math> တစ်ခုလုံးပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားကြောင်းကို သိရှိနိုင်သည်။အထူးသဖြင့် <math> f</math> သည် အမှတ် <math> x_0</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပါက <math> F</math> သည်လည်း <math> x_0</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရပြီး <math> F'(x_0) = f(x_0)</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math> x_0</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> I</math> ၏ အစွန်းမှတ် (endpoint) တစ်ခုဖြစ်ပါက ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုကို တစ်ဖက်သတ် (one-sided) အနေဖြင့် နားလည်မှတ်ယူရမည်။ === ဒုတိယပိုင်း သီအိုရမ် (Second Fundamental Theorem of Calculus) === သီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းသည် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များကို အသုံးပြု၍ သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်များ (definite integrals) ကို မည်သို့ တွက်ချက်ရမည်ကို ရှင်းပြထားသည်။ <math> f: [a,b] \to \mathbb{R}</math> သည် အပိတ် အပိုင်းအခြား (closed interval) <math> [a,b]</math> ပေါ်ရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု]] ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ၎င်းတွင် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် <math> F: [a,b] \to \mathbb{R}</math> တစ်ခု ရှိသည်ဟု ယူဆပါမည်။ ထိုအခါ အောက်ပါ နယူတန်-လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ပုံသေနည်း (Newton-Leibniz formula) သည် မှန်ကန်သည်။ <ref>{{Citation |last=Zorich |first=Vladimir A. |title=Analysis I |publication-place=Berlin |publisher=Springer |date=2007 |isbn=978-3-540-33277-0 |page=380 |language=de}} </ref> :<math> \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math> အများသုံး အတိုချုံး သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းဖြစ်သော <math> F(x) \big|_a^b := F(b) - F(a)</math> သို့မဟုတ် <math> [F(x)]_a^b</math> ကို အသုံးပြု၍ သီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းကို အောက်ပါအတိုင်း မကြာခဏ ရေးသားလေ့ရှိသည်။ :<math> \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = F(x) \big|_a^b</math> မှတ်ချက်။ <math> f</math> သည် အပိုင်းအခြား <math> [a,b]</math> တစ်ခုလုံးပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်ကို ဖြေလျှော့ပေးနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math> f</math> သည် <math> [a,b]</math> အတွင်း အဆုံးရှိအကြိမ်အရေအတွက် (finite number of times) သာ ခုန်သွားသော [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း]] (jump discontinuity) များ ရှိနေပါက ဒါဘူး သီအိုရမ် (Darboux's theorem) အရ နေရာတိုင်းအတွက် မှန်ကန်သော အလုံးစုံ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (global antiderivative) မတည်ရှိနိုင်ပါ။ သို့သော်လည်း အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော အမှတ်များတွင် အပိုင်းအခြားကို ခွဲထုတ်၍ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော အပိုင်းအခြားပိုင်းများ (subintervals) တစ်ခုချင်းစီအပေါ်တွင် အခြေခံသီအိုရမ်ကို အပိုင်းလိုက် (piecewise) အသုံးချခြင်းဖြင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်များကို ဆက်လက်တွက်ချက်နိုင်သည်။ == သက်သေပြချက် (Proof) == === ပထမပိုင်း (First Part) === [[File:Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.svg|300px]] ပထမပိုင်းအတွက် <math>F</math> ၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ဖြစ်သော [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်]] (limit) <math>\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}</math> သည် တည်ရှိပြီး <math>f(x)</math> နှင့် ညီမျှကြောင်းကို ပြသရမည် ဖြစ်သည်။ <math>x \in I</math> ကို အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသည် ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ <math>x + h \in I</math> ဖြစ်စေမည့် မည်သည့် <math>h \neq 0</math> အတွက်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်းကို ရရှိသည်။ :<math>\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \left( \int_{c}^{x+h} f(t) \, \mathrm{d}t - \int_{c}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \right) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) \, \mathrm{d}t</math> သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) များအတွက် ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် (Mean Value Theorem) အရ <math>x</math> နှင့် <math>x+h</math> ကြားတွင် ကိန်းစစ် (real number) <math>\xi_h</math> တစ်ခု တည်ရှိပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) \, \mathrm{d}t = f(\xi_h)</math> <math>h \to 0</math> ဖြစ်သောအခါ <math>\xi_h \to x</math> ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>f</math> သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) ဖြစ်သောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဆက်လက်ရရှိသည်။ :<math>\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \lim_{h \to 0} f(\xi_h) = f(x)</math> သို့ဖြစ်၍ <math>F'(x)</math> သည် တည်ရှိပြီး <math>f(x)</math> နှင့် ညီမျှသည်။ === အခြား သက်သေပြနည်း (Alternative Proof) === ဤသက်သေပြနည်းတွင် အင်တီဂရယ်များအတွက် ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို အသုံးပြုထားခြင်း မရှိပေ။ ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များစွာတွင် အင်တီဂရယ်များအတွက် ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို အခြေခံသီအိုရမ်မှတစ်ဆင့် ဆင်းသက်ဖော်ပြလေ့ရှိကြသည်။ ထို့ကြောင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (Riemann integral) ၏ အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများပေါ်တွင်သာ မှီခိုသော အခြားသက်သေပြနည်း တစ်ခုကို ဤနေရာတွင် ဖော်ပြပေးမည် ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများမှာ မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု(linearity)၊ တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality)၊ အစဉ်လိုက်ဖြစ်မှု (monotonicity) နှင့် အပိုင်းအခြား ပေါင်းစပ်နိုင်မှု (interval additivity) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ အထက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သကဲ့သို့ပင် <math>F</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော အမှတ် (arbitrary point) <math>x_0</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရကြောင်းနှင့်]] <math>F'(x_0) = f(x_0)</math> ဖြစ်ကြောင်းကို ပြသသွားမည် ဖြစ်သည်။ ဤသို့ ပြသရန်အတွက် [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်၏]] ပုံစံတကျ (formal) <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math> အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို စစ်ဆေးရမည် ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>\left| \frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} - f(x_0) \right| \leq \varepsilon</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု တည်ရှိကြောင်းကို ပြသရမည် ဖြစ်သည်။ <math>\varepsilon > 0</math> ကို အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသည် ဆိုပါစို့။ <math>x \neq x_0</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math> \begin{align} \left| \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} - f(x_0) \right| & = \left| \frac{1}{x-x_0} \left( \int_c^x f(t)\,\mathrm dt - \int_c^{x_0} f(t)\,\mathrm dt \right) -f(x_0) \right|\\ & = \left| \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(t)\,\mathrm dt - \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(x_0)\, \mathrm dt \right|\\ & = \left| \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x (f(t)-f(x_0))\, \mathrm dt \right|\\ & \leq \frac{1}{|x-x_0|}\int_{x_0}^x |f(t)-f(x_0)|\,\mathrm dt. \end{align} </math> ညာဘက်ခြမ်းရှိ ဖော်ပြချက်ကို အထက်ဘောင် (upper bound) သတ်မှတ်ရန်အတွက် အမှတ် <math>x_0</math> ရှိ <math>f</math> ၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုရမည် ဖြစ်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိအရ <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု အသေအချာ တည်ရှိနေသည်။ ယင်း <math>x</math> များအတွက် နောက်ဆုံးကြောင်းရှိ အင်တီဂရယ်ကို <math>\int_{x_0}^{x} |f(t) - f(x_0)| \, \mathrm{d}t \leq |x - x_0| \varepsilon</math> ဖြင့် ဘောင်ခတ်နိုင်သည်။ ခြုံငုံကြည့်လျှင် ဤအချက်က <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> ဖြစ်သော <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>\left| \frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} - f(x_0) \right| \leq \varepsilon</math> ဖြစ်စေကြောင်းကို ဖော်ပြနေသည်။ === ဒုတိယပိုင်း (Second Part) === <math>f</math> သည် အပိတ် အပိုင်းအခြား (closed interval) <math>[a,b]</math> ပေါ်ရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု]] ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ပထမပိုင်းရှိ စုဆောင်း [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (accumulation function) တွင် <math>c = a</math> ဟု သတ်မှတ်လိုက်ပါက <math>F(a) = 0</math> နှင့် <math>F(b) = \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x</math> ဖြစ်လာမည် ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ ဤသီးသန့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (antiderivative) အတွက် <math>\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t = F(b) - F(a)</math> သည် မှန်ကန်သည်။ သို့ရာတွင် အခြားသော မည်သည့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်မဆို ဤပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်နှင့် ကိန်းသေ (constant) တစ်ခုစာမျှသာ ကွာခြားပြီး အဆိုပါ ကိန်းသေသည် နှုတ်ခြင်း ပြုလုပ်စဉ်တွင် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ ထို့ကြောင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် အားလုံးအတွက် သီအိုရမ် မှန်ကန်ကြောင်းကို သက်သေပြပြီး ဖြစ်သည်။ မှတ်ချက်။ အခြေခံသီအိုရမ်၏ ဒုတိယပိုင်းကို ရီးမန်း ပေါင်းလဒ်များ (Riemann sums) ၏ စုဆုံမှတ် ဟူသော ရီးမန်း အင်တီဂရယ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ဆီသို့ ပြန်သွားခြင်းဖြင့် ပထမပိုင်းနှင့် အမှီအခိုကင်းစွာ သီးခြား သက်သေပြနိုင်သည်။ ဤကိစ္စတွင် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခံကိန်း (integrand) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ရန် မလိုအပ်ဘဲ ရီးမန်း အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသည် (Riemann-integrable) ဟု ယူဆရန်သာ လိုအပ်သည်။ <ref>{{Citation |last=Deiser |first=Oliver |title=Analysis 2 |date=2021 |page=74 |url=https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=analysis2_1_4_Hauptsatz%20I |language=de}}</ref> == ယေဘုယျပြုချက်များ နှင့် အဆင့်မြင့် ဖော်ပြချက်များ (Generalizations and Advanced Formulations) == ယေဘုယျအားဖြင့် <math> F</math> သည် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (differential equation) <math> F'(x) = f(x)</math> ၏ အဖြေတစ်ခု ဖြစ်ပါက ယင်း <math> F</math> ကို <math> f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ <math> C</math> သည် ကိန်းစစ် ကိန်းသေ (real constant) ဖြစ်ပါက <math> F(x) = \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C</math> ပုံစံရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် (indefinite integral) ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ သင့်လျော်သော ဖန်ရှင်များနှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း သဘောတရားများကို အသုံးပြုပါက အောက်ပါအချက်များ မှန်ကန်သည်။ * <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဖြစ်သည်။ * <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်။ * '''တည်ရှိမှု (Existence)'''- <math>f</math> တွင် ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တစ်ခု တည်ရှိသည်။ * '''တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Uniqueness)'''- <math>F_1</math> နှင့် <math>F_2</math> တို့သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်များ ဖြစ်ကြလျှင် <math>F_1 - F_2</math> သည် ကိန်းသေ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (constant function) ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ အခြေအနေများအနက်မှ တစ်ခုခုနှင့် ကိုက်ညီပါကလည်း အခြေခံသီအိုရမ်သည် ပိုမိုကျယ်ပြန့်စွာ မှန်ကန်သည်။ *<math>F</math> သည် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင် (continuously differentiable function) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) ဖြစ်သည်။ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည်]] သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (pointwise) ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (Riemann integral) ဖြစ်သည်။ *<math>F</math> သည် ပကတိ အဆက်မပြတ် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (absolutely continuous function) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင် (integrable function) ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) တွင်ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းသည် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue integral) ဖြစ်သည်။ *ပေါင်းစပ် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (synthetic differential geometry) တွင် <math>F</math> နှင့် <math>f</math> တို့သည် ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ (smooth maps) ဖြစ်ကြသည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် နဂိုမှန်အဆို (axiomatic) ဖြစ်ပြီး အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းကို အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆို (integration axiom) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ === သီအိုရမ်အား ပြန်လည်ဖော်ပြခြင်း (Restatement of the Theorem)=== <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် ဖြစ်သည်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ပထမဦးစွာ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ရိုးရှင်းစွာ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C\right) = f(x)</math> :ဖန်ရှင်တစ်ခုကို ကိန်းသေတစ်ခု ပေါင်းထည့်ခြင်းသည် ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်ကို မပြောင်းလဲစေဟု မှတ်ယူထားပါက ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(x)</math> :ယင်းကို ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) နှင့် ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြု (generalize) နိုင်သည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_a^{q(x)} f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(q(x)) q'(x)</math> :<math>\int_u^v = \int_a^v - \int_a^u</math> ဖြစ်သည်ကို မှတ်ယူထားပါက ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ *<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int_{p(x)}^{q(x)} f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(q(x)) q'(x) - f(p(x)) p'(x)</math> :<math>p(x)</math> အတွက် <math>u</math> ဟု ရေး၍ <math>q(x)</math> အတွက် <math>v</math> ဟု ရေးကာ နှစ်ဖက်စလုံးကို <math>\mathrm{d}x</math> ဖြင့် မြှောက်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (differential form) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\mathrm{d}\left(\int_u^v f(t) \,\mathrm{d}t\right) = f(v) \,\mathrm{d}v - f(u) \,\mathrm{d}u</math> တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် (definite integral) ၏ အပိုင်းအခြားများက ညွှန်ကြားသည့်အတိုင်း အစားထိုးခြင်း (substitution) ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာ (operator) တို့သည် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်လျှင် <math>F</math> သည် <math>f</math> ၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်ကိုလည်း အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ပထမဦးစွာ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ရိုးရှင်းစွာ ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ကိန်းသေ <math>C</math> တစ်ခုအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ *<math>\int_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t + C = F(x)</math> :<math>\int_a^a = 0</math> ဖြစ်သည်ကို မှတ်ယူထားပါက <math>C = F(a)</math> ဖြစ်သည်ကို တွေ့မြင်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ *<math>F(x) = F(a) + \int_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t</math> :ယင်းကို <math>x = b</math> ဖြစ်သည့် အထူးအခြေအနေတစ်ခုအတွက် စဉ်းစားလျှင် လုံလောက်သည်။ *<math>\int_a^b F'(t) \,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)</math> :ပထမပိုင်း၏ နောက်ဆုံးပုံစံနှင့် ကိုက်ညီစေရန်အတွက် ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်းလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ *<math>\int_a^b \mathrm{d}F(t) = F(b) - F(a)</math> :ယခင်ကဲ့သို့ပင် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်၏ အပိုင်းအခြားများက ညွှန်ကြားသည့်အတိုင်း အစားထိုးခြင်း ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာတို့သည် အချင်းချင်း ချေဖျက်သွားကြသည်။ ယခုအကြိမ်တွင်မူ ဆန့်ကျင်ဘက် အစီအစဉ်ဖြင့် ချေဖျက်သွားခြင်း ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== * nLab authors: ''fundamental theorem of calculus'', nLab, 2026, Revision 19, https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+theorem+of+calculus [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ သီအိုရမ်များ]] sezeg944rpzg75a9jnuqicvg9a5nqqy 10 288393 1054178 1049980 2026-09-19T17:54:30Z Mkant00 135890 1054178 wikitext text/x-wiki {{Sidebar with collapsible lists | name = အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ | title = [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ]] | style = width: 17em; | image = [[File:Emmy-noether-2.jpg|150px]] | listclass = hlist | expanded = all | list1name = one_op | list1title = အုပ်စုဆန်သော တည်ဆောက်ပုံများ | list1 = * [[မက်ဂ်မာ]] * [[ဆီမီးအုပ်စု]] * [[မိုနွိုက်]] * [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] * [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] * [[ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု]] * [[အုပ်စုပိုင်း]] * [[မူမှန်အုပ်စုပိုင်း]] | list2name = two_ops | list2title = ကွင်းဆန်သော တည်ဆောက်ပုံများ | list2 = * [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] * [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] * [[အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း]] * [[ဖီးလ်ဒ်]] * [[အစားကွင်း]] | list3name = modules and algebras | list3title = မော်ဂျူးများ နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ | list3 = * [[မော်ဂျူး]] * [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] * [[ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်ရှိ အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာ]] * [[ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] * [[ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ|*-အက္ခရာသင်္ချာ]] | list4name = algebraic constructions | list4title = အခြားတည်ဆောက်ပုံများ | list4 = * [[အိုင်ဒီးလ်]] * [[ကိုဆက်]] * [[စားလဒ်အုပ်စု]] * [[တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ်]] * [[တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်]] * [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်]] | list5name = morphisms | list5title = မော်ဖစ်ဇင်များ | list5 = * [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] * [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] * [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] * [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] * [[အပီမော်ဖစ်ဇင်]] * [[မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်]] | list6name = fundamentals | list6title = အခြေခံ သဘောတရားများ | list6 = * [[နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု]] * [[ထပ်တူရအစုဝင်]] * [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်]] * [[အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ]] | below = }}<noinclude> [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] </noinclude> 2vxr3qtkt101i3ry4tet0r3p9uk6kgm 0 289029 1054192 1042534 2026-09-20T02:19:59Z SpinnerLaserzthe2nd 85454 ([[c:GR|GR]]) [[File:Shinano no Kuni.ogg]] → [[File:Shinano no Kuni (vocal).ogg]] 1054192 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement | name = နဂနိုခရိုင် | native_name = {{nobold|{{lang|ja|長野県}}}} | settlement_type = [[Prefectures of Japan|Prefecture]] | translit_lang1 = Japanese | translit_lang1_type = [[Japanese language|Japanese]] | translit_lang1_info = {{lang|ja|長野県}} | translit_lang1_type1 = [[Romanization of Japanese|Rōmaji]] | translit_lang1_info1 = {{lang|ja-Latn|Nagano-ken}} | image_skyline = {{multiple image | total_width = 280 | border = infobox | perrow = 1/2/2/2/1 | caption_align = center | image1 = Shiga-kogen Ski-resort.jpg | caption1 = [[Shiga Highlands|Shiga Highlands Ski Resort]] | image2 = 信州善光寺20220330-P1340547.jpg | caption2 = [[Zenkō-ji]] | image3 = 上高地 06.jpg | caption3 = [[Kamikōchi]] | image4 = Shirokaki uma yukigata on Mount Shirouma 20230423.jpg | caption4 = A spring view of [[Mount Shirouma]] | image5 = 松本城天守２.jpg | caption5 = [[Matsumoto Castle]] | image6 = 2016-07-03 Daio Wasabi Farm 大王わさび農園 DSCF0277.jpg | caption6 = [[Daio Wasabi Farm]] | image7 = Mikasa Dori, Karuizawa 2.jpg | caption7 = [[Larix kaempferi|Larix kaempferi Street]] in [[Karuizawa]] | image8 = Lake Suwa as seen from Tateishi Park (east).jpg | caption8 = [[Lake Suwa]] }} | image_flag = Flag of Nagano Prefecture.svg | flag_size = 100px | image_blank_emblem = Emblem of Nagano Prefecture.svg | blank_emblem_size = 80px | blank_emblem_type = Symbol | image_map = Map of Japan with highlight on 20 Nagano prefecture.svg | coordinates = | subdivision_type = Country | subdivision_name = [[Japan]] | subdivision_type1 = [[List of regions of Japan|Region]] | subdivision_name1 = [[Chūbu region|Chūbu]] ([[Kōshin'etsu region|Kōshin'etsu]]) | subdivision_type2 = [[List of islands of Japan|Island]] | subdivision_name2 = [[Honshu]] | seat_type = [[List of capitals in Japan|Capital]] | seat = [[Nagano (city)|Nagano]] | parts_type = Subdivisions | parts_style = para | p1 = [[Districts of Japan|Districts]]: 14 | p2 = [[Municipalities of Japan|Municipalities]]: 77 | leader_title = [[List of prefectural governors in Japan|Governor]] | leader_name = [[Shuichi Abe]] | area_total_km2 = 13561.56 | area_water_percent = 0.2 | area_rank = [[List of Japanese prefectures by area|4th]] | population_footnotes = | population_total = 2007682 | population_as_of = July 1, 2023 | population_rank = [[List of Japanese prefectures by population|16th]] | population_density_km2 = auto | demographics_type2 = GDP | demographics2_footnotes = <ref>{{Cite web |title=2020年度国民経済計算（2015年基準・2008SNA） : 経済社会総合研究所 - 内閣府 |url=https://www.esri.cao.go.jp/jp/sna/data/data_list/kakuhou/files/2020/2020_kaku_top.html |access-date=2023-05-18 |website=内閣府ホームページ |language=ja}}</ref> | demographics2_title1 = Total | demographics2_info1 = [[JP¥]] 8,918 billion<br />[[US$]] 65.9 billion (2022) | iso_code = JP-20 | website = {{URL|http://www.pref.nagano.lg.jp/}} | module = {{Infobox place symbols| embedded=yes | country = Japan | bird = [[Rock ptarmigan]] (''Lagopus muta'') | fish = | flower = [[Gentian]] (''Gentiana&nbsp;scabra'' var.&nbsp;''buergeri'') | tree = White&nbsp;[[birch]] (''Betula&nbsp;platyphylla'' var.&nbsp;''japonica'') }} | anthem = [[Shinano no Kuni]]<br />{{center|[[File:Shinano no Kuni (vocal).ogg]]}} }} [[File:Hasuike03bs4272.jpg|thumb|right|200px|နဂနိုခရိုင်၊ ယမနိုအုချိမြို့၊ ရှိဂကုန်းပြင်မြင့်ရှိ ဟဆုအိခဲအပန်းဖြေစခန်း]] '''နဂနိုခရိုင်''' (長野県, နဂနိုခန်း<ref>{{cite book|script-title=ja:NHK日本語発音アクセント新辞典|publisher=NHK Publishing|editor=NHK Broadcasting Culture Research Institute|date=24 May 2016|lang=ja}}</ref>) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ဟွန်းရှူးကျွန်း]]၊ [[ချူးဘုဒေသ]]ရှိ ခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤခရိုင်သည် ကုန်းတွင်းပိတ်ဒေသလည်း ဖြစ်သည်။ ၂၀၂၃ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လ ၁ ရက်နေ့တွင် လူဦးရေ ၂,၀၀၇,၆၈၂ ဦး ရှိသည်။ ဧရိယာ ၁၃,၅၆၁.၅၆ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၅,၂၃၆.၁၅ စတုရန်းမိုင်) ကျယ်ဝန်းသည်။ မြောက်ဘက်တွင် [[နီးဂတခရိုင်]]၊ အရှေ့မြောက်ဘက်တွင် [[ဂွန်းမခရိုင်]]၊ အရှေ့ဘက်တွင် [[ဆိုင်းတမခရိုင်]]၊ အရှေ့တောင်ဘက်တွင် [[ယမနရှိခရိုင်]]၊ တောင်ဘက်တွင် [[ရှိဇုအိုခခရိုင်]]နှင့် [[အအိချိခရိုင်]]၊ အနောက်ဘက်တွင် [[တိုယမခရိုင်]]နှင့် [[ဂိဖုခရိုင်]]တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။ နဂနိုမြို့သည် ခရိုင်မြို့တော်ဖြစ်ပြီး အကြီးဆုံးမြို့ ဖြစ်သည်။ အခြားသော အဓိကမြို့များမှာ မဆွတ်မိုတိုမြို့၊ အုအဲဒမြို့နှင့် အီးဒမြို့တို့ ဖြစ်သည်။<ref>Nussbaum, "Nagano" at {{Google books|p2QnPijAEmEC|p. 682|page=682}}</ref> ခရိုင်သည် ဂျပန်တောင်တန်း၏ ကုန်းမြင့်ပေါ်တွင် တည်ရှိသည့်အတွက် လူသိများသည်။ ဂျပန်တောင်တန်းရှိ ဟိဒတောင်တန်း၊ ခိဆိုတောင်တန်း၊ အခအိရှိတောင်တန်းတို့သည် ခရိုင်၏ နယ်နိမိတ်အတွင်း တည်ရှိနေကြသည်။ ဂျပန်နိုင်ငံရှိ အမြင့်ဆုံးတောင် ၁၂ ခုထဲမှ ၉ ခုသည် နဂနိုခရိုင်အတွင်း တည်ရှိသည်။ တောင်တန်းများ၊ သဘာဝရှုခင်းများနှင့် သမိုင်းကြောင်းများကြောင့် နိုင်ငံတကာ၏ စိတ်ဝင်စားမှုကို ခံရသည်။ ခရိုင်သည် ဆောင်းရာသီကာ အားကစားပြုလုပ်ရာ ခရီးသွားနေရာလည်း ဖြစ်သည်။ ၁၉၉၈ ခုနှစ်တွင် ဆောင်းရာသီအိုလံပစ်ပြိုင်ပွဲကို ကျင်းပခဲ့သည်။ ခရိုင်ရှိ ဟိုခုရိခုရှင်းခန်းဆန်းရထားလိုင်းသည် တိုကျိုမြို့၊ တိုယမခရိုင်နှင့် ခနဇဝခရိုင်တို့ကို တိုက်ရိုက်ပြေးဆွဲလျက်ရှိသည်။ ==သမိုင်းကြောင်း== {{See also|နဂနိုခရိုင်ရှိ သမိုင်းဝင်နေရာများ|ရှိနနိုပြည်နယ်}} ==ပထဝီသွင်ပြင်== နဂနိုခရိုင်သည် ကုန်းတွင်းပိတ်ခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဂျပန်နိုင်ငံရှိ အခြားသောခရိုင်များထက် နယ်နိမိတ်ထိစပ်နေသည့် ခရိုင် ပိုမိုများပြားသည်။ မြောက်ဘက်တွင် နီးဂတခရိုင်၊ အရှေ့မြောက်ဘက်တွင် ဂွန်းမခရိုင်၊ အရှေ့ဘက်တွင် ဆိုင်းတမခရိုင်၊ အရှေ့တောင်ဘက်တွင် ယမနရှိခရိုင်၊ တောင်ဘက်တွင် ရှိဇုအိုခခရိုင်နှင့် အအိချိခရိုင်၊ အနောက်ဘက်တွင် ဂိဖုခရိုင်နှင့် တိုယမခရိုင်တို့ တည်ရှိသည်။ ခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ပင်လယ်ပြင်အားလုံးမှ အဝေးဆုံးနေရာတွင် တည်ရှိသည့် ဒေသလည်း ဖြစ်သည်။ ထိုအဝေးဆုံးနေရာမှာ ဆခုမြို့ ဖြစ်သည်။ တောင်ထူထပ်သည့် မြေမျက်နှာသွင်ပြင်သည် ခရိုင်ရှိဒေသများကို သီးခြားဖြစ်နေစေသည်။ ခရီးသွားများသည် တောင်ပေါ်အပန်းဖြေခြင်းနှင့် ရေပူစမ်းစိမ်ခြင်းတို့အတွက် လည်ပတ်ကြသည်။ ဂျပန်နိုင်ငံရှိ အမြင့်ဆုံးတောင် ၁၂ ခုမှ ၉ ခုကို နဂနိုခရိုင်တွင် တွေ့နိုင်သည်။ ခရိုင်အတွင်းတည်ရှိသည့် ခိဇခိကန်သည် ထင်ရှားသည့် ကမ်းခြေအပန်းဖြေနေရာတစ်ခုဖြစ်ကာ ရေကစားခြင်းများ လုပ်ဆောင်နိုင်သည်။ ရာသီဥတုအနေဖြင့် နွေရာသီတွင် နွေးထွေးသည်။ ဆောင်းရာသီတွင် အေးမြကာ နှင်းကျဆင်းသည်။ အခြားသော အနိမ့်ပိုင်းရှိ ကမ်းရိုးတန်းဒေသများနှင့် နှိုင်းယှဉ်ပါက နဂနိုခရိုင်သည် စိုထိုင်းဆနည်းပါးသည်။ ၂၀၁၄ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ရက်နေ့တွင် ခရိုင်၏ နယ်မြေဧရိယာ ၂၁ ရာခိုင်နှုန်းသည် သဘာဝဥယျာဉ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့မှာ ချိချိဘုတမခိုင်ခအိ၊ ချူးဘု - ဆန်းဂခု၊ ဂျောရှင်းအဲဆွတ် - ခိုးဂန်း၊ မိနမိတောင်တန်းများအမျိုးသားဥယျာဉ်၊ မယောဂိ - အရဖုနဲ - ဆခုခိုးဂန်း၊ တန်းရူး - အိုခုမိခဝနှင့် ယဆွတ်ဂတခဲ - ချူးရှင်း ခိုးဂန်းအမျိုးသားဥယျာည်များ၊ ချူးအိုးတောင်တန်း၊ အန်းရဲအိုးဂျော၊ ဟိဂျိရိယမခိုးဂန်း၊ မိဘုဂဝဆုအိခဲအိ၊ အွန်းတခဲ၊ တန်းရူးခိုရှိဘုခုအိခဲအိစီရင်စုဥယျာဉ်များတို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref>{{cite web |url=http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |title=General overview of area figures for Natural Parks by prefecture |publisher=[[Ministry of the Environment (Japan)|Ministry of the Environment]] |date=1 April 2014 |access-date=28 September 2017}}</ref> ==မြို့ပြဒေသများ== {{See also|နဂနိုခရိုင်ရှိ လူဦးရေအလိုက် မြို့များ}} [[File:Nagano géolocalisation relief.svg|thumb|Physical map of Nagano Prefecture]] [[File:Map of Nagano Prefecture Ja.svg|thumb|Political map of Nagano Prefecture<br />{{legend0|#EAB|City}} {{legend0|#ED9|Town}} {{legend0|#BFE|Village}}]] [[File:Hakubarenpou.JPG|thumb|[[Hida Mountains]] (August 2006)]] [[File:View of Nagano City from Mt. Asahiyama.jpg|thumb|right|Nagano City]] [[File:Chikuma River Yashima Bridge Nagano.jpg|thumb|Chikuma River, from Yashima Bridge, looking downstream toward Murayama Bridge, [[Nagano (city)]]]] [[File:Takashima dungeon view (4936834001).jpg|thumb|right|Suwa]] [[File:Komagane Nagano and Southern Yatsugatake Volcanic Group.jpg|thumb|right|Komagane]] [[File:Cityscapes of Matsumoto in 2014-8 No,5.JPG|thumb|right|Matsumoto]] [[File:Nozawa Onsen 01.jpg|thumb|right|[[Nozawaonsen, Nagano]]]] နဂနိခရိုင်တွင် မြို့ကြီး ၁၉ ခု ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့မှာ - {{div col}} *[[Azumino]] *[[Chikuma, Nagano|Chikuma]] *[[Chino, Nagano|Chino]] *[[Iida, Nagano|Iida]] *[[Iiyama, Nagano|Iiyama]] *[[Ina, Nagano|Ina]] *[[Komagane, Nagano|Komagane]] *[[Komoro, Nagano|Komoro]] *[[Matsumoto, Nagano|Matsumoto]] *[[Nagano (city)|Nagano]] (capital) *[[Nakano, Nagano|Nakano]] *[[Okaya, Nagano|Okaya]] *[[Ōmachi, Nagano|Ōmachi]] *[[Saku, Nagano|Saku]] *[[Shiojiri, Nagano|Shiojiri]] *[[Suwa, Nagano|Suwa]] *[[Suzaka, Nagano|Suzaka]] *[[Tōmi, Nagano|Tōmi]] *[[Ueda, Nagano|Ueda]] {{div col end}} ===မြို့ငယ်နှင့် ရွာများ=== ဒေသတစ်ခုချင်းစီရင် မြို့ငယ်နှင့် ရွာများမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ {{div col}} *[[Chiisagata District, Nagano|Chiisagata District]] **[[Aoki, Nagano|Aoki]] **[[Nagawa, Nagano|Nagawa]] *[[Hanishina District, Nagano|Hanishina District]] **[[Sakaki, Nagano|Sakaki]] *[[Higashichikuma District, Nagano|Higashichikuma District]] **[[Asahi, Nagano|Asahi]] **[[Chikuhoku]] **[[Ikusaka]] **[[Omi, Nagano|Omi]] **[[Yamagata, Nagano|Yamagata]] *[[Kamiina District, Nagano|Kamiina District]] **[[Iijima, Nagano|Iijima]] **[[Minamiminowa]] **[[Minowa, Nagano|Minowa]] **[[Miyada]] **[[Nakagawa, Nagano|Nakagawa]] **[[Tatsuno, Nagano|Tatsuno]] *[[Kamiminochi District, Nagano|Kamiminochi District]] **[[Iizuna]] **[[Ogawa, Nagano|Ogawa]] **[[Shinano, Nagano|Shinano]] *[[Kamitakai District, Nagano|Kamitakai District]] **[[Obuse]] **[[Takayama, Nagano|Takayama]] *[[Kiso District, Nagano|Kiso District]] **[[Agematsu, Nagano|Agematsu]] **[[Kiso, Nagano (village)|Kiso (village)]] **[[Kiso, Nagano (town)|Kiso (town)]] **[[Nagiso, Nagano|Nagiso]] **[[Ōkuwa, Nagano|Ōkuwa]] **[[Ōtaki, Nagano|Ōtaki]] *[[Kitaazumi District, Nagano|Kitaazumi District]] **[[Hakuba, Nagano|Hakuba]] **[[Ikeda, Nagano|Ikeda]] **[[Matsukawa, Nagano (Kitaazumi)|Matsukawa]] **[[Otari, Nagano|Otari]] *[[Kitasaku District, Nagano|Kitasaku District]] **[[Karuizawa, Nagano|Karuizawa]] **[[Miyota, Nagano|Miyota]] **[[Tateshina, Nagano|Tateshina]] *[[Minamisaku District, Nagano|Minamisaku District]] **[[Kawakami, Nagano|Kawakami]] **[[Kitaaiki, Nagano|Kitaaiki]] **[[Koumi, Nagano|Koumi]] **[[Minamiaiki, Nagano|Minamiaiki]] **[[Minamimaki, Nagano|Minamimaki]] **[[Sakuho, Nagano|Sakuho]] *[[Shimoina District, Nagano|Shimoina District]] **[[Achi, Nagano|Achi]] **[[Anan, Nagano|Anan]] **[[Hiraya, Nagano|Hiraya]] **[[Matsukawa, Nagano (Shimoina)|Matsukawa]] **[[Neba, Nagano|Neba]] **[[Ōshika, Nagano|Ōshika]] **[[Shimojō, Nagano|Shimojō]] **[[Takagi, Nagano|Takagi]] **[[Takamori, Nagano|Takamori]] **[[Tenryū, Nagano|Tenryū]] **[[Toyooka, Nagano|Toyooka]] **[[Urugi, Nagano|Urugi]] **[[Yasuoka, Nagano|Yasuoka]] *[[Shimominochi District, Nagano|Shimominochi District]] **[[Sakae, Nagano|Sakae]] *[[Shimotakai District, Nagano|Shimotakai District]] **[[Kijimadaira, Nagano|Kijimadaira]] **[[Nozawaonsen, Nagano|Nozawaonsen]] **[[Yamanouchi, Nagano|Yamanouchi]] *[[Suwa District, Nagano|Suwa District]] **[[Fujimi, Nagano|Fujimi]] **[[Hara, Nagano|Hara]] **[[Shimosuwa, Nagano|Shimosuwa]] {{div col end}} ==ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ== {{main|နဂနိုခရိုင်ရှိ ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ}} ==လူဦးရေဆိုင်ရာ== [[File:Nagano prefecture population pyramid in 2020.svg|thumb|နဂနိုခရိုင်လူဦးရေပိရမစ်၊ ၂၀၂၀ ခုနှစ်]] {{historical populations|13=1890|14=1,146,071|15=1903|16=1,348,556|17=1913|18=1,484,205|19=1920|20=1,562,722|21=1925|22=1,629,217|23=1930|24=1,717,118|25=1935|26=1,714,000|27=1940|28=1,710,729|29=1945|30=2,121,050|31=1950|32=2,060,831|33=1955|34=2,021,292|35=1960|36=1,981,433|37=1965|38=1,958,007|percentages=pagr|footnote=source:<ref>{{Cite web|url=http://www.stat.go.jp/english/index.html|title=Statistics Bureau Home Page|website=www.stat.go.jp}}</ref>|39=1970|40=1,956,917|41=1975|42=2,017,564|43=1980|44=2,083,934|45=1985|46=2,136,927|47=1990|48=2,156,627|49=1995|50=2,193,984|51=2000|52=2,215,168|53=2005|54=2,196,114|55=2010|56=2,152,449|57=2015|58=2,099,759|59=2020|60=2,052,493|11=1880|12=1,000,414}} နဂနိုခရိုင်၏ မျှော်လင့်နိုင်သည့် လူ့သက်တမ်းသည် တစ်နိုင်ငံလုံးတွင် အမြင့်ဆုံး ဖြစ်သည်။ ပျမ်းမျှမျှော်လင့်သက်တမ်းသည် အမျိုးသမီးများသည် ၈၇.၁၈ နှစ်၊ အမျိုးသားများသည် ၈၀.၈၈ နှစ် ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web|url=https://fpcj.jp/en/useful-en/wjn-en/p=17699/|title=Nagano Prefecture has achieved the highest life expectancy in Japan, after long efforts of improving each one's lifestyle (December 9, 2013) &#124; 公益財団法人フォーリン・プレスセンター（FPCJ）|website=fpcj.jp|date=8 December 2013 }}</ref> ==ပို့ဆောင်ဆက်သွယ်ရေး== === ရထားလမ်း=== *[[Central Japan Railway Company]] **[[Chūō Main Line]] (west line) **[[Iida Line]] *[[East Japan Railway Company]] **[[Chūō Main Line]] (east line) **[[Hokuriku Shinkansen]] **[[Koumi Line]] **[[Ōito Line]] (from {{STN|Matsumoto|x}} to {{STN|Minami-Otari|x}}) **[[Shin'etsu Main Line]] **[[Shinonoi Line]] *[[Matsumoto Electric Railway]] **[[Kamikōchi Line]] *[[Nagano Electric Railway]] **Nagano Line *[[Shinano Railway]] **[[Shinano Railway Line]] *[[Ueda Electric Railway Bessho Line|Ueda Dentetsu]] **[[Ueda Electric Railway Bessho Line|Bessho Line]] *[[West Japan Railway Company]] **Ōito Line (from Minami-Otari to {{STN|Itoigawa|x}}) {{Gallery |File:SeriesE7-F19.jpg|Hokuriku Shinkansen |File:Iida-Line 313-R101 Nakatagiri-River.jpg|Iida Line |File:Shinano-115 Kurohime.jpg|Shinano Railway |File:Nagano series1000.jpg|Nagano Electric Railway }} === ကားလမ်း=== ==== အမြန်လမ်းများ==== {{Div col}} *Chubu-jukan Expressway *Chubu-odan Expressway *[[Chuo Expressway]] *[[Joshinetsu Expressway]] *[[Nagano Expressway]] *Sanen-nanshin Expressway {{Div col end}} ==== နိုင်ငံအဆင့် အဝေးပြေးလမ်းမများ==== {{Div col}} *Route 18 *Route 19 (Nagano-Matsumoto-Shioriri-Nagiso-[[Nakatsugawa]]-[[Tajimi]]-[[Nagoya]]) *Route 20 (Matsumoto-Suwa-[[Kofu]]-[[Ōtsuki, Yamanashi|Otsuki]]-[[Hachioji]]-[[Nihonbashi]] of Tokyo) *Route 117 *Route 141 *Route 142 *Route 143 (Matsumoto-Azumino-Ueda) *Route 144 *Route 147 (Matsumoto-Omachi) *Route 148 (Omachi-[[Itoigawa]]) *Route 151 (Iida-[[Shinshiro]]-[[Toyohashi]]) *Route 152 *Route 153 (Nagoya-[[Toyota, Aichi|Toyota]]-Iida-Shioriri) *Route 158 ([[Fukui, Fukui|Fukui]]-[[Gujo]]-[[Takayama, Gifu|Takayama]]-Matsumoto) *Route 254 *Route 256 ([[Gifu, Gifu|Gifu]]-Gujo-[[Gero]]-Nakatsugawa-Nagiso-Iida) *Route 403 *Route 406 (Omachi-Hakuba-Nagano-Susaka-[[Tsumagoi]]-[[Takasaki]]) *Route 418 ([[Ono, Fukui|Ono]]-[[Seki, Gifu|Seki]]-[[Ena, Gifu|Ena]]-Iida) {{Div col end}} === လေဆိပ်များ=== ခရိုင်တွင် မဆွတ်မိုတိုလေဆိပ် ရှိသည်။ ဤလေဆိပ်သည် ပြည်တွင်းလေကြောင်းလိုင်းများကိုသာ ပြေးဆွဲပေးလျက်ရှိသည့် အဓိကလေဆိပ်ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း အနီးအနားရှိ ခရိုင်ဒေသများတွင်မူ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာလေဆိပ်များ ရှိကြသည်။ ၎င်းတို့မှာ အအိချိခရိုင်ရှိ ချူးဘုဗဟိုအပြည်ပြည်ဆိုင်ရာလေဆိပ်၊ ရှိဇုအိုခခရိုင်ရှိ ရှိဇုအိုခလေဆိပ်၊ တိုယမခရိင်ရှိ တိုယမလေဆိပ်၊ တိုကျိုမြို့ရှိ ဟနဲဒလေဆိပ်နှင့် နရိတအပြည်ပြည်ဆိုင်ရာလေဆိပ်တို့ ဖြစ်သည်။ ဤအပြည်ပြည်ဆိုင်ရာလေဆိပ်များကို ခရိုင်အတွင်းရှိ ခရီးသွားများသည် အသုံးပြုကြသည်။ ==ပညာရေး== ===တက္ကသိုလ်များ=== ====အများပြည်သူဆိုင်ရာ==== *[[Shinshu University]] (National) *[[Nagano College of Nursing]] (Prefectural) *[[University of Nagano|The University of Nagano]] (Prefectural) *[[Nagano University]] [Municipal (Ueda City)] *[[Tokyo University of Science, Suwa|Suwa Tokyo University of Science]] [Municipal (Chino City)] ====ပုဂ္ဂလိကပိုင်တက္ကသိုလ်များ==== *[[Matsumoto University]] (Private) *[[Matsumoto Dental University]] (Private) *[[Saku University]] (Private) *[[Seisen Jogakuin College]] (Private) ==စီးပွားရေး== နဂနိုခရိုင်တွင် ကြီးမား၍ ကျယ်ပြန့်သည့် စီးပွားရေးလုပ်ငန်းများ ရှိသည်။ ၎င်းလုပ်ငန်များသည် လျှပ်စစ်ပစ္စည်းများ၊ သတင်းအချက်အလက်နည်းပညာ၊ တိုင်းတာရေးစက်ပစ္စည်းများ၊ စိုက်ပျိုးရေးနှင့် အစားအစာလုပ်ငန်း၊ ခရီးသွားလုပ်ငန်းတို့အပေါ် အခြေခံထားသည်။ ၂၀၁၇ ခုနှစ်တွင် ခရိုင်၏ စုစုပေါင်းဂျီဒီပီသည် ယန်း ၈.၅ ထရီလီယံခန့် ရှိခဲ့သည်။ ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ကုမ္ပဏီကြီးများဖြစ်ကြသည့် Citizen Watch, MinebeaMitsumi, Seiko Epson နှင့် Vaio တို့သည် နဂနိုခရိုင်တွင် ထုတ်လုပ်ရေးစက်ရုံများကို တည်ဆောက်ထားကြသည်။ ==ခရီးသွားနေရာများ== *[[Five Mountains of Northern Shinshu]] *[[Kamikōchi]] *[[Lake Kizaki]] *[[Lake Suwa]] *[[Mount Kirigamine]] *[[Suwa-taisha]], one of the oldest shrines in Japan *[[Matsumoto Castle]], one of Japan's national treasures *One of the world's highest [[geyser]]s (40{{endash}}50 meters) in [[Suwa, Nagano|Suwa]] *[[Zenkō-ji]] temple {{Gallery |File:Zenkoji01s3200.jpg|Zenkō-ji |File:Onbasira Kiotoshi.JPG|Onbashira Festival, held once every seven years |File:Yashima04.JPG|Yashima Wetland in Kirigamine Hill |File:130608 Matsumoto Castle Matsumoto Nagano pref Japan02bs4.jpg|Matsumoto Castle |File:250426 At Utsukushigahara Nagano pref Japan15s3.jpg|Utsukushigahara Hills |File:Higashinishidateyama.JPG|Ski resort in Shiga Hills }} ==ပြင်ပလင့်များ== {{Wikivoyage|Nagano (prefecture)}} *{{Commons category-inline|Nagano prefecture|Nagano Prefecture}} *[http://www.pref.nagano.lg.jp/ Nagano Prefecture Official Website] {{in lang|ja}} *[https://web.archive.org/web/20140601020159/http://www.pref.nagano.lg.jp/kokusai/government/english/index.html Nagano Prefecture Official Website] {{in lang|en}} *[http://www.go-nagano.net/ Nagano Prefecture Tourism Website] {{in lang|en}} {{coord|36|15|N|138|6|E|scale:500000|display=title}} ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ]] 9lpf63m0igm4qk5kv8jzrmgery0sv7e 0 290821 1054147 1049857 2026-09-19T14:43:22Z InternetArchiveBot 61272 Adding 2 books for [[ဝီကီပီးဒီးယား:စိစစ်အတည်ပြုခံနိုင်မှု]] (20260919)) #IABot (v2.0.9.6) ([[User:GreenC bot|GreenC bot]] 1054147 wikitext text/x-wiki [[File:Wiki-gangbang.png|thumb|အုပ်စုလိုက် လိင်ဆက်ဆံနေပုံ]] [[File:Wiki-FMF-threesome.png|thumb|A reverse gang bang]] '''ဂိုဏ်းဖွဲ့ပြုကျင့်ခြင်း''' ({{langx|en|Gang bang}}) ဆိုသည်မှာ လူတစ်ဦးတည်းကို ဗဟိုပြု၍ ကျန်လူအများအပြား (ပုံမှန်အားဖြင့် သုံးဦးထက်ပိုသူများ) က တစ်ဦးပြီးတစ်ဦး သို့မဟုတ် တစ်ပြိုင်နက်တည်း [[အုပ်စုလိုက် လိင်ဆက်ဆံခြင်း|အုပ်စုလိုက် ]][[လိင်ဆက်ဆံခြင်း|လိင်ဆက်ဆံ]]သည့် လုပ်ဆောင်မှုမျိုးဖြစ်သည်။<ref name=Partridge>{{cite book|title=[[The New Partridge Dictionary of Slang and Unconventional English]]|pages=327, 995|isbn=0415212588|year=2005|last1=Dalzell|first1=Tom|last2=Victor|first2=Terry}}</ref> ဤဝေါဟာရသည် ယေဘုယျအားဖြင့် အမျိုးသမီးတစ်ဦးကို ဗဟိုပြုခြင်းကို ရည်ညွှန်းလေ့ရှိပြီး၊ အမျိုးသားတစ်ဦးနှင့် အမျိုးသမီးအများအပြား ပါဝင်ပါက "reverse gang bang" ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။<ref name="Frank">{{cite book|author=Katherine Frank|title=Plays Well in Groups: A Journey Through the World of Group Sex|url=https://books.google.com/books?id=xXelMQEACAAJ|year=2013|publisher=Rowman & Littlefield Publishers, Incorporated|isbn=978-1-4422-1868-0|page=8|access-date=15 August 2018|archive-date=1 August 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200801205929/https://books.google.com/books?id=xXelMQEACAAJ|url-status=live}}</ref> ဤအသုံးအနှုန်းသည် [[ညစ်ညမ်းရုပ်ရှင်လုပ်ငန်း]]နှင့် ဆက်စပ်နေပြီး အမျိုးသမီးတစ်ဦးက အမျိုးသားအများအပြားနှင့် တစ်ဦးပြီးတစ်ဦး တိုက်ရိုက်ဆက်တိုက် လိင်ဆက်ဆံသည့် စီစဉ်ထားသော ပွဲမျိုးကို ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။<ref name="Frank"/> Bukkake (ဘူကေးကေး) သည် ဂျပန်နိုင်ငံမှ စတင်ခဲ့သော gang bang အမျိုးအစားဖြစ်ပြီး ဗဟိုရှိလူအပေါ်သို့ အမျိုးသားပါဝင်သူ အများအပြားက [[သုက်လွှတ်ခြင်း]]ကို အဓိကထားသည်။<ref name=Partridge2>{{cite book|title=The New Partridge Dictionary of Slang and Unconventional English: A-I|publisher=[[Taylor & Francis]]|author1=Eric Partridge|author2=Tom Dalzell|author3=Terry Victor|year=2006|url=https://books.google.com/books?id=4YfsEgHLjboC|isbn=0-415-25937-1|page=288|access-date=20 March 2021|archive-date=17 May 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160517031540/https://books.google.com/books?id=4YfsEgHLjboC|url-status=live}}</ref> ==လက်တွေ့လုပ်ဆောင်မှု== အကြီးမားဆုံးသော gang bang ပွဲများကို ညစ်ညမ်းရုပ်ရှင်ကုမ္ပဏီများက ကူညီပံ့ပိုးပေးပြီး မှတ်တမ်းတင်လေ့ရှိသော်လည်း [[စုံတွဲချင်းလဲလှယ်ခြင်း (လိင်အပြုအမူ)|စုံတွဲချင်းလဲလှယ်သူ]] (swinger) အသိုင်းအဝိုင်းတွင်လည်း gang bang များ ရှိတတ်သည်။ ၎င်းကို အမျိုးသားအများအပြားနှင့် အမျိုးသမီးတစ်ဦးအဖြစ် ပိုမိုမှတ်ယူလေ့ရှိသော်လည်း ညစ်ညမ်းရုပ်ရှင်များတွင် "reverse gang bang" (အမျိုးသားတစ်ဦးနှင့် အမျိုးသမီးအများအပြား) ကိုလည်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။<ref>{{cite book|title=Swingland: Between the Sheets of the Secretive, Sometimes Messy, but Always Adventurous Swinging Lifestyle|url=https://archive.org/details/swinglandbetween0000ster|page=[https://archive.org/details/swinglandbetween0000ster/page/296 296]|isbn=978-1476732534|year=2013|author=Daniel Stern}}</ref> ထို့အပြင် အမျိုးသမီးအချင်းချင်း သို့မဟုတ် အမျိုးသားအချင်းချင်း gang bang ပြုလုပ်ခြင်းများလည်း ရှိသည်။<ref>{{cite book|page=[https://archive.org/details/gay2zeedictionar0000reut/page/86 86]|title=Gay-2-Zee: A Dictionary of Sex, Subtext, and the Sublime|url=https://archive.org/details/gay2zeedictionar0000reut|author=Donald F. Reuter|isbn=0312354274|year=2006}}</ref> Gang bang များတွင် ပါဝင်သူအရေအတွက်ကို တိတိကျကျ သတ်မှတ်ထားခြင်းမရှိသော်လည်း ပုံမှန်အားဖြင့် သုံးဦးထက်ပိုကာ တစ်ဒါဇင် သို့မဟုတ် ထို့ထက်မက ပါဝင်နိုင်သည်။ အကယ်၍ gang bang တစ်ခုသည် အမျိုးသားပါဝင်သူအားလုံးက ဗဟိုရှိ အမျိုးသား သို့မဟုတ် အမျိုးသမီးအပေါ်သို့ တစ်ပြိုင်နက်တည်းနီးပါး သို့မဟုတ် လျင်မြန်စွာ ဆက်တိုက်သုက်လွှတ်ခြင်းဖြင့် အဆုံးသတ်ရန် ရည်ရွယ်စီစဉ်ထားပါက ၎င်းကို ဂျပန်ဝေါဟာရဖြစ်သော ''bukkake'' ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။<ref name=Partridge/> လူသုံးဦး လိင်ဆက်ဆံခြင်းကို ပုံမှန်အားဖြင့် [[သုံးယောက်တွဲ လိင်ဆက်ဆံခြင်း]] ဟုခေါ်ပြီး လူလေးဦးကိုမူ [[လေးယောက်တွဲ လိင်ဆက်ဆံခြင်း]] ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ==ညစ်ညမ်းရုပ်ရှင်လုပ်ငန်း== ၁၉၈၀ ပြည့်လွန်နှစ်များကတည်းက gang bang ညစ်ညမ်းရုပ်ရှင်များစွာ ရှိခဲ့သော်လည်း ၎င်းတို့တွင် ပုံမှန်အားဖြင့် အမျိုးသား ၆ ဦးမှ ၁၂ ဦးခန့်သာ ပါဝင်လေ့ရှိသည်။ သို့သော်လည်း ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် Annabel Chong ပါတနာ ၂၅၁ ဦးနှင့် သရုပ်ဆောင်ခဲ့သော ''The World's Biggest Gangbang'' ရုပ်ရှင်မှစတင်၍ ညစ်ညမ်းရုပ်ရှင်လုပ်ငန်းသည် လူတစ်ဦးတည်းက အချိန်တိုအတွင်း အဆက်မပြတ် လိင်ဆက်ဆံမှု အများဆုံးစံချိန်တင်ရန် ရည်ရွယ်သော ရုပ်ရှင်တွဲများကို ထုတ်လုပ်လာခဲ့သည်။<ref name="Salon">[http://archive.salon.com/health/sex/urge/1999/08/31/houston "The gang's all here (Hope flickers at the World's Biggest Gangbang)"] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091011064309/http://archive.salon.com/health/sex/urge/1999/08/31/houston/ |date=11 October 2009 }}, Kevin Bisch, ''[[Salon Magazine]]'', 31 August 1999, Retrieved 22 June 2007</ref> ဤကဲ့သို့သော ရုပ်ရှင်များသည် ငွေကြေးအရ အောင်မြင်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့၏နှစ်အလိုက် အရောင်းရဆုံး ညစ်ညမ်းရုပ်ရှင်များအဖြစ် AVN ဆုများကို ဆွတ်ခူးခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း ထိုပွဲများသည် တရားဝင်စောင့်ကြည့်စစ်ဆေးခြင်း မရှိဘဲ စံချိန်တင်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောဆိုချက်များသည်လည်း မကြာခဏ လွဲမှားနေတတ်သည်။<ref name=VillageVoice>[https://web.archive.org/web/20051123213638/http://www.villagevoice.com/people/0003,taormino,11859,24.html "The ABCs of Porn"], [[Tristan Taormino]], ''[[The Village Voice]]'', 19–25 January 2000, Retrieved 22 June 2007 </ref> Jasmin St. Claire က ''World's Biggest Gang Bang 2'' တွင် အမျိုးသား ၃၀၀ နှင့် စံချိန်တင်ခဲ့သည်ဟု ဆိုသော်လည်း၊ ၎င်းသည် "ညစ်ညမ်းရုပ်ရှင်လုပ်ငန်းတွင် အကြီးမားဆုံးသော လိမ်လည်မှုတစ်ခု" သာဖြစ်ကြောင်း၊ အမျိုးသား ၃၀ ခန့်ကိုသာ "ဗျူဟာမြောက် နေရာချထားပြီး ရိုက်ကူးခဲ့ခြင်း" ဖြစ်ကာ ၎င်းတို့အနက် ၁၀ ဦးခန့်သာ ကင်မရာရှေ့တွင် အမှန်တကယ် လိင်ဆက်ဆံနိုင်ခဲ့ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref>''"What The Hell Was I Thinking?!!" - Confessions of the World's Most Controversial Sex Symbol'', Jasmin St. Claire & Jake Brown, BearManor Media, 2010, P. 131–32</ref> ==ကိုးကား== {{Reflist}} ==ဆက်လက်ဖတ်ရှုရန်== * {{cite book|author=David McCracken|title=Chuck Palahniuk, Parodist: Postmodern Irony in Six Transgressive Novels|url=https://books.google.com/books?id=ZdnIDAAAQBAJ&pg=PA48 |date=12 July 2016|publisher=McFarland|isbn=978-0-7864-7929-0|page=48}} {{Wiktionary|gang bang}} {{Commons category|Gangbang}} [[ကဏ္ဍ:အုပ်စုလိုက် လိင်ဆက်ဆံခြင်း]] [[ကဏ္ဍ:လိင်အပြုအမူများ]] 40y1ov2lnrd1npdzqfmttfdaotkgxnb 0 290823 1054130 1049859 2026-09-19T13:10:14Z InternetArchiveBot 61272 Adding 1 book for [[ဝီကီပီးဒီးယား:စိစစ်အတည်ပြုခံနိုင်မှု]] (20260919)) #IABot (v2.0.9.6) ([[User:GreenC bot|GreenC bot]] 1054130 wikitext text/x-wiki [[File:Liefdespaar_op_kleed-Rijksmuseum_RP-P-1999-26.jpeg|thumb|right|alt=sex life|လိင်မှုဘဝ]] [[လူသားတို့၏ လိင်မှုကိစ္စ]]တွင် လူတစ်ဦး၏ '''လိင်မှုဘဝ''' ({{langx|en|Sex life}}) ဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ နေ့စဉ်ဘဝအတွင်း အခြားသူများနှင့် [[လူသားတို့၏ လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ အပြုအမူ|လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ ပြုလုပ်ဆောင်ရွက်မှု]] အတိုင်းအတာ သို့မဟုတ် ရှုထောင့်ကို ရည်ညွှန်းသည်။ လူတစ်ဦးသည် ''တစ်ဦးတည်း'' [[အာသာဖြေခြင်း]] မဟုတ်သော လက်တွဲဖော်ပါဝင်သည့် လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်မှုများတွင် သဘောတူညီချက်ဖြင့် ပုံမှန် သို့မဟုတ် ပုံမှန်မဟုတ်ဘဲ ပါဝင်ဆောင်ရွက်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်မှု ပါသည်ဖြစ်စေ၊ မပါသည်ဖြစ်စေ၊ တစ်ဦးတည်းသော လက်တွဲဖော်နှင့်ဖြစ်စေ၊ တစ်သက်တာအတွင်း အပြောင်းအလဲများစွာဖြင့်ဖြစ်စေ အနည်းဆုံး အခြားလူတစ်ဦး ပါဝင်ပတ်သက်နေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ ထို့ကြောင့် "လိင်မှုဘဝ" တစ်ခုကို ရေရှည်လက်တွဲဖော် သို့မဟုတ် ဆက်တိုက်ပြောင်းလဲသော လက်တွဲဖော်များစွာဖြင့် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ==လိင်ဆက်ဆံသည့် ကြိမ်နှုန်း== အချက်အလက် အရင်းအမြစ်များစွာ၏ ဖော်ပြချက်အရ လူသားများတွင် [[လိင်ဆက်ဆံခြင်း|လိင်ဆက်ဆံ]]သည့် ကြိမ်နှုန်းသည် တစ်ပတ်လျှင် ၀ ကြိမ်မှ အကြိမ် ၂၀ အထိ ကွဲပြားနိုင်သည်။<ref>[http://www.mayoclinic.com/health/sexual-health/HQ01363 Sexual health: An interview with a Mayo Clinic specialist] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20051206023204/http://www.mayoclinic.com/health/sexual-health/HQ01363 |date=2005-12-06 }}</ref> အချိန်ကြာမြင့်စွာ လိင်မှုကိစ္စ မရှိခြင်းကို လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ ရှောင်ကြဉ်ခြင်း (sexual abstinence) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref name="a563">{{cite journal | last1=Donnelly | first1=Denise | last2=Burgess | first2=Elisabeth | last3=Anderson | first3=Sally | last4=Davis | first4=Regina | last5=Dillard | first5=Joy | title=Involuntary Celibacy: A Life Course Analysis | journal=The Journal of Sex Research | volume=38 | issue=2 | date=2001 | issn=0022-4499 | doi=10.1080/00224490109552083 | pages=159–169 }}</ref> အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုတွင် အိမ်ထောင်ရှင်စုံတွဲများ၏ ပျမ်းမျှ လိင်ဆက်ဆံသည့် ကြိမ်နှုန်းမှာ တစ်ပတ်လျှင် ၂ ကြိမ်မှ ၃ ကြိမ်အထိ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book| last = Varcarolis | first = E.M.| title = Foundations of Psychiatric Mental Health Nursing | url = https://archive.org/details/foundationsofpsy0000unse_e5r4 | publisher =W.B. Saunders Company |year=1990| location = New York| pages = [https://archive.org/details/foundationsofpsy0000unse_e5r4/page/787 787]| isbn = 0-7216-1976-2}}</ref> မီးယပ်သွေးဆုံးပြီးသော အမျိုးသမီးများသည် လိင်ဆက်ဆံသည့် ကြိမ်နှုန်း လျော့ကျသွားလေ့ရှိပြီး<ref>{{cite web | url = http://www.athenainstitute.com/sciencelinks/acog03.html | title = ACOG 2003 Poster, Sociosexual Behavior in Healthy Women | access-date = 2009-01-06}}</ref> အသက်အရွယ် ရလာသည်နှင့်အမျှ ပျမ်းမျှ ကြိမ်နှုန်းလည်း လျော့နည်းသွားကြောင်း ယေဘုယျအားဖြင့် အသိအမှတ်ပြုထားသည်။ Kinsey Institute ၏ လေ့လာမှုများအရ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုရှိ ပျမ်းမျှ လိင်ဆက်ဆံမှု ကြိမ်နှုန်းများမှာ တစ်နှစ်လျှင် ၁၁၂ ကြိမ် (အသက် ၁၈-၂၉)၊ ၈၆ ကြိမ် (အသက် ၃၀-၃၉) နှင့် ၆၉ ကြိမ် (အသက် ၄၀-၄၉) ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |url = http://www.kinseyinstitute.org/resources/FAQ.html#frequency |title = Frequently asked questions to the Kinsey Institute for Research in Sex, Gender, and Reproduction (Kinsey Institute) |access-date = 2009-01-06 |archive-date = 2018-12-25 |archive-url = https://web.archive.org/web/20181225060857/https://kinseyinstitute.org/research/index.php#frequency |url-status = dead }}</ref> လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ စောင့်ကြည့်နှောင့်ယှက်မှုအမှုများစွာတွင် Equal Employment Opportunity Commission (EEOC) မှ Mitsubishi Motor Manufacturing of America ကို တရားစွဲဆိုခဲ့သည့် အမှုအပါအဝင် ဝန်ထမ်းအချို့နှင့် အခြားသူများအား ၎င်းတို့၏ လိင်ဘဝများအကြောင်း ခရီးလွန်မေးမြန်းမှုများ ပြုလုပ်ခြင်းခံခဲ့ရသည်။<ref>[https://ecf.almd.uscourts.gov/cgi-bin/show_public_doc?2007cv0908-121 "Tammy Edwards v. Hyundai Motor Manufacturing Alabama LLC, and Mike Swindle"], United States Courts, Civil Action 2:07cv908-MHT (WO), March 27, 2009</ref><ref>[http://www.contilaw.com/pleadings/EEOCvMitsubishsi.htm "Equal Employment Opportunity Commission v. Mitsubishi Motor Manufacturing of America Inc."] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304115244/http://www.contilaw.com/pleadings/EEOCvMitsubishsi.htm |date=2016-03-04 }}, Adam J. Conti, LLC, September 15, 1997</ref> ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:လူသား ဖိုမလက္ခဏာ]] [[ကဏ္ဍ:ပုဂ္ဂိုလ်ရေး ဘဝ]] q61va09ey594qvud7utafne59nhkh9c 0 290826 1054141 1049882 2026-09-19T14:15:32Z InternetArchiveBot 61272 Adding 1 book for [[ဝီကီပီးဒီးယား:စိစစ်အတည်ပြုခံနိုင်မှု]] (20260919)) #IABot (v2.0.9.6) ([[User:GreenC bot|GreenC bot]] 1054141 wikitext text/x-wiki [[Image:Wiki-facial.png|thumb|alt=artist's illustration of dark-haired woman with right hand holding man's penis, left hand rubbing semen from her eye|အမျိုးသမီးတစ်ဦး၏ မျက်နှာပေါ်သို့ သုက်လွှတ်နေသော အမျိုးသားတစ်ဦးတို့၏ သရုပ်ဖော်ပုံ]] '''မျက်နှာပေါ် သုက်လွှတ်ခြင်း''' ({{langx|en|facial}}) ဆိုသည်မှာ အမျိုးသားတစ်ဦးက လက်တွဲဖော် သို့မဟုတ် ပါတနာအများအပြား၏ မျက်နှာပေါ်သို့ [[သုက်လွှတ်ခြင်း|သုက်ရည် စွန့်ထုတ်သည့်]] [[လူသားတို့၏ လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ အပြုအမူ|လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်မှု]]တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name="Sex for Dummies">{{cite book |title=Sex for Dummies |url=https://archive.org/details/sexfordummies00west_510 |url-access=limited |year=2006 |publisher=Wiley |isbn=978-0-470-04523-7 |last1=Westheimer |first1=Ruth K. |last2=Lehu |first2=Pierre A. |page=[https://archive.org/details/sexfordummies00west_510/page/n25 194]}}</ref> မျက်နှာပေါ် သုက်လွှတ်ခြင်းသည် [[မထိုးသွင်းသော လိင်ဆက်ဆံခြင်း|ထိုးဖောက်မှုမပါသော လိင်ဆက်ဆံခြင်း]] ပုံစံတစ်မျိုး ဖြစ်သော်လည်း၊ အများအားဖြင့် [[မိန်းမကိုယ်ဖြင့် လိင်ဆက်ဆံခြင်း|မိန်းမကိုယ် လိင်ဆက်ဆံခြင်း]]၊ [[စအိုဖြင့် လိင်ဆက်ဆံခြင်း|စအိုလိင်]]၊ [[ပါးစပ်ဖြင့် လိင်ဆက်ဆံခြင်း|ပါးစပ်လိင်]]၊ [[လက်ဖြင့် လိင်ဆက်ဆံခြင်း]] သို့မဟုတ် [[အာသာဖြေခြင်း]]ကဲ့သို့သော အခြား လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ လှုံ့ဆော်မှုများ ပြုလုပ်ပြီးနောက် ပြုလုပ်လေ့ရှိသည်။ မျက်နှာပေါ် သုက်လွှတ်ခြင်းများကို [[ညစ်ညမ်းရုပ်ရှင်]]များနှင့် ဗီဒီယိုများတွင် ဇာတ်ဝင်ခန်းတစ်ခုကို အဆုံးသတ်သည့် နည်းလမ်းအဖြစ် ပုံမှန် ရိုက်ကူးပြသလေ့ရှိသည်။<ref name="tinynibbles.com">[[Violet Blue (author)|Violet Blue]], (Sep 2001) [http://www.tinynibbles.com/firstpr0n A First Timer's Guide to Watching Porn] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200814203259/https://www.tinynibbles.com/firstpr0n |date=14 August 2020 }}, "Facial ejaculation (men ejaculating on women's faces) is pretty much a standard."</ref> မျက်နှာပေါ် သုက်လွှတ်ခြင်း မပြုလုပ်မီ သုက်လွှတ်မည့်သူ၏ [[လိင်စိတ်နိုးကြားမှု]]နှင့် လှုံ့ဆော်မှုများကို ရှေ့ပြေးပြုလုပ်လေ့ရှိသည်။ လိုအပ်သည့် လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ လှုံ့ဆော်မှုအဆင့်သို့ ရောက်ရှိပြီး သုက်လွှတ်တော့မည့် အခြေအနေသို့ ရောက်သောအခါ၊ အမျိုးသားသည် ထွက်ရှိလာသော သုက်ရည်များကို လက်တွဲဖော်၏ မျက်နှာပေါ်သို့ ကျရောက်စေရန် ၎င်း၏ လိင်တံကို နေရာချပေးသည်။ ==ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်များ== ခေတ်သစ် ညစ်ညမ်းရုပ်ရှင်များ မတိုင်မီ ခေတ်အဆက်ဆက် စာပေများတွင် မျက်နှာပေါ် သုက်လွှတ်ခြင်း အကြောင်းကို ရေးသားခဲ့ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ပြင်သစ် မြို့စား Marquis de Sade သည် ၁၇၈၅ ခုနှစ်တွင် ရေးသားခဲ့သော ၎င်း၏ ''The 120 Days of Sodom'' စာအုပ်တွင် မျက်နှာပေါ် သုက်လွှတ်ခြင်း ပြုလုပ်သည့်အကြောင်းကို ထည့်သွင်းရေးသားခဲ့သည်။<ref>{{Cite book |last=Seaver |first=Richard |title=The 120 Days of Sodom and Other Writings |publisher=Grove Press |page=[https://archive.org/details/120daysofsodomot00sade/page/268 268] |isbn=978-0-8021-3012-9 |year=1987 |orig-date=1987 |url=https://archive.org/details/120daysofsodomot00sade/page/268}}</ref> ===ပင်မရေစီးကြောင်း ညစ်ညမ်းရုပ်ရှင်များတွင်=== ၁၉၇၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ဟာ့ဒ်ကိုးညစ်ညမ်းရုပ်ရှင် အမျိုးအစား၌ cumshot (သို့မဟုတ် ''money shot'') ဟုခေါ်သော သုက်လွှတ်ခန်းကို ဟာ့ဒ်ကိုး ရုပ်ရှင်များ၏ အဓိက အစိတ်အပိုင်းအဖြစ် စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး၊ အမျိုးသား သရုပ်ဆောင်က လိင်ဆက်ဆံမှုကို အထင်ရှားဆုံး မြင်တွေ့ရစေရန် သုက်လွှတ်ပြလေ့ရှိသည်။<ref>{{citation |last=Williams |first=Linda |author-link=Linda Williams (film scholar) |contribution=Fetishism and hard core: Marx, Freud, and the "money shot" |editor-last=Williams |editor-first=Linda |editor-link=Linda Williams (film scholar) |title=Hard core: power, pleasure, and the "frenzy of the visible" |pages=[https://archive.org/details/hardcore00will/page/93 93–94] |publisher=University of California Press |location=Berkeley |year=1989 |isbn=9780520066526 |postscript=. |url=https://archive.org/details/hardcore00will/page/93}} [https://books.google.com/books?id=OMa96WrLnhQC&pg=PA93 Preview.]</ref> ဤဇာတ်ဝင်ခန်းများတွင် အမျိုးသမီး သရုပ်ဆောင်က သုက်ရည်ကို ၎င်း၏ ခန္ဓာကိုယ် တိကျသော အစိတ်အပိုင်းသို့ ဦးတည်လွှတ်ရန် တောင်းဆိုသည့် အခန်းများ ပါဝင်နိုင်သည်။<ref>{{citation |last=Williams |first=Linda |author-link=Linda Williams (film scholar) |contribution=Fetishism and hard core: Marx, Freud, and the "money shot" |editor-last=Williams |editor-first=Linda |editor-link=Linda Williams (film scholar) |title=Hard core: power, pleasure, and the "frenzy of the visible" |page=[https://archive.org/details/hardcore00will/page/101 101] |publisher=University of California Press |location=Berkeley |year=1989 |isbn=9780520066526 |postscript=. |url=https://archive.org/details/hardcore00will/page/101}} [https://books.google.com/books?id=OMa96WrLnhQC&pg=PA101 Preview.]</ref> ယခုအခါ မျက်နှာပေါ် သုက်လွှတ်သည့် Facial cumshot များကို ညစ်ညမ်းရုပ်ရှင်များ၊ ဗီဒီယိုများ၊ မဂ္ဂဇင်းများနှင့် အင်တာနက် ဝဘ်ဆိုက်များတွင် ပုံမှန်တွေ့မြင်နိုင်သည်။<ref name="tinynibbles.com"/> ပင်မရေစီးကြောင်း ညစ်ညမ်းရုပ်ရှင်များအပြင် မျက်နှာပေါ် သုက်လွှတ်ခြင်း၏ ရေပန်းစားမှုသည် ဤလုပ်ဆောင်မှုကို သီးသန့်ပြသသော ဗီဒီယို အစီအစဉ်များကဲ့သို့ သီးသန့် ဈေးကွက် တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=The final (niche) frontier |url=http://business.avn.com/articles/The-Final-Niche-Frontier-26019.html |website=business.avn.com |publisher=AVN Online |access-date=26 October 2010 |archive-date=21 February 2011 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110221023719/http://business.avn.com/articles/The-Final-Niche-Frontier-26019.html |url-status=dead }}</ref> ၂၀၁၀ ပြည့်နှစ်တွင် စိတ်ပညာရှင် Ana Bridges နှင့် အပေါင်းအပါများ၏ အရောင်းရဆုံး လိင်တူမဟုတ်သော ညစ်ညမ်းဗီဒီယိုများကို လေ့လာစန်းစစ်ချက်အရ ဇာတ်ဝင်ခန်း ၉၆% ကျော်သည် အမျိုးသား သရုပ်ဆောင်က အမျိုးသမီး လက်တွဲဖော်၏ ခန္ဓာကိုယ်ပေါ်သို့ သုက်လွှတ်ခြင်းဖြင့် အဆုံးသတ်ကြောင်း တွေ့ရှိခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last=Bridges |first=Ana J. |author-link=Ana J. Bridges |contribution=Pornography's effects on interpersonal relationships |editor-last1=Stoner |editor-first1=James R. Jr. |editor-last2=Hughes |editor-first2=Donna M. |editor-link1=James Reist Stoner Jr. |editor-link2=Donna M. Hughes |title=The social costs of pornography: a collection of papers |pages=89–110 |publisher=Witherspoon Institute |location=Princeton, New Jersey |year=2010 |isbn=9780981491134 |postscript=.}} [http://www.socialcostsofpornography.com/Bridges_Pornographys_Effect_on_Interpersonal_Relationships.pdf Pdf.]</ref> ပါးစပ်သည် သုက်လွှတ်ခံရဆုံး အဓိက နေရာဖြစ်သည်။ မျက်နှာ၏ အစိတ်အပိုင်း အားလုံးကို ထည့်တွက်ပါက ပြင်ပသို့ သုက်လွှတ်သည့် ဇာတ်ဝင်ခန်းများ၏ ၆၂% ခန့်တွင် Facial cumshot များ ဖြစ်ပေါ်လေ့ရှိသည်။<ref>{{Cite journal |last1=Bridges |first1=Ana J. |last2=Wosnitzer |first2=Robert |last3=Scharrer |first3=Erica |last4=Sun |first4=Chyng |last5=Liberman |first5=Rachael |s2cid=3708846 |author-link1=Ana J. Bridges |title=Aggression and sexual behavior in best-selling pornography videos: a content analysis update |journal=[[Violence Against Women (journal)|Violence Against Women]] |volume=16 |issue=10 |pages=1065–1085 |publisher=[[SAGE Publishing|Sage]] |doi=10.1177/1077801210382866 |pmid=20980228 |date=October 2010}} [http://media.virbcdn.com/files/79/FileItem-273118-AgressionandSexualBehavior2010.pdf Pdf.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160117205855/http://media.virbcdn.com/files/79/FileItem-273118-AgressionandSexualBehavior2010.pdf |date=17 January 2016 }}</ref> === အမျိုးသမီးဝါဒီ ညစ်ညမ်းရုပ်ရှင်များတွင် === ၁၉၈၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် အမျိုးသမီးဝါဒီ ညစ်ညမ်းရုပ်ရှင် စတင်ပေါ်ပေါက်လာသောအခါ လမ်းသစ်ထွင်သူ Candida Royalle သည် ၎င်း၏ လိင်ဇာတ်ဝင်ခန်းများမှ Facial cumshot များနှင့် အခြားသော အမျိုးသား ပြင်ပသုက်လွှတ်မှု အများစုကို အမြဲတမ်း ချန်လှပ်ထားခဲ့သည်။{{sfn|Heck|2021|p=2–3}}{{sfn|Taormino|Shimizu|Penley|Miller-Young|2013|p=293}} Ms. Naughty (၂၀၀၀ ခုနှစ်မှစ၍){{sfn|Taormino|Shimizu|Penley|Miller-Young|2013|p=82–88}} နှင့် Petra Joy (၂၀၀၄ ခုနှစ်မှစ၍){{sfn|Heck|2021|p=16}} တို့၏ လက်ရာများတွင်လည်း ဤမူကိုပင် လိုက်နာခဲ့သည်။ Tristan Taormino ၏ စတင်ရိုက်ကူးချိန် ၁၉၉၉ အစောပိုင်း လက်ရာများတွင် Facial များကို ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ ချန်လှပ်ထားခဲ့သော်လည်း၊ အမျိုးသမီးဝါဒီ ညစ်ညမ်းရုပ်ရှင်အပေါ် ၎င်း၏ အယူအဆ အပြောင်းအလဲများ ရှိလာပြီးနောက် နောက်ပိုင်း ထုတ်လုပ်မှုများတွင် အချို့ကို ထည့်သွင်းရိုက်ကူးခဲ့သည်။{{sfn|Taormino|Shimizu|Penley|Miller-Young|2013|p=291–293, 300}} Erika Lust သည်လည်း ၂၀၀၄ ခုနှစ် ပွဲထွက်ဇာတ်ကားဖြစ်သော ''The Good Girl'' မှစတင်၍ မျက်နှာပေါ် သုက်လွှတ်ခြင်းများကို တစ်ခါတစ်ရံ ရိုက်ကူးပြသခဲ့သည်။{{sfn|Heck|2021|p=11–12}} ==ကျန်းမာရေးဆိုင်ရာ စိုးရိမ်ရန်အချက်များ== ===မျက်လုံးအတွင်း နာကျင်မှု ဖြစ်ပေါ်ခြင်း=== မျက်လုံးအတွင်းသို့ သုက်ရည် ဝင်ရောက်ပါက သုက်ရည်တွင် မျက်လုံးတစ်ရှူးများကို ယားယံစေသည့် ပါဝင်ပစ္စည်းများ ပါရှိသောကြောင့် ပြင်းထန်စွာ နာကျင်ခြင်း၊ စပ်ဖျင်းဖျင်းဖြစ်ခြင်းနှင့် ပူစပ်ပူလောင် ဖြစ်ခြင်းတို့ကို ဖြစ်ပေါ်စေနိုင်သည်။ တုံ့ပြန်မှုအနေဖြင့် မျက်ရည်ကျခြင်း၊ အလင်းရောင် မခံနိုင်ခြင်း၊ နီရဲခြင်းနှင့် အမြင်အာရုံ ဝေဝါးခြင်းတို့ ဖြစ်နိုင်သည်။ မျက်လုံးကို သန့်ရှင်းသော ရေဖြင့် ဆေးကြောနိုင်ပြီး၊ မျက်ရည်သည်လည်း သုက်ရည်များကို အပြင်သို့ ထွက်သွားစေရန် ကူညီပေးသဖြင့် ထိုသို့ပြုလုပ်ပြီးနောက် မသက်မသာဖြစ်မှု သက်သာသွားမည်ဖြစ်သည်။<ref>Kasandra Brabaw: ''[https://www.yahoo.com/lifestyle/got-semen-eye-heres-193418866.html?guccounter=1 So, You Got Semen in Your Eye. Here's What to Do]''. March 1st, 2019.</ref> ===ရောဂါများ ကူးစက်ခြင်း=== [[File:Chlamydial-conjunctivitis.jpg|thumb|160px|right|Eye infected with chlamydial conjunctivitis.]] အခြားသူတစ်ဦး၏ ခန္ဓာကိုယ်မှ ထွက်ရှိသော အရည်များနှင့် ထိတွေ့မှုပါဝင်သည့် မည်သည့် လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်မှုမဆို [[လိင်မှတဆင့် ကူးစက်တတ်သော ရောဂါ|လိင်မှတဆင့် ကူးစက်တတ်သော ရောဂါများ]] ကူးစက်နိုင်ခြေ အန္တရာယ် ရှိသည်။<ref name="Em & Lo's">{{cite book |title=Em & Lo's Rec Sex: An A–Z Guide to Hooking Up |year=2006 |publisher=Chronicle Books |isbn=978-0-8118-5212-8 |last1=Taylor |first1=Emma |last2=Sharkey |first2=Lorelei |page=[https://archive.org/details/emlosrecsexazgui00tayl/page/60 60] |url=https://archive.org/details/emlosrecsexazgui00tayl/page/60}}</ref> သုက်ရည်သည် အရေပြားပေါ်တွင် သို့မဟုတ် မျိုချပါက ယေဘုယျအားဖြင့် ဘေးအန္တရာယ် မရှိသော်လည်း၊<ref>{{Cite book |last=Mann |first=Thaddeus |title=Male Reproductive Function and Semen |publisher=Springer |isbn=978-0-387-10383-9 |year=1981 |orig-date=1981}}</ref><ref>{{Cite book |last=Scheit |first=Karl H. |title=Proteins of Seminal Plasma |url=https://archive.org/details/proteinsofsemina0000shiv |publisher=John Wiley & Sons |isbn=978-0-471-84685-7 |year=1990 |orig-date=1990}}</ref> မျက်လုံးတစ်ရှူးပေါ်တွင်မူ မဟုတ်ပေ။ သို့သော် သုက်ရည်သည် HIV နှင့် အသည်းရောင်အသားဝါ ကဲ့သို့သော လိင်မှတဆင့် ကူးစက်တတ်သော ရောဂါများစွာအတွက် သယ်ဆောင်ပေးရာ ပစ္စည်းဖြစ်နိုင်သည်။ California Occupational Safety and Health Administration က သုက်ရည်ကို "အခြား ကူးစက်နိုင်ခြေရှိသော ပစ္စည်း" သို့မဟုတ် OPIM အဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။<ref>{{Cite web |url=http://www.dir.ca.gov/DOSH/AdultFilmIndustry.html#hh |title=Cal/OSHA Health Hazards in the Adult Film Industry |access-date=25 July 2008 |publisher=State of California}}</ref> အမျိုးသား၏ သုက်ရည်တွင် chlamydia ရောဂါပိုး ပါရှိပါက၊ ခံယူသူ လက်တွဲဖော်သည် ကလမိုင်းဒီးယားကြောင့်ဖြစ်သော မျက်လုံးမြှေးရောင်ရောဂါ (chlamydial conjunctivitis) ကူးစက်ခံရနိုင်သည်။<ref>Rackstraw, S.; Viswalingam N. D.; Goh, B. T.: ''[https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/16942659/ Can chlamydial conjunctivitis result from direct ejaculation into the eye?]''. In: International Journal of STD AIDS. September 17, 2006, page 639-641.</ref> မျက်နှာပေါ် သုက်လွှတ်ခြင်း ပြုလုပ်စဉ် ပေးသူနှင့် ခံယူသူ လက်တွဲဖော် နှစ်ဦး ကြုံတွေ့ရသော အန္တရာယ်များသည် လုံးဝ ကွဲပြားခြားနားသည်။ သုက်လွှတ်သူ ပါတနာအတွက် STI ကူးစက်နိုင်ခြေ လုံးဝနီးပါး မရှိပါ။ ခံယူသူ ပါတနာအတွက်မူ အန္တရာယ် ပိုမိုမြင့်မားသည်။<ref name="Moore">{{Cite book |last=Moore |first=LJ |title=Sperm Counts: Overcome by Man's Most Precious Fluid |publisher=[[New York University Press]] |pages=[https://archive.org/details/isbn_9780814757185/page/84 &#91;https://books.google.com/books?id=tpiyGxq92RwC&pg=PA84 84&#93;] |isbn=978-0-8147-5718-5 |year=2007 |url=https://archive.org/details/isbn_9780814757185/page/84}}</ref> ရောဂါပိုး ကူးစက်နေနိုင်သော သုက်ရည်သည် ပေါက်ပြဲနေသော အရေပြား သို့မဟုတ် ထိခိုက်လွယ်သော အမြှေးပါးများ (ဥပမာ- မျက်လုံး၊ နှုတ်ခမ်း၊ ပါးစပ်) နှင့် ထိတွေ့နိုင်သောကြောင့် ကူးစက်ရောဂါများ ကူးစက်နိုင်ခြေ ရှိသည်။ ===ဓာတ်မတည့်သည့် တုံ့ပြန်မှုများ=== ရှားရှားပါးပါး အခြေအနေများတွင် လူအချို့သည် human seminal plasma hypersensitivity ဟု သိကြသည့် သုက်ရည်နှင့် ဓာတ်မတည့်သည့် တုံ့ပြန်မှုများကို ကြုံတွေ့ရလေ့ရှိသည်။<ref>{{Cite journal |vauthors=Guillet G, Dagregorio G, Guillet M |title=[Vulvar contact dermatitis due to seminal allergy: 3 cases] |journal=Ann Dermatol Venereol |volume=132 |issue=2 |pages=123–5 |year=2005 |pmid=15798560 |doi=10.1016/S0151-9638(05)79221-8}}</ref> ရောဂါလက္ခဏာများသည် သီးခြားနေရာတစ်ခုတည်းတွင် သို့မဟုတ် ခန္ဓာကိုယ်တစ်ခုလုံးတွင် ဖြစ်ပေါ်နိုင်ပြီး၊ ထိတွေ့ပြီး မိနစ် ၃၀ အတွင်း ယားယံခြင်း၊ နီရဲခြင်း၊ ရောင်ရမ်းခြင်း သို့မဟုတ် အဖုအပိမ့်များ ထွက်ခြင်းတို့ ပါဝင်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် အင်ပြင်ထခြင်းနှင့် အသက်ရှူရ ခက်ခဲခြင်းတို့ပင် ပါဝင်နိုင်သည်။ သုက်ရည် ဓာတ်မတည့်ခြင်းအတွက် ကုသမှု နည်းလမ်းများတွင် ကွန်ဒုံးအသုံးပြု၍ သုက်ရည်နှင့် ထိတွေ့မှုကို ရှောင်ကြဉ်ခြင်းနှင့် ဓာတ်မတည့်မှုကို လျှော့ချရန် ကြိုးပမ်းခြင်း (desensitization) တို့ ပါဝင်သည်။<ref>{{Cite journal |vauthors=Weidinger S, Ring J, Köhn F |title=IgE-mediated allergy against human seminal plasma |journal=Chem Immunol Allergy |volume=88 |pages=128–138 |year=2005 |pmid=16129942 |doi=10.1159/000087830 |series=Chemical Immunology and Allergy, 2005 |isbn=978-3-8055-7951-3}}</ref> ==ကိုးကား== {{Reflist}} == ကျမ်းကိုးများ == * {{Cite journal |last1=Heck |first1=Richard Kimberly |date=2021 |title=How Not to Watch Feminist Pornography |url=https://ojs.lib.uwo.ca/index.php/fpq/article/download/10609/11147/27752 |journal=Feminist Philosophy Quarterly |volume=7 |issue=1 |article-number=3 |doi=10.5206/fpq/2021.1.10609 |access-date=13 January 2023|doi-access=free }} * {{Cite book |title=The Feminist Porn Book: The Politics of Producing Pleasure |date=2013 |publisher=Feminist Press at the City University of New York |last1=Taormino |first1=Tristan |last2=Shimizu |first2=Celine Parreñas |last3=Penley |first3=Constance |last4=Miller-Young |first4=Mireille |isbn=9781558618190 |location=New York |oclc=828140733}} [[ကဏ္ဍ:လိင်အပြုအမူများ]] [[ကဏ္ဍ:လိင်ဆန္ဒ ပြီးမြောက်ခြင်း]] [[ကဏ္ဍ:ပါးစပ် ရမ္မက်]] [[ကဏ္ဍ:မျက်နှာ]] [[ကဏ္ဍ:သုက်လွှတ်ခြင်း]] 5g8ruzcpsk59m90mn34uwsg9lyxzjjq 0 290841 1054222 1052966 2026-09-20T09:26:45Z Mkant00 135890 category adjustment 1054222 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} [[သင်္ချာ|သင်္ချာတွင်]] ကိန်းစဉ်တန်း (series) သည် [[ကိန်းစဉ်|အနန္တ ကိန်းစဉ်]] (infinite sequence) ၏ ကိန်းများကို [[ပေါင်းခြင်း|ပေါင်းထားသော]] ပေါင်းလဒ်ဖြစ်သည်။ ကိန်းစဉ်တန်းများကို လေ့လာခြင်းသည် ကဲကုလပ် (calculus) နှင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (mathematical analysis) တို့၏ အဓိက အစိတ်အပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အနန္တ ကိန်းစဉ် <math>(a_1, a_2, a_3, \ldots)</math> တစ်ခုကို ပေးထားလျှင် ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုကို <math>\sum_{i=1}^\infty a_i</math> ဟူသော ဖော်ပြချက်ဖြင့် ပုံစံတကျ (formally) ဖော်ပြသည်။<ref name=":5">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |page=37}}</ref> ကိန်းစဉ်တန်း၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ် (partial sum) သည် ၎င်း၏ ပထမဆုံး ကိန်း <math>n</math> ခု၏ အဆုံးရှိပေါင်းလဒ်ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>s_n = \sum_{k=1}^n a_k</math> ဟု သတ်မှတ်ဖော်ပြသည်။<ref name=":15">{{Citation |last1=Rudin |first1=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |page=59}}</ref> အကယ်၍ <math>n \to \infty</math> အခြေအနေသို့ ရောက်ရှိသွားသောအခါ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ ကိန်းစဉ်သည် အဆုံးရှိသော [[စုဆုံမှတ်|သင်္ချာဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ်]] (mathematical limit) တစ်ခုသို့ ချဉ်းကပ်သွားပါက ထိုကိန်းစဉ်တန်းကို စုဆုံသော (convergent) ကိန်းစဉ်တန်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထိုကိန်းစဉ်တန်းကို ပေါင်းစပ်နိုင်သော (summable) ကိန်းစဉ်တန်းဟုလည်း ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ ထိုစုဆုံမှတ်ကို ကိန်းစဉ်တန်း၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ပေးထားသည်။<ref name=":4">{{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=Calculus |edition=4th |publisher=Publish or Perish |date=2008 |pages=471–472}}</ref><ref name=":2">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |page=384}}</ref><ref name=":3">{{Citation |last1=Ablowitz |first1=Mark J. |last2=Fokas |first2=Athanassios S. |title=Complex Variables: Introduction and Applications |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |date=2003 |page=110}}</ref> အကယ်၍ ၎င်းစုဆုံမှတ် မတည်ရှိပါက ထိုကိန်းစဉ်တန်းသည် ဖြာထွက်သော (divergent) ကိန်းစဉ်တန်း ဖြစ်သည်။<ref name=":43">{{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=Calculus |edition=4th |publisher=Publish or Perish |date=2008 |page=453}}</ref> == အစုအဖွဲ့ဖွဲ့ခြင်းနှင့် ပြန်လည်စီစဉ်ခြင်း (Grouping and Rearrangement) == အဆုံးရှိသော ပေါင်းလဒ်များတွင် အပေါင်းတွက်ချက်မှု၏ [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (associativity) နှင့် [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (commutativity) တို့ကြောင့် ကိန်းများကို အစုအဖွဲ့ဖွဲ့ခြင်းနှင့် ပြန်လည်စီစဉ်ခြင်းတို့ကို လွတ်လပ်စွာ ပြုလုပ်နိုင်သည်။ အနန္တ ကိန်းစဉ်တန်းများအတွက်မူ ဤတွက်ချက်မှုများသည် သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ စုဆုံသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု၏ ကိန်းများကို အစုအဖွဲ့ဖွဲ့ခြင်းသည် အမြဲတမ်း မှန်ကန်ပြီး ပေါင်းလဒ်ကို ပြောင်းလဲစေမည်မဟုတ်ပါ။ သို့သော်လည်း ဖြာထွက်သော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုကို အစုအဖွဲ့ဖွဲ့ခြင်းသည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်သော စုဆုံမှတ်များဆီသို့ စုဆုံသွားသည့် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို ထွက်ပေါ်လာစေနိုင်သည်။ ဤအချက်ကို ဂရန်ဒီ၏ ကိန်းစဉ်တန်း (Grandi's series) <math>(1 - 1 + 1 - 1 + \cdots)</math> တွင် တွေ့မြင်နိုင်သည်။<ref name=":0">{{Citation |last1=Kifowit |first1=Steven J. |last2=Stamps |first2=Terra A. |title=The harmonic series diverges again and again |journal=American Mathematical Association of Two-Year Colleges Review |volume=27 |issue=2 |date=2006 |pages=31–43}}</ref><ref name=":14">{{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=Calculus |edition=4th |publisher=Publish or Perish |date=2008 |page=496}}</ref> ကိန်းများ၏ အနန္တ ပြန်လည်စီစဉ်ခြင်းသည် ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်ကို ပြောင်းလဲစေနိုင်သည်။ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုးများ (absolute values) ပေါင်းလဒ် <math>\sum |a_n|</math> စုဆုံရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ထိုကိန်းစဉ်တန်းသည် ပြန်လည်စီစဉ်ခြင်းကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားစရာမလိုဘဲ တူညီသော တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းသို့ စုဆုံခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အကြွင်းမဲ့ စုဆုံခြင်း (absolute convergence) ဟု သိထားကြသည်။ အကယ်၍ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုသည် စုဆုံသော်လည်း အကြွင်းမဲ့စုဆုံခြင်းမရှိပါက ၎င်းသည် ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံသော (conditionally convergent) ကိန်းစဉ်တန်း ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံသော [[ကိန်းစစ်]]ပေါင်းလဒ်ကိုမဆို အလိုရှိရာ ကိန်းစစ် (arbitrary real number) တစ်ခုခုသို့ စုဆုံရန်အတွက် ပြန်လည်စီစဉ်နိုင်ကြောင်း ရီးမန်း ကိန်းစဉ်တန်း သီအိုရမ် (Riemann series theorem) က သက်သေပြထားသည်။ ၎င်းပေါင်းလဒ်ကို လုံးဝ ဖြာထွက်သွားစေရန်လည်း ပြန်လည်စီစဉ်နိုင်ကြောင်း ၎င်းသီအိုရမ်ကပင် သက်သေပြထားသည်။<ref name=":46">{{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=Calculus |edition=4th |publisher=Publish or Perish |date=2008 |pages=483–486}}</ref><ref name=":25">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=412–414}}</ref><ref>{{Citation |last1=Rudin |first1=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |page=76}}</ref> == ကိန်းစဉ်တန်းများအပေါ် တွက်ချက်မှုများ (Operations on Series) == ကိန်းစဉ်တန်းများ [[ပေါင်းခြင်း]]နှင့် [[စကေလာ]]မြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) တို့ကို သက်ဆိုင်ရာ ကိန်းတစ်ခုချင်းစီအလိုက် တွက်ချက်လုပ်ဆောင်ပြီး ၎င်းတို့သည် စုဆုံခြင်းကို ထိန်းသိမ်းထားသည်။<ref name=":242">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=385–386}}</ref><ref>{{Citation |last1=Rudin |first1=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |page=72}}</ref> ကိန်းစဉ်တန်းနှစ်ခု၏ [[မြှောက်ခြင်း]]ကို ကော်ချီ မြှောက်လဒ် (Cauchy product) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ <math>\biggl( \sum_{k=0}^{\infty} a_k \biggr) \cdot \biggl( \sum_{k=0}^{\infty} b_k \biggr) = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{k} a_{j} b_{k-j}</math> အကယ်၍ မူလကိန်းစဉ်တန်းနှစ်ခုစလုံးသည် အကြွင်းမဲ့ စုဆုံပါက ၎င်းတို့၏ ကော်ချီ မြှောက်လဒ်သည် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းလဒ်များ၏ မြှောက်လဒ်ဆီသို့ အကြွင်းမဲ့ စုဆုံသည်။<ref name=":7">{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |page=238}}</ref><ref name=":422">{{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=Calculus |edition=4th |publisher=Publish or Perish |date=2008 |pages=486–487, 493}}</ref> == အများသုံး ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ကိန်းစဉ်တန်းများ (Common Numerical Series) == * '''ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric series) -''' <math>\sum_{n=0}^\infty a r^n</math> ဖြစ်သည်။ <math>a \neq 0</math> ဟု ယူဆပါက အဆိုပါ ကိန်းစဉ်တန်းသည် <math>\frac{a}{1 - r}</math> သို့ စုဆုံရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>|r| < 1</math> ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။<ref name=":45">{{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=Calculus |edition=4th |publisher=Publish or Perish |date=2008 |pages=473–478}}</ref><ref name=":24">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=388–390, 399–401}}</ref> * '''ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း (Harmonic series) -''' <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဖြာထွက်သော ကိန်းစဉ်တန်းအတွက် အခြေခံကျသော ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name=":243">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |page=384}}</ref> * '''အလှည့်ကျ ကိန်းစဉ်တန်း (Alternating series) -''' ကိန်းများသည် အပေါင်းလက္ခဏာနှင့် အနုတ်လက္ခဏာ တစ်လှည့်စီ ဖြစ်နေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အလှည့်ကျ ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}</math> သည် <math>\ln(2)</math> သို့ ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံသည်။<ref name=":2434">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=403–404}}</ref> * '''တယ်လီစကုပ်ပုံ ကိန်းစဉ်တန်း (Telescoping series) -''' <math>\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ကိန်းစဉ် <math>b_n</math> သည် စုဆုံမှတ် <math>L</math> သို့ စုဆုံပါက ၎င်းကိန်းစဉ်တန်းသည် <math>b_1 - L</math> ဆီသို့ စုဆုံသည်။<ref name=":2432">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |page=386}}</ref><ref name=":10">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |page=387}}</ref> == စုဆုံခြင်း စစ်ဆေးခြင်း (Convergence Testing) == ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များကို တိုက်ရိုက် မတွက်ချက်နိုင်သောအခါ စုဆုံခြင်း စစ်ဆေးခြင်းများကို အသုံးပြုသည်။ အကယ်၍ <math>\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0</math> ဖြစ်ပါက ထိုကိန်းစဉ်တန်းသည် ဖြာထွက်ကြောင်း အခြေခံကျသော <math>n</math> ကြိမ်မြောက်ကိန်း စစ်ဆေးခြင်း (nth-term test) က ဖော်ပြသည်။<ref>{{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=Calculus |edition=4th |publisher=Publish or Perish |date=2008 |page=473}}</ref><ref name=":18">{{Citation |last1=Rudin |first1=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |page=60}}</ref> အကြွင်းမဲ့ စုဆုံခြင်းကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် တိုက်ရိုက် နှိုင်းယှဉ်စစ်ဆေးခြင်း (direct comparison test)၊<ref>{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=395–396}}</ref> စုဆုံမှတ် နှိုင်းယှဉ်စစ်ဆေးခြင်း (limit comparison test)၊<ref>{{Citation |last1=Spivak |first1=Michael |title=Calculus |edition=4th |publisher=Publish or Perish |date=2008 |pages=475–476}}</ref> အချိုး စစ်ဆေးခြင်း (ratio test)၊<ref name=":11">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=399–401}}</ref> ကိန်းရင်း စစ်ဆေးခြင်း (root test)၊<ref>{{Citation |last1=Rudin |first1=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |page=65}}</ref> အင်တီဂရယ် စစ်ဆေးခြင်း (integral test)၊<ref>{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=397–398}}</ref> နှင့် ကော်ချီ၏ သိပ်သည်းမှု စစ်ဆေးခြင်း (Cauchy's condensation test) တို့ အသုံးများသည်။<ref name=":17">{{Citation |last1=Rudin |first1=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |page=61}}</ref> ဤသို့တည်ဆောက်ရာတွင် အထက်ဘောင်ရှိသော အနုတ်မဟုတ်သည့် ကိန်းများကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းဖြင့် လုပ်ဆောင်လေ့ရှိသည်။ ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံခြင်းအတွက် စစ်ဆေးရာတွင် အလှည့်ကျ ကိန်းစဉ်တန်း စစ်ဆေးခြင်း (alternating series test)၊<ref>{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=403–404}}</ref> ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး၏ စစ်ဆေးခြင်း (Dirichlet's test) နှင့် အာဘဲလ်၏ စစ်ဆေးခြင်း (Abel's test) တို့ကို သုံးရသည်။<ref name=":13">{{Citation |last1=Apostol |first1=Tom M. |title=Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=1967 |pages=407–409}}</ref><ref name=":14" /> ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုသည် တိကျစွာ ဖြာထွက်နေသောအခြေအနေမျိုးတွင် ဆီဇာရို ပေါင်းခြင်း (Cesàro summation) သို့မဟုတ် အာဘဲလ် ပေါင်းခြင်း (Abel summation) ကဲ့သို့သော ပေါင်းခြင်း နည်းလမ်းများသည် ၎င်းတို့အတွက် ယေဘုယျပြုထားသော တန်ဖိုးများကို စနစ်တကျ သတ်မှတ်ပေးနိုင်သည်။ == ဖန်ရှင်များ၏ ကိန်းစဉ်တန်းများ (Series of Functions) == [[ကိန်းစစ်]]တန်ဖိုးရှိ (real-valued) သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]]တန်ဖိုးရှိ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (complex-valued functions) ၏ ကိန်းစဉ်တန်း <math>\sum f_n(x)</math> သည် [[အစု]]တစ်ခုအတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုစီတွင် စုဆုံမှတ် <math>f(x)</math> ဆီသို့ စုဆုံပါက ၎င်းသည် အမှတ်အလိုက် စုဆုံခြင်း (pointwise convergence) ကို ပြသသည်။ ပိုမို အားကောင်းသော အခြေအနေတစ်ခုမှာ တစ်ပြေးညီ စုဆုံခြင်း (uniform convergence) ဖြစ်ပြီး ၎င်းတွင် စုဆုံနှုန်းသည် <math>x</math> အပေါ် အမှီအခိုကင်းသည်။ တစ်ပြေးညီ စုဆုံခြင်းသည် စုဆုံမှတ်များက အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) အပြင် အဆုံးရှိသော အပိုင်းအခြားများ (finite intervals) ပေါ်တွင် သက်ဆိုင်ရာ ကိန်းအလိုက် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (term-by-term integrability) ကဲ့သို့သော ဂုဏ်သတ္တိများကို ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း အာမခံသည်။ * '''ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (Power series) -''' <math>\sum a_n(x-c)^n</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်များ (analytic functions) ကို ဖွဲ့စည်းရန်အတွက် သတ်မှတ်ထားသော စုဆုံခြင်း အချင်းဝက် (radius of convergence) တစ်ခုအတွင်း၌ စုဆုံသည်။ ဥပမာအားဖြင့် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) ဖြစ်သည်။ စုဆုံခြင်းကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းမပြုဘဲ ပုံစံတကျပေါင်းလဒ်များ (formal sums) အဖြစ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိုင်တွယ်သောအခါ ၎င်းတို့သည် ပုံစံတကျ ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းများ (formal power series) ကို ဖွဲ့စည်းပေးသည်။<ref>{{Citation |last1=Bourbaki |first1=Nicolas |title=Algebra |publisher=Springer |date=1989 |page=§III.2.11}}</ref> * '''လော်ရင့် ကိန်းစဉ်တန်း (Laurent series) -''' ၎င်းတို့သည် အနုတ်ထပ်ကိန်းများ (negative exponents) ပါဝင်သော ကိန်းများကို လက်ခံခြင်းဖြင့် ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းများကို ယေဘုယျပြုထားပြီး ကွင်းပုံသဏ္ဌာန်နယ်ပယ်တစ်ခုပေါ်တွင် စုဆုံသည်။ * '''ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး ကိန်းစဉ်တန်း (Dirichlet series) -''' <math>\sum \frac{a_n}{n^s}</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ (analytic number theory) တွင် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သည်။ ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (Riemann zeta function) သည် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * '''တြီဂိုနိုမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Trigonometric series) -''' ၎င်းတို့သည် တြီဂိုနိုမေတြီ ဖန်ရှင်များ (trigonometric functions) ၏ ပေါင်းလဒ်များ ဖြစ်သည်။ ဖူရီယာ ကိန်းစဉ်တန်း (Fourier series) မှာ အထင်ရှားဆုံး ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * '''ချဉ်းကပ်မှု ကိန်းစဉ်တန်း (Asymptotic series) -''' ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုလုံး အနေဖြင့် ဖြာထွက်နေသော်လည်း ၎င်းတို့၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များသည် ချဉ်းကပ်မှု စုဆုံမှတ်တစ်ခု၌ အလွန်တိကျသော ခန့်မှန်းချက်များဖြစ်သည့် ဖြန့်ထုတ်ချက်များ ဖြစ်သည်။ == References== [[ကဏ္ဍ:ကိန်းစဉ်နှင့် ကိန်းစဉ်တန်း]] 80f3kgfeg233a98es7j7za7ot81boy0 0 290843 1054221 1052965 2026-09-20T09:26:18Z Mkant00 135890 category adjustment 1054221 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} [[သင်္ချာ|သင်္ချာပညာ]]တွင် ကိန်းစဉ် (sequence) သည် အစီအစဉ်တကျရှိသော [[အစုဝင်]] (element) များ၏ စာရင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းစာရင်းတွင် ထပ်တူညီသော အရာများကို ထပ်မံထည့်သွင်းခြင်းအား ခွင့်ပြုထားသည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် (formally) ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို အရင်းအမြစ်စု (domain) သည် ဆက်တိုက်ဖြစ်နေသော [[ကိန်းပြည့်]] (integer) များ၏ အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုဖြစ်သည့် [[ဖန်ရှင်]] (function) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ အဆိုပါ အရင်းအမြစ်စုအတွက် [[သဘာဝကိန်း]] (natural number) များ <math>\mathbb{N}</math> ကို အများဆုံး အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။<ref name="Gaughan">{{Citation |last1=Gaughan |first1=Edward |title=Introduction to Analysis |publisher=American Mathematical Society |date=2009 |page=Chapter 1.1}}</ref> ယင်း၏ ပစ်မှတ်စု (codomain) သည် မည်သည့် [[အစု]] (set) မဆို ဖြစ်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကိန်းစစ်]] (real number) များ <math>\mathbb{R}</math>၊ [[ကိန်းထွေး]] (complex number) များ <math>\mathbb{C}</math>၊ သို့မဟုတ် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း]] (arbitrary topological space) တစ်ခုခု ဖြစ်နိုင်သည်။<ref name="Saff">{{Citation |last1=Saff |first1=Edward B. |last2=Snider |first2=Arthur David |title=Fundamentals of Complex Analysis |publisher=Prentice Hall |date=2003 |page=Chapter 2.1}}</ref><ref name="Munkres">{{Citation |last1=Munkres |first1=James R. |title=Topology |publisher=Prentice Hall |date=2000 |pages=Chapters 1 and 2}}</ref> ယေဘုယျအားဖြင့် ကိန်းစဉ်များကို စံ (standard) ဖန်ရှင်များမှနေ၍ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) အားဖြင့် ခွဲခြားသတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။ အဝင်ကိန်း (input) ကို <math>a(n)</math> အစား အောက်ခြေစာလုံး (subscript) အဖြစ် <math>a_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ကိန်းစဉ်တစ်ခုလုံးကို <math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> သို့မဟုတ် <math>(a_n)</math> ဟူ၍ သင်္ကေတပြုလေ့ရှိသည်။<ref name=":0">{{Citation |title=Sequences |publisher=MathsIsFun |date=2020}}</ref><ref>{{Citation |last1=Weisstein |first1=Eric W. |title=Sequence |publisher=MathWorld |date=2020}}</ref> == ကိန်းစဉ် အမျိုးအစားများ (Types of Sequences) == ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ အလျား (length) ဆိုသည်မှာ ၎င်းတွင်ပါဝင်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ ကိန်းစဉ်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။ * '''အဆုံးရှိ (Finite)''' - <math>n</math> ရှိသော အဆုံးရှိ ကိန်းစဉ် (finite sequence) ကို <math>n</math>-ခုတွဲ (<math>n</math>-tuple) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ ၎င်းတွင် ဗလာကိန်းစဉ် (empty sequence) ပါဝင်သည်။ * '''တစ်ဖက်သတ် အနန္တ (Singly infinite)''' - ၎င်းကို <math>\mathbb{N}</math> ဖြင့် အညွှန်း (index) တပ်ထားသည်။ ၎င်းသည် ဦးတည်ရာ တစ်ဖက်တည်းသို့ အနန္တ (infinite) အထိ ဆန့်ထွက်နေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> ဖြစ်သည်။ * '''နှစ်ဖက်စလုံး အနန္တ (Bi-infinite သို့မဟုတ် doubly infinite)''' - ၎င်းကို [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]အားလုံးပါဝင်သော [[အစု]] <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသည်။ ၎င်းသည် အနုတ်နှင့် အပေါင်း ဦးတည်ရာ နှစ်ဖက်စလုံးသို့ အနန္တအထိ ဆန့်ထွက်နေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\ldots, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းစဉ်များကို ပုံသေနည်း (formula) တစ်ခုမှတစ်ဆင့် တိုက်ရိုက် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>a_n = n^2</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ်ပါက [[ကိန်း|ကိန်းများကို]] ၎င်း၏ ရှေ့ကိန်းများ၏ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်အဖြစ်]] သတ်မှတ်ပေးသော ထပ်ကျော့ဆက်သွယ်ချက် (recurrence relation) မှတစ်ဆင့် ထပ်ကျော့နည်းဖြင့် (recursively) လည်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဤအတွက် ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ <math>a_n = a_{n-1} + a_{n-2}</math> ဟူသော ဖီဘိုနာချီကိန်းစဉ် (Fibonacci sequence) ဖြစ်သည်။ ပိုမို ရှုပ်ထွေးသော ထပ်ကျော့ကိန်းစဉ်များတွင် ဟိုလိုနိုမစ် ကိန်းစဉ် (holonomic sequence) များ ပါဝင်သည်။ ထိုကိန်းစဉ်များရှိ ကိန်းများကို ပိုလီနိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (polynomial coefficient) များပါဝင်သော မျဉ်းဖြောင့် ထပ်ကျော့ဆက်သွယ်ချက် (linear recurrence) များဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ ထို့အပြင် ရေကာမန်၏ ကိန်းစဉ် (Recamán's sequence) သည်လည်း ရှုပ်ထွေးသော ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>{{Citation |title=A005132: Recamán's sequence |publisher=On-Line Encyclopedia of Integer Sequences |date=2018}}</ref> == အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများ (Basic Properties) == * '''အစဉ်လိုက်ဖြစ်မှု (Monotonicity)''' - ကိန်းစဉ် <math>(a_n)</math> တစ်ခုသည် <math>n</math> အားလုံးအတွက် <math>a_{n+1} \ge a_n</math> ဖြစ်လျှင် ယင်းကို အစဉ်လိုက် တိုးသော (monotonically increasing) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ ထို့အတူ <math>a_{n+1} > a_n</math> ဖြစ်လျှင် တိကျစွာ အစဉ်လိုက် တိုးသော (strictly monotonically increasing) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ အစဉ်လိုက် လျော့သော ကိန်းစဉ် (decreasing sequence) များကိုလည်း ဤနည်းအတိုင်း အချိုးညီစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ အစဉ်လိုက်တိုးသော သို့မဟုတ် အစဉ်လိုက်လျော့သော ကိန်းစဉ်တစ်ခုခုကို အစဉ်လိုက်ဖြစ်သော (monotone) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ * '''အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (Boundedness)''' - [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]]ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တစ်ခုတွင် <math>n</math> အားလုံးအတွက် <math>a_n \le M</math> ဖြစ်စေမည့် ကိန်းစစ် <math>M</math> တစ်ခု တည်ရှိနေပါက ယင်းကိန်းစဉ်ကို အထက်မှ အကန့်အသတ်ရှိသော (bounded from above) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ ထို့အတူ အချို့သော <math>m</math> အတွက် <math>a_n \ge m</math> ဖြစ်လျှင် ၎င်းကို အောက်မှ အကန့်အသတ်ရှိသော (bounded from below) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ အဆိုပါ အခြေအနေ နှစ်ရပ်စလုံးနှင့် ကိုက်ညီသော ကိန်းစဉ်ကို အကန့်အသတ်ရှိသော (bounded) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ * '''ကိန်းစဉ်ပိုင်းများ (Subsequences)''' - ကိန်းစဉ်ပိုင်း (subsequence) <math>(a_{n_k})</math> တစ်ခုကို မူရင်း ကိန်းစဉ် <math>(a_n)</math> ထဲမှ [[အစုဝင်|အစုဝင်များကို]] ရွေးချယ်ပြီး ၎င်းတို့၏ မူလ အစီအစဉ်အတိုင်း တိကျစွာ ထားရှိခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>(n_k)_{k \in \mathbb{N}}</math> သည် တိကျစွာ အစဉ်လိုက် တိုးသော အညွှန်းများ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်ရမည်။ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[ကိန်းပြည့်]] ကိန်းစဉ် (multiplicative integer sequence) များလည်း တည်ရှိကြသည်။ ယင်းတို့သည် နှိုင်းရသုဒ္ဓ (coprime) ဖြစ်သော အညွှန်းကိန်းများအတွက် <math>a_{nm} = a_n a_m</math> ဟူသော အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ အပြည့်အဝ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ကိန်းစဉ် (completely multiplicative sequence) များသည် ကိန်းပြည့် <math>n</math> နှင့် <math>m</math> အားလုံးအတွက် အဆိုပါ ဂုဏ်သတ္တိ (property) နှင့် ကိုက်ညီကြသည်။ ၎င်းတို့ကို ထပ်ကျော့နည်းဖြင့် ယေဘုယျပြု (generalization) လည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။<ref>{{Citation |last1=Lando |first1=Sergei K. |title=Lectures on generating functions |publisher=American Mathematical Society |date=2003 |page=Chapter 7.4}}</ref><ref>{{Citation |last1=Falcon |first1=Sergio |title=Fibonacci's multiplicative sequence |publisher=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology |date=2003 |pages=310–315}}</ref> == စုဆုံမှတ်များ နှင့် စုဆုံခြင်း (Limits and Convergence) == ကိန်းစဉ်များ၏ စုဆုံခြင်း (convergence) သည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (mathematical analysis) တွင် အခြေခံ သဘောတရား (concept) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]]ပါဝင်သော ကိန်းစဉ် <math>(a_n)</math> တစ်ခုတွင် <math>n</math> သည် အလိုရှိသလောက် ကြီးမားလာသောအခါ (arbitrarily large) [[ကိန်း|ကိန်းများ]]သည် <math>L</math> သို့ အလိုရှိသလောက် နီးကပ်လာပါက (arbitrarily close) ထိုကိန်းစဉ်သည် စုဆုံမှတ် (limit) <math>L</math> သို့ စုဆုံသည် (converge) ဟု ဆိုသည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် (formally) တိုင်းတာပြဆိုရလျှင် ကိန်းစစ် <math>\varepsilon > 0</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း [[သဘာဝကိန်း]] <math>N</math> တစ်ခု တည်ရှိပြီး <math>n \ge N</math> အားလုံးအတွက် ကိုက်ညီမှုရှိပါက <math>\lim_{n\to\infty}a_n = L</math> ဖြစ်သည်။<ref name="Gaughan" /> <math>|a_n - L| < \varepsilon</math> [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]အတွက်ဆိုလျှင် <math>|\cdot|</math> သည် ကိန်းထွေး မော်ဂျူးလပ်စ် (complex modulus) ကို ရည်ညွှန်းသည်။ ယေဘုယျ [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space) များတွင် ၎င်းကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (distance function) <math>d(a_n, L)</math> ဖြင့် အစားထိုး အသုံးပြုသည်။ စုဆုံသော ကိန်းစဉ်များသည် [[ပေါင်းခြင်း]] (addition)၊ [[စကေလာ|စကေလာမြှောက်ခြင်း]] (scalar multiplication)၊ မြှောက်လဒ် (product) များနှင့် စားလဒ် (quotient) များအတွက် စံ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ် နိယာမ (algebraic limit law) များကို လိုက်နာကြသည်။<ref name="Dawkins">{{Citation |last1=Dawkins |first1=Paul |title=Series and Sequences |publisher=Paul's Online Math Notes |date=2012}}</ref> အရေးပါသော သီအိုရမ် (theorem) များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * '''ညှစ်ခြင်း သီအိုရမ် (The Squeeze Theorem)''' - အကယ်၍ <math>a_n \le c_n \le b_n</math> ဖြစ်ပြီး <math>\lim a_n = \lim b_n = L</math> ဖြစ်ပါက <math>\lim c_n = L</math> ဖြစ်သည်။ * '''အစဉ်လိုက် စုဆုံခြင်း သီအိုရမ် (Monotone Convergence Theorem)''' - အကန့်အသတ်ရှိပြီး အစဉ်လိုက်ဖြစ်သော ကိန်းစဉ်တိုင်းသည် စုဆုံသော ကိန်းစဉ်များ ဖြစ်ကြသည်။ * ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ကိန်းစဉ်ပိုင်းများအားလုံးသည် တူညီသော စုဆုံမှတ်တစ်ခုတည်းသို့ စုဆုံမှသာလျှင် မူလကိန်းစဉ်သည် စုဆုံသော ကိန်းစဉ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ '''ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ (Cauchy Sequences)''' - အညွှန်းများ ကြီးမားလာသည်နှင့်အမျှ ကိန်းများအကြားရှိ အကွာအဝေးသည် အလိုရှိသလောက် သေးငယ်သွားပါက ထိုကိန်းစဉ်ကို [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) ဟု ခေါ်သည်။ ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> ကဲ့သို့သော ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (complete metric space) တစ်ခုတွင် ကိန်းစဉ်တစ်ခုသည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်ဖြစ်မှသာလျှင် စုဆုံရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ '''အနန္တ စုဆုံမှတ်များ (Infinite Limits)''' - အကယ်၍ ကိန်းများသည် ပမာဏအားဖြင့် အကန့်အသတ်မရှိ (unboundedly) ကြီးမားလာပါက အဆိုပါ ကိန်းစဉ်သည် ဖြာထွက်သော (divergent) ကိန်းစဉ် ဖြစ်သည်။ ယင်းကို ပုံစံတကျအားဖြင့် <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \infty</math> ဟု သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ၎င်းသည် အနုတ်လက္ခဏာဖြင့် <math>-\infty</math> လည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ == ကိန်းစဉ်တန်းများ နှင့် ဆက်စပ်မှု (Relationship to Series) == [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (series) <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ် (partial sum) များဖြစ်သော <math>S_N = \sum_{n=1}^N a_n</math> ပါဝင်သည့် ကိန်းစဉ်ဖြင့် တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ အကယ်၍ ဤတစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ ကိန်းစဉ် <math>(S_N)</math> သည် စုဆုံမှတ်တစ်ခုသို့ စုဆုံပါက မူလကိန်းစဉ်တန်းသည်လည်း ထိုတန်ဖိုးသို့ စုဆုံသည်ဟု ဆိုသည်။ == References== [[ကဏ္ဍ:ကိန်းစဉ်နှင့် ကိန်းစဉ်တန်း]] 4iby9nqxpm4tdw80yti6mbc08xp1geu 0 290905 1054148 1050129 2026-09-19T14:55:18Z InternetArchiveBot 61272 Adding 1 book for [[ဝီကီပီးဒီးယား:စိစစ်အတည်ပြုခံနိုင်မှု]] (20260919)) #IABot (v2.0.9.6) ([[User:GreenC bot|GreenC bot]] 1054148 wikitext text/x-wiki {{Speciesbox | image = White-toothed woodrat.jpg | image_caption = A white-toothed woodrat in profile. | image_alt = A small, brownish-grey rat photographed from its side. Its ears are nearly as large as its head. | status = LC | status_system = IUCN3.1 | status_ref = <ref name=iucn>{{cite iucn |author=Timm, R. |author2=Álvarez-Castañeda, S.T. |author3=Lacher, T. |year=2016 |errata=2017 |title=''Neotoma leucodon'' |volume=2016 |article-number=e.T136793A115212444 |doi=10.2305/IUCN.UK.2016-3.RLTS.T136793A22370686.en |access-date=18 December 2025}}</ref> | genus = Neotoma | species = leucodon | authority = [[:en:Clinton Hart Merriam|Merriam]], 1894 }} '''သွားဖြူ တောရိုင်းကြွက်''' ({{lang-en|White-toothed woodrat}}) (သိပ္ပံအမည် - ''Neotoma leucodon'') သည် ခရစ်စီတီဒေး (Cricetidae) မျိုးရင်းဝင် ကိုက်ဖြတ်သတ္တဝါ မျိုးစိတ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤကြွက်ကို မက္ကဆီကိုနိုင်ငံ၊ ဆန်လူးဝစ်ပိုတိုစီ (San Luis Potosí) ဒေသမှ စတင်တွေ့ရှိခဲ့ပြီး သတ္တဗေဒပညာရှင် ကလင်တန် ဟတ် မာရီယမ် (Clinton Hart Merriam) က သီးခြားမျိုးစိတ်အဖြစ် အမည်ပေးသတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သို့သော် ကာလအတန်ကြာ ၎င်းကို လည်ပင်းဖြူ တောရိုင်းကြွက် (''Neotoma albigula'') နှင့် မျိုးစိတ်တစ်ခုတည်းအဖြစ်သာ မှတ်ယူခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်း မော်လီကျူးဆိုင်ရာ မျိုးရိုးဗီဇ လေ့လာချက်များအရ နယူးမက္ကဆီကိုပြည်နယ်ရှိ ရီယိုဂရန်ဒီ (Rio Grande) မြစ်အရှေ့ဘက်နှင့် တက္ကဆက်ပြည်နယ် ထရန်စပီကို့စ် (Trans-Pecos) ဒေသများတွင် တွေ့ရသော အကောင်များသည် မြစ်အနောက်ဘက်ရှိ အလားတူကြွက်များနှင့် ရုပ်သွင်ချင်းတူသော်လည်း အမှန်တကယ်တွင် သီးခြားမျိုးစိတ်သစ် ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဤမျိုးစိတ်နှစ်ခုစလုံးသည် သစ်တောငယ်များမှသည် သဲကန္တာရအထိ ဆင်တူသော ပတ်ဝန်းကျင်မျိုးတွင် ကျက်စားကြသည်။ ၎င်းတို့ ကျက်စားရာဒေသများတွင် ရှားစောင်းလက်ပတ်နှင့် ချိုလာ (cholla)၊ ပရစ်ကလီပီယာ (prickly pear/Opuntia) စသည့် ရှားစောင်းပင်မျိုးစုံ ပေါက်ရောက်လေ့ရှိပြီး ယင်းအပင်များသည် ၎င်းတို့၏ အဓိက အစားအစာလည်း ဖြစ်သည်။ ယခင်က ဤကြွက်နှစ်မျိုးလုံးကို မျိုးစိတ်တစ်ခုတည်းဟု ယူဆကာ ၁၉၈၈ ခုနှစ်တွင် မာစီဒိုနှင့် မာရက်စ် (Macedo and Mares) တို့ ပြုစုတင်ပြခဲ့သော သုတေသနအချက်အလက်များသည် မျိုးစိတ်နှစ်ခုစလုံးနှင့် အကျုံးဝင်သည်။ အခြားသော တောရိုင်းကြွက်များနည်းတူ သွားဖြူ တောရိုင်းကြွက်သည်လည်း ၎င်းတို့၏ ပတ်ဝန်းကျင်မှ သစ်ကိုင်းခြောက်များနှင့် အပင်အစိတ်အပိုင်းများကို စုဆောင်းကာ အလွန်စနစ်ကျပြီး သပ်ရပ်ခိုင်ခံ့သော အသိုက်များကို ဆောက်လုပ်ကြသည်။ ဤအသိုက်များသည် ၎င်းတို့အား သားရဲတိရစ္ဆာန်များ၏ ဘေးအန္တရာယ်မှ ကာကွယ်ပေးသည့်အပြင် သဲကန္တာရ၏ ပြင်းထန်သော အပူဒဏ်မှလည်း အကာအကွယ်ပေးသည်။<ref>{{Cite book |last=Mares |first=M.A. |year=1999 |title=The Complete Book of North American Mammals |url=https://archive.org/details/smithsonianbooko0000unse_i8q5 |publisher=[[American Society of Mammalogists]] |isbn=1-56098-845-2 |pages=[https://archive.org/details/smithsonianbooko0000unse_i8q5/page/596 596]–598 |language=English}}</ref> == ကိုးကားချက်များ == {{Reflist}} * {{Cite journal |last=Edwards, C. W. |year=2001 |title=Molecular phylogenetics of the ''Neotoma albigula'' species group: further evidence of a paraphyletic assemblage |journal=Journal of Mammalogy |volume=82 |issue=2 |pages=267–279 |doi=10.1644/1545-1542(2001)082<0267:MPOTNA>2.0.CO;2}} * {{Cite journal |last=Frey, J. K. |year=2004 |title=Taxonomy and distribution of the mammals of New Mexico: An annotated checklist |journal=Occasional Papers, Museum of Texas Tech University |volume=240 |pages=1–32}} * {{Cite journal |last=Macedo, R. H. |year=1988 |title=''Neotoma albigula'' |journal=Mammalian Species |issue=310 |pages=1–7 |doi=10.2307/3504165 |jstor=3504165}} * {{Cite journal |last=Planz, J. V. |year=1996 |title=Molecular phylogeny of the ''Neotoma floridana'' species group |journal=Journal of Mammalogy |volume=77 |pages=519-535}} [[ကဏ္ဍ:IUCN အနီရောင်စာရင်းရှိ မျိုးသုဉ်းရန်အန္တရာယ်နည်းပါးသော မျိုးစိတ်]] 0s7g3agqo98eck3wp9v4g7sh0oorhl1 0 290918 1054145 1051578 2026-09-19T14:30:24Z InternetArchiveBot 61272 Adding 10 books for [[ဝီကီပီးဒီးယား:စိစစ်အတည်ပြုခံနိုင်မှု]] (20260919)) #IABot (v2.0.9.6) ([[User:GreenC bot|GreenC bot]] 1054145 wikitext text/x-wiki [[သင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ]] သက်သေပြခြင်း (mathematical proof) သည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက် (mathematical statement) တစ်ခုအတွက် ကောက်ချက်ချ ဆွေးနွေးချက် (deductive argument) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဖော်ပြထားသော ယူဆချက်များ (assumptions) က ကောက်ချက်တစ်ခုကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ (logically) သေချာစေကြောင်း ပြသသည်။ ယင်းသက်သေပြခြင်းသည် အမှန်တရားကို တည်ဆောက်ရန် ပုံစံတကျ (formal) ယန္တရားတစ်ခုအနေဖြင့် ဆောင်ရွက်ပြီး သင်္ချာသုတေသနစာတမ်းများ၏ အဓိကအသက်သွေးကြောအဖြစ် တည်ရှိသည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> ကျိုးကြောင်းဆီလျော်သော မျှော်လင့်ချက် (reasonable expectation) ကိုသာ တည်ဆောက်ပေးသည့် လက်တွေ့စမ်းသပ်မှုဆိုင်ရာ ဆွေးနွေးချက်များ (empirical arguments) သို့မဟုတ် ပြည့်စုံလွှမ်းခြုံမှုမရှိသော (non-exhaustive) ဆင့်ကဲနည်းဖြင့် စဉ်းစားဆင်ခြင်မှုများနှင့် (inductive reasoning) မတူဘဲ သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းများသည် ပြည့်စုံလွှမ်းခြုံမှုရှိသည် (exhaustive)။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် ပကတိ ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သေချာမှုကို (logical certainty) ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်ပေးသည်။ ဤအချက်နှင့် ပတ်သက်၍ သင်္ချာပညာနှင့် ရူပဗေဒပညာတို့အကြား ကြီးမားသော ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ ကွာဟချက်တစ်ခု တည်ရှိသည်။ သင်္ချာပညာရှင်များသည် တိကျသော ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းများကို တောင်းဆိုကြသည်။ သို့သော် ရူပဗေဒပညာရှင်များသည် များသောအားဖြင့် အလွန်ယုံကြည်လက်ခံနိုင်ဖွယ်ရှိသော်လည်း တိကျသေချာမှုမရှိသော (nonrigorous) ဆွေးနွေးချက်များဖြင့်ပင် ကျေနပ်လေ့ရှိကြသည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> သို့သော်လည်း တိကျသေချာမှုမရှိသော ရူပဗေဒဆိုင်ရာ ဆွေးနွေးချက်များမှတစ်ဆင့် ကနဦး တွေ့ရှိခဲ့သော အရာများအတွက် တိကျသေချာသော (rigorous) သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းများကို ရှာဖွေခြင်းသည် သာမန် အသေးစိတ်လွန်းသော လုပ်ရပ်သက်သက် မဟုတ်ပေ။ ၎င်းသည် သန့်စင်သင်္ချာ (pure mathematics) နယ်ပယ်တွင် လုံးဝအသစ်ဖြစ်သော တွေ့ရှိချက်များကို မကြာခဏ အစပျိုးပေးလေ့ရှိသည့် ခက်ခဲသော လုပ်ငန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ယုံကြည်လက်ခံနိုင်ဖွယ်မရှိသော ဆွေးနွေးချက်တစ်ခုကို ပုံစံတကျ အဆင့်များအဖြစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလိုက်ခြင်းက များသောအားဖြင့် ဖုံးကွယ်နေသော အမှားတစ်ခုကို ဖော်ထုတ်ပေးခြင်း သို့မဟုတ် ယင်းဆွေးနွေးချက်သည် မည်သည့်အတွက်ကြောင့် မှန်ကန်နေရကြောင်းကို အတိအကျ ရှင်းလင်းပေးခြင်းတို့ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> သက်သေပြခြင်းတိုင်းကို [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုများ]] (axioms) ဟုခေါ်သော အခြေခံကျပြီး အလိုအလျောက် ထင်ရှားနေသည့် ယူဆချက်များနှင့် လူအများလက်ခံထားသော ကောက်ချက်ချခြင်း စည်းမျဉ်းများကို (rules of inference) သာ အသုံးပြု၍ သဘောတရားရေးရာအရ တည်ဆောက်နိုင်သည်။<ref>{{cite book|title=The Nuts and Bolts of Proofs: An Introduction to Mathematical Proofs |last=Cupillari |first=Antonella |edition=Third |year=2005 |publisher=Academic Press |page=3}}; {{cite book |author1=Clapham, C. |author2=Nicholson, J.N. |title=The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition}}; {{cite book|title=Discrete Mathematics with Proof |date=July 2009 |first=Eric |last=Gossett |page=86 |publisher=John Wiley & Sons}}</ref> ဤသို့ ဆောင်ရွက်ရန်အတွက် သင်္ချာပညာရှင်များသည် သင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ၏ (mathematical structures) နယ်ပယ်နှင့် နယ်နိမိတ်များကို ဖော်ပြရန် [[အစု|အစုများကို]] (sets) အခြေခံ ဝေါဟာရများအဖြစ် မှီခိုကြသည်။ ယင်းအချိန်တွင် ယုတ္တိဗေဒ (logic) သည် အဓိပ္ပာယ်များကို ပိုင်းခြားစိတ်ဖြာရန်နှင့် အချက်အလက်သစ်များကို အဓိပ္ပာယ် ဝေခွဲမရဖြစ်မှုမရှိဘဲ ကောက်ချက်ချရန်အတွက် အခြေခံ သဒ္ဒါအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။<ref>{{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> အဆင့်မြင့် သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် မှန်ကန်ကြောင်း အတည်ပြုထားသော ဖော်ပြချက်များကို တိကျသော အမှန်တရား အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းပုံ (hierarchy) အတွင်းသို့ စနစ်တကျ စီစဉ်ထားသည်။ ထိုဖွဲ့စည်းပုံတွင် အဓိကကျ၍ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်ကို သီအိုရမ် (theorem) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အရေးပါသော်လည်း အနည်းငယ် အရေးပါမှု လျော့နည်းသော အမှန်တရားများကို အဆိုများ (propositions) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>{{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> ပိုမိုကြီးမားသော သီအိုရမ်တစ်ခုကို သက်သေပြရန် အဓိက အထောက်အကူပြုရန် ရည်ရွယ်၍ အမှန်တရား ဖော်ပြချက်တစ်ခုကို တည်ဆောက်သောအခါ ၎င်းကို အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (lemma) ဟု လူသိများသည်။ ထို့အပြင် သီအိုရမ်တစ်ခု၏ သိသာထင်ရှားလုနီးပါးဖြစ်သော အကျိုးဆက်ကို အကျိုးဆက်သီအိုရမ် (corollary) ဟု သတ်မှတ်သည်။<ref>{{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> သင်္ချာဆိုင်ရာ အဆိုတစ်ခုသည် မှန်ကန်သည်ဟု အခိုင်အမာ ယုံကြည်ထားသော်လည်း တိကျသေချာစွာ သက်သေမပြရသေးပါက ၎င်းကို ယူဆချက် (conjecture) ဟု ရည်ညွှန်းသည်။ ၎င်းကို လက်တွေ့အသုံးပြုသော ယူဆချက်တစ်ခုအဖြစ် မကြာခဏ အသုံးပြုပါက အဆိုပြုယူဆချက် (hypothesis) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>{{Cite web |title=Mathematical Proofs - Department of Mathematics at UTSA |url=https://mathresearch.utsa.edu/wiki/index.php?title=Mathematical_Proofs |website=mathresearch.utsa.edu}}</ref> စံပြု သင်္ချာဆိုင်ရာ လက်တွေ့လုပ်ငန်းစဉ်တွင် သက်သေပြခြင်းများကို သဘာဝဘာသာစကား (natural language) ကို အသုံးပြုလျက် တိကျသေချာသော သာမန် ယုတ္တိဗေဒ (informal logic) ဖြင့် ရေးသားကြသည်။ ၎င်းသည် အလှတရားရှုထောင့်မှ အကဲဖြတ်ခြင်းနှင့် လူမှုအသိုင်းအဝိုင်းဆိုင်ရာ တိကျသေချာမှု စံနှုန်းများအတွက် နေရာချန်ထားပေးသည်။ သို့သော်လည်း အလွန်အထူးပြုထားသော သက်သေပြခြင်း သီအိုရီ (proof theory) နယ်ပယ်တွင် ပုံစံတကျ သက်သေပြခြင်း (formal proof) တစ်ခုဆိုသည်မှာ ပုံစံတကျ သင်္ကေတပြ ဘာသာစကားဖြင့် (formal symbolic language) ရေးသားထားသော စနစ်တကျ ဖွဲ့စည်းထားသည့် ပုံသေနည်းများ၏ (well-formed formulas) [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်တစ်ခု]]ဖြစ်ကြောင်း တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ထိုနေရာတွင် နောက်ဆက်တွဲ ပုံသေနည်းတစ်ခုစီသည် ယင်း၏ရှေ့မှ ပုံသေနည်းများ၏ တိုက်ရိုက် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အကျိုးဆက် (logical consequence) တစ်ခုဖြစ်သည်။<ref>{{citation|title=Handbook of Proof Theory|volume=137|series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|editor-first=Samuel R.|editor-last=Buss|publisher=Elsevier|year=1998|contribution=An introduction to proof theory|pages=1–78|first=Samuel R.|last=Buss}}</ref> သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းများမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသော အဆိုများ၏ အခြေခံ သဘာဝတရားသည် ဒဿနိကဗေဒဆိုင်ရာ ငြင်းခုံမှုများကိုလည်း ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်။ အီမန်နျူရယ် ကန့်တ် (Immanuel Kant) က သင်္ချာဆိုင်ရာ အမှန်တရားများ သို့မဟုတ် ဆုံးဖြတ်ချက်များသည် ဖွဲ့စည်းမှုဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံမတိုင်မီသိ အဆိုများ (synthetic a priori propositions) ဖြစ်သည်ဟု ယုံကြည်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် သက်သေပြခြင်းများကိုယ်တိုင်၏ ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ခြင်းများ (logical derivations) သက်သက် မဟုတ်ပေ။ ယင်းနှင့် ဆန့်ကျင်ဘက်အနေဖြင့် ဝီလတ် ဗန် အော်မန် ကွိုင်း (Willard Van Orman Quine) သည် သူ၏ ၁၉၅၁ ခုနှစ် စာတမ်းဖြစ်သော "အတွေ့အကြုံဝါဒ၏ အစွဲအလမ်းနှစ်ခု" တွင် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ (analytic) အဆိုများနှင့် ဖွဲ့စည်းမှုဆိုင်ရာ (synthetic) အဆိုများအကြား ခြားနားချက်ဆိုသည်မှာ အဆုံးစွန်အားဖြင့် လက်ခံနိုင်ဖွယ်မရှိကြောင်း ထင်ရှားစွာ စောဒကတက်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.theologie.uzh.ch/dam/jcr:ffffffff-fbd6-1538-0000-000070cf64bc/Quine51.pdf|title=Two Dogmas of Empiricism|last=Quine|first=Willard Van Orman|date=1961|website=Universität Zürich – Theologische Fakultät|page=12|access-date=25 August 2026|archive-date=14 February 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190214190419/http://www.theologie.uzh.ch/dam/jcr:ffffffff-fbd6-1538-0000-000070cf64bc/Quine51.pdf|url-status=dead}}</ref> ထို့အပြင် ကတ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (incompleteness theorems) ထွက်ပေါ်လာပြီးနောက်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဆိုင်ရာ အမှန်တရားနှင့် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) တို့သည် တစ်ထပ်တည်းမကျကြောင်းကို လူသိများသော ဒဿနိကဗေဒဆိုင်ရာ အချက်အလက်အဖြစ် လက်ခံလာကြသည်။ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော (consistent) နဂိုမှန်အဆို စနစ် (axiomatic system) တွင်မဆို သက်သေပြ၍မရသော သို့မဟုတ် ချေပ၍မရနိုင်သော အမှန်တရား ဖော်ပြချက်များ ပါဝင်နေသည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> ဤသို့ ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော (undecidable) ဖော်ပြချက်များ လက်တွေ့ တည်ရှိနေသော်လည်း သင်္ချာပညာရှင်များ၏ နေ့စဉ်လုပ်ငန်းခွင်အပေါ် များစွာ သက်ရောက်မှု မရှိပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ၎င်းတို့ တွေ့ကြုံရသော ဖော်ပြချက် အများစုသည် ဆုံးဖြတ်၍ရနိုင်သော (decidable) အရာများ ဖြစ်လေ့ရှိသောကြောင့် ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဝေါဟာရရင်းမြစ် (History and Etymology) == "သက်သေပြခြင်း" ဟူသော စကားလုံးသည် လက်တင်စကားလုံး "probare" မှ ဆင်းသက်လာပြီး "စစ်ဆေးရန်" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ ယင်းစကားလုံးသည် အချက်အလက်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် သက်သေထွက်ဆိုချက်၏ ယုံကြည်နိုင်စွမ်း သို့မဟုတ် အာဏာကို ရည်ညွှန်းသော တရားဥပဒေဆိုင်ရာ ဖြောင့်မတ်မှန်ကန်မှု အယူအဆနှင့် ဘာသာစကားအရ ဆက်စပ်နေသည်။<ref>{{cite book|title=The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference |first=Ian |last=Hacking |publisher=Cambridge University Press |year=1984}}; "proof" New Shorter Oxford English Dictionary, 1993, OUP, Oxford.</ref> သမိုင်းကြောင်းအရ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော နည်းလမ်းများ (heuristics) နှင့် ဥပမာများကို အသုံးပြုသည့် ယုံကြည်နိုင်ဖွယ် ဆွေးနွေးချက်များသည် (plausibility arguments) တိကျသော [[သင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ]] သက်သေပြခြင်းများထက် စော၍ ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ကောက်ချက်တစ်ခုကို သရုပ်ပြသခြင်းဟူသော အယူအဆသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် ကနဦး ဂျီဩမေတြီ (geometry) ရှိ လက်တွေ့ ပြဿနာများမှ အစပြုခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။<ref>{{cite book|title=The development of logic |first1=William |last1=Kneale |first2=Martha |last2=Kneale |date=May 1985 |page=3 |publisher=Oxford University Press}}</ref> သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းကို ဘာသာရပ်တစ်ခုအနေဖြင့် တိကျသေချာစွာ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လာစေမှုသည် အဓိကအားဖြင့် ရှေးဟောင်း ဂရိသင်္ချာ၏ ရလဒ်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထိုဖွံ့ဖြိုးမှုတွင် သေးလ်စ် (Thales) နှင့် ခီအော့စ် ကျွန်းသား ဟစ်ပိုကရေးတီးစ် (Hippocrates of Chios) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များ၏ ကနဦး လမ်းပြ ရှေ့ဆောင် ပါဝင်အားဖြည့်မှုများ ပါဝင်သည်။<ref>{{Cite web|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01281050/document|title=The genesis of proof in ancient Greece The pedagogical implications of a Husserlian reading|last1=Moutsios-Rentzos|first1=Andreas|last2=Spyrou|first2=Panagiotis|date=February 2015|website=Archive ouverte HAL}}</ref> ရှေးဟောင်း ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းတော်သားများသည် နှစ်၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) သည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း]] (irrational number) ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုရန်အတွက် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြင့် သက်သေပြခြင်း (proof by contradiction) ဆိုင်ရာ ကနဦး နည်းလမ်းများကိုလည်း လမ်းသစ်ဖောက်ခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> ဘီစီ ၃၀၀ ခန့်တွင် ယူကလစ်ဒ် (Euclid) သည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်း လက်တွေ့လုပ်ငန်းစဉ်ကို ကြီးမားစွာ တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူ၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဆွေးနွေးချက်များသည် အလွန်ထူးခြားစွာ ရေရှည်တည်တံ့မှုရှိပြီး ၎င်းတို့ကို ယနေ့တိုင်အောင် လုံးဝယုံကြည်လက်ခံနိုင်ဖွယ် သရုပ်ပြသချက်များအဖြစ် လက်ခံထားကြဆဲဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> ယူကလစ်ဒ်သည် [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ]] နည်းလမ်းကို (axiomatic method) စတင် မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤနည်းလမ်းသည် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မရှိသော ဝေါဟာရများနှင့် အလိုအလျောက် ထင်ရှားနေသည့် နဂိုမှန်အဆိုများမှ စတင်ကာ သီအိုရမ်များကို ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများ (circular reasoning) မပါဘဲ စနစ်တကျ ကောက်ချက်ချသည်။ ဤမိတ်ဆက်မှုကို သူ၏ လက်ရာမွန်ဖြစ်သော Euclid's Elements စာအုပ်တွင် မှတ်တမ်းတင်ထားသည်။ အဆိုပါ စာအုပ်သည် ၂၀ ရာစုတိုင်အောင် အနောက်တိုင်း ပညာရေး၏ အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။<ref>{{cite book|title=An Introduction to the History of Mathematics (Saunders Series) |first=Howard W. |last=Eves |edition=6th |date=January 1990 |page=141 |publisher=Cengage}}; {{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> သို့သော် သူ၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုသည် (parallel postulate) သူ၏ အခြား နဂိုမှန်အဆိုများကဲ့သို့ ပင်ကိုသိစိတ်အရ သေချာမှုမျိုး မရှိခဲ့ပေ။ ယင်းကြောင့် ပရိုကလပ်စ် (Proclus)၊ ဂျီရိုလာမို ဆက်ချယ်ရီ (Gerolamo Saccheri) နှင့် အေဒရီယန်-မာရီ လီဂျန်ဒါ (Adrien-Marie Legendre) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ကျန်ရှိနေသော အခြေခံ နဂိုမှန်အဆိုများကိုသာ အသုံးပြု၍ ၎င်းကို သီအိုရမ်တစ်ခုအဖြစ် သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းခဲ့ကြသည်။ သို့သော် ထိုကြိုးပမ်းမှုများသည် အဆုံးစွန်အားဖြင့် အမှားအယွင်းများသာ ဖြစ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာ ကြာပြီးနောက် အလယ်ခေတ် အစ္စလာမ့် သင်္ချာပညာတွင် ထင်ရှားသော တိုးတက်မှုများ ပြုလုပ်နိုင်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် ၁၀ ရာစု အီရတ် သင်္ချာပညာရှင် အယ်လ်-ဟာရှီမီ (Al-Hashimi) သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများနှင့် ပတ်သက်သော အဆိုများကို အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ (algebraically) သက်သေပြခဲ့သည်။ ထို့အပြင် အယ်လ်-ကာရာဂျီ (Al-Karaji) သည် သက္ကရာဇ် ၁၀၀၀ ခန့်တွင် ဂဏန်းသင်္ချာ [[ကိန်းစဉ်တန်း|ကိန်းစဉ်တန်းများအတွက်]] (arithmetic progressions) ဆင့်ကဲနည်းဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းများကို (inductive proofs) ပုံစံတကျ မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>{{citation|last=Matvievskaya|first=Galina|year=1987|title=The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics|journal=Annals of the New York Academy of Sciences|volume=500|issue=1|pages=253–277 [260]}}</ref> ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် ၂၀ ရာစု အစောပိုင်း ကာလများအရောက်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) နှင့် ဂေါ့တ်လော့ဗ် ဖရေးဂါး (Gottlob Frege) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ ဦးဆောင်သည့် "ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခြင်းဆိုင်ရာ အပြောင်းအလဲ" (formalist shift) တစ်ခု ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် သက်သေပြခြင်းများကို လက်တွေ့စမ်းသပ် လေ့လာမှုများမှ အမှီအခိုကင်းစွာ အတည်ပြုနိုင်သော သီးသန့် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ တည်ဆောက်မှုများအဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ပုံကြမ်းများနှင့် အမြင်အာရုံဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ် (visual intuition) အပေါ် မှီခိုအားထားမှုကို ဖယ်ရှားခဲ့ပြီး သင်္ကေတနည်းလမ်းများဖြင့် ဝါကျတည်ဆောက်ပုံများကို စစ်ဆေးခြင်းများ (syntactical checks) အား အစားထိုး အသုံးပြုလာကြသည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> == ထင်ရှားသော သက်သေပြခြင်း နည်းလမ်းများ (Prominent Methods of Proof) == ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာ တစ်လျှောက် [[သင်္ချာ|သင်္ချာပညာရှင်များသည်]] ဖော်ပြချက်များကို သက်သေပြရန်အတွက် ခိုင်မာအားကောင်းသော နည်းလမ်းပေါင်းမြောက်မြားစွာကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ တိုက်ရိုက် သက်သေပြခြင်း (direct proof) နည်းလမ်းသည် ယူဆချက်တစ်ခု မှန်ကန်သည်ဟု ယူဆထားပြီး ယင်းနောက် ယုတ္တိဗေဒ၊ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များနှင့် ယခင် သီအိုရမ်များကို အသုံးချကာ ကောက်ချက်ကို မှန်ကန်စေရန် တိုက်ရိုက် သက်ရောက်စေသည်။<ref>{{cite book|title=The Nuts and Bolts of Proofs: An Introduction to Mathematical Proofs |last=Cupillari |first=Antonella |edition=Third |year=2005 |publisher=Academic Press |page=20}}</ref> ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သက်ရောက်မှု (logical implication) တစ်ခုကို အောင်မြင်စွာ သက်သေပြရာတွင် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးသည် <math>P</math> နှင့် <math>Q</math> ကြားတွင် သိသာထင်ရှားသော အကြောင်းကျိုးဆက်စပ်မှု ရှိသည်ဖြစ်စေ၊ မရှိသည်ဖြစ်စေ <math>P</math> မှန်ကန်ပြီး တစ်ချိန်တည်းမှာပင် <math>Q</math> မှားယွင်းနေနိုင်သည့် ဖြစ်နိုင်ခြေကိုသာ ဖယ်ရှားပစ်ရန် လိုအပ်သည်။ ဤသက်ရောက်မှုမှာ ဥပမာအားဖြင့် အကယ်၍ <math>P</math> ဖြစ်လျှင် <math>Q</math> ဖြစ်သည်ဟူသော ပုံစံဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> အကယ်၍ ယူဆချက်သည် ယုတ္တိဗေဒအရ ထပ်တူညီသော ကွဲပြားသည့် နည်းလမ်းများစွာဖြင့် ထွက်ပေါ်လာနိုင်ပါက စာရေးသူများသည် များသောအားဖြင့် အခြေအနေတစ်ခုကိုသာ သက်သေပြလေ့ရှိသည်။ ထို့နောက် ကျန်ရှိသောအခြေအနေများကို ထိရောက်စွာ လွှမ်းခြုံနိုင်ရန် "ယေဘုယျကျမှုကို မဆုံးရှုံးစေဘဲ" (without loss of generality) ဟူသော စကားစုကို အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။<ref>{{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> ပြောင်းပြန်အားဖြင့် ယူဆချက်တစ်ခုကို ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းရာတွင် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ခက်ခဲနေပါက သင်္ချာပညာရှင်များသည် ဆန့်ကျင်ဘက်အဆိုဖြင့် သက်သေပြခြင်းကို (contrapositive proof) အသုံးပြုနိုင်သည်။ ဤနည်းလမ်းသည် အခြေအနေပေး ဖော်ပြချက်တစ်ခုနှင့် ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက်အဆို (contrapositive) တို့အကြားရှိ ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ထပ်တူညီမှုကို (logical equivalence) အသုံးချခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> တည်ရှိမှုဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းများကို ပွင့်လင်းစွာ ဖော်ပြခြင်းနှင့် သွယ်ဝိုက်၍ ပြသခြင်းဟူ၍ အမျိုးအစားခွဲခြားနိုင်သည်။ ပွင့်လင်းစွာ ဖော်ပြသော၊ တစ်နည်းအားဖြင့် တည်ဆောက်နိုင်သော သက်သေပြခြင်းများသည် (explicit or constructive proofs) တည်ရှိကြောင်း သက်သေပြမည့် အတိအကျ သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုကို (mathematical object) တိုက်ရိုက် ဖော်ပြခြင်း သို့မဟုတ် တည်ဆောက်ခြင်းများ ပြုလုပ်ကြသည်။ သို့သော် သွယ်ဝိုက်သော၊ တစ်နည်းအားဖြင့် တည်ဆောက်၍မရသော သက်သေပြခြင်းများသည် (indirect or nonconstructive proofs) အရာဝတ္ထုတစ်ခု မတည်ရှိပါက ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (contradiction) ဖြစ်ပေါ်လာမည်ဟု သက်သေပြခြင်းဖြင့်သာ အဆိုပါ အရာဝတ္ထု တည်ရှိကြောင်းကို အတည်ပြုကြသည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> တည်ဆောက်၍မရသော သက်သေပြခြင်းများသည် များသောအားဖြင့် "ကြားကိန်းဖယ်ရှားခြင်း နိယာမ" (law of the excluded middle) ဟုခေါ်သော ပုံစံတကျ ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်း သို့မဟုတ် [[ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို]] (axiom of choice) တို့အပေါ် ကြီးမားစွာ မှီခိုလေ့ရှိသည်။ ထိုရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုသည် တိကျစွာ သတ်မှတ်မထားသော ရွေးချယ်မှုများကို အလိုရှိသလောက် အရေအတွက် ပြုလုပ်ခွင့်ပေးသည့် အစုတည်ဆောက်မှုဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> အကယ်၍ သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းတစ်ခုက ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုကို အသုံးပြုပါက သက်သေပြခြင်း၏ အဆိုပါ သီးခြားအပိုင်းသည် အလိုအလျောက် တည်ဆောက်၍မရသော ပုံစံအဖြစ်သို့ ရောက်ရှိသွားသည်။ ထို့ကြောင့် ပင်မ သင်္ချာပညာရှင်များသည် ဤနဂိုမှန်အဆိုကို အသုံးပြုသည့်အခါ ဘာနာ-တာစကီး (Banach-Tarski) ဝိရောဓိ၏ သက်သေပြခြင်းတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်း ပွင့်လင်းမြင်သာစွာ အချက်ပြခြင်းသည် ကောင်းမွန်သော အလေ့အကျင့်ဖြစ်ကြောင်း ယေဘုယျအားဖြင့် ယုံကြည်ကြသည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> တည်ဆောက်၍မရသော သက်သေပြခြင်းများကို ပင်မ သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် အပြည့်အဝ လက်ခံထားသော်လည်း သင်္ချာပညာရှင်များသည် တည်ဆောက်နိုင်သော သက်သေပြခြင်းများကို ဆက်လက် ရှာဖွေလေ့ရှိကြသည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် လက်တွေ့ တည်ဆောက်ပြခြင်းသည် ဖော်ပြချက်တစ်ခု မှန်ကန်ကြောင်း သက်သေပြရုံသာမက ၎င်းသည် မည်သည့်အတွက်ကြောင့် မှန်ကန်နေရသနည်းဆိုသည့်အပေါ် ပိုမိုနက်ရှိုင်းသော အတွင်းကျကျ ထိုးထွင်းသိမြင်မှုကို ပေးစွမ်းနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) ကဲ့သို့သော အနန္တအစုများ (infinite sets) နှင့် ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းရာတွင် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်းကို (mathematical induction) အသုံးပြုသည်။ ယင်းသည် အနန္တအစုတစ်ခုလုံးအတွက် ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုကို သက်သေပြရန် အနန္တအလျားရှိသော လဲကျနေသည့် ဒိုမီနိုတုံးများကဲ့သို့ လုပ်ဆောင်ပေးသည်။<ref>{{cite book|title=The Nuts and Bolts of Proofs: An Introduction to Mathematical Proofs |last=Cupillari |first=Antonella |edition=Third |year=2005 |publisher=Academic Press |page=46}}; {{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> ထပ်တူညီမှုများနှင့် လုပ်ဆောင်ရာတွင် အပိတ်ချိတ်တန်း ကောက်ချက်ချခြင်း (closed chain inference) နည်းလမ်းကို အသုံးပြုသည်။ ယင်းသည် စဉ်ဆက်မပြတ်သော၊ ကွင်းပိတ်သဏ္ဌာန်ရှိသည့် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သက်ရောက်မှုများ၏ ချိတ်တန်းတစ်ခုကို သက်သေပြခြင်းဖြင့် ဖော်ပြချက်များ စုစည်းမှုတစ်ခု၏ အစုံလိုက် ထပ်တူညီမှုကို တည်ဆောက်ပေးသည်။<ref>{{Cite book |last1=Plaue |first1=Matthias |title=Mathematik für das Bachelorstudium I: Grundlagen und Grundzüge der linearen Algebra und Analysis |last2=Scherfner |first2=Mike |date=2019-02-11 |publisher=Springer-Verlag |pages=26}}; {{Cite book |last1=Struckmann |first1=Werner |title=Mathematik für Informatiker: Grundlagen und Anwendungen |last2=Wätjen |first2=Dietmar |date=2016-10-20 |publisher=Springer-Verlag |pages=28}}</ref> ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းများသည် (combinatorial proofs) ကွဲပြားသော ချဉ်းကပ်မှုတစ်ရပ်ကို အသုံးပြုသည်။ ၎င်းတို့သည် ရှုပ်ထွေးသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်များသည် ရူပဆိုင်ရာ တကယ့်အရှိတရား တစ်ခုတည်းကိုပင် ကွဲပြားသော နည်းလမ်းများဖြင့် ရေတွက်ပြနေခြင်းဖြစ်ကြောင်း သရုပ်ပြသခြင်းဖြင့် ၎င်းဖော်ပြချက်များ ညီမျှကြောင်း သက်သေပြကြသည်။<ref>{{Cite web |last=Chewi |first=Sinho |last2=Wan |first2=Alvin |title=Combinatorial Proofs |url=https://math.berkeley.edu/~hhao/teaching/N55%20Summer%202024/CombProofs3.pdf}}; {{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> သင်္ချာနယ်ပယ်ရှိ ကြိုးပမ်းအားထုတ်မှုတိုင်းသည် ဖော်ပြချက်တစ်ခု မှန်ကန်ကြောင်း သက်သေပြရန် ရည်ရွယ်သည်မဟုတ်ပေ။ စကြဝဠာ သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်တစ်ခုကို ချေပရန်အတွက် စာရေးသူအနေဖြင့် တိကျသော ဆန့်ကျင်ဘက်ဥပမာ (counterexample) တစ်ခုတည်းကိုသာ ပေးစွမ်းရန် လိုအပ်သည်။ သို့သော် တည်ရှိမှုဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်တစ်ခုကို ချေပခြင်းမှာမူ အလွန် တိကျသေချာရန် လိုအပ်သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် စာရေးသူသည် ဖြစ်နိုင်သမျှ အခြေအနေတိုင်းအတွက် အဆိုပါ အခြေအနေ ပျက်ကွက်ကြောင်းကို သက်သေပြရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> ထို့အပြင် [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်းဆိုင်ရာ]] နည်းလမ်းများသည် (probabilistic methods) ခိုင်မာသော ဥပမာတစ်ခုကို မဖြစ်မနေ ညွှန်ပြရန်မလိုဘဲ တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုရှိသည့် အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ တိကျသေချာသော တည်ရှိမှုကို သက်သေပြရန်အတွက် ဖြစ်တန်စွမ်း သီအိုရီကို (probability theory) အသုံးပြုကြသည်။<ref>Davis, Philip J. (1972), "Fidelity in Mathematical Discourse: Is One and One Really Two?" *American Mathematical Monthly* 79:252–63; Fallis, Don (1997), "The Epistemic Status of Probabilistic Proof." *Journal of Philosophy* 94:165–86.</ref> နောက်ဆုံးအနေဖြင့် သက်သေပြခြင်းဆိုင်ရာ စံနှုန်းကို လက်ရှိတွင် ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းများက (computer-assisted proofs) စိန်ခေါ်လျက်ရှိသည်။ ၎င်းတို့သည် လူတစ်ဦးတည်းက လက်တွေ့ကျကျ အတည်ပြုရန် အလွန် ကြီးမားကျယ်ပြန့်လွန်းသော တွက်ချက်မှုများကို လုပ်ဆောင်ရန်နှင့် အတည်ပြုရန်အတွက် အလိုအလျောက် သီအိုရမ် သက်သေပြစနစ်များကို (automated theorem provers) အသုံးပြုကြသည်။ ဤအခြေခံလုပ်ထုံးလုပ်နည်းဆိုင်ရာ အပြောင်းအလဲကို အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ်၏ (four-color theorem) ပထမဆုံး သက်သေပြခြင်းက ထင်ရှားစွာ သရုပ်ပြသခဲ့သည်။<ref>Steven G. Krantz. "The History and Concept of Mathematical Proof." February 5, 2007; {{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> == သင်္ချာဆိုင်ရာ ရေးသားနည်းနှင့် ပညာရေးဆိုင်ရာ ပုံစံချခြင်း (Mathematical Writing and Educational Formatting) == ဤသက်သေပြခြင်းများ၏ ယန္တရားများကို သင်ကြားပေးရန်အတွက် သင်ကြားရေးပညာသည် (pedagogy) တိကျသော ပုံစံချခြင်းဆိုင်ရာ စံနှုန်းများကို တိုးတက်ပြောင်းလဲစေခဲ့သည်။ ရာစုနှစ် နှစ်ဆယ် အစောပိုင်း အမေရိကန် ဂျီဩမေတြီ စာသင်ခန်းများတွင် [[သင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ]] ကောက်ချက်ချခြင်းကို တိုင်နှစ်ခုပါ သက်သေပြခြင်းမှတစ်ဆင့် (two-column proof) အလွန် ပုံစံတကျဖြစ်အောင် ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite journal |first=Patricio G. |last=Herbst |title=Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Proof in the Early Twentieth Century |journal=Educational Studies in Mathematics |volume=49 |issue=3 |year=2002 |pages=283–312}}; {{cite web|url=https://www.onemathematicalcat.org/Math/Geometry_obj/two_column_proof.htm |title=Introduction to the Two-Column Proof |author=Dr. Fisher Burns |website=onemathematicalcat.org |access-date=October 15, 2009}}</ref> သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်များကို ဘယ်ဘက်တိုင်တွင် အစဉ်လိုက် စာရင်းပြုစုထားသည်။ တစ်ချိန်တည်းမှာပင် မျဉ်းပြိုင်ဖြစ်သော ညာဘက်တိုင်က သက်ဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်တစ်ခုစီသည် မည်သည့်အတွက်ကြောင့် မှန်ကန်ကြောင်းကို မျှတစွာ ရှင်းပြပေးသည့် အတိအကျ အကြောင်းပြချက်ကို ပေးစွမ်းသည်။ ထိုအကြောင်းပြချက်များတွင် [[နဂိုမှန်အဆို]]၊ အဆိုပြုယူဆချက် သို့မဟုတ် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ခြင်း စသည်တို့ ပါဝင်သည်။ သို့သော် ပရော်ဖက်ရှင်နယ် သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် သက်သေပြခြင်းတစ်ခုသည် ညီမျှခြင်းများ၏ စာသားတန်းတစ်ခု သက်သက်မဟုတ်ပေ။ ၎င်းကို လူသားဖတ်ရှုသူအား ယုံကြည်လက်ခံလာစေရန် ရည်ရွယ်ရေးသားထားသော အလွန်စနစ်တကျ တည်ဆောက်ထားသည့် စာစီစာကုံးတစ်ပုဒ်ကဲ့သို့ သဘောထားကြသည်။ ထို့ကြောင့် စာရေးသူများသည် တိကျသော ရေးဟန်ဆိုင်ရာ သဒ္ဒါစည်းမျဉ်းများကို လိုက်နာကြသည်။ သက်သေပြခြင်းများကို ဖတ်ရှုသူအား ယုတ္တိဗေဒတစ်လျှောက် လမ်းညွှန်ပေးသည့် အပြန်အလှန် စကားပြောဟန်တစ်ခု ဖန်တီးရန်အတွက် ပထမနာမ်စား အများကိန်းဖြစ်သော (first-person plural) "ကျွန်ုပ်တို့" ကို အသုံးပြု၍ ရေးသားကြသည်။ သဒ္ဒါပိုင်းဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ် ဝေခွဲမရဖြစ်မှုများကို ရှောင်ရှားရန်အတွက် စာရေးသူများအား ဝါကျတစ်ကြောင်းကို သင်္ချာသင်္ကေတတစ်ခုဖြင့် မည်သည့်အခါမျှ မစတင်ရန် လေ့ကျင့်သင်ကြားပေးထားသည်။ ထို့အပြင် သင်္ကေတများကို ကြိယာများအဖြစ် အသုံးပြုမည့်အစား သင်္ချာသင်္ကေတများကို သဘာဝဘာသာစကား စကားလုံးများဖြင့် ပိုင်းခြားရန်နှင့် သင်္ချာညီမျှခြင်းများကို စံ အင်္ဂလိပ်ဝါကျများကဲ့သို့ပင် ပုဒ်မများဖြင့် အတိအကျ ပုဒ်ဖြတ်ပုဒ်ရပ် ပြုလုပ်ရန်လည်း သင်ကြားပေးထားသည်။<ref>{{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist|2}} [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာယုတ္တိဗေဒ]] fgl2aa5h4lnjvu7o3moj4pbp5cjm4k4 0 291336 1054241 1052961 2026-09-20T10:42:40Z Mkant00 135890 1054241 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} [[ကဲကုလပ်]] (calculus) တွင် [[ဖန်ရှင်]] (function) တစ်ခု၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ကို တွက်ချက်ရာ၌ အသုံးပြုသော ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (differentiation) ဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းများ၏ အကျဉ်းချုပ်ကို အောက်တွင် ဖော်ပြထားသည်။ == ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း၏ အခြေခံစည်းမျဉ်းများ (Elementary rules of differentiation) == အခြားသတ်မှတ်ဖော်ပြထားခြင်း မရှိပါက ဤနေရာရှိ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]]အားလုံးသည် [[ကိန်းစစ်]] (real number) <math>\mathbb{R}</math> များ၏ ဖန်ရှင်များဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းစစ်တန်ဖိုး (real value) များကိုသာ ထုတ်ပေးသည်။ သို့သော် ယေဘုယျအားဖြင့် အောက်ပါ ပုံသေနည်း (formula) များကို ကောင်းစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition) ပေးနိုင်သော မည်သည့်နေရာတွင်မဆို အသုံးပြုနိုင်သည်။ ဤသို့အသုံးပြုရာတွင် [[ကိန်းထွေး]] (complex number) <math>\mathbb{C}</math> များပါဝင်သော အခြေအနေများလည်း အကျုံးဝင်သည်။ မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု (linearity)၊ မြှောက်လဒ် (product)၊ စားလဒ် (quotient) နှင့် ချိတ်ဆက် (chain) စသည့် ပေါင်းစပ်စည်းမျဉ်း (combination rule) များ မှန်ကန်စေရန်အတွက် ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော ဖန်ရှင်များသည် တွက်ချက်ရမည့် အမှတ် (point) တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ရမည်။ === ကိန်းသေကိန်းပိုင်း စည်းမျဉ်း (Constant term rule) === <math>c \in \mathbb{R}</math> ဖြစ်သော မည်သည့် <math>c</math> တန်ဖိုးအတွက်မဆို <math>f(x)</math> သည် <math>f(x) = c</math> ဟု ပေးထားသော ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant function) ဖြစ်ပါက <math>\frac{df}{dx} = 0</math> ဖြစ်သည်။ ==== သက်သေပြချက် (Proof) ==== <math>f(x) = c</math> နှင့် <math>f(x+h) = c</math> ဟုထားပါ။ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်၏]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ တွက်ချက်မှုမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \\ &= 0. \end{align}</math> ဤတွက်ချက်မှု (computation) က မည်သည့် ကိန်းသေ ဖန်ရှင်၏ ဆင်းသက်ချက်မဆို 0 ဖြစ်ကြောင်း ပြသနေသည်။ === ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း၏ မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု (Linearity of differentiation) === မည်သည့် ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> များအတွက်မဆို၊ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> များအတွက်မဆို <math>x</math> ကို မူတည်၍ ဖန်ရှင် <math>h(x) = af(x) + bg(x)</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display="block">h'(x) = af'(x) + bg'(x).</math> လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Leibniz) ၏ [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (notation) တွင် ဤအချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားသည်။ <math display="block">\frac{d(af+bg)}{dx} = a\frac{df}{dx} + b\frac{dg}{dx}.</math> အထူးအခြေအနေများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် ။ * ကိန်းသေ ဆခွဲကိန်း စည်းမျဉ်း (constant factor rule) <math display="block">(af)' = af'</math> * ပေါင်းလဒ် စည်းမျဉ်း (sum rule) <math display="block">(f+g)' = f' + g'</math> * [[နုတ်ခြင်း]] စည်းမျဉ်း (subtraction rule) <math display="block">(f-g)' = f' - g'.</math> === မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း (Product rule) === ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> များအတွက် <math>x</math> ကို မူတည်၍ ဖန်ရှင် <math>h(x) = f(x)g(x)</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display="block">h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).</math> လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် ဤအချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားသည်။ <math display="block">\frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx}g + f\frac{dg}{dx}.</math> === ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (Chain rule) === ဖန်ရှင် <math>h(x) = f(g(x))</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">h'(x) = f'(g(x))g'(x).</math> လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် ဤအချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားသည်။ <math display="block">\frac{d}{dx}h(x) = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx},</math> ထိုနေရာတွင် <math>y = g(x)</math> နှင့် <math>z = f(y)</math> ဖြစ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်စည်းမျဉ်း (Inverse function rule) === အကယ်၍ ဖန်ရှင် <math>f</math> တွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>g</math> ရှိပါက၊ ဆိုလိုသည်မှာ <math>g(f(x)) = x</math> နှင့် <math>f(g(y)) = y</math> ဖြစ်ပါက၊ <math>f'(g(y)) \neq 0</math> ဖြစ်ရန် သတ်မှတ်ချက်ပါရှိပါက အောက်ပါ[[ညီမျှခြင်း]] (equation) မှန်ကန်သည်။ <math display="block">g' = \frac{1}{f'\circ g}.</math> လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် ဤအချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားသည်။ <math display="block">\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}.</math> == ထပ်ကိန်း နိယာမများ (Power laws)၊ ပိုလီနိုမီရယ်များ (polynomials)၊ စားလဒ်များ (quotients) နှင့် အချိုးပြောင်းပြန်များ (reciprocals) == === ပိုလီနိုမီရယ် သို့မဟုတ် အခြေခံ ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်း (Polynomial or elementary power rule) === မည်သည့် သုညမဟုတ်သော [[ကိန်းစစ်]] <math>r \neq 0</math> အတွက်မဆို <math>f(x) = x^r</math> ဖြစ်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">f'(x) = rx^{r-1}.</math> အကယ်၍ <math>r</math> သည် [[ကိန်းပြည့်]] (integer) မဟုတ်ပါက <math>x</math> သည် တိကျစွာ အပေါင်းဖြစ်သော (strictly positive) ကိန်း ဖြစ်ရမည်။ အကယ်၍ <math>r \ge 1</math> ဖြစ်ပါက အဆိုပါ ပုံသေနည်းသည် <math>x = 0</math> အတွက်လည်း မှန်ကန်သည်။ <math>r = 1</math> ဖြစ်သောအခါ ဤသည်မှာ အထူးအခြေအနေ ဖြစ်သွားသည်။ ထိုအခါ <math>f(x) = x</math> ဖြစ်လျှင် <math>f'(x) = 1</math> ဖြစ်လာသည်။ ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်းကို ပေါင်းလဒ်စည်းမျဉ်း နှင့် ကိန်းသေ ဆတိုး စည်းမျဉ်းများဖြင့် ပေါင်းစပ်အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် မည်သည့် [[ပိုလီနိုမီရယ်|ပိုလီနိုမီရယ်၏]] [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ကိုမဆို]] တွက်ချက်နိုင်သည်။ === အချိုးပြောင်းပြန် စည်းမျဉ်း (Reciprocal rule) === သုညသို့ ပျောက်ကွယ်မသွားသော (nonvanishing) မည်သည့် [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> အတွက်မဆို <math>h(x) = \frac{1}{f(x)}</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display="block">h'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}.</math> လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် ဤအချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားသည်။ <math display="block">\frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}.</math> အချိုးပြောင်းပြန် စည်းမျဉ်းကို စားလဒ်စည်းမျဉ်းမှ ဖြစ်စေ သို့မဟုတ် ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်းနှင့် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မှုမှ ဖြစ်စေ ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ === စားလဒ်စည်းမျဉ်း (Quotient rule) === အကယ်၍ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် ဖန်ရှင်များဖြစ်ပါက <math>g \neq 0</math> ဖြစ်သော မည်သည့်နေရာတွင်မဆို အောက်ပါ[[ညီမျှခြင်း]] မှန်ကန်သည်။ <math display="block">\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}</math> ဤစည်းမျဉ်းကို အချိုးပြောင်းပြန် စည်းမျဉ်းနှင့် မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းတို့မှ ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ ၎င်းနှင့် ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် သုည ပိုလီနိုမီရယ်ကို အသုံးပြု၍ အချိုးပြောင်းပြန် စည်းမျဉ်းကို စားလဒ်စည်းမျဉ်းမှလည်း ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ === ယေဘုယျပြုထားသော ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်း (Generalized power rule) === အခြေခံ ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်းကို သိသာစွာ ယေဘုယျပြု (generalize) နိုင်သည်။ အယေဘုယျဆုံး ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်းမှာ ဖန်ရှင်နယ် ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်း (functional power rule) ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ဖန်ရှင် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> များအတွက်မဆို <math>f(x) > 0</math> ဖြစ်ပြီး ညီမျှခြင်း၏ နှစ်ဖက်စလုံးကို ကောင်းစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားနိုင်သော မည်သည့်နေရာတွင်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်း မှန်ကန်သည်။ <math display="block">(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right)</math> အထူးအခြေအနေများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် ။ * <math>a</math> သည် သုညမဟုတ်သော မည်သည့် ကိန်းစစ်မဆိုဖြစ်ပြီး <math>x</math> သည် အပေါင်းကိန်း ဖြစ်သောအခါ <math>f(x) = x^a</math> ဖြစ်လျှင် <math>f'(x) = ax^{a-1}</math> ဖြစ်သည်။ * အချိုးပြောင်းပြန် စည်းမျဉ်းကို <math>g(x) = -1</math> ဖြစ်သော အထူးအခြေအနေအဖြစ် ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ == ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်များနှင့် လော့ဂရစ်သမ် ဖန်ရှင်များ၏ ဆင်းသက်ချက်များ (Derivatives of exponential and logarithmic functions) == <math display="block">\frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right) = {ac^{ax} \ln c } ,\qquad c > 0.</math> <math display="block">\frac{d}{dx}\left(e^{ax}\right) = ae^{ax}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}\left( \log_c x\right) = {1 \over x \ln c} , \qquad c > 0, c \neq 1.</math> <math display="block">\frac{d}{dx}\left(\ln x\right) = {1 \over x} ,\qquad x > 0.</math> <math display="block">\frac{d}{dx}\left(\ln |x|\right) = {1 \over x} ,\qquad x \neq 0.</math> <math display="block">\frac{d}{dx}\left( x^x\right) = x^x(1 + \ln x).</math> <math display="block">\frac{d}{dx}\left(f(x)^{g(x)}\right) = g(x) f(x)^{g(x)-1}\frac{d}{dx}(f(x)) + f(x)^{g(x)} \ln(f(x)) \frac{d}{dx}(g(x)),\qquad \text{if } f(x) > 0, \text{ and if } \frac{d}{dx}(f(x)) \text{ and } \frac{d}{dx}(g(x)) \text{ exist}.</math> <math display="block">\frac{d}{dx}\left( f(x)^{f(x)}\right) = f(x)^{f(x)} \left(1 + \ln f(x)\right)\frac{d}{dx}(f(x)),\qquad \text{if } f(x) > 0, \text{ and if } \frac{d}{dx}(f(x)) \text{ exists}.</math> <math display="block">\frac{d}{dx}\left( W(x)\right) = {1 \over {x+e^{W(x)}}} ,\qquad x > -{1 \over e},</math> ထိုနေရာတွင် <math>W(x)</math> သည် လမ်းဘတ် W ဖန်ရှင် (Lambert W function) ၏ ပင်မ ဖြာထွက်ဖန်ရှင် (principal branch) ဖြစ်သော <math>W_0(x)</math> ဖြစ်သည်။ === လော့ဂရစ်သမ်ဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ချက်များ (Logarithmic derivatives) === လော့ဂရစ်သမ်ဆိုင်ရာ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]သည် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်တစ်ခု၏]] [[လော့ဂရစ်သမ်]]ကို ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းအတွက် စည်းမျဉ်းကို ဖော်ပြသည့် အခြားနည်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤနည်းလမ်းသည် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် အပေါင်းကိန်းဖြစ်သော မည်သည့်နေရာတွင်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(\ln f)' = \frac{f'}{f}</math> လော့ဂရစ်သမ်နည်းကျ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (logarithmic differentiation) သည် ဆင်းသက်ချက်ကို လက်တွေ့မရှာဖွေမီ တိကျသော ဖော်ပြချက် (expression) များကို ရိုးရှင်းစေရန် လော့ဂရစ်သမ်များနှင့် ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း စည်းမျဉ်းများကို အသုံးပြုသည့် နည်းလမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထပ်ကိန်း (exponent) များကို ဖယ်ရှားရန်၊ မြှောက်လဒ်များကို ပေါင်းလဒ်များအဖြစ် ပြောင်းလဲရန်နှင့် [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]] (division) ကို [[နုတ်ခြင်း]] (subtraction) အဖြစ် ပြောင်းလဲရန် လော့ဂရစ်သမ်များကို အသုံးပြုနိုင်သည်။ ဤလုပ်ငန်းစဉ်တစ်ခုစီသည် ဆင်းသက်ချက်ရှာရန်အတွက် ဖော်ပြချက်ကို ပိုမိုရိုးရှင်းသွားစေနိုင်သည်။ == တြီဂိုနိုမက်ထရီ ဖန်ရှင်များ၏ ဆင်းသက်ချက်များ (Derivatives of trigonometric functions) == <math display="block">\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x = {1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\sec x) = \tan x \sec x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\csc x) = -\cot x \csc x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x = {-1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\arcsin x) = {1 \over \sqrt{1-x^2}}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\arccos x) = {-1 \over \sqrt{1-x^2}}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\arctan x) = {1 \over 1+x^2}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{arcsec} x) = {1 \over |x|\sqrt{x^2-1}}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{arccsc} x) = {-1 \over |x|\sqrt{x^2-1}}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{arccot} x) = {-1 \over 1+x^2}</math> အထက်ပါ ဇယားရှိ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များသည်]] ပြောင်းပြန် ဆီးကန့် (inverse secant) ၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်အစု]] (range) သည် <math>[0, \pi] \setminus \{\pi / 2\}</math> ဖြစ်သော အခြေအနေအတွက် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ပြောင်းပြန် ကိုဆီးကန့် (inverse cosecant) ၏ ပုံရိပ်အစုသည် <math>[-\pi / 2, \pi / 2] \setminus \{0\}</math> ဖြစ်သော အခြေအနေအတွက်လည်း ဖြစ်သည်။ အဝင်ကိန်း (argument) နှစ်ခုပါဝင်သော ပြောင်းပြန် တန်းဂျင့် [[ဖန်ရှင်]] (inverse tangent function) <math>\arctan(y,x)</math> ကို ထပ်မံ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။ ၎င်း၏ တန်ဖိုးသည် <math>(-\pi, \pi]</math> ပုံရိပ်အစုအတွင်း တည်ရှိပြီး အမှတ် <math>(x, y)</math> ၏ ကွာဒရန့် (quadrant) ကို ရောင်ပြန်ဟပ် (reflect) ပြသသည်။ <math>(x,y) \neq (0,0)</math> အတွက် ၎င်း၏ ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက် (partial derivative) များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{\partial \arctan(y,x)}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2} \qquad\text{and}\qquad \frac{\partial \arctan(y,x)}{\partial x} = \frac{-y}{x^2 + y^2}.</math> == ဟိုက်ပါဘောလစ် ဖန်ရှင်များ၏ ဆင်းသက်ချက်များ (Derivatives of hyperbolic functions) == <math display="block">\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\tanh x) = \operatorname{sech}^2 x = {1 \over \cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{sech} x) = -\tanh x \operatorname{sech} x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{csch} x) = -\coth x \operatorname{csch} x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\coth x) = -\operatorname{csch}^2 x = {-1 \over \sinh^2 x} = 1 - \coth^2 x</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{arsinh} x) = {1 \over \sqrt{x^2+1}}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{arcosh} x) = {1 \over \sqrt{x^2-1}}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{artanh} x) = {1 \over 1-x^2}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{arsech} x) = {-1 \over x\sqrt{1-x^2}}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{arcsch} x) = {-1 \over |x|\sqrt{1+x^2}}</math> <math display="block">\frac{d}{dx}(\operatorname{arcoth} x) = {1 \over 1-x^2}</math> == အထူးဖန်ရှင်များ၏ ဆင်းသက်ချက်များ (Derivatives of special functions) == === ဂါမာ ဖန်ရှင် (Gamma function) === <math>x > 0</math> အတွက် တွက်ချက်မှုမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် ။ <math display="block">\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\, dt</math> <math display="block">\Gamma'(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln t \, dt</math> <math display="block">\Gamma'(x) = \Gamma(x) \left( -\gamma + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+x-1}\right) \right)</math> === ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (Riemann zeta function) === <math>x > 1</math> အတွက် တွက်ချက်မှုမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် ။ <math display="block">\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}</math> <math display="block">\zeta'(x) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x}</math> <math display="block">\zeta'(x) = -\frac{1}{2^x\left(2^x - 2\right)}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n n \ln n}{(n+1)^x}</math> == အင်တီဂရယ်များ၏ ဆင်းသက်ချက်များ (Derivatives of integrals) == [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်ကို]] <math>x</math> မူတည်၍ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာရန်]] လိုအပ်သည်ဟု ဆိုကြပါစို့။ <math display="block">F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\, dt</math> ဤနေရာတွင် ဖန်ရှင် <math>f(x,t)</math> နှင့် <math>\frac{\partial}{\partial x} f(x,t)</math> နှစ်ခုစလုံးသည် <math>a(x) \le t \le b(x)</math> နှင့် <math>x_0 \le x \le x_1</math> တို့ ပါဝင်သော <math>(x,t)</math> ပြင်ညီ၏ အချို့သော နယ်ပယ် (region) အတွင်း <math>x</math> နှင့် <math>t</math> နှစ်ခုစလုံးအတွက် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] (continuous) ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် ဖန်ရှင် <math>a(x)</math> နှင့် <math>b(x)</math> တို့သည်လည်း အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး <math>x_0 \le x \le x_1</math> အတွက် နှစ်ခုစလုံးတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဆင်းသက်ချက်များ ရှိကြသည်။ ထို့ကြောင့် <math>x_0 \le x \le x_1</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">F'(x) = f(x,b(x))b'(x) - f(x,a(x))a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t)\, dt.</math> ဤပုံသေနည်းသည် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] စည်းမျဉ်း (Leibniz integral rule) ၏ ယေဘုယျ ပုံစံ (general form) ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (fundamental theorem of calculus) အသုံးပြု၍ ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ == အကြိမ် n မြောက် အဆင့်အထိ ဆင်းသက်ချက်များ (Derivatives to nth order) == [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ၏]] အကြိမ် <math>n</math> မြောက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (n-th derivative) ကို တွက်ချက်ရန်အတွက် စည်းမျဉ်းအချို့ တည်ရှိသည်။ ထိုနေရာတွင် <math>n</math> သည် အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်]] (positive integer) ဖြစ်ပြီး အောက်ပါတို့ ပါဝင်သည်။ === ဖာဒီဘရူနို ၏ ပုံသေနည်း (Faà di Bruno's formula) === အကယ်၍ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် <math>n</math> ကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သော (n-times differentiable) ဖန်ရှင်များဖြစ်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d^n}{dx^n}[f(g(x))] = n! \sum_{ {{m_1,\dots,m_n}} } f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x)) \prod_{j=1}^n \frac{1}{m_j!}\left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}</math> ဤနေရာတွင် ပေါင်းလဒ်သည် အောက်ပါ ကန့်သတ်ချက်ကို ပြည့်မီသော အနုတ်မဟုတ်သည့် ကိန်းပြည့်များ၏ အစုဝင်အတွဲ (tuple) <math>(m_1, \dots, m_n)</math> များအားလုံးအပေါ် အကျုံးဝင်သည်။ <math display="block">1m_1 + 2m_2 + 3m_3 + \cdots + nm_n = n.</math> === ယေဘုယျ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် စည်းမျဉ်း (General Leibniz rule) === အကယ်၍ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် <math>n</math> ကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သော ဖန်ရှင်များဖြစ်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x).</math> == ကိုးကား == * {{Citation |last1=Ayres |first1=Frank |last2=Mendelson |first2=Elliott |title=Calculus |edition=5th |series=Schaum's Outline Series |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=2009 |isbn=978-0-07-150861-2}} * {{Citation |last1=Wrede |first1=Robert C. |last2=Spiegel |first2=Murray R. |title=Advanced Calculus |edition=3rd |series=Schaum's Outline Series |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=2010 |isbn=978-0-07-162366-7}} * {{Citation |last1=Spiegel |first1=Murray R. |last2=Lipschutz |first2=Seymour |last3=Schiller |first3=John J. |last4=Spellman |first4=Dennis |title=Complex Variables |edition=2nd |series=Schaum's Outline Series |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=2009 |isbn=978-0-07-161569-3}} * {{Citation |author=University of Waterloo |title=Differentiation Rules |publisher=CEMC Open Courseware |date=2022 |url=https://courseware.cemc.uwaterloo.ca/11/assignments/47/6 |access-date=3 May 2022}} * {{Citation |last1=Lipschutz |first1=Seymour |last2=Spiegel |first2=Murray R. |last3=Liu |first3=John |title=Mathematical Handbook of Formulas and Tables |edition=3rd |series=Schaum's Outline Series |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=2009 |isbn=978-0-07-154855-7}} * {{Citation |last=Woan |first=Graham |title=The Cambridge Handbook of Physics Formulas |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=2010 |isbn=978-0-521-57507-2}} * {{Citation |last1=Riley |first1=Ken F. |last2=Hobson |first2=Michael P. |last3=Bence |first3=Stephen J. |title=Mathematical Methods for Physics and Engineering |edition=3rd |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=2006 |isbn=978-0-521-86153-3}} * {{Citation |last1=Olver |first1=Frank W. J. |last2=Lozier |first2=Daniel W. |last3=Boisvert |first3=Ronald F. |last4=Clark |first4=Charles W. |title=NIST Handbook of Mathematical Functions |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=2010 |isbn=978-0-521-19225-5 |mr=2723248 |zbl=1198.00002}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] nmg911o22g0hsqi0kthzm4clmw1cp5z 0 291436 1054223 1052967 2026-09-20T09:27:15Z Mkant00 135890 category adjustment 1054223 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} [[သင်္ချာ|သင်္ချာတွင်]] [[ဖန်ရှင်]] (function) တစ်ခု၏ တေလာ [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (Taylor series) သို့မဟုတ် တေလာ ဖြန့်ထုတ်ချက် (Taylor expansion) ဆိုသည်မှာ အမှတ်တစ်မှတ်၌ရှိသော အဆိုပါဖန်ရှင်၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) များဖြင့် ဖော်ပြထားသည့် ကိန်းပိုင်းများ၏ [[အနန္တ]] ပေါင်းလဒ် (infinite sum) ဖြစ်သည်။ အသုံးများသော ဖန်ရှင်အများစုအတွက် ဖန်ရှင်နှင့် ၎င်း၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ပေါင်းလဒ်တို့သည် ဤအမှတ်အနီးတွင် ညီမျှကြသည်။ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများကို 1715 ခုနှစ်တွင် စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သော ဘရွတ်ခ် တေလာ (Brook Taylor) ကို အစွဲပြု၍ ခေါ်ဝေါ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်များကို သုညမှတ်၌ တွက်ချက်သောအခါ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းကို မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်း (Maclaurin series) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ 18 ရာစုတွင် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း၏ ဤအထူးအခြေအနေကို ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးပြုခဲ့သော ကော်လင် မက်လောရင် (Colin Maclaurin) ကို အစွဲပြု၍ ခေါ်ဝေါ်ခြင်းဖြစ်သည်။ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု၏ ပထမဆုံး <math>n + 1</math> ကိန်းပိုင်းများ(terms) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ် (partial sum) သည် အများဆုံး ဒီဂရီ (degree) <math>n</math> ရှိသော [[ပိုလီနိုမီရယ်]] (polynomial) ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ဖန်ရှင်၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် တေလာ ပိုလီနိုမီရယ် (Taylor polynomial) ဟု ခေါ်သည်။ တေလာ ပိုလီနိုမီရယ်များသည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း (approximation) များ ဖြစ်ကြသည်။ <math>n</math> တန်ဖိုး ကြီးမားလာသည်နှင့်အမျှ ယေဘုယျအားဖြင့် ပိုမိုတိကျလာသည်။ တေလာ၏ သီအိုရမ် (Taylor's theorem) သည် ထိုသို့သော ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်းများကို အသုံးပြုရာမှ ဖြစ်ပေါ်လာသည့် အမှားအတွက် ပမာဏဆိုင်ရာ ခန့်မှန်းချက်များကို ပေးသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းသည် စုဆုံသော (convergent) ကိန်းစဉ်တန်းဖြစ်ပါက ၎င်း၏ပေါင်းလဒ်သည် တေလာ ပိုလီနိုမီရယ်များပါဝင်သည့် အနန္တ [[ကိန်းစဉ်]] (infinite sequence) ၏ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) ဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းသည် စုဆုံသော်ငြားလည်း ဖန်ရှင်ကိုယ်တိုင်မှာမူ ၎င်း၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ပေါင်းလဒ်နှင့် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ပေးထားသော အမှတ်တစ်ခုကို ငုံထားသည့် အဖွင့် အပိုင်းအခြား (open interval) တစ်ခုအတွင်း၌ ၎င်း၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ပေါင်းလဒ်နှင့် ညီမျှပါက ထိုအမှတ်တွင် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ (analytic) ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ [[ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (complex plane) တွင်မူ ဤအချက်သည် အဖွင့် အပိတ်ပြား (open disk) တစ်ခုအတွက် အကျုံးဝင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ဖန်ရှင်သည် အဆိုပါ အပိုင်းအခြား သို့မဟုတ် အပိတ်ပြား၏ အမှတ်တိုင်းတွင် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == [[ကိန်းစစ်]] သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]] (real or complex number) <math>a</math> တွင် အနန္တအကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (infinitely differentiable) ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေးတန်ဖိုးရှိ [[ဖန်ရှင်]] (real or complex-valued function) <math>f(x)</math> ၏ တေလာ [[ကိန်းစဉ်တန်း]]သည် အောက်ပါ ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) ဖြစ်သည်။ <math display="block"> f(a) + \frac {f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+ \cdots = \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}. </math> ဤနေရာတွင် <math>n!</math> သည် <math>n</math> ၏ ဖက်တိုရီရယ် (factorial) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ ဖန်ရှင် <math>f^{(n)}(a)</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် တွက်ချက်ထားသော <math>f</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ <math>f</math> ၏ အစဉ်သုည ဆင်းသက်ချက်ကို <math>f</math> ကိုယ်တိုင်အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ <math>(x - a)^0</math> နှင့် <math>0!</math> နှစ်ခုစလုံးကို <math>1</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဤကိန်းစဉ်တန်းကို ညာဘက်ခြမ်းရှိ ပုံသေနည်းအတိုင်း ဆစ်ဂ်မာ [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (sigma notation) ကို အသုံးပြု၍ ရေးသားနိုင်သည်။<ref>Banner (2007), p. 530.</ref> ဒီဂရီ <math>n</math> ရှိသော သက်ဆိုင်ရာ တေလာ [[ပိုလီနိုမီရယ်]]မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ <math display="block"> T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k. </math> <math>a = 0</math> တွင် မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်းသည် အောက်ပါပုံစံကို ယူသည်။<ref>Thomas & Finney (1996), at §8.9.</ref> <math display="block"> f(0)+\frac {f'(0)}{1!} x+ \frac{f''(0)}{2!} x^2+ \cdots = \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}. </math> == အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများ (Basic properties) == တေလာ [[ကိန်းစဉ်တန်း]]များသည် ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းများ၏ အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများကို ဆက်ခံရရှိသည်။ ၎င်းတို့ကို [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာနည်းအရ]] ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများ၏ [[ပေါင်းခြင်း|ပေါင်းလဒ်များ]]၊ ခြားနားခြင်းရလဒ်များ၊ [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်လဒ်များ]]နှင့် [[စကေလာ]]ဆတိုးကိန်းများကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းများအပေါ် သက်ဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ ပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် ရရှိနိုင်သည်။ အထူးသဖြင့် အမှတ် <math>x=a</math> ပတ်လည်ရှိ <math>f(x)g(x)</math> ၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းသည် <math>x=a</math> ပတ်လည်ရှိ <math>f(x)</math> နှင့် <math>g(x)</math> တို့၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများကို ကော်ချီ မြှောက်လဒ် (Cauchy product) ပြုလုပ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>Stewart (2008), at §11.10.</ref> တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများရှိသော [[ဖန်ရှင်]]များကို ပေါင်းစပ်ရာတွင်လည်း တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများကို ရရှိသည်။ ၎င်းကို အကျုံးဝင်သော အခြေအနေများတွင် စုဆုံသော ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုကို အခြားတစ်ခုထဲသို့ အစားထိုးခြင်းဖြင့် ရရှိနိုင်သည်။<ref>Henrici (1974).</ref> ၎င်း၏ အဖွင့် စုဆုံခြင်း အချင်းဝက် (open radius of convergence) အတွင်း၌ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုကို ကိန်းပိုင်းအလိုက် (term by term) [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း]]နှင့် [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း]] (integration) တို့ကို တိကျစွာ ပြုလုပ်နိုင်သည်။ <math display="block"> \frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n = \sum_{n=1}^{\infty} n c_n (x-a)^{n-1}, </math> နှင့် <math display="block"> \int \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n\,dx = C+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_n}{n+1}(x-a)^{n+1}. </math> နယ်နိမိတ် (boundary) တွင် စုဆုံခြင်း သဘာဝ ကွဲပြားနိုင်သော်လည်း ဆင်းသက်ချက်ရှာထားသော ကိန်းစဉ်တန်းနှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ထားသော ကိန်းစဉ်တန်းတို့သည် မူလ ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းနှင့် စုဆုံခြင်း အချင်းဝက် တူညီကြသည်။<ref>Stewart (2008), at §11.9.</ref><ref>Ahlfors (1979), pp. 38–40.</ref> ဤဂုဏ်သတ္တိများသည် တစ်ခါတစ်ရံတွင် ရှုပ်ထွေးသော ဖန်ရှင်များ၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများကို ပိုမိုရိုးရှင်းသော ကိန်းစဉ်တန်းများအသွင်ဖြင့် တွက်ချက်နိုင်ရန် အထောက်အကူပြုသည်။ == တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း တွက်ချက်ခြင်း (Calculation of Taylor series) == တေလာ [[ကိန်းစဉ်တန်း]]များကို တွက်ချက်ရန် နည်းလမ်းအမျိုးမျိုးကို အသုံးပြုနိုင်သည်။ မြှောက်ဖော်ကိန်းများအတွက် ယေဘုယျ ပုံသေနည်းတစ်ခု ရှာဖွေရန် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို တိုက်ရိုက် အသုံးချနိုင်သည်။ လက်တွေ့တွင် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများကို ဖြန့်ထုတ်ချက်များမှတစ်ဆင့် ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းများအပေါ် [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ]] တွက်ချက်မှုများဖြစ်သည့် အစားထိုးခြင်း၊ [[မြှောက်ခြင်း]]၊ [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]]၊ [[ပေါင်းခြင်း]] နှင့် [[နုတ်ခြင်း]]တို့ဖြင့်သော်လည်းကောင်း ကိန်းပိုင်းအလိုက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း]]နှင့် [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း]]တို့ဖြင့်သော်လည်းကောင်း ရယူလေ့ရှိသည်။<ref>Thomas & Finney (1996).</ref> ဤကိန်းစဉ်တန်းများကို အလိုအလျောက် တွက်ချက်ရန်အတွက် ကွန်ပျူတာ အက္ခရာသင်္ချာ စနစ်များ (computer algebra systems) ကို မကြာခဏ အသုံးပြုကြသည်။<ref>Enns & McGuire (2000), at Introduction, pp. 1–2.</ref> အခြားသော တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများကို တွက်ချက်ရာတွင် အောက်ပါ စံ မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်းများ (standard Maclaurin series) အများအပြားကို ကနဦးအစမှတ်များအဖြစ် အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ {| class="wikitable" |+ အသုံးများသော မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်းများ ! [[ဖန်ရှင်]] ! မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်း ! စုဆုံခြင်း |- | <math>e^x</math> | <math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> | <math>x</math> အားလုံး |- | <math>\sin x</math> | <math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> | <math>x</math> အားလုံး |- | <math>\cos x</math> | <math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> | <math>x</math> အားလုံး |- | <math>\frac{1}{1-x}</math> | <math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}x^n =1+x+x^2+x^3+\cdots</math> | <math>|x|<1</math> |} == ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း အမှားနှင့် တေလာ၏ သီအိုရမ် (Approximation error and Taylor's theorem) == [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုကို ၎င်း၏ ဒီဂရီ <math>n</math> ရှိသော တေလာ [[ပိုလီနိုမီရယ်]]ဖြင့် ခန့်မှန်းတွက်ချက်ရာတွင် ဖြစ်ပေါ်လာသော အမှားကို အကြွင်း (remainder) ဟု ခေါ်ပြီး ဖန်ရှင် <math>R_n(x)</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြု သတ်မှတ်သည်။ တေလာ၏ သီအိုရမ်ကို အသုံးပြု၍ အကြွင်း၏ ပမာဏအတွက် အကန့်အသတ်တစ်ခုကို ရရှိနိုင်သည်။<ref>Knapp (2000), pp. 43–44.</ref> အထူးသဖြင့် ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် <math>a</math> နှင့် <math>x</math> ပါဝင်သော အပိုင်းအခြားတစ်ခုပေါ်တွင် <math>n+1</math> အကြိမ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်ဟု]] ယူဆပါက တေလာ၏ သီအိုရမ်သည် ဖန်ရှင်ကို အောက်ပါပုံစံဖြင့် ရေးသားပြသည်။ <math display="block"> f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x). </math> <math>n</math> သည် [[အနန္တ]] (infinity) သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ အကြွင်း၏ သဘာဝသည် တေလာ [[ကိန်းစဉ်တန်း]]မှ မူလဖန်ရှင်သို့ စုဆုံခြင်း ရှိမရှိကို ဆုံးဖြတ်ပေးသည်။ ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ သဘောတရား ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် ဒီဂရီ ခုနစ်ရှိသော ပိုလီနိုမီရယ် <math>\sin{x} \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}</math> သည် အမှတ် <math>x = 0</math> ပတ်လည်ရှိ <math>\sin x</math> အတွက် တိကျသော ခန့်မှန်းချက်တစ်ခုအဖြစ် အသုံးဝင်သည်။ ယင်းအမှားသည် <math>|x|^9 / 9!</math> ထက် မပိုနိုင်ပေ။ မူလနေရာ (origin) ဗဟိုပြုထားသည့် အပြည့်အဝ စက်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်သော <math>-\pi < x < \pi</math> တွင် အမှားသည် 0.08215 ထက် နည်းပါးသည်။ ဆန့်ကျင်ဘက်အနေဖြင့် <math>a = 0</math> ပတ်လည်ရှိ သဘာဝ [[လော့ဂရစ်သမ်]] (natural logarithm) <math>\ln(1 + x)</math> အတွက် တေလာ ပိုလီနိုမီရယ်များသည် <math>-1 < x \le 1</math> နယ်ပယ်အတွင်း၌သာ စုဆုံကြသည်။ ဤနယ်ပယ်အပြင်ဘက်တွင် ဒီဂရီပိုမြင့်သော ပိုလီနိုမီရယ်များသည် ပိုမိုဆိုးရွားသော ခန့်မှန်းချက်များ ဖြစ်ကြသည်။ == အဆုံးရှိ ခြားနားခြင်းရလဒ်များတွင် ယေဘုယျပြုထားခြင်း (Generalization in finite differences) == ဂရီဂေါ်ရီ-နယူတန် ကြားဖြတ်ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း ပုံသေနည်း (Gregory-Newton interpolation formula) ၏ ပုံစံတစ်မျိုးကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားနိုင်သည်။ <math display="block">f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\Delta^k [f](a)}{k!} \,(x-a)_k </math> ၎င်းသည် အမှတ်တစ်မှတ်တည်းဖြစ်သော <math>a</math> တွင် တွက်ချက်ထားသည့် ၎င်း၏ အဆုံးရှိ ခြားနားခြင်းရလဒ်များ (finite differences) ကို အသုံးပြု၍ [[ပိုလီနိုမီရယ်]] <math>f</math> ကို ကြားဖြတ်ခန့်မှန်းတွက်ချက်ပေးသည်။ ဤနေရာတွင် <math>(x-a)_k</math> သည် ကျဆင်းခြင်း ဖက်တိုရီရယ် (falling factorial) ဖြစ်သည်။ <math>(0, \infty)</math> အပေါ်ရှိ မည်သည့် အကန့်အသတ်ရှိသော [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (bounded continuous function) အတွက်မဆို ဖန်ရှင်၏တန်ဖိုးဆီသို့ စုဆုံသော တေလာ [[ကိန်းစဉ်တန်း]]၏ ယေဘုယျပြုထားချက်သည် အဆုံးရှိ ခြားနားခြင်းရလဒ်များ၏ ကဲကုလပ် (calculus) ကို အသုံးပြုသည်။ အိုင်နာ ဟီလာ (Einar Hille) ၏ ဖော်ထုတ်ချက်အရ မည်သည့် <math>a > 0</math> နှင့် <math>t > 0</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Feller (2003), pp. 230–232; Hille & Phillips (1957), pp. 300–327.</ref> <math display="block" >\lim_{h\to 0^+}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\frac{\Delta_h^nf(a)}{h^n} = f(a+t).</math> ဤနေရာတွင် <math>\Delta_h^n</math> သည် အဆင့်အရွယ်အစား (step size) <math>h</math> ရှိသော <math>n</math> ကြိမ်မြောက် အဆုံးရှိ ခြားနားခြင်း အော်ပရေတာ (finite difference operator) ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် <math>a</math> တွင် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာဖြစ်သောအခါ ဤကိန်းစဉ်တန်းရှိ ကိန်းပိုင်းများသည် ရိုးရာ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း၏ ကိန်းပိုင်းများဆီသို့ စုဆုံသွားကြသည်။ == စုဆုံခြင်းနှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာဖြစ်ခြင်း (Convergence and analyticity) == တေလာ [[ကိန်းစဉ်တန်း]]တစ်ခုကို အမှတ်တစ်မှတ်တည်းရှိ [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခု၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] အားလုံး၏ တန်ဖိုးများမှ ဖွဲ့စည်းထားသော်လည်း ယင်းအချက်သည် ကိန်းစဉ်တန်းမှ ဖန်ရှင်ဆီသို့ စုဆုံသည်ဟု မဆိုလိုပေ။ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းသည် စုဆုံရန် ပျက်ကွက်နိုင်သည် သို့မဟုတ် မူလဖန်ရှင်နှင့် ကွဲပြားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဆီသို့ စုဆုံသွားနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဖန်ရှင် <math display="block"> f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & \text{if } x \neq 0, \\[3mu] 0 & \text{if } x = 0 \end{cases} </math> သည် <math>x=0</math> တွင် အနန္တအကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရပြီး <math>0</math> ရှိ ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်အားလုံးသည် သုညနှင့် ညီမျှကြသည်။ ထို့ကြောင့် <math>0</math> ရှိ ၎င်း၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းသည် သုည ကိန်းစဉ်တန်းဖြစ်ပြီး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာမဟုတ်သော ချောမွေ့သည့် ဖန်ရှင် (smooth function) ၏ စံဥပမာတစ်ခုကို ပေးစွမ်းသည်။<ref>Grossman (1984), p. 750.</ref> ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ထိုအမှတ်ပတ်လည်ရှိ အဖွင့် အပိုင်းအခြား တစ်ခုခုအတွင်း သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]]ဖြစ်စဉ်တွင် အဖွင့် အပိတ်ပြား တစ်ခုခုအတွင်း ၎င်း၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ပေါင်းလဒ်နှင့် ညီမျှပါက အဆိုပါဖန်ရှင်ကို အမှတ်တစ်ခုတွင် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း ဖြန့်ထုတ်ချက်သည် ၎င်း၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းနှင့် အတိအကျ ထပ်တူညီသည်။<ref>Silverman (1974), p. 139.</ref> မည်သည့် ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းအတွက်မဆို စုဆုံခြင်း အချင်းဝက်ဟု ခေါ်သော ကိန်း <math>R</math> တစ်ခုရှိပြီး ယင်းကိန်းစဉ်တန်းသည် <math>|x-a|<R</math> အတွက် အကြွင်းမဲ့ စုဆုံပြီး (converges absolutely) <math>|x-a|>R</math> အတွက် ဖြာထွက်သည် (diverges) ။ ၎င်းကို ကော်ချီ-ဟာဒါမတ် ပုံသေနည်း (Cauchy-Hadamard formula) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display="block"> \frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}. </math> ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်တစ်ခုအတွက် <math>a</math> ရှိ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း၏ စုဆုံခြင်း အချင်းဝက်သည် <math>a</math> မှနေ၍ ဖန်ရှင်ကို ဟိုလိုမော်ဖစ်နည်းကျ (holomorphically) ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်စေရန် မဖြစ်နိုင်တော့သော အနီးဆုံးအမှတ်အထိ အကွာအဝေးဖြစ်သည်။ ယင်းအမှတ်သည် များသောအားဖြင့် ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်း (singularity) ဖြစ်သည်။ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုကို ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းတွင် ဗဟိုပြု၍ မရနိုင်ပေ။ အနန္တတန်ဖိုးမှတ် (pole) များကဲ့သို့သော ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို အနုတ် ထပ်ကိန်းများ ပါဝင်သော လော်ရင့် ကိန်းစဉ်တန်း (Laurent series) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်ဖြေရှင်းနိုင်သည်။ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဖြာထွက်အမှတ်များ (algebraic branch points) ကို အပိုင်းကိန်း ထပ်ကိန်းများ (fractional powers) ဆီသို့ ကိန်းရှင်များ ပြောင်းလဲခြင်းဖြင့် ဖြေရှင်းနိုင်ပြီး ယင်းမှတစ်ဆင့် ပွီဇိုး ကိန်းစဉ်တန်း (Puiseux series) ကို ရရှိစေသည်။<ref>Bliss (1933), at Chapter II.</ref> == ကိန်းရှင်အများအပြားပါဝင်သော တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series in multiple variables) == တေလာ [[ကိန်းစဉ်တန်း]]ကို ကိန်းရှင်တစ်ခုထက်ပိုသော [[ဖန်ရှင်]]များအတွက်လည်း အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။<ref>Hörmander (2002), at Eqq. 1.1.7 and 1.1.7′; Kolk & Duistermaat (2010), pp. 59–63.</ref> <math display="block">\begin{align} T(x_1,\ldots,x_d) &= \sum_{n_1=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\ldots,a_d) \\ &= \sum_{|\alpha| \geq 0}\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\alpha}{\alpha !} \left({\mathrm{\partial}^{\alpha}}f\right)(\mathbf{a}). \end{align}</math> နောက်ဆုံး ဖော်ပြချက်သည် အညွှန်းစုံ [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (multi-index notation) ဖြင့် ဖော်ပြထားသော မသိကိန်းများစွာပါ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (multivariate Taylor series) ဖြစ်သည်။ ကိန်းရှင်တစ်ခုထက်ပိုသော [[စကေလာ|စကေလာတန်ဖိုးရှိ]] ဖန်ရှင် (scalar-valued function) တစ်ခု၏ ဒုတိယအဆင့် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ဖြန့်ထုတ်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ကျစ်လျစ်စွာ ရေးသားနိုင်သည်။ <math display="block">T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} \nabla f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2!} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} \left \{D^2 f(\mathbf{a}) \right \} (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots,</math> ဤနေရာတွင် <math>\nabla f(\mathbf{a})</math> သည် <math>\mathbf{x} = \mathbf{a}</math> ၌ တွက်ချက်ထားသော <math>f</math> ၏ ဂရေးဒီးယင့် (gradient) ဖြစ်ပြီး <math>D^2 f(\mathbf{a})</math> သည် ဟက်ရှန် [[ကိန်းအုံ]] (Hessian matrix) ဖြစ်သည်။ == အချို့သော အသုံးများသည့် ဖန်ရှင်များ၏ မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်း (Maclaurin series of some common functions) == အရေးကြီးသော မက်လောရင် [[ကိန်းစဉ်တန်း]] ဖြန့်ထုတ်ချက် အချို့ကို အောက်တွင် ဖော်ပြထားသည်။ ဤဖြန့်ထုတ်ချက်အားလုံးသည် [[ကိန်းထွေး]] အဝင်ကိန်းများ (complex arguments) <math>x</math> အတွက် အကျုံးဝင်သည်။ တန်ဖိုးများစွာရှိသော [[ဖန်ရှင်]]များ (multivalued functions) အတွက်ဆိုလျှင် ပင်မ ဖြာထွက်ဖန်ရှင် (principal branch) အနေဖြင့် နားလည်ရမည်ဖြစ်သည်။ === ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (Exponential function) === အခြေ (base) <math>e</math> ပါရှိသော ထပ်ကိန်းတင် [[ဖန်ရှင်]] (exponential function) <math>e^x</math> တွင် အောက်ပါ မက်လောရင် [[ကိန်းစဉ်တန်း]] ရှိသည်။<ref>Abramowitz & Stegun (1970), p. 69.</ref> <math display="block"> e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots. </math> ၎င်းသည် <math>x</math> အားလုံးအတွက် စုဆုံသည်။ === သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ် (Natural logarithm) === အခြေ <math>e</math> ပါရှိသော သဘာဝ [[လော့ဂရစ်သမ်]]တွင် အောက်ပါ မက်လောရင် [[ကိန်းစဉ်တန်း]] ရှိသည်။<ref>Bilodeau, Thie, & Keough (2010), p. 252; Abramowitz & Stegun (1970), p. 15.</ref> <math display="block"> \begin{align} \ln(1-x) &= - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n = -x - \frac{x^2}2 - \frac{x^3}3 - \cdots , \\ \ln(1+x) &= \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \cdots . \end{align}</math> နောက်ပိုင်းအရာကို မာကေတာ ကိန်းစဉ်တန်း (Mercator series) ဟု သိကြသည်။ ၎င်းတို့နှစ်ခုစလုံးသည် <math>|x| < 1</math> အတွက် စုဆုံကြသည်။ === ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric series) === ဂျီဩမေတြီ [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (geometric series) နှင့် ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]များတွင် အောက်ပါ မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်းများ ရှိသည်။ <math display="block">\begin{align} \frac{1}{1-x} &= \sum^\infty_{n=0} x^n \\ \frac{1}{(1-x)^2} &= \sum^\infty_{n=1} nx^{n-1} \\ \frac{1}{(1-x)^3} &= \sum^\infty_{n=2} \frac{(n-1)n}{2} x^{n-2}. \end{align}</math> ၎င်းတို့အားလုံးသည် <math>|x| < 1</math> အတွက် စုဆုံကြသည်။ === ဘိုင်နိုမီရယ် ကိန်းစဉ်တန်း (Binomial series) === ဘိုင်နိုမီရယ် [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (binomial series) သည် အောက်ပါ ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n</math> ၎င်း၏ မြှောက်ဖော်ကိန်းများသည် ယေဘုယျပြုထားသော ဘိုင်နိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (generalized binomial coefficients) ဖြစ်ကြသည်။<ref>Abramowitz & Stegun (1970), p. 14.</ref> <math display="block">\binom{\alpha}{n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.</math> မည်သည့် [[ကိန်းစစ်]] သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]] <math>\alpha</math> အတွက်မဆို ၎င်းသည် <math>|x| < 1</math> တွင် စုဆုံသည်။ === တြီဂိုနိုမေတြီ ဖန်ရှင်များ (Trigonometric functions) === ပုံမှန် [[တြီဂိုနိုမေတြီ]] [[ဖန်ရှင်]]များနှင့် ၎င်းတို့၏ ပြောင်းပြန်များ (inverses) တွင် အောက်ပါ မက်လောရင် [[ကိန်းစဉ်တန်း]]များ ရှိကြသည်။<ref>Abramowitz & Stegun (1970), pp. 75, 81.</ref> <math display="block">\begin{align} \sin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots && \text{for all } x\\[6pt] \cos x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots && \text{for all } x\\[6pt] \tan x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt] \sec x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} &&=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt] \arcsin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots && \text{for }|x| \le 1\\[6pt] \arccos x &=\frac{\pi}{2}-\arcsin x&&=\frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}-\frac{3x^5}{40}-\cdots&& \text{for }|x| \le 1\\[6pt] \arctan x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} &&=x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}-\cdots && \text{for }|x| \le 1,\ x\neq\pm i \end{align}</math> === ဟိုက်ပါဘောလစ် ဖန်ရှင်များ (Hyperbolic functions) === ဟိုက်ပါဘောလစ် [[ဖန်ရှင်]]များ (hyperbolic functions) တွင် သက်ဆိုင်ရာ [[တြီဂိုနိုမေတြီ]] ဖန်ရှင်များအတွက် ကိန်းစဉ်တန်းများနှင့် နီးကပ်စွာ ဆက်စပ်နေသော မက်လောရင် [[ကိန်းစဉ်တန်း]]များ ရှိကြသည်။<ref>Abramowitz & Stegun (1970), p. 85.</ref> <math display="block">\begin{align} \sinh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} &&= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots && \text{for all } x\\[6pt] \cosh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} &&= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots && \text{for all } x\\[6pt] \tanh x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n \left(4^n-1\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt] \operatorname{arsinh} x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&=x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \cdots && \text{for }|x| \le 1\\[6pt] \operatorname{artanh} x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} &&=x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} +\cdots && \text{for }|x| \le 1,\ x\neq\pm 1 \end{align}</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Abramowitz |first1=Milton |last2=Stegun |first2=Irene A. |title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables |publisher=Dover Publications |publication-place=New York |date=1970}} * {{Citation |last=Ahlfors |first=Lars V. |title=Complex analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |publication-place=New York |date=1979 |isbn=978-0-07-000657-7}} * {{Citation |last=Banner |first=Adrian |title=The Calculus Lifesaver: All the Tools You Need to Excel at Calculus |publisher=Princeton University Press |date=2007 |isbn=978-0-691-13088-0 |url=https://books.google.com/books?id=OrumDwAAQBAJ}} * {{Citation |last1=Bilodeau |first1=Gerald |last2=Thie |first2=Paul |last3=Keough |first3=G. E. |title=An Introduction to Analysis |publisher=Jones & Bartlett Publisher |date=2010 |isbn=978-0-7637-7492-9}} * {{Citation |last=Bliss |first=Gilbert Ames |title=Algebraic Functions |publisher=Dover Publications |date=1933 |isbn=978-0-486-49568-2}} * {{Citation |last1=Boyer |first1=C. |last2=Merzbach |first2=U. |title=A History of Mathematics |edition=2nd |publisher=John Wiley and Sons |date=1991 |isbn=0-471-09763-2 |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye}} * {{Citation |last=Bruce |first=Ian |title=Methodus Incrementorum Directa & Inversa |website=17centurymaths.com |date=2007 |url=https://17centurymaths.com/contents/taylorscontents.html}} * {{Citation |last=Campos |first=Luis Manuel Braga da Costa |title=Complex Analysis with Applications to Flows and Fields |publisher=CRC Press |date=2011 |isbn=978-1-040-17268-1 |url=https://books.google.com/books?id=z6mNEQAAQBAJ}} * {{Citation |last=Choudhary |first=B. |title=The Elements of Complex Analysis |publisher=New Age International Limited |date=1992 |isbn=978-81-224-0399-2 |url=https://books.google.com/books?id=5K9i2YwgTjYC}} * {{Citation |last=Conway |first=John B. |title=Functions of one complex variable. I |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=11 |edition=2nd |publisher=Springer-Verlag |publication-place=New York |date=1978 |isbn=978-0-387-90328-6}} * {{Citation |last=Dani |first=S. G. |title=Ancient Indian Mathematics – A Conspectus |journal=Resonance |volume=17 |issue=3 |date=2012 |pages=236–246 |doi=10.1007/s12045-012-0022-y}} * {{Citation |last=Edwards |first=C. Henry |title=The Historical Development of the Calculus |series=Springer study edition |publisher=Springer |date=1994 |isbn=978-0-387-94313-8 |url=https://books.google.com/books?id=ilrlBwAAQBAJ}} * {{Citation |last1=Enns |first1=Richard H. |last2=McGuire |first2=George C. |title=Nonlinear Physics with Maple for Scientists and Engineers |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |date=2000 |isbn=978-0-471-25709-7 |url=https://books.google.com/books?id=rxadEAAAQBAJ}} * {{Citation |last=Feigenbaum |first=L. |title=Brook Taylor and the method of increments |journal=Archive for History of Exact Sciences |volume=34 |issue=1–2 |date=1985 |pages=1–140 |doi=10.1007/bf00329903}} * {{Citation |last=Feller |first=William |title=An introduction to probability theory and its applications |volume=2 |edition=3rd |publisher=Wiley |orig-year=1971 |date=2003 |isbn=978-9-971-51298-9 |url=https://archive.org/details/introductiontopr0000fell/mode/2up}} * {{Citation |last1=Freitag |first1=Eberhard |last2=Busam |first2=Rolf |title=Complex analysis |publisher=Springer |publication-place=Berlin |date=2005 |isbn=978-3-540-93983-2}} * {{Citation |last=Grossman |first=Stanley I. |title=Calculus |edition=3rd |publisher=Academic Press |date=1984 |isbn=978-1-4832-6239-0 |url=https://books.google.com/books?id=eafiBQAAQBAJ}} * {{Citation |last=Gupta |first=Radha Charan |editor-last=Ramasubramanian |editor-first=K. |title=Gaṇitānanda: Selected Works of Radha Charan Gupta on History of Mathematics |publisher=Springer |date=2019 |doi=10.1007/978-981-13-1229-8_40}} * {{Citation |last=Henrici |first=Peter |title=Applied and Computational Complex Analysis |volume=1 |publisher=Wiley-Interscience |publication-place=New York |date=1974}} * {{Citation |last1=Hille |first1=Einar |last2=Phillips |first2=Ralph S. |title=Functional analysis and semi-groups |series=AMS Colloquium Publications |volume=31 |publisher=American Mathematical Society |date=1957 |url=https://archive.org/details/bwb_T2-CGU-824_31/mode/2up}} * {{Citation |last=Hofmann |first=Josef Ehrenfried |title=On the Discovery of the Logarithmic Series and Its Development in England up to Cotes |journal=National Mathematics Magazine |volume=14 |issue=1 |date=1939 |pages=33–45 |doi=10.2307/3028095 |jstor=3028095}} * {{Citation |last=Hörmander |first=Lars |title=The Analysis of Partial Differential Operators I |chapter=A Review of Differential Calculus |edition=2nd |publisher=Springer |date=2002 |orig-year=1990 |isbn=978-3-642-61497-2 |doi=10.1007/978-3-642-61497-2_2 |chapter-url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-61497-2_2 |at=§ 1.1, pp. 5–13}} * {{Citation |last=Kline |first=M. |title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times |publisher=Oxford University Press |publication-place=New York |date=1990 |isbn=0-19-506135-7 |url=https://archive.org/details/mathematicalthou00klin}} * {{Citation |last=Knapp |first=Anthony W. |title=Basic Real Analysis |publisher=Springer |date=2000 |isbn=978-0-8176-4441-3 |url=https://books.google.com/books?id=DLfxd7StGw8C}} * {{Citation |last1=Kolk |first1=Johan A.C. |last2=Duistermaat |first2=J.J. |title=Distributions: Theory and applications |chapter=Taylor Expansion in Several Variables |publisher=Birkhauser |date=2010 |isbn=978-0-8176-4672-1 |doi=10.1007/978-0-8176-4675-2_6 |chapter-url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-0-8176-4675-2_6}} * {{Citation |last=Kreyszig |first=Erwin |title=Advanced Engineering Mathematics |publisher=John Wiley & Sons |date=2011 |isbn=978-1-119-45592-9 |url=https://books.google.com/books?id=w4T3DwAAQBAJ}} * {{Citation |last=Lang |first=Serge |title=Complex analysis |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=103 |edition=4th |publisher=Springer |publication-place=New York |date=1999 |isbn=978-0-387-98592-3}} * {{Citation |last=Lindberg |first=David |title=The Beginnings of Western Science |edition=2nd |publisher=University of Chicago Press |date=2007 |isbn=978-0-226-48205-7}} * {{Citation |last=Malet |first=Antoni |title=James Gregorie on Tangents and the "Taylor" Rule for Series Expansions |journal=Archive for History of Exact Sciences |volume=46 |issue=2 |date=1993 |pages=97–137 |doi=10.1007/BF00375656 |jstor=41133959}} * {{Citation |last=Markushevich |first=A. I. |title=Entire Functions |publisher=Elsevier |date=1966 |isbn=978-1-4832-7490-4 |url=https://books.google.com/books?id=-rvSBQAAQBAJ}} * {{Citation |last=Newton |first=Isaac |title=Tractatus de quadratura curvarum: in usum studiosae iuventutis mathematicae explicationibus illustratus |date=1761}} * {{Citation |last=Rowlands |first=Peter |title=Newton and the Great World System |publisher=World Scientific Publishing |date=2017 |isbn=978-1-78634-372-7 |doi=10.1142/q0108}} * {{Citation |last=Roy |first=Ranjan |title=The Discovery of the Series Formula for <math>\pi</math> by Leibniz, Gregory and Nilakantha |journal=Mathematics Magazine |volume=63 |issue=5 |date=1990 |pages=291–306 |doi=10.1080/0025570X.1990.11977541 |url=https://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Allendoerfer/1991/0025570x.di021167.02p0073q.pdf |access-date=11 September 2026 |archive-date=14 March 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230314224252/https://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Allendoerfer/1991/0025570x.di021167.02p0073q.pdf |url-status=dead }} * {{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of mathematical analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |publication-place=New York |date=1976 |isbn=978-0-07-054235-8}} * {{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Real and Complex Analysis |publisher=McGraw-Hill |publication-place=New Delhi |date=1980 |isbn=0-07-099557-5}} * {{Citation |last=Saha |first=Swapan K. |title=Paradigm of Optical Imaging |publisher=CRC Press |date=2026 |isbn=978-1-040-44735-2 |url=https://books.google.com/books?id=ZkF-EQAAQBAJ}} * {{Citation |last=Sandler |first=Stanley I. |title=An Introduction to Applied Statistical Thermodynamics |publisher=John Wiley & Sons |date=2011 |isbn=978-0-470-91347-5 |url=https://books.google.com/books?id=6wtw2c5Cj0QC}} * {{Citation |last=Silverman |first=Richard A. |title=Complex Analysis with Applications |publisher=Dover Publications |date=1974}} * {{Citation |last1=Stein |first1=Elias M. |last2=Shakarchi |first2=Rami |title=Complex analysis |series=Princeton Lectures in Analysis |volume=2 |publisher=Princeton University Press |publication-place=Princeton, New Jersey |date=2003 |isbn=978-0-691-11385-2}} * {{Citation |last=Stewart |first=James |title=Calculus: Early Transcendentals |edition=6th |publisher=Thomson Brooks/Cole |date=2008 |isbn=978-0-495-38273-7}} * {{Citation |last=Struik |first=D. J. |title=A Source Book in Mathematics 1200–1800 |publisher=Harvard University Press |date=1969 |isbn=978-0-674-82355-6}} * {{Citation |last=Taylor |first=Brook |title=Methodus Incrementorum Directa et Inversa |language=la |publisher=William Innys |publication-place=London |date=1715 |url=https://archive.org/details/UFIE003454_TO0324_PNI-2529_000000}} * {{Citation |last1=Thomas |first1=George B. Jr. |last2=Finney |first2=Ross L. |title=Calculus and Analytic Geometry |edition=9th |publisher=Addison Wesley |date=1996 |isbn=0-201-53174-7}} * {{Citation |last=Titchmarsh |first=E. C. |title=The theory of functions |edition=2nd |publisher=Oxford University Press |publication-place=London |date=1939}} * {{Citation |editor-last=Turnbull |editor-first=Herbert Westren |title=James Gregory; Tercentenary Memorial Volume |publisher=G. Bell & Sons |date=1939}} * {{Citation |last1=Varberg |first1=Dale E. |last2=Purcell |first2=Edwin J. |last3=Rigdon |first3=Steven E. |title=Calculus |edition=9th |publisher=Pearson Prentice Hall |date=2007 |isbn=978-0-13-146968-6}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းစဉ်နှင့် ကိန်းစဉ်တန်း]] msp273rezqas3q2dy6hsjejlr8iuurc 0 291445 1054240 1052958 2026-09-20T10:41:55Z Mkant00 135890 1054240 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} [[File:RTCalc.svg|thumb|300 px|right|[[ကိန်းစစ်]] [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> သည် အပိတ် အပိုင်းအခြားအစစ် <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်]]ဖြစ်ပြီး အဖွင့် အပိုင်းအခြား <math>(a, b)</math> ပေါ်တွင် [[ဆင်းသက်ချက်_(ဒစ်ဖရန်ရှယ်_ကဲကုလပ်)#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု_နှင့်_အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း_(Differentiability_and_Continuity)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်]]ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>f(a) = f(b)</math> ဖြစ်ပါက <math>f'(c) = 0</math> ဖြစ်စေမည့် <math>c</math> တန်ဖိုးတစ်ခုသည် အဆိုပါ <math>(a, b)</math> ကြားတွင် တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။]] ကဲကုလပ် (calculus) နှင့် ကိန်းစစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (real analysis) ဘာသာရပ်များတွင် ရိုးလ်၏ သီအိုရမ် (Rolle's theorem) သို့မဟုတ် ရိုးလ်၏ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (lemma) ဟုခေါ်သော အဆိုအရ ကွဲပြားသော အမှတ်နှစ်ခုတွင် တူညီသောတန်ဖိုးများ ရရှိသည့် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ (real-valued) [[ဆင်းသက်ချက်_(ဒစ်ဖရန်ရှယ်_ကဲကုလပ်)#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု_နှင့်_အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း_(Differentiability_and_Continuity)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်]] (differentiable function) တစ်ခုသည် ၎င်းအမှတ်နှစ်ခုကြား တစ်နေရာရာတွင် ငြိမ်နေသော အမှတ် (stationary point) တစ်ခု မဖြစ်မနေ ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ ဤငြိမ်နေသော အမှတ်ဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) သုညဖြစ်သွားသော အမှတ်ဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်သည် ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် (mean value theorem) ၏ အထူးအခြေအနေတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းကို ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို သက်သေပြရာတွင်လည်း အသုံးချသည်။ == ဖော်ပြချက် (Statement) == [[ကိန်းစစ်]] [[ဖန်ရှင်]] (real function) <math>f</math> တစ်ခုသည် အပိတ် အပိုင်းအခြားအစစ် (proper closed interval) <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်]] (continuous function) ဖြစ်ပြီး အဖွင့် အပိုင်းအခြား (open interval) <math>(a, b)</math> ပေါ်တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>f(a) = f(b)</math> ဖြစ်ပါက အဖွင့် အပိုင်းအခြား <math>(a, b)</math> အတွင်း၌ <math>f'(c) = 0</math> ဖြစ်စေမည့် <math>c</math> တန်ဖိုး အနည်းဆုံးတစ်ခု တည်ရှိသည်။ == သမိုင်းကြောင်း (History) == ဤသီအိုရမ်၏ အစောပိုင်းပုံစံတစ်ခုကို 12 ရာစုတွင် ဘာစကာရာ-၂ က ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref>Encyclopedia Britannica (2026).</ref> ဤသီအိုရမ်ကို မီရှဲလ် ရိုးလ် အား အစွဲပြု၍ အမည်ပေးထားခြင်း ဖြစ်သည်။ သူသည် 1691 ခုနှစ်တွင် [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်]] ကဲကုလပ် (differential calculus) ကို အသုံးမပြုဘဲ [[ပိုလီနိုမီရယ်]] [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (polynomial functions) အတွက်သာ မှန်ကန်သည့် ကန့်သတ်ပုံစံတစ်ခုကို သက်သေပြခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် ပုံစံတကျ သက်သေပြချက် (formal proof) ကို 1823 ခုနှစ်တွင် ကော်ချီ က ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်၏ အကျိုးဆက်သီအိုရမ် (corollary) အဖြစ် ပထမဆုံး ထုတ်ဝေခဲ့သည်။<ref>Besenyei (2012).</ref><ref>Cajori (1999), p. 224.</ref> == ဥပမာများနှင့် ချေပဥပမာများ (Examples and counterexamples) == *<math>r > 0</math> အတွက် <math>f:[-r,r]\to\mathbb{R}</math> ကို <math>f(x)=\sqrt{r^2 - x^2}</math> အဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ၎င်း၏ [[ဖန်ရှင်#ဂရပ်များ_(Graphs)|ဂရပ်]] (graph) သည် အထက် စက်ဝိုင်းခြမ်းပုံ ဖြစ်သည်။ အဆိုပါဖန်ရှင်သည် <math>[-r, r]</math> ပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး]] <math>(-r, r)</math> ပေါ်တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်။ သို့သော် ဒေါင်လိုက် ထိမျဉ်းများ (vertical tangents) ရှိနေခြင်းကြောင့် အစွန်းမှတ်များ (endpoints) ဖြစ်သော <math>-r</math> နှင့် <math>r</math> တို့တွင်မူ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရပေ။ <math>f(-r) = f(r)</math> ဖြစ်သောကြောင့် ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်ကို အသုံးချနိုင်သည်။ ဤအချက်က ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု (differentiability) သည် အဖွင့် အပိုင်းအခြားပေါ်တွင်သာ မဖြစ်မနေ လိုအပ်ကြောင်း ပြသနေသည်။ [[File:Absolute value.svg|thumb|300px|[[ပကတိတန်ဖိုး]] [[ဖန်ရှင်]]၏ ဂရပ်]] *[[ပကတိတန်ဖိုး]] [[ဖန်ရှင်]] (absolute value function) <math>f(x) = |x|,\quad x \in [-1, 1]</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ယင်းဖန်ရှင်သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည့်အပြင်]] <math>f(-1) = f(1)</math> ကိုလည်း ပြည့်စုံစေသည်။ သို့သော် <math>f'(c) = 0</math> ဖြစ်စေမည့် <math>c \in (-1, 1)</math> ဟူ၍ မရှိပေ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အတွင်းပိုင်းအမှတ် (interior point) <math>x = 0</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရသောကြောင့် ဤသီအိုရမ် မှန်ကန်မှုမရှိခြင်း ဖြစ်သည်။ *အပိုင်းအခြားတစ်ခု၏ နေရာတိုင်းတွင် သုညဖြစ်သော [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှိသည့် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုသည် ကိန်းသေ (constant) ဖြစ်ရမည်ဟု ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်က ညွှန်းဆိုပြသသည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော အပိုင်းအခြားအတွင်းရှိ ကွဲပြားသော <math>x_1 < x_2</math> တန်ဖိုးတိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ပါ။ <math display=block>g(x)=f(x)-f(x_1)-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)</math> နေရာတိုင်းတွင် <math>f'(x) = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>g'(x) = -\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}</math> ရရှိသည်။ <math>g(x_1) = g(x_2) = 0</math> ဖြစ်သည့်အတွက် <math>g'(c) = 0</math> ဖြစ်စေမည့် <math>c \in (x_1,x_2)</math> တစ်ခုရှိကြောင်း ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်က အာမခံချက်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် <math>f(x_1) = f(x_2)</math> ဖြစ်လာပြီး ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် ကိန်းသေဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ === အရင်းအမြစ်စု၏ ပြည့်စုံမှုအတွက် လိုအပ်ချက် (Requirement for completeness of domain) === ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်သည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) ၏ ပြည့်စုံမှု (completeness) အပေါ်တွင် မှီခိုနေသည်။ ပြည့်စုံမှုမရှိဘဲ သိပ်သည်းစွာ [[အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်]] (densely ordered field) တစ်ခုအပေါ်တွင်မူ ဤသီအိုရမ် မှန်ကန်မှုမရှိပေ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>f(x)=(x^{2}-2)^{2}</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော [[ဖန်ရှင်]] <math>f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}</math> သည် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] (rational numbers) အစု <math>\mathbb{Q}</math> ပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး]] ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်။ ထို့ပြင် <math>f(0)=f(2)=4</math> ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ကိန်းရင်း (root) <math>\sqrt{2}</math> သည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း]] (irrational number) ဖြစ်နေသောကြောင့် <math>f'(x)=0</math> ဖြစ်စေမည့် <math>x \in (0,2)\cap\mathbb{Q}</math> တစ်ခုမျှ တည်ရှိမနေပေ။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်း (Generalization) == <math>[a, b]</math> ပေါ်ရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ]] [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> တစ်ခုသည် <math>f(a) = f(b)</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>x \in (a, b)</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ ညာဘက်မှ [[စုဆုံမှတ်]] နှင့် ဘယ်ဘက်မှ စုဆုံမှတ်များ (right- and left-hand limits) သည် <math display="block">f'(x^+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \quad\text{and}\quad f'(x^-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်မျဉ်း (extended real line) <math>[-\infty, \infty]</math> အတွင်း တည်ရှိနေသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုသို့ဖြစ်လျှင် စုဆုံမှတ် (limit) တစ်ခုသည် <math>\ge 0</math> ဖြစ်ပြီး အခြားစုဆုံမှတ်တစ်ခုသည် <math>\le 0</math> ဖြစ်စေမည့် <math>c \in (a, b)</math> တစ်ခု တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ထိုစုဆုံမှတ်နှစ်ခု တူညီနေပါက ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] တည်ရှိမည်ဖြစ်ပြီး <math>f'(c) = 0</math> ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ === မှတ်ချက် === * အကယ်၍ [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> သည် ခုံးသော (convex) သို့မဟုတ် ခွက်သော (concave) ဖန်ရှင်ဖြစ်ပါက ဤစုဆုံမှတ်များသည် တည်ရှိပြီး ၎င်းတို့သည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] ဖြစ်ကြသည်။ * တစ်ဖက်သတ် ဆင်းသက်ချက်များ (one-sided derivatives) သည် အစဉ်လိုက် တိုးသော (monotonically increasing) အခြေအနေတွင် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ခုံးခြင်းသဘာဝကို သက်သေပြရန် ဤယေဘုယျပုံစံက လုံလောက်မှုရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားနိုင်သည်။<ref>Artin (1964), pp. 3–4.</ref> <math display="block">f'(x^-) \le f'(x^+) \le f'(y^-),\quad x < y.</math> == ယေဘုယျပုံစံ၏ သက်သေပြချက် (Proof of the generalized version) == အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (extreme value theorem) အရ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] <math>f</math> သည် <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် ၎င်း၏ အကြီးဆုံးတန်ဖိုး (maximum) နှင့် အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး (minimum) တို့ကို ရရှိသည်။ အကယ်၍ ၎င်းတန်ဖိုးနှစ်ခုစလုံးသည် အစွန်းမှတ်များ၌ ဖြစ်ပေါ်ပါက <math>f</math> သည် ကိန်းသေ [[ဖန်ရှင်]]ဖြစ်သွားပြီး နေရာတိုင်းတွင် <math>f'(x) = 0</math> ဖြစ်မည်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့မဟုတ်ပါက အကြီးဆုံးတန်ဖိုးသည် အတွင်းပိုင်းအမှတ် <math>c \in (a, b)</math> တစ်ခု၌ ရှိသည်ဟု ယူဆပါ။ ဤသက်သေပြချက်သည် ဖန်ရှင် <math>-f</math> ၏ အငယ်ဆုံးတန်ဖိုးအတွက်လည်း အလားတူပင် ဖြစ်သည်။ သေးငယ်သော <math>h > 0</math> တန်ဖိုးများအတွက် <math>f(c+h) \le f(c)</math> ရရှိသည်။ ထို့ကြောင့် <math>\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \le 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>f'(c^+) \le 0</math> ကို ရရှိစေသည်။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် <math>h < 0</math> ဖြစ်သောအခါ ပိုင်းခြေ (denominator) သည် [[အနုတ်ကိန်း]] (negative number) ဖြစ်သွားသောကြောင့် <math>\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \ge 0</math> ကို ရရှိစေပြီး <math>f'(c^-) \ge 0</math> ဖြစ်လာသည်။ ထို့ကြောင့် [[စုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်များ]]သည် ဆန့်ကျင်ဘက် လက္ခဏာများ ရှိကြသည်။ == ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များအတွက် ယေဘုယျပြုထားခြင်း (Generalization to higher derivatives) == [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> ကို <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် <math>n - 1</math> ကြိမ် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သည်ဟု ယူဆပါ။ ထို့ပြင် ၎င်း၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] <math>f^{(n)}</math> သည် <math>(a, b)</math> ပေါ်တွင် တည်ရှိသည်ဟု ထားပါ။ အကယ်၍ 1 မှ <math>n</math> အထိ <math>k</math> တန်ဖိုးတိုင်းအတွက် <math>f(a_k) = f(b_k)</math> ဖြစ်စေမည့် အပိုင်းအခြား <math>n</math> ခု ဖြစ်သော <math>a_1 < b_1 \le a_2 < b_2 \le \dots \le a_n < b_n</math> တို့သည် <math>[a, b]</math> အတွင်း တည်ရှိနေပါက <math>f^{(n)}(c) = 0</math> ဖြစ်စေမည့် <math>c \in (a, b)</math> တစ်ခု တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ [[File:Rolle Generale.svg|thumb|290x290px|အနီရောင်မျဉ်းကွေးသည် <math>[-3, 2]</math> အပိုင်းအခြားအတွင်း ကိန်းရင်းအဖြေ 3 ခုရှိသော ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ဂရပ်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အစိမ်းရောင်ဖြင့် ပြသထားသော ၎င်း၏ ဒုတိယ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (second derivative) သည်လည်း ယင်းအပိုင်းအခြားအတွင်း၌ပင် ကိန်းရင်းအဖြေတစ်ခု ရှိနေသည်။]] အထူးသဖြင့် <math>n - 1</math> ကြိမ် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်တစ်ခုတွင် ကိန်းရင်း <math>n</math> ခု ရှိနေပါက ယင်း၏ ဆင်းသက်ချက် <math>f^{(n - 1)}</math> သုညဖြစ်သွားသော အတွင်းပိုင်းအမှတ်တစ်ခု မဖြစ်မနေ ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ === သက်သေပြချက် (Proof) === ဤအဆိုကို သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း (mathematical induction) ဖြင့် သက်သေပြနိုင်သည်။ <math>n = 1</math> ဖြစ်သည့် အခြေအနေသည် စံပြုထားသော ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်ပင် ဖြစ်သည်။ ယခု ဤအဆိုသည် <math>n - 1</math> အတွက် မှန်ကန်သည်ဟု မှတ်ယူပါစို့။ ၎င်းအပိုင်းအခြား <math>n</math> ခုအပေါ် စံပြုထားသော ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်ကို အသုံးချလိုက်ပါက <math>f'(c_k) = 0</math> ဖြစ်စေမည့် အမှတ် <math>n</math> ခု ဖြစ်သော <math>c_1 < \dots < c_n</math> တို့ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ယင်းက အစွန်းမှတ်များ၌ <math>f'</math> သုညဖြစ်သွားသည့် အပိတ် အပိုင်းအခြား <math>n - 1</math> ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤ <math>f'</math> အပေါ်သို့ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်းဆိုင်ရာ ယူဆချက် (inductive hypothesis) ကို အသုံးချလိုက်သောအခါ ၎င်း၏ <math>n - 1</math> ကြိမ်မြောက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]သည် တစ်နည်းအားဖြင့် <math>f^{(n)}</math> သည် တစ်ခုသော အမှတ် <math>c</math> ၌ သုညဖြစ်ရမည် ဖြစ်သည်။ == အခြား ဖီးလ်ဒ်များသို့ ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations to other fields) == ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်သည် [[အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်]] (ordered field) တစ်ခု လိုအပ်ပြီး အခြား [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) ဆီသို့ တိကျစွာ ယေဘုယျပြု၍ မရနိုင်ပေ။ သို့သော် ၎င်းနှင့်ဆက်စပ်နေသော အကျိုးဆက်သီအိုရမ်တစ်ခုကတော့ ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်တွင် အပြည့်အဝ ဆခွဲကိန်းခွဲ၍ရသော (factors completely) [[ပိုလီနိုမီရယ်]]တိုင်းအတွက် ၎င်း၏[[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ကိုလည်း အပြည့်အဝ ဆခွဲကိန်းခွဲ၍ရနိုင်ပါက ယင်းဖီးလ်ဒ်တွင် ရိုးလ်၏ ဂုဏ်သတ္တိ (Rolle's property) ရှိသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။<ref>Brown, Craven & Pelling (1986), pp. 66–78.</ref> မည်သည့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် (algebraically closed field) မဆို ရိုးလ်၏ ဂုဏ်သတ္တိကို ပိုင်ဆိုင်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) ကို ကြည့်နိုင်သည်။ [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]]တွင်မူ ထိုဂုဏ်သတ္တိ မရှိပေ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်တွင် ဆခွဲကိန်းခွဲ၍ရသော်လည်း ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်ဖြစ်သော <math>3x^2 - 1</math> မှာမူ ဆခွဲကိန်းခွဲ၍ မရနိုင်ပေ။ [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်|အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်များ]] (finite fields) အနက်မှ <math>\mathbf{F}_2</math> နှင့် <math>\mathbf{F}_4</math> တို့တွင်သာ ရိုးလ်၏ ဂုဏ်သတ္တိ ရှိကြသည်။<ref>Kaplansky (1972).</ref><ref>Craven & Csordas (1977), pp. 801–817.</ref><ref>Ballantine & Roberts (2002), pp. 72–74.</ref> == ကိုးကား == * {{Citation |last=Artin |first=Emil |author-link=Emil Artin |translator-first=Michael |translator-last=Butler |title=The Gamma Function |orig-year=1931 |date=1964 |publication-place=New York |publisher=Holt, Rinehart and Winston |at=pp. 3–4}} * {{Citation |last1=Ballantine |first1=C. |last2=Roberts |first2=J. |title=A Simple Proof of Rolle's Theorem for Finite Fields |journal=The American Mathematical Monthly |volume=109 |issue=1 |date=January 2002 |at=pp. 72–74 |doi=10.2307/2695770 |jstor=2695770 |publisher=Mathematical Association of America}} * {{Citation |last=Besenyei |first=Ádám |title=A brief history of the mean value theorem |date=2012-09-17 |url=http://abesenyei.web.elte.hu/publications/meanvalue.pdf |type=Presentation}} * {{Citation |last1=Brown |first1=Ron |last2=Craven |first2=Thomas C. |last3=Pelling |first3=M. J. |title=Ordered fields satisfying Rolle's theorem |journal=Illinois J. Math. |volume=30 |issue=1 |date=1986 |at=pp. 66–78}} * {{Citation |last=Cajori |first=Florian |author-link=Florian Cajori |title=A History of Mathematics |date=1999 |publication-place=Providence, RI |publisher=American Mathematical Soc. |isbn=978-0-8218-2102-2 |url=https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&pg=RA1-PA119-IA5 |at=p. 224}} * {{Citation |last1=Craven |first1=Thomas |last2=Csordas |first2=George |title=Multiplier sequences for fields |journal=Illinois J. Math. |volume=21 |issue=4 |date=1977 |at=pp. 801–817 |url=https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256048929 |doi=10.1215/ijm/1256048929}} * {{Citation |title=Rolle's theorem |encyclopedia=Encyclopedia Britannica |publisher=Encyclopædia Britannica, Inc. |url=https://www.britannica.com/science/Rolles-theorem |access-date=2026-09-11}} * {{Citation |last=Kaplansky |first=Irving |author-link=Irving Kaplansky |title=Fields and Rings |edition=2nd |publication-place=Chicago |publisher=University of Chicago Press |date=1972 |isbn=978-0-226-42451-4}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] 5avsw98defzda4ts4kmxja1o493tdb2 0 291447 1054245 1052957 2026-09-20T10:44:16Z Mkant00 135890 1054245 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} ကဲကုလပ် (calculus) နှင့် ကိန်းစစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (real analysis) တို့တွင် ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် (mean value theorem) သို့မဟုတ် လာဂေါင့်၏ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် (Lagrange's mean value theorem) သည် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ [[ဖန်ရှင်]] (real-valued function) တစ်ခုက အပိတ် အပိုင်းအခြား (closed interval) <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော]] (continuous) ဖန်ရှင်ဖြစ်ပြီး <math>a<b</math> ဖြစ်ကာ အတွင်းပိုင်း <math>(a,b)</math> ပေါ်တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင်ဖြစ်ပါက ထိုဖန်ရှင်၏ ဆင်းသက်ချက် (derivative) သည် အပိုင်းအခြားတစ်ခုလုံးအပေါ်ရှိ ဖန်ရှင်၏ ပျမ်းမျှ ပြောင်းလဲနှုန်း (average rate of change) နှင့် ညီမျှသည့် အမှတ်တစ်မှတ်အနည်းဆုံး <math>(a,b)</math> အတွင်း တည်ရှိကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဂျီဩမေတြီအရ ဤသည်မှာ [[ဖန်ရှင်#ဂရပ်များ_(Graphs)|ဂရပ်]]၏ ထိမျဉ်း (tangent line) သည် အပိုင်းအခြား၏ အစွန်းမှတ်များ (endpoints) ကို ဖြတ်သန်းသွားသော ဖြတ်မျဉ်း (secant line) နှင့် ပြိုင်တူဖြစ်သည့် အမှတ်တစ်မှတ် ရှိနေသည်ဟု ဆိုလိုသည်။ == သမိုင်းကြောင်း (History) == [[ပိုလီနိုမီရယ်|ပိုလီနိုမီရယ်များ]] (polynomials) အတွက် ကန့်သတ်ထားသော သီအိုရမ်ပုံစံတစ်ခုကို 1691 ခုနှစ်တွင် မီရှဲလ် ရိုးလ် က သက်သေပြခဲ့သည်။ ယင်းကို [[ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်]] (Rolle's theorem) ဟု ခေါ်သည်။ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို ယနေ့ခေတ်သုံးပုံစံဖြင့် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ က 1823 ခုနှစ်တွင် ဖော်ပြပြီး သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>Besenyei (2012).</ref> == ဖော်ပြချက် (Statement) == [[File:Mittelwertsatz3 c version.svg|thumb|[[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c\in(a,b)</math> ရှိ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]အဖြစ် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> ကြားရှိ ဖြတ်မျဉ်း၏ စောင်းကိန်း (slope) ကို ရရှိသည်။]] [[File:Mittelwertsatz6.svg|thumb|ဖြတ်မျဉ်းနှင့် ပြိုင်တူဖြစ်သော ထိမျဉ်းများစွာ ရှိနိုင်ခြေလည်း ရှိသည်။]] <math>f:[a,b]\to\R</math> သည် အပိတ် အပိုင်းအခြား <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) ဖြစ်ပြီး <math>a < b</math> ဖြစ်သည့် အဖွင့် အပိုင်းအခြား (open interval) <math>(a,b)</math> ပေါ်တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>c</math> တစ်ခုသည် <math>(a,b)</math> အတွင်း တည်ရှိသည်။<ref>Rudin (1976), p. 108.</ref> :<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်သည် [[ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်]]ကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalization) ဖြစ်သည်။ ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်က <math>f(a)=f(b)</math> ဟု ယူဆထားသောကြောင့် အထက်ပါ [[ညီမျှခြင်း]]၏ ညာဘက်ခြမ်းသည် သုညဖြစ်သွားသည်။ <math>f</math> သည် <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး [[စုဆုံမှတ်]] (limit) :<math>\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> သည် <math>(a,b)</math> အတွင်းရှိ <math>x</math> အားလုံးအတွက် အဆုံးရှိကိန်း (finite number) သို့မဟုတ် <math>\pm\infty</math> အဖြစ် တည်ရှိသည်ဟုသာ ယူဆလျှင်ပင် ဤသီအိုရမ်သည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်သည်။ ဤပုံစံကို အသုံးချနိုင်သည့် ဥပမာတစ်ခုမှာ သုံးထပ်ကိန်းရင်း ဖန်ရှင် (cube root function) <math>x \mapsto x^{1/3}</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်သည် မူလနေရာတွင် [[အနန္တ]]သို့ ချဉ်းကပ်သွားသည်။ === သက်သေပြချက် (Proof) === ဖော်ပြချက် <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> သည် အမှတ် <math>(a,f(a))</math> နှင့် <math>(b,f(b))</math> ကြားရှိ လေးကြိုး (chord) ၏ စောင်းကိန်းကို ပေးသည်။ <math>g(x)=f(x)-rx</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>g</math> သည် [[ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်]]ဆိုင်ရာ အခြေအနေများနှင့် ကိုက်ညီစေရန် <math>r</math> ကို ရွေးချယ်ရမည်။ :<math>g(a)=g(b) \iff f(a)-ra=f(b)-rb \iff r=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> <math>g</math> သည် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှာ၍ရသောကြောင့် ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်အရ <math>g'(c)=0</math> ဖြစ်စေမည့် <math>c \in (a,b)</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ <math>g'(x)=f'(x)-r</math> ဖြစ်သောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ :<math>g'(c) = f'(c) - r = 0 \Rightarrow f'(c) = r = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> == သက်ရောက်မှုများ (Implications) == '''သီအိုရမ် 1 -''' အပိုင်းအခြား <math>I</math> ပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] [[ကိန်းစစ်]]တန်ဖိုးရှိ [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> တစ်ခုသည် အတွင်းပိုင်းအမှတ်တိုင်း၌ သုညဖြစ်သော [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှိပါက ထိုဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>I</math> ပေါ်တွင် ကိန်းသေ (constant) ဖြစ်သည်။ '''[[သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်း|သက်သေပြချက်]] -''' <math>a < b</math> ဖြစ်သည့် <math>a, b \in I</math> အမှတ်နှစ်ခုကို ရွေးချယ်ပါ။ <math>[a, b]</math> ပေါ်ရှိ <math>f</math> တွင် ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို အသုံးချသောအခါ <math>0=f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> ဖြစ်စေမည့် <math>c \in (a, b)</math> ကို ရရှိပြီး ၎င်းက <math>f(a) = f(b)</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်ရောက်စေသည်။ ထို့ကြောင့် <math>f</math> သည် ကိန်းသေဖြစ်သည်။ '''သီအိုရမ် 2 -''' အပိုင်းအခြား <math>I</math> အတွင်းရှိ <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f'(x) = g'(x)</math> ဖြစ်ပါက ကိန်းသေ <math>C</math> တစ်ခုအတွက် <math>f = g + C</math> ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက် -''' <math>F(x) = f(x) - g(x)</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ထိုအခါ <math>I</math> ပေါ်တွင် <math>F'(x)=0</math> ဖြစ်သည်။ သီအိုရမ် 1 အရ <math>F</math> သည် ကိန်းသေဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းသေ <math>C</math> တစ်ခုအတွက် <math>f = g + C</math> ဖြစ်သည်။ '''သီအိုရမ် 3 -''' <math>F</math> သည် အပိုင်းအခြား <math>I</math> ပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (antiderivative) ဖြစ်ပါက <math>I</math> ပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ အယေဘုယျဆုံးသော ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက်မှာ ကိန်းသေ <math>C</math> တစ်ခုအတွက် <math>F(x) + C</math> ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက် -''' ဤသည်မှာ သီအိုရမ် 2 မှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်လာသည်။ == ကော်ချီ၏ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် (Cauchy's mean value theorem) == '''ကော်ချီ၏ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်''' ကို တိုးချဲ့ထားသော ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် (extended mean value theorem) ဟုလည်း လူသိများပြီး ၎င်းသည် ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုထားခြင်းဖြစ်သည်။<ref>Weisstein, Extended Mean-Value Theorem.</ref><ref>Rudin (1976), pp. 107–108.</ref> [[ဖန်ရှင်]] <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]]ဖြစ်ကာ <math>(a,b)</math> ပေါ်တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှာ၍ရပါက အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>c \in (a,b)</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ [[File:Cauchy.svg|right|thumb|260px|ကော်ချီ သီအိုရမ်၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်]] :<math>(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)</math> <math>g(a) \neq g(b)</math> နှင့် <math>g'(c) \neq 0</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် အောက်ပါဖော်ပြချက်နှင့် ထပ်တူညီသည်။ :<math>\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math> ဂျီဩမေတြီအရ မျဉ်းကွေး <math>t\mapsto (f(t),g(t))</math><ref>Math24, Cauchy's Mean Value Theorem.</ref> သို့ ဆွဲထားသော ထိမျဉ်းသည် <math>(f(a), g(a))</math> နှင့် <math>(f(b), g(b))</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော မျဉ်းနှင့် ပြိုင်တူဖြစ်သည်။ မျဉ်းကွေးသည် <math>c</math> တွင် ငြိမ်နေသော အမှတ် (stationary point) မဟုတ်ဟု ဤနေရာတွင် ယူဆထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် မျဉ်းကွေး <math>t \mapsto (t^3,1-t^2)</math> တွင် အလျားလိုက် ထိမျဉ်း (horizontal tangent) မရှိသော်လည်း <math>t = 0</math> တွင် အချွန်မှတ် (cusp) တစ်ခု ရှိသည်။ ကော်ချီ၏ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို လိုပီတယ် စည်းမျဉ်း (L'Hôpital's rule) ကို သက်သေပြရာတွင် အသုံးပြုနိုင်သည်။ === သက်သေပြချက် (Proof) === <math>h(x) = (g(b)-g(a))f(x) - (f(b)-f(a))g(x)</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>h(a)=h(b)=f(a)g(b)-f(b)g(a)</math> ဖြစ်ကြောင်း တွက်ချက်ရရှိနိုင်သည်။ <math>h</math> သည် <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]]ဖြစ်ပြီး <math>(a,b)</math> ပေါ်တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှာ၍ရသောကြောင့် [[ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်]]အရ <math>h'(c) = 0</math> ဖြစ်မည့် <math>c \in (a,b)</math> တစ်ခုကို ရရှိသည်။ ထို့ကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ :<math>0=h'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)-(f(b)-f(a))g'(c)</math> == ကိန်းရှင်များစွာရှိသော ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် (Mean value theorem in several variables) == ဤသီအိုရမ်ကို ကိန်းရှင်ကြားခံညီမျှခြင်းများဖြင့် ဖော်ပြခြင်း (parametrization) နည်းလမ်းကို အသုံးပြု၍ ကိန်းရှင်များစွာပါဝင်သော [[ကိန်းစစ်]] [[ဖန်ရှင်]]များအတွက် ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ <math>G</math> သည် <math>\R^n</math> ၏ အဖွင့်[[အစုပိုင်း]] (open subset) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f:G\to\R</math> သည် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းတို့နှစ်ခုကြားရှိ မျဉ်းပိုင်းသည် <math>G</math> အတွင်း တည်ရှိစေမည့် <math>x,y\in G</math> အမှတ်များကို ပုံသေထားကာ <math>g(t)=f\big((1-t)x+ty\big)</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ထိုအခါ ကိန်းရှင်တစ်ခုတည်းပါ သီအိုရမ်က အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ :<math>g(1)-g(0)=g'(c)</math> ဤသည်မှာ အချို့သော <math>c \in (0,1)</math> အတွက် ဖြစ်သည်။ <math>g'(c)</math> ကို တွက်ချက်လိုက်သောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ :<math>f(y)-f(x)=\nabla f\big((1-c)x+cy\big)\cdot (y-x)</math> ဤနေရာတွင် <math>\nabla</math> သည် ဂရေးဒီးယင့် (gradient) ကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ [[ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း]] (Cauchy–Schwarz inequality) အရ ဤ[[ညီမျှခြင်း]]က အောက်ပါ ခန့်မှန်းချက်ကို ပေးသည်။ :<math>\Bigl|f(y)-f(x)\Bigr| \le \Bigl|\nabla f\big((1-c)x+cy\big)\Bigr|\ \Bigl|y - x\Bigr|</math> အကယ်၍ <math>G</math> သည် ခုံးသော[[အစု]] (convex set) ဖြစ်ပြီး ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ (partial derivatives) အကန့်အသတ်ရှိပါက <math>f</math> သည် လစ်ပ်ရှစ်ဇ် အဆက်မပြတ် (Lipschitz continuous) ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>G</math> သည် ဆက်စပ်နေသော (connected) အစုဖြစ်ပြီး ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်တိုင်းသည် သုညဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် ကိန်းသေဖြစ်သည်။ ယင်းကို သက်သေပြရန် <math>x_0\in G</math> နှင့် <math>E=\{x\in G:f(x)=f(x_0)\}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>E</math> သည် အပိတ်စု (closed set) ဖြစ်ပြီး [[ဗလာစု]]မဟုတ်ပါ။ <math>x</math> ဝန်းကျင်ရှိ အဖွင့်စက်လုံး (open ball) အတွင်းရှိ <math>y</math> အတွက် <math>x\in E</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>|f(y)-f(x)|\le 0|y-x|=0</math> ဖြစ်ကာ ၎င်းသည် အဖွင့်စု (open set) လည်း ဖြစ်သည်။ <math>G</math> သည် ဆက်စပ်နေသောကြောင့် <math>E=G</math> ဖြစ်သည်။ == ဗက်တာတန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်များအတွက် ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် (Mean value theorem for vector-valued functions) == [[ဗက်တာ]]တန်ဖိုးရှိ [[ဖန်ရှင်]]များ (vector-valued functions) အတွက် ပျမ်းမျှတန်ဖိုး ညီမျှခြင်း၏ တိကျသော အလားတူပုံစံ မရှိပါ။ အစိတ်အပိုင်း <math>f_i</math> တစ်ခုစီတိုင်းသို့ ကိန်းရှင်ကြားခံညီမျှခြင်းများဖြင့် ဖော်ပြခြင်း လုပ်ငန်းစဉ်ကို အသုံးချသောအခါ မျဉ်းပိုင်းပေါ်တွင် ကွဲပြားသော <math>c_i</math> အမှတ်များကို ရရှိစေသော်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် အစိတ်အပိုင်းအားလုံးအတွက် တစ်ပြိုင်နက်တည်း အမှတ်တစ်မှတ်တည်း မရရှိနိုင်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>[0, 2\pi]</math> ပေါ်ရှိ <math>f(x) = (\cos x, \sin x)</math> အတွက် <math>f(2\pi)-f(0)=(0,0)</math> ဖြစ်သော်လည်း <math>f'(x) = (-\sin x, \cos x)</math> သည် မည်သည့်အခါမျှ သုညမဖြစ်ပါ။ ယင်းအစား ပျမ်းမျှတန်ဖိုး မညီမျှခြင်း (mean value inequality) ကို အသုံးချရသည်။<ref>Rudin (1976), p. 113.</ref> '''သီအိုရမ် -''' <math>(a,b)</math> ပေါ်တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] ဗက်တာတန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် <math>\mathbf{f}:[a,b]\to\mathbb{R}^k</math> တစ်ခုအတွက် အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေမည့် ကိန်း <math>c\in(a,b)</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ :<math>|\mathbf{f}(b)-\mathbf{f}(a)| \le (b-a)\left|\mathbf{f}'(c)\right|</math> '''သက်သေပြချက် -''' <math>\varphi(t) = (\mathbf{f}(b) - \mathbf{f}(a)) \cdot \mathbf{f}(t)</math> ဟု ယူဆပါ။ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်အရ အချို့သော <math>c \in (a, b)</math> အတွက် <math>\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b-a)</math> ဖြစ်သည်။ <math>\varphi(b) - \varphi(a) = |\mathbf{f}(b) - \mathbf{f}(a)|^2</math> နှင့် <math>\varphi'(c) = (\mathbf{f}(b) - \mathbf{f}(a)) \cdot \mathbf{f}'(c)</math> ဟု ရရှိသည်။ ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်းအရ <math>|\mathbf{f}(b) - \mathbf{f}(a)|^2 \le |\mathbf{f}(b) - \mathbf{f}(a)| |\mathbf{f}'(c)|(b-a)</math> ဖြစ်လာသည်။ အကယ်၍ <math>\mathbf{f}(b) \neq \mathbf{f}(a)</math> ဖြစ်ပါက <math> |\mathbf{f}(b) - \mathbf{f}(a)|</math> ဖြင့် စားလိုက်ခြင်းအားဖြင့် သီအိုရမ်ကို ရရှိစေသည်။ === ပျမ်းမျှတန်ဖိုး မညီမျှခြင်း (Mean value inequality) === '''ပျမ်းမျှတန်ဖိုး မညီမျှခြင်း -'''<ref>Hörmander (2015), Theorem 1.1.1 and remark following it.</ref> [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] <math>\mathbf{f} : [a, b] \to \mathbb{R}^k</math> အတွက် အကယ်၍ <math>\mathbf{f}</math> သည် <math>(a, b)</math> ပေါ်တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှာ၍ရပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>|\mathbf{f}(b) - \mathbf{f}(a)| \le (b-a)\sup_{(a, b)} |\mathbf{f}'|</math> '''သက်သေပြချက် -''' <math>\sup_{(a, b)} |\mathbf{f}'| < \infty</math> ဟု ယူဆချက်ချပါ။ <math>M > \sup_{(a, b)} |\mathbf{f}'|</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>E = \{ 0 \le t \le 1 \mid |\mathbf{f}(a + t(b-a)) - \mathbf{f}(a)| \le Mt(b-a) \}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ [[အစု]] <math>E</math> သည် အပိတ်စုဖြစ်ပြီး [[ဗလာစု]]မဟုတ်ပါ။ <math>s</math> ကို ၎င်း၏ အကြီးဆုံးတန်ဖိုး အစုဝင်အဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ အကယ်၍ <math>s < 1</math> ဖြစ်ပါက <math>s</math> နှင့် လုံလောက်စွာ နီးစပ်သော <math>t</math> အတွက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်စွမ်းကို အသုံးပြု၍ ခြားနားချက်များကို ဘောင်ခတ်လိုက်သောအခါ <math>|\mathbf{f}(a + t(b-a)) - \mathbf{f}(a)| \le tM|b-a|</math> ဖြစ်ကြောင်း ပြသနေပြီး ၎င်းသည် <math>s</math> ၏ အကြီးဆုံးဖြစ်မှု (maximality) ကို ဆန့်ကျင်နေသည်။ ထို့ကြောင့် <math>s=1</math> ဖြစ်ပြီး ၎င်းမှာ <math>|\mathbf{f}(b) - \mathbf{f}(a)| \le M(b-a)</math> ကို ဆိုလိုသည်။ <math>M</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော ကိန်းဖြစ်သောကြောင့် ရလဒ်သည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>\mathbf{f}</math> သည် <math>a</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရပါက ယင်းကို <math>[a', b]</math> သို့ အသုံးချပြီး <math>a' \to a</math> အဖြစ် စုဆုံမှတ်ကို ယူပါ။ == သီအိုရမ်ကို အသုံးချ၍မရသော အခြေအနေများ (Cases where the theorem cannot be applied) == ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်အတွက် အခြေအနေအားလုံး လိုအပ်သည်။ *'''<math>\boldsymbol{f} </math> သည် <math>\boldsymbol{(a,b)} </math> ပေါ်တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှာ၍ရသည်'''။ <math>[-1,1]</math> ပေါ်ရှိ ဖန်ရှင် <math>f(x)=|x| </math> သည် 0 တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရပါ။ *'''<math>\boldsymbol{f} </math> သည် <math>\boldsymbol{[a,b]} </math> ပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]]ဖြစ်သည်'''။ <math>x=0</math> တွင် <math>f(x) = 1</math> ဖြစ်ပြီး <math>(0,1]</math> ပေါ်တွင် <math>f(x)=0</math> ဖြစ်သော ဖန်ရှင်သည် <math>(0,1)</math> ပေါ်တွင် <math>f'(x)=0</math> ဖြစ်သော်လည်း ပျမ်းမျှ ပြောင်းလဲနှုန်းမှာ <math>-1</math> ဖြစ်သည်။ *'''<math>\boldsymbol{f} </math> သည် [[ကိန်းစစ်]]တန်ဖိုးရှိ [[ဖန်ရှင်]]ဖြစ်သည်'''။ <math>f(x) = e^{xi}</math> အတွက် <math>f(2\pi)-f(0)=0</math> ဖြစ်သော်လည်း ကိန်းစစ် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f'(x)\ne 0</math> ဖြစ်သည်။ == သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်များအတွက် ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်များ (Mean value theorems for definite integrals) == === သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်များအတွက် ပထမ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် (First mean value theorem for definite integrals) === [[File:积分中值定理.jpg|thumb|right|ဂျီဩမေတြီအရ <math>f(c)</math> ကို ထောင့်မှန်စတုဂံ၏ အမြင့်အဖြစ် ယူဆပြီး <math>b - a</math> ကို အကျယ်အဖြစ် ယူဆပါက ဤထောင့်မှန်စတုဂံသည် <math>a</math> မှ <math>b</math> အထိ မျဉ်းကွေးအောက်ရှိ နယ်ပယ်နှင့် ဧရိယာ တူညီသည်<ref>Mathwords, Mean Value Theorem for Integrals.</ref>]] <math>f : [a, b] \to \R</math> သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]]တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>c \in [a, b]</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ :<math>\int_a^b f(x) \, dx = f(c)(b - a)</math> <math>f</math> သည် <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး <math>m</math> နှင့် အကြီးဆုံးတန်ဖိုး <math>M</math> ကို ယူသောကြောင့် <math>m \le \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\le M</math> ဖြစ်သည်။ ကြားခံတန်ဖိုး သီအိုရမ် (intermediate value theorem) အရ <math>f(c)</math> သည် အချို့သော <math>c</math> အတွက် ဤပျမ်းမျှတန်ဖိုးကို ယူသည်။<ref>Comenetz (2002), p. 159.</ref> ပိုမို ယေဘုယျကျကျဆိုရလျှင် <math>g</math> သည် <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် လက္ခဏာမပြောင်းလဲသော အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသည့် ဖန်ရှင် (integrable function) တစ်ခုဖြစ်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\int_a^b f(x) g(x) \, dx = f(c) \int_a^b g(x) \, dx</math> === သတ်မှတ် အင်တီဂရယ်များအတွက် ဒုတိယ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် (Second mean value theorem for definite integrals) === အကယ်၍ <math>G : [a,b]\to \mathbb{R}</math> သည် အပေါင်းကိန်းဖြစ်သော အစဉ်လိုက် လျော့သော ဖန်ရှင် (monotonically decreasing function) ဖြစ်ပြီး <math>\varphi : [a,b]\to \mathbb{R}</math> သည် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိပါက အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>x \in [a, b]</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ :<math> \int_a^b G(t)\varphi(t)\,dt = G(a^+) \int_a^x \varphi(t)\,dt</math>။ အကယ်၍ <math>G</math> သည် အစဉ်လိုက်ဖြစ်သော ဖန်ရှင် (monotonic function) ဖြစ်ပါက အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>x \in [a, b]</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math>G</math> သည် လျော့သောဖန်ရှင်နှင့် အပေါင်းကိန်းဖြစ်ရန် မလိုအပ်ပါ။<ref>Hobson (1909).</ref> :<math> \int_a^b G(t)\varphi(t)\,dt = G(a^+) \int_a^x \varphi(t)\,dt + G(b^-) \int_x^b \varphi(t)\,dt</math> ဤ[[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] သီအိုရမ်သည် အတိုင်းအတာများစွာရှိသော [[ဗက်တာ]]တန်ဖိုးရှိ [[ဖန်ရှင်]]များအတွက် မှန်ကန်မှုမရှိပါ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိသော ကုဗတုံး <math>[0,2\pi]^n</math> ပေါ်တွင် ဖန်ရှင် <math>G(x_1, \dots, x_n) = (\sin(x_1 + \cdots + x_n), \cos(x_1 + \cdots + x_n))</math> တွင် ပျမ်းမျှ အင်တီဂရယ်တန်ဖိုး <math>(0,0)</math> ရှိသော်လည်း နေရာတိုင်းတွင် <math>|G|=1</math> ဖြစ်နေသည်။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == === မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (Linear algebra) === <math>f, g, h</math> တို့သည် <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]]ဖြစ်ပြီး <math>(a,b)</math> ပေါ်တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှာ၍ရသည်ဟု ယူဆချက်ချပါ။ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ပါ။ :<math> D(x) = \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x)\\ f(a) & g(a) & h(a)\\ f(b) & g(b) & h(b) \end{vmatrix}</math> <math>D(a)</math> နှင့် <math>D(b)</math> တို့သည် တူညီသော အတန်းနှစ်ခုပါဝင်သည့် အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုးများ (determinants) ဖြစ်သောကြောင့် <math>D(a)=D(b)=0</math> ဖြစ်သည်။ [[ရိုးလ်၏ သီအိုရမ်]]သည် <math>D'(c)=0</math> ဖြစ်စေမည့် <math>c\in (a,b)</math> တစ်ခုရှိကြောင်း အာမခံသည်။ <math>h(x)=1</math> ဟု သတ်မှတ်ခြင်းက ကော်ချီ၏ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို ရရှိစေပြီး <math>h(x)=1, g(x)=x</math> ဟု သတ်မှတ်ခြင်းက လာဂေါင့်၏ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်ကို ရရှိစေသည်။ မျဉ်းဖြောင့် [[အက္ခရာသင်္ချာ]] တွင် ဤသဘောတရားများကို ထပ်မံချဲ့ထွင်နိုင်သည်။ === ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Complex analysis) === အဖွင့် ခုံးသော[[အစု]] (open convex set) <math>\Omega</math> ပေါ်ရှိ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင် (holomorphic function) <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> နှင့် <math>a, b \in \Omega</math> ဟူသော မတူညီသောအမှတ်များအတွက် <math>a</math> မှ <math>b</math> သို့သွားသော အတွင်း မျဉ်းပိုင်းပေါ်တွင် အောက်ပါအခြေအနေများကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>u, v</math> အမှတ်များ တည်ရှိသည်။<ref>Evard & Jafari (1992).</ref> :<math>\operatorname{Re}(f'(u)) = \operatorname{Re}\left ( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right)</math>, :<math>\operatorname{Im}(f'(v)) = \operatorname{Im}\left ( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right)</math> ဤသည်မှာ [[ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာနယ်ပယ်တွင် အသုံးဝင်သော ရလဒ်တစ်ခုဖြစ်သည်။ == မှတ်စုများ (Notes) == <references /> == ကျမ်းကိုးကားများ (References) == * {{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |publisher=McGraw-Hill Publishing Company |publication-place=Auckland |date=1976 |isbn=978-0-07-085613-4}} * {{Citation |last=Hörmander |first=Lars |title=The Analysis of Linear Partial Differential Operators I: Distribution Theory and Fourier Analysis |series=Classics in Mathematics |publisher=Springer |publication-place=Berlin |date=2015 |edition=2nd |isbn=978-3-642-61497-2}} * {{Citation |last=Besenyei |first=Ádám |title=Historical development of the mean value theorem |publisher=Eötvös Loránd University |publication-place=Budapest |date=2012 |url=http://abesenyei.web.elte.hu/publications/meanvalue.pdf}} * {{Citation |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Extended Mean-Value Theorem |work=MathWorld |publisher=Wolfram Web Resource |url=https://mathworld.wolfram.com/ExtendedMean-ValueTheorem.html}} * {{Citation |title=Cauchy's Mean Value Theorem |work=Math24 |url=https://www.math24.net/cauchys-mean-value-theorem/ |access-date=2018-10-08 |archive-date=18 April 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230418174503/https://www.math24.net/cauchys-mean-value-theorem/ |url-status=dead }} * {{Citation |last=Comenetz |first=Michael |title=Calculus: The Elements |publisher=World Scientific |date=2002 |isbn=978-981-02-4904-5}} * {{Citation |last=Hobson |first=E. W. |title=On the Second Mean-Value Theorem of the Integral Calculus |journal=Proc. London Math. Soc. |volume=s2-7 |issue=1 |date=1909 |pages=14-23 |mr=1575669 |doi=10.1112/plms/s2-7.1.14}} * {{Citation |last1=Evard |first1=J.-Cl. |last2=Jafari |first2=F. |title=A Complex Rolle's Theorem |journal=American Mathematical Monthly |volume=99 |issue=9 |date=1992 |pages=858-861 |doi=10.1080/00029890.1992.11995942}} * {{Citation |title=Mathwords: Mean Value Theorem for Integrals |work=Mathwords |url=http://www.mathwords.com/m/mean_value_theorem_integrals.htm}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] 8lptn9yeagdp4mebjsqbgff93aojjr4 0 291448 1054238 1052962 2026-09-20T10:41:17Z Mkant00 135890 1054238 wikitext text/x-wiki {{Calculus}} '''လိုပီတယ် စည်းမျဉ်း (L'Hôpital's rule)'''<ref>Forster (2016), p. 190.</ref><ref>Heuser (1994), p. 287.</ref> သို့မဟုတ် '''ဘာနူးလီ-ဒေ လိုပီတယ် စည်းမျဉ်း (Bernoulli-de L’Hôpital rule)''' ကို အသုံးပြု၍ သုညသို့ စုဆုံသော (convergent) သို့မဟုတ် [[အနန္တ|အနန္တ]] (infinity) သို့ ဖြာထွက်သော (divergent) [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (function) နှစ်ခု၏ စားလဒ်များ (quotients) အတွက် [[စုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်]] (limit) ကို ၎င်းတို့၏ ပထမ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များ]] (first derivatives) အား အသုံးပြုပြီး တွက်ချက်နိုင်သည် ။ ဤစည်းမျဉ်းကို 1696 ခုနှစ်တွင် ဂီယွန်း ဒေ လိုပီတယ် က ထုတ်ဝေခဲ့သော်လည်း မူလအားဖြင့် ယိုဟန်း ဘာနူးလီ က တွေ့ရှိခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး ၎င်းထံမှ လိုပီတယ်က ဝယ်ယူခဲ့ခြင်းဖြစ်သည် ။<ref>Sonar (2011), pp. 442–443.</ref> == အသုံးချမှု (Application) == လိုပီတယ် စည်းမျဉ်းသည် အောက်ပါကဲ့သို့သော သတ်မှတ်မရသော ပုံစံများ (indeterminate forms) ၏ တန်ဖိုးကို ရှာဖွေပေးသည် ။ :<math>\frac{0}{0}, \quad 0 \cdot \infty, \quad \infty - \infty, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad 0^0, \quad \infty^0, \quad 1^\infty</math> [[စုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်များသည်]] <math>\tfrac{0}{0}</math> သို့မဟုတ် <math>\pm\tfrac{\infty}{\infty}</math> ရလဒ်ထွက်ပေါ်ပါက <math>x_0</math> ၏ ဗဟိုဖယ်ထုတ်ထားသော ပတ်ဝန်းကျင် (punctured neighborhood) တွင် <math>g'(x) \neq 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> တည်ရှိလျှင် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် ။ :<math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> ၎င်း၏ ပြောင်းပြန်အဆို (converse) သည် မမှန်ကန်ပါ ။ အကယ်၍ ဆင်းသက်ချက် စားလဒ်သည် အခြား သတ်မှတ်မရသော ပုံစံ တစ်ခုကို ထပ်မံရရှိစေပါက အဆင့်တိုင်းတွင် လိုအပ်သော ကနဦးအခြေအနေများနှင့် ကိုက်ညီသရွေ့ ဤစည်းမျဉ်းကို ထပ်ကျော့ (repeatedly) အသုံးပြုနိုင်သည် ။ အခြားသော သတ်မှတ်မရသော ပုံစံများကို ပထမဦးစွာ <math>\tfrac{0}{0}</math> သို့မဟုတ် <math>\pm\tfrac{\infty}{\infty}</math> အဖြစ်သို့ [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ]] (algebraically) အသွင်ပြောင်းရမည် ။<ref>Gellert et al. (1970), pp. 408–410.</ref> * <math>0 \cdot \infty</math>: <math>\quad f(x) \cdot g(x) = \frac{f(x)}{\tfrac{1}{g(x)}}</math> * <math>\infty - \infty</math>: <math>\quad f(x) - g(x) = \frac {\tfrac{1}{g(x)} - \tfrac{1}{f(x)}}{\tfrac{1}{f(x)\cdot g(x)}}</math> == ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (Formulation) == <math>I=(\tilde{x}_0,x_0)</math> သည် အဖွင့် အပိုင်းအခြား (open interval) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f, g \colon I\to\mathbb{R}</math> တို့သည် <math>x\nearrow x_0</math> ဖြစ်စဉ်တွင် <math>0</math> သို့ စုဆုံသော သို့မဟုတ် <math>\pm\infty</math> သို့ ဖြာထွက်သော ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] ဖြစ်သည်ဟု ဆိုကြပါစို့ ။ အကယ်၍ <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>g'(x) \neq 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\lim_{x\nearrow x_0}\tfrac{f'(x)}{g'(x)} = c</math> ဖြစ်ပါက <math>\lim_{x\nearrow x_0}\tfrac{f(x)}{g(x)} = c</math> ဖြစ်သည် ။ ဤနေရာတွင် <math>c</math> သည် အဆုံးရှိ (finite) သို့မဟုတ် [[အနန္တ|အနန္တတန်ဖိုး]] ဖြစ်သည် ။ ၎င်းသည် <math>x\searrow \tilde{x}_0</math> ဖြစ်သောအခါ သို့မဟုတ် အနန္တဘောင်များ (improper bounds) ဖြစ်သည့် <math>x_0=\pm\infty</math> ဖြစ်သောအခါများအတွက်လည်း အလားတူပင် အကျုံးဝင်သည် ။ === <math>\tfrac{0}{0}</math> အခြေအနေအတွက် သက်သေပြချက် အကြမ်းဖျင်း (Sketch of proof for the 0/0 case) === <math>\lim_{x\nearrow x_0} f(x) = \lim_{x\nearrow x_0} g(x) = 0</math> ဖြစ်သောအခါ <math>f(x_0) = g(x_0) = 0</math> ဟု သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့ကို [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] (continuously) တိုးချဲ့ (extended) နိုင်သည် ။ ကော်ချီ၏ [[ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်|ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ်]] (Cauchy's mean value theorem) အရ <math>x\in I</math> တိုင်းအတွက် <math>x</math> နှင့် <math>x_0</math> ကြားတွင် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်စေသော <math>\xi</math> တစ်ခု တည်ရှိသည် ။ :<math>\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(x_0)-f(x)}{g(x_0)-g(x)}=\frac{f(x)}{g(x)}</math> <math>x\nearrow x_0</math> ဖြစ်စဉ် အထက်ပါ အဆို မှန်ကန်ကြောင်း ထွက်ပေါ်လာသည် ။ [[အနန္တ|အနန္တ]]ရှိ အနန္တဘောင် [[စုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်များဖြစ်သည့်]] <math>x_0 = \pm\infty</math> အခြေအနေကို အရင်းအမြစ်စု (domain) အသွင်ပြောင်းခြင်း (transformation) <math>t = \tfrac{1}{x}</math> မှတစ်ဆင့် ဤအဆုံးရှိသော ဘောင်အခြေအနေသို့ လျှော့ချနိုင်သည် ။ <math>\tfrac{\infty}{\infty}</math> အခြေအနေအတွက် [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်း|သက်သေပြချက်သည်]] အထက် စုဆုံမှတ် (limit superior) နှင့် အောက် စုဆုံမှတ် (limit inferior) တို့ကို အသုံးပြုသည့် ပိုမိုရှုပ်ထွေးသည်များ လိုအပ်သောကြောင့် ဤတွင် ဖော်ပြထားခြင်းမရှိပါ ။ == ဥပမာများ (Examples) == === <math>x \to 0</math> သို့ စုဆုံမှတ် (Limit as <math>x \to 0</math>) === <math>\lim_{x\to 0}\tfrac{\cos(x)-1}{\tan(x)}</math> ၏ တန်ဖိုးကို တွက်ချက်ပါ၊ ၎င်းသည် <math>\tfrac{0}{0}</math> အမျိုးအစား ဖြစ်သည် ။ :<math>\lim_{x\to 0} \frac{-\sin(x)}{\frac{1}{\cos^2(x)}} = \lim_{x\to 0} (-\sin(x)\cos^2(x)) = 0</math> === အနန္တရှိ စုဆုံမှတ် (Limit at infinity) === <math>\lim_{x\to \infty}\tfrac{\sqrt{x}}{\ln(x)}</math> ၏ တန်ဖိုးကို တွက်ချက်ပါ၊ ၎င်းသည် <math>\tfrac{\infty}{\infty}</math> အမျိုးအစား ဖြစ်သည် ။ :<math>\lim_{x\to \infty} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2} = \infty</math> == ချေပဥပမာများ (Counterexamples) == === ကနဦးအခြေအနေများကို ဂရုပြုခြင်း (Attention to prerequisites) === <math>f(x) := \sin x + 2x</math> နှင့် <math>g(x) := \cos x + 2x</math> ဟု သတ်မှတ်ပါစို့ ။ <math>x \to \infty</math> ဖြစ်စဉ်တွင် ၎င်းသည် <math>\tfrac{\infty}{\infty}</math> အမျိုးအစား ဖြစ်သည် ။ လိုပီတယ် စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြု၍ မရနိုင်ပါ ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] စားလဒ်ဖြစ်သည့် <math>\tfrac{f'(x)}{g'(x)} = \tfrac{\cos x + 2}{-\sin x + 2}</math> သည် ၎င်း၏ ကာလမှန် (periodicity) သဘာဝကြောင့် စုဆုံခြင်း မရှိသောကြောင့် ဖြစ်သည် ။ သို့ရာတွင် မူလ[[စုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်မှာ]] တည်ရှိနေပါသည် ။ :<math>\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1 + \frac{\sin x - \cos x}{\cos x + 2x}\right)=1</math> === လန်ဒေါက် ကဲကုလပ် (Landau calculus) === [[တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း|တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း]] (Taylor series) ကို သိရှိထားသောအခါ လန်ဒေါက် ကဲကုလပ် (Landau calculus) ကို အသုံးပြုခြင်းသည် လိုပီတယ် စည်းမျဉ်းအား ထပ်ခါတလဲလဲ အသုံးပြုခြင်းထက် များစွာ ပို၍ရိုးရှင်းပြီး ပိုမိုမြန်ဆန်လေ့ရှိသည် ။ ဥပမာအားဖြင့် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် ။ :<math> \lim_{x \to 0} \frac{\sin x -x}{x(1-\cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{6}x^3 + \mathcal{O}(x^5)}{x(\frac{x^2}{2}+\mathcal{O}(x^4))} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{6}+\mathcal{O}(x^2)}{\frac{1}{2}+\mathcal{O}(x^2)} = -\frac{1}{3}</math> == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == <math> D </math> နယ်ပယ်အတွင်းရှိ ဟိုလိုမော်ဖစ် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (holomorphic functions) ဖြစ်သော <math> f </math> နှင့် <math> g </math> တို့သည် <math> a \in D</math> တွင် တူညီသော သုညမှတ်၏ အစဉ် (order of zero) <math> k </math> ကို မျှဝေပိုင်ဆိုင်ထားပါက အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် ။ :<math> \lim_{z \to a}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f^{(k)}(a)}{g^{(k)}(a)}</math> == ကိုးကားများ (References) == <references /> * {{Citation |last=Forster |first=Otto |author-link=Otto Forster |title=Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen |edition=12th |series=Grundkurs Mathematik |publication-place=Wiesbaden |publisher=Springer Spektrum |date=2016 |isbn=978-3-658-11544-9 |zbl=1328.26001 |doi=10.1007/978-3-658-11545-6}} * {{Citation |last1=Freitag |first1=Eberhard |author-link1=Eberhard Freitag |last2=Busam |first2=Rolf |title=Funktionentheorie 1 |edition=3rd |publication-place=Berlin |publisher=Springer-Verlag |date=2000 |isbn=3-540-67641-4}} * {{Citation |last1=Gellert |first1=Walter |last2=Küstner |first2=Herbert |last3=Hellwich |first3=M. |last4=Kästner |first4=Herbert |author-link4=Herbert Kästner |title=Kleine Enzyklopädie Mathematik |publication-place=Leipzig |publisher=VEB Bibliographisches Institut |date=1970}} * {{Citation |last=Heuser |first=Harro |author-link=Harro Heuser |title=Lehrbuch der Analysis. Teil 1 |edition=11th |publication-place=Stuttgart |publisher=B. G. Teubner |date=1994 |isbn=3-519-42231-X}} * {{Citation |last=Sonar |first=Thomas |title=3000 Jahre Analysis |publication-place=Berlin |publisher=Springer |date=2011 |isbn=978-3-642-17203-8 |doi=10.1007/978-3-642-17204-5}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] fq74jmrgb4k9ghm902mwzxioqosynn6 0 291499 1054247 1052646 2026-09-20T10:48:07Z Mkant00 135890 1054247 wikitext text/x-wiki [[ကိန်းသီအိုရီ]] တွင် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်ကို တခါတရံ ဖဲမ၏ ယူဆချက် (Fermat's conjecture) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ ယင်းသီအိုရမ်က <math>n > 2</math> ဖြစ်သော အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်]] <math>a, b, c, n</math> များအတွက် <math>a^n + b^n = c^n</math> ဟု ပြေလည်စေမည့်တန်ဖိုး လုံးဝမရှိနိုင်ကြောင်း ဖော်ပြထားသည်။ <math>n=1</math> နှင့် <math>n=2</math> အခြေအနေများအတွက် [[အနန္တ]] (infinite) အဖြေများစွာ ရှိကြောင်းကို ရှေးခေတ်ကာလကတည်းက သိရှိခဲ့ကြသည်။ ဤအဆိုကို ပီယား ဒေ ဖဲမ က 1637 ခုနှစ်ခန့်တွင် Arithmetica ကျမ်းစာအုပ်၏ ဘေးနေရာလွတ်တွင် သီအိုရမ် (theorem) တစ်ခုအဖြစ် ပထမဆုံး ရေးသားဖော်ပြခဲ့သည်။ ဖဲမ က သူ့ထံတွင် ဤအဆိုအတွက် [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်း|သက်သေပြချက်]] (proof) ရှိသော်လည်း ဘေးနေရာလွတ်ထဲတွင် ရေးရန် နေရာမလောက်ကြောင်း ထပ်မံရေးသားခဲ့သည်။ ထိုအဆိုသည် သက်သေပြနိုင်ခြင်းမရှိဘဲ ကျန်ရစ်ခဲ့ပြီး သီအိုရမ်တစ်ခုထက် ယူဆချက် (conjecture) တစ်ခုအဖြစ် ပို၍ လူသိများလာခဲ့သည်။ သင်္ချာပညာရှင်များ၏ 358 နှစ်ကြာ ကြိုးပမ်းအားထုတ်မှုအပြီးတွင် ပထမဆုံး အောင်မြင်သော သက်သေပြချက်ကို အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် က 1994 ခုနှစ်တွင် ဖြန့်ချိခဲ့ပြီး 1995 ခုနှစ်တွင် တရားဝင် ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ထိုသက်သေပြချက်သည် တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက် (Taniyama–Shimura conjecture) ၏ အများစုကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့ပြီး ၎င်းကို နောက်ပိုင်းတွင် မော်ဂျူလာဖြစ်မှု သီအိုရမ် (Modularity theorem) ဟု သိရှိလာကြသည်။ ၎င်းသည် အခြားသော ပြဿနာမြောက်မြားစွာအတွက် ချဉ်းကပ်မှုအသစ်များအပြင် မော်ဂျူလာဖြစ်မှု မြှင့်တင်ရေးနည်းစနစ်များ (Modularity lifting techniques) ကိုပါ လမ်းပွင့်သွားစေခဲ့သည်။ ဤမဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သော ပြဿနာသည် 19 ရာစုနှင့် 20 ရာစုများအတွင်း [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းသီအိုရီ]] (algebraic number theory) တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုကို များစွာ လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ခဲ့ပြီး [[သင်္ချာ|သင်္ချာသမိုင်းတွင်]] အထင်ရှားဆုံးသော သီအိုရမ်များထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ == ယေဘုယျသုံးသပ်ချက် (Overview) == === ပိုက်သာဂိုရပ်စ် မူလဇာစ်မြစ်များနှင့် နောက်ပိုင်း တိုးတက်မှုများ (Pythagorean origins and subsequent developments) === [[ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ်|ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ညီမျှခြင်း]] (Pythagorean equation) ဖြစ်သည့် <math>x^2+y^2=z^2</math> တွင် <math>x</math>၊ <math>y</math> နှင့် <math>z</math> တို့အတွက် အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်]] အဖြေပေါင်း [[အနန္တ]] ရှိပြီး ၎င်းအဖြေများကို ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သုံးခုတွဲများ (Pythagorean triples) ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ 1637 ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် ဖဲမ သည် <math>n</math> တန်ဖိုးသည် 2 ထက်ကြီးသော ကိန်းပြည့်ဖြစ်ခဲ့လျှင် ပိုမို ယေဘုယျကျသော ညီမျှခြင်း <math>a^n+b^n=c^n</math> တွင် အပေါင်းကိန်းပြည့် အဖြေများ လုံးဝမရှိနိုင်ဟု မှန်းဆခဲ့သည်။ ဖဲမ ကိုယ်တိုင် သက်သေပြခဲ့သော <math>n=4</math> ဟူသည့် အထူးအခြေအနေတစ်ခုတည်းဖြင့်ပင် အကယ်၍ ဤသီအိုရမ်သည် [[သုဒ္ဓကိန်း]] (prime number) မဟုတ်သော ထပ်ကိန်း (exponent) <math>n</math> တစ်ခုခုအတွက် မှားယွင်းနေခဲ့လျှင် ၎င်းထက်ငယ်သော <math>n</math> တစ်ခုခုအတွက်လည်း မှားယွင်းရမည်ဟု ဆိုရန် လုံလောက်စေသောကြောင့် <math>n</math> ၏ သုဒ္ဓကိန်းတန်ဖိုးများကိုသာ ဆက်လက်လေ့လာရန် လိုအပ်တော့သည်။ နောက်ရာစုနှစ်နှစ်ခုအတွင်း ဆိုဖီ ဂျာမိန်း သည် သုဒ္ဓကိန်း အတန်းအစား တစ်ခုလုံးနှင့် သက်ဆိုင်သော ချဉ်းကပ်မှုတစ်ခုကို တီထွင်နိုင်ခဲ့သော်လည်း ဤယူဆချက်ကို သုဒ္ဓကိန်း 3၊ 5 နှင့် 7 တို့အတွက်သာ သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ 19 ရာစုအလယ်ပိုင်းတွင် အန်းစ် ကုမား သည် ၎င်းကို ဆက်လက်ချဲ့ထွင်ခဲ့ပြီး ပုံမှန် သုဒ္ဓကိန်းများ အားလုံးအတွက် ဤသီအိုရမ်ကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ကုမား ၏ လုပ်ဆောင်ချက်အပေါ် အခြေခံ၍ နောက်ဆုံးတွင် ကွန်ပျူတာလေ့လာမှုများက 4 သန်းအထိရှိသော သုဒ္ဓကိန်း ထပ်ကိန်းများအားလုံး လွှမ်းခြုံနိုင်ရန် သက်သေပြချက်ကို ချဲ့ထွင်နိုင်ခဲ့သော်လည်း ထပ်ကိန်းများအားလုံးအတွက် ယေဘုယျ သက်သေပြချက်တစ်ခုကမူ ရှာမရနိုင်ဘဲ ကျန်ရစ်ခဲ့သည်။ 1984 ခုနှစ်တွင် ဂါဟတ် ဖရေး သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ် နှင့် အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (elliptic curves) အပြင် မော်ဂျူလာ ပုံစံများ (modular forms) အား ချိတ်ဆက်ထားသော သက်သေမပြရသေးသည့် တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်တို့အကြား ထင်ရှားသော ဆက်စပ်မှုတစ်ခုကို သတိပြုမိခဲ့သည်။ 1986 ခုနှစ်တွင် ကန် ရီဘတ် သည် ဖရေး ၏ ချိတ်ဆက်မှုဖြစ်သော အက်ပဆီလွန် ယူဆချက် (epsilon conjecture) ကို သက်သေပြခဲ့ပြီး ဆီမီးတည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ အတွက် တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်၏ သက်သေပြချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်အတွက် သက်သေပြချက်ကို အလိုအလျောက် ရရှိစေမည်ဖြစ်ကြောင်း အခိုင်အမာ ပြသနိုင်ခဲ့သည်။ 1993 ခုနှစ်တွင် အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်ကို သက်သေပြရန်အတွက် မော်ဂျူလာဖြစ်မှု ယူဆချက်၏ လုံလောက်သော အပိုင်းကို အောင်မြင်စွာ သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရစ်ချတ် တေလာ ၏ အကူအညီဖြင့် အားနည်းချက်တစ်ခုကို ပြင်ဆင်ပြီးနောက် အပြီးသတ် သက်သေပြချက်ကို 1995 ခုနှစ်တွင် ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ === သီအိုရမ်၏ အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသော ဖော်ပြချက်များ (Equivalent statements of the theorem) === ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်ကို ဖော်ပြရန်အတွက် မူလဖော်ပြချက်နှင့် သင်္ချာနည်းကျ အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသော (equivalent) အခြားနည်းလမ်း အများအပြား ရှိသည်။ <math>\mathbb{N}</math> ကို အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်]]များ[[အစု]]၊ <math>\mathbb{Z}</math> ကို ကိန်းပြည့်များအစု နှင့် <math>\mathbb{Q}</math> ကို [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] (rational numbers) အစုဟု သတ်မှတ်ပါ။ ကိန်းရှင် (variable) တစ်ခု သို့မဟုတ် တစ်ခုထက်ပို၍ သုညဖြစ်နေသော <math>x^n+y^n=z^n</math> ၏ အဖြေကို အသေးအဖွဲ အဖြေ (trivial solution) ဟု ခေါ်သည်။ * '''မူလ ဖော်ပြချက် -''' <math>n,x,y,z \in \mathbb{N}</math> နှင့် <math>n>2</math> ဖြစ်သောအခါ <math>x^n+y^n=z^n</math> [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းတွင်]] အဖြေများ လုံးဝမရှိပါ။ * '''အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသော ဖော်ပြချက် 1 -''' <math>n \geq 3</math> ဖြစ်သော <math>x^n + y^n = z^n</math> တွင် <math>x, y, z \in \mathbb{Z}</math> ဖြစ်သည့် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေများ (non-trivial solutions) မရှိပါ။ :အကယ်၍ <math>n</math> သည် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]] (odd number) ဖြစ်ပြီး ကိန်းရှင်တစ်ခုခုသည် [[အနုတ်ကိန်း]] ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့ကို <math>\mathbb{N}</math> ထဲရှိ အဖြေတစ်ခု ရရှိရန် ပြန်လည်စီစဉ်နိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> ထဲရှိ အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေတစ်ခုရှိခြင်းက <math>\mathbb{N}</math> ထဲတွင် အဖြေတစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကို သက်ရောက်စေသည်။ * '''အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသော ဖော်ပြချက် 2 -''' ကိန်းပြည့် <math>n \geq 3</math> ဖြစ်သော <math>x^n + y^n = z^n</math> တွင် <math>x, y, z \in \mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည့် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေများ မရှိပါ။ :ထပ်ကိန်းများ တူညီသောကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> ထဲရှိ အဖြေတစ်ခုကို သင့်လျော်သော ဘုံပိုင်းခြေတစ်ခုဖြင့် မြှောက်လိုက်ခြင်းအားဖြင့် <math>\mathbb{Z}</math> ထဲရှိ အဖြေတစ်ခုကို ရရှိနိုင်သည်။ * '''အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသော ဖော်ပြချက် 3 -''' ကိန်းပြည့် <math>n \geq 3</math> ဖြစ်သော <math>x^n + y^n = 1</math> တွင် <math>x, y \in \mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည့် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေများ မရှိပါ။ :<math>x^n + y^n = z^n</math> အတွက် <math>a, b, c \in \mathbb{Z}</math> ဖြစ်သော အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေတစ်ခုသည် <math>x^n + y^n = 1</math> အတွက် <math>a/c, b/c \in \mathbb{Q}</math> ဟူသော အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေကို ရရှိစေသည်။ ဤဖော်ပြပုံက ပြဿနာကို အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော မျက်နှာပြင်များ မှ <math>\mathbb{Q}</math> [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) ပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော မျဉ်းကွေးများအဖြစ်သို့ လျှော့ချပေးသည်။ * '''အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသော ဖော်ပြချက် 4 ([[သုဒ္ဓကိန်း]] ထပ်ကိန်းများသို့ လျှော့ချခြင်း) -''' အကယ်၍ <math>n=4</math> သို့မဟုတ် <math>n</math> သည် မကိန်းဖြစ်သော သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ခဲ့လျှင် <math>x^n + y^n = z^n</math> တွင် <math>x, y, z \in \mathbb{Z}</math> ဖြစ်သည့် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေများ မရှိပါ။ :2 ထက်ကြီးသော အပေါင်းကိန်းပြည့်တိုင်းကို <math>p=4</math> သို့မဟုတ် <math>p</math> သည် မကိန်းဖြစ်သော သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုခုအဖြစ် <math>pq</math> ပုံစံဖြင့် ရေးသားနိုင်သည်။ ၎င်း ထပ်တူညီမှု (identity) သည် <math>x^{pq}+y^{pq}=z^{pq}</math> ဖြစ်ခဲ့လျှင် <math>(x^q)^p + (y^q)^p = (z^q)^p</math> ဖြစ်သည်ဟူသော ထပ်တူညီမှုမှ ရလဒ်ထွက်ပေါ်လာခြင်းဖြစ်သည်။ * '''အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသော ဖော်ပြချက် 5 (အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများနှင့် ဆက်စပ်မှု) -''' ဤတွင် <math>p</math> သည် မကိန်းဖြစ်သော သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>a, b, c</math> သည် <math>a^p + b^p = c^p</math> အတွက် အစုံလိုက် [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ|နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သော]] (pairwise coprime) အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေတစ်ခု ဖြစ်ခဲ့လျှင် ဖရေး မျဉ်းကွေး (Frey curve) ဟုခေါ်သော <math>y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)</math> သည် မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးတစ်ခု ဖြစ်လာမည်ဖြစ်သည်။ :ဤအဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးကို ရီဘတ် ၏ သီအိုရမ်ဖြင့် စစ်ဆေးကြည့်သောအခါ ၎င်းသည် မော်ဂျူလာမဟုတ်ကြောင်း ပြသနေသည်။ သို့သော်လည်း ဝိုင်းလ်စ် က ထိုသို့သော ညီမျှခြင်းတိုင်းသည် မော်ဂျူလာဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေတစ်ခုခုသည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြင့် သက်သေပြခြင်း (proof by contradiction) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများနှင့် ဆက်စပ်မှု (Connection with elliptic curves) === 1955 ခုနှစ်ခန့်တွင် ဂိုရို ရှီမူရာ နှင့် ယူတာကာ တာနီယာမာ တို့က အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးတိုင်းကို ၎င်းနှင့် သက်ဆိုင်ရာ မော်ဂျူလာ ပုံစံ တစ်ခုဖြင့် ဆက်စပ်နိုင်ကြောင်း ဖော်ပြထားသည့် တာနီယာမာ-ရှီမူရာ-ဗေး ယူဆချက်ကို အဆိုပြုခဲ့ကြပြီး ယခုအခါ ၎င်းကို မော်ဂျူလာဖြစ်မှု သီအိုရမ် ဟု ခေါ်သည်။ 1984 ခုနှစ်တွင် ဂါဟတ် ဖရေး က အကယ်၍ ဖဲမ ၏ [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းတွင်]] ထပ်ကိန်း <math>p > 2</math> အတွက် <math>(a, b, c)</math> အဖြေတစ်ခုခုသာ ရှိခဲ့လျှင် ဆီမီးတည်ငြိမ်သော ဖရေး-ဟယ်လီဂေါ့ချ် အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးဖြစ်သည့် <math>y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)</math> သည် အလွန်ထူးခြားသော ဂုဏ်သတ္တိများ ပိုင်ဆိုင်မည်ဖြစ်ရာ ၎င်းသည် မော်ဂျူလာဖြစ်ရန် မဖြစ်နိုင်သလောက်ဖြစ်ကြောင်း မှတ်ချက်ပြုခဲ့သည်။ မော်ဂျူလာဖြစ်မှု သီအိုရမ်၏ သက်သေပြချက်တစ်ခုသည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်ကိုပါ တစ်ပြိုင်နက်တည်း သက်သေပြပြီးသား ဖြစ်သွားနိုင်ကြောင်း ဖရေး က လေ့လာတွေ့ရှိခဲ့သည်။ 1986 ခုနှစ်တွင် ကန် ရီဘတ် သည် လစ်ဟာနေသော အက်ပဆီလွန် ယူဆချက် (epsilon conjecture) ကို သက်သေပြခဲ့ပြီး ၎င်းသည် ရီဘတ် ၏ သီအိုရမ် ဖြစ်လာကာ သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုအတွက် ဖဲမ ၏ ညီမျှခြင်း၏ အဖြေတစ်ခုခုသည် မော်ဂျူလာမဖြစ်နိုင်သော ဆီမီးတည်ငြိမ်သည့် အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးတစ်ခုကို ဖန်တီးပေးမည်ဖြစ်ကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် ဆီမီးတည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် မော်ဂျူလာဖြစ်မှု သီအိုရမ်ကို သက်သေပြခြင်းက ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်ကို အလိုအလျောက် သက်သေပြပြီးသား ဖြစ်သွားစေမည်ဖြစ်သည်။ === ဝိုင်းလ်စ် ၏ ယေဘုယျ သက်သေပြချက် (Wiles's general proof) === အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် သည် ဆီမီးတည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် မော်ဂျူလာဖြစ်မှု သီအိုရမ်ကို သက်သေပြရန် သူကိုယ်သူ စိတ်ပိုင်းဖြတ်ခဲ့သည်။ သူသည် အလျားလိုက် အီဝါဆာဝါ သီအိုရီ (Iwasawa theory) ကို ချဲ့ထွင်ရန် ကြိုးပမ်းသည့်ဘက်သို့ မကူးပြောင်းမီ သူ၏ ကနဦးလုပ်ဆောင်ချက်ကို ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီ (Galois theory) အပေါ် အခြေခံခဲ့သည်။ နောက်ဆုံးတွင် ဗစ်တာ ကိုလီဗာဂင် နှင့် မာသီးယပ်စ် ဖလက်ချ် တို့ ဖန်တီးခဲ့သော အွိုင်လာ စနစ် (Euler system) တစ်ခုကို တွေ့ရှိသွားပြီးနောက် ဝိုင်းလ်စ် သည် ဤချဉ်းကပ်မှုကို ချဲ့ထွင်၍ အီဝါဆာဝါ သီအိုရီရှိ ကန့်သတ်ချက်များကို ကျော်လွှားနိုင်ခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ် သည် သူ၏ သက်သေပြချက်ကို 1993 ခုနှစ် ဇွန်လတွင် Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences ၌ တင်ပြခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း ပညာရှင်အချင်းချင်း စိစစ်သုံးသပ်မှုအရ သီးခြား [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] တစ်ခု၏ အစဉ် (order) အပေါ် ကန့်သတ်ဘောင်တစ်ခုတွင် အမှားတစ်ခုကို တွေ့ရှိခဲ့ရသည်။ နောက်တစ်နှစ်တာ ကာလအတွင်း ဝိုင်းလ်စ် သည် သက်သေပြချက်ကို ပြင်ဆင်ရန် ရစ်ချတ် တေလာ နှင့် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ 1994 ခုနှစ်တွင် ဝိုင်းလ်စ် သည် ကိုလီဗာဂင်-ဖလက်ချ် နည်းလမ်းကို သူ၏ မူလ အီဝါဆာဝါ သီအိုရီနှင့် ပေါင်းစပ်လိုက်ခြင်းက ထိုပြဿနာကို ပြေလည်သွားစေကြောင်း သိမြင်လာခဲ့သည်။ 1994 ခုနှစ် အောက်တိုဘာလ 24 ရက်နေ့တွင် ဝိုင်းလ်စ် သည် ဆီမီးတည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် မော်ဂျူလာဖြစ်မှု သီအိုရမ်ကို ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်နိုင်သော စာမူနှစ်ခုကို တင်သွင်းခဲ့ပြီး ဒုတိယစာမူကိုမူ တေလာ နှင့် တွဲဖက်ရေးသားခဲ့သည်။ သက်သေပြချက်၌ မော်ဂျူလာဖြစ်မှု မြှင့်တင်ရေး သီအိုရမ်များကို သက်သေပြရန်အတွက် ပုံပျက်သွားခြင်း [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (deformation ring) တစ်ခုအား ဟက်က [[အက္ခရာသင်္ချာ]] (Hecke algebra) တစ်ခုနှင့် ထပ်တူပြုဖော်ထုတ်ခြင်း ပါဝင်သည်။ ၎င်းကို <math>R=T</math> သီအိုရမ် အဖြစ် လူသိများပြီး [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းသီအိုရီ|အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းသီအိုရီတွင်]] ဩဇာလွှမ်းမိုးမှုကြီးမားသော တိုးတက်မှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအားလုံးအတွက် အပြည့်အဝ မော်ဂျူလာဖြစ်မှု သီအိုရမ်ကို 2001 ခုနှစ်အရောက်တွင် ဖရက်ဒ် ဒိုင်းမွန်း၊ ဘရိုင်ယန် ကွန်ရက်ဒ်၊ တေလာ နှင့် ခရစ္စတော့ဖ် ဘရွိုင်း တို့က နောက်ပိုင်းတွင် ပြီးမြောက်အောင် ဆောင်ရွက်နိုင်ခဲ့သည်။ == အခြား ပြဿနာများနှင့် ဆက်စပ်မှု နှင့် ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Relationship to other problems and generalizations) == === ယေဘုယျပြုထားသော ဖဲမ ညီမျှခြင်း (Generalized Fermat equation) === ယေဘုယျပြုထားသော ဖဲမ [[ညီမျှခြင်း]] (generalized Fermat equation) သည် <math>a^m + b^n = c^k</math> ကို ပြေလည်စေသော အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်]] အဖြေများဖြစ်သည့် <math>a, b, c, m, n, k</math> တို့ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းအားဖြင့် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်၏ ဖော်ပြချက်ကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ဘီးလ် ယူဆချက် က <math>a, b, c</math> သည် အစုံလိုက် [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ|နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်ပြီး]] ထပ်ကိန်းအားလုံး 2 ထက်ကြီးသည့် အပေါင်းကိန်းပြည့်များထဲတွင် ယေဘုယျပြုထားသော ဖဲမ ညီမျှခြင်းအတွက် အဖြေများ လုံးဝမရှိဟု ဖော်ပြထားသည်။ ဖဲမ-ကာတာလန် ယူဆချက် က <math>a, b, c</math> တို့သည် အပေါင်း နှိုင်းရသုဒ္ဓ ကိန်းပြည့်များဖြစ်ကြပြီး <math>m, n, k</math> တို့သည် <math>\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{k} < 1</math> ကို ပြေလည်စေသော အပေါင်းကိန်းပြည့်များ ဖြစ်သောအခါ၊ ယေဘုယျပြုထားသော ဖဲမ ညီမျှခြင်းတွင် ကွဲပြားသော တန်ဖိုးသုံးခုတွဲများဖြစ်သည့် <math>(a^m, b^n, c^k)</math> နှင့်တကွ အဆုံးရှိ အရေအတွက်ရှိသော အဖြေများ <math>(a, b, c, m, n, k)</math> သာလျှင် ရှိသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ === ဖဲမ ၏ ပြောင်းပြန် ညီမျှခြင်း (Inverse Fermat equation) === ထပ်ကိန်း <math>n</math> သည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်တစ်ခု၏]] အချိုးပြောင်းပြန် (reciprocal) <math>n = 1/m</math> ဖြစ်သောအခါ ဖဲမ ၏ ပြောင်းပြန် [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းကို]] <math>a^{1/m} + b^{1/m} = c^{1/m}</math> ဟု ရရှိသည်။ ဤညီမျှခြင်းတွင် <math>m</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းများ (roots) သည် [[ကိန်းစစ်]] (real number) နှင့် အပေါင်းဖြစ်သော အဖြေများအားလုံးကို <math>s</math> နှင့် <math>t</math> [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ|နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သည့်]] အပေါင်းကိန်းပြည့်များ <math>r, s, t</math> အတွက် <math>a = rs^m</math>၊ <math>b = rt^m</math>၊ <math>c = r(s+t)^m</math> ဖြင့် ပေးထားသည်။ === ရာရှင်နယ် ထပ်ကိန်းများ (Rational exponents) === <math>n > 2</math> ဖြစ်ပြီး <math>n</math> နှင့် <math>m</math> တို့သည် [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ|နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သည့်]] <math>a^{n/m} + b^{n/m} = c^{n/m}</math> ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း [[ညီမျှခြင်း]] အတွက် 6 သည် <math>m</math> ကို အတိအကျစားပြတ်ပြီး <math>a^{1/m}, b^{1/m}</math> နှင့် <math>c^{1/m}</math> တို့သည် တူညီသော [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်တစ်ခုတည်း၏]] ကွဲပြားသော 6 ကြိမ်မြောက် [[ကိန်းထွေး]] ကိန်းရင်းများ ဖြစ်မှသာလျှင် [[ကိန်းပြည့်]]အဖြေများ တည်ရှိသည်။ === အနုတ် ကိန်းပြည့် ထပ်ကိန်းများ (Negative integer exponents) === ==== <math>n = -1</math> ==== အော့ပတစ် [[ညီမျှခြင်း]] <math>a^{-1} + b^{-1} = c^{-1}</math> အတွက် အပေါင်း ပရစ်မစ်တစ် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်အဖြေများ]] အားလုံးကို အပေါင်းဖြစ်ပြီး [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ|နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သော]] ကိန်းပြည့်များ <math>m, k</math> အတွက် <math>a = mk + m^2</math>၊ <math>b = mk + k^2</math>၊ <math>c = mk</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ ==== <math>n = -2</math> ==== <math>a^{-2} + b^{-2} = d^{-2}</math> အတွက် ပရစ်မစ်တစ် အဖြေများအားလုံးကို <math>v > u</math> ဖြစ်ပြီး [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံမသဘာဝ]] (parity) မတူညီသော နှိုင်းရသုဒ္ဓ ကိန်းပြည့်များ <math>u, v</math> အတွက် <math>a = (v^2 - u^2)(v^2 + u^2)</math>၊ <math>b = 2uv(v^2 + u^2)</math>၊ <math>d = 2uv(v^2 - u^2)</math> ဖြင့် ပေးထားသည်။ [[ဂျီဩမေတြီ|ဂျီဩမေတြီရှုထောင့်မှကြည့်လျှင်]] <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ထောင့်မှန်ခံအနား (hypotenuse) <math>c = (v^2 + u^2)^2</math> ရှိသော ကိန်းပြည့် ထောင့်မှန်တြိဂံ (right triangle) တစ်ခု၏ ထောင့်မှန်ကျအနားများ ဖြစ်ကြပြီး <math>d</math> သည် ထောင့်မှန်ခံအနားသို့ဆွဲထားသော အမြင့်မျဉ်း ဖြစ်သည်။ ==== <math>n < -2</math> ==== <math>n < -2</math> ဖြစ်သော [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များအတွက်]] <math>a^n + b^n = c^n</math> တွင် ကိန်းပြည့်အဖြေများ လုံးဝမရှိပါ။ ညီမျှခြင်းကို <math>a^{|n|}b^{|n|}c^{|n|}</math> ဖြင့် မြှောက်လိုက်သောအခါ <math>(bc)^{|n|} + (ac)^{|n|} = (ab)^{|n|}</math> ကို ရရှိပြီး ၎င်းသည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်အရ မဖြစ်နိုင်သော အရာဖြစ်သည်။ === abc ယူဆချက် (abc conjecture) === လုံလောက်စွာ ကြီးမားသော <math>n</math> တန်ဖိုးများအတွက် abc ယူဆချက်က ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်ကို သက်ရောက်စေသည်။ ပြုပြင်ထားသည့် စပီရို ယူဆချက်သည် abc ယူဆချက်နှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီပြီး တူညီသော သက်ရောက်မှုရှိသည်။ ၎င်းယူဆချက် နှစ်ခုအနက်မှ တစ်ခုခု၏ တိကျသော မူကွဲတစ်ခုသည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်ကို ချက်ချင်း သက်ရောက်စေမည်ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Aczel |first=Amir |date=1996 |title=Fermat's Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem |publication-place=New York |publisher=Four Walls Eight Windows |isbn=978-1-56858-077-7 |url=https://archive.org/details/fermatslasttheor00acz_pep}} * {{Citation |last=Bell |first=Eric T. |date=1998 |orig-year=1961 |title=The Last Problem |publication-place=Washington, D.C. |publisher=Mathematical Association of America |isbn=978-0-88385-451-8}} * {{Citation |last=Benson |first=Donald C. |date=2001 |title=The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies |publication-place=New York |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-513919-8}} * {{Citation |last=Brudner |first=Harvey J. |date=1994 |title=Fermat and the Missing Numbers |publication-place=Whippany, NJ |publisher=WLC, Inc |isbn=978-0-9644785-0-3}} * {{Citation |last=Daney |first=Charles |date=2003 |title=The Mathematics of Fermat's Last Theorem |url=http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt01.htm |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20040803221632/http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt01.htm |archive-date=3 August 2004}} * {{Citation |last=Dickson |first=Leonard E. |date=1919 |title=History of the Theory of Numbers |volume=2 |series=Diophantine Analysis |publication-place=New York |publisher=Chelsea Publishing |pages=545–550, 615–621, 688–691, 731–776 |mr=0245499 |zbl=0023.21403}} * {{Citation |last=Edwards |first=Harold M. |date=1996 |orig-year=1977 |title=Fermat's Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=50 |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-0-387-90230-2 |mr=0432534 |zbl=0356.10002}} * {{Citation |last=Elkies |first=Noam D. |title=Tables of Fermat "near-misses" – approximate solutions of x^n + y^n = z^n |url=http://www.math.harvard.edu/~elkies/ferm.html}} * {{Citation |last=Faltings |first=Gerd |date=1995 |title=The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles |journal=Notices of the American Mathematical Society |volume=42 |issue=7 |pages=743–746 |issn=0002-9920 |mr=1334651 |zbl=0840.11020 |url=https://www.ams.org/notices/199507/faltings.pdf}} * {{Citation |last=Kleiner |first=Israel |date=2000 |title=From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem |journal=Elemente der Mathematik |volume=55 |pages=19–37 |doi=10.1007/PL00000079 |mr=1740921 |zbl=0944.11002 |s2cid=53319514 |url=http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20110608052614/http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf |archive-date=8 June 2011}} * {{Citation |last1=Manin |first1=Yuri I. |last2=Panchishkin |first2=Alekseĭ A. |date=2007 |chapter=Fundamental problems, Ideas and Theories |title=Introduction to Modern Number Theory |series=Encyclopedia of Mathematical Sciences |volume=49 |edition=2nd |publication-place=Berlin |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-20364-3 |mr=2320340 |zbl=1120.11001}} * {{Citation |last=Mordell |first=Louis J. |date=1921 |title=Three Lectures on Fermat's Last Theorem |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |mr=0245499 |jfm=48.0121.05}} * {{Citation |last=Mozzochi |first=Charles |date=2000 |title=The Fermat Diary |publication-place=Providence, RI |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-2670-6 |mr=1794269 |zbl=0969.11002}} * {{Citation |last1=O'Connor |first1=J. J. |last2=Robertson |first2=E. F. |date=1996 |title=Fermat's last theorem |work=MacTutor History of Mathematics Archive |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Fermat%27s_last_theorem/}} * {{Citation |last=Ribenboim |first=Paulo |date=1979 |title=13 Lectures on Fermat's Last Theorem |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-90432-8 |mr=0556214 |zbl=0456.10006}} * {{Citation |last=Ribenboim |first=Paulo |date=2000 |title=Fermat's Last Theorem for Amateurs |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-0-387-98508-4 |mr=1711732 |zbl=0941.11001}} * {{Citation |last=Ribet |first=Kenneth A. |date=1995 |title=Galois representations and modular forms |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |series=New Series |volume=32 |issue=4 |pages=375–402 |doi=10.1090/S0273-0979-1995-00616-6 |mr=1322785 |zbl=0840.11021 |arxiv=math/9503219 |s2cid=16786407}} * {{Citation |last=Saikia |first=Manjil P. |date=2011 |title=A Study of Kummer's Proof of Fermat's Last Theorem for Regular Primes |journal=IISER Mohali (India) Summer Project Report |arxiv=1307.3459 |bibcode=2013arXiv1307.3459S |url=http://www.manjilsaikia.in/publ/projects/kummerFLT.pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20150922030715/http://www.manjilsaikia.in/publ/projects/kummerFLT.pdf |archive-date=22 September 2015}} * {{Citation |last=Singh |first=Simon |date=2022 |orig-year=1997 |title=Fermat's Last Theorem: The Story of a Riddle That Confounded the World's Greatest Minds for 358 Years |publication-place=London |publisher=Fourth Estate |isbn=978-0-00-855382-1}} * {{Citation |last=Stark |first=Harold |date=1978 |title=An Introduction to Number Theory |publication-place=Cambridge, MA |publisher=MIT Press |isbn=0-262-69060-8 |mr=0506160 |zbl=0397.10001 |url=https://archive.org/details/introductiontonu00star_0}} * {{Citation |last=Stevens |first=Glenn |date=1997 |chapter=An Overview of the Proof of Fermat's Last Theorem |title=Modular Forms and Fermat's Last Theorem |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-94609-8 |pages=1–16 |mr=1463174 |zbl=0878.11020 |url=https://books.google.com/books?id=Va-quzVwtMsC&pg=PA1}} * {{Citation |last1=Stewart |first1=Ian |last2=Tall |first2=David |date=2002 |title=Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem |edition=3rd |publication-place=Natick, MA |publisher=A K Peters |isbn=1-56881-119-5 |mr=1883734 |zbl=1018.11046}} * {{Citation |last=van der Poorten |first=Alf |date=1996 |title=Notes on Fermat's Last Theorem |publication-place=New York |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-06261-5 |mr=1396181 |zbl=0856.11015 |url=https://archive.org/details/notesonfermatsla0000vand}} * {{Citation |last=Wiles |first=Andrew |date=1995 |title=Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem |journal=Annals of Mathematics |volume=141 |issue=3 |doi=10.2307/2118559 |jstor=2118559 |mr=1333035 |zbl=0823.11029 |url=http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20030628220453/http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf |archive-date=28 June 2003}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းသီအိုရီ သီအိုရမ်များ]] sjtcnpekqfi4ahna3xrize2wutfggcb 0 291745 1054162 1053550 2026-09-19T15:42:43Z InternetArchiveBot 61272 Adding 1 book for [[ဝီကီပီးဒီးယား:စိစစ်အတည်ပြုခံနိုင်မှု]] (20260919)) #IABot (v2.0.9.6) ([[User:GreenC bot|GreenC bot]] 1054162 wikitext text/x-wiki '''သာမိုဒိုင်းနမစ် ဒုတိယနိယာမ'''သည် [[အပူ]]နှင့် စွမ်းအင်ကူးပြောင်းခြင်းအကြောင်းကို ဖော်ပြသော သိပ္ပံနည်းကျ နိယာမ ဖြစ်သည်။ ထိုနိယာမ၏ ရိုးရှင်းသော ဖော်ပြချက်မှာ [[အပူ]]သည် ပူသောအရာမှ အေးသောအရာသို့ အလိုအလျောက် စီးဆင်းသည်။ သာမိုဒိုင်းနမစ် ဒုတိယနိယာမသည် [[အင်ထရိုပီ]] (ဖရိုဖရဲဖြစ်မှု) ကို သာမိုဒိုင်းနမစ်စနစ်၏ ရူပဗေဒဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိအဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ယင်းသည် [[သာမိုဒိုင်းနမစ် ပထမနိယာမ]]တွင် ဖော်ပြထားသော စွမ်းအင်တည်မြဲမှု နိယာမကို လိုက်နာနေသော်လည်း အချို့သော ဖြစ်စဉ်များကို ဖြစ်ပေါ်ခွင့် မရှိဟု ကြိုတင်ခန့်မှန်းပေးသည့်အပြင် အလိုအလျောက်ဖြစ်စဉ်များ (Spontaneous processes) အတွက် လိုအပ်သော စံနှုန်း (criteria ) များကိုလည်း ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ဥပမာ ပထမနိယာမအရ ဖန်ခွက်သည် စားပွဲပေါ်မှ ပြုတ်ကျကွဲသွားပြီး အစိတ်စိတ်အမွှာမွှာ ဖြစ်ရာမှ မူလနဂိုအတိုင်း ပြန်ဆက်သွားကာ စားပွဲခုံပေါ်သို့ ပြန်လည်ရောက်ရှိသွားသည်။ သို့သော် ဒုတိယနိယာမက ဖန်ခွက်ကွဲသွားသည့်အပိုင်းကို ခွင့်ပြုပြီး ပြန်ဆက်သည့်အပိုင်းကို ခွင့်မပြုပေ။ သာမိုဒိုင်နမစ် ဒုတိယနိယာမကို အလိုအလျောက် ဖြစ်ပေါ်ပြောင်းလဲခွင့် ပြုထားသော သီးခြားဖြစ်တည်နေသည့် စနစ်များ (Isolated systems) ၏ အင်ထရိုပီ (Entropy) သည် လျော့နည်းသွားခြင်း မရှိနိုင်ဟူသော လေ့လာတွေ့ရှိချက်ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်၊ အကြောင်းမှာ ထိုစနစ်များသည် သတ်မှတ်ထားသော အတွင်းစွမ်းအင် (Internal energy) ပမာဏ၌ အန်ထရိုပီ အမြင့်မားဆုံး ဖြစ်ပေါ်နေသည့် သာမိုဒိုင်နမစ် ညီမျှခြေအခြေအနေ (Thermodynamic equilibrium) သို့ အမြဲတမ်း ဦးတည်ပြောင်းလဲလေ့ ရှိသောကြောင့် ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web|url=http://web.mit.edu/16.unified/www/FALL/thermodynamics/notes/node38.html#SECTION05224000000000000000|title=5.2 Axiomatic Statements of the Laws of Thermodynamics|publisher=[[မက်ဆာချူးဆက် စက်မှုတက္ကသိုလ်]]}}</ref> စနစ် (System) နှင့် ပတ်ဝန်းကျင် (Surroundings) တို့၏ ပေါင်းစပ် အင်ထရိုပီ (Combined entropy) မြင့်တက်လာခြင်းသည် သဘာဝဖြစ်စဉ်များ နောက်ကြောင်းပြန်မလှည့်နိုင်ခြင်း (Irreversibility) ကို ရှင်းလင်းဖော်ပြနေပြီး၊ ထိုအချက်ကို ''အချိန်၏ မြှားတံ'' (Arrow of time) ဟူသော သဘောတရားတွင် မကြာခဏ ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။<ref>{{cite journal | last1 = Sanborn Scott | first1 = David | year = 2003 | title = The arrow of time | url = | journal = International Journal of Hydrogen Energy | volume = 28 | issue = 2| pages = 147–149 | doi = 10.1016/S0360-3199(02)00019-8 | bibcode = 2003IJHE...28..147S }}</ref><ref>{{Cite book |last=Carroll |first=Sean |title=From Eternity to Here: The Quest for the Ultimate Theory of Time |url=https://archive.org/details/isbn_9780525951339 |date=2010 |publisher=Dutton |isbn=978-0-525-95133-9}}{{pn|date=October 2025}}</ref> ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:သာမိုဒိုင်းနမစ် နိယာမများ]] [[ကဏ္ဍ:ရူပဗေဒ ညီမျှခြင်းများ]] {{Physics-stub}} 93wdzhlc3m5boczqjr0k7gflv0srn8l 0 291824 1054249 1053882 2026-09-20T10:49:08Z Mkant00 135890 1054249 wikitext text/x-wiki '''ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ် (Fermat's little theorem)''' သည် မည်သည့် [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> အတွက်မဆို [[ကိန်းပြည့်]] <math>a^p - a</math> သည် <math>p</math> ၏ ကိန်းပြည့် ဆတိုးကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ဖော်ပြသည့် ကိန်းသီအိုရီရှိ အခြေခံကျသော ရလဒ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == ပုံစံတကျ ဖော်ပြချက် (Formal Statement) == <math>p</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>a</math> သည် မည်သည့် ကိန်းပြည့်မဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုကြပါစို့။ ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ်က အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display="block">a^p \equiv a \pmod p</math> အကယ်၍ <math>a</math> သည် <math>p</math> နှင့် [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ]] (coprime) ဖြစ်ပါက ဤသီအိုရမ်ကို နှစ်ဖက်စလုံးမှ <math>a</math> အား ချေဖျက်ခြင်း (canceling) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ထပ်တူညီစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display="block">a^{p-1} \equiv 1 \pmod p</math> == ပုံစံတကျ သက်သေပြချက်များ (Formal Proofs) == === မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်းမှတစ်ဆင့် သက်သေပြချက် (Proof via Modular Arithmetic - Induction) === <math>a \geq 0</math> ဟု မှတ်ယူပါ။ ဤသက်သေပြချက်သည် <math>a</math> အပေါ် ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း (induction) ဖြင့် လုပ်ဆောင်သည်။ အခြေခံအခြေအနေ <math>a = 0</math> အတွက် <math>0^p \equiv 0 \pmod p</math> သည် အသေးအဖွဲအားဖြင့် မှန်ကန်သည်။ <math>a^p \equiv a \pmod p</math> ဖြစ်စေရန်အတွက် သီအိုရမ်သည် <math>a</math> အတွက် မှန်ကန်သည်ဟု မှတ်ယူပါစို့။ <math>(a+1)^p</math> ၏ တန်ဖိုးကို ဘိုင်နိုမီရယ် သီအိုရမ် (binomial theorem) အသုံးပြု၍ ရှာဖွေမည်ဖြစ်သည်။ <math display="block">(a+1)^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} a^k</math> <math>0 < k < p</math> အတွက် ဘိုင်နိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (binomial coefficient) <math>\binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p-k)!}</math> သည် <math>p</math> ဖြင့် စားပြတ်သည်။ <math>p</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ပြီး ပိုင်းခြေ (denominator) ရှိ မည်သည့်ကိန်းပိုင်းကိုမျှ စား၍မပြတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ [[မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာ|မော်ဂျူလို]] (modulo) <math>p</math> အရ ကြားခံကိန်းပိုင်းများ အားလုံးသည် ပျောက်ကွယ်သွားသည်။ <math display="block">(a+1)^p \equiv a^p + 1^p \pmod p</math> ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်းဆိုင်ရာ ယူဆချက် (inductive hypothesis) <math>a^p \equiv a \pmod p</math> ကို အစားထိုးခြင်းဖြင့် အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ <math display="block">(a+1)^p \equiv a + 1 \pmod p</math> ဤအချက်က <math>a \geq 0</math> အားလုံးအတွက် သီအိုရမ်ကို တည်ဆောက်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>p = 2</math> ဖြစ်ပါက <math>a \equiv -a \pmod 2</math> ဖြစ်ကြောင်း မှတ်သားခြင်းအားဖြင့် ဤရလဒ်သည် အနုတ်ကိန်းပြည့်များသို့ ဖြန့်ကျက်သွားသည်။ မကိန်း သုဒ္ဓကိန်းများ (odd primes) <math>p</math> အတွက် <math>(-a)^p = -a^p \equiv -a \pmod p</math> ဖြစ်သည်။ === အုပ်စုသီအိုရီမှတစ်ဆင့် သက်သေပြချက် (Proof via Group Theory) === <math>p</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ မော်ဂျူလို <math>p</math> အရ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (equivalence classes) ၏ အစု <math>\{1, 2, \ldots, p-1\}</math> သည် မြှောက်ခြင်းအောက်တွင် <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times</math> ဟု ကိုယ်စားပြုသော [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (group) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဤအုပ်စု၏ အစဉ် (order) သည် <math>p-1</math> ဖြစ်သည်။ [[လာဂေါင့်၏ သီအိုရမ်]] အရ မည်သည့်အစုဝင် <math>a \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times</math> ၏ အစဉ်မဆိုသည် ၎င်းအုပ်စု၏ အစဉ်ကို စားပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အစုဝင် <math>a</math> အား ၎င်းအုပ်စု၏ အစဉ်အတိုင်း ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း (raising to the power) သည် အုပ်စု၏ [[ထပ်တူရအစုဝင်]] (identity element) အဖြစ်သို့ တန်ဖိုးထွက်ပေါ်လာသည်။ <math display="block">a^{p-1} \equiv 1 \pmod p</math> နှစ်ဖက်စလုံးကို <math>a</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းက <math>a^p \equiv a \pmod p</math> ကို ရရှိစေသည်။ ဤ ညီမျှခြင်း (equality) သည် <math>a \equiv 0 \pmod p</math> ဖြစ်သောအခါတွင်လည်း အသေးအဖွဲအားဖြင့် မှန်ကန်ပြီး ဤနည်းအားဖြင့် ရလဒ်ကို ကိန်းပြည့် <math>a</math> အားလုံးသို့ ယေဘုယျပြုပေးသည်။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == === အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ် (Euler's Theorem) === အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ်က ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ်ကို အလိုရှိရာ ဆပေါင်းကိန်း (composite) မော်ဂျူလပ်စ်များ <math>n</math> သို့ ယေဘုယျပြုသည်။ <math>\varphi(n)</math> သည် <math>\{1, \ldots, n\}</math> ထဲရှိ <math>n</math> နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သော ကိန်းပြည့်အရေအတွက်ကို ရေတွက်ပေးသည့် အွိုင်လာ၏ တိုးရှန့် ဖန်ရှင် (Euler's totient function) ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>n</math> နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သော မည်သည့် ကိန်းပြည့် <math>a</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n</math> <math>n = p</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်သောအခါ <math>\varphi(p) = p - 1</math> ဖြစ်ပြီး ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ်ကို ပြန်လည်ရရှိသည်။ တိုက်ရိုက် အကျိုးဆက်သီအိုရမ်တစ်ခုက ထပ်ကိန်း လျှော့ချခြင်းကို ခွင့်ပြုသည်။ အကယ်၍ <math>\gcd(a, n) = 1</math> ဖြစ်ပြီး အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းပြည့်များ <math>x, y \geq 0</math> အတွက် <math>x \equiv y \pmod{\varphi(n)}</math> ဖြစ်ပါက <math>a^x \equiv a^y \pmod n</math> ဖြစ်သည်။ == ပြောင်းပြန်အဆိုများနှင့် တိုးချဲ့ချက်များ (Converses and Extensions) == === လေးမား၏ သီအိုရမ် (Lehmer's Theorem) === ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ်၏ တိကျသော ပြောင်းပြန်အဆို (strict converse) သည် မှားယွင်းသည်။ သို့သော်လည်း လေးမား၏ သီအိုရမ်က တိကျခိုင်မာသော သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြရန်အတွက် အားပျော့သော ပြောင်းပြန်အဆိုတစ်ခုကို ပေးသည်။ အောက်ပါအခြေအနေကို ပြေလည်စေမည့် ကိန်းပြည့် <math>a</math> တစ်ခု တည်ရှိလျှင် <math display="block">a^{p-1} \equiv 1 \pmod p</math> နှင့် <math>p - 1</math> ကို စားပြတ်သည့် သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းများ <math>q</math> အားလုံးအတွက် <math display="block">a^{(p-1)/q} \not\equiv 1 \pmod p</math> ထိုအခါ <math>p</math> သည် တိကျစွာ သုဒ္ဓကိန်း ဖြစ်သည်။ === သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခု၏ မော်ဂျူလိုအရ ယူနစ်ရင်းများ (Roots of Unity Modulo a Prime) === အကယ်၍ <math>p</math> သည် မကိန်း သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက မော်ဂျူလို <math>p</math> အရ ကိန်းပြည့်များသည် [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်]] (finite field) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းပြီး ၎င်းက ညီမျှခြင်း <math>x^2 \equiv 1 \pmod p</math> တွင် ကိန်းရင်း <math>x \equiv 1</math> နှင့် <math>x \equiv -1</math> ဟူ၍ အတိအကျ နှစ်ခုသာ ရှိကြောင်း ဆိုလိုသည်။ <math>s > 0</math> နှင့် <math>d</math> သည် မကိန်းပြည့်တစ်ခု ဖြစ်သောနေရာတွင် <math>p - 1 = 2^s d</math> ဟု ရေးသားခြင်းအားဖြင့် ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ်က <math>p</math> နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သော မည်သည့် <math>a</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်စေသည်။ <math display="block">a^{2^s d} \equiv 1 \pmod p</math> နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများကို အဆက်မပြတ် တန်ဖိုးရှာဖွေခြင်းဖြင့် ထပ်ကိန်းများ၏ ကိန်းစဉ်က <math>a^d \equiv 1 \pmod p</math> ဖြစ်စေသည်။ သို့မဟုတ် <math>0 \leq r < s</math> အပိုင်းအခြားအတွင်း အောက်ပါအခြေအနေကို ပြေလည်စေမည့် အချို့သော ကိန်းပြည့် <math>r</math> တည်ရှိစေသည်။ <math display="block">a^{2^r d} \equiv -1 \pmod p</math> ဤ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိသည် မီလာ-ရာဘင် သုဒ္ဓကိန်းစစ်ဆေးခြင်း (Miller-Rabin primality test) ၏ အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Burton |first=David M. |title=The History of Mathematics: An Introduction |edition=7th |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=2011 |isbn=978-0-07-338315-6}} * {{Citation |last=Long |first=Calvin T. |title=Elementary Introduction to Number Theory |edition=2nd |publication-place=Lexington, MA |publisher=D. C. Heath and Company |date=1972 |isbn=978-0669627039}} * {{Citation |last=Ore |first=Oystein |title=Number Theory and Its History |publication-place=New York |publisher=Dover |date=1988 |orig-date=1948 |isbn=978-0-486-65620-5}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းသီအိုရီ သီအိုရမ်များ]] qogfnetj4uhi53gs0xfvh1mdx0a5uii 0 291826 1054251 1053884 2026-09-20T10:50:01Z Mkant00 135890 1054251 wikitext text/x-wiki '''ယူကလစ်၏ သီအိုရမ် (Euclid's theorem)''' သည် [[သုဒ္ဓကိန်း]]များ (prime numbers) [[အနန္တ]] ရှိကြောင်းဆိုသည့် [[ကိန်းသီအိုရီ]] (number theory) မှ အခြေခံကျသော ဖော်ပြချက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == သက်သေပြချက်များ (Proofs) == === အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြချက် (Algebraic Proof) === <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math> တို့သည် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ အဆုံးရှိ စာရင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>P</math> ကို ၎င်းတို့၏ မြှောက်လဒ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပြီး <math>P = p_1 p_2 \cdots p_n</math> နှင့် <math>q = P + 1</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ [[ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (fundamental theorem of arithmetic) အရ <math>q</math> သည် အချို့သော သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> ဖြင့် စား၍ပြတ်သည်။ အကယ်၍ <math>p</math> သည် ကနဦး စာရင်းထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့ပါက ၎င်းသည် <math>P</math> နှင့် <math>q</math> နှစ်ခုစလုံးကို စား၍ပြတ်မည်ဖြစ်ပြီး နောက်ဆက်တွဲအနေဖြင့် ၎င်းတို့၏ ခြားနားခြင်းရလဒ်ဖြစ်သော <math>q - P = 1</math> ကိုလည်း စား၍ပြတ်မည်ဖြစ်သည်။ မည်သည့်သုဒ္ဓကိန်းကမျှ <math>1</math> ကို စား၍မပြတ်သောကြောင့် <math>p</math> သည် မူလစာရင်းထဲတွင် မပါဝင်နိုင်ပေ။ သို့ဖြစ်၍ အဆိုပါ [[အစု|အဆုံးရှိအစု]] (finite set) ထဲတွင် မပါဝင်သော သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခု တည်ရှိသည်။ နောက်တစ်နည်းအားဖြင့် မည်သည့် ကိန်းပြည့် <math>n > 1</math> အတွက်မဆို <math>N = n! + 1</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>N</math> တွင် သုဒ္ဓကိန်း စားကိန်း (prime divisor) <math>p</math> အနည်းဆုံးတစ်ခု ရှိသည်။ ကိန်းပြည့်များ <math>2, \ldots, n</math> သည် <math>N</math> ကို စားသောအခါ အကြွင်း (remainder) <math>1</math> ကျန်ရှိသောကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>N</math> ကို စား၍မပြတ်ပေ။ ထို့ကြောင့် <math>p > n</math> ဖြစ်သည်။ <math>n</math> သည် အလိုရှိရာ (arbitrary) ဖြစ်သောကြောင့် သုဒ္ဓကိန်းများသည် အကန့်အသတ်မရှိ (unbounded) ပေ။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ သက်သေပြချက် (Analytic Proof) === ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ်အရ ၎င်းတို့၏ သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းများ (prime factors) သည် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ အဆုံးရှိအစု <math>P_k = \{p_1, \ldots, p_k\}</math> ထဲတွင် ပါဝင်နေသော အပေါင်းကိန်းပြည့်အားလုံး၏ အချိုးပြောင်းပြန်များ (reciprocals) ၏ ပေါင်းလဒ်သည် [[ကိန်းစဉ်တန်း|ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်းများ]] (geometric series) ၏ မြှောက်လဒ်နှင့် ညီမျှသည်။ <math display="block">\prod_{p \in P_k} \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = \prod_{p \in P_k} \sum_{i \geq 0} \frac{1}{p^i} = \sum_{n \in N_k} \frac{1}{n}</math> အကယ်၍ သုဒ္ဓကိန်း အရေအတွက် အဆုံးရှိခဲ့ပါက <math>P_k</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းအားလုံး၏ အစုကို ကိုယ်စားပြုနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ ထိုအခါ ညာဘက်ခြမ်းသည် ဟာမိုနစ် [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (harmonic series) <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> ဖြစ်လာမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် ဖြာထွက်သော (divergent) ကိန်းစဉ်တန်းဖြစ်သည်။ ဘယ်ဘက်ခြမ်းသည် အဆုံးရှိသော တန်ဖိုးများ၏ အဆုံးရှိ မြှောက်လဒ် ဖြစ်လာမည်ဖြစ်ရာ ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (contradiction) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === စီစဉ်တွဲစပ်မှုဆိုင်ရာ သက်သေပြချက် (Combinatorial Proof) === <math>N</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်တစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>k</math> သည် <math>p_1, \ldots, p_k \leq N</math> ရှိသော သုဒ္ဓကိန်းများ၏ အရေအတွက် ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ မည်သည့်ကိန်းပြည့် <math>a \leq N</math> မဆို တွင် နှစ်ထပ်ကိန်းကင်းစင်သော ကိန်းပြည့် (square-free integer) နှင့် နှစ်ထပ်ကိန်း (square) တို့၏ တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique factorization) တစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math display="block">a = \left( p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k} \right) s^2</math> ဤနေရာတွင် <math>e_i \in \{0, 1\}</math> တစ်ခုစီ ဖြစ်သည်။ ထပ်ကိန်းများ (exponents) <math>e_i</math> အတွက် ဖြစ်နိုင်သော ပေါင်းစပ်မှုများ (combinations) <math>2^k</math> ခု ရှိသည်။ <math>s^2 \leq a \leq N</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>s</math> အတွက် ရွေးချယ်စရာ အများဆုံး <math>\lfloor\sqrt{N}\rfloor</math> ခု ရှိသည်။ ကိန်းပြည့် <math>a \leq N</math> ၏ စုစုပေါင်းအရေအတွက်ကို ဘောင်ခတ်ခြင်းဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">N \leq 2^k \sqrt{N}</math> ဤ မညီမျှခြင်း (inequality) ကို ပြန်လည်စီစဉ်ခြင်းဖြင့် <math>2^k \geq \sqrt{N}</math> သို့မဟုတ် <math>k \geq \frac{1}{2}\log_2 N</math> ကို ရရှိသည်။ <math>N</math> သည် အလိုရှိသလောက် ကြီးမားလာသည်နှင့်အမျှ <math>k</math> သည်လည်း အကန့်အသတ်မရှိ ကြီးမားလာရမည်ဖြစ်သည်။ === တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ သက်သေပြချက် (Topological Proof) === <math>a \neq 0</math> အတွက် <math>S(a, b) = a\mathbb{Z} + b</math> ပုံစံရှိ ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်များ (arithmetic progressions) ဖြင့် ထုတ်လုပ်ထားသော ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်ရှိ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (topology) တစ်ခုကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပါ။ အခြေအစု (basis set) <math>S(a, b)</math> တစ်ခုစီသည် အဖွင့် (open) လည်းဖြစ်ပြီး အပိတ် (closed) လည်း ဖြစ်သည်။ <math>-1</math> နှင့် <math>1</math> ကို ဖယ်ထုတ်ထားသော ကိန်းပြည့်များ၏ အစုသည် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ ဆတိုးကိန်းများ (multiples) အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စု (union) ဖြစ်သည်။ <math display="block">\mathbb{Z} \setminus \{-1, 1\} = \bigcup_{p \text{ prime}} S(p, 0).</math> အကယ်၍ သုဒ္ဓကိန်းများ၏ အရေအတွက် အဆုံးရှိခဲ့ပါက ဤပေါင်းစပ်စုသည် အပိတ်စုများ (closed sets) ၏ အဆုံးရှိ ပေါင်းစပ်စု (finite union) ဖြစ်လာမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် တိကျစွာ အပိတ် (strictly closed) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်း၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) ဖြစ်သော <math>\{-1, 1\}</math> သည် အဖွင့်စု (open set) တစ်ခု ဖြစ်လာမည်ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း အဆုံးရှိသော ဗလာမဟုတ်သောအစု (non-empty set) တစ်ခုသည် ဤတိုပေါ်လော်ဂျီတွင် အဖွင့် မဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ == ပိုမိုအားကောင်းသော ရလဒ်များ (Stronger Results) == အောက်ပါ သီအိုရမ်များသည် သုဒ္ဓကိန်းများအပေါ် တင်းကျပ်သော ဖြန့်ဖြူးခြင်း (distribution) ဘောင်များကို တည်ဆောက်ပေးပြီး ယူကလစ်၏ သီအိုရမ်ကို အကျိုးဆက်သီအိုရမ်များ (corollaries) အဖြစ် အသေးအဖွဲအားဖြင့် ဖြစ်စေသည်။ * '''သုဒ္ဓကိန်း သီအိုရမ် (Prime Number Theorem)''' တွင် <math>\pi(x)</math> သည် သုဒ္ဓကိန်း-ရေတွက် ဖန်ရှင် (prime-counting function) ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>x \to \infty</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသည်နှင့်အမျှ ယင်းဖန်ရှင်သည် အောက်ပါအတိုင်း ချဉ်းကပ်မှု သဘာဝအရ အရွယ်ပြောင်း (scale asymptotically) သွားသည်။ :<math>\lim_{x\to\infty} \frac{\pi(x)}{x/\log x} = 1</math> :<math>\lim_{x\to\infty} \frac{x}{\log x} = \infty</math> ဖြစ်သောကြောင့် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ အရေအတွက်သည် အနန္တဖြစ်သည်။ * '''ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး၏ သီအိုရမ် (Dirichlet's Theorem)''' တွင် မည်သည့် အပေါင်း နှိုင်းရသုဒ္ဓ ကိန်းပြည့်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>d</math> အတွက်မဆို <math>a \pmod{d}</math> နှင့် ထပ်တူညီသော သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တ များပြားစွာ ရှိသည်။ * '''ဘာထရန်၏ ကြိုတင်အဆို (Bertrand's postulate)''' သို့မဟုတ် '''ချေဘီရှက်ဗ်၏ သီအိုရမ် (Chebyshev's Theorem)''' တွင် မည်သည့် ကိန်းပြည့် <math>n > 1</math> အတွက်မဆို <math>n</math> နှင့် <math>2n</math> ကြားတွင် တိကျစွာ သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> အနည်းဆုံးတစ်ခု အမြဲရှိပြီး ယင်းက <math>\pi(2n) - \pi(n) \geq 1</math> ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Dickson |first=Leonard Eugene |title=History of the Theory of Numbers |volume=1 |publication-place=New York |publisher=Chelsea Publishing |date=1971 |isbn=978-0-8284-0086-2}} * {{Citation |last=Furstenberg |first=Harry |title=On the infinitude of primes |journal=American Mathematical Monthly |volume=62 |issue=5 |date=1955 |doi=10.2307/2307043}} * {{Citation |last=Havil |first=Julian |title=Gamma: Exploring Euler's Constant |publication-place=Princeton |publisher=Princeton University Press |date=2003 |isbn=0-691-09983-9}} * {{Citation |last=Ore |first=Oystein |title=Number Theory and its History |publication-place=New York |publisher=Dover |date=1988 |orig-date=1948 |isbn=978-0-486-65620-5}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းသီအိုရီ သီအိုရမ်များ]] ga52vtu4soomcodhn7by2h0iki7jr29 0 291828 1054252 1053886 2026-09-20T10:50:52Z Mkant00 135890 1054252 wikitext text/x-wiki '''အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme value theorem)''' သည် အပိတ်နှင့် အကန့်အသတ်ရှိသော အပိုင်းအခြား (closed and bounded interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်]] (continuous real-valued function) တစ်ခုက ၎င်း၏ အကြီးဆုံးတန်ဖိုး (maximum) နှင့် အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး (minimum) များကို ရရှိကြောင်း ဖော်ပြသည့် ကိန်းစစ် [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (real analysis) ရှိ အခြေခံကျသော သီအိုရမ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == ပုံစံတကျ ဖော်ပြချက် (Formal Statement) == <math>f : [a,b] \to \mathbb{R}</math> သည် အပိတ်နှင့် အကန့်အသတ်ရှိသော အပိုင်းအခြား <math>[a,b]</math> ပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ်က <math>[a,b]</math> အတွင်း အောက်ပါအခြေအနေကို ပြေလည်စေမည့် ကိန်းများ <math>c</math> နှင့် <math>d</math> တို့ တည်ရှိကြောင်း ဖော်ပြသည်။ <math display="block">f(d) \leq f(x) \leq f(c) \quad \forall x\in [a,b]</math> ဤအချက်က <math>[a,b]</math> ပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိကြောင်း ဖော်ပြသည့် ပိုမိုအားနည်းသော အကန့်အသတ်ရှိခြင်း သီအိုရမ် (boundedness theorem) ကို သက်ရောက်စေသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အောက်ပါအခြေအနေကို ပြေလည်စေမည့် ကိန်းစစ်များ <math>m</math> နှင့် <math>M</math> တို့ တည်ရှိသည်။ <math display="block">m \le f(x) \le M \quad \forall x \in [a, b]</math> == ပုံစံတကျ သက်သေပြချက်များ (Formal Proofs) == ယေဘုယျကျမှုကို မဆုံးရှုံးစေဘဲ အောက်ပါ သက်သေပြချက်များသည် အထက်ဘောင် (upper bound) နှင့် အကြီးဆုံးတန်ဖိုး တို့၏ တည်ရှိမှုကို တည်ဆောက်ပေးသည်။ ဆင်တူသော သက်သေပြချက်များကို <math>-f</math> အပေါ် အသုံးချခြင်းဖြင့် အောက်ဘောင် (lower bound) နှင့် အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး တို့ကို တည်ဆောက်ပေးသည်။ === အကန့်အသတ်ရှိခြင်း သီအိုရမ် (Boundedness Theorem) === <math>f</math> သည် <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် အထက်မှ အကန့်အသတ်မရှိ (not bounded above) ဟု မှတ်ယူပါ။ ထိုအခါ <math>x_n \in [a,b]</math> နှင့် <math>n</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x_n) > n</math> ဖြစ်စေမည့် [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ <math>[a,b]</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိသောကြောင့် ဘော်ဇာနို-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ် (Bolzano-Weierstrass theorem) က စုဆုံသော ကိန်းစဉ်ပိုင်း (convergent subsequence) <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math> တစ်ခု၏ တည်ရှိမှုကို အာမခံပေးသည်။ <math>x = \lim_{k\to\infty} x_{n_k}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>[a,b]</math> သည် အပိတ် ဖြစ်သောကြောင့် <math>x \in [a,b]</math> ဖြစ်သည်။ <math>x</math> နေရာရှိ <math>f</math> ၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်မှု (continuity) အရ ကိန်းစဉ် <math>(f(x_{n_k}))</math> သည် <math>f(x)</math> သို့ စုဆုံ (converge) သည်။ သို့သော်လည်း တည်ဆောက်ပုံအရ <math>k</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x_{n_k}) > n_k \geq k</math> ဖြစ်ပြီး ယင်းက <math>(f(x_{n_k}))</math> သည် <math>\infty</math> သို့ ဖြာထွက် (diverge) ကြောင်း သက်ရောက်သည်။ ဤအချက်သည် <math>f(x)</math> သို့ စုဆုံခြင်းကို ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု ဖြစ်စေသည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>f</math> သည် <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် အထက်မှ အကန့်အသတ်ရှိသည်။ === ကိန်းစဉ်အရ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် ကိန်းစဉ်အရ (Sequential Extreme Value Theorem) === အကန့်အသတ်ရှိခြင်း သီအိုရမ်အရ အစု <math>f([a,b])</math> သည် အထက်မှ အကန့်အသတ်ရှိသည်။ ကိန်းစစ်များ၏ ဒက်ဒီကင်း-ပြည့်စုံသော (Dedekind-complete) ဂုဏ်သတ္တိအရ စူပရီမမ် (supremum) <math>M = \sup f([a,b])</math> သည် တည်ရှိသည်။ <math>n \in \mathbb{N}</math> တိုင်းအတွက် <math>M - 1/n</math> သည် <math>f</math> အတွက် အထက်ဘောင်တစ်ခု မဟုတ်ပေ။ သို့ဖြစ်၍ <math>[a,b]</math> အတွင်း အောက်ပါအခြေအနေကို ပြေလည်စေမည့် ကိန်းစဉ် <math>(d_n)</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ <math display="block">M - \frac{1}{n} < f(d_n) \leq M</math> ညှစ်ခြင်း သီအိုရမ် (squeeze theorem) အရ ကိန်းစဉ် <math>(f(d_n))</math> သည် <math>M</math> သို့ စုဆုံသည်။ ဘော်ဇာနို-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ်အရ <math>(d_n)</math> တွင် အချို့သော <math>d \in [a,b]</math> သို့ စုဆုံသည့် ကိန်းစဉ်ပိုင်း <math>(d_{n_k})</math> တစ်ခု ရှိသည်။ <math>f</math> သည် <math>d</math> နေရာတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">f(d) = \lim_{k\to\infty} f(d_{n_k}) = M</math> ထို့ကြောင့် <math>f</math> သည် ၎င်း၏ စူပရီမမ် <math>M</math> ကို <math>d</math> နေရာ၌ ရရှိသည်။ === အခြား သက်သေပြချက် (Alternative Proof) === <math>M = \sup f([a,b])</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>x \in [a,b]</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x) < M</math> ဖြစ်သည်ဟု ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုကို ပြသရန်အတွက် မှတ်ယူပါ။ <math display="block">g(x) = \frac{1}{M - f(x)}</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင်သည် <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် တိကျစွာ အပေါင်းဖြစ်ပြီး အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်။ စူပရီမမ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>\epsilon > 0</math> တိုင်းအတွက် <math>M - f(x) < \epsilon</math> ဖြစ်စေမည့် <math>x \in [a,b]</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤအချက်က <math>g(x) > 1/\epsilon</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်ရောက်ပြီး ယင်းမှာ <math>g</math> သည် <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် အကန့်အသတ်မရှိကြောင်း ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း ဤအချက်သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် <math>g</math> အပေါ် အသုံးချထားသည့် အကန့်အသတ်ရှိခြင်း သီအိုရမ်နှင့် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု ဖြစ်စေသည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>f(x) = M</math> ဖြစ်စေမည့် အချို့သော <math>x \in [a,b]</math> သည် တည်ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == === ကျစ်လျစ်သော ရပ်ဝန်းများ (Compact Spaces) === အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ်သည် ယေဘုယျ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) သို့ ဖြန့်ကျက်သည်။ <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အကယ်၍ <math>f:V\to W</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>K \subset V</math> သည် ကျစ်လျစ်သော အစု (compact set) တစ်ခုဖြစ်ပါက [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (image) <math>f(K) \subset W</math> သည် ကျစ်လျစ်သည်။ အကယ်၍ <math>W = \mathbb{R}</math> သည် စံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (standard topology) နှင့် ဖြစ်ပါက ဟိုင်းနား-ဘိုရဲလ် သီအိုရမ် (Heine-Borel theorem) က ကျစ်လျစ်သော အစု <math>f(K)</math> သည် အပိတ်ဖြစ်ပြီး အကန့်အသတ်ရှိကြောင်း သက်ရောက်စေသည်။ <math>f(K)</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိသောကြောင့် <math>\sup f(K)</math> နှင့် <math>\inf f(K)</math> တို့ တည်ရှိကြသည်။ <math>f(K)</math> သည် အပိတ် ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းတွင် ၎င်း၏ စူပရီမမ်နှင့် အင်ဖီမမ် (infimum) တို့ ပါဝင်သည်။ ထို့ကြောင့် အောက်ပါအခြေအနေကို ပြေလည်စေမည့် <math>p, q \in K</math> တို့ တည်ရှိသည်။ <math display="block">f(p) = \sup_{x \in K} f(x) \quad \text{and} \quad f(q) = \inf_{x \in K} f(x)</math> === ဆီမီးအဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (Semi-continuous Functions) === ဤသီအိုရမ်သည် တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်မျဉ်း (extended real number line) <math>[-\infty, \infty]</math> ထဲသို့ ပုံဖော်ပေးသည့် ဆီမီးအဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များသို့ ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f: [a, b] \to [-\infty, \infty)</math> တစ်ခုသည် အောက်ပါအခြေအနေရှိလျှင် အထက် ဆီမီးအဆက်မပြတ် (upper semi-continuous) ဖြစ်သည်။ <math display="block">\limsup_{y\to x} f(y) \le f(x) \quad \forall x \in [a, b]</math> အကယ်၍ <math>f</math> သည် ကျစ်လျစ်သော အပိုင်းအခြား (compact interval) <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် အထက် ဆီမီးအဆက်မပြတ် ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် အထက်မှ အကန့်အသတ်ရှိပြီး ၎င်း၏ စူပရီမမ်ကို ရရှိသည်။ ဖန်ရှင် <math>f: [a, b] \to (-\infty, \infty]</math> တစ်ခုသည် အောက်ပါအခြေအနေရှိလျှင် အောက် ဆီမီးအဆက်မပြတ် (lower semi-continuous) ဖြစ်သည်။ <math display="block">\liminf_{y\to x} f(y) \geq f(x) \quad \forall x \in [a, b]</math> အကယ်၍ <math>f</math> သည် ကျစ်လျစ်သော အပိုင်းအခြား <math>[a,b]</math> ပေါ်တွင် အောက် ဆီမီးအဆက်မပြတ် ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် အောက်မှ အကန့်အသတ်ရှိပြီး ၎င်း၏ အင်ဖီမမ်ကို ရရှိသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Abbott |first=Stephen |title=Understanding Analysis |series=Undergraduate Texts in Mathematics |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |date=2001 |isbn=978-0-387-95060-0}} * {{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |isbn=0-07-054235-X}} * {{Citation |last=Spivak |first=Michael |title=Calculus |edition=3rd |publication-place=Houston |publisher=Publish or Perish |date=1994 |isbn=978-0-914098-89-8}} [[ကဏ္ဍ: ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] b07zva53mjx28ksnecnpr6tob42c9pu 0 291835 1054206 1053913 2026-09-20T04:45:47Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* အကြောင်းအရာ */ 1054206 wikitext text/x-wiki '''ရှိရအိတိုရေတံခွန်''' (白糸の滝, Shiraito-no-taki) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ရှိဇုအိုခခရိုင်]]၊ ဖုဂျိနိုမိယမြို့ရှိ ရေတံခွန် ဖြစ်သည်။ [[ဖူဂျီတောင်]]အနီးတွင် တည်ရှိသည်။ ==အကြောင်းအရာ== ရှိရအိတိုရေတံခွန်သည် ဖုဂျိ - ဟခိုနဲ - အိဇုအမျိုးသားဥယျာဉ်အတွင်း တည်ရှိသည်။ ၁၉၃၅ ခုနှစ်ကတည်းက ဂျပန်အမျိုးသားအထိမ်းအမှတ်နေရာအဖြစ် ကာကွယ်စောင့်ရှောက်ထားသည်။ ၂၀၁၃ ခုနှစ်တွင် ဖူဂျီတောင်ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်နေရာ၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုအဖြစ် ဤရေတံခွန်ကို ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ==အချက်အလက်များ== ==ပတ်ဝန်းကျင်နေရာများ== ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ရေတံခွန်များ]] 2cqho8iep6osi7ln6f4g58i54t976dj 1054207 1054206 2026-09-20T04:47:20Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* အချက်အလက်များ */ 1054207 wikitext text/x-wiki '''ရှိရအိတိုရေတံခွန်''' (白糸の滝, Shiraito-no-taki) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ရှိဇုအိုခခရိုင်]]၊ ဖုဂျိနိုမိယမြို့ရှိ ရေတံခွန် ဖြစ်သည်။ [[ဖူဂျီတောင်]]အနီးတွင် တည်ရှိသည်။ ==အကြောင်းအရာ== ရှိရအိတိုရေတံခွန်သည် ဖုဂျိ - ဟခိုနဲ - အိဇုအမျိုးသားဥယျာဉ်အတွင်း တည်ရှိသည်။ ၁၉၃၅ ခုနှစ်ကတည်းက ဂျပန်အမျိုးသားအထိမ်းအမှတ်နေရာအဖြစ် ကာကွယ်စောင့်ရှောက်ထားသည်။ ၂၀၁၃ ခုနှစ်တွင် ဖူဂျီတောင်ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်နေရာ၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုအဖြစ် ဤရေတံခွန်ကို ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ==အချက်အလက်များ== ရေတံခွန်သည် အမြင့် ၂၀ မီတာ (၆၆ ပေ) ရှိသည်။ ဤရေတံခွန်သည် ဆန်းဂန်းနတ်ကျောင်း၏ အထွတ်အမြတ်နေရာအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းခံထားရသည်။{{citation needed|date=January 2026}} ==ပတ်ဝန်းကျင်နေရာများ== ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ရေတံခွန်များ]] 3d10nznkbng7isykjd6kz2zjs07e1gj 1054208 1054207 2026-09-20T04:49:59Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ပတ်ဝန်းကျင်နေရာများ */ 1054208 wikitext text/x-wiki '''ရှိရအိတိုရေတံခွန်''' (白糸の滝, Shiraito-no-taki) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ရှိဇုအိုခခရိုင်]]၊ ဖုဂျိနိုမိယမြို့ရှိ ရေတံခွန် ဖြစ်သည်။ [[ဖူဂျီတောင်]]အနီးတွင် တည်ရှိသည်။ ==အကြောင်းအရာ== ရှိရအိတိုရေတံခွန်သည် ဖုဂျိ - ဟခိုနဲ - အိဇုအမျိုးသားဥယျာဉ်အတွင်း တည်ရှိသည်။ ၁၉၃၅ ခုနှစ်ကတည်းက ဂျပန်အမျိုးသားအထိမ်းအမှတ်နေရာအဖြစ် ကာကွယ်စောင့်ရှောက်ထားသည်။ ၂၀၁၃ ခုနှစ်တွင် ဖူဂျီတောင်ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်နေရာ၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုအဖြစ် ဤရေတံခွန်ကို ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ==အချက်အလက်များ== ရေတံခွန်သည် အမြင့် ၂၀ မီတာ (၆၆ ပေ) ရှိသည်။ ဤရေတံခွန်သည် ဆန်းဂန်းနတ်ကျောင်း၏ အထွတ်အမြတ်နေရာအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းခံထားရသည်။{{citation needed|date=January 2026}} ==ဖော်ပြခံရမှုများ== ရှိရအိတိုရေတံခွန်သည် "ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အလှပဆုံး ရေတံခွန် ၁၀၀" တွင် ဖော်ပြခြင်း ခံရသည်။ ဤစာရင်းကို ၁၉၉၀ ခုနှစ်တွင် ဂျပန်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ဝန်ကြီးဌာနက ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ ၁၉၂၇ ခုနှစ်တွင် တိုကျိုနိချိနိချိသတင်းစာနှင့် အိုဆာကာမိုင်းနိချိသတင်းစာတို့သည် ''ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရှုခင်း ၁၀၀ စာရင်း''တွင် ထည့်သွင်းဖော်ပြခဲ့သည်။ ==ပတ်ဝန်းကျင်နေရာများ== ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ရေတံခွန်များ]] qx2h3zixajbd1j1660kzsinxw7mlo6g 1054209 1054208 2026-09-20T04:51:37Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ပတ်ဝန်းကျင်နေရာများ */ 1054209 wikitext text/x-wiki '''ရှိရအိတိုရေတံခွန်''' (白糸の滝, Shiraito-no-taki) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ရှိဇုအိုခခရိုင်]]၊ ဖုဂျိနိုမိယမြို့ရှိ ရေတံခွန် ဖြစ်သည်။ [[ဖူဂျီတောင်]]အနီးတွင် တည်ရှိသည်။ ==အကြောင်းအရာ== ရှိရအိတိုရေတံခွန်သည် ဖုဂျိ - ဟခိုနဲ - အိဇုအမျိုးသားဥယျာဉ်အတွင်း တည်ရှိသည်။ ၁၉၃၅ ခုနှစ်ကတည်းက ဂျပန်အမျိုးသားအထိမ်းအမှတ်နေရာအဖြစ် ကာကွယ်စောင့်ရှောက်ထားသည်။ ၂၀၁၃ ခုနှစ်တွင် ဖူဂျီတောင်ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်နေရာ၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုအဖြစ် ဤရေတံခွန်ကို ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ==အချက်အလက်များ== ရေတံခွန်သည် အမြင့် ၂၀ မီတာ (၆၆ ပေ) ရှိသည်။ ဤရေတံခွန်သည် ဆန်းဂန်းနတ်ကျောင်း၏ အထွတ်အမြတ်နေရာအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းခံထားရသည်။{{citation needed|date=January 2026}} ==ဖော်ပြခံရမှုများ== ရှိရအိတိုရေတံခွန်သည် "ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အလှပဆုံး ရေတံခွန် ၁၀၀" တွင် ဖော်ပြခြင်း ခံရသည်။ ဤစာရင်းကို ၁၉၉၀ ခုနှစ်တွင် ဂျပန်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ဝန်ကြီးဌာနက ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ ၁၉၂၇ ခုနှစ်တွင် တိုကျိုနိချိနိချိသတင်းစာနှင့် အိုဆာကာမိုင်းနိချိသတင်းစာတို့သည် ''ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရှုခင်း ၁၀၀ စာရင်း''တွင် ထည့်သွင်းဖော်ပြခဲ့သည်။ ==ပတ်ဝန်းကျင်နေရာများ== ရှိရအိတိုရေတံခွန်မှ ငါးမိနစ်ခန့် လမ်းလျှောက်သွားပါက အိုတိုဒိုမဲရေတံခွန် ရှိသည်။ ဤရေတံခွန်သည် အမြင့် ၂၅ မီတာ (၈၂ ပေ) ရှိပြီး ရှိရအိတိုရေတံခွန်ထက် အနည်းငယ်ပိုမြင့်သည်။ ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ရေတံခွန်များ]] 8y4vply2hdv12q4tr93e8dnt1yvhq1u 1054210 1054209 2026-09-20T04:51:57Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ပတ်ဝန်းကျင်နေရာများ */ 1054210 wikitext text/x-wiki '''ရှိရအိတိုရေတံခွန်''' (白糸の滝, Shiraito-no-taki) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ရှိဇုအိုခခရိုင်]]၊ ဖုဂျိနိုမိယမြို့ရှိ ရေတံခွန် ဖြစ်သည်။ [[ဖူဂျီတောင်]]အနီးတွင် တည်ရှိသည်။ ==အကြောင်းအရာ== ရှိရအိတိုရေတံခွန်သည် ဖုဂျိ - ဟခိုနဲ - အိဇုအမျိုးသားဥယျာဉ်အတွင်း တည်ရှိသည်။ ၁၉၃၅ ခုနှစ်ကတည်းက ဂျပန်အမျိုးသားအထိမ်းအမှတ်နေရာအဖြစ် ကာကွယ်စောင့်ရှောက်ထားသည်။ ၂၀၁၃ ခုနှစ်တွင် ဖူဂျီတောင်ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်နေရာ၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုအဖြစ် ဤရေတံခွန်ကို ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ==အချက်အလက်များ== ရေတံခွန်သည် အမြင့် ၂၀ မီတာ (၆၆ ပေ) ရှိသည်။ ဤရေတံခွန်သည် ဆန်းဂန်းနတ်ကျောင်း၏ အထွတ်အမြတ်နေရာအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းခံထားရသည်။{{citation needed|date=January 2026}} ==ဖော်ပြခံရမှုများ== ရှိရအိတိုရေတံခွန်သည် "ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အလှပဆုံး ရေတံခွန် ၁၀၀" တွင် ဖော်ပြခြင်း ခံရသည်။ ဤစာရင်းကို ၁၉၉၀ ခုနှစ်တွင် ဂျပန်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ဝန်ကြီးဌာနက ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ ၁၉၂၇ ခုနှစ်တွင် တိုကျိုနိချိနိချိသတင်းစာနှင့် အိုဆာကာမိုင်းနိချိသတင်းစာတို့သည် ''ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရှုခင်း ၁၀၀ စာရင်း''တွင် ထည့်သွင်းဖော်ပြခဲ့သည်။ ==ပတ်ဝန်းကျင်နေရာများ== ရှိရအိတိုရေတံခွန်မှ ငါးမိနစ်ခန့် လမ်းလျှောက်သွားပါက အိုတိုဒိုမဲရေတံခွန် ရှိသည်။ ဤရေတံခွန်သည် အမြင့် ၂၅ မီတာ (၈၂ ပေ) ရှိပြီး ရှိရအိတိုရေတံခွန်ထက် အနည်းငယ်ပိုမြင့်သည်။ [[File:Shiraito Falls - Panoramic photo.jpg|center|550px]] ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ရေတံခွန်များ]] rftoaac1dam4cnifwqjkybelbnw2hy9 1054211 1054210 2026-09-20T04:52:15Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ပြင်ပလင့်များ */ 1054211 wikitext text/x-wiki '''ရှိရအိတိုရေတံခွန်''' (白糸の滝, Shiraito-no-taki) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ရှိဇုအိုခခရိုင်]]၊ ဖုဂျိနိုမိယမြို့ရှိ ရေတံခွန် ဖြစ်သည်။ [[ဖူဂျီတောင်]]အနီးတွင် တည်ရှိသည်။ ==အကြောင်းအရာ== ရှိရအိတိုရေတံခွန်သည် ဖုဂျိ - ဟခိုနဲ - အိဇုအမျိုးသားဥယျာဉ်အတွင်း တည်ရှိသည်။ ၁၉၃၅ ခုနှစ်ကတည်းက ဂျပန်အမျိုးသားအထိမ်းအမှတ်နေရာအဖြစ် ကာကွယ်စောင့်ရှောက်ထားသည်။ ၂၀၁၃ ခုနှစ်တွင် ဖူဂျီတောင်ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်နေရာ၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုအဖြစ် ဤရေတံခွန်ကို ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ==အချက်အလက်များ== ရေတံခွန်သည် အမြင့် ၂၀ မီတာ (၆၆ ပေ) ရှိသည်။ ဤရေတံခွန်သည် ဆန်းဂန်းနတ်ကျောင်း၏ အထွတ်အမြတ်နေရာအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းခံထားရသည်။{{citation needed|date=January 2026}} ==ဖော်ပြခံရမှုများ== ရှိရအိတိုရေတံခွန်သည် "ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အလှပဆုံး ရေတံခွန် ၁၀၀" တွင် ဖော်ပြခြင်း ခံရသည်။ ဤစာရင်းကို ၁၉၉၀ ခုနှစ်တွင် ဂျပန်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ဝန်ကြီးဌာနက ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ ၁၉၂၇ ခုနှစ်တွင် တိုကျိုနိချိနိချိသတင်းစာနှင့် အိုဆာကာမိုင်းနိချိသတင်းစာတို့သည် ''ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရှုခင်း ၁၀၀ စာရင်း''တွင် ထည့်သွင်းဖော်ပြခဲ့သည်။ ==ပတ်ဝန်းကျင်နေရာများ== ရှိရအိတိုရေတံခွန်မှ ငါးမိနစ်ခန့် လမ်းလျှောက်သွားပါက အိုတိုဒိုမဲရေတံခွန် ရှိသည်။ ဤရေတံခွန်သည် အမြင့် ၂၅ မီတာ (၈၂ ပေ) ရှိပြီး ရှိရအိတိုရေတံခွန်ထက် အနည်းငယ်ပိုမြင့်သည်။ [[File:Shiraito Falls - Panoramic photo.jpg|center|550px]] ==ပြင်ပလင့်များ== {{Commons category|Shiraito Falls, Fujinomiya|position=left}} * [http://www.city.fujinomiya.shizuoka.jp/kokusai/english.htm Fujinomiya home page] ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ရေတံခွန်များ]] sger5ds21f2amr4c1r8fdwjhu1p0sxy 1054212 1054211 2026-09-20T04:53:39Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 1054212 wikitext text/x-wiki {{Infobox waterfall | name = ရှိရအိတိုရေတံခွန် | alt_name = 白糸の滝 | image = Shiraito Falls (34257542610).jpg | caption = | location = [[Fujinomiya, Shizuoka|Fujinomiya]], [[Shizuoka Prefecture]], [[Japan]] | coordinates = {{coord|35|18|45|N|138|35|20|E|source:jawiki_region:JP|display=title, inline}} | pushpin_map = Japan Shizuoka Prefecture#Japan | pushpin_relief=1 | type = multiple fan | height = {{cvt|20|m}} | height_longest = | average_width = {{cvt|200|m}} | number_drops = | average_flow = | watercourse = | world_rank = }} '''ရှိရအိတိုရေတံခွန်''' (白糸の滝, Shiraito-no-taki) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ရှိဇုအိုခခရိုင်]]၊ ဖုဂျိနိုမိယမြို့ရှိ ရေတံခွန် ဖြစ်သည်။ [[ဖူဂျီတောင်]]အနီးတွင် တည်ရှိသည်။ ==အကြောင်းအရာ== ရှိရအိတိုရေတံခွန်သည် ဖုဂျိ - ဟခိုနဲ - အိဇုအမျိုးသားဥယျာဉ်အတွင်း တည်ရှိသည်။ ၁၉၃၅ ခုနှစ်ကတည်းက ဂျပန်အမျိုးသားအထိမ်းအမှတ်နေရာအဖြစ် ကာကွယ်စောင့်ရှောက်ထားသည်။<ref>{{cite web |url=http://bunka.nii.ac.jp/heritages/detail/138444 |title= 白糸の滝|language=Japanese |publisher=[[Agency for Cultural Affairs]] |accessdate=}}</ref> ၂၀၁၃ ခုနှစ်တွင် ဖူဂျီတောင်ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်နေရာ၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုအဖြစ် ဤရေတံခွန်ကို ထည့်သွင်းခဲ့သည်။<ref>{{cite web |title=Fujisan, sacred place and source of artistic inspiration: Maps |url=https://whc.unesco.org/en/list/1418/multiple=1&unique_number=1883 |accessdate=2013-07-04 |work=World Heritage |publisher=UNESCO}}</ref> ==အချက်အလက်များ== ရေတံခွန်သည် အမြင့် ၂၀ မီတာ (၆၆ ပေ) ရှိသည်။ ဤရေတံခွန်သည် ဆန်းဂန်းနတ်ကျောင်း၏ အထွတ်အမြတ်နေရာအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းခံထားရသည်။{{citation needed|date=January 2026}} ==ဖော်ပြခံရမှုများ== ရှိရအိတိုရေတံခွန်သည် "ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အလှပဆုံး ရေတံခွန် ၁၀၀" တွင် ဖော်ပြခြင်း ခံရသည်။ ဤစာရင်းကို ၁၉၉၀ ခုနှစ်တွင် ဂျပန်သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ဝန်ကြီးဌာနက ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ ၁၉၂၇ ခုနှစ်တွင် တိုကျိုနိချိနိချိသတင်းစာနှင့် အိုဆာကာမိုင်းနိချိသတင်းစာတို့သည် ''ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရှုခင်း ၁၀၀ စာရင်း''တွင် ထည့်သွင်းဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="EM">{{cite web |url=http://www.env.go.jp/nature/ari_kata/shiryou/031208-4-3.pdf |title=日本八景(昭和2年)の選定内容 |publisher=[[Ministry of the Environment (Japan)|Ministry of the Environment]] |accessdate=17 March 2011}}</ref> ==ပတ်ဝန်းကျင်နေရာများ== ရှိရအိတိုရေတံခွန်မှ ငါးမိနစ်ခန့် လမ်းလျှောက်သွားပါက အိုတိုဒိုမဲရေတံခွန် ရှိသည်။ ဤရေတံခွန်သည် အမြင့် ၂၅ မီတာ (၈၂ ပေ) ရှိပြီး ရှိရအိတိုရေတံခွန်ထက် အနည်းငယ်ပိုမြင့်သည်။ [[File:Shiraito Falls - Panoramic photo.jpg|center|550px]] ==ပြင်ပလင့်များ== {{Commons category|Shiraito Falls, Fujinomiya|position=left}} * [http://www.city.fujinomiya.shizuoka.jp/kokusai/english.htm Fujinomiya home page] ==ကိုးကား== {{reflist}} * Southerland, Mary and Britton, Dorothy. ''The National Parks of Japan''. Kodansha International (1995). {{ISBN|4-7700-1971-8}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ရေတံခွန်များ]] nhw4n0s4aktv9mgl6vm45dexu5udzzn 0 291861 1054127 2026-09-19T12:25:11Z Mkant00 135890 "မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (linear algebra) သည် အခြေခံအားဖြင့် <math>a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b,</math> ပုံစံရှိ မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054127 wikitext text/x-wiki မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (linear algebra) သည် အခြေခံအားဖြင့် <math>a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b,</math> ပုံစံရှိ [[မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ]] (linear equations) <math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1x_1+\cdots +a_nx_n</math> အဖြစ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများ]] (linear maps) ကို လေ့လာသည်။ ၎င်းအပြင် ဤတည်ဆောက်ပုံများကို [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces) နှင့် [[ကိန်းအုံ|ကိန်းအုံများ]] (matrices) အတွင်း ဖွဲ့စည်းဖော်ပြခြင်းကိုလည်း လေ့လာသည်။ == ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector Spaces) == [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>F</math> တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု]]ဆိုသည်မှာ [[နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု|နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ]] (binary operations) ဖြစ်သော ဗက်တာပေါင်းခြင်းနှင့် [[စကေလာ]]မြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) တို့ပါဝင်သည့် [[အစု]] (set) <math>V</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွက်ချက်မှုများသည် [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]]အားလုံးဖြစ်သော <math>\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V</math> နှင့် စကေလာများဖြစ်သော <math>a, b \in F</math> တို့အတွက် အောက်ပါ [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုများ]] (axioms) ကို ပြည့်စုံစေသည်။<ref>Roman (2005).</ref> * ပေါင်းခြင်း၏ [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (associativity) ဆိုသည်မှာ <math>\mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}</math> ဖြစ်သည်။ * ပေါင်းခြင်း၏ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (commutativity) ဆိုသည်မှာ <math>\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}</math> ဖြစ်သည်။ * ပေါင်းခြင်းဆိုင်ရာ [[ထပ်တူရအစုဝင်]] (identity element) ဆိုသည်မှာ <math>\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}</math> ဖြစ်စေမည့် သုညဗက်တာ (zero vector) <math>\mathbf{0} \in V</math> တစ်ခု တည်ရှိခြင်း ဖြစ်သည်။ * ပေါင်းခြင်းဆိုင်ရာ [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်|ပြောင်းပြန်အစုဝင်များ]] (inverse elements) ဆိုသည်မှာ မည်သည့် <math>\mathbf{v} \in V</math> အတွက်မဆို <math>\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}</math> ဖြစ်စေမည့် <math>-\mathbf{v} \in V</math> တစ်ခု တည်ရှိခြင်း ဖြစ်သည်။ * ဗက်တာပေါင်းခြင်းအပေါ် စကေလာမြှောက်ခြင်း၏ [[ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ]] (distributivity) ဆိုသည်မှာ <math>a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}</math> ဖြစ်သည်။ * ဖီးလ်ဒ်အပေါင်းတွက်ချက်မှုအပေါ် စကေလာမြှောက်ခြင်း၏ ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ ဆိုသည်မှာ <math>(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}</math> ဖြစ်သည်။ * စကေလာနှင့် ဖီးလ်ဒ် မြှောက်ခြင်းတို့၏ ကိုက်ညီမှု (compatibility) ဆိုသည်မှာ <math>a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v}</math> ဖြစ်သည်။ * စကေလာမြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင် ဆိုသည်မှာ <math>1\mathbf{v} = \mathbf{v}</math> ဖြစ်သည်။ မျဉ်းဖြောင့် ရပ်ဝန်းပိုင်း (linear subspace) <math>W \subseteq V</math> ဆိုသည်မှာ အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့အောက်တွင် [[အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ|အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိရှိသော]] ဗလာမဟုတ်သော[[အစုပိုင်း]] (non-empty subset) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာများပါဝင်သည့် အစု <math>S</math> တစ်ခု၏ စပန် (span) သည် <math>S</math> ကို ငုံထားသော ရပ်ဝန်းပိုင်းများအားလုံး၏ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ဖြစ်ပြီး <math>\sum_{i=1}^k a_i \mathbf{v}_i</math> ပုံစံရှိ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (linear combinations) အားလုံး ပါဝင်သည်။ အကယ်၍ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\sum_{i=1}^k a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0} \implies a_i = 0</math> ဖြစ်ပါက အစု <math>S</math> သည် [[မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်း|မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော]] (linearly independent) အစု ဖြစ်သည်။ မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းပြီး ဖြန့်ကျက်အစု (spanning set) ဖြစ်သော အစုတစ်ခုသည် [[အခြေအစု]] (basis) ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများအတွက် အတိုင်းအတာ သီအိုရမ် (dimension theorem) အရ <math>V</math> ၏ မည်သည့် အခြေအစုနှစ်ခုမဆိုသည် တူညီသော [[အစုအရွယ်အစား]] (cardinality) ကို ပိုင်ဆိုင်ကြသည်။ ၎င်းကို <math>V</math> ၏ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>\dim V</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။<ref>Axler (2024).</ref> အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်းများဖြစ်ကြသော <math>U_1</math> နှင့် <math>U_2</math> တို့အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math>\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2).</math><ref>Axler (2024).</ref> == မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများနှင့် ကိန်းအုံများ (Linear Maps and Matrices) == <math>F</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]ဖြစ်သော <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့အတွက် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] <math>T: V \to W</math> သည် <math>\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V</math> အားလုံးနှင့် <math>a, b \in F</math> အားလုံးအတွက် <math>T(a \mathbf{u} + b \mathbf{v}) = aT(\mathbf{u}) + bT(\mathbf{v})</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] (bijective) မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုတစ်ခုသည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အခြေအစု <math>(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_m)</math> ပါရှိသည့် အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> တစ်ခုအတွက် ဗက်တာတိုင်းသည် [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်]] ဗက်တာ (coordinate vector) <math>(a_1, \dots, a_m) \in F^m</math> တစ်ခုဆီသို့ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ ပုံဖော်ခံရသည်။ အကယ်၍ <math>W</math> တွင် အခြေအစု <math>(\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_n)</math> ပါရှိပါက <math>f(\mathbf{w}_j) = \sum_{i=1}^m a_{i,j}\mathbf{v}_i</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု <math>f: W \to V</math> ကို <math>m \times n</math> အရွယ်အစားရှိ ကိန်းအုံ <math>[a_{i,j}]</math> ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ [[မြှောက်လဒ်|ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း]] (matrix multiplication) သည် မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများ၏ [[ပေါင်းစပ်ခြင်း အော်ပရေတာ|ပေါင်းစပ်ခြင်း]] (composition) နှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ကွဲပြားသော အခြေအစုများအောက်တွင် တူညီသည့် [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) တစ်ခုကို ဖော်ပြထားသော ကိန်းအုံနှစ်ခုသည် ဆင်တူသော ကိန်းအုံများ (similar matrices) ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့ကို [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်|ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော]] (invertible) ကူးပြောင်းမှု ကိန်းအုံ (transition matrix) ဖြင့် [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်|ကွန်ဂျူဂိတ်]] (conjugation) ပြုလုပ်ခြင်းမှတစ်ဆင့် ရယူနိုင်သည်။ == မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ စနစ် (Systems of Linear Equations) == ကိန်းရှင် (variables) <math>n</math> ခုပါဝင်သော [[မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်း]] <math>m</math> ကြောင်းပါ စနစ်တစ်ခုကို [[ကိန်းအုံ]] [[ညီမျှခြင်း]] <math>A\mathbf{x} = \mathbf{b}</math> အဖြစ် ပုံစံချ ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ ထိုနေရာတွင် <math>A = (a_{ij})_{m\times n}</math>၊ <math>\mathbf{x} \in F^n</math> နှင့် <math>\mathbf{b} \in F^m</math> ဖြစ်ကြသည်။ ဆက်စပ်နေသော တစ်ပြေးညီ စနစ် (homogeneous system) <math>A\mathbf{x} = \mathbf{0}</math> သည် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း]] (linear transformation) <math>A</math> ၏ [[ကာနယ်]] (kernel) အဖြစ် တိကျစွာ ဖွဲ့စည်းထားသော အဖြေများကို ထုတ်ပေးသည်။ မျဉ်းဖြောင့် စနစ်များအတွက် အဖြေများကို ပူးတွဲကိန်းအုံ (augmented matrix) <math>[A \mid \mathbf{b}]</math> အား လျှော့ချထားသော အတန်းအဆင့်ပုံစံ (reduced row echelon form) သို့ လျှော့ချရန်အတွက် ဂေါက်ရှန်း ပယ်ဖျက်ခြင်း (Gaussian elimination) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်သည်။ အကယ်၍ <math>m = n</math> ဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ကိန်းအုံဖြစ်ပါက အဆိုပါစနစ်တွင် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အဖြေ <math>\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}</math> ရှိသည်။ == အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် စတုရန်းကိန်းအုံများ (Endomorphisms and Square Matrices) == မျဉ်းဖြောင့် [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math>f: V \to V</math> တစ်ခုကို အရွယ်အစား <math>n</math> ရှိသော စတုရန်းကိန်းအုံ (square matrix) <math>M</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ [[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (determinant) ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)},</math> ထိုနေရာတွင် <math>S_n</math> သည် ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် အုပ်စု (symmetric group) ဖြစ်ပြီး <math>(-1)^{\sigma}</math> သည် ပါမြူတေးရှင်းဆိုင်ရာ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံမသဘာဝ]] (permutation parity) ကို ဖော်ပြသည်။ <math>\det(A) \neq 0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေတွင်သာ <math>A</math> သည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ကိန်းအုံ ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ စကေလာ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး]] (eigenvalue) <math>a</math> တစ်ခုအတွက် <math>M\mathbf{v} = a\mathbf{v}</math> ဖြစ်ပါက သုညမဟုတ်သော ဗက်တာ (non-zero vector) <math>\mathbf{v}</math> သည် <math>M</math> ၏ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ]] (eigenvector) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများသည် အခြေခံ ဖီးလ်ဒ် (base field) <math>F</math> အတွင်းရှိ ဝိသေသ [[ပိုလီနိုမီရယ်]] (characteristic polynomial) ၏ ကိန်းရင်းများ (roots) တိကျစွာ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းမှာ <math>\det(xI - M) = 0</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>V</math> တွင် ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများဖြင့်သာ ဖွဲ့စည်းထားသော အခြေအစုတစ်ခု ရှိနေပါက <math>M</math> သည် ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံပြောင်းနိုင်သော (diagonalizable) ကိန်းအုံ ဖြစ်သည်။ == ဒွန်တွဲမှုနှင့် အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများ (Duality and Inner-Product Spaces) == [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (dual space) <math>V^*</math> တွင် မျဉ်းဖြောင့် ပုံစံများ (linear forms) <math>f: V \to F</math> အားလုံး ပါဝင်သည်။ <math>V</math> ၏ အခြေအစု <math>(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n)</math> တစ်ခုအတွက် ဒွန်တွဲအခြေအစု (dual basis) <math>(\mathbf{v}_1^*, \dots, \mathbf{v}_n^*)</math> သည် <math>\mathbf{v}_i^*(\mathbf{v}_j) = \delta_{ij}</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု <math>f: V \to W</math> တစ်ခုအတွက် ဒွန်တွဲ ပုံဖော်မှု (dual map) <math>f^*: W^* \to V^*</math> ကို <math>f^*(h) = h \circ f</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အဆုံးရှိသော အတိုင်းအတာများတွင် <math>f^*</math> ကို ထရန်စပို့စ် ကိန်းအုံ (matrix transpose) <math>M^{\textsf{T}}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ <math>F = \mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> တစ်ခုအတွက် [[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)|အတွင်းမြှောက်လဒ်]] (inner product) သည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေသော ပုံဖော်မှု <math>\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \to F</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Jain & Ahmad (1995).</ref><ref>Prugovecki (1981).</ref> * [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်|ကွန်ဂျူဂိတ်]] အချိုးညီမှု (conjugate symmetry) ဆိုသည်မှာ <math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \overline{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}</math> ဖြစ်သည်။ * ပထမ အဝင်ကိန်းအပေါ် မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု (linearity in the first argument) ဆိုသည်မှာ <math>\langle a\mathbf{u} + b\mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = a\langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + b\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle</math> ဖြစ်သည်။ * အပေါင်းကိန်းသေချာမှု (positive-definiteness) ဆိုသည်မှာ <math>\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \geq 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\mathbf{v} = \mathbf{0}</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေတွင်သာ ညီမျှခြင်း ဖြစ်ပေါ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံသည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}</math> ကို လှုံ့ဆော်ပေးပြီး [[ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း]] (Cauchy-Schwarz inequality) <math>|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|</math> ကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]] (Hilbert spaces) အပေါ်ရှိ အကန့်အသတ်ရှိသော အော်ပရေတာများ သို့မဟုတ် အဆုံးရှိသော အတိုင်းအတာများတွင်ကဲ့သို့ ၎င်းတည်ရှိသောအခါ <math>T</math> ၏ ဟာမီရှန် ကွန်ဂျူဂိတ် (Hermitian conjugate) <math>T^*</math> ကို <math>\langle T\mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, T^*\mathbf{v} \rangle</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]အပေါ်တွင် <math>TT^* = T^*T</math> ကို ပြည့်စုံစေသော ကိန်းအုံများသည် ပုံမှန် (normal) ဖြစ်ကြပြီး ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော ထောင့်မှန်ကျယူနစ် အခြေအစု (orthonormal basis) တစ်ခုကို လက်ခံရရှိသည်။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == * '''[[မော်ဂျူး]] သီအိုရီ (Module theory)''' [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> တစ်ခုအပေါ်တွင် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအား ယေဘုယျပြုထားခြင်းသည် <math>R</math>-မော်ဂျူး (<math>R</math>-module) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများနှင့် မတူညီဘဲ [[လွတ်လပ်သော မော်ဂျူး|လွတ်လပ်သော မော်ဂျူးများ]] (free modules) မဟုတ်လျှင် အလိုရှိရာ မော်ဂျူးများသည် အခြေအစုများကို တိကျစွာ လက်ခံရရှိခြင်း မရှိပေ။ * '''မျဉ်းဖြောင့်အစုံ အက္ခရာသင်္ချာ (Multilinear algebra)''' <math>V^*</math> မှ အစုဝင်များ၏ [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်|တန်ဆာ မြှောက်လဒ်များ]] (tensor products) မှတစ်ဆင့် ပုံစံတကျ ဖော်ပြထားသော <math>F</math> ထဲသို့ဝင်သည့် ကိန်းရှင်များစွာတွင် မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှုများကို လေ့လာစစ်ဆေးသည်။ * '''[[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ]] [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (Topological vector spaces)''' အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ရပ်ဝန်းများသည် [[စုဆုံမှတ်]] (limit) တည်ဆောက်ပုံများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် စံနှုန်း၊ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် သို့မဟုတ် ဆီမီးစံနှုန်းများ စုစည်းမှုတို့မှ မကြာခဏ လှုံ့ဆော်ဖြစ်ပေါ်လာသော တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology) တစ်ခုကို ပေါင်းစပ်ထည့်သွင်းထားသည်။ ပြည့်စုံသော စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများသည် ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) ဖြစ်ကြပြီး ပြည့်စုံသော [[အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်း (ဟီလ်ဘတ်အကြို ရပ်ဝန်း)|အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများ]]သည် [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]] ဖြစ်ကြသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Axler |first=Sheldon |title=Linear Algebra Done Right |edition=4th |series=Undergraduate Texts in Mathematics |publisher=Springer Publishing |publication-place=Cham |date=2024 |isbn=978-3-031-41026-0 |doi=10.1007/978-3-031-41026-0}} * {{Citation |last1=Jain |first1=P. K. |last2=Ahmad |first2=Khalil |title=Functional analysis |edition=2nd |publisher=New Age International |publication-place=New Delhi |date=1995 |isbn=81-224-0801-X}} * {{Citation |last1=Katznelson |first1=Yitzhak |last2=Katznelson |first2=Yonatan R. |title=A (Terse) Introduction to Linear Algebra |publisher=American Mathematical Society |publication-place=Providence, RI |date=2008 |isbn=978-0-8218-4419-9}} * {{Citation |last=Prugovecki |first=Eduard |title=Quantum mechanics in Hilbert space |edition=2nd |publisher=Academic Press |publication-place=New York |date=1981 |isbn=0-12-566060-X}} * {{Citation |last=Roman |first=Steven |title=Advanced Linear Algebra |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |publisher=Springer |publication-place=New York |date=2005 |isbn=978-0-387-24766-3}} [[Category:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] tn0cdagd0yrmn2kpvf8l7acsa9cjajn 1054157 1054127 2026-09-19T15:30:55Z Dr Lotus Black 31011 /* ကိုးကား (References) */ 1054157 wikitext text/x-wiki မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (linear algebra) သည် အခြေခံအားဖြင့် <math>a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b,</math> ပုံစံရှိ [[မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ]] (linear equations) <math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1x_1+\cdots +a_nx_n</math> အဖြစ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများ]] (linear maps) ကို လေ့လာသည်။ ၎င်းအပြင် ဤတည်ဆောက်ပုံများကို [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces) နှင့် [[ကိန်းအုံ|ကိန်းအုံများ]] (matrices) အတွင်း ဖွဲ့စည်းဖော်ပြခြင်းကိုလည်း လေ့လာသည်။ == ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector Spaces) == [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>F</math> တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု]]ဆိုသည်မှာ [[နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု|နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ]] (binary operations) ဖြစ်သော ဗက်တာပေါင်းခြင်းနှင့် [[စကေလာ]]မြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) တို့ပါဝင်သည့် [[အစု]] (set) <math>V</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွက်ချက်မှုများသည် [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]]အားလုံးဖြစ်သော <math>\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V</math> နှင့် စကေလာများဖြစ်သော <math>a, b \in F</math> တို့အတွက် အောက်ပါ [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုများ]] (axioms) ကို ပြည့်စုံစေသည်။<ref>Roman (2005).</ref> * ပေါင်းခြင်း၏ [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (associativity) ဆိုသည်မှာ <math>\mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}</math> ဖြစ်သည်။ * ပေါင်းခြင်း၏ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (commutativity) ဆိုသည်မှာ <math>\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}</math> ဖြစ်သည်။ * ပေါင်းခြင်းဆိုင်ရာ [[ထပ်တူရအစုဝင်]] (identity element) ဆိုသည်မှာ <math>\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}</math> ဖြစ်စေမည့် သုညဗက်တာ (zero vector) <math>\mathbf{0} \in V</math> တစ်ခု တည်ရှိခြင်း ဖြစ်သည်။ * ပေါင်းခြင်းဆိုင်ရာ [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်|ပြောင်းပြန်အစုဝင်များ]] (inverse elements) ဆိုသည်မှာ မည်သည့် <math>\mathbf{v} \in V</math> အတွက်မဆို <math>\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}</math> ဖြစ်စေမည့် <math>-\mathbf{v} \in V</math> တစ်ခု တည်ရှိခြင်း ဖြစ်သည်။ * ဗက်တာပေါင်းခြင်းအပေါ် စကေလာမြှောက်ခြင်း၏ [[ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ]] (distributivity) ဆိုသည်မှာ <math>a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}</math> ဖြစ်သည်။ * ဖီးလ်ဒ်အပေါင်းတွက်ချက်မှုအပေါ် စကေလာမြှောက်ခြင်း၏ ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ ဆိုသည်မှာ <math>(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}</math> ဖြစ်သည်။ * စကေလာနှင့် ဖီးလ်ဒ် မြှောက်ခြင်းတို့၏ ကိုက်ညီမှု (compatibility) ဆိုသည်မှာ <math>a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v}</math> ဖြစ်သည်။ * စကေလာမြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင် ဆိုသည်မှာ <math>1\mathbf{v} = \mathbf{v}</math> ဖြစ်သည်။ မျဉ်းဖြောင့် ရပ်ဝန်းပိုင်း (linear subspace) <math>W \subseteq V</math> ဆိုသည်မှာ အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့အောက်တွင် [[အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ|အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိရှိသော]] ဗလာမဟုတ်သော[[အစုပိုင်း]] (non-empty subset) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာများပါဝင်သည့် အစု <math>S</math> တစ်ခု၏ စပန် (span) သည် <math>S</math> ကို ငုံထားသော ရပ်ဝန်းပိုင်းများအားလုံး၏ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ဖြစ်ပြီး <math>\sum_{i=1}^k a_i \mathbf{v}_i</math> ပုံစံရှိ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (linear combinations) အားလုံး ပါဝင်သည်။ အကယ်၍ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\sum_{i=1}^k a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0} \implies a_i = 0</math> ဖြစ်ပါက အစု <math>S</math> သည် [[မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်း|မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော]] (linearly independent) အစု ဖြစ်သည်။ မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းပြီး ဖြန့်ကျက်အစု (spanning set) ဖြစ်သော အစုတစ်ခုသည် [[အခြေအစု]] (basis) ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများအတွက် အတိုင်းအတာ သီအိုရမ် (dimension theorem) အရ <math>V</math> ၏ မည်သည့် အခြေအစုနှစ်ခုမဆိုသည် တူညီသော [[အစုအရွယ်အစား]] (cardinality) ကို ပိုင်ဆိုင်ကြသည်။ ၎င်းကို <math>V</math> ၏ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>\dim V</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။<ref>Axler (2024).</ref> အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်းများဖြစ်ကြသော <math>U_1</math> နှင့် <math>U_2</math> တို့အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math>\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2).</math><ref>Axler (2024).</ref> == မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများနှင့် ကိန်းအုံများ (Linear Maps and Matrices) == <math>F</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]ဖြစ်သော <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့အတွက် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] <math>T: V \to W</math> သည် <math>\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V</math> အားလုံးနှင့် <math>a, b \in F</math> အားလုံးအတွက် <math>T(a \mathbf{u} + b \mathbf{v}) = aT(\mathbf{u}) + bT(\mathbf{v})</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] (bijective) မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုတစ်ခုသည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အခြေအစု <math>(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_m)</math> ပါရှိသည့် အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> တစ်ခုအတွက် ဗက်တာတိုင်းသည် [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်]] ဗက်တာ (coordinate vector) <math>(a_1, \dots, a_m) \in F^m</math> တစ်ခုဆီသို့ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ ပုံဖော်ခံရသည်။ အကယ်၍ <math>W</math> တွင် အခြေအစု <math>(\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_n)</math> ပါရှိပါက <math>f(\mathbf{w}_j) = \sum_{i=1}^m a_{i,j}\mathbf{v}_i</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု <math>f: W \to V</math> ကို <math>m \times n</math> အရွယ်အစားရှိ ကိန်းအုံ <math>[a_{i,j}]</math> ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ [[မြှောက်လဒ်|ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း]] (matrix multiplication) သည် မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများ၏ [[ပေါင်းစပ်ခြင်း အော်ပရေတာ|ပေါင်းစပ်ခြင်း]] (composition) နှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ကွဲပြားသော အခြေအစုများအောက်တွင် တူညီသည့် [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) တစ်ခုကို ဖော်ပြထားသော ကိန်းအုံနှစ်ခုသည် ဆင်တူသော ကိန်းအုံများ (similar matrices) ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့ကို [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်|ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော]] (invertible) ကူးပြောင်းမှု ကိန်းအုံ (transition matrix) ဖြင့် [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်|ကွန်ဂျူဂိတ်]] (conjugation) ပြုလုပ်ခြင်းမှတစ်ဆင့် ရယူနိုင်သည်။ == မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ စနစ် (Systems of Linear Equations) == ကိန်းရှင် (variables) <math>n</math> ခုပါဝင်သော [[မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်း]] <math>m</math> ကြောင်းပါ စနစ်တစ်ခုကို [[ကိန်းအုံ]] [[ညီမျှခြင်း]] <math>A\mathbf{x} = \mathbf{b}</math> အဖြစ် ပုံစံချ ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ ထိုနေရာတွင် <math>A = (a_{ij})_{m\times n}</math>၊ <math>\mathbf{x} \in F^n</math> နှင့် <math>\mathbf{b} \in F^m</math> ဖြစ်ကြသည်။ ဆက်စပ်နေသော တစ်ပြေးညီ စနစ် (homogeneous system) <math>A\mathbf{x} = \mathbf{0}</math> သည် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း]] (linear transformation) <math>A</math> ၏ [[ကာနယ်]] (kernel) အဖြစ် တိကျစွာ ဖွဲ့စည်းထားသော အဖြေများကို ထုတ်ပေးသည်။ မျဉ်းဖြောင့် စနစ်များအတွက် အဖြေများကို ပူးတွဲကိန်းအုံ (augmented matrix) <math>[A \mid \mathbf{b}]</math> အား လျှော့ချထားသော အတန်းအဆင့်ပုံစံ (reduced row echelon form) သို့ လျှော့ချရန်အတွက် ဂေါက်ရှန်း ပယ်ဖျက်ခြင်း (Gaussian elimination) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်သည်။ အကယ်၍ <math>m = n</math> ဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ကိန်းအုံဖြစ်ပါက အဆိုပါစနစ်တွင် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အဖြေ <math>\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}</math> ရှိသည်။ == အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် စတုရန်းကိန်းအုံများ (Endomorphisms and Square Matrices) == မျဉ်းဖြောင့် [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math>f: V \to V</math> တစ်ခုကို အရွယ်အစား <math>n</math> ရှိသော စတုရန်းကိန်းအုံ (square matrix) <math>M</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ [[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (determinant) ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)},</math> ထိုနေရာတွင် <math>S_n</math> သည် ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် အုပ်စု (symmetric group) ဖြစ်ပြီး <math>(-1)^{\sigma}</math> သည် ပါမြူတေးရှင်းဆိုင်ရာ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံမသဘာဝ]] (permutation parity) ကို ဖော်ပြသည်။ <math>\det(A) \neq 0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေတွင်သာ <math>A</math> သည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ကိန်းအုံ ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ စကေလာ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး]] (eigenvalue) <math>a</math> တစ်ခုအတွက် <math>M\mathbf{v} = a\mathbf{v}</math> ဖြစ်ပါက သုညမဟုတ်သော ဗက်တာ (non-zero vector) <math>\mathbf{v}</math> သည် <math>M</math> ၏ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ]] (eigenvector) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများသည် အခြေခံ ဖီးလ်ဒ် (base field) <math>F</math> အတွင်းရှိ ဝိသေသ [[ပိုလီနိုမီရယ်]] (characteristic polynomial) ၏ ကိန်းရင်းများ (roots) တိကျစွာ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းမှာ <math>\det(xI - M) = 0</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>V</math> တွင် ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများဖြင့်သာ ဖွဲ့စည်းထားသော အခြေအစုတစ်ခု ရှိနေပါက <math>M</math> သည် ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံပြောင်းနိုင်သော (diagonalizable) ကိန်းအုံ ဖြစ်သည်။ == ဒွန်တွဲမှုနှင့် အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများ (Duality and Inner-Product Spaces) == [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (dual space) <math>V^*</math> တွင် မျဉ်းဖြောင့် ပုံစံများ (linear forms) <math>f: V \to F</math> အားလုံး ပါဝင်သည်။ <math>V</math> ၏ အခြေအစု <math>(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n)</math> တစ်ခုအတွက် ဒွန်တွဲအခြေအစု (dual basis) <math>(\mathbf{v}_1^*, \dots, \mathbf{v}_n^*)</math> သည် <math>\mathbf{v}_i^*(\mathbf{v}_j) = \delta_{ij}</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု <math>f: V \to W</math> တစ်ခုအတွက် ဒွန်တွဲ ပုံဖော်မှု (dual map) <math>f^*: W^* \to V^*</math> ကို <math>f^*(h) = h \circ f</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အဆုံးရှိသော အတိုင်းအတာများတွင် <math>f^*</math> ကို ထရန်စပို့စ် ကိန်းအုံ (matrix transpose) <math>M^{\textsf{T}}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ <math>F = \mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> တစ်ခုအတွက် [[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)|အတွင်းမြှောက်လဒ်]] (inner product) သည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေသော ပုံဖော်မှု <math>\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \to F</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Jain & Ahmad (1995).</ref><ref>Prugovecki (1981).</ref> * [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်|ကွန်ဂျူဂိတ်]] အချိုးညီမှု (conjugate symmetry) ဆိုသည်မှာ <math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \overline{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}</math> ဖြစ်သည်။ * ပထမ အဝင်ကိန်းအပေါ် မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု (linearity in the first argument) ဆိုသည်မှာ <math>\langle a\mathbf{u} + b\mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = a\langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + b\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle</math> ဖြစ်သည်။ * အပေါင်းကိန်းသေချာမှု (positive-definiteness) ဆိုသည်မှာ <math>\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \geq 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\mathbf{v} = \mathbf{0}</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေတွင်သာ ညီမျှခြင်း ဖြစ်ပေါ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံသည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}</math> ကို လှုံ့ဆော်ပေးပြီး [[ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း]] (Cauchy-Schwarz inequality) <math>|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|</math> ကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]] (Hilbert spaces) အပေါ်ရှိ အကန့်အသတ်ရှိသော အော်ပရေတာများ သို့မဟုတ် အဆုံးရှိသော အတိုင်းအတာများတွင်ကဲ့သို့ ၎င်းတည်ရှိသောအခါ <math>T</math> ၏ ဟာမီရှန် ကွန်ဂျူဂိတ် (Hermitian conjugate) <math>T^*</math> ကို <math>\langle T\mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, T^*\mathbf{v} \rangle</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]အပေါ်တွင် <math>TT^* = T^*T</math> ကို ပြည့်စုံစေသော ကိန်းအုံများသည် ပုံမှန် (normal) ဖြစ်ကြပြီး ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော ထောင့်မှန်ကျယူနစ် အခြေအစု (orthonormal basis) တစ်ခုကို လက်ခံရရှိသည်။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == * '''[[မော်ဂျူး]] သီအိုရီ (Module theory)''' [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> တစ်ခုအပေါ်တွင် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအား ယေဘုယျပြုထားခြင်းသည် <math>R</math>-မော်ဂျူး (<math>R</math>-module) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများနှင့် မတူညီဘဲ [[လွတ်လပ်သော မော်ဂျူး|လွတ်လပ်သော မော်ဂျူးများ]] (free modules) မဟုတ်လျှင် အလိုရှိရာ မော်ဂျူးများသည် အခြေအစုများကို တိကျစွာ လက်ခံရရှိခြင်း မရှိပေ။ * '''မျဉ်းဖြောင့်အစုံ အက္ခရာသင်္ချာ (Multilinear algebra)''' <math>V^*</math> မှ အစုဝင်များ၏ [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်|တန်ဆာ မြှောက်လဒ်များ]] (tensor products) မှတစ်ဆင့် ပုံစံတကျ ဖော်ပြထားသော <math>F</math> ထဲသို့ဝင်သည့် ကိန်းရှင်များစွာတွင် မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှုများကို လေ့လာစစ်ဆေးသည်။ * '''[[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ]] [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (Topological vector spaces)''' အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ရပ်ဝန်းများသည် [[စုဆုံမှတ်]] (limit) တည်ဆောက်ပုံများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် စံနှုန်း၊ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် သို့မဟုတ် ဆီမီးစံနှုန်းများ စုစည်းမှုတို့မှ မကြာခဏ လှုံ့ဆော်ဖြစ်ပေါ်လာသော တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology) တစ်ခုကို ပေါင်းစပ်ထည့်သွင်းထားသည်။ ပြည့်စုံသော စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများသည် ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) ဖြစ်ကြပြီး ပြည့်စုံသော [[အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်း (ဟီလ်ဘတ်အကြို ရပ်ဝန်း)|အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများ]]သည် [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]] ဖြစ်ကြသည်။ == ကိုးကား == {{Reflist}} * {{Citation |last=Axler |first=Sheldon |title=Linear Algebra Done Right |edition=4th |series=Undergraduate Texts in Mathematics |publisher=Springer Publishing |publication-place=Cham |date=2024 |isbn=978-3-031-41026-0 |doi=10.1007/978-3-031-41026-0}} * {{Citation |last1=Jain |first1=P. K. |last2=Ahmad |first2=Khalil |title=Functional analysis |edition=2nd |publisher=New Age International |publication-place=New Delhi |date=1995 |isbn=81-224-0801-X}} * {{Citation |last1=Katznelson |first1=Yitzhak |last2=Katznelson |first2=Yonatan R. |title=A (Terse) Introduction to Linear Algebra |publisher=American Mathematical Society |publication-place=Providence, RI |date=2008 |isbn=978-0-8218-4419-9}} * {{Citation |last=Prugovecki |first=Eduard |title=Quantum mechanics in Hilbert space |edition=2nd |publisher=Academic Press |publication-place=New York |date=1981 |isbn=0-12-566060-X}} * {{Citation |last=Roman |first=Steven |title=Advanced Linear Algebra |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |publisher=Springer |publication-place=New York |date=2005 |isbn=978-0-387-24766-3}} [[Category:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] jkiyrbpnxmnih2vzmmqd0rx6tq1moqr 0 291862 1054133 2026-09-19T13:48:38Z Ninjastrikers 22896 စာမျက်နှာကို [[အေဒီ]] သို့ ပြန်ညွှန်းလိုက်သည် 1054133 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[အေဒီ]] 7v0a45p0ff0450x6jxexl6dpai2bhx1 14 291863 1054134 2026-09-19T13:49:29Z Ninjastrikers 22896 " [[ကဏ္ဍ:ကိန်းပြည့်များ]]" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054134 wikitext text/x-wiki [[ကဏ္ဍ:ကိန်းပြည့်များ]] mgx7qwupmzjh99kwukii4w41gyuhmn3 3 291864 1054139 2026-09-19T14:05:46Z Cabayi 9662 [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Vibrate69]] စာမျက်နှာကို [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Huh trademark]] သို့ Cabayiက ရွှေ့ခဲ့သည်: အသုံးပြုသူ "[[Special:CentralAuth/Vibrate69|Vibrate69]]" ကို "[[Special:CentralAuth/Huh trademark|Huh trademark]]" သို့ အမည်ပြောင်းလဲစဉ် စာမျက်နှာအား အလိုအလျောက် ရွှေ့ပြောင်းခြင်း 1054139 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Huh trademark]] 73cvexa1cmlimzmfjsthv0v0xyqc5x0 0 291865 1054140 2026-09-19T14:12:31Z Ninjastrikers 22896 "[[File:Solar system orrery inner planets.gif|thumb|alt=see caption|upright=1.5|An animation of the [[inner Solar System]] planets' orbit around the Sun. The duration of the year is the time taken to go around the Sun.]] '''ခုနှစ်''' ({{langx|en|year}}) တစ်နှစ် ဆိုသည်မှာ ကမ္ဘာဂြိ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054140 wikitext text/x-wiki [[File:Solar system orrery inner planets.gif|thumb|alt=see caption|upright=1.5|An animation of the [[inner Solar System]] planets' orbit around the Sun. The duration of the year is the time taken to go around the Sun.]] '''ခုနှစ်''' ({{langx|en|year}}) တစ်နှစ် ဆိုသည်မှာ [[ကမ္ဘာဂြိုဟ်]]က [[နေ]]ကို တစ်ပတ်ပတ်ရန် ကြာမြင့်သော အချိန်ကာလအပေါ် အခြေခံထားသည့် အချိန်ယူနစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>[[OED]], s.v. "year".</ref> သိပ္ပံနည်းကျ အသုံးပြုရာတွင် [[နေသွားနှစ်]] ([[နေသွားရက်]] ၃၆၅ ရက်၊ ၅ နာရီ၊ ၄၈ မိနစ်နှင့် ၄၅ စက္ကန့်ခန့်) နှင့် [[ကြယ်သွားနှစ်]] (နေသွားနှစ်ထက် မိနစ် ၂၀ ခန့် ပိုရှည်သည်) တို့သည် ပိုမိုတိကျသော သတ်မှတ်ချက်များ ဖြစ်ကြသည်။ [[ဂရီဂေါရီးယန်း ပြက္ခဒိန်]]အရ သတ်မှတ်တွက်ချက်ထားသော ခေတ်သစ် ပြက္ခဒိန်နှစ်သည် [[ရက်ထပ်နှစ်]]စနစ်ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် နေသွားနှစ်နှင့် အနီးစပ်ဆုံး ကိုက်ညီအောင် ပြုလုပ်ထားသည်။ 'နှစ်' ဟူသော ဝေါဟာရကို ကြာမြင့်ချိန် အကြမ်းဖျင်းအားဖြင့် ဆင်တူသော အခြားအချိန်အပိုင်းအခြားများအတွက်လည်း အသုံးပြုကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် လသွားနှစ် (လ၏ အဆင့် ၁၂ ကြိမ်ပြည့်မြောက်သည့် ၃၅၄ ရက်ခန့်ရှိသော သံသရာစက်ဝန်း) အပြင် ပြက္ခဒိန် သို့မဟုတ် နက္ခတ္တဗေဒဆိုင်ရာ နှစ်များနှင့် ခပ်လျော့လျော့ ဆက်စပ်နေသော ကာလများဖြစ်သည့် [[ရာသီခွင်နှစ်]]၊ [[ဘဏ္ဍာရေးနှစ်]]နှင့် [[ပညာသင်နှစ်]]စသည်တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ကမ္ဘာ၏ ဝင်ရိုးတိမ်းစောင်းမှုကြောင့် တစ်နှစ်တာ ကာလအတွင်း [[ရာသီဥတု]]၊ [[နေ့အလင်းရောင်]] ရရှိသည့် နာရီအရေအတွက်၊ ထိုမှတစ်ဆင့် သစ်ပင်ပန်းမန်များနှင့် မြေဆီလွှာ အဆီဩဇာပြည့်ဝမှုတို့ ပြောင်းလဲလာခြင်းဖြင့် ရာသီဥတုများ ကူးပြောင်းဖြတ်သန်းမှုကို တွေ့မြင်ရသည်။ ကမ္ဘာတစ်ဝန်းရှိ [[သမပိုင်းဇုန်|သမပိုင်း]]နှင့် ဝင်ရိုးစွန်းအနီး ဒေသများတွင် [[နွေဦး]]၊ [[နွေရာသီ|နွေ]]၊ [[ဆောင်းဦး]]နှင့် [[ဆောင်းရာသီ|ဆောင်း]] ဟူ၍ ရာသီလေးမျိုးကို ယေဘုယျအားဖြင့် သတ်မှတ်ထားကြသည်။ [[အပူပိုင်းဇုန်|အပူပိုင်း]]နှင့် သမပိုင်းနွေး ဒေသများရှိ ပထဝီဝင် နယ်ပယ်အချို့တွင် တိကျစွာ ပိုင်းခြားထားသော ရာသီများ မရှိသော်လည်း ရာသီဥတုအပြောင်းအလဲရှိသည့် အပူပိုင်းဒေသများတွင်မူ နှစ်စဉ် [[မိုးရာသီ]]နှင့် [[ခြောက်သွေ့ရာသီ]]ဟူ၍ ခွဲခြားသတ်မှတ် စောင့်ကြည့်လေ့ရှိကြသည်။ ကျယ်ပြန့်စွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုရလျှင် 'နှစ်' ဟူသော ဝေါဟာရကို မည်သည့် နက္ခတ္တဗေဒဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုမဆို ၎င်း၏ ဗဟိုအရာဝတ္ထုကို တစ်ပတ်လှည့်ပတ်ရန် ကြာမြင့်သည့် အချိန်ကာလအတွက်လည်း သုံးနှုန်းနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အင်္ဂါဂြိုဟ်၏ တစ်နှစ်သည် ကမ္ဘာ့နှစ်အားဖြင့် ၁.၈၈ နှစ်ခန့်နှင့် ညီမျှသည်။ ထို့အပြင် ဤဝေါဟာရကို [[မဟာနှစ်]]ကဲ့သို့သော ကာလရှည်လျားသည့် အချိန်အပိုင်းအခြား သို့မဟုတ် သံသရာစက်ဝန်းတစ်ခုခုကို ရည်ညွှန်းရာတွင်လည်း အသုံးပြုနိုင်သည်။<ref>[[OED]], s.v. "year", entry 2.b.: "''transf.'' Applied to a very long period or cycle (in chronology or mythology, or vaguely in poetic use)."</ref> == ပြက္ခဒိန်နှစ် == [[ပြက္ခဒိန်နှစ်]] ဆိုသည်မှာ များသောအားဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော [[ပြက္ခဒိန်]]တစ်ခုတွင် ရေတွက်ထားသည့်အတိုင်း ကမ္ဘာဂြိုဟ်၏ ပတ်လမ်းကြာမြင့်ချိန် ရက်အရေအတွက်ကို အနီးစပ်ဆုံး တွက်ချက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ယနေ့ခေတ် ကမ္ဘာ့စံပြက္ခဒိန် ([[ဂရီဂေါရီးယန်း ပြက္ခဒိန်]]) တွင် ပြက္ခဒိန်နှစ်တစ်နှစ်ကို [[သာမန်နှစ်]]အဖြစ် ရက်ပေါင်း ၃၆၅ ရက် သို့မဟုတ် [[ရက်ထပ်နှစ်]]အဖြစ် ရက်ပေါင်း ၃၆၆ ရက်ဟူ၍ ဖော်ပြထားပြီး၊ [[ဂျူလီယန် ပြက္ခဒိန်]]များနှင့် [[ဆိုလာဟီဂျရီ ပြက္ခဒိန်]]တို့တွင်လည်း ထိုနည်းတူပင် ဖြစ်သည်။ ဂရီဂေါရီးယန်း ပြက္ခဒိန်အတွက် နှစ် ၄၀၀ ကြာ ရက်ထပ်နှစ် စက်ဝန်းအပြည့်အပေါ် အခြေခံ၍ တွက်ချက်ထားသော ပြက္ခဒိန်နှစ်တစ်နှစ်၏ ပျမ်းမျှကြာမြင့်ချိန် (ပျမ်းမျှနှစ်) သည် ၃၆၅.၂၄၂၅ ရက် ဖြစ်သည် (နှစ်ပေါင်း ၄၀၀ တွင် ၉၇ နှစ်မှာ ရက်ထပ်နှစ်များ ဖြစ်ကြသည်)။<ref>{{cite web |url=https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/Numbers/Math/Mathematical_Thinking/calendar_calculations.htm |title= Calendar Calculations |author=<!--Not stated--> |date= |website=Glenn Learning Technologies Project |publisher=National Aeronautics Space Administration |access-date=November 11, 2023 |quote=}}</ref> အာရှတိုက်တွင် ရိုးရာအရ အသုံးပြုခဲ့ကြသော [[နေလပြက္ခဒိန်]]များတွင် တစ်နှစ်လျှင် လဆန်းလဆုတ် ၁၂ လ ပါဝင်သော်လည်း သုံးနှစ်ခန့်လျှင် တစ်ကြိမ် ၁၃ လမြောက် ရက်ထပ်လ ([[ဝါထပ်ခြင်း|ဝါထပ်လ]]) ကို ဖြည့်စွက်ထည့်သွင်းပေးလေ့ရှိသည်။ လပြက္ခဒိန်အမျိုးအစားဖြစ်သော ဟီဂျရီပြက္ခဒိန် (အနောက်နိုင်ငံများတွင် "[[အစ္စလာမ်ပြက္ခဒိန်]]" ဟု အများအားဖြင့် သိကြသော်လည်း ယင်းတစ်ခုတည်းသာ မဟုတ်ပါ) တွင် တစ်နှစ်လျှင် လဆန်းလဆုတ် ၁၂ လသာ ပါဝင်ပြီး နေသွားနှစ်ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်း မရှိပေ။ == ရက်ထပ်ခြင်း သို့မဟုတ် လထပ်ခြင်း == နက္ခတ္တဗေဒဆိုင်ရာ နှစ်များတွင် ရက်အရေအတွက် သို့မဟုတ် လအရေအတွက်သည် [[ကိန်းပြည့်]]အတိအကျ မရှိပေ။ ထို့ကြောင့် နက္ခတ္တဗေဒဆိုင်ရာ နှစ်တစ်နှစ်ကို အခြေခံသော မည်သည့်ပြက္ခဒိန်မဆို ရက်ထပ်နှစ်များ ကဲ့သို့သော ဖြည့်စွက်ညှိနှိုင်းသည့် စနစ်တစ်ခု ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ === ဂျူလီယန် ပြက္ခဒိန် === [[ဂျူလီယန် ပြက္ခဒိန်]]တွင် တစ်နှစ်၏ ပျမ်းမျှကြာမြင့်ချိန်သည် ၃၆၅.၂၅ ရက် ဖြစ်သည်။ သာမန်နှစ်တွင် ၃၆၅ ရက်ရှိပြီး ရက်ထပ်နှစ်တွင် ၃၆၆ ရက် ရှိသည်။ လေးနှစ်လျှင် တစ်ကြိမ် ရက်ထပ်နှစ် ကျရောက်ပြီး ဖေဖော်ဝါရီလအတွင်းသို့ ရက်ထပ်ရက် တစ်ရက်ကို ထည့်သွင်းဖြည့်စွက်သည်။ အဆိုပါ ထပ်တိုးရက်ကို "ရက်ထပ်ရက်" ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ နက္ခတ္တဗေဒပညာရပ်တွင် ဂျူလီယန်နှစ် ဆိုသည်မှာ SI အခြေခံယူနစ်အရ အတိအကျ [[စက္ကန့်]]ပေါင်း ၈၆,၄၀၀ စီရှိသော ရက်ပေါင်း ၃၆၅.၂၅ ရက်ဟု သတ်မှတ်ထားသည့် အချိန်ယူနစ်တစ်ခု ဖြစ်ပြီး၊ ဂျူလီယန် နက္ခတ္တဗေဒဆိုင်ရာ တစ်နှစ်တွင် စုစုပေါင်း စက္ကန့် ၃၁,၅၅၇,၆၀၀ အတိအကျ ရှိသည်။<ref>{{cite web |publisher=International Astronomical Union IAU |url=http://www.iau.org/science/publications/proceedings_rules/units/ |title=SI units |access-date=February 18, 2010 |archive-date=July 16, 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130716232020/http://www.iau.org/science/publications/proceedings_rules/units/ }}</ref><ref>{{cite journal |first=George A. |last=Wilkins |url=http://www.iau.org/static/publications/stylemanual1989.pdf |title=The IAU Style Manual |year=1989 |journal=IAU Transactions |volume=XXB |archive-date=July 26, 2011 |access-date=February 18, 2010 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110726170213/http://www.iau.org/static/publications/stylemanual1989.pdf }}</ref> ==== မွမ်းမံထားသော ဂျူလီယန် ပြက္ခဒိန် ==== ၁၉၂၃ ခုနှစ်တွင် အဆိုပြုခဲ့ပြီး အချို့သော အရှေ့ပိုင်း အော်သိုဒေါက်စ် ခရစ်ယာန်ဘုရားကျောင်းများတွင် အသုံးပြုသည့် [[မွမ်းမံထားသော ဂျူလီယန် ပြက္ခဒိန်]]တွင် နှစ်ပေါင်း ၉၀၀ လျှင် ရက်ထပ်နှစ် ၂၁၈ နှစ် ပါဝင်သည်။ ထို့ကြောင့် ပျမ်းမျှတစ်နှစ်တာ ကြာမြင့်ချိန်သည် ၃၆၅.၂၄၂၂၂၂၂ ရက် ဖြစ်ပြီး၊ ပျမ်းမျှနေသွားနှစ်၏ ကြာမြင့်ချိန်ဖြစ်သော ၃၆၅.၂၄၂၁၉ ရက်နှင့် နီးကပ်စွာ တူညီမှုရှိသည် (နှိုင်းယှဉ်ချက်အမှားမှာ 9·10⁻⁸ သာ ရှိသည်)။ အေဒီ ၂၈၀၀ ပြည့်နှစ်သို့ ရောက်ရှိချိန်တွင် ဂရီဂေါရီးယန်း ပြက္ခဒိန်နှင့် မွမ်းမံထားသော ဂျူလီယန် ပြက္ခဒိန်တို့သည် ပြက္ခဒိန်တစ်ရက် ကွာဟစပြုလာမည် ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite journal |bibcode = 1924PA.....32..407S|title = The new calendar of the eastern churches|last1 = Shields |first1 = Miriam Nancy|journal = Popular Astronomy|year = 1924|volume = 32|page = 407}}</ref> === ဂရီဂေါရီးယန်း ပြက္ခဒိန် === [[ဂရီဂေါရီးယန်း ပြက္ခဒိန်]]သည် နွေဦးအစ နေ့ညညီချိန် (မြောက်ဘက်သို့ နေရွေ့လျားချိန် သို့မဟုတ် မတ်လ ၂၁ ရက်) ပေါ် သို့မဟုတ် ထိုရက်မတိုင်မီ မရှေးမနှောင်းအချိန်တွင် ကျရောက်စေရန် ရည်ရွယ်ထားသောကြောင့်၊ ၎င်းသည် နွေဦးနေ့ညညီချိန်နှစ် သို့မဟုတ် [[နေသွားနှစ်]]ကို လိုက်နာသည်။<ref>{{Cite book |last=Ziggelaar |first=A. |year=1983 | chapter-url=http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?journal=grc..&year=1983&volume=book&letter=.&db_key=GEN&page_ind=230&plate_select=NO&data_type=GIF&type=SCREEN_GIF&classic=YES |chapter=The Papal Bull of 1582 Promulgating a Reform of the Calendar |editor1=G. V. Coyne|editor2=M. A. Hoskin |editor3=O. Pedersen |title=Gregorian Reform of the Calendar: Proceedings of the Vatican Conference to Commemorate its 400th Anniversary |location=Vatican City |publisher=Pontifical Academy of Sciences|page=223}}</ref> နှစ်ပေါင်း ၄၀၀ လျှင် ၉၇ နှစ်မှာ ရက်ထပ်နှစ်များ ဖြစ်သောကြောင့် ဂရီဂေါရီးယန်း ပြက္ခဒိန်၏ ပျမ်းမျှတစ်နှစ်တာ ကြာမြင့်ချိန်သည် ၃၆၅.၂၄၂၅ ရက် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် လက်ရှိ ပျမ်းမျှနေသွားနှစ်၏ ကြာမြင့်ချိန် (၃၆၅.၂၄၂၁၈၉ ရက်) နှင့် နှိုင်းယှဉ်ပါက အမှားအယွင်းနှုန်း တစ်သန်းပုံ တစ်ပုံ (ppm) အောက် (9·10⁻⁷) သာ ရှိပြီး၊ ၎င်းညှိနှိုင်းကိုက်ညီစေရန် ရည်ရွယ်ထားသော လက်ရှိ ''မတ်လ နေ့ညညီချိန်နှစ်''၏ ၃၆၅.၂၄၂၃၇၄ ရက်နှင့် ပို၍ပင် နီးကပ်စွာ ကိုက်ညီမှု ရှိသည်။ === အခြားသော ပြက္ခဒိန်များ === သမိုင်းကြောင်းအရ နေလပြက္ခဒိန်များသည် လေ့လာစောင့်ကြည့်မှုများအပေါ် အခြေခံ၍ [[ဝါထပ်လ]]တစ်လလုံးကို ဖြည့်စွက်ထည့်သွင်းခဲ့ကြသည်။ (ဥပမာများတွင် [[တရုတ်ပြက္ခဒိန်]]နှင့် အလားတူ အရှေ့အာရှ၊ အရှေ့တောင်အာရှ ပြက္ခဒိန်များ၊ [[ဟီဘရူးပြက္ခဒိန်]]နှင့် [[ဟိန္ဒူပြက္ခဒိန်]] အမျိုးမျိုးတို့ ပါဝင်သည်)။ နေလပြက္ခဒိန်များကို အရပ်ဘက်သုံး ပြက္ခဒိန်များအဖြစ် အသုံးပြုခြင်းမှ အများအားဖြင့် ရပ်စဲခဲ့ကြသော်လည်း ဘာသာရေးဆိုင်ရာ ထုံးတမ်းစဉ်လာများအတွက်မူ ဆက်လက် အသုံးပြုနေကြဆဲ ဖြစ်သည်။ သမိုင်းဝင် [[ဂျလာလီပြက္ခဒိန်]]ကို ခေတ်သစ်ပုံစံသို့ ပြုပြင်ပြောင်းလဲထားသော [[ဆိုလာဟီဂျရီ ပြက္ခဒိန်]] (၁၉၂၅) သည် ရက်ထပ်နှစ်ဆိုင်ရာ သင်္ချာနည်းကျ စနစ်တစ်ခုကို အသုံးပြုမည့်အစား၊ လေ့လာစောင့်ကြည့်မှု (သို့မဟုတ် နက္ခတ္တဗေဒဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှု) အပေါ် အခြေခံထားသည့် ပုံသေမဟုတ်သော ရက်ထပ်ရက်များ ပါဝင်ပြီး နွေဦးနေ့ညညီချိန်ကျရောက်သည့်နေ့တွင် နှစ်သစ်ကူးနေ့ (နိုရုဇ်) ကျရောက်စေရန် ရည်ရွယ်ထားသော စစ်မှန်သည့် နေပြက္ခဒိန်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name="Heydari-Malayeri-2004">{{cite arXiv|eprint=astro-ph/0409620|title=A concise review of the Iranian calendar |last1=Heydari-Malayeri |first1=M. |date=2004 }}</ref> == နှစ်များကို ရေတွက်သတ်မှတ်ခြင်း == ပြက္ခဒိန်ခေတ်တစ်ခုသည် အတိတ်ကာလက ဖြစ်ရပ်တစ်ခု (ခေတ်စတင်ရာအမှတ် သို့မဟုတ် epoch ဟု ခေါ်သည်) ကို ခေတ်၏အစအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ဆက်တိုက်ဖြစ်ပေါ်သော နှစ်တစ်နှစ်စီအတွက် မူလကိန်းဂဏန်းတစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဂရီဂေါရီးယန်း ပြက္ခဒိန်ခေတ်သည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အသုံးအများဆုံး [[အရပ်ဘက်သုံး ပြက္ခဒိန်]] ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |last=Richards |first=E.G. |date=2013 |contribution=Calendars |editor1-first=S.E. |editor1-last=Urban |editor2-first=P.K. |editor2-last=Seidelmann |url=http://aa.usno.navy.mil/publications/docs/c15_usb_online.pdf |title=Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac |edition=3rd |pages=585, 590 |location=Mill Valley, CA |publisher=University Science Books |isbn= 978-1-891389-85-6 |access-date= May 9, 2018 |archive-date= April 30, 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190430134555/http://aa.usno.navy.mil/publications/docs/c15_usb_online.pdf }}</ref> ၎င်း၏ ခေတ်စတင်ရာအမှတ်သည် [[၆ ရာစုနှစ်|၆ ရာစု]]အတွင်း ခန့်မှန်းခဲ့သော နာဇရက်မြို့သား [[ယေရှု ခရစ်တော်]] မွေးဖွားသည့် နေ့ရက် ဖြစ်သည်။ ဂရီဂေါရီးယန်း ပြက္ခဒိန်တွင် နှစ်များကို ရေတွက်ဖော်ပြရန် သင်္ကေတစနစ် နှစ်မျိုးကို အသုံးပြုကြသည်။ ခရစ်ယာန်ဘာသာသုံး "Anno Domini" (အဓိပ္ပာယ်မှာ "သခင်ဘုရား၏နှစ်တွင်") ကို အတိုကောက်အားဖြင့် [[အေဒီ]] ဟု ဖော်ပြပြီး၊ အခြားဘာသာဝင်များနှင့် မည်သည့်ဘာသာကိုမျှ မကိုးကွယ်သူများစွာ နှစ်သက်ကြသော "Common Era" (ဘုံခေတ် သို့မဟုတ် သာမန်ခေတ်) ကို အတိုကောက်အားဖြင့် စီအီး ဟု သုံးစွဲကြသည်။ နှစ်အရေအတွက်များကို အစအဆုံး အကျုံးဝင်ရေတွက်သည့် စနစ်အပေါ် အခြေခံထားသောကြောင့် "သုညခုနှစ်" ဟူ၍ မရှိပေ။ ခေတ်စတင်ရာအမှတ် မတိုင်မီနှစ်များကို ခရစ်တော်မပေါ်မီကာလအတွက် Before Christ ([[ဘီစီ]]) သို့မဟုတ် ဘုံခေတ်မတိုင်မီကာလအတွက် Before the Common Era (ဘီစီအီး) ဟု အတိုကောက် သတ်မှတ်ကြသည်။ နက္ခတ္တဗေဒဆိုင်ရာ နှစ်ရေတွက်မှုစနစ်တွင်မူ အပေါင်းကိန်းဂဏန်းများသည် AD/CE နှစ်များကို ညွှန်ပြပြီး၊ ကိန်းဂဏန်း 0 သို့မဟုတ် 0000 သည် 1 BC/BCE ကို သတ်မှတ်ကာ၊ −1 သို့မဟုတ် -0001 သည် 2 BC/BCE ကို ရည်ညွှန်းပြီး ထိုနည်းတူ ဆက်လက်သွားသည်။ အခြားသော ခေတ်သတ်မှတ်ချက်များတွင် ရှေးဟောင်းရောမခေတ်၏ Ab Urbe Condita ("မြို့တော်ကို စတင်တည်ထောင်ချိန်မှစ၍") ကို အတိုကောက်အားဖြင့် AUC ဟုလည်းကောင်း၊ ဟီဘရူးပြက္ခဒိန်အတွက် အသုံးပြုပြီး အတိုကောက်အားဖြင့် AM ဟု သုံးစွဲသော Anno Mundi ("ကမ္ဘာမြေ၏နှစ်") ဟုလည်းကောင်း ပါဝင်သည်။ ပြက္ခဒိန်အများစုသည် နှစ်များကို ခေတ်စတင်ရာအမှတ် မတိုင်မီနှင့် ပြီးနောက်ဟူ၍ ခေတ်နှစ်ခုခွဲကာ ရေတွက်လေ့ရှိသည်။ ဂျပန်ဧကရာဇ်မင်းဆက်ခေတ်စနစ်သည် ခေတ်သတ်မှတ်ချက် များစွာပါဝင်ပြီး ဧကရာဇ် အသစ်တစ်ပါး တက်လာတိုင်း ခေတ်အသစ်တစ်ခု ထည့်သွင်းသတ်မှတ်သည့် ယနေ့တိုင် အသုံးပြုနေဆဲဖြစ်သော တစ်ခုတည်းသော စနစ် ဖြစ်သည်။ ဟီဂျရီခရီးစဉ်ကို ခေတ်စတင်ရာအမှတ်အဖြစ် ထားရှိသော အစ္စလာမ် ဟီဂျရီခေတ် (Anno Hegirae၊ အတိုကောက် AH) ကို လဆန်းလဆုတ် ၁၂ လ ပါဝင်သည့် အစ္စလာမ် လပြက္ခဒိန်များတွင် အဓိက အသုံးပြုကြသော်လည်း၊ တစ်နှစ်လျှင် ၁၁ ရက်ခန့် ပိုရှည်ပြီး နှစ်အရေအတွက် တိုးတက်ပြောင်းလဲမှု ပိုမိုနှေးကွေးသည့် နေပြက္ခဒိန်များတွင်လည်း အသုံးပြုကြရာ၊ ယင်းကြောင့် လက်ရှိအချိန်တွင် နှစ်အရေအတွက် ၄၂ နှစ်မှ ၄၃ နှစ်ခန့် ကွာဟမှု ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ခုနှစ်များ|*]] 4rizt4akoqa4oo9exhqgzzkiqyw8nwj 0 291866 1054143 2026-09-19T14:25:10Z Ninjastrikers 22896 "'''အရပ်ဘက်သုံး ပြက္ခဒိန်''' ({{langx|en|civil calendar}}) ဆိုသည်မှာ နိုင်ငံတစ်ခုအတွင်း၌ အရပ်ဘက်၊ ရုံးသုံး သို့မဟုတ် အုပ်ချုပ်ရေးဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054143 wikitext text/x-wiki '''အရပ်ဘက်သုံး ပြက္ခဒိန်''' ({{langx|en|civil calendar}}) ဆိုသည်မှာ နိုင်ငံတစ်ခုအတွင်း၌ အရပ်ဘက်၊ ရုံးသုံး သို့မဟုတ် အုပ်ချုပ်ရေးဆိုင်ရာ ရည်ရွယ်ချက်များအတွက် အသုံးပြုသော ပြက္ခဒိန် သို့မဟုတ် ပြက္ခဒိန်များစွာအနက်မှ တစ်ခု ဖြစ်နိုင်သည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.investopedia.com/terms/c/calendaryear.asp|title=Understanding the Calendar Year|last=Kenton|first=Will|website=Investopedia|language=en|access-date=2020-03-07}}</ref> အရပ်ဘက်သုံး ပြက္ခဒိန်ကို အများပြည်သူနှင့် ပုဂ္ဂလိက အဖွဲ့အစည်းများက အထွေထွေကိစ္စရပ်များအတွက် သုံးစွဲလေ့ရှိကြသည်။ အကျယ်ပြန့်ဆုံး အသုံးပြုလျက်ရှိပြီး လက်တွေ့တွင် နိုင်ငံတကာစံနှုန်း ဖြစ်နေသော အရပ်ဘက်သုံး ပြက္ခဒိန်မှာ [[ဂရီဂေါရီးယန်း ပြက္ခဒိန်]] ဖြစ်သည်။ ထိုပြက္ခဒိန်ကို ၁၅၈၂ ခုနှစ်တွင် [[ပုပ်ရဟန်းမင်းကြီး ဂရီဂိုရီ ၁၃]] က ကက်သလစ်နိုင်ငံများ၌ စတင်အသုံးပြုရန် ကြေညာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သော်လည်း၊ နောက်ပိုင်းတွင် အဆင်ပြေလွယ်ကူစေရန်အတွက် ဘာသာရေးနှင့် မသက်ဆိုင်သော နိုင်ငံများနှင့် ခရစ်ယာန်မဟုတ်သော နိုင်ငံအများအပြားကပါ အသုံးပြုလာခဲ့ကြသည်။ သို့သော် အချို့သော နိုင်ငံများတွင်မူ အခြားပြက္ခဒိန်များကိုလည်း သုံးစွဲနေကြဆဲ ဖြစ်သည်။ == ကမ္ဘာတစ်ဝန်းရှိ အရပ်ဘက်သုံး ပြက္ခဒိန်များ == ၂၀၂၁ ခုနှစ် စာရင်းအရ ကမ္ဘာ့နိုင်ငံပေါင်း ၁၆၈ နိုင်ငံသည် ဂရီဂေါရီးယန်း ပြက္ခဒိန်တစ်ခုတည်းကိုသာ ၎င်းတို့၏ အရပ်ဘက်သုံး ပြက္ခဒိန်အဖြစ် အသုံးပြုကြသည်။<ref name=":0">{{Cite web|url=https://www.worldatlas.com/articles/countries-that-use-their-own-calendar.html|title=Countries That Use Their Own Calendar|website=WorldAtlas|language=en|access-date=2020-03-07}}</ref> ခရစ်ယာန်မဟုတ်သော နိုင်ငံအများစုသည် ကိုလိုနီပြုခံရခြင်း၏ ရလဒ်အနေဖြင့် ဤပြက္ခဒိန်ကို လက်ခံသုံးစွဲခဲ့ကြခြင်း ဖြစ်သော်လည်း မိမိတို့ဆန္ဒအလျောက် လက်ခံသုံးစွဲခဲ့သည့် ဖြစ်ရပ်အချို့လည်း ရှိသည်။ နိုင်ငံလေးနိုင်ငံတွင် ဂရီဂေါရီးယန်း ပြက္ခဒိန်ကို လက်ခံသုံးစွဲထားခြင်း မရှိပေ။ ၎င်းတို့မှာ [[အာဖဂန်နစ္စတန်နိုင်ငံ|အာဖဂန်နစ္စတန်]]နှင့် [[အီရန်နိုင်ငံ|အီရန်]] ([[ဆိုလာဟီဂျရီ ပြက္ခဒိန်]]ကို သုံးသည်)၊ [[အီသီယိုးပီးယားနိုင်ငံ|အီသီယိုးပီးယား]] ([[အီသီယိုးပီးယား ပြက္ခဒိန်]]ကို သုံးသည်) နှင့် [[နီပေါနိုင်ငံ|နီပေါ]] (ဗိကရမ်ဆမ်ဗတ်နှင့် နီပေါဆမ်ဗတ် ပြက္ခဒိန်များကို သုံးသည်) တို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name=":0" /> နိုင်ငံသုံးနိုင်ငံတွင် ဂရီဂေါရီးယန်း ပြက္ခဒိန်ကို အသွင်ပြောင်းထားသော ပုံစံဖြင့် အသုံးပြုကြသည် ([[ခရစ်နှစ်]]နှင့် မတူသော ခေတ်သတ်မှတ်ချက်များကို သုံးစွဲခြင်း ဖြစ်သည်)။ ၎င်းတို့မှာ [[ဂျပန်နိုင်ငံ|ဂျပန်]] ([[ဂျပန်ပြက္ခဒိန်]])၊ [[ထိုင်ဝမ်]] (မင်ဂေါ်ပြက္ခဒိန်) နှင့် [[ထိုင်းနိုင်ငံ|ထိုင်း]] (ထိုင်းနေပြက္ခဒိန်) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ပထမဖော်ပြပါ နှစ်နိုင်ငံတွင် ခရစ်နှစ်ကိုလည်း တွဲဖက်အသုံးပြုကြသည်။ [[တောင်ကိုရီးယားနိုင်ငံ]]သည် ယခင်က [[ကိုရီးယားပြက္ခဒိန်]]ကို ၁၉၄၅ ခုနှစ်မှ ၁၉၆၁ ခုနှစ်အထိ အသုံးပြုခဲ့သည်။ [[မြောက်ကိုရီးယားနိုင်ငံ]]သည် ၁၉၉၇ ခုနှစ်မှစ၍ [[မြောက်ကိုရီးယားပြက္ခဒိန်]]ကို အသုံးပြုခဲ့သော်လည်း ၂၀၂၄ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလတွင် အသုံးပြုခြင်းကို ရပ်စဲခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |last=Kim |first=Han-joo |date=17 October 2024 |title=N. Korea stops using 'juche' calendar in effort to reinforce Kim's leadership |url=https://en.yna.co.kr/view/AEN20241017006100315 |access-date=17 October 2024}}</ref> အောက်ပါ နိုင်ငံပေါင်း တစ်ဆယ့်ရှစ်နိုင်ငံတွင် ဂရီဂေါရီးယန်း ပြက္ခဒိန်နှင့်အတူ အခြားသော ပြက္ခဒိန်တစ်ခုခုကို ပူးတွဲအသုံးပြုကြသည်။ * [[အယ်လ်ဂျီးရီးယားနိုင်ငံ|အယ်လ်ဂျီးရီးယား]]၊ [[အီရတ်နိုင်ငံ|အီရတ်]]၊ [[ဂျော်ဒန်နိုင်ငံ|ဂျော်ဒန်]]၊ [[လစ်ဗျားနိုင်ငံ|လစ်ဗျား]]၊ [[မော်ရီတေးနီးယားနိုင်ငံ|မော်ရီတေးနီးယား]]၊ [[မော်ရိုကိုနိုင်ငံ|မော်ရိုကို]]၊ [[အိုမန်နိုင်ငံ|အိုမန်]]၊ [[ပါကစ္စတန်နိုင်ငံ|ပါကစ္စတန်]]၊ [[ဆော်ဒီအာရေးဘီးယားနိုင်ငံ|ဆော်ဒီအာရေးဘီးယား]]၊ [[ဆိုမာလီယာနိုင်ငံ|ဆိုမာလီယာ]]၊ [[တူနီးရှားနိုင်ငံ|တူနီးရှား]]၊ [[အာရပ်စော်ဘွားများပြည်ထောင်စုနိုင်ငံ|အာရပ်စော်ဘွားများပြည်ထောင်စု]]နှင့် [[ယီမင်နိုင်ငံ|ယီမင်]] ([[အစ္စလာမ်ပြက္ခဒိန်|လပြက္ခဒိန်အမျိုးအစား ဟီဂျရီပြက္ခဒိန်]]) * [[ဘင်္ဂလားဒေ့ရှ်နိုင်ငံ|ဘင်္ဂလားဒေ့ရှ်]] ([[ဘင်္ဂါလီပြက္ခဒိန်]]) * [[အီဂျစ်နိုင်ငံ|အီဂျစ်]] ([[အစ္စလာမ်ပြက္ခဒိန်|လပြက္ခဒိန်အမျိုးအစား ဟီဂျရီပြက္ခဒိန်]]နှင့် ကော့ပတစ်ပြက္ခဒိန်) * [[အိန္ဒိယနိုင်ငံ|အိန္ဒိယ]] ([[အိန္ဒိယအမျိုးသားပြက္ခဒိန်]]) * [[အစ္စရေးနိုင်ငံ|အစ္စရေး]] ([[ဟီဘရူးပြက္ခဒိန်]]) * [[မြန်မာနိုင်ငံ|မြန်မာ]] ([[မြန်မာပြက္ခဒိန်]]) == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ပြက္ခဒိန်များ]] rscrll8q81n9a689vy95bvm3wbzsjgl 10 291867 1054149 2026-09-19T15:15:29Z Dr Lotus Black 31011 စာမျက်နှာကို [[တမ်းပလိတ်:Wiktionary-inline]] သို့ ပြန်ညွှန်းလိုက်သည် 1054149 wikitext text/x-wiki #Redirect[[တမ်းပလိတ်:Wiktionary-inline]] 1009w6kp5ybucknnh0yn07oa6f8g6h9 10 291868 1054150 2026-09-19T15:16:29Z Dr Lotus Black 31011 စာမျက်နှာကို [[တမ်းပလိတ်:Commons category-inline]] သို့ ပြန်ညွှန်းလိုက်သည် 1054150 wikitext text/x-wiki #Redirect[[တမ်းပလိတ်:Commons category-inline]] g1z7qholo9txca8qycazmuht0kwpctk 0 291869 1054159 2026-09-19T15:37:40Z Mkant00 135890 "<math>V</math> ကို ဖီးလ်ဒ် (field) <math>F</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အကယ်၍ [[အစုပိုင်း]] (subset) <math>B \subseteq V</math> သည် အခြေအနေနှစ်ခုကို ပ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054159 wikitext text/x-wiki <math>V</math> ကို ဖီးလ်ဒ် (field) <math>F</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အကယ်၍ [[အစုပိုင်း]] (subset) <math>B \subseteq V</math> သည် အခြေအနေနှစ်ခုကို ပြည့်စုံစေပါက ၎င်းသည် အခြေအစု (basis) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Brown (1991), pp. 99–103.</ref> * [[မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်း]] (linear independence) :အဆုံးရှိအစုပိုင်း (finite subset) တိုင်းဖြစ်သော <math>\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_m\} \subseteq B</math> အတွက် အကယ်၍ [[စကေလာ|စကေလာများ]] (scalars) ဖြစ်သော <math>c_1, \dots, c_m \in F</math> များဖြင့် <math>\sum_{i=1}^m c_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}</math> ဖြစ်ပါက <math>c_1 = \dots = c_m = 0</math> ဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>Halmos (1987), p. 10.</ref> * ဖြန့်ကျက်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိ (spanning property) :ဗက်တာတိုင်းဖြစ်သော <math>\mathbf{v} \in V</math> အတွက် <math>\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i</math> ဖြစ်စေမည့် စကေလာများဖြစ်သော <math>a_1, \dots, a_n \in F</math> နှင့် ဗက်တာများဖြစ်သော <math>\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n \in B</math> တို့ တည်ရှိခြင်း ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>B</math> သည် အခြေအစုတစ်ခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ဗက်တာတိုင်းဖြစ်သော <math>\mathbf{v} \in V</math> အား <math>B</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များ၏ အဆုံးရှိ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း (linear combination) တစ်ခုအဖြစ် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ ဖော်ပြနိုင်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ == ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties) == အကယ်၍ <math>V</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> အပေါ်ရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ မှန်ကန်သည်။ အဆုံးရှိသော အတိုင်းအတာများအတွက် ရှတိုင်းနစ်ဇ် ဖလှယ်ခြင်း အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Steinitz exchange lemma) နှင့် ယေဘုယျအားဖြင့် [[ဇွန်း၏ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်]] (Zorn's lemma) တို့မှ ဆင်းသက်ရရှိနိုင်သည်ဟူ၍ မှတ်ယူသည်။ * ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းဖြစ်သော <math>V</math> တွင် အခြေအစုတစ်ခု ရှိသည်။ * အကယ်၍ <math>L \subseteq V</math> သည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>L \subseteq S</math> ဖြစ်စေမည့် <math>S \subseteq V</math> သည် ဖြန့်ကျက်အစု (spanning set) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>L \subseteq B \subseteq S</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် အခြေအစု <math>B</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ * <math>V</math> ၏ အခြေအစုများအားလုံးသည် တူညီသော [[အစုအရွယ်အစား]] (cardinality) ကို ပိုင်ဆိုင်ကြပြီး ၎င်းကို <math>V</math> ၏ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများအတွက် အတိုင်းအတာ သီအိုရမ်ဟု လူသိများသည်။ *ဖြန့်ကျက်အစု <math>S \subseteq V</math> တစ်ခုသည် အခြေအစုတစ်ခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ၎င်းသည် အငယ်ဆုံး (minimal) ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>S</math> ၏ မည်သည့် အစုပိုင်းအစစ်ကမျှ <math>V</math> ကို စပန်မပြုလုပ်ခြင်း ပင်ဖြစ်သည်။ * မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသောအစု <math>L \subseteq V</math> တစ်ခုသည် အခြေအစုတစ်ခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ၎င်းသည် အကြီးဆုံး (maximal) ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ၎င်းသည် မည်သည့် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသောအစု၏ အစုပိုင်းအစစ်မျှ မဟုတ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။" အကယ်၍ <math>\dim V = n</math> ဖြစ်ပါက တိကျစွာ အစုဝင် <math>n</math> ခုပါရှိသော <math>V</math> ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုသည် အခြေအစုတစ်ခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ၎င်းအစုပိုင်းသည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်းပင်ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် ဖြန့်ကျက်အစုတစ်ခုဖြစ်ခြင်းနှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်။ == အစီအစဉ်ကျ အခြေအစုများနှင့် ကိုဩဒိနိတ်များ (Ordered Bases and Coordinates) == အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> တစ်ခုအတွက် အစီအစဉ်ကျ အခြေအစု (ordered basis) သည် အခြေအစု ဗက်တာများ၏ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) <math>B = (\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n)</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာတိုင်းဖြစ်သော <math>\mathbf{v} \in V</math> သည် အောက်ပါအတိုင်း တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ ခွဲခြမ်းမှု ဖြစ်သွားသည်။ :<math>\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n \lambda_i \mathbf{b}_i</math> စကေလာများဖြစ်သော <math>\lambda_1, \dots, \lambda_n \in F</math> တို့သည် <math>B</math> နှင့်သက်ဆိုင်သော <math>\mathbf{v}</math> ၏ ကိုဩဒိနိတ်များ (coordinates) ဖြစ်ကြသည်။ ဤကိုဩဒိနိတ် ဆက်စပ်မှုသည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|မျဉ်းဖြောင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (linear isomorphism) <math>\varphi: F^n \to V</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>\varphi(\lambda_1, \dots, \lambda_n) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \mathbf{b}_i</math> ဤပုံဖော်မှုသည် ကိုဩဒိနိတ် ရပ်ဝန်း (coordinate space) <math>F^n</math> ၏ ပုံမှန် စံအခြေအစု (canonical standard basis) ကို <math>V</math> ၏ အစီအစဉ်ကျ အခြေအစု <math>B</math> အပေါ်သို့ တိကျစွာ တန်ဖိုးရှာဖွေပေးသည်။ == အခြေပြောင်းလဲခြင်း (Change of Basis) == <math>B_{\text{old}} = (\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n)</math> နှင့် <math>B_{\text{new}} = (\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_n)</math> တို့ကို <math>V</math> ၏ အစီအစဉ်ကျ အခြေအစုနှစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>B_{\text{new}}</math> ၏ အခြေအစု ဗက်တာများကို <math>B_{\text{old}}</math> တွင် အောက်ပါအတိုင်း တစ်ခုတည်းသီးသန့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ :<math>\mathbf{w}_j = \sum_{i=1}^n a_{i,j} \mathbf{v}_i</math> <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် အသီးသီးအားဖြင့် ဗက်တာ <math>\mathbf{x} \in V</math> တစ်ခု၏ ကိုဩဒိနိတ်များကို <math>B_{\text{old}}</math> နှင့် <math>B_{\text{new}}</math> တို့တွင် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် တိုင် ဗက်တာများ (column vectors) ဖြစ်ပါစေ။ ကိုဩဒိနိတ်များအကြား အသွင်ပြောင်းခြင်း (transformation) ကို ကိန်းအုံ ညီမျှခြင်း <math>X = AY</math> ဖြင့် ပေးထားပြီး ထိုနေရာတွင် <math>A = [a_{i,j}]</math> သည် ကူးပြောင်းမှု ကိန်းအုံ (transition matrix) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အခြေအစုအရ ခွဲခြမ်းမှု၏ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှုမှ ဆင်းသက်လာသည်။ :<math>\mathbf{x} = \sum_{j=1}^n y_j \mathbf{w}_j = \sum_{j=1}^n y_j \sum_{i=1}^n a_{i,j}\mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_{i,j}y_j\right)\mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{v}_i</math> == တည်ရှိမှု သီအိုရမ် (Existence Theorem) == ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> တိုင်းတွင် အခြေအစုတစ်ခု လက်ခံရရှိကြောင်း သက်သေပြချက်သည် ဇွန်း၏ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်ပေါ်တွင် မှီခိုသည်။ <math>X</math> ကို ပါဝင်ခြင်း (inclusion) <math>\subseteq</math> အရ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသော (partially ordered) <math>V</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသည့် အစုပိုင်းများအားလုံး၏ အစု ဖြစ်ပါစေ။ <math>X</math> တွင် [[ဗလာစု]] (empty set) ပါဝင်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဗလာမဟုတ်သောအစု ဖြစ်သည်။ ချိတ်တန်း (chain) ဟုခေါ်သော မည်သည့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသော အစုပိုင်း (totally ordered subset) <math>Y \subseteq X</math> အတွက်မဆို <math>L_Y = \bigcup_{S \in Y} S</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>Y</math> သည် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောကြောင့် <math>L_Y</math> ၏ မည်သည့် အဆုံးရှိအစုပိုင်းမဆိုသည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို ထိန်းသိမ်းလျက် <math>Y</math> ၏ အစုဝင်တစ်ခုတည်းအတွင်း တည်ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် <math>L_Y \in X</math> သည် <math>Y</math> အတွက် အထက်ဘောင် (upper bound) တစ်ခုအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ ဇွန်း၏ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ <math>X</math> သည် အကြီးဆုံးတန်ဖိုး အစုဝင် (maximal element) <math>L_{\text{max}}</math> ကို ပိုင်ဆိုင်သည်။ အကယ်၍ <math>L_{\text{max}}</math> သည် <math>V</math> ကို စပန်မပြုလုပ်ခဲ့ပါက <math>\mathbf{w} \in V \setminus \operatorname{span}(L_{\text{max}})</math> တစ်ခု တည်ရှိနေလိမ့်မည်ဖြစ်သည်။ အစု <math>L_{\text{max}} \cup \{\mathbf{w}\}</math> သည် <math>L_{\text{max}}</math> ကို တိကျစွာ ငုံထားပြီး မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသည့်အစု ဖြစ်သွားမည်ဖြစ်ရာ ၎င်း၏ အကြီးဆုံးဖြစ်မှု (maximality) ကို ဆန့်ကျင်နေမည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>L_{\text{max}}</math> သည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းပြီး <math>V</math> ကို စပန်ပြုလုပ်ကာ ၎င်းသည် အခြေအစုတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြသည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းအတွက် အခြေအစုတစ်ခု တည်ရှိမှုသည် [[ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို|ရွေးချယ်မှု နဂိုမှန်အဆို]] (Axiom of Choice) နှင့် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ထပ်တူညီမှု (logically equivalent) ရှိသည်။<ref>Blass (1984), pp. 31–33.</ref> == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == * '''[[လွတ်လပ်သော မော်ဂျူး|လွတ်လပ်သော မော်ဂျူးများ]] (Free modules)''' ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> အား ယေဘုယျ ကွင်း (general ring) <math>R</math> တစ်ခုအဖြစ် သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်း (abstracting) သည် [[မော်ဂျူး]] (module) တစ်ခုကို ရရှိစေသည်။ အခြေအစုတစ်ခု သို့မဟုတ် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော ထုတ်လုပ်ကိန်းအစု (generating set) တစ်ခုကို ပိုင်ဆိုင်သော မော်ဂျူးတစ်ခုအား လွတ်လပ်သော မော်ဂျူး (free module) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများနှင့် မတူညီဘဲ ယေဘုယျ ကွင်းများအပေါ်ရှိ အလိုရှိရာ မော်ဂျူးများသည် အခြေအစုများရှိရန် အာမခံချက် မရှိပေ။ * '''အနန္တအတိုင်းအတာများ (Infinite dimensions)''' <math>\mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ရပ်ဝန်းများ (infinite-dimensional spaces) တွင် ဤနေရာ၌ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော သီးသန့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေအစုကို ဟားမဲလ် အခြေအစု (Hamel basis) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>Hamel (1905).</ref> ထိုသို့သော အခြေအစုများသည် အဆုံးရှိ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများကိုသာ ခွင့်ပြုသည်။ ဘလဲ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရမ် (Baire category theorem) အရ အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ဘာနက် ရပ်ဝန်း (Banach space) တစ်ခုအတွက် မည်သည့် ဟားမဲလ် အခြေအစုမဆိုသည် ရေတွက်၍မရသော အနန္တ (uncountably infinite) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်းများအပေါ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းသည် အနန္တ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ၏ စုဆုံခြင်း (convergence) ကို ခွင့်ပြုသော အခြားရွေးချယ်စရာ အခြေအစုများကို ပိုမိုနှစ်သက်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှောင်းဒါး အခြေအစုများ (Schauder bases) သို့မဟုတ် [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]](Hilbert spaces) အတွင်းရှိ ထောင့်မှန်ကျ အခြေအစုများ (orthogonal bases) ကို အသုံးပြုသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Blass |first=Andreas |title=Axiomatic set theory |publisher=American Mathematical Society |publication-place=Providence, RI |series=Contemporary Mathematics |volume=31 |year=1984 |chapter=Existence of bases implies the axiom of choice |isbn=978-0-8218-5026-8}} * {{Citation |last=Brown |first=William A. |title=Matrices and vector spaces |publisher=M. Dekker |publication-place=New York |date=1991 |isbn=978-0-8247-8419-5}} * {{Citation |last=Halmos |first=Paul Richard |title=Finite-Dimensional Vector Spaces |edition=4th |publisher=Springer |publication-place=New York |date=1987 |isbn=978-0-387-90093-3}} * {{Citation |last=Hamel |first=Georg |title=Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y) |journal=Mathematische Annalen |volume=60 |issue=3 |pages=459–462 |year=1905 |doi=10.1007/BF01457624}} [[Category:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] subinnr4usgy74s4r9ipa9fdzzyfo4j 0 291870 1054170 2026-09-19T16:59:03Z Mkant00 135890 "ဖီးလ်ဒ် (field) <math>F</math> တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) <math>V</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် ပုံစံ (linear form) သို့မဟုတ် မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054170 wikitext text/x-wiki ဖီးလ်ဒ် (field) <math>F</math> တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) <math>V</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် ပုံစံ (linear form) သို့မဟုတ် မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် (linear functional) တစ်ခုသည် <math>V</math> မှ <math>F</math> ဆီသို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (linear map) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Axler (2015), p. 101.</ref> <math>V</math> မှ <math>F</math> ဆီသို့ မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်များအားလုံး၏ [[အစု]]သည် သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် ပေါင်းလဒ် (pointwise addition) နှင့် [[စကေလာ]]မြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) အောက်တွင် <math>F</math> အပေါ်ရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဤရပ်ဝန်းကို <math>V</math> ၏ [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း|အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (algebraic dual space) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပြီး ယေဘုယျအားဖြင့် <math>V^*</math>, <math>\operatorname{Hom}(V, F)</math> သို့မဟုတ် <math>V'</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။<ref>Katznelson & Katznelson (2008), p. 37.</ref><ref>Tu (2011), p. 19.</ref> == ဒွန်တွဲအခြေအစုများနှင့် ကိုဩဒိနိတ်များ (Dual Bases and Coordinates) == <math>V</math> သည် [[အခြေအစု]] (basis) <math>\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n</math> ပါရှိသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း (finite-dimensional vector space) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (dual space) <math>V^*</math> သည် အောက်ပါဆက်သွယ်ချက်ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော သက်ဆိုင်ရာ [[အခြေအစု|ဒွန်တွဲအခြေအစု]] (dual basis) <math>\tilde{\boldsymbol{\omega}}^1, \dots, \tilde{\boldsymbol{\omega}}^n</math> ကို ပိုင်ဆိုင်သည်။ :<math>\tilde{\boldsymbol{\omega}}^i(\mathbf{e}_j) = \delta_{ij}</math> <math>\delta_{ij}</math> သည် ခရိုနက်ကာ ဒယ်လ်တာ (Kronecker delta) ဖြစ်သည်။ မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်တိုင်းဖြစ်သော <math>\tilde{\mathbf{u}} \in V^*</math> ကို ဒွန်တွဲအခြေအစု ဖန်ရှင်နယ်များ၏ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း (linear combination) တစ်ခုအဖြစ် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ :<math>\tilde{\mathbf{u}} = \sum_{i=1}^n u_i \tilde{\boldsymbol{\omega}}^i</math> အခြေအစု ဗက်တာ <math>\mathbf{e}_j</math> အပေါ်သို့ <math>\tilde{\mathbf{u}}</math> အား သက်ရောက်ခြင်းသည် သက်ဆိုင်ရာ [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်]] အစိတ်အပိုင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ထုတ်ယူပေးသည်။ :<math>\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{e}_j) = u_j</math> == မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံများနှင့် ဒွန်တွဲ ဗက်တာများ (Bilinear Forms and Dual Vectors) == အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ ယိုယွင်းမှုမရှိသော (non-degenerate) [[မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံ]] (bilinear form) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> သည် <math>\mathbf{v} \mapsto \mathbf{v}^*</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|ပုံမှန်အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (canonical isomorphism) <math>V \to V^*</math> ကို လှုံ့ဆော်ပေးပြီး ၎င်းမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\mathbf{v}^*(\mathbf{w}) = \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle \quad \text{for all } \mathbf{w} \in V</math> ပြောင်းပြန်အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (inverse isomorphism) သည် ဖန်ရှင်နယ် <math>\mathbf{v}^* \in V^*</math> တိုင်းကို တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော [[ဗက်တာ|ဒွန်တွဲဗက်တာ]] (dual vector) <math>\mathbf{v} \in V</math> နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည်။ အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]] (Hilbert spaces) ၏ အခြေအနေတွင် ရီးဇ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု သီအိုရမ် (Riesz representation theorem) သည် ရပ်ဝန်းနှင့် ၎င်း၏ အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲ (continuous dual) အကြား ဆန့်ကျင်-မျဉ်းဖြောင့် (antilinear) အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းသော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isometric isomorphism) တစ်ခုကို အလားတူစွာ တည်ဆောက်ပေးသည်။ == ဖီးလ်ဒ် ပြောင်းလဲခြင်း သို့မဟုတ် ကိန်းစစ်အသွင်ပြောင်းခြင်း (Change of Field (Realification)) == <math>X</math> ကို <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု]] ဖြစ်ပါစေ။ [[စကေလာ|စကေလာများ၏]] [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်ကို]] <math>\mathbb{R}</math> သို့ ကန့်သတ်ခြင်း (restricting) သည် <math>X</math> ၏ ကိန်းစစ်အသွင်ပြောင်းခြင်း (realification) ဟု သိကြသော [[ကိန်းစစ်]] ဗက်တာရပ်ဝန်း (real vector space) <math>X_{\mathbb{R}}</math> ကို ရရှိစေသည်။<ref>Rudin (1991), p. 57.</ref> မည်သည့် [[ကိန်းထွေး]] မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် (complex linear functional) <math>\varphi \in X^*</math> မဆိုသည် ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) <math>\varphi_{\mathbb{R}} = \operatorname{Re} \varphi</math> နှင့် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်ပိုင်း]] (imaginary part) <math>\varphi_i = \operatorname{Im} \varphi</math> တို့အဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ ခွဲခြမ်းမှု ဖြစ်သွားသည်။ :<math>\varphi = \varphi_{\mathbb{R}} + i\varphi_i</math> <math>\varphi_{\mathbb{R}}</math> နှင့် <math>\varphi_i</math> နှစ်ခုစလုံးသည် <math>X_{\mathbb{R}}</math> ပေါ်ရှိ ကိန်းစစ် မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်များ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့ကို အောက်ပါ ထပ်တူညီမှုများ (identities) ဖြင့် ဆက်သွယ်ထားသည်။<ref>Narici & Beckenstein (2011), pp. 9–11.</ref> <math>\varphi_i(\mathbf{x}) = -\varphi_{\mathbb{R}}(i\mathbf{x}) \quad \text{and} \quad \varphi_{\mathbb{R}}(\mathbf{x}) = \varphi_i(i\mathbf{x}).</math> အကယ်၍ <math>X</math> သည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော]] ရပ်ဝန်း (normed space) တစ်ခုဖြစ်ပါက ဤဖန်ရှင်နယ်များ၏ အော်ပရေတာ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်းများ]] (operator norms) သည် တိကျစွာ တူညီကြသည်။<ref>Narici & Beckenstein (2011), pp. 126–128.</ref> :<math>\|\varphi\| = \|\varphi_{\mathbb{R}}\| = \|\varphi_i\|</math> == အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ရပ်ဝန်းများ (Infinite-Dimensional Spaces) == [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ]] [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (topological vector space) <math>X</math> တစ်ခုတွင် အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲ ရပ်ဝန်း <math>X'</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်များဖြင့်သာ သီးသန့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>X^*</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်တစ်ခု၏ [[ကာနယ်]] (kernel) သည် အပိတ်စု (closed set) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေတွင်သာ ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်နယ် ဖြစ်သည်။ ဗက်တာ ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>M \subsetneq X</math> တစ်ခုသည် အကြီးဆုံး (maximal) ဖြစ်ရန် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော (non-trivial) မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် <math>M = \ker f</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ အဖိုင်း ဟိုက်ပါပြင်ညီ (affine hyperplane) သည် အကြီးဆုံး ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု၏ ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်း (translate) တစ်ခုဖြစ်ပြီး အသေးအဖွဲမဟုတ်သော မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် <math>f^{-1}(1)</math> ပုံစံကို ယူသည်။ ထို့အပြင် အကယ်၍ <math>f, g_1, \dots, g_n</math> တို့သည် <math>X</math> ပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်များ ဖြစ်ကြပါက <math>f</math> သည် <math>g_1, \dots, g_n</math> တို့၏ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း ဖြစ်ရန် အောက်ပါအချက် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။<ref>Rudin (1991), pp. 63–64.</ref> :<math>\bigcap_{i=1}^n \ker g_i \subseteq \ker f</math> '''[[ဟန်း-ဘာနက် သီအိုရမ်|ဟန်း-ဘာနက် လွှမ်းမိုးခံ တိုးချဲ့ချက် သီအိုရမ်]] (Hahn-Banach Dominated Extension Theorem)''' အကယ်၍ <math>p: X \to \mathbb{R}</math> သည် [[ကိန်းစစ်]] ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>X</math> ပေါ်ရှိ နိမ့်ကျမျဉ်းဖြောင့်ဂုဏ် (sublinear) [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်တစ်ခု]]ဖြစ်ပြီး <math>f: M \to \mathbb{R}</math> သည် ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>M \subseteq X</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်တစ်ခုဖြစ်ကာ <math>\mathbf{x} \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>f(\mathbf{x}) \leq p(\mathbf{x})</math> ဖြစ်ပါက နေရာတစ်ခုလုံးဖြစ်သော <math>X</math> သို့ <math>f</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့် တိုးချဲ့ချက် (linear extension) <math>F: X \to \mathbb{R}</math> တစ်ခု တည်ရှိပြီး ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်ကို ပြည့်စုံစေသည်။<ref>Rudin (1991), p. 56.</ref> :<math>F(\mathbf{x}) \leq p(\mathbf{x}) \quad \text{for all } \mathbf{x} \in X</math> == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == <math>R</math> ကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဘယ် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]] (left <math>R</math>-module) <math>M</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် ပုံစံတစ်ခုသည် <math>M</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်အပေါ်ရှိ မော်ဂျူး (module) တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်သော <math>R</math> ဆီသို့ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ '''ဒွန်တွဲအခြေအစု အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Dual basis lemma)''' ဘယ် <math>R</math>-မော်ဂျူး (left R-module) <math>M</math> တစ်ခုသည် [[ပရိုဂျက်တစ် အရာဝတ္ထု|ပရိုဂျက်တစ်]] (projective) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ [[အစုပိုင်း]] <math>A \subseteq M</math> တစ်ခုနှင့် မျဉ်းဖြောင့် ပုံစံများ၏ စုစည်းမှု (collection) <math>\{f_a \mid a \in A\}</math> တို့ တည်ရှိပြီး <math>\mathbf{x} \in M</math> တိုင်းအတွက် <math>f_a(\mathbf{x})</math> များအနက် အဆုံးရှိသော အရေအတွက်သာလျှင် သုညမဟုတ်သော (non-zero) တန်ဖိုးဖြစ်ကာ အောက်ပါညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ :<math>\mathbf{x} = \sum_{a \in A} f_a(\mathbf{x})a</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Axler |first=Sheldon |title=Linear Algebra Done Right |edition=3rd |series=Undergraduate Texts in Mathematics |publisher=Springer Science+Business Media |publication-place=Cham |date=2015 |isbn=978-3-319-11079-0}} * {{Citation |last1=Katznelson |first1=Yitzhak |last2=Katznelson |first2=Yonatan R. |title=A (Terse) Introduction to Linear Algebra |publisher=American Mathematical Society |publication-place=Providence, RI |date=2008 |isbn=978-0-8218-4419-9}} * {{Citation |last1=Narici |first1=Lawrence |last2=Beckenstein |first2=Edward |title=Topological Vector Spaces |edition=2nd |publisher=CRC Press |publication-place=Boca Raton, FL |date=2011 |isbn=978-1584888666}} * {{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Functional Analysis |edition=2nd |publisher=McGraw-Hill |publication-place=New York |date=1991 |isbn=0-07-054236-8}} * {{Citation |last=Tu |first=Loring W. |title=An Introduction to Manifolds |edition=2nd |series=Universitext |publisher=Springer Science+Business Media |publication-place=New York |date=2011 |isbn=978-0-8218-4419-9}} [[Category:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] k4qj5jz8nxiba71na5etforzgmp18dy 0 291871 1054171 2026-09-19T16:59:12Z Mkant00 135890 "<math>V</math> ကို [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>F</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံ (bilinear form) တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်း (..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054171 wikitext text/x-wiki <math>V</math> ကို [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>F</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံ (bilinear form) တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်း (argument) တစ်ခုစီတွင် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု]] (linear mapping) <math>B: V \times V \to F</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အတိအကျအားဖြင့် <math>\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V</math> အားလုံးနှင့် <math>\lambda \in F</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>B(\mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{w}) = B(\mathbf{u}, \mathbf{w}) + B(\mathbf{v}, \mathbf{w})</math> :<math>B(\lambda\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \lambda B(\mathbf{u}, \mathbf{v})</math> :<math>B(\mathbf{u}, \mathbf{v} + \mathbf{w}) = B(\mathbf{u}, \mathbf{v}) + B(\mathbf{u}, \mathbf{w})</math> :<math>B(\mathbf{u}, \lambda\mathbf{v}) = \lambda B(\mathbf{u}, \mathbf{v})</math> == ကိုဩဒိနိတ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (Coordinate Representation) == <math>V</math> သည် [[အခြေအစု]] (basis) <math>\{\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n\}</math> ပါရှိသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] <math>n</math> ရှိသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု]] ဖြစ်ပါစေ။ ဤအခြေအစုအပေါ်မူတည်သော <math>B</math> ၏ ကိန်းအုံ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (matrix representation) သည် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော <math>n \times n</math> အရွယ်အစားရှိ [[ကိန်းအုံ]] (matrix) <math>A</math> ဖြစ်သည်။ :<math>A_{ij} = B(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j)</math> အကယ်၍ [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]]ဖြစ်သော <math>\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V</math> အား တိုင် ဗက်တာများ (column vectors) <math>\mathbf{x}, \mathbf{y} \in F^n</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြပါက မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံကို ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း (matrix multiplication) မှတစ်ဆင့် အောက်ပါအတိုင်း တန်ဖိုးရှာဖွေသည်။ :<math>B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^{\textsf{T}} A \mathbf{y} = \sum_{i,j=1}^n x_i A_{ij} y_j</math> <math>\{\mathbf{f}_1, \dots, \mathbf{f}_n\}</math> သည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော (invertible) ကူးပြောင်းမှု ကိန်းအုံ (transition matrix) <math>S</math> အတွက် <math>\mathbf{f}_j = \sum_{i=1}^n S_{ij}\mathbf{e}_i</math> ဖြင့် ဆက်စပ်နေသော အခြား အခြေအစုတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အခြေအစုအသစ်ရှိ <math>B</math> ၏ ကိန်းအုံသည် <math>A</math> နှင့် ထပ်တူညီ (congruent) ပြီး ၎င်းကို <math>S^{\textsf{T}} A S</math> အတိုင်း ပေးထားသည်။ == အရင်းများနှင့် ယိုယွင်းမှုမရှိခြင်း (Radicals and Non-degeneracy) == မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံ <math>B</math> သည် [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (dual space) <math>V^*</math> ထဲသို့ဝင်သော [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများ]] (linear maps) <math>B_1, B_2: V \to V^*</math> နှစ်ခုကို လှုံ့ဆော်ပေးပြီး အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>B_1(\mathbf{v})(\mathbf{w}) = B(\mathbf{v}, \mathbf{w})</math> :<math>B_2(\mathbf{v})(\mathbf{w}) = B(\mathbf{w}, \mathbf{v})</math> <math>B</math> ၏ ဘယ် အရင်း (left radical) နှင့် ညာ အရင်း (right radical) တို့သည် အသီးသီးအားဖြင့် <math>B_1</math> နှင့် <math>B_2</math> တို့၏ [[ကာနယ်|ကာနယ်များ]] (kernels) ဖြစ်ကြသည်။<ref>Jacobson (2009), p. 346.</ref> ဤရပ်ဝန်းပိုင်းများ (subspaces) တွင် နေရာတစ်ခုလုံးသို့ ဘယ်ဘက်နှင့် ညာဘက်တို့တွင် ထောင့်မှန်ကျသော (orthogonal) [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]] ပါဝင်သည်။<ref>Zhelobenko (2006), p. 11.</ref> အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော ရပ်ဝန်းတစ်ခုအတွက် အကယ်၍ ၎င်း၏ ဘယ် အရင်းသည် အသေးအဖွဲ (trivial) ဖြစ်ပါက <math>B</math> သည် ယိုယွင်းမှုမရှိသော (non-degenerate) ပုံစံဖြစ်ပြီး ၎င်းက ညာ အရင်းသည်လည်း အသေးအဖွဲဖြစ်ကြောင်း သက်ရောက်စေသည်။ အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်မှာ <math>B</math> သည် ယိုယွင်းမှုမရှိသော ပုံစံဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>B_1</math> နှင့် <math>B_2</math> တို့သည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|မျဉ်းဖြောင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (linear isomorphisms) ဖြစ်ခြင်း သို့မဟုတ် ၎င်း၏ ကိုဩဒိနိတ် ကိန်းအုံ <math>A</math> သည် ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော (non-singular) ကိန်းအုံ ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး]] (module) တစ်ခုအတွက် အကယ်၍ လှုံ့ဆော်ခံ ပုံဖော်မှု (induced map) <math>V \to V^*</math> သည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်ပါက မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံသည် ယူနီမော်ဂျူလာ (unimodular) ဖြစ်သည်။ == အချိုးညီမှုနှင့် ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိ (Symmetry and Reflexivity) == မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံ <math>B</math> သည် * အကယ်၍ <math>B(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = B(\mathbf{w}, \mathbf{v})</math> ဖြစ်ပါက အချိုးညီ (symmetric) သည်။ * အကယ်၍ <math>B(\mathbf{v}, \mathbf{v}) = 0</math> ဖြစ်ပါက အလှည့်ကျ (alternating) ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>B(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = -B(\mathbf{w}, \mathbf{v})</math> ဖြစ်ပါက တိမ်းစောင်းအချိုးညီ (skew-symmetric) ဖြစ်သည်။ အလှည့်ကျ ပုံစံတိုင်းသည် တိမ်းစောင်းအချိုးညီ ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>\operatorname{char}(F) \neq 2</math> ဖြစ်ပါက ပြောင်းပြန်အဆို (converse) သည် မှန်ကန်ပြီး မည်သည့် မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံမဆို အချိုးညီ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုနှင့် တိမ်းစောင်းအချိုးညီ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုအဖြစ် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ ခွဲခြမ်းမှု ဖြစ်သွားသည်။ :<math>B^{\pm}(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = \frac{1}{2} (B(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \pm B(\mathbf{w}, \mathbf{v}))</math> အကယ်၍ <math>B(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = 0 \iff B(\mathbf{w}, \mathbf{v}) = 0</math> ဖြစ်ပါက မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံ <math>B</math> သည် ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိ (reflexive) ရှိသည်။ မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံစံတစ်ခုသည် ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ၎င်းသည် အချိုးညီခြင်း သို့မဟုတ် အလှည့်ကျဖြစ်ခြင်း တစ်ခုခု ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ <ref>Grove (1997).</ref> ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိရှိသော ပုံစံတစ်ခု ပါဝင်သည့် ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>W \subseteq V</math> အတွက် ထောင့်မှန်ကျ ဖြည့်စွက်စု (orthogonal complement) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Adkins & Weintraub (1992), p. 359.</ref> :<math>W^{\perp} = \{\mathbf{v} \in V \mid B(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = 0 \text{ for all } \mathbf{w} \in W\}</math> == တွဲဖက် နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံ (Associated Quadratic Form) == မည်သည့် မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံ <math>B: V \times V \to F</math> အတွက်မဆို တွဲဖက် (associated) နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံ (quadratic form) <math>Q: V \to F</math> ကို <math>Q(\mathbf{v}) = B(\mathbf{v}, \mathbf{v})</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>\operatorname{char}(F) \neq 2</math> ဖြစ်သောအခါ နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံများနှင့် အချိုးညီ မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံများအကြား တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) တစ်ခု တည်ရှိပြီး ၎င်းမှာ <math>Q</math> အား <math>B</math> ၏ အချိုးညီသော အစိတ်အပိုင်းမှ သီးသန့် အဆုံးအဖြတ်ပေးသည်ဟူသော အဓိပ္ပာယ်ဖြစ်သည်။ == တန်ဆာ မြှောက်လဒ် ကိုက်ညီမှု (Tensor Product Correspondence) == [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်]] (tensor product) ၏ အလုံးစုံအကျုံးဝင်သော ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) အရ <math>V</math> ပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံများနှင့် တန်ဆာ မြှောက်လဒ် <math>V \otimes V \to F</math> မှ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများအကြား ပုံမှန် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (canonical bijection) တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤကိုက်ညီမှုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>\mathbf{v} \otimes \mathbf{w} \mapsto B(\mathbf{v}, \mathbf{w})</math> ထို့ကြောင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံများအစုသည် [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] <math>(V \otimes V)^*</math> သို့ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော]] (isomorphic) အစု ဖြစ်သည်။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == <math>F</math> အပေါ်ရှိ ကွဲပြားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]ဖြစ်သည့် <math>V</math> နှင့် <math>W</math> အကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု (bilinear mapping) တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးတွင် မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်သော [[ဖန်ရှင်]] (function) <math>B: V \times W \to F</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ လှုံ့ဆော်ခံ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော <math>V \to W^*</math> နှင့် <math>W \to V^*</math> တို့သည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] ဖြစ်ကြပါက ထိုပုံစံကို ပြီးပြည့်စုံသော အစုံလိုက်တွဲဖက်မှု (perfect pairing) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[မော်ဂျူး|ညာမော်ဂျူး]] (right module) <math>M</math> တစ်ခုနှင့် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲ မော်ဂျူး (dual module) <math>M^*</math> တို့အတွက် ပုံဖော်မှု <math>B: M^* \times M \to R</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးတွင် ပေါင်းစပ်နိုင်ပြီး (additive) အောက်ပါအချက်ကို ပြည့်စုံစေပါက ၎င်းသည် မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံတစ်ခု ဖြစ်သည်။ :<math>B(\alpha \mathbf{u}, \mathbf{x}\beta) = \alpha B(\mathbf{u}, \mathbf{x}) \beta</math> ၎င်းမှာ <math>\mathbf{u} \in M^*</math>၊ <math>\mathbf{x} \in M</math> နှင့် <math>\alpha, \beta \in R</math> တို့အတွက် ဖြစ်သည်။ သဘာဝ အစုံလိုက်တွဲဖက်မှု (natural pairing) သို့မဟုတ် ပုံမှန် မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံ (canonical bilinear form) ကို တန်ဖိုးရှာဖွေခြင်း (evaluation) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Bourbaki (1970), p. 233.</ref> :<math>B(\mathbf{u}, \mathbf{x}) = \mathbf{u}(\mathbf{x})</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Adkins |first1=William A. |last2=Weintraub |first2=Steven H. |date=1992 |title=Algebra: An Approach via Module Theory |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=136 |publisher=Springer-Verlag |publication-place=New York |isbn=3-540-97839-9}} * {{Citation |last=Bourbaki |first=N. |date=1970 |title=Algebra |publisher=Springer |publication-place=Berlin}} * {{Citation |last=Grove |first=Larry C. |date=1997 |title=Groups and characters |publisher=Wiley-Interscience |publication-place=New York |isbn=978-0-471-16340-4}} * {{Citation |last=Jacobson |first=Nathan |date=2009 |title=Basic Algebra |volume=I |edition=2nd |publisher=Courier Corporation |publication-place=Mineola, NY |isbn=978-0-486-47189-1}} * {{Citation |last=Zhelobenko |first=Dmitriĭ Petrovich |date=2006 |title=Principal Structures and Methods of Representation Theory |series=Translations of Mathematical Monographs |publisher=American Mathematical Society |publication-place=Providence, RI |isbn=0-8218-3731-1}} [[Category:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] 09s13017qhsbx1dsk52i3qnra6mibs9 3 291872 1054173 2026-09-19T17:23:40Z Mfield 138184 [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:IShowSammy]] စာမျက်နှာကို [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:IShowSami]] သို့ Mfieldက ရွှေ့ခဲ့သည်: အသုံးပြုသူ "[[Special:CentralAuth/IShowSammy|IShowSammy]]" ကို "[[Special:CentralAuth/IShowSami|IShowSami]]" သို့ အမည်ပြောင်းလဲစဉ် စာမျက်နှာအား အလိုအလျောက် ရွှေ့ပြောင်းခြင်း 1054173 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:IShowSami]] i1l7zt4g7g0jbftxwj6iixpjst2656l 0 291873 1054174 2026-09-19T17:26:44Z Mkant00 135890 "<math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>F</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>T: V \to V</math> သည် မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် အသွ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054174 wikitext text/x-wiki <math>V</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>F</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>T: V \to V</math> သည် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း]] (linear transformation) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အကယ်၍ <math>T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v}</math> ဖြစ်စေမည့် [[စကေလာ]] (scalar) <math>\lambda \in F</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက သုညမဟုတ်သော [[ဗက်တာ]] (non-zero vector) <math>\mathbf{v} \in V</math> သည် <math>T</math> ၏ ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ (eigenvector) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ စကေလာ <math>\lambda</math> သည် ဆက်စပ်နေသော ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး (eigenvalue) ဖြစ်သည်။ ရွေးချယ်ထားသော [[အခြေအစု]] (basis) တစ်ခုအောက်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော <math>F</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> [[ကိန်းအုံ]] (matrix) <math>A</math> တစ်ခုအတွက် ညာ ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ (right eigenvector) သည် ကိန်းအုံ ညီမျှခြင်း (matrix equation) <math>A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}</math> ကို ပြည့်စုံစေသည့် သုညမဟုတ်သော [[ဗက်တာ|တိုင် ဗက်တာ]] (column vector) <math>\mathbf{v} \in F^n</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျအရ တစ်ပြေးညီ စနစ် (homogeneous system) <math>(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}</math> နှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည် (equivalent)။ ထိုနေရာတွင် <math>I</math> သည် <math>n \times n</math> အရွယ်အစားရှိ ထပ်တူရကိန်းအုံ (identity matrix) ဖြစ်ပြီး <math>\mathbf{0}</math> သည် သုညဗက်တာ (zero vector) ဖြစ်သည်။ ဘယ် ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ (left eigenvector) သည် <math>\mathbf{u}A = \kappa \mathbf{u}</math> ကို ပြည့်စုံစေသည့် သုညမဟုတ်သော [[ဗက်တာ|အတန်း ဗက်တာ]] (row vector) <math>\mathbf{u}</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထရန်စပို့စ် ကိန်းအုံ (matrix transpose) ကို သက်ရောက်ခြင်းက <math>A^{\textsf{T}}\mathbf{u}^{\textsf{T}} = \kappa \mathbf{u}^{\textsf{T}}</math> ကို ရရှိစေသည်။ ထို့ကြောင့် <math>A</math> ၏ ဘယ် ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများသည် <math>A^{\textsf{T}}</math> ၏ ထရန်စပို့စ်ပြုလုပ်ထားသော ညာ ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများနှင့် ကိုက်ညီပြီး ဘယ်နှင့် ညာ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများသည် ထပ်တူညီကြသည်။ == ဝိသေသ ပိုလီနိုမီရယ်နှင့် ကိုယ်ပိုင်ရပ်ဝန်းများ (The Characteristic Polynomial and Eigenspaces) == ညီမျှခြင်း <math>(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}</math> သည် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော (non-trivial) အဖြေများကို လက်ခံရရှိရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>A - \lambda I</math> [[ကိန်းအုံ]]သည် ဆင်ဂူလာဖြစ်သော (singular) ကိန်းအုံ ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>A</math> ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများသည် အခြေခံ [[ဖီးလ်ဒ်]] (base field) <math>F</math> အတွင်းရှိ ဝိသေသ [[ပိုလီနိုမီရယ်]] (characteristic polynomial) ၏ ကိန်းရင်းများ (roots) ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းမှာ <math>\det(A - \lambda I) = 0</math> ဖြစ်သည်။ <math>n \times n</math> အရွယ်အစားရှိ ကိန်းအုံတစ်ခုအတွက် ဤ[[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (determinant) သည် ဒီဂရီ (degree) <math>n</math> ရှိသော ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) တစ်ခုကို ရရှိစေသည်။ <math>\mathbb{C}</math> ကဲ့သို့သော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် (algebraically closed field) တစ်ခုအပေါ်တွင် ၎င်းသည် မျဉ်းဖြောင့်ကိန်းပိုင်းများ (linear terms) အဖြစ် အပြည့်အဝ ဆခွဲကိန်းခွဲမှု ဖြစ်သွားသည်။ :<math>\det(A - \lambda I) = \prod_{i=1}^n (\lambda_i - \lambda)</math> တိကျသော ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး <math>\lambda</math> တစ်ခုနှင့် ဆက်စပ်နေသော ကိုယ်ပိုင်ရပ်ဝန်း (eigenspace) သို့မဟုတ် ဝိသေသလက္ခဏာ ရပ်ဝန်း (characteristic space) <math>E</math> သည် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) <math>(A - \lambda I)</math> ၏ [[ကာနယ်]] (kernel) ဖြစ်သည်။ :<math>E = \{\mathbf{v} \in F^n \mid (A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\}</math> <math>E</math> သည် သုညဗက်တာနှင့် <math>\lambda</math> နှင့် ဆက်စပ်နေသော ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများအားလုံး ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး ဗက်တာပေါင်းခြင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့အောက်တွင် [[အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ|အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိရှိသော]] ဗလာမဟုတ်သည့် မျဉ်းဖြောင့် ရပ်ဝန်းပိုင်း (linear subspace) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == အထပ်ထပ်ပါဝင်မှုများ (Multiplicities) == ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး <math>\lambda_i</math> တစ်ခု၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အထပ်ထပ်ပါဝင်မှု (algebraic multiplicity) <math>\mu_A(\lambda_i)</math> သည် ဝိသေသ [[ပိုလီနိုမီရယ်]]၏ ကိန်းရင်းတစ်ခုအဖြစ် ၎င်း၏ အထပ်ထပ်ပါဝင်မှု (multiplicity) ကို ဆိုလိုပြီး <math>(\lambda_i - \lambda)^{\mu_A(\lambda_i)}</math> သည် <math>\det(A - \lambda I)</math> အား အကြွင်းမဲ့စားနိုင်သော အမြင့်ဆုံး ထပ်ကိန်း (power) ဖြစ်သည်ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။<ref>Golub & Van Loan (1996), p. 316.</ref> ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အထပ်ထပ်ပါဝင်မှု (geometric multiplicity) <math>\gamma_A(\lambda_i)</math> သည် သက်ဆိုင်ရာ ကိုယ်ပိုင်ရပ်ဝန်း <math>E</math> ၏ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် <math>(A - \lambda_i I)</math> ၏ သုညရပ်ဝန်းအတိုင်းအတာ (nullity) နှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်။ :<math>\gamma_A(\lambda_i) = n - \operatorname{rank}(A - \lambda_i I)</math> မည်သည့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးအတွက်မဆို ဤအထပ်ထပ်ပါဝင်မှုများသည် ရပ်ဝန်း၏ အတိုင်းအတာဖြင့် အကန့်အသတ်ခံထား (bounded) ရပြီး အောက်ပါ မညီမျှခြင်း (inequality) ကို ပြည့်စုံစေသည်။<ref>Nering (1970), p. 107.</ref> :<math>1 \le \gamma_A(\lambda_i) \le \mu_A(\lambda_i) \le n</math> အကယ်၍ <math>\mu_A(\lambda_i) = 1</math> ဖြစ်ပါက ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးတစ်ခုအား ရိုးရှင်းသည်(simple) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>\gamma_A(\lambda_i) = \mu_A(\lambda_i)</math> ဖြစ်ပါက ဆီမီးရိုးရှင်းသည် (semisimple) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ == ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံပြောင်းခြင်းနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး-ဗက်တာခွဲခြမ်းခြင်း (Diagonalization and Eigendecomposition) == အကယ်၍ ကွဲပြားသော ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများအားလုံး၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အထပ်ထပ်ပါဝင်မှုများ၏ ပေါင်းလဒ်သည် <math>n</math> နှင့် ညီမျှပါက [[ကိန်းအုံ]] <math>A</math> သည် [[မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်း|မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော]] ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ အတိအကျ <math>n</math> ခုကို လက်ခံရရှိသည်။ ဤဗက်တာများသည် <math>F^n</math> အတွက် ပြည့်စုံသော [[အခြေအစု]] (complete basis) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းပေးပြီး ၎င်းကို ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးဆိုင်ရာ အခြေအစု (eigenbasis) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤအခြေအနေအောက်တွင် <math>A</math> သည် ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံပြောင်းနိုင်သော (diagonalizable) ကိန်းအုံဖြစ်ပြီး ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး-ဗက်တာခွဲခြမ်းခြင်း (eigendecomposition) မှတစ်ဆင့် ဆခွဲကိန်းခွဲမှု ဖြစ်သွားသည်။ :<math>A = Q \Lambda Q^{-1},</math> ထိုနေရာတွင် <math>Q</math> သည် ၎င်း၏ တိုင်များ (columns) က <math>A</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများဖြစ်ကြသည့် ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော <math>n \times n</math> ကိန်းအုံတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\Lambda</math> သည် သက်ဆိုင်ရာ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများပါဝင်သည့် ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံ ကိန်းအုံ (diagonal matrix) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>A</math> တွင် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးဆိုင်ရာ အခြေအစုမရှိပါက ၎င်းကို ချို့ယွင်း ကိန်းအုံ (defective matrix) အဖြစ် ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်း၏ ဝိသေသ [[ပိုလီနိုမီရယ်]]သည် <math>F</math> အပေါ်တွင် ခွဲထွက်မှု (splits) ရှိပါက ၎င်း၏ ဆင်တူမှု အသွင်ပြောင်းခြင်းသည် ယေဘုယျပြုထားသော ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများ (generalized eigenvectors) မှတစ်ဆင့် ဂျော်ဒန် ပုံမှန်ပုံစံ (Jordan normal form) သို့ ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalizes) ဖြစ်သွားသည်။ == အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ထပ်တူညီမှုများ (Core Properties and Identities) == ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ <math>\lambda_1, \dots, \lambda_n</math> ပါရှိသော <math>n \times n</math> အရွယ်အစားရှိ [[ကိန်းထွေး]] [[ကိန်းအုံ]] (complex matrix) <math>A</math> တစ်ခုအတွက် အောက်ပါဂုဏ်သတ္တိများ မှန်ကန်သည်။<ref>Herstein (1964), pp. 272, 290.</ref> * '''ထရေ့စ် (Trace)''' ဆိုသည်မှာ <math>\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i</math> ဖြစ်သည်။ * '''[[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (Determinant)''' ဆိုသည်မှာ <math>\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i</math> ဖြစ်သည်။ * '''ကိန်းအုံ ပိုလီနိုမီရယ်များ (Matrix Polynomials)''' အတွက်မူ မည်သည့် [[ပိုလီနိုမီရယ်]] <math>P</math> အတွက်မဆို <math>P(A)</math> ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများသည် <math>P(\lambda_1), \dots, P(\lambda_n)</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် <math>A^k</math> ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများသည် <math>\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k</math> ဖြစ်ကြပြီး <math>A + \alpha I</math> ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများသည် <math>\lambda_1 + \alpha, \dots, \lambda_n + \alpha</math> ဖြစ်ကြသည်။ *'''ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ဂုဏ်သတ္တိ (Invertibility):''' <math>A</math> သည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ကိန်းအုံ ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\lambda_i \neq 0</math> ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ <math>A^{-1}</math> ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများသည် <math>\lambda_1^{-1}, \dots, \lambda_n^{-1}</math> ဖြစ်ကြသည်။ သီးခြား ကိန်းအုံ တည်ဆောက်ပုံများသည် ရောင်စဉ် (spectrum) ကို ကန့်သတ်သည်။ * အကယ်၍ <math>A</math> သည် ဟာမီရှန် (<math>A = A^*</math>) သို့မဟုတ် ကိန်းစစ် အချိုးညီဖြစ်ပါက ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများအားလုံးသည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] ဖြစ်ကြသည်။ * အကယ်၍ <math>A</math> သည် အပေါင်းကိန်းသေချာသော ကိန်းအုံဖြစ်ပါက ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများအားလုံးသည် အပေါင်းဖြစ်ကြသည်။ * အကယ်၍ <math>A</math> သည် ယူနစ်တရီ (unitary) ဖြစ်ပါက ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများအားလုံးသည် [[ကိန်းထွေး]] ယူနစ်စက်ဝိုင်းပေါ်တွင် တည်ရှိကြသည် (<math>|\lambda_i| = 1</math>)။ '''ပြောင်းလဲမှုဆိုင်ရာ သတ်မှတ်ဖော်ပြချက် (Variational Characterization)''' မင်-မက်စ် သီအိုရမ် (min-max theorem) အရ ဟာမီရှန် ကိန်းအုံ (Hermitian matrix) <math>A</math> တစ်ခု၏ အကြီးဆုံး ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးသည် ရေးလီ စားလဒ် (Rayleigh quotient) ၏ စူပရီမမ် (supremum) ဖြစ်သည်။ :<math>\max_{\mathbf{x} \neq \mathbf{0}} \frac{\mathbf{x}^* A \mathbf{x}}{\mathbf{x}^* \mathbf{x}}</math> '''ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ-ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ထပ်တူညီမှု (Eigenvector-Eigenvalue Identity)''' ရိုးရှင်းသော ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး <math>\lambda_i(A)</math> ပါရှိသည့် ဟာမီရှန် ကိန်းအုံ <math>A</math> တစ်ခုအတွက် ယူနစ်ဗက်တာပြုထားသော ဗက်တာ (normalized eigenvector) <math>\mathbf{v}_i</math> ၏ <math>\alpha</math> ကြိမ်မြောက် အစိတ်အပိုင်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ထားသော မော်ဂျူးလပ်စ်တန်ဖိုး (squared modulus) ကို <math>A</math> ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများနှင့် <math>A</math> မှ <math>\alpha</math> ကြိမ်မြောက် အတန်းနှင့် တိုင်ကို ဖယ်ရှားခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော မိုင်နာ ကိန်းအုံ (minor matrix) <math>A_\alpha</math> ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများမှ အပြည့်အဝ အဆုံးအဖြတ်ပေးသည်။<ref>Denton et al. (2022).</ref> :<math>|v_{i\alpha}|^2 = \frac{\prod_{k} (\lambda_i(A) - \lambda_k(A_\alpha))}{\prod_{k \neq i} (\lambda_i(A) - \lambda_k(A))}</math> == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်းများ (infinite-dimensional function spaces) ဥပမာအားဖြင့် [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]] တွင် မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းများကို ဒစ်ဖရန်ရှယ် အော်ပရေတာများ (differential operators) အဖြစ် မကြာခဏ ပုံဖော်လေ့ရှိသည်။ မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် အော်ပရေတာ <math>D</math> တစ်ခုအတွက် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ညီမျှခြင်းသည် အောက်ပါပုံစံကို ယူသည်။ :<math>D f(t) = \lambda f(t)</math> ဤအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေသော ဖန်ရှင်များကို ကိုယ်ပိုင်ဖန်ရှင်များ (eigenfunctions) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အကယ်၍ <math>D = \frac{d}{dt}</math> ဖြစ်ပါက ကိုယ်ပိုင်ဖန်ရှင် အဖြေများသည် [[ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်|ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်များ]] (exponential functions) <math>f(t) = f(0)e^{\lambda t}</math> ဖြစ်ကြသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Denton |first1=Peter B. |last2=Parke |first2=Stephen J. |last3=Tao |first3=Terence |last4=Zhang |first4=Xining |date=2022 |title=Eigenvectors from Eigenvalues: A Survey of a Basic Identity in Linear Algebra |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=59 |issue=1 |pages=31–58 |doi=10.1090/bull/1722}} * {{Citation |last1=Golub |first1=Gene H. |last2=Van Loan |first2=Charles F. |title=Matrix computations |date=1996 |edition=3rd |publisher=Johns Hopkins University Press |publication-place=Baltimore, MD |isbn=978-0-8018-5414-9}} * {{Citation |last=Herstein |first=I. N. |title=Topics In Algebra |date=1964 |publisher=Blaisdell Publishing Company |publication-place=Waltham, MA |isbn=978-1-114-54101-6}} * {{Citation |last=Nering |first=Evar D. |title=Linear Algebra and Matrix Theory |date=1970 |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons |publication-place=New York}} [[Category:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] t1zh5xi6hmd7h1rzgtwct6iy4w2x6fr 3 291874 1054175 2026-09-19T17:34:49Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1054175 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-50799-08 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၃၄၊ ၁၉ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၆ (UTC) 4q5d6iemh4tgszkjn5u2lpxb2glph6a 0 291875 1054176 2026-09-19T17:38:48Z Mkant00 135890 "<math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့ကို [[ကိန်းထွေး]] [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (complex vector spaces) ဖြစ်ပါစေ။ [[ဖန်ရှင်]] (function) <math>f: V \to W</math> တစ်ခုသည် ပေါင..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054176 wikitext text/x-wiki <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့ကို [[ကိန်းထွေး]] [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (complex vector spaces) ဖြစ်ပါစေ။ [[ဖန်ရှင်]] (function) <math>f: V \to W</math> တစ်ခုသည် ပေါင်းစပ်နိုင်မှု (additivity) နှင့် ကွန်ဂျူဂိတ်-တစ်ပြေးညီဖြစ်မှု (conjugate homogeneity) တို့ကို ပြည့်စုံစေပါက ၎င်းသည် ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် (conjugate-linear) သို့မဟုတ် ဆန့်ကျင်-မျဉ်းဖြောင့် (antilinear) ဖြစ်သည်။ :<math>f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = f(\mathbf{x}) + f(\mathbf{y})</math> :<math>f(s\mathbf{x}) = \overline{s}f(\mathbf{x})</math> ၎င်းမှာ <math>\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V</math> အားလုံးနှင့် <math>s \in \mathbb{C}</math> အားလုံးအတွက် ဖြစ်သည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု (conjugate-linear map) <math>f: V \to W</math> တစ်ခုသည် <math>V</math> မှ [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်]] ဗက်တာရပ်ဝန်း (complex conjugate vector space) <math>\overline{W}</math> ဆီသို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (linear map) တစ်ခုနှင့် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်ထပ်တူညီသည် (equivalent) ။ == အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများ (Core Properties) == ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုနှစ်ခု၏ [[ပေါင်းစပ်ခြင်း အော်ပရေတာ|ပေါင်းစပ်ခြင်း]] (composition) သည် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]]တစ်ခုကို ရရှိစေသည်။ <math>\operatorname{Hom}_{\overline{\mathbb{C}}}(V, \mathbb{C})</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသော [[ကိန်းထွေး]] [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> တစ်ခု၏ ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် ဒွန်တွဲ (conjugate-linear dual) သည် အခြေခံ [[ကိန်းစစ်]] ဗက်တာရပ်ဝန်း (real vector space) ၏ ကိန်းစစ် ဒွန်တွဲ <math>\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(V, \mathbb{R})</math> နှင့် ပုံမှန်အားဖြင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်]] (canonically isomorphic)။ ဤအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) သည် ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် (conjugate-linear functional) <math>\ell: V \to \mathbb{C}</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်ပိုင်း]] (imaginary part) <math>\operatorname{Im}(\ell): V \to \mathbb{R}</math> ဆီသို့ ပုံဖော်သည်။ ပြောင်းပြန်အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (inverse isomorphism) သည် ကိန်းစစ် မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် (real linear functional) <math>\lambda: V \to \mathbb{R}</math> တစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသော ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည်။<ref>Birkenhake & Lange (2004), p. 36.</ref> :<math>\ell(\mathbf{v}) = -\lambda(i\mathbf{v}) + i\lambda(\mathbf{v})</math> == ကွန်ဂျူဂိတ်-ဒွန်တွဲ ရပ်ဝန်း (The Conjugate-Dual Space) == ရပ်ဝန်း <math>X</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ စကေလာတန်ဖိုးရှိ (scalar-valued) ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် ပုံစံများအားလုံး၏ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]သည် ၎င်း၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကွန်ဂျူဂိတ်-ဒွန်တွဲ ရပ်ဝန်း (algebraic conjugate-dual space) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>X</math> သည် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ဗက်တာရပ်ဝန်း (topological vector space) တစ်ခုဖြစ်ပါက [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော]] ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်များအားလုံး၏ ရပ်ဝန်းသည် [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း|အဆက်မပြတ် ကွန်ဂျူဂိတ်-ဒွန်တွဲ ရပ်ဝန်း]] (continuous conjugate-linear space) ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို <math>\overline{X}^*</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ရပ်ဝန်း]] (normed space) <math>X</math> တစ်ခုအတွက် <math>\overline{X}^*</math> ပေါ်ရှိ ပုံမှန် စံနှုန်း (canonical norm) ကို အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲ ရပ်ဝန်း (continuous dual space) <math>X^*</math> ပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|ဒွန်တွဲစံနှုန်း]] (dual norm) နှင့် ထပ်တူညီစွာ အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>\|f\|_{\overline{X}^*} = \sup_{\|\mathbf{x}\| \leq 1} |f(\mathbf{x})|</math> <math>f \mapsto \overline{f}</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှု (mapping) <math>\operatorname{Cong}: X^*\to \overline{X}^*</math> သည် ပုံမှန် ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းသော [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (canonical conjugate-linear isometric isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထိုနေရာတွင် <math>\overline{f}(\mathbf{x}) = \overline{f(\mathbf{x})}</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်ကို ပြည့်စုံစေသည်။<ref>Trèves (2006), pp. 112–123.</ref> :<math>\|f\|_{X^*} = \|\overline{f}\|_{\overline{X}^*}</math> == အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများ (Inner Product Spaces) == အကယ်၍ <math>X</math> သည် [[အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်း (ဟီလ်ဘတ်အကြို ရပ်ဝန်း)|အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်း]] (inner product space) တစ်ခုဖြစ်ပါက [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|ဒွန်တွဲစံနှုန်း]]သည် အနားပြိုင်စတုဂံ ညီမျှခြင်း (parallelogram law) ကို ပြည့်စုံစေပြီး ၎င်းသည် ဝင်ရိုးစွန်းခွဲခြားမှု ထပ်တူညီမှု (polarization identity) မှတစ်ဆင့် <math>X^*</math> နှင့် <math>\overline{X}^*</math> နှစ်ခုစလုံးအပေါ်ရှိ ပုံမှန် အတွင်းမြှောက်လဒ်များ (canonical inner products) ကို လှုံ့ဆော်ပေးသည်။ <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_{X^*}</math> နှင့် <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_{\overline{X}^*}</math> အဖြစ် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသော ဤအတွင်းမြှောက်လဒ်များသည် ၎င်းတို့၏ ဒုတိယ အဝင်ကိန်းများတွင် ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် ဖြစ်ကြသည်။ ဒွန်တွဲနှင့် ကွန်ဂျူဂိတ်-ဒွန်တွဲ ရပ်ဝန်းများအပေါ်ရှိ အတွင်းမြှောက်လဒ်များသည် အချင်းချင်း [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်|ကွန်ဂျူဂိတ်]]-အချိုးညီ (conjugate-symmetric) ဖြစ်ကြပြီး <math>f, g \in X^*</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဆက်စပ်နေကြသည်။ :<math>\langle \overline{f}, \overline{g} \rangle_{\overline{X}^*} = \overline{\langle f, g \rangle_{X^*}} = \langle g, f \rangle_{X^*}</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Birkenhake |first1=Christina |last2=Lange |first2=Herbert |title=Complex Abelian Varieties |edition=2nd |publisher=Springer |publication-place=Berlin, Heidelberg |date=2004 |isbn=978-3-662-06307-1}} * {{Citation |last=Trèves |first=François |title=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels |publisher=Dover Publications |publication-place=Mineola, NY |date=2006 |isbn=978-0-486-45352-1}} [[Category:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] kowj1jy6zsy2moc2865rme29xdjb566 3 291877 1054181 2026-09-19T19:35:18Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1054181 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Minkogyi858 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၉:၃၅၊ ၁၉ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၆ (UTC) o6bcoq050s614ag4ddw6wt73py7yq6m 0 291878 1054182 2026-09-19T22:30:45Z Mkant00 135890 "<math>u</math> နှင့် <math>v</math> တို့ကို [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]] (differentiable functions) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054182 wikitext text/x-wiki <math>u</math> နှင့် <math>v</math> တို့ကို [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]] (differentiable functions) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း (product rule) က မြှောက်လဒ် (product) <math>u \cdot v</math> သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်စွမ်းရှိပြီး ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ကို လာဂေါင့် (Lagrange) ၏ [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (notation) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြထားကြောင်း ဆိုသည်။ <math display="block">(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'</math> အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်မှာ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Leibniz) ၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d}{dx} (u \cdot v) = \frac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \frac{dv}{dx}</math> == သက်သေပြချက်များ (Proofs) == === စုဆုံမှတ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Limit Definition) === <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် <math>x</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်ပြီး <math>p(x) = f(x)g(x)</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဆင်းသက်ချက်၏ [[စုဆုံမှတ်]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (limit definition) ကို အသုံးချပြီး သုညကိန်းပိုင်း (zero term) <math>-f(x)g(x+\Delta x) + f(x)g(x+\Delta x)</math> ကို ပေါင်းထည့်သောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ <math display="block">\begin{align} p'(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{p(x+\Delta x)-p(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\big[f(x+\Delta x)-f(x)\big] \cdot g(x+\Delta x) + f(x) \cdot \big[g(x+\Delta x)-g(x)\big]}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x\to 0} g(x+\Delta x) + \lim_{\Delta x\to 0} f(x) \cdot \lim_{\Delta x\to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{align}</math> ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ၏ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း]] (continuity) သည် <math> \lim_{\Delta x\to0} g(x+\Delta x) = g(x) </math> ဖြစ်ကြောင်းကို သေချာစေသည်။ === မျဉ်းဖြောင့်ပုံစံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှုများ (Linear Approximations) === <math>x</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်သည့် <math>f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> အတွက် ၎င်းတို့၏ မျဉ်းဖြောင့်ပုံစံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှုများ (linear approximations) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> f(x+h) = f(x) + f'(x)h + o(h) </math> <math display="block"> g(x+h) = g(x) + g'(x)h + o(h) </math> ဤနေရာတွင် <math>o(h)</math> သည် <math>\lim_{h \to 0} \frac{o(h)}{h} = 0</math> ဖြစ်စေသော ကိန်းပိုင်းများကို ရည်ညွှန်းသည်။ မြှောက်လဒ်ကို ဖြန့်ထုတ်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block"> \begin{align} f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) &= (f(x) + f'(x)h + o(h))(g(x) + g'(x)h + o(h)) - f(x)g(x) \\[.5em] &= f(x)g(x) + f'(x)g(x)h + f(x)g'(x)h - f(x)g(x) + o(h) \\[.5em] &= [f'(x)g(x) + f(x)g'(x)]h + o(h) \end{align} </math> ၎င်းကို <math>h</math> ဖြင့် [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]]နှင့် <math>h\to 0</math> သို့ ချဉ်းကပ်သည့် [[စုဆုံမှတ်]]ကို ယူခြင်းတို့က စည်းမျဉ်းကို သက်သေပြသည်။ === လော့ဂရစ်သမ်နည်းကျ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (Logarithmic Differentiation) === <math>p(x) = f(x)g(x)</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>f(x) \neq 0</math> နှင့် <math>g(x) \neq 0</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆပါ။ [[ပကတိတန်ဖိုး]] (absolute value) နှင့် [[လော့ဂရစ်သမ်|သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ်]] (natural logarithm) ကို ယူသောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ <math display="block">\ln|p(x)| = \ln|f(x)| + \ln|g(x)| </math> နှစ်ဖက်စလုံးကို [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှာသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\frac{p'(x)}{p(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)}</math> <math>p(x) = f(x)g(x)</math> ဖြင့် မြှောက်သောအခါ အောက်ပါရလဒ် ထွက်ပေါ်လာသည်။ <math display="block">\begin{align} p'(x) &= f(x)g(x)\left(\frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)}\right) \\ &= f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \end{align}</math> == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == === ဆခွဲကိန်းများစွာပါဝင်မှု (Multiple Factors) === <math>f_1, \dots, f_k</math> ဟူသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] စုစည်းမှု (collection) တစ်ခုအတွက်ဖြစ်ပြီး <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>f_i(x) \neq 0</math> ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ထားလျှင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d}{dx} \left [ \prod_{i=1}^k f_i(x) \right ] = \sum_{i=1}^k \left(\left(\frac{d}{dx} f_i(x) \right) \prod_{j=1,j\ne i}^k f_j(x) \right) = \left( \prod_{i=1}^k f_i(x) \right) \left( \sum_{i=1}^k \frac{f'_i(x)}{f_i(x)} \right)</math> === ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ (Higher-Order Derivatives) === မြှောက်လဒ်တစ်ခု၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|အကြိမ် <math>n</math> မြောက် ဆင်းသက်ချက်]]အတွက် ယေဘုယျ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် စည်းမျဉ်းသည် ဘိုင်နိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (binomial coefficients) ကို အသုံးချထားသည်။ <math display="block">(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).</math> အလိုရှိရာ ဆခွဲကိန်းများ အရေအတွက်၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|အကြိမ် <math>n</math> မြောက် ဆင်းသက်ချက်]]အတွက် မာလ်တီနိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (multinomial coefficients) ကို အသုံးချနိုင်သည်။ <math display="block">\left(\prod_{i=1}^kf_i\right)^{\!\!(n)}=\sum_{j_1+j_2+\cdots+j_k=n}\binom{n}{j_1,j_2,\ldots,j_k}\prod_{i=1}^kf_i^{(j_i)}</math> === ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ (Higher Partial Derivatives) === <math>u</math> နှင့် <math>v</math> တို့ကို <math>C^n</math> ဖန်ရှင်များဟု ယူဆပါက ကိန်းရှင်များ (variables) <math>n</math> ခုအပေါ်ရှိ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ]] (partial derivatives) အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Hardy (2006).</ref> <math display="block">{\frac{\partial^n}{\partial x_1\,\cdots\,\partial x_n}} (uv) = \sum_S {\frac{\partial^{|S|} u}{\prod_{i\in S} \partial x_i}} \cdot {\frac{\partial^{n-|S|} v}{\prod_{i\not\in S} \partial x_i}}</math> ဤနေရာတွင် အညွှန်း <math>S</math> သည် <math>\{1, \dots, n\}</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (subsets) <math>2^n</math> ခုလုံးကို ဖြတ်သန်းသွားပြီး <math>|S|</math> သည် <math>S</math> ၏ [[အစုအရွယ်အစား]] (cardinality) ဖြစ်သည်။ === ဗက်တာ ကဲကုလပ် (Vector Calculus) === မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းကို <math>\mathbb{R}^n</math> အတွင်းရှိ [[ဖန်ရှင်|ဗက်တာဖန်ရှင်များ]] (vector functions) အပေါ် တွက်ချက်မှုများသို့ တိုးချဲ့နိုင်သည်။<ref>Stewart (2016).</ref> * စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) :<math>(f \cdot \mathbf g)' = f'\cdot \mathbf g + f \cdot \mathbf g'</math> * [[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)|အစက်မြှောက်လဒ်]] (dot product) :<math>(\mathbf f \cdot \mathbf g)' = \mathbf f' \cdot \mathbf g + \mathbf f \cdot \mathbf g'</math> * <math>\mathbb{R}^3</math> အတွင်းရှိ ကြက်ခြေခတ် မြှောက်လဒ် (cross product) :<math>(\mathbf f \times \mathbf g)' = \mathbf f' \times \mathbf g + \mathbf f \times \mathbf g'</math> စကေလာ စက်ကွင်းများ (scalar fields) <math>f, g</math> အတွက် ဂရေးဒီးယင့် အော်ပရေတာ (gradient operator) သည် အောက်ပါစည်းမျဉ်းကို လိုက်နာသည်။ <math display="block">\nabla (f \cdot g) = g \cdot \nabla f + f \cdot \nabla g </math> === ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach Spaces) === <math>X, Y,</math> နှင့် <math>Z</math> တို့ကို ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>B : X \times Y \to Z</math> ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် အော်ပရေတာ (continuous bilinear operator) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါစို့။ <math>B</math> သည် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်စွမ်းရှိပြီး]] <math>(x,y) \in X \times Y</math> ၌ ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြထားသည့် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (linear map) <math>D_{(x,y)}B : X \times Y \to Z</math> ဖြင့် ပေးထားသည်။<ref>Kriegl & Michor (1997), p. 59.</ref> <math display="block"> (D_{( x,y )}B)( u,v ) = B( u,y ) + B( x,v ) \qquad \forall (u,v)\in X \times Y. </math> === သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (Abstract Algebra and Differential Geometry) === [[ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ|သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ]] (abstract algebra) တွင် မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းသည် ဆင်းသက်မှု (derivation) တစ်ခု၏ သတ်မှတ်ချက် ဂုဏ်သတ္တိ (defining property) ဖြစ်သည်။ အမှတ် <math>p</math> တစ်ခုရှိ ဖန်ရှင်များအပေါ် သက်ရောက်နေသော [[မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်]] (linear functional) <math>v</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေတွင် ဆင်းသက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math display="block">v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g)</math> [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဂျီဩမေတြီ|ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ]] (differential geometry) တွင် ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံများ (differential forms) <math>\alpha \in \Omega^k(M)</math> နှင့် <math>\beta \in \Omega^\ell(M)</math> တို့အတွက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ပြင်ပ ဆင်းသက်ချက်]] (exterior derivative) <math>d</math> သည် အဆင့်သတ်မှတ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် စည်းမျဉ်း (graded Leibniz rule) ကို ပြည့်စုံစေသည်။ <math display="block">d(\alpha\wedge\beta) = d\alpha \wedge \beta + (-1)^{k} \alpha \wedge d\beta</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Hardy |first=Michael |title=Combinatorics of Partial Derivatives |journal=The Electronic Journal of Combinatorics |volume=13 |date=2006 |url=https://www.emis.de//journals/EJC/Volume_13/PDF/v13i1r1.pdf}} * {{Citation |last1=Kriegl |first1=Andreas |last2=Michor |first2=Peter |title=The Convenient Setting of Global Analysis |publication-place=Providence, RI |publisher=American Mathematical Society |date=1997 |isbn=0-8218-0780-3 |at=p. 59}} * {{Citation |last=Stewart |first=James |title=Calculus |edition=8th |publication-place=Boston, MA |publisher=Cengage |year=2016 |isbn=978-1285740621}} 66zkcymc9c6w61z3h4lql2y10nklr13 1054183 1054182 2026-09-19T22:31:43Z Mkant00 135890 1054183 wikitext text/x-wiki <math>u</math> နှင့် <math>v</math> တို့ကို [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]] (differentiable functions) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း (product rule) က မြှောက်လဒ် (product) <math>u \cdot v</math> သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်စွမ်းရှိပြီး ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ကို လာဂေါင့် (Lagrange) ၏ [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (notation) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြထားကြောင်း ဆိုသည်။ <math display="block">(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'</math> အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်မှာ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Leibniz) ၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d}{dx} (u \cdot v) = \frac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \frac{dv}{dx}</math> == သက်သေပြချက်များ (Proofs) == === စုဆုံမှတ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Limit Definition) === <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် <math>x</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်ပြီး <math>p(x) = f(x)g(x)</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဆင်းသက်ချက်၏ [[စုဆုံမှတ်]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (limit definition) ကို အသုံးချပြီး သုညကိန်းပိုင်း (zero term) <math>-f(x)g(x+\Delta x) + f(x)g(x+\Delta x)</math> ကို ပေါင်းထည့်သောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ <math display="block">\begin{align} p'(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{p(x+\Delta x)-p(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\big[f(x+\Delta x)-f(x)\big] \cdot g(x+\Delta x) + f(x) \cdot \big[g(x+\Delta x)-g(x)\big]}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x\to 0} g(x+\Delta x) + \lim_{\Delta x\to 0} f(x) \cdot \lim_{\Delta x\to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{align}</math> ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ၏ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း]] (continuity) သည် <math> \lim_{\Delta x\to0} g(x+\Delta x) = g(x) </math> ဖြစ်ကြောင်းကို သေချာစေသည်။ === မျဉ်းဖြောင့်ပုံစံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှုများ (Linear Approximations) === <math>x</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်သည့် <math>f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> အတွက် ၎င်းတို့၏ မျဉ်းဖြောင့်ပုံစံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှုများ (linear approximations) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> f(x+h) = f(x) + f'(x)h + o(h) </math> <math display="block"> g(x+h) = g(x) + g'(x)h + o(h) </math> ဤနေရာတွင် <math>o(h)</math> သည် <math>\lim_{h \to 0} \frac{o(h)}{h} = 0</math> ဖြစ်စေသော ကိန်းပိုင်းများကို ရည်ညွှန်းသည်။ မြှောက်လဒ်ကို ဖြန့်ထုတ်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block"> \begin{align} f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) &= (f(x) + f'(x)h + o(h))(g(x) + g'(x)h + o(h)) - f(x)g(x) \\[.5em] &= f(x)g(x) + f'(x)g(x)h + f(x)g'(x)h - f(x)g(x) + o(h) \\[.5em] &= [f'(x)g(x) + f(x)g'(x)]h + o(h) \end{align} </math> ၎င်းကို <math>h</math> ဖြင့် [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]]နှင့် <math>h\to 0</math> သို့ ချဉ်းကပ်သည့် [[စုဆုံမှတ်]]ကို ယူခြင်းတို့က စည်းမျဉ်းကို သက်သေပြသည်။ === လော့ဂရစ်သမ်နည်းကျ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (Logarithmic Differentiation) === <math>p(x) = f(x)g(x)</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>f(x) \neq 0</math> နှင့် <math>g(x) \neq 0</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆပါ။ [[ပကတိတန်ဖိုး]] (absolute value) နှင့် [[လော့ဂရစ်သမ်|သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ်]] (natural logarithm) ကို ယူသောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ <math display="block">\ln|p(x)| = \ln|f(x)| + \ln|g(x)| </math> နှစ်ဖက်စလုံးကို [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှာသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\frac{p'(x)}{p(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)}</math> <math>p(x) = f(x)g(x)</math> ဖြင့် မြှောက်သောအခါ အောက်ပါရလဒ် ထွက်ပေါ်လာသည်။ <math display="block">\begin{align} p'(x) &= f(x)g(x)\left(\frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)}\right) \\ &= f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \end{align}</math> == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == === ဆခွဲကိန်းများစွာပါဝင်မှု (Multiple Factors) === <math>f_1, \dots, f_k</math> ဟူသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] စုစည်းမှု (collection) တစ်ခုအတွက်ဖြစ်ပြီး <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>f_i(x) \neq 0</math> ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ထားလျှင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d}{dx} \left [ \prod_{i=1}^k f_i(x) \right ] = \sum_{i=1}^k \left(\left(\frac{d}{dx} f_i(x) \right) \prod_{j=1,j\ne i}^k f_j(x) \right) = \left( \prod_{i=1}^k f_i(x) \right) \left( \sum_{i=1}^k \frac{f'_i(x)}{f_i(x)} \right)</math> === ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ (Higher-Order Derivatives) === မြှောက်လဒ်တစ်ခု၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|အကြိမ် <math>n</math> မြောက် ဆင်းသက်ချက်]]အတွက် ယေဘုယျ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် စည်းမျဉ်းသည် ဘိုင်နိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (binomial coefficients) ကို အသုံးချထားသည်။ <math display="block">(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).</math> အလိုရှိရာ ဆခွဲကိန်းများ အရေအတွက်၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|အကြိမ် <math>n</math> မြောက် ဆင်းသက်ချက်]]အတွက် မာလ်တီနိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (multinomial coefficients) ကို အသုံးချနိုင်သည်။ <math display="block">\left(\prod_{i=1}^kf_i\right)^{\!\!(n)}=\sum_{j_1+j_2+\cdots+j_k=n}\binom{n}{j_1,j_2,\ldots,j_k}\prod_{i=1}^kf_i^{(j_i)}</math> === ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ (Higher Partial Derivatives) === <math>u</math> နှင့် <math>v</math> တို့ကို <math>C^n</math> ဖန်ရှင်များဟု ယူဆပါက ကိန်းရှင်များ (variables) <math>n</math> ခုအပေါ်ရှိ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ]] (partial derivatives) အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Hardy (2006).</ref> <math display="block">{\frac{\partial^n}{\partial x_1\,\cdots\,\partial x_n}} (uv) = \sum_S {\frac{\partial^{|S|} u}{\prod_{i\in S} \partial x_i}} \cdot {\frac{\partial^{n-|S|} v}{\prod_{i\not\in S} \partial x_i}}</math> ဤနေရာတွင် အညွှန်း <math>S</math> သည် <math>\{1, \dots, n\}</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (subsets) <math>2^n</math> ခုလုံးကို ဖြတ်သန်းသွားပြီး <math>|S|</math> သည် <math>S</math> ၏ [[အစုအရွယ်အစား]] (cardinality) ဖြစ်သည်။ === ဗက်တာ ကဲကုလပ် (Vector Calculus) === မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းကို <math>\mathbb{R}^n</math> အတွင်းရှိ [[ဖန်ရှင်|ဗက်တာဖန်ရှင်များ]] (vector functions) အပေါ် တွက်ချက်မှုများသို့ တိုးချဲ့နိုင်သည်။<ref>Stewart (2016).</ref> * စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) :<math>(f \cdot \mathbf g)' = f'\cdot \mathbf g + f \cdot \mathbf g'</math> * [[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)|အစက်မြှောက်လဒ်]] (dot product) :<math>(\mathbf f \cdot \mathbf g)' = \mathbf f' \cdot \mathbf g + \mathbf f \cdot \mathbf g'</math> * <math>\mathbb{R}^3</math> အတွင်းရှိ ကြက်ခြေခတ် မြှောက်လဒ် (cross product) :<math>(\mathbf f \times \mathbf g)' = \mathbf f' \times \mathbf g + \mathbf f \times \mathbf g'</math> စကေလာ စက်ကွင်းများ (scalar fields) <math>f, g</math> အတွက် ဂရေးဒီးယင့် အော်ပရေတာ (gradient operator) သည် အောက်ပါစည်းမျဉ်းကို လိုက်နာသည်။ <math display="block">\nabla (f \cdot g) = g \cdot \nabla f + f \cdot \nabla g </math> === ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach Spaces) === <math>X, Y,</math> နှင့် <math>Z</math> တို့ကို ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>B : X \times Y \to Z</math> ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် အော်ပရေတာ (continuous bilinear operator) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါစို့။ <math>B</math> သည် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်စွမ်းရှိပြီး]] <math>(x,y) \in X \times Y</math> ၌ ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြထားသည့် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (linear map) <math>D_{(x,y)}B : X \times Y \to Z</math> ဖြင့် ပေးထားသည်။<ref>Kriegl & Michor (1997), p. 59.</ref> <math display="block"> (D_{( x,y )}B)( u,v ) = B( u,y ) + B( x,v ) \qquad \forall (u,v)\in X \times Y. </math> === သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (Abstract Algebra and Differential Geometry) === [[ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ|သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ]] (abstract algebra) တွင် မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းသည် ဆင်းသက်မှု (derivation) တစ်ခု၏ သတ်မှတ်ချက် ဂုဏ်သတ္တိ (defining property) ဖြစ်သည်။ အမှတ် <math>p</math> တစ်ခုရှိ ဖန်ရှင်များအပေါ် သက်ရောက်နေသော [[မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်]] (linear functional) <math>v</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေတွင် ဆင်းသက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math display="block">v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g)</math> [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဂျီဩမေတြီ|ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ]] (differential geometry) တွင် ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံများ (differential forms) <math>\alpha \in \Omega^k(M)</math> နှင့် <math>\beta \in \Omega^\ell(M)</math> တို့အတွက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ပြင်ပ ဆင်းသက်ချက်]] (exterior derivative) <math>d</math> သည် အဆင့်သတ်မှတ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် စည်းမျဉ်း (graded Leibniz rule) ကို ပြည့်စုံစေသည်။ <math display="block">d(\alpha\wedge\beta) = d\alpha \wedge \beta + (-1)^{k} \alpha \wedge d\beta</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Hardy |first=Michael |title=Combinatorics of Partial Derivatives |journal=The Electronic Journal of Combinatorics |volume=13 |date=2006 |url=https://www.emis.de//journals/EJC/Volume_13/PDF/v13i1r1.pdf}} * {{Citation |last1=Kriegl |first1=Andreas |last2=Michor |first2=Peter |title=The Convenient Setting of Global Analysis |publication-place=Providence, RI |publisher=American Mathematical Society |date=1997 |isbn=0-8218-0780-3 |at=p. 59}} * {{Citation |last=Stewart |first=James |title=Calculus |edition=8th |publication-place=Boston, MA |publisher=Cengage |year=2016 |isbn=978-1285740621}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] 6ur71wij62j15ckd447zftayzd7owk2 1054242 1054183 2026-09-20T10:43:07Z Mkant00 135890 1054242 wikitext text/x-wiki <math>u</math> နှင့် <math>v</math> တို့ကို [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]] (differentiable functions) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း (product rule) က မြှောက်လဒ် (product) <math>u \cdot v</math> သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်စွမ်းရှိပြီး ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ကို လာဂေါင့် (Lagrange) ၏ [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (notation) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြထားကြောင်း ဆိုသည်။ <math display="block">(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'</math> အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်မှာ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Leibniz) ၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d}{dx} (u \cdot v) = \frac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \frac{dv}{dx}</math> == သက်သေပြချက်များ (Proofs) == === စုဆုံမှတ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Limit Definition) === <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် <math>x</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်ပြီး <math>p(x) = f(x)g(x)</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဆင်းသက်ချက်၏ [[စုဆုံမှတ်]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (limit definition) ကို အသုံးချပြီး သုညကိန်းပိုင်း (zero term) <math>-f(x)g(x+\Delta x) + f(x)g(x+\Delta x)</math> ကို ပေါင်းထည့်သောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ <math display="block">\begin{align} p'(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{p(x+\Delta x)-p(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\big[f(x+\Delta x)-f(x)\big] \cdot g(x+\Delta x) + f(x) \cdot \big[g(x+\Delta x)-g(x)\big]}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x\to 0} g(x+\Delta x) + \lim_{\Delta x\to 0} f(x) \cdot \lim_{\Delta x\to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{align}</math> ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ၏ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း]] (continuity) သည် <math> \lim_{\Delta x\to0} g(x+\Delta x) = g(x) </math> ဖြစ်ကြောင်းကို သေချာစေသည်။ === မျဉ်းဖြောင့်ပုံစံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှုများ (Linear Approximations) === <math>x</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်သည့် <math>f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> အတွက် ၎င်းတို့၏ မျဉ်းဖြောင့်ပုံစံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှုများ (linear approximations) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> f(x+h) = f(x) + f'(x)h + o(h) </math> <math display="block"> g(x+h) = g(x) + g'(x)h + o(h) </math> ဤနေရာတွင် <math>o(h)</math> သည် <math>\lim_{h \to 0} \frac{o(h)}{h} = 0</math> ဖြစ်စေသော ကိန်းပိုင်းများကို ရည်ညွှန်းသည်။ မြှောက်လဒ်ကို ဖြန့်ထုတ်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block"> \begin{align} f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) &= (f(x) + f'(x)h + o(h))(g(x) + g'(x)h + o(h)) - f(x)g(x) \\[.5em] &= f(x)g(x) + f'(x)g(x)h + f(x)g'(x)h - f(x)g(x) + o(h) \\[.5em] &= [f'(x)g(x) + f(x)g'(x)]h + o(h) \end{align} </math> ၎င်းကို <math>h</math> ဖြင့် [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]]နှင့် <math>h\to 0</math> သို့ ချဉ်းကပ်သည့် [[စုဆုံမှတ်]]ကို ယူခြင်းတို့က စည်းမျဉ်းကို သက်သေပြသည်။ === လော့ဂရစ်သမ်နည်းကျ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (Logarithmic Differentiation) === <math>p(x) = f(x)g(x)</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>f(x) \neq 0</math> နှင့် <math>g(x) \neq 0</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆပါ။ [[ပကတိတန်ဖိုး]] (absolute value) နှင့် [[လော့ဂရစ်သမ်|သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ်]] (natural logarithm) ကို ယူသောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ <math display="block">\ln|p(x)| = \ln|f(x)| + \ln|g(x)| </math> နှစ်ဖက်စလုံးကို [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှာသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\frac{p'(x)}{p(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)}</math> <math>p(x) = f(x)g(x)</math> ဖြင့် မြှောက်သောအခါ အောက်ပါရလဒ် ထွက်ပေါ်လာသည်။ <math display="block">\begin{align} p'(x) &= f(x)g(x)\left(\frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)}\right) \\ &= f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \end{align}</math> == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == === ဆခွဲကိန်းများစွာပါဝင်မှု (Multiple Factors) === <math>f_1, \dots, f_k</math> ဟူသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] စုစည်းမှု (collection) တစ်ခုအတွက်ဖြစ်ပြီး <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>f_i(x) \neq 0</math> ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ထားလျှင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d}{dx} \left [ \prod_{i=1}^k f_i(x) \right ] = \sum_{i=1}^k \left(\left(\frac{d}{dx} f_i(x) \right) \prod_{j=1,j\ne i}^k f_j(x) \right) = \left( \prod_{i=1}^k f_i(x) \right) \left( \sum_{i=1}^k \frac{f'_i(x)}{f_i(x)} \right)</math> === ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ (Higher-Order Derivatives) === မြှောက်လဒ်တစ်ခု၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|အကြိမ် <math>n</math> မြောက် ဆင်းသက်ချက်]]အတွက် ယေဘုယျ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် စည်းမျဉ်းသည် ဘိုင်နိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (binomial coefficients) ကို အသုံးချထားသည်။ <math display="block">(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).</math> အလိုရှိရာ ဆခွဲကိန်းများ အရေအတွက်၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|အကြိမ် <math>n</math> မြောက် ဆင်းသက်ချက်]]အတွက် မာလ်တီနိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (multinomial coefficients) ကို အသုံးချနိုင်သည်။ <math display="block">\left(\prod_{i=1}^kf_i\right)^{\!\!(n)}=\sum_{j_1+j_2+\cdots+j_k=n}\binom{n}{j_1,j_2,\ldots,j_k}\prod_{i=1}^kf_i^{(j_i)}</math> === ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ (Higher Partial Derivatives) === <math>u</math> နှင့် <math>v</math> တို့ကို <math>C^n</math> ဖန်ရှင်များဟု ယူဆပါက ကိန်းရှင်များ (variables) <math>n</math> ခုအပေါ်ရှိ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ]] (partial derivatives) အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Hardy (2006).</ref> <math display="block">{\frac{\partial^n}{\partial x_1\,\cdots\,\partial x_n}} (uv) = \sum_S {\frac{\partial^{|S|} u}{\prod_{i\in S} \partial x_i}} \cdot {\frac{\partial^{n-|S|} v}{\prod_{i\not\in S} \partial x_i}}</math> ဤနေရာတွင် အညွှန်း <math>S</math> သည် <math>\{1, \dots, n\}</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (subsets) <math>2^n</math> ခုလုံးကို ဖြတ်သန်းသွားပြီး <math>|S|</math> သည် <math>S</math> ၏ [[အစုအရွယ်အစား]] (cardinality) ဖြစ်သည်။ === ဗက်တာ ကဲကုလပ် (Vector Calculus) === မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းကို <math>\mathbb{R}^n</math> အတွင်းရှိ [[ဖန်ရှင်|ဗက်တာဖန်ရှင်များ]] (vector functions) အပေါ် တွက်ချက်မှုများသို့ တိုးချဲ့နိုင်သည်။<ref>Stewart (2016).</ref> * စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) :<math>(f \cdot \mathbf g)' = f'\cdot \mathbf g + f \cdot \mathbf g'</math> * [[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)|အစက်မြှောက်လဒ်]] (dot product) :<math>(\mathbf f \cdot \mathbf g)' = \mathbf f' \cdot \mathbf g + \mathbf f \cdot \mathbf g'</math> * <math>\mathbb{R}^3</math> အတွင်းရှိ ကြက်ခြေခတ် မြှောက်လဒ် (cross product) :<math>(\mathbf f \times \mathbf g)' = \mathbf f' \times \mathbf g + \mathbf f \times \mathbf g'</math> စကေလာ စက်ကွင်းများ (scalar fields) <math>f, g</math> အတွက် ဂရေးဒီးယင့် အော်ပရေတာ (gradient operator) သည် အောက်ပါစည်းမျဉ်းကို လိုက်နာသည်။ <math display="block">\nabla (f \cdot g) = g \cdot \nabla f + f \cdot \nabla g </math> === ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach Spaces) === <math>X, Y,</math> နှင့် <math>Z</math> တို့ကို ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>B : X \times Y \to Z</math> ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် အော်ပရေတာ (continuous bilinear operator) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါစို့။ <math>B</math> သည် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်စွမ်းရှိပြီး]] <math>(x,y) \in X \times Y</math> ၌ ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြထားသည့် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (linear map) <math>D_{(x,y)}B : X \times Y \to Z</math> ဖြင့် ပေးထားသည်။<ref>Kriegl & Michor (1997), p. 59.</ref> <math display="block"> (D_{( x,y )}B)( u,v ) = B( u,y ) + B( x,v ) \qquad \forall (u,v)\in X \times Y. </math> === သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (Abstract Algebra and Differential Geometry) === [[ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ|သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ]] (abstract algebra) တွင် မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းသည် ဆင်းသက်မှု (derivation) တစ်ခု၏ သတ်မှတ်ချက် ဂုဏ်သတ္တိ (defining property) ဖြစ်သည်။ အမှတ် <math>p</math> တစ်ခုရှိ ဖန်ရှင်များအပေါ် သက်ရောက်နေသော [[မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်]] (linear functional) <math>v</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေတွင် ဆင်းသက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math display="block">v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g)</math> [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဂျီဩမေတြီ|ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ]] (differential geometry) တွင် ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံများ (differential forms) <math>\alpha \in \Omega^k(M)</math> နှင့် <math>\beta \in \Omega^\ell(M)</math> တို့အတွက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ပြင်ပ ဆင်းသက်ချက်]] (exterior derivative) <math>d</math> သည် အဆင့်သတ်မှတ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် စည်းမျဉ်း (graded Leibniz rule) ကို ပြည့်စုံစေသည်။ <math display="block">d(\alpha\wedge\beta) = d\alpha \wedge \beta + (-1)^{k} \alpha \wedge d\beta</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Hardy |first=Michael |title=Combinatorics of Partial Derivatives |journal=The Electronic Journal of Combinatorics |volume=13 |date=2006 |url=https://www.emis.de//journals/EJC/Volume_13/PDF/v13i1r1.pdf}} * {{Citation |last1=Kriegl |first1=Andreas |last2=Michor |first2=Peter |title=The Convenient Setting of Global Analysis |publication-place=Providence, RI |publisher=American Mathematical Society |date=1997 |isbn=0-8218-0780-3 |at=p. 59}} * {{Citation |last=Stewart |first=James |title=Calculus |edition=8th |publication-place=Boston, MA |publisher=Cengage |year=2016 |isbn=978-1285740621}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] mj80o4lfqhs30pso3dvj66noleopclj 0 291879 1054184 2026-09-19T22:35:25Z Mkant00 135890 "<math>g</math> သည် <math>x</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင်]]ဖြစ်ပြီး <math>f</math> သည် <math>g(x)</math> တွင် ဆင်းသ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054184 wikitext text/x-wiki <math>g</math> သည် <math>x</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင်]]ဖြစ်ပြီး <math>f</math> သည် <math>g(x)</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) အရ [[ပေါင်းစပ်ခြင်း အော်ပရေတာ|ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်]] (composite function) <math>f \circ g</math> သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်။ လာဂေါင့် (Lagrange) ၏ [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (notation) အရ ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)</math> <math>y = f(u)</math> နှင့် <math>u = g(x)</math> ဖြစ်ပါစေ။ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Leibniz) ၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် ဆင်းသက်ချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}</math> တိကျသော အမှတ်များတွင် တန်ဖိုးရှာဖွေသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=c} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u = g(c)} \cdot \left.\frac{du}{dx}\right|_{x=c}</math> ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင် <math>n</math> ခုဖြစ်သော <math>f_1, \ldots, f_n</math> အတွက် ထပ်ခါတလဲလဲ အသုံးချခြင်းသည် အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။<ref>Apostol (1974).</ref> <math display="block">\frac{df_1}{dx} = \frac{df_1}{df_2}\frac{df_2}{df_3}\cdots\frac{df_n}{dx}</math> == သက်သေပြချက်များ (Proofs) == === ခြားနားခြင်းဆိုင်ရာ စားလဒ် စုဆုံမှတ် (Difference Quotient Limit) === <math>a</math> ရှိ <math>f \circ g</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(f \circ g)'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a}</math> <math>g(x) = g(a)</math> ဖြစ်သောအခါ [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|သုညဖြင့် စားခြင်း]] (division by zero) ကို ရှောင်ရှားရန် [[ဖန်ရှင်|အပိုင်းလိုက် ဖန်ရှင်]] (piecewise function) <math>Q</math> တစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math display="block">Q(y) = \begin{cases} \frac{f(y) - f(g(a))}{y - g(a)}, & y \neq g(a) \\ f'(g(a)), & y = g(a) \end{cases}</math> <math>f</math> သည် <math>g(a)</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသောကြောင့် <math>Q</math> သည် <math>g(a)</math> တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်]] (continuous)။ ခြားနားခြင်းဆိုင်ရာ စားလဒ်သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြန့်ထွက်သွားသည်။ <math display="block">\frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a} = Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a}</math> <math>x \to a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သည့် [[စုဆုံမှတ်]]ကို ယူသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\lim_{x \to a} \left[ Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a} \right] = Q(g(a)) \cdot g'(a) = f'(g(a)) \cdot g'(a)</math> === မျဉ်းဖြောင့်ပုံစံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှု (Linear Approximation) === <math>a</math> ၌ <math>g</math> ၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု]] (differentiability) သည် <math>\lim_{h \to 0} \varepsilon(h) = 0</math> နှင့် အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေသည့် <math>\varepsilon(h)</math> တစ်ခု တည်ရှိမှုကို ရည်ညွှန်းသည်။ <math display="block">g(a + h) - g(a) = g'(a)h + \varepsilon(h)h</math> <math>g(a)</math> ရှိ <math>f</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုသည် <math>\lim_{k \to 0} \eta(k) = 0</math> နှင့် အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေသည့် <math>\eta(k)</math> တစ်ခု တည်ရှိမှုကို ရည်ညွှန်းသည်။ <math display="block">f(g(a) + k) - f(g(a)) = f'(g(a))k + \eta(k)k</math> <math>k_h = g(a + h) - g(a) = g'(a)h + \varepsilon(h)h</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>k_h</math> ကို အစားထိုးသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">f(g(a + h)) - f(g(a)) = f'(g(a))[g'(a)h + \varepsilon(h)h] + \eta(k_h)[g'(a)h + \varepsilon(h)h]</math> <math>h</math> ဖြင့် [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]]နှင့် <math>h \to 0</math> သို့ ချဉ်းကပ်သည့် [[စုဆုံမှတ်]]ကို တန်ဖိုးရှာဖွေသောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ <math display="block">\lim_{h \to 0} \frac{f(g(a + h)) - f(g(a))}{h} = f'(g(a))g'(a)</math> === ကာရာသီယိုဒိုရီ၏ ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (Carathéodory's Formulation) === ကာရာသီယိုဒိုရီ (Carathéodory) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition) အရ <math>f</math> သည် <math>a</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်စွမ်းရှိရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>f(x) - f(a) = q(x)(x - a)</math> နှင့် <math>f'(a) = q(a)</math> တို့ကို ပြည့်စုံစေသည့် <math>a</math> ၌ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်]]တစ်ခုဖြစ်သော <math>q</math> တည်ရှိခြင်းပင်ဖြစ်သည်။<ref>Kuhn (1991), pp. 40-44.</ref> ၎င်းကို <math>g(a)</math> ၌ရှိသော <math>f</math> နှင့် <math>a</math> ၌ရှိသော <math>g</math> တို့တွင် အသုံးချသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ <math display="block">f(g(x)) - f(g(a)) = q(g(x))(g(x) - g(a))</math> <math display="block">g(x) - g(a) = r(x)(x - a)</math> အစားထိုးခြင်းက အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ <math display="block">f(g(x)) - f(g(a)) = q(g(x))r(x)(x - a)</math> <math>q \circ g</math> နှင့် <math>r</math> တို့သည် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(f \circ g)'(a) = q(g(a))r(a) = f'(g(a))g'(a)</math> == ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ (Higher Derivatives) == ဖာဒီဘရူနို (Faà di Bruno) ၏ ပုံသေနည်းသည် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းကို [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ]]အထိ ယေဘုယျပြုထားသည် (generalizes)။ <math>y = f(u)</math> နှင့် <math>u = g(x)</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \begin{align} \frac{dy}{dx} & = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \\ \frac{d^2 y }{d x^2} & = \frac{d^2 y}{d u^2} \left(\frac{du}{dx}\right)^2 + \frac{dy}{du} \frac{d^2 u}{dx^2} \\ \frac{d^3 y }{d x^3} & = \frac{d^3 y}{d u^3} \left(\frac{du}{dx}\right)^3 + 3 \frac{d^2 y}{d u^2} \frac{du}{dx} \frac{d^2 u}{d x^2} + \frac{dy}{du} \frac{d^3 u}{d x^3} \\ \frac{d^4 y}{d x^4} & = \frac{d^4 y}{du^4} \left(\frac{du}{dx}\right)^4 + 6 \frac{d^3 y}{d u^3} \left(\frac{du}{dx}\right)^2 \frac{d^2 u}{d x^2} + \frac{d^2 y}{d u^2} \left( 4 \frac{du}{dx} \frac{d^3 u}{dx^3} + 3 \left(\frac{d^2 u}{dx^2}\right)^2\right) + \frac{dy}{du} \frac{d^4 u}{dx^4} \end{align} </math> == ကိန်းရှင်များစွာပါ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (Multivariable Chain Rule) == === စကေလာတန်ဖိုးရှိ မသိကိန်းများစွာပါ ဖန်ရှင်များ (Scalar-Valued Multivariate Functions) === <math>f\colon\mathbb{R}^k \to \mathbb{R}</math> နှင့် <math>i = 1, \dots, k</math> အတွက် <math>g_i\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> တို့ ဖြစ်ပါစေ။ <math>D_i f</math> သည် <math>f</math> ၏ ၎င်းနှင့်သက်ဆိုင်သည့် အကြိမ် <math>i</math> မြောက် အဝင်ကိန်း (argument) အပေါ် အခြေခံသော [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်]] (partial derivative) ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math display="block">\frac{d}{dx}f(g_1(x), \dots, g_k (x)) = \sum_{i=1}^k \left(\frac{d}{dx}{g_i}(x)\right) D_i f(g_1(x), \dots, g_k (x))</math> === ဗက်တာတန်ဖိုးရှိ မသိကိန်းများစွာပါ ဖန်ရှင်များ (Vector-Valued Multivariate Functions) === [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်သည့် <math>f \colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k</math> နှင့် <math>g \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> တို့အတွက် <math>D_{\mathbf{a}} g</math> သည် <math>\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n</math> ၌ <math>g</math> ၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|စုစုပေါင်း ဆင်းသက်ချက်]] (total derivative) ကို ရည်ညွှန်းသည်ဟု ဆိုပါစို့။ စုစုပေါင်း ဆင်းသက်ချက်များအတွက် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Spivak (1965), pp. 19-20.</ref> <math display="block">D_{\mathbf{a}}(f \circ g) = D_{g(\mathbf{a})}f \circ D_{\mathbf{a}}g</math> [[ကိန်းအုံ|ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံများ]] (Jacobian matrices) <math>J</math> အဖြစ် ဖော်ပြသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">J_{f \circ g}(\mathbf{a}) = J_{f}(g(\mathbf{a})) J_{g}(\mathbf{a})</math> <math>\mathbf{y} = f(\mathbf{u})</math> နှင့် <math>\mathbf{u} = g(\mathbf{x})</math> တို့အတွက် အစိတ်အပိုင်း ပုံစံ (component form) ဖြင့် ဖော်ပြရာတွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{\partial y_j}{\partial x_i} = \sum_{\ell = 1}^m \frac{\partial y_j}{\partial u_\ell} \frac{\partial u_\ell}{\partial x_i}</math> == သရုပ်မဲ့ ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Abstract Generalizations) == * '''ဘာနက် ရပ်ဝန်းများရှိ ဖရေးရှေး ဆင်းသက်ချက်များ (Fréchet Derivatives in Banach Spaces):''' ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများအတွက် ထပ်တူညီသော ဖန်တာဆိုင်ရာ ပုံသေနည်း (functorial formula) <math>D(f \circ g) = Df \circ Dg</math> သည် မှန်ကန်ပြီး ဤနေရာတွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဖရေးရှေး ဆင်းသက်ချက်များ]]သည် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|အကန့်အသတ်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ]] (bounded linear operators) ဖြစ်ကြသည်။<ref>Cheney (2001), pp. 121-125.</ref> * '''ဒစ်ဖရန်ရှယ် မန်နီဖိုးများ (Differential Manifolds):''' [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကြားရှိ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ (smooth maps) <math>g: M \to N</math> နှင့် <math>f: N \to P</math> တို့အတွက် ဒစ်ဖရန်ရှယ်သည် [[မန်နီဖိုး#ထိမျဉ်းအစည်း_(Tangent_Bundle)|ထိမျဉ်းအစည်းများ]] (tangent bundles) ကို <math>d(f \circ g)_p = df_{g(p)} \circ dg_p</math> ဖြစ်စေရန် ပုံဖော်ပေးသည်။ * '''ခဲလာ ဒစ်ဖရန်ရှယ်များ (Kähler Differentials):''' [[ဖလှယ်ရ ကွင်း|ဖလှယ်ရ ကွင်းများ]] (commutative rings) ၏ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (ring homomorphism) <math>g \colon R \to S</math> နောက်တွင် <math>f \colon S \to T</math> ဖြင့် ဆက်လက်တွက်ချက်ခြင်းသည် <math>D(f \circ g) = Df \circ Dg</math> ကို ပြည့်စုံစေသော ခဲလာ ဒစ်ဖရန်ရှယ်များ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) ကို လှုံ့ဆော်ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Apostol |first=Tom M. |title=Mathematical Analysis |edition=2nd |publisher=Addison Wesley |year=1974 |isbn=978-0201002881}} * {{Citation |last=Cheney |first=Ward |title=Analysis for Applied Mathematics |publication-place=New York |publisher=Springer |year=2001 |isbn=978-0-387-95279-6 |at=pp. 121-125}} * {{Citation |last=Kuhn |first=Stephen |title=The Derivative á la Carathéodory |journal=The American Mathematical Monthly |volume=98 |issue=1 |year=1991 |doi=10.2307/2324035 |at=pp. 40-44}} * {{Citation |last=Spivak |first=Michael |title=Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus |publication-place=Boston |publisher=Addison-Wesley |year=1965 |isbn=978-0805390216 |at=pp. 19-20}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] 2igsvc936v8euexkztiswj1n8gos64z 1054235 1054184 2026-09-20T10:39:52Z Mkant00 135890 1054235 wikitext text/x-wiki <math>g</math> သည် <math>x</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင်]]ဖြစ်ပြီး <math>f</math> သည် <math>g(x)</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) အရ [[ပေါင်းစပ်ခြင်း အော်ပရေတာ|ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်]] (composite function) <math>f \circ g</math> သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်။ လာဂေါင့် (Lagrange) ၏ [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (notation) အရ ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)</math> <math>y = f(u)</math> နှင့် <math>u = g(x)</math> ဖြစ်ပါစေ။ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Leibniz) ၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် ဆင်းသက်ချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}</math> တိကျသော အမှတ်များတွင် တန်ဖိုးရှာဖွေသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=c} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u = g(c)} \cdot \left.\frac{du}{dx}\right|_{x=c}</math> ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင် <math>n</math> ခုဖြစ်သော <math>f_1, \ldots, f_n</math> အတွက် ထပ်ခါတလဲလဲ အသုံးချခြင်းသည် အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။<ref>Apostol (1974).</ref> <math display="block">\frac{df_1}{dx} = \frac{df_1}{df_2}\frac{df_2}{df_3}\cdots\frac{df_n}{dx}</math> == သက်သေပြချက်များ (Proofs) == === ခြားနားခြင်းဆိုင်ရာ စားလဒ် စုဆုံမှတ် (Difference Quotient Limit) === <math>a</math> ရှိ <math>f \circ g</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(f \circ g)'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a}</math> <math>g(x) = g(a)</math> ဖြစ်သောအခါ [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|သုညဖြင့် စားခြင်း]] (division by zero) ကို ရှောင်ရှားရန် [[ဖန်ရှင်|အပိုင်းလိုက် ဖန်ရှင်]] (piecewise function) <math>Q</math> တစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math display="block">Q(y) = \begin{cases} \frac{f(y) - f(g(a))}{y - g(a)}, & y \neq g(a) \\ f'(g(a)), & y = g(a) \end{cases}</math> <math>f</math> သည် <math>g(a)</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသောကြောင့် <math>Q</math> သည် <math>g(a)</math> တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်]] (continuous)။ ခြားနားခြင်းဆိုင်ရာ စားလဒ်သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြန့်ထွက်သွားသည်။ <math display="block">\frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a} = Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a}</math> <math>x \to a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သည့် [[စုဆုံမှတ်]]ကို ယူသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\lim_{x \to a} \left[ Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a} \right] = Q(g(a)) \cdot g'(a) = f'(g(a)) \cdot g'(a)</math> === မျဉ်းဖြောင့်ပုံစံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှု (Linear Approximation) === <math>a</math> ၌ <math>g</math> ၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု]] (differentiability) သည် <math>\lim_{h \to 0} \varepsilon(h) = 0</math> နှင့် အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေသည့် <math>\varepsilon(h)</math> တစ်ခု တည်ရှိမှုကို ရည်ညွှန်းသည်။ <math display="block">g(a + h) - g(a) = g'(a)h + \varepsilon(h)h</math> <math>g(a)</math> ရှိ <math>f</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုသည် <math>\lim_{k \to 0} \eta(k) = 0</math> နှင့် အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေသည့် <math>\eta(k)</math> တစ်ခု တည်ရှိမှုကို ရည်ညွှန်းသည်။ <math display="block">f(g(a) + k) - f(g(a)) = f'(g(a))k + \eta(k)k</math> <math>k_h = g(a + h) - g(a) = g'(a)h + \varepsilon(h)h</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>k_h</math> ကို အစားထိုးသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">f(g(a + h)) - f(g(a)) = f'(g(a))[g'(a)h + \varepsilon(h)h] + \eta(k_h)[g'(a)h + \varepsilon(h)h]</math> <math>h</math> ဖြင့် [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]]နှင့် <math>h \to 0</math> သို့ ချဉ်းကပ်သည့် [[စုဆုံမှတ်]]ကို တန်ဖိုးရှာဖွေသောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ <math display="block">\lim_{h \to 0} \frac{f(g(a + h)) - f(g(a))}{h} = f'(g(a))g'(a)</math> === ကာရာသီယိုဒိုရီ၏ ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (Carathéodory's Formulation) === ကာရာသီယိုဒိုရီ (Carathéodory) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition) အရ <math>f</math> သည် <math>a</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်စွမ်းရှိရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>f(x) - f(a) = q(x)(x - a)</math> နှင့် <math>f'(a) = q(a)</math> တို့ကို ပြည့်စုံစေသည့် <math>a</math> ၌ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်]]တစ်ခုဖြစ်သော <math>q</math> တည်ရှိခြင်းပင်ဖြစ်သည်။<ref>Kuhn (1991), pp. 40-44.</ref> ၎င်းကို <math>g(a)</math> ၌ရှိသော <math>f</math> နှင့် <math>a</math> ၌ရှိသော <math>g</math> တို့တွင် အသုံးချသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ <math display="block">f(g(x)) - f(g(a)) = q(g(x))(g(x) - g(a))</math> <math display="block">g(x) - g(a) = r(x)(x - a)</math> အစားထိုးခြင်းက အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ <math display="block">f(g(x)) - f(g(a)) = q(g(x))r(x)(x - a)</math> <math>q \circ g</math> နှင့် <math>r</math> တို့သည် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(f \circ g)'(a) = q(g(a))r(a) = f'(g(a))g'(a)</math> == ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ (Higher Derivatives) == ဖာဒီဘရူနို (Faà di Bruno) ၏ ပုံသေနည်းသည် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းကို [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ]]အထိ ယေဘုယျပြုထားသည် (generalizes)။ <math>y = f(u)</math> နှင့် <math>u = g(x)</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \begin{align} \frac{dy}{dx} & = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \\ \frac{d^2 y }{d x^2} & = \frac{d^2 y}{d u^2} \left(\frac{du}{dx}\right)^2 + \frac{dy}{du} \frac{d^2 u}{dx^2} \\ \frac{d^3 y }{d x^3} & = \frac{d^3 y}{d u^3} \left(\frac{du}{dx}\right)^3 + 3 \frac{d^2 y}{d u^2} \frac{du}{dx} \frac{d^2 u}{d x^2} + \frac{dy}{du} \frac{d^3 u}{d x^3} \\ \frac{d^4 y}{d x^4} & = \frac{d^4 y}{du^4} \left(\frac{du}{dx}\right)^4 + 6 \frac{d^3 y}{d u^3} \left(\frac{du}{dx}\right)^2 \frac{d^2 u}{d x^2} + \frac{d^2 y}{d u^2} \left( 4 \frac{du}{dx} \frac{d^3 u}{dx^3} + 3 \left(\frac{d^2 u}{dx^2}\right)^2\right) + \frac{dy}{du} \frac{d^4 u}{dx^4} \end{align} </math> == ကိန်းရှင်များစွာပါ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (Multivariable Chain Rule) == === စကေလာတန်ဖိုးရှိ မသိကိန်းများစွာပါ ဖန်ရှင်များ (Scalar-Valued Multivariate Functions) === <math>f\colon\mathbb{R}^k \to \mathbb{R}</math> နှင့် <math>i = 1, \dots, k</math> အတွက် <math>g_i\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> တို့ ဖြစ်ပါစေ။ <math>D_i f</math> သည် <math>f</math> ၏ ၎င်းနှင့်သက်ဆိုင်သည့် အကြိမ် <math>i</math> မြောက် အဝင်ကိန်း (argument) အပေါ် အခြေခံသော [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်]] (partial derivative) ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math display="block">\frac{d}{dx}f(g_1(x), \dots, g_k (x)) = \sum_{i=1}^k \left(\frac{d}{dx}{g_i}(x)\right) D_i f(g_1(x), \dots, g_k (x))</math> === ဗက်တာတန်ဖိုးရှိ မသိကိန်းများစွာပါ ဖန်ရှင်များ (Vector-Valued Multivariate Functions) === [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်သည့် <math>f \colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k</math> နှင့် <math>g \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> တို့အတွက် <math>D_{\mathbf{a}} g</math> သည် <math>\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n</math> ၌ <math>g</math> ၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|စုစုပေါင်း ဆင်းသက်ချက်]] (total derivative) ကို ရည်ညွှန်းသည်ဟု ဆိုပါစို့။ စုစုပေါင်း ဆင်းသက်ချက်များအတွက် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Spivak (1965), pp. 19-20.</ref> <math display="block">D_{\mathbf{a}}(f \circ g) = D_{g(\mathbf{a})}f \circ D_{\mathbf{a}}g</math> [[ကိန်းအုံ|ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံများ]] (Jacobian matrices) <math>J</math> အဖြစ် ဖော်ပြသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">J_{f \circ g}(\mathbf{a}) = J_{f}(g(\mathbf{a})) J_{g}(\mathbf{a})</math> <math>\mathbf{y} = f(\mathbf{u})</math> နှင့် <math>\mathbf{u} = g(\mathbf{x})</math> တို့အတွက် အစိတ်အပိုင်း ပုံစံ (component form) ဖြင့် ဖော်ပြရာတွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{\partial y_j}{\partial x_i} = \sum_{\ell = 1}^m \frac{\partial y_j}{\partial u_\ell} \frac{\partial u_\ell}{\partial x_i}</math> == သရုပ်မဲ့ ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Abstract Generalizations) == * '''ဘာနက် ရပ်ဝန်းများရှိ ဖရေးရှေး ဆင်းသက်ချက်များ (Fréchet Derivatives in Banach Spaces):''' ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများအတွက် ထပ်တူညီသော ဖန်တာဆိုင်ရာ ပုံသေနည်း (functorial formula) <math>D(f \circ g) = Df \circ Dg</math> သည် မှန်ကန်ပြီး ဤနေရာတွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဖရေးရှေး ဆင်းသက်ချက်များ]]သည် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|အကန့်အသတ်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ]] (bounded linear operators) ဖြစ်ကြသည်။<ref>Cheney (2001), pp. 121-125.</ref> * '''ဒစ်ဖရန်ရှယ် မန်နီဖိုးများ (Differential Manifolds):''' [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကြားရှိ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ (smooth maps) <math>g: M \to N</math> နှင့် <math>f: N \to P</math> တို့အတွက် ဒစ်ဖရန်ရှယ်သည် [[မန်နီဖိုး#ထိမျဉ်းအစည်း_(Tangent_Bundle)|ထိမျဉ်းအစည်းများ]] (tangent bundles) ကို <math>d(f \circ g)_p = df_{g(p)} \circ dg_p</math> ဖြစ်စေရန် ပုံဖော်ပေးသည်။ * '''ခဲလာ ဒစ်ဖရန်ရှယ်များ (Kähler Differentials):''' [[ဖလှယ်ရ ကွင်း|ဖလှယ်ရ ကွင်းများ]] (commutative rings) ၏ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (ring homomorphism) <math>g \colon R \to S</math> နောက်တွင် <math>f \colon S \to T</math> ဖြင့် ဆက်လက်တွက်ချက်ခြင်းသည် <math>D(f \circ g) = Df \circ Dg</math> ကို ပြည့်စုံစေသော ခဲလာ ဒစ်ဖရန်ရှယ်များ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) ကို လှုံ့ဆော်ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Apostol |first=Tom M. |title=Mathematical Analysis |edition=2nd |publisher=Addison Wesley |year=1974 |isbn=978-0201002881}} * {{Citation |last=Cheney |first=Ward |title=Analysis for Applied Mathematics |publication-place=New York |publisher=Springer |year=2001 |isbn=978-0-387-95279-6 |at=pp. 121-125}} * {{Citation |last=Kuhn |first=Stephen |title=The Derivative á la Carathéodory |journal=The American Mathematical Monthly |volume=98 |issue=1 |year=1991 |doi=10.2307/2324035 |at=pp. 40-44}} * {{Citation |last=Spivak |first=Michael |title=Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus |publication-place=Boston |publisher=Addison-Wesley |year=1965 |isbn=978-0805390216 |at=pp. 19-20}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] 3trsexbvfpn2jcrv5asyg7t789b4irl 1054236 1054235 2026-09-20T10:40:07Z Mkant00 135890 1054236 wikitext text/x-wiki <math>g</math> သည် <math>x</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင်]]ဖြစ်ပြီး <math>f</math> သည် <math>g(x)</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) အရ [[ပေါင်းစပ်ခြင်း အော်ပရေတာ|ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်]] (composite function) <math>f \circ g</math> သည် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်။ လာဂေါင့် (Lagrange) ၏ [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (notation) အရ ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)</math> <math>y = f(u)</math> နှင့် <math>u = g(x)</math> ဖြစ်ပါစေ။ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Leibniz) ၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် ဆင်းသက်ချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}</math> တိကျသော အမှတ်များတွင် တန်ဖိုးရှာဖွေသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=c} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u = g(c)} \cdot \left.\frac{du}{dx}\right|_{x=c}</math> ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင် <math>n</math> ခုဖြစ်သော <math>f_1, \ldots, f_n</math> အတွက် ထပ်ခါတလဲလဲ အသုံးချခြင်းသည် အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။<ref>Apostol (1974).</ref> <math display="block">\frac{df_1}{dx} = \frac{df_1}{df_2}\frac{df_2}{df_3}\cdots\frac{df_n}{dx}</math> == သက်သေပြချက်များ (Proofs) == === ခြားနားခြင်းဆိုင်ရာ စားလဒ် စုဆုံမှတ် (Difference Quotient Limit) === <math>a</math> ရှိ <math>f \circ g</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(f \circ g)'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a}</math> <math>g(x) = g(a)</math> ဖြစ်သောအခါ [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|သုညဖြင့် စားခြင်း]] (division by zero) ကို ရှောင်ရှားရန် [[ဖန်ရှင်|အပိုင်းလိုက် ဖန်ရှင်]] (piecewise function) <math>Q</math> တစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math display="block">Q(y) = \begin{cases} \frac{f(y) - f(g(a))}{y - g(a)}, & y \neq g(a) \\ f'(g(a)), & y = g(a) \end{cases}</math> <math>f</math> သည် <math>g(a)</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသောကြောင့် <math>Q</math> သည် <math>g(a)</math> တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်]] (continuous)။ ခြားနားခြင်းဆိုင်ရာ စားလဒ်သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြန့်ထွက်သွားသည်။ <math display="block">\frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a} = Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a}</math> <math>x \to a</math> သို့ ချဉ်းကပ်သည့် [[စုဆုံမှတ်]]ကို ယူသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\lim_{x \to a} \left[ Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a} \right] = Q(g(a)) \cdot g'(a) = f'(g(a)) \cdot g'(a)</math> === မျဉ်းဖြောင့်ပုံစံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှု (Linear Approximation) === <math>a</math> ၌ <math>g</math> ၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု]] (differentiability) သည် <math>\lim_{h \to 0} \varepsilon(h) = 0</math> နှင့် အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေသည့် <math>\varepsilon(h)</math> တစ်ခု တည်ရှိမှုကို ရည်ညွှန်းသည်။ <math display="block">g(a + h) - g(a) = g'(a)h + \varepsilon(h)h</math> <math>g(a)</math> ရှိ <math>f</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုသည် <math>\lim_{k \to 0} \eta(k) = 0</math> နှင့် အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေသည့် <math>\eta(k)</math> တစ်ခု တည်ရှိမှုကို ရည်ညွှန်းသည်။ <math display="block">f(g(a) + k) - f(g(a)) = f'(g(a))k + \eta(k)k</math> <math>k_h = g(a + h) - g(a) = g'(a)h + \varepsilon(h)h</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>k_h</math> ကို အစားထိုးသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">f(g(a + h)) - f(g(a)) = f'(g(a))[g'(a)h + \varepsilon(h)h] + \eta(k_h)[g'(a)h + \varepsilon(h)h]</math> <math>h</math> ဖြင့် [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]]နှင့် <math>h \to 0</math> သို့ ချဉ်းကပ်သည့် [[စုဆုံမှတ်]]ကို တန်ဖိုးရှာဖွေသောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ <math display="block">\lim_{h \to 0} \frac{f(g(a + h)) - f(g(a))}{h} = f'(g(a))g'(a)</math> === ကာရာသီယိုဒိုရီ၏ ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (Carathéodory's Formulation) === ကာရာသီယိုဒိုရီ (Carathéodory) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition) အရ <math>f</math> သည် <math>a</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်စွမ်းရှိရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>f(x) - f(a) = q(x)(x - a)</math> နှင့် <math>f'(a) = q(a)</math> တို့ကို ပြည့်စုံစေသည့် <math>a</math> ၌ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်]]တစ်ခုဖြစ်သော <math>q</math> တည်ရှိခြင်းပင်ဖြစ်သည်။<ref>Kuhn (1991), pp. 40-44.</ref> ၎င်းကို <math>g(a)</math> ၌ရှိသော <math>f</math> နှင့် <math>a</math> ၌ရှိသော <math>g</math> တို့တွင် အသုံးချသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ <math display="block">f(g(x)) - f(g(a)) = q(g(x))(g(x) - g(a))</math> <math display="block">g(x) - g(a) = r(x)(x - a)</math> အစားထိုးခြင်းက အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ <math display="block">f(g(x)) - f(g(a)) = q(g(x))r(x)(x - a)</math> <math>q \circ g</math> နှင့် <math>r</math> တို့သည် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(f \circ g)'(a) = q(g(a))r(a) = f'(g(a))g'(a)</math> == ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ (Higher Derivatives) == ဖာဒီဘရူနို (Faà di Bruno) ၏ ပုံသေနည်းသည် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းကို [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ]]အထိ ယေဘုယျပြုထားသည် (generalizes)။ <math>y = f(u)</math> နှင့် <math>u = g(x)</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \begin{align} \frac{dy}{dx} & = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \\ \frac{d^2 y }{d x^2} & = \frac{d^2 y}{d u^2} \left(\frac{du}{dx}\right)^2 + \frac{dy}{du} \frac{d^2 u}{dx^2} \\ \frac{d^3 y }{d x^3} & = \frac{d^3 y}{d u^3} \left(\frac{du}{dx}\right)^3 + 3 \frac{d^2 y}{d u^2} \frac{du}{dx} \frac{d^2 u}{d x^2} + \frac{dy}{du} \frac{d^3 u}{d x^3} \\ \frac{d^4 y}{d x^4} & = \frac{d^4 y}{du^4} \left(\frac{du}{dx}\right)^4 + 6 \frac{d^3 y}{d u^3} \left(\frac{du}{dx}\right)^2 \frac{d^2 u}{d x^2} + \frac{d^2 y}{d u^2} \left( 4 \frac{du}{dx} \frac{d^3 u}{dx^3} + 3 \left(\frac{d^2 u}{dx^2}\right)^2\right) + \frac{dy}{du} \frac{d^4 u}{dx^4} \end{align} </math> == ကိန်းရှင်များစွာပါ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (Multivariable Chain Rule) == === စကေလာတန်ဖိုးရှိ မသိကိန်းများစွာပါ ဖန်ရှင်များ (Scalar-Valued Multivariate Functions) === <math>f\colon\mathbb{R}^k \to \mathbb{R}</math> နှင့် <math>i = 1, \dots, k</math> အတွက် <math>g_i\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> တို့ ဖြစ်ပါစေ။ <math>D_i f</math> သည် <math>f</math> ၏ ၎င်းနှင့်သက်ဆိုင်သည့် အကြိမ် <math>i</math> မြောက် အဝင်ကိန်း (argument) အပေါ် အခြေခံသော [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်]] (partial derivative) ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math display="block">\frac{d}{dx}f(g_1(x), \dots, g_k (x)) = \sum_{i=1}^k \left(\frac{d}{dx}{g_i}(x)\right) D_i f(g_1(x), \dots, g_k (x))</math> === ဗက်တာတန်ဖိုးရှိ မသိကိန်းများစွာပါ ဖန်ရှင်များ (Vector-Valued Multivariate Functions) === [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်သည့် <math>f \colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k</math> နှင့် <math>g \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> တို့အတွက် <math>D_{\mathbf{a}} g</math> သည် <math>\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n</math> ၌ <math>g</math> ၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|စုစုပေါင်း ဆင်းသက်ချက်]] (total derivative) ကို ရည်ညွှန်းသည်ဟု ဆိုပါစို့။ စုစုပေါင်း ဆင်းသက်ချက်များအတွက် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Spivak (1965), pp. 19-20.</ref> <math display="block">D_{\mathbf{a}}(f \circ g) = D_{g(\mathbf{a})}f \circ D_{\mathbf{a}}g</math> [[ကိန်းအုံ|ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံများ]] (Jacobian matrices) <math>J</math> အဖြစ် ဖော်ပြသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">J_{f \circ g}(\mathbf{a}) = J_{f}(g(\mathbf{a})) J_{g}(\mathbf{a})</math> <math>\mathbf{y} = f(\mathbf{u})</math> နှင့် <math>\mathbf{u} = g(\mathbf{x})</math> တို့အတွက် အစိတ်အပိုင်း ပုံစံ (component form) ဖြင့် ဖော်ပြရာတွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{\partial y_j}{\partial x_i} = \sum_{\ell = 1}^m \frac{\partial y_j}{\partial u_\ell} \frac{\partial u_\ell}{\partial x_i}</math> == သရုပ်မဲ့ ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Abstract Generalizations) == * '''ဘာနက် ရပ်ဝန်းများရှိ ဖရေးရှေး ဆင်းသက်ချက်များ (Fréchet Derivatives in Banach Spaces):''' ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများအတွက် ထပ်တူညီသော ဖန်တာဆိုင်ရာ ပုံသေနည်း (functorial formula) <math>D(f \circ g) = Df \circ Dg</math> သည် မှန်ကန်ပြီး ဤနေရာတွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဖရေးရှေး ဆင်းသက်ချက်များ]]သည် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|အကန့်အသတ်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ]] (bounded linear operators) ဖြစ်ကြသည်။<ref>Cheney (2001), pp. 121-125.</ref> * '''ဒစ်ဖရန်ရှယ် မန်နီဖိုးများ (Differential Manifolds):''' [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကြားရှိ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ (smooth maps) <math>g: M \to N</math> နှင့် <math>f: N \to P</math> တို့အတွက် ဒစ်ဖရန်ရှယ်သည် [[မန်နီဖိုး#ထိမျဉ်းအစည်း_(Tangent_Bundle)|ထိမျဉ်းအစည်းများ]] (tangent bundles) ကို <math>d(f \circ g)_p = df_{g(p)} \circ dg_p</math> ဖြစ်စေရန် ပုံဖော်ပေးသည်။ * '''ခဲလာ ဒစ်ဖရန်ရှယ်များ (Kähler Differentials):''' [[ဖလှယ်ရ ကွင်း|ဖလှယ်ရ ကွင်းများ]] (commutative rings) ၏ [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (ring homomorphism) <math>g \colon R \to S</math> နောက်တွင် <math>f \colon S \to T</math> ဖြင့် ဆက်လက်တွက်ချက်ခြင်းသည် <math>D(f \circ g) = Df \circ Dg</math> ကို ပြည့်စုံစေသော ခဲလာ ဒစ်ဖရန်ရှယ်များ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) ကို လှုံ့ဆော်ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Apostol |first=Tom M. |title=Mathematical Analysis |edition=2nd |publisher=Addison Wesley |year=1974 |isbn=978-0201002881}} * {{Citation |last=Cheney |first=Ward |title=Analysis for Applied Mathematics |publication-place=New York |publisher=Springer |year=2001 |isbn=978-0-387-95279-6 |at=pp. 121-125}} * {{Citation |last=Kuhn |first=Stephen |title=The Derivative á la Carathéodory |journal=The American Mathematical Monthly |volume=98 |issue=1 |year=1991 |doi=10.2307/2324035 |at=pp. 40-44}} * {{Citation |last=Spivak |first=Michael |title=Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus |publication-place=Boston |publisher=Addison-Wesley |year=1965 |isbn=978-0805390216 |at=pp. 19-20}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] k4f82aulm8tx0en8yf2hj3wgsbriu9s 0 291880 1054185 2026-09-19T22:45:11Z Mkant00 135890 "<math>r \in \mathbb{R}</math> အတွက် <math>f(x)=x^r</math> ဖြစ်ပါစေ။ စံ [[ကိန်းစစ်]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (standard real definition) ဖြစ်သော <math>x^r = e^{r\ln x}</math> သည် <math>x>0</math> အတွက် သတ်မှတ်ထာ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054185 wikitext text/x-wiki <math>r \in \mathbb{R}</math> အတွက် <math>f(x)=x^r</math> ဖြစ်ပါစေ။ စံ [[ကိန်းစစ်]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (standard real definition) ဖြစ်သော <math>x^r = e^{r\ln x}</math> သည် <math>x>0</math> အတွက် သတ်မှတ်ထားသည်။ <math>q>0</math> ပါဝင်သော အရှင်းဆုံးပုံစံ (lowest terms) ရှိ [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (rational number) <math>r = p/q</math> အတွက် <math>q</math> သည် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]] (odd) ဖြစ်သောအခါ အနုတ်ကိန်း <math>x</math> တိုးချဲ့ချက် တည်ရှိပြီး <math>p>0</math> ဖြစ်သောအခါမှသာလျှင် <math>0</math> ပါဝင်သည်။ ဖန်ရှင်ကို သတ်မှတ်ထားသော အပိုင်းအခြားများ (intervals) ပေါ်တွင် ၎င်းသည် <math>r \geq 1</math> ဖြစ်မှသာလျှင် <math>x=0</math> ၌ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်]] ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းအတွက် ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်း (power rule) က အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display="block">f'(x) = rx^{r-1}</math> သက်ဆိုင်ရာ [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း]] (integration) အတွက် ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်းက မည်သည့် [[ကိန်းစစ်]] <math>r \neq -1</math> မဆိုအတွက် အကျုံးဝင်သော [[အရင်းအမြစ်စု]] အပိုင်းအခြား (domain interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်ကြောင်း ဖော်ပြသည်။ <math display="block">\int x^r \, dx = \frac{x^{r+1}}{r+1} + C</math> ဤနေရာတွင် <math>C</math> သည် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း ကိန်းသေ (constant of integration) ဖြစ်သည်။ == ကိန်းစစ် ထပ်ကိန်းများအတွက် ယေဘုယျ သက်သေပြချက် (General Proof for Real Exponents) == <math>x > 0</math> နှင့် <math>r \in \mathbb{R}</math> အတွက် <math>f(x) = x^r</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>f(x)</math> ကို [[ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်|သဘာဝ ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်]] (natural exponential function) နှင့် [[လော့ဂရစ်သမ်]] (logarithm) တို့ကို အသုံးပြု၍ ဖော်ပြခြင်းသည် <math>f(x) = e^{r\ln x}</math> ကို ပေးသည်။ [[ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း]] (chain rule) မှတစ်ဆင့် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှာခြင်းသည် အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ <math display="block">f'(x) = \frac{d}{dx} e^{r\ln x} = e^{r\ln x} \cdot \frac{r}{x} = x^r \cdot \frac{r}{x} = rx^{r-1}</math> <math>x < 0</math> နှင့် မကိန်း ပိုင်းခြေ (denominator) <math>q</math> ပါဝင်သော အရှင်းဆုံးပုံစံရှိ [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]] <math>r = p/q</math> အတွက် စံ ကိန်းစစ် ကိန်းရင်း တိုးချဲ့ချက်မှာ <math>x^{p/q} = \operatorname{sgn}(x)^p |x|^{p/q}</math> ဖြစ်သည်။ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းကလည်း ထပ်တူညီသော ရလဒ်ကို ရရှိစေသည်။ ထိုဖော်ပြချက်ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်ရန် <math>r>0</math> ဟု ယူဆပါ။ <math>x = 0</math> ရှိ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု]] (differentiability) အတွက် [[စုဆုံမှတ်]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (limit definition) က အောက်ပါအတိုင်း ပေးသည်။ <math display="block">f'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{h^r - 0^r}{h} = \lim_{h\to 0} h^{r-1}</math> ဤစုဆုံမှတ်၏ တန်ဖိုးသည် <math>r > 1</math> ဖြစ်လျှင် <math>0</math> သို့ လည်းကောင်း၊ <math>r = 1</math> ဖြစ်လျှင် <math>1</math> သို့ လည်းကောင်း တွက်ချက်ရရှိသည်။ အကယ်၍ <math>h < 0</math> ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားပါက ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>r</math> အတွက် မကိန်း ပိုင်းခြေများ လိုအပ်သည်။ <math>0 < r < 1</math> အတွက်မူ စုဆုံမှတ်တန်ဖိုးသည် အနန္တ သို့ ရောက်ရှိသွားသည် သို့မဟုတ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်မထားကြောင်း (undefined) တွေ့ရပြီး ၎င်းမှာ ဖန်ရှင်သည် <math>0</math> ၌ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရကြောင်းကို ဆိုလိုသည်။ == ကိန်းပြည့်နှင့် ရာရှင်နယ် ထပ်ကိန်းများအတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်များ (Algebraic Proofs for Integer and Rational Exponents) == === အပေါင်းကိန်းပြည့်များ (Positive Integers) === သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း (mathematical induction) အားဖြင့် <math>n \in \mathbb{N}^+</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>n=1</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d}{dx}x^1 = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)-x}{h} = 1 = 1x^0</math> တစ်ခုခုသော <math>k \in \mathbb{N}^+</math> အတွက် <math>\frac{d}{dx}x^k = kx^{k-1}</math> ဖြစ်သည်ဟု မှတ်ယူပါ။ <math>n = k+1</math> အတွက် မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းကို အသုံးချသောအခါ၊ <math display="block">\frac{d}{dx}x^{k+1} = \frac{d}{dx}(x^k \cdot x) = x^k \cdot (1) + x \cdot (kx^{k-1}) = x^k + kx^k = (k+1)x^k</math> ဘိုင်နိုမီရယ် သီအိုရမ် (binomial theorem) အားဖြင့် <math display="block">\begin{align} \frac{d}{dx}x^n &= \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \\[4pt] &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h} \left[ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k}h^k - x^n \right] \\[4pt] &= \lim_{h\to 0} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} x^{n-k}h^{k-1} \\[4pt] &= \binom{n}{1}x^{n-1} = nx^{n-1} \end{align}</math> === အနုတ်ကိန်းပြည့်များ (Negative Integers) === <math>m \in \mathbb{N}^+</math> ဖြစ်သည့် <math>n = -m</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>x \neq 0</math> အတွက် အချိုးပြောင်းပြန် စည်းမျဉ်း (reciprocal rule) အရ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\frac{d}{dx}x^n = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^m}\right) = -\frac{\frac{d}{dx}x^m}{(x^m)^2} = -\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}} = -mx^{-m-1} = nx^{n-1}</math> === ရာရှင်နယ် ထပ်ကိန်းများ (Rational Exponents) === <math>q \neq 0</math> ပါဝင်သော <math>p, q \in \mathbb{Z}</math> အတွက် <math>y = x^{p/q}</math> ဖြစ်ပါစေ။ နှစ်ဖက်စလုံးကို အကြိမ် <math>q</math> မြောက် ထပ်ကိန်း (power) တင်လိုက်သောအခါ <math>y^q = x^p</math> ကို ရရှိသည်။ <math>x</math> အပေါ် အခြေခံ၍ သွယ်ဝိုက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှာခြင်း (implicit differentiation) က အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ <math display="block">qy^{q-1} \frac{dy}{dx} = px^{p-1}</math> <math>x \neq 0</math> အတွက် ဆင်းသက်ချက်အတွက် ဖြေရှင်းရာတွင် <math>qy^{q-1}</math> ဖြင့် စားသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{dy}{dx} = \frac{px^{p-1}}{qy^{q-1}} = \frac{p}{q} \frac{x^{p-1}}{(x^{p/q})^{q-1}} = \frac{p}{q} \frac{x^{p-1}}{x^{p - p/q}} = \frac{p}{q}x^{p/q - 1}</math> == ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Complex Analysis) == [[ကိန်းထွေး]] ကိန်းရှင် (complex variable) <math>z</math> နှင့် <math>c \in \mathbb{C}</math> တို့အတွက် ဖန်ရှင် <math>f(z) = z^c</math> ကို <math>0</math> ရှိ ဖြာထွက်အမှတ် (branch point) ကို ချန်လှပ်ထားပြီး [[ကိန်းထွေးပြင်ညီ|ခွဲကြောင်းပေးထားသည့် ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (slit complex plane) တစ်ခုပေါ်တွင် [[လော့ဂရစ်သမ်|ကိန်းထွေး လော့ဂရစ်သမ်]] (complex logarithm) ၏ ဖြာထွက်ဖန်ရှင် (branch) တစ်ခုဖြစ်သော <math>z^c := \exp(c\ln z)</math> ကို အသုံးပြု၍ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ဆင်းသက်ချက် တန်ဖိုးမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Freitag & Busam (2009), p. 46.</ref> <math display="block">f'(z) = \frac{d}{dz} \exp(c\ln z) = \exp(c\ln z) \cdot \frac{c}{z} = z^c \cdot \frac{c}{z} = c z^{c-1}</math> အကယ်၍ <math>c \in \mathbb{N}^+</math> ဖြစ်ပါက မည်သည့် ဖြာထွက်ပိုင်းဖြတ်မှု (branch cut) မျှ မလိုအပ်ပေ။ ဖန်ရှင်သည် [[မြှောက်ခြင်း|ကိန်းထွေး မြှောက်ခြင်း]] (complex multiplication) မှတစ်ဆင့် အလုံးစုံ ကျယ်ပြန့်သွားပြီး <math>z \in \mathbb{C}</math> အားလုံးအတွက် <math>f'(z) = cz^{c-1}</math> ရလဒ်ကို ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>c \notin \mathbb{N}^+</math> ဖြစ်ပါက <math>z=0</math> သည် ဖြာထွက် အရင်းအမြစ်စု (branch domain) ၏ အပြင်ဘက်သို့ လုံးဝရောက်ရှိသွားပြီး ၎င်းမှာ မူလနေရာ (origin) ၌ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု (differentiability) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်မထားကြောင်း ဆိုလိုသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Freitag |first1=Eberhard |last2=Busam |first2=Rolf |title=Complex Analysis |edition=2nd |publication-place=Heidelberg |publisher=Springer-Verlag |date=2009 |isbn=978-3-540-93982-5 |at=p. 46}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] ev52yg40df3feuglpmbheo8vu05ouan 1054244 1054185 2026-09-20T10:43:50Z Mkant00 135890 1054244 wikitext text/x-wiki <math>r \in \mathbb{R}</math> အတွက် <math>f(x)=x^r</math> ဖြစ်ပါစေ။ စံ [[ကိန်းစစ်]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (standard real definition) ဖြစ်သော <math>x^r = e^{r\ln x}</math> သည် <math>x>0</math> အတွက် သတ်မှတ်ထားသည်။ <math>q>0</math> ပါဝင်သော အရှင်းဆုံးပုံစံ (lowest terms) ရှိ [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (rational number) <math>r = p/q</math> အတွက် <math>q</math> သည် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]] (odd) ဖြစ်သောအခါ အနုတ်ကိန်း <math>x</math> တိုးချဲ့ချက် တည်ရှိပြီး <math>p>0</math> ဖြစ်သောအခါမှသာလျှင် <math>0</math> ပါဝင်သည်။ ဖန်ရှင်ကို သတ်မှတ်ထားသော အပိုင်းအခြားများ (intervals) ပေါ်တွင် ၎င်းသည် <math>r \geq 1</math> ဖြစ်မှသာလျှင် <math>x=0</math> ၌ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်]] ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းအတွက် ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်း (power rule) က အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display="block">f'(x) = rx^{r-1}</math> သက်ဆိုင်ရာ [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း]] (integration) အတွက် ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်းက မည်သည့် [[ကိန်းစစ်]] <math>r \neq -1</math> မဆိုအတွက် အကျုံးဝင်သော [[အရင်းအမြစ်စု]] အပိုင်းအခြား (domain interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်ကြောင်း ဖော်ပြသည်။ <math display="block">\int x^r \, dx = \frac{x^{r+1}}{r+1} + C</math> ဤနေရာတွင် <math>C</math> သည် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း ကိန်းသေ (constant of integration) ဖြစ်သည်။ == ကိန်းစစ် ထပ်ကိန်းများအတွက် ယေဘုယျ သက်သေပြချက် (General Proof for Real Exponents) == <math>x > 0</math> နှင့် <math>r \in \mathbb{R}</math> အတွက် <math>f(x) = x^r</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>f(x)</math> ကို [[ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်|သဘာဝ ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်]] (natural exponential function) နှင့် [[လော့ဂရစ်သမ်]] (logarithm) တို့ကို အသုံးပြု၍ ဖော်ပြခြင်းသည် <math>f(x) = e^{r\ln x}</math> ကို ပေးသည်။ [[ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း]] (chain rule) မှတစ်ဆင့် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှာခြင်းသည် အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ <math display="block">f'(x) = \frac{d}{dx} e^{r\ln x} = e^{r\ln x} \cdot \frac{r}{x} = x^r \cdot \frac{r}{x} = rx^{r-1}</math> <math>x < 0</math> နှင့် မကိန်း ပိုင်းခြေ (denominator) <math>q</math> ပါဝင်သော အရှင်းဆုံးပုံစံရှိ [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]] <math>r = p/q</math> အတွက် စံ ကိန်းစစ် ကိန်းရင်း တိုးချဲ့ချက်မှာ <math>x^{p/q} = \operatorname{sgn}(x)^p |x|^{p/q}</math> ဖြစ်သည်။ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းကလည်း ထပ်တူညီသော ရလဒ်ကို ရရှိစေသည်။ ထိုဖော်ပြချက်ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်ရန် <math>r>0</math> ဟု ယူဆပါ။ <math>x = 0</math> ရှိ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု]] (differentiability) အတွက် [[စုဆုံမှတ်]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (limit definition) က အောက်ပါအတိုင်း ပေးသည်။ <math display="block">f'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{h^r - 0^r}{h} = \lim_{h\to 0} h^{r-1}</math> ဤစုဆုံမှတ်၏ တန်ဖိုးသည် <math>r > 1</math> ဖြစ်လျှင် <math>0</math> သို့ လည်းကောင်း၊ <math>r = 1</math> ဖြစ်လျှင် <math>1</math> သို့ လည်းကောင်း တွက်ချက်ရရှိသည်။ အကယ်၍ <math>h < 0</math> ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားပါက ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>r</math> အတွက် မကိန်း ပိုင်းခြေများ လိုအပ်သည်။ <math>0 < r < 1</math> အတွက်မူ စုဆုံမှတ်တန်ဖိုးသည် အနန္တ သို့ ရောက်ရှိသွားသည် သို့မဟုတ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်မထားကြောင်း (undefined) တွေ့ရပြီး ၎င်းမှာ ဖန်ရှင်သည် <math>0</math> ၌ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရကြောင်းကို ဆိုလိုသည်။ == ကိန်းပြည့်နှင့် ရာရှင်နယ် ထပ်ကိန်းများအတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်များ (Algebraic Proofs for Integer and Rational Exponents) == === အပေါင်းကိန်းပြည့်များ (Positive Integers) === သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း (mathematical induction) အားဖြင့် <math>n \in \mathbb{N}^+</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>n=1</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d}{dx}x^1 = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)-x}{h} = 1 = 1x^0</math> တစ်ခုခုသော <math>k \in \mathbb{N}^+</math> အတွက် <math>\frac{d}{dx}x^k = kx^{k-1}</math> ဖြစ်သည်ဟု မှတ်ယူပါ။ <math>n = k+1</math> အတွက် မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းကို အသုံးချသောအခါ၊ <math display="block">\frac{d}{dx}x^{k+1} = \frac{d}{dx}(x^k \cdot x) = x^k \cdot (1) + x \cdot (kx^{k-1}) = x^k + kx^k = (k+1)x^k</math> ဘိုင်နိုမီရယ် သီအိုရမ် (binomial theorem) အားဖြင့် <math display="block">\begin{align} \frac{d}{dx}x^n &= \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \\[4pt] &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h} \left[ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k}h^k - x^n \right] \\[4pt] &= \lim_{h\to 0} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} x^{n-k}h^{k-1} \\[4pt] &= \binom{n}{1}x^{n-1} = nx^{n-1} \end{align}</math> === အနုတ်ကိန်းပြည့်များ (Negative Integers) === <math>m \in \mathbb{N}^+</math> ဖြစ်သည့် <math>n = -m</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>x \neq 0</math> အတွက် အချိုးပြောင်းပြန် စည်းမျဉ်း (reciprocal rule) အရ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\frac{d}{dx}x^n = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^m}\right) = -\frac{\frac{d}{dx}x^m}{(x^m)^2} = -\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}} = -mx^{-m-1} = nx^{n-1}</math> === ရာရှင်နယ် ထပ်ကိန်းများ (Rational Exponents) === <math>q \neq 0</math> ပါဝင်သော <math>p, q \in \mathbb{Z}</math> အတွက် <math>y = x^{p/q}</math> ဖြစ်ပါစေ။ နှစ်ဖက်စလုံးကို အကြိမ် <math>q</math> မြောက် ထပ်ကိန်း (power) တင်လိုက်သောအခါ <math>y^q = x^p</math> ကို ရရှိသည်။ <math>x</math> အပေါ် အခြေခံ၍ သွယ်ဝိုက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]ရှာခြင်း (implicit differentiation) က အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ <math display="block">qy^{q-1} \frac{dy}{dx} = px^{p-1}</math> <math>x \neq 0</math> အတွက် ဆင်းသက်ချက်အတွက် ဖြေရှင်းရာတွင် <math>qy^{q-1}</math> ဖြင့် စားသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{dy}{dx} = \frac{px^{p-1}}{qy^{q-1}} = \frac{p}{q} \frac{x^{p-1}}{(x^{p/q})^{q-1}} = \frac{p}{q} \frac{x^{p-1}}{x^{p - p/q}} = \frac{p}{q}x^{p/q - 1}</math> == ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Complex Analysis) == [[ကိန်းထွေး]] ကိန်းရှင် (complex variable) <math>z</math> နှင့် <math>c \in \mathbb{C}</math> တို့အတွက် ဖန်ရှင် <math>f(z) = z^c</math> ကို <math>0</math> ရှိ ဖြာထွက်အမှတ် (branch point) ကို ချန်လှပ်ထားပြီး [[ကိန်းထွေးပြင်ညီ|ခွဲကြောင်းပေးထားသည့် ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (slit complex plane) တစ်ခုပေါ်တွင် [[လော့ဂရစ်သမ်|ကိန်းထွေး လော့ဂရစ်သမ်]] (complex logarithm) ၏ ဖြာထွက်ဖန်ရှင် (branch) တစ်ခုဖြစ်သော <math>z^c := \exp(c\ln z)</math> ကို အသုံးပြု၍ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ဆင်းသက်ချက် တန်ဖိုးမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Freitag & Busam (2009), p. 46.</ref> <math display="block">f'(z) = \frac{d}{dz} \exp(c\ln z) = \exp(c\ln z) \cdot \frac{c}{z} = z^c \cdot \frac{c}{z} = c z^{c-1}</math> အကယ်၍ <math>c \in \mathbb{N}^+</math> ဖြစ်ပါက မည်သည့် ဖြာထွက်ပိုင်းဖြတ်မှု (branch cut) မျှ မလိုအပ်ပေ။ ဖန်ရှင်သည် [[မြှောက်ခြင်း|ကိန်းထွေး မြှောက်ခြင်း]] (complex multiplication) မှတစ်ဆင့် အလုံးစုံ ကျယ်ပြန့်သွားပြီး <math>z \in \mathbb{C}</math> အားလုံးအတွက် <math>f'(z) = cz^{c-1}</math> ရလဒ်ကို ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>c \notin \mathbb{N}^+</math> ဖြစ်ပါက <math>z=0</math> သည် ဖြာထွက် အရင်းအမြစ်စု (branch domain) ၏ အပြင်ဘက်သို့ လုံးဝရောက်ရှိသွားပြီး ၎င်းမှာ မူလနေရာ (origin) ၌ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု (differentiability) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်မထားကြောင်း ဆိုလိုသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Freitag |first1=Eberhard |last2=Busam |first2=Rolf |title=Complex Analysis |edition=2nd |publication-place=Heidelberg |publisher=Springer-Verlag |date=2009 |isbn=978-3-540-93982-5 |at=p. 46}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] 08wqkpw9n51uuwiy8w93fxf7vzjyxik 0 291881 1054186 2026-09-19T22:49:55Z Mkant00 135890 "<math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]] (differentiable functions) ဖြစ်ပြီး <math>g(x) \neq 0</math> အခြ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054186 wikitext text/x-wiki <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]] (differentiable functions) ဖြစ်ပြီး <math>g(x) \neq 0</math> အခြေအနေတွင် <math>q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ စားလဒ်စည်းမျဉ်း (quotient rule) အရ <math>q(x)</math> ၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Stewart (2008).</ref><ref>Larson & Edwards (2009).</ref><ref>Thomas, Weir & Hass (2010).</ref> <math display="block">q'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}</math> အထူးကိစ္စတစ်ခုအနေဖြင့် အကယ်၍ <math>f(x) = 1</math> ဖြစ်ပါက စားလဒ်စည်းမျဉ်းသည် [[အချိုးပြောင်းပြန်စည်းမျဉ်း]] (reciprocal rule) သို့ ရိုးရှင်းသွားသည်။ <math display="block">q'(x) = \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right] = \frac{0 \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{(g(x))^2} = \frac{-g'(x)}{(g(x))^2}</math> == သက်သေပြချက်များ (Proofs) == === စုဆုံမှတ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Limit Definition) === <math>q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> ဖြစ်ပါစေ။ ဆင်းသက်ချက်၏ [[စုဆုံမှတ်]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (limit definition) ကို အသုံးချပြီး သုညကိန်းပိုင်း (zero term) <math>-f(x)g(x) + f(x)g(x)</math> ကို ပေါင်းထည့်သောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ <math display="block">\begin{align} q'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{q(x+h) - q(x)}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)}{h \cdot g(x)g(x+h)} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \left[\frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x) + f(x)g(x) - f(x)g(x+h)}{h} \right] \cdot \frac{1}{g(x)g(x+h)} \\[6pt] &= \left[\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \cdot g(x) - f(x) \cdot \lim_{h\to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} \right] \cdot \lim_{h\to 0}\frac{1}{g(x)g(x+h)} \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{align}</math> <math>g(x)</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု (differentiability) သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း]] (continuity) ကို ရည်ညွှန်းပြီး <math>\lim_{h \to 0}g(x+h) = g(x)</math> ဖြစ်စေသည်။ === သွယ်ဝိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (Implicit Differentiation) === <math>q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုမှတစ်ဆင့် <math>f(x) = g(x)q(x)</math> ဟု ရည်ညွှန်းသည်။ [[မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း]] (product rule) ကို အသုံးချသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ပေးသည်။ <math display="block">f'(x) = g'(x)q(x) + g(x)q'(x)</math> <math>q'(x)</math> အတွက် ဖြေရှင်းပြီး <math>q(x)</math> ကို ဖော်ပြချက်ထဲသို့ ပြန်လည်အစားထိုးသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\begin{align} q'(x) &= \frac{f'(x) - g'(x)q(x)}{g(x)} \\[6pt] &= \frac{f'(x) - g'(x)\frac{f(x)}{g(x)}}{g(x)} \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{align}</math> === ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (Chain Rule) === <math>q(x) = f(x)(g(x))^{-1}</math> ဖြစ်ပါစေ။ မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းနှင့် [[ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း]] (chain rule) တို့ကို အသုံးချသောအခါ အောက်ပါရလဒ် ထွက်ပေါ်လာသည်။ <math display="block">\begin{align} q'(x) &= f'(x)(g(x))^{-1} + f(x) \cdot \frac{d}{dx}\left[(g(x))^{-1}\right] \\[6pt] &= \frac{f'(x)}{g(x)} + f(x)\left[-(g(x))^{-2}g'(x)\right] \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x)}{(g(x))^2} - \frac{f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{align}</math> === လော့ဂရစ်သမ်နည်းကျ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (Logarithmic Differentiation) === <math>q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>f(x) \neq 0</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆ၍ [[ပကတိတန်ဖိုး]] (absolute value) ၏ [[လော့ဂရစ်သမ်|သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ်]] (natural logarithm) ကို ယူသောအခါ အောက်ပါရလဒ် ရရှိသည်။ <math display="block">\ln|q(x)| = \ln|f(x)| - \ln|g(x)|</math> နှစ်ဖက်စလုံး၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|လော့ဂရစ်သမ်ဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ချက်]] (logarithmic derivative) ကို ယူသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{q'(x)}{q(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{g'(x)}{g(x)}</math> <math>q'(x)</math> အတွက် ဖြေရှင်းပြီး <math>q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> ကို အစားထိုးသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\begin{align} q'(x) &= q(x)\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right] \\[6pt] &= \frac{f(x)}{g(x)}\left[\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{f(x)g(x)}\right] \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{align}</math> == ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ (Higher Order Derivatives) == သွယ်ဝိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် စားလဒ်တစ်ခု၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|အကြိမ် <math>n</math> မြောက် ဆင်းသက်ချက်]]ကို တွက်ချက်ရန် ထပ်ကျော့နည်းလမ်း (recursive method) တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ <math>f = gq</math> အတွက် ဆင်းသက်ချက် နှစ်ကြိမ်ရှာသောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ <math display="block">f'' = g''q + 2g'q' + gq''</math> <math>q''</math> အတွက် ဖြေရှင်းခြင်းက စားလဒ်၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဒုတိယ ဆင်းသက်ချက်]]ကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ <math display="block">q'' = \left(\frac{f}{g}\right)'' = \frac{f'' - g''q - 2g'q'}{g}</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Stewart |first=James |title=Calculus: Early Transcendentals |edition=6th |publisher=Brooks/Cole |date=2008 |isbn=978-0-495-01166-8}} * {{Citation |last1=Larson |first1=Ron |last2=Edwards |first2=Bruce H. |title=Calculus |edition=9th |publisher=Brooks/Cole |date=2009 |isbn=978-0-547-16702-2}} * {{Citation |last1=Thomas |first1=George B. |last2=Weir |first2=Maurice D. |last3=Hass |first3=Joel |title=Thomas' Calculus: Early Transcendentals |edition=12th |publisher=Addison-Wesley |date=2010 |isbn=978-0-321-58876-0}} 6ph726lam2e6mcffn0wan0khj8795ku 1054187 1054186 2026-09-19T22:50:11Z Mkant00 135890 1054187 wikitext text/x-wiki <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]] (differentiable functions) ဖြစ်ပြီး <math>g(x) \neq 0</math> အခြေအနေတွင် <math>q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ စားလဒ်စည်းမျဉ်း (quotient rule) အရ <math>q(x)</math> ၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Stewart (2008).</ref><ref>Larson & Edwards (2009).</ref><ref>Thomas, Weir & Hass (2010).</ref> <math display="block">q'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}</math> အထူးကိစ္စတစ်ခုအနေဖြင့် အကယ်၍ <math>f(x) = 1</math> ဖြစ်ပါက စားလဒ်စည်းမျဉ်းသည် [[အချိုးပြောင်းပြန်စည်းမျဉ်း]] (reciprocal rule) သို့ ရိုးရှင်းသွားသည်။ <math display="block">q'(x) = \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right] = \frac{0 \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{(g(x))^2} = \frac{-g'(x)}{(g(x))^2}</math> == သက်သေပြချက်များ (Proofs) == === စုဆုံမှတ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Limit Definition) === <math>q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> ဖြစ်ပါစေ။ ဆင်းသက်ချက်၏ [[စုဆုံမှတ်]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (limit definition) ကို အသုံးချပြီး သုညကိန်းပိုင်း (zero term) <math>-f(x)g(x) + f(x)g(x)</math> ကို ပေါင်းထည့်သောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ <math display="block">\begin{align} q'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{q(x+h) - q(x)}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)}{h \cdot g(x)g(x+h)} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \left[\frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x) + f(x)g(x) - f(x)g(x+h)}{h} \right] \cdot \frac{1}{g(x)g(x+h)} \\[6pt] &= \left[\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \cdot g(x) - f(x) \cdot \lim_{h\to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} \right] \cdot \lim_{h\to 0}\frac{1}{g(x)g(x+h)} \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{align}</math> <math>g(x)</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု (differentiability) သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း]] (continuity) ကို ရည်ညွှန်းပြီး <math>\lim_{h \to 0}g(x+h) = g(x)</math> ဖြစ်စေသည်။ === သွယ်ဝိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (Implicit Differentiation) === <math>q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုမှတစ်ဆင့် <math>f(x) = g(x)q(x)</math> ဟု ရည်ညွှန်းသည်။ [[မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း]] (product rule) ကို အသုံးချသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ပေးသည်။ <math display="block">f'(x) = g'(x)q(x) + g(x)q'(x)</math> <math>q'(x)</math> အတွက် ဖြေရှင်းပြီး <math>q(x)</math> ကို ဖော်ပြချက်ထဲသို့ ပြန်လည်အစားထိုးသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\begin{align} q'(x) &= \frac{f'(x) - g'(x)q(x)}{g(x)} \\[6pt] &= \frac{f'(x) - g'(x)\frac{f(x)}{g(x)}}{g(x)} \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{align}</math> === ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (Chain Rule) === <math>q(x) = f(x)(g(x))^{-1}</math> ဖြစ်ပါစေ။ မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းနှင့် [[ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း]] (chain rule) တို့ကို အသုံးချသောအခါ အောက်ပါရလဒ် ထွက်ပေါ်လာသည်။ <math display="block">\begin{align} q'(x) &= f'(x)(g(x))^{-1} + f(x) \cdot \frac{d}{dx}\left[(g(x))^{-1}\right] \\[6pt] &= \frac{f'(x)}{g(x)} + f(x)\left[-(g(x))^{-2}g'(x)\right] \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x)}{(g(x))^2} - \frac{f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{align}</math> === လော့ဂရစ်သမ်နည်းကျ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (Logarithmic Differentiation) === <math>q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>f(x) \neq 0</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆ၍ [[ပကတိတန်ဖိုး]] (absolute value) ၏ [[လော့ဂရစ်သမ်|သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ်]] (natural logarithm) ကို ယူသောအခါ အောက်ပါရလဒ် ရရှိသည်။ <math display="block">\ln|q(x)| = \ln|f(x)| - \ln|g(x)|</math> နှစ်ဖက်စလုံး၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|လော့ဂရစ်သမ်ဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ချက်]] (logarithmic derivative) ကို ယူသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{q'(x)}{q(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{g'(x)}{g(x)}</math> <math>q'(x)</math> အတွက် ဖြေရှင်းပြီး <math>q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> ကို အစားထိုးသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\begin{align} q'(x) &= q(x)\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right] \\[6pt] &= \frac{f(x)}{g(x)}\left[\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{f(x)g(x)}\right] \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{align}</math> == ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ (Higher Order Derivatives) == သွယ်ဝိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် စားလဒ်တစ်ခု၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|အကြိမ် <math>n</math> မြောက် ဆင်းသက်ချက်]]ကို တွက်ချက်ရန် ထပ်ကျော့နည်းလမ်း (recursive method) တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ <math>f = gq</math> အတွက် ဆင်းသက်ချက် နှစ်ကြိမ်ရှာသောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ <math display="block">f'' = g''q + 2g'q' + gq''</math> <math>q''</math> အတွက် ဖြေရှင်းခြင်းက စားလဒ်၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဒုတိယ ဆင်းသက်ချက်]]ကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ <math display="block">q'' = \left(\frac{f}{g}\right)'' = \frac{f'' - g''q - 2g'q'}{g}</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Stewart |first=James |title=Calculus: Early Transcendentals |edition=6th |publisher=Brooks/Cole |date=2008 |isbn=978-0-495-01166-8}} * {{Citation |last1=Larson |first1=Ron |last2=Edwards |first2=Bruce H. |title=Calculus |edition=9th |publisher=Brooks/Cole |date=2009 |isbn=978-0-547-16702-2}} * {{Citation |last1=Thomas |first1=George B. |last2=Weir |first2=Maurice D. |last3=Hass |first3=Joel |title=Thomas' Calculus: Early Transcendentals |edition=12th |publisher=Addison-Wesley |date=2010 |isbn=978-0-321-58876-0}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] c1g070y329n8z6i2ysc4tz4y4ffw1cv 1054233 1054187 2026-09-20T10:39:16Z Mkant00 135890 1054233 wikitext text/x-wiki <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]] (differentiable functions) ဖြစ်ပြီး <math>g(x) \neq 0</math> အခြေအနေတွင် <math>q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ စားလဒ်စည်းမျဉ်း (quotient rule) အရ <math>q(x)</math> ၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]]မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Stewart (2008).</ref><ref>Larson & Edwards (2009).</ref><ref>Thomas, Weir & Hass (2010).</ref> <math display="block">q'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}</math> အထူးကိစ္စတစ်ခုအနေဖြင့် အကယ်၍ <math>f(x) = 1</math> ဖြစ်ပါက စားလဒ်စည်းမျဉ်းသည် [[အချိုးပြောင်းပြန်စည်းမျဉ်း]] (reciprocal rule) သို့ ရိုးရှင်းသွားသည်။ <math display="block">q'(x) = \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right] = \frac{0 \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{(g(x))^2} = \frac{-g'(x)}{(g(x))^2}</math> == သက်သေပြချက်များ (Proofs) == === စုဆုံမှတ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Limit Definition) === <math>q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> ဖြစ်ပါစေ။ ဆင်းသက်ချက်၏ [[စုဆုံမှတ်]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (limit definition) ကို အသုံးချပြီး သုညကိန်းပိုင်း (zero term) <math>-f(x)g(x) + f(x)g(x)</math> ကို ပေါင်းထည့်သောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ <math display="block">\begin{align} q'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{q(x+h) - q(x)}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)}{h \cdot g(x)g(x+h)} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \left[\frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x) + f(x)g(x) - f(x)g(x+h)}{h} \right] \cdot \frac{1}{g(x)g(x+h)} \\[6pt] &= \left[\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \cdot g(x) - f(x) \cdot \lim_{h\to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} \right] \cdot \lim_{h\to 0}\frac{1}{g(x)g(x+h)} \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{align}</math> <math>g(x)</math> ၏ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု (differentiability) သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း]] (continuity) ကို ရည်ညွှန်းပြီး <math>\lim_{h \to 0}g(x+h) = g(x)</math> ဖြစ်စေသည်။ === သွယ်ဝိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (Implicit Differentiation) === <math>q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုမှတစ်ဆင့် <math>f(x) = g(x)q(x)</math> ဟု ရည်ညွှန်းသည်။ [[မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း]] (product rule) ကို အသုံးချသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ပေးသည်။ <math display="block">f'(x) = g'(x)q(x) + g(x)q'(x)</math> <math>q'(x)</math> အတွက် ဖြေရှင်းပြီး <math>q(x)</math> ကို ဖော်ပြချက်ထဲသို့ ပြန်လည်အစားထိုးသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\begin{align} q'(x) &= \frac{f'(x) - g'(x)q(x)}{g(x)} \\[6pt] &= \frac{f'(x) - g'(x)\frac{f(x)}{g(x)}}{g(x)} \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{align}</math> === ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (Chain Rule) === <math>q(x) = f(x)(g(x))^{-1}</math> ဖြစ်ပါစေ။ မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းနှင့် [[ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း]] (chain rule) တို့ကို အသုံးချသောအခါ အောက်ပါရလဒ် ထွက်ပေါ်လာသည်။ <math display="block">\begin{align} q'(x) &= f'(x)(g(x))^{-1} + f(x) \cdot \frac{d}{dx}\left[(g(x))^{-1}\right] \\[6pt] &= \frac{f'(x)}{g(x)} + f(x)\left[-(g(x))^{-2}g'(x)\right] \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x)}{(g(x))^2} - \frac{f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{align}</math> === လော့ဂရစ်သမ်နည်းကျ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (Logarithmic Differentiation) === <math>q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>f(x) \neq 0</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆ၍ [[ပကတိတန်ဖိုး]] (absolute value) ၏ [[လော့ဂရစ်သမ်|သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ်]] (natural logarithm) ကို ယူသောအခါ အောက်ပါရလဒ် ရရှိသည်။ <math display="block">\ln|q(x)| = \ln|f(x)| - \ln|g(x)|</math> နှစ်ဖက်စလုံး၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|လော့ဂရစ်သမ်ဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ချက်]] (logarithmic derivative) ကို ယူသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{q'(x)}{q(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{g'(x)}{g(x)}</math> <math>q'(x)</math> အတွက် ဖြေရှင်းပြီး <math>q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> ကို အစားထိုးသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\begin{align} q'(x) &= q(x)\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right] \\[6pt] &= \frac{f(x)}{g(x)}\left[\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{f(x)g(x)}\right] \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{align}</math> == ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ (Higher Order Derivatives) == သွယ်ဝိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် စားလဒ်တစ်ခု၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|အကြိမ် <math>n</math> မြောက် ဆင်းသက်ချက်]]ကို တွက်ချက်ရန် ထပ်ကျော့နည်းလမ်း (recursive method) တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ <math>f = gq</math> အတွက် ဆင်းသက်ချက် နှစ်ကြိမ်ရှာသောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ <math display="block">f'' = g''q + 2g'q' + gq''</math> <math>q''</math> အတွက် ဖြေရှင်းခြင်းက စားလဒ်၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဒုတိယ ဆင်းသက်ချက်]]ကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ <math display="block">q'' = \left(\frac{f}{g}\right)'' = \frac{f'' - g''q - 2g'q'}{g}</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Stewart |first=James |title=Calculus: Early Transcendentals |edition=6th |publisher=Brooks/Cole |date=2008 |isbn=978-0-495-01166-8}} * {{Citation |last1=Larson |first1=Ron |last2=Edwards |first2=Bruce H. |title=Calculus |edition=9th |publisher=Brooks/Cole |date=2009 |isbn=978-0-547-16702-2}} * {{Citation |last1=Thomas |first1=George B. |last2=Weir |first2=Maurice D. |last3=Hass |first3=Joel |title=Thomas' Calculus: Early Transcendentals |edition=12th |publisher=Addison-Wesley |date=2010 |isbn=978-0-321-58876-0}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] k5flrnckxfi1bnpbofmhaak33qqkktx 0 291882 1054188 2026-09-19T22:52:03Z Mkant00 135890 "<math>f</math> သည် အမှတ် <math>x</math> တစ်ခု၌ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်]] (differentiable function) တစ်ခုဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054188 wikitext text/x-wiki <math>f</math> သည် အမှတ် <math>x</math> တစ်ခု၌ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်]] (differentiable function) တစ်ခုဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>f(x) \neq 0</math> ဖြစ်ပါစေ။ အချိုးပြောင်းပြန်စည်းမျဉ်း (reciprocal rule) အရ အချိုးပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (reciprocal function) <math>g(x) = \frac{1}{f(x)}</math> သည် <math>x</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်စွမ်းရှိပြီး ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Stewart (2016), p. 190.</ref> <math display="block">g'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}</math> == သက်သေပြချက်များ (Proofs) == === စုဆုံမှတ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Limit Definition) === ဆင်းသက်ချက်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition) အရနှင့် ဘုံပိုင်းခြေများ (common denominators) ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\begin{align} g'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{\frac{1}{f(x+h)} - \frac{1}{f(x)}}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \frac{f(x) - f(x+h)}{h \cdot f(x) f(x+h)} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \left[ -\left(\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\right) \cdot \frac{1}{f(x) f(x+h)} \right] \end{align}</math> <math>f</math> သည် <math>x</math> ၌ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သောကြောင့် ၎င်းသည် <math>x</math> ၌ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] (continuous) လည်း ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\lim_{h\to 0} f(x+h) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ မြှောက်လဒ် (product) ၏ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) ကို စုဆုံမှတ်များ၏ မြှောက်လဒ်အနေဖြင့် တန်ဖိုးရှာဖွေသောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ <math display="block">g'(x) = -f'(x) \cdot \frac{1}{f(x) \cdot f(x)} = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}</math> === သွယ်ဝိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (Implicit Differentiation) === <math>\frac{1}{f(x)}</math> သည် <math>x</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်ဟု ကြိုတင်ယူဆထားခြင်းဖြင့် အဆိုပါစည်းမျဉ်းသည် [[မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း]] (product rule) မှ တိုက်ရိုက်ဆင်းသက်လာသည်။ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ပါ၊ <math display="block">f(x) \cdot \frac{1}{f(x)} = 1</math> <math>x</math> အပေါ် အခြေခံ၍ နှစ်ဖက်စလုံးကို ဆင်းသက်ချက်ရှာသောအခါ အောက်ပါရလဒ် ထွက်ပေါ်လာသည်။ <math display="block">f'(x) \left( \frac{1}{f(x)} \right) + f(x) \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{f(x)} \right) = 0</math> အချိုးပြောင်းပြန်၏ ဆင်းသက်ချက်အတွက် [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ]] (algebraically) ဖြေရှင်းခြင်းက ထိုစည်းမျဉ်းကို သီးခြားထုတ်ဖော်ပေးသည်။ <math display="block">\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{f(x)} \right) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}</math> == ဆက်စပ်စည်းမျဉ်းများ၏ ဆင်းသက်လာမှု (Derivation of Related Rules) == === အနုတ် ထပ်ကိန်းများအတွက် ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်း (Power Rule for Negative Exponents) === အပေါင်းကိန်းပြည့်များ (positive integers) <math>m</math> အတွက် [[ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်း]] (power rule) <math>\frac{d}{dx} x^m = m x^{m-1}</math> သည် တည်ဆောက်ပြီးဖြစ်သည်ဟု မှတ်ယူပါ။ အနုတ်ကိန်းပြည့် (negative integer) <math>n = -m</math> တစ်ခုအတွက် အချိုးပြောင်းပြန်စည်းမျဉ်းကို အသုံးချခြင်းက ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်းကို ကျယ်ပြန့်သွားစေသည်။ <math display="block">\begin{align} \frac{d}{dx} x^n &= \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^m} \right) \\[6pt] &= -\frac{\frac{d}{dx} (x^m)}{(x^m)^2} \\[6pt] &= -\frac{m x^{m-1}}{x^{2m}} \\[6pt] &= -m x^{-m-1} \\[6pt] &= n x^{n-1} \end{align}</math> === စားလဒ်စည်းမျဉ်း (Quotient Rule) === [[စားလဒ်စည်းမျဉ်း]]သည် မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းနှင့် အချိုးပြောင်းပြန်စည်းမျဉ်းတို့ ပေါင်းစပ်မှု၏ ချက်ချင်းဖြစ်ပေါ်လာသော အကျိုးဆက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များဖြစ်သည့် <math>f(x)</math> နှင့် <math>g(x) \neq 0</math> တို့အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\begin{align} \frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] &= \frac{d}{dx} \left[ f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right] \\[6pt] &= f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{g(x)} \right] \\[6pt] &= \frac{f'(x)}{g(x)} + f(x) \left[ -\frac{g'(x)}{(g(x))^2} \right] \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{align}</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Stewart |first=James |author-link=James Stewart (mathematician) |title=Calculus: Early Transcendentals |edition=8th |publication-place=Boston, MA |publisher=Cengage Learning |date=2016 |isbn=978-1285740621 |at=p. 190}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] sadtto5irmm4xwxiklt7pwxpdmke38v 1054239 1054188 2026-09-20T10:41:34Z Mkant00 135890 1054239 wikitext text/x-wiki <math>f</math> သည် အမှတ် <math>x</math> တစ်ခု၌ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်]] (differentiable function) တစ်ခုဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>f(x) \neq 0</math> ဖြစ်ပါစေ။ အချိုးပြောင်းပြန်စည်းမျဉ်း (reciprocal rule) အရ အချိုးပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (reciprocal function) <math>g(x) = \frac{1}{f(x)}</math> သည် <math>x</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်စွမ်းရှိပြီး ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Stewart (2016), p. 190.</ref> <math display="block">g'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}</math> == သက်သေပြချက်များ (Proofs) == === စုဆုံမှတ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Limit Definition) === ဆင်းသက်ချက်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition) အရနှင့် ဘုံပိုင်းခြေများ (common denominators) ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\begin{align} g'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{\frac{1}{f(x+h)} - \frac{1}{f(x)}}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \frac{f(x) - f(x+h)}{h \cdot f(x) f(x+h)} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \left[ -\left(\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\right) \cdot \frac{1}{f(x) f(x+h)} \right] \end{align}</math> <math>f</math> သည် <math>x</math> ၌ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သောကြောင့် ၎င်းသည် <math>x</math> ၌ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]] (continuous) လည်း ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\lim_{h\to 0} f(x+h) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ မြှောက်လဒ် (product) ၏ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) ကို စုဆုံမှတ်များ၏ မြှောက်လဒ်အနေဖြင့် တန်ဖိုးရှာဖွေသောအခါ အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ <math display="block">g'(x) = -f'(x) \cdot \frac{1}{f(x) \cdot f(x)} = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}</math> === သွယ်ဝိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (Implicit Differentiation) === <math>\frac{1}{f(x)}</math> သည် <math>x</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်ဟု ကြိုတင်ယူဆထားခြင်းဖြင့် အဆိုပါစည်းမျဉ်းသည် [[မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း]] (product rule) မှ တိုက်ရိုက်ဆင်းသက်လာသည်။ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ပါ၊ <math display="block">f(x) \cdot \frac{1}{f(x)} = 1</math> <math>x</math> အပေါ် အခြေခံ၍ နှစ်ဖက်စလုံးကို ဆင်းသက်ချက်ရှာသောအခါ အောက်ပါရလဒ် ထွက်ပေါ်လာသည်။ <math display="block">f'(x) \left( \frac{1}{f(x)} \right) + f(x) \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{f(x)} \right) = 0</math> အချိုးပြောင်းပြန်၏ ဆင်းသက်ချက်အတွက် [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ]] (algebraically) ဖြေရှင်းခြင်းက ထိုစည်းမျဉ်းကို သီးခြားထုတ်ဖော်ပေးသည်။ <math display="block">\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{f(x)} \right) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}</math> == ဆက်စပ်စည်းမျဉ်းများ၏ ဆင်းသက်လာမှု (Derivation of Related Rules) == === အနုတ် ထပ်ကိန်းများအတွက် ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်း (Power Rule for Negative Exponents) === အပေါင်းကိန်းပြည့်များ (positive integers) <math>m</math> အတွက် [[ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်း]] (power rule) <math>\frac{d}{dx} x^m = m x^{m-1}</math> သည် တည်ဆောက်ပြီးဖြစ်သည်ဟု မှတ်ယူပါ။ အနုတ်ကိန်းပြည့် (negative integer) <math>n = -m</math> တစ်ခုအတွက် အချိုးပြောင်းပြန်စည်းမျဉ်းကို အသုံးချခြင်းက ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်းကို ကျယ်ပြန့်သွားစေသည်။ <math display="block">\begin{align} \frac{d}{dx} x^n &= \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^m} \right) \\[6pt] &= -\frac{\frac{d}{dx} (x^m)}{(x^m)^2} \\[6pt] &= -\frac{m x^{m-1}}{x^{2m}} \\[6pt] &= -m x^{-m-1} \\[6pt] &= n x^{n-1} \end{align}</math> === စားလဒ်စည်းမျဉ်း (Quotient Rule) === [[စားလဒ်စည်းမျဉ်း]]သည် မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းနှင့် အချိုးပြောင်းပြန်စည်းမျဉ်းတို့ ပေါင်းစပ်မှု၏ ချက်ချင်းဖြစ်ပေါ်လာသော အကျိုးဆက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များဖြစ်သည့် <math>f(x)</math> နှင့် <math>g(x) \neq 0</math> တို့အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\begin{align} \frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] &= \frac{d}{dx} \left[ f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right] \\[6pt] &= f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{g(x)} \right] \\[6pt] &= \frac{f'(x)}{g(x)} + f(x) \left[ -\frac{g'(x)}{(g(x))^2} \right] \\[6pt] &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{align}</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Stewart |first=James |author-link=James Stewart (mathematician) |title=Calculus: Early Transcendentals |edition=8th |publication-place=Boston, MA |publisher=Cengage Learning |date=2016 |isbn=978-1285740621 |at=p. 190}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] 8hmg48htn5q3bi8w5z2y6jp8h92n0ea 0 291883 1054189 2026-09-19T23:03:01Z Mkant00 135890 "<math>f</math> ကို အပိုင်းအခြား (interval) <math>I</math> တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် (continuous)]] ဖြစ်ပြီး အင်ဂျက်တ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054189 wikitext text/x-wiki <math>f</math> ကို အပိုင်းအခြား (interval) <math>I</math> တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် (continuous)]] ဖြစ်ပြီး [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်]] (injective function) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါစို့။ ၎င်း၏ [[ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်]] (inverse function) ကို <math>f^{-1}</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုပါစို့။ ဤနေရာတွင် <math>f^{-1}(y) = x</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>f(x) = y</math> ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>f</math> သည် <math>x = f^{-1}(y)</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင်]]ဖြစ်ပြီး <math>f'(f^{-1}(y)) \neq 0</math> ဖြစ်ပါက <math>f^{-1}</math> သည် <math>y</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။<ref>Marsden & Weinstein (1981).</ref> ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်စည်းမျဉ်း (inverse function rule) အတွက် လာဂေါင့်၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}</math> <math>\mathcal{D}</math> သည် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|တစ်လုံးသွင်း ဆင်းသက်ချက် အော်ပရေတာ]] (unary derivative operator) ဖြစ်ပြီး <math>\circ</math> သည် [[ပေါင်းစပ်ခြင်း အော်ပရေတာ|ဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်း]] (function composition) ကို ရည်ညွှန်းသည့် အော်ပရေတာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (operator notation) တွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\mathcal{D}[f^{-1}] = \frac{1}{(\mathcal{D}f) \circ f^{-1}}</math> <math>y = f(x)</math> နှင့် <math>x = f^{-1}(y)</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော လိုက်ဘ်နစ်ဇ်၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Derivatives of Inverse Functions (2021).</ref> <math display="block">\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \implies \frac{dx}{dy} \, \frac{dy}{dx} = 1</math> == ဆင်းသက်ခြင်း (Derivation) == <math>f</math> သည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော (invertible) [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition) အရ <math display="block">f(f^{-1}(y)) = y</math> ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) ကို အသုံးပြု၍ နှစ်ဖက်စလုံးအား <math>y</math> အပေါ် အခြေခံပြီး ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းက အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ <math display="block">f'(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1})'(y) = 1</math> <math>f'(f^{-1}(y)) \neq 0</math> ဟု ယူဆကာ <math>f'(f^{-1}(y))</math> ဖြင့် စားသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}</math> == ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ (Higher-Order Derivatives) == ထပ်တူညီမှု (identity) <math>\frac{dx}{dy} \frac{dy}{dx} = 1</math> အား သွယ်ဝိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (implicitly differentiating) က ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ]] (higher-order derivatives) အတွက် ပုံသေနည်းများကို ရရှိနိုင်သည်။ <math>f</math> သည် ဒေသအလိုက် (locally) <math>C^2</math> ဖြစ်ပြီး <math>f'(x) \neq 0</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆလျှင် လိုက်ဘ်နစ်ဇ်၏ [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]]ဖြင့် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဒုတိယ ဆင်းသက်ချက်]]အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^3}</math> <math>f</math> သည် ဒေသအလိုက် <math>C^3</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆလျှင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|တတိယ ဆင်းသက်ချက်]]အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d^3x}{dy^3} = -\frac{\frac{d^3y}{dx^3}}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^4} + 3\frac{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^5}</math> လာဂေါင့်၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် <math>t = f^{-1}(y)</math> ကို အစားထိုးသောအခါ ဒုတိယနှင့် တတိယ ဆင်းသက်ချက်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ထွက်ပေါ်လာသည်။ <math display="block">(f^{-1})''(y) = -\frac{f''(f^{-1}(y))}{\left[f'(f^{-1}(y))\right]^3}</math> <math display="block">(f^{-1})'''(y) = -\frac{f'''(f^{-1}(y))}{\left[f'(f^{-1}(y))\right]^4} + 3\frac{\left[f''(f^{-1}(y))\right]^2}{\left[f'(f^{-1}(y))\right]^5}</math> ဒေသအလိုက် <math>C^n</math> ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သော <math>f</math> အတွက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|အကြိမ် <math>n</math> မြောက် ဆင်းသက်ချက်]]ကို ဒစ်ဖရန်ရှယ် အော်ပရေတာ (differential operator) တစ်ခု အသုံးပြု၍ တိုတုတ်ရှင်းလင်းစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display="block">(f^{-1})^{(n)}(y) = \left. \left[ \left(\frac{1}{f'(t)}\frac{d}{dt}\right)^{n} t \right] \right|_{t = f^{-1}(y)}</math> == အင်တီဂရယ်ဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Integral Properties) == ဆက်စပ်နေသော အပိုင်းအခြား (connected interval) တစ်ခုပေါ်တွင် ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်စည်းမျဉ်းကို အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integrating) က အောက်ပါ ဆက်စပ်မှုကို ရရှိသည်။ <math display="block">f^{-1}(y) = \int \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \, dy + C</math> ထို့အပြင် ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင် ကိုယ်တိုင်၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (antiderivative) ကို မူလဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် <math>F</math> ကို အသုံးပြု၍ တန်ဖိုးရှာဖွေနိုင်သည်။ <math display="block">\int f^{-1}(y) \, dy = y f^{-1}(y) - F(f^{-1}(y)) + C</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Marsden |first1=Jerrold E. |last2=Weinstein |first2=Alan |title=Calculus Unlimited |publication-place=Menlo Park, Calif. |publisher=Benjamin/Cummings Pub. Co |date=1981 |isbn=0-8053-6932-5 |chapter=Chapter 8: Inverse Functions and the Chain Rule |url=https://authors.library.caltech.edu/25054/10/CalcUch8-invfunc-chainrule.pdf}} * {{Citation |title=Derivatives of Inverse Functions |url=https://oregonstate.edu/instruct/mth251/cq/Stage6/Lesson/inverseDeriv.html |website=oregonstate.edu |archive-url=https://web.archive.org/web/20210410154136/https://oregonstate.edu/instruct/mth251/cq/Stage6/Lesson/inverseDeriv.html |archive-date=2021-04-10}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] a9851wa3oj6s3yytm6sy6ctac20jbh3 1054243 1054189 2026-09-20T10:43:21Z Mkant00 135890 1054243 wikitext text/x-wiki <math>f</math> ကို အပိုင်းအခြား (interval) <math>I</math> တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် (continuous)]] ဖြစ်ပြီး [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်]] (injective function) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါစို့။ ၎င်း၏ [[ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်]] (inverse function) ကို <math>f^{-1}</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုပါစို့။ ဤနေရာတွင် <math>f^{-1}(y) = x</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>f(x) = y</math> ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>f</math> သည် <math>x = f^{-1}(y)</math> တွင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင်]]ဖြစ်ပြီး <math>f'(f^{-1}(y)) \neq 0</math> ဖြစ်ပါက <math>f^{-1}</math> သည် <math>y</math> တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။<ref>Marsden & Weinstein (1981).</ref> ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်စည်းမျဉ်း (inverse function rule) အတွက် လာဂေါင့်၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}</math> <math>\mathcal{D}</math> သည် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|တစ်လုံးသွင်း ဆင်းသက်ချက် အော်ပရေတာ]] (unary derivative operator) ဖြစ်ပြီး <math>\circ</math> သည် [[ပေါင်းစပ်ခြင်း အော်ပရေတာ|ဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်း]] (function composition) ကို ရည်ညွှန်းသည့် အော်ပရေတာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (operator notation) တွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\mathcal{D}[f^{-1}] = \frac{1}{(\mathcal{D}f) \circ f^{-1}}</math> <math>y = f(x)</math> နှင့် <math>x = f^{-1}(y)</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော လိုက်ဘ်နစ်ဇ်၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Derivatives of Inverse Functions (2021).</ref> <math display="block">\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \implies \frac{dx}{dy} \, \frac{dy}{dx} = 1</math> == ဆင်းသက်ခြင်း (Derivation) == <math>f</math> သည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော (invertible) [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition) အရ <math display="block">f(f^{-1}(y)) = y</math> ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) ကို အသုံးပြု၍ နှစ်ဖက်စလုံးအား <math>y</math> အပေါ် အခြေခံပြီး ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းက အောက်ပါရလဒ်ကို ပေးသည်။ <math display="block">f'(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1})'(y) = 1</math> <math>f'(f^{-1}(y)) \neq 0</math> ဟု ယူဆကာ <math>f'(f^{-1}(y))</math> ဖြင့် စားသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}</math> == ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ (Higher-Order Derivatives) == ထပ်တူညီမှု (identity) <math>\frac{dx}{dy} \frac{dy}{dx} = 1</math> အား သွယ်ဝိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း (implicitly differentiating) က ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များ]] (higher-order derivatives) အတွက် ပုံသေနည်းများကို ရရှိနိုင်သည်။ <math>f</math> သည် ဒေသအလိုက် (locally) <math>C^2</math> ဖြစ်ပြီး <math>f'(x) \neq 0</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆလျှင် လိုက်ဘ်နစ်ဇ်၏ [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]]ဖြင့် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဒုတိယ ဆင်းသက်ချက်]]အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^3}</math> <math>f</math> သည် ဒေသအလိုက် <math>C^3</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆလျှင် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|တတိယ ဆင်းသက်ချက်]]အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\frac{d^3x}{dy^3} = -\frac{\frac{d^3y}{dx^3}}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^4} + 3\frac{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^5}</math> လာဂေါင့်၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် <math>t = f^{-1}(y)</math> ကို အစားထိုးသောအခါ ဒုတိယနှင့် တတိယ ဆင်းသက်ချက်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ထွက်ပေါ်လာသည်။ <math display="block">(f^{-1})''(y) = -\frac{f''(f^{-1}(y))}{\left[f'(f^{-1}(y))\right]^3}</math> <math display="block">(f^{-1})'''(y) = -\frac{f'''(f^{-1}(y))}{\left[f'(f^{-1}(y))\right]^4} + 3\frac{\left[f''(f^{-1}(y))\right]^2}{\left[f'(f^{-1}(y))\right]^5}</math> ဒေသအလိုက် <math>C^n</math> ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သော <math>f</math> အတွက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|အကြိမ် <math>n</math> မြောက် ဆင်းသက်ချက်]]ကို ဒစ်ဖရန်ရှယ် အော်ပရေတာ (differential operator) တစ်ခု အသုံးပြု၍ တိုတုတ်ရှင်းလင်းစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display="block">(f^{-1})^{(n)}(y) = \left. \left[ \left(\frac{1}{f'(t)}\frac{d}{dt}\right)^{n} t \right] \right|_{t = f^{-1}(y)}</math> == အင်တီဂရယ်ဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Integral Properties) == ဆက်စပ်နေသော အပိုင်းအခြား (connected interval) တစ်ခုပေါ်တွင် ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်စည်းမျဉ်းကို အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integrating) က အောက်ပါ ဆက်စပ်မှုကို ရရှိသည်။ <math display="block">f^{-1}(y) = \int \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \, dy + C</math> ထို့အပြင် ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင် ကိုယ်တိုင်၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (antiderivative) ကို မူလဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် <math>F</math> ကို အသုံးပြု၍ တန်ဖိုးရှာဖွေနိုင်သည်။ <math display="block">\int f^{-1}(y) \, dy = y f^{-1}(y) - F(f^{-1}(y)) + C</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Marsden |first1=Jerrold E. |last2=Weinstein |first2=Alan |title=Calculus Unlimited |publication-place=Menlo Park, Calif. |publisher=Benjamin/Cummings Pub. Co |date=1981 |isbn=0-8053-6932-5 |chapter=Chapter 8: Inverse Functions and the Chain Rule |url=https://authors.library.caltech.edu/25054/10/CalcUch8-invfunc-chainrule.pdf}} * {{Citation |title=Derivatives of Inverse Functions |url=https://oregonstate.edu/instruct/mth251/cq/Stage6/Lesson/inverseDeriv.html |website=oregonstate.edu |archive-url=https://web.archive.org/web/20210410154136/https://oregonstate.edu/instruct/mth251/cq/Stage6/Lesson/inverseDeriv.html |archive-date=2021-04-10}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ် သီအိုရမ်များ]] tcvquyve0bos53w5ltjivtpbophkz75 1 291884 1054200 2026-09-20T03:38:40Z ပရဟိတ 147401 /* ရွာအမည်မှန် */ အပိုင်းသစ် 1054200 wikitext text/x-wiki == ရွာအမည်မှန် == ဤစာမျက်နှာ၌ ဖော်ပြထားသော ရွာအမည်မှန်ပါ ပန်ဟုတ်ရွာ ဖြစ်ပါသည်။ ပန်ယုတ်ရွာ မဟုတ်ပါ။ အင်္ဂလိပ်အမည်မှာ မှန်ကန်ပါသည်။ [[အသုံးပြုသူ:ပရဟိတ|ပရဟိတ]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ပရဟိတ|ဆွေးနွေး]]) ၀၃:၃၈၊ ၂၀ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၆ (UTC) qpbj2kmutqchdt18drn8xyi3lf35g9u 1 291885 1054205 2026-09-20T04:04:05Z ပရဟိတ 147401 /* ရွာအမည်မှန် */ အပိုင်းသစ် 1054205 wikitext text/x-wiki == ရွာအမည်မှန် == နမ့်ဟူးတောင်းအုပ်စုတွင် ပန်လုံရွာ မရှိပါ။ ပန်မောင်ရွာ သာ ရှိပါသည်။ [[အသုံးပြုသူ:ပရဟိတ|ပရဟိတ]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ပရဟိတ|ဆွေးနွေး]]) ၀၄:၀၄၊ ၂၀ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၆ (UTC) 7jdbhyzno9m4xtjg7mxvxr4f1fxvqsb 3 291886 1054214 2026-09-20T05:19:05Z QueerEcofeminist 48651 [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Selvakumar mallar]] စာမျက်နှာကို [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Selvakumar Pandian]] သို့ QueerEcofeministက ရွှေ့ခဲ့သည်: အသုံးပြုသူ "[[Special:CentralAuth/Selvakumar mallar|Selvakumar mallar]]" ကို "[[Special:CentralAuth/Selvakumar Pandian|Selvakumar Pandian]]" သို့ အမည်ပြောင်းလဲစဉ် စာမျက်နှာအား အလိုအလျောက် ရွှေ့ပြောင်းခြင်း 1054214 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Selvakumar Pandian]] 47kkbr83cra703jga2v7ma7gzjwym7s 0 291887 1054219 2026-09-20T09:23:58Z Mkant00 135890 "<math>X</math> သည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (normed vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>X</math> အတွင်းရှိ [[ကိန်းစဉ်]] (seque..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054219 wikitext text/x-wiki <math>X</math> သည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (normed vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>X</math> အတွင်းရှိ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) <math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> တစ်ခုအတွက် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ (partial sums) ၏ ကိန်းစဉ် <math>(S_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>S_n = \sum_{k=0}^n a_k</math> ကိန်းစဉ် <math>(S_n)</math> သည် [[စုဆုံမှတ်]] (limit) <math>S \in X</math> သို့ စုဆုံသည် (converge) ဆိုပါက [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (series) <math>\sum a_n</math> ကို '''စုဆုံသော ကိန်းစဉ်တန်း (convergent series)''' ဟု သတ်မှတ်သည်။ စုဆုံမှတ် <math>S</math> သည် ကိန်းစဉ်တန်း၏ ပေါင်းလဒ်ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။<ref>Rudin (1991).</ref> :<math>\sum_{k=0}^{\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} S_n</math> စုဆုံမှတ် မတည်ရှိပါက အဆိုပါ ကိန်းစဉ်တန်းကို '''ဖြာထွက်သော ကိန်းစဉ်တန်း (divergent series)''' ဟု ခေါ်သည်။ == အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများ (Fundamental properties) == '''လိုအပ်သော အခြေအနေ (Necessary condition)''' <math>\sum a_n</math> သည် စုဆုံသည်ဆိုပါက <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math> ဖြစ်သည်။ <math>\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0</math> ဖြစ်သော [[ကိန်းစဉ်တန်း]]တစ်ခုသည် အသေးအဖွဲအားဖြင့် ဖြာထွက်သော ကိန်းစဉ်တန်း ဖြစ်သည်။ '''ကော်ချီ စံသတ်မှတ်ချက် (Cauchy criterion)''' <math>X</math> သည် ဘာနက် ရပ်ဝန်း (Banach space) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ကိန်းစဉ်တန်း <math>\sum a_n</math> တစ်ခု စုဆုံရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။<ref>Narici & Beckenstein (2011).</ref> :<math>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, \forall p \in \mathbb{N}, \left\| \sum_{k=n+1}^{n+p} a_k \right\| < \varepsilon</math> '''အကြွင်းမဲ့ စုဆုံခြင်း (Absolute convergence)''' [[ကိန်းစစ်]] ကိန်းစဉ်တန်း (real series) <math>\sum \|a_n\|</math> စုဆုံပါက ဘာနက် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွင်းရှိ ကိန်းစဉ်တန်း <math>\sum a_n</math> သည် အကြွင်းမဲ့ စုဆုံသော (absolutely convergent) သဘောသဘာဝရှိသည်။ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုသည် အကြွင်းမဲ့ စုဆုံသည်ဆိုပါက ၎င်းသည် စုဆုံသော ကိန်းစဉ်တန်းဖြစ်သည်။ == အပေါင်းကိန်းစဉ်တန်းများအတွက် စုဆုံခြင်း စစ်ဆေးခြင်းများ (Convergence tests for positive series) == [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များ]]သည် <math>\mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> အတွင်း တန်ဖိုးများယူသည်ဟု မှတ်ယူပါ။ မည်သည့် <math>n \in \mathbb{N}</math> အတွက်မဆို <math>a_n \ge 0</math> နှင့် <math>b_n \ge 0</math> ဖြစ်သည်ဟု မှတ်ယူပါ။ '''နှိုင်းယှဉ် စစ်ဆေးခြင်း (Comparison test)'''<ref>Schechter (1996).</ref> * မည်သည့် <math>n \ge N</math> အတွက်မဆို <math>a_n \le b_n</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\exists N \in \mathbb{N}</math> တည်ရှိပြီး <math>\sum b_n</math> သည် စုဆုံပါက <math>\sum a_n</math> လည်း စုဆုံသည်။ * <math>n \to \infty</math> သို့ ချဉ်းကပ်စဉ် <math>a_n = \mathcal{O}(b_n)</math> ဖြစ်ပြီး <math>\sum b_n</math> သည် စုဆုံပါက <math>\sum a_n</math> လည်း စုဆုံသည်။ * <math>n \to \infty</math> သို့ ချဉ်းကပ်စဉ် <math>a_n \sim b_n</math> ဖြစ်ပါက <math>\sum a_n</math> နှင့် <math>\sum b_n</math> တို့သည် အတူတကွ စုဆုံသည် သို့မဟုတ် ဖြာထွက်ကြသည်။ '''အချိုး စစ်ဆေးခြင်း (Ratio test) သို့မဟုတ် ဒီအာလမ်ဘတ်၏ စံသတ်မှတ်ချက် (d'Alembert's criterion)''' <math>a_n > 0</math> ဖြစ်သည်ဟု မှတ်ယူပါ။ <math>L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ * <math>L < 1</math> ဖြစ်ပါက <math>\sum a_n</math> သည် စုဆုံသည်။ * <math>L > 1</math> ဖြစ်ပါက <math>\sum a_n</math> သည် ဖြာထွက်သည်။ '''ကိန်းရင်း စစ်ဆေးခြင်း (Root test) သို့မဟုတ် ကော်ချီ၏ စံသတ်မှတ်ချက် (Cauchy's criterion)''' <math>C = \limsup_{n \to \infty} (a_n)^{1/n}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ * <math>C < 1</math> ဖြစ်ပါက <math>\sum a_n</math> သည် စုဆုံသည်။ * <math>C > 1</math> ဖြစ်ပါက <math>\sum a_n</math> သည် ဖြာထွက်သည်။ '''အင်တီဂရယ် စစ်ဆေးခြင်း (Integral test)''' <math>f: [1, \infty) \to \mathbb{R}^+</math> သည် အစဉ်လိုက် လျော့သော (monotonically decreasing) [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ [[ကိန်းစဉ်တန်း]] <math>\sum_{n=1}^\infty f(n)</math> စုဆုံရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] (integral) <math>\int_1^\infty f(x) \, \mathrm{d}x</math> စုဆုံခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ == ယေဘုယျ ကိန်းစဉ်တန်းများအတွက် စုဆုံခြင်း စစ်ဆေးခြင်းများ (Convergence tests for general series) == [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များ]]သည် <math>\mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> အတွင်း တန်ဖိုးများယူသည်ဟု မှတ်ယူပါ။ '''ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး၏ စစ်ဆေးခြင်း (Dirichlet's test)''' <math>(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> သည် <math>\lim_{n \to \infty} \alpha_n = 0</math> ကို ပြည့်စုံစေသည့် အစဉ်လိုက် လျော့သော ကိန်းစစ် ကိန်းစဉ် (real sequence) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>(u_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> သည် မည်သည့် <math>n \in \mathbb{N}</math> အတွက်မဆို <math>\left| \sum_{k=0}^n u_k \right| \le M</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\exists M > 0</math> တည်ရှိသော ကိန်းထွေး ကိန်းစဉ် (complex sequence) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ထိုအခါ [[ကိန်းစဉ်တန်း]] <math>\sum \alpha_n u_n</math> သည် စုဆုံသည်။ '''အလှည့်ကျ ကိန်းစဉ်တန်း စစ်ဆေးခြင်း (Alternating series test) သို့မဟုတ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် စည်းမျဉ်း (Leibniz's rule)''' <math>(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> သည် <math>\lim_{n \to \infty} \alpha_n = 0</math> ကို ပြည့်စုံစေသည့် အစဉ်လိုက် လျော့သော ကိန်းစစ် ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ အလှည့်ကျ ကိန်းစဉ်တန်း (alternating series) <math>\sum (-1)^n \alpha_n</math> သည် စုဆုံသည်။ == References == * {{Citation |last1=Narici |first1=Lawrence |last2=Beckenstein |first2=Edward |title=Topological Vector Spaces |edition=2nd |publication-place=Boca Raton, FL |publisher=CRC Press |date=2011 |isbn=978-1-58488-866-6 |mr=2743469 |zbl=1214.46001}} * {{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Functional Analysis |edition=2nd |series=International Series in Pure and Applied Mathematics |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=1991 |isbn=0-07-054236-8 |mr=1157815 |zbl=0867.46001}} * {{Citation |last=Schechter |first=Eric |title=Handbook of Analysis and its Foundations |publication-place=San Diego |publisher=Academic Press |date=1996 |isbn=0-12-622760-8 |mr=1423403 |zbl=0872.46001}} [[Category:ကိန်းစဉ်နှင့် ကိန်းစဉ်တန်း]] rdik2pjdx7e0zij5f2qhlnv6sxa6mo2 14 291888 1054220 2026-09-20T09:24:49Z Mkant00 135890 "[[Category:ကဲကုလပ်]]" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054220 wikitext text/x-wiki [[Category:ကဲကုလပ်]] jpw46zc31sl4k6i3uba3ec4eo8map3y 0 291889 1054225 2026-09-20T09:36:41Z Mkant00 135890 "<math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}^+}</math> သည် [[ကိန်းစဉ်|ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်]] (arithmetic progression/ AP) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ကိန်းစဉ်၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းပ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054225 wikitext text/x-wiki <math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}^+}</math> သည် [[ကိန်းစဉ်|ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်]] (arithmetic progression/ AP) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ကိန်းစဉ်၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းပိုင်း (term) ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Knuth (1997).</ref> :<math>a_n = a + (n - 1)d</math> ဤနေရာတွင် <math>a</math> သည် ကနဦး ကိန်းပိုင်းဖြစ်ပြီး <math>d = a_{n+1} - a_n</math> သည် ကိန်းသေ (constant) ဖြစ်သော ဘုံကွာခြားချက် (common difference) ဖြစ်သည်။ == ပေါင်းလဒ် (Sum) သို့မဟုတ် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic series) == <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းပိုင်းများပါဝင်သည့် အဆုံးရှိ (finite) [[ကိန်းစဉ်|ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်]]တစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်ကို <math>S_n = \sum_{k=1}^n a_k</math> ဖြင့် ဖော်ပြပြီး ၎င်းကို အောက်ပါ အပိတ်ပုံစံ (closed-form) ဖော်ပြချက်များ (expressions) ဖြင့် ပေးထားသည်။ :<math>S_n = \frac{n}{2}(a + a_n) = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]</math> [[ကိန်းစဉ်တန်း]]ကို ရှေ့စဉ်နောက်ဆက် နှင့် ပြောင်းပြန် အစီအစဉ်များဖြင့် ဖော်ပြရာတွင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>S_n = a + (a+d) + (a+2d) + \dots + (a+(n-1)d)</math> :<math>S_n = a_n + (a_n-d) + (a_n-2d) + \dots + (a_n-(n-1)d)</math> [[ညီမျှခြင်း]] (equation) နှစ်ခုစလုံး၏ သက်ဆိုင်ရာ ကိန်းပိုင်းများကို [[ပေါင်းခြင်း]]ဖြင့် အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ :<math>2S_n = n(a + a_n)</math> 2 ဖြင့် [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]]ဖြင့် ရလဒ်ကို ရရှိသည်။ == မြှောက်လဒ် (Product) == <math>\frac{a}{d} > 0</math> ဖြစ်သော အဆုံးရှိ [[ကိန်းစဉ်|ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်]]တစ်ခုအတွက် ပထမဆုံး <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းပိုင်းများ၏ [[မြှောက်လဒ်]] (product) ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>\prod_{k=1}^n a_k = d^n \frac{\Gamma\left(\frac{a}{d} + n\right)}{\Gamma\left(\frac{a}{d}\right)}</math> ဤနေရာတွင် <math>\Gamma(z)</math> သည် ဂါမာ ဖန်ရှင် (Gamma function) ကို ဖော်ပြသည်။ ကိန်းပိုင်းတစ်ခုစီမှ <math>d</math> ကို ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (factoring) ဖြင့် ဖယ်ထုတ်ရာတွင် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\prod_{k=1}^n a_k = \prod_{k=0}^{n-1} (a+kd) = d^n \prod_{k=0}^{n-1} \left(\frac{a}{d}+k\right) = d^n \left(\frac{a}{d}\right)^{\overline{n}}</math> ဤနေရာတွင် <math>x^{\overline{n}}</math> သည် တက်နေခြင်း ဖက်တိုရီရယ် (rising factorial) သို့မဟုတ် ပေါ့ခ်ဟာမာ သင်္ကေတ (Pochhammer symbol) ကို ဖော်ပြသည်။ <math>z > 0</math> အတွက် ထပ်ကျော့ဆက်သွယ်ချက် (recurrence relation) <math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)</math> ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် မည်သည့် အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်]] (positive integer) <math>m</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ :<math>\frac{\Gamma(z+m)}{\Gamma(z)} = \prod_{k=0}^{m-1}(z+k)</math> <math>z = \frac{a}{d}</math> နှင့် <math>m = n</math> တို့ကို အစားထိုးခြင်းဖြင့် နောက်ဆုံး အပိတ်ပုံစံ ဖော်ပြချက်ကို တိုက်ရိုက် ရရှိသည်။ == စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Statistical properties) == <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းပိုင်းများပါဝင်သည့် အဆုံးရှိ [[ကိန်းစဉ်|ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်]]တစ်ခုအတွက် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ * '''ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (Mean)''' :<math>\overline{a} = \frac{S_n}{n} = \frac{a + a_n}{2}</math> * '''စံသွေဖည်ကိန်း (Standard deviation)''' :<math>\sigma = |d|\sqrt{\frac{(n-1)(n+1)}{12}}</math> == ထပ်တူပိုင်းအစုများ (Intersections) == နှစ်ဖက်စလုံး အနန္တ (doubly infinite) ဖြစ်သော [[ကိန်းစဉ်|ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်]] နှစ်ခု၏ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) သည် ဗလာ (empty) ဖြစ်သည် သို့မဟုတ်ပါက အခြားသော နှစ်ဖက်စလုံး အနန္တဖြစ်သည့် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေပြီး ၎င်းကို [[တရုတ် အကြွင်း သီအိုရမ်]] (Chinese remainder theorem) မှတစ်ဆင့် တွက်ချက်နိုင်သည်။ နှစ်ဖက်စလုံး အနန္တဖြစ်သော ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်များ၏ အဆုံးရှိ စုစည်းမှု (finite family) တစ်ခုအတွင်းရှိ ကိန်းစဉ်စုံတွဲတိုင်းသည် ဗလာမဟုတ်သော ထပ်တူပိုင်းအစု (non-empty intersection) တစ်ခုကို မျှဝေပိုင်ဆိုင်ပါက အဆိုပါ အဆုံးရှိ စုစည်းမှုတစ်ခုလုံးသည် ဘုံကိန်း (common number) တစ်ခုကို မျှဝေပိုင်ဆိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် နှစ်ဖက်စလုံး အနန္တဖြစ်သော ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်များသည် ဟယ်လီ စုစည်းမှု (Helly family) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref>Duchet (1995), pp. 381–432.</ref> == References == * {{Citation |last=Duchet |first=Pierre |editor1-last=Graham |editor1-first=Ronald L. |editor2-last=Grötschel |editor2-first=Martin |editor3-last=Lovász |editor3-first=László |title=Handbook of Combinatorics, Volume 1 |contribution=Hypergraphs |publication-place=Amsterdam |publisher=Elsevier |date=1995 |pages=381–432 |isbn=978-0-444-82346-5 |mr=1373656}} * {{Citation |last=Knuth |first=Donald E. |title=The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms |edition=3rd |publication-place=Reading, MA |publisher=Addison-Wesley |date=1997 |isbn=0-201-89683-4 |mr=1480922 |zbl=0878.68001}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းစဉ်နှင့် ကိန်းစဉ်တန်း]] gfxucoa7dxi56370w4z7wjnsn6vrmmx 3 291890 1054226 2026-09-20T09:37:16Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1054226 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-50757-32 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၉:၃၇၊ ၂၀ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၆ (UTC) psv0kpm2nhajz0qqaiva29mtej92suc 0 291891 1054227 2026-09-20T09:44:17Z Mkant00 135890 "<math>(a_n)_{n \ge 1}</math> သည် ကနဦးတန်ဖိုး <math>a</math> နှင့် ဘုံကွာခြားချက် <math>d</math> ပါဝင်သည့် [[ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်]] (arithmetic progression) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>a_n = a + (n -..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054227 wikitext text/x-wiki <math>(a_n)_{n \ge 1}</math> သည် ကနဦးတန်ဖိုး <math>a</math> နှင့် ဘုံကွာခြားချက် <math>d</math> ပါဝင်သည့် [[ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်]] (arithmetic progression) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>a_n = a + (n - 1)d</math> ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>(G_n)_{n \ge 1}</math> သည် ကနဦးတန်ဖိုး <math>b</math> နှင့် ဘုံအချိုး (common ratio) <math>r</math> ပါဝင်သည့် [[ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်]] (geometric progression) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>G_n = b r^{n-1}</math> ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ဂဏန်းသင်္ချာ-ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ် (arithmetico-geometric sequence) တစ်ခုကို ဤကိန်းစဉ်များ၏ သက်ဆိုင်ရာ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]အလိုက် [[မြှောက်ခြင်း]] (element-wise product) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Riley, Hobson & Bence (2010), p. 118.</ref> :<math>t_n = a_n G_n = [a + (n - 1)d] b r^{n-1}</math> == တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ (Partial sums) == ပထမဆုံး <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းပိုင်းများ၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ် <math>S_n = \sum_{k=1}^n t_k</math> ကို အပိတ်ပုံစံ ဖော်ပြချက်ဖြင့် ပေးထားသည်။ <math>r \neq 1</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>S_n = \frac{ab - (a+nd)br^n}{1 - r} + \frac{dbr(1 - r^n)}{(1-r)^2}</math> [[ပေါင်းခြင်း]]လုပ်ငန်းစဉ် (summation) ကို ဖြန့်ထုတ်ခြင်းဖြင့် အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ :<math>S_n = ab + (a + d)br + (a + 2d)br^2 + \dots + [a + (n - 1)d]br^{n - 1}</math> <math>r</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>rS_n = abr + (a + d)br^2 + (a + 2d)br^3 + \dots + [a + (n - 1)d]br^n</math> <math>S_n</math> မှ <math>rS_n</math> ကို နုတ်ခြင်းနှင့် ကြားခံ ကိန်းပိုင်းများအပေါ် တယ်လီစကုပ်ပုံ ပေါင်းလဒ် (telescoping sum) တစ်ခုကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>(1 - r)S_n = ab + dbr(1 + r + r^2 + \dots + r^{n-2}) - [a + (n - 1)d]br^n</math> [[ကိန်းစဉ်တန်း|ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း]] (geometric series) ကို <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းပိုင်းများအထိ ဖြည့်စွက်ခြင်းဖြင့် ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရှင်းလင်းနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>dbr^{n-1}</math> ကို ပေါင်းခြင်းနှင့် နုတ်ခြင်းပြုလုပ်ထားသည်။ :<math>(1 - r)S_n = ab + dbr \sum_{k=0}^{n-1} r^k - (a + nd)br^n</math> အဆုံးရှိ ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်းကို တန်ဖိုးရှာခြင်းဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>(1 - r)S_n = ab + dbr \frac{1 - r^n}{1 - r} - (a + nd)br^n</math> [[ညီမျှခြင်း]] နှစ်ဖက်စလုံးကို <math>1 - r</math> ဖြင့် [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]]ဖြင့် နောက်ဆုံး ဖော်ပြချက်ကို ရရှိသည်။ == အနန္တ ကိန်းစဉ်တန်း (Infinite series) == <math>-1 < r < 1</math> အတွက် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ [[စုဆုံမှတ်]]သည် [[အနန္တ]] [[ကိန်းစဉ်တန်း]] ပေါင်းလဒ် <math>S = \lim_{n \to \infty} S_n</math> သို့ စုဆုံသည် (converges) ။ :<math>S = \sum_{k=1}^\infty [a + (k-1)d]br^{k-1} = \frac{ab}{1 - r} + \frac{dbr}{(1 - r)^2}</math> <math>|r| \ge 1</math> ဖြစ်ပါက တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ [[ကိန်းစဉ်]]သည် ဖြာထွက်သည် (diverges) ။ ဤနေရာတွင် <math>b \neq 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>a, d</math> နှစ်ခုစလုံး သုညမဟုတ်ကြောင်း ယူဆထားသည်။ == References == * {{Citation |last1=Riley |first1=K. F. |last2=Hobson |first2=M. P. |last3=Bence |first3=S. J. |title=Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide |edition=3rd |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=2010 |isbn=978-0-521-86153-3 |zbl=1107.00001}} [[ကဏ္ဍ: ကိန်းစဉ်နှင့် ကိန်းစဉ်တန်း]] jja277uo4li15ei6dfypjvdupl95gz8 0 291892 1054229 2026-09-20T09:59:48Z Mkant00 135890 "<math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> သည် [[အနန္တ]] [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (infinite series) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence of partial s..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054229 wikitext text/x-wiki <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> သည် [[အနန္တ]] [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (infinite series) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence of partial sums) ကို <math>(S_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> အဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>S_n = \sum_{k=0}^n a_k</math> <math>\lim_{n \to \infty} S_n</math> သည် အဆုံးရှိ [[စုဆုံမှတ်]] (finite limit) တစ်ခုအဖြစ် မတည်ရှိပါက ထိုကိန်းစဉ်တန်းသည် ဖြာထွက်သော (divergent) သဘောသဘာဝရှိသည်။ ပေါင်းခြင်း နည်းလမ်း (summation method) <math>\mathbf{A}</math> သည် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ ကိန်းစဉ်များပါရှိသော ရပ်ဝန်းမှ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) သို့ သွားသော တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း [[ဖန်ရှင်]] (partial function) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် အဆိုပါ ဖီးလ်ဒ်သည် <math>\mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> ဖြစ်သည်။ ယင်းနည်းလမ်းသည် ဖြာထွက်သော ကိန်းစဉ် <math>(S_n)</math> သို့ တန်ဖိုး <math>\mathbf{A}(S)</math> တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ သက်ဆိုင်ရာ ကိန်းစဉ်တန်း ပေါင်းခြင်း နည်းလမ်းကို <math>\mathbf{A}^\Sigma(a) = \mathbf{A}(S)</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ == ပေါင်းခြင်း နည်းလမ်းများ၏ နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Axiomatic properties of summation methods) == :<math>\mathbf{A}</math> နှင့် <math>\mathbf{B}</math> တို့သည် [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များ]]ကို တန်ဖိုးများဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပေါင်းခြင်း နည်းလမ်းများ ဖြစ်ကြသည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ * '''ပုံမှန်ဖြစ်မှု (Regularity)''' :အကယ်၍ <math>\lim_{n \to \infty} S_n = x</math> ဖြစ်တည်ပါက <math>\mathbf{A}(S) = x</math> ဖြစ်သည်။ * '''မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု (Linearity)''' :ကိန်းစဉ်များ <math>R</math>, <math>S</math> နှင့် [[စကေလာ]] (scalar) များ <math>\alpha, \beta</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathbf{A}(\alpha R + \beta S) = \alpha \mathbf{A}(R) + \beta \mathbf{A}(S)</math> * '''တည်ငြိမ်မှု (Stability) သို့မဟုတ် ကူးပြောင်းနိုင်ခြင်း (Translativity)''' :<math>S'</math> သည် <math>S'_n = S_{n+1} - S_0</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>\mathbf{A}(S)</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ (if and only if) <math>\mathbf{A}(S')</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်ခြင်းပင်ဖြစ်ပါက အဆိုပါနည်းလမ်းသည် တည်ငြိမ်မှုကို ပြည့်စုံစေပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။<ref>Hardy (1949).</ref> :<math>\mathbf{A}(S) = S_0 + \mathbf{A}(S')</math> * '''ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (Consistency)''' :အကယ်၍ <math>\mathbf{A}(S)</math> နှင့် <math>\mathbf{B}(S)</math> နှစ်ခုစလုံးကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပါက <math>\mathbf{A}(S) = \mathbf{B}(S)</math> ဖြစ်သည်။ == အဓိကကျသော ပေါင်းခြင်း နည်းလမ်းများ (Core summation methods) == === ပျမ်းမျှရှာနည်းများ (Averaging methods) === <math>(p_n)</math> သည် <math>\lim_{n \to \infty} \frac{p_n}{\sum_{i=0}^n p_i} = 0</math> ကို ပြည့်စုံစေသည့် အပေါင်းကိန်းပိုင်းများ (positive terms) ပါဝင်သော [[ကိန်းစဉ်]]တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ နောလွန်း ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (Nørlund mean) <math>\mathbf{N}_p</math> သည် စုဆုံမှတ် တည်ရှိသည်ဟု ယူဆကာ <math>(S_n)</math> ၏ တန်ဖိုးကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်သည်။ :<math>\mathbf{N}_p(S) = \lim_{m \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^m p_{m-i} S_i}{\sum_{i=0}^m p_i}</math> <math>C_k</math> ဖြင့် ဖော်ပြသော အစဉ် (order) <math>k</math> ရှိသည့် ဆီဇာရို [[ပေါင်းခြင်း]] (Cesàro summation) သည် ကိန်းစဉ် <math>p_n^k = \binom{n+k-1}{k-1}</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော နောလွန်း ပျမ်းမျှတန်ဖိုးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန် ပျမ်းမျှတန်ဖိုးများ (Abelian means) === <math>(\lambda_n)</math> သည် <math>\lambda_0 \ge 0</math> ပါဝင်ပြီး [[အနန္တ]] (infinity) သို့ ချဉ်းကပ်သွားသော တိကျစွာ အစဉ်လိုက် တိုးသော (strictly increasing) [[ကိန်းစဉ်]]တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ အဘီလီယန် (Abelian) ပျမ်းမျှတန်ဖိုး <math>A_\lambda</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>x > 0</math> အတွက် [[ကိန်းစဉ်တန်း]] စုဆုံပြီး စုဆုံမှတ် တည်ရှိသည်ဟု ယူဆထားသည်။ :<math>A_\lambda(S) = \lim_{x \to 0^+} \sum_{n=0}^\infty a_n e^{-\lambda_n x}</math> အကယ်၍ <math>\lambda_n = n</math> ဖြစ်ပါက <math>z = e^{-x}</math> အဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် စံ အာဘဲလ် [[ပေါင်းခြင်း]] (Abel summation) ကို ရရှိသည်။<ref>Zakharov (2001).</ref> :<math>A(S) = \lim_{z \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty a_n z^n</math> === မိုးမန့် နည်းလမ်းများ (Moment methods) === ဘိုရဲလ် [[ပေါင်းခြင်း]] (Borel summation) သည် [[ကိန်းစဉ်တန်း]]၏ ပေါင်းလဒ်ကို [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] အသွင်ပြောင်းခြင်း (integral transform) မှတစ်ဆင့် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဤနေရာတွင် အင်တီဂရယ် စုဆုံသည်ဟု ယူဆထားသည်။<ref>Muraev (1978), pp. 1332–1340.</ref> :<math>\mathbf{B}(S) = \int_0^\infty e^{-t} \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n t^n}{n!} \, \mathrm{d}t</math> == အဓိကကျသော သီအိုရမ်များ (Core theorems) == '''အဘီလီယန်နှင့် တောဘာရီယန် သီအိုရမ်များ (Abelian and tauberian theorems)''' [[ပေါင်းခြင်း]] နည်းလမ်း <math>\mathbf{M}</math> တစ်ခုအတွက် အဘီလီယန် သီအိုရမ် (Abelian theorem) တစ်ခုသည် ၎င်း၏ ပုံမှန်ဖြစ်မှုကို ခိုင်မာစေသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>\sum a_n = x</math> ဖြစ်ပါက <math>\mathbf{M}</math> သည် ပေါင်းလဒ် <math>x</math> ကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ တောဘာရီယန် သီအိုရမ် (Tauberian theorem) သည် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပြောင်းပြန်အဆို (partial converse) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>\mathbf{M}</math> သည် <math>\sum a_n</math> အား ပေါင်းလဒ် <math>x</math> အဖြစ် သတ်မှတ်ပေးပြီး [[ကိန်းစဉ်]] <math>(a_n)</math> အပေါ် သင့်လျော်သော ချဉ်းကပ်မှုဆိုင်ရာ (asymptotic) ဘေးထွက်အခြေအနေတစ်ခု မှန်ကန်ပါက ထို[[ကိန်းစဉ်တန်း]]သည် စံသဘောတရားအရ စုဆုံသော ကိန်းစဉ်တန်း ဖြစ်သည်။ '''ဘာနက် စုဆုံမှတ် (Banach limit)''' စုဆုံသော ကိန်းစဉ်များပါရှိသည့် ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) အပေါ်ရှိ စံ စုဆုံမှတ် တွက်ချက်မှု (standard limit operation) သည် [[မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်]] (linear functional) တစ်ခုဖြစ်သည်။ သင့်လျော်စွာ ရွေးချယ်ထားသော နေရာရွှေ့-မပြောင်းလဲသည့် (shift-invariant) နိမ့်ကျမျဉ်းဖြောင့်ဂုဏ် (sublinear) ဖန်ရှင်နယ်တစ်ခုအပေါ် အသုံးပြုထားသည့် [[ဟန်း-ဘာနက် သီအိုရမ်]] (Hahn-Banach theorem) အရ ဤဖန်ရှင်နယ်ကို အကန့်အသတ်ရှိသော (bounded) ကိန်းစဉ်များအားလုံး၏ ရပ်ဝန်းဆီသို့ တည်ဆောက်၍မရနိုင်သောနည်းလမ်းဖြင့် (nonconstructively) တိုးချဲ့နိုင်ပြီး မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှုနှင့် နေရာရွှေ့-မပြောင်းလဲသည့် ဂုဏ်သတ္တိတို့ကို ပြည့်စုံစေသည့် ဘာနက် စုဆုံမှတ်တစ်ခု တည်ရှိစေသည်။ == References == * {{Citation |last=Hardy |first=G. H. |title=Divergent Series |publication-place=Oxford |publisher=Clarendon Press |date=1949 |mr=0030620}} * {{Citation |last=Muraev |first=E. B. |title=Borel summation of ''n''-multiple series, and entire functions associated with them |journal=Sibirskii Matematicheskii Zhurnal |volume=19 |issue=6 |date=1978 |mr=0515152}} * {{Citation |last=Zakharov |first=A. A. |title=Abel summation method |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer |date=2001 |isbn=978-1-55608-010-4}} [[ကဏ္ဍ: ကိန်းစဉ်နှင့် ကိန်းစဉ်တန်း]] 3h1hdvo9ru092kfjof47rdowfhobub7 0 291893 1054230 2026-09-20T10:23:57Z Mkant00 135890 "[[ကိန်းစဉ်တန်း|ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း]] (harmonic series) ကို အပေါင်း ယူနစ် [[အပိုင်းကိန်း]] (positive unit fraction) များ၏ [[အနန္တ]] ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုအဖြစ် အ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054230 wikitext text/x-wiki [[ကိန်းစဉ်တန်း|ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း]] (harmonic series) ကို အပေါင်း ယူနစ် [[အပိုင်းကိန်း]] (positive unit fraction) များ၏ [[အနန္တ]] ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုအဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots</math> ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်ကို <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ဟာမိုနစ် ကိန်း (harmonic number) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းကို <math>S_n = H_n</math> ဟု ဖော်ပြသည်။ :<math>H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math> == ဖြာထွက်မှုဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်များ (Divergence proofs) == === နှိုင်းယှဉ် စစ်ဆေးခြင်း (Comparison test) === ကိန်းပိုင်းများကို 2 ၏ ထပ်ကိန်းများအဖြစ် စုစည်းခြင်းဖြင့် ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်းသည် အောက်ဘက်မှ ဖြာထွက်သော ကိန်းစဉ်တန်း တစ်ခုဖြင့် တိကျစွာ ကန့်သတ်ခံထားရသည်။<ref>Kifowit & Stamps (2006).</ref> :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) + \cdots</math> :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \ge 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + \cdots</math> :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \ge 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots</math> အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်]] (positive integer) <math>k</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\sum_{n=1}^{2^k} \frac{1}{n} \ge 1 + \frac{k}{2}</math> <math>k \to \infty</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသည်နှင့်အမျှ အောက်ကန့်သတ်ချက် (lower bound) သည် ဖြာထွက်သည်။ ထို့ကြောင့် ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်းသည် ဖြာထွက်သည်။ === အင်တီဂရယ် စစ်ဆေးခြင်း (Integral test) === ဟာမိုနစ် [[ကိန်းစဉ်တန်း]]ကို အစဉ်လိုက် လျော့သော [[ဖန်ရှင်]] (function) <math>f(x) = \frac{1}{x}</math> ၏ အနန္တဘောင် [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] (improper integral) နှင့် အောက်ပါအတိုင်း နှိုင်းယှဉ်နိုင်သည်။<ref>Bressoud (2007), pp. 137–138.</ref> :<math>\int_1^{N+1} \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x < \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \le \int_1^N \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x + 1</math> အင်တီဂရယ်များကို တန်ဖိုးရှာခြင်းဖြင့် ဟာမိုနစ် ကိန်းများအတွက် ကန့်သတ်ချက်များကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>\ln(N+1) < H_N \le \ln(N) + 1</math> <math>\lim_{N \to \infty} \ln(N) = \infty</math> ဖြစ်သောကြောင့် ပေါင်းလဒ်သည် ဖြာထွက်သည်။ == ဟာမိုနစ် ကိန်းများ၏ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Analytical properties of harmonic numbers) == === ကြီးထွားမှုနှုန်း (Growth rate) === အွိုင်လာ-မက်လောရင် ပုံသေနည်း (Euler–Maclaurin formula) အရ ဟာမိုနစ် ကိန်းများ၏ ချဉ်းကပ်မှု ဖြန့်ထုတ်ချက် (asymptotic expansion) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Boas & Wrench (1971).</ref> :<math>H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \varepsilon_n</math> ဤနေရာတွင် <math>\gamma \approx 0.5772</math> သည် အွိုင်လာ-မက်ရှရိုနီ ကိန်းသေ (Euler–Mascheroni constant) ဖြစ်ပြီး <math>\lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = 0</math> နှင့်အတူ <math>0 \le \varepsilon_n \le \frac{1}{8n^2}</math> ဖြစ်သည်။ === စား၍ရနိုင်စွမ်း (Divisibility) === <math>n > 1</math> အတွက် <math>H_n \notin \mathbb{Z}</math> ဖြစ်သည်။ အပိုင်းအခြား (range) <math>[1, n]</math> အတွင်း နှစ်၏ အမြင့်ဆုံး ထပ်ကိန်းကို <math>2^k</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>M = \operatorname{lcm}(1, 2, \dots, n)</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>H_n</math> အား [[အပိုင်းကိန်း]] (fraction) တစ်ခုတည်းအဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။<ref>Havil (2003), pp. 21–25.</ref> :<math>H_n = \sum_{i=1}^n \frac{M/i}{M}</math> ပိုင်းဝေ (numerator) <math>M/2^k</math> သည် မကိန်းပြည့် (odd integer) ဖြစ်သည်။ မည်သည့် <math>i \neq 2^k</math> အတွက်မဆို ပိုင်းဝေ <math>M/i</math> သည် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်း]] (even) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ပိုင်းဝေများအားလုံး၏ ပေါင်းလဒ်သည် မကိန်း (odd) ဖြစ်သည်။ <math>n > 1</math> ဖြစ်သောကြောင့် ပိုင်းခြေ (denominator) <math>M</math> သည် စုံကိန်းဖြစ်သည်။ စုံကိန်းပိုင်းခြေဖြင့် စားထားသော မကိန်းပိုင်းဝေတစ်ခုသည် [[ကိန်းပြည့်]] (integer) တစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပါ။ == ဆက်စပ်နေသော ကိန်းစဉ်တန်းများ (Related series) == === အလှည့်ကျ ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း (Alternating harmonic series) === [[ကိန်းစဉ်တန်း|အလှည့်ကျ ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း]] (alternating harmonic series) သည် အလှည့်ကျ ကိန်းစဉ်တန်း စစ်ဆေးခြင်းအရ ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံသည် (converge conditionally)။ ၎င်း၏ ပေါင်းလဒ်သည် 2 ၏ သဘာဝ [[လော့ဂရစ်သမ်]] (natural logarithm) ဖြစ်သည်။<ref>Freniche (2010).</ref> :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2</math> === ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (Riemann zeta function) === ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (Riemann zeta function) ကို [[ကိန်းစစ်]] <math>x > 1</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Bombieri (2010).</ref> :<math>\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}</math> ဟာမိုနစ် [[ကိန်းစဉ်တန်း]]သည် ၎င်းဖန်ရှင်၏ [[ကိန်းထွေး]] (complex) မီရိုမော်ဖစ် (meromorphic) အသွင်ဖြင့် ဆက်လက်တည်ရှိခြင်း (analytic continuation) ၏ <math>x = 1</math> ရှိ ရိုးရှင်းသော အနန္တတန်ဖိုးမှတ် (simple pole) နှင့် ကိုက်ညီမှု (corresponds to) ရှိသည်။ == References == * {{Citation |last1=Boas |first1=R. P. Jr. |last2=Wrench |first2=J. W. Jr. |title=Partial sums of the harmonic series |journal=The American Mathematical Monthly |volume=78 |issue=8 |date=1971 |doi=10.1080/00029890.1971.11992881 |mr=0294895}} * {{Citation |last=Bombieri |first=Enrico |title=The classical theory of zeta and <math>L</math>-functions |journal=Milan Journal of Mathematics |volume=78 |issue=1 |date=2010 |doi=10.1007/s00032-010-0121-8 |mr=2725841}} * {{Citation |last=Bressoud |first=David M. |title=A Radical Approach to Real Analysis |edition=2nd |publication-place=Washington, DC |publisher=Mathematical Association of America |date=2007 |isbn=978-0-88385-747-2 |mr=2280433}} * {{Citation |last=Freniche |first=Francisco J. |title=On Riemann's rearrangement theorem for the alternating harmonic series |journal=The American Mathematical Monthly |volume=117 |issue=5 |date=2010 |doi=10.4169/000298910X485969 |mr=2663251}} * {{Citation |last=Havil |first=Julian |title=Gamma: Exploring Euler's Constant |publication-place=Princeton, NJ |publisher=Princeton University Press |date=2003 |isbn=978-0-691-14133-6 |mr=1968276}} * {{Citation |last1=Kifowit |first1=Steven J. |last2=Stamps |first2=Terra A. |title=The harmonic series diverges again and again |journal=AMATYC Review |volume=27 |issue=2 |date=2006}} * {{Citation |last1=Schmelzer |first1=Thomas |last2=Baillie |first2=Robert |title=Summing a curious, slowly convergent series |journal=The American Mathematical Monthly |volume=115 |issue=6 |date=2008 |doi=10.1080/00029890.2008.11920559 |mr=2416035}} cmdz1gzrnudwmw8u2jkvr9gi0oceksb 1054231 1054230 2026-09-20T10:24:54Z Mkant00 135890 1054231 wikitext text/x-wiki [[ကိန်းစဉ်တန်း|ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း]] (harmonic series) ကို အပေါင်း ယူနစ် [[အပိုင်းကိန်း]] (positive unit fraction) များ၏ [[အနန္တ]] ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုအဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots</math> ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်ကို <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ဟာမိုနစ် ကိန်း (harmonic number) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းကို <math>S_n = H_n</math> ဟု ဖော်ပြသည်။ :<math>H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math> == ဖြာထွက်မှုဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်များ (Divergence proofs) == === နှိုင်းယှဉ် စစ်ဆေးခြင်း (Comparison test) === ကိန်းပိုင်းများကို 2 ၏ ထပ်ကိန်းများအဖြစ် စုစည်းခြင်းဖြင့် ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်းသည် အောက်ဘက်မှ ဖြာထွက်သော ကိန်းစဉ်တန်း တစ်ခုဖြင့် တိကျစွာ ကန့်သတ်ခံထားရသည်။<ref>Kifowit & Stamps (2006).</ref> :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) + \cdots</math> :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \ge 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + \cdots</math> :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \ge 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots</math> အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်]] (positive integer) <math>k</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\sum_{n=1}^{2^k} \frac{1}{n} \ge 1 + \frac{k}{2}</math> <math>k \to \infty</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသည်နှင့်အမျှ အောက်ကန့်သတ်ချက် (lower bound) သည် ဖြာထွက်သည်။ ထို့ကြောင့် ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်းသည် ဖြာထွက်သည်။ === အင်တီဂရယ် စစ်ဆေးခြင်း (Integral test) === ဟာမိုနစ် [[ကိန်းစဉ်တန်း]]ကို အစဉ်လိုက် လျော့သော [[ဖန်ရှင်]] (function) <math>f(x) = \frac{1}{x}</math> ၏ အနန္တဘောင် [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] (improper integral) နှင့် အောက်ပါအတိုင်း နှိုင်းယှဉ်နိုင်သည်။<ref>Bressoud (2007), pp. 137–138.</ref> :<math>\int_1^{N+1} \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x < \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \le \int_1^N \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x + 1</math> အင်တီဂရယ်များကို တန်ဖိုးရှာခြင်းဖြင့် ဟာမိုနစ် ကိန်းများအတွက် ကန့်သတ်ချက်များကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>\ln(N+1) < H_N \le \ln(N) + 1</math> <math>\lim_{N \to \infty} \ln(N) = \infty</math> ဖြစ်သောကြောင့် ပေါင်းလဒ်သည် ဖြာထွက်သည်။ == ဟာမိုနစ် ကိန်းများ၏ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Analytical properties of harmonic numbers) == === ကြီးထွားမှုနှုန်း (Growth rate) === အွိုင်လာ-မက်လောရင် ပုံသေနည်း (Euler–Maclaurin formula) အရ ဟာမိုနစ် ကိန်းများ၏ ချဉ်းကပ်မှု ဖြန့်ထုတ်ချက် (asymptotic expansion) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Boas & Wrench (1971).</ref> :<math>H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \varepsilon_n</math> ဤနေရာတွင် <math>\gamma \approx 0.5772</math> သည် အွိုင်လာ-မက်ရှရိုနီ ကိန်းသေ (Euler–Mascheroni constant) ဖြစ်ပြီး <math>\lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = 0</math> နှင့်အတူ <math>0 \le \varepsilon_n \le \frac{1}{8n^2}</math> ဖြစ်သည်။ === စား၍ရနိုင်စွမ်း (Divisibility) === <math>n > 1</math> အတွက် <math>H_n \notin \mathbb{Z}</math> ဖြစ်သည်။ အပိုင်းအခြား (range) <math>[1, n]</math> အတွင်း နှစ်၏ အမြင့်ဆုံး ထပ်ကိန်းကို <math>2^k</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>M = \operatorname{lcm}(1, 2, \dots, n)</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>H_n</math> အား [[အပိုင်းကိန်း]] (fraction) တစ်ခုတည်းအဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။<ref>Havil (2003), pp. 21–25.</ref> :<math>H_n = \sum_{i=1}^n \frac{M/i}{M}</math> ပိုင်းဝေ (numerator) <math>M/2^k</math> သည် မကိန်းပြည့် (odd integer) ဖြစ်သည်။ မည်သည့် <math>i \neq 2^k</math> အတွက်မဆို ပိုင်းဝေ <math>M/i</math> သည် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်း]] (even) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ပိုင်းဝေများအားလုံး၏ ပေါင်းလဒ်သည် မကိန်း (odd) ဖြစ်သည်။ <math>n > 1</math> ဖြစ်သောကြောင့် ပိုင်းခြေ (denominator) <math>M</math> သည် စုံကိန်းဖြစ်သည်။ စုံကိန်းပိုင်းခြေဖြင့် စားထားသော မကိန်းပိုင်းဝေတစ်ခုသည် [[ကိန်းပြည့်]] (integer) တစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပါ။ == ဆက်စပ်နေသော ကိန်းစဉ်တန်းများ (Related series) == === အလှည့်ကျ ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း (Alternating harmonic series) === [[ကိန်းစဉ်တန်း|အလှည့်ကျ ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း]] (alternating harmonic series) သည် အလှည့်ကျ ကိန်းစဉ်တန်း စစ်ဆေးခြင်းအရ ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံသည် (converge conditionally)။ ၎င်း၏ ပေါင်းလဒ်သည် 2 ၏ သဘာဝ [[လော့ဂရစ်သမ်]] (natural logarithm) ဖြစ်သည်။<ref>Freniche (2010).</ref> :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2</math> === ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (Riemann zeta function) === ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (Riemann zeta function) ကို [[ကိန်းစစ်]] <math>x > 1</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Bombieri (2010).</ref> :<math>\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}</math> ဟာမိုနစ် [[ကိန်းစဉ်တန်း]]သည် ၎င်းဖန်ရှင်၏ [[ကိန်းထွေး]] (complex) မီရိုမော်ဖစ် (meromorphic) အသွင်ဖြင့် ဆက်လက်တည်ရှိခြင်း (analytic continuation) ၏ <math>x = 1</math> ရှိ ရိုးရှင်းသော အနန္တတန်ဖိုးမှတ် (simple pole) နှင့် ကိုက်ညီမှု (corresponds to) ရှိသည်။ == References == * {{Citation |last1=Boas |first1=R. P. Jr. |last2=Wrench |first2=J. W. Jr. |title=Partial sums of the harmonic series |journal=The American Mathematical Monthly |volume=78 |issue=8 |date=1971 |doi=10.1080/00029890.1971.11992881 |mr=0294895}} * {{Citation |last=Bombieri |first=Enrico |title=The classical theory of zeta and <math>L</math>-functions |journal=Milan Journal of Mathematics |volume=78 |issue=1 |date=2010 |doi=10.1007/s00032-010-0121-8 |mr=2725841}} * {{Citation |last=Bressoud |first=David M. |title=A Radical Approach to Real Analysis |edition=2nd |publication-place=Washington, DC |publisher=Mathematical Association of America |date=2007 |isbn=978-0-88385-747-2 |mr=2280433}} * {{Citation |last=Freniche |first=Francisco J. |title=On Riemann's rearrangement theorem for the alternating harmonic series |journal=The American Mathematical Monthly |volume=117 |issue=5 |date=2010 |doi=10.4169/000298910X485969 |mr=2663251}} * {{Citation |last=Havil |first=Julian |title=Gamma: Exploring Euler's Constant |publication-place=Princeton, NJ |publisher=Princeton University Press |date=2003 |isbn=978-0-691-14133-6 |mr=1968276}} * {{Citation |last1=Kifowit |first1=Steven J. |last2=Stamps |first2=Terra A. |title=The harmonic series diverges again and again |journal=AMATYC Review |volume=27 |issue=2 |date=2006}} * {{Citation |last1=Schmelzer |first1=Thomas |last2=Baillie |first2=Robert |title=Summing a curious, slowly convergent series |journal=The American Mathematical Monthly |volume=115 |issue=6 |date=2008 |doi=10.1080/00029890.2008.11920559 |mr=2416035}} [[ကဏ္ဍ: ကိန်းစဉ်နှင့် ကိန်းစဉ်တန်း]] on4akdqtu5j6qyo3xmireex12vt4amt 0 291894 1054232 2026-09-20T10:36:24Z Mkant00 135890 "ပေါင်းကိန်း (summand) များ၏ [[ပကတိတန်ဖိုး]] (absolute value) များ၏ ပေါင်းလဒ်သည် အဆုံးရှိ (finite) ဖြစ်ပါက [[ကိန်းစစ်]] (real) သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]] ကိန်းစ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054232 wikitext text/x-wiki ပေါင်းကိန်း (summand) များ၏ [[ပကတိတန်ဖိုး]] (absolute value) များ၏ ပေါင်းလဒ်သည် အဆုံးရှိ (finite) ဖြစ်ပါက [[ကိန်းစစ်]] (real) သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]] [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (complex series) <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> သည် အကြွင်းမဲ့ စုဆုံသော (absolutely convergent) သဘောသဘာဝရှိသည်။ :<math>\sum_{n=0}^\infty |a_n| = L < \infty</math> အလားတူပင် အနန္တဘောင် [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] (improper integral) <math>\int_0^\infty f(x) \, \mathrm{d}x</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေတွင် အကြွင်းမဲ့ စုဆုံသည်။ :<math>\int_0^\infty |f(x)| \, \mathrm{d}x = L < \infty</math> အကြွင်းမဲ့ စုဆုံခြင်းမရှိသော စုဆုံသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ်တစ်ခုသည် ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံသော (conditionally convergent) အရာဖြစ်သည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များနှင့် ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Formal definitions and generalizations) == === တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ အဘီလီယန်အုပ်စုများ နှင့် ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Topological abelian groups and Banach spaces) === <math>(G, +)</math> သည် *<math>\|0\|=0</math>, <math>\|x\|=0 \implies x=0</math> *<math>\|-x\|=\|x\|</math> *<math>\|x+y\| \le \|x\| + \|y\|</math> တို့ကို ပြည့်စုံစေသည့် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>\|\cdot\|: G \to \mathbb{R}_+</math> တစ်ခု တပ်ဆင်ထားသော [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ အုပ်စု]] (abelian topological group) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ :<math>G</math>-တန်ဖိုးရှိ [[ကိန်းစဉ်တန်း]] <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေတွင် အကြွင်းမဲ့ စုဆုံသည်။ :<math>\sum_{n=0}^\infty \|a_n\| < \infty</math> === တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Topological vector spaces) === <math>X</math> သည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (topological vector space) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>(x_\alpha)_{\alpha \in A}</math> သည် <math>X</math> အတွင်းရှိ စုစည်းမှု (family) တစ်ခုဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ဤစုစည်းမှုသည် အောက်ပါအခြေအနေတွင် အကြွင်းမဲ့ ပေါင်းစပ်နိုင်သော (absolutely summable) အရာဖြစ်သည်။<ref>Schaefer & Wolff (1999), pp. 179–180.</ref> *၎င်းသည် <math>X</math> အတွင်း ပေါင်းစပ်နိုင်သော သဘောရှိသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အဆုံးရှိ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ ကွန်ရက် (net) <math>\left(\sum_{i \in H} x_i\right)_{H \in \mathcal{F}(A)}</math> သည် <math>X</math> အတွင်း စုဆုံပြီး ဤနေရာတွင် <math>\mathcal{F}(A)</math> သည် <math>A</math> ၏ အဆုံးရှိ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (finite subsets) ပါဝင်သော လားရာပြအစု (directed set) ဖြစ်သည်။ * <math>X</math> အပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ဆီမီးစံနှုန်း (continuous seminorm) <math>p</math> တိုင်းအတွက် [[ကိန်းစစ်]] စုစည်းမှု <math>(p(x_\alpha))_{\alpha \in A}</math> သည် ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ === အလိုရှိရာ အစုများအပေါ် အကြွင်းမဲ့ စုဆုံခြင်း (Absolute convergence over arbitrary sets) === <math>X</math> သည် အလိုရှိရာ [[အစု]] (arbitrary set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: X \to \mathbb{R}</math> ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ၎င်း၏ အဆုံးရှိ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ စူပရီမမ် (supremum) သည် အကန့်အသတ်ရှိသော (bounded) အခြေအနေဖြစ်ပါက <math>X</math> အပေါ်ရှိ <math>f</math> ၏ ပေါင်းလဒ်သည် အကြွင်းမဲ့ စုဆုံသည်။ :<math>\sup\left\{\sum_{x \in A} |f(x)| : A \subseteq X, \, A \text{ is finite} \right\} < \infty</math> အကယ်၍ ဤအခြေအနေ မှန်ကန်ပါက အများဆုံးအားဖြင့် <math>X</math> ၏ ရေတွက်နိုင်သော[[အစုပိုင်း]] (countable subset) တစ်ခုအတွက် <math>f(x) \neq 0</math> ဖြစ်သည်။ ရေတွက်နိုင်သော (countable) [[အရင်းအမြစ်စု]] (domain) <math>X</math> တစ်ခုအတွက် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (bijection) <math>g: \mathbb{Z}^+ \to X</math> ကို ပေးထားရာတွင် ပေါင်းလဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Tao (2016), pp. 188–191.</ref> :<math>\sum_{x \in X} f(x) := \sum_{n=1}^\infty f(g(n))</math> အကြွင်းမဲ့ စုဆုံခြင်းသည် ဤတန်ဖိုးအား ဘိုင်ဂျက်ရှင်း <math>g</math> ရွေးချယ်မှုအပေါ် အမှီအခိုကင်းခြင်း (independent) ရှိစေရန် သေချာစေသည်။ <math>\mathbb{N} \times \mathbb{N}</math> အပေါ်ရှိ ထပ်ကျော့ပေါင်းလဒ်များ အကြွင်းမဲ့ စုဆုံရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။<ref>Strichartz (2000), pp. 259–260.</ref> :<math>\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty |a_{m,n}| < \infty \iff \sum_{(m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}} |a_{m,n}| < \infty</math> === အကြွင်းမဲ့ အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိခြင်း (Absolute integrability) === [[ကိန်းစစ်]] သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]]တန်ဖိုးရှိ [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခု၏ [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] <math>\int_A f(x) \, \mathrm{d}x</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေတွင် အကြွင်းမဲ့ စုဆုံသည်။ အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် <math>f</math> သည် အကြွင်းမဲ့ အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသည် (absolutely integrable) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ :<math>\int_A |f(x)| \, \mathrm{d}x < \infty</math> အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်း (measure space) တစ်ခုပေါ်ရှိ လီဘက်ဂ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (Lebesgue integration) တွင် တိုင်းတာနိုင်စွမ်းသည် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) ကို လွှမ်းမိုးပြဋ္ဌာန်းသည်။ တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင် (measurable function) <math>f</math> တစ်ခု လီဘက်ဂ် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>|f|</math> သည် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ အနန္တဘောင် ရီးမန်း အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (improper Riemann integration) အတွက် အကြွင်းမဲ့ အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိခြင်းက သာမန် အနန္တဘောင် စုဆုံခြင်းကို ညွှန်ပြသော်လည်း ပြောင်းပြန်အဆို (converse) မှာမူ မှားယွင်းသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အနန္တဘောင် ရီးမန်း အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိနိုင်သော်လည်း အကြွင်းမဲ့ အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း မရှိနိုင်ပါ။ == References == * {{Citation |last1=Dvoretzky |first1=Aryeh |last2=Rogers |first2=Claude Ambrose |title=Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America |volume=36 |issue=3 |date=1950 |doi=10.1073/pnas.36.3.192 |mr=0033975}} * {{Citation |last=Megginson |first=Robert E. |title=An Introduction to Banach Space Theory |series=Graduate Texts in Mathematics, Vol. 183 |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |date=1998 |isbn=0-387-98431-3 |mr=1650235 |zbl=0904.46006}} * {{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |series=International Series in Pure and Applied Mathematics |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |isbn=0-07-054235-X |mr=0385023}} * {{Citation |last1=Schaefer |first1=Helmut H. |last2=Wolff |first2=Manfred P. |title=Topological Vector Spaces |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=3 |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |date=1999 |isbn=978-1-4612-7155-0 |mr=1741419}} * {{Citation |last=Strichartz |first=Robert |title=The Way of Analysis |publication-place=Sudbury, MA |publisher=Jones & Bartlett Learning |date=2000 |isbn=978-0-7637-1497-0 |mr=1768406}} * {{Citation |last=Tao |first=Terence |title=Analysis I |edition=3rd |publication-place=New Delhi |publisher=Hindustan Book Agency |date=2016 |isbn=978-93-80250-64-9 |mr=3525287}} [[ကဏ္ဍ: ကိန်းစဉ်နှင့် ကိန်းစဉ်တန်း]] hrjrqdtjbu7hl5lh9516jl49a24vksd 14 291895 1054234 2026-09-20T10:39:34Z Mkant00 135890 "[[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]]" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054234 wikitext text/x-wiki [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] 1iht0twtyhquabcnkb7vte80bxx3ngi 1054246 1054234 2026-09-20T10:46:38Z Mkant00 135890 1054246 wikitext text/x-wiki [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ သီအိုရမ်များ]] 0mcec6ntlrnodq0pb8wbolx7du3gnhi 14 291896 1054248 2026-09-20T10:48:28Z Mkant00 135890 "[[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ_သီအိုရမ်များ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းသီအိုရီ]]" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1054248 wikitext text/x-wiki [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ_သီအိုရမ်များ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းသီအိုရီ]] 3kw441qknvtr0ntke78zfs6m738cvox